{"id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","title":"Большая грань и вилка в игре на гранях кубического многогранника","path":"data\\problems\\classical\\cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 2002 B2, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","degree_counting","double_counting","goal_strategy_game","classical_lemma"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":5,"comment":"Самостоятельная структурно-игровая лемма: эйлеров подсчет на кубическом многограннике сочетается с локальной стратегией вилки на соседях большой грани.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"Извлечено из архива решений Putnam и развернуто самодостаточно.","notes":"Лемма выделяет самодостаточное ядро исходного решения.","audit_source":"manual-high-reasoning-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-large-face-fork","title":"Лемма о большой грани и вилке","status":"ai_checked","text":"Пусть дан скелет выпуклого многогранника с фиксированным вложением на сфере; в каждой его вершине сходятся ровно три ребра. Рассмотрим игру на гранях: два игрока по очереди выбирают ранее не выбранную грань, а игрок выигрывает, если после своего хода владеет всеми тремя гранями, инцидентными некоторой вершине. Тогда выполнены два утверждения. (1) Если у многогранника не меньше пяти граней, то существует грань, ограниченная не менее чем четырьмя ребрами. (2) Если первый игрок первым ходом выбирает любую грань \\(A\\), ограниченную \\(k\\ge4\\) ребрами, то после любого первого ответа второго игрока первый игрок может создать две одновременные угрозы и выиграть не позднее своего третьего хода.","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-euler-large-face-and-fork","title":"Доказательство через Эйлера и локальную вилку","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting","face_counting","invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала докажем существование большой грани. Обозначим через \\(V,E,F\\) числа вершин, ребер и граней многогранника. Так как в каждой вершине сходятся ровно три ребра, двойной счет концов ребер дает \\(3V=2E\\). Предположим, что все грани треугольные. Тогда сумма длин границ граней равна \\(3F\\), а каждое ребро при таком счете входит в границы двух граней, значит \\(3F=2E\\). По формуле Эйлера для связного скелета выпуклого многогранника \\(V-E+F=2\\). Из \\(V=2E/3\\) и \\(F=2E/3\\) получаем \\(2E/3-E+2E/3=2\\), то есть \\(E=6\\) и \\(F=4\\). Следовательно, если \\(F\\ge5\\), не все грани треугольные; поскольку каждая грань имеет хотя бы три стороны, есть грань \\(A\\) длины \\(k\\ge4\\). Теперь докажем игровую часть для любой такой грани \\(A\\). Пусть первый игрок первым ходом выбирает \\(A\\). Перечислим грани, соседние с \\(A\\) по ее сторонам, в циклическом порядке обхода границы: \\(H_1,H_2,\\ldots,H_k\\). Эти грани…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-game-fork-strategy-lemma","neighbor_id":"spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-fork-putnam-2002-b2","neighbor_id":"putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-planar-edge-bound-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-four-cycle-bound-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"cubic-graph-four-cycle-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-fork-tc-2012-polyhedron","neighbor_id":"tc-2012-polyhedron-three-equal-edges","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-fork-cmo-2019-game","neighbor_id":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma большая грань и вилка в игре на гранях кубического многогранника planar_graphs degree_counting double_counting goal_strategy_game classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2002.pdf misc putnam 2002 b2, архивный источник src-putnam-2002-b2-kedlaya with_solution прочее ? putnam 2002 b2, архивный источник stmt-large-face-fork лемма о большой грани и вилке ai_checked пусть дан скелет выпуклого многогранника с фиксированным вложением на сфере; в каждой его вершине сходятся ровно три ребра. рассмотрим игру на гранях: два игрока по очереди выбирают ранее не выбранную грань, а игрок выигрывает, если после своего хода владеет всеми тремя гранями, инцидентными некоторой вершине. тогда выполнены два утверждения. (1) если у многогранника не меньше пяти граней, то существует грань, ограниченная не менее чем четырьмя ребрами. (2) если первый игрок первым ходом выбирает любую грань \\(a\\), ограниченную \\(k\\ge4\\) ребрами, то после любого первого ответа второго игрока первый игрок может создать две одновременные угрозы и выиграть не позднее своего третьего хода. planar_graph degree cycle idea-euler-forces-large-face только треугольные грани дали бы тетраэдр в кубическом полиэдральном графе равенство \\(3v=2e\\). если все грани треугольные, то еще и \\(3f=2e\\), а формула эйлера тогда дает \\(f=4\\). поэтому при \\(f\\ge5\\) хотя бы одна грань имеет длину не меньше 4. planar_graphs degree_counting double_counting ai_checked idea-three-free-neighbors три свободные соседние грани подряд после первого ответа соперника среди соседей выбранной большой грани занята не более одна грань, поэтому в циклическом списке ее соседей длины хотя бы 4 есть три подряд свободные позиции. planar_graphs goal_strategy_game ai_checked idea-middle-neighbor-fork средняя грань создает две угрозы если свободные соседи большой грани идут подряд как \\(b,c,d\\), то ход в \\(c\\) оставляет две разные завершающие грани: \\(b\\) дает тройку вокруг одной вершины, а \\(d\\) — вокруг соседней. goal_strategy_game ai_checked sol-euler-large-face-and-fork доказательство через эйлера и локальную вилку ai_checked planar_graph degree cycle double_counting face_counting invariant сначала докажем существование большой грани. обозначим через \\(v,e,f\\) числа вершин, ребер и граней многогранника. так как в каждой вершине сходятся ровно три ребра, двойной счет концов ребер дает \\(3v=2e\\). предположим, что все грани треугольные. тогда сумма длин границ граней равна \\(3f\\), а каждое ребро при таком счете входит в границы двух граней, значит \\(3f=2e\\). по формуле эйлера для связного скелета выпуклого многогранника \\(v-e+f=2\\). из \\(v=2e/3\\) и \\(f=2e/3\\) получаем \\(2e/3-e+2e/3=2\\), то есть \\(e=6\\) и \\(f=4\\). следовательно, если \\(f\\ge5\\), не все грани треугольные; поскольку каждая грань имеет хотя бы три стороны, есть грань \\(a\\) длины \\(k\\ge4\\). теперь докажем игровую часть для любой такой грани \\(a\\). пусть первый игрок первым ходом выбирает \\(a\\). перечислим грани, соседние с \\(a\\) по ее сторонам, в циклическом порядке обхода границы: \\(h_1,h_2,\\ldots,h_k\\). эти грани… cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma bolshaya gran i vilka v igre na granyah kubicheskogo mnogogrannika planar_graphs degree_counting double_counting goal_strategy_game classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2002.pdf misc putnam 2002 b2, arhivnyy istochnik src-putnam-2002-b2-kedlaya with_solution prochee ? putnam 2002 b2, arhivnyy istochnik stmt-large-face-fork lemma o bolshoy grani i vilke ai_checked pust dan skelet vypuklogo mnogogrannika s fiksirovannym vlozheniem na sfere; v kazhdoy ego vershine shodyatsya rovno tri rebra. rassmotrim igru na granyah: dva igroka po ocheredi vybirayut ranee ne vybrannuyu gran, a igrok vyigryvaet, esli posle svoego hoda vladeet vsemi tremya granyami, intsidentnymi nekotoroy vershine. togda vypolneny dva utverzhdeniya. (1) esli u mnogogrannika ne menshe pyati graney, to suschestvuet gran, ogranichennaya ne menee chem chetyrmya rebrami. (2) esli pervyy igrok pervym hodom vybiraet lyubuyu gran \\(a\\), ogranichennuyu \\(k\\ge4\\) rebrami, to posle lyubogo pervogo otveta vtorogo igroka pervyy igrok mozhet sozdat dve odnovremennye ugrozy i vyigrat ne pozdnee svoego tretego hoda. planar_graph degree cycle idea-euler-forces-large-face tolko treugolnye grani dali by tetraedr v kubicheskom poliedralnom grafe ravenstvo \\(3v=2e\\). esli vse grani treugolnye, to esche i \\(3f=2e\\), a formula eylera togda daet \\(f=4\\). poetomu pri \\(f\\ge5\\) hotya by odna gran imeet dlinu ne menshe 4. planar_graphs degree_counting double_counting ai_checked idea-three-free-neighbors tri svobodnye sosednie grani podryad posle pervogo otveta sopernika sredi sosedey vybrannoy bolshoy grani zanyata ne bolee odna gran, poetomu v tsiklicheskom spiske ee sosedey dliny hotya by 4 est tri podryad svobodnye pozitsii. planar_graphs goal_strategy_game ai_checked idea-middle-neighbor-fork srednyaya gran sozdaet dve ugrozy esli svobodnye sosedi bolshoy grani idut podryad kak \\(b,c,d\\), to hod v \\(c\\) ostavlyaet dve raznye zavershayuschie grani: \\(b\\) daet troyku vokrug odnoy vershiny, a \\(d\\) — vokrug sosedney. goal_strategy_game ai_checked sol-euler-large-face-and-fork dokazatelstvo cherez eylera i lokalnuyu vilku ai_checked planar_graph degree cycle double_counting face_counting invariant snachala dokazhem suschestvovanie bolshoy grani. oboznachim cherez \\(v,e,f\\) chisla vershin, reber i graney mnogogrannika. tak kak v kazhdoy vershine shodyatsya rovno tri rebra, dvoynoy schet kontsov reber daet \\(3v=2e\\). predpolozhim, chto vse grani treugolnye. togda summa dlin granits graney ravna \\(3f\\), a kazhdoe rebro pri takom schete vhodit v granitsy dvuh graney, znachit \\(3f=2e\\). po formule eylera dlya svyaznogo skeleta vypuklogo mnogogrannika \\(v-e+f=2\\). iz \\(v=2e/3\\) i \\(f=2e/3\\) poluchaem \\(2e/3-e+2e/3=2\\), to est \\(e=6\\) i \\(f=4\\). sledovatelno, esli \\(f\\ge5\\), ne vse grani treugolnye; poskolku kazhdaya gran imeet hotya by tri storony, est gran \\(a\\) dliny \\(k\\ge4\\). teper dokazhem igrovuyu chast dlya lyuboy takoy grani \\(a\\). pust pervyy igrok pervym hodom vybiraet \\(a\\). perechislim grani, sosednie s \\(a\\) po ee storonam, v tsiklicheskom poryadke obhoda granitsy: \\(h_1,h_2,\\ldots,h_k\\). eti grani…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","title":"Граничные степени и удаляемая цепь в триангуляции диска","path":"data\\problems\\classical\\disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 2007 A6, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","double_counting","degree_counting","induction","goal_existence","classical_lemma"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Самостоятельная планарная лемма: эйлеров подсчет прост, но редукция цепи 3,4,...,4,3 требует аккуратного локального разбора триангулированного диска.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агент high-reasoning extraction аудит","notes":"Извлечено из архива решений Putnam и развернуто самодостаточно.","audit_source":"agent-putnam-extraction-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-boundary-degree-chain-reduction","title":"Оценка суммы степеней и удаляемая граничная цепь","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — конечная триангуляция топологического диска: ее внешняя граница является простым циклом длины \\(n\\ge3\\), а все внутренние грани являются треугольниками. Предположим, что каждая внутренняя вершина имеет степень не меньше \\(6\\). Для граничной вершины \\(v\\) обозначим через \\(a(v)\\) ее степень в графе триангуляции. Тогда \\[ \\sum_{v\\in \\partial T} a(v)\\le 4n-6. \\tag{1} \\] Кроме того, если \\(n\\ge4\\), то выполняется одна из двух граничных редукций. 1. Есть граничная вершина степени \\(2\\); тогда единственный треугольник при ней можно удалить, получив триангуляцию диска с \\(n-1\\) граничными сторонами и тем же условием на внутренние степени. 2. Есть цепь последовательных граничных вершин \\(w_1, \\ldots,w_k\\), где \\(2\\le k\\le n-1\\), со степенями \\(3,4,\\ldots,4,3\\). Все треугольники, имеющие вершину среди \\(w_1, \\ldots,w_k\\), образуют приграничную полосу из не более чем \\(2k-1\\) треугольников; удалив эту полосу, мы либо удаляем весь диск, либо получаем триангуляцию диска с числом граничных сторон не больше \\(n-1\\), причем все оставшиеся внутренние вершины по-прежнему имеют степень не меньше \\(6\\).","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-euler-count-and-boundary-strip","title":"Эйлеров подсчет и удаление цепи","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","path"],"standard_idea_ids":["face_counting","double_counting","induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(V,E,F\\) число вершин, ребер и внутренних треугольных граней. Для диска \\(V-E+F=1\\). Подсчет сторон всех треугольников дает \\(3F=2E-n\\): внутренние ребра считаются дважды, а \\(n\\) граничных ребер один раз. Если \\(B\\) — сумма степеней граничных вершин, то из условия на внутренние степени \\[ B+6(V-n)\\le 2E. \\] Подставляя \\(V=1+E-F\\), получаем \\[ B\\le 2E-6(V-n)=6n-6-4E+6F. \\] Из \\(3F=2E-n\\) следует \\(6F=4E-2n\\), поэтому \\(B\\le4n-6\\). Это доказывает (1). Пусть теперь \\(n\\ge4\\). Если на границе есть вершина \\(v\\) степени \\(2\\), то ее единственные соседи — две соседние с ней граничные вершины. Значит, единственный треугольник около \\(v\\) является граничным ухом. Удаление этого уха заменяет две граничные стороны на одну и не меняет ни одну вершину, которая остается внутренней; поэтому условие на внутренние степени сохраняется. Остается случай \\(a(v)\\ge3\\) для всех граничных ве…"}],"relations":[{"id":"rel-disk-boundary-chain-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-triangulation-boundary-degree-chain-putnam-2007-a6","neighbor_id":"putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-euler-formula-planar","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-planar-edge-bound","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-quadrangulation-face-count","neighbor_id":"quadrangulation-euler-face-count","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-planar-large-girth-degree-two-path","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction граничные степени и удаляемая цепь в триангуляции диска planar_graphs double_counting degree_counting induction goal_existence classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf misc putnam 2007 a6, архивный источник src-putnam-2007-a6-kedlaya with_solution прочее ? putnam 2007 a6, архивный источник stmt-boundary-degree-chain-reduction оценка суммы степеней и удаляемая граничная цепь ai_checked пусть \\(t\\) — конечная триангуляция топологического диска: ее внешняя граница является простым циклом длины \\(n\\ge3\\), а все внутренние грани являются треугольниками. предположим, что каждая внутренняя вершина имеет степень не меньше \\(6\\). для граничной вершины \\(v\\) обозначим через \\(a(v)\\) ее степень в графе триангуляции. тогда \\[ \\sum_{v\\in \\partial t} a(v)\\le 4n-6. \\tag{1} \\] кроме того, если \\(n\\ge4\\), то выполняется одна из двух граничных редукций. 1. есть граничная вершина степени \\(2\\); тогда единственный треугольник при ней можно удалить, получив триангуляцию диска с \\(n-1\\) граничными сторонами и тем же условием на внутренние степени. 2. есть цепь последовательных граничных вершин \\(w_1, \\ldots,w_k\\), где \\(2\\le k\\le n-1\\), со степенями \\(3,4,\\ldots,4,3\\). все треугольники, имеющие вершину среди \\(w_1, \\ldots,w_k\\), образуют приграничную полосу из не более чем \\(2k-1\\) треугольников; удалив эту полосу, мы либо удаляем весь диск, либо получаем триангуляцию диска с числом граничных сторон не больше \\(n-1\\), причем все оставшиеся внутренние вершины по-прежнему имеют степень не меньше \\(6\\). planar_graph degree cycle path idea-euler-boundary-curvature граничная кривизна из формулы эйлера в триангулированном диске равенства \\(v-e+f=1\\) и \\(3f=2e-n\\), вместе с нижней оценкой \\(6\\) на внутренние степени, дают \\(\\sum_{\\partial t} a(v)\\le4n-6\\). planar_graphs double_counting degree_counting ai_checked idea-chain-three-four-three цепь 3,4,...,4,3 если степеней 2 на границе нет, то отрицательная сумма \\(\\sum(a(v)-4)\\le -6\\) заставляет две степени 3 оказаться соседними после удаления всех четверок из циклической записи степеней. planar_graphs extremal_choice induction ai_checked idea-boundary-strip-removal удаление приграничной полосы локальная структура вершин степеней \\(3,4,\\ldots,4,3\\) явно перечисляет все треугольники, инцидентные цепи, и показывает, что после их удаления новая граница заменяет \\(k\\) старых вершин не более чем \\(k-1\\) новыми. planar_graphs induction ai_checked sol-euler-count-and-boundary-strip эйлеров подсчет и удаление цепи ai_checked planar_graph degree cycle path face_counting double_counting induction delete_to_simplify обозначим через \\(v,e,f\\) число вершин, ребер и внутренних треугольных граней. для диска \\(v-e+f=1\\). подсчет сторон всех треугольников дает \\(3f=2e-n\\): внутренние ребра считаются дважды, а \\(n\\) граничных ребер один раз. если \\(b\\) — сумма степеней граничных вершин, то из условия на внутренние степени \\[ b+6(v-n)\\le 2e. \\] подставляя \\(v=1+e-f\\), получаем \\[ b\\le 2e-6(v-n)=6n-6-4e+6f. \\] из \\(3f=2e-n\\) следует \\(6f=4e-2n\\), поэтому \\(b\\le4n-6\\). это доказывает (1). пусть теперь \\(n\\ge4\\). если на границе есть вершина \\(v\\) степени \\(2\\), то ее единственные соседи — две соседние с ней граничные вершины. значит, единственный треугольник около \\(v\\) является граничным ухом. удаление этого уха заменяет две граничные стороны на одну и не меняет ни одну вершину, которая остается внутренней; поэтому условие на внутренние степени сохраняется. остается случай \\(a(v)\\ge3\\) для всех граничных ве… disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction granichnye stepeni i udalyaemaya tsep v triangulyatsii diska planar_graphs double_counting degree_counting induction goal_existence classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf misc putnam 2007 a6, arhivnyy istochnik src-putnam-2007-a6-kedlaya with_solution prochee ? putnam 2007 a6, arhivnyy istochnik stmt-boundary-degree-chain-reduction otsenka summy stepeney i udalyaemaya granichnaya tsep ai_checked pust \\(t\\) — konechnaya triangulyatsiya topologicheskogo diska: ee vneshnyaya granitsa yavlyaetsya prostym tsiklom dliny \\(n\\ge3\\), a vse vnutrennie grani yavlyayutsya treugolnikami. predpolozhim, chto kazhdaya vnutrennyaya vershina imeet stepen ne menshe \\(6\\). dlya granichnoy vershiny \\(v\\) oboznachim cherez \\(a(v)\\) ee stepen v grafe triangulyatsii. togda \\[ \\sum_{v\\in \\partial t} a(v)\\le 4n-6. \\tag{1} \\] krome togo, esli \\(n\\ge4\\), to vypolnyaetsya odna iz dvuh granichnyh reduktsiy. 1. est granichnaya vershina stepeni \\(2\\); togda edinstvennyy treugolnik pri ney mozhno udalit, poluchiv triangulyatsiyu diska s \\(n-1\\) granichnymi storonami i tem zhe usloviem na vnutrennie stepeni. 2. est tsep posledovatelnyh granichnyh vershin \\(w_1, \\ldots,w_k\\), gde \\(2\\le k\\le n-1\\), so stepenyami \\(3,4,\\ldots,4,3\\). vse treugolniki, imeyuschie vershinu sredi \\(w_1, \\ldots,w_k\\), obrazuyut prigranichnuyu polosu iz ne bolee chem \\(2k-1\\) treugolnikov; udaliv etu polosu, my libo udalyaem ves disk, libo poluchaem triangulyatsiyu diska s chislom granichnyh storon ne bolshe \\(n-1\\), prichem vse ostavshiesya vnutrennie vershiny po-prezhnemu imeyut stepen ne menshe \\(6\\). planar_graph degree cycle path idea-euler-boundary-curvature granichnaya krivizna iz formuly eylera v triangulirovannom diske ravenstva \\(v-e+f=1\\) i \\(3f=2e-n\\), vmeste s nizhney otsenkoy \\(6\\) na vnutrennie stepeni, dayut \\(\\sum_{\\partial t} a(v)\\le4n-6\\). planar_graphs double_counting degree_counting ai_checked idea-chain-three-four-three tsep 3,4,...,4,3 esli stepeney 2 na granitse net, to otritsatelnaya summa \\(\\sum(a(v)-4)\\le -6\\) zastavlyaet dve stepeni 3 okazatsya sosednimi posle udaleniya vseh chetverok iz tsiklicheskoy zapisi stepeney. planar_graphs extremal_choice induction ai_checked idea-boundary-strip-removal udalenie prigranichnoy polosy lokalnaya struktura vershin stepeney \\(3,4,\\ldots,4,3\\) yavno perechislyaet vse treugolniki, intsidentnye tsepi, i pokazyvaet, chto posle ih udaleniya novaya granitsa zamenyaet \\(k\\) staryh vershin ne bolee chem \\(k-1\\) novymi. planar_graphs induction ai_checked sol-euler-count-and-boundary-strip eylerov podschet i udalenie tsepi ai_checked planar_graph degree cycle path face_counting double_counting induction delete_to_simplify oboznachim cherez \\(v,e,f\\) chislo vershin, reber i vnutrennih treugolnyh graney. dlya diska \\(v-e+f=1\\). podschet storon vseh treugolnikov daet \\(3f=2e-n\\): vnutrennie rebra schitayutsya dvazhdy, a \\(n\\) granichnyh reber odin raz. esli \\(b\\) — summa stepeney granichnyh vershin, to iz usloviya na vnutrennie stepeni \\[ b+6(v-n)\\le 2e. \\] podstavlyaya \\(v=1+e-f\\), poluchaem \\[ b\\le 2e-6(v-n)=6n-6-4e+6f. \\] iz \\(3f=2e-n\\) sleduet \\(6f=4e-2n\\), poetomu \\(b\\le4n-6\\). eto dokazyvaet (1). pust teper \\(n\\ge4\\). esli na granitse est vershina \\(v\\) stepeni \\(2\\), to ee edinstvennye sosedi — dve sosednie s ney granichnye vershiny. znachit, edinstvennyy treugolnik okolo \\(v\\) yavlyaetsya granichnym uhom. udalenie etogo uha zamenyaet dve granichnye storony na odnu i ne menyaet ni odnu vershinu, kotoraya ostaetsya vnutrenney; poetomu uslovie na vnutrennie stepeni sohranyaetsya. ostaetsya sluchay \\(a(v)\\ge3\\) dlya vseh granichnyh ve…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"putnam-1988-a4-unit-distance-coloring","title":"Раскраска плоскости и точки на расстоянии 1, Putnam 1988 A4","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-1988-a4-unit-distance-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-1988-a4-unit-distance-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-1988-a4-unit-distance-coloring","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 1988 A4, архивный источник"],"year":"1988","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","construction","goal_exact_bound","pigeonhole_principle"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Короткая задача на хроматическое число графа единичных расстояний плоскости: нужно найти малый запрещающий граф и явную периодическую раскраску.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Раскраска точек плоскости","status":"ai_checked","text":"Каждая точка плоскости раскрашена в один из трех цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 1? Как изменится ответ, если вместо трех цветов разрешить девять?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраска плоскости и точки на расстоянии 1, Putnam 1988 A4","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим бесконечный граф, вершинами которого являются точки евклидовой плоскости, а рёбра соединяют пары точек на расстоянии \\(1\\). Определите, допускает ли этот граф правильную раскраску в \\(3\\) цвета и в \\(9\\) цветов.","definition_ids":["chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-three-and-nine","title":"Три цвета невозможны, девяти достаточно","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: для трех цветов обязательно найдется одноцветная пара на расстоянии 1, а для девяти цветов можно избежать таких пар. Сначала докажем невозможность трехцветной раскраски. Предположим, что одноцветных пар на расстоянии 1 нет. Возьмем две точки \\(A\\) и \\(B\\) на расстоянии \\(\\sqrt3\\). Единичные окружности с центрами \\(A\\) и \\(B\\) пересекаются в двух точках \\(X\\) и \\(Y\\). Тогда \\(AX=AY=BX=BY=1\\), а также \\(XY=1\\): эти пять точек дают два равносторонних треугольника со стороной 1 на общей стороне \\(XY\\). Так как \\(X\\) и \\(Y\\) находятся на расстоянии 1, их цвета различны. Точка \\(A\\) смежна с обеими \\(X,Y\\), значит при трех цветах она вынуждена иметь третий цвет. То же самое верно для \\(B\\). Следовательно, любые две точки на расстоянии \\(\\sqrt3\\) имеют один и тот же цвет. Теперь возьмем равносторонний треугольник со стороной \\(\\sqrt3\\). По только что доказанному все три его вершины долж…"}],"relations":[{"id":"rel-mmo-2010-putnam-1988-unit-distance-geometric-obstruction","neighbor_id":"mmo-2010-unit-distance-segments","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1994-a3-putnam-1988-a4-distance-coloring-obstructions","neighbor_id":"putnam-1994-a3-threshold-distance-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-1988-a4-unit-distance-coloring раскраска плоскости и точки на расстоянии 1, putnam 1988 a4 coloring construction goal_exact_bound pigeonhole_principle 1988 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1988.pdf putnam putnam 1988 a4, архивный источник putnam1988 src-putnam-1988-a4-kedlaya with_solution ? putnam 1988 a4, архивный источник stmt-original раскраска точек плоскости ai_checked каждая точка плоскости раскрашена в один из трех цветов. обязательно ли найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 1? как изменится ответ, если вместо трех цветов разрешить девять? stmt-graph раскраска плоскости и точки на расстоянии 1, putnam 1988 a4 ai_checked рассмотрим бесконечный граф, вершинами которого являются точки евклидовой плоскости, а рёбра соединяют пары точек на расстоянии \\(1\\). определите, допускает ли этот граф правильную раскраску в \\(3\\) цвета и в \\(9\\) цветов. chromatic_number idea-rhombus-forces-equal-colors малый граф единичных расстояний заставляет совпадение цветов если две точки находятся на расстоянии \\(\\sqrt3\\), то две вершины пересечения единичных окружностей вокруг них вместе с исходными точками образуют две единичные равносторонние треугольные связки. при трех цветах это вынуждает исходные две точки иметь один цвет. coloring pigeonhole_principle ai_checked idea-nine-periodic-square-tiling периодическая раскраска квадратных плиток квадраты достаточно малого размера можно раскрасить 3 на 3 периодически: внутри одной плитки расстояния меньше 1, а между одноцветными плитками расстояния больше 1. construction coloring ai_checked sol-three-and-nine три цвета невозможны, девяти достаточно ai_checked chromatic_number pigeonhole_principle extremal_choice ответ: для трех цветов обязательно найдется одноцветная пара на расстоянии 1, а для девяти цветов можно избежать таких пар. сначала докажем невозможность трехцветной раскраски. предположим, что одноцветных пар на расстоянии 1 нет. возьмем две точки \\(a\\) и \\(b\\) на расстоянии \\(\\sqrt3\\). единичные окружности с центрами \\(a\\) и \\(b\\) пересекаются в двух точках \\(x\\) и \\(y\\). тогда \\(ax=ay=bx=by=1\\), а также \\(xy=1\\): эти пять точек дают два равносторонних треугольника со стороной 1 на общей стороне \\(xy\\). так как \\(x\\) и \\(y\\) находятся на расстоянии 1, их цвета различны. точка \\(a\\) смежна с обеими \\(x,y\\), значит при трех цветах она вынуждена иметь третий цвет. то же самое верно для \\(b\\). следовательно, любые две точки на расстоянии \\(\\sqrt3\\) имеют один и тот же цвет. теперь возьмем равносторонний треугольник со стороной \\(\\sqrt3\\). по только что доказанному все три его вершины долж… putnam-1988-a4-unit-distance-coloring raskraska ploskosti i tochki na rasstoyanii 1, putnam 1988 a4 coloring construction goal_exact_bound pigeonhole_principle 1988 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1988.pdf putnam putnam 1988 a4, arhivnyy istochnik putnam1988 src-putnam-1988-a4-kedlaya with_solution ? putnam 1988 a4, arhivnyy istochnik stmt-original raskraska tochek ploskosti ai_checked kazhdaya tochka ploskosti raskrashena v odin iz treh tsvetov. obyazatelno li naydutsya dve tochki odnogo tsveta na rasstoyanii rovno 1? kak izmenitsya otvet, esli vmesto treh tsvetov razreshit devyat? stmt-graph raskraska ploskosti i tochki na rasstoyanii 1, putnam 1988 a4 ai_checked rassmotrim beskonechnyy graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya tochki evklidovoy ploskosti, a rebra soedinyayut pary tochek na rasstoyanii \\(1\\). opredelite, dopuskaet li etot graf pravilnuyu raskrasku v \\(3\\) tsveta i v \\(9\\) tsvetov. chromatic_number idea-rhombus-forces-equal-colors malyy graf edinichnyh rasstoyaniy zastavlyaet sovpadenie tsvetov esli dve tochki nahodyatsya na rasstoyanii \\(\\sqrt3\\), to dve vershiny peresecheniya edinichnyh okruzhnostey vokrug nih vmeste s ishodnymi tochkami obrazuyut dve edinichnye ravnostoronnie treugolnye svyazki. pri treh tsvetah eto vynuzhdaet ishodnye dve tochki imet odin tsvet. coloring pigeonhole_principle ai_checked idea-nine-periodic-square-tiling periodicheskaya raskraska kvadratnyh plitok kvadraty dostatochno malogo razmera mozhno raskrasit 3 na 3 periodicheski: vnutri odnoy plitki rasstoyaniya menshe 1, a mezhdu odnotsvetnymi plitkami rasstoyaniya bolshe 1. construction coloring ai_checked sol-three-and-nine tri tsveta nevozmozhny, devyati dostatochno ai_checked chromatic_number pigeonhole_principle extremal_choice otvet: dlya treh tsvetov obyazatelno naydetsya odnotsvetnaya para na rasstoyanii 1, a dlya devyati tsvetov mozhno izbezhat takih par. snachala dokazhem nevozmozhnost trehtsvetnoy raskraski. predpolozhim, chto odnotsvetnyh par na rasstoyanii 1 net. vozmem dve tochki \\(a\\) i \\(b\\) na rasstoyanii \\(\\sqrt3\\). edinichnye okruzhnosti s tsentrami \\(a\\) i \\(b\\) peresekayutsya v dvuh tochkah \\(x\\) i \\(y\\). togda \\(ax=ay=bx=by=1\\), a takzhe \\(xy=1\\): eti pyat tochek dayut dva ravnostoronnih treugolnika so storonoy 1 na obschey storone \\(xy\\). tak kak \\(x\\) i \\(y\\) nahodyatsya na rasstoyanii 1, ih tsveta razlichny. tochka \\(a\\) smezhna s obeimi \\(x,y\\), znachit pri treh tsvetah ona vynuzhdena imet tretiy tsvet. to zhe samoe verno dlya \\(b\\). sledovatelno, lyubye dve tochki na rasstoyanii \\(\\sqrt3\\) imeyut odin i tot zhe tsvet. teper vozmem ravnostoronniy treugolnik so storonoy \\(\\sqrt3\\). po tolko chto dokazannomu vse tri ego vershiny dolzh…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-1990-b4-cayley-euler-tour","title":"Двойной обход элементов группы в графе Кэли, Putnam 1990 B4","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-1990-b4-cayley-euler-tour.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-1990-b4-cayley-euler-tour.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-1990-b4-cayley-euler-tour","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 1990 B4, архивный источник"],"year":"1990","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"После выбора правильного графа задача становится прямым применением эйлерова цикла, но без модели графа Кэли условие выглядит групповым.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Последовательность элементов группы","status":"ai_checked","text":"Пусть конечная группа \\(G\\) порядка \\(n\\) порождена элементами \\(a\\) и \\(b\\). Докажите или опровергните утверждение: существует циклическая последовательность \\(g_1,g_2,\\ldots,g_{2n}\\), в которой каждый элемент \\(G\\) встречается ровно дважды, и для каждого \\(i\\) элемент \\(g_{i+1}\\) равен либо \\(g_i a\\), либо \\(g_i b\\) (где \\(g_{2n+1}=g_1\\)).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Двойной обход элементов группы в графе Кэли, Putnam 1990 B4","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(D\\) - ориентированный граф Кэли конечной группы \\(G\\) по двум порождающим \\(a,b\\): из каждой вершины \\(g\\) выходят дуги \\(g\\to ga\\) и \\(g\\to gb\\). Докажите, что в \\(D\\) есть замкнутый направленный обход длины \\(2|G|\\), в котором каждая вершина встречается ровно два раза.","definition_ids":["directed_graph","eulerian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cayley-euler","title":"Эйлеров цикл в ориентированном графе Кэли","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","eulerian_cycle"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Утверждение верно. Построим ориентированный граф \\(D\\) с множеством вершин \\(G\\). Из каждой вершины \\(g\\) проведем две дуги: \\(g\\to ga\\) и \\(g\\to gb\\). Тогда всякая допустимая последовательность элементов группы является направленным обходом в этом графе. Проверим, что \\(D\\) эйлеров. Из каждой вершины выходит ровно две дуги. Входящих дуг тоже ровно две: в вершину \\(g\\) входят дуги из \\(ga^{-1}\\) и \\(gb^{-1}\\). Если случайно \\(a=b\\), это означает две параллельные дуги; для эйлерова обхода это не мешает, потому что мы работаем с ориентированным мультиграфом. Значит для каждой вершины входящая степень равна исходящей. Осталось связность в нужном смысле. Так как \\(a,b\\) порождают \\(G\\), из единицы можно попасть в любой элемент, умножая справа на \\(a,b\\) и их обратные. В неориентированном графе, полученном забыванием направлений, это дает связность. Более того, для существования эйлерова цик…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-1990-2016-cayley-digraph-generators","neighbor_id":"putnam-2016-a5-cayley-digraph-short-words","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1990-vjimc-2000-euler","neighbor_id":"vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-putnam-1990-eulerian-criterion","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-1990-b4-cayley-euler-tour двойной обход элементов группы в графе кэли, putnam 1990 b4 eulerian_graphs graph_model goal_existence 1990 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1990.pdf putnam putnam 1990 b4, архивный источник putnam1990 src-putnam-1990-b4-kedlaya with_solution ? putnam 1990 b4, архивный источник stmt-original последовательность элементов группы ai_checked пусть конечная группа \\(g\\) порядка \\(n\\) порождена элементами \\(a\\) и \\(b\\). докажите или опровергните утверждение: существует циклическая последовательность \\(g_1,g_2,\\ldots,g_{2n}\\), в которой каждый элемент \\(g\\) встречается ровно дважды, и для каждого \\(i\\) элемент \\(g_{i+1}\\) равен либо \\(g_i a\\), либо \\(g_i b\\) (где \\(g_{2n+1}=g_1\\)). stmt-graph двойной обход элементов группы в графе кэли, putnam 1990 b4 ai_checked пусть \\(d\\) - ориентированный граф кэли конечной группы \\(g\\) по двум порождающим \\(a,b\\): из каждой вершины \\(g\\) выходят дуги \\(g\\to ga\\) и \\(g\\to gb\\). докажите, что в \\(d\\) есть замкнутый направленный обход длины \\(2|g|\\), в котором каждая вершина встречается ровно два раза. directed_graph eulerian_cycle idea-two-outgoing-arcs заменить условие на ориентированный граф кэли разрешенные переходы из \\(g\\) в \\(ga\\) или \\(gb\\) - это ровно две исходящие дуги из вершины \\(g\\) в ориентированном графе кэли. graph_model ai_checked idea-euler-circuit эйлеров цикл автоматически дает два появления если пройти каждую дугу графа кэли ровно один раз, то каждая вершина появится как начало ровно двух дуг, поскольку из нее выходят две дуги. eulerian_graphs ai_checked sol-cayley-euler эйлеров цикл в ориентированном графе кэли ai_checked directed_graph eulerian_cycle invariant утверждение верно. построим ориентированный граф \\(d\\) с множеством вершин \\(g\\). из каждой вершины \\(g\\) проведем две дуги: \\(g\\to ga\\) и \\(g\\to gb\\). тогда всякая допустимая последовательность элементов группы является направленным обходом в этом графе. проверим, что \\(d\\) эйлеров. из каждой вершины выходит ровно две дуги. входящих дуг тоже ровно две: в вершину \\(g\\) входят дуги из \\(ga^{-1}\\) и \\(gb^{-1}\\). если случайно \\(a=b\\), это означает две параллельные дуги; для эйлерова обхода это не мешает, потому что мы работаем с ориентированным мультиграфом. значит для каждой вершины входящая степень равна исходящей. осталось связность в нужном смысле. так как \\(a,b\\) порождают \\(g\\), из единицы можно попасть в любой элемент, умножая справа на \\(a,b\\) и их обратные. в неориентированном графе, полученном забыванием направлений, это дает связность. более того, для существования эйлерова цик… putnam-1990-b4-cayley-euler-tour dvoynoy obhod elementov gruppy v grafe keli, putnam 1990 b4 eulerian_graphs graph_model goal_existence 1990 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1990.pdf putnam putnam 1990 b4, arhivnyy istochnik putnam1990 src-putnam-1990-b4-kedlaya with_solution ? putnam 1990 b4, arhivnyy istochnik stmt-original posledovatelnost elementov gruppy ai_checked pust konechnaya gruppa \\(g\\) poryadka \\(n\\) porozhdena elementami \\(a\\) i \\(b\\). dokazhite ili oprovergnite utverzhdenie: suschestvuet tsiklicheskaya posledovatelnost \\(g_1,g_2,\\ldots,g_{2n}\\), v kotoroy kazhdyy element \\(g\\) vstrechaetsya rovno dvazhdy, i dlya kazhdogo \\(i\\) element \\(g_{i+1}\\) raven libo \\(g_i a\\), libo \\(g_i b\\) (gde \\(g_{2n+1}=g_1\\)). stmt-graph dvoynoy obhod elementov gruppy v grafe keli, putnam 1990 b4 ai_checked pust \\(d\\) - orientirovannyy graf keli konechnoy gruppy \\(g\\) po dvum porozhdayuschim \\(a,b\\): iz kazhdoy vershiny \\(g\\) vyhodyat dugi \\(g\\to ga\\) i \\(g\\to gb\\). dokazhite, chto v \\(d\\) est zamknutyy napravlennyy obhod dliny \\(2|g|\\), v kotorom kazhdaya vershina vstrechaetsya rovno dva raza. directed_graph eulerian_cycle idea-two-outgoing-arcs zamenit uslovie na orientirovannyy graf keli razreshennye perehody iz \\(g\\) v \\(ga\\) ili \\(gb\\) - eto rovno dve ishodyaschie dugi iz vershiny \\(g\\) v orientirovannom grafe keli. graph_model ai_checked idea-euler-circuit eylerov tsikl avtomaticheski daet dva poyavleniya esli proyti kazhduyu dugu grafa keli rovno odin raz, to kazhdaya vershina poyavitsya kak nachalo rovno dvuh dug, poskolku iz nee vyhodyat dve dugi. eulerian_graphs ai_checked sol-cayley-euler eylerov tsikl v orientirovannom grafe keli ai_checked directed_graph eulerian_cycle invariant utverzhdenie verno. postroim orientirovannyy graf \\(d\\) s mnozhestvom vershin \\(g\\). iz kazhdoy vershiny \\(g\\) provedem dve dugi: \\(g\\to ga\\) i \\(g\\to gb\\). togda vsyakaya dopustimaya posledovatelnost elementov gruppy yavlyaetsya napravlennym obhodom v etom grafe. proverim, chto \\(d\\) eylerov. iz kazhdoy vershiny vyhodit rovno dve dugi. vhodyaschih dug tozhe rovno dve: v vershinu \\(g\\) vhodyat dugi iz \\(ga^{-1}\\) i \\(gb^{-1}\\). esli sluchayno \\(a=b\\), eto oznachaet dve parallelnye dugi; dlya eylerova obhoda eto ne meshaet, potomu chto my rabotaem s orientirovannym multigrafom. znachit dlya kazhdoy vershiny vhodyaschaya stepen ravna ishodyaschey. ostalos svyaznost v nuzhnom smysle. tak kak \\(a,b\\) porozhdayut \\(g\\), iz edinitsy mozhno popast v lyuboy element, umnozhaya sprava na \\(a,b\\) i ih obratnye. v neorientirovannom grafe, poluchennom zabyvaniem napravleniy, eto daet svyaznost. bolee togo, dlya suschestvovaniya eylerova tsik…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-1994-a3-threshold-distance-coloring","title":"Четыре цвета на равнобедренном прямоугольном треугольнике, Putnam 1994 A3","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-1994-a3-threshold-distance-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-1994-a3-threshold-distance-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-1994-a3-threshold-distance-coloring","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 1994 A3, архивный источник","Kalva / John Scholes, Putnam 1994 A3 решение"],"year":"1994","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_model","goal_proof","pigeonhole_principle"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Геометрическая раскраска сводится к небольшой конечной графовой обструкции; основная работа - выбрать семь точек и проверить пороговые расстояния.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Опубликованное решение Калвы и Джона Скоулза; условие сверено с архивом Кедлайи и листком UPenn Putnam 1994A.","notes":"Опубликованное неофициальное решение полностью развернуто; отдельные внешние леммы не требуются.","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Раскраска точек треугольника","status":"ai_checked","text":"Каждая точка равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами длины 1 раскрашена в один из четырех цветов. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми не меньше \\(2-\\sqrt2\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Четыре цвета на равнобедренном прямоугольном треугольнике, Putnam 1994 A3","status":"ai_checked","text":"В равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами 1 рассмотрим граф на его точках, где две точки смежны, если расстояние между ними не меньше \\(2-\\sqrt2\\). Докажите, что этот граф не является 4-раскрашиваемым.","definition_ids":["chromatic_number","proper_coloring"]}]},"solutions":[{"id":"sol-seven-point-distance-graph","title":"Конечный граф внутри треугольника","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number","proper_coloring"],"standard_idea_ids":["invariant","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Положим \\(k=2-\\sqrt2\\). Предположим, что треугольник раскрашен в четыре цвета и никакие две одноцветные точки не находятся на расстоянии хотя бы \\(k\\). Выберем координаты так, что \\(B=(0,0)\\), \\(A=(1,0)\\), \\(C=(0,1)\\). Обозначим \\(r=\\sqrt2-1\\). Тогда \\(k=\\sqrt2\\,r\\) и \\(k+r=1\\). Отметим семь точек на сторонах треугольника: \\[ A=(1,0),\\quad B=(0,0),\\quad C=(0,1),\\quad D=(r,0),\\quad G=(0,r), \\] \\[ E=(k,r),\\quad F=(r,k). \\] Точки \\(D\\) и \\(G\\) лежат на катетах, причем \\(AD=CG=k\\). Точки \\(E\\) и \\(F\\) лежат на гипотенузе \\(x+y=1\\), причем \\[ AE=\\sqrt{(1-k)^2+r^2}=\\sqrt{r^2+r^2}=\\sqrt2\\,r=k \\] и аналогично \\(CF=k\\). Проверим все расстояния, которые понадобятся в запрете на одинаковый цвет. Во-первых, \\(A\\) и \\(C\\) удалены от любой другой отмеченной точки по крайней мере на \\(k\\): для \\(A\\) это следует из \\(AB=1\\), \\(AC=\\sqrt2\\), \\(AD=AE=k\\), \\(AG=\\sqrt{1+r^2}>k\\), а также \\[ AF=\\sqrt{(1-r)^2…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-1994-a3-putnam-1988-a4-distance-coloring-obstructions","neighbor_id":"putnam-1988-a4-unit-distance-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1994-a3-mmo-2010-unit-distance-geometric-obstruction","neighbor_id":"mmo-2010-unit-distance-segments","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-1994-a3-threshold-distance-coloring четыре цвета на равнобедренном прямоугольном треугольнике, putnam 1994 a3 coloring graph_model goal_proof pigeonhole_principle 1994 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1994.pdf https://prase.cz/kalva/putnam/psoln/psol943.html kalva / john scholes, putnam 1994 a3 решение putnam putnam 1994 a3, архивный источник putnam1994 solution_notes src-kalva-putnam-1994-a3-solution src-putnam-1994-a3-kedlaya with_solution ? putnam 1994 a3, архивный источник kalva / john scholes, putnam 1994 a3 решение stmt-original раскраска точек треугольника ai_checked каждая точка равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами длины 1 раскрашена в один из четырех цветов. докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми не меньше \\(2-\\sqrt2\\). stmt-graph четыре цвета на равнобедренном прямоугольном треугольнике, putnam 1994 a3 ai_checked в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами 1 рассмотрим граф на его точках, где две точки смежны, если расстояние между ними не меньше \\(2-\\sqrt2\\). докажите, что этот граф не является 4-раскрашиваемым. chromatic_number proper_coloring idea-seven-point-obstruction достаточно семи специально выбранных точек если во всем треугольнике нет одноцветной дальней пары, то в частности корректно раскрашен конечный граф на вершинах \\(a,b,c,d,e,f,g\\), где ребра отвечают расстояниям хотя бы \\(2-\\sqrt2\\). coloring graph_model ai_checked idea-endpoints-use-two-colors две крайние вершины сразу забирают два цвета в выбранной конфигурации вершины \\(a\\) и \\(c\\) достаточно далеки от всех остальных важных точек, поэтому они вынуждают жесткие запреты для оставшихся цветов. pigeonhole_principle ai_checked sol-seven-point-distance-graph конечный граф внутри треугольника ai_checked chromatic_number proper_coloring invariant pigeonhole_principle положим \\(k=2-\\sqrt2\\). предположим, что треугольник раскрашен в четыре цвета и никакие две одноцветные точки не находятся на расстоянии хотя бы \\(k\\). выберем координаты так, что \\(b=(0,0)\\), \\(a=(1,0)\\), \\(c=(0,1)\\). обозначим \\(r=\\sqrt2-1\\). тогда \\(k=\\sqrt2\\,r\\) и \\(k+r=1\\). отметим семь точек на сторонах треугольника: \\[ a=(1,0),\\quad b=(0,0),\\quad c=(0,1),\\quad d=(r,0),\\quad g=(0,r), \\] \\[ e=(k,r),\\quad f=(r,k). \\] точки \\(d\\) и \\(g\\) лежат на катетах, причем \\(ad=cg=k\\). точки \\(e\\) и \\(f\\) лежат на гипотенузе \\(x+y=1\\), причем \\[ ae=\\sqrt{(1-k)^2+r^2}=\\sqrt{r^2+r^2}=\\sqrt2\\,r=k \\] и аналогично \\(cf=k\\). проверим все расстояния, которые понадобятся в запрете на одинаковый цвет. во-первых, \\(a\\) и \\(c\\) удалены от любой другой отмеченной точки по крайней мере на \\(k\\): для \\(a\\) это следует из \\(ab=1\\), \\(ac=\\sqrt2\\), \\(ad=ae=k\\), \\(ag=\\sqrt{1+r^2}>k\\), а также \\[ af=\\sqrt{(1-r)^2… putnam-1994-a3-threshold-distance-coloring chetyre tsveta na ravnobedrennom pryamougolnom treugolnike, putnam 1994 a3 coloring graph_model goal_proof pigeonhole_principle 1994 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1994.pdf https://prase.cz/kalva/putnam/psoln/psol943.html kalva / john scholes, putnam 1994 a3 reshenie putnam putnam 1994 a3, arhivnyy istochnik putnam1994 solution_notes src-kalva-putnam-1994-a3-solution src-putnam-1994-a3-kedlaya with_solution ? putnam 1994 a3, arhivnyy istochnik kalva / john scholes, putnam 1994 a3 reshenie stmt-original raskraska tochek treugolnika ai_checked kazhdaya tochka ravnobedrennogo pryamougolnogo treugolnika s katetami dliny 1 raskrashena v odin iz chetyreh tsvetov. dokazhite, chto naydutsya dve tochki odnogo tsveta, rasstoyanie mezhdu kotorymi ne menshe \\(2-\\sqrt2\\). stmt-graph chetyre tsveta na ravnobedrennom pryamougolnom treugolnike, putnam 1994 a3 ai_checked v ravnobedrennom pryamougolnom treugolnike s katetami 1 rassmotrim graf na ego tochkah, gde dve tochki smezhny, esli rasstoyanie mezhdu nimi ne menshe \\(2-\\sqrt2\\). dokazhite, chto etot graf ne yavlyaetsya 4-raskrashivaemym. chromatic_number proper_coloring idea-seven-point-obstruction dostatochno semi spetsialno vybrannyh tochek esli vo vsem treugolnike net odnotsvetnoy dalney pary, to v chastnosti korrektno raskrashen konechnyy graf na vershinah \\(a,b,c,d,e,f,g\\), gde rebra otvechayut rasstoyaniyam hotya by \\(2-\\sqrt2\\). coloring graph_model ai_checked idea-endpoints-use-two-colors dve kraynie vershiny srazu zabirayut dva tsveta v vybrannoy konfiguratsii vershiny \\(a\\) i \\(c\\) dostatochno daleki ot vseh ostalnyh vazhnyh tochek, poetomu oni vynuzhdayut zhestkie zaprety dlya ostavshihsya tsvetov. pigeonhole_principle ai_checked sol-seven-point-distance-graph konechnyy graf vnutri treugolnika ai_checked chromatic_number proper_coloring invariant pigeonhole_principle polozhim \\(k=2-\\sqrt2\\). predpolozhim, chto treugolnik raskrashen v chetyre tsveta i nikakie dve odnotsvetnye tochki ne nahodyatsya na rasstoyanii hotya by \\(k\\). vyberem koordinaty tak, chto \\(b=(0,0)\\), \\(a=(1,0)\\), \\(c=(0,1)\\). oboznachim \\(r=\\sqrt2-1\\). togda \\(k=\\sqrt2\\,r\\) i \\(k+r=1\\). otmetim sem tochek na storonah treugolnika: \\[ a=(1,0),\\quad b=(0,0),\\quad c=(0,1),\\quad d=(r,0),\\quad g=(0,r), \\] \\[ e=(k,r),\\quad f=(r,k). \\] tochki \\(d\\) i \\(g\\) lezhat na katetah, prichem \\(ad=cg=k\\). tochki \\(e\\) i \\(f\\) lezhat na gipotenuze \\(x+y=1\\), prichem \\[ ae=\\sqrt{(1-k)^2+r^2}=\\sqrt{r^2+r^2}=\\sqrt2\\,r=k \\] i analogichno \\(cf=k\\). proverim vse rasstoyaniya, kotorye ponadobyatsya v zaprete na odinakovyy tsvet. vo-pervyh, \\(a\\) i \\(c\\) udaleny ot lyuboy drugoy otmechennoy tochki po krayney mere na \\(k\\): dlya \\(a\\) eto sleduet iz \\(ab=1\\), \\(ac=\\sqrt2\\), \\(ad=ae=k\\), \\(ag=\\sqrt{1+r^2}>k\\), a takzhe \\[ af=\\sqrt{(1-r)^2…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-1996-a3-course-hypergraph","title":"Выборы курсов как 3-гиперграф, Putnam 1996 A3","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-1996-a3-course-hypergraph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-1996-a3-course-hypergraph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-1996-a3-course-hypergraph","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 1996 A3, архивный источник"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["construction","double_counting","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":4,"comment":"Короткий контрпример; гиперграфовая модель делает конструкцию полной и прозрачной.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Двадцать студентов и шесть курсов","status":"ai_checked","text":"Каждый из 20 студентов выбрал некоторое число курсов, от 0 до 6, из шести предложенных курсов. Верно ли, что обязательно найдутся 5 студентов и 2 курса такие, что либо все эти 5 студентов выбрали оба курса, либо все эти 5 студентов не выбрали ни один из этих двух курсов? Докажите или приведите контрпример.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Выборы курсов как 3-гиперграф, Putnam 1996 A3","status":"ai_checked","text":"На множестве из \\(6\\) вершин дано \\(20\\) гиперрёбер, каждое из которых может иметь любой размер. Обязательно ли найдётся пара вершин, которая содержится хотя бы в \\(5\\) гиперрёбрах или не пересекается хотя бы с \\(5\\) гиперрёбрами?","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-complete-3-uniform-counterexample","title":"Контрпример из всех трехэлементных выборов","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["extremal_choice","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Утверждение неверно. Пронумеруем курсы числами \\(1, 2, \\ldots,6\\). Так как \\(\\binom63=20\\), можно сопоставить 20 студентам все различные трехэлементные подмножества множества курсов: каждый студент выбирает ровно одну свою тройку, и каждая тройка появляется ровно один раз. Проверим, что эта конфигурация избегает требуемого вывода. Зафиксируем пару курсов, скажем \\(\\{i,j\\}\\). Студент выбрал оба этих курса тогда и только тогда, когда его тройка имеет вид \\(\\{i,j,k\\}\\), где \\(k\\) - один из оставшихся четырех курсов. Поэтому таких студентов ровно 4, а не 5. Теперь посчитаем студентов, которые не выбрали ни один из двух курсов \\(i,j\\). Их тройки должны быть трехэлементными подмножествами четырех оставшихся курсов. Таких троек \\(\\binom43=4\\). Значит для той же пары курсов ровно 4 студента не выбрали ни один из них. Пара курсов была произвольной. Следовательно, ни для какой пары нельзя найти 5…"}],"relations":[],"search_text":"putnam-1996-a3-course-hypergraph выборы курсов как 3-гиперграф, putnam 1996 a3 construction double_counting goal_impossibility 1996 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf putnam putnam 1996 a3, архивный источник putnam1996 src-putnam-1996-a3-kedlaya with_solution ? putnam 1996 a3, архивный источник stmt-original двадцать студентов и шесть курсов ai_checked каждый из 20 студентов выбрал некоторое число курсов, от 0 до 6, из шести предложенных курсов. верно ли, что обязательно найдутся 5 студентов и 2 курса такие, что либо все эти 5 студентов выбрали оба курса, либо все эти 5 студентов не выбрали ни один из этих двух курсов? докажите или приведите контрпример. stmt-graph выборы курсов как 3-гиперграф, putnam 1996 a3 ai_checked на множестве из \\(6\\) вершин дано \\(20\\) гиперрёбер, каждое из которых может иметь любой размер. обязательно ли найдётся пара вершин, которая содержится хотя бы в \\(5\\) гиперрёбрах или не пересекается хотя бы с \\(5\\) гиперрёбрами? idea-all-triples взять все тройки курсов пусть каждый студент выбирает свою тройку из шести курсов. тогда всего студентов ровно \\(\\binom63=20\\). construction ai_checked idea-pair-codegrees-four каждая пара встречается ровно четыре раза фиксированную пару курсов можно дополнить до тройки четырьмя способами, и ровно четырьмя способами можно выбрать тройку целиком среди оставшихся четырех курсов. double_counting ai_checked sol-complete-3-uniform-counterexample контрпример из всех трехэлементных выборов ai_checked extremal_choice double_counting утверждение неверно. пронумеруем курсы числами \\(1, 2, \\ldots,6\\). так как \\(\\binom63=20\\), можно сопоставить 20 студентам все различные трехэлементные подмножества множества курсов: каждый студент выбирает ровно одну свою тройку, и каждая тройка появляется ровно один раз. проверим, что эта конфигурация избегает требуемого вывода. зафиксируем пару курсов, скажем \\(\\{i,j\\}\\). студент выбрал оба этих курса тогда и только тогда, когда его тройка имеет вид \\(\\{i,j,k\\}\\), где \\(k\\) - один из оставшихся четырех курсов. поэтому таких студентов ровно 4, а не 5. теперь посчитаем студентов, которые не выбрали ни один из двух курсов \\(i,j\\). их тройки должны быть трехэлементными подмножествами четырех оставшихся курсов. таких троек \\(\\binom43=4\\). значит для той же пары курсов ровно 4 студента не выбрали ни один из них. пара курсов была произвольной. следовательно, ни для какой пары нельзя найти 5… putnam-1996-a3-course-hypergraph vybory kursov kak 3-gipergraf, putnam 1996 a3 construction double_counting goal_impossibility 1996 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf putnam putnam 1996 a3, arhivnyy istochnik putnam1996 src-putnam-1996-a3-kedlaya with_solution ? putnam 1996 a3, arhivnyy istochnik stmt-original dvadtsat studentov i shest kursov ai_checked kazhdyy iz 20 studentov vybral nekotoroe chislo kursov, ot 0 do 6, iz shesti predlozhennyh kursov. verno li, chto obyazatelno naydutsya 5 studentov i 2 kursa takie, chto libo vse eti 5 studentov vybrali oba kursa, libo vse eti 5 studentov ne vybrali ni odin iz etih dvuh kursov? dokazhite ili privedite kontrprimer. stmt-graph vybory kursov kak 3-gipergraf, putnam 1996 a3 ai_checked na mnozhestve iz \\(6\\) vershin dano \\(20\\) giperreber, kazhdoe iz kotoryh mozhet imet lyuboy razmer. obyazatelno li naydetsya para vershin, kotoraya soderzhitsya hotya by v \\(5\\) giperrebrah ili ne peresekaetsya hotya by s \\(5\\) giperrebrami? idea-all-triples vzyat vse troyki kursov pust kazhdyy student vybiraet svoyu troyku iz shesti kursov. togda vsego studentov rovno \\(\\binom63=20\\). construction ai_checked idea-pair-codegrees-four kazhdaya para vstrechaetsya rovno chetyre raza fiksirovannuyu paru kursov mozhno dopolnit do troyki chetyrmya sposobami, i rovno chetyrmya sposobami mozhno vybrat troyku tselikom sredi ostavshihsya chetyreh kursov. double_counting ai_checked sol-complete-3-uniform-counterexample kontrprimer iz vseh trehelementnyh vyborov ai_checked extremal_choice double_counting utverzhdenie neverno. pronumeruem kursy chislami \\(1, 2, \\ldots,6\\). tak kak \\(\\binom63=20\\), mozhno sopostavit 20 studentam vse razlichnye trehelementnye podmnozhestva mnozhestva kursov: kazhdyy student vybiraet rovno odnu svoyu troyku, i kazhdaya troyka poyavlyaetsya rovno odin raz. proverim, chto eta konfiguratsiya izbegaet trebuemogo vyvoda. zafiksiruem paru kursov, skazhem \\(\\{i,j\\}\\). student vybral oba etih kursa togda i tolko togda, kogda ego troyka imeet vid \\(\\{i,j,k\\}\\), gde \\(k\\) - odin iz ostavshihsya chetyreh kursov. poetomu takih studentov rovno 4, a ne 5. teper poschitaem studentov, kotorye ne vybrali ni odin iz dvuh kursov \\(i,j\\). ih troyki dolzhny byt trehelementnymi podmnozhestvami chetyreh ostavshihsya kursov. takih troek \\(\\binom43=4\\). znachit dlya toy zhe pary kursov rovno 4 studenta ne vybrali ni odin iz nih. para kursov byla proizvolnoy. sledovatelno, ni dlya kakoy pary nelzya nayti 5…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-1996-a4-oriented-triples-order","title":"Ориентированные тройки и линейный порядок, Putnam 1996 A4","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-1996-a4-oriented-triples-order.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-1996-a4-oriented-triples-order.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-1996-a4-oriented-triples-order","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 1996 A4, архивный источник"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["tournaments","goal_existence","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Ключевой ход короткий, но неочевидный: фиксированный элемент превращает ориентации троек в бинарное отношение, а четырехточечное правило доказывает транзитивность.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.95,"basis":"Опубликованное решение Джона Скоулза и Калвы сверено с архивной формулировкой Putnam 1996 A4.","notes":"Доказательство переписано самодостаточно: фиксируется базовый элемент, строится индуцированный бинарный порядок, транзитивность выводится из условия 3, затем выполняется переход к инъективным вещественным меткам."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Система ориентированных троек","status":"source_verified","text":"Пусть \\(A\\) - конечное множество, а \\(S\\) - множество упорядоченных троек \\((a,b,c)\\) попарно различных элементов \\(A\\). Предположим, что: 1) \\((a,b,c)\\in S\\) тогда и только тогда, когда \\((b,c,a)\\in S\\); 2) \\((a,b,c)\\in S\\) тогда и только тогда, когда \\((c,b,a)\\notin S\\); 3) \\((a,b,c)\\) и \\((c,d,a)\\) одновременно принадлежат \\(S\\) тогда и только тогда, когда \\((b,c,d)\\) и \\((d,a,b)\\) одновременно принадлежат \\(S\\). Докажите, что существует взаимно однозначная функция \\(g:A\\to\\mathbb R\\) такая, что из \\(g(a)<g(b)<g(c)\\) следует \\((a,b,c)\\in S\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Ориентированные тройки и линейный порядок, Putnam 1996 A4","status":"ai_checked","text":"Для каждой тройки различных вершин конечного множества выбран один из двух циклических порядков. Выбор не меняется при циклическом сдвиге, меняется на противоположный при обращении, и для любых \\(a,b,c,d\\) порядки \\((a,b,c)\\) и \\((c,d,a)\\) выбраны одновременно тогда и только тогда, когда одновременно выбраны \\((b,c,d)\\) и \\((d,a,b)\\). Докажите, что эти ориентации задаются некоторым линейным порядком вершин.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-published-fixed-base-order","title":"Опубликованное решение: порядок от фиксированного элемента","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если \\(|A|\\le 2\\), требование о возрастающих тройках пусто, и можно выбрать любую взаимно однозначную функцию \\(A\\to\\mathbb R\\). Далее считаем, что \\(|A|\\ge3\\), и фиксируем элемент \\(a\\in A\\). Обозначим \\(B=A\\setminus\\{a\\}\\). Для различных \\(x,y\\in B\\) зададим отношение \\(x<y\\) тогда и только тогда, когда \\((a,x,y)\\in S\\). Это отношение сравнивает любую пару ровно в одну сторону. Действительно, по условию 1 тройка \\((y,x,a)\\) принадлежит \\(S\\) тогда и только тогда, когда \\((a,y,x)\\) принадлежит \\(S\\). Поэтому условие 2, примененное к \\((a,x,y)\\), говорит, что ровно одна из троек \\((a,x,y)\\), \\((a,y,x)\\) лежит в \\(S\\). Значит, для любых различных \\(x,y\\in B\\) выполнено ровно одно из \\(x<y\\) и \\(y<x\\). Докажем транзитивность. Пусть \\(x<y\\) и \\(y<z\\), где \\(x,y,z\\in B\\) различны. Тогда \\((a,x,y)\\in S\\) и \\((a,y,z)\\in S\\). По условию 1 из \\((a,y,z)\\in S\\) следует \\((y,z,a)\\in S\\). Применим…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-1996-a4-tournament-hamiltonian-path-order","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1996-a4-cmo-2006-min-transitive-tournament","neighbor_id":"cmo-2006-p4-min-cycle-triplets-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1996-a4-redei-odd-hamiltonian-paths-order-motif","neighbor_id":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-putnam-1996-a4","neighbor_id":"unique-insertion-interval-oriented-triples","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-1996-a4-oriented-triples-order ориентированные тройки и линейный порядок, putnam 1996 a4 tournaments goal_existence goal_characterization 1996 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf putnam putnam 1996 a4, архивный источник putnam1996 src-putnam-1996-a4-kedlaya with_solution ? putnam 1996 a4, архивный источник stmt-original система ориентированных троек source_verified пусть \\(a\\) - конечное множество, а \\(s\\) - множество упорядоченных троек \\((a,b,c)\\) попарно различных элементов \\(a\\). предположим, что: 1) \\((a,b,c)\\in s\\) тогда и только тогда, когда \\((b,c,a)\\in s\\); 2) \\((a,b,c)\\in s\\) тогда и только тогда, когда \\((c,b,a)\\notin s\\); 3) \\((a,b,c)\\) и \\((c,d,a)\\) одновременно принадлежат \\(s\\) тогда и только тогда, когда \\((b,c,d)\\) и \\((d,a,b)\\) одновременно принадлежат \\(s\\). докажите, что существует взаимно однозначная функция \\(g:a\\to\\mathbb r\\) такая, что из \\(g(a)<g(b)<g(c)\\) следует \\((a,b,c)\\in s\\). stmt-graph ориентированные тройки и линейный порядок, putnam 1996 a4 ai_checked для каждой тройки различных вершин конечного множества выбран один из двух циклических порядков. выбор не меняется при циклическом сдвиге, меняется на противоположный при обращении, и для любых \\(a,b,c,d\\) порядки \\((a,b,c)\\) и \\((c,d,a)\\) выбраны одновременно тогда и только тогда, когда одновременно выбраны \\((b,c,d)\\) и \\((d,a,b)\\). докажите, что эти ориентации задаются некоторым линейным порядком вершин. idea-fix-base-element зафиксировать один элемент и получить порядок на остальных если выбрать \\(a\\in a\\), то на \\(a\\setminus\\{a\\}\\) можно задать отношение \\(x<y\\) условием \\((a,x,y)\\in s\\). первые два условия делают это отношение полным и антисимметричным. ai_checked idea-four-point-transitivity четырехточечное правило доказывает транзитивность из \\((a,x,y)\\in s\\) и \\((a,y,z)\\in s\\) циклический сдвиг дает \\((y,z,a)\\in s\\), а условие 3 для четверки \\(a,x,y,z\\) одновременно выводит \\((x,y,z)\\in s\\) и \\((z,a,x)\\in s\\). ai_checked sol-published-fixed-base-order опубликованное решение: порядок от фиксированного элемента ai_checked greedy_ordering если \\(|a|\\le 2\\), требование о возрастающих тройках пусто, и можно выбрать любую взаимно однозначную функцию \\(a\\to\\mathbb r\\). далее считаем, что \\(|a|\\ge3\\), и фиксируем элемент \\(a\\in a\\). обозначим \\(b=a\\setminus\\{a\\}\\). для различных \\(x,y\\in b\\) зададим отношение \\(x<y\\) тогда и только тогда, когда \\((a,x,y)\\in s\\). это отношение сравнивает любую пару ровно в одну сторону. действительно, по условию 1 тройка \\((y,x,a)\\) принадлежит \\(s\\) тогда и только тогда, когда \\((a,y,x)\\) принадлежит \\(s\\). поэтому условие 2, примененное к \\((a,x,y)\\), говорит, что ровно одна из троек \\((a,x,y)\\), \\((a,y,x)\\) лежит в \\(s\\). значит, для любых различных \\(x,y\\in b\\) выполнено ровно одно из \\(x<y\\) и \\(y<x\\). докажем транзитивность. пусть \\(x<y\\) и \\(y<z\\), где \\(x,y,z\\in b\\) различны. тогда \\((a,x,y)\\in s\\) и \\((a,y,z)\\in s\\). по условию 1 из \\((a,y,z)\\in s\\) следует \\((y,z,a)\\in s\\). применим… putnam-1996-a4-oriented-triples-order orientirovannye troyki i lineynyy poryadok, putnam 1996 a4 tournaments goal_existence goal_characterization 1996 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf putnam putnam 1996 a4, arhivnyy istochnik putnam1996 src-putnam-1996-a4-kedlaya with_solution ? putnam 1996 a4, arhivnyy istochnik stmt-original sistema orientirovannyh troek source_verified pust \\(a\\) - konechnoe mnozhestvo, a \\(s\\) - mnozhestvo uporyadochennyh troek \\((a,b,c)\\) poparno razlichnyh elementov \\(a\\). predpolozhim, chto: 1) \\((a,b,c)\\in s\\) togda i tolko togda, kogda \\((b,c,a)\\in s\\); 2) \\((a,b,c)\\in s\\) togda i tolko togda, kogda \\((c,b,a)\\notin s\\); 3) \\((a,b,c)\\) i \\((c,d,a)\\) odnovremenno prinadlezhat \\(s\\) togda i tolko togda, kogda \\((b,c,d)\\) i \\((d,a,b)\\) odnovremenno prinadlezhat \\(s\\). dokazhite, chto suschestvuet vzaimno odnoznachnaya funktsiya \\(g:a\\to\\mathbb r\\) takaya, chto iz \\(g(a)<g(b)<g(c)\\) sleduet \\((a,b,c)\\in s\\). stmt-graph orientirovannye troyki i lineynyy poryadok, putnam 1996 a4 ai_checked dlya kazhdoy troyki razlichnyh vershin konechnogo mnozhestva vybran odin iz dvuh tsiklicheskih poryadkov. vybor ne menyaetsya pri tsiklicheskom sdvige, menyaetsya na protivopolozhnyy pri obraschenii, i dlya lyubyh \\(a,b,c,d\\) poryadki \\((a,b,c)\\) i \\((c,d,a)\\) vybrany odnovremenno togda i tolko togda, kogda odnovremenno vybrany \\((b,c,d)\\) i \\((d,a,b)\\). dokazhite, chto eti orientatsii zadayutsya nekotorym lineynym poryadkom vershin. idea-fix-base-element zafiksirovat odin element i poluchit poryadok na ostalnyh esli vybrat \\(a\\in a\\), to na \\(a\\setminus\\{a\\}\\) mozhno zadat otnoshenie \\(x<y\\) usloviem \\((a,x,y)\\in s\\). pervye dva usloviya delayut eto otnoshenie polnym i antisimmetrichnym. ai_checked idea-four-point-transitivity chetyrehtochechnoe pravilo dokazyvaet tranzitivnost iz \\((a,x,y)\\in s\\) i \\((a,y,z)\\in s\\) tsiklicheskiy sdvig daet \\((y,z,a)\\in s\\), a uslovie 3 dlya chetverki \\(a,x,y,z\\) odnovremenno vyvodit \\((x,y,z)\\in s\\) i \\((z,a,x)\\in s\\). ai_checked sol-published-fixed-base-order opublikovannoe reshenie: poryadok ot fiksirovannogo elementa ai_checked greedy_ordering esli \\(|a|\\le 2\\), trebovanie o vozrastayuschih troykah pusto, i mozhno vybrat lyubuyu vzaimno odnoznachnuyu funktsiyu \\(a\\to\\mathbb r\\). dalee schitaem, chto \\(|a|\\ge3\\), i fiksiruem element \\(a\\in a\\). oboznachim \\(b=a\\setminus\\{a\\}\\). dlya razlichnyh \\(x,y\\in b\\) zadadim otnoshenie \\(x<y\\) togda i tolko togda, kogda \\((a,x,y)\\in s\\). eto otnoshenie sravnivaet lyubuyu paru rovno v odnu storonu. deystvitelno, po usloviyu 1 troyka \\((y,x,a)\\) prinadlezhit \\(s\\) togda i tolko togda, kogda \\((a,y,x)\\) prinadlezhit \\(s\\). poetomu uslovie 2, primenennoe k \\((a,x,y)\\), govorit, chto rovno odna iz troek \\((a,x,y)\\), \\((a,y,x)\\) lezhit v \\(s\\). znachit, dlya lyubyh razlichnyh \\(x,y\\in b\\) vypolneno rovno odno iz \\(x<y\\) i \\(y<x\\). dokazhem tranzitivnost. pust \\(x<y\\) i \\(y<z\\), gde \\(x,y,z\\in b\\) razlichny. togda \\((a,x,y)\\in s\\) i \\((a,y,z)\\in s\\). po usloviyu 1 iz \\((a,y,z)\\in s\\) sleduet \\((y,z,a)\\in s\\). primenim…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face","title":"Игра на гранях полиэдра и грань с четырьмя сторонами, Putnam 2002 B2","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2002 B2, архивный источник"],"year":"2002","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","degree_counting","goal_strategy_game","double_counting"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":12,"comment":"Putnam B2; короткая стратегия, но требуется аккуратно применить формулу Эйлера и свойства граней выпуклого полиэдра.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Опубликованное решение Калвы и Джона Скоулза сверено с материалом Kedlaya/Ng 2002s.pdf и архивной формулировкой Putnam.","notes":"Опубликованное неофициальное решение полностью развернуто в самодостаточное доказательство; lemma-card сохранена как переиспользуемое выделение, но основной текст не зависит от внешней леммы.","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим полиэдр по крайней мере с пятью гранями, у каждой вершины которого сходятся ровно три ребра. Два игрока по очереди подписывают ранее не подписанную грань своим именем. Побеждает тот, кто первым подпишет три грани, имеющие общую вершину. Докажите, что при правильной игре первый игрок всегда может выиграть.","definition_ids":["planar_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра на гранях полиэдра и грань с четырьмя сторонами, Putnam 2002 B2","status":"ai_checked","text":"Пусть дан скелет выпуклого полиэдра с его вложением на сфере; у каждой вершины скелета степень 3, а число граней не меньше 5. Игроки по очереди выбирают еще не выбранные грани; игрок выигрывает, если после своего хода владеет всеми тремя гранями, инцидентными некоторой вершине. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия.","definition_ids":["planar_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-kedlaya-expanded","title":"Стратегия через большую грань и вилку","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree"],"standard_idea_ids":["invariant","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем пользоваться стандартной комбинаторной моделью выпуклого полиэдра: его скелет является связным плоским графом на сфере, каждая грань является многоугольником, каждое ребро лежит на границе ровно двух граней, а две разные грани имеют не более одного общего ребра. При условии задачи в каждой вершине сходятся ровно три ребра, значит в каждой вершине сходятся ровно три грани. Сначала докажем, что есть грань с не менее чем четырьмя сторонами. Обозначим через \\(V,E,F\\) числа вершин, ребер и граней полиэдра. Из условия о трех ребрах в каждой вершине получаем по лемме о рукопожатиях \\(3V=2E\\). Предположим, что все грани треугольные. Тогда сумма длин границ всех граней равна \\(3F\\), но каждое ребро при таком счете учитывается дважды, поэтому \\(3F=2E\\). Формула Эйлера для связного полиэдра дает \\(V-E+F=2\\). Подставляя \\(V=2E/3\\) и \\(F=2E/3\\), получаем \\(2E/3-E+2E/3=2\\), то есть \\(E/3=2\\). С…"}],"relations":[{"id":"rel-handshaking-putnam-2002-b2-cubic-polyhedron-count","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-fork-putnam-2002-b2","neighbor_id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2002-planar-edge-bound","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face игра на гранях полиэдра и грань с четырьмя сторонами, putnam 2002 b2 planar_graphs degree_counting goal_strategy_game double_counting 2002 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2002.pdf putnam putnam 2002 b2, архивный источник putnam2002 src-putnam-2002-b2-kedlaya with_solution ? putnam 2002 b2, архивный источник stmt-original условие ai_checked рассмотрим полиэдр по крайней мере с пятью гранями, у каждой вершины которого сходятся ровно три ребра. два игрока по очереди подписывают ранее не подписанную грань своим именем. побеждает тот, кто первым подпишет три грани, имеющие общую вершину. докажите, что при правильной игре первый игрок всегда может выиграть. planar_graph degree stmt-graph игра на гранях полиэдра и грань с четырьмя сторонами, putnam 2002 b2 ai_checked пусть дан скелет выпуклого полиэдра с его вложением на сфере; у каждой вершины скелета степень 3, а число граней не меньше 5. игроки по очереди выбирают еще не выбранные грани; игрок выигрывает, если после своего хода владеет всеми тремя гранями, инцидентными некоторой вершине. докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия. planar_graph degree idea-large-face-gives-trap грань с четырьмя соседями дает вилку если первый игрок занимает грань с хотя бы четырьмя сторонами, то после первого ответа соперника среди соседних с ней граней найдутся три подряд свободные. ход в среднюю из них создает две независимые угрозы закончить тройку вокруг одной из двух соседних вершин. goal_strategy_game planar_graphs ai_checked idea-not-all-triangles кубический полиэдр с пятью гранями не весь треугольный если бы каждая грань была треугольником, то двойной счет ребер по вершинам и по граням вместе с формулой эйлера дал бы ровно четыре грани. это противоречит условию о по крайней мере пяти гранях. degree_counting planar_graphs double_counting ai_checked sol-kedlaya-expanded стратегия через большую грань и вилку ai_checked planar_graph degree invariant double_counting будем пользоваться стандартной комбинаторной моделью выпуклого полиэдра: его скелет является связным плоским графом на сфере, каждая грань является многоугольником, каждое ребро лежит на границе ровно двух граней, а две разные грани имеют не более одного общего ребра. при условии задачи в каждой вершине сходятся ровно три ребра, значит в каждой вершине сходятся ровно три грани. сначала докажем, что есть грань с не менее чем четырьмя сторонами. обозначим через \\(v,e,f\\) числа вершин, ребер и граней полиэдра. из условия о трех ребрах в каждой вершине получаем по лемме о рукопожатиях \\(3v=2e\\). предположим, что все грани треугольные. тогда сумма длин границ всех граней равна \\(3f\\), но каждое ребро при таком счете учитывается дважды, поэтому \\(3f=2e\\). формула эйлера для связного полиэдра дает \\(v-e+f=2\\). подставляя \\(v=2e/3\\) и \\(f=2e/3\\), получаем \\(2e/3-e+2e/3=2\\), то есть \\(e/3=2\\). с… putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face igra na granyah poliedra i gran s chetyrmya storonami, putnam 2002 b2 planar_graphs degree_counting goal_strategy_game double_counting 2002 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2002.pdf putnam putnam 2002 b2, arhivnyy istochnik putnam2002 src-putnam-2002-b2-kedlaya with_solution ? putnam 2002 b2, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked rassmotrim poliedr po krayney mere s pyatyu granyami, u kazhdoy vershiny kotorogo shodyatsya rovno tri rebra. dva igroka po ocheredi podpisyvayut ranee ne podpisannuyu gran svoim imenem. pobezhdaet tot, kto pervym podpishet tri grani, imeyuschie obschuyu vershinu. dokazhite, chto pri pravilnoy igre pervyy igrok vsegda mozhet vyigrat. planar_graph degree stmt-graph igra na granyah poliedra i gran s chetyrmya storonami, putnam 2002 b2 ai_checked pust dan skelet vypuklogo poliedra s ego vlozheniem na sfere; u kazhdoy vershiny skeleta stepen 3, a chislo graney ne menshe 5. igroki po ocheredi vybirayut esche ne vybrannye grani; igrok vyigryvaet, esli posle svoego hoda vladeet vsemi tremya granyami, intsidentnymi nekotoroy vershine. dokazhite, chto u pervogo igroka est vyigryshnaya strategiya. planar_graph degree idea-large-face-gives-trap gran s chetyrmya sosedyami daet vilku esli pervyy igrok zanimaet gran s hotya by chetyrmya storonami, to posle pervogo otveta sopernika sredi sosednih s ney graney naydutsya tri podryad svobodnye. hod v srednyuyu iz nih sozdaet dve nezavisimye ugrozy zakonchit troyku vokrug odnoy iz dvuh sosednih vershin. goal_strategy_game planar_graphs ai_checked idea-not-all-triangles kubicheskiy poliedr s pyatyu granyami ne ves treugolnyy esli by kazhdaya gran byla treugolnikom, to dvoynoy schet reber po vershinam i po granyam vmeste s formuloy eylera dal by rovno chetyre grani. eto protivorechit usloviyu o po krayney mere pyati granyah. degree_counting planar_graphs double_counting ai_checked sol-kedlaya-expanded strategiya cherez bolshuyu gran i vilku ai_checked planar_graph degree invariant double_counting budem polzovatsya standartnoy kombinatornoy modelyu vypuklogo poliedra: ego skelet yavlyaetsya svyaznym ploskim grafom na sfere, kazhdaya gran yavlyaetsya mnogougolnikom, kazhdoe rebro lezhit na granitse rovno dvuh graney, a dve raznye grani imeyut ne bolee odnogo obschego rebra. pri uslovii zadachi v kazhdoy vershine shodyatsya rovno tri rebra, znachit v kazhdoy vershine shodyatsya rovno tri grani. snachala dokazhem, chto est gran s ne menee chem chetyrmya storonami. oboznachim cherez \\(v,e,f\\) chisla vershin, reber i graney poliedra. iz usloviya o treh rebrah v kazhdoy vershine poluchaem po lemme o rukopozhatiyah \\(3v=2e\\). predpolozhim, chto vse grani treugolnye. togda summa dlin granits vseh graney ravna \\(3f\\), no kazhdoe rebro pri takom schete uchityvaetsya dvazhdy, poetomu \\(3f=2e\\). formula eylera dlya svyaznogo poliedra daet \\(v-e+f=2\\). podstavlyaya \\(v=2e/3\\) i \\(f=2e/3\\), poluchaem \\(2e/3-e+2e/3=2\\), to est \\(e/3=2\\). s…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2004-a5-random-checkerboard-components","title":"Случайная раскраска доски и монохромные компоненты, Putnam 2004 A5","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2004-a5-random-checkerboard-components.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2004-a5-random-checkerboard-components.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2004-a5-random-checkerboard-components","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2004 A5, архивный источник"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","double_counting","graph_model","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":14,"comment":"Putnam A5; ключевой шаг - увидеть граф компонент и компенсировать лишние ребра монохромными 4-циклами.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Каждая клетка доски \\(m\\times n\\) независимо красится в черный или белый цвет с вероятностью \\(1/2\\). Две клетки принадлежат одной и той же связной монохромной области, если можно перейти от одной к другой по последовательности клеток одного цвета, каждый раз переходя через общую сторону. Докажите, что математическое ожидание числа связных монохромных областей больше \\(mn/8\\).","definition_ids":["connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Случайная раскраска доски и монохромные компоненты, Putnam 2004 A5","status":"ai_checked","text":"Вершины прямоугольной решетки \\(m\\times n\\) независимо красятся в два цвета. Соединим ребром две соседние по стороне вершины, если они одного цвета. Докажите, что математическое ожидание числа компонент связности получившегося случайного графа строго больше \\(mn/8\\).","definition_ids":["connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-kedlaya-graph-expectation","title":"Граф компонент и линейность ожидания","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["invariant","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф \\(G\\): его вершины - клетки доски, а ребро соединяет две клетки с общей стороной, если они одного цвета. Компоненты связности этого графа ровно соответствуют связным монохромным областям. Пусть \\(A\\) - число ребер в \\(G\\), а \\(B\\) - число монохромных блоков \\(2\\times2\\). В каждом таком блоке четыре клетки образуют цикл длины 4 в графе \\(G\\). Удалим из каждого монохромного блока его нижнее горизонтальное ребро. Эти \\(B\\) ребер различны: нижнее ребро однозначно задает сам блок, лежащий прямо над ним. Докажем, что одновременное удаление этих ребер не меняет компоненты связности. Рассмотрим удаленное ребро \\(e\\), лежащее в строке \\(r\\) между двумя соседними столбцами. Оно было нижним ребром некоторого монохромного блока, поэтому две клетки над концами \\(e\\) имеют тот же цвет, что и концы \\(e\\). Если верхнее горизонтальное ребро этого блока не удалено, то концы \\(e\\) соединены…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-2004-imc-2022-random-colour-boundary-expectation","neighbor_id":"imc-2022-day2-p8-random-circle-hulls-colour-changes","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2004-grid-components-lemma","neighbor_id":"grid-boundary-components-coloring-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"putnam-2004-a5-random-checkerboard-components случайная раскраска доски и монохромные компоненты, putnam 2004 a5 connectivity double_counting graph_model goal_bound 2004 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2004.pdf putnam putnam 2004 a5, архивный источник putnam2004 src-putnam-2004-a5-kedlaya with_solution ? putnam 2004 a5, архивный источник stmt-original условие ai_checked каждая клетка доски \\(m\\times n\\) независимо красится в черный или белый цвет с вероятностью \\(1/2\\). две клетки принадлежат одной и той же связной монохромной области, если можно перейти от одной к другой по последовательности клеток одного цвета, каждый раз переходя через общую сторону. докажите, что математическое ожидание числа связных монохромных областей больше \\(mn/8\\). connected_graph stmt-graph случайная раскраска доски и монохромные компоненты, putnam 2004 a5 ai_checked вершины прямоугольной решетки \\(m\\times n\\) независимо красятся в два цвета. соединим ребром две соседние по стороне вершины, если они одного цвета. докажите, что математическое ожидание числа компонент связности получившегося случайного графа строго больше \\(mn/8\\). connected_graph idea-delete-cycle-edges из каждого монохромного квадрата можно вычесть одно ребро для графа с \\(n\\) вершинами и \\(e\\) ребрами число компонент не меньше \\(n-e\\). если дополнительно удалить по одному ребру из каждого монохромного \\(2\\times2\\)-квадрата, компоненты не изменятся, а нижняя оценка улучшится на число таких квадратов. connectivity graph_model ai_checked idea-expectation-local ожидания считаются локально число одноцветных соседних пар и число одноцветных блоков \\(2\\times2\\) являются суммами индикаторов. поэтому их ожидания равны числу возможных объектов, умноженному на вероятности \\(1/2\\) и \\(1/8\\) соответственно. double_counting ai_checked sol-kedlaya-graph-expectation граф компонент и линейность ожидания ai_checked connected_graph cycle invariant double_counting построим граф \\(g\\): его вершины - клетки доски, а ребро соединяет две клетки с общей стороной, если они одного цвета. компоненты связности этого графа ровно соответствуют связным монохромным областям. пусть \\(a\\) - число ребер в \\(g\\), а \\(b\\) - число монохромных блоков \\(2\\times2\\). в каждом таком блоке четыре клетки образуют цикл длины 4 в графе \\(g\\). удалим из каждого монохромного блока его нижнее горизонтальное ребро. эти \\(b\\) ребер различны: нижнее ребро однозначно задает сам блок, лежащий прямо над ним. докажем, что одновременное удаление этих ребер не меняет компоненты связности. рассмотрим удаленное ребро \\(e\\), лежащее в строке \\(r\\) между двумя соседними столбцами. оно было нижним ребром некоторого монохромного блока, поэтому две клетки над концами \\(e\\) имеют тот же цвет, что и концы \\(e\\). если верхнее горизонтальное ребро этого блока не удалено, то концы \\(e\\) соединены… putnam-2004-a5-random-checkerboard-components sluchaynaya raskraska doski i monohromnye komponenty, putnam 2004 a5 connectivity double_counting graph_model goal_bound 2004 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2004.pdf putnam putnam 2004 a5, arhivnyy istochnik putnam2004 src-putnam-2004-a5-kedlaya with_solution ? putnam 2004 a5, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked kazhdaya kletka doski \\(m\\times n\\) nezavisimo krasitsya v chernyy ili belyy tsvet s veroyatnostyu \\(1/2\\). dve kletki prinadlezhat odnoy i toy zhe svyaznoy monohromnoy oblasti, esli mozhno pereyti ot odnoy k drugoy po posledovatelnosti kletok odnogo tsveta, kazhdyy raz perehodya cherez obschuyu storonu. dokazhite, chto matematicheskoe ozhidanie chisla svyaznyh monohromnyh oblastey bolshe \\(mn/8\\). connected_graph stmt-graph sluchaynaya raskraska doski i monohromnye komponenty, putnam 2004 a5 ai_checked vershiny pryamougolnoy reshetki \\(m\\times n\\) nezavisimo krasyatsya v dva tsveta. soedinim rebrom dve sosednie po storone vershiny, esli oni odnogo tsveta. dokazhite, chto matematicheskoe ozhidanie chisla komponent svyaznosti poluchivshegosya sluchaynogo grafa strogo bolshe \\(mn/8\\). connected_graph idea-delete-cycle-edges iz kazhdogo monohromnogo kvadrata mozhno vychest odno rebro dlya grafa s \\(n\\) vershinami i \\(e\\) rebrami chislo komponent ne menshe \\(n-e\\). esli dopolnitelno udalit po odnomu rebru iz kazhdogo monohromnogo \\(2\\times2\\)-kvadrata, komponenty ne izmenyatsya, a nizhnyaya otsenka uluchshitsya na chislo takih kvadratov. connectivity graph_model ai_checked idea-expectation-local ozhidaniya schitayutsya lokalno chislo odnotsvetnyh sosednih par i chislo odnotsvetnyh blokov \\(2\\times2\\) yavlyayutsya summami indikatorov. poetomu ih ozhidaniya ravny chislu vozmozhnyh obektov, umnozhennomu na veroyatnosti \\(1/2\\) i \\(1/8\\) sootvetstvenno. double_counting ai_checked sol-kedlaya-graph-expectation graf komponent i lineynost ozhidaniya ai_checked connected_graph cycle invariant double_counting postroim graf \\(g\\): ego vershiny - kletki doski, a rebro soedinyaet dve kletki s obschey storonoy, esli oni odnogo tsveta. komponenty svyaznosti etogo grafa rovno sootvetstvuyut svyaznym monohromnym oblastyam. pust \\(a\\) - chislo reber v \\(g\\), a \\(b\\) - chislo monohromnyh blokov \\(2\\times2\\). v kazhdom takom bloke chetyre kletki obrazuyut tsikl dliny 4 v grafe \\(g\\). udalim iz kazhdogo monohromnogo bloka ego nizhnee gorizontalnoe rebro. eti \\(b\\) reber razlichny: nizhnee rebro odnoznachno zadaet sam blok, lezhaschiy pryamo nad nim. dokazhem, chto odnovremennoe udalenie etih reber ne menyaet komponenty svyaznosti. rassmotrim udalennoe rebro \\(e\\), lezhaschee v stroke \\(r\\) mezhdu dvumya sosednimi stolbtsami. ono bylo nizhnim rebrom nekotorogo monohromnogo bloka, poetomu dve kletki nad kontsami \\(e\\) imeyut tot zhe tsvet, chto i kontsy \\(e\\). esli verhnee gorizontalnoe rebro etogo bloka ne udaleno, to kontsy \\(e\\) soedineny…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2005-a2-rook-tours-grid-hamiltonian-paths","title":"Ладейные обходы прямоугольника 3 на n, Putnam 2005 A2","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2005-a2-rook-tours-grid-hamiltonian-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2005-a2-rook-tours-grid-hamiltonian-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2005-a2-rook-tours-grid-hamiltonian-paths","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2005 A2, архивный источник"],"year":"2005","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":9,"comment":"Putnam A2; основной труд - увидеть корректное кодирование гамильтоновых путей в решетке 3 на n.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(S=\\{(a,b): a=1,2,\\ldots,n,\\ b=1,2,3\\}\\). Ладейным обходом \\(S\\) называется ломаная через точки \\(p_1,p_2,\\ldots,p_{3n}\\), в которой каждая \\(p_i\\) принадлежит \\(S\\), соседние точки находятся на расстоянии 1, и каждая точка множества \\(S\\) встречается ровно один раз. Сколько существует таких обходов, которые начинаются в \\((1,1)\\) и заканчиваются в \\((n,1)\\)?","definition_ids":["path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Ладейные обходы прямоугольника 3 на n, Putnam 2005 A2","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим решеточный граф \\(P_n\\square P_3\\) с вершинами \\((a,b)\\), где \\(1\\le a\\le n\\), \\(1\\le b\\le3\\). Сколько в нем гамильтоновых путей из \\((1,1)\\) в \\((n,1)\\)?","definition_ids":["hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-kedlaya-bijection","title":"Биекция с четными подмножествами","status":"ai_checked","definition_ids":["hamiltonian_path"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"При \\(n=1\\) обходов из \\((1,1)\\) в \\((1,1)\\), проходящих все три точки ровно по одному разу, нет. Далее считаем \\(n\\ge2\\). Будем рассматривать обход как гамильтонов путь графа \\(P_n\\square P_3\\), ориентированный от \\((1,1)\\) к \\((n,1)\\). Обозначим нижнюю, среднюю и верхнюю вершины столбца \\(i\\) через \\(b_i=(i,1)\\), \\(m_i=(i,2)\\), \\(t_i=(i,3)\\). Назовём столбец переключающим, если путь входит в \\(m_i\\) по вертикальному ребру, то есть содержит направленное ребро \\(b_i\\to m_i\\) или \\(t_i\\to m_i\\). Докажем ключевую лемму: всякий такой путь единственным образом разбивается на блоки, задаваемые парами переключающих столбцов \\(L_1<R_1<L_2<R_2<\\cdots<L_r<R_r=n\\). Пусть уже пройдены все вершины столбцов \\(1,\\ldots,R_{j-1}\\) и путь стоит в \\(b_{R_{j-1}}\\), где для первого блока считаем \\(R_0=0\\) и стартуем в \\(b_1\\). Пока путь остаётся в нижней строке, он вынужденно идёт вправо; пусть \\(L_j\\) — п…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-2005-cmo-2008-three-by-n-rook-paths","neighbor_id":"cmo-2008-p5-self-avoiding-rook-walks","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2005-grid-hamiltonian","neighbor_id":"cmo-2015-p3-grid-hamiltonian-turtle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"putnam-2005-a2-rook-tours-grid-hamiltonian-paths ладейные обходы прямоугольника 3 на n, putnam 2005 a2 graph_model goal_counting 2005 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2005.pdf putnam putnam 2005 a2, архивный источник putnam2005 src-putnam-2005-a2-kedlaya with_solution ? putnam 2005 a2, архивный источник stmt-original условие ai_checked пусть \\(s=\\{(a,b): a=1,2,\\ldots,n,\\ b=1,2,3\\}\\). ладейным обходом \\(s\\) называется ломаная через точки \\(p_1,p_2,\\ldots,p_{3n}\\), в которой каждая \\(p_i\\) принадлежит \\(s\\), соседние точки находятся на расстоянии 1, и каждая точка множества \\(s\\) встречается ровно один раз. сколько существует таких обходов, которые начинаются в \\((1,1)\\) и заканчиваются в \\((n,1)\\)? path stmt-graph ладейные обходы прямоугольника 3 на n, putnam 2005 a2 ai_checked рассмотрим решеточный граф \\(p_n\\square p_3\\) с вершинами \\((a,b)\\), где \\(1\\le a\\le n\\), \\(1\\le b\\le3\\). сколько в нем гамильтоновых путей из \\((1,1)\\) в \\((n,1)\\)? hamiltonian_path idea-even-subset-bijection путь кодируется четным подмножеством столбцов для каждого обхода отмечаем столбцы, в которых ориентированный путь входит в среднюю клетку вертикально снизу или сверху. вынужденное разложение пути на блоки показывает, что отмеченные столбцы идут парами, последняя пара оканчивается в \\(n\\), а каждая такая система пар однозначно восстанавливает змейку. goal_counting graph_model ai_checked sol-kedlaya-bijection биекция с четными подмножествами ai_checked hamiltonian_path invariant при \\(n=1\\) обходов из \\((1,1)\\) в \\((1,1)\\), проходящих все три точки ровно по одному разу, нет. далее считаем \\(n\\ge2\\). будем рассматривать обход как гамильтонов путь графа \\(p_n\\square p_3\\), ориентированный от \\((1,1)\\) к \\((n,1)\\). обозначим нижнюю, среднюю и верхнюю вершины столбца \\(i\\) через \\(b_i=(i,1)\\), \\(m_i=(i,2)\\), \\(t_i=(i,3)\\). назовём столбец переключающим, если путь входит в \\(m_i\\) по вертикальному ребру, то есть содержит направленное ребро \\(b_i\\to m_i\\) или \\(t_i\\to m_i\\). докажем ключевую лемму: всякий такой путь единственным образом разбивается на блоки, задаваемые парами переключающих столбцов \\(l_1<r_1<l_2<r_2<\\cdots<l_r<r_r=n\\). пусть уже пройдены все вершины столбцов \\(1,\\ldots,r_{j-1}\\) и путь стоит в \\(b_{r_{j-1}}\\), где для первого блока считаем \\(r_0=0\\) и стартуем в \\(b_1\\). пока путь остаётся в нижней строке, он вынужденно идёт вправо; пусть \\(l_j\\) — п… putnam-2005-a2-rook-tours-grid-hamiltonian-paths ladeynye obhody pryamougolnika 3 na n, putnam 2005 a2 graph_model goal_counting 2005 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2005.pdf putnam putnam 2005 a2, arhivnyy istochnik putnam2005 src-putnam-2005-a2-kedlaya with_solution ? putnam 2005 a2, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked pust \\(s=\\{(a,b): a=1,2,\\ldots,n,\\ b=1,2,3\\}\\). ladeynym obhodom \\(s\\) nazyvaetsya lomanaya cherez tochki \\(p_1,p_2,\\ldots,p_{3n}\\), v kotoroy kazhdaya \\(p_i\\) prinadlezhit \\(s\\), sosednie tochki nahodyatsya na rasstoyanii 1, i kazhdaya tochka mnozhestva \\(s\\) vstrechaetsya rovno odin raz. skolko suschestvuet takih obhodov, kotorye nachinayutsya v \\((1,1)\\) i zakanchivayutsya v \\((n,1)\\)? path stmt-graph ladeynye obhody pryamougolnika 3 na n, putnam 2005 a2 ai_checked rassmotrim reshetochnyy graf \\(p_n\\square p_3\\) s vershinami \\((a,b)\\), gde \\(1\\le a\\le n\\), \\(1\\le b\\le3\\). skolko v nem gamiltonovyh putey iz \\((1,1)\\) v \\((n,1)\\)? hamiltonian_path idea-even-subset-bijection put kodiruetsya chetnym podmnozhestvom stolbtsov dlya kazhdogo obhoda otmechaem stolbtsy, v kotoryh orientirovannyy put vhodit v srednyuyu kletku vertikalno snizu ili sverhu. vynuzhdennoe razlozhenie puti na bloki pokazyvaet, chto otmechennye stolbtsy idut parami, poslednyaya para okanchivaetsya v \\(n\\), a kazhdaya takaya sistema par odnoznachno vosstanavlivaet zmeyku. goal_counting graph_model ai_checked sol-kedlaya-bijection biektsiya s chetnymi podmnozhestvami ai_checked hamiltonian_path invariant pri \\(n=1\\) obhodov iz \\((1,1)\\) v \\((1,1)\\), prohodyaschih vse tri tochki rovno po odnomu razu, net. dalee schitaem \\(n\\ge2\\). budem rassmatrivat obhod kak gamiltonov put grafa \\(p_n\\square p_3\\), orientirovannyy ot \\((1,1)\\) k \\((n,1)\\). oboznachim nizhnyuyu, srednyuyu i verhnyuyu vershiny stolbtsa \\(i\\) cherez \\(b_i=(i,1)\\), \\(m_i=(i,2)\\), \\(t_i=(i,3)\\). nazovem stolbets pereklyuchayuschim, esli put vhodit v \\(m_i\\) po vertikalnomu rebru, to est soderzhit napravlennoe rebro \\(b_i\\to m_i\\) ili \\(t_i\\to m_i\\). dokazhem klyuchevuyu lemmu: vsyakiy takoy put edinstvennym obrazom razbivaetsya na bloki, zadavaemye parami pereklyuchayuschih stolbtsov \\(l_1<r_1<l_2<r_2<\\cdots<l_r<r_r=n\\). pust uzhe proydeny vse vershiny stolbtsov \\(1,\\ldots,r_{j-1}\\) i put stoit v \\(b_{r_{j-1}}\\), gde dlya pervogo bloka schitaem \\(r_0=0\\) i startuem v \\(b_1\\). poka put ostaetsya v nizhney stroke, on vynuzhdenno idet vpravo; pust \\(l_j\\) — p…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound","title":"Допустимая триангуляция многоугольника с внутренними степенями не меньше 6, Putnam 2007 A6","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2007 A6, архивный источник"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","degree_counting","induction","goal_bound","double_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":14,"comment":"Putnam A6; доказательство сочетает эйлеров подсчет и нетривиционную редукцию границы.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Триангуляция \\(T\\) многоугольника \\(P\\) - это конечное семейство треугольников, объединение которых равно \\(P\\), причем пересечение любых двух треугольников либо пусто, либо является общей вершиной, либо общей стороной. Каждая сторона многоугольника является стороной ровно одного треугольника. Назовем триангуляцию допустимой, если каждая внутренняя вершина принадлежит как минимум шести треугольникам. Докажите, что для каждого \\(n\\) существует число \\(M_n\\), зависящее только от \\(n\\), такое что всякая допустимая триангуляция \\(n\\)-угольника имеет не более \\(M_n\\) треугольников.","definition_ids":["planar_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Допустимая триангуляция многоугольника с внутренними степенями не меньше 6, Putnam 2007 A6","status":"ai_checked","text":"Плоский граф является триангуляцией диска, внешняя грань имеет длину \\(n\\), а все внутренние вершины имеют степень не меньше 6. Докажите, что число внутренних треугольных граней ограничено сверху величиной, зависящей только от \\(n\\).","definition_ids":["planar_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-kedlaya-euler-induction","title":"Оценка через степени границы и индукцию","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree"],"standard_idea_ids":["face_counting","double_counting","induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем использовать классическую лемму `disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction` о триангуляциях диска. В наших обозначениях она применима к графу триангуляции: граничные вершины — это вершины исходного многоугольника, а допустимость означает, что все внутренние вершины имеют степень не меньше \\(6\\). Лемма дает две вещи: 1. если \\(a_i\\) — степени граничных вершин \\(v_i\\), то \\[ a_1+\\cdots+a_n\\le 4n-6; \\tag{1} \\] 2. при \\(n\\ge4\\) можно удалить либо одно граничное ухо при вершине степени \\(2\\), либо приграничную полосу около цепи \\(w_1,\\ldots,w_k\\) со степенями \\(3,4,\\ldots,4,3\\), где \\(2\\le k\\le n-1\\). В первом случае удаляется \\(1\\) треугольник и остается допустимая триангуляция \\((n-1)\\)-угольника. Во втором случае удаляется не более \\(2k-1\\le 2n-3\\) треугольников, а остаток, если он непуст, является допустимой триангуляцией некоторого многоугольника с не более чем \\(n-1\\) ст…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-2007-cmo-1995-planar-decomposition-euler-count","neighbor_id":"cmo-1995-p3-polygon-quadrangulation-boomerangs","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-putnam-2007-a6-boundary-degree-count","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2007-a6-spbmo-1997-p54-triangulation-degree-count","neighbor_id":"spbmo-1997-11-p54-triangular-polyhedron-degrees","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-triangulation-boundary-degree-chain-putnam-2007-a6","neighbor_id":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2007-planar-triangulation","neighbor_id":"quadrangulation-euler-face-count","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound допустимая триангуляция многоугольника с внутренними степенями не меньше 6, putnam 2007 a6 planar_graphs degree_counting induction goal_bound double_counting 2007 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf putnam putnam 2007 a6, архивный источник putnam2007 src-putnam-2007-a6-kedlaya with_solution ? putnam 2007 a6, архивный источник stmt-original условие ai_checked триангуляция \\(t\\) многоугольника \\(p\\) - это конечное семейство треугольников, объединение которых равно \\(p\\), причем пересечение любых двух треугольников либо пусто, либо является общей вершиной, либо общей стороной. каждая сторона многоугольника является стороной ровно одного треугольника. назовем триангуляцию допустимой, если каждая внутренняя вершина принадлежит как минимум шести треугольникам. докажите, что для каждого \\(n\\) существует число \\(m_n\\), зависящее только от \\(n\\), такое что всякая допустимая триангуляция \\(n\\)-угольника имеет не более \\(m_n\\) треугольников. planar_graph degree stmt-graph допустимая триангуляция многоугольника с внутренними степенями не меньше 6, putnam 2007 a6 ai_checked плоский граф является триангуляцией диска, внешняя грань имеет длину \\(n\\), а все внутренние вершины имеют степень не меньше 6. докажите, что число внутренних треугольных граней ограничено сверху величиной, зависящей только от \\(n\\). planar_graph degree idea-bound-boundary-degrees эйлерова формула ограничивает сумму степеней границы это первая часть леммы `disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction`: для триангуляции диска с внутренними степенями не меньше 6 сумма степеней граничных вершин не превосходит \\(4n-6\\). planar_graphs degree_counting double_counting ai_checked idea-remove-boundary-chain на границе есть удаляемая цепочка это вторая часть леммы `disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction`: либо на границе есть удаляемое ухо степени 2, либо есть цепь степеней \\(3,4,\\ldots,4,3\\), чья приграничная полоса содержит не более \\(2k-1\\) треугольников и после удаления оставляет допустимую триангуляцию диска с меньшей границей. induction extremal_choice planar_graphs ai_checked sol-kedlaya-euler-induction оценка через степени границы и индукцию ai_checked planar_graph degree face_counting double_counting induction delete_to_simplify будем использовать классическую лемму `disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction` о триангуляциях диска. в наших обозначениях она применима к графу триангуляции: граничные вершины — это вершины исходного многоугольника, а допустимость означает, что все внутренние вершины имеют степень не меньше \\(6\\). лемма дает две вещи: 1. если \\(a_i\\) — степени граничных вершин \\(v_i\\), то \\[ a_1+\\cdots+a_n\\le 4n-6; \\tag{1} \\] 2. при \\(n\\ge4\\) можно удалить либо одно граничное ухо при вершине степени \\(2\\), либо приграничную полосу около цепи \\(w_1,\\ldots,w_k\\) со степенями \\(3,4,\\ldots,4,3\\), где \\(2\\le k\\le n-1\\). в первом случае удаляется \\(1\\) треугольник и остается допустимая триангуляция \\((n-1)\\)-угольника. во втором случае удаляется не более \\(2k-1\\le 2n-3\\) треугольников, а остаток, если он непуст, является допустимой триангуляцией некоторого многоугольника с не более чем \\(n-1\\) ст… putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound dopustimaya triangulyatsiya mnogougolnika s vnutrennimi stepenyami ne menshe 6, putnam 2007 a6 planar_graphs degree_counting induction goal_bound double_counting 2007 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf putnam putnam 2007 a6, arhivnyy istochnik putnam2007 src-putnam-2007-a6-kedlaya with_solution ? putnam 2007 a6, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked triangulyatsiya \\(t\\) mnogougolnika \\(p\\) - eto konechnoe semeystvo treugolnikov, obedinenie kotoryh ravno \\(p\\), prichem peresechenie lyubyh dvuh treugolnikov libo pusto, libo yavlyaetsya obschey vershinoy, libo obschey storonoy. kazhdaya storona mnogougolnika yavlyaetsya storonoy rovno odnogo treugolnika. nazovem triangulyatsiyu dopustimoy, esli kazhdaya vnutrennyaya vershina prinadlezhit kak minimum shesti treugolnikam. dokazhite, chto dlya kazhdogo \\(n\\) suschestvuet chislo \\(m_n\\), zavisyaschee tolko ot \\(n\\), takoe chto vsyakaya dopustimaya triangulyatsiya \\(n\\)-ugolnika imeet ne bolee \\(m_n\\) treugolnikov. planar_graph degree stmt-graph dopustimaya triangulyatsiya mnogougolnika s vnutrennimi stepenyami ne menshe 6, putnam 2007 a6 ai_checked ploskiy graf yavlyaetsya triangulyatsiey diska, vneshnyaya gran imeet dlinu \\(n\\), a vse vnutrennie vershiny imeyut stepen ne menshe 6. dokazhite, chto chislo vnutrennih treugolnyh graney ogranicheno sverhu velichinoy, zavisyaschey tolko ot \\(n\\). planar_graph degree idea-bound-boundary-degrees eylerova formula ogranichivaet summu stepeney granitsy eto pervaya chast lemmy `disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction`: dlya triangulyatsii diska s vnutrennimi stepenyami ne menshe 6 summa stepeney granichnyh vershin ne prevoshodit \\(4n-6\\). planar_graphs degree_counting double_counting ai_checked idea-remove-boundary-chain na granitse est udalyaemaya tsepochka eto vtoraya chast lemmy `disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction`: libo na granitse est udalyaemoe uho stepeni 2, libo est tsep stepeney \\(3,4,\\ldots,4,3\\), chya prigranichnaya polosa soderzhit ne bolee \\(2k-1\\) treugolnikov i posle udaleniya ostavlyaet dopustimuyu triangulyatsiyu diska s menshey granitsey. induction extremal_choice planar_graphs ai_checked sol-kedlaya-euler-induction otsenka cherez stepeni granitsy i induktsiyu ai_checked planar_graph degree face_counting double_counting induction delete_to_simplify budem ispolzovat klassicheskuyu lemmu `disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction` o triangulyatsiyah diska. v nashih oboznacheniyah ona primenima k grafu triangulyatsii: granichnye vershiny — eto vershiny ishodnogo mnogougolnika, a dopustimost oznachaet, chto vse vnutrennie vershiny imeyut stepen ne menshe \\(6\\). lemma daet dve veschi: 1. esli \\(a_i\\) — stepeni granichnyh vershin \\(v_i\\), to \\[ a_1+\\cdots+a_n\\le 4n-6; \\tag{1} \\] 2. pri \\(n\\ge4\\) mozhno udalit libo odno granichnoe uho pri vershine stepeni \\(2\\), libo prigranichnuyu polosu okolo tsepi \\(w_1,\\ldots,w_k\\) so stepenyami \\(3,4,\\ldots,4,3\\), gde \\(2\\le k\\le n-1\\). v pervom sluchae udalyaetsya \\(1\\) treugolnik i ostaetsya dopustimaya triangulyatsiya \\((n-1)\\)-ugolnika. vo vtorom sluchae udalyaetsya ne bolee \\(2k-1\\le 2n-3\\) treugolnikov, a ostatok, esli on nepust, yavlyaetsya dopustimoy triangulyatsiey nekotorogo mnogougolnika s ne bolee chem \\(n-1\\) st…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall","title":"Выбор победителя каждого дня в круговом турнире, Putnam 2012 B3","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2012 B3, архивный источник"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","tournaments","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":10,"comment":"Putnam B3; после построения двудольного графа задача становится прямым применением теоремы Холла.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Круговой турнир с \\(2n\\) командами длился \\(2n-1\\) дней. В каждый день каждая команда играла ровно одну игру против другой команды; в каждой из \\(n\\) игр был один победитель и один проигравший. За весь турнир каждая команда сыграла с каждой другой ровно один раз. Всегда ли можно выбрать по одной выигравшей команде из каждого дня так, чтобы ни одна команда не была выбрана более одного раза?","definition_ids":["matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Выбор победителя каждого дня в круговом турнире, Putnam 2012 B3","status":"ai_checked","text":"Пусть полный граф \\(K_{2n}\\) разложен на \\(2n-1\\) совершенных паросочетаний, соответствующих дням турнира, а каждое ребро ориентировано от победителя к проигравшему. Докажите, что можно выбрать по одному ребру из каждого паросочетания так, чтобы начальные вершины выбранных ребер были попарно различны.","definition_ids":["matching","complete_graph","tournament"]}]},"solutions":[{"id":"sol-kedlaya-hall","title":"Теорема Холла","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":["augmenting_path_method","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: да. Воспользуемся самостоятельной леммой `round-robin-winner-count-hall-lemma`: в полном круговом турнире с \\(2n\\) командами за любые \\(m\\) выбранных дней есть по крайней мере \\(m\\) различных команд, выигравших хотя бы одну игру в эти дни. Напомним ее короткое доказательство. Если множество таких победителей \\(W\\) имело бы размер меньше \\(m\\), то можно было бы выбрать команду вне \\(W\\). В каждый из выбранных дней она играла и не выигрывала, значит проиграла \\(m\\) раз. Эти \\(m\\) поражений были от \\(m\\) разных соперников, потому что одна пара команд встречается только один раз; все эти соперники лежат в \\(W\\), противоречие. Теперь построим двудольный граф. В левой доле находятся \\(2n-1\\) дней, в правой - \\(2n\\) команд. Соединим день \\(d\\) с командой \\(t\\), если команда \\(t\\) выиграла свою игру в день \\(d\\). Лемма говорит, что для любого множества из \\(m\\) левых вершин его множество…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-2012-tc-2022-bipartite-incidence-counting","neighbor_id":"tc-2022-crossword-word-cell-bipartite-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2011-tripartite-putnam-2012-hall-obstruction","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2-tripartite-married-triples","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2012-b3-imc2011-three-quarter-hall-applications","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2b-tripartite-three-quarter-perfect-cover","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-2024-p1-putnam-2012-hall","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2024-p1-bipartite-perfect-matching-edge-weights","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-winner-count-lemma-putnam-2012-b3-prerequisite","neighbor_id":"round-robin-winner-count-hall-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2012-hall","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall выбор победителя каждого дня в круговом турнире, putnam 2012 b3 matching tournaments graph_model goal_existence 2012 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2012.pdf putnam putnam 2012 b3, архивный источник putnam2012 src-putnam-2012-b3-kedlaya with_solution ? putnam 2012 b3, архивный источник stmt-original условие ai_checked круговой турнир с \\(2n\\) командами длился \\(2n-1\\) дней. в каждый день каждая команда играла ровно одну игру против другой команды; в каждой из \\(n\\) игр был один победитель и один проигравший. за весь турнир каждая команда сыграла с каждой другой ровно один раз. всегда ли можно выбрать по одной выигравшей команде из каждого дня так, чтобы ни одна команда не была выбрана более одного раза? matching stmt-graph выбор победителя каждого дня в круговом турнире, putnam 2012 b3 ai_checked пусть полный граф \\(k_{2n}\\) разложен на \\(2n-1\\) совершенных паросочетаний, соответствующих дням турнира, а каждое ребро ориентировано от победителя к проигравшему. докажите, что можно выбрать по одному ребру из каждого паросочетания так, чтобы начальные вершины выбранных ребер были попарно различны. matching complete_graph tournament idea-days-teams-bipartite дни и команды образуют двудольный граф соединим день с командой, если эта команда выиграла в этот день. требуется паросочетание, покрывающее все дни. matching graph_model ai_checked idea-hall-by-losses условие холла следует из проигрышей лемма `round-robin-winner-count-hall-lemma` утверждает, что за любые \\(m\\) дней есть хотя бы \\(m\\) разных победителей: иначе команда вне множества победителей проиграла бы \\(m\\) раз \\(m\\) различным соперникам из слишком маленького множества. matching double_counting ai_checked sol-kedlaya-hall теорема холла ai_checked matching augmenting_path_method double_counting ответ: да. воспользуемся самостоятельной леммой `round-robin-winner-count-hall-lemma`: в полном круговом турнире с \\(2n\\) командами за любые \\(m\\) выбранных дней есть по крайней мере \\(m\\) различных команд, выигравших хотя бы одну игру в эти дни. напомним ее короткое доказательство. если множество таких победителей \\(w\\) имело бы размер меньше \\(m\\), то можно было бы выбрать команду вне \\(w\\). в каждый из выбранных дней она играла и не выигрывала, значит проиграла \\(m\\) раз. эти \\(m\\) поражений были от \\(m\\) разных соперников, потому что одна пара команд встречается только один раз; все эти соперники лежат в \\(w\\), противоречие. теперь построим двудольный граф. в левой доле находятся \\(2n-1\\) дней, в правой - \\(2n\\) команд. соединим день \\(d\\) с командой \\(t\\), если команда \\(t\\) выиграла свою игру в день \\(d\\). лемма говорит, что для любого множества из \\(m\\) левых вершин его множество… putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall vybor pobeditelya kazhdogo dnya v krugovom turnire, putnam 2012 b3 matching tournaments graph_model goal_existence 2012 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2012.pdf putnam putnam 2012 b3, arhivnyy istochnik putnam2012 src-putnam-2012-b3-kedlaya with_solution ? putnam 2012 b3, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked krugovoy turnir s \\(2n\\) komandami dlilsya \\(2n-1\\) dney. v kazhdyy den kazhdaya komanda igrala rovno odnu igru protiv drugoy komandy; v kazhdoy iz \\(n\\) igr byl odin pobeditel i odin proigravshiy. za ves turnir kazhdaya komanda sygrala s kazhdoy drugoy rovno odin raz. vsegda li mozhno vybrat po odnoy vyigravshey komande iz kazhdogo dnya tak, chtoby ni odna komanda ne byla vybrana bolee odnogo raza? matching stmt-graph vybor pobeditelya kazhdogo dnya v krugovom turnire, putnam 2012 b3 ai_checked pust polnyy graf \\(k_{2n}\\) razlozhen na \\(2n-1\\) sovershennyh parosochetaniy, sootvetstvuyuschih dnyam turnira, a kazhdoe rebro orientirovano ot pobeditelya k proigravshemu. dokazhite, chto mozhno vybrat po odnomu rebru iz kazhdogo parosochetaniya tak, chtoby nachalnye vershiny vybrannyh reber byli poparno razlichny. matching complete_graph tournament idea-days-teams-bipartite dni i komandy obrazuyut dvudolnyy graf soedinim den s komandoy, esli eta komanda vyigrala v etot den. trebuetsya parosochetanie, pokryvayuschee vse dni. matching graph_model ai_checked idea-hall-by-losses uslovie holla sleduet iz proigryshey lemma `round-robin-winner-count-hall-lemma` utverzhdaet, chto za lyubye \\(m\\) dney est hotya by \\(m\\) raznyh pobediteley: inache komanda vne mnozhestva pobediteley proigrala by \\(m\\) raz \\(m\\) razlichnym sopernikam iz slishkom malenkogo mnozhestva. matching double_counting ai_checked sol-kedlaya-hall teorema holla ai_checked matching augmenting_path_method double_counting otvet: da. vospolzuemsya samostoyatelnoy lemmoy `round-robin-winner-count-hall-lemma`: v polnom krugovom turnire s \\(2n\\) komandami za lyubye \\(m\\) vybrannyh dney est po krayney mere \\(m\\) razlichnyh komand, vyigravshih hotya by odnu igru v eti dni. napomnim ee korotkoe dokazatelstvo. esli mnozhestvo takih pobediteley \\(w\\) imelo by razmer menshe \\(m\\), to mozhno bylo by vybrat komandu vne \\(w\\). v kazhdyy iz vybrannyh dney ona igrala i ne vyigryvala, znachit proigrala \\(m\\) raz. eti \\(m\\) porazheniy byli ot \\(m\\) raznyh sopernikov, potomu chto odna para komand vstrechaetsya tolko odin raz; vse eti soperniki lezhat v \\(w\\), protivorechie. teper postroim dvudolnyy graf. v levoy dole nahodyatsya \\(2n-1\\) dney, v pravoy - \\(2n\\) komand. soedinim den \\(d\\) s komandoy \\(t\\), esli komanda \\(t\\) vyigrala svoyu igru v den \\(d\\). lemma govorit, chto dlya lyubogo mnozhestva iz \\(m\\) levyh vershin ego mnozhestvo…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2013-a1-icosahedron-face-labels","title":"Две грани икосаэдра с общей вершиной и одинаковой меткой, Putnam 2013 A1","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2013-a1-icosahedron-face-labels.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2013-a1-icosahedron-face-labels.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2013-a1-icosahedron-face-labels","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2013 A1, архивный источник"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","pigeonhole_principle","graph_model","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Putnam A1; короткая задача на естественный гиперграф инцидентности граней и вершин икосаэдра.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Напомним, что правильный икосаэдр имеет 12 вершин и 20 граней, причём все грани являются равносторонними треугольниками. На каждой грани правильного икосаэдра написано неотрицательное целое число, а сумма всех 20 чисел равна 39. Докажите, что найдутся две грани, имеющие общую вершину, на которых написано одно и то же число.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Две грани икосаэдра с общей вершиной и одинаковой меткой, Putnam 2013 A1","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим гиперграф инцидентности правильного икосаэдра: его вершины соответствуют 12 вершинам икосаэдра, а 20 гиперрёбер соответствуют треугольным граням; каждое гиперребро содержит 3 вершины, и через каждую вершину гиперграфа проходят 5 гиперрёбер. Каждому гиперребру приписано неотрицательное целое число, сумма всех приписанных чисел равна 39. Докажите, что существуют два гиперребра с общей вершиной и одинаковой меткой.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-kedlaya-compressed","title":"Решение двойным подсчётом инцидентностей","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное: никакие две грани, имеющие общую вершину, не имеют одинаковой метки. Рассмотрим одну фиксированную вершину икосаэдра. В правильном икосаэдре в каждой вершине сходятся ровно пять треугольных граней. По нашему предположению метки этих пяти граней попарно различны. Все метки являются неотрицательными целыми числами. Поэтому минимально возможная сумма пяти попарно различных меток равна сумме пяти наименьших неотрицательных целых чисел: \\[ 0+1+2+3+4=10. \\] Значит, для каждой из 12 вершин сумма меток пяти граней, прилегающих к этой вершине, не меньше 10. Теперь просуммируем эти 12 локальных сумм по всем вершинам икосаэдра. С одной стороны, только что полученная оценка даёт общий вклад не меньше \\[ 12\\cdot 10=120. \\] С другой стороны, этот же общий вклад можно посчитать по граням. Каждая грань икосаэдра является треугольником, то есть имеет ровно три вершины. Поэтому мет…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-2013-a1-handshaking","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-putnam-2017-2013-icosahedron","neighbor_id":"putnam-2017-a6-icosahedron-edge-colorings","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"putnam-2013-a1-icosahedron-face-labels две грани икосаэдра с общей вершиной и одинаковой меткой, putnam 2013 a1 double_counting pigeonhole_principle graph_model goal_proof 2013 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2013.pdf putnam putnam 2013 a1, архивный источник putnam2013 src-putnam-2013-a1-kedlaya with_solution ? putnam 2013 a1, архивный источник stmt-original условие ai_checked напомним, что правильный икосаэдр имеет 12 вершин и 20 граней, причём все грани являются равносторонними треугольниками. на каждой грани правильного икосаэдра написано неотрицательное целое число, а сумма всех 20 чисел равна 39. докажите, что найдутся две грани, имеющие общую вершину, на которых написано одно и то же число. stmt-graph две грани икосаэдра с общей вершиной и одинаковой меткой, putnam 2013 a1 ai_checked рассмотрим гиперграф инцидентности правильного икосаэдра: его вершины соответствуют 12 вершинам икосаэдра, а 20 гиперрёбер соответствуют треугольным граням; каждое гиперребро содержит 3 вершины, и через каждую вершину гиперграфа проходят 5 гиперрёбер. каждому гиперребру приписано неотрицательное целое число, сумма всех приписанных чисел равна 39. докажите, что существуют два гиперребра с общей вершиной и одинаковой меткой. idea-count-at-vertices счёт суммы меток вокруг вершин если у каждой вершины пять прилегающих граней имеют попарно различные метки, то сумма этих пяти меток не меньше \\(0+1+2+3+4\\). суммирование по вершинам даёт нижнюю оценку, несовместимую с тем, что каждая грань учитывается ровно по трём своим вершинам. double_counting ai_checked sol-kedlaya-compressed решение двойным подсчётом инцидентностей ai_checked double_counting предположим противное: никакие две грани, имеющие общую вершину, не имеют одинаковой метки. рассмотрим одну фиксированную вершину икосаэдра. в правильном икосаэдре в каждой вершине сходятся ровно пять треугольных граней. по нашему предположению метки этих пяти граней попарно различны. все метки являются неотрицательными целыми числами. поэтому минимально возможная сумма пяти попарно различных меток равна сумме пяти наименьших неотрицательных целых чисел: \\[ 0+1+2+3+4=10. \\] значит, для каждой из 12 вершин сумма меток пяти граней, прилегающих к этой вершине, не меньше 10. теперь просуммируем эти 12 локальных сумм по всем вершинам икосаэдра. с одной стороны, только что полученная оценка даёт общий вклад не меньше \\[ 12\\cdot 10=120. \\] с другой стороны, этот же общий вклад можно посчитать по граням. каждая грань икосаэдра является треугольником, то есть имеет ровно три вершины. поэтому мет… putnam-2013-a1-icosahedron-face-labels dve grani ikosaedra s obschey vershinoy i odinakovoy metkoy, putnam 2013 a1 double_counting pigeonhole_principle graph_model goal_proof 2013 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2013.pdf putnam putnam 2013 a1, arhivnyy istochnik putnam2013 src-putnam-2013-a1-kedlaya with_solution ? putnam 2013 a1, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked napomnim, chto pravilnyy ikosaedr imeet 12 vershin i 20 graney, prichem vse grani yavlyayutsya ravnostoronnimi treugolnikami. na kazhdoy grani pravilnogo ikosaedra napisano neotritsatelnoe tseloe chislo, a summa vseh 20 chisel ravna 39. dokazhite, chto naydutsya dve grani, imeyuschie obschuyu vershinu, na kotoryh napisano odno i to zhe chislo. stmt-graph dve grani ikosaedra s obschey vershinoy i odinakovoy metkoy, putnam 2013 a1 ai_checked rassmotrim gipergraf intsidentnosti pravilnogo ikosaedra: ego vershiny sootvetstvuyut 12 vershinam ikosaedra, a 20 giperreber sootvetstvuyut treugolnym granyam; kazhdoe giperrebro soderzhit 3 vershiny, i cherez kazhduyu vershinu gipergrafa prohodyat 5 giperreber. kazhdomu giperrebru pripisano neotritsatelnoe tseloe chislo, summa vseh pripisannyh chisel ravna 39. dokazhite, chto suschestvuyut dva giperrebra s obschey vershinoy i odinakovoy metkoy. idea-count-at-vertices schet summy metok vokrug vershin esli u kazhdoy vershiny pyat prilegayuschih graney imeyut poparno razlichnye metki, to summa etih pyati metok ne menshe \\(0+1+2+3+4\\). summirovanie po vershinam daet nizhnyuyu otsenku, nesovmestimuyu s tem, chto kazhdaya gran uchityvaetsya rovno po trem svoim vershinam. double_counting ai_checked sol-kedlaya-compressed reshenie dvoynym podschetom intsidentnostey ai_checked double_counting predpolozhim protivnoe: nikakie dve grani, imeyuschie obschuyu vershinu, ne imeyut odinakovoy metki. rassmotrim odnu fiksirovannuyu vershinu ikosaedra. v pravilnom ikosaedre v kazhdoy vershine shodyatsya rovno pyat treugolnyh graney. po nashemu predpolozheniyu metki etih pyati graney poparno razlichny. vse metki yavlyayutsya neotritsatelnymi tselymi chislami. poetomu minimalno vozmozhnaya summa pyati poparno razlichnyh metok ravna summe pyati naimenshih neotritsatelnyh tselyh chisel: \\[ 0+1+2+3+4=10. \\] znachit, dlya kazhdoy iz 12 vershin summa metok pyati graney, prilegayuschih k etoy vershine, ne menshe 10. teper prosummiruem eti 12 lokalnyh summ po vsem vershinam ikosaedra. s odnoy storony, tolko chto poluchennaya otsenka daet obschiy vklad ne menshe \\[ 12\\cdot 10=120. \\] s drugoy storony, etot zhe obschiy vklad mozhno poschitat po granyam. kazhdaya gran ikosaedra yavlyaetsya treugolnikom, to est imeet rovno tri vershiny. poetomu met…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2013-b5-functions-iterate-into-roots","title":"Функции, итерации которых попадают в первые k точек, Putnam 2013 B5","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2013-b5-functions-iterate-into-roots.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2013-b5-functions-iterate-into-roots.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2013-b5-functions-iterate-into-roots","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2013 B5, архивный источник"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","graph_model","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":11,"comment":"Putnam B5; естественная функционально-графовая модель и стандартный счёт корневых лесов.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(X=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), и пусть \\(k\\in X\\). Докажите, что существует ровно \\(k n^{\\,n-1}\\) функций \\(f:X\\to X\\), таких что для каждого \\(x\\in X\\) существует \\(j\\ge 0\\), для которого \\(f^{(j)}(x)\\le k\\). Здесь \\(f^{(j)}\\) обозначает \\(j\\)-ю итерацию \\(f\\), так что \\(f^{(0)}(x)=x\\) и \\(f^{(j+1)}(x)=f(f^{(j)}(x))\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Функциональные графы, доходящие до фиксированного множества корней","status":"ai_checked","text":"Для функции \\(f:X\\to X\\) нарисуем функциональный ориентированный граф с дугой \\(x\\to f(x)\\) из каждой вершины. Сколько таких функциональных графов на \\(X=\\{1,\\ldots,n\\}\\) имеют свойство: из каждой вершины некоторый направленный путь попадает в множество \\(R=\\{1, \\ldots,k\\}\\)? Докажите, что число равно \\(k n^{n-1}\\).","definition_ids":["directed_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-rooted-forest","title":"Решение через функциональные графы и корневые леса","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим \\(R=\\{1, \\ldots,k\\}\\). Сначала докажем, что условие зависит только от значений функции вне \\(R\\). Если из вершины \\(x\\) последовательность \\(x,f(x),f^2(x),\\ldots\\) впервые попала в \\(R\\) на шаге \\(j\\), то все вершины \\(x,f(x),\\ldots,f^{j-1}(x)\\) лежат вне \\(R\\). Поэтому до первого попадания в \\(R\\) используются только значения \\(f(y)\\) при \\(y\\notin R\\). Значения \\(f\\) на самом \\(R\\) можно выбрать произвольно и независимо: после попадания в \\(R\\) условие для исходной вершины уже выполнено, а для вершин из \\(R\\) оно выполнено при \\(j=0\\). Следовательно, достаточно посчитать допустимые функции с фиксированными значениями \\(f(1)=\\cdots=f(k)=1\\), а затем умножить результат на \\(n^k\\). Пусть теперь значения на \\(R\\) зафиксированы. Рассмотрим только дуги \\(x\\to f(x)\\) из вершин \\(x\\notin R\\). У каждой такой вершины ровно одна исходящая дуга. Условие задачи эквивалентно тому, что, дв…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-2021-n8-putnam-2013-b5-functional-roots","neighbor_id":"imo-2021-c6-functional-graph-roots","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2013-b5-vosh-2022-optimal-road-networks-rooted-forests","neighbor_id":"vosh-2022-23-final-optimal-road-networks","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-2013-b5-functions-iterate-into-roots функции, итерации которых попадают в первые k точек, putnam 2013 b5 trees graph_model goal_counting 2013 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2013.pdf putnam putnam 2013 b5, архивный источник putnam2013 src-putnam-2013-b5-kedlaya with_solution ? putnam 2013 b5, архивный источник stmt-original условие ai_checked пусть \\(x=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), и пусть \\(k\\in x\\). докажите, что существует ровно \\(k n^{\\,n-1}\\) функций \\(f:x\\to x\\), таких что для каждого \\(x\\in x\\) существует \\(j\\ge 0\\), для которого \\(f^{(j)}(x)\\le k\\). здесь \\(f^{(j)}\\) обозначает \\(j\\)-ю итерацию \\(f\\), так что \\(f^{(0)}(x)=x\\) и \\(f^{(j+1)}(x)=f(f^{(j)}(x))\\). stmt-graph функциональные графы, доходящие до фиксированного множества корней ai_checked для функции \\(f:x\\to x\\) нарисуем функциональный ориентированный граф с дугой \\(x\\to f(x)\\) из каждой вершины. сколько таких функциональных графов на \\(x=\\{1,\\ldots,n\\}\\) имеют свойство: из каждой вершины некоторый направленный путь попадает в множество \\(r=\\{1, \\ldots,k\\}\\)? докажите, что число равно \\(k n^{n-1}\\). directed_graph path idea-root-values-free значения на корневом множестве можно выбрать независимо если две функции совпадают вне \\(r=\\{1, \\ldots,k\\}\\), то свойство попадания в \\(r\\) одинаково для обеих: путь до первого попадания в \\(r\\) целиком лежит вне \\(r\\). поэтому сначала можно зафиксировать значения на \\(r\\), например \\(f(1)=\\cdots=f(k)=1\\), а затем умножить счёт на \\(n^k\\). graph_model ai_checked idea-contract-roots сжатие корней превращает задачу в счёт корневых лесов после фиксации значений на \\(r\\) рёбра \\(x\\to f(x)\\) из вершин \\(x\\notin r\\) образуют ориентированный к корням лес с корневым множеством \\(r\\). формула для таких лесов, доказываемая кодом прюфера для лесов, даёт множитель \\(k n^{n-k-1}\\) перед свободным выбором значений на \\(r\\). trees ai_checked sol-rooted-forest решение через функциональные графы и корневые леса ai_checked directed_graph path tree обозначим \\(r=\\{1, \\ldots,k\\}\\). сначала докажем, что условие зависит только от значений функции вне \\(r\\). если из вершины \\(x\\) последовательность \\(x,f(x),f^2(x),\\ldots\\) впервые попала в \\(r\\) на шаге \\(j\\), то все вершины \\(x,f(x),\\ldots,f^{j-1}(x)\\) лежат вне \\(r\\). поэтому до первого попадания в \\(r\\) используются только значения \\(f(y)\\) при \\(y\\notin r\\). значения \\(f\\) на самом \\(r\\) можно выбрать произвольно и независимо: после попадания в \\(r\\) условие для исходной вершины уже выполнено, а для вершин из \\(r\\) оно выполнено при \\(j=0\\). следовательно, достаточно посчитать допустимые функции с фиксированными значениями \\(f(1)=\\cdots=f(k)=1\\), а затем умножить результат на \\(n^k\\). пусть теперь значения на \\(r\\) зафиксированы. рассмотрим только дуги \\(x\\to f(x)\\) из вершин \\(x\\notin r\\). у каждой такой вершины ровно одна исходящая дуга. условие задачи эквивалентно тому, что, дв… putnam-2013-b5-functions-iterate-into-roots funktsii, iteratsii kotoryh popadayut v pervye k tochek, putnam 2013 b5 trees graph_model goal_counting 2013 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2013.pdf putnam putnam 2013 b5, arhivnyy istochnik putnam2013 src-putnam-2013-b5-kedlaya with_solution ? putnam 2013 b5, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked pust \\(x=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\), i pust \\(k\\in x\\). dokazhite, chto suschestvuet rovno \\(k n^{\\,n-1}\\) funktsiy \\(f:x\\to x\\), takih chto dlya kazhdogo \\(x\\in x\\) suschestvuet \\(j\\ge 0\\), dlya kotorogo \\(f^{(j)}(x)\\le k\\). zdes \\(f^{(j)}\\) oboznachaet \\(j\\)-yu iteratsiyu \\(f\\), tak chto \\(f^{(0)}(x)=x\\) i \\(f^{(j+1)}(x)=f(f^{(j)}(x))\\). stmt-graph funktsionalnye grafy, dohodyaschie do fiksirovannogo mnozhestva korney ai_checked dlya funktsii \\(f:x\\to x\\) narisuem funktsionalnyy orientirovannyy graf s dugoy \\(x\\to f(x)\\) iz kazhdoy vershiny. skolko takih funktsionalnyh grafov na \\(x=\\{1,\\ldots,n\\}\\) imeyut svoystvo: iz kazhdoy vershiny nekotoryy napravlennyy put popadaet v mnozhestvo \\(r=\\{1, \\ldots,k\\}\\)? dokazhite, chto chislo ravno \\(k n^{n-1}\\). directed_graph path idea-root-values-free znacheniya na kornevom mnozhestve mozhno vybrat nezavisimo esli dve funktsii sovpadayut vne \\(r=\\{1, \\ldots,k\\}\\), to svoystvo popadaniya v \\(r\\) odinakovo dlya obeih: put do pervogo popadaniya v \\(r\\) tselikom lezhit vne \\(r\\). poetomu snachala mozhno zafiksirovat znacheniya na \\(r\\), naprimer \\(f(1)=\\cdots=f(k)=1\\), a zatem umnozhit schet na \\(n^k\\). graph_model ai_checked idea-contract-roots szhatie korney prevraschaet zadachu v schet kornevyh lesov posle fiksatsii znacheniy na \\(r\\) rebra \\(x\\to f(x)\\) iz vershin \\(x\\notin r\\) obrazuyut orientirovannyy k kornyam les s kornevym mnozhestvom \\(r\\). formula dlya takih lesov, dokazyvaemaya kodom pryufera dlya lesov, daet mnozhitel \\(k n^{n-k-1}\\) pered svobodnym vyborom znacheniy na \\(r\\). trees ai_checked sol-rooted-forest reshenie cherez funktsionalnye grafy i kornevye lesa ai_checked directed_graph path tree oboznachim \\(r=\\{1, \\ldots,k\\}\\). snachala dokazhem, chto uslovie zavisit tolko ot znacheniy funktsii vne \\(r\\). esli iz vershiny \\(x\\) posledovatelnost \\(x,f(x),f^2(x),\\ldots\\) vpervye popala v \\(r\\) na shage \\(j\\), to vse vershiny \\(x,f(x),\\ldots,f^{j-1}(x)\\) lezhat vne \\(r\\). poetomu do pervogo popadaniya v \\(r\\) ispolzuyutsya tolko znacheniya \\(f(y)\\) pri \\(y\\notin r\\). znacheniya \\(f\\) na samom \\(r\\) mozhno vybrat proizvolno i nezavisimo: posle popadaniya v \\(r\\) uslovie dlya ishodnoy vershiny uzhe vypolneno, a dlya vershin iz \\(r\\) ono vypolneno pri \\(j=0\\). sledovatelno, dostatochno poschitat dopustimye funktsii s fiksirovannymi znacheniyami \\(f(1)=\\cdots=f(k)=1\\), a zatem umnozhit rezultat na \\(n^k\\). pust teper znacheniya na \\(r\\) zafiksirovany. rassmotrim tolko dugi \\(x\\to f(x)\\) iz vershin \\(x\\notin r\\). u kazhdoy takoy vershiny rovno odna ishodyaschaya duga. uslovie zadachi ekvivalentno tomu, chto, dv…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2014-b3-prime-entries-bipartite-cycle","title":"Простые элементы рациональной матрицы, Putnam 2014 B3","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2014-b3-prime-entries-bipartite-cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2014-b3-prime-entries-bipartite-cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2014-b3-prime-entries-bipartite-cycle","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2014 B3, архивный источник"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","graph_in_solution","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"Putnam B3; графовая часть проста, но требуется связать цикл с ранговыми соотношениями и простыми множителями.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(A\\) — матрица размера \\(m\\times n\\) с рациональными элементами. Предположим, что среди абсолютных значений элементов \\(A\\) встречается по меньшей мере \\(m+n\\) различных простых чисел. Докажите, что ранг \\(A\\) не меньше 2.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-kedlaya-graph","title":"Решение через двудольный граф строк и столбцов","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим, что \\(\\operatorname{rank} A\\le 1\\). Нулевой ранг невозможен, так как в матрице есть элементы, абсолютные значения которых являются простыми числами. Поэтому можно считать, что ранг равен 1. Построим двудольный граф: левая доля — строки, правая — столбцы, а ребро проводится там, где \\(|A_{ij}|\\) является простым числом. Так как среди абсолютных значений есть не меньше \\(m+n\\) различных простых чисел, в графе есть не меньше \\(m+n\\) рёбер. У графа всего \\(m+n\\) вершин, поэтому он не является лесом: всякий ациклический граф на \\(v\\) вершинах имеет не более \\(v-1\\) рёбер. Следовательно, в графе есть цикл. Поскольку граф двудольный, цикл имеет вид \\[ R_1-C_1-R_2-C_2-\\cdots-R_t-C_t-R_1 \\] при \\(t\\ge 2\\), где все соответствующие матричные элементы имеют попарно различные простые модули; обозначим их \\(p_1,p_2, \\ldots,p_{2t}\\) по порядку обхода цикла. У матрицы ранга 1 все миноры \\(…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-2014-imc-1999-bipartite-cycle","neighbor_id":"imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"putnam-2014-b3-prime-entries-bipartite-cycle простые элементы рациональной матрицы, putnam 2014 b3 connectivity graph_in_solution goal_proof 2014 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2014.pdf putnam putnam 2014 b3, архивный источник putnam2014 src-putnam-2014-b3-kedlaya with_solution ? putnam 2014 b3, архивный источник stmt-original условие ai_checked пусть \\(a\\) — матрица размера \\(m\\times n\\) с рациональными элементами. предположим, что среди абсолютных значений элементов \\(a\\) встречается по меньшей мере \\(m+n\\) различных простых чисел. докажите, что ранг \\(a\\) не меньше 2. idea-cycle-forces-prime-product много рёбер дают цикл, а цикл противоречит рангу 1 граф на \\(m+n\\) вершинах с хотя бы \\(m+n\\) рёбрами содержит цикл. в двудольном цикле ранговое условие \\(a_{ij}=r_i c_j\\) заставляет произведения элементов через одну позицию совпадать, но они являются произведениями двух разных наборов простых чисел. connectivity ai_checked sol-kedlaya-graph решение через двудольный граф строк и столбцов ai_checked bipartite_graph cycle double_counting предположим, что \\(\\operatorname{rank} a\\le 1\\). нулевой ранг невозможен, так как в матрице есть элементы, абсолютные значения которых являются простыми числами. поэтому можно считать, что ранг равен 1. построим двудольный граф: левая доля — строки, правая — столбцы, а ребро проводится там, где \\(|a_{ij}|\\) является простым числом. так как среди абсолютных значений есть не меньше \\(m+n\\) различных простых чисел, в графе есть не меньше \\(m+n\\) рёбер. у графа всего \\(m+n\\) вершин, поэтому он не является лесом: всякий ациклический граф на \\(v\\) вершинах имеет не более \\(v-1\\) рёбер. следовательно, в графе есть цикл. поскольку граф двудольный, цикл имеет вид \\[ r_1-c_1-r_2-c_2-\\cdots-r_t-c_t-r_1 \\] при \\(t\\ge 2\\), где все соответствующие матричные элементы имеют попарно различные простые модули; обозначим их \\(p_1,p_2, \\ldots,p_{2t}\\) по порядку обхода цикла. у матрицы ранга 1 все миноры \\(… putnam-2014-b3-prime-entries-bipartite-cycle prostye elementy ratsionalnoy matritsy, putnam 2014 b3 connectivity graph_in_solution goal_proof 2014 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2014.pdf putnam putnam 2014 b3, arhivnyy istochnik putnam2014 src-putnam-2014-b3-kedlaya with_solution ? putnam 2014 b3, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked pust \\(a\\) — matritsa razmera \\(m\\times n\\) s ratsionalnymi elementami. predpolozhim, chto sredi absolyutnyh znacheniy elementov \\(a\\) vstrechaetsya po menshey mere \\(m+n\\) razlichnyh prostyh chisel. dokazhite, chto rang \\(a\\) ne menshe 2. idea-cycle-forces-prime-product mnogo reber dayut tsikl, a tsikl protivorechit rangu 1 graf na \\(m+n\\) vershinah s hotya by \\(m+n\\) rebrami soderzhit tsikl. v dvudolnom tsikle rangovoe uslovie \\(a_{ij}=r_i c_j\\) zastavlyaet proizvedeniya elementov cherez odnu pozitsiyu sovpadat, no oni yavlyayutsya proizvedeniyami dvuh raznyh naborov prostyh chisel. connectivity ai_checked sol-kedlaya-graph reshenie cherez dvudolnyy graf strok i stolbtsov ai_checked bipartite_graph cycle double_counting predpolozhim, chto \\(\\operatorname{rank} a\\le 1\\). nulevoy rang nevozmozhen, tak kak v matritse est elementy, absolyutnye znacheniya kotoryh yavlyayutsya prostymi chislami. poetomu mozhno schitat, chto rang raven 1. postroim dvudolnyy graf: levaya dolya — stroki, pravaya — stolbtsy, a rebro provoditsya tam, gde \\(|a_{ij}|\\) yavlyaetsya prostym chislom. tak kak sredi absolyutnyh znacheniy est ne menshe \\(m+n\\) razlichnyh prostyh chisel, v grafe est ne menshe \\(m+n\\) reber. u grafa vsego \\(m+n\\) vershin, poetomu on ne yavlyaetsya lesom: vsyakiy atsiklicheskiy graf na \\(v\\) vershinah imeet ne bolee \\(v-1\\) reber. sledovatelno, v grafe est tsikl. poskolku graf dvudolnyy, tsikl imeet vid \\[ r_1-c_1-r_2-c_2-\\cdots-r_t-c_t-r_1 \\] pri \\(t\\ge 2\\), gde vse sootvetstvuyuschie matrichnye elementy imeyut poparno razlichnye prostye moduli; oboznachim ih \\(p_1,p_2, \\ldots,p_{2t}\\) po poryadku obhoda tsikla. u matritsy ranga 1 vse minory \\(…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2016-a5-cayley-digraph-short-words","title":"Короткие слова в двух порождающих через граф Кэли, Putnam 2016 A5","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2016-a5-cayley-digraph-short-words.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2016-a5-cayley-digraph-short-words.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2016-a5-cayley-digraph-short-words","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2016 A5, архивный источник"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","graph_model","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Putnam A5; граф Кэли даёт компактную стандартную интерпретацию ограничения на длину слова.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечная группа, порождённая двумя элементами \\(g\\) и \\(h\\), причём порядок \\(g\\) нечётен. Докажите, что каждый элемент \\(G\\) можно записать в виде \\[ g^{m_1}h^{n_1}g^{m_2}h^{n_2}\\cdots g^{m_r}h^{n_r}, \\] где \\(1\\le r\\le |G|\\) и все \\(m_1,n_1, \\ldots,m_r,n_r\\) принадлежат \\(\\{-1,1\\}\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Пути в орграфе Кэли по четырём блокам","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечная группа, порождённая \\(g,h\\), причём порядок \\(g\\) нечётен. Рассмотрим ориентированный граф Кэли на вершинах \\(G\\) с дугами \\(s\\to su\\), где \\(u\\in\\{gh,gh^{-1},g^{-1}h,g^{-1}h^{-1}\\}\\). Докажите, что для каждой вершины \\(x\\) существует направленный маршрут от единицы к \\(x\\) положительной длины не больше \\(|G|\\).","definition_ids":["directed_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cayley-digraph","title":"Решение через ориентированный граф Кэли","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\[ B=\\{gh,gh^{-1},g^{-1}h,g^{-1}h^{-1}\\} \\] множество допустимых блоков. Сначала проверим, что \\(B\\) порождает всю группу \\(G\\) как группа. Действительно, \\[ (gh)(g^{-1}h)^{-1}=ghh^{-1}g=g^2. \\] Если порядок \\(g\\) равен нечётному числу \\(2q+1\\), то \\(g=(g^2)^{q+1}\\), поэтому из элементов \\(B\\) можно получить \\(g\\). Тогда \\(h=g^{-1}(gh)\\), значит, из \\(B\\) получаются оба исходных порождающих \\(g,h\\). Следовательно, группа, порождённая \\(B\\), равна \\(G\\). Рассмотрим ориентированный граф Кэли \\(D\\): его вершины — элементы \\(G\\), а из \\(a\\) в \\(ab\\) проведена дуга для каждого \\(b\\in B\\). Так как \\(G\\) конечна и \\(B\\) порождает \\(G\\) как группа, положительные слова в буквах из \\(B\\) тоже дают все элементы \\(G\\): если в групповом слове встречается \\(b^{-1}\\), его можно заменить на положительную степень \\(b^{\\operatorname{ord}(b)-1}\\). Значит, из единицы в \\(D\\) достижима любая…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-1990-2016-cayley-digraph-generators","neighbor_id":"putnam-1990-b4-cayley-euler-tour","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-2016-a5-cayley-digraph-short-words короткие слова в двух порождающих через граф кэли, putnam 2016 a5 connectivity graph_model goal_proof 2016 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2016.pdf putnam putnam 2016 a5, архивный источник putnam2016 src-putnam-2016-a5-kedlaya with_solution ? putnam 2016 a5, архивный источник stmt-original условие ai_checked пусть \\(g\\) — конечная группа, порождённая двумя элементами \\(g\\) и \\(h\\), причём порядок \\(g\\) нечётен. докажите, что каждый элемент \\(g\\) можно записать в виде \\[ g^{m_1}h^{n_1}g^{m_2}h^{n_2}\\cdots g^{m_r}h^{n_r}, \\] где \\(1\\le r\\le |g|\\) и все \\(m_1,n_1, \\ldots,m_r,n_r\\) принадлежат \\(\\{-1,1\\}\\). stmt-graph пути в орграфе кэли по четырём блокам ai_checked пусть \\(g\\) — конечная группа, порождённая \\(g,h\\), причём порядок \\(g\\) нечётен. рассмотрим ориентированный граф кэли на вершинах \\(g\\) с дугами \\(s\\to su\\), где \\(u\\in\\{gh,gh^{-1},g^{-1}h,g^{-1}h^{-1}\\}\\). докажите, что для каждой вершины \\(x\\) существует направленный маршрут от единицы к \\(x\\) положительной длины не больше \\(|g|\\). directed_graph path idea-generators-make-strong-cayley четыре допустимых блока порождают всю группу блоки \\(gh,gh^{-1},g^{-1}h,g^{-1}h^{-1}\\) порождают \\(g^2\\), а нечётность порядка \\(g\\) означает, что \\(g^2\\) порождает ту же циклическую подгруппу, что и \\(g\\). отсюда восстанавливаются и \\(g\\), и \\(h\\). connectivity ai_checked idea-shortest-path-no-repeat кратчайший путь не повторяет вершины в конечном сильно связном ориентированном графе кратчайший путь между различными вершинами можно выбрать без повторов, поэтому его длина не превосходит числа вершин минус один. для совпадающих начала и конца нужен отдельный непустой цикл. connectivity ai_checked sol-cayley-digraph решение через ориентированный граф кэли ai_checked directed_graph invariant обозначим через \\[ b=\\{gh,gh^{-1},g^{-1}h,g^{-1}h^{-1}\\} \\] множество допустимых блоков. сначала проверим, что \\(b\\) порождает всю группу \\(g\\) как группа. действительно, \\[ (gh)(g^{-1}h)^{-1}=ghh^{-1}g=g^2. \\] если порядок \\(g\\) равен нечётному числу \\(2q+1\\), то \\(g=(g^2)^{q+1}\\), поэтому из элементов \\(b\\) можно получить \\(g\\). тогда \\(h=g^{-1}(gh)\\), значит, из \\(b\\) получаются оба исходных порождающих \\(g,h\\). следовательно, группа, порождённая \\(b\\), равна \\(g\\). рассмотрим ориентированный граф кэли \\(d\\): его вершины — элементы \\(g\\), а из \\(a\\) в \\(ab\\) проведена дуга для каждого \\(b\\in b\\). так как \\(g\\) конечна и \\(b\\) порождает \\(g\\) как группа, положительные слова в буквах из \\(b\\) тоже дают все элементы \\(g\\): если в групповом слове встречается \\(b^{-1}\\), его можно заменить на положительную степень \\(b^{\\operatorname{ord}(b)-1}\\). значит, из единицы в \\(d\\) достижима любая… putnam-2016-a5-cayley-digraph-short-words korotkie slova v dvuh porozhdayuschih cherez graf keli, putnam 2016 a5 connectivity graph_model goal_proof 2016 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2016.pdf putnam putnam 2016 a5, arhivnyy istochnik putnam2016 src-putnam-2016-a5-kedlaya with_solution ? putnam 2016 a5, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked pust \\(g\\) — konechnaya gruppa, porozhdennaya dvumya elementami \\(g\\) i \\(h\\), prichem poryadok \\(g\\) necheten. dokazhite, chto kazhdyy element \\(g\\) mozhno zapisat v vide \\[ g^{m_1}h^{n_1}g^{m_2}h^{n_2}\\cdots g^{m_r}h^{n_r}, \\] gde \\(1\\le r\\le |g|\\) i vse \\(m_1,n_1, \\ldots,m_r,n_r\\) prinadlezhat \\(\\{-1,1\\}\\). stmt-graph puti v orgrafe keli po chetyrem blokam ai_checked pust \\(g\\) — konechnaya gruppa, porozhdennaya \\(g,h\\), prichem poryadok \\(g\\) necheten. rassmotrim orientirovannyy graf keli na vershinah \\(g\\) s dugami \\(s\\to su\\), gde \\(u\\in\\{gh,gh^{-1},g^{-1}h,g^{-1}h^{-1}\\}\\). dokazhite, chto dlya kazhdoy vershiny \\(x\\) suschestvuet napravlennyy marshrut ot edinitsy k \\(x\\) polozhitelnoy dliny ne bolshe \\(|g|\\). directed_graph path idea-generators-make-strong-cayley chetyre dopustimyh bloka porozhdayut vsyu gruppu bloki \\(gh,gh^{-1},g^{-1}h,g^{-1}h^{-1}\\) porozhdayut \\(g^2\\), a nechetnost poryadka \\(g\\) oznachaet, chto \\(g^2\\) porozhdaet tu zhe tsiklicheskuyu podgruppu, chto i \\(g\\). otsyuda vosstanavlivayutsya i \\(g\\), i \\(h\\). connectivity ai_checked idea-shortest-path-no-repeat kratchayshiy put ne povtoryaet vershiny v konechnom silno svyaznom orientirovannom grafe kratchayshiy put mezhdu razlichnymi vershinami mozhno vybrat bez povtorov, poetomu ego dlina ne prevoshodit chisla vershin minus odin. dlya sovpadayuschih nachala i kontsa nuzhen otdelnyy nepustoy tsikl. connectivity ai_checked sol-cayley-digraph reshenie cherez orientirovannyy graf keli ai_checked directed_graph invariant oboznachim cherez \\[ b=\\{gh,gh^{-1},g^{-1}h,g^{-1}h^{-1}\\} \\] mnozhestvo dopustimyh blokov. snachala proverim, chto \\(b\\) porozhdaet vsyu gruppu \\(g\\) kak gruppa. deystvitelno, \\[ (gh)(g^{-1}h)^{-1}=ghh^{-1}g=g^2. \\] esli poryadok \\(g\\) raven nechetnomu chislu \\(2q+1\\), to \\(g=(g^2)^{q+1}\\), poetomu iz elementov \\(b\\) mozhno poluchit \\(g\\). togda \\(h=g^{-1}(gh)\\), znachit, iz \\(b\\) poluchayutsya oba ishodnyh porozhdayuschih \\(g,h\\). sledovatelno, gruppa, porozhdennaya \\(b\\), ravna \\(g\\). rassmotrim orientirovannyy graf keli \\(d\\): ego vershiny — elementy \\(g\\), a iz \\(a\\) v \\(ab\\) provedena duga dlya kazhdogo \\(b\\in b\\). tak kak \\(g\\) konechna i \\(b\\) porozhdaet \\(g\\) kak gruppa, polozhitelnye slova v bukvah iz \\(b\\) tozhe dayut vse elementy \\(g\\): esli v gruppovom slove vstrechaetsya \\(b^{-1}\\), ego mozhno zamenit na polozhitelnuyu stepen \\(b^{\\operatorname{ord}(b)-1}\\). znachit, iz edinitsy v \\(d\\) dostizhima lyubaya…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2017-a6-icosahedron-edge-colorings","title":"Раскраски рёбер икосаэдра тремя цветами, Putnam 2017 A6","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2017-a6-icosahedron-edge-colorings.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2017-a6-icosahedron-edge-colorings.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2017-a6-icosahedron-edge-colorings","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2017 A6, архивный источник"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","planar_graphs","graph_model","modular_coloring","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":12,"comment":"Putnam A6; графовая рёберная раскраска плюс линейная алгебра над F3 и локальное доказательство сюръективности отображения от рёбер к граням.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"30 рёбер правильного икосаэдра различены метками \\(1,2, \\ldots,30\\). Сколькими способами можно покрасить каждое ребро в красный, белый или синий цвет так, чтобы у каждой из 20 треугольных граней икосаэдра два ребра были одного цвета, а третье ребро — другого цвета?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраски рёбер икосаэдра тремя цветами, Putnam 2017 A6","status":"ai_checked","text":"В графе икосаэдра с 30 различимыми рёбрами требуется посчитать трёхцветные раскраски рёбер, при которых на каждом треугольном цикле, соответствующем грани, не все три цвета одинаковы и не все три цвета различны, то есть тип цветов на грани равен \\(2+1\\).","definition_ids":["cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-f3-linear-algebra","title":"Решение через суммы по граням над \\(\\mathbb F_3\\)","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Отождествим три цвета с элементами поля \\(\\mathbb F_3\\). Для трёх элементов поля сумма равна нулю ровно в двух случаях: либо все три элемента равны, либо они попарно различны. Действительно, если цвета на грани равны \\(a,b,c\\) и \\(a+b+c=0\\), то из \\(a=b\\) следует \\(c=a\\), а если равных пар нет, то три элемента поля уже равны \\(0,1,2\\) в некотором порядке. Обратное очевидно. Значит, условие «два ребра одного цвета, третье другого» эквивалентно требованию, что сумма цветов на каждой грани ненулевая. Пусть \\(E\\) — множество 30 рёбер, \\(F\\) — множество 20 граней. Рассмотрим линейное отображение \\[ T:\\mathbb F_3^E\\to \\mathbb F_3^F, \\] которое каждой раскраске ставит в соответствие вектор сумм цветов по граням. После предыдущего абзаца надо посчитать прообразы тех векторов из \\(\\mathbb F_3^F\\), у которых все 20 координат ненулевые. Докажем, что \\(T\\) сюръективно. Достаточно показать, что в об…"}],"relations":[{"id":"rel-putnam-2017-2013-icosahedron","neighbor_id":"putnam-2013-a1-icosahedron-face-labels","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"putnam-2017-a6-icosahedron-edge-colorings раскраски рёбер икосаэдра тремя цветами, putnam 2017 a6 coloring planar_graphs graph_model modular_coloring goal_counting 2017 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2017.pdf putnam putnam 2017 a6, архивный источник putnam2017 src-putnam-2017-a6-kedlaya with_solution ? putnam 2017 a6, архивный источник stmt-original условие ai_checked 30 рёбер правильного икосаэдра различены метками \\(1,2, \\ldots,30\\). сколькими способами можно покрасить каждое ребро в красный, белый или синий цвет так, чтобы у каждой из 20 треугольных граней икосаэдра два ребра были одного цвета, а третье ребро — другого цвета? stmt-graph раскраски рёбер икосаэдра тремя цветами, putnam 2017 a6 ai_checked в графе икосаэдра с 30 различимыми рёбрами требуется посчитать трёхцветные раскраски рёбер, при которых на каждом треугольном цикле, соответствующем грани, не все три цвета одинаковы и не все три цвета различны, то есть тип цветов на грани равен \\(2+1\\). cycle idea-f3-face-sums условие на грань — ненулевой суммарный цвет в \\(\\mathbb f_3\\) если три цвета отождествить с элементами поля \\(\\mathbb f_3\\), то на треугольнике сумма цветов равна 0 ровно в двух запрещённых случаях: все три одинаковы или все три различны. значит, хорошие раскраски — это раскраски, у которых сумма по каждой грани ненулевая. coloring ai_checked idea-surjective-face-map линейное отображение от рёбер к граням сюръективно отображение из пространства рёберных раскрасок в пространство граней посылает раскраску в вектор сумм по граням. чтобы доказать его сюръективность, достаточно для каждой грани получить её стандартный базисный вектор: вокруг подходящей вершины этой грани надо поставить на пять инцидентных рёбер значения \\(2,1,2,1,2\\), а на остальные рёбра — нули. graph_model ai_checked sol-f3-linear-algebra решение через суммы по граням над \\(\\mathbb f_3\\) ai_checked invariant отождествим три цвета с элементами поля \\(\\mathbb f_3\\). для трёх элементов поля сумма равна нулю ровно в двух случаях: либо все три элемента равны, либо они попарно различны. действительно, если цвета на грани равны \\(a,b,c\\) и \\(a+b+c=0\\), то из \\(a=b\\) следует \\(c=a\\), а если равных пар нет, то три элемента поля уже равны \\(0,1,2\\) в некотором порядке. обратное очевидно. значит, условие «два ребра одного цвета, третье другого» эквивалентно требованию, что сумма цветов на каждой грани ненулевая. пусть \\(e\\) — множество 30 рёбер, \\(f\\) — множество 20 граней. рассмотрим линейное отображение \\[ t:\\mathbb f_3^e\\to \\mathbb f_3^f, \\] которое каждой раскраске ставит в соответствие вектор сумм цветов по граням. после предыдущего абзаца надо посчитать прообразы тех векторов из \\(\\mathbb f_3^f\\), у которых все 20 координат ненулевые. докажем, что \\(t\\) сюръективно. достаточно показать, что в об… putnam-2017-a6-icosahedron-edge-colorings raskraski reber ikosaedra tremya tsvetami, putnam 2017 a6 coloring planar_graphs graph_model modular_coloring goal_counting 2017 archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2017.pdf putnam putnam 2017 a6, arhivnyy istochnik putnam2017 src-putnam-2017-a6-kedlaya with_solution ? putnam 2017 a6, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked 30 reber pravilnogo ikosaedra razlicheny metkami \\(1,2, \\ldots,30\\). skolkimi sposobami mozhno pokrasit kazhdoe rebro v krasnyy, belyy ili siniy tsvet tak, chtoby u kazhdoy iz 20 treugolnyh graney ikosaedra dva rebra byli odnogo tsveta, a trete rebro — drugogo tsveta? stmt-graph raskraski reber ikosaedra tremya tsvetami, putnam 2017 a6 ai_checked v grafe ikosaedra s 30 razlichimymi rebrami trebuetsya poschitat trehtsvetnye raskraski reber, pri kotoryh na kazhdom treugolnom tsikle, sootvetstvuyuschem grani, ne vse tri tsveta odinakovy i ne vse tri tsveta razlichny, to est tip tsvetov na grani raven \\(2+1\\). cycle idea-f3-face-sums uslovie na gran — nenulevoy summarnyy tsvet v \\(\\mathbb f_3\\) esli tri tsveta otozhdestvit s elementami polya \\(\\mathbb f_3\\), to na treugolnike summa tsvetov ravna 0 rovno v dvuh zapreschennyh sluchayah: vse tri odinakovy ili vse tri razlichny. znachit, horoshie raskraski — eto raskraski, u kotoryh summa po kazhdoy grani nenulevaya. coloring ai_checked idea-surjective-face-map lineynoe otobrazhenie ot reber k granyam syurektivno otobrazhenie iz prostranstva rebernyh raskrasok v prostranstvo graney posylaet raskrasku v vektor summ po granyam. chtoby dokazat ego syurektivnost, dostatochno dlya kazhdoy grani poluchit ee standartnyy bazisnyy vektor: vokrug podhodyaschey vershiny etoy grani nado postavit na pyat intsidentnyh reber znacheniya \\(2,1,2,1,2\\), a na ostalnye rebra — nuli. graph_model ai_checked sol-f3-linear-algebra reshenie cherez summy po granyam nad \\(\\mathbb f_3\\) ai_checked invariant otozhdestvim tri tsveta s elementami polya \\(\\mathbb f_3\\). dlya treh elementov polya summa ravna nulyu rovno v dvuh sluchayah: libo vse tri elementa ravny, libo oni poparno razlichny. deystvitelno, esli tsveta na grani ravny \\(a,b,c\\) i \\(a+b+c=0\\), to iz \\(a=b\\) sleduet \\(c=a\\), a esli ravnyh par net, to tri elementa polya uzhe ravny \\(0,1,2\\) v nekotorom poryadke. obratnoe ochevidno. znachit, uslovie «dva rebra odnogo tsveta, trete drugogo» ekvivalentno trebovaniyu, chto summa tsvetov na kazhdoy grani nenulevaya. pust \\(e\\) — mnozhestvo 30 reber, \\(f\\) — mnozhestvo 20 graney. rassmotrim lineynoe otobrazhenie \\[ t:\\mathbb f_3^e\\to \\mathbb f_3^f, \\] kotoroe kazhdoy raskraske stavit v sootvetstvie vektor summ tsvetov po granyam. posle predyduschego abzatsa nado poschitat proobrazy teh vektorov iz \\(\\mathbb f_3^f\\), u kotoryh vse 20 koordinat nenulevye. dokazhem, chto \\(t\\) syurektivno. dostatochno pokazat, chto v ob…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2021-b5-very-odd-matrices-dag","title":"«Очень нечётные» матрицы и ациклический ориентированный граф, Putnam 2021 B5","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2021-b5-very-odd-matrices-dag.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2021-b5-very-odd-matrices-dag.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2021-b5-very-odd-matrices-dag","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2021 B5, архивный источник"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","graph_model","induction","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":11,"comment":"Putnam B5; решение официально строит DAG из матрицы и использует топологический порядок.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Назовём целочисленную матрицу \\(A=(a_{ij})_{1\\le i,j\\le n}\\) размера \\(n\\times n\\) очень нечётной, если для всякого непустого множества \\(S\\subseteq\\{1,2, \\ldots,n\\}\\) главная подматрица \\((a_{ij})_{i,j\\in S}\\) имеет нечётный определитель. Докажите, что если \\(A\\) очень нечётна, то \\(A^k\\) очень нечётна для каждого \\(k\\ge 1\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"«Очень нечётные» матрицы и ациклический ориентированный граф, Putnam 2021 B5","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(A\\) — матрица над \\(\\mathbb F_2\\), у которой все главные миноры равны \\(1\\). Построим ориентированный граф на вершинах \\(1,\\ldots,n\\): при \\(i\\ne j\\) проводим дугу \\(i\\to j\\), если \\(a_{ij}=1\\). Докажите, что этот ориентированный граф ацикличен.","definition_ids":["directed_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-dag","title":"Решение через DAG над \\(\\mathbb F_2\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Достаточно работать по модулю 2: нечётность определителя означает невырожденность соответствующей матрицы над \\(\\mathbb F_2\\). Из одноэлементных главных подматриц сразу следует, что все диагональные элементы \\(a_{ii}\\) равны 1 по модулю 2. Построим ориентированный граф на вершинах \\(1, \\ldots,n\\), проводя дугу \\(i\\to j\\) при \\(i\\ne j\\) и \\(a_{ij}=1\\) в \\(\\mathbb F_2\\). Покажем, что циклов в нём нет. Предположим наоборот и возьмём ориентированный цикл минимальной длины \\(m\\) с вершинами \\(i_1, \\ldots,i_m\\) по порядку. Минимальность означает, что среди этих вершин нет лишних дуг, перескакивающих вперёд по циклу, иначе был бы более короткий ориентированный цикл. Поэтому в главной подматрице по множеству \\(S=\\{i_1, \\ldots,i_m\\}\\) каждая строка имеет единицу на диагонали и единицу в столбце следующей вершины цикла, а остальные возможные единицы, нужные для суммы строк, отсутствуют. Над \\(\\ma…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2001-putnam-2021-principal-minor-dag","neighbor_id":"imc-2001-day2-p4-zero-principal-minors-acyclic-digraph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2021-a3-putnam-2021-b5","neighbor_id":"simon-marais-2021-a3-determinants-cycle-components","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"putnam-2021-b5-very-odd-matrices-dag «очень нечётные» матрицы и ациклический ориентированный граф, putnam 2021 b5 connectivity graph_model induction goal_proof 2021 https://maa.org/wp-content/uploads/2024/10/putnam-2021-problems-and-solutions.pdf problem_and_solution putnam putnam 2021 b5, архивный источник putnam2021 src-putnam-2021-b5-official with_solution ? putnam 2021 b5, архивный источник stmt-original условие ai_checked назовём целочисленную матрицу \\(a=(a_{ij})_{1\\le i,j\\le n}\\) размера \\(n\\times n\\) очень нечётной, если для всякого непустого множества \\(s\\subseteq\\{1,2, \\ldots,n\\}\\) главная подматрица \\((a_{ij})_{i,j\\in s}\\) имеет нечётный определитель. докажите, что если \\(a\\) очень нечётна, то \\(a^k\\) очень нечётна для каждого \\(k\\ge 1\\). stmt-graph «очень нечётные» матрицы и ациклический ориентированный граф, putnam 2021 b5 ai_checked пусть \\(a\\) — матрица над \\(\\mathbb f_2\\), у которой все главные миноры равны \\(1\\). построим ориентированный граф на вершинах \\(1,\\ldots,n\\): при \\(i\\ne j\\) проводим дугу \\(i\\to j\\), если \\(a_{ij}=1\\). докажите, что этот ориентированный граф ацикличен. directed_graph idea-cycle-singular-submatrix минимальный ориентированный цикл даёт вырожденную подматрицу если в графе есть минимальный ориентированный цикл, то на соответствующем множестве вершин у подматрицы над \\(\\mathbb f_2\\) каждая строка имеет сумму 0: диагональная единица и ровно одна следующая единица на цикле. это противоречит невырожденности. connectivity ai_checked idea-topological-order dag можно упорядочить треугольно ациклический ориентированный граф имеет топологический порядок вершин. в этом порядке все дуги идут в одну сторону, поэтому матрица над \\(\\mathbb f_2\\) становится треугольной с единицами на диагонали. graph_model ai_checked sol-official-dag решение через dag над \\(\\mathbb f_2\\) ai_checked directed_graph greedy_ordering достаточно работать по модулю 2: нечётность определителя означает невырожденность соответствующей матрицы над \\(\\mathbb f_2\\). из одноэлементных главных подматриц сразу следует, что все диагональные элементы \\(a_{ii}\\) равны 1 по модулю 2. построим ориентированный граф на вершинах \\(1, \\ldots,n\\), проводя дугу \\(i\\to j\\) при \\(i\\ne j\\) и \\(a_{ij}=1\\) в \\(\\mathbb f_2\\). покажем, что циклов в нём нет. предположим наоборот и возьмём ориентированный цикл минимальной длины \\(m\\) с вершинами \\(i_1, \\ldots,i_m\\) по порядку. минимальность означает, что среди этих вершин нет лишних дуг, перескакивающих вперёд по циклу, иначе был бы более короткий ориентированный цикл. поэтому в главной подматрице по множеству \\(s=\\{i_1, \\ldots,i_m\\}\\) каждая строка имеет единицу на диагонали и единицу в столбце следующей вершины цикла, а остальные возможные единицы, нужные для суммы строк, отсутствуют. над \\(\\ma… putnam-2021-b5-very-odd-matrices-dag «ochen nechetnye» matritsy i atsiklicheskiy orientirovannyy graf, putnam 2021 b5 connectivity graph_model induction goal_proof 2021 https://maa.org/wp-content/uploads/2024/10/putnam-2021-problems-and-solutions.pdf problem_and_solution putnam putnam 2021 b5, arhivnyy istochnik putnam2021 src-putnam-2021-b5-official with_solution ? putnam 2021 b5, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked nazovem tselochislennuyu matritsu \\(a=(a_{ij})_{1\\le i,j\\le n}\\) razmera \\(n\\times n\\) ochen nechetnoy, esli dlya vsyakogo nepustogo mnozhestva \\(s\\subseteq\\{1,2, \\ldots,n\\}\\) glavnaya podmatritsa \\((a_{ij})_{i,j\\in s}\\) imeet nechetnyy opredelitel. dokazhite, chto esli \\(a\\) ochen nechetna, to \\(a^k\\) ochen nechetna dlya kazhdogo \\(k\\ge 1\\). stmt-graph «ochen nechetnye» matritsy i atsiklicheskiy orientirovannyy graf, putnam 2021 b5 ai_checked pust \\(a\\) — matritsa nad \\(\\mathbb f_2\\), u kotoroy vse glavnye minory ravny \\(1\\). postroim orientirovannyy graf na vershinah \\(1,\\ldots,n\\): pri \\(i\\ne j\\) provodim dugu \\(i\\to j\\), esli \\(a_{ij}=1\\). dokazhite, chto etot orientirovannyy graf atsiklichen. directed_graph idea-cycle-singular-submatrix minimalnyy orientirovannyy tsikl daet vyrozhdennuyu podmatritsu esli v grafe est minimalnyy orientirovannyy tsikl, to na sootvetstvuyuschem mnozhestve vershin u podmatritsy nad \\(\\mathbb f_2\\) kazhdaya stroka imeet summu 0: diagonalnaya edinitsa i rovno odna sleduyuschaya edinitsa na tsikle. eto protivorechit nevyrozhdennosti. connectivity ai_checked idea-topological-order dag mozhno uporyadochit treugolno atsiklicheskiy orientirovannyy graf imeet topologicheskiy poryadok vershin. v etom poryadke vse dugi idut v odnu storonu, poetomu matritsa nad \\(\\mathbb f_2\\) stanovitsya treugolnoy s edinitsami na diagonali. graph_model ai_checked sol-official-dag reshenie cherez dag nad \\(\\mathbb f_2\\) ai_checked directed_graph greedy_ordering dostatochno rabotat po modulyu 2: nechetnost opredelitelya oznachaet nevyrozhdennost sootvetstvuyuschey matritsy nad \\(\\mathbb f_2\\). iz odnoelementnyh glavnyh podmatrits srazu sleduet, chto vse diagonalnye elementy \\(a_{ii}\\) ravny 1 po modulyu 2. postroim orientirovannyy graf na vershinah \\(1, \\ldots,n\\), provodya dugu \\(i\\to j\\) pri \\(i\\ne j\\) i \\(a_{ij}=1\\) v \\(\\mathbb f_2\\). pokazhem, chto tsiklov v nem net. predpolozhim naoborot i vozmem orientirovannyy tsikl minimalnoy dliny \\(m\\) s vershinami \\(i_1, \\ldots,i_m\\) po poryadku. minimalnost oznachaet, chto sredi etih vershin net lishnih dug, pereskakivayuschih vpered po tsiklu, inache byl by bolee korotkiy orientirovannyy tsikl. poetomu v glavnoy podmatritse po mnozhestvu \\(s=\\{i_1, \\ldots,i_m\\}\\) kazhdaya stroka imeet edinitsu na diagonali i edinitsu v stolbtse sleduyuschey vershiny tsikla, a ostalnye vozmozhnye edinitsy, nuzhnye dlya summy strok, otsutstvuyut. nad \\(\\ma…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching","title":"Игра на троичных строках, Putnam 2025 A3","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2025 A3, архивный источник"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","graph_model","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Putnam A3; после вынесенной леммы о совершенном паросочетании на ненулевых троичных строках решение сводится к стандартной парной стратегии.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Алиса и Боб играют со строкой из \\(n\\) цифр, каждая из которых равна 0, 1 или 2. Изначально все цифры равны 0. За один ход можно прибавить 1 к одной цифре или вычесть 1 из одной цифры так, чтобы получилась строка, которая раньше в игре не встречалась. Игрок, у которого нет допустимого хода, проигрывает. Алиса ходит первой, далее игроки ходят по очереди. Для каждого \\(n\\ge1\\) определите, у кого есть гарантированно выигрышная стратегия.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра на троичных строках, Putnam 2025 A3","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим граф на вершинах \\(\\{0,1,2\\}^n\\), где две строки смежны, если они отличаются на \\(1\\) ровно в одной координате. Игра начинается в вершине \\((0, \\ldots,0)\\); игроки по очереди переходят по ребру в ещё не посещённую вершину, а тот, кто не может ходить, проигрывает. Для каждого \\(n\\ge1\\) определите победителя при оптимальной игре.","definition_ids":["matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-matching","title":"Решение стратегией паросочетания","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Исключим начальную строку \\(0^n\\). По лемме `ternary-nonzero-strings-perfect-matching` все остальные строки из \\(\\{0,1,2\\}^n\\) разбиваются на пары так, что две строки в каждой паре отличаются ровно в одной координате на 1. Для полноты напомним построение: у ненулевой строки берём первую ненулевую координату и меняем в ней 1 на 2 или 2 на 1; это инволюция без неподвижных точек, а парные строки соединены допустимым ходом. Стратегия Боба теперь такова. Первый ход Алисы обязательно ведёт из \\(0^n\\) в некоторую ненулевую строку \\(v\\). Боб отвечает переходом в строку \\(w\\), парную к \\(v\\) в построенном паросочетании. Далее Боб делает то же самое после каждого хода Алисы. Почему ответ всегда легален? Индуктивно перед каждым ходом Алисы каждая пара паросочетания либо ещё не посещена вовсе, либо обе её вершины уже посещены. Алиса, если ходит, приходит в первую вершину некоторой ещё не посещённой…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-1994-putnam-2025-a3-pairing-strategy","neighbor_id":"imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-p01-putnam-2025-a3-state-graph","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem01-no-return-game","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2025-a3-ternary-matching-lemma","neighbor_id":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching игра на троичных строках, putnam 2025 a3 matching graph_model goal_strategy_game 2025 https://maa.org/wp-content/uploads/2026/02/2025officialsolutions.pdf problem_and_solution putnam putnam 2025 a3, архивный источник putnam2025 src-putnam-2025-a3-official with_solution ? putnam 2025 a3, архивный источник stmt-original условие ai_checked алиса и боб играют со строкой из \\(n\\) цифр, каждая из которых равна 0, 1 или 2. изначально все цифры равны 0. за один ход можно прибавить 1 к одной цифре или вычесть 1 из одной цифры так, чтобы получилась строка, которая раньше в игре не встречалась. игрок, у которого нет допустимого хода, проигрывает. алиса ходит первой, далее игроки ходят по очереди. для каждого \\(n\\ge1\\) определите, у кого есть гарантированно выигрышная стратегия. stmt-graph игра на троичных строках, putnam 2025 a3 ai_checked рассмотрим граф на вершинах \\(\\{0,1,2\\}^n\\), где две строки смежны, если они отличаются на \\(1\\) ровно в одной координате. игра начинается в вершине \\((0, \\ldots,0)\\); игроки по очереди переходят по ребру в ещё не посещённую вершину, а тот, кто не может ходить, проигрывает. для каждого \\(n\\ge1\\) определите победителя при оптимальной игре. matching idea-match-nonzero-strings вынесенная лемма разбивает ненулевые строки на пары ключевой инструмент — лемма `ternary-nonzero-strings-perfect-matching`: у ненулевой строки берём первую ненулевую координату и меняем в ней 1 на 2 или 2 на 1. это инволюция без неподвижных точек, причём парные строки отличаются допустимым ходом. matching ai_checked idea-bob-follows-matching ответ по паросочетанию сохраняет возможность хода после каждого хода алисы боб переходит в парную по совершённому паросочетанию вершину. тогда перед ходом алисы каждая пара либо полностью использована, либо полностью свободна. matching ai_checked sol-official-matching решение стратегией паросочетания ai_checked matching invariant исключим начальную строку \\(0^n\\). по лемме `ternary-nonzero-strings-perfect-matching` все остальные строки из \\(\\{0,1,2\\}^n\\) разбиваются на пары так, что две строки в каждой паре отличаются ровно в одной координате на 1. для полноты напомним построение: у ненулевой строки берём первую ненулевую координату и меняем в ней 1 на 2 или 2 на 1; это инволюция без неподвижных точек, а парные строки соединены допустимым ходом. стратегия боба теперь такова. первый ход алисы обязательно ведёт из \\(0^n\\) в некоторую ненулевую строку \\(v\\). боб отвечает переходом в строку \\(w\\), парную к \\(v\\) в построенном паросочетании. далее боб делает то же самое после каждого хода алисы. почему ответ всегда легален? индуктивно перед каждым ходом алисы каждая пара паросочетания либо ещё не посещена вовсе, либо обе её вершины уже посещены. алиса, если ходит, приходит в первую вершину некоторой ещё не посещённой… putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching igra na troichnyh strokah, putnam 2025 a3 matching graph_model goal_strategy_game 2025 https://maa.org/wp-content/uploads/2026/02/2025officialsolutions.pdf problem_and_solution putnam putnam 2025 a3, arhivnyy istochnik putnam2025 src-putnam-2025-a3-official with_solution ? putnam 2025 a3, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked alisa i bob igrayut so strokoy iz \\(n\\) tsifr, kazhdaya iz kotoryh ravna 0, 1 ili 2. iznachalno vse tsifry ravny 0. za odin hod mozhno pribavit 1 k odnoy tsifre ili vychest 1 iz odnoy tsifry tak, chtoby poluchilas stroka, kotoraya ranshe v igre ne vstrechalas. igrok, u kotorogo net dopustimogo hoda, proigryvaet. alisa hodit pervoy, dalee igroki hodyat po ocheredi. dlya kazhdogo \\(n\\ge1\\) opredelite, u kogo est garantirovanno vyigryshnaya strategiya. stmt-graph igra na troichnyh strokah, putnam 2025 a3 ai_checked rassmotrim graf na vershinah \\(\\{0,1,2\\}^n\\), gde dve stroki smezhny, esli oni otlichayutsya na \\(1\\) rovno v odnoy koordinate. igra nachinaetsya v vershine \\((0, \\ldots,0)\\); igroki po ocheredi perehodyat po rebru v esche ne poseschennuyu vershinu, a tot, kto ne mozhet hodit, proigryvaet. dlya kazhdogo \\(n\\ge1\\) opredelite pobeditelya pri optimalnoy igre. matching idea-match-nonzero-strings vynesennaya lemma razbivaet nenulevye stroki na pary klyuchevoy instrument — lemma `ternary-nonzero-strings-perfect-matching`: u nenulevoy stroki berem pervuyu nenulevuyu koordinatu i menyaem v ney 1 na 2 ili 2 na 1. eto involyutsiya bez nepodvizhnyh tochek, prichem parnye stroki otlichayutsya dopustimym hodom. matching ai_checked idea-bob-follows-matching otvet po parosochetaniyu sohranyaet vozmozhnost hoda posle kazhdogo hoda alisy bob perehodit v parnuyu po sovershennomu parosochetaniyu vershinu. togda pered hodom alisy kazhdaya para libo polnostyu ispolzovana, libo polnostyu svobodna. matching ai_checked sol-official-matching reshenie strategiey parosochetaniya ai_checked matching invariant isklyuchim nachalnuyu stroku \\(0^n\\). po lemme `ternary-nonzero-strings-perfect-matching` vse ostalnye stroki iz \\(\\{0,1,2\\}^n\\) razbivayutsya na pary tak, chto dve stroki v kazhdoy pare otlichayutsya rovno v odnoy koordinate na 1. dlya polnoty napomnim postroenie: u nenulevoy stroki berem pervuyu nenulevuyu koordinatu i menyaem v ney 1 na 2 ili 2 na 1; eto involyutsiya bez nepodvizhnyh tochek, a parnye stroki soedineny dopustimym hodom. strategiya boba teper takova. pervyy hod alisy obyazatelno vedet iz \\(0^n\\) v nekotoruyu nenulevuyu stroku \\(v\\). bob otvechaet perehodom v stroku \\(w\\), parnuyu k \\(v\\) v postroennom parosochetanii. dalee bob delaet to zhe samoe posle kazhdogo hoda alisy. pochemu otvet vsegda legalen? induktivno pered kazhdym hodom alisy kazhdaya para parosochetaniya libo esche ne poseschena vovse, libo obe ee vershiny uzhe posescheny. alisa, esli hodit, prihodit v pervuyu vershinu nekotoroy esche ne poseschennoy…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"putnam-2025-a4-cycle-commutation-graph-matrices","title":"Цикл как граф коммутирования матриц минимальной размерности, Putnam 2025 A4","path":"data\\problems\\putnam\\putnam-2025-a4-cycle-commutation-graph-matrices.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/putnam/putnam-2025-a4-cycle-commutation-graph-matrices.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#putnam-2025-a4-cycle-commutation-graph-matrices","source_key":"putnam","source_label":"Putnam","source_titles":["Putnam 2025 A4, архивный источник"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","construction","goal_exact_bound","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":11,"comment":"Putnam A4; условие прямо задаёт цикл как граф коммутирования, а решение сочетает явную конструкцию ранговых проекторов и линейно-алгебраический запрет размерности 2.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Найдите минимальное значение \\(k\\), для которого существуют вещественные матрицы \\(A_1,\\ldots,A_{2025}\\) размера \\(k\\times k\\) со свойством \\(A_iA_j=A_jA_i\\) тогда и только тогда, когда \\(|i-j|\\in\\{0,1,2024\\}\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Граф коммутирования как цикл","status":"ai_checked","text":"Минимизируйте размерность вещественного матричного представления, в котором граф коммутирования матриц \\(A_1,\\ldots,A_{2025}\\) является ровно циклом \\(C_{2025}\\): две разные матрицы коммутируют тогда и только тогда, когда соответствующие вершины цикла соседние.","definition_ids":["cycle","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение: проекторы в размерности 3 и запрет размерности 2","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","simple_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(k=3\\). Сначала докажем, что \\(k\\le 3\\). Положим \\(n=2025\\), а индексы будем понимать по модулю \\(n\\). Выберем в \\(\\mathbb R^3\\) векторы \\[ v_i=(1,i,i^2)^T,\\qquad 1\\le i\\le n. \\] Любые три различных вектора \\(v_i,v_j,v_l\\) линейно независимы: соответствующий определитель является вандермондовым и равен \\((j-i)(l-i)(l-j)\\) с точностью до знака. Продолжим обозначения периодически, то есть \\(v_{i+n}=v_i\\). Для каждого \\(i\\) положим \\[ w_i=v_{i-1}\\times v_{i+1}. \\] Тогда \\(w_i\\ne0\\), потому что \\(v_{i-1}\\) и \\(v_{i+1}\\) линейно независимы. Кроме того, \\(v_i\\cdot w_i\\ne0\\): иначе три вектора \\(v_{i-1},v_i,v_{i+1}\\) лежали бы в плоскости \\(w_i^\\perp\\), что противоречит линейной независимости любых трех различных \\(v\\). Определим линейный оператор \\(A_i\\) формулой \\[ A_i x=\\frac{v_i\\cdot x}{v_i\\cdot w_i}\\,w_i. \\] Это вещественная матрица \\(3\\times3\\). Из формулы видно, что \\(A_iw_i=w_i…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2018-p6-putnam-2025-a4-orthogonal-representation","neighbor_id":"imc-2018-day2-p6-path-orthogonal-representation","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2025-a4-cycle","neighbor_id":"cmo-1994-p3-voting-stabilizes-cycle","direction":"forward","type":"false_friend","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"putnam-2025-a4-cycle-commutation-graph-matrices цикл как граф коммутирования матриц минимальной размерности, putnam 2025 a4 graph_model construction goal_exact_bound goal_impossibility 2025 https://maa.org/wp-content/uploads/2026/02/2025officialsolutions.pdf problem_and_solution putnam putnam 2025 a4, архивный источник putnam2025 src-putnam-2025-a4-official with_solution ? putnam 2025 a4, архивный источник stmt-original условие ai_checked найдите минимальное значение \\(k\\), для которого существуют вещественные матрицы \\(a_1,\\ldots,a_{2025}\\) размера \\(k\\times k\\) со свойством \\(a_ia_j=a_ja_i\\) тогда и только тогда, когда \\(|i-j|\\in\\{0,1,2024\\}\\). stmt-graph граф коммутирования как цикл ai_checked минимизируйте размерность вещественного матричного представления, в котором граф коммутирования матриц \\(a_1,\\ldots,a_{2025}\\) является ровно циклом \\(c_{2025}\\): две разные матрицы коммутируют тогда и только тогда, когда соответствующие вершины цикла соседние. cycle simple_graph idea-three-dimensional-cycle в \\(\\mathbb r^3\\) цикл задают ранговые проекторы берутся векторы \\(v_i\\) в \\(\\mathbb r^3\\), любые три из которых линейно независимы, и \\(w_i=v_{i-1}\\times v_{i+1}\\). проектор \\(a_i\\) на прямую \\(\\langle w_i\\rangle\\) вдоль плоскости \\(v_i^\\perp\\) зануляет проекторы соседей, а для несоседей условие коммутирования заставило бы три вектора \\(v_j\\) оказаться в одной плоскости. construction ai_checked idea-two-dimensional-obstruction в размерности 2 центральизатор слишком коммутативен никакая матрица \\(2\\times2\\) не может быть скалярной. а центральизатор любой нескалярной матрицы \\(2\\times2\\) коммутативен, поэтому две матрицы, обе коммутирующие с одной и той же вершиной цикла, неизбежно коммутируют между собой. graph_model ai_checked sol-official-compressed решение: проекторы в размерности 3 и запрет размерности 2 ai_checked cycle simple_graph ответ: \\(k=3\\). сначала докажем, что \\(k\\le 3\\). положим \\(n=2025\\), а индексы будем понимать по модулю \\(n\\). выберем в \\(\\mathbb r^3\\) векторы \\[ v_i=(1,i,i^2)^t,\\qquad 1\\le i\\le n. \\] любые три различных вектора \\(v_i,v_j,v_l\\) линейно независимы: соответствующий определитель является вандермондовым и равен \\((j-i)(l-i)(l-j)\\) с точностью до знака. продолжим обозначения периодически, то есть \\(v_{i+n}=v_i\\). для каждого \\(i\\) положим \\[ w_i=v_{i-1}\\times v_{i+1}. \\] тогда \\(w_i\\ne0\\), потому что \\(v_{i-1}\\) и \\(v_{i+1}\\) линейно независимы. кроме того, \\(v_i\\cdot w_i\\ne0\\): иначе три вектора \\(v_{i-1},v_i,v_{i+1}\\) лежали бы в плоскости \\(w_i^\\perp\\), что противоречит линейной независимости любых трех различных \\(v\\). определим линейный оператор \\(a_i\\) формулой \\[ a_i x=\\frac{v_i\\cdot x}{v_i\\cdot w_i}\\,w_i. \\] это вещественная матрица \\(3\\times3\\). из формулы видно, что \\(a_iw_i=w_i… putnam-2025-a4-cycle-commutation-graph-matrices tsikl kak graf kommutirovaniya matrits minimalnoy razmernosti, putnam 2025 a4 graph_model construction goal_exact_bound goal_impossibility 2025 https://maa.org/wp-content/uploads/2026/02/2025officialsolutions.pdf problem_and_solution putnam putnam 2025 a4, arhivnyy istochnik putnam2025 src-putnam-2025-a4-official with_solution ? putnam 2025 a4, arhivnyy istochnik stmt-original uslovie ai_checked naydite minimalnoe znachenie \\(k\\), dlya kotorogo suschestvuyut veschestvennye matritsy \\(a_1,\\ldots,a_{2025}\\) razmera \\(k\\times k\\) so svoystvom \\(a_ia_j=a_ja_i\\) togda i tolko togda, kogda \\(|i-j|\\in\\{0,1,2024\\}\\). stmt-graph graf kommutirovaniya kak tsikl ai_checked minimiziruyte razmernost veschestvennogo matrichnogo predstavleniya, v kotorom graf kommutirovaniya matrits \\(a_1,\\ldots,a_{2025}\\) yavlyaetsya rovno tsiklom \\(c_{2025}\\): dve raznye matritsy kommutiruyut togda i tolko togda, kogda sootvetstvuyuschie vershiny tsikla sosednie. cycle simple_graph idea-three-dimensional-cycle v \\(\\mathbb r^3\\) tsikl zadayut rangovye proektory berutsya vektory \\(v_i\\) v \\(\\mathbb r^3\\), lyubye tri iz kotoryh lineyno nezavisimy, i \\(w_i=v_{i-1}\\times v_{i+1}\\). proektor \\(a_i\\) na pryamuyu \\(\\langle w_i\\rangle\\) vdol ploskosti \\(v_i^\\perp\\) zanulyaet proektory sosedey, a dlya nesosedey uslovie kommutirovaniya zastavilo by tri vektora \\(v_j\\) okazatsya v odnoy ploskosti. construction ai_checked idea-two-dimensional-obstruction v razmernosti 2 tsentralizator slishkom kommutativen nikakaya matritsa \\(2\\times2\\) ne mozhet byt skalyarnoy. a tsentralizator lyuboy neskalyarnoy matritsy \\(2\\times2\\) kommutativen, poetomu dve matritsy, obe kommutiruyuschie s odnoy i toy zhe vershinoy tsikla, neizbezhno kommutiruyut mezhdu soboy. graph_model ai_checked sol-official-compressed reshenie: proektory v razmernosti 3 i zapret razmernosti 2 ai_checked cycle simple_graph otvet: \\(k=3\\). snachala dokazhem, chto \\(k\\le 3\\). polozhim \\(n=2025\\), a indeksy budem ponimat po modulyu \\(n\\). vyberem v \\(\\mathbb r^3\\) vektory \\[ v_i=(1,i,i^2)^t,\\qquad 1\\le i\\le n. \\] lyubye tri razlichnyh vektora \\(v_i,v_j,v_l\\) lineyno nezavisimy: sootvetstvuyuschiy opredelitel yavlyaetsya vandermondovym i raven \\((j-i)(l-i)(l-j)\\) s tochnostyu do znaka. prodolzhim oboznacheniya periodicheski, to est \\(v_{i+n}=v_i\\). dlya kazhdogo \\(i\\) polozhim \\[ w_i=v_{i-1}\\times v_{i+1}. \\] togda \\(w_i\\ne0\\), potomu chto \\(v_{i-1}\\) i \\(v_{i+1}\\) lineyno nezavisimy. krome togo, \\(v_i\\cdot w_i\\ne0\\): inache tri vektora \\(v_{i-1},v_i,v_{i+1}\\) lezhali by v ploskosti \\(w_i^\\perp\\), chto protivorechit lineynoy nezavisimosti lyubyh treh razlichnyh \\(v\\). opredelim lineynyy operator \\(a_i\\) formuloy \\[ a_i x=\\frac{v_i\\cdot x}{v_i\\cdot w_i}\\,w_i. \\] eto veschestvennaya matritsa \\(3\\times3\\). iz formuly vidno, chto \\(a_iw_i=w_i…","source_keys":["putnam"]}
{"id":"round-robin-winner-count-hall-lemma","title":"Число разных победителей в произвольном наборе дней кругового турнира","path":"data\\problems\\classical\\round-robin-winner-count-hall-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/round-robin-winner-count-hall-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#round-robin-winner-count-hall-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 2012 B3, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["matching","tournaments","double_counting","goal_existence","classical_lemma"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":4,"comment":"Короткая, но самостоятельная лемма о расписании и паросочетаниях: она упаковывает нетривиальную нижнюю оценку соседства для любых выбранных дней, которая затем напрямую подает условие Холла.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агент high-reasoning extraction аудит","notes":"Извлечено из архива решений Putnam и развернуто самодостаточно.","audit_source":"agent-putnam-extraction-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-winner-count-days","title":"Лемма о числе победителей","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(2n\\) команд играют полный круговой турнир за \\(2n-1\\) дней: в каждый день каждая команда играет ровно одну игру, в каждой игре есть один победитель и один проигравший, а за весь турнир каждая пара команд встречается ровно один раз. Для произвольного множества \\(D\\) дней обозначим через \\(W(D)\\) множество команд, которые выиграли хотя бы одну игру в один из дней из \\(D\\). Тогда \\(|W(D)|\\ge |D|\\).","definition_ids":["matching","complete_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-one-factorization","title":"Ориентированная 1-факторизация","status":"ai_checked","text":"Пусть рёбра полного графа \\(K_{2n}\\) разбиты на \\(2n-1\\) совершенных паросочетаний \\(M_1,\\ldots,M_{2n-1}\\), и каждое ребро ориентировано. Для любого множества индексов \\(I\\) пусть \\(S(I)\\) — множество начальных вершин всех ориентированных рёбер, принадлежащих паросочетаниям \\(M_i\\) с \\(i\\in I\\). Тогда \\(|S(I)|\\ge |I|\\).","definition_ids":["complete_graph","matching","directed_graph","one_factorization"]}]},"solutions":[{"id":"sol-count-losses","title":"Подсчет поражений выбранной внешней команды","status":"ai_checked","definition_ids":["matching","complete_graph","directed_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмем произвольное множество \\(D\\) из \\(m\\) дней. При \\(m=0\\) утверждение пусто, поэтому считаем \\(1\\le m\\le 2n-1\\). Пусть \\(W=W(D)\\) — множество команд, которые хотя бы раз выиграли в эти дни. Предположим, что \\(|W|<m\\). Тогда \\(|W|<2n\\), так что существует команда \\(x\\), не входящая в \\(W\\). В каждый день из \\(D\\) команда \\(x\\) играла ровно одну игру. Она не могла выиграть такую игру, иначе входила бы в \\(W\\). Значит, в каждый из \\(m\\) выбранных дней команда \\(x\\) проиграла. Ее соперники в этих \\(m\\) играх попарно различны, потому что в полном круговом турнире команда \\(x\\) встречается с каждой другой командой не более одного раза. Каждый из этих соперников выиграл соответствующую игру, а значит принадлежит \\(W\\). Получается, что в \\(W\\) лежат по крайней мере \\(m\\) различных команд, противоречие с \\(|W|<m\\). Следовательно, \\(|W(D)|\\ge |D|\\). Графовая формулировка получается тем же д…"}],"relations":[{"id":"rel-winner-count-lemma-putnam-2012-b3-prerequisite","neighbor_id":"putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-hall-marriage-neighborhood","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-imo-1998-one-factorization-scheduling","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-winner-count-lemma-all-union-1987-tournament-loss-counting","neighbor_id":"all-union-1987-final-9-tournament-score-squares","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-imc2011-hall-applications","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2b-tripartite-three-quarter-perfect-cover","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"round-robin-winner-count-hall-lemma число разных победителей в произвольном наборе дней кругового турнира matching tournaments double_counting goal_existence classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2012.pdf misc putnam 2012 b3, архивный источник src-putnam-2012-b3-kedlaya with_solution прочее ? putnam 2012 b3, архивный источник stmt-winner-count-days лемма о числе победителей ai_checked пусть \\(2n\\) команд играют полный круговой турнир за \\(2n-1\\) дней: в каждый день каждая команда играет ровно одну игру, в каждой игре есть один победитель и один проигравший, а за весь турнир каждая пара команд встречается ровно один раз. для произвольного множества \\(d\\) дней обозначим через \\(w(d)\\) множество команд, которые выиграли хотя бы одну игру в один из дней из \\(d\\). тогда \\(|w(d)|\\ge |d|\\). matching complete_graph stmt-one-factorization ориентированная 1-факторизация ai_checked пусть рёбра полного графа \\(k_{2n}\\) разбиты на \\(2n-1\\) совершенных паросочетаний \\(m_1,\\ldots,m_{2n-1}\\), и каждое ребро ориентировано. для любого множества индексов \\(i\\) пусть \\(s(i)\\) — множество начальных вершин всех ориентированных рёбер, принадлежащих паросочетаниям \\(m_i\\) с \\(i\\in i\\). тогда \\(|s(i)|\\ge |i|\\). complete_graph matching directed_graph one_factorization idea-outsider-loses-to-all-days команда вне множества победителей проигрывает каждый выбранный день если выбранные дни имеют слишком мало разных победителей, то найдется команда, которая не выигрывала ни в один из этих дней; она обязана проиграть в каждый выбранный день. tournaments double_counting ai_checked idea-distinct-opponents-force-count соперники в этих поражениях различны в полном круговом турнире одна и та же пара команд встречается только один раз, поэтому поражения одной команды в \\(m\\) выбранных дней происходят от \\(m\\) различных победителей. tournaments double_counting ai_checked idea-hall-neighborhood оценка является готовым условием холла если дни соединить с командами-победителями, то лемма утверждает, что любое множество левых вершин имеет не меньше соседей, чем его размер. matching graph_model ai_checked sol-count-losses подсчет поражений выбранной внешней команды ai_checked matching complete_graph directed_graph double_counting возьмем произвольное множество \\(d\\) из \\(m\\) дней. при \\(m=0\\) утверждение пусто, поэтому считаем \\(1\\le m\\le 2n-1\\). пусть \\(w=w(d)\\) — множество команд, которые хотя бы раз выиграли в эти дни. предположим, что \\(|w|<m\\). тогда \\(|w|<2n\\), так что существует команда \\(x\\), не входящая в \\(w\\). в каждый день из \\(d\\) команда \\(x\\) играла ровно одну игру. она не могла выиграть такую игру, иначе входила бы в \\(w\\). значит, в каждый из \\(m\\) выбранных дней команда \\(x\\) проиграла. ее соперники в этих \\(m\\) играх попарно различны, потому что в полном круговом турнире команда \\(x\\) встречается с каждой другой командой не более одного раза. каждый из этих соперников выиграл соответствующую игру, а значит принадлежит \\(w\\). получается, что в \\(w\\) лежат по крайней мере \\(m\\) различных команд, противоречие с \\(|w|<m\\). следовательно, \\(|w(d)|\\ge |d|\\). графовая формулировка получается тем же д… round-robin-winner-count-hall-lemma chislo raznyh pobediteley v proizvolnom nabore dney krugovogo turnira matching tournaments double_counting goal_existence classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2012.pdf misc putnam 2012 b3, arhivnyy istochnik src-putnam-2012-b3-kedlaya with_solution prochee ? putnam 2012 b3, arhivnyy istochnik stmt-winner-count-days lemma o chisle pobediteley ai_checked pust \\(2n\\) komand igrayut polnyy krugovoy turnir za \\(2n-1\\) dney: v kazhdyy den kazhdaya komanda igraet rovno odnu igru, v kazhdoy igre est odin pobeditel i odin proigravshiy, a za ves turnir kazhdaya para komand vstrechaetsya rovno odin raz. dlya proizvolnogo mnozhestva \\(d\\) dney oboznachim cherez \\(w(d)\\) mnozhestvo komand, kotorye vyigrali hotya by odnu igru v odin iz dney iz \\(d\\). togda \\(|w(d)|\\ge |d|\\). matching complete_graph stmt-one-factorization orientirovannaya 1-faktorizatsiya ai_checked pust rebra polnogo grafa \\(k_{2n}\\) razbity na \\(2n-1\\) sovershennyh parosochetaniy \\(m_1,\\ldots,m_{2n-1}\\), i kazhdoe rebro orientirovano. dlya lyubogo mnozhestva indeksov \\(i\\) pust \\(s(i)\\) — mnozhestvo nachalnyh vershin vseh orientirovannyh reber, prinadlezhaschih parosochetaniyam \\(m_i\\) s \\(i\\in i\\). togda \\(|s(i)|\\ge |i|\\). complete_graph matching directed_graph one_factorization idea-outsider-loses-to-all-days komanda vne mnozhestva pobediteley proigryvaet kazhdyy vybrannyy den esli vybrannye dni imeyut slishkom malo raznyh pobediteley, to naydetsya komanda, kotoraya ne vyigryvala ni v odin iz etih dney; ona obyazana proigrat v kazhdyy vybrannyy den. tournaments double_counting ai_checked idea-distinct-opponents-force-count soperniki v etih porazheniyah razlichny v polnom krugovom turnire odna i ta zhe para komand vstrechaetsya tolko odin raz, poetomu porazheniya odnoy komandy v \\(m\\) vybrannyh dney proishodyat ot \\(m\\) razlichnyh pobediteley. tournaments double_counting ai_checked idea-hall-neighborhood otsenka yavlyaetsya gotovym usloviem holla esli dni soedinit s komandami-pobeditelyami, to lemma utverzhdaet, chto lyuboe mnozhestvo levyh vershin imeet ne menshe sosedey, chem ego razmer. matching graph_model ai_checked sol-count-losses podschet porazheniy vybrannoy vneshney komandy ai_checked matching complete_graph directed_graph double_counting vozmem proizvolnoe mnozhestvo \\(d\\) iz \\(m\\) dney. pri \\(m=0\\) utverzhdenie pusto, poetomu schitaem \\(1\\le m\\le 2n-1\\). pust \\(w=w(d)\\) — mnozhestvo komand, kotorye hotya by raz vyigrali v eti dni. predpolozhim, chto \\(|w|<m\\). togda \\(|w|<2n\\), tak chto suschestvuet komanda \\(x\\), ne vhodyaschaya v \\(w\\). v kazhdyy den iz \\(d\\) komanda \\(x\\) igrala rovno odnu igru. ona ne mogla vyigrat takuyu igru, inache vhodila by v \\(w\\). znachit, v kazhdyy iz \\(m\\) vybrannyh dney komanda \\(x\\) proigrala. ee soperniki v etih \\(m\\) igrah poparno razlichny, potomu chto v polnom krugovom turnire komanda \\(x\\) vstrechaetsya s kazhdoy drugoy komandoy ne bolee odnogo raza. kazhdyy iz etih sopernikov vyigral sootvetstvuyuschuyu igru, a znachit prinadlezhit \\(w\\). poluchaetsya, chto v \\(w\\) lezhat po krayney mere \\(m\\) razlichnyh komand, protivorechie s \\(|w|<m\\). sledovatelno, \\(|w(d)|\\ge |d|\\). grafovaya formulirovka poluchaetsya tem zhe d…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching","title":"Совершенное паросочетание на ненулевых троичных строках","path":"data\\problems\\classical\\ternary-nonzero-strings-perfect-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ternary-nonzero-strings-perfect-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ternary-nonzero-strings-perfect-matching","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 2025 A3, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["matching","graph_model","goal_existence","classical_lemma"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Короткая явная лемма о паросочетании: вся трудность в выборе первой ненулевой координаты, после чего паросочетание задаётся инволюцией.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агент high-reasoning extraction аудит","notes":"Извлечено из официального решения; лемма сверена с исходной карточкой.","audit_source":"manual-split-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-nonzero-ternary-strings","title":"Лемма о ненулевых троичных строках","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge1\\). Рассмотрим все строки длины \\(n\\) над алфавитом \\(\\{0,1,2\\}\\), кроме строки \\(0^n\\). Две строки считаются соседними, если они отличаются ровно в одной координате, причём значения в этой координате отличаются на 1. Тогда все ненулевые строки можно разбить на пары соседних строк.","definition_ids":["matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Граф ненулевых троичных строк","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G_n\\) — граф на множестве вершин \\(\\{0,1,2\\}^n\\setminus\\{0^n\\}\\), где две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие строки отличаются ровно в одной координате на 1. Докажите, что \\(G_n\\) имеет совершенное паросочетание.","definition_ids":["matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-first-nonzero-involution","title":"Явное разбиение на пары","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмём произвольную ненулевую строку \\(x=(x_1,\\ldots,x_n)\\). Пусть \\(i\\) — первая координата, в которой \\(x_i\\ne0\\). Тогда \\(x_i\\) равно либо 1, либо 2. Определим строку \\(f(x)\\): все координаты, кроме \\(i\\)-й, оставим прежними, а в \\(i\\)-й заменим 1 на 2 или 2 на 1. Строка \\(f(x)\\) тоже ненулевая. Она отличается от \\(x\\) ровно в одной координате, и значение в этой координате изменилось на 1, значит \\(x\\) и \\(f(x)\\) смежны в \\(G_n\\). Кроме того, у \\(f(x)\\) первая ненулевая координата снова равна \\(i\\), поскольку все координаты перед \\(i\\) остались нулевыми, а \\(i\\)-я осталась ненулевой. Поэтому повторное применение той же операции возвращает исходную строку: \\(f(f(x))=x\\). Наконец, \\(f(x)\\ne x\\) для любой ненулевой строки. Значит, \\(f\\) является инволюцией без неподвижных точек на множестве вершин \\(G_n\\). Разобьём вершины на двухэлементные орбиты \\(\\{x,f(x)\\}\\). Каждая такая орбита яв…"}],"relations":[{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-hall-explicit-vs-existence","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-imo-1994-pairing-strategy","neighbor_id":"imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-regular-bipartite-decomposition","neighbor_id":"regular-bipartite-perfect-matching-decomposition","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-simon-marais-2024-tripairable","neighbor_id":"simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-egmo-2022-domino-parity","neighbor_id":"egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-putnam-2025-a3-ternary-matching-lemma","neighbor_id":"putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching совершенное паросочетание на ненулевых троичных строках matching graph_model goal_existence classical_lemma https://maa.org/wp-content/uploads/2026/02/2025officialsolutions.pdf misc problem_and_solution putnam 2025 a3, архивный источник src-putnam-2025-a3-official with_solution прочее ? putnam 2025 a3, архивный источник stmt-nonzero-ternary-strings лемма о ненулевых троичных строках ai_checked пусть \\(n\\ge1\\). рассмотрим все строки длины \\(n\\) над алфавитом \\(\\{0,1,2\\}\\), кроме строки \\(0^n\\). две строки считаются соседними, если они отличаются ровно в одной координате, причём значения в этой координате отличаются на 1. тогда все ненулевые строки можно разбить на пары соседних строк. matching stmt-graph граф ненулевых троичных строк ai_checked пусть \\(g_n\\) — граф на множестве вершин \\(\\{0,1,2\\}^n\\setminus\\{0^n\\}\\), где две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие строки отличаются ровно в одной координате на 1. докажите, что \\(g_n\\) имеет совершенное паросочетание. matching idea-first-nonzero-coordinate первая ненулевая координата задаёт пару у ненулевой строки первая ненулевая координата равна 1 или 2; если заменить в ней 1 на 2 или 2 на 1, все предыдущие координаты останутся нулевыми, поэтому у партнёра первая ненулевая координата та же. matching ai_checked idea-fixed-point-free-involution инволюция без неподвижных точек даёт паросочетание операция смены 1 и 2 в первой ненулевой координате обратна сама себе и никогда не оставляет строку на месте. поэтому её орбиты — пары, а каждая пара соединена ребром графа. matching ai_checked sol-first-nonzero-involution явное разбиение на пары ai_checked matching invariant возьмём произвольную ненулевую строку \\(x=(x_1,\\ldots,x_n)\\). пусть \\(i\\) — первая координата, в которой \\(x_i\\ne0\\). тогда \\(x_i\\) равно либо 1, либо 2. определим строку \\(f(x)\\): все координаты, кроме \\(i\\)-й, оставим прежними, а в \\(i\\)-й заменим 1 на 2 или 2 на 1. строка \\(f(x)\\) тоже ненулевая. она отличается от \\(x\\) ровно в одной координате, и значение в этой координате изменилось на 1, значит \\(x\\) и \\(f(x)\\) смежны в \\(g_n\\). кроме того, у \\(f(x)\\) первая ненулевая координата снова равна \\(i\\), поскольку все координаты перед \\(i\\) остались нулевыми, а \\(i\\)-я осталась ненулевой. поэтому повторное применение той же операции возвращает исходную строку: \\(f(f(x))=x\\). наконец, \\(f(x)\\ne x\\) для любой ненулевой строки. значит, \\(f\\) является инволюцией без неподвижных точек на множестве вершин \\(g_n\\). разобьём вершины на двухэлементные орбиты \\(\\{x,f(x)\\}\\). каждая такая орбита яв… ternary-nonzero-strings-perfect-matching sovershennoe parosochetanie na nenulevyh troichnyh strokah matching graph_model goal_existence classical_lemma https://maa.org/wp-content/uploads/2026/02/2025officialsolutions.pdf misc problem_and_solution putnam 2025 a3, arhivnyy istochnik src-putnam-2025-a3-official with_solution prochee ? putnam 2025 a3, arhivnyy istochnik stmt-nonzero-ternary-strings lemma o nenulevyh troichnyh strokah ai_checked pust \\(n\\ge1\\). rassmotrim vse stroki dliny \\(n\\) nad alfavitom \\(\\{0,1,2\\}\\), krome stroki \\(0^n\\). dve stroki schitayutsya sosednimi, esli oni otlichayutsya rovno v odnoy koordinate, prichem znacheniya v etoy koordinate otlichayutsya na 1. togda vse nenulevye stroki mozhno razbit na pary sosednih strok. matching stmt-graph graf nenulevyh troichnyh strok ai_checked pust \\(g_n\\) — graf na mnozhestve vershin \\(\\{0,1,2\\}^n\\setminus\\{0^n\\}\\), gde dve vershiny smezhny togda i tolko togda, kogda sootvetstvuyuschie stroki otlichayutsya rovno v odnoy koordinate na 1. dokazhite, chto \\(g_n\\) imeet sovershennoe parosochetanie. matching idea-first-nonzero-coordinate pervaya nenulevaya koordinata zadaet paru u nenulevoy stroki pervaya nenulevaya koordinata ravna 1 ili 2; esli zamenit v ney 1 na 2 ili 2 na 1, vse predyduschie koordinaty ostanutsya nulevymi, poetomu u partnera pervaya nenulevaya koordinata ta zhe. matching ai_checked idea-fixed-point-free-involution involyutsiya bez nepodvizhnyh tochek daet parosochetanie operatsiya smeny 1 i 2 v pervoy nenulevoy koordinate obratna sama sebe i nikogda ne ostavlyaet stroku na meste. poetomu ee orbity — pary, a kazhdaya para soedinena rebrom grafa. matching ai_checked sol-first-nonzero-involution yavnoe razbienie na pary ai_checked matching invariant vozmem proizvolnuyu nenulevuyu stroku \\(x=(x_1,\\ldots,x_n)\\). pust \\(i\\) — pervaya koordinata, v kotoroy \\(x_i\\ne0\\). togda \\(x_i\\) ravno libo 1, libo 2. opredelim stroku \\(f(x)\\): vse koordinaty, krome \\(i\\)-y, ostavim prezhnimi, a v \\(i\\)-y zamenim 1 na 2 ili 2 na 1. stroka \\(f(x)\\) tozhe nenulevaya. ona otlichaetsya ot \\(x\\) rovno v odnoy koordinate, i znachenie v etoy koordinate izmenilos na 1, znachit \\(x\\) i \\(f(x)\\) smezhny v \\(g_n\\). krome togo, u \\(f(x)\\) pervaya nenulevaya koordinata snova ravna \\(i\\), poskolku vse koordinaty pered \\(i\\) ostalis nulevymi, a \\(i\\)-ya ostalas nenulevoy. poetomu povtornoe primenenie toy zhe operatsii vozvraschaet ishodnuyu stroku: \\(f(f(x))=x\\). nakonets, \\(f(x)\\ne x\\) dlya lyuboy nenulevoy stroki. znachit, \\(f\\) yavlyaetsya involyutsiey bez nepodvizhnyh tochek na mnozhestve vershin \\(g_n\\). razobem vershiny na dvuhelementnye orbity \\(\\{x,f(x)\\}\\). kazhdaya takaya orbita yav…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"unique-insertion-interval-oriented-triples","title":"Единственный промежуток вставки для ориентированных троек","path":"data\\problems\\classical\\unique-insertion-interval-oriented-triples.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/unique-insertion-interval-oriented-triples.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#unique-insertion-interval-oriented-triples","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 1996 A4, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["tournaments","induction","classical_lemma","goal_existence","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":6,"comment":"Нетривиальная вставочная лемма: основная работа состоит в извлечении транзитивного турнира из четырехточечного правила для ориентированных троек.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"Извлечено из архива решений Putnam и развернуто самодостаточно.","notes":"Лемма выделена из опубликованного неофициального архивного решения и развёрнута в самодостаточное доказательство.","audit_source":"manual-codex-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-unique-insertion","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть на конечном множестве \\(A\\) задана ориентация троек: для любых трех различных элементов ровно один из двух циклических порядков считается положительным, то есть \\((x,y,z)\\) положительна тогда и только тогда, когда положительны ее циклические сдвиги \\((y,z,x)\\), \\((z,x,y)\\), а при перестановке двух элементов ориентация меняется. Предположим также четырехточечное правило: для любых четырех различных \\(a,b,c,d\\) пары условий \\((a,b,c)\\), \\((c,d,a)\\) одновременно положительны тогда и только тогда, когда \\((b,c,d)\\), \\((d,a,b)\\) одновременно положительны. Пусть \\(B=A\\setminus\\{z\\}\\), \\(|B|\\ge3\\), и ориентации всех троек из \\(B\\) задаются циклическим порядком \\(a_1,a_2,\\ldots,a_m\\): если три элемента встречаются на этом цикле в порядке \\(x,y,w\\), то \\((x,y,w)\\) положительна. Тогда существует единственный промежуток между соседними элементами этого цикла, в который можно вставить \\(z\\), чтобы полученный циклический порядок задавал все ориентации троек из \\(A\\). В частности, существует единственный индекс \\(i\\) по модулю \\(m\\), для которого \\((a_i,z,a_{i+1})\\) положительна.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-transitive-view-from-new-vertex","title":"Доказательство через порядок, видимый из \\(z\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем писать \\((x,y,w)>0\\), если тройка положительна. На множестве \\(B\\) зададим отношение \\(x\\prec y\\) условием \\((z,x,y)>0\\). Из смены ориентации при обращении следует, что для любых различных \\(x,y\\in B\\) выполнено ровно одно из \\(x\\prec y\\), \\(y\\prec x\\). Докажем транзитивность. Пусть \\(x\\prec y\\) и \\(y\\prec w\\). Если на данном цикле для \\(B\\) тройка \\((x,w,y)>0\\), то применим четырехточечное правило к четверке \\((z,x,w,y)\\). Левая пара содержит \\((w,y,z)\\), а она отрицательна, потому что \\((z,y,w)>0\\). Правая пара, наоборот, положительна: \\((x,w,y)>0\\) по предположению о циклическом порядке, а \\((y,z,x)>0\\) является циклическим сдвигом \\((z,x,y)>0\\). Получается противоречие. Значит на цикле обязательно \\((x,y,w)>0\\). Теперь применим четырехточечное правило к четверке \\((z,x,y,w)\\). Тройки \\((z,x,y)\\) и \\((y,w,z)\\) положительны, причем вторая является циклическим сдвигом \\((z,y,w)>0…"}],"relations":[{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-putnam-1996-a4","neighbor_id":"putnam-1996-a4-oriented-triples-order","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-tournament-hamiltonian-path","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-redei-order-tournament","neighbor_id":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"unique-insertion-interval-oriented-triples единственный промежуток вставки для ориентированных троек tournaments induction classical_lemma goal_existence goal_characterization archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf misc putnam 1996 a4, архивный источник src-putnam-1996-a4-kedlaya with_solution прочее ? putnam 1996 a4, архивный источник stmt-unique-insertion ai_checked пусть на конечном множестве \\(a\\) задана ориентация троек: для любых трех различных элементов ровно один из двух циклических порядков считается положительным, то есть \\((x,y,z)\\) положительна тогда и только тогда, когда положительны ее циклические сдвиги \\((y,z,x)\\), \\((z,x,y)\\), а при перестановке двух элементов ориентация меняется. предположим также четырехточечное правило: для любых четырех различных \\(a,b,c,d\\) пары условий \\((a,b,c)\\), \\((c,d,a)\\) одновременно положительны тогда и только тогда, когда \\((b,c,d)\\), \\((d,a,b)\\) одновременно положительны. пусть \\(b=a\\setminus\\{z\\}\\), \\(|b|\\ge3\\), и ориентации всех троек из \\(b\\) задаются циклическим порядком \\(a_1,a_2,\\ldots,a_m\\): если три элемента встречаются на этом цикле в порядке \\(x,y,w\\), то \\((x,y,w)\\) положительна. тогда существует единственный промежуток между соседними элементами этого цикла, в который можно вставить \\(z\\), чтобы полученный циклический порядок задавал все ориентации троек из \\(a\\). в частности, существует единственный индекс \\(i\\) по модулю \\(m\\), для которого \\((a_i,z,a_{i+1})\\) положительна. idea-view-from-z посмотреть из новой точки на старых вершинах вводится турнир: \\(x\\prec y\\), если \\((z,x,y)\\) положительна. четырехточечное правило заставляет этот турнир быть транзитивным. tournaments ai_checked idea-transitive-order-is-cyclic-cut транзитивный порядок является разрезом цикла полученный линейный порядок старых вершин согласован со всеми тройками исходного цикла, поэтому он может отличаться от циклического порядка только выбором начальной точки. induction ai_checked sol-transitive-view-from-new-vertex доказательство через порядок, видимый из \\(z\\) ai_checked tournament induction будем писать \\((x,y,w)>0\\), если тройка положительна. на множестве \\(b\\) зададим отношение \\(x\\prec y\\) условием \\((z,x,y)>0\\). из смены ориентации при обращении следует, что для любых различных \\(x,y\\in b\\) выполнено ровно одно из \\(x\\prec y\\), \\(y\\prec x\\). докажем транзитивность. пусть \\(x\\prec y\\) и \\(y\\prec w\\). если на данном цикле для \\(b\\) тройка \\((x,w,y)>0\\), то применим четырехточечное правило к четверке \\((z,x,w,y)\\). левая пара содержит \\((w,y,z)\\), а она отрицательна, потому что \\((z,y,w)>0\\). правая пара, наоборот, положительна: \\((x,w,y)>0\\) по предположению о циклическом порядке, а \\((y,z,x)>0\\) является циклическим сдвигом \\((z,x,y)>0\\). получается противоречие. значит на цикле обязательно \\((x,y,w)>0\\). теперь применим четырехточечное правило к четверке \\((z,x,y,w)\\). тройки \\((z,x,y)\\) и \\((y,w,z)\\) положительны, причем вторая является циклическим сдвигом \\((z,y,w)>0… unique-insertion-interval-oriented-triples edinstvennyy promezhutok vstavki dlya orientirovannyh troek tournaments induction classical_lemma goal_existence goal_characterization archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf misc putnam 1996 a4, arhivnyy istochnik src-putnam-1996-a4-kedlaya with_solution prochee ? putnam 1996 a4, arhivnyy istochnik stmt-unique-insertion ai_checked pust na konechnom mnozhestve \\(a\\) zadana orientatsiya troek: dlya lyubyh treh razlichnyh elementov rovno odin iz dvuh tsiklicheskih poryadkov schitaetsya polozhitelnym, to est \\((x,y,z)\\) polozhitelna togda i tolko togda, kogda polozhitelny ee tsiklicheskie sdvigi \\((y,z,x)\\), \\((z,x,y)\\), a pri perestanovke dvuh elementov orientatsiya menyaetsya. predpolozhim takzhe chetyrehtochechnoe pravilo: dlya lyubyh chetyreh razlichnyh \\(a,b,c,d\\) pary usloviy \\((a,b,c)\\), \\((c,d,a)\\) odnovremenno polozhitelny togda i tolko togda, kogda \\((b,c,d)\\), \\((d,a,b)\\) odnovremenno polozhitelny. pust \\(b=a\\setminus\\{z\\}\\), \\(|b|\\ge3\\), i orientatsii vseh troek iz \\(b\\) zadayutsya tsiklicheskim poryadkom \\(a_1,a_2,\\ldots,a_m\\): esli tri elementa vstrechayutsya na etom tsikle v poryadke \\(x,y,w\\), to \\((x,y,w)\\) polozhitelna. togda suschestvuet edinstvennyy promezhutok mezhdu sosednimi elementami etogo tsikla, v kotoryy mozhno vstavit \\(z\\), chtoby poluchennyy tsiklicheskiy poryadok zadaval vse orientatsii troek iz \\(a\\). v chastnosti, suschestvuet edinstvennyy indeks \\(i\\) po modulyu \\(m\\), dlya kotorogo \\((a_i,z,a_{i+1})\\) polozhitelna. idea-view-from-z posmotret iz novoy tochki na staryh vershinah vvoditsya turnir: \\(x\\prec y\\), esli \\((z,x,y)\\) polozhitelna. chetyrehtochechnoe pravilo zastavlyaet etot turnir byt tranzitivnym. tournaments ai_checked idea-transitive-order-is-cyclic-cut tranzitivnyy poryadok yavlyaetsya razrezom tsikla poluchennyy lineynyy poryadok staryh vershin soglasovan so vsemi troykami ishodnogo tsikla, poetomu on mozhet otlichatsya ot tsiklicheskogo poryadka tolko vyborom nachalnoy tochki. induction ai_checked sol-transitive-view-from-new-vertex dokazatelstvo cherez poryadok, vidimyy iz \\(z\\) ai_checked tournament induction budem pisat \\((x,y,w)>0\\), esli troyka polozhitelna. na mnozhestve \\(b\\) zadadim otnoshenie \\(x\\prec y\\) usloviem \\((z,x,y)>0\\). iz smeny orientatsii pri obraschenii sleduet, chto dlya lyubyh razlichnyh \\(x,y\\in b\\) vypolneno rovno odno iz \\(x\\prec y\\), \\(y\\prec x\\). dokazhem tranzitivnost. pust \\(x\\prec y\\) i \\(y\\prec w\\). esli na dannom tsikle dlya \\(b\\) troyka \\((x,w,y)>0\\), to primenim chetyrehtochechnoe pravilo k chetverke \\((z,x,w,y)\\). levaya para soderzhit \\((w,y,z)\\), a ona otritsatelna, potomu chto \\((z,y,w)>0\\). pravaya para, naoborot, polozhitelna: \\((x,w,y)>0\\) po predpolozheniyu o tsiklicheskom poryadke, a \\((y,z,x)>0\\) yavlyaetsya tsiklicheskim sdvigom \\((z,x,y)>0\\). poluchaetsya protivorechie. znachit na tsikle obyazatelno \\((x,y,w)>0\\). teper primenim chetyrehtochechnoe pravilo k chetverke \\((z,x,y,w)\\). troyki \\((z,x,y)\\) i \\((y,w,z)\\) polozhitelny, prichem vtoraya yavlyaetsya tsiklicheskim sdvigom \\((z,y,w)>0…","source_keys":["misc","putnam"]}