{"id":"vosh-1991-zonal-one-way-streets-return","title":"Односторонние улицы и квартал с круговым движением, XVII Всероссийская олимпиада 1991","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-1991-zonal-one-way-streets-return.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-1991-zonal-one-way-streets-return.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-1991-zonal-one-way-streets-return","source_key":"vosh","source_label":"XVII Всероссийская олимпиада","source_titles":["Квант. 1991. № 10: XVII Всероссийская олимпиада школьников по математике"],"year":"1991","type":"olympiad_problem","authors":["Агаханов Н. Х., Купцов Л. П., Резниченко С. В."],"tags":["planar_graphs","graph_model","extremal_choice","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"XVII Всероссийская олимпиада школьников по математике, 1991, 10 класс, первый день, задача 3; в публикации указано 10 баллов. После графовой модели ключевой ход - минимальный ориентированный цикл.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original_checked","label":"проверенное самостоятельное решение","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"глубокий аудит источника, веб-поиск и локальная high-reasoning проверка восстановленного доказательства","notes":"Опубликованное решение не найдено; восстановленное доказательство проверено как самодостаточное и опирается только на минимальный ориентированный цикл, ацикличность внутреннего остатка и многоугольность граней.","audit_source":"vosh-official-sweep-deep-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Город с односторонними улицами","status":"source_verified","text":"Город в форме многоугольника разделен улицами на кварталы-многоугольники. В вершинах многоугольников находятся площади. Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. На каждой улице введено одностороннее движение так, что: а) на каждую площадь можно приехать; б) с каждой площади можно уехать; в) весь город можно объехать вдоль его границы. Доказать, что в городе имеется квартал, который можно объехать по улицам, его ограничивающим.","definition_ids":["directed_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Односторонние улицы и квартал с круговым движением","status":"ai_checked","text":"Пусть конечный связный плоский граф вложен в диск как разбиение многоугольника на многоугольные грани; внешняя граница является простым ориентированным циклом. Каждое ребро ориентировано, и у каждой вершины положительны полустепень захода и полустепень исхода в полном графе. Докажите, что существует внутренняя грань, граница которой является ориентированным циклом.","definition_ids":["directed_graph","planar_graph","cycle","connected_graph","indegree","outdegree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-minimal-directed-cycle","title":"ИИ-решение через минимальный ориентированный цикл","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","planar_graph","cycle","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф города: площади - вершины, улицы - ориентированные ребра, кварталы - внутренние грани. Граница всего города по условию является ориентированным циклом, поэтому в графе есть хотя бы один ориентированный цикл. Выберем среди всех ориентированных циклов такой цикл \\(C\\), внутри которого находится минимальное число кварталов. Докажем, что \\(C\\) ограничивает один квартал. Предположим обратное. Удалим сами ребра цикла \\(C\\), но оставим все вершины и все ребра, лежащие внутри \\(C\\) или идущие из вершины \\(C\\) внутрь. Полученный граф внутри \\(C\\) не содержит ориентированных циклов: любой такой цикл лежал бы в замкнутой области, ограниченной \\(C\\), и окружал бы строго меньше кварталов, чем \\(C\\), что противоречит выбору \\(C\\). Кроме того, в этом внутреннем графе не может быть направленного пути, который выходит из одной вершины цикла \\(C\\) и впервые возвращается на \\(C\\) в другой…"}],"relations":[],"search_text":"vosh-1991-zonal-one-way-streets-return односторонние улицы и квартал с круговым движением, xvii всероссийская олимпиада 1991 planar_graphs graph_model extremal_choice goal_existence 1991 https://www.kvant.digital/issues/1991/10/agahanov_kuptsov_reznichenko-xvii_vserossiyskaya_olimpiada_shkolnikov_po_matematike-7e28f95c/ primary_publication src-kvant-digital-1991-10-vseros-math vosh vosh1991 with_solution xvii всероссийская олимпиада xviiвсероссийскаяолимпиада xviiвсероссийскаяолимпиада1991 агаханов н. х., купцов л. п., резниченко с. в. квант. 1991. № 10: xvii всероссийская олимпиада школьников по математике агаханов н. х., купцов л. п., резниченко с. в. квант. 1991. № 10: xvii всероссийская олимпиада школьников по математике stmt-original город с односторонними улицами source_verified город в форме многоугольника разделен улицами на кварталы-многоугольники. в вершинах многоугольников находятся площади. каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. на каждой улице введено одностороннее движение так, что: а) на каждую площадь можно приехать; б) с каждой площади можно уехать; в) весь город можно объехать вдоль его границы. доказать, что в городе имеется квартал, который можно объехать по улицам, его ограничивающим. directed_graph stmt-graph односторонние улицы и квартал с круговым движением ai_checked пусть конечный связный плоский граф вложен в диск как разбиение многоугольника на многоугольные грани; внешняя граница является простым ориентированным циклом. каждое ребро ориентировано, и у каждой вершины положительны полустепень захода и полустепень исхода в полном графе. докажите, что существует внутренняя грань, граница которой является ориентированным циклом. directed_graph planar_graph cycle connected_graph indegree outdegree idea-directed-planar-city-model улицы задают ориентированный плоский граф площади естественно считать вершинами, а улицы - ориентированными ребрами. условия «можно приехать» и «можно уехать» дают положительные входящую и исходящую полустепени каждой вершины во всем графе, а граница города задает внешний ориентированный цикл. graph_model ai_checked idea-minimal-directed-cycle взять направленный цикл с минимальной внутренностью внешняя граница уже является ориентированным циклом. если среди всех ориентированных циклов выбрать тот, внутри которого минимальное число кварталов, то он обязан ограничивать один квартал: иначе внутренняя часть без ребер цикла ациклична, но условия на входы и выходы дают направленный путь между двумя вершинами цикла и тем самым меньший ориентированный цикл. extremal_choice planar_graphs graph_model ai_checked sol-ai-minimal-directed-cycle ии-решение через минимальный ориентированный цикл ai_checked directed_graph planar_graph cycle path extremal_choice рассмотрим граф города: площади - вершины, улицы - ориентированные ребра, кварталы - внутренние грани. граница всего города по условию является ориентированным циклом, поэтому в графе есть хотя бы один ориентированный цикл. выберем среди всех ориентированных циклов такой цикл \\(c\\), внутри которого находится минимальное число кварталов. докажем, что \\(c\\) ограничивает один квартал. предположим обратное. удалим сами ребра цикла \\(c\\), но оставим все вершины и все ребра, лежащие внутри \\(c\\) или идущие из вершины \\(c\\) внутрь. полученный граф внутри \\(c\\) не содержит ориентированных циклов: любой такой цикл лежал бы в замкнутой области, ограниченной \\(c\\), и окружал бы строго меньше кварталов, чем \\(c\\), что противоречит выбору \\(c\\). кроме того, в этом внутреннем графе не может быть направленного пути, который выходит из одной вершины цикла \\(c\\) и впервые возвращается на \\(c\\) в другой… vosh-1991-zonal-one-way-streets-return odnostoronnie ulitsy i kvartal s krugovym dvizheniem, xvii vserossiyskaya olimpiada 1991 planar_graphs graph_model extremal_choice goal_existence 1991 https://www.kvant.digital/issues/1991/10/agahanov_kuptsov_reznichenko-xvii_vserossiyskaya_olimpiada_shkolnikov_po_matematike-7e28f95c/ primary_publication src-kvant-digital-1991-10-vseros-math vosh vosh1991 with_solution xvii vserossiyskaya olimpiada xviivserossiyskayaolimpiada xviivserossiyskayaolimpiada1991 agahanov n. h., kuptsov l. p., reznichenko s. v. kvant. 1991. № 10: xvii vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike agahanov n. h., kuptsov l. p., reznichenko s. v. kvant. 1991. № 10: xvii vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike stmt-original gorod s odnostoronnimi ulitsami source_verified gorod v forme mnogougolnika razdelen ulitsami na kvartaly-mnogougolniki. v vershinah mnogougolnikov nahodyatsya ploschadi. kazhdaya ulitsa soedinyaet dve ploschadi i ne prohodit cherez drugie ploschadi. na kazhdoy ulitse vvedeno odnostoronnee dvizhenie tak, chto: a) na kazhduyu ploschad mozhno priehat; b) s kazhdoy ploschadi mozhno uehat; v) ves gorod mozhno obehat vdol ego granitsy. dokazat, chto v gorode imeetsya kvartal, kotoryy mozhno obehat po ulitsam, ego ogranichivayuschim. directed_graph stmt-graph odnostoronnie ulitsy i kvartal s krugovym dvizheniem ai_checked pust konechnyy svyaznyy ploskiy graf vlozhen v disk kak razbienie mnogougolnika na mnogougolnye grani; vneshnyaya granitsa yavlyaetsya prostym orientirovannym tsiklom. kazhdoe rebro orientirovano, i u kazhdoy vershiny polozhitelny polustepen zahoda i polustepen ishoda v polnom grafe. dokazhite, chto suschestvuet vnutrennyaya gran, granitsa kotoroy yavlyaetsya orientirovannym tsiklom. directed_graph planar_graph cycle connected_graph indegree outdegree idea-directed-planar-city-model ulitsy zadayut orientirovannyy ploskiy graf ploschadi estestvenno schitat vershinami, a ulitsy - orientirovannymi rebrami. usloviya «mozhno priehat» i «mozhno uehat» dayut polozhitelnye vhodyaschuyu i ishodyaschuyu polustepeni kazhdoy vershiny vo vsem grafe, a granitsa goroda zadaet vneshniy orientirovannyy tsikl. graph_model ai_checked idea-minimal-directed-cycle vzyat napravlennyy tsikl s minimalnoy vnutrennostyu vneshnyaya granitsa uzhe yavlyaetsya orientirovannym tsiklom. esli sredi vseh orientirovannyh tsiklov vybrat tot, vnutri kotorogo minimalnoe chislo kvartalov, to on obyazan ogranichivat odin kvartal: inache vnutrennyaya chast bez reber tsikla atsiklichna, no usloviya na vhody i vyhody dayut napravlennyy put mezhdu dvumya vershinami tsikla i tem samym menshiy orientirovannyy tsikl. extremal_choice planar_graphs graph_model ai_checked sol-ai-minimal-directed-cycle ii-reshenie cherez minimalnyy orientirovannyy tsikl ai_checked directed_graph planar_graph cycle path extremal_choice rassmotrim graf goroda: ploschadi - vershiny, ulitsy - orientirovannye rebra, kvartaly - vnutrennie grani. granitsa vsego goroda po usloviyu yavlyaetsya orientirovannym tsiklom, poetomu v grafe est hotya by odin orientirovannyy tsikl. vyberem sredi vseh orientirovannyh tsiklov takoy tsikl \\(c\\), vnutri kotorogo nahoditsya minimalnoe chislo kvartalov. dokazhem, chto \\(c\\) ogranichivaet odin kvartal. predpolozhim obratnoe. udalim sami rebra tsikla \\(c\\), no ostavim vse vershiny i vse rebra, lezhaschie vnutri \\(c\\) ili iduschie iz vershiny \\(c\\) vnutr. poluchennyy graf vnutri \\(c\\) ne soderzhit orientirovannyh tsiklov: lyuboy takoy tsikl lezhal by v zamknutoy oblasti, ogranichennoy \\(c\\), i okruzhal by strogo menshe kvartalov, chem \\(c\\), chto protivorechit vyboru \\(c\\). krome togo, v etom vnutrennem grafe ne mozhet byt napravlennogo puti, kotoryy vyhodit iz odnoy vershiny tsikla \\(c\\) i vpervye vozvraschaetsya na \\(c\\) v drugoy…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-1992-zonal-air-travel-one-city-redundant","title":"Отделившаяся часть городов при односторонних авиаперелётах, XVIII Всероссийская олимпиада 1992","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-1992-zonal-air-travel-one-city-redundant.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-1992-zonal-air-travel-one-city-redundant.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-1992-zonal-air-travel-one-city-redundant","source_key":"vosh","source_label":"XVIII Всероссийская олимпиада","source_titles":["Квант. 1992. № 10: XVIII Всероссийская олимпиада по математике","Н. В. Горбачёв, Сборник олимпиадных задач по математике, 2004, OCR access copy"],"year":"1992","type":"olympiad_problem","authors":["Яковлев Г. Н., Куперман А. Б., Ковалёва Л. Г., Зурабов О. Р., Городецкий П. И., Кабанова М. В., Аматуни Г. А."],"tags":["connectivity","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":2,"comment":"XVIII Всероссийская олимпиада по математике, 1992, 11 класс, первый день, задача 3; в публикации указано 8 баллов.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"углублённый аудит условия из «Кванта» и опубликованного решения из сборника Горбачёва","notes":"Проверенный источник в «Кванте» даёт условие и авторов публикации, но не официальное решение. Полное элементарное решение опубликовано в сборнике Горбачёва 2004 года; локальное решение является самодостаточной адаптацией.","audit_source":"docs/archive/vosh-official-sweep/deep/vosh-1992-zonal-air-travel-one-city-redundant.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Отделившаяся часть городов","status":"source_verified","text":"В стране несколько городов. Между некоторыми из них в одном направлении летают самолеты. Известно, что существует город, вылетев из которого нельзя, перелетая из города в город, побывать в каждом городе страны. Докажите, что часть городов может отделиться так, что ни в один из отделившихся городов нельзя будет попасть с помощью авиаперелетов ни из какого города оставшейся части.","definition_ids":["directed_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Отделившаяся часть городов при односторонних авиаперелётах","status":"ai_checked","text":"В конечном ориентированном графе есть вершина, из которой достижимы не все вершины. Докажите, что существует непустое собственное множество вершин \\(S\\), в которое не входит ни одно ребро из дополнения \\(V\\setminus S\\).","definition_ids":["directed_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-published-unreachable-set","title":"Множество городов, недостижимых из выбранного","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем город \\(A\\), из которого нельзя, перелетая из города в город, побывать во всех городах страны. Пусть \\(S\\) - множество городов, в которые нельзя попасть из \\(A\\). По условию это множество непусто. При этом \\(A\\notin S\\), так что \\(S\\) не совпадает со всем множеством городов. Докажем, что именно эти города могут отделиться. Предположим противное: из некоторого города \\(B\\), не входящего в \\(S\\), есть прямой авиарейс в город \\(C\\in S\\). Так как \\(B\\notin S\\), из \\(A\\) можно попасть в \\(B\\). Тогда, долетев из \\(A\\) до \\(B\\), а затем одним рейсом из \\(B\\) в \\(C\\), мы попали бы из \\(A\\) в город \\(C\\). Это противоречит определению множества \\(S\\). Значит, ни в один город из \\(S\\) нельзя попасть прямым рейсом из города вне \\(S\\). Тем более туда нельзя попасть и цепочкой авиаперелетов из оставшейся части: первый момент входа такой цепочки в \\(S\\) дал бы прямой рейс из города вне \\(S\\) в…"}],"relations":[{"id":"rel-vosh-1992-air-travel-baltic-way-1992-mother-vertex","neighbor_id":"baltic-way-1992-p14-mother-vertex-reachability","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vosh-1992-zonal-air-travel-one-city-redundant отделившаяся часть городов при односторонних авиаперелётах, xviii всероссийская олимпиада 1992 connectivity graph_model goal_existence 1992 https://djvu.online/file/5gmg79hrxjzlc https://www.kvant.digital/issues/1992/10/ primary_publication published_collection_ocr src-djvuonline-gorbachev-olympiad-2004 src-kvant-digital-1992-10-vseros-math vosh vosh1992 with_solution xviii всероссийская олимпиада xviiiвсероссийскаяолимпиада xviiiвсероссийскаяолимпиада1992 квант. 1992. № 10: xviii всероссийская олимпиада по математике н. в. горбачёв, сборник олимпиадных задач по математике, 2004, ocr access copy яковлев г. н., куперман а. б., ковалёва л. г., зурабов о. р., городецкий п. и., кабанова м. в., аматуни г. а. яковлев г. н., куперман а. б., ковалёва л. г., зурабов о. р., городецкий п. и., кабанова м. в., аматуни г. а. квант. 1992. № 10: xviii всероссийская олимпиада по математике н. в. горбачёв, сборник олимпиадных задач по математике, 2004, ocr access copy stmt-original отделившаяся часть городов source_verified в стране несколько городов. между некоторыми из них в одном направлении летают самолеты. известно, что существует город, вылетев из которого нельзя, перелетая из города в город, побывать в каждом городе страны. докажите, что часть городов может отделиться так, что ни в один из отделившихся городов нельзя будет попасть с помощью авиаперелетов ни из какого города оставшейся части. directed_graph stmt-graph отделившаяся часть городов при односторонних авиаперелётах ai_checked в конечном ориентированном графе есть вершина, из которой достижимы не все вершины. докажите, что существует непустое собственное множество вершин \\(s\\), в которое не входит ни одно ребро из дополнения \\(v\\setminus s\\). directed_graph idea-unreachable-set-has-no-incoming-edge недостижимая часть не имеет входящих ребер снаружи если из выбранной вершины достижимы не все вершины, то множество недостижимых вершин непусто. в него не может входить ребро из достижимой вершины, иначе его конец тоже стал бы достижимым. graph_model connectivity ai_checked sol-published-unreachable-set множество городов, недостижимых из выбранного ai_checked directed_graph выберем город \\(a\\), из которого нельзя, перелетая из города в город, побывать во всех городах страны. пусть \\(s\\) - множество городов, в которые нельзя попасть из \\(a\\). по условию это множество непусто. при этом \\(a\\notin s\\), так что \\(s\\) не совпадает со всем множеством городов. докажем, что именно эти города могут отделиться. предположим противное: из некоторого города \\(b\\), не входящего в \\(s\\), есть прямой авиарейс в город \\(c\\in s\\). так как \\(b\\notin s\\), из \\(a\\) можно попасть в \\(b\\). тогда, долетев из \\(a\\) до \\(b\\), а затем одним рейсом из \\(b\\) в \\(c\\), мы попали бы из \\(a\\) в город \\(c\\). это противоречит определению множества \\(s\\). значит, ни в один город из \\(s\\) нельзя попасть прямым рейсом из города вне \\(s\\). тем более туда нельзя попасть и цепочкой авиаперелетов из оставшейся части: первый момент входа такой цепочки в \\(s\\) дал бы прямой рейс из города вне \\(s\\) в… vosh-1992-zonal-air-travel-one-city-redundant otdelivshayasya chast gorodov pri odnostoronnih aviapereletah, xviii vserossiyskaya olimpiada 1992 connectivity graph_model goal_existence 1992 https://djvu.online/file/5gmg79hrxjzlc https://www.kvant.digital/issues/1992/10/ primary_publication published_collection_ocr src-djvuonline-gorbachev-olympiad-2004 src-kvant-digital-1992-10-vseros-math vosh vosh1992 with_solution xviii vserossiyskaya olimpiada xviiivserossiyskayaolimpiada xviiivserossiyskayaolimpiada1992 kvant. 1992. № 10: xviii vserossiyskaya olimpiada po matematike n. v. gorbachev, sbornik olimpiadnyh zadach po matematike, 2004, ocr access copy yakovlev g. n., kuperman a. b., kovaleva l. g., zurabov o. r., gorodetskiy p. i., kabanova m. v., amatuni g. a. yakovlev g. n., kuperman a. b., kovaleva l. g., zurabov o. r., gorodetskiy p. i., kabanova m. v., amatuni g. a. kvant. 1992. № 10: xviii vserossiyskaya olimpiada po matematike n. v. gorbachev, sbornik olimpiadnyh zadach po matematike, 2004, ocr access copy stmt-original otdelivshayasya chast gorodov source_verified v strane neskolko gorodov. mezhdu nekotorymi iz nih v odnom napravlenii letayut samolety. izvestno, chto suschestvuet gorod, vyletev iz kotorogo nelzya, pereletaya iz goroda v gorod, pobyvat v kazhdom gorode strany. dokazhite, chto chast gorodov mozhet otdelitsya tak, chto ni v odin iz otdelivshihsya gorodov nelzya budet popast s pomoschyu aviapereletov ni iz kakogo goroda ostavsheysya chasti. directed_graph stmt-graph otdelivshayasya chast gorodov pri odnostoronnih aviapereletah ai_checked v konechnom orientirovannom grafe est vershina, iz kotoroy dostizhimy ne vse vershiny. dokazhite, chto suschestvuet nepustoe sobstvennoe mnozhestvo vershin \\(s\\), v kotoroe ne vhodit ni odno rebro iz dopolneniya \\(v\\setminus s\\). directed_graph idea-unreachable-set-has-no-incoming-edge nedostizhimaya chast ne imeet vhodyaschih reber snaruzhi esli iz vybrannoy vershiny dostizhimy ne vse vershiny, to mnozhestvo nedostizhimyh vershin nepusto. v nego ne mozhet vhodit rebro iz dostizhimoy vershiny, inache ego konets tozhe stal by dostizhimym. graph_model connectivity ai_checked sol-published-unreachable-set mnozhestvo gorodov, nedostizhimyh iz vybrannogo ai_checked directed_graph vyberem gorod \\(a\\), iz kotorogo nelzya, pereletaya iz goroda v gorod, pobyvat vo vseh gorodah strany. pust \\(s\\) - mnozhestvo gorodov, v kotorye nelzya popast iz \\(a\\). po usloviyu eto mnozhestvo nepusto. pri etom \\(a\\notin s\\), tak chto \\(s\\) ne sovpadaet so vsem mnozhestvom gorodov. dokazhem, chto imenno eti goroda mogut otdelitsya. predpolozhim protivnoe: iz nekotorogo goroda \\(b\\), ne vhodyaschego v \\(s\\), est pryamoy aviareys v gorod \\(c\\in s\\). tak kak \\(b\\notin s\\), iz \\(a\\) mozhno popast v \\(b\\). togda, doletev iz \\(a\\) do \\(b\\), a zatem odnim reysom iz \\(b\\) v \\(c\\), my popali by iz \\(a\\) v gorod \\(c\\). eto protivorechit opredeleniyu mnozhestva \\(s\\). znachit, ni v odin gorod iz \\(s\\) nelzya popast pryamym reysom iz goroda vne \\(s\\). tem bolee tuda nelzya popast i tsepochkoy aviapereletov iz ostavsheysya chasti: pervyy moment vhoda takoy tsepochki v \\(s\\) dal by pryamoy reys iz goroda vne \\(s\\) v…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-1992-zonal-airlines-route-transfer","title":"Авиакомпании и передача рейсов, XVIII Всероссийская олимпиада 1992","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-1992-zonal-airlines-route-transfer.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-1992-zonal-airlines-route-transfer.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-1992-zonal-airlines-route-transfer","source_key":"vosh","source_label":"XVIII Всероссийская олимпиада","source_titles":["Квант. 1992. № 10: XVIII Всероссийская олимпиада по математике","Квант. 1993. № 9/10: решение задачи М1367"],"year":"1992","type":"olympiad_problem","authors":["Яковлев Г. Н. и др."],"tags":["coloring","graph_model","augmenting_path","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"XVIII Всероссийская олимпиада по математике, 1992, 9 класс, второй день, задача 8; в публикации указано 11 баллов. В «Задачнике Кванта» переопубликована как М1367.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"агентский аудит с углублённым анализом","notes":"«Квант» опубликовал полное решение той же задачи как M1367 в 1993 № 9/10. Решение даёт полный обмен по чередующимся цепям двух авиакомпаний и конечный процесс выравнивания; тяжёлая внешняя теорема не нужна.","audit_source":"deep/vosh-1992-zonal-airlines-route-transfer.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Рейсы разных авиакомпаний","status":"source_verified","text":"В некоторой стране между городами существует авиационное сообщение. В стране \\(2k+1\\) авиакомпания, причем первая осуществляет один рейс, вторая - два рейса и т. д. Каждый рейс связывает между собой два города. В стране существует закон, согласно которому из каждого города не может выполняться более одного рейса каждой авиакомпании. Компании решили по-новому поделить между собой все рейсы так, чтобы каждая авиакомпания осуществляла одинаковое число рейсов. Докажите, что это можно сделать, не нарушая закона.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Авиакомпании и передача рейсов","status":"ai_checked","text":"Пусть ребра конечного мультиграфа без петель правильно раскрашены в \\(2k+1\\) цветов: в каждой вершине любые два инцидентных ребра имеют разные цвета, а цвет \\(i\\) встречается ровно \\(i\\) раз. Докажите, что эти же ребра можно правильно перекрасить теми же \\(2k+1\\) цветами так, чтобы каждый цвет встречался ровно \\(k+1\\) раз.","definition_ids":["multigraph","degree","matching","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-kvant-m1367-two-color-exchange","title":"Опубликованное решение М1367 через двухцветные цепи","status":"source_verified","definition_ids":["multigraph","matching","alternating_path","cycle","path"],"standard_idea_ids":["alternating_paths","kempe_chains"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Всего рейсов \\(1+2+\\cdots+(2k+1)=(2k+1)(k+1)\\), значит в новой раскладке каждая авиакомпания должна получить по \\(k+1\\) рейсу. Пока есть авиакомпания \\(A\\) с числом рейсов больше \\(k+1\\) и авиакомпания \\(B\\) с числом рейсов меньше \\(k+1\\), рассмотрим только рейсы этих двух компаний. Изобразим рейсы \\(A\\) красными ребрами, а рейсы \\(B\\) синими. Из-за закона в каждой вершине выходит не более одного красного и не более одного синего ребра, поэтому двухцветный подграф распадается на чередующиеся циклы и цепи. В каждом цикле красных и синих ребер поровну. Так как у \\(A\\) ребер больше, чем у \\(B\\), существует цепь, в которой красных ребер на одно больше, чем синих. Поменяем на этой цепи красный и синий цвета местами. Правильность раскраски сохраняется: в вершинах цепи по-прежнему инцидентно не более одного ребра каждого из двух цветов, а остальные цвета не затронуты. При этом число рейсов \\(A…"}],"relations":[],"search_text":"vosh-1992-zonal-airlines-route-transfer авиакомпании и передача рейсов, xviii всероссийская олимпиада 1992 coloring graph_model augmenting_path goal_construction 1992 https://www.kvant.digital/data/kvant_1993_9-10/jpg/0031.jpg https://www.kvant.digital/issues/1992/10/ primary_publication published_solution src-kvant-digital-1992-10-vseros-math src-kvant-digital-1993-09-10-m1367-solution vosh vosh1992 with_solution xviii всероссийская олимпиада xviiiвсероссийскаяолимпиада xviiiвсероссийскаяолимпиада1992 квант. 1992. № 10: xviii всероссийская олимпиада по математике квант. 1993. № 9/10: решение задачи м1367 яковлев г. н. и др. яковлев г. н. и др. квант. 1992. № 10: xviii всероссийская олимпиада по математике квант. 1993. № 9/10: решение задачи м1367 stmt-original рейсы разных авиакомпаний source_verified в некоторой стране между городами существует авиационное сообщение. в стране \\(2k+1\\) авиакомпания, причем первая осуществляет один рейс, вторая - два рейса и т. д. каждый рейс связывает между собой два города. в стране существует закон, согласно которому из каждого города не может выполняться более одного рейса каждой авиакомпании. компании решили по-новому поделить между собой все рейсы так, чтобы каждая авиакомпания осуществляла одинаковое число рейсов. докажите, что это можно сделать, не нарушая закона. stmt-graph авиакомпании и передача рейсов ai_checked пусть ребра конечного мультиграфа без петель правильно раскрашены в \\(2k+1\\) цветов: в каждой вершине любые два инцидентных ребра имеют разные цвета, а цвет \\(i\\) встречается ровно \\(i\\) раз. докажите, что эти же ребра можно правильно перекрасить теми же \\(2k+1\\) цветами так, чтобы каждый цвет встречался ровно \\(k+1\\) раз. multigraph degree matching path idea-airlines-edge-coloring авиакомпании как цвета ребер города являются вершинами, рейсы - ребрами, а авиакомпании - цветами. закон о не более чем одном рейсе каждой авиакомпании из города означает правильность реберной раскраски: у одной вершины нет двух инцидентных ребер одного цвета. graph_model coloring ai_checked idea-two-color-alternating-path выравнивание двух цветов по чередующейся цепи если один цвет встречается чаще другого, то в подграфе из ребер этих двух цветов компоненты являются чередующимися путями или циклами. циклы содержат поровну ребер двух цветов, поэтому избыток одного цвета обнаруживается на пути; обмен цветов на таком пути уменьшает дисбаланс на 1. coloring augmenting_path ai_checked sol-kvant-m1367-two-color-exchange опубликованное решение м1367 через двухцветные цепи source_verified multigraph matching alternating_path cycle path alternating_paths kempe_chains всего рейсов \\(1+2+\\cdots+(2k+1)=(2k+1)(k+1)\\), значит в новой раскладке каждая авиакомпания должна получить по \\(k+1\\) рейсу. пока есть авиакомпания \\(a\\) с числом рейсов больше \\(k+1\\) и авиакомпания \\(b\\) с числом рейсов меньше \\(k+1\\), рассмотрим только рейсы этих двух компаний. изобразим рейсы \\(a\\) красными ребрами, а рейсы \\(b\\) синими. из-за закона в каждой вершине выходит не более одного красного и не более одного синего ребра, поэтому двухцветный подграф распадается на чередующиеся циклы и цепи. в каждом цикле красных и синих ребер поровну. так как у \\(a\\) ребер больше, чем у \\(b\\), существует цепь, в которой красных ребер на одно больше, чем синих. поменяем на этой цепи красный и синий цвета местами. правильность раскраски сохраняется: в вершинах цепи по-прежнему инцидентно не более одного ребра каждого из двух цветов, а остальные цвета не затронуты. при этом число рейсов \\(a… vosh-1992-zonal-airlines-route-transfer aviakompanii i peredacha reysov, xviii vserossiyskaya olimpiada 1992 coloring graph_model augmenting_path goal_construction 1992 https://www.kvant.digital/data/kvant_1993_9-10/jpg/0031.jpg https://www.kvant.digital/issues/1992/10/ primary_publication published_solution src-kvant-digital-1992-10-vseros-math src-kvant-digital-1993-09-10-m1367-solution vosh vosh1992 with_solution xviii vserossiyskaya olimpiada xviiivserossiyskayaolimpiada xviiivserossiyskayaolimpiada1992 kvant. 1992. № 10: xviii vserossiyskaya olimpiada po matematike kvant. 1993. № 9/10: reshenie zadachi m1367 yakovlev g. n. i dr. yakovlev g. n. i dr. kvant. 1992. № 10: xviii vserossiyskaya olimpiada po matematike kvant. 1993. № 9/10: reshenie zadachi m1367 stmt-original reysy raznyh aviakompaniy source_verified v nekotoroy strane mezhdu gorodami suschestvuet aviatsionnoe soobschenie. v strane \\(2k+1\\) aviakompaniya, prichem pervaya osuschestvlyaet odin reys, vtoraya - dva reysa i t. d. kazhdyy reys svyazyvaet mezhdu soboy dva goroda. v strane suschestvuet zakon, soglasno kotoromu iz kazhdogo goroda ne mozhet vypolnyatsya bolee odnogo reysa kazhdoy aviakompanii. kompanii reshili po-novomu podelit mezhdu soboy vse reysy tak, chtoby kazhdaya aviakompaniya osuschestvlyala odinakovoe chislo reysov. dokazhite, chto eto mozhno sdelat, ne narushaya zakona. stmt-graph aviakompanii i peredacha reysov ai_checked pust rebra konechnogo multigrafa bez petel pravilno raskrasheny v \\(2k+1\\) tsvetov: v kazhdoy vershine lyubye dva intsidentnyh rebra imeyut raznye tsveta, a tsvet \\(i\\) vstrechaetsya rovno \\(i\\) raz. dokazhite, chto eti zhe rebra mozhno pravilno perekrasit temi zhe \\(2k+1\\) tsvetami tak, chtoby kazhdyy tsvet vstrechalsya rovno \\(k+1\\) raz. multigraph degree matching path idea-airlines-edge-coloring aviakompanii kak tsveta reber goroda yavlyayutsya vershinami, reysy - rebrami, a aviakompanii - tsvetami. zakon o ne bolee chem odnom reyse kazhdoy aviakompanii iz goroda oznachaet pravilnost rebernoy raskraski: u odnoy vershiny net dvuh intsidentnyh reber odnogo tsveta. graph_model coloring ai_checked idea-two-color-alternating-path vyravnivanie dvuh tsvetov po chereduyuscheysya tsepi esli odin tsvet vstrechaetsya chasche drugogo, to v podgrafe iz reber etih dvuh tsvetov komponenty yavlyayutsya chereduyuschimisya putyami ili tsiklami. tsikly soderzhat porovnu reber dvuh tsvetov, poetomu izbytok odnogo tsveta obnaruzhivaetsya na puti; obmen tsvetov na takom puti umenshaet disbalans na 1. coloring augmenting_path ai_checked sol-kvant-m1367-two-color-exchange opublikovannoe reshenie m1367 cherez dvuhtsvetnye tsepi source_verified multigraph matching alternating_path cycle path alternating_paths kempe_chains vsego reysov \\(1+2+\\cdots+(2k+1)=(2k+1)(k+1)\\), znachit v novoy raskladke kazhdaya aviakompaniya dolzhna poluchit po \\(k+1\\) reysu. poka est aviakompaniya \\(a\\) s chislom reysov bolshe \\(k+1\\) i aviakompaniya \\(b\\) s chislom reysov menshe \\(k+1\\), rassmotrim tolko reysy etih dvuh kompaniy. izobrazim reysy \\(a\\) krasnymi rebrami, a reysy \\(b\\) sinimi. iz-za zakona v kazhdoy vershine vyhodit ne bolee odnogo krasnogo i ne bolee odnogo sinego rebra, poetomu dvuhtsvetnyy podgraf raspadaetsya na chereduyuschiesya tsikly i tsepi. v kazhdom tsikle krasnyh i sinih reber porovnu. tak kak u \\(a\\) reber bolshe, chem u \\(b\\), suschestvuet tsep, v kotoroy krasnyh reber na odno bolshe, chem sinih. pomenyaem na etoy tsepi krasnyy i siniy tsveta mestami. pravilnost raskraski sohranyaetsya: v vershinah tsepi po-prezhnemu intsidentno ne bolee odnogo rebra kazhdogo iz dvuh tsvetov, a ostalnye tsveta ne zatronuty. pri etom chislo reysov \\(a…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2000-01-final-tree-leaves-bridge-proof","title":"Дерево с чётным числом листьев и добавление рёбер, Всероссийская олимпиада 2000/01","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2000-01-final-tree-leaves-bridge-proof.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2000-01-final-tree-leaves-bridge-proof.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2000-01-final-tree-leaves-bridge-proof","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2006: окружной и финальный этапы"],"year":"2000","type":"olympiad_problem","authors":["Карпов Д.В."],"tags":["trees","connectivity","extremal_choice","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Заключительный этап 2000/01, 10 класс, задача 628 в книге МЦНМО; ключевой шаг — экстремальное разбиение листьев дерева на пары.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"официальный PDF книги MCCME/Math.ru с условием, автором и полным решением","notes":"Книга МЦНМО/Math.ru содержит условие задачи 628, автора Д. Карпова и полное решение; текущий текст является самостоятельным, корректным пересказом этого решения.","audit_source":"deep-audit-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Страна с единственными путями между городами","status":"ai_checked","text":"В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причем между любыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь по дорогам. Известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит по одной дороге. Докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из любого города попасть в любой другой.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Попарное соединение листьев дерева","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — дерево, у которого ровно \\(2n\\) листьев. Докажите, что можно добавить \\(n\\) новых рёбер так, чтобы в полученном графе не было мостов. Более того, достаточно попарно соединить этими рёбрами все листья дерева.","definition_ids":["tree","connected_graph","bridge"]}]},"solutions":[{"id":"sol-max-distance-pairing","title":"Максимальная сумма расстояний между парными листьями","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","connected_graph","bridge","distance"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф городов и дорог. Условие о единственном простом пути между любыми двумя городами означает, что это дерево; города степени 1 являются листьями. Обозначим листья через \\(A_1,\\ldots,A_{2n}\\). Среди всех разбиений этих \\(2n\\) листьев на \\(n\\) пар выберем такое, при котором сумма расстояний между листьями в парах максимальна. Добавим новые рёбра между листьями каждой выбранной пары. Докажем, что после этого удаление любого ребра не нарушает связность. Новое ребро не может быть мостом, потому что его концы уже соединены старым путём в дереве. Предположим, что мостом осталось старое ребро \\(BC\\). После его удаления дерево распадается на две части. Каждая часть содержит хотя бы один лист исходного дерева: достаточно идти от конца удалённого ребра вглубь соответствующей части, пока путь нельзя продолжить. Если новое ребро соединяло бы листья из разных частей, то оно сразу связывало…"}],"relations":[{"id":"rel-two-vertex-no-bridges-vosh-2000-tree-bridges","neighbor_id":"two-vertex-connected-graphs-have-no-bridges","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-vosh-2000-tree-leaves-bridge-proof","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vosh-2000-01-final-tree-leaves-bridge-proof дерево с чётным числом листьев и добавление рёбер, всероссийская олимпиада 2000/01 trees connectivity extremal_choice goal_construction 2000 https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/vseross.pdf problem_and_solution_archive src-vosh-1993-2006-mccme-book vosh vosh2000 with_solution всероссийская олимпиада всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2000 всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2006: окружной и финальный этапы карпов д.в. карпов д.в. всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2006: окружной и финальный этапы stmt-original страна с единственными путями между городами ai_checked в стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причем между любыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь по дорогам. известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит по одной дороге. докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из любого города попасть в любой другой. stmt-graph попарное соединение листьев дерева ai_checked пусть \\(t\\) — дерево, у которого ровно \\(2n\\) листьев. докажите, что можно добавить \\(n\\) новых рёбер так, чтобы в полученном графе не было мостов. более того, достаточно попарно соединить этими рёбрами все листья дерева. tree connected_graph bridge idea-maximize-paired-leaf-distances максимизировать сумму расстояний в парах листьев разобьем листья на пары так, чтобы сумма расстояний между листьями в парах была максимальной. если после добавления таких ребер старое ребро осталось мостом, две пары листьев по разные стороны разреза можно перепарить крест-накрест и увеличить сумму расстояний. extremal_choice trees ai_checked sol-max-distance-pairing максимальная сумма расстояний между парными листьями ai_checked tree connected_graph bridge distance extremal_choice построим граф городов и дорог. условие о единственном простом пути между любыми двумя городами означает, что это дерево; города степени 1 являются листьями. обозначим листья через \\(a_1,\\ldots,a_{2n}\\). среди всех разбиений этих \\(2n\\) листьев на \\(n\\) пар выберем такое, при котором сумма расстояний между листьями в парах максимальна. добавим новые рёбра между листьями каждой выбранной пары. докажем, что после этого удаление любого ребра не нарушает связность. новое ребро не может быть мостом, потому что его концы уже соединены старым путём в дереве. предположим, что мостом осталось старое ребро \\(bc\\). после его удаления дерево распадается на две части. каждая часть содержит хотя бы один лист исходного дерева: достаточно идти от конца удалённого ребра вглубь соответствующей части, пока путь нельзя продолжить. если новое ребро соединяло бы листья из разных частей, то оно сразу связывало… vosh-2000-01-final-tree-leaves-bridge-proof derevo s chetnym chislom listev i dobavlenie reber, vserossiyskaya olimpiada 2000/01 trees connectivity extremal_choice goal_construction 2000 https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/vseross.pdf problem_and_solution_archive src-vosh-1993-2006-mccme-book vosh vosh2000 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2000 vserossiyskie olimpiady shkolnikov po matematike 1993–2006: okruzhnoy i finalnyy etapy karpov d.v. karpov d.v. vserossiyskie olimpiady shkolnikov po matematike 1993–2006: okruzhnoy i finalnyy etapy stmt-original strana s edinstvennymi putyami mezhdu gorodami ai_checked v strane neskolko gorodov, nekotorye pary gorodov soedineny dorogami, prichem mezhdu lyubymi dvumya gorodami suschestvuet edinstvennyy nesamoperesekayuschiysya put po dorogam. izvestno, chto v strane rovno 100 gorodov, iz kotoryh vyhodit po odnoy doroge. dokazhite, chto mozhno postroit 50 novyh dorog tak, chto posle etogo dazhe pri zakrytii lyuboy dorogi mozhno budet iz lyubogo goroda popast v lyuboy drugoy. stmt-graph poparnoe soedinenie listev dereva ai_checked pust \\(t\\) — derevo, u kotorogo rovno \\(2n\\) listev. dokazhite, chto mozhno dobavit \\(n\\) novyh reber tak, chtoby v poluchennom grafe ne bylo mostov. bolee togo, dostatochno poparno soedinit etimi rebrami vse listya dereva. tree connected_graph bridge idea-maximize-paired-leaf-distances maksimizirovat summu rasstoyaniy v parah listev razobem listya na pary tak, chtoby summa rasstoyaniy mezhdu listyami v parah byla maksimalnoy. esli posle dobavleniya takih reber staroe rebro ostalos mostom, dve pary listev po raznye storony razreza mozhno pereparit krest-nakrest i uvelichit summu rasstoyaniy. extremal_choice trees ai_checked sol-max-distance-pairing maksimalnaya summa rasstoyaniy mezhdu parnymi listyami ai_checked tree connected_graph bridge distance extremal_choice postroim graf gorodov i dorog. uslovie o edinstvennom prostom puti mezhdu lyubymi dvumya gorodami oznachaet, chto eto derevo; goroda stepeni 1 yavlyayutsya listyami. oboznachim listya cherez \\(a_1,\\ldots,a_{2n}\\). sredi vseh razbieniy etih \\(2n\\) listev na \\(n\\) par vyberem takoe, pri kotorom summa rasstoyaniy mezhdu listyami v parah maksimalna. dobavim novye rebra mezhdu listyami kazhdoy vybrannoy pary. dokazhem, chto posle etogo udalenie lyubogo rebra ne narushaet svyaznost. novoe rebro ne mozhet byt mostom, potomu chto ego kontsy uzhe soedineny starym putem v dereve. predpolozhim, chto mostom ostalos staroe rebro \\(bc\\). posle ego udaleniya derevo raspadaetsya na dve chasti. kazhdaya chast soderzhit hotya by odin list ishodnogo dereva: dostatochno idti ot kontsa udalennogo rebra vglub sootvetstvuyuschey chasti, poka put nelzya prodolzhit. esli novoe rebro soedinyalo by listya iz raznyh chastey, to ono srazu svyazyvalo…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2000-01-final-universal-acquaintance","title":"Человек, знакомый со всеми, Всероссийская олимпиада 2000/01","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2000-01-final-universal-acquaintance.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2000-01-final-universal-acquaintance.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2000-01-final-universal-acquaintance","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Задача 109750, Всероссийская олимпиада 2000/01, заключительный этап, 9 класс"],"year":"2000","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л."],"tags":["extremal_graph_theory","ramsey_theory","extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":4,"comment":"Заключительный этап 2000/01, 9 класс, задача 6; на problems.ru сложность 4-.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит со средним уровнем анализа","notes":"метаданные источника указывают на архивное/официальное решение, и решение проверено","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Компания из 2n+1 человека","status":"ai_checked","text":"В компании из \\(2n+1\\) человека для любых \\(n\\) человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Человек, знакомый со всеми, Всероссийская олимпиада 2000/01","status":"ai_checked","text":"Пусть G — простой граф на \\(2n+1\\) вершинах. Известно, что для любого множества S из \\(n\\) вершин существует вершина вне S, смежная со всеми вершинами S. Докажите, что в G есть вершина степени \\(2n\\).","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-clique-extension","title":"Опубликованное решение через попарно знакомых","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала построим \\(n+1\\) попарно знакомых людей. Двое знакомых существуют: иначе для любых \\(n\\) человек не нашлось бы человека, знакомого со всеми ними. Если уже построены \\(k\\le n\\) попарно знакомых, то по условию найдётся человек вне этой группы, знакомый со всеми её членами, и группу можно увеличить. Получим \\(n+1\\) попарно знакомых людей \\(A_1,\\ldots,A_{n+1}\\). Остальных людей ровно n. По условию существует человек, отличный от этих n, знакомый со всеми ними; он принадлежит множеству \\(A_1,\\ldots,A_{n+1}\\). Но внутри этого множества все попарно знакомы, значит этот человек знаком вообще со всеми."},{"id":"sol-complement-domination","title":"Через дополнительный граф","status":"ai_checked","definition_ids":["matching","complement_graph","dominating_set"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим дополнительный граф H: две вершины соединены в H, если соответствующие люди незнакомы. Нужно доказать, что в H есть изолированная вершина. Предположим противное: изолированных вершин в H нет. Возьмём в каждой компоненте H остовное дерево. В каждом таком дереве хотя бы две вершины; раскрасим его доли в два цвета и выберем меньшую долю. Объединение выбранных долей по всем компонентам имеет размер не больше половины общего числа вершин, то есть не больше n, и доминирует H: выбранные вершины доминируют сами себя, а каждая невыбранная вершина имеет соседа в выбранной доле своего дерева. Дополним это множество D произвольными вершинами до размера n. По условию для этих n людей найдётся человек x вне D, знакомый со всеми людьми из D; значит, в H у x нет соседей в D. Но D доминирует H, поэтому такая вершина x невозможна. Противоречие."}],"relations":[{"id":"rel-ramsey-universal-acquaintance-2000","neighbor_id":"ramsey-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r33-vosh-universal-acquaintance","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-2016-c6-tc-universal-acquaintance","neighbor_id":"imo-2016-c6-ferry-graph-dynamics","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vosh-2000-apmo-2010-universal-acquaintance","neighbor_id":"apmo-2010-p3-common-acquaintance-extremal","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2021-archipelago-vosh-universal","neighbor_id":"utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vosh-2000-01-final-universal-acquaintance человек, знакомый со всеми, всероссийская олимпиада 2000/01 extremal_graph_theory ramsey_theory extremal_choice goal_exact_bound 2000 https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109750 olympiad_archive src-problems-109750 vosh vosh2000 with_solution берлов с.л. всероссийская олимпиада всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2000 задача 109750, всероссийская олимпиада 2000/01, заключительный этап, 9 класс берлов с.л. задача 109750, всероссийская олимпиада 2000/01, заключительный этап, 9 класс stmt-original компания из 2n+1 человека ai_checked в компании из \\(2n+1\\) человека для любых \\(n\\) человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них. докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех. stmt-graph человек, знакомый со всеми, всероссийская олимпиада 2000/01 ai_checked пусть g — простой граф на \\(2n+1\\) вершинах. известно, что для любого множества s из \\(n\\) вершин существует вершина вне s, смежная со всеми вершинами s. докажите, что в g есть вершина степени \\(2n\\). simple_graph degree idea-grow-large-clique наращивание большой клики если уже есть k попарно знакомых людей при k<=n, то по условию найдётся новый человек, знакомый со всеми ними. так строится клика из n+1 человек, а затем один из них оказывается знаком со всеми остальными. ramsey_theory ai_checked idea-complement-dominating-set доминирующее множество в дополнительном графе если универсальной вершины нет, то в дополнительном графе нет изолированных вершин. тогда можно выбрать не более половины вершин, которые доминируют весь дополнительный граф; это даёт запрещённый набор из n человек. extremal_choice ai_checked sol-clique-extension опубликованное решение через попарно знакомых ai_checked induction pigeonhole_principle сначала построим \\(n+1\\) попарно знакомых людей. двое знакомых существуют: иначе для любых \\(n\\) человек не нашлось бы человека, знакомого со всеми ними. если уже построены \\(k\\le n\\) попарно знакомых, то по условию найдётся человек вне этой группы, знакомый со всеми её членами, и группу можно увеличить. получим \\(n+1\\) попарно знакомых людей \\(a_1,\\ldots,a_{n+1}\\). остальных людей ровно n. по условию существует человек, отличный от этих n, знакомый со всеми ними; он принадлежит множеству \\(a_1,\\ldots,a_{n+1}\\). но внутри этого множества все попарно знакомы, значит этот человек знаком вообще со всеми. sol-complement-domination через дополнительный граф ai_checked matching complement_graph dominating_set complement_graph_transition extremal_choice рассмотрим дополнительный граф h: две вершины соединены в h, если соответствующие люди незнакомы. нужно доказать, что в h есть изолированная вершина. предположим противное: изолированных вершин в h нет. возьмём в каждой компоненте h остовное дерево. в каждом таком дереве хотя бы две вершины; раскрасим его доли в два цвета и выберем меньшую долю. объединение выбранных долей по всем компонентам имеет размер не больше половины общего числа вершин, то есть не больше n, и доминирует h: выбранные вершины доминируют сами себя, а каждая невыбранная вершина имеет соседа в выбранной доле своего дерева. дополним это множество d произвольными вершинами до размера n. по условию для этих n людей найдётся человек x вне d, знакомый со всеми людьми из d; значит, в h у x нет соседей в d. но d доминирует h, поэтому такая вершина x невозможна. противоречие. vosh-2000-01-final-universal-acquaintance chelovek, znakomyy so vsemi, vserossiyskaya olimpiada 2000/01 extremal_graph_theory ramsey_theory extremal_choice goal_exact_bound 2000 https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109750 olympiad_archive src-problems-109750 vosh vosh2000 with_solution berlov s.l. vserossiyskaya olimpiada vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2000 zadacha 109750, vserossiyskaya olimpiada 2000/01, zaklyuchitelnyy etap, 9 klass berlov s.l. zadacha 109750, vserossiyskaya olimpiada 2000/01, zaklyuchitelnyy etap, 9 klass stmt-original kompaniya iz 2n+1 cheloveka ai_checked v kompanii iz \\(2n+1\\) cheloveka dlya lyubyh \\(n\\) chelovek naydetsya otlichnyy ot nih chelovek, znakomyy s kazhdym iz nih. dokazhite, chto v etoy kompanii est chelovek, znayuschiy vseh. stmt-graph chelovek, znakomyy so vsemi, vserossiyskaya olimpiada 2000/01 ai_checked pust g — prostoy graf na \\(2n+1\\) vershinah. izvestno, chto dlya lyubogo mnozhestva s iz \\(n\\) vershin suschestvuet vershina vne s, smezhnaya so vsemi vershinami s. dokazhite, chto v g est vershina stepeni \\(2n\\). simple_graph degree idea-grow-large-clique naraschivanie bolshoy kliki esli uzhe est k poparno znakomyh lyudey pri k<=n, to po usloviyu naydetsya novyy chelovek, znakomyy so vsemi nimi. tak stroitsya klika iz n+1 chelovek, a zatem odin iz nih okazyvaetsya znakom so vsemi ostalnymi. ramsey_theory ai_checked idea-complement-dominating-set dominiruyuschee mnozhestvo v dopolnitelnom grafe esli universalnoy vershiny net, to v dopolnitelnom grafe net izolirovannyh vershin. togda mozhno vybrat ne bolee poloviny vershin, kotorye dominiruyut ves dopolnitelnyy graf; eto daet zapreschennyy nabor iz n chelovek. extremal_choice ai_checked sol-clique-extension opublikovannoe reshenie cherez poparno znakomyh ai_checked induction pigeonhole_principle snachala postroim \\(n+1\\) poparno znakomyh lyudey. dvoe znakomyh suschestvuyut: inache dlya lyubyh \\(n\\) chelovek ne nashlos by cheloveka, znakomogo so vsemi nimi. esli uzhe postroeny \\(k\\le n\\) poparno znakomyh, to po usloviyu naydetsya chelovek vne etoy gruppy, znakomyy so vsemi ee chlenami, i gruppu mozhno uvelichit. poluchim \\(n+1\\) poparno znakomyh lyudey \\(a_1,\\ldots,a_{n+1}\\). ostalnyh lyudey rovno n. po usloviyu suschestvuet chelovek, otlichnyy ot etih n, znakomyy so vsemi nimi; on prinadlezhit mnozhestvu \\(a_1,\\ldots,a_{n+1}\\). no vnutri etogo mnozhestva vse poparno znakomy, znachit etot chelovek znakom voobsche so vsemi. sol-complement-domination cherez dopolnitelnyy graf ai_checked matching complement_graph dominating_set complement_graph_transition extremal_choice rassmotrim dopolnitelnyy graf h: dve vershiny soedineny v h, esli sootvetstvuyuschie lyudi neznakomy. nuzhno dokazat, chto v h est izolirovannaya vershina. predpolozhim protivnoe: izolirovannyh vershin v h net. vozmem v kazhdoy komponente h ostovnoe derevo. v kazhdom takom dereve hotya by dve vershiny; raskrasim ego doli v dva tsveta i vyberem menshuyu dolyu. obedinenie vybrannyh doley po vsem komponentam imeet razmer ne bolshe poloviny obschego chisla vershin, to est ne bolshe n, i dominiruet h: vybrannye vershiny dominiruyut sami sebya, a kazhdaya nevybrannaya vershina imeet soseda v vybrannoy dole svoego dereva. dopolnim eto mnozhestvo d proizvolnymi vershinami do razmera n. po usloviyu dlya etih n lyudey naydetsya chelovek x vne d, znakomyy so vsemi lyudmi iz d; znachit, v h u x net sosedey v d. no d dominiruet h, poetomu takaya vershina x nevozmozhna. protivorechie.","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2005-06-final-dominoes-three-color-neighbors","title":"Трехцветная раскраска доминошек с малым числом одноцветных соседей, Всероссийская олимпиада 2005/06","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2005-06-final-dominoes-three-color-neighbors.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2005-06-final-dominoes-three-color-neighbors.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2005-06-final-dominoes-three-color-neighbors","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2006: окружной и финальный этапы"],"year":"2005","type":"olympiad_problem","authors":["Пастор А."],"tags":["coloring","graph_model","construction","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Заключительный этап 2005/06, 10 класс, задача 752 в книге МЦНМО; официальный 6x6-узор перенесен текстом.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"глубокий проход с углублённым анализом, 2026-05-05","notes":"Официальный PDF МЦНМО/Math.ru содержит полное решение. Единственный прежний риск был рисунок локального узора; он развернут текстом по рис. 325, поэтому классификация остается official_complete_or_near_complete, а не official_outline_needs_work.","audit_source":"docs/archive/vosh-official-sweep/deep/vosh-2005-06-final-dominoes-three-color-neighbors.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Квадрат 3000 на 3000 разбит на доминошки","status":"ai_checked","text":"Квадрат \\(3000\\times3000\\) произвольным образом разбит на доминошки, то есть прямоугольники \\(1\\times2\\) клетки. Докажите, что доминошки можно раскрасить в три цвета так, чтобы доминошек каждого цвета было поровну и у каждой доминошки было не более двух соседей ее цвета. Доминошки считаются соседними, если они содержат клетки, соседние по стороне.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраска графа соседства доминошек","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — граф соседства доминошек произвольного разбиения доски \\(3000\\times3000\\): вершины \\(G\\) соответствуют доминошкам, а две вершины соединены, если соответствующие доминошки имеют соседние по стороне клетки. Докажите, что вершины \\(G\\) можно раскрасить в три цвета с равными размерами цветовых классов так, чтобы у каждой вершины было не более двух соседей своего цвета.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-periodic-black-cells","title":"Периодическая раскраска черных клеток","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Раскрасим клетки доски в шахматном порядке. Каждая доминошка покрывает ровно одну черную клетку, поэтому достаточно раскрасить черные клетки в три цвета и присвоить доминошке цвет ее черной клетки. Разобьем доску \\(3000\\times3000\\) на блоки \\(6\\times6\\). В каждом блоке повторим следующий официальный период; точки обозначают белые клетки шахматной раскраски, а числа \\(1,2,3\\) — цвета черных клеток: \\[ \\begin{array}{cccccc} 1&.&2&.&3&.\\\\ .&1&.&2&.&3\\\\ 2&.&3&.&1&.\\\\ .&2&.&3&.&1\\\\ 3&.&1&.&2&.\\\\ .&3&.&1&.&2 \\end{array} \\] В каждом блоке по шесть черных клеток каждого из трех цветов; поскольку \\(3000\\) делится на 6, доминошек каждого цвета получится поровну. Осталось проверить соседей. Пусть две соседние доминошки имеют черные клетки \\(B\\) и \\(B'\\). Из того, что каждая доминошка состоит из соседних черной и белой клеток, а сами доминошки соприкасаются по стороне, следует, что в координатах до…"}],"relations":[],"search_text":"vosh-2005-06-final-dominoes-three-color-neighbors трехцветная раскраска доминошек с малым числом одноцветных соседей, всероссийская олимпиада 2005/06 coloring graph_model construction goal_construction 2005 https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/vseross.pdf problem_and_solution_archive src-vosh-1993-2006-mccme-book vosh vosh2005 with_solution всероссийская олимпиада всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2005 всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2006: окружной и финальный этапы пастор а. пастор а. всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2006: окружной и финальный этапы stmt-original квадрат 3000 на 3000 разбит на доминошки ai_checked квадрат \\(3000\\times3000\\) произвольным образом разбит на доминошки, то есть прямоугольники \\(1\\times2\\) клетки. докажите, что доминошки можно раскрасить в три цвета так, чтобы доминошек каждого цвета было поровну и у каждой доминошки было не более двух соседей ее цвета. доминошки считаются соседними, если они содержат клетки, соседние по стороне. stmt-graph раскраска графа соседства доминошек ai_checked пусть \\(g\\) — граф соседства доминошек произвольного разбиения доски \\(3000\\times3000\\): вершины \\(g\\) соответствуют доминошкам, а две вершины соединены, если соответствующие доминошки имеют соседние по стороне клетки. докажите, что вершины \\(g\\) можно раскрасить в три цвета с равными размерами цветовых классов так, чтобы у каждой вершины было не более двух соседей своего цвета. simple_graph idea-color-by-black-cell красить доминошку по ее черной клетке в шахматной раскраске каждая доминошка содержит ровно одну черную клетку. если периодически раскрасить черные клетки в три цвета поровну и цвет доминошки взять по ее черной клетке, баланс цветов будет автоматическим. coloring graph_model ai_checked idea-local-periodic-bound локальная периодическая раскраска ограничивает одноцветных соседей в официальной раскраске одного периода \\(6\\times6\\) каждая черная клетка имеет среди локально возможных черных клеток соседних доминошек не более одной клетки того же цвета. coloring construction ai_checked sol-periodic-black-cells периодическая раскраска черных клеток ai_checked simple_graph invariant раскрасим клетки доски в шахматном порядке. каждая доминошка покрывает ровно одну черную клетку, поэтому достаточно раскрасить черные клетки в три цвета и присвоить доминошке цвет ее черной клетки. разобьем доску \\(3000\\times3000\\) на блоки \\(6\\times6\\). в каждом блоке повторим следующий официальный период; точки обозначают белые клетки шахматной раскраски, а числа \\(1,2,3\\) — цвета черных клеток: \\[ \\begin{array}{cccccc} 1&.&2&.&3&.\\\\ .&1&.&2&.&3\\\\ 2&.&3&.&1&.\\\\ .&2&.&3&.&1\\\\ 3&.&1&.&2&.\\\\ .&3&.&1&.&2 \\end{array} \\] в каждом блоке по шесть черных клеток каждого из трех цветов; поскольку \\(3000\\) делится на 6, доминошек каждого цвета получится поровну. осталось проверить соседей. пусть две соседние доминошки имеют черные клетки \\(b\\) и \\(b'\\). из того, что каждая доминошка состоит из соседних черной и белой клеток, а сами доминошки соприкасаются по стороне, следует, что в координатах до… vosh-2005-06-final-dominoes-three-color-neighbors trehtsvetnaya raskraska dominoshek s malym chislom odnotsvetnyh sosedey, vserossiyskaya olimpiada 2005/06 coloring graph_model construction goal_construction 2005 https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/vseross.pdf problem_and_solution_archive src-vosh-1993-2006-mccme-book vosh vosh2005 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2005 vserossiyskie olimpiady shkolnikov po matematike 1993–2006: okruzhnoy i finalnyy etapy pastor a. pastor a. vserossiyskie olimpiady shkolnikov po matematike 1993–2006: okruzhnoy i finalnyy etapy stmt-original kvadrat 3000 na 3000 razbit na dominoshki ai_checked kvadrat \\(3000\\times3000\\) proizvolnym obrazom razbit na dominoshki, to est pryamougolniki \\(1\\times2\\) kletki. dokazhite, chto dominoshki mozhno raskrasit v tri tsveta tak, chtoby dominoshek kazhdogo tsveta bylo porovnu i u kazhdoy dominoshki bylo ne bolee dvuh sosedey ee tsveta. dominoshki schitayutsya sosednimi, esli oni soderzhat kletki, sosednie po storone. stmt-graph raskraska grafa sosedstva dominoshek ai_checked pust \\(g\\) — graf sosedstva dominoshek proizvolnogo razbieniya doski \\(3000\\times3000\\): vershiny \\(g\\) sootvetstvuyut dominoshkam, a dve vershiny soedineny, esli sootvetstvuyuschie dominoshki imeyut sosednie po storone kletki. dokazhite, chto vershiny \\(g\\) mozhno raskrasit v tri tsveta s ravnymi razmerami tsvetovyh klassov tak, chtoby u kazhdoy vershiny bylo ne bolee dvuh sosedey svoego tsveta. simple_graph idea-color-by-black-cell krasit dominoshku po ee chernoy kletke v shahmatnoy raskraske kazhdaya dominoshka soderzhit rovno odnu chernuyu kletku. esli periodicheski raskrasit chernye kletki v tri tsveta porovnu i tsvet dominoshki vzyat po ee chernoy kletke, balans tsvetov budet avtomaticheskim. coloring graph_model ai_checked idea-local-periodic-bound lokalnaya periodicheskaya raskraska ogranichivaet odnotsvetnyh sosedey v ofitsialnoy raskraske odnogo perioda \\(6\\times6\\) kazhdaya chernaya kletka imeet sredi lokalno vozmozhnyh chernyh kletok sosednih dominoshek ne bolee odnoy kletki togo zhe tsveta. coloring construction ai_checked sol-periodic-black-cells periodicheskaya raskraska chernyh kletok ai_checked simple_graph invariant raskrasim kletki doski v shahmatnom poryadke. kazhdaya dominoshka pokryvaet rovno odnu chernuyu kletku, poetomu dostatochno raskrasit chernye kletki v tri tsveta i prisvoit dominoshke tsvet ee chernoy kletki. razobem dosku \\(3000\\times3000\\) na bloki \\(6\\times6\\). v kazhdom bloke povtorim sleduyuschiy ofitsialnyy period; tochki oboznachayut belye kletki shahmatnoy raskraski, a chisla \\(1,2,3\\) — tsveta chernyh kletok: \\[ \\begin{array}{cccccc} 1&.&2&.&3&.\\\\ .&1&.&2&.&3\\\\ 2&.&3&.&1&.\\\\ .&2&.&3&.&1\\\\ 3&.&1&.&2&.\\\\ .&3&.&1&.&2 \\end{array} \\] v kazhdom bloke po shest chernyh kletok kazhdogo iz treh tsvetov; poskolku \\(3000\\) delitsya na 6, dominoshek kazhdogo tsveta poluchitsya porovnu. ostalos proverit sosedey. pust dve sosednie dominoshki imeyut chernye kletki \\(b\\) i \\(b'\\). iz togo, chto kazhdaya dominoshka sostoit iz sosednih chernoy i beloy kletok, a sami dominoshki soprikasayutsya po storone, sleduet, chto v koordinatah do…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2008-regional-bureaucrats-common-neighborhood","title":"Бюрократы и общие знакомые, Всероссийская олимпиада 2008","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2008-regional-bureaucrats-common-neighborhood.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2008-regional-bureaucrats-common-neighborhood.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2008-regional-bureaucrats-common-neighborhood","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Задача 111817, Всероссийская олимпиада 2008, региональный этап, 9 класс"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л.","Мурашкин М.В."],"tags":["ramsey_theory","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Региональный этап 2008, 9 класс, задача 8; на problems.ru сложность 4.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит со средним уровнем анализа","notes":"метаданные источника указывают на архивное/официальное решение, и решение проверено","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Три комиссии по 100 человек","status":"ai_checked","text":"300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два бюрократа из разных комиссий такие, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Бюрократы и общие знакомые, Всероссийская олимпиада 2008","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(N\\) — положительное целое число. Вершины простого графа разбиты на три доли A, B, C по \\(N\\) вершин. Докажите, что найдутся две вершины из разных долей такие, что в третьей доле у них есть либо не меньше \\(\\lceil N/6\\rceil\\) общих соседей, либо не меньше \\(\\lceil N/6\\rceil\\) общих несоседей.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-double-counting-triples","title":"Двойной счёт троек","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для пары бюрократов из двух комиссий и бюрократа из третьей скажем, что пара похожа для третьего, если он знаком с обоими членами пары или незнаком с обоими. Просуммируем по всем парам из разных комиссий число людей из третьей комиссии, для которых эта пара похожа. В каждой тройке из трёх разных комиссий есть либо две связи знакомства, либо две связи незнакомства, поэтому хотя бы одна пара в этой тройке похожа для третьего участника. Значит, сумма не меньше \\(100^3\\). Всего пар комиссий и пар людей в них \\(3\\cdot100^2\\), поэтому для какой-то пары число похожих людей в третьей комиссии не меньше \\(100^3/(3\\cdot100^2)>33\\), то есть хотя бы 34. Среди этих 34 людей хотя бы 17 относятся к одному из двух типов: знакомы с обоими или незнакомы с обоими."}],"relations":[{"id":"rel-vosh-bureaucrats-ramsey-r33","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-bureaucrats-common-grandfather","neighbor_id":"tc-1994-95-common-grandfather-intersecting-edges","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vosh-bureaucrats-gnomes-2020","neighbor_id":"tc-2020-21-gnomes-two-cycles-even-n","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-1976-vosh-2008-common-neighbor-double-counting","neighbor_id":"usamo-1976-p1-monochromatic-rectangle-bipartite","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-vosh-2008-common-neighborhood","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-2008-apmo-2010-common-neighbor-counting","neighbor_id":"apmo-2010-p3-common-acquaintance-extremal","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vosh-2008-regional-bureaucrats-common-neighborhood бюрократы и общие знакомые, всероссийская олимпиада 2008 ramsey_theory double_counting goal_counting 2008 https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=111817 olympiad_archive src-problems-111817 vosh vosh2008 with_solution берлов с.л. всероссийская олимпиада всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2008 задача 111817, всероссийская олимпиада 2008, региональный этап, 9 класс мурашкин м.в. берлов с.л. мурашкин м.в. задача 111817, всероссийская олимпиада 2008, региональный этап, 9 класс stmt-original три комиссии по 100 человек ai_checked 300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. докажите, что найдутся два бюрократа из разных комиссий такие, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими. stmt-graph бюрократы и общие знакомые, всероссийская олимпиада 2008 ai_checked пусть \\(n\\) — положительное целое число. вершины простого графа разбиты на три доли a, b, c по \\(n\\) вершин. докажите, что найдутся две вершины из разных долей такие, что в третьей доле у них есть либо не меньше \\(\\lceil n/6\\rceil\\) общих соседей, либо не меньше \\(\\lceil n/6\\rceil\\) общих несоседей. simple_graph idea-count-similar-pairs-in-triples счёт похожих пар в тройках в каждой тройке из разных комиссий найдётся пара, которая для третьего участника выглядит одинаково: он либо знаком с обоими, либо незнаком с обоими. двойной счёт таких вкладов даёт большую общую окрестность или общую неокрестность. double_counting ai_checked sol-double-counting-triples двойной счёт троек ai_checked double_counting pigeonhole_principle для пары бюрократов из двух комиссий и бюрократа из третьей скажем, что пара похожа для третьего, если он знаком с обоими членами пары или незнаком с обоими. просуммируем по всем парам из разных комиссий число людей из третьей комиссии, для которых эта пара похожа. в каждой тройке из трёх разных комиссий есть либо две связи знакомства, либо две связи незнакомства, поэтому хотя бы одна пара в этой тройке похожа для третьего участника. значит, сумма не меньше \\(100^3\\). всего пар комиссий и пар людей в них \\(3\\cdot100^2\\), поэтому для какой-то пары число похожих людей в третьей комиссии не меньше \\(100^3/(3\\cdot100^2)>33\\), то есть хотя бы 34. среди этих 34 людей хотя бы 17 относятся к одному из двух типов: знакомы с обоими или незнакомы с обоими. vosh-2008-regional-bureaucrats-common-neighborhood byurokraty i obschie znakomye, vserossiyskaya olimpiada 2008 ramsey_theory double_counting goal_counting 2008 https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=111817 olympiad_archive src-problems-111817 vosh vosh2008 with_solution berlov s.l. vserossiyskaya olimpiada vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2008 zadacha 111817, vserossiyskaya olimpiada 2008, regionalnyy etap, 9 klass murashkin m.v. berlov s.l. murashkin m.v. zadacha 111817, vserossiyskaya olimpiada 2008, regionalnyy etap, 9 klass stmt-original tri komissii po 100 chelovek ai_checked 300 byurokratov razbity na tri komissii po 100 chelovek. kazhdye dva byurokrata libo znakomy drug s drugom, libo neznakomy. dokazhite, chto naydutsya dva byurokrata iz raznyh komissiy takie, chto v tretey komissii est libo 17 chelovek, znakomyh s oboimi, libo 17 chelovek, neznakomyh s oboimi. stmt-graph byurokraty i obschie znakomye, vserossiyskaya olimpiada 2008 ai_checked pust \\(n\\) — polozhitelnoe tseloe chislo. vershiny prostogo grafa razbity na tri doli a, b, c po \\(n\\) vershin. dokazhite, chto naydutsya dve vershiny iz raznyh doley takie, chto v tretey dole u nih est libo ne menshe \\(\\lceil n/6\\rceil\\) obschih sosedey, libo ne menshe \\(\\lceil n/6\\rceil\\) obschih nesosedey. simple_graph idea-count-similar-pairs-in-triples schet pohozhih par v troykah v kazhdoy troyke iz raznyh komissiy naydetsya para, kotoraya dlya tretego uchastnika vyglyadit odinakovo: on libo znakom s oboimi, libo neznakom s oboimi. dvoynoy schet takih vkladov daet bolshuyu obschuyu okrestnost ili obschuyu neokrestnost. double_counting ai_checked sol-double-counting-triples dvoynoy schet troek ai_checked double_counting pigeonhole_principle dlya pary byurokratov iz dvuh komissiy i byurokrata iz tretey skazhem, chto para pohozha dlya tretego, esli on znakom s oboimi chlenami pary ili neznakom s oboimi. prosummiruem po vsem param iz raznyh komissiy chislo lyudey iz tretey komissii, dlya kotoryh eta para pohozha. v kazhdoy troyke iz treh raznyh komissiy est libo dve svyazi znakomstva, libo dve svyazi neznakomstva, poetomu hotya by odna para v etoy troyke pohozha dlya tretego uchastnika. znachit, summa ne menshe \\(100^3\\). vsego par komissiy i par lyudey v nih \\(3\\cdot100^2\\), poetomu dlya kakoy-to pary chislo pohozhih lyudey v tretey komissii ne menshe \\(100^3/(3\\cdot100^2)>33\\), to est hotya by 34. sredi etih 34 lyudey hotya by 17 otnosyatsya k odnomu iz dvuh tipov: znakomy s oboimi ili neznakomy s oboimi.","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2010-11-final-nonbreakable-company","title":"Неразбиваемая компания без четырёх попарно знакомых, Всероссийская олимпиада 2010/11","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2010-11-final-nonbreakable-company.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2010-11-final-nonbreakable-company.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2010-11-final-nonbreakable-company","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Задача 116640, Всероссийская олимпиада 2010/11, заключительный этап, 10 класс"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":["Дольников В.Л."],"tags":["coloring","minimal_counterexample","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Заключительный этап 2010/11, 10 класс, задача 3; на problems.ru сложность 5-.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит со средним уровнем анализа","notes":"метаданные источника указывают на архивное/официальное решение, и решение проверено","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"k-неразбиваемая компания","status":"ai_checked","text":"Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая — 1-неразбиваемая.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Неразбиваемая компания без четырёх попарно знакомых","status":"ai_checked","text":"Пусть G — простой граф, который нельзя правильно раскрасить в 3 цвета, и в G нет клики из четырёх вершин. Докажите, что множество вершин G можно разбить на две части A и B так, что подграф G[A] не является двудольным, а в подграфе G[B] есть хотя бы одно ребро.","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number","bipartite_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-minimal-odd-cycle","title":"Минимальный нечётный цикл","status":"ai_checked","definition_ids":["clique","cycle"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов: k-разбиваемость означает правильную k-раскраску. Так как граф не 3-раскрашиваем, он содержит нечётный цикл. Возьмём нечётный цикл C минимальной длины. У него нет хорд, иначе хорда разбила бы его на два меньших цикла, один из которых нечётный. Кроме того, любая вершина вне C смежна не более чем с двумя вершинами C: при трёх соседях либо возник бы меньший нечётный цикл, либо, в случае треугольника C, появилась бы клика из четырёх вершин. Пусть A — вершины C, а B — все остальные вершины. Подграф на A не двудолен. Если бы в B не было рёбер, то C можно было бы раскрасить тремя цветами так, чтобы только одна вершина получила третий цвет, а каждую вершину из B можно было бы покрасить в цвет, отличный от цветов её не более чем двух соседей на C. Получилась бы 3-раскраска всего графа, противоречие. Значит, в B есть ребро."}],"relations":[{"id":"rel-vosh-nonbreakable-brooks","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-shortest-odd-cycle-neighbor-vosh-2010-11","neighbor_id":"shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vosh-2010-11-final-nonbreakable-company неразбиваемая компания без четырёх попарно знакомых, всероссийская олимпиада 2010/11 coloring minimal_counterexample goal_exact_bound 2010 https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=116640 olympiad_archive src-problems-116640 vosh vosh2010 with_solution всероссийская олимпиада всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2010 дольников в.л. задача 116640, всероссийская олимпиада 2010/11, заключительный этап, 10 класс дольников в.л. задача 116640, всероссийская олимпиада 2010/11, заключительный этап, 10 класс stmt-original k-неразбиваемая компания ai_checked назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая — 1-неразбиваемая. stmt-graph неразбиваемая компания без четырёх попарно знакомых ai_checked пусть g — простой граф, который нельзя правильно раскрасить в 3 цвета, и в g нет клики из четырёх вершин. докажите, что множество вершин g можно разбить на две части a и b так, что подграф g[a] не является двудольным, а в подграфе g[b] есть хотя бы одно ребро. simple_graph chromatic_number bipartite_graph clique idea-minimal-odd-cycle-controls-neighbors минимальный нечётный цикл контролирует внешние вершины берётся нечётный цикл минимальной длины. у него нет хорд, а любая внешняя вершина может быть соединена не более чем с двумя его вершинами; иначе появился бы меньший нечётный цикл или клика \\(k_4\\). coloring minimal_counterexample ai_checked sol-minimal-odd-cycle минимальный нечётный цикл ai_checked clique cycle minimal_counterexample local_recoloring переведём условие на язык графов: k-разбиваемость означает правильную k-раскраску. так как граф не 3-раскрашиваем, он содержит нечётный цикл. возьмём нечётный цикл c минимальной длины. у него нет хорд, иначе хорда разбила бы его на два меньших цикла, один из которых нечётный. кроме того, любая вершина вне c смежна не более чем с двумя вершинами c: при трёх соседях либо возник бы меньший нечётный цикл, либо, в случае треугольника c, появилась бы клика из четырёх вершин. пусть a — вершины c, а b — все остальные вершины. подграф на a не двудолен. если бы в b не было рёбер, то c можно было бы раскрасить тремя цветами так, чтобы только одна вершина получила третий цвет, а каждую вершину из b можно было бы покрасить в цвет, отличный от цветов её не более чем двух соседей на c. получилась бы 3-раскраска всего графа, противоречие. значит, в b есть ребро. vosh-2010-11-final-nonbreakable-company nerazbivaemaya kompaniya bez chetyreh poparno znakomyh, vserossiyskaya olimpiada 2010/11 coloring minimal_counterexample goal_exact_bound 2010 https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=116640 olympiad_archive src-problems-116640 vosh vosh2010 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2010 dolnikov v.l. zadacha 116640, vserossiyskaya olimpiada 2010/11, zaklyuchitelnyy etap, 10 klass dolnikov v.l. zadacha 116640, vserossiyskaya olimpiada 2010/11, zaklyuchitelnyy etap, 10 klass stmt-original k-nerazbivaemaya kompaniya ai_checked nazovem kompaniyu k-nerazbivaemoy, esli pri lyubom razbienii ee na k grupp v odnoy iz grupp naydutsya dva znakomyh cheloveka. dana 3-nerazbivaemaya kompaniya, v kotoroy net chetyreh poparno znakomyh chelovek. dokazhite, chto ee mozhno razdelit na dve kompanii, odna iz kotoryh 2-nerazbivaemaya, a drugaya — 1-nerazbivaemaya. stmt-graph nerazbivaemaya kompaniya bez chetyreh poparno znakomyh ai_checked pust g — prostoy graf, kotoryy nelzya pravilno raskrasit v 3 tsveta, i v g net kliki iz chetyreh vershin. dokazhite, chto mnozhestvo vershin g mozhno razbit na dve chasti a i b tak, chto podgraf g[a] ne yavlyaetsya dvudolnym, a v podgrafe g[b] est hotya by odno rebro. simple_graph chromatic_number bipartite_graph clique idea-minimal-odd-cycle-controls-neighbors minimalnyy nechetnyy tsikl kontroliruet vneshnie vershiny beretsya nechetnyy tsikl minimalnoy dliny. u nego net hord, a lyubaya vneshnyaya vershina mozhet byt soedinena ne bolee chem s dvumya ego vershinami; inache poyavilsya by menshiy nechetnyy tsikl ili klika \\(k_4\\). coloring minimal_counterexample ai_checked sol-minimal-odd-cycle minimalnyy nechetnyy tsikl ai_checked clique cycle minimal_counterexample local_recoloring perevedem uslovie na yazyk grafov: k-razbivaemost oznachaet pravilnuyu k-raskrasku. tak kak graf ne 3-raskrashivaem, on soderzhit nechetnyy tsikl. vozmem nechetnyy tsikl c minimalnoy dliny. u nego net hord, inache horda razbila by ego na dva menshih tsikla, odin iz kotoryh nechetnyy. krome togo, lyubaya vershina vne c smezhna ne bolee chem s dvumya vershinami c: pri treh sosedyah libo voznik by menshiy nechetnyy tsikl, libo, v sluchae treugolnika c, poyavilas by klika iz chetyreh vershin. pust a — vershiny c, a b — vse ostalnye vershiny. podgraf na a ne dvudolen. esli by v b ne bylo reber, to c mozhno bylo by raskrasit tremya tsvetami tak, chtoby tolko odna vershina poluchila tretiy tsvet, a kazhduyu vershinu iz b mozhno bylo by pokrasit v tsvet, otlichnyy ot tsvetov ee ne bolee chem dvuh sosedey na c. poluchilas by 3-raskraska vsego grafa, protivorechie. znachit, v b est rebro.","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing","title":"Перевозка цемента по связной сети складов, Всероссийская олимпиада 2010/11","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2010-2011, региональный этап, первый день, 11 класс"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":["Карасёв Р."],"tags":["connectivity","induction","graph_model","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Региональный этап 2010/11, 11 класс, задача 4; официальное решение использует индукцию по связной дорожной сети.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"агентский углублённый аудит официального PDF","notes":"Официальный PDF ВсОШ содержит условие, автора, ответ, пример для нижней оценки и самодостаточную индукцию, доказывающую верхнюю оценку.","audit_source":"docs/archive/vosh-official-sweep/deep/vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"11.4","status":"ai_checked","text":"2011 складов соединены дорогами так, что от любого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по \\(x_1,\\ldots,x_{2011}\\) кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой склад по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по \\(y_1,\\ldots,y_{2011}\\) кг цемента соответственно, причём \\(x_1+\\cdots+x_{2011}=y_1+\\cdots+y_{2011}\\). За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел \\(x_i\\), \\(y_i\\) и любой схеме дорог?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Перевозка цемента по связной сети складов","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — связный простой граф на \\(n\\) вершинах. В вершинах заданы начальные неотрицательные веса \\(x_v\\) и требуемые неотрицательные веса \\(y_v\\), причём \\(\\sum_v x_v=\\sum_v y_v\\). За один ход можно перенести произвольный неотрицательный вес вдоль одного ребра. Докажите, что для любых \\(x_v\\), \\(y_v\\) и любого связного \\(G\\) достаточно \\(n-1\\) ходов, и что в общем случае меньшего числа ходов гарантировать нельзя.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-induction-leaf-routing","title":"Индукция по числу складов","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала покажем, что \\(n-1\\) ходов в общем случае необходимы. Возьмём любую связную схему, поместим весь цемент в одну вершину \\(s\\), а в требуемом распределении зададим положительное количество цемента в каждой вершине. Тогда в каждую из остальных \\(n-1\\) вершин цемент должен хотя бы один раз зайти по некоторому ребру. Эти последние заходы происходят в разных рейсах, значит меньше \\(n-1\\) рейсов не хватит. Докажем достаточность индукцией по \\(n\\). При \\(n=1\\) делать ничего не нужно. Пусть \\(n>1\\). Так как граф связен, существует маршрут, проходящий через все вершины. Выберем вершину \\(a\\), которая впервые появляется на таком маршруте позже всех остальных. После удаления \\(a\\) оставшийся граф остаётся связным: для любой другой вершины участок маршрута до её первого появления проходит только через вершины, впервые появившиеся раньше \\(a\\), и даёт связь внутри оставшегося графа. Если \\(x_…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-equivalent-properties-vosh-2010-cement-routing","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-2010-cement-routing-vosh-2022-country-cut","neighbor_id":"vosh-2022-23-regional-connected-country-cut","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing перевозка цемента по связной сети складов, всероссийская олимпиада 2010/11 connectivity induction graph_model goal_exact_bound 2010 https://vos.olimpiada.ru/upload/files/arhive_tasks/2010-2011/region_tasks/new-cut/math/ans-math-11-day1-reg-2010-1.pdf problem_and_solution src-vosh-2010-11-regional-day1-official vosh vosh2010 with_solution всероссийская олимпиада всероссийская олимпиада школьников по математике 2010-2011, региональный этап, первый день, 11 класс всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2010 карасёв р. карасёв р. всероссийская олимпиада школьников по математике 2010-2011, региональный этап, первый день, 11 класс stmt-original 11.4 ai_checked 2011 складов соединены дорогами так, что от любого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. на складах находится по \\(x_1,\\ldots,x_{2011}\\) кг цемента соответственно. за один рейс можно провезти с произвольного склада на другой склад по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. в итоге на складах по плану должно оказаться по \\(y_1,\\ldots,y_{2011}\\) кг цемента соответственно, причём \\(x_1+\\cdots+x_{2011}=y_1+\\cdots+y_{2011}\\). за какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел \\(x_i\\), \\(y_i\\) и любой схеме дорог? stmt-graph перевозка цемента по связной сети складов ai_checked пусть \\(g\\) — связный простой граф на \\(n\\) вершинах. в вершинах заданы начальные неотрицательные веса \\(x_v\\) и требуемые неотрицательные веса \\(y_v\\), причём \\(\\sum_v x_v=\\sum_v y_v\\). за один ход можно перенести произвольный неотрицательный вес вдоль одного ребра. докажите, что для любых \\(x_v\\), \\(y_v\\) и любого связного \\(g\\) достаточно \\(n-1\\) ходов, и что в общем случае меньшего числа ходов гарантировать нельзя. simple_graph connected_graph idea-delete-last-visited-vertex удаление вершины, последней впервые встреченной на обходе в связном графе можно выбрать вершину, удаление которой не нарушает связность оставшегося графа: достаточно взять маршрут, проходящий по всем вершинам, и вершину, впервые появившуюся последней. это даёт индукционный шаг. connectivity induction ai_checked idea-reverse-transfer-for-deficit обратный порядок перевозок для дефицитной вершины если у удаляемой вершины избыток, его вывозят сразу. если у неё дефицит, сначала решают обратную задачу от целевого распределения к начальному, а затем разворачивают найденные перевозки. induction ai_checked sol-induction-leaf-routing индукция по числу складов ai_checked connected_graph induction сначала покажем, что \\(n-1\\) ходов в общем случае необходимы. возьмём любую связную схему, поместим весь цемент в одну вершину \\(s\\), а в требуемом распределении зададим положительное количество цемента в каждой вершине. тогда в каждую из остальных \\(n-1\\) вершин цемент должен хотя бы один раз зайти по некоторому ребру. эти последние заходы происходят в разных рейсах, значит меньше \\(n-1\\) рейсов не хватит. докажем достаточность индукцией по \\(n\\). при \\(n=1\\) делать ничего не нужно. пусть \\(n>1\\). так как граф связен, существует маршрут, проходящий через все вершины. выберем вершину \\(a\\), которая впервые появляется на таком маршруте позже всех остальных. после удаления \\(a\\) оставшийся граф остаётся связным: для любой другой вершины участок маршрута до её первого появления проходит только через вершины, впервые появившиеся раньше \\(a\\), и даёт связь внутри оставшегося графа. если \\(x_… vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing perevozka tsementa po svyaznoy seti skladov, vserossiyskaya olimpiada 2010/11 connectivity induction graph_model goal_exact_bound 2010 https://vos.olimpiada.ru/upload/files/arhive_tasks/2010-2011/region_tasks/new-cut/math/ans-math-11-day1-reg-2010-1.pdf problem_and_solution src-vosh-2010-11-regional-day1-official vosh vosh2010 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2010-2011, regionalnyy etap, pervyy den, 11 klass vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2010 karasev r. karasev r. vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2010-2011, regionalnyy etap, pervyy den, 11 klass stmt-original 11.4 ai_checked 2011 skladov soedineny dorogami tak, chto ot lyubogo sklada mozhno proehat k lyubomu drugomu, vozmozhno, proehav po neskolkim dorogam. na skladah nahoditsya po \\(x_1,\\ldots,x_{2011}\\) kg tsementa sootvetstvenno. za odin reys mozhno provezti s proizvolnogo sklada na drugoy sklad po soedinyayuschey ih doroge proizvolnoe kolichestvo tsementa. v itoge na skladah po planu dolzhno okazatsya po \\(y_1,\\ldots,y_{2011}\\) kg tsementa sootvetstvenno, prichem \\(x_1+\\cdots+x_{2011}=y_1+\\cdots+y_{2011}\\). za kakoe minimalnoe kolichestvo reysov mozhno vypolnit plan pri lyubyh znacheniyah chisel \\(x_i\\), \\(y_i\\) i lyuboy sheme dorog? stmt-graph perevozka tsementa po svyaznoy seti skladov ai_checked pust \\(g\\) — svyaznyy prostoy graf na \\(n\\) vershinah. v vershinah zadany nachalnye neotritsatelnye vesa \\(x_v\\) i trebuemye neotritsatelnye vesa \\(y_v\\), prichem \\(\\sum_v x_v=\\sum_v y_v\\). za odin hod mozhno perenesti proizvolnyy neotritsatelnyy ves vdol odnogo rebra. dokazhite, chto dlya lyubyh \\(x_v\\), \\(y_v\\) i lyubogo svyaznogo \\(g\\) dostatochno \\(n-1\\) hodov, i chto v obschem sluchae menshego chisla hodov garantirovat nelzya. simple_graph connected_graph idea-delete-last-visited-vertex udalenie vershiny, posledney vpervye vstrechennoy na obhode v svyaznom grafe mozhno vybrat vershinu, udalenie kotoroy ne narushaet svyaznost ostavshegosya grafa: dostatochno vzyat marshrut, prohodyaschiy po vsem vershinam, i vershinu, vpervye poyavivshuyusya posledney. eto daet induktsionnyy shag. connectivity induction ai_checked idea-reverse-transfer-for-deficit obratnyy poryadok perevozok dlya defitsitnoy vershiny esli u udalyaemoy vershiny izbytok, ego vyvozyat srazu. esli u nee defitsit, snachala reshayut obratnuyu zadachu ot tselevogo raspredeleniya k nachalnomu, a zatem razvorachivayut naydennye perevozki. induction ai_checked sol-induction-leaf-routing induktsiya po chislu skladov ai_checked connected_graph induction snachala pokazhem, chto \\(n-1\\) hodov v obschem sluchae neobhodimy. vozmem lyubuyu svyaznuyu shemu, pomestim ves tsement v odnu vershinu \\(s\\), a v trebuemom raspredelenii zadadim polozhitelnoe kolichestvo tsementa v kazhdoy vershine. togda v kazhduyu iz ostalnyh \\(n-1\\) vershin tsement dolzhen hotya by odin raz zayti po nekotoromu rebru. eti poslednie zahody proishodyat v raznyh reysah, znachit menshe \\(n-1\\) reysov ne hvatit. dokazhem dostatochnost induktsiey po \\(n\\). pri \\(n=1\\) delat nichego ne nuzhno. pust \\(n>1\\). tak kak graf svyazen, suschestvuet marshrut, prohodyaschiy cherez vse vershiny. vyberem vershinu \\(a\\), kotoraya vpervye poyavlyaetsya na takom marshrute pozzhe vseh ostalnyh. posle udaleniya \\(a\\) ostavshiysya graf ostaetsya svyaznym: dlya lyuboy drugoy vershiny uchastok marshruta do ee pervogo poyavleniya prohodit tolko cherez vershiny, vpervye poyavivshiesya ranshe \\(a\\), i daet svyaz vnutri ostavshegosya grafa. esli \\(x_…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2013-14-regional-even-rows-columns","title":"Добавить фишки до чётных строк и столбцов, Всероссийская олимпиада 2013/14","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2013-14-regional-even-rows-columns.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2013-14-regional-even-rows-columns.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2013-14-regional-even-rows-columns","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Задача 64633, Всероссийская олимпиада 2013/14, региональный этап, 10-11 класс"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л."],"tags":["double_counting","trees","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Региональный этап 2013/14, 10-11 класс, задача 8; на problems.ru сложность 4+.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит со средним уровнем анализа","notes":"метаданные источника указывают на архивное/официальное решение, и решение проверено","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Фишки на доске 50×50","status":"ai_checked","text":"Петя поставил на доску 50×50 несколько фишек, в каждую клетку — не больше одной. Докажите, что Вася может поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек, возможно ни одной, так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, а в каждой строке и каждом столбце оказалось чётное количество фишек.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Добавить фишки до чётных строк и столбцов","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(N\\) — положительное чётное число. В двудольном графе с долями R и C, где \\(|R|=|C|=N\\), некоторые рёбра уже выбраны. Докажите, что можно добавить не более \\(2N-1\\) ещё не выбранных рёбер так, чтобы степень каждой вершины в получившемся выбранном подграфе была чётной.","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-graph-complement","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(N\\) — положительное чётное число, а \\(G\\) — двудольный граф с долями \\(R\\) и \\(C\\), где \\(|R|=|C|=N\\). Обозначим через \\(H\\) его дополнение в полном двудольном графе \\(K_{N,N}\\). Пусть \\(T\\) — множество вершин, имеющих нечётную степень в \\(G\\); так как степень каждой вершины в \\(K_{N,N}\\) чётна, это то же самое множество вершин нечётной степени и в \\(H\\). Докажите, что в графе \\(H\\) существует подграф не более чем с \\(2N-1\\) рёбрами, множество вершин нечётной степени которого равно \\(T\\).","definition_ids":["bipartite_graph","degree","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-complement-forest-tjoin","title":"Лес в графе свободных клеток","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","degree","path","tree","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим двудольный граф: вершины одной доли — строки, другой — столбцы, а уже стоящие фишки — выбранные рёбра. Рассмотрим граф свободных клеток, то есть дополнение до полного двудольного графа \\(K_{50,50}\\). Так как степень каждой вершины в \\(K_{50,50}\\) равна 50, чётность степени вершины в графе свободных клеток совпадает с чётностью числа уже стоящих фишек в соответствующей строке или столбце. В каждой компоненте графа свободных клеток число вершин нечётной степени чётно. Возьмём в каждой нетривиальной компоненте остовное дерево и выберем в нём набор рёбер, у которого нечётные степени ровно в тех вершинах, где сейчас число фишек нечётно; это можно сделать, попарно соединяя такие вершины путями в дереве и беря симметрическую разность путей. Добавление соответствующих фишек исправит все чётности. Выбранных рёбер не больше, чем рёбер в лесу на 100 вершинах, то есть не больше 99."}],"relations":[{"id":"rel-vosh-even-board-odd-main-roads","neighbor_id":"tc-2010-11-odd-main-roads","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-even-board-tree-properties","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-grid-forest-red-cells-even-board","neighbor_id":"tc-2022-23-blue-red-cells-connectivity","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-forest-coins-even-board","neighbor_id":"tc-2023-24-coins-pairing-weighing-forest","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-even-board-imo-2024-c8","neighbor_id":"imo-2024-c8-board-coloring-tree","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-t-join-parity-vosh-2013-even-rows-columns","neighbor_id":"tree-t-join-parity-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vosh-2013-14-regional-even-rows-columns добавить фишки до чётных строк и столбцов, всероссийская олимпиада 2013/14 double_counting trees goal_exact_bound 2013 https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=64633 olympiad_archive src-problems-64633 vosh vosh2013 with_solution берлов с.л. всероссийская олимпиада всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2013 задача 64633, всероссийская олимпиада 2013/14, региональный этап, 10-11 класс берлов с.л. задача 64633, всероссийская олимпиада 2013/14, региональный этап, 10-11 класс stmt-original фишки на доске 50×50 ai_checked петя поставил на доску 50×50 несколько фишек, в каждую клетку — не больше одной. докажите, что вася может поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек, возможно ни одной, так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, а в каждой строке и каждом столбце оказалось чётное количество фишек. stmt-graph добавить фишки до чётных строк и столбцов ai_checked пусть \\(n\\) — положительное чётное число. в двудольном графе с долями r и c, где \\(|r|=|c|=n\\), некоторые рёбра уже выбраны. докажите, что можно добавить не более \\(2n-1\\) ещё не выбранных рёбер так, чтобы степень каждой вершины в получившемся выбранном подграфе была чётной. bipartite_graph degree stmt-graph-complement ai_checked пусть \\(n\\) — положительное чётное число, а \\(g\\) — двудольный граф с долями \\(r\\) и \\(c\\), где \\(|r|=|c|=n\\). обозначим через \\(h\\) его дополнение в полном двудольном графе \\(k_{n,n}\\). пусть \\(t\\) — множество вершин, имеющих нечётную степень в \\(g\\); так как степень каждой вершины в \\(k_{n,n}\\) чётна, это то же самое множество вершин нечётной степени и в \\(h\\). докажите, что в графе \\(h\\) существует подграф не более чем с \\(2n-1\\) рёбрами, множество вершин нечётной степени которого равно \\(t\\). bipartite_graph degree complement_graph idea-t-join-in-complement t-соединение в дополнительном двудольном графе свободные клетки образуют дополнительный двудольный граф. нужно выбрать в нём рёбра с заданным множеством нечётных вершин; это делается по деревьям компонент, а число выбранных рёбер не превосходит 99. double_counting trees ai_checked sol-complement-forest-tjoin лес в графе свободных клеток ai_checked bipartite_graph degree path tree spanning_tree complement_graph_transition delete_to_simplify построим двудольный граф: вершины одной доли — строки, другой — столбцы, а уже стоящие фишки — выбранные рёбра. рассмотрим граф свободных клеток, то есть дополнение до полного двудольного графа \\(k_{50,50}\\). так как степень каждой вершины в \\(k_{50,50}\\) равна 50, чётность степени вершины в графе свободных клеток совпадает с чётностью числа уже стоящих фишек в соответствующей строке или столбце. в каждой компоненте графа свободных клеток число вершин нечётной степени чётно. возьмём в каждой нетривиальной компоненте остовное дерево и выберем в нём набор рёбер, у которого нечётные степени ровно в тех вершинах, где сейчас число фишек нечётно; это можно сделать, попарно соединяя такие вершины путями в дереве и беря симметрическую разность путей. добавление соответствующих фишек исправит все чётности. выбранных рёбер не больше, чем рёбер в лесу на 100 вершинах, то есть не больше 99. vosh-2013-14-regional-even-rows-columns dobavit fishki do chetnyh strok i stolbtsov, vserossiyskaya olimpiada 2013/14 double_counting trees goal_exact_bound 2013 https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=64633 olympiad_archive src-problems-64633 vosh vosh2013 with_solution berlov s.l. vserossiyskaya olimpiada vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2013 zadacha 64633, vserossiyskaya olimpiada 2013/14, regionalnyy etap, 10-11 klass berlov s.l. zadacha 64633, vserossiyskaya olimpiada 2013/14, regionalnyy etap, 10-11 klass stmt-original fishki na doske 50×50 ai_checked petya postavil na dosku 50×50 neskolko fishek, v kazhduyu kletku — ne bolshe odnoy. dokazhite, chto vasya mozhet postavit na svobodnye polya etoy zhe doski ne bolee 99 novyh fishek, vozmozhno ni odnoy, tak, chtoby po-prezhnemu v kazhdoy kletke stoyalo ne bolshe odnoy fishki, a v kazhdoy stroke i kazhdom stolbtse okazalos chetnoe kolichestvo fishek. stmt-graph dobavit fishki do chetnyh strok i stolbtsov ai_checked pust \\(n\\) — polozhitelnoe chetnoe chislo. v dvudolnom grafe s dolyami r i c, gde \\(|r|=|c|=n\\), nekotorye rebra uzhe vybrany. dokazhite, chto mozhno dobavit ne bolee \\(2n-1\\) esche ne vybrannyh reber tak, chtoby stepen kazhdoy vershiny v poluchivshemsya vybrannom podgrafe byla chetnoy. bipartite_graph degree stmt-graph-complement ai_checked pust \\(n\\) — polozhitelnoe chetnoe chislo, a \\(g\\) — dvudolnyy graf s dolyami \\(r\\) i \\(c\\), gde \\(|r|=|c|=n\\). oboznachim cherez \\(h\\) ego dopolnenie v polnom dvudolnom grafe \\(k_{n,n}\\). pust \\(t\\) — mnozhestvo vershin, imeyuschih nechetnuyu stepen v \\(g\\); tak kak stepen kazhdoy vershiny v \\(k_{n,n}\\) chetna, eto to zhe samoe mnozhestvo vershin nechetnoy stepeni i v \\(h\\). dokazhite, chto v grafe \\(h\\) suschestvuet podgraf ne bolee chem s \\(2n-1\\) rebrami, mnozhestvo vershin nechetnoy stepeni kotorogo ravno \\(t\\). bipartite_graph degree complement_graph idea-t-join-in-complement t-soedinenie v dopolnitelnom dvudolnom grafe svobodnye kletki obrazuyut dopolnitelnyy dvudolnyy graf. nuzhno vybrat v nem rebra s zadannym mnozhestvom nechetnyh vershin; eto delaetsya po derevyam komponent, a chislo vybrannyh reber ne prevoshodit 99. double_counting trees ai_checked sol-complement-forest-tjoin les v grafe svobodnyh kletok ai_checked bipartite_graph degree path tree spanning_tree complement_graph_transition delete_to_simplify postroim dvudolnyy graf: vershiny odnoy doli — stroki, drugoy — stolbtsy, a uzhe stoyaschie fishki — vybrannye rebra. rassmotrim graf svobodnyh kletok, to est dopolnenie do polnogo dvudolnogo grafa \\(k_{50,50}\\). tak kak stepen kazhdoy vershiny v \\(k_{50,50}\\) ravna 50, chetnost stepeni vershiny v grafe svobodnyh kletok sovpadaet s chetnostyu chisla uzhe stoyaschih fishek v sootvetstvuyuschey stroke ili stolbtse. v kazhdoy komponente grafa svobodnyh kletok chislo vershin nechetnoy stepeni chetno. vozmem v kazhdoy netrivialnoy komponente ostovnoe derevo i vyberem v nem nabor reber, u kotorogo nechetnye stepeni rovno v teh vershinah, gde seychas chislo fishek nechetno; eto mozhno sdelat, poparno soedinyaya takie vershiny putyami v dereve i berya simmetricheskuyu raznost putey. dobavlenie sootvetstvuyuschih fishek ispravit vse chetnosti. vybrannyh reber ne bolshe, chem reber v lesu na 100 vershinah, to est ne bolshe 99.","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2014-15-regional-grid-rainbow-rectangle","title":"Четыре разных цвета в прямоугольнике доски, Всероссийская олимпиада 2014/15","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2014-15-regional-grid-rainbow-rectangle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2014-15-regional-grid-rainbow-rectangle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2014-15-regional-grid-rainbow-rectangle","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2014-2015, региональный этап, второй день"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":["Д. Храмцов"],"tags":["coloring","extremal_graph_theory","extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Региональный этап 2014/15, 10 класс, задача 8; ключевой переход - раскраска клеток как раскраска рёбер \\(K_{n,n}\\) и минимальный разноцветный цикл.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"глубокий углублённый аудит по официальному PDF MCCME для регионального этапа ВсОШ 2014/15, день 2","notes":"Карточка следует первому официальному решению: конструкция с \\(2n-1\\) цветами, затем двудольный граф строк и столбцов, по одному ребру каждого цвета, и аргумент о кратчайшем радужном цикле, вынуждающий 4-цикл."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"10.8","status":"source_verified","text":"Дано натуральное число \\(n\\ge 2\\). Рассмотрим все покраски клеток доски \\(n\\times n\\) в \\(k\\) цветов такие, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет, и все \\(k\\) цветов встречаются. При каком наименьшем \\(k\\) в любой такой покраске найдутся четыре окрашенные в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Четыре разных цвета в прямоугольнике доски","status":"ai_checked","text":"Рёбра полного двудольного графа \\(K_{n,n}\\) раскрашены в \\(k\\) цветов, причём каждый цвет используется хотя бы на одном ребре. Найдите наименьшее \\(k\\), при котором в любой такой раскраске обязательно существует цикл длины 4, все четыре ребра которого имеют попарно разные цвета.","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-rainbow-cycle-threshold","title":"Порог через разноцветные циклы в \\(K_{n,n}\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала построим раскраску в \\(2n-1\\) цветов без нужной четвёрки. Занумеруем строки числами \\(0,2,4,\\ldots,2n-2\\), а столбцы числами \\(1,3,5,\\ldots,2n-1\\). Последовательно красим все клетки строки или столбца с номером \\(0,1,\\ldots,2n-1\\) в цвет этого номера, каждый раз перекрашивая уже окрашенные клетки. В итоговой раскраске цвет 0 исчезает, а остальные \\(2n-1\\) цветов встречаются. Любые две строки и два столбца задают четыре клетки; среди этих четырёх линий есть линия, покрашенная последней, и две её клетки имеют одинаковый цвет. Значит, четырёх попарно разных цветов там нет. Докажем, что \\(2n\\) цветов всегда достаточно. Построим двудольный граф: одна доля соответствует строкам, другая - столбцам, а клетка становится ребром между своей строкой и своим столбцом, окрашенным в цвет клетки. Нужно найти разноцветный цикл длины 4. Выберем по одному ребру каждого цвета. Получился подграф на…"}],"relations":[{"id":"rel-usamo-1976-p1a-vosh-2014-rainbow-rectangle","neighbor_id":"usamo-1976-p1a-4x7-monochromatic-rectangle-forcing","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-2014-rainbow-rectangle-usamo-1976-monochromatic-rectangle","neighbor_id":"usamo-1976-p1-monochromatic-rectangle-bipartite","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-2014-rainbow-rectangle-imo-1998-c6-rainbow-edge-coloring","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vosh-2014-15-regional-grid-rainbow-rectangle четыре разных цвета в прямоугольнике доски, всероссийская олимпиада 2014/15 coloring extremal_graph_theory extremal_choice goal_exact_bound 2014 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2015/iii-2.pdf problem_and_solution src-vosh-2014-15-regional-day2-official vosh vosh2014 with_solution всероссийская олимпиада всероссийская олимпиада школьников по математике 2014-2015, региональный этап, второй день всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2014 д. храмцов д. храмцов всероссийская олимпиада школьников по математике 2014-2015, региональный этап, второй день stmt-original 10.8 source_verified дано натуральное число \\(n\\ge 2\\). рассмотрим все покраски клеток доски \\(n\\times n\\) в \\(k\\) цветов такие, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет, и все \\(k\\) цветов встречаются. при каком наименьшем \\(k\\) в любой такой покраске найдутся четыре окрашенные в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов? stmt-graph четыре разных цвета в прямоугольнике доски ai_checked рёбра полного двудольного графа \\(k_{n,n}\\) раскрашены в \\(k\\) цветов, причём каждый цвет используется хотя бы на одном ребре. найдите наименьшее \\(k\\), при котором в любой такой раскраске обязательно существует цикл длины 4, все четыре ребра которого имеют попарно разные цвета. bipartite_graph cycle idea-one-edge-per-color-cycle один представитель каждого цвета даёт разноцветный цикл если цветов хотя бы \\(2n\\), выберем по одному ребру каждого цвета. получится подграф на \\(2n\\) вершинах с не меньшим числом рёбер, поэтому в нём есть цикл. все его рёбра имеют разные цвета по построению. extremal_graph_theory ai_checked idea-shortest-rainbow-cycle-is-four кратчайший разноцветный цикл стягивается до четырёхцикла в полном двудольном графе кратчайший разноцветный цикл не может иметь длину больше 4: диагональное ребро между первой строковой и второй столбцовой вершиной либо сразу даёт разноцветный четырёхцикл, либо заменяет часть цикла и даёт более короткий разноцветный цикл. extremal_choice ai_checked sol-rainbow-cycle-threshold порог через разноцветные циклы в \\(k_{n,n}\\) ai_checked bipartite_graph cycle extremal_choice сначала построим раскраску в \\(2n-1\\) цветов без нужной четвёрки. занумеруем строки числами \\(0,2,4,\\ldots,2n-2\\), а столбцы числами \\(1,3,5,\\ldots,2n-1\\). последовательно красим все клетки строки или столбца с номером \\(0,1,\\ldots,2n-1\\) в цвет этого номера, каждый раз перекрашивая уже окрашенные клетки. в итоговой раскраске цвет 0 исчезает, а остальные \\(2n-1\\) цветов встречаются. любые две строки и два столбца задают четыре клетки; среди этих четырёх линий есть линия, покрашенная последней, и две её клетки имеют одинаковый цвет. значит, четырёх попарно разных цветов там нет. докажем, что \\(2n\\) цветов всегда достаточно. построим двудольный граф: одна доля соответствует строкам, другая - столбцам, а клетка становится ребром между своей строкой и своим столбцом, окрашенным в цвет клетки. нужно найти разноцветный цикл длины 4. выберем по одному ребру каждого цвета. получился подграф на… vosh-2014-15-regional-grid-rainbow-rectangle chetyre raznyh tsveta v pryamougolnike doski, vserossiyskaya olimpiada 2014/15 coloring extremal_graph_theory extremal_choice goal_exact_bound 2014 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2015/iii-2.pdf problem_and_solution src-vosh-2014-15-regional-day2-official vosh vosh2014 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2014-2015, regionalnyy etap, vtoroy den vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2014 d. hramtsov d. hramtsov vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2014-2015, regionalnyy etap, vtoroy den stmt-original 10.8 source_verified dano naturalnoe chislo \\(n\\ge 2\\). rassmotrim vse pokraski kletok doski \\(n\\times n\\) v \\(k\\) tsvetov takie, chto kazhdaya kletka pokrashena rovno v odin tsvet, i vse \\(k\\) tsvetov vstrechayutsya. pri kakom naimenshem \\(k\\) v lyuboy takoy pokraske naydutsya chetyre okrashennye v chetyre raznyh tsveta kletki, raspolozhennye v peresechenii dvuh strok i dvuh stolbtsov? stmt-graph chetyre raznyh tsveta v pryamougolnike doski ai_checked rebra polnogo dvudolnogo grafa \\(k_{n,n}\\) raskrasheny v \\(k\\) tsvetov, prichem kazhdyy tsvet ispolzuetsya hotya by na odnom rebre. naydite naimenshee \\(k\\), pri kotorom v lyuboy takoy raskraske obyazatelno suschestvuet tsikl dliny 4, vse chetyre rebra kotorogo imeyut poparno raznye tsveta. bipartite_graph cycle idea-one-edge-per-color-cycle odin predstavitel kazhdogo tsveta daet raznotsvetnyy tsikl esli tsvetov hotya by \\(2n\\), vyberem po odnomu rebru kazhdogo tsveta. poluchitsya podgraf na \\(2n\\) vershinah s ne menshim chislom reber, poetomu v nem est tsikl. vse ego rebra imeyut raznye tsveta po postroeniyu. extremal_graph_theory ai_checked idea-shortest-rainbow-cycle-is-four kratchayshiy raznotsvetnyy tsikl styagivaetsya do chetyrehtsikla v polnom dvudolnom grafe kratchayshiy raznotsvetnyy tsikl ne mozhet imet dlinu bolshe 4: diagonalnoe rebro mezhdu pervoy strokovoy i vtoroy stolbtsovoy vershinoy libo srazu daet raznotsvetnyy chetyrehtsikl, libo zamenyaet chast tsikla i daet bolee korotkiy raznotsvetnyy tsikl. extremal_choice ai_checked sol-rainbow-cycle-threshold porog cherez raznotsvetnye tsikly v \\(k_{n,n}\\) ai_checked bipartite_graph cycle extremal_choice snachala postroim raskrasku v \\(2n-1\\) tsvetov bez nuzhnoy chetverki. zanumeruem stroki chislami \\(0,2,4,\\ldots,2n-2\\), a stolbtsy chislami \\(1,3,5,\\ldots,2n-1\\). posledovatelno krasim vse kletki stroki ili stolbtsa s nomerom \\(0,1,\\ldots,2n-1\\) v tsvet etogo nomera, kazhdyy raz perekrashivaya uzhe okrashennye kletki. v itogovoy raskraske tsvet 0 ischezaet, a ostalnye \\(2n-1\\) tsvetov vstrechayutsya. lyubye dve stroki i dva stolbtsa zadayut chetyre kletki; sredi etih chetyreh liniy est liniya, pokrashennaya posledney, i dve ee kletki imeyut odinakovyy tsvet. znachit, chetyreh poparno raznyh tsvetov tam net. dokazhem, chto \\(2n\\) tsvetov vsegda dostatochno. postroim dvudolnyy graf: odna dolya sootvetstvuet strokam, drugaya - stolbtsam, a kletka stanovitsya rebrom mezhdu svoey strokoy i svoim stolbtsom, okrashennym v tsvet kletki. nuzhno nayti raznotsvetnyy tsikl dliny 4. vyberem po odnomu rebru kazhdogo tsveta. poluchilsya podgraf na…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor","title":"Минимум дружб при разбиении после удаления ребёнка на тройки, Всероссийская олимпиада 2017/18","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2017-2018, региональный этап, второй день, 11 класс"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л.","Власова Н."],"tags":["graph_model","extremal_graph_theory","induction","degree_counting","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Региональный этап 2017/18, 11 класс, задача 9; официальный ответ 198, решение — конструкция и индукция для хороших графов на \\(3k+1\\) вершинах.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"агентский углублённый аудит официального PDF","notes":"Официальный PDF ВсОШ содержит условие, авторов, ответ 198, перевод на язык графов, экстремальную конструкцию и самодостаточную индукцию через сжатие малостепенного \\(K_4\\); тяжёлая внешняя теорема не используется.","audit_source":"docs/archive/vosh-official-sweep/deep/vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"11.9","status":"ai_checked","text":"В компании 100 детей, некоторые дети дружат, причём дружба всегда взаимна. Известно, что при выделении любого ребёнка оставшихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. Найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Минимум дружб при разбиении после удаления ребёнка на тройки","status":"ai_checked","text":"Назовём простой граф на \\(3k+1\\) вершинах хорошим, если после удаления любой вершины остальные \\(3k\\) вершин можно разбить на \\(k\\) троек, каждая из которых порождает треугольник. Докажите, что в хорошем графе не меньше \\(6k\\) рёбер, и что эта оценка достижима. В частности, при \\(k=33\\) минимум равен 198.","definition_ids":["simple_graph","clique","degree","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-induction-good-graphs","title":"Индукция по числу троек","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","clique","degree","complete_graph"],"standard_idea_ids":["induction","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим пример. Возьмём вершину \\(A\\), а остальные \\(99\\) вершин разобьём на \\(33\\) тройки и внутри каждой тройки проведём все три ребра. Затем соединим \\(A\\) со всеми остальными вершинами. Рёбер получилось \\(33\\cdot3+99=198\\). Если удалить \\(A\\), остаются исходные треугольники; если удалить другую вершину \\(B\\), то в её тройке можно заменить \\(B\\) на \\(A\\), а остальные тройки оставить прежними. Значит 198 достижимо. Докажем нижнюю оценку в общей форме. Пусть граф на \\(3k+1\\) вершинах хорош, то есть после удаления любой вершины оставшиеся вершины разбиваются на \\(k\\) треугольников. Докажем индукцией по \\(k\\), что в нём не меньше \\(6k\\) рёбер. При \\(k=1\\) после удаления любой вершины три оставшиеся должны образовывать треугольник, значит весь граф есть \\(K_4\\), и рёбер 6. Пусть \\(k>1\\). Если степень каждой вершины хотя бы 4, то по лемме о рукопожатиях число рёбер не меньше \\((3k+1)\\cdot…"}],"relations":[{"id":"rel-vosh-2017-triangle-factor-imc2011-three-quarter-perfect-cover","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2b-tripartite-three-quarter-perfect-cover","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-vosh-2017-friendship-triangle-factor","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-2017-friendship-triangle-factor-imc-2011-tripartite-triangles","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2-tripartite-married-triples","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor минимум дружб при разбиении после удаления ребёнка на тройки, всероссийская олимпиада 2017/18 graph_model extremal_graph_theory induction degree_counting construction goal_exact_bound 2017 https://vos.olimpiada.ru/upload/files/arhive_tasks/2017-18/region/math/ans-math-11-day2-reg-17-8.pdf problem_and_solution src-vosh-2017-18-regional-day2-official vosh vosh2017 with_solution берлов с.л. власова н. всероссийская олимпиада всероссийская олимпиада школьников по математике 2017-2018, региональный этап, второй день, 11 класс всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2017 берлов с.л. власова н. всероссийская олимпиада школьников по математике 2017-2018, региональный этап, второй день, 11 класс stmt-original 11.9 ai_checked в компании 100 детей, некоторые дети дружат, причём дружба всегда взаимна. известно, что при выделении любого ребёнка оставшихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей. stmt-graph минимум дружб при разбиении после удаления ребёнка на тройки ai_checked назовём простой граф на \\(3k+1\\) вершинах хорошим, если после удаления любой вершины остальные \\(3k\\) вершин можно разбить на \\(k\\) троек, каждая из которых порождает треугольник. докажите, что в хорошем графе не меньше \\(6k\\) рёбер, и что эта оценка достижима. в частности, при \\(k=33\\) минимум равен 198. simple_graph clique degree triangle idea-star-over-disjoint-triangles звезда к набору непересекающихся треугольников конструкция с \\(6k\\) рёбрами: взять \\(k\\) непересекающихся треугольников и одну дополнительную вершину, соединённую со всеми остальными. после удаления центра остаются треугольники, а после удаления другой вершины её заменяет центр. construction ai_checked idea-contract-low-degree-k4 сжатие вершины степени 3 вместе с её соседями если в хорошем графе есть вершина степени меньше 4, то на самом деле её степень равна 3, а три её соседа попарно соединены. удаление этой четвёрки и замена трёх соседей одной вершиной сохраняет хорошесть и уменьшает число рёбер как минимум на 6. induction ai_checked sol-induction-good-graphs индукция по числу троек ai_checked simple_graph clique degree complete_graph induction double_counting построим пример. возьмём вершину \\(a\\), а остальные \\(99\\) вершин разобьём на \\(33\\) тройки и внутри каждой тройки проведём все три ребра. затем соединим \\(a\\) со всеми остальными вершинами. рёбер получилось \\(33\\cdot3+99=198\\). если удалить \\(a\\), остаются исходные треугольники; если удалить другую вершину \\(b\\), то в её тройке можно заменить \\(b\\) на \\(a\\), а остальные тройки оставить прежними. значит 198 достижимо. докажем нижнюю оценку в общей форме. пусть граф на \\(3k+1\\) вершинах хорош, то есть после удаления любой вершины оставшиеся вершины разбиваются на \\(k\\) треугольников. докажем индукцией по \\(k\\), что в нём не меньше \\(6k\\) рёбер. при \\(k=1\\) после удаления любой вершины три оставшиеся должны образовывать треугольник, значит весь граф есть \\(k_4\\), и рёбер 6. пусть \\(k>1\\). если степень каждой вершины хотя бы 4, то по лемме о рукопожатиях число рёбер не меньше \\((3k+1)\\cdot… vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor minimum druzhb pri razbienii posle udaleniya rebenka na troyki, vserossiyskaya olimpiada 2017/18 graph_model extremal_graph_theory induction degree_counting construction goal_exact_bound 2017 https://vos.olimpiada.ru/upload/files/arhive_tasks/2017-18/region/math/ans-math-11-day2-reg-17-8.pdf problem_and_solution src-vosh-2017-18-regional-day2-official vosh vosh2017 with_solution berlov s.l. vlasova n. vserossiyskaya olimpiada vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2017-2018, regionalnyy etap, vtoroy den, 11 klass vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2017 berlov s.l. vlasova n. vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2017-2018, regionalnyy etap, vtoroy den, 11 klass stmt-original 11.9 ai_checked v kompanii 100 detey, nekotorye deti druzhat, prichem druzhba vsegda vzaimna. izvestno, chto pri vydelenii lyubogo rebenka ostavshihsya 99 detey mozhno razbit na 33 gruppy po tri cheloveka tak, chtoby v kazhdoy gruppe vse troe poparno druzhili. naydite naimenshee vozmozhnoe kolichestvo par druzhaschih detey. stmt-graph minimum druzhb pri razbienii posle udaleniya rebenka na troyki ai_checked nazovem prostoy graf na \\(3k+1\\) vershinah horoshim, esli posle udaleniya lyuboy vershiny ostalnye \\(3k\\) vershin mozhno razbit na \\(k\\) troek, kazhdaya iz kotoryh porozhdaet treugolnik. dokazhite, chto v horoshem grafe ne menshe \\(6k\\) reber, i chto eta otsenka dostizhima. v chastnosti, pri \\(k=33\\) minimum raven 198. simple_graph clique degree triangle idea-star-over-disjoint-triangles zvezda k naboru neperesekayuschihsya treugolnikov konstruktsiya s \\(6k\\) rebrami: vzyat \\(k\\) neperesekayuschihsya treugolnikov i odnu dopolnitelnuyu vershinu, soedinennuyu so vsemi ostalnymi. posle udaleniya tsentra ostayutsya treugolniki, a posle udaleniya drugoy vershiny ee zamenyaet tsentr. construction ai_checked idea-contract-low-degree-k4 szhatie vershiny stepeni 3 vmeste s ee sosedyami esli v horoshem grafe est vershina stepeni menshe 4, to na samom dele ee stepen ravna 3, a tri ee soseda poparno soedineny. udalenie etoy chetverki i zamena treh sosedey odnoy vershinoy sohranyaet horoshest i umenshaet chislo reber kak minimum na 6. induction ai_checked sol-induction-good-graphs induktsiya po chislu troek ai_checked simple_graph clique degree complete_graph induction double_counting postroim primer. vozmem vershinu \\(a\\), a ostalnye \\(99\\) vershin razobem na \\(33\\) troyki i vnutri kazhdoy troyki provedem vse tri rebra. zatem soedinim \\(a\\) so vsemi ostalnymi vershinami. reber poluchilos \\(33\\cdot3+99=198\\). esli udalit \\(a\\), ostayutsya ishodnye treugolniki; esli udalit druguyu vershinu \\(b\\), to v ee troyke mozhno zamenit \\(b\\) na \\(a\\), a ostalnye troyki ostavit prezhnimi. znachit 198 dostizhimo. dokazhem nizhnyuyu otsenku v obschey forme. pust graf na \\(3k+1\\) vershinah horosh, to est posle udaleniya lyuboy vershiny ostavshiesya vershiny razbivayutsya na \\(k\\) treugolnikov. dokazhem induktsiey po \\(k\\), chto v nem ne menshe \\(6k\\) reber. pri \\(k=1\\) posle udaleniya lyuboy vershiny tri ostavshiesya dolzhny obrazovyvat treugolnik, znachit ves graf est \\(k_4\\), i reber 6. pust \\(k>1\\). esli stepen kazhdoy vershiny hotya by 4, to po lemme o rukopozhatiyah chislo reber ne menshe \\((3k+1)\\cdot…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2018-19-final-shirt-recoloring","title":"Перекраска правильной 7-раскраски 11-регулярного графа, Всероссийская олимпиада 2018/19","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2018-19-final-shirt-recoloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2018-19-final-shirt-recoloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2018-19-final-shirt-recoloring","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2018–2019, заключительный этап, первый день, условия и решения"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":["Магазинов А."],"tags":["coloring","double_counting","pigeonhole_principle","degree_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Заключительный этап 2018/19, 9 класс, задача 9.4; ключевой ход - компоненты двухцветных подграфов и двойной счет по 21 паре цветов.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.96,"basis":"официальный PDF финала MCCME/ВМО с условием, автором и полным решением","notes":"Официальный разбор содержит полный графовый аргумент; текущий текст является самостоятельным пересказом того же доказательства без содержательных пробелов.","audit_source":"deep-audit-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Футболки семи цветов","status":"ai_checked","text":"В лагерь приехали 10000 детей, каждый дружит ровно с 11 другими детьми в лагере, дружба взаимна. Каждый ребенок носит футболку одного из семи цветов радуги, причем у любых двух друзей цвета различны. Вожатые потребовали, чтобы какие-нибудь дети, хотя бы один, надели футболки других цветов из тех же семи. Опрос показал, что 100 детей менять цвет не намерены. Докажите, что некоторые из остальных детей все же могут изменить цвета своих футболок так, чтобы по-прежнему у любых двух друзей цвета были различны.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Правильная 7-раскраска 11-регулярного графа со 100 фиксированными вершинами","status":"ai_checked","text":"Пусть простой граф \\(G\\) имеет 10000 вершин, каждая вершина имеет степень 11, и вершины \\(G\\) правильно раскрашены в 7 цветов. Выделены 100 вершин, цвет которых менять нельзя. Докажите, что можно изменить цвет хотя бы одной невыделенной вершины так, чтобы получилась правильная раскраска теми же 7 цветами, а цвета всех выделенных вершин остались прежними.","definition_ids":["simple_graph","degree","chromatic_number","proper_coloring"]}]},"solutions":[{"id":"sol-two-color-component-count","title":"Двухцветные компоненты и двойной счет","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф дружбы: вершины соответствуют детям, ребра - парам друзей. Имеющаяся раскраска футболок является правильной 7-раскраской графа, а 100 детей, которые не хотят менять цвет, считаем фиксированными вершинами. Предположим, что требуемая перекраска невозможна. Для любой пары цветов \\(i<j\\) рассмотрим подграф \\(G_{ij}\\), порожденный вершинами этих двух цветов. Пусть \\(c_{ij}\\), \\(v_{ij}\\), \\(e_{ij}\\) - соответственно число его компонент связности, вершин и ребер. Если бы \\(c_{ij}>100\\), то одна из компонент \\(G_{ij}\\) не содержала бы фиксированных вершин. Тогда в этой компоненте можно было бы поменять цвета \\(i\\) и \\(j\\) местами: внутри компоненты правильность сохраняется, к вершинам других цветов конфликтов не появляется, а фиксированные вершины не меняются. Это дало бы допустимую нетривиальную перекраску, противоречие. Значит, \\(c_{ij}\\le 100\\) для всех пар цветов. В каждой к…"}],"relations":[{"id":"rel-five-color-vosh-2018-kempe-swap","neighbor_id":"five-color-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2006-r3-super-p3-vosh-2018-shirt-recoloring","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-no-two-color-cycle-bound-vosh-2018-shirt-recoloring","neighbor_id":"no-two-color-cycle-edge-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vosh-2018-19-final-shirt-recoloring перекраска правильной 7-раскраски 11-регулярного графа, всероссийская олимпиада 2018/19 coloring double_counting pigeonhole_principle degree_counting goal_existence 2018 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2019/final/day1.pdf official_archive src-vosh-2018-19-final-day1-official vosh vosh2018 with_solution всероссийская олимпиада всероссийская олимпиада школьников по математике 2018–2019, заключительный этап, первый день, условия и решения всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2018 магазинов а. магазинов а. всероссийская олимпиада школьников по математике 2018–2019, заключительный этап, первый день, условия и решения stmt-original футболки семи цветов ai_checked в лагерь приехали 10000 детей, каждый дружит ровно с 11 другими детьми в лагере, дружба взаимна. каждый ребенок носит футболку одного из семи цветов радуги, причем у любых двух друзей цвета различны. вожатые потребовали, чтобы какие-нибудь дети, хотя бы один, надели футболки других цветов из тех же семи. опрос показал, что 100 детей менять цвет не намерены. докажите, что некоторые из остальных детей все же могут изменить цвета своих футболок так, чтобы по-прежнему у любых двух друзей цвета были различны. stmt-graph правильная 7-раскраска 11-регулярного графа со 100 фиксированными вершинами ai_checked пусть простой граф \\(g\\) имеет 10000 вершин, каждая вершина имеет степень 11, и вершины \\(g\\) правильно раскрашены в 7 цветов. выделены 100 вершин, цвет которых менять нельзя. докажите, что можно изменить цвет хотя бы одной невыделенной вершины так, чтобы получилась правильная раскраска теми же 7 цветами, а цвета всех выделенных вершин остались прежними. simple_graph degree chromatic_number proper_coloring idea-swap-component-of-two-colors компоненту двух цветов можно поменять местами если в подграфе, порожденном двумя цветами, есть компонента без фиксированных вершин, то в этой компоненте можно поменять два цвета местами. правильность раскраски сохранится, фиксированные вершины не изменятся, а хотя бы одна нефиксированная вершина получит другой цвет. coloring ai_checked idea-count-two-color-components компонент слишком мало, чтобы покрыть нужное число ребер если перекраска невозможна, то каждый двухцветный подграф имеет не более 100 компонент связности. значит, в таком подграфе число ребер не меньше числа вершин минус 100. суммирование по 21 паре цветов противоречит точному подсчету вершинных и реберных вхождений. double_counting ai_checked sol-two-color-component-count двухцветные компоненты и двойной счет ai_checked connected_graph degree double_counting local_recoloring рассмотрим граф дружбы: вершины соответствуют детям, ребра - парам друзей. имеющаяся раскраска футболок является правильной 7-раскраской графа, а 100 детей, которые не хотят менять цвет, считаем фиксированными вершинами. предположим, что требуемая перекраска невозможна. для любой пары цветов \\(i<j\\) рассмотрим подграф \\(g_{ij}\\), порожденный вершинами этих двух цветов. пусть \\(c_{ij}\\), \\(v_{ij}\\), \\(e_{ij}\\) - соответственно число его компонент связности, вершин и ребер. если бы \\(c_{ij}>100\\), то одна из компонент \\(g_{ij}\\) не содержала бы фиксированных вершин. тогда в этой компоненте можно было бы поменять цвета \\(i\\) и \\(j\\) местами: внутри компоненты правильность сохраняется, к вершинам других цветов конфликтов не появляется, а фиксированные вершины не меняются. это дало бы допустимую нетривиальную перекраску, противоречие. значит, \\(c_{ij}\\le 100\\) для всех пар цветов. в каждой к… vosh-2018-19-final-shirt-recoloring perekraska pravilnoy 7-raskraski 11-regulyarnogo grafa, vserossiyskaya olimpiada 2018/19 coloring double_counting pigeonhole_principle degree_counting goal_existence 2018 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2019/final/day1.pdf official_archive src-vosh-2018-19-final-day1-official vosh vosh2018 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2018–2019, zaklyuchitelnyy etap, pervyy den, usloviya i resheniya vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2018 magazinov a. magazinov a. vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2018–2019, zaklyuchitelnyy etap, pervyy den, usloviya i resheniya stmt-original futbolki semi tsvetov ai_checked v lager priehali 10000 detey, kazhdyy druzhit rovno s 11 drugimi detmi v lagere, druzhba vzaimna. kazhdyy rebenok nosit futbolku odnogo iz semi tsvetov radugi, prichem u lyubyh dvuh druzey tsveta razlichny. vozhatye potrebovali, chtoby kakie-nibud deti, hotya by odin, nadeli futbolki drugih tsvetov iz teh zhe semi. opros pokazal, chto 100 detey menyat tsvet ne namereny. dokazhite, chto nekotorye iz ostalnyh detey vse zhe mogut izmenit tsveta svoih futbolok tak, chtoby po-prezhnemu u lyubyh dvuh druzey tsveta byli razlichny. stmt-graph pravilnaya 7-raskraska 11-regulyarnogo grafa so 100 fiksirovannymi vershinami ai_checked pust prostoy graf \\(g\\) imeet 10000 vershin, kazhdaya vershina imeet stepen 11, i vershiny \\(g\\) pravilno raskrasheny v 7 tsvetov. vydeleny 100 vershin, tsvet kotoryh menyat nelzya. dokazhite, chto mozhno izmenit tsvet hotya by odnoy nevydelennoy vershiny tak, chtoby poluchilas pravilnaya raskraska temi zhe 7 tsvetami, a tsveta vseh vydelennyh vershin ostalis prezhnimi. simple_graph degree chromatic_number proper_coloring idea-swap-component-of-two-colors komponentu dvuh tsvetov mozhno pomenyat mestami esli v podgrafe, porozhdennom dvumya tsvetami, est komponenta bez fiksirovannyh vershin, to v etoy komponente mozhno pomenyat dva tsveta mestami. pravilnost raskraski sohranitsya, fiksirovannye vershiny ne izmenyatsya, a hotya by odna nefiksirovannaya vershina poluchit drugoy tsvet. coloring ai_checked idea-count-two-color-components komponent slishkom malo, chtoby pokryt nuzhnoe chislo reber esli perekraska nevozmozhna, to kazhdyy dvuhtsvetnyy podgraf imeet ne bolee 100 komponent svyaznosti. znachit, v takom podgrafe chislo reber ne menshe chisla vershin minus 100. summirovanie po 21 pare tsvetov protivorechit tochnomu podschetu vershinnyh i rebernyh vhozhdeniy. double_counting ai_checked sol-two-color-component-count dvuhtsvetnye komponenty i dvoynoy schet ai_checked connected_graph degree double_counting local_recoloring rassmotrim graf druzhby: vershiny sootvetstvuyut detyam, rebra - param druzey. imeyuschayasya raskraska futbolok yavlyaetsya pravilnoy 7-raskraskoy grafa, a 100 detey, kotorye ne hotyat menyat tsvet, schitaem fiksirovannymi vershinami. predpolozhim, chto trebuemaya perekraska nevozmozhna. dlya lyuboy pary tsvetov \\(i<j\\) rassmotrim podgraf \\(g_{ij}\\), porozhdennyy vershinami etih dvuh tsvetov. pust \\(c_{ij}\\), \\(v_{ij}\\), \\(e_{ij}\\) - sootvetstvenno chislo ego komponent svyaznosti, vershin i reber. esli by \\(c_{ij}>100\\), to odna iz komponent \\(g_{ij}\\) ne soderzhala by fiksirovannyh vershin. togda v etoy komponente mozhno bylo by pomenyat tsveta \\(i\\) i \\(j\\) mestami: vnutri komponenty pravilnost sohranyaetsya, k vershinam drugih tsvetov konfliktov ne poyavlyaetsya, a fiksirovannye vershiny ne menyayutsya. eto dalo by dopustimuyu netrivialnuyu perekrasku, protivorechie. znachit, \\(c_{ij}\\le 100\\) dlya vseh par tsvetov. v kazhdoy k…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2022-23-final-optimal-road-networks","title":"Вложенные оптимальные ориентированные дорожные сети, Всероссийская олимпиада 2022/23","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2022-23-final-optimal-road-networks.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2022-23-final-optimal-road-networks.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2022-23-final-optimal-road-networks","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2022–2023, заключительный этап, второй день, условия и решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":["Буслов В."],"tags":["trees","extremal_choice","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Заключительный этап 2022/23, 11 класс, задача 8; сильная задача на структуру корневых лесов и обменный аргумент.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный PDF финала с решением","notes":"Официальный разбор содержит полный обменный графовый аргумент.","audit_source":"vosh-official-sweep-2010-2026"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"k-оптимальная система городов и дорог","status":"ai_checked","text":"В стране N городов. В ней действует N(N - 1) дорог с односторонним движением: по одной дороге из X в Y для каждой упорядоченной пары городов \\(X \\ne Y\\). У каждой дороги есть цена её обслуживания. Для данного k = 1, ..., N рассмотрим все способы выделить k городов и N - k дорог так, чтобы из каждого города можно было попасть в какой-то выделенный город, пользуясь только выделенными дорогами. Такую систему городов и дорог с наименьшей суммарной стоимостью обслуживания назовём k-оптимальной. Докажите, что города можно пронумеровать от 1 до N так, что при каждом k = 1, 2, ..., N существует k-оптимальная система дорог с выделенными городами 1, 2, ..., k.","definition_ids":["directed_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Оптимальные корневые леса в полном ориентированном графе","status":"ai_checked","text":"В полном ориентированном графе на N вершинах без петель каждому ориентированному ребру приписан вес. Для k = 1, ..., N назовём k-сетью выбор k корней и N-k ориентированных рёбер минимального суммарного веса среди всех выборов, в которых из каждой вершины по выбранным рёбрам достижим хотя бы один корень. Докажите, что вершины можно пронумеровать от 1 до N так, что для каждого k существует оптимальная k-сеть с корнями 1, 2, ..., k.","definition_ids":["directed_graph","path","tree","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-exchange-rooted-forests","title":"Обмен между соседними оптимальными сетями","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","tree","connected_graph","outdegree","cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем называть допустимые выборы k-сетями. Сначала опишем их структуру. Забудем ориентации выбранных дорог k-сети. Полученный неориентированный граф имеет не более k компонент, потому что в каждой компоненте есть выделенный город, достижимый из всех её вершин. С другой стороны, в графе N вершин и N - k рёбер, поэтому компонент не меньше k. Значит, компонент ровно k, каждая компонента является деревом, в каждой есть ровно один выделенный город, а все ориентированные рёбра в этой компоненте направлены к нему. В частности, из каждой невыделенной вершины выходит ровно одно выбранное ребро, а из выделенной — ни одного. Докажем ключевой шаг. Возьмём произвольную оптимальную (k+1)-сеть A с выделенными городами \\(y_0\\), \\(y_1\\), ..., \\(y_k\\) и произвольную оптимальную k-сеть B с выделенными городами \\(x_1\\), ..., \\(x_k\\). Среди городов \\(y_0\\), ..., \\(y_k\\) выберем \\(y_0\\) так, чтобы ни из одно…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-equivalent-properties-vosh-2022-optimal-road-networks","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2013-b5-vosh-2022-optimal-road-networks-rooted-forests","neighbor_id":"putnam-2013-b5-functions-iterate-into-roots","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vosh-2022-23-final-optimal-road-networks вложенные оптимальные ориентированные дорожные сети, всероссийская олимпиада 2022/23 trees extremal_choice goal_existence 2022 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2023/final/day2.pdf official_archive src-vosh-2022-23-final-day2-official vosh vosh2022 with_solution буслов в. всероссийская олимпиада всероссийская олимпиада школьников по математике 2022–2023, заключительный этап, второй день, условия и решения всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2022 буслов в. всероссийская олимпиада школьников по математике 2022–2023, заключительный этап, второй день, условия и решения stmt-original k-оптимальная система городов и дорог ai_checked в стране n городов. в ней действует n(n - 1) дорог с односторонним движением: по одной дороге из x в y для каждой упорядоченной пары городов \\(x \\ne y\\). у каждой дороги есть цена её обслуживания. для данного k = 1, ..., n рассмотрим все способы выделить k городов и n - k дорог так, чтобы из каждого города можно было попасть в какой-то выделенный город, пользуясь только выделенными дорогами. такую систему городов и дорог с наименьшей суммарной стоимостью обслуживания назовём k-оптимальной. докажите, что города можно пронумеровать от 1 до n так, что при каждом k = 1, 2, ..., n существует k-оптимальная система дорог с выделенными городами 1, 2, ..., k. directed_graph stmt-graph оптимальные корневые леса в полном ориентированном графе ai_checked в полном ориентированном графе на n вершинах без петель каждому ориентированному ребру приписан вес. для k = 1, ..., n назовём k-сетью выбор k корней и n-k ориентированных рёбер минимального суммарного веса среди всех выборов, в которых из каждой вершины по выбранным рёбрам достижим хотя бы один корень. докажите, что вершины можно пронумеровать от 1 до n так, что для каждого k существует оптимальная k-сеть с корнями 1, 2, ..., k. directed_graph path tree connected_graph idea-k-network-is-rooted-forest любая допустимая k-сеть является корневым лесом если забыть ориентации, выбранные n - k рёбер дают ровно k компонент: не больше, потому что из каждой компоненты достижим выделенный город, и не меньше, потому что рёбер всего n - k. поэтому каждая компонента — дерево с одним корнем, а все рёбра ориентированы к нему. trees ai_checked idea-exchange-reachable-set обмен рёбрами из области притяжения нового корня сравниваются оптимальные k- и (k+1)-сети. для множества вершин, которые в (k+1)-сети ведут к выбранному удаляемому корню, меняются исходящие из этого множества рёбра между двумя сетями. получаются снова допустимые сети, а сумма стоимостей сохраняется, значит оптимальность не теряется. extremal_choice ai_checked sol-exchange-rooted-forests обмен между соседними оптимальными сетями ai_checked directed_graph path tree connected_graph outdegree cycle extremal_choice induction будем называть допустимые выборы k-сетями. сначала опишем их структуру. забудем ориентации выбранных дорог k-сети. полученный неориентированный граф имеет не более k компонент, потому что в каждой компоненте есть выделенный город, достижимый из всех её вершин. с другой стороны, в графе n вершин и n - k рёбер, поэтому компонент не меньше k. значит, компонент ровно k, каждая компонента является деревом, в каждой есть ровно один выделенный город, а все ориентированные рёбра в этой компоненте направлены к нему. в частности, из каждой невыделенной вершины выходит ровно одно выбранное ребро, а из выделенной — ни одного. докажем ключевой шаг. возьмём произвольную оптимальную (k+1)-сеть a с выделенными городами \\(y_0\\), \\(y_1\\), ..., \\(y_k\\) и произвольную оптимальную k-сеть b с выделенными городами \\(x_1\\), ..., \\(x_k\\). среди городов \\(y_0\\), ..., \\(y_k\\) выберем \\(y_0\\) так, чтобы ни из одно… vosh-2022-23-final-optimal-road-networks vlozhennye optimalnye orientirovannye dorozhnye seti, vserossiyskaya olimpiada 2022/23 trees extremal_choice goal_existence 2022 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2023/final/day2.pdf official_archive src-vosh-2022-23-final-day2-official vosh vosh2022 with_solution buslov v. vserossiyskaya olimpiada vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2022–2023, zaklyuchitelnyy etap, vtoroy den, usloviya i resheniya vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2022 buslov v. vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2022–2023, zaklyuchitelnyy etap, vtoroy den, usloviya i resheniya stmt-original k-optimalnaya sistema gorodov i dorog ai_checked v strane n gorodov. v ney deystvuet n(n - 1) dorog s odnostoronnim dvizheniem: po odnoy doroge iz x v y dlya kazhdoy uporyadochennoy pary gorodov \\(x \\ne y\\). u kazhdoy dorogi est tsena ee obsluzhivaniya. dlya dannogo k = 1, ..., n rassmotrim vse sposoby vydelit k gorodov i n - k dorog tak, chtoby iz kazhdogo goroda mozhno bylo popast v kakoy-to vydelennyy gorod, polzuyas tolko vydelennymi dorogami. takuyu sistemu gorodov i dorog s naimenshey summarnoy stoimostyu obsluzhivaniya nazovem k-optimalnoy. dokazhite, chto goroda mozhno pronumerovat ot 1 do n tak, chto pri kazhdom k = 1, 2, ..., n suschestvuet k-optimalnaya sistema dorog s vydelennymi gorodami 1, 2, ..., k. directed_graph stmt-graph optimalnye kornevye lesa v polnom orientirovannom grafe ai_checked v polnom orientirovannom grafe na n vershinah bez petel kazhdomu orientirovannomu rebru pripisan ves. dlya k = 1, ..., n nazovem k-setyu vybor k korney i n-k orientirovannyh reber minimalnogo summarnogo vesa sredi vseh vyborov, v kotoryh iz kazhdoy vershiny po vybrannym rebram dostizhim hotya by odin koren. dokazhite, chto vershiny mozhno pronumerovat ot 1 do n tak, chto dlya kazhdogo k suschestvuet optimalnaya k-set s kornyami 1, 2, ..., k. directed_graph path tree connected_graph idea-k-network-is-rooted-forest lyubaya dopustimaya k-set yavlyaetsya kornevym lesom esli zabyt orientatsii, vybrannye n - k reber dayut rovno k komponent: ne bolshe, potomu chto iz kazhdoy komponenty dostizhim vydelennyy gorod, i ne menshe, potomu chto reber vsego n - k. poetomu kazhdaya komponenta — derevo s odnim kornem, a vse rebra orientirovany k nemu. trees ai_checked idea-exchange-reachable-set obmen rebrami iz oblasti prityazheniya novogo kornya sravnivayutsya optimalnye k- i (k+1)-seti. dlya mnozhestva vershin, kotorye v (k+1)-seti vedut k vybrannomu udalyaemomu kornyu, menyayutsya ishodyaschie iz etogo mnozhestva rebra mezhdu dvumya setyami. poluchayutsya snova dopustimye seti, a summa stoimostey sohranyaetsya, znachit optimalnost ne teryaetsya. extremal_choice ai_checked sol-exchange-rooted-forests obmen mezhdu sosednimi optimalnymi setyami ai_checked directed_graph path tree connected_graph outdegree cycle extremal_choice induction budem nazyvat dopustimye vybory k-setyami. snachala opishem ih strukturu. zabudem orientatsii vybrannyh dorog k-seti. poluchennyy neorientirovannyy graf imeet ne bolee k komponent, potomu chto v kazhdoy komponente est vydelennyy gorod, dostizhimyy iz vseh ee vershin. s drugoy storony, v grafe n vershin i n - k reber, poetomu komponent ne menshe k. znachit, komponent rovno k, kazhdaya komponenta yavlyaetsya derevom, v kazhdoy est rovno odin vydelennyy gorod, a vse orientirovannye rebra v etoy komponente napravleny k nemu. v chastnosti, iz kazhdoy nevydelennoy vershiny vyhodit rovno odno vybrannoe rebro, a iz vydelennoy — ni odnogo. dokazhem klyuchevoy shag. vozmem proizvolnuyu optimalnuyu (k+1)-set a s vydelennymi gorodami \\(y_0\\), \\(y_1\\), ..., \\(y_k\\) i proizvolnuyu optimalnuyu k-set b s vydelennymi gorodami \\(x_1\\), ..., \\(x_k\\). sredi gorodov \\(y_0\\), ..., \\(y_k\\) vyberem \\(y_0\\) tak, chtoby ni iz odno…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2022-23-regional-connected-country-cut","title":"Разбиение связного графа с перевесом рёбер разреза, Всероссийская олимпиада 2022/23","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2022-23-regional-connected-country-cut.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2022-23-regional-connected-country-cut.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2022-23-regional-connected-country-cut","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2022–2023, региональный этап, второй день"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":["Дидин М. А."],"tags":["connectivity","graph_cut","cut_counting","induction","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Региональный этап 2022/23, 11 класс, задача 10; индукция по связному графу и структурная лемма об удалении двух вершин.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский углублённый аудит официального PDF","notes":"Официальное решение содержит полную структуру доказательства; локальная карточка раскрывает компактный шаг докраски смежной пары без изменения математической силы.","audit_source":"docs/archive/vosh-official-sweep/deep/vosh-2022-23-regional-connected-country-cut.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"11.10","status":"ai_checked","text":"В стране \\(2n\\) городов, где \\(n\\) — натуральное число. Некоторые города соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, причём из любого города можно попасть в любой другой, возможно с пересадками. Президент хочет разделить страну на две области и включить каждый город в одну из двух областей. При этом авиалинии разделятся на \\(k\\) межобластных и \\(m\\) внутриобластных. Докажите, что президент может добиться неравенства \\(k-m\\ge n\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разбиение связного графа с перевесом рёбер разреза","status":"ai_checked","text":"Докажите, что в любом связном простом графе с \\(2n\\) вершинами можно раскрасить вершины в два цвета так, чтобы число рёбер с концами разных цветов было не меньше числа рёбер с концами одного цвета плюс \\(n\\).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","graph_cut"]}]},"solutions":[{"id":"sol-induction-two-vertices","title":"Индукция по числу пар вершин","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем доказывать графовую формулировку индукцией по \\(n\\). При \\(n=1\\) связный граф на двух вершинах имеет одно ребро, и разные цвета его концов дают разность \\(1\\). Пусть \\(n>1\\). Нам понадобится структурное утверждение: в любом связном графе хотя бы с тремя вершинами либо есть две смежные вершины, после удаления которых граф остаётся связным, либо есть две висячие вершины. Сначала покажем, как из этого следует индукционный переход. Если найдены две смежные вершины \\(u,v\\), удаление которых сохраняет связность, то по индукции раскрасим остальные \\(2n-2\\) вершин так, чтобы разность между числом разноцветных и одноцветных рёбер была не меньше \\(n-1\\). Зафиксируем эту раскраску и рассмотрим только вклад рёбер, инцидентных \\(u\\) или \\(v\\), включая ребро \\(uv\\). Если красный и синий цвета обозначить числами \\(1\\) и \\(-1\\), то вклад ребра в разность равен минусу произведения цветов его концо…"}],"relations":[{"id":"rel-vosh-2010-cement-routing-vosh-2022-country-cut","neighbor_id":"vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vosh-2022-23-regional-connected-country-cut разбиение связного графа с перевесом рёбер разреза, всероссийская олимпиада 2022/23 connectivity graph_cut cut_counting induction goal_bound 2022 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2023/iii-2.pdf problem_and_solution src-vosh-2022-23-regional-day2-official vosh vosh2022 with_solution всероссийская олимпиада всероссийская олимпиада школьников по математике 2022–2023, региональный этап, второй день всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2022 дидин м. а. дидин м. а. всероссийская олимпиада школьников по математике 2022–2023, региональный этап, второй день stmt-original 11.10 ai_checked в стране \\(2n\\) городов, где \\(n\\) — натуральное число. некоторые города соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, причём из любого города можно попасть в любой другой, возможно с пересадками. президент хочет разделить страну на две области и включить каждый город в одну из двух областей. при этом авиалинии разделятся на \\(k\\) межобластных и \\(m\\) внутриобластных. докажите, что президент может добиться неравенства \\(k-m\\ge n\\). stmt-graph разбиение связного графа с перевесом рёбер разреза ai_checked докажите, что в любом связном простом графе с \\(2n\\) вершинами можно раскрасить вершины в два цвета так, чтобы число рёбер с концами разных цветов было не меньше числа рёбер с концами одного цвета плюс \\(n\\). simple_graph connected_graph graph_cut idea-delete-two-vertices-induction индукция с удалением двух вершин нужно найти две вершины, после удаления которых остаётся связный граф, или две висячие вершины. тогда по индукции красим оставшийся граф; в случае смежной пары выбираем одну из четырёх докрасок пары с положительным локальным вкладом, а в случае двух листьев красим каждый лист противоположно его соседу. induction ai_checked idea-spanning-tree-leaves листья подвешенного остовного дерева структурная лемма доказывается через остовное дерево, подвешенное за невисячую вершину: у самого далёкого предка листьев либо найдётся подходящая смежная пара, либо две висячие вершины, либо можно переподвесить ветви и удалить предка с одним листом. trees ai_checked sol-induction-two-vertices индукция по числу пар вершин ai_checked connected_graph spanning_tree induction будем доказывать графовую формулировку индукцией по \\(n\\). при \\(n=1\\) связный граф на двух вершинах имеет одно ребро, и разные цвета его концов дают разность \\(1\\). пусть \\(n>1\\). нам понадобится структурное утверждение: в любом связном графе хотя бы с тремя вершинами либо есть две смежные вершины, после удаления которых граф остаётся связным, либо есть две висячие вершины. сначала покажем, как из этого следует индукционный переход. если найдены две смежные вершины \\(u,v\\), удаление которых сохраняет связность, то по индукции раскрасим остальные \\(2n-2\\) вершин так, чтобы разность между числом разноцветных и одноцветных рёбер была не меньше \\(n-1\\). зафиксируем эту раскраску и рассмотрим только вклад рёбер, инцидентных \\(u\\) или \\(v\\), включая ребро \\(uv\\). если красный и синий цвета обозначить числами \\(1\\) и \\(-1\\), то вклад ребра в разность равен минусу произведения цветов его концо… vosh-2022-23-regional-connected-country-cut razbienie svyaznogo grafa s perevesom reber razreza, vserossiyskaya olimpiada 2022/23 connectivity graph_cut cut_counting induction goal_bound 2022 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2023/iii-2.pdf problem_and_solution src-vosh-2022-23-regional-day2-official vosh vosh2022 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2022–2023, regionalnyy etap, vtoroy den vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2022 didin m. a. didin m. a. vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2022–2023, regionalnyy etap, vtoroy den stmt-original 11.10 ai_checked v strane \\(2n\\) gorodov, gde \\(n\\) — naturalnoe chislo. nekotorye goroda soedineny dvustoronnimi besposadochnymi avialiniyami, prichem iz lyubogo goroda mozhno popast v lyuboy drugoy, vozmozhno s peresadkami. prezident hochet razdelit stranu na dve oblasti i vklyuchit kazhdyy gorod v odnu iz dvuh oblastey. pri etom avialinii razdelyatsya na \\(k\\) mezhoblastnyh i \\(m\\) vnutrioblastnyh. dokazhite, chto prezident mozhet dobitsya neravenstva \\(k-m\\ge n\\). stmt-graph razbienie svyaznogo grafa s perevesom reber razreza ai_checked dokazhite, chto v lyubom svyaznom prostom grafe s \\(2n\\) vershinami mozhno raskrasit vershiny v dva tsveta tak, chtoby chislo reber s kontsami raznyh tsvetov bylo ne menshe chisla reber s kontsami odnogo tsveta plyus \\(n\\). simple_graph connected_graph graph_cut idea-delete-two-vertices-induction induktsiya s udaleniem dvuh vershin nuzhno nayti dve vershiny, posle udaleniya kotoryh ostaetsya svyaznyy graf, ili dve visyachie vershiny. togda po induktsii krasim ostavshiysya graf; v sluchae smezhnoy pary vybiraem odnu iz chetyreh dokrasok pary s polozhitelnym lokalnym vkladom, a v sluchae dvuh listev krasim kazhdyy list protivopolozhno ego sosedu. induction ai_checked idea-spanning-tree-leaves listya podveshennogo ostovnogo dereva strukturnaya lemma dokazyvaetsya cherez ostovnoe derevo, podveshennoe za nevisyachuyu vershinu: u samogo dalekogo predka listev libo naydetsya podhodyaschaya smezhnaya para, libo dve visyachie vershiny, libo mozhno perepodvesit vetvi i udalit predka s odnim listom. trees ai_checked sol-induction-two-vertices induktsiya po chislu par vershin ai_checked connected_graph spanning_tree induction budem dokazyvat grafovuyu formulirovku induktsiey po \\(n\\). pri \\(n=1\\) svyaznyy graf na dvuh vershinah imeet odno rebro, i raznye tsveta ego kontsov dayut raznost \\(1\\). pust \\(n>1\\). nam ponadobitsya strukturnoe utverzhdenie: v lyubom svyaznom grafe hotya by s tremya vershinami libo est dve smezhnye vershiny, posle udaleniya kotoryh graf ostaetsya svyaznym, libo est dve visyachie vershiny. snachala pokazhem, kak iz etogo sleduet induktsionnyy perehod. esli naydeny dve smezhnye vershiny \\(u,v\\), udalenie kotoryh sohranyaet svyaznost, to po induktsii raskrasim ostalnye \\(2n-2\\) vershin tak, chtoby raznost mezhdu chislom raznotsvetnyh i odnotsvetnyh reber byla ne menshe \\(n-1\\). zafiksiruem etu raskrasku i rassmotrim tolko vklad reber, intsidentnyh \\(u\\) ili \\(v\\), vklyuchaya rebro \\(uv\\). esli krasnyy i siniy tsveta oboznachit chislami \\(1\\) i \\(-1\\), to vklad rebra v raznost raven minusu proizvedeniya tsvetov ego kontso…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring","title":"Участники из регионов, дружба и раскраска графа, Всероссийская олимпиада 2025/26","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, заключительный этап, первый день, условия","Всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, заключительный этап, первый день, решения"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Заключительный этап 2025/26, задача 11.3 (она же 9.4); решение опирается на аккуратную попарную перекраску цветов через двудольность двухцветных подграфов.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён до полного","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"официальный источник и повторная проверка полного русского решения из хвоста очереди official-plan-needs-completion","notes":"План перекраски уже развёрнут до самодостаточного доказательства: проверены двудольность двухцветного подграфа, сохранение условия на циклы и итерация по цветам.","audit_source":"official-plan-tail-pass-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"11.3 (9.4)","status":"ai_checked","text":"На олимпиаду приехало несколько участников из n регионов, некоторые из них дружат (дружба всегда взаимна). Выяснилось, что для произвольной рассадки нескольких (хотя бы трёх) участников за круглым столом, при которой любые два соседа дружат, участников из каждого региона за столом окажется не более половины общего числа детей за столом. Докажите, что участников можно рассадить по n кабинетам так, чтобы любые два друга оказались в разных кабинетах.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Участники из регионов","status":"ai_checked","text":"Вершины простого графа G уже раскрашены в n цветов так, что в каждом простом цикле никакой цвет не занимает более половины вершин. Докажите, что вершины графа можно правильно раскрасить в те же n цветов.","definition_ids":["simple_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle"],"standard_idea_ids":["local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф дружбы G. Регионы дают исходную раскраску вершин в n цветов; условие задачи означает, что в каждом простом цикле никакой цвет не занимает более половины вершин. Назовём такую раскраску приятной. Нужно построить правильную n-раскраску. Достаточно показать, что для любых двух цветов A и B можно перекрасить все вершины этих цветов снова в A и B так, чтобы оба цвета стали правильными, а приятность сохранилась. Рассмотрим индуцированный подграф H на вершинах цветов A и B. Любой простой цикл в H имеет не более половины вершин цвета A и не более половины цвета B, значит цветов на нём поровну и цикл чётный. Следовательно, H двудолен и его вершины можно правильно раскрасить в A и B. После такой перекраски оба цвета становятся правильными. Остаётся проверить сохранение приятности. Для любого простого цикла C в исходном графе условие могло испортиться только для цветов A или B; ска…"}],"relations":[{"id":"rel-five-color-vosh-2025-local-recoloring","neighbor_id":"five-color-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-rmm-2012-vosh-2025-two-side-bipartite-balance","neighbor_id":"rmm-2012-p1-sociable-sets-bipartite-parity","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-brooks-vosh-2025-26-color-cleaning","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring участники из регионов, дружба и раскраска графа, всероссийская олимпиада 2025/26 coloring goal_existence 2025 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2026/final/day1.pdf https://olympiads.mccme.ru/vmo/2026/final/sol1.pdf official_archive src-vosh-2025-26-final-day1-official src-vosh-2025-26-final-sol1-official vosh vosh2025 with_solution всероссийская олимпиада всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, заключительный этап, первый день, решения всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, заключительный этап, первый день, условия всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2025 ? всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, заключительный этап, первый день, условия всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, заключительный этап, первый день, решения stmt-original 11.3 (9.4) ai_checked на олимпиаду приехало несколько участников из n регионов, некоторые из них дружат (дружба всегда взаимна). выяснилось, что для произвольной рассадки нескольких (хотя бы трёх) участников за круглым столом, при которой любые два соседа дружат, участников из каждого региона за столом окажется не более половины общего числа детей за столом. докажите, что участников можно рассадить по n кабинетам так, чтобы любые два друга оказались в разных кабинетах. stmt-graph участники из регионов ai_checked вершины простого графа g уже раскрашены в n цветов так, что в каждом простом цикле никакой цвет не занимает более половины вершин. докажите, что вершины графа можно правильно раскрасить в те же n цветов. simple_graph cycle idea-two-colors-give-bipartite-subgraph два цвета образуют двудольный подграф если смотреть только на вершины двух цветов a и b, то любой простой цикл в этом подграфе содержит не более половины вершин цвета a и не более половины вершин цвета b. значит, на таком цикле цветов a и b поровну, так что цикл чётный. следовательно, весь подграф двудолен. coloring ai_checked idea-recolor-two-colors-and-preserve-cycle-condition перекрашиваем два цвета и сохраняем условие на циклы двудольный подграф на цветах a и b можно правильно раскрасить в цвета a и b. после этого оба цвета становятся правильными. для любого простого цикла условие про не более чем половину одноцветных вершин сохраняется: вершине цвета a можно сопоставить следующую за ней вершину цикла, и это даёт инъекцию в вершины других цветов. coloring ai_checked sol-official-compressed решение ai_checked cycle local_recoloring рассмотрим граф дружбы g. регионы дают исходную раскраску вершин в n цветов; условие задачи означает, что в каждом простом цикле никакой цвет не занимает более половины вершин. назовём такую раскраску приятной. нужно построить правильную n-раскраску. достаточно показать, что для любых двух цветов a и b можно перекрасить все вершины этих цветов снова в a и b так, чтобы оба цвета стали правильными, а приятность сохранилась. рассмотрим индуцированный подграф h на вершинах цветов a и b. любой простой цикл в h имеет не более половины вершин цвета a и не более половины цвета b, значит цветов на нём поровну и цикл чётный. следовательно, h двудолен и его вершины можно правильно раскрасить в a и b. после такой перекраски оба цвета становятся правильными. остаётся проверить сохранение приятности. для любого простого цикла c в исходном графе условие могло испортиться только для цветов a или b; ска… vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring uchastniki iz regionov, druzhba i raskraska grafa, vserossiyskaya olimpiada 2025/26 coloring goal_existence 2025 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2026/final/day1.pdf https://olympiads.mccme.ru/vmo/2026/final/sol1.pdf official_archive src-vosh-2025-26-final-day1-official src-vosh-2025-26-final-sol1-official vosh vosh2025 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2025–2026, zaklyuchitelnyy etap, pervyy den, resheniya vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2025–2026, zaklyuchitelnyy etap, pervyy den, usloviya vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2025 ? vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2025–2026, zaklyuchitelnyy etap, pervyy den, usloviya vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2025–2026, zaklyuchitelnyy etap, pervyy den, resheniya stmt-original 11.3 (9.4) ai_checked na olimpiadu priehalo neskolko uchastnikov iz n regionov, nekotorye iz nih druzhat (druzhba vsegda vzaimna). vyyasnilos, chto dlya proizvolnoy rassadki neskolkih (hotya by treh) uchastnikov za kruglym stolom, pri kotoroy lyubye dva soseda druzhat, uchastnikov iz kazhdogo regiona za stolom okazhetsya ne bolee poloviny obschego chisla detey za stolom. dokazhite, chto uchastnikov mozhno rassadit po n kabinetam tak, chtoby lyubye dva druga okazalis v raznyh kabinetah. stmt-graph uchastniki iz regionov ai_checked vershiny prostogo grafa g uzhe raskrasheny v n tsvetov tak, chto v kazhdom prostom tsikle nikakoy tsvet ne zanimaet bolee poloviny vershin. dokazhite, chto vershiny grafa mozhno pravilno raskrasit v te zhe n tsvetov. simple_graph cycle idea-two-colors-give-bipartite-subgraph dva tsveta obrazuyut dvudolnyy podgraf esli smotret tolko na vershiny dvuh tsvetov a i b, to lyuboy prostoy tsikl v etom podgrafe soderzhit ne bolee poloviny vershin tsveta a i ne bolee poloviny vershin tsveta b. znachit, na takom tsikle tsvetov a i b porovnu, tak chto tsikl chetnyy. sledovatelno, ves podgraf dvudolen. coloring ai_checked idea-recolor-two-colors-and-preserve-cycle-condition perekrashivaem dva tsveta i sohranyaem uslovie na tsikly dvudolnyy podgraf na tsvetah a i b mozhno pravilno raskrasit v tsveta a i b. posle etogo oba tsveta stanovyatsya pravilnymi. dlya lyubogo prostogo tsikla uslovie pro ne bolee chem polovinu odnotsvetnyh vershin sohranyaetsya: vershine tsveta a mozhno sopostavit sleduyuschuyu za ney vershinu tsikla, i eto daet inektsiyu v vershiny drugih tsvetov. coloring ai_checked sol-official-compressed reshenie ai_checked cycle local_recoloring rassmotrim graf druzhby g. regiony dayut ishodnuyu raskrasku vershin v n tsvetov; uslovie zadachi oznachaet, chto v kazhdom prostom tsikle nikakoy tsvet ne zanimaet bolee poloviny vershin. nazovem takuyu raskrasku priyatnoy. nuzhno postroit pravilnuyu n-raskrasku. dostatochno pokazat, chto dlya lyubyh dvuh tsvetov a i b mozhno perekrasit vse vershiny etih tsvetov snova v a i b tak, chtoby oba tsveta stali pravilnymi, a priyatnost sohranilas. rassmotrim indutsirovannyy podgraf h na vershinah tsvetov a i b. lyuboy prostoy tsikl v h imeet ne bolee poloviny vershin tsveta a i ne bolee poloviny tsveta b, znachit tsvetov na nem porovnu i tsikl chetnyy. sledovatelno, h dvudolen i ego vershiny mozhno pravilno raskrasit v a i b. posle takoy perekraski oba tsveta stanovyatsya pravilnymi. ostaetsya proverit sohranenie priyatnosti. dlya lyubogo prostogo tsikla c v ishodnom grafe uslovie moglo isportitsya tolko dlya tsvetov a ili b; ska…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2025-26-regional-common-neighborhood-red-pairs","title":"Пары незнакомых среди 100 знакомых, региональный этап ВсОШ 2025/26","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2025-26-regional-common-neighborhood-red-pairs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2025-26-regional-common-neighborhood-red-pairs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2025-26-regional-common-neighborhood-red-pairs","source_key":"vosh","source_label":"региональный этап ВсОШ","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, региональный этап, второй день"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":["Центральная предметно-методическая комиссия по математике"],"tags":["graph_model","extremal_graph_theory","complement_graph_transition","double_counting","degree_counting","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Региональный этап 2025/26, 9 класс, задача 10; точная оценка через пример и подсчёт красных рёбер в пересечениях окрестностей.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"глубокий проход с углублённым анализом, 2026-05-05","notes":"Официальный PDF второго дня регионального этапа ВсОШ 2025/26 содержит условие, ответ k=50, экстремальный пример на 102 вершинах, два доказательства оценки и критерии оценивания. Локальная карточка разворачивает первое официальное доказательство через пересечение синих окрестностей; второе лемматическое доказательство в карточку не дублировалось.","audit_source":"docs/archive/vosh-official-sweep/deep/vosh-2025-26-regional-common-neighborhood-red-pairs.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"9.10","status":"ai_checked","text":"В большой компании у каждого человека ровно 100 знакомых в этой же компании; знакомство взаимно. У любого человека среди его 100 знакомых есть хотя бы одна пара людей, не знакомых друг с другом. При каком наибольшем \\(k\\) можно утверждать, что найдётся человек, среди 100 знакомых которого найдутся хотя бы \\(k\\) различных пар людей, в каждой из которых люди не знакомы друг с другом? Один человек может входить в несколько таких пар.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Пары несмежных вершин в 100-регулярных окрестностях","status":"ai_checked","text":"Пусть в конечном простом графе каждая вершина имеет степень 100, а окрестность каждой вершины не является кликой. Найдите наибольшее \\(k\\), для которого обязательно существует вершина, в окрестности которой есть хотя бы \\(k\\) пар несмежных вершин.","definition_ids":["simple_graph","degree","neighborhood","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-neighborhood-intersection","title":"Окрестности двух незнакомых людей","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","neighborhood","complement_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting","complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(k=50\\). Сначала покажем, что больше гарантировать нельзя. Рассмотрим 102 человека, разбитых на 51 пару. Люди внутри каждой пары не знакомы, а любые двое из разных пар знакомы. Тогда у каждого человека ровно 100 знакомых: это все люди, кроме него самого и его напарника. Среди этих 100 знакомых ровно 50 пар незнакомых людей, а именно оставшиеся 50 исходных пар. Значит, \\(k\\ge 51\\) не гарантируется. Докажем, что 50 гарантируется. Переведём условие в граф: вершины — люди, синие рёбра — знакомства, красные рёбра — незнакомства. Из каждой вершины выходит ровно 100 синих рёбер. Пусть \\(N(v)\\) — множество синих соседей вершины \\(v\\). По условию в каждом \\(N(v)\\) есть хотя бы одно красное ребро. Предположим противное: в каждом множестве \\(N(v)\\) не более 49 красных рёбер. Возьмём произвольную вершину \\(v\\). В \\(N(v)\\) найдутся две вершины \\(u_1,u_2\\), соединённые красным ребром. У верши…"}],"relations":[{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-vosh-2025-red-pairs","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-2025-common-neighborhood-apmo-2010-common-acquaintance","neighbor_id":"apmo-2010-p3-common-acquaintance-extremal","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vosh-2025-26-regional-common-neighborhood-red-pairs пары незнакомых среди 100 знакомых, региональный этап всош 2025/26 graph_model extremal_graph_theory complement_graph_transition double_counting degree_counting goal_exact_bound 2025 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2026/iii-2.pdf problem_and_solution src-vosh-2025-26-regional-day2-official vosh vosh2025 with_solution всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, региональный этап, второй день региональный этап всош региональныйэтапвсош региональныйэтапвсош2025 центральная предметно-методическая комиссия по математике центральная предметно-методическая комиссия по математике всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, региональный этап, второй день stmt-original 9.10 ai_checked в большой компании у каждого человека ровно 100 знакомых в этой же компании; знакомство взаимно. у любого человека среди его 100 знакомых есть хотя бы одна пара людей, не знакомых друг с другом. при каком наибольшем \\(k\\) можно утверждать, что найдётся человек, среди 100 знакомых которого найдутся хотя бы \\(k\\) различных пар людей, в каждой из которых люди не знакомы друг с другом? один человек может входить в несколько таких пар. stmt-graph пары несмежных вершин в 100-регулярных окрестностях ai_checked пусть в конечном простом графе каждая вершина имеет степень 100, а окрестность каждой вершины не является кликой. найдите наибольшее \\(k\\), для которого обязательно существует вершина, в окрестности которой есть хотя бы \\(k\\) пар несмежных вершин. simple_graph degree neighborhood clique idea-blue-red-complement-neighborhoods считать незнакомства внутри окрестностей удобно дополнить граф знакомств до раскраски полного графа двумя цветами: синие рёбра — знакомства, красные — незнакомства. тогда надо найти окрестность по синим рёбрам, в которой много красных рёбер. graph_model ai_checked idea-intersect-red-nonneighbors две красно соединённые вершины с общим синим соседом если в каждой синей окрестности меньше 50 красных рёбер, то для красной пары с общим синим соседом пересечение двух синих окрестностей даёт слишком много красных рёбер, что противоречит предположению. double_counting ai_checked sol-official-neighborhood-intersection окрестности двух незнакомых людей ai_checked simple_graph degree neighborhood complement_graph double_counting complement_graph_transition ответ: \\(k=50\\). сначала покажем, что больше гарантировать нельзя. рассмотрим 102 человека, разбитых на 51 пару. люди внутри каждой пары не знакомы, а любые двое из разных пар знакомы. тогда у каждого человека ровно 100 знакомых: это все люди, кроме него самого и его напарника. среди этих 100 знакомых ровно 50 пар незнакомых людей, а именно оставшиеся 50 исходных пар. значит, \\(k\\ge 51\\) не гарантируется. докажем, что 50 гарантируется. переведём условие в граф: вершины — люди, синие рёбра — знакомства, красные рёбра — незнакомства. из каждой вершины выходит ровно 100 синих рёбер. пусть \\(n(v)\\) — множество синих соседей вершины \\(v\\). по условию в каждом \\(n(v)\\) есть хотя бы одно красное ребро. предположим противное: в каждом множестве \\(n(v)\\) не более 49 красных рёбер. возьмём произвольную вершину \\(v\\). в \\(n(v)\\) найдутся две вершины \\(u_1,u_2\\), соединённые красным ребром. у верши… vosh-2025-26-regional-common-neighborhood-red-pairs pary neznakomyh sredi 100 znakomyh, regionalnyy etap vsosh 2025/26 graph_model extremal_graph_theory complement_graph_transition double_counting degree_counting goal_exact_bound 2025 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2026/iii-2.pdf problem_and_solution src-vosh-2025-26-regional-day2-official vosh vosh2025 with_solution vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2025–2026, regionalnyy etap, vtoroy den regionalnyy etap vsosh regionalnyyetapvsosh regionalnyyetapvsosh2025 tsentralnaya predmetno-metodicheskaya komissiya po matematike tsentralnaya predmetno-metodicheskaya komissiya po matematike vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2025–2026, regionalnyy etap, vtoroy den stmt-original 9.10 ai_checked v bolshoy kompanii u kazhdogo cheloveka rovno 100 znakomyh v etoy zhe kompanii; znakomstvo vzaimno. u lyubogo cheloveka sredi ego 100 znakomyh est hotya by odna para lyudey, ne znakomyh drug s drugom. pri kakom naibolshem \\(k\\) mozhno utverzhdat, chto naydetsya chelovek, sredi 100 znakomyh kotorogo naydutsya hotya by \\(k\\) razlichnyh par lyudey, v kazhdoy iz kotoryh lyudi ne znakomy drug s drugom? odin chelovek mozhet vhodit v neskolko takih par. stmt-graph pary nesmezhnyh vershin v 100-regulyarnyh okrestnostyah ai_checked pust v konechnom prostom grafe kazhdaya vershina imeet stepen 100, a okrestnost kazhdoy vershiny ne yavlyaetsya klikoy. naydite naibolshee \\(k\\), dlya kotorogo obyazatelno suschestvuet vershina, v okrestnosti kotoroy est hotya by \\(k\\) par nesmezhnyh vershin. simple_graph degree neighborhood clique idea-blue-red-complement-neighborhoods schitat neznakomstva vnutri okrestnostey udobno dopolnit graf znakomstv do raskraski polnogo grafa dvumya tsvetami: sinie rebra — znakomstva, krasnye — neznakomstva. togda nado nayti okrestnost po sinim rebram, v kotoroy mnogo krasnyh reber. graph_model ai_checked idea-intersect-red-nonneighbors dve krasno soedinennye vershiny s obschim sinim sosedom esli v kazhdoy siney okrestnosti menshe 50 krasnyh reber, to dlya krasnoy pary s obschim sinim sosedom peresechenie dvuh sinih okrestnostey daet slishkom mnogo krasnyh reber, chto protivorechit predpolozheniyu. double_counting ai_checked sol-official-neighborhood-intersection okrestnosti dvuh neznakomyh lyudey ai_checked simple_graph degree neighborhood complement_graph double_counting complement_graph_transition otvet: \\(k=50\\). snachala pokazhem, chto bolshe garantirovat nelzya. rassmotrim 102 cheloveka, razbityh na 51 paru. lyudi vnutri kazhdoy pary ne znakomy, a lyubye dvoe iz raznyh par znakomy. togda u kazhdogo cheloveka rovno 100 znakomyh: eto vse lyudi, krome nego samogo i ego naparnika. sredi etih 100 znakomyh rovno 50 par neznakomyh lyudey, a imenno ostavshiesya 50 ishodnyh par. znachit, \\(k\\ge 51\\) ne garantiruetsya. dokazhem, chto 50 garantiruetsya. perevedem uslovie v graf: vershiny — lyudi, sinie rebra — znakomstva, krasnye rebra — neznakomstva. iz kazhdoy vershiny vyhodit rovno 100 sinih reber. pust \\(n(v)\\) — mnozhestvo sinih sosedey vershiny \\(v\\). po usloviyu v kazhdom \\(n(v)\\) est hotya by odno krasnoe rebro. predpolozhim protivnoe: v kazhdom mnozhestve \\(n(v)\\) ne bolee 49 krasnyh reber. vozmem proizvolnuyu vershinu \\(v\\). v \\(n(v)\\) naydutsya dve vershiny \\(u_1,u_2\\), soedinennye krasnym rebrom. u vershi…","source_keys":["vosh"]}
{"id":"vosh-2025-26-regional-degree-difference-friendship","title":"Максимум рёбер при разности степеней соседей 1, Всероссийская олимпиада 2025/26","path":"data\\problems\\vosh\\vosh-2025-26-regional-degree-difference-friendship.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vosh/vosh-2025-26-regional-degree-difference-friendship.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vosh-2025-26-regional-degree-difference-friendship","source_key":"vosh","source_label":"Всероссийская олимпиада","source_titles":["Всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, региональный этап, второй день"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","degree_counting","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Региональный этап 2025/26, 10 класс, задача 8; экстремальная задача на степени соседних вершин.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"глубокий проход с углублённым анализом, 2026-05-05","notes":"Официальный PDF второго дня регионального этапа ВсОШ 2025/26 содержит условие, ответ 1013*1012, экстремальный пример, полное доказательство верхней оценки по случаям для максимальной степени и критерии оценивания. Карточка является локально развёрнутым пересказом официального решения.","audit_source":"docs/archive/vosh-official-sweep/deep/vosh-2025-26-regional-degree-difference-friendship.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"10.8","status":"ai_checked","text":"В конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей, возможно ни одного. Дружба взаимна. Известно, что если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. Найдите наибольшее возможное количество пар друзей.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Максимум рёбер при разности степеней соседей 1","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф на 2026 вершинах, в котором степени любых двух смежных вершин отличаются ровно на 1. Найдите максимальное возможное число рёбер графа \\(G\\).","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-layers","title":"Слои по степеням","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(1013\\cdot1012\\). Обозначим \\(k=1013\\), так что всего вершин \\(2k\\). Пример с \\(k(k-1)\\) рёбрами устроен так: одна вершина изолирована, остальные вершины разбиты на два множества \\(X\\) и \\(Y\\) размеров \\(k\\) и \\(k-1\\), и каждая вершина из \\(X\\) соединена со всеми вершинами из \\(Y\\). Тогда степени вершин из \\(X\\) равны \\(k-1\\), степени вершин из \\(Y\\) равны \\(k\\), поэтому условие выполнено, а число рёбер равно \\(k(k-1)\\). Докажем верхнюю оценку. Для каждого \\(i\\) пусть \\(X_i\\) — множество вершин степени \\(i\\). По условию любое ребро соединяет вершины из двух соседних слоёв \\(X_{i-1}\\) и \\(X_i\\). Пусть \\(m\\) — максимальная степень вершины. Если \\(m\\le k-1\\), то сумма степеней не превосходит \\((k-1)\\cdot 2k\\), поэтому \\(|E|\\le k(k-1)\\). Если \\(m\\ge k+1\\), возьмём вершину \\(A\\) степени \\(m\\). Все её соседи лежат в \\(X_{m-1}\\), значит \\(|X_{m-1}|\\ge m\\). Любая вершина \\(B\\in X_{m-1}\\…"}],"relations":[{"id":"rel-handshaking-vosh-2025-degree-difference-friendship","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vosh-2025-26-regional-degree-difference-friendship максимум рёбер при разности степеней соседей 1, всероссийская олимпиада 2025/26 extremal_graph_theory degree_counting goal_exact_bound 2025 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2026/iii-2.pdf problem_and_solution src-vosh-2025-26-regional-day2-official vosh vosh2025 with_solution всероссийская олимпиада всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, региональный этап, второй день всероссийскаяолимпиада всероссийскаяолимпиада2025 ? всероссийская олимпиада школьников по математике 2025–2026, региональный этап, второй день stmt-original 10.8 ai_checked в конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей, возможно ни одного. дружба взаимна. известно, что если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. найдите наибольшее возможное количество пар друзей. stmt-graph максимум рёбер при разности степеней соседей 1 ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф на 2026 вершинах, в котором степени любых двух смежных вершин отличаются ровно на 1. найдите максимальное возможное число рёбер графа \\(g\\). simple_graph degree idea-degree-layer-bound рёбра идут только между соседними слоями степеней разобьём вершины на множества \\(x_i\\) по степени. тогда каждое ребро может соединять только \\(x_{i-1}\\) и \\(x_i\\), что позволяет оценивать число рёбер через чётные и нечётные слои. degree_counting ai_checked sol-degree-layers слои по степеням ai_checked degree ответ: \\(1013\\cdot1012\\). обозначим \\(k=1013\\), так что всего вершин \\(2k\\). пример с \\(k(k-1)\\) рёбрами устроен так: одна вершина изолирована, остальные вершины разбиты на два множества \\(x\\) и \\(y\\) размеров \\(k\\) и \\(k-1\\), и каждая вершина из \\(x\\) соединена со всеми вершинами из \\(y\\). тогда степени вершин из \\(x\\) равны \\(k-1\\), степени вершин из \\(y\\) равны \\(k\\), поэтому условие выполнено, а число рёбер равно \\(k(k-1)\\). докажем верхнюю оценку. для каждого \\(i\\) пусть \\(x_i\\) — множество вершин степени \\(i\\). по условию любое ребро соединяет вершины из двух соседних слоёв \\(x_{i-1}\\) и \\(x_i\\). пусть \\(m\\) — максимальная степень вершины. если \\(m\\le k-1\\), то сумма степеней не превосходит \\((k-1)\\cdot 2k\\), поэтому \\(|e|\\le k(k-1)\\). если \\(m\\ge k+1\\), возьмём вершину \\(a\\) степени \\(m\\). все её соседи лежат в \\(x_{m-1}\\), значит \\(|x_{m-1}|\\ge m\\). любая вершина \\(b\\in x_{m-1}\\… vosh-2025-26-regional-degree-difference-friendship maksimum reber pri raznosti stepeney sosedey 1, vserossiyskaya olimpiada 2025/26 extremal_graph_theory degree_counting goal_exact_bound 2025 https://olympiads.mccme.ru/vmo/2026/iii-2.pdf problem_and_solution src-vosh-2025-26-regional-day2-official vosh vosh2025 with_solution vserossiyskaya olimpiada vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2025–2026, regionalnyy etap, vtoroy den vserossiyskayaolimpiada vserossiyskayaolimpiada2025 ? vserossiyskaya olimpiada shkolnikov po matematike 2025–2026, regionalnyy etap, vtoroy den stmt-original 10.8 ai_checked v konferentsii uchastvuyut 2026 matematikov, u kazhdogo iz kotoryh est nekotoroe kolichestvo druzey, vozmozhno ni odnogo. druzhba vzaimna. izvestno, chto esli dvoe matematikov druzhat, to kolichestva druzey u nih otlichayutsya rovno na 1. naydite naibolshee vozmozhnoe kolichestvo par druzey. stmt-graph maksimum reber pri raznosti stepeney sosedey 1 ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf na 2026 vershinah, v kotorom stepeni lyubyh dvuh smezhnyh vershin otlichayutsya rovno na 1. naydite maksimalnoe vozmozhnoe chislo reber grafa \\(g\\). simple_graph degree idea-degree-layer-bound rebra idut tolko mezhdu sosednimi sloyami stepeney razobem vershiny na mnozhestva \\(x_i\\) po stepeni. togda kazhdoe rebro mozhet soedinyat tolko \\(x_{i-1}\\) i \\(x_i\\), chto pozvolyaet otsenivat chislo reber cherez chetnye i nechetnye sloi. degree_counting ai_checked sol-degree-layers sloi po stepenyam ai_checked degree otvet: \\(1013\\cdot1012\\). oboznachim \\(k=1013\\), tak chto vsego vershin \\(2k\\). primer s \\(k(k-1)\\) rebrami ustroen tak: odna vershina izolirovana, ostalnye vershiny razbity na dva mnozhestva \\(x\\) i \\(y\\) razmerov \\(k\\) i \\(k-1\\), i kazhdaya vershina iz \\(x\\) soedinena so vsemi vershinami iz \\(y\\). togda stepeni vershin iz \\(x\\) ravny \\(k-1\\), stepeni vershin iz \\(y\\) ravny \\(k\\), poetomu uslovie vypolneno, a chislo reber ravno \\(k(k-1)\\). dokazhem verhnyuyu otsenku. dlya kazhdogo \\(i\\) pust \\(x_i\\) — mnozhestvo vershin stepeni \\(i\\). po usloviyu lyuboe rebro soedinyaet vershiny iz dvuh sosednih sloev \\(x_{i-1}\\) i \\(x_i\\). pust \\(m\\) — maksimalnaya stepen vershiny. esli \\(m\\le k-1\\), to summa stepeney ne prevoshodit \\((k-1)\\cdot 2k\\), poetomu \\(|e|\\le k(k-1)\\). esli \\(m\\ge k+1\\), vozmem vershinu \\(a\\) stepeni \\(m\\). vse ee sosedi lezhat v \\(x_{m-1}\\), znachit \\(|x_{m-1}|\\ge m\\). lyubaya vershina \\(b\\in x_{m-1}\\…","source_keys":["vosh"]}