{"id":"spbmo-1992-11-p55-two-connected-halves","title":"Разбиение дважды связного графа на две связные половины, СПбМО 1992","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1992-11-p55-two-connected-halves.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1992-11-p55-two-connected-halves.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1992-11-p55-two-connected-halves","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1992, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1992","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","construction","goal_existence","graph_model"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Задача городского уровня СПбМО для 11 класса: условие быстро переводится в 2-связность, но решение требует заметить или доказать ушное разложение и получить порядок со связными префиксами и суффиксами.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"В стране 100 городов, соединенных друг с другом дорогами так, что даже если любой город \\(A\\) закроет все дороги, выходящие из него, то и в этом случае из любого города можно будет проехать в любой другой (не считая, конечно, самого города \\(A\\)). Докажите, что страну можно разбить на два суверенных государства, по 50 городов в каждом, так, что в обоих государствах из любого города можно проехать в любой другой.","definition_ids":["connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разбиение дважды связного графа на две связные половины","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой неориентированный граф на 100 вершинах, причём после удаления любой одной вершины оставшийся граф связен. Докажите, что множество вершин \\(G\\) можно разбить на два множества по 50 вершин так, что оба индуцированных подграфа на этих множествах связны.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","graph_cut"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ear-ordering","title":"Порядок вершин со связными началом и концом","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов: вершины - города, рёбра - дороги. По условию после удаления любой вершины граф остаётся связным. Докажем более общее утверждение: в любом таком графе можно занумеровать вершины \\(v_1,\\ldots,v_n\\) так, что для каждого \\(k\\) подграфы на множествах \\(\\{v_1,\\ldots,v_k\\}\\) и \\(\\{v_k,\\ldots,v_n\\}\\) связны. Сначала напомним и докажем нужный факт. Такой граф имеет ушное разложение: его можно получить из некоторого цикла, последовательно добавляя пути, концы которых уже построены, а внутренние вершины ещё не построены. В самом деле, начальный цикл есть, потому что граф связен и не имеет разделяющей вершины. Возьмём максимальный уже построенный подграф \\(H\\) такого вида. Если \\(H\\ne G\\), то у некоторой компоненты графа \\(G-H\\) есть сосед в \\(H\\). У неё не может быть только одна вершина-сосед в \\(H\\), иначе эта вершина отделяла бы компоненту от остального графа. З…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-1992-11-p55-two-connected-halves разбиение дважды связного графа на две связные половины, спбмо 1992 connectivity construction goal_existence graph_model 1992 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1992/spbmo_1992.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1992 src-spbmo-1992-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1992, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1992 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 1992, официальный pdf из архива pdmi stmt-original условие source_verified в стране 100 городов, соединенных друг с другом дорогами так, что даже если любой город \\(a\\) закроет все дороги, выходящие из него, то и в этом случае из любого города можно будет проехать в любой другой (не считая, конечно, самого города \\(a\\)). докажите, что страну можно разбить на два суверенных государства, по 50 городов в каждом, так, что в обоих государствах из любого города можно проехать в любой другой. connected_graph stmt-graph разбиение дважды связного графа на две связные половины ai_checked пусть \\(g\\) — простой неориентированный граф на 100 вершинах, причём после удаления любой одной вершины оставшийся граф связен. докажите, что множество вершин \\(g\\) можно разбить на два множества по 50 вершин так, что оба индуцированных подграфа на этих множествах связны. simple_graph connected_graph graph_cut idea-two-connected-road-graph условие означает 2-связность дорожного графа города являются вершинами, дороги - рёбрами. требование, что после закрытия любого города остальные города по-прежнему связаны дорогами, ровно говорит об отсутствии разделяющей вершины. graph_model connectivity ai_checked idea-ear-ordering-prefix-suffix ушное разложение даёт порядок со связными префиксами и суффиксами 2-связный граф можно построить из цикла, последовательно добавляя пути между уже построенными вершинами. если при каждом добавлении вставлять новые вершины пути сразу после более раннего конца, сохраняется порядок, в котором каждый начальный и каждый конечный отрезок вершин порождает связный подграф. connectivity construction ai_checked sol-ear-ordering порядок вершин со связными началом и концом ai_checked simple_graph connected_graph path induction переведём условие на язык графов: вершины - города, рёбра - дороги. по условию после удаления любой вершины граф остаётся связным. докажем более общее утверждение: в любом таком графе можно занумеровать вершины \\(v_1,\\ldots,v_n\\) так, что для каждого \\(k\\) подграфы на множествах \\(\\{v_1,\\ldots,v_k\\}\\) и \\(\\{v_k,\\ldots,v_n\\}\\) связны. сначала напомним и докажем нужный факт. такой граф имеет ушное разложение: его можно получить из некоторого цикла, последовательно добавляя пути, концы которых уже построены, а внутренние вершины ещё не построены. в самом деле, начальный цикл есть, потому что граф связен и не имеет разделяющей вершины. возьмём максимальный уже построенный подграф \\(h\\) такого вида. если \\(h\\ne g\\), то у некоторой компоненты графа \\(g-h\\) есть сосед в \\(h\\). у неё не может быть только одна вершина-сосед в \\(h\\), иначе эта вершина отделяла бы компоненту от остального графа. з… spbmo-1992-11-p55-two-connected-halves razbienie dvazhdy svyaznogo grafa na dve svyaznye poloviny, spbmo 1992 connectivity construction goal_existence graph_model 1992 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1992/spbmo_1992.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1992 src-spbmo-1992-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1992, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1992 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1992, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original uslovie source_verified v strane 100 gorodov, soedinennyh drug s drugom dorogami tak, chto dazhe esli lyuboy gorod \\(a\\) zakroet vse dorogi, vyhodyaschie iz nego, to i v etom sluchae iz lyubogo goroda mozhno budet proehat v lyuboy drugoy (ne schitaya, konechno, samogo goroda \\(a\\)). dokazhite, chto stranu mozhno razbit na dva suverennyh gosudarstva, po 50 gorodov v kazhdom, tak, chto v oboih gosudarstvah iz lyubogo goroda mozhno proehat v lyuboy drugoy. connected_graph stmt-graph razbienie dvazhdy svyaznogo grafa na dve svyaznye poloviny ai_checked pust \\(g\\) — prostoy neorientirovannyy graf na 100 vershinah, prichem posle udaleniya lyuboy odnoy vershiny ostavshiysya graf svyazen. dokazhite, chto mnozhestvo vershin \\(g\\) mozhno razbit na dva mnozhestva po 50 vershin tak, chto oba indutsirovannyh podgrafa na etih mnozhestvah svyazny. simple_graph connected_graph graph_cut idea-two-connected-road-graph uslovie oznachaet 2-svyaznost dorozhnogo grafa goroda yavlyayutsya vershinami, dorogi - rebrami. trebovanie, chto posle zakrytiya lyubogo goroda ostalnye goroda po-prezhnemu svyazany dorogami, rovno govorit ob otsutstvii razdelyayuschey vershiny. graph_model connectivity ai_checked idea-ear-ordering-prefix-suffix ushnoe razlozhenie daet poryadok so svyaznymi prefiksami i suffiksami 2-svyaznyy graf mozhno postroit iz tsikla, posledovatelno dobavlyaya puti mezhdu uzhe postroennymi vershinami. esli pri kazhdom dobavlenii vstavlyat novye vershiny puti srazu posle bolee rannego kontsa, sohranyaetsya poryadok, v kotorom kazhdyy nachalnyy i kazhdyy konechnyy otrezok vershin porozhdaet svyaznyy podgraf. connectivity construction ai_checked sol-ear-ordering poryadok vershin so svyaznymi nachalom i kontsom ai_checked simple_graph connected_graph path induction perevedem uslovie na yazyk grafov: vershiny - goroda, rebra - dorogi. po usloviyu posle udaleniya lyuboy vershiny graf ostaetsya svyaznym. dokazhem bolee obschee utverzhdenie: v lyubom takom grafe mozhno zanumerovat vershiny \\(v_1,\\ldots,v_n\\) tak, chto dlya kazhdogo \\(k\\) podgrafy na mnozhestvah \\(\\{v_1,\\ldots,v_k\\}\\) i \\(\\{v_k,\\ldots,v_n\\}\\) svyazny. snachala napomnim i dokazhem nuzhnyy fakt. takoy graf imeet ushnoe razlozhenie: ego mozhno poluchit iz nekotorogo tsikla, posledovatelno dobavlyaya puti, kontsy kotoryh uzhe postroeny, a vnutrennie vershiny esche ne postroeny. v samom dele, nachalnyy tsikl est, potomu chto graf svyazen i ne imeet razdelyayuschey vershiny. vozmem maksimalnyy uzhe postroennyy podgraf \\(h\\) takogo vida. esli \\(h\\ne g\\), to u nekotoroy komponenty grafa \\(g-h\\) est sosed v \\(h\\). u nee ne mozhet byt tolko odna vershina-sosed v \\(h\\), inache eta vershina otdelyala by komponentu ot ostalnogo grafa. z…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-1993-7-p12-unsociable-eccentrics","title":"Малообщительные и чудаки в графе знакомств, СПбМО 1993","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1993-7-p12-unsociable-eccentrics.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1993-7-p12-unsociable-eccentrics.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1993-7-p12-unsociable-eccentrics","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1993, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1993","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["degree_counting","cut_counting","double_counting","graph_model","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"СПбМО 1993, 7 класс, задача 12; короткая задача на граф знакомств и счет степеней.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"Назовем человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовем человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Эквивалентная графовая формулировка","status":"ai_checked","text":"В простом графе знакомств назовем вершину малой, если ее степень меньше 10, и особой, если все ее соседи малые. Докажите, что число особых вершин не превосходит числа малых вершин.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-counting","title":"Подсчет ребер между двумя разностями множеств","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","graph_cut"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф знакомств: вершины - люди, ребра - пары знакомых. Пусть L - множество малообщительных людей, то есть вершин степени меньше 10, а C - множество чудаков, то есть вершин, все соседи которых лежат в L. Достаточно сравнить части C\\L и L\\C. Возьмем вершину v из C\\L. Она не малообщительна, значит имеет как минимум 10 соседей. Так как v - чудак, все эти соседи лежат в L. Более того, ни один из них не лежит в C: если u из L был бы чудаком и был знаком с v, то среди знакомых u оказался бы немалообщительный человек v, противоречие. Значит все соседи v лежат в L\\C. Поэтому число ребер между C\\L и L\\C не меньше 10|C\\L|. С другой стороны, каждая вершина из L\\C малообщительна, значит имеет меньше 10 соседей всего, а тем более меньше 10 соседей в C\\L. Поэтому тех же ребер меньше 10|L\\C|. Получаем |C\\L| < |L\\C|, если C\\L непусто; если C\\L пусто, неравенство очевидно. В обоих случаях |C|…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2019-6-8-p6-spbmo-1993-7-p12-social-local-degree-classes","neighbor_id":"spbmo-2019-6-8-p6-company-no-sociable-shy","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-1993-7-p12-unsociable-eccentrics малообщительные и чудаки в графе знакомств, спбмо 1993 degree_counting cut_counting double_counting graph_model goal_proof 1993 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1993/spbmo_1993.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1993 src-spbmo-1993-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1993, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1993 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 1993, официальный pdf из архива pdmi stmt-original оригинальная формулировка source_verified назовем человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. назовем человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных. stmt-graph эквивалентная графовая формулировка ai_checked в простом графе знакомств назовем вершину малой, если ее степень меньше 10, и особой, если все ее соседи малые. докажите, что число особых вершин не превосходит числа малых вершин. simple_graph degree idea-count-cross-edges считать ребра между немалыми чудаками и малыми не-чудаками если чудак не является малообщительным, то у него хотя бы 10 знакомых, и все они малообщительны. при этом такой знакомый не может сам быть чудаком: он знаком с немалообщительным человеком. поэтому все эти ребра идут в множество малообщительных не-чудаков. degree_counting cut_counting graph_model ai_checked sol-degree-counting подсчет ребер между двумя разностями множеств ai_checked simple_graph degree graph_cut double_counting рассмотрим граф знакомств: вершины - люди, ребра - пары знакомых. пусть l - множество малообщительных людей, то есть вершин степени меньше 10, а c - множество чудаков, то есть вершин, все соседи которых лежат в l. достаточно сравнить части c\\l и l\\c. возьмем вершину v из c\\l. она не малообщительна, значит имеет как минимум 10 соседей. так как v - чудак, все эти соседи лежат в l. более того, ни один из них не лежит в c: если u из l был бы чудаком и был знаком с v, то среди знакомых u оказался бы немалообщительный человек v, противоречие. значит все соседи v лежат в l\\c. поэтому число ребер между c\\l и l\\c не меньше 10|c\\l|. с другой стороны, каждая вершина из l\\c малообщительна, значит имеет меньше 10 соседей всего, а тем более меньше 10 соседей в c\\l. поэтому тех же ребер меньше 10|l\\c|. получаем |c\\l| < |l\\c|, если c\\l непусто; если c\\l пусто, неравенство очевидно. в обоих случаях |c|… spbmo-1993-7-p12-unsociable-eccentrics maloobschitelnye i chudaki v grafe znakomstv, spbmo 1993 degree_counting cut_counting double_counting graph_model goal_proof 1993 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1993/spbmo_1993.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1993 src-spbmo-1993-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1993, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1993 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1993, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original originalnaya formulirovka source_verified nazovem cheloveka maloobschitelnym, esli u nego menee 10 znakomyh. nazovem cheloveka chudakom, esli vse ego znakomye maloobschitelny. dokazhite, chto kolichestvo chudakov ne bolshe kolichestva maloobschitelnyh. stmt-graph ekvivalentnaya grafovaya formulirovka ai_checked v prostom grafe znakomstv nazovem vershinu maloy, esli ee stepen menshe 10, i osoboy, esli vse ee sosedi malye. dokazhite, chto chislo osobyh vershin ne prevoshodit chisla malyh vershin. simple_graph degree idea-count-cross-edges schitat rebra mezhdu nemalymi chudakami i malymi ne-chudakami esli chudak ne yavlyaetsya maloobschitelnym, to u nego hotya by 10 znakomyh, i vse oni maloobschitelny. pri etom takoy znakomyy ne mozhet sam byt chudakom: on znakom s nemaloobschitelnym chelovekom. poetomu vse eti rebra idut v mnozhestvo maloobschitelnyh ne-chudakov. degree_counting cut_counting graph_model ai_checked sol-degree-counting podschet reber mezhdu dvumya raznostyami mnozhestv ai_checked simple_graph degree graph_cut double_counting rassmotrim graf znakomstv: vershiny - lyudi, rebra - pary znakomyh. pust l - mnozhestvo maloobschitelnyh lyudey, to est vershin stepeni menshe 10, a c - mnozhestvo chudakov, to est vershin, vse sosedi kotoryh lezhat v l. dostatochno sravnit chasti c\\l i l\\c. vozmem vershinu v iz c\\l. ona ne maloobschitelna, znachit imeet kak minimum 10 sosedey. tak kak v - chudak, vse eti sosedi lezhat v l. bolee togo, ni odin iz nih ne lezhit v c: esli u iz l byl by chudakom i byl znakom s v, to sredi znakomyh u okazalsya by nemaloobschitelnyy chelovek v, protivorechie. znachit vse sosedi v lezhat v l\\c. poetomu chislo reber mezhdu c\\l i l\\c ne menshe 10|c\\l|. s drugoy storony, kazhdaya vershina iz l\\c maloobschitelna, znachit imeet menshe 10 sosedey vsego, a tem bolee menshe 10 sosedey v c\\l. poetomu teh zhe reber menshe 10|l\\c|. poluchaem |c\\l| < |l\\c|, esli c\\l nepusto; esli c\\l pusto, neravenstvo ochevidno. v oboih sluchayah |c|…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-1996-11-p63-metro-distant-stations","title":"Максимум попарно далеких станций метро при 120 линиях, СПбМО 1996","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1996-11-p63-metro-distant-stations.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1996-11-p63-metro-distant-stations.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1996-11-p63-metro-distant-stations","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1996, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","construction","extremal_choice","goal_exact_bound","graph_model","pigeonhole_principle"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"СПбМО 1996, 11 класс. После перевода на граф пересадок решение короткое, но требуется аккуратно учесть, что станции могут лежать на нескольких линиях, и построить точный экстремальный пример.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"В городе N. 120 линий метро, причём с любой станции можно доехать до любой другой, сделав не более 15 пересадок. Будем говорить, что две станции находятся далеко друг от друга, если для того, чтобы добраться с одной на другую, требуется не менее 5 пересадок. Какое наибольшее количество попарно далеких друг от друга станций может быть в этом городе?","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-disjoint-balls-and-tree-construction","title":"Ответ 40 через непересекающиеся шары радиуса 2","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","tree","distance"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(40\\). Построим граф пересадок линий: его вершины — линии метро, а две вершины соединены ребром, если соответствующие линии имеют общую станцию, где можно пересесть. Если станция лежит на нескольких линиях, то при оценке расстояния от нее до другой станции можно выбрать любую из этих линий; число пересадок равно минимальному расстоянию между соответствующими множествами линий. Докажем, что попарно далеких станций не больше \\(40\\). Пусть выбраны \\(m\\) попарно далеких станций. Для каждой из них выберем одну линию, проходящую через эту станцию. Для двух разных выбранных станций любые их линии находятся на расстоянии не меньше \\(5\\), иначе между самими станциями можно было бы доехать менее чем с \\(5\\) пересадками. Значит, выбранные \\(m\\) линий попарно удалены в графе пересадок хотя бы на \\(5\\). Рассмотрим вокруг каждой выбранной линии замкнутый шар радиуса \\(2\\), то есть все линии н…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2019-metro-path-cover-spbmo-1996-metro-tree-extremal","neighbor_id":"spbmo-2019-9-11-p2-metro-cover-by-simple-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-1996-11-p63-metro-distant-stations максимум попарно далеких станций метро при 120 линиях, спбмо 1996 connectivity construction extremal_choice goal_exact_bound graph_model pigeonhole_principle 1996 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1996/spbmo_1996.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1996 src-spbmo-1996-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1996, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1996 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 1996, официальный pdf из архива pdmi stmt-original оригинальная формулировка source_verified в городе n. 120 линий метро, причём с любой станции можно доехать до любой другой, сделав не более 15 пересадок. будем говорить, что две станции находятся далеко друг от друга, если для того, чтобы добраться с одной на другую, требуется не менее 5 пересадок. какое наибольшее количество попарно далеких друг от друга станций может быть в этом городе? idea-transfer-graph-packing далекие станции дают упаковку линий у каждой выбранной станции можно выбрать одну проходящую через нее линию. если две станции требуют не менее 5 пересадок, то любые выбранные для них линии находятся в графе пересадок на расстоянии не меньше 5. graph_model connectivity ai_checked idea-disjoint-radius-two-balls шары радиуса 2 не пересекаются если выбранные линии попарно удалены хотя бы на 5, то их замкнутые шары радиуса 2 в графе пересадок попарно не пересекаются. при наличии хотя бы двух выбранных станций каждый такой шар содержит минимум три линии: саму линию и две первые линии на кратчайшем пути к другой выбранной линии. extremal_choice pigeonhole_principle ai_checked idea-one-short-arm-and-many-length-three-arms экстремальная конструкция почти из 40 трехзвенных лучей граница достигается деревом пересадок: один центральный узел, один луч длины 2 и 39 лучей длины 3. концы этих 40 лучей попарно находятся на расстоянии 5 или 6, а всего использовано ровно 120 линий. construction goal_exact_bound ai_checked sol-disjoint-balls-and-tree-construction ответ 40 через непересекающиеся шары радиуса 2 ai_checked connected_graph path tree distance extremal_choice pigeonhole_principle ответ: \\(40\\). построим граф пересадок линий: его вершины — линии метро, а две вершины соединены ребром, если соответствующие линии имеют общую станцию, где можно пересесть. если станция лежит на нескольких линиях, то при оценке расстояния от нее до другой станции можно выбрать любую из этих линий; число пересадок равно минимальному расстоянию между соответствующими множествами линий. докажем, что попарно далеких станций не больше \\(40\\). пусть выбраны \\(m\\) попарно далеких станций. для каждой из них выберем одну линию, проходящую через эту станцию. для двух разных выбранных станций любые их линии находятся на расстоянии не меньше \\(5\\), иначе между самими станциями можно было бы доехать менее чем с \\(5\\) пересадками. значит, выбранные \\(m\\) линий попарно удалены в графе пересадок хотя бы на \\(5\\). рассмотрим вокруг каждой выбранной линии замкнутый шар радиуса \\(2\\), то есть все линии н… spbmo-1996-11-p63-metro-distant-stations maksimum poparno dalekih stantsiy metro pri 120 liniyah, spbmo 1996 connectivity construction extremal_choice goal_exact_bound graph_model pigeonhole_principle 1996 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1996/spbmo_1996.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1996 src-spbmo-1996-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1996, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1996 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1996, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original originalnaya formulirovka source_verified v gorode n. 120 liniy metro, prichem s lyuboy stantsii mozhno doehat do lyuboy drugoy, sdelav ne bolee 15 peresadok. budem govorit, chto dve stantsii nahodyatsya daleko drug ot druga, esli dlya togo, chtoby dobratsya s odnoy na druguyu, trebuetsya ne menee 5 peresadok. kakoe naibolshee kolichestvo poparno dalekih drug ot druga stantsiy mozhet byt v etom gorode? idea-transfer-graph-packing dalekie stantsii dayut upakovku liniy u kazhdoy vybrannoy stantsii mozhno vybrat odnu prohodyaschuyu cherez nee liniyu. esli dve stantsii trebuyut ne menee 5 peresadok, to lyubye vybrannye dlya nih linii nahodyatsya v grafe peresadok na rasstoyanii ne menshe 5. graph_model connectivity ai_checked idea-disjoint-radius-two-balls shary radiusa 2 ne peresekayutsya esli vybrannye linii poparno udaleny hotya by na 5, to ih zamknutye shary radiusa 2 v grafe peresadok poparno ne peresekayutsya. pri nalichii hotya by dvuh vybrannyh stantsiy kazhdyy takoy shar soderzhit minimum tri linii: samu liniyu i dve pervye linii na kratchayshem puti k drugoy vybrannoy linii. extremal_choice pigeonhole_principle ai_checked idea-one-short-arm-and-many-length-three-arms ekstremalnaya konstruktsiya pochti iz 40 trehzvennyh luchey granitsa dostigaetsya derevom peresadok: odin tsentralnyy uzel, odin luch dliny 2 i 39 luchey dliny 3. kontsy etih 40 luchey poparno nahodyatsya na rasstoyanii 5 ili 6, a vsego ispolzovano rovno 120 liniy. construction goal_exact_bound ai_checked sol-disjoint-balls-and-tree-construction otvet 40 cherez neperesekayuschiesya shary radiusa 2 ai_checked connected_graph path tree distance extremal_choice pigeonhole_principle otvet: \\(40\\). postroim graf peresadok liniy: ego vershiny — linii metro, a dve vershiny soedineny rebrom, esli sootvetstvuyuschie linii imeyut obschuyu stantsiyu, gde mozhno peresest. esli stantsiya lezhit na neskolkih liniyah, to pri otsenke rasstoyaniya ot nee do drugoy stantsii mozhno vybrat lyubuyu iz etih liniy; chislo peresadok ravno minimalnomu rasstoyaniyu mezhdu sootvetstvuyuschimi mnozhestvami liniy. dokazhem, chto poparno dalekih stantsiy ne bolshe \\(40\\). pust vybrany \\(m\\) poparno dalekih stantsiy. dlya kazhdoy iz nih vyberem odnu liniyu, prohodyaschuyu cherez etu stantsiyu. dlya dvuh raznyh vybrannyh stantsiy lyubye ih linii nahodyatsya na rasstoyanii ne menshe \\(5\\), inache mezhdu samimi stantsiyami mozhno bylo by doehat menee chem s \\(5\\) peresadkami. znachit, vybrannye \\(m\\) liniy poparno udaleny v grafe peresadok hotya by na \\(5\\). rassmotrim vokrug kazhdoy vybrannoy linii zamknutyy shar radiusa \\(2\\), to est vse linii n…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-1996-9-p46-strongly-connected-tournament-orientations","title":"Больше половины ориентаций полного графа сильно связны, СПбМО 1996","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1996-9-p46-strongly-connected-tournament-orientations.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1996-9-p46-strongly-connected-tournament-orientations.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1996-9-p46-strongly-connected-tournament-orientations","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1996, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["tournaments","connectivity","cut_counting","goal_counting","graph_model"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"СПбМО 1996, отборочный тур, 9 класс, задача 46; сильная связность турниров и счет плохих ориентаций.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"В стране 2000 городов, каждые два из которых соединены дорогой. Строительные организации представили все возможные проекты введения одностороннего движения на всех дорогах. Министерство транспорта отвергло все проекты, не обеспечивавшие возможности добраться из любого города в любой другой. Докажите, что все же осталось более половины проектов.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Больше половины ориентаций полного графа сильно связны, СПбМО 1996","status":"ai_checked","text":"Докажите, что среди всех ориентаций ребер полного графа на 2000 вершинах более половины являются сильно связными ориентированными графами.","definition_ids":["complete_graph","directed_graph","tournament","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-count-bad-orientations","title":"Оценка числа несильно связных турниров","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","directed_graph","tournament","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(n=2000\\). Каждый проект одностороннего движения - это ориентация полного графа \\(K_n\\), то есть турнир. Всего проектов \\(2^{n(n-1)/2}\\). Оценим число плохих проектов, в которых не из каждого города можно добраться в каждый. В несильно связном ориентированном графе рассмотрим конденсацию сильных компонент. Это ациклический ориентированный граф; для турнира между любыми двумя компонентами все ребра направлены в одну сторону, поэтому есть начальная сильная компонента S, из которой все ребра в дополнение \\(V\\setminus S\\) направлены наружу. Множество S непусто и не равно V. Если \\(|S|=k\\), то все \\(k(n-k)\\) ребер между S и \\(V\\setminus S\\) имеют заранее заданное направление. Остальные ребра можно ориентировать произвольно. Поэтому доля ориентаций, для которых данное S может быть такой начальной частью, равна \\(2^{-k(n-k)}\\). По объединению по всем S доля плохих проектов не превосходи…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-1996-9-p46-yumt-2011-grand-round4-problem9","neighbor_id":"yumt-2011-grand-round4-problem9","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-1996-9-p46-usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering","neighbor_id":"usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-1996-9-p46-strongly-connected-tournament-orientations больше половины ориентаций полного графа сильно связны, спбмо 1996 tournaments connectivity cut_counting goal_counting graph_model 1996 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1996/spbmo_1996.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1996 src-spbmo-1996-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1996, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1996 ? санкт-петербургская математическая олимпиада 1996, официальный pdf из архива pdmi stmt-original оригинальная формулировка source_verified в стране 2000 городов, каждые два из которых соединены дорогой. строительные организации представили все возможные проекты введения одностороннего движения на всех дорогах. министерство транспорта отвергло все проекты, не обеспечивавшие возможности добраться из любого города в любой другой. докажите, что все же осталось более половины проектов. stmt-graph больше половины ориентаций полного графа сильно связны, спбмо 1996 ai_checked докажите, что среди всех ориентаций ребер полного графа на 2000 вершинах более половины являются сильно связными ориентированными графами. complete_graph directed_graph tournament path idea-source-component-union-bound плохой турнир имеет собственную начальную компоненту если ориентация полного графа не сильно связна, то в конденсации ее сильных компонент есть начальная компонента s, из которой все ребра в дополнение направлены наружу. для фиксированного s это фиксирует |s|(n-|s|) ребер, что делает такие ориентации очень редкими; объединение по всем возможным s дает оценку доли плохих турниров. connectivity tournaments cut_counting ai_checked sol-count-bad-orientations оценка числа несильно связных турниров ai_checked complete_graph directed_graph tournament path extremal_choice пусть \\(n=2000\\). каждый проект одностороннего движения - это ориентация полного графа \\(k_n\\), то есть турнир. всего проектов \\(2^{n(n-1)/2}\\). оценим число плохих проектов, в которых не из каждого города можно добраться в каждый. в несильно связном ориентированном графе рассмотрим конденсацию сильных компонент. это ациклический ориентированный граф; для турнира между любыми двумя компонентами все ребра направлены в одну сторону, поэтому есть начальная сильная компонента s, из которой все ребра в дополнение \\(v\\setminus s\\) направлены наружу. множество s непусто и не равно v. если \\(|s|=k\\), то все \\(k(n-k)\\) ребер между s и \\(v\\setminus s\\) имеют заранее заданное направление. остальные ребра можно ориентировать произвольно. поэтому доля ориентаций, для которых данное s может быть такой начальной частью, равна \\(2^{-k(n-k)}\\). по объединению по всем s доля плохих проектов не превосходи… spbmo-1996-9-p46-strongly-connected-tournament-orientations bolshe poloviny orientatsiy polnogo grafa silno svyazny, spbmo 1996 tournaments connectivity cut_counting goal_counting graph_model 1996 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1996/spbmo_1996.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1996 src-spbmo-1996-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1996, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1996 ? sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1996, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original originalnaya formulirovka source_verified v strane 2000 gorodov, kazhdye dva iz kotoryh soedineny dorogoy. stroitelnye organizatsii predstavili vse vozmozhnye proekty vvedeniya odnostoronnego dvizheniya na vseh dorogah. ministerstvo transporta otverglo vse proekty, ne obespechivavshie vozmozhnosti dobratsya iz lyubogo goroda v lyuboy drugoy. dokazhite, chto vse zhe ostalos bolee poloviny proektov. stmt-graph bolshe poloviny orientatsiy polnogo grafa silno svyazny, spbmo 1996 ai_checked dokazhite, chto sredi vseh orientatsiy reber polnogo grafa na 2000 vershinah bolee poloviny yavlyayutsya silno svyaznymi orientirovannymi grafami. complete_graph directed_graph tournament path idea-source-component-union-bound plohoy turnir imeet sobstvennuyu nachalnuyu komponentu esli orientatsiya polnogo grafa ne silno svyazna, to v kondensatsii ee silnyh komponent est nachalnaya komponenta s, iz kotoroy vse rebra v dopolnenie napravleny naruzhu. dlya fiksirovannogo s eto fiksiruet |s|(n-|s|) reber, chto delaet takie orientatsii ochen redkimi; obedinenie po vsem vozmozhnym s daet otsenku doli plohih turnirov. connectivity tournaments cut_counting ai_checked sol-count-bad-orientations otsenka chisla nesilno svyaznyh turnirov ai_checked complete_graph directed_graph tournament path extremal_choice pust \\(n=2000\\). kazhdyy proekt odnostoronnego dvizheniya - eto orientatsiya polnogo grafa \\(k_n\\), to est turnir. vsego proektov \\(2^{n(n-1)/2}\\). otsenim chislo plohih proektov, v kotoryh ne iz kazhdogo goroda mozhno dobratsya v kazhdyy. v nesilno svyaznom orientirovannom grafe rassmotrim kondensatsiyu silnyh komponent. eto atsiklicheskiy orientirovannyy graf; dlya turnira mezhdu lyubymi dvumya komponentami vse rebra napravleny v odnu storonu, poetomu est nachalnaya silnaya komponenta s, iz kotoroy vse rebra v dopolnenie \\(v\\setminus s\\) napravleny naruzhu. mnozhestvo s nepusto i ne ravno v. esli \\(|s|=k\\), to vse \\(k(n-k)\\) reber mezhdu s i \\(v\\setminus s\\) imeyut zaranee zadannoe napravlenie. ostalnye rebra mozhno orientirovat proizvolno. poetomu dolya orientatsiy, dlya kotoryh dannoe s mozhet byt takoy nachalnoy chastyu, ravna \\(2^{-k(n-k)}\\). po obedineniyu po vsem s dolya plohih proektov ne prevoshodi…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-1997-10-p34-million-common-acquaintance-dominating-set","title":"5000 жителей, знакомых со всеми остальными через общий выбор, СПбМО 1997","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1997-10-p34-million-common-acquaintance-dominating-set.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1997-10-p34-million-common-acquaintance-dominating-set.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1997-10-p34-million-common-acquaintance-dominating-set","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1997, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","connectivity","degree_counting","extremal_choice","goal_existence","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Задача 10 класса СПбМО: короткое графовое решение, но требуется заметить сильный случай малой степени и применить вероятностный метод с численной оценкой \\(10^6e^{-25}<1\\).","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В городе Незнакомске миллион жителей, причём любые два из них имеют общего знакомого среди остальных. Докажите, что можно выбрать 5000 жителей города так, чтобы любой из оставшихся имел хотя бы одного знакомого среди выбранных.","definition_ids":["dominating_set"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"5000 жителей","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф на \\(10^6\\) вершинах, в котором у любых двух различных вершин есть общий сосед, отличный от них обеих. Докажите, что существует множество \\(S\\) из не более чем 5000 вершин, такое что каждая вершина вне \\(S\\) смежна хотя бы с одной вершиной из \\(S\\).","definition_ids":["simple_graph","dominating_set","degree","neighborhood"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-split-random-choice","title":"Разбор по минимальной степени и случайный выбор","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","dominating_set","degree","neighborhood"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведем условие на язык графов: вершины — жители, ребро означает знакомство. Условие говорит, что у любых двух вершин есть общий сосед, отличный от них. Рассмотрим сначала случай, когда в графе есть вершина \\(v\\) степени не больше 5000. Возьмем в качестве \\(S\\) всех соседей вершины \\(v\\). Тогда \\(|S|\\le 5000\\). Сама вершина \\(v\\) имеет соседа в \\(S\\), так как при миллионе жителей условие, примененное к паре \\(v,u\\), гарантирует наличие знакомых у \\(v\\). Если вершина \\(x\\) не лежит в \\(S\\) и \\(x\\ne v\\), то у пары \\(x,v\\) есть общий сосед \\(y\\). Этот сосед смежен с \\(v\\), значит \\(y\\in S\\), и одновременно смежен с \\(x\\). Поэтому каждая вершина вне \\(S\\) знакома с кем-то из \\(S\\). Осталось разобрать случай, когда степень каждой вершины больше 5000. Выберем 5000 раз независимо и равновероятно одного из миллиона жителей; повторения пока разрешим. Для фиксированной вершины \\(x\\) вероятность…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-1997-p27-p34-common-acquaintance-domination-variants","neighbor_id":"spbmo-1997-9-p27-common-acquaintance-dominating-set","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-1997-10-p34-million-common-acquaintance-dominating-set 5000 жителей, знакомых со всеми остальными через общий выбор, спбмо 1997 graph_model connectivity degree_counting extremal_choice goal_existence goal_bound 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1997 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi stmt-original условие ai_checked в городе незнакомске миллион жителей, причём любые два из них имеют общего знакомого среди остальных. докажите, что можно выбрать 5000 жителей города так, чтобы любой из оставшихся имел хотя бы одного знакомого среди выбранных. dominating_set stmt-graph 5000 жителей ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф на \\(10^6\\) вершинах, в котором у любых двух различных вершин есть общий сосед, отличный от них обеих. докажите, что существует множество \\(s\\) из не более чем 5000 вершин, такое что каждая вершина вне \\(s\\) смежна хотя бы с одной вершиной из \\(s\\). simple_graph dominating_set degree neighborhood idea-low-degree-neighborhood соседи малой степени уже покрывают всех если у некоторой вершины не больше 5000 соседей, то множество всех ее соседей подходит: любую вершину вне этого множества покрывает общий сосед с выбранной вершиной. graph_model degree_counting ai_checked idea-random-sample-large-degree при больших степенях случайные 5000 вершин почти наверняка покрывают граф если все степени больше 5000, то для фиксированной невыбранной вершины вероятность не попасть ни в одного ее соседа при 5000 случайных выборах меньше \\(e^{-25}\\). сумма этих вероятностей по миллиону вершин меньше 1, значит существует удачный выбор. goal_existence degree_counting ai_checked sol-degree-split-random-choice разбор по минимальной степени и случайный выбор ai_checked simple_graph dominating_set degree neighborhood extremal_choice переведем условие на язык графов: вершины — жители, ребро означает знакомство. условие говорит, что у любых двух вершин есть общий сосед, отличный от них. рассмотрим сначала случай, когда в графе есть вершина \\(v\\) степени не больше 5000. возьмем в качестве \\(s\\) всех соседей вершины \\(v\\). тогда \\(|s|\\le 5000\\). сама вершина \\(v\\) имеет соседа в \\(s\\), так как при миллионе жителей условие, примененное к паре \\(v,u\\), гарантирует наличие знакомых у \\(v\\). если вершина \\(x\\) не лежит в \\(s\\) и \\(x\\ne v\\), то у пары \\(x,v\\) есть общий сосед \\(y\\). этот сосед смежен с \\(v\\), значит \\(y\\in s\\), и одновременно смежен с \\(x\\). поэтому каждая вершина вне \\(s\\) знакома с кем-то из \\(s\\). осталось разобрать случай, когда степень каждой вершины больше 5000. выберем 5000 раз независимо и равновероятно одного из миллиона жителей; повторения пока разрешим. для фиксированной вершины \\(x\\) вероятность… spbmo-1997-10-p34-million-common-acquaintance-dominating-set 5000 zhiteley, znakomyh so vsemi ostalnymi cherez obschiy vybor, spbmo 1997 graph_model connectivity degree_counting extremal_choice goal_existence goal_bound 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1997 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original uslovie ai_checked v gorode neznakomske million zhiteley, prichem lyubye dva iz nih imeyut obschego znakomogo sredi ostalnyh. dokazhite, chto mozhno vybrat 5000 zhiteley goroda tak, chtoby lyuboy iz ostavshihsya imel hotya by odnogo znakomogo sredi vybrannyh. dominating_set stmt-graph 5000 zhiteley ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf na \\(10^6\\) vershinah, v kotorom u lyubyh dvuh razlichnyh vershin est obschiy sosed, otlichnyy ot nih obeih. dokazhite, chto suschestvuet mnozhestvo \\(s\\) iz ne bolee chem 5000 vershin, takoe chto kazhdaya vershina vne \\(s\\) smezhna hotya by s odnoy vershinoy iz \\(s\\). simple_graph dominating_set degree neighborhood idea-low-degree-neighborhood sosedi maloy stepeni uzhe pokryvayut vseh esli u nekotoroy vershiny ne bolshe 5000 sosedey, to mnozhestvo vseh ee sosedey podhodit: lyubuyu vershinu vne etogo mnozhestva pokryvaet obschiy sosed s vybrannoy vershinoy. graph_model degree_counting ai_checked idea-random-sample-large-degree pri bolshih stepenyah sluchaynye 5000 vershin pochti navernyaka pokryvayut graf esli vse stepeni bolshe 5000, to dlya fiksirovannoy nevybrannoy vershiny veroyatnost ne popast ni v odnogo ee soseda pri 5000 sluchaynyh vyborah menshe \\(e^{-25}\\). summa etih veroyatnostey po millionu vershin menshe 1, znachit suschestvuet udachnyy vybor. goal_existence degree_counting ai_checked sol-degree-split-random-choice razbor po minimalnoy stepeni i sluchaynyy vybor ai_checked simple_graph dominating_set degree neighborhood extremal_choice perevedem uslovie na yazyk grafov: vershiny — zhiteli, rebro oznachaet znakomstvo. uslovie govorit, chto u lyubyh dvuh vershin est obschiy sosed, otlichnyy ot nih. rassmotrim snachala sluchay, kogda v grafe est vershina \\(v\\) stepeni ne bolshe 5000. vozmem v kachestve \\(s\\) vseh sosedey vershiny \\(v\\). togda \\(|s|\\le 5000\\). sama vershina \\(v\\) imeet soseda v \\(s\\), tak kak pri millione zhiteley uslovie, primenennoe k pare \\(v,u\\), garantiruet nalichie znakomyh u \\(v\\). esli vershina \\(x\\) ne lezhit v \\(s\\) i \\(x\\ne v\\), to u pary \\(x,v\\) est obschiy sosed \\(y\\). etot sosed smezhen s \\(v\\), znachit \\(y\\in s\\), i odnovremenno smezhen s \\(x\\). poetomu kazhdaya vershina vne \\(s\\) znakoma s kem-to iz \\(s\\). ostalos razobrat sluchay, kogda stepen kazhdoy vershiny bolshe 5000. vyberem 5000 raz nezavisimo i ravnoveroyatno odnogo iz milliona zhiteley; povtoreniya poka razreshim. dlya fiksirovannoy vershiny \\(x\\) veroyatnost…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-1997-11-p54-triangular-polyhedron-degrees","title":"Треугольная грань со степенями 5, 6 и 6 в триангулированном многограннике, СПбМО 1997","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1997-11-p54-triangular-polyhedron-degrees.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1997-11-p54-triangular-polyhedron-degrees.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1997-11-p54-triangular-polyhedron-degrees","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1997, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","degree_counting","double_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"СПбМО 1997, 10 класс, задача 54; сильная, но короткая задача на эйлерову формулу для сферической триангуляции и локальный подсчет степеней.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"Все грани выпуклого многогранника - треугольники, причём из каждой вершины выходит не менее 5 ребер, и никакие две вершины, из которых выходит ровно 5 ребер, не соединены ребром. Докажите, что в этом многограннике найдется грань, из вершин которой выходит соответственно 5, 6 и 6 ребер.","definition_ids":["degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Треугольная грань со степенями 5","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — плоская триангуляция сферы: каждая грань, включая внешнюю, является треугольником. Минимальная степень вершин \\(G\\) не меньше 5, а вершины степени 5 образуют независимое множество. Докажите, что в \\(G\\) есть треугольная грань, степени вершин которой равны \\(5,6,6\\).","definition_ids":["planar_graph","degree","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-euler-incidence-count","title":"Подсчет степеней и соседств с вершинами степени 5","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree","independent_set"],"standard_idea_ids":["face_counting","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф ребер многогранника. Так как многогранник выпуклый и все его грани треугольные, этот граф имеет плоскую укладку на сфере, в которой каждая грань является треугольником. Для каждой вершины \\(v\\) обозначим ее степень через \\(d(v)\\). Пусть \\(V,E,F\\) - числа вершин, ребер и граней. Из треугольности граней имеем \\(3F=2E\\), а из формулы Эйлера \\(V-E+F=2\\). Поэтому \\(E=3V-6\\), и сумма степеней равна \\(2E=6V-12\\). Следовательно, \\[ \\sum_v (6-d(v))=12. \\tag{1} \\] Обозначим через \\(n_5\\) число вершин степени 5, а через \\(H\\) множество вершин степени хотя бы 7. Вершин степени меньше 5 по условию нет, вершины степени 6 не дают вклада в (1), поэтому \\[ n_5=12+\\sum_{u\\in H}(d(u)-6). \\tag{2} \\] Предположим противное: нет грани, у которой степени вершин равны \\(5,6,6\\). Возьмем вершину \\(x\\) степени 5. Ее соседи в триангуляции идут по циклу длины 5: каждые две соседние в этом цикле вмес…"}],"relations":[{"id":"rel-euler-formula-spbmo-1997-p54-spherical-triangulation","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2007-a6-spbmo-1997-p54-triangulation-degree-count","neighbor_id":"putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-1997-11-p54-triangular-polyhedron-degrees треугольная грань со степенями 5, 6 и 6 в триангулированном многограннике, спбмо 1997 planar_graphs degree_counting double_counting goal_existence 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1997 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi stmt-original оригинальная формулировка source_verified все грани выпуклого многогранника - треугольники, причём из каждой вершины выходит не менее 5 ребер, и никакие две вершины, из которых выходит ровно 5 ребер, не соединены ребром. докажите, что в этом многограннике найдется грань, из вершин которой выходит соответственно 5, 6 и 6 ребер. degree stmt-graph треугольная грань со степенями 5 ai_checked пусть \\(g\\) — плоская триангуляция сферы: каждая грань, включая внешнюю, является треугольником. минимальная степень вершин \\(g\\) не меньше 5, а вершины степени 5 образуют независимое множество. докажите, что в \\(g\\) есть треугольная грань, степени вершин которой равны \\(5,6,6\\). planar_graph degree independent_set idea-euler-curvature эйлерова кривизна заставляет появиться много пятерок для триангуляции сферы из \\(3f=2e\\) и \\(v-e+f=2\\) следует \\(\\sum_v(6-d(v))=12\\). поэтому вершины степени 5 дают суммарный положительный вклад, который должен перекрыть отрицательный вклад вершин степени хотя бы 7. planar_graphs degree_counting double_counting ai_checked idea-count-five-high-incidences считать соседства пятерок с высокими вершинами если около каждой вершины степени 5 нет двух соседних вершин степени 6, то у нее есть как минимум три соседа степени хотя бы 7. но вокруг вершины степени \\(d\\ge7\\) пятерки не могут стоять рядом в циклическом порядке соседей, значит их не больше \\(\\lfloor d/2\\rfloor\\). эти две оценки противоречат эйлеровому равенству. degree_counting double_counting planar_graphs ai_checked sol-euler-incidence-count подсчет степеней и соседств с вершинами степени 5 ai_checked planar_graph degree independent_set face_counting double_counting рассмотрим граф ребер многогранника. так как многогранник выпуклый и все его грани треугольные, этот граф имеет плоскую укладку на сфере, в которой каждая грань является треугольником. для каждой вершины \\(v\\) обозначим ее степень через \\(d(v)\\). пусть \\(v,e,f\\) - числа вершин, ребер и граней. из треугольности граней имеем \\(3f=2e\\), а из формулы эйлера \\(v-e+f=2\\). поэтому \\(e=3v-6\\), и сумма степеней равна \\(2e=6v-12\\). следовательно, \\[ \\sum_v (6-d(v))=12. \\tag{1} \\] обозначим через \\(n_5\\) число вершин степени 5, а через \\(h\\) множество вершин степени хотя бы 7. вершин степени меньше 5 по условию нет, вершины степени 6 не дают вклада в (1), поэтому \\[ n_5=12+\\sum_{u\\in h}(d(u)-6). \\tag{2} \\] предположим противное: нет грани, у которой степени вершин равны \\(5,6,6\\). возьмем вершину \\(x\\) степени 5. ее соседи в триангуляции идут по циклу длины 5: каждые две соседние в этом цикле вмес… spbmo-1997-11-p54-triangular-polyhedron-degrees treugolnaya gran so stepenyami 5, 6 i 6 v triangulirovannom mnogogrannike, spbmo 1997 planar_graphs degree_counting double_counting goal_existence 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1997 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original originalnaya formulirovka source_verified vse grani vypuklogo mnogogrannika - treugolniki, prichem iz kazhdoy vershiny vyhodit ne menee 5 reber, i nikakie dve vershiny, iz kotoryh vyhodit rovno 5 reber, ne soedineny rebrom. dokazhite, chto v etom mnogogrannike naydetsya gran, iz vershin kotoroy vyhodit sootvetstvenno 5, 6 i 6 reber. degree stmt-graph treugolnaya gran so stepenyami 5 ai_checked pust \\(g\\) — ploskaya triangulyatsiya sfery: kazhdaya gran, vklyuchaya vneshnyuyu, yavlyaetsya treugolnikom. minimalnaya stepen vershin \\(g\\) ne menshe 5, a vershiny stepeni 5 obrazuyut nezavisimoe mnozhestvo. dokazhite, chto v \\(g\\) est treugolnaya gran, stepeni vershin kotoroy ravny \\(5,6,6\\). planar_graph degree independent_set idea-euler-curvature eylerova krivizna zastavlyaet poyavitsya mnogo pyaterok dlya triangulyatsii sfery iz \\(3f=2e\\) i \\(v-e+f=2\\) sleduet \\(\\sum_v(6-d(v))=12\\). poetomu vershiny stepeni 5 dayut summarnyy polozhitelnyy vklad, kotoryy dolzhen perekryt otritsatelnyy vklad vershin stepeni hotya by 7. planar_graphs degree_counting double_counting ai_checked idea-count-five-high-incidences schitat sosedstva pyaterok s vysokimi vershinami esli okolo kazhdoy vershiny stepeni 5 net dvuh sosednih vershin stepeni 6, to u nee est kak minimum tri soseda stepeni hotya by 7. no vokrug vershiny stepeni \\(d\\ge7\\) pyaterki ne mogut stoyat ryadom v tsiklicheskom poryadke sosedey, znachit ih ne bolshe \\(\\lfloor d/2\\rfloor\\). eti dve otsenki protivorechat eylerovomu ravenstvu. degree_counting double_counting planar_graphs ai_checked sol-euler-incidence-count podschet stepeney i sosedstv s vershinami stepeni 5 ai_checked planar_graph degree independent_set face_counting double_counting rassmotrim graf reber mnogogrannika. tak kak mnogogrannik vypuklyy i vse ego grani treugolnye, etot graf imeet ploskuyu ukladku na sfere, v kotoroy kazhdaya gran yavlyaetsya treugolnikom. dlya kazhdoy vershiny \\(v\\) oboznachim ee stepen cherez \\(d(v)\\). pust \\(v,e,f\\) - chisla vershin, reber i graney. iz treugolnosti graney imeem \\(3f=2e\\), a iz formuly eylera \\(v-e+f=2\\). poetomu \\(e=3v-6\\), i summa stepeney ravna \\(2e=6v-12\\). sledovatelno, \\[ \\sum_v (6-d(v))=12. \\tag{1} \\] oboznachim cherez \\(n_5\\) chislo vershin stepeni 5, a cherez \\(h\\) mnozhestvo vershin stepeni hotya by 7. vershin stepeni menshe 5 po usloviyu net, vershiny stepeni 6 ne dayut vklada v (1), poetomu \\[ n_5=12+\\sum_{u\\in h}(d(u)-6). \\tag{2} \\] predpolozhim protivnoe: net grani, u kotoroy stepeni vershin ravny \\(5,6,6\\). vozmem vershinu \\(x\\) stepeni 5. ee sosedi v triangulyatsii idut po tsiklu dliny 5: kazhdye dve sosednie v etom tsikle vmes…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-1997-11-p63-red-blue-complete-graph-two-edge-count","title":"Равенство чисел способов удалить две одноцветные непересекающиеся связи, СПбМО 1997","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1997-11-p63-red-blue-complete-graph-two-edge-count.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1997-11-p63-red-blue-complete-graph-two-edge-count.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1997-11-p63-red-blue-complete-graph-two-edge-count","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1997, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","double_counting","degree_counting","goal_counting","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"СПбМО 1997, 11 класс, задача 63; короткая графовая задача на дополнение и аккуратный подсчет пар непересекающихся рёбер через степени.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"Прибор состоит из \\(4n\\) микросхем, любые две из которых соединены между собой напрямую либо красным, либо синим проводом, причём красных и синих проводов поровну. Прибор полностью выйдет из строя, если удалить какие-нибудь два одноцветных провода, протянутых между четырьмя микросхемами. Агент потенциального противника подсчитал количество способов вывести из строя упомянутый прибор выдергиванием двух синих проводов. Докажите, что существует ровно столько же способов подломить прибор, выдергивая два красных провода.","definition_ids":["complete_graph","matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Равенство чисел способов удалить две одноцветные непересекающиеся связи","status":"ai_checked","text":"Рёбра полного графа \\(K_{4n}\\) раскрашены в красный и синий цвета, причём красных и синих рёбер поровну. Докажите, что число пар непересекающихся синих рёбер равно числу пар непересекающихся красных рёбер.","definition_ids":["complete_graph","matching"]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-complement","title":"Формулировка через дополнение","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) - простой граф на \\(m=4n\\) вершинах с ровно половиной всех рёбер полного графа \\(K_m\\). Докажите, что число пар непересекающихся рёбер в \\(G\\) равно числу пар непересекающихся рёбер в дополнительном графе \\(\\overline G\\).","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","complement_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-sum-complement","title":"Сравнение графа с дополнением","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","complement_graph","matching","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting","complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(m=4n\\). Рассмотрим граф \\(G\\), рёбрами которого являются синие провода. Тогда красные провода образуют дополнительный граф \\(\\overline G\\) на тех же \\(m\\) вершинах. По условию \\[ e(G)=e(\\overline G)=\\frac12\\binom m2. \\] Обозначим степень вершины \\(v\\) в \\(G\\) через \\(d_v\\). Тогда ее степень в \\(\\overline G\\) равна \\(m-1-d_v\\). В произвольном простом графе с \\(e\\) рёбрами число пар непересекающихся рёбер равно \\[ \\binom e2-\\sum_v\\binom{d_v}2. \\tag{1} \\] Действительно, из всех пар различных рёбер мы вычитаем пары, имеющие общий конец. В простом графе две разные смежные пары рёбер имеют ровно один общий конец, поэтому каждая такая пара вычитается ровно один раз. У графов \\(G\\) и \\(\\overline G\\) одинаковое число рёбер, значит в формуле (1) первые слагаемые \\(\\binom e2\\) совпадают. Осталось доказать, что совпадают суммы \\(\\sum_v\\binom{d_v}2\\) и \\(\\sum_v\\binom{m-1-d_v}2\\). Положим \\(N…"}],"relations":[{"id":"rel-handshaking-spbmo-1997-p63-degree-sum","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2022-spbmo-1997-two-colour-complete-graph-counting","neighbor_id":"imc-2022-day2-p5-regular-43-coloured-triangles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-1997-11-p63-red-blue-complete-graph-two-edge-count равенство чисел способов удалить две одноцветные непересекающиеся связи, спбмо 1997 coloring double_counting degree_counting goal_counting goal_proof 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1997 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi stmt-original оригинальная формулировка source_verified прибор состоит из \\(4n\\) микросхем, любые две из которых соединены между собой напрямую либо красным, либо синим проводом, причём красных и синих проводов поровну. прибор полностью выйдет из строя, если удалить какие-нибудь два одноцветных провода, протянутых между четырьмя микросхемами. агент потенциального противника подсчитал количество способов вывести из строя упомянутый прибор выдергиванием двух синих проводов. докажите, что существует ровно столько же способов подломить прибор, выдергивая два красных провода. complete_graph matching stmt-graph равенство чисел способов удалить две одноцветные непересекающиеся связи ai_checked рёбра полного графа \\(k_{4n}\\) раскрашены в красный и синий цвета, причём красных и синих рёбер поровну. докажите, что число пар непересекающихся синих рёбер равно числу пар непересекающихся красных рёбер. complete_graph matching stmt-complement формулировка через дополнение ai_checked пусть \\(g\\) - простой граф на \\(m=4n\\) вершинах с ровно половиной всех рёбер полного графа \\(k_m\\). докажите, что число пар непересекающихся рёбер в \\(g\\) равно числу пар непересекающихся рёбер в дополнительном графе \\(\\overline g\\). simple_graph complete_graph complement_graph matching idea-blue-graph-and-complement один цвет как граф, второй как дополнение возьмем синие провода за рёбра графа \\(g\\). красные провода тогда являются рёбрами дополнительного графа \\(\\overline g\\), а условие равенства чисел проводов означает \\(e(g)=e(\\overline g)\\). coloring double_counting ai_checked idea-disjoint-pairs-via-degrees непересекающиеся пары считаются через все пары и смежные пары в любом простом графе число пар непересекающихся рёбер равно \\(\\binom e2-\\sum_v\\binom{d(v)}2\\): из всех пар рёбер надо вычесть пары, имеющие общий конец. double_counting degree_counting ai_checked sol-degree-sum-complement сравнение графа с дополнением ai_checked simple_graph complete_graph complement_graph matching degree double_counting complement_graph_transition пусть \\(m=4n\\). рассмотрим граф \\(g\\), рёбрами которого являются синие провода. тогда красные провода образуют дополнительный граф \\(\\overline g\\) на тех же \\(m\\) вершинах. по условию \\[ e(g)=e(\\overline g)=\\frac12\\binom m2. \\] обозначим степень вершины \\(v\\) в \\(g\\) через \\(d_v\\). тогда ее степень в \\(\\overline g\\) равна \\(m-1-d_v\\). в произвольном простом графе с \\(e\\) рёбрами число пар непересекающихся рёбер равно \\[ \\binom e2-\\sum_v\\binom{d_v}2. \\tag{1} \\] действительно, из всех пар различных рёбер мы вычитаем пары, имеющие общий конец. в простом графе две разные смежные пары рёбер имеют ровно один общий конец, поэтому каждая такая пара вычитается ровно один раз. у графов \\(g\\) и \\(\\overline g\\) одинаковое число рёбер, значит в формуле (1) первые слагаемые \\(\\binom e2\\) совпадают. осталось доказать, что совпадают суммы \\(\\sum_v\\binom{d_v}2\\) и \\(\\sum_v\\binom{m-1-d_v}2\\). положим \\(n… spbmo-1997-11-p63-red-blue-complete-graph-two-edge-count ravenstvo chisel sposobov udalit dve odnotsvetnye neperesekayuschiesya svyazi, spbmo 1997 coloring double_counting degree_counting goal_counting goal_proof 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1997 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original originalnaya formulirovka source_verified pribor sostoit iz \\(4n\\) mikroshem, lyubye dve iz kotoryh soedineny mezhdu soboy napryamuyu libo krasnym, libo sinim provodom, prichem krasnyh i sinih provodov porovnu. pribor polnostyu vyydet iz stroya, esli udalit kakie-nibud dva odnotsvetnyh provoda, protyanutyh mezhdu chetyrmya mikroshemami. agent potentsialnogo protivnika podschital kolichestvo sposobov vyvesti iz stroya upomyanutyy pribor vydergivaniem dvuh sinih provodov. dokazhite, chto suschestvuet rovno stolko zhe sposobov podlomit pribor, vydergivaya dva krasnyh provoda. complete_graph matching stmt-graph ravenstvo chisel sposobov udalit dve odnotsvetnye neperesekayuschiesya svyazi ai_checked rebra polnogo grafa \\(k_{4n}\\) raskrasheny v krasnyy i siniy tsveta, prichem krasnyh i sinih reber porovnu. dokazhite, chto chislo par neperesekayuschihsya sinih reber ravno chislu par neperesekayuschihsya krasnyh reber. complete_graph matching stmt-complement formulirovka cherez dopolnenie ai_checked pust \\(g\\) - prostoy graf na \\(m=4n\\) vershinah s rovno polovinoy vseh reber polnogo grafa \\(k_m\\). dokazhite, chto chislo par neperesekayuschihsya reber v \\(g\\) ravno chislu par neperesekayuschihsya reber v dopolnitelnom grafe \\(\\overline g\\). simple_graph complete_graph complement_graph matching idea-blue-graph-and-complement odin tsvet kak graf, vtoroy kak dopolnenie vozmem sinie provoda za rebra grafa \\(g\\). krasnye provoda togda yavlyayutsya rebrami dopolnitelnogo grafa \\(\\overline g\\), a uslovie ravenstva chisel provodov oznachaet \\(e(g)=e(\\overline g)\\). coloring double_counting ai_checked idea-disjoint-pairs-via-degrees neperesekayuschiesya pary schitayutsya cherez vse pary i smezhnye pary v lyubom prostom grafe chislo par neperesekayuschihsya reber ravno \\(\\binom e2-\\sum_v\\binom{d(v)}2\\): iz vseh par reber nado vychest pary, imeyuschie obschiy konets. double_counting degree_counting ai_checked sol-degree-sum-complement sravnenie grafa s dopolneniem ai_checked simple_graph complete_graph complement_graph matching degree double_counting complement_graph_transition pust \\(m=4n\\). rassmotrim graf \\(g\\), rebrami kotorogo yavlyayutsya sinie provoda. togda krasnye provoda obrazuyut dopolnitelnyy graf \\(\\overline g\\) na teh zhe \\(m\\) vershinah. po usloviyu \\[ e(g)=e(\\overline g)=\\frac12\\binom m2. \\] oboznachim stepen vershiny \\(v\\) v \\(g\\) cherez \\(d_v\\). togda ee stepen v \\(\\overline g\\) ravna \\(m-1-d_v\\). v proizvolnom prostom grafe s \\(e\\) rebrami chislo par neperesekayuschihsya reber ravno \\[ \\binom e2-\\sum_v\\binom{d_v}2. \\tag{1} \\] deystvitelno, iz vseh par razlichnyh reber my vychitaem pary, imeyuschie obschiy konets. v prostom grafe dve raznye smezhnye pary reber imeyut rovno odin obschiy konets, poetomu kazhdaya takaya para vychitaetsya rovno odin raz. u grafov \\(g\\) i \\(\\overline g\\) odinakovoe chislo reber, znachit v formule (1) pervye slagaemye \\(\\binom e2\\) sovpadayut. ostalos dokazat, chto sovpadayut summy \\(\\sum_v\\binom{d_v}2\\) i \\(\\sum_v\\binom{m-1-d_v}2\\). polozhim \\(n…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-1997-7-p13-left-right-city-walk","title":"Маршрут по городу с поворотами налево и направо, СПбМО 1997","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1997-7-p13-left-right-city-walk.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1997-7-p13-left-right-city-walk.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1997-7-p13-left-right-city-walk","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1997, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","coloring","invariant","graph_model","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Задача 7 класса СПбМО: короткое решение после правильной графовой модели, но ключевой шаг - увидеть шахматную раскраску граней и инвариант цвета справа от маршрута.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В городе нет ни мостов, ни туннелей, ни тупиков. Все перекрестки имеют крестообразную форму и образованы пересечением ровно двух улиц. Совершая инспекционную поездку по городу, губернатор на каждом перекрестке поворачивал либо направо, либо налево. Через некоторое время шофер губернатора заметил, что они едут по дороге, по которой уже проезжали. Докажите, что они едут в ту же сторону, что и в первый раз.","definition_ids":["planar_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Маршрут по городу с поворотами налево и направо","status":"ai_checked","text":"Пусть дана связная плоская дорожная сеть, в которой каждая вершина имеет степень 4 и четыре полуребра вокруг вершины разбиты на две пары противоположных направлений, соответствующие двум пересекающимся улицам. Рассматривается маршрут по ребрам этой сети: в каждой вершине он переходит не на противоположное ребро, а на одно из двух соседних ребер, то есть поворачивает налево или направо. Докажите, что если маршрут снова проходит по уже пройденному ребру, то направление прохождения этого ребра совпадает с направлением при первом прохождении.","definition_ids":["connected_graph","planar_graph","degree","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-checkerboard-right-side-invariant","title":"Инвариант цвета справа от маршрута","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","planar_graph","degree","path"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим карту города как плоский граф: перекрестки - вершины, а участки дороги между соседними перекрестками - ребра. Из условия следует, что степень каждой вершины равна 4. Так как все степени четны, грани такого плоского графа можно раскрасить в два цвета, скажем в черный и белый, так, чтобы любые две грани по разные стороны одного ребра имели разные цвета. Например, можно обходить границы граней в эйлеровом плоском графе и красить соседние грани попеременно; четность степеней гарантирует отсутствие противоречия. Покажем, что во время поездки сохраняется цвет грани, находящейся справа от направления движения. Если на перекрестке машина поворачивает направо, то область справа непосредственно до поворота и непосредственно после поворота - это одна и та же четверть около перекрестка, значит ее цвет не меняется. Если машина поворачивает налево, то правая область до поворота и правая об…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-1997-p13-usamo-2021-p2-planar-turning-walk","neighbor_id":"usamo-2021-p2-planar-national-park-turning-walk","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-1997-7-p13-left-right-city-walk маршрут по городу с поворотами налево и направо, спбмо 1997 planar_graphs coloring invariant graph_model goal_proof 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1997 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi stmt-original условие ai_checked в городе нет ни мостов, ни туннелей, ни тупиков. все перекрестки имеют крестообразную форму и образованы пересечением ровно двух улиц. совершая инспекционную поездку по городу, губернатор на каждом перекрестке поворачивал либо направо, либо налево. через некоторое время шофер губернатора заметил, что они едут по дороге, по которой уже проезжали. докажите, что они едут в ту же сторону, что и в первый раз. planar_graph path stmt-graph маршрут по городу с поворотами налево и направо ai_checked пусть дана связная плоская дорожная сеть, в которой каждая вершина имеет степень 4 и четыре полуребра вокруг вершины разбиты на две пары противоположных направлений, соответствующие двум пересекающимся улицам. рассматривается маршрут по ребрам этой сети: в каждой вершине он переходит не на противоположное ребро, а на одно из двух соседних ребер, то есть поворачивает налево или направо. докажите, что если маршрут снова проходит по уже пройденному ребру, то направление прохождения этого ребра совпадает с направлением при первом прохождении. connected_graph planar_graph degree path idea-checkerboard-faces грани 4-регулярной карты можно раскрасить в шахматном порядке у каждой вершины дорожной сети степень 4, поэтому все степени четны. для связного плоского эйлерова графа грани допускают раскраску в два цвета так, что соседние по ребру грани имеют разные цвета. planar_graphs coloring ai_checked idea-right-face-color-invariant цвет области справа от машины не меняется при повороте направо правая область до и после поворота одна и та же. при повороте налево правая область меняется на противоположную в циклическом порядке вокруг перекрестка, а такая область имеет тот же цвет в шахматной раскраске граней. invariant planar_graphs ai_checked sol-checkerboard-right-side-invariant инвариант цвета справа от маршрута ai_checked connected_graph planar_graph degree path invariant рассмотрим карту города как плоский граф: перекрестки - вершины, а участки дороги между соседними перекрестками - ребра. из условия следует, что степень каждой вершины равна 4. так как все степени четны, грани такого плоского графа можно раскрасить в два цвета, скажем в черный и белый, так, чтобы любые две грани по разные стороны одного ребра имели разные цвета. например, можно обходить границы граней в эйлеровом плоском графе и красить соседние грани попеременно; четность степеней гарантирует отсутствие противоречия. покажем, что во время поездки сохраняется цвет грани, находящейся справа от направления движения. если на перекрестке машина поворачивает направо, то область справа непосредственно до поворота и непосредственно после поворота - это одна и та же четверть около перекрестка, значит ее цвет не меняется. если машина поворачивает налево, то правая область до поворота и правая об… spbmo-1997-7-p13-left-right-city-walk marshrut po gorodu s povorotami nalevo i napravo, spbmo 1997 planar_graphs coloring invariant graph_model goal_proof 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1997 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original uslovie ai_checked v gorode net ni mostov, ni tunneley, ni tupikov. vse perekrestki imeyut krestoobraznuyu formu i obrazovany peresecheniem rovno dvuh ulits. sovershaya inspektsionnuyu poezdku po gorodu, gubernator na kazhdom perekrestke povorachival libo napravo, libo nalevo. cherez nekotoroe vremya shofer gubernatora zametil, chto oni edut po doroge, po kotoroy uzhe proezzhali. dokazhite, chto oni edut v tu zhe storonu, chto i v pervyy raz. planar_graph path stmt-graph marshrut po gorodu s povorotami nalevo i napravo ai_checked pust dana svyaznaya ploskaya dorozhnaya set, v kotoroy kazhdaya vershina imeet stepen 4 i chetyre polurebra vokrug vershiny razbity na dve pary protivopolozhnyh napravleniy, sootvetstvuyuschie dvum peresekayuschimsya ulitsam. rassmatrivaetsya marshrut po rebram etoy seti: v kazhdoy vershine on perehodit ne na protivopolozhnoe rebro, a na odno iz dvuh sosednih reber, to est povorachivaet nalevo ili napravo. dokazhite, chto esli marshrut snova prohodit po uzhe proydennomu rebru, to napravlenie prohozhdeniya etogo rebra sovpadaet s napravleniem pri pervom prohozhdenii. connected_graph planar_graph degree path idea-checkerboard-faces grani 4-regulyarnoy karty mozhno raskrasit v shahmatnom poryadke u kazhdoy vershiny dorozhnoy seti stepen 4, poetomu vse stepeni chetny. dlya svyaznogo ploskogo eylerova grafa grani dopuskayut raskrasku v dva tsveta tak, chto sosednie po rebru grani imeyut raznye tsveta. planar_graphs coloring ai_checked idea-right-face-color-invariant tsvet oblasti sprava ot mashiny ne menyaetsya pri povorote napravo pravaya oblast do i posle povorota odna i ta zhe. pri povorote nalevo pravaya oblast menyaetsya na protivopolozhnuyu v tsiklicheskom poryadke vokrug perekrestka, a takaya oblast imeet tot zhe tsvet v shahmatnoy raskraske graney. invariant planar_graphs ai_checked sol-checkerboard-right-side-invariant invariant tsveta sprava ot marshruta ai_checked connected_graph planar_graph degree path invariant rassmotrim kartu goroda kak ploskiy graf: perekrestki - vershiny, a uchastki dorogi mezhdu sosednimi perekrestkami - rebra. iz usloviya sleduet, chto stepen kazhdoy vershiny ravna 4. tak kak vse stepeni chetny, grani takogo ploskogo grafa mozhno raskrasit v dva tsveta, skazhem v chernyy i belyy, tak, chtoby lyubye dve grani po raznye storony odnogo rebra imeli raznye tsveta. naprimer, mozhno obhodit granitsy graney v eylerovom ploskom grafe i krasit sosednie grani poperemenno; chetnost stepeney garantiruet otsutstvie protivorechiya. pokazhem, chto vo vremya poezdki sohranyaetsya tsvet grani, nahodyascheysya sprava ot napravleniya dvizheniya. esli na perekrestke mashina povorachivaet napravo, to oblast sprava neposredstvenno do povorota i neposredstvenno posle povorota - eto odna i ta zhe chetvert okolo perekrestka, znachit ee tsvet ne menyaetsya. esli mashina povorachivaet nalevo, to pravaya oblast do povorota i pravaya ob…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-1997-9-p27-common-acquaintance-dominating-set","title":"Выбор трети жителей при общем знакомом, СПбМО 1997","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-1997-9-p27-common-acquaintance-dominating-set.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-1997-9-p27-common-acquaintance-dominating-set.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-1997-9-p27-common-acquaintance-dominating-set","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 1997, официальный PDF из архива PDMI"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","degree_counting","extremal_choice","goal_existence","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"СПбМО 1997, 9 класс, задача 27: графовая задача о доминирующем множестве размера не больше трети вершин. Основная идея проста в случае малой степени, а общий случай закрывается коротким вероятностным аргументом.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В городе Незнакомске живут \\(3n\\) человек, причём любые два жителя имеют общего знакомого. Докажите, что можно указать \\(n\\) человек таких, что каждый из остальных знаком хотя бы с одним человеком из этих \\(n\\).","definition_ids":["dominating_set"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Выбор трети жителей при общем знакомом","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф на \\(3n\\) вершинах, в котором у любых двух различных вершин есть общий сосед. Докажите, что существует множество \\(S\\) из не более чем \\(n\\) вершин, такое что каждая вершина вне \\(S\\) смежна хотя бы с одной вершиной из \\(S\\).","definition_ids":["simple_graph","dominating_set","degree","neighborhood"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-split-random-choice","title":"Разбор по степени и случайный выбор","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","dominating_set","degree","neighborhood"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф знакомств: вершины — жители, а ребра — пары знакомых. Условие означает, что у любых двух вершин есть общий сосед. Достаточно найти множество из не более чем \\(n\\) вершин, смежное с каждой вершиной вне этого множества; если вершин окажется меньше \\(n\\), его можно дополнить произвольными жителями. Сначала пусть есть вершина \\(v\\), степень которой не превосходит \\(n\\). Возьмем в качестве \\(S\\) всех соседей \\(v\\). Тогда \\(|S|\\le n\\). Сама вершина \\(v\\) имеет соседа в \\(S\\). Если же вершина \\(x\\) не лежит в \\(S\\) и \\(x\\ne v\\), то у \\(x\\) и \\(v\\) есть общий сосед \\(y\\). Поскольку \\(y\\) смежен с \\(v\\), он лежит в \\(S\\); поскольку \\(y\\) смежен с \\(x\\), вершина \\(x\\) тоже имеет соседа в \\(S\\). Значит, в этом случае требуемое множество найдено. Остается случай, когда степень каждой вершины не меньше \\(n+1\\). Выберем равновероятно среди всех \\(n\\)-элементных подмножеств вершин множ…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-1997-p27-p34-common-acquaintance-domination-variants","neighbor_id":"spbmo-1997-10-p34-million-common-acquaintance-dominating-set","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-1997-9-p27-common-acquaintance-dominating-set выбор трети жителей при общем знакомом, спбмо 1997 graph_model degree_counting extremal_choice goal_existence goal_bound 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi спбмо спбмо1997 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 1997, официальный pdf из архива pdmi stmt-original условие ai_checked в городе незнакомске живут \\(3n\\) человек, причём любые два жителя имеют общего знакомого. докажите, что можно указать \\(n\\) человек таких, что каждый из остальных знаком хотя бы с одним человеком из этих \\(n\\). dominating_set stmt-graph выбор трети жителей при общем знакомом ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф на \\(3n\\) вершинах, в котором у любых двух различных вершин есть общий сосед. докажите, что существует множество \\(s\\) из не более чем \\(n\\) вершин, такое что каждая вершина вне \\(s\\) смежна хотя бы с одной вершиной из \\(s\\). simple_graph dominating_set degree neighborhood idea-low-degree-neighborhood соседи вершины малой степени покрывают всех если у некоторого жителя не больше \\(n\\) знакомых, то все его знакомые подходят: любой другой человек имеет с ним общего знакомого, а значит знаком с кем-то из этого множества. graph_model degree_counting ai_checked idea-random-choice-high-degree при больших степенях случайная треть доминирует с положительной вероятностью если у каждого больше \\(n\\) знакомых, выберем случайно \\(n\\) жителей. для фиксированного жителя вероятность остаться вне выбора и без знакомого среди выбранных мала; сумма этих вероятностей по всем \\(3n\\) жителям меньше 1. goal_existence degree_counting ai_checked sol-degree-split-random-choice разбор по степени и случайный выбор ai_checked simple_graph dominating_set degree neighborhood extremal_choice рассмотрим граф знакомств: вершины — жители, а ребра — пары знакомых. условие означает, что у любых двух вершин есть общий сосед. достаточно найти множество из не более чем \\(n\\) вершин, смежное с каждой вершиной вне этого множества; если вершин окажется меньше \\(n\\), его можно дополнить произвольными жителями. сначала пусть есть вершина \\(v\\), степень которой не превосходит \\(n\\). возьмем в качестве \\(s\\) всех соседей \\(v\\). тогда \\(|s|\\le n\\). сама вершина \\(v\\) имеет соседа в \\(s\\). если же вершина \\(x\\) не лежит в \\(s\\) и \\(x\\ne v\\), то у \\(x\\) и \\(v\\) есть общий сосед \\(y\\). поскольку \\(y\\) смежен с \\(v\\), он лежит в \\(s\\); поскольку \\(y\\) смежен с \\(x\\), вершина \\(x\\) тоже имеет соседа в \\(s\\). значит, в этом случае требуемое множество найдено. остается случай, когда степень каждой вершины не меньше \\(n+1\\). выберем равновероятно среди всех \\(n\\)-элементных подмножеств вершин множ… spbmo-1997-9-p27-common-acquaintance-dominating-set vybor treti zhiteley pri obschem znakomom, spbmo 1997 graph_model degree_counting extremal_choice goal_existence goal_bound 1997 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/1997/spbmo_1997.pdf olympiad_archive spbmo spbmo1997 src-spbmo-1997-pdmi-problems with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi spbmo spbmo1997 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 1997, ofitsialnyy pdf iz arhiva pdmi stmt-original uslovie ai_checked v gorode neznakomske zhivut \\(3n\\) chelovek, prichem lyubye dva zhitelya imeyut obschego znakomogo. dokazhite, chto mozhno ukazat \\(n\\) chelovek takih, chto kazhdyy iz ostalnyh znakom hotya by s odnim chelovekom iz etih \\(n\\). dominating_set stmt-graph vybor treti zhiteley pri obschem znakomom ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf na \\(3n\\) vershinah, v kotorom u lyubyh dvuh razlichnyh vershin est obschiy sosed. dokazhite, chto suschestvuet mnozhestvo \\(s\\) iz ne bolee chem \\(n\\) vershin, takoe chto kazhdaya vershina vne \\(s\\) smezhna hotya by s odnoy vershinoy iz \\(s\\). simple_graph dominating_set degree neighborhood idea-low-degree-neighborhood sosedi vershiny maloy stepeni pokryvayut vseh esli u nekotorogo zhitelya ne bolshe \\(n\\) znakomyh, to vse ego znakomye podhodyat: lyuboy drugoy chelovek imeet s nim obschego znakomogo, a znachit znakom s kem-to iz etogo mnozhestva. graph_model degree_counting ai_checked idea-random-choice-high-degree pri bolshih stepenyah sluchaynaya tret dominiruet s polozhitelnoy veroyatnostyu esli u kazhdogo bolshe \\(n\\) znakomyh, vyberem sluchayno \\(n\\) zhiteley. dlya fiksirovannogo zhitelya veroyatnost ostatsya vne vybora i bez znakomogo sredi vybrannyh mala; summa etih veroyatnostey po vsem \\(3n\\) zhitelyam menshe 1. goal_existence degree_counting ai_checked sol-degree-split-random-choice razbor po stepeni i sluchaynyy vybor ai_checked simple_graph dominating_set degree neighborhood extremal_choice rassmotrim graf znakomstv: vershiny — zhiteli, a rebra — pary znakomyh. uslovie oznachaet, chto u lyubyh dvuh vershin est obschiy sosed. dostatochno nayti mnozhestvo iz ne bolee chem \\(n\\) vershin, smezhnoe s kazhdoy vershinoy vne etogo mnozhestva; esli vershin okazhetsya menshe \\(n\\), ego mozhno dopolnit proizvolnymi zhitelyami. snachala pust est vershina \\(v\\), stepen kotoroy ne prevoshodit \\(n\\). vozmem v kachestve \\(s\\) vseh sosedey \\(v\\). togda \\(|s|\\le n\\). sama vershina \\(v\\) imeet soseda v \\(s\\). esli zhe vershina \\(x\\) ne lezhit v \\(s\\) i \\(x\\ne v\\), to u \\(x\\) i \\(v\\) est obschiy sosed \\(y\\). poskolku \\(y\\) smezhen s \\(v\\), on lezhit v \\(s\\); poskolku \\(y\\) smezhen s \\(x\\), vershina \\(x\\) tozhe imeet soseda v \\(s\\). znachit, v etom sluchae trebuemoe mnozhestvo naydeno. ostaetsya sluchay, kogda stepen kazhdoy vershiny ne menshe \\(n+1\\). vyberem ravnoveroyatno sredi vseh \\(n\\)-elementnyh podmnozhestv vershin mnozh…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2003-11-qual-p6-kernel-graph-shortened","title":"Захолустные соседи в дереве малого диаметра, СПбМО 2003, отборочный тур, 11 класс P6","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2003-11-qual-p6-kernel-graph-shortened.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2003-11-qual-p6-kernel-graph-shortened.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2003-11-qual-p6-kernel-graph-shortened","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2003, отборочный тур официальный TeX-архив"],"year":"2003","type":"olympiad_problem","authors":["Пастор А."],"tags":["degree_counting","trees","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"После перевода в дерево решение использует школьное подвешивание за центр и подсчет уровней; внешние теоремы не нужны.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальное условие","status":"source_verified","text":"В государстве 2003 города. Они соединены дорогами с двусторонним движением так, что между любыми двумя городами есть единственный путь; причем он проходит не более, чем по 8 дорогам. Город называется захолустным, если из него выходит не более 8 дорог. Докажите, что найдется город, соединенный как минимум с 8 захолустными городами.","definition_ids":["tree","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Сжатая графовая формулировка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — дерево на 2003 вершинах, диаметр которого не превосходит 8. Назовем вершину малой, если ее степень не превосходит 8. Докажите, что в \\(T\\) есть вершина, смежная хотя бы с 8 малыми вершинами.","definition_ids":["tree","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-center-level-counting","title":"ИИ-решение: подсчет уровней от центра дерева","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведем условие на язык графов. Города и дороги образуют дерево \\(T\\) на 2003 вершинах, потому что между любыми двумя вершинами есть ровно один путь. Длина каждого такого пути не больше 8, значит диаметр дерева не больше 8. Вершину степени не больше 8 будем называть малой. Выберем центр дерева и подвесим дерево за него. Поскольку диаметр не больше 8, существует вершина \\(r\\), от которой до любой другой вершины расстояние не больше 4. Значит, все вершины дерева лежат на уровнях 0, 1, 2, 3, 4 от корня \\(r\\). Предположим противное: никакая вершина не смежна хотя бы с 8 малыми вершинами. Сначала докажем, что все вершины дерева малы. Вершины уровня 4 являются листьями, поэтому они малые. Возьмем вершину уровня 3. Все ее дети, если они есть, лежат на уровне 4 и потому малы. Если бы степень этой вершины была больше 8, то, кроме родителя, у нее было бы хотя бы 8 детей, то есть хотя бы 8 малых…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2003-11-qual-p6-kernel-graph-shortened захолустные соседи в дереве малого диаметра, спбмо 2003, отборочный тур, 11 класс p6 degree_counting trees goal_proof 2003 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2003/problems/otb03tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2003 src-spbmo-2003-qual-9-tex with_solution пастор а. санкт-петербургская математическая олимпиада 2003, отборочный тур официальный tex-архив спбмо спбмо2003 пастор а. санкт-петербургская математическая олимпиада 2003, отборочный тур официальный tex-архив stmt-original официальное условие source_verified в государстве 2003 города. они соединены дорогами с двусторонним движением так, что между любыми двумя городами есть единственный путь; причем он проходит не более, чем по 8 дорогам. город называется захолустным, если из него выходит не более 8 дорог. докажите, что найдется город, соединенный как минимум с 8 захолустными городами. tree degree stmt-graph сжатая графовая формулировка ai_checked пусть \\(t\\) — дерево на 2003 вершинах, диаметр которого не превосходит 8. назовем вершину малой, если ее степень не превосходит 8. докажите, что в \\(t\\) есть вершина, смежная хотя бы с 8 малыми вершинами. tree degree idea-root-at-center подвесить дерево за центр так как диаметр дерева не больше 8, у него есть вершина, расстояние от которой до любой другой вершины не больше 4. после подвешивания за такую вершину все дерево укладывается в пять уровней. trees degree_counting ai_checked idea-count-under-no-eight-low-neighbors от противного все степени становятся не больше 7 если ни одна вершина не смежна с 8 малыми вершинами, то вершины нижних уровней последовательно оказываются малыми, а затем каждая вершина имеет не больше 7 соседей. это резко ограничивает число вершин в дереве радиуса 4. degree_counting extremal_choice ai_checked sol-ai-center-level-counting ии-решение: подсчет уровней от центра дерева ai_checked tree degree переведем условие на язык графов. города и дороги образуют дерево \\(t\\) на 2003 вершинах, потому что между любыми двумя вершинами есть ровно один путь. длина каждого такого пути не больше 8, значит диаметр дерева не больше 8. вершину степени не больше 8 будем называть малой. выберем центр дерева и подвесим дерево за него. поскольку диаметр не больше 8, существует вершина \\(r\\), от которой до любой другой вершины расстояние не больше 4. значит, все вершины дерева лежат на уровнях 0, 1, 2, 3, 4 от корня \\(r\\). предположим противное: никакая вершина не смежна хотя бы с 8 малыми вершинами. сначала докажем, что все вершины дерева малы. вершины уровня 4 являются листьями, поэтому они малые. возьмем вершину уровня 3. все ее дети, если они есть, лежат на уровне 4 и потому малы. если бы степень этой вершины была больше 8, то, кроме родителя, у нее было бы хотя бы 8 детей, то есть хотя бы 8 малых… spbmo-2003-11-qual-p6-kernel-graph-shortened zaholustnye sosedi v dereve malogo diametra, spbmo 2003, otborochnyy tur, 11 klass p6 degree_counting trees goal_proof 2003 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2003/problems/otb03tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2003 src-spbmo-2003-qual-9-tex with_solution pastor a. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2003, otborochnyy tur ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2003 pastor a. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2003, otborochnyy tur ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original ofitsialnoe uslovie source_verified v gosudarstve 2003 goroda. oni soedineny dorogami s dvustoronnim dvizheniem tak, chto mezhdu lyubymi dvumya gorodami est edinstvennyy put; prichem on prohodit ne bolee, chem po 8 dorogam. gorod nazyvaetsya zaholustnym, esli iz nego vyhodit ne bolee 8 dorog. dokazhite, chto naydetsya gorod, soedinennyy kak minimum s 8 zaholustnymi gorodami. tree degree stmt-graph szhataya grafovaya formulirovka ai_checked pust \\(t\\) — derevo na 2003 vershinah, diametr kotorogo ne prevoshodit 8. nazovem vershinu maloy, esli ee stepen ne prevoshodit 8. dokazhite, chto v \\(t\\) est vershina, smezhnaya hotya by s 8 malymi vershinami. tree degree idea-root-at-center podvesit derevo za tsentr tak kak diametr dereva ne bolshe 8, u nego est vershina, rasstoyanie ot kotoroy do lyuboy drugoy vershiny ne bolshe 4. posle podveshivaniya za takuyu vershinu vse derevo ukladyvaetsya v pyat urovney. trees degree_counting ai_checked idea-count-under-no-eight-low-neighbors ot protivnogo vse stepeni stanovyatsya ne bolshe 7 esli ni odna vershina ne smezhna s 8 malymi vershinami, to vershiny nizhnih urovney posledovatelno okazyvayutsya malymi, a zatem kazhdaya vershina imeet ne bolshe 7 sosedey. eto rezko ogranichivaet chislo vershin v dereve radiusa 4. degree_counting extremal_choice ai_checked sol-ai-center-level-counting ii-reshenie: podschet urovney ot tsentra dereva ai_checked tree degree perevedem uslovie na yazyk grafov. goroda i dorogi obrazuyut derevo \\(t\\) na 2003 vershinah, potomu chto mezhdu lyubymi dvumya vershinami est rovno odin put. dlina kazhdogo takogo puti ne bolshe 8, znachit diametr dereva ne bolshe 8. vershinu stepeni ne bolshe 8 budem nazyvat maloy. vyberem tsentr dereva i podvesim derevo za nego. poskolku diametr ne bolshe 8, suschestvuet vershina \\(r\\), ot kotoroy do lyuboy drugoy vershiny rasstoyanie ne bolshe 4. znachit, vse vershiny dereva lezhat na urovnyah 0, 1, 2, 3, 4 ot kornya \\(r\\). predpolozhim protivnoe: nikakaya vershina ne smezhna hotya by s 8 malymi vershinami. snachala dokazhem, chto vse vershiny dereva maly. vershiny urovnya 4 yavlyayutsya listyami, poetomu oni malye. vozmem vershinu urovnya 3. vse ee deti, esli oni est, lezhat na urovne 4 i potomu maly. esli by stepen etoy vershiny byla bolshe 8, to, krome roditelya, u nee bylo by hotya by 8 detey, to est hotya by 8 malyh…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring","title":"Раскраска вершин графа по условию на цвета ребер, СПбМО 2003, 9 класс, отборочный тур, задача 5","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2003, отборочный тур официальный TeX-архив"],"year":"2003","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л.","Карпов Д.В.","Пастор А."],"tags":["coloring","graph_model","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"2026-05-06 high-reasoning pass: добавлено полное самодостаточное ИИ-решение. Доказательство сводит условие к пересечениям множеств инцидентных цветов, красит несинглетонные типы конечной таблицей и докрашивает одноцветные звездные компоненты с помощью зарезервированного пятого цвета.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"полное ИИ-решение","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"агент проход высокой сложности, 2026-05-06","notes":"Решение самодостаточно доказывает заявленную 5-раскраску; более сильная 4-раскраска из родственных листков здесь не заявляется и не используется.","audit_source":"manual-high-reasoning-pass-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальное условие","status":"ai_checked","text":"Ребра графа покрашены в четыре цвета таким образом, что у любого пути из трех ребер первое и третье ребро покрашены в разные цвета (начало и конец пути могут совпадать). Докажите, что вершины этого графа можно покрасить в пять цветов таким образом, что любые две соединенные ребром вершины были покрашены в разные цвета.","definition_ids":["simple_graph","path","cycle","chromatic_number"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраска вершин графа по условию на цвета ребер","status":"ai_checked","text":"Пусть ребра простого графа \\(G\\) окрашены в четыре цвета. Для всякого пути \\(v_0v_1v_2v_3\\) из трех ребер, а также для замкнутого случая \\(v_0=v_3\\), цвета ребер \\(v_0v_1\\) и \\(v_2v_3\\) различны. Требуется доказать, что \\(\\chi(G)\\le 5\\).","definition_ids":["simple_graph","path","cycle","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-incident-color-sets-and-reserved-color-stars","title":"Раскраска по множествам инцидентных цветов и звездным одноцветным компонентам","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","path","cycle","chromatic_number"],"standard_idea_ids":[],"tags":["coloring","edge_coloring_constraints","finite_type_coloring","reserved_color","star_forest","goal_proof"],"has_text":true,"text_preview":"Назовем четыре цвета ребер числами \\(1,2,3,4\\). Для вершины \\(v\\) обозначим через \\(S(v)\\) множество цветов ребер, инцидентных \\(v\\). Изолированные вершины можно будет покрасить как угодно. Сначала докажем главный локальный факт. Пусть \\(uv\\) - ребро цвета \\(c\\). Тогда \\[ S(u)\\cap S(v)=\\{c\\}. \\] Действительно, цвет \\(c\\) входит в оба множества. Если же некоторый цвет \\(d\\ne c\\) тоже входит в оба, то существуют ребра \\(ux\\) и \\(vy\\) цвета \\(d\\). Здесь \\(x\\ne v\\) и \\(y\\ne u\\), потому что ребро \\(uv\\) имеет цвет \\(c\\). Если \\(x\\ne y\\), то \\(xuvy\\) - путь из трех ребер, у которого первое и третье ребра имеют один цвет \\(d\\). Если \\(x=y\\), то получается замкнутый путь \\(xuvx\\) длины 3 с тем же нарушением. В обоих случаях противоречие условию. Покрасим все вершины с \\(|S(v)|\\ge 2\\) в четыре из пяти будущих цветов \\(A,B,C,E\\) по такой таблице: \\[ \\{1,2\\},\\{3,4\\},\\{1,2,3,4\\}\\mapsto A; \\quad \\{1…"}],"relations":[{"id":"rel-ms2012-p3-spbmo2003-edge-to-vertex-coloring","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-spbmo2003-p5-to-strong-edge-coloring-conflict-distance","neighbor_id":"greedy-strong-edge-coloring-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo2003-p5-to-mmo2012-subset-intersection-coloring","neighbor_id":"mmo-2012-three-subsets-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo2003-p5-to-imc2022-auxiliary-chromatic-model","neighbor_id":"imc-2022-day1-p4-triples-chromatic-loglog","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring раскраска вершин графа по условию на цвета ребер, спбмо 2003, 9 класс, отборочный тур, задача 5 coloring graph_model goal_proof 2003 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2003/problems/otb03tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2003 src-spbmo-2003-qual-9-tex with_solution берлов с.л. карпов д.в. пастор а. санкт-петербургская математическая олимпиада 2003, отборочный тур официальный tex-архив спбмо спбмо2003 берлов с.л. карпов д.в. пастор а. санкт-петербургская математическая олимпиада 2003, отборочный тур официальный tex-архив stmt-original официальное условие ai_checked ребра графа покрашены в четыре цвета таким образом, что у любого пути из трех ребер первое и третье ребро покрашены в разные цвета (начало и конец пути могут совпадать). докажите, что вершины этого графа можно покрасить в пять цветов таким образом, что любые две соединенные ребром вершины были покрашены в разные цвета. simple_graph path cycle chromatic_number stmt-graph раскраска вершин графа по условию на цвета ребер ai_checked пусть ребра простого графа \\(g\\) окрашены в четыре цвета. для всякого пути \\(v_0v_1v_2v_3\\) из трех ребер, а также для замкнутого случая \\(v_0=v_3\\), цвета ребер \\(v_0v_1\\) и \\(v_2v_3\\) различны. требуется доказать, что \\(\\chi(g)\\le 5\\). simple_graph path cycle chromatic_number idea-incident-color-sets-intersect-only-edge-color множества инцидентных цветов у концов ребра пересекаются только по цвету ребра если ребро \\(uv\\) имеет цвет \\(c\\), а другой цвет \\(d\\ne c\\) встречается и у \\(u\\), и у \\(v\\), то два ребра цвета \\(d\\) вместе с ребром \\(uv\\) дают путь из трех ребер, у которого первое и третье ребра одного цвета. поэтому для соседних вершин их множества инцидентных цветов пересекаются ровно по цвету соединяющего ребра. ai_checked idea-color-by-incident-color-type-and-finish-singletons раскрасить типы вершин и пятым цветом управлять одноцветными звездами вершины, у которых встречаются хотя бы два цвета ребер, можно красить только по подмножеству этих цветов, используя четыре из пяти вершинных цветов. вершины с единственным инцидентным цветом образуют по каждому реберному цвету лес звезд; пятый цвет резервируется для центров таких звезд, а остальные вершины звезды, не имеющие внешних соседей, получают один из уже использованных цветов. ai_checked sol-incident-color-sets-and-reserved-color-stars раскраска по множествам инцидентных цветов и звездным одноцветным компонентам ai_checked simple_graph path cycle chromatic_number coloring edge_coloring_constraints finite_type_coloring reserved_color star_forest goal_proof назовем четыре цвета ребер числами \\(1,2,3,4\\). для вершины \\(v\\) обозначим через \\(s(v)\\) множество цветов ребер, инцидентных \\(v\\). изолированные вершины можно будет покрасить как угодно. сначала докажем главный локальный факт. пусть \\(uv\\) - ребро цвета \\(c\\). тогда \\[ s(u)\\cap s(v)=\\{c\\}. \\] действительно, цвет \\(c\\) входит в оба множества. если же некоторый цвет \\(d\\ne c\\) тоже входит в оба, то существуют ребра \\(ux\\) и \\(vy\\) цвета \\(d\\). здесь \\(x\\ne v\\) и \\(y\\ne u\\), потому что ребро \\(uv\\) имеет цвет \\(c\\). если \\(x\\ne y\\), то \\(xuvy\\) - путь из трех ребер, у которого первое и третье ребра имеют один цвет \\(d\\). если \\(x=y\\), то получается замкнутый путь \\(xuvx\\) длины 3 с тем же нарушением. в обоих случаях противоречие условию. покрасим все вершины с \\(|s(v)|\\ge 2\\) в четыре из пяти будущих цветов \\(a,b,c,e\\) по такой таблице: \\[ \\{1,2\\},\\{3,4\\},\\{1,2,3,4\\}\\mapsto a; \\quad \\{1… spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring raskraska vershin grafa po usloviyu na tsveta reber, spbmo 2003, 9 klass, otborochnyy tur, zadacha 5 coloring graph_model goal_proof 2003 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2003/problems/otb03tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2003 src-spbmo-2003-qual-9-tex with_solution berlov s.l. karpov d.v. pastor a. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2003, otborochnyy tur ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2003 berlov s.l. karpov d.v. pastor a. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2003, otborochnyy tur ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original ofitsialnoe uslovie ai_checked rebra grafa pokrasheny v chetyre tsveta takim obrazom, chto u lyubogo puti iz treh reber pervoe i trete rebro pokrasheny v raznye tsveta (nachalo i konets puti mogut sovpadat). dokazhite, chto vershiny etogo grafa mozhno pokrasit v pyat tsvetov takim obrazom, chto lyubye dve soedinennye rebrom vershiny byli pokrasheny v raznye tsveta. simple_graph path cycle chromatic_number stmt-graph raskraska vershin grafa po usloviyu na tsveta reber ai_checked pust rebra prostogo grafa \\(g\\) okrasheny v chetyre tsveta. dlya vsyakogo puti \\(v_0v_1v_2v_3\\) iz treh reber, a takzhe dlya zamknutogo sluchaya \\(v_0=v_3\\), tsveta reber \\(v_0v_1\\) i \\(v_2v_3\\) razlichny. trebuetsya dokazat, chto \\(\\chi(g)\\le 5\\). simple_graph path cycle chromatic_number idea-incident-color-sets-intersect-only-edge-color mnozhestva intsidentnyh tsvetov u kontsov rebra peresekayutsya tolko po tsvetu rebra esli rebro \\(uv\\) imeet tsvet \\(c\\), a drugoy tsvet \\(d\\ne c\\) vstrechaetsya i u \\(u\\), i u \\(v\\), to dva rebra tsveta \\(d\\) vmeste s rebrom \\(uv\\) dayut put iz treh reber, u kotorogo pervoe i trete rebra odnogo tsveta. poetomu dlya sosednih vershin ih mnozhestva intsidentnyh tsvetov peresekayutsya rovno po tsvetu soedinyayuschego rebra. ai_checked idea-color-by-incident-color-type-and-finish-singletons raskrasit tipy vershin i pyatym tsvetom upravlyat odnotsvetnymi zvezdami vershiny, u kotoryh vstrechayutsya hotya by dva tsveta reber, mozhno krasit tolko po podmnozhestvu etih tsvetov, ispolzuya chetyre iz pyati vershinnyh tsvetov. vershiny s edinstvennym intsidentnym tsvetom obrazuyut po kazhdomu rebernomu tsvetu les zvezd; pyatyy tsvet rezerviruetsya dlya tsentrov takih zvezd, a ostalnye vershiny zvezdy, ne imeyuschie vneshnih sosedey, poluchayut odin iz uzhe ispolzovannyh tsvetov. ai_checked sol-incident-color-sets-and-reserved-color-stars raskraska po mnozhestvam intsidentnyh tsvetov i zvezdnym odnotsvetnym komponentam ai_checked simple_graph path cycle chromatic_number coloring edge_coloring_constraints finite_type_coloring reserved_color star_forest goal_proof nazovem chetyre tsveta reber chislami \\(1,2,3,4\\). dlya vershiny \\(v\\) oboznachim cherez \\(s(v)\\) mnozhestvo tsvetov reber, intsidentnyh \\(v\\). izolirovannye vershiny mozhno budet pokrasit kak ugodno. snachala dokazhem glavnyy lokalnyy fakt. pust \\(uv\\) - rebro tsveta \\(c\\). togda \\[ s(u)\\cap s(v)=\\{c\\}. \\] deystvitelno, tsvet \\(c\\) vhodit v oba mnozhestva. esli zhe nekotoryy tsvet \\(d\\ne c\\) tozhe vhodit v oba, to suschestvuyut rebra \\(ux\\) i \\(vy\\) tsveta \\(d\\). zdes \\(x\\ne v\\) i \\(y\\ne u\\), potomu chto rebro \\(uv\\) imeet tsvet \\(c\\). esli \\(x\\ne y\\), to \\(xuvy\\) - put iz treh reber, u kotorogo pervoe i trete rebra imeyut odin tsvet \\(d\\). esli \\(x=y\\), to poluchaetsya zamknutyy put \\(xuvx\\) dliny 3 s tem zhe narusheniem. v oboih sluchayah protivorechie usloviyu. pokrasim vse vershiny s \\(|s(v)|\\ge 2\\) v chetyre iz pyati buduschih tsvetov \\(a,b,c,e\\) po takoy tablitse: \\[ \\{1,2\\},\\{3,4\\},\\{1,2,3,4\\}\\mapsto a; \\quad \\{1…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2009-11-6-monochromatic-long-cycle","title":"Длинный одноцветный цикл при минимальной степени 2008, СПбМО 2009, 11 класс, II тур, задача 6","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2009-11-6-monochromatic-long-cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2009-11-6-monochromatic-long-cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2009-11-6-monochromatic-long-cycle","source_key":"spbmo","source_label":"Длинный одноцветный цикл при минимальной степени","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2009, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","coloring","double_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Короткая экстремальная графовая задача; ключевой шаг - получить оценку на число ребер в графе без длинного цикла через DFS-лес.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В стране некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит не менее 2008 дорог. Каждую дорогу покрасили в один из двух цветов. Докажите, что существует несамопересекающийся циклический маршрут, в котором не менее 504 дорог и все дороги одного цвета.","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Длинный одноцветный цикл в двухцветном графе","status":"ai_checked","text":"Пусть ребра простого графа с минимальной степенью не меньше 2008 окрашены в два цвета. Докажите, что в одном из цветовых подграфов есть простой цикл длины не меньше 504.","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-expanded","title":"Средняя степень и DFS-оценка для длинного цикла","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть в стране \\(n\\) городов. Так как из каждого города выходит не меньше 2008 дорог, сумма степеней не меньше \\(2008n\\), а значит, всего дорог не меньше \\(1004n\\). Поэтому дорог одного из двух цветов не меньше \\(502n\\). Рассмотрим подграф \\(H\\), образованный дорогами этого цвета. Докажем, что всякий простой граф на \\(n\\) вершинах с не менее чем \\(502n\\) ребрами содержит простой цикл длины не меньше 504. Запустим в таком графе поиск в глубину в каждой компоненте и получим DFS-лес. В неориентированном графе каждое ребро соединяет вершину с ее предком или потомком в этом лесе: если два конца ребра не находятся в отношении предок-потомок, то при просмотре ребра из той вершины, которая была открыта раньше, второй конец был бы еще не завершенной внешней вершиной и попал бы в то же DFS-поддерево. Припишем каждое ребро его более глубокой вершине. Если ребро соединяет вершину \\(v\\) с предком \\(…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2009-11-6-monochromatic-long-cycle длинный одноцветный цикл при минимальной степени 2008, спбмо 2009, 11 класс, ii тур, задача 6 extremal_graph_theory coloring double_counting goal_existence 2009 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2009/problems/91109tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2009 src-spbmo-2009-city-911-tex with_solution длинный одноцветный цикл при минимальной степени длинныйодноцветныйциклприминимальнойстепени длинныйодноцветныйциклприминимальнойстепени2009 санкт-петербургская математическая олимпиада 2009, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив ? санкт-петербургская математическая олимпиада 2009, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original условие ai_checked в стране некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит не менее 2008 дорог. каждую дорогу покрасили в один из двух цветов. докажите, что существует несамопересекающийся циклический маршрут, в котором не менее 504 дорог и все дороги одного цвета. simple_graph degree cycle stmt-graph длинный одноцветный цикл в двухцветном графе ai_checked пусть ребра простого графа с минимальной степенью не меньше 2008 окрашены в два цвета. докажите, что в одном из цветовых подграфов есть простой цикл длины не меньше 504. simple_graph degree cycle idea-average-color-and-erdos-gallai один цвет имеет достаточно много ребер суммарно в графе не меньше 1004n ребер, поэтому один из цветов содержит не меньше 502n ребер. нужный частный случай оценки эрдеша--галлаи доказывается через лес поиска в глубину: если нет цикла длины хотя бы 504, каждое ребро идет только к одному из 502 ближайших предков в dfs-лесе, откуда всего ребер меньше 502n. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-expanded средняя степень и dfs-оценка для длинного цикла ai_checked simple_graph degree cycle double_counting пусть в стране \\(n\\) городов. так как из каждого города выходит не меньше 2008 дорог, сумма степеней не меньше \\(2008n\\), а значит, всего дорог не меньше \\(1004n\\). поэтому дорог одного из двух цветов не меньше \\(502n\\). рассмотрим подграф \\(h\\), образованный дорогами этого цвета. докажем, что всякий простой граф на \\(n\\) вершинах с не менее чем \\(502n\\) ребрами содержит простой цикл длины не меньше 504. запустим в таком графе поиск в глубину в каждой компоненте и получим dfs-лес. в неориентированном графе каждое ребро соединяет вершину с ее предком или потомком в этом лесе: если два конца ребра не находятся в отношении предок-потомок, то при просмотре ребра из той вершины, которая была открыта раньше, второй конец был бы еще не завершенной внешней вершиной и попал бы в то же dfs-поддерево. припишем каждое ребро его более глубокой вершине. если ребро соединяет вершину \\(v\\) с предком \\(… spbmo-2009-11-6-monochromatic-long-cycle dlinnyy odnotsvetnyy tsikl pri minimalnoy stepeni 2008, spbmo 2009, 11 klass, ii tur, zadacha 6 extremal_graph_theory coloring double_counting goal_existence 2009 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2009/problems/91109tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2009 src-spbmo-2009-city-911-tex with_solution dlinnyy odnotsvetnyy tsikl pri minimalnoy stepeni dlinnyyodnotsvetnyytsiklpriminimalnoystepeni dlinnyyodnotsvetnyytsiklpriminimalnoystepeni2009 sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2009, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv ? sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2009, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie ai_checked v strane nekotorye pary gorodov soedineny dorogami, prichem iz kazhdogo goroda vyhodit ne menee 2008 dorog. kazhduyu dorogu pokrasili v odin iz dvuh tsvetov. dokazhite, chto suschestvuet nesamoperesekayuschiysya tsiklicheskiy marshrut, v kotorom ne menee 504 dorog i vse dorogi odnogo tsveta. simple_graph degree cycle stmt-graph dlinnyy odnotsvetnyy tsikl v dvuhtsvetnom grafe ai_checked pust rebra prostogo grafa s minimalnoy stepenyu ne menshe 2008 okrasheny v dva tsveta. dokazhite, chto v odnom iz tsvetovyh podgrafov est prostoy tsikl dliny ne menshe 504. simple_graph degree cycle idea-average-color-and-erdos-gallai odin tsvet imeet dostatochno mnogo reber summarno v grafe ne menshe 1004n reber, poetomu odin iz tsvetov soderzhit ne menshe 502n reber. nuzhnyy chastnyy sluchay otsenki erdesha--gallai dokazyvaetsya cherez les poiska v glubinu: esli net tsikla dliny hotya by 504, kazhdoe rebro idet tolko k odnomu iz 502 blizhayshih predkov v dfs-lese, otkuda vsego reber menshe 502n. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-expanded srednyaya stepen i dfs-otsenka dlya dlinnogo tsikla ai_checked simple_graph degree cycle double_counting pust v strane \\(n\\) gorodov. tak kak iz kazhdogo goroda vyhodit ne menshe 2008 dorog, summa stepeney ne menshe \\(2008n\\), a znachit, vsego dorog ne menshe \\(1004n\\). poetomu dorog odnogo iz dvuh tsvetov ne menshe \\(502n\\). rassmotrim podgraf \\(h\\), obrazovannyy dorogami etogo tsveta. dokazhem, chto vsyakiy prostoy graf na \\(n\\) vershinah s ne menee chem \\(502n\\) rebrami soderzhit prostoy tsikl dliny ne menshe 504. zapustim v takom grafe poisk v glubinu v kazhdoy komponente i poluchim dfs-les. v neorientirovannom grafe kazhdoe rebro soedinyaet vershinu s ee predkom ili potomkom v etom lese: esli dva kontsa rebra ne nahodyatsya v otnoshenii predok-potomok, to pri prosmotre rebra iz toy vershiny, kotoraya byla otkryta ranshe, vtoroy konets byl by esche ne zavershennoy vneshney vershinoy i popal by v to zhe dfs-podderevo. pripishem kazhdoe rebro ego bolee glubokoy vershine. esli rebro soedinyaet vershinu \\(v\\) s predkom \\(…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game","title":"Игра на рёбрах кубического графа и три компании, СПбМО 2010, 10 класс, задача 4","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":["Карпов Д.В."],"tags":["coloring","goal_strategy_game","graph_model","invariant","minimal_counterexample"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Городской тур СПбМО 2010, 10 класс, задача 4; условие и автор сверены с официальным TeX. Решение использует локальные угрозы, вилку двух опасных вершин и спуск по свежим компонентам кубического графа.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"реконструкция агентом высокой сложности после поиска официального решения","notes":"Официальное решение не найдено; текущий текст является самостоятельной реконструкцией с закрытым финальным шагом.","audit_source":"official-plan-expansion-spbmo-2010-10-p4-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В стране 2010 городов, из каждого из которых выходит ровно по три дороги, ведущие в другие города. Президент и премьер-министр играют в следующую игру: они по очереди продают дороги трём частным компаниям; изначально все дороги государственные, каждый своим ходом продаёт ровно одну дорогу. Первым ходит премьер. Президент хочет добиться того, чтобы хотя бы для одного города все три выходящие из него дороги оказались проданы разным компаниям, а премьер хочет этого избежать. Проигравший уходит в отставку. Кто из двух политиков сможет сохранить свой пост при правильной игре?","definition_ids":["simple_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра раскраски рёбер кубического графа","status":"ai_checked","text":"Дан 3-регулярный граф на 2010 вершинах. Два игрока по очереди окрашивают по одному ещё не окрашенному ребру в один из трёх цветов; первый ходит игрок, который хочет избежать радужной вершины. Второй игрок выигрывает, если в некоторый момент найдётся вершина, у которой три инцидентных ребра имеют три попарно различных цвета. Первый игрок выигрывает, если все рёбра окрашены и такой вершины не появилось. Определите, кто имеет выигрышную стратегию.","definition_ids":["simple_graph","degree","bridge","cycle","path","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-double-threat-and-recursive-descent","title":"Две угрозы на конце пути и спуск в свежую компоненту","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","bridge","cycle","path","tree"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: президент сохраняет свой пост. Будем говорить, что вершина опасна, если у неё уже окрашены два инцидентных ребра в два разных цвета, а третье инцидентное ребро ещё не окрашено. Если после хода премьера есть опасная вершина, президент сразу выигрывает: он окрашивает третье ребро этой вершины в оставшийся третий цвет. Поэтому, когда президент своим ходом создаёт опасную вершину, премьер обязан следующим ходом окрашивать именно её третье ребро и обязан красить его в один из двух уже имеющихся у этой вершины цветов. Сначала опишем вспомогательную вилку. Пусть есть неокрашенный путь \\[ p_0p_1\\ldots p_k \\] в такой части графа, где никакие другие рёбра, инцидентные вершинам пути, ещё не окрашены, кроме двух внешних рёбер, входящих в \\(p_0\\) и \\(p_k\\). Президент ходит. Если \\(k=1\\), он красит ребро \\(p_0p_1\\) в цвет, отличный от цветов обоих внешних рёбер, если эти цвета различны, и в лю…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-game-fork-strategy-lemma","neighbor_id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-spbmo-2010-10-p4-spbmo-2010-cycle-games-same-archive-weak","neighbor_id":"spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game игра на рёбрах кубического графа и три компании, спбмо 2010, 10 класс, задача 4 coloring goal_strategy_game graph_model invariant minimal_counterexample 2010 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2010/problems/91110tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2010 src-spbmo-2010-city-911-tex with_solution карпов д.в. санкт-петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив спбмо спбмо2010 карпов д.в. санкт-петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original условие ai_checked в стране 2010 городов, из каждого из которых выходит ровно по три дороги, ведущие в другие города. президент и премьер-министр играют в следующую игру: они по очереди продают дороги трём частным компаниям; изначально все дороги государственные, каждый своим ходом продаёт ровно одну дорогу. первым ходит премьер. президент хочет добиться того, чтобы хотя бы для одного города все три выходящие из него дороги оказались проданы разным компаниям, а премьер хочет этого избежать. проигравший уходит в отставку. кто из двух политиков сможет сохранить свой пост при правильной игре? simple_graph degree stmt-graph игра раскраски рёбер кубического графа ai_checked дан 3-регулярный граф на 2010 вершинах. два игрока по очереди окрашивают по одному ещё не окрашенному ребру в один из трёх цветов; первый ходит игрок, который хочет избежать радужной вершины. второй игрок выигрывает, если в некоторый момент найдётся вершина, у которой три инцидентных ребра имеют три попарно различных цвета. первый игрок выигрывает, если все рёбра окрашены и такой вершины не появилось. определите, кто имеет выигрышную стратегию. simple_graph degree bridge cycle path tree idea-local-threat опасная вершина с двумя разными цветами если у вершины степени 3 уже окрашены два инцидентных ребра в разные цвета, а третье ещё свободно, то на своём следующем ходе президент немедленно выигрывает, окрашивая третье ребро в оставшийся цвет. поэтому премьер обязан гасить каждую такую угрозу сразу. coloring goal_strategy_game graph_model ai_checked idea-double-threat-path путь между двумя окрашенными входами даёт вилку если две вершины соединены ещё неокрашенным путём, а в каждую из них уже входит по одному окрашенному ребру извне, президент может идти по этому пути, каждый раз создавая единственную локальную угрозу. на последнем ребре он выбирает цвет, отличный от цвета предыдущего ребра пути и от цвета второго входа; тогда опасными становятся сразу обе концевые вершины, и премьер может закрыть только одну угрозу. goal_strategy_game extremal_choice graph_model ai_checked idea-descend-to-cycle спуск по свежей компоненте не может продолжаться бесконечно после закрытия опасной вершины можно смотреть на свежую компоненту за одним из только что окрашенных рёбер. если два передних соседа текущей вершины уже соединены внутри этой компоненты, применяется вилка по пути. если нет, каждая отделившаяся свежая компонента имеет ровно одну вершину с внутренней степенью 2, остальные степени 3, а значит содержит цикл; президент переходит в меньшую такую компоненту. в конечном графе этот спуск обязан остановиться. goal_strategy_game minimal_counterexample degree_counting ai_checked sol-double-threat-and-recursive-descent две угрозы на конце пути и спуск в свежую компоненту ai_checked simple_graph degree bridge cycle path tree invariant ответ: президент сохраняет свой пост. будем говорить, что вершина опасна, если у неё уже окрашены два инцидентных ребра в два разных цвета, а третье инцидентное ребро ещё не окрашено. если после хода премьера есть опасная вершина, президент сразу выигрывает: он окрашивает третье ребро этой вершины в оставшийся третий цвет. поэтому, когда президент своим ходом создаёт опасную вершину, премьер обязан следующим ходом окрашивать именно её третье ребро и обязан красить его в один из двух уже имеющихся у этой вершины цветов. сначала опишем вспомогательную вилку. пусть есть неокрашенный путь \\[ p_0p_1\\ldots p_k \\] в такой части графа, где никакие другие рёбра, инцидентные вершинам пути, ещё не окрашены, кроме двух внешних рёбер, входящих в \\(p_0\\) и \\(p_k\\). президент ходит. если \\(k=1\\), он красит ребро \\(p_0p_1\\) в цвет, отличный от цветов обоих внешних рёбер, если эти цвета различны, и в лю… spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game igra na rebrah kubicheskogo grafa i tri kompanii, spbmo 2010, 10 klass, zadacha 4 coloring goal_strategy_game graph_model invariant minimal_counterexample 2010 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2010/problems/91110tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2010 src-spbmo-2010-city-911-tex with_solution karpov d.v. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2010, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2010 karpov d.v. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2010, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie ai_checked v strane 2010 gorodov, iz kazhdogo iz kotoryh vyhodit rovno po tri dorogi, veduschie v drugie goroda. prezident i premer-ministr igrayut v sleduyuschuyu igru: oni po ocheredi prodayut dorogi trem chastnym kompaniyam; iznachalno vse dorogi gosudarstvennye, kazhdyy svoim hodom prodaet rovno odnu dorogu. pervym hodit premer. prezident hochet dobitsya togo, chtoby hotya by dlya odnogo goroda vse tri vyhodyaschie iz nego dorogi okazalis prodany raznym kompaniyam, a premer hochet etogo izbezhat. proigravshiy uhodit v otstavku. kto iz dvuh politikov smozhet sohranit svoy post pri pravilnoy igre? simple_graph degree stmt-graph igra raskraski reber kubicheskogo grafa ai_checked dan 3-regulyarnyy graf na 2010 vershinah. dva igroka po ocheredi okrashivayut po odnomu esche ne okrashennomu rebru v odin iz treh tsvetov; pervyy hodit igrok, kotoryy hochet izbezhat raduzhnoy vershiny. vtoroy igrok vyigryvaet, esli v nekotoryy moment naydetsya vershina, u kotoroy tri intsidentnyh rebra imeyut tri poparno razlichnyh tsveta. pervyy igrok vyigryvaet, esli vse rebra okrasheny i takoy vershiny ne poyavilos. opredelite, kto imeet vyigryshnuyu strategiyu. simple_graph degree bridge cycle path tree idea-local-threat opasnaya vershina s dvumya raznymi tsvetami esli u vershiny stepeni 3 uzhe okrasheny dva intsidentnyh rebra v raznye tsveta, a trete esche svobodno, to na svoem sleduyuschem hode prezident nemedlenno vyigryvaet, okrashivaya trete rebro v ostavshiysya tsvet. poetomu premer obyazan gasit kazhduyu takuyu ugrozu srazu. coloring goal_strategy_game graph_model ai_checked idea-double-threat-path put mezhdu dvumya okrashennymi vhodami daet vilku esli dve vershiny soedineny esche neokrashennym putem, a v kazhduyu iz nih uzhe vhodit po odnomu okrashennomu rebru izvne, prezident mozhet idti po etomu puti, kazhdyy raz sozdavaya edinstvennuyu lokalnuyu ugrozu. na poslednem rebre on vybiraet tsvet, otlichnyy ot tsveta predyduschego rebra puti i ot tsveta vtorogo vhoda; togda opasnymi stanovyatsya srazu obe kontsevye vershiny, i premer mozhet zakryt tolko odnu ugrozu. goal_strategy_game extremal_choice graph_model ai_checked idea-descend-to-cycle spusk po svezhey komponente ne mozhet prodolzhatsya beskonechno posle zakrytiya opasnoy vershiny mozhno smotret na svezhuyu komponentu za odnim iz tolko chto okrashennyh reber. esli dva perednih soseda tekuschey vershiny uzhe soedineny vnutri etoy komponenty, primenyaetsya vilka po puti. esli net, kazhdaya otdelivshayasya svezhaya komponenta imeet rovno odnu vershinu s vnutrenney stepenyu 2, ostalnye stepeni 3, a znachit soderzhit tsikl; prezident perehodit v menshuyu takuyu komponentu. v konechnom grafe etot spusk obyazan ostanovitsya. goal_strategy_game minimal_counterexample degree_counting ai_checked sol-double-threat-and-recursive-descent dve ugrozy na kontse puti i spusk v svezhuyu komponentu ai_checked simple_graph degree bridge cycle path tree invariant otvet: prezident sohranyaet svoy post. budem govorit, chto vershina opasna, esli u nee uzhe okrasheny dva intsidentnyh rebra v dva raznyh tsveta, a trete intsidentnoe rebro esche ne okrasheno. esli posle hoda premera est opasnaya vershina, prezident srazu vyigryvaet: on okrashivaet trete rebro etoy vershiny v ostavshiysya tretiy tsvet. poetomu, kogda prezident svoim hodom sozdaet opasnuyu vershinu, premer obyazan sleduyuschim hodom okrashivat imenno ee trete rebro i obyazan krasit ego v odin iz dvuh uzhe imeyuschihsya u etoy vershiny tsvetov. snachala opishem vspomogatelnuyu vilku. pust est neokrashennyy put \\[ p_0p_1\\ldots p_k \\] v takoy chasti grafa, gde nikakie drugie rebra, intsidentnye vershinam puti, esche ne okrasheny, krome dvuh vneshnih reber, vhodyaschih v \\(p_0\\) i \\(p_k\\). prezident hodit. esli \\(k=1\\), on krasit rebro \\(p_0p_1\\) v tsvet, otlichnyy ot tsvetov oboih vneshnih reber, esli eti tsveta razlichny, i v lyu…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game","title":"Игра на полном графе \\(K_{2009}\\) и цикл длины 75, СПбМО 2010, 11 класс, II тур, задача 3","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game","source_key":"spbmo","source_label":"Игра на полном графе \\(K_{","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л."],"tags":["goal_strategy_game","construction","pigeonhole_principle","graph_model"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"СПбМО 2010, 11 класс. Идея короткая, но решение требует аккуратного учета чисел: 12 заранее приватизированных спиц, 11 запасных концов против 10 вечерних разрушений и запас 2009 вершин для жадного продолжения пути.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В стране 2009 городов и любые два из них соединены дорогой (не проходящей через другие города). Бизнесмен и Министерство Дорожного Строительства играют в игру. Бизнесмен каждое утро приватизирует одну из дорог, а Министерство каждый вечер разрушает по десять еще не приватизированных им дорог. Сможет ли Бизнесмен, несмотря на козни Министерства, создать циклический маршрут из приватизированных дорог, проходящий по одному разу ровно по 75 разным городам?","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра на полном графе \\(K_{2009}\\) и цикл длины 75","status":"ai_checked","text":"На ребрах полного графа \\(K_{2009}\\) играют два игрока. За ход первого игрока выбирается одно еще не выбранное и не заблокированное ребро; после этого второй игрок блокирует десять еще не выбранных первым игроком ребер. Выбранные первым игроком ребра уже нельзя заблокировать. Докажите, что первый игрок может гарантированно получить среди своих ребер простой цикл длины ровно 75.","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-reserve-spokes-and-greedy-path","title":"Запасные спицы и жадное построение пути","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: сможет. Сначала Бизнесмен выбирает город \\(c\\). В течение первых 12 утренних ходов он приватизирует 12 дорог из \\(c\\) в разные города; обозначим их концы через \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{11}\\). Это возможно: перед \\(k\\)-м из этих ходов уже приватизировано \\(k-1\\) дорог из \\(c\\), а Министерство успело разрушить всего не более \\(10(k-1)\\) дорог, так что при \\(k\\le 12\\) из \\(2008\\) дорог, выходящих из \\(c\\), еще остается свободная дорога. Дальше город \\(a_0\\) будет началом длинного пути, а города \\(a_1,\\ldots,a_{11}\\) оставим запасными для конца пути. Назовем город хорошим, если он не равен \\(c,a_0,a_1,\\ldots,a_{11}\\), еще не использован в строящемся пути и ни одна из дорог от него к запасным городам \\(a_1,\\ldots,a_{11}\\) не разрушена. Покажем, что Бизнесмен может 72 раза подряд продолжить путь из текущего конца в новый хороший город. Перед любым из этих 72 ходов с начала игры прошло не бо…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2010-11-p3-smmc-2017-a1-more-threats-than-blocks","neighbor_id":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2010-9-p5-spbmo-2010-11-p3-cycle-game","neighbor_id":"spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game игра на полном графе \\(k_{2009}\\) и цикл длины 75, спбмо 2010, 11 класс, ii тур, задача 3 goal_strategy_game construction pigeonhole_principle graph_model 2010 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2010/problems/91110tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2010 src-spbmo-2010-city-911-tex with_solution берлов с.л. игра на полном графе \\(k_{ игранаполномграфеk игранаполномграфеk2010 санкт-петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original условие ai_checked в стране 2009 городов и любые два из них соединены дорогой (не проходящей через другие города). бизнесмен и министерство дорожного строительства играют в игру. бизнесмен каждое утро приватизирует одну из дорог, а министерство каждый вечер разрушает по десять еще не приватизированных им дорог. сможет ли бизнесмен, несмотря на козни министерства, создать циклический маршрут из приватизированных дорог, проходящий по одному разу ровно по 75 разным городам? complete_graph cycle stmt-graph игра на полном графе \\(k_{2009}\\) и цикл длины 75 ai_checked на ребрах полного графа \\(k_{2009}\\) играют два игрока. за ход первого игрока выбирается одно еще не выбранное и не заблокированное ребро; после этого второй игрок блокирует десять еще не выбранных первым игроком ребер. выбранные первым игроком ребра уже нельзя заблокировать. докажите, что первый игрок может гарантированно получить среди своих ребер простой цикл длины ровно 75. complete_graph cycle idea-reserved-spokes сначала приватизировать запасные ребра к одному центру если заранее приватизировать 12 ребер из одного города \\(c\\) к вершинам \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{11}\\), то министерство уже не сможет разрушить эти ребра. дальше достаточно построить приватизированный путь от \\(a_0\\) к одной из запасных вершин \\(a_i\\): вместе с двумя приватизированными ребрами к \\(c\\) он даст цикл. construction goal_strategy_game ai_checked idea-eleven-final-options одиннадцать вариантов сильнее десяти разрушений финальную вершину пути выбирают так, чтобы от нее не были разрушены все 11 ребер к запасным вершинам \\(a_1,\\ldots,a_{11}\\). после вечернего хода министерство может разрушить не больше 10 из них, поэтому утром у бизнесмена останется хотя бы одно завершающее ребро. pigeonhole_principle goal_strategy_game ai_checked idea-good-vertices-count хороших вершин для продолжения пути всегда много назовем вершину хорошей, если ни одно из ее 11 ребер к запасным вершинам не разрушено. после не более чем 83 вечерних ходов разрушено не более 830 ребер, значит плохих вершин относительно запасного множества не более 830. даже с учетом уже использованных вершин и разрушенных ребер из текущего конца пути хорошая доступная вершина остается. pigeonhole_principle graph_model ai_checked sol-reserve-spokes-and-greedy-path запасные спицы и жадное построение пути ai_checked complete_graph cycle pigeonhole_principle greedy_ordering ответ: сможет. сначала бизнесмен выбирает город \\(c\\). в течение первых 12 утренних ходов он приватизирует 12 дорог из \\(c\\) в разные города; обозначим их концы через \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{11}\\). это возможно: перед \\(k\\)-м из этих ходов уже приватизировано \\(k-1\\) дорог из \\(c\\), а министерство успело разрушить всего не более \\(10(k-1)\\) дорог, так что при \\(k\\le 12\\) из \\(2008\\) дорог, выходящих из \\(c\\), еще остается свободная дорога. дальше город \\(a_0\\) будет началом длинного пути, а города \\(a_1,\\ldots,a_{11}\\) оставим запасными для конца пути. назовем город хорошим, если он не равен \\(c,a_0,a_1,\\ldots,a_{11}\\), еще не использован в строящемся пути и ни одна из дорог от него к запасным городам \\(a_1,\\ldots,a_{11}\\) не разрушена. покажем, что бизнесмен может 72 раза подряд продолжить путь из текущего конца в новый хороший город. перед любым из этих 72 ходов с начала игры прошло не бо… spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game igra na polnom grafe \\(k_{2009}\\) i tsikl dliny 75, spbmo 2010, 11 klass, ii tur, zadacha 3 goal_strategy_game construction pigeonhole_principle graph_model 2010 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2010/problems/91110tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2010 src-spbmo-2010-city-911-tex with_solution berlov s.l. igra na polnom grafe \\(k_{ igranapolnomgrafek igranapolnomgrafek2010 sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2010, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2010, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie ai_checked v strane 2009 gorodov i lyubye dva iz nih soedineny dorogoy (ne prohodyaschey cherez drugie goroda). biznesmen i ministerstvo dorozhnogo stroitelstva igrayut v igru. biznesmen kazhdoe utro privatiziruet odnu iz dorog, a ministerstvo kazhdyy vecher razrushaet po desyat esche ne privatizirovannyh im dorog. smozhet li biznesmen, nesmotrya na kozni ministerstva, sozdat tsiklicheskiy marshrut iz privatizirovannyh dorog, prohodyaschiy po odnomu razu rovno po 75 raznym gorodam? complete_graph cycle stmt-graph igra na polnom grafe \\(k_{2009}\\) i tsikl dliny 75 ai_checked na rebrah polnogo grafa \\(k_{2009}\\) igrayut dva igroka. za hod pervogo igroka vybiraetsya odno esche ne vybrannoe i ne zablokirovannoe rebro; posle etogo vtoroy igrok blokiruet desyat esche ne vybrannyh pervym igrokom reber. vybrannye pervym igrokom rebra uzhe nelzya zablokirovat. dokazhite, chto pervyy igrok mozhet garantirovanno poluchit sredi svoih reber prostoy tsikl dliny rovno 75. complete_graph cycle idea-reserved-spokes snachala privatizirovat zapasnye rebra k odnomu tsentru esli zaranee privatizirovat 12 reber iz odnogo goroda \\(c\\) k vershinam \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{11}\\), to ministerstvo uzhe ne smozhet razrushit eti rebra. dalshe dostatochno postroit privatizirovannyy put ot \\(a_0\\) k odnoy iz zapasnyh vershin \\(a_i\\): vmeste s dvumya privatizirovannymi rebrami k \\(c\\) on dast tsikl. construction goal_strategy_game ai_checked idea-eleven-final-options odinnadtsat variantov silnee desyati razrusheniy finalnuyu vershinu puti vybirayut tak, chtoby ot nee ne byli razrusheny vse 11 reber k zapasnym vershinam \\(a_1,\\ldots,a_{11}\\). posle vechernego hoda ministerstvo mozhet razrushit ne bolshe 10 iz nih, poetomu utrom u biznesmena ostanetsya hotya by odno zavershayuschee rebro. pigeonhole_principle goal_strategy_game ai_checked idea-good-vertices-count horoshih vershin dlya prodolzheniya puti vsegda mnogo nazovem vershinu horoshey, esli ni odno iz ee 11 reber k zapasnym vershinam ne razrusheno. posle ne bolee chem 83 vechernih hodov razrusheno ne bolee 830 reber, znachit plohih vershin otnositelno zapasnogo mnozhestva ne bolee 830. dazhe s uchetom uzhe ispolzovannyh vershin i razrushennyh reber iz tekuschego kontsa puti horoshaya dostupnaya vershina ostaetsya. pigeonhole_principle graph_model ai_checked sol-reserve-spokes-and-greedy-path zapasnye spitsy i zhadnoe postroenie puti ai_checked complete_graph cycle pigeonhole_principle greedy_ordering otvet: smozhet. snachala biznesmen vybiraet gorod \\(c\\). v techenie pervyh 12 utrennih hodov on privatiziruet 12 dorog iz \\(c\\) v raznye goroda; oboznachim ih kontsy cherez \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{11}\\). eto vozmozhno: pered \\(k\\)-m iz etih hodov uzhe privatizirovano \\(k-1\\) dorog iz \\(c\\), a ministerstvo uspelo razrushit vsego ne bolee \\(10(k-1)\\) dorog, tak chto pri \\(k\\le 12\\) iz \\(2008\\) dorog, vyhodyaschih iz \\(c\\), esche ostaetsya svobodnaya doroga. dalshe gorod \\(a_0\\) budet nachalom dlinnogo puti, a goroda \\(a_1,\\ldots,a_{11}\\) ostavim zapasnymi dlya kontsa puti. nazovem gorod horoshim, esli on ne raven \\(c,a_0,a_1,\\ldots,a_{11}\\), esche ne ispolzovan v stroyaschemsya puti i ni odna iz dorog ot nego k zapasnym gorodam \\(a_1,\\ldots,a_{11}\\) ne razrushena. pokazhem, chto biznesmen mozhet 72 raza podryad prodolzhit put iz tekuschego kontsa v novyy horoshiy gorod. pered lyubym iz etih 72 hodov s nachala igry proshlo ne bo…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game","title":"Игра на полном графе \\(K_{2010}\\) и цикл длины 11, СПбМО 2010, 9 класс, II тур, задача 5","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game","source_key":"spbmo","source_label":"Игра на полном графе \\(K_{","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л."],"tags":["goal_strategy_game","construction","pigeonhole_principle","trees","graph_model"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"СПбМО 2010, 9 класс. Ключевая идея доступна: построить много лучей длины 5 и получить 11 одновременных возможностей замкнуть цикл против 10 вечерних разрушений; аккуратность нужна только в счете свободных городов.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В стране 2010 городов и любые два из них соединены дорогой (не проходящей через другие города). Бизнесмен и Министерство Дорожного Строительства играют в игру. Бизнесмен каждое утро приватизирует одну из дорог, а Министерство каждый вечер разрушает по десять еще не приватизированных дорог. Сможет ли Бизнесмен, несмотря на козни Министерства, создать циклический маршрут по приватизированным дорогам, проходящий по одному разу по 11 разным городам?","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра на полном графе \\(K_{2010}\\) и цикл длины 11","status":"ai_checked","text":"На ребрах полного графа \\(K_{2010}\\) играют два игрока. За ход первого игрока выбирается одно еще не выбранное и не заблокированное ребро; после этого второй игрок блокирует десять еще не выбранных первым игроком ребер. Выбранные первым игроком ребра уже нельзя заблокировать. Докажите, что первый игрок может гарантированно получить среди своих ребер простой цикл длины ровно 11.","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-subdivided-star-eleven-threats","title":"Двенадцатый луч и одиннадцать угроз замыкания","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","path","cycle"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: сможет. Выберем город \\(c\\). Бизнесмен сначала построит из \\(c\\) 11 попарно не пересекающихся внутри приватизированных путей длины 5. Будем называть их лучами, а их последние города - концами лучей. Это можно делать жадно: перед каждым из первых 55 утренних ходов Министерство успело разрушить не более \\(10\\cdot 54=540\\) дорог, а использовано меньше 56 городов. Поэтому из текущего конца строящегося луча остается хотя бы один еще не использованный город, дорога к которому не разрушена; Бизнесмен приватизирует такую дорогу. Если в процессе уже появился нужный цикл, задача решена, так что считаем, что этого не произошло. Обозначим концы построенных 11 лучей через \\(l_1,\\ldots,l_{11}\\). Теперь Бизнесмен начинает строить из того же центра \\(c\\) двенадцатый луч, снова используя только новые города, и жадно приватизирует первые 4 его дороги. Это возможно по той же причине: к этому момент…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2010-9-p5-spbmo-2010-11-p3-cycle-game","neighbor_id":"spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2018-10-p1-spbmo-2010-9-p5-road-destruction-complete-graph","neighbor_id":"spbmo-2018-10-p1-complete-graph-road-destruction-path","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2010-10-p4-spbmo-2010-cycle-games-same-archive-weak","neighbor_id":"spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game игра на полном графе \\(k_{2010}\\) и цикл длины 11, спбмо 2010, 9 класс, ii тур, задача 5 goal_strategy_game construction pigeonhole_principle trees graph_model 2010 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2010/problems/91110tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2010 src-spbmo-2010-city-911-tex with_solution берлов с.л. игра на полном графе \\(k_{ игранаполномграфеk игранаполномграфеk2010 санкт-петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2010, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original условие ai_checked в стране 2010 городов и любые два из них соединены дорогой (не проходящей через другие города). бизнесмен и министерство дорожного строительства играют в игру. бизнесмен каждое утро приватизирует одну из дорог, а министерство каждый вечер разрушает по десять еще не приватизированных дорог. сможет ли бизнесмен, несмотря на козни министерства, создать циклический маршрут по приватизированным дорогам, проходящий по одному разу по 11 разным городам? complete_graph cycle stmt-graph игра на полном графе \\(k_{2010}\\) и цикл длины 11 ai_checked на ребрах полного графа \\(k_{2010}\\) играют два игрока. за ход первого игрока выбирается одно еще не выбранное и не заблокированное ребро; после этого второй игрок блокирует десять еще не выбранных первым игроком ребер. выбранные первым игроком ребра уже нельзя заблокировать. докажите, что первый игрок может гарантированно получить среди своих ребер простой цикл длины ровно 11. complete_graph cycle idea-subdivided-star луч длины 5 превращает два конца в цикл длины 11 если из одного центра построены два непересекающихся внутри луча длины 5, то их концы соединены приватизированным путем длины 10 через центр. достаточно затем приватизировать дорогу между этими концами, чтобы получить простой цикл длины 11. trees goal_strategy_game ai_checked idea-eleven-closing-options одиннадцать замыкающих дорог сильнее десяти разрушений после построения 11 старых лучей можно выбрать конец нового луча так, чтобы дороги от него ко всем 11 старым концам были целы. вечером министерство может разрушить только 10 таких дорог, поэтому утром у бизнесмена останется хотя бы одна дорога, замыкающая цикл. pigeonhole_principle goal_strategy_game ai_checked idea-global-destroyed-edge-count глобальный счет разрушенных дорог оставляет свежий выбор до решающего выбора сделано меньше 60 ходов бизнесмена, значит министерство разрушило меньше 600 дорог. одна разрушенная дорога может запретить не более одного кандидата на новый конец луча, поэтому среди почти двух тысяч еще не использованных городов остается много подходящих кандидатов. pigeonhole_principle graph_model ai_checked sol-subdivided-star-eleven-threats двенадцатый луч и одиннадцать угроз замыкания ai_checked complete_graph path cycle pigeonhole_principle greedy_ordering ответ: сможет. выберем город \\(c\\). бизнесмен сначала построит из \\(c\\) 11 попарно не пересекающихся внутри приватизированных путей длины 5. будем называть их лучами, а их последние города - концами лучей. это можно делать жадно: перед каждым из первых 55 утренних ходов министерство успело разрушить не более \\(10\\cdot 54=540\\) дорог, а использовано меньше 56 городов. поэтому из текущего конца строящегося луча остается хотя бы один еще не использованный город, дорога к которому не разрушена; бизнесмен приватизирует такую дорогу. если в процессе уже появился нужный цикл, задача решена, так что считаем, что этого не произошло. обозначим концы построенных 11 лучей через \\(l_1,\\ldots,l_{11}\\). теперь бизнесмен начинает строить из того же центра \\(c\\) двенадцатый луч, снова используя только новые города, и жадно приватизирует первые 4 его дороги. это возможно по той же причине: к этому момент… spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game igra na polnom grafe \\(k_{2010}\\) i tsikl dliny 11, spbmo 2010, 9 klass, ii tur, zadacha 5 goal_strategy_game construction pigeonhole_principle trees graph_model 2010 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2010/problems/91110tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2010 src-spbmo-2010-city-911-tex with_solution berlov s.l. igra na polnom grafe \\(k_{ igranapolnomgrafek igranapolnomgrafek2010 sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2010, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2010, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie ai_checked v strane 2010 gorodov i lyubye dva iz nih soedineny dorogoy (ne prohodyaschey cherez drugie goroda). biznesmen i ministerstvo dorozhnogo stroitelstva igrayut v igru. biznesmen kazhdoe utro privatiziruet odnu iz dorog, a ministerstvo kazhdyy vecher razrushaet po desyat esche ne privatizirovannyh dorog. smozhet li biznesmen, nesmotrya na kozni ministerstva, sozdat tsiklicheskiy marshrut po privatizirovannym dorogam, prohodyaschiy po odnomu razu po 11 raznym gorodam? complete_graph cycle stmt-graph igra na polnom grafe \\(k_{2010}\\) i tsikl dliny 11 ai_checked na rebrah polnogo grafa \\(k_{2010}\\) igrayut dva igroka. za hod pervogo igroka vybiraetsya odno esche ne vybrannoe i ne zablokirovannoe rebro; posle etogo vtoroy igrok blokiruet desyat esche ne vybrannyh pervym igrokom reber. vybrannye pervym igrokom rebra uzhe nelzya zablokirovat. dokazhite, chto pervyy igrok mozhet garantirovanno poluchit sredi svoih reber prostoy tsikl dliny rovno 11. complete_graph cycle idea-subdivided-star luch dliny 5 prevraschaet dva kontsa v tsikl dliny 11 esli iz odnogo tsentra postroeny dva neperesekayuschihsya vnutri lucha dliny 5, to ih kontsy soedineny privatizirovannym putem dliny 10 cherez tsentr. dostatochno zatem privatizirovat dorogu mezhdu etimi kontsami, chtoby poluchit prostoy tsikl dliny 11. trees goal_strategy_game ai_checked idea-eleven-closing-options odinnadtsat zamykayuschih dorog silnee desyati razrusheniy posle postroeniya 11 staryh luchey mozhno vybrat konets novogo lucha tak, chtoby dorogi ot nego ko vsem 11 starym kontsam byli tsely. vecherom ministerstvo mozhet razrushit tolko 10 takih dorog, poetomu utrom u biznesmena ostanetsya hotya by odna doroga, zamykayuschaya tsikl. pigeonhole_principle goal_strategy_game ai_checked idea-global-destroyed-edge-count globalnyy schet razrushennyh dorog ostavlyaet svezhiy vybor do reshayuschego vybora sdelano menshe 60 hodov biznesmena, znachit ministerstvo razrushilo menshe 600 dorog. odna razrushennaya doroga mozhet zapretit ne bolee odnogo kandidata na novyy konets lucha, poetomu sredi pochti dvuh tysyach esche ne ispolzovannyh gorodov ostaetsya mnogo podhodyaschih kandidatov. pigeonhole_principle graph_model ai_checked sol-subdivided-star-eleven-threats dvenadtsatyy luch i odinnadtsat ugroz zamykaniya ai_checked complete_graph path cycle pigeonhole_principle greedy_ordering otvet: smozhet. vyberem gorod \\(c\\). biznesmen snachala postroit iz \\(c\\) 11 poparno ne peresekayuschihsya vnutri privatizirovannyh putey dliny 5. budem nazyvat ih luchami, a ih poslednie goroda - kontsami luchey. eto mozhno delat zhadno: pered kazhdym iz pervyh 55 utrennih hodov ministerstvo uspelo razrushit ne bolee \\(10\\cdot 54=540\\) dorog, a ispolzovano menshe 56 gorodov. poetomu iz tekuschego kontsa stroyaschegosya lucha ostaetsya hotya by odin esche ne ispolzovannyy gorod, doroga k kotoromu ne razrushena; biznesmen privatiziruet takuyu dorogu. esli v protsesse uzhe poyavilsya nuzhnyy tsikl, zadacha reshena, tak chto schitaem, chto etogo ne proizoshlo. oboznachim kontsy postroennyh 11 luchey cherez \\(l_1,\\ldots,l_{11}\\). teper biznesmen nachinaet stroit iz togo zhe tsentra \\(c\\) dvenadtsatyy luch, snova ispolzuya tolko novye goroda, i zhadno privatiziruet pervye 4 ego dorogi. eto vozmozhno po toy zhe prichine: k etomu moment…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2011-9-10-p4-triangle-in-every-2000-set-k4","title":"Треугольник в каждой выборке из 2000 жителей и четверо попарно знакомых, СПбМО 2011","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2011-9-10-p4-triangle-in-every-2000-set-k4.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2011-9-10-p4-triangle-in-every-2000-set-k4.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2011-9-10-p4-triangle-in-every-2000-set-k4","source_key":"spbmo","source_label":"Треугольник в каждой выборке из","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2011, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2000","type":"olympiad_problem","authors":["А. Голованов","Берлов С.Л."],"tags":["graph_model","ramsey_theory","coloring","forbidden_clique","forbidden_triangle","degree_counting","double_counting","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Задача 4 городского тура СПбМО для 9 и 10 класса: короткое решение, но нужно заметить две нетривиальные связки — запрет \\(K_4\\) ограничивает максимальную степень через условие о 2000 соседях, а затем жадная 2000-раскраска превращает пары цветовых классов в треугольник-свободные множества.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В городе Угрюмове 2 000 000 жителей, которые мало общаются друг с другом. Тем не менее, среди любых 2000 жителей найдутся трое попарно знакомых. Докажите, что в городе есть четверо попарно знакомых друг с другом жителей.","definition_ids":["clique"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Треугольник в каждой выборке из 2000 жителей и четверо попарно знакомых","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф на 2 000 000 вершинах. Известно, что любое множество из 2000 вершин графа \\(G\\) содержит треугольник \\(K_3\\). Докажите, что граф \\(G\\) содержит полный подграф \\(K_4\\).","definition_ids":["simple_graph","clique","triangle","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-contrapositive-greedy-coloring","title":"Контрапозиция, жадная раскраска и двойной счёт","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","clique","degree","chromatic_number","bipartite_graph","triangle","proper_coloring"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф знакомств: вершины — жители, ребро означает знакомство. Условие говорит, что любое множество из 2000 вершин содержит треугольник. Нужно доказать существование \\(K_4\\). Предположим противное: в графе нет \\(K_4\\). Тогда степень любой вершины не превосходит 1999. Действительно, если у вершины \\(v\\) есть хотя бы 2000 соседей, то среди каких-нибудь 2000 из них по условию найдутся три попарно смежные вершины. Вместе с \\(v\\) они образуют \\(K_4\\), противоречие. Значит, граф можно правильно раскрасить не более чем в 2000 цветов жадным алгоритмом: когда красим очередную вершину, среди её уже окрашенных соседей занято не более 1999 цветов, так что один из 2000 цветов свободен. Обозначим размеры цветовых классов через \\(a_1,\\dots,a_{2000}\\), разрешая пустые классы. Объединение любых двух цветовых классов является двудольным графом, поэтому в нём нет треугольника. Но по условию каждое…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2011-p4-greedy-coloring-bipartite-color-classes","neighbor_id":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2011-9-10-p4-triangle-in-every-2000-set-k4 треугольник в каждой выборке из 2000 жителей и четверо попарно знакомых, спбмо 2011 graph_model ramsey_theory coloring forbidden_clique forbidden_triangle degree_counting double_counting goal_proof 2000 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2011/problems/91111tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2000 src-spbmo-2011-city-911-tex with_solution а. голованов берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2011, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив треугольник в каждой выборке из треугольниквкаждойвыборкеиз треугольниквкаждойвыборкеиз2000 а. голованов берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2011, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original условие ai_checked в городе угрюмове 2 000 000 жителей, которые мало общаются друг с другом. тем не менее, среди любых 2000 жителей найдутся трое попарно знакомых. докажите, что в городе есть четверо попарно знакомых друг с другом жителей. clique stmt-graph треугольник в каждой выборке из 2000 жителей и четверо попарно знакомых ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф на 2 000 000 вершинах. известно, что любое множество из 2000 вершин графа \\(g\\) содержит треугольник \\(k_3\\). докажите, что граф \\(g\\) содержит полный подграф \\(k_4\\). simple_graph clique triangle complete_graph idea-contrapositive-degree-bound без k4 степень каждой вершины меньше 2000 доказываем от противного. если в графе без \\(k_4\\) у вершины было бы хотя бы 2000 соседей, то среди любых выбранных 2000 её соседей нашёлся бы треугольник; вместе с исходной вершиной он дал бы \\(k_4\\). forbidden_clique degree_counting ai_checked idea-color-class-pair-count две цветовые доли образуют множество без треугольников при максимальной степени не больше 1999 граф жадно раскрашивается в 2000 цветов. объединение любых двух цветовых классов двудольно, значит не содержит треугольника и поэтому имеет не более 1999 вершин; суммирование этих ограничений по всем парам цветов даёт противоречие с числом жителей. coloring double_counting forbidden_triangle ai_checked sol-contrapositive-greedy-coloring контрапозиция, жадная раскраска и двойной счёт ai_checked simple_graph clique degree chromatic_number bipartite_graph triangle proper_coloring greedy_ordering double_counting построим граф знакомств: вершины — жители, ребро означает знакомство. условие говорит, что любое множество из 2000 вершин содержит треугольник. нужно доказать существование \\(k_4\\). предположим противное: в графе нет \\(k_4\\). тогда степень любой вершины не превосходит 1999. действительно, если у вершины \\(v\\) есть хотя бы 2000 соседей, то среди каких-нибудь 2000 из них по условию найдутся три попарно смежные вершины. вместе с \\(v\\) они образуют \\(k_4\\), противоречие. значит, граф можно правильно раскрасить не более чем в 2000 цветов жадным алгоритмом: когда красим очередную вершину, среди её уже окрашенных соседей занято не более 1999 цветов, так что один из 2000 цветов свободен. обозначим размеры цветовых классов через \\(a_1,\\dots,a_{2000}\\), разрешая пустые классы. объединение любых двух цветовых классов является двудольным графом, поэтому в нём нет треугольника. но по условию каждое… spbmo-2011-9-10-p4-triangle-in-every-2000-set-k4 treugolnik v kazhdoy vyborke iz 2000 zhiteley i chetvero poparno znakomyh, spbmo 2011 graph_model ramsey_theory coloring forbidden_clique forbidden_triangle degree_counting double_counting goal_proof 2000 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2011/problems/91111tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2000 src-spbmo-2011-city-911-tex with_solution a. golovanov berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2011, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv treugolnik v kazhdoy vyborke iz treugolnikvkazhdoyvyborkeiz treugolnikvkazhdoyvyborkeiz2000 a. golovanov berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2011, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie ai_checked v gorode ugryumove 2 000 000 zhiteley, kotorye malo obschayutsya drug s drugom. tem ne menee, sredi lyubyh 2000 zhiteley naydutsya troe poparno znakomyh. dokazhite, chto v gorode est chetvero poparno znakomyh drug s drugom zhiteley. clique stmt-graph treugolnik v kazhdoy vyborke iz 2000 zhiteley i chetvero poparno znakomyh ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf na 2 000 000 vershinah. izvestno, chto lyuboe mnozhestvo iz 2000 vershin grafa \\(g\\) soderzhit treugolnik \\(k_3\\). dokazhite, chto graf \\(g\\) soderzhit polnyy podgraf \\(k_4\\). simple_graph clique triangle complete_graph idea-contrapositive-degree-bound bez k4 stepen kazhdoy vershiny menshe 2000 dokazyvaem ot protivnogo. esli v grafe bez \\(k_4\\) u vershiny bylo by hotya by 2000 sosedey, to sredi lyubyh vybrannyh 2000 ee sosedey nashelsya by treugolnik; vmeste s ishodnoy vershinoy on dal by \\(k_4\\). forbidden_clique degree_counting ai_checked idea-color-class-pair-count dve tsvetovye doli obrazuyut mnozhestvo bez treugolnikov pri maksimalnoy stepeni ne bolshe 1999 graf zhadno raskrashivaetsya v 2000 tsvetov. obedinenie lyubyh dvuh tsvetovyh klassov dvudolno, znachit ne soderzhit treugolnika i poetomu imeet ne bolee 1999 vershin; summirovanie etih ogranicheniy po vsem param tsvetov daet protivorechie s chislom zhiteley. coloring double_counting forbidden_triangle ai_checked sol-contrapositive-greedy-coloring kontrapozitsiya, zhadnaya raskraska i dvoynoy schet ai_checked simple_graph clique degree chromatic_number bipartite_graph triangle proper_coloring greedy_ordering double_counting postroim graf znakomstv: vershiny — zhiteli, rebro oznachaet znakomstvo. uslovie govorit, chto lyuboe mnozhestvo iz 2000 vershin soderzhit treugolnik. nuzhno dokazat suschestvovanie \\(k_4\\). predpolozhim protivnoe: v grafe net \\(k_4\\). togda stepen lyuboy vershiny ne prevoshodit 1999. deystvitelno, esli u vershiny \\(v\\) est hotya by 2000 sosedey, to sredi kakih-nibud 2000 iz nih po usloviyu naydutsya tri poparno smezhnye vershiny. vmeste s \\(v\\) oni obrazuyut \\(k_4\\), protivorechie. znachit, graf mozhno pravilno raskrasit ne bolee chem v 2000 tsvetov zhadnym algoritmom: kogda krasim ocherednuyu vershinu, sredi ee uzhe okrashennyh sosedey zanyato ne bolee 1999 tsvetov, tak chto odin iz 2000 tsvetov svoboden. oboznachim razmery tsvetovyh klassov cherez \\(a_1,\\dots,a_{2000}\\), razreshaya pustye klassy. obedinenie lyubyh dvuh tsvetovyh klassov yavlyaetsya dvudolnym grafom, poetomu v nem net treugolnika. no po usloviyu kazhdoe…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2012-11-p7-bipartite-acyclic-orientations-mod3","title":"Двудольный граф авиалиний и число ациклических ориентаций по модулю 3, СПбМО 2012","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2012-11-p7-bipartite-acyclic-orientations-mod3.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2012-11-p7-bipartite-acyclic-orientations-mod3.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2012-11-p7-bipartite-acyclic-orientations-mod3","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":["Fedor Petrov"],"tags":["graph_model","coloring","induction","goal_counting","invariant"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Задача уровня старшего класса городского тура: ключевой ход - неочевидная рекурсия удаления-сжатия для числа ациклических ориентаций и сравнение с 2-раскрасками по модулю 3.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная олимпиадная формулировка","status":"ai_checked","text":"Некоторые города России соединены с некоторыми городами Украины международными авиалиниями. Межгосударственный совет по содействию миграции собирается ввести на каждой авиалинии одностороннее движение так, чтобы, вылетев из города, в него уже нельзя было вернуться (пользуясь другими односторонними авиалиниями). Докажите, что количество способов сделать это не делится на три.","definition_ids":["bipartite_graph","directed_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Двудольный граф авиалиний и число ациклических ориентаций по модулю 3","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный простой двудольный граф. Ориентацией \\(G\\) назовём выбор направления для каждого ребра; ориентация называется ациклической, если в полученном ориентированном графе нет ориентированного цикла. Докажите, что число ациклических ориентаций графа \\(G\\) не делится на \\(3\\).","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","directed_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-deletion-contraction-mod3","title":"Доказательство через удаление-сжатие","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","directed_graph","cycle","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Перейдём к графовой формулировке. Города России и города Украины образуют две доли двудольного графа \\(G\\), а выбор направления на каждой авиалинии - это ориентация соответствующего ребра. Условие, что из города нельзя вернуться в него по односторонним авиалиниям, означает отсутствие ориентированного цикла. Поэтому нужно доказать утверждение для произвольного конечного двудольного графа. Для конечного графа \\(H\\) обозначим через \\(A(H)\\) число его ациклических ориентаций, а через \\(C(H)\\) число правильных раскрасок его вершин в два цвета. Докажем по индукции по числу рёбер, что \\[ A(H)\\equiv (-1)^{|V(H)|}C(H) \\pmod 3. \\] Параллельные рёбра в промежуточных графах можно не различать: в правильных раскрасках они дают то же ограничение, что одно ребро, а в ациклической ориентации все параллельные рёбра между двумя вершинами обязаны быть направлены одинаково, иначе появился бы ориентированны…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2012-11-p7-bipartite-acyclic-orientations-mod3 двудольный граф авиалиний и число ациклических ориентаций по модулю 3, спбмо 2012 graph_model coloring induction goal_counting invariant 2012 fedor petrov fedorpetrov https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2012/problems/91112tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2012 src-spbmo-2012-city-911-tex with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив спбмо спбмо2012 fedor petrov санкт-петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original официальная олимпиадная формулировка ai_checked некоторые города россии соединены с некоторыми городами украины международными авиалиниями. межгосударственный совет по содействию миграции собирается ввести на каждой авиалинии одностороннее движение так, чтобы, вылетев из города, в него уже нельзя было вернуться (пользуясь другими односторонними авиалиниями). докажите, что количество способов сделать это не делится на три. bipartite_graph directed_graph cycle stmt-graph двудольный граф авиалиний и число ациклических ориентаций по модулю 3 ai_checked пусть \\(g\\) — конечный простой двудольный граф. ориентацией \\(g\\) назовём выбор направления для каждого ребра; ориентация называется ациклической, если в полученном ориентированном графе нет ориентированного цикла. докажите, что число ациклических ориентаций графа \\(g\\) не делится на \\(3\\). simple_graph bipartite_graph directed_graph cycle idea-delete-contract-congruence сравнить ациклические ориентации с 2-раскрасками число ациклических ориентаций удовлетворяет рекурсии удаления-сжатия с плюсом. число правильных 2-раскрасок удовлетворяет той же рекурсии по модулю 3 после умножения на знак \\((-1)^{|v|}\\). поэтому эти две величины сравнимы по модулю 3. induction coloring invariant ai_checked idea-bipartite-two-colorings-nonzero-mod3 у двудольного графа число 2-раскрасок не кратно 3 если у двудольного графа \\(c\\) компонент связности, то каждую компоненту можно правильно раскрасить в два цвета ровно двумя способами. значит, всего правильных 2-раскрасок \\(2^c\\), а это число не делится на \\(3\\). coloring goal_counting ai_checked sol-deletion-contraction-mod3 доказательство через удаление-сжатие ai_checked simple_graph bipartite_graph directed_graph cycle chromatic_number induction delete_to_simplify перейдём к графовой формулировке. города россии и города украины образуют две доли двудольного графа \\(g\\), а выбор направления на каждой авиалинии - это ориентация соответствующего ребра. условие, что из города нельзя вернуться в него по односторонним авиалиниям, означает отсутствие ориентированного цикла. поэтому нужно доказать утверждение для произвольного конечного двудольного графа. для конечного графа \\(h\\) обозначим через \\(a(h)\\) число его ациклических ориентаций, а через \\(c(h)\\) число правильных раскрасок его вершин в два цвета. докажем по индукции по числу рёбер, что \\[ a(h)\\equiv (-1)^{|v(h)|}c(h) \\pmod 3. \\] параллельные рёбра в промежуточных графах можно не различать: в правильных раскрасках они дают то же ограничение, что одно ребро, а в ациклической ориентации все параллельные рёбра между двумя вершинами обязаны быть направлены одинаково, иначе появился бы ориентированны… spbmo-2012-11-p7-bipartite-acyclic-orientations-mod3 dvudolnyy graf avialiniy i chislo atsiklicheskih orientatsiy po modulyu 3, spbmo 2012 graph_model coloring induction goal_counting invariant 2012 fedor petrov fedorpetrov https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2012/problems/91112tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2012 src-spbmo-2012-city-911-tex with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2012, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2012 fedor petrov sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2012, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original ofitsialnaya olimpiadnaya formulirovka ai_checked nekotorye goroda rossii soedineny s nekotorymi gorodami ukrainy mezhdunarodnymi avialiniyami. mezhgosudarstvennyy sovet po sodeystviyu migratsii sobiraetsya vvesti na kazhdoy avialinii odnostoronnee dvizhenie tak, chtoby, vyletev iz goroda, v nego uzhe nelzya bylo vernutsya (polzuyas drugimi odnostoronnimi avialiniyami). dokazhite, chto kolichestvo sposobov sdelat eto ne delitsya na tri. bipartite_graph directed_graph cycle stmt-graph dvudolnyy graf avialiniy i chislo atsiklicheskih orientatsiy po modulyu 3 ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy prostoy dvudolnyy graf. orientatsiey \\(g\\) nazovem vybor napravleniya dlya kazhdogo rebra; orientatsiya nazyvaetsya atsiklicheskoy, esli v poluchennom orientirovannom grafe net orientirovannogo tsikla. dokazhite, chto chislo atsiklicheskih orientatsiy grafa \\(g\\) ne delitsya na \\(3\\). simple_graph bipartite_graph directed_graph cycle idea-delete-contract-congruence sravnit atsiklicheskie orientatsii s 2-raskraskami chislo atsiklicheskih orientatsiy udovletvoryaet rekursii udaleniya-szhatiya s plyusom. chislo pravilnyh 2-raskrasok udovletvoryaet toy zhe rekursii po modulyu 3 posle umnozheniya na znak \\((-1)^{|v|}\\). poetomu eti dve velichiny sravnimy po modulyu 3. induction coloring invariant ai_checked idea-bipartite-two-colorings-nonzero-mod3 u dvudolnogo grafa chislo 2-raskrasok ne kratno 3 esli u dvudolnogo grafa \\(c\\) komponent svyaznosti, to kazhduyu komponentu mozhno pravilno raskrasit v dva tsveta rovno dvumya sposobami. znachit, vsego pravilnyh 2-raskrasok \\(2^c\\), a eto chislo ne delitsya na \\(3\\). coloring goal_counting ai_checked sol-deletion-contraction-mod3 dokazatelstvo cherez udalenie-szhatie ai_checked simple_graph bipartite_graph directed_graph cycle chromatic_number induction delete_to_simplify pereydem k grafovoy formulirovke. goroda rossii i goroda ukrainy obrazuyut dve doli dvudolnogo grafa \\(g\\), a vybor napravleniya na kazhdoy avialinii - eto orientatsiya sootvetstvuyuschego rebra. uslovie, chto iz goroda nelzya vernutsya v nego po odnostoronnim avialiniyam, oznachaet otsutstvie orientirovannogo tsikla. poetomu nuzhno dokazat utverzhdenie dlya proizvolnogo konechnogo dvudolnogo grafa. dlya konechnogo grafa \\(h\\) oboznachim cherez \\(a(h)\\) chislo ego atsiklicheskih orientatsiy, a cherez \\(c(h)\\) chislo pravilnyh raskrasok ego vershin v dva tsveta. dokazhem po induktsii po chislu reber, chto \\[ a(h)\\equiv (-1)^{|v(h)|}c(h) \\pmod 3. \\] parallelnye rebra v promezhutochnyh grafah mozhno ne razlichat: v pravilnyh raskraskah oni dayut to zhe ogranichenie, chto odno rebro, a v atsiklicheskoy orientatsii vse parallelnye rebra mezhdu dvumya vershinami obyazany byt napravleny odinakovo, inache poyavilsya by orientirovanny…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2012-7-p4-forty-regular-acquaintance-four-people","title":"40-регулярный граф знакомств и четыре человека с двумя знакомствами и двумя незнакомствами, СПбМО 2012","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2012-7-p4-forty-regular-acquaintance-four-people.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2012-7-p4-forty-regular-acquaintance-four-people.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2012-7-p4-forty-regular-acquaintance-four-people","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 6-8 классы официальный TeX-архив"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л."],"tags":["degree_counting","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Задача 7 класса городского тура СПбМО: короткое доказательство после выбора одного ребра, но нужен аккуратный учет множеств несоседей двух концов.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие СПбМО, 7 класс, II тур, задача 4","status":"ai_checked","text":"В компании 100 человек, каждый из которых знаком ровно с 40 другими. Докажите, что можно выбрать четырех человек \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\) так, что \\(A\\) и \\(B\\) будут знакомы друг с другом, \\(C\\) и \\(D\\) тоже будут знакомы, но при этом \\(A\\) и \\(D\\) будут незнакомы друг с другом и, кроме этого, \\(B\\) и \\(C\\) тоже будут незнакомы.","definition_ids":["simple_graph","degree","complement_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Четыре вершины в 40-регулярном графе","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой 40-регулярный граф на 100 вершинах. Докажите, что в \\(G\\) существуют четыре попарно различные вершины \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\), для которых \\(AB\\) и \\(CD\\) являются ребрами графа, а \\(AD\\) и \\(BC\\) не являются ребрами.","definition_ids":["simple_graph","degree","complement_graph","neighborhood"]}]},"solutions":[{"id":"sol-fixed-edge-neighborhood-partition","title":"Доказательство через разбиение относительно выбранного ребра","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","complement_graph","neighborhood"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф знакомств: вершины - люди, ребро означает знакомство. По условию это простой граф на 100 вершинах, степень каждой вершины равна 40. Так как сумма степеней равна \\(100\\cdot 40\\), в графе есть ребра; выберем одно ребро и обозначим его концы через \\(A\\) и \\(B\\). Пусть \\(X\\) - множество всех вершин, не смежных с \\(B\\), а \\(Y\\) - множество всех вершин, не смежных с \\(A\\). Если существует ребро \\(CD\\), где \\(C\\in X\\) и \\(D\\in Y\\), то эта четверка уже обладает нужными свойствами: \\(A\\) смежна с \\(B\\), \\(C\\) смежна с \\(D\\), вершина \\(B\\) не смежна с \\(C\\), а вершина \\(A\\) не смежна с \\(D\\). При этом вершины различны: \\(C\\ne D\\), потому что \\(CD\\) - ребро, а \\(C,D\\) не совпадают с нужными концами \\(A,B\\) из-за условий несмежности. Докажем существование такого ребра между \\(X\\) и \\(Y\\). Предположим противное: никакого ребра с одним концом в \\(X\\), а другим в \\(Y\\), нет. Разобьем ост…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2012-p7-p4-same-regular-acquaintance-model","neighbor_id":"spbmo-2012-8-p7-forty-regular-acquaintance-22-cycle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2012-7-p4-forty-regular-acquaintance-four-people 40-регулярный граф знакомств и четыре человека с двумя знакомствами и двумя незнакомствами, спбмо 2012 degree_counting graph_model goal_existence 2012 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2012/problems/c6812tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2012 src-spbmo-2012-city-68-tex with_solution берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 6-8 классы официальный tex-архив спбмо спбмо2012 берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 6-8 классы официальный tex-архив stmt-original условие спбмо, 7 класс, ii тур, задача 4 ai_checked в компании 100 человек, каждый из которых знаком ровно с 40 другими. докажите, что можно выбрать четырех человек \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), \\(d\\) так, что \\(a\\) и \\(b\\) будут знакомы друг с другом, \\(c\\) и \\(d\\) тоже будут знакомы, но при этом \\(a\\) и \\(d\\) будут незнакомы друг с другом и, кроме этого, \\(b\\) и \\(c\\) тоже будут незнакомы. simple_graph degree complement_graph stmt-graph четыре вершины в 40-регулярном графе ai_checked пусть \\(g\\) — простой 40-регулярный граф на 100 вершинах. докажите, что в \\(g\\) существуют четыре попарно различные вершины \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), \\(d\\), для которых \\(ab\\) и \\(cd\\) являются ребрами графа, а \\(ad\\) и \\(bc\\) не являются ребрами. simple_graph degree complement_graph neighborhood idea-fix-edge-and-look-at-nonneighbors зафиксировать одно ребро и смотреть на незнакомых с его концами выбираем знакомую пару \\(a,b\\). если удастся найти ребро между множеством вершин, не смежных с \\(b\\), и множеством вершин, не смежных с \\(a\\), то его концы можно взять за \\(c,d\\). если такого ребра нет, вершины, не смежные ни с \\(a\\), ни с \\(b\\), оказываются изолированными от всех, кроме невозможных соседей \\(a,b\\). degree_counting graph_model ai_checked sol-fixed-edge-neighborhood-partition доказательство через разбиение относительно выбранного ребра ai_checked simple_graph degree complement_graph neighborhood complement_graph_transition построим граф знакомств: вершины - люди, ребро означает знакомство. по условию это простой граф на 100 вершинах, степень каждой вершины равна 40. так как сумма степеней равна \\(100\\cdot 40\\), в графе есть ребра; выберем одно ребро и обозначим его концы через \\(a\\) и \\(b\\). пусть \\(x\\) - множество всех вершин, не смежных с \\(b\\), а \\(y\\) - множество всех вершин, не смежных с \\(a\\). если существует ребро \\(cd\\), где \\(c\\in x\\) и \\(d\\in y\\), то эта четверка уже обладает нужными свойствами: \\(a\\) смежна с \\(b\\), \\(c\\) смежна с \\(d\\), вершина \\(b\\) не смежна с \\(c\\), а вершина \\(a\\) не смежна с \\(d\\). при этом вершины различны: \\(c\\ne d\\), потому что \\(cd\\) - ребро, а \\(c,d\\) не совпадают с нужными концами \\(a,b\\) из-за условий несмежности. докажем существование такого ребра между \\(x\\) и \\(y\\). предположим противное: никакого ребра с одним концом в \\(x\\), а другим в \\(y\\), нет. разобьем ост… spbmo-2012-7-p4-forty-regular-acquaintance-four-people 40-regulyarnyy graf znakomstv i chetyre cheloveka s dvumya znakomstvami i dvumya neznakomstvami, spbmo 2012 degree_counting graph_model goal_existence 2012 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2012/problems/c6812tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2012 src-spbmo-2012-city-68-tex with_solution berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2012, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2012 berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2012, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie spbmo, 7 klass, ii tur, zadacha 4 ai_checked v kompanii 100 chelovek, kazhdyy iz kotoryh znakom rovno s 40 drugimi. dokazhite, chto mozhno vybrat chetyreh chelovek \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), \\(d\\) tak, chto \\(a\\) i \\(b\\) budut znakomy drug s drugom, \\(c\\) i \\(d\\) tozhe budut znakomy, no pri etom \\(a\\) i \\(d\\) budut neznakomy drug s drugom i, krome etogo, \\(b\\) i \\(c\\) tozhe budut neznakomy. simple_graph degree complement_graph stmt-graph chetyre vershiny v 40-regulyarnom grafe ai_checked pust \\(g\\) — prostoy 40-regulyarnyy graf na 100 vershinah. dokazhite, chto v \\(g\\) suschestvuyut chetyre poparno razlichnye vershiny \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), \\(d\\), dlya kotoryh \\(ab\\) i \\(cd\\) yavlyayutsya rebrami grafa, a \\(ad\\) i \\(bc\\) ne yavlyayutsya rebrami. simple_graph degree complement_graph neighborhood idea-fix-edge-and-look-at-nonneighbors zafiksirovat odno rebro i smotret na neznakomyh s ego kontsami vybiraem znakomuyu paru \\(a,b\\). esli udastsya nayti rebro mezhdu mnozhestvom vershin, ne smezhnyh s \\(b\\), i mnozhestvom vershin, ne smezhnyh s \\(a\\), to ego kontsy mozhno vzyat za \\(c,d\\). esli takogo rebra net, vershiny, ne smezhnye ni s \\(a\\), ni s \\(b\\), okazyvayutsya izolirovannymi ot vseh, krome nevozmozhnyh sosedey \\(a,b\\). degree_counting graph_model ai_checked sol-fixed-edge-neighborhood-partition dokazatelstvo cherez razbienie otnositelno vybrannogo rebra ai_checked simple_graph degree complement_graph neighborhood complement_graph_transition postroim graf znakomstv: vershiny - lyudi, rebro oznachaet znakomstvo. po usloviyu eto prostoy graf na 100 vershinah, stepen kazhdoy vershiny ravna 40. tak kak summa stepeney ravna \\(100\\cdot 40\\), v grafe est rebra; vyberem odno rebro i oboznachim ego kontsy cherez \\(a\\) i \\(b\\). pust \\(x\\) - mnozhestvo vseh vershin, ne smezhnyh s \\(b\\), a \\(y\\) - mnozhestvo vseh vershin, ne smezhnyh s \\(a\\). esli suschestvuet rebro \\(cd\\), gde \\(c\\in x\\) i \\(d\\in y\\), to eta chetverka uzhe obladaet nuzhnymi svoystvami: \\(a\\) smezhna s \\(b\\), \\(c\\) smezhna s \\(d\\), vershina \\(b\\) ne smezhna s \\(c\\), a vershina \\(a\\) ne smezhna s \\(d\\). pri etom vershiny razlichny: \\(c\\ne d\\), potomu chto \\(cd\\) - rebro, a \\(c,d\\) ne sovpadayut s nuzhnymi kontsami \\(a,b\\) iz-za usloviy nesmezhnosti. dokazhem suschestvovanie takogo rebra mezhdu \\(x\\) i \\(y\\). predpolozhim protivnoe: nikakogo rebra s odnim kontsom v \\(x\\), a drugim v \\(y\\), net. razobem ost…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2012-8-p7-forty-regular-acquaintance-22-cycle","title":"Чередующаяся рассадка 22 человек в 40-регулярном графе знакомств, СПбМО 2012","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2012-8-p7-forty-regular-acquaintance-22-cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2012-8-p7-forty-regular-acquaintance-22-cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2012-8-p7-forty-regular-acquaintance-22-cycle","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 6-8 классы официальный TeX-архив"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":["Карпов Д.В.","Берлов С.Л."],"tags":["graph_model","degree_counting","extremal_graph_theory","goal_existence","coloring","matching"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"2026-05-06 high-reasoning pass: найдено полное самодостаточное решение. Ключ: в дополнении графа есть 11-цикл незнакомств; каждое его ребро дополняется различным знакомым мостиком с помощью оценки на общих знакомых и теоремы Холла.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"2026-05-06: реконструкция высокой сложности; доказательство самодостаточно и сверено с условием.","notes":"Официальное опубликованное решение по-прежнему не указано, но карточка теперь содержит полное самостоятельное доказательство.","audit_source":"high-reasoning-pass-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В компании из 100 человек каждый знаком ровно с 40 другими, но никакие двое не имеют более 20 общих знакомых. Докажите, что из этой компании можно выбрать 22 человека, которых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый из них был знаком ровно с одним из двух своих соседей.","definition_ids":["degree","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Чередующаяся рассадка 22 человек в 40-регулярном графе знакомств","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой 40-регулярный граф на 100 вершинах, причём любые две вершины имеют не более 20 общих соседей. Докажите, что существуют 22 различные вершины \\(v_1,v_2,\\ldots,v_{22}\\), расположенные циклически, такие что для каждого \\(i\\) ровно одна из двух пар \\(v_{i-1}v_i\\) и \\(v_iv_{i+1}\\) является ребром \\(G\\) (индексы берутся по модулю 22). Иными словами, вдоль этого цикла в полном графе на выбранных вершинах рёбра графа \\(G\\) и рёбра его дополнения чередуются.","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle","complement_graph","matching","path","hall_theorem","neighborhood","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-complement-11-cycle-hall-bridges","title":"Решение через 11-цикл незнакомств и теорему Холла","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle","complement_graph","matching","path","hall_theorem","neighborhood"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition","longest_path"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф знакомств \\(G\\): его вершины - люди, а ребра - пары знакомых. Тогда \\(G\\) имеет 100 вершин, каждая вершина имеет степень 40, и любые две вершины имеют не более 20 общих соседей. Ребра дополнительного графа \\(\\overline G\\) будем называть ребрами незнакомства; степень каждой вершины в \\(\\overline G\\) равна \\[ 99-40=59. \\] Сначала найдём в \\(\\overline G\\) цикл длины 11. Возьмем произвольную вершину \\(a\\) и множество \\(M\\) её соседей в \\(\\overline G\\); тогда \\(|M|=59\\). Любая вершина из \\(M\\) имеет в \\(\\overline G\\) всего 59 соседей, а вне \\(M\\) лежит только \\(41\\) вершина, включая саму \\(a\\). Поэтому внутри \\(M\\) у неё не меньше \\[ 59-41=18 \\] соседей. В частности, в подграфе \\(\\overline G[M]\\) можно построить простой путь из 10 вершин: начиная с любого пути, пока в нём меньше 10 вершин, его последний конец имеет хотя бы 18 соседей в \\(M\\), а занятых вершин меньше 10, значит…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2012-p7-hall-sdr-bridges","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2012-p7-p4-same-regular-acquaintance-model","neighbor_id":"spbmo-2012-7-p4-forty-regular-acquaintance-four-people","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2012-8-p7-forty-regular-acquaintance-22-cycle чередующаяся рассадка 22 человек в 40-регулярном графе знакомств, спбмо 2012 graph_model degree_counting extremal_graph_theory goal_existence coloring matching 2012 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2012/problems/c6812tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2012 src-spbmo-2012-city-68-tex with_solution берлов с.л. карпов д.в. санкт-петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 6-8 классы официальный tex-архив спбмо спбмо2012 карпов д.в. берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2012, городской тур 6-8 классы официальный tex-архив stmt-original условие ai_checked в компании из 100 человек каждый знаком ровно с 40 другими, но никакие двое не имеют более 20 общих знакомых. докажите, что из этой компании можно выбрать 22 человека, которых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый из них был знаком ровно с одним из двух своих соседей. degree cycle stmt-graph чередующаяся рассадка 22 человек в 40-регулярном графе знакомств ai_checked пусть \\(g\\) — простой 40-регулярный граф на 100 вершинах, причём любые две вершины имеют не более 20 общих соседей. докажите, что существуют 22 различные вершины \\(v_1,v_2,\\ldots,v_{22}\\), расположенные циклически, такие что для каждого \\(i\\) ровно одна из двух пар \\(v_{i-1}v_i\\) и \\(v_iv_{i+1}\\) является ребром \\(g\\) (индексы берутся по модулю 22). иными словами, вдоль этого цикла в полном графе на выбранных вершинах рёбра графа \\(g\\) и рёбра его дополнения чередуются. simple_graph degree cycle complement_graph matching path hall_theorem neighborhood complete_graph idea-blue-cycle-in-complement сначала найти 11-цикл из незнакомств в дополнительном графе степень каждой вершины равна 59. если взять вершину и посмотреть на её 59 соседей в дополнении, то внутри этого множества минимальная степень не меньше 18, поэтому там есть путь из 10 вершин; вместе с исходной вершиной он даёт цикл длины 11 из незнакомств. degree_counting ai_checked idea-bridge-each-blue-edge-by-friend каждое незнакомство заменить тройкой незнакомый-знакомый-незнакомый для соседних по найденному циклу вершин \\(x_i,x_{i+1}\\), которые не знакомы, нужно выбрать вершину \\(y_i\\), знакомую с \\(x_i\\) и незнакомую с \\(x_{i+1}\\). тогда фрагмент \\(x_i,y_i,x_{i+1}\\) даёт две подряд идущие связи разных типов. ai_checked idea-hall-for-distinct-bridges разные промежуточные вершины выбрать по холлу у каждой пары \\(x_i,x_{i+1}\\) не более 20 общих знакомых, поэтому среди 40 знакомых \\(x_i\\) не меньше 20 не знакомы с \\(x_{i+1}\\). после удаления уже выбранных 11 вершин цикла остаётся запас не меньше 12 кандидатов, а значит условие холла выполняется автоматически для 11 множеств. matching ai_checked sol-complement-11-cycle-hall-bridges решение через 11-цикл незнакомств и теорему холла ai_checked simple_graph degree cycle complement_graph matching path hall_theorem neighborhood complement_graph_transition longest_path построим граф знакомств \\(g\\): его вершины - люди, а ребра - пары знакомых. тогда \\(g\\) имеет 100 вершин, каждая вершина имеет степень 40, и любые две вершины имеют не более 20 общих соседей. ребра дополнительного графа \\(\\overline g\\) будем называть ребрами незнакомства; степень каждой вершины в \\(\\overline g\\) равна \\[ 99-40=59. \\] сначала найдём в \\(\\overline g\\) цикл длины 11. возьмем произвольную вершину \\(a\\) и множество \\(m\\) её соседей в \\(\\overline g\\); тогда \\(|m|=59\\). любая вершина из \\(m\\) имеет в \\(\\overline g\\) всего 59 соседей, а вне \\(m\\) лежит только \\(41\\) вершина, включая саму \\(a\\). поэтому внутри \\(m\\) у неё не меньше \\[ 59-41=18 \\] соседей. в частности, в подграфе \\(\\overline g[m]\\) можно построить простой путь из 10 вершин: начиная с любого пути, пока в нём меньше 10 вершин, его последний конец имеет хотя бы 18 соседей в \\(m\\), а занятых вершин меньше 10, значит… spbmo-2012-8-p7-forty-regular-acquaintance-22-cycle chereduyuschayasya rassadka 22 chelovek v 40-regulyarnom grafe znakomstv, spbmo 2012 graph_model degree_counting extremal_graph_theory goal_existence coloring matching 2012 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2012/problems/c6812tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2012 src-spbmo-2012-city-68-tex with_solution berlov s.l. karpov d.v. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2012, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2012 karpov d.v. berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2012, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie ai_checked v kompanii iz 100 chelovek kazhdyy znakom rovno s 40 drugimi, no nikakie dvoe ne imeyut bolee 20 obschih znakomyh. dokazhite, chto iz etoy kompanii mozhno vybrat 22 cheloveka, kotoryh mozhno posadit za kruglyy stol tak, chtoby kazhdyy iz nih byl znakom rovno s odnim iz dvuh svoih sosedey. degree cycle stmt-graph chereduyuschayasya rassadka 22 chelovek v 40-regulyarnom grafe znakomstv ai_checked pust \\(g\\) — prostoy 40-regulyarnyy graf na 100 vershinah, prichem lyubye dve vershiny imeyut ne bolee 20 obschih sosedey. dokazhite, chto suschestvuyut 22 razlichnye vershiny \\(v_1,v_2,\\ldots,v_{22}\\), raspolozhennye tsiklicheski, takie chto dlya kazhdogo \\(i\\) rovno odna iz dvuh par \\(v_{i-1}v_i\\) i \\(v_iv_{i+1}\\) yavlyaetsya rebrom \\(g\\) (indeksy berutsya po modulyu 22). inymi slovami, vdol etogo tsikla v polnom grafe na vybrannyh vershinah rebra grafa \\(g\\) i rebra ego dopolneniya chereduyutsya. simple_graph degree cycle complement_graph matching path hall_theorem neighborhood complete_graph idea-blue-cycle-in-complement snachala nayti 11-tsikl iz neznakomstv v dopolnitelnom grafe stepen kazhdoy vershiny ravna 59. esli vzyat vershinu i posmotret na ee 59 sosedey v dopolnenii, to vnutri etogo mnozhestva minimalnaya stepen ne menshe 18, poetomu tam est put iz 10 vershin; vmeste s ishodnoy vershinoy on daet tsikl dliny 11 iz neznakomstv. degree_counting ai_checked idea-bridge-each-blue-edge-by-friend kazhdoe neznakomstvo zamenit troykoy neznakomyy-znakomyy-neznakomyy dlya sosednih po naydennomu tsiklu vershin \\(x_i,x_{i+1}\\), kotorye ne znakomy, nuzhno vybrat vershinu \\(y_i\\), znakomuyu s \\(x_i\\) i neznakomuyu s \\(x_{i+1}\\). togda fragment \\(x_i,y_i,x_{i+1}\\) daet dve podryad iduschie svyazi raznyh tipov. ai_checked idea-hall-for-distinct-bridges raznye promezhutochnye vershiny vybrat po hollu u kazhdoy pary \\(x_i,x_{i+1}\\) ne bolee 20 obschih znakomyh, poetomu sredi 40 znakomyh \\(x_i\\) ne menshe 20 ne znakomy s \\(x_{i+1}\\). posle udaleniya uzhe vybrannyh 11 vershin tsikla ostaetsya zapas ne menshe 12 kandidatov, a znachit uslovie holla vypolnyaetsya avtomaticheski dlya 11 mnozhestv. matching ai_checked sol-complement-11-cycle-hall-bridges reshenie cherez 11-tsikl neznakomstv i teoremu holla ai_checked simple_graph degree cycle complement_graph matching path hall_theorem neighborhood complement_graph_transition longest_path postroim graf znakomstv \\(g\\): ego vershiny - lyudi, a rebra - pary znakomyh. togda \\(g\\) imeet 100 vershin, kazhdaya vershina imeet stepen 40, i lyubye dve vershiny imeyut ne bolee 20 obschih sosedey. rebra dopolnitelnogo grafa \\(\\overline g\\) budem nazyvat rebrami neznakomstva; stepen kazhdoy vershiny v \\(\\overline g\\) ravna \\[ 99-40=59. \\] snachala naydem v \\(\\overline g\\) tsikl dliny 11. vozmem proizvolnuyu vershinu \\(a\\) i mnozhestvo \\(m\\) ee sosedey v \\(\\overline g\\); togda \\(|m|=59\\). lyubaya vershina iz \\(m\\) imeet v \\(\\overline g\\) vsego 59 sosedey, a vne \\(m\\) lezhit tolko \\(41\\) vershina, vklyuchaya samu \\(a\\). poetomu vnutri \\(m\\) u nee ne menshe \\[ 59-41=18 \\] sosedey. v chastnosti, v podgrafe \\(\\overline g[m]\\) mozhno postroit prostoy put iz 10 vershin: nachinaya s lyubogo puti, poka v nem menshe 10 vershin, ego posledniy konets imeet hotya by 18 sosedey v \\(m\\), a zanyatyh vershin menshe 10, znachit…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2013-10-11-girls-boys-friendship-cover","title":"Юноши, девушки и совпадающие множества подруг, СПбМО 2013, 11 класс, II тур, задача 2","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2013-10-11-girls-boys-friendship-cover.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2013-10-11-girls-boys-friendship-cover.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2013-10-11-girls-boys-friendship-cover","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2013, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":["М. Антипов"],"tags":["graph_model","pigeonhole_principle","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Короткая задача городского тура: нужно увидеть две системы порогов и применить принцип Дирихле к числу клеток \\((a+1)(11-a)\\le 36<40\\).","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная олимпиадная формулировка","status":"ai_checked","text":"На математическом факультете учатся 40 юношей и 10 девушек. Каждая девушка дружит либо в точности со всеми теми юношами, кто старше её, либо в точности с теми, кто выше её. Докажите, что у каких-то двух юношей множества подруг совпадают.","definition_ids":["bipartite_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Двудольный граф с пороговыми окрестностями по двум порядкам","status":"ai_checked","text":"Пусть есть двудольный граф с долями \\(B\\) и \\(G\\), где \\(|B|=40\\) и \\(|G|=10\\). На множестве \\(B\\) заданы два линейных порядка. Для каждой вершины \\(g\\in G\\) её окрестность в \\(B\\) является суффиксом одного из этих двух порядков. Докажите, что найдутся две различные вершины из \\(B\\) с одинаковыми окрестностями в \\(G\\).","definition_ids":["bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-threshold-grid-pigeonhole","title":"Разбиение по порогам возраста и роста","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Разделим девушек на два типа. Пусть девушек возрастного типа \\(a\\): каждая из них дружит ровно с юношами старше неё. Тогда девушек ростового типа \\(10-a\\): каждая из них дружит ровно с юношами выше неё. Упорядочим 40 юношей по возрасту от младших к старшим. Каждая девушка возрастного типа задаёт в этом порядке один порог: все юноши после порога являются её друзьями, а все юноши до порога не являются. Если несколько порогов совпадают, это только уменьшает число частей; в любом случае эти \\(a\\) порогов разбивают юношей не более чем на \\(a+1\\) возрастных классов. Два юноши из одного такого класса либо оба старше каждой фиксированной девушки возрастного типа, либо оба не старше её. Теперь упорядочим юношей по росту от низких к высоким. Каждая девушка ростового типа тоже задаёт один порог: после него стоят ровно те юноши, которые выше этой девушки. Поэтому девушки ростового типа задают не бо…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2013-10-11-girls-boys-friendship-cover юноши, девушки и совпадающие множества подруг, спбмо 2013, 11 класс, ii тур, задача 2 graph_model pigeonhole_principle goal_proof 2013 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2013/problems/c_911_13.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2013 src-spbmo-2013-city-911 with_solution м. антипов санкт-петербургская математическая олимпиада 2013, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2013 м. антипов санкт-петербургская математическая олимпиада 2013, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original официальная олимпиадная формулировка ai_checked на математическом факультете учатся 40 юношей и 10 девушек. каждая девушка дружит либо в точности со всеми теми юношами, кто старше её, либо в точности с теми, кто выше её. докажите, что у каких-то двух юношей множества подруг совпадают. bipartite_graph stmt-graph двудольный граф с пороговыми окрестностями по двум порядкам ai_checked пусть есть двудольный граф с долями \\(b\\) и \\(g\\), где \\(|b|=40\\) и \\(|g|=10\\). на множестве \\(b\\) заданы два линейных порядка. для каждой вершины \\(g\\in g\\) её окрестность в \\(b\\) является суффиксом одного из этих двух порядков. докажите, что найдутся две различные вершины из \\(b\\) с одинаковыми окрестностями в \\(g\\). bipartite_graph idea-threshold-grid-pigeonhole десять порогов двух типов дают меньше сорока клеток девушки первого типа разрезают порядок юношей по возрасту, девушки второго типа - порядок по росту. если первых \\(a\\), а вторых \\(10-a\\), то юноши разбиваются не более чем на \\((a+1)(11-a)\\le 36\\) классов, внутри каждого из которых набор подруг одинаков. pigeonhole_principle graph_model ai_checked sol-threshold-grid-pigeonhole разбиение по порогам возраста и роста ai_checked bipartite_graph pigeonhole_principle разделим девушек на два типа. пусть девушек возрастного типа \\(a\\): каждая из них дружит ровно с юношами старше неё. тогда девушек ростового типа \\(10-a\\): каждая из них дружит ровно с юношами выше неё. упорядочим 40 юношей по возрасту от младших к старшим. каждая девушка возрастного типа задаёт в этом порядке один порог: все юноши после порога являются её друзьями, а все юноши до порога не являются. если несколько порогов совпадают, это только уменьшает число частей; в любом случае эти \\(a\\) порогов разбивают юношей не более чем на \\(a+1\\) возрастных классов. два юноши из одного такого класса либо оба старше каждой фиксированной девушки возрастного типа, либо оба не старше её. теперь упорядочим юношей по росту от низких к высоким. каждая девушка ростового типа тоже задаёт один порог: после него стоят ровно те юноши, которые выше этой девушки. поэтому девушки ростового типа задают не бо… spbmo-2013-10-11-girls-boys-friendship-cover yunoshi, devushki i sovpadayuschie mnozhestva podrug, spbmo 2013, 11 klass, ii tur, zadacha 2 graph_model pigeonhole_principle goal_proof 2013 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2013/problems/c_911_13.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2013 src-spbmo-2013-city-911 with_solution m. antipov sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2013, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2013 m. antipov sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2013, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original ofitsialnaya olimpiadnaya formulirovka ai_checked na matematicheskom fakultete uchatsya 40 yunoshey i 10 devushek. kazhdaya devushka druzhit libo v tochnosti so vsemi temi yunoshami, kto starshe ee, libo v tochnosti s temi, kto vyshe ee. dokazhite, chto u kakih-to dvuh yunoshey mnozhestva podrug sovpadayut. bipartite_graph stmt-graph dvudolnyy graf s porogovymi okrestnostyami po dvum poryadkam ai_checked pust est dvudolnyy graf s dolyami \\(b\\) i \\(g\\), gde \\(|b|=40\\) i \\(|g|=10\\). na mnozhestve \\(b\\) zadany dva lineynyh poryadka. dlya kazhdoy vershiny \\(g\\in g\\) ee okrestnost v \\(b\\) yavlyaetsya suffiksom odnogo iz etih dvuh poryadkov. dokazhite, chto naydutsya dve razlichnye vershiny iz \\(b\\) s odinakovymi okrestnostyami v \\(g\\). bipartite_graph idea-threshold-grid-pigeonhole desyat porogov dvuh tipov dayut menshe soroka kletok devushki pervogo tipa razrezayut poryadok yunoshey po vozrastu, devushki vtorogo tipa - poryadok po rostu. esli pervyh \\(a\\), a vtoryh \\(10-a\\), to yunoshi razbivayutsya ne bolee chem na \\((a+1)(11-a)\\le 36\\) klassov, vnutri kazhdogo iz kotoryh nabor podrug odinakov. pigeonhole_principle graph_model ai_checked sol-threshold-grid-pigeonhole razbienie po porogam vozrasta i rosta ai_checked bipartite_graph pigeonhole_principle razdelim devushek na dva tipa. pust devushek vozrastnogo tipa \\(a\\): kazhdaya iz nih druzhit rovno s yunoshami starshe nee. togda devushek rostovogo tipa \\(10-a\\): kazhdaya iz nih druzhit rovno s yunoshami vyshe nee. uporyadochim 40 yunoshey po vozrastu ot mladshih k starshim. kazhdaya devushka vozrastnogo tipa zadaet v etom poryadke odin porog: vse yunoshi posle poroga yavlyayutsya ee druzyami, a vse yunoshi do poroga ne yavlyayutsya. esli neskolko porogov sovpadayut, eto tolko umenshaet chislo chastey; v lyubom sluchae eti \\(a\\) porogov razbivayut yunoshey ne bolee chem na \\(a+1\\) vozrastnyh klassov. dva yunoshi iz odnogo takogo klassa libo oba starshe kazhdoy fiksirovannoy devushki vozrastnogo tipa, libo oba ne starshe ee. teper uporyadochim yunoshey po rostu ot nizkih k vysokim. kazhdaya devushka rostovogo tipa tozhe zadaet odin porog: posle nego stoyat rovno te yunoshi, kotorye vyshe etoy devushki. poetomu devushki rostovogo tipa zadayut ne bo…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2013-8-p5-capital-directed-disjoint-paths","title":"Близкие города, направленные дороги и непересекающиеся пути из столицы, СПбМО 2013, 8 класс, II тур, задача 5","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2013-8-p5-capital-directed-disjoint-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2013-8-p5-capital-directed-disjoint-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2013-8-p5-capital-directed-disjoint-paths","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2013, городской тур 6-8 классы официальный PDF"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":["К. Тыщук","Берлов С.Л."],"tags":["connectivity","graph_model","augmenting_path","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Задача выводной аудитории 8 класса СПбМО: после перевода на язык корневого орграфа нужно распознать транзитивность отношения близости. Короткое решение использует двухпутевую форму Менгера/доминаторы; без этого языка идея остается олимпиадной, но не совсем очевидной.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная олимпиадная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране несколько городов, некоторые из которых соединены дорогами с односторонним движением так, что из столицы можно добраться до любого города, не нарушая правил дорожного движения (при этом, возможно, проезжая через другие города). Назовем два нестоличных города близкими, если до них нельзя добраться из столицы по непересекающимися (то есть не проходящими через общие города) путям. Президент приказал соединить каждые два близких города прямой авиалинией. Оказалось, что теперь между любыми двумя нестоличными городами можно добраться, пользуясь только открытыми авиалиниями. Докажите, что тогда между любыми двумя нестоличными городами есть прямая авиалиния.","definition_ids":["directed_graph","path","connected_graph","complete_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Корневой орграф и отношение отсутствия двух непересекающихся путей","status":"ai_checked","text":"Пусть в конечном ориентированном графе \\(G\\) выделена вершина \\(s\\), из которой достижима каждая другая вершина. Для различных вершин \\(u,v\\ne s\\) назовем их близкими, если не существует пары направленных путей из \\(s\\) в \\(u\\) и из \\(s\\) в \\(v\\), не имеющих общих вершин кроме \\(s\\). Построим неориентированный граф \\(H\\) на вершинах \\(V(G)\\setminus\\{s\\}\\), соединив ребром каждую близкую пару. Докажите, что если \\(H\\) связен, то \\(H\\) полон.","definition_ids":["directed_graph","path","connected_graph","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-dominators-transitivity","title":"Доминаторы и транзитивность близости","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","connected_graph","complete_graph"],"standard_idea_ids":["augmenting_path_method"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать, что два пути из столицы могут иметь общую вершину \\(s\\), но среди нестоличных городов общих вершин у них быть не должно: именно так следует понимать фразу условия, потому что оба пути начинаются в столице. Назовем нестоличный город \\(x\\) доминатором города \\(y\\), если всякий путь из столицы \\(s\\) в \\(y\\) проходит через \\(x\\). Сам город \\(y\\) тоже считается своим доминатором. Нам понадобится двухпутевая форма теоремы Менгера. Для двух нестоличных городов \\(u\\) и \\(v\\) ровно одно из двух: либо существуют два пути из \\(s\\) в \\(u\\) и из \\(s\\) в \\(v\\), пересекающиеся только в \\(s\\), либо существует нестоличный город \\(x\\), через который проходит каждый путь из \\(s\\) в \\(u\\) и каждый путь из \\(s\\) в \\(v\\). Это получается из вершинной формы Менгера, если расщепить каждую нестоличную вершину на вход и выход с пропускной способностью 1 и добавить общий сток, достижимый из \\(u\\) и…"}],"relations":[{"id":"rel-menger-spbmo-2013-8-p5-dominators","neighbor_id":"menger-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2013-8-p5-imo-2021-c4-directed-disjoint-paths","neighbor_id":"imo-2021-c4-anisotropy-menger","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2002-p2-spbmo-2013-8-p5-menger-dominators","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"spbmo-2013-8-p5-capital-directed-disjoint-paths близкие города, направленные дороги и непересекающиеся пути из столицы, спбмо 2013, 8 класс, ii тур, задача 5 connectivity graph_model augmenting_path goal_proof 2013 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2013/problems/c_68_13.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2013 src-spbmo-2013-city-68 with_solution берлов с.л. к. тыщук санкт-петербургская математическая олимпиада 2013, городской тур 6-8 классы официальный pdf спбмо спбмо2013 к. тыщук берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2013, городской тур 6-8 классы официальный pdf stmt-original официальная олимпиадная формулировка ai_checked в стране несколько городов, некоторые из которых соединены дорогами с односторонним движением так, что из столицы можно добраться до любого города, не нарушая правил дорожного движения (при этом, возможно, проезжая через другие города). назовем два нестоличных города близкими, если до них нельзя добраться из столицы по непересекающимися (то есть не проходящими через общие города) путям. президент приказал соединить каждые два близких города прямой авиалинией. оказалось, что теперь между любыми двумя нестоличными городами можно добраться, пользуясь только открытыми авиалиниями. докажите, что тогда между любыми двумя нестоличными городами есть прямая авиалиния. directed_graph path connected_graph complete_graph stmt-graph корневой орграф и отношение отсутствия двух непересекающихся путей ai_checked пусть в конечном ориентированном графе \\(g\\) выделена вершина \\(s\\), из которой достижима каждая другая вершина. для различных вершин \\(u,v\\ne s\\) назовем их близкими, если не существует пары направленных путей из \\(s\\) в \\(u\\) и из \\(s\\) в \\(v\\), не имеющих общих вершин кроме \\(s\\). построим неориентированный граф \\(h\\) на вершинах \\(v(g)\\setminus\\{s\\}\\), соединив ребром каждую близкую пару. докажите, что если \\(h\\) связен, то \\(h\\) полон. directed_graph path connected_graph complete_graph idea-close-is-transitive близость городов является транзитивным отношением если две вершины нельзя достижимо развести двумя непересекающимися путями из столицы, то у них есть общий обязательный промежуточный город-доминатор. общие доминаторы одной фиксированной вершины упорядочены вдоль любого пути из столицы, поэтому из близости \\(a\\) к \\(b\\) и \\(b\\) к \\(c\\) следует близость \\(a\\) к \\(c\\). connectivity graph_model ai_checked idea-connected-equivalence-class связный граф отношения с транзитивными ребрами становится полным после доказательства транзитивности близость разбивает нестоличные города на классы эквивалентности. авиалинии соединяют ровно пары внутри классов; если по ним можно добраться между любыми двумя нестоличными городами, то класс всего один, значит каждая пара городов близка. connectivity ai_checked sol-dominators-transitivity доминаторы и транзитивность близости ai_checked directed_graph path connected_graph complete_graph augmenting_path_method будем считать, что два пути из столицы могут иметь общую вершину \\(s\\), но среди нестоличных городов общих вершин у них быть не должно: именно так следует понимать фразу условия, потому что оба пути начинаются в столице. назовем нестоличный город \\(x\\) доминатором города \\(y\\), если всякий путь из столицы \\(s\\) в \\(y\\) проходит через \\(x\\). сам город \\(y\\) тоже считается своим доминатором. нам понадобится двухпутевая форма теоремы менгера. для двух нестоличных городов \\(u\\) и \\(v\\) ровно одно из двух: либо существуют два пути из \\(s\\) в \\(u\\) и из \\(s\\) в \\(v\\), пересекающиеся только в \\(s\\), либо существует нестоличный город \\(x\\), через который проходит каждый путь из \\(s\\) в \\(u\\) и каждый путь из \\(s\\) в \\(v\\). это получается из вершинной формы менгера, если расщепить каждую нестоличную вершину на вход и выход с пропускной способностью 1 и добавить общий сток, достижимый из \\(u\\) и… spbmo-2013-8-p5-capital-directed-disjoint-paths blizkie goroda, napravlennye dorogi i neperesekayuschiesya puti iz stolitsy, spbmo 2013, 8 klass, ii tur, zadacha 5 connectivity graph_model augmenting_path goal_proof 2013 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2013/problems/c_68_13.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2013 src-spbmo-2013-city-68 with_solution berlov s.l. k. tyschuk sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2013, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2013 k. tyschuk berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2013, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original ofitsialnaya olimpiadnaya formulirovka ai_checked v strane neskolko gorodov, nekotorye iz kotoryh soedineny dorogami s odnostoronnim dvizheniem tak, chto iz stolitsy mozhno dobratsya do lyubogo goroda, ne narushaya pravil dorozhnogo dvizheniya (pri etom, vozmozhno, proezzhaya cherez drugie goroda). nazovem dva nestolichnyh goroda blizkimi, esli do nih nelzya dobratsya iz stolitsy po neperesekayuschimisya (to est ne prohodyaschimi cherez obschie goroda) putyam. prezident prikazal soedinit kazhdye dva blizkih goroda pryamoy avialiniey. okazalos, chto teper mezhdu lyubymi dvumya nestolichnymi gorodami mozhno dobratsya, polzuyas tolko otkrytymi avialiniyami. dokazhite, chto togda mezhdu lyubymi dvumya nestolichnymi gorodami est pryamaya avialiniya. directed_graph path connected_graph complete_graph stmt-graph kornevoy orgraf i otnoshenie otsutstviya dvuh neperesekayuschihsya putey ai_checked pust v konechnom orientirovannom grafe \\(g\\) vydelena vershina \\(s\\), iz kotoroy dostizhima kazhdaya drugaya vershina. dlya razlichnyh vershin \\(u,v\\ne s\\) nazovem ih blizkimi, esli ne suschestvuet pary napravlennyh putey iz \\(s\\) v \\(u\\) i iz \\(s\\) v \\(v\\), ne imeyuschih obschih vershin krome \\(s\\). postroim neorientirovannyy graf \\(h\\) na vershinah \\(v(g)\\setminus\\{s\\}\\), soediniv rebrom kazhduyu blizkuyu paru. dokazhite, chto esli \\(h\\) svyazen, to \\(h\\) polon. directed_graph path connected_graph complete_graph idea-close-is-transitive blizost gorodov yavlyaetsya tranzitivnym otnosheniem esli dve vershiny nelzya dostizhimo razvesti dvumya neperesekayuschimisya putyami iz stolitsy, to u nih est obschiy obyazatelnyy promezhutochnyy gorod-dominator. obschie dominatory odnoy fiksirovannoy vershiny uporyadocheny vdol lyubogo puti iz stolitsy, poetomu iz blizosti \\(a\\) k \\(b\\) i \\(b\\) k \\(c\\) sleduet blizost \\(a\\) k \\(c\\). connectivity graph_model ai_checked idea-connected-equivalence-class svyaznyy graf otnosheniya s tranzitivnymi rebrami stanovitsya polnym posle dokazatelstva tranzitivnosti blizost razbivaet nestolichnye goroda na klassy ekvivalentnosti. avialinii soedinyayut rovno pary vnutri klassov; esli po nim mozhno dobratsya mezhdu lyubymi dvumya nestolichnymi gorodami, to klass vsego odin, znachit kazhdaya para gorodov blizka. connectivity ai_checked sol-dominators-transitivity dominatory i tranzitivnost blizosti ai_checked directed_graph path connected_graph complete_graph augmenting_path_method budem schitat, chto dva puti iz stolitsy mogut imet obschuyu vershinu \\(s\\), no sredi nestolichnyh gorodov obschih vershin u nih byt ne dolzhno: imenno tak sleduet ponimat frazu usloviya, potomu chto oba puti nachinayutsya v stolitse. nazovem nestolichnyy gorod \\(x\\) dominatorom goroda \\(y\\), esli vsyakiy put iz stolitsy \\(s\\) v \\(y\\) prohodit cherez \\(x\\). sam gorod \\(y\\) tozhe schitaetsya svoim dominatorom. nam ponadobitsya dvuhputevaya forma teoremy mengera. dlya dvuh nestolichnyh gorodov \\(u\\) i \\(v\\) rovno odno iz dvuh: libo suschestvuyut dva puti iz \\(s\\) v \\(u\\) i iz \\(s\\) v \\(v\\), peresekayuschiesya tolko v \\(s\\), libo suschestvuet nestolichnyy gorod \\(x\\), cherez kotoryy prohodit kazhdyy put iz \\(s\\) v \\(u\\) i kazhdyy put iz \\(s\\) v \\(v\\). eto poluchaetsya iz vershinnoy formy mengera, esli rasschepit kazhduyu nestolichnuyu vershinu na vhod i vyhod s propusknoy sposobnostyu 1 i dobavit obschiy stok, dostizhimyy iz \\(u\\) i…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2014-10-p7-digraph-no-odd-cycles-dominating-independent","title":"Базы в ориентированном графе без нечётных направленных циклов, СПбМО 2014","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2014-10-p7-digraph-no-odd-cycles-dominating-independent.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2014-10-p7-digraph-no-odd-cycles-dominating-independent.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2014-10-p7-digraph-no-odd-cycles-dominating-independent","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2014, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":["Н. Гравин"],"tags":["connectivity","parity_coloring","induction","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"СПбМО 2014, городской тур, 10 класс, задача 7. Содержательно это конечная версия теоремы о существовании ядра в орграфе без нечётных направленных циклов; олимпиадное решение требует аккуратно совместить сильные компоненты, чётность направленных путей и индукционное удаление доминированных вершин.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Некоторые города Триодиннадцатого царства соединены дорогами с односторонним движением. Известно, что любой замкнутый циклический маршрут по дорогам этой страны, не нарушающий правил дорожного движения, проходит по чётному числу дорог. Докажите, что царь сможет разместить в некоторых городах военные базы так, чтобы между этими городами не было дорог, но в любой город, где нет базы, можно было добраться из города, где база есть, проехав ровно одну дорогу.","definition_ids":["directed_graph","cycle","independent_set","dominating_set"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Независимое исходяще доминирующее множество","status":"ai_checked","text":"Пусть дан конечный ориентированный граф \\(D\\), в котором каждый замкнутый направленный маршрут имеет чётную длину. Докажите, что существует множество вершин \\(S\\) такое, что между любыми двумя вершинами из \\(S\\) нет дуги ни в одном направлении, а для каждой вершины \\(v\\notin S\\) найдётся вершина \\(s\\in S\\) с дугой \\(s\\to v\\).","definition_ids":["directed_graph","cycle","independent_set","dominating_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-strong-components-induction","title":"Сильные компоненты и индукция по числу городов","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle","independent_set","dominating_set","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Перейдём к графовой формулировке: города - вершины, дороги - направленные рёбра. Достаточно доказать утверждение для любого конечного ориентированного графа, в котором нет нечётного замкнутого направленного маршрута. Сначала докажем лемму. Пусть \\(C\\) - сильная компонента такого графа. Зафиксируем вершину \\(r\\in C\\). Для каждой вершины \\(v\\in C\\) выберем какой-нибудь направленный путь из \\(r\\) в \\(v\\). Чётность длины этого пути не зависит от выбора. Действительно, если есть два пути \\(P\\) и \\(Q\\) из \\(r\\) в \\(v\\) разной чётности, то из сильной связности есть направленный путь \\(R\\) из \\(v\\) в \\(r\\). Замкнутые маршруты \\(P+R\\) и \\(Q+R\\) имеют разную чётность, значит один из них нечётный, что запрещено. Разобьём вершины \\(C\\) на две доли: в первую положим вершины, достижимые из \\(r\\) путём чётной длины, во вторую - путём нечётной длины. Если в \\(C\\) есть дуга \\(u\\to v\\), то путь из \\(r\\)…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2014-10-p7-digraph-no-odd-cycles-dominating-independent базы в ориентированном графе без нечётных направленных циклов, спбмо 2014 connectivity parity_coloring induction graph_model goal_existence 2014 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2014/problems/91114tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2014 src-spbmo-2014-city-911-tex with_solution н. гравин санкт-петербургская математическая олимпиада 2014, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив спбмо спбмо2014 н. гравин санкт-петербургская математическая олимпиада 2014, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original условие source_verified некоторые города триодиннадцатого царства соединены дорогами с односторонним движением. известно, что любой замкнутый циклический маршрут по дорогам этой страны, не нарушающий правил дорожного движения, проходит по чётному числу дорог. докажите, что царь сможет разместить в некоторых городах военные базы так, чтобы между этими городами не было дорог, но в любой город, где нет базы, можно было добраться из города, где база есть, проехав ровно одну дорогу. directed_graph cycle independent_set dominating_set stmt-graph независимое исходяще доминирующее множество ai_checked пусть дан конечный ориентированный граф \\(d\\), в котором каждый замкнутый направленный маршрут имеет чётную длину. докажите, что существует множество вершин \\(s\\) такое, что между любыми двумя вершинами из \\(s\\) нет дуги ни в одном направлении, а для каждой вершины \\(v\\notin s\\) найдётся вершина \\(s\\in s\\) с дугой \\(s\\to v\\). directed_graph cycle independent_set dominating_set idea-strong-component-bipartition сильная компонента без нечётных циклов двудольна по чётности пути в сильной компоненте зафиксируем вершину \\(r\\). если два направленных пути из \\(r\\) в одну и ту же вершину имели бы разную чётность, то, добавив направленный путь обратно к \\(r\\), получили бы два замкнутых маршрута разной чётности; один из них был бы нечётным. значит, чётность пути от \\(r\\) корректно делит компоненту на две независимые доли. connectivity parity_coloring ai_checked idea-delete-source-component-and-dominated выбрать долю начальной сильной компоненты и удалить всё уже доминированное в конденсации ориентированного графа берём начальную сильную компоненту: из оставшейся части в неё нет дуг, поэтому будущие выбранные вершины не смогут быть смежны с уже выбранной долей. одна доля этой компоненты доминирует вторую долю, а также некоторые внешние вершины; после удаления компоненты и этих внешних вершин задача сводится к меньшему графу. induction connectivity goal_existence ai_checked sol-strong-components-induction сильные компоненты и индукция по числу городов ai_checked directed_graph cycle independent_set dominating_set bipartite_graph induction delete_to_simplify перейдём к графовой формулировке: города - вершины, дороги - направленные рёбра. достаточно доказать утверждение для любого конечного ориентированного графа, в котором нет нечётного замкнутого направленного маршрута. сначала докажем лемму. пусть \\(c\\) - сильная компонента такого графа. зафиксируем вершину \\(r\\in c\\). для каждой вершины \\(v\\in c\\) выберем какой-нибудь направленный путь из \\(r\\) в \\(v\\). чётность длины этого пути не зависит от выбора. действительно, если есть два пути \\(p\\) и \\(q\\) из \\(r\\) в \\(v\\) разной чётности, то из сильной связности есть направленный путь \\(r\\) из \\(v\\) в \\(r\\). замкнутые маршруты \\(p+r\\) и \\(q+r\\) имеют разную чётность, значит один из них нечётный, что запрещено. разобьём вершины \\(c\\) на две доли: в первую положим вершины, достижимые из \\(r\\) путём чётной длины, во вторую - путём нечётной длины. если в \\(c\\) есть дуга \\(u\\to v\\), то путь из \\(r\\)… spbmo-2014-10-p7-digraph-no-odd-cycles-dominating-independent bazy v orientirovannom grafe bez nechetnyh napravlennyh tsiklov, spbmo 2014 connectivity parity_coloring induction graph_model goal_existence 2014 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2014/problems/91114tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2014 src-spbmo-2014-city-911-tex with_solution n. gravin sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2014, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2014 n. gravin sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2014, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie source_verified nekotorye goroda triodinnadtsatogo tsarstva soedineny dorogami s odnostoronnim dvizheniem. izvestno, chto lyuboy zamknutyy tsiklicheskiy marshrut po dorogam etoy strany, ne narushayuschiy pravil dorozhnogo dvizheniya, prohodit po chetnomu chislu dorog. dokazhite, chto tsar smozhet razmestit v nekotoryh gorodah voennye bazy tak, chtoby mezhdu etimi gorodami ne bylo dorog, no v lyuboy gorod, gde net bazy, mozhno bylo dobratsya iz goroda, gde baza est, proehav rovno odnu dorogu. directed_graph cycle independent_set dominating_set stmt-graph nezavisimoe ishodyasche dominiruyuschee mnozhestvo ai_checked pust dan konechnyy orientirovannyy graf \\(d\\), v kotorom kazhdyy zamknutyy napravlennyy marshrut imeet chetnuyu dlinu. dokazhite, chto suschestvuet mnozhestvo vershin \\(s\\) takoe, chto mezhdu lyubymi dvumya vershinami iz \\(s\\) net dugi ni v odnom napravlenii, a dlya kazhdoy vershiny \\(v\\notin s\\) naydetsya vershina \\(s\\in s\\) s dugoy \\(s\\to v\\). directed_graph cycle independent_set dominating_set idea-strong-component-bipartition silnaya komponenta bez nechetnyh tsiklov dvudolna po chetnosti puti v silnoy komponente zafiksiruem vershinu \\(r\\). esli dva napravlennyh puti iz \\(r\\) v odnu i tu zhe vershinu imeli by raznuyu chetnost, to, dobaviv napravlennyy put obratno k \\(r\\), poluchili by dva zamknutyh marshruta raznoy chetnosti; odin iz nih byl by nechetnym. znachit, chetnost puti ot \\(r\\) korrektno delit komponentu na dve nezavisimye doli. connectivity parity_coloring ai_checked idea-delete-source-component-and-dominated vybrat dolyu nachalnoy silnoy komponenty i udalit vse uzhe dominirovannoe v kondensatsii orientirovannogo grafa berem nachalnuyu silnuyu komponentu: iz ostavsheysya chasti v nee net dug, poetomu buduschie vybrannye vershiny ne smogut byt smezhny s uzhe vybrannoy doley. odna dolya etoy komponenty dominiruet vtoruyu dolyu, a takzhe nekotorye vneshnie vershiny; posle udaleniya komponenty i etih vneshnih vershin zadacha svoditsya k menshemu grafu. induction connectivity goal_existence ai_checked sol-strong-components-induction silnye komponenty i induktsiya po chislu gorodov ai_checked directed_graph cycle independent_set dominating_set bipartite_graph induction delete_to_simplify pereydem k grafovoy formulirovke: goroda - vershiny, dorogi - napravlennye rebra. dostatochno dokazat utverzhdenie dlya lyubogo konechnogo orientirovannogo grafa, v kotorom net nechetnogo zamknutogo napravlennogo marshruta. snachala dokazhem lemmu. pust \\(c\\) - silnaya komponenta takogo grafa. zafiksiruem vershinu \\(r\\in c\\). dlya kazhdoy vershiny \\(v\\in c\\) vyberem kakoy-nibud napravlennyy put iz \\(r\\) v \\(v\\). chetnost dliny etogo puti ne zavisit ot vybora. deystvitelno, esli est dva puti \\(p\\) i \\(q\\) iz \\(r\\) v \\(v\\) raznoy chetnosti, to iz silnoy svyaznosti est napravlennyy put \\(r\\) iz \\(v\\) v \\(r\\). zamknutye marshruty \\(p+r\\) i \\(q+r\\) imeyut raznuyu chetnost, znachit odin iz nih nechetnyy, chto zaprescheno. razobem vershiny \\(c\\) na dve doli: v pervuyu polozhim vershiny, dostizhimye iz \\(r\\) putem chetnoy dliny, vo vtoruyu - putem nechetnoy dliny. esli v \\(c\\) est duga \\(u\\to v\\), to put iz \\(r\\)…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2014-11-2-maximal-matchings-delete-graph","title":"Удаление максимальных паросочетаний при степени не больше 100, СПбМО 2014, 11 класс, II тур, задача 2","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2014-11-2-maximal-matchings-delete-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2014-11-2-maximal-matchings-delete-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2014-11-2-maximal-matchings-delete-graph","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2014, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","degree_counting","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Чистая задача на максимальные паросочетания и локальный подсчет вокруг фиксированного ребра.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В стране некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит не более 100 дорог. Набор дорог называется идеальным, если эти дороги не имеют общих концов, но больше ни одной дороги с сохранением этого условия добавить к этому набору нельзя. Министерство транспорта каждый день выбирает какой-нибудь идеальный набор дорог и полностью разрушает их. Новых дорог министерство не строит. Докажите, что не более чем через 199 таких операций в стране вообще не останется дорог.","definition_ids":["matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Удаление максимальных по включению паросочетаний","status":"ai_checked","text":"В графе максимальной степени не больше 100 на каждом шаге удаляют произвольное максимальное по включению паросочетание. Докажите, что после не более чем 199 шагов ребер не останется.","definition_ids":["matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-expanded","title":"Фиксируем последнее ребро","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим произвольную дорогу uv, которая пока не разрушена. В день, когда выбирается идеальный набор, если uv не входит в этот набор, то из максимальности набора следует: какая-то выбранная дорога имеет общий конец с uv. Иначе uv можно было бы добавить к набору, что противоречило бы его идеальности. У вершины u кроме uv есть не более 99 других дорог, и у v тоже не более 99. Значит, всего дорог, отличных от uv и имеющих с ней общий конец, не больше 198. Каждый день, пока uv остается неразрушенной, разрушается по крайней мере одна из этих соседних дорог, причем повторно разрушить ее уже нельзя. Поэтому uv не может пережить 199 операций. Поскольку это верно для любой исходной дороги, через 199 операций дорог не останется."}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2014-11-2-maximal-matchings-delete-graph удаление максимальных паросочетаний при степени не больше 100, спбмо 2014, 11 класс, ii тур, задача 2 matching degree_counting goal_proof 2014 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2014/problems/91114tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2014 src-spbmo-2014-city-911-tex with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2014, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив спбмо спбмо2014 ? санкт-петербургская математическая олимпиада 2014, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original условие ai_checked в стране некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит не более 100 дорог. набор дорог называется идеальным, если эти дороги не имеют общих концов, но больше ни одной дороги с сохранением этого условия добавить к этому набору нельзя. министерство транспорта каждый день выбирает какой-нибудь идеальный набор дорог и полностью разрушает их. новых дорог министерство не строит. докажите, что не более чем через 199 таких операций в стране вообще не останется дорог. matching stmt-graph удаление максимальных по включению паросочетаний ai_checked в графе максимальной степени не больше 100 на каждом шаге удаляют произвольное максимальное по включению паросочетание. докажите, что после не более чем 199 шагов ребер не останется. matching idea-each-surviving-edge-charges-neighbour выжившее ребро каждый день теряет соседнее ребро если ребро uv не попало в удаляемое максимальное паросочетание, то максимальность заставляет удалить какое-то ребро, инцидентное u или v. таких соседних с uv ребер изначально не больше 198. matching degree_counting ai_checked sol-expanded фиксируем последнее ребро ai_checked matching рассмотрим произвольную дорогу uv, которая пока не разрушена. в день, когда выбирается идеальный набор, если uv не входит в этот набор, то из максимальности набора следует: какая-то выбранная дорога имеет общий конец с uv. иначе uv можно было бы добавить к набору, что противоречило бы его идеальности. у вершины u кроме uv есть не более 99 других дорог, и у v тоже не более 99. значит, всего дорог, отличных от uv и имеющих с ней общий конец, не больше 198. каждый день, пока uv остается неразрушенной, разрушается по крайней мере одна из этих соседних дорог, причем повторно разрушить ее уже нельзя. поэтому uv не может пережить 199 операций. поскольку это верно для любой исходной дороги, через 199 операций дорог не останется. spbmo-2014-11-2-maximal-matchings-delete-graph udalenie maksimalnyh parosochetaniy pri stepeni ne bolshe 100, spbmo 2014, 11 klass, ii tur, zadacha 2 matching degree_counting goal_proof 2014 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2014/problems/91114tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2014 src-spbmo-2014-city-911-tex with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2014, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2014 ? sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2014, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie ai_checked v strane nekotorye pary gorodov soedineny dorogami, prichem iz kazhdogo goroda vyhodit ne bolee 100 dorog. nabor dorog nazyvaetsya idealnym, esli eti dorogi ne imeyut obschih kontsov, no bolshe ni odnoy dorogi s sohraneniem etogo usloviya dobavit k etomu naboru nelzya. ministerstvo transporta kazhdyy den vybiraet kakoy-nibud idealnyy nabor dorog i polnostyu razrushaet ih. novyh dorog ministerstvo ne stroit. dokazhite, chto ne bolee chem cherez 199 takih operatsiy v strane voobsche ne ostanetsya dorog. matching stmt-graph udalenie maksimalnyh po vklyucheniyu parosochetaniy ai_checked v grafe maksimalnoy stepeni ne bolshe 100 na kazhdom shage udalyayut proizvolnoe maksimalnoe po vklyucheniyu parosochetanie. dokazhite, chto posle ne bolee chem 199 shagov reber ne ostanetsya. matching idea-each-surviving-edge-charges-neighbour vyzhivshee rebro kazhdyy den teryaet sosednee rebro esli rebro uv ne popalo v udalyaemoe maksimalnoe parosochetanie, to maksimalnost zastavlyaet udalit kakoe-to rebro, intsidentnoe u ili v. takih sosednih s uv reber iznachalno ne bolshe 198. matching degree_counting ai_checked sol-expanded fiksiruem poslednee rebro ai_checked matching rassmotrim proizvolnuyu dorogu uv, kotoraya poka ne razrushena. v den, kogda vybiraetsya idealnyy nabor, esli uv ne vhodit v etot nabor, to iz maksimalnosti nabora sleduet: kakaya-to vybrannaya doroga imeet obschiy konets s uv. inache uv mozhno bylo by dobavit k naboru, chto protivorechilo by ego idealnosti. u vershiny u krome uv est ne bolee 99 drugih dorog, i u v tozhe ne bolee 99. znachit, vsego dorog, otlichnyh ot uv i imeyuschih s ney obschiy konets, ne bolshe 198. kazhdyy den, poka uv ostaetsya nerazrushennoy, razrushaetsya po krayney mere odna iz etih sosednih dorog, prichem povtorno razrushit ee uzhe nelzya. poetomu uv ne mozhet perezhit 199 operatsiy. poskolku eto verno dlya lyuboy ishodnoy dorogi, cherez 199 operatsiy dorog ne ostanetsya.","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2015-11-6-regular-graph-10-stars","title":"Разбиение 100-регулярного графа на пучки по 10 ребер, СПбМО 2015, 11 класс, II тур, задача 6","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2015-11-6-regular-graph-10-stars.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2015-11-6-regular-graph-10-stars.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2015-11-6-regular-graph-10-stars","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2015, городской тур 9-11 классы официальный TeX-архив"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","graph_model","invariant","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Графовая декомпозиция через эйлерову ориентацию регулярного графа.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В стране Центумии некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 100 дорог. Пучком называется набор из 10 дорог, выходящих из одного города. Докажите, что все дороги можно разбить на несколько пучков.","definition_ids":["simple_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разбиение 100-регулярного графа на пучки по 10 ребер","status":"ai_checked","text":"Докажите, что ребра любого 100-регулярного графа можно разбить на звезды \\(K_{1,10}\\); центр каждой звезды является одним из концов всех ее десяти ребер.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-expanded","title":"Эйлерова ориентация","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","eulerian_cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Достаточно ориентировать все дороги так, чтобы в каждый город входило число дорог, кратное 10: после этого входящие в один город дороги можно произвольно разбить на десятки, и каждая десятка будет пучком с центром в этом городе. Рассмотрим одну связную компоненту графа. В ней степень каждой вершины равна 100, то есть чётна, поэтому все рёбра компоненты можно пройти одним замкнутым эйлеровым обходом. Ориентируем каждое ребро по направлению этого обхода. Каждый раз, когда обход приходит в вершину, он затем из неё выходит; поэтому число входящих рёбер в этой ориентации равно числу исходящих. Так как всего с вершиной инцидентно 100 рёбер, в неё входит ровно 50 рёбер. Число 50 делится на 10. Значит, для каждой вершины можно разбить все входящие в неё рёбра на группы по 10. Каждая такая группа является пучком дорог, выходящих из соответствующего города, если смотреть на неориентированные доро…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2015-11-6-regular-graph-10-stars разбиение 100-регулярного графа на пучки по 10 ребер, спбмо 2015, 11 класс, ii тур, задача 6 eulerian_graphs graph_model invariant goal_proof 2015 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2015/problems/91115tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2015 src-spbmo-2015-city-911-tex with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2015, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив спбмо спбмо2015 ? санкт-петербургская математическая олимпиада 2015, городской тур 9-11 классы официальный tex-архив stmt-original условие ai_checked в стране центумии некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 100 дорог. пучком называется набор из 10 дорог, выходящих из одного города. докажите, что все дороги можно разбить на несколько пучков. simple_graph stmt-graph разбиение 100-регулярного графа на пучки по 10 ребер ai_checked докажите, что ребра любого 100-регулярного графа можно разбить на звезды \\(k_{1,10}\\); центр каждой звезды является одним из концов всех ее десяти ребер. simple_graph idea-orient-to-multiple-of-ten эйлерова ориентация даёт по 50 входящих рёбер в каждой компоненте 100-регулярного графа все степени чётны, поэтому её рёбра можно пройти эйлеровым циклом и ориентировать по ходу обхода. тогда в каждую вершину входит ровно 50 рёбер, а их можно разбить на пятёрку пучков по 10. eulerian_graphs graph_model ai_checked sol-expanded эйлерова ориентация ai_checked simple_graph eulerian_cycle достаточно ориентировать все дороги так, чтобы в каждый город входило число дорог, кратное 10: после этого входящие в один город дороги можно произвольно разбить на десятки, и каждая десятка будет пучком с центром в этом городе. рассмотрим одну связную компоненту графа. в ней степень каждой вершины равна 100, то есть чётна, поэтому все рёбра компоненты можно пройти одним замкнутым эйлеровым обходом. ориентируем каждое ребро по направлению этого обхода. каждый раз, когда обход приходит в вершину, он затем из неё выходит; поэтому число входящих рёбер в этой ориентации равно числу исходящих. так как всего с вершиной инцидентно 100 рёбер, в неё входит ровно 50 рёбер. число 50 делится на 10. значит, для каждой вершины можно разбить все входящие в неё рёбра на группы по 10. каждая такая группа является пучком дорог, выходящих из соответствующего города, если смотреть на неориентированные доро… spbmo-2015-11-6-regular-graph-10-stars razbienie 100-regulyarnogo grafa na puchki po 10 reber, spbmo 2015, 11 klass, ii tur, zadacha 6 eulerian_graphs graph_model invariant goal_proof 2015 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2015/problems/91115tex.zip olympiad_archive spbmo spbmo2015 src-spbmo-2015-city-911-tex with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2015, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv spbmo spbmo2015 ? sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2015, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy tex-arhiv stmt-original uslovie ai_checked v strane tsentumii nekotorye pary gorodov soedineny dorogami, prichem iz kazhdogo goroda vyhodit rovno 100 dorog. puchkom nazyvaetsya nabor iz 10 dorog, vyhodyaschih iz odnogo goroda. dokazhite, chto vse dorogi mozhno razbit na neskolko puchkov. simple_graph stmt-graph razbienie 100-regulyarnogo grafa na puchki po 10 reber ai_checked dokazhite, chto rebra lyubogo 100-regulyarnogo grafa mozhno razbit na zvezdy \\(k_{1,10}\\); tsentr kazhdoy zvezdy yavlyaetsya odnim iz kontsov vseh ee desyati reber. simple_graph idea-orient-to-multiple-of-ten eylerova orientatsiya daet po 50 vhodyaschih reber v kazhdoy komponente 100-regulyarnogo grafa vse stepeni chetny, poetomu ee rebra mozhno proyti eylerovym tsiklom i orientirovat po hodu obhoda. togda v kazhduyu vershinu vhodit rovno 50 reber, a ih mozhno razbit na pyaterku puchkov po 10. eulerian_graphs graph_model ai_checked sol-expanded eylerova orientatsiya ai_checked simple_graph eulerian_cycle dostatochno orientirovat vse dorogi tak, chtoby v kazhdyy gorod vhodilo chislo dorog, kratnoe 10: posle etogo vhodyaschie v odin gorod dorogi mozhno proizvolno razbit na desyatki, i kazhdaya desyatka budet puchkom s tsentrom v etom gorode. rassmotrim odnu svyaznuyu komponentu grafa. v ney stepen kazhdoy vershiny ravna 100, to est chetna, poetomu vse rebra komponenty mozhno proyti odnim zamknutym eylerovym obhodom. orientiruem kazhdoe rebro po napravleniyu etogo obhoda. kazhdyy raz, kogda obhod prihodit v vershinu, on zatem iz nee vyhodit; poetomu chislo vhodyaschih reber v etoy orientatsii ravno chislu ishodyaschih. tak kak vsego s vershinoy intsidentno 100 reber, v nee vhodit rovno 50 reber. chislo 50 delitsya na 10. znachit, dlya kazhdoy vershiny mozhno razbit vse vhodyaschie v nee rebra na gruppy po 10. kazhdaya takaya gruppa yavlyaetsya puchkom dorog, vyhodyaschih iz sootvetstvuyuschego goroda, esli smotret na neorientirovannye doro…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2017-10-p7-remove-directed-cycle-keep-strong","title":"Удаление ориентированного цикла с сохранением сильной связности, СПбМО 2017","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2017-10-p7-remove-directed-cycle-keep-strong.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2017-10-p7-remove-directed-cycle-keep-strong.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2017-10-p7-remove-directed-cycle-keep-strong","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2017, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":["Карпов Д.В."],"tags":["graph_model","connectivity","extremal_choice","minimal_counterexample","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"СПбМО 2017, городской тур, 10 класс, задача 7: сильная задача на компоненты сильной связности, конденсацию и экстремальный выбор после удаления ориентированного цикла.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная олимпиадная формулировка","status":"source_verified","text":"В стране некоторые пары городов соединены дорогами с односторонним движением, причем из любого города можно проехать в любой другой. Из каждого города выходит хотя бы две дороги и в каждый город входит хотя бы две дороги. Докажите, что можно найти циклический маршрут и удалить все его дороги так, что по-прежнему из любого города можно будет проехать в любой другой.","definition_ids":["directed_graph","path","cycle","outdegree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Удаление ориентированного цикла с сохранением сильной связности","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный сильно связный ориентированный граф, в котором из каждой вершины выходит хотя бы две дуги и в каждую вершину входит хотя бы две дуги. Докажите, что существует ориентированный цикл \\(Z\\), такой что после удаления всех дуг цикла \\(Z\\) граф \\(G\\) остаётся сильно связным.","definition_ids":["directed_graph","path","cycle","outdegree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-extreme-strong-component","title":"Крайняя компонента после удаления цикла","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","cycle","outdegree"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать дороги дугами ориентированного графа \\(G\\). Условие \"из любого города можно проехать в любой другой\" означает сильную связность. Нам понадобится стандартный язык. Если ориентированный граф не сильно связен, разобьём его на компоненты сильной связности и сожмём каждую компоненту в одну вершину. Получается ациклический ориентированный граф, поэтому в нём есть источник и сток. Соответствующие компоненты исходного графа будем называть крайними: в компоненту-источник не входит дуг из других компонент, а из компоненты-стока не выходит дуг в другие компоненты. Для ориентированного цикла \\(Z\\) обозначим через \\(G_Z\\) граф, полученный из \\(G\\) удалением всех дуг этого цикла. Предположим противное: ни для какого цикла \\(Z\\) граф \\(G_Z\\) не остаётся сильно связным. Среди всех циклов \\(Z\\) и всех крайних компонент графов \\(G_Z\\) выберем пару \\((Z,U)\\), для которой число вершин в \\(U\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2017-10-p7-kolmogorov-2004-vertex-deletion-strong-connectivity","neighbor_id":"kolmogorov-2004-round3-higher-league-problem-10","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2017-10-p7-kolmogorov-2003-critical-strong-digraphs","neighbor_id":"kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2017-10-p7-remove-directed-cycle-keep-strong удаление ориентированного цикла с сохранением сильной связности, спбмо 2017 graph_model connectivity extremal_choice minimal_counterexample goal_existence 2017 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2017/problems/c_911_17.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2017 src-spbmo-2017-city-911 with_solution карпов д.в. санкт-петербургская математическая олимпиада 2017, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2017 карпов д.в. санкт-петербургская математическая олимпиада 2017, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original официальная олимпиадная формулировка source_verified в стране некоторые пары городов соединены дорогами с односторонним движением, причем из любого города можно проехать в любой другой. из каждого города выходит хотя бы две дороги и в каждый город входит хотя бы две дороги. докажите, что можно найти циклический маршрут и удалить все его дороги так, что по-прежнему из любого города можно будет проехать в любой другой. directed_graph path cycle outdegree stmt-graph удаление ориентированного цикла с сохранением сильной связности ai_checked пусть \\(g\\) — конечный сильно связный ориентированный граф, в котором из каждой вершины выходит хотя бы две дуги и в каждую вершину входит хотя бы две дуги. докажите, что существует ориентированный цикл \\(z\\), такой что после удаления всех дуг цикла \\(z\\) граф \\(g\\) остаётся сильно связным. directed_graph path cycle outdegree idea-minimal-extreme-component-after-cycle-deletion минимизировать крайнюю компоненту после удаления цикла предположим, что удаление любого ориентированного цикла разрушает сильную связность. среди всех удалённых циклов выбираем такой, после которого некоторая крайняя компонента сильной связности имеет минимальный размер. условие про две входящие и две исходящие дуги заставляет внутри этой компоненты существовать новый цикл; удаление уже этого внутреннего цикла приводит к меньшей крайней компоненте. connectivity extremal_choice minimal_counterexample ai_checked idea-condensation-extreme-components конденсация отслеживает, где может сломаться сильная связность если после удаления цикла граф не сильно связен, его компоненты сильной связности образуют ациклическую конденсацию. чтобы добавление удалённого цикла снова сделало граф сильно связным, этот цикл обязан проходить через крайние компоненты конденсации; поэтому при замене удаляемого цикла все новые крайние компоненты оказываются внутри старой минимальной компоненты. connectivity extremal_choice ai_checked sol-extreme-strong-component крайняя компонента после удаления цикла ai_checked directed_graph path cycle outdegree minimal_counterexample extremal_choice будем считать дороги дугами ориентированного графа \\(g\\). условие \"из любого города можно проехать в любой другой\" означает сильную связность. нам понадобится стандартный язык. если ориентированный граф не сильно связен, разобьём его на компоненты сильной связности и сожмём каждую компоненту в одну вершину. получается ациклический ориентированный граф, поэтому в нём есть источник и сток. соответствующие компоненты исходного графа будем называть крайними: в компоненту-источник не входит дуг из других компонент, а из компоненты-стока не выходит дуг в другие компоненты. для ориентированного цикла \\(z\\) обозначим через \\(g_z\\) граф, полученный из \\(g\\) удалением всех дуг этого цикла. предположим противное: ни для какого цикла \\(z\\) граф \\(g_z\\) не остаётся сильно связным. среди всех циклов \\(z\\) и всех крайних компонент графов \\(g_z\\) выберем пару \\((z,u)\\), для которой число вершин в \\(u\\)… spbmo-2017-10-p7-remove-directed-cycle-keep-strong udalenie orientirovannogo tsikla s sohraneniem silnoy svyaznosti, spbmo 2017 graph_model connectivity extremal_choice minimal_counterexample goal_existence 2017 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2017/problems/c_911_17.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2017 src-spbmo-2017-city-911 with_solution karpov d.v. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2017, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2017 karpov d.v. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2017, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original ofitsialnaya olimpiadnaya formulirovka source_verified v strane nekotorye pary gorodov soedineny dorogami s odnostoronnim dvizheniem, prichem iz lyubogo goroda mozhno proehat v lyuboy drugoy. iz kazhdogo goroda vyhodit hotya by dve dorogi i v kazhdyy gorod vhodit hotya by dve dorogi. dokazhite, chto mozhno nayti tsiklicheskiy marshrut i udalit vse ego dorogi tak, chto po-prezhnemu iz lyubogo goroda mozhno budet proehat v lyuboy drugoy. directed_graph path cycle outdegree stmt-graph udalenie orientirovannogo tsikla s sohraneniem silnoy svyaznosti ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy silno svyaznyy orientirovannyy graf, v kotorom iz kazhdoy vershiny vyhodit hotya by dve dugi i v kazhduyu vershinu vhodit hotya by dve dugi. dokazhite, chto suschestvuet orientirovannyy tsikl \\(z\\), takoy chto posle udaleniya vseh dug tsikla \\(z\\) graf \\(g\\) ostaetsya silno svyaznym. directed_graph path cycle outdegree idea-minimal-extreme-component-after-cycle-deletion minimizirovat kraynyuyu komponentu posle udaleniya tsikla predpolozhim, chto udalenie lyubogo orientirovannogo tsikla razrushaet silnuyu svyaznost. sredi vseh udalennyh tsiklov vybiraem takoy, posle kotorogo nekotoraya kraynyaya komponenta silnoy svyaznosti imeet minimalnyy razmer. uslovie pro dve vhodyaschie i dve ishodyaschie dugi zastavlyaet vnutri etoy komponenty suschestvovat novyy tsikl; udalenie uzhe etogo vnutrennego tsikla privodit k menshey krayney komponente. connectivity extremal_choice minimal_counterexample ai_checked idea-condensation-extreme-components kondensatsiya otslezhivaet, gde mozhet slomatsya silnaya svyaznost esli posle udaleniya tsikla graf ne silno svyazen, ego komponenty silnoy svyaznosti obrazuyut atsiklicheskuyu kondensatsiyu. chtoby dobavlenie udalennogo tsikla snova sdelalo graf silno svyaznym, etot tsikl obyazan prohodit cherez kraynie komponenty kondensatsii; poetomu pri zamene udalyaemogo tsikla vse novye kraynie komponenty okazyvayutsya vnutri staroy minimalnoy komponenty. connectivity extremal_choice ai_checked sol-extreme-strong-component kraynyaya komponenta posle udaleniya tsikla ai_checked directed_graph path cycle outdegree minimal_counterexample extremal_choice budem schitat dorogi dugami orientirovannogo grafa \\(g\\). uslovie \"iz lyubogo goroda mozhno proehat v lyuboy drugoy\" oznachaet silnuyu svyaznost. nam ponadobitsya standartnyy yazyk. esli orientirovannyy graf ne silno svyazen, razobem ego na komponenty silnoy svyaznosti i sozhmem kazhduyu komponentu v odnu vershinu. poluchaetsya atsiklicheskiy orientirovannyy graf, poetomu v nem est istochnik i stok. sootvetstvuyuschie komponenty ishodnogo grafa budem nazyvat kraynimi: v komponentu-istochnik ne vhodit dug iz drugih komponent, a iz komponenty-stoka ne vyhodit dug v drugie komponenty. dlya orientirovannogo tsikla \\(z\\) oboznachim cherez \\(g_z\\) graf, poluchennyy iz \\(g\\) udaleniem vseh dug etogo tsikla. predpolozhim protivnoe: ni dlya kakogo tsikla \\(z\\) graf \\(g_z\\) ne ostaetsya silno svyaznym. sredi vseh tsiklov \\(z\\) i vseh kraynih komponent grafov \\(g_z\\) vyberem paru \\((z,u)\\), dlya kotoroy chislo vershin v \\(u\\)…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2017-11-p6-chordal-clique-euler-characteristic","title":"Хордальный граф знакомств, клики и эйлерова характеристика, СПбМО 2017","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2017-11-p6-chordal-clique-euler-characteristic.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2017-11-p6-chordal-clique-euler-characteristic.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2017-11-p6-chordal-clique-euler-characteristic","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2017, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":["Fedor Petrov"],"tags":["connectivity","graph_model","induction","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"СПбМО 2017, 11 класс, задача 6: содержательная последняя графовая задача комплекта. После перевода к хордалному графу требуется нетривиальная структурная лемма о кликовом минимальном разделителе и аккуратное включение-исключение по кликам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие СПбМО 2017, 11 класс, II тур, задача 6","status":"ai_checked","text":"В стране некоторые математики знакомы между собой, и при любом разбиении математиков на две непустые группы найдутся двое знакомых из разных групп. Известно, что если посадить за круглый стол любой набор из 4 или более математиков так, чтобы любые два соседа были знакомы, то за столом найдутся двое знакомых, не сидящих рядом. Обозначим через \\(c_i\\) количество наборов из \\(i\\) попарно знакомых математиков. Докажите, что \\(c_1-c_2+c_3-c_4+\\ldots=1\\).","definition_ids":["connected_graph","cycle","clique"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Клики в хордальном графе","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) -- конечный простой связный хордальный граф: в каждом цикле длины хотя бы 4 есть хорда, то есть ребро между двумя несоседними вершинами цикла. Пусть \\(c_i\\) -- число клик размера \\(i\\) в графе \\(G\\). Докажите, что \\(c_1-c_2+c_3-c_4+\\ldots=1\\).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","cycle","clique","complete_graph","induced_subgraph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-clique-separator-euler-characteristic","title":"Индукция по кликовому разделителю","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","cycle","clique","graph_cut","complete_graph","induced_subgraph","path"],"standard_idea_ids":["induction","minimal_counterexample","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов. Вершинами графа \\(G\\) будут математики, а рёбрами -- знакомства. Первое условие означает связность: если граф был бы несвязен, его компоненты можно было бы разбить на две непустые группы без рёбер между ними; обратно, любое разбиение без ребра между частями отделяло бы одни вершины от других. Второе условие означает, что в каждом цикле длины хотя бы 4 есть хорда: посадка вдоль цикла даёт знакомых соседей, а найденные знакомые несоседи дают хорду. Итак, надо доказать утверждение для конечного связного хордалного графа. Для графа \\(H\\) обозначим через \\(F(H)\\) величину \\(c_1(H)-c_2(H)+c_3(H)-\\ldots\\), где \\(c_i(H)\\) -- число клик размера \\(i\\). Докажем по индукции по числу вершин, что \\(F(G)=1\\) для всякого непустого связного хордалного графа \\(G\\). Если \\(G\\) -- полный граф на \\(m\\) вершинах, то его клики -- все непустые подмножества вершин. Поэтому \\[ F…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2017-11-p6-euler-formula-clique-complex-characteristic","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2017-11-p6-chordal-clique-euler-characteristic хордальный граф знакомств, клики и эйлерова характеристика, спбмо 2017 connectivity graph_model induction goal_counting 2017 fedor petrov fedorpetrov https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2017/problems/c_911_17.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2017 src-spbmo-2017-city-911 with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2017, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2017 fedor petrov санкт-петербургская математическая олимпиада 2017, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original условие спбмо 2017, 11 класс, ii тур, задача 6 ai_checked в стране некоторые математики знакомы между собой, и при любом разбиении математиков на две непустые группы найдутся двое знакомых из разных групп. известно, что если посадить за круглый стол любой набор из 4 или более математиков так, чтобы любые два соседа были знакомы, то за столом найдутся двое знакомых, не сидящих рядом. обозначим через \\(c_i\\) количество наборов из \\(i\\) попарно знакомых математиков. докажите, что \\(c_1-c_2+c_3-c_4+\\ldots=1\\). connected_graph cycle clique stmt-graph клики в хордальном графе ai_checked пусть \\(g\\) -- конечный простой связный хордальный граф: в каждом цикле длины хотя бы 4 есть хорда, то есть ребро между двумя несоседними вершинами цикла. пусть \\(c_i\\) -- число клик размера \\(i\\) в графе \\(g\\). докажите, что \\(c_1-c_2+c_3-c_4+\\ldots=1\\). simple_graph connected_graph cycle clique complete_graph induced_subgraph path idea-chordal-translation рассадка за круглый стол задаёт хордальность если выбранные математики сидят по циклу и соседи знакомы, то дополнительные знакомые несоседних людей являются хордами этого цикла. поэтому условие о любой рассадке из четырёх и более человек означает, что граф знакомств не содержит индуцированных циклов длины хотя бы 4. graph_model connectivity ai_checked idea-clique-separator-induction разрез хордалного графа является кликой в связном не полном хордалном графе минимальный вершинный разделитель между двумя несмежными вершинами обязан быть кликой: иначе два пути через разные компоненты вместе дали бы цикл без хорды. это позволяет разрезать граф на меньшие хордалные графы и применить включение-исключение к числам клик. induction connectivity ai_checked sol-clique-separator-euler-characteristic индукция по кликовому разделителю ai_checked simple_graph connected_graph cycle clique graph_cut complete_graph induced_subgraph path induction minimal_counterexample delete_to_simplify переведём условие на язык графов. вершинами графа \\(g\\) будут математики, а рёбрами -- знакомства. первое условие означает связность: если граф был бы несвязен, его компоненты можно было бы разбить на две непустые группы без рёбер между ними; обратно, любое разбиение без ребра между частями отделяло бы одни вершины от других. второе условие означает, что в каждом цикле длины хотя бы 4 есть хорда: посадка вдоль цикла даёт знакомых соседей, а найденные знакомые несоседи дают хорду. итак, надо доказать утверждение для конечного связного хордалного графа. для графа \\(h\\) обозначим через \\(f(h)\\) величину \\(c_1(h)-c_2(h)+c_3(h)-\\ldots\\), где \\(c_i(h)\\) -- число клик размера \\(i\\). докажем по индукции по числу вершин, что \\(f(g)=1\\) для всякого непустого связного хордалного графа \\(g\\). если \\(g\\) -- полный граф на \\(m\\) вершинах, то его клики -- все непустые подмножества вершин. поэтому \\[ f… spbmo-2017-11-p6-chordal-clique-euler-characteristic hordalnyy graf znakomstv, kliki i eylerova harakteristika, spbmo 2017 connectivity graph_model induction goal_counting 2017 fedor petrov fedorpetrov https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2017/problems/c_911_17.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2017 src-spbmo-2017-city-911 with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2017, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2017 fedor petrov sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2017, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original uslovie spbmo 2017, 11 klass, ii tur, zadacha 6 ai_checked v strane nekotorye matematiki znakomy mezhdu soboy, i pri lyubom razbienii matematikov na dve nepustye gruppy naydutsya dvoe znakomyh iz raznyh grupp. izvestno, chto esli posadit za kruglyy stol lyuboy nabor iz 4 ili bolee matematikov tak, chtoby lyubye dva soseda byli znakomy, to za stolom naydutsya dvoe znakomyh, ne sidyaschih ryadom. oboznachim cherez \\(c_i\\) kolichestvo naborov iz \\(i\\) poparno znakomyh matematikov. dokazhite, chto \\(c_1-c_2+c_3-c_4+\\ldots=1\\). connected_graph cycle clique stmt-graph kliki v hordalnom grafe ai_checked pust \\(g\\) -- konechnyy prostoy svyaznyy hordalnyy graf: v kazhdom tsikle dliny hotya by 4 est horda, to est rebro mezhdu dvumya nesosednimi vershinami tsikla. pust \\(c_i\\) -- chislo klik razmera \\(i\\) v grafe \\(g\\). dokazhite, chto \\(c_1-c_2+c_3-c_4+\\ldots=1\\). simple_graph connected_graph cycle clique complete_graph induced_subgraph path idea-chordal-translation rassadka za kruglyy stol zadaet hordalnost esli vybrannye matematiki sidyat po tsiklu i sosedi znakomy, to dopolnitelnye znakomye nesosednih lyudey yavlyayutsya hordami etogo tsikla. poetomu uslovie o lyuboy rassadke iz chetyreh i bolee chelovek oznachaet, chto graf znakomstv ne soderzhit indutsirovannyh tsiklov dliny hotya by 4. graph_model connectivity ai_checked idea-clique-separator-induction razrez hordalnogo grafa yavlyaetsya klikoy v svyaznom ne polnom hordalnom grafe minimalnyy vershinnyy razdelitel mezhdu dvumya nesmezhnymi vershinami obyazan byt klikoy: inache dva puti cherez raznye komponenty vmeste dali by tsikl bez hordy. eto pozvolyaet razrezat graf na menshie hordalnye grafy i primenit vklyuchenie-isklyuchenie k chislam klik. induction connectivity ai_checked sol-clique-separator-euler-characteristic induktsiya po klikovomu razdelitelyu ai_checked simple_graph connected_graph cycle clique graph_cut complete_graph induced_subgraph path induction minimal_counterexample delete_to_simplify perevedem uslovie na yazyk grafov. vershinami grafa \\(g\\) budut matematiki, a rebrami -- znakomstva. pervoe uslovie oznachaet svyaznost: esli graf byl by nesvyazen, ego komponenty mozhno bylo by razbit na dve nepustye gruppy bez reber mezhdu nimi; obratno, lyuboe razbienie bez rebra mezhdu chastyami otdelyalo by odni vershiny ot drugih. vtoroe uslovie oznachaet, chto v kazhdom tsikle dliny hotya by 4 est horda: posadka vdol tsikla daet znakomyh sosedey, a naydennye znakomye nesosedi dayut hordu. itak, nado dokazat utverzhdenie dlya konechnogo svyaznogo hordalnogo grafa. dlya grafa \\(h\\) oboznachim cherez \\(f(h)\\) velichinu \\(c_1(h)-c_2(h)+c_3(h)-\\ldots\\), gde \\(c_i(h)\\) -- chislo klik razmera \\(i\\). dokazhem po induktsii po chislu vershin, chto \\(f(g)=1\\) dlya vsyakogo nepustogo svyaznogo hordalnogo grafa \\(g\\). esli \\(g\\) -- polnyy graf na \\(m\\) vershinah, to ego kliki -- vse nepustye podmnozhestva vershin. poetomu \\[ f…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2018-10-p1-complete-graph-road-destruction-path","title":"Маршрут в полном графе при разрушении дорог, СПбМО 2018, 10 класс, II тур, задача 1","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2018-10-p1-complete-graph-road-destruction-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2018-10-p1-complete-graph-road-destruction-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2018-10-p1-complete-graph-road-destruction-path","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":["П. Ходунов","А. Кузнецов","И. Лосев"],"tags":["goal_strategy_game","goal_exact_bound","pigeonhole_principle","process_invariant","graph_model"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"СПбМО 2018, 10 класс, II тур, задача 1. Точная граница получается из одной локальной идеи: при первом попадании в город все дороги из него к еще непосещенным городам свежие, поэтому важен только текущий запас из \\(k\\) разрушений.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Миша приехал в страну, в которой \\(n\\) городов и каждые два напрямую соединены дорогой. Он собирается, начав с некоторого города, объехать несколько городов, не заезжая ни в один город дважды. Каждый раз, пока Миша едет по дороге, президент разрушает \\(k\\) дорог, ведущих из города, в который ведет эта дорога. (А если там нет такого количества уцелевших дорог, разрушает все оставшиеся, кроме той, по которой едет Миша.) Какое наибольшее количество городов сможет объехать Миша, независимо от действия президента?","definition_ids":["complete_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Маршрут в полном графе при разрушении дорог","status":"ai_checked","text":"В полном графе \\(K_n\\) два игрока играют в следующую игру. Первый игрок выбирает начальную вершину и затем каждый раз переходит из текущей вершины в еще не посещенную вершину по сохранившемуся ребру. После каждого такого перехода во второй конец выбранного ребра второй игрок удаляет до \\(k\\) сохранившихся ребер, инцидентных новой текущей вершине, но не удаляет ребро, по которому только что был сделан переход. Если таких ребер меньше \\(k\\), он может удалить все, кроме только что использованного. Определите наибольшее число вершин простого пути, которое первый игрок может гарантировать при любой игре второго.","definition_ids":["complete_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-local-deletion-threshold","title":"Порог числа непосещенных городов","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","path"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","greedy_ordering","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: если \\(n=1\\), то \\(1\\); если \\(n\\ge 2\\), то \\(\\max(2,n-k)\\). В обычной записи это означает: при \\(k\\le n-2\\) Миша гарантирует ровно \\(n-k\\) городов, а при \\(k\\ge n-1\\) - ровно \\(2\\) города. Сначала докажем нижнюю оценку. Начать Миша может в любом городе. Предположим, что он уже посетил \\(t\\) городов и находится в городе \\(v\\), причем \\(t<n-k\\). Тогда непосещенных городов \\(n-t>k\\). До приезда Миши в \\(v\\) ни одна дорога из \\(v\\) в еще непосещенный город не могла быть разрушена президентом: президент разрушает дороги только из того города, в который Миша только что приехал, а \\(v\\) раньше текущим городом не был; непосещенные города тоже еще не были текущими. Значит, перед действием президента из \\(v\\) ведут целые дороги во все \\(n-t\\) непосещенных городов. Президент может разрушить среди них не более \\(k\\), поэтому хотя бы одна такая дорога останется, и Миша сможет по ней продолжи…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2018-10-p1-spbmo-2010-9-p5-road-destruction-complete-graph","neighbor_id":"spbmo-2010-9-p5-k2010-cycle-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-classical-shannon-spbmo-road-destruction","neighbor_id":"lehman-shannon-switching-game-two-spanning-trees","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2018-10-p1-complete-graph-road-destruction-path маршрут в полном графе при разрушении дорог, спбмо 2018, 10 класс, ii тур, задача 1 goal_strategy_game goal_exact_bound pigeonhole_principle process_invariant graph_model 2018 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2018/problems/c_911_18.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2018 src-spbmo-2018-city-911 with_solution а. кузнецов и. лосев п. ходунов санкт-петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2018 п. ходунов а. кузнецов и. лосев санкт-петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original условие ai_checked миша приехал в страну, в которой \\(n\\) городов и каждые два напрямую соединены дорогой. он собирается, начав с некоторого города, объехать несколько городов, не заезжая ни в один город дважды. каждый раз, пока миша едет по дороге, президент разрушает \\(k\\) дорог, ведущих из города, в который ведет эта дорога. (а если там нет такого количества уцелевших дорог, разрушает все оставшиеся, кроме той, по которой едет миша.) какое наибольшее количество городов сможет объехать миша, независимо от действия президента? complete_graph path stmt-graph маршрут в полном графе при разрушении дорог ai_checked в полном графе \\(k_n\\) два игрока играют в следующую игру. первый игрок выбирает начальную вершину и затем каждый раз переходит из текущей вершины в еще не посещенную вершину по сохранившемуся ребру. после каждого такого перехода во второй конец выбранного ребра второй игрок удаляет до \\(k\\) сохранившихся ребер, инцидентных новой текущей вершине, но не удаляет ребро, по которому только что был сделан переход. если таких ребер меньше \\(k\\), он может удалить все, кроме только что использованного. определите наибольшее число вершин простого пути, которое первый игрок может гарантировать при любой игре второго. complete_graph path idea-fresh-unvisited-edges ребра из нового города к непосещенным городам раньше не могли быть разрушены если миша впервые приехал в город \\(v\\), а город \\(u\\) еще не посещен, то дорога \\(vu\\) до этого момента не могла быть разрушена как дорога из текущего города: ни \\(v\\), ни \\(u\\) еще не были текущими после приезда. значит, президент может запретить продолжение из \\(v\\) только текущим удалением не более \\(k\\) таких дорог. process_invariant graph_model ai_checked idea-more-unvisited-than-deletions если непосещенных городов больше \\(k\\), маршрут продолжается после посещения \\(t\\) городов из текущего города ведут дороги во все \\(n-t\\) непосещенных городов, и перед текущим ходом президента они целы. если \\(n-t>k\\), после удаления не более \\(k\\) дорог хотя бы одна дорога к новому городу останется. pigeonhole_principle goal_strategy_game ai_checked idea-threshold-stop на пороге \\(n-t\\le k\\) президент может остановить маршрут когда из текущего города осталось не больше \\(k\\) дорог к непосещенным городам, президент удаляет все эти дороги. тогда продолжить простой маршрут невозможно. это дает точную верхнюю оценку, а при очень большом \\(k\\) миша все равно успевает сделать первый переезд. extremal_choice goal_exact_bound ai_checked sol-local-deletion-threshold порог числа непосещенных городов ai_checked complete_graph path pigeonhole_principle greedy_ordering extremal_choice ответ: если \\(n=1\\), то \\(1\\); если \\(n\\ge 2\\), то \\(\\max(2,n-k)\\). в обычной записи это означает: при \\(k\\le n-2\\) миша гарантирует ровно \\(n-k\\) городов, а при \\(k\\ge n-1\\) - ровно \\(2\\) города. сначала докажем нижнюю оценку. начать миша может в любом городе. предположим, что он уже посетил \\(t\\) городов и находится в городе \\(v\\), причем \\(t<n-k\\). тогда непосещенных городов \\(n-t>k\\). до приезда миши в \\(v\\) ни одна дорога из \\(v\\) в еще непосещенный город не могла быть разрушена президентом: президент разрушает дороги только из того города, в который миша только что приехал, а \\(v\\) раньше текущим городом не был; непосещенные города тоже еще не были текущими. значит, перед действием президента из \\(v\\) ведут целые дороги во все \\(n-t\\) непосещенных городов. президент может разрушить среди них не более \\(k\\), поэтому хотя бы одна такая дорога останется, и миша сможет по ней продолжи… spbmo-2018-10-p1-complete-graph-road-destruction-path marshrut v polnom grafe pri razrushenii dorog, spbmo 2018, 10 klass, ii tur, zadacha 1 goal_strategy_game goal_exact_bound pigeonhole_principle process_invariant graph_model 2018 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2018/problems/c_911_18.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2018 src-spbmo-2018-city-911 with_solution a. kuznetsov i. losev p. hodunov sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2018, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2018 p. hodunov a. kuznetsov i. losev sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2018, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original uslovie ai_checked misha priehal v stranu, v kotoroy \\(n\\) gorodov i kazhdye dva napryamuyu soedineny dorogoy. on sobiraetsya, nachav s nekotorogo goroda, obehat neskolko gorodov, ne zaezzhaya ni v odin gorod dvazhdy. kazhdyy raz, poka misha edet po doroge, prezident razrushaet \\(k\\) dorog, veduschih iz goroda, v kotoryy vedet eta doroga. (a esli tam net takogo kolichestva utselevshih dorog, razrushaet vse ostavshiesya, krome toy, po kotoroy edet misha.) kakoe naibolshee kolichestvo gorodov smozhet obehat misha, nezavisimo ot deystviya prezidenta? complete_graph path stmt-graph marshrut v polnom grafe pri razrushenii dorog ai_checked v polnom grafe \\(k_n\\) dva igroka igrayut v sleduyuschuyu igru. pervyy igrok vybiraet nachalnuyu vershinu i zatem kazhdyy raz perehodit iz tekuschey vershiny v esche ne poseschennuyu vershinu po sohranivshemusya rebru. posle kazhdogo takogo perehoda vo vtoroy konets vybrannogo rebra vtoroy igrok udalyaet do \\(k\\) sohranivshihsya reber, intsidentnyh novoy tekuschey vershine, no ne udalyaet rebro, po kotoromu tolko chto byl sdelan perehod. esli takih reber menshe \\(k\\), on mozhet udalit vse, krome tolko chto ispolzovannogo. opredelite naibolshee chislo vershin prostogo puti, kotoroe pervyy igrok mozhet garantirovat pri lyuboy igre vtorogo. complete_graph path idea-fresh-unvisited-edges rebra iz novogo goroda k neposeschennym gorodam ranshe ne mogli byt razrusheny esli misha vpervye priehal v gorod \\(v\\), a gorod \\(u\\) esche ne poseschen, to doroga \\(vu\\) do etogo momenta ne mogla byt razrushena kak doroga iz tekuschego goroda: ni \\(v\\), ni \\(u\\) esche ne byli tekuschimi posle priezda. znachit, prezident mozhet zapretit prodolzhenie iz \\(v\\) tolko tekuschim udaleniem ne bolee \\(k\\) takih dorog. process_invariant graph_model ai_checked idea-more-unvisited-than-deletions esli neposeschennyh gorodov bolshe \\(k\\), marshrut prodolzhaetsya posle posescheniya \\(t\\) gorodov iz tekuschego goroda vedut dorogi vo vse \\(n-t\\) neposeschennyh gorodov, i pered tekuschim hodom prezidenta oni tsely. esli \\(n-t>k\\), posle udaleniya ne bolee \\(k\\) dorog hotya by odna doroga k novomu gorodu ostanetsya. pigeonhole_principle goal_strategy_game ai_checked idea-threshold-stop na poroge \\(n-t\\le k\\) prezident mozhet ostanovit marshrut kogda iz tekuschego goroda ostalos ne bolshe \\(k\\) dorog k neposeschennym gorodam, prezident udalyaet vse eti dorogi. togda prodolzhit prostoy marshrut nevozmozhno. eto daet tochnuyu verhnyuyu otsenku, a pri ochen bolshom \\(k\\) misha vse ravno uspevaet sdelat pervyy pereezd. extremal_choice goal_exact_bound ai_checked sol-local-deletion-threshold porog chisla neposeschennyh gorodov ai_checked complete_graph path pigeonhole_principle greedy_ordering extremal_choice otvet: esli \\(n=1\\), to \\(1\\); esli \\(n\\ge 2\\), to \\(\\max(2,n-k)\\). v obychnoy zapisi eto oznachaet: pri \\(k\\le n-2\\) misha garantiruet rovno \\(n-k\\) gorodov, a pri \\(k\\ge n-1\\) - rovno \\(2\\) goroda. snachala dokazhem nizhnyuyu otsenku. nachat misha mozhet v lyubom gorode. predpolozhim, chto on uzhe posetil \\(t\\) gorodov i nahoditsya v gorode \\(v\\), prichem \\(t<n-k\\). togda neposeschennyh gorodov \\(n-t>k\\). do priezda mishi v \\(v\\) ni odna doroga iz \\(v\\) v esche neposeschennyy gorod ne mogla byt razrushena prezidentom: prezident razrushaet dorogi tolko iz togo goroda, v kotoryy misha tolko chto priehal, a \\(v\\) ranshe tekuschim gorodom ne byl; neposeschennye goroda tozhe esche ne byli tekuschimi. znachit, pered deystviem prezidenta iz \\(v\\) vedut tselye dorogi vo vse \\(n-t\\) neposeschennyh gorodov. prezident mozhet razrushit sredi nih ne bolee \\(k\\), poetomu hotya by odna takaya doroga ostanetsya, i misha smozhet po ney prodolzhi…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2018-7-p7-bus-graph-no-odd-cycle-paths","title":"Автобусный граф с простыми путями длины 100 и запретом нечётного цикла, СПбМО 2018","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2018-7-p7-bus-graph-no-odd-cycle-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2018-7-p7-bus-graph-no-odd-cycle-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2018-7-p7-bus-graph-no-odd-cycle-paths","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 6-8 классы официальный PDF"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":["А. Солынин","А. Чухнов"],"tags":["connectivity","construction","goal_classification"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"СПбМО 2018, 7 класс, II тур, задача 7: короткая классификация с одной обязательной невозможностью и двумя конструкциями; основная тонкость — раздутый цикл длины 101 и проверка простых 100-путей.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране некоторые города соединены прямыми автобусными рейсами. Жители этой страны считают некоторое нечетное натуральное число \\(n\\) несчастливым, поэтому не существует циклического маршрута, состоящего ровно из \\(n\\) рейсов и не заходящего ни в один город дважды. Тем не менее, из любого города до любого другого существует путь, содержащий ровно 100 рейсов и не проходящий ни через один город дважды. При каких нечетных \\(n\\) это возможно?","definition_ids":["simple_graph","cycle","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Автобусный граф с простыми путями длины 100 и запретом нечётного цикла","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой неориентированный граф. Для любых двух различных вершин \\(u,v\\) существует простой \\(u\\)-\\(v\\)-путь ровно из 100 рёбер. Определите все нечётные натуральные \\(n\\), для которых может быть так, что в \\(G\\) нет простого цикла длины \\(n\\).","definition_ids":["simple_graph","cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-classification-101","title":"Все нечётные n, кроме 101","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","path","complete_graph","independent_set"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: все нечётные натуральные \\(n\\), кроме \\(101\\). Сначала докажем, что \\(n=101\\) невозможно. В графе есть хотя бы одно ребро: например, возьмём две различные вершины и рассмотрим простой путь длины 100 между ними; на нём есть рёбра. Пусть \\(uv\\) — любое ребро. По условию между \\(u\\) и \\(v\\) существует простой путь \\(P\\), состоящий ровно из 100 рёбер. Этот путь не использует ребро \\(uv\\): простой путь с концами \\(u\\) и \\(v\\), использующий ребро \\(uv\\), имел бы длину 1, иначе пришлось бы повторить одну из конечных вершин. Поэтому путь \\(P\\) вместе с ребром \\(uv\\) образует простой цикл длины \\(100+1=101\\). Значит, запретить циклы длины 101 нельзя. Теперь построим примеры для всех остальных нечётных \\(n\\). Если \\(n>101\\), возьмём полный граф \\(K_{101}\\). Между любыми двумя его вершинами можно пройти по простому пути длины 100: надо начать в первой вершине, закончить во второй и между ни…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2018-7-p7-bmo-2025-long-prescribed-paths","neighbor_id":"bmo-2025-p4-flights-long-short-paths","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2018-7-p7-cmo-2019-odd-cycle-avoidance","neighbor_id":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2018-7-p7-bus-graph-no-odd-cycle-paths автобусный граф с простыми путями длины 100 и запретом нечётного цикла, спбмо 2018 connectivity construction goal_classification 2018 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2018/problems/c_68_18.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2018 src-spbmo-2018-city-68 with_solution а. солынин а. чухнов санкт-петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 6-8 классы официальный pdf спбмо спбмо2018 а. солынин а. чухнов санкт-петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 6-8 классы официальный pdf stmt-original официальная формулировка ai_checked в стране некоторые города соединены прямыми автобусными рейсами. жители этой страны считают некоторое нечетное натуральное число \\(n\\) несчастливым, поэтому не существует циклического маршрута, состоящего ровно из \\(n\\) рейсов и не заходящего ни в один город дважды. тем не менее, из любого города до любого другого существует путь, содержащий ровно 100 рейсов и не проходящий ни через один город дважды. при каких нечетных \\(n\\) это возможно? simple_graph cycle path stmt-graph автобусный граф с простыми путями длины 100 и запретом нечётного цикла ai_checked пусть \\(g\\) — простой неориентированный граф. для любых двух различных вершин \\(u,v\\) существует простой \\(u\\)-\\(v\\)-путь ровно из 100 рёбер. определите все нечётные натуральные \\(n\\), для которых может быть так, что в \\(g\\) нет простого цикла длины \\(n\\). simple_graph cycle path idea-edge-plus-100-path ребро вместе со 100-путём даёт 101-цикл если \\(uv\\) — ребро графа, то по условию между \\(u\\) и \\(v\\) есть простой путь длины 100. этот путь не может использовать само ребро \\(uv\\), поэтому вместе с ним образует простой цикл длины 101. это единственное невозможное нечётное значение. connectivity goal_impossibility ai_checked idea-two-constructions две конструкции закрывают все остальные нечётные длины для \\(n>101\\) достаточно полного графа \\(k_{101}\\): между любыми двумя вершинами есть гамильтонов путь длины 100, а циклов длиннее 101 нет. для нечётных \\(n<101\\) подходит раздутый цикл \\(c_{101}\\): он даёт нужные 100-пути и не содержит нечётных циклов короче 101. construction goal_classification ai_checked sol-classification-101 все нечётные n, кроме 101 ai_checked simple_graph cycle path complete_graph independent_set invariant ответ: все нечётные натуральные \\(n\\), кроме \\(101\\). сначала докажем, что \\(n=101\\) невозможно. в графе есть хотя бы одно ребро: например, возьмём две различные вершины и рассмотрим простой путь длины 100 между ними; на нём есть рёбра. пусть \\(uv\\) — любое ребро. по условию между \\(u\\) и \\(v\\) существует простой путь \\(p\\), состоящий ровно из 100 рёбер. этот путь не использует ребро \\(uv\\): простой путь с концами \\(u\\) и \\(v\\), использующий ребро \\(uv\\), имел бы длину 1, иначе пришлось бы повторить одну из конечных вершин. поэтому путь \\(p\\) вместе с ребром \\(uv\\) образует простой цикл длины \\(100+1=101\\). значит, запретить циклы длины 101 нельзя. теперь построим примеры для всех остальных нечётных \\(n\\). если \\(n>101\\), возьмём полный граф \\(k_{101}\\). между любыми двумя его вершинами можно пройти по простому пути длины 100: надо начать в первой вершине, закончить во второй и между ни… spbmo-2018-7-p7-bus-graph-no-odd-cycle-paths avtobusnyy graf s prostymi putyami dliny 100 i zapretom nechetnogo tsikla, spbmo 2018 connectivity construction goal_classification 2018 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2018/problems/c_68_18.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2018 src-spbmo-2018-city-68 with_solution a. solynin a. chuhnov sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2018, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2018 a. solynin a. chuhnov sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2018, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original ofitsialnaya formulirovka ai_checked v strane nekotorye goroda soedineny pryamymi avtobusnymi reysami. zhiteli etoy strany schitayut nekotoroe nechetnoe naturalnoe chislo \\(n\\) neschastlivym, poetomu ne suschestvuet tsiklicheskogo marshruta, sostoyaschego rovno iz \\(n\\) reysov i ne zahodyaschego ni v odin gorod dvazhdy. tem ne menee, iz lyubogo goroda do lyubogo drugogo suschestvuet put, soderzhaschiy rovno 100 reysov i ne prohodyaschiy ni cherez odin gorod dvazhdy. pri kakih nechetnyh \\(n\\) eto vozmozhno? simple_graph cycle path stmt-graph avtobusnyy graf s prostymi putyami dliny 100 i zapretom nechetnogo tsikla ai_checked pust \\(g\\) — prostoy neorientirovannyy graf. dlya lyubyh dvuh razlichnyh vershin \\(u,v\\) suschestvuet prostoy \\(u\\)-\\(v\\)-put rovno iz 100 reber. opredelite vse nechetnye naturalnye \\(n\\), dlya kotoryh mozhet byt tak, chto v \\(g\\) net prostogo tsikla dliny \\(n\\). simple_graph cycle path idea-edge-plus-100-path rebro vmeste so 100-putem daet 101-tsikl esli \\(uv\\) — rebro grafa, to po usloviyu mezhdu \\(u\\) i \\(v\\) est prostoy put dliny 100. etot put ne mozhet ispolzovat samo rebro \\(uv\\), poetomu vmeste s nim obrazuet prostoy tsikl dliny 101. eto edinstvennoe nevozmozhnoe nechetnoe znachenie. connectivity goal_impossibility ai_checked idea-two-constructions dve konstruktsii zakryvayut vse ostalnye nechetnye dliny dlya \\(n>101\\) dostatochno polnogo grafa \\(k_{101}\\): mezhdu lyubymi dvumya vershinami est gamiltonov put dliny 100, a tsiklov dlinnee 101 net. dlya nechetnyh \\(n<101\\) podhodit razdutyy tsikl \\(c_{101}\\): on daet nuzhnye 100-puti i ne soderzhit nechetnyh tsiklov koroche 101. construction goal_classification ai_checked sol-classification-101 vse nechetnye n, krome 101 ai_checked simple_graph cycle path complete_graph independent_set invariant otvet: vse nechetnye naturalnye \\(n\\), krome \\(101\\). snachala dokazhem, chto \\(n=101\\) nevozmozhno. v grafe est hotya by odno rebro: naprimer, vozmem dve razlichnye vershiny i rassmotrim prostoy put dliny 100 mezhdu nimi; na nem est rebra. pust \\(uv\\) — lyuboe rebro. po usloviyu mezhdu \\(u\\) i \\(v\\) suschestvuet prostoy put \\(p\\), sostoyaschiy rovno iz 100 reber. etot put ne ispolzuet rebro \\(uv\\): prostoy put s kontsami \\(u\\) i \\(v\\), ispolzuyuschiy rebro \\(uv\\), imel by dlinu 1, inache prishlos by povtorit odnu iz konechnyh vershin. poetomu put \\(p\\) vmeste s rebrom \\(uv\\) obrazuet prostoy tsikl dliny \\(100+1=101\\). znachit, zapretit tsikly dliny 101 nelzya. teper postroim primery dlya vseh ostalnyh nechetnyh \\(n\\). esli \\(n>101\\), vozmem polnyy graf \\(k_{101}\\). mezhdu lyubymi dvumya ego vershinami mozhno proyti po prostomu puti dliny 100: nado nachat v pervoy vershine, zakonchit vo vtoroy i mezhdu ni…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2018-8-p7-k4-edge-spanning-tree-few-degree2","title":"Остовное дерево с малым числом вершин степени 2 при каждом ребре в K4, СПбМО 2018, 8 класс","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2018-8-p7-k4-edge-spanning-tree-few-degree2.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2018-8-p7-k4-edge-spanning-tree-few-degree2.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2018-8-p7-k4-edge-spanning-tree-few-degree2","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 6-8 классы официальный PDF"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":["Карпов Д.В."],"tags":["graph_model","trees","degree_counting","goal_existence","classical_theorem"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"СПбМО 2018, городской тур, 8 класс, задача 7. В школьной постановке требуется лишь меньше 100 вершин степени 2, но условие 'каждое ребро лежит в K4' допускает более сильное решение через существование HIST при двух треугольниках на каждом ребре.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"hard_external_theorem_no_proof","label":"решение через тяжёлую внешнюю теорему без доказательства","status":"source_verified","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"High-reasoning review 2026-05-07: решение корректно сводит задачу к теореме Chen--Shan о HIST; доказательство этой внешней теоремы в карточку не включено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная олимпиадная формулировка","status":"source_verified","text":"В стране 600 городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причем из любого города можно добраться по дорогам в любой другой. Для любых двух соединенных дорогой городов A и B найдутся еще два таких города C и D, что любые два из этих четырёх городов соединены дорогой. Докажите, что можно закрыть на ремонт несколько дорог так, чтобы количество городов, из которых выходит ровно две дороги, стало меньше 100, и при этом между любыми двумя городами остался единственный путь, не проходящий два раза по одной и той же дороге.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","complete_graph","degree","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Остовное дерево с малым числом вершин степени 2 при каждом ребре в K4","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный простой граф на 600 вершинах. Каждое ребро \\(AB\\) графа \\(G\\) лежит в некоторой клике \\(K_4\\): существуют вершины \\(C,D\\), такие что подграф на \\(A,B,C,D\\) полный. Докажите, что в \\(G\\) есть остовное дерево, в котором меньше 100 вершин имеют степень 2.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","complete_graph","spanning_tree","degree","triangle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-hist-two-triangles","title":"Через остовное дерево без вершин степени 2","status":"source_verified","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","complete_graph","spanning_tree","tree","degree","triangle","path"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов: города - вершины, дороги - рёбра. Связность страны означает связность графа \\(G\\). Фраза про города \\(A,B,C,D\\), любые два из которых соединены дорогой, означает, что каждое ребро \\(AB\\) лежит в некотором \\(K_4\\). Отсюда каждое ребро лежит хотя бы в двух треугольниках: если \\(A,B,C,D\\) образуют \\(K_4\\), то ребро \\(AB\\) входит в треугольники \\(ABC\\) и \\(ABD\\). Дальше используется внешняя теорема Чена--Шаня о HIST: если в конечном связном графе каждое ребро лежит хотя бы в двух треугольниках, то в графе существует остовное дерево без вершин степени 2. Такое дерево называют homeomorphically irreducible spanning tree, или HIST. Эта теорема опубликована как Guantao Chen, Songling Shan, \"Homeomorphically irreducible spanning trees\", Journal of Combinatorial Theory, Series B 103 (2013), 409-414; доказывать её внутри школьного решения неразумно, поэтому данная…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-equivalent-spbmo-2018-8-p7-unique-path-spanning-tree","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2018-8-p7-spbmo-2022-big-small-road-repair-degree-control","neighbor_id":"spbmo-2022-big-small-cities-spanning-forest-leaves","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2018-8-p7-k4-edge-spanning-tree-few-degree2 остовное дерево с малым числом вершин степени 2 при каждом ребре в k4, спбмо 2018, 8 класс graph_model trees degree_counting goal_existence classical_theorem 2018 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2018/problems/c_68_18.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2018 src-spbmo-2018-city-68 with_solution карпов д.в. санкт-петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 6-8 классы официальный pdf спбмо спбмо2018 карпов д.в. санкт-петербургская математическая олимпиада 2018, городской тур 6-8 классы официальный pdf stmt-original официальная олимпиадная формулировка source_verified в стране 600 городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причем из любого города можно добраться по дорогам в любой другой. для любых двух соединенных дорогой городов a и b найдутся еще два таких города c и d, что любые два из этих четырёх городов соединены дорогой. докажите, что можно закрыть на ремонт несколько дорог так, чтобы количество городов, из которых выходит ровно две дороги, стало меньше 100, и при этом между любыми двумя городами остался единственный путь, не проходящий два раза по одной и той же дороге. simple_graph connected_graph complete_graph degree path stmt-graph остовное дерево с малым числом вершин степени 2 при каждом ребре в k4 ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный простой граф на 600 вершинах. каждое ребро \\(ab\\) графа \\(g\\) лежит в некоторой клике \\(k_4\\): существуют вершины \\(c,d\\), такие что подграф на \\(a,b,c,d\\) полный. докажите, что в \\(g\\) есть остовное дерево, в котором меньше 100 вершин имеют степень 2. simple_graph connected_graph complete_graph spanning_tree degree triangle path idea-k4-edge-gives-two-triangles каждое ребро в k4 лежит в двух треугольниках если ребро \\(ab\\) дополняется вершинами \\(c,d\\) до полного графа на четырёх вершинах, то \\(ab\\) входит как минимум в два разных треугольника: \\(abc\\) и \\(abd\\). значит условие задачи сильнее стандартного условия 'каждое ребро лежит хотя бы в двух треугольниках'. graph_model ai_checked idea-hist-stronger-than-needed достаточно построить остовное дерево вообще без вершин степени 2 известная теорема чена--шаня о hist даёт более сильный результат: при двух треугольниках на каждом ребре существует остовное дерево без вершин степени 2. после удаления всех остальных рёбер единственность путей следует из определения дерева, а требуемая оценка становится \\(0<100\\). trees degree_counting classical_theorem ai_checked sol-hist-two-triangles через остовное дерево без вершин степени 2 source_verified simple_graph connected_graph complete_graph spanning_tree tree degree triangle path delete_to_simplify переведём условие на язык графов: города - вершины, дороги - рёбра. связность страны означает связность графа \\(g\\). фраза про города \\(a,b,c,d\\), любые два из которых соединены дорогой, означает, что каждое ребро \\(ab\\) лежит в некотором \\(k_4\\). отсюда каждое ребро лежит хотя бы в двух треугольниках: если \\(a,b,c,d\\) образуют \\(k_4\\), то ребро \\(ab\\) входит в треугольники \\(abc\\) и \\(abd\\). дальше используется внешняя теорема чена--шаня о hist: если в конечном связном графе каждое ребро лежит хотя бы в двух треугольниках, то в графе существует остовное дерево без вершин степени 2. такое дерево называют homeomorphically irreducible spanning tree, или hist. эта теорема опубликована как guantao chen, songling shan, \"homeomorphically irreducible spanning trees\", journal of combinatorial theory, series b 103 (2013), 409-414; доказывать её внутри школьного решения неразумно, поэтому данная… spbmo-2018-8-p7-k4-edge-spanning-tree-few-degree2 ostovnoe derevo s malym chislom vershin stepeni 2 pri kazhdom rebre v k4, spbmo 2018, 8 klass graph_model trees degree_counting goal_existence classical_theorem 2018 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2018/problems/c_68_18.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2018 src-spbmo-2018-city-68 with_solution karpov d.v. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2018, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2018 karpov d.v. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2018, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original ofitsialnaya olimpiadnaya formulirovka source_verified v strane 600 gorodov, nekotorye pary gorodov soedineny dorogami, prichem iz lyubogo goroda mozhno dobratsya po dorogam v lyuboy drugoy. dlya lyubyh dvuh soedinennyh dorogoy gorodov a i b naydutsya esche dva takih goroda c i d, chto lyubye dva iz etih chetyreh gorodov soedineny dorogoy. dokazhite, chto mozhno zakryt na remont neskolko dorog tak, chtoby kolichestvo gorodov, iz kotoryh vyhodit rovno dve dorogi, stalo menshe 100, i pri etom mezhdu lyubymi dvumya gorodami ostalsya edinstvennyy put, ne prohodyaschiy dva raza po odnoy i toy zhe doroge. simple_graph connected_graph complete_graph degree path stmt-graph ostovnoe derevo s malym chislom vershin stepeni 2 pri kazhdom rebre v k4 ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy prostoy graf na 600 vershinah. kazhdoe rebro \\(ab\\) grafa \\(g\\) lezhit v nekotoroy klike \\(k_4\\): suschestvuyut vershiny \\(c,d\\), takie chto podgraf na \\(a,b,c,d\\) polnyy. dokazhite, chto v \\(g\\) est ostovnoe derevo, v kotorom menshe 100 vershin imeyut stepen 2. simple_graph connected_graph complete_graph spanning_tree degree triangle path idea-k4-edge-gives-two-triangles kazhdoe rebro v k4 lezhit v dvuh treugolnikah esli rebro \\(ab\\) dopolnyaetsya vershinami \\(c,d\\) do polnogo grafa na chetyreh vershinah, to \\(ab\\) vhodit kak minimum v dva raznyh treugolnika: \\(abc\\) i \\(abd\\). znachit uslovie zadachi silnee standartnogo usloviya 'kazhdoe rebro lezhit hotya by v dvuh treugolnikah'. graph_model ai_checked idea-hist-stronger-than-needed dostatochno postroit ostovnoe derevo voobsche bez vershin stepeni 2 izvestnaya teorema chena--shanya o hist daet bolee silnyy rezultat: pri dvuh treugolnikah na kazhdom rebre suschestvuet ostovnoe derevo bez vershin stepeni 2. posle udaleniya vseh ostalnyh reber edinstvennost putey sleduet iz opredeleniya dereva, a trebuemaya otsenka stanovitsya \\(0<100\\). trees degree_counting classical_theorem ai_checked sol-hist-two-triangles cherez ostovnoe derevo bez vershin stepeni 2 source_verified simple_graph connected_graph complete_graph spanning_tree tree degree triangle path delete_to_simplify perevedem uslovie na yazyk grafov: goroda - vershiny, dorogi - rebra. svyaznost strany oznachaet svyaznost grafa \\(g\\). fraza pro goroda \\(a,b,c,d\\), lyubye dva iz kotoryh soedineny dorogoy, oznachaet, chto kazhdoe rebro \\(ab\\) lezhit v nekotorom \\(k_4\\). otsyuda kazhdoe rebro lezhit hotya by v dvuh treugolnikah: esli \\(a,b,c,d\\) obrazuyut \\(k_4\\), to rebro \\(ab\\) vhodit v treugolniki \\(abc\\) i \\(abd\\). dalshe ispolzuetsya vneshnyaya teorema chena--shanya o hist: esli v konechnom svyaznom grafe kazhdoe rebro lezhit hotya by v dvuh treugolnikah, to v grafe suschestvuet ostovnoe derevo bez vershin stepeni 2. takoe derevo nazyvayut homeomorphically irreducible spanning tree, ili hist. eta teorema opublikovana kak guantao chen, songling shan, \"homeomorphically irreducible spanning trees\", journal of combinatorial theory, series b 103 (2013), 409-414; dokazyvat ee vnutri shkolnogo resheniya nerazumno, poetomu dannaya…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2019-6-8-p6-company-no-sociable-shy","title":"Компания без общительных и стеснительных людей, СПбМО 2019","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2019-6-8-p6-company-no-sociable-shy.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2019-6-8-p6-company-no-sociable-shy.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2019-6-8-p6-company-no-sociable-shy","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 6-8 классы официальный PDF"],"year":"2019","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","degree_counting","extremal_graph_theory","extremal_choice","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"СПбМО 2019, 6 класс, городской II тур, задача 6. Последняя задача шестиклассного комплекта: требуется аккуратно перевести условие в граф знакомств, удержать симметрию с дополнительным графом и доказать точную границу 40.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"На встречу собралась компания. Назовем человека общительным, если в этой компании у него есть не меньше 20 знакомых, причем хотя бы двое из них знакомы между собой. Назовем человека стеснительным, если в этой компании у него есть не меньше 20 незнакомых, причем хотя бы двое из них незнакомы между собой. Оказалось, что в собравшейся компании нет ни общительных, ни стеснительных людей. Какое наибольшее число людей может в ней быть?","definition_ids":["simple_graph","degree","clique","independent_set","complement_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Компания без общительных и стеснительных людей","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф знакомств на \\(n\\) вершинах. Вершина запрещена первого типа, если ее степень не меньше 20 и внутри ее окрестности есть ребро. Вершина запрещена второго типа, если у нее не меньше 20 несоседей и среди этих несоседей есть две несмежные вершины. Найдите наибольшее \\(n\\), для которого существует граф без запрещенных вершин обоих типов.","definition_ids":["simple_graph","degree","clique","independent_set","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-codegree-threshold","title":"Оценка через степени и конструкция \\(K_{20,20}\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","clique","independent_set","complement_graph","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф знакомств \\(G\\): вершины -- люди, ребра -- пары знакомых. Для вершины \\(v\\) обозначим через \\(d(v)\\) число ее знакомых, а через \\(m(v)=n-1-d(v)\\) число ее незнакомых. Сначала докажем важное наблюдение: ни у какой вершины не могут одновременно выполняться \\(d(v)\\ge 20\\) и \\(m(v)\\ge 20\\). Действительно, если \\(d(v)\\ge 20\\), то все знакомые вершины \\(v\\) попарно незнакомы, иначе \\(v\\) была бы общительной. Если \\(m(v)\\ge 20\\), то все незнакомые вершины \\(v\\) попарно знакомы, иначе \\(v\\) была бы стеснительной. Пусть \\(N\\) -- множество знакомых \\(v\\), а \\(M\\) -- множество незнакомых \\(v\\). Если \\(|M|\\ge 21\\), то любой человек из \\(M\\) имеет в \\(M\\) не меньше 20 знакомых, причем среди них есть знакомая пара; значит, он общителен. Поэтому \\(|M|\\le 20\\). Если \\(|N|\\ge 21\\), то любой человек из \\(N\\) имеет в \\(N\\setminus\\{u\\}\\) не меньше 20 незнакомых, среди которых есть незнакома…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2019-6-8-p6-spbmo-1993-7-p12-social-local-degree-classes","neighbor_id":"spbmo-1993-7-p12-unsociable-eccentrics","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2019-6-8-p6-company-no-sociable-shy компания без общительных и стеснительных людей, спбмо 2019 graph_model degree_counting extremal_graph_theory extremal_choice construction goal_exact_bound 2019 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2019/problems/c_68_19.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2019 src-spbmo-pdmi-2019-c68 with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 6-8 классы официальный pdf спбмо спбмо2019 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 6-8 классы официальный pdf stmt-original условие ai_checked на встречу собралась компания. назовем человека общительным, если в этой компании у него есть не меньше 20 знакомых, причем хотя бы двое из них знакомы между собой. назовем человека стеснительным, если в этой компании у него есть не меньше 20 незнакомых, причем хотя бы двое из них незнакомы между собой. оказалось, что в собравшейся компании нет ни общительных, ни стеснительных людей. какое наибольшее число людей может в ней быть? simple_graph degree clique independent_set complement_graph stmt-graph компания без общительных и стеснительных людей ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф знакомств на \\(n\\) вершинах. вершина запрещена первого типа, если ее степень не меньше 20 и внутри ее окрестности есть ребро. вершина запрещена второго типа, если у нее не меньше 20 несоседей и среди этих несоседей есть две несмежные вершины. найдите наибольшее \\(n\\), для которого существует граф без запрещенных вершин обоих типов. simple_graph degree clique independent_set complement_graph idea-acquaintance-complement-symmetry знакомства и незнакомства симметричны через дополнительный граф условие про стеснительных людей -- это условие про общительных людей в дополнительном графе незнакомств. поэтому в решении удобно одновременно следить за степенью вершины и числом ее несоседей, то есть числом незнакомых. graph_model degree_counting ai_checked idea-neighborhood-forces-independent-or-clique большая окрестность обязана быть независимой, а большая неокрестность -- кликой если у вершины есть хотя бы 20 знакомых, то среди этих знакомых не может быть знакомой пары; иначе вершина общительна. если у вершины есть хотя бы 20 незнакомых, то все эти незнакомые обязаны быть попарно знакомы; иначе вершина стеснительна. extremal_graph_theory degree_counting ai_checked idea-k20-20-is-tight граница достигается полным двудольным графом \\(k_{20,20}\\) разделим 40 человек на две группы по 20 и познакомим только людей из разных групп. тогда у каждого ровно 20 знакомых, но его знакомые попарно незнакомы; незнакомых у каждого только 19. construction goal_exact_bound ai_checked sol-degree-codegree-threshold оценка через степени и конструкция \\(k_{20,20}\\) ai_checked simple_graph degree clique independent_set complement_graph bipartite_graph complement_graph_transition extremal_choice рассмотрим граф знакомств \\(g\\): вершины -- люди, ребра -- пары знакомых. для вершины \\(v\\) обозначим через \\(d(v)\\) число ее знакомых, а через \\(m(v)=n-1-d(v)\\) число ее незнакомых. сначала докажем важное наблюдение: ни у какой вершины не могут одновременно выполняться \\(d(v)\\ge 20\\) и \\(m(v)\\ge 20\\). действительно, если \\(d(v)\\ge 20\\), то все знакомые вершины \\(v\\) попарно незнакомы, иначе \\(v\\) была бы общительной. если \\(m(v)\\ge 20\\), то все незнакомые вершины \\(v\\) попарно знакомы, иначе \\(v\\) была бы стеснительной. пусть \\(n\\) -- множество знакомых \\(v\\), а \\(m\\) -- множество незнакомых \\(v\\). если \\(|m|\\ge 21\\), то любой человек из \\(m\\) имеет в \\(m\\) не меньше 20 знакомых, причем среди них есть знакомая пара; значит, он общителен. поэтому \\(|m|\\le 20\\). если \\(|n|\\ge 21\\), то любой человек из \\(n\\) имеет в \\(n\\setminus\\{u\\}\\) не меньше 20 незнакомых, среди которых есть незнакома… spbmo-2019-6-8-p6-company-no-sociable-shy kompaniya bez obschitelnyh i stesnitelnyh lyudey, spbmo 2019 graph_model degree_counting extremal_graph_theory extremal_choice construction goal_exact_bound 2019 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2019/problems/c_68_19.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2019 src-spbmo-pdmi-2019-c68 with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2019 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original uslovie ai_checked na vstrechu sobralas kompaniya. nazovem cheloveka obschitelnym, esli v etoy kompanii u nego est ne menshe 20 znakomyh, prichem hotya by dvoe iz nih znakomy mezhdu soboy. nazovem cheloveka stesnitelnym, esli v etoy kompanii u nego est ne menshe 20 neznakomyh, prichem hotya by dvoe iz nih neznakomy mezhdu soboy. okazalos, chto v sobravsheysya kompanii net ni obschitelnyh, ni stesnitelnyh lyudey. kakoe naibolshee chislo lyudey mozhet v ney byt? simple_graph degree clique independent_set complement_graph stmt-graph kompaniya bez obschitelnyh i stesnitelnyh lyudey ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf znakomstv na \\(n\\) vershinah. vershina zapreschena pervogo tipa, esli ee stepen ne menshe 20 i vnutri ee okrestnosti est rebro. vershina zapreschena vtorogo tipa, esli u nee ne menshe 20 nesosedey i sredi etih nesosedey est dve nesmezhnye vershiny. naydite naibolshee \\(n\\), dlya kotorogo suschestvuet graf bez zapreschennyh vershin oboih tipov. simple_graph degree clique independent_set complement_graph idea-acquaintance-complement-symmetry znakomstva i neznakomstva simmetrichny cherez dopolnitelnyy graf uslovie pro stesnitelnyh lyudey -- eto uslovie pro obschitelnyh lyudey v dopolnitelnom grafe neznakomstv. poetomu v reshenii udobno odnovremenno sledit za stepenyu vershiny i chislom ee nesosedey, to est chislom neznakomyh. graph_model degree_counting ai_checked idea-neighborhood-forces-independent-or-clique bolshaya okrestnost obyazana byt nezavisimoy, a bolshaya neokrestnost -- klikoy esli u vershiny est hotya by 20 znakomyh, to sredi etih znakomyh ne mozhet byt znakomoy pary; inache vershina obschitelna. esli u vershiny est hotya by 20 neznakomyh, to vse eti neznakomye obyazany byt poparno znakomy; inache vershina stesnitelna. extremal_graph_theory degree_counting ai_checked idea-k20-20-is-tight granitsa dostigaetsya polnym dvudolnym grafom \\(k_{20,20}\\) razdelim 40 chelovek na dve gruppy po 20 i poznakomim tolko lyudey iz raznyh grupp. togda u kazhdogo rovno 20 znakomyh, no ego znakomye poparno neznakomy; neznakomyh u kazhdogo tolko 19. construction goal_exact_bound ai_checked sol-degree-codegree-threshold otsenka cherez stepeni i konstruktsiya \\(k_{20,20}\\) ai_checked simple_graph degree clique independent_set complement_graph bipartite_graph complement_graph_transition extremal_choice rassmotrim graf znakomstv \\(g\\): vershiny -- lyudi, rebra -- pary znakomyh. dlya vershiny \\(v\\) oboznachim cherez \\(d(v)\\) chislo ee znakomyh, a cherez \\(m(v)=n-1-d(v)\\) chislo ee neznakomyh. snachala dokazhem vazhnoe nablyudenie: ni u kakoy vershiny ne mogut odnovremenno vypolnyatsya \\(d(v)\\ge 20\\) i \\(m(v)\\ge 20\\). deystvitelno, esli \\(d(v)\\ge 20\\), to vse znakomye vershiny \\(v\\) poparno neznakomy, inache \\(v\\) byla by obschitelnoy. esli \\(m(v)\\ge 20\\), to vse neznakomye vershiny \\(v\\) poparno znakomy, inache \\(v\\) byla by stesnitelnoy. pust \\(n\\) -- mnozhestvo znakomyh \\(v\\), a \\(m\\) -- mnozhestvo neznakomyh \\(v\\). esli \\(|m|\\ge 21\\), to lyuboy chelovek iz \\(m\\) imeet v \\(m\\) ne menshe 20 znakomyh, prichem sredi nih est znakomaya para; znachit, on obschitelen. poetomu \\(|m|\\le 20\\). esli \\(|n|\\ge 21\\), to lyuboy chelovek iz \\(n\\) imeet v \\(n\\setminus\\{u\\}\\) ne menshe 20 neznakomyh, sredi kotoryh est neznakoma…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2019-9-11-p2-metro-cover-by-simple-paths","title":"Покрытие схемы метро простыми путями, СПбМО 2019","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2019-9-11-p2-metro-cover-by-simple-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2019-9-11-p2-metro-cover-by-simple-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2019-9-11-p2-metro-cover-by-simple-paths","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2019","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л."],"tags":["connectivity","construction","extremal_choice","goal_exact_bound","graph_model","trees"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"СПбМО 2019, II тур, 9 класс, задача 2. После перевода на язык связных графов ключевой факт — покрытие остовного дерева путями между попарно выбранными листьями; нижняя оценка достигается звездой.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"В городе построено 2019 станций метро. Некоторые пары станций соединены тоннелями, причем от любой станции по тоннелям можно добраться до любой другой. Мэр распорядился организовать несколько линий метро: каждая линия должна включать в себя несколько различных станций, последовательно соединенных тоннелями (по одному и тому же тоннелю может проходить несколько линий). При этом каждая станция должна лежать хотя бы на одной линии. Для экономии средств следует сделать не более \\(k\\) линий. Оказалось, что приказ мэра неосуществим. При каком наибольшем \\(k\\) это могло произойти?","definition_ids":["connected_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Покрытие схемы метро простыми путями","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — связный граф на 2019 вершинах. Одной линией называется простой путь в \\(G\\), содержащий хотя бы две различные вершины; разные линии могут иметь общие вершины и ребра. Нужно покрыть все вершины графа не более чем \\(k\\) такими путями. Для какого наибольшего \\(k\\) существует связный граф \\(G\\), вершины которого невозможно покрыть не более чем \\(k\\) простыми путями?","definition_ids":["connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-spanning-tree-leaf-pairing","title":"Ответ \\(1008\\): остовное дерево и попарное соединение листьев","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","tree","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(1008\\). Сначала докажем, что в любой связной схеме из 2019 станций приказ можно выполнить при \\(k=1009\\). Рассмотрим граф, вершины которого — станции, а ребра — тоннели. Он связен. Выберем в нем остовное дерево \\(T\\). Если вершины дерева покрыты простыми путями в \\(T\\), то те же пути являются допустимыми линиями метро в исходном графе, поэтому достаточно работать с деревом. Пусть у дерева \\(T\\) ровно \\(\\ell\\) листьев. Докажем стандартную лемму: вершины дерева можно покрыть не более чем \\(\\lceil \\ell/2\\rceil\\) простыми путями. Если \\(\\ell\\) нечетно, временно добавим к любой не-листовой вершине дерева один новый лист; после построения путей удалим этот вспомогательный лист из того пути, где он встретился. Поэтому достаточно разобрать четное число листьев \\(2m\\). Нарисуем дерево на плоскости без пересечений и обойдем его по контуру, как при обходе глубины. Запишем листья в цикличе…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-properties-spbmo-2019-metro-path-cover","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2019-metro-path-cover-spbmo-1996-metro-tree-extremal","neighbor_id":"spbmo-1996-11-p63-metro-distant-stations","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2019-9-11-p2-metro-cover-by-simple-paths покрытие схемы метро простыми путями, спбмо 2019 connectivity construction extremal_choice goal_exact_bound graph_model trees 2019 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2019/problems/c_911_19.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2019 src-spbmo-pdmi-2019-c911 with_solution берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2019 берлов с.л. санкт-петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original оригинальная формулировка source_verified в городе построено 2019 станций метро. некоторые пары станций соединены тоннелями, причем от любой станции по тоннелям можно добраться до любой другой. мэр распорядился организовать несколько линий метро: каждая линия должна включать в себя несколько различных станций, последовательно соединенных тоннелями (по одному и тому же тоннелю может проходить несколько линий). при этом каждая станция должна лежать хотя бы на одной линии. для экономии средств следует сделать не более \\(k\\) линий. оказалось, что приказ мэра неосуществим. при каком наибольшем \\(k\\) это могло произойти? connected_graph path stmt-graph покрытие схемы метро простыми путями ai_checked пусть \\(g\\) — связный граф на 2019 вершинах. одной линией называется простой путь в \\(g\\), содержащий хотя бы две различные вершины; разные линии могут иметь общие вершины и ребра. нужно покрыть все вершины графа не более чем \\(k\\) такими путями. для какого наибольшего \\(k\\) существует связный граф \\(g\\), вершины которого невозможно покрыть не более чем \\(k\\) простыми путями? connected_graph path idea-spanning-tree-suffices достаточно покрыть остовное дерево если удалить из схемы лишние тоннели и оставить остовное дерево, то любой простой путь этого дерева остается допустимой линией в исходной схеме. поэтому верхнюю оценку можно доказывать для деревьев. graph_model trees ai_checked idea-pair-leaves парные листья покрывают дерево путями листья дерева можно расположить в циклическом порядке обхода дерева и соединить противоположные листья. тогда каждое ребро разделяет листья на подряд идущий блок и его дополнение, поэтому хотя бы один выбранный путь проходит через это ребро. trees construction ai_checked idea-star-is-extremal звезда дает худший случай в звезде один простой путь содержит не более двух листьев. поэтому для 2018 листьев требуется не меньше \\(1009\\) путей, и эта нижняя оценка совпадает с общей верхней оценкой. extremal_choice goal_exact_bound ai_checked sol-spanning-tree-leaf-pairing ответ \\(1008\\): остовное дерево и попарное соединение листьев ai_checked connected_graph path tree spanning_tree delete_to_simplify extremal_choice ответ: \\(1008\\). сначала докажем, что в любой связной схеме из 2019 станций приказ можно выполнить при \\(k=1009\\). рассмотрим граф, вершины которого — станции, а ребра — тоннели. он связен. выберем в нем остовное дерево \\(t\\). если вершины дерева покрыты простыми путями в \\(t\\), то те же пути являются допустимыми линиями метро в исходном графе, поэтому достаточно работать с деревом. пусть у дерева \\(t\\) ровно \\(\\ell\\) листьев. докажем стандартную лемму: вершины дерева можно покрыть не более чем \\(\\lceil \\ell/2\\rceil\\) простыми путями. если \\(\\ell\\) нечетно, временно добавим к любой не-листовой вершине дерева один новый лист; после построения путей удалим этот вспомогательный лист из того пути, где он встретился. поэтому достаточно разобрать четное число листьев \\(2m\\). нарисуем дерево на плоскости без пересечений и обойдем его по контуру, как при обходе глубины. запишем листья в цикличе… spbmo-2019-9-11-p2-metro-cover-by-simple-paths pokrytie shemy metro prostymi putyami, spbmo 2019 connectivity construction extremal_choice goal_exact_bound graph_model trees 2019 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2019/problems/c_911_19.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2019 src-spbmo-pdmi-2019-c911 with_solution berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2019 berlov s.l. sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original originalnaya formulirovka source_verified v gorode postroeno 2019 stantsiy metro. nekotorye pary stantsiy soedineny tonnelyami, prichem ot lyuboy stantsii po tonnelyam mozhno dobratsya do lyuboy drugoy. mer rasporyadilsya organizovat neskolko liniy metro: kazhdaya liniya dolzhna vklyuchat v sebya neskolko razlichnyh stantsiy, posledovatelno soedinennyh tonnelyami (po odnomu i tomu zhe tonnelyu mozhet prohodit neskolko liniy). pri etom kazhdaya stantsiya dolzhna lezhat hotya by na odnoy linii. dlya ekonomii sredstv sleduet sdelat ne bolee \\(k\\) liniy. okazalos, chto prikaz mera neosuschestvim. pri kakom naibolshem \\(k\\) eto moglo proizoyti? connected_graph path stmt-graph pokrytie shemy metro prostymi putyami ai_checked pust \\(g\\) — svyaznyy graf na 2019 vershinah. odnoy liniey nazyvaetsya prostoy put v \\(g\\), soderzhaschiy hotya by dve razlichnye vershiny; raznye linii mogut imet obschie vershiny i rebra. nuzhno pokryt vse vershiny grafa ne bolee chem \\(k\\) takimi putyami. dlya kakogo naibolshego \\(k\\) suschestvuet svyaznyy graf \\(g\\), vershiny kotorogo nevozmozhno pokryt ne bolee chem \\(k\\) prostymi putyami? connected_graph path idea-spanning-tree-suffices dostatochno pokryt ostovnoe derevo esli udalit iz shemy lishnie tonneli i ostavit ostovnoe derevo, to lyuboy prostoy put etogo dereva ostaetsya dopustimoy liniey v ishodnoy sheme. poetomu verhnyuyu otsenku mozhno dokazyvat dlya derevev. graph_model trees ai_checked idea-pair-leaves parnye listya pokryvayut derevo putyami listya dereva mozhno raspolozhit v tsiklicheskom poryadke obhoda dereva i soedinit protivopolozhnye listya. togda kazhdoe rebro razdelyaet listya na podryad iduschiy blok i ego dopolnenie, poetomu hotya by odin vybrannyy put prohodit cherez eto rebro. trees construction ai_checked idea-star-is-extremal zvezda daet hudshiy sluchay v zvezde odin prostoy put soderzhit ne bolee dvuh listev. poetomu dlya 2018 listev trebuetsya ne menshe \\(1009\\) putey, i eta nizhnyaya otsenka sovpadaet s obschey verhney otsenkoy. extremal_choice goal_exact_bound ai_checked sol-spanning-tree-leaf-pairing otvet \\(1008\\): ostovnoe derevo i poparnoe soedinenie listev ai_checked connected_graph path tree spanning_tree delete_to_simplify extremal_choice otvet: \\(1008\\). snachala dokazhem, chto v lyuboy svyaznoy sheme iz 2019 stantsiy prikaz mozhno vypolnit pri \\(k=1009\\). rassmotrim graf, vershiny kotorogo — stantsii, a rebra — tonneli. on svyazen. vyberem v nem ostovnoe derevo \\(t\\). esli vershiny dereva pokryty prostymi putyami v \\(t\\), to te zhe puti yavlyayutsya dopustimymi liniyami metro v ishodnom grafe, poetomu dostatochno rabotat s derevom. pust u dereva \\(t\\) rovno \\(\\ell\\) listev. dokazhem standartnuyu lemmu: vershiny dereva mozhno pokryt ne bolee chem \\(\\lceil \\ell/2\\rceil\\) prostymi putyami. esli \\(\\ell\\) nechetno, vremenno dobavim k lyuboy ne-listovoy vershine dereva odin novyy list; posle postroeniya putey udalim etot vspomogatelnyy list iz togo puti, gde on vstretilsya. poetomu dostatochno razobrat chetnoe chislo listev \\(2m\\). narisuem derevo na ploskosti bez peresecheniy i oboydem ego po konturu, kak pri obhode glubiny. zapishem listya v tsikliche…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2019-9-11-p6-regular-graph-2-switches","title":"100-регулярные дорожные схемы и 2-перестройки, СПбМО 2019","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2019-9-11-p6-regular-graph-2-switches.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2019-9-11-p6-regular-graph-2-switches.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2019-9-11-p6-regular-graph-2-switches","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2019","type":"olympiad_problem","authors":["Т. Зубов"],"tags":["graph_model","invariant","degree_counting","construction","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"СПбМО 2019, городской II тур, 11 класс, задача 6. Сложность в распознавании стандартной связности реализаций одной регулярной последовательности степеней относительно 2-перестроек и аккуратном доказательстве через чередующиеся циклы.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"Пусть между городами \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\) и \\(D\\) есть дороги \\(AB\\) и \\(CD\\), но нет дорог \\(BC\\) и \\(AD\\). Назовем перестройкой замену пары дорог \\(AB\\) и \\(CD\\) на пару дорог \\(BC\\) и \\(AD\\). Изначально в стране было несколько городов, некоторые пары городов были соединены дорогами, причем из каждого города выходило по 100 дорог. Министр нарисовал новую схему дорог, в которой из каждого города по-прежнему выходит 100 дорог. Известно, что как в старой, так и в новой схемах никакие два города не соединены более чем одной дорогой. Докажите, что новую схему можно получить из старой с помощью нескольких перестроек.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"100-регулярные дорожные схемы и 2-перестройки","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) и \\(H\\) — простые 100-регулярные графы на одном и том же множестве вершин. Разрешена операция 2-перестройки: если \\(ab,cd\\in E(G)\\), а \\(bc,ad\\notin E(G)\\), то можно удалить ребра \\(ab\\), \\(cd\\) и добавить ребра \\(bc\\), \\(ad\\). Докажите, что \\(H\\) можно получить из \\(G\\) конечной последовательностью таких операций.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-alternating-cycle-switches","title":"Симметрическая разность и переключение чередующихся циклов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle","path"],"standard_idea_ids":["invariant","alternating_paths","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем говорить на языке графов: города - вершины, дороги - ребра простого графа. Старая схема - это граф \\(G\\), новая - граф \\(H\\) на том же множестве вершин. В обоих графах степень каждой вершины равна 100. Сначала докажем лемму. Пусть в текущем простом графе дан четный цикл \\(C\\), ребра которого попеременно присутствуют и отсутствуют в графе. Тогда можно с помощью 2-перестроек заменить на этом цикле все присутствующие ребра отсутствующими, а все отсутствующие - присутствующими, не меняя ребер вне цикла в итоговом графе. Докажем лемму индукцией по половине длины цикла. Для 4-цикла это ровно одна разрешенная перестройка: две противоположные стороны цикла являются ребрами графа, две другие - не являются, и мы заменяем первую пару второй. Пусть длина цикла больше 4. Запишем его как \\[ v_0v_1v_2\\ldots v_{2k-1}v_0, \\] где ребра \\(v_0v_1, v_2v_3,\\ldots,v_{2k-2}v_{2k-1}\\) отсутствуют, а ребра…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2019-p6-usamo-2009-p3-symmetric-difference-alternating-cycles","neighbor_id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2019-9-11-p6-regular-graph-2-switches 100-регулярные дорожные схемы и 2-перестройки, спбмо 2019 graph_model invariant degree_counting construction goal_proof 2019 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2019/problems/c_911_19.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2019 src-spbmo-pdmi-2019-c911 with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2019 т. зубов т. зубов санкт-петербургская математическая олимпиада 2019, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original оригинальная формулировка source_verified пусть между городами \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) и \\(d\\) есть дороги \\(ab\\) и \\(cd\\), но нет дорог \\(bc\\) и \\(ad\\). назовем перестройкой замену пары дорог \\(ab\\) и \\(cd\\) на пару дорог \\(bc\\) и \\(ad\\). изначально в стране было несколько городов, некоторые пары городов были соединены дорогами, причем из каждого города выходило по 100 дорог. министр нарисовал новую схему дорог, в которой из каждого города по-прежнему выходит 100 дорог. известно, что как в старой, так и в новой схемах никакие два города не соединены более чем одной дорогой. докажите, что новую схему можно получить из старой с помощью нескольких перестроек. simple_graph degree stmt-graph 100-регулярные дорожные схемы и 2-перестройки ai_checked пусть \\(g\\) и \\(h\\) — простые 100-регулярные графы на одном и том же множестве вершин. разрешена операция 2-перестройки: если \\(ab,cd\\in e(g)\\), а \\(bc,ad\\notin e(g)\\), то можно удалить ребра \\(ab\\), \\(cd\\) и добавить ребра \\(bc\\), \\(ad\\). докажите, что \\(h\\) можно получить из \\(g\\) конечной последовательностью таких операций. simple_graph degree idea-degree-sequence перестройка сохраняет степени операция удаляет у каждой из четырех участвующих вершин одно инцидентное ребро и добавляет одно новое, поэтому все степени сохраняются. старая и новая схемы имеют одну и ту же последовательность степеней: все степени равны 100. invariant degree_counting ai_checked idea-symmetric-difference симметрическая разность распадается на чередующиеся циклы покрасим ребра старой схемы, которых нет в новой, в красный цвет, а ребра новой схемы, которых нет в старой, - в синий. в каждой вершине красная и синяя степени равны, поэтому эти ребра можно разбить на циклы с чередованием красных и синих ребер. invariant ai_checked idea-cycle-switch чередующийся цикл переключается 2-перестройками вдоль одного чередующегося цикла можно заменить все старые ребра на все новые. индукция по длине цикла использует хорду между двумя почти противоположными концами: если хорды нет, делаем одну 2-перестройку и сокращаем цикл; если хорда уже есть, сначала переключаем меньший чередующийся цикл с этой хордой. invariant construction ai_checked sol-alternating-cycle-switches симметрическая разность и переключение чередующихся циклов ai_checked simple_graph degree cycle path invariant alternating_paths induction будем говорить на языке графов: города - вершины, дороги - ребра простого графа. старая схема - это граф \\(g\\), новая - граф \\(h\\) на том же множестве вершин. в обоих графах степень каждой вершины равна 100. сначала докажем лемму. пусть в текущем простом графе дан четный цикл \\(c\\), ребра которого попеременно присутствуют и отсутствуют в графе. тогда можно с помощью 2-перестроек заменить на этом цикле все присутствующие ребра отсутствующими, а все отсутствующие - присутствующими, не меняя ребер вне цикла в итоговом графе. докажем лемму индукцией по половине длины цикла. для 4-цикла это ровно одна разрешенная перестройка: две противоположные стороны цикла являются ребрами графа, две другие - не являются, и мы заменяем первую пару второй. пусть длина цикла больше 4. запишем его как \\[ v_0v_1v_2\\ldots v_{2k-1}v_0, \\] где ребра \\(v_0v_1, v_2v_3,\\ldots,v_{2k-2}v_{2k-1}\\) отсутствуют, а ребра… spbmo-2019-9-11-p6-regular-graph-2-switches 100-regulyarnye dorozhnye shemy i 2-perestroyki, spbmo 2019 graph_model invariant degree_counting construction goal_proof 2019 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2019/problems/c_911_19.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2019 src-spbmo-pdmi-2019-c911 with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2019 t. zubov t. zubov sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original originalnaya formulirovka source_verified pust mezhdu gorodami \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) i \\(d\\) est dorogi \\(ab\\) i \\(cd\\), no net dorog \\(bc\\) i \\(ad\\). nazovem perestroykoy zamenu pary dorog \\(ab\\) i \\(cd\\) na paru dorog \\(bc\\) i \\(ad\\). iznachalno v strane bylo neskolko gorodov, nekotorye pary gorodov byli soedineny dorogami, prichem iz kazhdogo goroda vyhodilo po 100 dorog. ministr narisoval novuyu shemu dorog, v kotoroy iz kazhdogo goroda po-prezhnemu vyhodit 100 dorog. izvestno, chto kak v staroy, tak i v novoy shemah nikakie dva goroda ne soedineny bolee chem odnoy dorogoy. dokazhite, chto novuyu shemu mozhno poluchit iz staroy s pomoschyu neskolkih perestroek. simple_graph degree stmt-graph 100-regulyarnye dorozhnye shemy i 2-perestroyki ai_checked pust \\(g\\) i \\(h\\) — prostye 100-regulyarnye grafy na odnom i tom zhe mnozhestve vershin. razreshena operatsiya 2-perestroyki: esli \\(ab,cd\\in e(g)\\), a \\(bc,ad\\notin e(g)\\), to mozhno udalit rebra \\(ab\\), \\(cd\\) i dobavit rebra \\(bc\\), \\(ad\\). dokazhite, chto \\(h\\) mozhno poluchit iz \\(g\\) konechnoy posledovatelnostyu takih operatsiy. simple_graph degree idea-degree-sequence perestroyka sohranyaet stepeni operatsiya udalyaet u kazhdoy iz chetyreh uchastvuyuschih vershin odno intsidentnoe rebro i dobavlyaet odno novoe, poetomu vse stepeni sohranyayutsya. staraya i novaya shemy imeyut odnu i tu zhe posledovatelnost stepeney: vse stepeni ravny 100. invariant degree_counting ai_checked idea-symmetric-difference simmetricheskaya raznost raspadaetsya na chereduyuschiesya tsikly pokrasim rebra staroy shemy, kotoryh net v novoy, v krasnyy tsvet, a rebra novoy shemy, kotoryh net v staroy, - v siniy. v kazhdoy vershine krasnaya i sinyaya stepeni ravny, poetomu eti rebra mozhno razbit na tsikly s cheredovaniem krasnyh i sinih reber. invariant ai_checked idea-cycle-switch chereduyuschiysya tsikl pereklyuchaetsya 2-perestroykami vdol odnogo chereduyuschegosya tsikla mozhno zamenit vse starye rebra na vse novye. induktsiya po dline tsikla ispolzuet hordu mezhdu dvumya pochti protivopolozhnymi kontsami: esli hordy net, delaem odnu 2-perestroyku i sokraschaem tsikl; esli horda uzhe est, snachala pereklyuchaem menshiy chereduyuschiysya tsikl s etoy hordoy. invariant construction ai_checked sol-alternating-cycle-switches simmetricheskaya raznost i pereklyuchenie chereduyuschihsya tsiklov ai_checked simple_graph degree cycle path invariant alternating_paths induction budem govorit na yazyke grafov: goroda - vershiny, dorogi - rebra prostogo grafa. staraya shema - eto graf \\(g\\), novaya - graf \\(h\\) na tom zhe mnozhestve vershin. v oboih grafah stepen kazhdoy vershiny ravna 100. snachala dokazhem lemmu. pust v tekuschem prostom grafe dan chetnyy tsikl \\(c\\), rebra kotorogo poperemenno prisutstvuyut i otsutstvuyut v grafe. togda mozhno s pomoschyu 2-perestroek zamenit na etom tsikle vse prisutstvuyuschie rebra otsutstvuyuschimi, a vse otsutstvuyuschie - prisutstvuyuschimi, ne menyaya reber vne tsikla v itogovom grafe. dokazhem lemmu induktsiey po polovine dliny tsikla. dlya 4-tsikla eto rovno odna razreshennaya perestroyka: dve protivopolozhnye storony tsikla yavlyayutsya rebrami grafa, dve drugie - ne yavlyayutsya, i my zamenyaem pervuyu paru vtoroy. pust dlina tsikla bolshe 4. zapishem ego kak \\[ v_0v_1v_2\\ldots v_{2k-1}v_0, \\] gde rebra \\(v_0v_1, v_2v_3,\\ldots,v_{2k-2}v_{2k-1}\\) otsutstvuyut, a rebra…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2020-karakatitsa-edge-weights","title":"Каракатицы в графе с весами на рёбрах, СПбМО 2019/20, 9 класс, задача 7","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2020-karakatitsa-edge-weights.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2020-karakatitsa-edge-weights.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2020-karakatitsa-edge-weights","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2019/20, 9 класс финальные условия","Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2019/20, 9 класс финальные решения"],"year":"2020","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","double_counting","graph_model","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"СПбМО 2019/20, заключительный этап, 9 класс, задача 7.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"решение определено как официальное или восстановленное по архиву; классификация не понижалась","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Каракатица ребра","status":"ai_checked","text":"В графе 400 вершин. Для любого ребра AB назовём каракатицей набор всех рёбер, выходящих из вершин A и B (включая само ребро AB). На каждом ребре графа стоит число 1 или -1. Известно, что сумма чисел на рёбрах любой каракатицы больше или равна 1. Докажите, что сумма чисел на всех рёбрах графа не меньше чем -10000.","definition_ids":["simple_graph","matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Взвешенный простой граф","status":"ai_checked","text":"В простом графе на 400 вершинах каждому ребру приписан вес из {-1,1}. Для каждого ребра uv сумма весов всех рёбер, инцидентных u или v, не меньше 1. Нужно доказать, что общий вес всех рёбер не меньше -10000.","definition_ids":["simple_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-matching","title":"Официальная оценка через максимальное паросочетание","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","matching","independent_set"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим вес ребра e через w(e), а через v(A) обозначим сумму весов всех рёбер, инцидентных вершине A. Если W — сумма весов всех рёбер графа, то \\(\\sum_A v(A)=2W\\), потому что каждое ребро учитывается ровно у двух своих концов. Поэтому достаточно доказать, что сумма всех вершинных весов не меньше -20000. Для ребра AB сумма весов его каракатицы равна v(A)+v(B)-w(AB): в v(A)+v(B) само ребро AB посчитано дважды, а в каракатице один раз. По условию эта сумма не меньше 1, а w(AB) равно 1 или -1. Значит \\[v(A)+v(B)=\\text{вес каракатицы }AB+w(AB)\\ge 1-1=0.\\] Итак, для любых двух смежных вершин сумма их вершинных весов неотрицательна. Возьмём паросочетание M максимального размера и пусть в нём k рёбер. Сумма весов вершин, покрытых M, неотрицательна: разбиваем эти 2k вершин на k пар — концов рёбер из M, и для каждой пары только что доказали неотрицательность суммы. Пусть S — множество непокрыты…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2020-karakatitsa-edge-weights каракатицы в графе с весами на рёбрах, спбмо 2019/20, 9 класс, задача 7 matching double_counting graph_model goal_bound 2020 https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2019/14211324-sol-math-9-tur2_stage-19-20.pdf https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2019/14211324-tasks-math-9-tur2_stage-19-20.pdf olympiad_archive problem_and_solution spbmo spbmo2020 src-spbmo-2019-20-final-9-sol src-spbmo-2019-20-final-9-tasks with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2019/20, 9 класс финальные решения санкт-петербургская математическая олимпиада 2019/20, 9 класс финальные условия спбмо спбмо2020 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2019/20, 9 класс финальные условия санкт-петербургская математическая олимпиада 2019/20, 9 класс финальные решения stmt-original каракатица ребра ai_checked в графе 400 вершин. для любого ребра ab назовём каракатицей набор всех рёбер, выходящих из вершин a и b (включая само ребро ab). на каждом ребре графа стоит число 1 или -1. известно, что сумма чисел на рёбрах любой каракатицы больше или равна 1. докажите, что сумма чисел на всех рёбрах графа не меньше чем -10000. simple_graph matching stmt-graph взвешенный простой граф ai_checked в простом графе на 400 вершинах каждому ребру приписан вес из {-1,1}. для каждого ребра uv сумма весов всех рёбер, инцидентных u или v, не меньше 1. нужно доказать, что общий вес всех рёбер не меньше -10000. simple_graph matching idea-maximum-matching-unmatched-independent вес вершин и максимальное паросочетание официальное решение вводит вес вершины как сумму весов инцидентных рёбер. условие означает, что сумма весов двух смежных вершин неотрицательна. берём максимальное паросочетание: покрытые им вершины дают неотрицательный вклад, а непокрытые образуют независимое множество и могут быть связаны только с покрытыми вершинами. matching double_counting graph_model ai_checked sol-official-matching официальная оценка через максимальное паросочетание ai_checked simple_graph matching independent_set double_counting обозначим вес ребра e через w(e), а через v(a) обозначим сумму весов всех рёбер, инцидентных вершине a. если w — сумма весов всех рёбер графа, то \\(\\sum_a v(a)=2w\\), потому что каждое ребро учитывается ровно у двух своих концов. поэтому достаточно доказать, что сумма всех вершинных весов не меньше -20000. для ребра ab сумма весов его каракатицы равна v(a)+v(b)-w(ab): в v(a)+v(b) само ребро ab посчитано дважды, а в каракатице один раз. по условию эта сумма не меньше 1, а w(ab) равно 1 или -1. значит \\[v(a)+v(b)=\\text{вес каракатицы }ab+w(ab)\\ge 1-1=0.\\] итак, для любых двух смежных вершин сумма их вершинных весов неотрицательна. возьмём паросочетание m максимального размера и пусть в нём k рёбер. сумма весов вершин, покрытых m, неотрицательна: разбиваем эти 2k вершин на k пар — концов рёбер из m, и для каждой пары только что доказали неотрицательность суммы. пусть s — множество непокрыты… spbmo-2020-karakatitsa-edge-weights karakatitsy v grafe s vesami na rebrah, spbmo 2019/20, 9 klass, zadacha 7 matching double_counting graph_model goal_bound 2020 https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2019/14211324-sol-math-9-tur2_stage-19-20.pdf https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2019/14211324-tasks-math-9-tur2_stage-19-20.pdf olympiad_archive problem_and_solution spbmo spbmo2020 src-spbmo-2019-20-final-9-sol src-spbmo-2019-20-final-9-tasks with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019/20, 9 klass finalnye resheniya sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019/20, 9 klass finalnye usloviya spbmo spbmo2020 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019/20, 9 klass finalnye usloviya sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2019/20, 9 klass finalnye resheniya stmt-original karakatitsa rebra ai_checked v grafe 400 vershin. dlya lyubogo rebra ab nazovem karakatitsey nabor vseh reber, vyhodyaschih iz vershin a i b (vklyuchaya samo rebro ab). na kazhdom rebre grafa stoit chislo 1 ili -1. izvestno, chto summa chisel na rebrah lyuboy karakatitsy bolshe ili ravna 1. dokazhite, chto summa chisel na vseh rebrah grafa ne menshe chem -10000. simple_graph matching stmt-graph vzveshennyy prostoy graf ai_checked v prostom grafe na 400 vershinah kazhdomu rebru pripisan ves iz {-1,1}. dlya kazhdogo rebra uv summa vesov vseh reber, intsidentnyh u ili v, ne menshe 1. nuzhno dokazat, chto obschiy ves vseh reber ne menshe -10000. simple_graph matching idea-maximum-matching-unmatched-independent ves vershin i maksimalnoe parosochetanie ofitsialnoe reshenie vvodit ves vershiny kak summu vesov intsidentnyh reber. uslovie oznachaet, chto summa vesov dvuh smezhnyh vershin neotritsatelna. berem maksimalnoe parosochetanie: pokrytye im vershiny dayut neotritsatelnyy vklad, a nepokrytye obrazuyut nezavisimoe mnozhestvo i mogut byt svyazany tolko s pokrytymi vershinami. matching double_counting graph_model ai_checked sol-official-matching ofitsialnaya otsenka cherez maksimalnoe parosochetanie ai_checked simple_graph matching independent_set double_counting oboznachim ves rebra e cherez w(e), a cherez v(a) oboznachim summu vesov vseh reber, intsidentnyh vershine a. esli w — summa vesov vseh reber grafa, to \\(\\sum_a v(a)=2w\\), potomu chto kazhdoe rebro uchityvaetsya rovno u dvuh svoih kontsov. poetomu dostatochno dokazat, chto summa vseh vershinnyh vesov ne menshe -20000. dlya rebra ab summa vesov ego karakatitsy ravna v(a)+v(b)-w(ab): v v(a)+v(b) samo rebro ab poschitano dvazhdy, a v karakatitse odin raz. po usloviyu eta summa ne menshe 1, a w(ab) ravno 1 ili -1. znachit \\[v(a)+v(b)=\\text{ves karakatitsy }ab+w(ab)\\ge 1-1=0.\\] itak, dlya lyubyh dvuh smezhnyh vershin summa ih vershinnyh vesov neotritsatelna. vozmem parosochetanie m maksimalnogo razmera i pust v nem k reber. summa vesov vershin, pokrytyh m, neotritsatelna: razbivaem eti 2k vershin na k par — kontsov reber iz m, i dlya kazhdoy pary tolko chto dokazali neotritsatelnost summy. pust s — mnozhestvo nepokryty…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor","title":"Расстановка знаков в 5000 точках с малыми префиксными суммами, СПбМО 2020/21, 7 класс, задача 5","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2020/21, 7 класс финальные условия и решения"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_in_solution","matching","coloring"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"СПбМО 2020/21, заключительный этап, 7 класс, задача 5.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"решение определено как официальное или восстановленное по архиву; классификация не понижалась","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Числа 1 и -1 в точках плоскости","status":"ai_checked","text":"На плоскости даны 5000 точек, никакие две из которых не лежат на одной вертикальной или горизонтальной прямой. Серёжа хочет так расставить в этих точках числа 1 и -1, чтобы сумма всех чисел, расположенных слева от любой вертикальной прямой, была равна 0, 1 или -1, и сумма всех чисел, расположенных сверху от любой горизонтальной прямой, также была равна 0, 1 или -1. Верно ли, что при любом расположении точек он сможет этого добиться?","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-bipartition","title":"Официальная двудольная раскраска вспомогательного графа","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","cycle","degree","multigraph","connected_graph","path","neighborhood"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: да. Обозначим точки в порядке возрастания абсциссы через \\(P_1,P_2,\\ldots,P_{5000}\\). Разобьём их на пары \\((P_1,P_2),(P_3,P_4),\\ldots,(P_{4999},P_{5000})\\) и соединим точки каждой такой пары красным ребром. Затем обозначим точки в порядке возрастания ординаты через \\(Q_1,Q_2,\\ldots,Q_{5000}\\), разобьём их на пары \\((Q_1,Q_2),(Q_3,Q_4),\\ldots,(Q_{4999},Q_{5000})\\) и соединим точки каждой такой пары синим ребром. Покажем сначала, почему достаточно поставить разные числа на концах каждого красного и каждого синего ребра. Возьмём любую вертикальную прямую. Так как никакие две точки не лежат на одной вертикали, слева от этой прямой находятся ровно первые \\(m\\) точек в порядке возрастания абсциссы при некотором \\(m\\) от 0 до 5000. Если \\(m\\) чётно, эти точки разбиваются на целые красные пары, а сумма чисел в каждой такой паре равна 0. Если \\(m\\) нечётно, среди первых \\(m\\) точек есть…"}],"relations":[{"id":"rel-balanced-bipartite-edge-coloring-to-spbmo-2021-coordinate-2factor","neighbor_id":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor расстановка знаков в 5000 точках с малыми префиксными суммами, спбмо 2020/21, 7 класс, задача 5 graph_in_solution matching coloring 2021 https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2020/18474156-taskssol-math-7-final-20-21.pdf problem_and_solution spbmo spbmo2021 src-spbmo-2020-21-final-7-taskssol with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2020/21, 7 класс финальные условия и решения спбмо спбмо2021 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2020/21, 7 класс финальные условия и решения stmt-original числа 1 и -1 в точках плоскости ai_checked на плоскости даны 5000 точек, никакие две из которых не лежат на одной вертикальной или горизонтальной прямой. серёжа хочет так расставить в этих точках числа 1 и -1, чтобы сумма всех чисел, расположенных слева от любой вертикальной прямой, была равна 0, 1 или -1, и сумма всех чисел, расположенных сверху от любой горизонтальной прямой, также была равна 0, 1 или -1. верно ли, что при любом расположении точек он сможет этого добиться? idea-two-colored-degree-two-graph две системы соседних пар дают чётные циклы официальное решение строит граф \\(g\\) на точках: красные рёбра соединяют пары 1-2, 3-4, ... в порядке абсцисс, а синие рёбра соединяют пары 1-2, 3-4, ... в порядке ординат. из каждой вершины выходит одно красное и одно синее ребро, поэтому компоненты являются чётными чередующимися циклами, возможно длины 2 в мультиграфе, и граф двудолен. graph_in_solution coloring connectivity ai_checked sol-official-bipartition официальная двудольная раскраска вспомогательного графа ai_checked bipartite_graph cycle degree multigraph connected_graph path neighborhood invariant ответ: да. обозначим точки в порядке возрастания абсциссы через \\(p_1,p_2,\\ldots,p_{5000}\\). разобьём их на пары \\((p_1,p_2),(p_3,p_4),\\ldots,(p_{4999},p_{5000})\\) и соединим точки каждой такой пары красным ребром. затем обозначим точки в порядке возрастания ординаты через \\(q_1,q_2,\\ldots,q_{5000}\\), разобьём их на пары \\((q_1,q_2),(q_3,q_4),\\ldots,(q_{4999},q_{5000})\\) и соединим точки каждой такой пары синим ребром. покажем сначала, почему достаточно поставить разные числа на концах каждого красного и каждого синего ребра. возьмём любую вертикальную прямую. так как никакие две точки не лежат на одной вертикали, слева от этой прямой находятся ровно первые \\(m\\) точек в порядке возрастания абсциссы при некотором \\(m\\) от 0 до 5000. если \\(m\\) чётно, эти точки разбиваются на целые красные пары, а сумма чисел в каждой такой паре равна 0. если \\(m\\) нечётно, среди первых \\(m\\) точек есть… spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor rasstanovka znakov v 5000 tochkah s malymi prefiksnymi summami, spbmo 2020/21, 7 klass, zadacha 5 graph_in_solution matching coloring 2021 https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2020/18474156-taskssol-math-7-final-20-21.pdf problem_and_solution spbmo spbmo2021 src-spbmo-2020-21-final-7-taskssol with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2020/21, 7 klass finalnye usloviya i resheniya spbmo spbmo2021 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2020/21, 7 klass finalnye usloviya i resheniya stmt-original chisla 1 i -1 v tochkah ploskosti ai_checked na ploskosti dany 5000 tochek, nikakie dve iz kotoryh ne lezhat na odnoy vertikalnoy ili gorizontalnoy pryamoy. serezha hochet tak rasstavit v etih tochkah chisla 1 i -1, chtoby summa vseh chisel, raspolozhennyh sleva ot lyuboy vertikalnoy pryamoy, byla ravna 0, 1 ili -1, i summa vseh chisel, raspolozhennyh sverhu ot lyuboy gorizontalnoy pryamoy, takzhe byla ravna 0, 1 ili -1. verno li, chto pri lyubom raspolozhenii tochek on smozhet etogo dobitsya? idea-two-colored-degree-two-graph dve sistemy sosednih par dayut chetnye tsikly ofitsialnoe reshenie stroit graf \\(g\\) na tochkah: krasnye rebra soedinyayut pary 1-2, 3-4, ... v poryadke abstsiss, a sinie rebra soedinyayut pary 1-2, 3-4, ... v poryadke ordinat. iz kazhdoy vershiny vyhodit odno krasnoe i odno sinee rebro, poetomu komponenty yavlyayutsya chetnymi chereduyuschimisya tsiklami, vozmozhno dliny 2 v multigrafe, i graf dvudolen. graph_in_solution coloring connectivity ai_checked sol-official-bipartition ofitsialnaya dvudolnaya raskraska vspomogatelnogo grafa ai_checked bipartite_graph cycle degree multigraph connected_graph path neighborhood invariant otvet: da. oboznachim tochki v poryadke vozrastaniya abstsissy cherez \\(p_1,p_2,\\ldots,p_{5000}\\). razobem ih na pary \\((p_1,p_2),(p_3,p_4),\\ldots,(p_{4999},p_{5000})\\) i soedinim tochki kazhdoy takoy pary krasnym rebrom. zatem oboznachim tochki v poryadke vozrastaniya ordinaty cherez \\(q_1,q_2,\\ldots,q_{5000}\\), razobem ih na pary \\((q_1,q_2),(q_3,q_4),\\ldots,(q_{4999},q_{5000})\\) i soedinim tochki kazhdoy takoy pary sinim rebrom. pokazhem snachala, pochemu dostatochno postavit raznye chisla na kontsah kazhdogo krasnogo i kazhdogo sinego rebra. vozmem lyubuyu vertikalnuyu pryamuyu. tak kak nikakie dve tochki ne lezhat na odnoy vertikali, sleva ot etoy pryamoy nahodyatsya rovno pervye \\(m\\) tochek v poryadke vozrastaniya abstsissy pri nekotorom \\(m\\) ot 0 do 5000. esli \\(m\\) chetno, eti tochki razbivayutsya na tselye krasnye pary, a summa chisel v kazhdoy takoy pare ravna 0. esli \\(m\\) nechetno, sredi pervyh \\(m\\) tochek est…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2022-big-small-cities-spanning-forest-leaves","title":"Закрыть дороги и получить много листьев, СПбМО 2021/22, 8 класс, задача 5","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2022-big-small-cities-spanning-forest-leaves.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2022-big-small-cities-spanning-forest-leaves.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2022-big-small-cities-spanning-forest-leaves","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2021/22, 8 класс финальные условия","Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2021/22, 8 класс финальные решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","trees","degree_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"СПбМО 2021/22, заключительный этап, 8 класс, задача 5.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"решение определено как официальное или восстановленное по архиву; классификация не понижалась","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Большие и маленькие города","status":"ai_checked","text":"В стране много городов, среди них 500 больших, остальные маленькие. Некоторые пары городов соединены дорогами так, что из любого города можно проехать в любой другой. Существует не меньше 10000 маленьких городов, соединённых дорогой хотя бы с одним большим городом. Докажите, что можно закрыть несколько дорог так, чтобы из любого города всё равно можно было бы проехать в любой другой, и было бы более 9000 городов, из которых выходит по одной дороге.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Закрыть дороги и получить много листьев","status":"ai_checked","text":"В конечном связном простом графе выделены 500 больших вершин, остальные вершины считаются малыми. Есть как минимум 10000 малых вершин, смежных хотя бы с одной большой. Докажите, что можно удалить часть рёбер, сохранив связность графа, так чтобы больше 9000 вершин имели степень 1.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-spanning-forest","title":"Официальный остовный лес и восстановление связности","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","tree","degree","connected_graph","path","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать города вершинами, а дороги рёбрами связного графа. Больших вершин ровно 500. Обозначим через \\(S\\) множество малых вершин, которые смежны хотя бы с одной большой; по условию \\(|S|\\ge 10000\\). Сначала построим остовный лес с 500 компонентами, корнями которых будут большие города. Для каждой вершины \\(s\\in S\\) выберем одну большую соседнюю вершину \\(b(s)\\) и оставим ребро \\(sb(s)\\). Вместе с 500 большими вершинами эти рёбра образуют лес из звёзд: каждая вершина из \\(S\\) присоединена ровно к одному выбранному большому городу, а других рёбер пока нет, значит циклов нет и разные большие города лежат в разных компонентах. Если после этого остались вершины, ещё не вошедшие в лес, будем добавлять их по одной. Пока не все вершины добавлены, связность исходного графа гарантирует ребро между уже добавленной частью и ещё не добавленной вершиной: иначе множество добавленных вершин было…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2018-8-p7-spbmo-2022-big-small-road-repair-degree-control","neighbor_id":"spbmo-2018-8-p7-k4-edge-spanning-tree-few-degree2","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2022-big-small-cities-utyum-2025-important-cities","neighbor_id":"utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2022-big-small-cities-spanning-forest-leaves закрыть дороги и получить много листьев, спбмо 2021/22, 8 класс, задача 5 connectivity trees degree_counting goal_existence 2022 https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2021/246-sol-math-8-final-21-22.pdf https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2021/246-tasks-math-8-final-21-22.pdf olympiad_archive problem_and_solution spbmo spbmo2022 src-spbmo-2021-22-final-8-sol src-spbmo-2021-22-final-8-tasks with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2021/22, 8 класс финальные решения санкт-петербургская математическая олимпиада 2021/22, 8 класс финальные условия спбмо спбмо2022 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2021/22, 8 класс финальные условия санкт-петербургская математическая олимпиада 2021/22, 8 класс финальные решения stmt-original большие и маленькие города ai_checked в стране много городов, среди них 500 больших, остальные маленькие. некоторые пары городов соединены дорогами так, что из любого города можно проехать в любой другой. существует не меньше 10000 маленьких городов, соединённых дорогой хотя бы с одним большим городом. докажите, что можно закрыть несколько дорог так, чтобы из любого города всё равно можно было бы проехать в любой другой, и было бы более 9000 городов, из которых выходит по одной дороге. simple_graph connected_graph degree stmt-graph закрыть дороги и получить много листьев ai_checked в конечном связном простом графе выделены 500 больших вершин, остальные вершины считаются малыми. есть как минимум 10000 малых вершин, смежных хотя бы с одной большой. докажите, что можно удалить часть рёбер, сохранив связность графа, так чтобы больше 9000 вершин имели степень 1. simple_graph connected_graph degree idea-rooted-forest-preserve-many-leaves лес с корнями в больших городах официальное решение выбирает остовный лес из 500 деревьев с корнями в больших городах и помещает 10000 соседних с большими малых городов на первый ранг. в каждом корневом дереве разные вершины первого ранга имеют непересекающиеся нижние поддеревья, поэтому дают разные листья. после этого компоненты соединяются дорогами исходного графа, и каждое соединение может испортить не более двух прежних листьев. trees degree_counting connectivity ai_checked sol-official-spanning-forest официальный остовный лес и восстановление связности ai_checked simple_graph tree degree connected_graph path spanning_tree delete_to_simplify будем считать города вершинами, а дороги рёбрами связного графа. больших вершин ровно 500. обозначим через \\(s\\) множество малых вершин, которые смежны хотя бы с одной большой; по условию \\(|s|\\ge 10000\\). сначала построим остовный лес с 500 компонентами, корнями которых будут большие города. для каждой вершины \\(s\\in s\\) выберем одну большую соседнюю вершину \\(b(s)\\) и оставим ребро \\(sb(s)\\). вместе с 500 большими вершинами эти рёбра образуют лес из звёзд: каждая вершина из \\(s\\) присоединена ровно к одному выбранному большому городу, а других рёбер пока нет, значит циклов нет и разные большие города лежат в разных компонентах. если после этого остались вершины, ещё не вошедшие в лес, будем добавлять их по одной. пока не все вершины добавлены, связность исходного графа гарантирует ребро между уже добавленной частью и ещё не добавленной вершиной: иначе множество добавленных вершин было… spbmo-2022-big-small-cities-spanning-forest-leaves zakryt dorogi i poluchit mnogo listev, spbmo 2021/22, 8 klass, zadacha 5 connectivity trees degree_counting goal_existence 2022 https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2021/246-sol-math-8-final-21-22.pdf https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2021/246-tasks-math-8-final-21-22.pdf olympiad_archive problem_and_solution spbmo spbmo2022 src-spbmo-2021-22-final-8-sol src-spbmo-2021-22-final-8-tasks with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2021/22, 8 klass finalnye resheniya sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2021/22, 8 klass finalnye usloviya spbmo spbmo2022 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2021/22, 8 klass finalnye usloviya sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2021/22, 8 klass finalnye resheniya stmt-original bolshie i malenkie goroda ai_checked v strane mnogo gorodov, sredi nih 500 bolshih, ostalnye malenkie. nekotorye pary gorodov soedineny dorogami tak, chto iz lyubogo goroda mozhno proehat v lyuboy drugoy. suschestvuet ne menshe 10000 malenkih gorodov, soedinennyh dorogoy hotya by s odnim bolshim gorodom. dokazhite, chto mozhno zakryt neskolko dorog tak, chtoby iz lyubogo goroda vse ravno mozhno bylo by proehat v lyuboy drugoy, i bylo by bolee 9000 gorodov, iz kotoryh vyhodit po odnoy doroge. simple_graph connected_graph degree stmt-graph zakryt dorogi i poluchit mnogo listev ai_checked v konechnom svyaznom prostom grafe vydeleny 500 bolshih vershin, ostalnye vershiny schitayutsya malymi. est kak minimum 10000 malyh vershin, smezhnyh hotya by s odnoy bolshoy. dokazhite, chto mozhno udalit chast reber, sohraniv svyaznost grafa, tak chtoby bolshe 9000 vershin imeli stepen 1. simple_graph connected_graph degree idea-rooted-forest-preserve-many-leaves les s kornyami v bolshih gorodah ofitsialnoe reshenie vybiraet ostovnyy les iz 500 derevev s kornyami v bolshih gorodah i pomeschaet 10000 sosednih s bolshimi malyh gorodov na pervyy rang. v kazhdom kornevom dereve raznye vershiny pervogo ranga imeyut neperesekayuschiesya nizhnie podderevya, poetomu dayut raznye listya. posle etogo komponenty soedinyayutsya dorogami ishodnogo grafa, i kazhdoe soedinenie mozhet isportit ne bolee dvuh prezhnih listev. trees degree_counting connectivity ai_checked sol-official-spanning-forest ofitsialnyy ostovnyy les i vosstanovlenie svyaznosti ai_checked simple_graph tree degree connected_graph path spanning_tree delete_to_simplify budem schitat goroda vershinami, a dorogi rebrami svyaznogo grafa. bolshih vershin rovno 500. oboznachim cherez \\(s\\) mnozhestvo malyh vershin, kotorye smezhny hotya by s odnoy bolshoy; po usloviyu \\(|s|\\ge 10000\\). snachala postroim ostovnyy les s 500 komponentami, kornyami kotoryh budut bolshie goroda. dlya kazhdoy vershiny \\(s\\in s\\) vyberem odnu bolshuyu sosednyuyu vershinu \\(b(s)\\) i ostavim rebro \\(sb(s)\\). vmeste s 500 bolshimi vershinami eti rebra obrazuyut les iz zvezd: kazhdaya vershina iz \\(s\\) prisoedinena rovno k odnomu vybrannomu bolshomu gorodu, a drugih reber poka net, znachit tsiklov net i raznye bolshie goroda lezhat v raznyh komponentah. esli posle etogo ostalis vershiny, esche ne voshedshie v les, budem dobavlyat ih po odnoy. poka ne vse vershiny dobavleny, svyaznost ishodnogo grafa garantiruet rebro mezhdu uzhe dobavlennoy chastyu i esche ne dobavlennoy vershinoy: inache mnozhestvo dobavlennyh vershin bylo…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2022-eldorado-friendship-tree-potential","title":"Клуб Эльдорадо как дерево с числами на вершинах, СПбМО 2021/22, 10 класс, задача 7","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2022-eldorado-friendship-tree-potential.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2022-eldorado-friendship-tree-potential.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2022-eldorado-friendship-tree-potential","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2021/22, 10 класс финальные условия и решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","potential_function","induction","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"СПбМО 2021/22, заключительный этап, 10 класс, задача 7.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"решение определено как официальное или восстановленное по архиву; классификация не понижалась","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Пафнутий Копейко и неудачники","status":"ai_checked","text":"Питерский бизнес-клуб «Эльдорадо» был основан много лет назад знаменитым миллионером Пафнутием Копейко, который вначале был его единственным членом. Потом клуб только расширялся, но по правилам каждый новый эльдорадовец должен быть личным другом ровно одного из старых членов клуба. Бизнесмена называют неудачником, если его состояние не превосходит среднего арифметического состояний всех его друзей в клубе, увеличенного на 1 биткоин. Сегодня оказалось, что в клубе n+1 членов, все они неудачники, а сам Пафнутий вообще полностью разорён. Докажите, что состояние любого члена клуба не превосходит \\(n^2\\) биткоинов.","definition_ids":["tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Клуб Эльдорадо как дерево с числами на вершинах","status":"ai_checked","text":"На дереве с n+1 вершинами расставлены числа; одно число равно 0. Каждое число не превосходит среднего арифметического чисел в соседних вершинах плюс 1. Доказать, что все числа не превосходят \\(n^2\\).","definition_ids":["tree","degree","connected_graph","cycle","neighborhood"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-rooted-tree","title":"Решение через приращения на рёбрах дерева","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","path","degree","connected_graph","cycle","neighborhood"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала объясним, почему возникает дерево. В момент вступления каждого нового члена клуба соединим его ребром с тем единственным старым членом клуба, который обязан быть его личным другом по правилу вступления. Начинаем с одной вершины, а дальше каждый раз добавляем одну новую вершину и одно ребро к уже построенному графу, поэтому после всех вступлений получается связный граф без циклов, то есть дерево. Если два человека являются друзьями в клубе, они соединены ребром этого дерева; условие про неудачников ровно говорит, что для каждой вершины её число не превосходит среднего арифметического чисел во всех соседних вершинах плюс 1. Состояние Пафнутия равно 0, так что в дереве есть вершина с числом 0. Укореним дерево в вершине с числом 0 и направим все рёбра от корня. Для вершины v обозначим её число через f(v). Если ориентированное ребро идёт из a в b, назовём его приращением число x(ab)=…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2022-eldorado-fyum-2009-rooted-tree-subtree-induction","neighbor_id":"fyum-2009-tur3b-p7","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2022-eldorado-friendship-tree-potential клуб эльдорадо как дерево с числами на вершинах, спбмо 2021/22, 10 класс, задача 7 trees potential_function induction goal_bound 2022 https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2021/246-sol-math-10-final-21-22.pdf problem_and_solution spbmo spbmo2022 src-spbmo-2021-22-final-10-sol with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2021/22, 10 класс финальные условия и решения спбмо спбмо2022 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2021/22, 10 класс финальные условия и решения stmt-original пафнутий копейко и неудачники ai_checked питерский бизнес-клуб «эльдорадо» был основан много лет назад знаменитым миллионером пафнутием копейко, который вначале был его единственным членом. потом клуб только расширялся, но по правилам каждый новый эльдорадовец должен быть личным другом ровно одного из старых членов клуба. бизнесмена называют неудачником, если его состояние не превосходит среднего арифметического состояний всех его друзей в клубе, увеличенного на 1 биткоин. сегодня оказалось, что в клубе n+1 членов, все они неудачники, а сам пафнутий вообще полностью разорён. докажите, что состояние любого члена клуба не превосходит \\(n^2\\) биткоинов. tree stmt-graph клуб эльдорадо как дерево с числами на вершинах ai_checked на дереве с n+1 вершинами расставлены числа; одно число равно 0. каждое число не превосходит среднего арифметического чисел в соседних вершинах плюс 1. доказать, что все числа не превосходят \\(n^2\\). tree degree connected_graph cycle neighborhood idea-root-tree-edge-differences ориентировать дерево от нулевой вершины история вступлений образует дерево. дерево коренится в вершине с нулём, на рёбрах пишутся приращения чисел; локальное условие в вершине превращается в оценку входящего приращения через сумму исходящих. затем индукцией по размеру поддерева доказывается, что ребро в поддерево размера k имеет приращение не больше 2k-1. trees induction potential_function ai_checked sol-official-rooted-tree решение через приращения на рёбрах дерева ai_checked tree path degree connected_graph cycle neighborhood induction сначала объясним, почему возникает дерево. в момент вступления каждого нового члена клуба соединим его ребром с тем единственным старым членом клуба, который обязан быть его личным другом по правилу вступления. начинаем с одной вершины, а дальше каждый раз добавляем одну новую вершину и одно ребро к уже построенному графу, поэтому после всех вступлений получается связный граф без циклов, то есть дерево. если два человека являются друзьями в клубе, они соединены ребром этого дерева; условие про неудачников ровно говорит, что для каждой вершины её число не превосходит среднего арифметического чисел во всех соседних вершинах плюс 1. состояние пафнутия равно 0, так что в дереве есть вершина с числом 0. укореним дерево в вершине с числом 0 и направим все рёбра от корня. для вершины v обозначим её число через f(v). если ориентированное ребро идёт из a в b, назовём его приращением число x(ab)=… spbmo-2022-eldorado-friendship-tree-potential klub eldorado kak derevo s chislami na vershinah, spbmo 2021/22, 10 klass, zadacha 7 trees potential_function induction goal_bound 2022 https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/246/2021/246-sol-math-10-final-21-22.pdf problem_and_solution spbmo spbmo2022 src-spbmo-2021-22-final-10-sol with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2021/22, 10 klass finalnye usloviya i resheniya spbmo spbmo2022 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2021/22, 10 klass finalnye usloviya i resheniya stmt-original pafnutiy kopeyko i neudachniki ai_checked piterskiy biznes-klub «eldorado» byl osnovan mnogo let nazad znamenitym millionerom pafnutiem kopeyko, kotoryy vnachale byl ego edinstvennym chlenom. potom klub tolko rasshiryalsya, no po pravilam kazhdyy novyy eldoradovets dolzhen byt lichnym drugom rovno odnogo iz staryh chlenov kluba. biznesmena nazyvayut neudachnikom, esli ego sostoyanie ne prevoshodit srednego arifmeticheskogo sostoyaniy vseh ego druzey v klube, uvelichennogo na 1 bitkoin. segodnya okazalos, chto v klube n+1 chlenov, vse oni neudachniki, a sam pafnutiy voobsche polnostyu razoren. dokazhite, chto sostoyanie lyubogo chlena kluba ne prevoshodit \\(n^2\\) bitkoinov. tree stmt-graph klub eldorado kak derevo s chislami na vershinah ai_checked na dereve s n+1 vershinami rasstavleny chisla; odno chislo ravno 0. kazhdoe chislo ne prevoshodit srednego arifmeticheskogo chisel v sosednih vershinah plyus 1. dokazat, chto vse chisla ne prevoshodyat \\(n^2\\). tree degree connected_graph cycle neighborhood idea-root-tree-edge-differences orientirovat derevo ot nulevoy vershiny istoriya vstupleniy obrazuet derevo. derevo korenitsya v vershine s nulem, na rebrah pishutsya prirascheniya chisel; lokalnoe uslovie v vershine prevraschaetsya v otsenku vhodyaschego prirascheniya cherez summu ishodyaschih. zatem induktsiey po razmeru poddereva dokazyvaetsya, chto rebro v podderevo razmera k imeet priraschenie ne bolshe 2k-1. trees induction potential_function ai_checked sol-official-rooted-tree reshenie cherez prirascheniya na rebrah dereva ai_checked tree path degree connected_graph cycle neighborhood induction snachala obyasnim, pochemu voznikaet derevo. v moment vstupleniya kazhdogo novogo chlena kluba soedinim ego rebrom s tem edinstvennym starym chlenom kluba, kotoryy obyazan byt ego lichnym drugom po pravilu vstupleniya. nachinaem s odnoy vershiny, a dalshe kazhdyy raz dobavlyaem odnu novuyu vershinu i odno rebro k uzhe postroennomu grafu, poetomu posle vseh vstupleniy poluchaetsya svyaznyy graf bez tsiklov, to est derevo. esli dva cheloveka yavlyayutsya druzyami v klube, oni soedineny rebrom etogo dereva; uslovie pro neudachnikov rovno govorit, chto dlya kazhdoy vershiny ee chislo ne prevoshodit srednego arifmeticheskogo chisel vo vseh sosednih vershinah plyus 1. sostoyanie pafnutiya ravno 0, tak chto v dereve est vershina s chislom 0. ukorenim derevo v vershine s chislom 0 i napravim vse rebra ot kornya. dlya vershiny v oboznachim ee chislo cherez f(v). esli orientirovannoe rebro idet iz a v b, nazovem ego prirascheniem chislo x(ab)=…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2023-9-11-components-after-deleting-x-y","title":"Компоненты связности после удаления двух множеств вершин, СПбМО 2023, 11 класс, II тур, задача 7","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2023-9-11-components-after-deleting-x-y.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2023-9-11-components-after-deleting-x-y.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2023-9-11-components-after-deleting-x-y","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2023, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"СПбМО 2023, городской тур, 11 класс, задача 7. Чистая графовая задача с короткой идеей, но требуется аккуратно увидеть вспомогательный граф компонент и проверить точность.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В связном графе \\(G\\) даны два непересекающихся множества вершин \\(X\\) и \\(Y\\), между этими множествами нет ни одного ребра. Пусть в графе \\(G-X\\) ровно \\(m\\) компонент связности, а в графе \\(G-Y\\) ровно \\(n\\) компонент связности. Какое наименьшее количество компонент связности может быть в графе \\(G-(X\\cup Y)\\)? Напомним, что для множества вершин \\(W\\) через \\(G-W\\) обозначается граф, полученный из \\(G\\) в результате удаления всех вершин множества \\(W\\) и всех выходящих из них ребер.","definition_ids":["connected_graph","graph_cut"]}]},"solutions":[{"id":"sol-component-incidence-tree-bound","title":"Вспомогательный граф компонент","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","bipartite_graph","tree","graph_cut"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(m+n-1\\). Сначала докажем, что меньше быть не может. Пусть компоненты графа \\(G-X\\) обозначены через \\(A_1,\\ldots,A_m\\), а компоненты графа \\(G-Y\\) - через \\(B_1,\\ldots,B_n\\). Рассмотрим компоненты графа \\(H=G-(X\\cup Y)\\). Каждая такая компонента \\(C\\) целиком лежит ровно в одной компоненте \\(A_i\\) графа \\(G-X\\) и ровно в одной компоненте \\(B_j\\) графа \\(G-Y\\): при удалении только \\(X\\) вершины из \\(C\\) могут соединяться с другими вершинами только через вершины из \\(Y\\), а при удалении только \\(Y\\) - только через вершины из \\(X\\). Построим двудольный граф \\(T\\). В одной доле у него вершины \\(A_1,\\ldots,A_m\\), в другой - вершины \\(B_1,\\ldots,B_n\\). Для каждой компоненты \\(C\\) графа \\(H\\) проведем ребро между теми \\(A_i\\) и \\(B_j\\), которые содержат \\(C\\). Если несколько компонент дают одну и ту же пару, считаем их параллельными ребрами; для оценки это не мешает. Покажем, что \\(T\\…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2023-9-11-components-after-deleting-x-y компоненты связности после удаления двух множеств вершин, спбмо 2023, 11 класс, ii тур, задача 7 connectivity construction goal_exact_bound 2023 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2023/problems/c_911_23.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2023 src-spbmo-pdmi-2023-c911 with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2023, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2023 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2023, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original условие ai_checked в связном графе \\(g\\) даны два непересекающихся множества вершин \\(x\\) и \\(y\\), между этими множествами нет ни одного ребра. пусть в графе \\(g-x\\) ровно \\(m\\) компонент связности, а в графе \\(g-y\\) ровно \\(n\\) компонент связности. какое наименьшее количество компонент связности может быть в графе \\(g-(x\\cup y)\\)? напомним, что для множества вершин \\(w\\) через \\(g-w\\) обозначается граф, полученный из \\(g\\) в результате удаления всех вершин множества \\(w\\) и всех выходящих из них ребер. connected_graph graph_cut idea-component-incidence-bipartite-graph компоненты после двух удалений образуют двудольный граф инцидентности сжимаем каждую компоненту графа \\(g-(x\\cup y)\\) до ребра между той компонентой графа \\(g-x\\), в которой она лежит, и той компонентой графа \\(g-y\\), в которой она лежит. связность исходного графа превращается в связность этого вспомогательного двудольного графа. connectivity ai_checked idea-tree-construction-for-sharpness точность достигается на дереве инцидентности чтобы получить ровно \\(m+n-1\\) компонент после удаления \\(x\\cup y\\), достаточно взять дерево с \\(m\\) вершинами одной доли и \\(n\\) вершинами другой доли, а каждое его ребро заменить вершиной-компонентой между подходящими вершинами из \\(x\\) и \\(y\\). construction connectivity ai_checked sol-component-incidence-tree-bound вспомогательный граф компонент ai_checked connected_graph bipartite_graph tree graph_cut ответ: \\(m+n-1\\). сначала докажем, что меньше быть не может. пусть компоненты графа \\(g-x\\) обозначены через \\(a_1,\\ldots,a_m\\), а компоненты графа \\(g-y\\) - через \\(b_1,\\ldots,b_n\\). рассмотрим компоненты графа \\(h=g-(x\\cup y)\\). каждая такая компонента \\(c\\) целиком лежит ровно в одной компоненте \\(a_i\\) графа \\(g-x\\) и ровно в одной компоненте \\(b_j\\) графа \\(g-y\\): при удалении только \\(x\\) вершины из \\(c\\) могут соединяться с другими вершинами только через вершины из \\(y\\), а при удалении только \\(y\\) - только через вершины из \\(x\\). построим двудольный граф \\(t\\). в одной доле у него вершины \\(a_1,\\ldots,a_m\\), в другой - вершины \\(b_1,\\ldots,b_n\\). для каждой компоненты \\(c\\) графа \\(h\\) проведем ребро между теми \\(a_i\\) и \\(b_j\\), которые содержат \\(c\\). если несколько компонент дают одну и ту же пару, считаем их параллельными ребрами; для оценки это не мешает. покажем, что \\(t\\… spbmo-2023-9-11-components-after-deleting-x-y komponenty svyaznosti posle udaleniya dvuh mnozhestv vershin, spbmo 2023, 11 klass, ii tur, zadacha 7 connectivity construction goal_exact_bound 2023 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2023/problems/c_911_23.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2023 src-spbmo-pdmi-2023-c911 with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2023, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2023 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2023, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original uslovie ai_checked v svyaznom grafe \\(g\\) dany dva neperesekayuschihsya mnozhestva vershin \\(x\\) i \\(y\\), mezhdu etimi mnozhestvami net ni odnogo rebra. pust v grafe \\(g-x\\) rovno \\(m\\) komponent svyaznosti, a v grafe \\(g-y\\) rovno \\(n\\) komponent svyaznosti. kakoe naimenshee kolichestvo komponent svyaznosti mozhet byt v grafe \\(g-(x\\cup y)\\)? napomnim, chto dlya mnozhestva vershin \\(w\\) cherez \\(g-w\\) oboznachaetsya graf, poluchennyy iz \\(g\\) v rezultate udaleniya vseh vershin mnozhestva \\(w\\) i vseh vyhodyaschih iz nih reber. connected_graph graph_cut idea-component-incidence-bipartite-graph komponenty posle dvuh udaleniy obrazuyut dvudolnyy graf intsidentnosti szhimaem kazhduyu komponentu grafa \\(g-(x\\cup y)\\) do rebra mezhdu toy komponentoy grafa \\(g-x\\), v kotoroy ona lezhit, i toy komponentoy grafa \\(g-y\\), v kotoroy ona lezhit. svyaznost ishodnogo grafa prevraschaetsya v svyaznost etogo vspomogatelnogo dvudolnogo grafa. connectivity ai_checked idea-tree-construction-for-sharpness tochnost dostigaetsya na dereve intsidentnosti chtoby poluchit rovno \\(m+n-1\\) komponent posle udaleniya \\(x\\cup y\\), dostatochno vzyat derevo s \\(m\\) vershinami odnoy doli i \\(n\\) vershinami drugoy doli, a kazhdoe ego rebro zamenit vershinoy-komponentoy mezhdu podhodyaschimi vershinami iz \\(x\\) i \\(y\\). construction connectivity ai_checked sol-component-incidence-tree-bound vspomogatelnyy graf komponent ai_checked connected_graph bipartite_graph tree graph_cut otvet: \\(m+n-1\\). snachala dokazhem, chto menshe byt ne mozhet. pust komponenty grafa \\(g-x\\) oboznacheny cherez \\(a_1,\\ldots,a_m\\), a komponenty grafa \\(g-y\\) - cherez \\(b_1,\\ldots,b_n\\). rassmotrim komponenty grafa \\(h=g-(x\\cup y)\\). kazhdaya takaya komponenta \\(c\\) tselikom lezhit rovno v odnoy komponente \\(a_i\\) grafa \\(g-x\\) i rovno v odnoy komponente \\(b_j\\) grafa \\(g-y\\): pri udalenii tolko \\(x\\) vershiny iz \\(c\\) mogut soedinyatsya s drugimi vershinami tolko cherez vershiny iz \\(y\\), a pri udalenii tolko \\(y\\) - tolko cherez vershiny iz \\(x\\). postroim dvudolnyy graf \\(t\\). v odnoy dole u nego vershiny \\(a_1,\\ldots,a_m\\), v drugoy - vershiny \\(b_1,\\ldots,b_n\\). dlya kazhdoy komponenty \\(c\\) grafa \\(h\\) provedem rebro mezhdu temi \\(a_i\\) i \\(b_j\\), kotorye soderzhat \\(c\\). esli neskolko komponent dayut odnu i tu zhe paru, schitaem ih parallelnymi rebrami; dlya otsenki eto ne meshaet. pokazhem, chto \\(t\\…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2024-6-8-atomized-city-acquaintance-pairs","title":"Максимум пар знакомых в атомизированном городе, СПбМО 2024, 8 класс","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2024-6-8-atomized-city-acquaintance-pairs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2024-6-8-atomized-city-acquaintance-pairs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2024-6-8-atomized-city-acquaintance-pairs","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 6-8 классы официальный PDF"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","extremal_graph_theory","trees","induction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"СПбМО 2024, городской тур 6-8 классов, задача 5 выводной аудитории 8 класса. Конструкция естественная, но верхняя оценка требует аккуратной индукции по компонентам локально разреженного графа.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Город с населением в миллион человек называется атомизированным, если среди любых 1000 жителей не более чем 998 пар знакомых. Каково наибольшее возможное общее количество пар знакомых в атомизированном городе?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Максимум пар знакомых в атомизированном городе","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф на \\(1\\,000\\,000\\) вершинах. Известно, что любые \\(1000\\) вершин графа \\(G\\) индуцируют не более \\(998\\) рёбер. Найдите наибольшее возможное значение \\(e(G)\\).","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-local-sparsity-forest-bound","title":"Решение через разреженность каждых 1000 вершин","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","tree","cycle"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(998998\\). Сначала построим пример. Разобьём \\(999999\\) жителей на \\(1001\\) группу по \\(999\\) человек, а последнего жителя оставим отдельно. В каждой группе по \\(999\\) человек устроим знакомства так, чтобы граф знакомств внутри группы был деревом: например, можно выбрать одного человека и познакомить его со всеми остальными из этой группы. Между разными группами знакомств нет. В каждой из \\(1001\\) больших групп получилось \\(998\\) пар знакомых, поэтому всего пар знакомых \\[ 1001\\cdot 998=998998. \\] Проверим условие атомизированности. Возьмём любых \\(1000\\) жителей. В одной компоненте нашего леса не может лежать больше \\(999\\) выбранных жителей, значит выбранные жители встречаются как минимум в двух компонентах. В лесу на \\(1000\\) вершинах, разбитом хотя бы на две непустые компоненты, число рёбер не больше \\(1000-2=998\\). Поэтому построенный город подходит. Осталось доказать, что…"}],"relations":[],"search_text":"spbmo-2024-6-8-atomized-city-acquaintance-pairs максимум пар знакомых в атомизированном городе, спбмо 2024, 8 класс graph_model extremal_graph_theory trees induction goal_exact_bound 2024 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2024/problems/c_68_24.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2024 src-spbmo-pdmi-2024-c68 with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 6-8 классы официальный pdf спбмо спбмо2024 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 6-8 классы официальный pdf stmt-original условие source_verified город с населением в миллион человек называется атомизированным, если среди любых 1000 жителей не более чем 998 пар знакомых. каково наибольшее возможное общее количество пар знакомых в атомизированном городе? stmt-graph максимум пар знакомых в атомизированном городе ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф на \\(1\\,000\\,000\\) вершинах. известно, что любые \\(1000\\) вершин графа \\(g\\) индуцируют не более \\(998\\) рёбер. найдите наибольшее возможное значение \\(e(g)\\). simple_graph idea-forest-construction лес из почти тысячных компонент если граф знакомств является лесом, все компоненты которого имеют не более 999 вершин, то любые 1000 выбранных вершин лежат как минимум в двух компонентах и потому индуцируют не более 998 рёбер. чтобы получить много рёбер, надо взять как можно меньше таких компонент. trees extremal_graph_theory goal_construction ai_checked idea-local-sparsity-induction локальная разреженность даёт удаляемую древесную компоненту для общей оценки используется лемма: если каждые \\(k\\) вершин графа индуцируют не более \\(k-2\\) рёбер, то всего рёбер не больше \\(n-\\lceil n/(k-1)\\rceil\\). ключевой шаг индукции: пока вершин хотя бы \\(k\\), в графе есть компонента-дерево; иначе из циклических компонент можно набрать \\(k\\) вершин с как минимум \\(k-1\\) рёбрами. induction trees extremal_graph_theory ai_checked sol-local-sparsity-forest-bound решение через разреженность каждых 1000 вершин ai_checked simple_graph connected_graph tree cycle delete_to_simplify induction ответ: \\(998998\\). сначала построим пример. разобьём \\(999999\\) жителей на \\(1001\\) группу по \\(999\\) человек, а последнего жителя оставим отдельно. в каждой группе по \\(999\\) человек устроим знакомства так, чтобы граф знакомств внутри группы был деревом: например, можно выбрать одного человека и познакомить его со всеми остальными из этой группы. между разными группами знакомств нет. в каждой из \\(1001\\) больших групп получилось \\(998\\) пар знакомых, поэтому всего пар знакомых \\[ 1001\\cdot 998=998998. \\] проверим условие атомизированности. возьмём любых \\(1000\\) жителей. в одной компоненте нашего леса не может лежать больше \\(999\\) выбранных жителей, значит выбранные жители встречаются как минимум в двух компонентах. в лесу на \\(1000\\) вершинах, разбитом хотя бы на две непустые компоненты, число рёбер не больше \\(1000-2=998\\). поэтому построенный город подходит. осталось доказать, что… spbmo-2024-6-8-atomized-city-acquaintance-pairs maksimum par znakomyh v atomizirovannom gorode, spbmo 2024, 8 klass graph_model extremal_graph_theory trees induction goal_exact_bound 2024 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2024/problems/c_68_24.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2024 src-spbmo-pdmi-2024-c68 with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2024, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2024 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2024, gorodskoy tur 6-8 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original uslovie source_verified gorod s naseleniem v million chelovek nazyvaetsya atomizirovannym, esli sredi lyubyh 1000 zhiteley ne bolee chem 998 par znakomyh. kakovo naibolshee vozmozhnoe obschee kolichestvo par znakomyh v atomizirovannom gorode? stmt-graph maksimum par znakomyh v atomizirovannom gorode ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf na \\(1\\,000\\,000\\) vershinah. izvestno, chto lyubye \\(1000\\) vershin grafa \\(g\\) indutsiruyut ne bolee \\(998\\) reber. naydite naibolshee vozmozhnoe znachenie \\(e(g)\\). simple_graph idea-forest-construction les iz pochti tysyachnyh komponent esli graf znakomstv yavlyaetsya lesom, vse komponenty kotorogo imeyut ne bolee 999 vershin, to lyubye 1000 vybrannyh vershin lezhat kak minimum v dvuh komponentah i potomu indutsiruyut ne bolee 998 reber. chtoby poluchit mnogo reber, nado vzyat kak mozhno menshe takih komponent. trees extremal_graph_theory goal_construction ai_checked idea-local-sparsity-induction lokalnaya razrezhennost daet udalyaemuyu drevesnuyu komponentu dlya obschey otsenki ispolzuetsya lemma: esli kazhdye \\(k\\) vershin grafa indutsiruyut ne bolee \\(k-2\\) reber, to vsego reber ne bolshe \\(n-\\lceil n/(k-1)\\rceil\\). klyuchevoy shag induktsii: poka vershin hotya by \\(k\\), v grafe est komponenta-derevo; inache iz tsiklicheskih komponent mozhno nabrat \\(k\\) vershin s kak minimum \\(k-1\\) rebrami. induction trees extremal_graph_theory ai_checked sol-local-sparsity-forest-bound reshenie cherez razrezhennost kazhdyh 1000 vershin ai_checked simple_graph connected_graph tree cycle delete_to_simplify induction otvet: \\(998998\\). snachala postroim primer. razobem \\(999999\\) zhiteley na \\(1001\\) gruppu po \\(999\\) chelovek, a poslednego zhitelya ostavim otdelno. v kazhdoy gruppe po \\(999\\) chelovek ustroim znakomstva tak, chtoby graf znakomstv vnutri gruppy byl derevom: naprimer, mozhno vybrat odnogo cheloveka i poznakomit ego so vsemi ostalnymi iz etoy gruppy. mezhdu raznymi gruppami znakomstv net. v kazhdoy iz \\(1001\\) bolshih grupp poluchilos \\(998\\) par znakomyh, poetomu vsego par znakomyh \\[ 1001\\cdot 998=998998. \\] proverim uslovie atomizirovannosti. vozmem lyubyh \\(1000\\) zhiteley. v odnoy komponente nashego lesa ne mozhet lezhat bolshe \\(999\\) vybrannyh zhiteley, znachit vybrannye zhiteli vstrechayutsya kak minimum v dvuh komponentah. v lesu na \\(1000\\) vershinah, razbitom hotya by na dve nepustye komponenty, chislo reber ne bolshe \\(1000-2=998\\). poetomu postroennyy gorod podhodit. ostalos dokazat, chto…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts","title":"Разбиение связного метро на простые линии с ограничением пересадок, СПбМО 2024, 9 класс","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","trees","connectivity","construction","induction","extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":9,"comment":"Задача 7 городского тура СПбМО 2024 для 9 класса. Условие короткое, но точная граница требует аккуратного анализа разбиений дерева на пути через локальные склейки рёбер и ранги ветвей; опубликованный разбор не найден.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.76,"basis":"проход высокой сложности со сверкой с парной карточкой и внутренним аудитом доказательства","notes":"Официальный или авторский разбор не найден; решение реконструировано через ранги ветвей дерева и точную экстремальную конструкцию.","audit_source":"manual-high-reasoning-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"В очень большом Городе строят метро: много станций, некоторые пары которых соединены тоннелями, причем от любой станции можно добраться по тоннелям до любой другой. Все тоннели метро требуется разбить на <<линии>>: каждая линия состоит из нескольких последовательных тоннелей, все станции в которых различны (в частности, линия не должна быть кольцевой); допускаются и линии, состоящие из одного тоннеля. По закону требуется, чтобы от любой станции до любой другой можно было доехать, сделав не более 100 пересадок с линии на линию. При каком наибольшем \\(N\\) любое связное метро с \\(N\\) станциями можно разбить на линии, соблюдая закон?","definition_ids":["connected_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разбиение связного метро на простые линии с ограничением пересадок","status":"ai_checked","text":"Найдите наибольшее \\(N\\), для которого у любого связного простого графа \\(G\\) на \\(N\\) вершинах существует разбиение множества рёбер на простые пути такое, что для любых двух вершин \\(u,v\\) можно пройти из \\(u\\) в \\(v\\), сменив путь разбиения не более 100 раз. Рёбра вне выбранного маршрута также должны входить ровно в один путь разбиения.","definition_ids":["connected_graph","path","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-branch-rank-exact-threshold","title":"Ответ \\(3\\cdot 2^{51}-3\\): ранги ветвей дерева","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","simple_graph","path","tree","spanning_tree","matching","degree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","extremal_choice","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(3\\cdot 2^{51}-3=6755399441055741\\). Сначала перейдём к графам. Станции будем считать вершинами, тоннели — рёбрами. Для верхней оценки достаточно выбрать остовное дерево: если его рёбра разбиты на подходящие линии, то остальные рёбра исходного графа можно сделать однотоннельными линиями и просто не пользоваться ими при поездках. Поэтому дальше решаем задачу для деревьев. В дереве разбиение рёбер на линии удобно понимать локально: в каждой вершине некоторые пары инцидентных рёбер склеены в одну линию, а каждое ребро участвует не более чем в одной такой склейке с каждой стороны. При движении по единственному пути между двумя вершинами пересадка происходит ровно в тех внутренних вершинах пути, где две соседние стороны пути не склеены. Нам понадобится лемма о рангах ветвей дерева. Для ориентированного ребра \\(xy\\) рассмотрим компоненту, содержащую \\(y\\), после удаления ребра \\(xy\\).…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo2024-metric-path-shortcuts-metro-lines-same-source","neighbor_id":"spbmo-2024-9-11-metro-lines-transfer-bound","direction":"forward","type":"same_source","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-properties-spbmo2024-metric-path-shortcuts","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo2024-metric-path-shortcuts-tree-matching-extremal","neighbor_id":"tree-near-perfect-matchings-path-extremal","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts разбиение связного метро на простые линии с ограничением пересадок, спбмо 2024, 9 класс graph_model trees connectivity construction induction extremal_choice goal_exact_bound 2024 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2024/problems/c_911_24.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2024 src-spbmo-pdmi-2024-c911 with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2024 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original условие source_verified в очень большом городе строят метро: много станций, некоторые пары которых соединены тоннелями, причем от любой станции можно добраться по тоннелям до любой другой. все тоннели метро требуется разбить на <<линии>>: каждая линия состоит из нескольких последовательных тоннелей, все станции в которых различны (в частности, линия не должна быть кольцевой); допускаются и линии, состоящие из одного тоннеля. по закону требуется, чтобы от любой станции до любой другой можно было доехать, сделав не более 100 пересадок с линии на линию. при каком наибольшем \\(n\\) любое связное метро с \\(n\\) станциями можно разбить на линии, соблюдая закон? connected_graph path stmt-graph разбиение связного метро на простые линии с ограничением пересадок ai_checked найдите наибольшее \\(n\\), для которого у любого связного простого графа \\(g\\) на \\(n\\) вершинах существует разбиение множества рёбер на простые пути такое, что для любых двух вершин \\(u,v\\) можно пройти из \\(u\\) в \\(v\\), сменив путь разбиения не более 100 раз. рёбра вне выбранного маршрута также должны входить ровно в один путь разбиения. connected_graph path simple_graph idea-spanning-tree-reduction достаточно разбить остовное дерево для верхней оценки выбираем остовное дерево и строим хорошие линии только на его рёбрах; все остальные тоннели можно объявить однотоннельными линиями и не использовать в маршрутах. контрпример также является деревом. trees construction graph_model ai_checked idea-local-pairings линии дерева задаются попарными склейками рёбер в вершинах в дереве разбиение рёбер на простые пути эквивалентно выбору в каждой вершине непересекающихся пар инцидентных рёбер, которые принадлежат одной линии. пересадка на маршруте происходит ровно там, где две соседние рёберные линии не склеены в такую пару. trees construction graph_model ai_checked idea-branch-rank-threshold ранги ветвей дают точную границу для ориентированной ветви дерева вводится ранг: ранг листовой ветви равен 0, а дальше он равен \\(\\max(a_1,a_2+1)\\), где \\(a_1\\ge a_2\\) — два наибольших ранга следующих ветвей. ветвь ранга \\(s\\) содержит не меньше \\(2^{s+1}-1\\) вершин, а три ветви ранга 50 в одной вершине уже вынуждают 101 пересадку между подходящими листьями. induction trees goal_exact_bound ai_checked sol-branch-rank-exact-threshold ответ \\(3\\cdot 2^{51}-3\\): ранги ветвей дерева ai_checked connected_graph simple_graph path tree spanning_tree matching degree delete_to_simplify extremal_choice induction ответ: \\(3\\cdot 2^{51}-3=6755399441055741\\). сначала перейдём к графам. станции будем считать вершинами, тоннели — рёбрами. для верхней оценки достаточно выбрать остовное дерево: если его рёбра разбиты на подходящие линии, то остальные рёбра исходного графа можно сделать однотоннельными линиями и просто не пользоваться ими при поездках. поэтому дальше решаем задачу для деревьев. в дереве разбиение рёбер на линии удобно понимать локально: в каждой вершине некоторые пары инцидентных рёбер склеены в одну линию, а каждое ребро участвует не более чем в одной такой склейке с каждой стороны. при движении по единственному пути между двумя вершинами пересадка происходит ровно в тех внутренних вершинах пути, где две соседние стороны пути не склеены. нам понадобится лемма о рангах ветвей дерева. для ориентированного ребра \\(xy\\) рассмотрим компоненту, содержащую \\(y\\), после удаления ребра \\(xy\\).… spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts razbienie svyaznogo metro na prostye linii s ogranicheniem peresadok, spbmo 2024, 9 klass graph_model trees connectivity construction induction extremal_choice goal_exact_bound 2024 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2024/problems/c_911_24.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2024 src-spbmo-pdmi-2024-c911 with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2024, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2024 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2024, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original uslovie source_verified v ochen bolshom gorode stroyat metro: mnogo stantsiy, nekotorye pary kotoryh soedineny tonnelyami, prichem ot lyuboy stantsii mozhno dobratsya po tonnelyam do lyuboy drugoy. vse tonneli metro trebuetsya razbit na <<linii>>: kazhdaya liniya sostoit iz neskolkih posledovatelnyh tonneley, vse stantsii v kotoryh razlichny (v chastnosti, liniya ne dolzhna byt koltsevoy); dopuskayutsya i linii, sostoyaschie iz odnogo tonnelya. po zakonu trebuetsya, chtoby ot lyuboy stantsii do lyuboy drugoy mozhno bylo doehat, sdelav ne bolee 100 peresadok s linii na liniyu. pri kakom naibolshem \\(n\\) lyuboe svyaznoe metro s \\(n\\) stantsiyami mozhno razbit na linii, soblyudaya zakon? connected_graph path stmt-graph razbienie svyaznogo metro na prostye linii s ogranicheniem peresadok ai_checked naydite naibolshee \\(n\\), dlya kotorogo u lyubogo svyaznogo prostogo grafa \\(g\\) na \\(n\\) vershinah suschestvuet razbienie mnozhestva reber na prostye puti takoe, chto dlya lyubyh dvuh vershin \\(u,v\\) mozhno proyti iz \\(u\\) v \\(v\\), smeniv put razbieniya ne bolee 100 raz. rebra vne vybrannogo marshruta takzhe dolzhny vhodit rovno v odin put razbieniya. connected_graph path simple_graph idea-spanning-tree-reduction dostatochno razbit ostovnoe derevo dlya verhney otsenki vybiraem ostovnoe derevo i stroim horoshie linii tolko na ego rebrah; vse ostalnye tonneli mozhno obyavit odnotonnelnymi liniyami i ne ispolzovat v marshrutah. kontrprimer takzhe yavlyaetsya derevom. trees construction graph_model ai_checked idea-local-pairings linii dereva zadayutsya poparnymi skleykami reber v vershinah v dereve razbienie reber na prostye puti ekvivalentno vyboru v kazhdoy vershine neperesekayuschihsya par intsidentnyh reber, kotorye prinadlezhat odnoy linii. peresadka na marshrute proishodit rovno tam, gde dve sosednie rebernye linii ne skleeny v takuyu paru. trees construction graph_model ai_checked idea-branch-rank-threshold rangi vetvey dayut tochnuyu granitsu dlya orientirovannoy vetvi dereva vvoditsya rang: rang listovoy vetvi raven 0, a dalshe on raven \\(\\max(a_1,a_2+1)\\), gde \\(a_1\\ge a_2\\) — dva naibolshih ranga sleduyuschih vetvey. vetv ranga \\(s\\) soderzhit ne menshe \\(2^{s+1}-1\\) vershin, a tri vetvi ranga 50 v odnoy vershine uzhe vynuzhdayut 101 peresadku mezhdu podhodyaschimi listyami. induction trees goal_exact_bound ai_checked sol-branch-rank-exact-threshold otvet \\(3\\cdot 2^{51}-3\\): rangi vetvey dereva ai_checked connected_graph simple_graph path tree spanning_tree matching degree delete_to_simplify extremal_choice induction otvet: \\(3\\cdot 2^{51}-3=6755399441055741\\). snachala pereydem k grafam. stantsii budem schitat vershinami, tonneli — rebrami. dlya verhney otsenki dostatochno vybrat ostovnoe derevo: esli ego rebra razbity na podhodyaschie linii, to ostalnye rebra ishodnogo grafa mozhno sdelat odnotonnelnymi liniyami i prosto ne polzovatsya imi pri poezdkah. poetomu dalshe reshaem zadachu dlya derevev. v dereve razbienie reber na linii udobno ponimat lokalno: v kazhdoy vershine nekotorye pary intsidentnyh reber skleeny v odnu liniyu, a kazhdoe rebro uchastvuet ne bolee chem v odnoy takoy skleyke s kazhdoy storony. pri dvizhenii po edinstvennomu puti mezhdu dvumya vershinami peresadka proishodit rovno v teh vnutrennih vershinah puti, gde dve sosednie storony puti ne skleeny. nam ponadobitsya lemma o rangah vetvey dereva. dlya orientirovannogo rebra \\(xy\\) rassmotrim komponentu, soderzhaschuyu \\(y\\), posle udaleniya rebra \\(xy\\).…","source_keys":["spbmo"]}
{"id":"spbmo-2024-9-11-metro-lines-transfer-bound","title":"Разбиение связного метро на простые линии с ограничением числа пересадок, СПбМО 2024, 9 класс","path":"data\\problems\\spbmo\\spbmo-2024-9-11-metro-lines-transfer-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/spbmo/spbmo-2024-9-11-metro-lines-transfer-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#spbmo-2024-9-11-metro-lines-transfer-bound","source_key":"spbmo","source_label":"СПбМО","source_titles":["Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 9-11 классы официальный PDF"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","trees","connectivity","construction","induction","extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":9,"comment":"Задача 7 городского тура СПбМО 2024 для 9 класса. Условие короткое, но точная граница требует аккуратного анализа разбиений дерева на пути через локальные склейки рёбер и ранги ветвей; опубликованный разбор не найден.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.74,"basis":"проход очень высокой сложности с локальными переборными проверками на малых деревьях и аудитом официального условия и источника","notes":"Официальный или авторский разбор не найден; решение реконструировано через ранги ветвей дерева и точную экстремальную конструкцию."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"В очень большом Городе строят метро: много станций, некоторые пары которых соединены тоннелями, причем от любой станции можно добраться по тоннелям до любой другой. Все тоннели метро требуется разбить на <<линии>>: каждая линия состоит из нескольких последовательных тоннелей, все станции в которых различны (в частности, линия не должна быть кольцевой); допускаются и линии, состоящие из одного тоннеля. По закону требуется, чтобы от любой станции до любой другой можно было доехать, сделав не более 100 пересадок с линии на линию. При каком наибольшем \\(N\\) любое связное метро с \\(N\\) станциями можно разбить на линии, соблюдая закон?","definition_ids":["connected_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разбиение связного метро на простые линии с ограничением числа пересадок","status":"ai_checked","text":"Найдите наибольшее \\(N\\), для которого у любого связного простого графа \\(G\\) на \\(N\\) вершинах существует разбиение множества рёбер на простые пути такое, что для любых двух вершин \\(u,v\\) можно пройти из \\(u\\) в \\(v\\), сменив путь разбиения не более 100 раз. Рёбра вне выбранного маршрута также должны входить ровно в один путь разбиения.","definition_ids":["connected_graph","path","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-branch-rank-exact-threshold","title":"Ответ \\(3\\cdot 2^{51}-3\\): ранги ветвей дерева","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","simple_graph","path","tree","spanning_tree","matching","degree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","extremal_choice","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(3\\cdot 2^{51}-3=6755399441055741\\). Сначала перейдём к графам. Станции будем считать вершинами, тоннели — рёбрами. Для верхней оценки достаточно выбрать остовное дерево: если его рёбра разбиты на подходящие линии, то остальные рёбра исходного графа можно сделать однотоннельными линиями и просто не пользоваться ими при поездках. Поэтому дальше решаем задачу для деревьев. В дереве разбиение рёбер на линии удобно понимать локально: в каждой вершине некоторые пары инцидентных рёбер склеены в одну линию, а каждое ребро участвует не более чем в одной такой склейке с каждой стороны. При движении по единственному пути между двумя вершинами пересадка происходит ровно в тех внутренних вершинах пути, где две соседние стороны пути не склеены. Нам понадобится стандартная лемма о рангах ветвей дерева. Для ориентированного ребра \\(xy\\) рассмотрим компоненту, содержащую \\(y\\), после удаления р…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo2024-metric-path-shortcuts-metro-lines-same-source","neighbor_id":"spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts","direction":"backward","type":"same_source","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"spbmo-2024-9-11-metro-lines-transfer-bound разбиение связного метро на простые линии с ограничением числа пересадок, спбмо 2024, 9 класс graph_model trees connectivity construction induction extremal_choice goal_exact_bound 2024 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2024/problems/c_911_24.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2024 src-spbmo-pdmi-2024-c911 with_solution санкт-петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 9-11 классы официальный pdf спбмо спбмо2024 unknown санкт-петербургская математическая олимпиада 2024, городской тур 9-11 классы официальный pdf stmt-original оригинальная формулировка source_verified в очень большом городе строят метро: много станций, некоторые пары которых соединены тоннелями, причем от любой станции можно добраться по тоннелям до любой другой. все тоннели метро требуется разбить на <<линии>>: каждая линия состоит из нескольких последовательных тоннелей, все станции в которых различны (в частности, линия не должна быть кольцевой); допускаются и линии, состоящие из одного тоннеля. по закону требуется, чтобы от любой станции до любой другой можно было доехать, сделав не более 100 пересадок с линии на линию. при каком наибольшем \\(n\\) любое связное метро с \\(n\\) станциями можно разбить на линии, соблюдая закон? connected_graph path stmt-graph разбиение связного метро на простые линии с ограничением числа пересадок ai_checked найдите наибольшее \\(n\\), для которого у любого связного простого графа \\(g\\) на \\(n\\) вершинах существует разбиение множества рёбер на простые пути такое, что для любых двух вершин \\(u,v\\) можно пройти из \\(u\\) в \\(v\\), сменив путь разбиения не более 100 раз. рёбра вне выбранного маршрута также должны входить ровно в один путь разбиения. connected_graph path simple_graph idea-spanning-tree-reduction достаточно разбить остовное дерево для верхней оценки выбираем остовное дерево и строим хорошие линии только на его рёбрах; все остальные тоннели можно объявить однотоннельными линиями и не использовать в маршрутах. контрпример также является деревом. trees construction graph_model ai_checked idea-local-pairings линии дерева задаются попарными склейками рёбер в вершинах в дереве разбиение рёбер на простые пути эквивалентно выбору в каждой вершине непересекающихся пар инцидентных рёбер, которые принадлежат одной линии. пересадка на маршруте происходит ровно там, где две соседние рёберные линии не склеены в такую пару. trees construction graph_model ai_checked idea-branch-rank-threshold ранги ветвей дают точную границу для ориентированной ветви дерева вводится ранг: ранг листовой ветви равен 0, а дальше он равен \\(\\max(a_1,a_2+1)\\), где \\(a_1\\ge a_2\\) — два наибольших ранга следующих ветвей. ветвь ранга \\(s\\) содержит не меньше \\(2^{s+1}-1\\) вершин, а три ветви ранга 50 в одной вершине уже вынуждают 101 пересадку между подходящими листьями. induction trees goal_exact_bound ai_checked sol-branch-rank-exact-threshold ответ \\(3\\cdot 2^{51}-3\\): ранги ветвей дерева ai_checked connected_graph simple_graph path tree spanning_tree matching degree delete_to_simplify extremal_choice induction ответ: \\(3\\cdot 2^{51}-3=6755399441055741\\). сначала перейдём к графам. станции будем считать вершинами, тоннели — рёбрами. для верхней оценки достаточно выбрать остовное дерево: если его рёбра разбиты на подходящие линии, то остальные рёбра исходного графа можно сделать однотоннельными линиями и просто не пользоваться ими при поездках. поэтому дальше решаем задачу для деревьев. в дереве разбиение рёбер на линии удобно понимать локально: в каждой вершине некоторые пары инцидентных рёбер склеены в одну линию, а каждое ребро участвует не более чем в одной такой склейке с каждой стороны. при движении по единственному пути между двумя вершинами пересадка происходит ровно в тех внутренних вершинах пути, где две соседние стороны пути не склеены. нам понадобится стандартная лемма о рангах ветвей дерева. для ориентированного ребра \\(xy\\) рассмотрим компоненту, содержащую \\(y\\), после удаления р… spbmo-2024-9-11-metro-lines-transfer-bound razbienie svyaznogo metro na prostye linii s ogranicheniem chisla peresadok, spbmo 2024, 9 klass graph_model trees connectivity construction induction extremal_choice goal_exact_bound 2024 https://www.pdmi.ras.ru/~olymp/2024/problems/c_911_24.pdf olympiad_archive spbmo spbmo2024 src-spbmo-pdmi-2024-c911 with_solution sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2024, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf spbmo spbmo2024 unknown sankt-peterburgskaya matematicheskaya olimpiada 2024, gorodskoy tur 9-11 klassy ofitsialnyy pdf stmt-original originalnaya formulirovka source_verified v ochen bolshom gorode stroyat metro: mnogo stantsiy, nekotorye pary kotoryh soedineny tonnelyami, prichem ot lyuboy stantsii mozhno dobratsya po tonnelyam do lyuboy drugoy. vse tonneli metro trebuetsya razbit na <<linii>>: kazhdaya liniya sostoit iz neskolkih posledovatelnyh tonneley, vse stantsii v kotoryh razlichny (v chastnosti, liniya ne dolzhna byt koltsevoy); dopuskayutsya i linii, sostoyaschie iz odnogo tonnelya. po zakonu trebuetsya, chtoby ot lyuboy stantsii do lyuboy drugoy mozhno bylo doehat, sdelav ne bolee 100 peresadok s linii na liniyu. pri kakom naibolshem \\(n\\) lyuboe svyaznoe metro s \\(n\\) stantsiyami mozhno razbit na linii, soblyudaya zakon? connected_graph path stmt-graph razbienie svyaznogo metro na prostye linii s ogranicheniem chisla peresadok ai_checked naydite naibolshee \\(n\\), dlya kotorogo u lyubogo svyaznogo prostogo grafa \\(g\\) na \\(n\\) vershinah suschestvuet razbienie mnozhestva reber na prostye puti takoe, chto dlya lyubyh dvuh vershin \\(u,v\\) mozhno proyti iz \\(u\\) v \\(v\\), smeniv put razbieniya ne bolee 100 raz. rebra vne vybrannogo marshruta takzhe dolzhny vhodit rovno v odin put razbieniya. connected_graph path simple_graph idea-spanning-tree-reduction dostatochno razbit ostovnoe derevo dlya verhney otsenki vybiraem ostovnoe derevo i stroim horoshie linii tolko na ego rebrah; vse ostalnye tonneli mozhno obyavit odnotonnelnymi liniyami i ne ispolzovat v marshrutah. kontrprimer takzhe yavlyaetsya derevom. trees construction graph_model ai_checked idea-local-pairings linii dereva zadayutsya poparnymi skleykami reber v vershinah v dereve razbienie reber na prostye puti ekvivalentno vyboru v kazhdoy vershine neperesekayuschihsya par intsidentnyh reber, kotorye prinadlezhat odnoy linii. peresadka na marshrute proishodit rovno tam, gde dve sosednie rebernye linii ne skleeny v takuyu paru. trees construction graph_model ai_checked idea-branch-rank-threshold rangi vetvey dayut tochnuyu granitsu dlya orientirovannoy vetvi dereva vvoditsya rang: rang listovoy vetvi raven 0, a dalshe on raven \\(\\max(a_1,a_2+1)\\), gde \\(a_1\\ge a_2\\) — dva naibolshih ranga sleduyuschih vetvey. vetv ranga \\(s\\) soderzhit ne menshe \\(2^{s+1}-1\\) vershin, a tri vetvi ranga 50 v odnoy vershine uzhe vynuzhdayut 101 peresadku mezhdu podhodyaschimi listyami. induction trees goal_exact_bound ai_checked sol-branch-rank-exact-threshold otvet \\(3\\cdot 2^{51}-3\\): rangi vetvey dereva ai_checked connected_graph simple_graph path tree spanning_tree matching degree delete_to_simplify extremal_choice induction otvet: \\(3\\cdot 2^{51}-3=6755399441055741\\). snachala pereydem k grafam. stantsii budem schitat vershinami, tonneli — rebrami. dlya verhney otsenki dostatochno vybrat ostovnoe derevo: esli ego rebra razbity na podhodyaschie linii, to ostalnye rebra ishodnogo grafa mozhno sdelat odnotonnelnymi liniyami i prosto ne polzovatsya imi pri poezdkah. poetomu dalshe reshaem zadachu dlya derevev. v dereve razbienie reber na linii udobno ponimat lokalno: v kazhdoy vershine nekotorye pary intsidentnyh reber skleeny v odnu liniyu, a kazhdoe rebro uchastvuet ne bolee chem v odnoy takoy skleyke s kazhdoy storony. pri dvizhenii po edinstvennomu puti mezhdu dvumya vershinami peresadka proishodit rovno v teh vnutrennih vershinah puti, gde dve sosednie storony puti ne skleeny. nam ponadobitsya standartnaya lemma o rangah vetvey dereva. dlya orientirovannogo rebra \\(xy\\) rassmotrim komponentu, soderzhaschuyu \\(y\\), posle udaleniya r…","source_keys":["spbmo"]}