{"id":"gabriel-graph-connected-separated-points","title":"Связность графа Габриэля для разреженного множества точек","path":"data\\problems\\classical\\gabriel-graph-connected-separated-points.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/gabriel-graph-connected-separated-points.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#gabriel-graph-connected-separated-points","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["AoPS Wiki, 2025 USAMO Problems/Problem 3","Gabriel and Sokal, A New Statistical Approach to Geographic Variation Analysis","Matula and Sokal, Properties of Gabriel Graphs Relevant to Geographic Variation Research and the Clustering of Points in the Plane","Evan Chen, USAMO 2025 Solution Notes"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","connectivity","classical_theorem","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Короткая метрическая лемма; основная тонкость — использовать разреженность, чтобы спуск по квадрату расстояния не мог продолжаться бесконечно.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(X\\) — конечное или бесконечное множество точек плоскости, расстояние между любыми двумя различными точками которого больше \\(1\\). В графе Габриэля на \\(X\\) соединены те и только те пары \\(A,B\\), для которых замкнутый диск с диаметром \\(AB\\) не содержит других точек из \\(X\\). Тогда этот граф связен.","definition_ids":["gabriel_graph","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-distance-descent","title":"Бесконечный спуск по расстоянию","status":"ai_checked","definition_ids":["gabriel_graph","connected_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим, что граф Габриэля несвязен, и возьмём точки \\(p,q\\) из разных компонент. Если \\(pq\\) является ребром, эти точки лежат в одной компоненте, поэтому \\(pq\\) не ребро. Значит, в замкнутом диске с диаметром \\(pq\\) есть третья точка \\(r\\in X\\). Точка \\(r\\) не может одновременно лежать в компоненте \\(p\\) и в компоненте \\(q\\). Поэтому хотя бы одна из пар \\((p,r)\\), \\((r,q)\\) снова соединяет разные компоненты; обозначим её \\((u,v)\\), а второй отрезок от \\(r\\) к одному из концов \\(pq\\) обозначим через \\(w\\). Так как \\(r\\) лежит в диаметральном диске \\(pq\\), угол \\(prq\\) не меньше \\(90^\\circ\\), и из элементарной геометрии следует \\(uv^2\\le pq^2-w^2\\). При этом \\(w>1\\), потому что расстояния между различными точками множества больше \\(1\\). Значит, \\(uv^21\\), потому что расстояния между различными точками множества больше \\(1\\). значит, \\(uv^21\\), potomu chto rasstoyaniya mezhdu razlichnymi tochkami mnozhestva bolshe \\(1\\). znachit, \\(uv^21` вершина `v_i` имеет соседа среди `v_1,...,v_{i-1}`. Например, можно взять любое остовное дерево этого графа и перечислять вершины в порядке их первого появления при обходе от корня. Теперь мысленно ставим шашки именно в таком порядке и считаем, сколько новых хороших клеток может появиться на каждом шаге. Первая шашка делает хорошими не более пяти клеток: свою клетку и максимум четыре клетки, имеющие…"},{"id":"sol-circuit-rank-bound","title":"AoPS-версия через цикломатический ранг","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть `x` — число шашек, а `G` — граф занятых клеток: две вершины соединены ребром, если соответствующие занятые клетки имеют общую сторону. По условию `G` связен. Оценим сверху число клеток, которые заняты или имеют общую сторону с занятой. Если считать вклад каждой шашки отдельно, то одна шашка может покрыть не более пяти клеток: свою клетку и четыре соседние по стороне. Такой грубый счёт даёт `5x`, но он завышает ответ, когда две занятые клетки соседствуют. Действительно, если занятые клетки `u` и `v` имеют общую сторону, то при подсчёте от `u` клетка `v` уже считается, и при подсчёте от `v` клетка `u` тоже уже считается; эти две стороны не могут отвечать за новые пустые клетки. Поэтому из суммы `5x` можно вычесть по одному за каждую инцидентность занятой клетки с занятым соседом. Таких инцидентностей ровно `sum deg(v)`. Значит число хороших клеток не превосходит `5x - sum deg(v)`. Т…"},{"id":"sol-john-scholes-connected-induction","title":"Джон Скоулз: индукция по связному множеству клеток","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем более общее утверждение: если `k` занятых клеток образуют связное множество, то занятых или соседних с занятыми клеток не больше `3k+2`. После этого исходная задача сразу следует, потому что по условию все `n^2` клеток доски заняты или соседствуют с занятой. Проведём индукцию по `k`. При `k=1` одна шашка делает хорошими не более пяти клеток: свою клетку и четыре соседние по стороне. Это равно `3*1+2`, так что база верна. Пусть `k>1`. Рассмотрим граф занятых клеток и выберем две его вершины `A` и `B`, расстояние между которыми максимально. Утверждаем, что удаление `A` не разрушает связность оставшегося графа. Действительно, если после удаления `A` оставшиеся вершины распались бы на несколько компонент, то все пути из `B` в любую вершину компоненты, не содержащей `B`, должны были бы проходить через `A`. В частности, взяв соседа `C` вершины `A` в такой другой компоненте, получаем `…"}],"relations":[{"id":"rel-usamo-1999-p1-imo-1999-c5","neighbor_id":"imo-1999-c5-grid-total-domination","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-usamo-1999-p1","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-1999-p1-checkers-board-graph-rank шашки на доске и граф занятых клеток, usamo 1999 p1 double_counting extremal_choice goal_exact_bound 1999 aops wiki, 1999 usamo problems/problem 1 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1999_usamo_problems/problem_1 https://prase.cz/kalva/usa/usoln/usol991.html john scholes, usamo 1999 a1 архив решения secondary_solution src-usamo-1999-john-scholes-archive src-usamo-1999-p1-aops-wiki statement usamo usamo1999 with_solution ? aops wiki, 1999 usamo problems/problem 1 john scholes, usamo 1999 a1 архив решения stmt-original связная доминирующая конфигурация шашек ai_checked на доске \\(n x n\\) расставлены шашки так, что: а) каждая пустая клетка имеет общую сторону с занятой; б) любые две занятые клетки можно соединить цепочкой занятых клеток, в которой соседние клетки имеют общую сторону. докажите, что шашек не меньше \\((n^2-2)/3\\). stmt-graph шашки на доске и граф занятых клеток ai_checked в графе клеток доски \\(n x n\\) вершинами являются все клетки, а рёбра соединяют клетки с общей стороной. выбрано множество вершин \\(s\\) такое, что индуцированный подграф на \\(s\\) связен, а каждая вершина всей доски либо принадлежит \\(s\\), либо смежна с вершиной из \\(s\\). докажите, что \\(|s| \\ge (n^2-2)/3\\). connected_graph degree induced_subgraph idea-reinsert-checkers-in-connected-order возвращать шашки в связном порядке если упорядочить занятые клетки так, чтобы каждая, кроме первой, соседствовала с одной из предыдущих, то первая шашка делает хорошими не более 5 клеток, а каждая следующая — не более 3 новых клеток. extremal_choice ai_checked idea-circuit-rank-version можно усилить оценку через цикломатический ранг в графовой версии сумма степеней равна `2v-2+2r`, где `r` — цикломатический ранг; это даёт даже более сильную оценку `x >= (n^2-2+2r)/3`. double_counting ai_checked idea-delete-leaflike-checker удалять шашку, сохраняя связность можно индуктивно снимать одну занятую клетку так, чтобы оставшиеся занятые клетки всё ещё были связны; тогда каждый новый шаг добавляет не более трёх новых хороших клеток. induction ai_checked sol-good-squares-in-connected-order подсчёт хороших клеток ai_checked connected_graph extremal_choice назовём клетку хорошей, если она либо занята, либо имеет общую сторону с занятой. по условию каждая клетка доски хорошая: занятые клетки хороши по определению, а каждая пустая клетка соседствует с занятой. значит всего хороших клеток ровно `n^2`. обозначим число шашек через `k` и рассмотрим граф, вершинами которого являются занятые клетки, а рёбра соединяют занятые клетки с общей стороной. по условию этот граф связен. поэтому его вершины можно упорядочить как `v_1,...,v_k` так, что при `i>1` вершина `v_i` имеет соседа среди `v_1,...,v_{i-1}`. например, можно взять любое остовное дерево этого графа и перечислять вершины в порядке их первого появления при обходе от корня. теперь мысленно ставим шашки именно в таком порядке и считаем, сколько новых хороших клеток может появиться на каждом шаге. первая шашка делает хорошими не более пяти клеток: свою клетку и максимум четыре клетки, имеющие… sol-circuit-rank-bound aops-версия через цикломатический ранг ai_checked connected_graph degree double_counting пусть `x` — число шашек, а `g` — граф занятых клеток: две вершины соединены ребром, если соответствующие занятые клетки имеют общую сторону. по условию `g` связен. оценим сверху число клеток, которые заняты или имеют общую сторону с занятой. если считать вклад каждой шашки отдельно, то одна шашка может покрыть не более пяти клеток: свою клетку и четыре соседние по стороне. такой грубый счёт даёт `5x`, но он завышает ответ, когда две занятые клетки соседствуют. действительно, если занятые клетки `u` и `v` имеют общую сторону, то при подсчёте от `u` клетка `v` уже считается, и при подсчёте от `v` клетка `u` тоже уже считается; эти две стороны не могут отвечать за новые пустые клетки. поэтому из суммы `5x` можно вычесть по одному за каждую инцидентность занятой клетки с занятым соседом. таких инцидентностей ровно `sum deg(v)`. значит число хороших клеток не превосходит `5x - sum deg(v)`. т… sol-john-scholes-connected-induction джон скоулз: индукция по связному множеству клеток ai_checked connected_graph path induction extremal_choice докажем более общее утверждение: если `k` занятых клеток образуют связное множество, то занятых или соседних с занятыми клеток не больше `3k+2`. после этого исходная задача сразу следует, потому что по условию все `n^2` клеток доски заняты или соседствуют с занятой. проведём индукцию по `k`. при `k=1` одна шашка делает хорошими не более пяти клеток: свою клетку и четыре соседние по стороне. это равно `3*1+2`, так что база верна. пусть `k>1`. рассмотрим граф занятых клеток и выберем две его вершины `a` и `b`, расстояние между которыми максимально. утверждаем, что удаление `a` не разрушает связность оставшегося графа. действительно, если после удаления `a` оставшиеся вершины распались бы на несколько компонент, то все пути из `b` в любую вершину компоненты, не содержащей `b`, должны были бы проходить через `a`. в частности, взяв соседа `c` вершины `a` в такой другой компоненте, получаем `… usamo-1999-p1-checkers-board-graph-rank shashki na doske i graf zanyatyh kletok, usamo 1999 p1 double_counting extremal_choice goal_exact_bound 1999 aops wiki, 1999 usamo problems/problem 1 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1999_usamo_problems/problem_1 https://prase.cz/kalva/usa/usoln/usol991.html john scholes, usamo 1999 a1 arhiv resheniya secondary_solution src-usamo-1999-john-scholes-archive src-usamo-1999-p1-aops-wiki statement usamo usamo1999 with_solution ? aops wiki, 1999 usamo problems/problem 1 john scholes, usamo 1999 a1 arhiv resheniya stmt-original svyaznaya dominiruyuschaya konfiguratsiya shashek ai_checked na doske \\(n x n\\) rasstavleny shashki tak, chto: a) kazhdaya pustaya kletka imeet obschuyu storonu s zanyatoy; b) lyubye dve zanyatye kletki mozhno soedinit tsepochkoy zanyatyh kletok, v kotoroy sosednie kletki imeyut obschuyu storonu. dokazhite, chto shashek ne menshe \\((n^2-2)/3\\). stmt-graph shashki na doske i graf zanyatyh kletok ai_checked v grafe kletok doski \\(n x n\\) vershinami yavlyayutsya vse kletki, a rebra soedinyayut kletki s obschey storonoy. vybrano mnozhestvo vershin \\(s\\) takoe, chto indutsirovannyy podgraf na \\(s\\) svyazen, a kazhdaya vershina vsey doski libo prinadlezhit \\(s\\), libo smezhna s vershinoy iz \\(s\\). dokazhite, chto \\(|s| \\ge (n^2-2)/3\\). connected_graph degree induced_subgraph idea-reinsert-checkers-in-connected-order vozvraschat shashki v svyaznom poryadke esli uporyadochit zanyatye kletki tak, chtoby kazhdaya, krome pervoy, sosedstvovala s odnoy iz predyduschih, to pervaya shashka delaet horoshimi ne bolee 5 kletok, a kazhdaya sleduyuschaya — ne bolee 3 novyh kletok. extremal_choice ai_checked idea-circuit-rank-version mozhno usilit otsenku cherez tsiklomaticheskiy rang v grafovoy versii summa stepeney ravna `2v-2+2r`, gde `r` — tsiklomaticheskiy rang; eto daet dazhe bolee silnuyu otsenku `x >= (n^2-2+2r)/3`. double_counting ai_checked idea-delete-leaflike-checker udalyat shashku, sohranyaya svyaznost mozhno induktivno snimat odnu zanyatuyu kletku tak, chtoby ostavshiesya zanyatye kletki vse esche byli svyazny; togda kazhdyy novyy shag dobavlyaet ne bolee treh novyh horoshih kletok. induction ai_checked sol-good-squares-in-connected-order podschet horoshih kletok ai_checked connected_graph extremal_choice nazovem kletku horoshey, esli ona libo zanyata, libo imeet obschuyu storonu s zanyatoy. po usloviyu kazhdaya kletka doski horoshaya: zanyatye kletki horoshi po opredeleniyu, a kazhdaya pustaya kletka sosedstvuet s zanyatoy. znachit vsego horoshih kletok rovno `n^2`. oboznachim chislo shashek cherez `k` i rassmotrim graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya zanyatye kletki, a rebra soedinyayut zanyatye kletki s obschey storonoy. po usloviyu etot graf svyazen. poetomu ego vershiny mozhno uporyadochit kak `v_1,...,v_k` tak, chto pri `i>1` vershina `v_i` imeet soseda sredi `v_1,...,v_{i-1}`. naprimer, mozhno vzyat lyuboe ostovnoe derevo etogo grafa i perechislyat vershiny v poryadke ih pervogo poyavleniya pri obhode ot kornya. teper myslenno stavim shashki imenno v takom poryadke i schitaem, skolko novyh horoshih kletok mozhet poyavitsya na kazhdom shage. pervaya shashka delaet horoshimi ne bolee pyati kletok: svoyu kletku i maksimum chetyre kletki, imeyuschie… sol-circuit-rank-bound aops-versiya cherez tsiklomaticheskiy rang ai_checked connected_graph degree double_counting pust `x` — chislo shashek, a `g` — graf zanyatyh kletok: dve vershiny soedineny rebrom, esli sootvetstvuyuschie zanyatye kletki imeyut obschuyu storonu. po usloviyu `g` svyazen. otsenim sverhu chislo kletok, kotorye zanyaty ili imeyut obschuyu storonu s zanyatoy. esli schitat vklad kazhdoy shashki otdelno, to odna shashka mozhet pokryt ne bolee pyati kletok: svoyu kletku i chetyre sosednie po storone. takoy grubyy schet daet `5x`, no on zavyshaet otvet, kogda dve zanyatye kletki sosedstvuyut. deystvitelno, esli zanyatye kletki `u` i `v` imeyut obschuyu storonu, to pri podschete ot `u` kletka `v` uzhe schitaetsya, i pri podschete ot `v` kletka `u` tozhe uzhe schitaetsya; eti dve storony ne mogut otvechat za novye pustye kletki. poetomu iz summy `5x` mozhno vychest po odnomu za kazhduyu intsidentnost zanyatoy kletki s zanyatym sosedom. takih intsidentnostey rovno `sum deg(v)`. znachit chislo horoshih kletok ne prevoshodit `5x - sum deg(v)`. t… sol-john-scholes-connected-induction dzhon skoulz: induktsiya po svyaznomu mnozhestvu kletok ai_checked connected_graph path induction extremal_choice dokazhem bolee obschee utverzhdenie: esli `k` zanyatyh kletok obrazuyut svyaznoe mnozhestvo, to zanyatyh ili sosednih s zanyatymi kletok ne bolshe `3k+2`. posle etogo ishodnaya zadacha srazu sleduet, potomu chto po usloviyu vse `n^2` kletok doski zanyaty ili sosedstvuyut s zanyatoy. provedem induktsiyu po `k`. pri `k=1` odna shashka delaet horoshimi ne bolee pyati kletok: svoyu kletku i chetyre sosednie po storone. eto ravno `3*1+2`, tak chto baza verna. pust `k>1`. rassmotrim graf zanyatyh kletok i vyberem dve ego vershiny `a` i `b`, rasstoyanie mezhdu kotorymi maksimalno. utverzhdaem, chto udalenie `a` ne razrushaet svyaznost ostavshegosya grafa. deystvitelno, esli posle udaleniya `a` ostavshiesya vershiny raspalis by na neskolko komponent, to vse puti iz `b` v lyubuyu vershinu komponenty, ne soderzhaschey `b`, dolzhny byli by prohodit cherez `a`. v chastnosti, vzyav soseda `c` vershiny `a` v takoy drugoy komponente, poluchaem `…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2004-p4-black-path-grid-game","title":"Чёрный путь на сетке 6x6 после игры, USAMO 2004 P4","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2004-p4-black-path-grid-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2004-p4-black-path-grid-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2004-p4-black-path-grid-game","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2004 USAMO Problems/Problem 4"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":["Melanie Wood"],"tags":["extremal_choice","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Игровая задача, где графовый путь стоит уже в условии, а решение строит парную стратегию и разделяющий узор.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка поддержана опубликованным неофициальным wiki-/форумным источником; решение переписано локально и самодостаточно.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Игра на таблице 6x6","status":"ai_checked","text":"Алиса и Боб по очереди вписывают в пустые клетки таблицы \\(6 \\times 6\\) попарно различные рациональные числа; первой ходит Алиса. После заполнения таблицы в каждой строке закрашивается в чёрный цвет клетка с максимальным числом. Алиса выигрывает, если затем может провести путь из чёрных клеток от верхней стороны таблицы до нижней, переходя между клетками, имеющими общую сторону или вершину. Если такого пути нет, выигрывает Боб. Докажите, у кого есть выигрышная стратегия.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-bob-useless-squares","title":"Выигрышная стратегия Боба через запрещённые клетки","status":"ai_checked","definition_ids":["path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Покажем, что выигрывает Боб. Боб заранее объявляет запрещёнными следующие клетки. В строке `1` это столбцы `1,2,3`; в строке `2` — `1,2,3`; в строке `3` — `2,3,4`; в строке `4` — `3,4,5`; в строке `5` — `4,5,6`; в строке `6` — `4,5,6`. В каждой строке он произвольно разбивает три запрещённые и три незапрещённые клетки на пары, каждая пара лежит в одной строке и содержит одну запрещённую и одну незапрещённую клетку. Стратегия Боба такова. Если Алиса пишет число `x` в одной клетке некоторой пары, Боб немедленно пишет число в другой клетке этой пары. Если клетка Алисы была запрещённой, Боб выбирает рациональное число больше `x`; если клетка Алисы была незапрещённой, Боб выбирает рациональное число меньше `x`. Это всегда возможно, потому что между рациональными числами нет ближайших соседей и занято лишь конечное число значений. В итоге в каждой паре число в незапрещённой клетке больше числ…"},{"id":"sol-bob-shifted-row-pairing","title":"Та же стратегия в форме парной защиты строк","status":"ai_checked","definition_ids":["path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выигрышная стратегия Боба состоит не в выборе чисел по абсолютной величине, а в заранее заданных парах клеток. В каждой строке он объявляет запрещёнными три клетки: в строках `1,2` это столбцы `1,2,3`, в строке `3` — `2,3,4`, в строке `4` — `3,4,5`, в строках `5,6` — `4,5,6`. Каждую запрещённую клетку он парует с одной незапрещённой клеткой той же строки. Если Алиса играет в запрещённую клетку пары, Боб отвечает большим рациональным числом в её незапрещённой паре; если Алиса играет в незапрещённую клетку, Боб отвечает меньшим рациональным числом в запрещённой. Поэтому в каждой паре запрещённая клетка меньше незапрещённой и не может стать максимумом строки. Среди запрещённых клеток содержится лестница `(1,1)`, `(2,1),(2,2)`, `(3,2),(3,3)`, `(4,3),(4,4)`, `(5,4),(5,5)`, `(6,5),(6,6)`. Любой путь чёрных клеток сверху вниз должен проходить по одной чёрной клетке в каждой строке; если их сто…"}],"relations":[{"id":"rel-usamo-2004-p4-imo-2005-c3","neighbor_id":"imo-2005-c3-black-paths-injection","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1994-c6-usamo-2004-p4","neighbor_id":"imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-pass-menger-usamo-2004-grid-separator","neighbor_id":"menger-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-2004-p4-black-path-grid-game чёрный путь на сетке 6x6 после игры, usamo 2004 p4 extremal_choice goal_strategy_game 2004 aops wiki, 2004 usamo problems/problem 4 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2004_usamo_problems/problem_4 melanie wood melaniewood src-usamo-2004-p4-aops-wiki statement usamo usamo2004 with_solution melanie wood aops wiki, 2004 usamo problems/problem 4 stmt-original игра на таблице 6x6 ai_checked алиса и боб по очереди вписывают в пустые клетки таблицы \\(6 \\times 6\\) попарно различные рациональные числа; первой ходит алиса. после заполнения таблицы в каждой строке закрашивается в чёрный цвет клетка с максимальным числом. алиса выигрывает, если затем может провести путь из чёрных клеток от верхней стороны таблицы до нижней, переходя между клетками, имеющими общую сторону или вершину. если такого пути нет, выигрывает боб. докажите, у кого есть выигрышная стратегия. idea-forbidden-squares сделать заранее выбранные клетки невозможными максимумами в каждой строке боб выбирает три запрещённые клетки и попарно связывает их с тремя оставшимися клетками той же строки. ответом боба в паре можно всегда сделать число в незапрещённой клетке больше числа в запрещённой, поэтому запрещённая клетка не станет чёрной. extremal_choice ai_checked idea-staircase-separator лестничный барьер разрезает все верх-низ пути достаточно, чтобы среди запрещённых клеток были `(1,1)`, `(2,1),(2,2)`, `(3,2),(3,3)`, `(4,3),(4,4)`, `(5,4),(5,5)`, `(6,5),(6,6)`. любой путь из верхней строки в нижнюю, переходящий между соседними по стороне или вершине клетками, обязан пересечь эту лестницу. extremal_choice ai_checked sol-bob-useless-squares выигрышная стратегия боба через запрещённые клетки ai_checked path extremal_choice покажем, что выигрывает боб. боб заранее объявляет запрещёнными следующие клетки. в строке `1` это столбцы `1,2,3`; в строке `2` — `1,2,3`; в строке `3` — `2,3,4`; в строке `4` — `3,4,5`; в строке `5` — `4,5,6`; в строке `6` — `4,5,6`. в каждой строке он произвольно разбивает три запрещённые и три незапрещённые клетки на пары, каждая пара лежит в одной строке и содержит одну запрещённую и одну незапрещённую клетку. стратегия боба такова. если алиса пишет число `x` в одной клетке некоторой пары, боб немедленно пишет число в другой клетке этой пары. если клетка алисы была запрещённой, боб выбирает рациональное число больше `x`; если клетка алисы была незапрещённой, боб выбирает рациональное число меньше `x`. это всегда возможно, потому что между рациональными числами нет ближайших соседей и занято лишь конечное число значений. в итоге в каждой паре число в незапрещённой клетке больше числ… sol-bob-shifted-row-pairing та же стратегия в форме парной защиты строк ai_checked path extremal_choice выигрышная стратегия боба состоит не в выборе чисел по абсолютной величине, а в заранее заданных парах клеток. в каждой строке он объявляет запрещёнными три клетки: в строках `1,2` это столбцы `1,2,3`, в строке `3` — `2,3,4`, в строке `4` — `3,4,5`, в строках `5,6` — `4,5,6`. каждую запрещённую клетку он парует с одной незапрещённой клеткой той же строки. если алиса играет в запрещённую клетку пары, боб отвечает большим рациональным числом в её незапрещённой паре; если алиса играет в незапрещённую клетку, боб отвечает меньшим рациональным числом в запрещённой. поэтому в каждой паре запрещённая клетка меньше незапрещённой и не может стать максимумом строки. среди запрещённых клеток содержится лестница `(1,1)`, `(2,1),(2,2)`, `(3,2),(3,3)`, `(4,3),(4,4)`, `(5,4),(5,5)`, `(6,5),(6,6)`. любой путь чёрных клеток сверху вниз должен проходить по одной чёрной клетке в каждой строке; если их сто… usamo-2004-p4-black-path-grid-game chernyy put na setke 6x6 posle igry, usamo 2004 p4 extremal_choice goal_strategy_game 2004 aops wiki, 2004 usamo problems/problem 4 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2004_usamo_problems/problem_4 melanie wood melaniewood src-usamo-2004-p4-aops-wiki statement usamo usamo2004 with_solution melanie wood aops wiki, 2004 usamo problems/problem 4 stmt-original igra na tablitse 6x6 ai_checked alisa i bob po ocheredi vpisyvayut v pustye kletki tablitsy \\(6 \\times 6\\) poparno razlichnye ratsionalnye chisla; pervoy hodit alisa. posle zapolneniya tablitsy v kazhdoy stroke zakrashivaetsya v chernyy tsvet kletka s maksimalnym chislom. alisa vyigryvaet, esli zatem mozhet provesti put iz chernyh kletok ot verhney storony tablitsy do nizhney, perehodya mezhdu kletkami, imeyuschimi obschuyu storonu ili vershinu. esli takogo puti net, vyigryvaet bob. dokazhite, u kogo est vyigryshnaya strategiya. idea-forbidden-squares sdelat zaranee vybrannye kletki nevozmozhnymi maksimumami v kazhdoy stroke bob vybiraet tri zapreschennye kletki i poparno svyazyvaet ih s tremya ostavshimisya kletkami toy zhe stroki. otvetom boba v pare mozhno vsegda sdelat chislo v nezapreschennoy kletke bolshe chisla v zapreschennoy, poetomu zapreschennaya kletka ne stanet chernoy. extremal_choice ai_checked idea-staircase-separator lestnichnyy barer razrezaet vse verh-niz puti dostatochno, chtoby sredi zapreschennyh kletok byli `(1,1)`, `(2,1),(2,2)`, `(3,2),(3,3)`, `(4,3),(4,4)`, `(5,4),(5,5)`, `(6,5),(6,6)`. lyuboy put iz verhney stroki v nizhnyuyu, perehodyaschiy mezhdu sosednimi po storone ili vershine kletkami, obyazan peresech etu lestnitsu. extremal_choice ai_checked sol-bob-useless-squares vyigryshnaya strategiya boba cherez zapreschennye kletki ai_checked path extremal_choice pokazhem, chto vyigryvaet bob. bob zaranee obyavlyaet zapreschennymi sleduyuschie kletki. v stroke `1` eto stolbtsy `1,2,3`; v stroke `2` — `1,2,3`; v stroke `3` — `2,3,4`; v stroke `4` — `3,4,5`; v stroke `5` — `4,5,6`; v stroke `6` — `4,5,6`. v kazhdoy stroke on proizvolno razbivaet tri zapreschennye i tri nezapreschennye kletki na pary, kazhdaya para lezhit v odnoy stroke i soderzhit odnu zapreschennuyu i odnu nezapreschennuyu kletku. strategiya boba takova. esli alisa pishet chislo `x` v odnoy kletke nekotoroy pary, bob nemedlenno pishet chislo v drugoy kletke etoy pary. esli kletka alisy byla zapreschennoy, bob vybiraet ratsionalnoe chislo bolshe `x`; esli kletka alisy byla nezapreschennoy, bob vybiraet ratsionalnoe chislo menshe `x`. eto vsegda vozmozhno, potomu chto mezhdu ratsionalnymi chislami net blizhayshih sosedey i zanyato lish konechnoe chislo znacheniy. v itoge v kazhdoy pare chislo v nezapreschennoy kletke bolshe chisl… sol-bob-shifted-row-pairing ta zhe strategiya v forme parnoy zaschity strok ai_checked path extremal_choice vyigryshnaya strategiya boba sostoit ne v vybore chisel po absolyutnoy velichine, a v zaranee zadannyh parah kletok. v kazhdoy stroke on obyavlyaet zapreschennymi tri kletki: v strokah `1,2` eto stolbtsy `1,2,3`, v stroke `3` — `2,3,4`, v stroke `4` — `3,4,5`, v strokah `5,6` — `4,5,6`. kazhduyu zapreschennuyu kletku on paruet s odnoy nezapreschennoy kletkoy toy zhe stroki. esli alisa igraet v zapreschennuyu kletku pary, bob otvechaet bolshim ratsionalnym chislom v ee nezapreschennoy pare; esli alisa igraet v nezapreschennuyu kletku, bob otvechaet menshim ratsionalnym chislom v zapreschennoy. poetomu v kazhdoy pare zapreschennaya kletka menshe nezapreschennoy i ne mozhet stat maksimumom stroki. sredi zapreschennyh kletok soderzhitsya lestnitsa `(1,1)`, `(2,1),(2,2)`, `(3,2),(3,3)`, `(4,3),(4,4)`, `(5,4),(5,5)`, `(6,5),(6,6)`. lyuboy put chernyh kletok sverhu vniz dolzhen prohodit po odnoy chernoy kletke v kazhdoy stroke; esli ih sto…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2008-p3-diamond-lattice-path-partition","title":"Разбиение ромбовидной решётки на пути, USAMO 2008 P3","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2008-p3-diamond-lattice-path-partition.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2008-p3-diamond-lattice-path-partition.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2008-p3-diamond-lattice-path-partition","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2008 USAMO Problems/Problem 3"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":["Gabriel Carroll"],"tags":["coloring","parity_coloring","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Чистая графовая задача на покрытие путями и цветовой дисбаланс.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка поддержана опубликованным неофициальным wiki-/форумным источником; решение переписано локально и самодостаточно.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Пути в множестве \\(S_n\\)","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(S_n\\) — множество всех целочисленных точек \\((x,y)\\), для которых \\(|x| + |y+1/2| < n\\). Путём называется последовательность различных точек из \\(S_n\\), в которой соседние точки имеют расстояние \\(1\\). Докажите, что точки \\(S_n\\) нельзя разбить менее чем на \\(n\\) путей.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разбиение ромбовидной решётки на пути","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G_n\\) — граф, вершинами которого являются все целочисленные точки \\((x,y)\\) с \\(|x| + |y+1/2| < n\\), а рёбра соединяют пары точек на расстоянии \\(1\\). Докажите, что множество вершин \\(G_n\\) нельзя разбить менее чем на \\(n\\) попарно непересекающихся простых путей.","definition_ids":["path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-red-black-imbalance","title":"Красно-чёрный дисбаланс","status":"ai_checked","definition_ids":["path"],"standard_idea_ids":["alternating_paths"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Окрасим точки `S_n` красным и чёрным по горизонтальным строкам так, чтобы в каждой строке цвета чередовались, а первая и последняя точки строки были красными. Каждая строка множества `S_n` имеет нечётную длину, поэтому в каждой строке красных точек на одну больше, чем чёрных. Всего строк `2n`, значит во всём `S_n` красных точек ровно на `2n` больше, чем чёрных. Посмотрим, где две соседние точки могут оказаться обе красными. По горизонтали цвета чередуются, значит таких пар нет. Между соседними горизонтальными строками цвета тоже чередуются с противоположной фазой, кроме перехода между двумя средними строками `y=-1` и `y=0`. В этих двух строках лежит по `2n-1` точек, и вертикальных красно-красных соседств между ними ровно `n`: они соответствуют красным позициям в одной строке. Других красно-красных соседних пар нет. Пусть теперь `S_n` разбито на `m` путей. Разрежем каждый путь во всех ме…"}],"relations":[],"search_text":"usamo-2008-p3-diamond-lattice-path-partition разбиение ромбовидной решётки на пути, usamo 2008 p3 coloring parity_coloring goal_bound 2008 aops wiki, 2008 usamo problems/problem 3 gabriel carroll gabrielcarroll https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2008_usamo_problems/problem_3 src-usamo-2008-p3-aops-wiki statement usamo usamo2008 with_solution gabriel carroll aops wiki, 2008 usamo problems/problem 3 stmt-original пути в множестве \\(s_n\\) ai_checked пусть \\(s_n\\) — множество всех целочисленных точек \\((x,y)\\), для которых \\(|x| + |y+1/2| < n\\). путём называется последовательность различных точек из \\(s_n\\), в которой соседние точки имеют расстояние \\(1\\). докажите, что точки \\(s_n\\) нельзя разбить менее чем на \\(n\\) путей. stmt-graph разбиение ромбовидной решётки на пути ai_checked пусть \\(g_n\\) — граф, вершинами которого являются все целочисленные точки \\((x,y)\\) с \\(|x| + |y+1/2| < n\\), а рёбра соединяют пары точек на расстоянии \\(1\\). докажите, что множество вершин \\(g_n\\) нельзя разбить менее чем на \\(n\\) попарно непересекающихся простых путей. path idea-checkerboard-with-middle-defect шахматная раскраска с дефектом посередине если окрасить точки по строкам попеременно, начиная и заканчивая каждую строку красным, то красных точек на `2n` больше, чем чёрных. при этом соседние красные пары возникают только между двумя средними горизонтальными строками, и таких пар ровно `n`. coloring parity_coloring ai_checked sol-red-black-imbalance красно-чёрный дисбаланс ai_checked path alternating_paths окрасим точки `s_n` красным и чёрным по горизонтальным строкам так, чтобы в каждой строке цвета чередовались, а первая и последняя точки строки были красными. каждая строка множества `s_n` имеет нечётную длину, поэтому в каждой строке красных точек на одну больше, чем чёрных. всего строк `2n`, значит во всём `s_n` красных точек ровно на `2n` больше, чем чёрных. посмотрим, где две соседние точки могут оказаться обе красными. по горизонтали цвета чередуются, значит таких пар нет. между соседними горизонтальными строками цвета тоже чередуются с противоположной фазой, кроме перехода между двумя средними строками `y=-1` и `y=0`. в этих двух строках лежит по `2n-1` точек, и вертикальных красно-красных соседств между ними ровно `n`: они соответствуют красным позициям в одной строке. других красно-красных соседних пар нет. пусть теперь `s_n` разбито на `m` путей. разрежем каждый путь во всех ме… usamo-2008-p3-diamond-lattice-path-partition razbienie rombovidnoy reshetki na puti, usamo 2008 p3 coloring parity_coloring goal_bound 2008 aops wiki, 2008 usamo problems/problem 3 gabriel carroll gabrielcarroll https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2008_usamo_problems/problem_3 src-usamo-2008-p3-aops-wiki statement usamo usamo2008 with_solution gabriel carroll aops wiki, 2008 usamo problems/problem 3 stmt-original puti v mnozhestve \\(s_n\\) ai_checked pust \\(s_n\\) — mnozhestvo vseh tselochislennyh tochek \\((x,y)\\), dlya kotoryh \\(|x| + |y+1/2| < n\\). putem nazyvaetsya posledovatelnost razlichnyh tochek iz \\(s_n\\), v kotoroy sosednie tochki imeyut rasstoyanie \\(1\\). dokazhite, chto tochki \\(s_n\\) nelzya razbit menee chem na \\(n\\) putey. stmt-graph razbienie rombovidnoy reshetki na puti ai_checked pust \\(g_n\\) — graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya vse tselochislennye tochki \\((x,y)\\) s \\(|x| + |y+1/2| < n\\), a rebra soedinyayut pary tochek na rasstoyanii \\(1\\). dokazhite, chto mnozhestvo vershin \\(g_n\\) nelzya razbit menee chem na \\(n\\) poparno neperesekayuschihsya prostyh putey. path idea-checkerboard-with-middle-defect shahmatnaya raskraska s defektom poseredine esli okrasit tochki po strokam poperemenno, nachinaya i zakanchivaya kazhduyu stroku krasnym, to krasnyh tochek na `2n` bolshe, chem chernyh. pri etom sosednie krasnye pary voznikayut tolko mezhdu dvumya srednimi gorizontalnymi strokami, i takih par rovno `n`. coloring parity_coloring ai_checked sol-red-black-imbalance krasno-chernyy disbalans ai_checked path alternating_paths okrasim tochki `s_n` krasnym i chernym po gorizontalnym strokam tak, chtoby v kazhdoy stroke tsveta cheredovalis, a pervaya i poslednyaya tochki stroki byli krasnymi. kazhdaya stroka mnozhestva `s_n` imeet nechetnuyu dlinu, poetomu v kazhdoy stroke krasnyh tochek na odnu bolshe, chem chernyh. vsego strok `2n`, znachit vo vsem `s_n` krasnyh tochek rovno na `2n` bolshe, chem chernyh. posmotrim, gde dve sosednie tochki mogut okazatsya obe krasnymi. po gorizontali tsveta chereduyutsya, znachit takih par net. mezhdu sosednimi gorizontalnymi strokami tsveta tozhe chereduyutsya s protivopolozhnoy fazoy, krome perehoda mezhdu dvumya srednimi strokami `y=-1` i `y=0`. v etih dvuh strokah lezhit po `2n-1` tochek, i vertikalnyh krasno-krasnyh sosedstv mezhdu nimi rovno `n`: oni sootvetstvuyut krasnym pozitsiyam v odnoy stroke. drugih krasno-krasnyh sosednih par net. pust teper `s_n` razbito na `m` putey. razrezhem kazhdyy put vo vseh me…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2008-p6-even-friends-two-rooms","title":"Две комнаты и чётное число друзей, USAMO 2008 P6","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2008-p6-even-friends-two-rooms.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2008-p6-even-friends-two-rooms.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2008-p6-even-friends-two-rooms","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2008 USAMO Problems/Problem 6"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":["Sam Vandervelde"],"tags":["coloring","graph_symmetry","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Социальный граф с нетривиальным линейно-алгебраическим решением над F_2.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка поддержана опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, wiki-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Конференция и две столовые","status":"ai_checked","text":"На конференции любые два математика либо друзья, либо нет. Во время еды каждый участник выбирает одну из двух больших столовых, причём хочет сидеть в комнате, где число его друзей чётно. Докажите, что число способов разбить участников между двумя комнатами является степенью двойки.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Две комнаты и чётное число друзей","status":"ai_checked","text":"Пусть дан граф дружбы \\(G\\). Требуется посчитать число разбиений \\(V(G)=V_0 \\sqcup V_1\\), для которых у каждой вершины число соседей в её собственной доле чётно. Докажите, что это число равно \\(2^k\\) для некоторого \\(k\\).","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-adjacency-matrix-over-f2","title":"Линейная алгебра над \\(F_2\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф дружбы `G` и будем считать номер комнаты вершины `v` элементом `x_v` поля `F_2`. Для вершины `v` условие чётности числа друзей в той же комнате равно \\[ \\sum_{u\\sim v}(1+x_u+x_v)=0 \\pmod 2. \\] Если `d(v)` — степень вершины, это линейная система `Bx=d` над `F_2`, где `d` — вектор степеней по модулю 2, внедиагональные элементы `B` равны матрице смежности, а диагональный элемент `B_{vv}` равен `d(v)` по модулю 2. Осталось проверить, что система совместна. Матрица `B` симметрична. Для любой строки сумма элементов равна `d(v)+d(v)=0`, значит вектор всех единиц лежит в ядре `B`; но важнее следующее: если `y` лежит в ядре `B`, то \\[ 0=y^TBy=\\sum_v d(v)y_v+2\\sum_{uv\\in E}y_uy_v=\\sum_v d(v)y_v \\] в `F_2`. Значит правая часть `d` ортогональна всему ядру `B`, а для симметричной матрицы это ровно условие принадлежности `d` её столбцовому пространству. Следовательно, хотя бы одно доп…"},{"id":"sol-good-configurations-as-group","title":"AoPS-альтернатива: хорошие конфигурации образуют `2`-группу","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала напомним, почему хотя бы одно хорошее разбиение существует. Закодируем выбор комнаты для вершины `v` числом `x_v` из поля `F_2`. Условие «у `v` чётное число друзей в своей комнате» имеет вид `sum_{u~v}(1+x_u+x_v)=0`. Это линейная система над `F_2`. Как в матричном решении выше, её правая часть ортогональна ядру симметричной матрицы системы, поэтому система совместна. Значит можно зафиксировать одно хорошее разбиение `P`. Теперь для любого другого разбиения `Q` запишем множество `S(Q)` участников, которые перешли в другую комнату по сравнению с `P`. Такое множество будем называть допустимым приказом, если после переключения всех участников из `S(Q)` снова получается хорошее разбиение. Нам нужно доказать, что допустимых приказов степень двойки. Пусть `p_v` — номер комнаты вершины `v` в зафиксированном хорошем разбиении `P`, а `s_v` — индикатор того, что вершину `v` приказано перек…"},{"id":"sol-existence-by-switching-odd-vertex","title":"Счётная версия AoPS-индукции с переключением соседей","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Усилим переключающую индукцию до счёта. Если в графе есть вершина `v` нечётной степени, удалим её и у всех пар вершин из `N(v)` переключим наличие ребра; пусть полученный граф равен `H`. Хорошее разбиение `H` единственным образом продолжается до хорошего разбиения исходного графа: так как `deg(v)` нечётна, среди двух комнат ровно в одной число соседей `v` чётно, и туда надо посадить `v`. Проверка для соседей `v` обратима: переключение рёбер внутри `N(v)` ровно компенсирует добавление вершины `v`, а для остальных вершин условие не меняется. Поэтому число хороших разбиений не меняется при таком шаге. Повторяя шаг, приходим к графу, где все степени чётны. В таком графе условие «у каждой вершины чётно много соседей в своей комнате» эквивалентно тому, что каждая вершина имеет чётное число соседей по другую сторону разбиения. Множества вершин, задающие одну из комнат и удовлетворяющие этому у…"}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2010-p4-usamo-2008-f2-toggle-parity","neighbor_id":"cmo-2010-p4-graph-neighborhood-toggle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-pass-usamo-2008-handshaking-parity","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-2008-p6-even-friends-two-rooms две комнаты и чётное число друзей, usamo 2008 p6 coloring graph_symmetry goal_counting 2008 aops wiki, 2008 usamo problems/problem 6 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2008_usamo_problems/problem_6 sam vandervelde samvandervelde src-usamo-2008-p6-aops-wiki statement usamo usamo2008 with_solution sam vandervelde aops wiki, 2008 usamo problems/problem 6 stmt-original конференция и две столовые ai_checked на конференции любые два математика либо друзья, либо нет. во время еды каждый участник выбирает одну из двух больших столовых, причём хочет сидеть в комнате, где число его друзей чётно. докажите, что число способов разбить участников между двумя комнатами является степенью двойки. stmt-graph две комнаты и чётное число друзей ai_checked пусть дан граф дружбы \\(g\\). требуется посчитать число разбиений \\(v(g)=v_0 \\sqcup v_1\\), для которых у каждой вершины число соседей в её собственной доле чётно. докажите, что это число равно \\(2^k\\) для некоторого \\(k\\). simple_graph degree idea-affine-solution-space-over-f2 допустимые разбиения образуют аффинное пространство если кодировать выбор комнаты функцией `f:v->f_2`, то условие чётности на каждой вершине становится линейным уравнением над `f_2`. coloring ai_checked idea-orders-form-abelian-group переходы между хорошими разбиениями образуют `f_2`-группу если фиксировать одно хорошее разбиение, то набор людей, которых надо «переключить комнату», чтобы получить другое хорошее разбиение, замкнут по сложению по модулю `2`. coloring ai_checked idea-delete-odd-vertex-and-switch-neighborhood удалять вершину нечётной степени и переключать рёбра в её окружении индуктивно можно удалять вершину нечётной степени и заменять граф её переключением зейделя на соседях; существование хотя бы одного хорошего разбиения сохраняется. induction ai_checked sol-adjacency-matrix-over-f2 линейная алгебра над \\(f_2\\) ai_checked simple_graph degree рассмотрим граф дружбы `g` и будем считать номер комнаты вершины `v` элементом `x_v` поля `f_2`. для вершины `v` условие чётности числа друзей в той же комнате равно \\[ \\sum_{u\\sim v}(1+x_u+x_v)=0 \\pmod 2. \\] если `d(v)` — степень вершины, это линейная система `bx=d` над `f_2`, где `d` — вектор степеней по модулю 2, внедиагональные элементы `b` равны матрице смежности, а диагональный элемент `b_{vv}` равен `d(v)` по модулю 2. осталось проверить, что система совместна. матрица `b` симметрична. для любой строки сумма элементов равна `d(v)+d(v)=0`, значит вектор всех единиц лежит в ядре `b`; но важнее следующее: если `y` лежит в ядре `b`, то \\[ 0=y^tby=\\sum_v d(v)y_v+2\\sum_{uv\\in e}y_uy_v=\\sum_v d(v)y_v \\] в `f_2`. значит правая часть `d` ортогональна всему ядру `b`, а для симметричной матрицы это ровно условие принадлежности `d` её столбцовому пространству. следовательно, хотя бы одно доп… sol-good-configurations-as-group aops-альтернатива: хорошие конфигурации образуют `2`-группу ai_checked simple_graph degree сначала напомним, почему хотя бы одно хорошее разбиение существует. закодируем выбор комнаты для вершины `v` числом `x_v` из поля `f_2`. условие «у `v` чётное число друзей в своей комнате» имеет вид `sum_{u~v}(1+x_u+x_v)=0`. это линейная система над `f_2`. как в матричном решении выше, её правая часть ортогональна ядру симметричной матрицы системы, поэтому система совместна. значит можно зафиксировать одно хорошее разбиение `p`. теперь для любого другого разбиения `q` запишем множество `s(q)` участников, которые перешли в другую комнату по сравнению с `p`. такое множество будем называть допустимым приказом, если после переключения всех участников из `s(q)` снова получается хорошее разбиение. нам нужно доказать, что допустимых приказов степень двойки. пусть `p_v` — номер комнаты вершины `v` в зафиксированном хорошем разбиении `p`, а `s_v` — индикатор того, что вершину `v` приказано перек… sol-existence-by-switching-odd-vertex счётная версия aops-индукции с переключением соседей ai_checked simple_graph degree induction delete_to_simplify усилим переключающую индукцию до счёта. если в графе есть вершина `v` нечётной степени, удалим её и у всех пар вершин из `n(v)` переключим наличие ребра; пусть полученный граф равен `h`. хорошее разбиение `h` единственным образом продолжается до хорошего разбиения исходного графа: так как `deg(v)` нечётна, среди двух комнат ровно в одной число соседей `v` чётно, и туда надо посадить `v`. проверка для соседей `v` обратима: переключение рёбер внутри `n(v)` ровно компенсирует добавление вершины `v`, а для остальных вершин условие не меняется. поэтому число хороших разбиений не меняется при таком шаге. повторяя шаг, приходим к графу, где все степени чётны. в таком графе условие «у каждой вершины чётно много соседей в своей комнате» эквивалентно тому, что каждая вершина имеет чётное число соседей по другую сторону разбиения. множества вершин, задающие одну из комнат и удовлетворяющие этому у… usamo-2008-p6-even-friends-two-rooms dve komnaty i chetnoe chislo druzey, usamo 2008 p6 coloring graph_symmetry goal_counting 2008 aops wiki, 2008 usamo problems/problem 6 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2008_usamo_problems/problem_6 sam vandervelde samvandervelde src-usamo-2008-p6-aops-wiki statement usamo usamo2008 with_solution sam vandervelde aops wiki, 2008 usamo problems/problem 6 stmt-original konferentsiya i dve stolovye ai_checked na konferentsii lyubye dva matematika libo druzya, libo net. vo vremya edy kazhdyy uchastnik vybiraet odnu iz dvuh bolshih stolovyh, prichem hochet sidet v komnate, gde chislo ego druzey chetno. dokazhite, chto chislo sposobov razbit uchastnikov mezhdu dvumya komnatami yavlyaetsya stepenyu dvoyki. stmt-graph dve komnaty i chetnoe chislo druzey ai_checked pust dan graf druzhby \\(g\\). trebuetsya poschitat chislo razbieniy \\(v(g)=v_0 \\sqcup v_1\\), dlya kotoryh u kazhdoy vershiny chislo sosedey v ee sobstvennoy dole chetno. dokazhite, chto eto chislo ravno \\(2^k\\) dlya nekotorogo \\(k\\). simple_graph degree idea-affine-solution-space-over-f2 dopustimye razbieniya obrazuyut affinnoe prostranstvo esli kodirovat vybor komnaty funktsiey `f:v->f_2`, to uslovie chetnosti na kazhdoy vershine stanovitsya lineynym uravneniem nad `f_2`. coloring ai_checked idea-orders-form-abelian-group perehody mezhdu horoshimi razbieniyami obrazuyut `f_2`-gruppu esli fiksirovat odno horoshee razbienie, to nabor lyudey, kotoryh nado «pereklyuchit komnatu», chtoby poluchit drugoe horoshee razbienie, zamknut po slozheniyu po modulyu `2`. coloring ai_checked idea-delete-odd-vertex-and-switch-neighborhood udalyat vershinu nechetnoy stepeni i pereklyuchat rebra v ee okruzhenii induktivno mozhno udalyat vershinu nechetnoy stepeni i zamenyat graf ee pereklyucheniem zeydelya na sosedyah; suschestvovanie hotya by odnogo horoshego razbieniya sohranyaetsya. induction ai_checked sol-adjacency-matrix-over-f2 lineynaya algebra nad \\(f_2\\) ai_checked simple_graph degree rassmotrim graf druzhby `g` i budem schitat nomer komnaty vershiny `v` elementom `x_v` polya `f_2`. dlya vershiny `v` uslovie chetnosti chisla druzey v toy zhe komnate ravno \\[ \\sum_{u\\sim v}(1+x_u+x_v)=0 \\pmod 2. \\] esli `d(v)` — stepen vershiny, eto lineynaya sistema `bx=d` nad `f_2`, gde `d` — vektor stepeney po modulyu 2, vnediagonalnye elementy `b` ravny matritse smezhnosti, a diagonalnyy element `b_{vv}` raven `d(v)` po modulyu 2. ostalos proverit, chto sistema sovmestna. matritsa `b` simmetrichna. dlya lyuboy stroki summa elementov ravna `d(v)+d(v)=0`, znachit vektor vseh edinits lezhit v yadre `b`; no vazhnee sleduyuschee: esli `y` lezhit v yadre `b`, to \\[ 0=y^tby=\\sum_v d(v)y_v+2\\sum_{uv\\in e}y_uy_v=\\sum_v d(v)y_v \\] v `f_2`. znachit pravaya chast `d` ortogonalna vsemu yadru `b`, a dlya simmetrichnoy matritsy eto rovno uslovie prinadlezhnosti `d` ee stolbtsovomu prostranstvu. sledovatelno, hotya by odno dop… sol-good-configurations-as-group aops-alternativa: horoshie konfiguratsii obrazuyut `2`-gruppu ai_checked simple_graph degree snachala napomnim, pochemu hotya by odno horoshee razbienie suschestvuet. zakodiruem vybor komnaty dlya vershiny `v` chislom `x_v` iz polya `f_2`. uslovie «u `v` chetnoe chislo druzey v svoey komnate» imeet vid `sum_{u~v}(1+x_u+x_v)=0`. eto lineynaya sistema nad `f_2`. kak v matrichnom reshenii vyshe, ee pravaya chast ortogonalna yadru simmetrichnoy matritsy sistemy, poetomu sistema sovmestna. znachit mozhno zafiksirovat odno horoshee razbienie `p`. teper dlya lyubogo drugogo razbieniya `q` zapishem mnozhestvo `s(q)` uchastnikov, kotorye pereshli v druguyu komnatu po sravneniyu s `p`. takoe mnozhestvo budem nazyvat dopustimym prikazom, esli posle pereklyucheniya vseh uchastnikov iz `s(q)` snova poluchaetsya horoshee razbienie. nam nuzhno dokazat, chto dopustimyh prikazov stepen dvoyki. pust `p_v` — nomer komnaty vershiny `v` v zafiksirovannom horoshem razbienii `p`, a `s_v` — indikator togo, chto vershinu `v` prikazano perek… sol-existence-by-switching-odd-vertex schetnaya versiya aops-induktsii s pereklyucheniem sosedey ai_checked simple_graph degree induction delete_to_simplify usilim pereklyuchayuschuyu induktsiyu do scheta. esli v grafe est vershina `v` nechetnoy stepeni, udalim ee i u vseh par vershin iz `n(v)` pereklyuchim nalichie rebra; pust poluchennyy graf raven `h`. horoshee razbienie `h` edinstvennym obrazom prodolzhaetsya do horoshego razbieniya ishodnogo grafa: tak kak `deg(v)` nechetna, sredi dvuh komnat rovno v odnoy chislo sosedey `v` chetno, i tuda nado posadit `v`. proverka dlya sosedey `v` obratima: pereklyuchenie reber vnutri `n(v)` rovno kompensiruet dobavlenie vershiny `v`, a dlya ostalnyh vershin uslovie ne menyaetsya. poetomu chislo horoshih razbieniy ne menyaetsya pri takom shage. povtoryaya shag, prihodim k grafu, gde vse stepeni chetny. v takom grafe uslovie «u kazhdoy vershiny chetno mnogo sosedey v svoey komnate» ekvivalentno tomu, chto kazhdaya vershina imeet chetnoe chislo sosedey po druguyu storonu razbieniya. mnozhestva vershin, zadayuschie odnu iz komnat i udovletvoryayuschie etomu u…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles","title":"Изящные домино-разбиения шахматного многоугольника, USAMO 2009 P3","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["2009 USAMO Problems/Problem 3","USAMO 2009 Solution Notes","2009 USAMO Problem 3"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":["Sam Vandervelde"],"tags":["matching","planar_graphs","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Формулировка выглядит как задача о замощениях, но существенная часть уникальности реально держится на наложении двух совершенных паросочетаний и чередующиеся циклы.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"У олимпиадной карточки есть официальный источник или источник уровня шорт-листа/сборника, а решение имеет статус ai_checked.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Шахматным многоугольником назовём многоугольник, стороны которого лежат на прямых \\(x=a\\) или \\(y=b\\), где \\(a,b\\) — целые; его внутренность разбивается этими прямыми на единичные клетки шахматной раскраски. Домино-разбиение такого многоугольника — это точное покрытие неперекрывающимися прямоугольниками \\(1 \\times 2\\) и \\(2 \\times 1\\). Зафиксируем раскраску так, что в рассматриваемом \\(2 \\times 2\\)-блоке нижняя левая клетка может быть названа чёрной или белой. Запрещены два цветных локальных рисунка: две вертикальные домино в \\(2 \\times 2\\)-блоке, когда нижняя левая клетка чёрная, и две горизонтальные домино в \\(2 \\times 2\\)-блоке, когда нижняя левая клетка белая. Назовём разбиение изящное, если ни один из этих двух рисунков в нём не встречается. Докажите: a) если шахматный многоугольник можно замостить домино, то это можно сделать изящным образом; b) такое изящное разбиение единственно.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Допустимые совершенные паросочетания в подграфах квадратной решётки","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный индуцированный подграф квадратной решётки с раскраской вершин по чётности координат. Совершенное паросочетание \\(M\\) назовём допустимым, если для каждого единичного \\(4\\)-цикла выполнены два запрета: при чёрной нижней левой вершине \\(M\\) не содержит обе вертикальные стороны цикла, а при белой нижней левой вершине \\(M\\) не содержит обе горизонтальные стороны цикла. Докажите, что если в \\(G\\) существует совершенное паросочетание, то существует ровно одно допустимое совершенное паросочетание.","definition_ids":["bipartite_graph","matching","cycle","induced_subgraph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-induction-plus-alternating-cycles","title":"Индукция для существования и чередующиеся циклы для единственности","status":"ai_checked","definition_ids":["matching","cycle","alternating_path"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice","alternating_paths"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем сначала существование изящного разбиения индукцией по числу домино. Среди самых левых клеток многоугольника выберем нижнюю и назовём её `L`; это граничный угол, поэтому у `L` нет клеток слева и снизу. Пусть для начала `L` чёрная. Возьмём какое-нибудь домино-разбиение и удалим домино `D`, покрывающее `L`. Остаток снова является шахматным многоугольником и замощается на одно домино меньше, значит по индукции его можно замостить изящным образом. Если `D` горизонтально, возвращение `D` не создаёт запрещённый рисунок: вертикальный запрещённый блок не использует `D`, а горизонтальный запрещённый блок с `D` потребовал бы клеток ниже `L`. Если `D` вертикально, единственная возможная новая неприятность — вертикальное домино непосредственно справа от `D`; тогда эти две вертикальные домино образуют `2x2`-квадрат, и мы поворачиваем их в две горизонтальные домино. После такого поворота исход…"},{"id":"sol-community-overlay-boundary","title":"Версия сообщества: наложение двух разбиений и крайний цикл","status":"ai_checked","definition_ids":["matching","cycle","alternating_path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","alternating_paths"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"В версии сообщества удобно отделить чисто графовый каркас от локальной проверки. Наложим два предполагаемых изящных разбиения `T` и `M` и покрасим их домино в два цвета. Общие домино можно отбросить; в оставшейся симметрической разности каждая клетка инцидентна ровно двум домино, одному из `T` и одному из `M`. Поэтому каждая компонента — чётный цикл, а вдоль него цвета домино чередуются. Цикл длины `2` невозможен: это ровно один `2x2`-квадрат, замощённый вертикально в одном разбиении и горизонтально в другом, а из двух таких цветных картинок одна является запрещённой. Возьмём любую оставшуюся компоненту-цикл `C` и область `R`, которую она окружает. На нижней строке `R` есть горизонтальный участок цикла. Среди горизонтальных домино этой нижней строки появляется `WB`-домино; если горизонтальный участок единственный, то две вертикальные домино, с которыми он чередуется, заставляют тот же в…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-2016-c8-usamo-2009-p3","neighbor_id":"imo-2016-c8-domino-unique-tiling-cycles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2019-p6-usamo-2009-p3-symmetric-difference-alternating-cycles","neighbor_id":"spbmo-2019-9-11-p6-regular-graph-2-switches","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-pass-egmo-2022-usamo-2009-domino-matchings","neighbor_id":"egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-after-tags-konig-usamo-2009-tiling","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-matching-tiling-usamo-2009-imo-2020-alternating-decomposition","neighbor_id":"imo-2020-c6-colored-coins-eulerian-multigraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-matching-tiling-kolm-2007-usamo-2009-cycle-decomposition","neighbor_id":"kolmogorov-2007-round-2-first-league-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles изящные домино-разбиения шахматного многоугольника, usamo 2009 p3 matching planar_graphs goal_characterization 2009 2009 usamo problem 3 2009 usamo problems/problem 3 community_solution https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2009_usamo_problems/problem_3 https://siongui.github.io/2017/04/25/2009-usamo-problem-3/ https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2009-notes.pdf problem_archive sam vandervelde samvandervelde solution_notes src-usamo-2009-evan-chen-notes src-usamo-2009-p3-aops-wiki src-usamo-2009-p3-shen-fu-tsai usamo usamo 2009 solution notes usamo2009 with_solution sam vandervelde 2009 usamo problems/problem 3 usamo 2009 solution notes 2009 usamo problem 3 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked шахматным многоугольником назовём многоугольник, стороны которого лежат на прямых \\(x=a\\) или \\(y=b\\), где \\(a,b\\) — целые; его внутренность разбивается этими прямыми на единичные клетки шахматной раскраски. домино-разбиение такого многоугольника — это точное покрытие неперекрывающимися прямоугольниками \\(1 \\times 2\\) и \\(2 \\times 1\\). зафиксируем раскраску так, что в рассматриваемом \\(2 \\times 2\\)-блоке нижняя левая клетка может быть названа чёрной или белой. запрещены два цветных локальных рисунка: две вертикальные домино в \\(2 \\times 2\\)-блоке, когда нижняя левая клетка чёрная, и две горизонтальные домино в \\(2 \\times 2\\)-блоке, когда нижняя левая клетка белая. назовём разбиение изящное, если ни один из этих двух рисунков в нём не встречается. докажите: a) если шахматный многоугольник можно замостить домино, то это можно сделать изящным образом; b) такое изящное разбиение единственно. stmt-graph допустимые совершенные паросочетания в подграфах квадратной решётки ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный индуцированный подграф квадратной решётки с раскраской вершин по чётности координат. совершенное паросочетание \\(m\\) назовём допустимым, если для каждого единичного \\(4\\)-цикла выполнены два запрета: при чёрной нижней левой вершине \\(m\\) не содержит обе вертикальные стороны цикла, а при белой нижней левой вершине \\(m\\) не содержит обе горизонтальные стороны цикла. докажите, что если в \\(g\\) существует совершенное паросочетание, то существует ровно одно допустимое совершенное паросочетание. bipartite_graph matching cycle induced_subgraph idea-peel-corner-domino-inductively хорошее разбиение строится снятием вынужденного углового домино у шахматного многоугольника всегда найдётся крайняя клетка, возле которой любое изящное разбиение обязано содержать конкретное домино. удалив его, мы уменьшаем площадь и продолжаем индукцию. induction ai_checked idea-symmetric-difference-gives-alternating-cycles наложение двух разбиений даёт чередующиеся циклы если сравнить изящное разбиение с любым другим, то в каждой клетке участвует ровно одно домино каждого цвета, так что симметрическая разность образует `2`-регулярный двуцветный граф и потому распадается на чётные чередующиеся циклы. matching ai_checked idea-boundary-forces-distasteful-corner-on-cycle каждый такой цикл порождает запрещённый локальный рисунок рассматривая самую левую или нижнюю точку компоненты симметрической разности, получаем вынужденный локальный поворот. он неизбежно реализует один из запрещённых паттернов, значит при изящное-разбиении ни одного чередующегося цикла быть не может. extremal_choice ai_checked sol-induction-plus-alternating-cycles индукция для существования и чередующиеся циклы для единственности ai_checked matching cycle alternating_path induction extremal_choice alternating_paths докажем сначала существование изящного разбиения индукцией по числу домино. среди самых левых клеток многоугольника выберем нижнюю и назовём её `l`; это граничный угол, поэтому у `l` нет клеток слева и снизу. пусть для начала `l` чёрная. возьмём какое-нибудь домино-разбиение и удалим домино `d`, покрывающее `l`. остаток снова является шахматным многоугольником и замощается на одно домино меньше, значит по индукции его можно замостить изящным образом. если `d` горизонтально, возвращение `d` не создаёт запрещённый рисунок: вертикальный запрещённый блок не использует `d`, а горизонтальный запрещённый блок с `d` потребовал бы клеток ниже `l`. если `d` вертикально, единственная возможная новая неприятность — вертикальное домино непосредственно справа от `d`; тогда эти две вертикальные домино образуют `2x2`-квадрат, и мы поворачиваем их в две горизонтальные домино. после такого поворота исход… sol-community-overlay-boundary версия сообщества: наложение двух разбиений и крайний цикл ai_checked matching cycle alternating_path extremal_choice alternating_paths в версии сообщества удобно отделить чисто графовый каркас от локальной проверки. наложим два предполагаемых изящных разбиения `t` и `m` и покрасим их домино в два цвета. общие домино можно отбросить; в оставшейся симметрической разности каждая клетка инцидентна ровно двум домино, одному из `t` и одному из `m`. поэтому каждая компонента — чётный цикл, а вдоль него цвета домино чередуются. цикл длины `2` невозможен: это ровно один `2x2`-квадрат, замощённый вертикально в одном разбиении и горизонтально в другом, а из двух таких цветных картинок одна является запрещённой. возьмём любую оставшуюся компоненту-цикл `c` и область `r`, которую она окружает. на нижней строке `r` есть горизонтальный участок цикла. среди горизонтальных домино этой нижней строки появляется `wb`-домино; если горизонтальный участок единственный, то две вертикальные домино, с которыми он чередуется, заставляют тот же в… usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles izyaschnye domino-razbieniya shahmatnogo mnogougolnika, usamo 2009 p3 matching planar_graphs goal_characterization 2009 2009 usamo problem 3 2009 usamo problems/problem 3 community_solution https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2009_usamo_problems/problem_3 https://siongui.github.io/2017/04/25/2009-usamo-problem-3/ https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2009-notes.pdf problem_archive sam vandervelde samvandervelde solution_notes src-usamo-2009-evan-chen-notes src-usamo-2009-p3-aops-wiki src-usamo-2009-p3-shen-fu-tsai usamo usamo 2009 solution notes usamo2009 with_solution sam vandervelde 2009 usamo problems/problem 3 usamo 2009 solution notes 2009 usamo problem 3 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked shahmatnym mnogougolnikom nazovem mnogougolnik, storony kotorogo lezhat na pryamyh \\(x=a\\) ili \\(y=b\\), gde \\(a,b\\) — tselye; ego vnutrennost razbivaetsya etimi pryamymi na edinichnye kletki shahmatnoy raskraski. domino-razbienie takogo mnogougolnika — eto tochnoe pokrytie neperekryvayuschimisya pryamougolnikami \\(1 \\times 2\\) i \\(2 \\times 1\\). zafiksiruem raskrasku tak, chto v rassmatrivaemom \\(2 \\times 2\\)-bloke nizhnyaya levaya kletka mozhet byt nazvana chernoy ili beloy. zaprescheny dva tsvetnyh lokalnyh risunka: dve vertikalnye domino v \\(2 \\times 2\\)-bloke, kogda nizhnyaya levaya kletka chernaya, i dve gorizontalnye domino v \\(2 \\times 2\\)-bloke, kogda nizhnyaya levaya kletka belaya. nazovem razbienie izyaschnoe, esli ni odin iz etih dvuh risunkov v nem ne vstrechaetsya. dokazhite: a) esli shahmatnyy mnogougolnik mozhno zamostit domino, to eto mozhno sdelat izyaschnym obrazom; b) takoe izyaschnoe razbienie edinstvenno. stmt-graph dopustimye sovershennye parosochetaniya v podgrafah kvadratnoy reshetki ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy indutsirovannyy podgraf kvadratnoy reshetki s raskraskoy vershin po chetnosti koordinat. sovershennoe parosochetanie \\(m\\) nazovem dopustimym, esli dlya kazhdogo edinichnogo \\(4\\)-tsikla vypolneny dva zapreta: pri chernoy nizhney levoy vershine \\(m\\) ne soderzhit obe vertikalnye storony tsikla, a pri beloy nizhney levoy vershine \\(m\\) ne soderzhit obe gorizontalnye storony tsikla. dokazhite, chto esli v \\(g\\) suschestvuet sovershennoe parosochetanie, to suschestvuet rovno odno dopustimoe sovershennoe parosochetanie. bipartite_graph matching cycle induced_subgraph idea-peel-corner-domino-inductively horoshee razbienie stroitsya snyatiem vynuzhdennogo uglovogo domino u shahmatnogo mnogougolnika vsegda naydetsya kraynyaya kletka, vozle kotoroy lyuboe izyaschnoe razbienie obyazano soderzhat konkretnoe domino. udaliv ego, my umenshaem ploschad i prodolzhaem induktsiyu. induction ai_checked idea-symmetric-difference-gives-alternating-cycles nalozhenie dvuh razbieniy daet chereduyuschiesya tsikly esli sravnit izyaschnoe razbienie s lyubym drugim, to v kazhdoy kletke uchastvuet rovno odno domino kazhdogo tsveta, tak chto simmetricheskaya raznost obrazuet `2`-regulyarnyy dvutsvetnyy graf i potomu raspadaetsya na chetnye chereduyuschiesya tsikly. matching ai_checked idea-boundary-forces-distasteful-corner-on-cycle kazhdyy takoy tsikl porozhdaet zapreschennyy lokalnyy risunok rassmatrivaya samuyu levuyu ili nizhnyuyu tochku komponenty simmetricheskoy raznosti, poluchaem vynuzhdennyy lokalnyy povorot. on neizbezhno realizuet odin iz zapreschennyh patternov, znachit pri izyaschnoe-razbienii ni odnogo chereduyuschegosya tsikla byt ne mozhet. extremal_choice ai_checked sol-induction-plus-alternating-cycles induktsiya dlya suschestvovaniya i chereduyuschiesya tsikly dlya edinstvennosti ai_checked matching cycle alternating_path induction extremal_choice alternating_paths dokazhem snachala suschestvovanie izyaschnogo razbieniya induktsiey po chislu domino. sredi samyh levyh kletok mnogougolnika vyberem nizhnyuyu i nazovem ee `l`; eto granichnyy ugol, poetomu u `l` net kletok sleva i snizu. pust dlya nachala `l` chernaya. vozmem kakoe-nibud domino-razbienie i udalim domino `d`, pokryvayuschee `l`. ostatok snova yavlyaetsya shahmatnym mnogougolnikom i zamoschaetsya na odno domino menshe, znachit po induktsii ego mozhno zamostit izyaschnym obrazom. esli `d` gorizontalno, vozvraschenie `d` ne sozdaet zapreschennyy risunok: vertikalnyy zapreschennyy blok ne ispolzuet `d`, a gorizontalnyy zapreschennyy blok s `d` potreboval by kletok nizhe `l`. esli `d` vertikalno, edinstvennaya vozmozhnaya novaya nepriyatnost — vertikalnoe domino neposredstvenno sprava ot `d`; togda eti dve vertikalnye domino obrazuyut `2x2`-kvadrat, i my povorachivaem ih v dve gorizontalnye domino. posle takogo povorota ishod… sol-community-overlay-boundary versiya soobschestva: nalozhenie dvuh razbieniy i krayniy tsikl ai_checked matching cycle alternating_path extremal_choice alternating_paths v versii soobschestva udobno otdelit chisto grafovyy karkas ot lokalnoy proverki. nalozhim dva predpolagaemyh izyaschnyh razbieniya `t` i `m` i pokrasim ih domino v dva tsveta. obschie domino mozhno otbrosit; v ostavsheysya simmetricheskoy raznosti kazhdaya kletka intsidentna rovno dvum domino, odnomu iz `t` i odnomu iz `m`. poetomu kazhdaya komponenta — chetnyy tsikl, a vdol nego tsveta domino chereduyutsya. tsikl dliny `2` nevozmozhen: eto rovno odin `2x2`-kvadrat, zamoschennyy vertikalno v odnom razbienii i gorizontalno v drugom, a iz dvuh takih tsvetnyh kartinok odna yavlyaetsya zapreschennoy. vozmem lyubuyu ostavshuyusya komponentu-tsikl `c` i oblast `r`, kotoruyu ona okruzhaet. na nizhney stroke `r` est gorizontalnyy uchastok tsikla. sredi gorizontalnyh domino etoy nizhney stroki poyavlyaetsya `wb`-domino; esli gorizontalnyy uchastok edinstvennyy, to dve vertikalnye domino, s kotorymi on chereduetsya, zastavlyayut tot zhe v…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-existence","title":"Существование изящного домино-разбиения, USAMO 2009 P3(a)","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-existence.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-existence.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-existence","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["2009 USAMO Problems/Problem 3","USAMO 2009 Solution Notes"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":["Sam Vandervelde"],"tags":["matching","induction","extremal_choice","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Самостоятельная часть существования: ключевой ход — индукция по площади с локальным поворотом единственного опасного `2x2`-блока у крайней клетки.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.8,"basis":"агент high-reasoning split аудит","notes":"Часть (a) является самодостаточной подзадачей USAMO 2009 P3 с полным доказательством индукцией и локальными переворотами.","audit_source":"manual-split-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-existence","title":"Существование изящного разбиения","status":"ai_checked","text":"Шахматным многоугольником назовём многоугольник, стороны которого лежат на прямых \\(x=a\\) или \\(y=b\\), где \\(a,b\\) — целые; его внутренность разбивается этими прямыми на единичные клетки шахматной раскраски. Домино-разбиение такого многоугольника — это точное покрытие неперекрывающимися прямоугольниками \\(1 \\times 2\\) и \\(2 \\times 1\\). В каждом \\(2 \\times 2\\)-блоке запрещены два цветных локальных рисунка: две вертикальные домино, если нижняя левая клетка блока чёрная, и две горизонтальные домино, если нижняя левая клетка блока белая. Назовём разбиение изящное, если ни один из этих двух рисунков в нём не встречается. Докажите, что если шахматный многоугольник можно замостить домино, то его можно замостить изящным образом.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-existence","title":"Существование допустимого совершенного паросочетания","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный индуцированный подграф квадратной решётки с раскраской вершин по чётности координат. Совершенное паросочетание \\(M\\) назовём допустимым, если для каждого единичного \\(4\\)-цикла выполнены два запрета: при чёрной нижней левой вершине \\(M\\) не содержит обе вертикальные стороны цикла, а при белой нижней левой вершине \\(M\\) не содержит обе горизонтальные стороны цикла. Докажите, что если в \\(G\\) существует совершенное паросочетание, то существует допустимое совершенное паросочетание.","definition_ids":["bipartite_graph","matching","cycle","induced_subgraph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-corner-induction","title":"Индукция по числу домино","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение индукцией по числу домино в разбиении. База при пустом многоугольнике очевидна. Среди самых левых клеток данного многоугольника выберем нижнюю и назовём её `L`; у неё нет соседей слева и снизу. Сначала пусть `L` чёрная. Возьмём любое домино-разбиение и посмотрим на домино `D`, покрывающее `L`. Если `D` горизонтально, удалим его. Остаток снова является шахматным многоугольником и замощается домино, поэтому по индукции он имеет изящное разбиение. Возвращение горизонтального `D` не создаёт запрещённого рисунка: вертикальный запрещённый `2x2`-блок не использует `D`, а горизонтальный запрещённый блок с `D` потребовал бы две клетки ниже `L`, которых нет. Остаётся случай, когда `D` вертикально. Если после возвращения `D` к изящное-разбиению остатка запрета не возникает, всё готово. Если запрет возникает, он может быть только таким: справа от `D` стоит второе вертикальное до…"}],"relations":[{"id":"rel-usamo-2009-p3-existence-uniqueness-false-friend","neighbor_id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-uniqueness","direction":"forward","type":"false_friend","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-existence существование изящного домино-разбиения, usamo 2009 p3(a) matching induction extremal_choice goal_existence 2009 2009 usamo problems/problem 3 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2009_usamo_problems/problem_3 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2009-notes.pdf problem_archive sam vandervelde samvandervelde solution_notes src-usamo-2009-evan-chen-notes src-usamo-2009-p3-aops-wiki usamo usamo 2009 solution notes usamo2009 with_solution sam vandervelde 2009 usamo problems/problem 3 usamo 2009 solution notes stmt-existence существование изящного разбиения ai_checked шахматным многоугольником назовём многоугольник, стороны которого лежат на прямых \\(x=a\\) или \\(y=b\\), где \\(a,b\\) — целые; его внутренность разбивается этими прямыми на единичные клетки шахматной раскраски. домино-разбиение такого многоугольника — это точное покрытие неперекрывающимися прямоугольниками \\(1 \\times 2\\) и \\(2 \\times 1\\). в каждом \\(2 \\times 2\\)-блоке запрещены два цветных локальных рисунка: две вертикальные домино, если нижняя левая клетка блока чёрная, и две горизонтальные домино, если нижняя левая клетка блока белая. назовём разбиение изящное, если ни один из этих двух рисунков в нём не встречается. докажите, что если шахматный многоугольник можно замостить домино, то его можно замостить изящным образом. stmt-graph-existence существование допустимого совершенного паросочетания ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный индуцированный подграф квадратной решётки с раскраской вершин по чётности координат. совершенное паросочетание \\(m\\) назовём допустимым, если для каждого единичного \\(4\\)-цикла выполнены два запрета: при чёрной нижней левой вершине \\(m\\) не содержит обе вертикальные стороны цикла, а при белой нижней левой вершине \\(m\\) не содержит обе горизонтальные стороны цикла. докажите, что если в \\(g\\) существует совершенное паросочетание, то существует допустимое совершенное паросочетание. bipartite_graph matching cycle induced_subgraph idea-corner-cell-induction выбрать крайний угол и снять безопасное домино нижняя из самых левых клеток является углом. если удаётся добиться, чтобы домино в этом углу было ориентировано безопасно относительно цвета клетки, то после его удаления остаётся меньший замощаемый шахматный многоугольник. induction extremal_choice ai_checked idea-local-flip-makes-corner-safe плохую ориентацию углового домино исправляет поворот `2x2` если угловое домино имеет опасную ориентацию, то единственный новый запрещённый рисунок может возникнуть в соседнем `2x2`-блоке; поворот двух домино этого блока переводит ситуацию в безопасный угловой случай. induction ai_checked sol-corner-induction индукция по числу домино ai_checked matching induction extremal_choice докажем утверждение индукцией по числу домино в разбиении. база при пустом многоугольнике очевидна. среди самых левых клеток данного многоугольника выберем нижнюю и назовём её `l`; у неё нет соседей слева и снизу. сначала пусть `l` чёрная. возьмём любое домино-разбиение и посмотрим на домино `d`, покрывающее `l`. если `d` горизонтально, удалим его. остаток снова является шахматным многоугольником и замощается домино, поэтому по индукции он имеет изящное разбиение. возвращение горизонтального `d` не создаёт запрещённого рисунка: вертикальный запрещённый `2x2`-блок не использует `d`, а горизонтальный запрещённый блок с `d` потребовал бы две клетки ниже `l`, которых нет. остаётся случай, когда `d` вертикально. если после возвращения `d` к изящное-разбиению остатка запрета не возникает, всё готово. если запрет возникает, он может быть только таким: справа от `d` стоит второе вертикальное до… usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-existence suschestvovanie izyaschnogo domino-razbieniya, usamo 2009 p3(a) matching induction extremal_choice goal_existence 2009 2009 usamo problems/problem 3 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2009_usamo_problems/problem_3 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2009-notes.pdf problem_archive sam vandervelde samvandervelde solution_notes src-usamo-2009-evan-chen-notes src-usamo-2009-p3-aops-wiki usamo usamo 2009 solution notes usamo2009 with_solution sam vandervelde 2009 usamo problems/problem 3 usamo 2009 solution notes stmt-existence suschestvovanie izyaschnogo razbieniya ai_checked shahmatnym mnogougolnikom nazovem mnogougolnik, storony kotorogo lezhat na pryamyh \\(x=a\\) ili \\(y=b\\), gde \\(a,b\\) — tselye; ego vnutrennost razbivaetsya etimi pryamymi na edinichnye kletki shahmatnoy raskraski. domino-razbienie takogo mnogougolnika — eto tochnoe pokrytie neperekryvayuschimisya pryamougolnikami \\(1 \\times 2\\) i \\(2 \\times 1\\). v kazhdom \\(2 \\times 2\\)-bloke zaprescheny dva tsvetnyh lokalnyh risunka: dve vertikalnye domino, esli nizhnyaya levaya kletka bloka chernaya, i dve gorizontalnye domino, esli nizhnyaya levaya kletka bloka belaya. nazovem razbienie izyaschnoe, esli ni odin iz etih dvuh risunkov v nem ne vstrechaetsya. dokazhite, chto esli shahmatnyy mnogougolnik mozhno zamostit domino, to ego mozhno zamostit izyaschnym obrazom. stmt-graph-existence suschestvovanie dopustimogo sovershennogo parosochetaniya ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy indutsirovannyy podgraf kvadratnoy reshetki s raskraskoy vershin po chetnosti koordinat. sovershennoe parosochetanie \\(m\\) nazovem dopustimym, esli dlya kazhdogo edinichnogo \\(4\\)-tsikla vypolneny dva zapreta: pri chernoy nizhney levoy vershine \\(m\\) ne soderzhit obe vertikalnye storony tsikla, a pri beloy nizhney levoy vershine \\(m\\) ne soderzhit obe gorizontalnye storony tsikla. dokazhite, chto esli v \\(g\\) suschestvuet sovershennoe parosochetanie, to suschestvuet dopustimoe sovershennoe parosochetanie. bipartite_graph matching cycle induced_subgraph idea-corner-cell-induction vybrat krayniy ugol i snyat bezopasnoe domino nizhnyaya iz samyh levyh kletok yavlyaetsya uglom. esli udaetsya dobitsya, chtoby domino v etom uglu bylo orientirovano bezopasno otnositelno tsveta kletki, to posle ego udaleniya ostaetsya menshiy zamoschaemyy shahmatnyy mnogougolnik. induction extremal_choice ai_checked idea-local-flip-makes-corner-safe plohuyu orientatsiyu uglovogo domino ispravlyaet povorot `2x2` esli uglovoe domino imeet opasnuyu orientatsiyu, to edinstvennyy novyy zapreschennyy risunok mozhet vozniknut v sosednem `2x2`-bloke; povorot dvuh domino etogo bloka perevodit situatsiyu v bezopasnyy uglovoy sluchay. induction ai_checked sol-corner-induction induktsiya po chislu domino ai_checked matching induction extremal_choice dokazhem utverzhdenie induktsiey po chislu domino v razbienii. baza pri pustom mnogougolnike ochevidna. sredi samyh levyh kletok dannogo mnogougolnika vyberem nizhnyuyu i nazovem ee `l`; u nee net sosedey sleva i snizu. snachala pust `l` chernaya. vozmem lyuboe domino-razbienie i posmotrim na domino `d`, pokryvayuschee `l`. esli `d` gorizontalno, udalim ego. ostatok snova yavlyaetsya shahmatnym mnogougolnikom i zamoschaetsya domino, poetomu po induktsii on imeet izyaschnoe razbienie. vozvraschenie gorizontalnogo `d` ne sozdaet zapreschennogo risunka: vertikalnyy zapreschennyy `2x2`-blok ne ispolzuet `d`, a gorizontalnyy zapreschennyy blok s `d` potreboval by dve kletki nizhe `l`, kotoryh net. ostaetsya sluchay, kogda `d` vertikalno. esli posle vozvrascheniya `d` k izyaschnoe-razbieniyu ostatka zapreta ne voznikaet, vse gotovo. esli zapret voznikaet, on mozhet byt tolko takim: sprava ot `d` stoit vtoroe vertikalnoe do…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-uniqueness","title":"Единственность изящного домино-разбиения, USAMO 2009 P3(b)","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-uniqueness.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-uniqueness.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-uniqueness","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["2009 USAMO Problems/Problem 3","USAMO 2009 Solution Notes","2009 USAMO Problem 3"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":["Sam Vandervelde"],"tags":["matching","planar_graphs","extremal_choice","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Самостоятельная часть единственности: существование изящного разбиения не используется; вся сложность в запрете ненулевой симметрической разности через чередующиеся циклы и граничный анализ.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агент high-reasoning split аудит","notes":"Часть (b) является самодостаточным утверждением единственности с полным доказательством через препятствие в виде чередующегося цикла.","audit_source":"manual-split-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-uniqueness","title":"Единственность изящного разбиения","status":"ai_checked","text":"Шахматным многоугольником назовём многоугольник, стороны которого лежат на прямых \\(x=a\\) или \\(y=b\\), где \\(a,b\\) — целые; его внутренность разбивается этими прямыми на единичные клетки шахматной раскраски. Домино-разбиение такого многоугольника — это точное покрытие неперекрывающимися прямоугольниками \\(1 \\times 2\\) и \\(2 \\times 1\\). В каждом \\(2 \\times 2\\)-блоке запрещены два цветных локальных рисунка: две вертикальные домино, если нижняя левая клетка блока чёрная, и две горизонтальные домино, если нижняя левая клетка блока белая. Назовём разбиение изящное, если ни один из этих двух рисунков в нём не встречается. Докажите, что у каждого шахматного многоугольника существует не более одного изящное-домино-разбиения.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-uniqueness","title":"Единственность допустимого совершенного паросочетания","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный индуцированный подграф квадратной решётки с раскраской вершин по чётности координат. Совершенное паросочетание \\(M\\) назовём допустимым, если для каждого единичного \\(4\\)-цикла выполнены два запрета: при чёрной нижней левой вершине \\(M\\) не содержит обе вертикальные стороны цикла, а при белой нижней левой вершине \\(M\\) не содержит обе горизонтальные стороны цикла. Докажите, что в \\(G\\) существует не более одного допустимого совершенного паросочетания.","definition_ids":["bipartite_graph","matching","cycle","induced_subgraph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-alternating-cycle-obstruction","title":"Запрет чередующегося цикла","status":"ai_checked","definition_ids":["matching","cycle","alternating_path"],"standard_idea_ids":["alternating_paths","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим, что существуют два разных изящного разбиения `T` и `M`. Рассмотрим граф на клетках многоугольника, где каждое домино даёт ребро между двумя соседними клетками. В симметрической разности `T Δ M` каждая участвующая клетка имеет степень `2`: к ней инцидентно одно домино из `T` и одно домино из `M`. Следовательно, `T Δ M` распадается на непересекающиеся чётные циклы, в которых рёбра из `T` и `M` чередуются. Возьмём один такой цикл `C`, а через `R` обозначим область, ограниченную `C` вместе с внутренностью. На самой нижней строке области `R` цикл содержит горизонтальное домино. Если таких горизонтальных домино на этой строке несколько, среди них есть домино типа `WB`, то есть с белой клеткой слева и чёрной справа. Если горизонтальное домино на нижней строке единственное, то две соседние вертикальные домино другого разбиения, с которыми оно чередуется, и локальная изящное-проверк…"}],"relations":[{"id":"rel-usamo-2009-p3-existence-uniqueness-false-friend","neighbor_id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-existence","direction":"backward","type":"false_friend","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2009-p3-uniqueness-augmenting-path-symdiff","neighbor_id":"augmenting-path-matching-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2009-p3-uniqueness-imo-2016-c8-domino-cycles","neighbor_id":"imo-2016-c8-domino-unique-tiling-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2009-p3-uniqueness-yumt-2021-alternating-cycle","neighbor_id":"yumt-2021-grand-round4-problem3","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-uniqueness единственность изящного домино-разбиения, usamo 2009 p3(b) matching planar_graphs extremal_choice goal_proof 2009 2009 usamo problem 3 2009 usamo problems/problem 3 community_solution https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2009_usamo_problems/problem_3 https://siongui.github.io/2017/04/25/2009-usamo-problem-3/ https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2009-notes.pdf problem_archive sam vandervelde samvandervelde solution_notes src-usamo-2009-evan-chen-notes src-usamo-2009-p3-aops-wiki src-usamo-2009-p3-shen-fu-tsai usamo usamo 2009 solution notes usamo2009 with_solution sam vandervelde 2009 usamo problems/problem 3 usamo 2009 solution notes 2009 usamo problem 3 stmt-uniqueness единственность изящного разбиения ai_checked шахматным многоугольником назовём многоугольник, стороны которого лежат на прямых \\(x=a\\) или \\(y=b\\), где \\(a,b\\) — целые; его внутренность разбивается этими прямыми на единичные клетки шахматной раскраски. домино-разбиение такого многоугольника — это точное покрытие неперекрывающимися прямоугольниками \\(1 \\times 2\\) и \\(2 \\times 1\\). в каждом \\(2 \\times 2\\)-блоке запрещены два цветных локальных рисунка: две вертикальные домино, если нижняя левая клетка блока чёрная, и две горизонтальные домино, если нижняя левая клетка блока белая. назовём разбиение изящное, если ни один из этих двух рисунков в нём не встречается. докажите, что у каждого шахматного многоугольника существует не более одного изящное-домино-разбиения. stmt-graph-uniqueness единственность допустимого совершенного паросочетания ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный индуцированный подграф квадратной решётки с раскраской вершин по чётности координат. совершенное паросочетание \\(m\\) назовём допустимым, если для каждого единичного \\(4\\)-цикла выполнены два запрета: при чёрной нижней левой вершине \\(m\\) не содержит обе вертикальные стороны цикла, а при белой нижней левой вершине \\(m\\) не содержит обе горизонтальные стороны цикла. докажите, что в \\(g\\) существует не более одного допустимого совершенного паросочетания. bipartite_graph matching cycle induced_subgraph idea-two-tilings-give-alternating-cycles симметрическая разность двух разбиений — набор чередующиеся циклы если два совершенных паросочетания различны, то после удаления общих домино каждая оставшаяся клетка имеет степень `2`: одно ребро из первого разбиения и одно из второго. поэтому появляется хотя бы один чётный цикл с чередованием разбиений. matching ai_checked idea-boundary-wb-domino-climbs нижний `wb`-домино вынуждает подъём к верхней границе на нижней строке области, ограниченной чередующимся циклом, можно найти горизонтальное домино с белой клеткой слева. изящное условие запрещает оба простых покрытия пары клеток над ним, поэтому такой же объект вынужденно появляется строкой выше. extremal_choice ai_checked idea-orientation-contradiction ориентация от белого к чёрному несовместима на верхней границе повторяя подъём, доходим до `wb`-домино на верхней границе области. обход цикла с внутренностью слева заставляет нижнее и верхнее граничные `wb`-домино иметь противоположные направления относительно ориентации белый-чёрный. extremal_choice ai_checked sol-alternating-cycle-obstruction запрет чередующегося цикла ai_checked matching cycle alternating_path alternating_paths extremal_choice предположим, что существуют два разных изящного разбиения `t` и `m`. рассмотрим граф на клетках многоугольника, где каждое домино даёт ребро между двумя соседними клетками. в симметрической разности `t δ m` каждая участвующая клетка имеет степень `2`: к ней инцидентно одно домино из `t` и одно домино из `m`. следовательно, `t δ m` распадается на непересекающиеся чётные циклы, в которых рёбра из `t` и `m` чередуются. возьмём один такой цикл `c`, а через `r` обозначим область, ограниченную `c` вместе с внутренностью. на самой нижней строке области `r` цикл содержит горизонтальное домино. если таких горизонтальных домино на этой строке несколько, среди них есть домино типа `wb`, то есть с белой клеткой слева и чёрной справа. если горизонтальное домино на нижней строке единственное, то две соседние вертикальные домино другого разбиения, с которыми оно чередуется, и локальная изящное-проверк… usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-uniqueness edinstvennost izyaschnogo domino-razbieniya, usamo 2009 p3(b) matching planar_graphs extremal_choice goal_proof 2009 2009 usamo problem 3 2009 usamo problems/problem 3 community_solution https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2009_usamo_problems/problem_3 https://siongui.github.io/2017/04/25/2009-usamo-problem-3/ https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2009-notes.pdf problem_archive sam vandervelde samvandervelde solution_notes src-usamo-2009-evan-chen-notes src-usamo-2009-p3-aops-wiki src-usamo-2009-p3-shen-fu-tsai usamo usamo 2009 solution notes usamo2009 with_solution sam vandervelde 2009 usamo problems/problem 3 usamo 2009 solution notes 2009 usamo problem 3 stmt-uniqueness edinstvennost izyaschnogo razbieniya ai_checked shahmatnym mnogougolnikom nazovem mnogougolnik, storony kotorogo lezhat na pryamyh \\(x=a\\) ili \\(y=b\\), gde \\(a,b\\) — tselye; ego vnutrennost razbivaetsya etimi pryamymi na edinichnye kletki shahmatnoy raskraski. domino-razbienie takogo mnogougolnika — eto tochnoe pokrytie neperekryvayuschimisya pryamougolnikami \\(1 \\times 2\\) i \\(2 \\times 1\\). v kazhdom \\(2 \\times 2\\)-bloke zaprescheny dva tsvetnyh lokalnyh risunka: dve vertikalnye domino, esli nizhnyaya levaya kletka bloka chernaya, i dve gorizontalnye domino, esli nizhnyaya levaya kletka bloka belaya. nazovem razbienie izyaschnoe, esli ni odin iz etih dvuh risunkov v nem ne vstrechaetsya. dokazhite, chto u kazhdogo shahmatnogo mnogougolnika suschestvuet ne bolee odnogo izyaschnoe-domino-razbieniya. stmt-graph-uniqueness edinstvennost dopustimogo sovershennogo parosochetaniya ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy indutsirovannyy podgraf kvadratnoy reshetki s raskraskoy vershin po chetnosti koordinat. sovershennoe parosochetanie \\(m\\) nazovem dopustimym, esli dlya kazhdogo edinichnogo \\(4\\)-tsikla vypolneny dva zapreta: pri chernoy nizhney levoy vershine \\(m\\) ne soderzhit obe vertikalnye storony tsikla, a pri beloy nizhney levoy vershine \\(m\\) ne soderzhit obe gorizontalnye storony tsikla. dokazhite, chto v \\(g\\) suschestvuet ne bolee odnogo dopustimogo sovershennogo parosochetaniya. bipartite_graph matching cycle induced_subgraph idea-two-tilings-give-alternating-cycles simmetricheskaya raznost dvuh razbieniy — nabor chereduyuschiesya tsikly esli dva sovershennyh parosochetaniya razlichny, to posle udaleniya obschih domino kazhdaya ostavshayasya kletka imeet stepen `2`: odno rebro iz pervogo razbieniya i odno iz vtorogo. poetomu poyavlyaetsya hotya by odin chetnyy tsikl s cheredovaniem razbieniy. matching ai_checked idea-boundary-wb-domino-climbs nizhniy `wb`-domino vynuzhdaet podem k verhney granitse na nizhney stroke oblasti, ogranichennoy chereduyuschimsya tsiklom, mozhno nayti gorizontalnoe domino s beloy kletkoy sleva. izyaschnoe uslovie zapreschaet oba prostyh pokrytiya pary kletok nad nim, poetomu takoy zhe obekt vynuzhdenno poyavlyaetsya strokoy vyshe. extremal_choice ai_checked idea-orientation-contradiction orientatsiya ot belogo k chernomu nesovmestima na verhney granitse povtoryaya podem, dohodim do `wb`-domino na verhney granitse oblasti. obhod tsikla s vnutrennostyu sleva zastavlyaet nizhnee i verhnee granichnye `wb`-domino imet protivopolozhnye napravleniya otnositelno orientatsii belyy-chernyy. extremal_choice ai_checked sol-alternating-cycle-obstruction zapret chereduyuschegosya tsikla ai_checked matching cycle alternating_path alternating_paths extremal_choice predpolozhim, chto suschestvuyut dva raznyh izyaschnogo razbieniya `t` i `m`. rassmotrim graf na kletkah mnogougolnika, gde kazhdoe domino daet rebro mezhdu dvumya sosednimi kletkami. v simmetricheskoy raznosti `t δ m` kazhdaya uchastvuyuschaya kletka imeet stepen `2`: k ney intsidentno odno domino iz `t` i odno domino iz `m`. sledovatelno, `t δ m` raspadaetsya na neperesekayuschiesya chetnye tsikly, v kotoryh rebra iz `t` i `m` chereduyutsya. vozmem odin takoy tsikl `c`, a cherez `r` oboznachim oblast, ogranichennuyu `c` vmeste s vnutrennostyu. na samoy nizhney stroke oblasti `r` tsikl soderzhit gorizontalnoe domino. esli takih gorizontalnyh domino na etoy stroke neskolko, sredi nih est domino tipa `wb`, to est s beloy kletkoy sleva i chernoy sprava. esli gorizontalnoe domino na nizhney stroke edinstvennoe, to dve sosednie vertikalnye domino drugogo razbieniya, s kotorymi ono chereduetsya, i lokalnaya izyaschnoe-proverk…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2021-p2-planar-national-park-turning-walk","title":"Прогулка по 3-регулярному планарному графу, USAMO 2021 P2","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2021-p2-planar-national-park-turning-walk.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2021-p2-planar-national-park-turning-walk.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2021-p2-planar-national-park-turning-walk","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2021 USAMO Problems/Problem 2","Eric Shen, USAMO 2021 PDF с условиями и решениями","Evan Chen, USAMO 2021 Solution Notes"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Короткая, но нетривиальная задача на планарность и детерминированный обход по локальному правилу.","status":"ai_checked"},"review_status":"source_verified","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"source_verified","confidence":0.9,"basis":"архив условия AoPS и заметки Эвана Чена к USAMO 2021","notes":"Решение сверено с заметками Эвана Чена: использованы ориентированные повороты, запрет обратных поворотов и явная достигающая конструкция.","audit_source":"very_high_pipeline_batch_2_2026_05_07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Парк состоит из нескольких троп, пересекающихся только в узлах. Каждая тропа соединяет два разных узла, в каждом узле сходятся ровно три тропы, и кратных троп между двумя узлами нет. Посетительница выбирает стартовый узел и первую тропу, а затем в каждом следующем узле поочерёдно поворачивает налево, направо, налево, направо и так далее, пока не вернётся в стартовый узел. Какое наибольшее число раз она может войти в один и тот же узел?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Прогулка по 3-регулярному планарному графу","status":"ai_checked","text":"Пусть дан простой связный кубический планарный граф с фиксированным циклическим порядком рёбер вокруг каждой вершины. Рассматривается замкнутый обход, который после стартового ребра в каждой вершине использует правило чередующихся поворотов налево, направо, налево, направо и так далее. Требуется найти максимальное число входов в одну вершину.","definition_ids":["planar_graph","degree","connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-local-state-bound-and-prism","title":"Локальная детерминированность и пятиугольная призма","status":"source_verified","definition_ids":["planar_graph","degree","connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ равен 3. Сначала докажем верхнюю оценку. Рассмотрим не только посещённые вершины, а ориентированные повороты \\(a\\to b\\to c\\): посетительница входит в \\(b\\) по ребру \\(ab\\) и выходит по ребру \\(bc\\). В кубической вершине есть ровно шесть таких поворотов, по два для каждой неупорядоченной пары инцидентных рёбер. Один ориентированный поворот однозначно задаёт весь бесконечно продолженный обход вперёд и назад. Действительно, по циклическому порядку трёх рёбер вокруг \\(b\\) мы знаем, был ли поворот \\(a\\to b\\to c\\) левым или правым; значит следующий поворот обязан быть противоположного типа, а предыдущий тоже восстанавливается единственным образом. Поэтому в одном периоде обхода один и тот же ориентированный поворот не может встретиться дважды: если бы он повторился, детерминированность заставила бы весь участок между двумя появлениями уже быть полным периодом. Осталось улучшить грубую о…"}],"relations":[{"id":"rel-planar-usamo-2021-p2","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-spbmo-1997-p13-usamo-2021-p2-planar-turning-walk","neighbor_id":"spbmo-1997-7-p13-left-right-city-walk","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-2021-p2-planar-national-park-turning-walk прогулка по 3-регулярному планарному графу, usamo 2021 p2 planar_graphs extremal_choice goal_exact_bound 2021 aops wiki, 2021 usamo problems/problem 2 eric shen, usamo 2021 pdf с условиями и решениями evan chen, usamo 2021 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2021_usamo_problems/problem_2 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2021-notes.pdf https://www.ericshen.net/exams/usamo2021.pdf secondary_solution src-usamo-2021-eric-shen-pdf src-usamo-2021-evan-chen-notes src-usamo-2021-p2-aops-wiki statement usamo usamo2021 with_solution ? aops wiki, 2021 usamo problems/problem 2 eric shen, usamo 2021 pdf с условиями и решениями evan chen, usamo 2021 solution notes stmt-original оригинальная формулировка ai_checked парк состоит из нескольких троп, пересекающихся только в узлах. каждая тропа соединяет два разных узла, в каждом узле сходятся ровно три тропы, и кратных троп между двумя узлами нет. посетительница выбирает стартовый узел и первую тропу, а затем в каждом следующем узле поочерёдно поворачивает налево, направо, налево, направо и так далее, пока не вернётся в стартовый узел. какое наибольшее число раз она может войти в один и тот же узел? stmt-graph прогулка по 3-регулярному планарному графу ai_checked пусть дан простой связный кубический планарный граф с фиксированным циклическим порядком рёбер вокруг каждой вершины. рассматривается замкнутый обход, который после стартового ребра в каждой вершине использует правило чередующихся поворотов налево, направо, налево, направо и так далее. требуется найти максимальное число входов в одну вершину. planar_graph degree connected_graph path idea-three-local-states-at-a-cubic-vertex у кубической вершины слишком мало локальных состояний правило обхода полностью задаётся локальным выбором пары соседних полурёбер в вершине. в вершине степени 3 таких конфигураций только три, поэтому четвёртый вход заставил бы повторить уже встречавшееся локальное состояние. planar_graphs ai_checked idea-pentagonal-prism-construction пятиугольная призма достигает оценки в графе пятиугольной призмы можно выбрать старт и первое ребро так, чтобы прогулку с чередующимися поворотами трижды входил в одну и ту же вершину; это показывает точность верхней оценки. extremal_choice planar_graphs ai_checked sol-local-state-bound-and-prism локальная детерминированность и пятиугольная призма source_verified planar_graph degree connected_graph path extremal_choice ответ равен 3. сначала докажем верхнюю оценку. рассмотрим не только посещённые вершины, а ориентированные повороты \\(a\\to b\\to c\\): посетительница входит в \\(b\\) по ребру \\(ab\\) и выходит по ребру \\(bc\\). в кубической вершине есть ровно шесть таких поворотов, по два для каждой неупорядоченной пары инцидентных рёбер. один ориентированный поворот однозначно задаёт весь бесконечно продолженный обход вперёд и назад. действительно, по циклическому порядку трёх рёбер вокруг \\(b\\) мы знаем, был ли поворот \\(a\\to b\\to c\\) левым или правым; значит следующий поворот обязан быть противоположного типа, а предыдущий тоже восстанавливается единственным образом. поэтому в одном периоде обхода один и тот же ориентированный поворот не может встретиться дважды: если бы он повторился, детерминированность заставила бы весь участок между двумя появлениями уже быть полным периодом. осталось улучшить грубую о… usamo-2021-p2-planar-national-park-turning-walk progulka po 3-regulyarnomu planarnomu grafu, usamo 2021 p2 planar_graphs extremal_choice goal_exact_bound 2021 aops wiki, 2021 usamo problems/problem 2 eric shen, usamo 2021 pdf s usloviyami i resheniyami evan chen, usamo 2021 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2021_usamo_problems/problem_2 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2021-notes.pdf https://www.ericshen.net/exams/usamo2021.pdf secondary_solution src-usamo-2021-eric-shen-pdf src-usamo-2021-evan-chen-notes src-usamo-2021-p2-aops-wiki statement usamo usamo2021 with_solution ? aops wiki, 2021 usamo problems/problem 2 eric shen, usamo 2021 pdf s usloviyami i resheniyami evan chen, usamo 2021 solution notes stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked park sostoit iz neskolkih trop, peresekayuschihsya tolko v uzlah. kazhdaya tropa soedinyaet dva raznyh uzla, v kazhdom uzle shodyatsya rovno tri tropy, i kratnyh trop mezhdu dvumya uzlami net. posetitelnitsa vybiraet startovyy uzel i pervuyu tropu, a zatem v kazhdom sleduyuschem uzle poocheredno povorachivaet nalevo, napravo, nalevo, napravo i tak dalee, poka ne vernetsya v startovyy uzel. kakoe naibolshee chislo raz ona mozhet voyti v odin i tot zhe uzel? stmt-graph progulka po 3-regulyarnomu planarnomu grafu ai_checked pust dan prostoy svyaznyy kubicheskiy planarnyy graf s fiksirovannym tsiklicheskim poryadkom reber vokrug kazhdoy vershiny. rassmatrivaetsya zamknutyy obhod, kotoryy posle startovogo rebra v kazhdoy vershine ispolzuet pravilo chereduyuschihsya povorotov nalevo, napravo, nalevo, napravo i tak dalee. trebuetsya nayti maksimalnoe chislo vhodov v odnu vershinu. planar_graph degree connected_graph path idea-three-local-states-at-a-cubic-vertex u kubicheskoy vershiny slishkom malo lokalnyh sostoyaniy pravilo obhoda polnostyu zadaetsya lokalnym vyborom pary sosednih polureber v vershine. v vershine stepeni 3 takih konfiguratsiy tolko tri, poetomu chetvertyy vhod zastavil by povtorit uzhe vstrechavsheesya lokalnoe sostoyanie. planar_graphs ai_checked idea-pentagonal-prism-construction pyatiugolnaya prizma dostigaet otsenki v grafe pyatiugolnoy prizmy mozhno vybrat start i pervoe rebro tak, chtoby progulku s chereduyuschimisya povorotami trizhdy vhodil v odnu i tu zhe vershinu; eto pokazyvaet tochnost verhney otsenki. extremal_choice planar_graphs ai_checked sol-local-state-bound-and-prism lokalnaya determinirovannost i pyatiugolnaya prizma source_verified planar_graph degree connected_graph path extremal_choice otvet raven 3. snachala dokazhem verhnyuyu otsenku. rassmotrim ne tolko poseschennye vershiny, a orientirovannye povoroty \\(a\\to b\\to c\\): posetitelnitsa vhodit v \\(b\\) po rebru \\(ab\\) i vyhodit po rebru \\(bc\\). v kubicheskoy vershine est rovno shest takih povorotov, po dva dlya kazhdoy neuporyadochennoy pary intsidentnyh reber. odin orientirovannyy povorot odnoznachno zadaet ves beskonechno prodolzhennyy obhod vpered i nazad. deystvitelno, po tsiklicheskomu poryadku treh reber vokrug \\(b\\) my znaem, byl li povorot \\(a\\to b\\to c\\) levym ili pravym; znachit sleduyuschiy povorot obyazan byt protivopolozhnogo tipa, a predyduschiy tozhe vosstanavlivaetsya edinstvennym obrazom. poetomu v odnom periode obhoda odin i tot zhe orientirovannyy povorot ne mozhet vstretitsya dvazhdy: esli by on povtorilsya, determinirovannost zastavila by ves uchastok mezhdu dvumya poyavleniyami uzhe byt polnym periodom. ostalos uluchshit grubuyu o…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal","title":"Янтарные и бронзовые клетки без общих строк и столбцов, USAMO 2022 P1","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2022 USAMO Problems/Problem 1","Evan Chen, USAMO 2022 Solution Notes"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":["Ankan Bhattacharya"],"tags":["matching","extremal_choice","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Сильная комбинаторная задача, естественно переводимая в язык цветных паросочетаний в двудольном графе.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"mixed_self_contained_and_external_tool","label":"школьное решение плюс короткое применение внешней теоремы","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"group B matching/Konig аудит 2026-05-06","notes":"Основное решение использует отдельную лемму о числе рёбер и размере паросочетания с самодостаточным русским доказательством; рядом сохранён короткий вариант через теорему Кёнига как external_theorem_application.","audit_source":"manual-matching-konig-hall-group-b-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(a,b\\) — положительные целые числа. Клетки доски \\((a+b+1)\\times(a+b+1)\\) окрашены в янтарный и бронзовый цвета так, что янтарных клеток не меньше \\(a^2+ab-b\\), а бронзовых клеток не меньше \\(b^2+ab-a\\). Докажите, что можно выбрать \\(a\\) янтарных клеток и \\(b\\) бронзовых клеток так, чтобы никакие две из выбранных \\(a+b\\) клеток не лежали в одной строке или одном столбце.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Двухцветное паросочетание в \\(K_{n,n}\\)","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n=a+b+1\\). Рёбра полного двудольного графа \\(K_{n,n}\\) раскрашены в янтарный и бронзовый цвета; янтарных рёбер не меньше \\(a^2+ab-b\\), а бронзовых рёбер не меньше \\(b^2+ab-a\\). Докажите, что существует паросочетание размера \\(a+b\\), содержащее ровно \\(a\\) янтарных и \\(b\\) бронзовых рёбер.","definition_ids":["bipartite_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-hall-matchings-and-uncrossing","title":"Два больших паросочетания и их разведение","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","matching"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Положим \\(n=a+b+1\\). Сначала работаем с янтарными клетками. В двудольном графе строк и столбцов янтарные клетки образуют подграф \\(G_A\\). По лемме о числе рёбер в двудольном графе, если бы в \\(G_A\\) не было паросочетания размера \\(a\\), то янтарных рёбер было бы не больше \\((a-1)n=(a-1)(a+b+1)=a^2+ab-b-1\\), что противоречит условию. Значит, \\(G_A\\) имеет паросочетание \\(M_A\\) размера \\(a\\). Для бронзового подграфа \\(G_B\\) тот же аргумент с числом \\(b\\) дает паросочетание \\(M_B\\) размера \\(b\\). Теперь выберем такую пару \\((M_A,M_B)\\), у которой число конфликтов — общих строк или столбцов между янтарными и бронзовыми рёбрами — минимально. Если конфликтов нет, задача решена. Иначе, поскольку суммарно используется только \\(a+b=n-1\\) строк и \\(a+b=n-1\\) столбцов, существуют пустые строка и столбец. Клетка на их пересечении имеет один из двух цветов; пусть для определенности она янтарная. Доба…"},{"id":"sol-konig-short-and-uncrossing","title":"Коротко через теорему Кёнига и тот же обмен","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","matching","vertex_cover"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Положим \\(n=a+b+1\\) и переведём доску в двудольный граф: строки являются левой долей, столбцы — правой, а каждая клетка задаёт ребро между своей строкой и своим столбцом. Сначала докажем, что отдельно у каждого цвета есть достаточно большое паросочетание. Рассмотрим янтарный подграф. Если бы его максимальное паросочетание имело размер не больше \\(a-1\\), то по теореме Кёнига все янтарные рёбра можно было бы покрыть не более чем \\(a-1\\) вершинами двудольного графа, то есть некоторыми строками и столбцами. Одна строка или один столбец содержит не больше \\(n\\) клеток, поэтому такое покрытие содержало бы не больше \\((a-1)n\\) янтарных клеток. Но \\[ (a-1)n=(a-1)(a+b+1)=a^2+ab-b-1, \\] что строго меньше заданной нижней оценки \\(a^2+ab-b\\). Противоречие. Значит, существует янтарное паросочетание \\(M_A\\) размера \\(a\\). Тем же рассуждением для бронзового подграфа получаем бронзовое паросочетание \\(…"}],"relations":[{"id":"rel-hall-usamo-2022-p1","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2022-p1-imo-2010-c2","neighbor_id":"imo-2010-c2-flags-diagonal-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-konig-usamo-2022-p1","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2004-p2-usamo-2022-p1-colored-rook-matching","neighbor_id":"cmo-2004-p2-rooks-same-colour","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-edge-count-bound-usamo-2022-amber-bronze-transversal","neighbor_id":"edge-count-bipartite-matching-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-1953-p2-usamo-2022-grid-transversal","neighbor_id":"miklos-schweitzer-1953-p2-chessboard-related-pairs","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal янтарные и бронзовые клетки без общих строк и столбцов, usamo 2022 p1 matching extremal_choice goal_proof 2022 ankan bhattacharya ankanbhattacharya aops wiki, 2022 usamo problems/problem 1 evan chen, usamo 2022 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2022_usamo_problems%2fproblem_1 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2022-notes.pdf secondary_solution src-usamo-2022-evan-chen-notes src-usamo-2022-p1-aops-wiki statement usamo usamo2022 with_solution ankan bhattacharya aops wiki, 2022 usamo problems/problem 1 evan chen, usamo 2022 solution notes stmt-original оригинальная формулировка ai_checked пусть \\(a,b\\) — положительные целые числа. клетки доски \\((a+b+1)\\times(a+b+1)\\) окрашены в янтарный и бронзовый цвета так, что янтарных клеток не меньше \\(a^2+ab-b\\), а бронзовых клеток не меньше \\(b^2+ab-a\\). докажите, что можно выбрать \\(a\\) янтарных клеток и \\(b\\) бронзовых клеток так, чтобы никакие две из выбранных \\(a+b\\) клеток не лежали в одной строке или одном столбце. stmt-graph двухцветное паросочетание в \\(k_{n,n}\\) ai_checked пусть \\(n=a+b+1\\). рёбра полного двудольного графа \\(k_{n,n}\\) раскрашены в янтарный и бронзовый цвета; янтарных рёбер не меньше \\(a^2+ab-b\\), а бронзовых рёбер не меньше \\(b^2+ab-a\\). докажите, что существует паросочетание размера \\(a+b\\), содержащее ровно \\(a\\) янтарных и \\(b\\) бронзовых рёбер. bipartite_graph matching idea-each-color-has-large-matching у каждого цвета отдельно есть большое паросочетание для каждого цвета нужен только частный двудольный факт: если в графе с долями размера \\(n\\) больше \\((r-1)n\\) рёбер, то есть паросочетание размера \\(r\\). применяя его к янтарным клеткам при \\(r=a\\) и к бронзовым при \\(r=b\\), получаем два больших паросочетания. matching ai_checked idea-resolve-conflicts-by-empty-row-column конфликты между двумя паросочетаниями можно выдавливать через пустые строку и столбец после выбора янтарного паросочетания размера `a` и бронзового паросочетания размера `b` конфликтующие клетки можно последовательно устранять: пока есть общая строка или столбец двух разных цветов, остаются пустые строка и столбец, а клетка на их пересечении позволяет сделать обмен и уменьшить число конфликтов. matching extremal_choice ai_checked sol-hall-matchings-and-uncrossing два больших паросочетания и их разведение ai_checked bipartite_graph matching extremal_choice положим \\(n=a+b+1\\). сначала работаем с янтарными клетками. в двудольном графе строк и столбцов янтарные клетки образуют подграф \\(g_a\\). по лемме о числе рёбер в двудольном графе, если бы в \\(g_a\\) не было паросочетания размера \\(a\\), то янтарных рёбер было бы не больше \\((a-1)n=(a-1)(a+b+1)=a^2+ab-b-1\\), что противоречит условию. значит, \\(g_a\\) имеет паросочетание \\(m_a\\) размера \\(a\\). для бронзового подграфа \\(g_b\\) тот же аргумент с числом \\(b\\) дает паросочетание \\(m_b\\) размера \\(b\\). теперь выберем такую пару \\((m_a,m_b)\\), у которой число конфликтов — общих строк или столбцов между янтарными и бронзовыми рёбрами — минимально. если конфликтов нет, задача решена. иначе, поскольку суммарно используется только \\(a+b=n-1\\) строк и \\(a+b=n-1\\) столбцов, существуют пустые строка и столбец. клетка на их пересечении имеет один из двух цветов; пусть для определенности она янтарная. доба… sol-konig-short-and-uncrossing коротко через теорему кёнига и тот же обмен ai_checked bipartite_graph matching vertex_cover extremal_choice положим \\(n=a+b+1\\) и переведём доску в двудольный граф: строки являются левой долей, столбцы — правой, а каждая клетка задаёт ребро между своей строкой и своим столбцом. сначала докажем, что отдельно у каждого цвета есть достаточно большое паросочетание. рассмотрим янтарный подграф. если бы его максимальное паросочетание имело размер не больше \\(a-1\\), то по теореме кёнига все янтарные рёбра можно было бы покрыть не более чем \\(a-1\\) вершинами двудольного графа, то есть некоторыми строками и столбцами. одна строка или один столбец содержит не больше \\(n\\) клеток, поэтому такое покрытие содержало бы не больше \\((a-1)n\\) янтарных клеток. но \\[ (a-1)n=(a-1)(a+b+1)=a^2+ab-b-1, \\] что строго меньше заданной нижней оценки \\(a^2+ab-b\\). противоречие. значит, существует янтарное паросочетание \\(m_a\\) размера \\(a\\). тем же рассуждением для бронзового подграфа получаем бронзовое паросочетание \\(… usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal yantarnye i bronzovye kletki bez obschih strok i stolbtsov, usamo 2022 p1 matching extremal_choice goal_proof 2022 ankan bhattacharya ankanbhattacharya aops wiki, 2022 usamo problems/problem 1 evan chen, usamo 2022 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2022_usamo_problems%2fproblem_1 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2022-notes.pdf secondary_solution src-usamo-2022-evan-chen-notes src-usamo-2022-p1-aops-wiki statement usamo usamo2022 with_solution ankan bhattacharya aops wiki, 2022 usamo problems/problem 1 evan chen, usamo 2022 solution notes stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked pust \\(a,b\\) — polozhitelnye tselye chisla. kletki doski \\((a+b+1)\\times(a+b+1)\\) okrasheny v yantarnyy i bronzovyy tsveta tak, chto yantarnyh kletok ne menshe \\(a^2+ab-b\\), a bronzovyh kletok ne menshe \\(b^2+ab-a\\). dokazhite, chto mozhno vybrat \\(a\\) yantarnyh kletok i \\(b\\) bronzovyh kletok tak, chtoby nikakie dve iz vybrannyh \\(a+b\\) kletok ne lezhali v odnoy stroke ili odnom stolbtse. stmt-graph dvuhtsvetnoe parosochetanie v \\(k_{n,n}\\) ai_checked pust \\(n=a+b+1\\). rebra polnogo dvudolnogo grafa \\(k_{n,n}\\) raskrasheny v yantarnyy i bronzovyy tsveta; yantarnyh reber ne menshe \\(a^2+ab-b\\), a bronzovyh reber ne menshe \\(b^2+ab-a\\). dokazhite, chto suschestvuet parosochetanie razmera \\(a+b\\), soderzhaschee rovno \\(a\\) yantarnyh i \\(b\\) bronzovyh reber. bipartite_graph matching idea-each-color-has-large-matching u kazhdogo tsveta otdelno est bolshoe parosochetanie dlya kazhdogo tsveta nuzhen tolko chastnyy dvudolnyy fakt: esli v grafe s dolyami razmera \\(n\\) bolshe \\((r-1)n\\) reber, to est parosochetanie razmera \\(r\\). primenyaya ego k yantarnym kletkam pri \\(r=a\\) i k bronzovym pri \\(r=b\\), poluchaem dva bolshih parosochetaniya. matching ai_checked idea-resolve-conflicts-by-empty-row-column konflikty mezhdu dvumya parosochetaniyami mozhno vydavlivat cherez pustye stroku i stolbets posle vybora yantarnogo parosochetaniya razmera `a` i bronzovogo parosochetaniya razmera `b` konfliktuyuschie kletki mozhno posledovatelno ustranyat: poka est obschaya stroka ili stolbets dvuh raznyh tsvetov, ostayutsya pustye stroka i stolbets, a kletka na ih peresechenii pozvolyaet sdelat obmen i umenshit chislo konfliktov. matching extremal_choice ai_checked sol-hall-matchings-and-uncrossing dva bolshih parosochetaniya i ih razvedenie ai_checked bipartite_graph matching extremal_choice polozhim \\(n=a+b+1\\). snachala rabotaem s yantarnymi kletkami. v dvudolnom grafe strok i stolbtsov yantarnye kletki obrazuyut podgraf \\(g_a\\). po lemme o chisle reber v dvudolnom grafe, esli by v \\(g_a\\) ne bylo parosochetaniya razmera \\(a\\), to yantarnyh reber bylo by ne bolshe \\((a-1)n=(a-1)(a+b+1)=a^2+ab-b-1\\), chto protivorechit usloviyu. znachit, \\(g_a\\) imeet parosochetanie \\(m_a\\) razmera \\(a\\). dlya bronzovogo podgrafa \\(g_b\\) tot zhe argument s chislom \\(b\\) daet parosochetanie \\(m_b\\) razmera \\(b\\). teper vyberem takuyu paru \\((m_a,m_b)\\), u kotoroy chislo konfliktov — obschih strok ili stolbtsov mezhdu yantarnymi i bronzovymi rebrami — minimalno. esli konfliktov net, zadacha reshena. inache, poskolku summarno ispolzuetsya tolko \\(a+b=n-1\\) strok i \\(a+b=n-1\\) stolbtsov, suschestvuyut pustye stroka i stolbets. kletka na ih peresechenii imeet odin iz dvuh tsvetov; pust dlya opredelennosti ona yantarnaya. doba… sol-konig-short-and-uncrossing korotko cherez teoremu keniga i tot zhe obmen ai_checked bipartite_graph matching vertex_cover extremal_choice polozhim \\(n=a+b+1\\) i perevedem dosku v dvudolnyy graf: stroki yavlyayutsya levoy doley, stolbtsy — pravoy, a kazhdaya kletka zadaet rebro mezhdu svoey strokoy i svoim stolbtsom. snachala dokazhem, chto otdelno u kazhdogo tsveta est dostatochno bolshoe parosochetanie. rassmotrim yantarnyy podgraf. esli by ego maksimalnoe parosochetanie imelo razmer ne bolshe \\(a-1\\), to po teoreme keniga vse yantarnye rebra mozhno bylo by pokryt ne bolee chem \\(a-1\\) vershinami dvudolnogo grafa, to est nekotorymi strokami i stolbtsami. odna stroka ili odin stolbets soderzhit ne bolshe \\(n\\) kletok, poetomu takoe pokrytie soderzhalo by ne bolshe \\((a-1)n\\) yantarnyh kletok. no \\[ (a-1)n=(a-1)(a+b+1)=a^2+ab-b-1, \\] chto strogo menshe zadannoy nizhney otsenki \\(a^2+ab-b\\). protivorechie. znachit, suschestvuet yantarnoe parosochetanie \\(m_a\\) razmera \\(a\\). tem zhe rassuzhdeniem dlya bronzovogo podgrafa poluchaem bronzovoe parosochetanie \\(…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2022-p6-mathbook-two-common-friends-closure","title":"Mathbook и замыкание по двум общим друзьям, USAMO 2022 P6","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2022-p6-mathbook-two-common-friends-closure.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2022-p6-mathbook-two-common-friends-closure.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2022-p6-mathbook-two-common-friends-closure","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2022 USAMO Problems/Problem 6","Evan Chen, USAMO 2022 Solution Notes"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":["Yannick Yao"],"tags":["double_counting","extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Содержательная графовая экстремальная задача: операция замыкания формулируется через `C_4 -> K_4`.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"У олимпиадной карточки есть официальный источник или источник уровня шорт-листа/сборника, а решение имеет статус ai_checked.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"На социальной сети Mathbook есть \\(2022\\) пользователя, некоторые пары уже дружат. В дальнейшем новая дружба может появиться только между двумя пользователями, у которых уже есть по крайней мере два общих друга. Каково наименьшее число исходных дружб, которое гарантирует, что в конце все пользователи смогут стать попарно друзьями?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Замыкание по двум общим соседям","status":"ai_checked","text":"Для графа \\(G\\) на \\(n\\) вершинах разрешено добавлять ребро \\(uv\\), если у вершин \\(u\\) и \\(v\\) есть по крайней мере два общих соседа. Найдите минимальное число рёбер в начальном графе, при котором таким процессом можно получить \\(K_n\\).","definition_ids":["simple_graph","cycle","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-c4-closure-extremal","title":"Замыкание по `C_4` и экстремальная конструкция","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для общего `n` ответ равен `ceil(3n/2)-2`, а значит при `n=2022` получаем `3031`. Разрешённая операция эквивалентна дополнению некоторого `C_4` до `K_4`: если в цикле `x-p-y-q-x` отсутствует диагональ `xy`, то у `x,y` есть два общих соседа `p,q`, и это ребро можно добавить. Сначала построим пример. Пусть `n` чётно. Возьмём вершины `a,b`, ребро `ab` и для каждой пары новых вершин `u_i,v_i`, где `i=1,...,n/2-1`, добавим рёбра `a u_i`, `u_i v_i`, `v_i b`. Получились циклы `a-u_i-v_i-b-a`, имеющие общее ребро `ab`; всего рёбер `1+3(n/2-1)=3n/2-2`. Для каждого `i` дополняем этот цикл до клики на `a,b,u_i,v_i`, добавляя `a v_i` и `b u_i`. После этого каждая вершина, кроме `a,b`, смежна и с `a`, и с `b`; поэтому любые две вершины из разных пар `u_i,v_i` имеют двух общих соседей `a,b`, и мы можем по очереди добавить все оставшиеся рёбра между ними. Так получается `K_n`. Если `n` нечётно, строим…"}],"relations":[{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-usamo-2022-mathbook","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-2022-p6-mathbook-two-common-friends-closure mathbook и замыкание по двум общим друзьям, usamo 2022 p6 double_counting extremal_choice goal_exact_bound 2022 aops wiki, 2022 usamo problems/problem 6 evan chen, usamo 2022 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2022_usamo_problems%2fproblem_6 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2022-notes.pdf secondary_solution src-usamo-2022-evan-chen-notes src-usamo-2022-p6-aops-wiki statement usamo usamo2022 with_solution yannick yao yannickyao yannick yao aops wiki, 2022 usamo problems/problem 6 evan chen, usamo 2022 solution notes stmt-original оригинальная формулировка ai_checked на социальной сети mathbook есть \\(2022\\) пользователя, некоторые пары уже дружат. в дальнейшем новая дружба может появиться только между двумя пользователями, у которых уже есть по крайней мере два общих друга. каково наименьшее число исходных дружб, которое гарантирует, что в конце все пользователи смогут стать попарно друзьями? stmt-graph замыкание по двум общим соседям ai_checked для графа \\(g\\) на \\(n\\) вершинах разрешено добавлять ребро \\(uv\\), если у вершин \\(u\\) и \\(v\\) есть по крайней мере два общих соседа. найдите минимальное число рёбер в начальном графе, при котором таким процессом можно получить \\(k_n\\). simple_graph cycle complete_graph idea-shared-edge-c4-construction конструкция из `c_4`, делящих общее ребро для чётного `n` можно взять ребро `ab` и `n/2-1` циклов `a-u_i-v_i-b-a`. после дополнения каждого такого `c_4` до `k_4` все вершины, кроме `a,b`, уже смежны с `a` и `b`, поэтому любые две ещё несмежные вершины имеют общих соседей `a,b` и могут быть соединены. extremal_choice double_counting ai_checked idea-minimal-saturated-pieces в минимальном насыщенном примере куски должны быть почти `k_4`-типовыми нижняя оценка удобно доказывается не по произвольному порядку добавления рёбер, а по специальному алгоритму: каждое исходное ребро сначала является своей кликой `k_2` и получает свою метку; когда найден `c_4` с разными метками сторон, соответствующие клики сливаются. индукция по слияниям показывает, что клика на `m` вершинах всегда несёт не меньше `3m/2-2` исходных рёбер. extremal_choice double_counting ai_checked sol-c4-closure-extremal замыкание по `c_4` и экстремальная конструкция ai_checked simple_graph cycle extremal_choice для общего `n` ответ равен `ceil(3n/2)-2`, а значит при `n=2022` получаем `3031`. разрешённая операция эквивалентна дополнению некоторого `c_4` до `k_4`: если в цикле `x-p-y-q-x` отсутствует диагональ `xy`, то у `x,y` есть два общих соседа `p,q`, и это ребро можно добавить. сначала построим пример. пусть `n` чётно. возьмём вершины `a,b`, ребро `ab` и для каждой пары новых вершин `u_i,v_i`, где `i=1,...,n/2-1`, добавим рёбра `a u_i`, `u_i v_i`, `v_i b`. получились циклы `a-u_i-v_i-b-a`, имеющие общее ребро `ab`; всего рёбер `1+3(n/2-1)=3n/2-2`. для каждого `i` дополняем этот цикл до клики на `a,b,u_i,v_i`, добавляя `a v_i` и `b u_i`. после этого каждая вершина, кроме `a,b`, смежна и с `a`, и с `b`; поэтому любые две вершины из разных пар `u_i,v_i` имеют двух общих соседей `a,b`, и мы можем по очереди добавить все оставшиеся рёбра между ними. так получается `k_n`. если `n` нечётно, строим… usamo-2022-p6-mathbook-two-common-friends-closure mathbook i zamykanie po dvum obschim druzyam, usamo 2022 p6 double_counting extremal_choice goal_exact_bound 2022 aops wiki, 2022 usamo problems/problem 6 evan chen, usamo 2022 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2022_usamo_problems%2fproblem_6 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2022-notes.pdf secondary_solution src-usamo-2022-evan-chen-notes src-usamo-2022-p6-aops-wiki statement usamo usamo2022 with_solution yannick yao yannickyao yannick yao aops wiki, 2022 usamo problems/problem 6 evan chen, usamo 2022 solution notes stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked na sotsialnoy seti mathbook est \\(2022\\) polzovatelya, nekotorye pary uzhe druzhat. v dalneyshem novaya druzhba mozhet poyavitsya tolko mezhdu dvumya polzovatelyami, u kotoryh uzhe est po krayney mere dva obschih druga. kakovo naimenshee chislo ishodnyh druzhb, kotoroe garantiruet, chto v kontse vse polzovateli smogut stat poparno druzyami? stmt-graph zamykanie po dvum obschim sosedyam ai_checked dlya grafa \\(g\\) na \\(n\\) vershinah razresheno dobavlyat rebro \\(uv\\), esli u vershin \\(u\\) i \\(v\\) est po krayney mere dva obschih soseda. naydite minimalnoe chislo reber v nachalnom grafe, pri kotorom takim protsessom mozhno poluchit \\(k_n\\). simple_graph cycle complete_graph idea-shared-edge-c4-construction konstruktsiya iz `c_4`, delyaschih obschee rebro dlya chetnogo `n` mozhno vzyat rebro `ab` i `n/2-1` tsiklov `a-u_i-v_i-b-a`. posle dopolneniya kazhdogo takogo `c_4` do `k_4` vse vershiny, krome `a,b`, uzhe smezhny s `a` i `b`, poetomu lyubye dve esche nesmezhnye vershiny imeyut obschih sosedey `a,b` i mogut byt soedineny. extremal_choice double_counting ai_checked idea-minimal-saturated-pieces v minimalnom nasyschennom primere kuski dolzhny byt pochti `k_4`-tipovymi nizhnyaya otsenka udobno dokazyvaetsya ne po proizvolnomu poryadku dobavleniya reber, a po spetsialnomu algoritmu: kazhdoe ishodnoe rebro snachala yavlyaetsya svoey klikoy `k_2` i poluchaet svoyu metku; kogda nayden `c_4` s raznymi metkami storon, sootvetstvuyuschie kliki slivayutsya. induktsiya po sliyaniyam pokazyvaet, chto klika na `m` vershinah vsegda neset ne menshe `3m/2-2` ishodnyh reber. extremal_choice double_counting ai_checked sol-c4-closure-extremal zamykanie po `c_4` i ekstremalnaya konstruktsiya ai_checked simple_graph cycle extremal_choice dlya obschego `n` otvet raven `ceil(3n/2)-2`, a znachit pri `n=2022` poluchaem `3031`. razreshennaya operatsiya ekvivalentna dopolneniyu nekotorogo `c_4` do `k_4`: esli v tsikle `x-p-y-q-x` otsutstvuet diagonal `xy`, to u `x,y` est dva obschih soseda `p,q`, i eto rebro mozhno dobavit. snachala postroim primer. pust `n` chetno. vozmem vershiny `a,b`, rebro `ab` i dlya kazhdoy pary novyh vershin `u_i,v_i`, gde `i=1,...,n/2-1`, dobavim rebra `a u_i`, `u_i v_i`, `v_i b`. poluchilis tsikly `a-u_i-v_i-b-a`, imeyuschie obschee rebro `ab`; vsego reber `1+3(n/2-1)=3n/2-2`. dlya kazhdogo `i` dopolnyaem etot tsikl do kliki na `a,b,u_i,v_i`, dobavlyaya `a v_i` i `b u_i`. posle etogo kazhdaya vershina, krome `a,b`, smezhna i s `a`, i s `b`; poetomu lyubye dve vershiny iz raznyh par `u_i,v_i` imeyut dvuh obschih sosedey `a,b`, i my mozhem po ocheredi dobavit vse ostavshiesya rebra mezhdu nimi. tak poluchaetsya `k_n`. esli `n` nechetno, stroim…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph","title":"Слайды домино, USAMO 2023 P3","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2023 USAMO Problems/Problem 3","Evan Chen, USAMO 2023 Solution Notes","Holden Mui, Dominoes on a Grid proposal","Draft Report on the 52nd Annual USA Mathematical Olympiad"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":["Holden Mui"],"tags":["trees","coloring","graph_in_solution","invariant","construction","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Задача про домино выглядит клеточной, но в содержательном решении всё держится на ориентированном графе специальных клеток и дереве компоненты пустой клетки.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"исправление очень высокой сложности 2026-05-07 по AoPS, заметкам Evan Chen и предложению Holden Mui","notes":"Решение самодостаточно переносит графовый метод специальных клеток и текстово закрывает конструкции всех малых значений, которые в источниках частично даны рисунками.","audit_source":"very-high-pipeline-batch-3-2026-05-07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим доску \\(n x n\\) для нечётного положительного \\(n\\). Максимальной конфигурацией домино назовём набор из \\((n^2-1)/2\\) неперекрывающихся домино \\(1 \\times 2\\) или \\(2 \\times 1\\), покрывающий все клетки, кроме одной. Разрешено сдвинуть домино в пустую клетку, не поворачивая его; после этого снова получается максимальная конфигурация с другой пустой клеткой. Пусть \\(k(C)\\) — число различных максимальных конфигураций, которые можно получить из \\(C\\) последовательностью таких ходов. Найдите все возможные значения \\(k(C)\\) в зависимости от \\(n\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-special-square-digraph","title":"Ориентированный граф особых клеток и двойственная конструкция","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle","tree","connected_graph","path","spanning_tree","graph_cut"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(n=2m+1\\), а строки и столбцы занумерованы числами \\(1,\\ldots,n\\). Назовём красными клетки с двумя нечётными координатами, синими — клетки с двумя чётными координатами, а остальные клетки белыми. Каждое домино покрывает одну клетку с чётной суммой координат и одну с нечётной, а на доске нечётного размера клеток с чётной суммой на одну больше; поэтому пустая клетка всегда имеет чётную сумму координат, то есть бывает только красной или синей. После любого сдвига пустая клетка переходит на расстояние \\(2\\) по строке или столбцу, значит её класс чётности координат не меняется. Зафиксируем конфигурацию \\(C\\) и рассмотрим специальные клетки: пустую клетку и все клетки того же класса чётности координат. Для каждой покрытой специальной клетки \\(s\\) смотрим на домино, которое её покрывает. Если продолжение этого домино через соседнюю белую клетку попадает в другую специальную клетку \\(t\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-usamo-2023-p3","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-2024-c8-usamo-2023-p3","neighbor_id":"imo-2024-c8-board-coloring-tree","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2023-p3-usajmo-2023-p3","neighbor_id":"usajmo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph слайды домино, usamo 2023 p3 trees coloring graph_in_solution invariant construction goal_characterization 2023 aops wiki, 2023 usamo problems/problem 3 draft report on the 52nd annual usa mathematical olympiad draft_official_report evan chen, usamo 2023 solution notes holden mui holden mui, dominoes on a grid proposal holdenmui https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_usamo_problems/problem_3 https://campus.lakeforest.edu/trevino/usamo2023.pdf https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2023-notes.pdf https://www.mit.edu/~hsmui/files/proposals/2023usamo3.pdf proposer_solution secondary_solution src-usamo-2023-draft-report src-usamo-2023-evan-chen-notes src-usamo-2023-p3-aops-wiki src-usamo-2023-p3-proposer-holden-mui statement usamo usamo2023 with_solution holden mui aops wiki, 2023 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2023 solution notes holden mui, dominoes on a grid proposal draft report on the 52nd annual usa mathematical olympiad stmt-original оригинальная формулировка ai_checked рассмотрим доску \\(n x n\\) для нечётного положительного \\(n\\). максимальной конфигурацией домино назовём набор из \\((n^2-1)/2\\) неперекрывающихся домино \\(1 \\times 2\\) или \\(2 \\times 1\\), покрывающий все клетки, кроме одной. разрешено сдвинуть домино в пустую клетку, не поворачивая его; после этого снова получается максимальная конфигурация с другой пустой клеткой. пусть \\(k(c)\\) — число различных максимальных конфигураций, которые можно получить из \\(c\\) последовательностью таких ходов. найдите все возможные значения \\(k(c)\\) в зависимости от \\(n\\). idea-special-squares-parity-class двигаться может только пустая клетка в фиксированном классе чётности после каждого сдвига новая пустая клетка находится на расстоянии `2` по строке или столбцу от старой, поэтому её чётности координат не меняются. значит существенными являются только специальные клетки того же класса чётности, что и исходная пустая клетка. coloring ai_checked idea-empty-component-is-tree компонента пустой клетки ациклична если в ориентированном графе специальных клеток возник цикл, не содержащий пустую клетку внутри, то он окружал бы область с нечётным числом клеток. домино не могут пересекать границу такого цикла, поэтому внутреннюю область нельзя было бы замостить без пустой клетки. значит компонента пустой клетки не содержит циклов и является деревом. trees ai_checked idea-kc-counts-tree-vertices `k(c)` — это число возможных выборов корня дерева когда компонентa пустой клетки уже распознана как дерево, любое достижимое положение соответствует выбору вершины, которая становится стоком, то есть новой пустой клеткой, а все стрелки ориентируются к ней. trees ai_checked sol-special-square-digraph ориентированный граф особых клеток и двойственная конструкция ai_checked directed_graph cycle tree connected_graph path spanning_tree graph_cut invariant пусть \\(n=2m+1\\), а строки и столбцы занумерованы числами \\(1,\\ldots,n\\). назовём красными клетки с двумя нечётными координатами, синими — клетки с двумя чётными координатами, а остальные клетки белыми. каждое домино покрывает одну клетку с чётной суммой координат и одну с нечётной, а на доске нечётного размера клеток с чётной суммой на одну больше; поэтому пустая клетка всегда имеет чётную сумму координат, то есть бывает только красной или синей. после любого сдвига пустая клетка переходит на расстояние \\(2\\) по строке или столбцу, значит её класс чётности координат не меняется. зафиксируем конфигурацию \\(c\\) и рассмотрим специальные клетки: пустую клетку и все клетки того же класса чётности координат. для каждой покрытой специальной клетки \\(s\\) смотрим на домино, которое её покрывает. если продолжение этого домино через соседнюю белую клетку попадает в другую специальную клетку \\(t\\)… usamo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph slaydy domino, usamo 2023 p3 trees coloring graph_in_solution invariant construction goal_characterization 2023 aops wiki, 2023 usamo problems/problem 3 draft report on the 52nd annual usa mathematical olympiad draft_official_report evan chen, usamo 2023 solution notes holden mui holden mui, dominoes on a grid proposal holdenmui https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_usamo_problems/problem_3 https://campus.lakeforest.edu/trevino/usamo2023.pdf https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2023-notes.pdf https://www.mit.edu/~hsmui/files/proposals/2023usamo3.pdf proposer_solution secondary_solution src-usamo-2023-draft-report src-usamo-2023-evan-chen-notes src-usamo-2023-p3-aops-wiki src-usamo-2023-p3-proposer-holden-mui statement usamo usamo2023 with_solution holden mui aops wiki, 2023 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2023 solution notes holden mui, dominoes on a grid proposal draft report on the 52nd annual usa mathematical olympiad stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked rassmotrim dosku \\(n x n\\) dlya nechetnogo polozhitelnogo \\(n\\). maksimalnoy konfiguratsiey domino nazovem nabor iz \\((n^2-1)/2\\) neperekryvayuschihsya domino \\(1 \\times 2\\) ili \\(2 \\times 1\\), pokryvayuschiy vse kletki, krome odnoy. razresheno sdvinut domino v pustuyu kletku, ne povorachivaya ego; posle etogo snova poluchaetsya maksimalnaya konfiguratsiya s drugoy pustoy kletkoy. pust \\(k(c)\\) — chislo razlichnyh maksimalnyh konfiguratsiy, kotorye mozhno poluchit iz \\(c\\) posledovatelnostyu takih hodov. naydite vse vozmozhnye znacheniya \\(k(c)\\) v zavisimosti ot \\(n\\). idea-special-squares-parity-class dvigatsya mozhet tolko pustaya kletka v fiksirovannom klasse chetnosti posle kazhdogo sdviga novaya pustaya kletka nahoditsya na rasstoyanii `2` po stroke ili stolbtsu ot staroy, poetomu ee chetnosti koordinat ne menyayutsya. znachit suschestvennymi yavlyayutsya tolko spetsialnye kletki togo zhe klassa chetnosti, chto i ishodnaya pustaya kletka. coloring ai_checked idea-empty-component-is-tree komponenta pustoy kletki atsiklichna esli v orientirovannom grafe spetsialnyh kletok voznik tsikl, ne soderzhaschiy pustuyu kletku vnutri, to on okruzhal by oblast s nechetnym chislom kletok. domino ne mogut peresekat granitsu takogo tsikla, poetomu vnutrennyuyu oblast nelzya bylo by zamostit bez pustoy kletki. znachit komponenta pustoy kletki ne soderzhit tsiklov i yavlyaetsya derevom. trees ai_checked idea-kc-counts-tree-vertices `k(c)` — eto chislo vozmozhnyh vyborov kornya dereva kogda komponenta pustoy kletki uzhe raspoznana kak derevo, lyuboe dostizhimoe polozhenie sootvetstvuet vyboru vershiny, kotoraya stanovitsya stokom, to est novoy pustoy kletkoy, a vse strelki orientiruyutsya k ney. trees ai_checked sol-special-square-digraph orientirovannyy graf osobyh kletok i dvoystvennaya konstruktsiya ai_checked directed_graph cycle tree connected_graph path spanning_tree graph_cut invariant pust \\(n=2m+1\\), a stroki i stolbtsy zanumerovany chislami \\(1,\\ldots,n\\). nazovem krasnymi kletki s dvumya nechetnymi koordinatami, sinimi — kletki s dvumya chetnymi koordinatami, a ostalnye kletki belymi. kazhdoe domino pokryvaet odnu kletku s chetnoy summoy koordinat i odnu s nechetnoy, a na doske nechetnogo razmera kletok s chetnoy summoy na odnu bolshe; poetomu pustaya kletka vsegda imeet chetnuyu summu koordinat, to est byvaet tolko krasnoy ili siney. posle lyubogo sdviga pustaya kletka perehodit na rasstoyanie \\(2\\) po stroke ili stolbtsu, znachit ee klass chetnosti koordinat ne menyaetsya. zafiksiruem konfiguratsiyu \\(c\\) i rassmotrim spetsialnye kletki: pustuyu kletku i vse kletki togo zhe klassa chetnosti koordinat. dlya kazhdoy pokrytoy spetsialnoy kletki \\(s\\) smotrim na domino, kotoroe ee pokryvaet. esli prodolzhenie etogo domino cherez sosednyuyu beluyu kletku popadaet v druguyu spetsialnuyu kletku \\(t\\)…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2024-p3-balanced-regular-polygon-triangulation","title":"m-сбалансированная триангуляция правильного многоугольника, USAMO 2024 P3","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2024-p3-balanced-regular-polygon-triangulation.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2024-p3-balanced-regular-polygon-triangulation.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2024-p3-balanced-regular-polygon-triangulation","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2024 USAMO Problems/Problem 3","Evan Chen, USAMO 2024 Solution Notes"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":["Krit Boonsiriseth"],"tags":["planar_graphs","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Постановка графовая через триангуляции, но основное доказательство необходимости идёт через комплексные числа.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"У олимпиадной карточки есть официальный источник или источник уровня шорт-листа/сборника, а решение имеет статус ai_checked.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Для положительного целого \\(m\\) триангуляция правильного \\(n\\)-угольника называется \\(m\\)-сбалансированной, если её \\(n-2\\) треугольников можно раскрасить в \\(m\\) цветов так, чтобы суммы площадей треугольников каждого цвета были одинаковы. Для каких \\(n \\ge 3\\) такая триангуляция существует?","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-fan-and-integrality","title":"Веерная конструкция и критерий собственный делитель","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: такие триангуляции существуют тогда и только тогда, когда `m` является собственным делителем `n`. Условие «собственным» необходимо уже потому, что все настоящие треугольники имеют положительную площадь, так что при равных ненулевых суммах каждый цвет должен появиться, а значит `m <= n-2 < n`. Достаточность проще всего получить на веерной триангуляции правильного `n`-угольника из одной вершины. Пусть вершины равны `1, ω, ..., ω^{n-1}`, где `ω = экспонента(2*pi*i/n)`, а веерные треугольники имеют вид `(1, ω^j, ω^{j+1})`, `1 <= j <= n-2`. Если `m | n` и `m < n`, красим треугольник с номером `j` по остатку `j mod m`. Для вычисления суммы удобно также добавить вырожденные треугольники при `j=0` и `j=n-1`, их площадь равна нулю. Ориентированная площадь треугольника `(1, ω^a, ω^b)` равна `T(a,b)=((ω^a-1)(ω^b-1)(ω^{-b}-ω^{-a}))/(4i)`. Тогда для фиксированного остатка `r mod m` сумма `T(j…"}],"relations":[{"id":"rel-usamo-2024-p3-outerplanar","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-usamo-2024-p3-imo-2005-c8","neighbor_id":"imo-2005-c8-noncrossing-diagonals-crossings","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2024-triangulation-cmo-1995-quadrangulation","neighbor_id":"cmo-1995-p3-polygon-quadrangulation-boomerangs","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2006-p1a-usamo-2024-balanced-triangulation","neighbor_id":"imc-2006-day2-p1a-polygon-triangulation-all-odd","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imc-2006-p1b-usamo-2024-balanced-triangulation","neighbor_id":"imc-2006-day2-p1b-polygon-triangulation-two-even","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"usamo-2024-p3-balanced-regular-polygon-triangulation m-сбалансированная триангуляция правильного многоугольника, usamo 2024 p3 planar_graphs goal_characterization 2024 aops wiki, 2024 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2024 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2024_usamo_problems/problem_3 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2024-notes.pdf krit boonsiriseth kritboonsiriseth secondary_solution src-usamo-2024-evan-chen-notes src-usamo-2024-p3-aops-wiki statement usamo usamo2024 with_solution krit boonsiriseth aops wiki, 2024 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2024 solution notes stmt-original оригинальная формулировка ai_checked для положительного целого \\(m\\) триангуляция правильного \\(n\\)-угольника называется \\(m\\)-сбалансированной, если её \\(n-2\\) треугольников можно раскрасить в \\(m\\) цветов так, чтобы суммы площадей треугольников каждого цвета были одинаковы. для каких \\(n \\ge 3\\) такая триангуляция существует? idea-fan-triangulation-when-m-divides-n если `m | n`, достаточно веерной триангуляции в веерной триангуляции от одной вершины длины и площади треугольников периодичны по модулю `n`; при собственный делитель `m | n` можно раскрасить треугольники циклически по остаткам по модулю `m`. добавление двух вырожденных нулевых треугольников делает сумму по каждому цвету полной геометрической прогрессией, поэтому суммы площадей совпадают. extremal_choice planar_graphs ai_checked idea-necessity-via-algebraic-integrality необходимость оказывается не графовой, а алгебраической после записи площадей через корни из единицы каждая цветовая сумма, умноженная на `4i`, является суммой алгебраических целых чисел. но равная доля площади правильного `n`-угольника равна `(n/m)(omega-omega^{-1})/(4i)`; в циклотомическом поле это возможно только если рациональное число `n/m` является алгебраическим целым числом, то есть обычным целым. ai_checked sol-fan-and-integrality веерная конструкция и критерий собственный делитель ai_checked planar_graph ответ: такие триангуляции существуют тогда и только тогда, когда `m` является собственным делителем `n`. условие «собственным» необходимо уже потому, что все настоящие треугольники имеют положительную площадь, так что при равных ненулевых суммах каждый цвет должен появиться, а значит `m <= n-2 < n`. достаточность проще всего получить на веерной триангуляции правильного `n`-угольника из одной вершины. пусть вершины равны `1, ω, ..., ω^{n-1}`, где `ω = экспонента(2*pi*i/n)`, а веерные треугольники имеют вид `(1, ω^j, ω^{j+1})`, `1 <= j <= n-2`. если `m | n` и `m < n`, красим треугольник с номером `j` по остатку `j mod m`. для вычисления суммы удобно также добавить вырожденные треугольники при `j=0` и `j=n-1`, их площадь равна нулю. ориентированная площадь треугольника `(1, ω^a, ω^b)` равна `t(a,b)=((ω^a-1)(ω^b-1)(ω^{-b}-ω^{-a}))/(4i)`. тогда для фиксированного остатка `r mod m` сумма `t(j… usamo-2024-p3-balanced-regular-polygon-triangulation m-sbalansirovannaya triangulyatsiya pravilnogo mnogougolnika, usamo 2024 p3 planar_graphs goal_characterization 2024 aops wiki, 2024 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2024 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2024_usamo_problems/problem_3 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2024-notes.pdf krit boonsiriseth kritboonsiriseth secondary_solution src-usamo-2024-evan-chen-notes src-usamo-2024-p3-aops-wiki statement usamo usamo2024 with_solution krit boonsiriseth aops wiki, 2024 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2024 solution notes stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dlya polozhitelnogo tselogo \\(m\\) triangulyatsiya pravilnogo \\(n\\)-ugolnika nazyvaetsya \\(m\\)-sbalansirovannoy, esli ee \\(n-2\\) treugolnikov mozhno raskrasit v \\(m\\) tsvetov tak, chtoby summy ploschadey treugolnikov kazhdogo tsveta byli odinakovy. dlya kakih \\(n \\ge 3\\) takaya triangulyatsiya suschestvuet? idea-fan-triangulation-when-m-divides-n esli `m | n`, dostatochno veernoy triangulyatsii v veernoy triangulyatsii ot odnoy vershiny dliny i ploschadi treugolnikov periodichny po modulyu `n`; pri sobstvennyy delitel `m | n` mozhno raskrasit treugolniki tsiklicheski po ostatkam po modulyu `m`. dobavlenie dvuh vyrozhdennyh nulevyh treugolnikov delaet summu po kazhdomu tsvetu polnoy geometricheskoy progressiey, poetomu summy ploschadey sovpadayut. extremal_choice planar_graphs ai_checked idea-necessity-via-algebraic-integrality neobhodimost okazyvaetsya ne grafovoy, a algebraicheskoy posle zapisi ploschadey cherez korni iz edinitsy kazhdaya tsvetovaya summa, umnozhennaya na `4i`, yavlyaetsya summoy algebraicheskih tselyh chisel. no ravnaya dolya ploschadi pravilnogo `n`-ugolnika ravna `(n/m)(omega-omega^{-1})/(4i)`; v tsiklotomicheskom pole eto vozmozhno tolko esli ratsionalnoe chislo `n/m` yavlyaetsya algebraicheskim tselym chislom, to est obychnym tselym. ai_checked sol-fan-and-integrality veernaya konstruktsiya i kriteriy sobstvennyy delitel ai_checked planar_graph otvet: takie triangulyatsii suschestvuyut togda i tolko togda, kogda `m` yavlyaetsya sobstvennym delitelem `n`. uslovie «sobstvennym» neobhodimo uzhe potomu, chto vse nastoyaschie treugolniki imeyut polozhitelnuyu ploschad, tak chto pri ravnyh nenulevyh summah kazhdyy tsvet dolzhen poyavitsya, a znachit `m <= n-2 < n`. dostatochnost prosche vsego poluchit na veernoy triangulyatsii pravilnogo `n`-ugolnika iz odnoy vershiny. pust vershiny ravny `1, ω, ..., ω^{n-1}`, gde `ω = eksponenta(2*pi*i/n)`, a veernye treugolniki imeyut vid `(1, ω^j, ω^{j+1})`, `1 <= j <= n-2`. esli `m | n` i `m < n`, krasim treugolnik s nomerom `j` po ostatku `j mod m`. dlya vychisleniya summy udobno takzhe dobavit vyrozhdennye treugolniki pri `j=0` i `j=n-1`, ih ploschad ravna nulyu. orientirovannaya ploschad treugolnika `(1, ω^a, ω^b)` ravna `t(a,b)=((ω^a-1)(ω^b-1)(ω^{-b}-ω^{-a}))/(4i)`. togda dlya fiksirovannogo ostatka `r mod m` summa `t(j…","source_keys":["usamo"]} {"id":"usamo-2025-p3-gabriel-graph-road-network","title":"Дорожная сеть как граф Габриэля, USAMO 2025 P3","path":"data\\problems\\usamo\\usamo-2025-p3-gabriel-graph-road-network.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usamo/usamo-2025-p3-gabriel-graph-road-network.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usamo-2025-p3-gabriel-graph-road-network","source_key":"usamo","source_label":"USAMO","source_titles":["AoPS Wiki, 2025 USAMO Problems/Problem 3","Evan Chen, USAMO 2025 Solution Notes"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":["Carl Schildkraut"],"tags":["planar_graphs","goal_characterization"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Красивая задача на распознавание графа Габриэля; после этого включается стандартный планарный инструментарий.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"У олимпиадной карточки есть официальный источник или источник уровня шорт-листа/сборника, а решение имеет статус ai_checked.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Алиса выбирает две точки \\(P,Q\\) и множество \\(S\\) на плоскости; затем Боб ставит бесконечно много городов так, что расстояние между любыми двумя городами больше \\(1\\) и никакие три не коллинеарны. После этого каждая пара городов \\(A,B\\) соединяется дорогой по отрезку \\(AB\\) тогда и только тогда, когда для каждого третьего города \\(C\\) существует точка \\(R\\) из \\(S\\), для которой треугольник \\(PQR\\) прямо подобен одному из треугольников \\(ABC\\) или \\(BAC\\). Алиса выигрывает, если ей удаётся заранее подобрать \\(P,Q,S\\) так, что при любом допустимом расположении городов Бобом в построенной сети между любыми двумя городами можно проехать по конечной цепочке дорог и никакие две дороги не пересекаются внутренними точками; иначе выигрывает Боб. Докажите, что Алиса может выиграть.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-gabriel-planar-bound","title":"Полное решение: выбор S и сведение к двум леммам о графе Габриэля","status":"ai_checked","definition_ids":["gabriel_graph","planar_graph","connected_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выигрывает Алиса. Она выбирает произвольные разные точки \\(P,Q\\) и берёт \\(\\mathcal S\\) равным множеству всех точек, лежащих строго вне замкнутого диска с диаметром \\(PQ\\). Рассмотрим пару городов \\(A,B\\). Для третьего города \\(C\\) существование \\(R\\in\\mathcal S\\), при котором \\(\\triangle PQR\\) прямо подобен \\(\\triangle ABC\\) или \\(\\triangle BAC\\), означает ровно, что при одном из двух прямых подобий, переводящих упорядоченную пару \\((P,Q)\\) в \\((A,B)\\) или \\((B,A)\\), точка \\(R\\) переходит в \\(C\\). Так как прямое подобие переводит замкнутый диск с диаметром \\(PQ\\) в замкнутый диск с диаметром \\(AB\\), выбранное \\(\\mathcal S\\) даёт такое условие: для каждого третьего города \\(C\\) точка \\(C\\) лежит строго вне замкнутого диска с диаметром \\(AB\\). Иными словами, построенная сеть является графом Габриэля множества городов: ребро \\(AB\\) проводится ровно тогда, когда замкнутый диаметральный дис…"}],"relations":[{"id":"rel-gabriel-connectivity-lemma-usamo-2025-p3","neighbor_id":"gabriel-graph-connected-separated-points","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-gabriel-planarity-lemma-usamo-2025-p3","neighbor_id":"gabriel-graph-straight-line-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usamo-2025-p3-gabriel-graph-road-network дорожная сеть как граф габриэля, usamo 2025 p3 planar_graphs goal_characterization 2025 aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 carl schildkraut carlschildkraut evan chen, usamo 2025 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2025_usamo_problems/problem_3 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2025-notes.pdf secondary_solution src-usamo-2025-evan-chen-notes src-usamo-2025-p3-aops-wiki statement usamo usamo2025 with_solution carl schildkraut aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2025 solution notes stmt-original оригинальная формулировка ai_checked алиса выбирает две точки \\(p,q\\) и множество \\(s\\) на плоскости; затем боб ставит бесконечно много городов так, что расстояние между любыми двумя городами больше \\(1\\) и никакие три не коллинеарны. после этого каждая пара городов \\(a,b\\) соединяется дорогой по отрезку \\(ab\\) тогда и только тогда, когда для каждого третьего города \\(c\\) существует точка \\(r\\) из \\(s\\), для которой треугольник \\(pqr\\) прямо подобен одному из треугольников \\(abc\\) или \\(bac\\). алиса выигрывает, если ей удаётся заранее подобрать \\(p,q,s\\) так, что при любом допустимом расположении городов бобом в построенной сети между любыми двумя городами можно проехать по конечной цепочке дорог и никакие две дороги не пересекаются внутренними точками; иначе выигрывает боб. докажите, что алиса может выиграть. idea-identify-gabriel-graph сначала распознать стандартный геометрический граф алиса выбирает `s` как множество точек строго вне замкнутого диска с диаметром `pq`; тогда условие прямого подобия для каждого третьего города эквивалентно тому, что замкнутый диск с диаметром между двумя городами не содержит других городов. planar_graphs ai_checked idea-connected-and-planar-gabriel-graph сослаться на две леммы о графе габриэля после распознавания построенной сети как графа габриэля остаются две независимые части: связность графа габриэля для разреженного множества точек и отсутствие пересечений в его прямолинейном рисунке. planar_graphs ai_checked sol-gabriel-planar-bound полное решение: выбор s и сведение к двум леммам о графе габриэля ai_checked gabriel_graph planar_graph connected_graph выигрывает алиса. она выбирает произвольные разные точки \\(p,q\\) и берёт \\(\\mathcal s\\) равным множеству всех точек, лежащих строго вне замкнутого диска с диаметром \\(pq\\). рассмотрим пару городов \\(a,b\\). для третьего города \\(c\\) существование \\(r\\in\\mathcal s\\), при котором \\(\\triangle pqr\\) прямо подобен \\(\\triangle abc\\) или \\(\\triangle bac\\), означает ровно, что при одном из двух прямых подобий, переводящих упорядоченную пару \\((p,q)\\) в \\((a,b)\\) или \\((b,a)\\), точка \\(r\\) переходит в \\(c\\). так как прямое подобие переводит замкнутый диск с диаметром \\(pq\\) в замкнутый диск с диаметром \\(ab\\), выбранное \\(\\mathcal s\\) даёт такое условие: для каждого третьего города \\(c\\) точка \\(c\\) лежит строго вне замкнутого диска с диаметром \\(ab\\). иными словами, построенная сеть является графом габриэля множества городов: ребро \\(ab\\) проводится ровно тогда, когда замкнутый диаметральный дис… usamo-2025-p3-gabriel-graph-road-network dorozhnaya set kak graf gabrielya, usamo 2025 p3 planar_graphs goal_characterization 2025 aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 carl schildkraut carlschildkraut evan chen, usamo 2025 solution notes https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2025_usamo_problems/problem_3 https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2025-notes.pdf secondary_solution src-usamo-2025-evan-chen-notes src-usamo-2025-p3-aops-wiki statement usamo usamo2025 with_solution carl schildkraut aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2025 solution notes stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked alisa vybiraet dve tochki \\(p,q\\) i mnozhestvo \\(s\\) na ploskosti; zatem bob stavit beskonechno mnogo gorodov tak, chto rasstoyanie mezhdu lyubymi dvumya gorodami bolshe \\(1\\) i nikakie tri ne kollinearny. posle etogo kazhdaya para gorodov \\(a,b\\) soedinyaetsya dorogoy po otrezku \\(ab\\) togda i tolko togda, kogda dlya kazhdogo tretego goroda \\(c\\) suschestvuet tochka \\(r\\) iz \\(s\\), dlya kotoroy treugolnik \\(pqr\\) pryamo podoben odnomu iz treugolnikov \\(abc\\) ili \\(bac\\). alisa vyigryvaet, esli ey udaetsya zaranee podobrat \\(p,q,s\\) tak, chto pri lyubom dopustimom raspolozhenii gorodov bobom v postroennoy seti mezhdu lyubymi dvumya gorodami mozhno proehat po konechnoy tsepochke dorog i nikakie dve dorogi ne peresekayutsya vnutrennimi tochkami; inache vyigryvaet bob. dokazhite, chto alisa mozhet vyigrat. idea-identify-gabriel-graph snachala raspoznat standartnyy geometricheskiy graf alisa vybiraet `s` kak mnozhestvo tochek strogo vne zamknutogo diska s diametrom `pq`; togda uslovie pryamogo podobiya dlya kazhdogo tretego goroda ekvivalentno tomu, chto zamknutyy disk s diametrom mezhdu dvumya gorodami ne soderzhit drugih gorodov. planar_graphs ai_checked idea-connected-and-planar-gabriel-graph soslatsya na dve lemmy o grafe gabrielya posle raspoznavaniya postroennoy seti kak grafa gabrielya ostayutsya dve nezavisimye chasti: svyaznost grafa gabrielya dlya razrezhennogo mnozhestva tochek i otsutstvie peresecheniy v ego pryamolineynom risunke. planar_graphs ai_checked sol-gabriel-planar-bound polnoe reshenie: vybor s i svedenie k dvum lemmam o grafe gabrielya ai_checked gabriel_graph planar_graph connected_graph vyigryvaet alisa. ona vybiraet proizvolnye raznye tochki \\(p,q\\) i beret \\(\\mathcal s\\) ravnym mnozhestvu vseh tochek, lezhaschih strogo vne zamknutogo diska s diametrom \\(pq\\). rassmotrim paru gorodov \\(a,b\\). dlya tretego goroda \\(c\\) suschestvovanie \\(r\\in\\mathcal s\\), pri kotorom \\(\\triangle pqr\\) pryamo podoben \\(\\triangle abc\\) ili \\(\\triangle bac\\), oznachaet rovno, chto pri odnom iz dvuh pryamyh podobiy, perevodyaschih uporyadochennuyu paru \\((p,q)\\) v \\((a,b)\\) ili \\((b,a)\\), tochka \\(r\\) perehodit v \\(c\\). tak kak pryamoe podobie perevodit zamknutyy disk s diametrom \\(pq\\) v zamknutyy disk s diametrom \\(ab\\), vybrannoe \\(\\mathcal s\\) daet takoe uslovie: dlya kazhdogo tretego goroda \\(c\\) tochka \\(c\\) lezhit strogo vne zamknutogo diska s diametrom \\(ab\\). inymi slovami, postroennaya set yavlyaetsya grafom gabrielya mnozhestva gorodov: rebro \\(ab\\) provoditsya rovno togda, kogda zamknutyy diametralnyy dis…","source_keys":["usamo"]}