{"id":"usajmo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph","title":"Слайды домино, USAJMO 2023 P3","path":"data\\problems\\usajmo\\usajmo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usajmo/usajmo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usajmo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph","source_key":"usajmo","source_label":"USAJMO","source_titles":["2023 USAJMO Problems/Problem 3","JMO 2023 Solution Notes","Holden Mui, Dominoes on a Grid proposal"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":["Holden Mui"],"tags":["trees","coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Младшая версия USAMO 2023 P3; графовый слой остаётся центральным, хотя цель задачи только максимизировать `k(C)`.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"У олимпиадной карточки есть официальный источник или источник уровня шорт-листа/сборника, а решение имеет статус ai_checked.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим доску \\(n x n\\) для нечётного положительного \\(n\\). Максимальная конфигурация, выровненная по клеткам состоит из \\((n^2-1)/2\\) домино \\(1 \\times 2\\) или \\(2 \\times 1\\), покрывающих все клетки, кроме одной. Разрешено сдвинуть домино в пустую клетку, не поворачивая его; после этого снова получается максимальная конфигурация с другой пустой клеткой. Пусть \\(k(C)\\) — число различных максимальных конфигураций, достижимых из \\(C\\) последовательностью таких ходов. Найдите максимальное возможное значение \\(k(C)\\) в зависимости от \\(n\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-directed-graph-and-spanning-tree-bound","title":"Ориентированный граф специальных клеток и максимум по остовному дереву","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","tree","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим специальные клетки той же чётности координат, что и пустая клетка. Каждое домино, лежащее на такой клетке, естественно указывает на следующую специальную клетку в своём направлении; это задаёт ориентированный граф \\(G(C)\\). Пусть \\(T\\) — слабо связная компонента, содержащая пустую клетку. Так как у каждой вершины исходящая степень не больше 1, любой неориентированный цикл в \\(T\\) превращается в ориентированный цикл: на цикле ровно столько рёбер, сколько вершин, и у каждой вершины может быть не более одного исходящего ребра. В компоненте с пустой клеткой такого ориентированного цикла быть не может, поскольку пустая клетка имеет исходящую степень 0, а в конечном функциональном графе слабая компонента содержит либо сток, либо ориентированный цикл. Следовательно, \\(T\\) — дерево. Теперь любой ход домино соответствует изменению положения стока внутри этого дерева, а достижимые конф…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-usajmo-2023-p3","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2023-p3-usajmo-2023-p3","neighbor_id":"usamo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usajmo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph слайды домино, usajmo 2023 p3 trees coloring goal_exact_bound 2023 2023 usajmo problems/problem 3 holden mui holden mui, dominoes on a grid proposal holdenmui https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_usajmo_problems/problem_3 https://web.evanchen.cc/exams/jmo-2023-notes.pdf https://www.mit.edu/~hsmui/files/proposals/2023usamo3.pdf jmo 2023 solution notes problem_archive proposer_solution solution_notes src-jmo-2023-evan-chen-notes src-usajmo-2023-p3-aops-wiki src-usamo-2023-p3-proposer-holden-mui usajmo usajmo2023 with_solution holden mui 2023 usajmo problems/problem 3 jmo 2023 solution notes holden mui, dominoes on a grid proposal stmt-original оригинальная формулировка ai_checked рассмотрим доску \\(n x n\\) для нечётного положительного \\(n\\). максимальная конфигурация, выровненная по клеткам состоит из \\((n^2-1)/2\\) домино \\(1 \\times 2\\) или \\(2 \\times 1\\), покрывающих все клетки, кроме одной. разрешено сдвинуть домино в пустую клетку, не поворачивая его; после этого снова получается максимальная конфигурация с другой пустой клеткой. пусть \\(k(c)\\) — число различных максимальных конфигураций, достижимых из \\(c\\) последовательностью таких ходов. найдите максимальное возможное значение \\(k(c)\\) в зависимости от \\(n\\). idea-fixed-parity-class-of-hole пустая клетка всё время остаётся в одном классе чётности после каждого сдвига новая пустая клетка отстоит от старой на `2` по строке или столбцу, так что имеет ту же класс чётности. поэтому рассматривать нужно только специальные клетки этого класса. coloring ai_checked idea-empty-component-is-tree компонента пустой клетки образует дерево в построенном орграфе каждая специальная клетка имеет исходящую степень не больше 1, а пустая клетка имеет исходящую степень 0. любой цикл был бы ориентированным циклом, но тогда он не мог бы лежать в компоненте пустой клетки. значит соответствующая слабо связная компонента ациклична. trees ai_checked idea-kc-equals-number-of-tree-vertices `k(c)` равно числу вершин дерева достижимых специальные клетки перемещение домино просто меняет сток дерева: любой достижимый выбор пустой клетки соответствует выбору вершины дерева, после чего все стрелки ориентируются к ней. поэтому число достижимых конфигураций совпадает с числом вершин компоненты. trees ai_checked sol-directed-graph-and-spanning-tree-bound ориентированный граф специальных клеток и максимум по остовному дереву ai_checked directed_graph tree cycle рассмотрим специальные клетки той же чётности координат, что и пустая клетка. каждое домино, лежащее на такой клетке, естественно указывает на следующую специальную клетку в своём направлении; это задаёт ориентированный граф \\(g(c)\\). пусть \\(t\\) — слабо связная компонента, содержащая пустую клетку. так как у каждой вершины исходящая степень не больше 1, любой неориентированный цикл в \\(t\\) превращается в ориентированный цикл: на цикле ровно столько рёбер, сколько вершин, и у каждой вершины может быть не более одного исходящего ребра. в компоненте с пустой клеткой такого ориентированного цикла быть не может, поскольку пустая клетка имеет исходящую степень 0, а в конечном функциональном графе слабая компонента содержит либо сток, либо ориентированный цикл. следовательно, \\(t\\) — дерево. теперь любой ход домино соответствует изменению положения стока внутри этого дерева, а достижимые конф… usajmo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph slaydy domino, usajmo 2023 p3 trees coloring goal_exact_bound 2023 2023 usajmo problems/problem 3 holden mui holden mui, dominoes on a grid proposal holdenmui https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_usajmo_problems/problem_3 https://web.evanchen.cc/exams/jmo-2023-notes.pdf https://www.mit.edu/~hsmui/files/proposals/2023usamo3.pdf jmo 2023 solution notes problem_archive proposer_solution solution_notes src-jmo-2023-evan-chen-notes src-usajmo-2023-p3-aops-wiki src-usamo-2023-p3-proposer-holden-mui usajmo usajmo2023 with_solution holden mui 2023 usajmo problems/problem 3 jmo 2023 solution notes holden mui, dominoes on a grid proposal stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked rassmotrim dosku \\(n x n\\) dlya nechetnogo polozhitelnogo \\(n\\). maksimalnaya konfiguratsiya, vyrovnennaya po kletkam sostoit iz \\((n^2-1)/2\\) domino \\(1 \\times 2\\) ili \\(2 \\times 1\\), pokryvayuschih vse kletki, krome odnoy. razresheno sdvinut domino v pustuyu kletku, ne povorachivaya ego; posle etogo snova poluchaetsya maksimalnaya konfiguratsiya s drugoy pustoy kletkoy. pust \\(k(c)\\) — chislo razlichnyh maksimalnyh konfiguratsiy, dostizhimyh iz \\(c\\) posledovatelnostyu takih hodov. naydite maksimalnoe vozmozhnoe znachenie \\(k(c)\\) v zavisimosti ot \\(n\\). idea-fixed-parity-class-of-hole pustaya kletka vse vremya ostaetsya v odnom klasse chetnosti posle kazhdogo sdviga novaya pustaya kletka otstoit ot staroy na `2` po stroke ili stolbtsu, tak chto imeet tu zhe klass chetnosti. poetomu rassmatrivat nuzhno tolko spetsialnye kletki etogo klassa. coloring ai_checked idea-empty-component-is-tree komponenta pustoy kletki obrazuet derevo v postroennom orgrafe kazhdaya spetsialnaya kletka imeet ishodyaschuyu stepen ne bolshe 1, a pustaya kletka imeet ishodyaschuyu stepen 0. lyuboy tsikl byl by orientirovannym tsiklom, no togda on ne mog by lezhat v komponente pustoy kletki. znachit sootvetstvuyuschaya slabo svyaznaya komponenta atsiklichna. trees ai_checked idea-kc-equals-number-of-tree-vertices `k(c)` ravno chislu vershin dereva dostizhimyh spetsialnye kletki peremeschenie domino prosto menyaet stok dereva: lyuboy dostizhimyy vybor pustoy kletki sootvetstvuet vyboru vershiny dereva, posle chego vse strelki orientiruyutsya k ney. poetomu chislo dostizhimyh konfiguratsiy sovpadaet s chislom vershin komponenty. trees ai_checked sol-directed-graph-and-spanning-tree-bound orientirovannyy graf spetsialnyh kletok i maksimum po ostovnomu derevu ai_checked directed_graph tree cycle rassmotrim spetsialnye kletki toy zhe chetnosti koordinat, chto i pustaya kletka. kazhdoe domino, lezhaschee na takoy kletke, estestvenno ukazyvaet na sleduyuschuyu spetsialnuyu kletku v svoem napravlenii; eto zadaet orientirovannyy graf \\(g(c)\\). pust \\(t\\) — slabo svyaznaya komponenta, soderzhaschaya pustuyu kletku. tak kak u kazhdoy vershiny ishodyaschaya stepen ne bolshe 1, lyuboy neorientirovannyy tsikl v \\(t\\) prevraschaetsya v orientirovannyy tsikl: na tsikle rovno stolko reber, skolko vershin, i u kazhdoy vershiny mozhet byt ne bolee odnogo ishodyaschego rebra. v komponente s pustoy kletkoy takogo orientirovannogo tsikla byt ne mozhet, poskolku pustaya kletka imeet ishodyaschuyu stepen 0, a v konechnom funktsionalnom grafe slabaya komponenta soderzhit libo stok, libo orientirovannyy tsikl. sledovatelno, \\(t\\) — derevo. teper lyuboy hod domino sootvetstvuet izmeneniyu polozheniya stoka vnutri etogo dereva, a dostizhimye konf…","source_keys":["usajmo","usamo"]}