{"id":"sums-2005-p6-powers-of-two-integer-graph-ball-complement","title":"Дополнение шара в графе целых чисел со степенными шагами, SUMS 2005/6","path":"data\\problems\\sums\\sums-2005-p6-powers-of-two-integer-graph-ball-complement.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/sums/sums-2005-p6-powers-of-two-integer-graph-ball-complement.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sums-2005-p6-powers-of-two-integer-graph-ball-complement","source_key":"sums","source_label":"SUMS","source_titles":["SUMS задача Competition 2005 задача 6, официальные PDF с условиями и решениями"],"year":"2005","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","minimal_counterexample","construction","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Явная графовая постановка; трудность в аккуратной нормальной форме для кратчайших сумм степеней двойки.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"На множестве целых чисел построен граф: разные числа \\(m\\) и \\(n\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(|m-n|\\) является степенью двойки: \\(1,2,4,8,\\ldots\\). Пусть \\(\\operatorname{dist}(m,n)\\) - длина кратчайшего пути между \\(m\\) и \\(n\\) в этом графе. Для целого \\(r\\ge 0\\) обозначим через \\(B_r\\) множество всех целых \\(n\\), для которых \\(\\operatorname{dist}(n,0)\\le r\\). Докажите, что дополнение \\(\\mathbb Z\\setminus B_r\\) связно: любые две его вершины можно соединить путём, все вершины которого лежат вне \\(B_r\\).","definition_ids":["connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-normal-form-detour","title":"Нормальная форма и обход шара","status":"ai_checked","definition_ids":["distance"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Путь длины не больше \\(r\\) от 0 к числу \\(n\\) равносилен представлению \\(n=\\varepsilon_1 2^{m_1}+\\cdots+\\varepsilon_r2^{m_r}\\), где \\(\\varepsilon_i\\in\\{-1,1\\}\\), а недостающие слагаемые можно не использовать. В кратчайшем представлении одинаковые показатели не нужны: равные с противоположными знаками уничтожаются, а равные с одинаковыми знаками заменяются одной следующей степенью двойки. Также соседние показатели с разными знаками и три подряд идущих показателя можно укоротить стандартными двоичными переносами. Поэтому для вершины на расстоянии ровно \\(s\\) можно выбрать представление из \\(s\\) степеней, показатели которых идут с промежутком хотя бы два. Из такого представления следует важная оценка: старшая степень строго доминирует сумму всех меньших слагаемых. Значит, если к числу прибавить достаточно большую степень двойки, расстояние от нуля увеличится, а при последовательном движени…"}],"relations":[],"search_text":"sums-2005-p6-powers-of-two-integer-graph-ball-complement дополнение шара в графе целых чисел со степенными шагами, sums 2005/6 connectivity minimal_counterexample construction goal_proof 2005 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2005.pdf problem_and_solution src-sums-2005-p6-official sums sums задача competition 2005 задача 6, официальные pdf с условиями и решениями sums2005 with_solution ? sums задача competition 2005 задача 6, официальные pdf с условиями и решениями stmt-original условие source_verified на множестве целых чисел построен граф: разные числа \\(m\\) и \\(n\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(|m-n|\\) является степенью двойки: \\(1,2,4,8,\\ldots\\). пусть \\(\\operatorname{dist}(m,n)\\) - длина кратчайшего пути между \\(m\\) и \\(n\\) в этом графе. для целого \\(r\\ge 0\\) обозначим через \\(b_r\\) множество всех целых \\(n\\), для которых \\(\\operatorname{dist}(n,0)\\le r\\). докажите, что дополнение \\(\\mathbb z\\setminus b_r\\) связно: любые две его вершины можно соединить путём, все вершины которого лежат вне \\(b_r\\). connected_graph path idea-signed-power-normal-form кратчайшие пути задаются разреженными суммами степеней двойки если вершина находится на расстоянии \\(s\\) от нуля, её можно записать как сумму \\(s\\) слагаемых вида \\(\\pm 2^m\\). в кратчайшей записи одинаковые степени и слишком длинные цепочки соседних степеней можно устранять переносами, поэтому есть запись с промежутками между показателями не меньше двух. minimal_counterexample goal_proof ai_checked idea-detour-by-huge-powers уходить к большим степеням двойки безопасно для достаточно большой степени \\(2^m\\) все промежуточные вершины на пути, который прибавляет или вычитает такие большие степени, имеют нормальную форму длины больше \\(r\\). поэтому снаружи шара можно вывести любую вершину в далёкую область, а затем соединить две далёкие области. connectivity construction ai_checked sol-official-normal-form-detour нормальная форма и обход шара ai_checked distance minimal_counterexample путь длины не больше \\(r\\) от 0 к числу \\(n\\) равносилен представлению \\(n=\\varepsilon_1 2^{m_1}+\\cdots+\\varepsilon_r2^{m_r}\\), где \\(\\varepsilon_i\\in\\{-1,1\\}\\), а недостающие слагаемые можно не использовать. в кратчайшем представлении одинаковые показатели не нужны: равные с противоположными знаками уничтожаются, а равные с одинаковыми знаками заменяются одной следующей степенью двойки. также соседние показатели с разными знаками и три подряд идущих показателя можно укоротить стандартными двоичными переносами. поэтому для вершины на расстоянии ровно \\(s\\) можно выбрать представление из \\(s\\) степеней, показатели которых идут с промежутком хотя бы два. из такого представления следует важная оценка: старшая степень строго доминирует сумму всех меньших слагаемых. значит, если к числу прибавить достаточно большую степень двойки, расстояние от нуля увеличится, а при последовательном движени… sums-2005-p6-powers-of-two-integer-graph-ball-complement dopolnenie shara v grafe tselyh chisel so stepennymi shagami, sums 2005/6 connectivity minimal_counterexample construction goal_proof 2005 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2005.pdf problem_and_solution src-sums-2005-p6-official sums sums zadacha competition 2005 zadacha 6, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami sums2005 with_solution ? sums zadacha competition 2005 zadacha 6, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami stmt-original uslovie source_verified na mnozhestve tselyh chisel postroen graf: raznye chisla \\(m\\) i \\(n\\) soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda \\(|m-n|\\) yavlyaetsya stepenyu dvoyki: \\(1,2,4,8,\\ldots\\). pust \\(\\operatorname{dist}(m,n)\\) - dlina kratchayshego puti mezhdu \\(m\\) i \\(n\\) v etom grafe. dlya tselogo \\(r\\ge 0\\) oboznachim cherez \\(b_r\\) mnozhestvo vseh tselyh \\(n\\), dlya kotoryh \\(\\operatorname{dist}(n,0)\\le r\\). dokazhite, chto dopolnenie \\(\\mathbb z\\setminus b_r\\) svyazno: lyubye dve ego vershiny mozhno soedinit putem, vse vershiny kotorogo lezhat vne \\(b_r\\). connected_graph path idea-signed-power-normal-form kratchayshie puti zadayutsya razrezhennymi summami stepeney dvoyki esli vershina nahoditsya na rasstoyanii \\(s\\) ot nulya, ee mozhno zapisat kak summu \\(s\\) slagaemyh vida \\(\\pm 2^m\\). v kratchayshey zapisi odinakovye stepeni i slishkom dlinnye tsepochki sosednih stepeney mozhno ustranyat perenosami, poetomu est zapis s promezhutkami mezhdu pokazatelyami ne menshe dvuh. minimal_counterexample goal_proof ai_checked idea-detour-by-huge-powers uhodit k bolshim stepenyam dvoyki bezopasno dlya dostatochno bolshoy stepeni \\(2^m\\) vse promezhutochnye vershiny na puti, kotoryy pribavlyaet ili vychitaet takie bolshie stepeni, imeyut normalnuyu formu dliny bolshe \\(r\\). poetomu snaruzhi shara mozhno vyvesti lyubuyu vershinu v dalekuyu oblast, a zatem soedinit dve dalekie oblasti. connectivity construction ai_checked sol-official-normal-form-detour normalnaya forma i obhod shara ai_checked distance minimal_counterexample put dliny ne bolshe \\(r\\) ot 0 k chislu \\(n\\) ravnosilen predstavleniyu \\(n=\\varepsilon_1 2^{m_1}+\\cdots+\\varepsilon_r2^{m_r}\\), gde \\(\\varepsilon_i\\in\\{-1,1\\}\\), a nedostayuschie slagaemye mozhno ne ispolzovat. v kratchayshem predstavlenii odinakovye pokazateli ne nuzhny: ravnye s protivopolozhnymi znakami unichtozhayutsya, a ravnye s odinakovymi znakami zamenyayutsya odnoy sleduyuschey stepenyu dvoyki. takzhe sosednie pokazateli s raznymi znakami i tri podryad iduschih pokazatelya mozhno ukorotit standartnymi dvoichnymi perenosami. poetomu dlya vershiny na rasstoyanii rovno \\(s\\) mozhno vybrat predstavlenie iz \\(s\\) stepeney, pokazateli kotoryh idut s promezhutkom hotya by dva. iz takogo predstavleniya sleduet vazhnaya otsenka: starshaya stepen strogo dominiruet summu vseh menshih slagaemyh. znachit, esli k chislu pribavit dostatochno bolshuyu stepen dvoyki, rasstoyanie ot nulya uvelichitsya, a pri posledovatelnom dvizheni…","source_keys":["sums"]}
{"id":"sums-2007-p4-tree-induced-components-sum","title":"Сумма числа компонент по всем k-вершинным подмножествам дерева, SUMS 2007/4","path":"data\\problems\\sums\\sums-2007-p4-tree-induced-components-sum.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/sums/sums-2007-p4-tree-induced-components-sum.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sums-2007-p4-tree-induced-components-sum","source_key":"sums","source_label":"SUMS","source_titles":["SUMS задача Competition 2007 задача 4, официальные PDF с условиями и решениями"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","double_counting","degree_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":3,"comment":"Короткая задача на формулу для леса и двойной подсчёт.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Пусть \\(T\\) - дерево с \\(n\\) вершинами. Зафиксируем \\(1\\le k\\le n\\), и пусть \\(S_k\\) - множество всех \\(k\\)-элементных подмножеств множества вершин \\(T\\). Для \\(S\\in S_k\\) обозначим через \\(c(S)\\) число компонент связности подграфа, индуцированного вершинами из \\(S\\). Докажите, что \\[\\sum_{S\\in S_k} c(S)=(n-k+1)\\binom{n-1}{k-1}.\\]","definition_ids":["tree","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-edge-count","title":"Двойной подсчёт рёбер внутри выбранного множества","status":"source_verified","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для каждого \\(S\\in S_k\\) индуцированный подграф является лесом, значит \\(c(S)=k-e(S)\\). Суммируя по всем \\(S\\), получаем \\[\\sum_{S\\in S_k}c(S)=k\\binom nk-\\sum_{S\\in S_k}e(S).\\] В дереве ровно \\(n-1\\) рёбер. Каждое фиксированное ребро попадает в индуцированный подграф ровно для тех \\(S\\), которые содержат оба его конца и ещё \\(k-2\\) вершин из оставшихся \\(n-2\\), то есть \\(\\binom{n-2}{k-2}\\) раз. Поэтому \\[\\sum_{S\\in S_k}e(S)=(n-1)\\binom{n-2}{k-2}.\\] Остаётся упростить: \\[k\\binom nk=n\\binom{n-1}{k-1},\\qquad (n-1)\\binom{n-2}{k-2}=(k-1)\\binom{n-1}{k-1}.\\] Разность равна \\((n-k+1)\\binom{n-1}{k-1}\\)."}],"relations":[{"id":"rel-sums-2012-p7-minimum-sums-2007-tree-subsets","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-sums-2012-p7-maximum-sums-2007-tree-subsets","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-sums-2007-p4-sums-2012-p7-tree-subsets","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"sums-2007-p4-tree-induced-components-sum сумма числа компонент по всем k-вершинным подмножествам дерева, sums 2007/4 trees double_counting degree_counting goal_counting 2007 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2007.pdf problem_and_solution src-sums-2007-p4-official sums sums задача competition 2007 задача 4, официальные pdf с условиями и решениями sums2007 with_solution ? sums задача competition 2007 задача 4, официальные pdf с условиями и решениями stmt-original условие source_verified пусть \\(t\\) - дерево с \\(n\\) вершинами. зафиксируем \\(1\\le k\\le n\\), и пусть \\(s_k\\) - множество всех \\(k\\)-элементных подмножеств множества вершин \\(t\\). для \\(s\\in s_k\\) обозначим через \\(c(s)\\) число компонент связности подграфа, индуцированного вершинами из \\(s\\). докажите, что \\[\\sum_{s\\in s_k} c(s)=(n-k+1)\\binom{n-1}{k-1}.\\] tree connected_graph idea-induced-forest-components в лесу число компонент равно вершины минус рёбра индуцированный подграф дерева снова является лесом. поэтому для \\(k\\)-вершинного множества \\(s\\) выполнено \\(c(s)=k-e(s)\\), где \\(e(s)\\) - число рёбер дерева с обоими концами в \\(s\\). trees double_counting ai_checked sol-official-edge-count двойной подсчёт рёбер внутри выбранного множества source_verified double_counting для каждого \\(s\\in s_k\\) индуцированный подграф является лесом, значит \\(c(s)=k-e(s)\\). суммируя по всем \\(s\\), получаем \\[\\sum_{s\\in s_k}c(s)=k\\binom nk-\\sum_{s\\in s_k}e(s).\\] в дереве ровно \\(n-1\\) рёбер. каждое фиксированное ребро попадает в индуцированный подграф ровно для тех \\(s\\), которые содержат оба его конца и ещё \\(k-2\\) вершин из оставшихся \\(n-2\\), то есть \\(\\binom{n-2}{k-2}\\) раз. поэтому \\[\\sum_{s\\in s_k}e(s)=(n-1)\\binom{n-2}{k-2}.\\] остаётся упростить: \\[k\\binom nk=n\\binom{n-1}{k-1},\\qquad (n-1)\\binom{n-2}{k-2}=(k-1)\\binom{n-1}{k-1}.\\] разность равна \\((n-k+1)\\binom{n-1}{k-1}\\). sums-2007-p4-tree-induced-components-sum summa chisla komponent po vsem k-vershinnym podmnozhestvam dereva, sums 2007/4 trees double_counting degree_counting goal_counting 2007 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2007.pdf problem_and_solution src-sums-2007-p4-official sums sums zadacha competition 2007 zadacha 4, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami sums2007 with_solution ? sums zadacha competition 2007 zadacha 4, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami stmt-original uslovie source_verified pust \\(t\\) - derevo s \\(n\\) vershinami. zafiksiruem \\(1\\le k\\le n\\), i pust \\(s_k\\) - mnozhestvo vseh \\(k\\)-elementnyh podmnozhestv mnozhestva vershin \\(t\\). dlya \\(s\\in s_k\\) oboznachim cherez \\(c(s)\\) chislo komponent svyaznosti podgrafa, indutsirovannogo vershinami iz \\(s\\). dokazhite, chto \\[\\sum_{s\\in s_k} c(s)=(n-k+1)\\binom{n-1}{k-1}.\\] tree connected_graph idea-induced-forest-components v lesu chislo komponent ravno vershiny minus rebra indutsirovannyy podgraf dereva snova yavlyaetsya lesom. poetomu dlya \\(k\\)-vershinnogo mnozhestva \\(s\\) vypolneno \\(c(s)=k-e(s)\\), gde \\(e(s)\\) - chislo reber dereva s oboimi kontsami v \\(s\\). trees double_counting ai_checked sol-official-edge-count dvoynoy podschet reber vnutri vybrannogo mnozhestva source_verified double_counting dlya kazhdogo \\(s\\in s_k\\) indutsirovannyy podgraf yavlyaetsya lesom, znachit \\(c(s)=k-e(s)\\). summiruya po vsem \\(s\\), poluchaem \\[\\sum_{s\\in s_k}c(s)=k\\binom nk-\\sum_{s\\in s_k}e(s).\\] v dereve rovno \\(n-1\\) reber. kazhdoe fiksirovannoe rebro popadaet v indutsirovannyy podgraf rovno dlya teh \\(s\\), kotorye soderzhat oba ego kontsa i esche \\(k-2\\) vershin iz ostavshihsya \\(n-2\\), to est \\(\\binom{n-2}{k-2}\\) raz. poetomu \\[\\sum_{s\\in s_k}e(s)=(n-1)\\binom{n-2}{k-2}.\\] ostaetsya uprostit: \\[k\\binom nk=n\\binom{n-1}{k-1},\\qquad (n-1)\\binom{n-2}{k-2}=(k-1)\\binom{n-1}{k-1}.\\] raznost ravna \\((n-k+1)\\binom{n-1}{k-1}\\).","source_keys":["sums"]}
{"id":"sums-2011-p8-periodic-hexagon-tessellation-even-vertices","title":"Периодическая гексагональная тесселяция с заданными вершинами, SUMS 2011/8","path":"data\\problems\\sums\\sums-2011-p8-periodic-hexagon-tessellation-even-vertices.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/sums/sums-2011-p8-periodic-hexagon-tessellation-even-vertices.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sums-2011-p8-periodic-hexagon-tessellation-even-vertices","source_key":"sums","source_label":"SUMS","source_titles":["SUMS задача Competition 2011 задача 8, официальные PDF с условиями и решениями"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","degree_counting","double_counting","construction","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Необходимость короткая, но достаточность требует аккуратной периодической топологической конструкции.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Пусть \\((x_1,y_1),\\ldots,(x_n,y_n)\\) - различные точки единичного квадрата с \\(0<x_i<1\\) и \\(0<y_i<1\\). Пусть \\(V\\) - множество всех их целочисленных сдвигов. Периодической гексагональной тесселяцией с множеством вершин \\(V\\) называется набор непересекающихся вне концов непрерывных рёбер, соединяющих точки из \\(V\\), такой что каждая вершина имеет степень 3, каждая область дополнения имеет шесть рёбер на границе, и вместе с каждым ребром присутствуют все его целочисленные сдвиги. Докажите, что такая тесселяция существует тогда и только тогда, когда \\(n\\) чётно.","definition_ids":["degree","planar_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Периодический плоский кубический граф","status":"ai_checked","text":"Дано \\(n\\) орбит вершин относительно действия \\(\\mathbb Z^2\\) на плоскости. Нужно охарактеризовать, когда существует \\(\\mathbb Z^2\\)-периодическое плоское вложение 3-регулярного графа с этими вершинами, у которого все грани являются шестиугольниками.","definition_ids":["planar_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-parity-and-construction","title":"Паритет в фундаментальном квадрате и явная конструкция","status":"source_verified","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть тесселяция уже существует. Обозначим через \\(E\\) рёбра с обоими концами в квадрате \\([0,1]\\times[0,1]\\), а через \\(E'\\) - рёбра с ровно одним концом в этом квадрате. У каждой из \\(n\\) вершин степень 3, поэтому \\(3n=2|E|+|E'|\\). Если \\(C\\in E'\\), один его конец лежит в квадрате, а другой равен целочисленному сдвигу некоторой вершины. Сдвинув \\(C\\) обратно на этот целый вектор, получаем другое ребро из \\(E'\\). Эта операция является инволюцией без неподвижных точек, значит \\(|E'|\\) чётно. Тогда \\(3n\\) чётно, и \\(n\\) чётно. Обратно, пусть \\(n\\) чётно. Периодическим гомеоморфизмом каждого единичного квадрата можно перевести заданные \\(n\\) точек в точки \\(((2i-1)/(2n),1/2)\\). Для \\(n=2\\) берётся стандартная периодическая картинка из трёх типов отрезков, порождающая гексагональную сетку. Для общего чётного \\(n\\) эту картинку растягивают так, чтобы в фундаментальном квадрате появилось \\(n…"}],"relations":[{"id":"rel-sums-2011-p8-planar-degree-counting","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"sums-2011-p8-periodic-hexagon-tessellation-even-vertices периодическая гексагональная тесселяция с заданными вершинами, sums 2011/8 planar_graphs degree_counting double_counting construction goal_characterization 2011 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2011.pdf problem_and_solution src-sums-2011-p8-official sums sums задача competition 2011 задача 8, официальные pdf с условиями и решениями sums2011 with_solution ? sums задача competition 2011 задача 8, официальные pdf с условиями и решениями stmt-original условие source_verified пусть \\((x_1,y_1),\\ldots,(x_n,y_n)\\) - различные точки единичного квадрата с \\(0<x_i<1\\) и \\(0<y_i<1\\). пусть \\(v\\) - множество всех их целочисленных сдвигов. периодической гексагональной тесселяцией с множеством вершин \\(v\\) называется набор непересекающихся вне концов непрерывных рёбер, соединяющих точки из \\(v\\), такой что каждая вершина имеет степень 3, каждая область дополнения имеет шесть рёбер на границе, и вместе с каждым ребром присутствуют все его целочисленные сдвиги. докажите, что такая тесселяция существует тогда и только тогда, когда \\(n\\) чётно. degree planar_graph stmt-graph периодический плоский кубический граф ai_checked дано \\(n\\) орбит вершин относительно действия \\(\\mathbb z^2\\) на плоскости. нужно охарактеризовать, когда существует \\(\\mathbb z^2\\)-периодическое плоское вложение 3-регулярного графа с этими вершинами, у которого все грани являются шестиугольниками. planar_graph degree idea-fundamental-square-parity рёбра, выходящие из фундаментального квадрата, разбиваются на пары если считать инцидентности у \\(n\\) вершин в единичном квадрате, получаем \\(3n=2|e|+|e'|\\), где \\(e'\\) - рёбра, имеющие ровно один конец в квадрате. периодичность задаёт на \\(e'\\) свободную инволюцию: ребро заменяется его сдвигом, у которого внутрь квадрата попал другой конец. значит \\(|e'|\\) чётно, и \\(n\\) чётно. planar_graphs double_counting parity_coloring source_verified idea-even-periodic-construction чётный случай сводится к стандартной периодической сетке точки внутри фундаментального квадрата можно периодическим гомеоморфизмом перевести в равномерно расположенные точки на горизонтальной середине квадрата. для двух точек строится стандартная периодическая гексагональная сетка, а для общего чётного \\(n\\) она растягивается/сжимается по горизонтали. construction graph_symmetry source_verified sol-official-parity-and-construction паритет в фундаментальном квадрате и явная конструкция source_verified double_counting пусть тесселяция уже существует. обозначим через \\(e\\) рёбра с обоими концами в квадрате \\([0,1]\\times[0,1]\\), а через \\(e'\\) - рёбра с ровно одним концом в этом квадрате. у каждой из \\(n\\) вершин степень 3, поэтому \\(3n=2|e|+|e'|\\). если \\(c\\in e'\\), один его конец лежит в квадрате, а другой равен целочисленному сдвигу некоторой вершины. сдвинув \\(c\\) обратно на этот целый вектор, получаем другое ребро из \\(e'\\). эта операция является инволюцией без неподвижных точек, значит \\(|e'|\\) чётно. тогда \\(3n\\) чётно, и \\(n\\) чётно. обратно, пусть \\(n\\) чётно. периодическим гомеоморфизмом каждого единичного квадрата можно перевести заданные \\(n\\) точек в точки \\(((2i-1)/(2n),1/2)\\). для \\(n=2\\) берётся стандартная периодическая картинка из трёх типов отрезков, порождающая гексагональную сетку. для общего чётного \\(n\\) эту картинку растягивают так, чтобы в фундаментальном квадрате появилось \\(n… sums-2011-p8-periodic-hexagon-tessellation-even-vertices periodicheskaya geksagonalnaya tesselyatsiya s zadannymi vershinami, sums 2011/8 planar_graphs degree_counting double_counting construction goal_characterization 2011 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2011.pdf problem_and_solution src-sums-2011-p8-official sums sums zadacha competition 2011 zadacha 8, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami sums2011 with_solution ? sums zadacha competition 2011 zadacha 8, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami stmt-original uslovie source_verified pust \\((x_1,y_1),\\ldots,(x_n,y_n)\\) - razlichnye tochki edinichnogo kvadrata s \\(0<x_i<1\\) i \\(0<y_i<1\\). pust \\(v\\) - mnozhestvo vseh ih tselochislennyh sdvigov. periodicheskoy geksagonalnoy tesselyatsiey s mnozhestvom vershin \\(v\\) nazyvaetsya nabor neperesekayuschihsya vne kontsov nepreryvnyh reber, soedinyayuschih tochki iz \\(v\\), takoy chto kazhdaya vershina imeet stepen 3, kazhdaya oblast dopolneniya imeet shest reber na granitse, i vmeste s kazhdym rebrom prisutstvuyut vse ego tselochislennye sdvigi. dokazhite, chto takaya tesselyatsiya suschestvuet togda i tolko togda, kogda \\(n\\) chetno. degree planar_graph stmt-graph periodicheskiy ploskiy kubicheskiy graf ai_checked dano \\(n\\) orbit vershin otnositelno deystviya \\(\\mathbb z^2\\) na ploskosti. nuzhno oharakterizovat, kogda suschestvuet \\(\\mathbb z^2\\)-periodicheskoe ploskoe vlozhenie 3-regulyarnogo grafa s etimi vershinami, u kotorogo vse grani yavlyayutsya shestiugolnikami. planar_graph degree idea-fundamental-square-parity rebra, vyhodyaschie iz fundamentalnogo kvadrata, razbivayutsya na pary esli schitat intsidentnosti u \\(n\\) vershin v edinichnom kvadrate, poluchaem \\(3n=2|e|+|e'|\\), gde \\(e'\\) - rebra, imeyuschie rovno odin konets v kvadrate. periodichnost zadaet na \\(e'\\) svobodnuyu involyutsiyu: rebro zamenyaetsya ego sdvigom, u kotorogo vnutr kvadrata popal drugoy konets. znachit \\(|e'|\\) chetno, i \\(n\\) chetno. planar_graphs double_counting parity_coloring source_verified idea-even-periodic-construction chetnyy sluchay svoditsya k standartnoy periodicheskoy setke tochki vnutri fundamentalnogo kvadrata mozhno periodicheskim gomeomorfizmom perevesti v ravnomerno raspolozhennye tochki na gorizontalnoy seredine kvadrata. dlya dvuh tochek stroitsya standartnaya periodicheskaya geksagonalnaya setka, a dlya obschego chetnogo \\(n\\) ona rastyagivaetsya/szhimaetsya po gorizontali. construction graph_symmetry source_verified sol-official-parity-and-construction paritet v fundamentalnom kvadrate i yavnaya konstruktsiya source_verified double_counting pust tesselyatsiya uzhe suschestvuet. oboznachim cherez \\(e\\) rebra s oboimi kontsami v kvadrate \\([0,1]\\times[0,1]\\), a cherez \\(e'\\) - rebra s rovno odnim kontsom v etom kvadrate. u kazhdoy iz \\(n\\) vershin stepen 3, poetomu \\(3n=2|e|+|e'|\\). esli \\(c\\in e'\\), odin ego konets lezhit v kvadrate, a drugoy raven tselochislennomu sdvigu nekotoroy vershiny. sdvinuv \\(c\\) obratno na etot tselyy vektor, poluchaem drugoe rebro iz \\(e'\\). eta operatsiya yavlyaetsya involyutsiey bez nepodvizhnyh tochek, znachit \\(|e'|\\) chetno. togda \\(3n\\) chetno, i \\(n\\) chetno. obratno, pust \\(n\\) chetno. periodicheskim gomeomorfizmom kazhdogo edinichnogo kvadrata mozhno perevesti zadannye \\(n\\) tochek v tochki \\(((2i-1)/(2n),1/2)\\). dlya \\(n=2\\) beretsya standartnaya periodicheskaya kartinka iz treh tipov otrezkov, porozhdayuschaya geksagonalnuyu setku. dlya obschego chetnogo \\(n\\) etu kartinku rastyagivayut tak, chtoby v fundamentalnom kvadrate poyavilos \\(n…","source_keys":["sums"]}
{"id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema","title":"Минимум и максимум числа связных подмножеств вершин дерева, SUMS 2012/7","path":"data\\problems\\sums\\sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/sums/sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema","source_key":"sums","source_label":"SUMS","source_titles":["SUMS задача Competition 2012 задача 7, официальные PDF с условиями и решениями"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","extremal_choice","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Красивая экстремальная задача о деревьях; ключевые примеры - путь и звезда.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Для дерева \\(T\\) обозначим через \\(s(T)\\) число непустых подмножеств \\(X\\) множества вершин \\(T\\), таких что любые две вершины из \\(X\\) соединяются в \\(T\\) путём, проходящим только через вершины из \\(X\\). Для данного положительного целого \\(n\\) найдите минимальное и максимальное возможные значения \\(s(T)\\) по всем деревьям с \\(n\\) вершинами.","definition_ids":["tree","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-path-and-star","title":"Путь даёт минимум, звезда даёт максимум","status":"source_verified","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Связные подмножества вершин дерева - это ровно множества вершин поддеревьев. Снизу: есть \\(n\\) одноэлементных поддеревьев, а каждая пара различных вершин задаёт единственный путь, значит \\(s(T)\\ge n+\\binom n2\\). Если дерево не является путём, в нём есть вершина степени хотя бы 3; эта вершина вместе с тремя соседями даёт связное подмножество, не являющееся ни одной вершиной, ни путём между двумя концами. Поэтому минимум равен \\(n+\\binom n2\\) и достигается ровно на пути. Сверху: в дереве \\(n-1\\) рёбер, а каждое непустое связное подмножество с более чем одной вершиной определяется своим непустым множеством рёбер. Значит \\(s(T)\\le n+(2^{n-1}-1)=2^{n-1}+n-1\\). У звезды любое непустое множество рёбер задаёт поддерево, поэтому верхняя оценка достигается. Если дерево не звезда, найдутся два рёбра без общей вершины, и выбранная из них пара рёбер не задаёт связного поддерева; значит равенства нет…"}],"relations":[{"id":"rel-sums-2012-p7-parent-minimum-split","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-sums-2012-p7-parent-maximum-split","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-sums-2007-p4-sums-2012-p7-tree-subsets","neighbor_id":"sums-2007-p4-tree-induced-components-sum","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-sums-2012-p7-tree-near-perfect-path","neighbor_id":"tree-near-perfect-matchings-path-extremal","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema минимум и максимум числа связных подмножеств вершин дерева, sums 2012/7 trees extremal_choice construction goal_exact_bound 2012 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2012.pdf problem_and_solution src-sums-2012-p7-official sums sums задача competition 2012 задача 7, официальные pdf с условиями и решениями sums2012 with_solution ? sums задача competition 2012 задача 7, официальные pdf с условиями и решениями stmt-original условие source_verified для дерева \\(t\\) обозначим через \\(s(t)\\) число непустых подмножеств \\(x\\) множества вершин \\(t\\), таких что любые две вершины из \\(x\\) соединяются в \\(t\\) путём, проходящим только через вершины из \\(x\\). для данного положительного целого \\(n\\) найдите минимальное и максимальное возможные значения \\(s(t)\\) по всем деревьям с \\(n\\) вершинами. tree path idea-pairs-give-paths каждая пара вершин даёт связное подмножество в дереве между двумя вершинами есть единственный путь. поэтому все одноэлементные множества и все пути между парами вершин уже дают \\(n+\\binom n2\\) связных подмножеств. trees goal_bound source_verified idea-edge-subset-upper-bound поддерево задаётся множеством рёбер каждое непустое связное подмножество с более чем одной вершиной задаёт непустое множество рёбер дерева. поэтому таких подмножеств не больше \\(2^{n-1}-1\\). равенство возможно только у звезды. trees extremal_choice source_verified sol-official-path-and-star путь даёт минимум, звезда даёт максимум source_verified extremal_choice связные подмножества вершин дерева - это ровно множества вершин поддеревьев. снизу: есть \\(n\\) одноэлементных поддеревьев, а каждая пара различных вершин задаёт единственный путь, значит \\(s(t)\\ge n+\\binom n2\\). если дерево не является путём, в нём есть вершина степени хотя бы 3; эта вершина вместе с тремя соседями даёт связное подмножество, не являющееся ни одной вершиной, ни путём между двумя концами. поэтому минимум равен \\(n+\\binom n2\\) и достигается ровно на пути. сверху: в дереве \\(n-1\\) рёбер, а каждое непустое связное подмножество с более чем одной вершиной определяется своим непустым множеством рёбер. значит \\(s(t)\\le n+(2^{n-1}-1)=2^{n-1}+n-1\\). у звезды любое непустое множество рёбер задаёт поддерево, поэтому верхняя оценка достигается. если дерево не звезда, найдутся два рёбра без общей вершины, и выбранная из них пара рёбер не задаёт связного поддерева; значит равенства нет… sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema minimum i maksimum chisla svyaznyh podmnozhestv vershin dereva, sums 2012/7 trees extremal_choice construction goal_exact_bound 2012 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2012.pdf problem_and_solution src-sums-2012-p7-official sums sums zadacha competition 2012 zadacha 7, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami sums2012 with_solution ? sums zadacha competition 2012 zadacha 7, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami stmt-original uslovie source_verified dlya dereva \\(t\\) oboznachim cherez \\(s(t)\\) chislo nepustyh podmnozhestv \\(x\\) mnozhestva vershin \\(t\\), takih chto lyubye dve vershiny iz \\(x\\) soedinyayutsya v \\(t\\) putem, prohodyaschim tolko cherez vershiny iz \\(x\\). dlya dannogo polozhitelnogo tselogo \\(n\\) naydite minimalnoe i maksimalnoe vozmozhnye znacheniya \\(s(t)\\) po vsem derevyam s \\(n\\) vershinami. tree path idea-pairs-give-paths kazhdaya para vershin daet svyaznoe podmnozhestvo v dereve mezhdu dvumya vershinami est edinstvennyy put. poetomu vse odnoelementnye mnozhestva i vse puti mezhdu parami vershin uzhe dayut \\(n+\\binom n2\\) svyaznyh podmnozhestv. trees goal_bound source_verified idea-edge-subset-upper-bound podderevo zadaetsya mnozhestvom reber kazhdoe nepustoe svyaznoe podmnozhestvo s bolee chem odnoy vershinoy zadaet nepustoe mnozhestvo reber dereva. poetomu takih podmnozhestv ne bolshe \\(2^{n-1}-1\\). ravenstvo vozmozhno tolko u zvezdy. trees extremal_choice source_verified sol-official-path-and-star put daet minimum, zvezda daet maksimum source_verified extremal_choice svyaznye podmnozhestva vershin dereva - eto rovno mnozhestva vershin podderevev. snizu: est \\(n\\) odnoelementnyh podderevev, a kazhdaya para razlichnyh vershin zadaet edinstvennyy put, znachit \\(s(t)\\ge n+\\binom n2\\). esli derevo ne yavlyaetsya putem, v nem est vershina stepeni hotya by 3; eta vershina vmeste s tremya sosedyami daet svyaznoe podmnozhestvo, ne yavlyayuscheesya ni odnoy vershinoy, ni putem mezhdu dvumya kontsami. poetomu minimum raven \\(n+\\binom n2\\) i dostigaetsya rovno na puti. sverhu: v dereve \\(n-1\\) reber, a kazhdoe nepustoe svyaznoe podmnozhestvo s bolee chem odnoy vershinoy opredelyaetsya svoim nepustym mnozhestvom reber. znachit \\(s(t)\\le n+(2^{n-1}-1)=2^{n-1}+n-1\\). u zvezdy lyuboe nepustoe mnozhestvo reber zadaet podderevo, poetomu verhnyaya otsenka dostigaetsya. esli derevo ne zvezda, naydutsya dva rebra bez obschey vershiny, i vybrannaya iz nih para reber ne zadaet svyaznogo poddereva; znachit ravenstva net…","source_keys":["sums"]}
{"id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum","title":"Максимум числа связных подмножеств вершин дерева, SUMS 2012/7","path":"data\\problems\\sums\\sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/sums/sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum","source_key":"sums","source_label":"SUMS","source_titles":["SUMS задача Competition 2012 задача 7, официальные PDF с условиями и решениями"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","extremal_choice","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":4,"comment":"Самостоятельная половина SUMS 2012/7: верхняя оценка через множества рёбер и точность на звезде.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агент high-reasoning split аудит","notes":"Исходное официальное решение содержит этот полный довод для максимума; разделённая карточка выделяет только экстремум для максимума.","audit_source":"manual-split-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-maximum","title":"Максимум","status":"source_verified","text":"Для дерева \\(T\\) обозначим через \\(s(T)\\) число непустых подмножеств \\(X\\) множества вершин \\(T\\), таких что любые две вершины из \\(X\\) соединяются в \\(T\\) путём, проходящим только через вершины из \\(X\\). Для данного положительного целого \\(n\\) найдите максимальное возможное значение \\(s(T)\\) по всем деревьям с \\(n\\) вершинами.","definition_ids":["tree","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-maximum-star","title":"Звезда даёт максимум","status":"source_verified","definition_ids":["tree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем, что максимум равен \\(2^{n-1}+n-1\\). В дереве на \\(n\\) вершинах ровно \\(n-1\\) ребро. Разделим связные подмножества вершин на одноэлементные и остальные. Одноэлементных ровно \\(n\\). Если связное подмножество \\(X\\) содержит хотя бы две вершины, то рёбра дерева с обоими концами в \\(X\\) образуют непустое множество рёбер. Более того, \\(X\\) однозначно восстанавливается по этому множеству рёбер как множество всех концов выбранных рёбер. Поэтому таких \\(X\\) не больше, чем непустых множеств рёбер дерева, то есть не больше \\(2^{n-1}-1\\). Следовательно, для любого \\(T\\) выполнено \\[s(T)\\le n+(2^{n-1}-1)=2^{n-1}+n-1.\\] Покажем достижимость. Возьмём звезду \\(K_{1,n-1}\\) (при \\(n=1\\) это единственная вершина). Любое непустое множество её рёбер имеет общий центр и потому задаёт связное поддерево. Значит все \\(2^{n-1}-1\\) непустых множеств рёбер действительно дают связные подмножества с более ч…"}],"relations":[{"id":"rel-sums-2012-p7-parent-maximum-split","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-sums-2012-p7-minimum-maximum-paired-extrema","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-sums-2012-p7-maximum-sums-2007-tree-subsets","neighbor_id":"sums-2007-p4-tree-induced-components-sum","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-sums-2012-p7-maximum-pairwise-intersecting-edges","neighbor_id":"pairwise-intersecting-edges-star-or-triangle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum максимум числа связных подмножеств вершин дерева, sums 2012/7 trees extremal_choice construction goal_exact_bound 2012 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2012.pdf problem_and_solution src-sums-2012-p7-official sums sums задача competition 2012 задача 7, официальные pdf с условиями и решениями sums2012 with_solution ? sums задача competition 2012 задача 7, официальные pdf с условиями и решениями stmt-maximum максимум source_verified для дерева \\(t\\) обозначим через \\(s(t)\\) число непустых подмножеств \\(x\\) множества вершин \\(t\\), таких что любые две вершины из \\(x\\) соединяются в \\(t\\) путём, проходящим только через вершины из \\(x\\). для данного положительного целого \\(n\\) найдите максимальное возможное значение \\(s(t)\\) по всем деревьям с \\(n\\) вершинами. tree path idea-subtree-determined-by-edge-set связное подмножество с несколькими вершинами задаётся множеством рёбер если связное подмножество вершин содержит больше одной вершины, то рёбра между этими вершинами образуют непустое поддерево. в дереве вершины такого поддерева однозначно восстанавливаются по его множеству рёбер. trees goal_bound source_verified idea-star-realizes-all-edge-subsets в звезде любое непустое множество рёбер связно в звезде все рёбра имеют общий центр, поэтому любое непустое множество её рёбер задаёт связное поддерево: центр вместе с выбранными листьями. trees construction source_verified sol-maximum-star звезда даёт максимум source_verified tree extremal_choice докажем, что максимум равен \\(2^{n-1}+n-1\\). в дереве на \\(n\\) вершинах ровно \\(n-1\\) ребро. разделим связные подмножества вершин на одноэлементные и остальные. одноэлементных ровно \\(n\\). если связное подмножество \\(x\\) содержит хотя бы две вершины, то рёбра дерева с обоими концами в \\(x\\) образуют непустое множество рёбер. более того, \\(x\\) однозначно восстанавливается по этому множеству рёбер как множество всех концов выбранных рёбер. поэтому таких \\(x\\) не больше, чем непустых множеств рёбер дерева, то есть не больше \\(2^{n-1}-1\\). следовательно, для любого \\(t\\) выполнено \\[s(t)\\le n+(2^{n-1}-1)=2^{n-1}+n-1.\\] покажем достижимость. возьмём звезду \\(k_{1,n-1}\\) (при \\(n=1\\) это единственная вершина). любое непустое множество её рёбер имеет общий центр и потому задаёт связное поддерево. значит все \\(2^{n-1}-1\\) непустых множеств рёбер действительно дают связные подмножества с более ч… sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum maksimum chisla svyaznyh podmnozhestv vershin dereva, sums 2012/7 trees extremal_choice construction goal_exact_bound 2012 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2012.pdf problem_and_solution src-sums-2012-p7-official sums sums zadacha competition 2012 zadacha 7, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami sums2012 with_solution ? sums zadacha competition 2012 zadacha 7, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami stmt-maximum maksimum source_verified dlya dereva \\(t\\) oboznachim cherez \\(s(t)\\) chislo nepustyh podmnozhestv \\(x\\) mnozhestva vershin \\(t\\), takih chto lyubye dve vershiny iz \\(x\\) soedinyayutsya v \\(t\\) putem, prohodyaschim tolko cherez vershiny iz \\(x\\). dlya dannogo polozhitelnogo tselogo \\(n\\) naydite maksimalnoe vozmozhnoe znachenie \\(s(t)\\) po vsem derevyam s \\(n\\) vershinami. tree path idea-subtree-determined-by-edge-set svyaznoe podmnozhestvo s neskolkimi vershinami zadaetsya mnozhestvom reber esli svyaznoe podmnozhestvo vershin soderzhit bolshe odnoy vershiny, to rebra mezhdu etimi vershinami obrazuyut nepustoe podderevo. v dereve vershiny takogo poddereva odnoznachno vosstanavlivayutsya po ego mnozhestvu reber. trees goal_bound source_verified idea-star-realizes-all-edge-subsets v zvezde lyuboe nepustoe mnozhestvo reber svyazno v zvezde vse rebra imeyut obschiy tsentr, poetomu lyuboe nepustoe mnozhestvo ee reber zadaet svyaznoe podderevo: tsentr vmeste s vybrannymi listyami. trees construction source_verified sol-maximum-star zvezda daet maksimum source_verified tree extremal_choice dokazhem, chto maksimum raven \\(2^{n-1}+n-1\\). v dereve na \\(n\\) vershinah rovno \\(n-1\\) rebro. razdelim svyaznye podmnozhestva vershin na odnoelementnye i ostalnye. odnoelementnyh rovno \\(n\\). esli svyaznoe podmnozhestvo \\(x\\) soderzhit hotya by dve vershiny, to rebra dereva s oboimi kontsami v \\(x\\) obrazuyut nepustoe mnozhestvo reber. bolee togo, \\(x\\) odnoznachno vosstanavlivaetsya po etomu mnozhestvu reber kak mnozhestvo vseh kontsov vybrannyh reber. poetomu takih \\(x\\) ne bolshe, chem nepustyh mnozhestv reber dereva, to est ne bolshe \\(2^{n-1}-1\\). sledovatelno, dlya lyubogo \\(t\\) vypolneno \\[s(t)\\le n+(2^{n-1}-1)=2^{n-1}+n-1.\\] pokazhem dostizhimost. vozmem zvezdu \\(k_{1,n-1}\\) (pri \\(n=1\\) eto edinstvennaya vershina). lyuboe nepustoe mnozhestvo ee reber imeet obschiy tsentr i potomu zadaet svyaznoe podderevo. znachit vse \\(2^{n-1}-1\\) nepustyh mnozhestv reber deystvitelno dayut svyaznye podmnozhestva s bolee ch…","source_keys":["sums"]}
{"id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum","title":"Минимум числа связных подмножеств вершин дерева, SUMS 2012/7","path":"data\\problems\\sums\\sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/sums/sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum","source_key":"sums","source_label":"SUMS","source_titles":["SUMS задача Competition 2012 задача 7, официальные PDF с условиями и решениями"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","extremal_choice","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":4,"comment":"Самостоятельная половина SUMS 2012/7: нижняя оценка через уникальные пути и точность на пути.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агент high-reasoning split аудит","notes":"Исходное официальное решение содержит этот полный довод для минимума; разделённая карточка выделяет только экстремум для минимума.","audit_source":"manual-split-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-minimum","title":"Минимум","status":"source_verified","text":"Для дерева \\(T\\) обозначим через \\(s(T)\\) число непустых подмножеств \\(X\\) множества вершин \\(T\\), таких что любые две вершины из \\(X\\) соединяются в \\(T\\) путём, проходящим только через вершины из \\(X\\). Для данного положительного целого \\(n\\) найдите минимальное возможное значение \\(s(T)\\) по всем деревьям с \\(n\\) вершинами.","definition_ids":["tree","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-minimum-paths","title":"Путь даёт минимум","status":"source_verified","definition_ids":["tree","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем, что минимум равен \\(n+\\binom n2=\\frac{n(n+1)}2\\). Связные подмножества вершин дерева - это ровно множества вершин его связных поддеревьев. В любом дереве есть \\(n\\) одноэлементных связных подмножеств. Кроме того, каждая неупорядоченная пара различных вершин \\(u,v\\) задаёт единственный путь от \\(u\\) к \\(v\\), а множество вершин этого пути связно. Разные пары дают разные множества: у пути, содержащего хотя бы две вершины, концы восстанавливаются как его две крайние вершины. Поэтому для любого дерева \\(T\\) выполнено \\[s(T)\\ge n+\\binom n2.\\] Остаётся показать достижимость. Пусть \\(T=P_n\\) - путь на \\(n\\) вершинах. Его связные подмножества - это ровно интервалы подряд идущих вершин. Интервал либо состоит из одной вершины, либо задаётся парой своих концов, значит их ровно \\(n+\\binom n2\\). Следовательно, минимальное значение равно \\(\\frac{n(n+1)}2\\). Более того, если дерево не является…"}],"relations":[{"id":"rel-sums-2012-p7-parent-minimum-split","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-sums-2012-p7-minimum-maximum-paired-extrema","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-sums-2012-p7-minimum-sums-2007-tree-subsets","neighbor_id":"sums-2007-p4-tree-induced-components-sum","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-sums-2012-p7-minimum-tree-near-perfect-path","neighbor_id":"tree-near-perfect-matchings-path-extremal","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum минимум числа связных подмножеств вершин дерева, sums 2012/7 trees extremal_choice construction goal_exact_bound 2012 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2012.pdf problem_and_solution src-sums-2012-p7-official sums sums задача competition 2012 задача 7, официальные pdf с условиями и решениями sums2012 with_solution ? sums задача competition 2012 задача 7, официальные pdf с условиями и решениями stmt-minimum минимум source_verified для дерева \\(t\\) обозначим через \\(s(t)\\) число непустых подмножеств \\(x\\) множества вершин \\(t\\), таких что любые две вершины из \\(x\\) соединяются в \\(t\\) путём, проходящим только через вершины из \\(x\\). для данного положительного целого \\(n\\) найдите минимальное возможное значение \\(s(t)\\) по всем деревьям с \\(n\\) вершинами. tree path idea-pairs-give-distinct-paths одноэлементные множества и пути между парами уже дают нижнюю оценку в дереве между двумя различными вершинами есть единственный путь. множества вершин этих путей различны для разных пар концов, поэтому в любом дереве есть как минимум \\(n\\) одноэлементных связных подмножеств и \\(\\binom n2\\) связных подмножеств, заданных парами вершин. trees goal_bound source_verified idea-path-intervals-are-all-connected-subsets в пути связные подмножества - это интервалы если дерево само является путём, то каждое связное подмножество его вершин является непрерывным отрезком пути и однозначно задаётся своими концами или одной вершиной. trees construction source_verified sol-minimum-paths путь даёт минимум source_verified tree path extremal_choice докажем, что минимум равен \\(n+\\binom n2=\\frac{n(n+1)}2\\). связные подмножества вершин дерева - это ровно множества вершин его связных поддеревьев. в любом дереве есть \\(n\\) одноэлементных связных подмножеств. кроме того, каждая неупорядоченная пара различных вершин \\(u,v\\) задаёт единственный путь от \\(u\\) к \\(v\\), а множество вершин этого пути связно. разные пары дают разные множества: у пути, содержащего хотя бы две вершины, концы восстанавливаются как его две крайние вершины. поэтому для любого дерева \\(t\\) выполнено \\[s(t)\\ge n+\\binom n2.\\] остаётся показать достижимость. пусть \\(t=p_n\\) - путь на \\(n\\) вершинах. его связные подмножества - это ровно интервалы подряд идущих вершин. интервал либо состоит из одной вершины, либо задаётся парой своих концов, значит их ровно \\(n+\\binom n2\\). следовательно, минимальное значение равно \\(\\frac{n(n+1)}2\\). более того, если дерево не является… sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum minimum chisla svyaznyh podmnozhestv vershin dereva, sums 2012/7 trees extremal_choice construction goal_exact_bound 2012 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2012.pdf problem_and_solution src-sums-2012-p7-official sums sums zadacha competition 2012 zadacha 7, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami sums2012 with_solution ? sums zadacha competition 2012 zadacha 7, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami stmt-minimum minimum source_verified dlya dereva \\(t\\) oboznachim cherez \\(s(t)\\) chislo nepustyh podmnozhestv \\(x\\) mnozhestva vershin \\(t\\), takih chto lyubye dve vershiny iz \\(x\\) soedinyayutsya v \\(t\\) putem, prohodyaschim tolko cherez vershiny iz \\(x\\). dlya dannogo polozhitelnogo tselogo \\(n\\) naydite minimalnoe vozmozhnoe znachenie \\(s(t)\\) po vsem derevyam s \\(n\\) vershinami. tree path idea-pairs-give-distinct-paths odnoelementnye mnozhestva i puti mezhdu parami uzhe dayut nizhnyuyu otsenku v dereve mezhdu dvumya razlichnymi vershinami est edinstvennyy put. mnozhestva vershin etih putey razlichny dlya raznyh par kontsov, poetomu v lyubom dereve est kak minimum \\(n\\) odnoelementnyh svyaznyh podmnozhestv i \\(\\binom n2\\) svyaznyh podmnozhestv, zadannyh parami vershin. trees goal_bound source_verified idea-path-intervals-are-all-connected-subsets v puti svyaznye podmnozhestva - eto intervaly esli derevo samo yavlyaetsya putem, to kazhdoe svyaznoe podmnozhestvo ego vershin yavlyaetsya nepreryvnym otrezkom puti i odnoznachno zadaetsya svoimi kontsami ili odnoy vershinoy. trees construction source_verified sol-minimum-paths put daet minimum source_verified tree path extremal_choice dokazhem, chto minimum raven \\(n+\\binom n2=\\frac{n(n+1)}2\\). svyaznye podmnozhestva vershin dereva - eto rovno mnozhestva vershin ego svyaznyh podderevev. v lyubom dereve est \\(n\\) odnoelementnyh svyaznyh podmnozhestv. krome togo, kazhdaya neuporyadochennaya para razlichnyh vershin \\(u,v\\) zadaet edinstvennyy put ot \\(u\\) k \\(v\\), a mnozhestvo vershin etogo puti svyazno. raznye pary dayut raznye mnozhestva: u puti, soderzhaschego hotya by dve vershiny, kontsy vosstanavlivayutsya kak ego dve kraynie vershiny. poetomu dlya lyubogo dereva \\(t\\) vypolneno \\[s(t)\\ge n+\\binom n2.\\] ostaetsya pokazat dostizhimost. pust \\(t=p_n\\) - put na \\(n\\) vershinah. ego svyaznye podmnozhestva - eto rovno intervaly podryad iduschih vershin. interval libo sostoit iz odnoy vershiny, libo zadaetsya paroy svoih kontsov, znachit ih rovno \\(n+\\binom n2\\). sledovatelno, minimalnoe znachenie ravno \\(\\frac{n(n+1)}2\\). bolee togo, esli derevo ne yavlyaetsya…","source_keys":["sums"]}
{"id":"sums-2012-p8-regular-tree-allowable-automorphisms","title":"Три допустимых автоморфизма 3-регулярного дерева между двумя вершинами, SUMS 2012/8","path":"data\\problems\\sums\\sums-2012-p8-regular-tree-allowable-automorphisms.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/sums/sums-2012-p8-regular-tree-allowable-automorphisms.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sums-2012-p8-regular-tree-allowable-automorphisms","source_key":"sums","source_label":"SUMS","source_titles":["SUMS задача Competition 2012 задача 8, официальные PDF с условиями и решениями"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","graph_symmetry","induction","minimal_counterexample","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Задача на симметрии бесконечного дерева; нужна нормальная форма слова в порождающих.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Пусть \\(T\\) - бесконечное 3-регулярное дерево. В фиксированном плоском рисунке заданы два автоморфизма: отражение \\(\\sigma\\) и поворот \\(\\rho\\), который фиксирует одну вершину \\(a\\) и циклически переставляет три соседних направления. Допустимыми называются автоморфизмы, которые можно получить последовательным применением \\(\\rho\\) и \\(\\sigma\\). Докажите, что для любых двух вершин \\(v\\) и \\(w\\) дерева \\(T\\) существует ровно три допустимых автоморфизма, переводящих \\(v\\) в \\(w\\).","definition_ids":["tree","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-word-action","title":"Действие на словах вершин","status":"source_verified","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем корень \\(a\\) и обозначим его соседей \\(b,c,d\\). Любая другая вершина кодируется словом: первая буква показывает, через какого из \\(b,c,d\\) начинается путь от \\(a\\), а последующие буквы \\(L,R\\) показывают левые и правые повороты вдоль пути. Поворот \\(\\rho\\) циклически меняет первую букву \\(b\\to c\\to d\\to b\\), а отражение \\(\\sigma\\) устроено так, что после подходящего поворота оно сокращает расстояние до \\(a\\) на один. Поэтому индукцией по длине слова любую вершину можно перевести в \\(a\\); действие допустимой группы на вершинах транзитивно. Теперь достаточно посчитать допустимые автоморфизмы, фиксирующие \\(a\\). Очевидно, \\(1,\\rho,\\rho^2\\) фиксируют \\(a\\). Любое другое сокращённое слово в порождающих можно записать как \\(\\rho^{i_0}\\sigma\\rho^{i_1}\\sigma\\cdots\\sigma\\rho^{i_k}\\), где внутри стоят только ненулевые степени \\(\\rho\\). Применяя такое слово справа налево к \\(a\\), перво…"}],"relations":[{"id":"rel-sums-2012-p8-graph-symmetry-tree","neighbor_id":"tc-2013-14-vertex-transitive-not-transposition","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"sums-2012-p8-regular-tree-allowable-automorphisms три допустимых автоморфизма 3-регулярного дерева между двумя вершинами, sums 2012/8 trees graph_symmetry induction minimal_counterexample goal_counting 2012 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2012.pdf problem_and_solution src-sums-2012-p8-official sums sums задача competition 2012 задача 8, официальные pdf с условиями и решениями sums2012 with_solution ? sums задача competition 2012 задача 8, официальные pdf с условиями и решениями stmt-original условие source_verified пусть \\(t\\) - бесконечное 3-регулярное дерево. в фиксированном плоском рисунке заданы два автоморфизма: отражение \\(\\sigma\\) и поворот \\(\\rho\\), который фиксирует одну вершину \\(a\\) и циклически переставляет три соседних направления. допустимыми называются автоморфизмы, которые можно получить последовательным применением \\(\\rho\\) и \\(\\sigma\\). докажите, что для любых двух вершин \\(v\\) и \\(w\\) дерева \\(t\\) существует ровно три допустимых автоморфизма, переводящих \\(v\\) в \\(w\\). tree degree idea-regular-tree-turn-words вершины кодируются первым направлением и поворотами налево/направо от корня \\(a\\) к любой другой вершине идёт единственный путь. его можно записать как первую букву \\(b,c,d\\), а затем строку из поворотов \\(l,r\\). поворот меняет первую букву, а отражение после приведения первой буквы к \\(b\\) уменьшает длину слова. trees graph_symmetry induction source_verified idea-root-stabilizer-three стабилизатор корня состоит только из трёх поворотов после сокращения слов в порождающих \\(\\rho,\\sigma\\) всякий нетривиальный элемент, содержащий \\(\\sigma\\), переводит корень в вершину с непустым словом. поэтому корень фиксируют только \\(1,\\rho,\\rho^2\\). graph_symmetry minimal_counterexample source_verified sol-official-word-action действие на словах вершин source_verified induction зафиксируем корень \\(a\\) и обозначим его соседей \\(b,c,d\\). любая другая вершина кодируется словом: первая буква показывает, через какого из \\(b,c,d\\) начинается путь от \\(a\\), а последующие буквы \\(l,r\\) показывают левые и правые повороты вдоль пути. поворот \\(\\rho\\) циклически меняет первую букву \\(b\\to c\\to d\\to b\\), а отражение \\(\\sigma\\) устроено так, что после подходящего поворота оно сокращает расстояние до \\(a\\) на один. поэтому индукцией по длине слова любую вершину можно перевести в \\(a\\); действие допустимой группы на вершинах транзитивно. теперь достаточно посчитать допустимые автоморфизмы, фиксирующие \\(a\\). очевидно, \\(1,\\rho,\\rho^2\\) фиксируют \\(a\\). любое другое сокращённое слово в порождающих можно записать как \\(\\rho^{i_0}\\sigma\\rho^{i_1}\\sigma\\cdots\\sigma\\rho^{i_k}\\), где внутри стоят только ненулевые степени \\(\\rho\\). применяя такое слово справа налево к \\(a\\), перво… sums-2012-p8-regular-tree-allowable-automorphisms tri dopustimyh avtomorfizma 3-regulyarnogo dereva mezhdu dvumya vershinami, sums 2012/8 trees graph_symmetry induction minimal_counterexample goal_counting 2012 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2012.pdf problem_and_solution src-sums-2012-p8-official sums sums zadacha competition 2012 zadacha 8, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami sums2012 with_solution ? sums zadacha competition 2012 zadacha 8, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami stmt-original uslovie source_verified pust \\(t\\) - beskonechnoe 3-regulyarnoe derevo. v fiksirovannom ploskom risunke zadany dva avtomorfizma: otrazhenie \\(\\sigma\\) i povorot \\(\\rho\\), kotoryy fiksiruet odnu vershinu \\(a\\) i tsiklicheski perestavlyaet tri sosednih napravleniya. dopustimymi nazyvayutsya avtomorfizmy, kotorye mozhno poluchit posledovatelnym primeneniem \\(\\rho\\) i \\(\\sigma\\). dokazhite, chto dlya lyubyh dvuh vershin \\(v\\) i \\(w\\) dereva \\(t\\) suschestvuet rovno tri dopustimyh avtomorfizma, perevodyaschih \\(v\\) v \\(w\\). tree degree idea-regular-tree-turn-words vershiny kodiruyutsya pervym napravleniem i povorotami nalevo/napravo ot kornya \\(a\\) k lyuboy drugoy vershine idet edinstvennyy put. ego mozhno zapisat kak pervuyu bukvu \\(b,c,d\\), a zatem stroku iz povorotov \\(l,r\\). povorot menyaet pervuyu bukvu, a otrazhenie posle privedeniya pervoy bukvy k \\(b\\) umenshaet dlinu slova. trees graph_symmetry induction source_verified idea-root-stabilizer-three stabilizator kornya sostoit tolko iz treh povorotov posle sokrascheniya slov v porozhdayuschih \\(\\rho,\\sigma\\) vsyakiy netrivialnyy element, soderzhaschiy \\(\\sigma\\), perevodit koren v vershinu s nepustym slovom. poetomu koren fiksiruyut tolko \\(1,\\rho,\\rho^2\\). graph_symmetry minimal_counterexample source_verified sol-official-word-action deystvie na slovah vershin source_verified induction zafiksiruem koren \\(a\\) i oboznachim ego sosedey \\(b,c,d\\). lyubaya drugaya vershina kodiruetsya slovom: pervaya bukva pokazyvaet, cherez kakogo iz \\(b,c,d\\) nachinaetsya put ot \\(a\\), a posleduyuschie bukvy \\(l,r\\) pokazyvayut levye i pravye povoroty vdol puti. povorot \\(\\rho\\) tsiklicheski menyaet pervuyu bukvu \\(b\\to c\\to d\\to b\\), a otrazhenie \\(\\sigma\\) ustroeno tak, chto posle podhodyaschego povorota ono sokraschaet rasstoyanie do \\(a\\) na odin. poetomu induktsiey po dline slova lyubuyu vershinu mozhno perevesti v \\(a\\); deystvie dopustimoy gruppy na vershinah tranzitivno. teper dostatochno poschitat dopustimye avtomorfizmy, fiksiruyuschie \\(a\\). ochevidno, \\(1,\\rho,\\rho^2\\) fiksiruyut \\(a\\). lyuboe drugoe sokraschennoe slovo v porozhdayuschih mozhno zapisat kak \\(\\rho^{i_0}\\sigma\\rho^{i_1}\\sigma\\cdots\\sigma\\rho^{i_k}\\), gde vnutri stoyat tolko nenulevye stepeni \\(\\rho\\). primenyaya takoe slovo sprava nalevo k \\(a\\), pervo…","source_keys":["sums"]}
{"id":"sums-2014-p6-positive-labels-dynkin-trees","title":"Положительные разметки графа с суммой соседей 2f(v)-1, SUMS 2014/6","path":"data\\problems\\sums\\sums-2014-p6-positive-labels-dynkin-trees.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/sums/sums-2014-p6-positive-labels-dynkin-trees.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sums-2014-p6-positive-labels-dynkin-trees","source_key":"sums","source_label":"SUMS","source_titles":["SUMS задача Competition 2014 задача 6, официальные PDF с условиями и решениями"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","graph_symmetry","extremal_choice","induction","goal_classification"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Полная классификация конечных графов с жёсткой линейной разметкой; решение фактически выводит конечные диаграммы Дынкина типов A, D, E6 и E8.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Для каких связных конечных простых графов можно назначить каждой вершине \\(v\\) положительное целое число \\(f(v)\\) так, чтобы для каждой вершины \\(v\\) сумма меток всех соседних с ней вершин была равна \\(2f(v)-1\\)?","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-dynkin-classification","title":"Классификация через минимальную метку и ветви","status":"source_verified","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть такая разметка существует. Сначала граф не содержит циклов: на цикле возьмём вершину с минимальной меткой; две её циклические соседки дают сумму не меньше \\(2f(v)\\), а требуется \\(2f(v)-1\\). Значит граф - дерево. В дереве не может быть двух вершин степени хотя бы 3: на пути между ними минимум меток достигается у конца, а затем условие в ветвящейся вершине снова заставляет сумму соседей быть больше \\(2f(v)-1\\). Не может быть и вершины степени хотя бы 4, поскольку каждый её сосед имеет метку больше \\(f(v)/2\\), и сумма четырёх соседей превысила бы \\(2f(v)-1\\). Поэтому дерево либо путь, либо имеет ровно одну вершину степени 3. Для пути с конечной меткой \\(a\\) на конце рекурсия вдоль пути даёт \\(f(v_k)=ka-\\binom k2\\). Условие на другом конце вынуждает число вершин быть \\(2a\\); это серия путей \\(A_{2a}\\). Если есть одна вершина степени 3, пусть длины ветвей равны \\(k\\ge \\ell\\ge m\\). Рек…"}],"relations":[],"search_text":"sums-2014-p6-positive-labels-dynkin-trees положительные разметки графа с суммой соседей 2f(v)-1, sums 2014/6 trees graph_symmetry extremal_choice induction goal_classification 2014 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2014.pdf problem_and_solution src-sums-2014-p6-official sums sums задача competition 2014 задача 6, официальные pdf с условиями и решениями sums2014 with_solution ? sums задача competition 2014 задача 6, официальные pdf с условиями и решениями stmt-original условие source_verified для каких связных конечных простых графов можно назначить каждой вершине \\(v\\) положительное целое число \\(f(v)\\) так, чтобы для каждой вершины \\(v\\) сумма меток всех соседних с ней вершин была равна \\(2f(v)-1\\)? simple_graph connected_graph degree idea-minimum-label-forces-tree минимальная метка запрещает циклы и большие ветвления на цикле вершина с минимальной меткой имела бы двух соседей с суммой не меньше \\(2f(v)\\), что противоречит \\(2f(v)-1\\). аналогично две ветвящиеся вершины или вершина степени хотя бы 4 дают слишком большую сумму соседей. trees extremal_choice goal_classification source_verified idea-branch-length-equations оставшиеся деревья классифицируются рекурсиями вдоль ветвей если дерево является путём, метки вдоль пути выражаются как \\(ka-\\binom k2\\), и конечное условие даёт путь чётной длины. если есть одна вершина степени 3, длины трёх ветвей удовлетворяют диофантовым ограничениям, откуда остаются серии типа \\(d\\) и исключительные случаи \\(e_6,e_8\\). induction goal_classification source_verified sol-official-dynkin-classification классификация через минимальную метку и ветви source_verified extremal_choice пусть такая разметка существует. сначала граф не содержит циклов: на цикле возьмём вершину с минимальной меткой; две её циклические соседки дают сумму не меньше \\(2f(v)\\), а требуется \\(2f(v)-1\\). значит граф - дерево. в дереве не может быть двух вершин степени хотя бы 3: на пути между ними минимум меток достигается у конца, а затем условие в ветвящейся вершине снова заставляет сумму соседей быть больше \\(2f(v)-1\\). не может быть и вершины степени хотя бы 4, поскольку каждый её сосед имеет метку больше \\(f(v)/2\\), и сумма четырёх соседей превысила бы \\(2f(v)-1\\). поэтому дерево либо путь, либо имеет ровно одну вершину степени 3. для пути с конечной меткой \\(a\\) на конце рекурсия вдоль пути даёт \\(f(v_k)=ka-\\binom k2\\). условие на другом конце вынуждает число вершин быть \\(2a\\); это серия путей \\(a_{2a}\\). если есть одна вершина степени 3, пусть длины ветвей равны \\(k\\ge \\ell\\ge m\\). рек… sums-2014-p6-positive-labels-dynkin-trees polozhitelnye razmetki grafa s summoy sosedey 2f(v)-1, sums 2014/6 trees graph_symmetry extremal_choice induction goal_classification 2014 https://ssh.maths.usyd.edu.au/u/sumscomp/sols2014.pdf problem_and_solution src-sums-2014-p6-official sums sums zadacha competition 2014 zadacha 6, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami sums2014 with_solution ? sums zadacha competition 2014 zadacha 6, ofitsialnye pdf s usloviyami i resheniyami stmt-original uslovie source_verified dlya kakih svyaznyh konechnyh prostyh grafov mozhno naznachit kazhdoy vershine \\(v\\) polozhitelnoe tseloe chislo \\(f(v)\\) tak, chtoby dlya kazhdoy vershiny \\(v\\) summa metok vseh sosednih s ney vershin byla ravna \\(2f(v)-1\\)? simple_graph connected_graph degree idea-minimum-label-forces-tree minimalnaya metka zapreschaet tsikly i bolshie vetvleniya na tsikle vershina s minimalnoy metkoy imela by dvuh sosedey s summoy ne menshe \\(2f(v)\\), chto protivorechit \\(2f(v)-1\\). analogichno dve vetvyaschiesya vershiny ili vershina stepeni hotya by 4 dayut slishkom bolshuyu summu sosedey. trees extremal_choice goal_classification source_verified idea-branch-length-equations ostavshiesya derevya klassifitsiruyutsya rekursiyami vdol vetvey esli derevo yavlyaetsya putem, metki vdol puti vyrazhayutsya kak \\(ka-\\binom k2\\), i konechnoe uslovie daet put chetnoy dliny. esli est odna vershina stepeni 3, dliny treh vetvey udovletvoryayut diofantovym ogranicheniyam, otkuda ostayutsya serii tipa \\(d\\) i isklyuchitelnye sluchai \\(e_6,e_8\\). induction goal_classification source_verified sol-official-dynkin-classification klassifikatsiya cherez minimalnuyu metku i vetvi source_verified extremal_choice pust takaya razmetka suschestvuet. snachala graf ne soderzhit tsiklov: na tsikle vozmem vershinu s minimalnoy metkoy; dve ee tsiklicheskie sosedki dayut summu ne menshe \\(2f(v)\\), a trebuetsya \\(2f(v)-1\\). znachit graf - derevo. v dereve ne mozhet byt dvuh vershin stepeni hotya by 3: na puti mezhdu nimi minimum metok dostigaetsya u kontsa, a zatem uslovie v vetvyascheysya vershine snova zastavlyaet summu sosedey byt bolshe \\(2f(v)-1\\). ne mozhet byt i vershiny stepeni hotya by 4, poskolku kazhdyy ee sosed imeet metku bolshe \\(f(v)/2\\), i summa chetyreh sosedey prevysila by \\(2f(v)-1\\). poetomu derevo libo put, libo imeet rovno odnu vershinu stepeni 3. dlya puti s konechnoy metkoy \\(a\\) na kontse rekursiya vdol puti daet \\(f(v_k)=ka-\\binom k2\\). uslovie na drugom kontse vynuzhdaet chislo vershin byt \\(2a\\); eto seriya putey \\(a_{2a}\\). esli est odna vershina stepeni 3, pust dliny vetvey ravny \\(k\\ge \\ell\\ge m\\). rek…","source_keys":["sums"]}