{"id":"polish-mo-2022-ii-p6-badminton-euler-cycles","title":"Аннулирование половины матчей через эйлеровы циклы, Польская MO 2022 II/6","path":"data\\problems\\polish-mo\\polish-mo-2022-ii-p6-badminton-euler-cycles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/polish-mo/polish-mo-2022-ii-p6-badminton-euler-cycles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#polish-mo-2022-ii-p6-badminton-euler-cycles","source_key":"polish","source_label":"Польская MO","source_titles":["73. Olimpiada Matematyczna, второй этап, день 2, официальные условия","73. Olimpiada Matematyczna, второй этап, официальные решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","degree_counting","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Польская MO 2022, 73 OM, второй этап, задача 6; ключевой официальный шаг - граф ничейных двухматчевых встреч с чётными степенями и разложение на циклы.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"официальный источник решения и несжатый текст решения","notes":"Текущий текст основан на официальном источнике и выглядит полным или почти полным.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В турнире по бадминтону участвовали \\(n\\) игроков, где \\(n\\) нечётно. Каждые два игрока сыграли между собой ровно два матча, ничьих не было. Оказалось, что каждый игрок выиграл столько же матчей, сколько проиграл. Докажите, что можно аннулировать ровно половину всех матчей так, чтобы и среди оставшихся зачётных матчей каждый игрок выиграл столько же матчей, сколько проиграл.","definition_ids":[]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-graph-hint","title":"","status":"ai_checked","text":"Для каждой пары игроков назовём их двухматчевую встречу ничейной, если каждый выиграл по одному матчу. Докажите, что граф ничейных двухматчевых встреч имеет все степени чётными, а затем выберите в каждой его компоненте по циклам ровно один из двух матчей каждой пары так, чтобы у каждой вершины удалялось поровну побед и поражений.","definition_ids":["eulerian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Решение через разложение чётного графа на циклы","status":"ai_checked","definition_ids":["eulerian_cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим фиксированного игрока. Пусть он выиграл \\(a\\) двухматчевых встреч со счётом \\(2:0\\), проиграл \\(b\\) двухматчевых встреч со счётом \\(0:2\\), а ещё \\(c\\) двухматчевых встреч закончились для него счётом \\(1:1\\). Всего он сыграл с \\(n-1\\) соперниками, поэтому \\[ a+b+c=n-1. \\] По условию общее число его побед равно общему числу поражений. В односторонних двухматчевых встречах это даёт соответственно \\(2a\\) побед и \\(2b\\) поражений, а каждая ничейная встреча добавляет по одной победе и одному поражению. Значит \\[ 2a+c=2b+c, \\] откуда \\(a=b\\). Так как \\(n\\) нечётно, число \\(n-1\\) чётно, и потому \\[ c=n-1-2a \\] тоже чётно. Теперь обработаем односторонние двухматчевые встречи. В каждой такой паре матчей аннулируем произвольный один матч. Для данного игрока число его выигранных односторонних встреч равно числу проигранных, поэтому после этих аннулирований его баланс побед и поражений ср…"}],"relations":[{"id":"rel-all-union-1987-score-squares-polish-mo-2022-badminton","neighbor_id":"all-union-1987-final-9-tournament-score-squares","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-polish-mo-2022-badminton-kolmogorov-2021-volleyball","neighbor_id":"kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"polish-mo-2022-ii-p6-badminton-euler-cycles аннулирование половины матчей через эйлеровы циклы, польская mo 2022 ii/6 eulerian_graphs degree_counting graph_model goal_existence 2022 73. olimpiada matematyczna, второй этап, день 2, официальные условия 73. olimpiada matematyczna, второй этап, официальные решения https://om.sem.edu.pl/static/app_main/problems/om73_2.pdf https://om.sem.edu.pl/static/app_main/problems/om73_2r.pdf polish polish2022 solution_notes src-polish-mo-2022-ii-p6-official-problems src-polish-mo-2022-ii-p6-official-solutions statement with_solution польская mo польскаяmo польскаяmo2022 ? 73. olimpiada matematyczna, второй этап, день 2, официальные условия 73. olimpiada matematyczna, второй этап, официальные решения stmt-original условие ai_checked в турнире по бадминтону участвовали \\(n\\) игроков, где \\(n\\) нечётно. каждые два игрока сыграли между собой ровно два матча, ничьих не было. оказалось, что каждый игрок выиграл столько же матчей, сколько проиграл. докажите, что можно аннулировать ровно половину всех матчей так, чтобы и среди оставшихся зачётных матчей каждый игрок выиграл столько же матчей, сколько проиграл. stmt-graph-hint ai_checked для каждой пары игроков назовём их двухматчевую встречу ничейной, если каждый выиграл по одному матчу. докажите, что граф ничейных двухматчевых встреч имеет все степени чётными, а затем выберите в каждой его компоненте по циклам ровно один из двух матчей каждой пары так, чтобы у каждой вершины удалялось поровну побед и поражений. eulerian_cycle idea-split-two-match-pairs сначала отделить односторонние двухматчевые пары если между двумя игроками один выиграл оба матча, то можно аннулировать любой один из этих двух матчей. баланс по числу выигранных и проигранных двухматчевых пар у каждого игрока одинаков, поэтому такие пары не мешают общей балансировке. degree_counting ai_checked idea-even-graph-cycle-orientation чётный граф раскладывается на циклы ничейные двухматчевые пары образуют граф, в котором степень каждой вершины чётна. рёбра такого графа можно разбить на циклы; обход каждого цикла задаёт, какой из двух матчей соответствующей пары нужно аннулировать. eulerian_graphs ai_checked sol-official-expanded решение через разложение чётного графа на циклы ai_checked eulerian_cycle double_counting рассмотрим фиксированного игрока. пусть он выиграл \\(a\\) двухматчевых встреч со счётом \\(2:0\\), проиграл \\(b\\) двухматчевых встреч со счётом \\(0:2\\), а ещё \\(c\\) двухматчевых встреч закончились для него счётом \\(1:1\\). всего он сыграл с \\(n-1\\) соперниками, поэтому \\[ a+b+c=n-1. \\] по условию общее число его побед равно общему числу поражений. в односторонних двухматчевых встречах это даёт соответственно \\(2a\\) побед и \\(2b\\) поражений, а каждая ничейная встреча добавляет по одной победе и одному поражению. значит \\[ 2a+c=2b+c, \\] откуда \\(a=b\\). так как \\(n\\) нечётно, число \\(n-1\\) чётно, и потому \\[ c=n-1-2a \\] тоже чётно. теперь обработаем односторонние двухматчевые встречи. в каждой такой паре матчей аннулируем произвольный один матч. для данного игрока число его выигранных односторонних встреч равно числу проигранных, поэтому после этих аннулирований его баланс побед и поражений ср… polish-mo-2022-ii-p6-badminton-euler-cycles annulirovanie poloviny matchey cherez eylerovy tsikly, polskaya mo 2022 ii/6 eulerian_graphs degree_counting graph_model goal_existence 2022 73. olimpiada matematyczna, vtoroy etap, den 2, ofitsialnye usloviya 73. olimpiada matematyczna, vtoroy etap, ofitsialnye resheniya https://om.sem.edu.pl/static/app_main/problems/om73_2.pdf https://om.sem.edu.pl/static/app_main/problems/om73_2r.pdf polish polish2022 solution_notes src-polish-mo-2022-ii-p6-official-problems src-polish-mo-2022-ii-p6-official-solutions statement with_solution polskaya mo polskayamo polskayamo2022 ? 73. olimpiada matematyczna, vtoroy etap, den 2, ofitsialnye usloviya 73. olimpiada matematyczna, vtoroy etap, ofitsialnye resheniya stmt-original uslovie ai_checked v turnire po badmintonu uchastvovali \\(n\\) igrokov, gde \\(n\\) nechetno. kazhdye dva igroka sygrali mezhdu soboy rovno dva matcha, nichih ne bylo. okazalos, chto kazhdyy igrok vyigral stolko zhe matchey, skolko proigral. dokazhite, chto mozhno annulirovat rovno polovinu vseh matchey tak, chtoby i sredi ostavshihsya zachetnyh matchey kazhdyy igrok vyigral stolko zhe matchey, skolko proigral. stmt-graph-hint ai_checked dlya kazhdoy pary igrokov nazovem ih dvuhmatchevuyu vstrechu nicheynoy, esli kazhdyy vyigral po odnomu matchu. dokazhite, chto graf nicheynyh dvuhmatchevyh vstrech imeet vse stepeni chetnymi, a zatem vyberite v kazhdoy ego komponente po tsiklam rovno odin iz dvuh matchey kazhdoy pary tak, chtoby u kazhdoy vershiny udalyalos porovnu pobed i porazheniy. eulerian_cycle idea-split-two-match-pairs snachala otdelit odnostoronnie dvuhmatchevye pary esli mezhdu dvumya igrokami odin vyigral oba matcha, to mozhno annulirovat lyuboy odin iz etih dvuh matchey. balans po chislu vyigrannyh i proigrannyh dvuhmatchevyh par u kazhdogo igroka odinakov, poetomu takie pary ne meshayut obschey balansirovke. degree_counting ai_checked idea-even-graph-cycle-orientation chetnyy graf raskladyvaetsya na tsikly nicheynye dvuhmatchevye pary obrazuyut graf, v kotorom stepen kazhdoy vershiny chetna. rebra takogo grafa mozhno razbit na tsikly; obhod kazhdogo tsikla zadaet, kakoy iz dvuh matchey sootvetstvuyuschey pary nuzhno annulirovat. eulerian_graphs ai_checked sol-official-expanded reshenie cherez razlozhenie chetnogo grafa na tsikly ai_checked eulerian_cycle double_counting rassmotrim fiksirovannogo igroka. pust on vyigral \\(a\\) dvuhmatchevyh vstrech so schetom \\(2:0\\), proigral \\(b\\) dvuhmatchevyh vstrech so schetom \\(0:2\\), a esche \\(c\\) dvuhmatchevyh vstrech zakonchilis dlya nego schetom \\(1:1\\). vsego on sygral s \\(n-1\\) sopernikami, poetomu \\[ a+b+c=n-1. \\] po usloviyu obschee chislo ego pobed ravno obschemu chislu porazheniy. v odnostoronnih dvuhmatchevyh vstrechah eto daet sootvetstvenno \\(2a\\) pobed i \\(2b\\) porazheniy, a kazhdaya nicheynaya vstrecha dobavlyaet po odnoy pobede i odnomu porazheniyu. znachit \\[ 2a+c=2b+c, \\] otkuda \\(a=b\\). tak kak \\(n\\) nechetno, chislo \\(n-1\\) chetno, i potomu \\[ c=n-1-2a \\] tozhe chetno. teper obrabotaem odnostoronnie dvuhmatchevye vstrechi. v kazhdoy takoy pare matchey annuliruem proizvolnyy odin match. dlya dannogo igroka chislo ego vyigrannyh odnostoronnih vstrech ravno chislu proigrannyh, poetomu posle etih annulirovaniy ego balans pobed i porazheniy sr…","source_keys":["polish"]}
{"id":"polish-mo-2022-iii-p3-robust-chord-graph-sparsification","title":"Разрежение графа, остающегося связным после удаления 2021 рёбер, Польская MO 2022 III/3","path":"data\\problems\\polish-mo\\polish-mo-2022-iii-p3-robust-chord-graph-sparsification.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/polish-mo/polish-mo-2022-iii-p3-robust-chord-graph-sparsification.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#polish-mo-2022-iii-p3-robust-chord-graph-sparsification","source_key":"polish","source_label":"остающегося связным после удаления","source_titles":["73. Olimpiada Matematyczna, финальный этап, официальные условия","73. Olimpiada Matematyczna, финальный этап, официальные решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":["Wojciech Nadara"],"tags":["connectivity","trees","graph_model","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"Польская MO 2022, 73 OM, финал, задача 3; графовая формулировка эквивалентна исходной, официальное решение полностью графовое.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"официальный источник решения и несжатый текст решения","notes":"Текущий текст основан на официальном источнике и выглядит полным или почти полным.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"На окружности отмечено \\(n\\) точек и проведено некоторое число хорд с концами в отмеченных точках. Выполнено такое свойство: после стирания любых \\(2021\\) из проведённых хорд любые две отмеченные точки всё ещё можно соединить ломаной, составленной из нестёртых хорд. Докажите, что можно стереть некоторые хорды так, чтобы на рисунке осталось не более \\(2022n\\) хорд и указанное свойство сохранилось.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Разрежение графа, остающегося связным после удаления 2021 рёбер, Польская MO 2022 III/3","status":"ai_checked","text":"Пусть простой неориентированный граф \\(G\\) на \\(n\\) вершинах остаётся связным после удаления любых \\(2021\\) рёбер. Докажите, что у \\(G\\) есть остовный подграф с не более чем \\(2022n\\) рёбрами, который тоже остаётся связным после удаления любых \\(2021\\) рёбер.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","spanning_tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Решение через 2022 последовательных остовных леса","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов. Отмеченные точки считаем вершинами, проведённые хорды - рёбрами. Свойство задачи означает, что граф остаётся связным после удаления любых \\(2021\\) рёбер. Назовём такой граф хорошим. Нужно оставить не более \\(2022n\\) рёбер так, чтобы получившийся граф тоже был хорошим. Пусть исходный хороший граф равен \\(G_0\\), его множество вершин обозначим через \\(V\\), \\(|V|=n\\). Построим графы \\[ G_0,F_0,G_1,F_1,\\ldots,G_{2021},F_{2021},G_{2022} \\] на одном и том же множестве вершин. Если \\(G_i\\) уже построен, выберем в каждой его компоненте связности остовное дерево; объединение этих деревьев обозначим через \\(F_i\\). Иначе говоря, \\(F_i\\) - остовный лес графа \\(G_i\\). Затем определим \\(G_{i+1}\\) как граф, полученный из \\(G_i\\) удалением всех рёбер леса \\(F_i\\). Пусть \\(H\\) - граф на множестве вершин \\(V\\), рёбрами которого являются все рёбра лесов \\(F_0,F_1,\\ldots,F_…"}],"relations":[{"id":"rel-polish-mo-2022-robust-sparsification-tree-euler","neighbor_id":"memo-2021-i2-bishop-circuit-forest","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"polish-mo-2022-iii-p3-robust-chord-graph-sparsification разрежение графа, остающегося связным после удаления 2021 рёбер, польская mo 2022 iii/3 connectivity trees graph_model goal_bound 2022 73. olimpiada matematyczna, финальный этап, официальные решения 73. olimpiada matematyczna, финальный этап, официальные условия https://om.sem.edu.pl/static/app_main/problems/om73_3.pdf https://om.sem.edu.pl/static/app_main/problems/om73_3r.pdf polish polish2022 solution_notes src-polish-mo-2022-iii-p3-official-problems src-polish-mo-2022-iii-p3-official-solutions statement with_solution wojciech nadara wojciechnadara остающегося связным после удаления остающегосясвязнымпослеудаления остающегосясвязнымпослеудаления2022 wojciech nadara 73. olimpiada matematyczna, финальный этап, официальные условия 73. olimpiada matematyczna, финальный этап, официальные решения stmt-original условие ai_checked на окружности отмечено \\(n\\) точек и проведено некоторое число хорд с концами в отмеченных точках. выполнено такое свойство: после стирания любых \\(2021\\) из проведённых хорд любые две отмеченные точки всё ещё можно соединить ломаной, составленной из нестёртых хорд. докажите, что можно стереть некоторые хорды так, чтобы на рисунке осталось не более \\(2022n\\) хорд и указанное свойство сохранилось. stmt-graph разрежение графа, остающегося связным после удаления 2021 рёбер, польская mo 2022 iii/3 ai_checked пусть простой неориентированный граф \\(g\\) на \\(n\\) вершинах остаётся связным после удаления любых \\(2021\\) рёбер. докажите, что у \\(g\\) есть остовный подграф с не более чем \\(2022n\\) рёбрами, который тоже остаётся связным после удаления любых \\(2021\\) рёбер. simple_graph connected_graph spanning_tree idea-layered-spanning-forests последовательно снять 2022 остовных леса из текущего графа берётся остовный лес, затем его рёбра удаляются и процедура повторяется 2022 раза. объединение выбранных лесов содержит меньше \\(2022n\\) рёбер. trees ai_checked idea-residual-components-have-many-forest-paths остаточные компоненты связаны во всех лесах если две вершины остались в одной компоненте после снятия всех лесов, то в каждом из 2022 выбранных лесов они соединены путём. эти пути рёберно непересекаются, поэтому удаление 2021 рёбер не уничтожает их все. connectivity ai_checked sol-official-expanded решение через 2022 последовательных остовных леса ai_checked connected_graph spanning_tree delete_to_simplify pigeonhole_principle переведём условие на язык графов. отмеченные точки считаем вершинами, проведённые хорды - рёбрами. свойство задачи означает, что граф остаётся связным после удаления любых \\(2021\\) рёбер. назовём такой граф хорошим. нужно оставить не более \\(2022n\\) рёбер так, чтобы получившийся граф тоже был хорошим. пусть исходный хороший граф равен \\(g_0\\), его множество вершин обозначим через \\(v\\), \\(|v|=n\\). построим графы \\[ g_0,f_0,g_1,f_1,\\ldots,g_{2021},f_{2021},g_{2022} \\] на одном и том же множестве вершин. если \\(g_i\\) уже построен, выберем в каждой его компоненте связности остовное дерево; объединение этих деревьев обозначим через \\(f_i\\). иначе говоря, \\(f_i\\) - остовный лес графа \\(g_i\\). затем определим \\(g_{i+1}\\) как граф, полученный из \\(g_i\\) удалением всех рёбер леса \\(f_i\\). пусть \\(h\\) - граф на множестве вершин \\(v\\), рёбрами которого являются все рёбра лесов \\(f_0,f_1,\\ldots,f_… polish-mo-2022-iii-p3-robust-chord-graph-sparsification razrezhenie grafa, ostayuschegosya svyaznym posle udaleniya 2021 reber, polskaya mo 2022 iii/3 connectivity trees graph_model goal_bound 2022 73. olimpiada matematyczna, finalnyy etap, ofitsialnye resheniya 73. olimpiada matematyczna, finalnyy etap, ofitsialnye usloviya https://om.sem.edu.pl/static/app_main/problems/om73_3.pdf https://om.sem.edu.pl/static/app_main/problems/om73_3r.pdf polish polish2022 solution_notes src-polish-mo-2022-iii-p3-official-problems src-polish-mo-2022-iii-p3-official-solutions statement with_solution wojciech nadara wojciechnadara ostayuschegosya svyaznym posle udaleniya ostayuschegosyasvyaznymposleudaleniya ostayuschegosyasvyaznymposleudaleniya2022 wojciech nadara 73. olimpiada matematyczna, finalnyy etap, ofitsialnye usloviya 73. olimpiada matematyczna, finalnyy etap, ofitsialnye resheniya stmt-original uslovie ai_checked na okruzhnosti otmecheno \\(n\\) tochek i provedeno nekotoroe chislo hord s kontsami v otmechennyh tochkah. vypolneno takoe svoystvo: posle stiraniya lyubyh \\(2021\\) iz provedennyh hord lyubye dve otmechennye tochki vse esche mozhno soedinit lomanoy, sostavlennoy iz nestertyh hord. dokazhite, chto mozhno steret nekotorye hordy tak, chtoby na risunke ostalos ne bolee \\(2022n\\) hord i ukazannoe svoystvo sohranilos. stmt-graph razrezhenie grafa, ostayuschegosya svyaznym posle udaleniya 2021 reber, polskaya mo 2022 iii/3 ai_checked pust prostoy neorientirovannyy graf \\(g\\) na \\(n\\) vershinah ostaetsya svyaznym posle udaleniya lyubyh \\(2021\\) reber. dokazhite, chto u \\(g\\) est ostovnyy podgraf s ne bolee chem \\(2022n\\) rebrami, kotoryy tozhe ostaetsya svyaznym posle udaleniya lyubyh \\(2021\\) reber. simple_graph connected_graph spanning_tree idea-layered-spanning-forests posledovatelno snyat 2022 ostovnyh lesa iz tekuschego grafa beretsya ostovnyy les, zatem ego rebra udalyayutsya i protsedura povtoryaetsya 2022 raza. obedinenie vybrannyh lesov soderzhit menshe \\(2022n\\) reber. trees ai_checked idea-residual-components-have-many-forest-paths ostatochnye komponenty svyazany vo vseh lesah esli dve vershiny ostalis v odnoy komponente posle snyatiya vseh lesov, to v kazhdom iz 2022 vybrannyh lesov oni soedineny putem. eti puti reberno neperesekayutsya, poetomu udalenie 2021 reber ne unichtozhaet ih vse. connectivity ai_checked sol-official-expanded reshenie cherez 2022 posledovatelnyh ostovnyh lesa ai_checked connected_graph spanning_tree delete_to_simplify pigeonhole_principle perevedem uslovie na yazyk grafov. otmechennye tochki schitaem vershinami, provedennye hordy - rebrami. svoystvo zadachi oznachaet, chto graf ostaetsya svyaznym posle udaleniya lyubyh \\(2021\\) reber. nazovem takoy graf horoshim. nuzhno ostavit ne bolee \\(2022n\\) reber tak, chtoby poluchivshiysya graf tozhe byl horoshim. pust ishodnyy horoshiy graf raven \\(g_0\\), ego mnozhestvo vershin oboznachim cherez \\(v\\), \\(|v|=n\\). postroim grafy \\[ g_0,f_0,g_1,f_1,\\ldots,g_{2021},f_{2021},g_{2022} \\] na odnom i tom zhe mnozhestve vershin. esli \\(g_i\\) uzhe postroen, vyberem v kazhdoy ego komponente svyaznosti ostovnoe derevo; obedinenie etih derevev oboznachim cherez \\(f_i\\). inache govorya, \\(f_i\\) - ostovnyy les grafa \\(g_i\\). zatem opredelim \\(g_{i+1}\\) kak graf, poluchennyy iz \\(g_i\\) udaleniem vseh reber lesa \\(f_i\\). pust \\(h\\) - graf na mnozhestve vershin \\(v\\), rebrami kotorogo yavlyayutsya vse rebra lesov \\(f_0,f_1,\\ldots,f_…","source_keys":["polish"]}