{"id":"school239-2021-10-11-p8-friendship-parity-postcards","title":"Граф друзей с чётностью общих соседей и открытками, Открытая олимпиада ФМЛ 239 2021","path":"data\\problems\\school239\\school239-2021-10-11-p8-friendship-parity-postcards.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/school239/school239-2021-10-11-p8-friendship-parity-postcards.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#school239-2021-10-11-p8-friendship-parity-postcards","source_key":"school239","source_label":"Открытая олимпиада ФМЛ 239","source_titles":["Открытая олимпиада ФМЛ 239, 2021: официальные условия"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","degree_counting","invariant","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Открытая олимпиада ФМЛ 239 2021, параллель 10-11 классов, задача 8.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","status":"ai_checked","confidence":0.7,"basis":"официальный или опубликованный источник решения не обнаружен","notes":"Решение выглядит как восстановленное/написанное ИИ с нуля; желательно выборочно перепроверять математически.","label":"ИИ-решение с нуля"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"У любых двух жителей города чётное количество общих друзей в этом городе. На День города некоторые жители посылают открытки друзьям. Каждый житель с нечётным числом друзей посылает ровно одну открытку, каждый другой — не более одной открытки. При этом каждый получает не более одной открытки. Докажите, что количество способов, которыми это может произойти, нечётно.","definition_ids":["simple_graph","degree","directed_graph","neighborhood"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Граф друзей с чётностью общих соседей и открытками, Открытая олимпиада ФМЛ 239 2021","status":"ai_checked","text":"Пусть в конечном графе у любых двух вершин чётное число общих соседей. Докажите, что нечётно число способов выбрать множество \\(S\\), содержащее все вершины нечётной степени, и паросочетание из \\(S\\) в множество всех вершин, где каждая вершина из \\(S\\) покрыта ребром исходного графа.","definition_ids":["simple_graph","degree","bipartite_graph","matching","neighborhood"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-f2-cauchy-binet","title":"ИИ-решение: паросочетания и матрица смежности над F2","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","bipartite_graph","matching","neighborhood"],"standard_idea_ids":[],"tags":["linear_algebra_over_f2","matching","parity_argument"],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(O\\) множество жителей с нечётным числом друзей. Каждый допустимый способ рассылки задаётся так: выбирается множество отправителей \\(R\\), причём \\(O\\subseteq R\\), а затем каждому \\(v\\in R\\) инъективно сопоставляется один из его друзей-получателей. Инъективность здесь ровно означает, что никто не получает больше одной открытки. Встречные открытки между двумя друзьями разрешены: в двудольной модели это два разных ребра между левой и правой копиями этих двух вершин. Зафиксируем множество \\(R\\) и найдём по модулю 2 число способов выбрать получателей для всех отправителей из \\(R\\). Пусть \\(A\\) — матрица смежности графа друзей над полем \\(F_2\\). Если получатели образуют множество \\(C\\) размера \\(|R|\\), то число биекций из \\(R\\) в \\(C\\), выбирающих только рёбра графа, по модулю 2 равно перманенту матрицы \\(A[R,C]\\). Над \\(F_2\\) знак перестановки не важен, поэтому перманент рав…"}],"relations":[],"search_text":"school239-2021-10-11-p8-friendship-parity-postcards граф друзей с чётностью общих соседей и открытками, открытая олимпиада фмл 239 2021 graph_model degree_counting invariant goal_counting 2021 https://drive.google.com/file/d/1nslf56jhpvisekysqgchuz5wedecvf_n/view?usp=sharing olympiad_archive school239 school2392021 src-school239-2021-official-conditions with_solution открытая олимпиада фмл 239 открытая олимпиада фмл 239, 2021: официальные условия открытаяолимпиадафмл239 открытаяолимпиадафмл2392021 unknown открытая олимпиада фмл 239, 2021: официальные условия stmt-original условие source_verified у любых двух жителей города чётное количество общих друзей в этом городе. на день города некоторые жители посылают открытки друзьям. каждый житель с нечётным числом друзей посылает ровно одну открытку, каждый другой — не более одной открытки. при этом каждый получает не более одной открытки. докажите, что количество способов, которыми это может произойти, нечётно. simple_graph degree directed_graph neighborhood stmt-graph граф друзей с чётностью общих соседей и открытками, открытая олимпиада фмл 239 2021 ai_checked пусть в конечном графе у любых двух вершин чётное число общих соседей. докажите, что нечётно число способов выбрать множество \\(s\\), содержащее все вершины нечётной степени, и паросочетание из \\(s\\) в множество всех вершин, где каждая вершина из \\(s\\) покрыта ребром исходного графа. simple_graph degree bipartite_graph matching neighborhood idea-postcards-as-oriented-matching-like-choices открытки как ориентированные выбранные рёбра открытка от жителя к другу соответствует ориентированному ребру графа друзей. условие о чётном числе общих друзей является графовым условием на пары вершин. graph_model invariant ai_checked idea-adjacency-square-and-cauchy-binet паритет паросочетаний через квадрат матрицы смежности для фиксированного множества отправителей паритет инъективных выборов получателей равен определителю соответствующего главного минора матрицы \\(a^2\\) над \\(f_2\\). условие о чётном числе общих соседей зануляет внедиагональные элементы \\(a^2\\), а диагональ равна чётностям степеней. matching invariant goal_counting ai_checked sol-ai-f2-cauchy-binet ии-решение: паросочетания и матрица смежности над f2 ai_checked simple_graph degree bipartite_graph matching neighborhood linear_algebra_over_f2 matching parity_argument обозначим через \\(o\\) множество жителей с нечётным числом друзей. каждый допустимый способ рассылки задаётся так: выбирается множество отправителей \\(r\\), причём \\(o\\subseteq r\\), а затем каждому \\(v\\in r\\) инъективно сопоставляется один из его друзей-получателей. инъективность здесь ровно означает, что никто не получает больше одной открытки. встречные открытки между двумя друзьями разрешены: в двудольной модели это два разных ребра между левой и правой копиями этих двух вершин. зафиксируем множество \\(r\\) и найдём по модулю 2 число способов выбрать получателей для всех отправителей из \\(r\\). пусть \\(a\\) — матрица смежности графа друзей над полем \\(f_2\\). если получатели образуют множество \\(c\\) размера \\(|r|\\), то число биекций из \\(r\\) в \\(c\\), выбирающих только рёбра графа, по модулю 2 равно перманенту матрицы \\(a[r,c]\\). над \\(f_2\\) знак перестановки не важен, поэтому перманент рав… school239-2021-10-11-p8-friendship-parity-postcards graf druzey s chetnostyu obschih sosedey i otkrytkami, otkrytaya olimpiada fml 239 2021 graph_model degree_counting invariant goal_counting 2021 https://drive.google.com/file/d/1nslf56jhpvisekysqgchuz5wedecvf_n/view?usp=sharing olympiad_archive school239 school2392021 src-school239-2021-official-conditions with_solution otkrytaya olimpiada fml 239 otkrytaya olimpiada fml 239, 2021: ofitsialnye usloviya otkrytayaolimpiadafml239 otkrytayaolimpiadafml2392021 unknown otkrytaya olimpiada fml 239, 2021: ofitsialnye usloviya stmt-original uslovie source_verified u lyubyh dvuh zhiteley goroda chetnoe kolichestvo obschih druzey v etom gorode. na den goroda nekotorye zhiteli posylayut otkrytki druzyam. kazhdyy zhitel s nechetnym chislom druzey posylaet rovno odnu otkrytku, kazhdyy drugoy — ne bolee odnoy otkrytki. pri etom kazhdyy poluchaet ne bolee odnoy otkrytki. dokazhite, chto kolichestvo sposobov, kotorymi eto mozhet proizoyti, nechetno. simple_graph degree directed_graph neighborhood stmt-graph graf druzey s chetnostyu obschih sosedey i otkrytkami, otkrytaya olimpiada fml 239 2021 ai_checked pust v konechnom grafe u lyubyh dvuh vershin chetnoe chislo obschih sosedey. dokazhite, chto nechetno chislo sposobov vybrat mnozhestvo \\(s\\), soderzhaschee vse vershiny nechetnoy stepeni, i parosochetanie iz \\(s\\) v mnozhestvo vseh vershin, gde kazhdaya vershina iz \\(s\\) pokryta rebrom ishodnogo grafa. simple_graph degree bipartite_graph matching neighborhood idea-postcards-as-oriented-matching-like-choices otkrytki kak orientirovannye vybrannye rebra otkrytka ot zhitelya k drugu sootvetstvuet orientirovannomu rebru grafa druzey. uslovie o chetnom chisle obschih druzey yavlyaetsya grafovym usloviem na pary vershin. graph_model invariant ai_checked idea-adjacency-square-and-cauchy-binet paritet parosochetaniy cherez kvadrat matritsy smezhnosti dlya fiksirovannogo mnozhestva otpraviteley paritet inektivnyh vyborov poluchateley raven opredelitelyu sootvetstvuyuschego glavnogo minora matritsy \\(a^2\\) nad \\(f_2\\). uslovie o chetnom chisle obschih sosedey zanulyaet vnediagonalnye elementy \\(a^2\\), a diagonal ravna chetnostyam stepeney. matching invariant goal_counting ai_checked sol-ai-f2-cauchy-binet ii-reshenie: parosochetaniya i matritsa smezhnosti nad f2 ai_checked simple_graph degree bipartite_graph matching neighborhood linear_algebra_over_f2 matching parity_argument oboznachim cherez \\(o\\) mnozhestvo zhiteley s nechetnym chislom druzey. kazhdyy dopustimyy sposob rassylki zadaetsya tak: vybiraetsya mnozhestvo otpraviteley \\(r\\), prichem \\(o\\subseteq r\\), a zatem kazhdomu \\(v\\in r\\) inektivno sopostavlyaetsya odin iz ego druzey-poluchateley. inektivnost zdes rovno oznachaet, chto nikto ne poluchaet bolshe odnoy otkrytki. vstrechnye otkrytki mezhdu dvumya druzyami razresheny: v dvudolnoy modeli eto dva raznyh rebra mezhdu levoy i pravoy kopiyami etih dvuh vershin. zafiksiruem mnozhestvo \\(r\\) i naydem po modulyu 2 chislo sposobov vybrat poluchateley dlya vseh otpraviteley iz \\(r\\). pust \\(a\\) — matritsa smezhnosti grafa druzey nad polem \\(f_2\\). esli poluchateli obrazuyut mnozhestvo \\(c\\) razmera \\(|r|\\), to chislo biektsiy iz \\(r\\) v \\(c\\), vybirayuschih tolko rebra grafa, po modulyu 2 ravno permanentu matritsy \\(a[r,c]\\). nad \\(f_2\\) znak perestanovki ne vazhen, poetomu permanent rav…","source_keys":["school239"]}
{"id":"school239-2021-8-9-p3-nonbipartite-min-degree-odd-cycle","title":"Короткий нечётный цикл в недвудольном графе на 239 вершинах, Открытая олимпиада ФМЛ 239 2021","path":"data\\problems\\school239\\school239-2021-8-9-p3-nonbipartite-min-degree-odd-cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/school239/school239-2021-8-9-p3-nonbipartite-min-degree-odd-cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#school239-2021-8-9-p3-nonbipartite-min-degree-odd-cycle","source_key":"school239","source_label":"Открытая олимпиада ФМЛ 239","source_titles":["Открытая олимпиада ФМЛ 239, 2021: официальные условия"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","connectivity","degree_counting","goal_exact_bound","construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Открытая олимпиада ФМЛ 239 2021, параллель 8-9 классов, задача 3. Решение использует школьный подсчёт по кратчайшему нечётному циклу и явную экстремальную конструкцию.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","status":"ai_checked","confidence":0.7,"basis":"официальный или опубликованный источник решения не обнаружен","notes":"Решение выглядит как восстановленное/написанное ИИ с нуля; желательно выборочно перепроверять математически.","label":"ИИ-решение с нуля"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Дан недвудольный граф с 239 вершинами, степень каждой из которых не меньше 3. Для какого наименьшего k можно гарантировать, что есть нечётный цикл длины не больше k?","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","degree","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Короткий нечётный цикл в недвудольном графе на 239 вершинах, Открытая олимпиада ФМЛ 239 2021","status":"ai_checked","text":"Найти наименьшее число k, такое что в любом недвудольном простом графе на 239 вершинах с минимальной степенью не меньше 3 обязательно есть нечётный цикл длины не больше k.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-shortest-cycle-and-blow-up","title":"ИИ-решение: кратчайший нечётный цикл и точная конструкция","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","degree","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(k=159\\). Сначала докажем, что в любом подходящем графе есть нечётный цикл длины не больше 159. Пусть \\(C\\) — кратчайший нечётный цикл в графе, а его длина равна \\(g\\). Если \\(g=3\\), то нужная оценка очевидна, поэтому далее считаем, что \\(g\\ge5\\). У цикла \\(C\\) нет хорд: любая хорда разбила бы \\(C\\) на два меньших цикла, и один из них был бы нечётным. Кроме того, никакая вершина \\(x\\notin V(C)\\) не может быть смежна с тремя вершинами цикла \\(C\\). Действительно, три соседа \\(x\\) разбивают \\(C\\) на три дуги. Так как длина \\(C\\) нечётна, одна из этих дуг имеет нечётную длину. Если эта дуга состоит из одного ребра, то вместе с \\(x\\) получается треугольник, что противоречит \\(g\\ge5\\). Если её длина больше 1, то эта дуга вместе с двумя рёбрами к \\(x\\) даёт нечётный цикл короче \\(C\\) (случай равенства длине \\(C\\) возможен только когда две остальные дуги имеют длину 1, но тогда снова ес…"}],"relations":[],"search_text":"school239-2021-8-9-p3-nonbipartite-min-degree-odd-cycle короткий нечётный цикл в недвудольном графе на 239 вершинах, открытая олимпиада фмл 239 2021 extremal_graph_theory connectivity degree_counting goal_exact_bound construction 2021 https://drive.google.com/file/d/1nslf56jhpvisekysqgchuz5wedecvf_n/view?usp=sharing olympiad_archive school239 school2392021 src-school239-2021-official-conditions with_solution открытая олимпиада фмл 239 открытая олимпиада фмл 239, 2021: официальные условия открытаяолимпиадафмл239 открытаяолимпиадафмл2392021 unknown открытая олимпиада фмл 239, 2021: официальные условия stmt-original условие source_verified дан недвудольный граф с 239 вершинами, степень каждой из которых не меньше 3. для какого наименьшего k можно гарантировать, что есть нечётный цикл длины не больше k? simple_graph bipartite_graph degree cycle stmt-graph короткий нечётный цикл в недвудольном графе на 239 вершинах, открытая олимпиада фмл 239 2021 ai_checked найти наименьшее число k, такое что в любом недвудольном простом графе на 239 вершинах с минимальной степенью не меньше 3 обязательно есть нечётный цикл длины не больше k. simple_graph bipartite_graph degree cycle idea-explicit-graph граф явно задан в условии в условии напрямую дан недвудольный граф, ограничение на минимальную степень и требуется точная гарантированная оценка длины нечётного цикла. graph_model extremal_graph_theory ai_checked idea-shortest-odd-cycle-counting считать внешних соседей кратчайшего нечётного цикла если кратчайший нечётный цикл имеет длину больше 3, то у него нет хорд, а внешняя вершина не может быть смежна с тремя его вершинами. поэтому минимум по одному внешнему ребру из каждой вершины цикла даёт нижнюю оценку на число внешних вершин; точность достигается раздутым нечётным циклом. extremal_graph_theory degree_counting construction ai_checked sol-ai-shortest-cycle-and-blow-up ии-решение: кратчайший нечётный цикл и точная конструкция ai_checked simple_graph bipartite_graph degree cycle ответ: \\(k=159\\). сначала докажем, что в любом подходящем графе есть нечётный цикл длины не больше 159. пусть \\(c\\) — кратчайший нечётный цикл в графе, а его длина равна \\(g\\). если \\(g=3\\), то нужная оценка очевидна, поэтому далее считаем, что \\(g\\ge5\\). у цикла \\(c\\) нет хорд: любая хорда разбила бы \\(c\\) на два меньших цикла, и один из них был бы нечётным. кроме того, никакая вершина \\(x\\notin v(c)\\) не может быть смежна с тремя вершинами цикла \\(c\\). действительно, три соседа \\(x\\) разбивают \\(c\\) на три дуги. так как длина \\(c\\) нечётна, одна из этих дуг имеет нечётную длину. если эта дуга состоит из одного ребра, то вместе с \\(x\\) получается треугольник, что противоречит \\(g\\ge5\\). если её длина больше 1, то эта дуга вместе с двумя рёбрами к \\(x\\) даёт нечётный цикл короче \\(c\\) (случай равенства длине \\(c\\) возможен только когда две остальные дуги имеют длину 1, но тогда снова ес… school239-2021-8-9-p3-nonbipartite-min-degree-odd-cycle korotkiy nechetnyy tsikl v nedvudolnom grafe na 239 vershinah, otkrytaya olimpiada fml 239 2021 extremal_graph_theory connectivity degree_counting goal_exact_bound construction 2021 https://drive.google.com/file/d/1nslf56jhpvisekysqgchuz5wedecvf_n/view?usp=sharing olympiad_archive school239 school2392021 src-school239-2021-official-conditions with_solution otkrytaya olimpiada fml 239 otkrytaya olimpiada fml 239, 2021: ofitsialnye usloviya otkrytayaolimpiadafml239 otkrytayaolimpiadafml2392021 unknown otkrytaya olimpiada fml 239, 2021: ofitsialnye usloviya stmt-original uslovie source_verified dan nedvudolnyy graf s 239 vershinami, stepen kazhdoy iz kotoryh ne menshe 3. dlya kakogo naimenshego k mozhno garantirovat, chto est nechetnyy tsikl dliny ne bolshe k? simple_graph bipartite_graph degree cycle stmt-graph korotkiy nechetnyy tsikl v nedvudolnom grafe na 239 vershinah, otkrytaya olimpiada fml 239 2021 ai_checked nayti naimenshee chislo k, takoe chto v lyubom nedvudolnom prostom grafe na 239 vershinah s minimalnoy stepenyu ne menshe 3 obyazatelno est nechetnyy tsikl dliny ne bolshe k. simple_graph bipartite_graph degree cycle idea-explicit-graph graf yavno zadan v uslovii v uslovii napryamuyu dan nedvudolnyy graf, ogranichenie na minimalnuyu stepen i trebuetsya tochnaya garantirovannaya otsenka dliny nechetnogo tsikla. graph_model extremal_graph_theory ai_checked idea-shortest-odd-cycle-counting schitat vneshnih sosedey kratchayshego nechetnogo tsikla esli kratchayshiy nechetnyy tsikl imeet dlinu bolshe 3, to u nego net hord, a vneshnyaya vershina ne mozhet byt smezhna s tremya ego vershinami. poetomu minimum po odnomu vneshnemu rebru iz kazhdoy vershiny tsikla daet nizhnyuyu otsenku na chislo vneshnih vershin; tochnost dostigaetsya razdutym nechetnym tsiklom. extremal_graph_theory degree_counting construction ai_checked sol-ai-shortest-cycle-and-blow-up ii-reshenie: kratchayshiy nechetnyy tsikl i tochnaya konstruktsiya ai_checked simple_graph bipartite_graph degree cycle otvet: \\(k=159\\). snachala dokazhem, chto v lyubom podhodyaschem grafe est nechetnyy tsikl dliny ne bolshe 159. pust \\(c\\) — kratchayshiy nechetnyy tsikl v grafe, a ego dlina ravna \\(g\\). esli \\(g=3\\), to nuzhnaya otsenka ochevidna, poetomu dalee schitaem, chto \\(g\\ge5\\). u tsikla \\(c\\) net hord: lyubaya horda razbila by \\(c\\) na dva menshih tsikla, i odin iz nih byl by nechetnym. krome togo, nikakaya vershina \\(x\\notin v(c)\\) ne mozhet byt smezhna s tremya vershinami tsikla \\(c\\). deystvitelno, tri soseda \\(x\\) razbivayut \\(c\\) na tri dugi. tak kak dlina \\(c\\) nechetna, odna iz etih dug imeet nechetnuyu dlinu. esli eta duga sostoit iz odnogo rebra, to vmeste s \\(x\\) poluchaetsya treugolnik, chto protivorechit \\(g\\ge5\\). esli ee dlina bolshe 1, to eta duga vmeste s dvumya rebrami k \\(x\\) daet nechetnyy tsikl koroche \\(c\\) (sluchay ravenstva dline \\(c\\) vozmozhen tolko kogda dve ostalnye dugi imeyut dlinu 1, no togda snova es…","source_keys":["school239"]}
{"id":"school239-2024-10-11-p8-empty-disk-perfect-matching","title":"Разбиение точек на пары, покрываемые пустыми кругами, Открытая олимпиада ФМЛ 239 2024","path":"data\\problems\\school239\\school239-2024-10-11-p8-empty-disk-perfect-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/school239/school239-2024-10-11-p8-empty-disk-perfect-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#school239-2024-10-11-p8-empty-disk-perfect-matching","source_key":"school239","source_label":"Открытая олимпиада ФМЛ 239","source_titles":["Открытая олимпиада ФМЛ 239, 2024: официальные условия"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Открытая олимпиада ФМЛ 239 2024, параллель 10-11 классов, задача 8.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","status":"ai_checked","confidence":0.7,"basis":"официальный или опубликованный источник решения не обнаружен","notes":"Решение выглядит как восстановленное/написанное ИИ с нуля; желательно выборочно перепроверять математически.","label":"ИИ-решение с нуля"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"На плоскости дано 2n точек. Никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что можно разбить эти точки на n пар и покрыть каждую пару точек кругом, не содержащим других данных точек.","definition_ids":["matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разбиение точек на пары, покрываемые пустыми кругами, Открытая олимпиада ФМЛ 239 2024","status":"ai_checked","text":"На данных \\(2n\\) точках рассмотрим граф: две точки соединены ребром, если существует круг, содержащий эти две точки и не содержащий других данных точек. Докажите, что этот граф имеет совершенное паросочетание.","definition_ids":["matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-delaunay-tutte","title":"ИИ-решение через триангуляцию Делоне и теорему Татта","status":"source_verified","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим на данных \\(2n\\) точках триангуляцию Делоне \\(T\\). Из-за условий общего положения триангуляция невырождена: никакие четыре точки не лежат на одной окружности, поэтому ребро \\(pq\\) входит в \\(T\\) тогда и только тогда, когда существует замкнутый круг, на границе которого лежат \\(p\\) и \\(q\\), а внутри и на границе нет других данных точек. Значит, каждое ребро \\(T\\) уже является допустимой парой для исходной задачи. Дальше используется внешний тяжёлый факт: теорема Делленкура о 1-жёсткости триангуляций Делоне. В нужной нам форме она утверждает, что для любой триангуляции Делоне конечного множества точек общего положения и любого множества вершин \\(S\\) граф \\(T-S\\) имеет не больше \\(|S|\\) компонент связности. Ссылка для проверки факта: M. B. Dillencourt, «Toughness and Delaunay Triangulations», Discrete & Computational Geometry 5 (1990), 575-601; страница EUDML: https://eudml.org/do…"}],"relations":[],"search_text":"school239-2024-10-11-p8-empty-disk-perfect-matching разбиение точек на пары, покрываемые пустыми кругами, открытая олимпиада фмл 239 2024 matching graph_model goal_existence 2024 https://disk.yandex.ru/i/vqxe1jidepz3ea olympiad_archive school239 school2392024 src-school239-2024-official-conditions with_solution открытая олимпиада фмл 239 открытая олимпиада фмл 239, 2024: официальные условия открытаяолимпиадафмл239 открытаяолимпиадафмл2392024 unknown открытая олимпиада фмл 239, 2024: официальные условия stmt-original условие source_verified на плоскости дано 2n точек. никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. докажите, что можно разбить эти точки на n пар и покрыть каждую пару точек кругом, не содержащим других данных точек. matching stmt-graph разбиение точек на пары, покрываемые пустыми кругами, открытая олимпиада фмл 239 2024 ai_checked на данных \\(2n\\) точках рассмотрим граф: две точки соединены ребром, если существует круг, содержащий эти две точки и не содержащий других данных точек. докажите, что этот граф имеет совершенное паросочетание. matching idea-empty-disk-graph граф пар, покрываемых пустым кругом хотя исходная формулировка геометрическая, её можно рассматривать как задачу о совершенном паросочетании в графе, где рёбрами являются пары точек, покрываемые пустым кругом. удобно взять не весь этот граф, а триангуляцию делоне: каждое её ребро уже имеет пустой круг, а известная теорема делленкура даёт совершенное паросочетание при чётном числе вершин. graph_model matching ai_checked sol-ai-delaunay-tutte ии-решение через триангуляцию делоне и теорему татта source_verified matching построим на данных \\(2n\\) точках триангуляцию делоне \\(t\\). из-за условий общего положения триангуляция невырождена: никакие четыре точки не лежат на одной окружности, поэтому ребро \\(pq\\) входит в \\(t\\) тогда и только тогда, когда существует замкнутый круг, на границе которого лежат \\(p\\) и \\(q\\), а внутри и на границе нет других данных точек. значит, каждое ребро \\(t\\) уже является допустимой парой для исходной задачи. дальше используется внешний тяжёлый факт: теорема делленкура о 1-жёсткости триангуляций делоне. в нужной нам форме она утверждает, что для любой триангуляции делоне конечного множества точек общего положения и любого множества вершин \\(s\\) граф \\(t-s\\) имеет не больше \\(|s|\\) компонент связности. ссылка для проверки факта: m. b. dillencourt, «toughness and delaunay triangulations», discrete & computational geometry 5 (1990), 575-601; страница eudml: https://eudml.org/do… school239-2024-10-11-p8-empty-disk-perfect-matching razbienie tochek na pary, pokryvaemye pustymi krugami, otkrytaya olimpiada fml 239 2024 matching graph_model goal_existence 2024 https://disk.yandex.ru/i/vqxe1jidepz3ea olympiad_archive school239 school2392024 src-school239-2024-official-conditions with_solution otkrytaya olimpiada fml 239 otkrytaya olimpiada fml 239, 2024: ofitsialnye usloviya otkrytayaolimpiadafml239 otkrytayaolimpiadafml2392024 unknown otkrytaya olimpiada fml 239, 2024: ofitsialnye usloviya stmt-original uslovie source_verified na ploskosti dano 2n tochek. nikakie tri iz nih ne lezhat na odnoy pryamoy i nikakie chetyre ne lezhat na odnoy okruzhnosti. dokazhite, chto mozhno razbit eti tochki na n par i pokryt kazhduyu paru tochek krugom, ne soderzhaschim drugih dannyh tochek. matching stmt-graph razbienie tochek na pary, pokryvaemye pustymi krugami, otkrytaya olimpiada fml 239 2024 ai_checked na dannyh \\(2n\\) tochkah rassmotrim graf: dve tochki soedineny rebrom, esli suschestvuet krug, soderzhaschiy eti dve tochki i ne soderzhaschiy drugih dannyh tochek. dokazhite, chto etot graf imeet sovershennoe parosochetanie. matching idea-empty-disk-graph graf par, pokryvaemyh pustym krugom hotya ishodnaya formulirovka geometricheskaya, ee mozhno rassmatrivat kak zadachu o sovershennom parosochetanii v grafe, gde rebrami yavlyayutsya pary tochek, pokryvaemye pustym krugom. udobno vzyat ne ves etot graf, a triangulyatsiyu delone: kazhdoe ee rebro uzhe imeet pustoy krug, a izvestnaya teorema dellenkura daet sovershennoe parosochetanie pri chetnom chisle vershin. graph_model matching ai_checked sol-ai-delaunay-tutte ii-reshenie cherez triangulyatsiyu delone i teoremu tatta source_verified matching postroim na dannyh \\(2n\\) tochkah triangulyatsiyu delone \\(t\\). iz-za usloviy obschego polozheniya triangulyatsiya nevyrozhdena: nikakie chetyre tochki ne lezhat na odnoy okruzhnosti, poetomu rebro \\(pq\\) vhodit v \\(t\\) togda i tolko togda, kogda suschestvuet zamknutyy krug, na granitse kotorogo lezhat \\(p\\) i \\(q\\), a vnutri i na granitse net drugih dannyh tochek. znachit, kazhdoe rebro \\(t\\) uzhe yavlyaetsya dopustimoy paroy dlya ishodnoy zadachi. dalshe ispolzuetsya vneshniy tyazhelyy fakt: teorema dellenkura o 1-zhestkosti triangulyatsiy delone. v nuzhnoy nam forme ona utverzhdaet, chto dlya lyuboy triangulyatsii delone konechnogo mnozhestva tochek obschego polozheniya i lyubogo mnozhestva vershin \\(s\\) graf \\(t-s\\) imeet ne bolshe \\(|s|\\) komponent svyaznosti. ssylka dlya proverki fakta: m. b. dillencourt, «toughness and delaunay triangulations», discrete & computational geometry 5 (1990), 575-601; stranitsa eudml: https://eudml.org/do…","source_keys":["school239"]}
{"id":"school239-2024-8-9-p2-noncrossing-segments-perfect-matching","title":"Паросочетание среди непересекающихся отрезков, Открытая олимпиада ФМЛ 239 2024","path":"data\\problems\\school239\\school239-2024-8-9-p2-noncrossing-segments-perfect-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/school239/school239-2024-8-9-p2-noncrossing-segments-perfect-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#school239-2024-8-9-p2-noncrossing-segments-perfect-matching","source_key":"school239","source_label":"Открытая олимпиада ФМЛ 239","source_titles":["Открытая олимпиада ФМЛ 239, 2024: официальные условия"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","planar_graphs","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Открытая олимпиада ФМЛ 239 2024, параллель 8-9 классов, задача 2.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","status":"ai_checked","confidence":0.7,"basis":"официальный или опубликованный источник решения не обнаружен","notes":"Решение выглядит как восстановленное/написанное ИИ с нуля; желательно выборочно перепроверять математически.","label":"ИИ-решение с нуля"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"На плоскости дано 2n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Они соединены не пересекающимися по внутренним точкам отрезками так, что любой отрезок с концами в двух данных точках будет пересекать какой-то из проведённых во внутренней точке. Верно ли, что всегда можно выбрать n проведённых отрезков, не имеющих общих концов?","definition_ids":["simple_graph","matching","planar_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Совершенное паросочетание в максимальном прямолинейном плоском графе","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(G\\) — максимальный по включению прямолинейный плоский граф на \\(2n\\) вершинах в общем положении: добавление любого нового ребра между двумя его вершинами нарушает плоскость данного чертежа. Обязательно ли \\(G\\) содержит совершенное паросочетание?","definition_ids":["simple_graph","matching","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-apollonian-counterexample","title":"ИИ-решение: контрпример через триангуляцию с большой независимой долей","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","matching","planar_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ отрицательный. Построим пример на \\(16\\) точках. Возьмём треугольник \\(AB C_0\\). Внутри треугольника \\(AB C_0\\) поставим точку \\(C_1\\) и соединим её с \\(A,B,C_0\\). Затем внутри нового треугольника \\(AB C_1\\) поставим точку \\(C_2\\) и соединим её с \\(A,B,C_1\\). Так же последовательно построим точки \\(C_3\\) и \\(C_4\\), каждый раз помещая \\(C_i\\) внутрь треугольника \\(AB C_{i-1}\\) и соединяя с его тремя вершинами. После этого есть \\(7\\) старых точек: \\(A,B,C_0,C_1,C_2,C_3,C_4\\). Полученный рисунок разбивает исходный треугольник на \\(9\\) маленьких треугольных областей. Теперь в каждую из этих \\(9\\) треугольных областей поместим по одной новой точке и соединим её ровно с тремя вершинами области, в которой она лежит. Новые точки можно выбрать так, чтобы никакие три из всех \\(16\\) точек не лежали на одной прямой: на каждом шаге достаточно избегать конечного числа запрещённых прямых. Провед…"}],"relations":[],"search_text":"school239-2024-8-9-p2-noncrossing-segments-perfect-matching паросочетание среди непересекающихся отрезков, открытая олимпиада фмл 239 2024 matching planar_graphs graph_model goal_existence 2024 https://disk.yandex.ru/i/vqxe1jidepz3ea olympiad_archive school239 school2392024 src-school239-2024-official-conditions with_solution открытая олимпиада фмл 239 открытая олимпиада фмл 239, 2024: официальные условия открытаяолимпиадафмл239 открытаяолимпиадафмл2392024 unknown открытая олимпиада фмл 239, 2024: официальные условия stmt-original условие source_verified на плоскости дано 2n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. они соединены не пересекающимися по внутренним точкам отрезками так, что любой отрезок с концами в двух данных точках будет пересекать какой-то из проведённых во внутренней точке. верно ли, что всегда можно выбрать n проведённых отрезков, не имеющих общих концов? simple_graph matching planar_graph stmt-graph совершенное паросочетание в максимальном прямолинейном плоском графе needs_human_review пусть \\(g\\) — максимальный по включению прямолинейный плоский граф на \\(2n\\) вершинах в общем положении: добавление любого нового ребра между двумя его вершинами нарушает плоскость данного чертежа. обязательно ли \\(g\\) содержит совершенное паросочетание? simple_graph matching planar_graph idea-geometric-graph-perfect-matching проведённые отрезки образуют геометрический граф проведённые отрезки являются рёбрами непересекающегося геометрического графа, а требуемый выбор n отрезков без общих концов является совершенным паросочетанием. graph_model matching ai_checked sol-ai-apollonian-counterexample ии-решение: контрпример через триангуляцию с большой независимой долей ai_checked simple_graph matching planar_graph ответ отрицательный. построим пример на \\(16\\) точках. возьмём треугольник \\(ab c_0\\). внутри треугольника \\(ab c_0\\) поставим точку \\(c_1\\) и соединим её с \\(a,b,c_0\\). затем внутри нового треугольника \\(ab c_1\\) поставим точку \\(c_2\\) и соединим её с \\(a,b,c_1\\). так же последовательно построим точки \\(c_3\\) и \\(c_4\\), каждый раз помещая \\(c_i\\) внутрь треугольника \\(ab c_{i-1}\\) и соединяя с его тремя вершинами. после этого есть \\(7\\) старых точек: \\(a,b,c_0,c_1,c_2,c_3,c_4\\). полученный рисунок разбивает исходный треугольник на \\(9\\) маленьких треугольных областей. теперь в каждую из этих \\(9\\) треугольных областей поместим по одной новой точке и соединим её ровно с тремя вершинами области, в которой она лежит. новые точки можно выбрать так, чтобы никакие три из всех \\(16\\) точек не лежали на одной прямой: на каждом шаге достаточно избегать конечного числа запрещённых прямых. провед… school239-2024-8-9-p2-noncrossing-segments-perfect-matching parosochetanie sredi neperesekayuschihsya otrezkov, otkrytaya olimpiada fml 239 2024 matching planar_graphs graph_model goal_existence 2024 https://disk.yandex.ru/i/vqxe1jidepz3ea olympiad_archive school239 school2392024 src-school239-2024-official-conditions with_solution otkrytaya olimpiada fml 239 otkrytaya olimpiada fml 239, 2024: ofitsialnye usloviya otkrytayaolimpiadafml239 otkrytayaolimpiadafml2392024 unknown otkrytaya olimpiada fml 239, 2024: ofitsialnye usloviya stmt-original uslovie source_verified na ploskosti dano 2n tochek, nikakie tri iz kotoryh ne lezhat na odnoy pryamoy. oni soedineny ne peresekayuschimisya po vnutrennim tochkam otrezkami tak, chto lyuboy otrezok s kontsami v dvuh dannyh tochkah budet peresekat kakoy-to iz provedennyh vo vnutrenney tochke. verno li, chto vsegda mozhno vybrat n provedennyh otrezkov, ne imeyuschih obschih kontsov? simple_graph matching planar_graph stmt-graph sovershennoe parosochetanie v maksimalnom pryamolineynom ploskom grafe needs_human_review pust \\(g\\) — maksimalnyy po vklyucheniyu pryamolineynyy ploskiy graf na \\(2n\\) vershinah v obschem polozhenii: dobavlenie lyubogo novogo rebra mezhdu dvumya ego vershinami narushaet ploskost dannogo chertezha. obyazatelno li \\(g\\) soderzhit sovershennoe parosochetanie? simple_graph matching planar_graph idea-geometric-graph-perfect-matching provedennye otrezki obrazuyut geometricheskiy graf provedennye otrezki yavlyayutsya rebrami neperesekayuschegosya geometricheskogo grafa, a trebuemyy vybor n otrezkov bez obschih kontsov yavlyaetsya sovershennym parosochetaniem. graph_model matching ai_checked sol-ai-apollonian-counterexample ii-reshenie: kontrprimer cherez triangulyatsiyu s bolshoy nezavisimoy doley ai_checked simple_graph matching planar_graph otvet otritsatelnyy. postroim primer na \\(16\\) tochkah. vozmem treugolnik \\(ab c_0\\). vnutri treugolnika \\(ab c_0\\) postavim tochku \\(c_1\\) i soedinim ee s \\(a,b,c_0\\). zatem vnutri novogo treugolnika \\(ab c_1\\) postavim tochku \\(c_2\\) i soedinim ee s \\(a,b,c_1\\). tak zhe posledovatelno postroim tochki \\(c_3\\) i \\(c_4\\), kazhdyy raz pomeschaya \\(c_i\\) vnutr treugolnika \\(ab c_{i-1}\\) i soedinyaya s ego tremya vershinami. posle etogo est \\(7\\) staryh tochek: \\(a,b,c_0,c_1,c_2,c_3,c_4\\). poluchennyy risunok razbivaet ishodnyy treugolnik na \\(9\\) malenkih treugolnyh oblastey. teper v kazhduyu iz etih \\(9\\) treugolnyh oblastey pomestim po odnoy novoy tochke i soedinim ee rovno s tremya vershinami oblasti, v kotoroy ona lezhit. novye tochki mozhno vybrat tak, chtoby nikakie tri iz vseh \\(16\\) tochek ne lezhali na odnoy pryamoy: na kazhdom shage dostatochno izbegat konechnogo chisla zapreschennyh pryamyh. proved…","source_keys":["school239"]}