{"id":"usa-tst-2005-p1-set-system-incidence-graph","title":"Система из 2n подмножеств и граф пересечений, USA TST 2005 P1","path":"data\\problems\\usa-tst\\usa-tst-2005-p1-set-system-incidence-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usa-tst/usa-tst-2005-p1-set-system-incidence-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usa-tst-2005-p1-set-system-incidence-graph","source_key":"usa","source_label":"USA TST","source_titles":["USA Team Selection Test 2005 (архив сообщества AoPS для печати)"],"year":"2005","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Красивая задача на перевод системы множеств в простой регулярный граф и точную экстремальную конструкцию.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","status":"ai_checked","confidence":0.7,"basis":"no официальный or опубликованное решение source detected","notes":"Решение выглядит как восстановленное/написанное ИИ с нуля; желательно выборочно перепроверять математически.","label":"ИИ-решение с нуля"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Система подмножеств","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n>1\\). Для положительного \\(m\\) обозначим через \\(S_m\\) множество \\({1,2,\\ldots,mn}\\). Предположим, что существует семейство \\(T\\) из \\(2n\\) различных \\(m\\)-элементных подмножеств множества \\(S_m\\) со свойствами: любые два множества из \\(T\\) пересекаются не более чем по одному элементу, а каждый элемент из \\(S_m\\) содержится ровно в двух множествах семейства \\(T\\). Найдите наибольшее возможное значение \\(m\\) в зависимости от \\(n\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Максимальная степень регулярного графа","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n>1\\). Найдите наибольшее \\(m\\), для которого существует простой \\(m\\)-регулярный граф на \\(2n\\) вершинах.","definition_ids":["simple_graph","degree","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-regular-graph-bound","title":"Через простой регулярный граф","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","complete_graph"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф `G` на `2n` вершинах: вершины соответствуют множествам семейства `T`, а каждому элементу `x` из `S_m` сопоставим ребро между двумя множествами, содержащими `x`. Условие «каждый элемент содержится ровно в двух множествах» гарантирует, что такое ребро определено корректно. Условие «любые два множества пересекаются не более чем по одному элементу» означает, что между двумя вершинами не может появиться более одного ребра, то есть граф простой. Каждое множество содержит ровно `m` элементов, значит степень каждой вершины равна `m`; следовательно, `G` — простой `m`-регулярный граф на `2n` вершинах. В простом графе на `2n` вершинах степень любой вершины не превосходит `2n-1`, поэтому `m<=2n-1`. Оценка точна: берём полный граф `K_{2n}`. Его `n(2n-1)` рёбер можно занумеровать числами `1,2,...,n(2n-1)` и каждой вершине сопоставить множество номеров инцидентных ей рёбер. Получаем ровн…"}],"relations":[{"id":"rel-regular-codegree-usa-tst-2005","neighbor_id":"imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2002-students-usa-tst-incidence","neighbor_id":"imc-2002-day2-p2-students-problems-dominating-pair","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"usa-tst-2005-p1-set-system-incidence-graph система из 2n подмножеств и граф пересечений, usa tst 2005 p1 extremal_choice goal_exact_bound 2005 https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4635.pdf secondary_archive src-usa-tst-2005-aops-community usa usa team selection test 2005 (архив сообщества aops для печати) usa tst usa2005 usatst usatst2005 with_solution ? usa team selection test 2005 (архив сообщества aops для печати) stmt-original система подмножеств ai_checked пусть \\(n>1\\). для положительного \\(m\\) обозначим через \\(s_m\\) множество \\({1,2,\\ldots,mn}\\). предположим, что существует семейство \\(t\\) из \\(2n\\) различных \\(m\\)-элементных подмножеств множества \\(s_m\\) со свойствами: любые два множества из \\(t\\) пересекаются не более чем по одному элементу, а каждый элемент из \\(s_m\\) содержится ровно в двух множествах семейства \\(t\\). найдите наибольшее возможное значение \\(m\\) в зависимости от \\(n\\). stmt-graph максимальная степень регулярного графа ai_checked пусть \\(n>1\\). найдите наибольшее \\(m\\), для которого существует простой \\(m\\)-регулярный граф на \\(2n\\) вершинах. simple_graph degree complete_graph idea-elements-become-edges каждый элемент становится ребром так как каждый элемент встречается ровно в двух множествах, его удобно считать ребром между этими двумя множествами. ограничение на пересечения означает, что кратных рёбер нет. extremal_choice ai_checked sol-regular-graph-bound через простой регулярный граф ai_checked simple_graph degree complete_graph extremal_choice построим граф `g` на `2n` вершинах: вершины соответствуют множествам семейства `t`, а каждому элементу `x` из `s_m` сопоставим ребро между двумя множествами, содержащими `x`. условие «каждый элемент содержится ровно в двух множествах» гарантирует, что такое ребро определено корректно. условие «любые два множества пересекаются не более чем по одному элементу» означает, что между двумя вершинами не может появиться более одного ребра, то есть граф простой. каждое множество содержит ровно `m` элементов, значит степень каждой вершины равна `m`; следовательно, `g` — простой `m`-регулярный граф на `2n` вершинах. в простом графе на `2n` вершинах степень любой вершины не превосходит `2n-1`, поэтому `m<=2n-1`. оценка точна: берём полный граф `k_{2n}`. его `n(2n-1)` рёбер можно занумеровать числами `1,2,...,n(2n-1)` и каждой вершине сопоставить множество номеров инцидентных ей рёбер. получаем ровн… usa-tst-2005-p1-set-system-incidence-graph sistema iz 2n podmnozhestv i graf peresecheniy, usa tst 2005 p1 extremal_choice goal_exact_bound 2005 https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4635.pdf secondary_archive src-usa-tst-2005-aops-community usa usa team selection test 2005 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) usa tst usa2005 usatst usatst2005 with_solution ? usa team selection test 2005 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) stmt-original sistema podmnozhestv ai_checked pust \\(n>1\\). dlya polozhitelnogo \\(m\\) oboznachim cherez \\(s_m\\) mnozhestvo \\({1,2,\\ldots,mn}\\). predpolozhim, chto suschestvuet semeystvo \\(t\\) iz \\(2n\\) razlichnyh \\(m\\)-elementnyh podmnozhestv mnozhestva \\(s_m\\) so svoystvami: lyubye dva mnozhestva iz \\(t\\) peresekayutsya ne bolee chem po odnomu elementu, a kazhdyy element iz \\(s_m\\) soderzhitsya rovno v dvuh mnozhestvah semeystva \\(t\\). naydite naibolshee vozmozhnoe znachenie \\(m\\) v zavisimosti ot \\(n\\). stmt-graph maksimalnaya stepen regulyarnogo grafa ai_checked pust \\(n>1\\). naydite naibolshee \\(m\\), dlya kotorogo suschestvuet prostoy \\(m\\)-regulyarnyy graf na \\(2n\\) vershinah. simple_graph degree complete_graph idea-elements-become-edges kazhdyy element stanovitsya rebrom tak kak kazhdyy element vstrechaetsya rovno v dvuh mnozhestvah, ego udobno schitat rebrom mezhdu etimi dvumya mnozhestvami. ogranichenie na peresecheniya oznachaet, chto kratnyh reber net. extremal_choice ai_checked sol-regular-graph-bound cherez prostoy regulyarnyy graf ai_checked simple_graph degree complete_graph extremal_choice postroim graf `g` na `2n` vershinah: vershiny sootvetstvuyut mnozhestvam semeystva `t`, a kazhdomu elementu `x` iz `s_m` sopostavim rebro mezhdu dvumya mnozhestvami, soderzhaschimi `x`. uslovie «kazhdyy element soderzhitsya rovno v dvuh mnozhestvah» garantiruet, chto takoe rebro opredeleno korrektno. uslovie «lyubye dva mnozhestva peresekayutsya ne bolee chem po odnomu elementu» oznachaet, chto mezhdu dvumya vershinami ne mozhet poyavitsya bolee odnogo rebra, to est graf prostoy. kazhdoe mnozhestvo soderzhit rovno `m` elementov, znachit stepen kazhdoy vershiny ravna `m`; sledovatelno, `g` — prostoy `m`-regulyarnyy graf na `2n` vershinah. v prostom grafe na `2n` vershinah stepen lyuboy vershiny ne prevoshodit `2n-1`, poetomu `m<=2n-1`. otsenka tochna: berem polnyy graf `k_{2n}`. ego `n(2n-1)` reber mozhno zanumerovat chislami `1,2,...,n(2n-1)` i kazhdoy vershine sopostavit mnozhestvo nomerov intsidentnyh ey reber. poluchaem rovn…","source_keys":["usa"]}
{"id":"usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering","title":"Турнир с M-шаговой транзитивностью, USA TST 2009 P6","path":"data\\problems\\usa-tst\\usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usa-tst/usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering","source_key":"usa","source_label":"USA TST","source_titles":["USA Team Selection Test 2009 (архив сообщества AoPS для печати)","Math StackExchange, Misha Lavrov on SCC ordering in tournaments","Math StackExchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments","ФЮМ 2009, первый тур (a), задача 7"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":["Gabriel Carroll"],"tags":["tournaments","connectivity","hamiltonian_cycles","goal_proof"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Турнирная задача, где содержательное решение идёт через сильные компоненты и расширение циклов в сильных турнирах.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"non-официальный published source or published-solution marker","notes":"Решение опубликовано не в официальном архиве; источник надо отличать от официального.","label":"опубликованное неофициальное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Шахматный турнир","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(N>M>1\\). В круговом шахматном турнире каждая пара игроков сыграла ровно одну партию без ничьих. Известно, что для любой последовательности из \\(M+1\\) различных игроков \\(P_0,P_1,\\ldots,P_M\\), в которой \\(P_{i-1}\\) победил \\(P_i\\) для всех \\(i=1,\\ldots,M\\), игрок \\(P_0\\) также победил \\(P_M\\). Докажите, что игроков можно занумеровать числами \\(1,2,\\ldots,N\\) так, что если \\(a\\ge b+M-1\\), то игрок \\(a\\) победил игрока \\(b\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Турнир с M-шаговой транзитивностью","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — турнир на \\(N\\) вершинах. Предположим, что всякий ориентированный путь длины \\(M\\) имеет хорду из первой вершины в последнюю. Докажите, что вершины \\(T\\) можно упорядочить как \\(v_1,\\ldots,v_N\\) так, что для любых \\(i,j\\) с \\(j-i\\ge M-1\\) выполняется \\(v_j \\to v_i\\).","definition_ids":["tournament","path","cycle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-fyum-2009-no-cycle-form","title":"FYUM 2009: формулировка без циклов","status":"ai_checked","text":"Даны натуральные числа \\(n>m>1\\). В полном \\(n\\)-вершинном ориентированном графе нет циклов из \\(m+1\\) вершины. Докажите, что вершины этого графа можно занумеровать числами от \\(1\\) до \\(n\\) так, что при любых \\(i\\) и \\(k\\), удовлетворяющих условию \\(i \\ge k+m-1\\), ребро направлено из \\(i\\)-й вершины в \\(k\\)-ю.","definition_ids":["tournament","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-components-hamiltonian-cycle","title":"Сильные компоненты и циклы всех длин в сильном турнире","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament","path","cycle","strongly_connected_digraph","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Перейдём к турниру `T`: вершины — игроки, а ребро `x->y` означает, что `x` победил `y`. Сначала докажем используемую лемму. Если турнир сильно связен и содержит цикл `C=u_0->u_1->...->u_{k-1}->u_0` длины `k<n`, то в нём есть цикл длины `k+1`. Действительно, если найдётся вершина `v` вне `C`, для которой есть и ребро из `C` в `v`, и ребро из `v` в `C`, то при обходе цикла найдётся соседняя пара `u_i,u_{i+1}` с `u_i->v` и `v->u_{i+1}`; заменяем ребро `u_i->u_{i+1}` на два ребра через `v`. Иначе каждая внешняя вершина либо принимает все рёбра из `C`, либо посылает все рёбра в `C`. Обозначим через `V` первый класс, через `W` второй. В сильном турнире оба класса непусты, и не может быть так, что все рёбра между ними идут из `W` в `V`; иначе из `V` нельзя было бы добраться до `C`. Значит, есть ребро `v->w` с `v` из `V` и `w` из `W`. Тогда `u_0->u_1->...->u_{k-2}->v->w->u_0` — цикл длины `k+1`…"}],"relations":[{"id":"rel-tournament-path-usa-tst-2009-p6","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-king-usa-tst-2009-p6","neighbor_id":"tournament-king-radius-two","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-1996-9-p46-usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering","neighbor_id":"spbmo-1996-9-p46-strongly-connected-tournament-orientations","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering турнир с m-шаговой транзитивностью, usa tst 2009 p6 tournaments connectivity hamiltonian_cycles goal_proof 2009 gabriel carroll gabrielcarroll https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4639 https://math.stackexchange.com/questions/1233862/prove-every-strongly-connected-tournament-has-a-cycle-of-length-k-for-k-3-4 https://math.stackexchange.com/questions/2235899/two-vertices-which-dont-lie-in-a-common-cycle-in-a-tournament https://www.guas.info/competit/fest/fest20/tur1a.tex math stackexchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments math stackexchange, misha lavrov on scc ordering in tournaments olympiad_archive secondary_archive secondary_solution src-fyum-2009-tur1a-p7-official src-mse-strong-tournament-cycles-bof src-mse-tournament-scc-ordering-lavrov src-usa-tst-2009-aops-community usa usa team selection test 2009 (архив сообщества aops для печати) usa tst usa2009 usatst usatst2009 with_solution фюм 2009, первый тур (a), задача 7 gabriel carroll usa team selection test 2009 (архив сообщества aops для печати) math stackexchange, misha lavrov on scc ordering in tournaments math stackexchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments фюм 2009, первый тур (a), задача 7 stmt-original шахматный турнир ai_checked пусть \\(n>m>1\\). в круговом шахматном турнире каждая пара игроков сыграла ровно одну партию без ничьих. известно, что для любой последовательности из \\(m+1\\) различных игроков \\(p_0,p_1,\\ldots,p_m\\), в которой \\(p_{i-1}\\) победил \\(p_i\\) для всех \\(i=1,\\ldots,m\\), игрок \\(p_0\\) также победил \\(p_m\\). докажите, что игроков можно занумеровать числами \\(1,2,\\ldots,n\\) так, что если \\(a\\ge b+m-1\\), то игрок \\(a\\) победил игрока \\(b\\). stmt-graph турнир с m-шаговой транзитивностью ai_checked пусть \\(t\\) — турнир на \\(n\\) вершинах. предположим, что всякий ориентированный путь длины \\(m\\) имеет хорду из первой вершины в последнюю. докажите, что вершины \\(t\\) можно упорядочить как \\(v_1,\\ldots,v_n\\) так, что для любых \\(i,j\\) с \\(j-i\\ge m-1\\) выполняется \\(v_j \\to v_i\\). tournament path cycle stmt-fyum-2009-no-cycle-form fyum 2009: формулировка без циклов ai_checked даны натуральные числа \\(n>m>1\\). в полном \\(n\\)-вершинном ориентированном графе нет циклов из \\(m+1\\) вершины. докажите, что вершины этого графа можно занумеровать числами от \\(1\\) до \\(n\\) так, что при любых \\(i\\) и \\(k\\), удовлетворяющих условию \\(i \\ge k+m-1\\), ребро направлено из \\(i\\)-й вершины в \\(k\\)-ю. tournament cycle idea-sccs-have-size-at-most-m сильные компоненты имеют размер не больше m если сильная компонента турнира имела бы хотя бы `m+1` вершин, то пансцикличность сильных турниров дала бы в ней ориентированный цикл длины `m+1`, что запрещено условием о путях длины `m`. tournaments connectivity ai_checked idea-order-components-and-cycle-blocks упорядочить сильные компоненты и отдельно обработать блоки размера m конденсация турнира линейно упорядочена. после расположения компонент подряд между разными компонентами все нужные рёбра направлены назад, а внутри компоненты размера `m` достаточно выписать вершины вдоль гамильтонова цикла. tournaments hamiltonian_cycles ai_checked sol-components-hamiltonian-cycle сильные компоненты и циклы всех длин в сильном турнире ai_checked tournament path cycle strongly_connected_digraph hamiltonian_cycle extremal_choice перейдём к турниру `t`: вершины — игроки, а ребро `x->y` означает, что `x` победил `y`. сначала докажем используемую лемму. если турнир сильно связен и содержит цикл `c=u_0->u_1->...->u_{k-1}->u_0` длины `k<n`, то в нём есть цикл длины `k+1`. действительно, если найдётся вершина `v` вне `c`, для которой есть и ребро из `c` в `v`, и ребро из `v` в `c`, то при обходе цикла найдётся соседняя пара `u_i,u_{i+1}` с `u_i->v` и `v->u_{i+1}`; заменяем ребро `u_i->u_{i+1}` на два ребра через `v`. иначе каждая внешняя вершина либо принимает все рёбра из `c`, либо посылает все рёбра в `c`. обозначим через `v` первый класс, через `w` второй. в сильном турнире оба класса непусты, и не может быть так, что все рёбра между ними идут из `w` в `v`; иначе из `v` нельзя было бы добраться до `c`. значит, есть ребро `v->w` с `v` из `v` и `w` из `w`. тогда `u_0->u_1->...->u_{k-2}->v->w->u_0` — цикл длины `k+1`… usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering turnir s m-shagovoy tranzitivnostyu, usa tst 2009 p6 tournaments connectivity hamiltonian_cycles goal_proof 2009 gabriel carroll gabrielcarroll https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4639 https://math.stackexchange.com/questions/1233862/prove-every-strongly-connected-tournament-has-a-cycle-of-length-k-for-k-3-4 https://math.stackexchange.com/questions/2235899/two-vertices-which-dont-lie-in-a-common-cycle-in-a-tournament https://www.guas.info/competit/fest/fest20/tur1a.tex math stackexchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments math stackexchange, misha lavrov on scc ordering in tournaments olympiad_archive secondary_archive secondary_solution src-fyum-2009-tur1a-p7-official src-mse-strong-tournament-cycles-bof src-mse-tournament-scc-ordering-lavrov src-usa-tst-2009-aops-community usa usa team selection test 2009 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) usa tst usa2009 usatst usatst2009 with_solution fyum 2009, pervyy tur (a), zadacha 7 gabriel carroll usa team selection test 2009 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) math stackexchange, misha lavrov on scc ordering in tournaments math stackexchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments fyum 2009, pervyy tur (a), zadacha 7 stmt-original shahmatnyy turnir ai_checked pust \\(n>m>1\\). v krugovom shahmatnom turnire kazhdaya para igrokov sygrala rovno odnu partiyu bez nichih. izvestno, chto dlya lyuboy posledovatelnosti iz \\(m+1\\) razlichnyh igrokov \\(p_0,p_1,\\ldots,p_m\\), v kotoroy \\(p_{i-1}\\) pobedil \\(p_i\\) dlya vseh \\(i=1,\\ldots,m\\), igrok \\(p_0\\) takzhe pobedil \\(p_m\\). dokazhite, chto igrokov mozhno zanumerovat chislami \\(1,2,\\ldots,n\\) tak, chto esli \\(a\\ge b+m-1\\), to igrok \\(a\\) pobedil igroka \\(b\\). stmt-graph turnir s m-shagovoy tranzitivnostyu ai_checked pust \\(t\\) — turnir na \\(n\\) vershinah. predpolozhim, chto vsyakiy orientirovannyy put dliny \\(m\\) imeet hordu iz pervoy vershiny v poslednyuyu. dokazhite, chto vershiny \\(t\\) mozhno uporyadochit kak \\(v_1,\\ldots,v_n\\) tak, chto dlya lyubyh \\(i,j\\) s \\(j-i\\ge m-1\\) vypolnyaetsya \\(v_j \\to v_i\\). tournament path cycle stmt-fyum-2009-no-cycle-form fyum 2009: formulirovka bez tsiklov ai_checked dany naturalnye chisla \\(n>m>1\\). v polnom \\(n\\)-vershinnom orientirovannom grafe net tsiklov iz \\(m+1\\) vershiny. dokazhite, chto vershiny etogo grafa mozhno zanumerovat chislami ot \\(1\\) do \\(n\\) tak, chto pri lyubyh \\(i\\) i \\(k\\), udovletvoryayuschih usloviyu \\(i \\ge k+m-1\\), rebro napravleno iz \\(i\\)-y vershiny v \\(k\\)-yu. tournament cycle idea-sccs-have-size-at-most-m silnye komponenty imeyut razmer ne bolshe m esli silnaya komponenta turnira imela by hotya by `m+1` vershin, to panstsiklichnost silnyh turnirov dala by v ney orientirovannyy tsikl dliny `m+1`, chto zaprescheno usloviem o putyah dliny `m`. tournaments connectivity ai_checked idea-order-components-and-cycle-blocks uporyadochit silnye komponenty i otdelno obrabotat bloki razmera m kondensatsiya turnira lineyno uporyadochena. posle raspolozheniya komponent podryad mezhdu raznymi komponentami vse nuzhnye rebra napravleny nazad, a vnutri komponenty razmera `m` dostatochno vypisat vershiny vdol gamiltonova tsikla. tournaments hamiltonian_cycles ai_checked sol-components-hamiltonian-cycle silnye komponenty i tsikly vseh dlin v silnom turnire ai_checked tournament path cycle strongly_connected_digraph hamiltonian_cycle extremal_choice pereydem k turniru `t`: vershiny — igroki, a rebro `x->y` oznachaet, chto `x` pobedil `y`. snachala dokazhem ispolzuemuyu lemmu. esli turnir silno svyazen i soderzhit tsikl `c=u_0->u_1->...->u_{k-1}->u_0` dliny `k<n`, to v nem est tsikl dliny `k+1`. deystvitelno, esli naydetsya vershina `v` vne `c`, dlya kotoroy est i rebro iz `c` v `v`, i rebro iz `v` v `c`, to pri obhode tsikla naydetsya sosednyaya para `u_i,u_{i+1}` s `u_i->v` i `v->u_{i+1}`; zamenyaem rebro `u_i->u_{i+1}` na dva rebra cherez `v`. inache kazhdaya vneshnyaya vershina libo prinimaet vse rebra iz `c`, libo posylaet vse rebra v `c`. oboznachim cherez `v` pervyy klass, cherez `w` vtoroy. v silnom turnire oba klassa nepusty, i ne mozhet byt tak, chto vse rebra mezhdu nimi idut iz `w` v `v`; inache iz `v` nelzya bylo by dobratsya do `c`. znachit, est rebro `v->w` s `v` iz `v` i `w` iz `w`. togda `u_0->u_1->...->u_{k-2}->v->w->u_0` — tsikl dliny `k+1`…","source_keys":["usa","fyum"]}
{"id":"usa-tst-2011-p2-weighted-road-orientation","title":"Ориентация рёбер веса 1 и 2 при нечётных взвешенных степенях","path":"data\\problems\\usa-tst\\usa-tst-2011-p2-weighted-road-orientation.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usa-tst/usa-tst-2011-p2-weighted-road-orientation.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usa-tst-2011-p2-weighted-road-orientation","source_key":"usa","source_label":"USA","source_titles":["USA Team Selection Test 2011 (архив сообщества AoPS для печати)"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":["Zuming Feng","Yufei Zhao"],"tags":["eulerian_graphs","construction","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Сильная графовая задача на чётность и ориентацию с весами; ключевой ход — локально спарить концы рёбер так, чтобы в каждой вершине остался ровно один вклад по модулю `1`.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"self_contained","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Полное локальное доказательство: концы рёбер спариваются в каждой вершине, после чего рёбра распадаются на цепи и циклы, ориентация которых сразу даёт дисбаланс `±1`.","label":"самодостаточное школьное доказательство"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Дороги в стране Односторонии","status":"ai_checked","text":"Некоторые пары городов соединены дорогами. Каждая дорога имеет пропускную способность \\(1\\) или \\(2\\). Известно, что для каждого города сумма пропускных способностей всех дорог, инцидентных этому городу, нечётна. Докажите, что можно выбрать направление на каждой дороге так, чтобы для каждого города абсолютная величина разности между суммарной пропускной способностью входящих и выходящих дорог была равна \\(1\\).","definition_ids":["orientation","directed_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Ориентация рёбер с весами 1 и 2","status":"ai_checked","text":"Пусть дан конечный неориентированный граф, в котором каждое ребро имеет вес \\(1\\) или \\(2\\), а у каждой вершины сумма весов инцидентных рёбер нечётна. Докажите, что рёбра можно ориентировать так, чтобы для каждой вершины абсолютная величина \\(|in(v)-out(v)|\\) была равна \\(1\\), где \\(in(v)\\) и \\(out(v)\\) — суммы весов входящих и выходящих рёбер.","definition_ids":["orientation","directed_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-eulerian-augmentation","title":"Локальные спаривания концов рёбер и ориентация полученных маршрутов","status":"ai_checked","definition_ids":["orientation","directed_graph","degree","path","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через `d_1(v)` число рёбер веса `1`, инцидентных вершине `v`, а через `d_2(v)` число рёбер веса `2`, инцидентных `v`. Так как сумма весов инцидентных рёбер равна `d_1(v)+2d_2(v)` и нечётна, число `d_1(v)` нечётно для каждой вершины. Теперь в каждой вершине отдельно разобьём инцидентные концы рёбер на пары, иногда оставляя один конец непарным. Если `d_2(v)` чётно, то спарим все концы рёбер веса `2` между собой, спарим все, кроме одного, концы рёбер веса `1` между собой, а один конец ребра веса `1` оставим свободным. Это возможно, потому что `d_2(v)` чётно, а `d_1(v)-1` тоже чётно. Если же `d_2(v)` нечётно, то выберем один конец ребра веса `2` и один конец ребра веса `1` и спарим их друг с другом; все оставшиеся концы веса `2` спарим между собой, и все оставшиеся концы веса `1` тоже спарим между собой. Это возможно, потому что теперь `d_2(v)-1` и `d_1(v)-1` чётны. Итак, в каждой…"}],"relations":[{"id":"rel-usa-tst-2011-odd-main-roads","neighbor_id":"tc-2010-11-odd-main-roads","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-eulerian-criterion-usa-tst-2011","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2021-orientation-usatst-2011","neighbor_id":"kolmogorov-2021-t1-critical-strong-orientation","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usa-tst-2011-p2-weighted-road-orientation ориентация рёбер веса 1 и 2 при нечётных взвешенных степенях eulerian_graphs construction goal_proof 2011 https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4641 secondary_archive src-usa-tst-2011-aops-community usa usa team selection test 2011 (архив сообщества aops для печати) usa2011 with_solution yufei zhao yufeizhao zuming feng zumingfeng zuming feng yufei zhao usa team selection test 2011 (архив сообщества aops для печати) stmt-original дороги в стране односторонии ai_checked некоторые пары городов соединены дорогами. каждая дорога имеет пропускную способность \\(1\\) или \\(2\\). известно, что для каждого города сумма пропускных способностей всех дорог, инцидентных этому городу, нечётна. докажите, что можно выбрать направление на каждой дороге так, чтобы для каждого города абсолютная величина разности между суммарной пропускной способностью входящих и выходящих дорог была равна \\(1\\). orientation directed_graph stmt-graph ориентация рёбер с весами 1 и 2 ai_checked пусть дан конечный неориентированный граф, в котором каждое ребро имеет вес \\(1\\) или \\(2\\), а у каждой вершины сумма весов инцидентных рёбер нечётна. докажите, что рёбра можно ориентировать так, чтобы для каждой вершины абсолютная величина \\(|in(v)-out(v)|\\) была равна \\(1\\), где \\(in(v)\\) и \\(out(v)\\) — суммы весов входящих и выходящих рёбер. orientation directed_graph degree idea-pair-edge-ends-into-trails спарить концы рёбер так, чтобы в каждой вершине остался ровно один дефект в каждой вершине число инцидентных рёбер веса `1` нечётно. если число рёбер веса `2` в вершине чётно, оставляем один конец ребра веса `1` свободным, а остальные концы спариваем по равным весам. если число рёбер веса `2` нечётно, спариваем один конец веса `1` с одним концом веса `2`, а все остальные концы снова спариваем по равным весам. после таких локальных спариваний исходные рёбра становятся звеньями вспомогательных цепочек и циклических цепочек; ориентация каждой такой цепочки даёт нулевой вклад от равных пар и вклад `1` по модулю от единственного дефекта в каждой вершине. eulerian_graphs construction ai_checked sol-eulerian-augmentation локальные спаривания концов рёбер и ориентация полученных маршрутов ai_checked orientation directed_graph degree path cycle обозначим через `d_1(v)` число рёбер веса `1`, инцидентных вершине `v`, а через `d_2(v)` число рёбер веса `2`, инцидентных `v`. так как сумма весов инцидентных рёбер равна `d_1(v)+2d_2(v)` и нечётна, число `d_1(v)` нечётно для каждой вершины. теперь в каждой вершине отдельно разобьём инцидентные концы рёбер на пары, иногда оставляя один конец непарным. если `d_2(v)` чётно, то спарим все концы рёбер веса `2` между собой, спарим все, кроме одного, концы рёбер веса `1` между собой, а один конец ребра веса `1` оставим свободным. это возможно, потому что `d_2(v)` чётно, а `d_1(v)-1` тоже чётно. если же `d_2(v)` нечётно, то выберем один конец ребра веса `2` и один конец ребра веса `1` и спарим их друг с другом; все оставшиеся концы веса `2` спарим между собой, и все оставшиеся концы веса `1` тоже спарим между собой. это возможно, потому что теперь `d_2(v)-1` и `d_1(v)-1` чётны. итак, в каждой… usa-tst-2011-p2-weighted-road-orientation orientatsiya reber vesa 1 i 2 pri nechetnyh vzveshennyh stepenyah eulerian_graphs construction goal_proof 2011 https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4641 secondary_archive src-usa-tst-2011-aops-community usa usa team selection test 2011 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) usa2011 with_solution yufei zhao yufeizhao zuming feng zumingfeng zuming feng yufei zhao usa team selection test 2011 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) stmt-original dorogi v strane odnostoronii ai_checked nekotorye pary gorodov soedineny dorogami. kazhdaya doroga imeet propusknuyu sposobnost \\(1\\) ili \\(2\\). izvestno, chto dlya kazhdogo goroda summa propusknyh sposobnostey vseh dorog, intsidentnyh etomu gorodu, nechetna. dokazhite, chto mozhno vybrat napravlenie na kazhdoy doroge tak, chtoby dlya kazhdogo goroda absolyutnaya velichina raznosti mezhdu summarnoy propusknoy sposobnostyu vhodyaschih i vyhodyaschih dorog byla ravna \\(1\\). orientation directed_graph stmt-graph orientatsiya reber s vesami 1 i 2 ai_checked pust dan konechnyy neorientirovannyy graf, v kotorom kazhdoe rebro imeet ves \\(1\\) ili \\(2\\), a u kazhdoy vershiny summa vesov intsidentnyh reber nechetna. dokazhite, chto rebra mozhno orientirovat tak, chtoby dlya kazhdoy vershiny absolyutnaya velichina \\(|in(v)-out(v)|\\) byla ravna \\(1\\), gde \\(in(v)\\) i \\(out(v)\\) — summy vesov vhodyaschih i vyhodyaschih reber. orientation directed_graph degree idea-pair-edge-ends-into-trails sparit kontsy reber tak, chtoby v kazhdoy vershine ostalsya rovno odin defekt v kazhdoy vershine chislo intsidentnyh reber vesa `1` nechetno. esli chislo reber vesa `2` v vershine chetno, ostavlyaem odin konets rebra vesa `1` svobodnym, a ostalnye kontsy sparivaem po ravnym vesam. esli chislo reber vesa `2` nechetno, sparivaem odin konets vesa `1` s odnim kontsom vesa `2`, a vse ostalnye kontsy snova sparivaem po ravnym vesam. posle takih lokalnyh sparivaniy ishodnye rebra stanovyatsya zvenyami vspomogatelnyh tsepochek i tsiklicheskih tsepochek; orientatsiya kazhdoy takoy tsepochki daet nulevoy vklad ot ravnyh par i vklad `1` po modulyu ot edinstvennogo defekta v kazhdoy vershine. eulerian_graphs construction ai_checked sol-eulerian-augmentation lokalnye sparivaniya kontsov reber i orientatsiya poluchennyh marshrutov ai_checked orientation directed_graph degree path cycle oboznachim cherez `d_1(v)` chislo reber vesa `1`, intsidentnyh vershine `v`, a cherez `d_2(v)` chislo reber vesa `2`, intsidentnyh `v`. tak kak summa vesov intsidentnyh reber ravna `d_1(v)+2d_2(v)` i nechetna, chislo `d_1(v)` nechetno dlya kazhdoy vershiny. teper v kazhdoy vershine otdelno razobem intsidentnye kontsy reber na pary, inogda ostavlyaya odin konets neparnym. esli `d_2(v)` chetno, to sparim vse kontsy reber vesa `2` mezhdu soboy, sparim vse, krome odnogo, kontsy reber vesa `1` mezhdu soboy, a odin konets rebra vesa `1` ostavim svobodnym. eto vozmozhno, potomu chto `d_2(v)` chetno, a `d_1(v)-1` tozhe chetno. esli zhe `d_2(v)` nechetno, to vyberem odin konets rebra vesa `2` i odin konets rebra vesa `1` i sparim ih drug s drugom; vse ostavshiesya kontsy vesa `2` sparim mezhdu soboy, i vse ostavshiesya kontsy vesa `1` tozhe sparim mezhdu soboy. eto vozmozhno, potomu chto teper `d_2(v)-1` i `d_1(v)-1` chetny. itak, v kazhdoy…","source_keys":["usa"]}
{"id":"usa-tst-2013-dec-p1-language-club-rainbow-triangles","title":"Языки в клубе и радужные тройки, USA TST 2013 December P1","path":"data\\problems\\usa-tst\\usa-tst-2013-dec-p1-language-club-rainbow-triangles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/usa-tst/usa-tst-2013-dec-p1-language-club-rainbow-triangles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#usa-tst-2013-dec-p1-language-club-rainbow-triangles","source_key":"usa","source_label":"USA TST","source_titles":["USA Team Selection Test 2013 (архив сообщества AoPS для печати)"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","ramsey_theory","extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Точная экстремальная задача про раскраску рёбер полного графа без одноцветных треугольников.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","status":"ai_checked","confidence":0.7,"basis":"no официальный or опубликованное решение source detected","notes":"Решение выглядит как восстановленное/написанное ИИ с нуля; желательно выборочно перепроверять математически.","label":"ИИ-решение с нуля"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Клуб и языки","status":"ai_checked","text":"В клубе \\(2k+1\\) человек, и каждый владеет одними и теми же \\(k\\) языками. Каждая пара участников разговаривает ровно на одном из этих языков. Предположим, что не существует трёх участников, которые между собой всегда говорят на одном и том же языке. Обозначим через \\(A\\) число троек участников, у которых три попарных разговора идут на трёх разных языках. Найдите максимально возможное значение \\(A\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Языки в клубе и радужные тройки","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим \\(k\\)-раскраску рёбер полного графа \\(K_{2k+1}\\). Предположим, что одноцветных треугольников нет. Обозначим через \\(A\\) число радужных треугольников, то есть треугольников, у которых три ребра имеют три разных цвета. Найдите максимум \\(A\\).","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-count-local-repeats","title":"Локальный счёт и разложение на гамильтоновы циклы","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","degree","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём задачу в язык раскраски рёбер `K_{2k+1}`. Общее число треугольников равно `C(2k+1,3)`. Пусть для вершины `v` число рёбер цвета `c`, выходящих из `v`, равно `d_c(v)`. Так как одноцветных треугольников нет, каждый нерадужный треугольник использует ровно два цвета и единственным образом считается в сумме `Σ_v Σ_c C(d_c(v),2)`: он отмечается вершиной, в которой два инцидентных ребра имеют одинаковый цвет. Следовательно, `A = C(2k+1,3) - Σ_v Σ_c C(d_c(v),2)`. Для фиксированной вершины `v` выполнено `Σ_c d_c(v)=2k`. По выпуклости функции `x -> C(x,2)` эта сумма минимальна тогда и только тогда, когда все `d_c(v)` равны `2`; минимальное значение равно `k`. Поэтому `A <= C(2k+1,3) - (2k+1)k = 2k(2k+1)(k-2)/3`. Осталось показать достижимость. Полный граф `K_{2k+1}` можно разложить на `k` гамильтоновых циклов; окрасим каждый цикл в свой цвет. Тогда у каждой вершины в каждом цвете степень…"}],"relations":[{"id":"rel-usa-tst-2013-ramsey","neighbor_id":"ramsey-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-gallai-three-color-usa-tst-2013-rainbow-triangle-count","neighbor_id":"gallai-three-color-disconnected-class","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usa-tst-2013-dec-p1-language-club-rainbow-triangles языки в клубе и радужные тройки, usa tst 2013 december p1 double_counting ramsey_theory extremal_choice goal_exact_bound 2013 https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4643 secondary_archive src-usa-tst-2013-aops-community usa usa team selection test 2013 (архив сообщества aops для печати) usa tst usa2013 usatst usatst2013 with_solution ? usa team selection test 2013 (архив сообщества aops для печати) stmt-original клуб и языки ai_checked в клубе \\(2k+1\\) человек, и каждый владеет одними и теми же \\(k\\) языками. каждая пара участников разговаривает ровно на одном из этих языков. предположим, что не существует трёх участников, которые между собой всегда говорят на одном и том же языке. обозначим через \\(a\\) число троек участников, у которых три попарных разговора идут на трёх разных языках. найдите максимально возможное значение \\(a\\). stmt-graph языки в клубе и радужные тройки ai_checked рассмотрим \\(k\\)-раскраску рёбер полного графа \\(k_{2k+1}\\). предположим, что одноцветных треугольников нет. обозначим через \\(a\\) число радужных треугольников, то есть треугольников, у которых три ребра имеют три разных цвета. найдите максимум \\(a\\). complete_graph cycle idea-count-two-color-triangles нерадужные треугольники считаются по вершинам если одноцветных треугольников нет, то любой нерадужный треугольник использует ровно два цвета и единственным образом отмечается вершиной, в которой сходятся два ребра одного цвета. double_counting ai_checked sol-count-local-repeats локальный счёт и разложение на гамильтоновы циклы ai_checked complete_graph degree cycle double_counting переведём задачу в язык раскраски рёбер `k_{2k+1}`. общее число треугольников равно `c(2k+1,3)`. пусть для вершины `v` число рёбер цвета `c`, выходящих из `v`, равно `d_c(v)`. так как одноцветных треугольников нет, каждый нерадужный треугольник использует ровно два цвета и единственным образом считается в сумме `σ_v σ_c c(d_c(v),2)`: он отмечается вершиной, в которой два инцидентных ребра имеют одинаковый цвет. следовательно, `a = c(2k+1,3) - σ_v σ_c c(d_c(v),2)`. для фиксированной вершины `v` выполнено `σ_c d_c(v)=2k`. по выпуклости функции `x -> c(x,2)` эта сумма минимальна тогда и только тогда, когда все `d_c(v)` равны `2`; минимальное значение равно `k`. поэтому `a <= c(2k+1,3) - (2k+1)k = 2k(2k+1)(k-2)/3`. осталось показать достижимость. полный граф `k_{2k+1}` можно разложить на `k` гамильтоновых циклов; окрасим каждый цикл в свой цвет. тогда у каждой вершины в каждом цвете степень… usa-tst-2013-dec-p1-language-club-rainbow-triangles yazyki v klube i raduzhnye troyki, usa tst 2013 december p1 double_counting ramsey_theory extremal_choice goal_exact_bound 2013 https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4643 secondary_archive src-usa-tst-2013-aops-community usa usa team selection test 2013 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) usa tst usa2013 usatst usatst2013 with_solution ? usa team selection test 2013 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) stmt-original klub i yazyki ai_checked v klube \\(2k+1\\) chelovek, i kazhdyy vladeet odnimi i temi zhe \\(k\\) yazykami. kazhdaya para uchastnikov razgovarivaet rovno na odnom iz etih yazykov. predpolozhim, chto ne suschestvuet treh uchastnikov, kotorye mezhdu soboy vsegda govoryat na odnom i tom zhe yazyke. oboznachim cherez \\(a\\) chislo troek uchastnikov, u kotoryh tri poparnyh razgovora idut na treh raznyh yazykah. naydite maksimalno vozmozhnoe znachenie \\(a\\). stmt-graph yazyki v klube i raduzhnye troyki ai_checked rassmotrim \\(k\\)-raskrasku reber polnogo grafa \\(k_{2k+1}\\). predpolozhim, chto odnotsvetnyh treugolnikov net. oboznachim cherez \\(a\\) chislo raduzhnyh treugolnikov, to est treugolnikov, u kotoryh tri rebra imeyut tri raznyh tsveta. naydite maksimum \\(a\\). complete_graph cycle idea-count-two-color-triangles neraduzhnye treugolniki schitayutsya po vershinam esli odnotsvetnyh treugolnikov net, to lyuboy neraduzhnyy treugolnik ispolzuet rovno dva tsveta i edinstvennym obrazom otmechaetsya vershinoy, v kotoroy shodyatsya dva rebra odnogo tsveta. double_counting ai_checked sol-count-local-repeats lokalnyy schet i razlozhenie na gamiltonovy tsikly ai_checked complete_graph degree cycle double_counting perevedem zadachu v yazyk raskraski reber `k_{2k+1}`. obschee chislo treugolnikov ravno `c(2k+1,3)`. pust dlya vershiny `v` chislo reber tsveta `c`, vyhodyaschih iz `v`, ravno `d_c(v)`. tak kak odnotsvetnyh treugolnikov net, kazhdyy neraduzhnyy treugolnik ispolzuet rovno dva tsveta i edinstvennym obrazom schitaetsya v summe `σ_v σ_c c(d_c(v),2)`: on otmechaetsya vershinoy, v kotoroy dva intsidentnyh rebra imeyut odinakovyy tsvet. sledovatelno, `a = c(2k+1,3) - σ_v σ_c c(d_c(v),2)`. dlya fiksirovannoy vershiny `v` vypolneno `σ_c d_c(v)=2k`. po vypuklosti funktsii `x -> c(x,2)` eta summa minimalna togda i tolko togda, kogda vse `d_c(v)` ravny `2`; minimalnoe znachenie ravno `k`. poetomu `a <= c(2k+1,3) - (2k+1)k = 2k(2k+1)(k-2)/3`. ostalos pokazat dostizhimost. polnyy graf `k_{2k+1}` mozhno razlozhit na `k` gamiltonovyh tsiklov; okrasim kazhdyy tsikl v svoy tsvet. togda u kazhdoy vershiny v kazhdom tsvete stepen…","source_keys":["usa"]}