{"id":"colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma","title":"Целевой цветовой профиль в хорошем семействе цветных остовов","path":"data\\problems\\classical\\colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["RMM 2023 официальные условия и решения","MOlympiad.NET, Romanian Masters Mathematics 2023 решения"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["trees","coloring","extremal_choice","goal_existence","classical_lemma"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":8,"comment":"Самостоятельная exchange-лемма: идея короткая, но доказательство требует аккуратно синхронизировать обмены по всему семейству остовов и сохранить цветовую коробку.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution_lemma_extracted","label":"лемма из официального решения","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"выделено из существующей карточки RMM 2023 P6 с официальным решением и развёрнуто в самодостаточный текст","notes":"Доказательство является аргументом минимизации подозрительных рёбер, уже присутствующим в исходном решении; здесь он отделён от финального применения к задаче RMM.","audit_source":"agent-rmm-2023-p6-extraction-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-good-family-suspicious-edges","title":"Хорошее семейство остовов","status":"ai_checked","text":"Пусть рёбра связного графа \\(G\\) раскрашены в красный, зелёный и синий цвета, а \\(|V(G)|=r+g+b+1\\). Для остова \\(T\\) обозначим через \\(r(T),g(T),b(T)\\) числа его рёбер трёх цветов. Назовём непустое семейство остовов \\(\\mathcal C\\) хорошим для тройки \\((r,g,b)\\), если каждое из чисел \\(r,g,b\\) лежит между минимальным и максимальным значениями соответствующего счётчика на \\(\\mathcal C\\). Ребро назовём подозрительным для \\(\\mathcal C\\), если оно входит в некоторые, но не во все остовы из \\(\\mathcal C\\). Если существует хотя бы одно хорошее семейство остовов, то существует остов \\(T\\) с \\(r(T)=r\\), \\(g(T)=g\\), \\(b(T)=b\\). Более того, любое хорошее семейство с минимальным числом подозрительных рёбер содержит такой остов.","definition_ids":["spanning_tree","cycle","connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-color-count-box","title":"Цветовые векторы остовов","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный граф, рёбра которого раскрашены в три цвета. Для остова \\(T\\) пусть \\(c(T)=(c_1(T),c_2(T),c_3(T))\\) — вектор количеств рёбер трёх цветов. Для непустого семейства остовов \\(\\mathcal C\\) рассмотрим прямоугольную коробку \\(B(\\mathcal C)=\\prod_{i=1}^3[\\min_{T\\in\\mathcal C}c_i(T),\\max_{T\\in\\mathcal C}c_i(T)]\\). Если целочисленный вектор \\(x\\in B(\\mathcal C)\\) для некоторого \\(\\mathcal C\\) и \\(x_1+x_2+x_3=|V(G)|-1\\), то существует остов \\(T\\) такой, что \\(c(T)=x\\).","definition_ids":["spanning_tree","cycle","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-minimal-suspicious-edge-exchange","title":"Доказательство минимальностью подозрительных рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["spanning_tree","cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для семейства \\(\\mathcal C\\) положим \\[ r_0=\\min_{T\\in\\mathcal C}r(T),\\quad R_0=\\max_{T\\in\\mathcal C}r(T), \\] и аналогично \\(g_0,G_0,b_0,B_0\\). Хорошесть означает \\(r\\in[r_0,R_0]\\), \\(g\\in[g_0,G_0]\\), \\(b\\in[b_0,B_0]\\). Выберем хорошее семейство \\(\\mathcal C\\) с минимальным числом подозрительных рёбер. Нужно доказать, что в нём уже есть остов с нужной тройкой. Предположим обратное. Для каждого \\(T\\in\\mathcal C\\) сумма \\(r(T)+g(T)+b(T)\\) равна \\(|V(G)|-1=r+g+b\\). Если бы ни для одного цвета не было одновременно значения ниже цели и для другого цвета значения выше цели, то всякий остов, отличающийся от цели в одну сторону, нарушал бы равенство сумм. Поэтому после переименования цветов можно считать, что \\[ r_0<r,\\qquad G_0>g. \\] Так как \\(\\mathcal C\\) хорошее, для синего цвета остаются два случая: \\(B_0=b\\) и \\(B_0>b\\). Первый случай: \\(B_0=b\\). Возьмём \\(T_0\\in\\mathcal C\\) с \\(g(T_0)=g_0…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-basics-to-colored-spanning-tree-exchange-lemma","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-colored-spanning-tree-exchange-lemma-to-rmm-2023-p6","neighbor_id":"rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma целевой цветовой профиль в хорошем семействе цветных остовов trees coloring extremal_choice goal_existence classical_lemma https://rmms.lbi.ro/rmm2023/index.php?id=problems_math https://www.molympiad.net/2023/03/romanian-masters-mathematics-2023.html misc molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 решения official_archive olympiad_archive rmm 2023 официальные условия и решения src-molympiad-rmm-2023 src-rmm-2023-official with_solution прочее ? rmm 2023 официальные условия и решения molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 решения stmt-good-family-suspicious-edges хорошее семейство остовов ai_checked пусть рёбра связного графа \\(g\\) раскрашены в красный, зелёный и синий цвета, а \\(|v(g)|=r+g+b+1\\). для остова \\(t\\) обозначим через \\(r(t),g(t),b(t)\\) числа его рёбер трёх цветов. назовём непустое семейство остовов \\(\\mathcal c\\) хорошим для тройки \\((r,g,b)\\), если каждое из чисел \\(r,g,b\\) лежит между минимальным и максимальным значениями соответствующего счётчика на \\(\\mathcal c\\). ребро назовём подозрительным для \\(\\mathcal c\\), если оно входит в некоторые, но не во все остовы из \\(\\mathcal c\\). если существует хотя бы одно хорошее семейство остовов, то существует остов \\(t\\) с \\(r(t)=r\\), \\(g(t)=g\\), \\(b(t)=b\\). более того, любое хорошее семейство с минимальным числом подозрительных рёбер содержит такой остов. spanning_tree cycle connected_graph stmt-color-count-box цветовые векторы остовов ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный граф, рёбра которого раскрашены в три цвета. для остова \\(t\\) пусть \\(c(t)=(c_1(t),c_2(t),c_3(t))\\) — вектор количеств рёбер трёх цветов. для непустого семейства остовов \\(\\mathcal c\\) рассмотрим прямоугольную коробку \\(b(\\mathcal c)=\\prod_{i=1}^3[\\min_{t\\in\\mathcal c}c_i(t),\\max_{t\\in\\mathcal c}c_i(t)]\\). если целочисленный вектор \\(x\\in b(\\mathcal c)\\) для некоторого \\(\\mathcal c\\) и \\(x_1+x_2+x_3=|v(g)|-1\\), то существует остов \\(t\\) такой, что \\(c(t)=x\\). spanning_tree cycle connected_graph idea-minimal-suspicious-family минимизировать число частично используемых рёбер среди всех хороших семейств выбирается семейство с минимальным числом рёбер, которые встречаются не в нуле и не во всех остовах семейства. extremal_choice trees ai_checked idea-cycle-cut-exchange убрать подозрительное ребро обменом если выбранное подозрительное ребро надо удалить из всех остовов, используется разрез после его удаления из дерева; если надо добавить его во все остовы, используется единственный цикл после его добавления. trees extremal_choice ai_checked idea-good-box-survives коробка цветовых счётчиков сохраняет цель обмен меняет у каждого остова цветовые счётчики не более чем на один в нужную сторону, поэтому целевая тройка остаётся внутри минимально-максимальной коробки. invariant coloring ai_checked sol-minimal-suspicious-edge-exchange доказательство минимальностью подозрительных рёбер ai_checked spanning_tree cycle extremal_choice для семейства \\(\\mathcal c\\) положим \\[ r_0=\\min_{t\\in\\mathcal c}r(t),\\quad r_0=\\max_{t\\in\\mathcal c}r(t), \\] и аналогично \\(g_0,g_0,b_0,b_0\\). хорошесть означает \\(r\\in[r_0,r_0]\\), \\(g\\in[g_0,g_0]\\), \\(b\\in[b_0,b_0]\\). выберем хорошее семейство \\(\\mathcal c\\) с минимальным числом подозрительных рёбер. нужно доказать, что в нём уже есть остов с нужной тройкой. предположим обратное. для каждого \\(t\\in\\mathcal c\\) сумма \\(r(t)+g(t)+b(t)\\) равна \\(|v(g)|-1=r+g+b\\). если бы ни для одного цвета не было одновременно значения ниже цели и для другого цвета значения выше цели, то всякий остов, отличающийся от цели в одну сторону, нарушал бы равенство сумм. поэтому после переименования цветов можно считать, что \\[ r_0<r,\\qquad g_0>g. \\] так как \\(\\mathcal c\\) хорошее, для синего цвета остаются два случая: \\(b_0=b\\) и \\(b_0>b\\). первый случай: \\(b_0=b\\). возьмём \\(t_0\\in\\mathcal c\\) с \\(g(t_0)=g_0… colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma tselevoy tsvetovoy profil v horoshem semeystve tsvetnyh ostovov trees coloring extremal_choice goal_existence classical_lemma https://rmms.lbi.ro/rmm2023/index.php?id=problems_math https://www.molympiad.net/2023/03/romanian-masters-mathematics-2023.html misc molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 resheniya official_archive olympiad_archive rmm 2023 ofitsialnye usloviya i resheniya src-molympiad-rmm-2023 src-rmm-2023-official with_solution prochee ? rmm 2023 ofitsialnye usloviya i resheniya molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 resheniya stmt-good-family-suspicious-edges horoshee semeystvo ostovov ai_checked pust rebra svyaznogo grafa \\(g\\) raskrasheny v krasnyy, zelenyy i siniy tsveta, a \\(|v(g)|=r+g+b+1\\). dlya ostova \\(t\\) oboznachim cherez \\(r(t),g(t),b(t)\\) chisla ego reber treh tsvetov. nazovem nepustoe semeystvo ostovov \\(\\mathcal c\\) horoshim dlya troyki \\((r,g,b)\\), esli kazhdoe iz chisel \\(r,g,b\\) lezhit mezhdu minimalnym i maksimalnym znacheniyami sootvetstvuyuschego schetchika na \\(\\mathcal c\\). rebro nazovem podozritelnym dlya \\(\\mathcal c\\), esli ono vhodit v nekotorye, no ne vo vse ostovy iz \\(\\mathcal c\\). esli suschestvuet hotya by odno horoshee semeystvo ostovov, to suschestvuet ostov \\(t\\) s \\(r(t)=r\\), \\(g(t)=g\\), \\(b(t)=b\\). bolee togo, lyuboe horoshee semeystvo s minimalnym chislom podozritelnyh reber soderzhit takoy ostov. spanning_tree cycle connected_graph stmt-color-count-box tsvetovye vektory ostovov ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy graf, rebra kotorogo raskrasheny v tri tsveta. dlya ostova \\(t\\) pust \\(c(t)=(c_1(t),c_2(t),c_3(t))\\) — vektor kolichestv reber treh tsvetov. dlya nepustogo semeystva ostovov \\(\\mathcal c\\) rassmotrim pryamougolnuyu korobku \\(b(\\mathcal c)=\\prod_{i=1}^3[\\min_{t\\in\\mathcal c}c_i(t),\\max_{t\\in\\mathcal c}c_i(t)]\\). esli tselochislennyy vektor \\(x\\in b(\\mathcal c)\\) dlya nekotorogo \\(\\mathcal c\\) i \\(x_1+x_2+x_3=|v(g)|-1\\), to suschestvuet ostov \\(t\\) takoy, chto \\(c(t)=x\\). spanning_tree cycle connected_graph idea-minimal-suspicious-family minimizirovat chislo chastichno ispolzuemyh reber sredi vseh horoshih semeystv vybiraetsya semeystvo s minimalnym chislom reber, kotorye vstrechayutsya ne v nule i ne vo vseh ostovah semeystva. extremal_choice trees ai_checked idea-cycle-cut-exchange ubrat podozritelnoe rebro obmenom esli vybrannoe podozritelnoe rebro nado udalit iz vseh ostovov, ispolzuetsya razrez posle ego udaleniya iz dereva; esli nado dobavit ego vo vse ostovy, ispolzuetsya edinstvennyy tsikl posle ego dobavleniya. trees extremal_choice ai_checked idea-good-box-survives korobka tsvetovyh schetchikov sohranyaet tsel obmen menyaet u kazhdogo ostova tsvetovye schetchiki ne bolee chem na odin v nuzhnuyu storonu, poetomu tselevaya troyka ostaetsya vnutri minimalno-maksimalnoy korobki. invariant coloring ai_checked sol-minimal-suspicious-edge-exchange dokazatelstvo minimalnostyu podozritelnyh reber ai_checked spanning_tree cycle extremal_choice dlya semeystva \\(\\mathcal c\\) polozhim \\[ r_0=\\min_{t\\in\\mathcal c}r(t),\\quad r_0=\\max_{t\\in\\mathcal c}r(t), \\] i analogichno \\(g_0,g_0,b_0,b_0\\). horoshest oznachaet \\(r\\in[r_0,r_0]\\), \\(g\\in[g_0,g_0]\\), \\(b\\in[b_0,b_0]\\). vyberem horoshee semeystvo \\(\\mathcal c\\) s minimalnym chislom podozritelnyh reber. nuzhno dokazat, chto v nem uzhe est ostov s nuzhnoy troykoy. predpolozhim obratnoe. dlya kazhdogo \\(t\\in\\mathcal c\\) summa \\(r(t)+g(t)+b(t)\\) ravna \\(|v(g)|-1=r+g+b\\). esli by ni dlya odnogo tsveta ne bylo odnovremenno znacheniya nizhe tseli i dlya drugogo tsveta znacheniya vyshe tseli, to vsyakiy ostov, otlichayuschiysya ot tseli v odnu storonu, narushal by ravenstvo summ. poetomu posle pereimenovaniya tsvetov mozhno schitat, chto \\[ r_0<r,\\qquad g_0>g. \\] tak kak \\(\\mathcal c\\) horoshee, dlya sinego tsveta ostayutsya dva sluchaya: \\(b_0=b\\) i \\(b_0>b\\). pervyy sluchay: \\(b_0=b\\). vozmem \\(t_0\\in\\mathcal c\\) s \\(g(t_0)=g_0…","source_keys":["misc","rmm"]}
{"id":"rmm-2012-p1-sociable-sets-bipartite-parity","title":"Чётность покрывающих множеств в двудольном графе знакомств, RMM 2012 P1","path":"data\\problems\\rmm\\rmm-2012-p1-sociable-sets-bipartite-parity.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/rmm/rmm-2012-p1-sociable-sets-bipartite-parity.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#rmm-2012-p1-sociable-sets-bipartite-parity","source_key":"rmm","source_label":"RMM","source_titles":["RMM 2012 официальные условия и решения","MOlympiad.NET, Romanian Masters Mathematics 2012 решения"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"RMM 2012 P1; графовая модель неявная в условии, но официальное решение естественно формулируется в языке двудольного графа и двойного счёта.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён до полного","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный источник и повторная проверка полного русского решения из хвоста очереди official-plan-needs-completion","notes":"Доказательство самодостаточно: один и тот же счёт разделённых пар по модулю 2 даёт чётность покрывающих множеств в обеих долях.","audit_source":"official-plan-tail-pass-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Есть конечное число мальчиков и девочек. Набор мальчиков называется покрывающим, если каждая девочка знает хотя бы одного мальчика из этого набора; аналогично определяется покрывающий набор девочек. Докажите, что число покрывающих наборов мальчиков и число покрывающих наборов девочек одной чётности.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Чётность покрывающих множеств в двудольном графе знакомств, RMM 2012 P1","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G=(L,R,E)\\) — конечный двудольный граф. Подмножество \\(X\\subseteq L\\) назовём покрывающим, если каждая вершина из \\(R\\) имеет соседа в \\(X\\). Аналогично определяется покрывающее подмножество \\(Y\\subseteq R\\). Докажите, что число покрывающих подмножеств в \\(L\\) и число покрывающих подмножеств в \\(R\\) имеют одинаковую чётность.","definition_ids":["bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через разделённые пары","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим двудольный граф знакомств: левая доля \\(L\\) — мальчики, правая доля \\(R\\) — девочки, ребро означает знакомство. Будем считать по модулю \\(2\\) число упорядоченных пар подмножеств \\((X,Y)\\), где \\(X\\subseteq L\\), \\(Y\\subseteq R\\), и между \\(X\\) и \\(Y\\) нет ни одного ребра. Сначала зафиксируем \\(X\\subseteq L\\). Пусть \\(Y_X\\) — множество девочек, не знакомых ни с одним мальчиком из \\(X\\). Тогда условие отсутствия ребер между \\(X\\) и \\(Y\\) означает ровно, что \\(Y\\) можно выбрать произвольным подмножеством \\(Y_X\\). Значит, при данном \\(X\\) число подходящих \\(Y\\) равно \\(2^{|Y_X|}\\). По модулю \\(2\\) это число равно \\(1\\) только в случае \\(|Y_X|=0\\), а это как раз означает, что каждая девочка знакома хотя бы с одним мальчиком из \\(X\\), то есть \\(X\\) покрывающее. Если \\(|Y_X|>0\\), вклад равен \\(0\\) по модулю \\(2\\). Поэтому общее число таких разделённых пар сравнимо по модулю \\(2\\) с чис…"}],"relations":[{"id":"rel-rmm-2012-p1-hall-cover-parity","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-rmm-2012-vosh-2025-two-side-bipartite-balance","neighbor_id":"vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"rmm-2012-p1-sociable-sets-bipartite-parity чётность покрывающих множеств в двудольном графе знакомств, rmm 2012 p1 double_counting goal_counting 2012 https://rmms.lbi.ro/rmm2012/index.php?id=solutions_math https://www.molympiad.net/2017/06/romanian-masters-mathematics-2012.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2012 решения official_archive olympiad_archive rmm rmm 2012 официальные условия и решения rmm2012 src-molympiad-rmm-2012 src-rmm-2012-official with_solution ? rmm 2012 официальные условия и решения molympiad.net, romanian masters mathematics 2012 решения stmt-original условие ai_checked есть конечное число мальчиков и девочек. набор мальчиков называется покрывающим, если каждая девочка знает хотя бы одного мальчика из этого набора; аналогично определяется покрывающий набор девочек. докажите, что число покрывающих наборов мальчиков и число покрывающих наборов девочек одной чётности. stmt-graph чётность покрывающих множеств в двудольном графе знакомств, rmm 2012 p1 ai_checked пусть \\(g=(l,r,e)\\) — конечный двудольный граф. подмножество \\(x\\subseteq l\\) назовём покрывающим, если каждая вершина из \\(r\\) имеет соседа в \\(x\\). аналогично определяется покрывающее подмножество \\(y\\subseteq r\\). докажите, что число покрывающих подмножеств в \\(l\\) и число покрывающих подмножеств в \\(r\\) имеют одинаковую чётность. bipartite_graph idea-separated-pairs счёт пар разделённых множеств считаются упорядоченные пары \\((x,y)\\), где набор мальчиков \\(x\\) и набор девочек \\(y\\) не соединены ни одним ребром. для фиксированного \\(x\\) число подходящих \\(y\\) равно степени двойки и потому даёт вклад 1 по модулю 2 ровно тогда, когда \\(x\\) уже покрывающий. double_counting ai_checked idea-bipartite-symmetry симметрия двух долей то же рассуждение работает и в обратную сторону: по симметрии двудольного графа одна и та же сумма по модулю 2 равна и числу покрывающих множеств мальчиков, и числу покрывающих множеств девочек. graph_symmetry ai_checked sol-official-compressed решение через разделённые пары ai_checked bipartite_graph double_counting построим двудольный граф знакомств: левая доля \\(l\\) — мальчики, правая доля \\(r\\) — девочки, ребро означает знакомство. будем считать по модулю \\(2\\) число упорядоченных пар подмножеств \\((x,y)\\), где \\(x\\subseteq l\\), \\(y\\subseteq r\\), и между \\(x\\) и \\(y\\) нет ни одного ребра. сначала зафиксируем \\(x\\subseteq l\\). пусть \\(y_x\\) — множество девочек, не знакомых ни с одним мальчиком из \\(x\\). тогда условие отсутствия ребер между \\(x\\) и \\(y\\) означает ровно, что \\(y\\) можно выбрать произвольным подмножеством \\(y_x\\). значит, при данном \\(x\\) число подходящих \\(y\\) равно \\(2^{|y_x|}\\). по модулю \\(2\\) это число равно \\(1\\) только в случае \\(|y_x|=0\\), а это как раз означает, что каждая девочка знакома хотя бы с одним мальчиком из \\(x\\), то есть \\(x\\) покрывающее. если \\(|y_x|>0\\), вклад равен \\(0\\) по модулю \\(2\\). поэтому общее число таких разделённых пар сравнимо по модулю \\(2\\) с чис… rmm-2012-p1-sociable-sets-bipartite-parity chetnost pokryvayuschih mnozhestv v dvudolnom grafe znakomstv, rmm 2012 p1 double_counting goal_counting 2012 https://rmms.lbi.ro/rmm2012/index.php?id=solutions_math https://www.molympiad.net/2017/06/romanian-masters-mathematics-2012.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2012 resheniya official_archive olympiad_archive rmm rmm 2012 ofitsialnye usloviya i resheniya rmm2012 src-molympiad-rmm-2012 src-rmm-2012-official with_solution ? rmm 2012 ofitsialnye usloviya i resheniya molympiad.net, romanian masters mathematics 2012 resheniya stmt-original uslovie ai_checked est konechnoe chislo malchikov i devochek. nabor malchikov nazyvaetsya pokryvayuschim, esli kazhdaya devochka znaet hotya by odnogo malchika iz etogo nabora; analogichno opredelyaetsya pokryvayuschiy nabor devochek. dokazhite, chto chislo pokryvayuschih naborov malchikov i chislo pokryvayuschih naborov devochek odnoy chetnosti. stmt-graph chetnost pokryvayuschih mnozhestv v dvudolnom grafe znakomstv, rmm 2012 p1 ai_checked pust \\(g=(l,r,e)\\) — konechnyy dvudolnyy graf. podmnozhestvo \\(x\\subseteq l\\) nazovem pokryvayuschim, esli kazhdaya vershina iz \\(r\\) imeet soseda v \\(x\\). analogichno opredelyaetsya pokryvayuschee podmnozhestvo \\(y\\subseteq r\\). dokazhite, chto chislo pokryvayuschih podmnozhestv v \\(l\\) i chislo pokryvayuschih podmnozhestv v \\(r\\) imeyut odinakovuyu chetnost. bipartite_graph idea-separated-pairs schet par razdelennyh mnozhestv schitayutsya uporyadochennye pary \\((x,y)\\), gde nabor malchikov \\(x\\) i nabor devochek \\(y\\) ne soedineny ni odnim rebrom. dlya fiksirovannogo \\(x\\) chislo podhodyaschih \\(y\\) ravno stepeni dvoyki i potomu daet vklad 1 po modulyu 2 rovno togda, kogda \\(x\\) uzhe pokryvayuschiy. double_counting ai_checked idea-bipartite-symmetry simmetriya dvuh doley to zhe rassuzhdenie rabotaet i v obratnuyu storonu: po simmetrii dvudolnogo grafa odna i ta zhe summa po modulyu 2 ravna i chislu pokryvayuschih mnozhestv malchikov, i chislu pokryvayuschih mnozhestv devochek. graph_symmetry ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez razdelennye pary ai_checked bipartite_graph double_counting postroim dvudolnyy graf znakomstv: levaya dolya \\(l\\) — malchiki, pravaya dolya \\(r\\) — devochki, rebro oznachaet znakomstvo. budem schitat po modulyu \\(2\\) chislo uporyadochennyh par podmnozhestv \\((x,y)\\), gde \\(x\\subseteq l\\), \\(y\\subseteq r\\), i mezhdu \\(x\\) i \\(y\\) net ni odnogo rebra. snachala zafiksiruem \\(x\\subseteq l\\). pust \\(y_x\\) — mnozhestvo devochek, ne znakomyh ni s odnim malchikom iz \\(x\\). togda uslovie otsutstviya reber mezhdu \\(x\\) i \\(y\\) oznachaet rovno, chto \\(y\\) mozhno vybrat proizvolnym podmnozhestvom \\(y_x\\). znachit, pri dannom \\(x\\) chislo podhodyaschih \\(y\\) ravno \\(2^{|y_x|}\\). po modulyu \\(2\\) eto chislo ravno \\(1\\) tolko v sluchae \\(|y_x|=0\\), a eto kak raz oznachaet, chto kazhdaya devochka znakoma hotya by s odnim malchikom iz \\(x\\), to est \\(x\\) pokryvayuschee. esli \\(|y_x|>0\\), vklad raven \\(0\\) po modulyu \\(2\\). poetomu obschee chislo takih razdelennyh par sravnimo po modulyu \\(2\\) s chis…","source_keys":["rmm"]}
{"id":"rmm-2013-p2-tester-pair-endomorphism-digraph","title":"Тестер-пара через жёсткий раскрашенный орграф, RMM 2013 P2","path":"data\\problems\\rmm\\rmm-2013-p2-tester-pair-endomorphism-digraph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/rmm/rmm-2013-p2-tester-pair-endomorphism-digraph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#rmm-2013-p2-tester-pair-endomorphism-digraph","source_key":"rmm","source_label":"RMM","source_titles":["RMM 2013 официальные условия и решения","MOlympiad.NET, Romanian Masters Mathematics 2013 решения"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"RMM 2013 P2; графовая модель содержится в одном из официальных решений и там уже становится центральным содержанием задачи.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"Аудит 2026-05-06: локальная конструкция и проверка жёсткости выписаны.","notes":"Кандидат оказался ложным срабатыванием по сжатости: текст подробно задаёт обе биекции, маркер компоненты и проверку отсутствия нетождественных эндоморфизмов. Общий review_status остаётся needs_human_review из-за источниковых/метаданных.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Существует ли пара функций \\(g,h:\\mathbb R\\to\\mathbb R\\), для которой всякая функция \\(f\\), удовлетворяющая \\(f(g(x))=g(f(x))\\) и \\(f(h(x))=h(f(x))\\) для всех \\(x\\), обязана быть тождественной?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Тестер-пара через жёсткий раскрашенный орграф, RMM 2013 P2","status":"ai_checked","text":"Требуется построить ориентированный граф с множеством вершин мощности континуум, рёбра которого раскрашены в красный и синий цвета, так что из каждой вершины выходит ровно одна красная и ровно одна синяя дуга. Эндоморфизмом такого графа называется отображение вершин в себя, сохраняющее оба цвета дуг. Докажите, что существует такой граф, у которого единственный эндоморфизм — тождественное отображение.","definition_ids":["directed_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Графовое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: да; более того, можно выбрать обе функции биекциями. Сначала переведём условие на язык раскрашенных орграфов. Для заданных \\(g,h:\\mathbb R\\to\\mathbb R\\) проведём из каждой вершины \\(t\\) красную дугу \\(t\\to g(t)\\) и синюю дугу \\(t\\to h(t)\\). Равенства \\(f(g(t))=g(f(t))\\) и \\(f(h(t))=h(f(t))\\) означают ровно то, что \\(f\\) переводит красные дуги в красные, а синие в синие, то есть является эндоморфизмом этого раскрашенного орграфа. Поэтому достаточно построить такой граф на \\(\\mathbb R\\), у которого нет нетождественных эндоморфизмов. Положим \\(g(t)=t+1\\). Тогда красные дуги разбивают \\(\\mathbb R\\) на множества \\(S_x=x+\\mathbb Z\\), где \\(0\\le x<1\\). Они будут компонентами. Для каждого \\(x\\in[0,1)\\) зафиксируем двоичную запись \\(x=0.x_1x_2\\ldots\\), выбирая для двоично-рациональных чисел ту запись, которая не оканчивается бесконечной цепочкой единиц. Определим \\(h\\) отдельно на каждом…"}],"relations":[{"id":"rel-tc-2013-rmm-2013-graph-rigidity","neighbor_id":"tc-2013-14-vertex-transitive-not-transposition","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-apmo-2016-rmm-2013-functional-digraph-encoding","neighbor_id":"apmo-2016-p4-dreamland-28-step-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"rmm-2013-p2-tester-pair-endomorphism-digraph тестер-пара через жёсткий раскрашенный орграф, rmm 2013 p2 connectivity goal_construction 2013 https://rmms.lbi.ro/rmm2013/index.php?id=solutions_math https://www.molympiad.net/2017/06/romanian-masters-mathematics-2013.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2013 решения official_archive olympiad_archive rmm rmm 2013 официальные условия и решения rmm2013 src-molympiad-rmm-2013 src-rmm-2013-official with_solution ? rmm 2013 официальные условия и решения molympiad.net, romanian masters mathematics 2013 решения stmt-original условие ai_checked существует ли пара функций \\(g,h:\\mathbb r\\to\\mathbb r\\), для которой всякая функция \\(f\\), удовлетворяющая \\(f(g(x))=g(f(x))\\) и \\(f(h(x))=h(f(x))\\) для всех \\(x\\), обязана быть тождественной? stmt-graph тестер-пара через жёсткий раскрашенный орграф, rmm 2013 p2 ai_checked требуется построить ориентированный граф с множеством вершин мощности континуум, рёбра которого раскрашены в красный и синий цвета, так что из каждой вершины выходит ровно одна красная и ровно одна синяя дуга. эндоморфизмом такого графа называется отображение вершин в себя, сохраняющее оба цвета дуг. докажите, что существует такой граф, у которого единственный эндоморфизм — тождественное отображение. directed_graph idea-commuting-endomorphism коммутирование равно эндоморфизму орграфа если провести из каждой вершины красную дугу \\(x\\to g(x)\\) и синюю дугу \\(x\\to h(x)\\), то условие \\(f\\circ g=g\\circ f\\) и \\(f\\circ h=h\\circ f\\) в точности означает, что \\(f\\) сохраняет дуги и их цвета, то есть является эндоморфизмом построенного раскрашенного орграфа. ai_checked idea-rigid-components жёсткие компоненты без гомоморфизмов между ними берём красные дуги \\(t\\to t+1\\), поэтому компоненты имеют вид \\(x+\\mathbb z\\), \\(0\\le x<1\\). синие дуги внутри компоненты сначала ставят единственный маркер скачка на три, который фиксирует начало компоненты, а затем блоками по три кодируют двоичные цифры параметра \\(x\\). цветосохраняющий гомоморфизм обязан сохранить красный сдвиг, затем маркер, затем каждый блок, поэтому возможен только между одинаковыми компонентами и только тождественный. connectivity ai_checked sol-official-compressed графовое решение ai_checked directed_graph ответ: да; более того, можно выбрать обе функции биекциями. сначала переведём условие на язык раскрашенных орграфов. для заданных \\(g,h:\\mathbb r\\to\\mathbb r\\) проведём из каждой вершины \\(t\\) красную дугу \\(t\\to g(t)\\) и синюю дугу \\(t\\to h(t)\\). равенства \\(f(g(t))=g(f(t))\\) и \\(f(h(t))=h(f(t))\\) означают ровно то, что \\(f\\) переводит красные дуги в красные, а синие в синие, то есть является эндоморфизмом этого раскрашенного орграфа. поэтому достаточно построить такой граф на \\(\\mathbb r\\), у которого нет нетождественных эндоморфизмов. положим \\(g(t)=t+1\\). тогда красные дуги разбивают \\(\\mathbb r\\) на множества \\(s_x=x+\\mathbb z\\), где \\(0\\le x<1\\). они будут компонентами. для каждого \\(x\\in[0,1)\\) зафиксируем двоичную запись \\(x=0.x_1x_2\\ldots\\), выбирая для двоично-рациональных чисел ту запись, которая не оканчивается бесконечной цепочкой единиц. определим \\(h\\) отдельно на каждом… rmm-2013-p2-tester-pair-endomorphism-digraph tester-para cherez zhestkiy raskrashennyy orgraf, rmm 2013 p2 connectivity goal_construction 2013 https://rmms.lbi.ro/rmm2013/index.php?id=solutions_math https://www.molympiad.net/2017/06/romanian-masters-mathematics-2013.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2013 resheniya official_archive olympiad_archive rmm rmm 2013 ofitsialnye usloviya i resheniya rmm2013 src-molympiad-rmm-2013 src-rmm-2013-official with_solution ? rmm 2013 ofitsialnye usloviya i resheniya molympiad.net, romanian masters mathematics 2013 resheniya stmt-original uslovie ai_checked suschestvuet li para funktsiy \\(g,h:\\mathbb r\\to\\mathbb r\\), dlya kotoroy vsyakaya funktsiya \\(f\\), udovletvoryayuschaya \\(f(g(x))=g(f(x))\\) i \\(f(h(x))=h(f(x))\\) dlya vseh \\(x\\), obyazana byt tozhdestvennoy? stmt-graph tester-para cherez zhestkiy raskrashennyy orgraf, rmm 2013 p2 ai_checked trebuetsya postroit orientirovannyy graf s mnozhestvom vershin moschnosti kontinuum, rebra kotorogo raskrasheny v krasnyy i siniy tsveta, tak chto iz kazhdoy vershiny vyhodit rovno odna krasnaya i rovno odna sinyaya duga. endomorfizmom takogo grafa nazyvaetsya otobrazhenie vershin v sebya, sohranyayuschee oba tsveta dug. dokazhite, chto suschestvuet takoy graf, u kotorogo edinstvennyy endomorfizm — tozhdestvennoe otobrazhenie. directed_graph idea-commuting-endomorphism kommutirovanie ravno endomorfizmu orgrafa esli provesti iz kazhdoy vershiny krasnuyu dugu \\(x\\to g(x)\\) i sinyuyu dugu \\(x\\to h(x)\\), to uslovie \\(f\\circ g=g\\circ f\\) i \\(f\\circ h=h\\circ f\\) v tochnosti oznachaet, chto \\(f\\) sohranyaet dugi i ih tsveta, to est yavlyaetsya endomorfizmom postroennogo raskrashennogo orgrafa. ai_checked idea-rigid-components zhestkie komponenty bez gomomorfizmov mezhdu nimi berem krasnye dugi \\(t\\to t+1\\), poetomu komponenty imeyut vid \\(x+\\mathbb z\\), \\(0\\le x<1\\). sinie dugi vnutri komponenty snachala stavyat edinstvennyy marker skachka na tri, kotoryy fiksiruet nachalo komponenty, a zatem blokami po tri kodiruyut dvoichnye tsifry parametra \\(x\\). tsvetosohranyayuschiy gomomorfizm obyazan sohranit krasnyy sdvig, zatem marker, zatem kazhdyy blok, poetomu vozmozhen tolko mezhdu odinakovymi komponentami i tolko tozhdestvennyy. connectivity ai_checked sol-official-compressed grafovoe reshenie ai_checked directed_graph otvet: da; bolee togo, mozhno vybrat obe funktsii biektsiyami. snachala perevedem uslovie na yazyk raskrashennyh orgrafov. dlya zadannyh \\(g,h:\\mathbb r\\to\\mathbb r\\) provedem iz kazhdoy vershiny \\(t\\) krasnuyu dugu \\(t\\to g(t)\\) i sinyuyu dugu \\(t\\to h(t)\\). ravenstva \\(f(g(t))=g(f(t))\\) i \\(f(h(t))=h(f(t))\\) oznachayut rovno to, chto \\(f\\) perevodit krasnye dugi v krasnye, a sinie v sinie, to est yavlyaetsya endomorfizmom etogo raskrashennogo orgrafa. poetomu dostatochno postroit takoy graf na \\(\\mathbb r\\), u kotorogo net netozhdestvennyh endomorfizmov. polozhim \\(g(t)=t+1\\). togda krasnye dugi razbivayut \\(\\mathbb r\\) na mnozhestva \\(s_x=x+\\mathbb z\\), gde \\(0\\le x<1\\). oni budut komponentami. dlya kazhdogo \\(x\\in[0,1)\\) zafiksiruem dvoichnuyu zapis \\(x=0.x_1x_2\\ldots\\), vybiraya dlya dvoichno-ratsionalnyh chisel tu zapis, kotoraya ne okanchivaetsya beskonechnoy tsepochkoy edinits. opredelim \\(h\\) otdelno na kazhdom…","source_keys":["rmm"]}
{"id":"rmm-2016-p6-ab-tree-termination-semiinvariant","title":"Конечность преобразований AB-деревьев, RMM 2016 P6","path":"data\\problems\\rmm\\rmm-2016-p6-ab-tree-termination-semiinvariant.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/rmm/rmm-2016-p6-ab-tree-termination-semiinvariant.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#rmm-2016-p6-ab-tree-termination-semiinvariant","source_key":"rmm","source_label":"RMM","source_titles":["RMM 2016 официальные условия и решения","MOlympiad.NET, Romanian Masters Mathematics 2016 решения"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"RMM 2016 P6; графы даны прямо в условии, а официальное решение почти полностью является теорией взвешенных двудольных деревьев.","status":"ai_checked"},"review_status":"source_verified","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"source_verified","confidence":0.9,"basis":"официальный источник и аудит очень высокой сложности","notes":"Официальный полуинвариант развёрнут: дана проверка неизменности внешних коэффициентов, локальный подсчёт и финальный аргумент конечности.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Дано \\(n\\) точек в евклидовом пространстве, никакие четыре из них не лежат в одной плоскости; множество точек разбито на доли \\(A\\) и \\(B\\). AB-дерево состоит из \\(n-1\\) отрезков, каждый соединяет точку из \\(A\\) с точкой из \\(B\\), и замкнутых ломаных нет. Разрешена операция: если в дереве есть три ребра \\(A_1B_1\\), \\(B_1A_2\\), \\(A_2B_2\\), где \\(A_1,A_2\\in A\\), \\(B_1,B_2\\in B\\), и \\(|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|\\), то удаляют ребро \\(A_1B_1\\) и заменяют его ребром \\(A_1B_2\\). Докажите, что любой процесс таких преобразований конечен.","definition_ids":["tree","bipartite_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Конечность преобразований AB-деревьев, RMM 2016 P6","status":"ai_checked","text":"Дано конечное двудольное дерево, вершины которого разбиты на доли \\(A\\) и \\(B\\) и расположены как точки в евклидовом пространстве; длина ребра равна евклидову расстоянию между его концами. Разрешена операция: если в дереве есть путь \\(A_1-B_1-A_2-B_2\\) и \\(|A_1B_2|+|A_2B_1|<|A_1B_1|+|A_2B_2|\\), удалить ребро \\(A_1B_1\\) и добавить ребро \\(A_1B_2\\), снова получая двудольное дерево на тех же вершинах. Докажите, что любая последовательность таких допустимых операций конечна.","definition_ids":["tree","bipartite_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Строго убывающий потенциал на двудольных деревьях","status":"source_verified","definition_ids":["tree","bipartite_graph","path"],"standard_idea_ids":["potential_function"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем конечное множество точек и будем рассматривать только деревья на этих же вершинах. Таких деревьев конечное число, поэтому достаточно найти числовой потенциал, который строго уменьшается при каждой допустимой замене. Для ребра \\(e=AB\\) дерева \\(T\\), где \\(A\\) -- вершина доли \\(A\\), а \\(B\\) -- вершина доли \\(B\\), удалим \\(e\\). Получатся две компоненты; обозначим через \\(p_T(e)\\) число вершин доли \\(A\\) в той компоненте, которая содержит конец \\(A\\) ребра \\(e\\). Введём \\[ f(T)=\\sum_{e=AB} p_T(e)\\,|AB|, \\] где \\(|AB|\\) -- евклидова длина соответствующего отрезка. Рассмотрим один допустимый шаг. В дереве \\(T\\) есть путь \\(A_1B_1A_2B_2\\), удаляется ребро \\(A_1B_1\\) и добавляется ребро \\(A_1B_2\\); новое дерево обозначим \\(T'\\). После удаления трёх старых рёбер локального пути \\(A_1B_1\\), \\(A_2B_1\\), \\(A_2B_2\\) дерево распадается на четыре подвешенные части при вершинах \\(A_1,B_1,A_…"}],"relations":[{"id":"rel-rmm-2016-rmm-2023-tree-exchange-descent","neighbor_id":"rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"rmm-2016-p6-ab-tree-termination-semiinvariant конечность преобразований ab-деревьев, rmm 2016 p6 trees goal_proof 2016 https://rmms.lbi.ro/rmm2016/index.php?id=solutions_math https://www.molympiad.net/2017/06/romanian-masters-mathematics-2016.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2016 решения official_archive olympiad_archive rmm rmm 2016 официальные условия и решения rmm2016 src-molympiad-rmm-2016 src-rmm-2016-official with_solution ? rmm 2016 официальные условия и решения molympiad.net, romanian masters mathematics 2016 решения stmt-original условие source_verified дано \\(n\\) точек в евклидовом пространстве, никакие четыре из них не лежат в одной плоскости; множество точек разбито на доли \\(a\\) и \\(b\\). ab-дерево состоит из \\(n-1\\) отрезков, каждый соединяет точку из \\(a\\) с точкой из \\(b\\), и замкнутых ломаных нет. разрешена операция: если в дереве есть три ребра \\(a_1b_1\\), \\(b_1a_2\\), \\(a_2b_2\\), где \\(a_1,a_2\\in a\\), \\(b_1,b_2\\in b\\), и \\(|a_1b_1|+|a_2b_2|>|a_1b_2|+|a_2b_1|\\), то удаляют ребро \\(a_1b_1\\) и заменяют его ребром \\(a_1b_2\\). докажите, что любой процесс таких преобразований конечен. tree bipartite_graph path stmt-graph конечность преобразований ab-деревьев, rmm 2016 p6 ai_checked дано конечное двудольное дерево, вершины которого разбиты на доли \\(a\\) и \\(b\\) и расположены как точки в евклидовом пространстве; длина ребра равна евклидову расстоянию между его концами. разрешена операция: если в дереве есть путь \\(a_1-b_1-a_2-b_2\\) и \\(|a_1b_2|+|a_2b_1|<|a_1b_1|+|a_2b_2|\\), удалить ребро \\(a_1b_1\\) и добавить ребро \\(a_1b_2\\), снова получая двудольное дерево на тех же вершинах. докажите, что любая последовательность таких допустимых операций конечна. tree bipartite_graph path idea-cut-weight-potential вес ребра умножается на размер своей a-стороны для каждого ребра \\(e\\) после его удаления смотрим на компоненту, содержащую его конец из \\(a\\), и считаем число вершин \\(a\\) в этой компоненте. сумма \\(\\sum p_t(e)\\,|e|\\) по всем рёбрам оказывается естественным потенциалом. trees ai_checked idea-local-exchange-decreases локальная замена уменьшает потенциал при замене \\(a_1b_1\\to a_1b_2\\) изменяются только коэффициенты у трёх рёбер локальной конфигурации. после подстановки получается множитель \\(p_t(a_1b_1)\\bigl(|a_1b_2|+|a_2b_1|-|a_1b_1|-|a_2b_2|\\bigr)<0\\). extremal_choice ai_checked sol-official-compressed строго убывающий потенциал на двудольных деревьях source_verified tree bipartite_graph path potential_function зафиксируем конечное множество точек и будем рассматривать только деревья на этих же вершинах. таких деревьев конечное число, поэтому достаточно найти числовой потенциал, который строго уменьшается при каждой допустимой замене. для ребра \\(e=ab\\) дерева \\(t\\), где \\(a\\) -- вершина доли \\(a\\), а \\(b\\) -- вершина доли \\(b\\), удалим \\(e\\). получатся две компоненты; обозначим через \\(p_t(e)\\) число вершин доли \\(a\\) в той компоненте, которая содержит конец \\(a\\) ребра \\(e\\). введём \\[ f(t)=\\sum_{e=ab} p_t(e)\\,|ab|, \\] где \\(|ab|\\) -- евклидова длина соответствующего отрезка. рассмотрим один допустимый шаг. в дереве \\(t\\) есть путь \\(a_1b_1a_2b_2\\), удаляется ребро \\(a_1b_1\\) и добавляется ребро \\(a_1b_2\\); новое дерево обозначим \\(t'\\). после удаления трёх старых рёбер локального пути \\(a_1b_1\\), \\(a_2b_1\\), \\(a_2b_2\\) дерево распадается на четыре подвешенные части при вершинах \\(a_1,b_1,a_… rmm-2016-p6-ab-tree-termination-semiinvariant konechnost preobrazovaniy ab-derevev, rmm 2016 p6 trees goal_proof 2016 https://rmms.lbi.ro/rmm2016/index.php?id=solutions_math https://www.molympiad.net/2017/06/romanian-masters-mathematics-2016.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2016 resheniya official_archive olympiad_archive rmm rmm 2016 ofitsialnye usloviya i resheniya rmm2016 src-molympiad-rmm-2016 src-rmm-2016-official with_solution ? rmm 2016 ofitsialnye usloviya i resheniya molympiad.net, romanian masters mathematics 2016 resheniya stmt-original uslovie source_verified dano \\(n\\) tochek v evklidovom prostranstve, nikakie chetyre iz nih ne lezhat v odnoy ploskosti; mnozhestvo tochek razbito na doli \\(a\\) i \\(b\\). ab-derevo sostoit iz \\(n-1\\) otrezkov, kazhdyy soedinyaet tochku iz \\(a\\) s tochkoy iz \\(b\\), i zamknutyh lomanyh net. razreshena operatsiya: esli v dereve est tri rebra \\(a_1b_1\\), \\(b_1a_2\\), \\(a_2b_2\\), gde \\(a_1,a_2\\in a\\), \\(b_1,b_2\\in b\\), i \\(|a_1b_1|+|a_2b_2|>|a_1b_2|+|a_2b_1|\\), to udalyayut rebro \\(a_1b_1\\) i zamenyayut ego rebrom \\(a_1b_2\\). dokazhite, chto lyuboy protsess takih preobrazovaniy konechen. tree bipartite_graph path stmt-graph konechnost preobrazovaniy ab-derevev, rmm 2016 p6 ai_checked dano konechnoe dvudolnoe derevo, vershiny kotorogo razbity na doli \\(a\\) i \\(b\\) i raspolozheny kak tochki v evklidovom prostranstve; dlina rebra ravna evklidovu rasstoyaniyu mezhdu ego kontsami. razreshena operatsiya: esli v dereve est put \\(a_1-b_1-a_2-b_2\\) i \\(|a_1b_2|+|a_2b_1|<|a_1b_1|+|a_2b_2|\\), udalit rebro \\(a_1b_1\\) i dobavit rebro \\(a_1b_2\\), snova poluchaya dvudolnoe derevo na teh zhe vershinah. dokazhite, chto lyubaya posledovatelnost takih dopustimyh operatsiy konechna. tree bipartite_graph path idea-cut-weight-potential ves rebra umnozhaetsya na razmer svoey a-storony dlya kazhdogo rebra \\(e\\) posle ego udaleniya smotrim na komponentu, soderzhaschuyu ego konets iz \\(a\\), i schitaem chislo vershin \\(a\\) v etoy komponente. summa \\(\\sum p_t(e)\\,|e|\\) po vsem rebram okazyvaetsya estestvennym potentsialom. trees ai_checked idea-local-exchange-decreases lokalnaya zamena umenshaet potentsial pri zamene \\(a_1b_1\\to a_1b_2\\) izmenyayutsya tolko koeffitsienty u treh reber lokalnoy konfiguratsii. posle podstanovki poluchaetsya mnozhitel \\(p_t(a_1b_1)\\bigl(|a_1b_2|+|a_2b_1|-|a_1b_1|-|a_2b_2|\\bigr)<0\\). extremal_choice ai_checked sol-official-compressed strogo ubyvayuschiy potentsial na dvudolnyh derevyah source_verified tree bipartite_graph path potential_function zafiksiruem konechnoe mnozhestvo tochek i budem rassmatrivat tolko derevya na etih zhe vershinah. takih derevev konechnoe chislo, poetomu dostatochno nayti chislovoy potentsial, kotoryy strogo umenshaetsya pri kazhdoy dopustimoy zamene. dlya rebra \\(e=ab\\) dereva \\(t\\), gde \\(a\\) -- vershina doli \\(a\\), a \\(b\\) -- vershina doli \\(b\\), udalim \\(e\\). poluchatsya dve komponenty; oboznachim cherez \\(p_t(e)\\) chislo vershin doli \\(a\\) v toy komponente, kotoraya soderzhit konets \\(a\\) rebra \\(e\\). vvedem \\[ f(t)=\\sum_{e=ab} p_t(e)\\,|ab|, \\] gde \\(|ab|\\) -- evklidova dlina sootvetstvuyuschego otrezka. rassmotrim odin dopustimyy shag. v dereve \\(t\\) est put \\(a_1b_1a_2b_2\\), udalyaetsya rebro \\(a_1b_1\\) i dobavlyaetsya rebro \\(a_1b_2\\); novoe derevo oboznachim \\(t'\\). posle udaleniya treh staryh reber lokalnogo puti \\(a_1b_1\\), \\(a_2b_1\\), \\(a_2b_2\\) derevo raspadaetsya na chetyre podveshennye chasti pri vershinah \\(a_1,b_1,a_…","source_keys":["rmm"]}
{"id":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","title":"Разбиение решета на минимальное число палочек, RMM 2017 P5","path":"data\\problems\\rmm\\rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/rmm/rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","source_key":"rmm","source_label":"RMM","source_titles":["RMM 2017 официальные условия и решения","MOlympiad.NET, Romanian Masters Mathematics 2017 решения"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":["Palmer Mebane","Nikolai Beluhov"],"tags":["matching","goal_classification"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"RMM 2017 P5; графовая модель появляется в одном из официальных решений и даёт чистую нижнюю оценку через теорему Холла.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"Аудит 2026-05-06: доказательство через условие Холла уже локально развёрнуто.","notes":"Кандидат оказался ложным срабатыванием по сжатости: решение содержит верхнюю оценку, построение двудольного графа и подробную проверку условия Холла для нижней оценки.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Решетом называется доска \\(n\\times n\\), из которой удалено ровно по одной клетке в каждой строке и каждом столбце. Палочка — это прямоугольник \\(1\\times k\\) или \\(k\\times1\\). Для данного решета \\(A\\) обозначим через \\(m(A)\\) минимальное число палочек, на которые можно разбить все его клетки. Найдите все возможные значения \\(m(A)\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Вершинное покрытие в интервальном графе решета","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(\\pi\\) — перестановка множества \\(\\{1,\\ldots,n\\}\\), а \\(Q=\\{1,\\ldots,n\\}^2\\setminus\\{(i,\\pi(i)):1\\le i\\le n\\}\\). Максимальные последовательные подмножества \\(Q\\) с фиксированной первой координатой образуют левую долю, а с фиксированной второй координатой — правую долю. Каждый элемент \\(Q\\) задаёт ребро между содержащими его двумя такими подмножествами. Найдите все возможные значения минимального размера вершинного покрытия полученного двудольного графа.","definition_ids":["bipartite_graph","vertex_cover"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Графовое решение с проверкой Холла","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: единственное возможное значение равно \\(2n-2\\). Верхняя оценка получается сразу: если разрезать решето на максимальные горизонтальные палочки, то в строке с удалённой крайней клеткой получается одна палочка, а в каждой из остальных \\(n-2\\) строк — две; всего \\(2n-2\\). Значит, \\(m(A)\\le 2n-2\\). Докажем обратную оценку графовым способом из третьего доказательства. Достаточно найти \\(2n-2\\) клеток решета, никакие две из которых не могут лежать в одной палочке: тогда любому разбиению понадобится по крайней мере столько палочек. Рассмотрим двудольный граф \\(G\\). В левую долю \\(G_h\\) поместим все максимальные горизонтальные палочки, получающиеся в строках решета, а в правую долю \\(G_v\\) — все максимальные вертикальные палочки. В каждой доле ровно \\(2n-2\\) вершин: например, горизонтальных палочек по одной в строках, где дырка стоит в крайнем столбце, и по две в остальных строках; так ка…"}],"relations":[{"id":"rel-egmo-2022-rmm-2017-bipartite-matching-model","neighbor_id":"egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-edge-count-bound-rmm-2017-sieve-sticks","neighbor_id":"edge-count-bipartite-matching-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-matching-tiling-rmm-2017-imo-2010-hall-incidence","neighbor_id":"imo-2010-c2-flags-diagonal-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-matching-tiling-kolm-2002-rmm-2017-hall-deficiency","neighbor_id":"kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-matching-tiling-memo-2021-rmm-2017-grid-incidence-bigraph","neighbor_id":"memo-2021-i2-bishop-circuit-forest","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-hall-rmm-2017-p5-grid-matching","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-rmm-2017-p5-egmo-2016-p3-grid-incidence","neighbor_id":"egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching разбиение решета на минимальное число палочек, rmm 2017 p5 matching goal_classification 2017 https://rmms.lbi.ro/rmm2017/index.php?id=solutions_math https://www.molympiad.net/2017/06/romanian-masters-mathematics-2017.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2017 решения nikolai beluhov nikolaibeluhov official_archive olympiad_archive palmer mebane palmermebane rmm rmm 2017 официальные условия и решения rmm2017 src-molympiad-rmm-2017 src-rmm-2017-official with_solution palmer mebane nikolai beluhov rmm 2017 официальные условия и решения molympiad.net, romanian masters mathematics 2017 решения stmt-original условие ai_checked решетом называется доска \\(n\\times n\\), из которой удалено ровно по одной клетке в каждой строке и каждом столбце. палочка — это прямоугольник \\(1\\times k\\) или \\(k\\times1\\). для данного решета \\(a\\) обозначим через \\(m(a)\\) минимальное число палочек, на которые можно разбить все его клетки. найдите все возможные значения \\(m(a)\\). stmt-graph вершинное покрытие в интервальном графе решета ai_checked пусть \\(\\pi\\) — перестановка множества \\(\\{1,\\ldots,n\\}\\), а \\(q=\\{1,\\ldots,n\\}^2\\setminus\\{(i,\\pi(i)):1\\le i\\le n\\}\\). максимальные последовательные подмножества \\(q\\) с фиксированной первой координатой образуют левую долю, а с фиксированной второй координатой — правую долю. каждый элемент \\(q\\) задаёт ребро между содержащими его двумя такими подмножествами. найдите все возможные значения минимального размера вершинного покрытия полученного двудольного графа. bipartite_graph vertex_cover idea-sticks-incidence-graph горизонтальные и вертикальные палочки образуют двудольный граф берутся максимальные горизонтальные и вертикальные палочки, возникающие после разрезания по всем линиям сетки. клетка решета задаёт ребро между двумя палочками, которые в ней пересекаются. matching ai_checked idea-hall-cells совершенное паросочетание выбирает попарно несовместимые клетки если в построенном двудольном графе выполнено условие холла, то существует паросочетание размера \\(2n-2\\). соответствующие клетки лежат в разных палочках, поэтому никакая палочка не может покрыть две из них; отсюда сразу следует нижняя оценка на число палочек. matching ai_checked sol-official-compressed графовое решение с проверкой холла ai_checked matching ответ: единственное возможное значение равно \\(2n-2\\). верхняя оценка получается сразу: если разрезать решето на максимальные горизонтальные палочки, то в строке с удалённой крайней клеткой получается одна палочка, а в каждой из остальных \\(n-2\\) строк — две; всего \\(2n-2\\). значит, \\(m(a)\\le 2n-2\\). докажем обратную оценку графовым способом из третьего доказательства. достаточно найти \\(2n-2\\) клеток решета, никакие две из которых не могут лежать в одной палочке: тогда любому разбиению понадобится по крайней мере столько палочек. рассмотрим двудольный граф \\(g\\). в левую долю \\(g_h\\) поместим все максимальные горизонтальные палочки, получающиеся в строках решета, а в правую долю \\(g_v\\) — все максимальные вертикальные палочки. в каждой доле ровно \\(2n-2\\) вершин: например, горизонтальных палочек по одной в строках, где дырка стоит в крайнем столбце, и по две в остальных строках; так ка… rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching razbienie resheta na minimalnoe chislo palochek, rmm 2017 p5 matching goal_classification 2017 https://rmms.lbi.ro/rmm2017/index.php?id=solutions_math https://www.molympiad.net/2017/06/romanian-masters-mathematics-2017.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2017 resheniya nikolai beluhov nikolaibeluhov official_archive olympiad_archive palmer mebane palmermebane rmm rmm 2017 ofitsialnye usloviya i resheniya rmm2017 src-molympiad-rmm-2017 src-rmm-2017-official with_solution palmer mebane nikolai beluhov rmm 2017 ofitsialnye usloviya i resheniya molympiad.net, romanian masters mathematics 2017 resheniya stmt-original uslovie ai_checked reshetom nazyvaetsya doska \\(n\\times n\\), iz kotoroy udaleno rovno po odnoy kletke v kazhdoy stroke i kazhdom stolbtse. palochka — eto pryamougolnik \\(1\\times k\\) ili \\(k\\times1\\). dlya dannogo resheta \\(a\\) oboznachim cherez \\(m(a)\\) minimalnoe chislo palochek, na kotorye mozhno razbit vse ego kletki. naydite vse vozmozhnye znacheniya \\(m(a)\\). stmt-graph vershinnoe pokrytie v intervalnom grafe resheta ai_checked pust \\(\\pi\\) — perestanovka mnozhestva \\(\\{1,\\ldots,n\\}\\), a \\(q=\\{1,\\ldots,n\\}^2\\setminus\\{(i,\\pi(i)):1\\le i\\le n\\}\\). maksimalnye posledovatelnye podmnozhestva \\(q\\) s fiksirovannoy pervoy koordinatoy obrazuyut levuyu dolyu, a s fiksirovannoy vtoroy koordinatoy — pravuyu dolyu. kazhdyy element \\(q\\) zadaet rebro mezhdu soderzhaschimi ego dvumya takimi podmnozhestvami. naydite vse vozmozhnye znacheniya minimalnogo razmera vershinnogo pokrytiya poluchennogo dvudolnogo grafa. bipartite_graph vertex_cover idea-sticks-incidence-graph gorizontalnye i vertikalnye palochki obrazuyut dvudolnyy graf berutsya maksimalnye gorizontalnye i vertikalnye palochki, voznikayuschie posle razrezaniya po vsem liniyam setki. kletka resheta zadaet rebro mezhdu dvumya palochkami, kotorye v ney peresekayutsya. matching ai_checked idea-hall-cells sovershennoe parosochetanie vybiraet poparno nesovmestimye kletki esli v postroennom dvudolnom grafe vypolneno uslovie holla, to suschestvuet parosochetanie razmera \\(2n-2\\). sootvetstvuyuschie kletki lezhat v raznyh palochkah, poetomu nikakaya palochka ne mozhet pokryt dve iz nih; otsyuda srazu sleduet nizhnyaya otsenka na chislo palochek. matching ai_checked sol-official-compressed grafovoe reshenie s proverkoy holla ai_checked matching otvet: edinstvennoe vozmozhnoe znachenie ravno \\(2n-2\\). verhnyaya otsenka poluchaetsya srazu: esli razrezat resheto na maksimalnye gorizontalnye palochki, to v stroke s udalennoy krayney kletkoy poluchaetsya odna palochka, a v kazhdoy iz ostalnyh \\(n-2\\) strok — dve; vsego \\(2n-2\\). znachit, \\(m(a)\\le 2n-2\\). dokazhem obratnuyu otsenku grafovym sposobom iz tretego dokazatelstva. dostatochno nayti \\(2n-2\\) kletok resheta, nikakie dve iz kotoryh ne mogut lezhat v odnoy palochke: togda lyubomu razbieniyu ponadobitsya po krayney mere stolko palochek. rassmotrim dvudolnyy graf \\(g\\). v levuyu dolyu \\(g_h\\) pomestim vse maksimalnye gorizontalnye palochki, poluchayuschiesya v strokah resheta, a v pravuyu dolyu \\(g_v\\) — vse maksimalnye vertikalnye palochki. v kazhdoy dole rovno \\(2n-2\\) vershin: naprimer, gorizontalnyh palochek po odnoy v strokah, gde dyrka stoit v kraynem stolbtse, i po dve v ostalnyh strokah; tak ka…","source_keys":["rmm"]}
{"id":"rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges","title":"Счёт цветов в остовах через подозрительные рёбра, RMM 2023 P6","path":"data\\problems\\rmm\\rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/rmm/rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges","source_key":"rmm","source_label":"RMM","source_titles":["RMM 2023 официальные условия и решения","MOlympiad.NET, Romanian Masters Mathematics 2023 решения"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","coloring","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"RMM 2023 P6; полностью графовая задача на остовы, циклы, разрезы и экстремальный выбор семейства.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён до полного","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"официальный источник и повторная проверка развёрнутого решения из хвоста очереди official-plan-needs-completion","notes":"Сжатый официальный план раскрыт в полное доказательство через минимальное хорошее семейство, подозрительные рёбра, обмен по разрезу и обмен по циклу.","audit_source":"official-plan-tail-pass-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Дан связный граф на \\(r+g+b+1\\) вершинах с красными, зелёными и синими рёбрами. Известно, что у него есть остов с ровно \\(r\\) красными рёбрами, остов с ровно \\(g\\) зелёными и остов с ровно \\(b\\) синими. Докажите, что существует остов, в котором одновременно ровно \\(r\\) красных, \\(g\\) зелёных и \\(b\\) синих рёбер.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через подозрительные рёбра","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для остова \\(T\\) обозначим через \\(r(T),g(T),b(T)\\) числа красных, зелёных и синих рёбер. Для семейства остовов \\(\\mathcal C\\) положим, например, \\[ r(\\mathcal C)=\\min_{T\\in\\mathcal C}r(T),\\quad R(\\mathcal C)=\\max_{T\\in\\mathcal C}r(T), \\] и тем же способом для зелёного и синего цветов. Назовём \\(\\mathcal C\\) хорошим, если \\[ r\\in [r(\\mathcal C),R(\\mathcal C)],\\quad g\\in [g(\\mathcal C),G(\\mathcal C)],\\quad b\\in [b(\\mathcal C),B(\\mathcal C)]. \\] Семейство всех остовов хорошее по условию задачи. Ребро назовём подозрительным для \\(\\mathcal C\\), если оно входит хотя бы в один, но не во все остовы из \\(\\mathcal C\\). Выберем хорошее семейство \\(\\mathcal C\\) с минимальным числом подозрительных рёбер. Если в \\(\\mathcal C\\) уже есть остов с \\((r,g,b)\\), всё доказано. Иначе, так как каждый остов имеет ровно \\(r+g+b\\) рёбер, у каких-то цветов целевое число достигается снизу и сверху не одновременно…"}],"relations":[{"id":"rel-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-rmm-2023-spanning-tree-exchange","neighbor_id":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-tree-rmm-2023-spanning-exchange","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-colored-spanning-tree-exchange-lemma-to-rmm-2023-p6","neighbor_id":"colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-rmm-2016-rmm-2023-tree-exchange-descent","neighbor_id":"rmm-2016-p6-ab-tree-termination-semiinvariant","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges счёт цветов в остовах через подозрительные рёбра, rmm 2023 p6 trees coloring goal_existence 2023 https://rmms.lbi.ro/rmm2023/index.php?id=problems_math https://www.molympiad.net/2023/03/romanian-masters-mathematics-2023.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 решения official_archive olympiad_archive rmm rmm 2023 официальные условия и решения rmm2023 src-molympiad-rmm-2023 src-rmm-2023-official with_solution ? rmm 2023 официальные условия и решения molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 решения stmt-original условие ai_checked дан связный граф на \\(r+g+b+1\\) вершинах с красными, зелёными и синими рёбрами. известно, что у него есть остов с ровно \\(r\\) красными рёбрами, остов с ровно \\(g\\) зелёными и остов с ровно \\(b\\) синими. докажите, что существует остов, в котором одновременно ровно \\(r\\) красных, \\(g\\) зелёных и \\(b\\) синих рёбер. idea-good-family-box выбираем хорошее семейство остовов рассматривается семейство остовов, для которого заданные числа \\(r,g,b\\) лежат внутри прямоугольной коробки между минимальными и максимальными цветовыми счётчиками по этому семейству. trees ai_checked idea-suspicious-edges минимизируем число подозрительных рёбер подозрительным называется ребро, которое содержится не во всех и не ни в одном остове семейства. если выбрать хорошее семейство с минимальным числом подозрительных рёбер, то локальными заменами по циклу или по разрезу можно построить другое хорошее семейство с меньшим числом подозрительных рёбер — противоречие. extremal_choice ai_checked sol-official-compressed решение через подозрительные рёбра ai_checked cycle spanning_tree extremal_choice для остова \\(t\\) обозначим через \\(r(t),g(t),b(t)\\) числа красных, зелёных и синих рёбер. для семейства остовов \\(\\mathcal c\\) положим, например, \\[ r(\\mathcal c)=\\min_{t\\in\\mathcal c}r(t),\\quad r(\\mathcal c)=\\max_{t\\in\\mathcal c}r(t), \\] и тем же способом для зелёного и синего цветов. назовём \\(\\mathcal c\\) хорошим, если \\[ r\\in [r(\\mathcal c),r(\\mathcal c)],\\quad g\\in [g(\\mathcal c),g(\\mathcal c)],\\quad b\\in [b(\\mathcal c),b(\\mathcal c)]. \\] семейство всех остовов хорошее по условию задачи. ребро назовём подозрительным для \\(\\mathcal c\\), если оно входит хотя бы в один, но не во все остовы из \\(\\mathcal c\\). выберем хорошее семейство \\(\\mathcal c\\) с минимальным числом подозрительных рёбер. если в \\(\\mathcal c\\) уже есть остов с \\((r,g,b)\\), всё доказано. иначе, так как каждый остов имеет ровно \\(r+g+b\\) рёбер, у каких-то цветов целевое число достигается снизу и сверху не одновременно… rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges schet tsvetov v ostovah cherez podozritelnye rebra, rmm 2023 p6 trees coloring goal_existence 2023 https://rmms.lbi.ro/rmm2023/index.php?id=problems_math https://www.molympiad.net/2023/03/romanian-masters-mathematics-2023.html molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 resheniya official_archive olympiad_archive rmm rmm 2023 ofitsialnye usloviya i resheniya rmm2023 src-molympiad-rmm-2023 src-rmm-2023-official with_solution ? rmm 2023 ofitsialnye usloviya i resheniya molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 resheniya stmt-original uslovie ai_checked dan svyaznyy graf na \\(r+g+b+1\\) vershinah s krasnymi, zelenymi i sinimi rebrami. izvestno, chto u nego est ostov s rovno \\(r\\) krasnymi rebrami, ostov s rovno \\(g\\) zelenymi i ostov s rovno \\(b\\) sinimi. dokazhite, chto suschestvuet ostov, v kotorom odnovremenno rovno \\(r\\) krasnyh, \\(g\\) zelenyh i \\(b\\) sinih reber. idea-good-family-box vybiraem horoshee semeystvo ostovov rassmatrivaetsya semeystvo ostovov, dlya kotorogo zadannye chisla \\(r,g,b\\) lezhat vnutri pryamougolnoy korobki mezhdu minimalnymi i maksimalnymi tsvetovymi schetchikami po etomu semeystvu. trees ai_checked idea-suspicious-edges minimiziruem chislo podozritelnyh reber podozritelnym nazyvaetsya rebro, kotoroe soderzhitsya ne vo vseh i ne ni v odnom ostove semeystva. esli vybrat horoshee semeystvo s minimalnym chislom podozritelnyh reber, to lokalnymi zamenami po tsiklu ili po razrezu mozhno postroit drugoe horoshee semeystvo s menshim chislom podozritelnyh reber — protivorechie. extremal_choice ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez podozritelnye rebra ai_checked cycle spanning_tree extremal_choice dlya ostova \\(t\\) oboznachim cherez \\(r(t),g(t),b(t)\\) chisla krasnyh, zelenyh i sinih reber. dlya semeystva ostovov \\(\\mathcal c\\) polozhim, naprimer, \\[ r(\\mathcal c)=\\min_{t\\in\\mathcal c}r(t),\\quad r(\\mathcal c)=\\max_{t\\in\\mathcal c}r(t), \\] i tem zhe sposobom dlya zelenogo i sinego tsvetov. nazovem \\(\\mathcal c\\) horoshim, esli \\[ r\\in [r(\\mathcal c),r(\\mathcal c)],\\quad g\\in [g(\\mathcal c),g(\\mathcal c)],\\quad b\\in [b(\\mathcal c),b(\\mathcal c)]. \\] semeystvo vseh ostovov horoshee po usloviyu zadachi. rebro nazovem podozritelnym dlya \\(\\mathcal c\\), esli ono vhodit hotya by v odin, no ne vo vse ostovy iz \\(\\mathcal c\\). vyberem horoshee semeystvo \\(\\mathcal c\\) s minimalnym chislom podozritelnyh reber. esli v \\(\\mathcal c\\) uzhe est ostov s \\((r,g,b)\\), vse dokazano. inache, tak kak kazhdyy ostov imeet rovno \\(r+g+b\\) reber, u kakih-to tsvetov tselevoe chislo dostigaetsya snizu i sverhu ne odnovremenno…","source_keys":["rmm"]}
{"id":"yumt-2014-grand-round1-problem5","title":"В графе 3n вершин и 5n рёбер, ЮМТ 2014","path":"data\\problems\\yumt\\yumt-2014-grand-round1-problem5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/yumt/yumt-2014-grand-round1-problem5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#yumt-2014-grand-round1-problem5","source_key":"yumt","source_label":"ЮМТ","source_titles":["ЮМТ 2014, Гранд-лига, первый тур, 5. В графе 3n вершин и 5n рёбер","Romanian Master of Mathematics 2019, условия","Po-Shen Loh / LuoboshenMath on RMM 2019 cycle-length problem"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","double_counting","pigeonhole_principle","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ЮМТ 2014_grand_round1_problem5.md; этап: Гранд-лига, первый тур.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"external_published_solution_adapted","label":"адаптированное опубликованное решение","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"аудит повышенной сложности со сверкой официального условия ЮМТ и адаптацией официального решения RMM 2019","notes":"Полное самодостаточное решение добавлено; оно является конечной константной адаптацией первого официального решения RMM 2019 Problem 3."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе 3n вершин и 5n рёбер. Докажите, что в нём есть два простых цикла равной длины.","definition_ids":["simple_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-external-rmm-spanning-forest-counting","title":"Адаптация решения RMM 2019: остовный лес и подсчёт циклов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["double_counting","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем от противного. Пусть G - простой граф с 3n вершинами и 5n рёбрами, в котором все простые циклы имеют попарно различные длины. При n=1 такого простого графа нет, потому что между тремя вершинами может быть не более трёх рёбер; далее считаем n>=2. В простом графе на 3n вершинах длина простого цикла может быть только одним из чисел 3,4,...,3n. Поэтому, если длины всех циклов различны, всего циклов в G не больше 3n-2. Выберем в каждой компоненте G остовное дерево и объединим их в остовный лес F. Пусть c - число компонент. Тогда в F ровно 3n-c рёбер. Остальные рёбра обозначим через B; их число равно q=|B|=5n-(3n-c)=2n+c, значит q>=2n+1. Для каждого ребра b из B добавление b к лесу F создаёт единственный простой цикл \\(C_b\\). Пусть \\(S_b\\) - множество рёбер леса F, лежащих на этом цикле, то есть путь в F между концами b. Длина \\(C_b\\) равна \\(|S_b|+1\\). По предположению все длины цикл…"}],"relations":[],"search_text":"yumt-2014-grand-round1-problem5 в графе 3n вершин и 5n рёбер, юмт 2014 extremal_graph_theory double_counting pigeonhole_principle goal_proof 2014 https://adygmath.ru/content/files/smena2014/1turgrand.pdf https://imomath.com/srb/zadaci/2019_rmm_e.pdf https://k.sina.cn/article_5044281310_12ca99fde02000rh15.html official_archive olympiad_archive po-shen loh / luoboshenmath on rmm 2019 cycle-length problem romanian master of mathematics 2019, условия secondary_solution src-luoboshen-rmm-2019-p3 src-rmm-2019-problems src-yumt-2014-grand-round1-problem5-official with_solution yumt yumt2014 юмт юмт 2014, гранд-лига, первый тур, 5. в графе 3n вершин и 5n рёбер юмт2014 ? юмт 2014, гранд-лига, первый тур, 5. в графе 3n вершин и 5n рёбер romanian master of mathematics 2019, условия po-shen loh / luoboshenmath on rmm 2019 cycle-length problem stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе 3n вершин и 5n рёбер. докажите, что в нём есть два простых цикла равной длины. simple_graph cycle idea-spanning-forest-theta-counting остовный лес, фундаментальные циклы и тета-графы если все длины циклов различны, то фундаментальные циклы относительно остовного леса уже имеют разные длины. их древесные части в сумме достаточно длинны, поэтому одно ребро леса лежит во многих таких циклах; пары этих циклов дают новые циклы в тета-графах, и общее число циклов становится больше числа возможных длин. extremal_graph_theory double_counting pigeonhole_principle ai_checked sol-external-rmm-spanning-forest-counting адаптация решения rmm 2019: остовный лес и подсчёт циклов ai_checked simple_graph cycle tree spanning_tree double_counting pigeonhole_principle докажем от противного. пусть g - простой граф с 3n вершинами и 5n рёбрами, в котором все простые циклы имеют попарно различные длины. при n=1 такого простого графа нет, потому что между тремя вершинами может быть не более трёх рёбер; далее считаем n>=2. в простом графе на 3n вершинах длина простого цикла может быть только одним из чисел 3,4,...,3n. поэтому, если длины всех циклов различны, всего циклов в g не больше 3n-2. выберем в каждой компоненте g остовное дерево и объединим их в остовный лес f. пусть c - число компонент. тогда в f ровно 3n-c рёбер. остальные рёбра обозначим через b; их число равно q=|b|=5n-(3n-c)=2n+c, значит q>=2n+1. для каждого ребра b из b добавление b к лесу f создаёт единственный простой цикл \\(c_b\\). пусть \\(s_b\\) - множество рёбер леса f, лежащих на этом цикле, то есть путь в f между концами b. длина \\(c_b\\) равна \\(|s_b|+1\\). по предположению все длины цикл… yumt-2014-grand-round1-problem5 v grafe 3n vershin i 5n reber, yumt 2014 extremal_graph_theory double_counting pigeonhole_principle goal_proof 2014 https://adygmath.ru/content/files/smena2014/1turgrand.pdf https://imomath.com/srb/zadaci/2019_rmm_e.pdf https://k.sina.cn/article_5044281310_12ca99fde02000rh15.html official_archive olympiad_archive po-shen loh / luoboshenmath on rmm 2019 cycle-length problem romanian master of mathematics 2019, usloviya secondary_solution src-luoboshen-rmm-2019-p3 src-rmm-2019-problems src-yumt-2014-grand-round1-problem5-official with_solution yumt yumt2014 yumt yumt 2014, grand-liga, pervyy tur, 5. v grafe 3n vershin i 5n reber yumt2014 ? yumt 2014, grand-liga, pervyy tur, 5. v grafe 3n vershin i 5n reber romanian master of mathematics 2019, usloviya po-shen loh / luoboshenmath on rmm 2019 cycle-length problem stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe 3n vershin i 5n reber. dokazhite, chto v nem est dva prostyh tsikla ravnoy dliny. simple_graph cycle idea-spanning-forest-theta-counting ostovnyy les, fundamentalnye tsikly i teta-grafy esli vse dliny tsiklov razlichny, to fundamentalnye tsikly otnositelno ostovnogo lesa uzhe imeyut raznye dliny. ih drevesnye chasti v summe dostatochno dlinny, poetomu odno rebro lesa lezhit vo mnogih takih tsiklah; pary etih tsiklov dayut novye tsikly v teta-grafah, i obschee chislo tsiklov stanovitsya bolshe chisla vozmozhnyh dlin. extremal_graph_theory double_counting pigeonhole_principle ai_checked sol-external-rmm-spanning-forest-counting adaptatsiya resheniya rmm 2019: ostovnyy les i podschet tsiklov ai_checked simple_graph cycle tree spanning_tree double_counting pigeonhole_principle dokazhem ot protivnogo. pust g - prostoy graf s 3n vershinami i 5n rebrami, v kotorom vse prostye tsikly imeyut poparno razlichnye dliny. pri n=1 takogo prostogo grafa net, potomu chto mezhdu tremya vershinami mozhet byt ne bolee treh reber; dalee schitaem n>=2. v prostom grafe na 3n vershinah dlina prostogo tsikla mozhet byt tolko odnim iz chisel 3,4,...,3n. poetomu, esli dliny vseh tsiklov razlichny, vsego tsiklov v g ne bolshe 3n-2. vyberem v kazhdoy komponente g ostovnoe derevo i obedinim ih v ostovnyy les f. pust c - chislo komponent. togda v f rovno 3n-c reber. ostalnye rebra oboznachim cherez b; ih chislo ravno q=|b|=5n-(3n-c)=2n+c, znachit q>=2n+1. dlya kazhdogo rebra b iz b dobavlenie b k lesu f sozdaet edinstvennyy prostoy tsikl \\(c_b\\). pust \\(s_b\\) - mnozhestvo reber lesa f, lezhaschih na etom tsikle, to est put v f mezhdu kontsami b. dlina \\(c_b\\) ravna \\(|s_b|+1\\). po predpolozheniyu vse dliny tsikl…","source_keys":["yumt","rmm"]}