{"id":"mmo-2008-athletes-arbiters-photos","title":"Спортсмены, арбитры и фотографии после турнира, ММО 2008","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2008-athletes-arbiters-photos.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2008-athletes-arbiters-photos.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2008-athletes-arbiters-photos","source_key":"mmo","source_label":"ММО","source_titles":["LXXI Московская математическая олимпиада 2008, официальный буклет решений"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":["Френкин Б.Р."],"tags":["degree_counting","graph_in_solution","goal_classification","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"ММО 2008, 10 класс, задача 4.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный PDF решений MCCME/MMO 2008 и развёрнутое самодостаточное доказательство","notes":"Полное доказательство основано на первом официальном решении; достижимость двух подозрительных людей явно прописана в карточке.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Турнир, арбитры и стопка фотографий","status":"ai_checked","text":"Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий (по фотографии неясно, кто на ней игроки, а кто арбитр). Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является: спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-summary","title":"Подозрительные люди и обмен ролей","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","neighborhood"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 2. Будем говорить, что человек сфотографирован с другим человеком, если они вместе есть хотя бы на одной фотографии. Назовем человека подозрительным, если по стопке фотографий нельзя однозначно определить, спортсмен он или арбитр. Сначала докажем верхнюю оценку. В любой допустимой расшифровке стопки арбитр фотографируется только со спортсменами, поэтому он может быть сфотографирован не более чем с 20 людьми. Спортсмен же фотографируется со всеми остальными 19 спортсменами: с каждым из них у него была игра и после нее была общая фотография. Кроме того, хотя бы один арбитр судил его игры, значит спортсмен сфотографирован не менее чем с 20 людьми. Если человек подозрителен, то существуют допустимые расшифровки, в одной из которых он спортсмен, а в другой арбитр. Поэтому число людей, с которыми он сфотографирован, одновременно не меньше 20 и не больше 20, то есть равно 20. Рассмотрим…"}],"relations":[{"id":"rel-mmo-2008-athletes-arbiters-mmo-2023-hypergraph-club","neighbor_id":"mmo-2023-hypergraph-club-acquaintance-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"mmo-2008-athletes-arbiters-photos спортсмены, арбитры и фотографии после турнира, ммо 2008 degree_counting graph_in_solution goal_classification construction goal_exact_bound 2008 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2008/solutions.pdf lxxi московская математическая олимпиада 2008, официальный буклет решений mmo mmo2008 problem_and_solution src-mmo-2008-solutions with_solution ммо ммо2008 френкин б.р. френкин б.р. lxxi московская математическая олимпиада 2008, официальный буклет решений stmt-original турнир, арбитры и стопка фотографий ai_checked турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. после окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий (по фотографии неясно, кто на ней игроки, а кто арбитр). оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является: спортсменом или арбитром. сколько могло быть таких людей? idea-degree-20-ambiguity подозрительные люди имеют степень 20 в официальном решении человек, чей статус не определяется, должен появляться на фотографиях ровно с 20 людьми: у арбитра не больше 20 соседей, у спортсмена не меньше 20. если такой спортсмен имеет ровно 20 соседей, все его 19 матчей судил один и тот же арбитр, что оставляет только пару взаимозаменяемых статусов. degree_counting goal_classification ai_checked idea-swap-one-athlete-one-arbiter поменять местами спортсмена и его единственного арбитра для достижимости двух неоднозначных людей достаточно устроить так, чтобы один арбитр судил все 19 матчей одного спортсмена и не судил других матчей. тогда этого спортсмена и этого арбитра можно поменять ролями, а вся стопка фотографий останется совместимой с условиями. construction ai_checked sol-official-summary подозрительные люди и обмен ролей ai_checked simple_graph degree neighborhood ответ: 2. будем говорить, что человек сфотографирован с другим человеком, если они вместе есть хотя бы на одной фотографии. назовем человека подозрительным, если по стопке фотографий нельзя однозначно определить, спортсмен он или арбитр. сначала докажем верхнюю оценку. в любой допустимой расшифровке стопки арбитр фотографируется только со спортсменами, поэтому он может быть сфотографирован не более чем с 20 людьми. спортсмен же фотографируется со всеми остальными 19 спортсменами: с каждым из них у него была игра и после нее была общая фотография. кроме того, хотя бы один арбитр судил его игры, значит спортсмен сфотографирован не менее чем с 20 людьми. если человек подозрителен, то существуют допустимые расшифровки, в одной из которых он спортсмен, а в другой арбитр. поэтому число людей, с которыми он сфотографирован, одновременно не меньше 20 и не больше 20, то есть равно 20. рассмотрим… mmo-2008-athletes-arbiters-photos sportsmeny, arbitry i fotografii posle turnira, mmo 2008 degree_counting graph_in_solution goal_classification construction goal_exact_bound 2008 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2008/solutions.pdf lxxi moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2008, ofitsialnyy buklet resheniy mmo mmo2008 problem_and_solution src-mmo-2008-solutions with_solution mmo mmo2008 frenkin b.r. frenkin b.r. lxxi moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2008, ofitsialnyy buklet resheniy stmt-original turnir, arbitry i stopka fotografiy ai_checked turnir, v kotorom uchastvovalo 20 sportsmenov, sudili 10 arbitrov. kazhdyy sygral s kazhdym odin raz, i kazhduyu vstrechu sudil rovno odin arbitr. posle okonchaniya kazhdoy igry oba uchastnika fotografirovalis s arbitrom. cherez god posle turnira byla naydena stopka iz vseh etih fotografiy (po fotografii neyasno, kto na ney igroki, a kto arbitr). okazalos, chto ne pro kazhdogo mozhno opredelit, kem on yavlyaetsya: sportsmenom ili arbitrom. skolko moglo byt takih lyudey? idea-degree-20-ambiguity podozritelnye lyudi imeyut stepen 20 v ofitsialnom reshenii chelovek, chey status ne opredelyaetsya, dolzhen poyavlyatsya na fotografiyah rovno s 20 lyudmi: u arbitra ne bolshe 20 sosedey, u sportsmena ne menshe 20. esli takoy sportsmen imeet rovno 20 sosedey, vse ego 19 matchey sudil odin i tot zhe arbitr, chto ostavlyaet tolko paru vzaimozamenyaemyh statusov. degree_counting goal_classification ai_checked idea-swap-one-athlete-one-arbiter pomenyat mestami sportsmena i ego edinstvennogo arbitra dlya dostizhimosti dvuh neodnoznachnyh lyudey dostatochno ustroit tak, chtoby odin arbitr sudil vse 19 matchey odnogo sportsmena i ne sudil drugih matchey. togda etogo sportsmena i etogo arbitra mozhno pomenyat rolyami, a vsya stopka fotografiy ostanetsya sovmestimoy s usloviyami. construction ai_checked sol-official-summary podozritelnye lyudi i obmen roley ai_checked simple_graph degree neighborhood otvet: 2. budem govorit, chto chelovek sfotografirovan s drugim chelovekom, esli oni vmeste est hotya by na odnoy fotografii. nazovem cheloveka podozritelnym, esli po stopke fotografiy nelzya odnoznachno opredelit, sportsmen on ili arbitr. snachala dokazhem verhnyuyu otsenku. v lyuboy dopustimoy rasshifrovke stopki arbitr fotografiruetsya tolko so sportsmenami, poetomu on mozhet byt sfotografirovan ne bolee chem s 20 lyudmi. sportsmen zhe fotografiruetsya so vsemi ostalnymi 19 sportsmenami: s kazhdym iz nih u nego byla igra i posle nee byla obschaya fotografiya. krome togo, hotya by odin arbitr sudil ego igry, znachit sportsmen sfotografirovan ne menee chem s 20 lyudmi. esli chelovek podozritelen, to suschestvuyut dopustimye rasshifrovki, v odnoy iz kotoryh on sportsmen, a v drugoy arbitr. poetomu chislo lyudey, s kotorymi on sfotografirovan, odnovremenno ne menshe 20 i ne bolshe 20, to est ravno 20. rassmotrim…","source_keys":["mmo"]}
{"id":"mmo-2010-unit-distance-segments","title":"Единичные отрезки между 4n точками, ММО 2010","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2010-unit-distance-segments.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2010-unit-distance-segments.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2010-unit-distance-segments","source_key":"mmo","source_label":"ММО","source_titles":["LXXIII Московская математическая олимпиада 2010, официальный буклет решений"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":["А. М. Райгородский"],"tags":["graph_model","extremal_graph_theory","degree_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":6,"comment":"ММО 2010, 10 класс, задача 6.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"официальный PDF решений MMO 2010; развёрнуто по опубликованному решению","notes":"Официальное решение сверено по PDF и развёрнуто до самостоятельного доказательства без внешних лемм.","label":"официальное решение"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"4n точек и отрезки длины 1 см","status":"ai_checked","text":"На плоскости отметили 4n точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. Оказалось, что среди любых n + 1 точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее 7n отрезков.","definition_ids":["simple_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Граф единичных расстояний с малым числом независимости","status":"ai_checked","text":"Дан граф единичных расстояний G=(V,E) на 4n вершинах на плоскости. Любое множество из n+1 вершин не является независимым, то есть alpha(G) <= n. Докажите, что |E| >= 7n.","definition_ids":["independent_set","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-summary","title":"Слои максимальных независимых множеств","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","independent_set","simple_graph"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","pigeonhole_principle","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф \\(G=(V,E)\\): вершины -- отмеченные точки, а ребрами соединены ровно те пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. По условию среди любых \\(n+1\\) вершин есть ребро, то есть всякое независимое множество имеет размер не больше \\(n\\). Выберем в \\(G\\) независимое множество \\(Q_1\\) максимального размера. Тогда \\(|Q_1|\\le n\\). Из максимальности следует, что каждая вершина из \\(V\\setminus Q_1\\) имеет хотя бы одного соседа в \\(Q_1\\): иначе такую вершину можно было бы добавить к \\(Q_1\\), не нарушив независимость. Разобьем \\(V\\setminus Q_1\\) на два множества. Пусть \\(W_1\\) состоит из вершин, имеющих ровно одного соседа в \\(Q_1\\), а \\(W_2\\) -- из вершин, имеющих не менее двух соседей в \\(Q_1\\). Докажем, что \\(|W_1|\\le 2n\\). Предположим противное: \\(|W_1|>2n\\). Каждой вершине из \\(W_1\\) сопоставим ее единственного соседа в \\(Q_1\\). Так как \\(|Q_1|\\le n\\), по принципу Дирихле най…"}],"relations":[{"id":"rel-mmo-2010-unit-distance-turan-independence-baseline","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-mmo-2010-putnam-1988-unit-distance-geometric-obstruction","neighbor_id":"putnam-1988-a4-unit-distance-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1994-a3-mmo-2010-unit-distance-geometric-obstruction","neighbor_id":"putnam-1994-a3-threshold-distance-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"mmo-2010-unit-distance-segments единичные отрезки между 4n точками, ммо 2010 graph_model extremal_graph_theory degree_counting 2010 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2010/solutions.pdf lxxiii московская математическая олимпиада 2010, официальный буклет решений mmo mmo2010 problem_and_solution src-mmo-2010-solutions with_solution а. м. райгородский ммо ммо2010 а. м. райгородский lxxiii московская математическая олимпиада 2010, официальный буклет решений stmt-original 4n точек и отрезки длины 1 см ai_checked на плоскости отметили 4n точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. оказалось, что среди любых n + 1 точек обязательно есть две, соединённые отрезком. докажите, что всего проведено не менее 7n отрезков. simple_graph stmt-graph граф единичных расстояний с малым числом независимости ai_checked дан граф единичных расстояний g=(v,e) на 4n вершинах на плоскости. любое множество из n+1 вершин не является независимым, то есть alpha(g) <= n. докажите, что |e| >= 7n. independent_set simple_graph idea-independent-set-peeling снятие максимальных независимых множеств официальное решение прямо вводит граф точек и отрезков. максимальные независимые множества дают первые оценки на число рёбер; усиление до 7n использует, что k4 нельзя реализовать единичными отрезками на плоскости. extremal_graph_theory degree_counting graph_model ai_checked sol-official-summary слои максимальных независимых множеств ai_checked complete_graph independent_set simple_graph extremal_choice pigeonhole_principle double_counting построим граф \\(g=(v,e)\\): вершины -- отмеченные точки, а ребрами соединены ровно те пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. по условию среди любых \\(n+1\\) вершин есть ребро, то есть всякое независимое множество имеет размер не больше \\(n\\). выберем в \\(g\\) независимое множество \\(q_1\\) максимального размера. тогда \\(|q_1|\\le n\\). из максимальности следует, что каждая вершина из \\(v\\setminus q_1\\) имеет хотя бы одного соседа в \\(q_1\\): иначе такую вершину можно было бы добавить к \\(q_1\\), не нарушив независимость. разобьем \\(v\\setminus q_1\\) на два множества. пусть \\(w_1\\) состоит из вершин, имеющих ровно одного соседа в \\(q_1\\), а \\(w_2\\) -- из вершин, имеющих не менее двух соседей в \\(q_1\\). докажем, что \\(|w_1|\\le 2n\\). предположим противное: \\(|w_1|>2n\\). каждой вершине из \\(w_1\\) сопоставим ее единственного соседа в \\(q_1\\). так как \\(|q_1|\\le n\\), по принципу дирихле най… mmo-2010-unit-distance-segments edinichnye otrezki mezhdu 4n tochkami, mmo 2010 graph_model extremal_graph_theory degree_counting 2010 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2010/solutions.pdf lxxiii moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2010, ofitsialnyy buklet resheniy mmo mmo2010 problem_and_solution src-mmo-2010-solutions with_solution a. m. raygorodskiy mmo mmo2010 a. m. raygorodskiy lxxiii moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2010, ofitsialnyy buklet resheniy stmt-original 4n tochek i otrezki dliny 1 sm ai_checked na ploskosti otmetili 4n tochek, posle chego soedinili otrezkami vse pary tochek, rasstoyanie mezhdu kotorymi ravno 1 sm. okazalos, chto sredi lyubyh n + 1 tochek obyazatelno est dve, soedinennye otrezkom. dokazhite, chto vsego provedeno ne menee 7n otrezkov. simple_graph stmt-graph graf edinichnyh rasstoyaniy s malym chislom nezavisimosti ai_checked dan graf edinichnyh rasstoyaniy g=(v,e) na 4n vershinah na ploskosti. lyuboe mnozhestvo iz n+1 vershin ne yavlyaetsya nezavisimym, to est alpha(g) <= n. dokazhite, chto |e| >= 7n. independent_set simple_graph idea-independent-set-peeling snyatie maksimalnyh nezavisimyh mnozhestv ofitsialnoe reshenie pryamo vvodit graf tochek i otrezkov. maksimalnye nezavisimye mnozhestva dayut pervye otsenki na chislo reber; usilenie do 7n ispolzuet, chto k4 nelzya realizovat edinichnymi otrezkami na ploskosti. extremal_graph_theory degree_counting graph_model ai_checked sol-official-summary sloi maksimalnyh nezavisimyh mnozhestv ai_checked complete_graph independent_set simple_graph extremal_choice pigeonhole_principle double_counting postroim graf \\(g=(v,e)\\): vershiny -- otmechennye tochki, a rebrami soedineny rovno te pary tochek, rasstoyanie mezhdu kotorymi ravno 1 sm. po usloviyu sredi lyubyh \\(n+1\\) vershin est rebro, to est vsyakoe nezavisimoe mnozhestvo imeet razmer ne bolshe \\(n\\). vyberem v \\(g\\) nezavisimoe mnozhestvo \\(q_1\\) maksimalnogo razmera. togda \\(|q_1|\\le n\\). iz maksimalnosti sleduet, chto kazhdaya vershina iz \\(v\\setminus q_1\\) imeet hotya by odnogo soseda v \\(q_1\\): inache takuyu vershinu mozhno bylo by dobavit k \\(q_1\\), ne narushiv nezavisimost. razobem \\(v\\setminus q_1\\) na dva mnozhestva. pust \\(w_1\\) sostoit iz vershin, imeyuschih rovno odnogo soseda v \\(q_1\\), a \\(w_2\\) -- iz vershin, imeyuschih ne menee dvuh sosedey v \\(q_1\\). dokazhem, chto \\(|w_1|\\le 2n\\). predpolozhim protivnoe: \\(|w_1|>2n\\). kazhdoy vershine iz \\(w_1\\) sopostavim ee edinstvennogo soseda v \\(q_1\\). tak kak \\(|q_1|\\le n\\), po printsipu dirihle nay…","source_keys":["mmo"]}
{"id":"mmo-2011-firms-programmers-geniuses","title":"Стратегия второй фирмы при найме программистов и четырёх гениев, ММО 2011","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2011-firms-programmers-geniuses.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2011-firms-programmers-geniuses.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2011-firms-programmers-geniuses","source_key":"mmo","source_label":"ММО","source_titles":["LXXIV Московская математическая олимпиада 2011, официальный буклет"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":["Шаповалов А.В."],"tags":["graph_model","goal_strategy_game","connectivity"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":6,"comment":"ММО 2011, 10 класс, задача 6.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён до полного","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный сборник и повторная проверка развёрнутой стратегии из хвоста очереди official-plan-needs-completion","notes":"Решение раскрывает конструкцию графа, начальный ответ второй фирмы и инвариант строгого преимущества по расстояниям до трёх целевых гениев.","audit_source":"official-plan-tail-pass-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Фирмы нанимают знакомых программистов","status":"ai_checked","text":"Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 4 гения. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять по крайней мере 3 гениев, как бы ни действовала первая фирма?","definition_ids":["simple_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра на связно растущих множествах в графе знакомств","status":"ai_checked","text":"Существует ли простой граф с четырьмя выделенными вершинами, в котором два игрока по очереди выбирают ещё не выбранные вершины, причём первая вершина каждого игрока произвольна, а каждая следующая выбранная им вершина должна быть смежна хотя бы с одной уже выбранной им вершиной, и второй игрок гарантирует себе выбор не менее трёх выделенных вершин независимо от игры первого?","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-summary","title":"Развернутая стратегия второй фирмы","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: могут. Построим граф знакомств. Обозначим четырёх гениев через G0, G1, G2, G3. Добавим ещё четырёх программистов F0, F1, F2, F3, которые будут играть роль 'знаменитых'. Для каждой пары i, j соединим Fi и Gj отдельной цепочкой длины k(i,j), то есть цепочкой Fi = H0(i,j), H1(i,j), ..., Hk(i,j)(i,j) = Gj, где соседние вершины цепочки знакомы. Внутренние вершины всех шестнадцати цепочек считаются различными, а других программистов и других знакомств нет. Длины зададим таблицей: от F0: 13, 12, 11, 10; от F1: 12, 11, 10, 13; от F2: 11, 10, 13, 12; от F3: 10, 13, 12, 11. Иными словами, в строке Fi стоят длины цепочек от Fi до G0, G1, G2, G3. Каждая следующая строка получается циклическим сдвигом: по сравнению со строкой Fi строка F(i+1) короче ровно на 1 для трёх последовательных гениев и длиннее для четвёртого. Будем говорить, что расстояние от фирмы до ещё не нанятого программиста X р…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p17-mmo-2011-specialization","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem17-firms-and-geniuses","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"mmo-2011-firms-programmers-geniuses стратегия второй фирмы при найме программистов и четырёх гениев, ммо 2011 graph_model goal_strategy_game connectivity 2011 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2011/74mmo.pdf lxxiv московская математическая олимпиада 2011, официальный буклет mmo mmo2011 problem_and_solution src-mmo-2011-74mmo with_solution ммо ммо2011 шаповалов а.в. шаповалов а.в. lxxiv московская математическая олимпиада 2011, официальный буклет stmt-original фирмы нанимают знакомых программистов ai_checked две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 4 гения. первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. список программистов и их знакомств заранее известен. могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять по крайней мере 3 гениев, как бы ни действовала первая фирма? simple_graph path stmt-graph игра на связно растущих множествах в графе знакомств ai_checked существует ли простой граф с четырьмя выделенными вершинами, в котором два игрока по очереди выбирают ещё не выбранные вершины, причём первая вершина каждого игрока произвольна, а каждая следующая выбранная им вершина должна быть смежна хотя бы с одной уже выбранной им вершиной, и второй игрок гарантирует себе выбор не менее трёх выделенных вершин независимо от игры первого? simple_graph connected_graph path idea-distance-race-to-geniuses цепочки заданных длин к гениям ключевая конструкция строит граф из четырёх 'знаменитых' программистов и четырёх гениев, соединённых попарно внутренне непересекающимися цепочками специальных длин. вторая фирма после первого ответа фиксирует три целевых гения и поддерживает строгий инвариант: до каждого из них её оставшийся путь короче, чем минимальный путь первой фирмы. goal_strategy_game connectivity ai_checked sol-official-summary развернутая стратегия второй фирмы ai_checked ответ: могут. построим граф знакомств. обозначим четырёх гениев через g0, g1, g2, g3. добавим ещё четырёх программистов f0, f1, f2, f3, которые будут играть роль 'знаменитых'. для каждой пары i, j соединим fi и gj отдельной цепочкой длины k(i,j), то есть цепочкой fi = h0(i,j), h1(i,j), ..., hk(i,j)(i,j) = gj, где соседние вершины цепочки знакомы. внутренние вершины всех шестнадцати цепочек считаются различными, а других программистов и других знакомств нет. длины зададим таблицей: от f0: 13, 12, 11, 10; от f1: 12, 11, 10, 13; от f2: 11, 10, 13, 12; от f3: 10, 13, 12, 11. иными словами, в строке fi стоят длины цепочек от fi до g0, g1, g2, g3. каждая следующая строка получается циклическим сдвигом: по сравнению со строкой fi строка f(i+1) короче ровно на 1 для трёх последовательных гениев и длиннее для четвёртого. будем говорить, что расстояние от фирмы до ещё не нанятого программиста x р… mmo-2011-firms-programmers-geniuses strategiya vtoroy firmy pri nayme programmistov i chetyreh geniev, mmo 2011 graph_model goal_strategy_game connectivity 2011 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2011/74mmo.pdf lxxiv moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2011, ofitsialnyy buklet mmo mmo2011 problem_and_solution src-mmo-2011-74mmo with_solution mmo mmo2011 shapovalov a.v. shapovalov a.v. lxxiv moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2011, ofitsialnyy buklet stmt-original firmy nanimayut znakomyh programmistov ai_checked dve firmy po ocheredi nanimayut programmistov, sredi kotoryh est 4 geniya. pervogo programmista kazhdaya firma vybiraet proizvolno, a kazhdyy sleduyuschiy dolzhen byt znakom s kem-to iz ranee nanyatyh dannoy firmoy. esli firma ne mozhet nanyat programmista po etim pravilam, ona prekraschaet priem, a drugaya mozhet prodolzhat. spisok programmistov i ih znakomstv zaranee izvesten. mogut li znakomstva byt ustroeny tak, chto firma, vstupayuschaya v igru vtoroy, smozhet nanyat po krayney mere 3 geniev, kak by ni deystvovala pervaya firma? simple_graph path stmt-graph igra na svyazno rastuschih mnozhestvah v grafe znakomstv ai_checked suschestvuet li prostoy graf s chetyrmya vydelennymi vershinami, v kotorom dva igroka po ocheredi vybirayut esche ne vybrannye vershiny, prichem pervaya vershina kazhdogo igroka proizvolna, a kazhdaya sleduyuschaya vybrannaya im vershina dolzhna byt smezhna hotya by s odnoy uzhe vybrannoy im vershinoy, i vtoroy igrok garantiruet sebe vybor ne menee treh vydelennyh vershin nezavisimo ot igry pervogo? simple_graph connected_graph path idea-distance-race-to-geniuses tsepochki zadannyh dlin k geniyam klyuchevaya konstruktsiya stroit graf iz chetyreh 'znamenityh' programmistov i chetyreh geniev, soedinennyh poparno vnutrenne neperesekayuschimisya tsepochkami spetsialnyh dlin. vtoraya firma posle pervogo otveta fiksiruet tri tselevyh geniya i podderzhivaet strogiy invariant: do kazhdogo iz nih ee ostavshiysya put koroche, chem minimalnyy put pervoy firmy. goal_strategy_game connectivity ai_checked sol-official-summary razvernutaya strategiya vtoroy firmy ai_checked otvet: mogut. postroim graf znakomstv. oboznachim chetyreh geniev cherez g0, g1, g2, g3. dobavim esche chetyreh programmistov f0, f1, f2, f3, kotorye budut igrat rol 'znamenityh'. dlya kazhdoy pary i, j soedinim fi i gj otdelnoy tsepochkoy dliny k(i,j), to est tsepochkoy fi = h0(i,j), h1(i,j), ..., hk(i,j)(i,j) = gj, gde sosednie vershiny tsepochki znakomy. vnutrennie vershiny vseh shestnadtsati tsepochek schitayutsya razlichnymi, a drugih programmistov i drugih znakomstv net. dliny zadadim tablitsey: ot f0: 13, 12, 11, 10; ot f1: 12, 11, 10, 13; ot f2: 11, 10, 13, 12; ot f3: 10, 13, 12, 11. inymi slovami, v stroke fi stoyat dliny tsepochek ot fi do g0, g1, g2, g3. kazhdaya sleduyuschaya stroka poluchaetsya tsiklicheskim sdvigom: po sravneniyu so strokoy fi stroka f(i+1) koroche rovno na 1 dlya treh posledovatelnyh geniev i dlinnee dlya chetvertogo. budem govorit, chto rasstoyanie ot firmy do esche ne nanyatogo programmista x r…","source_keys":["mmo"]}
{"id":"mmo-2012-three-subsets-coloring","title":"Раскраска графа на тройках из 2^k элементов, ММО 2012","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2012-three-subsets-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2012-three-subsets-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2012-three-subsets-coloring","source_key":"mmo","source_label":"ММО","source_titles":["LXXV Московская математическая олимпиада 2012, официальный буклет"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":["А. М. Райгородский"],"tags":["coloring","extremal_graph_theory","graph_model","goal_exact_bound","construction","induction","modular_coloring"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":6,"comment":"ММО 2012, 10 класс, задача 6.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён до полного","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный сборник и повторная проверка уже развёрнутого решения из хвоста очереди official-plan-needs-completion","notes":"Решение содержит полную нижнюю оценку через линейную независимость над F2 и две конструкции раскраски, включая прямую двоичную конструкцию.","audit_source":"official-plan-tail-pass-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Граф на тройках из \\(\\{1,\\ldots,2^k\\}\\)","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества \\(\\{1,2,3,\\ldots,2^k\\}\\), а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.","definition_ids":["chromatic_number","simple_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Хроматическое число графа на 3-подмножествах","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(k\\ge 1\\), а \\(G_k\\) - простой граф, вершинами которого являются все 3-элементные подмножества множества \\([2^k]\\); две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие тройки имеют ровно один общий элемент. Найти \\(\\chi(G_k)\\).","definition_ids":["chromatic_number","simple_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-summary","title":"Полное доказательство нижней оценки и двух конструкций","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number","simple_graph","independent_set"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\((2^k-1)(2^k-2)/6\\). Докажем это в более общем обозначении. Пусть \\(n=2^k\\), а \\(G\\) - граф на всех тройках элементов множества \\([n]\\), где ребро означает пересечение ровно в одном элементе. Число вершин равно \\(\\binom n3\\). Если граф правильно раскрашен, то каждый цветовой класс является независимым множеством, поэтому \\(\\chi(G)\\ge |V(G)|/\\alpha(G)\\). Докажем, что \\(\\alpha(G)\\le n\\). Пусть \\(M_1,\\ldots,M_s\\) - независимое множество вершин, то есть любые две различные тройки \\(M_i,M_j\\) не пересекаются ровно в одном элементе. Запишем для каждой тройки её вектор инцидентности \\(x_i\\in\\mathbb F_2^n\\). Тогда \\(x_i\\cdot x_i=3\\equiv 1\\pmod 2\\), а при \\(i\\ne j\\) пересечение \\(M_i\\cap M_j\\) имеет размер 0 или 2, значит \\(x_i\\cdot x_j=0\\) в \\(\\mathbb F_2\\). Если \\(c_1x_1+\\cdots+c_sx_s=0\\) над \\(\\mathbb F_2\\), то скалярное умножение на \\(x_j\\) даёт \\(c_j=0\\). Следовательно, \\(x_1,\\ldots…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2022-triples-mmo-2012-triple-chromatic","neighbor_id":"imc-2022-day1-p4-triples-chromatic-loglog","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-mmo-2016-linguists-mmo-2012-three-subsets","neighbor_id":"mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-spbmo2003-p5-to-mmo2012-subset-intersection-coloring","neighbor_id":"spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"mmo-2012-three-subsets-coloring раскраска графа на тройках из 2^k элементов, ммо 2012 coloring extremal_graph_theory graph_model goal_exact_bound construction induction modular_coloring 2012 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2012/75mmo.pdf lxxv московская математическая олимпиада 2012, официальный буклет mmo mmo2012 problem_and_solution src-mmo-2012-75mmo with_solution а. м. райгородский ммо ммо2012 а. м. райгородский lxxv московская математическая олимпиада 2012, официальный буклет stmt-original граф на тройках из \\(\\{1,\\ldots,2^k\\}\\) ai_checked рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества \\(\\{1,2,3,\\ldots,2^k\\}\\), а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета. chromatic_number simple_graph stmt-graph хроматическое число графа на 3-подмножествах ai_checked пусть \\(k\\ge 1\\), а \\(g_k\\) - простой граф, вершинами которого являются все 3-элементные подмножества множества \\([2^k]\\); две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие тройки имеют ровно один общий элемент. найти \\(\\chi(g_k)\\). chromatic_number simple_graph independent_set idea-alpha-and-coloring независимые множества и две точные раскраски нижняя оценка получается из \\(\\alpha(g)\\le n\\) для графа на тройках из \\([n]\\): независимое семейство троек переводится в ортонормальную над \\(\\mathbb f_2\\) систему векторов инцидентности. верхняя оценка для \\(n=2^k\\) достигается двумя конструкциями: индукцией с разбиением множества пополам и 1-факторизациями полных графов, а также двоичным кодированием элементов и цветом \\(\\{a+b,a+c,b+c\\}\\) над \\(\\mathbb f_2^k\\). coloring extremal_graph_theory invariant construction modular_coloring induction ai_checked sol-official-summary полное доказательство нижней оценки и двух конструкций ai_checked chromatic_number simple_graph independent_set pigeonhole_principle induction ответ: \\((2^k-1)(2^k-2)/6\\). докажем это в более общем обозначении. пусть \\(n=2^k\\), а \\(g\\) - граф на всех тройках элементов множества \\([n]\\), где ребро означает пересечение ровно в одном элементе. число вершин равно \\(\\binom n3\\). если граф правильно раскрашен, то каждый цветовой класс является независимым множеством, поэтому \\(\\chi(g)\\ge |v(g)|/\\alpha(g)\\). докажем, что \\(\\alpha(g)\\le n\\). пусть \\(m_1,\\ldots,m_s\\) - независимое множество вершин, то есть любые две различные тройки \\(m_i,m_j\\) не пересекаются ровно в одном элементе. запишем для каждой тройки её вектор инцидентности \\(x_i\\in\\mathbb f_2^n\\). тогда \\(x_i\\cdot x_i=3\\equiv 1\\pmod 2\\), а при \\(i\\ne j\\) пересечение \\(m_i\\cap m_j\\) имеет размер 0 или 2, значит \\(x_i\\cdot x_j=0\\) в \\(\\mathbb f_2\\). если \\(c_1x_1+\\cdots+c_sx_s=0\\) над \\(\\mathbb f_2\\), то скалярное умножение на \\(x_j\\) даёт \\(c_j=0\\). следовательно, \\(x_1,\\ldots… mmo-2012-three-subsets-coloring raskraska grafa na troykah iz 2^k elementov, mmo 2012 coloring extremal_graph_theory graph_model goal_exact_bound construction induction modular_coloring 2012 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2012/75mmo.pdf lxxv moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2012, ofitsialnyy buklet mmo mmo2012 problem_and_solution src-mmo-2012-75mmo with_solution a. m. raygorodskiy mmo mmo2012 a. m. raygorodskiy lxxv moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2012, ofitsialnyy buklet stmt-original graf na troykah iz \\(\\{1,\\ldots,2^k\\}\\) ai_checked rassmotrim graf, u kotorogo vershiny sootvetstvuyut vsevozmozhnym trehelementnym podmnozhestvam mnozhestva \\(\\{1,2,3,\\ldots,2^k\\}\\), a rebra provodyatsya mezhdu vershinami, kotorye sootvetstvuyut podmnozhestvam, peresekayuschimsya rovno po odnomu elementu. naydite minimalnoe kolichestvo tsvetov, v kotorye mozhno raskrasit vershiny grafa tak, chtoby lyubye dve vershiny, soedinennye rebrom, byli raznogo tsveta. chromatic_number simple_graph stmt-graph hromaticheskoe chislo grafa na 3-podmnozhestvah ai_checked pust \\(k\\ge 1\\), a \\(g_k\\) - prostoy graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya vse 3-elementnye podmnozhestva mnozhestva \\([2^k]\\); dve vershiny smezhny togda i tolko togda, kogda sootvetstvuyuschie troyki imeyut rovno odin obschiy element. nayti \\(\\chi(g_k)\\). chromatic_number simple_graph independent_set idea-alpha-and-coloring nezavisimye mnozhestva i dve tochnye raskraski nizhnyaya otsenka poluchaetsya iz \\(\\alpha(g)\\le n\\) dlya grafa na troykah iz \\([n]\\): nezavisimoe semeystvo troek perevoditsya v ortonormalnuyu nad \\(\\mathbb f_2\\) sistemu vektorov intsidentnosti. verhnyaya otsenka dlya \\(n=2^k\\) dostigaetsya dvumya konstruktsiyami: induktsiey s razbieniem mnozhestva popolam i 1-faktorizatsiyami polnyh grafov, a takzhe dvoichnym kodirovaniem elementov i tsvetom \\(\\{a+b,a+c,b+c\\}\\) nad \\(\\mathbb f_2^k\\). coloring extremal_graph_theory invariant construction modular_coloring induction ai_checked sol-official-summary polnoe dokazatelstvo nizhney otsenki i dvuh konstruktsiy ai_checked chromatic_number simple_graph independent_set pigeonhole_principle induction otvet: \\((2^k-1)(2^k-2)/6\\). dokazhem eto v bolee obschem oboznachenii. pust \\(n=2^k\\), a \\(g\\) - graf na vseh troykah elementov mnozhestva \\([n]\\), gde rebro oznachaet peresechenie rovno v odnom elemente. chislo vershin ravno \\(\\binom n3\\). esli graf pravilno raskrashen, to kazhdyy tsvetovoy klass yavlyaetsya nezavisimym mnozhestvom, poetomu \\(\\chi(g)\\ge |v(g)|/\\alpha(g)\\). dokazhem, chto \\(\\alpha(g)\\le n\\). pust \\(m_1,\\ldots,m_s\\) - nezavisimoe mnozhestvo vershin, to est lyubye dve razlichnye troyki \\(m_i,m_j\\) ne peresekayutsya rovno v odnom elemente. zapishem dlya kazhdoy troyki ee vektor intsidentnosti \\(x_i\\in\\mathbb f_2^n\\). togda \\(x_i\\cdot x_i=3\\equiv 1\\pmod 2\\), a pri \\(i\\ne j\\) peresechenie \\(m_i\\cap m_j\\) imeet razmer 0 ili 2, znachit \\(x_i\\cdot x_j=0\\) v \\(\\mathbb f_2\\). esli \\(c_1x_1+\\cdots+c_sx_s=0\\) nad \\(\\mathbb f_2\\), to skalyarnoe umnozhenie na \\(x_j\\) daet \\(c_j=0\\). sledovatelno, \\(x_1,\\ldots…","source_keys":["mmo"]}
{"id":"mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound","title":"Лингвисты, три языка и нижняя оценка числа ребер в подграфе Кнезера, ММО 2015/16","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound","source_key":"mmo","source_label":"ММО","source_titles":["LXXIX Московская математическая олимпиада 2015/16, финальный буклет решений для 8-11 классов"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":["А. М. Райгородский"],"tags":["extremal_graph_theory","degree_counting","graph_model","double_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":6,"comment":"ММО 2015/16, заключительный тур, 9 класс, задача 6; официальный сборник после решения дает графовый комментарий.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"официальный источник сверен с локальным OCR и развёрнут в самодостаточное доказательство","notes":"Официальный подсчет полностью развернут; внешние леммы не требуются.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Страна лингвистов","status":"ai_checked","text":"В стране лингвистов есть n языков и m человек. Каждый человек знает ровно 3 языка, причем разные люди знают разные тройки языков. Наибольшее число людей, любые двое из которых могут поговорить без посредника, равно k. Известно, что 11n <= k <= m/2. Докажите, что найдется не менее mn пар людей, которые не могут поговорить без посредника.","definition_ids":["independent_set"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Подграф графа Кнезера на тройках","status":"ai_checked","text":"Пусть G - подграф графа Кнезера, вершинами которого являются 3-элементные подмножества множества {1,...,n}, а ребра соединяют непересекающиеся тройки. В графе G ровно m вершин, а его число независимости равно alpha(G)=k, где 11n <= k <= m/2. Докажите, что в G не меньше mn ребер.","definition_ids":["simple_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-counting","title":"Официальный подсчет после выбора максимального множества попарно общающихся людей","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","independent_set"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем множество \\(B\\) из \\(k\\) людей, любые двое из которых могут поговорить без посредника. Такое множество существует по определению \\(k\\), и оно максимально по включению: если бы к нему можно было добавить еще одного человека, то получилась бы компания из \\(k+1\\) попарно общающихся людей. Рассмотрим произвольного человека \\(X\\), не вошедшего в \\(B\\), и обозначим через \\(A\\) тройку языков, которые знает \\(X\\). По максимальности \\(B\\) человек \\(X\\) не может поговорить хотя бы с одним человеком \\(X'\\in B\\); иначе \\(X\\) можно было бы добавить к \\(B\\). Пусть \\(C\\) - тройка языков человека \\(X'\\). Тогда \\(A\\cap C=\\varnothing\\). Оценим сверху число людей \\(Y\\in B\\), которые могут поговорить с \\(X\\). Пусть \\(D\\) - тройка языков такого человека \\(Y\\). Так как \\(Y\\) говорит с \\(X\\), тройка \\(D\\) содержит некоторый язык \\(a\\in A\\). Кроме того, \\(Y\\) и \\(X'\\) оба лежат в \\(B\\), а любые два чел…"}],"relations":[{"id":"rel-mmo-2016-linguists-mmo-2012-three-subsets","neighbor_id":"mmo-2012-three-subsets-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-mmo-2016-linguists-turan-contrast","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"forward","type":"false_friend","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-mmo-2016-linguists-flashlight-independent-edge-bound","neighbor_id":"flashlight-batteries-tournament-cities-2015","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound лингвисты, три языка и нижняя оценка числа ребер в подграфе кнезера, ммо 2015/16 extremal_graph_theory degree_counting graph_model double_counting 2016 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2015-16/math/ans-math-8-11-final-15-6.pdf lxxix московская математическая олимпиада 2015/16, финальный буклет решений для 8-11 классов mmo mmo2016 problem_and_solution src-mmo-2016-final-8-11 with_solution а. м. райгородский ммо ммо2016 а. м. райгородский lxxix московская математическая олимпиада 2015/16, финальный буклет решений для 8-11 классов stmt-original страна лингвистов ai_checked в стране лингвистов есть n языков и m человек. каждый человек знает ровно 3 языка, причем разные люди знают разные тройки языков. наибольшее число людей, любые двое из которых могут поговорить без посредника, равно k. известно, что 11n <= k <= m/2. докажите, что найдется не менее mn пар людей, которые не могут поговорить без посредника. independent_set stmt-graph подграф графа кнезера на тройках ai_checked пусть g - подграф графа кнезера, вершинами которого являются 3-элементные подмножества множества {1,...,n}, а ребра соединяют непересекающиеся тройки. в графе g ровно m вершин, а его число независимости равно alpha(g)=k, где 11n <= k <= m/2. докажите, что в g не меньше mn ребер. simple_graph independent_set idea-kneser-language-triples люди как вершины графа кнезера официальный комментарий отождествляет каждого лингвиста с тройкой языков, которые он знает. два человека, которые не могут поговорить без посредника, соответствуют непересекающимся тройкам, то есть ребру графа кнезера k(n,3). наибольшее множество попарно общающихся людей становится независимым множеством в этом графе. graph_model extremal_graph_theory ai_checked sol-official-counting официальный подсчет после выбора максимального множества попарно общающихся людей ai_checked simple_graph independent_set double_counting выберем множество \\(b\\) из \\(k\\) людей, любые двое из которых могут поговорить без посредника. такое множество существует по определению \\(k\\), и оно максимально по включению: если бы к нему можно было добавить еще одного человека, то получилась бы компания из \\(k+1\\) попарно общающихся людей. рассмотрим произвольного человека \\(x\\), не вошедшего в \\(b\\), и обозначим через \\(a\\) тройку языков, которые знает \\(x\\). по максимальности \\(b\\) человек \\(x\\) не может поговорить хотя бы с одним человеком \\(x'\\in b\\); иначе \\(x\\) можно было бы добавить к \\(b\\). пусть \\(c\\) - тройка языков человека \\(x'\\). тогда \\(a\\cap c=\\varnothing\\). оценим сверху число людей \\(y\\in b\\), которые могут поговорить с \\(x\\). пусть \\(d\\) - тройка языков такого человека \\(y\\). так как \\(y\\) говорит с \\(x\\), тройка \\(d\\) содержит некоторый язык \\(a\\in a\\). кроме того, \\(y\\) и \\(x'\\) оба лежат в \\(b\\), а любые два чел… mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound lingvisty, tri yazyka i nizhnyaya otsenka chisla reber v podgrafe knezera, mmo 2015/16 extremal_graph_theory degree_counting graph_model double_counting 2016 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2015-16/math/ans-math-8-11-final-15-6.pdf lxxix moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2015/16, finalnyy buklet resheniy dlya 8-11 klassov mmo mmo2016 problem_and_solution src-mmo-2016-final-8-11 with_solution a. m. raygorodskiy mmo mmo2016 a. m. raygorodskiy lxxix moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2015/16, finalnyy buklet resheniy dlya 8-11 klassov stmt-original strana lingvistov ai_checked v strane lingvistov est n yazykov i m chelovek. kazhdyy chelovek znaet rovno 3 yazyka, prichem raznye lyudi znayut raznye troyki yazykov. naibolshee chislo lyudey, lyubye dvoe iz kotoryh mogut pogovorit bez posrednika, ravno k. izvestno, chto 11n <= k <= m/2. dokazhite, chto naydetsya ne menee mn par lyudey, kotorye ne mogut pogovorit bez posrednika. independent_set stmt-graph podgraf grafa knezera na troykah ai_checked pust g - podgraf grafa knezera, vershinami kotorogo yavlyayutsya 3-elementnye podmnozhestva mnozhestva {1,...,n}, a rebra soedinyayut neperesekayuschiesya troyki. v grafe g rovno m vershin, a ego chislo nezavisimosti ravno alpha(g)=k, gde 11n <= k <= m/2. dokazhite, chto v g ne menshe mn reber. simple_graph independent_set idea-kneser-language-triples lyudi kak vershiny grafa knezera ofitsialnyy kommentariy otozhdestvlyaet kazhdogo lingvista s troykoy yazykov, kotorye on znaet. dva cheloveka, kotorye ne mogut pogovorit bez posrednika, sootvetstvuyut neperesekayuschimsya troykam, to est rebru grafa knezera k(n,3). naibolshee mnozhestvo poparno obschayuschihsya lyudey stanovitsya nezavisimym mnozhestvom v etom grafe. graph_model extremal_graph_theory ai_checked sol-official-counting ofitsialnyy podschet posle vybora maksimalnogo mnozhestva poparno obschayuschihsya lyudey ai_checked simple_graph independent_set double_counting vyberem mnozhestvo \\(b\\) iz \\(k\\) lyudey, lyubye dvoe iz kotoryh mogut pogovorit bez posrednika. takoe mnozhestvo suschestvuet po opredeleniyu \\(k\\), i ono maksimalno po vklyucheniyu: esli by k nemu mozhno bylo dobavit esche odnogo cheloveka, to poluchilas by kompaniya iz \\(k+1\\) poparno obschayuschihsya lyudey. rassmotrim proizvolnogo cheloveka \\(x\\), ne voshedshego v \\(b\\), i oboznachim cherez \\(a\\) troyku yazykov, kotorye znaet \\(x\\). po maksimalnosti \\(b\\) chelovek \\(x\\) ne mozhet pogovorit hotya by s odnim chelovekom \\(x'\\in b\\); inache \\(x\\) mozhno bylo by dobavit k \\(b\\). pust \\(c\\) - troyka yazykov cheloveka \\(x'\\). togda \\(a\\cap c=\\varnothing\\). otsenim sverhu chislo lyudey \\(y\\in b\\), kotorye mogut pogovorit s \\(x\\). pust \\(d\\) - troyka yazykov takogo cheloveka \\(y\\). tak kak \\(y\\) govorit s \\(x\\), troyka \\(d\\) soderzhit nekotoryy yazyk \\(a\\in a\\). krome togo, \\(y\\) i \\(x'\\) oba lezhat v \\(b\\), a lyubye dva chel…","source_keys":["mmo"]}
{"id":"mmo-2018-acquaintance-seating-clique-chromatic","title":"Рассадка 2018 участников и кликовое хроматическое число, ММО 2017/18","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2018-acquaintance-seating-clique-chromatic.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2018-acquaintance-seating-clique-chromatic.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2018-acquaintance-seating-clique-chromatic","source_key":"mmo","source_label":"Рассадка","source_titles":["LXXXI Московская математическая олимпиада 2017/18, 9 класс, финальные условия","LXXXI Московская математическая олимпиада 2017/18, 9 класс, финальные решения"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_model","induction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":6,"comment":"ММО 2017/18, заключительный тур, 9 класс, задача 6; сборник решений содержит графовый комментарий о кликовом хроматическом числе.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"официальные PDF условия и решений финала MMO 2017/18 для 9 класса","notes":"Официальный план развёрнут в полное самодостаточное доказательство; графовый комментарий источника использован только для терминологической связи с кликовым хроматическим числом.","label":"официальное решение"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Участники олимпиады и кружки","status":"ai_checked","text":"На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые участники знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют кружок, если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то из них. Докажите, что можно рассадить всех участников олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не сидят все представители какого-либо кружка.","definition_ids":["clique"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраска без одноцветных максимальных клик","status":"ai_checked","text":"Для любого графа G не более чем на 2018 вершинах раскрасьте V(G) не более чем в 90 цветов так, чтобы ни одна максимальная клика размера хотя бы 2 не была одноцветной. Эквивалентно, требуется оценить кликовое хроматическое число в этом конечном случае числом 90.","definition_ids":["simple_graph","clique","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-induction-degree","title":"Официальная индукция с разбором большой и малой степени","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","clique","degree","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["induction","greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведем условие на язык графов. Участники будут вершинами простого графа \\(G\\), а знакомые пары - ребрами. Тогда кружок из условия - это максимальная по включению клика размера хотя бы \\(2\\): ее вершины попарно соединены, а условие про любого другого участника ровно означает, что к этой клике нельзя добавить еще одну вершину. Рассадка по аудиториям - это раскраска вершин; нужно, чтобы ни одна максимальная клика размера хотя бы \\(2\\) не оказалась одноцветной. Докажем более сильное утверждение: для любого натурального \\(k\\) любой граф не более чем на \\(k^2\\) вершинах можно раскрасить не более чем в \\(2k\\) цветов так, чтобы ни одна максимальная клика размера хотя бы \\(2\\) не была одноцветной. Тогда исходная задача получается при \\(k=45\\), потому что \\(2018\\le 2025=45^2\\), а цветов будет \\(90\\). Докажем утверждение индукцией по \\(k\\). При \\(k=1\\) и \\(k=2\\) имеем \\(k^2\\le 2k\\), поэтому мож…"}],"relations":[{"id":"rel-degeneracy-greedy-to-mmo-2018-clique-coloring","neighbor_id":"degeneracy-greedy-coloring","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"mmo-2018-acquaintance-seating-clique-chromatic рассадка 2018 участников и кликовое хроматическое число, ммо 2017/18 coloring graph_model induction 2018 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2017-18/math/ans-math-9-final-17-8.pdf https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2017-18/math/tasks-math-9-final-17-8.pdf lxxxi московская математическая олимпиада 2017/18, 9 класс, финальные решения lxxxi московская математическая олимпиада 2017/18, 9 класс, финальные условия mmo mmo2018 olympiad_archive problem_and_solution src-mmo-2018-grade9-final src-mmo-2018-grade9-final-solutions with_solution рассадка рассадка2018 lxxxi московская математическая олимпиада 2017/18, 9 класс, финальные условия lxxxi московская математическая олимпиада 2017/18, 9 класс, финальные решения stmt-original участники олимпиады и кружки ai_checked на олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые участники знакомы между собой. будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют кружок, если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то из них. докажите, что можно рассадить всех участников олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не сидят все представители какого-либо кружка. clique stmt-graph раскраска без одноцветных максимальных клик ai_checked для любого графа g не более чем на 2018 вершинах раскрасьте v(g) не более чем в 90 цветов так, чтобы ни одна максимальная клика размера хотя бы 2 не была одноцветной. эквивалентно, требуется оценить кликовое хроматическое число в этом конечном случае числом 90. simple_graph clique chromatic_number idea-rooms-as-clique-coloring аудитории как цвета официальный комментарий говорит, что задача относится к кликовому хроматическому числу графа: участники являются вершинами, пары знакомых - ребрами, а кружок - максимальной кликой. рассадка по аудиториям становится раскраской вершин, при которой каждая существенная максимальная клика не является одноцветной. graph_model coloring ai_checked sol-official-induction-degree официальная индукция с разбором большой и малой степени ai_checked simple_graph clique degree chromatic_number induction greedy_ordering переведем условие на язык графов. участники будут вершинами простого графа \\(g\\), а знакомые пары - ребрами. тогда кружок из условия - это максимальная по включению клика размера хотя бы \\(2\\): ее вершины попарно соединены, а условие про любого другого участника ровно означает, что к этой клике нельзя добавить еще одну вершину. рассадка по аудиториям - это раскраска вершин; нужно, чтобы ни одна максимальная клика размера хотя бы \\(2\\) не оказалась одноцветной. докажем более сильное утверждение: для любого натурального \\(k\\) любой граф не более чем на \\(k^2\\) вершинах можно раскрасить не более чем в \\(2k\\) цветов так, чтобы ни одна максимальная клика размера хотя бы \\(2\\) не была одноцветной. тогда исходная задача получается при \\(k=45\\), потому что \\(2018\\le 2025=45^2\\), а цветов будет \\(90\\). докажем утверждение индукцией по \\(k\\). при \\(k=1\\) и \\(k=2\\) имеем \\(k^2\\le 2k\\), поэтому мож… mmo-2018-acquaintance-seating-clique-chromatic rassadka 2018 uchastnikov i klikovoe hromaticheskoe chislo, mmo 2017/18 coloring graph_model induction 2018 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2017-18/math/ans-math-9-final-17-8.pdf https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2017-18/math/tasks-math-9-final-17-8.pdf lxxxi moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2017/18, 9 klass, finalnye resheniya lxxxi moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2017/18, 9 klass, finalnye usloviya mmo mmo2018 olympiad_archive problem_and_solution src-mmo-2018-grade9-final src-mmo-2018-grade9-final-solutions with_solution rassadka rassadka2018 lxxxi moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2017/18, 9 klass, finalnye usloviya lxxxi moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2017/18, 9 klass, finalnye resheniya stmt-original uchastniki olimpiady i kruzhki ai_checked na olimpiadu prishlo 2018 uchastnikov, nekotorye uchastniki znakomy mezhdu soboy. budem govorit, chto neskolko poparno znakomyh uchastnikov obrazuyut kruzhok, esli lyuboy drugoy uchastnik olimpiady ne znakom s kem-to iz nih. dokazhite, chto mozhno rassadit vseh uchastnikov olimpiady po 90 auditoriyam tak, chto ni v kakoy auditorii ne sidyat vse predstaviteli kakogo-libo kruzhka. clique stmt-graph raskraska bez odnotsvetnyh maksimalnyh klik ai_checked dlya lyubogo grafa g ne bolee chem na 2018 vershinah raskraste v(g) ne bolee chem v 90 tsvetov tak, chtoby ni odna maksimalnaya klika razmera hotya by 2 ne byla odnotsvetnoy. ekvivalentno, trebuetsya otsenit klikovoe hromaticheskoe chislo v etom konechnom sluchae chislom 90. simple_graph clique chromatic_number idea-rooms-as-clique-coloring auditorii kak tsveta ofitsialnyy kommentariy govorit, chto zadacha otnositsya k klikovomu hromaticheskomu chislu grafa: uchastniki yavlyayutsya vershinami, pary znakomyh - rebrami, a kruzhok - maksimalnoy klikoy. rassadka po auditoriyam stanovitsya raskraskoy vershin, pri kotoroy kazhdaya suschestvennaya maksimalnaya klika ne yavlyaetsya odnotsvetnoy. graph_model coloring ai_checked sol-official-induction-degree ofitsialnaya induktsiya s razborom bolshoy i maloy stepeni ai_checked simple_graph clique degree chromatic_number induction greedy_ordering perevedem uslovie na yazyk grafov. uchastniki budut vershinami prostogo grafa \\(g\\), a znakomye pary - rebrami. togda kruzhok iz usloviya - eto maksimalnaya po vklyucheniyu klika razmera hotya by \\(2\\): ee vershiny poparno soedineny, a uslovie pro lyubogo drugogo uchastnika rovno oznachaet, chto k etoy klike nelzya dobavit esche odnu vershinu. rassadka po auditoriyam - eto raskraska vershin; nuzhno, chtoby ni odna maksimalnaya klika razmera hotya by \\(2\\) ne okazalas odnotsvetnoy. dokazhem bolee silnoe utverzhdenie: dlya lyubogo naturalnogo \\(k\\) lyuboy graf ne bolee chem na \\(k^2\\) vershinah mozhno raskrasit ne bolee chem v \\(2k\\) tsvetov tak, chtoby ni odna maksimalnaya klika razmera hotya by \\(2\\) ne byla odnotsvetnoy. togda ishodnaya zadacha poluchaetsya pri \\(k=45\\), potomu chto \\(2018\\le 2025=45^2\\), a tsvetov budet \\(90\\). dokazhem utverzhdenie induktsiey po \\(k\\). pri \\(k=1\\) i \\(k=2\\) imeem \\(k^2\\le 2k\\), poetomu mozh…","source_keys":["mmo"]}
{"id":"mmo-2020-one-way-roads-acyclic-tournament","title":"Односторонние дороги между 32 городами, ММО 2020/21, 8 класс, задача 6","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2020-one-way-roads-acyclic-tournament.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2020-one-way-roads-acyclic-tournament.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2020-one-way-roads-acyclic-tournament","source_key":"mmo","source_label":"ММО","source_titles":["Московская математическая олимпиада 2020/21, 8 класс, финальные условия","Московская математическая олимпиада 2020/21, 8 класс, финальные решения"],"year":"2020","type":"olympiad_problem","authors":["Заславский А.А."],"tags":["tournaments","graph_model","induction","dynamics","extremal_choice"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":6,"comment":"ММО 2020/21, заключительный этап, 8 класс, задача 6.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"официальное решение source and non-compressed solution text","notes":"Текущий текст основан на официальном источнике и выглядит полным или почти полным.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Министр меняет направления дорог","status":"ai_checked","text":"В некотором государстве 32 города, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Министр путей сообщения, тайный злодей, решил так организовать движение, что, покинув любой город, в него нельзя будет вернуться. Для этого он каждый день, начиная с 1 июня 2021 года, может менять направление движения на одной из дорог. Докажите, что он сможет добиться своего к 2022 году, то есть за 214 дней.","definition_ids":["directed_graph","tournament","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Развороты ребер турнира до ацикличности","status":"ai_checked","text":"Дан турнир на 32 вершинах. За один ход разрешено развернуть одно ребро. Нужно доказать, что не более чем за 214 разворотов можно получить ациклический турнир, то есть такой порядок вершин, в котором все ребра направлены вперед.","definition_ids":["directed_graph","tournament","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-induction","title":"Индукция по степеням двойки","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","tournament","cycle"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведем условие на язык турниров. Города считаем вершинами, а дорога между двумя городами задает направление ребра. Требование «покинув любой город, в него нельзя будет вернуться» означает отсутствие ориентированных циклов: если можно выйти из города и вернуться в него по направленным дорогам, то в получившемся замкнутом маршруте есть ориентированный цикл; обратно, ориентированный цикл сразу дает возвращение в начальный город. Поэтому достаточно получить ациклический турнир. Докажем более сильное утверждение: для любого \\(n\\ge 1\\) любой турнир на \\(2^n\\) вершинах можно сделать ациклическим не более чем за \\[F(n)=2^{n-2}(2^n-n-1)\\] разворотов ребер. При \\(n=1\\) вершин две, ориентированного цикла быть не может, и \\(F(1)=0\\). Лемма. Пусть в турнире \\(2k\\) вершин. Выберем \\(k\\) вершин с наибольшими исходящими степенями и назовем это множество \\(A\\). Тогда суммарная исходящая степень верши…"}],"relations":[],"search_text":"mmo-2020-one-way-roads-acyclic-tournament односторонние дороги между 32 городами, ммо 2020/21, 8 класс, задача 6 tournaments graph_model induction dynamics extremal_choice 2020 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2020-21/math/ans-math-8-final-20-21.pdf https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2020-21/math/tasks-math-8-final-20-21.pdf mmo mmo2020 olympiad_archive problem_and_solution src-mmo-2020-21-ans-8-final src-mmo-2020-21-tasks-8-final with_solution заславский а.а. ммо ммо2020 московская математическая олимпиада 2020/21, 8 класс, финальные решения московская математическая олимпиада 2020/21, 8 класс, финальные условия заславский а.а. московская математическая олимпиада 2020/21, 8 класс, финальные условия московская математическая олимпиада 2020/21, 8 класс, финальные решения stmt-original министр меняет направления дорог ai_checked в некотором государстве 32 города, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. министр путей сообщения, тайный злодей, решил так организовать движение, что, покинув любой город, в него нельзя будет вернуться. для этого он каждый день, начиная с 1 июня 2021 года, может менять направление движения на одной из дорог. докажите, что он сможет добиться своего к 2022 году, то есть за 214 дней. directed_graph tournament cycle stmt-graph развороты ребер турнира до ацикличности ai_checked дан турнир на 32 вершинах. за один ход разрешено развернуть одно ребро. нужно доказать, что не более чем за 214 разворотов можно получить ациклический турнир, то есть такой порядок вершин, в котором все ребра направлены вперед. directed_graph tournament cycle idea-half-largest-outdegree выбрать половину городов и индуктивно упорядочить части достаточно доказать общую оценку для \\(2^n\\) городов. выберем половину вершин с наибольшими исходящими степенями; тогда из этой половины наружу идет достаточно много ребер, поэтому мало междолевых ребер придется развернуть, чтобы все они шли из первой половины во вторую. после этого обе половины обрабатываются индуктивно. induction tournaments extremal_choice ai_checked sol-official-induction индукция по степеням двойки ai_checked directed_graph tournament cycle induction переведем условие на язык турниров. города считаем вершинами, а дорога между двумя городами задает направление ребра. требование «покинув любой город, в него нельзя будет вернуться» означает отсутствие ориентированных циклов: если можно выйти из города и вернуться в него по направленным дорогам, то в получившемся замкнутом маршруте есть ориентированный цикл; обратно, ориентированный цикл сразу дает возвращение в начальный город. поэтому достаточно получить ациклический турнир. докажем более сильное утверждение: для любого \\(n\\ge 1\\) любой турнир на \\(2^n\\) вершинах можно сделать ациклическим не более чем за \\[f(n)=2^{n-2}(2^n-n-1)\\] разворотов ребер. при \\(n=1\\) вершин две, ориентированного цикла быть не может, и \\(f(1)=0\\). лемма. пусть в турнире \\(2k\\) вершин. выберем \\(k\\) вершин с наибольшими исходящими степенями и назовем это множество \\(a\\). тогда суммарная исходящая степень верши… mmo-2020-one-way-roads-acyclic-tournament odnostoronnie dorogi mezhdu 32 gorodami, mmo 2020/21, 8 klass, zadacha 6 tournaments graph_model induction dynamics extremal_choice 2020 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2020-21/math/ans-math-8-final-20-21.pdf https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2020-21/math/tasks-math-8-final-20-21.pdf mmo mmo2020 olympiad_archive problem_and_solution src-mmo-2020-21-ans-8-final src-mmo-2020-21-tasks-8-final with_solution zaslavskiy a.a. mmo mmo2020 moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2020/21, 8 klass, finalnye resheniya moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2020/21, 8 klass, finalnye usloviya zaslavskiy a.a. moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2020/21, 8 klass, finalnye usloviya moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2020/21, 8 klass, finalnye resheniya stmt-original ministr menyaet napravleniya dorog ai_checked v nekotorom gosudarstve 32 goroda, kazhdye dva iz kotoryh soedineny dorogoy s odnostoronnim dvizheniem. ministr putey soobscheniya, taynyy zlodey, reshil tak organizovat dvizhenie, chto, pokinuv lyuboy gorod, v nego nelzya budet vernutsya. dlya etogo on kazhdyy den, nachinaya s 1 iyunya 2021 goda, mozhet menyat napravlenie dvizheniya na odnoy iz dorog. dokazhite, chto on smozhet dobitsya svoego k 2022 godu, to est za 214 dney. directed_graph tournament cycle stmt-graph razvoroty reber turnira do atsiklichnosti ai_checked dan turnir na 32 vershinah. za odin hod razresheno razvernut odno rebro. nuzhno dokazat, chto ne bolee chem za 214 razvorotov mozhno poluchit atsiklicheskiy turnir, to est takoy poryadok vershin, v kotorom vse rebra napravleny vpered. directed_graph tournament cycle idea-half-largest-outdegree vybrat polovinu gorodov i induktivno uporyadochit chasti dostatochno dokazat obschuyu otsenku dlya \\(2^n\\) gorodov. vyberem polovinu vershin s naibolshimi ishodyaschimi stepenyami; togda iz etoy poloviny naruzhu idet dostatochno mnogo reber, poetomu malo mezhdolevyh reber pridetsya razvernut, chtoby vse oni shli iz pervoy poloviny vo vtoruyu. posle etogo obe poloviny obrabatyvayutsya induktivno. induction tournaments extremal_choice ai_checked sol-official-induction induktsiya po stepenyam dvoyki ai_checked directed_graph tournament cycle induction perevedem uslovie na yazyk turnirov. goroda schitaem vershinami, a doroga mezhdu dvumya gorodami zadaet napravlenie rebra. trebovanie «pokinuv lyuboy gorod, v nego nelzya budet vernutsya» oznachaet otsutstvie orientirovannyh tsiklov: esli mozhno vyyti iz goroda i vernutsya v nego po napravlennym dorogam, to v poluchivshemsya zamknutom marshrute est orientirovannyy tsikl; obratno, orientirovannyy tsikl srazu daet vozvraschenie v nachalnyy gorod. poetomu dostatochno poluchit atsiklicheskiy turnir. dokazhem bolee silnoe utverzhdenie: dlya lyubogo \\(n\\ge 1\\) lyuboy turnir na \\(2^n\\) vershinah mozhno sdelat atsiklicheskim ne bolee chem za \\[f(n)=2^{n-2}(2^n-n-1)\\] razvorotov reber. pri \\(n=1\\) vershin dve, orientirovannogo tsikla byt ne mozhet, i \\(f(1)=0\\). lemma. pust v turnire \\(2k\\) vershin. vyberem \\(k\\) vershin s naibolshimi ishodyaschimi stepenyami i nazovem eto mnozhestvo \\(a\\). togda summarnaya ishodyaschaya stepen vershi…","source_keys":["mmo"]}
{"id":"mmo-2023-hypergraph-club-acquaintance-graph","title":"Клуб гиперграфов: минимум школьников при 100 заседаниях и условии на знакомства, ММО 2023/24, 10 класс, задача 3","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2023-hypergraph-club-acquaintance-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2023-hypergraph-club-acquaintance-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2023-hypergraph-club-acquaintance-graph","source_key":"mmo","source_label":"ММО","source_titles":["Московская математическая олимпиада 2023/24, 10 класс, финальные условия","Московская математическая олимпиада 2023/24, 10 класс, финальные решения"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":["Д. Метелев"],"tags":["graph_model","degree_counting","double_counting","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"ММО 2023/24, заключительный этап, 10 класс, задача 3; ответ 11 получается из короткой нижней оценки по максимальному числу посещений и явной конструкции.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"официальное решение source and non-compressed solution text","notes":"Текущий текст основан на официальном источнике и выглядит полным или почти полным.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Заседания клуба гиперграфов","status":"ai_checked","text":"В клуб любителей гиперграфов в начале года записались n попарно незнакомых школьников. За год клуб провел 100 заседаний, каждое посетил хотя бы один школьник. Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. Найдите минимальное значение n, при котором такое могло случиться.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Минимальный порядок гиперграфа с ограничением на степени 2-секции","status":"ai_checked","text":"Дан гиперграф H с n вершинами и 100 непустыми гиперребрами. Пусть G - 2-секция H: две разные вершины смежны в G тогда и только тогда, когда они входят в общее гиперребро H. Найти минимальное n, для которого возможно, что для каждой вершины v степень v в G не меньше числа гиперребер H, содержащих v.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-hypergraph-club","title":"Оценка и конструкция на 11 школьниках","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 11. Сначала докажем, что меньше 11 школьников быть не могло. Для каждого школьника посчитаем, сколько заседаний он посетил, и выберем школьника A, у которого это число максимально; обозначим его через k. Каждое из 100 заседаний посетил хотя бы один школьник, поэтому общее число посещений всех школьников по всем заседаниям не меньше 100. С другой стороны, по выбору A каждый из n школьников посетил не более k заседаний, значит общее число посещений не больше nk. Следовательно, nk >= 100, то есть k >= 100/n. По условию у школьника A число знакомых не меньше числа посещенных им заседаний, значит у A есть по крайней мере k знакомых. Вместе с самим A это дает по крайней мере k + 1 различных школьников, поэтому n >= k + 1. Совмещая это с k >= 100/n, получаем n >= 100/n + 1. При n <= 10 правая часть строго больше n, поскольку 100/n + 1 >= 11, а значит такое n невозможно. Следовательно, n…"}],"relations":[{"id":"rel-mmo-2008-athletes-arbiters-mmo-2023-hypergraph-club","neighbor_id":"mmo-2008-athletes-arbiters-photos","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"mmo-2023-hypergraph-club-acquaintance-graph клуб гиперграфов: минимум школьников при 100 заседаниях и условии на знакомства, ммо 2023/24, 10 класс, задача 3 graph_model degree_counting double_counting construction goal_exact_bound 2023 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2023-24/math/sol-math-10-final-23-24.pdf https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2023-24/math/tasks-math-10-final-23-24.pdf mmo mmo2023 olympiad_archive problem_and_solution src-mmo-2023-24-sol-10-final src-mmo-2023-24-tasks-10-final with_solution д. метелев ммо ммо2023 московская математическая олимпиада 2023/24, 10 класс, финальные решения московская математическая олимпиада 2023/24, 10 класс, финальные условия д. метелев московская математическая олимпиада 2023/24, 10 класс, финальные условия московская математическая олимпиада 2023/24, 10 класс, финальные решения stmt-original заседания клуба гиперграфов ai_checked в клуб любителей гиперграфов в начале года записались n попарно незнакомых школьников. за год клуб провел 100 заседаний, каждое посетил хотя бы один школьник. два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. в конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. найдите минимальное значение n, при котором такое могло случиться. simple_graph degree stmt-graph минимальный порядок гиперграфа с ограничением на степени 2-секции ai_checked дан гиперграф h с n вершинами и 100 непустыми гиперребрами. пусть g - 2-секция h: две разные вершины смежны в g тогда и только тогда, когда они входят в общее гиперребро h. найти минимальное n, для которого возможно, что для каждой вершины v степень v в g не меньше числа гиперребер h, содержащих v. simple_graph degree idea-incidence-vs-acquaintance-degree сравнить посещения и степени в графе знакомств заседания образуют гиперребра, а знакомства - обычный граф на тех же вершинах. нижняя оценка получается из выбора школьника с максимальным числом посещений: общее число посещений не меньше числа заседаний, а условие задачи превращает число посещений этого школьника в нижнюю оценку на его степень в графе знакомств. graph_model degree_counting ai_checked sol-official-hypergraph-club оценка и конструкция на 11 школьниках ai_checked simple_graph degree double_counting extremal_choice ответ: 11. сначала докажем, что меньше 11 школьников быть не могло. для каждого школьника посчитаем, сколько заседаний он посетил, и выберем школьника a, у которого это число максимально; обозначим его через k. каждое из 100 заседаний посетил хотя бы один школьник, поэтому общее число посещений всех школьников по всем заседаниям не меньше 100. с другой стороны, по выбору a каждый из n школьников посетил не более k заседаний, значит общее число посещений не больше nk. следовательно, nk >= 100, то есть k >= 100/n. по условию у школьника a число знакомых не меньше числа посещенных им заседаний, значит у a есть по крайней мере k знакомых. вместе с самим a это дает по крайней мере k + 1 различных школьников, поэтому n >= k + 1. совмещая это с k >= 100/n, получаем n >= 100/n + 1. при n <= 10 правая часть строго больше n, поскольку 100/n + 1 >= 11, а значит такое n невозможно. следовательно, n… mmo-2023-hypergraph-club-acquaintance-graph klub gipergrafov: minimum shkolnikov pri 100 zasedaniyah i uslovii na znakomstva, mmo 2023/24, 10 klass, zadacha 3 graph_model degree_counting double_counting construction goal_exact_bound 2023 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2023-24/math/sol-math-10-final-23-24.pdf https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2023-24/math/tasks-math-10-final-23-24.pdf mmo mmo2023 olympiad_archive problem_and_solution src-mmo-2023-24-sol-10-final src-mmo-2023-24-tasks-10-final with_solution d. metelev mmo mmo2023 moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2023/24, 10 klass, finalnye resheniya moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2023/24, 10 klass, finalnye usloviya d. metelev moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2023/24, 10 klass, finalnye usloviya moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2023/24, 10 klass, finalnye resheniya stmt-original zasedaniya kluba gipergrafov ai_checked v klub lyubiteley gipergrafov v nachale goda zapisalis n poparno neznakomyh shkolnikov. za god klub provel 100 zasedaniy, kazhdoe posetil hotya by odin shkolnik. dva shkolnika znakomilis, esli bylo hotya by odno zasedanie, kotoroe oni oba posetili. v kontse goda okazalos, chto kolichestvo znakomyh u kazhdogo shkolnika ne menshe, chem kolichestvo zasedaniy, kotorye on posetil. naydite minimalnoe znachenie n, pri kotorom takoe moglo sluchitsya. simple_graph degree stmt-graph minimalnyy poryadok gipergrafa s ogranicheniem na stepeni 2-sektsii ai_checked dan gipergraf h s n vershinami i 100 nepustymi giperrebrami. pust g - 2-sektsiya h: dve raznye vershiny smezhny v g togda i tolko togda, kogda oni vhodyat v obschee giperrebro h. nayti minimalnoe n, dlya kotorogo vozmozhno, chto dlya kazhdoy vershiny v stepen v v g ne menshe chisla giperreber h, soderzhaschih v. simple_graph degree idea-incidence-vs-acquaintance-degree sravnit posescheniya i stepeni v grafe znakomstv zasedaniya obrazuyut giperrebra, a znakomstva - obychnyy graf na teh zhe vershinah. nizhnyaya otsenka poluchaetsya iz vybora shkolnika s maksimalnym chislom posescheniy: obschee chislo posescheniy ne menshe chisla zasedaniy, a uslovie zadachi prevraschaet chislo posescheniy etogo shkolnika v nizhnyuyu otsenku na ego stepen v grafe znakomstv. graph_model degree_counting ai_checked sol-official-hypergraph-club otsenka i konstruktsiya na 11 shkolnikah ai_checked simple_graph degree double_counting extremal_choice otvet: 11. snachala dokazhem, chto menshe 11 shkolnikov byt ne moglo. dlya kazhdogo shkolnika poschitaem, skolko zasedaniy on posetil, i vyberem shkolnika a, u kotorogo eto chislo maksimalno; oboznachim ego cherez k. kazhdoe iz 100 zasedaniy posetil hotya by odin shkolnik, poetomu obschee chislo posescheniy vseh shkolnikov po vsem zasedaniyam ne menshe 100. s drugoy storony, po vyboru a kazhdyy iz n shkolnikov posetil ne bolee k zasedaniy, znachit obschee chislo posescheniy ne bolshe nk. sledovatelno, nk >= 100, to est k >= 100/n. po usloviyu u shkolnika a chislo znakomyh ne menshe chisla poseschennyh im zasedaniy, znachit u a est po krayney mere k znakomyh. vmeste s samim a eto daet po krayney mere k + 1 razlichnyh shkolnikov, poetomu n >= k + 1. sovmeschaya eto s k >= 100/n, poluchaem n >= 100/n + 1. pri n <= 10 pravaya chast strogo bolshe n, poskolku 100/n + 1 >= 11, a znachit takoe n nevozmozhno. sledovatelno, n…","source_keys":["mmo"]}
{"id":"mmo-2024-symposium-acquaintance-lies","title":"Симпозиум лжецов и правдолюбов: ответы о знакомстве, ММО 2024/25, 11 класс, задача 1","path":"data\\problems\\mmo\\mmo-2024-symposium-acquaintance-lies.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/mmo/mmo-2024-symposium-acquaintance-lies.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mmo-2024-symposium-acquaintance-lies","source_key":"mmo","source_label":"ММО","source_titles":["Московская математическая олимпиада 2024/25, 11 класс, финал, день 1, условия","Московская математическая олимпиада 2024/25, 11 класс, финал, день 1, решения"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":["Евдокимов М.А."],"tags":["graph_model","graph_symmetry","double_counting","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":3,"comment":"ММО 2024/25, заключительный этап, 11 класс, первый день, задача 1; вариант 8 класса с 12 участниками имеет ту же модель.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"официальное решение source and non-compressed solution text","notes":"Текущий текст основан на официальном источнике и выглядит полным или почти полным.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"100 участников отвечают о знакомстве","status":"ai_checked","text":"На совместный симпозиум лжецов, которые всегда лгут, и правдолюбов, которые всегда говорят правду, собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил \"да\" или \"нет\" на вопрос \"Знакомы ли вы?\" про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов \"да\" могло быть получено?","definition_ids":["simple_graph","complement_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Положительные ответы в графе знакомств и его дополнении","status":"ai_checked","text":"На 100 вершинах задан простой граф G. Вершины разбиты на два непустых множества T и L. Для каждой упорядоченной пары разных вершин (v,w) засчитывается положительный ответ: если v принадлежит T и vw является ребром G, либо если v принадлежит L и vw является ребром дополнительного графа к G. Требуется минимизировать общее число положительных ответов.","definition_ids":["simple_graph","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-count-yes","title":"Подсчет положительных ответов по типам участников","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","graph_cut"],"standard_idea_ids":["double_counting","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 99. Назовем участников двух типов: правдолюбы всегда отвечают правду, лжецы всегда отвечают неправду. Пусть лжецов n, тогда правдолюбов 100 - n. По условию оба типа непусты, поэтому 1 <= n <= 99. Рассмотрим одну неупорядоченную пару, состоящую из лжеца L и правдолюба P. Если L и P знакомы, то P на вопрос про L отвечает \"да\", а L на вопрос про P лжет и отвечает \"нет\"; значит от этой пары получается ровно один ответ \"да\". Если L и P незнакомы, то P отвечает \"нет\", а L лжет и отвечает \"да\"; снова получается ровно один ответ \"да\". Итак, каждая смешанная пара лжец-правдолюб дает ровно один положительный ответ независимо от графа знакомств. Таких смешанных пар ровно n(100 - n). Пары одного типа не могут уменьшить это число: от двух правдолюбов получается либо два ответа \"да\" при знакомстве, либо ноль при незнакомстве; от двух лжецов получается либо ноль ответов \"да\" при знакомстве, либ…"}],"relations":[],"search_text":"mmo-2024-symposium-acquaintance-lies симпозиум лжецов и правдолюбов: ответы о знакомстве, ммо 2024/25, 11 класс, задача 1 graph_model graph_symmetry double_counting construction goal_exact_bound 2024 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2024-25/math/sol-math-11-tur1-final-24-25.pdf https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2024-25/math/tasks-math-11-tur1-final-24-25.pdf mmo mmo2024 olympiad_archive problem_and_solution src-mmo-2024-25-sol-11-tur1-final src-mmo-2024-25-tasks-11-tur1-final with_solution евдокимов м.а. ммо ммо2024 московская математическая олимпиада 2024/25, 11 класс, финал, день 1, решения московская математическая олимпиада 2024/25, 11 класс, финал, день 1, условия евдокимов м.а. московская математическая олимпиада 2024/25, 11 класс, финал, день 1, условия московская математическая олимпиада 2024/25, 11 класс, финал, день 1, решения stmt-original 100 участников отвечают о знакомстве ai_checked на совместный симпозиум лжецов, которые всегда лгут, и правдолюбов, которые всегда говорят правду, собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. каждый ответил \"да\" или \"нет\" на вопрос \"знакомы ли вы?\" про каждого из остальных. какое наименьшее количество ответов \"да\" могло быть получено? simple_graph complement_graph stmt-graph положительные ответы в графе знакомств и его дополнении ai_checked на 100 вершинах задан простой граф g. вершины разбиты на два непустых множества t и l. для каждой упорядоченной пары разных вершин (v,w) засчитывается положительный ответ: если v принадлежит t и vw является ребром g, либо если v принадлежит l и vw является ребром дополнительного графа к g. требуется минимизировать общее число положительных ответов. simple_graph complement_graph idea-split-by-truthfulness разбить вершины по типу ответа после разбиения участников на правдолюбов и лжецов каждая смешанная неупорядоченная пара дает ровно один ответ \"да\", независимо от знакомства. пары одного типа могут добавить только 0 или 2 ответа \"да\", поэтому нижняя оценка получается из размера разреза между двумя типами. graph_model graph_symmetry ai_checked sol-official-count-yes подсчет положительных ответов по типам участников ai_checked simple_graph complement_graph graph_cut double_counting extremal_choice ответ: 99. назовем участников двух типов: правдолюбы всегда отвечают правду, лжецы всегда отвечают неправду. пусть лжецов n, тогда правдолюбов 100 - n. по условию оба типа непусты, поэтому 1 <= n <= 99. рассмотрим одну неупорядоченную пару, состоящую из лжеца l и правдолюба p. если l и p знакомы, то p на вопрос про l отвечает \"да\", а l на вопрос про p лжет и отвечает \"нет\"; значит от этой пары получается ровно один ответ \"да\". если l и p незнакомы, то p отвечает \"нет\", а l лжет и отвечает \"да\"; снова получается ровно один ответ \"да\". итак, каждая смешанная пара лжец-правдолюб дает ровно один положительный ответ независимо от графа знакомств. таких смешанных пар ровно n(100 - n). пары одного типа не могут уменьшить это число: от двух правдолюбов получается либо два ответа \"да\" при знакомстве, либо ноль при незнакомстве; от двух лжецов получается либо ноль ответов \"да\" при знакомстве, либ… mmo-2024-symposium-acquaintance-lies simpozium lzhetsov i pravdolyubov: otvety o znakomstve, mmo 2024/25, 11 klass, zadacha 1 graph_model graph_symmetry double_counting construction goal_exact_bound 2024 https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2024-25/math/sol-math-11-tur1-final-24-25.pdf https://mos.olimpiada.ru/upload/files/archive_tasks_2013-.../2024-25/math/tasks-math-11-tur1-final-24-25.pdf mmo mmo2024 olympiad_archive problem_and_solution src-mmo-2024-25-sol-11-tur1-final src-mmo-2024-25-tasks-11-tur1-final with_solution evdokimov m.a. mmo mmo2024 moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2024/25, 11 klass, final, den 1, resheniya moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2024/25, 11 klass, final, den 1, usloviya evdokimov m.a. moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2024/25, 11 klass, final, den 1, usloviya moskovskaya matematicheskaya olimpiada 2024/25, 11 klass, final, den 1, resheniya stmt-original 100 uchastnikov otvechayut o znakomstve ai_checked na sovmestnyy simpozium lzhetsov, kotorye vsegda lgut, i pravdolyubov, kotorye vsegda govoryat pravdu, sobralis 100 uchastnikov, sredi kotoryh ne vse lzhetsy i ne vse pravdolyuby. kazhdye dva uchastnika libo znakomy, libo neznakomy drug s drugom. kazhdyy otvetil \"da\" ili \"net\" na vopros \"znakomy li vy?\" pro kazhdogo iz ostalnyh. kakoe naimenshee kolichestvo otvetov \"da\" moglo byt polucheno? simple_graph complement_graph stmt-graph polozhitelnye otvety v grafe znakomstv i ego dopolnenii ai_checked na 100 vershinah zadan prostoy graf g. vershiny razbity na dva nepustyh mnozhestva t i l. dlya kazhdoy uporyadochennoy pary raznyh vershin (v,w) zaschityvaetsya polozhitelnyy otvet: esli v prinadlezhit t i vw yavlyaetsya rebrom g, libo esli v prinadlezhit l i vw yavlyaetsya rebrom dopolnitelnogo grafa k g. trebuetsya minimizirovat obschee chislo polozhitelnyh otvetov. simple_graph complement_graph idea-split-by-truthfulness razbit vershiny po tipu otveta posle razbieniya uchastnikov na pravdolyubov i lzhetsov kazhdaya smeshannaya neuporyadochennaya para daet rovno odin otvet \"da\", nezavisimo ot znakomstva. pary odnogo tipa mogut dobavit tolko 0 ili 2 otveta \"da\", poetomu nizhnyaya otsenka poluchaetsya iz razmera razreza mezhdu dvumya tipami. graph_model graph_symmetry ai_checked sol-official-count-yes podschet polozhitelnyh otvetov po tipam uchastnikov ai_checked simple_graph complement_graph graph_cut double_counting extremal_choice otvet: 99. nazovem uchastnikov dvuh tipov: pravdolyuby vsegda otvechayut pravdu, lzhetsy vsegda otvechayut nepravdu. pust lzhetsov n, togda pravdolyubov 100 - n. po usloviyu oba tipa nepusty, poetomu 1 <= n <= 99. rassmotrim odnu neuporyadochennuyu paru, sostoyaschuyu iz lzhetsa l i pravdolyuba p. esli l i p znakomy, to p na vopros pro l otvechaet \"da\", a l na vopros pro p lzhet i otvechaet \"net\"; znachit ot etoy pary poluchaetsya rovno odin otvet \"da\". esli l i p neznakomy, to p otvechaet \"net\", a l lzhet i otvechaet \"da\"; snova poluchaetsya rovno odin otvet \"da\". itak, kazhdaya smeshannaya para lzhets-pravdolyub daet rovno odin polozhitelnyy otvet nezavisimo ot grafa znakomstv. takih smeshannyh par rovno n(100 - n). pary odnogo tipa ne mogut umenshit eto chislo: ot dvuh pravdolyubov poluchaetsya libo dva otveta \"da\" pri znakomstve, libo nol pri neznakomstve; ot dvuh lzhetsov poluchaetsya libo nol otvetov \"da\" pri znakomstve, lib…","source_keys":["mmo"]}