{"id":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","title":"Игра до первого одноцветного треугольника на полном графе","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","source_key":"simon","source_label":"SIMON","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2017 A1, официальные условия и решения","38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_symmetry","goal_strategy_game","ramsey_theory"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":4,"comment":"Небольшая игровая задача на \\(K_5\\): главное - заметить симметрию и построить двойную угрозу.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Полная пятивершинная стратегия Синего перенесена самодостаточно."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"На бумаге нарисованы пять сторон и пять диагоналей правильного пятиугольника. Два игрока по очереди раскрашивают по одному из этих десяти отрезков: первый игрок красит синим, второй - красным. Уже раскрашенный отрезок перекрашивать нельзя. Игрок выигрывает, если первым создал треугольник своего цвета, все три вершины которого являются вершинами правильного пятиугольника. Если все десять отрезков раскрашены и никто не выиграл, объявляется ничья. Определите, может ли первый игрок, второй игрок или ни один из них гарантировать победу.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра на рёбрах пятиугольника до одноцветного треугольника, SMMC 2017 A1","status":"ai_checked","text":"Два игрока по очереди раскрашивают ещё не раскрашенные рёбра полного графа \\(K_5\\): первый - синим, второй - красным. Побеждает тот, кто первым получает одноцветный треугольник своего цвета. Если все рёбра раскрашены без такого треугольника, получается ничья. Определите, у кого есть выигрышная стратегия.","definition_ids":["complete_graph","cycle","triangle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-lktg-general-n","title":"Параметрическая формулировка для всех n не меньше 5","status":"source_verified","text":"Пусть \\(n\\ge 5\\). Синий и Красный по очереди красят свободные рёбра полного графа \\(K_n\\) в свой цвет; начинает Синий. Игрок немедленно выигрывает, когда три ребра его цвета впервые образуют треугольник. Если все рёбра окрашены и такого треугольника ни у кого нет, объявляется ничья. Определите исход при правильной игре.","definition_ids":["complete_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-strategy","title":"Пятивершинная стратегия двойной угрозы для всех n не меньше 5","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","triangle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"При каждом \\(n\\ge 5\\) выигрывает Синий. Первым ходом Синий красит ребро \\(P_1P_2\\). Разберём положение первого красного ребра. Случай 1. Красное ребро имеет общий конец с \\(P_1P_2\\). Переименуем концы так, чтобы оно было \\(P_2P_3\\), и выберем ещё две вершины \\(P_4,P_5\\). Синий красит \\(P_2P_4\\) и угрожает следующим ходом взять \\(P_1P_4\\), завершив треугольник \\(P_1P_2P_4\\). Если Красный не красит \\(P_1P_4\\), Синий немедленно выполняет угрозу, поэтому считаем, что \\(P_1P_4\\) стало красным. Тогда Синий красит \\(P_2P_5\\). Теперь рёбра \\(P_1P_5\\) и \\(P_4P_5\\) являются двумя угрозами: первое завершает синий треугольник \\(P_1P_2P_5\\), второе — треугольник \\(P_2P_4P_5\\). Случай 2. Первое красное ребро не имеет общих концов с \\(P_1P_2\\). Обозначим его через \\(P_3P_4\\) и выберем пятую вершину \\(P_5\\). Синий красит \\(P_1P_5\\), угрожая ребром \\(P_2P_5\\). Если Красный не закроет угрозу, Синий сразу…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2017-a1-vjimc-1999-monochromatic-triangle","neighbor_id":"vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-smmc-2017-a1-imo-1992-partial-ramsey-triangle","neighbor_id":"imo-1992-p3-nine-points-partial-ramsey","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-smmc-2017-a1-imo-1964-three-color-ramsey","neighbor_id":"imo-1964-p4-three-topic-ramsey","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2010-11-p3-smmc-2017-a1-more-threats-than-blocks","neighbor_id":"spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-sim-paired","neighbor_id":"sim-k6-no-draw","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2017-a1-ramsey-r33","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game игра до первого одноцветного треугольника на полном графе coloring graph_symmetry goal_strategy_game ramsey_theory 2017 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2017-solutions-preliminary_1.pdf official_archive official_solutions olympiad_archive problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2017 a1, официальные условия и решения simon2017 src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-simon-marais-2017-a1-official with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 ? simon marais mathematics competition 2017 a1, официальные условия и решения 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original условие ai_checked на бумаге нарисованы пять сторон и пять диагоналей правильного пятиугольника. два игрока по очереди раскрашивают по одному из этих десяти отрезков: первый игрок красит синим, второй - красным. уже раскрашенный отрезок перекрашивать нельзя. игрок выигрывает, если первым создал треугольник своего цвета, все три вершины которого являются вершинами правильного пятиугольника. если все десять отрезков раскрашены и никто не выиграл, объявляется ничья. определите, может ли первый игрок, второй игрок или ни один из них гарантировать победу. stmt-graph игра на рёбрах пятиугольника до одноцветного треугольника, smmc 2017 a1 ai_checked два игрока по очереди раскрашивают ещё не раскрашенные рёбра полного графа \\(k_5\\): первый - синим, второй - красным. побеждает тот, кто первым получает одноцветный треугольник своего цвета. если все рёбра раскрашены без такого треугольника, получается ничья. определите, у кого есть выигрышная стратегия. complete_graph cycle triangle stmt-lktg-general-n параметрическая формулировка для всех n не меньше 5 source_verified пусть \\(n\\ge 5\\). синий и красный по очереди красят свободные рёбра полного графа \\(k_n\\) в свой цвет; начинает синий. игрок немедленно выигрывает, когда три ребра его цвета впервые образуют треугольник. если все рёбра окрашены и такого треугольника ни у кого нет, объявляется ничья. определите исход при правильной игре. complete_graph triangle idea-first-edge-symmetry первый ход можно зафиксировать по симметрии пусть вершины пятиугольника пронумерованы \\(1,2,3,4,5\\). поскольку пять сторон и пять диагоналей образуют полный граф \\(k_5\\), можно свободно переименовывать вершины: первый игрок начинает с ребра \\(12\\), а первый ответ второго существенно бывает только двух типов - ребро, инцидентное \\(12\\), или ребро между двумя оставшимися вершинами. их удобно обозначить как \\(23\\) и \\(34\\). graph_symmetry ai_checked idea-double-threat создать две угрозы одним ходом стратегия первого игрока состоит в том, чтобы после вынужденного защитного ответа второго получить позицию с двумя разными синими рёбрами, каждое из которых завершает синий треугольник. второй игрок может закрыть только одну угрозу. goal_strategy_game ai_checked idea-two-blue-threats две одновременные угрозы на пяти вершинах синий после первого ответа красного выбирает не более пяти вершин и последовательно вынуждает красного закрыть одну угрозу. третий синий ход создаёт уже две разные угрозы завершить синий треугольник, а раздельное расположение первых красных рёбер не позволяет красному самому выиграть этим ходом. coloring goal_strategy_game ai_checked sol-official-strategy пятивершинная стратегия двойной угрозы для всех n не меньше 5 ai_checked complete_graph triangle при каждом \\(n\\ge 5\\) выигрывает синий. первым ходом синий красит ребро \\(p_1p_2\\). разберём положение первого красного ребра. случай 1. красное ребро имеет общий конец с \\(p_1p_2\\). переименуем концы так, чтобы оно было \\(p_2p_3\\), и выберем ещё две вершины \\(p_4,p_5\\). синий красит \\(p_2p_4\\) и угрожает следующим ходом взять \\(p_1p_4\\), завершив треугольник \\(p_1p_2p_4\\). если красный не красит \\(p_1p_4\\), синий немедленно выполняет угрозу, поэтому считаем, что \\(p_1p_4\\) стало красным. тогда синий красит \\(p_2p_5\\). теперь рёбра \\(p_1p_5\\) и \\(p_4p_5\\) являются двумя угрозами: первое завершает синий треугольник \\(p_1p_2p_5\\), второе — треугольник \\(p_2p_4p_5\\). случай 2. первое красное ребро не имеет общих концов с \\(p_1p_2\\). обозначим его через \\(p_3p_4\\) и выберем пятую вершину \\(p_5\\). синий красит \\(p_1p_5\\), угрожая ребром \\(p_2p_5\\). если красный не закроет угрозу, синий сразу… simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game igra do pervogo odnotsvetnogo treugolnika na polnom grafe coloring graph_symmetry goal_strategy_game ramsey_theory 2017 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2017-solutions-preliminary_1.pdf official_archive official_solutions olympiad_archive problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2017 a1, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2017 src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-simon-marais-2017-a1-official with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 ? simon marais mathematics competition 2017 a1, ofitsialnye usloviya i resheniya 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original uslovie ai_checked na bumage narisovany pyat storon i pyat diagonaley pravilnogo pyatiugolnika. dva igroka po ocheredi raskrashivayut po odnomu iz etih desyati otrezkov: pervyy igrok krasit sinim, vtoroy - krasnym. uzhe raskrashennyy otrezok perekrashivat nelzya. igrok vyigryvaet, esli pervym sozdal treugolnik svoego tsveta, vse tri vershiny kotorogo yavlyayutsya vershinami pravilnogo pyatiugolnika. esli vse desyat otrezkov raskrasheny i nikto ne vyigral, obyavlyaetsya nichya. opredelite, mozhet li pervyy igrok, vtoroy igrok ili ni odin iz nih garantirovat pobedu. stmt-graph igra na rebrah pyatiugolnika do odnotsvetnogo treugolnika, smmc 2017 a1 ai_checked dva igroka po ocheredi raskrashivayut esche ne raskrashennye rebra polnogo grafa \\(k_5\\): pervyy - sinim, vtoroy - krasnym. pobezhdaet tot, kto pervym poluchaet odnotsvetnyy treugolnik svoego tsveta. esli vse rebra raskrasheny bez takogo treugolnika, poluchaetsya nichya. opredelite, u kogo est vyigryshnaya strategiya. complete_graph cycle triangle stmt-lktg-general-n parametricheskaya formulirovka dlya vseh n ne menshe 5 source_verified pust \\(n\\ge 5\\). siniy i krasnyy po ocheredi krasyat svobodnye rebra polnogo grafa \\(k_n\\) v svoy tsvet; nachinaet siniy. igrok nemedlenno vyigryvaet, kogda tri rebra ego tsveta vpervye obrazuyut treugolnik. esli vse rebra okrasheny i takogo treugolnika ni u kogo net, obyavlyaetsya nichya. opredelite ishod pri pravilnoy igre. complete_graph triangle idea-first-edge-symmetry pervyy hod mozhno zafiksirovat po simmetrii pust vershiny pyatiugolnika pronumerovany \\(1,2,3,4,5\\). poskolku pyat storon i pyat diagonaley obrazuyut polnyy graf \\(k_5\\), mozhno svobodno pereimenovyvat vershiny: pervyy igrok nachinaet s rebra \\(12\\), a pervyy otvet vtorogo suschestvenno byvaet tolko dvuh tipov - rebro, intsidentnoe \\(12\\), ili rebro mezhdu dvumya ostavshimisya vershinami. ih udobno oboznachit kak \\(23\\) i \\(34\\). graph_symmetry ai_checked idea-double-threat sozdat dve ugrozy odnim hodom strategiya pervogo igroka sostoit v tom, chtoby posle vynuzhdennogo zaschitnogo otveta vtorogo poluchit pozitsiyu s dvumya raznymi sinimi rebrami, kazhdoe iz kotoryh zavershaet siniy treugolnik. vtoroy igrok mozhet zakryt tolko odnu ugrozu. goal_strategy_game ai_checked idea-two-blue-threats dve odnovremennye ugrozy na pyati vershinah siniy posle pervogo otveta krasnogo vybiraet ne bolee pyati vershin i posledovatelno vynuzhdaet krasnogo zakryt odnu ugrozu. tretiy siniy hod sozdaet uzhe dve raznye ugrozy zavershit siniy treugolnik, a razdelnoe raspolozhenie pervyh krasnyh reber ne pozvolyaet krasnomu samomu vyigrat etim hodom. coloring goal_strategy_game ai_checked sol-official-strategy pyativershinnaya strategiya dvoynoy ugrozy dlya vseh n ne menshe 5 ai_checked complete_graph triangle pri kazhdom \\(n\\ge 5\\) vyigryvaet siniy. pervym hodom siniy krasit rebro \\(p_1p_2\\). razberem polozhenie pervogo krasnogo rebra. sluchay 1. krasnoe rebro imeet obschiy konets s \\(p_1p_2\\). pereimenuem kontsy tak, chtoby ono bylo \\(p_2p_3\\), i vyberem esche dve vershiny \\(p_4,p_5\\). siniy krasit \\(p_2p_4\\) i ugrozhaet sleduyuschim hodom vzyat \\(p_1p_4\\), zavershiv treugolnik \\(p_1p_2p_4\\). esli krasnyy ne krasit \\(p_1p_4\\), siniy nemedlenno vypolnyaet ugrozu, poetomu schitaem, chto \\(p_1p_4\\) stalo krasnym. togda siniy krasit \\(p_2p_5\\). teper rebra \\(p_1p_5\\) i \\(p_4p_5\\) yavlyayutsya dvumya ugrozami: pervoe zavershaet siniy treugolnik \\(p_1p_2p_5\\), vtoroe — treugolnik \\(p_2p_4p_5\\). sluchay 2. pervoe krasnoe rebro ne imeet obschih kontsov s \\(p_1p_2\\). oboznachim ego cherez \\(p_3p_4\\) i vyberem pyatuyu vershinu \\(p_5\\). siniy krasit \\(p_1p_5\\), ugrozhaya rebrom \\(p_2p_5\\). esli krasnyy ne zakroet ugrozu, siniy srazu…","source_keys":["simon","lktg"]} {"id":"simon-marais-2017-b3-red-lattice-connected-graph","title":"Красные треугольники в раскраске целочисленной решётки, Simon Marais 2017 B3","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2017-b3-red-lattice-connected-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2017-b3-red-lattice-connected-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2017-b3-red-lattice-connected-graph","source_key":"simon","source_label":"Simon Marais","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2017 B3, официальные условия и решения"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","graph_in_solution","minimal_counterexample","extremal_choice","trees","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Задача уровня сложной финальной олимпиады: официальное решение строит вспомогательный граф красных решётчатых точек, доказывает его связность минимальным выбором, затем сводит контрпример к минимальному связному пути и завершает доказательство тонким выпукло-геометрическим угловым доводом.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Каждая точка плоскости с целыми координатами покрашена в красный или синий цвет так, что выполнены два свойства. Во-первых, для любых двух красных точек отрезок, соединяющий их, не содержит синих точек. Во-вторых, если две синие точки находятся на расстоянии \\(2\\) друг от друга, то середина соединяющего их отрезка синяя. Докажите, что если три красные точки являются вершинами треугольника, то внутри этого треугольника нет синих точек.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-graph-expanded","title":"Связность красного графа и минимальный путь","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф \\(G_R\\): его вершины — красные точки целочисленной решётки, а ребро соединяет две красные точки на расстоянии \\(1\\). Сначала докажем, что \\(G_R\\) связен. Предположим противное и выберем красные точки \\(A=(a_1,a_2)\\) и \\(B=(b_1,b_2)\\) из разных компонент так, чтобы длина \\(AB\\) была минимальной. Тогда \\(AB>1\\). Если бы существовала красная точка \\(C\\), для которой одновременно \\(ACa_1\\)…"}],"relations":[],"search_text":"simon-marais-2017-b3-red-lattice-connected-graph красные треугольники в раскраске целочисленной решётки, simon marais 2017 b3 connectivity graph_in_solution minimal_counterexample extremal_choice trees goal_proof 2017 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2017-solutions-preliminary_1.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2017 b3, официальные условия и решения simon2017 simonmarais simonmarais2017 src-simon-marais-2017-b3-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2017 b3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked каждая точка плоскости с целыми координатами покрашена в красный или синий цвет так, что выполнены два свойства. во-первых, для любых двух красных точек отрезок, соединяющий их, не содержит синих точек. во-вторых, если две синие точки находятся на расстоянии \\(2\\) друг от друга, то середина соединяющего их отрезка синяя. докажите, что если три красные точки являются вершинами треугольника, то внутри этого треугольника нет синих точек. idea-red-unit-graph-connected красный единичный граф связен если две красные вершины лежат в разных компонентах, выбираем такую пару на минимальном расстоянии. внутри отрезка между ними нет решётчатых точек; затем две соседние по решётке точки вынужденно оказываются синими, а симметричные относительно красных концов точки — красными. среди четырёх серединообразных точек одна является решётчатой, не синей и ближе к обоим концам, что противоречит минимальности. connectivity minimal_counterexample graph_in_solution ai_checked idea-minimal-connected-red-set минимальное связное множество красных точек является путём берём минимальное по числу вершин связное множество красных точек, выпуклая оболочка которого содержит синюю точку. вершина, удаляемая без потери связности, обязана входить в любой красный треугольник, внутри которого лежит синяя точка. поэтому таких удаляемых вершин не может быть три; значит минимальный связный граф не ветвится и имеет вид пути. minimal_counterexample trees connectivity ai_checked idea-lattice-angle-bound единичный решётчатый отрезок виден под углом не больше \\(45^\\circ\\) если \\(pq\\) — единичный горизонтальный или вертикальный отрезок решётки, а \\(y\\) — решётчатая точка вне прямой \\(pq\\), то \\(\\angle pyq\\le 45^\\circ\\). после поворота и сдвига это сводится к \\(p=(0,0)\\), \\(q=(1,0)\\): ближайшие решётчатые точки вне прямой дают угол \\(45^\\circ\\), а при увеличении расстояния угол только уменьшается. extremal_choice ai_checked sol-official-graph-expanded связность красного графа и минимальный путь ai_checked simple_graph connected_graph path minimal_counterexample extremal_choice построим граф \\(g_r\\): его вершины — красные точки целочисленной решётки, а ребро соединяет две красные точки на расстоянии \\(1\\). сначала докажем, что \\(g_r\\) связен. предположим противное и выберем красные точки \\(a=(a_1,a_2)\\) и \\(b=(b_1,b_2)\\) из разных компонент так, чтобы длина \\(ab\\) была минимальной. тогда \\(ab>1\\). если бы существовала красная точка \\(c\\), для которой одновременно \\(aca_1\\)… simon-marais-2017-b3-red-lattice-connected-graph krasnye treugolniki v raskraske tselochislennoy reshetki, simon marais 2017 b3 connectivity graph_in_solution minimal_counterexample extremal_choice trees goal_proof 2017 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2017-solutions-preliminary_1.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2017 b3, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2017 simonmarais simonmarais2017 src-simon-marais-2017-b3-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2017 b3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked kazhdaya tochka ploskosti s tselymi koordinatami pokrashena v krasnyy ili siniy tsvet tak, chto vypolneny dva svoystva. vo-pervyh, dlya lyubyh dvuh krasnyh tochek otrezok, soedinyayuschiy ih, ne soderzhit sinih tochek. vo-vtoryh, esli dve sinie tochki nahodyatsya na rasstoyanii \\(2\\) drug ot druga, to seredina soedinyayuschego ih otrezka sinyaya. dokazhite, chto esli tri krasnye tochki yavlyayutsya vershinami treugolnika, to vnutri etogo treugolnika net sinih tochek. idea-red-unit-graph-connected krasnyy edinichnyy graf svyazen esli dve krasnye vershiny lezhat v raznyh komponentah, vybiraem takuyu paru na minimalnom rasstoyanii. vnutri otrezka mezhdu nimi net reshetchatyh tochek; zatem dve sosednie po reshetke tochki vynuzhdenno okazyvayutsya sinimi, a simmetrichnye otnositelno krasnyh kontsov tochki — krasnymi. sredi chetyreh seredinoobraznyh tochek odna yavlyaetsya reshetchatoy, ne siney i blizhe k oboim kontsam, chto protivorechit minimalnosti. connectivity minimal_counterexample graph_in_solution ai_checked idea-minimal-connected-red-set minimalnoe svyaznoe mnozhestvo krasnyh tochek yavlyaetsya putem berem minimalnoe po chislu vershin svyaznoe mnozhestvo krasnyh tochek, vypuklaya obolochka kotorogo soderzhit sinyuyu tochku. vershina, udalyaemaya bez poteri svyaznosti, obyazana vhodit v lyuboy krasnyy treugolnik, vnutri kotorogo lezhit sinyaya tochka. poetomu takih udalyaemyh vershin ne mozhet byt tri; znachit minimalnyy svyaznyy graf ne vetvitsya i imeet vid puti. minimal_counterexample trees connectivity ai_checked idea-lattice-angle-bound edinichnyy reshetchatyy otrezok viden pod uglom ne bolshe \\(45^\\circ\\) esli \\(pq\\) — edinichnyy gorizontalnyy ili vertikalnyy otrezok reshetki, a \\(y\\) — reshetchataya tochka vne pryamoy \\(pq\\), to \\(\\angle pyq\\le 45^\\circ\\). posle povorota i sdviga eto svoditsya k \\(p=(0,0)\\), \\(q=(1,0)\\): blizhayshie reshetchatye tochki vne pryamoy dayut ugol \\(45^\\circ\\), a pri uvelichenii rasstoyaniya ugol tolko umenshaetsya. extremal_choice ai_checked sol-official-graph-expanded svyaznost krasnogo grafa i minimalnyy put ai_checked simple_graph connected_graph path minimal_counterexample extremal_choice postroim graf \\(g_r\\): ego vershiny — krasnye tochki tselochislennoy reshetki, a rebro soedinyaet dve krasnye tochki na rasstoyanii \\(1\\). snachala dokazhem, chto \\(g_r\\) svyazen. predpolozhim protivnoe i vyberem krasnye tochki \\(a=(a_1,a_2)\\) i \\(b=(b_1,b_2)\\) iz raznyh komponent tak, chtoby dlina \\(ab\\) byla minimalnoy. togda \\(ab>1\\). esli by suschestvovala krasnaya tochka \\(c\\), dlya kotoroy odnovremenno \\(aca_1\\)…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2018-b3-dodecahedron-spider-pursuit","title":"Погоня трёх пауков за жуком на графе додекаэдра, SMMC 2018 B3","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2018-b3-dodecahedron-spider-pursuit.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2018-b3-dodecahedron-spider-pursuit.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2018-b3-dodecahedron-spider-pursuit","source_key":"simon","source_label":"SMMC","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2018 B3, официальные условия и решения"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","goal_strategy_game","graph_symmetry","trees","connectivity"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Сложная стратегическая задача на метрическом графе додекаэдра; решение использует симметрию, разделение графа и преследование на дереве.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Три паука пытаются поймать жука. Все они изначально находятся на рёбрах правильного додекаэдра с длиной ребра \\(1\\). В некоторый момент они начинают непрерывно двигаться вдоль рёбер додекаэдра. Жук и один из пауков имеют максимальную скорость \\(1\\), а два остальных паука имеют максимальную скорость \\(1/2018\\). Каждый игрок всегда знает своё положение и положения всех остальных; можно мгновенно разворачиваться и реагировать на поведение других. Пауки могут договариваться о стратегии до игры и во время игры. Если какой-либо паук когда-либо оказывается в той же точке, что и жук, пауки выигрывают. Докажите, что пауки могут выиграть независимо от начальных положений всех участников и от движения жука.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Погоня трёх пауков за жуком на графе додекаэдра, SMMC 2018 B3","status":"ai_checked","text":"На метрическом графе додекаэдра, где каждое ребро имеет длину \\(1\\), один быстрый преследователь скорости \\(1\\) и два медленных преследователя скорости \\(1/2018\\) ловят беглеца скорости \\(1\\). Все участники имеют полную информацию и могут двигаться по рёбрам. Докажите, что у трёх преследователей есть стратегия гарантированного захвата.","definition_ids":["simple_graph","tree","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-structured","title":"Сведение к дереву в половине додекаэдра","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","connected_graph"],"standard_idea_ids":["invariant","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассматриваем рёбра додекаэдра как метрический граф \\(G\\), все рёбра имеют длину \\(1\\). Зафиксируем вершину \\(V\\). В графе додекаэдра относительно \\(V\\) есть соответственно \\(3,6,6,3,1\\) вершин на расстояниях \\(1,2,3,4,5\\); последняя вершина на расстоянии \\(5\\) единственна. Первая фаза. Быстрый паук идёт в \\(V\\), а один из медленных пауков — в единственную вершину, удалённую от \\(V\\) на расстояние \\(5\\). Это можно сделать независимо от жука: жук пауков не ловит, а время игры не ограничено. Пусть оба паука заняли эти позиции к моменту \\(t_0\\). Вторая фаза. Оставшийся медленный паук может гарантировать, что после \\(t_0\\) жук посетит какую-нибудь вершину додекаэдра. Действительно, если жук после \\(t_0\\) вообще не посещает вершин, то он всё время остаётся во внутренности одного и того же ребра. Медленный паук доходит до этого ребра и затем идёт по нему к жуку. На отрезке жук не может пройти…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2023-c4-smmc-2018-b3-pursuit-barrier","neighbor_id":"simon-marais-2023-c4-reverse-chess-grid-pursuit","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"simon-marais-2018-b3-dodecahedron-spider-pursuit погоня трёх пауков за жуком на графе додекаэдра, smmc 2018 b3 graph_model goal_strategy_game graph_symmetry trees connectivity 2018 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2018-solutions_1.pdf problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2018 b3, официальные условия и решения simon2018 smmc smmc2018 src-simon-marais-2018-b3-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2018 b3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked три паука пытаются поймать жука. все они изначально находятся на рёбрах правильного додекаэдра с длиной ребра \\(1\\). в некоторый момент они начинают непрерывно двигаться вдоль рёбер додекаэдра. жук и один из пауков имеют максимальную скорость \\(1\\), а два остальных паука имеют максимальную скорость \\(1/2018\\). каждый игрок всегда знает своё положение и положения всех остальных; можно мгновенно разворачиваться и реагировать на поведение других. пауки могут договариваться о стратегии до игры и во время игры. если какой-либо паук когда-либо оказывается в той же точке, что и жук, пауки выигрывают. докажите, что пауки могут выиграть независимо от начальных положений всех участников и от движения жука. stmt-graph погоня трёх пауков за жуком на графе додекаэдра, smmc 2018 b3 ai_checked на метрическом графе додекаэдра, где каждое ребро имеет длину \\(1\\), один быстрый преследователь скорости \\(1\\) и два медленных преследователя скорости \\(1/2018\\) ловят беглеца скорости \\(1\\). все участники имеют полную информацию и могут двигаться по рёбрам. докажите, что у трёх преследователей есть стратегия гарантированного захвата. simple_graph tree planar_graph idea-capture-on-tree на дереве медленный паук всё равно выдавливает жука если жук заперт в конечном дереве и не может пройти через охраняемые выходы, то паук, пусть даже очень медленный, может двигаться по единственному пути к жуку. отступая, жук в конце концов приходит к листу или к охраняемой вершине. trees goal_strategy_game ai_checked idea-reflection-barrier быстрый паук превращает плоскость симметрии в барьер когда жук находится в вершине \\(w\\), а быстрый паук — в зеркально симметричной вершине \\(v\\), быстрый паук может дальше копировать движение жука отражением относительно плоскости симметрии. любое пересечение этой плоскости приводит к немедленному совпадению с быстрым пауком. graph_symmetry goal_strategy_game ai_checked sol-official-structured сведение к дереву в половине додекаэдра ai_checked tree connected_graph invariant delete_to_simplify рассматриваем рёбра додекаэдра как метрический граф \\(g\\), все рёбра имеют длину \\(1\\). зафиксируем вершину \\(v\\). в графе додекаэдра относительно \\(v\\) есть соответственно \\(3,6,6,3,1\\) вершин на расстояниях \\(1,2,3,4,5\\); последняя вершина на расстоянии \\(5\\) единственна. первая фаза. быстрый паук идёт в \\(v\\), а один из медленных пауков — в единственную вершину, удалённую от \\(v\\) на расстояние \\(5\\). это можно сделать независимо от жука: жук пауков не ловит, а время игры не ограничено. пусть оба паука заняли эти позиции к моменту \\(t_0\\). вторая фаза. оставшийся медленный паук может гарантировать, что после \\(t_0\\) жук посетит какую-нибудь вершину додекаэдра. действительно, если жук после \\(t_0\\) вообще не посещает вершин, то он всё время остаётся во внутренности одного и того же ребра. медленный паук доходит до этого ребра и затем идёт по нему к жуку. на отрезке жук не может пройти… simon-marais-2018-b3-dodecahedron-spider-pursuit pogonya treh paukov za zhukom na grafe dodekaedra, smmc 2018 b3 graph_model goal_strategy_game graph_symmetry trees connectivity 2018 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2018-solutions_1.pdf problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2018 b3, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2018 smmc smmc2018 src-simon-marais-2018-b3-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2018 b3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked tri pauka pytayutsya poymat zhuka. vse oni iznachalno nahodyatsya na rebrah pravilnogo dodekaedra s dlinoy rebra \\(1\\). v nekotoryy moment oni nachinayut nepreryvno dvigatsya vdol reber dodekaedra. zhuk i odin iz paukov imeyut maksimalnuyu skorost \\(1\\), a dva ostalnyh pauka imeyut maksimalnuyu skorost \\(1/2018\\). kazhdyy igrok vsegda znaet svoe polozhenie i polozheniya vseh ostalnyh; mozhno mgnovenno razvorachivatsya i reagirovat na povedenie drugih. pauki mogut dogovarivatsya o strategii do igry i vo vremya igry. esli kakoy-libo pauk kogda-libo okazyvaetsya v toy zhe tochke, chto i zhuk, pauki vyigryvayut. dokazhite, chto pauki mogut vyigrat nezavisimo ot nachalnyh polozheniy vseh uchastnikov i ot dvizheniya zhuka. stmt-graph pogonya treh paukov za zhukom na grafe dodekaedra, smmc 2018 b3 ai_checked na metricheskom grafe dodekaedra, gde kazhdoe rebro imeet dlinu \\(1\\), odin bystryy presledovatel skorosti \\(1\\) i dva medlennyh presledovatelya skorosti \\(1/2018\\) lovyat begletsa skorosti \\(1\\). vse uchastniki imeyut polnuyu informatsiyu i mogut dvigatsya po rebram. dokazhite, chto u treh presledovateley est strategiya garantirovannogo zahvata. simple_graph tree planar_graph idea-capture-on-tree na dereve medlennyy pauk vse ravno vydavlivaet zhuka esli zhuk zapert v konechnom dereve i ne mozhet proyti cherez ohranyaemye vyhody, to pauk, pust dazhe ochen medlennyy, mozhet dvigatsya po edinstvennomu puti k zhuku. otstupaya, zhuk v kontse kontsov prihodit k listu ili k ohranyaemoy vershine. trees goal_strategy_game ai_checked idea-reflection-barrier bystryy pauk prevraschaet ploskost simmetrii v barer kogda zhuk nahoditsya v vershine \\(w\\), a bystryy pauk — v zerkalno simmetrichnoy vershine \\(v\\), bystryy pauk mozhet dalshe kopirovat dvizhenie zhuka otrazheniem otnositelno ploskosti simmetrii. lyuboe peresechenie etoy ploskosti privodit k nemedlennomu sovpadeniyu s bystrym paukom. graph_symmetry goal_strategy_game ai_checked sol-official-structured svedenie k derevu v polovine dodekaedra ai_checked tree connected_graph invariant delete_to_simplify rassmatrivaem rebra dodekaedra kak metricheskiy graf \\(g\\), vse rebra imeyut dlinu \\(1\\). zafiksiruem vershinu \\(v\\). v grafe dodekaedra otnositelno \\(v\\) est sootvetstvenno \\(3,6,6,3,1\\) vershin na rasstoyaniyah \\(1,2,3,4,5\\); poslednyaya vershina na rasstoyanii \\(5\\) edinstvenna. pervaya faza. bystryy pauk idet v \\(v\\), a odin iz medlennyh paukov — v edinstvennuyu vershinu, udalennuyu ot \\(v\\) na rasstoyanie \\(5\\). eto mozhno sdelat nezavisimo ot zhuka: zhuk paukov ne lovit, a vremya igry ne ogranicheno. pust oba pauka zanyali eti pozitsii k momentu \\(t_0\\). vtoraya faza. ostavshiysya medlennyy pauk mozhet garantirovat, chto posle \\(t_0\\) zhuk posetit kakuyu-nibud vershinu dodekaedra. deystvitelno, esli zhuk posle \\(t_0\\) voobsche ne poseschaet vershin, to on vse vremya ostaetsya vo vnutrennosti odnogo i togo zhe rebra. medlennyy pauk dohodit do etogo rebra i zatem idet po nemu k zhuku. na otrezke zhuk ne mozhet proyti…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling","title":"Максимум суммы произведений меток на рёбрах и кликовое число, SMMC 2019 B3","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling","source_key":"simon","source_label":"SMMC","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2019 B3, официальные условия и решения"],"year":"2019","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","extremal_choice","forbidden_clique","goal_exact_bound","symmetrization","classical_theorem"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Олимпиадная версия теоремы Моцкина-Штрауса: ключевой ход - перенос веса между несмежными вершинами.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) - конечный простой граф, а \\(k\\) - наибольшее число вершин в клике графа \\(G\\). Каждой вершине \\(G\\) присваивается неотрицательное вещественное число так, что сумма всех меток равна \\(1\\). Значением ребра называется произведение меток двух его концов, а значением разметки - сумма значений всех рёбер. Докажите, что максимальное возможное значение разметки графа \\(G\\) равно \\((k-1)/(2k)\\).","definition_ids":["simple_graph","clique"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Формулировка как теорема Моцкина-Штрауса","status":"ai_checked","text":"Для конечного простого графа \\(G=(V,E)\\) с кликовым числом \\(\\omega(G)=k\\) докажите, что \\(\\max \\sum_{uv\\in E} x_u x_v=(k-1)/(2k)\\), где максимум берётся по всем \\(x_v\\ge0\\) с \\(\\sum_{v\\in V}x_v=1\\).","definition_ids":["simple_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-motzkin-straus","title":"Сжатие носителя до клики","status":"ai_checked","definition_ids":["clique"],"standard_idea_ids":["symmetrization","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала получим нижнюю оценку. Возьмём максимальную клику размера \\(k\\), всем её вершинам присвоим метку \\(1/k\\), а всем остальным вершинам - метку \\(0\\). В этой клике \\(k(k-1)/2\\) рёбер, каждое имеет значение \\(1/k^2\\), поэтому значение разметки равно \\((k-1)/(2k)\\). Докажем, что больше получить нельзя. Рассмотрим произвольную разметку. Если существуют две несмежные вершины \\(u\\) и \\(v\\) с положительными метками \\(a\\) и \\(b\\), обозначим через \\(S_u\\) и \\(S_v\\) суммы меток соседей вершин \\(u\\) и \\(v\\). Поскольку \\(u\\) и \\(v\\) не смежны, ребра \\(uv\\) нет, а значит вклад всех рёбер, инцидентных хотя бы одной из этих двух вершин, равен \\(aS_u+bS_v\\). Если \\(S_u\\ge S_v\\), заменим метки \\(u,v\\) на \\(a+b,0\\). Тогда новый такой вклад равен \\((a+b)S_u\\), а разность равна \\(b(S_u-S_v)\\ge0\\). Если же \\(S_v>S_u\\), заменим метки \\(u,v\\) на \\(0,a+b\\); новый вклад равен \\((a+b)S_v\\), а разность равна…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2019-b3-vjimc-2017-motzkin-straus-transfer","neighbor_id":"vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-smmc-2019-b3-turan-motzkin-straus","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2019-b3-mantel","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling максимум суммы произведений меток на рёбрах и кликовое число, smmc 2019 b3 extremal_graph_theory extremal_choice forbidden_clique goal_exact_bound symmetrization classical_theorem 2019 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2019-solutions_1.pdf problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2019 b3, официальные условия и решения simon2019 smmc smmc2019 src-simon-marais-2019-b3-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2019 b3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(g\\) - конечный простой граф, а \\(k\\) - наибольшее число вершин в клике графа \\(g\\). каждой вершине \\(g\\) присваивается неотрицательное вещественное число так, что сумма всех меток равна \\(1\\). значением ребра называется произведение меток двух его концов, а значением разметки - сумма значений всех рёбер. докажите, что максимальное возможное значение разметки графа \\(g\\) равно \\((k-1)/(2k)\\). simple_graph clique stmt-graph формулировка как теорема моцкина-штрауса ai_checked для конечного простого графа \\(g=(v,e)\\) с кликовым числом \\(\\omega(g)=k\\) докажите, что \\(\\max \\sum_{uv\\in e} x_u x_v=(k-1)/(2k)\\), где максимум берётся по всем \\(x_v\\ge0\\) с \\(\\sum_{v\\in v}x_v=1\\). simple_graph clique idea-lower-bound-clique равномерно нагрузить максимальную клику если выбрать клику размера \\(k\\) и дать каждой её вершине метку \\(1/k\\), а всем остальным - ноль, то вклад дают ровно \\(k(k-1)/2\\) рёбер клики, и сумма равна \\((k-1)/(2k)\\). forbidden_clique goal_construction ai_checked idea-merge-nonadjacent-positive-weights сливать положительные веса несмежных вершин если две несмежные вершины имеют положительные метки, то можно перенести весь их общий вес на ту из них, у которой сумма меток соседей не меньше. значение разметки не уменьшается, а число положительных меток уменьшается. extremal_choice symmetrization ai_checked sol-official-motzkin-straus сжатие носителя до клики ai_checked clique symmetrization extremal_choice сначала получим нижнюю оценку. возьмём максимальную клику размера \\(k\\), всем её вершинам присвоим метку \\(1/k\\), а всем остальным вершинам - метку \\(0\\). в этой клике \\(k(k-1)/2\\) рёбер, каждое имеет значение \\(1/k^2\\), поэтому значение разметки равно \\((k-1)/(2k)\\). докажем, что больше получить нельзя. рассмотрим произвольную разметку. если существуют две несмежные вершины \\(u\\) и \\(v\\) с положительными метками \\(a\\) и \\(b\\), обозначим через \\(s_u\\) и \\(s_v\\) суммы меток соседей вершин \\(u\\) и \\(v\\). поскольку \\(u\\) и \\(v\\) не смежны, ребра \\(uv\\) нет, а значит вклад всех рёбер, инцидентных хотя бы одной из этих двух вершин, равен \\(as_u+bs_v\\). если \\(s_u\\ge s_v\\), заменим метки \\(u,v\\) на \\(a+b,0\\). тогда новый такой вклад равен \\((a+b)s_u\\), а разность равна \\(b(s_u-s_v)\\ge0\\). если же \\(s_v>s_u\\), заменим метки \\(u,v\\) на \\(0,a+b\\); новый вклад равен \\((a+b)s_v\\), а разность равна… simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling maksimum summy proizvedeniy metok na rebrah i klikovoe chislo, smmc 2019 b3 extremal_graph_theory extremal_choice forbidden_clique goal_exact_bound symmetrization classical_theorem 2019 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2019-solutions_1.pdf problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2019 b3, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2019 smmc smmc2019 src-simon-marais-2019-b3-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2019 b3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(g\\) - konechnyy prostoy graf, a \\(k\\) - naibolshee chislo vershin v klike grafa \\(g\\). kazhdoy vershine \\(g\\) prisvaivaetsya neotritsatelnoe veschestvennoe chislo tak, chto summa vseh metok ravna \\(1\\). znacheniem rebra nazyvaetsya proizvedenie metok dvuh ego kontsov, a znacheniem razmetki - summa znacheniy vseh reber. dokazhite, chto maksimalnoe vozmozhnoe znachenie razmetki grafa \\(g\\) ravno \\((k-1)/(2k)\\). simple_graph clique stmt-graph formulirovka kak teorema motskina-shtrausa ai_checked dlya konechnogo prostogo grafa \\(g=(v,e)\\) s klikovym chislom \\(\\omega(g)=k\\) dokazhite, chto \\(\\max \\sum_{uv\\in e} x_u x_v=(k-1)/(2k)\\), gde maksimum beretsya po vsem \\(x_v\\ge0\\) s \\(\\sum_{v\\in v}x_v=1\\). simple_graph clique idea-lower-bound-clique ravnomerno nagruzit maksimalnuyu kliku esli vybrat kliku razmera \\(k\\) i dat kazhdoy ee vershine metku \\(1/k\\), a vsem ostalnym - nol, to vklad dayut rovno \\(k(k-1)/2\\) reber kliki, i summa ravna \\((k-1)/(2k)\\). forbidden_clique goal_construction ai_checked idea-merge-nonadjacent-positive-weights slivat polozhitelnye vesa nesmezhnyh vershin esli dve nesmezhnye vershiny imeyut polozhitelnye metki, to mozhno perenesti ves ih obschiy ves na tu iz nih, u kotoroy summa metok sosedey ne menshe. znachenie razmetki ne umenshaetsya, a chislo polozhitelnyh metok umenshaetsya. extremal_choice symmetrization ai_checked sol-official-motzkin-straus szhatie nositelya do kliki ai_checked clique symmetrization extremal_choice snachala poluchim nizhnyuyu otsenku. vozmem maksimalnuyu kliku razmera \\(k\\), vsem ee vershinam prisvoim metku \\(1/k\\), a vsem ostalnym vershinam - metku \\(0\\). v etoy klike \\(k(k-1)/2\\) reber, kazhdoe imeet znachenie \\(1/k^2\\), poetomu znachenie razmetki ravno \\((k-1)/(2k)\\). dokazhem, chto bolshe poluchit nelzya. rassmotrim proizvolnuyu razmetku. esli suschestvuyut dve nesmezhnye vershiny \\(u\\) i \\(v\\) s polozhitelnymi metkami \\(a\\) i \\(b\\), oboznachim cherez \\(s_u\\) i \\(s_v\\) summy metok sosedey vershin \\(u\\) i \\(v\\). poskolku \\(u\\) i \\(v\\) ne smezhny, rebra \\(uv\\) net, a znachit vklad vseh reber, intsidentnyh hotya by odnoy iz etih dvuh vershin, raven \\(as_u+bs_v\\). esli \\(s_u\\ge s_v\\), zamenim metki \\(u,v\\) na \\(a+b,0\\). togda novyy takoy vklad raven \\((a+b)s_u\\), a raznost ravna \\(b(s_u-s_v)\\ge0\\). esli zhe \\(s_v>s_u\\), zamenim metki \\(u,v\\) na \\(0,a+b\\); novyy vklad raven \\((a+b)s_v\\), a raznost ravna…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2020-a1-odd-cycle-line-transversal","title":"Нечетная 2-регулярная конфигурация и прямая-трансверсаль, Simon Marais 2020 A1","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2020-a1-odd-cycle-line-transversal.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2020-a1-odd-cycle-line-transversal.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2020-a1-odd-cycle-line-transversal","source_key":"simon","source_label":"Simon Marais","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2020 A1, официальные условия и решения"],"year":"2020","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","coloring","parity_coloring","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Ключевой шаг - увидеть 2-регулярный граф и нечетную компоненту; после этого работает стандартная паритетная раскраска сторон прямой.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В плоскости даны 1001 точка, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Эти точки соединены 1001 отрезком так, что каждая точка является концом ровно двух отрезков. Докажите, что не существует прямой, которая пересекает каждый из этих 1001 отрезков во внутренней точке.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Нечетная 2-регулярная конфигурация и прямая-трансверсаль, Simon Marais 2020 A1","status":"ai_checked","text":"Дан прямолинейно вложенный в плоскость 2-регулярный граф \\(G\\) с \\(1001\\) вершиной и \\(1001\\) ребром; никакие три вершины не лежат на одной прямой. Докажите, что не существует прямой, пересекающей внутренности всех рёбер \\(G\\).","definition_ids":["cycle","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-odd-cycle","title":"Нечетный цикл и стороны прямой","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","degree"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф G: вершины - данные точки, ребра - данные отрезки. По условию каждая вершина имеет степень 2, поэтому каждая связная компонента G является циклом. Суммарное число вершин равно 1001, значит хотя бы одна компонента C имеет нечетное число вершин. Пусть, к противоречию, существует прямая L, пересекающая каждое ребро во внутренней точке. Прямая L не может проходить через данную вершину P: две инцидентные ей стороны PA и PB могли бы пересекаться с L во внутренних точках только если соответственно A и B тоже лежат на L, но из-за отсутствия трех коллинеарных точек это возможно не более чем для одной из них. Значит все вершины C лежат вне L. Если L пересекает ребро цикла, его концы лежат по разные стороны от L. Следовательно, обходя C, мы должны чередовать стороны прямой. Это невозможно на нечетном цикле: последняя вершина после чередования оказывается на той же стороне, что и перв…"}],"relations":[{"id":"rel-simon-marais-2020-a1-cmo-1994-p3-odd-cycle-alternation","neighbor_id":"cmo-1994-p3-voting-stabilizes-cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2020-a1-odd-cycle","neighbor_id":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"simon-marais-2020-a1-odd-cycle-line-transversal нечетная 2-регулярная конфигурация и прямая-трансверсаль, simon marais 2020 a1 graph_model coloring parity_coloring goal_impossibility 2020 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2020-solutions_1.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2020 a1, официальные условия и решения simon2020 simonmarais simonmarais2020 src-simon-marais-2020-a1-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2020 a1, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked в плоскости даны 1001 точка, никакие три из которых не лежат на одной прямой. эти точки соединены 1001 отрезком так, что каждая точка является концом ровно двух отрезков. докажите, что не существует прямой, которая пересекает каждый из этих 1001 отрезков во внутренней точке. stmt-graph нечетная 2-регулярная конфигурация и прямая-трансверсаль, simon marais 2020 a1 ai_checked дан прямолинейно вложенный в плоскость 2-регулярный граф \\(g\\) с \\(1001\\) вершиной и \\(1001\\) ребром; никакие три вершины не лежат на одной прямой. докажите, что не существует прямой, пересекающей внутренности всех рёбер \\(g\\). cycle degree idea-odd-cycle-not-cut-by-one-line в 2-регулярном графе есть нечетный цикл граф со всеми степенями 2 распадается на циклы. так как всего вершин нечетное число, одна компонента является нечетным циклом. если прямая пересекает каждое его ребро, соседние вершины цикла должны лежать по разные стороны от прямой, что дало бы правильную 2-раскраску нечетного цикла. graph_model coloring parity_coloring goal_impossibility ai_checked sol-official-odd-cycle нечетный цикл и стороны прямой ai_checked cycle degree pigeonhole_principle invariant построим граф g: вершины - данные точки, ребра - данные отрезки. по условию каждая вершина имеет степень 2, поэтому каждая связная компонента g является циклом. суммарное число вершин равно 1001, значит хотя бы одна компонента c имеет нечетное число вершин. пусть, к противоречию, существует прямая l, пересекающая каждое ребро во внутренней точке. прямая l не может проходить через данную вершину p: две инцидентные ей стороны pa и pb могли бы пересекаться с l во внутренних точках только если соответственно a и b тоже лежат на l, но из-за отсутствия трех коллинеарных точек это возможно не более чем для одной из них. значит все вершины c лежат вне l. если l пересекает ребро цикла, его концы лежат по разные стороны от l. следовательно, обходя c, мы должны чередовать стороны прямой. это невозможно на нечетном цикле: последняя вершина после чередования оказывается на той же стороне, что и перв… simon-marais-2020-a1-odd-cycle-line-transversal nechetnaya 2-regulyarnaya konfiguratsiya i pryamaya-transversal, simon marais 2020 a1 graph_model coloring parity_coloring goal_impossibility 2020 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2020-solutions_1.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2020 a1, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2020 simonmarais simonmarais2020 src-simon-marais-2020-a1-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2020 a1, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked v ploskosti dany 1001 tochka, nikakie tri iz kotoryh ne lezhat na odnoy pryamoy. eti tochki soedineny 1001 otrezkom tak, chto kazhdaya tochka yavlyaetsya kontsom rovno dvuh otrezkov. dokazhite, chto ne suschestvuet pryamoy, kotoraya peresekaet kazhdyy iz etih 1001 otrezkov vo vnutrenney tochke. stmt-graph nechetnaya 2-regulyarnaya konfiguratsiya i pryamaya-transversal, simon marais 2020 a1 ai_checked dan pryamolineyno vlozhennyy v ploskost 2-regulyarnyy graf \\(g\\) s \\(1001\\) vershinoy i \\(1001\\) rebrom; nikakie tri vershiny ne lezhat na odnoy pryamoy. dokazhite, chto ne suschestvuet pryamoy, peresekayuschey vnutrennosti vseh reber \\(g\\). cycle degree idea-odd-cycle-not-cut-by-one-line v 2-regulyarnom grafe est nechetnyy tsikl graf so vsemi stepenyami 2 raspadaetsya na tsikly. tak kak vsego vershin nechetnoe chislo, odna komponenta yavlyaetsya nechetnym tsiklom. esli pryamaya peresekaet kazhdoe ego rebro, sosednie vershiny tsikla dolzhny lezhat po raznye storony ot pryamoy, chto dalo by pravilnuyu 2-raskrasku nechetnogo tsikla. graph_model coloring parity_coloring goal_impossibility ai_checked sol-official-odd-cycle nechetnyy tsikl i storony pryamoy ai_checked cycle degree pigeonhole_principle invariant postroim graf g: vershiny - dannye tochki, rebra - dannye otrezki. po usloviyu kazhdaya vershina imeet stepen 2, poetomu kazhdaya svyaznaya komponenta g yavlyaetsya tsiklom. summarnoe chislo vershin ravno 1001, znachit hotya by odna komponenta c imeet nechetnoe chislo vershin. pust, k protivorechiyu, suschestvuet pryamaya l, peresekayuschaya kazhdoe rebro vo vnutrenney tochke. pryamaya l ne mozhet prohodit cherez dannuyu vershinu p: dve intsidentnye ey storony pa i pb mogli by peresekatsya s l vo vnutrennih tochkah tolko esli sootvetstvenno a i b tozhe lezhat na l, no iz-za otsutstviya treh kollinearnyh tochek eto vozmozhno ne bolee chem dlya odnoy iz nih. znachit vse vershiny c lezhat vne l. esli l peresekaet rebro tsikla, ego kontsy lezhat po raznye storony ot l. sledovatelno, obhodya c, my dolzhny cheredovat storony pryamoy. eto nevozmozhno na nechetnom tsikle: poslednyaya vershina posle cheredovaniya okazyvaetsya na toy zhe storone, chto i perv…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2020-b4-rainbow-distance-clique-polygon","title":"Радужная клика по расстояниям в правильном многоугольнике, Simon Marais 2020 B4","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2020-b4-rainbow-distance-clique-polygon.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2020-b4-rainbow-distance-clique-polygon.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2020-b4-rainbow-distance-clique-polygon","source_key":"simon","source_label":"Simon Marais","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2020 B4, официальные условия и решения"],"year":"2020","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","coloring","construction","goal_construction","goal_classification"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":13,"comment":"Часть (a) использует конструкцию Сингера через конечное поле \\(\\mathbb F_{p^3}\\), проективную прямую и циклическую факторгруппу; часть (b) в официальном источнике явно оставлена открытой.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge 2\\), а \\(P_n\\) — правильный многоугольник с \\(n^2-n+1\\) вершинами. Назовём \\(n\\) натянутым, если можно выбрать \\(n\\) вершин \\(P_n\\) так, чтобы все попарные расстояния между выбранными вершинами были различны. (a) Докажите, что если \\(n-1\\) простое, то \\(n\\) натянуто. (b) Какие \\(n\\ge 2\\) натянуты?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Радужная клика по расстояниям в правильном многоугольнике, Simon Marais 2020 B4","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(N=n^2-n+1\\). Рассмотрим полный граф на вершинах правильного \\(N\\)-угольника и покрасим каждое ребро цветом, равным евклидову расстоянию между его концами. Число \\(n\\) натянуто тогда и только тогда, когда в этой раскраске существует радужная клика \\(K_n\\), то есть \\(n\\) вершин, на которых все \\(\\binom n2\\) рёбер имеют попарно различные цвета. Докажите существование такой клики при простом \\(n-1\\) и определите все значения \\(n\\), для которых она существует.","definition_ids":["complete_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-part-a","title":"Часть (a): конструкция Сингера при простом \\(n-1\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Положим \\(p=n-1\\) и \\(N=n^2-n+1=p^2+p+1\\). Занумеруем вершины правильного \\(N\\)-угольника элементами \\(\\mathbb Z_N\\) по кругу. Для двух пар вершин \\(i,j\\) и \\(k,l\\) расстояния равны тогда и только тогда, когда \\(i-j=\\pm(k-l)\\) в \\(\\mathbb Z_N\\). Поэтому достаточно построить множество \\(D\\subset \\mathbb Z_N\\) из \\(p+1=n\\) элементов, у которого все \\(p(p+1)=N-1\\) упорядоченные разности \\(x-y\\), где \\(x,y\\in D\\) и \\(x\\ne y\\), попарно различны. Тогда они автоматически пробегают все ненулевые элементы \\(\\mathbb Z_N\\), а равенство двух неориентированных расстояний между выбранными вершинами могло бы дать равенство двух таких упорядоченных разностей с точностью до знака; это возможно только для одной и той же неупорядоченной пары. Построим такое \\(D\\). Пусть \\(F=\\mathbb F_p\\), а \\(E\\) — поле из \\(p^3\\) элементов, содержащее \\(F\\). Обозначим \\(G=E^*\\) и \\(H=F^*\\). Мультипликативная группа конеч…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2020-b4-imo-1998-c6-rainbow-complete-graph-coloring","neighbor_id":"imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"simon-marais-2020-b4-rainbow-distance-clique-polygon радужная клика по расстояниям в правильном многоугольнике, simon marais 2020 b4 graph_model coloring construction goal_construction goal_classification 2020 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2020-solutions_1.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2020 b4, официальные условия и решения simon2020 simonmarais simonmarais2020 src-simon-marais-2020-b4-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2020 b4, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(n\\ge 2\\), а \\(p_n\\) — правильный многоугольник с \\(n^2-n+1\\) вершинами. назовём \\(n\\) натянутым, если можно выбрать \\(n\\) вершин \\(p_n\\) так, чтобы все попарные расстояния между выбранными вершинами были различны. (a) докажите, что если \\(n-1\\) простое, то \\(n\\) натянуто. (b) какие \\(n\\ge 2\\) натянуты? stmt-graph радужная клика по расстояниям в правильном многоугольнике, simon marais 2020 b4 ai_checked пусть \\(n=n^2-n+1\\). рассмотрим полный граф на вершинах правильного \\(n\\)-угольника и покрасим каждое ребро цветом, равным евклидову расстоянию между его концами. число \\(n\\) натянуто тогда и только тогда, когда в этой раскраске существует радужная клика \\(k_n\\), то есть \\(n\\) вершин, на которых все \\(\\binom n2\\) рёбер имеют попарно различные цвета. докажите существование такой клики при простом \\(n-1\\) и определите все значения \\(n\\), для которых она существует. complete_graph clique idea-singer-difference-set расстояния как разности в циклической группе если вершины правильного \\(n\\)-угольника занумеровать элементами \\(\\mathbb z_n\\), то равенство расстояний эквивалентно равенству циклических разностей с точностью до знака. поэтому достаточно найти \\(n\\)-элементное множество, у которого все упорядоченные ненулевые разности различны. при \\(n-1=p\\) такое множество даёт проективная прямая в плоскости над \\(\\mathbb f_p\\), отождествлённой с циклической группой порядка \\(p^2+p+1\\). graph_model coloring construction ai_checked idea-open-prime-power-conjecture открытая часть сводится к гипотезе о степенях простого числа официальное обсуждение после части (a) переводит часть (b) на язык абелевых планарных разностных множеств. та же конструкция работает для любого простого степенного \\(n-1\\), а обратное утверждение является prime power conjecture; в официальном источнике полная классификация не заявлена как известная. goal_classification ai_checked sol-official-part-a часть (a): конструкция сингера при простом \\(n-1\\) ai_checked complete_graph clique положим \\(p=n-1\\) и \\(n=n^2-n+1=p^2+p+1\\). занумеруем вершины правильного \\(n\\)-угольника элементами \\(\\mathbb z_n\\) по кругу. для двух пар вершин \\(i,j\\) и \\(k,l\\) расстояния равны тогда и только тогда, когда \\(i-j=\\pm(k-l)\\) в \\(\\mathbb z_n\\). поэтому достаточно построить множество \\(d\\subset \\mathbb z_n\\) из \\(p+1=n\\) элементов, у которого все \\(p(p+1)=n-1\\) упорядоченные разности \\(x-y\\), где \\(x,y\\in d\\) и \\(x\\ne y\\), попарно различны. тогда они автоматически пробегают все ненулевые элементы \\(\\mathbb z_n\\), а равенство двух неориентированных расстояний между выбранными вершинами могло бы дать равенство двух таких упорядоченных разностей с точностью до знака; это возможно только для одной и той же неупорядоченной пары. построим такое \\(d\\). пусть \\(f=\\mathbb f_p\\), а \\(e\\) — поле из \\(p^3\\) элементов, содержащее \\(f\\). обозначим \\(g=e^*\\) и \\(h=f^*\\). мультипликативная группа конеч… simon-marais-2020-b4-rainbow-distance-clique-polygon raduzhnaya klika po rasstoyaniyam v pravilnom mnogougolnike, simon marais 2020 b4 graph_model coloring construction goal_construction goal_classification 2020 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2020-solutions_1.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2020 b4, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2020 simonmarais simonmarais2020 src-simon-marais-2020-b4-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2020 b4, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(n\\ge 2\\), a \\(p_n\\) — pravilnyy mnogougolnik s \\(n^2-n+1\\) vershinami. nazovem \\(n\\) natyanutym, esli mozhno vybrat \\(n\\) vershin \\(p_n\\) tak, chtoby vse poparnye rasstoyaniya mezhdu vybrannymi vershinami byli razlichny. (a) dokazhite, chto esli \\(n-1\\) prostoe, to \\(n\\) natyanuto. (b) kakie \\(n\\ge 2\\) natyanuty? stmt-graph raduzhnaya klika po rasstoyaniyam v pravilnom mnogougolnike, simon marais 2020 b4 ai_checked pust \\(n=n^2-n+1\\). rassmotrim polnyy graf na vershinah pravilnogo \\(n\\)-ugolnika i pokrasim kazhdoe rebro tsvetom, ravnym evklidovu rasstoyaniyu mezhdu ego kontsami. chislo \\(n\\) natyanuto togda i tolko togda, kogda v etoy raskraske suschestvuet raduzhnaya klika \\(k_n\\), to est \\(n\\) vershin, na kotoryh vse \\(\\binom n2\\) reber imeyut poparno razlichnye tsveta. dokazhite suschestvovanie takoy kliki pri prostom \\(n-1\\) i opredelite vse znacheniya \\(n\\), dlya kotoryh ona suschestvuet. complete_graph clique idea-singer-difference-set rasstoyaniya kak raznosti v tsiklicheskoy gruppe esli vershiny pravilnogo \\(n\\)-ugolnika zanumerovat elementami \\(\\mathbb z_n\\), to ravenstvo rasstoyaniy ekvivalentno ravenstvu tsiklicheskih raznostey s tochnostyu do znaka. poetomu dostatochno nayti \\(n\\)-elementnoe mnozhestvo, u kotorogo vse uporyadochennye nenulevye raznosti razlichny. pri \\(n-1=p\\) takoe mnozhestvo daet proektivnaya pryamaya v ploskosti nad \\(\\mathbb f_p\\), otozhdestvlennoy s tsiklicheskoy gruppoy poryadka \\(p^2+p+1\\). graph_model coloring construction ai_checked idea-open-prime-power-conjecture otkrytaya chast svoditsya k gipoteze o stepenyah prostogo chisla ofitsialnoe obsuzhdenie posle chasti (a) perevodit chast (b) na yazyk abelevyh planarnyh raznostnyh mnozhestv. ta zhe konstruktsiya rabotaet dlya lyubogo prostogo stepennogo \\(n-1\\), a obratnoe utverzhdenie yavlyaetsya prime power conjecture; v ofitsialnom istochnike polnaya klassifikatsiya ne zayavlena kak izvestnaya. goal_classification ai_checked sol-official-part-a chast (a): konstruktsiya singera pri prostom \\(n-1\\) ai_checked complete_graph clique polozhim \\(p=n-1\\) i \\(n=n^2-n+1=p^2+p+1\\). zanumeruem vershiny pravilnogo \\(n\\)-ugolnika elementami \\(\\mathbb z_n\\) po krugu. dlya dvuh par vershin \\(i,j\\) i \\(k,l\\) rasstoyaniya ravny togda i tolko togda, kogda \\(i-j=\\pm(k-l)\\) v \\(\\mathbb z_n\\). poetomu dostatochno postroit mnozhestvo \\(d\\subset \\mathbb z_n\\) iz \\(p+1=n\\) elementov, u kotorogo vse \\(p(p+1)=n-1\\) uporyadochennye raznosti \\(x-y\\), gde \\(x,y\\in d\\) i \\(x\\ne y\\), poparno razlichny. togda oni avtomaticheski probegayut vse nenulevye elementy \\(\\mathbb z_n\\), a ravenstvo dvuh neorientirovannyh rasstoyaniy mezhdu vybrannymi vershinami moglo by dat ravenstvo dvuh takih uporyadochennyh raznostey s tochnostyu do znaka; eto vozmozhno tolko dlya odnoy i toy zhe neuporyadochennoy pary. postroim takoe \\(d\\). pust \\(f=\\mathbb f_p\\), a \\(e\\) — pole iz \\(p^3\\) elementov, soderzhaschee \\(f\\). oboznachim \\(g=e^*\\) i \\(h=f^*\\). multiplikativnaya gruppa konech…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2021-a3-determinants-cycle-components","title":"Детерминанты 0-1 матриц с короткими строками, Simon Marais 2021 A3","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2021-a3-determinants-cycle-components.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2021-a3-determinants-cycle-components.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2021-a3-determinants-cycle-components","source_key":"simon","source_label":"Simon Marais","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2021 A3, официальные условия и решения"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_in_solution","degree_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Задача требует аккуратно связать разложения детерминанта с удалением листьев в мультиграфе, доказать блочный вклад чётных и нечётных циклов и отдельно проверить достижимость всех знаков.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть M - множество всех матриц 2021 на 2021, у которых в каждой строке не более двух элементов равны 1, а все остальные элементы равны 0. Определите размер множества {det A: A принадлежит M}.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-graph-pruning","title":"Мультиграф строк и столбцов","status":"ai_checked","definition_ids":["multigraph","cycle","degree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если у матрицы есть нулевая строка, то её детерминант равен 0. Если есть строка с одной единицей, разложим детерминант по этой строке и удалим эту строку вместе с соответствующим столбцом; модуль детерминанта не изменится. Повторяем эту процедуру. Если в какой-то момент не осталось строк, получаем модуль 1; если появилась нулевая строка, получаем 0. Иначе все оставшиеся строки содержат ровно две единицы. В этом случае считаем оставшиеся столбцы вершинами, а каждую строку - ребром между двумя столбцами, в которых стоят единицы. Петель нет, потому что в одной строке две единицы стоят в разных столбцах, но кратные рёбра возможны. Если в получившемся мультиграфе есть изолированная вершина, то соответствующий столбец нулевой и детерминант равен 0. Если есть вершина степени 1, то соответствующий столбец содержит единственную единицу, и разложение по этому столбцу удаляет листовое ребро и эту…"}],"relations":[{"id":"rel-simon-marais-2021-a3-imc-2001-determinant-cycles","neighbor_id":"imc-2001-day2-p4-zero-principal-minors-acyclic-digraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2021-a3-schweitzer-1951-determinant-support","neighbor_id":"miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2021-a3-putnam-2021-b5","neighbor_id":"putnam-2021-b5-very-odd-matrices-dag","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"simon-marais-2021-a3-determinants-cycle-components детерминанты 0-1 матриц с короткими строками, simon marais 2021 a3 graph_in_solution degree_counting goal_counting 2021 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2021-solutions.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2021 a3, официальные условия и решения simon2021 simonmarais simonmarais2021 src-simon-marais-2021-a3-official with_solution simon marais mathematics competition 2021 a3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть m - множество всех матриц 2021 на 2021, у которых в каждой строке не более двух элементов равны 1, а все остальные элементы равны 0. определите размер множества {det a: a принадлежит m}. idea-prune-to-cycle-components удаление листьев оставляет объединение циклов строка с одной единицей и соответствующий столбец удаляются разложением лапласа без изменения модуля детерминанта. когда все оставшиеся строки имеют по две единицы, они задают рёбра мультиграфа. если в этом графе есть изолированная вершина, соответствующий столбец нулевой; если есть вершина степени 1, по соответствующему столбцу снова можно разложить детерминант и удалить лист. после всех таких удалений остаётся граф с n вершинами, n рёбрами и минимальной степенью хотя бы 2. тогда сумма степеней равна 2n, поэтому все степени равны 2, то есть компоненты являются циклами. graph_in_solution degree_counting goal_counting ai_checked sol-official-graph-pruning мультиграф строк и столбцов ai_checked multigraph cycle degree delete_to_simplify double_counting если у матрицы есть нулевая строка, то её детерминант равен 0. если есть строка с одной единицей, разложим детерминант по этой строке и удалим эту строку вместе с соответствующим столбцом; модуль детерминанта не изменится. повторяем эту процедуру. если в какой-то момент не осталось строк, получаем модуль 1; если появилась нулевая строка, получаем 0. иначе все оставшиеся строки содержат ровно две единицы. в этом случае считаем оставшиеся столбцы вершинами, а каждую строку - ребром между двумя столбцами, в которых стоят единицы. петель нет, потому что в одной строке две единицы стоят в разных столбцах, но кратные рёбра возможны. если в получившемся мультиграфе есть изолированная вершина, то соответствующий столбец нулевой и детерминант равен 0. если есть вершина степени 1, то соответствующий столбец содержит единственную единицу, и разложение по этому столбцу удаляет листовое ребро и эту… simon-marais-2021-a3-determinants-cycle-components determinanty 0-1 matrits s korotkimi strokami, simon marais 2021 a3 graph_in_solution degree_counting goal_counting 2021 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2021-solutions.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2021 a3, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2021 simonmarais simonmarais2021 src-simon-marais-2021-a3-official with_solution simon marais mathematics competition 2021 a3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust m - mnozhestvo vseh matrits 2021 na 2021, u kotoryh v kazhdoy stroke ne bolee dvuh elementov ravny 1, a vse ostalnye elementy ravny 0. opredelite razmer mnozhestva {det a: a prinadlezhit m}. idea-prune-to-cycle-components udalenie listev ostavlyaet obedinenie tsiklov stroka s odnoy edinitsey i sootvetstvuyuschiy stolbets udalyayutsya razlozheniem laplasa bez izmeneniya modulya determinanta. kogda vse ostavshiesya stroki imeyut po dve edinitsy, oni zadayut rebra multigrafa. esli v etom grafe est izolirovannaya vershina, sootvetstvuyuschiy stolbets nulevoy; esli est vershina stepeni 1, po sootvetstvuyuschemu stolbtsu snova mozhno razlozhit determinant i udalit list. posle vseh takih udaleniy ostaetsya graf s n vershinami, n rebrami i minimalnoy stepenyu hotya by 2. togda summa stepeney ravna 2n, poetomu vse stepeni ravny 2, to est komponenty yavlyayutsya tsiklami. graph_in_solution degree_counting goal_counting ai_checked sol-official-graph-pruning multigraf strok i stolbtsov ai_checked multigraph cycle degree delete_to_simplify double_counting esli u matritsy est nulevaya stroka, to ee determinant raven 0. esli est stroka s odnoy edinitsey, razlozhim determinant po etoy stroke i udalim etu stroku vmeste s sootvetstvuyuschim stolbtsom; modul determinanta ne izmenitsya. povtoryaem etu protseduru. esli v kakoy-to moment ne ostalos strok, poluchaem modul 1; esli poyavilas nulevaya stroka, poluchaem 0. inache vse ostavshiesya stroki soderzhat rovno dve edinitsy. v etom sluchae schitaem ostavshiesya stolbtsy vershinami, a kazhduyu stroku - rebrom mezhdu dvumya stolbtsami, v kotoryh stoyat edinitsy. petel net, potomu chto v odnoy stroke dve edinitsy stoyat v raznyh stolbtsah, no kratnye rebra vozmozhny. esli v poluchivshemsya multigrafe est izolirovannaya vershina, to sootvetstvuyuschiy stolbets nulevoy i determinant raven 0. esli est vershina stepeni 1, to sootvetstvuyuschiy stolbets soderzhit edinstvennuyu edinitsu, i razlozhenie po etomu stolbtsu udalyaet listovoe rebro i etu…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2022-c3-random-walk-cycle-five","title":"Случайное блуждание по циклу из пяти вершин, Simon Marais 2022 C3","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2022-c3-random-walk-cycle-five.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2022-c3-random-walk-cycle-five.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2022-c3-random-walk-cycle-five","source_key":"simon","source_label":"Simon Marais","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2022 C3, официальные условия и решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","graph_symmetry","induction","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"После перехода к циклу C5 достаточно симметрии и короткой индукции по четным временам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Кузнечик сидит на числовой прямой, изначально в точке 0. Каждую секунду он прыгает на единицу влево или вправо с равными вероятностями; направления прыжков независимы. Пусть p - вероятность того, что после 2022 прыжков кузнечик находится в числе, делящемся на 5. Определите, верно ли p<1/5, p=1/5 или p>1/5.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Случайное блуждание по циклу из пяти вершин, Simon Marais 2022 C3","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим простой случайный обход на цикле \\(C_5\\) с вершинами \\(0,1,2,3,4\\), стартующий в вершине \\(0\\). Сравните с \\(1/5\\) вероятность оказаться в вершине \\(0\\) после \\(2022\\) шагов.","definition_ids":["cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-cycle-recurrence","title":"Рекуррентное решение на C5","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сведем задачу к остаткам по модулю 5. После каждого прыжка остаток меняется на `+1` или `-1`, поэтому мы получаем простой случайный обход по циклу `C5` с вершинами `0,1,2,3,4`. Искомая вероятность `p` равна вероятности оказаться в вершине `0` после 2022 шагов. Пусть после `n` шагов вероятности в остатках `0,1,2,3,4` равны соответственно `a_n,b_n,c_n,d_n,e_n`. Старт и правило перехода симметричны относительно отражения цикла, меняющего `1` с `4` и `2` с `3`, поэтому для всех `n` имеем `b_n=e_n` и `c_n=d_n`. Значит достаточно следить за тремя числами `a_n,b_n,c_n`. Из вершины `0` можно попасть только в `1` или `4`, из вершины `1` - в `0` или `2`, а из вершины `2` - в `1` или `3`. С учетом симметрии получаем рекуррентные формулы `a_{n+1}=b_n`, `b_{n+1}=(a_n+c_n)/2`, `c_{n+1}=(b_n+c_n)/2`. Докажем индукцией по четным `n>0`, что `a_n>c_n>b_n`. Для `n=2` это видно непосредственно: за два шага…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2022-c3-imc-2022-flea-cycle-walk-recurrence","neighbor_id":"imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"simon-marais-2022-c3-random-walk-cycle-five случайное блуждание по циклу из пяти вершин, simon marais 2022 c3 graph_model graph_symmetry induction goal_bound 2022 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2022-solutions.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2022 c3, официальные условия и решения simon2022 simonmarais simonmarais2022 src-simon-marais-2022-c3-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2022 c3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked кузнечик сидит на числовой прямой, изначально в точке 0. каждую секунду он прыгает на единицу влево или вправо с равными вероятностями; направления прыжков независимы. пусть p - вероятность того, что после 2022 прыжков кузнечик находится в числе, делящемся на 5. определите, верно ли p<1/5, p=1/5 или p>1/5. stmt-graph случайное блуждание по циклу из пяти вершин, simon marais 2022 c3 ai_checked рассмотрим простой случайный обход на цикле \\(c_5\\) с вершинами \\(0,1,2,3,4\\), стартующий в вершине \\(0\\). сравните с \\(1/5\\) вероятность оказаться в вершине \\(0\\) после \\(2022\\) шагов. cycle idea-cycle-five-symmetry-order симметрия цикла и порядок вероятностей вероятности в вершинах 1 и 4 равны, как и в вершинах 2 и 3. для четных моментов можно индукцией доказать строгий порядок \\(a_n>c_n>b_n\\), где \\(a_n\\) - вероятность в 0, \\(b_n\\) - в 1 или 4, \\(c_n\\) - в 2 или 3. тогда \\(a_n\\) больше среднего значения 1/5. graph_model graph_symmetry induction goal_bound ai_checked sol-official-cycle-recurrence рекуррентное решение на c5 ai_checked cycle induction сведем задачу к остаткам по модулю 5. после каждого прыжка остаток меняется на `+1` или `-1`, поэтому мы получаем простой случайный обход по циклу `c5` с вершинами `0,1,2,3,4`. искомая вероятность `p` равна вероятности оказаться в вершине `0` после 2022 шагов. пусть после `n` шагов вероятности в остатках `0,1,2,3,4` равны соответственно `a_n,b_n,c_n,d_n,e_n`. старт и правило перехода симметричны относительно отражения цикла, меняющего `1` с `4` и `2` с `3`, поэтому для всех `n` имеем `b_n=e_n` и `c_n=d_n`. значит достаточно следить за тремя числами `a_n,b_n,c_n`. из вершины `0` можно попасть только в `1` или `4`, из вершины `1` - в `0` или `2`, а из вершины `2` - в `1` или `3`. с учетом симметрии получаем рекуррентные формулы `a_{n+1}=b_n`, `b_{n+1}=(a_n+c_n)/2`, `c_{n+1}=(b_n+c_n)/2`. докажем индукцией по четным `n>0`, что `a_n>c_n>b_n`. для `n=2` это видно непосредственно: за два шага… simon-marais-2022-c3-random-walk-cycle-five sluchaynoe bluzhdanie po tsiklu iz pyati vershin, simon marais 2022 c3 graph_model graph_symmetry induction goal_bound 2022 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2022-solutions.pdf problem_and_solution simon simon marais simon marais mathematics competition 2022 c3, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2022 simonmarais simonmarais2022 src-simon-marais-2022-c3-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2022 c3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked kuznechik sidit na chislovoy pryamoy, iznachalno v tochke 0. kazhduyu sekundu on prygaet na edinitsu vlevo ili vpravo s ravnymi veroyatnostyami; napravleniya pryzhkov nezavisimy. pust p - veroyatnost togo, chto posle 2022 pryzhkov kuznechik nahoditsya v chisle, delyaschemsya na 5. opredelite, verno li p<1/5, p=1/5 ili p>1/5. stmt-graph sluchaynoe bluzhdanie po tsiklu iz pyati vershin, simon marais 2022 c3 ai_checked rassmotrim prostoy sluchaynyy obhod na tsikle \\(c_5\\) s vershinami \\(0,1,2,3,4\\), startuyuschiy v vershine \\(0\\). sravnite s \\(1/5\\) veroyatnost okazatsya v vershine \\(0\\) posle \\(2022\\) shagov. cycle idea-cycle-five-symmetry-order simmetriya tsikla i poryadok veroyatnostey veroyatnosti v vershinah 1 i 4 ravny, kak i v vershinah 2 i 3. dlya chetnyh momentov mozhno induktsiey dokazat strogiy poryadok \\(a_n>c_n>b_n\\), gde \\(a_n\\) - veroyatnost v 0, \\(b_n\\) - v 1 ili 4, \\(c_n\\) - v 2 ili 3. togda \\(a_n\\) bolshe srednego znacheniya 1/5. graph_model graph_symmetry induction goal_bound ai_checked sol-official-cycle-recurrence rekurrentnoe reshenie na c5 ai_checked cycle induction svedem zadachu k ostatkam po modulyu 5. posle kazhdogo pryzhka ostatok menyaetsya na `+1` ili `-1`, poetomu my poluchaem prostoy sluchaynyy obhod po tsiklu `c5` s vershinami `0,1,2,3,4`. iskomaya veroyatnost `p` ravna veroyatnosti okazatsya v vershine `0` posle 2022 shagov. pust posle `n` shagov veroyatnosti v ostatkah `0,1,2,3,4` ravny sootvetstvenno `a_n,b_n,c_n,d_n,e_n`. start i pravilo perehoda simmetrichny otnositelno otrazheniya tsikla, menyayuschego `1` s `4` i `2` s `3`, poetomu dlya vseh `n` imeem `b_n=e_n` i `c_n=d_n`. znachit dostatochno sledit za tremya chislami `a_n,b_n,c_n`. iz vershiny `0` mozhno popast tolko v `1` ili `4`, iz vershiny `1` - v `0` ili `2`, a iz vershiny `2` - v `1` ili `3`. s uchetom simmetrii poluchaem rekurrentnye formuly `a_{n+1}=b_n`, `b_{n+1}=(a_n+c_n)/2`, `c_{n+1}=(b_n+c_n)/2`. dokazhem induktsiey po chetnym `n>0`, chto `a_n>c_n>b_n`. dlya `n=2` eto vidno neposredstvenno: za dva shaga…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2023-c2-line-arrangement-region-coloring","title":"Раскраска областей в расположении отрезков, SMMC 2023 C2","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2023-c2-line-arrangement-region-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2023-c2-line-arrangement-region-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2023-c2-line-arrangement-region-coloring","source_key":"simon","source_label":"SMMC","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2023 C2, официальные условия и решения"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","coloring","parity_coloring","region_adjacency","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Граф смежности и его 2-раскраска заданы в условии; основная техническая часть — выбрать координаты, в которых области дают целочисленные клетки, и аккуратно просуммировать знакопеременные площади.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Для целого \\(n\\ge2\\) рассмотрим отрезки, соединяющие точки \\((0,k)\\) и \\((n-k,0)\\) при \\(k=0,1,\\ldots,n\\). Их объединение делит плоскость на одну неограниченную область и несколько ограниченных областей, каждая из которых является треугольником или четырехугольником. Эти ограниченные области можно единственным образом раскрасить в синий и красный цвета так, что области, имеющие общую сторону, имеют разные цвета, а область с вершиной \\((0,0)\\) синяя. Найдите все \\(n\\), для которых суммарная синяя площадь равна суммарной красной площади.","definition_ids":["planar_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраска областей в расположении отрезков, SMMC 2023 C2","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G_n\\) — взвешенный граф смежности ограниченных областей разбиения: вершины соответствуют ограниченным областям, вес вершины равен площади области, а ребро соединяет две вершины, если соответствующие области имеют общий отрезок границы положительной длины. Граф \\(G_n\\) двудолен; после фиксации доли вершины области у \\((0,0)\\) нужно определить все \\(n\\), для которых суммарный вес этой доли равен суммарному весу другой доли.","definition_ids":["bipartite_graph","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-signed-area-outline","title":"Через граф смежности областей и площади ячеек","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: все нечетные \\(n\\). Обозначим через \\(\\ell_k\\) отрезок, соединяющий \\((0,k)\\) и \\((n-k,0)\\), и для \\(1\\le k\\le n-1\\) положим \\[q_k(x,y)=kx+(n-k)y-k(n-k).\\] Прямая \\(q_k=0\\) содержит \\(\\ell_k\\), а в области у начала координат все \\(q_k<0\\). При переходе через общий кусок границы, лежащий на \\(\\ell_k\\), меняется знак ровно одного \\(q_k\\), поэтому цвет области определяется четностью числа положительных \\(q_k\\). В частности, граф смежности ограниченных областей двудолен, а его 2-раскраска единственна после фиксации синего цвета у \\((0,0)\\). Теперь посчитаем синюю площадь с плюсом, а красную с минусом. Введем параметры \\(r,s\\) формулами \\[x=\\frac{(n-r)(n-s)}n,\\qquad y=\\frac{rs}n.\\] Тогда \\[q_k(x,y)=(k-r)(k-s),\\] а якобиан этой замены равен \\((s-r)/n\\). Часть плоскости, разбитая на ограниченные области, получается при \\(0k/2023\\). Затем Кейра ставит \\(k\\) королей на \\(k\\) различных клеток шахматной доски с \\(2023\\) столбцами и \\(n\\) строками. После этого Роланд ставит ладью на свободную клетку. Игроки по очереди ходят любым числом своих фигур, возможно нулевым; первой ходит Кейра. Король ходит на одну клетку по горизонтали, вертикали или диагонали. Король не может ходить на клетку, занятую другим королём, но может взять ладью. Если Кейра за один ход двигает несколько королей, она двигает их по одному. Ладья Роланда ходит на любое число клеток по горизонтали или вертикали, не может брать королей и не может проходить через клетку, занятую королём. При каких \\(k\\) Кейра может гарантировать взятие ладьи независимо от ходов Роланда и от выбранного им \\(n\\)?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Обратные шахматы: порог для погони королей за ладьёй на решётке, SMMC 2023 C4","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим прямоугольную решётку из \\(2023\\) столбцов и \\(n\\) строк. Преследователи занимают различные вершины и за свой ход могут перейти в соседние по стороне или диагонали вершины, а беглец за свой ход может пройти по одной горизонтали или вертикали на любое расстояние, но его путь не должен проходить через занятую преследователем вершину. Беглец не удаляет преследователей, а преследователи выигрывают, если один из них переходит в вершину беглеца. Сначала беглец выбирает \\(n>k/2023\\), затем преследователи выбирают \\(k\\) стартовых вершин, затем беглец выбирает свободную стартовую вершину, после чего первым ходят преследователи. Найдите все \\(k\\), при которых у преследователей есть стратегия гарантированного захвата для любого выбора \\(n\\).","definition_ids":["simple_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-threshold-1012","title":"Порог равен \\(1012\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","path"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(k\\ge1012\\). Сначала докажем, что при \\(k\\le1011\\) Роланд может избегать взятия бесконечно долго. Он выбирает число строк \\(n>2027\\cdot1012\\), что, в частности, больше \\(k/2023\\). Назовём строку безопасной в текущий момент, если она удалена по номеру хотя бы на \\(1014\\) от каждой строки, в которой стоит король. Каждый король делает небезопасными не более \\(2027\\) строк, поэтому при \\(k\\le1011\\) всегда существует безопасная строка. Роланд ставит ладью в безопасную строку. После первого хода Кейры короли всё ещё не могут находиться в этой строке, и Роланд переводит ладью горизонтально в первый столбец. Далее он повторяет один и тот же приём. Если в текущем столбце ладьи нет короля, ладья ходит вертикально в какую-нибудь безопасную строку, существующую в текущей позиции. Такой ход разрешён, потому что в её столбце нет королей, через которые ладья могла бы упереться. Если же в текущ…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2023-c4-smmc-2018-b3-pursuit-barrier","neighbor_id":"simon-marais-2018-b3-dodecahedron-spider-pursuit","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2023-c4-imo-2024-turbo","neighbor_id":"imo-2024-c4-turbo-grid-monsters-two-attempts-lower-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"simon-marais-2023-c4-reverse-chess-grid-pursuit обратные шахматы: порог для погони королей за ладьёй на решётке, smmc 2023 c4 graph_model goal_strategy_game construction invariant pigeonhole_principle 2023 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc2023solutions.pdf problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2023 c4, официальные условия и решения simon2023 smmc smmc2023 src-simon-marais-2023-c4-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2023 c4, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(k\\) — положительное целое число. кейра и роланд играют в обратные шахматы. сначала роланд выбирает положительное целое число \\(n>k/2023\\). затем кейра ставит \\(k\\) королей на \\(k\\) различных клеток шахматной доски с \\(2023\\) столбцами и \\(n\\) строками. после этого роланд ставит ладью на свободную клетку. игроки по очереди ходят любым числом своих фигур, возможно нулевым; первой ходит кейра. король ходит на одну клетку по горизонтали, вертикали или диагонали. король не может ходить на клетку, занятую другим королём, но может взять ладью. если кейра за один ход двигает несколько королей, она двигает их по одному. ладья роланда ходит на любое число клеток по горизонтали или вертикали, не может брать королей и не может проходить через клетку, занятую королём. при каких \\(k\\) кейра может гарантировать взятие ладьи независимо от ходов роланда и от выбранного им \\(n\\)? stmt-graph обратные шахматы: порог для погони королей за ладьёй на решётке, smmc 2023 c4 ai_checked рассмотрим прямоугольную решётку из \\(2023\\) столбцов и \\(n\\) строк. преследователи занимают различные вершины и за свой ход могут перейти в соседние по стороне или диагонали вершины, а беглец за свой ход может пройти по одной горизонтали или вертикали на любое расстояние, но его путь не должен проходить через занятую преследователем вершину. беглец не удаляет преследователей, а преследователи выигрывают, если один из них переходит в вершину беглеца. сначала беглец выбирает \\(n>k/2023\\), затем преследователи выбирают \\(k\\) стартовых вершин, затем беглец выбирает свободную стартовую вершину, после чего первым ходят преследователи. найдите все \\(k\\), при которых у преследователей есть стратегия гарантированного захвата для любого выбора \\(n\\). simple_graph path idea-safe-rows при \\(k\\le1011\\) ладья уходит между безопасными строками роланд выбирает очень большое число строк. в любой текущей позиции есть строка, удалённая от всех королей на большой запас. если в столбце ладьи нет короля, ладья вертикально уходит в такую строку; если король закрывает столбец, ладья сдвигается на два столбца, и тот же король уже не успевает закрыть следующий столбец. goal_strategy_game pigeonhole_principle ai_checked idea-column-barrier \\(1012\\) королей образуют движущийся барьер короли ставятся в верхней строке в нечётных столбцах \\(1,3,\\ldots,2023\\). каждый король отвечает за один двухстолбцовый блок, а вся линия каждый ход спускается на строку ниже; король, чей блок содержит ладью, становится в её столбец и не даёт ладье перескочить через линию. graph_model goal_strategy_game invariant ai_checked sol-threshold-1012 порог равен \\(1012\\) ai_checked simple_graph path pigeonhole_principle invariant ответ: \\(k\\ge1012\\). сначала докажем, что при \\(k\\le1011\\) роланд может избегать взятия бесконечно долго. он выбирает число строк \\(n>2027\\cdot1012\\), что, в частности, больше \\(k/2023\\). назовём строку безопасной в текущий момент, если она удалена по номеру хотя бы на \\(1014\\) от каждой строки, в которой стоит король. каждый король делает небезопасными не более \\(2027\\) строк, поэтому при \\(k\\le1011\\) всегда существует безопасная строка. роланд ставит ладью в безопасную строку. после первого хода кейры короли всё ещё не могут находиться в этой строке, и роланд переводит ладью горизонтально в первый столбец. далее он повторяет один и тот же приём. если в текущем столбце ладьи нет короля, ладья ходит вертикально в какую-нибудь безопасную строку, существующую в текущей позиции. такой ход разрешён, потому что в её столбце нет королей, через которые ладья могла бы упереться. если же в текущ… simon-marais-2023-c4-reverse-chess-grid-pursuit obratnye shahmaty: porog dlya pogoni koroley za ladey na reshetke, smmc 2023 c4 graph_model goal_strategy_game construction invariant pigeonhole_principle 2023 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc2023solutions.pdf problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2023 c4, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2023 smmc smmc2023 src-simon-marais-2023-c4-official with_solution ? simon marais mathematics competition 2023 c4, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(k\\) — polozhitelnoe tseloe chislo. keyra i roland igrayut v obratnye shahmaty. snachala roland vybiraet polozhitelnoe tseloe chislo \\(n>k/2023\\). zatem keyra stavit \\(k\\) koroley na \\(k\\) razlichnyh kletok shahmatnoy doski s \\(2023\\) stolbtsami i \\(n\\) strokami. posle etogo roland stavit ladyu na svobodnuyu kletku. igroki po ocheredi hodyat lyubym chislom svoih figur, vozmozhno nulevym; pervoy hodit keyra. korol hodit na odnu kletku po gorizontali, vertikali ili diagonali. korol ne mozhet hodit na kletku, zanyatuyu drugim korolem, no mozhet vzyat ladyu. esli keyra za odin hod dvigaet neskolko koroley, ona dvigaet ih po odnomu. ladya rolanda hodit na lyuboe chislo kletok po gorizontali ili vertikali, ne mozhet brat koroley i ne mozhet prohodit cherez kletku, zanyatuyu korolem. pri kakih \\(k\\) keyra mozhet garantirovat vzyatie ladi nezavisimo ot hodov rolanda i ot vybrannogo im \\(n\\)? stmt-graph obratnye shahmaty: porog dlya pogoni koroley za ladey na reshetke, smmc 2023 c4 ai_checked rassmotrim pryamougolnuyu reshetku iz \\(2023\\) stolbtsov i \\(n\\) strok. presledovateli zanimayut razlichnye vershiny i za svoy hod mogut pereyti v sosednie po storone ili diagonali vershiny, a beglets za svoy hod mozhet proyti po odnoy gorizontali ili vertikali na lyuboe rasstoyanie, no ego put ne dolzhen prohodit cherez zanyatuyu presledovatelem vershinu. beglets ne udalyaet presledovateley, a presledovateli vyigryvayut, esli odin iz nih perehodit v vershinu begletsa. snachala beglets vybiraet \\(n>k/2023\\), zatem presledovateli vybirayut \\(k\\) startovyh vershin, zatem beglets vybiraet svobodnuyu startovuyu vershinu, posle chego pervym hodyat presledovateli. naydite vse \\(k\\), pri kotoryh u presledovateley est strategiya garantirovannogo zahvata dlya lyubogo vybora \\(n\\). simple_graph path idea-safe-rows pri \\(k\\le1011\\) ladya uhodit mezhdu bezopasnymi strokami roland vybiraet ochen bolshoe chislo strok. v lyuboy tekuschey pozitsii est stroka, udalennaya ot vseh koroley na bolshoy zapas. esli v stolbtse ladi net korolya, ladya vertikalno uhodit v takuyu stroku; esli korol zakryvaet stolbets, ladya sdvigaetsya na dva stolbtsa, i tot zhe korol uzhe ne uspevaet zakryt sleduyuschiy stolbets. goal_strategy_game pigeonhole_principle ai_checked idea-column-barrier \\(1012\\) koroley obrazuyut dvizhuschiysya barer koroli stavyatsya v verhney stroke v nechetnyh stolbtsah \\(1,3,\\ldots,2023\\). kazhdyy korol otvechaet za odin dvuhstolbtsovyy blok, a vsya liniya kazhdyy hod spuskaetsya na stroku nizhe; korol, chey blok soderzhit ladyu, stanovitsya v ee stolbets i ne daet lade pereskochit cherez liniyu. graph_model goal_strategy_game invariant ai_checked sol-threshold-1012 porog raven \\(1012\\) ai_checked simple_graph path pigeonhole_principle invariant otvet: \\(k\\ge1012\\). snachala dokazhem, chto pri \\(k\\le1011\\) roland mozhet izbegat vzyatiya beskonechno dolgo. on vybiraet chislo strok \\(n>2027\\cdot1012\\), chto, v chastnosti, bolshe \\(k/2023\\). nazovem stroku bezopasnoy v tekuschiy moment, esli ona udalena po nomeru hotya by na \\(1014\\) ot kazhdoy stroki, v kotoroy stoit korol. kazhdyy korol delaet nebezopasnymi ne bolee \\(2027\\) strok, poetomu pri \\(k\\le1011\\) vsegda suschestvuet bezopasnaya stroka. roland stavit ladyu v bezopasnuyu stroku. posle pervogo hoda keyry koroli vse esche ne mogut nahoditsya v etoy stroke, i roland perevodit ladyu gorizontalno v pervyy stolbets. dalee on povtoryaet odin i tot zhe priem. esli v tekuschem stolbtse ladi net korolya, ladya hodit vertikalno v kakuyu-nibud bezopasnuyu stroku, suschestvuyuschuyu v tekuschey pozitsii. takoy hod razreshen, potomu chto v ee stolbtse net koroley, cherez kotorye ladya mogla by uperetsya. esli zhe v tekusch…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching","title":"Паросочетания по суммам-степеням тройки, SMMC 2024 A2","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching","source_key":"simon","source_label":"SMMC","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2024 A2, официальные условия и решения"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":["Michael Albert","Christopher Tuffley"],"tags":["matching","induction","invariant","goal_counting","graph_model"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"После графовой формулировки ключ — увидеть вынужденные ребра совершенного паросочетания и троичную рекурсию.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Положительное целое \\(n\\) называется tripairable, если множество \\(\\{1,2,\\ldots,n\\}\\) можно разбить на непересекающиеся пары так, что сумма двух элементов в каждой паре является степенью 3. Например, \\(6\\) имеет такое разбиение: \\(\\{1,2\\}\\cup\\{3,6\\}\\cup\\{4,5\\}\\), поскольку \\(1+2=3^1\\), \\(3+6=3^2\\) и \\(4+5=3^2\\). Сколько положительных целых чисел, не превосходящих 2024, являются tripairable?","definition_ids":["matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Паросочетания по суммам-степеням тройки, SMMC 2024 A2","status":"ai_checked","text":"Для каждого \\(n\\) дан граф \\(G_n\\) на вершинах \\(1,2,\\ldots,n\\), где различные вершины \\(i\\) и \\(j\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(i+j\\) — степень 3. Найдите количество значений \\(n\\le2024\\), для которых \\(G_n\\) имеет совершенное паросочетание.","definition_ids":["matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ternary-count","title":"Сведение совершенного паросочетания к троичной записи","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Считаем также \\(0\\) допустимым: пустой граф имеет пустое совершенное паросочетание. Докажем сильной индукцией по \\(n\\), что \\(G_n\\) имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда троичная запись \\(n\\) состоит только из цифр 0 и 2. Для \\(n=0\\) это верно. Пусть \\(n>0\\), и пусть \\(3^k\\le n<3^{k+1}\\). Сначала рассмотрим вершину \\(3^k\\). Если она сматчена с \\(x\\), то \\(3^k+x\\) должно быть степенью 3. Эта сумма больше \\(3^k\\) и меньше \\(3^{k+2}\\), значит единственная возможность — \\(3^k+x=3^{k+1}\\), то есть \\(x=2\\cdot3^k\\). Поэтому при \\(n<2\\cdot3^k\\) совершенного паросочетания нет; ровно в этом случае старшая троичная цифра числа \\(n\\) равна 1. Остается случай \\(2\\cdot3^k\\le n<3^{k+1}\\). Для всякой вершины \\(j\\ge3^k\\) ее партнер также вынужден: сумма с партнером не может быть \\(3^k\\), а следующая возможная степень в пределах графа — только \\(3^{k+1}\\), поэтому партнер равен \\(3^…"}],"relations":[{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-simon-marais-2024-tripairable","neighbor_id":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2024-a2-hall","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching паросочетания по суммам-степеням тройки, smmc 2024 a2 matching induction invariant goal_counting graph_model 2024 christopher tuffley christophertuffley https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc_2024_solutions.pdf michael albert michaelalbert problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2024 a2, официальные условия и решения simon2024 smmc smmc2024 src-simon-marais-2024-a2-official with_solution michael albert christopher tuffley simon marais mathematics competition 2024 a2, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked положительное целое \\(n\\) называется tripairable, если множество \\(\\{1,2,\\ldots,n\\}\\) можно разбить на непересекающиеся пары так, что сумма двух элементов в каждой паре является степенью 3. например, \\(6\\) имеет такое разбиение: \\(\\{1,2\\}\\cup\\{3,6\\}\\cup\\{4,5\\}\\), поскольку \\(1+2=3^1\\), \\(3+6=3^2\\) и \\(4+5=3^2\\). сколько положительных целых чисел, не превосходящих 2024, являются tripairable? matching stmt-graph паросочетания по суммам-степеням тройки, smmc 2024 a2 ai_checked для каждого \\(n\\) дан граф \\(g_n\\) на вершинах \\(1,2,\\ldots,n\\), где различные вершины \\(i\\) и \\(j\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(i+j\\) — степень 3. найдите количество значений \\(n\\le2024\\), для которых \\(g_n\\) имеет совершенное паросочетание. matching idea-forced-outer-matching большие вершины имеют вынужденных партнеров если \\(2\\cdot3^k\\le n<3^{k+1}\\), то каждая вершина \\(j\\ge3^k\\) может быть сматчена только с \\(3^{k+1}-j\\). поэтому весь верхний хвост вынужденно снимается, а существование совершенного паросочетания у \\(g_n\\) сводится к меньшему графу \\(g_m\\), где \\(m=3^{k+1}-n-1\\). matching induction ai_checked idea-ternary-zero-two троичная запись состоит только из 0 и 2 числа из промежутка \\(3^k\\le n<2\\cdot3^k\\) сразу невозможны: вершине \\(3^k\\) не хватает партнера \\(2\\cdot3^k\\). в верхней половине промежутка снятие вынужденного хвоста заменяет младшие троичные цифры на дополнение к 2, поэтому подходящие \\(n\\) — ровно те, чья троичная запись не содержит цифры 1. invariant ai_checked sol-ternary-count сведение совершенного паросочетания к троичной записи ai_checked matching induction delete_to_simplify считаем также \\(0\\) допустимым: пустой граф имеет пустое совершенное паросочетание. докажем сильной индукцией по \\(n\\), что \\(g_n\\) имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда троичная запись \\(n\\) состоит только из цифр 0 и 2. для \\(n=0\\) это верно. пусть \\(n>0\\), и пусть \\(3^k\\le n<3^{k+1}\\). сначала рассмотрим вершину \\(3^k\\). если она сматчена с \\(x\\), то \\(3^k+x\\) должно быть степенью 3. эта сумма больше \\(3^k\\) и меньше \\(3^{k+2}\\), значит единственная возможность — \\(3^k+x=3^{k+1}\\), то есть \\(x=2\\cdot3^k\\). поэтому при \\(n<2\\cdot3^k\\) совершенного паросочетания нет; ровно в этом случае старшая троичная цифра числа \\(n\\) равна 1. остается случай \\(2\\cdot3^k\\le n<3^{k+1}\\). для всякой вершины \\(j\\ge3^k\\) ее партнер также вынужден: сумма с партнером не может быть \\(3^k\\), а следующая возможная степень в пределах графа — только \\(3^{k+1}\\), поэтому партнер равен \\(3^… simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching parosochetaniya po summam-stepenyam troyki, smmc 2024 a2 matching induction invariant goal_counting graph_model 2024 christopher tuffley christophertuffley https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc_2024_solutions.pdf michael albert michaelalbert problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2024 a2, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2024 smmc smmc2024 src-simon-marais-2024-a2-official with_solution michael albert christopher tuffley simon marais mathematics competition 2024 a2, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked polozhitelnoe tseloe \\(n\\) nazyvaetsya tripairable, esli mnozhestvo \\(\\{1,2,\\ldots,n\\}\\) mozhno razbit na neperesekayuschiesya pary tak, chto summa dvuh elementov v kazhdoy pare yavlyaetsya stepenyu 3. naprimer, \\(6\\) imeet takoe razbienie: \\(\\{1,2\\}\\cup\\{3,6\\}\\cup\\{4,5\\}\\), poskolku \\(1+2=3^1\\), \\(3+6=3^2\\) i \\(4+5=3^2\\). skolko polozhitelnyh tselyh chisel, ne prevoshodyaschih 2024, yavlyayutsya tripairable? matching stmt-graph parosochetaniya po summam-stepenyam troyki, smmc 2024 a2 ai_checked dlya kazhdogo \\(n\\) dan graf \\(g_n\\) na vershinah \\(1,2,\\ldots,n\\), gde razlichnye vershiny \\(i\\) i \\(j\\) soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda \\(i+j\\) — stepen 3. naydite kolichestvo znacheniy \\(n\\le2024\\), dlya kotoryh \\(g_n\\) imeet sovershennoe parosochetanie. matching idea-forced-outer-matching bolshie vershiny imeyut vynuzhdennyh partnerov esli \\(2\\cdot3^k\\le n<3^{k+1}\\), to kazhdaya vershina \\(j\\ge3^k\\) mozhet byt smatchena tolko s \\(3^{k+1}-j\\). poetomu ves verhniy hvost vynuzhdenno snimaetsya, a suschestvovanie sovershennogo parosochetaniya u \\(g_n\\) svoditsya k menshemu grafu \\(g_m\\), gde \\(m=3^{k+1}-n-1\\). matching induction ai_checked idea-ternary-zero-two troichnaya zapis sostoit tolko iz 0 i 2 chisla iz promezhutka \\(3^k\\le n<2\\cdot3^k\\) srazu nevozmozhny: vershine \\(3^k\\) ne hvataet partnera \\(2\\cdot3^k\\). v verhney polovine promezhutka snyatie vynuzhdennogo hvosta zamenyaet mladshie troichnye tsifry na dopolnenie k 2, poetomu podhodyaschie \\(n\\) — rovno te, chya troichnaya zapis ne soderzhit tsifry 1. invariant ai_checked sol-ternary-count svedenie sovershennogo parosochetaniya k troichnoy zapisi ai_checked matching induction delete_to_simplify schitaem takzhe \\(0\\) dopustimym: pustoy graf imeet pustoe sovershennoe parosochetanie. dokazhem silnoy induktsiey po \\(n\\), chto \\(g_n\\) imeet sovershennoe parosochetanie togda i tolko togda, kogda troichnaya zapis \\(n\\) sostoit tolko iz tsifr 0 i 2. dlya \\(n=0\\) eto verno. pust \\(n>0\\), i pust \\(3^k\\le n<3^{k+1}\\). snachala rassmotrim vershinu \\(3^k\\). esli ona smatchena s \\(x\\), to \\(3^k+x\\) dolzhno byt stepenyu 3. eta summa bolshe \\(3^k\\) i menshe \\(3^{k+2}\\), znachit edinstvennaya vozmozhnost — \\(3^k+x=3^{k+1}\\), to est \\(x=2\\cdot3^k\\). poetomu pri \\(n<2\\cdot3^k\\) sovershennogo parosochetaniya net; rovno v etom sluchae starshaya troichnaya tsifra chisla \\(n\\) ravna 1. ostaetsya sluchay \\(2\\cdot3^k\\le n<3^{k+1}\\). dlya vsyakoy vershiny \\(j\\ge3^k\\) ee partner takzhe vynuzhden: summa s partnerom ne mozhet byt \\(3^k\\), a sleduyuschaya vozmozhnaya stepen v predelah grafa — tolko \\(3^{k+1}\\), poetomu partner raven \\(3^…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2024-c4-random-maximal-independent-set-path","title":"Случайное максимальное независимое множество в пути, SMMC 2024 C4","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2024-c4-random-maximal-independent-set-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2024-c4-random-maximal-independent-set-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2024-c4-random-maximal-independent-set-path","source_key":"simon","source_label":"SMMC","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2024 C4, официальные условия и решения"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":["Tony Guttman"],"tags":["graph_model","trees","dynamics","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Графовая модель — случайный жадный максимальный независимый набор на пути; технически нужна аккуратная рекурсия и производящая функция.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Очередь студентов входит в лекционную аудиторию с \\(N\\) местами в ряд. Каждый студент садится на место, выбранное равновероятно среди мест, не соседних с уже занятым местом. Преподаватель объявляет аудиторию заполненной, когда больше никого нельзя посадить по этому правилу. Пусть \\(S_N\\) — ожидаемая доля занятых мест в момент заполнения. Найдите \\(\\lim_{N\\to\\infty}S_N\\) или докажите, что предел не существует.","definition_ids":["independent_set","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Случайное максимальное независимое множество в пути, SMMC 2024 C4","status":"ai_checked","text":"На пути \\(P_N\\) запускается случайный жадный процесс построения независимого множества: на каждом шаге равновероятно выбирается вершина, не смежная с уже выбранными вершинами, и добавляется в множество. Процесс останавливается, когда множество становится максимальным. Найдите предел ожидаемой плотности выбранных вершин.","definition_ids":["path","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-path-generating-function","title":"Рекурсия для ожидаемого размера","status":"ai_checked","definition_ids":["path","independent_set"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(E_N\\) — ожидаемый размер итогового независимого множества в пути из \\(N\\) вершин, и положим \\(E_N=0\\) при \\(N\\le0\\). Рассмотрим \\(N=n+1\\). Если первая выбранная вершина стоит на позиции \\(i+1\\), то она добавляет 1 выбранную вершину, ее соседи запрещаются, а слева и справа остаются независимые задачи на путях длины \\(i-1\\) и \\(n-i-1\\). Поэтому \\[E_{n+1}=1+\\frac{2}{n+1}\\sum_{i=0}^{n-1}E_i.\\] Вычитая соседние равенства, получаем \\[(n+2)E_{n+2}-(n+1)E_{n+1}=1+2E_n.\\] Для производящей функции \\(E(x)=\\sum_{n\\ge0}E_nx^n\\) это дает дифференциальное уравнение \\[(1-x)E'(x)-2xE(x)=\\frac1{1-x}.\\] С учетом \\(E(0)=0\\) получаем \\[E(x)=\\frac{1-e^{-2x}}{2(1-x)^2}.\\] Теперь извлечем главный член коэффициента. Так как \\[\\frac1{(1-x)^2}=\\sum_{m\\ge0}(m+1)x^m,\\qquad e^{-2x}=\\sum_{k\\ge0}\\frac{(-2)^k}{k!}x^k,\\] то \\[2E_n=(n+1)-\\sum_{k=0}^n\\frac{(-2)^k}{k!}(n+1-k). \\] После деления на \\(n\\) получаем \\[\\…"}],"relations":[{"id":"rel-simon-marais-2024-c4-independent-set","neighbor_id":"egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"simon-marais-2024-c4-random-maximal-independent-set-path случайное максимальное независимое множество в пути, smmc 2024 c4 graph_model trees dynamics goal_exact_bound 2024 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc_2024_solutions.pdf problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2024 c4, официальные условия и решения simon2024 smmc smmc2024 src-simon-marais-2024-c4-official tony guttman tonyguttman with_solution tony guttman simon marais mathematics competition 2024 c4, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked очередь студентов входит в лекционную аудиторию с \\(n\\) местами в ряд. каждый студент садится на место, выбранное равновероятно среди мест, не соседних с уже занятым местом. преподаватель объявляет аудиторию заполненной, когда больше никого нельзя посадить по этому правилу. пусть \\(s_n\\) — ожидаемая доля занятых мест в момент заполнения. найдите \\(\\lim_{n\\to\\infty}s_n\\) или докажите, что предел не существует. independent_set path stmt-graph случайное максимальное независимое множество в пути, smmc 2024 c4 ai_checked на пути \\(p_n\\) запускается случайный жадный процесс построения независимого множества: на каждом шаге равновероятно выбирается вершина, не смежная с уже выбранными вершинами, и добавляется в множество. процесс останавливается, когда множество становится максимальным. найдите предел ожидаемой плотности выбранных вершин. path independent_set idea-first-choice-splits-path первый выбранный узел расщепляет путь если первая выбранная вершина имеет \\(i\\) вершин слева и \\(n-i\\) справа, то ее соседи больше недоступны, а оставшиеся две части становятся независимыми меньшими путями. trees dynamics ai_checked idea-generating-function-limit рекурсия решается производящей функцией для математического ожидания получается рекурсия свертки; производящая функция дает явную формулу, из которой сразу берется предел плотности. goal_exact_bound ai_checked sol-path-generating-function рекурсия для ожидаемого размера ai_checked path independent_set delete_to_simplify пусть \\(e_n\\) — ожидаемый размер итогового независимого множества в пути из \\(n\\) вершин, и положим \\(e_n=0\\) при \\(n\\le0\\). рассмотрим \\(n=n+1\\). если первая выбранная вершина стоит на позиции \\(i+1\\), то она добавляет 1 выбранную вершину, ее соседи запрещаются, а слева и справа остаются независимые задачи на путях длины \\(i-1\\) и \\(n-i-1\\). поэтому \\[e_{n+1}=1+\\frac{2}{n+1}\\sum_{i=0}^{n-1}e_i.\\] вычитая соседние равенства, получаем \\[(n+2)e_{n+2}-(n+1)e_{n+1}=1+2e_n.\\] для производящей функции \\(e(x)=\\sum_{n\\ge0}e_nx^n\\) это дает дифференциальное уравнение \\[(1-x)e'(x)-2xe(x)=\\frac1{1-x}.\\] с учетом \\(e(0)=0\\) получаем \\[e(x)=\\frac{1-e^{-2x}}{2(1-x)^2}.\\] теперь извлечем главный член коэффициента. так как \\[\\frac1{(1-x)^2}=\\sum_{m\\ge0}(m+1)x^m,\\qquad e^{-2x}=\\sum_{k\\ge0}\\frac{(-2)^k}{k!}x^k,\\] то \\[2e_n=(n+1)-\\sum_{k=0}^n\\frac{(-2)^k}{k!}(n+1-k). \\] после деления на \\(n\\) получаем \\[\\… simon-marais-2024-c4-random-maximal-independent-set-path sluchaynoe maksimalnoe nezavisimoe mnozhestvo v puti, smmc 2024 c4 graph_model trees dynamics goal_exact_bound 2024 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc_2024_solutions.pdf problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2024 c4, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2024 smmc smmc2024 src-simon-marais-2024-c4-official tony guttman tonyguttman with_solution tony guttman simon marais mathematics competition 2024 c4, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked ochered studentov vhodit v lektsionnuyu auditoriyu s \\(n\\) mestami v ryad. kazhdyy student saditsya na mesto, vybrannoe ravnoveroyatno sredi mest, ne sosednih s uzhe zanyatym mestom. prepodavatel obyavlyaet auditoriyu zapolnennoy, kogda bolshe nikogo nelzya posadit po etomu pravilu. pust \\(s_n\\) — ozhidaemaya dolya zanyatyh mest v moment zapolneniya. naydite \\(\\lim_{n\\to\\infty}s_n\\) ili dokazhite, chto predel ne suschestvuet. independent_set path stmt-graph sluchaynoe maksimalnoe nezavisimoe mnozhestvo v puti, smmc 2024 c4 ai_checked na puti \\(p_n\\) zapuskaetsya sluchaynyy zhadnyy protsess postroeniya nezavisimogo mnozhestva: na kazhdom shage ravnoveroyatno vybiraetsya vershina, ne smezhnaya s uzhe vybrannymi vershinami, i dobavlyaetsya v mnozhestvo. protsess ostanavlivaetsya, kogda mnozhestvo stanovitsya maksimalnym. naydite predel ozhidaemoy plotnosti vybrannyh vershin. path independent_set idea-first-choice-splits-path pervyy vybrannyy uzel rasscheplyaet put esli pervaya vybrannaya vershina imeet \\(i\\) vershin sleva i \\(n-i\\) sprava, to ee sosedi bolshe nedostupny, a ostavshiesya dve chasti stanovyatsya nezavisimymi menshimi putyami. trees dynamics ai_checked idea-generating-function-limit rekursiya reshaetsya proizvodyaschey funktsiey dlya matematicheskogo ozhidaniya poluchaetsya rekursiya svertki; proizvodyaschaya funktsiya daet yavnuyu formulu, iz kotoroy srazu beretsya predel plotnosti. goal_exact_bound ai_checked sol-path-generating-function rekursiya dlya ozhidaemogo razmera ai_checked path independent_set delete_to_simplify pust \\(e_n\\) — ozhidaemyy razmer itogovogo nezavisimogo mnozhestva v puti iz \\(n\\) vershin, i polozhim \\(e_n=0\\) pri \\(n\\le0\\). rassmotrim \\(n=n+1\\). esli pervaya vybrannaya vershina stoit na pozitsii \\(i+1\\), to ona dobavlyaet 1 vybrannuyu vershinu, ee sosedi zapreschayutsya, a sleva i sprava ostayutsya nezavisimye zadachi na putyah dliny \\(i-1\\) i \\(n-i-1\\). poetomu \\[e_{n+1}=1+\\frac{2}{n+1}\\sum_{i=0}^{n-1}e_i.\\] vychitaya sosednie ravenstva, poluchaem \\[(n+2)e_{n+2}-(n+1)e_{n+1}=1+2e_n.\\] dlya proizvodyaschey funktsii \\(e(x)=\\sum_{n\\ge0}e_nx^n\\) eto daet differentsialnoe uravnenie \\[(1-x)e'(x)-2xe(x)=\\frac1{1-x}.\\] s uchetom \\(e(0)=0\\) poluchaem \\[e(x)=\\frac{1-e^{-2x}}{2(1-x)^2}.\\] teper izvlechem glavnyy chlen koeffitsienta. tak kak \\[\\frac1{(1-x)^2}=\\sum_{m\\ge0}(m+1)x^m,\\qquad e^{-2x}=\\sum_{k\\ge0}\\frac{(-2)^k}{k!}x^k,\\] to \\[2e_n=(n+1)-\\sum_{k=0}^n\\frac{(-2)^k}{k!}(n+1-k). \\] posle deleniya na \\(n\\) poluchaem \\[\\…","source_keys":["simon"]} {"id":"simon-marais-2025-b1-beaut-functions-gcd-graph","title":"Beaut-функции и раскраска графа общих делителей, SMMC 2025 B1","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2025-b1-beaut-functions-gcd-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2025-b1-beaut-functions-gcd-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2025-b1-beaut-functions-gcd-graph","source_key":"simon","source_label":"SMMC","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2025 B1, официальные условия и решения"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":["Liam Baker"],"tags":["graph_model","coloring","extremal_choice","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Естественная списочная раскраска графа по отношению \\(\\gcd>1\\); решение короткое, но требует точного выбора запрещающего интервала.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Функция \\(f:\\{1,2,\\ldots,n\\}\\to\\{m+1,m+2,\\ldots,m+n\\}\\), где \\(m,n\\) — положительные целые числа, называется beaut, если \\(a\\mid f(a)\\) для всех \\(a\\in\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), и \\(f(a)\\ne f(b)\\) для любых различных \\(a,b\\) с \\(\\gcd(a,b)\\ne1\\). Найдите все положительные \\(n\\), такие что для любого положительного \\(m\\) существует beaut-функция.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Beaut-функции и раскраска графа общих делителей, SMMC 2025 B1","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(H_n\\) — граф на вершинах \\(1,2,\\ldots,n\\), где \\(a\\) и \\(b\\) смежны тогда и только тогда, когда \\(\\gcd(a,b)>1\\). Для заданного \\(m\\) вершина \\(a\\) имеет список допустимых цветов \\(L_a=\\{x\\in\\{m+1,\\ldots,m+n\\}:a\\mid x\\}\\). Найдите все \\(n\\), для которых при любом \\(m\\) граф \\(H_n\\) имеет правильную раскраску, выбирающую цвет каждой вершины из ее списка.","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-n-at-most-five","title":"Характеризация: \\(n\\le5\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: ровно \\(n\\le5\\). Сначала построим beaut-функцию для любого \\(m\\), если \\(n\\le5\\). Среди чисел \\(1,2,\\ldots,n\\) только пара \\(2,4\\) может состоять из различных взаимно не простых чисел: остальные числа из \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\), кроме 2 и 4, не имеют общего делителя больше 1 с другим числом из этого множества. Поэтому для \\(n=1\\) можно взять \\(f(1)=m+1\\). Для \\(n=2\\) выбираем для 2 любое четное число из \\(m+1,m+2\\), а для 1 любое значение. Для \\(n=3\\) выбираем кратное 2 для вершины 2 и кратное 3 для вершины 3; совпадение этих значений не запрещено, потому что \\(\\gcd(2,3)=1\\). Для \\(n=4\\) в любом интервале из четырех подряд идущих чисел есть ровно одно кратное 4 и еще одно четное число, не кратное 4; ими задаем разные значения \\(f(4)\\) и \\(f(2)\\). Для \\(n=5\\) делаем то же для 2 и 4 и дополнительно выбираем кратное 5 для \\(f(5)\\); возможные совпадения со значениями в вершинах 2,3,4 не на…"}],"relations":[],"search_text":"simon-marais-2025-b1-beaut-functions-gcd-graph beaut-функции и раскраска графа общих делителей, smmc 2025 b1 graph_model coloring extremal_choice goal_characterization 2025 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc2025_solutions.pdf liam baker liambaker problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2025 b1, официальные условия и решения simon2025 smmc smmc2025 src-simon-marais-2025-b1-official with_solution liam baker simon marais mathematics competition 2025 b1, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked функция \\(f:\\{1,2,\\ldots,n\\}\\to\\{m+1,m+2,\\ldots,m+n\\}\\), где \\(m,n\\) — положительные целые числа, называется beaut, если \\(a\\mid f(a)\\) для всех \\(a\\in\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), и \\(f(a)\\ne f(b)\\) для любых различных \\(a,b\\) с \\(\\gcd(a,b)\\ne1\\). найдите все положительные \\(n\\), такие что для любого положительного \\(m\\) существует beaut-функция. stmt-graph beaut-функции и раскраска графа общих делителей, smmc 2025 b1 ai_checked пусть \\(h_n\\) — граф на вершинах \\(1,2,\\ldots,n\\), где \\(a\\) и \\(b\\) смежны тогда и только тогда, когда \\(\\gcd(a,b)>1\\). для заданного \\(m\\) вершина \\(a\\) имеет список допустимых цветов \\(l_a=\\{x\\in\\{m+1,\\ldots,m+n\\}:a\\mid x\\}\\). найдите все \\(n\\), для которых при любом \\(m\\) граф \\(h_n\\) имеет правильную раскраску, выбирающую цвет каждой вершины из ее списка. simple_graph chromatic_number idea-small-n-only-edge при \\(n\\le5\\) единственное нетривиальное ребро — между 2 и 4 для малых \\(n\\) условие различия цветов фактически нужно проверять только для пары \\(2,4\\), а нужные кратные в любом интервале длины \\(n\\) существуют по простому делению с остатком. coloring ai_checked idea-two-adjacent-lists-collapse для больших \\(n\\) две смежные вершины вынуждены получить один цвет если взять две смежные вершины больше половины \\(n\\), можно выбрать интервал длины \\(n\\), где единственное число, кратное хотя бы одной из них, — их произведение. тогда правильная списочная раскраска невозможна. extremal_choice coloring ai_checked sol-n-at-most-five характеризация: \\(n\\le5\\) ai_checked chromatic_number extremal_choice ответ: ровно \\(n\\le5\\). сначала построим beaut-функцию для любого \\(m\\), если \\(n\\le5\\). среди чисел \\(1,2,\\ldots,n\\) только пара \\(2,4\\) может состоять из различных взаимно не простых чисел: остальные числа из \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\), кроме 2 и 4, не имеют общего делителя больше 1 с другим числом из этого множества. поэтому для \\(n=1\\) можно взять \\(f(1)=m+1\\). для \\(n=2\\) выбираем для 2 любое четное число из \\(m+1,m+2\\), а для 1 любое значение. для \\(n=3\\) выбираем кратное 2 для вершины 2 и кратное 3 для вершины 3; совпадение этих значений не запрещено, потому что \\(\\gcd(2,3)=1\\). для \\(n=4\\) в любом интервале из четырех подряд идущих чисел есть ровно одно кратное 4 и еще одно четное число, не кратное 4; ими задаем разные значения \\(f(4)\\) и \\(f(2)\\). для \\(n=5\\) делаем то же для 2 и 4 и дополнительно выбираем кратное 5 для \\(f(5)\\); возможные совпадения со значениями в вершинах 2,3,4 не на… simon-marais-2025-b1-beaut-functions-gcd-graph beaut-funktsii i raskraska grafa obschih deliteley, smmc 2025 b1 graph_model coloring extremal_choice goal_characterization 2025 https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc2025_solutions.pdf liam baker liambaker problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2025 b1, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2025 smmc smmc2025 src-simon-marais-2025-b1-official with_solution liam baker simon marais mathematics competition 2025 b1, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked funktsiya \\(f:\\{1,2,\\ldots,n\\}\\to\\{m+1,m+2,\\ldots,m+n\\}\\), gde \\(m,n\\) — polozhitelnye tselye chisla, nazyvaetsya beaut, esli \\(a\\mid f(a)\\) dlya vseh \\(a\\in\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), i \\(f(a)\\ne f(b)\\) dlya lyubyh razlichnyh \\(a,b\\) s \\(\\gcd(a,b)\\ne1\\). naydite vse polozhitelnye \\(n\\), takie chto dlya lyubogo polozhitelnogo \\(m\\) suschestvuet beaut-funktsiya. stmt-graph beaut-funktsii i raskraska grafa obschih deliteley, smmc 2025 b1 ai_checked pust \\(h_n\\) — graf na vershinah \\(1,2,\\ldots,n\\), gde \\(a\\) i \\(b\\) smezhny togda i tolko togda, kogda \\(\\gcd(a,b)>1\\). dlya zadannogo \\(m\\) vershina \\(a\\) imeet spisok dopustimyh tsvetov \\(l_a=\\{x\\in\\{m+1,\\ldots,m+n\\}:a\\mid x\\}\\). naydite vse \\(n\\), dlya kotoryh pri lyubom \\(m\\) graf \\(h_n\\) imeet pravilnuyu raskrasku, vybirayuschuyu tsvet kazhdoy vershiny iz ee spiska. simple_graph chromatic_number idea-small-n-only-edge pri \\(n\\le5\\) edinstvennoe netrivialnoe rebro — mezhdu 2 i 4 dlya malyh \\(n\\) uslovie razlichiya tsvetov fakticheski nuzhno proveryat tolko dlya pary \\(2,4\\), a nuzhnye kratnye v lyubom intervale dliny \\(n\\) suschestvuyut po prostomu deleniyu s ostatkom. coloring ai_checked idea-two-adjacent-lists-collapse dlya bolshih \\(n\\) dve smezhnye vershiny vynuzhdeny poluchit odin tsvet esli vzyat dve smezhnye vershiny bolshe poloviny \\(n\\), mozhno vybrat interval dliny \\(n\\), gde edinstvennoe chislo, kratnoe hotya by odnoy iz nih, — ih proizvedenie. togda pravilnaya spisochnaya raskraska nevozmozhna. extremal_choice coloring ai_checked sol-n-at-most-five harakterizatsiya: \\(n\\le5\\) ai_checked chromatic_number extremal_choice otvet: rovno \\(n\\le5\\). snachala postroim beaut-funktsiyu dlya lyubogo \\(m\\), esli \\(n\\le5\\). sredi chisel \\(1,2,\\ldots,n\\) tolko para \\(2,4\\) mozhet sostoyat iz razlichnyh vzaimno ne prostyh chisel: ostalnye chisla iz \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\), krome 2 i 4, ne imeyut obschego delitelya bolshe 1 s drugim chislom iz etogo mnozhestva. poetomu dlya \\(n=1\\) mozhno vzyat \\(f(1)=m+1\\). dlya \\(n=2\\) vybiraem dlya 2 lyuboe chetnoe chislo iz \\(m+1,m+2\\), a dlya 1 lyuboe znachenie. dlya \\(n=3\\) vybiraem kratnoe 2 dlya vershiny 2 i kratnoe 3 dlya vershiny 3; sovpadenie etih znacheniy ne zaprescheno, potomu chto \\(\\gcd(2,3)=1\\). dlya \\(n=4\\) v lyubom intervale iz chetyreh podryad iduschih chisel est rovno odno kratnoe 4 i esche odno chetnoe chislo, ne kratnoe 4; imi zadaem raznye znacheniya \\(f(4)\\) i \\(f(2)\\). dlya \\(n=5\\) delaem to zhe dlya 2 i 4 i dopolnitelno vybiraem kratnoe 5 dlya \\(f(5)\\); vozmozhnye sovpadeniya so znacheniyami v vershinah 2,3,4 ne na…","source_keys":["simon"]}