{"id":"vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations","title":"Девять прямых в пространстве и однотипная тройка, VJIMC 1999 Category II P1","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 1999 Category II P1, официальные условия и решения"],"year":"1999","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["ramsey_theory","coloring","construction","line_arrangements","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p2_p5","local_score":8,"comment":"Геометрическая задача с точной границей: верхняя оценка использует малый рамсеевский аргумент и отдельный геометрический запрет для шестой прямой, параллельной одной из пяти.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Найдите наименьшее целое число \\(k\\), такое что среди любых \\(k\\) различных прямых в \\(\\mathbb R^3\\) найдутся либо три попарно параллельные прямые, либо три попарно пересекающиеся прямые, либо три попарно скрещивающиеся прямые.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Девять прямых в пространстве и однотипная тройка","status":"ai_checked","text":"Вершины полного графа соответствуют различным прямым в \\(\\mathbb R^3\\), а каждое ребро окрашено одним из трёх цветов: параллельность, пересечение или скрещивание соответствующей пары прямых. Требуется доказать, что всякая такая геометрически реализуемая раскраска на девяти вершинах содержит одноцветный треугольник, а на восьми вершинах существует геометрически реализуемая раскраска без одноцветного треугольника.","definition_ids":["complete_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Решение через раскраску полного графа","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(k=9\\). Сначала построим пример из восьми прямых. Возьмём куб \\(ABCDA'B'C'D'\\). Пусть \\(K,L,M,N\\) — середины рёбер \\(A'B'\\), \\(B'C'\\), \\(C'D'\\), \\(D'A'\\) соответственно. Рассмотрим восемь прямых \\(AB,BC,CD,DA,KL,LM,MN,NK\\). Первые четыре лежат в нижней грани куба и образуют стороны квадрата; последние четыре лежат в параллельной верхней грани и образуют стороны меньшего квадрата. В каждом из этих двух квадратов есть ровно две пары параллельных сторон, поэтому трёх попарно параллельных прямых нет. Три попарно пересекающиеся прямые тоже невозможны: если все три лежат в одной из двух плоскостей, то среди трёх сторон квадрата найдётся пара противоположных параллельных сторон; если же выбраны прямые из обеих плоскостей, то хотя бы одна пара лежит в разных параллельных плоскостях и не пересекается. Наконец, три попарно скрещивающиеся прямые невозможны, потому что среди трёх выбранных…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2017-a1-vjimc-1999-monochromatic-triangle","neighbor_id":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-1999-lines-ramsey-r33","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-1999-lines-imo-1964","neighbor_id":"imo-1964-p4-three-topic-ramsey","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations девять прямых в пространстве и однотипная тройка, vjimc 1999 category ii p1 ramsey_theory coloring construction line_arrangements goal_exact_bound 1999 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j09solutions.pdf problem_and_solution src-vjimc-1999-cat2-p1-official vjimc vjimc 1999 category ii p1, официальные условия и решения vjimc1999 with_solution vjimc 1999 category ii p1, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked найдите наименьшее целое число \\(k\\), такое что среди любых \\(k\\) различных прямых в \\(\\mathbb r^3\\) найдутся либо три попарно параллельные прямые, либо три попарно пересекающиеся прямые, либо три попарно скрещивающиеся прямые. stmt-graph девять прямых в пространстве и однотипная тройка ai_checked вершины полного графа соответствуют различным прямым в \\(\\mathbb r^3\\), а каждое ребро окрашено одним из трёх цветов: параллельность, пересечение или скрещивание соответствующей пары прямых. требуется доказать, что всякая такая геометрически реализуемая раскраска на девяти вершинах содержит одноцветный треугольник, а на восьми вершинах существует геометрически реализуемая раскраска без одноцветного треугольника. complete_graph triangle idea-ramsey-reduction отношения между прямыми окрашивают рёбра полного графа если три вершины полного графа образуют одноцветный треугольник, то соответствующие три прямые имеют один и тот же попарный тип взаимного расположения. поэтому задача сводится к поиску вынужденного одноцветного треугольника с учётом геометрических ограничений на цвета. ramsey_theory coloring ai_checked idea-eight-line-example восемь прямых дают нижнюю оценку официальная конструкция берёт четыре стороны нижней грани куба и четыре стороны меньшего квадрата в параллельной верхней грани. в каждой из двух плоскостей любые две прямые либо параллельны, либо пересекаются, а прямые из разных плоскостей не пересекаются; поэтому легко проверить отсутствие всех трёх запрещённых троек. construction line_arrangements ai_checked idea-five-lines-lemma пять попарно непараллельных прямых нельзя безнаказанно расширить для пяти попарно непараллельных прямых без однотипной тройки раскраска пересечение/скрещивание обязана быть циклом \\(c_5\\) в каждом цвете. шестая прямая либо даёт обычный \\(r(3,3)\\)-аргумент, либо параллельна одной из пяти; последний случай запрещается геометрией двух плоскостей через параллельные прямые. ramsey_theory line_arrangements ai_checked sol-official-expanded решение через раскраску полного графа ai_checked pigeonhole_principle ответ: \\(k=9\\). сначала построим пример из восьми прямых. возьмём куб \\(abcda'b'c'd'\\). пусть \\(k,l,m,n\\) — середины рёбер \\(a'b'\\), \\(b'c'\\), \\(c'd'\\), \\(d'a'\\) соответственно. рассмотрим восемь прямых \\(ab,bc,cd,da,kl,lm,mn,nk\\). первые четыре лежат в нижней грани куба и образуют стороны квадрата; последние четыре лежат в параллельной верхней грани и образуют стороны меньшего квадрата. в каждом из этих двух квадратов есть ровно две пары параллельных сторон, поэтому трёх попарно параллельных прямых нет. три попарно пересекающиеся прямые тоже невозможны: если все три лежат в одной из двух плоскостей, то среди трёх сторон квадрата найдётся пара противоположных параллельных сторон; если же выбраны прямые из обеих плоскостей, то хотя бы одна пара лежит в разных параллельных плоскостях и не пересекается. наконец, три попарно скрещивающиеся прямые невозможны, потому что среди трёх выбранных… vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations devyat pryamyh v prostranstve i odnotipnaya troyka, vjimc 1999 category ii p1 ramsey_theory coloring construction line_arrangements goal_exact_bound 1999 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j09solutions.pdf problem_and_solution src-vjimc-1999-cat2-p1-official vjimc vjimc 1999 category ii p1, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc1999 with_solution vjimc 1999 category ii p1, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked naydite naimenshee tseloe chislo \\(k\\), takoe chto sredi lyubyh \\(k\\) razlichnyh pryamyh v \\(\\mathbb r^3\\) naydutsya libo tri poparno parallelnye pryamye, libo tri poparno peresekayuschiesya pryamye, libo tri poparno skreschivayuschiesya pryamye. stmt-graph devyat pryamyh v prostranstve i odnotipnaya troyka ai_checked vershiny polnogo grafa sootvetstvuyut razlichnym pryamym v \\(\\mathbb r^3\\), a kazhdoe rebro okrasheno odnim iz treh tsvetov: parallelnost, peresechenie ili skreschivanie sootvetstvuyuschey pary pryamyh. trebuetsya dokazat, chto vsyakaya takaya geometricheski realizuemaya raskraska na devyati vershinah soderzhit odnotsvetnyy treugolnik, a na vosmi vershinah suschestvuet geometricheski realizuemaya raskraska bez odnotsvetnogo treugolnika. complete_graph triangle idea-ramsey-reduction otnosheniya mezhdu pryamymi okrashivayut rebra polnogo grafa esli tri vershiny polnogo grafa obrazuyut odnotsvetnyy treugolnik, to sootvetstvuyuschie tri pryamye imeyut odin i tot zhe poparnyy tip vzaimnogo raspolozheniya. poetomu zadacha svoditsya k poisku vynuzhdennogo odnotsvetnogo treugolnika s uchetom geometricheskih ogranicheniy na tsveta. ramsey_theory coloring ai_checked idea-eight-line-example vosem pryamyh dayut nizhnyuyu otsenku ofitsialnaya konstruktsiya beret chetyre storony nizhney grani kuba i chetyre storony menshego kvadrata v parallelnoy verhney grani. v kazhdoy iz dvuh ploskostey lyubye dve pryamye libo parallelny, libo peresekayutsya, a pryamye iz raznyh ploskostey ne peresekayutsya; poetomu legko proverit otsutstvie vseh treh zapreschennyh troek. construction line_arrangements ai_checked idea-five-lines-lemma pyat poparno neparallelnyh pryamyh nelzya beznakazanno rasshirit dlya pyati poparno neparallelnyh pryamyh bez odnotipnoy troyki raskraska peresechenie/skreschivanie obyazana byt tsiklom \\(c_5\\) v kazhdom tsvete. shestaya pryamaya libo daet obychnyy \\(r(3,3)\\)-argument, libo parallelna odnoy iz pyati; posledniy sluchay zapreschaetsya geometriey dvuh ploskostey cherez parallelnye pryamye. ramsey_theory line_arrangements ai_checked sol-official-expanded reshenie cherez raskrasku polnogo grafa ai_checked pigeonhole_principle otvet: \\(k=9\\). snachala postroim primer iz vosmi pryamyh. vozmem kub \\(abcda'b'c'd'\\). pust \\(k,l,m,n\\) — serediny reber \\(a'b'\\), \\(b'c'\\), \\(c'd'\\), \\(d'a'\\) sootvetstvenno. rassmotrim vosem pryamyh \\(ab,bc,cd,da,kl,lm,mn,nk\\). pervye chetyre lezhat v nizhney grani kuba i obrazuyut storony kvadrata; poslednie chetyre lezhat v parallelnoy verhney grani i obrazuyut storony menshego kvadrata. v kazhdom iz etih dvuh kvadratov est rovno dve pary parallelnyh storon, poetomu treh poparno parallelnyh pryamyh net. tri poparno peresekayuschiesya pryamye tozhe nevozmozhny: esli vse tri lezhat v odnoy iz dvuh ploskostey, to sredi treh storon kvadrata naydetsya para protivopolozhnyh parallelnyh storon; esli zhe vybrany pryamye iz obeih ploskostey, to hotya by odna para lezhit v raznyh parallelnyh ploskostyah i ne peresekaetsya. nakonets, tri poparno skreschivayuschiesya pryamye nevozmozhny, potomu chto sredi treh vybrannyh…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2000-cat1-p4-red-blue-distances","title":"Красно-синие расстояния в правильном \\(2n\\)-угольнике, VJIMC 2000 Category I P4","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2000-cat1-p4-red-blue-distances.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2000-cat1-p4-red-blue-distances.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2000-cat1-p4-red-blue-distances","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2000 Category I P4, официальные условия и решения"],"year":"2000","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_symmetry","double_counting","coloring","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Циклический подсчёт по классам расстояний.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В правильном \\(2n\\)-угольнике произвольно выбрали \\(n\\) вершин и покрасили их в красный цвет; остальные \\(n\\) вершин покрашены в синий. Все расстояния между парами красных вершин выписали в неубывающем порядке; то же сделали для расстояний между парами синих вершин. Докажите, что полученные последовательности совпадают.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Красно-синие расстояния в правильном \\(2n\\)-угольнике","status":"ai_checked","text":"В цикле \\(C_{2n}\\) ровно \\(n\\) вершин окрашены в красный цвет, остальные — в синий. Для каждого циклического расстояния \\(m\\), \\(1\\le m\\le n\\), докажите, что число неупорядоченных пар красных вершин на расстоянии \\(m\\) равно числу неупорядоченных пар синих вершин на расстоянии \\(m\\).","definition_ids":["cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-distance-class-counting","title":"Подсчёт по каждому циклическому расстоянию","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Достаточно доказать равенство числа красно-красных и сине-синих пар для каждого фиксированного евклидова расстояния между вершинами правильного \\(2n\\)-угольника. Эти расстояния взаимно однозначно соответствуют циклическим шагам \\(m=1,2,\\ldots,n\\): хорда длины шага \\(m\\) строго растёт при \\(1\\le m\\le n\\). Зафиксируем шаг \\(m\\), \\(1\\le m<n\\). Соединим две вершины ребром, если между ними ровно \\(m\\) шагов по окружности. У каждой вершины в этом графе два соседа: на \\(m\\) шагов вперёд и на \\(m\\) шагов назад. Поэтому граф распадается на циклы, а его рёбра в точности соответствуют неупорядоченным парам вершин на циклическом расстоянии \\(m\\). Рассмотрим один такой цикл. Пусть на нём \\(r\\) красных и \\(b\\) синих вершин, а \\(c\\) - число рёбер с концами разных цветов. Если \\(R\\) - число красно-красных рёбер этого цикла, а \\(B\\) - число сине-синих, то подсчёт концов рёбер, инцидентных красным вершин…"}],"relations":[{"id":"rel-vjimc-2000-distances-imc-2013-necklace","neighbor_id":"imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vjimc-2000-cat1-p4-red-blue-distances красно-синие расстояния в правильном \\(2n\\)-угольнике, vjimc 2000 category i p4 graph_symmetry double_counting coloring goal_proof 2000 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j10solutions.pdf problem_and_solution src-vjimc-2000-cat1-p4-official vjimc vjimc 2000 category i p4, официальные условия и решения vjimc2000 with_solution ? vjimc 2000 category i p4, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked в правильном \\(2n\\)-угольнике произвольно выбрали \\(n\\) вершин и покрасили их в красный цвет; остальные \\(n\\) вершин покрашены в синий. все расстояния между парами красных вершин выписали в неубывающем порядке; то же сделали для расстояний между парами синих вершин. докажите, что полученные последовательности совпадают. stmt-graph красно-синие расстояния в правильном \\(2n\\)-угольнике ai_checked в цикле \\(c_{2n}\\) ровно \\(n\\) вершин окрашены в красный цвет, остальные — в синий. для каждого циклического расстояния \\(m\\), \\(1\\le m\\le n\\), докажите, что число неупорядоченных пар красных вершин на расстоянии \\(m\\) равно числу неупорядоченных пар синих вершин на расстоянии \\(m\\). cycle idea-step-cycles фиксированный шаг разбивает вершины на циклы если соединить вершины, отстоящие на \\(m\\) шагов, получится объединение циклов. на каждом таком цикле число переходов между цветами связывает число красно-красных и сине-синих соседних пар. graph_symmetry double_counting ai_checked sol-distance-class-counting подсчёт по каждому циклическому расстоянию ai_checked cycle double_counting достаточно доказать равенство числа красно-красных и сине-синих пар для каждого фиксированного евклидова расстояния между вершинами правильного \\(2n\\)-угольника. эти расстояния взаимно однозначно соответствуют циклическим шагам \\(m=1,2,\\ldots,n\\): хорда длины шага \\(m\\) строго растёт при \\(1\\le m\\le n\\). зафиксируем шаг \\(m\\), \\(1\\le m<n\\). соединим две вершины ребром, если между ними ровно \\(m\\) шагов по окружности. у каждой вершины в этом графе два соседа: на \\(m\\) шагов вперёд и на \\(m\\) шагов назад. поэтому граф распадается на циклы, а его рёбра в точности соответствуют неупорядоченным парам вершин на циклическом расстоянии \\(m\\). рассмотрим один такой цикл. пусть на нём \\(r\\) красных и \\(b\\) синих вершин, а \\(c\\) - число рёбер с концами разных цветов. если \\(r\\) - число красно-красных рёбер этого цикла, а \\(b\\) - число сине-синих, то подсчёт концов рёбер, инцидентных красным вершин… vjimc-2000-cat1-p4-red-blue-distances krasno-sinie rasstoyaniya v pravilnom \\(2n\\)-ugolnike, vjimc 2000 category i p4 graph_symmetry double_counting coloring goal_proof 2000 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j10solutions.pdf problem_and_solution src-vjimc-2000-cat1-p4-official vjimc vjimc 2000 category i p4, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2000 with_solution ? vjimc 2000 category i p4, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked v pravilnom \\(2n\\)-ugolnike proizvolno vybrali \\(n\\) vershin i pokrasili ih v krasnyy tsvet; ostalnye \\(n\\) vershin pokrasheny v siniy. vse rasstoyaniya mezhdu parami krasnyh vershin vypisali v neubyvayuschem poryadke; to zhe sdelali dlya rasstoyaniy mezhdu parami sinih vershin. dokazhite, chto poluchennye posledovatelnosti sovpadayut. stmt-graph krasno-sinie rasstoyaniya v pravilnom \\(2n\\)-ugolnike ai_checked v tsikle \\(c_{2n}\\) rovno \\(n\\) vershin okrasheny v krasnyy tsvet, ostalnye — v siniy. dlya kazhdogo tsiklicheskogo rasstoyaniya \\(m\\), \\(1\\le m\\le n\\), dokazhite, chto chislo neuporyadochennyh par krasnyh vershin na rasstoyanii \\(m\\) ravno chislu neuporyadochennyh par sinih vershin na rasstoyanii \\(m\\). cycle idea-step-cycles fiksirovannyy shag razbivaet vershiny na tsikly esli soedinit vershiny, otstoyaschie na \\(m\\) shagov, poluchitsya obedinenie tsiklov. na kazhdom takom tsikle chislo perehodov mezhdu tsvetami svyazyvaet chislo krasno-krasnyh i sine-sinih sosednih par. graph_symmetry double_counting ai_checked sol-distance-class-counting podschet po kazhdomu tsiklicheskomu rasstoyaniyu ai_checked cycle double_counting dostatochno dokazat ravenstvo chisla krasno-krasnyh i sine-sinih par dlya kazhdogo fiksirovannogo evklidova rasstoyaniya mezhdu vershinami pravilnogo \\(2n\\)-ugolnika. eti rasstoyaniya vzaimno odnoznachno sootvetstvuyut tsiklicheskim shagam \\(m=1,2,\\ldots,n\\): horda dliny shaga \\(m\\) strogo rastet pri \\(1\\le m\\le n\\). zafiksiruem shag \\(m\\), \\(1\\le m<n\\). soedinim dve vershiny rebrom, esli mezhdu nimi rovno \\(m\\) shagov po okruzhnosti. u kazhdoy vershiny v etom grafe dva soseda: na \\(m\\) shagov vpered i na \\(m\\) shagov nazad. poetomu graf raspadaetsya na tsikly, a ego rebra v tochnosti sootvetstvuyut neuporyadochennym param vershin na tsiklicheskom rasstoyanii \\(m\\). rassmotrim odin takoy tsikl. pust na nem \\(r\\) krasnyh i \\(b\\) sinih vershin, a \\(c\\) - chislo reber s kontsami raznyh tsvetov. esli \\(r\\) - chislo krasno-krasnyh reber etogo tsikla, a \\(b\\) - chislo sine-sinih, to podschet kontsov reber, intsidentnyh krasnym vershin…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle","title":"Циклическая последовательность со всеми словами длины \\(l\\), VJIMC 2000 Category II P2","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2000 Category II P2, официальные условия и решения"],"year":"2000","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","connectivity","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Классическая конструкция последовательностей де Брёйна через эйлеров цикл.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Последовательность \\(AAABABBB\\), записанная по окружности, содержит каждое слово длины \\(3\\) над алфавитом \\(\\{A,B\\}\\) ровно один раз. Решите, можно ли для алфавита из \\(k\\) букв записать по окружности такую последовательность, чтобы каждое слово длины \\(l\\) над этим алфавитом встречалось ровно один раз.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Циклическая последовательность со всеми словами длины \\(l\\)","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(k\\ge1\\) и \\(l\\ge2\\). В ориентированном графе де Брёйна, вершинами которого являются слова длины \\(l-1\\) над \\(k\\)-буквенным алфавитом, а ребро для слова \\(a_1\\ldots a_l\\) идёт из его префикса \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) в его суффикс \\(a_2\\ldots a_l\\), существует эйлеров цикл.","definition_ids":["directed_graph","eulerian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-de-bruijn-euler-cycle","title":"Эйлеров цикл в графе де Брёйна","status":"ai_checked","definition_ids":["eulerian_cycle","directed_graph","outdegree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: да. При \\(l=1\\) достаточно записать все \\(k\\) букв по одному разу. Пусть \\(l\\ge2\\). Построим ориентированный граф. Его вершинами будут все слова длины \\(l-1\\). Каждому слову \\(a_1\\ldots a_l\\) длины \\(l\\) сопоставим ребро из \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) в \\(a_2\\ldots a_l\\). Тогда пройти по ребру означает дописать последнюю букву. У каждой вершины ровно \\(k\\) исходящих рёбер и ровно \\(k\\) входящих: можно свободно выбрать дописываемую букву справа или слева. Граф сильно связен: чтобы перейти от \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) к \\(b_1\\ldots b_{l-1}\\), достаточно последовательно дописать \\(b_1,b_2,\\ldots,b_{l-1}\\). По критерию эйлерова цикла для конечного ориентированного графа, сильная связность вместе с равенством входящей и исходящей степеней в каждой вершине даёт эйлеров цикл. Запишем сначала слово, соответствующее стартовой вершине, а затем при каждом переходе по эйлерову циклу будем дописывать п…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-2023-c4-vjimc-2000-debruijn-eulerian-encoding","neighbor_id":"imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1990-vjimc-2000-euler","neighbor_id":"putnam-1990-b4-cayley-euler-tour","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vjimc-2000-debruijn-eulerian-criterion","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle циклическая последовательность со всеми словами длины \\(l\\), vjimc 2000 category ii p2 eulerian_graphs connectivity goal_construction 2000 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j10solutions.pdf problem_and_solution src-vjimc-2000-cat2-p2-official vjimc vjimc 2000 category ii p2, официальные условия и решения vjimc2000 with_solution ? vjimc 2000 category ii p2, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked последовательность \\(aaababbb\\), записанная по окружности, содержит каждое слово длины \\(3\\) над алфавитом \\(\\{a,b\\}\\) ровно один раз. решите, можно ли для алфавита из \\(k\\) букв записать по окружности такую последовательность, чтобы каждое слово длины \\(l\\) над этим алфавитом встречалось ровно один раз. stmt-graph циклическая последовательность со всеми словами длины \\(l\\) ai_checked пусть \\(k\\ge1\\) и \\(l\\ge2\\). в ориентированном графе де брёйна, вершинами которого являются слова длины \\(l-1\\) над \\(k\\)-буквенным алфавитом, а ребро для слова \\(a_1\\ldots a_l\\) идёт из его префикса \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) в его суффикс \\(a_2\\ldots a_l\\), существует эйлеров цикл. directed_graph eulerian_cycle idea-balanced-strongly-connected граф де брёйна сбалансирован и сильно связен из каждой вершины выходит \\(k\\) рёбер и входит \\(k\\) рёбер. кроме того, из любого слова длины \\(l-1\\) можно перейти к любому другому, последовательно дописывая его буквы. eulerian_graphs connectivity ai_checked sol-de-bruijn-euler-cycle эйлеров цикл в графе де брёйна ai_checked eulerian_cycle directed_graph outdegree ответ: да. при \\(l=1\\) достаточно записать все \\(k\\) букв по одному разу. пусть \\(l\\ge2\\). построим ориентированный граф. его вершинами будут все слова длины \\(l-1\\). каждому слову \\(a_1\\ldots a_l\\) длины \\(l\\) сопоставим ребро из \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) в \\(a_2\\ldots a_l\\). тогда пройти по ребру означает дописать последнюю букву. у каждой вершины ровно \\(k\\) исходящих рёбер и ровно \\(k\\) входящих: можно свободно выбрать дописываемую букву справа или слева. граф сильно связен: чтобы перейти от \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) к \\(b_1\\ldots b_{l-1}\\), достаточно последовательно дописать \\(b_1,b_2,\\ldots,b_{l-1}\\). по критерию эйлерова цикла для конечного ориентированного графа, сильная связность вместе с равенством входящей и исходящей степеней в каждой вершине даёт эйлеров цикл. запишем сначала слово, соответствующее стартовой вершине, а затем при каждом переходе по эйлерову циклу будем дописывать п… vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle tsiklicheskaya posledovatelnost so vsemi slovami dliny \\(l\\), vjimc 2000 category ii p2 eulerian_graphs connectivity goal_construction 2000 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j10solutions.pdf problem_and_solution src-vjimc-2000-cat2-p2-official vjimc vjimc 2000 category ii p2, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2000 with_solution ? vjimc 2000 category ii p2, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked posledovatelnost \\(aaababbb\\), zapisannaya po okruzhnosti, soderzhit kazhdoe slovo dliny \\(3\\) nad alfavitom \\(\\{a,b\\}\\) rovno odin raz. reshite, mozhno li dlya alfavita iz \\(k\\) bukv zapisat po okruzhnosti takuyu posledovatelnost, chtoby kazhdoe slovo dliny \\(l\\) nad etim alfavitom vstrechalos rovno odin raz. stmt-graph tsiklicheskaya posledovatelnost so vsemi slovami dliny \\(l\\) ai_checked pust \\(k\\ge1\\) i \\(l\\ge2\\). v orientirovannom grafe de breyna, vershinami kotorogo yavlyayutsya slova dliny \\(l-1\\) nad \\(k\\)-bukvennym alfavitom, a rebro dlya slova \\(a_1\\ldots a_l\\) idet iz ego prefiksa \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) v ego suffiks \\(a_2\\ldots a_l\\), suschestvuet eylerov tsikl. directed_graph eulerian_cycle idea-balanced-strongly-connected graf de breyna sbalansirovan i silno svyazen iz kazhdoy vershiny vyhodit \\(k\\) reber i vhodit \\(k\\) reber. krome togo, iz lyubogo slova dliny \\(l-1\\) mozhno pereyti k lyubomu drugomu, posledovatelno dopisyvaya ego bukvy. eulerian_graphs connectivity ai_checked sol-de-bruijn-euler-cycle eylerov tsikl v grafe de breyna ai_checked eulerian_cycle directed_graph outdegree otvet: da. pri \\(l=1\\) dostatochno zapisat vse \\(k\\) bukv po odnomu razu. pust \\(l\\ge2\\). postroim orientirovannyy graf. ego vershinami budut vse slova dliny \\(l-1\\). kazhdomu slovu \\(a_1\\ldots a_l\\) dliny \\(l\\) sopostavim rebro iz \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) v \\(a_2\\ldots a_l\\). togda proyti po rebru oznachaet dopisat poslednyuyu bukvu. u kazhdoy vershiny rovno \\(k\\) ishodyaschih reber i rovno \\(k\\) vhodyaschih: mozhno svobodno vybrat dopisyvaemuyu bukvu sprava ili sleva. graf silno svyazen: chtoby pereyti ot \\(a_1\\ldots a_{l-1}\\) k \\(b_1\\ldots b_{l-1}\\), dostatochno posledovatelno dopisat \\(b_1,b_2,\\ldots,b_{l-1}\\). po kriteriyu eylerova tsikla dlya konechnogo orientirovannogo grafa, silnaya svyaznost vmeste s ravenstvom vhodyaschey i ishodyaschey stepeney v kazhdoy vershine daet eylerov tsikl. zapishem snachala slovo, sootvetstvuyuschee startovoy vershine, a zatem pri kazhdom perehode po eylerovu tsiklu budem dopisyvat p…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2005-cat2-p2-weighted-cut-half","title":"Разрез веса не меньше половины полной суммы, VJIMC 2005 Category II P2","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2005-cat2-p2-weighted-cut-half.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2005-cat2-p2-weighted-cut-half.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2005-cat2-p2-weighted-cut-half","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2005 Category II P2, официальные условия и решения"],"year":"2005","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_choice","graph_cut","goal_existence","graph_model"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Стандартный максимальный разрез с локальными неравенствами.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Пусть \\((a_{i,j})_{i,j=1}^n\\) - вещественная матрица, причём \\(a_{i,i}=0\\) для всех \\(i\\). Докажите, что существует множество индексов \\(J\\subset\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), для которого \\[ \\sum_{i\\in J,\\ j\\notin J}a_{i,j}+\\sum_{i\\notin J,\\ j\\in J}a_{i,j}\\ge \\frac12\\sum_{i,j=1}^n a_{i,j}. \\]","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разрез веса не меньше половины полной суммы","status":"ai_checked","text":"В полном ориентированном графе без петель каждой дуге \\(i\\to j\\) приписан вещественный вес \\(a_{i,j}\\). Докажите, что вершины можно разбить на две части так, чтобы суммарный вес дуг, идущих между частями в обе стороны, был не меньше половины суммарного веса всех дуг.","definition_ids":["directed_graph","graph_cut"]}]},"solutions":[{"id":"sol-maximal-cut","title":"Максимальный разрез и перенос одной вершины","status":"ai_checked","definition_ids":["graph_cut"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для \\(I\\subset\\{1,\\ldots,n\\}\\) обозначим через \\(F(I)\\) сумму всех элементов матрицы, стоящих по разные стороны разреза: \\[ F(I)=\\sum_{i\\in I,j\\notin I}a_{i,j}+\\sum_{i\\notin I,j\\in I}a_{i,j}. \\] Таких множеств \\(I\\) конечное число, поэтому можно выбрать множество \\(J\\), на котором \\(F\\) максимально. Пусть \\(k\\in J\\). Если удалить \\(k\\) из \\(J\\), значение \\(F\\) не возрастёт. Поэтому \\[ 0\\le F(J)-F(J\\setminus\\{k\\})=\\sum_{j\\notin J}a_{k,j}+\\sum_{i\\notin J}a_{i,k}-\\sum_{j\\in J}a_{k,j}-\\sum_{i\\in J}a_{i,k}. \\] Просуммируем эти неравенства по всем \\(k\\in J\\). Слагаемые, отвечающие парам по разные стороны разреза, вместе дают ровно \\(F(J)\\). Каждое слагаемое \\(a_{i,j}\\) с \\(i,j\\in J\\) появляется дважды: один раз при \\(k=i\\) и один раз при \\(k=j\\). Так как \\(a_{i,i}=0\\), диагональ ничего не добавляет. Значит, \\[ 0\\le F(J)-2\\sum_{i\\in J,j\\in J}a_{i,j}, \\] то есть \\[ \\sum_{i\\in J,j\\in J}a_{i,j}\\l…"}],"relations":[{"id":"rel-vjimc-2005-weighted-cut-one-swap-exchange","neighbor_id":"minimal-half-subset-exchange-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2005-weighted-cut-graph-cut","neighbor_id":"cmo-2023-p5-cut-bound-independent-set","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vjimc-2005-cat2-p2-weighted-cut-half разрез веса не меньше половины полной суммы, vjimc 2005 category ii p2 extremal_choice graph_cut goal_existence graph_model 2005 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j15solutions.pdf problem_and_solution src-vjimc-2005-cat2-p2-official vjimc vjimc 2005 category ii p2, официальные условия и решения vjimc2005 with_solution ? vjimc 2005 category ii p2, официальные условия и решения stmt-original условие source_verified пусть \\((a_{i,j})_{i,j=1}^n\\) - вещественная матрица, причём \\(a_{i,i}=0\\) для всех \\(i\\). докажите, что существует множество индексов \\(j\\subset\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), для которого \\[ \\sum_{i\\in j,\\ j\\notin j}a_{i,j}+\\sum_{i\\notin j,\\ j\\in j}a_{i,j}\\ge \\frac12\\sum_{i,j=1}^n a_{i,j}. \\] stmt-graph разрез веса не меньше половины полной суммы ai_checked в полном ориентированном графе без петель каждой дуге \\(i\\to j\\) приписан вещественный вес \\(a_{i,j}\\). докажите, что вершины можно разбить на две части так, чтобы суммарный вес дуг, идущих между частями в обе стороны, был не меньше половины суммарного веса всех дуг. directed_graph graph_cut idea-maximal-cut-local-optimum берём разрез максимального веса если перенести одну вершину через максимальный разрез, вес не может увеличиться. эти локальные неравенства для всех вершин дают оценки на веса внутри обеих частей. extremal_choice ai_checked sol-maximal-cut максимальный разрез и перенос одной вершины ai_checked graph_cut extremal_choice для \\(i\\subset\\{1,\\ldots,n\\}\\) обозначим через \\(f(i)\\) сумму всех элементов матрицы, стоящих по разные стороны разреза: \\[ f(i)=\\sum_{i\\in i,j\\notin i}a_{i,j}+\\sum_{i\\notin i,j\\in i}a_{i,j}. \\] таких множеств \\(i\\) конечное число, поэтому можно выбрать множество \\(j\\), на котором \\(f\\) максимально. пусть \\(k\\in j\\). если удалить \\(k\\) из \\(j\\), значение \\(f\\) не возрастёт. поэтому \\[ 0\\le f(j)-f(j\\setminus\\{k\\})=\\sum_{j\\notin j}a_{k,j}+\\sum_{i\\notin j}a_{i,k}-\\sum_{j\\in j}a_{k,j}-\\sum_{i\\in j}a_{i,k}. \\] просуммируем эти неравенства по всем \\(k\\in j\\). слагаемые, отвечающие парам по разные стороны разреза, вместе дают ровно \\(f(j)\\). каждое слагаемое \\(a_{i,j}\\) с \\(i,j\\in j\\) появляется дважды: один раз при \\(k=i\\) и один раз при \\(k=j\\). так как \\(a_{i,i}=0\\), диагональ ничего не добавляет. значит, \\[ 0\\le f(j)-2\\sum_{i\\in j,j\\in j}a_{i,j}, \\] то есть \\[ \\sum_{i\\in j,j\\in j}a_{i,j}\\l… vjimc-2005-cat2-p2-weighted-cut-half razrez vesa ne menshe poloviny polnoy summy, vjimc 2005 category ii p2 extremal_choice graph_cut goal_existence graph_model 2005 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j15solutions.pdf problem_and_solution src-vjimc-2005-cat2-p2-official vjimc vjimc 2005 category ii p2, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2005 with_solution ? vjimc 2005 category ii p2, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie source_verified pust \\((a_{i,j})_{i,j=1}^n\\) - veschestvennaya matritsa, prichem \\(a_{i,i}=0\\) dlya vseh \\(i\\). dokazhite, chto suschestvuet mnozhestvo indeksov \\(j\\subset\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), dlya kotorogo \\[ \\sum_{i\\in j,\\ j\\notin j}a_{i,j}+\\sum_{i\\notin j,\\ j\\in j}a_{i,j}\\ge \\frac12\\sum_{i,j=1}^n a_{i,j}. \\] stmt-graph razrez vesa ne menshe poloviny polnoy summy ai_checked v polnom orientirovannom grafe bez petel kazhdoy duge \\(i\\to j\\) pripisan veschestvennyy ves \\(a_{i,j}\\). dokazhite, chto vershiny mozhno razbit na dve chasti tak, chtoby summarnyy ves dug, iduschih mezhdu chastyami v obe storony, byl ne menshe poloviny summarnogo vesa vseh dug. directed_graph graph_cut idea-maximal-cut-local-optimum berem razrez maksimalnogo vesa esli perenesti odnu vershinu cherez maksimalnyy razrez, ves ne mozhet uvelichitsya. eti lokalnye neravenstva dlya vseh vershin dayut otsenki na vesa vnutri obeih chastey. extremal_choice ai_checked sol-maximal-cut maksimalnyy razrez i perenos odnoy vershiny ai_checked graph_cut extremal_choice dlya \\(i\\subset\\{1,\\ldots,n\\}\\) oboznachim cherez \\(f(i)\\) summu vseh elementov matritsy, stoyaschih po raznye storony razreza: \\[ f(i)=\\sum_{i\\in i,j\\notin i}a_{i,j}+\\sum_{i\\notin i,j\\in i}a_{i,j}. \\] takih mnozhestv \\(i\\) konechnoe chislo, poetomu mozhno vybrat mnozhestvo \\(j\\), na kotorom \\(f\\) maksimalno. pust \\(k\\in j\\). esli udalit \\(k\\) iz \\(j\\), znachenie \\(f\\) ne vozrastet. poetomu \\[ 0\\le f(j)-f(j\\setminus\\{k\\})=\\sum_{j\\notin j}a_{k,j}+\\sum_{i\\notin j}a_{i,k}-\\sum_{j\\in j}a_{k,j}-\\sum_{i\\in j}a_{i,k}. \\] prosummiruem eti neravenstva po vsem \\(k\\in j\\). slagaemye, otvechayuschie param po raznye storony razreza, vmeste dayut rovno \\(f(j)\\). kazhdoe slagaemoe \\(a_{i,j}\\) s \\(i,j\\in j\\) poyavlyaetsya dvazhdy: odin raz pri \\(k=i\\) i odin raz pri \\(k=j\\). tak kak \\(a_{i,i}=0\\), diagonal nichego ne dobavlyaet. znachit, \\[ 0\\le f(j)-2\\sum_{i\\in j,j\\in j}a_{i,j}, \\] to est \\[ \\sum_{i\\in j,j\\in j}a_{i,j}\\l…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2007-cat1-p2-key-ring-distinguishing-coloring","title":"Раскраска кольца ключей, различающая повороты и отражения, VJIMC 2007 Category I P2","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2007-cat1-p2-key-ring-distinguishing-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2007-cat1-p2-key-ring-distinguishing-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2007-cat1-p2-key-ring-distinguishing-coloring","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2007 Category I P2, официальные условия и решения"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_symmetry","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Короткая задача на различающую раскраску цикла; основная работа - малые случаи и асимметричная конструкция для больших n.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"У Алисы есть круглое кольцо с \\(n\\) ключами, \\(n\\ge 3\\). Когда она достает его из кармана, она не знает, было ли кольцо повернуто и/или перевернуто. Единственный способ различать ключи - раскрасить каждый ключ в некоторый цвет. Каково минимальное число цветов, необходимое для этого?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-cycle","title":"Раскраска кольца ключей, различающая повороты и отражения","status":"ai_checked","text":"Найдите минимальное число цветов в раскраске вершин цикла \\(C_n\\), \\(n\\ge 3\\), при которой единственный автоморфизм цикла, сохраняющий цвета всех вершин, является тождественным. Иначе говоря, требуется различающая раскраска цикла относительно диэдральной группы.","definition_ids":["cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Различающие раскраски циклов","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(3\\) цвета при \\(n=3,4,5\\) и \\(2\\) цвета при \\(n\\ge 6\\). Один цвет невозможен при любом \\(n\\ge3\\), потому что все ключи тогда выглядят одинаково. Докажем, что для \\(n=3,4,5\\) двух цветов тоже мало. Для двуцветной раскраски достаточно рассмотреть множество вершин одного цвета; если оно больше половины цикла, поменяем названия цветов и рассмотрим дополнительное множество. Поэтому можно считать, что отмеченных вершин не больше \\(\\lfloor n/2\\rfloor\\). При \\(n=3\\) отмеченное множество либо пусто, либо состоит из одной вершины; в обоих случаях есть отражение, сохраняющее раскраску. При \\(n=4\\) отмеченных вершин \\(0,1\\) или \\(2\\). Для \\(0\\) или \\(1\\) отмеченной вершины снова есть отражение, а две отмеченные вершины либо соседние, либо противоположные; в первом случае раскраску сохраняет отражение через середины двух противоположных ребер, во втором - поворот на \\(180^\\circ\\). При \\(n=5…"}],"relations":[{"id":"rel-vjimc-2007-key-ring-cycle-symmetry","neighbor_id":"imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vjimc-2007-cat1-p2-key-ring-distinguishing-coloring раскраска кольца ключей, различающая повороты и отражения, vjimc 2007 category i p2 coloring graph_symmetry construction goal_exact_bound 2007 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j17solutions1.pdf problem_and_solution src-vjimc-2007-cat1-p2-official vjimc vjimc 2007 category i p2, официальные условия и решения vjimc2007 with_solution ? vjimc 2007 category i p2, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked у алисы есть круглое кольцо с \\(n\\) ключами, \\(n\\ge 3\\). когда она достает его из кармана, она не знает, было ли кольцо повернуто и/или перевернуто. единственный способ различать ключи - раскрасить каждый ключ в некоторый цвет. каково минимальное число цветов, необходимое для этого? stmt-cycle раскраска кольца ключей, различающая повороты и отражения ai_checked найдите минимальное число цветов в раскраске вершин цикла \\(c_n\\), \\(n\\ge 3\\), при которой единственный автоморфизм цикла, сохраняющий цвета всех вершин, является тождественным. иначе говоря, требуется различающая раскраска цикла относительно диэдральной группы. cycle idea-small-cycles-have-binary-symmetry малые циклы не имеют асимметричной двуцветной раскраски для \\(n=3,4,5\\) любая раскраска цикла двумя цветами допускает нетривиальный поворот или отражение, сохраняющие цвета. достаточно смотреть на меньший цветовой класс: в треугольнике он пуст или состоит из одной вершины; в квадрате две отмеченные вершины либо соседние, либо противоположные; в пятиугольнике две отмеченные вершины также лежат на расстоянии \\(1\\) или \\(2\\). во всех этих случаях есть нетривиальная симметрия, сохраняющая отмеченное множество. graph_symmetry coloring ai_checked idea-isolated-vertex-and-marked-edge изолированная отмеченная вершина и отмеченное ребро фиксируют цикл при \\(n\\ge 6\\) достаточно отметить одним цветом вершину \\(v_1\\) и соседние вершины \\(v_{n-2},v_{n-1}\\), а остальные вершины покрасить вторым цветом. одна отмеченная вершина изолирована среди отмеченных, а две другие образуют отмеченное ребро; расстояния от изолированной вершины различают концы этого ребра и затем все остальные вершины. construction graph_symmetry ai_checked sol-official-expanded различающие раскраски циклов ai_checked cycle ответ: \\(3\\) цвета при \\(n=3,4,5\\) и \\(2\\) цвета при \\(n\\ge 6\\). один цвет невозможен при любом \\(n\\ge3\\), потому что все ключи тогда выглядят одинаково. докажем, что для \\(n=3,4,5\\) двух цветов тоже мало. для двуцветной раскраски достаточно рассмотреть множество вершин одного цвета; если оно больше половины цикла, поменяем названия цветов и рассмотрим дополнительное множество. поэтому можно считать, что отмеченных вершин не больше \\(\\lfloor n/2\\rfloor\\). при \\(n=3\\) отмеченное множество либо пусто, либо состоит из одной вершины; в обоих случаях есть отражение, сохраняющее раскраску. при \\(n=4\\) отмеченных вершин \\(0,1\\) или \\(2\\). для \\(0\\) или \\(1\\) отмеченной вершины снова есть отражение, а две отмеченные вершины либо соседние, либо противоположные; в первом случае раскраску сохраняет отражение через середины двух противоположных ребер, во втором - поворот на \\(180^\\circ\\). при \\(n=5… vjimc-2007-cat1-p2-key-ring-distinguishing-coloring raskraska koltsa klyuchey, razlichayuschaya povoroty i otrazheniya, vjimc 2007 category i p2 coloring graph_symmetry construction goal_exact_bound 2007 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j17solutions1.pdf problem_and_solution src-vjimc-2007-cat1-p2-official vjimc vjimc 2007 category i p2, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2007 with_solution ? vjimc 2007 category i p2, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked u alisy est krugloe koltso s \\(n\\) klyuchami, \\(n\\ge 3\\). kogda ona dostaet ego iz karmana, ona ne znaet, bylo li koltso povernuto i/ili perevernuto. edinstvennyy sposob razlichat klyuchi - raskrasit kazhdyy klyuch v nekotoryy tsvet. kakovo minimalnoe chislo tsvetov, neobhodimoe dlya etogo? stmt-cycle raskraska koltsa klyuchey, razlichayuschaya povoroty i otrazheniya ai_checked naydite minimalnoe chislo tsvetov v raskraske vershin tsikla \\(c_n\\), \\(n\\ge 3\\), pri kotoroy edinstvennyy avtomorfizm tsikla, sohranyayuschiy tsveta vseh vershin, yavlyaetsya tozhdestvennym. inache govorya, trebuetsya razlichayuschaya raskraska tsikla otnositelno diedralnoy gruppy. cycle idea-small-cycles-have-binary-symmetry malye tsikly ne imeyut asimmetrichnoy dvutsvetnoy raskraski dlya \\(n=3,4,5\\) lyubaya raskraska tsikla dvumya tsvetami dopuskaet netrivialnyy povorot ili otrazhenie, sohranyayuschie tsveta. dostatochno smotret na menshiy tsvetovoy klass: v treugolnike on pust ili sostoit iz odnoy vershiny; v kvadrate dve otmechennye vershiny libo sosednie, libo protivopolozhnye; v pyatiugolnike dve otmechennye vershiny takzhe lezhat na rasstoyanii \\(1\\) ili \\(2\\). vo vseh etih sluchayah est netrivialnaya simmetriya, sohranyayuschaya otmechennoe mnozhestvo. graph_symmetry coloring ai_checked idea-isolated-vertex-and-marked-edge izolirovannaya otmechennaya vershina i otmechennoe rebro fiksiruyut tsikl pri \\(n\\ge 6\\) dostatochno otmetit odnim tsvetom vershinu \\(v_1\\) i sosednie vershiny \\(v_{n-2},v_{n-1}\\), a ostalnye vershiny pokrasit vtorym tsvetom. odna otmechennaya vershina izolirovana sredi otmechennyh, a dve drugie obrazuyut otmechennoe rebro; rasstoyaniya ot izolirovannoy vershiny razlichayut kontsy etogo rebra i zatem vse ostalnye vershiny. construction graph_symmetry ai_checked sol-official-expanded razlichayuschie raskraski tsiklov ai_checked cycle otvet: \\(3\\) tsveta pri \\(n=3,4,5\\) i \\(2\\) tsveta pri \\(n\\ge 6\\). odin tsvet nevozmozhen pri lyubom \\(n\\ge3\\), potomu chto vse klyuchi togda vyglyadyat odinakovo. dokazhem, chto dlya \\(n=3,4,5\\) dvuh tsvetov tozhe malo. dlya dvutsvetnoy raskraski dostatochno rassmotret mnozhestvo vershin odnogo tsveta; esli ono bolshe poloviny tsikla, pomenyaem nazvaniya tsvetov i rassmotrim dopolnitelnoe mnozhestvo. poetomu mozhno schitat, chto otmechennyh vershin ne bolshe \\(\\lfloor n/2\\rfloor\\). pri \\(n=3\\) otmechennoe mnozhestvo libo pusto, libo sostoit iz odnoy vershiny; v oboih sluchayah est otrazhenie, sohranyayuschee raskrasku. pri \\(n=4\\) otmechennyh vershin \\(0,1\\) ili \\(2\\). dlya \\(0\\) ili \\(1\\) otmechennoy vershiny snova est otrazhenie, a dve otmechennye vershiny libo sosednie, libo protivopolozhnye; v pervom sluchae raskrasku sohranyaet otrazhenie cherez serediny dvuh protivopolozhnyh reber, vo vtorom - povorot na \\(180^\\circ\\). pri \\(n=5…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2009-cat1-p3-partial-hypergraph-bicoloring","title":"Частичная двуцветная раскраска семейства гиперрёбер, VJIMC 2009 Category I P3","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2009-cat1-p3-partial-hypergraph-bicoloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2009-cat1-p3-partial-hypergraph-bicoloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2009-cat1-p3-partial-hypergraph-bicoloring","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2009 Category I P3, официальные условия и решения"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Короткая задача на один линейно-алгебраический ход: из-за \\(k<n\\) у матрицы инцидентности есть ненулевой вектор в ядре, а его знаки сразу дают частичную раскраску.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(k\\) и \\(n\\) - положительные целые числа, причём \\(k\\le n-1\\). Пусть \\(S=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), а \\(A_1,A_2,\\ldots,A_k\\) - непустые подмножества \\(S\\). Докажите, что можно раскрасить некоторые элементы \\(S\\) в два цвета, красный и синий, так, чтобы выполнялись условия: каждый элемент \\(S\\) либо не раскрашен, либо раскрашен в красный или синий цвет; хотя бы один элемент \\(S\\) раскрашен; каждое множество \\(A_i\\) либо полностью не раскрашено, либо содержит хотя бы один красный и хотя бы один синий элемент.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-hypergraph","title":"Гиперграфовая формулировка","status":"ai_checked","text":"Пусть на множестве из \\(n\\) вершин задано семейство \\(A_1,\\ldots,A_k\\) непустых гиперрёбер, где \\(k\\le n-1\\); одинаковые гиперрёбра допускаются, поскольку исходная задача задаёт именно список подмножеств. Докажите, что существует нетривиальная частичная раскраска вершин в два цвета такая, что каждое гиперребро либо не содержит раскрашенных вершин, либо содержит вершины обоих цветов.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Решение через ядро матрицы инцидентности","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Занумеруем элементы \\(S\\) числами \\(1,2,\\ldots,n\\) и рассмотрим вещественные неизвестные \\(x_1,\\ldots,x_n\\). Для каждого множества \\(A_i\\) запишем одно линейное уравнение \\[ \\sum_{j\\in A_i} x_j=0,\\qquad i=1,2,\\ldots,k. \\] Иначе говоря, берётся матрица инцидентности этого семейства множеств: в \\(i\\)-й строке стоят единицы на позициях \\(j\\in A_i\\) и нули на остальных позициях. Нам нужен ненулевой вектор \\(x\\), лежащий в ядре этой матрицы. Докажем, что такой вектор существует. Ранг матрицы не превосходит числа её строк, то есть не больше \\(k\\). По условию \\(k\\le n-1\\), значит \\(k<n\\), и размерность ядра равна \\(n-\\operatorname{rank} M\\ge n-k>0\\). Следовательно, существует решение \\((x_1,\\ldots,x_n)\\), не равное нулевому вектору. В частности, хотя бы одна координата этого решения отлична от нуля. Теперь построим частичную раскраску по знакам координат. Если \\(x_j>0\\), красим элемент \\(j\\) в…"}],"relations":[{"id":"rel-vjimc-2009-hypergraph-linear-algebra-pair","neighbor_id":"vjimc-2009-cat2-p4-transversal-hypergraph-polynomial-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2009-partial-hypergraph-imc-1997","neighbor_id":"imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vjimc-2009-cat1-p3-partial-hypergraph-bicoloring частичная двуцветная раскраска семейства гиперрёбер, vjimc 2009 category i p3 coloring graph_model goal_existence 2009 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j19solutions1.pdf problem_and_solution src-vjimc-2009-cat1-p3-official vjimc vjimc 2009 category i p3, официальные условия и решения vjimc2009 with_solution ? vjimc 2009 category i p3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(k\\) и \\(n\\) - положительные целые числа, причём \\(k\\le n-1\\). пусть \\(s=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), а \\(a_1,a_2,\\ldots,a_k\\) - непустые подмножества \\(s\\). докажите, что можно раскрасить некоторые элементы \\(s\\) в два цвета, красный и синий, так, чтобы выполнялись условия: каждый элемент \\(s\\) либо не раскрашен, либо раскрашен в красный или синий цвет; хотя бы один элемент \\(s\\) раскрашен; каждое множество \\(a_i\\) либо полностью не раскрашено, либо содержит хотя бы один красный и хотя бы один синий элемент. stmt-hypergraph гиперграфовая формулировка ai_checked пусть на множестве из \\(n\\) вершин задано семейство \\(a_1,\\ldots,a_k\\) непустых гиперрёбер, где \\(k\\le n-1\\); одинаковые гиперрёбра допускаются, поскольку исходная задача задаёт именно список подмножеств. докажите, что существует нетривиальная частичная раскраска вершин в два цвета такая, что каждое гиперребро либо не содержит раскрашенных вершин, либо содержит вершины обоих цветов. idea-nullspace-vector ненулевой вектор в ядре матрицы инцидентности запишем для каждого множества \\(a_i\\) уравнение \\(\\sum_{j\\in a_i}x_j=0\\). это однородная система из \\(k<n\\) линейных уравнений с \\(n\\) неизвестными, поэтому по теореме о ранге и размерности ядра у неё есть ненулевое вещественное решение. graph_model ai_checked idea-signs-give-bicoloring знаки координат дают нужную частичную раскраску положительные координаты красим в красный цвет, отрицательные - в синий, нулевые оставляем нераскрашенными. нулевая сумма на каждом гиперребре запрещает ситуацию, когда среди его раскрашенных вершин есть только один цвет. coloring ai_checked sol-official-expanded решение через ядро матрицы инцидентности ai_checked занумеруем элементы \\(s\\) числами \\(1,2,\\ldots,n\\) и рассмотрим вещественные неизвестные \\(x_1,\\ldots,x_n\\). для каждого множества \\(a_i\\) запишем одно линейное уравнение \\[ \\sum_{j\\in a_i} x_j=0,\\qquad i=1,2,\\ldots,k. \\] иначе говоря, берётся матрица инцидентности этого семейства множеств: в \\(i\\)-й строке стоят единицы на позициях \\(j\\in a_i\\) и нули на остальных позициях. нам нужен ненулевой вектор \\(x\\), лежащий в ядре этой матрицы. докажем, что такой вектор существует. ранг матрицы не превосходит числа её строк, то есть не больше \\(k\\). по условию \\(k\\le n-1\\), значит \\(k<n\\), и размерность ядра равна \\(n-\\operatorname{rank} m\\ge n-k>0\\). следовательно, существует решение \\((x_1,\\ldots,x_n)\\), не равное нулевому вектору. в частности, хотя бы одна координата этого решения отлична от нуля. теперь построим частичную раскраску по знакам координат. если \\(x_j>0\\), красим элемент \\(j\\) в… vjimc-2009-cat1-p3-partial-hypergraph-bicoloring chastichnaya dvutsvetnaya raskraska semeystva giperreber, vjimc 2009 category i p3 coloring graph_model goal_existence 2009 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j19solutions1.pdf problem_and_solution src-vjimc-2009-cat1-p3-official vjimc vjimc 2009 category i p3, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2009 with_solution ? vjimc 2009 category i p3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(k\\) i \\(n\\) - polozhitelnye tselye chisla, prichem \\(k\\le n-1\\). pust \\(s=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), a \\(a_1,a_2,\\ldots,a_k\\) - nepustye podmnozhestva \\(s\\). dokazhite, chto mozhno raskrasit nekotorye elementy \\(s\\) v dva tsveta, krasnyy i siniy, tak, chtoby vypolnyalis usloviya: kazhdyy element \\(s\\) libo ne raskrashen, libo raskrashen v krasnyy ili siniy tsvet; hotya by odin element \\(s\\) raskrashen; kazhdoe mnozhestvo \\(a_i\\) libo polnostyu ne raskrasheno, libo soderzhit hotya by odin krasnyy i hotya by odin siniy element. stmt-hypergraph gipergrafovaya formulirovka ai_checked pust na mnozhestve iz \\(n\\) vershin zadano semeystvo \\(a_1,\\ldots,a_k\\) nepustyh giperreber, gde \\(k\\le n-1\\); odinakovye giperrebra dopuskayutsya, poskolku ishodnaya zadacha zadaet imenno spisok podmnozhestv. dokazhite, chto suschestvuet netrivialnaya chastichnaya raskraska vershin v dva tsveta takaya, chto kazhdoe giperrebro libo ne soderzhit raskrashennyh vershin, libo soderzhit vershiny oboih tsvetov. idea-nullspace-vector nenulevoy vektor v yadre matritsy intsidentnosti zapishem dlya kazhdogo mnozhestva \\(a_i\\) uravnenie \\(\\sum_{j\\in a_i}x_j=0\\). eto odnorodnaya sistema iz \\(k<n\\) lineynyh uravneniy s \\(n\\) neizvestnymi, poetomu po teoreme o range i razmernosti yadra u nee est nenulevoe veschestvennoe reshenie. graph_model ai_checked idea-signs-give-bicoloring znaki koordinat dayut nuzhnuyu chastichnuyu raskrasku polozhitelnye koordinaty krasim v krasnyy tsvet, otritsatelnye - v siniy, nulevye ostavlyaem neraskrashennymi. nulevaya summa na kazhdom giperrebre zapreschaet situatsiyu, kogda sredi ego raskrashennyh vershin est tolko odin tsvet. coloring ai_checked sol-official-expanded reshenie cherez yadro matritsy intsidentnosti ai_checked zanumeruem elementy \\(s\\) chislami \\(1,2,\\ldots,n\\) i rassmotrim veschestvennye neizvestnye \\(x_1,\\ldots,x_n\\). dlya kazhdogo mnozhestva \\(a_i\\) zapishem odno lineynoe uravnenie \\[ \\sum_{j\\in a_i} x_j=0,\\qquad i=1,2,\\ldots,k. \\] inache govorya, beretsya matritsa intsidentnosti etogo semeystva mnozhestv: v \\(i\\)-y stroke stoyat edinitsy na pozitsiyah \\(j\\in a_i\\) i nuli na ostalnyh pozitsiyah. nam nuzhen nenulevoy vektor \\(x\\), lezhaschiy v yadre etoy matritsy. dokazhem, chto takoy vektor suschestvuet. rang matritsy ne prevoshodit chisla ee strok, to est ne bolshe \\(k\\). po usloviyu \\(k\\le n-1\\), znachit \\(k<n\\), i razmernost yadra ravna \\(n-\\operatorname{rank} m\\ge n-k>0\\). sledovatelno, suschestvuet reshenie \\((x_1,\\ldots,x_n)\\), ne ravnoe nulevomu vektoru. v chastnosti, hotya by odna koordinata etogo resheniya otlichna ot nulya. teper postroim chastichnuyu raskrasku po znakam koordinat. esli \\(x_j>0\\), krasim element \\(j\\) v…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2009-cat2-p4-transversal-hypergraph-polynomial-bound","title":"Оценка числа рёбер гиперграфа через разделяющие разбиения, VJIMC 2009 Category II P4","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2009-cat2-p4-transversal-hypergraph-polynomial-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2009-cat2-p4-transversal-hypergraph-polynomial-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2009-cat2-p4-transversal-hypergraph-polynomial-bound","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2009 Category II P4, официальные условия и решения"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","graph_model","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Содержательная экстремальная задача VJIMC Category II: ключевой шаг - полиномиальный метод с квадратсвободными многочленами и матрицей значений по модулю 2.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(k,m,n\\) - положительные целые числа, \\(1\\le m\\le n\\), и \\(S=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). Пусть \\(A_1,A_2,…,A_k\\) - \\(m\\)-элементные подмножества \\(S\\) со следующим свойством: для каждого \\(i=1,…,k\\) существует разбиение \\(S=S_{1,i}\\cup S_{2,i}\\cup\\cdots\\cup S_{m,i}\\) на попарно непересекающиеся части такое, что \\(A_i\\) имеет ровно один общий элемент с каждой частью этого разбиения, а каждое \\(A_j\\), \\(j\\ne i\\), не пересекается хотя бы с одной частью этого разбиения. Докажите, что \\(k\\le \\binom{n-1}{m-1}\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-hypergraph","title":"Гиперграфовая формулировка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(H\\) — \\(m\\)-равномерный гиперграф на множестве вершин \\(S\\), \\(|S|=n\\), с рёбрами \\(A_1,…,A_k\\). Для каждого ребра \\(A_i\\) задано разбиение вершин на \\(m\\) частей, для которого \\(A_i\\) является трансверсалью, а любое другое ребро пропускает хотя бы одну часть. Докажите, что число рёбер не превосходит \\(\\binom{n-1}{m-1}\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Полиномиальный метод и линейная независимость","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала разберём крайний случай \\(m=1\\). Тогда единственное возможное разбиение состоит из одной части \\(S\\). Если бы при фиксированном \\(i\\) существовало другое множество \\(A_j\\), то по условию оно должно было бы не пересекаться с этой единственной частью, то есть с самим \\(S\\), что невозможно, так как \\(A_j\\) непусто. Значит, \\(k=1=\\binom{n-1}{0}\\), и требуемая оценка верна. Далее считаем, что \\(m\\ge2\\). Для каждого \\(i\\) переименуем части соответствующего разбиения так, чтобы \\(1\\in S_{1,i}\\). Рассмотрим переменные \\(x_2,…,x_n\\) и сопоставим ребру \\(A_i\\) многочлен \\[ P_i(x_2,…,x_n)=\\prod_{\\ell=2}^{m}\\left(\\sum_{s\\in S_{\\ell,i}}x_s\\right), \\] где переменной \\(x_1\\) нет. Так как части разбиения попарно не пересекаются, при раскрытии скобок в \\(P_i\\) возникают только квадратсвободные мономы степени \\(m-1\\): из разных множителей нельзя выбрать одну и ту же переменную. Такие мономы взаим…"}],"relations":[{"id":"rel-vjimc-2009-hypergraph-linear-algebra-pair","neighbor_id":"vjimc-2009-cat1-p3-partial-hypergraph-bicoloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vjimc-2009-cat2-p4-transversal-hypergraph-polynomial-bound оценка числа рёбер гиперграфа через разделяющие разбиения, vjimc 2009 category ii p4 extremal_graph_theory graph_model goal_bound 2009 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j19solutions2.pdf problem_and_solution src-vjimc-2009-cat2-p4-official vjimc vjimc 2009 category ii p4, официальные условия и решения vjimc2009 with_solution ? vjimc 2009 category ii p4, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(k,m,n\\) - положительные целые числа, \\(1\\le m\\le n\\), и \\(s=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). пусть \\(a_1,a_2,…,a_k\\) - \\(m\\)-элементные подмножества \\(s\\) со следующим свойством: для каждого \\(i=1,…,k\\) существует разбиение \\(s=s_{1,i}\\cup s_{2,i}\\cup\\cdots\\cup s_{m,i}\\) на попарно непересекающиеся части такое, что \\(a_i\\) имеет ровно один общий элемент с каждой частью этого разбиения, а каждое \\(a_j\\), \\(j\\ne i\\), не пересекается хотя бы с одной частью этого разбиения. докажите, что \\(k\\le \\binom{n-1}{m-1}\\). stmt-hypergraph гиперграфовая формулировка ai_checked пусть \\(h\\) — \\(m\\)-равномерный гиперграф на множестве вершин \\(s\\), \\(|s|=n\\), с рёбрами \\(a_1,…,a_k\\). для каждого ребра \\(a_i\\) задано разбиение вершин на \\(m\\) частей, для которого \\(a_i\\) является трансверсалью, а любое другое ребро пропускает хотя бы одну часть. докажите, что число рёбер не превосходит \\(\\binom{n-1}{m-1}\\). idea-polynomial-for-each-edge каждому ребру сопоставляется квадратсвободный многочлен переименуем части каждого разбиения так, чтобы вершина \\(1\\) лежала в первой части. для ребра \\(a_i\\) берём произведение сумм переменных по остальным частям. получаются однородные квадратсвободные многочлены степени \\(m-1\\) от \\(n-1\\) переменных. graph_model ai_checked idea-odd-even-evaluation-matrix матрица значений имеет нечётную диагональ и чётные внедиагональные элементы на характеристическом векторе собственного ребра многочлен равен \\(1\\). на характеристическом векторе чужого ребра произведение либо равно нулю, либо содержит чётный множитель; значит, по модулю 2 матрица значений является единичной. extremal_graph_theory ai_checked sol-official-expanded полиномиальный метод и линейная независимость ai_checked pigeonhole_principle сначала разберём крайний случай \\(m=1\\). тогда единственное возможное разбиение состоит из одной части \\(s\\). если бы при фиксированном \\(i\\) существовало другое множество \\(a_j\\), то по условию оно должно было бы не пересекаться с этой единственной частью, то есть с самим \\(s\\), что невозможно, так как \\(a_j\\) непусто. значит, \\(k=1=\\binom{n-1}{0}\\), и требуемая оценка верна. далее считаем, что \\(m\\ge2\\). для каждого \\(i\\) переименуем части соответствующего разбиения так, чтобы \\(1\\in s_{1,i}\\). рассмотрим переменные \\(x_2,…,x_n\\) и сопоставим ребру \\(a_i\\) многочлен \\[ p_i(x_2,…,x_n)=\\prod_{\\ell=2}^{m}\\left(\\sum_{s\\in s_{\\ell,i}}x_s\\right), \\] где переменной \\(x_1\\) нет. так как части разбиения попарно не пересекаются, при раскрытии скобок в \\(p_i\\) возникают только квадратсвободные мономы степени \\(m-1\\): из разных множителей нельзя выбрать одну и ту же переменную. такие мономы взаим… vjimc-2009-cat2-p4-transversal-hypergraph-polynomial-bound otsenka chisla reber gipergrafa cherez razdelyayuschie razbieniya, vjimc 2009 category ii p4 extremal_graph_theory graph_model goal_bound 2009 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j19solutions2.pdf problem_and_solution src-vjimc-2009-cat2-p4-official vjimc vjimc 2009 category ii p4, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2009 with_solution ? vjimc 2009 category ii p4, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(k,m,n\\) - polozhitelnye tselye chisla, \\(1\\le m\\le n\\), i \\(s=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). pust \\(a_1,a_2,…,a_k\\) - \\(m\\)-elementnye podmnozhestva \\(s\\) so sleduyuschim svoystvom: dlya kazhdogo \\(i=1,…,k\\) suschestvuet razbienie \\(s=s_{1,i}\\cup s_{2,i}\\cup\\cdots\\cup s_{m,i}\\) na poparno neperesekayuschiesya chasti takoe, chto \\(a_i\\) imeet rovno odin obschiy element s kazhdoy chastyu etogo razbieniya, a kazhdoe \\(a_j\\), \\(j\\ne i\\), ne peresekaetsya hotya by s odnoy chastyu etogo razbieniya. dokazhite, chto \\(k\\le \\binom{n-1}{m-1}\\). stmt-hypergraph gipergrafovaya formulirovka ai_checked pust \\(h\\) — \\(m\\)-ravnomernyy gipergraf na mnozhestve vershin \\(s\\), \\(|s|=n\\), s rebrami \\(a_1,…,a_k\\). dlya kazhdogo rebra \\(a_i\\) zadano razbienie vershin na \\(m\\) chastey, dlya kotorogo \\(a_i\\) yavlyaetsya transversalyu, a lyuboe drugoe rebro propuskaet hotya by odnu chast. dokazhite, chto chislo reber ne prevoshodit \\(\\binom{n-1}{m-1}\\). idea-polynomial-for-each-edge kazhdomu rebru sopostavlyaetsya kvadratsvobodnyy mnogochlen pereimenuem chasti kazhdogo razbieniya tak, chtoby vershina \\(1\\) lezhala v pervoy chasti. dlya rebra \\(a_i\\) berem proizvedenie summ peremennyh po ostalnym chastyam. poluchayutsya odnorodnye kvadratsvobodnye mnogochleny stepeni \\(m-1\\) ot \\(n-1\\) peremennyh. graph_model ai_checked idea-odd-even-evaluation-matrix matritsa znacheniy imeet nechetnuyu diagonal i chetnye vnediagonalnye elementy na harakteristicheskom vektore sobstvennogo rebra mnogochlen raven \\(1\\). na harakteristicheskom vektore chuzhogo rebra proizvedenie libo ravno nulyu, libo soderzhit chetnyy mnozhitel; znachit, po modulyu 2 matritsa znacheniy yavlyaetsya edinichnoy. extremal_graph_theory ai_checked sol-official-expanded polinomialnyy metod i lineynaya nezavisimost ai_checked pigeonhole_principle snachala razberem krayniy sluchay \\(m=1\\). togda edinstvennoe vozmozhnoe razbienie sostoit iz odnoy chasti \\(s\\). esli by pri fiksirovannom \\(i\\) suschestvovalo drugoe mnozhestvo \\(a_j\\), to po usloviyu ono dolzhno bylo by ne peresekatsya s etoy edinstvennoy chastyu, to est s samim \\(s\\), chto nevozmozhno, tak kak \\(a_j\\) nepusto. znachit, \\(k=1=\\binom{n-1}{0}\\), i trebuemaya otsenka verna. dalee schitaem, chto \\(m\\ge2\\). dlya kazhdogo \\(i\\) pereimenuem chasti sootvetstvuyuschego razbieniya tak, chtoby \\(1\\in s_{1,i}\\). rassmotrim peremennye \\(x_2,…,x_n\\) i sopostavim rebru \\(a_i\\) mnogochlen \\[ p_i(x_2,…,x_n)=\\prod_{\\ell=2}^{m}\\left(\\sum_{s\\in s_{\\ell,i}}x_s\\right), \\] gde peremennoy \\(x_1\\) net. tak kak chasti razbieniya poparno ne peresekayutsya, pri raskrytii skobok v \\(p_i\\) voznikayut tolko kvadratsvobodnye monomy stepeni \\(m-1\\): iz raznyh mnozhiteley nelzya vybrat odnu i tu zhe peremennuyu. takie monomy vzaim…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2013-cat2-p2-hypercube-segment-intersections","title":"Точки пересечения хорд между вершинами гиперкуба, VJIMC 2013 Category II P2","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2013-cat2-p2-hypercube-segment-intersections.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2013-cat2-p2-hypercube-segment-intersections.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2013-cat2-p2-hypercube-segment-intersections","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2013 Category II P2, официальные условия и решения"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Короткий координатный подсчёт в геометрическом графе на вершинах гиперкуба; графовая модель естественна, но решение в основном комбинаторно-геометрическое.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Дан \\(n\\)-мерный куб. Рассмотрим все отрезки, соединяющие любые две различные вершины куба. Сколько различных точек пересечения имеют эти отрезки, если сами вершины куба не считать?","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Координатный подсчёт центров граней","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\[ 3^n-2^n-n2^{n-1}. \\] Зададим вершины куба двоичными векторами \\((\\varepsilon_1,\\ldots,\\varepsilon_n)\\), где \\(\\varepsilon_i\\in\\{0,1\\}\\). Докажем сначала, какие точки вообще могут быть пересечениями двух разных отрезков между вершинами. Пусть отрезки \\(AB\\) и \\(CD\\) имеют общую внутреннюю точку \\(P\\). Запишем \\[ P=(1-s)A+sB=(1-t)C+tD, \\] где \\(0<s,t<1\\). Рассмотрим одну координату. Если в этой координате концы \\(A\\) и \\(B\\) совпадают, то соответствующая координата \\(P\\) равна \\(0\\) или \\(1\\); значит, и концы \\(C,D\\) в этой координате тоже должны совпадать с тем же значением. Если же концы \\(A,B\\) различаются, то координата \\(P\\) строго между \\(0\\) и \\(1\\), поэтому концы \\(C,D\\) в этой координате тоже различаются. Итак, два отрезка меняют ровно один и тот же набор координат \\(H\\). В координатах из \\(H\\) значение координаты \\(P\\) равно либо \\(s\\), либо \\(1-s\\) при движении по \\(A…"}],"relations":[],"search_text":"vjimc-2013-cat2-p2-hypercube-segment-intersections точки пересечения хорд между вершинами гиперкуба, vjimc 2013 category ii p2 graph_model goal_counting 2013 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j23solutions2.pdf problem_and_solution src-vjimc-2013-cat2-p2-official vjimc vjimc 2013 category ii p2, официальные условия и решения vjimc2013 with_solution ? vjimc 2013 category ii p2, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked дан \\(n\\)-мерный куб. рассмотрим все отрезки, соединяющие любые две различные вершины куба. сколько различных точек пересечения имеют эти отрезки, если сами вершины куба не считать? idea-intersections-are-face-centers пересечения являются центрами граней размерности не меньше двух если два разных отрезка между вершинами гиперкуба имеют общую внутреннюю точку, то их множества меняющихся координат совпадают. если параметры точки на двух отрезках не равны \\(1/2\\), совпадение координат заставляет эти отрезки быть одним и тем же; значит настоящее пересечение двух разных отрезков происходит в их общей середине, то есть в центре грани размерности не меньше двух. graph_model ai_checked idea-count-ternary-vectors счёт тернарных векторов всего векторов с координатами из \\(\\{0,1/2,1\\}\\) равно \\(3^n\\). надо исключить \\(2^n\\) вершин без половинных координат и \\(n2^{n-1}\\) точек с ровно одной половинной координатой. goal_counting ai_checked sol-official-expanded координатный подсчёт центров граней ai_checked ответ: \\[ 3^n-2^n-n2^{n-1}. \\] зададим вершины куба двоичными векторами \\((\\varepsilon_1,\\ldots,\\varepsilon_n)\\), где \\(\\varepsilon_i\\in\\{0,1\\}\\). докажем сначала, какие точки вообще могут быть пересечениями двух разных отрезков между вершинами. пусть отрезки \\(ab\\) и \\(cd\\) имеют общую внутреннюю точку \\(p\\). запишем \\[ p=(1-s)a+sb=(1-t)c+td, \\] где \\(0<s,t<1\\). рассмотрим одну координату. если в этой координате концы \\(a\\) и \\(b\\) совпадают, то соответствующая координата \\(p\\) равна \\(0\\) или \\(1\\); значит, и концы \\(c,d\\) в этой координате тоже должны совпадать с тем же значением. если же концы \\(a,b\\) различаются, то координата \\(p\\) строго между \\(0\\) и \\(1\\), поэтому концы \\(c,d\\) в этой координате тоже различаются. итак, два отрезка меняют ровно один и тот же набор координат \\(h\\). в координатах из \\(h\\) значение координаты \\(p\\) равно либо \\(s\\), либо \\(1-s\\) при движении по \\(a… vjimc-2013-cat2-p2-hypercube-segment-intersections tochki peresecheniya hord mezhdu vershinami giperkuba, vjimc 2013 category ii p2 graph_model goal_counting 2013 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j23solutions2.pdf problem_and_solution src-vjimc-2013-cat2-p2-official vjimc vjimc 2013 category ii p2, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2013 with_solution ? vjimc 2013 category ii p2, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked dan \\(n\\)-mernyy kub. rassmotrim vse otrezki, soedinyayuschie lyubye dve razlichnye vershiny kuba. skolko razlichnyh tochek peresecheniya imeyut eti otrezki, esli sami vershiny kuba ne schitat? idea-intersections-are-face-centers peresecheniya yavlyayutsya tsentrami graney razmernosti ne menshe dvuh esli dva raznyh otrezka mezhdu vershinami giperkuba imeyut obschuyu vnutrennyuyu tochku, to ih mnozhestva menyayuschihsya koordinat sovpadayut. esli parametry tochki na dvuh otrezkah ne ravny \\(1/2\\), sovpadenie koordinat zastavlyaet eti otrezki byt odnim i tem zhe; znachit nastoyaschee peresechenie dvuh raznyh otrezkov proishodit v ih obschey seredine, to est v tsentre grani razmernosti ne menshe dvuh. graph_model ai_checked idea-count-ternary-vectors schet ternarnyh vektorov vsego vektorov s koordinatami iz \\(\\{0,1/2,1\\}\\) ravno \\(3^n\\). nado isklyuchit \\(2^n\\) vershin bez polovinnyh koordinat i \\(n2^{n-1}\\) tochek s rovno odnoy polovinnoy koordinatoy. goal_counting ai_checked sol-official-expanded koordinatnyy podschet tsentrov graney ai_checked otvet: \\[ 3^n-2^n-n2^{n-1}. \\] zadadim vershiny kuba dvoichnymi vektorami \\((\\varepsilon_1,\\ldots,\\varepsilon_n)\\), gde \\(\\varepsilon_i\\in\\{0,1\\}\\). dokazhem snachala, kakie tochki voobsche mogut byt peresecheniyami dvuh raznyh otrezkov mezhdu vershinami. pust otrezki \\(ab\\) i \\(cd\\) imeyut obschuyu vnutrennyuyu tochku \\(p\\). zapishem \\[ p=(1-s)a+sb=(1-t)c+td, \\] gde \\(0<s,t<1\\). rassmotrim odnu koordinatu. esli v etoy koordinate kontsy \\(a\\) i \\(b\\) sovpadayut, to sootvetstvuyuschaya koordinata \\(p\\) ravna \\(0\\) ili \\(1\\); znachit, i kontsy \\(c,d\\) v etoy koordinate tozhe dolzhny sovpadat s tem zhe znacheniem. esli zhe kontsy \\(a,b\\) razlichayutsya, to koordinata \\(p\\) strogo mezhdu \\(0\\) i \\(1\\), poetomu kontsy \\(c,d\\) v etoy koordinate tozhe razlichayutsya. itak, dva otrezka menyayut rovno odin i tot zhe nabor koordinat \\(h\\). v koordinatah iz \\(h\\) znachenie koordinaty \\(p\\) ravno libo \\(s\\), libo \\(1-s\\) pri dvizhenii po \\(a…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products","title":"Веса на вершинах многогранника и сумма произведений по рёбрам, VJIMC 2017 I.3","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2017 Category I P3, официальные условия и решения"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","extremal_graph_theory","extremal_choice","symmetrization","forbidden_clique","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"VJIMC 2017 Category I Problem 3: ключевой шаг официального решения переводит скелет многогранника в планарный граф, сжимает положительный носитель весов до клики и использует запрет \\(K_5\\) в планарном графе.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(P\\) - выпуклый многогранник. В каждую вершину \\(P\\) записали неотрицательное действительное число так, что сумма всех записанных чисел равна \\(1\\). Затем на каждое ребро записали произведение чисел в его концах. Докажите, что сумма чисел на рёбрах не превосходит \\(3/8\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Веса на вершинах многогранника и сумма произведений по рёбрам","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G=(V,E)\\) — скелет выпуклого многогранника, то есть простой планарный граф, полученный из его вершин и рёбер. Каждой вершине \\(v\\in V\\) сопоставлено число \\(a_v\\ge 0\\), причём \\(\\sum_{v\\in V}a_v=1\\). Докажите, что \\(\\sum_{uv\\in E}a_u a_v\\le 3/8\\).","definition_ids":["simple_graph","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-planar-extremal","title":"Решение через планарный скелет и экстремальный выбор","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","complete_graph","clique"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","symmetrization"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф \\(G=(V,E)\\), вершины и рёбра которого - это вершины и рёбра многогранника \\(P\\). Скелет выпуклого многогранника можно нарисовать на сфере без пересечений рёбер, а значит и на плоскости; поэтому \\(G\\) является планарным простым графом. Обозначим вес вершины \\(v\\) через \\(a_v\\). Нужно доказать, что \\[ F(a)=\\sum_{uv\\in E}a_u a_v\\le \\frac38 \\] при условиях \\(a_v\\ge 0\\) и \\(\\sum_{v\\in V}a_v=1\\). Множество всех таких наборов весов компактно, а \\(F\\) непрерывна, поэтому максимум достигается. Среди всех максимальных наборов выберем такой, в котором число нулевых весов максимально. Докажем, что в выбранном наборе любые две вершины с положительными весами смежны. Предположим противное: вершины \\(x\\) и \\(y\\) не соединены ребром, но \\(a_x>0\\) и \\(a_y>0\\). Будем переносить вес между ними, сохраняя сумму весов: для \\(t\\in[-a_y,a_x]\\) заменим \\[ a_x\\mapsto a_x-t,\\qquad a_y\\mapsto a_y+t…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2019-b3-vjimc-2017-motzkin-straus-transfer","neighbor_id":"simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2017-polyhedron-turan-weighted-forbidden-clique","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2017-polyhedron-planar-edge-bound","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products веса на вершинах многогранника и сумма произведений по рёбрам, vjimc 2017 i.3 planar_graphs extremal_graph_theory extremal_choice symmetrization forbidden_clique goal_bound 2017 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j27solutions1.pdf problem_and_solution src-vjimc-2017-cat1-p3-official vjimc vjimc 2017 category i p3, официальные условия и решения vjimc2017 with_solution ? vjimc 2017 category i p3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(p\\) - выпуклый многогранник. в каждую вершину \\(p\\) записали неотрицательное действительное число так, что сумма всех записанных чисел равна \\(1\\). затем на каждое ребро записали произведение чисел в его концах. докажите, что сумма чисел на рёбрах не превосходит \\(3/8\\). stmt-graph веса на вершинах многогранника и сумма произведений по рёбрам ai_checked пусть \\(g=(v,e)\\) — скелет выпуклого многогранника, то есть простой планарный граф, полученный из его вершин и рёбер. каждой вершине \\(v\\in v\\) сопоставлено число \\(a_v\\ge 0\\), причём \\(\\sum_{v\\in v}a_v=1\\). докажите, что \\(\\sum_{uv\\in e}a_u a_v\\le 3/8\\). simple_graph planar_graph idea-maximal-support-clique в максимуме положительные вершины попарно смежны выбираем максимум суммы по рёбрам, а среди максимумов - конфигурацию с наибольшим числом нулевых весов. если две положительные несмежные вершины есть, то перенос веса между ними меняет сумму линейно; локальный максимум линейной функции возможен только при постоянстве, и весь вес одной вершины можно занулить без уменьшения суммы. extremal_choice extremal_graph_theory symmetrization ai_checked idea-planar-clique-four планарность оставляет не более четырёх положительных весов положительные вершины образуют клику, а в планарном графе клика имеет не более четырёх вершин, поскольку \\(k_5\\) непланарен. после этого остаётся чистое неравенство для четырёх неотрицательных чисел с суммой 1. planar_graphs forbidden_clique ai_checked sol-official-planar-extremal решение через планарный скелет и экстремальный выбор ai_checked planar_graph complete_graph clique extremal_choice symmetrization рассмотрим граф \\(g=(v,e)\\), вершины и рёбра которого - это вершины и рёбра многогранника \\(p\\). скелет выпуклого многогранника можно нарисовать на сфере без пересечений рёбер, а значит и на плоскости; поэтому \\(g\\) является планарным простым графом. обозначим вес вершины \\(v\\) через \\(a_v\\). нужно доказать, что \\[ f(a)=\\sum_{uv\\in e}a_u a_v\\le \\frac38 \\] при условиях \\(a_v\\ge 0\\) и \\(\\sum_{v\\in v}a_v=1\\). множество всех таких наборов весов компактно, а \\(f\\) непрерывна, поэтому максимум достигается. среди всех максимальных наборов выберем такой, в котором число нулевых весов максимально. докажем, что в выбранном наборе любые две вершины с положительными весами смежны. предположим противное: вершины \\(x\\) и \\(y\\) не соединены ребром, но \\(a_x>0\\) и \\(a_y>0\\). будем переносить вес между ними, сохраняя сумму весов: для \\(t\\in[-a_y,a_x]\\) заменим \\[ a_x\\mapsto a_x-t,\\qquad a_y\\mapsto a_y+t… vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products vesa na vershinah mnogogrannika i summa proizvedeniy po rebram, vjimc 2017 i.3 planar_graphs extremal_graph_theory extremal_choice symmetrization forbidden_clique goal_bound 2017 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j27solutions1.pdf problem_and_solution src-vjimc-2017-cat1-p3-official vjimc vjimc 2017 category i p3, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2017 with_solution ? vjimc 2017 category i p3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(p\\) - vypuklyy mnogogrannik. v kazhduyu vershinu \\(p\\) zapisali neotritsatelnoe deystvitelnoe chislo tak, chto summa vseh zapisannyh chisel ravna \\(1\\). zatem na kazhdoe rebro zapisali proizvedenie chisel v ego kontsah. dokazhite, chto summa chisel na rebrah ne prevoshodit \\(3/8\\). stmt-graph vesa na vershinah mnogogrannika i summa proizvedeniy po rebram ai_checked pust \\(g=(v,e)\\) — skelet vypuklogo mnogogrannika, to est prostoy planarnyy graf, poluchennyy iz ego vershin i reber. kazhdoy vershine \\(v\\in v\\) sopostavleno chislo \\(a_v\\ge 0\\), prichem \\(\\sum_{v\\in v}a_v=1\\). dokazhite, chto \\(\\sum_{uv\\in e}a_u a_v\\le 3/8\\). simple_graph planar_graph idea-maximal-support-clique v maksimume polozhitelnye vershiny poparno smezhny vybiraem maksimum summy po rebram, a sredi maksimumov - konfiguratsiyu s naibolshim chislom nulevyh vesov. esli dve polozhitelnye nesmezhnye vershiny est, to perenos vesa mezhdu nimi menyaet summu lineyno; lokalnyy maksimum lineynoy funktsii vozmozhen tolko pri postoyanstve, i ves ves odnoy vershiny mozhno zanulit bez umensheniya summy. extremal_choice extremal_graph_theory symmetrization ai_checked idea-planar-clique-four planarnost ostavlyaet ne bolee chetyreh polozhitelnyh vesov polozhitelnye vershiny obrazuyut kliku, a v planarnom grafe klika imeet ne bolee chetyreh vershin, poskolku \\(k_5\\) neplanaren. posle etogo ostaetsya chistoe neravenstvo dlya chetyreh neotritsatelnyh chisel s summoy 1. planar_graphs forbidden_clique ai_checked sol-official-planar-extremal reshenie cherez planarnyy skelet i ekstremalnyy vybor ai_checked planar_graph complete_graph clique extremal_choice symmetrization rassmotrim graf \\(g=(v,e)\\), vershiny i rebra kotorogo - eto vershiny i rebra mnogogrannika \\(p\\). skelet vypuklogo mnogogrannika mozhno narisovat na sfere bez peresecheniy reber, a znachit i na ploskosti; poetomu \\(g\\) yavlyaetsya planarnym prostym grafom. oboznachim ves vershiny \\(v\\) cherez \\(a_v\\). nuzhno dokazat, chto \\[ f(a)=\\sum_{uv\\in e}a_u a_v\\le \\frac38 \\] pri usloviyah \\(a_v\\ge 0\\) i \\(\\sum_{v\\in v}a_v=1\\). mnozhestvo vseh takih naborov vesov kompaktno, a \\(f\\) nepreryvna, poetomu maksimum dostigaetsya. sredi vseh maksimalnyh naborov vyberem takoy, v kotorom chislo nulevyh vesov maksimalno. dokazhem, chto v vybrannom nabore lyubye dve vershiny s polozhitelnymi vesami smezhny. predpolozhim protivnoe: vershiny \\(x\\) i \\(y\\) ne soedineny rebrom, no \\(a_x>0\\) i \\(a_y>0\\). budem perenosit ves mezhdu nimi, sohranyaya summu vesov: dlya \\(t\\in[-a_y,a_x]\\) zamenim \\[ a_x\\mapsto a_x-t,\\qquad a_y\\mapsto a_y+t…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2022-cat1-p4-stone-game-state-graph","title":"Игра с цветными камнями и граф состояний, VJIMC 2022 I.4","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2022-cat1-p4-stone-game-state-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2022-cat1-p4-stone-game-state-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2022-cat1-p4-stone-game-state-graph","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2022 Category I P4, официальные условия и решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":["Leszek Pieniążek"],"tags":["graph_in_solution","process_invariant","invariant","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"VJIMC 2022 Category I Problem 4; граф не в условии, но официальный разбор конечных состояний и бесконечной петли является центральной частью решения.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"В коробке лежат соответственно \\(31\\), \\(41\\) и \\(59\\) камней красного, зелёного и синего цветов. Три игрока в футболках этих трёх цветов ходят по очереди. За ход игрок либо удаляет из коробки три камня одного цвета, либо заменяет два камня разных цветов двумя камнями третьего цвета. Игра заканчивается, когда все камни в коробке имеют один цвет; победителем считается игрок, цвет футболки которого совпадает с этим цветом. Если игроки играют оптимально, можно ли определить, закончится ли игра и кто выиграет, в зависимости от того, кто ходит первым?","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-state-graph","title":"Решение через инварианты и граф малых состояний","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть после некоторого хода в коробке лежат \\(r\\), \\(g\\), \\(b\\) красных, зелёных и синих камней. Рассмотрим две величины по модулю 3: \\[ N=r+g+b,\\qquad D=r+2g. \\] Удаление трёх камней одного цвета не меняет ни \\(N\\), ни \\(D\\) по модулю 3. При замене двух разных цветов двумя камнями третьего цвета изменения \\(D\\) равны соответственно \\(-3\\), \\(3\\) или \\(0\\), а \\(N\\) вообще не меняется. Значит, оба остатка инвариантны. В начале \\(N=31+41+59=131\\equiv 2\\pmod 3\\) и \\(D=31+2\\cdot 41=113\\equiv 2\\pmod 3\\). Если игра закончилась, то два из чисел \\(r,g,b\\) равны нулю. Синий финал дал бы \\(D\\equiv 0\\), зелёный финал дал бы \\(D\\equiv 2N\\equiv 1\\), и оба варианта невозможны. Красный финал возможен по остаткам: тогда \\(r\\equiv 2\\pmod 3\\). Поэтому, если игра заканчивается, выигрывает только красный. Значит, красный стремится завершить игру, а два других игрока стремятся играть бесконечно. Покажем стр…"}],"relations":[],"search_text":"vjimc-2022-cat1-p4-stone-game-state-graph игра с цветными камнями и граф состояний, vjimc 2022 i.4 graph_in_solution process_invariant invariant goal_strategy_game 2022 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j30solutions1.pdf leszek pieniążek leszekpieniążek problem_and_solution src-vjimc-2022-cat1-p4-official vjimc vjimc 2022 category i p4, официальные условия и решения vjimc2022 with_solution leszek pieniążek vjimc 2022 category i p4, официальные условия и решения stmt-original условие source_verified в коробке лежат соответственно \\(31\\), \\(41\\) и \\(59\\) камней красного, зелёного и синего цветов. три игрока в футболках этих трёх цветов ходят по очереди. за ход игрок либо удаляет из коробки три камня одного цвета, либо заменяет два камня разных цветов двумя камнями третьего цвета. игра заканчивается, когда все камни в коробке имеют один цвет; победителем считается игрок, цвет футболки которого совпадает с этим цветом. если игроки играют оптимально, можно ли определить, закончится ли игра и кто выиграет, в зависимости от того, кто ходит первым? idea-two-modular-invariants два инварианта оставляют только красную победу сумма камней и линейная форма \\(r+2g\\) по модулю 3 сохраняются при обоих типах ходов. для начальных чисел оба остатка равны 2, поэтому финальная одноцветная позиция может быть только красной. invariant process_invariant ai_checked idea-small-state-graph остаточная игра сводится к малому графу состояний красный игрок уменьшает число камней ходами первого типа, пока остаётся 2 или 5 камней. после этого все возможные состояния и переходы между ними образуют маленький ориентированный граф; единственная бесконечная игра удерживает красного на вершине \\((1,2,2)\\). graph_in_solution goal_strategy_game ai_checked sol-official-state-graph решение через инварианты и граф малых состояний ai_checked directed_graph cycle invariant пусть после некоторого хода в коробке лежат \\(r\\), \\(g\\), \\(b\\) красных, зелёных и синих камней. рассмотрим две величины по модулю 3: \\[ n=r+g+b,\\qquad d=r+2g. \\] удаление трёх камней одного цвета не меняет ни \\(n\\), ни \\(d\\) по модулю 3. при замене двух разных цветов двумя камнями третьего цвета изменения \\(d\\) равны соответственно \\(-3\\), \\(3\\) или \\(0\\), а \\(n\\) вообще не меняется. значит, оба остатка инвариантны. в начале \\(n=31+41+59=131\\equiv 2\\pmod 3\\) и \\(d=31+2\\cdot 41=113\\equiv 2\\pmod 3\\). если игра закончилась, то два из чисел \\(r,g,b\\) равны нулю. синий финал дал бы \\(d\\equiv 0\\), зелёный финал дал бы \\(d\\equiv 2n\\equiv 1\\), и оба варианта невозможны. красный финал возможен по остаткам: тогда \\(r\\equiv 2\\pmod 3\\). поэтому, если игра заканчивается, выигрывает только красный. значит, красный стремится завершить игру, а два других игрока стремятся играть бесконечно. покажем стр… vjimc-2022-cat1-p4-stone-game-state-graph igra s tsvetnymi kamnyami i graf sostoyaniy, vjimc 2022 i.4 graph_in_solution process_invariant invariant goal_strategy_game 2022 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j30solutions1.pdf leszek pieniążek leszekpieniążek problem_and_solution src-vjimc-2022-cat1-p4-official vjimc vjimc 2022 category i p4, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2022 with_solution leszek pieniążek vjimc 2022 category i p4, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie source_verified v korobke lezhat sootvetstvenno \\(31\\), \\(41\\) i \\(59\\) kamney krasnogo, zelenogo i sinego tsvetov. tri igroka v futbolkah etih treh tsvetov hodyat po ocheredi. za hod igrok libo udalyaet iz korobki tri kamnya odnogo tsveta, libo zamenyaet dva kamnya raznyh tsvetov dvumya kamnyami tretego tsveta. igra zakanchivaetsya, kogda vse kamni v korobke imeyut odin tsvet; pobeditelem schitaetsya igrok, tsvet futbolki kotorogo sovpadaet s etim tsvetom. esli igroki igrayut optimalno, mozhno li opredelit, zakonchitsya li igra i kto vyigraet, v zavisimosti ot togo, kto hodit pervym? idea-two-modular-invariants dva invarianta ostavlyayut tolko krasnuyu pobedu summa kamney i lineynaya forma \\(r+2g\\) po modulyu 3 sohranyayutsya pri oboih tipah hodov. dlya nachalnyh chisel oba ostatka ravny 2, poetomu finalnaya odnotsvetnaya pozitsiya mozhet byt tolko krasnoy. invariant process_invariant ai_checked idea-small-state-graph ostatochnaya igra svoditsya k malomu grafu sostoyaniy krasnyy igrok umenshaet chislo kamney hodami pervogo tipa, poka ostaetsya 2 ili 5 kamney. posle etogo vse vozmozhnye sostoyaniya i perehody mezhdu nimi obrazuyut malenkiy orientirovannyy graf; edinstvennaya beskonechnaya igra uderzhivaet krasnogo na vershine \\((1,2,2)\\). graph_in_solution goal_strategy_game ai_checked sol-official-state-graph reshenie cherez invarianty i graf malyh sostoyaniy ai_checked directed_graph cycle invariant pust posle nekotorogo hoda v korobke lezhat \\(r\\), \\(g\\), \\(b\\) krasnyh, zelenyh i sinih kamney. rassmotrim dve velichiny po modulyu 3: \\[ n=r+g+b,\\qquad d=r+2g. \\] udalenie treh kamney odnogo tsveta ne menyaet ni \\(n\\), ni \\(d\\) po modulyu 3. pri zamene dvuh raznyh tsvetov dvumya kamnyami tretego tsveta izmeneniya \\(d\\) ravny sootvetstvenno \\(-3\\), \\(3\\) ili \\(0\\), a \\(n\\) voobsche ne menyaetsya. znachit, oba ostatka invariantny. v nachale \\(n=31+41+59=131\\equiv 2\\pmod 3\\) i \\(d=31+2\\cdot 41=113\\equiv 2\\pmod 3\\). esli igra zakonchilas, to dva iz chisel \\(r,g,b\\) ravny nulyu. siniy final dal by \\(d\\equiv 0\\), zelenyy final dal by \\(d\\equiv 2n\\equiv 1\\), i oba varianta nevozmozhny. krasnyy final vozmozhen po ostatkam: togda \\(r\\equiv 2\\pmod 3\\). poetomu, esli igra zakanchivaetsya, vyigryvaet tolko krasnyy. znachit, krasnyy stremitsya zavershit igru, a dva drugih igroka stremyatsya igrat beskonechno. pokazhem str…","source_keys":["vjimc"]}
{"id":"vjimc-2024-cat1-p3-degree-squares-triangle","title":"Сумма квадратов степеней, вынуждающая треугольник, VJIMC 2024 I.3","path":"data\\problems\\vjimc\\vjimc-2024-cat1-p3-degree-squares-triangle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/vjimc/vjimc-2024-cat1-p3-degree-squares-triangle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vjimc-2024-cat1-p3-degree-squares-triangle","source_key":"vjimc","source_label":"VJIMC","source_titles":["VJIMC 2024 Category I P3, официальные условия и решения"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":["Slobodan Filipovski"],"tags":["extremal_graph_theory","double_counting","degree_counting","forbidden_triangle","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"VJIMC 2024 Category I Problem 3; прямая экстремальная задача о степенях в простом графе.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Пусть \\(G\\) - простой неориентированный граф на \\(n\\) вершинах. Обозначим через \\(d_i\\) степень его \\(i\\)-й вершины, \\(i=1,\\ldots,n\\), и пусть \\(\\Delta=\\max_i d_i\\). Докажите, что если \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2>n\\Delta(n-\\Delta), \\] то граф \\(G\\) содержит треугольник.","definition_ids":["simple_graph","degree","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-contrapositive","title":"Решение от противного для графа без треугольников","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","triangle","neighborhood"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем контрапозицию. Пусть \\(G\\) не содержит треугольников. Обозначим через \\(m\\) число рёбер. Сначала оценим сумму квадратов степеней через рёбра. Каждая вершина \\(i\\) встречается ровно в \\(d_i\\) инцидентных рёбрах, и каждый раз вносит вклад \\(d_i\\). Поэтому \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2=\\sum_{uv\\in E}(d_u+d_v). \\] Если \\(uv\\) — ребро, то в графе без треугольников у \\(u\\) и \\(v\\) нет общего соседа: общий сосед вместе с \\(u\\) и \\(v\\) дал бы треугольник. Значит, множества \\(N(u)\\setminus\\{v\\}\\) и \\(N(v)\\setminus\\{u\\}\\) не пересекаются и лежат среди остальных \\(n-2\\) вершин. Отсюда \\[ (d_u-1)+(d_v-1)\\le n-2, \\] то есть \\(d_u+d_v\\le n\\). Следовательно, \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2\\le mn. \\] Теперь оценим \\(m\\). Возьмём вершину \\(x\\) степени \\(\\Delta\\). Её \\(\\Delta\\) соседей попарно не смежны: иначе вместе с \\(x\\) они образовали бы треугольник. Значит, кроме \\(\\Delta\\) рёбер, выходящих из \\(x\\), каждое…"}],"relations":[{"id":"rel-vjimc-2024-cat1-p3-imc-2009-degree-square-counting","neighbor_id":"imc-2009-day1-p3-friendship-girth-five","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2024-degree-squares-mantel","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2024-degree-squares-handshaking","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"vjimc-2024-cat1-p3-degree-squares-triangle сумма квадратов степеней, вынуждающая треугольник, vjimc 2024 i.3 extremal_graph_theory double_counting degree_counting forbidden_triangle goal_proof 2024 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j31solutions1.pdf problem_and_solution slobodan filipovski slobodanfilipovski src-vjimc-2024-cat1-p3-official vjimc vjimc 2024 category i p3, официальные условия и решения vjimc2024 with_solution slobodan filipovski vjimc 2024 category i p3, официальные условия и решения stmt-original условие source_verified пусть \\(g\\) - простой неориентированный граф на \\(n\\) вершинах. обозначим через \\(d_i\\) степень его \\(i\\)-й вершины, \\(i=1,\\ldots,n\\), и пусть \\(\\delta=\\max_i d_i\\). докажите, что если \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2>n\\delta(n-\\delta), \\] то граф \\(g\\) содержит треугольник. simple_graph degree triangle idea-edge-degree-sum квадраты степеней считаются по рёбрам сумму \\(\\sum d_i^2\\) можно переписать как \\(\\sum_{uv\\in e}(d_u+d_v)\\). в графе без треугольников для каждого ребра \\(uv\\) выполнено \\(d_u+d_v\\le n\\), потому что у смежных вершин нет общего соседа. degree_counting forbidden_triangle ai_checked idea-max-degree-edge-bound окрестность максимальной вершины независима если граф треугольников не содержит, то соседи вершины максимальной степени не соединены между собой. поэтому каждое ребро, кроме рёбер из этой вершины, имеет хотя бы один конец вне её замкнутой окрестности. внешних вершин \\(n-\\delta-1\\), степень каждой не больше \\(\\delta\\), так что таких рёбер не больше \\((n-\\delta-1)\\delta\\). extremal_graph_theory ai_checked sol-official-contrapositive решение от противного для графа без треугольников ai_checked degree triangle neighborhood double_counting докажем контрапозицию. пусть \\(g\\) не содержит треугольников. обозначим через \\(m\\) число рёбер. сначала оценим сумму квадратов степеней через рёбра. каждая вершина \\(i\\) встречается ровно в \\(d_i\\) инцидентных рёбрах, и каждый раз вносит вклад \\(d_i\\). поэтому \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2=\\sum_{uv\\in e}(d_u+d_v). \\] если \\(uv\\) — ребро, то в графе без треугольников у \\(u\\) и \\(v\\) нет общего соседа: общий сосед вместе с \\(u\\) и \\(v\\) дал бы треугольник. значит, множества \\(n(u)\\setminus\\{v\\}\\) и \\(n(v)\\setminus\\{u\\}\\) не пересекаются и лежат среди остальных \\(n-2\\) вершин. отсюда \\[ (d_u-1)+(d_v-1)\\le n-2, \\] то есть \\(d_u+d_v\\le n\\). следовательно, \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2\\le mn. \\] теперь оценим \\(m\\). возьмём вершину \\(x\\) степени \\(\\delta\\). её \\(\\delta\\) соседей попарно не смежны: иначе вместе с \\(x\\) они образовали бы треугольник. значит, кроме \\(\\delta\\) рёбер, выходящих из \\(x\\), каждое… vjimc-2024-cat1-p3-degree-squares-triangle summa kvadratov stepeney, vynuzhdayuschaya treugolnik, vjimc 2024 i.3 extremal_graph_theory double_counting degree_counting forbidden_triangle goal_proof 2024 https://vjimc.osu.cz/storage/uploads/j31solutions1.pdf problem_and_solution slobodan filipovski slobodanfilipovski src-vjimc-2024-cat1-p3-official vjimc vjimc 2024 category i p3, ofitsialnye usloviya i resheniya vjimc2024 with_solution slobodan filipovski vjimc 2024 category i p3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie source_verified pust \\(g\\) - prostoy neorientirovannyy graf na \\(n\\) vershinah. oboznachim cherez \\(d_i\\) stepen ego \\(i\\)-y vershiny, \\(i=1,\\ldots,n\\), i pust \\(\\delta=\\max_i d_i\\). dokazhite, chto esli \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2>n\\delta(n-\\delta), \\] to graf \\(g\\) soderzhit treugolnik. simple_graph degree triangle idea-edge-degree-sum kvadraty stepeney schitayutsya po rebram summu \\(\\sum d_i^2\\) mozhno perepisat kak \\(\\sum_{uv\\in e}(d_u+d_v)\\). v grafe bez treugolnikov dlya kazhdogo rebra \\(uv\\) vypolneno \\(d_u+d_v\\le n\\), potomu chto u smezhnyh vershin net obschego soseda. degree_counting forbidden_triangle ai_checked idea-max-degree-edge-bound okrestnost maksimalnoy vershiny nezavisima esli graf treugolnikov ne soderzhit, to sosedi vershiny maksimalnoy stepeni ne soedineny mezhdu soboy. poetomu kazhdoe rebro, krome reber iz etoy vershiny, imeet hotya by odin konets vne ee zamknutoy okrestnosti. vneshnih vershin \\(n-\\delta-1\\), stepen kazhdoy ne bolshe \\(\\delta\\), tak chto takih reber ne bolshe \\((n-\\delta-1)\\delta\\). extremal_graph_theory ai_checked sol-official-contrapositive reshenie ot protivnogo dlya grafa bez treugolnikov ai_checked degree triangle neighborhood double_counting dokazhem kontrapozitsiyu. pust \\(g\\) ne soderzhit treugolnikov. oboznachim cherez \\(m\\) chislo reber. snachala otsenim summu kvadratov stepeney cherez rebra. kazhdaya vershina \\(i\\) vstrechaetsya rovno v \\(d_i\\) intsidentnyh rebrah, i kazhdyy raz vnosit vklad \\(d_i\\). poetomu \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2=\\sum_{uv\\in e}(d_u+d_v). \\] esli \\(uv\\) — rebro, to v grafe bez treugolnikov u \\(u\\) i \\(v\\) net obschego soseda: obschiy sosed vmeste s \\(u\\) i \\(v\\) dal by treugolnik. znachit, mnozhestva \\(n(u)\\setminus\\{v\\}\\) i \\(n(v)\\setminus\\{u\\}\\) ne peresekayutsya i lezhat sredi ostalnyh \\(n-2\\) vershin. otsyuda \\[ (d_u-1)+(d_v-1)\\le n-2, \\] to est \\(d_u+d_v\\le n\\). sledovatelno, \\[ \\sum_{i=1}^n d_i^2\\le mn. \\] teper otsenim \\(m\\). vozmem vershinu \\(x\\) stepeni \\(\\delta\\). ee \\(\\delta\\) sosedey poparno ne smezhny: inache vmeste s \\(x\\) oni obrazovali by treugolnik. znachit, krome \\(\\delta\\) reber, vyhodyaschih iz \\(x\\), kazhdoe…","source_keys":["vjimc"]}