{"id":"alternating-boundary-pairs-noncrossing-arcs","title":"Непересекающиеся дуги с чередующимися концами на границе диска","path":"data\\problems\\classical\\alternating-boundary-pairs-noncrossing-arcs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/alternating-boundary-pairs-noncrossing-arcs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#alternating-boundary-pairs-noncrossing-arcs","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Эйлерова характеристика"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","connectivity","classical_theorem","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":3,"comment":"Стандартный факт о разделении жордановой кривой, используемый в олимпиадных аргументах о планарных графах.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"external_theorem_application","label":"heavy применение внешней теоремы","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"внешняя теорема аудит group A, 2026-05-06","notes":"Это интересный пример применения теоремы Жордана: утверждение является частной формой топологического разделения, а не школьной заменой без внешней теоремы.","audit_source":"external-theorem-audit-group-a","external_theorem_ids":["Jordan curve theorem"]},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(A,B,C,D\\) — четыре различные точки на границе диска, расположенные на ней в циклическом порядке \\(A,B,C,D\\). Тогда две простые дуги внутри диска, соединяющие \\(A\\) с \\(C\\) и \\(B\\) с \\(D\\), не могут быть непересекающимися.","definition_ids":["planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-jordan-separation","title":"Разделение простой замкнутой кривой","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Проведем дугу \\(\\alpha\\), соединяющую \\(A\\) с \\(C\\). На границе диска есть две граничные дуги между \\(A\\) и \\(C\\): одна содержит \\(B\\), другая содержит \\(D\\). Возьмем ту граничную дугу, которая содержит \\(B\\), и объединим ее с \\(\\alpha\\). Получится простая замкнутая кривая. По теореме Жордана эта кривая делит диск на две области. Точка \\(D\\) лежит на другой граничной дуге между \\(A\\) и \\(C\\), поэтому она находится по другую сторону от точки \\(B\\). Следовательно, любая дуга из \\(B\\) в \\(D\\) внутри диска обязана пересечь построенную замкнутую кривую. Она не может пересечь выбранную граничную дугу, если ее внутренняя часть лежит внутри диска и ее концы — только \\(B\\) и \\(D\\). Значит она должна пересечь \\(\\alpha\\). Поэтому дуги \\(AC\\) и \\(BD\\) не могут быть непересекающимися."}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2025-p5-alternating-boundary-arcs","neighbor_id":"cmo-2025-p5-ant-planar-graph","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-2005-c3-alternating-boundary-separation","neighbor_id":"imo-2005-c3-black-paths-injection","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"alternating-boundary-pairs-noncrossing-arcs непересекающиеся дуги с чередующимися концами на границе диска planar_graphs connectivity classical_theorem goal_proof https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2%d0%b0_%d1%85%d0%b0%d1%80%d0%b0%d0%ba%d1%82%d0%b5%d1%80%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b8%d0%ba%d0%b0 misc reference src-wikipedia-euler-characteristic with_solution прочее эйлерова характеристика ? эйлерова характеристика stmt-original ai_checked пусть \\(a,b,c,d\\) — четыре различные точки на границе диска, расположенные на ней в циклическом порядке \\(a,b,c,d\\). тогда две простые дуги внутри диска, соединяющие \\(a\\) с \\(c\\) и \\(b\\) с \\(d\\), не могут быть непересекающимися. planar_graph idea-one-arc-separates-alternating-endpoints одна диагональная дуга разделяет два оставшихся конца дуга \\(ac\\) вместе с одной из двух граничных дуг между \\(a\\) и \\(c\\) образует простую замкнутую кривую; при чередующемся порядке точек \\(b\\) и \\(d\\) оказываются по разные стороны этой кривой. planar_graphs connectivity ai_checked sol-jordan-separation разделение простой замкнутой кривой ai_checked planar_graph проведем дугу \\(\\alpha\\), соединяющую \\(a\\) с \\(c\\). на границе диска есть две граничные дуги между \\(a\\) и \\(c\\): одна содержит \\(b\\), другая содержит \\(d\\). возьмем ту граничную дугу, которая содержит \\(b\\), и объединим ее с \\(\\alpha\\). получится простая замкнутая кривая. по теореме жордана эта кривая делит диск на две области. точка \\(d\\) лежит на другой граничной дуге между \\(a\\) и \\(c\\), поэтому она находится по другую сторону от точки \\(b\\). следовательно, любая дуга из \\(b\\) в \\(d\\) внутри диска обязана пересечь построенную замкнутую кривую. она не может пересечь выбранную граничную дугу, если ее внутренняя часть лежит внутри диска и ее концы — только \\(b\\) и \\(d\\). значит она должна пересечь \\(\\alpha\\). поэтому дуги \\(ac\\) и \\(bd\\) не могут быть непересекающимися. alternating-boundary-pairs-noncrossing-arcs neperesekayuschiesya dugi s chereduyuschimisya kontsami na granitse diska planar_graphs connectivity classical_theorem goal_proof https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2%d0%b0_%d1%85%d0%b0%d1%80%d0%b0%d0%ba%d1%82%d0%b5%d1%80%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b8%d0%ba%d0%b0 misc reference src-wikipedia-euler-characteristic with_solution prochee eylerova harakteristika ? eylerova harakteristika stmt-original ai_checked pust \\(a,b,c,d\\) — chetyre razlichnye tochki na granitse diska, raspolozhennye na ney v tsiklicheskom poryadke \\(a,b,c,d\\). togda dve prostye dugi vnutri diska, soedinyayuschie \\(a\\) s \\(c\\) i \\(b\\) s \\(d\\), ne mogut byt neperesekayuschimisya. planar_graph idea-one-arc-separates-alternating-endpoints odna diagonalnaya duga razdelyaet dva ostavshihsya kontsa duga \\(ac\\) vmeste s odnoy iz dvuh granichnyh dug mezhdu \\(a\\) i \\(c\\) obrazuet prostuyu zamknutuyu krivuyu; pri chereduyuschemsya poryadke tochek \\(b\\) i \\(d\\) okazyvayutsya po raznye storony etoy krivoy. planar_graphs connectivity ai_checked sol-jordan-separation razdelenie prostoy zamknutoy krivoy ai_checked planar_graph provedem dugu \\(\\alpha\\), soedinyayuschuyu \\(a\\) s \\(c\\). na granitse diska est dve granichnye dugi mezhdu \\(a\\) i \\(c\\): odna soderzhit \\(b\\), drugaya soderzhit \\(d\\). vozmem tu granichnuyu dugu, kotoraya soderzhit \\(b\\), i obedinim ee s \\(\\alpha\\). poluchitsya prostaya zamknutaya krivaya. po teoreme zhordana eta krivaya delit disk na dve oblasti. tochka \\(d\\) lezhit na drugoy granichnoy duge mezhdu \\(a\\) i \\(c\\), poetomu ona nahoditsya po druguyu storonu ot tochki \\(b\\). sledovatelno, lyubaya duga iz \\(b\\) v \\(d\\) vnutri diska obyazana peresech postroennuyu zamknutuyu krivuyu. ona ne mozhet peresech vybrannuyu granichnuyu dugu, esli ee vnutrennyaya chast lezhit vnutri diska i ee kontsy — tolko \\(b\\) i \\(d\\). znachit ona dolzhna peresech \\(\\alpha\\). poetomu dugi \\(ac\\) i \\(bd\\) ne mogut byt neperesekayuschimisya.","source_keys":["misc"]}
{"id":"augmenting-path-matching-lemma","title":"Критерий максимального паросочетания через увеличивающий путь","path":"data\\problems\\classical\\augmenting-path-matching-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/augmenting-path-matching-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#augmenting-path-matching-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Паросочетание"],"year":"","type":"lemma","authors":["Claude Berge"],"tags":["matching","augmenting_path","classical_theorem","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Ключевой алгоритмический и олимпиадный инструмент.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"Пусть M — паросочетание в конечном графе. Путь называется увеличивающим относительно M, если его ребра попеременно не принадлежат и принадлежат M, а первая и последняя вершины не покрыты M. Тогда M максимально по числу ребер тогда и только тогда, когда увеличивающего пути относительно M не существует.","definition_ids":["matching","path","augmenting_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-symmetric-difference","title":"Доказательство через симметрическую разность","status":"ai_checked","definition_ids":["matching","path","cycle","alternating_path","augmenting_path"],"standard_idea_ids":["augmenting_path_method","alternating_paths"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если есть увеличивающий путь, меняем на нем статус всех ребер: не входившие в M добавляем, входившие удаляем. Размер паросочетания увеличивается на 1. Обратно, пусть N — паросочетание большего размера. В графе из ребер симметрической разности M и N степени вершин не больше 2, поэтому компоненты — чередующиеся циклы и пути. Так как |N|>|M|, в одной компоненте ребер N больше, чем ребер M; это чередующийся путь, начинающийся и заканчивающийся ребрами N, то есть увеличивающий путь для M."}],"relations":[{"id":"rel-augmenting-konig","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-augmenting","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-augmenting-path-edge-count-bipartite-matching-bound","neighbor_id":"edge-count-bipartite-matching-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-augmenting-imo-2016-c8","neighbor_id":"imo-2016-c8-domino-unique-tiling-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-augmenting-path-matching-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolmogorov-2004-p9-augmenting-path-background","neighbor_id":"kolmogorov-2004-team-olympiad-seniors-problem-9","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2009-p3-uniqueness-augmenting-path-symdiff","neighbor_id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-uniqueness","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2021-grand-r4-p3-augmenting-path-matching-lemma","neighbor_id":"yumt-2021-grand-round4-problem3","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2022-start-final-p6-matching-obstruction","neighbor_id":"yumt-2022-start-final-problem6","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"augmenting-path-matching-lemma критерий максимального паросочетания через увеличивающий путь matching augmenting_path classical_theorem goal_characterization claude berge claudeberge https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9f%d0%b0%d1%80%d0%be%d1%81%d0%be%d1%87%d0%b5%d1%82%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d0%b5 misc reference src-wikipedia-matching with_solution паросочетание прочее claude berge паросочетание stmt-original-1 needs_review пусть m — паросочетание в конечном графе. путь называется увеличивающим относительно m, если его ребра попеременно не принадлежат и принадлежат m, а первая и последняя вершины не покрыты m. тогда m максимально по числу ребер тогда и только тогда, когда увеличивающего пути относительно m не существует. matching path augmenting_path idea-symmetric-difference симметрическая разность сравнение двух паросочетаний раскладывается на чередующиеся циклы и пути; больший размер проявляется как увеличивающий путь. matching augmenting_path ai_checked sol-symmetric-difference доказательство через симметрическую разность ai_checked matching path cycle alternating_path augmenting_path augmenting_path_method alternating_paths если есть увеличивающий путь, меняем на нем статус всех ребер: не входившие в m добавляем, входившие удаляем. размер паросочетания увеличивается на 1. обратно, пусть n — паросочетание большего размера. в графе из ребер симметрической разности m и n степени вершин не больше 2, поэтому компоненты — чередующиеся циклы и пути. так как |n|>|m|, в одной компоненте ребер n больше, чем ребер m; это чередующийся путь, начинающийся и заканчивающийся ребрами n, то есть увеличивающий путь для m. augmenting-path-matching-lemma kriteriy maksimalnogo parosochetaniya cherez uvelichivayuschiy put matching augmenting_path classical_theorem goal_characterization claude berge claudeberge https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9f%d0%b0%d1%80%d0%be%d1%81%d0%be%d1%87%d0%b5%d1%82%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d0%b5 misc reference src-wikipedia-matching with_solution parosochetanie prochee claude berge parosochetanie stmt-original-1 needs_review pust m — parosochetanie v konechnom grafe. put nazyvaetsya uvelichivayuschim otnositelno m, esli ego rebra poperemenno ne prinadlezhat i prinadlezhat m, a pervaya i poslednyaya vershiny ne pokryty m. togda m maksimalno po chislu reber togda i tolko togda, kogda uvelichivayuschego puti otnositelno m ne suschestvuet. matching path augmenting_path idea-symmetric-difference simmetricheskaya raznost sravnenie dvuh parosochetaniy raskladyvaetsya na chereduyuschiesya tsikly i puti; bolshiy razmer proyavlyaetsya kak uvelichivayuschiy put. matching augmenting_path ai_checked sol-symmetric-difference dokazatelstvo cherez simmetricheskuyu raznost ai_checked matching path cycle alternating_path augmenting_path augmenting_path_method alternating_paths esli est uvelichivayuschiy put, menyaem na nem status vseh reber: ne vhodivshie v m dobavlyaem, vhodivshie udalyaem. razmer parosochetaniya uvelichivaetsya na 1. obratno, pust n — parosochetanie bolshego razmera. v grafe iz reber simmetricheskoy raznosti m i n stepeni vershin ne bolshe 2, poetomu komponenty — chereduyuschiesya tsikly i puti. tak kak |n|>|m|, v odnoy komponente reber n bolshe, chem reber m; eto chereduyuschiysya put, nachinayuschiysya i zakanchivayuschiysya rebrami n, to est uvelichivayuschiy put dlya m.","source_keys":["misc"]}
{"id":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","title":"Балансирующая 2-раскраска рёбер двудольного графа","path":"data\\problems\\classical\\balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["IMOmath, IMO 1986 условия","IMO Compendium / ранняя подборка решений IMO","AoPS Wiki, 1986 IMO Problems/Problem 6","ФЮМ 2010, первый тур (b), задача 8"],"year":"","type":"problem_family","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","coloring","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_p6","local_score":13,"comment":"Объединяет координатную формулировку IMO 1986 P6 и прямую двудольную формулировку ФЮМ 2010.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-imo-1986-p6-points","title":"IMO 1986 P6, координатные точки","status":"ai_checked","text":"Дано конечное множество точек с целыми координатами на плоскости. Можно ли раскрасить часть точек в красный цвет, а остальные в белый так, чтобы на каждой прямой, параллельной одной из координатных осей, числа красных и белых точек отличались не более чем на 1?","definition_ids":[]},{"id":"stmt-fyum-2010-bipartite","title":"ФЮМ 2010, двудольный граф","status":"ai_checked","text":"Дан двудольный граф G. Докажите, что рёбра графа G можно покрасить в два цвета так, чтобы для любой вершины количества рёбер разных цветов, выходящих из этой вершины, отличались не более чем на 1.","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-balanced-edge-coloring","title":"Балансировка рёбер двудольного графа","status":"ai_checked","text":"В любом двудольном графе можно раскрасить рёбра в два цвета так, чтобы в каждой вершине количества инцидентных рёбер двух цветов отличались не более чем на 1.","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-balanced-edge-coloring","title":"Единое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","eulerian_cycle","degree","multigraph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем графовую формулировку. В каждой компоненте двудольного графа числа вершин нечётной степени в двух долях имеют одинаковую чётность. Разобьём нечётные вершины каждой доли на пары, а если в обеих долях осталось по одной нечётной вершине, соединим эти две вершины. Для каждой такой пары добавим фиктивное ребро. Получится двудольный эйлеров мультиграф: все степени стали чётными. Разложим его рёбра на эйлеровы циклы и покрасим рёбра каждого цикла попеременно в два цвета. Поскольку граф двудольный, все эти циклы чётные; значит, на каждом цикле у каждой вершины поровну инцидентных рёбер двух цветов. Поэтому в графе с фиктивными рёбрами баланс в каждой вершине точный. Удалим фиктивные рёбра. Каждая исходно нечётная вершина была инцидентна ровно одному фиктивному ребру, а исходно чётные вершины — ни одному, поэтому после удаления в каждой вершине числа рёбер двух цветов отличаются не более…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2010-tur1a-p8-tur1b-p8-balanced-edge-coloring","neighbor_id":"fyum-2010-tur1a-p8","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-eulerian-imo-1986-p6","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1986-p6-imo-2023-c4-eulerian-reconstruction","neighbor_id":"imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-balanced-edge-coloring-imo-2020-c6","neighbor_id":"imo-2020-c6-colored-coins-eulerian-multigraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2019-p4-balanced-bipartite-row-column-encoding","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-balanced-bipartite-edge-coloring-to-spbmo-2021-coordinate-2factor","neighbor_id":"spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors балансирующая 2-раскраска рёбер двудольного графа eulerian_graphs coloring goal_construction aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 https://imomath.com/othercomp/i/imo1986.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1986_imo_problems/problem_6 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur1b.tex https://www.imomath.com/ imo compendium / ранняя подборка решений imo imomath, imo 1986 условия misc olympiad_archive secondary_solution src-aops-imo-1986-p6 src-fyum-2010-tur1b-p8-official src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1986 statement with_solution прочее фюм 2010, первый тур (b), задача 8 ? imomath, imo 1986 условия imo compendium / ранняя подборка решений imo aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 фюм 2010, первый тур (b), задача 8 stmt-imo-1986-p6-points imo 1986 p6, координатные точки ai_checked дано конечное множество точек с целыми координатами на плоскости. можно ли раскрасить часть точек в красный цвет, а остальные в белый так, чтобы на каждой прямой, параллельной одной из координатных осей, числа красных и белых точек отличались не более чем на 1? stmt-fyum-2010-bipartite фюм 2010, двудольный граф ai_checked дан двудольный граф g. докажите, что рёбра графа g можно покрасить в два цвета так, чтобы для любой вершины количества рёбер разных цветов, выходящих из этой вершины, отличались не более чем на 1. bipartite_graph degree stmt-graph-balanced-edge-coloring балансировка рёбер двудольного графа ai_checked в любом двудольном графе можно раскрасить рёбра в два цвета так, чтобы в каждой вершине количества инцидентных рёбер двух цветов отличались не более чем на 1. bipartite_graph degree idea-points-as-bipartite-edges точки как рёбра двудольного графа горизонтали и вертикали становятся вершинами двух долей графа, а каждая точка задаёт ребро между соответствующей горизонталью и вертикалью. coloring ai_checked idea-alternate-euler-cycles попеременная раскраска эйлеровых циклов после добавления фиктивных рёбер, делающих все степени чётными и сохраняющих двудольность, рёбра каждой компоненты можно обойти эйлеровыми циклами и красить попеременно. coloring ai_checked sol-balanced-edge-coloring единое решение ai_checked bipartite_graph eulerian_cycle degree multigraph cycle докажем графовую формулировку. в каждой компоненте двудольного графа числа вершин нечётной степени в двух долях имеют одинаковую чётность. разобьём нечётные вершины каждой доли на пары, а если в обеих долях осталось по одной нечётной вершине, соединим эти две вершины. для каждой такой пары добавим фиктивное ребро. получится двудольный эйлеров мультиграф: все степени стали чётными. разложим его рёбра на эйлеровы циклы и покрасим рёбра каждого цикла попеременно в два цвета. поскольку граф двудольный, все эти циклы чётные; значит, на каждом цикле у каждой вершины поровну инцидентных рёбер двух цветов. поэтому в графе с фиктивными рёбрами баланс в каждой вершине точный. удалим фиктивные рёбра. каждая исходно нечётная вершина была инцидентна ровно одному фиктивному ребру, а исходно чётные вершины — ни одному, поэтому после удаления в каждой вершине числа рёбер двух цветов отличаются не более… balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors balansiruyuschaya 2-raskraska reber dvudolnogo grafa eulerian_graphs coloring goal_construction aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 https://imomath.com/othercomp/i/imo1986.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1986_imo_problems/problem_6 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur1b.tex https://www.imomath.com/ imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo imomath, imo 1986 usloviya misc olympiad_archive secondary_solution src-aops-imo-1986-p6 src-fyum-2010-tur1b-p8-official src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1986 statement with_solution prochee fyum 2010, pervyy tur (b), zadacha 8 ? imomath, imo 1986 usloviya imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 fyum 2010, pervyy tur (b), zadacha 8 stmt-imo-1986-p6-points imo 1986 p6, koordinatnye tochki ai_checked dano konechnoe mnozhestvo tochek s tselymi koordinatami na ploskosti. mozhno li raskrasit chast tochek v krasnyy tsvet, a ostalnye v belyy tak, chtoby na kazhdoy pryamoy, parallelnoy odnoy iz koordinatnyh osey, chisla krasnyh i belyh tochek otlichalis ne bolee chem na 1? stmt-fyum-2010-bipartite fyum 2010, dvudolnyy graf ai_checked dan dvudolnyy graf g. dokazhite, chto rebra grafa g mozhno pokrasit v dva tsveta tak, chtoby dlya lyuboy vershiny kolichestva reber raznyh tsvetov, vyhodyaschih iz etoy vershiny, otlichalis ne bolee chem na 1. bipartite_graph degree stmt-graph-balanced-edge-coloring balansirovka reber dvudolnogo grafa ai_checked v lyubom dvudolnom grafe mozhno raskrasit rebra v dva tsveta tak, chtoby v kazhdoy vershine kolichestva intsidentnyh reber dvuh tsvetov otlichalis ne bolee chem na 1. bipartite_graph degree idea-points-as-bipartite-edges tochki kak rebra dvudolnogo grafa gorizontali i vertikali stanovyatsya vershinami dvuh doley grafa, a kazhdaya tochka zadaet rebro mezhdu sootvetstvuyuschey gorizontalyu i vertikalyu. coloring ai_checked idea-alternate-euler-cycles poperemennaya raskraska eylerovyh tsiklov posle dobavleniya fiktivnyh reber, delayuschih vse stepeni chetnymi i sohranyayuschih dvudolnost, rebra kazhdoy komponenty mozhno oboyti eylerovymi tsiklami i krasit poperemenno. coloring ai_checked sol-balanced-edge-coloring edinoe reshenie ai_checked bipartite_graph eulerian_cycle degree multigraph cycle dokazhem grafovuyu formulirovku. v kazhdoy komponente dvudolnogo grafa chisla vershin nechetnoy stepeni v dvuh dolyah imeyut odinakovuyu chetnost. razobem nechetnye vershiny kazhdoy doli na pary, a esli v obeih dolyah ostalos po odnoy nechetnoy vershine, soedinim eti dve vershiny. dlya kazhdoy takoy pary dobavim fiktivnoe rebro. poluchitsya dvudolnyy eylerov multigraf: vse stepeni stali chetnymi. razlozhim ego rebra na eylerovy tsikly i pokrasim rebra kazhdogo tsikla poperemenno v dva tsveta. poskolku graf dvudolnyy, vse eti tsikly chetnye; znachit, na kazhdom tsikle u kazhdoy vershiny porovnu intsidentnyh reber dvuh tsvetov. poetomu v grafe s fiktivnymi rebrami balans v kazhdoy vershine tochnyy. udalim fiktivnye rebra. kazhdaya ishodno nechetnaya vershina byla intsidentna rovno odnomu fiktivnomu rebru, a ishodno chetnye vershiny — ni odnomu, poetomu posle udaleniya v kazhdoy vershine chisla reber dvuh tsvetov otlichayutsya ne bolee…","source_keys":["misc","imo","fyum"]}
{"id":"benjamini-tzalik-shortest-paths","title":"Теорема Беньямини — Цалика о числе кратчайших путей","path":"data\\problems\\classical\\benjamini-tzalik-shortest-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/benjamini-tzalik-shortest-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#benjamini-tzalik-shortest-paths","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Itai Benjamini, Elad Tzalik, On the Number of Shortest Paths in Graphs","Кубок Колмогорова 2024 официальный архив"],"year":"","type":"theorem","authors":["Itai Benjamini","Elad Tzalik"],"tags":["extremal_graph_theory","connectivity","degree_counting","classical_theorem","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":13,"comment":"Классическая оценка с коротким, но не совсем олимпиадным энтропийным доказательством через чтение случайного кратчайшего пути в двух направлениях.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"split from source-verified merged card with самодостаточное доказательство","notes":"Карточка опирается на arXiv-источник и содержит самодостаточное доказательство основной оценки.","audit_source":"agent-split-benjamini-tzalik-kolmogorov"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-benjamini-tzalik-bound","title":"Теорема Беньямини — Цалика","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный неориентированный мультиграф без петель, степени всех вершин которого не превосходят \\(\\Delta\\). Если две различные вершины \\(x,y\\) находятся на расстоянии \\(t\\ge1\\), то число кратчайших путей из \\(x\\) в \\(y\\), где параллельные рёбра считаются различными, не превосходит \\(2(\\Delta/2)^t\\).","definition_ids":["multigraph","path","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-layered-bound","title":"Кратчайшие пути в мультиграфе","status":"ai_checked","text":"В конечном мультиграфе без петель, степени всех вершин которого не превосходят \\(\\Delta\\), число кратчайших путей между двумя вершинами на расстоянии \\(t\\ge1\\), с учётом кратности рёбер, не превосходит \\(2(\\Delta/2)^t\\).","definition_ids":["multigraph","path","degree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-even-degree-corollary","title":"Чётная степень","status":"ai_checked","text":"При \\(\\Delta=2m\\) из теоремы следует, что между двумя вершинами на расстоянии \\(t\\) в мультиграфе максимальной степени не больше \\(2m\\) существует не более \\(2m^t\\) кратчайших путей.","definition_ids":["multigraph","path","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-entropy-bound","title":"Энтропийное доказательство верхней оценки","status":"ai_checked","definition_ids":["multigraph","path","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать параллельные рёбра различными. Удалим из \\(G\\) всё, что не лежит на кратчайших путях из \\(x\\) в \\(y\\). В оставшемся мультиграфе каждая вершина лежит в некотором слое \\(L_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), а каждое ребро кратчайшего пути идёт из \\(L_i\\) в \\(L_{i+1}\\). Для вершины \\(v\\in L_i\\) обозначим через \\(a(v)\\) число рёбер из \\(L_{i-1}\\) в \\(v\\), а через \\(b(v)\\) число рёбер из \\(v\\) в \\(L_{i+1}\\). Для внутренних слоёв имеем \\(a(v)+b(v)\\le\\deg(v)\\le\\Delta\\), поэтому \\(a(v)b(v)\\le(\\Delta/2)^2\\). Пусть всего кратчайших путей \\(N\\), и выберем один из них равновероятно. Его энтропия равна \\(\\log N\\). Если читать путь слева направо, то при известном префиксе следующий шаг выбирается среди не более чем \\(b(v)\\) рёбер, где \\(v\\) — текущая вершина. Значит \\[\\log N\\le \\mathbb E\\sum_{i=0}^{t-1}\\log b(X_i),\\] где \\(X_i\\) — вершина пути в слое \\(i\\). Если читать тот же путь сп…"}],"relations":[{"id":"rel-benjamini-tzalik-kolmogorov-2024-shortest-paths-prerequisite","neighbor_id":"kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-benjamini-tzalik-third-fourth-distance-layer-bound","neighbor_id":"third-fourth-distance-layer-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"benjamini-tzalik-shortest-paths теорема беньямини — цалика о числе кратчайших путей extremal_graph_theory connectivity degree_counting classical_theorem goal_bound elad tzalik eladtzalik https://arxiv.org/abs/2311.10014 https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip itai benjamini itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs itaibenjamini misc olympiad_archive paper src-benjamini-tzalik-shortest-paths src-kolmogorov-2024-official with_solution кубок колмогорова 2024 официальный архив прочее itai benjamini elad tzalik itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs кубок колмогорова 2024 официальный архив stmt-benjamini-tzalik-bound теорема беньямини — цалика ai_checked пусть \\(g\\) — конечный неориентированный мультиграф без петель, степени всех вершин которого не превосходят \\(\\delta\\). если две различные вершины \\(x,y\\) находятся на расстоянии \\(t\\ge1\\), то число кратчайших путей из \\(x\\) в \\(y\\), где параллельные рёбра считаются различными, не превосходит \\(2(\\delta/2)^t\\). multigraph path degree stmt-graph-layered-bound кратчайшие пути в мультиграфе ai_checked в конечном мультиграфе без петель, степени всех вершин которого не превосходят \\(\\delta\\), число кратчайших путей между двумя вершинами на расстоянии \\(t\\ge1\\), с учётом кратности рёбер, не превосходит \\(2(\\delta/2)^t\\). multigraph path degree stmt-even-degree-corollary чётная степень ai_checked при \\(\\delta=2m\\) из теоремы следует, что между двумя вершинами на расстоянии \\(t\\) в мультиграфе максимальной степени не больше \\(2m\\) существует не более \\(2m^t\\) кратчайших путей. multigraph path degree idea-prune-to-shortest-path-layers слои кратчайших путей удаляем все рёбра и вершины, которые не лежат на кратчайших путях из \\(x\\) в \\(y\\). оставшийся граф естественно ориентирован от слоя \\(i\\) к слою \\(i+1\\). extremal_graph_theory ai_checked idea-forward-backward-entropy посчитать случайный путь с двух сторон для равномерно выбранного кратчайшего пути энтропия следующего ребра контролируется выходящей степенью слоя, а энтропия предыдущего ребра — входящей степенью. сложение двух оценок превращает ограничение \\(in(v)+out(v)\\le\\delta\\) в произведение \\(in(v)out(v)\\le(\\delta/2)^2\\). extremal_graph_theory degree_counting ai_checked sol-entropy-bound энтропийное доказательство верхней оценки ai_checked multigraph path degree будем считать параллельные рёбра различными. удалим из \\(g\\) всё, что не лежит на кратчайших путях из \\(x\\) в \\(y\\). в оставшемся мультиграфе каждая вершина лежит в некотором слое \\(l_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), а каждое ребро кратчайшего пути идёт из \\(l_i\\) в \\(l_{i+1}\\). для вершины \\(v\\in l_i\\) обозначим через \\(a(v)\\) число рёбер из \\(l_{i-1}\\) в \\(v\\), а через \\(b(v)\\) число рёбер из \\(v\\) в \\(l_{i+1}\\). для внутренних слоёв имеем \\(a(v)+b(v)\\le\\deg(v)\\le\\delta\\), поэтому \\(a(v)b(v)\\le(\\delta/2)^2\\). пусть всего кратчайших путей \\(n\\), и выберем один из них равновероятно. его энтропия равна \\(\\log n\\). если читать путь слева направо, то при известном префиксе следующий шаг выбирается среди не более чем \\(b(v)\\) рёбер, где \\(v\\) — текущая вершина. значит \\[\\log n\\le \\mathbb e\\sum_{i=0}^{t-1}\\log b(x_i),\\] где \\(x_i\\) — вершина пути в слое \\(i\\). если читать тот же путь сп… benjamini-tzalik-shortest-paths teorema benyamini — tsalika o chisle kratchayshih putey extremal_graph_theory connectivity degree_counting classical_theorem goal_bound elad tzalik eladtzalik https://arxiv.org/abs/2311.10014 https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip itai benjamini itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs itaibenjamini misc olympiad_archive paper src-benjamini-tzalik-shortest-paths src-kolmogorov-2024-official with_solution kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv prochee itai benjamini elad tzalik itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv stmt-benjamini-tzalik-bound teorema benyamini — tsalika ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy neorientirovannyy multigraf bez petel, stepeni vseh vershin kotorogo ne prevoshodyat \\(\\delta\\). esli dve razlichnye vershiny \\(x,y\\) nahodyatsya na rasstoyanii \\(t\\ge1\\), to chislo kratchayshih putey iz \\(x\\) v \\(y\\), gde parallelnye rebra schitayutsya razlichnymi, ne prevoshodit \\(2(\\delta/2)^t\\). multigraph path degree stmt-graph-layered-bound kratchayshie puti v multigrafe ai_checked v konechnom multigrafe bez petel, stepeni vseh vershin kotorogo ne prevoshodyat \\(\\delta\\), chislo kratchayshih putey mezhdu dvumya vershinami na rasstoyanii \\(t\\ge1\\), s uchetom kratnosti reber, ne prevoshodit \\(2(\\delta/2)^t\\). multigraph path degree stmt-even-degree-corollary chetnaya stepen ai_checked pri \\(\\delta=2m\\) iz teoremy sleduet, chto mezhdu dvumya vershinami na rasstoyanii \\(t\\) v multigrafe maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(2m\\) suschestvuet ne bolee \\(2m^t\\) kratchayshih putey. multigraph path degree idea-prune-to-shortest-path-layers sloi kratchayshih putey udalyaem vse rebra i vershiny, kotorye ne lezhat na kratchayshih putyah iz \\(x\\) v \\(y\\). ostavshiysya graf estestvenno orientirovan ot sloya \\(i\\) k sloyu \\(i+1\\). extremal_graph_theory ai_checked idea-forward-backward-entropy poschitat sluchaynyy put s dvuh storon dlya ravnomerno vybrannogo kratchayshego puti entropiya sleduyuschego rebra kontroliruetsya vyhodyaschey stepenyu sloya, a entropiya predyduschego rebra — vhodyaschey stepenyu. slozhenie dvuh otsenok prevraschaet ogranichenie \\(in(v)+out(v)\\le\\delta\\) v proizvedenie \\(in(v)out(v)\\le(\\delta/2)^2\\). extremal_graph_theory degree_counting ai_checked sol-entropy-bound entropiynoe dokazatelstvo verhney otsenki ai_checked multigraph path degree budem schitat parallelnye rebra razlichnymi. udalim iz \\(g\\) vse, chto ne lezhit na kratchayshih putyah iz \\(x\\) v \\(y\\). v ostavshemsya multigrafe kazhdaya vershina lezhit v nekotorom sloe \\(l_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), a kazhdoe rebro kratchayshego puti idet iz \\(l_i\\) v \\(l_{i+1}\\). dlya vershiny \\(v\\in l_i\\) oboznachim cherez \\(a(v)\\) chislo reber iz \\(l_{i-1}\\) v \\(v\\), a cherez \\(b(v)\\) chislo reber iz \\(v\\) v \\(l_{i+1}\\). dlya vnutrennih sloev imeem \\(a(v)+b(v)\\le\\deg(v)\\le\\delta\\), poetomu \\(a(v)b(v)\\le(\\delta/2)^2\\). pust vsego kratchayshih putey \\(n\\), i vyberem odin iz nih ravnoveroyatno. ego entropiya ravna \\(\\log n\\). esli chitat put sleva napravo, to pri izvestnom prefikse sleduyuschiy shag vybiraetsya sredi ne bolee chem \\(b(v)\\) reber, gde \\(v\\) — tekuschaya vershina. znachit \\[\\log n\\le \\mathbb e\\sum_{i=0}^{t-1}\\log b(x_i),\\] gde \\(x_i\\) — vershina puti v sloe \\(i\\). esli chitat tot zhe put sp…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"bondy-pancyclic-theorem","title":"Теорема Бонди о панцикличности плотных гамильтоновых графов","path":"data\\problems\\classical\\bondy-pancyclic-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/bondy-pancyclic-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#bondy-pancyclic-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Pancyclic graph"],"year":"","type":"theorem","authors":["J. A. Bondy"],"tags":["hamiltonian_cycles","extremal_graph_theory","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":9,"comment":"Серьёзная внешняя теорема. Известные доказательства используют тонкий анализ хорд гамильтонова цикла и экстремального случая; короткое школьное доказательство в карточке не зафиксировано.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"without_solution","solution_classification":{"type":"hard_external_theorem_no_proof","label":"доказательство не приведено: тяжёлая внешняя теорема","status":"needs_human_review","confidence":0.84,"basis":"аудит группы D по внешним теоремам 2026-05-06","notes":"Формулировка теоремы записана со стандартным источником; доказательство намеренно не включено из-за сложности. Это не обычная нерешённая олимпиадная задача, а тяжёлая внешняя теорема, используемая как ссылка.","audit_source":"group-d-hamiltonian-brooks-ramsey-chromatic-audit"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"source_verified","text":"Пусть \\(G\\) — простой гамильтонов граф на \\(n\\) вершинах. Если в \\(G\\) не меньше \\(n^2/4\\) рёбер, то \\(G\\) панцикличен, за исключением случая, когда \\(n\\) чётно и \\(G\\) является полным двудольным графом \\(K_{n/2,n/2}\\).","definition_ids":["simple_graph","cycle","hamiltonian_cycle","bipartite_graph","complete_graph"]}]},"solutions":[],"relations":[{"id":"rel-bondy-links-kolmogorov-2009-r1","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bondy-links-dirac-pancyclic-upgrade","neighbor_id":"dirac-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bondy-links-ore-pancyclic-corollary","neighbor_id":"ore-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bondy-links-mantel-threshold","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bondy-links-turan-r2-extremal","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bondy-links-complete-minus-hamiltonian-path","neighbor_id":"complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-bondy-links-kolmogorov-2014-cycle-spectrum-contrast","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles","direction":"forward","type":"false_friend","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-bondy-pancyclic-contrast","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"bondy-pancyclic-theorem теорема бонди о панцикличности плотных гамильтоновых графов hamiltonian_cycles extremal_graph_theory classical_theorem goal_exact_bound https://en.wikipedia.org/wiki/pancyclic_graph j. a. bondy jabondy misc reference src-wikipedia-pancyclic-graph wikipedia, pancyclic graph without_solution прочее j. a. bondy wikipedia, pancyclic graph stmt-original-1 source_verified пусть \\(g\\) — простой гамильтонов граф на \\(n\\) вершинах. если в \\(g\\) не меньше \\(n^2/4\\) рёбер, то \\(g\\) панцикличен, за исключением случая, когда \\(n\\) чётно и \\(g\\) является полным двудольным графом \\(k_{n/2,n/2}\\). simple_graph cycle hamiltonian_cycle bipartite_graph complete_graph idea-dense-hamiltonian-forces-all-cycles плотные гамильтоновы графы почти панцикличны теорема усиливает наличие гамильтонова цикла при пороге \\(e(g) \\ge n^2/4\\): за исключением сбалансированного полного двудольного графа, в графе появляются циклы всех длин. hamiltonian_cycles extremal_graph_theory ai_checked idea-mantel-threshold-with-hamiltonian-cycle порог мантеля при наличии гамильтонова цикла тот же порог \\(n^2/4\\), что и в теореме мантеля, становится гораздо сильнее при уже заданном гамильтоновом цикле: он заставляет не только треугольник, но и циклы всех возможных длин, кроме единственного двудольного экстремального случая. extremal_graph_theory hamiltonian_cycles ai_checked bondy-pancyclic-theorem teorema bondi o pantsiklichnosti plotnyh gamiltonovyh grafov hamiltonian_cycles extremal_graph_theory classical_theorem goal_exact_bound https://en.wikipedia.org/wiki/pancyclic_graph j. a. bondy jabondy misc reference src-wikipedia-pancyclic-graph wikipedia, pancyclic graph without_solution prochee j. a. bondy wikipedia, pancyclic graph stmt-original-1 source_verified pust \\(g\\) — prostoy gamiltonov graf na \\(n\\) vershinah. esli v \\(g\\) ne menshe \\(n^2/4\\) reber, to \\(g\\) pantsiklichen, za isklyucheniem sluchaya, kogda \\(n\\) chetno i \\(g\\) yavlyaetsya polnym dvudolnym grafom \\(k_{n/2,n/2}\\). simple_graph cycle hamiltonian_cycle bipartite_graph complete_graph idea-dense-hamiltonian-forces-all-cycles plotnye gamiltonovy grafy pochti pantsiklichny teorema usilivaet nalichie gamiltonova tsikla pri poroge \\(e(g) \\ge n^2/4\\): za isklyucheniem sbalansirovannogo polnogo dvudolnogo grafa, v grafe poyavlyayutsya tsikly vseh dlin. hamiltonian_cycles extremal_graph_theory ai_checked idea-mantel-threshold-with-hamiltonian-cycle porog mantelya pri nalichii gamiltonova tsikla tot zhe porog \\(n^2/4\\), chto i v teoreme mantelya, stanovitsya gorazdo silnee pri uzhe zadannom gamiltonovom tsikle: on zastavlyaet ne tolko treugolnik, no i tsikly vseh vozmozhnyh dlin, krome edinstvennogo dvudolnogo ekstremalnogo sluchaya. extremal_graph_theory hamiltonian_cycles ai_checked","source_keys":["misc"]}
{"id":"bounded-forward-rays-balanced-sums","title":"Ограниченные лучи вперёд и сбалансированные суммы","path":"data\\problems\\classical\\bounded-forward-rays-balanced-sums.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/bounded-forward-rays-balanced-sums.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#bounded-forward-rays-balanced-sums","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["IMO 2015 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"","type":"lemma","authors":["Ivan Guo and Ross Atkins"],"tags":["invariant","extremal_choice","goal_bound","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p2_p5","local_score":9,"comment":"Независимый технический слой из IMO Shortlist 2015 C5: идея короткая, но точная константа требует аккуратного контроля стабилизированного пула.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"официальный IMO Shortlist 2015 source plus самодостаточно generalized proof аудит","notes":"Официальное решение для случая \\(L=2015\\) найдено; текущий текст разворачивает тот же конечный-дефицит/пуловый аргумент для общего \\(L\\) и проверяет точную константу.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-sequence","title":"Последовательность с различными правыми концами","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(L\\ge 1\\), и пусть \\((a_i)_{i\\ge 1}\\) - бесконечная последовательность целых чисел, такая что \\(1\\le a_i\\le L\\) для всех \\(i\\), а числа \\(i+a_i\\) попарно различны. Тогда существуют положительные целые числа \\(b\\) и \\(N\\), такие что для любых \\(n>m\\ge N\\) выполнено \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(L-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\]","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-forward-functional-digraph","title":"Функциональный орграф с ограниченными скачками","status":"ai_checked","text":"Пусть на положительных целых вершинах задан ориентированный граф, в котором из каждой вершины \\(i\\) выходит ровно одна стрелка в вершину \\(i+a_i\\), где \\(1\\le a_i\\le L\\), и ни в какую вершину не входит больше одной стрелки. Тогда существуют положительные целые \\(b\\) и \\(N\\), такие что для любых \\(n>m\\ge N\\) суммарное отклонение длин стрелок на отрезке удовлетворяет \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(L-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\]","definition_ids":["directed_graph"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-imo-2015-c5-special-case","title":"Случай \\(L=2015\\)","status":"ai_checked","text":"При \\(L=2015\\) из леммы следует существование положительных целых \\(b,N\\), для которых при всех \\(n>m\\ge N\\) выполнено \\(\\left|\\sum_{i=m+1}^n(a_i-b)\\right|\\le 1007^2\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-pool-of-balls","title":"Доказательство через пул шаров высот","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для каждого целого \\(t\\ge 0\\) рассмотрим пул шаров, соответствующих тем индексам \\(i\\), для которых \\(i\\le t<i+a_i\\). Шару индекса \\(i\\) приписываем высоту \\(h=i+a_i-t\\). Так как \\(1\\le a_i\\le L\\), каждая высота лежит в множестве \\(\\{1,2,\\dots,L\\}\\). Если два шара в один момент имели бы одинаковую высоту, то соответствующие стрелки имели бы один и тот же конец \\(i+a_i\\), что запрещено. Поэтому в пуле всегда не больше \\(L\\) шаров. Пусть \\(B_t\\) - число шаров в момент \\(t\\). При переходе от \\(t\\) к \\(t+1\\) шар высоты 1 удаляется, если он есть, добавляется новый шар, отвечающий индексу \\(t+1\\), а все остальные старые высоты уменьшаются на 1. Следовательно, на каждом шаге мы удаляем не более одного шара и добавляем ровно один, так что \\(B_{t+1}\\ge B_t\\). Последовательность \\(B_t\\) неубывает и ограничена числом \\(L\\), значит, начиная с некоторого момента \\(N\\), она постоянно равна некоторому…"}],"relations":[{"id":"rel-apmo-2016-p4-bounded-forward-rays-functional-digraph","neighbor_id":"apmo-2016-p4-dreamland-28-step-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-bounded-forward-rays-cmo-2025-functional-digraph-dynamics","neighbor_id":"cmo-2025-p1-voting-functional-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-2019-c3-bounded-forward-rays-state-potential","neighbor_id":"imo-2019-c3-coin-process-digraph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2022-colored-integers-imo-2015-infinite-rays","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round2-high-colored-integers-infinite-tree","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"bounded-forward-rays-balanced-sums ограниченные лучи вперёд и сбалансированные суммы invariant extremal_choice goal_bound goal_existence https://www.imo-official.org/problems/imo2015sl.pdf imo 2015 shortlisted problems with solutions ivan guo and ross atkins ivanguoandrossatkins misc official_archive src-imo-2015-shortlist with_solution прочее ivan guo and ross atkins imo 2015 shortlisted problems with solutions stmt-sequence последовательность с различными правыми концами ai_checked пусть \\(l\\ge 1\\), и пусть \\((a_i)_{i\\ge 1}\\) - бесконечная последовательность целых чисел, такая что \\(1\\le a_i\\le l\\) для всех \\(i\\), а числа \\(i+a_i\\) попарно различны. тогда существуют положительные целые числа \\(b\\) и \\(n\\), такие что для любых \\(n>m\\ge n\\) выполнено \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(l-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\] stmt-forward-functional-digraph функциональный орграф с ограниченными скачками ai_checked пусть на положительных целых вершинах задан ориентированный граф, в котором из каждой вершины \\(i\\) выходит ровно одна стрелка в вершину \\(i+a_i\\), где \\(1\\le a_i\\le l\\), и ни в какую вершину не входит больше одной стрелки. тогда существуют положительные целые \\(b\\) и \\(n\\), такие что для любых \\(n>m\\ge n\\) суммарное отклонение длин стрелок на отрезке удовлетворяет \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(l-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\] directed_graph stmt-imo-2015-c5-special-case случай \\(l=2015\\) ai_checked при \\(l=2015\\) из леммы следует существование положительных целых \\(b,n\\), для которых при всех \\(n>m\\ge n\\) выполнено \\(\\left|\\sum_{i=m+1}^n(a_i-b)\\right|\\le 1007^2\\). idea-active-rays-as-balls активные стрелки как шары на высотах в момент \\(t\\) берем все стрелки \\(i\\to i+a_i\\), пересекающие промежуток от \\(t\\) к \\(t+1\\), то есть такие, что \\(i\\le t<i+a_i\\). такой стрелке соответствует шар высоты \\(i+a_i-t\\); из-за различных концов эти высоты попарно различны и лежат среди \\(1,2,\\dots,l\\). extremal_choice ai_checked idea-eventual-pool-size стабилизация числа шаров при переходе к следующему моменту исчезает не более одного шара и добавляется ровно один новый, поэтому число шаров не убывает и ограничено сверху числом \\(l\\). значит, с некоторого момента оно постоянно равно некоторому \\(b\\). extremal_choice ai_checked idea-height-sum-telescopes телескопирование суммы высот после стабилизации на каждом шаге есть шар высоты 1. если \\(s_t\\) - сумма высот в пуле, то переход от \\(t\\) к \\(t+1\\) дает \\(s_{t+1}-s_t=a_{t+1}-b\\), и частичные суммы \\(a_i-b\\) становятся разностями двух ограниченных величин. goal_bound ai_checked sol-pool-of-balls доказательство через пул шаров высот ai_checked directed_graph pigeonhole_principle extremal_choice для каждого целого \\(t\\ge 0\\) рассмотрим пул шаров, соответствующих тем индексам \\(i\\), для которых \\(i\\le t<i+a_i\\). шару индекса \\(i\\) приписываем высоту \\(h=i+a_i-t\\). так как \\(1\\le a_i\\le l\\), каждая высота лежит в множестве \\(\\{1,2,\\dots,l\\}\\). если два шара в один момент имели бы одинаковую высоту, то соответствующие стрелки имели бы один и тот же конец \\(i+a_i\\), что запрещено. поэтому в пуле всегда не больше \\(l\\) шаров. пусть \\(b_t\\) - число шаров в момент \\(t\\). при переходе от \\(t\\) к \\(t+1\\) шар высоты 1 удаляется, если он есть, добавляется новый шар, отвечающий индексу \\(t+1\\), а все остальные старые высоты уменьшаются на 1. следовательно, на каждом шаге мы удаляем не более одного шара и добавляем ровно один, так что \\(b_{t+1}\\ge b_t\\). последовательность \\(b_t\\) неубывает и ограничена числом \\(l\\), значит, начиная с некоторого момента \\(n\\), она постоянно равна некоторому… bounded-forward-rays-balanced-sums ogranichennye luchi vpered i sbalansirovannye summy invariant extremal_choice goal_bound goal_existence https://www.imo-official.org/problems/imo2015sl.pdf imo 2015 shortlisted problems with solutions ivan guo and ross atkins ivanguoandrossatkins misc official_archive src-imo-2015-shortlist with_solution prochee ivan guo and ross atkins imo 2015 shortlisted problems with solutions stmt-sequence posledovatelnost s razlichnymi pravymi kontsami ai_checked pust \\(l\\ge 1\\), i pust \\((a_i)_{i\\ge 1}\\) - beskonechnaya posledovatelnost tselyh chisel, takaya chto \\(1\\le a_i\\le l\\) dlya vseh \\(i\\), a chisla \\(i+a_i\\) poparno razlichny. togda suschestvuyut polozhitelnye tselye chisla \\(b\\) i \\(n\\), takie chto dlya lyubyh \\(n>m\\ge n\\) vypolneno \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(l-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\] stmt-forward-functional-digraph funktsionalnyy orgraf s ogranichennymi skachkami ai_checked pust na polozhitelnyh tselyh vershinah zadan orientirovannyy graf, v kotorom iz kazhdoy vershiny \\(i\\) vyhodit rovno odna strelka v vershinu \\(i+a_i\\), gde \\(1\\le a_i\\le l\\), i ni v kakuyu vershinu ne vhodit bolshe odnoy strelki. togda suschestvuyut polozhitelnye tselye \\(b\\) i \\(n\\), takie chto dlya lyubyh \\(n>m\\ge n\\) summarnoe otklonenie dlin strelok na otrezke udovletvoryaet \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(l-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\] directed_graph stmt-imo-2015-c5-special-case sluchay \\(l=2015\\) ai_checked pri \\(l=2015\\) iz lemmy sleduet suschestvovanie polozhitelnyh tselyh \\(b,n\\), dlya kotoryh pri vseh \\(n>m\\ge n\\) vypolneno \\(\\left|\\sum_{i=m+1}^n(a_i-b)\\right|\\le 1007^2\\). idea-active-rays-as-balls aktivnye strelki kak shary na vysotah v moment \\(t\\) berem vse strelki \\(i\\to i+a_i\\), peresekayuschie promezhutok ot \\(t\\) k \\(t+1\\), to est takie, chto \\(i\\le t<i+a_i\\). takoy strelke sootvetstvuet shar vysoty \\(i+a_i-t\\); iz-za razlichnyh kontsov eti vysoty poparno razlichny i lezhat sredi \\(1,2,\\dots,l\\). extremal_choice ai_checked idea-eventual-pool-size stabilizatsiya chisla sharov pri perehode k sleduyuschemu momentu ischezaet ne bolee odnogo shara i dobavlyaetsya rovno odin novyy, poetomu chislo sharov ne ubyvaet i ogranicheno sverhu chislom \\(l\\). znachit, s nekotorogo momenta ono postoyanno ravno nekotoromu \\(b\\). extremal_choice ai_checked idea-height-sum-telescopes teleskopirovanie summy vysot posle stabilizatsii na kazhdom shage est shar vysoty 1. esli \\(s_t\\) - summa vysot v pule, to perehod ot \\(t\\) k \\(t+1\\) daet \\(s_{t+1}-s_t=a_{t+1}-b\\), i chastichnye summy \\(a_i-b\\) stanovyatsya raznostyami dvuh ogranichennyh velichin. goal_bound ai_checked sol-pool-of-balls dokazatelstvo cherez pul sharov vysot ai_checked directed_graph pigeonhole_principle extremal_choice dlya kazhdogo tselogo \\(t\\ge 0\\) rassmotrim pul sharov, sootvetstvuyuschih tem indeksam \\(i\\), dlya kotoryh \\(i\\le t<i+a_i\\). sharu indeksa \\(i\\) pripisyvaem vysotu \\(h=i+a_i-t\\). tak kak \\(1\\le a_i\\le l\\), kazhdaya vysota lezhit v mnozhestve \\(\\{1,2,\\dots,l\\}\\). esli dva shara v odin moment imeli by odinakovuyu vysotu, to sootvetstvuyuschie strelki imeli by odin i tot zhe konets \\(i+a_i\\), chto zaprescheno. poetomu v pule vsegda ne bolshe \\(l\\) sharov. pust \\(b_t\\) - chislo sharov v moment \\(t\\). pri perehode ot \\(t\\) k \\(t+1\\) shar vysoty 1 udalyaetsya, esli on est, dobavlyaetsya novyy shar, otvechayuschiy indeksu \\(t+1\\), a vse ostalnye starye vysoty umenshayutsya na 1. sledovatelno, na kazhdom shage my udalyaem ne bolee odnogo shara i dobavlyaem rovno odin, tak chto \\(b_{t+1}\\ge b_t\\). posledovatelnost \\(b_t\\) neubyvaet i ogranichena chislom \\(l\\), znachit, nachinaya s nekotorogo momenta \\(n\\), ona postoyanno ravna nekotoromu…","source_keys":["misc","imo"]}
{"id":"brooks-theorem","title":"Теорема Брукса о раскраске графа через максимальную степень","path":"data\\problems\\classical\\brooks-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/brooks-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#brooks-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Брукса"],"year":"","type":"theorem","authors":["R. L. Brooks"],"tags":["coloring","minimal_counterexample","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":9,"comment":"Скорее справочный инструмент; для базы нужна аккуратная версия доказательства.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"Самодостаточное доказательство; сверено с обзорными источниками.","notes":"Классическая теорема оставлена как public-ready theorem card: доказательство внутри карточки полное для школьной базы и не требует классификации как heavy_external_theorem.","audit_source":"official-plan-expansion-brooks-theorem-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть G — связный простой граф, а Delta — наибольшая степень его вершины. Если G не является полным графом и не является нечетным циклом, то вершины G можно правильно раскрасить в Delta цветов.","definition_ids":["connected_graph","simple_graph","complete_graph","cycle","chromatic_number","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-sketch","title":"Полное доказательство через порядок Ловаса","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","clique","cycle","simple_graph","degree","chromatic_number","path","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering","local_recoloring","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассматриваем конечный связный простой граф и обозначаем \\(\\Delta=\\Delta(G)\\). Цвета будем называть числами \\(1,\\ldots,\\Delta\\). Случаи \\(\\Delta\\le 2\\) просты. При \\(\\Delta=0\\) или \\(1\\) связный граф является соответственно одной вершиной или одним ребром, то есть полным графом. При \\(\\Delta=2\\) связный граф максимальной степени 2 есть путь или цикл; пути и четные циклы 2-раскрашиваемы, а нечетные циклы ровно входят в исключения. Далее считаем, что \\(\\Delta\\ge 3\\). Сначала докажем жадную лемму. Пусть связный граф \\(H\\) имеет максимальную степень не больше \\(\\Delta\\), и в нем есть вершина \\(r\\) степени меньше \\(\\Delta\\). Тогда \\(H\\) можно раскрасить в \\(\\Delta\\) цветов. Возьмем остовное дерево \\(H\\) с корнем \\(r\\) и раскрашиваем вершины в порядке невозрастания расстояния от \\(r\\), оставляя \\(r\\) последней. У любой вершины, отличной от \\(r\\), есть родитель на пути к \\(r\\), и этот родитель…"}],"relations":[{"id":"rel-vosh-nonbreakable-brooks","neighbor_id":"vosh-2010-11-final-nonbreakable-company","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bmo-2013-p4-brooks-low-degree-greedy","neighbor_id":"bmo-2013-p4-weakly-friendly-cycles-three-rooms","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-brooks-imo-2013-c3-color-reduction","neighbor_id":"imo-2013-c3-imons-graph-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2008-team-juniors-brooks","neighbor_id":"kolmogorov-2008-team-olympiad-juniors-problem-5","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-brooks-color-reduction-odd-deletion","neighbor_id":"color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-color-extremal-brooks-shortest-odd-cycle","neighbor_id":"shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-color-extremal-brooks-fyum-2009-tur2a","neighbor_id":"fyum-2009-tur2a-p4","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-brooks-apmo-2016-color-reduction","neighbor_id":"apmo-2016-p4-dreamland-28-step-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-brooks-degeneracy-greedy-order","neighbor_id":"degeneracy-greedy-coloring","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-five-color-brooks-local-recoloring-checked","neighbor_id":"five-color-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-brooks-vosh-2025-26-color-cleaning","neighbor_id":"vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-brooks-yumt-2023-granda-final-p6","neighbor_id":"yumt-2023-granda-final-problem6","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"brooks-theorem теорема брукса о раскраске графа через максимальную степень coloring minimal_counterexample classical_theorem goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%91%d1%80%d1%83%d0%ba%d1%81%d0%b0 misc r. l. brooks reference rlbrooks src-wikipedia-brooks with_solution прочее теорема брукса r. l. brooks теорема брукса stmt-original-1 ai_checked пусть g — связный простой граф, а delta — наибольшая степень его вершины. если g не является полным графом и не является нечетным циклом, то вершины g можно правильно раскрасить в delta цветов. connected_graph simple_graph complete_graph cycle chromatic_number degree idea-greedy-order жадная раскраска в правильном порядке нужно упорядочить вершины так, чтобы при жадной раскраске каждая вершина, кроме контролируемых исключений, видела меньше delta уже раскрашенных соседей. coloring extremal_choice ai_checked sol-sketch полное доказательство через порядок ловаса ai_checked connected_graph clique cycle simple_graph degree chromatic_number path spanning_tree greedy_ordering local_recoloring delete_to_simplify рассматриваем конечный связный простой граф и обозначаем \\(\\delta=\\delta(g)\\). цвета будем называть числами \\(1,\\ldots,\\delta\\). случаи \\(\\delta\\le 2\\) просты. при \\(\\delta=0\\) или \\(1\\) связный граф является соответственно одной вершиной или одним ребром, то есть полным графом. при \\(\\delta=2\\) связный граф максимальной степени 2 есть путь или цикл; пути и четные циклы 2-раскрашиваемы, а нечетные циклы ровно входят в исключения. далее считаем, что \\(\\delta\\ge 3\\). сначала докажем жадную лемму. пусть связный граф \\(h\\) имеет максимальную степень не больше \\(\\delta\\), и в нем есть вершина \\(r\\) степени меньше \\(\\delta\\). тогда \\(h\\) можно раскрасить в \\(\\delta\\) цветов. возьмем остовное дерево \\(h\\) с корнем \\(r\\) и раскрашиваем вершины в порядке невозрастания расстояния от \\(r\\), оставляя \\(r\\) последней. у любой вершины, отличной от \\(r\\), есть родитель на пути к \\(r\\), и этот родитель… brooks-theorem teorema bruksa o raskraske grafa cherez maksimalnuyu stepen coloring minimal_counterexample classical_theorem goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%91%d1%80%d1%83%d0%ba%d1%81%d0%b0 misc r. l. brooks reference rlbrooks src-wikipedia-brooks with_solution prochee teorema bruksa r. l. brooks teorema bruksa stmt-original-1 ai_checked pust g — svyaznyy prostoy graf, a delta — naibolshaya stepen ego vershiny. esli g ne yavlyaetsya polnym grafom i ne yavlyaetsya nechetnym tsiklom, to vershiny g mozhno pravilno raskrasit v delta tsvetov. connected_graph simple_graph complete_graph cycle chromatic_number degree idea-greedy-order zhadnaya raskraska v pravilnom poryadke nuzhno uporyadochit vershiny tak, chtoby pri zhadnoy raskraske kazhdaya vershina, krome kontroliruemyh isklyucheniy, videla menshe delta uzhe raskrashennyh sosedey. coloring extremal_choice ai_checked sol-sketch polnoe dokazatelstvo cherez poryadok lovasa ai_checked connected_graph clique cycle simple_graph degree chromatic_number path spanning_tree greedy_ordering local_recoloring delete_to_simplify rassmatrivaem konechnyy svyaznyy prostoy graf i oboznachaem \\(\\delta=\\delta(g)\\). tsveta budem nazyvat chislami \\(1,\\ldots,\\delta\\). sluchai \\(\\delta\\le 2\\) prosty. pri \\(\\delta=0\\) ili \\(1\\) svyaznyy graf yavlyaetsya sootvetstvenno odnoy vershinoy ili odnim rebrom, to est polnym grafom. pri \\(\\delta=2\\) svyaznyy graf maksimalnoy stepeni 2 est put ili tsikl; puti i chetnye tsikly 2-raskrashivaemy, a nechetnye tsikly rovno vhodyat v isklyucheniya. dalee schitaem, chto \\(\\delta\\ge 3\\). snachala dokazhem zhadnuyu lemmu. pust svyaznyy graf \\(h\\) imeet maksimalnuyu stepen ne bolshe \\(\\delta\\), i v nem est vershina \\(r\\) stepeni menshe \\(\\delta\\). togda \\(h\\) mozhno raskrasit v \\(\\delta\\) tsvetov. vozmem ostovnoe derevo \\(h\\) s kornem \\(r\\) i raskrashivaem vershiny v poryadke nevozrastaniya rasstoyaniya ot \\(r\\), ostavlyaya \\(r\\) posledney. u lyuboy vershiny, otlichnoy ot \\(r\\), est roditel na puti k \\(r\\), i etot roditel…","source_keys":["misc"]}
{"id":"c4-free-kovari-sos-turan-bound","title":"Оценка Кёвари-Шоша-Турана для графа без четырёхциклов","path":"data\\problems\\classical\\c4-free-kovari-sos-turan-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/c4-free-kovari-sos-turan-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#c4-free-kovari-sos-turan-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Kővári-Sós-Turán theorem"],"year":"","type":"theorem","authors":["Tamás Kővári","Vera T. Sós","Pál Turán"],"tags":["extremal_graph_theory","double_counting","classical_theorem","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Это один из самых школьных фрагментов теоремы Кёвари-Шоша-Турана: вся работа сводится к двойному счёту общих соседей и неравенству Коши.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Школьная C4-свободная оценка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф на \\(n\\) вершинах, в котором нет цикла длины 4. Тогда число его рёбер \\(e\\) удовлетворяет неравенству \\(e\\le \\frac n4\\bigl(1+\\sqrt{4n-3}\\bigr)\\). В частности, \\(e=O(n^{3/2})\\).","definition_ids":["simple_graph","cycle","degree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-common-neighbor-form","title":"Форма про общих соседей","status":"ai_checked","text":"Если в простом графе любые две вершины имеют не более одного общего соседа, то число рёбер графа не превосходит \\(\\frac n4(1+\\sqrt{4n-3})\\).","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-common-neighbor-count","title":"Доказательство двойным счётом","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим степени вершин через \\(d_1,\\ldots,d_n\\), а число рёбер через \\(e\\). Посчитаем тройки \\((x,v,y)\\), где \\(x\\) и \\(y\\) — две различные соседние с \\(v\\) вершины. Для фиксированного центра \\(v\\) таких троек \\(\\binom{d(v)}2\\), поэтому всего их \\(\\sum_v \\binom{d(v)}2\\). С другой стороны, каждая такая тройка задаёт пару концов \\(x,y\\), имеющих общего соседа \\(v\\). Если какая-то пара вершин \\(x,y\\) имела бы двух разных общих соседей \\(u\\) и \\(v\\), то вершины \\(x,u,y,v\\) образовали бы цикл длины 4. Поэтому в графе без \\(C_4\\) каждая неупорядоченная пара концов встречается не более одного раза. Значит \\[\\sum_v \\binom{d(v)}2\\le \\binom n2.\\] Раскроем левую часть: \\(\\sum_v \\binom{d(v)}2=\\frac12\\sum_v d(v)^2-e\\), потому что \\(\\sum_v d(v)=2e\\). По неравенству Коши \\(\\sum_v d(v)^2\\ge (2e)^2/n\\). Поэтому \\[\\frac12\\cdot\\frac{4e^2}{n}-e\\le \\frac{n(n-1)}2.\\] Умножая на \\(2n\\), получаем \\(4e^2-2ne\\…"}],"relations":[{"id":"rel-handshaking-c4-kst","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-c4-kst-mantel","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-kst-c4","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-1976-p1b-c4-free-kst","neighbor_id":"usamo-1976-p1b-4x6-rectangle-free-coloring-construction","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"c4-free-kovari-sos-turan-bound оценка кёвари-шоша-турана для графа без четырёхциклов extremal_graph_theory double_counting classical_theorem goal_bound https://en.wikipedia.org/wiki/k%c5%91v%c3%a1ri%e2%80%93s%c3%b3s%e2%80%93tur%c3%a1n_theorem misc pál turán pálturán src-wikipedia-kovari-sos-turan standard_reference tamás kővári tamáskővári vera t. sós veratsós wikipedia, kővári-sós-turán theorem with_solution прочее tamás kővári vera t. sós pál turán wikipedia, kővári-sós-turán theorem stmt-original-1 школьная c4-свободная оценка ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф на \\(n\\) вершинах, в котором нет цикла длины 4. тогда число его рёбер \\(e\\) удовлетворяет неравенству \\(e\\le \\frac n4\\bigl(1+\\sqrt{4n-3}\\bigr)\\). в частности, \\(e=o(n^{3/2})\\). simple_graph cycle degree stmt-common-neighbor-form форма про общих соседей ai_checked если в простом графе любые две вершины имеют не более одного общего соседа, то число рёбер графа не превосходит \\(\\frac n4(1+\\sqrt{4n-3})\\). simple_graph degree idea-count-two-step-paths считать пути длины 2 сумма \\(\\sum_v \\binom{d(v)}2\\) считает пары соседей с общим центром. в графе без \\(c_4\\) каждая пара концов может иметь не больше одного общего центра. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-common-neighbor-count доказательство двойным счётом ai_checked simple_graph cycle degree double_counting обозначим степени вершин через \\(d_1,\\ldots,d_n\\), а число рёбер через \\(e\\). посчитаем тройки \\((x,v,y)\\), где \\(x\\) и \\(y\\) — две различные соседние с \\(v\\) вершины. для фиксированного центра \\(v\\) таких троек \\(\\binom{d(v)}2\\), поэтому всего их \\(\\sum_v \\binom{d(v)}2\\). с другой стороны, каждая такая тройка задаёт пару концов \\(x,y\\), имеющих общего соседа \\(v\\). если какая-то пара вершин \\(x,y\\) имела бы двух разных общих соседей \\(u\\) и \\(v\\), то вершины \\(x,u,y,v\\) образовали бы цикл длины 4. поэтому в графе без \\(c_4\\) каждая неупорядоченная пара концов встречается не более одного раза. значит \\[\\sum_v \\binom{d(v)}2\\le \\binom n2.\\] раскроем левую часть: \\(\\sum_v \\binom{d(v)}2=\\frac12\\sum_v d(v)^2-e\\), потому что \\(\\sum_v d(v)=2e\\). по неравенству коши \\(\\sum_v d(v)^2\\ge (2e)^2/n\\). поэтому \\[\\frac12\\cdot\\frac{4e^2}{n}-e\\le \\frac{n(n-1)}2.\\] умножая на \\(2n\\), получаем \\(4e^2-2ne\\… c4-free-kovari-sos-turan-bound otsenka kevari-shosha-turana dlya grafa bez chetyrehtsiklov extremal_graph_theory double_counting classical_theorem goal_bound https://en.wikipedia.org/wiki/k%c5%91v%c3%a1ri%e2%80%93s%c3%b3s%e2%80%93tur%c3%a1n_theorem misc pál turán pálturán src-wikipedia-kovari-sos-turan standard_reference tamás kővári tamáskővári vera t. sós veratsós wikipedia, kővári-sós-turán theorem with_solution prochee tamás kővári vera t. sós pál turán wikipedia, kővári-sós-turán theorem stmt-original-1 shkolnaya c4-svobodnaya otsenka ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf na \\(n\\) vershinah, v kotorom net tsikla dliny 4. togda chislo ego reber \\(e\\) udovletvoryaet neravenstvu \\(e\\le \\frac n4\\bigl(1+\\sqrt{4n-3}\\bigr)\\). v chastnosti, \\(e=o(n^{3/2})\\). simple_graph cycle degree stmt-common-neighbor-form forma pro obschih sosedey ai_checked esli v prostom grafe lyubye dve vershiny imeyut ne bolee odnogo obschego soseda, to chislo reber grafa ne prevoshodit \\(\\frac n4(1+\\sqrt{4n-3})\\). simple_graph degree idea-count-two-step-paths schitat puti dliny 2 summa \\(\\sum_v \\binom{d(v)}2\\) schitaet pary sosedey s obschim tsentrom. v grafe bez \\(c_4\\) kazhdaya para kontsov mozhet imet ne bolshe odnogo obschego tsentra. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-common-neighbor-count dokazatelstvo dvoynym schetom ai_checked simple_graph cycle degree double_counting oboznachim stepeni vershin cherez \\(d_1,\\ldots,d_n\\), a chislo reber cherez \\(e\\). poschitaem troyki \\((x,v,y)\\), gde \\(x\\) i \\(y\\) — dve razlichnye sosednie s \\(v\\) vershiny. dlya fiksirovannogo tsentra \\(v\\) takih troek \\(\\binom{d(v)}2\\), poetomu vsego ih \\(\\sum_v \\binom{d(v)}2\\). s drugoy storony, kazhdaya takaya troyka zadaet paru kontsov \\(x,y\\), imeyuschih obschego soseda \\(v\\). esli kakaya-to para vershin \\(x,y\\) imela by dvuh raznyh obschih sosedey \\(u\\) i \\(v\\), to vershiny \\(x,u,y,v\\) obrazovali by tsikl dliny 4. poetomu v grafe bez \\(c_4\\) kazhdaya neuporyadochennaya para kontsov vstrechaetsya ne bolee odnogo raza. znachit \\[\\sum_v \\binom{d(v)}2\\le \\binom n2.\\] raskroem levuyu chast: \\(\\sum_v \\binom{d(v)}2=\\frac12\\sum_v d(v)^2-e\\), potomu chto \\(\\sum_v d(v)=2e\\). po neravenstvu koshi \\(\\sum_v d(v)^2\\ge (2e)^2/n\\). poetomu \\[\\frac12\\cdot\\frac{4e^2}{n}-e\\le \\frac{n(n-1)}2.\\] umnozhaya na \\(2n\\), poluchaem \\(4e^2-2ne\\…","source_keys":["misc"]}
{"id":"caro-wei-independent-set-bound","title":"Лемма Каро-Вея о независимом множестве","path":"data\\problems\\classical\\caro-wei-independent-set-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/caro-wei-independent-set-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#caro-wei-independent-set-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Turan's theorem, probabilistic-method proof and Caro-Wei bound"],"year":"","type":"lemma","authors":["Yair Caro","C. C. Wei"],"tags":["extremal_graph_theory","classical_theorem","goal_bound","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Классическая короткая лемма: доказательство занимает один вероятностный выбор, но сам инструмент часто оказывается решающим в олимпиадных графовых задачах.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Для любого конечного простого графа \\(G\\) существует независимое множество размера не меньше \\(\\sum_{v\\in V(G)} \\frac{1}{d(v)+1}\\), где \\(d(v)\\) — степень вершины \\(v\\). Иными словами, \\(\\alpha(G)\\ge \\sum_{v\\in V(G)}1/(d(v)+1)\\).","definition_ids":["simple_graph","degree","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-random-order","title":"Доказательство через случайный порядок","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","independent_set"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем равновероятный случайный порядок всех вершин графа \\(G\\). Включим вершину \\(v\\) в множество \\(S\\), если среди вершин \\(\\{v\\}\\cup N(v)\\) она стоит первой. Если две вершины \\(u\\) и \\(v\\) смежны, то они не могут обе попасть в \\(S\\): из пары \\(u,v\\) только одна может быть раньше другой. Значит, \\(S\\) всегда является независимым множеством. Для фиксированной вершины \\(v\\) все \\(d(v)+1\\) вершин из ее замкнутой окрестности равноправны, поэтому вероятность события \\(v\\in S\\) равна \\(1/(d(v)+1)\\). По линейности математического ожидания \\(\\mathbb E|S|=\\sum_{v\\in V(G)}1/(d(v)+1)\\). Следовательно, при некотором порядке вершин размер построенного независимого множества не меньше этого ожидания."}],"relations":[{"id":"rel-caro-wei-lemma-imo-2012-c7","neighbor_id":"imo-2012-c7-equal-sum-chords-independent-set","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-caro-wei-dolnikov-independent-set-motif","neighbor_id":"dolnikov-deletion-independent-set-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2023-p5-caro-wei-independent-set","neighbor_id":"cmo-2023-p5-cut-bound-independent-set","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-kolm-2016-junior-p7-caro-wei-independent-absorbing-set","neighbor_id":"kolmogorov-2016-individual-olympiad-juniors-problem-7","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ms2019-p4-caro-wei-random-ordering","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2016-start-high-r1-p7-caro-wei-independent-set-bound","neighbor_id":"yumt-2016-start-high-round1-problem7","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"caro-wei-independent-set-bound лемма каро-вея о независимом множестве extremal_graph_theory classical_theorem goal_bound goal_existence c. c. wei ccwei https://en.wikipedia.org/wiki/tur%c3%a1n%27s_theorem misc reference src-wikipedia-turan-en-caro-wei wikipedia, turan's theorem, probabilistic-method proof and caro-wei bound with_solution yair caro yaircaro прочее yair caro c. c. wei wikipedia, turan's theorem, probabilistic-method proof and caro-wei bound stmt-original-1 ai_checked для любого конечного простого графа \\(g\\) существует независимое множество размера не меньше \\(\\sum_{v\\in v(g)} \\frac{1}{d(v)+1}\\), где \\(d(v)\\) — степень вершины \\(v\\). иными словами, \\(\\alpha(g)\\ge \\sum_{v\\in v(g)}1/(d(v)+1)\\). simple_graph degree independent_set idea-random-ordering случайный порядок вершин упорядочим вершины случайно и возьмем те вершины, которые идут раньше всех своих соседей. такая вершина выбирается с вероятностью \\(1/(d(v)+1)\\), а выбранные вершины попарно несмежны. extremal_choice goal_existence ai_checked sol-random-order доказательство через случайный порядок ai_checked degree independent_set extremal_choice выберем равновероятный случайный порядок всех вершин графа \\(g\\). включим вершину \\(v\\) в множество \\(s\\), если среди вершин \\(\\{v\\}\\cup n(v)\\) она стоит первой. если две вершины \\(u\\) и \\(v\\) смежны, то они не могут обе попасть в \\(s\\): из пары \\(u,v\\) только одна может быть раньше другой. значит, \\(s\\) всегда является независимым множеством. для фиксированной вершины \\(v\\) все \\(d(v)+1\\) вершин из ее замкнутой окрестности равноправны, поэтому вероятность события \\(v\\in s\\) равна \\(1/(d(v)+1)\\). по линейности математического ожидания \\(\\mathbb e|s|=\\sum_{v\\in v(g)}1/(d(v)+1)\\). следовательно, при некотором порядке вершин размер построенного независимого множества не меньше этого ожидания. caro-wei-independent-set-bound lemma karo-veya o nezavisimom mnozhestve extremal_graph_theory classical_theorem goal_bound goal_existence c. c. wei ccwei https://en.wikipedia.org/wiki/tur%c3%a1n%27s_theorem misc reference src-wikipedia-turan-en-caro-wei wikipedia, turan's theorem, probabilistic-method proof and caro-wei bound with_solution yair caro yaircaro prochee yair caro c. c. wei wikipedia, turan's theorem, probabilistic-method proof and caro-wei bound stmt-original-1 ai_checked dlya lyubogo konechnogo prostogo grafa \\(g\\) suschestvuet nezavisimoe mnozhestvo razmera ne menshe \\(\\sum_{v\\in v(g)} \\frac{1}{d(v)+1}\\), gde \\(d(v)\\) — stepen vershiny \\(v\\). inymi slovami, \\(\\alpha(g)\\ge \\sum_{v\\in v(g)}1/(d(v)+1)\\). simple_graph degree independent_set idea-random-ordering sluchaynyy poryadok vershin uporyadochim vershiny sluchayno i vozmem te vershiny, kotorye idut ranshe vseh svoih sosedey. takaya vershina vybiraetsya s veroyatnostyu \\(1/(d(v)+1)\\), a vybrannye vershiny poparno nesmezhny. extremal_choice goal_existence ai_checked sol-random-order dokazatelstvo cherez sluchaynyy poryadok ai_checked degree independent_set extremal_choice vyberem ravnoveroyatnyy sluchaynyy poryadok vseh vershin grafa \\(g\\). vklyuchim vershinu \\(v\\) v mnozhestvo \\(s\\), esli sredi vershin \\(\\{v\\}\\cup n(v)\\) ona stoit pervoy. esli dve vershiny \\(u\\) i \\(v\\) smezhny, to oni ne mogut obe popast v \\(s\\): iz pary \\(u,v\\) tolko odna mozhet byt ranshe drugoy. znachit, \\(s\\) vsegda yavlyaetsya nezavisimym mnozhestvom. dlya fiksirovannoy vershiny \\(v\\) vse \\(d(v)+1\\) vershin iz ee zamknutoy okrestnosti ravnopravny, poetomu veroyatnost sobytiya \\(v\\in s\\) ravna \\(1/(d(v)+1)\\). po lineynosti matematicheskogo ozhidaniya \\(\\mathbb e|s|=\\sum_{v\\in v(g)}1/(d(v)+1)\\). sledovatelno, pri nekotorom poryadke vershin razmer postroennogo nezavisimogo mnozhestva ne menshe etogo ozhidaniya.","source_keys":["misc"]}
{"id":"cayley-prufer-labeled-trees","title":"Формула Кэли для помеченных деревьев через код Прюфера","path":"data\\problems\\classical\\cayley-prufer-labeled-trees.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/cayley-prufer-labeled-trees.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#cayley-prufer-labeled-trees","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Cayley's formula","Wikipedia, Prüfer sequence"],"year":"","type":"theorem","authors":["Arthur Cayley","Heinz Prüfer"],"tags":["trees","classical_theorem","induction","goal_counting","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Формула выглядит неожиданно, но доказательство через код Прюфера является чистой школьной биекцией с удалением листьев.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Число помеченных деревьев","status":"ai_checked","text":"Для любого \\(n\\ge 2\\) число деревьев с вершинами \\(1,2,\\ldots,n\\) равно \\(n^{n-2}\\).","definition_ids":["tree","simple_graph"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-prufer-code","title":"Код Прюфера","status":"ai_checked","text":"Каждому дереву на вершинах \\(1,2,\\ldots,n\\) можно взаимно однозначно сопоставить последовательность длины \\(n-2\\), каждый член которой является числом от 1 до \\(n\\).","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-prufer-bijection","title":"Биекция с последовательностями","status":"ai_checked","definition_ids":["tree"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Опишем кодирование дерева. Пока в дереве осталось больше двух вершин, возьмем лист с наименьшей меткой, запишем метку его единственного соседа и удалим этот лист. За один шаг число вершин уменьшается на 1, поэтому после \\(n-2\\) шагов останутся две вершины, а записанный код будет последовательностью длины \\(n-2\\) из чисел от 1 до \\(n\\). Теперь покажем, что по любой такой последовательности код восстанавливается единственным образом. Пусть дана последовательность \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{n-2}\\). На первом шаге лист, который был удален при кодировании, не может встречаться в последовательности: если вершина когда-либо записывается, значит в тот момент она была соседом удаляемого листа и сама еще не удалялась. Поэтому первым удаленным листом должна быть наименьшая метка, не встречающаяся среди \\(a_1,\\ldots,a_{n-2}\\). Соединим эту вершину с \\(a_1\\) и удалим ее из списка оставшихся меток. Затем за…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-properties-cayley-prufer","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2015-spies-cayley-prufer-leaf-reconstruction","neighbor_id":"kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"cayley-prufer-labeled-trees формула кэли для помеченных деревьев через код прюфера trees classical_theorem induction goal_counting goal_construction arthur cayley arthurcayley heinz prüfer heinzprüfer https://en.wikipedia.org/wiki/cayley%27s_formula https://en.wikipedia.org/wiki/pr%c3%bcfer_sequence misc src-wikipedia-cayley-formula src-wikipedia-prufer-sequence standard_reference wikipedia, cayley's formula wikipedia, prüfer sequence with_solution прочее arthur cayley heinz prüfer wikipedia, cayley's formula wikipedia, prüfer sequence stmt-original-1 число помеченных деревьев ai_checked для любого \\(n\\ge 2\\) число деревьев с вершинами \\(1,2,\\ldots,n\\) равно \\(n^{n-2}\\). tree simple_graph stmt-prufer-code код прюфера ai_checked каждому дереву на вершинах \\(1,2,\\ldots,n\\) можно взаимно однозначно сопоставить последовательность длины \\(n-2\\), каждый член которой является числом от 1 до \\(n\\). tree idea-delete-smallest-leaf удалять наименьший лист пока в дереве больше двух вершин, удаляем лист с наименьшей меткой и записываем метку его единственного соседа. получается последовательность длины \\(n-2\\). trees induction ai_checked idea-reconstruct-leaf восстанавливать первый отсутствующий лист при восстановлении очередной удаляемый лист — это наименьшая метка, которая еще не использована как оставшаяся вершина и не встречается в оставшейся части кода. trees goal_construction ai_checked sol-prufer-bijection биекция с последовательностями ai_checked tree induction опишем кодирование дерева. пока в дереве осталось больше двух вершин, возьмем лист с наименьшей меткой, запишем метку его единственного соседа и удалим этот лист. за один шаг число вершин уменьшается на 1, поэтому после \\(n-2\\) шагов останутся две вершины, а записанный код будет последовательностью длины \\(n-2\\) из чисел от 1 до \\(n\\). теперь покажем, что по любой такой последовательности код восстанавливается единственным образом. пусть дана последовательность \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{n-2}\\). на первом шаге лист, который был удален при кодировании, не может встречаться в последовательности: если вершина когда-либо записывается, значит в тот момент она была соседом удаляемого листа и сама еще не удалялась. поэтому первым удаленным листом должна быть наименьшая метка, не встречающаяся среди \\(a_1,\\ldots,a_{n-2}\\). соединим эту вершину с \\(a_1\\) и удалим ее из списка оставшихся меток. затем за… cayley-prufer-labeled-trees formula keli dlya pomechennyh derevev cherez kod pryufera trees classical_theorem induction goal_counting goal_construction arthur cayley arthurcayley heinz prüfer heinzprüfer https://en.wikipedia.org/wiki/cayley%27s_formula https://en.wikipedia.org/wiki/pr%c3%bcfer_sequence misc src-wikipedia-cayley-formula src-wikipedia-prufer-sequence standard_reference wikipedia, cayley's formula wikipedia, prüfer sequence with_solution prochee arthur cayley heinz prüfer wikipedia, cayley's formula wikipedia, prüfer sequence stmt-original-1 chislo pomechennyh derevev ai_checked dlya lyubogo \\(n\\ge 2\\) chislo derevev s vershinami \\(1,2,\\ldots,n\\) ravno \\(n^{n-2}\\). tree simple_graph stmt-prufer-code kod pryufera ai_checked kazhdomu derevu na vershinah \\(1,2,\\ldots,n\\) mozhno vzaimno odnoznachno sopostavit posledovatelnost dliny \\(n-2\\), kazhdyy chlen kotoroy yavlyaetsya chislom ot 1 do \\(n\\). tree idea-delete-smallest-leaf udalyat naimenshiy list poka v dereve bolshe dvuh vershin, udalyaem list s naimenshey metkoy i zapisyvaem metku ego edinstvennogo soseda. poluchaetsya posledovatelnost dliny \\(n-2\\). trees induction ai_checked idea-reconstruct-leaf vosstanavlivat pervyy otsutstvuyuschiy list pri vosstanovlenii ocherednoy udalyaemyy list — eto naimenshaya metka, kotoraya esche ne ispolzovana kak ostavshayasya vershina i ne vstrechaetsya v ostavsheysya chasti koda. trees goal_construction ai_checked sol-prufer-bijection biektsiya s posledovatelnostyami ai_checked tree induction opishem kodirovanie dereva. poka v dereve ostalos bolshe dvuh vershin, vozmem list s naimenshey metkoy, zapishem metku ego edinstvennogo soseda i udalim etot list. za odin shag chislo vershin umenshaetsya na 1, poetomu posle \\(n-2\\) shagov ostanutsya dve vershiny, a zapisannyy kod budet posledovatelnostyu dliny \\(n-2\\) iz chisel ot 1 do \\(n\\). teper pokazhem, chto po lyuboy takoy posledovatelnosti kod vosstanavlivaetsya edinstvennym obrazom. pust dana posledovatelnost \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{n-2}\\). na pervom shage list, kotoryy byl udalen pri kodirovanii, ne mozhet vstrechatsya v posledovatelnosti: esli vershina kogda-libo zapisyvaetsya, znachit v tot moment ona byla sosedom udalyaemogo lista i sama esche ne udalyalas. poetomu pervym udalennym listom dolzhna byt naimenshaya metka, ne vstrechayuschayasya sredi \\(a_1,\\ldots,a_{n-2}\\). soedinim etu vershinu s \\(a_1\\) i udalim ee iz spiska ostavshihsya metok. zatem za…","source_keys":["misc"]}
{"id":"chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged","title":"Независимый вершинный разрез в графе с не более чем 2n-4 рёбрами","path":"data\\problems\\classical\\chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Guantao Chen, Xingxing Yu, A note on fragile graphs","Кубок Колмогорова 2024 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"","type":"theorem","authors":["Chen--Yu"],"tags":["connectivity","graph_cut","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":12,"comment":"Олимпиадная задача является прямой формулировкой теоремы Чэня — Юя.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-chen-yu-theorem","title":"Теорема Чэня — Юя","status":"ai_checked","text":"Всякий связный граф на n вершинах с не более чем 2n-4 рёбрами имеет вершинный разрез, который одновременно является независимым множеством.","definition_ids":["connected_graph","independent_set","graph_cut"]},{"id":"stmt-kolmogorov-2024-cutset","title":"Кубок Колмогорова 2024","status":"ai_checked","text":"Пусть G — связный граф с n вершинами и не более чем 2n-4 рёбрами. Докажите, что в G есть независимое множество вершин, удаление которого делает граф несвязным.","definition_ids":["connected_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-chen-yu-reference","title":"Самодостаточное доказательство теоремы Чэня — Юя и сведение Колмогорова","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","independent_set"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем усиленную форму Чэня — Юя. Пусть G — 2-связный простой граф на n вершинах, e(G) ≤ 2n-4, и пусть x — заданная вершина. Тогда в G существует независимый вершинный разрез S, не содержащий x. База индукции. При n=3 единственный 2-связный простой граф — треугольник, у него 3=2n-3 ребра, поэтому условие e(G) ≤ 2n-4 не выполняется. При n=4 из 2-связности следует минимальная степень хотя бы 2, значит e(G) ≥ 4; вместе с e(G) ≤ 4 получаем G=C4. Для любой вершины x две ее соседние вершины образуют независимый разрез: после их удаления остаются две несмежные вершины, одна из которых x. Значит усиленная теорема верна для n=4. Пусть n≥5, и усиленная теорема уже доказана для всех меньших порядков. Рассмотрим 2-связный G с e(G) ≤ 2n-4 и фиксированную вершину x. Если x не лежит ни в одном треугольнике, то N(x) независимо. Кроме того, N(x) является разрезом: после удаления N(x) вершина x изолиров…"}],"relations":[{"id":"rel-kolmogorov-2024-fragile-menger","neighbor_id":"menger-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged независимый вершинный разрез в графе с не более чем 2n-4 рёбрами connectivity graph_cut extremal_graph_theory goal_exact_bound chen--yu chenyu guantao chen, xingxing yu, a note on fragile graphs https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0012365x01002266 misc olympiad_archive paper src-chen-yu-fragile-graphs src-kolmogorov-2024-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова 2024 официальный архив прочее chen--yu guantao chen, xingxing yu, a note on fragile graphs кубок колмогорова 2024 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-chen-yu-theorem теорема чэня — юя ai_checked всякий связный граф на n вершинах с не более чем 2n-4 рёбрами имеет вершинный разрез, который одновременно является независимым множеством. connected_graph independent_set graph_cut stmt-kolmogorov-2024-cutset кубок колмогорова 2024 ai_checked пусть g — связный граф с n вершинами и не более чем 2n-4 рёбрами. докажите, что в g есть независимое множество вершин, удаление которого делает граф несвязным. connected_graph independent_set sol-chen-yu-reference самодостаточное доказательство теоремы чэня — юя и сведение колмогорова ai_checked connected_graph independent_set докажем усиленную форму чэня — юя. пусть g — 2-связный простой граф на n вершинах, e(g) ≤ 2n-4, и пусть x — заданная вершина. тогда в g существует независимый вершинный разрез s, не содержащий x. база индукции. при n=3 единственный 2-связный простой граф — треугольник, у него 3=2n-3 ребра, поэтому условие e(g) ≤ 2n-4 не выполняется. при n=4 из 2-связности следует минимальная степень хотя бы 2, значит e(g) ≥ 4; вместе с e(g) ≤ 4 получаем g=c4. для любой вершины x две ее соседние вершины образуют независимый разрез: после их удаления остаются две несмежные вершины, одна из которых x. значит усиленная теорема верна для n=4. пусть n≥5, и усиленная теорема уже доказана для всех меньших порядков. рассмотрим 2-связный g с e(g) ≤ 2n-4 и фиксированную вершину x. если x не лежит ни в одном треугольнике, то n(x) независимо. кроме того, n(x) является разрезом: после удаления n(x) вершина x изолиров… chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged nezavisimyy vershinnyy razrez v grafe s ne bolee chem 2n-4 rebrami connectivity graph_cut extremal_graph_theory goal_exact_bound chen--yu chenyu guantao chen, xingxing yu, a note on fragile graphs https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0012365x01002266 misc olympiad_archive paper src-chen-yu-fragile-graphs src-kolmogorov-2024-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv prochee chen--yu guantao chen, xingxing yu, a note on fragile graphs kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-chen-yu-theorem teorema chenya — yuya ai_checked vsyakiy svyaznyy graf na n vershinah s ne bolee chem 2n-4 rebrami imeet vershinnyy razrez, kotoryy odnovremenno yavlyaetsya nezavisimym mnozhestvom. connected_graph independent_set graph_cut stmt-kolmogorov-2024-cutset kubok kolmogorova 2024 ai_checked pust g — svyaznyy graf s n vershinami i ne bolee chem 2n-4 rebrami. dokazhite, chto v g est nezavisimoe mnozhestvo vershin, udalenie kotorogo delaet graf nesvyaznym. connected_graph independent_set sol-chen-yu-reference samodostatochnoe dokazatelstvo teoremy chenya — yuya i svedenie kolmogorova ai_checked connected_graph independent_set dokazhem usilennuyu formu chenya — yuya. pust g — 2-svyaznyy prostoy graf na n vershinah, e(g) ≤ 2n-4, i pust x — zadannaya vershina. togda v g suschestvuet nezavisimyy vershinnyy razrez s, ne soderzhaschiy x. baza induktsii. pri n=3 edinstvennyy 2-svyaznyy prostoy graf — treugolnik, u nego 3=2n-3 rebra, poetomu uslovie e(g) ≤ 2n-4 ne vypolnyaetsya. pri n=4 iz 2-svyaznosti sleduet minimalnaya stepen hotya by 2, znachit e(g) ≥ 4; vmeste s e(g) ≤ 4 poluchaem g=c4. dlya lyuboy vershiny x dve ee sosednie vershiny obrazuyut nezavisimyy razrez: posle ih udaleniya ostayutsya dve nesmezhnye vershiny, odna iz kotoryh x. znachit usilennaya teorema verna dlya n=4. pust n≥5, i usilennaya teorema uzhe dokazana dlya vseh menshih poryadkov. rassmotrim 2-svyaznyy g s e(g) ≤ 2n-4 i fiksirovannuyu vershinu x. esli x ne lezhit ni v odnom treugolnike, to n(x) nezavisimo. krome togo, n(x) yavlyaetsya razrezom: posle udaleniya n(x) vershina x izolirov…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling","title":"Понижение числа цветов удалением нечётных вершин и удвоением","path":"data\\problems\\classical\\color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["IMO 2013 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","induction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Нестандартная лемма-оператор для задач о раскрасках и паритетных операциях над графом.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_human_review","text":"Дан конечный простой граф, правильно раскрашенный в \\(n>1\\) цветов. Разрешены две операции: 1) удалить вершину нечётной степени вместе со всеми инцидентными ей рёбрами; 2) заменить текущий граф двумя непересекающимися копиями и добавить ребро между каждой вершиной одной копии и соответствующей вершиной другой. Докажите, что после конечного числа таких операций можно получить граф, правильно раскрашиваемый в \\(n-1\\) цветов.","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-even-core-and-double","title":"Чётное ядро и удаление цветовой доли","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим данный \\(n\\)-раскрашенный граф \\(G\\). Пока в нём есть вершина нечётной степени, удаляем её. Корректность раскраски при этом не нарушается. Через конечное число шагов получим подграф \\(H\\), в котором каждая вершина имеет чётную степень. Если \\(H\\) уже раскрашивается в \\(n-1\\) цветов, то всё доказано. Иначе зафиксируем в \\(H\\) правильную раскраску в цвета \\(1,\\dots,n\\) с непустой долей цвета \\(n\\). Теперь выполним операцию удвоения. В новом графе \\(D\\) каждая вершина \\(v\\) имеет степень \\(\\deg_H(v)+1\\), следовательно, нечётную. Кроме того, множество всех вершин цвета \\(n\\) в обеих копиях остаётся независимым. Поэтому эти вершины можно удалять одну за другой: удаление одной такой вершины меняет чётность степеней только её соседей, но не затрагивает степени остальных вершин цвета \\(n\\), так как между ними нет рёбер. После удаления всей цветовой доли \\(n\\) остаётся граф, правильно…"}],"relations":[{"id":"rel-color-reduction-imons","neighbor_id":"imo-2013-c3-imons-graph-coloring","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2010-p4-color-reduction-parity-operations","neighbor_id":"cmo-2010-p4-graph-neighborhood-toggle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-pass-brooks-color-reduction-odd-deletion","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-color-extremal-color-reduction-apmo-2016","neighbor_id":"apmo-2016-p4-dreamland-28-step-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2022-grand-final-p1-color-reduction-odd-deletion","neighbor_id":"yumt-2022-grand-final-problem1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling понижение числа цветов удалением нечётных вершин и удвоением coloring induction goal_exact_bound https://www.imo-official.org/problems/imo2013sl.pdf imo 2013 shortlisted problems with solutions misc official_archive src-imo-2013-shortlist with_solution прочее ? imo 2013 shortlisted problems with solutions stmt-original-1 needs_human_review дан конечный простой граф, правильно раскрашенный в \\(n>1\\) цветов. разрешены две операции: 1) удалить вершину нечётной степени вместе со всеми инцидентными ей рёбрами; 2) заменить текущий граф двумя непересекающимися копиями и добавить ребро между каждой вершиной одной копии и соответствующей вершиной другой. докажите, что после конечного числа таких операций можно получить граф, правильно раскрашиваемый в \\(n-1\\) цветов. simple_graph chromatic_number degree idea-even-core-then-delete-one-color-class сначала делаем все степени чётными, потом уничтожаем один цвет после удаления всех доступных вершин нечётной степени остаётся граф, в котором все степени чётны. после удвоения степень каждой вершины становится нечётной, и любую фиксированную цветовую долю можно удалить целиком, потому что она остаётся независимой. coloring induction ai_checked sol-even-core-and-double чётное ядро и удаление цветовой доли ai_checked degree рассмотрим данный \\(n\\)-раскрашенный граф \\(g\\). пока в нём есть вершина нечётной степени, удаляем её. корректность раскраски при этом не нарушается. через конечное число шагов получим подграф \\(h\\), в котором каждая вершина имеет чётную степень. если \\(h\\) уже раскрашивается в \\(n-1\\) цветов, то всё доказано. иначе зафиксируем в \\(h\\) правильную раскраску в цвета \\(1,\\dots,n\\) с непустой долей цвета \\(n\\). теперь выполним операцию удвоения. в новом графе \\(d\\) каждая вершина \\(v\\) имеет степень \\(\\deg_h(v)+1\\), следовательно, нечётную. кроме того, множество всех вершин цвета \\(n\\) в обеих копиях остаётся независимым. поэтому эти вершины можно удалять одну за другой: удаление одной такой вершины меняет чётность степеней только её соседей, но не затрагивает степени остальных вершин цвета \\(n\\), так как между ними нет рёбер. после удаления всей цветовой доли \\(n\\) остаётся граф, правильно… color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling ponizhenie chisla tsvetov udaleniem nechetnyh vershin i udvoeniem coloring induction goal_exact_bound https://www.imo-official.org/problems/imo2013sl.pdf imo 2013 shortlisted problems with solutions misc official_archive src-imo-2013-shortlist with_solution prochee ? imo 2013 shortlisted problems with solutions stmt-original-1 needs_human_review dan konechnyy prostoy graf, pravilno raskrashennyy v \\(n>1\\) tsvetov. razresheny dve operatsii: 1) udalit vershinu nechetnoy stepeni vmeste so vsemi intsidentnymi ey rebrami; 2) zamenit tekuschiy graf dvumya neperesekayuschimisya kopiyami i dobavit rebro mezhdu kazhdoy vershinoy odnoy kopii i sootvetstvuyuschey vershinoy drugoy. dokazhite, chto posle konechnogo chisla takih operatsiy mozhno poluchit graf, pravilno raskrashivaemyy v \\(n-1\\) tsvetov. simple_graph chromatic_number degree idea-even-core-then-delete-one-color-class snachala delaem vse stepeni chetnymi, potom unichtozhaem odin tsvet posle udaleniya vseh dostupnyh vershin nechetnoy stepeni ostaetsya graf, v kotorom vse stepeni chetny. posle udvoeniya stepen kazhdoy vershiny stanovitsya nechetnoy, i lyubuyu fiksirovannuyu tsvetovuyu dolyu mozhno udalit tselikom, potomu chto ona ostaetsya nezavisimoy. coloring induction ai_checked sol-even-core-and-double chetnoe yadro i udalenie tsvetovoy doli ai_checked degree rassmotrim dannyy \\(n\\)-raskrashennyy graf \\(g\\). poka v nem est vershina nechetnoy stepeni, udalyaem ee. korrektnost raskraski pri etom ne narushaetsya. cherez konechnoe chislo shagov poluchim podgraf \\(h\\), v kotorom kazhdaya vershina imeet chetnuyu stepen. esli \\(h\\) uzhe raskrashivaetsya v \\(n-1\\) tsvetov, to vse dokazano. inache zafiksiruem v \\(h\\) pravilnuyu raskrasku v tsveta \\(1,\\dots,n\\) s nepustoy doley tsveta \\(n\\). teper vypolnim operatsiyu udvoeniya. v novom grafe \\(d\\) kazhdaya vershina \\(v\\) imeet stepen \\(\\deg_h(v)+1\\), sledovatelno, nechetnuyu. krome togo, mnozhestvo vseh vershin tsveta \\(n\\) v obeih kopiyah ostaetsya nezavisimym. poetomu eti vershiny mozhno udalyat odnu za drugoy: udalenie odnoy takoy vershiny menyaet chetnost stepeney tolko ee sosedey, no ne zatragivaet stepeni ostalnyh vershin tsveta \\(n\\), tak kak mezhdu nimi net reber. posle udaleniya vsey tsvetovoy doli \\(n\\) ostaetsya graf, pravilno…","source_keys":["misc","imo"]}
{"id":"colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma","title":"Целевой цветовой профиль в хорошем семействе цветных остовов","path":"data\\problems\\classical\\colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["RMM 2023 официальные условия и решения","MOlympiad.NET, Romanian Masters Mathematics 2023 решения"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["trees","coloring","extremal_choice","goal_existence","classical_lemma"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":8,"comment":"Самостоятельная exchange-лемма: идея короткая, но доказательство требует аккуратно синхронизировать обмены по всему семейству остовов и сохранить цветовую коробку.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution_lemma_extracted","label":"лемма из официального решения","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"выделено из существующей карточки RMM 2023 P6 с официальным решением и развёрнуто в самодостаточный текст","notes":"Доказательство является аргументом минимизации подозрительных рёбер, уже присутствующим в исходном решении; здесь он отделён от финального применения к задаче RMM.","audit_source":"agent-rmm-2023-p6-extraction-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-good-family-suspicious-edges","title":"Хорошее семейство остовов","status":"ai_checked","text":"Пусть рёбра связного графа \\(G\\) раскрашены в красный, зелёный и синий цвета, а \\(|V(G)|=r+g+b+1\\). Для остова \\(T\\) обозначим через \\(r(T),g(T),b(T)\\) числа его рёбер трёх цветов. Назовём непустое семейство остовов \\(\\mathcal C\\) хорошим для тройки \\((r,g,b)\\), если каждое из чисел \\(r,g,b\\) лежит между минимальным и максимальным значениями соответствующего счётчика на \\(\\mathcal C\\). Ребро назовём подозрительным для \\(\\mathcal C\\), если оно входит в некоторые, но не во все остовы из \\(\\mathcal C\\). Если существует хотя бы одно хорошее семейство остовов, то существует остов \\(T\\) с \\(r(T)=r\\), \\(g(T)=g\\), \\(b(T)=b\\). Более того, любое хорошее семейство с минимальным числом подозрительных рёбер содержит такой остов.","definition_ids":["spanning_tree","cycle","connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-color-count-box","title":"Цветовые векторы остовов","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный граф, рёбра которого раскрашены в три цвета. Для остова \\(T\\) пусть \\(c(T)=(c_1(T),c_2(T),c_3(T))\\) — вектор количеств рёбер трёх цветов. Для непустого семейства остовов \\(\\mathcal C\\) рассмотрим прямоугольную коробку \\(B(\\mathcal C)=\\prod_{i=1}^3[\\min_{T\\in\\mathcal C}c_i(T),\\max_{T\\in\\mathcal C}c_i(T)]\\). Если целочисленный вектор \\(x\\in B(\\mathcal C)\\) для некоторого \\(\\mathcal C\\) и \\(x_1+x_2+x_3=|V(G)|-1\\), то существует остов \\(T\\) такой, что \\(c(T)=x\\).","definition_ids":["spanning_tree","cycle","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-minimal-suspicious-edge-exchange","title":"Доказательство минимальностью подозрительных рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["spanning_tree","cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для семейства \\(\\mathcal C\\) положим \\[ r_0=\\min_{T\\in\\mathcal C}r(T),\\quad R_0=\\max_{T\\in\\mathcal C}r(T), \\] и аналогично \\(g_0,G_0,b_0,B_0\\). Хорошесть означает \\(r\\in[r_0,R_0]\\), \\(g\\in[g_0,G_0]\\), \\(b\\in[b_0,B_0]\\). Выберем хорошее семейство \\(\\mathcal C\\) с минимальным числом подозрительных рёбер. Нужно доказать, что в нём уже есть остов с нужной тройкой. Предположим обратное. Для каждого \\(T\\in\\mathcal C\\) сумма \\(r(T)+g(T)+b(T)\\) равна \\(|V(G)|-1=r+g+b\\). Если бы ни для одного цвета не было одновременно значения ниже цели и для другого цвета значения выше цели, то всякий остов, отличающийся от цели в одну сторону, нарушал бы равенство сумм. Поэтому после переименования цветов можно считать, что \\[ r_0<r,\\qquad G_0>g. \\] Так как \\(\\mathcal C\\) хорошее, для синего цвета остаются два случая: \\(B_0=b\\) и \\(B_0>b\\). Первый случай: \\(B_0=b\\). Возьмём \\(T_0\\in\\mathcal C\\) с \\(g(T_0)=g_0…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-basics-to-colored-spanning-tree-exchange-lemma","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-colored-spanning-tree-exchange-lemma-to-rmm-2023-p6","neighbor_id":"rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma целевой цветовой профиль в хорошем семействе цветных остовов trees coloring extremal_choice goal_existence classical_lemma https://rmms.lbi.ro/rmm2023/index.php?id=problems_math https://www.molympiad.net/2023/03/romanian-masters-mathematics-2023.html misc molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 решения official_archive olympiad_archive rmm 2023 официальные условия и решения src-molympiad-rmm-2023 src-rmm-2023-official with_solution прочее ? rmm 2023 официальные условия и решения molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 решения stmt-good-family-suspicious-edges хорошее семейство остовов ai_checked пусть рёбра связного графа \\(g\\) раскрашены в красный, зелёный и синий цвета, а \\(|v(g)|=r+g+b+1\\). для остова \\(t\\) обозначим через \\(r(t),g(t),b(t)\\) числа его рёбер трёх цветов. назовём непустое семейство остовов \\(\\mathcal c\\) хорошим для тройки \\((r,g,b)\\), если каждое из чисел \\(r,g,b\\) лежит между минимальным и максимальным значениями соответствующего счётчика на \\(\\mathcal c\\). ребро назовём подозрительным для \\(\\mathcal c\\), если оно входит в некоторые, но не во все остовы из \\(\\mathcal c\\). если существует хотя бы одно хорошее семейство остовов, то существует остов \\(t\\) с \\(r(t)=r\\), \\(g(t)=g\\), \\(b(t)=b\\). более того, любое хорошее семейство с минимальным числом подозрительных рёбер содержит такой остов. spanning_tree cycle connected_graph stmt-color-count-box цветовые векторы остовов ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный граф, рёбра которого раскрашены в три цвета. для остова \\(t\\) пусть \\(c(t)=(c_1(t),c_2(t),c_3(t))\\) — вектор количеств рёбер трёх цветов. для непустого семейства остовов \\(\\mathcal c\\) рассмотрим прямоугольную коробку \\(b(\\mathcal c)=\\prod_{i=1}^3[\\min_{t\\in\\mathcal c}c_i(t),\\max_{t\\in\\mathcal c}c_i(t)]\\). если целочисленный вектор \\(x\\in b(\\mathcal c)\\) для некоторого \\(\\mathcal c\\) и \\(x_1+x_2+x_3=|v(g)|-1\\), то существует остов \\(t\\) такой, что \\(c(t)=x\\). spanning_tree cycle connected_graph idea-minimal-suspicious-family минимизировать число частично используемых рёбер среди всех хороших семейств выбирается семейство с минимальным числом рёбер, которые встречаются не в нуле и не во всех остовах семейства. extremal_choice trees ai_checked idea-cycle-cut-exchange убрать подозрительное ребро обменом если выбранное подозрительное ребро надо удалить из всех остовов, используется разрез после его удаления из дерева; если надо добавить его во все остовы, используется единственный цикл после его добавления. trees extremal_choice ai_checked idea-good-box-survives коробка цветовых счётчиков сохраняет цель обмен меняет у каждого остова цветовые счётчики не более чем на один в нужную сторону, поэтому целевая тройка остаётся внутри минимально-максимальной коробки. invariant coloring ai_checked sol-minimal-suspicious-edge-exchange доказательство минимальностью подозрительных рёбер ai_checked spanning_tree cycle extremal_choice для семейства \\(\\mathcal c\\) положим \\[ r_0=\\min_{t\\in\\mathcal c}r(t),\\quad r_0=\\max_{t\\in\\mathcal c}r(t), \\] и аналогично \\(g_0,g_0,b_0,b_0\\). хорошесть означает \\(r\\in[r_0,r_0]\\), \\(g\\in[g_0,g_0]\\), \\(b\\in[b_0,b_0]\\). выберем хорошее семейство \\(\\mathcal c\\) с минимальным числом подозрительных рёбер. нужно доказать, что в нём уже есть остов с нужной тройкой. предположим обратное. для каждого \\(t\\in\\mathcal c\\) сумма \\(r(t)+g(t)+b(t)\\) равна \\(|v(g)|-1=r+g+b\\). если бы ни для одного цвета не было одновременно значения ниже цели и для другого цвета значения выше цели, то всякий остов, отличающийся от цели в одну сторону, нарушал бы равенство сумм. поэтому после переименования цветов можно считать, что \\[ r_0<r,\\qquad g_0>g. \\] так как \\(\\mathcal c\\) хорошее, для синего цвета остаются два случая: \\(b_0=b\\) и \\(b_0>b\\). первый случай: \\(b_0=b\\). возьмём \\(t_0\\in\\mathcal c\\) с \\(g(t_0)=g_0… colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma tselevoy tsvetovoy profil v horoshem semeystve tsvetnyh ostovov trees coloring extremal_choice goal_existence classical_lemma https://rmms.lbi.ro/rmm2023/index.php?id=problems_math https://www.molympiad.net/2023/03/romanian-masters-mathematics-2023.html misc molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 resheniya official_archive olympiad_archive rmm 2023 ofitsialnye usloviya i resheniya src-molympiad-rmm-2023 src-rmm-2023-official with_solution prochee ? rmm 2023 ofitsialnye usloviya i resheniya molympiad.net, romanian masters mathematics 2023 resheniya stmt-good-family-suspicious-edges horoshee semeystvo ostovov ai_checked pust rebra svyaznogo grafa \\(g\\) raskrasheny v krasnyy, zelenyy i siniy tsveta, a \\(|v(g)|=r+g+b+1\\). dlya ostova \\(t\\) oboznachim cherez \\(r(t),g(t),b(t)\\) chisla ego reber treh tsvetov. nazovem nepustoe semeystvo ostovov \\(\\mathcal c\\) horoshim dlya troyki \\((r,g,b)\\), esli kazhdoe iz chisel \\(r,g,b\\) lezhit mezhdu minimalnym i maksimalnym znacheniyami sootvetstvuyuschego schetchika na \\(\\mathcal c\\). rebro nazovem podozritelnym dlya \\(\\mathcal c\\), esli ono vhodit v nekotorye, no ne vo vse ostovy iz \\(\\mathcal c\\). esli suschestvuet hotya by odno horoshee semeystvo ostovov, to suschestvuet ostov \\(t\\) s \\(r(t)=r\\), \\(g(t)=g\\), \\(b(t)=b\\). bolee togo, lyuboe horoshee semeystvo s minimalnym chislom podozritelnyh reber soderzhit takoy ostov. spanning_tree cycle connected_graph stmt-color-count-box tsvetovye vektory ostovov ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy graf, rebra kotorogo raskrasheny v tri tsveta. dlya ostova \\(t\\) pust \\(c(t)=(c_1(t),c_2(t),c_3(t))\\) — vektor kolichestv reber treh tsvetov. dlya nepustogo semeystva ostovov \\(\\mathcal c\\) rassmotrim pryamougolnuyu korobku \\(b(\\mathcal c)=\\prod_{i=1}^3[\\min_{t\\in\\mathcal c}c_i(t),\\max_{t\\in\\mathcal c}c_i(t)]\\). esli tselochislennyy vektor \\(x\\in b(\\mathcal c)\\) dlya nekotorogo \\(\\mathcal c\\) i \\(x_1+x_2+x_3=|v(g)|-1\\), to suschestvuet ostov \\(t\\) takoy, chto \\(c(t)=x\\). spanning_tree cycle connected_graph idea-minimal-suspicious-family minimizirovat chislo chastichno ispolzuemyh reber sredi vseh horoshih semeystv vybiraetsya semeystvo s minimalnym chislom reber, kotorye vstrechayutsya ne v nule i ne vo vseh ostovah semeystva. extremal_choice trees ai_checked idea-cycle-cut-exchange ubrat podozritelnoe rebro obmenom esli vybrannoe podozritelnoe rebro nado udalit iz vseh ostovov, ispolzuetsya razrez posle ego udaleniya iz dereva; esli nado dobavit ego vo vse ostovy, ispolzuetsya edinstvennyy tsikl posle ego dobavleniya. trees extremal_choice ai_checked idea-good-box-survives korobka tsvetovyh schetchikov sohranyaet tsel obmen menyaet u kazhdogo ostova tsvetovye schetchiki ne bolee chem na odin v nuzhnuyu storonu, poetomu tselevaya troyka ostaetsya vnutri minimalno-maksimalnoy korobki. invariant coloring ai_checked sol-minimal-suspicious-edge-exchange dokazatelstvo minimalnostyu podozritelnyh reber ai_checked spanning_tree cycle extremal_choice dlya semeystva \\(\\mathcal c\\) polozhim \\[ r_0=\\min_{t\\in\\mathcal c}r(t),\\quad r_0=\\max_{t\\in\\mathcal c}r(t), \\] i analogichno \\(g_0,g_0,b_0,b_0\\). horoshest oznachaet \\(r\\in[r_0,r_0]\\), \\(g\\in[g_0,g_0]\\), \\(b\\in[b_0,b_0]\\). vyberem horoshee semeystvo \\(\\mathcal c\\) s minimalnym chislom podozritelnyh reber. nuzhno dokazat, chto v nem uzhe est ostov s nuzhnoy troykoy. predpolozhim obratnoe. dlya kazhdogo \\(t\\in\\mathcal c\\) summa \\(r(t)+g(t)+b(t)\\) ravna \\(|v(g)|-1=r+g+b\\). esli by ni dlya odnogo tsveta ne bylo odnovremenno znacheniya nizhe tseli i dlya drugogo tsveta znacheniya vyshe tseli, to vsyakiy ostov, otlichayuschiysya ot tseli v odnu storonu, narushal by ravenstvo summ. poetomu posle pereimenovaniya tsvetov mozhno schitat, chto \\[ r_0<r,\\qquad g_0>g. \\] tak kak \\(\\mathcal c\\) horoshee, dlya sinego tsveta ostayutsya dva sluchaya: \\(b_0=b\\) i \\(b_0>b\\). pervyy sluchay: \\(b_0=b\\). vozmem \\(t_0\\in\\mathcal c\\) s \\(g(t_0)=g_0…","source_keys":["misc","rmm"]}
{"id":"complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path","title":"Гамильтонов путь после удаления не более n-2 рёбер из полного графа","path":"data\\problems\\classical\\complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["INMO 2021 официальные условия и решения"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","connectivity","extremal_graph_theory","degree_counting","classical_lemma"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Короткая плотностная лемма о гамильтоновом пути; полезна как самостоятельный инструмент для adversary-задач.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — граф на \\(n>3\\) вершинах, полученный из полного графа \\(K_n\\) удалением не более \\(n-2\\) рёбер. Тогда в \\(G\\) существует гамильтонов путь.","definition_ids":["simple_graph","path","complete_graph","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-longest-path","title":"Доказательство длиннейшим путём","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["longest_path","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмём любые две вершины \\(a\\) и \\(b\\). В полном графе каждая из них имела степень \\(n-1\\). При удалении не более \\(n-2\\) рёбер сумма \\(\\deg a+\\deg b\\) уменьшается не более чем на \\(n-2\\), если считать только те удалённые рёбра, которые касаются хотя бы одной из этих двух вершин. Поэтому \\[ \\deg a+\\deg b\\ge 2(n-1)-(n-2)=n. \\] Если бы у \\(a\\) и \\(b\\) не было общего соседа, то сумма их степеней была бы не больше \\(n-1\\). Значит, любые две вершины имеют общего соседа; в частности, граф связен. Пусть \\(P:u=u_0,u_1, \\ldots,u_k=v\\) — длиннейший простой путь в \\(G\\). Все соседи \\(u\\) и \\(v\\) лежат среди вершин этого пути: иначе путь можно было бы продлить. Запишем соседей \\(u\\) на пути как \\(u_{i_1},\\ldots,u_{i_x}\\), где \\(1=i_1<\\cdots<i_x\\), а соседей \\(v\\) как \\(u_{j_1},\\ldots,u_{j_y}\\). Из оценки \\(x+y=\\deg u+ \\deg v\\ge n\\) следует, что найдётся индекс \\(i\\), для которого есть рёбра \\(u u_…"}],"relations":[{"id":"rel-bondy-links-complete-minus-hamiltonian-path","neighbor_id":"bondy-pancyclic-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-inmo-2021-p4-complete-graph-minus-edges-lemma","neighbor_id":"inmo-2021-p4-detective-cards-hamiltonian-path","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-inmo-2021-p4-longest-path-endpoint-cycle","neighbor_id":"longest-path-endpoints-shortest-detour","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-complete-minus-few-edges","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-official-expansion-ore-complete-graph-minus-edges","neighbor_id":"ore-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path гамильтонов путь после удаления не более n-2 рёбер из полного графа hamiltonian_cycles connectivity extremal_graph_theory degree_counting classical_lemma https://olympiads.hbcse.tifr.res.in/wp-content/uploads/2021/04/inmo_2021_solutions.pdf inmo 2021 официальные условия и решения misc solution_notes src-inmo-2021-official-solutions with_solution прочее ? inmo 2021 официальные условия и решения stmt-original ai_checked пусть \\(g\\) — граф на \\(n>3\\) вершинах, полученный из полного графа \\(k_n\\) удалением не более \\(n-2\\) рёбер. тогда в \\(g\\) существует гамильтонов путь. simple_graph path complete_graph hamiltonian_path idea-common-neighbor-connectivity сумма степеней даёт общего соседа так как удалено мало рёбер, для любых двух вершин \\(a,b\\) остаётся \\(\\deg a+\\deg b\\ge n\\). отсюда у них есть общий сосед, а значит граф связен. degree_counting ai_checked idea-longest-path-closes-cycle длиннейший путь замыкается в цикл у концов длиннейшего пути все соседи лежат на самом пути. большая сумма степеней концов заставляет два подходящих ребра к внутренним вершинам, которые замыкают вершины пути в цикл. связность затем запрещает вершины вне пути. hamiltonian_cycles ai_checked sol-official-longest-path доказательство длиннейшим путём ai_checked simple_graph connected_graph path longest_path extremal_choice возьмём любые две вершины \\(a\\) и \\(b\\). в полном графе каждая из них имела степень \\(n-1\\). при удалении не более \\(n-2\\) рёбер сумма \\(\\deg a+\\deg b\\) уменьшается не более чем на \\(n-2\\), если считать только те удалённые рёбра, которые касаются хотя бы одной из этих двух вершин. поэтому \\[ \\deg a+\\deg b\\ge 2(n-1)-(n-2)=n. \\] если бы у \\(a\\) и \\(b\\) не было общего соседа, то сумма их степеней была бы не больше \\(n-1\\). значит, любые две вершины имеют общего соседа; в частности, граф связен. пусть \\(p:u=u_0,u_1, \\ldots,u_k=v\\) — длиннейший простой путь в \\(g\\). все соседи \\(u\\) и \\(v\\) лежат среди вершин этого пути: иначе путь можно было бы продлить. запишем соседей \\(u\\) на пути как \\(u_{i_1},\\ldots,u_{i_x}\\), где \\(1=i_1<\\cdots<i_x\\), а соседей \\(v\\) как \\(u_{j_1},\\ldots,u_{j_y}\\). из оценки \\(x+y=\\deg u+ \\deg v\\ge n\\) следует, что найдётся индекс \\(i\\), для которого есть рёбра \\(u u_… complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path gamiltonov put posle udaleniya ne bolee n-2 reber iz polnogo grafa hamiltonian_cycles connectivity extremal_graph_theory degree_counting classical_lemma https://olympiads.hbcse.tifr.res.in/wp-content/uploads/2021/04/inmo_2021_solutions.pdf inmo 2021 ofitsialnye usloviya i resheniya misc solution_notes src-inmo-2021-official-solutions with_solution prochee ? inmo 2021 ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original ai_checked pust \\(g\\) — graf na \\(n>3\\) vershinah, poluchennyy iz polnogo grafa \\(k_n\\) udaleniem ne bolee \\(n-2\\) reber. togda v \\(g\\) suschestvuet gamiltonov put. simple_graph path complete_graph hamiltonian_path idea-common-neighbor-connectivity summa stepeney daet obschego soseda tak kak udaleno malo reber, dlya lyubyh dvuh vershin \\(a,b\\) ostaetsya \\(\\deg a+\\deg b\\ge n\\). otsyuda u nih est obschiy sosed, a znachit graf svyazen. degree_counting ai_checked idea-longest-path-closes-cycle dlinneyshiy put zamykaetsya v tsikl u kontsov dlinneyshego puti vse sosedi lezhat na samom puti. bolshaya summa stepeney kontsov zastavlyaet dva podhodyaschih rebra k vnutrennim vershinam, kotorye zamykayut vershiny puti v tsikl. svyaznost zatem zapreschaet vershiny vne puti. hamiltonian_cycles ai_checked sol-official-longest-path dokazatelstvo dlinneyshim putem ai_checked simple_graph connected_graph path longest_path extremal_choice vozmem lyubye dve vershiny \\(a\\) i \\(b\\). v polnom grafe kazhdaya iz nih imela stepen \\(n-1\\). pri udalenii ne bolee \\(n-2\\) reber summa \\(\\deg a+\\deg b\\) umenshaetsya ne bolee chem na \\(n-2\\), esli schitat tolko te udalennye rebra, kotorye kasayutsya hotya by odnoy iz etih dvuh vershin. poetomu \\[ \\deg a+\\deg b\\ge 2(n-1)-(n-2)=n. \\] esli by u \\(a\\) i \\(b\\) ne bylo obschego soseda, to summa ih stepeney byla by ne bolshe \\(n-1\\). znachit, lyubye dve vershiny imeyut obschego soseda; v chastnosti, graf svyazen. pust \\(p:u=u_0,u_1, \\ldots,u_k=v\\) — dlinneyshiy prostoy put v \\(g\\). vse sosedi \\(u\\) i \\(v\\) lezhat sredi vershin etogo puti: inache put mozhno bylo by prodlit. zapishem sosedey \\(u\\) na puti kak \\(u_{i_1},\\ldots,u_{i_x}\\), gde \\(1=i_1<\\cdots<i_x\\), a sosedey \\(v\\) kak \\(u_{j_1},\\ldots,u_{j_y}\\). iz otsenki \\(x+y=\\deg u+ \\deg v\\ge n\\) sleduet, chto naydetsya indeks \\(i\\), dlya kotorogo est rebra \\(u u_…","source_keys":["misc","inmo"]}
{"id":"complete-graph-triangle-edge-weights-minimum-parametric","title":"Веса 1, 2, 3 на рёбрах полных графов, УТЮМ 2019","path":"data\\problems\\utyum\\complete-graph-triangle-edge-weights-minimum-parametric.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/complete-graph-triangle-edge-weights-minimum-parametric.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#complete-graph-triangle-edge-weights-minimum-parametric","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2019, командная олимпиада, 7 класс, 8. Минимальный суммарный вес в полном графе на 2000 вершинах (официальный архив)","УТЮМ 2019, командная олимпиада, 8 класс, 8. Минимальный суммарный вес в полном графе на 2019 вершинах (официальный архив)"],"year":"2019","type":"problem_family","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","matching","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Параметрическое объединение двух вариантов УТЮМ 2019 для n = 2000 и n = 2019.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Метаданные источника указывают на архивное или официальное решение; решение проверено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-utyum-2019-grade7-n2000","title":"УТЮМ 2019, 7 класс, n = 2000","status":"ai_checked","text":"На каждом ребре полного графа с 2000 вершинами написано число 1, 2 или 3 так, что сумма чисел на рёбрах каждого треугольника не меньше 5. Какова наименьшая возможная сумма всех чисел на рёбрах?","definition_ids":["complete_graph","cycle"]},{"id":"stmt-utyum-2019-grade8-n2019","title":"УТЮМ 2019, 8 класс, n = 2019","status":"ai_checked","text":"На каждом ребре полного графа с 2019 вершинами написано число 1, 2 или 3 так, что сумма чисел на рёбрах каждого треугольника не меньше 5. Какова наименьшая возможная сумма всех чисел на рёбрах?","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-parametric","title":"Веса рёбер в K2000 и K2019","status":"ai_checked","text":"Для \\(n\\in\\{2000,2019\\}\\) на рёбрах полного графа \\(K_n\\) записаны числа 1, 2 или 3. В каждом треугольнике сумма чисел на его рёбрах не меньше 5. Найдите минимально возможную сумму чисел на всех рёбрах графа.","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-parametric","title":"Параметрическое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","matching","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: n(n-1) - floor(n/2). Сначала построим пример с такой суммой. Выберем в \\(K_n\\) паросочетание максимального размера, то есть floor(n/2) попарно непересекающихся рёбер. На этих рёбрах запишем 1, а на всех остальных рёбрах запишем 2. Тогда каждый треугольник содержит не более одного ребра веса 1: два ребра из паросочетания не могут иметь общую вершину. Поэтому сумма весов в каждом треугольнике равна либо 6, либо 5, так что условие выполнено. Общая сумма равна 2*C(n,2) - floor(n/2) = n(n-1) - floor(n/2). Докажем, что меньшая сумма невозможна. Назовём вершину плохой, если из неё выходит больше одного ребра веса 1. Если плохих вершин нет, то рёбра веса 1 образуют паросочетание: никакие два из них не имеют общей вершины. Следовательно, таких рёбер не больше floor(n/2). Все остальные рёбра имеют вес хотя бы 2, поэтому сумма всех весов не меньше 2*C(n,2) - floor(n/2) = n(n-1) - floor(n/2)…"}],"relations":[{"id":"rel-miklos-2009-p2-complete-utyum-edge-weights","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2019-airline-costs-utyum-2019-complete-weights-2000","neighbor_id":"utyum-2019_komol_7_airline_costs","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2019-complete-weights-2000-imo-2004-c8","neighbor_id":"imo-2004-c8-triangles-tetrahedra-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"complete-graph-triangle-edge-weights-minimum-parametric веса 1, 2, 3 на рёбрах полных графов, утюм 2019 extremal_graph_theory matching goal_exact_bound 2019 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural53.zip misc misc2019 official_archive src-utyum-2019_komol_7_complete_graph_weights_2000-official src-utyum-2019_komol_8_complete_graph_weights_2019-official with_solution утюм утюм 2019, командная олимпиада, 7 класс, 8. минимальный суммарный вес в полном графе на 2000 вершинах (официальный архив) утюм 2019, командная олимпиада, 8 класс, 8. минимальный суммарный вес в полном графе на 2019 вершинах (официальный архив) утюм2019 ? утюм 2019, командная олимпиада, 7 класс, 8. минимальный суммарный вес в полном графе на 2000 вершинах (официальный архив) утюм 2019, командная олимпиада, 8 класс, 8. минимальный суммарный вес в полном графе на 2019 вершинах (официальный архив) stmt-utyum-2019-grade7-n2000 утюм 2019, 7 класс, n = 2000 ai_checked на каждом ребре полного графа с 2000 вершинами написано число 1, 2 или 3 так, что сумма чисел на рёбрах каждого треугольника не меньше 5. какова наименьшая возможная сумма всех чисел на рёбрах? complete_graph cycle stmt-utyum-2019-grade8-n2019 утюм 2019, 8 класс, n = 2019 ai_checked на каждом ребре полного графа с 2019 вершинами написано число 1, 2 или 3 так, что сумма чисел на рёбрах каждого треугольника не меньше 5. какова наименьшая возможная сумма всех чисел на рёбрах? complete_graph cycle stmt-graph-parametric веса рёбер в k2000 и k2019 ai_checked для \\(n\\in\\{2000,2019\\}\\) на рёбрах полного графа \\(k_n\\) записаны числа 1, 2 или 3. в каждом треугольнике сумма чисел на его рёбрах не меньше 5. найдите минимально возможную сумму чисел на всех рёбрах графа. complete_graph cycle sol-parametric параметрическое решение ai_checked complete_graph matching cycle ответ: n(n-1) - floor(n/2). сначала построим пример с такой суммой. выберем в \\(k_n\\) паросочетание максимального размера, то есть floor(n/2) попарно непересекающихся рёбер. на этих рёбрах запишем 1, а на всех остальных рёбрах запишем 2. тогда каждый треугольник содержит не более одного ребра веса 1: два ребра из паросочетания не могут иметь общую вершину. поэтому сумма весов в каждом треугольнике равна либо 6, либо 5, так что условие выполнено. общая сумма равна 2*c(n,2) - floor(n/2) = n(n-1) - floor(n/2). докажем, что меньшая сумма невозможна. назовём вершину плохой, если из неё выходит больше одного ребра веса 1. если плохих вершин нет, то рёбра веса 1 образуют паросочетание: никакие два из них не имеют общей вершины. следовательно, таких рёбер не больше floor(n/2). все остальные рёбра имеют вес хотя бы 2, поэтому сумма всех весов не меньше 2*c(n,2) - floor(n/2) = n(n-1) - floor(n/2)… complete-graph-triangle-edge-weights-minimum-parametric vesa 1, 2, 3 na rebrah polnyh grafov, utyum 2019 extremal_graph_theory matching goal_exact_bound 2019 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural53.zip misc misc2019 official_archive src-utyum-2019_komol_7_complete_graph_weights_2000-official src-utyum-2019_komol_8_complete_graph_weights_2019-official with_solution utyum utyum 2019, komandnaya olimpiada, 7 klass, 8. minimalnyy summarnyy ves v polnom grafe na 2000 vershinah (ofitsialnyy arhiv) utyum 2019, komandnaya olimpiada, 8 klass, 8. minimalnyy summarnyy ves v polnom grafe na 2019 vershinah (ofitsialnyy arhiv) utyum2019 ? utyum 2019, komandnaya olimpiada, 7 klass, 8. minimalnyy summarnyy ves v polnom grafe na 2000 vershinah (ofitsialnyy arhiv) utyum 2019, komandnaya olimpiada, 8 klass, 8. minimalnyy summarnyy ves v polnom grafe na 2019 vershinah (ofitsialnyy arhiv) stmt-utyum-2019-grade7-n2000 utyum 2019, 7 klass, n = 2000 ai_checked na kazhdom rebre polnogo grafa s 2000 vershinami napisano chislo 1, 2 ili 3 tak, chto summa chisel na rebrah kazhdogo treugolnika ne menshe 5. kakova naimenshaya vozmozhnaya summa vseh chisel na rebrah? complete_graph cycle stmt-utyum-2019-grade8-n2019 utyum 2019, 8 klass, n = 2019 ai_checked na kazhdom rebre polnogo grafa s 2019 vershinami napisano chislo 1, 2 ili 3 tak, chto summa chisel na rebrah kazhdogo treugolnika ne menshe 5. kakova naimenshaya vozmozhnaya summa vseh chisel na rebrah? complete_graph cycle stmt-graph-parametric vesa reber v k2000 i k2019 ai_checked dlya \\(n\\in\\{2000,2019\\}\\) na rebrah polnogo grafa \\(k_n\\) zapisany chisla 1, 2 ili 3. v kazhdom treugolnike summa chisel na ego rebrah ne menshe 5. naydite minimalno vozmozhnuyu summu chisel na vseh rebrah grafa. complete_graph cycle sol-parametric parametricheskoe reshenie ai_checked complete_graph matching cycle otvet: n(n-1) - floor(n/2). snachala postroim primer s takoy summoy. vyberem v \\(k_n\\) parosochetanie maksimalnogo razmera, to est floor(n/2) poparno neperesekayuschihsya reber. na etih rebrah zapishem 1, a na vseh ostalnyh rebrah zapishem 2. togda kazhdyy treugolnik soderzhit ne bolee odnogo rebra vesa 1: dva rebra iz parosochetaniya ne mogut imet obschuyu vershinu. poetomu summa vesov v kazhdom treugolnike ravna libo 6, libo 5, tak chto uslovie vypolneno. obschaya summa ravna 2*c(n,2) - floor(n/2) = n(n-1) - floor(n/2). dokazhem, chto menshaya summa nevozmozhna. nazovem vershinu plohoy, esli iz nee vyhodit bolshe odnogo rebra vesa 1. esli plohih vershin net, to rebra vesa 1 obrazuyut parosochetanie: nikakie dva iz nih ne imeyut obschey vershiny. sledovatelno, takih reber ne bolshe floor(n/2). vse ostalnye rebra imeyut ves hotya by 2, poetomu summa vseh vesov ne menshe 2*c(n,2) - floor(n/2) = n(n-1) - floor(n/2)…","source_keys":["misc"]}
{"id":"consecutive-pair-barrier-step-two-permutation","title":"Барьер из соседней пары в перестановке с шагом не больше двух","path":"data\\problems\\classical\\consecutive-pair-barrier-step-two-permutation.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/consecutive-pair-barrier-step-two-permutation.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#consecutive-pair-barrier-step-two-permutation","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Canadian Mathematical Olympiad 1996 официальные решения"],"year":"","type":"lemma","authors":["Canadian Mathematical Olympiad Committee"],"tags":["goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Короткая структурная лемма для перестановок с ограниченным соседним скачком; в CMO 1996 P3 она запускает разбор случаев и рекурсию.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(a_1,a_2,\\ldots,a_n\\) — перестановка чисел \\(1,2,\\ldots,n\\), в которой \\(|a_i-a_{i+1}|\\le 2\\) для всех \\(i\\). Если для некоторого \\(k<n\\) числа \\(a_k\\) и \\(a_{k+1}\\) являются соседними целыми числами, то все члены справа от \\(a_{k+1}\\) лежат по одну сторону от этой пары: они либо все меньше \\(\\min(a_k,a_{k+1})\\), либо все больше \\(\\max(a_k,a_{k+1})\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-gap-crossing-contradiction","title":"Противоречие по первому переходу через зазор","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим соседнюю пару через \\(m,m+1\\). Предположим, что справа от неё встречаются числа по обе стороны: хотя бы одно число не больше \\(m-1\\) и хотя бы одно число не меньше \\(m+2\\). Двигаясь по хвосту перестановки справа от этой пары, рассмотрим первый момент, когда последовательность переходит с одной стороны зазора \\(m,m+1\\) на другую. Этот переход не может использовать сами числа \\(m\\) и \\(m+1\\), потому что они уже стоят в позициях \\(k\\) и \\(k+1\\). Значит, два соседних члена хвоста имеют вид \\(x\\le m-1\\) и \\(y\\ge m+2\\), или наоборот. Тогда \\(|x-y|\\ge 3\\), что противоречит условию \\(|a_i-a_{i+1}|\\le 2\\). Следовательно, все члены справа от пары лежат по одну сторону от неё."}],"relations":[{"id":"rel-consecutive-pair-barrier-cmo-1996-p3","neighbor_id":"cmo-1996-p3-permutation-step-two-mod3","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"consecutive-pair-barrier-step-two-permutation барьер из соседней пары в перестановке с шагом не больше двух goal_proof canadian mathematical olympiad 1996 официальные решения canadian mathematical olympiad committee canadianmathematicalolympiadcommittee https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol1996.pdf misc solution_notes src-cmo-1996-solutions with_solution прочее canadian mathematical olympiad committee canadian mathematical olympiad 1996 официальные решения stmt-original ai_checked пусть \\(a_1,a_2,\\ldots,a_n\\) — перестановка чисел \\(1,2,\\ldots,n\\), в которой \\(|a_i-a_{i+1}|\\le 2\\) для всех \\(i\\). если для некоторого \\(k<n\\) числа \\(a_k\\) и \\(a_{k+1}\\) являются соседними целыми числами, то все члены справа от \\(a_{k+1}\\) лежат по одну сторону от этой пары: они либо все меньше \\(\\min(a_k,a_{k+1})\\), либо все больше \\(\\max(a_k,a_{k+1})\\). idea-used-pair-blocks-crossing использованная соседняя пара блокирует переход после того как путь прошёл через два соседних значения \\(m\\) и \\(m+1\\), перейти позже с чисел \\(\\le m-1\\) на числа \\(\\ge m+2\\) невозможно: ближайшие промежуточные значения уже использованы, а прямой скачок имеет длину не меньше 3. goal_proof ai_checked sol-gap-crossing-contradiction противоречие по первому переходу через зазор ai_checked обозначим соседнюю пару через \\(m,m+1\\). предположим, что справа от неё встречаются числа по обе стороны: хотя бы одно число не больше \\(m-1\\) и хотя бы одно число не меньше \\(m+2\\). двигаясь по хвосту перестановки справа от этой пары, рассмотрим первый момент, когда последовательность переходит с одной стороны зазора \\(m,m+1\\) на другую. этот переход не может использовать сами числа \\(m\\) и \\(m+1\\), потому что они уже стоят в позициях \\(k\\) и \\(k+1\\). значит, два соседних члена хвоста имеют вид \\(x\\le m-1\\) и \\(y\\ge m+2\\), или наоборот. тогда \\(|x-y|\\ge 3\\), что противоречит условию \\(|a_i-a_{i+1}|\\le 2\\). следовательно, все члены справа от пары лежат по одну сторону от неё. consecutive-pair-barrier-step-two-permutation barer iz sosedney pary v perestanovke s shagom ne bolshe dvuh goal_proof canadian mathematical olympiad 1996 ofitsialnye resheniya canadian mathematical olympiad committee canadianmathematicalolympiadcommittee https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol1996.pdf misc solution_notes src-cmo-1996-solutions with_solution prochee canadian mathematical olympiad committee canadian mathematical olympiad 1996 ofitsialnye resheniya stmt-original ai_checked pust \\(a_1,a_2,\\ldots,a_n\\) — perestanovka chisel \\(1,2,\\ldots,n\\), v kotoroy \\(|a_i-a_{i+1}|\\le 2\\) dlya vseh \\(i\\). esli dlya nekotorogo \\(k<n\\) chisla \\(a_k\\) i \\(a_{k+1}\\) yavlyayutsya sosednimi tselymi chislami, to vse chleny sprava ot \\(a_{k+1}\\) lezhat po odnu storonu ot etoy pary: oni libo vse menshe \\(\\min(a_k,a_{k+1})\\), libo vse bolshe \\(\\max(a_k,a_{k+1})\\). idea-used-pair-blocks-crossing ispolzovannaya sosednyaya para blokiruet perehod posle togo kak put proshel cherez dva sosednih znacheniya \\(m\\) i \\(m+1\\), pereyti pozzhe s chisel \\(\\le m-1\\) na chisla \\(\\ge m+2\\) nevozmozhno: blizhayshie promezhutochnye znacheniya uzhe ispolzovany, a pryamoy skachok imeet dlinu ne menshe 3. goal_proof ai_checked sol-gap-crossing-contradiction protivorechie po pervomu perehodu cherez zazor ai_checked oboznachim sosednyuyu paru cherez \\(m,m+1\\). predpolozhim, chto sprava ot nee vstrechayutsya chisla po obe storony: hotya by odno chislo ne bolshe \\(m-1\\) i hotya by odno chislo ne menshe \\(m+2\\). dvigayas po hvostu perestanovki sprava ot etoy pary, rassmotrim pervyy moment, kogda posledovatelnost perehodit s odnoy storony zazora \\(m,m+1\\) na druguyu. etot perehod ne mozhet ispolzovat sami chisla \\(m\\) i \\(m+1\\), potomu chto oni uzhe stoyat v pozitsiyah \\(k\\) i \\(k+1\\). znachit, dva sosednih chlena hvosta imeyut vid \\(x\\le m-1\\) i \\(y\\ge m+2\\), ili naoborot. togda \\(|x-y|\\ge 3\\), chto protivorechit usloviyu \\(|a_i-a_{i+1}|\\le 2\\). sledovatelno, vse chleny sprava ot pary lezhat po odnu storonu ot nee.","source_keys":["misc","cmo"]}
{"id":"cops-and-robber-dismantlable-characterization","title":"Один полицейский и разбойник: критерий разбираемого графа","path":"data\\problems\\classical\\cops-and-robber-dismantlable-characterization.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/cops-and-robber-dismantlable-characterization.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#cops-and-robber-dismantlable-characterization","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Richard Nowakowski, Peter Winkler, Vertex-to-vertex pursuit in a graph"],"year":"","type":"theorem","authors":["Richard Nowakowski","Peter Winkler"],"tags":["connectivity","induction","goal_strategy_game","goal_characterization","classical_theorem"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":8,"comment":"Классическая характеризация игр преследования. Направление от порядка разборки к стратегии доказывается индуктивно, но полная обратная импликация требует нетривиального анализа выигрышных позиций и в карточке не воспроизводится.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"without_solution","solution_classification":{"type":"hard_external_theorem_no_proof","label":"доказательство не приведено: тяжёлая внешняя теорема","status":"source_verified","confidence":0.98,"basis":"Полная характеризация сверена по первичной публикации и современной библиографии по cop-win графам.","notes":"Внешняя теорема сформулирована со всеми правилами игры и точным определением разбираемости.","audit_source":"manual-primary-source-review-2026-08-15"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-cop-win-iff-dismantlable","title":"Характеризация графов, где хватает одного полицейского","status":"source_verified","text":"Пусть \\(G\\) -- конечный непустой простой граф. Сначала полицейский выбирает начальную вершину, затем разбойник выбирает свою. После этого они ходят по очереди, начиная с полицейского; за ход разрешается остаться на месте или перейти в соседнюю вершину. Оба игрока всегда видят положение друг друга. Полицейский выигрывает, как только оказывается в одной вершине с разбойником. Для вершины \\(v\\) обозначим через \\(N[v]\\) её замкнутую окрестность: саму вершину и всех её соседей. Граф называется разбираемым, если его вершины можно занумеровать \\(v_1,\\ldots,v_m\\) так, что для каждого \\(i<m\\) в подграфе, индуцированном вершинами \\(v_i,\\ldots,v_m\\), найдётся \\(j>i\\), для которого \\(N[v_i]\\subseteq N[v_j]\\) в этом подграфе. Теорема Новаковского--Винклера: один полицейский имеет выигрышную стратегию на \\(G\\) тогда и только тогда, когда \\(G\\) разбираем.","definition_ids":["simple_graph","neighborhood","induced_subgraph"]}]},"solutions":[],"relations":[{"id":"rel-classical-cops-yumt-state-attractor","neighbor_id":"yumt-2025-grand-round4-problem3","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"cops-and-robber-dismantlable-characterization один полицейский и разбойник: критерий разбираемого графа connectivity induction goal_strategy_game goal_characterization classical_theorem https://doi.org/10.1016/0012-365x(83)90160-7 misc paper peter winkler peterwinkler richard nowakowski richard nowakowski, peter winkler, vertex-to-vertex pursuit in a graph richardnowakowski src-nowakowski-winkler-cop-win-graphs without_solution прочее richard nowakowski peter winkler richard nowakowski, peter winkler, vertex-to-vertex pursuit in a graph stmt-cop-win-iff-dismantlable характеризация графов, где хватает одного полицейского source_verified пусть \\(g\\) -- конечный непустой простой граф. сначала полицейский выбирает начальную вершину, затем разбойник выбирает свою. после этого они ходят по очереди, начиная с полицейского; за ход разрешается остаться на месте или перейти в соседнюю вершину. оба игрока всегда видят положение друг друга. полицейский выигрывает, как только оказывается в одной вершине с разбойником. для вершины \\(v\\) обозначим через \\(n[v]\\) её замкнутую окрестность: саму вершину и всех её соседей. граф называется разбираемым, если его вершины можно занумеровать \\(v_1,\\ldots,v_m\\) так, что для каждого \\(i<m\\) в подграфе, индуцированном вершинами \\(v_i,\\ldots,v_m\\), найдётся \\(j>i\\), для которого \\(n[v_i]\\subseteq n[v_j]\\) в этом подграфе. теорема новаковского--винклера: один полицейский имеет выигрышную стратегию на \\(g\\) тогда и только тогда, когда \\(g\\) разбираем. simple_graph neighborhood induced_subgraph idea-dominated-vertex-fold доминируемую вершину можно свернуть условие \\(n[v_i]\\subseteq n[v_j]\\) означает, что вершина \\(v_j\\) может служить тенью вершины \\(v_i\\): всякий допустимый ход из \\(v_i\\) можно отразить ходом из \\(v_j\\). последовательное удаление таких вершин и даёт структурный сертификат победы одного полицейского. goal_strategy_game induction source_verified cops-and-robber-dismantlable-characterization odin politseyskiy i razboynik: kriteriy razbiraemogo grafa connectivity induction goal_strategy_game goal_characterization classical_theorem https://doi.org/10.1016/0012-365x(83)90160-7 misc paper peter winkler peterwinkler richard nowakowski richard nowakowski, peter winkler, vertex-to-vertex pursuit in a graph richardnowakowski src-nowakowski-winkler-cop-win-graphs without_solution prochee richard nowakowski peter winkler richard nowakowski, peter winkler, vertex-to-vertex pursuit in a graph stmt-cop-win-iff-dismantlable harakterizatsiya grafov, gde hvataet odnogo politseyskogo source_verified pust \\(g\\) -- konechnyy nepustoy prostoy graf. snachala politseyskiy vybiraet nachalnuyu vershinu, zatem razboynik vybiraet svoyu. posle etogo oni hodyat po ocheredi, nachinaya s politseyskogo; za hod razreshaetsya ostatsya na meste ili pereyti v sosednyuyu vershinu. oba igroka vsegda vidyat polozhenie drug druga. politseyskiy vyigryvaet, kak tolko okazyvaetsya v odnoy vershine s razboynikom. dlya vershiny \\(v\\) oboznachim cherez \\(n[v]\\) ee zamknutuyu okrestnost: samu vershinu i vseh ee sosedey. graf nazyvaetsya razbiraemym, esli ego vershiny mozhno zanumerovat \\(v_1,\\ldots,v_m\\) tak, chto dlya kazhdogo \\(i<m\\) v podgrafe, indutsirovannom vershinami \\(v_i,\\ldots,v_m\\), naydetsya \\(j>i\\), dlya kotorogo \\(n[v_i]\\subseteq n[v_j]\\) v etom podgrafe. teorema novakovskogo--vinklera: odin politseyskiy imeet vyigryshnuyu strategiyu na \\(g\\) togda i tolko togda, kogda \\(g\\) razbiraem. simple_graph neighborhood induced_subgraph idea-dominated-vertex-fold dominiruemuyu vershinu mozhno svernut uslovie \\(n[v_i]\\subseteq n[v_j]\\) oznachaet, chto vershina \\(v_j\\) mozhet sluzhit tenyu vershiny \\(v_i\\): vsyakiy dopustimyy hod iz \\(v_i\\) mozhno otrazit hodom iz \\(v_j\\). posledovatelnoe udalenie takih vershin i daet strukturnyy sertifikat pobedy odnogo politseyskogo. goal_strategy_game induction source_verified","source_keys":["misc"]}
{"id":"cubic-graph-four-cycle-bound","title":"В 3-регулярном графе не более 3n/2 циклов длины 4","path":"data\\problems\\classical\\cubic-graph-four-cycle-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/cubic-graph-four-cycle-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#cubic-graph-four-cycle-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["ФЮМ 2013, второй тур, Лига тактик, задача 7"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","double_counting","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":4,"comment":"Короткая экстремальная лемма: один двойной счёт и резкий пример K₃,₃.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-cubic-four-cycle-bound","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть G — простой 3-регулярный граф на n вершинах. Тогда число циклов длины 4 в G не превосходит 3n/2. Эта оценка точна: если n кратно 6, равенство достигается на несвязном объединении n/6 копий K₃,₃.","definition_ids":["degree","cycle","bipartite_graph"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-fyum-2013-n300-instance","title":"ФЮМ 2013: случай n=300","status":"ai_checked","text":"В графе 300 вершин, и степень каждой вершины равна 3. Какое наибольшее возможное число циклов длины 4 может быть в таком графе?","definition_ids":["degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-double-count-incident-edge-pairs","title":"Двойной счёт пар инцидентных рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","cycle","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим пары вида (C,v), где C — 4-цикл графа G, а v — вершина этого цикла. Если число 4-циклов равно q, то таких пар ровно 4q. С другой стороны, каждой паре (C,v) соответствует неупорядоченная пара рёбер цикла C, инцидентных вершине v. В 3-регулярном графе у каждой вершины есть C(3,2)=3 пары инцидентных рёбер, всего 3n таких пар. Зафиксируем пару рёбер vu и vw. Любой 4-цикл, содержащий оба эти ребра, имеет вид v-u-x-w-v, где x — общий сосед вершин u и w, отличный от v. Так как у u и w после удаления ребер к v остаётся не более чем по два возможных соседа, таких вершин x, а значит и таких 4-циклов, не больше двух. Поэтому 4q не превосходит 2·3n=6n, откуда q ≤ 3n/2. Оценка достигается на K₃,₃: его 4-циклы получаются выбором двух вершин в одной доле и двух вершин в другой доле, поэтому их C(3,2)^2=9=3·6/2. Несвязное объединение n/6 копий K₃,₃ при n, кратном 6, даёт ровно 9n/6=3n/2 цикл…"}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2023-p2-cubic-four-cycle-bound","neighbor_id":"cmo-2023-p2-three-regular-bootstrap-friendship","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-four-cycle-bound-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2025-unior-r3p1-cubic-four-cycle-bound","neighbor_id":"yumt-2025-unior-round3-problem1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"cubic-graph-four-cycle-bound в 3-регулярном графе не более 3n/2 циклов длины 4 extremal_graph_theory double_counting goal_exact_bound https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur2b.tex misc olympiad_archive src-fyum-2013-tur2b-p7-official with_solution прочее фюм 2013, второй тур, лига тактик, задача 7 ? фюм 2013, второй тур, лига тактик, задача 7 stmt-cubic-four-cycle-bound ai_checked пусть g — простой 3-регулярный граф на n вершинах. тогда число циклов длины 4 в g не превосходит 3n/2. эта оценка точна: если n кратно 6, равенство достигается на несвязном объединении n/6 копий k₃,₃. degree cycle bipartite_graph stmt-fyum-2013-n300-instance фюм 2013: случай n=300 ai_checked в графе 300 вершин, и степень каждой вершины равна 3. какое наибольшее возможное число циклов длины 4 может быть в таком графе? degree cycle idea-count-vertex-edge-pairs считать пары инцидентных рёбер у вершины каждый 4-цикл вносит по одной паре инцидентных рёбер в каждой из своих четырёх вершин, а в 3-регулярном графе у каждой вершины всего три такие пары. double_counting extremal_graph_theory ai_checked idea-k33-sharpness резкость на k₃,₃ в k₃,₃ каждый 4-цикл задаётся выбором двух вершин в каждой доле, поэтому таких циклов ровно c(3,2)^2=9, что равно 3|v(k₃,₃)|/2. extremal_graph_theory goal_exact_bound ai_checked sol-double-count-incident-edge-pairs двойной счёт пар инцидентных рёбер ai_checked degree cycle bipartite_graph double_counting рассмотрим пары вида (c,v), где c — 4-цикл графа g, а v — вершина этого цикла. если число 4-циклов равно q, то таких пар ровно 4q. с другой стороны, каждой паре (c,v) соответствует неупорядоченная пара рёбер цикла c, инцидентных вершине v. в 3-регулярном графе у каждой вершины есть c(3,2)=3 пары инцидентных рёбер, всего 3n таких пар. зафиксируем пару рёбер vu и vw. любой 4-цикл, содержащий оба эти ребра, имеет вид v-u-x-w-v, где x — общий сосед вершин u и w, отличный от v. так как у u и w после удаления ребер к v остаётся не более чем по два возможных соседа, таких вершин x, а значит и таких 4-циклов, не больше двух. поэтому 4q не превосходит 2·3n=6n, откуда q ≤ 3n/2. оценка достигается на k₃,₃: его 4-циклы получаются выбором двух вершин в одной доле и двух вершин в другой доле, поэтому их c(3,2)^2=9=3·6/2. несвязное объединение n/6 копий k₃,₃ при n, кратном 6, даёт ровно 9n/6=3n/2 цикл… cubic-graph-four-cycle-bound v 3-regulyarnom grafe ne bolee 3n/2 tsiklov dliny 4 extremal_graph_theory double_counting goal_exact_bound https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur2b.tex misc olympiad_archive src-fyum-2013-tur2b-p7-official with_solution prochee fyum 2013, vtoroy tur, liga taktik, zadacha 7 ? fyum 2013, vtoroy tur, liga taktik, zadacha 7 stmt-cubic-four-cycle-bound ai_checked pust g — prostoy 3-regulyarnyy graf na n vershinah. togda chislo tsiklov dliny 4 v g ne prevoshodit 3n/2. eta otsenka tochna: esli n kratno 6, ravenstvo dostigaetsya na nesvyaznom obedinenii n/6 kopiy k₃,₃. degree cycle bipartite_graph stmt-fyum-2013-n300-instance fyum 2013: sluchay n=300 ai_checked v grafe 300 vershin, i stepen kazhdoy vershiny ravna 3. kakoe naibolshee vozmozhnoe chislo tsiklov dliny 4 mozhet byt v takom grafe? degree cycle idea-count-vertex-edge-pairs schitat pary intsidentnyh reber u vershiny kazhdyy 4-tsikl vnosit po odnoy pare intsidentnyh reber v kazhdoy iz svoih chetyreh vershin, a v 3-regulyarnom grafe u kazhdoy vershiny vsego tri takie pary. double_counting extremal_graph_theory ai_checked idea-k33-sharpness rezkost na k₃,₃ v k₃,₃ kazhdyy 4-tsikl zadaetsya vyborom dvuh vershin v kazhdoy dole, poetomu takih tsiklov rovno c(3,2)^2=9, chto ravno 3|v(k₃,₃)|/2. extremal_graph_theory goal_exact_bound ai_checked sol-double-count-incident-edge-pairs dvoynoy schet par intsidentnyh reber ai_checked degree cycle bipartite_graph double_counting rassmotrim pary vida (c,v), gde c — 4-tsikl grafa g, a v — vershina etogo tsikla. esli chislo 4-tsiklov ravno q, to takih par rovno 4q. s drugoy storony, kazhdoy pare (c,v) sootvetstvuet neuporyadochennaya para reber tsikla c, intsidentnyh vershine v. v 3-regulyarnom grafe u kazhdoy vershiny est c(3,2)=3 pary intsidentnyh reber, vsego 3n takih par. zafiksiruem paru reber vu i vw. lyuboy 4-tsikl, soderzhaschiy oba eti rebra, imeet vid v-u-x-w-v, gde x — obschiy sosed vershin u i w, otlichnyy ot v. tak kak u u i w posle udaleniya reber k v ostaetsya ne bolee chem po dva vozmozhnyh soseda, takih vershin x, a znachit i takih 4-tsiklov, ne bolshe dvuh. poetomu 4q ne prevoshodit 2·3n=6n, otkuda q ≤ 3n/2. otsenka dostigaetsya na k₃,₃: ego 4-tsikly poluchayutsya vyborom dvuh vershin v odnoy dole i dvuh vershin v drugoy dole, poetomu ih c(3,2)^2=9=3·6/2. nesvyaznoe obedinenie n/6 kopiy k₃,₃ pri n, kratnom 6, daet rovno 9n/6=3n/2 tsikl…","source_keys":["misc","fyum"]}
{"id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","title":"Большая грань и вилка в игре на гранях кубического многогранника","path":"data\\problems\\classical\\cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 2002 B2, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","degree_counting","double_counting","goal_strategy_game","classical_lemma"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":5,"comment":"Самостоятельная структурно-игровая лемма: эйлеров подсчет на кубическом многограннике сочетается с локальной стратегией вилки на соседях большой грани.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"Извлечено из архива решений Putnam и развернуто самодостаточно.","notes":"Лемма выделяет самодостаточное ядро исходного решения.","audit_source":"manual-high-reasoning-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-large-face-fork","title":"Лемма о большой грани и вилке","status":"ai_checked","text":"Пусть дан скелет выпуклого многогранника с фиксированным вложением на сфере; в каждой его вершине сходятся ровно три ребра. Рассмотрим игру на гранях: два игрока по очереди выбирают ранее не выбранную грань, а игрок выигрывает, если после своего хода владеет всеми тремя гранями, инцидентными некоторой вершине. Тогда выполнены два утверждения. (1) Если у многогранника не меньше пяти граней, то существует грань, ограниченная не менее чем четырьмя ребрами. (2) Если первый игрок первым ходом выбирает любую грань \\(A\\), ограниченную \\(k\\ge4\\) ребрами, то после любого первого ответа второго игрока первый игрок может создать две одновременные угрозы и выиграть не позднее своего третьего хода.","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-euler-large-face-and-fork","title":"Доказательство через Эйлера и локальную вилку","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting","face_counting","invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала докажем существование большой грани. Обозначим через \\(V,E,F\\) числа вершин, ребер и граней многогранника. Так как в каждой вершине сходятся ровно три ребра, двойной счет концов ребер дает \\(3V=2E\\). Предположим, что все грани треугольные. Тогда сумма длин границ граней равна \\(3F\\), а каждое ребро при таком счете входит в границы двух граней, значит \\(3F=2E\\). По формуле Эйлера для связного скелета выпуклого многогранника \\(V-E+F=2\\). Из \\(V=2E/3\\) и \\(F=2E/3\\) получаем \\(2E/3-E+2E/3=2\\), то есть \\(E=6\\) и \\(F=4\\). Следовательно, если \\(F\\ge5\\), не все грани треугольные; поскольку каждая грань имеет хотя бы три стороны, есть грань \\(A\\) длины \\(k\\ge4\\). Теперь докажем игровую часть для любой такой грани \\(A\\). Пусть первый игрок первым ходом выбирает \\(A\\). Перечислим грани, соседние с \\(A\\) по ее сторонам, в циклическом порядке обхода границы: \\(H_1,H_2,\\ldots,H_k\\). Эти грани…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-game-fork-strategy-lemma","neighbor_id":"spbmo-2010-10-p4-cubic-edge-company-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-fork-putnam-2002-b2","neighbor_id":"putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-planar-edge-bound-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-four-cycle-bound-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"cubic-graph-four-cycle-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-fork-tc-2012-polyhedron","neighbor_id":"tc-2012-polyhedron-three-equal-edges","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-fork-cmo-2019-game","neighbor_id":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma большая грань и вилка в игре на гранях кубического многогранника planar_graphs degree_counting double_counting goal_strategy_game classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2002.pdf misc putnam 2002 b2, архивный источник src-putnam-2002-b2-kedlaya with_solution прочее ? putnam 2002 b2, архивный источник stmt-large-face-fork лемма о большой грани и вилке ai_checked пусть дан скелет выпуклого многогранника с фиксированным вложением на сфере; в каждой его вершине сходятся ровно три ребра. рассмотрим игру на гранях: два игрока по очереди выбирают ранее не выбранную грань, а игрок выигрывает, если после своего хода владеет всеми тремя гранями, инцидентными некоторой вершине. тогда выполнены два утверждения. (1) если у многогранника не меньше пяти граней, то существует грань, ограниченная не менее чем четырьмя ребрами. (2) если первый игрок первым ходом выбирает любую грань \\(a\\), ограниченную \\(k\\ge4\\) ребрами, то после любого первого ответа второго игрока первый игрок может создать две одновременные угрозы и выиграть не позднее своего третьего хода. planar_graph degree cycle idea-euler-forces-large-face только треугольные грани дали бы тетраэдр в кубическом полиэдральном графе равенство \\(3v=2e\\). если все грани треугольные, то еще и \\(3f=2e\\), а формула эйлера тогда дает \\(f=4\\). поэтому при \\(f\\ge5\\) хотя бы одна грань имеет длину не меньше 4. planar_graphs degree_counting double_counting ai_checked idea-three-free-neighbors три свободные соседние грани подряд после первого ответа соперника среди соседей выбранной большой грани занята не более одна грань, поэтому в циклическом списке ее соседей длины хотя бы 4 есть три подряд свободные позиции. planar_graphs goal_strategy_game ai_checked idea-middle-neighbor-fork средняя грань создает две угрозы если свободные соседи большой грани идут подряд как \\(b,c,d\\), то ход в \\(c\\) оставляет две разные завершающие грани: \\(b\\) дает тройку вокруг одной вершины, а \\(d\\) — вокруг соседней. goal_strategy_game ai_checked sol-euler-large-face-and-fork доказательство через эйлера и локальную вилку ai_checked planar_graph degree cycle double_counting face_counting invariant сначала докажем существование большой грани. обозначим через \\(v,e,f\\) числа вершин, ребер и граней многогранника. так как в каждой вершине сходятся ровно три ребра, двойной счет концов ребер дает \\(3v=2e\\). предположим, что все грани треугольные. тогда сумма длин границ граней равна \\(3f\\), а каждое ребро при таком счете входит в границы двух граней, значит \\(3f=2e\\). по формуле эйлера для связного скелета выпуклого многогранника \\(v-e+f=2\\). из \\(v=2e/3\\) и \\(f=2e/3\\) получаем \\(2e/3-e+2e/3=2\\), то есть \\(e=6\\) и \\(f=4\\). следовательно, если \\(f\\ge5\\), не все грани треугольные; поскольку каждая грань имеет хотя бы три стороны, есть грань \\(a\\) длины \\(k\\ge4\\). теперь докажем игровую часть для любой такой грани \\(a\\). пусть первый игрок первым ходом выбирает \\(a\\). перечислим грани, соседние с \\(a\\) по ее сторонам, в циклическом порядке обхода границы: \\(h_1,h_2,\\ldots,h_k\\). эти грани… cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma bolshaya gran i vilka v igre na granyah kubicheskogo mnogogrannika planar_graphs degree_counting double_counting goal_strategy_game classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2002.pdf misc putnam 2002 b2, arhivnyy istochnik src-putnam-2002-b2-kedlaya with_solution prochee ? putnam 2002 b2, arhivnyy istochnik stmt-large-face-fork lemma o bolshoy grani i vilke ai_checked pust dan skelet vypuklogo mnogogrannika s fiksirovannym vlozheniem na sfere; v kazhdoy ego vershine shodyatsya rovno tri rebra. rassmotrim igru na granyah: dva igroka po ocheredi vybirayut ranee ne vybrannuyu gran, a igrok vyigryvaet, esli posle svoego hoda vladeet vsemi tremya granyami, intsidentnymi nekotoroy vershine. togda vypolneny dva utverzhdeniya. (1) esli u mnogogrannika ne menshe pyati graney, to suschestvuet gran, ogranichennaya ne menee chem chetyrmya rebrami. (2) esli pervyy igrok pervym hodom vybiraet lyubuyu gran \\(a\\), ogranichennuyu \\(k\\ge4\\) rebrami, to posle lyubogo pervogo otveta vtorogo igroka pervyy igrok mozhet sozdat dve odnovremennye ugrozy i vyigrat ne pozdnee svoego tretego hoda. planar_graph degree cycle idea-euler-forces-large-face tolko treugolnye grani dali by tetraedr v kubicheskom poliedralnom grafe ravenstvo \\(3v=2e\\). esli vse grani treugolnye, to esche i \\(3f=2e\\), a formula eylera togda daet \\(f=4\\). poetomu pri \\(f\\ge5\\) hotya by odna gran imeet dlinu ne menshe 4. planar_graphs degree_counting double_counting ai_checked idea-three-free-neighbors tri svobodnye sosednie grani podryad posle pervogo otveta sopernika sredi sosedey vybrannoy bolshoy grani zanyata ne bolee odna gran, poetomu v tsiklicheskom spiske ee sosedey dliny hotya by 4 est tri podryad svobodnye pozitsii. planar_graphs goal_strategy_game ai_checked idea-middle-neighbor-fork srednyaya gran sozdaet dve ugrozy esli svobodnye sosedi bolshoy grani idut podryad kak \\(b,c,d\\), to hod v \\(c\\) ostavlyaet dve raznye zavershayuschie grani: \\(b\\) daet troyku vokrug odnoy vershiny, a \\(d\\) — vokrug sosedney. goal_strategy_game ai_checked sol-euler-large-face-and-fork dokazatelstvo cherez eylera i lokalnuyu vilku ai_checked planar_graph degree cycle double_counting face_counting invariant snachala dokazhem suschestvovanie bolshoy grani. oboznachim cherez \\(v,e,f\\) chisla vershin, reber i graney mnogogrannika. tak kak v kazhdoy vershine shodyatsya rovno tri rebra, dvoynoy schet kontsov reber daet \\(3v=2e\\). predpolozhim, chto vse grani treugolnye. togda summa dlin granits graney ravna \\(3f\\), a kazhdoe rebro pri takom schete vhodit v granitsy dvuh graney, znachit \\(3f=2e\\). po formule eylera dlya svyaznogo skeleta vypuklogo mnogogrannika \\(v-e+f=2\\). iz \\(v=2e/3\\) i \\(f=2e/3\\) poluchaem \\(2e/3-e+2e/3=2\\), to est \\(e=6\\) i \\(f=4\\). sledovatelno, esli \\(f\\ge5\\), ne vse grani treugolnye; poskolku kazhdaya gran imeet hotya by tri storony, est gran \\(a\\) dliny \\(k\\ge4\\). teper dokazhem igrovuyu chast dlya lyuboy takoy grani \\(a\\). pust pervyy igrok pervym hodom vybiraet \\(a\\). perechislim grani, sosednie s \\(a\\) po ee storonam, v tsiklicheskom poryadke obhoda granitsy: \\(h_1,h_2,\\ldots,h_k\\). eti grani…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"degeneracy-greedy-coloring","title":"Вырожденность графа и жадная раскраска","path":"data\\problems\\classical\\degeneracy-greedy-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/degeneracy-greedy-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#degeneracy-greedy-coloring","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Degeneracy (graph theory)"],"year":"","type":"theorem","authors":[],"tags":["coloring","classical_theorem","goal_bound","goal_algorithm","induction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Базовая, но чрезвычайно полезная школьная лемма о раскраске: весь механизм — порядок удаления вершин.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Раскраска вырожденного графа","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(d\\) — неотрицательное целое число. Если в каждом непустом подграфе простого графа \\(G\\) есть вершина степени не больше \\(d\\), то вершины \\(G\\) можно правильно раскрасить в \\(d+1\\) цвет.","definition_ids":["simple_graph","degree","chromatic_number"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-order-form","title":"Форма через порядок вершин","status":"ai_checked","text":"Если вершины графа можно упорядочить так, что у каждой вершины не больше \\(d\\) соседей, стоящих после неё, то граф \\((d+1)\\)-раскрашиваем.","definition_ids":["simple_graph","degree","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-deletion-order","title":"Доказательство обратной жадной раскраской","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем удалять вершины из графа. Пока граф непуст, по условию в текущем подграфе есть вершина степени не больше \\(d\\); удалим одну такую вершину и запишем ее в список. После удаления снова смотрим на оставшийся подграф и повторяем процесс. В конце все вершины удалены. Теперь раскрасим вершины в обратном порядке: сначала последнюю удаленную, затем предпоследнюю и так далее. Когда мы возвращаем некоторую вершину \\(v\\), среди уже возвращенных и раскрашенных вершин находятся только те ее соседи, которые оставались в графе после удаления \\(v\\). В момент удаления таких соседей было не больше \\(d\\). Значит среди \\(d+1\\) цветов занято не более \\(d\\), и для \\(v\\) остается хотя бы один свободный цвет. Выберем его. Так получаем правильную раскраску всего графа: каждое ребро проверяется в момент, когда красится более ранний по восстановлению конец, и этот конец получает цвет, отличный от уже раскраш…"}],"relations":[{"id":"rel-planar-bound-degeneracy","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ghrv-degeneracy","neighbor_id":"gallai-hasse-roy-vitaver-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-degeneracy-coloring","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-apmo-2016-p4-degeneracy-greedy-coloring","neighbor_id":"apmo-2016-p4-dreamland-28-step-coloring","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-brooks-degeneracy-greedy-order","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-five-color-degeneracy-greedy-six-color","neighbor_id":"five-color-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-degeneracy-greedy-to-mmo-2018-clique-coloring","neighbor_id":"mmo-2018-acquaintance-seating-clique-chromatic","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"degeneracy-greedy-coloring вырожденность графа и жадная раскраска coloring classical_theorem goal_bound goal_algorithm induction https://en.wikipedia.org/wiki/degeneracy_(graph_theory) misc src-wikipedia-degeneracy-graph-theory standard_reference wikipedia, degeneracy (graph theory) with_solution прочее ? wikipedia, degeneracy (graph theory) stmt-original-1 раскраска вырожденного графа ai_checked пусть \\(d\\) — неотрицательное целое число. если в каждом непустом подграфе простого графа \\(g\\) есть вершина степени не больше \\(d\\), то вершины \\(g\\) можно правильно раскрасить в \\(d+1\\) цвет. simple_graph degree chromatic_number stmt-order-form форма через порядок вершин ai_checked если вершины графа можно упорядочить так, что у каждой вершины не больше \\(d\\) соседей, стоящих после неё, то граф \\((d+1)\\)-раскрашиваем. simple_graph degree chromatic_number idea-delete-then-return удалить, потом вернуть сначала удаляем вершины малой степени, запоминая порядок удаления. затем возвращаем их в обратном порядке: при возвращении у вершины уже раскрашено не больше \\(d\\) соседей. coloring induction ai_checked sol-deletion-order доказательство обратной жадной раскраской ai_checked simple_graph degree chromatic_number induction будем удалять вершины из графа. пока граф непуст, по условию в текущем подграфе есть вершина степени не больше \\(d\\); удалим одну такую вершину и запишем ее в список. после удаления снова смотрим на оставшийся подграф и повторяем процесс. в конце все вершины удалены. теперь раскрасим вершины в обратном порядке: сначала последнюю удаленную, затем предпоследнюю и так далее. когда мы возвращаем некоторую вершину \\(v\\), среди уже возвращенных и раскрашенных вершин находятся только те ее соседи, которые оставались в графе после удаления \\(v\\). в момент удаления таких соседей было не больше \\(d\\). значит среди \\(d+1\\) цветов занято не более \\(d\\), и для \\(v\\) остается хотя бы один свободный цвет. выберем его. так получаем правильную раскраску всего графа: каждое ребро проверяется в момент, когда красится более ранний по восстановлению конец, и этот конец получает цвет, отличный от уже раскраш… degeneracy-greedy-coloring vyrozhdennost grafa i zhadnaya raskraska coloring classical_theorem goal_bound goal_algorithm induction https://en.wikipedia.org/wiki/degeneracy_(graph_theory) misc src-wikipedia-degeneracy-graph-theory standard_reference wikipedia, degeneracy (graph theory) with_solution prochee ? wikipedia, degeneracy (graph theory) stmt-original-1 raskraska vyrozhdennogo grafa ai_checked pust \\(d\\) — neotritsatelnoe tseloe chislo. esli v kazhdom nepustom podgrafe prostogo grafa \\(g\\) est vershina stepeni ne bolshe \\(d\\), to vershiny \\(g\\) mozhno pravilno raskrasit v \\(d+1\\) tsvet. simple_graph degree chromatic_number stmt-order-form forma cherez poryadok vershin ai_checked esli vershiny grafa mozhno uporyadochit tak, chto u kazhdoy vershiny ne bolshe \\(d\\) sosedey, stoyaschih posle nee, to graf \\((d+1)\\)-raskrashivaem. simple_graph degree chromatic_number idea-delete-then-return udalit, potom vernut snachala udalyaem vershiny maloy stepeni, zapominaya poryadok udaleniya. zatem vozvraschaem ih v obratnom poryadke: pri vozvraschenii u vershiny uzhe raskrasheno ne bolshe \\(d\\) sosedey. coloring induction ai_checked sol-deletion-order dokazatelstvo obratnoy zhadnoy raskraskoy ai_checked simple_graph degree chromatic_number induction budem udalyat vershiny iz grafa. poka graf nepust, po usloviyu v tekuschem podgrafe est vershina stepeni ne bolshe \\(d\\); udalim odnu takuyu vershinu i zapishem ee v spisok. posle udaleniya snova smotrim na ostavshiysya podgraf i povtoryaem protsess. v kontse vse vershiny udaleny. teper raskrasim vershiny v obratnom poryadke: snachala poslednyuyu udalennuyu, zatem predposlednyuyu i tak dalee. kogda my vozvraschaem nekotoruyu vershinu \\(v\\), sredi uzhe vozvraschennyh i raskrashennyh vershin nahodyatsya tolko te ee sosedi, kotorye ostavalis v grafe posle udaleniya \\(v\\). v moment udaleniya takih sosedey bylo ne bolshe \\(d\\). znachit sredi \\(d+1\\) tsvetov zanyato ne bolee \\(d\\), i dlya \\(v\\) ostaetsya hotya by odin svobodnyy tsvet. vyberem ego. tak poluchaem pravilnuyu raskrasku vsego grafa: kazhdoe rebro proveryaetsya v moment, kogda krasitsya bolee ranniy po vosstanovleniyu konets, i etot konets poluchaet tsvet, otlichnyy ot uzhe raskrash…","source_keys":["misc"]}
{"id":"dense-graph-long-theta-subgraph","title":"Плотный граф содержит theta-подграф с двумя длинными ветвями","path":"data\\problems\\classical\\dense-graph-long-theta-subgraph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/dense-graph-long-theta-subgraph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#dense-graph-long-theta-subgraph","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Bondy and Simonovits, Cycles of Even Length in Graphs","ФЮМ 2009, третий тур (a), задача 7"],"year":"","type":"lemma","authors":["J. A. Bondy and M. Simonovits"],"tags":["extremal_graph_theory","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Короткая экстремальная лемма: основная идея состоит в стандартном переходе к большой минимальной степени и выборе конца длиннейшего пути.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-dense-long-theta","title":"Плотность больше \\(2t\\) на вершину вынуждает длинный theta-подграф","status":"source_verified","text":"Пусть \\(t\\ge 1\\), а \\(G\\) — конечный простой связный граф такой, что \\(e(G)>2t|V(G)|\\). Тогда в \\(G\\) существуют вершины \\(a,b\\), ребро \\(ab\\), и два внутренне непересекающихся простых \\(a-b\\) пути, каждый длины хотя бы \\(t\\), причем вместе с ребром \\(ab\\) они образуют theta-подграф.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-pruning-longest-path","title":"Доказательство через прореживание и длиннейший путь","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","longest_path"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем удалять из текущего графа вершины степени меньше \\(2t\\). Если в графе с \\(N\\) вершинами и \\(M>2tN\\) ребрами удалить вершину степени не больше \\(2t-1\\), то останется больше \\(2tN-(2t-1)>2t(N-1)\\) ребер, так что строгая плотность сохраняется. Поэтому после последовательных удалений останется непустой граф \\(H\\) с \\(e(H)>2t|V(H)|\\) и минимальной степенью хотя бы \\(2t\\); взяв компоненту с отношением \\(e/|V|\\) больше \\(2t\\), можно считать \\(H\\) связным. Возьмем в \\(H\\) длиннейший простой путь \\(P=x_0x_1\\ldots x_m\\). Все соседи вершины \\(x_0\\) лежат на \\(P\\), иначе путь можно было бы удлинить. Пусть эти соседи имеют индексы \\(1=i_1<i_2<\\cdots<i_r\\). Так как \\(\\delta(H)\\ge 2t\\), имеем \\(r\\ge 2t\\). Положим \\(a=x_0\\) и \\(b=x_{i_t}\\). Тогда \\(ab\\) — ребро. Первый \\(a-b\\) путь идет вдоль \\(P\\): \\(x_0x_1\\ldots x_{i_t}\\), и его длина \\(i_t\\ge t\\). Второй путь идет сначала по ребру \\(x_0x_{i_r}…"}],"relations":[{"id":"rel-dense-long-theta-fyum-2009-tur3a-p7","neighbor_id":"fyum-2009-tur3a-p7","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-dense-long-theta-dirac-longest-path-motif","neighbor_id":"dirac-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2025-unior-r3p1-dense-theta","neighbor_id":"yumt-2025-unior-round3-problem1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"dense-graph-long-theta-subgraph плотный граф содержит theta-подграф с двумя длинными ветвями extremal_graph_theory goal_existence bondy and simonovits, cycles of even length in graphs https://users.renyi.hu/~miki/bondysimeven.pdf https://www.guas.info/competit/fest/fest20/tur3a.tex j. a. bondy and m. simonovits jabondyandmsimonovits misc olympiad_archive research_paper src-bondy-simonovits-cycles-even-length-1974 src-fyum-2009-tur3a-p7-official with_solution прочее фюм 2009, третий тур (a), задача 7 j. a. bondy and m. simonovits bondy and simonovits, cycles of even length in graphs фюм 2009, третий тур (a), задача 7 stmt-dense-long-theta плотность больше \\(2t\\) на вершину вынуждает длинный theta-подграф source_verified пусть \\(t\\ge 1\\), а \\(g\\) — конечный простой связный граф такой, что \\(e(g)>2t|v(g)|\\). тогда в \\(g\\) существуют вершины \\(a,b\\), ребро \\(ab\\), и два внутренне непересекающихся простых \\(a-b\\) пути, каждый длины хотя бы \\(t\\), причем вместе с ребром \\(ab\\) они образуют theta-подграф. simple_graph connected_graph path cycle idea-prune-to-minimum-degree-and-use-longest-path очистить малые степени и посмотреть на конец длиннейшего пути пока есть вершина степени меньше \\(2t\\), ее можно удалить, сохранив строгую плотность \\(e>2t|v|\\) в оставшемся графе; затем берется плотная компонента с минимальной степенью хотя бы \\(2t\\). у конца длиннейшего пути все соседи лежат на этом пути, а большое число соседей дает две длинные дуги к подходящему соседу. extremal_graph_theory extremal_choice connectivity ai_checked sol-pruning-longest-path доказательство через прореживание и длиннейший путь ai_checked simple_graph connected_graph path extremal_choice longest_path будем удалять из текущего графа вершины степени меньше \\(2t\\). если в графе с \\(n\\) вершинами и \\(m>2tn\\) ребрами удалить вершину степени не больше \\(2t-1\\), то останется больше \\(2tn-(2t-1)>2t(n-1)\\) ребер, так что строгая плотность сохраняется. поэтому после последовательных удалений останется непустой граф \\(h\\) с \\(e(h)>2t|v(h)|\\) и минимальной степенью хотя бы \\(2t\\); взяв компоненту с отношением \\(e/|v|\\) больше \\(2t\\), можно считать \\(h\\) связным. возьмем в \\(h\\) длиннейший простой путь \\(p=x_0x_1\\ldots x_m\\). все соседи вершины \\(x_0\\) лежат на \\(p\\), иначе путь можно было бы удлинить. пусть эти соседи имеют индексы \\(1=i_1<i_2<\\cdots<i_r\\). так как \\(\\delta(h)\\ge 2t\\), имеем \\(r\\ge 2t\\). положим \\(a=x_0\\) и \\(b=x_{i_t}\\). тогда \\(ab\\) — ребро. первый \\(a-b\\) путь идет вдоль \\(p\\): \\(x_0x_1\\ldots x_{i_t}\\), и его длина \\(i_t\\ge t\\). второй путь идет сначала по ребру \\(x_0x_{i_r}… dense-graph-long-theta-subgraph plotnyy graf soderzhit theta-podgraf s dvumya dlinnymi vetvyami extremal_graph_theory goal_existence bondy and simonovits, cycles of even length in graphs https://users.renyi.hu/~miki/bondysimeven.pdf https://www.guas.info/competit/fest/fest20/tur3a.tex j. a. bondy and m. simonovits jabondyandmsimonovits misc olympiad_archive research_paper src-bondy-simonovits-cycles-even-length-1974 src-fyum-2009-tur3a-p7-official with_solution prochee fyum 2009, tretiy tur (a), zadacha 7 j. a. bondy and m. simonovits bondy and simonovits, cycles of even length in graphs fyum 2009, tretiy tur (a), zadacha 7 stmt-dense-long-theta plotnost bolshe \\(2t\\) na vershinu vynuzhdaet dlinnyy theta-podgraf source_verified pust \\(t\\ge 1\\), a \\(g\\) — konechnyy prostoy svyaznyy graf takoy, chto \\(e(g)>2t|v(g)|\\). togda v \\(g\\) suschestvuyut vershiny \\(a,b\\), rebro \\(ab\\), i dva vnutrenne neperesekayuschihsya prostyh \\(a-b\\) puti, kazhdyy dliny hotya by \\(t\\), prichem vmeste s rebrom \\(ab\\) oni obrazuyut theta-podgraf. simple_graph connected_graph path cycle idea-prune-to-minimum-degree-and-use-longest-path ochistit malye stepeni i posmotret na konets dlinneyshego puti poka est vershina stepeni menshe \\(2t\\), ee mozhno udalit, sohraniv stroguyu plotnost \\(e>2t|v|\\) v ostavshemsya grafe; zatem beretsya plotnaya komponenta s minimalnoy stepenyu hotya by \\(2t\\). u kontsa dlinneyshego puti vse sosedi lezhat na etom puti, a bolshoe chislo sosedey daet dve dlinnye dugi k podhodyaschemu sosedu. extremal_graph_theory extremal_choice connectivity ai_checked sol-pruning-longest-path dokazatelstvo cherez prorezhivanie i dlinneyshiy put ai_checked simple_graph connected_graph path extremal_choice longest_path budem udalyat iz tekuschego grafa vershiny stepeni menshe \\(2t\\). esli v grafe s \\(n\\) vershinami i \\(m>2tn\\) rebrami udalit vershinu stepeni ne bolshe \\(2t-1\\), to ostanetsya bolshe \\(2tn-(2t-1)>2t(n-1)\\) reber, tak chto strogaya plotnost sohranyaetsya. poetomu posle posledovatelnyh udaleniy ostanetsya nepustoy graf \\(h\\) s \\(e(h)>2t|v(h)|\\) i minimalnoy stepenyu hotya by \\(2t\\); vzyav komponentu s otnosheniem \\(e/|v|\\) bolshe \\(2t\\), mozhno schitat \\(h\\) svyaznym. vozmem v \\(h\\) dlinneyshiy prostoy put \\(p=x_0x_1\\ldots x_m\\). vse sosedi vershiny \\(x_0\\) lezhat na \\(p\\), inache put mozhno bylo by udlinit. pust eti sosedi imeyut indeksy \\(1=i_1<i_2<\\cdots<i_r\\). tak kak \\(\\delta(h)\\ge 2t\\), imeem \\(r\\ge 2t\\). polozhim \\(a=x_0\\) i \\(b=x_{i_t}\\). togda \\(ab\\) — rebro. pervyy \\(a-b\\) put idet vdol \\(p\\): \\(x_0x_1\\ldots x_{i_t}\\), i ego dlina \\(i_t\\ge t\\). vtoroy put idet snachala po rebru \\(x_0x_{i_r}…","source_keys":["misc","fyum"]}
{"id":"digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","title":"Жадная оценка раскраски орграфа с ограниченной исходящей степенью","path":"data\\problems\\classical\\digraph-outdegree-greedy-coloring-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/digraph-outdegree-greedy-coloring-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["APMO 2016 официальные решения"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","induction","goal_bound","classical_theorem"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Короткая жадно-индукционная лемма о раскраске; единственный трюк — выбирать удаляемую вершину по средней входящей, а не исходящей степени.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","title":"Лемма о раскраске при ограниченной исходящей степени","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(r\\ge 0\\). Любой конечный ориентированный граф, в котором исходящая степень каждой вершины не превосходит \\(r\\), можно раскрасить в \\(2r+1\\) цвет так, чтобы концы каждой дуги имели разные цвета.","definition_ids":["directed_graph","outdegree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-low-indegree-induction","title":"Индукция по числу вершин","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","outdegree","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["induction","greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение индукцией по числу вершин. Для пустого графа и графа из одной вершины всё очевидно. Пусть теперь \\(D\\) — конечный ориентированный граф с максимальной исходящей степенью не больше \\(r\\). Сумма входящих степеней равна сумме исходящих степеней, поэтому средняя входящая степень тоже не превосходит \\(r\\). Значит, найдётся вершина \\(v\\) входящей степени не больше \\(r\\). Удалим \\(v\\). В оставшемся ориентированном графе максимальная исходящая степень по-прежнему не больше \\(r\\), поэтому по предположению индукции он имеет раскраску цветами \\(1,\\dots,2r+1\\), в которой концы каждой дуги окрашены по-разному. Вернём \\(v\\). Цвет для \\(v\\) запрещён только тогда, когда он уже стоит на входящем или исходящем соседе \\(v\\). Исходящих соседей не больше \\(r\\), потому что исходящая степень \\(v\\) не превосходит \\(r\\), а входящих соседей не больше \\(r\\) по выбору \\(v\\). Значит, запрещено не…"}],"relations":[{"id":"rel-digraph-outdegree-greedy-coloring-bound-apmo-2016-p4","neighbor_id":"apmo-2016-p4-dreamland-28-step-coloring","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bipartite-edge-layers-digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","neighbor_id":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-greedy-strong-edge-digraph-outdegree-coloring-motif","neighbor_id":"greedy-strong-edge-coloring-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"digraph-outdegree-greedy-coloring-bound жадная оценка раскраски орграфа с ограниченной исходящей степенью coloring induction goal_bound classical_theorem apmo 2016 официальные решения https://apmo-official.org/static/solutions/apmo2016_sol.pdf misc official_archive src-apmo-2016-official with_solution прочее ? apmo 2016 официальные решения stmt-digraph-outdegree-greedy-coloring-bound лемма о раскраске при ограниченной исходящей степени ai_checked пусть \\(r\\ge 0\\). любой конечный ориентированный граф, в котором исходящая степень каждой вершины не превосходит \\(r\\), можно раскрасить в \\(2r+1\\) цвет так, чтобы концы каждой дуги имели разные цвета. directed_graph outdegree idea-low-indegree-extend-coloring удалить вершину малой входящей степени и продолжить раскраску сумма входящих степеней равна сумме исходящих, поэтому средняя входящая степень не превосходит \\(r\\). выбираем вершину входящей степени не больше \\(r\\), красим оставшийся граф по индукции, а затем возвращаем эту вершину: её входящие и исходящие соседи запрещают не больше \\(r+r=2r\\) цветов. coloring induction ai_checked sol-low-indegree-induction индукция по числу вершин ai_checked directed_graph outdegree chromatic_number induction greedy_ordering докажем утверждение индукцией по числу вершин. для пустого графа и графа из одной вершины всё очевидно. пусть теперь \\(d\\) — конечный ориентированный граф с максимальной исходящей степенью не больше \\(r\\). сумма входящих степеней равна сумме исходящих степеней, поэтому средняя входящая степень тоже не превосходит \\(r\\). значит, найдётся вершина \\(v\\) входящей степени не больше \\(r\\). удалим \\(v\\). в оставшемся ориентированном графе максимальная исходящая степень по-прежнему не больше \\(r\\), поэтому по предположению индукции он имеет раскраску цветами \\(1,\\dots,2r+1\\), в которой концы каждой дуги окрашены по-разному. вернём \\(v\\). цвет для \\(v\\) запрещён только тогда, когда он уже стоит на входящем или исходящем соседе \\(v\\). исходящих соседей не больше \\(r\\), потому что исходящая степень \\(v\\) не превосходит \\(r\\), а входящих соседей не больше \\(r\\) по выбору \\(v\\). значит, запрещено не… digraph-outdegree-greedy-coloring-bound zhadnaya otsenka raskraski orgrafa s ogranichennoy ishodyaschey stepenyu coloring induction goal_bound classical_theorem apmo 2016 ofitsialnye resheniya https://apmo-official.org/static/solutions/apmo2016_sol.pdf misc official_archive src-apmo-2016-official with_solution prochee ? apmo 2016 ofitsialnye resheniya stmt-digraph-outdegree-greedy-coloring-bound lemma o raskraske pri ogranichennoy ishodyaschey stepeni ai_checked pust \\(r\\ge 0\\). lyuboy konechnyy orientirovannyy graf, v kotorom ishodyaschaya stepen kazhdoy vershiny ne prevoshodit \\(r\\), mozhno raskrasit v \\(2r+1\\) tsvet tak, chtoby kontsy kazhdoy dugi imeli raznye tsveta. directed_graph outdegree idea-low-indegree-extend-coloring udalit vershinu maloy vhodyaschey stepeni i prodolzhit raskrasku summa vhodyaschih stepeney ravna summe ishodyaschih, poetomu srednyaya vhodyaschaya stepen ne prevoshodit \\(r\\). vybiraem vershinu vhodyaschey stepeni ne bolshe \\(r\\), krasim ostavshiysya graf po induktsii, a zatem vozvraschaem etu vershinu: ee vhodyaschie i ishodyaschie sosedi zapreschayut ne bolshe \\(r+r=2r\\) tsvetov. coloring induction ai_checked sol-low-indegree-induction induktsiya po chislu vershin ai_checked directed_graph outdegree chromatic_number induction greedy_ordering dokazhem utverzhdenie induktsiey po chislu vershin. dlya pustogo grafa i grafa iz odnoy vershiny vse ochevidno. pust teper \\(d\\) — konechnyy orientirovannyy graf s maksimalnoy ishodyaschey stepenyu ne bolshe \\(r\\). summa vhodyaschih stepeney ravna summe ishodyaschih stepeney, poetomu srednyaya vhodyaschaya stepen tozhe ne prevoshodit \\(r\\). znachit, naydetsya vershina \\(v\\) vhodyaschey stepeni ne bolshe \\(r\\). udalim \\(v\\). v ostavshemsya orientirovannom grafe maksimalnaya ishodyaschaya stepen po-prezhnemu ne bolshe \\(r\\), poetomu po predpolozheniyu induktsii on imeet raskrasku tsvetami \\(1,\\dots,2r+1\\), v kotoroy kontsy kazhdoy dugi okrasheny po-raznomu. vernem \\(v\\). tsvet dlya \\(v\\) zapreschen tolko togda, kogda on uzhe stoit na vhodyaschem ili ishodyaschem sosede \\(v\\). ishodyaschih sosedey ne bolshe \\(r\\), potomu chto ishodyaschaya stepen \\(v\\) ne prevoshodit \\(r\\), a vhodyaschih sosedey ne bolshe \\(r\\) po vyboru \\(v\\). znachit, zaprescheno ne…","source_keys":["misc","apmo"]}
{"id":"dirac-theorem","title":"Теорема Дирака о гамильтоновом цикле","path":"data\\problems\\classical\\dirac-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/dirac-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#dirac-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Гамильтонов граф"],"year":"","type":"theorem","authors":["Gabriel Andrew Dirac"],"tags":["hamiltonian_cycles","extremal_choice","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Классический прием с длиннейшим путем.","status":"ai_draft"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"Пусть G — простой граф на n≥3 вершинах. Если каждая вершина G соединена хотя бы с n/2 другими вершинами, то в G существует гамильтонов цикл, то есть цикл, проходящий через все вершины ровно один раз.","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-longest-path","title":"Доказательство через длиннейший путь","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","cycle"],"standard_idea_ids":["longest_path","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(v_1,\\ldots,v_k\\) — длиннейший простой путь в графе. Все соседи концов \\(v_1\\) и \\(v_k\\) лежат на этом пути, иначе путь можно было бы удлинить. Так как \\(\\deg(v_1)+\\deg(v_k)\\ge n\\ge k\\), среди позиций на пути найдётся индекс \\(i\\), для которого одновременно \\(v_k\\) смежна с \\(v_i\\), а \\(v_1\\) смежна с \\(v_{i+1}\\): иначе множества индексов \\(\\{i: v_kv_i\\in E\\}\\) и \\(\\{i: v_1v_{i+1}\\in E\\}\\) были бы непересекающимися подмножествами \\(\\{1,\\ldots,k-1\\}\\) суммарной мощности не меньше \\(k\\). Тогда рёбра \\(v_kv_i\\) и \\(v_1v_{i+1}\\) вместе с частями пути дают цикл \\(v_1,v_{i+1},v_{i+2},\\ldots,v_k,v_i,v_{i-1},\\ldots,v_1\\), проходящий через все вершины пути. Осталось доказать, что \\(k=n\\). Условие минимальной степени не меньше \\(n/2\\) делает граф связным: если бы были две компоненты, вершина в меньшей из них имела бы степень не больше размера этой компоненты минус 1, то есть меньше \\(n/2\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-dirac-ore","neighbor_id":"ore-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-dirac-even-cycle-2009","neighbor_id":"tc-2009-10-acquaintances-even-cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-erdos-gallai-path-dirac","neighbor_id":"erdos-gallai-path-edge-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-kolm-2009-pancyclic-dirac-hamiltonian-density","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-bondy-links-dirac-pancyclic-upgrade","neighbor_id":"bondy-pancyclic-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-dense-long-theta-dirac-longest-path-motif","neighbor_id":"dense-graph-long-theta-subgraph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-dirac-imo-2023-c7-hamiltonian-paths","neighbor_id":"imo-2023-c7-ferry-companies-hamiltonian-paths","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm2014-4regular-cycles-dirac-hamiltonian-contrast","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2008-hamiltonian-dirac","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1986-sl12-dirac-longest-path","neighbor_id":"imo-1986-sl12-increasing-edge-trail","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-dirac-bmo-2025-longest-path","neighbor_id":"bmo-2025-p4-flights-long-short-paths","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"dirac-theorem теорема дирака о гамильтоновом цикле hamiltonian_cycles extremal_choice classical_theorem goal_exact_bound gabriel andrew dirac gabrielandrewdirac https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%93%d0%b0%d0%bc%d0%b8%d0%bb%d1%8c%d1%82%d0%be%d0%bd%d0%be%d0%b2_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84 misc reference src-wikipedia-dirac with_solution гамильтонов граф прочее gabriel andrew dirac гамильтонов граф stmt-original-1 needs_review пусть g — простой граф на n≥3 вершинах. если каждая вершина g соединена хотя бы с n/2 другими вершинами, то в g существует гамильтонов цикл, то есть цикл, проходящий через все вершины ровно один раз. simple_graph degree cycle hamiltonian_cycle idea-longest-path максимальный путь берется самый длинный путь; большая минимальная степень заставляет его концы замкнуться в цикл, а затем цикл оказывается гамильтоновым. hamiltonian_cycles extremal_choice ai_draft sol-longest-path доказательство через длиннейший путь ai_checked connected_graph path cycle longest_path extremal_choice пусть \\(v_1,\\ldots,v_k\\) — длиннейший простой путь в графе. все соседи концов \\(v_1\\) и \\(v_k\\) лежат на этом пути, иначе путь можно было бы удлинить. так как \\(\\deg(v_1)+\\deg(v_k)\\ge n\\ge k\\), среди позиций на пути найдётся индекс \\(i\\), для которого одновременно \\(v_k\\) смежна с \\(v_i\\), а \\(v_1\\) смежна с \\(v_{i+1}\\): иначе множества индексов \\(\\{i: v_kv_i\\in e\\}\\) и \\(\\{i: v_1v_{i+1}\\in e\\}\\) были бы непересекающимися подмножествами \\(\\{1,\\ldots,k-1\\}\\) суммарной мощности не меньше \\(k\\). тогда рёбра \\(v_kv_i\\) и \\(v_1v_{i+1}\\) вместе с частями пути дают цикл \\(v_1,v_{i+1},v_{i+2},\\ldots,v_k,v_i,v_{i-1},\\ldots,v_1\\), проходящий через все вершины пути. осталось доказать, что \\(k=n\\). условие минимальной степени не меньше \\(n/2\\) делает граф связным: если бы были две компоненты, вершина в меньшей из них имела бы степень не больше размера этой компоненты минус 1, то есть меньше \\(n/2\\)… dirac-theorem teorema diraka o gamiltonovom tsikle hamiltonian_cycles extremal_choice classical_theorem goal_exact_bound gabriel andrew dirac gabrielandrewdirac https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%93%d0%b0%d0%bc%d0%b8%d0%bb%d1%8c%d1%82%d0%be%d0%bd%d0%be%d0%b2_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84 misc reference src-wikipedia-dirac with_solution gamiltonov graf prochee gabriel andrew dirac gamiltonov graf stmt-original-1 needs_review pust g — prostoy graf na n≥3 vershinah. esli kazhdaya vershina g soedinena hotya by s n/2 drugimi vershinami, to v g suschestvuet gamiltonov tsikl, to est tsikl, prohodyaschiy cherez vse vershiny rovno odin raz. simple_graph degree cycle hamiltonian_cycle idea-longest-path maksimalnyy put beretsya samyy dlinnyy put; bolshaya minimalnaya stepen zastavlyaet ego kontsy zamknutsya v tsikl, a zatem tsikl okazyvaetsya gamiltonovym. hamiltonian_cycles extremal_choice ai_draft sol-longest-path dokazatelstvo cherez dlinneyshiy put ai_checked connected_graph path cycle longest_path extremal_choice pust \\(v_1,\\ldots,v_k\\) — dlinneyshiy prostoy put v grafe. vse sosedi kontsov \\(v_1\\) i \\(v_k\\) lezhat na etom puti, inache put mozhno bylo by udlinit. tak kak \\(\\deg(v_1)+\\deg(v_k)\\ge n\\ge k\\), sredi pozitsiy na puti naydetsya indeks \\(i\\), dlya kotorogo odnovremenno \\(v_k\\) smezhna s \\(v_i\\), a \\(v_1\\) smezhna s \\(v_{i+1}\\): inache mnozhestva indeksov \\(\\{i: v_kv_i\\in e\\}\\) i \\(\\{i: v_1v_{i+1}\\in e\\}\\) byli by neperesekayuschimisya podmnozhestvami \\(\\{1,\\ldots,k-1\\}\\) summarnoy moschnosti ne menshe \\(k\\). togda rebra \\(v_kv_i\\) i \\(v_1v_{i+1}\\) vmeste s chastyami puti dayut tsikl \\(v_1,v_{i+1},v_{i+2},\\ldots,v_k,v_i,v_{i-1},\\ldots,v_1\\), prohodyaschiy cherez vse vershiny puti. ostalos dokazat, chto \\(k=n\\). uslovie minimalnoy stepeni ne menshe \\(n/2\\) delaet graf svyaznym: esli by byli dve komponenty, vershina v menshey iz nih imela by stepen ne bolshe razmera etoy komponenty minus 1, to est menshe \\(n/2\\)…","source_keys":["misc"]}
{"id":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","title":"Граничные степени и удаляемая цепь в триангуляции диска","path":"data\\problems\\classical\\disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 2007 A6, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","double_counting","degree_counting","induction","goal_existence","classical_lemma"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Самостоятельная планарная лемма: эйлеров подсчет прост, но редукция цепи 3,4,...,4,3 требует аккуратного локального разбора триангулированного диска.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агент high-reasoning extraction аудит","notes":"Извлечено из архива решений Putnam и развернуто самодостаточно.","audit_source":"agent-putnam-extraction-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-boundary-degree-chain-reduction","title":"Оценка суммы степеней и удаляемая граничная цепь","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — конечная триангуляция топологического диска: ее внешняя граница является простым циклом длины \\(n\\ge3\\), а все внутренние грани являются треугольниками. Предположим, что каждая внутренняя вершина имеет степень не меньше \\(6\\). Для граничной вершины \\(v\\) обозначим через \\(a(v)\\) ее степень в графе триангуляции. Тогда \\[ \\sum_{v\\in \\partial T} a(v)\\le 4n-6. \\tag{1} \\] Кроме того, если \\(n\\ge4\\), то выполняется одна из двух граничных редукций. 1. Есть граничная вершина степени \\(2\\); тогда единственный треугольник при ней можно удалить, получив триангуляцию диска с \\(n-1\\) граничными сторонами и тем же условием на внутренние степени. 2. Есть цепь последовательных граничных вершин \\(w_1, \\ldots,w_k\\), где \\(2\\le k\\le n-1\\), со степенями \\(3,4,\\ldots,4,3\\). Все треугольники, имеющие вершину среди \\(w_1, \\ldots,w_k\\), образуют приграничную полосу из не более чем \\(2k-1\\) треугольников; удалив эту полосу, мы либо удаляем весь диск, либо получаем триангуляцию диска с числом граничных сторон не больше \\(n-1\\), причем все оставшиеся внутренние вершины по-прежнему имеют степень не меньше \\(6\\).","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-euler-count-and-boundary-strip","title":"Эйлеров подсчет и удаление цепи","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","path"],"standard_idea_ids":["face_counting","double_counting","induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(V,E,F\\) число вершин, ребер и внутренних треугольных граней. Для диска \\(V-E+F=1\\). Подсчет сторон всех треугольников дает \\(3F=2E-n\\): внутренние ребра считаются дважды, а \\(n\\) граничных ребер один раз. Если \\(B\\) — сумма степеней граничных вершин, то из условия на внутренние степени \\[ B+6(V-n)\\le 2E. \\] Подставляя \\(V=1+E-F\\), получаем \\[ B\\le 2E-6(V-n)=6n-6-4E+6F. \\] Из \\(3F=2E-n\\) следует \\(6F=4E-2n\\), поэтому \\(B\\le4n-6\\). Это доказывает (1). Пусть теперь \\(n\\ge4\\). Если на границе есть вершина \\(v\\) степени \\(2\\), то ее единственные соседи — две соседние с ней граничные вершины. Значит, единственный треугольник около \\(v\\) является граничным ухом. Удаление этого уха заменяет две граничные стороны на одну и не меняет ни одну вершину, которая остается внутренней; поэтому условие на внутренние степени сохраняется. Остается случай \\(a(v)\\ge3\\) для всех граничных ве…"}],"relations":[{"id":"rel-disk-boundary-chain-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-triangulation-boundary-degree-chain-putnam-2007-a6","neighbor_id":"putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-euler-formula-planar","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-planar-edge-bound","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-quadrangulation-face-count","neighbor_id":"quadrangulation-euler-face-count","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-planar-large-girth-degree-two-path","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction граничные степени и удаляемая цепь в триангуляции диска planar_graphs double_counting degree_counting induction goal_existence classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf misc putnam 2007 a6, архивный источник src-putnam-2007-a6-kedlaya with_solution прочее ? putnam 2007 a6, архивный источник stmt-boundary-degree-chain-reduction оценка суммы степеней и удаляемая граничная цепь ai_checked пусть \\(t\\) — конечная триангуляция топологического диска: ее внешняя граница является простым циклом длины \\(n\\ge3\\), а все внутренние грани являются треугольниками. предположим, что каждая внутренняя вершина имеет степень не меньше \\(6\\). для граничной вершины \\(v\\) обозначим через \\(a(v)\\) ее степень в графе триангуляции. тогда \\[ \\sum_{v\\in \\partial t} a(v)\\le 4n-6. \\tag{1} \\] кроме того, если \\(n\\ge4\\), то выполняется одна из двух граничных редукций. 1. есть граничная вершина степени \\(2\\); тогда единственный треугольник при ней можно удалить, получив триангуляцию диска с \\(n-1\\) граничными сторонами и тем же условием на внутренние степени. 2. есть цепь последовательных граничных вершин \\(w_1, \\ldots,w_k\\), где \\(2\\le k\\le n-1\\), со степенями \\(3,4,\\ldots,4,3\\). все треугольники, имеющие вершину среди \\(w_1, \\ldots,w_k\\), образуют приграничную полосу из не более чем \\(2k-1\\) треугольников; удалив эту полосу, мы либо удаляем весь диск, либо получаем триангуляцию диска с числом граничных сторон не больше \\(n-1\\), причем все оставшиеся внутренние вершины по-прежнему имеют степень не меньше \\(6\\). planar_graph degree cycle path idea-euler-boundary-curvature граничная кривизна из формулы эйлера в триангулированном диске равенства \\(v-e+f=1\\) и \\(3f=2e-n\\), вместе с нижней оценкой \\(6\\) на внутренние степени, дают \\(\\sum_{\\partial t} a(v)\\le4n-6\\). planar_graphs double_counting degree_counting ai_checked idea-chain-three-four-three цепь 3,4,...,4,3 если степеней 2 на границе нет, то отрицательная сумма \\(\\sum(a(v)-4)\\le -6\\) заставляет две степени 3 оказаться соседними после удаления всех четверок из циклической записи степеней. planar_graphs extremal_choice induction ai_checked idea-boundary-strip-removal удаление приграничной полосы локальная структура вершин степеней \\(3,4,\\ldots,4,3\\) явно перечисляет все треугольники, инцидентные цепи, и показывает, что после их удаления новая граница заменяет \\(k\\) старых вершин не более чем \\(k-1\\) новыми. planar_graphs induction ai_checked sol-euler-count-and-boundary-strip эйлеров подсчет и удаление цепи ai_checked planar_graph degree cycle path face_counting double_counting induction delete_to_simplify обозначим через \\(v,e,f\\) число вершин, ребер и внутренних треугольных граней. для диска \\(v-e+f=1\\). подсчет сторон всех треугольников дает \\(3f=2e-n\\): внутренние ребра считаются дважды, а \\(n\\) граничных ребер один раз. если \\(b\\) — сумма степеней граничных вершин, то из условия на внутренние степени \\[ b+6(v-n)\\le 2e. \\] подставляя \\(v=1+e-f\\), получаем \\[ b\\le 2e-6(v-n)=6n-6-4e+6f. \\] из \\(3f=2e-n\\) следует \\(6f=4e-2n\\), поэтому \\(b\\le4n-6\\). это доказывает (1). пусть теперь \\(n\\ge4\\). если на границе есть вершина \\(v\\) степени \\(2\\), то ее единственные соседи — две соседние с ней граничные вершины. значит, единственный треугольник около \\(v\\) является граничным ухом. удаление этого уха заменяет две граничные стороны на одну и не меняет ни одну вершину, которая остается внутренней; поэтому условие на внутренние степени сохраняется. остается случай \\(a(v)\\ge3\\) для всех граничных ве… disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction granichnye stepeni i udalyaemaya tsep v triangulyatsii diska planar_graphs double_counting degree_counting induction goal_existence classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf misc putnam 2007 a6, arhivnyy istochnik src-putnam-2007-a6-kedlaya with_solution prochee ? putnam 2007 a6, arhivnyy istochnik stmt-boundary-degree-chain-reduction otsenka summy stepeney i udalyaemaya granichnaya tsep ai_checked pust \\(t\\) — konechnaya triangulyatsiya topologicheskogo diska: ee vneshnyaya granitsa yavlyaetsya prostym tsiklom dliny \\(n\\ge3\\), a vse vnutrennie grani yavlyayutsya treugolnikami. predpolozhim, chto kazhdaya vnutrennyaya vershina imeet stepen ne menshe \\(6\\). dlya granichnoy vershiny \\(v\\) oboznachim cherez \\(a(v)\\) ee stepen v grafe triangulyatsii. togda \\[ \\sum_{v\\in \\partial t} a(v)\\le 4n-6. \\tag{1} \\] krome togo, esli \\(n\\ge4\\), to vypolnyaetsya odna iz dvuh granichnyh reduktsiy. 1. est granichnaya vershina stepeni \\(2\\); togda edinstvennyy treugolnik pri ney mozhno udalit, poluchiv triangulyatsiyu diska s \\(n-1\\) granichnymi storonami i tem zhe usloviem na vnutrennie stepeni. 2. est tsep posledovatelnyh granichnyh vershin \\(w_1, \\ldots,w_k\\), gde \\(2\\le k\\le n-1\\), so stepenyami \\(3,4,\\ldots,4,3\\). vse treugolniki, imeyuschie vershinu sredi \\(w_1, \\ldots,w_k\\), obrazuyut prigranichnuyu polosu iz ne bolee chem \\(2k-1\\) treugolnikov; udaliv etu polosu, my libo udalyaem ves disk, libo poluchaem triangulyatsiyu diska s chislom granichnyh storon ne bolshe \\(n-1\\), prichem vse ostavshiesya vnutrennie vershiny po-prezhnemu imeyut stepen ne menshe \\(6\\). planar_graph degree cycle path idea-euler-boundary-curvature granichnaya krivizna iz formuly eylera v triangulirovannom diske ravenstva \\(v-e+f=1\\) i \\(3f=2e-n\\), vmeste s nizhney otsenkoy \\(6\\) na vnutrennie stepeni, dayut \\(\\sum_{\\partial t} a(v)\\le4n-6\\). planar_graphs double_counting degree_counting ai_checked idea-chain-three-four-three tsep 3,4,...,4,3 esli stepeney 2 na granitse net, to otritsatelnaya summa \\(\\sum(a(v)-4)\\le -6\\) zastavlyaet dve stepeni 3 okazatsya sosednimi posle udaleniya vseh chetverok iz tsiklicheskoy zapisi stepeney. planar_graphs extremal_choice induction ai_checked idea-boundary-strip-removal udalenie prigranichnoy polosy lokalnaya struktura vershin stepeney \\(3,4,\\ldots,4,3\\) yavno perechislyaet vse treugolniki, intsidentnye tsepi, i pokazyvaet, chto posle ih udaleniya novaya granitsa zamenyaet \\(k\\) staryh vershin ne bolee chem \\(k-1\\) novymi. planar_graphs induction ai_checked sol-euler-count-and-boundary-strip eylerov podschet i udalenie tsepi ai_checked planar_graph degree cycle path face_counting double_counting induction delete_to_simplify oboznachim cherez \\(v,e,f\\) chislo vershin, reber i vnutrennih treugolnyh graney. dlya diska \\(v-e+f=1\\). podschet storon vseh treugolnikov daet \\(3f=2e-n\\): vnutrennie rebra schitayutsya dvazhdy, a \\(n\\) granichnyh reber odin raz. esli \\(b\\) — summa stepeney granichnyh vershin, to iz usloviya na vnutrennie stepeni \\[ b+6(v-n)\\le 2e. \\] podstavlyaya \\(v=1+e-f\\), poluchaem \\[ b\\le 2e-6(v-n)=6n-6-4e+6f. \\] iz \\(3f=2e-n\\) sleduet \\(6f=4e-2n\\), poetomu \\(b\\le4n-6\\). eto dokazyvaet (1). pust teper \\(n\\ge4\\). esli na granitse est vershina \\(v\\) stepeni \\(2\\), to ee edinstvennye sosedi — dve sosednie s ney granichnye vershiny. znachit, edinstvennyy treugolnik okolo \\(v\\) yavlyaetsya granichnym uhom. udalenie etogo uha zamenyaet dve granichnye storony na odnu i ne menyaet ni odnu vershinu, kotoraya ostaetsya vnutrenney; poetomu uslovie na vnutrennie stepeni sohranyaetsya. ostaetsya sluchay \\(a(v)\\ge3\\) dlya vseh granichnyh ve…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"dolnikov-deletion-independent-set-lemma","title":"Лемма Дольникова о независимом множестве после удаления вершины","path":"data\\problems\\classical\\dolnikov-deletion-independent-set-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/dolnikov-deletion-independent-set-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#dolnikov-deletion-independent-set-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2002 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"","type":"lemma","authors":["Дольников В.Л."],"tags":["extremal_graph_theory","matching","forbidden_clique","classical_theorem","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Самостоятельная экстремальная графовая лемма: короткая формулировка, но доказательство требует Холла, дефицитных окрестностей и минимального контрпримера.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-independent-form","title":"Форма через независимые множества","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(Q\\) — конечный простой граф на \\(2m-1\\) вершинах. Если после удаления любой вершины графа \\(Q\\) в оставшемся графе существует независимое множество размера \\(m\\), то в самом \\(Q\\) существует независимое множество размера \\(m+1\\).","definition_ids":["simple_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-hall-minimal-counterexample","title":"Доказательство через Холла и минимальный контрпример","status":"ai_checked","definition_ids":["independent_set","matching","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное и выберем контрпример с минимальным \\(m\\). Возьмем в \\(Q\\) независимое множество \\(X\\) размера \\(m\\), а остальные вершины обозначим через \\(Y\\), так что \\(|Y|=m-1\\). Если бы для каждого \\(A\\subseteq Y\\) выполнялось \\(|N_X(A)|\\ge |A|\\), то по теореме Холла все вершины \\(Y\\) можно было бы сопоставить их различным соседям из \\(X\\). После удаления единственной несопоставленной вершины из \\(X\\) независимое множество могло бы взять не более одной вершины из каждой сопоставленной смежной пары, то есть имело бы размер не больше \\(m-1\\), противоречие. Значит, существует плохое множество \\(A\\subseteq Y\\), для которого \\(|A|>|N_X(A)|\\). Выберем такое \\(A\\) максимальным по включению и положим \\(|A|=a\\). Для любого \\(C\\subseteq Y\\setminus A\\) выполняется \\(|N_{X\\setminus N_X(A)}(C)|\\ge |C|\\); иначе \\(A\\cup C\\) тоже было бы плохим. По теореме Холла вершины \\(Y\\setminus A\\) можно…"}],"relations":[{"id":"rel-caro-wei-dolnikov-independent-set-motif","neighbor_id":"caro-wei-independent-set-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-dolnikov-lemma-kolm-2002","neighbor_id":"kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-dolnikov-lemma","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-dolnikov-lemma","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"dolnikov-deletion-independent-set-lemma лемма дольникова о независимом множестве после удаления вершины extremal_graph_theory matching forbidden_clique classical_theorem goal_existence https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова дольников в.л. кубок колмогорова 2002 официальный архив прочее дольников в.л. кубок колмогорова 2002 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-independent-form форма через независимые множества ai_checked пусть \\(q\\) — конечный простой граф на \\(2m-1\\) вершинах. если после удаления любой вершины графа \\(q\\) в оставшемся графе существует независимое множество размера \\(m\\), то в самом \\(q\\) существует независимое множество размера \\(m+1\\). simple_graph independent_set idea-maximal-bad-set максимальное плохое множество выбирается независимое множество \\(x\\) размера \\(m\\), а остальные вершины образуют \\(y\\). если часть \\(a\\subseteq y\\) имеет слишком мало соседей в \\(x\\), берется максимальное такое \\(a\\); вне него условие холла уже выполняется. matching extremal_choice ai_checked idea-matched-pairs-force-core сопоставленные пары выталкивают независимость в ядро паросочетание между \\(y\\setminus a\\) и частью \\(x\\) создает смежные пары. поэтому большое независимое множество после удаления вершины вынуждено брать достаточно много вершин из меньшего подграфа на \\(a\\cup b\\). matching minimal_counterexample ai_checked sol-hall-minimal-counterexample доказательство через холла и минимальный контрпример ai_checked independent_set matching bipartite_graph minimal_counterexample extremal_choice предположим противное и выберем контрпример с минимальным \\(m\\). возьмем в \\(q\\) независимое множество \\(x\\) размера \\(m\\), а остальные вершины обозначим через \\(y\\), так что \\(|y|=m-1\\). если бы для каждого \\(a\\subseteq y\\) выполнялось \\(|n_x(a)|\\ge |a|\\), то по теореме холла все вершины \\(y\\) можно было бы сопоставить их различным соседям из \\(x\\). после удаления единственной несопоставленной вершины из \\(x\\) независимое множество могло бы взять не более одной вершины из каждой сопоставленной смежной пары, то есть имело бы размер не больше \\(m-1\\), противоречие. значит, существует плохое множество \\(a\\subseteq y\\), для которого \\(|a|>|n_x(a)|\\). выберем такое \\(a\\) максимальным по включению и положим \\(|a|=a\\). для любого \\(c\\subseteq y\\setminus a\\) выполняется \\(|n_{x\\setminus n_x(a)}(c)|\\ge |c|\\); иначе \\(a\\cup c\\) тоже было бы плохим. по теореме холла вершины \\(y\\setminus a\\) можно… dolnikov-deletion-independent-set-lemma lemma dolnikova o nezavisimom mnozhestve posle udaleniya vershiny extremal_graph_theory matching forbidden_clique classical_theorem goal_existence https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova dolnikov v.l. kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv prochee dolnikov v.l. kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-independent-form forma cherez nezavisimye mnozhestva ai_checked pust \\(q\\) — konechnyy prostoy graf na \\(2m-1\\) vershinah. esli posle udaleniya lyuboy vershiny grafa \\(q\\) v ostavshemsya grafe suschestvuet nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m\\), to v samom \\(q\\) suschestvuet nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m+1\\). simple_graph independent_set idea-maximal-bad-set maksimalnoe plohoe mnozhestvo vybiraetsya nezavisimoe mnozhestvo \\(x\\) razmera \\(m\\), a ostalnye vershiny obrazuyut \\(y\\). esli chast \\(a\\subseteq y\\) imeet slishkom malo sosedey v \\(x\\), beretsya maksimalnoe takoe \\(a\\); vne nego uslovie holla uzhe vypolnyaetsya. matching extremal_choice ai_checked idea-matched-pairs-force-core sopostavlennye pary vytalkivayut nezavisimost v yadro parosochetanie mezhdu \\(y\\setminus a\\) i chastyu \\(x\\) sozdaet smezhnye pary. poetomu bolshoe nezavisimoe mnozhestvo posle udaleniya vershiny vynuzhdeno brat dostatochno mnogo vershin iz menshego podgrafa na \\(a\\cup b\\). matching minimal_counterexample ai_checked sol-hall-minimal-counterexample dokazatelstvo cherez holla i minimalnyy kontrprimer ai_checked independent_set matching bipartite_graph minimal_counterexample extremal_choice predpolozhim protivnoe i vyberem kontrprimer s minimalnym \\(m\\). vozmem v \\(q\\) nezavisimoe mnozhestvo \\(x\\) razmera \\(m\\), a ostalnye vershiny oboznachim cherez \\(y\\), tak chto \\(|y|=m-1\\). esli by dlya kazhdogo \\(a\\subseteq y\\) vypolnyalos \\(|n_x(a)|\\ge |a|\\), to po teoreme holla vse vershiny \\(y\\) mozhno bylo by sopostavit ih razlichnym sosedyam iz \\(x\\). posle udaleniya edinstvennoy nesopostavlennoy vershiny iz \\(x\\) nezavisimoe mnozhestvo moglo by vzyat ne bolee odnoy vershiny iz kazhdoy sopostavlennoy smezhnoy pary, to est imelo by razmer ne bolshe \\(m-1\\), protivorechie. znachit, suschestvuet plohoe mnozhestvo \\(a\\subseteq y\\), dlya kotorogo \\(|a|>|n_x(a)|\\). vyberem takoe \\(a\\) maksimalnym po vklyucheniyu i polozhim \\(|a|=a\\). dlya lyubogo \\(c\\subseteq y\\setminus a\\) vypolnyaetsya \\(|n_{x\\setminus n_x(a)}(c)|\\ge |c|\\); inache \\(a\\cup c\\) tozhe bylo by plohim. po teoreme holla vershiny \\(y\\setminus a\\) mozhno…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"edge-count-bipartite-matching-bound","title":"Много рёбер в двудольном графе дают большое паросочетание","path":"data\\problems\\classical\\edge-count-bipartite-matching-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/edge-count-bipartite-matching-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#edge-count-bipartite-matching-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Кёнига (комбинаторика)"],"year":"","type":"lemma","authors":["Dénes Kőnig"],"tags":["matching","classical_lemma","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Удобный частный случай двудольной теоремы Кёнига для олимпиадных задач на досках и трансверсали.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"classical_tool","label":"классический школьный инструмент","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"самодостаточное доказательство via alternating paths and vertex covers","notes":"Это частный случай теоремы Кёнига о паросочетании и вершинном покрытии, записанный в форме подсчета рёбер."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оценка через число рёбер","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный двудольный граф, обе доли которого имеют не более \\(n\\) вершин. Если в \\(G\\) больше \\((r-1)n\\) рёбер, то в \\(G\\) есть паросочетание размера \\(r\\).","definition_ids":["bipartite_graph","matching","degree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-grid-transversal-form","title":"Форма для доски","status":"ai_checked","text":"Если на доске \\(n\\times n\\) отмечено больше \\((r-1)n\\) клеток, то можно выбрать \\(r\\) отмеченных клеток так, чтобы никакие две из них не лежали в одной строке или одном столбце.","definition_ids":["matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-konig-cover-count","title":"Доказательство через покрытие рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","matching","vertex_cover","degree","path","alternating_path","augmenting_path"],"standard_idea_ids":["augmenting_path_method"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение от противного. Пусть в \\(G\\) нет паросочетания размера \\(r\\), и пусть \\(M\\) — максимальное паросочетание. Тогда \\(|M|\\le r-1\\). Нужен стандартный двудольный факт: в двудольном графе размер максимального паросочетания равен минимальному размеру вершинного покрытия. Напомним его короткое доказательство. Пусть доли равны \\(X,Y\\). От всех непокрытых паросочетанием \\(M\\) вершин доли \\(X\\) отметим вершины, достижимые чередующимися путями: из \\(X\\) идём по рёбрам не из \\(M\\), из \\(Y\\) — по рёбрам из \\(M\\). Если бы отметилась непокрытая вершина доли \\(Y\\), получился бы увеличивающий путь и паросочетание \\(M\\) не было бы максимальным. Пусть \\(Z\\) — множество отмеченных вершин. Тогда \\(C=(X\\setminus Z)\\cup(Y\\cap Z)\\) покрывает все рёбра: ребро из отмеченной вершины \\(X\\) в неотмеченную вершину \\(Y\\) либо сразу отметило бы правый конец, либо, если оно лежит в \\(M\\), показывало…"}],"relations":[{"id":"rel-konig-cover-edge-count-bipartite-matching-bound","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-augmenting-path-edge-count-bipartite-matching-bound","neighbor_id":"augmenting-path-matching-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-edge-count-bipartite-matching-bound","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-edge-count-bound-usamo-2022-amber-bronze-transversal","neighbor_id":"usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-edge-count-bound-imo-2010-c2-hall-matching","neighbor_id":"imo-2010-c2-flags-diagonal-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-edge-count-bound-rmm-2017-sieve-sticks","neighbor_id":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-edge-count-bound-cmo-2004-rooks-matching","neighbor_id":"cmo-2004-p2-rooks-same-colour","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-edge-count-bound-imc-1999-marked-grid-cycle","neighbor_id":"imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"edge-count-bipartite-matching-bound много рёбер в двудольном графе дают большое паросочетание matching classical_lemma goal_exact_bound dénes kőnig déneskőnig https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%9a%d1%91%d0%bd%d0%b8%d0%b3%d0%b0_%28%d0%ba%d0%be%d0%bc%d0%b1%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b8%d0%ba%d0%b0%29 misc reference src-wikipedia-konig with_solution прочее теорема кёнига (комбинаторика) dénes kőnig теорема кёнига (комбинаторика) stmt-original оценка через число рёбер ai_checked пусть \\(g\\) — конечный двудольный граф, обе доли которого имеют не более \\(n\\) вершин. если в \\(g\\) больше \\((r-1)n\\) рёбер, то в \\(g\\) есть паросочетание размера \\(r\\). bipartite_graph matching degree stmt-grid-transversal-form форма для доски ai_checked если на доске \\(n\\times n\\) отмечено больше \\((r-1)n\\) клеток, то можно выбрать \\(r\\) отмеченных клеток так, чтобы никакие две из них не лежали в одной строке или одном столбце. matching idea-cover-count покрыть все рёбра малым числом вершин если паросочетания размера \\(r\\) нет, то по двудольной лемме кёнига все рёбра касаются не более \\(r-1\\) вершин; каждая такая вершина имеет степень не больше \\(n\\). matching ai_checked sol-konig-cover-count доказательство через покрытие рёбер ai_checked bipartite_graph matching vertex_cover degree path alternating_path augmenting_path augmenting_path_method докажем утверждение от противного. пусть в \\(g\\) нет паросочетания размера \\(r\\), и пусть \\(m\\) — максимальное паросочетание. тогда \\(|m|\\le r-1\\). нужен стандартный двудольный факт: в двудольном графе размер максимального паросочетания равен минимальному размеру вершинного покрытия. напомним его короткое доказательство. пусть доли равны \\(x,y\\). от всех непокрытых паросочетанием \\(m\\) вершин доли \\(x\\) отметим вершины, достижимые чередующимися путями: из \\(x\\) идём по рёбрам не из \\(m\\), из \\(y\\) — по рёбрам из \\(m\\). если бы отметилась непокрытая вершина доли \\(y\\), получился бы увеличивающий путь и паросочетание \\(m\\) не было бы максимальным. пусть \\(z\\) — множество отмеченных вершин. тогда \\(c=(x\\setminus z)\\cup(y\\cap z)\\) покрывает все рёбра: ребро из отмеченной вершины \\(x\\) в неотмеченную вершину \\(y\\) либо сразу отметило бы правый конец, либо, если оно лежит в \\(m\\), показывало… edge-count-bipartite-matching-bound mnogo reber v dvudolnom grafe dayut bolshoe parosochetanie matching classical_lemma goal_exact_bound dénes kőnig déneskőnig https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%9a%d1%91%d0%bd%d0%b8%d0%b3%d0%b0_%28%d0%ba%d0%be%d0%bc%d0%b1%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b8%d0%ba%d0%b0%29 misc reference src-wikipedia-konig with_solution prochee teorema keniga (kombinatorika) dénes kőnig teorema keniga (kombinatorika) stmt-original otsenka cherez chislo reber ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy dvudolnyy graf, obe doli kotorogo imeyut ne bolee \\(n\\) vershin. esli v \\(g\\) bolshe \\((r-1)n\\) reber, to v \\(g\\) est parosochetanie razmera \\(r\\). bipartite_graph matching degree stmt-grid-transversal-form forma dlya doski ai_checked esli na doske \\(n\\times n\\) otmecheno bolshe \\((r-1)n\\) kletok, to mozhno vybrat \\(r\\) otmechennyh kletok tak, chtoby nikakie dve iz nih ne lezhali v odnoy stroke ili odnom stolbtse. matching idea-cover-count pokryt vse rebra malym chislom vershin esli parosochetaniya razmera \\(r\\) net, to po dvudolnoy lemme keniga vse rebra kasayutsya ne bolee \\(r-1\\) vershin; kazhdaya takaya vershina imeet stepen ne bolshe \\(n\\). matching ai_checked sol-konig-cover-count dokazatelstvo cherez pokrytie reber ai_checked bipartite_graph matching vertex_cover degree path alternating_path augmenting_path augmenting_path_method dokazhem utverzhdenie ot protivnogo. pust v \\(g\\) net parosochetaniya razmera \\(r\\), i pust \\(m\\) — maksimalnoe parosochetanie. togda \\(|m|\\le r-1\\). nuzhen standartnyy dvudolnyy fakt: v dvudolnom grafe razmer maksimalnogo parosochetaniya raven minimalnomu razmeru vershinnogo pokrytiya. napomnim ego korotkoe dokazatelstvo. pust doli ravny \\(x,y\\). ot vseh nepokrytyh parosochetaniem \\(m\\) vershin doli \\(x\\) otmetim vershiny, dostizhimye chereduyuschimisya putyami: iz \\(x\\) idem po rebram ne iz \\(m\\), iz \\(y\\) — po rebram iz \\(m\\). esli by otmetilas nepokrytaya vershina doli \\(y\\), poluchilsya by uvelichivayuschiy put i parosochetanie \\(m\\) ne bylo by maksimalnym. pust \\(z\\) — mnozhestvo otmechennyh vershin. togda \\(c=(x\\setminus z)\\cup(y\\cap z)\\) pokryvaet vse rebra: rebro iz otmechennoy vershiny \\(x\\) v neotmechennuyu vershinu \\(y\\) libo srazu otmetilo by pravyy konets, libo, esli ono lezhit v \\(m\\), pokazyvalo…","source_keys":["misc"]}
{"id":"edge-critical-bridgeless-graphs-give-critical-strong-orientations","title":"Критическая сильная ориентация из мостов после удаления каждого ребра","path":"data\\problems\\classical\\edge-critical-bridgeless-graphs-give-critical-strong-orientations.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/edge-critical-bridgeless-graphs-give-critical-strong-orientations.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#edge-critical-bridgeless-graphs-give-critical-strong-orientations","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Robbins' theorem","Wikipedia, Bridge (graph theory)"],"year":"","type":"theorem","authors":[],"tags":["connectivity","classical_lemma","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Короткая, но полезная упаковка теоремы Роббинса с критичностью по ребрам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_complete","label":"полное агентское доказательство","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"Карточка содержит самодостаточное доказательство, проверенное агентским аудитом.","notes":"Короткая лемма выведена из теоремы Роббинса и определения критичности сильной ориентации.","audit_source":"manual-status-audit-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный граф без мостов, причем для каждого ребра \\(e\\) граф \\(G-e\\) имеет мост. Тогда \\(G\\) допускает такую сильную ориентацию, что после удаления любого ориентированного ребра сильная связность нарушается. Более того, это верно для любой сильной ориентации \\(G\\).","definition_ids":["connected_graph","directed_graph","bridge"]}]},"solutions":[{"id":"sol-robbins-plus-criticality","title":"Роббинс и препятствие-мост","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","directed_graph","bridge"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Так как в \\(G\\) нет мостов, по теореме Роббинса у \\(G\\) существует сильная ориентация. Возьмем любую такую ориентацию и любое ребро \\(e\\). По условию неориентированный граф \\(G-e\\) имеет мост. Если бы после удаления соответствующей дуги ориентированный граф оставался сильно связным, то его неориентированная основа \\(G-e\\) допускала бы сильную ориентацию. Но граф с мостом сильной ориентации не допускает: через мост можно пройти между двумя частями только в одном направлении. Противоречие. Значит, удаление любой дуги разрушает сильную связность."}],"relations":[{"id":"rel-robbins-critical-bridgeless-criterion","neighbor_id":"robbins-strong-orientation-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"edge-critical-bridgeless-graphs-give-critical-strong-orientations критическая сильная ориентация из мостов после удаления каждого ребра connectivity classical_lemma goal_construction https://en.wikipedia.org/wiki/bridge_(graph_theory) https://en.wikipedia.org/wiki/robbins%27_theorem misc src-wikipedia-bridge-graph-theory src-wikipedia-robbins-theorem standard_reference wikipedia, bridge (graph theory) wikipedia, robbins' theorem with_solution прочее ? wikipedia, robbins' theorem wikipedia, bridge (graph theory) stmt-original ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный граф без мостов, причем для каждого ребра \\(e\\) граф \\(g-e\\) имеет мост. тогда \\(g\\) допускает такую сильную ориентацию, что после удаления любого ориентированного ребра сильная связность нарушается. более того, это верно для любой сильной ориентации \\(g\\). connected_graph directed_graph bridge idea-underlying-graph-obstruction сильная ориентация невозможна поверх моста если после удаления ребра в неориентированной основе появился мост, то никакая ориентация оставшегося графа не может быть сильно связной. connectivity ai_checked sol-robbins-plus-criticality роббинс и препятствие-мост ai_checked connected_graph directed_graph bridge так как в \\(g\\) нет мостов, по теореме роббинса у \\(g\\) существует сильная ориентация. возьмем любую такую ориентацию и любое ребро \\(e\\). по условию неориентированный граф \\(g-e\\) имеет мост. если бы после удаления соответствующей дуги ориентированный граф оставался сильно связным, то его неориентированная основа \\(g-e\\) допускала бы сильную ориентацию. но граф с мостом сильной ориентации не допускает: через мост можно пройти между двумя частями только в одном направлении. противоречие. значит, удаление любой дуги разрушает сильную связность. edge-critical-bridgeless-graphs-give-critical-strong-orientations kriticheskaya silnaya orientatsiya iz mostov posle udaleniya kazhdogo rebra connectivity classical_lemma goal_construction https://en.wikipedia.org/wiki/bridge_(graph_theory) https://en.wikipedia.org/wiki/robbins%27_theorem misc src-wikipedia-bridge-graph-theory src-wikipedia-robbins-theorem standard_reference wikipedia, bridge (graph theory) wikipedia, robbins' theorem with_solution prochee ? wikipedia, robbins' theorem wikipedia, bridge (graph theory) stmt-original ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy graf bez mostov, prichem dlya kazhdogo rebra \\(e\\) graf \\(g-e\\) imeet most. togda \\(g\\) dopuskaet takuyu silnuyu orientatsiyu, chto posle udaleniya lyubogo orientirovannogo rebra silnaya svyaznost narushaetsya. bolee togo, eto verno dlya lyuboy silnoy orientatsii \\(g\\). connected_graph directed_graph bridge idea-underlying-graph-obstruction silnaya orientatsiya nevozmozhna poverh mosta esli posle udaleniya rebra v neorientirovannoy osnove poyavilsya most, to nikakaya orientatsiya ostavshegosya grafa ne mozhet byt silno svyaznoy. connectivity ai_checked sol-robbins-plus-criticality robbins i prepyatstvie-most ai_checked connected_graph directed_graph bridge tak kak v \\(g\\) net mostov, po teoreme robbinsa u \\(g\\) suschestvuet silnaya orientatsiya. vozmem lyubuyu takuyu orientatsiyu i lyuboe rebro \\(e\\). po usloviyu neorientirovannyy graf \\(g-e\\) imeet most. esli by posle udaleniya sootvetstvuyuschey dugi orientirovannyy graf ostavalsya silno svyaznym, to ego neorientirovannaya osnova \\(g-e\\) dopuskala by silnuyu orientatsiyu. no graf s mostom silnoy orientatsii ne dopuskaet: cherez most mozhno proyti mezhdu dvumya chastyami tolko v odnom napravlenii. protivorechie. znachit, udalenie lyuboy dugi razrushaet silnuyu svyaznost.","source_keys":["misc"]}
{"id":"erdos-gallai-path-edge-bound","title":"Теорема Эрдёша-Галлая о числе рёбер без длинного пути","path":"data\\problems\\classical\\erdos-gallai-path-edge-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/erdos-gallai-path-edge-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#erdos-gallai-path-edge-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Erdős-Gallai theorem"],"year":"","type":"theorem","authors":["Paul Erdős","Tibor Gallai"],"tags":["extremal_graph_theory","classical_theorem","goal_bound","induction","extremal_choice"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Классическая экстремальная оценка: доказательство школьное, но требует аккуратного анализа концов длиннейшего пути.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Оценка для графа без длинного пути","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф на \\(n\\) вершинах, в котором нет простого пути с \\(k+1\\) вершинами. Тогда в \\(G\\) не больше \\((k-1)n/2\\) рёбер.","definition_ids":["simple_graph","path"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-average-degree","title":"Форма через среднюю степень","status":"ai_checked","text":"Если средняя степень простого графа больше \\(k-1\\), то в графе существует простой путь с \\(k+1\\) вершинами.","definition_ids":["simple_graph","path","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-induction-longest-cycle-free","title":"Индукционное доказательство","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","path","degree"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение индукцией по числу вершин \\(n\\). При \\(n=0\\) и \\(n=1\\) рёбер нет. Пусть утверждение уже доказано для меньших графов. Если \\(G\\) несвязен, применим индукционное предположение к каждой компоненте: каждая компонента тоже не содержит пути с \\(k+1\\) вершинами. Складывая оценки по компонентам, получаем нужное неравенство для всего графа. Поэтому далее считаем \\(G\\) связным. Если в \\(G\\) есть вершина \\(v\\) степени \\(d(v)\\le (k-1)/2\\), то граф \\(G-v\\) также не содержит пути с \\(k+1\\) вершинами. По индукции \\(e(G-v)\\le (k-1)(n-1)/2\\), откуда \\[e(G)=e(G-v)+d(v)\\le \\frac{(k-1)(n-1)}2+\\frac{k-1}2=\\frac{(k-1)n}2.\\] Остаётся случай, когда каждая вершина имеет степень больше \\((k-1)/2\\). Возьмем в \\(G\\) длиннейший простой путь \\(P=v_1v_2\\ldots v_m\\). По условию \\(m\\le k\\). Все соседи концов \\(v_1\\) и \\(v_m\\) лежат на этом пути, иначе путь можно было бы продлить. Рассмотрим множеств…"}],"relations":[{"id":"rel-erdos-gallai-path-turan","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-erdos-gallai-path-dirac","neighbor_id":"dirac-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_draft"}],"search_text":"erdos-gallai-path-edge-bound теорема эрдёша-галлая о числе рёбер без длинного пути extremal_graph_theory classical_theorem goal_bound induction extremal_choice https://en.wikipedia.org/wiki/erd%c5%91s%e2%80%93gallai_theorem misc paul erdős paulerdős src-wikipedia-erdos-gallai-theorem standard_reference tibor gallai tiborgallai wikipedia, erdős-gallai theorem with_solution прочее paul erdős tibor gallai wikipedia, erdős-gallai theorem stmt-original-1 оценка для графа без длинного пути ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф на \\(n\\) вершинах, в котором нет простого пути с \\(k+1\\) вершинами. тогда в \\(g\\) не больше \\((k-1)n/2\\) рёбер. simple_graph path stmt-average-degree форма через среднюю степень ai_checked если средняя степень простого графа больше \\(k-1\\), то в графе существует простой путь с \\(k+1\\) вершинами. simple_graph path degree idea-longest-path-component длиннейший путь контролирует компоненту если нельзя удалить вершину малой степени, то концы длиннейшего пути имеют много соседей на этом пути и вынуждают цикл через все его вершины; связность тогда не позволяет иметь внешние вершины. extremal_graph_theory induction ai_checked sol-induction-longest-cycle-free индукционное доказательство ai_checked simple_graph path degree induction extremal_choice докажем утверждение индукцией по числу вершин \\(n\\). при \\(n=0\\) и \\(n=1\\) рёбер нет. пусть утверждение уже доказано для меньших графов. если \\(g\\) несвязен, применим индукционное предположение к каждой компоненте: каждая компонента тоже не содержит пути с \\(k+1\\) вершинами. складывая оценки по компонентам, получаем нужное неравенство для всего графа. поэтому далее считаем \\(g\\) связным. если в \\(g\\) есть вершина \\(v\\) степени \\(d(v)\\le (k-1)/2\\), то граф \\(g-v\\) также не содержит пути с \\(k+1\\) вершинами. по индукции \\(e(g-v)\\le (k-1)(n-1)/2\\), откуда \\[e(g)=e(g-v)+d(v)\\le \\frac{(k-1)(n-1)}2+\\frac{k-1}2=\\frac{(k-1)n}2.\\] остаётся случай, когда каждая вершина имеет степень больше \\((k-1)/2\\). возьмем в \\(g\\) длиннейший простой путь \\(p=v_1v_2\\ldots v_m\\). по условию \\(m\\le k\\). все соседи концов \\(v_1\\) и \\(v_m\\) лежат на этом пути, иначе путь можно было бы продлить. рассмотрим множеств… erdos-gallai-path-edge-bound teorema erdesha-gallaya o chisle reber bez dlinnogo puti extremal_graph_theory classical_theorem goal_bound induction extremal_choice https://en.wikipedia.org/wiki/erd%c5%91s%e2%80%93gallai_theorem misc paul erdős paulerdős src-wikipedia-erdos-gallai-theorem standard_reference tibor gallai tiborgallai wikipedia, erdős-gallai theorem with_solution prochee paul erdős tibor gallai wikipedia, erdős-gallai theorem stmt-original-1 otsenka dlya grafa bez dlinnogo puti ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf na \\(n\\) vershinah, v kotorom net prostogo puti s \\(k+1\\) vershinami. togda v \\(g\\) ne bolshe \\((k-1)n/2\\) reber. simple_graph path stmt-average-degree forma cherez srednyuyu stepen ai_checked esli srednyaya stepen prostogo grafa bolshe \\(k-1\\), to v grafe suschestvuet prostoy put s \\(k+1\\) vershinami. simple_graph path degree idea-longest-path-component dlinneyshiy put kontroliruet komponentu esli nelzya udalit vershinu maloy stepeni, to kontsy dlinneyshego puti imeyut mnogo sosedey na etom puti i vynuzhdayut tsikl cherez vse ego vershiny; svyaznost togda ne pozvolyaet imet vneshnie vershiny. extremal_graph_theory induction ai_checked sol-induction-longest-cycle-free induktsionnoe dokazatelstvo ai_checked simple_graph path degree induction extremal_choice dokazhem utverzhdenie induktsiey po chislu vershin \\(n\\). pri \\(n=0\\) i \\(n=1\\) reber net. pust utverzhdenie uzhe dokazano dlya menshih grafov. esli \\(g\\) nesvyazen, primenim induktsionnoe predpolozhenie k kazhdoy komponente: kazhdaya komponenta tozhe ne soderzhit puti s \\(k+1\\) vershinami. skladyvaya otsenki po komponentam, poluchaem nuzhnoe neravenstvo dlya vsego grafa. poetomu dalee schitaem \\(g\\) svyaznym. esli v \\(g\\) est vershina \\(v\\) stepeni \\(d(v)\\le (k-1)/2\\), to graf \\(g-v\\) takzhe ne soderzhit puti s \\(k+1\\) vershinami. po induktsii \\(e(g-v)\\le (k-1)(n-1)/2\\), otkuda \\[e(g)=e(g-v)+d(v)\\le \\frac{(k-1)(n-1)}2+\\frac{k-1}2=\\frac{(k-1)n}2.\\] ostaetsya sluchay, kogda kazhdaya vershina imeet stepen bolshe \\((k-1)/2\\). vozmem v \\(g\\) dlinneyshiy prostoy put \\(p=v_1v_2\\ldots v_m\\). po usloviyu \\(m\\le k\\). vse sosedi kontsov \\(v_1\\) i \\(v_m\\) lezhat na etom puti, inache put mozhno bylo by prodlit. rassmotrim mnozhestv…","source_keys":["misc"]}
{"id":"euler-formula-planar","title":"Формула Эйлера для планарных графов","path":"data\\problems\\classical\\euler-formula-planar.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/euler-formula-planar.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#euler-formula-planar","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Планарный граф","Эйлерова характеристика"],"year":"","type":"theorem","authors":["Leonhard Euler"],"tags":["planar_graphs","classical_theorem","induction","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Базовый планарный инструмент.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"Пусть связный граф нарисован на плоскости так, что его ребра не пересекаются вне общих концов. Если V — число вершин, E — число ребер, а F — число областей, на которые рисунок делит плоскость, включая внешнюю область, то \\( V-E+F=2 \\).","definition_ids":["connected_graph","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-reduce-to-tree","title":"Сведение к дереву","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пока в связном плоском графе есть цикл, удалим ребро этого цикла. Связность не нарушится, число ребер уменьшится на 1, и две грани сольются в одну, так что v-e+f не изменится. В конце получится дерево: у него e=v-1 и f=1, значит v-e+f=v-(v-1)+1=2. Следовательно, равенство было верно и до всех удалений."}],"relations":[{"id":"rel-euler-planar-bound","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-euler-formula","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-planar-usamo-2021-p2","neighbor_id":"usamo-2021-p2-planar-national-park-turning-walk","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-euler-formula-quadrangulation-euler-count","neighbor_id":"quadrangulation-euler-face-count","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-putnam-2007-a6-boundary-degree-count","neighbor_id":"putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-spbmo-1997-p54-spherical-triangulation","neighbor_id":"spbmo-1997-11-p54-triangular-polyhedron-degrees","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2017-11-p6-euler-formula-clique-complex-characteristic","neighbor_id":"spbmo-2017-11-p6-chordal-clique-euler-characteristic","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-planar-degree-two-path","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-path","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-fyum-2013-tur2a-p1-euler-short-cycle-lemma","neighbor_id":"fyum-2013-tur2a-p1","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imc-2006-triangulation-euler-formula","neighbor_id":"imc-2006-day2-p1-polygon-triangulation-parity","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-euler-planar-imo-2019-c4","neighbor_id":"imo-2019-c4-labyrinth-region-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-2006-triangulation-euler-formula","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-five-color-euler-formula-edge-bound","neighbor_id":"five-color-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-planar-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-euler-formula-planar","neighbor_id":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-planar-imo-2014-c9-odd-region-tree","neighbor_id":"imo-2014-c9-snail-circles-tree","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2014-gr2-p9-euler-planar-quadrangulation","neighbor_id":"yumt-2014-grand-round2-problem9","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2023-granda-r2-p9-euler-formula","neighbor_id":"yumt-2023-granda-round2-problem9","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"euler-formula-planar формула эйлера для планарных графов planar_graphs classical_theorem induction goal_counting https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9f%d0%bb%d0%b0%d0%bd%d0%b0%d1%80%d0%bd%d1%8b%d0%b9_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84 https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2%d0%b0_%d1%85%d0%b0%d1%80%d0%b0%d0%ba%d1%82%d0%b5%d1%80%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b8%d0%ba%d0%b0 leonhard euler leonhardeuler misc reference src-wikipedia-euler-characteristic src-wikipedia-planar with_solution планарный граф прочее эйлерова характеристика leonhard euler планарный граф эйлерова характеристика stmt-original-1 needs_review пусть связный граф нарисован на плоскости так, что его ребра не пересекаются вне общих концов. если v — число вершин, e — число ребер, а f — число областей, на которые рисунок делит плоскость, включая внешнюю область, то \\( v-e+f=2 \\). connected_graph planar_graph idea-delete-cycle-edge удаление ребра из цикла удаление ребра, лежащего на цикле, уменьшает и число ребер, и число граней на 1, сохраняя v-e+f. planar_graphs induction ai_checked sol-reduce-to-tree сведение к дереву ai_checked connected_graph cycle tree delete_to_simplify induction пока в связном плоском графе есть цикл, удалим ребро этого цикла. связность не нарушится, число ребер уменьшится на 1, и две грани сольются в одну, так что v-e+f не изменится. в конце получится дерево: у него e=v-1 и f=1, значит v-e+f=v-(v-1)+1=2. следовательно, равенство было верно и до всех удалений. euler-formula-planar formula eylera dlya planarnyh grafov planar_graphs classical_theorem induction goal_counting https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9f%d0%bb%d0%b0%d0%bd%d0%b0%d1%80%d0%bd%d1%8b%d0%b9_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84 https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2%d0%b0_%d1%85%d0%b0%d1%80%d0%b0%d0%ba%d1%82%d0%b5%d1%80%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b8%d0%ba%d0%b0 leonhard euler leonhardeuler misc reference src-wikipedia-euler-characteristic src-wikipedia-planar with_solution planarnyy graf prochee eylerova harakteristika leonhard euler planarnyy graf eylerova harakteristika stmt-original-1 needs_review pust svyaznyy graf narisovan na ploskosti tak, chto ego rebra ne peresekayutsya vne obschih kontsov. esli v — chislo vershin, e — chislo reber, a f — chislo oblastey, na kotorye risunok delit ploskost, vklyuchaya vneshnyuyu oblast, to \\( v-e+f=2 \\). connected_graph planar_graph idea-delete-cycle-edge udalenie rebra iz tsikla udalenie rebra, lezhaschego na tsikle, umenshaet i chislo reber, i chislo graney na 1, sohranyaya v-e+f. planar_graphs induction ai_checked sol-reduce-to-tree svedenie k derevu ai_checked connected_graph cycle tree delete_to_simplify induction poka v svyaznom ploskom grafe est tsikl, udalim rebro etogo tsikla. svyaznost ne narushitsya, chislo reber umenshitsya na 1, i dve grani solyutsya v odnu, tak chto v-e+f ne izmenitsya. v kontse poluchitsya derevo: u nego e=v-1 i f=1, znachit v-e+f=v-(v-1)+1=2. sledovatelno, ravenstvo bylo verno i do vseh udaleniy.","source_keys":["misc"]}
{"id":"euler-trail-extension-center-forest","title":"Продление эйлерова пути из центральной вершины","path":"data\\problems\\classical\\euler-trail-extension-center-forest.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/euler-trail-extension-center-forest.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#euler-trail-extension-center-forest","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив","Эйлеров цикл","Дерево (теория графов)"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","trees","goal_characterization","classical_theorem"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Компактная эйлерова лемма: препятствие — цикл, не проходящий через выделенную вершину, а положительная часть сводится к проверке чётности в компонентах неиспользованных рёбер.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-euler-trail-extension-center-forest","title":"Критерий продления пути из центральной вершины","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный эйлеров граф, а \\(c\\in V(G)\\). Тогда любой путь без повторения рёбер, начинающийся в \\(c\\), можно продолжить неиспользованными рёбрами до эйлерова цикла графа \\(G\\) тогда и только тогда, когда \\(G-c\\) является лесом. Эквивалентно, каждый цикл графа \\(G\\) содержит \\(c\\). Для мультиграфов здесь используется обычное соглашение, что параллельные рёбра образуют цикл длины 2.","definition_ids":["connected_graph","eulerian_cycle","path","cycle","tree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-road-network-central-city","title":"Формулировка про дорожную сеть","status":"ai_checked","text":"В связной дорожной сети, где существует замкнутый маршрут по всем дорогам ровно по одному разу, путешественник, начавший из выделенного города \\(c\\), может завершить любой уже выбранный маршрут без повторения дорог до полного эйлерова обхода ровно тогда, когда после удаления \\(c\\) не остаётся циклов.","definition_ids":["eulerian_cycle","path","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cycle-obstruction-and-unused-components","title":"Цикловое препятствие и компоненты неиспользованных рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","degree","path","eulerian_cycle","tree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала предположим, что \\(G-c\\) содержит цикл \\(Z\\). Удалим рёбра \\(Z\\). Так как \\(G\\) эйлеров, а удаление цикла меняет степень каждой вершины на \\(Z\\) на 2, в графе \\(G-E(Z)\\) все степени по-прежнему чётны. Значит, компонента графа \\(G-E(Z)\\), содержащая \\(c\\), имеет эйлеров цикл. Возьмём этот цикл как начальный путь из \\(c\\). Он использует все рёбра своей компоненты и возвращается в \\(c\\), но рёбра \\(Z\\) остаются неиспользованными и уже недостижимы продолжением из \\(c\\) по неиспользованному ребру. Следовательно, не всякий путь из \\(c\\) продолжается. Теперь пусть \\(G-c\\) — лес. Возьмём любой путь \\(P\\) без повторения рёбер, начинающийся в \\(c\\), и пусть его текущий конец равен \\(x\\). Обозначим через \\(R=G-E(P)\\) граф неиспользованных рёбер. В \\(R\\) все вершины имеют чётную степень, кроме, возможно, \\(c\\) и \\(x\\); если \\(x\\ne c\\), именно эти две вершины имеют нечётную неиспользованную…"}],"relations":[{"id":"rel-euler-trail-extension-center-forest-kolmogorov-2007-r1hl-p5","neighbor_id":"kolmogorov-2007-round-1-high-league-problem-5","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-eulerian-criterion-euler-trail-extension-center-forest","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-euler-trail-extension-center-forest","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-offplan-imo-2020-c4-euler-trail-extension-forest","neighbor_id":"imo-2020-c4-fibonacci-difference-forest","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"euler-trail-extension-center-forest продление эйлерова пути из центральной вершины eulerian_graphs trees goal_characterization classical_theorem https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%94%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%b2%d0%be_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2_%d1%86%d0%b8%d0%ba%d0%bb https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip misc olympiad_archive reference src-kolmogorov-2007-official src-wikipedia-eulerian-path src-wikipedia-tree with_solution дерево (теория графов) кубок колмогорова 2007 официальный архив прочее эйлеров цикл ? кубок колмогорова 2007 официальный архив эйлеров цикл дерево (теория графов) stmt-euler-trail-extension-center-forest критерий продления пути из центральной вершины ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный эйлеров граф, а \\(c\\in v(g)\\). тогда любой путь без повторения рёбер, начинающийся в \\(c\\), можно продолжить неиспользованными рёбрами до эйлерова цикла графа \\(g\\) тогда и только тогда, когда \\(g-c\\) является лесом. эквивалентно, каждый цикл графа \\(g\\) содержит \\(c\\). для мультиграфов здесь используется обычное соглашение, что параллельные рёбра образуют цикл длины 2. connected_graph eulerian_cycle path cycle tree stmt-road-network-central-city формулировка про дорожную сеть ai_checked в связной дорожной сети, где существует замкнутый маршрут по всем дорогам ровно по одному разу, путешественник, начавший из выделенного города \\(c\\), может завершить любой уже выбранный маршрут без повторения дорог до полного эйлерова обхода ровно тогда, когда после удаления \\(c\\) не остаётся циклов. eulerian_cycle path tree idea-cycle-left-behind цикл вне центра можно оставить позади если цикл не проходит через \\(c\\), сначала удалим его рёбра. компонента, содержащая \\(c\\), всё ещё эйлерова, поэтому можно обойти все её рёбра и вернуться в \\(c\\), оставив этот цикл в отдельной неиспользованной компоненте. eulerian_graphs trees ai_checked idea-unused-components-forced-to-current-end неиспользованные рёбра остаются при текущем конце после любого пути без повторения рёбер из \\(c\\) в \\(x\\) в графе неиспользованных рёбер нечётными могут быть только \\(c\\) и \\(x\\). компонента неиспользованных рёбер вне \\(x\\) либо содержала бы ровно одну нечётную вершину, либо была бы ненулевым подграфом леса \\(g-c\\), все степени которого чётны; оба варианта невозможны. eulerian_graphs trees ai_checked sol-cycle-obstruction-and-unused-components цикловое препятствие и компоненты неиспользованных рёбер ai_checked connected_graph degree path eulerian_cycle tree delete_to_simplify сначала предположим, что \\(g-c\\) содержит цикл \\(z\\). удалим рёбра \\(z\\). так как \\(g\\) эйлеров, а удаление цикла меняет степень каждой вершины на \\(z\\) на 2, в графе \\(g-e(z)\\) все степени по-прежнему чётны. значит, компонента графа \\(g-e(z)\\), содержащая \\(c\\), имеет эйлеров цикл. возьмём этот цикл как начальный путь из \\(c\\). он использует все рёбра своей компоненты и возвращается в \\(c\\), но рёбра \\(z\\) остаются неиспользованными и уже недостижимы продолжением из \\(c\\) по неиспользованному ребру. следовательно, не всякий путь из \\(c\\) продолжается. теперь пусть \\(g-c\\) — лес. возьмём любой путь \\(p\\) без повторения рёбер, начинающийся в \\(c\\), и пусть его текущий конец равен \\(x\\). обозначим через \\(r=g-e(p)\\) граф неиспользованных рёбер. в \\(r\\) все вершины имеют чётную степень, кроме, возможно, \\(c\\) и \\(x\\); если \\(x\\ne c\\), именно эти две вершины имеют нечётную неиспользованную… euler-trail-extension-center-forest prodlenie eylerova puti iz tsentralnoy vershiny eulerian_graphs trees goal_characterization classical_theorem https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%94%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%b2%d0%be_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2_%d1%86%d0%b8%d0%ba%d0%bb https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip misc olympiad_archive reference src-kolmogorov-2007-official src-wikipedia-eulerian-path src-wikipedia-tree with_solution derevo (teoriya grafov) kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv prochee eylerov tsikl ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv eylerov tsikl derevo (teoriya grafov) stmt-euler-trail-extension-center-forest kriteriy prodleniya puti iz tsentralnoy vershiny ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy eylerov graf, a \\(c\\in v(g)\\). togda lyuboy put bez povtoreniya reber, nachinayuschiysya v \\(c\\), mozhno prodolzhit neispolzovannymi rebrami do eylerova tsikla grafa \\(g\\) togda i tolko togda, kogda \\(g-c\\) yavlyaetsya lesom. ekvivalentno, kazhdyy tsikl grafa \\(g\\) soderzhit \\(c\\). dlya multigrafov zdes ispolzuetsya obychnoe soglashenie, chto parallelnye rebra obrazuyut tsikl dliny 2. connected_graph eulerian_cycle path cycle tree stmt-road-network-central-city formulirovka pro dorozhnuyu set ai_checked v svyaznoy dorozhnoy seti, gde suschestvuet zamknutyy marshrut po vsem dorogam rovno po odnomu razu, puteshestvennik, nachavshiy iz vydelennogo goroda \\(c\\), mozhet zavershit lyuboy uzhe vybrannyy marshrut bez povtoreniya dorog do polnogo eylerova obhoda rovno togda, kogda posle udaleniya \\(c\\) ne ostaetsya tsiklov. eulerian_cycle path tree idea-cycle-left-behind tsikl vne tsentra mozhno ostavit pozadi esli tsikl ne prohodit cherez \\(c\\), snachala udalim ego rebra. komponenta, soderzhaschaya \\(c\\), vse esche eylerova, poetomu mozhno oboyti vse ee rebra i vernutsya v \\(c\\), ostaviv etot tsikl v otdelnoy neispolzovannoy komponente. eulerian_graphs trees ai_checked idea-unused-components-forced-to-current-end neispolzovannye rebra ostayutsya pri tekuschem kontse posle lyubogo puti bez povtoreniya reber iz \\(c\\) v \\(x\\) v grafe neispolzovannyh reber nechetnymi mogut byt tolko \\(c\\) i \\(x\\). komponenta neispolzovannyh reber vne \\(x\\) libo soderzhala by rovno odnu nechetnuyu vershinu, libo byla by nenulevym podgrafom lesa \\(g-c\\), vse stepeni kotorogo chetny; oba varianta nevozmozhny. eulerian_graphs trees ai_checked sol-cycle-obstruction-and-unused-components tsiklovoe prepyatstvie i komponenty neispolzovannyh reber ai_checked connected_graph degree path eulerian_cycle tree delete_to_simplify snachala predpolozhim, chto \\(g-c\\) soderzhit tsikl \\(z\\). udalim rebra \\(z\\). tak kak \\(g\\) eylerov, a udalenie tsikla menyaet stepen kazhdoy vershiny na \\(z\\) na 2, v grafe \\(g-e(z)\\) vse stepeni po-prezhnemu chetny. znachit, komponenta grafa \\(g-e(z)\\), soderzhaschaya \\(c\\), imeet eylerov tsikl. vozmem etot tsikl kak nachalnyy put iz \\(c\\). on ispolzuet vse rebra svoey komponenty i vozvraschaetsya v \\(c\\), no rebra \\(z\\) ostayutsya neispolzovannymi i uzhe nedostizhimy prodolzheniem iz \\(c\\) po neispolzovannomu rebru. sledovatelno, ne vsyakiy put iz \\(c\\) prodolzhaetsya. teper pust \\(g-c\\) — les. vozmem lyuboy put \\(p\\) bez povtoreniya reber, nachinayuschiysya v \\(c\\), i pust ego tekuschiy konets raven \\(x\\). oboznachim cherez \\(r=g-e(p)\\) graf neispolzovannyh reber. v \\(r\\) vse vershiny imeyut chetnuyu stepen, krome, vozmozhno, \\(c\\) i \\(x\\); esli \\(x\\ne c\\), imenno eti dve vershiny imeyut nechetnuyu neispolzovannuyu…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"eulerian-graph-criterion","title":"Критерий эйлерова цикла по чётности степеней","path":"data\\problems\\classical\\eulerian-graph-criterion.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/eulerian-graph-criterion.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#eulerian-graph-criterion","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Эйлеров цикл","Задача о семи кёнигсбергских мостах"],"year":"","type":"theorem","authors":["Leonhard Euler"],"tags":["eulerian_graphs","classical_theorem","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Базовый критерий с конструктивным доказательством.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"Связный конечный граф имеет эйлеров цикл, то есть замкнутый маршрут, проходящий по каждому ребру ровно один раз, тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.","definition_ids":["connected_graph","cycle","degree","eulerian_cycle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-bridges-closed-walk","title":"Мосты и замкнутый обход","status":"ai_checked","text":"Город состоит из участков суши, соединенных мостами. Нужно пройти по каждому мосту ровно один раз и вернуться туда, откуда начали. Если заменить участки суши вершинами, а мосты ребрами, то такой обход существует тогда и только тогда, когда получившийся граф связен и к каждой вершине подходит четное число ребер.","definition_ids":["connected_graph","degree","cycle"]},{"id":"stmt-pencil-drawing-closed","title":"Нарисовать фигуру одним росчерком","status":"ai_checked","text":"Дана связная фигура из точек и линий. Нужно провести карандашом по каждой линии ровно один раз, не отрывая карандаш от бумаги, и закончить в той же точке, где начали. Это возможно тогда и только тогда, когда в каждой точке фигуры сходится четное число линий.","definition_ids":["connected_graph","degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cycle-splicing","title":"Алгоритм Хиерхольцера","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","degree","cycle","eulerian_cycle"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если есть эйлеров цикл, при каждом входе в вершину есть выход, поэтому степень каждой вершины четна. Обратно начнем идти из любой вершины по неиспользованным ребрам. Застрять в другой вершине нельзя: там число использованных инцидентных ребер входами и выходами отличается на 1, что противоречит четности после исчерпания. Значит получим цикл. Если остались ребра, из связности есть вершина построенного цикла, инцидентная неиспользованному ребру; строим от нее еще один цикл и вклеиваем. Повторяем до использования всех ребер."}],"relations":[{"id":"rel-handshaking-eulerian","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-eulerian-criterion-usa-tst-2011","neighbor_id":"usa-tst-2011-p2-weighted-road-orientation","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-1991-p4-eulerian-graph-criterion","neighbor_id":"cmo-1991-p4-edge-difference-labeling-diagram","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-eulerian-criterion-euler-trail-extension-center-forest","neighbor_id":"euler-trail-extension-center-forest","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1979-p6-cycle-walks-graph-symmetry","neighbor_id":"imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-eulerian-imo-1986-p6","neighbor_id":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-euler-imo-2023-c4","neighbor_id":"imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2011-team-junior-eulerian-criterion","neighbor_id":"kolmogorov-2011-team-olympiad-juniors-problem-6","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2011-team-senior-eulerian-criterion","neighbor_id":"kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2012-directed-grid-eulerian-criterion","neighbor_id":"kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tc-2010-eulerian-parity-subgraph","neighbor_id":"tc-2010-11-odd-main-roads","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-eulerian-criterion-imo-2020-c6","neighbor_id":"imo-2020-c6-colored-coins-eulerian-multigraph","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1990-eulerian-criterion","neighbor_id":"putnam-1990-b4-cayley-euler-tour","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-utyum-2010-islands-eulerian-criterion","neighbor_id":"utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vjimc-2000-debruijn-eulerian-criterion","neighbor_id":"vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2020-start-r2-p4-eulerian-graph-criterion","neighbor_id":"yumt-2020-start-round2-problem4","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"eulerian-graph-criterion критерий эйлерова цикла по чётности степеней eulerian_graphs classical_theorem goal_characterization https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%97%d0%b0%d0%b4%d0%b0%d1%87%d0%b0_%d0%be_%d1%81%d0%b5%d0%bc%d0%b8_%d0%ba%d1%91%d0%bd%d0%b8%d0%b3%d1%81%d0%b1%d0%b5%d1%80%d0%b3%d1%81%d0%ba%d0%b8%d1%85_%d0%bc%d0%be%d1%81%d1%82%d0%b0%d1%85 https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2_%d1%86%d0%b8%d0%ba%d0%bb leonhard euler leonhardeuler misc reference src-wikipedia-eulerian-path src-wikipedia-seven-bridges with_solution задача о семи кёнигсбергских мостах прочее эйлеров цикл leonhard euler эйлеров цикл задача о семи кёнигсбергских мостах stmt-original-1 needs_review связный конечный граф имеет эйлеров цикл, то есть замкнутый маршрут, проходящий по каждому ребру ровно один раз, тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны. connected_graph cycle degree eulerian_cycle stmt-bridges-closed-walk мосты и замкнутый обход ai_checked город состоит из участков суши, соединенных мостами. нужно пройти по каждому мосту ровно один раз и вернуться туда, откуда начали. если заменить участки суши вершинами, а мосты ребрами, то такой обход существует тогда и только тогда, когда получившийся граф связен и к каждой вершине подходит четное число ребер. connected_graph degree cycle stmt-pencil-drawing-closed нарисовать фигуру одним росчерком ai_checked дана связная фигура из точек и линий. нужно провести карандашом по каждой линии ровно один раз, не отрывая карандаш от бумаги, и закончить в той же точке, где начали. это возможно тогда и только тогда, когда в каждой точке фигуры сходится четное число линий. connected_graph degree cycle idea-cycle-splicing склейка циклов в графе с четными степенями можно идти по неиспользованным ребрам, пока не вернешься в старт; оставшиеся циклы вклеиваются в уже построенный обход. eulerian_graphs ai_checked sol-cycle-splicing алгоритм хиерхольцера ai_checked connected_graph degree cycle eulerian_cycle greedy_ordering если есть эйлеров цикл, при каждом входе в вершину есть выход, поэтому степень каждой вершины четна. обратно начнем идти из любой вершины по неиспользованным ребрам. застрять в другой вершине нельзя: там число использованных инцидентных ребер входами и выходами отличается на 1, что противоречит четности после исчерпания. значит получим цикл. если остались ребра, из связности есть вершина построенного цикла, инцидентная неиспользованному ребру; строим от нее еще один цикл и вклеиваем. повторяем до использования всех ребер. eulerian-graph-criterion kriteriy eylerova tsikla po chetnosti stepeney eulerian_graphs classical_theorem goal_characterization https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%97%d0%b0%d0%b4%d0%b0%d1%87%d0%b0_%d0%be_%d1%81%d0%b5%d0%bc%d0%b8_%d0%ba%d1%91%d0%bd%d0%b8%d0%b3%d1%81%d0%b1%d0%b5%d1%80%d0%b3%d1%81%d0%ba%d0%b8%d1%85_%d0%bc%d0%be%d1%81%d1%82%d0%b0%d1%85 https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2_%d1%86%d0%b8%d0%ba%d0%bb leonhard euler leonhardeuler misc reference src-wikipedia-eulerian-path src-wikipedia-seven-bridges with_solution zadacha o semi kenigsbergskih mostah prochee eylerov tsikl leonhard euler eylerov tsikl zadacha o semi kenigsbergskih mostah stmt-original-1 needs_review svyaznyy konechnyy graf imeet eylerov tsikl, to est zamknutyy marshrut, prohodyaschiy po kazhdomu rebru rovno odin raz, togda i tolko togda, kogda stepeni vseh ego vershin chetny. connected_graph cycle degree eulerian_cycle stmt-bridges-closed-walk mosty i zamknutyy obhod ai_checked gorod sostoit iz uchastkov sushi, soedinennyh mostami. nuzhno proyti po kazhdomu mostu rovno odin raz i vernutsya tuda, otkuda nachali. esli zamenit uchastki sushi vershinami, a mosty rebrami, to takoy obhod suschestvuet togda i tolko togda, kogda poluchivshiysya graf svyazen i k kazhdoy vershine podhodit chetnoe chislo reber. connected_graph degree cycle stmt-pencil-drawing-closed narisovat figuru odnim roscherkom ai_checked dana svyaznaya figura iz tochek i liniy. nuzhno provesti karandashom po kazhdoy linii rovno odin raz, ne otryvaya karandash ot bumagi, i zakonchit v toy zhe tochke, gde nachali. eto vozmozhno togda i tolko togda, kogda v kazhdoy tochke figury shoditsya chetnoe chislo liniy. connected_graph degree cycle idea-cycle-splicing skleyka tsiklov v grafe s chetnymi stepenyami mozhno idti po neispolzovannym rebram, poka ne verneshsya v start; ostavshiesya tsikly vkleivayutsya v uzhe postroennyy obhod. eulerian_graphs ai_checked sol-cycle-splicing algoritm hierholtsera ai_checked connected_graph degree cycle eulerian_cycle greedy_ordering esli est eylerov tsikl, pri kazhdom vhode v vershinu est vyhod, poetomu stepen kazhdoy vershiny chetna. obratno nachnem idti iz lyuboy vershiny po neispolzovannym rebram. zastryat v drugoy vershine nelzya: tam chislo ispolzovannyh intsidentnyh reber vhodami i vyhodami otlichaetsya na 1, chto protivorechit chetnosti posle ischerpaniya. znachit poluchim tsikl. esli ostalis rebra, iz svyaznosti est vershina postroennogo tsikla, intsidentnaya neispolzovannomu rebru; stroim ot nee esche odin tsikl i vkleivaem. povtoryaem do ispolzovaniya vseh reber.","source_keys":["misc"]}
{"id":"ferry-network-repartition-lemma","title":"Переразбиение полной двудольной сети после закрытия поперечного ребра","path":"data\\problems\\classical\\ferry-network-repartition-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ferry-network-repartition-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ferry-network-repartition-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["IMO 2016 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["connectivity","extremal_choice","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Короткая, но нетривиальная динамическая лемма: локальная операция сохраняет полную двудольную структуру после правильного переразбиения вершин.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть вершины простого графа разбиты на две непустые доли \\(A\\) и \\(B\\), причём каждая вершина из \\(A\\) соединена с каждой вершиной из \\(B\\). Выберем ребро \\(ab\\) с \\(a\\in A\\), \\(b\\in B\\), удалим его и затем для каждой вершины, смежной ровно с одной из вершин \\(a,b\\), добавим ребро к другой из них. Докажите, что после этой операции те же вершины можно снова разбить на две непустые доли так, чтобы все поперечные рёбра присутствовали.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-repartition-network","title":"Пара закрытого ребра и остальные вершины","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"После операции положим \\[ A'=\\{a,b\\},\\qquad B'=(A\\cup B)\\setminus\\{a,b\\}. \\] Нужно доказать, что каждая вершина из \\(B'\\) смежна и с \\(a\\), и с \\(b\\). Пусть сначала \\(x\\in A\\setminus\\{a\\}\\). До операции вершина \\(x\\) была смежна с \\(b\\), потому что все поперечные рёбра между \\(A\\) и \\(B\\) присутствовали. Если \\(x\\) уже была смежна с \\(a\\), то ничего доказывать не нужно. Если же нет, то до операции \\(x\\) была смежна ровно с одной из вершин \\(a,b\\), а именно с \\(b\\); по правилу операции после удаления ребра \\(ab\\) добавляется ребро \\(xa\\). Значит, после операции \\(x\\) смежна и с \\(a\\), и с \\(b\\). Совершенно так же для любой вершины \\(y\\in B\\setminus\\{b\\}\\): до операции она была смежна с \\(a\\), а если не была смежна с \\(b\\), то после операции ребро \\(yb\\) добавляется. Поэтому и \\(y\\) после операции смежна с обоими вершинами \\(a\\) и \\(b\\). Итак, каждая вершина из \\(B'\\) смежна с обеими верш…"}],"relations":[{"id":"rel-ferry-network-lemma-imo-2016-c6","neighbor_id":"imo-2016-c6-ferry-graph-dynamics","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ferry-network-imo-2019-c5-local-edge-operation","neighbor_id":"imo-2019-c5-social-network-refriending","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"ferry-network-repartition-lemma переразбиение полной двудольной сети после закрытия поперечного ребра connectivity extremal_choice goal_proof https://www.imo-official.org/problems/imo2016sl.pdf imo 2016 shortlisted problems with solutions misc official_archive src-imo-2016-shortlist with_solution прочее ? imo 2016 shortlisted problems with solutions stmt-original-1 ai_checked пусть вершины простого графа разбиты на две непустые доли \\(a\\) и \\(b\\), причём каждая вершина из \\(a\\) соединена с каждой вершиной из \\(b\\). выберем ребро \\(ab\\) с \\(a\\in a\\), \\(b\\in b\\), удалим его и затем для каждой вершины, смежной ровно с одной из вершин \\(a,b\\), добавим ребро к другой из них. докажите, что после этой операции те же вершины можно снова разбить на две непустые доли так, чтобы все поперечные рёбра присутствовали. simple_graph bipartite_graph idea-pair-vs-rest новые доли: закрытая пара против остальных после закрытия поперечного ребра \\(ab\\) естественно объявить одной долей пару \\(\\{a,b\\}\\), а второй долей — все остальные вершины. остаётся проверить, что каждая из них стала смежной с обоими концами закрытого ребра. connectivity extremal_choice ai_checked sol-repartition-network пара закрытого ребра и остальные вершины ai_checked simple_graph bipartite_graph после операции положим \\[ a'=\\{a,b\\},\\qquad b'=(a\\cup b)\\setminus\\{a,b\\}. \\] нужно доказать, что каждая вершина из \\(b'\\) смежна и с \\(a\\), и с \\(b\\). пусть сначала \\(x\\in a\\setminus\\{a\\}\\). до операции вершина \\(x\\) была смежна с \\(b\\), потому что все поперечные рёбра между \\(a\\) и \\(b\\) присутствовали. если \\(x\\) уже была смежна с \\(a\\), то ничего доказывать не нужно. если же нет, то до операции \\(x\\) была смежна ровно с одной из вершин \\(a,b\\), а именно с \\(b\\); по правилу операции после удаления ребра \\(ab\\) добавляется ребро \\(xa\\). значит, после операции \\(x\\) смежна и с \\(a\\), и с \\(b\\). совершенно так же для любой вершины \\(y\\in b\\setminus\\{b\\}\\): до операции она была смежна с \\(a\\), а если не была смежна с \\(b\\), то после операции ребро \\(yb\\) добавляется. поэтому и \\(y\\) после операции смежна с обоими вершинами \\(a\\) и \\(b\\). итак, каждая вершина из \\(b'\\) смежна с обеими верш… ferry-network-repartition-lemma pererazbienie polnoy dvudolnoy seti posle zakrytiya poperechnogo rebra connectivity extremal_choice goal_proof https://www.imo-official.org/problems/imo2016sl.pdf imo 2016 shortlisted problems with solutions misc official_archive src-imo-2016-shortlist with_solution prochee ? imo 2016 shortlisted problems with solutions stmt-original-1 ai_checked pust vershiny prostogo grafa razbity na dve nepustye doli \\(a\\) i \\(b\\), prichem kazhdaya vershina iz \\(a\\) soedinena s kazhdoy vershinoy iz \\(b\\). vyberem rebro \\(ab\\) s \\(a\\in a\\), \\(b\\in b\\), udalim ego i zatem dlya kazhdoy vershiny, smezhnoy rovno s odnoy iz vershin \\(a,b\\), dobavim rebro k drugoy iz nih. dokazhite, chto posle etoy operatsii te zhe vershiny mozhno snova razbit na dve nepustye doli tak, chtoby vse poperechnye rebra prisutstvovali. simple_graph bipartite_graph idea-pair-vs-rest novye doli: zakrytaya para protiv ostalnyh posle zakrytiya poperechnogo rebra \\(ab\\) estestvenno obyavit odnoy doley paru \\(\\{a,b\\}\\), a vtoroy doley — vse ostalnye vershiny. ostaetsya proverit, chto kazhdaya iz nih stala smezhnoy s oboimi kontsami zakrytogo rebra. connectivity extremal_choice ai_checked sol-repartition-network para zakrytogo rebra i ostalnye vershiny ai_checked simple_graph bipartite_graph posle operatsii polozhim \\[ a'=\\{a,b\\},\\qquad b'=(a\\cup b)\\setminus\\{a,b\\}. \\] nuzhno dokazat, chto kazhdaya vershina iz \\(b'\\) smezhna i s \\(a\\), i s \\(b\\). pust snachala \\(x\\in a\\setminus\\{a\\}\\). do operatsii vershina \\(x\\) byla smezhna s \\(b\\), potomu chto vse poperechnye rebra mezhdu \\(a\\) i \\(b\\) prisutstvovali. esli \\(x\\) uzhe byla smezhna s \\(a\\), to nichego dokazyvat ne nuzhno. esli zhe net, to do operatsii \\(x\\) byla smezhna rovno s odnoy iz vershin \\(a,b\\), a imenno s \\(b\\); po pravilu operatsii posle udaleniya rebra \\(ab\\) dobavlyaetsya rebro \\(xa\\). znachit, posle operatsii \\(x\\) smezhna i s \\(a\\), i s \\(b\\). sovershenno tak zhe dlya lyuboy vershiny \\(y\\in b\\setminus\\{b\\}\\): do operatsii ona byla smezhna s \\(a\\), a esli ne byla smezhna s \\(b\\), to posle operatsii rebro \\(yb\\) dobavlyaetsya. poetomu i \\(y\\) posle operatsii smezhna s oboimi vershinami \\(a\\) i \\(b\\). itak, kazhdaya vershina iz \\(b'\\) smezhna s obeimi versh…","source_keys":["misc","imo"]}
{"id":"five-color-theorem","title":"Пятицветная теорема о раскраске планарных графов","path":"data\\problems\\classical\\five-color-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/five-color-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#five-color-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема о пяти красках"],"year":"","type":"theorem","authors":["Percy John Heawood"],"tags":["planar_graphs","coloring","degree_counting","double_counting","classical_theorem","induction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Классический планарный аргумент; цепи Кемпе требуют аккуратности.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"Самодостаточное доказательство; сверено с обзорными источниками.","notes":"Классическая теорема оставлена как public-ready theorem card: доказательство внутри карточки полное для школьной базы и не требует классификации как heavy внешняя теорема.","audit_source":"official-plan-expansion-five-color-theorem-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Вершины любого простого планарного графа можно правильно раскрасить не более чем в пять цветов: любые две соседние вершины должны получить разные цвета.","definition_ids":["simple_graph","planar_graph","degree","chromatic_number"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-map-five-colors","title":"Раскраска карты","status":"ai_checked","text":"Плоская карта разбита на области. Нужно раскрасить все области не более чем в пять цветов так, чтобы любые две области, имеющие общую границу ненулевой длины, были разных цветов. Такая раскраска существует для любой плоской карты.","definition_ids":["planar_graph","simple_graph","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-kempe-sketch","title":"Полное доказательство через цепи Кемпе","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","path","cycle","planar_graph","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["induction","face_counting","kempe_chains","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем доказывать утверждение индукцией по числу вершин \\(v\\) конечного простого планарного графа \\(G\\). При \\(v\\le 5\\) можно дать всем вершинам разные цвета, поэтому база очевидна. Нам понадобится только один стандартный планарный подсчет. Если \\(v\\ge 3\\), то в простом планарном графе есть вершина степени не больше 5. Действительно, можно добавить ребра между компонентами, не нарушая планарности, и считать граф связным. По формуле Эйлера \\(v-e+f=2\\), а каждая грань в простом плоском графе имеет длину не меньше 3; при двойном счете сторон граней получаем \\(3f\\le 2e\\). Отсюда \\(3(2-v+e)\\le 2e\\), то есть \\(e\\le 3v-6\\). Значит средняя степень равна \\(2e/v<6\\), и не все степени могут быть хотя бы 6. Выберем вершину \\(x\\) степени не больше 5 и удалим ее. Граф \\(G-x\\) тоже прост и планарен, а вершин в нем меньше, поэтому по индукционному предположению его вершины правильно раскрашены в цвета \\…"}],"relations":[{"id":"rel-five-color-euler-formula-edge-bound","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-five-color-planar-edge-bound-low-degree","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-five-color-degeneracy-greedy-six-color","neighbor_id":"degeneracy-greedy-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-five-color-brooks-local-recoloring-checked","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-five-color-vosh-2018-kempe-swap","neighbor_id":"vosh-2018-19-final-shirt-recoloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-five-color-vosh-2025-local-recoloring","neighbor_id":"vosh-2025-26-final-regions-friendship-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2006-r3-super-p3-five-color-theorem","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-five-color-low-degree-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"five-color-theorem пятицветная теорема о раскраске планарных графов planar_graphs coloring degree_counting double_counting classical_theorem induction goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%be_%d0%bf%d1%8f%d1%82%d0%b8_%d0%ba%d1%80%d0%b0%d1%81%d0%ba%d0%b0%d1%85 misc percy john heawood percyjohnheawood reference src-wikipedia-five-color with_solution прочее теорема о пяти красках percy john heawood теорема о пяти красках stmt-original-1 ai_checked вершины любого простого планарного графа можно правильно раскрасить не более чем в пять цветов: любые две соседние вершины должны получить разные цвета. simple_graph planar_graph degree chromatic_number stmt-map-five-colors раскраска карты ai_checked плоская карта разбита на области. нужно раскрасить все области не более чем в пять цветов так, чтобы любые две области, имеющие общую границу ненулевой длины, были разных цветов. такая раскраска существует для любой плоской карты. planar_graph simple_graph chromatic_number idea-low-degree-kempe малая степень и цепи кемпе в планарном графе есть вершина степени не больше 5; если ее соседи заняли все пять цветов, две цветовые области можно попытаться поменять местами. coloring planar_graphs induction ai_checked idea-separating-kempe-chains две непересекающиеся цепи не могут скреститься если двухцветная цепь между первым и третьим соседями вместе с удаленной вершиной образует замкнутую кривую, то второй и четвертый соседи оказываются по разные стороны этой кривой; поэтому цепь между ними в двух других цветах невозможна. planar_graphs coloring ai_checked sol-kempe-sketch полное доказательство через цепи кемпе ai_checked simple_graph degree path cycle planar_graph chromatic_number induction face_counting kempe_chains local_recoloring будем доказывать утверждение индукцией по числу вершин \\(v\\) конечного простого планарного графа \\(g\\). при \\(v\\le 5\\) можно дать всем вершинам разные цвета, поэтому база очевидна. нам понадобится только один стандартный планарный подсчет. если \\(v\\ge 3\\), то в простом планарном графе есть вершина степени не больше 5. действительно, можно добавить ребра между компонентами, не нарушая планарности, и считать граф связным. по формуле эйлера \\(v-e+f=2\\), а каждая грань в простом плоском графе имеет длину не меньше 3; при двойном счете сторон граней получаем \\(3f\\le 2e\\). отсюда \\(3(2-v+e)\\le 2e\\), то есть \\(e\\le 3v-6\\). значит средняя степень равна \\(2e/v<6\\), и не все степени могут быть хотя бы 6. выберем вершину \\(x\\) степени не больше 5 и удалим ее. граф \\(g-x\\) тоже прост и планарен, а вершин в нем меньше, поэтому по индукционному предположению его вершины правильно раскрашены в цвета \\… five-color-theorem pyatitsvetnaya teorema o raskraske planarnyh grafov planar_graphs coloring degree_counting double_counting classical_theorem induction goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%be_%d0%bf%d1%8f%d1%82%d0%b8_%d0%ba%d1%80%d0%b0%d1%81%d0%ba%d0%b0%d1%85 misc percy john heawood percyjohnheawood reference src-wikipedia-five-color with_solution prochee teorema o pyati kraskah percy john heawood teorema o pyati kraskah stmt-original-1 ai_checked vershiny lyubogo prostogo planarnogo grafa mozhno pravilno raskrasit ne bolee chem v pyat tsvetov: lyubye dve sosednie vershiny dolzhny poluchit raznye tsveta. simple_graph planar_graph degree chromatic_number stmt-map-five-colors raskraska karty ai_checked ploskaya karta razbita na oblasti. nuzhno raskrasit vse oblasti ne bolee chem v pyat tsvetov tak, chtoby lyubye dve oblasti, imeyuschie obschuyu granitsu nenulevoy dliny, byli raznyh tsvetov. takaya raskraska suschestvuet dlya lyuboy ploskoy karty. planar_graph simple_graph chromatic_number idea-low-degree-kempe malaya stepen i tsepi kempe v planarnom grafe est vershina stepeni ne bolshe 5; esli ee sosedi zanyali vse pyat tsvetov, dve tsvetovye oblasti mozhno popytatsya pomenyat mestami. coloring planar_graphs induction ai_checked idea-separating-kempe-chains dve neperesekayuschiesya tsepi ne mogut skrestitsya esli dvuhtsvetnaya tsep mezhdu pervym i tretim sosedyami vmeste s udalennoy vershinoy obrazuet zamknutuyu krivuyu, to vtoroy i chetvertyy sosedi okazyvayutsya po raznye storony etoy krivoy; poetomu tsep mezhdu nimi v dvuh drugih tsvetah nevozmozhna. planar_graphs coloring ai_checked sol-kempe-sketch polnoe dokazatelstvo cherez tsepi kempe ai_checked simple_graph degree path cycle planar_graph chromatic_number induction face_counting kempe_chains local_recoloring budem dokazyvat utverzhdenie induktsiey po chislu vershin \\(v\\) konechnogo prostogo planarnogo grafa \\(g\\). pri \\(v\\le 5\\) mozhno dat vsem vershinam raznye tsveta, poetomu baza ochevidna. nam ponadobitsya tolko odin standartnyy planarnyy podschet. esli \\(v\\ge 3\\), to v prostom planarnom grafe est vershina stepeni ne bolshe 5. deystvitelno, mozhno dobavit rebra mezhdu komponentami, ne narushaya planarnosti, i schitat graf svyaznym. po formule eylera \\(v-e+f=2\\), a kazhdaya gran v prostom ploskom grafe imeet dlinu ne menshe 3; pri dvoynom schete storon graney poluchaem \\(3f\\le 2e\\). otsyuda \\(3(2-v+e)\\le 2e\\), to est \\(e\\le 3v-6\\). znachit srednyaya stepen ravna \\(2e/v<6\\), i ne vse stepeni mogut byt hotya by 6. vyberem vershinu \\(x\\) stepeni ne bolshe 5 i udalim ee. graf \\(g-x\\) tozhe prost i planaren, a vershin v nem menshe, poetomu po induktsionnomu predpolozheniyu ego vershiny pravilno raskrasheny v tsveta \\…","source_keys":["misc"]}
{"id":"functional-digraph-pointer-jumping-round-halving","title":"Сжатие цикла и путей за один раунд прыжков по указателям","path":"data\\problems\\classical\\functional-digraph-pointer-jumping-round-halving.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/functional-digraph-pointer-jumping-round-halving.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#functional-digraph-pointer-jumping-round-halving","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Canadian Mathematical Olympiad 2025 официальные решения"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["invariant","extremal_choice","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":5,"comment":"Техническая лемма из CMO 2025 P1: короткая, но требует аккуратного учета произвольного порядка обновлений внутри раунда.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-round-halving","title":"Лемма","status":"ai_checked","text":"Пусть в функциональном ориентированном графе за один раунд каждая вершина обновляется ровно один раз в произвольном порядке: если в момент обновления \\(a\\to b\\to c\\), то стрелка \\(a\\to b\\) заменяется на \\(a\\to c\\). Тогда выполнены два утверждения. Если в начале раунда единственный направленный цикл имеет длину \\(K>1\\), то к концу раунда его длина не превосходит \\(\\lfloor K/2\\rfloor\\). Если же в начале раунда есть петля \\(z\\to z\\) и вершина \\(a\\) находится на расстоянии \\(L\\) от \\(z\\), то к концу раунда расстояние от \\(a\\) до \\(z\\) не превосходит \\(\\lceil L/2\\rceil\\).","definition_ids":["directed_graph","outdegree","cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-charging-proof","title":"Доказательство зарядкой выпавших вершин","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим сначала цикл длины \\(K>1\\) в начале раунда. Если вершина \\(a\\) обновляется, пока она еще лежит на текущем цикле, и на цикле в этот момент есть участок \\(a\\to b\\to c\\), то после замены стрелки на \\(a\\to c\\) вершина \\(b\\) выпадает из цикла. Значит, каждое такое полезное обновление уменьшает длину цикла на 1. Вершина, которая была на исходном цикле, но к своему обновлению уже выпала из него, могла выпасть только из-за более раннего полезного обновления своей текущей предшествующей вершины на цикле. Одно полезное обновление выбрасывает не более одной такой вершины. Поэтому среди \\(K\\) исходных вершин цикла число полезно обновившихся не меньше числа выпавших до обновления, то есть полезно обновившихся не меньше \\(\\lceil K/2\\rceil\\). Длина цикла к концу раунда не превосходит \\(K-\\lceil K/2\\rceil=\\lfloor K/2\\rfloor\\). Для пути к петле \\(z\\to z\\) рассуждение такое же. Пусть в начале…"}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2025-p1-functional-halving-lemma","neighbor_id":"cmo-2025-p1-voting-functional-graph","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"functional-digraph-pointer-jumping-round-halving сжатие цикла и путей за один раунд прыжков по указателям invariant extremal_choice goal_bound canadian mathematical olympiad 2025 официальные решения https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol2025.pdf misc solution_notes src-cmo-2025-solutions with_solution прочее ? canadian mathematical olympiad 2025 официальные решения stmt-round-halving лемма ai_checked пусть в функциональном ориентированном графе за один раунд каждая вершина обновляется ровно один раз в произвольном порядке: если в момент обновления \\(a\\to b\\to c\\), то стрелка \\(a\\to b\\) заменяется на \\(a\\to c\\). тогда выполнены два утверждения. если в начале раунда единственный направленный цикл имеет длину \\(k>1\\), то к концу раунда его длина не превосходит \\(\\lfloor k/2\\rfloor\\). если же в начале раунда есть петля \\(z\\to z\\) и вершина \\(a\\) находится на расстоянии \\(l\\) от \\(z\\), то к концу раунда расстояние от \\(a\\) до \\(z\\) не превосходит \\(\\lceil l/2\\rceil\\). directed_graph outdegree cycle path idea-charge-deleted-before-update выпавшие до обновления заряжаются полезным обновлениям если вершина исходного цикла или пути выпала до собственного обновления, ее выбросило более раннее обновление соседней предшествующей вершины. одно такое обновление выбрасывает не более одной вершины, значит полезных обновлений не меньше, чем преждевременно выпавших. extremal_choice goal_bound ai_checked sol-charging-proof доказательство зарядкой выпавших вершин ai_checked directed_graph cycle path extremal_choice рассмотрим сначала цикл длины \\(k>1\\) в начале раунда. если вершина \\(a\\) обновляется, пока она еще лежит на текущем цикле, и на цикле в этот момент есть участок \\(a\\to b\\to c\\), то после замены стрелки на \\(a\\to c\\) вершина \\(b\\) выпадает из цикла. значит, каждое такое полезное обновление уменьшает длину цикла на 1. вершина, которая была на исходном цикле, но к своему обновлению уже выпала из него, могла выпасть только из-за более раннего полезного обновления своей текущей предшествующей вершины на цикле. одно полезное обновление выбрасывает не более одной такой вершины. поэтому среди \\(k\\) исходных вершин цикла число полезно обновившихся не меньше числа выпавших до обновления, то есть полезно обновившихся не меньше \\(\\lceil k/2\\rceil\\). длина цикла к концу раунда не превосходит \\(k-\\lceil k/2\\rceil=\\lfloor k/2\\rfloor\\). для пути к петле \\(z\\to z\\) рассуждение такое же. пусть в начале… functional-digraph-pointer-jumping-round-halving szhatie tsikla i putey za odin raund pryzhkov po ukazatelyam invariant extremal_choice goal_bound canadian mathematical olympiad 2025 ofitsialnye resheniya https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol2025.pdf misc solution_notes src-cmo-2025-solutions with_solution prochee ? canadian mathematical olympiad 2025 ofitsialnye resheniya stmt-round-halving lemma ai_checked pust v funktsionalnom orientirovannom grafe za odin raund kazhdaya vershina obnovlyaetsya rovno odin raz v proizvolnom poryadke: esli v moment obnovleniya \\(a\\to b\\to c\\), to strelka \\(a\\to b\\) zamenyaetsya na \\(a\\to c\\). togda vypolneny dva utverzhdeniya. esli v nachale raunda edinstvennyy napravlennyy tsikl imeet dlinu \\(k>1\\), to k kontsu raunda ego dlina ne prevoshodit \\(\\lfloor k/2\\rfloor\\). esli zhe v nachale raunda est petlya \\(z\\to z\\) i vershina \\(a\\) nahoditsya na rasstoyanii \\(l\\) ot \\(z\\), to k kontsu raunda rasstoyanie ot \\(a\\) do \\(z\\) ne prevoshodit \\(\\lceil l/2\\rceil\\). directed_graph outdegree cycle path idea-charge-deleted-before-update vypavshie do obnovleniya zaryazhayutsya poleznym obnovleniyam esli vershina ishodnogo tsikla ili puti vypala do sobstvennogo obnovleniya, ee vybrosilo bolee rannee obnovlenie sosedney predshestvuyuschey vershiny. odno takoe obnovlenie vybrasyvaet ne bolee odnoy vershiny, znachit poleznyh obnovleniy ne menshe, chem prezhdevremenno vypavshih. extremal_choice goal_bound ai_checked sol-charging-proof dokazatelstvo zaryadkoy vypavshih vershin ai_checked directed_graph cycle path extremal_choice rassmotrim snachala tsikl dliny \\(k>1\\) v nachale raunda. esli vershina \\(a\\) obnovlyaetsya, poka ona esche lezhit na tekuschem tsikle, i na tsikle v etot moment est uchastok \\(a\\to b\\to c\\), to posle zameny strelki na \\(a\\to c\\) vershina \\(b\\) vypadaet iz tsikla. znachit, kazhdoe takoe poleznoe obnovlenie umenshaet dlinu tsikla na 1. vershina, kotoraya byla na ishodnom tsikle, no k svoemu obnovleniyu uzhe vypala iz nego, mogla vypast tolko iz-za bolee rannego poleznogo obnovleniya svoey tekuschey predshestvuyuschey vershiny na tsikle. odno poleznoe obnovlenie vybrasyvaet ne bolee odnoy takoy vershiny. poetomu sredi \\(k\\) ishodnyh vershin tsikla chislo polezno obnovivshihsya ne menshe chisla vypavshih do obnovleniya, to est polezno obnovivshihsya ne menshe \\(\\lceil k/2\\rceil\\). dlina tsikla k kontsu raunda ne prevoshodit \\(k-\\lceil k/2\\rceil=\\lfloor k/2\\rfloor\\). dlya puti k petle \\(z\\to z\\) rassuzhdenie takoe zhe. pust v nachale…","source_keys":["misc","cmo"]}
{"id":"gabriel-graph-connected-separated-points","title":"Связность графа Габриэля для разреженного множества точек","path":"data\\problems\\classical\\gabriel-graph-connected-separated-points.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/gabriel-graph-connected-separated-points.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#gabriel-graph-connected-separated-points","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["AoPS Wiki, 2025 USAMO Problems/Problem 3","Gabriel and Sokal, A New Statistical Approach to Geographic Variation Analysis","Matula and Sokal, Properties of Gabriel Graphs Relevant to Geographic Variation Research and the Clustering of Points in the Plane","Evan Chen, USAMO 2025 Solution Notes"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","connectivity","classical_theorem","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Короткая метрическая лемма; основная тонкость — использовать разреженность, чтобы спуск по квадрату расстояния не мог продолжаться бесконечно.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(X\\) — конечное или бесконечное множество точек плоскости, расстояние между любыми двумя различными точками которого больше \\(1\\). В графе Габриэля на \\(X\\) соединены те и только те пары \\(A,B\\), для которых замкнутый диск с диаметром \\(AB\\) не содержит других точек из \\(X\\). Тогда этот граф связен.","definition_ids":["gabriel_graph","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-distance-descent","title":"Бесконечный спуск по расстоянию","status":"ai_checked","definition_ids":["gabriel_graph","connected_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим, что граф Габриэля несвязен, и возьмём точки \\(p,q\\) из разных компонент. Если \\(pq\\) является ребром, эти точки лежат в одной компоненте, поэтому \\(pq\\) не ребро. Значит, в замкнутом диске с диаметром \\(pq\\) есть третья точка \\(r\\in X\\). Точка \\(r\\) не может одновременно лежать в компоненте \\(p\\) и в компоненте \\(q\\). Поэтому хотя бы одна из пар \\((p,r)\\), \\((r,q)\\) снова соединяет разные компоненты; обозначим её \\((u,v)\\), а второй отрезок от \\(r\\) к одному из концов \\(pq\\) обозначим через \\(w\\). Так как \\(r\\) лежит в диаметральном диске \\(pq\\), угол \\(prq\\) не меньше \\(90^\\circ\\), и из элементарной геометрии следует \\(uv^2\\le pq^2-w^2\\). При этом \\(w>1\\), потому что расстояния между различными точками множества больше \\(1\\). Значит, \\(uv^2<pq^2-1\\). Повторяя этот шаг, мы строили бы пары точек из разных компонент с неотрицательными квадратами расстояний, каждый раз уменьша…"}],"relations":[{"id":"rel-gabriel-connectivity-lemma-usamo-2025-p3","neighbor_id":"usamo-2025-p3-gabriel-graph-road-network","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"gabriel-graph-connected-separated-points связность графа габриэля для разреженного множества точек planar_graphs connectivity classical_theorem goal_proof aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2025 solution notes gabriel and sokal, a new statistical approach to geographic variation analysis https://academic.oup.com/sysbio/article/18/3/259/1624465 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2025_usamo_problems/problem_3 https://doi.org/10.1111/j.1538-4632.1980.tb00031.x https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2025-notes.pdf matula and sokal, properties of gabriel graphs relevant to geographic variation research and the clustering of points in the plane misc reference secondary_solution src-gabriel-sokal-1969 src-matula-sokal-1980-gabriel-properties src-usamo-2025-evan-chen-notes src-usamo-2025-p3-aops-wiki statement with_solution прочее ? aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 gabriel and sokal, a new statistical approach to geographic variation analysis matula and sokal, properties of gabriel graphs relevant to geographic variation research and the clustering of points in the plane evan chen, usamo 2025 solution notes stmt-original ai_checked пусть \\(x\\) — конечное или бесконечное множество точек плоскости, расстояние между любыми двумя различными точками которого больше \\(1\\). в графе габриэля на \\(x\\) соединены те и только те пары \\(a,b\\), для которых замкнутый диск с диаметром \\(ab\\) не содержит других точек из \\(x\\). тогда этот граф связен. gabriel_graph connected_graph idea-distance-descent спуск по квадрату расстояния между компонентами если две точки лежат в разных компонентах и не соединены ребром, то внутри их диаметрального диска есть третья точка. одна из двух новых пар снова соединяет разные компоненты, но имеет существенно меньший квадрат расстояния. connectivity ai_checked sol-distance-descent бесконечный спуск по расстоянию ai_checked gabriel_graph connected_graph предположим, что граф габриэля несвязен, и возьмём точки \\(p,q\\) из разных компонент. если \\(pq\\) является ребром, эти точки лежат в одной компоненте, поэтому \\(pq\\) не ребро. значит, в замкнутом диске с диаметром \\(pq\\) есть третья точка \\(r\\in x\\). точка \\(r\\) не может одновременно лежать в компоненте \\(p\\) и в компоненте \\(q\\). поэтому хотя бы одна из пар \\((p,r)\\), \\((r,q)\\) снова соединяет разные компоненты; обозначим её \\((u,v)\\), а второй отрезок от \\(r\\) к одному из концов \\(pq\\) обозначим через \\(w\\). так как \\(r\\) лежит в диаметральном диске \\(pq\\), угол \\(prq\\) не меньше \\(90^\\circ\\), и из элементарной геометрии следует \\(uv^2\\le pq^2-w^2\\). при этом \\(w>1\\), потому что расстояния между различными точками множества больше \\(1\\). значит, \\(uv^2<pq^2-1\\). повторяя этот шаг, мы строили бы пары точек из разных компонент с неотрицательными квадратами расстояний, каждый раз уменьша… gabriel-graph-connected-separated-points svyaznost grafa gabrielya dlya razrezhennogo mnozhestva tochek planar_graphs connectivity classical_theorem goal_proof aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2025 solution notes gabriel and sokal, a new statistical approach to geographic variation analysis https://academic.oup.com/sysbio/article/18/3/259/1624465 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2025_usamo_problems/problem_3 https://doi.org/10.1111/j.1538-4632.1980.tb00031.x https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2025-notes.pdf matula and sokal, properties of gabriel graphs relevant to geographic variation research and the clustering of points in the plane misc reference secondary_solution src-gabriel-sokal-1969 src-matula-sokal-1980-gabriel-properties src-usamo-2025-evan-chen-notes src-usamo-2025-p3-aops-wiki statement with_solution prochee ? aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 gabriel and sokal, a new statistical approach to geographic variation analysis matula and sokal, properties of gabriel graphs relevant to geographic variation research and the clustering of points in the plane evan chen, usamo 2025 solution notes stmt-original ai_checked pust \\(x\\) — konechnoe ili beskonechnoe mnozhestvo tochek ploskosti, rasstoyanie mezhdu lyubymi dvumya razlichnymi tochkami kotorogo bolshe \\(1\\). v grafe gabrielya na \\(x\\) soedineny te i tolko te pary \\(a,b\\), dlya kotoryh zamknutyy disk s diametrom \\(ab\\) ne soderzhit drugih tochek iz \\(x\\). togda etot graf svyazen. gabriel_graph connected_graph idea-distance-descent spusk po kvadratu rasstoyaniya mezhdu komponentami esli dve tochki lezhat v raznyh komponentah i ne soedineny rebrom, to vnutri ih diametralnogo diska est tretya tochka. odna iz dvuh novyh par snova soedinyaet raznye komponenty, no imeet suschestvenno menshiy kvadrat rasstoyaniya. connectivity ai_checked sol-distance-descent beskonechnyy spusk po rasstoyaniyu ai_checked gabriel_graph connected_graph predpolozhim, chto graf gabrielya nesvyazen, i vozmem tochki \\(p,q\\) iz raznyh komponent. esli \\(pq\\) yavlyaetsya rebrom, eti tochki lezhat v odnoy komponente, poetomu \\(pq\\) ne rebro. znachit, v zamknutom diske s diametrom \\(pq\\) est tretya tochka \\(r\\in x\\). tochka \\(r\\) ne mozhet odnovremenno lezhat v komponente \\(p\\) i v komponente \\(q\\). poetomu hotya by odna iz par \\((p,r)\\), \\((r,q)\\) snova soedinyaet raznye komponenty; oboznachim ee \\((u,v)\\), a vtoroy otrezok ot \\(r\\) k odnomu iz kontsov \\(pq\\) oboznachim cherez \\(w\\). tak kak \\(r\\) lezhit v diametralnom diske \\(pq\\), ugol \\(prq\\) ne menshe \\(90^\\circ\\), i iz elementarnoy geometrii sleduet \\(uv^2\\le pq^2-w^2\\). pri etom \\(w>1\\), potomu chto rasstoyaniya mezhdu razlichnymi tochkami mnozhestva bolshe \\(1\\). znachit, \\(uv^2<pq^2-1\\). povtoryaya etot shag, my stroili by pary tochek iz raznyh komponent s neotritsatelnymi kvadratami rasstoyaniy, kazhdyy raz umensha…","source_keys":["misc","usamo"]}
{"id":"gabriel-graph-straight-line-planar","title":"Прямолинейная планарность графа Габриэля","path":"data\\problems\\classical\\gabriel-graph-straight-line-planar.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/gabriel-graph-straight-line-planar.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#gabriel-graph-straight-line-planar","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["AoPS Wiki, 2025 USAMO Problems/Problem 3","Gabriel and Sokal, A New Statistical Approach to Geographic Variation Analysis","Matula and Sokal, Properties of Gabriel Graphs Relevant to Geographic Variation Research and the Clustering of Points in the Plane","Evan Chen, USAMO 2025 Solution Notes"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","classical_theorem","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Стандартная геометрическая проверка планарности графа Габриэля через диаметральный диск.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(X\\) — множество точек плоскости, никакие три точки из \\(X\\) не лежат на одной прямой. В графе Габриэля на \\(X\\) соединены те и только те пары \\(A,B\\), для которых замкнутый диск с диаметром \\(AB\\) не содержит других точек из \\(X\\). Тогда при рисовании рёбер отрезками между соответствующими точками никакие два ребра не пересекаются внутренними точками.","definition_ids":["gabriel_graph","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-thales-crossing","title":"Запрет пересечения через теорему Фалеса","status":"ai_checked","definition_ids":["gabriel_graph","planar_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим, что два ребра \\(AC\\) и \\(BD\\), нарисованные отрезками, пересекаются внутренними точками. Тогда точки \\(A,B,C,D\\) являются вершинами выпуклого четырёхугольника. В любом выпуклом четырёхугольнике есть угол не меньше \\(90^\\circ\\); без ограничения общности пусть это угол \\(BAD\\). По теореме Фалеса точка \\(A\\) лежит в замкнутом диске с диаметром \\(BD\\): для точек на окружности угол равен \\(90^\\circ\\), а для точек внутри диска он больше \\(90^\\circ\\). Но тогда диаметральный диск ребра \\(BD\\) содержит другую точку множества, а значит \\(BD\\) не могло быть ребром графа Габриэля. Противоречие. Следовательно, такие пересечения невозможны."}],"relations":[{"id":"rel-gabriel-planarity-lemma-usamo-2025-p3","neighbor_id":"usamo-2025-p3-gabriel-graph-road-network","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-2004-p3-gabriel-straight-line-planarity","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"gabriel-graph-straight-line-planar прямолинейная планарность графа габриэля planar_graphs classical_theorem goal_proof aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2025 solution notes gabriel and sokal, a new statistical approach to geographic variation analysis https://academic.oup.com/sysbio/article/18/3/259/1624465 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2025_usamo_problems/problem_3 https://doi.org/10.1111/j.1538-4632.1980.tb00031.x https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2025-notes.pdf matula and sokal, properties of gabriel graphs relevant to geographic variation research and the clustering of points in the plane misc reference secondary_solution src-gabriel-sokal-1969 src-matula-sokal-1980-gabriel-properties src-usamo-2025-evan-chen-notes src-usamo-2025-p3-aops-wiki statement with_solution прочее ? aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 gabriel and sokal, a new statistical approach to geographic variation analysis matula and sokal, properties of gabriel graphs relevant to geographic variation research and the clustering of points in the plane evan chen, usamo 2025 solution notes stmt-original ai_checked пусть \\(x\\) — множество точек плоскости, никакие три точки из \\(x\\) не лежат на одной прямой. в графе габриэля на \\(x\\) соединены те и только те пары \\(a,b\\), для которых замкнутый диск с диаметром \\(ab\\) не содержит других точек из \\(x\\). тогда при рисовании рёбер отрезками между соответствующими точками никакие два ребра не пересекаются внутренними точками. gabriel_graph planar_graph idea-crossing-gives-forbidden-disk-point пересечение даёт точку в диаметральном диске если два отрезка-ребра пересекаются, их четыре конца образуют выпуклый четырёхугольник. у одного из его углов величина не меньше \\(90^\\circ\\), а значит соответствующая вершина лежит в замкнутом диске с диаметром противоположного ребра. planar_graphs ai_checked sol-thales-crossing запрет пересечения через теорему фалеса ai_checked gabriel_graph planar_graph предположим, что два ребра \\(ac\\) и \\(bd\\), нарисованные отрезками, пересекаются внутренними точками. тогда точки \\(a,b,c,d\\) являются вершинами выпуклого четырёхугольника. в любом выпуклом четырёхугольнике есть угол не меньше \\(90^\\circ\\); без ограничения общности пусть это угол \\(bad\\). по теореме фалеса точка \\(a\\) лежит в замкнутом диске с диаметром \\(bd\\): для точек на окружности угол равен \\(90^\\circ\\), а для точек внутри диска он больше \\(90^\\circ\\). но тогда диаметральный диск ребра \\(bd\\) содержит другую точку множества, а значит \\(bd\\) не могло быть ребром графа габриэля. противоречие. следовательно, такие пересечения невозможны. gabriel-graph-straight-line-planar pryamolineynaya planarnost grafa gabrielya planar_graphs classical_theorem goal_proof aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 evan chen, usamo 2025 solution notes gabriel and sokal, a new statistical approach to geographic variation analysis https://academic.oup.com/sysbio/article/18/3/259/1624465 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2025_usamo_problems/problem_3 https://doi.org/10.1111/j.1538-4632.1980.tb00031.x https://web.evanchen.cc/exams/usamo-2025-notes.pdf matula and sokal, properties of gabriel graphs relevant to geographic variation research and the clustering of points in the plane misc reference secondary_solution src-gabriel-sokal-1969 src-matula-sokal-1980-gabriel-properties src-usamo-2025-evan-chen-notes src-usamo-2025-p3-aops-wiki statement with_solution prochee ? aops wiki, 2025 usamo problems/problem 3 gabriel and sokal, a new statistical approach to geographic variation analysis matula and sokal, properties of gabriel graphs relevant to geographic variation research and the clustering of points in the plane evan chen, usamo 2025 solution notes stmt-original ai_checked pust \\(x\\) — mnozhestvo tochek ploskosti, nikakie tri tochki iz \\(x\\) ne lezhat na odnoy pryamoy. v grafe gabrielya na \\(x\\) soedineny te i tolko te pary \\(a,b\\), dlya kotoryh zamknutyy disk s diametrom \\(ab\\) ne soderzhit drugih tochek iz \\(x\\). togda pri risovanii reber otrezkami mezhdu sootvetstvuyuschimi tochkami nikakie dva rebra ne peresekayutsya vnutrennimi tochkami. gabriel_graph planar_graph idea-crossing-gives-forbidden-disk-point peresechenie daet tochku v diametralnom diske esli dva otrezka-rebra peresekayutsya, ih chetyre kontsa obrazuyut vypuklyy chetyrehugolnik. u odnogo iz ego uglov velichina ne menshe \\(90^\\circ\\), a znachit sootvetstvuyuschaya vershina lezhit v zamknutom diske s diametrom protivopolozhnogo rebra. planar_graphs ai_checked sol-thales-crossing zapret peresecheniya cherez teoremu falesa ai_checked gabriel_graph planar_graph predpolozhim, chto dva rebra \\(ac\\) i \\(bd\\), narisovannye otrezkami, peresekayutsya vnutrennimi tochkami. togda tochki \\(a,b,c,d\\) yavlyayutsya vershinami vypuklogo chetyrehugolnika. v lyubom vypuklom chetyrehugolnike est ugol ne menshe \\(90^\\circ\\); bez ogranicheniya obschnosti pust eto ugol \\(bad\\). po teoreme falesa tochka \\(a\\) lezhit v zamknutom diske s diametrom \\(bd\\): dlya tochek na okruzhnosti ugol raven \\(90^\\circ\\), a dlya tochek vnutri diska on bolshe \\(90^\\circ\\). no togda diametralnyy disk rebra \\(bd\\) soderzhit druguyu tochku mnozhestva, a znachit \\(bd\\) ne moglo byt rebrom grafa gabrielya. protivorechie. sledovatelno, takie peresecheniya nevozmozhny.","source_keys":["misc","usamo"]}
{"id":"gallai-hasse-roy-vitaver-theorem","title":"Теорема Галлаи-Хассе-Роя-Витавера о раскраске и ориентированных путях","path":"data\\problems\\classical\\gallai-hasse-roy-vitaver-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/gallai-hasse-roy-vitaver-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#gallai-hasse-roy-vitaver-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Gallai-Hasse-Roy-Vitaver theorem"],"year":"","type":"theorem","authors":["Tibor Gallai","Maria Hasse","Bernard Roy","L. M. Vitaver"],"tags":["coloring","classical_theorem","goal_characterization","extremal_choice"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Короткая классическая характеристика: нужно только аккуратно различать длину пути в рёбрах и число его вершин.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Хроматическое число через ориентации","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный простой граф. Для ориентации \\(D\\) графа \\(G\\) обозначим через \\(L(D)\\) наибольшее число рёбер в ориентированном пути в \\(D\\). Тогда \\(\\chi(G)=1+\\min_D L(D)\\), где минимум берётся по всем ориентациям рёбер графа \\(G\\).","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","path","chromatic_number"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-two-sided-form","title":"Две неравенства","status":"ai_checked","text":"В любой ориентации графа \\(G\\) есть ориентированный путь длины хотя бы \\(\\chi(G)-1\\). С другой стороны, существует ориентация, в которой каждый ориентированный путь имеет длину не больше \\(\\chi(G)-1\\).","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","path","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-path-length-potentials","title":"Доказательство через длины путей","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","path","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмем произвольную ориентацию \\(D\\) графа \\(G\\). Для каждой вершины \\(v\\) обозначим через \\(a(v)\\) максимальное число рёбер в ориентированном пути, который заканчивается в \\(v\\). Если есть дуга \\(u\\to v\\), то любой максимальный путь, заканчивающийся в \\(u\\), можно продолжить этой дугой, поэтому \\(a(v)\\ge a(u)+1\\). Значит, концы каждой дуги имеют разные значения \\(a\\), и раскраска вершины \\(v\\) в цвет \\(a(v)+1\\) является правильной раскраской исходного неориентированного графа. Все значения \\(a(v)\\) не превосходят \\(L(D)\\), поэтому использовано не больше \\(L(D)+1\\) цветов. Следовательно, \\(\\chi(G)\\le L(D)+1\\) для любой ориентации \\(D\\), то есть \\(L(D)\\ge \\chi(G)-1\\). Докажем обратное неравенство. Возьмем правильную раскраску графа \\(G\\) ровно в \\(\\chi(G)\\) цветов, пронумерованных \\(1,2,\\ldots,\\chi(G)\\). Ориентируем каждое ребро из вершины меньшего цвета в вершину большего цвета. Вдоль…"}],"relations":[{"id":"rel-ghrv-degeneracy","neighbor_id":"degeneracy-greedy-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ghrv-long-path-direction-ghrv-theorem","neighbor_id":"ghrv-every-orientation-long-directed-path","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ghrv-short-path-orientation-direction-ghrv-theorem","neighbor_id":"ghrv-coloring-orientation-short-path","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2016-team-p6-ghrv-two-sided-coloring","neighbor_id":"kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"gallai-hasse-roy-vitaver-theorem теорема галлаи-хассе-роя-витавера о раскраске и ориентированных путях coloring classical_theorem goal_characterization extremal_choice bernard roy bernardroy https://en.wikipedia.org/wiki/gallai%e2%80%93hasse%e2%80%93roy%e2%80%93vitaver_theorem l. m. vitaver lmvitaver maria hasse mariahasse misc src-wikipedia-gallai-hasse-roy-vitaver standard_reference tibor gallai tiborgallai wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem with_solution прочее tibor gallai maria hasse bernard roy l. m. vitaver wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem stmt-original-1 хроматическое число через ориентации ai_checked пусть \\(g\\) — конечный простой граф. для ориентации \\(d\\) графа \\(g\\) обозначим через \\(l(d)\\) наибольшее число рёбер в ориентированном пути в \\(d\\). тогда \\(\\chi(g)=1+\\min_d l(d)\\), где минимум берётся по всем ориентациям рёбер графа \\(g\\). simple_graph directed_graph path chromatic_number stmt-two-sided-form две неравенства ai_checked в любой ориентации графа \\(g\\) есть ориентированный путь длины хотя бы \\(\\chi(g)-1\\). с другой стороны, существует ориентация, в которой каждый ориентированный путь имеет длину не больше \\(\\chi(g)-1\\). simple_graph directed_graph path chromatic_number idea-color-by-longest-path-ending красить длиной максимального пути к вершине в фиксированной ориентации значение \\(a(v)\\), равное максимальной длине ориентированного пути, заканчивающегося в \\(v\\), строго возрастает вдоль каждой дуги. coloring extremal_choice ai_checked idea-orient-by-color ориентировать по возрастанию цвета если рёбра ориентировать от меньшего цвета к большему, то вдоль любого ориентированного пути цвета строго возрастают, поэтому путь не может быть длиннее числа цветов минус 1. coloring goal_characterization ai_checked sol-path-length-potentials доказательство через длины путей ai_checked simple_graph directed_graph path chromatic_number extremal_choice возьмем произвольную ориентацию \\(d\\) графа \\(g\\). для каждой вершины \\(v\\) обозначим через \\(a(v)\\) максимальное число рёбер в ориентированном пути, который заканчивается в \\(v\\). если есть дуга \\(u\\to v\\), то любой максимальный путь, заканчивающийся в \\(u\\), можно продолжить этой дугой, поэтому \\(a(v)\\ge a(u)+1\\). значит, концы каждой дуги имеют разные значения \\(a\\), и раскраска вершины \\(v\\) в цвет \\(a(v)+1\\) является правильной раскраской исходного неориентированного графа. все значения \\(a(v)\\) не превосходят \\(l(d)\\), поэтому использовано не больше \\(l(d)+1\\) цветов. следовательно, \\(\\chi(g)\\le l(d)+1\\) для любой ориентации \\(d\\), то есть \\(l(d)\\ge \\chi(g)-1\\). докажем обратное неравенство. возьмем правильную раскраску графа \\(g\\) ровно в \\(\\chi(g)\\) цветов, пронумерованных \\(1,2,\\ldots,\\chi(g)\\). ориентируем каждое ребро из вершины меньшего цвета в вершину большего цвета. вдоль… gallai-hasse-roy-vitaver-theorem teorema gallai-hasse-roya-vitavera o raskraske i orientirovannyh putyah coloring classical_theorem goal_characterization extremal_choice bernard roy bernardroy https://en.wikipedia.org/wiki/gallai%e2%80%93hasse%e2%80%93roy%e2%80%93vitaver_theorem l. m. vitaver lmvitaver maria hasse mariahasse misc src-wikipedia-gallai-hasse-roy-vitaver standard_reference tibor gallai tiborgallai wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem with_solution prochee tibor gallai maria hasse bernard roy l. m. vitaver wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem stmt-original-1 hromaticheskoe chislo cherez orientatsii ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy prostoy graf. dlya orientatsii \\(d\\) grafa \\(g\\) oboznachim cherez \\(l(d)\\) naibolshee chislo reber v orientirovannom puti v \\(d\\). togda \\(\\chi(g)=1+\\min_d l(d)\\), gde minimum beretsya po vsem orientatsiyam reber grafa \\(g\\). simple_graph directed_graph path chromatic_number stmt-two-sided-form dve neravenstva ai_checked v lyuboy orientatsii grafa \\(g\\) est orientirovannyy put dliny hotya by \\(\\chi(g)-1\\). s drugoy storony, suschestvuet orientatsiya, v kotoroy kazhdyy orientirovannyy put imeet dlinu ne bolshe \\(\\chi(g)-1\\). simple_graph directed_graph path chromatic_number idea-color-by-longest-path-ending krasit dlinoy maksimalnogo puti k vershine v fiksirovannoy orientatsii znachenie \\(a(v)\\), ravnoe maksimalnoy dline orientirovannogo puti, zakanchivayuschegosya v \\(v\\), strogo vozrastaet vdol kazhdoy dugi. coloring extremal_choice ai_checked idea-orient-by-color orientirovat po vozrastaniyu tsveta esli rebra orientirovat ot menshego tsveta k bolshemu, to vdol lyubogo orientirovannogo puti tsveta strogo vozrastayut, poetomu put ne mozhet byt dlinnee chisla tsvetov minus 1. coloring goal_characterization ai_checked sol-path-length-potentials dokazatelstvo cherez dliny putey ai_checked simple_graph directed_graph path chromatic_number extremal_choice vozmem proizvolnuyu orientatsiyu \\(d\\) grafa \\(g\\). dlya kazhdoy vershiny \\(v\\) oboznachim cherez \\(a(v)\\) maksimalnoe chislo reber v orientirovannom puti, kotoryy zakanchivaetsya v \\(v\\). esli est duga \\(u\\to v\\), to lyuboy maksimalnyy put, zakanchivayuschiysya v \\(u\\), mozhno prodolzhit etoy dugoy, poetomu \\(a(v)\\ge a(u)+1\\). znachit, kontsy kazhdoy dugi imeyut raznye znacheniya \\(a\\), i raskraska vershiny \\(v\\) v tsvet \\(a(v)+1\\) yavlyaetsya pravilnoy raskraskoy ishodnogo neorientirovannogo grafa. vse znacheniya \\(a(v)\\) ne prevoshodyat \\(l(d)\\), poetomu ispolzovano ne bolshe \\(l(d)+1\\) tsvetov. sledovatelno, \\(\\chi(g)\\le l(d)+1\\) dlya lyuboy orientatsii \\(d\\), to est \\(l(d)\\ge \\chi(g)-1\\). dokazhem obratnoe neravenstvo. vozmem pravilnuyu raskrasku grafa \\(g\\) rovno v \\(\\chi(g)\\) tsvetov, pronumerovannyh \\(1,2,\\ldots,\\chi(g)\\). orientiruem kazhdoe rebro iz vershiny menshego tsveta v vershinu bolshego tsveta. vdol…","source_keys":["misc"]}
{"id":"gallai-three-color-disconnected-class","title":"Лемма Галлаи: в 3-раскраске без радужных треугольников есть несвязный цвет","path":"data\\problems\\classical\\gallai-three-color-disconnected-class.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/gallai-three-color-disconnected-class.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#gallai-three-color-disconnected-class","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Gyarfás and Simonyi, Edge colorings of complete graphs without tricolored triangles"],"year":"","type":"theorem","authors":["Tibor Gallai","Andras Gyarfas and Gabor Simonyi"],"tags":["coloring","connectivity","classical_theorem","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":6,"comment":"Небольшой частный случай структуры раскрасок Галлаи; подходит как отдельная связанная карточка теоремы, а не как скрытый тяжёлый маркер.","status":"ai_checked"},"review_status":"source_verified","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"published_reference_with_transferred_proof","label":"перенесённое опубликованное доказательство","status":"source_verified","confidence":0.92,"basis":"Gyarfas-Simonyi 2004, лемма A","notes":"Доказательство Lemma A из опубликованной статьи перенесено в карточку и развёрнуто до самодостаточного уровня.","audit_source":"group-d-hamiltonian-brooks-ramsey-chromatic-audit"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"source_verified","text":"В любой раскраске рёбер полного графа в три цвета, если ни один треугольник не имеет три попарно различных цвета рёбер, то хотя бы один из трёх цветовых классов несвязен как остовный граф.","definition_ids":["complete_graph","connected_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-gyarfas-simonyi-lemma-a","title":"Доказательство леммы A Гьярфаша--Шимони","status":"source_verified","definition_ids":["complete_graph","connected_graph"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем эквивалентную контрапозитивную форму: если в раскраске рёбер полного графа без радужных треугольников все использованные цвета связны как остовные графы, то цветов не может быть три или больше. Для нашей карточки это сразу даёт нужное утверждение для трёх цветов. Предположим противное и выберем минимальный по числу вершин контрпример \\(G\\): это галлаева раскраска полного графа, в ней использованы хотя бы три цвета, и каждый цветовой класс связен. В таком минимальном контрпримере у каждой вершины есть инцидентные рёбра всех цветов. Действительно, если вершина \\(x\\) не инцидентна ни одному ребру цвета \\(c\\), то в графе цвета \\(c\\) вершина \\(x\\) изолирована, а значит цвет \\(c\\) уже несвязен. Зафиксируем вершину \\(x\\) и рассмотрим раскраску \\(H=G-x\\). Если в \\(H\\) осталось только два цвета, то любой третий цвет в \\(G\\) встречается только на рёбрах из \\(x\\), то есть его цветовой граф…"}],"relations":[{"id":"rel-gallai-three-color-usa-tst-2013-rainbow-triangle-count","neighbor_id":"usa-tst-2013-dec-p1-language-club-rainbow-triangles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-gallai-three-color-imo-1998-c6-small-k-rainbow-obstruction","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-gallai-three-color-ms2012-p3-monochromatic-components-chromatic","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-gallai-three-color-ms2011-p2-disconnected-color-cut","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2011-p2-min-degree-monochromatic-connected-subgraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-gallai-three-color-ms2009-p1-rainbow-clique-cover","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p1-k17-edge-coloring-cards","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-gallai-three-color-miklos-schweitzer-2016-p2","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2016-p2-complete-graph-collinear-edge-labels","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"gallai-three-color-disconnected-class лемма галлаи: в 3-раскраске без радужных треугольников есть несвязный цвет coloring connectivity classical_theorem goal_proof andras gyarfas and gabor simonyi andrasgyarfasandgaborsimonyi gyarfás and simonyi, edge colorings of complete graphs without tricolored triangles https://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/seminars/kombszem/cikkek/szemi_gallai_color.pdf misc paper src-gyarfas-simonyi-gallai-colorings-2004 tibor gallai tiborgallai with_solution прочее tibor gallai andras gyarfas and gabor simonyi gyarfás and simonyi, edge colorings of complete graphs without tricolored triangles stmt-original-1 source_verified в любой раскраске рёбер полного графа в три цвета, если ни один треугольник не имеет три попарно различных цвета рёбер, то хотя бы один из трёх цветовых классов несвязен как остовный граф. complete_graph connected_graph triangle idea-no-three-connected-colors три связных цвета вынуждают радужный треугольник удобна контрапозитивная форма: если в трёхцветной раскраске рёбер полного графа все три цветовых класса связны, то существует радужный треугольник. coloring connectivity ai_checked sol-gyarfas-simonyi-lemma-a доказательство леммы a гьярфаша--шимони source_verified complete_graph connected_graph minimal_counterexample докажем эквивалентную контрапозитивную форму: если в раскраске рёбер полного графа без радужных треугольников все использованные цвета связны как остовные графы, то цветов не может быть три или больше. для нашей карточки это сразу даёт нужное утверждение для трёх цветов. предположим противное и выберем минимальный по числу вершин контрпример \\(g\\): это галлаева раскраска полного графа, в ней использованы хотя бы три цвета, и каждый цветовой класс связен. в таком минимальном контрпримере у каждой вершины есть инцидентные рёбра всех цветов. действительно, если вершина \\(x\\) не инцидентна ни одному ребру цвета \\(c\\), то в графе цвета \\(c\\) вершина \\(x\\) изолирована, а значит цвет \\(c\\) уже несвязен. зафиксируем вершину \\(x\\) и рассмотрим раскраску \\(h=g-x\\). если в \\(h\\) осталось только два цвета, то любой третий цвет в \\(g\\) встречается только на рёбрах из \\(x\\), то есть его цветовой граф… gallai-three-color-disconnected-class lemma gallai: v 3-raskraske bez raduzhnyh treugolnikov est nesvyaznyy tsvet coloring connectivity classical_theorem goal_proof andras gyarfas and gabor simonyi andrasgyarfasandgaborsimonyi gyarfás and simonyi, edge colorings of complete graphs without tricolored triangles https://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/seminars/kombszem/cikkek/szemi_gallai_color.pdf misc paper src-gyarfas-simonyi-gallai-colorings-2004 tibor gallai tiborgallai with_solution prochee tibor gallai andras gyarfas and gabor simonyi gyarfás and simonyi, edge colorings of complete graphs without tricolored triangles stmt-original-1 source_verified v lyuboy raskraske reber polnogo grafa v tri tsveta, esli ni odin treugolnik ne imeet tri poparno razlichnyh tsveta reber, to hotya by odin iz treh tsvetovyh klassov nesvyazen kak ostovnyy graf. complete_graph connected_graph triangle idea-no-three-connected-colors tri svyaznyh tsveta vynuzhdayut raduzhnyy treugolnik udobna kontrapozitivnaya forma: esli v trehtsvetnoy raskraske reber polnogo grafa vse tri tsvetovyh klassa svyazny, to suschestvuet raduzhnyy treugolnik. coloring connectivity ai_checked sol-gyarfas-simonyi-lemma-a dokazatelstvo lemmy a gyarfasha--shimoni source_verified complete_graph connected_graph minimal_counterexample dokazhem ekvivalentnuyu kontrapozitivnuyu formu: esli v raskraske reber polnogo grafa bez raduzhnyh treugolnikov vse ispolzovannye tsveta svyazny kak ostovnye grafy, to tsvetov ne mozhet byt tri ili bolshe. dlya nashey kartochki eto srazu daet nuzhnoe utverzhdenie dlya treh tsvetov. predpolozhim protivnoe i vyberem minimalnyy po chislu vershin kontrprimer \\(g\\): eto gallaeva raskraska polnogo grafa, v ney ispolzovany hotya by tri tsveta, i kazhdyy tsvetovoy klass svyazen. v takom minimalnom kontrprimere u kazhdoy vershiny est intsidentnye rebra vseh tsvetov. deystvitelno, esli vershina \\(x\\) ne intsidentna ni odnomu rebru tsveta \\(c\\), to v grafe tsveta \\(c\\) vershina \\(x\\) izolirovana, a znachit tsvet \\(c\\) uzhe nesvyazen. zafiksiruem vershinu \\(x\\) i rassmotrim raskrasku \\(h=g-x\\). esli v \\(h\\) ostalos tolko dva tsveta, to lyuboy tretiy tsvet v \\(g\\) vstrechaetsya tolko na rebrah iz \\(x\\), to est ego tsvetovoy graf…","source_keys":["misc"]}
{"id":"ghrv-coloring-orientation-short-path","title":"Ориентация раскрашенного графа без слишком длинных ориентированных путей","path":"data\\problems\\classical\\ghrv-coloring-orientation-short-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ghrv-coloring-orientation-short-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ghrv-coloring-orientation-short-path","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Gallai-Hasse-Roy-Vitaver theorem"],"year":"","type":"lemma","authors":["Tibor Gallai","Maria Hasse","Bernard Roy","L. M. Vitaver"],"tags":["coloring","classical_lemma","goal_construction","potential_function"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":2,"comment":"Конструктивная сторона GHRV: направление рёбер по цветам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"classical_self_contained","label":"классическое самодостаточное доказательство","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Карточка содержит стандартное самодостаточное направление теоремы Галлаи-Хассе-Роя-Витавера.","notes":"Доказательство использует монотонность цветов вдоль ориентированного ребра.","audit_source":"manual-status-audit-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Верхняя оценка через раскраску","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный простой граф, правильно раскрашенный в \\(k\\) цветов. Тогда рёбра графа \\(G\\) можно ориентировать так, что каждый ориентированный путь содержит не больше \\(k-1\\) рёбер. В частности, существует ориентация графа \\(G\\), в которой каждый ориентированный путь имеет длину не больше \\(\\chi(G)-1\\).","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","path","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-monotone-colors","title":"Монотонность цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","path","chromatic_number"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пронумеруем цвета числами \\(1,2,\\ldots,k\\). Каждое ребро между вершинами цветов \\(i\\) и \\(j\\) ориентируем от вершины меньшего цвета к вершине большего цвета. Правильность раскраски гарантирует, что концы ребра имеют разные цвета, поэтому ориентация определена корректно. Вдоль любого ориентированного пути цвет вершины на каждом шаге строго увеличивается. Значит, такой путь проходит через вершины попарно различных цветов в возрастающем порядке и содержит не больше \\(k\\) вершин, то есть не больше \\(k-1\\) рёбер. Применяя это к правильной раскраске в \\(\\chi(G)\\) цветов, получаем ориентацию, в которой все ориентированные пути имеют длину не больше \\(\\chi(G)-1\\)."}],"relations":[{"id":"rel-ghrv-short-path-orientation-direction-ghrv-theorem","neighbor_id":"gallai-hasse-roy-vitaver-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"ghrv-coloring-orientation-short-path ориентация раскрашенного графа без слишком длинных ориентированных путей coloring classical_lemma goal_construction potential_function bernard roy bernardroy https://en.wikipedia.org/wiki/gallai%e2%80%93hasse%e2%80%93roy%e2%80%93vitaver_theorem l. m. vitaver lmvitaver maria hasse mariahasse misc src-wikipedia-gallai-hasse-roy-vitaver standard_reference tibor gallai tiborgallai wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem with_solution прочее tibor gallai maria hasse bernard roy l. m. vitaver wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem stmt-original верхняя оценка через раскраску ai_checked пусть \\(g\\) — конечный простой граф, правильно раскрашенный в \\(k\\) цветов. тогда рёбра графа \\(g\\) можно ориентировать так, что каждый ориентированный путь содержит не больше \\(k-1\\) рёбер. в частности, существует ориентация графа \\(g\\), в которой каждый ориентированный путь имеет длину не больше \\(\\chi(g)-1\\). simple_graph directed_graph path chromatic_number idea-orient-up-colors ориентировать по возрастанию цвета если каждое ребро направить от меньшего цвета к большему, то вдоль ориентированного пути цвета строго возрастают. coloring potential_function ai_checked sol-monotone-colors монотонность цветов ai_checked simple_graph directed_graph path chromatic_number пронумеруем цвета числами \\(1,2,\\ldots,k\\). каждое ребро между вершинами цветов \\(i\\) и \\(j\\) ориентируем от вершины меньшего цвета к вершине большего цвета. правильность раскраски гарантирует, что концы ребра имеют разные цвета, поэтому ориентация определена корректно. вдоль любого ориентированного пути цвет вершины на каждом шаге строго увеличивается. значит, такой путь проходит через вершины попарно различных цветов в возрастающем порядке и содержит не больше \\(k\\) вершин, то есть не больше \\(k-1\\) рёбер. применяя это к правильной раскраске в \\(\\chi(g)\\) цветов, получаем ориентацию, в которой все ориентированные пути имеют длину не больше \\(\\chi(g)-1\\). ghrv-coloring-orientation-short-path orientatsiya raskrashennogo grafa bez slishkom dlinnyh orientirovannyh putey coloring classical_lemma goal_construction potential_function bernard roy bernardroy https://en.wikipedia.org/wiki/gallai%e2%80%93hasse%e2%80%93roy%e2%80%93vitaver_theorem l. m. vitaver lmvitaver maria hasse mariahasse misc src-wikipedia-gallai-hasse-roy-vitaver standard_reference tibor gallai tiborgallai wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem with_solution prochee tibor gallai maria hasse bernard roy l. m. vitaver wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem stmt-original verhnyaya otsenka cherez raskrasku ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy prostoy graf, pravilno raskrashennyy v \\(k\\) tsvetov. togda rebra grafa \\(g\\) mozhno orientirovat tak, chto kazhdyy orientirovannyy put soderzhit ne bolshe \\(k-1\\) reber. v chastnosti, suschestvuet orientatsiya grafa \\(g\\), v kotoroy kazhdyy orientirovannyy put imeet dlinu ne bolshe \\(\\chi(g)-1\\). simple_graph directed_graph path chromatic_number idea-orient-up-colors orientirovat po vozrastaniyu tsveta esli kazhdoe rebro napravit ot menshego tsveta k bolshemu, to vdol orientirovannogo puti tsveta strogo vozrastayut. coloring potential_function ai_checked sol-monotone-colors monotonnost tsvetov ai_checked simple_graph directed_graph path chromatic_number pronumeruem tsveta chislami \\(1,2,\\ldots,k\\). kazhdoe rebro mezhdu vershinami tsvetov \\(i\\) i \\(j\\) orientiruem ot vershiny menshego tsveta k vershine bolshego tsveta. pravilnost raskraski garantiruet, chto kontsy rebra imeyut raznye tsveta, poetomu orientatsiya opredelena korrektno. vdol lyubogo orientirovannogo puti tsvet vershiny na kazhdom shage strogo uvelichivaetsya. znachit, takoy put prohodit cherez vershiny poparno razlichnyh tsvetov v vozrastayuschem poryadke i soderzhit ne bolshe \\(k\\) vershin, to est ne bolshe \\(k-1\\) reber. primenyaya eto k pravilnoy raskraske v \\(\\chi(g)\\) tsvetov, poluchaem orientatsiyu, v kotoroy vse orientirovannye puti imeyut dlinu ne bolshe \\(\\chi(g)-1\\).","source_keys":["misc"]}
{"id":"ghrv-every-orientation-long-directed-path","title":"Длинный ориентированный путь в любой ориентации графа","path":"data\\problems\\classical\\ghrv-every-orientation-long-directed-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ghrv-every-orientation-long-directed-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ghrv-every-orientation-long-directed-path","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Gallai-Hasse-Roy-Vitaver theorem"],"year":"","type":"lemma","authors":["Tibor Gallai","Maria Hasse","Bernard Roy","L. M. Vitaver"],"tags":["coloring","classical_lemma","goal_bound","potential_function"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Одна сторона теоремы Галлаи-Хассе-Роя-Витавера; доказательство короткое, но полезно как отдельный инструмент.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"classical_self_contained","label":"классическое самодостаточное доказательство","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Карточка содержит стандартное самодостаточное направление теоремы Галлаи-Хассе-Роя-Витавера.","notes":"Доказательство раскрашивает вершины длинами максимальных ориентированных путей.","audit_source":"manual-status-audit-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Нижняя оценка на путь","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный простой граф с хроматическим числом \\(\\chi(G)\\). Тогда в любой ориентации рёбер графа \\(G\\) есть ориентированный путь, содержащий не меньше \\(\\chi(G)-1\\) рёбер.","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","path","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-path-potential-coloring","title":"Раскраска длинами путей","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","path","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем произвольную ориентацию \\(D\\) графа \\(G\\). Для вершины \\(v\\) обозначим через \\(a(v)\\) максимальное число рёбер в ориентированном пути, который заканчивается в \\(v\\). Если в \\(D\\) есть дуга \\(u\\to v\\), то любой максимальный путь, заканчивающийся в \\(u\\), можно продолжить этой дугой, поэтому \\(a(v)\\ge a(u)+1\\). Значит, значения \\(a\\) на концах любого ребра различны. Следовательно, раскраска вершины \\(v\\) в цвет \\(a(v)+1\\) является правильной раскраской графа \\(G\\). Если бы все ориентированные пути имели меньше \\(\\chi(G)-1\\) рёбер, то все значения \\(a(v)\\) были бы не больше \\(\\chi(G)-2\\), и мы получили бы правильную раскраску графа в не более чем \\(\\chi(G)-1\\) цветов. Это противоречит определению хроматического числа. Поэтому в данной ориентации существует ориентированный путь длины хотя бы \\(\\chi(G)-1\\)."}],"relations":[{"id":"rel-ghrv-long-path-direction-ghrv-theorem","neighbor_id":"gallai-hasse-roy-vitaver-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2016-team-p6-ghrv-longest-path-coloring","neighbor_id":"kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"ghrv-every-orientation-long-directed-path длинный ориентированный путь в любой ориентации графа coloring classical_lemma goal_bound potential_function bernard roy bernardroy https://en.wikipedia.org/wiki/gallai%e2%80%93hasse%e2%80%93roy%e2%80%93vitaver_theorem l. m. vitaver lmvitaver maria hasse mariahasse misc src-wikipedia-gallai-hasse-roy-vitaver standard_reference tibor gallai tiborgallai wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem with_solution прочее tibor gallai maria hasse bernard roy l. m. vitaver wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem stmt-original нижняя оценка на путь ai_checked пусть \\(g\\) — конечный простой граф с хроматическим числом \\(\\chi(g)\\). тогда в любой ориентации рёбер графа \\(g\\) есть ориентированный путь, содержащий не меньше \\(\\chi(g)-1\\) рёбер. simple_graph directed_graph path chromatic_number idea-longest-path-potential длина пути как потенциал для каждой вершины берём максимальную длину ориентированного пути, который в ней заканчивается; вдоль каждой дуги этот потенциал строго возрастает. coloring potential_function ai_checked sol-path-potential-coloring раскраска длинами путей ai_checked simple_graph directed_graph path chromatic_number extremal_choice зафиксируем произвольную ориентацию \\(d\\) графа \\(g\\). для вершины \\(v\\) обозначим через \\(a(v)\\) максимальное число рёбер в ориентированном пути, который заканчивается в \\(v\\). если в \\(d\\) есть дуга \\(u\\to v\\), то любой максимальный путь, заканчивающийся в \\(u\\), можно продолжить этой дугой, поэтому \\(a(v)\\ge a(u)+1\\). значит, значения \\(a\\) на концах любого ребра различны. следовательно, раскраска вершины \\(v\\) в цвет \\(a(v)+1\\) является правильной раскраской графа \\(g\\). если бы все ориентированные пути имели меньше \\(\\chi(g)-1\\) рёбер, то все значения \\(a(v)\\) были бы не больше \\(\\chi(g)-2\\), и мы получили бы правильную раскраску графа в не более чем \\(\\chi(g)-1\\) цветов. это противоречит определению хроматического числа. поэтому в данной ориентации существует ориентированный путь длины хотя бы \\(\\chi(g)-1\\). ghrv-every-orientation-long-directed-path dlinnyy orientirovannyy put v lyuboy orientatsii grafa coloring classical_lemma goal_bound potential_function bernard roy bernardroy https://en.wikipedia.org/wiki/gallai%e2%80%93hasse%e2%80%93roy%e2%80%93vitaver_theorem l. m. vitaver lmvitaver maria hasse mariahasse misc src-wikipedia-gallai-hasse-roy-vitaver standard_reference tibor gallai tiborgallai wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem with_solution prochee tibor gallai maria hasse bernard roy l. m. vitaver wikipedia, gallai-hasse-roy-vitaver theorem stmt-original nizhnyaya otsenka na put ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy prostoy graf s hromaticheskim chislom \\(\\chi(g)\\). togda v lyuboy orientatsii reber grafa \\(g\\) est orientirovannyy put, soderzhaschiy ne menshe \\(\\chi(g)-1\\) reber. simple_graph directed_graph path chromatic_number idea-longest-path-potential dlina puti kak potentsial dlya kazhdoy vershiny berem maksimalnuyu dlinu orientirovannogo puti, kotoryy v ney zakanchivaetsya; vdol kazhdoy dugi etot potentsial strogo vozrastaet. coloring potential_function ai_checked sol-path-potential-coloring raskraska dlinami putey ai_checked simple_graph directed_graph path chromatic_number extremal_choice zafiksiruem proizvolnuyu orientatsiyu \\(d\\) grafa \\(g\\). dlya vershiny \\(v\\) oboznachim cherez \\(a(v)\\) maksimalnoe chislo reber v orientirovannom puti, kotoryy zakanchivaetsya v \\(v\\). esli v \\(d\\) est duga \\(u\\to v\\), to lyuboy maksimalnyy put, zakanchivayuschiysya v \\(u\\), mozhno prodolzhit etoy dugoy, poetomu \\(a(v)\\ge a(u)+1\\). znachit, znacheniya \\(a\\) na kontsah lyubogo rebra razlichny. sledovatelno, raskraska vershiny \\(v\\) v tsvet \\(a(v)+1\\) yavlyaetsya pravilnoy raskraskoy grafa \\(g\\). esli by vse orientirovannye puti imeli menshe \\(\\chi(g)-1\\) reber, to vse znacheniya \\(a(v)\\) byli by ne bolshe \\(\\chi(g)-2\\), i my poluchili by pravilnuyu raskrasku grafa v ne bolee chem \\(\\chi(g)-1\\) tsvetov. eto protivorechit opredeleniyu hromaticheskogo chisla. poetomu v dannoy orientatsii suschestvuet orientirovannyy put dliny hotya by \\(\\chi(g)-1\\).","source_keys":["misc"]}
{"id":"greedy-strong-edge-coloring-bound","title":"Жадная оценка сильной рёберной раскраски","path":"data\\problems\\classical\\greedy-strong-edge-coloring-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/greedy-strong-edge-coloring-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#greedy-strong-edge-coloring-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["ФЮМ 2012, первый тур (a), задача 10","Chang and Liu, Strong Edge-Coloring for Cubic Halin Graphs (standard bound χ'_s(G) ≤ 2Δ^2 − 2Δ + 1)"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","classical_theorem","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Стандартная жадная оценка через подсчёт рёбер на расстоянии два для сильной рёберной раскраски; задача ФЮМ 2012 — случай Delta = 11, дающий 221 цвет.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-greedy-strong-edge-coloring-bound","title":"Жадная оценка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный граф максимальной степени не больше \\(\\Delta\\). Тогда рёбра \\(G\\) можно раскрасить не более чем в \\(2\\Delta^2-2\\Delta+1\\) цвет так, чтобы каждый цветовой класс был индуцированным паросочетанием.","definition_ids":["degree","matching"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-fyum-2012-delta-11-instance","title":"ФЮМ 2012: случай \\(\\Delta=11\\)","status":"ai_checked","text":"Граф имеет максимальную степень не больше 11. Докажите, что его рёбра можно раскрасить в 221 цвет так, чтобы любые два ребра одного цвета не имели общих концов и ни одно ребро не было смежно с ними обоими.","definition_ids":["degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-greedy-distance-two-counting","title":"Жадное доказательство подсчётом","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","matching"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Упорядочим рёбра произвольно и будем красить их по одному. Пусть очередное ребро равно \\(e=uv\\). Цвет запрещён для \\(e\\) ровно тогда, когда он уже появился на ребре, находящемся от \\(e\\) на рёберном расстоянии не больше двух: два ребра одного цвета должны образовывать индуцированное паросочетание вместе со всеми остальными рёбрами этого цвета. С ребром \\(e\\) смежно не более \\((\\Delta-1)+(\\Delta-1)=2\\Delta-2\\) рёбер. Со стороны \\(u\\) каждое из не более чем \\(\\Delta-1\\) смежных рёбер ведёт к дальнейшему концу, из которого выходит не более \\(\\Delta-1\\) дополнительных рёбер; значит, эта сторона даёт не более \\((\\Delta-1)^2\\) рёбер на расстоянии два. Такая же оценка верна со стороны \\(v\\). Поэтому число уже окрашенных рёбер, чьи цвета могут быть запрещены, не превосходит \\[ (2\\Delta-2)+2(\\Delta-1)^2=2\\Delta^2-2\\Delta. \\] При \\(2\\Delta^2-2\\Delta+1\\) цветах для \\(e\\) остаётся хотя бы один дост…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2012-2013-strong-edge-coloring-distance-two","neighbor_id":"fyum-2013-tur2a-p1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-spbmo2003-p5-to-strong-edge-coloring-conflict-distance","neighbor_id":"spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-greedy-strong-edge-digraph-outdegree-coloring-motif","neighbor_id":"digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"greedy-strong-edge-coloring-bound жадная оценка сильной рёберной раскраски coloring classical_theorem goal_bound chang and liu, strong edge-coloring for cubic halin graphs (standard bound χ'_s(g) ≤ 2δ^2 − 2δ + 1) https://www.guas.info/competit/fest/fest23/tur1a.tex https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2011-10.pdf misc olympiad_archive reference src-fyum-2012-tur1a-p10-official src-ntu-strong-edge-coloring-trivial-bound with_solution прочее фюм 2012, первый тур (a), задача 10 ? фюм 2012, первый тур (a), задача 10 chang and liu, strong edge-coloring for cubic halin graphs (standard bound χ'_s(g) ≤ 2δ^2 − 2δ + 1) stmt-greedy-strong-edge-coloring-bound жадная оценка ai_checked пусть \\(g\\) — конечный граф максимальной степени не больше \\(\\delta\\). тогда рёбра \\(g\\) можно раскрасить не более чем в \\(2\\delta^2-2\\delta+1\\) цвет так, чтобы каждый цветовой класс был индуцированным паросочетанием. degree matching stmt-fyum-2012-delta-11-instance фюм 2012: случай \\(\\delta=11\\) ai_checked граф имеет максимальную степень не больше 11. докажите, что его рёбра можно раскрасить в 221 цвет так, чтобы любые два ребра одного цвета не имели общих концов и ни одно ребро не было смежно с ними обоими. degree idea-count-distance-two-edge-conflicts посчитать конфликтующие рёбра на расстоянии не больше двух при жадной раскраске очередного ребра запрещены только цвета, уже использованные на рёбрах, смежных с ним или смежных с одним из таких смежных рёбер. ограничение на максимальную степень даёт не более \\(2\\delta^2-2\\delta\\) таких ранее окрашенных рёбер. coloring ai_checked sol-greedy-distance-two-counting жадное доказательство подсчётом ai_checked degree matching greedy_ordering упорядочим рёбра произвольно и будем красить их по одному. пусть очередное ребро равно \\(e=uv\\). цвет запрещён для \\(e\\) ровно тогда, когда он уже появился на ребре, находящемся от \\(e\\) на рёберном расстоянии не больше двух: два ребра одного цвета должны образовывать индуцированное паросочетание вместе со всеми остальными рёбрами этого цвета. с ребром \\(e\\) смежно не более \\((\\delta-1)+(\\delta-1)=2\\delta-2\\) рёбер. со стороны \\(u\\) каждое из не более чем \\(\\delta-1\\) смежных рёбер ведёт к дальнейшему концу, из которого выходит не более \\(\\delta-1\\) дополнительных рёбер; значит, эта сторона даёт не более \\((\\delta-1)^2\\) рёбер на расстоянии два. такая же оценка верна со стороны \\(v\\). поэтому число уже окрашенных рёбер, чьи цвета могут быть запрещены, не превосходит \\[ (2\\delta-2)+2(\\delta-1)^2=2\\delta^2-2\\delta. \\] при \\(2\\delta^2-2\\delta+1\\) цветах для \\(e\\) остаётся хотя бы один дост… greedy-strong-edge-coloring-bound zhadnaya otsenka silnoy rebernoy raskraski coloring classical_theorem goal_bound chang and liu, strong edge-coloring for cubic halin graphs (standard bound χ'_s(g) ≤ 2δ^2 − 2δ + 1) https://www.guas.info/competit/fest/fest23/tur1a.tex https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2011-10.pdf misc olympiad_archive reference src-fyum-2012-tur1a-p10-official src-ntu-strong-edge-coloring-trivial-bound with_solution prochee fyum 2012, pervyy tur (a), zadacha 10 ? fyum 2012, pervyy tur (a), zadacha 10 chang and liu, strong edge-coloring for cubic halin graphs (standard bound χ'_s(g) ≤ 2δ^2 − 2δ + 1) stmt-greedy-strong-edge-coloring-bound zhadnaya otsenka ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy graf maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(\\delta\\). togda rebra \\(g\\) mozhno raskrasit ne bolee chem v \\(2\\delta^2-2\\delta+1\\) tsvet tak, chtoby kazhdyy tsvetovoy klass byl indutsirovannym parosochetaniem. degree matching stmt-fyum-2012-delta-11-instance fyum 2012: sluchay \\(\\delta=11\\) ai_checked graf imeet maksimalnuyu stepen ne bolshe 11. dokazhite, chto ego rebra mozhno raskrasit v 221 tsvet tak, chtoby lyubye dva rebra odnogo tsveta ne imeli obschih kontsov i ni odno rebro ne bylo smezhno s nimi oboimi. degree idea-count-distance-two-edge-conflicts poschitat konfliktuyuschie rebra na rasstoyanii ne bolshe dvuh pri zhadnoy raskraske ocherednogo rebra zaprescheny tolko tsveta, uzhe ispolzovannye na rebrah, smezhnyh s nim ili smezhnyh s odnim iz takih smezhnyh reber. ogranichenie na maksimalnuyu stepen daet ne bolee \\(2\\delta^2-2\\delta\\) takih ranee okrashennyh reber. coloring ai_checked sol-greedy-distance-two-counting zhadnoe dokazatelstvo podschetom ai_checked degree matching greedy_ordering uporyadochim rebra proizvolno i budem krasit ih po odnomu. pust ocherednoe rebro ravno \\(e=uv\\). tsvet zapreschen dlya \\(e\\) rovno togda, kogda on uzhe poyavilsya na rebre, nahodyaschemsya ot \\(e\\) na rebernom rasstoyanii ne bolshe dvuh: dva rebra odnogo tsveta dolzhny obrazovyvat indutsirovannoe parosochetanie vmeste so vsemi ostalnymi rebrami etogo tsveta. s rebrom \\(e\\) smezhno ne bolee \\((\\delta-1)+(\\delta-1)=2\\delta-2\\) reber. so storony \\(u\\) kazhdoe iz ne bolee chem \\(\\delta-1\\) smezhnyh reber vedet k dalneyshemu kontsu, iz kotorogo vyhodit ne bolee \\(\\delta-1\\) dopolnitelnyh reber; znachit, eta storona daet ne bolee \\((\\delta-1)^2\\) reber na rasstoyanii dva. takaya zhe otsenka verna so storony \\(v\\). poetomu chislo uzhe okrashennyh reber, chi tsveta mogut byt zaprescheny, ne prevoshodit \\[ (2\\delta-2)+2(\\delta-1)^2=2\\delta^2-2\\delta. \\] pri \\(2\\delta^2-2\\delta+1\\) tsvetah dlya \\(e\\) ostaetsya hotya by odin dost…","source_keys":["misc","fyum"]}
{"id":"grid-boundary-components-coloring-lemma","title":"Лемма о компонентах графа границ в двуцветной раскраске клетчатой доски","path":"data\\problems\\classical\\grid-boundary-components-coloring-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/grid-boundary-components-coloring-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#grid-boundary-components-coloring-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["BMO 2022 официальная архивная страница"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["connectivity","coloring","planar_graphs","double_counting","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":5,"comment":"Выделенный инструмент из решения BMO 2022 P4: идея естественная, но требует аккуратного перехода от раскраски к графу границ и локального подсчёта степеней у узлов решётки.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-boundary-components","title":"","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим раскраску клеток доски \\(n\\times n\\) в два цвета. Построим граф границ \\(B\\): его вершины — все \\((n+1)^2\\) узлов решётки, а две соседние по стороне решётки вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующий отрезок является общей стороной двух клеток разных цветов. Компоненту графа \\(B\\), содержащую хотя бы одно ребро, назовём нетривиальной. Тогда число монохроматических областей клеток, где клетки одной области имеют один цвет и связаны через общие вершины, не превосходит числа нетривиальных компонент графа \\(B\\) плюс \\(1\\). Кроме того, если \\(n\\) нечётно, то число нетривиальных компонент графа \\(B\\) не превосходит \\((n+1)^2/4\\).","definition_ids":["degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-boundary-component-count","title":"Граф границ и подсчёт компонент","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(N\\) — число нетривиальных компонент графа границ \\(B\\). Сначала докажем оценку на число областей. Если забыть все границы между разными цветами, вся доска является одной связной областью в смысле движения между клетками через общую вершину. Теперь добавим обратно нетривиальные компоненты границы по одной. Рёбра одной такой компоненты образуют связную преграду между красными и синими клетками; при добавлении этой преграды уже существующая область либо не делится, либо делится на две части. Значит, каждая компонента увеличивает число монохроматических областей не более чем на \\(1\\), и всего областей не больше \\(N+1\\). Осталось оценить \\(N\\) для нечётного \\(n\\). В угловых узлах решётки степень в \\(B\\) равна \\(0\\), потому что через угол не проходит внутренняя сторона между двумя клетками. В неугловом узле на границе доски степень равна \\(0\\) или \\(1\\). Во внутреннем узле сходятся че…"}],"relations":[{"id":"rel-grid-boundary-components-bmo-2022-p4","neighbor_id":"bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2004-grid-components-lemma","neighbor_id":"putnam-2004-a5-random-checkerboard-components","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"grid-boundary-components-coloring-lemma лемма о компонентах графа границ в двуцветной раскраске клетчатой доски connectivity coloring planar_graphs double_counting goal_bound bmo 2022 официальная архивная страница https://www.cms.org.cy/pages/competitions/bmo-2022-4-9-may-2022/39th-balkan-mathematical-olympiad-%e2%80%93-bmo-2022-second-announcement1647515569 misc official_archive src-bmo-2022-official with_solution прочее ? bmo 2022 официальная архивная страница stmt-boundary-components ai_checked рассмотрим раскраску клеток доски \\(n\\times n\\) в два цвета. построим граф границ \\(b\\): его вершины — все \\((n+1)^2\\) узлов решётки, а две соседние по стороне решётки вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующий отрезок является общей стороной двух клеток разных цветов. компоненту графа \\(b\\), содержащую хотя бы одно ребро, назовём нетривиальной. тогда число монохроматических областей клеток, где клетки одной области имеют один цвет и связаны через общие вершины, не превосходит числа нетривиальных компонент графа \\(b\\) плюс \\(1\\). кроме того, если \\(n\\) нечётно, то число нетривиальных компонент графа \\(b\\) не превосходит \\((n+1)^2/4\\). degree idea-boundaries-split-regions компоненты границы добавляют области по одной если стирать все границы между разными цветами, остаётся одна область. возвращая нетривиальные компоненты графа границ по одной, каждая новая компонента может увеличить число монохроматических областей не более чем на один. connectivity ai_checked idea-local-degrees-limit-components локальные степени ограничивают число компонент в углах доски степень в графе границ равна нулю; в неугловых граничных узлах она равна 0 или 1; во внутренних узлах она чётна, то есть равна 0, 2 или 4. поэтому почти каждая нетривиальная компонента требует как минимум четыре узла решётки, а исключения возможны только около четырёх углов. double_counting connectivity ai_checked sol-boundary-component-count граф границ и подсчёт компонент ai_checked degree double_counting пусть \\(n\\) — число нетривиальных компонент графа границ \\(b\\). сначала докажем оценку на число областей. если забыть все границы между разными цветами, вся доска является одной связной областью в смысле движения между клетками через общую вершину. теперь добавим обратно нетривиальные компоненты границы по одной. рёбра одной такой компоненты образуют связную преграду между красными и синими клетками; при добавлении этой преграды уже существующая область либо не делится, либо делится на две части. значит, каждая компонента увеличивает число монохроматических областей не более чем на \\(1\\), и всего областей не больше \\(n+1\\). осталось оценить \\(n\\) для нечётного \\(n\\). в угловых узлах решётки степень в \\(b\\) равна \\(0\\), потому что через угол не проходит внутренняя сторона между двумя клетками. в неугловом узле на границе доски степень равна \\(0\\) или \\(1\\). во внутреннем узле сходятся че… grid-boundary-components-coloring-lemma lemma o komponentah grafa granits v dvutsvetnoy raskraske kletchatoy doski connectivity coloring planar_graphs double_counting goal_bound bmo 2022 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa https://www.cms.org.cy/pages/competitions/bmo-2022-4-9-may-2022/39th-balkan-mathematical-olympiad-%e2%80%93-bmo-2022-second-announcement1647515569 misc official_archive src-bmo-2022-official with_solution prochee ? bmo 2022 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa stmt-boundary-components ai_checked rassmotrim raskrasku kletok doski \\(n\\times n\\) v dva tsveta. postroim graf granits \\(b\\): ego vershiny — vse \\((n+1)^2\\) uzlov reshetki, a dve sosednie po storone reshetki vershiny soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda sootvetstvuyuschiy otrezok yavlyaetsya obschey storonoy dvuh kletok raznyh tsvetov. komponentu grafa \\(b\\), soderzhaschuyu hotya by odno rebro, nazovem netrivialnoy. togda chislo monohromaticheskih oblastey kletok, gde kletki odnoy oblasti imeyut odin tsvet i svyazany cherez obschie vershiny, ne prevoshodit chisla netrivialnyh komponent grafa \\(b\\) plyus \\(1\\). krome togo, esli \\(n\\) nechetno, to chislo netrivialnyh komponent grafa \\(b\\) ne prevoshodit \\((n+1)^2/4\\). degree idea-boundaries-split-regions komponenty granitsy dobavlyayut oblasti po odnoy esli stirat vse granitsy mezhdu raznymi tsvetami, ostaetsya odna oblast. vozvraschaya netrivialnye komponenty grafa granits po odnoy, kazhdaya novaya komponenta mozhet uvelichit chislo monohromaticheskih oblastey ne bolee chem na odin. connectivity ai_checked idea-local-degrees-limit-components lokalnye stepeni ogranichivayut chislo komponent v uglah doski stepen v grafe granits ravna nulyu; v neuglovyh granichnyh uzlah ona ravna 0 ili 1; vo vnutrennih uzlah ona chetna, to est ravna 0, 2 ili 4. poetomu pochti kazhdaya netrivialnaya komponenta trebuet kak minimum chetyre uzla reshetki, a isklyucheniya vozmozhny tolko okolo chetyreh uglov. double_counting connectivity ai_checked sol-boundary-component-count graf granits i podschet komponent ai_checked degree double_counting pust \\(n\\) — chislo netrivialnyh komponent grafa granits \\(b\\). snachala dokazhem otsenku na chislo oblastey. esli zabyt vse granitsy mezhdu raznymi tsvetami, vsya doska yavlyaetsya odnoy svyaznoy oblastyu v smysle dvizheniya mezhdu kletkami cherez obschuyu vershinu. teper dobavim obratno netrivialnye komponenty granitsy po odnoy. rebra odnoy takoy komponenty obrazuyut svyaznuyu pregradu mezhdu krasnymi i sinimi kletkami; pri dobavlenii etoy pregrady uzhe suschestvuyuschaya oblast libo ne delitsya, libo delitsya na dve chasti. znachit, kazhdaya komponenta uvelichivaet chislo monohromaticheskih oblastey ne bolee chem na \\(1\\), i vsego oblastey ne bolshe \\(n+1\\). ostalos otsenit \\(n\\) dlya nechetnogo \\(n\\). v uglovyh uzlah reshetki stepen v \\(b\\) ravna \\(0\\), potomu chto cherez ugol ne prohodit vnutrennyaya storona mezhdu dvumya kletkami. v neuglovom uzle na granitse doski stepen ravna \\(0\\) ili \\(1\\). vo vnutrennem uzle shodyatsya che…","source_keys":["misc","bmo"]}
{"id":"hall-marriage-theorem","title":"Теорема Холла о паросочетаниях","path":"data\\problems\\classical\\hall-marriage-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/hall-marriage-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#hall-marriage-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Hall's marriage theorem","Marriage Problem, two proofs","Math StackExchange, Alternative proof Hall's marriage explanation"],"year":"","type":"theorem","authors":["Philip Hall"],"tags":["matching","classical_theorem","induction","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Как инструмент часто делает сложную задачу короткой; доказательство само по себе олимпиадное.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть есть конечный набор множеств A₁,...,Aₙ. Можно выбрать по одному элементу из каждого множества так, чтобы все выбранные элементы были различны, тогда и только тогда, когда для любых k множеств из этого набора их объединение содержит хотя бы k элементов.","definition_ids":["bipartite_graph","matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-1","title":"Двудольная форма","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G=(X,Y,E)\\) — конечный двудольный граф. В \\(G\\) существует паросочетание, покрывающее все вершины \\(X\\), тогда и только тогда, когда для любого \\(A\\subseteq X\\) выполнено \\(|N(A)|\\ge |A|\\).","definition_ids":["bipartite_graph","matching"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-marriage-boys-girls-1","title":"Юноши, девушки и свадьбы","status":"ai_checked","text":"Есть конечное множество юношей и конечное множество девушек. Для каждого юноши известны девушки, с которыми он знаком. Нужно женить каждого юношу на знакомой ему девушке так, чтобы никакие два юноши не женились на одной и той же девушке. Это возможно тогда и только тогда, когда для любой группы из k юношей число девушек, знакомых хотя бы с одним юношей из этой группы, не меньше k.","definition_ids":["bipartite_graph","matching"]},{"id":"stmt-marriage-girls-boys-ctk","title":"Списки предпочтений девушек","status":"ai_checked","text":"Есть n девушек и n юношей. Каждая девушка составила список юношей, за одного из которых она согласна выйти замуж. Нужно выбрать для каждой девушки одного юношу из ее списка так, чтобы выбранные юноши были различны. Это возможно тогда и только тогда, когда любые k девушек вместе указали в своих списках хотя бы k различных юношей.","definition_ids":["bipartite_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-induction","title":"Индукционное доказательство","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем графовую форму теоремы. Пусть двудольный граф имеет левую долю \\(X\\); нужно покрыть все вершины \\(X\\) паросочетанием. Необходимость очевидна: если паросочетание покрывает каждую вершину из \\(A\\subseteq X\\), то выбранные для них правые вершины различны и лежат в \\(N(A)\\), значит \\(|N(A)|\\ge |A|\\). Достаточность докажем индукцией по \\(|X|\\). Если для каждого непустого собственного \\(A\\subset X\\) выполнено строгое неравенство \\(|N(A)|>|A|\\), выберем любую вершину \\(x\\in X\\) и любого её соседа \\(y\\). Удалим \\(x\\) и \\(y\\). Для любого множества \\(A\\subseteq X\\setminus\\{x\\}\\) его окрестность могла уменьшиться не более чем на одну вершину, поэтому новая окрестность имеет размер не меньше \\(|N(A)|-1\\ge |A|\\). По индукции оставшиеся вершины \\(X\\setminus\\{x\\}\\) можно покрыть паросочетанием; добавив ребро \\(xy\\), покрываем всё \\(X\\). Остаётся случай, когда существует непустое собственное \\(…"},{"id":"sol-tight-set-splitting","title":"Доказательство через tight-подмножества","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем достаточность условия Холла индукцией, но будем разрезать задачу по tight-подмножествам, где \\(|N(A)|=|A|\\). Возьмем вершину \\(x\\) из \\(X\\). Если у некоторого соседа \\(y\\) вершины \\(x\\) удаление \\(y\\) из всех списков, кроме списка \\(x\\), не нарушает условие Холла, то по индукции на меньшем графе покрываем \\(X\\setminus\\{x\\}\\), а затем сопоставляем \\(x\\) с \\(y\\). Иначе для каждого соседа \\(y\\) находится подмножество \\(A_y\\subseteq X\\setminus\\{x\\}\\), для которого после удаления \\(y\\) равенство Холла ломается; это возможно только если \\(y\\) уже лежит в \\(N(A_y)\\) и при этом \\(|N(A_y)|=|A_y|\\). Берем любое такое tight-подмножество \\(A\\). По индукции внутри подграфа на \\(A\\) и \\(N(A)\\) существует паросочетание, покрывающее \\(A\\). Для оставшихся вершин условие Холла тоже сохраняется: если \\(B\\subseteq X\\setminus A\\), то из \\(|N(A\\cup B)|\\ge |A|+|B|\\) и \\(|N(A)|=|A|\\) получаем \\(|N(A\\cu…"}],"relations":[{"id":"rel-hall-konig","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-hall-augmenting","neighbor_id":"augmenting-path-matching-lemma","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-hall-usamo-2022-p1","neighbor_id":"usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-konig-line-coloring","neighbor_id":"konig-line-coloring-bipartite","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-regular-bipartite-decomposition-hall-marriage","neighbor_id":"regular-bipartite-perfect-matching-decomposition","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-1973-p4-hall-marriage-incidence-matching","neighbor_id":"cmo-1973-p4-triangulated-nonagon-labelings","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2012-p7-hall-sdr-bridges","neighbor_id":"spbmo-2012-8-p7-forty-regular-acquaintance-22-cycle","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-dolnikov-lemma","neighbor_id":"dolnikov-deletion-independent-set-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-edge-count-bipartite-matching-bound","neighbor_id":"edge-count-bipartite-matching-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-fyum-2008-final-p8-hall-complement-matchings","neighbor_id":"fyum-2008-final-p8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-marriage-imc2011-three-quarter-perfect-cover","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2b-tripartite-three-quarter-perfect-cover","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2011-tripartite-hall","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2-tripartite-married-triples","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-imo-2024-c3","neighbor_id":"imo-2024-c3-knights-chord-uncrossing","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-hall-marriage-imo-2010-c2-flags-diagonal-matching","neighbor_id":"imo-2010-c2-flags-diagonal-matching","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-2010-p2-hall","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2010-p2-infinite-vertex-transitive-perfect-matching","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-1951-p13-hall-matchings","neighbor_id":"miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-rmm-2012-p1-hall-cover-parity","neighbor_id":"rmm-2012-p1-sociable-sets-bipartite-parity","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-hall-rmm-2017-p5-grid-matching","neighbor_id":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2002-p8-hall-theorem","neighbor_id":"kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-hall-marriage-neighborhood","neighbor_id":"round-robin-winner-count-hall-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-hall-explicit-vs-existence","neighbor_id":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2012-hall","neighbor_id":"putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2024-a2-hall","neighbor_id":"simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2023-granda-r2-p9-hall-marriage","neighbor_id":"yumt-2023-granda-round2-problem9","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2024-grand-final-p9-hall-marriage","neighbor_id":"yumt-2024-grand-final-problem9","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"hall-marriage-theorem теорема холла о паросочетаниях matching classical_theorem induction goal_characterization hall's marriage theorem https://cut-the-knot.org/arithmetic/elegant.shtml https://en.wikipedia.org/wiki/hall%27s_marriage_theorem https://math.stackexchange.com/questions/4328465/alternative-proof-halls-marriage-explanation marriage problem, two proofs math stackexchange, alternative proof hall's marriage explanation misc philip hall philiphall reference src-cut-the-knot-marriage src-mse-hall-tight-sets src-wikipedia-hall with_solution прочее philip hall hall's marriage theorem marriage problem, two proofs math stackexchange, alternative proof hall's marriage explanation stmt-original-1 ai_checked пусть есть конечный набор множеств a₁,...,aₙ. можно выбрать по одному элементу из каждого множества так, чтобы все выбранные элементы были различны, тогда и только тогда, когда для любых k множеств из этого набора их объединение содержит хотя бы k элементов. bipartite_graph matching stmt-graph-1 двудольная форма ai_checked пусть \\(g=(x,y,e)\\) — конечный двудольный граф. в \\(g\\) существует паросочетание, покрывающее все вершины \\(x\\), тогда и только тогда, когда для любого \\(a\\subseteq x\\) выполнено \\(|n(a)|\\ge |a|\\). bipartite_graph matching stmt-marriage-boys-girls-1 юноши, девушки и свадьбы ai_checked есть конечное множество юношей и конечное множество девушек. для каждого юноши известны девушки, с которыми он знаком. нужно женить каждого юношу на знакомой ему девушке так, чтобы никакие два юноши не женились на одной и той же девушке. это возможно тогда и только тогда, когда для любой группы из k юношей число девушек, знакомых хотя бы с одним юношей из этой группы, не меньше k. bipartite_graph matching stmt-marriage-girls-boys-ctk списки предпочтений девушек ai_checked есть n девушек и n юношей. каждая девушка составила список юношей, за одного из которых она согласна выйти замуж. нужно выбрать для каждой девушки одного юношу из ее списка так, чтобы выбранные юноши были различны. это возможно тогда и только тогда, когда любые k девушек вместе указали в своих списках хотя бы k различных юношей. bipartite_graph matching idea-deficiency дефицит соседей единственное препятствие к покрытию всех вершин x — подмножество a, у которого соседей меньше, чем самих вершин. matching ai_checked idea-tight-set-splitting разрезание по tight-подмножеству если для некоторой группы левых вершин достигается равенство \\(|n(a)|=|a|\\), задачу можно разложить на два независимых подграфа: внутри \\(n(a)\\) и на дополнении. matching induction ai_checked sol-induction индукционное доказательство ai_checked induction докажем графовую форму теоремы. пусть двудольный граф имеет левую долю \\(x\\); нужно покрыть все вершины \\(x\\) паросочетанием. необходимость очевидна: если паросочетание покрывает каждую вершину из \\(a\\subseteq x\\), то выбранные для них правые вершины различны и лежат в \\(n(a)\\), значит \\(|n(a)|\\ge |a|\\). достаточность докажем индукцией по \\(|x|\\). если для каждого непустого собственного \\(a\\subset x\\) выполнено строгое неравенство \\(|n(a)|>|a|\\), выберем любую вершину \\(x\\in x\\) и любого её соседа \\(y\\). удалим \\(x\\) и \\(y\\). для любого множества \\(a\\subseteq x\\setminus\\{x\\}\\) его окрестность могла уменьшиться не более чем на одну вершину, поэтому новая окрестность имеет размер не меньше \\(|n(a)|-1\\ge |a|\\). по индукции оставшиеся вершины \\(x\\setminus\\{x\\}\\) можно покрыть паросочетанием; добавив ребро \\(xy\\), покрываем всё \\(x\\). остаётся случай, когда существует непустое собственное \\(… sol-tight-set-splitting доказательство через tight-подмножества ai_checked induction докажем достаточность условия холла индукцией, но будем разрезать задачу по tight-подмножествам, где \\(|n(a)|=|a|\\). возьмем вершину \\(x\\) из \\(x\\). если у некоторого соседа \\(y\\) вершины \\(x\\) удаление \\(y\\) из всех списков, кроме списка \\(x\\), не нарушает условие холла, то по индукции на меньшем графе покрываем \\(x\\setminus\\{x\\}\\), а затем сопоставляем \\(x\\) с \\(y\\). иначе для каждого соседа \\(y\\) находится подмножество \\(a_y\\subseteq x\\setminus\\{x\\}\\), для которого после удаления \\(y\\) равенство холла ломается; это возможно только если \\(y\\) уже лежит в \\(n(a_y)\\) и при этом \\(|n(a_y)|=|a_y|\\). берем любое такое tight-подмножество \\(a\\). по индукции внутри подграфа на \\(a\\) и \\(n(a)\\) существует паросочетание, покрывающее \\(a\\). для оставшихся вершин условие холла тоже сохраняется: если \\(b\\subseteq x\\setminus a\\), то из \\(|n(a\\cup b)|\\ge |a|+|b|\\) и \\(|n(a)|=|a|\\) получаем \\(|n(a\\cu… hall-marriage-theorem teorema holla o parosochetaniyah matching classical_theorem induction goal_characterization hall's marriage theorem https://cut-the-knot.org/arithmetic/elegant.shtml https://en.wikipedia.org/wiki/hall%27s_marriage_theorem https://math.stackexchange.com/questions/4328465/alternative-proof-halls-marriage-explanation marriage problem, two proofs math stackexchange, alternative proof hall's marriage explanation misc philip hall philiphall reference src-cut-the-knot-marriage src-mse-hall-tight-sets src-wikipedia-hall with_solution prochee philip hall hall's marriage theorem marriage problem, two proofs math stackexchange, alternative proof hall's marriage explanation stmt-original-1 ai_checked pust est konechnyy nabor mnozhestv a₁,...,aₙ. mozhno vybrat po odnomu elementu iz kazhdogo mnozhestva tak, chtoby vse vybrannye elementy byli razlichny, togda i tolko togda, kogda dlya lyubyh k mnozhestv iz etogo nabora ih obedinenie soderzhit hotya by k elementov. bipartite_graph matching stmt-graph-1 dvudolnaya forma ai_checked pust \\(g=(x,y,e)\\) — konechnyy dvudolnyy graf. v \\(g\\) suschestvuet parosochetanie, pokryvayuschee vse vershiny \\(x\\), togda i tolko togda, kogda dlya lyubogo \\(a\\subseteq x\\) vypolneno \\(|n(a)|\\ge |a|\\). bipartite_graph matching stmt-marriage-boys-girls-1 yunoshi, devushki i svadby ai_checked est konechnoe mnozhestvo yunoshey i konechnoe mnozhestvo devushek. dlya kazhdogo yunoshi izvestny devushki, s kotorymi on znakom. nuzhno zhenit kazhdogo yunoshu na znakomoy emu devushke tak, chtoby nikakie dva yunoshi ne zhenilis na odnoy i toy zhe devushke. eto vozmozhno togda i tolko togda, kogda dlya lyuboy gruppy iz k yunoshey chislo devushek, znakomyh hotya by s odnim yunoshey iz etoy gruppy, ne menshe k. bipartite_graph matching stmt-marriage-girls-boys-ctk spiski predpochteniy devushek ai_checked est n devushek i n yunoshey. kazhdaya devushka sostavila spisok yunoshey, za odnogo iz kotoryh ona soglasna vyyti zamuzh. nuzhno vybrat dlya kazhdoy devushki odnogo yunoshu iz ee spiska tak, chtoby vybrannye yunoshi byli razlichny. eto vozmozhno togda i tolko togda, kogda lyubye k devushek vmeste ukazali v svoih spiskah hotya by k razlichnyh yunoshey. bipartite_graph matching idea-deficiency defitsit sosedey edinstvennoe prepyatstvie k pokrytiyu vseh vershin x — podmnozhestvo a, u kotorogo sosedey menshe, chem samih vershin. matching ai_checked idea-tight-set-splitting razrezanie po tight-podmnozhestvu esli dlya nekotoroy gruppy levyh vershin dostigaetsya ravenstvo \\(|n(a)|=|a|\\), zadachu mozhno razlozhit na dva nezavisimyh podgrafa: vnutri \\(n(a)\\) i na dopolnenii. matching induction ai_checked sol-induction induktsionnoe dokazatelstvo ai_checked induction dokazhem grafovuyu formu teoremy. pust dvudolnyy graf imeet levuyu dolyu \\(x\\); nuzhno pokryt vse vershiny \\(x\\) parosochetaniem. neobhodimost ochevidna: esli parosochetanie pokryvaet kazhduyu vershinu iz \\(a\\subseteq x\\), to vybrannye dlya nih pravye vershiny razlichny i lezhat v \\(n(a)\\), znachit \\(|n(a)|\\ge |a|\\). dostatochnost dokazhem induktsiey po \\(|x|\\). esli dlya kazhdogo nepustogo sobstvennogo \\(a\\subset x\\) vypolneno strogoe neravenstvo \\(|n(a)|>|a|\\), vyberem lyubuyu vershinu \\(x\\in x\\) i lyubogo ee soseda \\(y\\). udalim \\(x\\) i \\(y\\). dlya lyubogo mnozhestva \\(a\\subseteq x\\setminus\\{x\\}\\) ego okrestnost mogla umenshitsya ne bolee chem na odnu vershinu, poetomu novaya okrestnost imeet razmer ne menshe \\(|n(a)|-1\\ge |a|\\). po induktsii ostavshiesya vershiny \\(x\\setminus\\{x\\}\\) mozhno pokryt parosochetaniem; dobaviv rebro \\(xy\\), pokryvaem vse \\(x\\). ostaetsya sluchay, kogda suschestvuet nepustoe sobstvennoe \\(… sol-tight-set-splitting dokazatelstvo cherez tight-podmnozhestva ai_checked induction dokazhem dostatochnost usloviya holla induktsiey, no budem razrezat zadachu po tight-podmnozhestvam, gde \\(|n(a)|=|a|\\). vozmem vershinu \\(x\\) iz \\(x\\). esli u nekotorogo soseda \\(y\\) vershiny \\(x\\) udalenie \\(y\\) iz vseh spiskov, krome spiska \\(x\\), ne narushaet uslovie holla, to po induktsii na menshem grafe pokryvaem \\(x\\setminus\\{x\\}\\), a zatem sopostavlyaem \\(x\\) s \\(y\\). inache dlya kazhdogo soseda \\(y\\) nahoditsya podmnozhestvo \\(a_y\\subseteq x\\setminus\\{x\\}\\), dlya kotorogo posle udaleniya \\(y\\) ravenstvo holla lomaetsya; eto vozmozhno tolko esli \\(y\\) uzhe lezhit v \\(n(a_y)\\) i pri etom \\(|n(a_y)|=|a_y|\\). berem lyuboe takoe tight-podmnozhestvo \\(a\\). po induktsii vnutri podgrafa na \\(a\\) i \\(n(a)\\) suschestvuet parosochetanie, pokryvayuschee \\(a\\). dlya ostavshihsya vershin uslovie holla tozhe sohranyaetsya: esli \\(b\\subseteq x\\setminus a\\), to iz \\(|n(a\\cup b)|\\ge |a|+|b|\\) i \\(|n(a)|=|a|\\) poluchaem \\(|n(a\\cu…","source_keys":["misc"]}
{"id":"handshaking-lemma","title":"Лемма о сумме степеней и чётности нечётных вершин","path":"data\\problems\\classical\\handshaking-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/handshaking-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#handshaking-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Лемма о рукопожатиях"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["double_counting","classical_theorem","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":1,"comment":"Базовый инструмент.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"В конечном неориентированном графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер. Степень вершины — это число ребер, выходящих из нее.","definition_ids":["degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-double-counting","title":"Двойной счет","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Посчитаем пары (v,e), где вершина v инцидентна ребру e. С одной стороны, для фиксированной вершины таких пар deg(v), всего сумма степеней. С другой стороны, каждое ребро дает ровно две пары. Поэтому сумма степеней равна 2e(G). Так как эта сумма четна, число нечетных слагаемых в ней четно."}],"relations":[{"id":"rel-handshaking-eulerian","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-gnomes-2020","neighbor_id":"tc-2020-21-gnomes-two-cycles-even-n","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-handshaking-polyhedron-2017","neighbor_id":"tc-2017-18-polyhedron-three-colors-parity","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-odd-main-roads-2010","neighbor_id":"tc-2010-11-odd-main-roads","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-rooks-2001","neighbor_id":"tc-2001-02-rooks-odd-attacks","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-havel-hakimi","neighbor_id":"havel-hakimi-graphical-degree-sequence","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-c4-kst","neighbor_id":"c4-free-kovari-sos-turan-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-near-perfect-tree-matchings","neighbor_id":"tree-near-perfect-matchings-path-extremal","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-1991-p4-handshaking-cut-parity","neighbor_id":"cmo-1991-p4-edge-difference-labeling-diagram","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2010-p4-handshaking-even-degree","neighbor_id":"cmo-2010-p4-graph-neighborhood-toggle","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2023-p2-handshaking-edge-count","neighbor_id":"cmo-2023-p2-three-regular-bootstrap-friendship","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-spbmo-1997-p63-degree-sum","neighbor_id":"spbmo-1997-11-p63-red-blue-complete-graph-two-edge-count","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-fyum-2010-tur2a-p1-handshaking-odd-auxiliary-graph","neighbor_id":"fyum-2010-tur2a-p1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imc-2024-tableaux-handshaking","neighbor_id":"imc-2024-day2-p9-young-tableaux-friend-graph","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-imo-1995-nc5-codegree","neighbor_id":"imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2021-volleyball-handshaking","neighbor_id":"kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-1","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-usamo-2008-handshaking-parity","neighbor_id":"usamo-2008-p6-even-friends-two-rooms","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-handshaking-egmo-2016-incidence","neighbor_id":"egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-handshaking-bmo-2022-boundary","neighbor_id":"bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-handshaking-imo-2010-c5-degree-sum","neighbor_id":"imo-2010-c5-bad-company-tournament","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-kolm-2007-induced-count-handshaking","neighbor_id":"kolmogorov-2007-team-olympiad-seniors-problem-7","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-2017-p1-planar-count","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2017-p1-triangle-tiling-no-shared-side","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-handshaking-no-isolated-edge-lower-bound","neighbor_id":"no-isolated-vertices-edge-lower-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-memo-2025-t4-weighted-complete","neighbor_id":"memo-2025-t4-toll-complete-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-handshaking-putnam-2002-b2-cubic-polyhedron-count","neighbor_id":"putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2013-a1-handshaking","neighbor_id":"putnam-2013-a1-icosahedron-face-labels","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2022-k10-triangles-handshaking","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2022-airport-walk-parity-handshaking","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round4-high-airport-walk-parity","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2022-even-degree-odd-walks-handshaking","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round4-second-third-even-degree-odd-walks","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-sums-2011-p8-planar-degree-counting","neighbor_id":"sums-2011-p8-periodic-hexagon-tessellation-even-vertices","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vjimc-2024-degree-squares-handshaking","neighbor_id":"vjimc-2024-cat1-p3-degree-squares-triangle","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-vosh-2017-friendship-triangle-factor","neighbor_id":"vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-vosh-2025-degree-difference-friendship","neighbor_id":"vosh-2025-26-regional-degree-difference-friendship","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2019-start-high-r1-p7-handshaking-lemma","neighbor_id":"yumt-2019-start-high-round1-problem7","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"handshaking-lemma лемма о сумме степеней и чётности нечётных вершин double_counting classical_theorem goal_counting https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9b%d0%b5%d0%bc%d0%bc%d0%b0_%d0%be_%d1%80%d1%83%d0%ba%d0%be%d0%bf%d0%be%d0%b6%d0%b0%d1%82%d0%b8%d1%8f%d1%85 misc reference src-wikipedia-handshaking with_solution лемма о рукопожатиях прочее ? лемма о рукопожатиях stmt-original-1 needs_review в конечном неориентированном графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер. степень вершины — это число ребер, выходящих из нее. degree idea-count-incidences счет инцидентностей каждое ребро имеет два конца и поэтому вносит 2 в сумму степеней. double_counting ai_checked sol-double-counting двойной счет ai_checked degree double_counting посчитаем пары (v,e), где вершина v инцидентна ребру e. с одной стороны, для фиксированной вершины таких пар deg(v), всего сумма степеней. с другой стороны, каждое ребро дает ровно две пары. поэтому сумма степеней равна 2e(g). так как эта сумма четна, число нечетных слагаемых в ней четно. handshaking-lemma lemma o summe stepeney i chetnosti nechetnyh vershin double_counting classical_theorem goal_counting https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9b%d0%b5%d0%bc%d0%bc%d0%b0_%d0%be_%d1%80%d1%83%d0%ba%d0%be%d0%bf%d0%be%d0%b6%d0%b0%d1%82%d0%b8%d1%8f%d1%85 misc reference src-wikipedia-handshaking with_solution lemma o rukopozhatiyah prochee ? lemma o rukopozhatiyah stmt-original-1 needs_review v konechnom neorientirovannom grafe summa stepeney vseh vershin ravna udvoennomu chislu reber. stepen vershiny — eto chislo reber, vyhodyaschih iz nee. degree idea-count-incidences schet intsidentnostey kazhdoe rebro imeet dva kontsa i poetomu vnosit 2 v summu stepeney. double_counting ai_checked sol-double-counting dvoynoy schet ai_checked degree double_counting poschitaem pary (v,e), gde vershina v intsidentna rebru e. s odnoy storony, dlya fiksirovannoy vershiny takih par deg(v), vsego summa stepeney. s drugoy storony, kazhdoe rebro daet rovno dve pary. poetomu summa stepeney ravna 2e(g). tak kak eta summa chetna, chislo nechetnyh slagaemyh v ney chetno.","source_keys":["misc"]}
{"id":"havel-hakimi-graphical-degree-sequence","title":"Критерий Хавела-Хакими для графических последовательностей степеней","path":"data\\problems\\classical\\havel-hakimi-graphical-degree-sequence.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/havel-hakimi-graphical-degree-sequence.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#havel-hakimi-graphical-degree-sequence","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Havel-Hakimi algorithm"],"year":"","type":"theorem","authors":["Václav Havel","Sam Hakimi"],"tags":["classical_theorem","goal_characterization","goal_algorithm","induction","extremal_choice"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Алгоритм прост, а единственный нетривиальный шаг — школьное переключение двух рёбер с сохранением степеней.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Один шаг Хавела-Хакими","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(d_1\\ge d_2\\ge\\cdots\\ge d_n\\ge 0\\). Последовательность \\((d_1,d_2,\\ldots,d_n)\\) является последовательностью степеней некоторого простого графа тогда и только тогда, когда последовательность \\((d_2-1,d_3-1,\\ldots,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},\\ldots,d_n)\\), после удаления нулей и упорядочивания, является последовательностью степеней простого графа. Если \\(d_1>n-1\\) или среди первых \\(d_1\\) оставшихся чисел после вычитания появляется отрицательное, последовательность не графична.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-algorithm","title":"Алгоритмическая форма","status":"ai_checked","text":"Чтобы проверить, можно ли задать простой граф с данными степенями вершин, каждый раз берут наибольшую оставшуюся степень \\(d\\), соединяют соответствующую вершину с \\(d\\) вершинами наибольших оставшихся степеней и уменьшают эти \\(d\\) степеней на 1. Исходная последовательность графична тогда и только тогда, когда этот процесс заканчивается всеми нулями и нигде не требует отрицательной степени.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-switching-induction","title":"Доказательство через переключение рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть последовательность \\(d_1\\ge d_2\\ge\\cdots\\ge d_n\\) графична. Рассмотрим любую реализацию этой последовательности простым графом и обозначим вершину степени \\(d_1\\) через \\(v_1\\). Среди остальных вершин выберем \\(d_1\\) вершин наибольших степеней; при равенстве степеней договоримся ставить соседей \\(v_1\\) раньше несоседей. Обозначим эти вершины через \\(v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\). Нам нужно показать, что существует реализация, где \\(v_1\\) соединена именно с ними. Среди всех реализаций с такой договоренностью выберем ту, где число соседей \\(v_1\\) внутри множества \\(\\{v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\}\\) максимально. Если оно уже равно \\(d_1\\), все хорошо. Иначе найдется вершина \\(x\\) среди \\(v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\), не соединенная с \\(v_1\\), и найдется сосед \\(y\\) вершины \\(v_1\\) вне этого множества. По выбору порядка степень \\(x\\) не меньше степени \\(y\\); более того, если степени равны, то сосед \\(y\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-handshaking-havel-hakimi","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"havel-hakimi-graphical-degree-sequence критерий хавела-хакими для графических последовательностей степеней classical_theorem goal_characterization goal_algorithm induction extremal_choice https://en.wikipedia.org/wiki/havel%e2%80%93hakimi_algorithm misc sam hakimi samhakimi src-wikipedia-havel-hakimi standard_reference václav havel václavhavel wikipedia, havel-hakimi algorithm with_solution прочее václav havel sam hakimi wikipedia, havel-hakimi algorithm stmt-original-1 один шаг хавела-хакими ai_checked пусть \\(d_1\\ge d_2\\ge\\cdots\\ge d_n\\ge 0\\). последовательность \\((d_1,d_2,\\ldots,d_n)\\) является последовательностью степеней некоторого простого графа тогда и только тогда, когда последовательность \\((d_2-1,d_3-1,\\ldots,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},\\ldots,d_n)\\), после удаления нулей и упорядочивания, является последовательностью степеней простого графа. если \\(d_1>n-1\\) или среди первых \\(d_1\\) оставшихся чисел после вычитания появляется отрицательное, последовательность не графична. simple_graph degree stmt-algorithm алгоритмическая форма ai_checked чтобы проверить, можно ли задать простой граф с данными степенями вершин, каждый раз берут наибольшую оставшуюся степень \\(d\\), соединяют соответствующую вершину с \\(d\\) вершинами наибольших оставшихся степеней и уменьшают эти \\(d\\) степеней на 1. исходная последовательность графична тогда и только тогда, когда этот процесс заканчивается всеми нулями и нигде не требует отрицательной степени. simple_graph degree idea-switch-neighbors-to-largest переставить соседей к большим степеням если вершина максимальной степени соединена не с одной из вершин наибольших остаточных степеней, а с меньшей, то ребра можно поменять местами так, чтобы степени сохранились, а сосед стал нужным. extremal_choice goal_algorithm ai_checked sol-switching-induction доказательство через переключение рёбер ai_checked simple_graph degree extremal_choice induction пусть последовательность \\(d_1\\ge d_2\\ge\\cdots\\ge d_n\\) графична. рассмотрим любую реализацию этой последовательности простым графом и обозначим вершину степени \\(d_1\\) через \\(v_1\\). среди остальных вершин выберем \\(d_1\\) вершин наибольших степеней; при равенстве степеней договоримся ставить соседей \\(v_1\\) раньше несоседей. обозначим эти вершины через \\(v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\). нам нужно показать, что существует реализация, где \\(v_1\\) соединена именно с ними. среди всех реализаций с такой договоренностью выберем ту, где число соседей \\(v_1\\) внутри множества \\(\\{v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\}\\) максимально. если оно уже равно \\(d_1\\), все хорошо. иначе найдется вершина \\(x\\) среди \\(v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\), не соединенная с \\(v_1\\), и найдется сосед \\(y\\) вершины \\(v_1\\) вне этого множества. по выбору порядка степень \\(x\\) не меньше степени \\(y\\); более того, если степени равны, то сосед \\(y\\)… havel-hakimi-graphical-degree-sequence kriteriy havela-hakimi dlya graficheskih posledovatelnostey stepeney classical_theorem goal_characterization goal_algorithm induction extremal_choice https://en.wikipedia.org/wiki/havel%e2%80%93hakimi_algorithm misc sam hakimi samhakimi src-wikipedia-havel-hakimi standard_reference václav havel václavhavel wikipedia, havel-hakimi algorithm with_solution prochee václav havel sam hakimi wikipedia, havel-hakimi algorithm stmt-original-1 odin shag havela-hakimi ai_checked pust \\(d_1\\ge d_2\\ge\\cdots\\ge d_n\\ge 0\\). posledovatelnost \\((d_1,d_2,\\ldots,d_n)\\) yavlyaetsya posledovatelnostyu stepeney nekotorogo prostogo grafa togda i tolko togda, kogda posledovatelnost \\((d_2-1,d_3-1,\\ldots,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},\\ldots,d_n)\\), posle udaleniya nuley i uporyadochivaniya, yavlyaetsya posledovatelnostyu stepeney prostogo grafa. esli \\(d_1>n-1\\) ili sredi pervyh \\(d_1\\) ostavshihsya chisel posle vychitaniya poyavlyaetsya otritsatelnoe, posledovatelnost ne grafichna. simple_graph degree stmt-algorithm algoritmicheskaya forma ai_checked chtoby proverit, mozhno li zadat prostoy graf s dannymi stepenyami vershin, kazhdyy raz berut naibolshuyu ostavshuyusya stepen \\(d\\), soedinyayut sootvetstvuyuschuyu vershinu s \\(d\\) vershinami naibolshih ostavshihsya stepeney i umenshayut eti \\(d\\) stepeney na 1. ishodnaya posledovatelnost grafichna togda i tolko togda, kogda etot protsess zakanchivaetsya vsemi nulyami i nigde ne trebuet otritsatelnoy stepeni. simple_graph degree idea-switch-neighbors-to-largest perestavit sosedey k bolshim stepenyam esli vershina maksimalnoy stepeni soedinena ne s odnoy iz vershin naibolshih ostatochnyh stepeney, a s menshey, to rebra mozhno pomenyat mestami tak, chtoby stepeni sohranilis, a sosed stal nuzhnym. extremal_choice goal_algorithm ai_checked sol-switching-induction dokazatelstvo cherez pereklyuchenie reber ai_checked simple_graph degree extremal_choice induction pust posledovatelnost \\(d_1\\ge d_2\\ge\\cdots\\ge d_n\\) grafichna. rassmotrim lyubuyu realizatsiyu etoy posledovatelnosti prostym grafom i oboznachim vershinu stepeni \\(d_1\\) cherez \\(v_1\\). sredi ostalnyh vershin vyberem \\(d_1\\) vershin naibolshih stepeney; pri ravenstve stepeney dogovorimsya stavit sosedey \\(v_1\\) ranshe nesosedey. oboznachim eti vershiny cherez \\(v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\). nam nuzhno pokazat, chto suschestvuet realizatsiya, gde \\(v_1\\) soedinena imenno s nimi. sredi vseh realizatsiy s takoy dogovorennostyu vyberem tu, gde chislo sosedey \\(v_1\\) vnutri mnozhestva \\(\\{v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\}\\) maksimalno. esli ono uzhe ravno \\(d_1\\), vse horosho. inache naydetsya vershina \\(x\\) sredi \\(v_2,\\ldots,v_{d_1+1}\\), ne soedinennaya s \\(v_1\\), i naydetsya sosed \\(y\\) vershiny \\(v_1\\) vne etogo mnozhestva. po vyboru poryadka stepen \\(x\\) ne menshe stepeni \\(y\\); bolee togo, esli stepeni ravny, to sosed \\(y\\)…","source_keys":["misc"]}
{"id":"konig-line-coloring-bipartite","title":"Теорема Кёнига о рёберной раскраске двудольного графа","path":"data\\problems\\classical\\konig-line-coloring-bipartite.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/konig-line-coloring-bipartite.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#konig-line-coloring-bipartite","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Kőnig's line coloring theorem"],"year":"","type":"theorem","authors":["Dénes Kőnig"],"tags":["matching","coloring","classical_theorem","goal_exact_bound","induction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Доказательство школьное при условии, что теорема Холла уже доступна как предыдущий инструмент.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Рёберная раскраска двудольного графа","status":"ai_checked","text":"Если \\(G\\) — конечный двудольный мультиграф с максимальной степенью \\(\\Delta\\), то его рёбра можно правильно раскрасить в \\(\\Delta\\) цветов: любые два ребра с общей вершиной получают разные цвета.","definition_ids":["bipartite_graph","multigraph","degree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-regular-decomposition","title":"Разложение регулярного двудольного графа","status":"ai_checked","text":"Всякий \\(k\\)-регулярный двудольный граф с равными долями раскладывается на \\(k\\) непересекающихся совершенных паросочетаний.","definition_ids":["bipartite_graph","matching","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-regularization-hall","title":"Доказательство через Холла","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","multigraph","matching","degree"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(k=\\Delta(G)\\). Нижняя оценка очевидна: все рёбра, выходящие из вершины степени \\(k\\), должны иметь разные цвета, поэтому нужно не меньше \\(k\\) цветов. Докажем верхнюю оценку. Сначала докажем лемму: всякий \\(k\\)-регулярный двудольный граф с долями \\(X\\) и \\(Y\\) имеет совершенное паросочетание. Так как сумма степеней в обеих долях равна числу рёбер, имеем \\(k|X|=k|Y|\\), значит при \\(k>0\\) доли равны по размеру. Проверим условие Холла. Для любого \\(A\\subseteq X\\) из вершин \\(A\\) выходит ровно \\(k|A|\\) рёбер. Все они приходят в множество соседей \\(N(A)\\), а каждая вершина из \\(N(A)\\) принимает не больше \\(k\\) таких рёбер. Поэтому \\(k|A|\\le k|N(A)|\\), то есть \\(|N(A)|\\ge |A|\\). По теореме Холла существует паросочетание, покрывающее всю долю \\(X\\), а значит и всю долю \\(Y\\). Теперь из \\(k\\)-регулярного двудольного графа удалим найденное совершенное паросочетание. Степень каждой вершин…"}],"relations":[{"id":"rel-hall-konig-line-coloring","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-konig-line-konig-cover","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-regular-bipartite-decomposition-konig-line-coloring","neighbor_id":"regular-bipartite-perfect-matching-decomposition","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p3-konig-line-coloring-prerequisite","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"konig-line-coloring-bipartite теорема кёнига о рёберной раскраске двудольного графа matching coloring classical_theorem goal_exact_bound induction dénes kőnig déneskőnig https://en.wikipedia.org/wiki/k%c5%91nig%27s_line_coloring_theorem misc src-wikipedia-konig-line-coloring standard_reference wikipedia, kőnig's line coloring theorem with_solution прочее dénes kőnig wikipedia, kőnig's line coloring theorem stmt-original-1 рёберная раскраска двудольного графа ai_checked если \\(g\\) — конечный двудольный мультиграф с максимальной степенью \\(\\delta\\), то его рёбра можно правильно раскрасить в \\(\\delta\\) цветов: любые два ребра с общей вершиной получают разные цвета. bipartite_graph multigraph degree stmt-regular-decomposition разложение регулярного двудольного графа ai_checked всякий \\(k\\)-регулярный двудольный граф с равными долями раскладывается на \\(k\\) непересекающихся совершенных паросочетаний. bipartite_graph matching degree idea-regularize-and-hall свести к регулярному графу двудольный граф максимальной степени \\(\\delta\\) можно дополнить фиктивными вершинами и рёбрами до \\(\\delta\\)-регулярного двудольного графа; затем каждое совершенное паросочетание становится одним цветом. matching coloring ai_checked sol-regularization-hall доказательство через холла ai_checked bipartite_graph multigraph matching degree induction пусть \\(k=\\delta(g)\\). нижняя оценка очевидна: все рёбра, выходящие из вершины степени \\(k\\), должны иметь разные цвета, поэтому нужно не меньше \\(k\\) цветов. докажем верхнюю оценку. сначала докажем лемму: всякий \\(k\\)-регулярный двудольный граф с долями \\(x\\) и \\(y\\) имеет совершенное паросочетание. так как сумма степеней в обеих долях равна числу рёбер, имеем \\(k|x|=k|y|\\), значит при \\(k>0\\) доли равны по размеру. проверим условие холла. для любого \\(a\\subseteq x\\) из вершин \\(a\\) выходит ровно \\(k|a|\\) рёбер. все они приходят в множество соседей \\(n(a)\\), а каждая вершина из \\(n(a)\\) принимает не больше \\(k\\) таких рёбер. поэтому \\(k|a|\\le k|n(a)|\\), то есть \\(|n(a)|\\ge |a|\\). по теореме холла существует паросочетание, покрывающее всю долю \\(x\\), а значит и всю долю \\(y\\). теперь из \\(k\\)-регулярного двудольного графа удалим найденное совершенное паросочетание. степень каждой вершин… konig-line-coloring-bipartite teorema keniga o rebernoy raskraske dvudolnogo grafa matching coloring classical_theorem goal_exact_bound induction dénes kőnig déneskőnig https://en.wikipedia.org/wiki/k%c5%91nig%27s_line_coloring_theorem misc src-wikipedia-konig-line-coloring standard_reference wikipedia, kőnig's line coloring theorem with_solution prochee dénes kőnig wikipedia, kőnig's line coloring theorem stmt-original-1 rebernaya raskraska dvudolnogo grafa ai_checked esli \\(g\\) — konechnyy dvudolnyy multigraf s maksimalnoy stepenyu \\(\\delta\\), to ego rebra mozhno pravilno raskrasit v \\(\\delta\\) tsvetov: lyubye dva rebra s obschey vershinoy poluchayut raznye tsveta. bipartite_graph multigraph degree stmt-regular-decomposition razlozhenie regulyarnogo dvudolnogo grafa ai_checked vsyakiy \\(k\\)-regulyarnyy dvudolnyy graf s ravnymi dolyami raskladyvaetsya na \\(k\\) neperesekayuschihsya sovershennyh parosochetaniy. bipartite_graph matching degree idea-regularize-and-hall svesti k regulyarnomu grafu dvudolnyy graf maksimalnoy stepeni \\(\\delta\\) mozhno dopolnit fiktivnymi vershinami i rebrami do \\(\\delta\\)-regulyarnogo dvudolnogo grafa; zatem kazhdoe sovershennoe parosochetanie stanovitsya odnim tsvetom. matching coloring ai_checked sol-regularization-hall dokazatelstvo cherez holla ai_checked bipartite_graph multigraph matching degree induction pust \\(k=\\delta(g)\\). nizhnyaya otsenka ochevidna: vse rebra, vyhodyaschie iz vershiny stepeni \\(k\\), dolzhny imet raznye tsveta, poetomu nuzhno ne menshe \\(k\\) tsvetov. dokazhem verhnyuyu otsenku. snachala dokazhem lemmu: vsyakiy \\(k\\)-regulyarnyy dvudolnyy graf s dolyami \\(x\\) i \\(y\\) imeet sovershennoe parosochetanie. tak kak summa stepeney v obeih dolyah ravna chislu reber, imeem \\(k|x|=k|y|\\), znachit pri \\(k>0\\) doli ravny po razmeru. proverim uslovie holla. dlya lyubogo \\(a\\subseteq x\\) iz vershin \\(a\\) vyhodit rovno \\(k|a|\\) reber. vse oni prihodyat v mnozhestvo sosedey \\(n(a)\\), a kazhdaya vershina iz \\(n(a)\\) prinimaet ne bolshe \\(k\\) takih reber. poetomu \\(k|a|\\le k|n(a)|\\), to est \\(|n(a)|\\ge |a|\\). po teoreme holla suschestvuet parosochetanie, pokryvayuschee vsyu dolyu \\(x\\), a znachit i vsyu dolyu \\(y\\). teper iz \\(k\\)-regulyarnogo dvudolnogo grafa udalim naydennoe sovershennoe parosochetanie. stepen kazhdoy vershin…","source_keys":["misc"]}
{"id":"konig-vertex-cover-theorem","title":"Теорема Кёнига о паросочетании и покрытии","path":"data\\problems\\classical\\konig-vertex-cover-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/konig-vertex-cover-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#konig-vertex-cover-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Кёнига (комбинаторика)"],"year":"","type":"theorem","authors":["Dénes Kőnig"],"tags":["matching","augmenting_path","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Очень полезный двудольный инструмент.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"В любом конечном двудольном графе наибольшее число попарно не имеющих общих концов ребер равно наименьшему числу вершин, которые вместе касаются всех ребер графа.","definition_ids":["bipartite_graph","matching","vertex_cover"]}]},"solutions":[{"id":"sol-alternating","title":"Доказательство через чередующиеся пути","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","matching","vertex_cover","path","alternating_path","augmenting_path"],"standard_idea_ids":["alternating_paths","augmenting_path_method"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть доли двудольного графа равны \\(X\\) и \\(Y\\), а \\(M\\) — максимальное паросочетание. Сначала заметим, что любое вершинное покрытие содержит хотя бы один конец каждого ребра из любого паросочетания, поэтому размер любого покрытия не меньше \\(|M|\\). Значит, достаточно построить вершинное покрытие ровно из \\(|M|\\) вершин. Отметим все вершины, достижимые чередующимися путями из непокрытых паросочетанием вершин доли \\(X\\). При таком обходе из вершины доли \\(X\\) разрешено идти только по ребрам, не входящим в \\(M\\), а из вершины доли \\(Y\\) — только по ребрам из \\(M\\). Пусть \\(Z\\) — множество отмеченных вершин. Ни одна непокрытая вершина доли \\(Y\\) не отмечена: иначе путь от непокрытой вершины \\(X\\) до нее был бы увеличивающим, и, поменяв на этом пути ребра из \\(M\\) на ребра вне \\(M\\), мы получили бы большее паросочетание. Положим \\(C=(X\\setminus Z)\\cup(Y\\cap Z)\\). Докажем, что \\(C\\) покрыва…"}],"relations":[{"id":"rel-hall-konig","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-augmenting-konig","neighbor_id":"augmenting-path-matching-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-konig-common-grandfather-1994","neighbor_id":"tc-1994-95-common-grandfather-intersecting-edges","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-konig-usamo-2022-p1","neighbor_id":"usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-konig-line-konig-cover","neighbor_id":"konig-line-coloring-bipartite","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-konig-cover-edge-count-bipartite-matching-bound","neighbor_id":"edge-count-bipartite-matching-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-konig-cover-language","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-after-tags-imo-2010-flags-konig-cover","neighbor_id":"imo-2010-c2-flags-diagonal-matching","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-after-tags-konig-usamo-2009-tiling","neighbor_id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-matching-tiling-konig-imo-2016-c8-alternating-cycles","neighbor_id":"imo-2016-c8-domino-unique-tiling-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolmogorov-2004-p9-konig-vertex-cover-prerequisite","neighbor_id":"kolmogorov-2004-team-olympiad-seniors-problem-9","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"konig-vertex-cover-theorem теорема кёнига о паросочетании и покрытии matching augmenting_path classical_theorem goal_exact_bound dénes kőnig déneskőnig https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%9a%d1%91%d0%bd%d0%b8%d0%b3%d0%b0_%28%d0%ba%d0%be%d0%bc%d0%b1%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b8%d0%ba%d0%b0%29 misc reference src-wikipedia-konig with_solution прочее теорема кёнига (комбинаторика) dénes kőnig теорема кёнига (комбинаторика) stmt-original-1 ai_checked в любом конечном двудольном графе наибольшее число попарно не имеющих общих концов ребер равно наименьшему числу вершин, которые вместе касаются всех ребер графа. bipartite_graph matching vertex_cover idea-alternating-reachability достижимость чередующимися путями из максимального паросочетания строится минимальное покрытие через вершины, достижимые чередующимися путями от непокрытых вершин одной доли. matching augmenting_path ai_checked sol-alternating доказательство через чередующиеся пути ai_checked bipartite_graph matching vertex_cover path alternating_path augmenting_path alternating_paths augmenting_path_method пусть доли двудольного графа равны \\(x\\) и \\(y\\), а \\(m\\) — максимальное паросочетание. сначала заметим, что любое вершинное покрытие содержит хотя бы один конец каждого ребра из любого паросочетания, поэтому размер любого покрытия не меньше \\(|m|\\). значит, достаточно построить вершинное покрытие ровно из \\(|m|\\) вершин. отметим все вершины, достижимые чередующимися путями из непокрытых паросочетанием вершин доли \\(x\\). при таком обходе из вершины доли \\(x\\) разрешено идти только по ребрам, не входящим в \\(m\\), а из вершины доли \\(y\\) — только по ребрам из \\(m\\). пусть \\(z\\) — множество отмеченных вершин. ни одна непокрытая вершина доли \\(y\\) не отмечена: иначе путь от непокрытой вершины \\(x\\) до нее был бы увеличивающим, и, поменяв на этом пути ребра из \\(m\\) на ребра вне \\(m\\), мы получили бы большее паросочетание. положим \\(c=(x\\setminus z)\\cup(y\\cap z)\\). докажем, что \\(c\\) покрыва… konig-vertex-cover-theorem teorema keniga o parosochetanii i pokrytii matching augmenting_path classical_theorem goal_exact_bound dénes kőnig déneskőnig https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%9a%d1%91%d0%bd%d0%b8%d0%b3%d0%b0_%28%d0%ba%d0%be%d0%bc%d0%b1%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b8%d0%ba%d0%b0%29 misc reference src-wikipedia-konig with_solution prochee teorema keniga (kombinatorika) dénes kőnig teorema keniga (kombinatorika) stmt-original-1 ai_checked v lyubom konechnom dvudolnom grafe naibolshee chislo poparno ne imeyuschih obschih kontsov reber ravno naimenshemu chislu vershin, kotorye vmeste kasayutsya vseh reber grafa. bipartite_graph matching vertex_cover idea-alternating-reachability dostizhimost chereduyuschimisya putyami iz maksimalnogo parosochetaniya stroitsya minimalnoe pokrytie cherez vershiny, dostizhimye chereduyuschimisya putyami ot nepokrytyh vershin odnoy doli. matching augmenting_path ai_checked sol-alternating dokazatelstvo cherez chereduyuschiesya puti ai_checked bipartite_graph matching vertex_cover path alternating_path augmenting_path alternating_paths augmenting_path_method pust doli dvudolnogo grafa ravny \\(x\\) i \\(y\\), a \\(m\\) — maksimalnoe parosochetanie. snachala zametim, chto lyuboe vershinnoe pokrytie soderzhit hotya by odin konets kazhdogo rebra iz lyubogo parosochetaniya, poetomu razmer lyubogo pokrytiya ne menshe \\(|m|\\). znachit, dostatochno postroit vershinnoe pokrytie rovno iz \\(|m|\\) vershin. otmetim vse vershiny, dostizhimye chereduyuschimisya putyami iz nepokrytyh parosochetaniem vershin doli \\(x\\). pri takom obhode iz vershiny doli \\(x\\) razresheno idti tolko po rebram, ne vhodyaschim v \\(m\\), a iz vershiny doli \\(y\\) — tolko po rebram iz \\(m\\). pust \\(z\\) — mnozhestvo otmechennyh vershin. ni odna nepokrytaya vershina doli \\(y\\) ne otmechena: inache put ot nepokrytoy vershiny \\(x\\) do nee byl by uvelichivayuschim, i, pomenyav na etom puti rebra iz \\(m\\) na rebra vne \\(m\\), my poluchili by bolshee parosochetanie. polozhim \\(c=(x\\setminus z)\\cup(y\\cap z)\\). dokazhem, chto \\(c\\) pokryva…","source_keys":["misc"]}
{"id":"lehman-shannon-switching-game-two-spanning-trees","title":"Игра Шеннона: критерий двух остовных деревьев","path":"data\\problems\\classical\\lehman-shannon-switching-game-two-spanning-trees.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/lehman-shannon-switching-game-two-spanning-trees.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lehman-shannon-switching-game-two-spanning-trees","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Alfred Lehman, A solution of the Shannon switching game"],"year":"","type":"theorem","authors":["Alfred Lehman"],"tags":["trees","connectivity","graph_cut","induction","goal_strategy_game","goal_characterization","classical_theorem"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":7,"comment":"Классический критерий позиционной игры. Достаточность даёт короткая, но содержательная индукция со стягиванием рёбер; необходимость использует двойное стратегическое заимствование.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"classical_self_contained","label":"классическое самодостаточное доказательство","status":"ai_checked","confidence":0.96,"basis":"Критерий Лемана доказан внутри карточки через стандартную индукцию удаления--стягивания и стратегическое заимствование.","notes":"Внешние теоремы в доказательстве не используются.","audit_source":"manual-proof-review-2026-08-15"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-lehman-criterion","title":"Критерий победы соединяющего игрока вторым ходом","status":"source_verified","text":"Пусть \\(G\\) -- конечный связный мультиграф. Два игрока по очереди забирают ещё не занятые рёбра, по одному за ход; первым ходит Разрушитель, вторым -- Соединитель. Ребро Разрушителя считается удалённым, а ребро Соединителя -- закреплённым. После распределения всех рёбер Соединитель выигрывает, если его закреплённые рёбра содержат связный остовный подграф, то есть остовное дерево. Докажите критерий Лемана: Соединитель, играя вторым, имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда \\(G\\) содержит два не имеющих общих рёбер остовных дерева.","definition_ids":["multigraph","connected_graph","spanning_tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-lehman-induction","title":"Доказательство стратегическим заимствованием и стягиванием","status":"ai_checked","definition_ids":["multigraph","connected_graph","spanning_tree","graph_cut"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала докажем необходимость. Предположим, что у Соединителя есть выигрышная стратегия \\(S\\) при игре вторым. Построим одну полную партию, в которой связные остовные подграфы получат оба игрока. Разрушитель первым берёт произвольное ребро. Далее Соединитель играет по \\(S\\) обычным образом, считая ходы Разрушителя ходами соперника. Разрушитель со своего второго хода тоже применяет \\(S\\), но с переставленными ролями: ходы Соединителя он считает ходами первого игрока. Его самое первое ребро при этом служит дополнительным бонусом. Если воображаемая стратегия попросит взять уже принадлежащее ему бонусное ребро, Разрушитель берёт любое свободное ребро и продолжает считать требуемое ребро уже полученным; наличие лишнего своего ребра не может помешать монотонной цели связности. Стратегия \\(S\\) гарантирует, что в конце реальные рёбра Соединителя содержат связный остовный подграф. Та же стратеги…"}],"relations":[{"id":"rel-classical-shannon-spbmo-road-destruction","neighbor_id":"spbmo-2018-10-p1-complete-graph-road-destruction-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lehman-shannon-switching-game-two-spanning-trees игра шеннона: критерий двух остовных деревьев trees connectivity graph_cut induction goal_strategy_game goal_characterization classical_theorem alfred lehman alfred lehman, a solution of the shannon switching game alfredlehman https://doi.org/10.1137/0112059 misc paper src-lehman-shannon-switching-game with_solution прочее alfred lehman alfred lehman, a solution of the shannon switching game stmt-lehman-criterion критерий победы соединяющего игрока вторым ходом source_verified пусть \\(g\\) -- конечный связный мультиграф. два игрока по очереди забирают ещё не занятые рёбра, по одному за ход; первым ходит разрушитель, вторым -- соединитель. ребро разрушителя считается удалённым, а ребро соединителя -- закреплённым. после распределения всех рёбер соединитель выигрывает, если его закреплённые рёбра содержат связный остовный подграф, то есть остовное дерево. докажите критерий лемана: соединитель, играя вторым, имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда \\(g\\) содержит два не имеющих общих рёбер остовных дерева. multigraph connected_graph spanning_tree idea-delete-and-contract удалить ход разрушителя и стянуть ответ соединителя если разрушитель рвёт одно из двух остовных деревьев, второе содержит ребро через возникший разрез. соединитель закрепляет это ребро и стягивает его; после одного полного раунда снова остаются два непересекающихся по рёбрам остовных дерева в меньшем мультиграфе. trees graph_cut induction ai_checked idea-double-strategy-stealing выигрышную стратегию второго игрока можно запустить для обоих цветов для необходимости разрушитель после произвольного первого ребра сам имитирует стратегию соединителя, поменяв роли местами. монотонность цели позволяет считать первое ребро лишним бонусом; в специально построенной партии оба набора рёбер оказываются связными. goal_strategy_game ai_checked sol-lehman-induction доказательство стратегическим заимствованием и стягиванием ai_checked multigraph connected_graph spanning_tree graph_cut induction сначала докажем необходимость. предположим, что у соединителя есть выигрышная стратегия \\(s\\) при игре вторым. построим одну полную партию, в которой связные остовные подграфы получат оба игрока. разрушитель первым берёт произвольное ребро. далее соединитель играет по \\(s\\) обычным образом, считая ходы разрушителя ходами соперника. разрушитель со своего второго хода тоже применяет \\(s\\), но с переставленными ролями: ходы соединителя он считает ходами первого игрока. его самое первое ребро при этом служит дополнительным бонусом. если воображаемая стратегия попросит взять уже принадлежащее ему бонусное ребро, разрушитель берёт любое свободное ребро и продолжает считать требуемое ребро уже полученным; наличие лишнего своего ребра не может помешать монотонной цели связности. стратегия \\(s\\) гарантирует, что в конце реальные рёбра соединителя содержат связный остовный подграф. та же стратеги… lehman-shannon-switching-game-two-spanning-trees igra shennona: kriteriy dvuh ostovnyh derevev trees connectivity graph_cut induction goal_strategy_game goal_characterization classical_theorem alfred lehman alfred lehman, a solution of the shannon switching game alfredlehman https://doi.org/10.1137/0112059 misc paper src-lehman-shannon-switching-game with_solution prochee alfred lehman alfred lehman, a solution of the shannon switching game stmt-lehman-criterion kriteriy pobedy soedinyayuschego igroka vtorym hodom source_verified pust \\(g\\) -- konechnyy svyaznyy multigraf. dva igroka po ocheredi zabirayut esche ne zanyatye rebra, po odnomu za hod; pervym hodit razrushitel, vtorym -- soedinitel. rebro razrushitelya schitaetsya udalennym, a rebro soedinitelya -- zakreplennym. posle raspredeleniya vseh reber soedinitel vyigryvaet, esli ego zakreplennye rebra soderzhat svyaznyy ostovnyy podgraf, to est ostovnoe derevo. dokazhite kriteriy lemana: soedinitel, igraya vtorym, imeet vyigryshnuyu strategiyu togda i tolko togda, kogda \\(g\\) soderzhit dva ne imeyuschih obschih reber ostovnyh dereva. multigraph connected_graph spanning_tree idea-delete-and-contract udalit hod razrushitelya i styanut otvet soedinitelya esli razrushitel rvet odno iz dvuh ostovnyh derevev, vtoroe soderzhit rebro cherez voznikshiy razrez. soedinitel zakreplyaet eto rebro i styagivaet ego; posle odnogo polnogo raunda snova ostayutsya dva neperesekayuschihsya po rebram ostovnyh dereva v menshem multigrafe. trees graph_cut induction ai_checked idea-double-strategy-stealing vyigryshnuyu strategiyu vtorogo igroka mozhno zapustit dlya oboih tsvetov dlya neobhodimosti razrushitel posle proizvolnogo pervogo rebra sam imitiruet strategiyu soedinitelya, pomenyav roli mestami. monotonnost tseli pozvolyaet schitat pervoe rebro lishnim bonusom; v spetsialno postroennoy partii oba nabora reber okazyvayutsya svyaznymi. goal_strategy_game ai_checked sol-lehman-induction dokazatelstvo strategicheskim zaimstvovaniem i styagivaniem ai_checked multigraph connected_graph spanning_tree graph_cut induction snachala dokazhem neobhodimost. predpolozhim, chto u soedinitelya est vyigryshnaya strategiya \\(s\\) pri igre vtorym. postroim odnu polnuyu partiyu, v kotoroy svyaznye ostovnye podgrafy poluchat oba igroka. razrushitel pervym beret proizvolnoe rebro. dalee soedinitel igraet po \\(s\\) obychnym obrazom, schitaya hody razrushitelya hodami sopernika. razrushitel so svoego vtorogo hoda tozhe primenyaet \\(s\\), no s perestavlennymi rolyami: hody soedinitelya on schitaet hodami pervogo igroka. ego samoe pervoe rebro pri etom sluzhit dopolnitelnym bonusom. esli voobrazhaemaya strategiya poprosit vzyat uzhe prinadlezhaschee emu bonusnoe rebro, razrushitel beret lyuboe svobodnoe rebro i prodolzhaet schitat trebuemoe rebro uzhe poluchennym; nalichie lishnego svoego rebra ne mozhet pomeshat monotonnoy tseli svyaznosti. strategiya \\(s\\) garantiruet, chto v kontse realnye rebra soedinitelya soderzhat svyaznyy ostovnyy podgraf. ta zhe strategi…","source_keys":["misc"]}
{"id":"line-arrangement-side-count-levels","title":"Счётчик сторон в расположении прямых принимает все уровни","path":"data\\problems\\classical\\line-arrangement-side-count-levels.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/line-arrangement-side-count-levels.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#line-arrangement-side-count-levels","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Canadian Mathematical Olympiad 2022 официальные решения"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","coloring","classical_theorem","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":3,"comment":"Короткий переиспользуемый инвариант для расположений прямых; единственный тонкий момент — выбрать прямую прохода выше всех точек пересечения.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-side-count-levels","title":"Лемма о счётчике сторон","status":"ai_checked","text":"Пусть на плоскости дано \\(n\\) различных прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку. После поворота можно считать, что ни одна прямая не горизонтальна; ориентируем каждую прямую в направлении возрастания координаты \\(y\\). Для области \\(R\\) обозначим через \\(k(R)\\) число прямых, справа от которых лежит \\(R\\). Тогда: (1) если две области имеют общую сторону, то их значения \\(k\\) отличаются ровно на \\(1\\); (2) для каждого \\(k=0,1,\\ldots,n\\) существует область \\(R\\) с \\(k(R)=k\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-region-graph-level-function","title":"Счётчик сторон в расположении прямых принимает все уровни","status":"ai_checked","text":"Для графа смежности областей расположения \\(n\\) различных негоризонтальных ориентированных прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку, функция \\(k\\), сопоставляющая каждой области число прямых, справа от которых лежит эта область, меняется ровно на \\(1\\) при переходе по каждому ребру графа и принимает все значения \\(0,1,\\ldots,n\\).","definition_ids":["planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-horizontal-sweep","title":"Доказательство горизонтальным проходом","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала слегка повернём всю конфигурацию так, чтобы ни одна из прямых не была горизонтальной. Это не меняет комбинаторику областей и их соседств. Ориентируем каждую прямую вверх, то есть в сторону возрастания координаты \\(y\\). Пусть две области имеют общую сторону. Эта сторона лежит на некоторой прямой \\(\\ell\\). При переходе через неё точка меняет сторону только относительно \\(\\ell\\); относительно любой другой прямой обе области лежат с одной и той же стороны, иначе общая сторона была бы разрезана пересечением с этой другой прямой. Поэтому число прямых, справа от которых лежит область, меняется ровно на \\(1\\). Осталось доказать, что встречаются все уровни. Возьмём горизонтальную прямую \\(y=w\\), лежащую выше всех точек пересечения данных прямых. Каждая из данных прямых пересекает эту горизонталь, и эти точки пересечения различны: если две непараллельные прямые пересекали бы \\(y=w\\) в одн…"}],"relations":[{"id":"rel-line-arrangement-levels-smmc-2023-c2-dual-coloring","neighbor_id":"simon-marais-2023-c2-line-arrangement-region-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2022-p4-side-count-lemma","neighbor_id":"cmo-2022-p4-region-adjacency-coloring","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"line-arrangement-side-count-levels счётчик сторон в расположении прямых принимает все уровни planar_graphs coloring classical_theorem goal_existence canadian mathematical olympiad 2022 официальные решения https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol2022.pdf misc solution_notes src-cmo-2022-solutions with_solution прочее ? canadian mathematical olympiad 2022 официальные решения stmt-side-count-levels лемма о счётчике сторон ai_checked пусть на плоскости дано \\(n\\) различных прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку. после поворота можно считать, что ни одна прямая не горизонтальна; ориентируем каждую прямую в направлении возрастания координаты \\(y\\). для области \\(r\\) обозначим через \\(k(r)\\) число прямых, справа от которых лежит \\(r\\). тогда: (1) если две области имеют общую сторону, то их значения \\(k\\) отличаются ровно на \\(1\\); (2) для каждого \\(k=0,1,\\ldots,n\\) существует область \\(r\\) с \\(k(r)=k\\). stmt-region-graph-level-function счётчик сторон в расположении прямых принимает все уровни ai_checked для графа смежности областей расположения \\(n\\) различных негоризонтальных ориентированных прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку, функция \\(k\\), сопоставляющая каждой области число прямых, справа от которых лежит эта область, меняется ровно на \\(1\\) при переходе по каждому ребру графа и принимает все значения \\(0,1,\\ldots,n\\). planar_graph idea-horizontal-sweep-above-intersections горизонтальный проход выше всех пересечений на горизонтали выше всех точек пересечения данные прямые встречаются по одной. при движении слева направо точка каждый раз переходит с левой стороны очередной ориентированной прямой на правую, поэтому счётчик проходит значения \\(0,1,\\ldots,n\\). ai_checked idea-crossing-one-boundary-changes-one-side переход через сторону меняет один вклад общая сторона двух соседних областей лежит на одной прямой; при переходе через неё меняется только сторона относительно этой прямой, а все остальные вклады в \\(k\\) сохраняются. planar_graphs ai_checked sol-horizontal-sweep доказательство горизонтальным проходом ai_checked planar_graph сначала слегка повернём всю конфигурацию так, чтобы ни одна из прямых не была горизонтальной. это не меняет комбинаторику областей и их соседств. ориентируем каждую прямую вверх, то есть в сторону возрастания координаты \\(y\\). пусть две области имеют общую сторону. эта сторона лежит на некоторой прямой \\(\\ell\\). при переходе через неё точка меняет сторону только относительно \\(\\ell\\); относительно любой другой прямой обе области лежат с одной и той же стороны, иначе общая сторона была бы разрезана пересечением с этой другой прямой. поэтому число прямых, справа от которых лежит область, меняется ровно на \\(1\\). осталось доказать, что встречаются все уровни. возьмём горизонтальную прямую \\(y=w\\), лежащую выше всех точек пересечения данных прямых. каждая из данных прямых пересекает эту горизонталь, и эти точки пересечения различны: если две непараллельные прямые пересекали бы \\(y=w\\) в одн… line-arrangement-side-count-levels schetchik storon v raspolozhenii pryamyh prinimaet vse urovni planar_graphs coloring classical_theorem goal_existence canadian mathematical olympiad 2022 ofitsialnye resheniya https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol2022.pdf misc solution_notes src-cmo-2022-solutions with_solution prochee ? canadian mathematical olympiad 2022 ofitsialnye resheniya stmt-side-count-levels lemma o schetchike storon ai_checked pust na ploskosti dano \\(n\\) razlichnyh pryamyh, nikakie tri iz kotoryh ne prohodyat cherez odnu tochku. posle povorota mozhno schitat, chto ni odna pryamaya ne gorizontalna; orientiruem kazhduyu pryamuyu v napravlenii vozrastaniya koordinaty \\(y\\). dlya oblasti \\(r\\) oboznachim cherez \\(k(r)\\) chislo pryamyh, sprava ot kotoryh lezhit \\(r\\). togda: (1) esli dve oblasti imeyut obschuyu storonu, to ih znacheniya \\(k\\) otlichayutsya rovno na \\(1\\); (2) dlya kazhdogo \\(k=0,1,\\ldots,n\\) suschestvuet oblast \\(r\\) s \\(k(r)=k\\). stmt-region-graph-level-function schetchik storon v raspolozhenii pryamyh prinimaet vse urovni ai_checked dlya grafa smezhnosti oblastey raspolozheniya \\(n\\) razlichnyh negorizontalnyh orientirovannyh pryamyh, nikakie tri iz kotoryh ne prohodyat cherez odnu tochku, funktsiya \\(k\\), sopostavlyayuschaya kazhdoy oblasti chislo pryamyh, sprava ot kotoryh lezhit eta oblast, menyaetsya rovno na \\(1\\) pri perehode po kazhdomu rebru grafa i prinimaet vse znacheniya \\(0,1,\\ldots,n\\). planar_graph idea-horizontal-sweep-above-intersections gorizontalnyy prohod vyshe vseh peresecheniy na gorizontali vyshe vseh tochek peresecheniya dannye pryamye vstrechayutsya po odnoy. pri dvizhenii sleva napravo tochka kazhdyy raz perehodit s levoy storony ocherednoy orientirovannoy pryamoy na pravuyu, poetomu schetchik prohodit znacheniya \\(0,1,\\ldots,n\\). ai_checked idea-crossing-one-boundary-changes-one-side perehod cherez storonu menyaet odin vklad obschaya storona dvuh sosednih oblastey lezhit na odnoy pryamoy; pri perehode cherez nee menyaetsya tolko storona otnositelno etoy pryamoy, a vse ostalnye vklady v \\(k\\) sohranyayutsya. planar_graphs ai_checked sol-horizontal-sweep dokazatelstvo gorizontalnym prohodom ai_checked planar_graph snachala slegka povernem vsyu konfiguratsiyu tak, chtoby ni odna iz pryamyh ne byla gorizontalnoy. eto ne menyaet kombinatoriku oblastey i ih sosedstv. orientiruem kazhduyu pryamuyu vverh, to est v storonu vozrastaniya koordinaty \\(y\\). pust dve oblasti imeyut obschuyu storonu. eta storona lezhit na nekotoroy pryamoy \\(\\ell\\). pri perehode cherez nee tochka menyaet storonu tolko otnositelno \\(\\ell\\); otnositelno lyuboy drugoy pryamoy obe oblasti lezhat s odnoy i toy zhe storony, inache obschaya storona byla by razrezana peresecheniem s etoy drugoy pryamoy. poetomu chislo pryamyh, sprava ot kotoryh lezhit oblast, menyaetsya rovno na \\(1\\). ostalos dokazat, chto vstrechayutsya vse urovni. vozmem gorizontalnuyu pryamuyu \\(y=w\\), lezhaschuyu vyshe vseh tochek peresecheniya dannyh pryamyh. kazhdaya iz dannyh pryamyh peresekaet etu gorizontal, i eti tochki peresecheniya razlichny: esli dve neparallelnye pryamye peresekali by \\(y=w\\) v odn…","source_keys":["misc","cmo"]}
{"id":"longest-path-endpoints-shortest-detour","title":"Кратчайший обход между концами максимального пути","path":"data\\problems\\classical\\longest-path-endpoints-shortest-detour.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/longest-path-endpoints-shortest-detour.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#longest-path-endpoints-shortest-detour","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["BMO 2025 официальные условия и решения"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Короткая, но полезная лемма для задач о длиннейших путях и гамильтоновых циклах.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(G\\) — связный простой граф, а \\(P=v_1v_2\\dots v_p\\) — простой путь максимальной длины в \\(G\\). Предположим, что существует кратчайший путь \\(Q\\) из \\(v_1\\) в \\(v_p\\), все внутренние вершины которого не лежат на \\(P\\). Докажите, что путь \\(Q\\) состоит из одного ребра, то есть \\(v_1v_p\\in E(G)\\).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cycle-longer-than-path","title":"Цикл длиннее максимального пути","status":"ai_checked","definition_ids":["path","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть кратчайший путь \\(Q\\) имеет хотя бы одну внутреннюю вершину. Так как внутренние вершины \\(Q\\) не лежат на \\(P\\), объединение \\(P\\cup Q\\) содержит цикл, проходящий по всем вершинам \\(P\\) и по внутренним вершинам \\(Q\\). Число вершин этого цикла равно \\(|V(P)|+|V(Q)|-2>|V(P)|\\). Удалив из цикла любое ребро, получаем простой путь с большим числом вершин, чем у \\(P\\). Это противоречит максимальности \\(P\\). Следовательно, у \\(Q\\) нет внутренних вершин, и потому \\(Q\\) является ребром \\(v_1v_p\\)."}],"relations":[{"id":"rel-longest-path-detour-bmo-2025-p4","neighbor_id":"bmo-2025-p4-flights-long-short-paths","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-inmo-2021-p4-longest-path-endpoint-cycle","neighbor_id":"complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-paths-counting-longest-detour-kolm-2008-r1","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-paths-counting-longest-detour-kolm-2008-r3","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"longest-path-endpoints-shortest-detour кратчайший обход между концами максимального пути hamiltonian_cycles goal_exact_bound bmo 2025 официальные условия и решения https://bmo2025.pmf.unsa.ba/wp-content/uploads/2025/05/problems%20-%20solutions.pdf misc official_archive src-bmo-2025-official with_solution прочее ? bmo 2025 официальные условия и решения stmt-original-1 needs_human_review пусть \\(g\\) — связный простой граф, а \\(p=v_1v_2\\dots v_p\\) — простой путь максимальной длины в \\(g\\). предположим, что существует кратчайший путь \\(q\\) из \\(v_1\\) в \\(v_p\\), все внутренние вершины которого не лежат на \\(p\\). докажите, что путь \\(q\\) состоит из одного ребра, то есть \\(v_1v_p\\in e(g)\\). simple_graph connected_graph path cycle idea-two_endpoint_paths_make_longer_cycle два непересекающихся пути между концами дают слишком длинный цикл если обход между концами максимального пути имеет хотя бы одну внутреннюю вершину, объединение двух путей образует цикл, содержащий больше вершин, чем исходный путь; из такого цикла извлекается более длинный путь. hamiltonian_cycles ai_checked sol-cycle-longer-than-path цикл длиннее максимального пути ai_checked path cycle пусть кратчайший путь \\(q\\) имеет хотя бы одну внутреннюю вершину. так как внутренние вершины \\(q\\) не лежат на \\(p\\), объединение \\(p\\cup q\\) содержит цикл, проходящий по всем вершинам \\(p\\) и по внутренним вершинам \\(q\\). число вершин этого цикла равно \\(|v(p)|+|v(q)|-2>|v(p)|\\). удалив из цикла любое ребро, получаем простой путь с большим числом вершин, чем у \\(p\\). это противоречит максимальности \\(p\\). следовательно, у \\(q\\) нет внутренних вершин, и потому \\(q\\) является ребром \\(v_1v_p\\). longest-path-endpoints-shortest-detour kratchayshiy obhod mezhdu kontsami maksimalnogo puti hamiltonian_cycles goal_exact_bound bmo 2025 ofitsialnye usloviya i resheniya https://bmo2025.pmf.unsa.ba/wp-content/uploads/2025/05/problems%20-%20solutions.pdf misc official_archive src-bmo-2025-official with_solution prochee ? bmo 2025 ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original-1 needs_human_review pust \\(g\\) — svyaznyy prostoy graf, a \\(p=v_1v_2\\dots v_p\\) — prostoy put maksimalnoy dliny v \\(g\\). predpolozhim, chto suschestvuet kratchayshiy put \\(q\\) iz \\(v_1\\) v \\(v_p\\), vse vnutrennie vershiny kotorogo ne lezhat na \\(p\\). dokazhite, chto put \\(q\\) sostoit iz odnogo rebra, to est \\(v_1v_p\\in e(g)\\). simple_graph connected_graph path cycle idea-two_endpoint_paths_make_longer_cycle dva neperesekayuschihsya puti mezhdu kontsami dayut slishkom dlinnyy tsikl esli obhod mezhdu kontsami maksimalnogo puti imeet hotya by odnu vnutrennyuyu vershinu, obedinenie dvuh putey obrazuet tsikl, soderzhaschiy bolshe vershin, chem ishodnyy put; iz takogo tsikla izvlekaetsya bolee dlinnyy put. hamiltonian_cycles ai_checked sol-cycle-longer-than-path tsikl dlinnee maksimalnogo puti ai_checked path cycle pust kratchayshiy put \\(q\\) imeet hotya by odnu vnutrennyuyu vershinu. tak kak vnutrennie vershiny \\(q\\) ne lezhat na \\(p\\), obedinenie \\(p\\cup q\\) soderzhit tsikl, prohodyaschiy po vsem vershinam \\(p\\) i po vnutrennim vershinam \\(q\\). chislo vershin etogo tsikla ravno \\(|v(p)|+|v(q)|-2>|v(p)|\\). udaliv iz tsikla lyuboe rebro, poluchaem prostoy put s bolshim chislom vershin, chem u \\(p\\). eto protivorechit maksimalnosti \\(p\\). sledovatelno, u \\(q\\) net vnutrennih vershin, i potomu \\(q\\) yavlyaetsya rebrom \\(v_1v_p\\).","source_keys":["misc","bmo"]}
{"id":"malekshahian-spiro-biased-clique-building-game","title":"Смещённая игра в клики: асимптотическая победа второго игрока","path":"data\\problems\\classical\\malekshahian-spiro-biased-clique-building-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/malekshahian-spiro-biased-clique-building-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#malekshahian-spiro-biased-clique-building-game","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Alexandru Malekshahian, Sam Spiro, On a Clique-Building Game of Erdős"],"year":"","type":"theorem","authors":["Alexandru Malekshahian","Sam Spiro"],"tags":["extremal_graph_theory","ramsey_theory","goal_strategy_game","goal_bound","classical_theorem"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":10,"comment":"Тяжёлая внешняя теорема о позиционных играх. Доказательство использует смещённый критерий Эрдёша--Селфриджа--Бека и теорему Гебауэр об игре в клику; школьного самодостаточного доказательства в карточке нет.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"without_solution","solution_classification":{"type":"hard_external_theorem_no_proof","label":"доказательство не приведено: тяжёлая внешняя теорема","status":"source_verified","confidence":0.99,"basis":"Точная формулировка и область кванторов сверены по первичной статье Малекшахяна--Спиро.","notes":"Внешняя теорема сформулирована полностью; неизвестный численный порог не подменён явным значением.","audit_source":"manual-primary-source-review-2026-08-15"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-asymptotic-player-two-win","title":"Теорема Малекшахяна--Спиро для смещённой игры","status":"source_verified","text":"Пусть \\(n,p,q\\ge 1\\) -- целые числа. На рёбрах полного графа \\(K_n\\) играют двое, первым ходит игрок 1. За свой ход игрок 1 забирает \\(p\\) ещё не занятых рёбер, а игрок 2 -- \\(q\\) таких рёбер; если перед ходом осталось меньше положенного числа рёбер, игрок забирает все оставшиеся. После заполнения графа через \\(G_1\\) и \\(G_2\\) обозначим графы из рёбер соответствующих игроков. Если \\(p<q\\), игрок 2 выигрывает ровно тогда, когда \\(\\omega(G_2)>\\omega(G_1)\\); при равенстве размеров наибольших клик выигрывает игрок 1. Для каждого \\(p\\ge1\\) существует целое \\(n_0=n_0(p)\\) такое, что при всех \\(n\\ge n_0\\) игрок 2 имеет выигрышную стратегию, если \\[ q\\ge\\left(2+\\frac{12\\log_2\\log_2(p+1)}{\\log_2(p+1)}\\right)p+2. \\] В частности, при всех достаточно больших \\(n\\) игрок 2 выигрывает игру с параметрами \\((p,q)=(1,4)\\).","definition_ids":["complete_graph","clique"]}]},"solutions":[],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p26-biased-clique-family","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem26-golden-ratio-biased-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p11-biased-clique-model","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem11-symmetric-erdos-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p13-biased-clique-family","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"malekshahian-spiro-biased-clique-building-game смещённая игра в клики: асимптотическая победа второго игрока extremal_graph_theory ramsey_theory goal_strategy_game goal_bound classical_theorem alexandru malekshahian alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős alexandrumalekshahian https://arxiv.org/abs/2410.18304 misc paper sam spiro samspiro src-malekshahian-spiro-clique-building-game without_solution прочее alexandru malekshahian sam spiro alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős stmt-asymptotic-player-two-win теорема малекшахяна--спиро для смещённой игры source_verified пусть \\(n,p,q\\ge 1\\) -- целые числа. на рёбрах полного графа \\(k_n\\) играют двое, первым ходит игрок 1. за свой ход игрок 1 забирает \\(p\\) ещё не занятых рёбер, а игрок 2 -- \\(q\\) таких рёбер; если перед ходом осталось меньше положенного числа рёбер, игрок забирает все оставшиеся. после заполнения графа через \\(g_1\\) и \\(g_2\\) обозначим графы из рёбер соответствующих игроков. если \\(p<q\\), игрок 2 выигрывает ровно тогда, когда \\(\\omega(g_2)>\\omega(g_1)\\); при равенстве размеров наибольших клик выигрывает игрок 1. для каждого \\(p\\ge1\\) существует целое \\(n_0=n_0(p)\\) такое, что при всех \\(n\\ge n_0\\) игрок 2 имеет выигрышную стратегию, если \\[ q\\ge\\left(2+\\frac{12\\log_2\\log_2(p+1)}{\\log_2(p+1)}\\right)p+2. \\] в частности, при всех достаточно больших \\(n\\) игрок 2 выигрывает игру с параметрами \\((p,q)=(1,4)\\). complete_graph clique idea-build-and-block часть ходов строит, а часть блокирует доказательство статьи разделяет запас ходов второго игрока между двумя самостоятельными задачами: ограничить размер клики первого игрока и одновременно гарантировать собственную большую клику. для обеих частей применяются серьёзные результаты об играх мейкера--брейкера. extremal_graph_theory goal_strategy_game source_verified malekshahian-spiro-biased-clique-building-game smeschennaya igra v kliki: asimptoticheskaya pobeda vtorogo igroka extremal_graph_theory ramsey_theory goal_strategy_game goal_bound classical_theorem alexandru malekshahian alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős alexandrumalekshahian https://arxiv.org/abs/2410.18304 misc paper sam spiro samspiro src-malekshahian-spiro-clique-building-game without_solution prochee alexandru malekshahian sam spiro alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős stmt-asymptotic-player-two-win teorema malekshahyana--spiro dlya smeschennoy igry source_verified pust \\(n,p,q\\ge 1\\) -- tselye chisla. na rebrah polnogo grafa \\(k_n\\) igrayut dvoe, pervym hodit igrok 1. za svoy hod igrok 1 zabiraet \\(p\\) esche ne zanyatyh reber, a igrok 2 -- \\(q\\) takih reber; esli pered hodom ostalos menshe polozhennogo chisla reber, igrok zabiraet vse ostavshiesya. posle zapolneniya grafa cherez \\(g_1\\) i \\(g_2\\) oboznachim grafy iz reber sootvetstvuyuschih igrokov. esli \\(p<q\\), igrok 2 vyigryvaet rovno togda, kogda \\(\\omega(g_2)>\\omega(g_1)\\); pri ravenstve razmerov naibolshih klik vyigryvaet igrok 1. dlya kazhdogo \\(p\\ge1\\) suschestvuet tseloe \\(n_0=n_0(p)\\) takoe, chto pri vseh \\(n\\ge n_0\\) igrok 2 imeet vyigryshnuyu strategiyu, esli \\[ q\\ge\\left(2+\\frac{12\\log_2\\log_2(p+1)}{\\log_2(p+1)}\\right)p+2. \\] v chastnosti, pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) igrok 2 vyigryvaet igru s parametrami \\((p,q)=(1,4)\\). complete_graph clique idea-build-and-block chast hodov stroit, a chast blokiruet dokazatelstvo stati razdelyaet zapas hodov vtorogo igroka mezhdu dvumya samostoyatelnymi zadachami: ogranichit razmer kliki pervogo igroka i odnovremenno garantirovat sobstvennuyu bolshuyu kliku. dlya obeih chastey primenyayutsya sereznye rezultaty ob igrah meykera--breykera. extremal_graph_theory goal_strategy_game source_verified","source_keys":["misc"]}
{"id":"mantel-theorem","title":"Теорема Мантеля о максимуме рёбер без треугольников","path":"data\\problems\\classical\\mantel-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/mantel-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#mantel-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Mantel's theorem"],"year":"","type":"theorem","authors":["Willem Mantel"],"tags":["extremal_graph_theory","forbidden_triangle","classical_theorem","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Классический частный случай Турана; короткое доказательство доступно школьникам.","status":"ai_draft"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"Пусть G — простой неориентированный граф на n вершинах, в котором нет трех попарно соединенных вершин. Тогда в G не более \\( \\lfloor n^2/4 \\rfloor \\) ребер.","definition_ids":["simple_graph","clique","complete_graph","bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-sum","title":"Доказательство через степени","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(m=e(G)\\), а \\(d(v)\\) — степени вершин. Для каждого ребра \\(uv\\) в графе без треугольников множества \\(N(u)\\) и \\(N(v)\\) не пересекаются: общий сосед вместе с \\(u\\) и \\(v\\) дал бы треугольник. Поэтому \\(d(u)+d(v)\\le n\\). Просуммируем это неравенство по всем рёбрам. Левая часть равна \\(\\sum_v d(v)^2\\), потому что вклад \\(d(v)\\) появляется ровно для \\(d(v)\\) рёбер, инцидентных \\(v\\). Значит \\(\\sum_v d(v)^2\\le mn\\). По неравенству Коши \\((\\sum_v d(v))^2\\le n\\sum_v d(v)^2\\), а \\(\\sum_v d(v)=2m\\). Получаем \\(4m^2\\le n\\sum_v d(v)^2\\le n^2m\\). Если \\(m>0\\), делим на \\(m\\) и имеем \\(m\\le n^2/4\\); при \\(m=0\\) это очевидно. Так как \\(m\\) целое, \\(m\\le \\lfloor n^2/4\\rfloor\\)."}],"relations":[{"id":"rel-turan-mantel","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-c4-kst-mantel","neighbor_id":"c4-free-kovari-sos-turan-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bondy-links-mantel-threshold","neighbor_id":"bondy-pancyclic-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2019-p5-mantel-complete-bipartite","neighbor_id":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2009-friendship-mantel","neighbor_id":"imc-2009-day1-p3-friendship-girth-five","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-mantel-imo-1989-sl14","neighbor_id":"imo-1989-sl14-seven-points-triangle-cover","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-2008-p3-bipartite-extremal","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2008-p3-tame-bipartite-graphs","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-mantel","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2019-b3-mantel","neighbor_id":"simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2024-average-degree-mantel","neighbor_id":"utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vjimc-2024-degree-squares-mantel","neighbor_id":"vjimc-2024-cat1-p3-degree-squares-triangle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"mantel-theorem теорема мантеля о максимуме рёбер без треугольников extremal_graph_theory forbidden_triangle classical_theorem goal_characterization https://en.wikipedia.org/wiki/mantel%27s_theorem mantel's theorem misc reference src-wikipedia-mantel willem mantel willemmantel with_solution прочее willem mantel mantel's theorem stmt-original-1 needs_review пусть g — простой неориентированный граф на n вершинах, в котором нет трех попарно соединенных вершин. тогда в g не более \\( \\lfloor n^2/4 \\rfloor \\) ребер. simple_graph clique complete_graph bipartite_graph idea-neighborhood-independent окрестность независима в графе без треугольников окрестность любой вершины является независимым множеством; экстремальный граф вынужден быть близок к полному двудольному. forbidden_triangle extremal_choice ai_draft sol-degree-sum доказательство через степени ai_checked double_counting пусть \\(m=e(g)\\), а \\(d(v)\\) — степени вершин. для каждого ребра \\(uv\\) в графе без треугольников множества \\(n(u)\\) и \\(n(v)\\) не пересекаются: общий сосед вместе с \\(u\\) и \\(v\\) дал бы треугольник. поэтому \\(d(u)+d(v)\\le n\\). просуммируем это неравенство по всем рёбрам. левая часть равна \\(\\sum_v d(v)^2\\), потому что вклад \\(d(v)\\) появляется ровно для \\(d(v)\\) рёбер, инцидентных \\(v\\). значит \\(\\sum_v d(v)^2\\le mn\\). по неравенству коши \\((\\sum_v d(v))^2\\le n\\sum_v d(v)^2\\), а \\(\\sum_v d(v)=2m\\). получаем \\(4m^2\\le n\\sum_v d(v)^2\\le n^2m\\). если \\(m>0\\), делим на \\(m\\) и имеем \\(m\\le n^2/4\\); при \\(m=0\\) это очевидно. так как \\(m\\) целое, \\(m\\le \\lfloor n^2/4\\rfloor\\). mantel-theorem teorema mantelya o maksimume reber bez treugolnikov extremal_graph_theory forbidden_triangle classical_theorem goal_characterization https://en.wikipedia.org/wiki/mantel%27s_theorem mantel's theorem misc reference src-wikipedia-mantel willem mantel willemmantel with_solution prochee willem mantel mantel's theorem stmt-original-1 needs_review pust g — prostoy neorientirovannyy graf na n vershinah, v kotorom net treh poparno soedinennyh vershin. togda v g ne bolee \\( \\lfloor n^2/4 \\rfloor \\) reber. simple_graph clique complete_graph bipartite_graph idea-neighborhood-independent okrestnost nezavisima v grafe bez treugolnikov okrestnost lyuboy vershiny yavlyaetsya nezavisimym mnozhestvom; ekstremalnyy graf vynuzhden byt blizok k polnomu dvudolnomu. forbidden_triangle extremal_choice ai_draft sol-degree-sum dokazatelstvo cherez stepeni ai_checked double_counting pust \\(m=e(g)\\), a \\(d(v)\\) — stepeni vershin. dlya kazhdogo rebra \\(uv\\) v grafe bez treugolnikov mnozhestva \\(n(u)\\) i \\(n(v)\\) ne peresekayutsya: obschiy sosed vmeste s \\(u\\) i \\(v\\) dal by treugolnik. poetomu \\(d(u)+d(v)\\le n\\). prosummiruem eto neravenstvo po vsem rebram. levaya chast ravna \\(\\sum_v d(v)^2\\), potomu chto vklad \\(d(v)\\) poyavlyaetsya rovno dlya \\(d(v)\\) reber, intsidentnyh \\(v\\). znachit \\(\\sum_v d(v)^2\\le mn\\). po neravenstvu koshi \\((\\sum_v d(v))^2\\le n\\sum_v d(v)^2\\), a \\(\\sum_v d(v)=2m\\). poluchaem \\(4m^2\\le n\\sum_v d(v)^2\\le n^2m\\). esli \\(m>0\\), delim na \\(m\\) i imeem \\(m\\le n^2/4\\); pri \\(m=0\\) eto ochevidno. tak kak \\(m\\) tseloe, \\(m\\le \\lfloor n^2/4\\rfloor\\).","source_keys":["misc"]}
{"id":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","title":"Строго кратчайшее ребро цикла не входит в максимальный остов","path":"data\\problems\\classical\\maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["trees","extremal_choice","goal_proof","classical_lemma"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":2,"comment":"Короткая cycle-property лемма для максимального остовного дерева; в геометрических задачах применяется к замкнутой ломаной с единственным строго кратчайшим звеном.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution_lemma_extracted","label":"лемма из официального решения","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Извлечено из официального решения; лемма сверена с исходной карточкой.","notes":"Лемма выделяет самодостаточное ядро исходного решения.","audit_source":"agent-kolmogorov-2022-round4-high-diameter-circles-lemma-split-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-closed-polygonal-chain","title":"Геометрическая формулировка через замкнутую ломаную","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(S\\) — конечное множество точек на плоскости, а \\(T\\) — дерево на вершинах \\(S\\), у которого сумма евклидовых длин рёбер максимальна среди всех деревьев на \\(S\\). Рассмотрим замкнутую ломаную с вершинами в \\(S\\). Если одно её ребро \\(AB\\) имеет длину строго меньше длины каждого другого ребра этой ломаной, то отрезок \\(AB\\) не является ребром дерева \\(T\\).","definition_ids":["tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-weighted-complete-graph","title":"Критерий цикла для максимального остова","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(K\\) — конечный полный граф с действительными весами рёбер, а \\(T\\) — остовное дерево максимального суммарного веса в \\(K\\). Если в некотором цикле графа \\(K\\) ребро \\(e\\) имеет вес строго меньше веса каждого другого ребра этого цикла, то \\(e\\notin E(T)\\).","definition_ids":["complete_graph","spanning_tree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cycle-exchange","title":"Обмен по циклу","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","spanning_tree","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем графовую формулировку. Предположим противное: строго самое лёгкое ребро \\(e=uv\\) некоторого цикла \\(C\\) входит в максимальный по суммарному весу остов \\(T\\). Удалим \\(e\\) из \\(T\\). Получатся две компоненты, одна содержит \\(u\\), другая содержит \\(v\\). Пройдём по циклу \\(C\\) от \\(u\\) к \\(v\\), не используя ребро \\(e\\). В начале мы находимся в компоненте вершины \\(u\\), а в конце — в другой компоненте, значит на этом пути есть ребро \\(f\\), соединяющее две компоненты дерева \\(T-e\\). По условию \\(e\\) строго легче любого другого ребра цикла, поэтому \\(w(f)>w(e)\\). Тогда \\(T-e+f\\) снова является остовным деревом: ребро \\(f\\) соединяет две компоненты, возникшие после удаления \\(e\\). Его суммарный вес больше веса \\(T\\), что противоречит максимальности \\(T\\). Следовательно, \\(e\\) не может входить в \\(T\\). Геометрическая версия получается из той же идеи. Замкнутая ломаная задаёт замкнутый об…"}],"relations":[{"id":"rel-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-kolmogorov-2022-diameter-circles","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-minimal-half-subset-exchange-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"minimal-half-subset-exchange-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-augmenting-path-matching-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"augmenting-path-matching-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-rmm-2023-spanning-tree-exchange","neighbor_id":"rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma строго кратчайшее ребро цикла не входит в максимальный остов trees extremal_choice goal_proof classical_lemma https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official with_solution кубок колмогорова 2022 официальный архив прочее ? кубок колмогорова 2022 официальный архив stmt-closed-polygonal-chain геометрическая формулировка через замкнутую ломаную ai_checked пусть \\(s\\) — конечное множество точек на плоскости, а \\(t\\) — дерево на вершинах \\(s\\), у которого сумма евклидовых длин рёбер максимальна среди всех деревьев на \\(s\\). рассмотрим замкнутую ломаную с вершинами в \\(s\\). если одно её ребро \\(ab\\) имеет длину строго меньше длины каждого другого ребра этой ломаной, то отрезок \\(ab\\) не является ребром дерева \\(t\\). tree stmt-weighted-complete-graph критерий цикла для максимального остова ai_checked пусть \\(k\\) — конечный полный граф с действительными весами рёбер, а \\(t\\) — остовное дерево максимального суммарного веса в \\(k\\). если в некотором цикле графа \\(k\\) ребро \\(e\\) имеет вес строго меньше веса каждого другого ребра этого цикла, то \\(e\\notin e(t)\\). complete_graph spanning_tree cycle idea-cut-after-deleting-short-edge разрез после удаления короткого ребра если короткое ребро максимального дерева удалить, дерево распадается на две компоненты. остальная часть цикла или замкнутой ломаной идёт из одной компоненты в другую, поэтому содержит ребро через этот разрез. trees extremal_choice ai_checked idea-strictness-needed-for-improvement строгость даёт увеличение веса обмен запрещён экстремальностью только тогда, когда новое ребро строго тяжелее удаляемого. поэтому условие выделяет именно строго кратчайшее ребро цикла. extremal_choice ai_checked sol-cycle-exchange обмен по циклу ai_checked complete_graph spanning_tree cycle tree extremal_choice докажем графовую формулировку. предположим противное: строго самое лёгкое ребро \\(e=uv\\) некоторого цикла \\(c\\) входит в максимальный по суммарному весу остов \\(t\\). удалим \\(e\\) из \\(t\\). получатся две компоненты, одна содержит \\(u\\), другая содержит \\(v\\). пройдём по циклу \\(c\\) от \\(u\\) к \\(v\\), не используя ребро \\(e\\). в начале мы находимся в компоненте вершины \\(u\\), а в конце — в другой компоненте, значит на этом пути есть ребро \\(f\\), соединяющее две компоненты дерева \\(t-e\\). по условию \\(e\\) строго легче любого другого ребра цикла, поэтому \\(w(f)>w(e)\\). тогда \\(t-e+f\\) снова является остовным деревом: ребро \\(f\\) соединяет две компоненты, возникшие после удаления \\(e\\). его суммарный вес больше веса \\(t\\), что противоречит максимальности \\(t\\). следовательно, \\(e\\) не может входить в \\(t\\). геометрическая версия получается из той же идеи. замкнутая ломаная задаёт замкнутый об… maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma strogo kratchayshee rebro tsikla ne vhodit v maksimalnyy ostov trees extremal_choice goal_proof classical_lemma https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official with_solution kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv prochee ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv stmt-closed-polygonal-chain geometricheskaya formulirovka cherez zamknutuyu lomanuyu ai_checked pust \\(s\\) — konechnoe mnozhestvo tochek na ploskosti, a \\(t\\) — derevo na vershinah \\(s\\), u kotorogo summa evklidovyh dlin reber maksimalna sredi vseh derevev na \\(s\\). rassmotrim zamknutuyu lomanuyu s vershinami v \\(s\\). esli odno ee rebro \\(ab\\) imeet dlinu strogo menshe dliny kazhdogo drugogo rebra etoy lomanoy, to otrezok \\(ab\\) ne yavlyaetsya rebrom dereva \\(t\\). tree stmt-weighted-complete-graph kriteriy tsikla dlya maksimalnogo ostova ai_checked pust \\(k\\) — konechnyy polnyy graf s deystvitelnymi vesami reber, a \\(t\\) — ostovnoe derevo maksimalnogo summarnogo vesa v \\(k\\). esli v nekotorom tsikle grafa \\(k\\) rebro \\(e\\) imeet ves strogo menshe vesa kazhdogo drugogo rebra etogo tsikla, to \\(e\\notin e(t)\\). complete_graph spanning_tree cycle idea-cut-after-deleting-short-edge razrez posle udaleniya korotkogo rebra esli korotkoe rebro maksimalnogo dereva udalit, derevo raspadaetsya na dve komponenty. ostalnaya chast tsikla ili zamknutoy lomanoy idet iz odnoy komponenty v druguyu, poetomu soderzhit rebro cherez etot razrez. trees extremal_choice ai_checked idea-strictness-needed-for-improvement strogost daet uvelichenie vesa obmen zapreschen ekstremalnostyu tolko togda, kogda novoe rebro strogo tyazhelee udalyaemogo. poetomu uslovie vydelyaet imenno strogo kratchayshee rebro tsikla. extremal_choice ai_checked sol-cycle-exchange obmen po tsiklu ai_checked complete_graph spanning_tree cycle tree extremal_choice dokazhem grafovuyu formulirovku. predpolozhim protivnoe: strogo samoe legkoe rebro \\(e=uv\\) nekotorogo tsikla \\(c\\) vhodit v maksimalnyy po summarnomu vesu ostov \\(t\\). udalim \\(e\\) iz \\(t\\). poluchatsya dve komponenty, odna soderzhit \\(u\\), drugaya soderzhit \\(v\\). proydem po tsiklu \\(c\\) ot \\(u\\) k \\(v\\), ne ispolzuya rebro \\(e\\). v nachale my nahodimsya v komponente vershiny \\(u\\), a v kontse — v drugoy komponente, znachit na etom puti est rebro \\(f\\), soedinyayuschee dve komponenty dereva \\(t-e\\). po usloviyu \\(e\\) strogo legche lyubogo drugogo rebra tsikla, poetomu \\(w(f)>w(e)\\). togda \\(t-e+f\\) snova yavlyaetsya ostovnym derevom: rebro \\(f\\) soedinyaet dve komponenty, voznikshie posle udaleniya \\(e\\). ego summarnyy ves bolshe vesa \\(t\\), chto protivorechit maksimalnosti \\(t\\). sledovatelno, \\(e\\) ne mozhet vhodit v \\(t\\). geometricheskaya versiya poluchaetsya iz toy zhe idei. zamknutaya lomanaya zadaet zamknutyy ob…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"menger-theorem","title":"Теорема Менгера о непересекающихся путях и разрезах","path":"data\\problems\\classical\\menger-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/menger-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#menger-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Менгера"],"year":"","type":"theorem","authors":["Karl Menger"],"tags":["connectivity","graph_cut","augmenting_path","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":9,"comment":"Мощный инструмент; полное доказательство обычно выходит за рамки короткой школьной задачи.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть s и t — две различные несмежные вершины конечного неориентированного графа. Минимальное число вершин, удаление которых отделяет s от t, равно максимальному числу путей из s в t, не имеющих общих внутренних вершин.","definition_ids":["path","connected_graph","simple_graph"]},{"id":"stmt-edge-directed","title":"","status":"ai_checked","text":"Ориентированная реберная форма. В конечном ориентированном графе максимальное число попарно дугово-непересекающихся путей из \\(s\\) в \\(t\\) равно минимальному числу дуг, удаление которых уничтожает все ориентированные пути из \\(s\\) в \\(t\\). Неориентированная реберная форма получается тем же аргументом через поток с единичными пропускными способностями.","definition_ids":["directed_graph","path","graph_cut"]}]},"solutions":[{"id":"sol-flow-sketch","title":"Доказательство через поток","status":"ai_checked","definition_ids":["path","simple_graph","directed_graph"],"standard_idea_ids":["augmenting_path_method"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(G\\) имеет n вершин, а s и t различны и несмежны. Сначала зафиксируем конечный целочисленный факт о потоках, чтобы не ссылаться на него извне. В конечной сети с целыми неотрицательными пропускными способностями начнем с нулевого потока и, пока в остаточной сети есть путь из источника a в сток b, увеличиваем поток вдоль такого пути на минимальную остаточную емкость его дуг. Эта величина положительна и цела, поэтому поток всегда остается целочисленным и его значение каждый раз возрастает хотя бы на 1; значение потока не превосходит суммарной емкости дуг, выходящих из a, значит процесс конечен. Когда остаточного a-b пути уже нет, пусть R — множество вершин, достижимых из a в остаточной сети. Тогда b не принадлежит R. Для всякой дуги u→v из R наружу ее прямая остаточная емкость равна 0, то есть \\(f(u,v)=c(u,v)\\); для всякой дуги v→u снаружи в R обратная остаточная емкость равна 0, то…"},{"id":"sol-edge-form-by-flow","title":"Реберная форма через единичный поток","status":"ai_checked","definition_ids":["path","directed_graph","graph_cut"],"standard_idea_ids":["augmenting_path_method"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Поставим емкость 1 на каждую дугу ориентированного графа и применим конечный целочисленный аргумент max-flow/min-cut, уже доказанный в этой карточке. Целочисленный поток значения \\(r\\) раскладывается в \\(r\\) единичных \\(s\\)-\\(t\\) путей; поскольку каждая дуга имеет емкость 1, эти пути попарно не пересекаются по дугам. Обратно, любое семейство дугово-непересекающихся путей пересекает каждый \\(s\\)-\\(t\\) разрез в различных дугах, поэтому число путей не превосходит размера разреза. Значит максимальное число таких путей равно минимальному размеру дугового разреза. Неориентированная реберная версия получается тем же аргументом с единичными емкостями на ребрах."}],"relations":[{"id":"rel-menger-spbmo-2013-8-p5-dominators","neighbor_id":"spbmo-2013-8-p5-capital-directed-disjoint-paths","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2024-fragile-menger","neighbor_id":"chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-pass-menger-usamo-2004-grid-separator","neighbor_id":"usamo-2004-p4-black-path-grid-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2002-p2-menger-theorem-short-edge-version","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-official-expansion-imo-2021-c4-menger-directed-edge","neighbor_id":"imo-2021-c4-anisotropy-menger","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"source_verified"}],"search_text":"menger-theorem теорема менгера о непересекающихся путях и разрезах connectivity graph_cut augmenting_path classical_theorem goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%9c%d0%b5%d0%bd%d0%b3%d0%b5%d1%80%d0%b0 karl menger karlmenger misc reference src-wikipedia-menger with_solution прочее теорема менгера karl menger теорема менгера stmt-original-1 ai_checked пусть s и t — две различные несмежные вершины конечного неориентированного графа. минимальное число вершин, удаление которых отделяет s от t, равно максимальному числу путей из s в t, не имеющих общих внутренних вершин. path connected_graph simple_graph stmt-edge-directed ai_checked ориентированная реберная форма. в конечном ориентированном графе максимальное число попарно дугово-непересекающихся путей из \\(s\\) в \\(t\\) равно минимальному числу дуг, удаление которых уничтожает все ориентированные пути из \\(s\\) в \\(t\\). неориентированная реберная форма получается тем же аргументом через поток с единичными пропускными способностями. directed_graph path graph_cut idea-min-cut-max-path пути против разделителей каждый разделитель должен пересекать каждый путь; теорема утверждает, что это очевидное верхнее ограничение точно. connectivity ai_checked idea-edge-cut-flow ребра как единичные емкости для реберной версии расщеплять вершины не нужно: достаточно поставить емкость 1 на каждую дугу. целочисленный максимальный поток раскладывается в дугово-непересекающиеся пути, а минимальный разрез считает ровно удаляемые дуги. connectivity ai_checked sol-flow-sketch доказательство через поток ai_checked path simple_graph directed_graph augmenting_path_method пусть \\(g\\) имеет n вершин, а s и t различны и несмежны. сначала зафиксируем конечный целочисленный факт о потоках, чтобы не ссылаться на него извне. в конечной сети с целыми неотрицательными пропускными способностями начнем с нулевого потока и, пока в остаточной сети есть путь из источника a в сток b, увеличиваем поток вдоль такого пути на минимальную остаточную емкость его дуг. эта величина положительна и цела, поэтому поток всегда остается целочисленным и его значение каждый раз возрастает хотя бы на 1; значение потока не превосходит суммарной емкости дуг, выходящих из a, значит процесс конечен. когда остаточного a-b пути уже нет, пусть r — множество вершин, достижимых из a в остаточной сети. тогда b не принадлежит r. для всякой дуги u→v из r наружу ее прямая остаточная емкость равна 0, то есть \\(f(u,v)=c(u,v)\\); для всякой дуги v→u снаружи в r обратная остаточная емкость равна 0, то… sol-edge-form-by-flow реберная форма через единичный поток ai_checked path directed_graph graph_cut augmenting_path_method поставим емкость 1 на каждую дугу ориентированного графа и применим конечный целочисленный аргумент max-flow/min-cut, уже доказанный в этой карточке. целочисленный поток значения \\(r\\) раскладывается в \\(r\\) единичных \\(s\\)-\\(t\\) путей; поскольку каждая дуга имеет емкость 1, эти пути попарно не пересекаются по дугам. обратно, любое семейство дугово-непересекающихся путей пересекает каждый \\(s\\)-\\(t\\) разрез в различных дугах, поэтому число путей не превосходит размера разреза. значит максимальное число таких путей равно минимальному размеру дугового разреза. неориентированная реберная версия получается тем же аргументом с единичными емкостями на ребрах. menger-theorem teorema mengera o neperesekayuschihsya putyah i razrezah connectivity graph_cut augmenting_path classical_theorem goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%9c%d0%b5%d0%bd%d0%b3%d0%b5%d1%80%d0%b0 karl menger karlmenger misc reference src-wikipedia-menger with_solution prochee teorema mengera karl menger teorema mengera stmt-original-1 ai_checked pust s i t — dve razlichnye nesmezhnye vershiny konechnogo neorientirovannogo grafa. minimalnoe chislo vershin, udalenie kotoryh otdelyaet s ot t, ravno maksimalnomu chislu putey iz s v t, ne imeyuschih obschih vnutrennih vershin. path connected_graph simple_graph stmt-edge-directed ai_checked orientirovannaya rebernaya forma. v konechnom orientirovannom grafe maksimalnoe chislo poparno dugovo-neperesekayuschihsya putey iz \\(s\\) v \\(t\\) ravno minimalnomu chislu dug, udalenie kotoryh unichtozhaet vse orientirovannye puti iz \\(s\\) v \\(t\\). neorientirovannaya rebernaya forma poluchaetsya tem zhe argumentom cherez potok s edinichnymi propusknymi sposobnostyami. directed_graph path graph_cut idea-min-cut-max-path puti protiv razdeliteley kazhdyy razdelitel dolzhen peresekat kazhdyy put; teorema utverzhdaet, chto eto ochevidnoe verhnee ogranichenie tochno. connectivity ai_checked idea-edge-cut-flow rebra kak edinichnye emkosti dlya rebernoy versii rasscheplyat vershiny ne nuzhno: dostatochno postavit emkost 1 na kazhduyu dugu. tselochislennyy maksimalnyy potok raskladyvaetsya v dugovo-neperesekayuschiesya puti, a minimalnyy razrez schitaet rovno udalyaemye dugi. connectivity ai_checked sol-flow-sketch dokazatelstvo cherez potok ai_checked path simple_graph directed_graph augmenting_path_method pust \\(g\\) imeet n vershin, a s i t razlichny i nesmezhny. snachala zafiksiruem konechnyy tselochislennyy fakt o potokah, chtoby ne ssylatsya na nego izvne. v konechnoy seti s tselymi neotritsatelnymi propusknymi sposobnostyami nachnem s nulevogo potoka i, poka v ostatochnoy seti est put iz istochnika a v stok b, uvelichivaem potok vdol takogo puti na minimalnuyu ostatochnuyu emkost ego dug. eta velichina polozhitelna i tsela, poetomu potok vsegda ostaetsya tselochislennym i ego znachenie kazhdyy raz vozrastaet hotya by na 1; znachenie potoka ne prevoshodit summarnoy emkosti dug, vyhodyaschih iz a, znachit protsess konechen. kogda ostatochnogo a-b puti uzhe net, pust r — mnozhestvo vershin, dostizhimyh iz a v ostatochnoy seti. togda b ne prinadlezhit r. dlya vsyakoy dugi u→v iz r naruzhu ee pryamaya ostatochnaya emkost ravna 0, to est \\(f(u,v)=c(u,v)\\); dlya vsyakoy dugi v→u snaruzhi v r obratnaya ostatochnaya emkost ravna 0, to… sol-edge-form-by-flow rebernaya forma cherez edinichnyy potok ai_checked path directed_graph graph_cut augmenting_path_method postavim emkost 1 na kazhduyu dugu orientirovannogo grafa i primenim konechnyy tselochislennyy argument max-flow/min-cut, uzhe dokazannyy v etoy kartochke. tselochislennyy potok znacheniya \\(r\\) raskladyvaetsya v \\(r\\) edinichnyh \\(s\\)-\\(t\\) putey; poskolku kazhdaya duga imeet emkost 1, eti puti poparno ne peresekayutsya po dugam. obratno, lyuboe semeystvo dugovo-neperesekayuschihsya putey peresekaet kazhdyy \\(s\\)-\\(t\\) razrez v razlichnyh dugah, poetomu chislo putey ne prevoshodit razmera razreza. znachit maksimalnoe chislo takih putey ravno minimalnomu razmeru dugovogo razreza. neorientirovannaya rebernaya versiya poluchaetsya tem zhe argumentom s edinichnymi emkostyami na rebrah.","source_keys":["misc"]}
{"id":"min-degree-common-neighborhood-clique","title":"Клика из большой минимальной степени через общих соседей","path":"data\\problems\\classical\\min-degree-common-neighborhood-clique.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/min-degree-common-neighborhood-clique.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#min-degree-common-neighborhood-clique","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Турана"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","forbidden_clique","degree_counting","double_counting","classical_lemma","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":4,"comment":"Школьно доказываемая минимально-степенная частная форма турановского порога.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"самодостаточная лемма","status":"ai_checked","confidence":0.95,"basis":"внешняя теорема аудит group A, 2026-05-06","notes":"Полное доказательство приведено в карточке; внешняя теорема Турана не используется как чёрный ящик.","audit_source":"external-theorem-audit-group-a"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-general","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(r\\ge2\\), а \\(G\\) — простой граф на \\(N\\) вершинах. Если \\(\\delta(G)\\ge N-\\lceil N/r\\rceil+1\\), то в \\(G\\) есть клика \\(K_{r+1}\\).","definition_ids":["simple_graph","degree","clique"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-1991-5","title":"","status":"ai_checked","text":"В частности, если в графе на 1991 вершине степень каждой вершины не меньше 1593, то в нём есть шесть попарно смежных вершин.","definition_ids":["simple_graph","degree","complete_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-union-bound","title":"Доказательство через объединение множеств несоседей","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","clique"],"standard_idea_ids":["double_counting","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим \\(q=\\lceil N/r\\rceil\\). Если \\(N\\le r\\) и \\(N\\ge1\\), то \\(q=1\\), а условие требовало бы \\(\\delta(G)\\ge N\\), что невозможно в простом графе на \\(N\\) вершинах. Поэтому невакуозен только случай \\(N\\ge r+1\\); далее работаем в нём. Из условия следует, что у каждой вершины не больше \\(q-2\\) несоседей: всего кроме самой вершины есть \\(N-1\\) других вершин, а соседей среди них не меньше \\(N-q+1\\). Покажем, что любую клику размера \\(s<r+1\\) можно продолжить. Пусть \\(C\\) — клика из \\(s\\) вершин, где \\(1\\le s\\le r\\). Вершина вне \\(C\\) не является общей соседкой всех вершин \\(C\\) только если она является несоседкой хотя бы одной вершины из \\(C\\). Таких плохих вершин не больше \\(s(q-2)\\). Поэтому общих соседей клики \\(C\\) вне самой \\(C\\) не меньше \\[ N-s-s(q-2)=N-sq+s. \\] Если \\(N=ar+b\\), \\(0\\le b<r\\), то при \\(b=0\\) имеем \\(q=a\\), и для \\(s\\le r\\) получаем \\(N-sq+s=a(r-s)+s>0\\). При \\(b>0\\…"}],"relations":[{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-utyum-2021-k5-free","neighbor_id":"utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-mantel","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-kst-c4","neighbor_id":"c4-free-kovari-sos-turan-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-complete-minus-few-edges","neighbor_id":"complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-vosh-2008-common-neighborhood","neighbor_id":"vosh-2008-regional-bureaucrats-common-neighborhood","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-usamo-2022-mathbook","neighbor_id":"usamo-2022-p6-mathbook-two-common-friends-closure","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-vosh-2025-red-pairs","neighbor_id":"vosh-2025-26-regional-common-neighborhood-red-pairs","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-imc-2011-tripartite","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2-tripartite-married-triples","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-shortest-odd-cycle-k4-free","neighbor_id":"shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-yumt-2021-clique-count","neighbor_id":"yumt-2021-grand-round1-problem2","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-turan","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-imo-1991-sl9","neighbor_id":"imo-1991-sl9-min-degree-for-k6","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"min-degree-common-neighborhood-clique клика из большой минимальной степени через общих соседей extremal_graph_theory forbidden_clique degree_counting double_counting classical_lemma goal_proof https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%bd%d0%b0 misc reference src-wikipedia-turan with_solution прочее теорема турана ? теорема турана stmt-general ai_checked пусть \\(r\\ge2\\), а \\(g\\) — простой граф на \\(n\\) вершинах. если \\(\\delta(g)\\ge n-\\lceil n/r\\rceil+1\\), то в \\(g\\) есть клика \\(k_{r+1}\\). simple_graph degree clique stmt-1991-5 ai_checked в частности, если в графе на 1991 вершине степень каждой вершины не меньше 1593, то в нём есть шесть попарно смежных вершин. simple_graph degree complete_graph clique idea-nonneighbors-do-not-cover несоседи выбранной клики не покрывают все оставшиеся вершины у каждой вершины мало несоседей. для клики из \\(s\\le r\\) вершин объединение их множеств несоседей всё ещё меньше множества всех возможных продолжений. extremal_graph_theory degree_counting ai_checked sol-union-bound доказательство через объединение множеств несоседей ai_checked simple_graph degree clique double_counting extremal_choice обозначим \\(q=\\lceil n/r\\rceil\\). если \\(n\\le r\\) и \\(n\\ge1\\), то \\(q=1\\), а условие требовало бы \\(\\delta(g)\\ge n\\), что невозможно в простом графе на \\(n\\) вершинах. поэтому невакуозен только случай \\(n\\ge r+1\\); далее работаем в нём. из условия следует, что у каждой вершины не больше \\(q-2\\) несоседей: всего кроме самой вершины есть \\(n-1\\) других вершин, а соседей среди них не меньше \\(n-q+1\\). покажем, что любую клику размера \\(s<r+1\\) можно продолжить. пусть \\(c\\) — клика из \\(s\\) вершин, где \\(1\\le s\\le r\\). вершина вне \\(c\\) не является общей соседкой всех вершин \\(c\\) только если она является несоседкой хотя бы одной вершины из \\(c\\). таких плохих вершин не больше \\(s(q-2)\\). поэтому общих соседей клики \\(c\\) вне самой \\(c\\) не меньше \\[ n-s-s(q-2)=n-sq+s. \\] если \\(n=ar+b\\), \\(0\\le b<r\\), то при \\(b=0\\) имеем \\(q=a\\), и для \\(s\\le r\\) получаем \\(n-sq+s=a(r-s)+s>0\\). при \\(b>0\\… min-degree-common-neighborhood-clique klika iz bolshoy minimalnoy stepeni cherez obschih sosedey extremal_graph_theory forbidden_clique degree_counting double_counting classical_lemma goal_proof https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%bd%d0%b0 misc reference src-wikipedia-turan with_solution prochee teorema turana ? teorema turana stmt-general ai_checked pust \\(r\\ge2\\), a \\(g\\) — prostoy graf na \\(n\\) vershinah. esli \\(\\delta(g)\\ge n-\\lceil n/r\\rceil+1\\), to v \\(g\\) est klika \\(k_{r+1}\\). simple_graph degree clique stmt-1991-5 ai_checked v chastnosti, esli v grafe na 1991 vershine stepen kazhdoy vershiny ne menshe 1593, to v nem est shest poparno smezhnyh vershin. simple_graph degree complete_graph clique idea-nonneighbors-do-not-cover nesosedi vybrannoy kliki ne pokryvayut vse ostavshiesya vershiny u kazhdoy vershiny malo nesosedey. dlya kliki iz \\(s\\le r\\) vershin obedinenie ih mnozhestv nesosedey vse esche menshe mnozhestva vseh vozmozhnyh prodolzheniy. extremal_graph_theory degree_counting ai_checked sol-union-bound dokazatelstvo cherez obedinenie mnozhestv nesosedey ai_checked simple_graph degree clique double_counting extremal_choice oboznachim \\(q=\\lceil n/r\\rceil\\). esli \\(n\\le r\\) i \\(n\\ge1\\), to \\(q=1\\), a uslovie trebovalo by \\(\\delta(g)\\ge n\\), chto nevozmozhno v prostom grafe na \\(n\\) vershinah. poetomu nevakuozen tolko sluchay \\(n\\ge r+1\\); dalee rabotaem v nem. iz usloviya sleduet, chto u kazhdoy vershiny ne bolshe \\(q-2\\) nesosedey: vsego krome samoy vershiny est \\(n-1\\) drugih vershin, a sosedey sredi nih ne menshe \\(n-q+1\\). pokazhem, chto lyubuyu kliku razmera \\(s<r+1\\) mozhno prodolzhit. pust \\(c\\) — klika iz \\(s\\) vershin, gde \\(1\\le s\\le r\\). vershina vne \\(c\\) ne yavlyaetsya obschey sosedkoy vseh vershin \\(c\\) tolko esli ona yavlyaetsya nesosedkoy hotya by odnoy vershiny iz \\(c\\). takih plohih vershin ne bolshe \\(s(q-2)\\). poetomu obschih sosedey kliki \\(c\\) vne samoy \\(c\\) ne menshe \\[ n-s-s(q-2)=n-sq+s. \\] esli \\(n=ar+b\\), \\(0\\le b<r\\), to pri \\(b=0\\) imeem \\(q=a\\), i dlya \\(s\\le r\\) poluchaem \\(n-sq+s=a(r-s)+s>0\\). pri \\(b>0\\…","source_keys":["misc"]}
{"id":"minimal-half-subset-exchange-lemma","title":"Лемма об обмене для подмножества с минимальным числом внутренних ребер","path":"data\\problems\\classical\\minimal-half-subset-exchange-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/minimal-half-subset-exchange-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#minimal-half-subset-exchange-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Canadian Mathematical Olympiad 2020 официальные решения"],"year":"","type":"lemma","authors":["Canadian Mathematical Society"],"tags":["extremal_choice","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":2,"comment":"Короткая лемма об обмене, выделенная из официального доказательства нижней оценки в CMO 2020 P5.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный простой граф, а \\(S\\subseteq V(G)\\) — подмножество заданного размера, для которого число ребер внутри \\(S\\) минимально среди всех подмножеств такого же размера. Для вершины \\(v\\) обозначим через \\(d_S(v)\\) число ее соседей в \\(S\\). Тогда для любых \\(r\\in S\\) и \\(b\\notin S\\) выполнено \\[ d_S(b)-\\mathbf 1_{br}\\ge d_S(r), \\] где \\(\\mathbf 1_{br}=1\\), если \\(b\\) и \\(r\\) смежны, и \\(0\\) иначе. В частности, \\(d_S(b)\\ge d_S(r)\\), а если \\(br\\) — ребро, то \\(d_S(b)>d_S(r)\\).","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-one-swap","title":"Доказательство одним обменом","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим множество \\[ S'=(S\\setminus\\{r\\})\\cup\\{b\\}. \\] Оно имеет тот же размер, что и \\(S\\), поэтому по минимальности \\(S\\) число внутренних ребер в \\(S'\\) не меньше, чем в \\(S\\). При переходе от \\(S\\) к \\(S'\\) исчезают ровно \\(d_S(r)\\) внутренних ребер: это ребра от \\(r\\) к другим вершинам \\(S\\). Появляются ровно \\(d_S(b)-\\mathbf 1_{br}\\) внутренних ребер: это ребра от \\(b\\) к вершинам из \\(S\\setminus\\{r\\}\\). Следовательно, прирост числа внутренних ребер равен \\[ (d_S(b)-\\mathbf 1_{br})-d_S(r) \\] и не может быть отрицательным. Отсюда \\[ d_S(b)-\\mathbf 1_{br}\\ge d_S(r). \\] Если \\(br\\) не является ребром, это сразу дает \\(d_S(b)\\ge d_S(r)\\). Если \\(br\\) является ребром, то \\(d_S(b)-1\\ge d_S(r)\\), то есть \\(d_S(b)>d_S(r)\\)."}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2020-p5-minimal-half-exchange","neighbor_id":"cmo-2020-p5-friendship-induced-subgraphs","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2005-weighted-cut-one-swap-exchange","neighbor_id":"vjimc-2005-cat2-p2-weighted-cut-half","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-minimal-half-subset-exchange-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"minimal-half-subset-exchange-lemma лемма об обмене для подмножества с минимальным числом внутренних ребер extremal_choice goal_bound canadian mathematical olympiad 2020 официальные решения canadian mathematical society canadianmathematicalsociety https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol2020.pdf misc solution_notes src-cmo-2020-solutions with_solution прочее canadian mathematical society canadian mathematical olympiad 2020 официальные решения stmt-original ai_checked пусть \\(g\\) — конечный простой граф, а \\(s\\subseteq v(g)\\) — подмножество заданного размера, для которого число ребер внутри \\(s\\) минимально среди всех подмножеств такого же размера. для вершины \\(v\\) обозначим через \\(d_s(v)\\) число ее соседей в \\(s\\). тогда для любых \\(r\\in s\\) и \\(b\\notin s\\) выполнено \\[ d_s(b)-\\mathbf 1_{br}\\ge d_s(r), \\] где \\(\\mathbf 1_{br}=1\\), если \\(b\\) и \\(r\\) смежны, и \\(0\\) иначе. в частности, \\(d_s(b)\\ge d_s(r)\\), а если \\(br\\) — ребро, то \\(d_s(b)>d_s(r)\\). simple_graph degree idea-swap-cannot-improve обмен не должен уменьшать экстремальную величину если заменить \\(r\\in s\\) на \\(b\\notin s\\), то старые внутренние ребра, инцидентные \\(r\\), исчезают, а ребра от \\(b\\) к старым вершинам \\(s\\setminus\\{r\\}\\) становятся внутренними. минимальность \\(s\\) запрещает уменьшение. extremal_choice ai_checked sol-one-swap доказательство одним обменом ai_checked simple_graph degree extremal_choice рассмотрим множество \\[ s'=(s\\setminus\\{r\\})\\cup\\{b\\}. \\] оно имеет тот же размер, что и \\(s\\), поэтому по минимальности \\(s\\) число внутренних ребер в \\(s'\\) не меньше, чем в \\(s\\). при переходе от \\(s\\) к \\(s'\\) исчезают ровно \\(d_s(r)\\) внутренних ребер: это ребра от \\(r\\) к другим вершинам \\(s\\). появляются ровно \\(d_s(b)-\\mathbf 1_{br}\\) внутренних ребер: это ребра от \\(b\\) к вершинам из \\(s\\setminus\\{r\\}\\). следовательно, прирост числа внутренних ребер равен \\[ (d_s(b)-\\mathbf 1_{br})-d_s(r) \\] и не может быть отрицательным. отсюда \\[ d_s(b)-\\mathbf 1_{br}\\ge d_s(r). \\] если \\(br\\) не является ребром, это сразу дает \\(d_s(b)\\ge d_s(r)\\). если \\(br\\) является ребром, то \\(d_s(b)-1\\ge d_s(r)\\), то есть \\(d_s(b)>d_s(r)\\). minimal-half-subset-exchange-lemma lemma ob obmene dlya podmnozhestva s minimalnym chislom vnutrennih reber extremal_choice goal_bound canadian mathematical olympiad 2020 ofitsialnye resheniya canadian mathematical society canadianmathematicalsociety https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol2020.pdf misc solution_notes src-cmo-2020-solutions with_solution prochee canadian mathematical society canadian mathematical olympiad 2020 ofitsialnye resheniya stmt-original ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy prostoy graf, a \\(s\\subseteq v(g)\\) — podmnozhestvo zadannogo razmera, dlya kotorogo chislo reber vnutri \\(s\\) minimalno sredi vseh podmnozhestv takogo zhe razmera. dlya vershiny \\(v\\) oboznachim cherez \\(d_s(v)\\) chislo ee sosedey v \\(s\\). togda dlya lyubyh \\(r\\in s\\) i \\(b\\notin s\\) vypolneno \\[ d_s(b)-\\mathbf 1_{br}\\ge d_s(r), \\] gde \\(\\mathbf 1_{br}=1\\), esli \\(b\\) i \\(r\\) smezhny, i \\(0\\) inache. v chastnosti, \\(d_s(b)\\ge d_s(r)\\), a esli \\(br\\) — rebro, to \\(d_s(b)>d_s(r)\\). simple_graph degree idea-swap-cannot-improve obmen ne dolzhen umenshat ekstremalnuyu velichinu esli zamenit \\(r\\in s\\) na \\(b\\notin s\\), to starye vnutrennie rebra, intsidentnye \\(r\\), ischezayut, a rebra ot \\(b\\) k starym vershinam \\(s\\setminus\\{r\\}\\) stanovyatsya vnutrennimi. minimalnost \\(s\\) zapreschaet umenshenie. extremal_choice ai_checked sol-one-swap dokazatelstvo odnim obmenom ai_checked simple_graph degree extremal_choice rassmotrim mnozhestvo \\[ s'=(s\\setminus\\{r\\})\\cup\\{b\\}. \\] ono imeet tot zhe razmer, chto i \\(s\\), poetomu po minimalnosti \\(s\\) chislo vnutrennih reber v \\(s'\\) ne menshe, chem v \\(s\\). pri perehode ot \\(s\\) k \\(s'\\) ischezayut rovno \\(d_s(r)\\) vnutrennih reber: eto rebra ot \\(r\\) k drugim vershinam \\(s\\). poyavlyayutsya rovno \\(d_s(b)-\\mathbf 1_{br}\\) vnutrennih reber: eto rebra ot \\(b\\) k vershinam iz \\(s\\setminus\\{r\\}\\). sledovatelno, prirost chisla vnutrennih reber raven \\[ (d_s(b)-\\mathbf 1_{br})-d_s(r) \\] i ne mozhet byt otritsatelnym. otsyuda \\[ d_s(b)-\\mathbf 1_{br}\\ge d_s(r). \\] esli \\(br\\) ne yavlyaetsya rebrom, eto srazu daet \\(d_s(b)\\ge d_s(r)\\). esli \\(br\\) yavlyaetsya rebrom, to \\(d_s(b)-1\\ge d_s(r)\\), to est \\(d_s(b)>d_s(r)\\).","source_keys":["misc","cmo"]}
{"id":"no-isolated-vertices-edge-lower-bound","title":"Лемма о нижней оценке числа рёбер при почти отсутствии изолированных вершин","path":"data\\problems\\classical\\no-isolated-vertices-edge-lower-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/no-isolated-vertices-edge-lower-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#no-isolated-vertices-edge-lower-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["УТЮМ 2024, командная олимпиада, 8 класс, 4. Дороги Липшира с запрещённым ребром между универсальными деревнями (официальный архив)"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","double_counting","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":1,"comment":"Короткая служебная лемма на сумму степеней; обычно используется как один шаг после перехода к дополнительному графу.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(N\\ge 1\\), и пусть \\(H\\) — простой граф на \\(N\\) вершинах, в котором не более одной изолированной вершины. Тогда в \\(H\\) не менее \\(\\lceil (N-1)/2\\rceil\\) рёбер.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-sum","title":"Доказательство через сумму степеней","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(e\\) число рёбер графа \\(H\\). По условию в \\(H\\) не более одной изолированной вершины, значит как минимум \\(N-1\\) вершин имеют степень не меньше 1. Поэтому сумма степеней всех вершин не меньше \\(N-1\\). По лемме о рукопожатиях эта сумма равна \\(2e\\), следовательно \\(2e\\ge N-1\\). Так как \\(e\\) — целое число, получаем \\(e\\ge \\lceil (N-1)/2\\rceil\\)."}],"relations":[{"id":"rel-no-isolated-edge-lower-bound-utyum-2024-lipshire","neighbor_id":"utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-no-isolated-edge-lower-bound","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"no-isolated-vertices-edge-lower-bound лемма о нижней оценке числа рёбер при почти отсутствии изолированных вершин extremal_graph_theory double_counting goal_bound https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural63.zip misc official_archive src-utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads-official with_solution прочее утюм 2024, командная олимпиада, 8 класс, 4. дороги липшира с запрещённым ребром между универсальными деревнями (официальный архив) ? утюм 2024, командная олимпиада, 8 класс, 4. дороги липшира с запрещённым ребром между универсальными деревнями (официальный архив) stmt-original ai_checked пусть \\(n\\ge 1\\), и пусть \\(h\\) — простой граф на \\(n\\) вершинах, в котором не более одной изолированной вершины. тогда в \\(h\\) не менее \\(\\lceil (n-1)/2\\rceil\\) рёбер. simple_graph degree idea-count-nonisolated-degrees посчитать степени неизолированных вершин если изолирована не более одной вершины, то по крайней мере \\(n-1\\) вершин имеют степень не меньше 1. поэтому сумма степеней не меньше \\(n-1\\), а каждое ребро даёт в эту сумму ровно 2. double_counting goal_bound ai_checked sol-degree-sum доказательство через сумму степеней ai_checked degree double_counting обозначим через \\(e\\) число рёбер графа \\(h\\). по условию в \\(h\\) не более одной изолированной вершины, значит как минимум \\(n-1\\) вершин имеют степень не меньше 1. поэтому сумма степеней всех вершин не меньше \\(n-1\\). по лемме о рукопожатиях эта сумма равна \\(2e\\), следовательно \\(2e\\ge n-1\\). так как \\(e\\) — целое число, получаем \\(e\\ge \\lceil (n-1)/2\\rceil\\). no-isolated-vertices-edge-lower-bound lemma o nizhney otsenke chisla reber pri pochti otsutstvii izolirovannyh vershin extremal_graph_theory double_counting goal_bound https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural63.zip misc official_archive src-utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads-official with_solution prochee utyum 2024, komandnaya olimpiada, 8 klass, 4. dorogi lipshira s zapreschennym rebrom mezhdu universalnymi derevnyami (ofitsialnyy arhiv) ? utyum 2024, komandnaya olimpiada, 8 klass, 4. dorogi lipshira s zapreschennym rebrom mezhdu universalnymi derevnyami (ofitsialnyy arhiv) stmt-original ai_checked pust \\(n\\ge 1\\), i pust \\(h\\) — prostoy graf na \\(n\\) vershinah, v kotorom ne bolee odnoy izolirovannoy vershiny. togda v \\(h\\) ne menee \\(\\lceil (n-1)/2\\rceil\\) reber. simple_graph degree idea-count-nonisolated-degrees poschitat stepeni neizolirovannyh vershin esli izolirovana ne bolee odnoy vershiny, to po krayney mere \\(n-1\\) vershin imeyut stepen ne menshe 1. poetomu summa stepeney ne menshe \\(n-1\\), a kazhdoe rebro daet v etu summu rovno 2. double_counting goal_bound ai_checked sol-degree-sum dokazatelstvo cherez summu stepeney ai_checked degree double_counting oboznachim cherez \\(e\\) chislo reber grafa \\(h\\). po usloviyu v \\(h\\) ne bolee odnoy izolirovannoy vershiny, znachit kak minimum \\(n-1\\) vershin imeyut stepen ne menshe 1. poetomu summa stepeney vseh vershin ne menshe \\(n-1\\). po lemme o rukopozhatiyah eta summa ravna \\(2e\\), sledovatelno \\(2e\\ge n-1\\). tak kak \\(e\\) — tseloe chislo, poluchaem \\(e\\ge \\lceil (n-1)/2\\rceil\\).","source_keys":["misc"]}
{"id":"no-two-color-cycle-edge-bound","title":"Оценка числа рёбер при отсутствии двухцветных циклов","path":"data\\problems\\classical\\no-two-color-cycle-edge-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/no-two-color-cycle-edge-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#no-two-color-cycle-edge-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["ФЮМ 2010, третий тур (a), задача 7","ФЮМ 2010, третий тур (b), задача 3"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","trees","extremal_graph_theory","goal_bound","double_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":2,"comment":"Короткая олимпиадная лемма: ключевой шаг состоит в том, чтобы явно выделить двухцветные индуцированные подграфы как леса и затем аккуратно сложить стандартную оценку на число рёбер леса.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-general-bound","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть вершины конечного простого графа \\(G\\) окрашены в \\(r\\ge 2\\) цветов, а каждый цикл в \\(G\\) содержит вершины как минимум трёх различных цветов. Обозначим через \\(V_i\\) класс вершин цвета \\(i\\), а через \\(G_{ij}\\) подграф, индуцированный множеством \\(V_i\\cup V_j\\). Тогда каждый \\(G_{ij}\\) является лесом. Поэтому \\[ |E(G)|\\le \\sum_{1\\le i<j\\le r}|E(G_{ij})|\\le \\sum_{1\\le i<j\\le r,\\ V_i\\cup V_j\\ne\\varnothing} (|V_i|+|V_j|-1)\\le (r-1)|V(G)|. \\] В частности, при \\(r=5\\) достаточно удобной оценки \\(|E(G)|\\le 4|V(G)|\\).","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree"]},{"id":"stmt-three-colors-corollary","title":"","status":"ai_checked","text":"Следствие для трёх цветов. Если вершины графа \\(G\\) окрашены в три цвета и каждый цикл содержит вершины всех трёх цветов, то \\(|E(G)|\\le 3(|V(G)|-1)\\) при \\(|V(G)|>0\\). Действительно, после удаления любого одного цвета оставшийся двухцветный индуцированный подграф не содержит циклов, значит является лесом и имеет не более \\(|V(G)|-1\\) рёбер; сумма по трём удаляемым цветам считает каждое ребро хотя бы один раз.","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-general-pair-counting","title":"Доказательство через пары цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем пару цветов \\(i<j\\). Если в индуцированном подграфе \\(G_{ij}=G[V_i\\cup V_j]\\) был бы цикл, то в исходном графе \\(G\\) этот цикл использовал бы только цвета \\(i\\) и \\(j\\), вопреки условию. Значит, каждый \\(G_{ij}\\) является лесом. Если \\(V_i\\cup V_j\\ne\\varnothing\\), то лес на \\(|V_i|+|V_j|\\) вершинах имеет не более \\(|V_i|+|V_j|-1\\) рёбер. Поэтому \\[ \\sum_{i<j}|E(G_{ij})|\\le \\sum_{i<j,\\ V_i\\cup V_j\\ne\\varnothing}(|V_i|+|V_j|-1)\\le \\sum_{i<j}(|V_i|+|V_j|)=(r-1)|V(G)|. \\] Остаётся сравнить эту сумму с \\(|E(G)|\\). Ребро между разными цветами \\(i\\) и \\(j\\) входит в \\(G_{ij}\\), а ребро внутри цвета \\(i\\) входит в каждый \\(G_{ij}\\) при \\(j\\ne i\\). Следовательно, каждое ребро исходного графа посчитано в левой сумме хотя бы один раз, и \\(|E(G)|\\le \\sum_{i<j}|E(G_{ij})|\\). Это доказывает общий bound и, при \\(r=5\\), даёт \\(|E(G)|\\le 4|V(G)|\\)."},{"id":"sol-three-color-deletion-counting","title":"Трёхцветное следствие через удаление одного цвета","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(|V(G)|=n>0\\), а цвета равны 1, 2, 3. Удалим все вершины цвета 1; оставшийся подграф на цветах 2 и 3 не имеет циклов, потому что любой его цикл был бы циклом исходного графа, использующим только два цвета. Значит, этот подграф является лесом и содержит не более \\(n-1\\) рёбер. То же верно после удаления цвета 2 и после удаления цвета 3. Сложим три полученные оценки. Каждое ребро исходного графа осталось хотя бы в одном из трёх подграфов: ребро между двумя разными цветами остаётся после удаления третьего цвета, а одноцветное ребро остаётся после удаления любого из двух других цветов. Поэтому \\(|E(G)|\\le 3(n-1)\\)."}],"relations":[{"id":"rel-no-two-color-cycle-edge-bound-fyum-2010-tur3a-p7","neighbor_id":"fyum-2010-tur3a-p7","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-no-two-color-cycle-edge-bound-fyum-2010-tur3b-p3","neighbor_id":"fyum-2010-tur3b-p3","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-no-two-color-cycle-edge-bound","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-offplan-imo-2020-c4-no-two-color-cycle-edge-bound","neighbor_id":"imo-2020-c4-fibonacci-difference-forest","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-no-two-color-cycle-bound-vosh-2018-shirt-recoloring","neighbor_id":"vosh-2018-19-final-shirt-recoloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"no-two-color-cycle-edge-bound оценка числа рёбер при отсутствии двухцветных циклов coloring trees extremal_graph_theory goal_bound double_counting https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3a.tex https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3b.tex misc olympiad_archive src-fyum-2010-tur3a-p7-official src-fyum-2010-tur3b-p3-official with_solution прочее фюм 2010, третий тур (a), задача 7 фюм 2010, третий тур (b), задача 3 ? фюм 2010, третий тур (a), задача 7 фюм 2010, третий тур (b), задача 3 stmt-general-bound ai_checked пусть вершины конечного простого графа \\(g\\) окрашены в \\(r\\ge 2\\) цветов, а каждый цикл в \\(g\\) содержит вершины как минимум трёх различных цветов. обозначим через \\(v_i\\) класс вершин цвета \\(i\\), а через \\(g_{ij}\\) подграф, индуцированный множеством \\(v_i\\cup v_j\\). тогда каждый \\(g_{ij}\\) является лесом. поэтому \\[ |e(g)|\\le \\sum_{1\\le i<j\\le r}|e(g_{ij})|\\le \\sum_{1\\le i<j\\le r,\\ v_i\\cup v_j\\ne\\varnothing} (|v_i|+|v_j|-1)\\le (r-1)|v(g)|. \\] в частности, при \\(r=5\\) достаточно удобной оценки \\(|e(g)|\\le 4|v(g)|\\). simple_graph cycle tree stmt-three-colors-corollary ai_checked следствие для трёх цветов. если вершины графа \\(g\\) окрашены в три цвета и каждый цикл содержит вершины всех трёх цветов, то \\(|e(g)|\\le 3(|v(g)|-1)\\) при \\(|v(g)|>0\\). действительно, после удаления любого одного цвета оставшийся двухцветный индуцированный подграф не содержит циклов, значит является лесом и имеет не более \\(|v(g)|-1\\) рёбер; сумма по трём удаляемым цветам считает каждое ребро хотя бы один раз. simple_graph cycle tree idea-two-color-subgraphs-are-forests двухцветный цикл ровно запрещён если подграф на двух цветах содержит цикл, то этот же цикл в исходном графе использует не более двух цветов. поэтому условие про минимум три цвета в каждом цикле сразу превращает все двухцветные индуцированные подграфы в леса. coloring trees ai_checked idea-sum-forest-bounds-over-color-pairs сложить лесные оценки по парам цветов для каждой пары цветов лес даёт линейную оценку на число рёбер. при суммировании по парам каждое ребро исходного графа попадает хотя бы в один такой подграф: разноцветное ребро попадает в свою пару цветов, а одноцветное ребро попадает во все пары, содержащие этот цвет. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-general-pair-counting доказательство через пары цветов ai_checked simple_graph cycle tree double_counting зафиксируем пару цветов \\(i<j\\). если в индуцированном подграфе \\(g_{ij}=g[v_i\\cup v_j]\\) был бы цикл, то в исходном графе \\(g\\) этот цикл использовал бы только цвета \\(i\\) и \\(j\\), вопреки условию. значит, каждый \\(g_{ij}\\) является лесом. если \\(v_i\\cup v_j\\ne\\varnothing\\), то лес на \\(|v_i|+|v_j|\\) вершинах имеет не более \\(|v_i|+|v_j|-1\\) рёбер. поэтому \\[ \\sum_{i<j}|e(g_{ij})|\\le \\sum_{i<j,\\ v_i\\cup v_j\\ne\\varnothing}(|v_i|+|v_j|-1)\\le \\sum_{i<j}(|v_i|+|v_j|)=(r-1)|v(g)|. \\] остаётся сравнить эту сумму с \\(|e(g)|\\). ребро между разными цветами \\(i\\) и \\(j\\) входит в \\(g_{ij}\\), а ребро внутри цвета \\(i\\) входит в каждый \\(g_{ij}\\) при \\(j\\ne i\\). следовательно, каждое ребро исходного графа посчитано в левой сумме хотя бы один раз, и \\(|e(g)|\\le \\sum_{i<j}|e(g_{ij})|\\). это доказывает общий bound и, при \\(r=5\\), даёт \\(|e(g)|\\le 4|v(g)|\\). sol-three-color-deletion-counting трёхцветное следствие через удаление одного цвета ai_checked simple_graph cycle tree double_counting пусть \\(|v(g)|=n>0\\), а цвета равны 1, 2, 3. удалим все вершины цвета 1; оставшийся подграф на цветах 2 и 3 не имеет циклов, потому что любой его цикл был бы циклом исходного графа, использующим только два цвета. значит, этот подграф является лесом и содержит не более \\(n-1\\) рёбер. то же верно после удаления цвета 2 и после удаления цвета 3. сложим три полученные оценки. каждое ребро исходного графа осталось хотя бы в одном из трёх подграфов: ребро между двумя разными цветами остаётся после удаления третьего цвета, а одноцветное ребро остаётся после удаления любого из двух других цветов. поэтому \\(|e(g)|\\le 3(n-1)\\). no-two-color-cycle-edge-bound otsenka chisla reber pri otsutstvii dvuhtsvetnyh tsiklov coloring trees extremal_graph_theory goal_bound double_counting https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3a.tex https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3b.tex misc olympiad_archive src-fyum-2010-tur3a-p7-official src-fyum-2010-tur3b-p3-official with_solution prochee fyum 2010, tretiy tur (a), zadacha 7 fyum 2010, tretiy tur (b), zadacha 3 ? fyum 2010, tretiy tur (a), zadacha 7 fyum 2010, tretiy tur (b), zadacha 3 stmt-general-bound ai_checked pust vershiny konechnogo prostogo grafa \\(g\\) okrasheny v \\(r\\ge 2\\) tsvetov, a kazhdyy tsikl v \\(g\\) soderzhit vershiny kak minimum treh razlichnyh tsvetov. oboznachim cherez \\(v_i\\) klass vershin tsveta \\(i\\), a cherez \\(g_{ij}\\) podgraf, indutsirovannyy mnozhestvom \\(v_i\\cup v_j\\). togda kazhdyy \\(g_{ij}\\) yavlyaetsya lesom. poetomu \\[ |e(g)|\\le \\sum_{1\\le i<j\\le r}|e(g_{ij})|\\le \\sum_{1\\le i<j\\le r,\\ v_i\\cup v_j\\ne\\varnothing} (|v_i|+|v_j|-1)\\le (r-1)|v(g)|. \\] v chastnosti, pri \\(r=5\\) dostatochno udobnoy otsenki \\(|e(g)|\\le 4|v(g)|\\). simple_graph cycle tree stmt-three-colors-corollary ai_checked sledstvie dlya treh tsvetov. esli vershiny grafa \\(g\\) okrasheny v tri tsveta i kazhdyy tsikl soderzhit vershiny vseh treh tsvetov, to \\(|e(g)|\\le 3(|v(g)|-1)\\) pri \\(|v(g)|>0\\). deystvitelno, posle udaleniya lyubogo odnogo tsveta ostavshiysya dvuhtsvetnyy indutsirovannyy podgraf ne soderzhit tsiklov, znachit yavlyaetsya lesom i imeet ne bolee \\(|v(g)|-1\\) reber; summa po trem udalyaemym tsvetam schitaet kazhdoe rebro hotya by odin raz. simple_graph cycle tree idea-two-color-subgraphs-are-forests dvuhtsvetnyy tsikl rovno zapreschen esli podgraf na dvuh tsvetah soderzhit tsikl, to etot zhe tsikl v ishodnom grafe ispolzuet ne bolee dvuh tsvetov. poetomu uslovie pro minimum tri tsveta v kazhdom tsikle srazu prevraschaet vse dvuhtsvetnye indutsirovannye podgrafy v lesa. coloring trees ai_checked idea-sum-forest-bounds-over-color-pairs slozhit lesnye otsenki po param tsvetov dlya kazhdoy pary tsvetov les daet lineynuyu otsenku na chislo reber. pri summirovanii po param kazhdoe rebro ishodnogo grafa popadaet hotya by v odin takoy podgraf: raznotsvetnoe rebro popadaet v svoyu paru tsvetov, a odnotsvetnoe rebro popadaet vo vse pary, soderzhaschie etot tsvet. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-general-pair-counting dokazatelstvo cherez pary tsvetov ai_checked simple_graph cycle tree double_counting zafiksiruem paru tsvetov \\(i<j\\). esli v indutsirovannom podgrafe \\(g_{ij}=g[v_i\\cup v_j]\\) byl by tsikl, to v ishodnom grafe \\(g\\) etot tsikl ispolzoval by tolko tsveta \\(i\\) i \\(j\\), vopreki usloviyu. znachit, kazhdyy \\(g_{ij}\\) yavlyaetsya lesom. esli \\(v_i\\cup v_j\\ne\\varnothing\\), to les na \\(|v_i|+|v_j|\\) vershinah imeet ne bolee \\(|v_i|+|v_j|-1\\) reber. poetomu \\[ \\sum_{i<j}|e(g_{ij})|\\le \\sum_{i<j,\\ v_i\\cup v_j\\ne\\varnothing}(|v_i|+|v_j|-1)\\le \\sum_{i<j}(|v_i|+|v_j|)=(r-1)|v(g)|. \\] ostaetsya sravnit etu summu s \\(|e(g)|\\). rebro mezhdu raznymi tsvetami \\(i\\) i \\(j\\) vhodit v \\(g_{ij}\\), a rebro vnutri tsveta \\(i\\) vhodit v kazhdyy \\(g_{ij}\\) pri \\(j\\ne i\\). sledovatelno, kazhdoe rebro ishodnogo grafa poschitano v levoy summe hotya by odin raz, i \\(|e(g)|\\le \\sum_{i<j}|e(g_{ij})|\\). eto dokazyvaet obschiy bound i, pri \\(r=5\\), daet \\(|e(g)|\\le 4|v(g)|\\). sol-three-color-deletion-counting trehtsvetnoe sledstvie cherez udalenie odnogo tsveta ai_checked simple_graph cycle tree double_counting pust \\(|v(g)|=n>0\\), a tsveta ravny 1, 2, 3. udalim vse vershiny tsveta 1; ostavshiysya podgraf na tsvetah 2 i 3 ne imeet tsiklov, potomu chto lyuboy ego tsikl byl by tsiklom ishodnogo grafa, ispolzuyuschim tolko dva tsveta. znachit, etot podgraf yavlyaetsya lesom i soderzhit ne bolee \\(n-1\\) reber. to zhe verno posle udaleniya tsveta 2 i posle udaleniya tsveta 3. slozhim tri poluchennye otsenki. kazhdoe rebro ishodnogo grafa ostalos hotya by v odnom iz treh podgrafov: rebro mezhdu dvumya raznymi tsvetami ostaetsya posle udaleniya tretego tsveta, a odnotsvetnoe rebro ostaetsya posle udaleniya lyubogo iz dvuh drugih tsvetov. poetomu \\(|e(g)|\\le 3(n-1)\\).","source_keys":["misc","fyum"]}
{"id":"ore-theorem","title":"Теорема Оре о гамильтоновом цикле по суммам степеней","path":"data\\problems\\classical\\ore-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ore-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ore-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Оре"],"year":"","type":"theorem","authors":["Øystein Ore"],"tags":["hamiltonian_cycles","extremal_choice","minimal_counterexample","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Обобщает Дирака; доказательство чуть менее прямое.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть G — простой граф на n≥3 вершинах. Если для любых двух несмежных вершин u и v выполнено \\( \\deg(u)+\\deg(v) \\ge n \\), то в G существует гамильтонов цикл, то есть цикл, проходящий через все вершины ровно один раз.","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-closure-sketch","title":"Самодостаточное доказательство через максимальное негамильтоново пополнение","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","path","cycle","hamiltonian_path","hamiltonian_cycle","simple_graph"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","longest_path","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем от противного. Пусть \\(G\\) — простой граф на \\(n\\ge 3\\) вершинах, удовлетворяющий условию Оре, но не имеющий гамильтонова цикла. Будем добавлять к \\(G\\) недостающие ребра, пока это возможно без появления гамильтонова цикла. Так как недостающих ребер конечно много, процесс закончится. Обозначим полученный граф через \\(H\\). Тогда \\(H\\) имеет те же \\(n\\) вершин, содержит все ребра \\(G\\), сам не имеет гамильтонова цикла и максимален с этим свойством: если \\(xy\\) — любое ребро, которого нет в \\(H\\), то граф \\(H+xy\\) уже имеет гамильтонов цикл. Проверим, что условие Оре сохранилось для графа \\(H\\). Если две вершины \\(x,y\\) несмежны в \\(H\\), то они были несмежны и в исходном графе \\(G\\), потому что при переходе от \\(G\\) к \\(H\\) ребра только добавлялись. Кроме того, степени вершин не уменьшались, значит \\[ \\deg_H(x)+\\deg_H(y)\\ge \\deg_G(x)+\\deg_G(y)\\ge n. \\] Итак, всякая несмежная пара в…"}],"relations":[{"id":"rel-dirac-ore","neighbor_id":"dirac-theorem","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ore-even-cycle-2009","neighbor_id":"tc-2009-10-acquaintances-even-cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bondy-links-ore-pancyclic-corollary","neighbor_id":"bondy-pancyclic-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-fyum-2008-tur4a-p7-ore-closure","neighbor_id":"fyum-2008-tur4a-p7","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2008-r1-ore-longest-path","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-official-expansion-ore-complete-graph-minus-edges","neighbor_id":"complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-utyum-2025-degree-sum-ore-theorem","neighbor_id":"utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2015-grand-r3-p9-ore-theorem","neighbor_id":"yumt-2015-grand-round3-problem9","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"ore-theorem теорема оре о гамильтоновом цикле по суммам степеней hamiltonian_cycles extremal_choice minimal_counterexample classical_theorem goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%9e%d1%80%d0%b5 misc reference src-wikipedia-ore with_solution øystein ore øysteinore прочее теорема оре øystein ore теорема оре stmt-original-1 ai_checked пусть g — простой граф на n≥3 вершинах. если для любых двух несмежных вершин u и v выполнено \\( \\deg(u)+\\deg(v) \\ge n \\), то в g существует гамильтонов цикл, то есть цикл, проходящий через все вершины ровно один раз. simple_graph degree cycle hamiltonian_cycle idea-add-missing-edges добавление ребер если к негамильтонову графу максимально добавлять недостающие ребра, то любое оставшееся недостающее ребро после добавления создает гамильтонов цикл; удаление этого ребра дает гамильтонов путь, который замыкается позиционным аргументом по сумме степеней. hamiltonian_cycles extremal_choice ai_checked sol-closure-sketch самодостаточное доказательство через максимальное негамильтоново пополнение ai_checked degree path cycle hamiltonian_path hamiltonian_cycle simple_graph minimal_counterexample longest_path extremal_choice докажем от противного. пусть \\(g\\) — простой граф на \\(n\\ge 3\\) вершинах, удовлетворяющий условию оре, но не имеющий гамильтонова цикла. будем добавлять к \\(g\\) недостающие ребра, пока это возможно без появления гамильтонова цикла. так как недостающих ребер конечно много, процесс закончится. обозначим полученный граф через \\(h\\). тогда \\(h\\) имеет те же \\(n\\) вершин, содержит все ребра \\(g\\), сам не имеет гамильтонова цикла и максимален с этим свойством: если \\(xy\\) — любое ребро, которого нет в \\(h\\), то граф \\(h+xy\\) уже имеет гамильтонов цикл. проверим, что условие оре сохранилось для графа \\(h\\). если две вершины \\(x,y\\) несмежны в \\(h\\), то они были несмежны и в исходном графе \\(g\\), потому что при переходе от \\(g\\) к \\(h\\) ребра только добавлялись. кроме того, степени вершин не уменьшались, значит \\[ \\deg_h(x)+\\deg_h(y)\\ge \\deg_g(x)+\\deg_g(y)\\ge n. \\] итак, всякая несмежная пара в… ore-theorem teorema ore o gamiltonovom tsikle po summam stepeney hamiltonian_cycles extremal_choice minimal_counterexample classical_theorem goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%9e%d1%80%d0%b5 misc reference src-wikipedia-ore with_solution øystein ore øysteinore prochee teorema ore øystein ore teorema ore stmt-original-1 ai_checked pust g — prostoy graf na n≥3 vershinah. esli dlya lyubyh dvuh nesmezhnyh vershin u i v vypolneno \\( \\deg(u)+\\deg(v) \\ge n \\), to v g suschestvuet gamiltonov tsikl, to est tsikl, prohodyaschiy cherez vse vershiny rovno odin raz. simple_graph degree cycle hamiltonian_cycle idea-add-missing-edges dobavlenie reber esli k negamiltonovu grafu maksimalno dobavlyat nedostayuschie rebra, to lyuboe ostavsheesya nedostayuschee rebro posle dobavleniya sozdaet gamiltonov tsikl; udalenie etogo rebra daet gamiltonov put, kotoryy zamykaetsya pozitsionnym argumentom po summe stepeney. hamiltonian_cycles extremal_choice ai_checked sol-closure-sketch samodostatochnoe dokazatelstvo cherez maksimalnoe negamiltonovo popolnenie ai_checked degree path cycle hamiltonian_path hamiltonian_cycle simple_graph minimal_counterexample longest_path extremal_choice dokazhem ot protivnogo. pust \\(g\\) — prostoy graf na \\(n\\ge 3\\) vershinah, udovletvoryayuschiy usloviyu ore, no ne imeyuschiy gamiltonova tsikla. budem dobavlyat k \\(g\\) nedostayuschie rebra, poka eto vozmozhno bez poyavleniya gamiltonova tsikla. tak kak nedostayuschih reber konechno mnogo, protsess zakonchitsya. oboznachim poluchennyy graf cherez \\(h\\). togda \\(h\\) imeet te zhe \\(n\\) vershin, soderzhit vse rebra \\(g\\), sam ne imeet gamiltonova tsikla i maksimalen s etim svoystvom: esli \\(xy\\) — lyuboe rebro, kotorogo net v \\(h\\), to graf \\(h+xy\\) uzhe imeet gamiltonov tsikl. proverim, chto uslovie ore sohranilos dlya grafa \\(h\\). esli dve vershiny \\(x,y\\) nesmezhny v \\(h\\), to oni byli nesmezhny i v ishodnom grafe \\(g\\), potomu chto pri perehode ot \\(g\\) k \\(h\\) rebra tolko dobavlyalis. krome togo, stepeni vershin ne umenshalis, znachit \\[ \\deg_h(x)+\\deg_h(y)\\ge \\deg_g(x)+\\deg_g(y)\\ge n. \\] itak, vsyakaya nesmezhnaya para v…","source_keys":["misc"]}
{"id":"pairwise-intersecting-edges-star-or-triangle","title":"Попарно пересекающиеся рёбра: звезда или треугольник","path":"data\\problems\\classical\\pairwise-intersecting-edges-star-or-triangle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/pairwise-intersecting-edges-star-or-triangle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#pairwise-intersecting-edges-star-or-triangle","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Задача 98230, Турнир городов 1994/95, осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс"],"year":"","type":"lemma","authors":["Шаповалов А.В."],"tags":["extremal_graph_theory","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":3,"comment":"Короткая структурная лемма, часто возникающая в задачах о попарных пересечениях.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(F\\) — конечное множество рёбер простого графа. Предположим, что любые два ребра из \\(F\\) имеют общую вершину. Докажите, что либо все рёбра из \\(F\\) инцидентны одной и той же вершине, либо существует треугольник \\(xyz\\) такой, что каждое ребро из \\(F\\) является одним из рёбер \\(xy,xz,yz\\).","definition_ids":["simple_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-star-or-triangle","title":"Либо звезда, либо треугольник","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если все рёбра из \\(F\\) имеют общий конец, то утверждение доказано. Иначе найдутся два ребра \\(xy\\) и \\(xz\\) из \\(F\\) и третье ребро \\(e\\in F\\), не инцидентное вершине \\(x\\). Так как \\(e\\) должно пересекать и \\(xy\\), и \\(xz\\), в простом графе это возможно только при \\(e=yz\\). Значит, в \\(F\\) уже содержатся три стороны треугольника \\(xyz\\). Теперь любое ребро из \\(F\\) обязано пересекать все три рёбра \\(xy,xz,yz\\). В простом графе это возможно только для самих рёбер \\(xy,xz,yz\\). Следовательно, все рёбра из \\(F\\) являются сторонами одного треугольника."}],"relations":[{"id":"rel-pairwise-intersecting-edges-tc-1994-95","neighbor_id":"tc-1994-95-common-grandfather-intersecting-edges","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-sums-2012-p7-maximum-pairwise-intersecting-edges","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-maximum","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"pairwise-intersecting-edges-star-or-triangle попарно пересекающиеся рёбра: звезда или треугольник extremal_graph_theory goal_characterization https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=98230 misc olympiad_archive src-problems-98230 with_solution задача 98230, турнир городов 1994/95, осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс прочее шаповалов а.в. шаповалов а.в. задача 98230, турнир городов 1994/95, осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс stmt-original-1 needs_human_review пусть \\(f\\) — конечное множество рёбер простого графа. предположим, что любые два ребра из \\(f\\) имеют общую вершину. докажите, что либо все рёбра из \\(f\\) инцидентны одной и той же вершине, либо существует треугольник \\(xyz\\) такой, что каждое ребро из \\(f\\) является одним из рёбер \\(xy,xz,yz\\). simple_graph clique idea-third-edge-forces-triangle третье ребро вне звезды замыкает треугольник если семейство не является звездой, то, выбрав два ребра с общим концом и третье ребро без этого конца, мы вынуждаем треугольник; после этого любое новое ребро обязано быть одной из его сторон. extremal_choice ai_checked sol-star-or-triangle либо звезда, либо треугольник ai_checked simple_graph если все рёбра из \\(f\\) имеют общий конец, то утверждение доказано. иначе найдутся два ребра \\(xy\\) и \\(xz\\) из \\(f\\) и третье ребро \\(e\\in f\\), не инцидентное вершине \\(x\\). так как \\(e\\) должно пересекать и \\(xy\\), и \\(xz\\), в простом графе это возможно только при \\(e=yz\\). значит, в \\(f\\) уже содержатся три стороны треугольника \\(xyz\\). теперь любое ребро из \\(f\\) обязано пересекать все три рёбра \\(xy,xz,yz\\). в простом графе это возможно только для самих рёбер \\(xy,xz,yz\\). следовательно, все рёбра из \\(f\\) являются сторонами одного треугольника. pairwise-intersecting-edges-star-or-triangle poparno peresekayuschiesya rebra: zvezda ili treugolnik extremal_graph_theory goal_characterization https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=98230 misc olympiad_archive src-problems-98230 with_solution zadacha 98230, turnir gorodov 1994/95, osenniy tur, trenirovochnyy variant, 8-9 klass prochee shapovalov a.v. shapovalov a.v. zadacha 98230, turnir gorodov 1994/95, osenniy tur, trenirovochnyy variant, 8-9 klass stmt-original-1 needs_human_review pust \\(f\\) — konechnoe mnozhestvo reber prostogo grafa. predpolozhim, chto lyubye dva rebra iz \\(f\\) imeyut obschuyu vershinu. dokazhite, chto libo vse rebra iz \\(f\\) intsidentny odnoy i toy zhe vershine, libo suschestvuet treugolnik \\(xyz\\) takoy, chto kazhdoe rebro iz \\(f\\) yavlyaetsya odnim iz reber \\(xy,xz,yz\\). simple_graph clique idea-third-edge-forces-triangle trete rebro vne zvezdy zamykaet treugolnik esli semeystvo ne yavlyaetsya zvezdoy, to, vybrav dva rebra s obschim kontsom i trete rebro bez etogo kontsa, my vynuzhdaem treugolnik; posle etogo lyuboe novoe rebro obyazano byt odnoy iz ego storon. extremal_choice ai_checked sol-star-or-triangle libo zvezda, libo treugolnik ai_checked simple_graph esli vse rebra iz \\(f\\) imeyut obschiy konets, to utverzhdenie dokazano. inache naydutsya dva rebra \\(xy\\) i \\(xz\\) iz \\(f\\) i trete rebro \\(e\\in f\\), ne intsidentnoe vershine \\(x\\). tak kak \\(e\\) dolzhno peresekat i \\(xy\\), i \\(xz\\), v prostom grafe eto vozmozhno tolko pri \\(e=yz\\). znachit, v \\(f\\) uzhe soderzhatsya tri storony treugolnika \\(xyz\\). teper lyuboe rebro iz \\(f\\) obyazano peresekat vse tri rebra \\(xy,xz,yz\\). v prostom grafe eto vozmozhno tolko dlya samih reber \\(xy,xz,yz\\). sledovatelno, vse rebra iz \\(f\\) yavlyayutsya storonami odnogo treugolnika.","source_keys":["misc"]}
{"id":"planar-edge-bound","title":"Оценка числа рёбер в простом планарном графе","path":"data\\problems\\classical\\planar-edge-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/planar-edge-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#planar-edge-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Планарный граф"],"year":"","type":"corollary","authors":[],"tags":["planar_graphs","double_counting","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Стандартное следствие формулы Эйлера.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"Пусть G — простой планарный граф с n≥3 вершинами, то есть G можно нарисовать на плоскости без пересечений ребер. Тогда в G не более 3n-6 ребер.","definition_ids":["simple_graph","planar_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-1","title":"Оценка числа рёбер в простом планарном графе","status":"ai_checked","text":"Если \\(G\\) — простой планарный граф и \\(v(G)\\ge3\\), то \\(e(G)\\le 3v(G)-6\\).","definition_ids":["simple_graph","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-face-counting","title":"Двойной счет граней","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting","face_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Можно считать граф связным, иначе добавление ребер между компонентами не испортит планарность. По формуле Эйлера \\( v-e+f=2 \\). Сумма длин всех граней равна 2e, а в простом планарном графе каждая грань имеет длину хотя бы 3, значит 3f≤2e. Подставляя f=2-v+e, получаем 3(2-v+e)≤2e, откуда e≤3v-6."}],"relations":[{"id":"rel-euler-planar-bound","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usamo-2024-p3-outerplanar","neighbor_id":"usamo-2024-p3-balanced-regular-polygon-triangulation","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-planar-bound-degeneracy","neighbor_id":"degeneracy-greedy-coloring","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-planar-edge-bound-cmo-1995-p3-face-counting","neighbor_id":"cmo-1995-p3-polygon-quadrangulation-boomerangs","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-planar-edge-bound-degree-two-path","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-path","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2006-planar-face-counting-bound","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-2004-p3-planar-edge-bound","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-2024-p8-planar-contact","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2024-p8-bipartite-planar-circle-contact-intersection","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-five-color-planar-edge-bound-low-degree","neighbor_id":"five-color-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-planar-edge-bound-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-planar-edge-bound-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-planar-edge-bound","neighbor_id":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2002-planar-edge-bound","neighbor_id":"putnam-2002-b2-polyhedron-face-game-four-edge-face","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vjimc-2017-polyhedron-planar-edge-bound","neighbor_id":"vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"planar-edge-bound оценка числа рёбер в простом планарном графе planar_graphs double_counting classical_theorem goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9f%d0%bb%d0%b0%d0%bd%d0%b0%d1%80%d0%bd%d1%8b%d0%b9_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84 misc reference src-wikipedia-planar with_solution планарный граф прочее ? планарный граф stmt-original-1 needs_review пусть g — простой планарный граф с n≥3 вершинами, то есть g можно нарисовать на плоскости без пересечений ребер. тогда в g не более 3n-6 ребер. simple_graph planar_graph stmt-graph-1 оценка числа рёбер в простом планарном графе ai_checked если \\(g\\) — простой планарный граф и \\(v(g)\\ge3\\), то \\(e(g)\\le 3v(g)-6\\). simple_graph planar_graph idea-count-face-degrees счет длин граней каждая грань имеет длину хотя бы 3, а каждое ребро граничит не более чем с двумя гранями. double_counting planar_graphs ai_checked sol-face-counting двойной счет граней ai_checked planar_graph double_counting face_counting можно считать граф связным, иначе добавление ребер между компонентами не испортит планарность. по формуле эйлера \\( v-e+f=2 \\). сумма длин всех граней равна 2e, а в простом планарном графе каждая грань имеет длину хотя бы 3, значит 3f≤2e. подставляя f=2-v+e, получаем 3(2-v+e)≤2e, откуда e≤3v-6. planar-edge-bound otsenka chisla reber v prostom planarnom grafe planar_graphs double_counting classical_theorem goal_exact_bound https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9f%d0%bb%d0%b0%d0%bd%d0%b0%d1%80%d0%bd%d1%8b%d0%b9_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84 misc reference src-wikipedia-planar with_solution planarnyy graf prochee ? planarnyy graf stmt-original-1 needs_review pust g — prostoy planarnyy graf s n≥3 vershinami, to est g mozhno narisovat na ploskosti bez peresecheniy reber. togda v g ne bolee 3n-6 reber. simple_graph planar_graph stmt-graph-1 otsenka chisla reber v prostom planarnom grafe ai_checked esli \\(g\\) — prostoy planarnyy graf i \\(v(g)\\ge3\\), to \\(e(g)\\le 3v(g)-6\\). simple_graph planar_graph idea-count-face-degrees schet dlin graney kazhdaya gran imeet dlinu hotya by 3, a kazhdoe rebro granichit ne bolee chem s dvumya granyami. double_counting planar_graphs ai_checked sol-face-counting dvoynoy schet graney ai_checked planar_graph double_counting face_counting mozhno schitat graf svyaznym, inache dobavlenie reber mezhdu komponentami ne isportit planarnost. po formule eylera \\( v-e+f=2 \\). summa dlin vseh graney ravna 2e, a v prostom planarnom grafe kazhdaya gran imeet dlinu hotya by 3, znachit 3f≤2e. podstavlyaya f=2-v+e, poluchaem 3(2-v+e)≤2e, otkuda e≤3v-6.","source_keys":["misc"]}
{"id":"planar-large-girth-degree-two-chain","title":"В планарном графе большого обхвата есть длинная цепочка вершин степени 2","path":"data\\problems\\classical\\planar-large-girth-degree-two-chain.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/planar-large-girth-degree-two-chain.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#planar-large-girth-degree-two-chain","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Chang, Montassier, Pecher, Raspaud, Strong chromatic index of planar graphs with large girth"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","extremal_graph_theory","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":4,"comment":"Стандартная эйлерова лемма о планарных графах большого обхвата.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"самодостаточная лемма","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"внешняя теорема аудит group A, 2026-05-06","notes":"Полное доказательство приведено в карточке; используется только формула Эйлера.","audit_source":"external-theorem-audit-group-a"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-degree-two-chain","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(m\\ge1\\). Если планарный граф \\(H\\) имеет минимальную степень хотя бы \\(2\\) и обхват не меньше \\(5m+1\\), то в \\(H\\) есть простой путь \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), у которого все внутренние вершины \\(v_1,\\ldots,v_m\\) имеют степень \\(2\\) в \\(H\\).","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-euler-suppression","title":"Доказательство стягиванием цепочек","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если весь граф \\(H\\) является циклом, то утверждение очевидно: обхват не меньше \\(5m+1\\), значит на цикле можно взять \\(m\\) подряд идущих внутренних вершин степени \\(2\\). Пусть теперь \\(H\\) не цикл и предположим, что нужного пути нет. Рассмотрим все максимальные простые пути, внутренние вершины которых имеют степень \\(2\\), а концы имеют степень не равную \\(2\\) или совпадают с точками ветвления. Стянем каждый такой путь в одно ребро. По предположению ни один из этих путей не содержит \\(m\\) внутренних вершин степени \\(2\\), поэтому каждое новое ребро заменяет путь длины не больше \\(m\\). Обозначим полученный граф через \\(H'\\). Он планарен. В нём нет вершин степени \\(1\\), потому что в \\(H\\) минимальная степень была хотя бы \\(2\\), а все вершины степени \\(2\\) были подавлены. Значит минимальная степень \\(H'\\) не меньше \\(3\\). Кроме того, в \\(H'\\) нет цикла длины не больше \\(5\\): такой цикл посл…"}],"relations":[{"id":"rel-planar-large-girth-degree-two-chain-path-duplicate","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-euler-formula-planar-degree-two-chain","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-planar-edge-bound-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-fyum-2013-tur2a-p1-degree-two-chain","neighbor_id":"fyum-2013-tur2a-p1","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-degree-two-chain","neighbor_id":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-quadrangulation-face-count-degree-two-chain","neighbor_id":"quadrangulation-euler-face-count","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-degree-two-chain","neighbor_id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-five-color-low-degree-degree-two-chain","neighbor_id":"five-color-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"planar-large-girth-degree-two-chain в планарном графе большого обхвата есть длинная цепочка вершин степени 2 planar_graphs extremal_graph_theory goal_existence chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2013-09.pdf misc research_preprint src-ntu-strong-edge-coloring-planar-large-girth-2013 with_solution прочее ? chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth stmt-degree-two-chain ai_checked пусть \\(m\\ge1\\). если планарный граф \\(h\\) имеет минимальную степень хотя бы \\(2\\) и обхват не меньше \\(5m+1\\), то в \\(h\\) есть простой путь \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), у которого все внутренние вершины \\(v_1,\\ldots,v_m\\) имеют степень \\(2\\) в \\(h\\). planar_graph degree cycle path idea-suppress-short-chains если длинной цепочки нет, стягиваем все короткие цепочки степени 2 после стягивания максимальных путей с внутренними вершинами степени 2 получился бы планарный граф минимальной степени хотя бы 3 и обхвата хотя бы 6, что противоречит формуле эйлера. planar_graphs extremal_graph_theory ai_checked sol-euler-suppression доказательство стягиванием цепочек ai_checked planar_graph degree cycle path extremal_choice если весь граф \\(h\\) является циклом, то утверждение очевидно: обхват не меньше \\(5m+1\\), значит на цикле можно взять \\(m\\) подряд идущих внутренних вершин степени \\(2\\). пусть теперь \\(h\\) не цикл и предположим, что нужного пути нет. рассмотрим все максимальные простые пути, внутренние вершины которых имеют степень \\(2\\), а концы имеют степень не равную \\(2\\) или совпадают с точками ветвления. стянем каждый такой путь в одно ребро. по предположению ни один из этих путей не содержит \\(m\\) внутренних вершин степени \\(2\\), поэтому каждое новое ребро заменяет путь длины не больше \\(m\\). обозначим полученный граф через \\(h'\\). он планарен. в нём нет вершин степени \\(1\\), потому что в \\(h\\) минимальная степень была хотя бы \\(2\\), а все вершины степени \\(2\\) были подавлены. значит минимальная степень \\(h'\\) не меньше \\(3\\). кроме того, в \\(h'\\) нет цикла длины не больше \\(5\\): такой цикл посл… planar-large-girth-degree-two-chain v planarnom grafe bolshogo obhvata est dlinnaya tsepochka vershin stepeni 2 planar_graphs extremal_graph_theory goal_existence chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2013-09.pdf misc research_preprint src-ntu-strong-edge-coloring-planar-large-girth-2013 with_solution prochee ? chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth stmt-degree-two-chain ai_checked pust \\(m\\ge1\\). esli planarnyy graf \\(h\\) imeet minimalnuyu stepen hotya by \\(2\\) i obhvat ne menshe \\(5m+1\\), to v \\(h\\) est prostoy put \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), u kotorogo vse vnutrennie vershiny \\(v_1,\\ldots,v_m\\) imeyut stepen \\(2\\) v \\(h\\). planar_graph degree cycle path idea-suppress-short-chains esli dlinnoy tsepochki net, styagivaem vse korotkie tsepochki stepeni 2 posle styagivaniya maksimalnyh putey s vnutrennimi vershinami stepeni 2 poluchilsya by planarnyy graf minimalnoy stepeni hotya by 3 i obhvata hotya by 6, chto protivorechit formule eylera. planar_graphs extremal_graph_theory ai_checked sol-euler-suppression dokazatelstvo styagivaniem tsepochek ai_checked planar_graph degree cycle path extremal_choice esli ves graf \\(h\\) yavlyaetsya tsiklom, to utverzhdenie ochevidno: obhvat ne menshe \\(5m+1\\), znachit na tsikle mozhno vzyat \\(m\\) podryad iduschih vnutrennih vershin stepeni \\(2\\). pust teper \\(h\\) ne tsikl i predpolozhim, chto nuzhnogo puti net. rassmotrim vse maksimalnye prostye puti, vnutrennie vershiny kotoryh imeyut stepen \\(2\\), a kontsy imeyut stepen ne ravnuyu \\(2\\) ili sovpadayut s tochkami vetvleniya. styanem kazhdyy takoy put v odno rebro. po predpolozheniyu ni odin iz etih putey ne soderzhit \\(m\\) vnutrennih vershin stepeni \\(2\\), poetomu kazhdoe novoe rebro zamenyaet put dliny ne bolshe \\(m\\). oboznachim poluchennyy graf cherez \\(h'\\). on planaren. v nem net vershin stepeni \\(1\\), potomu chto v \\(h\\) minimalnaya stepen byla hotya by \\(2\\), a vse vershiny stepeni \\(2\\) byli podavleny. znachit minimalnaya stepen \\(h'\\) ne menshe \\(3\\). krome togo, v \\(h'\\) net tsikla dliny ne bolshe \\(5\\): takoy tsikl posl…","source_keys":["misc"]}
{"id":"planar-large-girth-degree-two-path","title":"Длинный 2-путь в планарном графе большого обхвата","path":"data\\problems\\classical\\planar-large-girth-degree-two-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/planar-large-girth-degree-two-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#planar-large-girth-degree-two-path","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Chang, Montassier, Pecher, Raspaud, Strong chromatic index of planar graphs with large girth"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","classical_theorem","double_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Стандартная планарная лемма: сжатие максимальных цепочек вершин степени 2 сводит утверждение к невозможности простого планарного графа с минимальной степенью ≥ 3 и обхватом ≥ 6.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-degree-two-path","title":"Длинная цепочка вершин степени 2","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(m\\ge 1\\), а \\(H\\) — конечный планарный граф с минимальной степенью хотя бы \\(2\\) и обхватом не меньше \\(5m+1\\). Тогда в \\(H\\) есть простой путь \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), у которого все внутренние вершины \\(v_1,\\ldots,v_m\\) имеют степень \\(2\\) в \\(H\\).","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-contract-two-paths-and-euler","title":"Стягивание 2-путей и формула Эйлера","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","simple_graph"],"standard_idea_ids":["face_counting","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если какая-то компонента графа \\(H\\) является циклом, то из условия на обхват ее длина не меньше \\(5m+1\\), и на этом цикле можно взять любой путь из \\(m+1\\) ребер. Все его внутренние вершины имеют степень \\(2\\). Остается случай, когда есть нециклическая компонента. Будем работать в ней; минимальная степень по-прежнему не меньше \\(2\\). Предположим, что нужного пути нет. Стянем каждый максимальный путь, внутренние вершины которого имеют степень \\(2\\), в одно ребро. Концы такого максимального пути имеют степень хотя бы \\(3\\), а сам путь, по предположению, имеет длину не больше \\(m\\): иначе первые \\(m\\) внутренних вершин уже дали бы требуемый путь. Обозначим полученный граф через \\(K\\). Стягивание сохраняет планарность. В \\(K\\) нет петель: петля соответствовала бы циклу в \\(H\\) длины не больше \\(m\\). В \\(K\\) нет и кратных ребер: две параллельные дуги поднимались бы в два пути между одними и…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2013-tur2a-p1-degree-two-path-lemma","neighbor_id":"fyum-2013-tur2a-p1","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-euler-formula-planar-degree-two-path","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-planar-edge-bound-degree-two-path","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-planar-large-girth-degree-two-chain-path-duplicate","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-planar-large-girth-degree-two-path","neighbor_id":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2025-unior-r3p1-planar-girth-forest-count","neighbor_id":"yumt-2025-unior-round3-problem1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"planar-large-girth-degree-two-path длинный 2-путь в планарном графе большого обхвата planar_graphs classical_theorem double_counting goal_existence chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2013-09.pdf misc research_preprint src-ntu-strong-edge-coloring-planar-large-girth-2013 with_solution прочее ? chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth stmt-degree-two-path длинная цепочка вершин степени 2 ai_checked пусть \\(m\\ge 1\\), а \\(h\\) — конечный планарный граф с минимальной степенью хотя бы \\(2\\) и обхватом не меньше \\(5m+1\\). тогда в \\(h\\) есть простой путь \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), у которого все внутренние вершины \\(v_1,\\ldots,v_m\\) имеют степень \\(2\\) в \\(h\\). planar_graph degree cycle path idea-contract-short-two-paths сжать все короткие 2-пути если длинной цепочки вершин степени 2 нет, то каждый максимальный путь с внутренними вершинами степени 2 заменяется одним ребром длины не больше \\(m\\). короткий цикл в сжатом графе поднимался бы в цикл длины не больше \\(5m\\) в исходном графе. planar_graphs extremal_choice ai_checked idea-euler-girth-six-contradiction эйлер запрещает минимальную степень 3 и обхват 6 после сжатия получается простой планарный граф с минимальной степенью хотя бы \\(3\\) и обхватом хотя бы \\(6\\). но счет граней дает \\(e\\le 3v/2-3\\), а сумма степеней дает \\(e\\ge 3v/2\\). planar_graphs double_counting ai_checked sol-contract-two-paths-and-euler стягивание 2-путей и формула эйлера ai_checked planar_graph degree cycle simple_graph face_counting delete_to_simplify если какая-то компонента графа \\(h\\) является циклом, то из условия на обхват ее длина не меньше \\(5m+1\\), и на этом цикле можно взять любой путь из \\(m+1\\) ребер. все его внутренние вершины имеют степень \\(2\\). остается случай, когда есть нециклическая компонента. будем работать в ней; минимальная степень по-прежнему не меньше \\(2\\). предположим, что нужного пути нет. стянем каждый максимальный путь, внутренние вершины которого имеют степень \\(2\\), в одно ребро. концы такого максимального пути имеют степень хотя бы \\(3\\), а сам путь, по предположению, имеет длину не больше \\(m\\): иначе первые \\(m\\) внутренних вершин уже дали бы требуемый путь. обозначим полученный граф через \\(k\\). стягивание сохраняет планарность. в \\(k\\) нет петель: петля соответствовала бы циклу в \\(h\\) длины не больше \\(m\\). в \\(k\\) нет и кратных ребер: две параллельные дуги поднимались бы в два пути между одними и… planar-large-girth-degree-two-path dlinnyy 2-put v planarnom grafe bolshogo obhvata planar_graphs classical_theorem double_counting goal_existence chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2013-09.pdf misc research_preprint src-ntu-strong-edge-coloring-planar-large-girth-2013 with_solution prochee ? chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth stmt-degree-two-path dlinnaya tsepochka vershin stepeni 2 ai_checked pust \\(m\\ge 1\\), a \\(h\\) — konechnyy planarnyy graf s minimalnoy stepenyu hotya by \\(2\\) i obhvatom ne menshe \\(5m+1\\). togda v \\(h\\) est prostoy put \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), u kotorogo vse vnutrennie vershiny \\(v_1,\\ldots,v_m\\) imeyut stepen \\(2\\) v \\(h\\). planar_graph degree cycle path idea-contract-short-two-paths szhat vse korotkie 2-puti esli dlinnoy tsepochki vershin stepeni 2 net, to kazhdyy maksimalnyy put s vnutrennimi vershinami stepeni 2 zamenyaetsya odnim rebrom dliny ne bolshe \\(m\\). korotkiy tsikl v szhatom grafe podnimalsya by v tsikl dliny ne bolshe \\(5m\\) v ishodnom grafe. planar_graphs extremal_choice ai_checked idea-euler-girth-six-contradiction eyler zapreschaet minimalnuyu stepen 3 i obhvat 6 posle szhatiya poluchaetsya prostoy planarnyy graf s minimalnoy stepenyu hotya by \\(3\\) i obhvatom hotya by \\(6\\). no schet graney daet \\(e\\le 3v/2-3\\), a summa stepeney daet \\(e\\ge 3v/2\\). planar_graphs double_counting ai_checked sol-contract-two-paths-and-euler styagivanie 2-putey i formula eylera ai_checked planar_graph degree cycle simple_graph face_counting delete_to_simplify esli kakaya-to komponenta grafa \\(h\\) yavlyaetsya tsiklom, to iz usloviya na obhvat ee dlina ne menshe \\(5m+1\\), i na etom tsikle mozhno vzyat lyuboy put iz \\(m+1\\) reber. vse ego vnutrennie vershiny imeyut stepen \\(2\\). ostaetsya sluchay, kogda est netsiklicheskaya komponenta. budem rabotat v ney; minimalnaya stepen po-prezhnemu ne menshe \\(2\\). predpolozhim, chto nuzhnogo puti net. styanem kazhdyy maksimalnyy put, vnutrennie vershiny kotorogo imeyut stepen \\(2\\), v odno rebro. kontsy takogo maksimalnogo puti imeyut stepen hotya by \\(3\\), a sam put, po predpolozheniyu, imeet dlinu ne bolshe \\(m\\): inache pervye \\(m\\) vnutrennih vershin uzhe dali by trebuemyy put. oboznachim poluchennyy graf cherez \\(k\\). styagivanie sohranyaet planarnost. v \\(k\\) net petel: petlya sootvetstvovala by tsiklu v \\(h\\) dliny ne bolshe \\(m\\). v \\(k\\) net i kratnyh reber: dve parallelnye dugi podnimalis by v dva puti mezhdu odnimi i…","source_keys":["misc"]}
{"id":"protected-color-recoloring-lemma","title":"Лемма о защищённых цветах и устранении одноточечных классов","path":"data\\problems\\classical\\protected-color-recoloring-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/protected-color-recoloring-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#protected-color-recoloring-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Короткий переносимый инвариант перекраски из задачи Колмогорова 2007 о хроматическом числе. Он полезнее окружающей задачи, но его не стоит усиливать до утверждения, что каждый финальный цвет защищён целым эталонным классом.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-protected-color-recoloring","title":"Лемма о защищённых цветах","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный граф с \\(\\chi(G)=k\\). Предположим, что у \\(G\\) есть правильная \\(k\\)-раскраска \\(\\alpha\\), в которой каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины. Тогда любую правильную раскраску \\(\\beta\\), использующую ровно \\(k\\) непустых цветов, можно конечным числом перекрасок целых цветовых классов раскраски \\(\\alpha\\) преобразовать в правильную \\(k\\)-раскраску, где каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины.","definition_ids":["chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-protected-singleton-recoloring","title":"Исправлять по одному одноточечному классу","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number","independent_set"],"standard_idea_ids":["local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем эталонную раскраску \\(\\alpha\\) и назовём цвет текущей \\(\\beta\\)-раскраски защищённым, если он содержит все вершины некоторого \\(\\alpha\\)-цветового класса. Такой защищённый цвет содержит хотя бы две вершины, а дальнейшие операции с другими \\(\\alpha\\)-классами не делают его одноточечным. Если в текущей раскраске нет одноточечных цветовых классов, всё доказано. Иначе пусть цвет \\(c\\) встречается только на вершине \\(v\\). Пусть \\(A\\) — цветовой класс раскраски \\(\\alpha\\), содержащий \\(v\\). Перекрасим все вершины \\(A\\) в цвет \\(c\\), а остальные вершины оставим как были. Новая раскраска правильна: новый класс цвета \\(c\\) — это независимое множество \\(A\\), а все остальные цветовые классы только потеряли вершины из независимого множества. Ни один цвет после этой операции не может исчезнуть. Если бы это произошло, полученная правильная раскраска использовала бы не более \\(k-1\\) непуст…"}],"relations":[{"id":"rel-protected-color-recoloring-kolmogorov-2007-chromatic","neighbor_id":"kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-protected-recoloring-yumt-2023-granda-final-p6","neighbor_id":"yumt-2023-granda-final-problem6","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"protected-color-recoloring-lemma лемма о защищённых цветах и устранении одноточечных классов coloring goal_existence https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official with_solution кубок колмогорова 2007 официальный архив прочее ? кубок колмогорова 2007 официальный архив stmt-protected-color-recoloring лемма о защищённых цветах ai_checked пусть \\(g\\) — конечный граф с \\(\\chi(g)=k\\). предположим, что у \\(g\\) есть правильная \\(k\\)-раскраска \\(\\alpha\\), в которой каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины. тогда любую правильную раскраску \\(\\beta\\), использующую ровно \\(k\\) непустых цветов, можно конечным числом перекрасок целых цветовых классов раскраски \\(\\alpha\\) преобразовать в правильную \\(k\\)-раскраску, где каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины. chromatic_number idea-protected-colors защищённые цвета текущий цвет называется защищённым, если он содержит целиком некоторый цветовой класс фиксированной эталонной раскраски \\(\\alpha\\). перекраска другого целого \\(\\alpha\\)-класса не может разрушить эту защиту. coloring ai_checked sol-protected-singleton-recoloring исправлять по одному одноточечному классу ai_checked chromatic_number independent_set local_recoloring зафиксируем эталонную раскраску \\(\\alpha\\) и назовём цвет текущей \\(\\beta\\)-раскраски защищённым, если он содержит все вершины некоторого \\(\\alpha\\)-цветового класса. такой защищённый цвет содержит хотя бы две вершины, а дальнейшие операции с другими \\(\\alpha\\)-классами не делают его одноточечным. если в текущей раскраске нет одноточечных цветовых классов, всё доказано. иначе пусть цвет \\(c\\) встречается только на вершине \\(v\\). пусть \\(a\\) — цветовой класс раскраски \\(\\alpha\\), содержащий \\(v\\). перекрасим все вершины \\(a\\) в цвет \\(c\\), а остальные вершины оставим как были. новая раскраска правильна: новый класс цвета \\(c\\) — это независимое множество \\(a\\), а все остальные цветовые классы только потеряли вершины из независимого множества. ни один цвет после этой операции не может исчезнуть. если бы это произошло, полученная правильная раскраска использовала бы не более \\(k-1\\) непуст… protected-color-recoloring-lemma lemma o zaschischennyh tsvetah i ustranenii odnotochechnyh klassov coloring goal_existence https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official with_solution kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv prochee ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv stmt-protected-color-recoloring lemma o zaschischennyh tsvetah ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy graf s \\(\\chi(g)=k\\). predpolozhim, chto u \\(g\\) est pravilnaya \\(k\\)-raskraska \\(\\alpha\\), v kotoroy kazhdyy tsvetovoy klass soderzhit hotya by dve vershiny. togda lyubuyu pravilnuyu raskrasku \\(\\beta\\), ispolzuyuschuyu rovno \\(k\\) nepustyh tsvetov, mozhno konechnym chislom perekrasok tselyh tsvetovyh klassov raskraski \\(\\alpha\\) preobrazovat v pravilnuyu \\(k\\)-raskrasku, gde kazhdyy tsvetovoy klass soderzhit hotya by dve vershiny. chromatic_number idea-protected-colors zaschischennye tsveta tekuschiy tsvet nazyvaetsya zaschischennym, esli on soderzhit tselikom nekotoryy tsvetovoy klass fiksirovannoy etalonnoy raskraski \\(\\alpha\\). perekraska drugogo tselogo \\(\\alpha\\)-klassa ne mozhet razrushit etu zaschitu. coloring ai_checked sol-protected-singleton-recoloring ispravlyat po odnomu odnotochechnomu klassu ai_checked chromatic_number independent_set local_recoloring zafiksiruem etalonnuyu raskrasku \\(\\alpha\\) i nazovem tsvet tekuschey \\(\\beta\\)-raskraski zaschischennym, esli on soderzhit vse vershiny nekotorogo \\(\\alpha\\)-tsvetovogo klassa. takoy zaschischennyy tsvet soderzhit hotya by dve vershiny, a dalneyshie operatsii s drugimi \\(\\alpha\\)-klassami ne delayut ego odnotochechnym. esli v tekuschey raskraske net odnotochechnyh tsvetovyh klassov, vse dokazano. inache pust tsvet \\(c\\) vstrechaetsya tolko na vershine \\(v\\). pust \\(a\\) — tsvetovoy klass raskraski \\(\\alpha\\), soderzhaschiy \\(v\\). perekrasim vse vershiny \\(a\\) v tsvet \\(c\\), a ostalnye vershiny ostavim kak byli. novaya raskraska pravilna: novyy klass tsveta \\(c\\) — eto nezavisimoe mnozhestvo \\(a\\), a vse ostalnye tsvetovye klassy tolko poteryali vershiny iz nezavisimogo mnozhestva. ni odin tsvet posle etoy operatsii ne mozhet ischeznut. esli by eto proizoshlo, poluchennaya pravilnaya raskraska ispolzovala by ne bolee \\(k-1\\) nepust…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"quadrangulation-euler-face-count","title":"Эйлеров подсчёт четырёхугольного разбиения многоугольника","path":"data\\problems\\classical\\quadrangulation-euler-face-count.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/quadrangulation-euler-face-count.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#quadrangulation-euler-face-count","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Планарный граф"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["planar_graphs","double_counting","classical_theorem","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":3,"comment":"Стандартное следствие формулы Эйлера для четырёхугольных разбиений диска.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-quadrangulation-count","title":"Формула для числа четырёхугольников","status":"ai_checked","text":"Пусть связный плоский граф разбивает внутренность многоугольника на \\(q\\) четырёхугольных граней. Пусть на внешней границе графа \\(B\\) вершин, а внутри многоугольника \\(I\\) вершин. Тогда \\(q=I+B/2-1\\).","definition_ids":["planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-euler-face-count","title":"Двойной подсчёт граней","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting","face_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(V\\), \\(E\\), \\(F\\) числа вершин, рёбер и граней плоского графа, считая внешнюю грань. Тогда \\(V=I+B\\), а \\(F=q+1\\). По формуле Эйлера для связного плоского графа \\[ V-E+F=2, \\] откуда \\[ E=I+B+q-1. \\] Теперь посчитаем стороны всех \\(q\\) внутренних четырёхугольных граней. С одной стороны, их \\(4q\\). С другой стороны, каждое внутреннее ребро граничит с двумя внутренними гранями и считается дважды, а каждое граничное ребро внешнего многоугольника считается один раз. Так как внешняя граница имеет \\(B\\) рёбер, получаем \\[ 4q=2E-B. \\] Подставляя найденное значение \\(E\\), имеем \\[ 4q=2(I+B+q-1)-B=2I+B+2q-2. \\] Следовательно, \\(2q=2I+B-2\\), то есть \\(q=I+B/2-1\\)."}],"relations":[{"id":"rel-euler-formula-quadrangulation-euler-count","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-quadrangulation-euler-count-cmo-1995-p3","neighbor_id":"cmo-1995-p3-polygon-quadrangulation-boomerangs","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-quadrangulation-face-count-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-disk-boundary-chain-quadrangulation-face-count","neighbor_id":"disk-triangulation-boundary-degree-chain-reduction","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2007-planar-triangulation","neighbor_id":"putnam-2007-a6-admissible-triangulation-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"quadrangulation-euler-face-count эйлеров подсчёт четырёхугольного разбиения многоугольника planar_graphs double_counting classical_theorem goal_counting https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9f%d0%bb%d0%b0%d0%bd%d0%b0%d1%80%d0%bd%d1%8b%d0%b9_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84 misc reference src-wikipedia-planar with_solution планарный граф прочее ? планарный граф stmt-quadrangulation-count формула для числа четырёхугольников ai_checked пусть связный плоский граф разбивает внутренность многоугольника на \\(q\\) четырёхугольных граней. пусть на внешней границе графа \\(b\\) вершин, а внутри многоугольника \\(i\\) вершин. тогда \\(q=i+b/2-1\\). planar_graph idea-euler-plus-boundary-count эйлер плюс подсчёт граничных рёбер формула эйлера выражает число рёбер через \\(i,b,q\\), а подсчёт сторон четырёхугольных граней даёт второе уравнение: внутренние рёбра считаются дважды, а \\(b\\) граничных рёбер — один раз. planar_graphs double_counting ai_checked sol-euler-face-count двойной подсчёт граней ai_checked planar_graph double_counting face_counting обозначим через \\(v\\), \\(e\\), \\(f\\) числа вершин, рёбер и граней плоского графа, считая внешнюю грань. тогда \\(v=i+b\\), а \\(f=q+1\\). по формуле эйлера для связного плоского графа \\[ v-e+f=2, \\] откуда \\[ e=i+b+q-1. \\] теперь посчитаем стороны всех \\(q\\) внутренних четырёхугольных граней. с одной стороны, их \\(4q\\). с другой стороны, каждое внутреннее ребро граничит с двумя внутренними гранями и считается дважды, а каждое граничное ребро внешнего многоугольника считается один раз. так как внешняя граница имеет \\(b\\) рёбер, получаем \\[ 4q=2e-b. \\] подставляя найденное значение \\(e\\), имеем \\[ 4q=2(i+b+q-1)-b=2i+b+2q-2. \\] следовательно, \\(2q=2i+b-2\\), то есть \\(q=i+b/2-1\\). quadrangulation-euler-face-count eylerov podschet chetyrehugolnogo razbieniya mnogougolnika planar_graphs double_counting classical_theorem goal_counting https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9f%d0%bb%d0%b0%d0%bd%d0%b0%d1%80%d0%bd%d1%8b%d0%b9_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84 misc reference src-wikipedia-planar with_solution planarnyy graf prochee ? planarnyy graf stmt-quadrangulation-count formula dlya chisla chetyrehugolnikov ai_checked pust svyaznyy ploskiy graf razbivaet vnutrennost mnogougolnika na \\(q\\) chetyrehugolnyh graney. pust na vneshney granitse grafa \\(b\\) vershin, a vnutri mnogougolnika \\(i\\) vershin. togda \\(q=i+b/2-1\\). planar_graph idea-euler-plus-boundary-count eyler plyus podschet granichnyh reber formula eylera vyrazhaet chislo reber cherez \\(i,b,q\\), a podschet storon chetyrehugolnyh graney daet vtoroe uravnenie: vnutrennie rebra schitayutsya dvazhdy, a \\(b\\) granichnyh reber — odin raz. planar_graphs double_counting ai_checked sol-euler-face-count dvoynoy podschet graney ai_checked planar_graph double_counting face_counting oboznachim cherez \\(v\\), \\(e\\), \\(f\\) chisla vershin, reber i graney ploskogo grafa, schitaya vneshnyuyu gran. togda \\(v=i+b\\), a \\(f=q+1\\). po formule eylera dlya svyaznogo ploskogo grafa \\[ v-e+f=2, \\] otkuda \\[ e=i+b+q-1. \\] teper poschitaem storony vseh \\(q\\) vnutrennih chetyrehugolnyh graney. s odnoy storony, ih \\(4q\\). s drugoy storony, kazhdoe vnutrennee rebro granichit s dvumya vnutrennimi granyami i schitaetsya dvazhdy, a kazhdoe granichnoe rebro vneshnego mnogougolnika schitaetsya odin raz. tak kak vneshnyaya granitsa imeet \\(b\\) reber, poluchaem \\[ 4q=2e-b. \\] podstavlyaya naydennoe znachenie \\(e\\), imeem \\[ 4q=2(i+b+q-1)-b=2i+b+2q-2. \\] sledovatelno, \\(2q=2i+b-2\\), to est \\(q=i+b/2-1\\).","source_keys":["misc"]}
{"id":"ramsey-r33","title":"Двухцветная раскраска \\(K_6\\) и одноцветный треугольник","path":"data\\problems\\classical\\ramsey-r33.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ramsey-r33.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ramsey-r33","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Theorem on friends and strangers"],"year":"","type":"theorem","authors":["Frank P. Ramsey"],"tags":["ramsey_theory","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"local_olympiad","local_score":3,"comment":"Классическое вводное упражнение по Рамсею.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"Среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. При этом для пяти человек такое утверждение неверно.","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","complete_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-1","title":"Двухцветная раскраска \\(K_6\\) и одноцветный треугольник","status":"ai_checked","text":"Любой простой граф на 6 вершинах содержит треугольник, или его дополнительный граф содержит треугольник. На 5 вершинах это неверно, поэтому \\( R(3,3)=6 \\).","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","complete_graph","triangle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-party-friends-strangers","title":"Вечеринка: знакомые и незнакомые","status":"ai_checked","text":"На вечеринке собрались шесть человек. Любые двое из них либо знакомы, либо незнакомы. Докажите, что найдутся трое человек, которые попарно знакомы, или трое человек, которые попарно незнакомы.","definition_ids":["complete_graph","clique","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-pigeonhole","title":"Доказательство через принцип Дирихле","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем вершину v. Среди пяти ребер из v хотя бы три одного цвета, скажем красные, к вершинам a,b,c. Если среди a,b,c есть красное ребро, оно вместе с v дает красный треугольник. Если красных ребер между a,b,c нет, то все три ребра между ними синие, и есть синий треугольник. Пример без одноцветного треугольника на 5 вершинах — цикл C5, где ребра одного цвета, а диагонали другого."}],"relations":[{"id":"rel-ramsey-r33","neighbor_id":"ramsey-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r33-imo-1992-p3","neighbor_id":"imo-1992-p3-nine-points-partial-ramsey","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-bureaucrats-ramsey-r33","neighbor_id":"vosh-2008-regional-bureaucrats-common-neighborhood","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r33-r34","neighbor_id":"ramsey-r34","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r33-vosh-universal-acquaintance","neighbor_id":"vosh-2000-01-final-universal-acquaintance","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ramsey-r33-cmo-1976-p8","neighbor_id":"cmo-1976-p8-red-blue-k9-clique","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2013-trips-complete-graph-clique-cover","neighbor_id":"imc-2013-day1-p3-six-trips-cover-pairs","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imc-2022-triangles-ramsey-r33","neighbor_id":"imc-2022-day2-p5-regular-43-coloured-triangles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r33-imo-1964-p4","neighbor_id":"imo-1964-p4-three-topic-ramsey","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-color-extremal-ramsey-r33-kolm-2022-k10","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-miklos-2005-p1-finite-ramsey-classical","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2005-p1-high-chromatic-defined-graph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-2009-p1-ramsey","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p1-k17-edge-coloring-cards","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-simon-marais-2017-a1-ramsey-r33","neighbor_id":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-1999-lines-ramsey-r33","neighbor_id":"vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"ramsey-r33 двухцветная раскраска \\(k_6\\) и одноцветный треугольник ramsey_theory classical_theorem goal_exact_bound frank p. ramsey frankpramsey https://en.wikipedia.org/wiki/theorem_on_friends_and_strangers misc reference src-wikipedia-friends-strangers theorem on friends and strangers with_solution прочее frank p. ramsey theorem on friends and strangers stmt-original-1 needs_review среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. при этом для пяти человек такое утверждение неверно. simple_graph complement_graph complete_graph stmt-graph-1 двухцветная раскраска \\(k_6\\) и одноцветный треугольник ai_checked любой простой граф на 6 вершинах содержит треугольник, или его дополнительный граф содержит треугольник. на 5 вершинах это неверно, поэтому \\( r(3,3)=6 \\). simple_graph complement_graph complete_graph triangle stmt-party-friends-strangers вечеринка: знакомые и незнакомые ai_checked на вечеринке собрались шесть человек. любые двое из них либо знакомы, либо незнакомы. докажите, что найдутся трое человек, которые попарно знакомы, или трое человек, которые попарно незнакомы. complete_graph clique complement_graph idea-pigeonhole-neighbors три ребра одного типа из одной вершины из одной вершины выходят 5 ребер двух цветов, поэтому хотя бы 3 из них одного цвета. ramsey_theory ai_checked sol-pigeonhole доказательство через принцип дирихле ai_checked cycle pigeonhole_principle complement_graph_transition выберем вершину v. среди пяти ребер из v хотя бы три одного цвета, скажем красные, к вершинам a,b,c. если среди a,b,c есть красное ребро, оно вместе с v дает красный треугольник. если красных ребер между a,b,c нет, то все три ребра между ними синие, и есть синий треугольник. пример без одноцветного треугольника на 5 вершинах — цикл c5, где ребра одного цвета, а диагонали другого. ramsey-r33 dvuhtsvetnaya raskraska \\(k_6\\) i odnotsvetnyy treugolnik ramsey_theory classical_theorem goal_exact_bound frank p. ramsey frankpramsey https://en.wikipedia.org/wiki/theorem_on_friends_and_strangers misc reference src-wikipedia-friends-strangers theorem on friends and strangers with_solution prochee frank p. ramsey theorem on friends and strangers stmt-original-1 needs_review sredi lyubyh shesti chelovek naydutsya libo troe poparno znakomyh, libo troe poparno neznakomyh. pri etom dlya pyati chelovek takoe utverzhdenie neverno. simple_graph complement_graph complete_graph stmt-graph-1 dvuhtsvetnaya raskraska \\(k_6\\) i odnotsvetnyy treugolnik ai_checked lyuboy prostoy graf na 6 vershinah soderzhit treugolnik, ili ego dopolnitelnyy graf soderzhit treugolnik. na 5 vershinah eto neverno, poetomu \\( r(3,3)=6 \\). simple_graph complement_graph complete_graph triangle stmt-party-friends-strangers vecherinka: znakomye i neznakomye ai_checked na vecherinke sobralis shest chelovek. lyubye dvoe iz nih libo znakomy, libo neznakomy. dokazhite, chto naydutsya troe chelovek, kotorye poparno znakomy, ili troe chelovek, kotorye poparno neznakomy. complete_graph clique complement_graph idea-pigeonhole-neighbors tri rebra odnogo tipa iz odnoy vershiny iz odnoy vershiny vyhodyat 5 reber dvuh tsvetov, poetomu hotya by 3 iz nih odnogo tsveta. ramsey_theory ai_checked sol-pigeonhole dokazatelstvo cherez printsip dirihle ai_checked cycle pigeonhole_principle complement_graph_transition vyberem vershinu v. sredi pyati reber iz v hotya by tri odnogo tsveta, skazhem krasnye, k vershinam a,b,c. esli sredi a,b,c est krasnoe rebro, ono vmeste s v daet krasnyy treugolnik. esli krasnyh reber mezhdu a,b,c net, to vse tri rebra mezhdu nimi sinie, i est siniy treugolnik. primer bez odnotsvetnogo treugolnika na 5 vershinah — tsikl c5, gde rebra odnogo tsveta, a diagonali drugogo.","source_keys":["misc"]}
{"id":"ramsey-r34","title":"Двухцветная раскраска \\(K_9\\): треугольник или независимая четвёрка","path":"data\\problems\\classical\\ramsey-r34.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ramsey-r34.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ramsey-r34","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Рамсея","Small Ramsey Numbers, Electronic Journal of Combinatorics dynamic survey"],"year":"","type":"theorem","authors":["Frank P. Ramsey"],"tags":["ramsey_theory","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":5,"comment":"Классический малый пример Рамсея: доказательство использует только степени, дополнение и случай \\(R(3,3)=6\\).","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Точное значение \\(R(3,4)\\)","status":"ai_checked","text":"В любой красно-синей раскраске рёбер полного графа \\(K_9\\) найдётся либо красный треугольник, либо синяя клика из 4 вершин. При этом для \\(K_8\\) такое утверждение неверно, поэтому \\(R(3,4)=9\\).","definition_ids":["complete_graph","clique","triangle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-1","title":"Граф и дополнение","status":"ai_checked","text":"Любой простой граф на 9 вершинах содержит треугольник, или его дополнительный граф содержит \\(K_4\\). Эквивалентно, любой простой граф на 9 вершинах содержит \\(K_3\\) или независимое множество из 4 вершин; на 8 вершинах это неверно.","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","complete_graph","clique","independent_set","triangle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-party-1","title":"Вечеринка: трое знакомых или четверо незнакомых","status":"ai_checked","text":"Среди любых 9 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо четверо попарно незнакомых. Для 8 человек это уже не гарантировано.","definition_ids":["complete_graph","clique","independent_set","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-exact-r34","title":"Доказательство верхней и нижней оценки","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","complete_graph","clique","independent_set","cycle"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем сначала верхнюю оценку. Пусть \\(G\\) — простой граф на 9 вершинах. Достаточно доказать, что в \\(G\\) есть треугольник или независимое множество из 4 вершин. Если у некоторой вершины \\(v\\) есть хотя бы 4 соседа, возьмём четыре из них. Если среди этих четырёх соседей есть ребро, то вместе с \\(v\\) оно образует треугольник. Если же рёбер между ними нет, то эти четыре вершины образуют независимое множество. Остаётся случай, когда все степени в \\(G\\) не превосходят 3. Сумма степеней равна удвоенному числу рёбер, поэтому она чётна. Если бы все 9 степеней были равны 3, сумма была бы равна 27, что невозможно. Значит, найдётся вершина \\(v\\) степени не больше 2. Тогда в дополнительном графе \\(\\overline G\\) вершина \\(v\\) имеет не меньше 6 соседей. По уже известному факту \\(R(3,3)=6\\), среди этих 6 соседей в \\(\\overline G\\) есть либо треугольник, либо независимая тройка. Треугольник в \\(\\overl…"}],"relations":[{"id":"rel-ramsey-r33-r34","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-theorem-r34","neighbor_id":"ramsey-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r34-cmo-1976-p8","neighbor_id":"cmo-1976-p8-red-blue-k9-clique","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r34-r35","neighbor_id":"ramsey-r35","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r34-r44","neighbor_id":"ramsey-r44","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"ramsey-r34 двухцветная раскраска \\(k_9\\): треугольник или независимая четвёрка ramsey_theory classical_theorem goal_exact_bound frank p. ramsey frankpramsey https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a0%d0%b0%d0%bc%d1%81%d0%b5%d1%8f https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/ds1 misc reference small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey src-small-ramsey-ds1 src-wikipedia-ramsey with_solution прочее теорема рамсея frank p. ramsey теорема рамсея small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey stmt-original-1 точное значение \\(r(3,4)\\) ai_checked в любой красно-синей раскраске рёбер полного графа \\(k_9\\) найдётся либо красный треугольник, либо синяя клика из 4 вершин. при этом для \\(k_8\\) такое утверждение неверно, поэтому \\(r(3,4)=9\\). complete_graph clique triangle stmt-graph-1 граф и дополнение ai_checked любой простой граф на 9 вершинах содержит треугольник, или его дополнительный граф содержит \\(k_4\\). эквивалентно, любой простой граф на 9 вершинах содержит \\(k_3\\) или независимое множество из 4 вершин; на 8 вершинах это неверно. simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set triangle stmt-party-1 вечеринка: трое знакомых или четверо незнакомых ai_checked среди любых 9 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо четверо попарно незнакомых. для 8 человек это уже не гарантировано. complete_graph clique independent_set complement_graph idea-degree-or-complement-degree большая степень или большая степень в дополнении если вершина имеет хотя бы 4 соседа, её окрестность сразу проверяет треугольник или независимую четвёрку. если таких вершин нет, из нечётности суммы степеней появляется вершина степени не больше 2, то есть степени хотя бы 6 в дополнении. ramsey_theory pigeonhole_principle ai_checked idea-eight-vertex-construction восьмивершинная конструкция нижнюю оценку даёт граф, полученный из цикла \\(c_8\\) добавлением четырёх противоположных хорд. в нём нет треугольников, а независимая четвёрка в \\(c_8\\) неизбежно содержит одну из добавленных хорд. ramsey_theory extremal_graph_theory ai_checked sol-exact-r34 доказательство верхней и нижней оценки ai_checked simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set cycle pigeonhole_principle complement_graph_transition докажем сначала верхнюю оценку. пусть \\(g\\) — простой граф на 9 вершинах. достаточно доказать, что в \\(g\\) есть треугольник или независимое множество из 4 вершин. если у некоторой вершины \\(v\\) есть хотя бы 4 соседа, возьмём четыре из них. если среди этих четырёх соседей есть ребро, то вместе с \\(v\\) оно образует треугольник. если же рёбер между ними нет, то эти четыре вершины образуют независимое множество. остаётся случай, когда все степени в \\(g\\) не превосходят 3. сумма степеней равна удвоенному числу рёбер, поэтому она чётна. если бы все 9 степеней были равны 3, сумма была бы равна 27, что невозможно. значит, найдётся вершина \\(v\\) степени не больше 2. тогда в дополнительном графе \\(\\overline g\\) вершина \\(v\\) имеет не меньше 6 соседей. по уже известному факту \\(r(3,3)=6\\), среди этих 6 соседей в \\(\\overline g\\) есть либо треугольник, либо независимая тройка. треугольник в \\(\\overl… ramsey-r34 dvuhtsvetnaya raskraska \\(k_9\\): treugolnik ili nezavisimaya chetverka ramsey_theory classical_theorem goal_exact_bound frank p. ramsey frankpramsey https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a0%d0%b0%d0%bc%d1%81%d0%b5%d1%8f https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/ds1 misc reference small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey src-small-ramsey-ds1 src-wikipedia-ramsey with_solution prochee teorema ramseya frank p. ramsey teorema ramseya small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey stmt-original-1 tochnoe znachenie \\(r(3,4)\\) ai_checked v lyuboy krasno-siney raskraske reber polnogo grafa \\(k_9\\) naydetsya libo krasnyy treugolnik, libo sinyaya klika iz 4 vershin. pri etom dlya \\(k_8\\) takoe utverzhdenie neverno, poetomu \\(r(3,4)=9\\). complete_graph clique triangle stmt-graph-1 graf i dopolnenie ai_checked lyuboy prostoy graf na 9 vershinah soderzhit treugolnik, ili ego dopolnitelnyy graf soderzhit \\(k_4\\). ekvivalentno, lyuboy prostoy graf na 9 vershinah soderzhit \\(k_3\\) ili nezavisimoe mnozhestvo iz 4 vershin; na 8 vershinah eto neverno. simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set triangle stmt-party-1 vecherinka: troe znakomyh ili chetvero neznakomyh ai_checked sredi lyubyh 9 chelovek naydutsya libo troe poparno znakomyh, libo chetvero poparno neznakomyh. dlya 8 chelovek eto uzhe ne garantirovano. complete_graph clique independent_set complement_graph idea-degree-or-complement-degree bolshaya stepen ili bolshaya stepen v dopolnenii esli vershina imeet hotya by 4 soseda, ee okrestnost srazu proveryaet treugolnik ili nezavisimuyu chetverku. esli takih vershin net, iz nechetnosti summy stepeney poyavlyaetsya vershina stepeni ne bolshe 2, to est stepeni hotya by 6 v dopolnenii. ramsey_theory pigeonhole_principle ai_checked idea-eight-vertex-construction vosmivershinnaya konstruktsiya nizhnyuyu otsenku daet graf, poluchennyy iz tsikla \\(c_8\\) dobavleniem chetyreh protivopolozhnyh hord. v nem net treugolnikov, a nezavisimaya chetverka v \\(c_8\\) neizbezhno soderzhit odnu iz dobavlennyh hord. ramsey_theory extremal_graph_theory ai_checked sol-exact-r34 dokazatelstvo verhney i nizhney otsenki ai_checked simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set cycle pigeonhole_principle complement_graph_transition dokazhem snachala verhnyuyu otsenku. pust \\(g\\) — prostoy graf na 9 vershinah. dostatochno dokazat, chto v \\(g\\) est treugolnik ili nezavisimoe mnozhestvo iz 4 vershin. esli u nekotoroy vershiny \\(v\\) est hotya by 4 soseda, vozmem chetyre iz nih. esli sredi etih chetyreh sosedey est rebro, to vmeste s \\(v\\) ono obrazuet treugolnik. esli zhe reber mezhdu nimi net, to eti chetyre vershiny obrazuyut nezavisimoe mnozhestvo. ostaetsya sluchay, kogda vse stepeni v \\(g\\) ne prevoshodyat 3. summa stepeney ravna udvoennomu chislu reber, poetomu ona chetna. esli by vse 9 stepeney byli ravny 3, summa byla by ravna 27, chto nevozmozhno. znachit, naydetsya vershina \\(v\\) stepeni ne bolshe 2. togda v dopolnitelnom grafe \\(\\overline g\\) vershina \\(v\\) imeet ne menshe 6 sosedey. po uzhe izvestnomu faktu \\(r(3,3)=6\\), sredi etih 6 sosedey v \\(\\overline g\\) est libo treugolnik, libo nezavisimaya troyka. treugolnik v \\(\\overl…","source_keys":["misc"]}
{"id":"ramsey-r35","title":"Двухцветная раскраска \\(K_{14}\\): треугольник или пятёрка","path":"data\\problems\\classical\\ramsey-r35.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ramsey-r35.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ramsey-r35","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Рамсея","Small Ramsey Numbers, Electronic Journal of Combinatorics dynamic survey"],"year":"","type":"theorem","authors":["Frank P. Ramsey","Robert E. Greenwood","Andrew M. Gleason"],"tags":["ramsey_theory","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":6,"comment":"Верхняя оценка короткая; нижняя оценка требует аккуратной, но школьной проверки циклической конструкции.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Точное значение \\(R(3,5)\\)","status":"ai_checked","text":"В любой красно-синей раскраске рёбер полного графа \\(K_{14}\\) найдётся либо красный треугольник, либо синяя клика из 5 вершин. При этом для \\(K_{13}\\) такое утверждение неверно, поэтому \\(R(3,5)=R(5,3)=14\\).","definition_ids":["complete_graph","clique","triangle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-1","title":"Граф и дополнение","status":"ai_checked","text":"Любой простой граф на 14 вершинах содержит треугольник, или его дополнительный граф содержит \\(K_5\\). Эквивалентно, любой простой граф на 14 вершинах содержит \\(K_3\\) или независимое множество из 5 вершин; на 13 вершинах это неверно.","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","complete_graph","clique","independent_set","triangle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-party-1","title":"Вечеринка: трое знакомых или пятеро незнакомых","status":"ai_checked","text":"Среди любых 14 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо пятеро попарно незнакомых. Для 13 человек это не гарантировано.","definition_ids":["complete_graph","clique","independent_set","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-exact-r35","title":"Доказательство верхней оценки и циклический пример","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","complete_graph","clique","independent_set"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем верхнюю оценку \\(R(3,5)\\le 14\\). Рассмотрим красно-синюю раскраску рёбер \\(K_{14}\\) и выберем вершину \\(v\\). Среди остальных 13 вершин либо хотя бы 5 соединены с \\(v\\) красным ребром, либо хотя бы 9 соединены с \\(v\\) синим ребром. В первом случае рассмотрим 5 красных соседей вершины \\(v\\). Если между двумя из них есть красное ребро, то вместе с \\(v\\) оно даёт красный треугольник. Если красных рёбер между этими пятью вершинами нет, то все рёбра между ними синие, и это синяя \\(K_5\\). Во втором случае рассмотрим 9 синих соседей вершины \\(v\\). По \\(R(3,4)=9\\) среди них есть либо красный треугольник, либо синяя \\(K_4\\). Красный треугольник уже подходит, а синяя \\(K_4\\) вместе с \\(v\\) даёт синюю \\(K_5\\). Значит, \\(R(3,5)\\le 14\\). Теперь покажем, что 13 вершин недостаточно. Возьмём вершины \\(0,1,\\ldots,12\\) по модулю 13. Соединим две вершины ребром графа \\(G\\), если их разность по моду…"}],"relations":[{"id":"rel-ramsey-r34-r35","neighbor_id":"ramsey-r34","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-theorem-r35","neighbor_id":"ramsey-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r35-r44","neighbor_id":"ramsey-r44","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"ramsey-r35 двухцветная раскраска \\(k_{14}\\): треугольник или пятёрка ramsey_theory classical_theorem goal_exact_bound andrew m. gleason andrewmgleason frank p. ramsey frankpramsey https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a0%d0%b0%d0%bc%d1%81%d0%b5%d1%8f https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/ds1 misc reference robert e. greenwood robertegreenwood small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey src-small-ramsey-ds1 src-wikipedia-ramsey with_solution прочее теорема рамсея frank p. ramsey robert e. greenwood andrew m. gleason теорема рамсея small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey stmt-original-1 точное значение \\(r(3,5)\\) ai_checked в любой красно-синей раскраске рёбер полного графа \\(k_{14}\\) найдётся либо красный треугольник, либо синяя клика из 5 вершин. при этом для \\(k_{13}\\) такое утверждение неверно, поэтому \\(r(3,5)=r(5,3)=14\\). complete_graph clique triangle stmt-graph-1 граф и дополнение ai_checked любой простой граф на 14 вершинах содержит треугольник, или его дополнительный граф содержит \\(k_5\\). эквивалентно, любой простой граф на 14 вершинах содержит \\(k_3\\) или независимое множество из 5 вершин; на 13 вершинах это неверно. simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set triangle stmt-party-1 вечеринка: трое знакомых или пятеро незнакомых ai_checked среди любых 14 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо пятеро попарно незнакомых. для 13 человек это не гарантировано. complete_graph clique independent_set complement_graph idea-recursive-upper-bound разделение соседей одной вершины верхняя оценка получается из рекурсии рамсея: около выбранной вершины либо достаточно много рёбер одного цвета для \\(r(2,5)\\), либо достаточно много рёбер другого цвета для \\(r(3,4)\\). ramsey_theory pigeonhole_principle ai_checked idea-cyclic-thirteen тринадцать точек на окружности для нижней оценки удобно взять вершины \\(\\mathbb z_{13}\\) и соединять две вершины, если их циклическое расстояние равно 1 или 5. такой граф не содержит треугольника, а пять независимых вершин невозможны из-за ограничения на циклические промежутки. ramsey_theory extremal_graph_theory ai_checked sol-exact-r35 доказательство верхней оценки и циклический пример ai_checked simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set pigeonhole_principle complement_graph_transition докажем верхнюю оценку \\(r(3,5)\\le 14\\). рассмотрим красно-синюю раскраску рёбер \\(k_{14}\\) и выберем вершину \\(v\\). среди остальных 13 вершин либо хотя бы 5 соединены с \\(v\\) красным ребром, либо хотя бы 9 соединены с \\(v\\) синим ребром. в первом случае рассмотрим 5 красных соседей вершины \\(v\\). если между двумя из них есть красное ребро, то вместе с \\(v\\) оно даёт красный треугольник. если красных рёбер между этими пятью вершинами нет, то все рёбра между ними синие, и это синяя \\(k_5\\). во втором случае рассмотрим 9 синих соседей вершины \\(v\\). по \\(r(3,4)=9\\) среди них есть либо красный треугольник, либо синяя \\(k_4\\). красный треугольник уже подходит, а синяя \\(k_4\\) вместе с \\(v\\) даёт синюю \\(k_5\\). значит, \\(r(3,5)\\le 14\\). теперь покажем, что 13 вершин недостаточно. возьмём вершины \\(0,1,\\ldots,12\\) по модулю 13. соединим две вершины ребром графа \\(g\\), если их разность по моду… ramsey-r35 dvuhtsvetnaya raskraska \\(k_{14}\\): treugolnik ili pyaterka ramsey_theory classical_theorem goal_exact_bound andrew m. gleason andrewmgleason frank p. ramsey frankpramsey https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a0%d0%b0%d0%bc%d1%81%d0%b5%d1%8f https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/ds1 misc reference robert e. greenwood robertegreenwood small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey src-small-ramsey-ds1 src-wikipedia-ramsey with_solution prochee teorema ramseya frank p. ramsey robert e. greenwood andrew m. gleason teorema ramseya small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey stmt-original-1 tochnoe znachenie \\(r(3,5)\\) ai_checked v lyuboy krasno-siney raskraske reber polnogo grafa \\(k_{14}\\) naydetsya libo krasnyy treugolnik, libo sinyaya klika iz 5 vershin. pri etom dlya \\(k_{13}\\) takoe utverzhdenie neverno, poetomu \\(r(3,5)=r(5,3)=14\\). complete_graph clique triangle stmt-graph-1 graf i dopolnenie ai_checked lyuboy prostoy graf na 14 vershinah soderzhit treugolnik, ili ego dopolnitelnyy graf soderzhit \\(k_5\\). ekvivalentno, lyuboy prostoy graf na 14 vershinah soderzhit \\(k_3\\) ili nezavisimoe mnozhestvo iz 5 vershin; na 13 vershinah eto neverno. simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set triangle stmt-party-1 vecherinka: troe znakomyh ili pyatero neznakomyh ai_checked sredi lyubyh 14 chelovek naydutsya libo troe poparno znakomyh, libo pyatero poparno neznakomyh. dlya 13 chelovek eto ne garantirovano. complete_graph clique independent_set complement_graph idea-recursive-upper-bound razdelenie sosedey odnoy vershiny verhnyaya otsenka poluchaetsya iz rekursii ramseya: okolo vybrannoy vershiny libo dostatochno mnogo reber odnogo tsveta dlya \\(r(2,5)\\), libo dostatochno mnogo reber drugogo tsveta dlya \\(r(3,4)\\). ramsey_theory pigeonhole_principle ai_checked idea-cyclic-thirteen trinadtsat tochek na okruzhnosti dlya nizhney otsenki udobno vzyat vershiny \\(\\mathbb z_{13}\\) i soedinyat dve vershiny, esli ih tsiklicheskoe rasstoyanie ravno 1 ili 5. takoy graf ne soderzhit treugolnika, a pyat nezavisimyh vershin nevozmozhny iz-za ogranicheniya na tsiklicheskie promezhutki. ramsey_theory extremal_graph_theory ai_checked sol-exact-r35 dokazatelstvo verhney otsenki i tsiklicheskiy primer ai_checked simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set pigeonhole_principle complement_graph_transition dokazhem verhnyuyu otsenku \\(r(3,5)\\le 14\\). rassmotrim krasno-sinyuyu raskrasku reber \\(k_{14}\\) i vyberem vershinu \\(v\\). sredi ostalnyh 13 vershin libo hotya by 5 soedineny s \\(v\\) krasnym rebrom, libo hotya by 9 soedineny s \\(v\\) sinim rebrom. v pervom sluchae rassmotrim 5 krasnyh sosedey vershiny \\(v\\). esli mezhdu dvumya iz nih est krasnoe rebro, to vmeste s \\(v\\) ono daet krasnyy treugolnik. esli krasnyh reber mezhdu etimi pyatyu vershinami net, to vse rebra mezhdu nimi sinie, i eto sinyaya \\(k_5\\). vo vtorom sluchae rassmotrim 9 sinih sosedey vershiny \\(v\\). po \\(r(3,4)=9\\) sredi nih est libo krasnyy treugolnik, libo sinyaya \\(k_4\\). krasnyy treugolnik uzhe podhodit, a sinyaya \\(k_4\\) vmeste s \\(v\\) daet sinyuyu \\(k_5\\). znachit, \\(r(3,5)\\le 14\\). teper pokazhem, chto 13 vershin nedostatochno. vozmem vershiny \\(0,1,\\ldots,12\\) po modulyu 13. soedinim dve vershiny rebrom grafa \\(g\\), esli ih raznost po modu…","source_keys":["misc"]}
{"id":"ramsey-r44","title":"Двухцветная раскраска \\(K_{18}\\): одноцветная четвёрка","path":"data\\problems\\classical\\ramsey-r44.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ramsey-r44.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ramsey-r44","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Рамсея","Small Ramsey Numbers, Electronic Journal of Combinatorics dynamic survey"],"year":"","type":"theorem","authors":["Frank P. Ramsey","Robert E. Greenwood","Andrew M. Gleason"],"tags":["ramsey_theory","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Верхняя оценка школьная; нижняя оценка остаётся школьной, но требует аккуратной проверки симметричной 17-вершинной конструкции.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"Точное значение \\(R(4,4)\\)","status":"ai_checked","text":"В любой красно-синей раскраске рёбер полного графа \\(K_{18}\\) найдётся одноцветная клика из 4 вершин. При этом для \\(K_{17}\\) такое утверждение неверно, поэтому \\(R(4,4)=18\\).","definition_ids":["complete_graph","clique"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-1","title":"Граф и дополнение","status":"ai_checked","text":"Любой простой граф на 18 вершинах содержит \\(K_4\\), или его дополнительный граф содержит \\(K_4\\). На 17 вершинах это неверно.","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","complete_graph","clique","independent_set"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-party-1","title":"Вечеринка: четверо знакомых или четверо незнакомых","status":"ai_checked","text":"Среди любых 18 человек найдутся либо четверо попарно знакомых, либо четверо попарно незнакомых. Для 17 человек это не гарантировано.","definition_ids":["complete_graph","clique","independent_set","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-exact-r44","title":"Доказательство через \\(R(3,4)=9\\) и граф Пэли","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","complete_graph","clique","independent_set"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем верхнюю оценку. Рассмотрим красно-синюю раскраску рёбер \\(K_{18}\\) и выберем вершину \\(v\\). Из \\(v\\) выходит 17 рёбер, поэтому хотя бы 9 из них имеют один цвет; пусть для определённости это красные рёбра к множеству \\(A\\) из 9 вершин. По \\(R(3,4)=9\\) внутри \\(A\\) найдётся либо красный треугольник, либо синяя \\(K_4\\). Если есть синяя \\(K_4\\), цель достигнута. Если есть красный треугольник, то вместе с вершиной \\(v\\) он образует красную \\(K_4\\), потому что все три ребра от \\(v\\) к этому треугольнику красные. Случай, когда у \\(v\\) есть 9 синих соседей, полностью симметричен. Значит, \\(R(4,4)\\le 18\\). Для нижней оценки построим раскраску на 17 вершинах без одноцветной \\(K_4\\). Возьмём вершины \\(\\mathbb Z_{17}\\). Соединим две вершины красным ребром, если их разность по модулю 17 лежит в множестве квадратичных вычетов \\[Q=\\{1,2,4,8,9,13,15,16\\}.\\] Остальные рёбра покрасим синим. Так к…"}],"relations":[{"id":"rel-ramsey-r34-r44","neighbor_id":"ramsey-r34","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-theorem-r44","neighbor_id":"ramsey-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r35-r44","neighbor_id":"ramsey-r35","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"ramsey-r44 двухцветная раскраска \\(k_{18}\\): одноцветная четвёрка ramsey_theory classical_theorem goal_exact_bound andrew m. gleason andrewmgleason frank p. ramsey frankpramsey https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a0%d0%b0%d0%bc%d1%81%d0%b5%d1%8f https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/ds1 misc reference robert e. greenwood robertegreenwood small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey src-small-ramsey-ds1 src-wikipedia-ramsey with_solution прочее теорема рамсея frank p. ramsey robert e. greenwood andrew m. gleason теорема рамсея small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey stmt-original-1 точное значение \\(r(4,4)\\) ai_checked в любой красно-синей раскраске рёбер полного графа \\(k_{18}\\) найдётся одноцветная клика из 4 вершин. при этом для \\(k_{17}\\) такое утверждение неверно, поэтому \\(r(4,4)=18\\). complete_graph clique stmt-graph-1 граф и дополнение ai_checked любой простой граф на 18 вершинах содержит \\(k_4\\), или его дополнительный граф содержит \\(k_4\\). на 17 вершинах это неверно. simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set stmt-party-1 вечеринка: четверо знакомых или четверо незнакомых ai_checked среди любых 18 человек найдутся либо четверо попарно знакомых, либо четверо попарно незнакомых. для 17 человек это не гарантировано. complete_graph clique independent_set complement_graph idea-r34-from-one-vertex девять соседей одного цвета у выбранной вершины среди 17 рёбер хотя бы 9 одного цвета. после этого применяется точное значение \\(r(3,4)=9\\). ramsey_theory pigeonhole_principle ai_checked idea-paley-seventeen симметричный граф пэли на 17 вершинах нижнюю оценку даёт граф на остатках по модулю 17: две вершины соединены, если их разность является квадратичным вычетом. такой граф изоморфен своему дополнению и не содержит \\(k_4\\). ramsey_theory extremal_graph_theory ai_checked sol-exact-r44 доказательство через \\(r(3,4)=9\\) и граф пэли ai_checked simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set pigeonhole_principle complement_graph_transition докажем верхнюю оценку. рассмотрим красно-синюю раскраску рёбер \\(k_{18}\\) и выберем вершину \\(v\\). из \\(v\\) выходит 17 рёбер, поэтому хотя бы 9 из них имеют один цвет; пусть для определённости это красные рёбра к множеству \\(a\\) из 9 вершин. по \\(r(3,4)=9\\) внутри \\(a\\) найдётся либо красный треугольник, либо синяя \\(k_4\\). если есть синяя \\(k_4\\), цель достигнута. если есть красный треугольник, то вместе с вершиной \\(v\\) он образует красную \\(k_4\\), потому что все три ребра от \\(v\\) к этому треугольнику красные. случай, когда у \\(v\\) есть 9 синих соседей, полностью симметричен. значит, \\(r(4,4)\\le 18\\). для нижней оценки построим раскраску на 17 вершинах без одноцветной \\(k_4\\). возьмём вершины \\(\\mathbb z_{17}\\). соединим две вершины красным ребром, если их разность по модулю 17 лежит в множестве квадратичных вычетов \\[q=\\{1,2,4,8,9,13,15,16\\}.\\] остальные рёбра покрасим синим. так к… ramsey-r44 dvuhtsvetnaya raskraska \\(k_{18}\\): odnotsvetnaya chetverka ramsey_theory classical_theorem goal_exact_bound andrew m. gleason andrewmgleason frank p. ramsey frankpramsey https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a0%d0%b0%d0%bc%d1%81%d0%b5%d1%8f https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/ds1 misc reference robert e. greenwood robertegreenwood small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey src-small-ramsey-ds1 src-wikipedia-ramsey with_solution prochee teorema ramseya frank p. ramsey robert e. greenwood andrew m. gleason teorema ramseya small ramsey numbers, electronic journal of combinatorics dynamic survey stmt-original-1 tochnoe znachenie \\(r(4,4)\\) ai_checked v lyuboy krasno-siney raskraske reber polnogo grafa \\(k_{18}\\) naydetsya odnotsvetnaya klika iz 4 vershin. pri etom dlya \\(k_{17}\\) takoe utverzhdenie neverno, poetomu \\(r(4,4)=18\\). complete_graph clique stmt-graph-1 graf i dopolnenie ai_checked lyuboy prostoy graf na 18 vershinah soderzhit \\(k_4\\), ili ego dopolnitelnyy graf soderzhit \\(k_4\\). na 17 vershinah eto neverno. simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set stmt-party-1 vecherinka: chetvero znakomyh ili chetvero neznakomyh ai_checked sredi lyubyh 18 chelovek naydutsya libo chetvero poparno znakomyh, libo chetvero poparno neznakomyh. dlya 17 chelovek eto ne garantirovano. complete_graph clique independent_set complement_graph idea-r34-from-one-vertex devyat sosedey odnogo tsveta u vybrannoy vershiny sredi 17 reber hotya by 9 odnogo tsveta. posle etogo primenyaetsya tochnoe znachenie \\(r(3,4)=9\\). ramsey_theory pigeonhole_principle ai_checked idea-paley-seventeen simmetrichnyy graf peli na 17 vershinah nizhnyuyu otsenku daet graf na ostatkah po modulyu 17: dve vershiny soedineny, esli ih raznost yavlyaetsya kvadratichnym vychetom. takoy graf izomorfen svoemu dopolneniyu i ne soderzhit \\(k_4\\). ramsey_theory extremal_graph_theory ai_checked sol-exact-r44 dokazatelstvo cherez \\(r(3,4)=9\\) i graf peli ai_checked simple_graph complement_graph complete_graph clique independent_set pigeonhole_principle complement_graph_transition dokazhem verhnyuyu otsenku. rassmotrim krasno-sinyuyu raskrasku reber \\(k_{18}\\) i vyberem vershinu \\(v\\). iz \\(v\\) vyhodit 17 reber, poetomu hotya by 9 iz nih imeyut odin tsvet; pust dlya opredelennosti eto krasnye rebra k mnozhestvu \\(a\\) iz 9 vershin. po \\(r(3,4)=9\\) vnutri \\(a\\) naydetsya libo krasnyy treugolnik, libo sinyaya \\(k_4\\). esli est sinyaya \\(k_4\\), tsel dostignuta. esli est krasnyy treugolnik, to vmeste s vershinoy \\(v\\) on obrazuet krasnuyu \\(k_4\\), potomu chto vse tri rebra ot \\(v\\) k etomu treugolniku krasnye. sluchay, kogda u \\(v\\) est 9 sinih sosedey, polnostyu simmetrichen. znachit, \\(r(4,4)\\le 18\\). dlya nizhney otsenki postroim raskrasku na 17 vershinah bez odnotsvetnoy \\(k_4\\). vozmem vershiny \\(\\mathbb z_{17}\\). soedinim dve vershiny krasnym rebrom, esli ih raznost po modulyu 17 lezhit v mnozhestve kvadratichnyh vychetov \\[q=\\{1,2,4,8,9,13,15,16\\}.\\] ostalnye rebra pokrasim sinim. tak k…","source_keys":["misc"]}
{"id":"ramsey-theorem","title":"Теорема Рамсея об одноцветной клике","path":"data\\problems\\classical\\ramsey-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ramsey-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ramsey-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Рамсея"],"year":"","type":"theorem","authors":["Frank P. Ramsey"],"tags":["ramsey_theory","induction","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":6,"comment":"Базовая теорема с простым индукционным доказательством.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Для любых натуральных r и s существует такое N, что при любой раскраске каждого ребра полного графа Kₙ в красный или синий цвет найдется либо r вершин, все ребра между которыми красные, либо s вершин, все ребра между которыми синие.","definition_ids":["complete_graph","clique","independent_set","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-recursive-bound","title":"Рекуррентная оценка","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем рекурсию \\(R(r,s)\\le R(r-1,s)+R(r,s-1)\\) при базе \\(R(1,s)=R(r,1)=1\\). Возьмем полную красно-синюю раскраску на \\(N=R(r-1,s)+R(r,s-1)\\) вершинах и выберем вершину v. Среди остальных \\(N-1\\) вершин хотя бы \\(R(r-1,s)\\) соединены с v красным ребром или хотя бы \\(R(r,s-1)\\) соединены с v синим ребром. В первом случае применяем определение \\(R(r-1,s)\\) к красному множеству концов: если там есть красная \\(K_{r-1}\\), то вместе с v она дает красную \\(K_r\\); если там есть синяя \\(K_s\\), цель уже достигнута. Во втором случае применяем определение \\(R(r,s-1)\\) к синему множеству концов: синяя \\(K_{s-1}\\) вместе с v дает синюю \\(K_s\\), а красная \\(K_r\\) уже подходит. Индукция по \\(r+s\\) дает конечность всех чисел \\(R(r,s)\\)."}],"relations":[{"id":"rel-ramsey-r33","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-universal-acquaintance-2000","neighbor_id":"vosh-2000-01-final-universal-acquaintance","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-usa-tst-2013-ramsey","neighbor_id":"usa-tst-2013-dec-p1-language-club-rainbow-triangles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-theorem-r34","neighbor_id":"ramsey-r34","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-theorem-r35","neighbor_id":"ramsey-r35","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-theorem-r44","neighbor_id":"ramsey-r44","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-theorem-cmo-1976-p8","neighbor_id":"cmo-1976-p8-red-blue-k9-clique","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-fyum-2008-tur3a-p2-ramsey-tree-independent-set","neighbor_id":"fyum-2008-tur3a-p2","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-fyum-2009-final-p2-ramsey-monochromatic-odd-cycles","neighbor_id":"fyum-2009-final-p2","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ramsey-imo-1992-p3","neighbor_id":"imo-1992-p3-nine-points-partial-ramsey","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ramsey-theorem-tree-vs-independent-set-bound","neighbor_id":"tree-vs-independent-set-ramsey-bound","direction":"forward","type":"specialization","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2012-r3-p1-ramsey-theorem","neighbor_id":"yumt-2012-start-round3-problem1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"ramsey-theorem теорема рамсея об одноцветной клике ramsey_theory induction classical_theorem goal_exact_bound frank p. ramsey frankpramsey https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a0%d0%b0%d0%bc%d1%81%d0%b5%d1%8f misc reference src-wikipedia-ramsey with_solution прочее теорема рамсея frank p. ramsey теорема рамсея stmt-original-1 ai_checked для любых натуральных r и s существует такое n, что при любой раскраске каждого ребра полного графа kₙ в красный или синий цвет найдется либо r вершин, все ребра между которыми красные, либо s вершин, все ребра между которыми синие. complete_graph clique independent_set simple_graph idea-pivot-vertex выбор вершины выбрав вершину, делим остальные вершины по цвету ребра к ней и применяем индукцию к достаточно большой части. ramsey_theory induction ai_checked sol-recursive-bound рекуррентная оценка ai_checked induction pigeonhole_principle докажем рекурсию \\(r(r,s)\\le r(r-1,s)+r(r,s-1)\\) при базе \\(r(1,s)=r(r,1)=1\\). возьмем полную красно-синюю раскраску на \\(n=r(r-1,s)+r(r,s-1)\\) вершинах и выберем вершину v. среди остальных \\(n-1\\) вершин хотя бы \\(r(r-1,s)\\) соединены с v красным ребром или хотя бы \\(r(r,s-1)\\) соединены с v синим ребром. в первом случае применяем определение \\(r(r-1,s)\\) к красному множеству концов: если там есть красная \\(k_{r-1}\\), то вместе с v она дает красную \\(k_r\\); если там есть синяя \\(k_s\\), цель уже достигнута. во втором случае применяем определение \\(r(r,s-1)\\) к синему множеству концов: синяя \\(k_{s-1}\\) вместе с v дает синюю \\(k_s\\), а красная \\(k_r\\) уже подходит. индукция по \\(r+s\\) дает конечность всех чисел \\(r(r,s)\\). ramsey-theorem teorema ramseya ob odnotsvetnoy klike ramsey_theory induction classical_theorem goal_exact_bound frank p. ramsey frankpramsey https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a0%d0%b0%d0%bc%d1%81%d0%b5%d1%8f misc reference src-wikipedia-ramsey with_solution prochee teorema ramseya frank p. ramsey teorema ramseya stmt-original-1 ai_checked dlya lyubyh naturalnyh r i s suschestvuet takoe n, chto pri lyuboy raskraske kazhdogo rebra polnogo grafa kₙ v krasnyy ili siniy tsvet naydetsya libo r vershin, vse rebra mezhdu kotorymi krasnye, libo s vershin, vse rebra mezhdu kotorymi sinie. complete_graph clique independent_set simple_graph idea-pivot-vertex vybor vershiny vybrav vershinu, delim ostalnye vershiny po tsvetu rebra k ney i primenyaem induktsiyu k dostatochno bolshoy chasti. ramsey_theory induction ai_checked sol-recursive-bound rekurrentnaya otsenka ai_checked induction pigeonhole_principle dokazhem rekursiyu \\(r(r,s)\\le r(r-1,s)+r(r,s-1)\\) pri baze \\(r(1,s)=r(r,1)=1\\). vozmem polnuyu krasno-sinyuyu raskrasku na \\(n=r(r-1,s)+r(r,s-1)\\) vershinah i vyberem vershinu v. sredi ostalnyh \\(n-1\\) vershin hotya by \\(r(r-1,s)\\) soedineny s v krasnym rebrom ili hotya by \\(r(r,s-1)\\) soedineny s v sinim rebrom. v pervom sluchae primenyaem opredelenie \\(r(r-1,s)\\) k krasnomu mnozhestvu kontsov: esli tam est krasnaya \\(k_{r-1}\\), to vmeste s v ona daet krasnuyu \\(k_r\\); esli tam est sinyaya \\(k_s\\), tsel uzhe dostignuta. vo vtorom sluchae primenyaem opredelenie \\(r(r,s-1)\\) k sinemu mnozhestvu kontsov: sinyaya \\(k_{s-1}\\) vmeste s v daet sinyuyu \\(k_s\\), a krasnaya \\(k_r\\) uzhe podhodit. induktsiya po \\(r+s\\) daet konechnost vseh chisel \\(r(r,s)\\).","source_keys":["misc"]}
{"id":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","title":"Теорема Редеи о нечётности числа гамильтоновых путей в турнире","path":"data\\problems\\classical\\redei-odd-hamiltonian-paths-tournament.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/redei-odd-hamiltonian-paths-tournament.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Rédei László, Ein kombinatorischer Satz","Турнир (теория графов)","ФЮМ 2008, первый тур (a), задача 10"],"year":"","type":"theorem","authors":["László Rédei"],"tags":["tournaments","symmetrization","classical_theorem","goal_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":3,"comment":"Классическое усиление теоремы Редеи: существование гамильтонова пути следует из нечётности их числа.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"source_verified","text":"В любом конечном турнире число направленных гамильтоновых путей нечётно. В частности, в каждом конечном турнире существует направленный гамильтонов путь.","definition_ids":["tournament","hamiltonian_path","directed_graph"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-fyum-2008-tur1a-p10","title":"ФЮМ 2008: нечётность числа гамильтоновых путей","status":"ai_checked","text":"Докажите, что в любом полном ориентированном графе нечётное число гамильтоновых путей.","definition_ids":["tournament","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-complement-and-edge-reversal","title":"Инвариантность чётности при перевороте ребра","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament","hamiltonian_path","directed_graph"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через h(G) число направленных гамильтоновых путей в конечном орграфе G. Сначала докажем вспомогательный факт: если n>1 и \\(\\overline G\\) — направленное дополнение G, то есть орграф на тех же вершинах, где дуга u→v стоит ровно тогда, когда в G такой дуги нет, то \\(h(G)\\equiv h(\\overline G)\\pmod 2\\). Для spanning-подграфа H графа G пусть s(H) — число нумераций вершин числами 1,...,n, при которых все дуги H идут из i в i+1. Если H не является объединением непересекающихся направленных путей, то s(H)=0; если является объединением k путей, то s(H)=k!, поэтому по модулю 2 вклад дают только сами гамильтоновы пути. Значит, \\(h(G)\\equiv \\sum_{E(H)\\subseteq E(G)}s(H)\\pmod 2\\). С другой стороны, нумерации, которые не задают гамильтонов путь в \\(\\overline G\\), — это ровно нумерации, где хотя бы одна соседняя дуга i→i+1 принадлежит G. По включениям-исключениям их число равно \\(\\sum_{E(H)\\s…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-redei-parity","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1996-a4-redei-odd-hamiltonian-paths-order-motif","neighbor_id":"putnam-1996-a4-oriented-triples-order","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-redei-order-tournament","neighbor_id":"unique-insertion-interval-oriented-triples","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-redei-odd-hamiltonian-paths-tournament-hamiltonian-path","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament теорема редеи о нечётности числа гамильтоновых путей в турнире tournaments symmetrization classical_theorem goal_counting goal_existence https://acta.bibl.u-szeged.hu/13432/ https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%bd%d0%b8%d1%80_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur1a.tex lászló rédei lászlórédei misc olympiad_archive reference research_paper rédei lászló, ein kombinatorischer satz src-fyum-2008-tur1a-p10-official src-redei-1935-ein-kombinatorischer-satz src-wikipedia-tournament with_solution прочее турнир (теория графов) фюм 2008, первый тур (a), задача 10 lászló rédei rédei lászló, ein kombinatorischer satz турнир (теория графов) фюм 2008, первый тур (a), задача 10 stmt-original-1 source_verified в любом конечном турнире число направленных гамильтоновых путей нечётно. в частности, в каждом конечном турнире существует направленный гамильтонов путь. tournament hamiltonian_path directed_graph stmt-fyum-2008-tur1a-p10 фюм 2008: нечётность числа гамильтоновых путей ai_checked докажите, что в любом полном ориентированном графе нечётное число гамильтоновых путей. tournament hamiltonian_path idea-arc-reversal-parity-invariant чётность не меняется при перевороте одного ребра если два турнира отличаются только направлением одного ребра, то числа их гамильтоновых путей имеют одинаковую чётность. поэтому любой турнир можно перевести в транзитивный турнир, где гамильтонов путь ровно один. tournaments symmetrization ai_checked idea-complement-parity дополнение орграфа сохраняет число путей по модулю 2 для любого орграфа с более чем одной вершиной число гамильтоновых путей в графе и в его направленном дополнении одинаково по модулю 2; это следует из включений-исключений по запрещённым соседним дугам. symmetrization double_counting ai_checked sol-complement-and-edge-reversal инвариантность чётности при перевороте ребра ai_checked tournament hamiltonian_path directed_graph complement_graph_transition обозначим через h(g) число направленных гамильтоновых путей в конечном орграфе g. сначала докажем вспомогательный факт: если n>1 и \\(\\overline g\\) — направленное дополнение g, то есть орграф на тех же вершинах, где дуга u→v стоит ровно тогда, когда в g такой дуги нет, то \\(h(g)\\equiv h(\\overline g)\\pmod 2\\). для spanning-подграфа h графа g пусть s(h) — число нумераций вершин числами 1,...,n, при которых все дуги h идут из i в i+1. если h не является объединением непересекающихся направленных путей, то s(h)=0; если является объединением k путей, то s(h)=k!, поэтому по модулю 2 вклад дают только сами гамильтоновы пути. значит, \\(h(g)\\equiv \\sum_{e(h)\\subseteq e(g)}s(h)\\pmod 2\\). с другой стороны, нумерации, которые не задают гамильтонов путь в \\(\\overline g\\), — это ровно нумерации, где хотя бы одна соседняя дуга i→i+1 принадлежит g. по включениям-исключениям их число равно \\(\\sum_{e(h)\\s… redei-odd-hamiltonian-paths-tournament teorema redei o nechetnosti chisla gamiltonovyh putey v turnire tournaments symmetrization classical_theorem goal_counting goal_existence https://acta.bibl.u-szeged.hu/13432/ https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%bd%d0%b8%d1%80_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur1a.tex lászló rédei lászlórédei misc olympiad_archive reference research_paper rédei lászló, ein kombinatorischer satz src-fyum-2008-tur1a-p10-official src-redei-1935-ein-kombinatorischer-satz src-wikipedia-tournament with_solution prochee turnir (teoriya grafov) fyum 2008, pervyy tur (a), zadacha 10 lászló rédei rédei lászló, ein kombinatorischer satz turnir (teoriya grafov) fyum 2008, pervyy tur (a), zadacha 10 stmt-original-1 source_verified v lyubom konechnom turnire chislo napravlennyh gamiltonovyh putey nechetno. v chastnosti, v kazhdom konechnom turnire suschestvuet napravlennyy gamiltonov put. tournament hamiltonian_path directed_graph stmt-fyum-2008-tur1a-p10 fyum 2008: nechetnost chisla gamiltonovyh putey ai_checked dokazhite, chto v lyubom polnom orientirovannom grafe nechetnoe chislo gamiltonovyh putey. tournament hamiltonian_path idea-arc-reversal-parity-invariant chetnost ne menyaetsya pri perevorote odnogo rebra esli dva turnira otlichayutsya tolko napravleniem odnogo rebra, to chisla ih gamiltonovyh putey imeyut odinakovuyu chetnost. poetomu lyuboy turnir mozhno perevesti v tranzitivnyy turnir, gde gamiltonov put rovno odin. tournaments symmetrization ai_checked idea-complement-parity dopolnenie orgrafa sohranyaet chislo putey po modulyu 2 dlya lyubogo orgrafa s bolee chem odnoy vershinoy chislo gamiltonovyh putey v grafe i v ego napravlennom dopolnenii odinakovo po modulyu 2; eto sleduet iz vklyucheniy-isklyucheniy po zapreschennym sosednim dugam. symmetrization double_counting ai_checked sol-complement-and-edge-reversal invariantnost chetnosti pri perevorote rebra ai_checked tournament hamiltonian_path directed_graph complement_graph_transition oboznachim cherez h(g) chislo napravlennyh gamiltonovyh putey v konechnom orgrafe g. snachala dokazhem vspomogatelnyy fakt: esli n>1 i \\(\\overline g\\) — napravlennoe dopolnenie g, to est orgraf na teh zhe vershinah, gde duga u→v stoit rovno togda, kogda v g takoy dugi net, to \\(h(g)\\equiv h(\\overline g)\\pmod 2\\). dlya spanning-podgrafa h grafa g pust s(h) — chislo numeratsiy vershin chislami 1,...,n, pri kotoryh vse dugi h idut iz i v i+1. esli h ne yavlyaetsya obedineniem neperesekayuschihsya napravlennyh putey, to s(h)=0; esli yavlyaetsya obedineniem k putey, to s(h)=k!, poetomu po modulyu 2 vklad dayut tolko sami gamiltonovy puti. znachit, \\(h(g)\\equiv \\sum_{e(h)\\subseteq e(g)}s(h)\\pmod 2\\). s drugoy storony, numeratsii, kotorye ne zadayut gamiltonov put v \\(\\overline g\\), — eto rovno numeratsii, gde hotya by odna sosednyaya duga i→i+1 prinadlezhit g. po vklyucheniyam-isklyucheniyam ih chislo ravno \\(\\sum_{e(h)\\s…","source_keys":["misc","fyum"]}
{"id":"regular-bipartite-perfect-matching-decomposition","title":"Разложение регулярного двудольного графа на совершенные паросочетания","path":"data\\problems\\classical\\regular-bipartite-perfect-matching-decomposition.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/regular-bipartite-perfect-matching-decomposition.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#regular-bipartite-perfect-matching-decomposition","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Kőnig's line coloring theorem"],"year":"","type":"lemma","authors":["Dénes Kőnig"],"tags":["matching","classical_lemma","induction","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Классическая лемма: напрямую следует из Холла и индукции.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"classical_self_contained","label":"классическое самодостаточное доказательство","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Карточка содержит стандартное доказательство через теорему Холла и индукцию по степени.","notes":"Это самостоятельная лемма, вынесенная из доказательства теоремы Кёнига о рёберной раскраске двудольных графов.","audit_source":"manual-status-audit-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Регулярный двудольный граф","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный \\(d\\)-регулярный двудольный граф с \\(d\\ge 1\\). Тогда множество его рёбер можно разбить на \\(d\\) совершенных паросочетаний.","definition_ids":["bipartite_graph","degree","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-hall-induction","title":"Холл и индукция по степени","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","degree","matching"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть доли двудольного графа равны \\(X\\) и \\(Y\\). Так как граф \\(d\\)-регулярен и \\(d>0\\), подсчёт рёбер даёт \\(d|X|=d|Y|\\), значит \\(|X|=|Y|\\). Проверим условие Холла для доли \\(X\\). Для любого множества \\(S\\subseteq X\\) из него выходит ровно \\(d|S|\\) рёбер. Все эти рёбра входят в множество соседей \\(N(S)\\subseteq Y\\), а каждая вершина из \\(N(S)\\) инцидентна не более чем \\(d\\) таким рёбрам. Поэтому \\(d|S|\\le d|N(S)|\\), то есть \\(|S|\\le |N(S)|\\). По теореме Холла существует паросочетание, покрывающее всю долю \\(X\\); поскольку \\(|X|=|Y|\\), оно является совершенным. Удалим найденное совершенное паросочетание. Степень каждой вершины уменьшится ровно на 1, поэтому оставшийся граф будет \\((d-1)\\)-регулярным и двудольным. Повторяя рассуждение или применяя индукцию по \\(d\\), получаем разбиение всех рёбер исходного графа на \\(d\\) совершенных паросочетаний."}],"relations":[{"id":"rel-regular-bipartite-decomposition-konig-line-coloring","neighbor_id":"konig-line-coloring-bipartite","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-regular-bipartite-decomposition-hall-marriage","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p3-regular-bipartite-decomposition-toolchain","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-regular-bipartite-decomposition","neighbor_id":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"regular-bipartite-perfect-matching-decomposition разложение регулярного двудольного графа на совершенные паросочетания matching classical_lemma induction goal_construction dénes kőnig déneskőnig https://en.wikipedia.org/wiki/k%c5%91nig%27s_line_coloring_theorem misc src-wikipedia-konig-line-coloring standard_reference wikipedia, kőnig's line coloring theorem with_solution прочее dénes kőnig wikipedia, kőnig's line coloring theorem stmt-original регулярный двудольный граф ai_checked пусть \\(g\\) — конечный \\(d\\)-регулярный двудольный граф с \\(d\\ge 1\\). тогда множество его рёбер можно разбить на \\(d\\) совершенных паросочетаний. bipartite_graph degree matching idea-hall-then-remove найти совершенное паросочетание и удалить в регулярном двудольном графе условие холла следует из подсчёта рёбер из множества левой доли в его соседей. после удаления совершенного паросочетания граф остаётся регулярным меньшей степени. matching induction ai_checked sol-hall-induction холл и индукция по степени ai_checked bipartite_graph degree matching extremal_choice пусть доли двудольного графа равны \\(x\\) и \\(y\\). так как граф \\(d\\)-регулярен и \\(d>0\\), подсчёт рёбер даёт \\(d|x|=d|y|\\), значит \\(|x|=|y|\\). проверим условие холла для доли \\(x\\). для любого множества \\(s\\subseteq x\\) из него выходит ровно \\(d|s|\\) рёбер. все эти рёбра входят в множество соседей \\(n(s)\\subseteq y\\), а каждая вершина из \\(n(s)\\) инцидентна не более чем \\(d\\) таким рёбрам. поэтому \\(d|s|\\le d|n(s)|\\), то есть \\(|s|\\le |n(s)|\\). по теореме холла существует паросочетание, покрывающее всю долю \\(x\\); поскольку \\(|x|=|y|\\), оно является совершенным. удалим найденное совершенное паросочетание. степень каждой вершины уменьшится ровно на 1, поэтому оставшийся граф будет \\((d-1)\\)-регулярным и двудольным. повторяя рассуждение или применяя индукцию по \\(d\\), получаем разбиение всех рёбер исходного графа на \\(d\\) совершенных паросочетаний. regular-bipartite-perfect-matching-decomposition razlozhenie regulyarnogo dvudolnogo grafa na sovershennye parosochetaniya matching classical_lemma induction goal_construction dénes kőnig déneskőnig https://en.wikipedia.org/wiki/k%c5%91nig%27s_line_coloring_theorem misc src-wikipedia-konig-line-coloring standard_reference wikipedia, kőnig's line coloring theorem with_solution prochee dénes kőnig wikipedia, kőnig's line coloring theorem stmt-original regulyarnyy dvudolnyy graf ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy \\(d\\)-regulyarnyy dvudolnyy graf s \\(d\\ge 1\\). togda mnozhestvo ego reber mozhno razbit na \\(d\\) sovershennyh parosochetaniy. bipartite_graph degree matching idea-hall-then-remove nayti sovershennoe parosochetanie i udalit v regulyarnom dvudolnom grafe uslovie holla sleduet iz podscheta reber iz mnozhestva levoy doli v ego sosedey. posle udaleniya sovershennogo parosochetaniya graf ostaetsya regulyarnym menshey stepeni. matching induction ai_checked sol-hall-induction holl i induktsiya po stepeni ai_checked bipartite_graph degree matching extremal_choice pust doli dvudolnogo grafa ravny \\(x\\) i \\(y\\). tak kak graf \\(d\\)-regulyaren i \\(d>0\\), podschet reber daet \\(d|x|=d|y|\\), znachit \\(|x|=|y|\\). proverim uslovie holla dlya doli \\(x\\). dlya lyubogo mnozhestva \\(s\\subseteq x\\) iz nego vyhodit rovno \\(d|s|\\) reber. vse eti rebra vhodyat v mnozhestvo sosedey \\(n(s)\\subseteq y\\), a kazhdaya vershina iz \\(n(s)\\) intsidentna ne bolee chem \\(d\\) takim rebram. poetomu \\(d|s|\\le d|n(s)|\\), to est \\(|s|\\le |n(s)|\\). po teoreme holla suschestvuet parosochetanie, pokryvayuschee vsyu dolyu \\(x\\); poskolku \\(|x|=|y|\\), ono yavlyaetsya sovershennym. udalim naydennoe sovershennoe parosochetanie. stepen kazhdoy vershiny umenshitsya rovno na 1, poetomu ostavshiysya graf budet \\((d-1)\\)-regulyarnym i dvudolnym. povtoryaya rassuzhdenie ili primenyaya induktsiyu po \\(d\\), poluchaem razbienie vseh reber ishodnogo grafa na \\(d\\) sovershennyh parosochetaniy.","source_keys":["misc"]}
{"id":"robbins-strong-orientation-theorem","title":"Теорема Роббинса о сильной ориентации графа без мостов","path":"data\\problems\\classical\\robbins-strong-orientation-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/robbins-strong-orientation-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#robbins-strong-orientation-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Robbins' theorem"],"year":"","type":"theorem","authors":["Herbert Robbins"],"tags":["connectivity","classical_theorem","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":7,"comment":"Классический критерий сильной ориентируемости; доказательство через уши удобно для олимпиадного применения.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"classical_self_contained","label":"классическое самодостаточное доказательство","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"Карточка содержит самодостаточное доказательство через добавление ушей.","notes":"Внешняя тяжёлая теорема не используется; сама карточка является локальной теоремой-инструментом.","audit_source":"manual-status-audit-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Конечный связный неориентированный граф можно ориентировать так, чтобы получился сильно связный орграф, тогда и только тогда, когда в исходном графе нет мостов.","definition_ids":["connected_graph","directed_graph","path","bridge"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ear-decomposition","title":"Доказательство через добавление ушей","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","directed_graph","path","cycle","bridge"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Необходимость очевидна: если неориентированное ребро \\(e\\) было мостом, то после любой ориентации дуга, соответствующая \\(e\\), остается единственным переходом между двумя частями графа. В одну из сторон по этой дуге можно перейти только в одном направлении, поэтому сильной связности быть не может. Докажем достаточность. Пусть \\(G\\) связен и не имеет мостов. Начнем с любого цикла и ориентируем его циклически; полученный подграф сильно связен. Будем расширять уже построенный сильно связный ориентированный подграф \\(H\\). Если есть ребро с обоими концами в \\(H\\), его можно ориентировать произвольно: сильная связность не испортится. Если есть вершины вне \\(H\\), рассмотрим компоненту \\(K\\) графа \\(G-V(H)\\), смежную с \\(H\\). Так как мостов нет, эта компонента не может присоединяться к \\(H\\) единственным ребром: такое ребро было бы мостом. Значит, из \\(H\\) в \\(K\\) входят по крайней мере два реб…"}],"relations":[{"id":"rel-robbins-critical-bridgeless-criterion","neighbor_id":"edge-critical-bridgeless-graphs-give-critical-strong-orientations","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-robbins-tc-2022-bug-bridgeless-orientation","neighbor_id":"tc-2022-bug-one-way-doors-bridgeless-grid","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"robbins-strong-orientation-theorem теорема роббинса о сильной ориентации графа без мостов connectivity classical_theorem goal_characterization herbert robbins herbertrobbins https://en.wikipedia.org/wiki/robbins%27_theorem misc src-wikipedia-robbins-theorem standard_reference wikipedia, robbins' theorem with_solution прочее herbert robbins wikipedia, robbins' theorem stmt-original ai_checked конечный связный неориентированный граф можно ориентировать так, чтобы получился сильно связный орграф, тогда и только тогда, когда в исходном графе нет мостов. connected_graph directed_graph path bridge idea-ears-orient-one-way ориентировать цикл и последовательно добавлять уши цикл ориентируется по кругу. если уже ориентированная часть сильно связна, то новое ухо между двумя ее вершинами можно направить от одного конца к другому: до начала уха и от конца уха внутри старой части уже есть направленные пути. connectivity ai_checked sol-ear-decomposition доказательство через добавление ушей ai_checked connected_graph directed_graph path cycle bridge необходимость очевидна: если неориентированное ребро \\(e\\) было мостом, то после любой ориентации дуга, соответствующая \\(e\\), остается единственным переходом между двумя частями графа. в одну из сторон по этой дуге можно перейти только в одном направлении, поэтому сильной связности быть не может. докажем достаточность. пусть \\(g\\) связен и не имеет мостов. начнем с любого цикла и ориентируем его циклически; полученный подграф сильно связен. будем расширять уже построенный сильно связный ориентированный подграф \\(h\\). если есть ребро с обоими концами в \\(h\\), его можно ориентировать произвольно: сильная связность не испортится. если есть вершины вне \\(h\\), рассмотрим компоненту \\(k\\) графа \\(g-v(h)\\), смежную с \\(h\\). так как мостов нет, эта компонента не может присоединяться к \\(h\\) единственным ребром: такое ребро было бы мостом. значит, из \\(h\\) в \\(k\\) входят по крайней мере два реб… robbins-strong-orientation-theorem teorema robbinsa o silnoy orientatsii grafa bez mostov connectivity classical_theorem goal_characterization herbert robbins herbertrobbins https://en.wikipedia.org/wiki/robbins%27_theorem misc src-wikipedia-robbins-theorem standard_reference wikipedia, robbins' theorem with_solution prochee herbert robbins wikipedia, robbins' theorem stmt-original ai_checked konechnyy svyaznyy neorientirovannyy graf mozhno orientirovat tak, chtoby poluchilsya silno svyaznyy orgraf, togda i tolko togda, kogda v ishodnom grafe net mostov. connected_graph directed_graph path bridge idea-ears-orient-one-way orientirovat tsikl i posledovatelno dobavlyat ushi tsikl orientiruetsya po krugu. esli uzhe orientirovannaya chast silno svyazna, to novoe uho mezhdu dvumya ee vershinami mozhno napravit ot odnogo kontsa k drugomu: do nachala uha i ot kontsa uha vnutri staroy chasti uzhe est napravlennye puti. connectivity ai_checked sol-ear-decomposition dokazatelstvo cherez dobavlenie ushey ai_checked connected_graph directed_graph path cycle bridge neobhodimost ochevidna: esli neorientirovannoe rebro \\(e\\) bylo mostom, to posle lyuboy orientatsii duga, sootvetstvuyuschaya \\(e\\), ostaetsya edinstvennym perehodom mezhdu dvumya chastyami grafa. v odnu iz storon po etoy duge mozhno pereyti tolko v odnom napravlenii, poetomu silnoy svyaznosti byt ne mozhet. dokazhem dostatochnost. pust \\(g\\) svyazen i ne imeet mostov. nachnem s lyubogo tsikla i orientiruem ego tsiklicheski; poluchennyy podgraf silno svyazen. budem rasshiryat uzhe postroennyy silno svyaznyy orientirovannyy podgraf \\(h\\). esli est rebro s oboimi kontsami v \\(h\\), ego mozhno orientirovat proizvolno: silnaya svyaznost ne isportitsya. esli est vershiny vne \\(h\\), rassmotrim komponentu \\(k\\) grafa \\(g-v(h)\\), smezhnuyu s \\(h\\). tak kak mostov net, eta komponenta ne mozhet prisoedinyatsya k \\(h\\) edinstvennym rebrom: takoe rebro bylo by mostom. znachit, iz \\(h\\) v \\(k\\) vhodyat po krayney mere dva reb…","source_keys":["misc"]}
{"id":"round-robin-winner-count-hall-lemma","title":"Число разных победителей в произвольном наборе дней кругового турнира","path":"data\\problems\\classical\\round-robin-winner-count-hall-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/round-robin-winner-count-hall-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#round-robin-winner-count-hall-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 2012 B3, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["matching","tournaments","double_counting","goal_existence","classical_lemma"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":4,"comment":"Короткая, но самостоятельная лемма о расписании и паросочетаниях: она упаковывает нетривиальную нижнюю оценку соседства для любых выбранных дней, которая затем напрямую подает условие Холла.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агент high-reasoning extraction аудит","notes":"Извлечено из архива решений Putnam и развернуто самодостаточно.","audit_source":"agent-putnam-extraction-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-winner-count-days","title":"Лемма о числе победителей","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(2n\\) команд играют полный круговой турнир за \\(2n-1\\) дней: в каждый день каждая команда играет ровно одну игру, в каждой игре есть один победитель и один проигравший, а за весь турнир каждая пара команд встречается ровно один раз. Для произвольного множества \\(D\\) дней обозначим через \\(W(D)\\) множество команд, которые выиграли хотя бы одну игру в один из дней из \\(D\\). Тогда \\(|W(D)|\\ge |D|\\).","definition_ids":["matching","complete_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-one-factorization","title":"Ориентированная 1-факторизация","status":"ai_checked","text":"Пусть рёбра полного графа \\(K_{2n}\\) разбиты на \\(2n-1\\) совершенных паросочетаний \\(M_1,\\ldots,M_{2n-1}\\), и каждое ребро ориентировано. Для любого множества индексов \\(I\\) пусть \\(S(I)\\) — множество начальных вершин всех ориентированных рёбер, принадлежащих паросочетаниям \\(M_i\\) с \\(i\\in I\\). Тогда \\(|S(I)|\\ge |I|\\).","definition_ids":["complete_graph","matching","directed_graph","one_factorization"]}]},"solutions":[{"id":"sol-count-losses","title":"Подсчет поражений выбранной внешней команды","status":"ai_checked","definition_ids":["matching","complete_graph","directed_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмем произвольное множество \\(D\\) из \\(m\\) дней. При \\(m=0\\) утверждение пусто, поэтому считаем \\(1\\le m\\le 2n-1\\). Пусть \\(W=W(D)\\) — множество команд, которые хотя бы раз выиграли в эти дни. Предположим, что \\(|W|<m\\). Тогда \\(|W|<2n\\), так что существует команда \\(x\\), не входящая в \\(W\\). В каждый день из \\(D\\) команда \\(x\\) играла ровно одну игру. Она не могла выиграть такую игру, иначе входила бы в \\(W\\). Значит, в каждый из \\(m\\) выбранных дней команда \\(x\\) проиграла. Ее соперники в этих \\(m\\) играх попарно различны, потому что в полном круговом турнире команда \\(x\\) встречается с каждой другой командой не более одного раза. Каждый из этих соперников выиграл соответствующую игру, а значит принадлежит \\(W\\). Получается, что в \\(W\\) лежат по крайней мере \\(m\\) различных команд, противоречие с \\(|W|<m\\). Следовательно, \\(|W(D)|\\ge |D|\\). Графовая формулировка получается тем же д…"}],"relations":[{"id":"rel-winner-count-lemma-putnam-2012-b3-prerequisite","neighbor_id":"putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-hall-marriage-neighborhood","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-imo-1998-one-factorization-scheduling","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-winner-count-lemma-all-union-1987-tournament-loss-counting","neighbor_id":"all-union-1987-final-9-tournament-score-squares","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-imc2011-hall-applications","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2b-tripartite-three-quarter-perfect-cover","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"round-robin-winner-count-hall-lemma число разных победителей в произвольном наборе дней кругового турнира matching tournaments double_counting goal_existence classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2012.pdf misc putnam 2012 b3, архивный источник src-putnam-2012-b3-kedlaya with_solution прочее ? putnam 2012 b3, архивный источник stmt-winner-count-days лемма о числе победителей ai_checked пусть \\(2n\\) команд играют полный круговой турнир за \\(2n-1\\) дней: в каждый день каждая команда играет ровно одну игру, в каждой игре есть один победитель и один проигравший, а за весь турнир каждая пара команд встречается ровно один раз. для произвольного множества \\(d\\) дней обозначим через \\(w(d)\\) множество команд, которые выиграли хотя бы одну игру в один из дней из \\(d\\). тогда \\(|w(d)|\\ge |d|\\). matching complete_graph stmt-one-factorization ориентированная 1-факторизация ai_checked пусть рёбра полного графа \\(k_{2n}\\) разбиты на \\(2n-1\\) совершенных паросочетаний \\(m_1,\\ldots,m_{2n-1}\\), и каждое ребро ориентировано. для любого множества индексов \\(i\\) пусть \\(s(i)\\) — множество начальных вершин всех ориентированных рёбер, принадлежащих паросочетаниям \\(m_i\\) с \\(i\\in i\\). тогда \\(|s(i)|\\ge |i|\\). complete_graph matching directed_graph one_factorization idea-outsider-loses-to-all-days команда вне множества победителей проигрывает каждый выбранный день если выбранные дни имеют слишком мало разных победителей, то найдется команда, которая не выигрывала ни в один из этих дней; она обязана проиграть в каждый выбранный день. tournaments double_counting ai_checked idea-distinct-opponents-force-count соперники в этих поражениях различны в полном круговом турнире одна и та же пара команд встречается только один раз, поэтому поражения одной команды в \\(m\\) выбранных дней происходят от \\(m\\) различных победителей. tournaments double_counting ai_checked idea-hall-neighborhood оценка является готовым условием холла если дни соединить с командами-победителями, то лемма утверждает, что любое множество левых вершин имеет не меньше соседей, чем его размер. matching graph_model ai_checked sol-count-losses подсчет поражений выбранной внешней команды ai_checked matching complete_graph directed_graph double_counting возьмем произвольное множество \\(d\\) из \\(m\\) дней. при \\(m=0\\) утверждение пусто, поэтому считаем \\(1\\le m\\le 2n-1\\). пусть \\(w=w(d)\\) — множество команд, которые хотя бы раз выиграли в эти дни. предположим, что \\(|w|<m\\). тогда \\(|w|<2n\\), так что существует команда \\(x\\), не входящая в \\(w\\). в каждый день из \\(d\\) команда \\(x\\) играла ровно одну игру. она не могла выиграть такую игру, иначе входила бы в \\(w\\). значит, в каждый из \\(m\\) выбранных дней команда \\(x\\) проиграла. ее соперники в этих \\(m\\) играх попарно различны, потому что в полном круговом турнире команда \\(x\\) встречается с каждой другой командой не более одного раза. каждый из этих соперников выиграл соответствующую игру, а значит принадлежит \\(w\\). получается, что в \\(w\\) лежат по крайней мере \\(m\\) различных команд, противоречие с \\(|w|<m\\). следовательно, \\(|w(d)|\\ge |d|\\). графовая формулировка получается тем же д… round-robin-winner-count-hall-lemma chislo raznyh pobediteley v proizvolnom nabore dney krugovogo turnira matching tournaments double_counting goal_existence classical_lemma archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/2012.pdf misc putnam 2012 b3, arhivnyy istochnik src-putnam-2012-b3-kedlaya with_solution prochee ? putnam 2012 b3, arhivnyy istochnik stmt-winner-count-days lemma o chisle pobediteley ai_checked pust \\(2n\\) komand igrayut polnyy krugovoy turnir za \\(2n-1\\) dney: v kazhdyy den kazhdaya komanda igraet rovno odnu igru, v kazhdoy igre est odin pobeditel i odin proigravshiy, a za ves turnir kazhdaya para komand vstrechaetsya rovno odin raz. dlya proizvolnogo mnozhestva \\(d\\) dney oboznachim cherez \\(w(d)\\) mnozhestvo komand, kotorye vyigrali hotya by odnu igru v odin iz dney iz \\(d\\). togda \\(|w(d)|\\ge |d|\\). matching complete_graph stmt-one-factorization orientirovannaya 1-faktorizatsiya ai_checked pust rebra polnogo grafa \\(k_{2n}\\) razbity na \\(2n-1\\) sovershennyh parosochetaniy \\(m_1,\\ldots,m_{2n-1}\\), i kazhdoe rebro orientirovano. dlya lyubogo mnozhestva indeksov \\(i\\) pust \\(s(i)\\) — mnozhestvo nachalnyh vershin vseh orientirovannyh reber, prinadlezhaschih parosochetaniyam \\(m_i\\) s \\(i\\in i\\). togda \\(|s(i)|\\ge |i|\\). complete_graph matching directed_graph one_factorization idea-outsider-loses-to-all-days komanda vne mnozhestva pobediteley proigryvaet kazhdyy vybrannyy den esli vybrannye dni imeyut slishkom malo raznyh pobediteley, to naydetsya komanda, kotoraya ne vyigryvala ni v odin iz etih dney; ona obyazana proigrat v kazhdyy vybrannyy den. tournaments double_counting ai_checked idea-distinct-opponents-force-count soperniki v etih porazheniyah razlichny v polnom krugovom turnire odna i ta zhe para komand vstrechaetsya tolko odin raz, poetomu porazheniya odnoy komandy v \\(m\\) vybrannyh dney proishodyat ot \\(m\\) razlichnyh pobediteley. tournaments double_counting ai_checked idea-hall-neighborhood otsenka yavlyaetsya gotovym usloviem holla esli dni soedinit s komandami-pobeditelyami, to lemma utverzhdaet, chto lyuboe mnozhestvo levyh vershin imeet ne menshe sosedey, chem ego razmer. matching graph_model ai_checked sol-count-losses podschet porazheniy vybrannoy vneshney komandy ai_checked matching complete_graph directed_graph double_counting vozmem proizvolnoe mnozhestvo \\(d\\) iz \\(m\\) dney. pri \\(m=0\\) utverzhdenie pusto, poetomu schitaem \\(1\\le m\\le 2n-1\\). pust \\(w=w(d)\\) — mnozhestvo komand, kotorye hotya by raz vyigrali v eti dni. predpolozhim, chto \\(|w|<m\\). togda \\(|w|<2n\\), tak chto suschestvuet komanda \\(x\\), ne vhodyaschaya v \\(w\\). v kazhdyy den iz \\(d\\) komanda \\(x\\) igrala rovno odnu igru. ona ne mogla vyigrat takuyu igru, inache vhodila by v \\(w\\). znachit, v kazhdyy iz \\(m\\) vybrannyh dney komanda \\(x\\) proigrala. ee soperniki v etih \\(m\\) igrah poparno razlichny, potomu chto v polnom krugovom turnire komanda \\(x\\) vstrechaetsya s kazhdoy drugoy komandoy ne bolee odnogo raza. kazhdyy iz etih sopernikov vyigral sootvetstvuyuschuyu igru, a znachit prinadlezhit \\(w\\). poluchaetsya, chto v \\(w\\) lezhat po krayney mere \\(m\\) razlichnyh komand, protivorechie s \\(|w|<m\\). sledovatelno, \\(|w(d)|\\ge |d|\\). grafovaya formulirovka poluchaetsya tem zhe d…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound","title":"Внешняя вершина кратчайшего нечётного цикла","path":"data\\problems\\classical\\shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Задача 116640, Всероссийская олимпиада 2010/11, заключительный этап, 10 класс"],"year":"","type":"lemma","authors":["Дольников В.Л."],"tags":["coloring","forbidden_clique","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Типичная лемма про минимальный нечётный цикл в \\(K_4\\)-free графе.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф без клики \\(K_4\\), а \\(C\\) — нечётный цикл минимальной длины в \\(G\\). Докажите, что любая вершина графа \\(G\\), не принадлежащая циклу \\(C\\), смежна не более чем с двумя вершинами цикла \\(C\\).","definition_ids":["simple_graph","cycle","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-odd-arc-or-k4","title":"Нечётная дуга или \\(K_4\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["clique","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть вершина \\(x\\notin V(C)\\) смежна с тремя различными вершинами \\(a,b,c\\) цикла \\(C\\). Эти вершины разбивают цикл \\(C\\) на три дуги; так как длина \\(C\\) нечётна, хотя бы одна из дуг имеет нечётную длину. Если длина этой дуги больше 1, то вместе с рёбрами от \\(x\\) к её концам она образует нечётный цикл меньшей длины, чем \\(C\\), что невозможно. Следовательно, единственный оставшийся случай — выбранная нечётная дуга имеет длину 1. Тогда \\(C\\) является треугольником, и вершина \\(x\\) смежна со всеми тремя его вершинами. Но это даёт клику \\(K_4\\), запрещённую по условию. Противоречие."}],"relations":[{"id":"rel-shortest-odd-cycle-neighbor-vosh-2010-11","neighbor_id":"vosh-2010-11-final-nonbreakable-company","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-color-extremal-brooks-shortest-odd-cycle","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-kolm-2006-triangle-free-shortest-odd-cycle","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-shortest-odd-cycle-k4-free","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound внешняя вершина кратчайшего нечётного цикла coloring forbidden_clique goal_exact_bound https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=116640 misc olympiad_archive src-problems-116640 with_solution дольников в.л. задача 116640, всероссийская олимпиада 2010/11, заключительный этап, 10 класс прочее дольников в.л. задача 116640, всероссийская олимпиада 2010/11, заключительный этап, 10 класс stmt-original-1 needs_human_review пусть \\(g\\) — простой граф без клики \\(k_4\\), а \\(c\\) — нечётный цикл минимальной длины в \\(g\\). докажите, что любая вершина графа \\(g\\), не принадлежащая циклу \\(c\\), смежна не более чем с двумя вершинами цикла \\(c\\). simple_graph cycle clique idea-three_neighbors_split_odd_cycle три соседа разбивают цикл на дуги если внешняя вершина имеет на кратчайшем нечётном цикле три соседа, то одна из дуг между соседями даёт меньший нечётный цикл; исключение возможно только для треугольника, но тогда возникает \\(k_4\\). minimal_counterexample forbidden_clique ai_checked sol-odd-arc-or-k4 нечётная дуга или \\(k_4\\) ai_checked clique cycle пусть вершина \\(x\\notin v(c)\\) смежна с тремя различными вершинами \\(a,b,c\\) цикла \\(c\\). эти вершины разбивают цикл \\(c\\) на три дуги; так как длина \\(c\\) нечётна, хотя бы одна из дуг имеет нечётную длину. если длина этой дуги больше 1, то вместе с рёбрами от \\(x\\) к её концам она образует нечётный цикл меньшей длины, чем \\(c\\), что невозможно. следовательно, единственный оставшийся случай — выбранная нечётная дуга имеет длину 1. тогда \\(c\\) является треугольником, и вершина \\(x\\) смежна со всеми тремя его вершинами. но это даёт клику \\(k_4\\), запрещённую по условию. противоречие. shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound vneshnyaya vershina kratchayshego nechetnogo tsikla coloring forbidden_clique goal_exact_bound https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=116640 misc olympiad_archive src-problems-116640 with_solution dolnikov v.l. zadacha 116640, vserossiyskaya olimpiada 2010/11, zaklyuchitelnyy etap, 10 klass prochee dolnikov v.l. zadacha 116640, vserossiyskaya olimpiada 2010/11, zaklyuchitelnyy etap, 10 klass stmt-original-1 needs_human_review pust \\(g\\) — prostoy graf bez kliki \\(k_4\\), a \\(c\\) — nechetnyy tsikl minimalnoy dliny v \\(g\\). dokazhite, chto lyubaya vershina grafa \\(g\\), ne prinadlezhaschaya tsiklu \\(c\\), smezhna ne bolee chem s dvumya vershinami tsikla \\(c\\). simple_graph cycle clique idea-three_neighbors_split_odd_cycle tri soseda razbivayut tsikl na dugi esli vneshnyaya vershina imeet na kratchayshem nechetnom tsikle tri soseda, to odna iz dug mezhdu sosedyami daet menshiy nechetnyy tsikl; isklyuchenie vozmozhno tolko dlya treugolnika, no togda voznikaet \\(k_4\\). minimal_counterexample forbidden_clique ai_checked sol-odd-arc-or-k4 nechetnaya duga ili \\(k_4\\) ai_checked clique cycle pust vershina \\(x\\notin v(c)\\) smezhna s tremya razlichnymi vershinami \\(a,b,c\\) tsikla \\(c\\). eti vershiny razbivayut tsikl \\(c\\) na tri dugi; tak kak dlina \\(c\\) nechetna, hotya by odna iz dug imeet nechetnuyu dlinu. esli dlina etoy dugi bolshe 1, to vmeste s rebrami ot \\(x\\) k ee kontsam ona obrazuet nechetnyy tsikl menshey dliny, chem \\(c\\), chto nevozmozhno. sledovatelno, edinstvennyy ostavshiysya sluchay — vybrannaya nechetnaya duga imeet dlinu 1. togda \\(c\\) yavlyaetsya treugolnikom, i vershina \\(x\\) smezhna so vsemi tremya ego vershinami. no eto daet kliku \\(k_4\\), zapreschennuyu po usloviyu. protivorechie.","source_keys":["misc"]}
{"id":"sim-k6-no-draw","title":"Игра SIM на \\(K_6\\): ничья невозможна","path":"data\\problems\\classical\\sim-k6-no-draw.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/sim-k6-no-draw.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#sim-k6-no-draw","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Gustavus J. Simmons, The Game of Sim"],"year":"","type":"classical_problem","authors":["Gustavus J. Simmons"],"tags":["ramsey_theory","coloring","forbidden_triangle","pigeonhole_principle","goal_impossibility","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":3,"comment":"Классическое игровое следствие элементарного случая теоремы Рамсея \\(R(3,3)=6\\). Карточка доказывает невозможность ничьей, но не утверждает, какой игрок выигрывает при оптимальной игре.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"полное ИИ-решение","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"Самодостаточное стандартное доказательство \\(R(3,3)\\le6\\) и явный перенос в правила игры.","notes":"Все шаги доказаны внутри карточки; внешняя вычислительная стратегия не используется.","audit_source":"manual-proof-review-2026-08-15"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-sim-no-draw","title":"В полной партии SIM обязательно появляется проигравший","status":"source_verified","text":"На рёбрах полного графа \\(K_6\\) два игрока по очереди красят по одному ещё не окрашенному ребру, каждый -- своим цветом. Игрок немедленно проигрывает, если после его хода три ребра его цвета образуют треугольник. Докажите, что ничья невозможна: не удастся окрасить все рёбра, не создав одноцветного треугольника.","definition_ids":["complete_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ramsey-r33","title":"Доказательство через шесть рёбер из одной вершины","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","triangle"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим, что все рёбра \\(K_6\\) удалось окрасить двумя цветами без одноцветного треугольника. Выберем вершину \\(v\\). Из неё выходят пять рёбер, поэтому по принципу Дирихле не менее трёх из них имеют один цвет. Пусть, например, рёбра \\(va,vb,vc\\) красные. Если хотя бы одно из рёбер \\(ab,bc,ca\\) красное, то оно вместе с двумя красными рёбрами из \\(v\\) образует красный треугольник. Если ни одно из них не красное, то все три рёбра \\(ab,bc,ca\\) синие и образуют синий треугольник. В обоих случаях получено противоречие. Значит, всякая двухцветная раскраска рёбер \\(K_6\\) содержит одноцветный треугольник. Теперь вернёмся к игре. Если бы никто не проиграл раньше, после окраски последнего ребра получилась бы полная двухцветная раскраска \\(K_6\\), а потому в ней имелся бы одноцветный треугольник. Рассмотрим первый ход, после которого такой треугольник появился. На этом ходу меняется только набор…"}],"relations":[{"id":"rel-simon-marais-sim-paired","neighbor_id":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"sim-k6-no-draw игра sim на \\(k_6\\): ничья невозможна ramsey_theory coloring forbidden_triangle pigeonhole_principle goal_impossibility goal_strategy_game book_chapter gustavus j. simmons gustavus j. simmons, the game of sim gustavusjsimmons https://www.taylorfrancis.com/chapters/edit/10.4324/9781315224169-11/game-sim-gustavus-simmons misc src-simmons-sim-game with_solution прочее gustavus j. simmons gustavus j. simmons, the game of sim stmt-sim-no-draw в полной партии sim обязательно появляется проигравший source_verified на рёбрах полного графа \\(k_6\\) два игрока по очереди красят по одному ещё не окрашенному ребру, каждый -- своим цветом. игрок немедленно проигрывает, если после его хода три ребра его цвета образуют треугольник. докажите, что ничья невозможна: не удастся окрасить все рёбра, не создав одноцветного треугольника. complete_graph triangle idea-r33-forces-loss последняя позиция была бы двухцветной раскраской \\(k_6\\) если бы партия дошла до полной раскраски без проигрыша, два цвета дали бы раскраску рёбер \\(k_6\\) без одноцветного треугольника. это невозможно по элементарному доказательству \\(r(3,3)\\le6\\). ramsey_theory forbidden_triangle ai_checked sol-ramsey-r33 доказательство через шесть рёбер из одной вершины ai_checked complete_graph triangle pigeonhole_principle предположим, что все рёбра \\(k_6\\) удалось окрасить двумя цветами без одноцветного треугольника. выберем вершину \\(v\\). из неё выходят пять рёбер, поэтому по принципу дирихле не менее трёх из них имеют один цвет. пусть, например, рёбра \\(va,vb,vc\\) красные. если хотя бы одно из рёбер \\(ab,bc,ca\\) красное, то оно вместе с двумя красными рёбрами из \\(v\\) образует красный треугольник. если ни одно из них не красное, то все три рёбра \\(ab,bc,ca\\) синие и образуют синий треугольник. в обоих случаях получено противоречие. значит, всякая двухцветная раскраска рёбер \\(k_6\\) содержит одноцветный треугольник. теперь вернёмся к игре. если бы никто не проиграл раньше, после окраски последнего ребра получилась бы полная двухцветная раскраска \\(k_6\\), а потому в ней имелся бы одноцветный треугольник. рассмотрим первый ход, после которого такой треугольник появился. на этом ходу меняется только набор… sim-k6-no-draw igra sim na \\(k_6\\): nichya nevozmozhna ramsey_theory coloring forbidden_triangle pigeonhole_principle goal_impossibility goal_strategy_game book_chapter gustavus j. simmons gustavus j. simmons, the game of sim gustavusjsimmons https://www.taylorfrancis.com/chapters/edit/10.4324/9781315224169-11/game-sim-gustavus-simmons misc src-simmons-sim-game with_solution prochee gustavus j. simmons gustavus j. simmons, the game of sim stmt-sim-no-draw v polnoy partii sim obyazatelno poyavlyaetsya proigravshiy source_verified na rebrah polnogo grafa \\(k_6\\) dva igroka po ocheredi krasyat po odnomu esche ne okrashennomu rebru, kazhdyy -- svoim tsvetom. igrok nemedlenno proigryvaet, esli posle ego hoda tri rebra ego tsveta obrazuyut treugolnik. dokazhite, chto nichya nevozmozhna: ne udastsya okrasit vse rebra, ne sozdav odnotsvetnogo treugolnika. complete_graph triangle idea-r33-forces-loss poslednyaya pozitsiya byla by dvuhtsvetnoy raskraskoy \\(k_6\\) esli by partiya doshla do polnoy raskraski bez proigrysha, dva tsveta dali by raskrasku reber \\(k_6\\) bez odnotsvetnogo treugolnika. eto nevozmozhno po elementarnomu dokazatelstvu \\(r(3,3)\\le6\\). ramsey_theory forbidden_triangle ai_checked sol-ramsey-r33 dokazatelstvo cherez shest reber iz odnoy vershiny ai_checked complete_graph triangle pigeonhole_principle predpolozhim, chto vse rebra \\(k_6\\) udalos okrasit dvumya tsvetami bez odnotsvetnogo treugolnika. vyberem vershinu \\(v\\). iz nee vyhodyat pyat reber, poetomu po printsipu dirihle ne menee treh iz nih imeyut odin tsvet. pust, naprimer, rebra \\(va,vb,vc\\) krasnye. esli hotya by odno iz reber \\(ab,bc,ca\\) krasnoe, to ono vmeste s dvumya krasnymi rebrami iz \\(v\\) obrazuet krasnyy treugolnik. esli ni odno iz nih ne krasnoe, to vse tri rebra \\(ab,bc,ca\\) sinie i obrazuyut siniy treugolnik. v oboih sluchayah polucheno protivorechie. znachit, vsyakaya dvuhtsvetnaya raskraska reber \\(k_6\\) soderzhit odnotsvetnyy treugolnik. teper vernemsya k igre. esli by nikto ne proigral ranshe, posle okraski poslednego rebra poluchilas by polnaya dvuhtsvetnaya raskraska \\(k_6\\), a potomu v ney imelsya by odnotsvetnyy treugolnik. rassmotrim pervyy hod, posle kotorogo takoy treugolnik poyavilsya. na etom hodu menyaetsya tolko nabor…","source_keys":["misc"]}
{"id":"stiebitz-double-critical-k5","title":"Теорема Штибица о дважды критических 5-хроматических графах","path":"data\\problems\\classical\\stiebitz-double-critical-k5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/stiebitz-double-critical-k5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#stiebitz-double-critical-k5","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Michael Stiebitz, K5 is the only double-critical 5-chromatic graph"],"year":"","type":"theorem","authors":["Michael Stiebitz"],"tags":["coloring","forbidden_clique","classical_theorem","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":11,"comment":"Короткая, но нетривиальная классификационная теорема о дважды критических 5-хроматических графах; нужна как инструмент для задачи ЮМТ 2015 GF P5.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-stiebitz-original","title":"Теорема Штибица","status":"ai_checked","text":"Если связный граф G имеет хроматическое число 5 и для каждого ребра xy выполнено \\(\\chi(G-\\{x,y\\})=3\\), то G изоморфен полному графу K₅.","definition_ids":["connected_graph","chromatic_number","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-stiebitz-proof","title":"Доказательство через общие окрестности и единственную 3-раскраску","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","chromatic_number","complete_graph","clique","independent_set"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть G — дважды критический 5-хроматический граф. Для ребра \\(e=xy\\) обозначим через \\(T(e)\\) множество общих соседей x и y. Сначала докажем ключевой факт. Возьмём любую 3-раскраску c графа \\(G-\\{x,y\\}\\). Продлим её до 5-раскраски h всего G, дав x цвет 4, а y цвет 5. Так как G не 4-раскрашиваем, в этой 5-раскраске для каждого цвета i найдётся вершина цвета i, имеющая соседей всех остальных четырёх цветов: иначе цвет i можно было бы слить с отсутствующим у него соседним цветом и получить 4-раскраску. Для i=1,2,3 такая вершина цвета i смежна и с x, и с y, потому что вершины цветов 4 и 5 единственны. Значит, в \\(T(e)\\) встречаются все три цвета раскраски c. Назовём граф с хроматическим числом не больше 3 однозначно 3-раскрашиваемым, если любые две его 3-раскраски задают одно и то же разбиение на цветовые классы. Построим максимальную цепочку индуцированных подграфов \\(H_1\\subset H_2\\subse…"}],"relations":[{"id":"rel-yumt-2023-granda-final-p6-stiebitz-double-critical-k5","neighbor_id":"yumt-2023-granda-final-problem6","direction":"backward","type":"false_friend","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2015-grand-final-p5-stiebitz-double-critical-k5","neighbor_id":"yumt-2015-grand-final-problem5","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"stiebitz-double-critical-k5 теорема штибица о дважды критических 5-хроматических графах coloring forbidden_clique classical_theorem goal_characterization https://kostochk.web.illinois.edu/math583/stiebitz.pdf michael stiebitz michael stiebitz, k5 is the only double-critical 5-chromatic graph michaelstiebitz misc paper src-stiebitz-double-critical-k5 with_solution прочее michael stiebitz michael stiebitz, k5 is the only double-critical 5-chromatic graph stmt-stiebitz-original теорема штибица ai_checked если связный граф g имеет хроматическое число 5 и для каждого ребра xy выполнено \\(\\chi(g-\\{x,y\\})=3\\), то g изоморфен полному графу k₅. connected_graph chromatic_number complete_graph idea-common-neighborhood-colors общие соседи концов ребра видят все три цвета если удалить концы ребра дважды критического 5-хроматического графа и раскрасить остаток в 3 цвета, то каждый из трёх цветов обязан встретиться среди общих соседей этих концов. coloring minimal_counterexample ai_checked idea-maximal-unique-3-colorable-subgraph максимальный однозначно 3-раскрашиваемый подграф максимальный индуцированный подграф с единственной 3-раскраской заставляет найти две внешние вершины, которые вместе с подходящим ребром образуют k₄. coloring extremal_choice ai_checked sol-stiebitz-proof доказательство через общие окрестности и единственную 3-раскраску ai_checked connected_graph chromatic_number complete_graph clique independent_set пусть g — дважды критический 5-хроматический граф. для ребра \\(e=xy\\) обозначим через \\(t(e)\\) множество общих соседей x и y. сначала докажем ключевой факт. возьмём любую 3-раскраску c графа \\(g-\\{x,y\\}\\). продлим её до 5-раскраски h всего g, дав x цвет 4, а y цвет 5. так как g не 4-раскрашиваем, в этой 5-раскраске для каждого цвета i найдётся вершина цвета i, имеющая соседей всех остальных четырёх цветов: иначе цвет i можно было бы слить с отсутствующим у него соседним цветом и получить 4-раскраску. для i=1,2,3 такая вершина цвета i смежна и с x, и с y, потому что вершины цветов 4 и 5 единственны. значит, в \\(t(e)\\) встречаются все три цвета раскраски c. назовём граф с хроматическим числом не больше 3 однозначно 3-раскрашиваемым, если любые две его 3-раскраски задают одно и то же разбиение на цветовые классы. построим максимальную цепочку индуцированных подграфов \\(h_1\\subset h_2\\subse… stiebitz-double-critical-k5 teorema shtibitsa o dvazhdy kriticheskih 5-hromaticheskih grafah coloring forbidden_clique classical_theorem goal_characterization https://kostochk.web.illinois.edu/math583/stiebitz.pdf michael stiebitz michael stiebitz, k5 is the only double-critical 5-chromatic graph michaelstiebitz misc paper src-stiebitz-double-critical-k5 with_solution prochee michael stiebitz michael stiebitz, k5 is the only double-critical 5-chromatic graph stmt-stiebitz-original teorema shtibitsa ai_checked esli svyaznyy graf g imeet hromaticheskoe chislo 5 i dlya kazhdogo rebra xy vypolneno \\(\\chi(g-\\{x,y\\})=3\\), to g izomorfen polnomu grafu k₅. connected_graph chromatic_number complete_graph idea-common-neighborhood-colors obschie sosedi kontsov rebra vidyat vse tri tsveta esli udalit kontsy rebra dvazhdy kriticheskogo 5-hromaticheskogo grafa i raskrasit ostatok v 3 tsveta, to kazhdyy iz treh tsvetov obyazan vstretitsya sredi obschih sosedey etih kontsov. coloring minimal_counterexample ai_checked idea-maximal-unique-3-colorable-subgraph maksimalnyy odnoznachno 3-raskrashivaemyy podgraf maksimalnyy indutsirovannyy podgraf s edinstvennoy 3-raskraskoy zastavlyaet nayti dve vneshnie vershiny, kotorye vmeste s podhodyaschim rebrom obrazuyut k₄. coloring extremal_choice ai_checked sol-stiebitz-proof dokazatelstvo cherez obschie okrestnosti i edinstvennuyu 3-raskrasku ai_checked connected_graph chromatic_number complete_graph clique independent_set pust g — dvazhdy kriticheskiy 5-hromaticheskiy graf. dlya rebra \\(e=xy\\) oboznachim cherez \\(t(e)\\) mnozhestvo obschih sosedey x i y. snachala dokazhem klyuchevoy fakt. vozmem lyubuyu 3-raskrasku c grafa \\(g-\\{x,y\\}\\). prodlim ee do 5-raskraski h vsego g, dav x tsvet 4, a y tsvet 5. tak kak g ne 4-raskrashivaem, v etoy 5-raskraske dlya kazhdogo tsveta i naydetsya vershina tsveta i, imeyuschaya sosedey vseh ostalnyh chetyreh tsvetov: inache tsvet i mozhno bylo by slit s otsutstvuyuschim u nego sosednim tsvetom i poluchit 4-raskrasku. dlya i=1,2,3 takaya vershina tsveta i smezhna i s x, i s y, potomu chto vershiny tsvetov 4 i 5 edinstvenny. znachit, v \\(t(e)\\) vstrechayutsya vse tri tsveta raskraski c. nazovem graf s hromaticheskim chislom ne bolshe 3 odnoznachno 3-raskrashivaemym, esli lyubye dve ego 3-raskraski zadayut odno i to zhe razbienie na tsvetovye klassy. postroim maksimalnuyu tsepochku indutsirovannyh podgrafov \\(h_1\\subset h_2\\subse…","source_keys":["misc"]}
{"id":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching","title":"Совершенное паросочетание на ненулевых троичных строках","path":"data\\problems\\classical\\ternary-nonzero-strings-perfect-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ternary-nonzero-strings-perfect-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ternary-nonzero-strings-perfect-matching","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 2025 A3, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["matching","graph_model","goal_existence","classical_lemma"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Короткая явная лемма о паросочетании: вся трудность в выборе первой ненулевой координаты, после чего паросочетание задаётся инволюцией.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агент high-reasoning extraction аудит","notes":"Извлечено из официального решения; лемма сверена с исходной карточкой.","audit_source":"manual-split-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-nonzero-ternary-strings","title":"Лемма о ненулевых троичных строках","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge1\\). Рассмотрим все строки длины \\(n\\) над алфавитом \\(\\{0,1,2\\}\\), кроме строки \\(0^n\\). Две строки считаются соседними, если они отличаются ровно в одной координате, причём значения в этой координате отличаются на 1. Тогда все ненулевые строки можно разбить на пары соседних строк.","definition_ids":["matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Граф ненулевых троичных строк","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G_n\\) — граф на множестве вершин \\(\\{0,1,2\\}^n\\setminus\\{0^n\\}\\), где две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие строки отличаются ровно в одной координате на 1. Докажите, что \\(G_n\\) имеет совершенное паросочетание.","definition_ids":["matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-first-nonzero-involution","title":"Явное разбиение на пары","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмём произвольную ненулевую строку \\(x=(x_1,\\ldots,x_n)\\). Пусть \\(i\\) — первая координата, в которой \\(x_i\\ne0\\). Тогда \\(x_i\\) равно либо 1, либо 2. Определим строку \\(f(x)\\): все координаты, кроме \\(i\\)-й, оставим прежними, а в \\(i\\)-й заменим 1 на 2 или 2 на 1. Строка \\(f(x)\\) тоже ненулевая. Она отличается от \\(x\\) ровно в одной координате, и значение в этой координате изменилось на 1, значит \\(x\\) и \\(f(x)\\) смежны в \\(G_n\\). Кроме того, у \\(f(x)\\) первая ненулевая координата снова равна \\(i\\), поскольку все координаты перед \\(i\\) остались нулевыми, а \\(i\\)-я осталась ненулевой. Поэтому повторное применение той же операции возвращает исходную строку: \\(f(f(x))=x\\). Наконец, \\(f(x)\\ne x\\) для любой ненулевой строки. Значит, \\(f\\) является инволюцией без неподвижных точек на множестве вершин \\(G_n\\). Разобьём вершины на двухэлементные орбиты \\(\\{x,f(x)\\}\\). Каждая такая орбита яв…"}],"relations":[{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-hall-explicit-vs-existence","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-imo-1994-pairing-strategy","neighbor_id":"imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-regular-bipartite-decomposition","neighbor_id":"regular-bipartite-perfect-matching-decomposition","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-simon-marais-2024-tripairable","neighbor_id":"simon-marais-2024-a2-tripairable-perfect-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-egmo-2022-domino-parity","neighbor_id":"egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-putnam-2025-a3-ternary-matching-lemma","neighbor_id":"putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching совершенное паросочетание на ненулевых троичных строках matching graph_model goal_existence classical_lemma https://maa.org/wp-content/uploads/2026/02/2025officialsolutions.pdf misc problem_and_solution putnam 2025 a3, архивный источник src-putnam-2025-a3-official with_solution прочее ? putnam 2025 a3, архивный источник stmt-nonzero-ternary-strings лемма о ненулевых троичных строках ai_checked пусть \\(n\\ge1\\). рассмотрим все строки длины \\(n\\) над алфавитом \\(\\{0,1,2\\}\\), кроме строки \\(0^n\\). две строки считаются соседними, если они отличаются ровно в одной координате, причём значения в этой координате отличаются на 1. тогда все ненулевые строки можно разбить на пары соседних строк. matching stmt-graph граф ненулевых троичных строк ai_checked пусть \\(g_n\\) — граф на множестве вершин \\(\\{0,1,2\\}^n\\setminus\\{0^n\\}\\), где две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие строки отличаются ровно в одной координате на 1. докажите, что \\(g_n\\) имеет совершенное паросочетание. matching idea-first-nonzero-coordinate первая ненулевая координата задаёт пару у ненулевой строки первая ненулевая координата равна 1 или 2; если заменить в ней 1 на 2 или 2 на 1, все предыдущие координаты останутся нулевыми, поэтому у партнёра первая ненулевая координата та же. matching ai_checked idea-fixed-point-free-involution инволюция без неподвижных точек даёт паросочетание операция смены 1 и 2 в первой ненулевой координате обратна сама себе и никогда не оставляет строку на месте. поэтому её орбиты — пары, а каждая пара соединена ребром графа. matching ai_checked sol-first-nonzero-involution явное разбиение на пары ai_checked matching invariant возьмём произвольную ненулевую строку \\(x=(x_1,\\ldots,x_n)\\). пусть \\(i\\) — первая координата, в которой \\(x_i\\ne0\\). тогда \\(x_i\\) равно либо 1, либо 2. определим строку \\(f(x)\\): все координаты, кроме \\(i\\)-й, оставим прежними, а в \\(i\\)-й заменим 1 на 2 или 2 на 1. строка \\(f(x)\\) тоже ненулевая. она отличается от \\(x\\) ровно в одной координате, и значение в этой координате изменилось на 1, значит \\(x\\) и \\(f(x)\\) смежны в \\(g_n\\). кроме того, у \\(f(x)\\) первая ненулевая координата снова равна \\(i\\), поскольку все координаты перед \\(i\\) остались нулевыми, а \\(i\\)-я осталась ненулевой. поэтому повторное применение той же операции возвращает исходную строку: \\(f(f(x))=x\\). наконец, \\(f(x)\\ne x\\) для любой ненулевой строки. значит, \\(f\\) является инволюцией без неподвижных точек на множестве вершин \\(g_n\\). разобьём вершины на двухэлементные орбиты \\(\\{x,f(x)\\}\\). каждая такая орбита яв… ternary-nonzero-strings-perfect-matching sovershennoe parosochetanie na nenulevyh troichnyh strokah matching graph_model goal_existence classical_lemma https://maa.org/wp-content/uploads/2026/02/2025officialsolutions.pdf misc problem_and_solution putnam 2025 a3, arhivnyy istochnik src-putnam-2025-a3-official with_solution prochee ? putnam 2025 a3, arhivnyy istochnik stmt-nonzero-ternary-strings lemma o nenulevyh troichnyh strokah ai_checked pust \\(n\\ge1\\). rassmotrim vse stroki dliny \\(n\\) nad alfavitom \\(\\{0,1,2\\}\\), krome stroki \\(0^n\\). dve stroki schitayutsya sosednimi, esli oni otlichayutsya rovno v odnoy koordinate, prichem znacheniya v etoy koordinate otlichayutsya na 1. togda vse nenulevye stroki mozhno razbit na pary sosednih strok. matching stmt-graph graf nenulevyh troichnyh strok ai_checked pust \\(g_n\\) — graf na mnozhestve vershin \\(\\{0,1,2\\}^n\\setminus\\{0^n\\}\\), gde dve vershiny smezhny togda i tolko togda, kogda sootvetstvuyuschie stroki otlichayutsya rovno v odnoy koordinate na 1. dokazhite, chto \\(g_n\\) imeet sovershennoe parosochetanie. matching idea-first-nonzero-coordinate pervaya nenulevaya koordinata zadaet paru u nenulevoy stroki pervaya nenulevaya koordinata ravna 1 ili 2; esli zamenit v ney 1 na 2 ili 2 na 1, vse predyduschie koordinaty ostanutsya nulevymi, poetomu u partnera pervaya nenulevaya koordinata ta zhe. matching ai_checked idea-fixed-point-free-involution involyutsiya bez nepodvizhnyh tochek daet parosochetanie operatsiya smeny 1 i 2 v pervoy nenulevoy koordinate obratna sama sebe i nikogda ne ostavlyaet stroku na meste. poetomu ee orbity — pary, a kazhdaya para soedinena rebrom grafa. matching ai_checked sol-first-nonzero-involution yavnoe razbienie na pary ai_checked matching invariant vozmem proizvolnuyu nenulevuyu stroku \\(x=(x_1,\\ldots,x_n)\\). pust \\(i\\) — pervaya koordinata, v kotoroy \\(x_i\\ne0\\). togda \\(x_i\\) ravno libo 1, libo 2. opredelim stroku \\(f(x)\\): vse koordinaty, krome \\(i\\)-y, ostavim prezhnimi, a v \\(i\\)-y zamenim 1 na 2 ili 2 na 1. stroka \\(f(x)\\) tozhe nenulevaya. ona otlichaetsya ot \\(x\\) rovno v odnoy koordinate, i znachenie v etoy koordinate izmenilos na 1, znachit \\(x\\) i \\(f(x)\\) smezhny v \\(g_n\\). krome togo, u \\(f(x)\\) pervaya nenulevaya koordinata snova ravna \\(i\\), poskolku vse koordinaty pered \\(i\\) ostalis nulevymi, a \\(i\\)-ya ostalas nenulevoy. poetomu povtornoe primenenie toy zhe operatsii vozvraschaet ishodnuyu stroku: \\(f(f(x))=x\\). nakonets, \\(f(x)\\ne x\\) dlya lyuboy nenulevoy stroki. znachit, \\(f\\) yavlyaetsya involyutsiey bez nepodvizhnyh tochek na mnozhestve vershin \\(g_n\\). razobem vershiny na dvuhelementnye orbity \\(\\{x,f(x)\\}\\). kazhdaya takaya orbita yav…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"third-fourth-distance-layer-bound","title":"Оценка четвертого слоя через третий слой расстояний","path":"data\\problems\\classical\\third-fourth-distance-layer-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/third-fourth-distance-layer-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#third-fourth-distance-layer-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Math StackExchange, A graph on the cities of a country","IMO 2013 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["connectivity","double_counting","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":10,"comment":"Самостоятельная графовая лемма из IMO Shortlist 2013 C6: короткая идея разбиения проста, но аккуратный учет свидетелей третьего слоя требует осторожности.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-distance-layer-bound","title":"Оценка четвертого слоя","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный неориентированный граф, а \\(M\\ge1\\) — целое число. Для вершины \\(x\\) обозначим \\(L_i(x)=\\{y\\in V(G):\\operatorname{dist}(x,y)=i\\}\\). Если для каждой вершины \\(x\\) выполнено \\(|L_3(x)|\\le M\\), то для каждой вершины \\(x\\) выполнено \\(|L_4(x)|\\le \\left\\lfloor (M+1)^2/4\\right\\rfloor\\).","definition_ids":["connected_graph","path"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-imo-2013-c6-m100-instance","title":"IMO 2013 C6: случай M=100","status":"ai_checked","text":"При \\(M=100\\): если в связном графе для каждой вершины на расстоянии 3 от неё находится не более 100 вершин, то на расстоянии 4 от любой вершины находится не более \\(\\left\\lfloor 101^2/4\\right\\rfloor=2550\\) вершин.","definition_ids":["connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-mse-neighbor-partition","title":"Подсчет через разбиение по соседям стартовой вершины","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["double_counting","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем вершину \\(v\\) и перечислим ее соседей как \\(v_1,\\dots,v_p\\). Построим разбиение слоя \\(L_4(v)\\). Идем по соседям в этом порядке; в класс \\(V_i\\) кладем те еще не распределенные вершины \\(w\\in L_4(v)\\), для которых существует кратчайший путь \\(v-v_i-a-b-w\\). Тогда каждая вершина из \\(L_4(v)\\) попадет ровно в один класс, поэтому \\(|L_4(v)|=\\sum_i |V_i|\\). Оставим только непустые классы и обозначим их размеры через \\(n_1,\\dots,n_q\\). Для фиксированного непустого класса \\(V_i\\) все его \\(n_i\\) вершин лежат на расстоянии 3 от соответствующего соседа \\(v_i\\). Кроме того, каждый другой непустой класс дает еще одну вершину на расстоянии 3 от \\(v_i\\): берем вершину \\(w\\) из этого другого класса и кратчайший путь от его первого соседа до \\(w\\); при переходе от расстояния не больше 2 от \\(v_i\\) к вершине \\(w\\), не принадлежащей классу \\(V_i\\), на этом пути возникает новый свидетель из…"}],"relations":[{"id":"rel-benjamini-tzalik-third-fourth-distance-layer-bound","neighbor_id":"benjamini-tzalik-shortest-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2024-shortest-paths-imo-2013-c6-layers","neighbor_id":"kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-2013-c6-imo-2021-c4-distance-cut-counting","neighbor_id":"imo-2021-c4-anisotropy-menger","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1994-c2-imo-2013-c6-extremal-propagation","neighbor_id":"imo-1994-c2-city-ages-harmonic-graph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2003-connectivity-imo-2013-c6","neighbor_id":"kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-after-tags-imo-2005-injection-imo-2013-layers","neighbor_id":"imo-2005-c3-black-paths-injection","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-paths-counting-imo-1996-c1-r73-imo-2013-c6-layers","neighbor_id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-apmo-2005-p4-imo-2013-c6-layer-frontier","neighbor_id":"apmo-2005-p4-firefighters-grid-spread","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"third-fourth-distance-layer-bound оценка четвертого слоя через третий слой расстояний connectivity double_counting goal_bound https://math.stackexchange.com/questions/863363/a-graph-on-the-cities-of-a-country https://www.imo-official.org/problems/imo2013sl.pdf imo 2013 shortlisted problems with solutions math stackexchange, a graph on the cities of a country misc official_archive reference src-imo-2013-shortlist src-mse-imo-2013-c6-layer-counting with_solution прочее ? math stackexchange, a graph on the cities of a country imo 2013 shortlisted problems with solutions stmt-distance-layer-bound оценка четвертого слоя ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный неориентированный граф, а \\(m\\ge1\\) — целое число. для вершины \\(x\\) обозначим \\(l_i(x)=\\{y\\in v(g):\\operatorname{dist}(x,y)=i\\}\\). если для каждой вершины \\(x\\) выполнено \\(|l_3(x)|\\le m\\), то для каждой вершины \\(x\\) выполнено \\(|l_4(x)|\\le \\left\\lfloor (m+1)^2/4\\right\\rfloor\\). connected_graph path stmt-imo-2013-c6-m100-instance imo 2013 c6: случай m=100 ai_checked при \\(m=100\\): если в связном графе для каждой вершины на расстоянии 3 от неё находится не более 100 вершин, то на расстоянии 4 от любой вершины находится не более \\(\\left\\lfloor 101^2/4\\right\\rfloor=2550\\) вершин. connected_graph path idea-partition-by-first-neighbor разбить четвертый слой по первому соседу фиксируем стартовую вершину \\(v\\). каждую вершину из \\(l_4(v)\\) приписываем одному соседу \\(v\\), через которого идет кратчайший путь длины 4; затем сравниваем размеры получившихся классов с третьими слоями вокруг этих соседей. connectivity double_counting ai_checked idea-quadratic-maximum максимум произведения при равных частях если непустых классов \\(q\\), то каждый из них имеет размер не больше \\(m+1-q\\), поэтому весь четвертый слой имеет размер не больше \\(q(m+1-q)\\), а максимум этой квадратичной функции равен \\(\\lfloor(m+1)^2/4\\rfloor\\). goal_bound ai_checked sol-mse-neighbor-partition подсчет через разбиение по соседям стартовой вершины ai_checked connected_graph path double_counting extremal_choice зафиксируем вершину \\(v\\) и перечислим ее соседей как \\(v_1,\\dots,v_p\\). построим разбиение слоя \\(l_4(v)\\). идем по соседям в этом порядке; в класс \\(v_i\\) кладем те еще не распределенные вершины \\(w\\in l_4(v)\\), для которых существует кратчайший путь \\(v-v_i-a-b-w\\). тогда каждая вершина из \\(l_4(v)\\) попадет ровно в один класс, поэтому \\(|l_4(v)|=\\sum_i |v_i|\\). оставим только непустые классы и обозначим их размеры через \\(n_1,\\dots,n_q\\). для фиксированного непустого класса \\(v_i\\) все его \\(n_i\\) вершин лежат на расстоянии 3 от соответствующего соседа \\(v_i\\). кроме того, каждый другой непустой класс дает еще одну вершину на расстоянии 3 от \\(v_i\\): берем вершину \\(w\\) из этого другого класса и кратчайший путь от его первого соседа до \\(w\\); при переходе от расстояния не больше 2 от \\(v_i\\) к вершине \\(w\\), не принадлежащей классу \\(v_i\\), на этом пути возникает новый свидетель из… third-fourth-distance-layer-bound otsenka chetvertogo sloya cherez tretiy sloy rasstoyaniy connectivity double_counting goal_bound https://math.stackexchange.com/questions/863363/a-graph-on-the-cities-of-a-country https://www.imo-official.org/problems/imo2013sl.pdf imo 2013 shortlisted problems with solutions math stackexchange, a graph on the cities of a country misc official_archive reference src-imo-2013-shortlist src-mse-imo-2013-c6-layer-counting with_solution prochee ? math stackexchange, a graph on the cities of a country imo 2013 shortlisted problems with solutions stmt-distance-layer-bound otsenka chetvertogo sloya ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy neorientirovannyy graf, a \\(m\\ge1\\) — tseloe chislo. dlya vershiny \\(x\\) oboznachim \\(l_i(x)=\\{y\\in v(g):\\operatorname{dist}(x,y)=i\\}\\). esli dlya kazhdoy vershiny \\(x\\) vypolneno \\(|l_3(x)|\\le m\\), to dlya kazhdoy vershiny \\(x\\) vypolneno \\(|l_4(x)|\\le \\left\\lfloor (m+1)^2/4\\right\\rfloor\\). connected_graph path stmt-imo-2013-c6-m100-instance imo 2013 c6: sluchay m=100 ai_checked pri \\(m=100\\): esli v svyaznom grafe dlya kazhdoy vershiny na rasstoyanii 3 ot nee nahoditsya ne bolee 100 vershin, to na rasstoyanii 4 ot lyuboy vershiny nahoditsya ne bolee \\(\\left\\lfloor 101^2/4\\right\\rfloor=2550\\) vershin. connected_graph path idea-partition-by-first-neighbor razbit chetvertyy sloy po pervomu sosedu fiksiruem startovuyu vershinu \\(v\\). kazhduyu vershinu iz \\(l_4(v)\\) pripisyvaem odnomu sosedu \\(v\\), cherez kotorogo idet kratchayshiy put dliny 4; zatem sravnivaem razmery poluchivshihsya klassov s tretimi sloyami vokrug etih sosedey. connectivity double_counting ai_checked idea-quadratic-maximum maksimum proizvedeniya pri ravnyh chastyah esli nepustyh klassov \\(q\\), to kazhdyy iz nih imeet razmer ne bolshe \\(m+1-q\\), poetomu ves chetvertyy sloy imeet razmer ne bolshe \\(q(m+1-q)\\), a maksimum etoy kvadratichnoy funktsii raven \\(\\lfloor(m+1)^2/4\\rfloor\\). goal_bound ai_checked sol-mse-neighbor-partition podschet cherez razbienie po sosedyam startovoy vershiny ai_checked connected_graph path double_counting extremal_choice zafiksiruem vershinu \\(v\\) i perechislim ee sosedey kak \\(v_1,\\dots,v_p\\). postroim razbienie sloya \\(l_4(v)\\). idem po sosedyam v etom poryadke; v klass \\(v_i\\) kladem te esche ne raspredelennye vershiny \\(w\\in l_4(v)\\), dlya kotoryh suschestvuet kratchayshiy put \\(v-v_i-a-b-w\\). togda kazhdaya vershina iz \\(l_4(v)\\) popadet rovno v odin klass, poetomu \\(|l_4(v)|=\\sum_i |v_i|\\). ostavim tolko nepustye klassy i oboznachim ih razmery cherez \\(n_1,\\dots,n_q\\). dlya fiksirovannogo nepustogo klassa \\(v_i\\) vse ego \\(n_i\\) vershin lezhat na rasstoyanii 3 ot sootvetstvuyuschego soseda \\(v_i\\). krome togo, kazhdyy drugoy nepustoy klass daet esche odnu vershinu na rasstoyanii 3 ot \\(v_i\\): berem vershinu \\(w\\) iz etogo drugogo klassa i kratchayshiy put ot ego pervogo soseda do \\(w\\); pri perehode ot rasstoyaniya ne bolshe 2 ot \\(v_i\\) k vershine \\(w\\), ne prinadlezhaschey klassu \\(v_i\\), na etom puti voznikaet novyy svidetel iz…","source_keys":["misc","imo"]}
{"id":"tournament-hamiltonian-path","title":"В каждом турнире есть гамильтонов путь","path":"data\\problems\\classical\\tournament-hamiltonian-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/tournament-hamiltonian-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tournament-hamiltonian-path","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Турнир (теория графов)","Math StackExchange, Prove that every tournament contains at least one Hamiltonian path"],"year":"","type":"theorem","authors":["László Rédei"],"tags":["tournaments","hamiltonian_cycles","induction","classical_theorem","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"local_olympiad","local_score":3,"comment":"Красивая базовая задача про турниры.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"В любом конечном турнире существует ориентированный путь, проходящий через все вершины. Турнир — это ориентированный граф, в котором между любой парой различных вершин проведена ровно одна стрелка в одну из двух сторон.","definition_ids":["directed_graph","path","tournament"]}]},"solutions":[{"id":"sol-insertion","title":"Индукция со вставкой","status":"ai_checked","definition_ids":["path","tournament"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем индукцией по числу вершин. Для \\(n=1\\) утверждение очевидно. Удалим вершину \\(x\\); по предположению индукции в оставшемся турнире есть ориентированный путь \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_{n-1}\\), проходящий через все оставшиеся вершины. Если \\(x\\to v_1\\), ставим \\(x\\) в начало пути. Если \\(v_{n-1}\\to x\\), ставим \\(x\\) в конец. Остаётся случай \\(v_1\\to x\\) и \\(x\\to v_{n-1}\\). Тогда при движении по последовательности \\(v_1,\\ldots,v_{n-1}\\) впервые встретится вершина \\(v_{i+1}\\), которую бьёт \\(x\\); для предыдущей вершины ещё было \\(v_i\\to x\\). Поэтому можно заменить фрагмент \\(v_i\\to v_{i+1}\\) на \\(v_i\\to x\\to v_{i+1}\\). Получаем ориентированный путь через все вершины турнира."},{"id":"sol-max-forward-edges","title":"Доказательство через максимум прямых рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["path","tournament"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим все линейные порядки вершин турнира и выберем такой, в котором число рёбер, направленных слева направо, максимально. Пусть это порядок v₁,...,vₙ. Если для некоторого i ребро между соседними вершинами направлено назад, то есть vᵢ₊₁→vᵢ, то перестановка этих двух соседей не меняет ориентацию остальных пар, а для самой пары (vᵢ,vᵢ₊₁) превращает одно «плохое» ребро в «хорошее». Число рёбер слева направо увеличится, что противоречит максимальности выбранного порядка. Значит для каждого i выполнено vᵢ→vᵢ₊₁, и сам порядок уже задаёт гамильтонов путь."}],"relations":[{"id":"rel-tournament-path-king","neighbor_id":"tournament-king-radius-two","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-tournament-path-usa-tst-2009-p6","neighbor_id":"usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-fyum-2011-finalb-p4-tournament-hamiltonian-pattern","neighbor_id":"fyum-2011-finalb-p4","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tournament-imo-2023-c7","neighbor_id":"imo-2023-c7-ferry-companies-hamiltonian-paths","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-tournament-path-kolm-2010","neighbor_id":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-hamiltonian-path-basic","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1996-a4-tournament-hamiltonian-path-order","neighbor_id":"putnam-1996-a4-oriented-triples-order","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-tournament-hamiltonian-path","neighbor_id":"unique-insertion-interval-oriented-triples","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-redei-odd-hamiltonian-paths-tournament-hamiltonian-path","neighbor_id":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"tournament-hamiltonian-path в каждом турнире есть гамильтонов путь tournaments hamiltonian_cycles induction classical_theorem goal_existence https://math.stackexchange.com/questions/1682492/prove-that-every-tournament-contains-at-least-one-hamiltonian-path https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%bd%d0%b8%d1%80_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 lászló rédei lászlórédei math stackexchange, prove that every tournament contains at least one hamiltonian path misc reference src-mse-tournament-hamiltonian-forward-edges src-wikipedia-tournament with_solution прочее турнир (теория графов) lászló rédei турнир (теория графов) math stackexchange, prove that every tournament contains at least one hamiltonian path stmt-original-1 needs_review в любом конечном турнире существует ориентированный путь, проходящий через все вершины. турнир — это ориентированный граф, в котором между любой парой различных вершин проведена ровно одна стрелка в одну из двух сторон. directed_graph path tournament idea-insert-vertex вставка вершины в путь новая вершина вставляется в уже построенный гамильтонов путь в первое место, где направление ребра меняется. tournaments induction ai_checked idea-max-forward-edges-order порядок с максимумом рёбер слева направо если упорядочить вершины так, чтобы число рёбер, направленных слева направо, было максимальным, то соседние вершины уже обязаны быть ориентированы слева направо, иначе перестановка увеличила бы этот максимум. tournaments extremal_choice ai_checked sol-insertion индукция со вставкой ai_checked path tournament induction докажем индукцией по числу вершин. для \\(n=1\\) утверждение очевидно. удалим вершину \\(x\\); по предположению индукции в оставшемся турнире есть ориентированный путь \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_{n-1}\\), проходящий через все оставшиеся вершины. если \\(x\\to v_1\\), ставим \\(x\\) в начало пути. если \\(v_{n-1}\\to x\\), ставим \\(x\\) в конец. остаётся случай \\(v_1\\to x\\) и \\(x\\to v_{n-1}\\). тогда при движении по последовательности \\(v_1,\\ldots,v_{n-1}\\) впервые встретится вершина \\(v_{i+1}\\), которую бьёт \\(x\\); для предыдущей вершины ещё было \\(v_i\\to x\\). поэтому можно заменить фрагмент \\(v_i\\to v_{i+1}\\) на \\(v_i\\to x\\to v_{i+1}\\). получаем ориентированный путь через все вершины турнира. sol-max-forward-edges доказательство через максимум прямых рёбер ai_checked path tournament extremal_choice рассмотрим все линейные порядки вершин турнира и выберем такой, в котором число рёбер, направленных слева направо, максимально. пусть это порядок v₁,...,vₙ. если для некоторого i ребро между соседними вершинами направлено назад, то есть vᵢ₊₁→vᵢ, то перестановка этих двух соседей не меняет ориентацию остальных пар, а для самой пары (vᵢ,vᵢ₊₁) превращает одно «плохое» ребро в «хорошее». число рёбер слева направо увеличится, что противоречит максимальности выбранного порядка. значит для каждого i выполнено vᵢ→vᵢ₊₁, и сам порядок уже задаёт гамильтонов путь. tournament-hamiltonian-path v kazhdom turnire est gamiltonov put tournaments hamiltonian_cycles induction classical_theorem goal_existence https://math.stackexchange.com/questions/1682492/prove-that-every-tournament-contains-at-least-one-hamiltonian-path https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%bd%d0%b8%d1%80_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 lászló rédei lászlórédei math stackexchange, prove that every tournament contains at least one hamiltonian path misc reference src-mse-tournament-hamiltonian-forward-edges src-wikipedia-tournament with_solution prochee turnir (teoriya grafov) lászló rédei turnir (teoriya grafov) math stackexchange, prove that every tournament contains at least one hamiltonian path stmt-original-1 needs_review v lyubom konechnom turnire suschestvuet orientirovannyy put, prohodyaschiy cherez vse vershiny. turnir — eto orientirovannyy graf, v kotorom mezhdu lyuboy paroy razlichnyh vershin provedena rovno odna strelka v odnu iz dvuh storon. directed_graph path tournament idea-insert-vertex vstavka vershiny v put novaya vershina vstavlyaetsya v uzhe postroennyy gamiltonov put v pervoe mesto, gde napravlenie rebra menyaetsya. tournaments induction ai_checked idea-max-forward-edges-order poryadok s maksimumom reber sleva napravo esli uporyadochit vershiny tak, chtoby chislo reber, napravlennyh sleva napravo, bylo maksimalnym, to sosednie vershiny uzhe obyazany byt orientirovany sleva napravo, inache perestanovka uvelichila by etot maksimum. tournaments extremal_choice ai_checked sol-insertion induktsiya so vstavkoy ai_checked path tournament induction dokazhem induktsiey po chislu vershin. dlya \\(n=1\\) utverzhdenie ochevidno. udalim vershinu \\(x\\); po predpolozheniyu induktsii v ostavshemsya turnire est orientirovannyy put \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_{n-1}\\), prohodyaschiy cherez vse ostavshiesya vershiny. esli \\(x\\to v_1\\), stavim \\(x\\) v nachalo puti. esli \\(v_{n-1}\\to x\\), stavim \\(x\\) v konets. ostaetsya sluchay \\(v_1\\to x\\) i \\(x\\to v_{n-1}\\). togda pri dvizhenii po posledovatelnosti \\(v_1,\\ldots,v_{n-1}\\) vpervye vstretitsya vershina \\(v_{i+1}\\), kotoruyu bet \\(x\\); dlya predyduschey vershiny esche bylo \\(v_i\\to x\\). poetomu mozhno zamenit fragment \\(v_i\\to v_{i+1}\\) na \\(v_i\\to x\\to v_{i+1}\\). poluchaem orientirovannyy put cherez vse vershiny turnira. sol-max-forward-edges dokazatelstvo cherez maksimum pryamyh reber ai_checked path tournament extremal_choice rassmotrim vse lineynye poryadki vershin turnira i vyberem takoy, v kotorom chislo reber, napravlennyh sleva napravo, maksimalno. pust eto poryadok v₁,...,vₙ. esli dlya nekotorogo i rebro mezhdu sosednimi vershinami napravleno nazad, to est vᵢ₊₁→vᵢ, to perestanovka etih dvuh sosedey ne menyaet orientatsiyu ostalnyh par, a dlya samoy pary (vᵢ,vᵢ₊₁) prevraschaet odno «plohoe» rebro v «horoshee». chislo reber sleva napravo uvelichitsya, chto protivorechit maksimalnosti vybrannogo poryadka. znachit dlya kazhdogo i vypolneno vᵢ→vᵢ₊₁, i sam poryadok uzhe zadaet gamiltonov put.","source_keys":["misc"]}
{"id":"tournament-king-radius-two","title":"В турнире есть король радиуса 2","path":"data\\problems\\classical\\tournament-king-radius-two.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/tournament-king-radius-two.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tournament-king-radius-two","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Турнир (теория графов)"],"year":"","type":"lemma","authors":["Edmund Landau"],"tags":["tournaments","extremal_choice","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"local_olympiad","local_score":3,"comment":"Стандартный экстремальный выбор в турнирах.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_review","text":"В каждом конечном турнире существует вершина, из которой до любой другой вершины можно добраться по направлению стрелок не более чем за два шага.","definition_ids":["directed_graph","path","tournament","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-max-outdegree","title":"Доказательство максимальной степенью","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","outdegree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть x — вершина с максимальной исходящей степенью. Возьмем вершину y. Если x→y, все готово. Иначе y→x. Предположим, что нет z с x→z→y. Тогда для каждого исходящего соседа z вершины x имеем y→z. Значит y бьет x и всех исходящих соседей x, поэтому исходящая степень y больше исходящей степени x, противоречие максимальности x."}],"relations":[{"id":"rel-tournament-path-king","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_draft"},{"id":"rel-king-usa-tst-2009-p6","neighbor_id":"usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2006-max-cycle-triplets-tournament-king","neighbor_id":"cmo-2006-p4-max-cycle-triplets-tournament","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2006-p4-tournament-king-outdegree","neighbor_id":"cmo-2006-p4-cycle-triplets-tournament","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tournament-king-imo-2010-c5","neighbor_id":"imo-2010-c5-bad-company-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2025-oriented-bound-tournament-king","neighbor_id":"utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2021-archipelago-tournament-king","neighbor_id":"utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"tournament-king-radius-two в турнире есть король радиуса 2 tournaments extremal_choice classical_theorem goal_exact_bound edmund landau edmundlandau https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%bd%d0%b8%d1%80_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 misc reference src-wikipedia-tournament with_solution прочее турнир (теория графов) edmund landau турнир (теория графов) stmt-original-1 needs_review в каждом конечном турнире существует вершина, из которой до любой другой вершины можно добраться по направлению стрелок не более чем за два шага. directed_graph path tournament degree idea-max-outdegree максимальная исходящая степень если вершина максимальной исходящей степени не достигает y за два шага, то y доминирует над всеми ее исходящими соседями и имеет большую исходящую степень. tournaments extremal_choice ai_checked sol-max-outdegree доказательство максимальной степенью ai_checked degree outdegree extremal_choice пусть x — вершина с максимальной исходящей степенью. возьмем вершину y. если x→y, все готово. иначе y→x. предположим, что нет z с x→z→y. тогда для каждого исходящего соседа z вершины x имеем y→z. значит y бьет x и всех исходящих соседей x, поэтому исходящая степень y больше исходящей степени x, противоречие максимальности x. tournament-king-radius-two v turnire est korol radiusa 2 tournaments extremal_choice classical_theorem goal_exact_bound edmund landau edmundlandau https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%bd%d0%b8%d1%80_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 misc reference src-wikipedia-tournament with_solution prochee turnir (teoriya grafov) edmund landau turnir (teoriya grafov) stmt-original-1 needs_review v kazhdom konechnom turnire suschestvuet vershina, iz kotoroy do lyuboy drugoy vershiny mozhno dobratsya po napravleniyu strelok ne bolee chem za dva shaga. directed_graph path tournament degree idea-max-outdegree maksimalnaya ishodyaschaya stepen esli vershina maksimalnoy ishodyaschey stepeni ne dostigaet y za dva shaga, to y dominiruet nad vsemi ee ishodyaschimi sosedyami i imeet bolshuyu ishodyaschuyu stepen. tournaments extremal_choice ai_checked sol-max-outdegree dokazatelstvo maksimalnoy stepenyu ai_checked degree outdegree extremal_choice pust x — vershina s maksimalnoy ishodyaschey stepenyu. vozmem vershinu y. esli x→y, vse gotovo. inache y→x. predpolozhim, chto net z s x→z→y. togda dlya kazhdogo ishodyaschego soseda z vershiny x imeem y→z. znachit y bet x i vseh ishodyaschih sosedey x, poetomu ishodyaschaya stepen y bolshe ishodyaschey stepeni x, protivorechie maksimalnosti x.","source_keys":["misc"]}
{"id":"tree-equivalent-properties","title":"Эквивалентные свойства деревьев","path":"data\\problems\\classical\\tree-equivalent-properties.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/tree-equivalent-properties.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tree-equivalent-properties","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Дерево (теория графов)","Math StackExchange, Every connected graph with v vertices and v-1 edges is a tree"],"year":"","type":"theorem","authors":[],"tags":["trees","induction","classical_theorem","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":2,"comment":"Базовый язык задач про деревья.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Для конечного простого графа следующие условия эквивалентны: граф связен и не имеет циклов; граф связен и имеет n-1 ребро, где n — число вершин; между любыми двумя вершинами существует ровно один простой путь.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","cycle","path","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-leaf-induction","title":"Доказательство через листья","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем эквивалентность трех свойств для конечного простого графа \\(G\\) на \\(n\\) вершинах: связность и отсутствие циклов; связность и \\(n-1\\) ребро; единственность простого пути между любыми двумя вершинами. Сначала пусть \\(G\\) связен и ацикличен. Если \\(n=1\\), ребер нет. При \\(n>1\\) возьмем максимальный простой путь \\(v_0v_1\\ldots v_k\\). Вершина \\(v_0\\) имеет степень 1: если у нее есть сосед не на этом пути, путь можно продолжить; если она соединена с какой-то \\(v_i\\), \\(i>1\\), возникает цикл. Тот же аргумент для другого конца пути показывает, что \\(v_k\\) тоже лист. Удалим лист \\(v_0\\) и единственное инцидентное ему ребро. Оставшийся граф по-прежнему связен: путь между двумя оставшимися вершинами не мог существенно использовать \\(v_0\\), потому что из листа нельзя выйти дальше. Циклов тоже не появилось. По индукции в оставшемся дереве \\(n-2\\) ребра, значит в \\(G\\) ровно \\(n-1\\) ребро. Т…"},{"id":"sol-minimal-connected-subgraph","title":"Доказательство через минимальный связный подграф","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим три свойства так: (1) граф связен и не имеет циклов; (2) граф связен и имеет \\(n-1\\) ребро; (3) между любыми двумя вершинами существует ровно один простой путь. Сначала докажем, что (1) влечёт (2). В конечном связном ациклическом графе с \\(n>1\\) есть лист: возьмём длиннейший простой путь, и у его конца не может быть второго соседа, иначе путь продолжился бы или появился бы цикл. Удаление листа сохраняет связность оставшегося графа и уменьшает число вершин и рёбер на 1. Индукция по \\(n\\) даёт, что рёбер ровно \\(n-1\\). Докажем, что (2) влечёт (1). Рассмотрим среди связных остовных подграфов графа \\(G\\) подграф \\(H\\) с минимальным числом рёбер. Он не содержит циклов, потому что из цикла можно удалить одно ребро и связность сохранится. Значит, по уже доказанному в \\(H\\) ровно \\(n-1\\) ребро. Но в \\(G\\) тоже ровно \\(n-1\\) ребро и \\(H\\subseteq G\\), поэтому \\(H=G\\), то есть \\(G\\) ацик…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-euler-formula","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-red-cells-2022","neighbor_id":"tc-2022-23-blue-red-cells-connectivity","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-coins-forest-2023","neighbor_id":"tc-2023-24-coins-pairing-weighing-forest","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-state-game-2018","neighbor_id":"tc-2018-19-simple-state-tree-game","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-connectivity-query-2015","neighbor_id":"tc-2015-16-connectivity-query-lower-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-distinct-rows-1980","neighbor_id":"tc-1980-distinct-rows-delete-column","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-even-board-tree-properties","neighbor_id":"vosh-2013-14-regional-even-rows-columns","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-usamo-1999-p1","neighbor_id":"usamo-1999-p1-checkers-board-graph-rank","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-usamo-2023-p3","neighbor_id":"usamo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-usajmo-2023-p3","neighbor_id":"usajmo-2023-p3-domino-slides-special-square-digraph","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-properties-cayley-prufer","neighbor_id":"cayley-prufer-labeled-trees","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-properties-near-perfect-matchings","neighbor_id":"tree-near-perfect-matchings-path-extremal","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1986-tree-distances-tree-properties","neighbor_id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1986-n1986-tree-properties","neighbor_id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2022-max-length-tree-tree-basics","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-baltic-way-2024-p6-leaf-induction","neighbor_id":"baltic-way-2024-p6-tree-edge-slide-labyrinth","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-spbmo-2018-8-p7-unique-path-spanning-tree","neighbor_id":"spbmo-2018-8-p7-k4-edge-spanning-tree-few-degree2","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-properties-spbmo-2019-metro-path-cover","neighbor_id":"spbmo-2019-9-11-p2-metro-cover-by-simple-paths","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-euler-trail-extension-center-forest","neighbor_id":"euler-trail-extension-center-forest","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-1999-grid-cycle-tree-properties","neighbor_id":"imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2023-tree-distance-tree-properties","neighbor_id":"imc-2023-day2-p8-tree-distance-wiener-harary","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-imo-2024-c8","neighbor_id":"imo-2024-c8-board-coloring-tree","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-imo-2019-c3-functional-digraph","neighbor_id":"imo-2019-c3-coin-process-digraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-imo-2004-c3-non-tree-lower-bound","neighbor_id":"imo-2004-c3-delete-edge-from-4cycle","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-2005-c2-tree-induction","neighbor_id":"imo-2005-c2-dynastic-vertices-forest","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-imo-2014-c9","neighbor_id":"imo-2014-c9-snail-circles-tree","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2004-tree-reconstruction-tree-basics","neighbor_id":"kolmogorov-2004-round1-higher-league-problem-3","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-tree-memo-2021-i2-forest-bound","neighbor_id":"memo-2021-i2-bishop-circuit-forest","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-tree-rmm-2023-spanning-exchange","neighbor_id":"rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-tree-kolm-2022-infinite-tree","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round2-high-colored-integers-infinite-tree","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-tree-kolm-2006-t-tetromino","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-2-super-league-problem-6","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-kolm-2006-wheel-spanning-tree-basics","neighbor_id":"kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2011-tree-cube-tree-equivalent","neighbor_id":"kolmogorov-2011-individual-olympiad-seniors-problem-7","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-equivalent-no-two-color-cycle-edge-bound","neighbor_id":"no-two-color-cycle-edge-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-offplan-imo-2020-c4-tree-properties","neighbor_id":"imo-2020-c4-fibonacci-difference-forest","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2008-r1-fl-hj-p1-tree-equivalent-properties","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-1-first-league-and-higher-junior-problem-1","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2015-spies-tree-equivalent-noncut-leaf","neighbor_id":"kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2022-r1-nonedges-tree-components","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round1-high-edge-count-permutation-nonedges","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-basics-to-colored-spanning-tree-exchange-lemma","neighbor_id":"colored-spanning-tree-good-family-exchange-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-properties-spbmo2024-metric-path-shortcuts","neighbor_id":"spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-tree-vs-independent-set-bound","neighbor_id":"tree-vs-independent-set-ramsey-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-tree-total-domination-two-thirds","neighbor_id":"tree-total-domination-two-thirds","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-utyum-2018-tree-cities-tree-properties","neighbor_id":"utyum-2018_lichol_8_tree_cities","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2025-important-cities-tree-properties","neighbor_id":"utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-vosh-2000-tree-leaves-bridge-proof","neighbor_id":"vosh-2000-01-final-tree-leaves-bridge-proof","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-vosh-2010-cement-routing","neighbor_id":"vosh-2010-11-regional-warehouses-cement-routing","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-vosh-2022-optimal-road-networks","neighbor_id":"vosh-2022-23-final-optimal-road-networks","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2014-gr2-p9-tree-leaf-induction","neighbor_id":"yumt-2014-grand-round2-problem9","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2025-unior-r1-p1-tree-equivalent-properties","neighbor_id":"yumt-2025-unior-round1-problem1","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"tree-equivalent-properties эквивалентные свойства деревьев trees induction classical_theorem goal_characterization https://math.stackexchange.com/questions/1986295/every-connected-graph-with-v-vertices-and-v-1-edges-is-a-tree https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%94%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%b2%d0%be_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 math stackexchange, every connected graph with v vertices and v-1 edges is a tree misc reference src-mse-tree-minimal-connected src-wikipedia-tree with_solution дерево (теория графов) прочее ? дерево (теория графов) math stackexchange, every connected graph with v vertices and v-1 edges is a tree stmt-original-1 ai_checked для конечного простого графа следующие условия эквивалентны: граф связен и не имеет циклов; граф связен и имеет n-1 ребро, где n — число вершин; между любыми двумя вершинами существует ровно один простой путь. simple_graph connected_graph cycle path tree idea-leaf-induction индукция по листу в каждом конечном дереве с хотя бы двумя вершинами есть лист; удаление листа сохраняет структуру дерева. trees induction ai_checked idea-minimal-connected-subgraph минимальный связный подграф уже дерево если в связном подграфе нельзя удалить ни одного ребра без потери связности, то цикла в нём быть не может: ребро цикла всегда можно выбросить. trees extremal_choice ai_checked sol-leaf-induction доказательство через листья ai_checked connected_graph path cycle tree induction delete_to_simplify докажем эквивалентность трех свойств для конечного простого графа \\(g\\) на \\(n\\) вершинах: связность и отсутствие циклов; связность и \\(n-1\\) ребро; единственность простого пути между любыми двумя вершинами. сначала пусть \\(g\\) связен и ацикличен. если \\(n=1\\), ребер нет. при \\(n>1\\) возьмем максимальный простой путь \\(v_0v_1\\ldots v_k\\). вершина \\(v_0\\) имеет степень 1: если у нее есть сосед не на этом пути, путь можно продолжить; если она соединена с какой-то \\(v_i\\), \\(i>1\\), возникает цикл. тот же аргумент для другого конца пути показывает, что \\(v_k\\) тоже лист. удалим лист \\(v_0\\) и единственное инцидентное ему ребро. оставшийся граф по-прежнему связен: путь между двумя оставшимися вершинами не мог существенно использовать \\(v_0\\), потому что из листа нельзя выйти дальше. циклов тоже не появилось. по индукции в оставшемся дереве \\(n-2\\) ребра, значит в \\(g\\) ровно \\(n-1\\) ребро. т… sol-minimal-connected-subgraph доказательство через минимальный связный подграф ai_checked connected_graph path cycle tree induction extremal_choice delete_to_simplify обозначим три свойства так: (1) граф связен и не имеет циклов; (2) граф связен и имеет \\(n-1\\) ребро; (3) между любыми двумя вершинами существует ровно один простой путь. сначала докажем, что (1) влечёт (2). в конечном связном ациклическом графе с \\(n>1\\) есть лист: возьмём длиннейший простой путь, и у его конца не может быть второго соседа, иначе путь продолжился бы или появился бы цикл. удаление листа сохраняет связность оставшегося графа и уменьшает число вершин и рёбер на 1. индукция по \\(n\\) даёт, что рёбер ровно \\(n-1\\). докажем, что (2) влечёт (1). рассмотрим среди связных остовных подграфов графа \\(g\\) подграф \\(h\\) с минимальным числом рёбер. он не содержит циклов, потому что из цикла можно удалить одно ребро и связность сохранится. значит, по уже доказанному в \\(h\\) ровно \\(n-1\\) ребро. но в \\(g\\) тоже ровно \\(n-1\\) ребро и \\(h\\subseteq g\\), поэтому \\(h=g\\), то есть \\(g\\) ацик… tree-equivalent-properties ekvivalentnye svoystva derevev trees induction classical_theorem goal_characterization https://math.stackexchange.com/questions/1986295/every-connected-graph-with-v-vertices-and-v-1-edges-is-a-tree https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%94%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%b2%d0%be_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 math stackexchange, every connected graph with v vertices and v-1 edges is a tree misc reference src-mse-tree-minimal-connected src-wikipedia-tree with_solution derevo (teoriya grafov) prochee ? derevo (teoriya grafov) math stackexchange, every connected graph with v vertices and v-1 edges is a tree stmt-original-1 ai_checked dlya konechnogo prostogo grafa sleduyuschie usloviya ekvivalentny: graf svyazen i ne imeet tsiklov; graf svyazen i imeet n-1 rebro, gde n — chislo vershin; mezhdu lyubymi dvumya vershinami suschestvuet rovno odin prostoy put. simple_graph connected_graph cycle path tree idea-leaf-induction induktsiya po listu v kazhdom konechnom dereve s hotya by dvumya vershinami est list; udalenie lista sohranyaet strukturu dereva. trees induction ai_checked idea-minimal-connected-subgraph minimalnyy svyaznyy podgraf uzhe derevo esli v svyaznom podgrafe nelzya udalit ni odnogo rebra bez poteri svyaznosti, to tsikla v nem byt ne mozhet: rebro tsikla vsegda mozhno vybrosit. trees extremal_choice ai_checked sol-leaf-induction dokazatelstvo cherez listya ai_checked connected_graph path cycle tree induction delete_to_simplify dokazhem ekvivalentnost treh svoystv dlya konechnogo prostogo grafa \\(g\\) na \\(n\\) vershinah: svyaznost i otsutstvie tsiklov; svyaznost i \\(n-1\\) rebro; edinstvennost prostogo puti mezhdu lyubymi dvumya vershinami. snachala pust \\(g\\) svyazen i atsiklichen. esli \\(n=1\\), reber net. pri \\(n>1\\) vozmem maksimalnyy prostoy put \\(v_0v_1\\ldots v_k\\). vershina \\(v_0\\) imeet stepen 1: esli u nee est sosed ne na etom puti, put mozhno prodolzhit; esli ona soedinena s kakoy-to \\(v_i\\), \\(i>1\\), voznikaet tsikl. tot zhe argument dlya drugogo kontsa puti pokazyvaet, chto \\(v_k\\) tozhe list. udalim list \\(v_0\\) i edinstvennoe intsidentnoe emu rebro. ostavshiysya graf po-prezhnemu svyazen: put mezhdu dvumya ostavshimisya vershinami ne mog suschestvenno ispolzovat \\(v_0\\), potomu chto iz lista nelzya vyyti dalshe. tsiklov tozhe ne poyavilos. po induktsii v ostavshemsya dereve \\(n-2\\) rebra, znachit v \\(g\\) rovno \\(n-1\\) rebro. t… sol-minimal-connected-subgraph dokazatelstvo cherez minimalnyy svyaznyy podgraf ai_checked connected_graph path cycle tree induction extremal_choice delete_to_simplify oboznachim tri svoystva tak: (1) graf svyazen i ne imeet tsiklov; (2) graf svyazen i imeet \\(n-1\\) rebro; (3) mezhdu lyubymi dvumya vershinami suschestvuet rovno odin prostoy put. snachala dokazhem, chto (1) vlechet (2). v konechnom svyaznom atsiklicheskom grafe s \\(n>1\\) est list: vozmem dlinneyshiy prostoy put, i u ego kontsa ne mozhet byt vtorogo soseda, inache put prodolzhilsya by ili poyavilsya by tsikl. udalenie lista sohranyaet svyaznost ostavshegosya grafa i umenshaet chislo vershin i reber na 1. induktsiya po \\(n\\) daet, chto reber rovno \\(n-1\\). dokazhem, chto (2) vlechet (1). rassmotrim sredi svyaznyh ostovnyh podgrafov grafa \\(g\\) podgraf \\(h\\) s minimalnym chislom reber. on ne soderzhit tsiklov, potomu chto iz tsikla mozhno udalit odno rebro i svyaznost sohranitsya. znachit, po uzhe dokazannomu v \\(h\\) rovno \\(n-1\\) rebro. no v \\(g\\) tozhe rovno \\(n-1\\) rebro i \\(h\\subseteq g\\), poetomu \\(h=g\\), to est \\(g\\) atsik…","source_keys":["misc"]}
{"id":"tree-near-perfect-matchings-path-extremal","title":"Экстремальная лемма о почти совершенных паросочетаниях в дереве","path":"data\\problems\\classical\\tree-near-perfect-matchings-path-extremal.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/tree-near-perfect-matchings-path-extremal.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tree-near-perfect-matchings-path-extremal","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["УТЮМ 2025, командная олимпиада, 8 класс, 7. Толстые паросочетания в дереве на 80 вершинах (официальный архив)"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["trees","matching","induction","extremal_choice","goal_exact_bound","goal_characterization","classical_lemma"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Техническая индукционная лемма с точной оценкой и жёстким случаем равенства; по сложности соответствует сильной олимпиадной задаче про деревья и паросочетания.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"manual high-reasoning extraction аудит","notes":"Лемма извлечена из официального решения UTYUM и развёрнута в самостоятельное доказательство.","audit_source":"manual-high-reasoning-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge 2\\), а \\(T\\) — дерево на \\(2n\\) вершинах. Тогда число паросочетаний в \\(T\\), состоящих из \\(n-1\\) ребра, не превосходит \\(\\binom{n+1}{2}\\). Если \\(n\\ge 3\\) и равенство достигается, то \\(T\\) является путём. При этом путь на \\(2n\\) вершинах действительно имеет ровно \\(\\binom{n+1}{2}\\) таких паросочетаний.","definition_ids":["tree","matching","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-tree-near-perfect-matchings-extremal","title":"Почти совершенные паросочетания в дереве","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge 2\\), а \\(T\\) — конечное дерево на \\(2n\\) вершинах. Обозначим через \\(m_{n-1}(T)\\) число паросочетаний в \\(T\\), состоящих из \\(n-1\\) рёбер. Тогда \\(m_{n-1}(T)\\le \\binom{n+1}{2}\\). Если \\(n\\ge 3\\) и \\(m_{n-1}(T)=\\binom{n+1}{2}\\), то \\(T\\) является путём. Путь \\(P_{2n}\\) действительно достигает этой оценки.","definition_ids":["tree","matching","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-induction-bipartition","title":"Индукция и разбор двудольных долей","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","matching","path","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение индукцией по \\(n\\). При \\(n=2\\) паросочетание из одного ребра можно выбрать ровно \\(|E(T)|=3\\) способами, а \\(3=\\binom{3}{2}\\). Заметим также стандартный факт: в любом лесу совершенное паросочетание, если оно существует, единственно. Действительно, лист обязан быть покрыт единственным инцидентным ему ребром; удаляя оба конца этого ребра и повторяя рассуждение, получаем вынужденность всего паросочетания. Пусть теперь \\(n\\ge 3\\), и утверждение уже доказано для меньших значений параметра. Рассмотрим двудольное разбиение дерева \\(T\\) на доли \\(A\\) и \\(B\\). Каждое паросочетание из \\(n-1\\) ребра покрывает ровно \\(n-1\\) вершин каждой доли, поэтому возможны только размеры долей \\((n-1,n+1)\\), \\((n,n)\\) и \\((n+1,n-1)\\). Сначала пусть, например, \\(|A|=n+1\\), \\(|B|=n-1\\). Тогда всякая нужная выборка оставляет непокрытыми ровно две вершины из \\(A\\). После выбора этой пары оставш…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-properties-near-perfect-matchings","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-near-perfect-tree-matchings","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo2024-metric-path-shortcuts-tree-matching-extremal","neighbor_id":"spbmo-2024-9-11-metric-path-with-shortcuts","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-sums-2012-p7-minimum-tree-near-perfect-path","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-minimum","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-sums-2012-p7-tree-near-perfect-path","neighbor_id":"sums-2012-p7-tree-connected-subsets-extrema","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-near-perfect-matchings-path-utyum-2025-tree-matchings","neighbor_id":"utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"tree-near-perfect-matchings-path-extremal экстремальная лемма о почти совершенных паросочетаниях в дереве trees matching induction extremal_choice goal_exact_bound goal_characterization classical_lemma https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural64.zip misc official_archive src-utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path-official with_solution прочее утюм 2025, командная олимпиада, 8 класс, 7. толстые паросочетания в дереве на 80 вершинах (официальный архив) ? утюм 2025, командная олимпиада, 8 класс, 7. толстые паросочетания в дереве на 80 вершинах (официальный архив) stmt-original-1 ai_checked пусть \\(n\\ge 2\\), а \\(t\\) — дерево на \\(2n\\) вершинах. тогда число паросочетаний в \\(t\\), состоящих из \\(n-1\\) ребра, не превосходит \\(\\binom{n+1}{2}\\). если \\(n\\ge 3\\) и равенство достигается, то \\(t\\) является путём. при этом путь на \\(2n\\) вершинах действительно имеет ровно \\(\\binom{n+1}{2}\\) таких паросочетаний. tree matching path stmt-graph-tree-near-perfect-matchings-extremal почти совершенные паросочетания в дереве ai_checked пусть \\(n\\ge 2\\), а \\(t\\) — конечное дерево на \\(2n\\) вершинах. обозначим через \\(m_{n-1}(t)\\) число паросочетаний в \\(t\\), состоящих из \\(n-1\\) рёбер. тогда \\(m_{n-1}(t)\\le \\binom{n+1}{2}\\). если \\(n\\ge 3\\) и \\(m_{n-1}(t)=\\binom{n+1}{2}\\), то \\(t\\) является путём. путь \\(p_{2n}\\) действительно достигает этой оценки. tree matching path idea-fixed-uncovered-vertices фиксируем непокрытые вершины если в дереве или лесу заранее указать вершины, которые должны остаться непокрытыми, то оставшийся лес имеет не более одного совершенного паросочетания: лист, если он есть, вынуждает единственное ребро, после чего задача уменьшается. trees matching ai_checked idea-pendant-edge-induction индукция по висячему ребру в сбалансированном двудольном случае выбирается лист максимальной глубины. если у его соседа нет второй висячей ветки, удаление этого листа и его соседа даёт меньшее дерево, а паросочетания делятся на содержащие и не содержащие это висячее ребро. trees induction matching ai_checked sol-induction-bipartition индукция и разбор двудольных долей ai_checked tree matching path bipartite_graph induction extremal_choice delete_to_simplify докажем утверждение индукцией по \\(n\\). при \\(n=2\\) паросочетание из одного ребра можно выбрать ровно \\(|e(t)|=3\\) способами, а \\(3=\\binom{3}{2}\\). заметим также стандартный факт: в любом лесу совершенное паросочетание, если оно существует, единственно. действительно, лист обязан быть покрыт единственным инцидентным ему ребром; удаляя оба конца этого ребра и повторяя рассуждение, получаем вынужденность всего паросочетания. пусть теперь \\(n\\ge 3\\), и утверждение уже доказано для меньших значений параметра. рассмотрим двудольное разбиение дерева \\(t\\) на доли \\(a\\) и \\(b\\). каждое паросочетание из \\(n-1\\) ребра покрывает ровно \\(n-1\\) вершин каждой доли, поэтому возможны только размеры долей \\((n-1,n+1)\\), \\((n,n)\\) и \\((n+1,n-1)\\). сначала пусть, например, \\(|a|=n+1\\), \\(|b|=n-1\\). тогда всякая нужная выборка оставляет непокрытыми ровно две вершины из \\(a\\). после выбора этой пары оставш… tree-near-perfect-matchings-path-extremal ekstremalnaya lemma o pochti sovershennyh parosochetaniyah v dereve trees matching induction extremal_choice goal_exact_bound goal_characterization classical_lemma https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural64.zip misc official_archive src-utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path-official with_solution prochee utyum 2025, komandnaya olimpiada, 8 klass, 7. tolstye parosochetaniya v dereve na 80 vershinah (ofitsialnyy arhiv) ? utyum 2025, komandnaya olimpiada, 8 klass, 7. tolstye parosochetaniya v dereve na 80 vershinah (ofitsialnyy arhiv) stmt-original-1 ai_checked pust \\(n\\ge 2\\), a \\(t\\) — derevo na \\(2n\\) vershinah. togda chislo parosochetaniy v \\(t\\), sostoyaschih iz \\(n-1\\) rebra, ne prevoshodit \\(\\binom{n+1}{2}\\). esli \\(n\\ge 3\\) i ravenstvo dostigaetsya, to \\(t\\) yavlyaetsya putem. pri etom put na \\(2n\\) vershinah deystvitelno imeet rovno \\(\\binom{n+1}{2}\\) takih parosochetaniy. tree matching path stmt-graph-tree-near-perfect-matchings-extremal pochti sovershennye parosochetaniya v dereve ai_checked pust \\(n\\ge 2\\), a \\(t\\) — konechnoe derevo na \\(2n\\) vershinah. oboznachim cherez \\(m_{n-1}(t)\\) chislo parosochetaniy v \\(t\\), sostoyaschih iz \\(n-1\\) reber. togda \\(m_{n-1}(t)\\le \\binom{n+1}{2}\\). esli \\(n\\ge 3\\) i \\(m_{n-1}(t)=\\binom{n+1}{2}\\), to \\(t\\) yavlyaetsya putem. put \\(p_{2n}\\) deystvitelno dostigaet etoy otsenki. tree matching path idea-fixed-uncovered-vertices fiksiruem nepokrytye vershiny esli v dereve ili lesu zaranee ukazat vershiny, kotorye dolzhny ostatsya nepokrytymi, to ostavshiysya les imeet ne bolee odnogo sovershennogo parosochetaniya: list, esli on est, vynuzhdaet edinstvennoe rebro, posle chego zadacha umenshaetsya. trees matching ai_checked idea-pendant-edge-induction induktsiya po visyachemu rebru v sbalansirovannom dvudolnom sluchae vybiraetsya list maksimalnoy glubiny. esli u ego soseda net vtoroy visyachey vetki, udalenie etogo lista i ego soseda daet menshee derevo, a parosochetaniya delyatsya na soderzhaschie i ne soderzhaschie eto visyachee rebro. trees induction matching ai_checked sol-induction-bipartition induktsiya i razbor dvudolnyh doley ai_checked tree matching path bipartite_graph induction extremal_choice delete_to_simplify dokazhem utverzhdenie induktsiey po \\(n\\). pri \\(n=2\\) parosochetanie iz odnogo rebra mozhno vybrat rovno \\(|e(t)|=3\\) sposobami, a \\(3=\\binom{3}{2}\\). zametim takzhe standartnyy fakt: v lyubom lesu sovershennoe parosochetanie, esli ono suschestvuet, edinstvenno. deystvitelno, list obyazan byt pokryt edinstvennym intsidentnym emu rebrom; udalyaya oba kontsa etogo rebra i povtoryaya rassuzhdenie, poluchaem vynuzhdennost vsego parosochetaniya. pust teper \\(n\\ge 3\\), i utverzhdenie uzhe dokazano dlya menshih znacheniy parametra. rassmotrim dvudolnoe razbienie dereva \\(t\\) na doli \\(a\\) i \\(b\\). kazhdoe parosochetanie iz \\(n-1\\) rebra pokryvaet rovno \\(n-1\\) vershin kazhdoy doli, poetomu vozmozhny tolko razmery doley \\((n-1,n+1)\\), \\((n,n)\\) i \\((n+1,n-1)\\). snachala pust, naprimer, \\(|a|=n+1\\), \\(|b|=n-1\\). togda vsyakaya nuzhnaya vyborka ostavlyaet nepokrytymi rovno dve vershiny iz \\(a\\). posle vybora etoy pary ostavsh…","source_keys":["misc"]}
{"id":"tree-t-join-parity-lemma","title":"Лемма о T-соединении в дереве и нечётных степенях","path":"data\\problems\\classical\\tree-t-join-parity-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/tree-t-join-parity-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tree-t-join-parity-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Задача 64633, Всероссийская олимпиада 2013/14, региональный этап, 10-11 класс"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["trees","goal_existence","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":2,"comment":"Короткий стандартный инструмент о чётности степеней; в олимпиадных решениях обычно применяется как скрытая лемма про выбор рёбер с заданными нечётными вершинами.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный неориентированный граф, а \\(T\\) — чётное множество его вершин. Тогда существует множество рёбер \\(F\\subseteq E(G)\\), для которого вершины нечётной степени в подграфе \\((V(G),F)\\) — ровно вершины из \\(T\\). В частности, достаточно доказать это для дерева: в дереве можно попарно разбить вершины \\(T\\), соединить каждую пару единственным простым путём и взять симметрическую разность этих путей.","definition_ids":["connected_graph","degree","path","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-symmetric-difference-of-tree-paths","title":"Симметрическая разность путей","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","degree","path","tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала докажем утверждение для дерева \\(D\\). Так как \\(|T|\\) чётно, разобьём вершины множества \\(T\\) на пары \\(\\{a_1,b_1\\},\\ldots,\\{a_k,b_k\\}\\). Для каждой пары возьмём единственный простой путь \\(P_i\\) в дереве \\(D\\) между \\(a_i\\) и \\(b_i\\). Определим \\(F\\) как симметрическую разность множеств рёбер этих путей: ребро входит в \\(F\\) тогда и только тогда, когда оно лежит в нечётном числе путей \\(P_i\\). Посмотрим на степени вершин в подграфе с множеством рёбер \\(F\\) по модулю 2. Для одного пути \\(P_i\\) вклад в степень каждой внутренней вершины равен 2, то есть чётен, а вклад в степени концов \\(a_i\\) и \\(b_i\\) равен 1. При переходе к симметрической разности мы просто складываем эти вклады по модулю 2: если одно и то же ребро встречается в двух путях, его двойной вклад исчезает. Поэтому нечётность степени вершины в \\(F\\) равна числу раз, когда эта вершина была концом выбранных путей, взято…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-t-join-parity-vosh-2013-even-rows-columns","neighbor_id":"vosh-2013-14-regional-even-rows-columns","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"tree-t-join-parity-lemma лемма о t-соединении в дереве и нечётных степенях trees goal_existence goal_construction https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=64633 misc olympiad_archive src-problems-64633 with_solution задача 64633, всероссийская олимпиада 2013/14, региональный этап, 10-11 класс прочее ? задача 64633, всероссийская олимпиада 2013/14, региональный этап, 10-11 класс stmt-original-1 ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный неориентированный граф, а \\(t\\) — чётное множество его вершин. тогда существует множество рёбер \\(f\\subseteq e(g)\\), для которого вершины нечётной степени в подграфе \\((v(g),f)\\) — ровно вершины из \\(t\\). в частности, достаточно доказать это для дерева: в дереве можно попарно разбить вершины \\(t\\), соединить каждую пару единственным простым путём и взять симметрическую разность этих путей. connected_graph degree path tree idea-pair-and-xor-paths попарные пути и сложение по модулю 2 если сложить набор путей по модулю 2, то внутренняя вершина каждого пути меняет степень на 2, а концы пути — на 1. поэтому после попарного соединения вершин из \\(t\\) нечётность степени остаётся только в этих концах. trees ai_checked idea-use-spanning-tree связный граф сводится к дереву в связном графе можно выбрать остовное дерево. если нужный набор рёбер построен в нём, он автоматически является набором рёбер исходного графа. trees ai_checked sol-symmetric-difference-of-tree-paths симметрическая разность путей ai_checked connected_graph degree path tree сначала докажем утверждение для дерева \\(d\\). так как \\(|t|\\) чётно, разобьём вершины множества \\(t\\) на пары \\(\\{a_1,b_1\\},\\ldots,\\{a_k,b_k\\}\\). для каждой пары возьмём единственный простой путь \\(p_i\\) в дереве \\(d\\) между \\(a_i\\) и \\(b_i\\). определим \\(f\\) как симметрическую разность множеств рёбер этих путей: ребро входит в \\(f\\) тогда и только тогда, когда оно лежит в нечётном числе путей \\(p_i\\). посмотрим на степени вершин в подграфе с множеством рёбер \\(f\\) по модулю 2. для одного пути \\(p_i\\) вклад в степень каждой внутренней вершины равен 2, то есть чётен, а вклад в степени концов \\(a_i\\) и \\(b_i\\) равен 1. при переходе к симметрической разности мы просто складываем эти вклады по модулю 2: если одно и то же ребро встречается в двух путях, его двойной вклад исчезает. поэтому нечётность степени вершины в \\(f\\) равна числу раз, когда эта вершина была концом выбранных путей, взято… tree-t-join-parity-lemma lemma o t-soedinenii v dereve i nechetnyh stepenyah trees goal_existence goal_construction https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=64633 misc olympiad_archive src-problems-64633 with_solution zadacha 64633, vserossiyskaya olimpiada 2013/14, regionalnyy etap, 10-11 klass prochee ? zadacha 64633, vserossiyskaya olimpiada 2013/14, regionalnyy etap, 10-11 klass stmt-original-1 ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy neorientirovannyy graf, a \\(t\\) — chetnoe mnozhestvo ego vershin. togda suschestvuet mnozhestvo reber \\(f\\subseteq e(g)\\), dlya kotorogo vershiny nechetnoy stepeni v podgrafe \\((v(g),f)\\) — rovno vershiny iz \\(t\\). v chastnosti, dostatochno dokazat eto dlya dereva: v dereve mozhno poparno razbit vershiny \\(t\\), soedinit kazhduyu paru edinstvennym prostym putem i vzyat simmetricheskuyu raznost etih putey. connected_graph degree path tree idea-pair-and-xor-paths poparnye puti i slozhenie po modulyu 2 esli slozhit nabor putey po modulyu 2, to vnutrennyaya vershina kazhdogo puti menyaet stepen na 2, a kontsy puti — na 1. poetomu posle poparnogo soedineniya vershin iz \\(t\\) nechetnost stepeni ostaetsya tolko v etih kontsah. trees ai_checked idea-use-spanning-tree svyaznyy graf svoditsya k derevu v svyaznom grafe mozhno vybrat ostovnoe derevo. esli nuzhnyy nabor reber postroen v nem, on avtomaticheski yavlyaetsya naborom reber ishodnogo grafa. trees ai_checked sol-symmetric-difference-of-tree-paths simmetricheskaya raznost putey ai_checked connected_graph degree path tree snachala dokazhem utverzhdenie dlya dereva \\(d\\). tak kak \\(|t|\\) chetno, razobem vershiny mnozhestva \\(t\\) na pary \\(\\{a_1,b_1\\},\\ldots,\\{a_k,b_k\\}\\). dlya kazhdoy pary vozmem edinstvennyy prostoy put \\(p_i\\) v dereve \\(d\\) mezhdu \\(a_i\\) i \\(b_i\\). opredelim \\(f\\) kak simmetricheskuyu raznost mnozhestv reber etih putey: rebro vhodit v \\(f\\) togda i tolko togda, kogda ono lezhit v nechetnom chisle putey \\(p_i\\). posmotrim na stepeni vershin v podgrafe s mnozhestvom reber \\(f\\) po modulyu 2. dlya odnogo puti \\(p_i\\) vklad v stepen kazhdoy vnutrenney vershiny raven 2, to est cheten, a vklad v stepeni kontsov \\(a_i\\) i \\(b_i\\) raven 1. pri perehode k simmetricheskoy raznosti my prosto skladyvaem eti vklady po modulyu 2: esli odno i to zhe rebro vstrechaetsya v dvuh putyah, ego dvoynoy vklad ischezaet. poetomu nechetnost stepeni vershiny v \\(f\\) ravna chislu raz, kogda eta vershina byla kontsom vybrannyh putey, vzyato…","source_keys":["misc"]}
{"id":"tree-total-domination-two-thirds","title":"В каждом дереве есть полное доминирующее множество размера не больше \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\)","path":"data\\problems\\classical\\tree-total-domination-two-thirds.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/tree-total-domination-two-thirds.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tree-total-domination-two-thirds","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["УТЮМ 2018, личная олимпиада, 8 класс, 5. 1500 деревень, единственные пути и 1000 городов (официальный архив)"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["trees","induction","goal_bound","goal_existence","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":4,"comment":"Стандартный инструмент о полном доминировании в деревьях. Главная работа — выбрать правильный малый висячий фрагмент, чтобы бюджет \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\) сохранялся при индукции.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-tree-total-domination-two-thirds","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — дерево на \\(n\\ge 3\\) вершинах. Тогда существует множество \\(S\\) размера не больше \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\), такое что у каждой вершины \\(T\\) есть сосед в \\(S\\). Эквивалентно, полное доминирующее число любого дерева порядка хотя бы 3 не превосходит \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\).","definition_ids":["tree","path","dominating_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-longest-path-pruning","title":"Индукция со срезанием висячего фрагмента","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","path","dominating_set"],"standard_idea_ids":["induction","longest_path","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Доказываем утверждение индукцией по \\(n\\). Случаи \\(n=3\\) и \\(n=4\\) непосредственны: путь или звезда такого порядка полностью доминируются двумя соседними вершинами. В индукции используется стандартное утверждение о срезании. В каждом дереве \\(T\\) с хотя бы пятью вершинами можно найти связный висячий фрагмент \\(F\\), который встречается с остальным деревом не более чем по одной граничной вершине, и множество \\(A\\) внутри \\(F\\), возможно вместе с этой граничной вершиной, так что после удаления \\(F\\) остаётся меньшее дерево или один из малых конечных случаев; каждая вершина \\(F\\) и граничная вершина имеют соседа в \\(A\\cup D\\), если \\(D\\) — полное доминирующее множество оставшегося дерева; и \\(|A|\\le \\lfloor 2|F|/3\\rfloor\\), кроме случая, когда \\(F\\) состоит из двух листьев с общей опорной вершиной, где добавление опорной вершины стоит только одну вершину. Чтобы увидеть это, возьмём длинней…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2015-p3-dominating","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2015-p3-relation-minimal-dominating-set","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-total-domination-two-thirds-utyum-2018-tree-cities","neighbor_id":"utyum-2018_lichol_8_tree_cities","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-tree-total-domination-two-thirds","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"tree-total-domination-two-thirds в каждом дереве есть полное доминирующее множество размера не больше \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\) trees induction goal_bound goal_existence goal_construction https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc official_archive src-utyum-2018_lichol_8_tree_cities-official with_solution прочее утюм 2018, личная олимпиада, 8 класс, 5. 1500 деревень, единственные пути и 1000 городов (официальный архив) ? утюм 2018, личная олимпиада, 8 класс, 5. 1500 деревень, единственные пути и 1000 городов (официальный архив) stmt-tree-total-domination-two-thirds ai_checked пусть \\(t\\) — дерево на \\(n\\ge 3\\) вершинах. тогда существует множество \\(s\\) размера не больше \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\), такое что у каждой вершины \\(t\\) есть сосед в \\(s\\). эквивалентно, полное доминирующее число любого дерева порядка хотя бы 3 не превосходит \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\). tree path dominating_set idea-prune-near-longest-path-end срезать малый висячий фрагмент около конца длиннейшего пути рассматриваем первые несколько вершин у конца длиннейшего пути. локальные ветви там вынужденно мелкие, поэтому можно удалить висячий фрагмент размера хотя бы 2, а затем вернуть не более двух выбранных вершин, которые доминируют этот фрагмент и контролируют граничную вершину. trees induction extremal_choice ai_checked idea-two-per-three-budget тратить не больше двух выбранных вершин на три удалённые индукция устроена так, что каждое локальное удаление либо убирает хотя бы три вершины и затем добавляет две выбранные вершины, либо убирает хотя бы два листа около одной опорной вершины и затем добавляет только эту опорную вершину. неравенство с целой частью сохраняет границу \\(2n/3\\). goal_bound induction ai_checked sol-longest-path-pruning индукция со срезанием висячего фрагмента ai_checked tree path dominating_set induction longest_path delete_to_simplify доказываем утверждение индукцией по \\(n\\). случаи \\(n=3\\) и \\(n=4\\) непосредственны: путь или звезда такого порядка полностью доминируются двумя соседними вершинами. в индукции используется стандартное утверждение о срезании. в каждом дереве \\(t\\) с хотя бы пятью вершинами можно найти связный висячий фрагмент \\(f\\), который встречается с остальным деревом не более чем по одной граничной вершине, и множество \\(a\\) внутри \\(f\\), возможно вместе с этой граничной вершиной, так что после удаления \\(f\\) остаётся меньшее дерево или один из малых конечных случаев; каждая вершина \\(f\\) и граничная вершина имеют соседа в \\(a\\cup d\\), если \\(d\\) — полное доминирующее множество оставшегося дерева; и \\(|a|\\le \\lfloor 2|f|/3\\rfloor\\), кроме случая, когда \\(f\\) состоит из двух листьев с общей опорной вершиной, где добавление опорной вершины стоит только одну вершину. чтобы увидеть это, возьмём длинней… tree-total-domination-two-thirds v kazhdom dereve est polnoe dominiruyuschee mnozhestvo razmera ne bolshe \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\) trees induction goal_bound goal_existence goal_construction https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc official_archive src-utyum-2018_lichol_8_tree_cities-official with_solution prochee utyum 2018, lichnaya olimpiada, 8 klass, 5. 1500 dereven, edinstvennye puti i 1000 gorodov (ofitsialnyy arhiv) ? utyum 2018, lichnaya olimpiada, 8 klass, 5. 1500 dereven, edinstvennye puti i 1000 gorodov (ofitsialnyy arhiv) stmt-tree-total-domination-two-thirds ai_checked pust \\(t\\) — derevo na \\(n\\ge 3\\) vershinah. togda suschestvuet mnozhestvo \\(s\\) razmera ne bolshe \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\), takoe chto u kazhdoy vershiny \\(t\\) est sosed v \\(s\\). ekvivalentno, polnoe dominiruyuschee chislo lyubogo dereva poryadka hotya by 3 ne prevoshodit \\(\\lfloor 2n/3\\rfloor\\). tree path dominating_set idea-prune-near-longest-path-end srezat malyy visyachiy fragment okolo kontsa dlinneyshego puti rassmatrivaem pervye neskolko vershin u kontsa dlinneyshego puti. lokalnye vetvi tam vynuzhdenno melkie, poetomu mozhno udalit visyachiy fragment razmera hotya by 2, a zatem vernut ne bolee dvuh vybrannyh vershin, kotorye dominiruyut etot fragment i kontroliruyut granichnuyu vershinu. trees induction extremal_choice ai_checked idea-two-per-three-budget tratit ne bolshe dvuh vybrannyh vershin na tri udalennye induktsiya ustroena tak, chto kazhdoe lokalnoe udalenie libo ubiraet hotya by tri vershiny i zatem dobavlyaet dve vybrannye vershiny, libo ubiraet hotya by dva lista okolo odnoy opornoy vershiny i zatem dobavlyaet tolko etu opornuyu vershinu. neravenstvo s tseloy chastyu sohranyaet granitsu \\(2n/3\\). goal_bound induction ai_checked sol-longest-path-pruning induktsiya so srezaniem visyachego fragmenta ai_checked tree path dominating_set induction longest_path delete_to_simplify dokazyvaem utverzhdenie induktsiey po \\(n\\). sluchai \\(n=3\\) i \\(n=4\\) neposredstvenny: put ili zvezda takogo poryadka polnostyu dominiruyutsya dvumya sosednimi vershinami. v induktsii ispolzuetsya standartnoe utverzhdenie o srezanii. v kazhdom dereve \\(t\\) s hotya by pyatyu vershinami mozhno nayti svyaznyy visyachiy fragment \\(f\\), kotoryy vstrechaetsya s ostalnym derevom ne bolee chem po odnoy granichnoy vershine, i mnozhestvo \\(a\\) vnutri \\(f\\), vozmozhno vmeste s etoy granichnoy vershinoy, tak chto posle udaleniya \\(f\\) ostaetsya menshee derevo ili odin iz malyh konechnyh sluchaev; kazhdaya vershina \\(f\\) i granichnaya vershina imeyut soseda v \\(a\\cup d\\), esli \\(d\\) — polnoe dominiruyuschee mnozhestvo ostavshegosya dereva; i \\(|a|\\le \\lfloor 2|f|/3\\rfloor\\), krome sluchaya, kogda \\(f\\) sostoit iz dvuh listev s obschey opornoy vershinoy, gde dobavlenie opornoy vershiny stoit tolko odnu vershinu. chtoby uvidet eto, vozmem dlinney…","source_keys":["misc"]}
{"id":"tree-vs-independent-set-ramsey-bound","title":"Рамсеевская граница для дерева и независимого множества","path":"data\\problems\\classical\\tree-vs-independent-set-ramsey-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/tree-vs-independent-set-ramsey-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tree-vs-independent-set-ramsey-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["ФЮМ 2008, третий тур (a), задача 2"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["ramsey_theory","trees","induction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Классическая рамсеевская лемма с короткой индукцией по листу дерева; в олимпиадных задачах часто используется как готовый инструмент.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — произвольное фиксированное дерево на \\(n\\) вершинах, а \\(k\\) — положительное целое число. Тогда всякий простой граф на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах содержит либо копию дерева \\(T\\), либо независимое множество размера \\(k\\).","definition_ids":["simple_graph","tree","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-leaf-induction","title":"Индукция по числу вершин дерева","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","tree","independent_set"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение индукцией по \\(n\\). При \\(n=1\\) копия дерева из одной вершины есть в любом непустом графе, а при \\(k=1\\) независимое множество размера \\(1\\) тоже есть, так что базовые случаи очевидны. Пусть \\(n>1\\), и пусть граф \\(G\\) на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах не содержит независимого множества размера \\(k\\). Достаточно доказать, что он содержит заданное дерево \\(T\\). Удаляя из \\(G\\) рёбра, пока это возможно без появления независимого множества размера \\(k\\), получим остовный подграф \\(H\\), минимальный по рёбрам среди графов с \\(\\alpha(H)<k\\). В \\(H\\) есть независимое множество размера \\(k-1\\): если рёбер нет, это ясно из числа вершин; иначе для любого ребра \\(uv\\) граф \\(H-uv\\) уже имеет независимое множество \\(I\\) размера \\(k\\). В графе \\(H\\) множество \\(I\\) не независимо, и единственное добавленное обратно ребро внутри \\(I\\) — это \\(uv\\); поэтому \\(I\\setminus\\{u\\}\\) независимо…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-vs-independent-set-ramsey-bound-fyum-2008-tur3a-p2","neighbor_id":"fyum-2008-tur3a-p2","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-theorem-tree-vs-independent-set-bound","neighbor_id":"ramsey-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-tree-vs-independent-set-bound","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"tree-vs-independent-set-ramsey-bound рамсеевская граница для дерева и независимого множества ramsey_theory trees induction goal_exact_bound https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur3a.tex misc olympiad_archive src-fyum-2008-tur3a-p2-official with_solution прочее фюм 2008, третий тур (a), задача 2 ? фюм 2008, третий тур (a), задача 2 stmt-original-1 ai_checked пусть \\(t\\) — произвольное фиксированное дерево на \\(n\\) вершинах, а \\(k\\) — положительное целое число. тогда всякий простой граф на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах содержит либо копию дерева \\(t\\), либо независимое множество размера \\(k\\). simple_graph tree independent_set idea-critical-independent-set критическое удаление рёбер даёт почти максимальное независимое множество если граф не имеет независимого множества размера \\(k\\), можно удалить рёбра до минимального по включению подграфа с тем же свойством. удаление любого оставшегося ребра тогда создаёт независимое \\(k\\)-множество, а значит в исходном критическом графе есть независимое множество размера \\(k-1\\). ramsey_theory extremal_choice ai_checked idea-attach-leaf-from-independent-set лист достраивается из независимого множества после удаления независимого множества \\(m\\) размера \\(k-1\\) остаётся ровно достаточно вершин, чтобы по индукции найти дерево \\(t\\) без одного листа. любая вершина вне \\(m\\) смежна с некоторой вершиной из \\(m\\), иначе вместе с \\(m\\) она дала бы независимое множество размера \\(k\\). trees induction ai_checked sol-leaf-induction индукция по числу вершин дерева ai_checked simple_graph tree independent_set induction extremal_choice докажем утверждение индукцией по \\(n\\). при \\(n=1\\) копия дерева из одной вершины есть в любом непустом графе, а при \\(k=1\\) независимое множество размера \\(1\\) тоже есть, так что базовые случаи очевидны. пусть \\(n>1\\), и пусть граф \\(g\\) на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах не содержит независимого множества размера \\(k\\). достаточно доказать, что он содержит заданное дерево \\(t\\). удаляя из \\(g\\) рёбра, пока это возможно без появления независимого множества размера \\(k\\), получим остовный подграф \\(h\\), минимальный по рёбрам среди графов с \\(\\alpha(h)<k\\). в \\(h\\) есть независимое множество размера \\(k-1\\): если рёбер нет, это ясно из числа вершин; иначе для любого ребра \\(uv\\) граф \\(h-uv\\) уже имеет независимое множество \\(i\\) размера \\(k\\). в графе \\(h\\) множество \\(i\\) не независимо, и единственное добавленное обратно ребро внутри \\(i\\) — это \\(uv\\); поэтому \\(i\\setminus\\{u\\}\\) независимо… tree-vs-independent-set-ramsey-bound ramseevskaya granitsa dlya dereva i nezavisimogo mnozhestva ramsey_theory trees induction goal_exact_bound https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur3a.tex misc olympiad_archive src-fyum-2008-tur3a-p2-official with_solution prochee fyum 2008, tretiy tur (a), zadacha 2 ? fyum 2008, tretiy tur (a), zadacha 2 stmt-original-1 ai_checked pust \\(t\\) — proizvolnoe fiksirovannoe derevo na \\(n\\) vershinah, a \\(k\\) — polozhitelnoe tseloe chislo. togda vsyakiy prostoy graf na \\((n-1)(k-1)+1\\) vershinah soderzhit libo kopiyu dereva \\(t\\), libo nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(k\\). simple_graph tree independent_set idea-critical-independent-set kriticheskoe udalenie reber daet pochti maksimalnoe nezavisimoe mnozhestvo esli graf ne imeet nezavisimogo mnozhestva razmera \\(k\\), mozhno udalit rebra do minimalnogo po vklyucheniyu podgrafa s tem zhe svoystvom. udalenie lyubogo ostavshegosya rebra togda sozdaet nezavisimoe \\(k\\)-mnozhestvo, a znachit v ishodnom kriticheskom grafe est nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(k-1\\). ramsey_theory extremal_choice ai_checked idea-attach-leaf-from-independent-set list dostraivaetsya iz nezavisimogo mnozhestva posle udaleniya nezavisimogo mnozhestva \\(m\\) razmera \\(k-1\\) ostaetsya rovno dostatochno vershin, chtoby po induktsii nayti derevo \\(t\\) bez odnogo lista. lyubaya vershina vne \\(m\\) smezhna s nekotoroy vershinoy iz \\(m\\), inache vmeste s \\(m\\) ona dala by nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(k\\). trees induction ai_checked sol-leaf-induction induktsiya po chislu vershin dereva ai_checked simple_graph tree independent_set induction extremal_choice dokazhem utverzhdenie induktsiey po \\(n\\). pri \\(n=1\\) kopiya dereva iz odnoy vershiny est v lyubom nepustom grafe, a pri \\(k=1\\) nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(1\\) tozhe est, tak chto bazovye sluchai ochevidny. pust \\(n>1\\), i pust graf \\(g\\) na \\((n-1)(k-1)+1\\) vershinah ne soderzhit nezavisimogo mnozhestva razmera \\(k\\). dostatochno dokazat, chto on soderzhit zadannoe derevo \\(t\\). udalyaya iz \\(g\\) rebra, poka eto vozmozhno bez poyavleniya nezavisimogo mnozhestva razmera \\(k\\), poluchim ostovnyy podgraf \\(h\\), minimalnyy po rebram sredi grafov s \\(\\alpha(h)<k\\). v \\(h\\) est nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(k-1\\): esli reber net, eto yasno iz chisla vershin; inache dlya lyubogo rebra \\(uv\\) graf \\(h-uv\\) uzhe imeet nezavisimoe mnozhestvo \\(i\\) razmera \\(k\\). v grafe \\(h\\) mnozhestvo \\(i\\) ne nezavisimo, i edinstvennoe dobavlennoe obratno rebro vnutri \\(i\\) — eto \\(uv\\); poetomu \\(i\\setminus\\{u\\}\\) nezavisimo…","source_keys":["misc","fyum"]}
{"id":"turan-theorem","title":"Теорема Турана о максимуме рёбер без клики","path":"data\\problems\\classical\\turan-theorem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/turan-theorem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#turan-theorem","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Теорема Турана","И. В. Яковлев, Теорема Турана"],"year":"","type":"theorem","authors":["Pál Turán"],"tags":["extremal_graph_theory","forbidden_clique","symmetrization","classical_theorem","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":9,"comment":"Как полная теорема это скорее классический инструмент; частные случаи встречаются на школьных олимпиадах.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть n и r — натуральные числа. Среди всех простых неориентированных графов на n вершинах, в которых нет r+1 попарно соединенных вершин, наибольшее число ребер имеет полный r-дольный граф с долями, размеры которых отличаются не более чем на 1.","definition_ids":["simple_graph","clique","complete_graph","independent_set"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-independence-form","title":"Форма через отсутствие большой антиклики","status":"ai_checked","text":"Пусть m и k — натуральные числа, 1 ≤ k < m. Найдите наименьшее возможное число ребер в простом графе на m вершинах, в котором нет антиклики размера k+1, то есть среди любых k+1 вершин найдутся две соединенные ребром.","definition_ids":["simple_graph","independent_set","complete_graph","complement_graph"]},{"id":"stmt-complement-independence-form","title":"Эквивалентная форма через дополнительный граф","status":"ai_checked","text":"Если простой граф G на m вершинах имеет число независимости \\( \\alpha(G) \\le k \\), то минимальное число ребер достигается на графе, состоящем из k компонент связности почти равного размера, каждая из которых является кликой. Эквивалентно, дополнительный граф к G является графом Турана \\( T_k(m) \\).","definition_ids":["simple_graph","independent_set","complete_graph","complement_graph","connected_graph","clique"]},{"id":"stmt-flashlight-batteries-general","title":"Фонарик и батарейки, общий вариант","status":"ai_checked","text":"Есть m батареек, среди которых как минимум k+1 хорошая, но неизвестно, какие батарейки хорошие. Одна проверка состоит в том, что в фонарик вставляют две выбранные батарейки; фонарик светит только если обе хорошие. Нужно найти минимальное число заранее выбранных проверок, которое гарантирует свет независимо от расположения хороших батареек. В графовой модели батарейки являются вершинами, проверки — ребрами, а требование означает, что любое множество из k+1 хороших вершин содержит проверенное ребро.","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","complement_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-symmetrization","title":"Доказательство через симметризацию","status":"ai_checked","definition_ids":["clique","simple_graph","complete_graph","independent_set","complement_graph"],"standard_idea_ids":["symmetrization","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Среди всех \\(K_{r+1}\\)-свободных графов на данном множестве из \\(n\\) вершин выберем граф \\(G\\) с максимальным числом ребер, а среди таких графов — с максимальным значением \\(\\sum_v d(v)^2\\). Покажем, что \\(G\\) уже имеет турановскую структуру. Если \\(u\\) и \\(v\\) не смежны, то можно выполнить симметризацию Зыкова: удалить все ребра, инцидентные \\(u\\), и соединить \\(u\\) ровно с теми вершинами, с которыми соединена \\(v\\). Новая вершина \\(u\\) становится близнецом \\(v\\), а ребро \\(uv\\) не появляется, потому что \\(u\\notin N(v)\\). Запрещенная клика \\(K_{r+1}\\) при этом не возникает: всякая новая клика, содержащая \\(u\\), после замены \\(u\\) на \\(v\\) дала бы такую же клику в исходном графе. Число ребер меняется на \\(d(v)-d(u)\\). Поэтому в экстремальном графе не может быть несмежных вершин разных степеней: вершину меньшей степени можно было бы заменить копией вершины большей степени и получить боль…"}],"relations":[{"id":"rel-turan-mantel","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-turan-flashlight-batteries-2015","neighbor_id":"flashlight-batteries-tournament-cities-2015","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-erdos-gallai-path-turan","neighbor_id":"erdos-gallai-path-edge-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-smmc-2019-b3-turan-motzkin-straus","neighbor_id":"simon-marais-2019-b3-motzkin-straus-clique-labeling","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bondy-links-turan-r2-extremal","neighbor_id":"bondy-pancyclic-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2023-p5-turan-complement-cliques","neighbor_id":"cmo-2023-p5-cut-bound-independent-set","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2017-polyhedron-turan-weighted-forbidden-clique","neighbor_id":"vjimc-2017-cat1-p3-polyhedron-edge-products","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-audit-a-turan-imo-1991-sl9-short-external","neighbor_id":"imo-1991-sl9-min-degree-for-k6","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-turan","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-mmo-2010-unit-distance-turan-independence-baseline","neighbor_id":"mmo-2010-unit-distance-segments","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-mmo-2016-linguists-turan-contrast","neighbor_id":"mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound","direction":"backward","type":"false_friend","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-turan-memo-2025-t4-balanced-partition-extremal","neighbor_id":"memo-2025-t4-toll-complete-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"turan-theorem теорема турана о максимуме рёбер без клики extremal_graph_theory forbidden_clique symmetrization classical_theorem goal_exact_bound https://mathus.ru/math/teorema-turana.pdf https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%bd%d0%b0 misc pál turán pálturán reference src-mathus-turan src-wikipedia-turan study_sheet with_solution и. в. яковлев, теорема турана прочее теорема турана pál turán теорема турана и. в. яковлев, теорема турана stmt-original-1 ai_checked пусть n и r — натуральные числа. среди всех простых неориентированных графов на n вершинах, в которых нет r+1 попарно соединенных вершин, наибольшее число ребер имеет полный r-дольный граф с долями, размеры которых отличаются не более чем на 1. simple_graph clique complete_graph independent_set stmt-independence-form форма через отсутствие большой антиклики ai_checked пусть m и k — натуральные числа, 1 ≤ k < m. найдите наименьшее возможное число ребер в простом графе на m вершинах, в котором нет антиклики размера k+1, то есть среди любых k+1 вершин найдутся две соединенные ребром. simple_graph independent_set complete_graph complement_graph stmt-complement-independence-form эквивалентная форма через дополнительный граф ai_checked если простой граф g на m вершинах имеет число независимости \\( \\alpha(g) \\le k \\), то минимальное число ребер достигается на графе, состоящем из k компонент связности почти равного размера, каждая из которых является кликой. эквивалентно, дополнительный граф к g является графом турана \\( t_k(m) \\). simple_graph independent_set complete_graph complement_graph connected_graph clique stmt-flashlight-batteries-general фонарик и батарейки, общий вариант ai_checked есть m батареек, среди которых как минимум k+1 хорошая, но неизвестно, какие батарейки хорошие. одна проверка состоит в том, что в фонарик вставляют две выбранные батарейки; фонарик светит только если обе хорошие. нужно найти минимальное число заранее выбранных проверок, которое гарантирует свет независимо от расположения хороших батареек. в графовой модели батарейки являются вершинами, проверки — ребрами, а требование означает, что любое множество из k+1 хороших вершин содержит проверенное ребро. simple_graph complete_graph complement_graph independent_set idea-symmetrization симметризация если две несмежные вершины имеют разные окрестности, одну из них можно заменить копией другой так, чтобы число ребер не уменьшилось и клика \\( k_{r+1} \\) не появилась. symmetrization extremal_graph_theory ai_checked sol-symmetrization доказательство через симметризацию ai_checked clique simple_graph complete_graph independent_set complement_graph symmetrization extremal_choice среди всех \\(k_{r+1}\\)-свободных графов на данном множестве из \\(n\\) вершин выберем граф \\(g\\) с максимальным числом ребер, а среди таких графов — с максимальным значением \\(\\sum_v d(v)^2\\). покажем, что \\(g\\) уже имеет турановскую структуру. если \\(u\\) и \\(v\\) не смежны, то можно выполнить симметризацию зыкова: удалить все ребра, инцидентные \\(u\\), и соединить \\(u\\) ровно с теми вершинами, с которыми соединена \\(v\\). новая вершина \\(u\\) становится близнецом \\(v\\), а ребро \\(uv\\) не появляется, потому что \\(u\\notin n(v)\\). запрещенная клика \\(k_{r+1}\\) при этом не возникает: всякая новая клика, содержащая \\(u\\), после замены \\(u\\) на \\(v\\) дала бы такую же клику в исходном графе. число ребер меняется на \\(d(v)-d(u)\\). поэтому в экстремальном графе не может быть несмежных вершин разных степеней: вершину меньшей степени можно было бы заменить копией вершины большей степени и получить боль… turan-theorem teorema turana o maksimume reber bez kliki extremal_graph_theory forbidden_clique symmetrization classical_theorem goal_exact_bound https://mathus.ru/math/teorema-turana.pdf https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bc%d0%b0_%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%bd%d0%b0 misc pál turán pálturán reference src-mathus-turan src-wikipedia-turan study_sheet with_solution i. v. yakovlev, teorema turana prochee teorema turana pál turán teorema turana i. v. yakovlev, teorema turana stmt-original-1 ai_checked pust n i r — naturalnye chisla. sredi vseh prostyh neorientirovannyh grafov na n vershinah, v kotoryh net r+1 poparno soedinennyh vershin, naibolshee chislo reber imeet polnyy r-dolnyy graf s dolyami, razmery kotoryh otlichayutsya ne bolee chem na 1. simple_graph clique complete_graph independent_set stmt-independence-form forma cherez otsutstvie bolshoy antikliki ai_checked pust m i k — naturalnye chisla, 1 ≤ k < m. naydite naimenshee vozmozhnoe chislo reber v prostom grafe na m vershinah, v kotorom net antikliki razmera k+1, to est sredi lyubyh k+1 vershin naydutsya dve soedinennye rebrom. simple_graph independent_set complete_graph complement_graph stmt-complement-independence-form ekvivalentnaya forma cherez dopolnitelnyy graf ai_checked esli prostoy graf g na m vershinah imeet chislo nezavisimosti \\( \\alpha(g) \\le k \\), to minimalnoe chislo reber dostigaetsya na grafe, sostoyaschem iz k komponent svyaznosti pochti ravnogo razmera, kazhdaya iz kotoryh yavlyaetsya klikoy. ekvivalentno, dopolnitelnyy graf k g yavlyaetsya grafom turana \\( t_k(m) \\). simple_graph independent_set complete_graph complement_graph connected_graph clique stmt-flashlight-batteries-general fonarik i batareyki, obschiy variant ai_checked est m batareek, sredi kotoryh kak minimum k+1 horoshaya, no neizvestno, kakie batareyki horoshie. odna proverka sostoit v tom, chto v fonarik vstavlyayut dve vybrannye batareyki; fonarik svetit tolko esli obe horoshie. nuzhno nayti minimalnoe chislo zaranee vybrannyh proverok, kotoroe garantiruet svet nezavisimo ot raspolozheniya horoshih batareek. v grafovoy modeli batareyki yavlyayutsya vershinami, proverki — rebrami, a trebovanie oznachaet, chto lyuboe mnozhestvo iz k+1 horoshih vershin soderzhit proverennoe rebro. simple_graph complete_graph complement_graph independent_set idea-symmetrization simmetrizatsiya esli dve nesmezhnye vershiny imeyut raznye okrestnosti, odnu iz nih mozhno zamenit kopiey drugoy tak, chtoby chislo reber ne umenshilos i klika \\( k_{r+1} \\) ne poyavilas. symmetrization extremal_graph_theory ai_checked sol-symmetrization dokazatelstvo cherez simmetrizatsiyu ai_checked clique simple_graph complete_graph independent_set complement_graph symmetrization extremal_choice sredi vseh \\(k_{r+1}\\)-svobodnyh grafov na dannom mnozhestve iz \\(n\\) vershin vyberem graf \\(g\\) s maksimalnym chislom reber, a sredi takih grafov — s maksimalnym znacheniem \\(\\sum_v d(v)^2\\). pokazhem, chto \\(g\\) uzhe imeet turanovskuyu strukturu. esli \\(u\\) i \\(v\\) ne smezhny, to mozhno vypolnit simmetrizatsiyu zykova: udalit vse rebra, intsidentnye \\(u\\), i soedinit \\(u\\) rovno s temi vershinami, s kotorymi soedinena \\(v\\). novaya vershina \\(u\\) stanovitsya bliznetsom \\(v\\), a rebro \\(uv\\) ne poyavlyaetsya, potomu chto \\(u\\notin n(v)\\). zapreschennaya klika \\(k_{r+1}\\) pri etom ne voznikaet: vsyakaya novaya klika, soderzhaschaya \\(u\\), posle zameny \\(u\\) na \\(v\\) dala by takuyu zhe kliku v ishodnom grafe. chislo reber menyaetsya na \\(d(v)-d(u)\\). poetomu v ekstremalnom grafe ne mozhet byt nesmezhnyh vershin raznyh stepeney: vershinu menshey stepeni mozhno bylo by zamenit kopiey vershiny bolshey stepeni i poluchit bol…","source_keys":["misc"]}
{"id":"two-vertex-connected-graphs-have-no-bridges","title":"В 2-вершинно-связном графе нет мостов","path":"data\\problems\\classical\\two-vertex-connected-graphs-have-no-bridges.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/two-vertex-connected-graphs-have-no-bridges.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#two-vertex-connected-graphs-have-no-bridges","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Wikipedia, Biconnected graph","Wikipedia, Bridge (graph theory)"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["connectivity","classical_lemma","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"exercise","local_score":2,"comment":"Элементарное следствие 2-вершинной связности.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"classical_self_contained","label":"классическое самодостаточное доказательство","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"Карточка содержит короткое самодостаточное доказательство от противного.","notes":"Лемма является стандартным мостом от 2-вершинной связности к отсутствию мостов.","audit_source":"manual-status-audit-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный граф хотя бы с тремя вершинами, и удаление любой вершины оставляет граф связным. Тогда в \\(G\\) нет мостов.","definition_ids":["connected_graph","bridge"]}]},"solutions":[{"id":"sol-delete-endpoint","title":"Короткое доказательство от противного","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","bridge"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим, что \\(e=uv\\) — мост. После удаления \\(e\\) граф распадается на две компоненты: \\(U\\), содержащую \\(u\\), и \\(V\\), содержащую \\(v\\). Так как в графе хотя бы три вершины, хотя бы одна из множеств \\(U\\setminus\\{u\\}\\) и \\(V\\setminus\\{v\\}\\) непуста; без ограничения общности пусть \\(U\\setminus\\{u\\}\\) непуста. Тогда после удаления вершины \\(v\\) вершины из \\(U\\setminus\\{u\\}\\) не могут быть соединены с вершинами из \\(V\\setminus\\{v\\}\\), если такие есть, а если \\(V=\\{v\\}\\), то после удаления \\(u\\) вершина \\(v\\) отделяется от непустой части \\(U\\setminus\\{u\\}\\). В обоих случаях удаление некоторой вершины делает граф несвязным. Это противоречит условию, значит мостов нет."}],"relations":[{"id":"rel-two-vertex-no-bridges-vosh-2000-tree-bridges","neighbor_id":"vosh-2000-01-final-tree-leaves-bridge-proof","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"two-vertex-connected-graphs-have-no-bridges в 2-вершинно-связном графе нет мостов connectivity classical_lemma goal_characterization https://en.wikipedia.org/wiki/biconnected_graph https://en.wikipedia.org/wiki/bridge_(graph_theory) misc src-wikipedia-biconnected-graph src-wikipedia-bridge-graph-theory standard_reference wikipedia, biconnected graph wikipedia, bridge (graph theory) with_solution прочее ? wikipedia, biconnected graph wikipedia, bridge (graph theory) stmt-original ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный граф хотя бы с тремя вершинами, и удаление любой вершины оставляет граф связным. тогда в \\(g\\) нет мостов. connected_graph bridge idea-delete-bridge-endpoint удалить конец предполагаемого моста мост разделяет граф на две стороны. если удалить один из его концов, другая сторона моста уже не может быть соединена с оставшейся частью противоположной стороны. connectivity ai_checked sol-delete-endpoint короткое доказательство от противного ai_checked connected_graph bridge предположим, что \\(e=uv\\) — мост. после удаления \\(e\\) граф распадается на две компоненты: \\(u\\), содержащую \\(u\\), и \\(v\\), содержащую \\(v\\). так как в графе хотя бы три вершины, хотя бы одна из множеств \\(u\\setminus\\{u\\}\\) и \\(v\\setminus\\{v\\}\\) непуста; без ограничения общности пусть \\(u\\setminus\\{u\\}\\) непуста. тогда после удаления вершины \\(v\\) вершины из \\(u\\setminus\\{u\\}\\) не могут быть соединены с вершинами из \\(v\\setminus\\{v\\}\\), если такие есть, а если \\(v=\\{v\\}\\), то после удаления \\(u\\) вершина \\(v\\) отделяется от непустой части \\(u\\setminus\\{u\\}\\). в обоих случаях удаление некоторой вершины делает граф несвязным. это противоречит условию, значит мостов нет. two-vertex-connected-graphs-have-no-bridges v 2-vershinno-svyaznom grafe net mostov connectivity classical_lemma goal_characterization https://en.wikipedia.org/wiki/biconnected_graph https://en.wikipedia.org/wiki/bridge_(graph_theory) misc src-wikipedia-biconnected-graph src-wikipedia-bridge-graph-theory standard_reference wikipedia, biconnected graph wikipedia, bridge (graph theory) with_solution prochee ? wikipedia, biconnected graph wikipedia, bridge (graph theory) stmt-original ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy graf hotya by s tremya vershinami, i udalenie lyuboy vershiny ostavlyaet graf svyaznym. togda v \\(g\\) net mostov. connected_graph bridge idea-delete-bridge-endpoint udalit konets predpolagaemogo mosta most razdelyaet graf na dve storony. esli udalit odin iz ego kontsov, drugaya storona mosta uzhe ne mozhet byt soedinena s ostavsheysya chastyu protivopolozhnoy storony. connectivity ai_checked sol-delete-endpoint korotkoe dokazatelstvo ot protivnogo ai_checked connected_graph bridge predpolozhim, chto \\(e=uv\\) — most. posle udaleniya \\(e\\) graf raspadaetsya na dve komponenty: \\(u\\), soderzhaschuyu \\(u\\), i \\(v\\), soderzhaschuyu \\(v\\). tak kak v grafe hotya by tri vershiny, hotya by odna iz mnozhestv \\(u\\setminus\\{u\\}\\) i \\(v\\setminus\\{v\\}\\) nepusta; bez ogranicheniya obschnosti pust \\(u\\setminus\\{u\\}\\) nepusta. togda posle udaleniya vershiny \\(v\\) vershiny iz \\(u\\setminus\\{u\\}\\) ne mogut byt soedineny s vershinami iz \\(v\\setminus\\{v\\}\\), esli takie est, a esli \\(v=\\{v\\}\\), to posle udaleniya \\(u\\) vershina \\(v\\) otdelyaetsya ot nepustoy chasti \\(u\\setminus\\{u\\}\\). v oboih sluchayah udalenie nekotoroy vershiny delaet graf nesvyaznym. eto protivorechit usloviyu, znachit mostov net.","source_keys":["misc"]}
{"id":"unique-insertion-interval-oriented-triples","title":"Единственный промежуток вставки для ориентированных троек","path":"data\\problems\\classical\\unique-insertion-interval-oriented-triples.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/unique-insertion-interval-oriented-triples.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#unique-insertion-interval-oriented-triples","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Putnam 1996 A4, архивный источник"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["tournaments","induction","classical_lemma","goal_existence","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":6,"comment":"Нетривиальная вставочная лемма: основная работа состоит в извлечении транзитивного турнира из четырехточечного правила для ориентированных троек.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"Извлечено из архива решений Putnam и развернуто самодостаточно.","notes":"Лемма выделена из опубликованного неофициального архивного решения и развёрнута в самодостаточное доказательство.","audit_source":"manual-codex-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-unique-insertion","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть на конечном множестве \\(A\\) задана ориентация троек: для любых трех различных элементов ровно один из двух циклических порядков считается положительным, то есть \\((x,y,z)\\) положительна тогда и только тогда, когда положительны ее циклические сдвиги \\((y,z,x)\\), \\((z,x,y)\\), а при перестановке двух элементов ориентация меняется. Предположим также четырехточечное правило: для любых четырех различных \\(a,b,c,d\\) пары условий \\((a,b,c)\\), \\((c,d,a)\\) одновременно положительны тогда и только тогда, когда \\((b,c,d)\\), \\((d,a,b)\\) одновременно положительны. Пусть \\(B=A\\setminus\\{z\\}\\), \\(|B|\\ge3\\), и ориентации всех троек из \\(B\\) задаются циклическим порядком \\(a_1,a_2,\\ldots,a_m\\): если три элемента встречаются на этом цикле в порядке \\(x,y,w\\), то \\((x,y,w)\\) положительна. Тогда существует единственный промежуток между соседними элементами этого цикла, в который можно вставить \\(z\\), чтобы полученный циклический порядок задавал все ориентации троек из \\(A\\). В частности, существует единственный индекс \\(i\\) по модулю \\(m\\), для которого \\((a_i,z,a_{i+1})\\) положительна.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-transitive-view-from-new-vertex","title":"Доказательство через порядок, видимый из \\(z\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем писать \\((x,y,w)>0\\), если тройка положительна. На множестве \\(B\\) зададим отношение \\(x\\prec y\\) условием \\((z,x,y)>0\\). Из смены ориентации при обращении следует, что для любых различных \\(x,y\\in B\\) выполнено ровно одно из \\(x\\prec y\\), \\(y\\prec x\\). Докажем транзитивность. Пусть \\(x\\prec y\\) и \\(y\\prec w\\). Если на данном цикле для \\(B\\) тройка \\((x,w,y)>0\\), то применим четырехточечное правило к четверке \\((z,x,w,y)\\). Левая пара содержит \\((w,y,z)\\), а она отрицательна, потому что \\((z,y,w)>0\\). Правая пара, наоборот, положительна: \\((x,w,y)>0\\) по предположению о циклическом порядке, а \\((y,z,x)>0\\) является циклическим сдвигом \\((z,x,y)>0\\). Получается противоречие. Значит на цикле обязательно \\((x,y,w)>0\\). Теперь применим четырехточечное правило к четверке \\((z,x,y,w)\\). Тройки \\((z,x,y)\\) и \\((y,w,z)\\) положительны, причем вторая является циклическим сдвигом \\((z,y,w)>0…"}],"relations":[{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-putnam-1996-a4","neighbor_id":"putnam-1996-a4-oriented-triples-order","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-tournament-hamiltonian-path","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-redei-order-tournament","neighbor_id":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"unique-insertion-interval-oriented-triples единственный промежуток вставки для ориентированных троек tournaments induction classical_lemma goal_existence goal_characterization archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf misc putnam 1996 a4, архивный источник src-putnam-1996-a4-kedlaya with_solution прочее ? putnam 1996 a4, архивный источник stmt-unique-insertion ai_checked пусть на конечном множестве \\(a\\) задана ориентация троек: для любых трех различных элементов ровно один из двух циклических порядков считается положительным, то есть \\((x,y,z)\\) положительна тогда и только тогда, когда положительны ее циклические сдвиги \\((y,z,x)\\), \\((z,x,y)\\), а при перестановке двух элементов ориентация меняется. предположим также четырехточечное правило: для любых четырех различных \\(a,b,c,d\\) пары условий \\((a,b,c)\\), \\((c,d,a)\\) одновременно положительны тогда и только тогда, когда \\((b,c,d)\\), \\((d,a,b)\\) одновременно положительны. пусть \\(b=a\\setminus\\{z\\}\\), \\(|b|\\ge3\\), и ориентации всех троек из \\(b\\) задаются циклическим порядком \\(a_1,a_2,\\ldots,a_m\\): если три элемента встречаются на этом цикле в порядке \\(x,y,w\\), то \\((x,y,w)\\) положительна. тогда существует единственный промежуток между соседними элементами этого цикла, в который можно вставить \\(z\\), чтобы полученный циклический порядок задавал все ориентации троек из \\(a\\). в частности, существует единственный индекс \\(i\\) по модулю \\(m\\), для которого \\((a_i,z,a_{i+1})\\) положительна. idea-view-from-z посмотреть из новой точки на старых вершинах вводится турнир: \\(x\\prec y\\), если \\((z,x,y)\\) положительна. четырехточечное правило заставляет этот турнир быть транзитивным. tournaments ai_checked idea-transitive-order-is-cyclic-cut транзитивный порядок является разрезом цикла полученный линейный порядок старых вершин согласован со всеми тройками исходного цикла, поэтому он может отличаться от циклического порядка только выбором начальной точки. induction ai_checked sol-transitive-view-from-new-vertex доказательство через порядок, видимый из \\(z\\) ai_checked tournament induction будем писать \\((x,y,w)>0\\), если тройка положительна. на множестве \\(b\\) зададим отношение \\(x\\prec y\\) условием \\((z,x,y)>0\\). из смены ориентации при обращении следует, что для любых различных \\(x,y\\in b\\) выполнено ровно одно из \\(x\\prec y\\), \\(y\\prec x\\). докажем транзитивность. пусть \\(x\\prec y\\) и \\(y\\prec w\\). если на данном цикле для \\(b\\) тройка \\((x,w,y)>0\\), то применим четырехточечное правило к четверке \\((z,x,w,y)\\). левая пара содержит \\((w,y,z)\\), а она отрицательна, потому что \\((z,y,w)>0\\). правая пара, наоборот, положительна: \\((x,w,y)>0\\) по предположению о циклическом порядке, а \\((y,z,x)>0\\) является циклическим сдвигом \\((z,x,y)>0\\). получается противоречие. значит на цикле обязательно \\((x,y,w)>0\\). теперь применим четырехточечное правило к четверке \\((z,x,y,w)\\). тройки \\((z,x,y)\\) и \\((y,w,z)\\) положительны, причем вторая является циклическим сдвигом \\((z,y,w)>0… unique-insertion-interval-oriented-triples edinstvennyy promezhutok vstavki dlya orientirovannyh troek tournaments induction classical_lemma goal_existence goal_characterization archive_statement https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf misc putnam 1996 a4, arhivnyy istochnik src-putnam-1996-a4-kedlaya with_solution prochee ? putnam 1996 a4, arhivnyy istochnik stmt-unique-insertion ai_checked pust na konechnom mnozhestve \\(a\\) zadana orientatsiya troek: dlya lyubyh treh razlichnyh elementov rovno odin iz dvuh tsiklicheskih poryadkov schitaetsya polozhitelnym, to est \\((x,y,z)\\) polozhitelna togda i tolko togda, kogda polozhitelny ee tsiklicheskie sdvigi \\((y,z,x)\\), \\((z,x,y)\\), a pri perestanovke dvuh elementov orientatsiya menyaetsya. predpolozhim takzhe chetyrehtochechnoe pravilo: dlya lyubyh chetyreh razlichnyh \\(a,b,c,d\\) pary usloviy \\((a,b,c)\\), \\((c,d,a)\\) odnovremenno polozhitelny togda i tolko togda, kogda \\((b,c,d)\\), \\((d,a,b)\\) odnovremenno polozhitelny. pust \\(b=a\\setminus\\{z\\}\\), \\(|b|\\ge3\\), i orientatsii vseh troek iz \\(b\\) zadayutsya tsiklicheskim poryadkom \\(a_1,a_2,\\ldots,a_m\\): esli tri elementa vstrechayutsya na etom tsikle v poryadke \\(x,y,w\\), to \\((x,y,w)\\) polozhitelna. togda suschestvuet edinstvennyy promezhutok mezhdu sosednimi elementami etogo tsikla, v kotoryy mozhno vstavit \\(z\\), chtoby poluchennyy tsiklicheskiy poryadok zadaval vse orientatsii troek iz \\(a\\). v chastnosti, suschestvuet edinstvennyy indeks \\(i\\) po modulyu \\(m\\), dlya kotorogo \\((a_i,z,a_{i+1})\\) polozhitelna. idea-view-from-z posmotret iz novoy tochki na staryh vershinah vvoditsya turnir: \\(x\\prec y\\), esli \\((z,x,y)\\) polozhitelna. chetyrehtochechnoe pravilo zastavlyaet etot turnir byt tranzitivnym. tournaments ai_checked idea-transitive-order-is-cyclic-cut tranzitivnyy poryadok yavlyaetsya razrezom tsikla poluchennyy lineynyy poryadok staryh vershin soglasovan so vsemi troykami ishodnogo tsikla, poetomu on mozhet otlichatsya ot tsiklicheskogo poryadka tolko vyborom nachalnoy tochki. induction ai_checked sol-transitive-view-from-new-vertex dokazatelstvo cherez poryadok, vidimyy iz \\(z\\) ai_checked tournament induction budem pisat \\((x,y,w)>0\\), esli troyka polozhitelna. na mnozhestve \\(b\\) zadadim otnoshenie \\(x\\prec y\\) usloviem \\((z,x,y)>0\\). iz smeny orientatsii pri obraschenii sleduet, chto dlya lyubyh razlichnyh \\(x,y\\in b\\) vypolneno rovno odno iz \\(x\\prec y\\), \\(y\\prec x\\). dokazhem tranzitivnost. pust \\(x\\prec y\\) i \\(y\\prec w\\). esli na dannom tsikle dlya \\(b\\) troyka \\((x,w,y)>0\\), to primenim chetyrehtochechnoe pravilo k chetverke \\((z,x,w,y)\\). levaya para soderzhit \\((w,y,z)\\), a ona otritsatelna, potomu chto \\((z,y,w)>0\\). pravaya para, naoborot, polozhitelna: \\((x,w,y)>0\\) po predpolozheniyu o tsiklicheskom poryadke, a \\((y,z,x)>0\\) yavlyaetsya tsiklicheskim sdvigom \\((z,x,y)>0\\). poluchaetsya protivorechie. znachit na tsikle obyazatelno \\((x,y,w)>0\\). teper primenim chetyrehtochechnoe pravilo k chetverke \\((z,x,y,w)\\). troyki \\((z,x,y)\\) i \\((y,w,z)\\) polozhitelny, prichem vtoraya yavlyaetsya tsiklicheskim sdvigom \\((z,y,w)>0…","source_keys":["misc","putnam"]}
{"id":"utyum-1993_ii_7kl_1","title":"Квадрат перестановки и направленный цикл, УТЮМ 1993","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-1993_ii_7kl_1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-1993_ii_7kl_1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-1993_ii_7kl_1","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 1993, олимпиада, 7 класс, 1. Шеф секретной службы (официальный архив)"],"year":"1993","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: олимпиада, 7 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Шеф секретной службы составил следующую инструкцию взаимодействия слежки для своих семи главных агентов: 001 следит за тем, кто следит за 002, 002 — за тем, кто следит за 003, ..., 007 следит за тем, кто следит за 001. Но вдруг пришёл приказ взять на службу ещё агента 008. Сможет ли шеф составить аналогичную инструкцию и для восьми агентов?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-permutation-square","title":"Квадрат функционального орграфа","status":"ai_checked","text":"Существует ли функциональный орграф на вершинах \\(1,2,\\ldots,8\\), в котором каждая вершина имеет входящую и исходящую степень 1, а переход по двум дугам подряд задаёт направленный цикл \\(1\\to2\\to\\cdots\\to8\\to1\\)?","definition_ids":["directed_graph","cycle","outdegree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle","outdegree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(p(i)\\) — номер агента, за которым следит агент \\(i\\). Фраза «\\(i\\) следит за тем, кто следит за \\(i+1\\)» означает, что \\(p(i)\\) — единственный агент, для которого \\(p(p(i))=i+1\\). Значит, \\(p\\) является перестановкой агентов и для всех номеров выполнено \\(p^2(i)=i+1\\) по циклу. Для семи агентов это возможно: можно взять \\(p(i)=i+4\\) по модулю 7, тогда \\(p^2(i)=i+8=i+1\\). Предположим, что аналогичная инструкция существует для восьми агентов. Тогда перестановка \\(p^2\\) должна быть циклом \\((1,2,3,4,5,6,7,8)\\). Но квадрат любого цикла чётной длины распадается на два цикла: если \\(p\\) имеет цикл чётной длины, его квадрат отдельно переставляет вершины через одну, а если цикл нечётной длины, его квадрат остаётся циклом той же нечётной длины. Следовательно, квадрат перестановки не может быть одним циклом чётной длины 8. Противоречие. Значит, для восьми агентов такую инструкцию составит…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-1993_ii_7kl_1 квадрат перестановки и направленный цикл, утюм 1993 goal_impossibility 1993 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural02.zip misc misc1993 official_archive src-utyum-1993_ii_7kl_1-official with_solution утюм утюм 1993, олимпиада, 7 класс, 1. шеф секретной службы (официальный архив) утюм1993 ? утюм 1993, олимпиада, 7 класс, 1. шеф секретной службы (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked шеф секретной службы составил следующую инструкцию взаимодействия слежки для своих семи главных агентов: 001 следит за тем, кто следит за 002, 002 — за тем, кто следит за 003, ..., 007 следит за тем, кто следит за 001. но вдруг пришёл приказ взять на службу ещё агента 008. сможет ли шеф составить аналогичную инструкцию и для восьми агентов? stmt-graph-permutation-square квадрат функционального орграфа ai_checked существует ли функциональный орграф на вершинах \\(1,2,\\ldots,8\\), в котором каждая вершина имеет входящую и исходящую степень 1, а переход по двум дугам подряд задаёт направленный цикл \\(1\\to2\\to\\cdots\\to8\\to1\\)? directed_graph cycle outdegree sol-official решение ai_checked directed_graph cycle outdegree пусть \\(p(i)\\) — номер агента, за которым следит агент \\(i\\). фраза «\\(i\\) следит за тем, кто следит за \\(i+1\\)» означает, что \\(p(i)\\) — единственный агент, для которого \\(p(p(i))=i+1\\). значит, \\(p\\) является перестановкой агентов и для всех номеров выполнено \\(p^2(i)=i+1\\) по циклу. для семи агентов это возможно: можно взять \\(p(i)=i+4\\) по модулю 7, тогда \\(p^2(i)=i+8=i+1\\). предположим, что аналогичная инструкция существует для восьми агентов. тогда перестановка \\(p^2\\) должна быть циклом \\((1,2,3,4,5,6,7,8)\\). но квадрат любого цикла чётной длины распадается на два цикла: если \\(p\\) имеет цикл чётной длины, его квадрат отдельно переставляет вершины через одну, а если цикл нечётной длины, его квадрат остаётся циклом той же нечётной длины. следовательно, квадрат перестановки не может быть одним циклом чётной длины 8. противоречие. значит, для восьми агентов такую инструкцию составит… utyum-1993_ii_7kl_1 kvadrat perestanovki i napravlennyy tsikl, utyum 1993 goal_impossibility 1993 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural02.zip misc misc1993 official_archive src-utyum-1993_ii_7kl_1-official with_solution utyum utyum 1993, olimpiada, 7 klass, 1. shef sekretnoy sluzhby (ofitsialnyy arhiv) utyum1993 ? utyum 1993, olimpiada, 7 klass, 1. shef sekretnoy sluzhby (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked shef sekretnoy sluzhby sostavil sleduyuschuyu instruktsiyu vzaimodeystviya slezhki dlya svoih semi glavnyh agentov: 001 sledit za tem, kto sledit za 002, 002 — za tem, kto sledit za 003, ..., 007 sledit za tem, kto sledit za 001. no vdrug prishel prikaz vzyat na sluzhbu esche agenta 008. smozhet li shef sostavit analogichnuyu instruktsiyu i dlya vosmi agentov? stmt-graph-permutation-square kvadrat funktsionalnogo orgrafa ai_checked suschestvuet li funktsionalnyy orgraf na vershinah \\(1,2,\\ldots,8\\), v kotorom kazhdaya vershina imeet vhodyaschuyu i ishodyaschuyu stepen 1, a perehod po dvum dugam podryad zadaet napravlennyy tsikl \\(1\\to2\\to\\cdots\\to8\\to1\\)? directed_graph cycle outdegree sol-official reshenie ai_checked directed_graph cycle outdegree pust \\(p(i)\\) — nomer agenta, za kotorym sledit agent \\(i\\). fraza «\\(i\\) sledit za tem, kto sledit za \\(i+1\\)» oznachaet, chto \\(p(i)\\) — edinstvennyy agent, dlya kotorogo \\(p(p(i))=i+1\\). znachit, \\(p\\) yavlyaetsya perestanovkoy agentov i dlya vseh nomerov vypolneno \\(p^2(i)=i+1\\) po tsiklu. dlya semi agentov eto vozmozhno: mozhno vzyat \\(p(i)=i+4\\) po modulyu 7, togda \\(p^2(i)=i+8=i+1\\). predpolozhim, chto analogichnaya instruktsiya suschestvuet dlya vosmi agentov. togda perestanovka \\(p^2\\) dolzhna byt tsiklom \\((1,2,3,4,5,6,7,8)\\). no kvadrat lyubogo tsikla chetnoy dliny raspadaetsya na dva tsikla: esli \\(p\\) imeet tsikl chetnoy dliny, ego kvadrat otdelno perestavlyaet vershiny cherez odnu, a esli tsikl nechetnoy dliny, ego kvadrat ostaetsya tsiklom toy zhe nechetnoy dliny. sledovatelno, kvadrat perestanovki ne mozhet byt odnim tsiklom chetnoy dliny 8. protivorechie. znachit, dlya vosmi agentov takuyu instruktsiyu sostavit…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-1993_ii_8kl_5","title":"Минимум рёбер при общем соседе у каждой несмежной пары, УТЮМ 1993","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-1993_ii_8kl_5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-1993_ii_8kl_5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-1993_ii_8kl_5","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 1993, олимпиада, 8 класс, 5. Города и дороги (официальный архив)"],"year":"1993","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В некоторой стране N > 1 городов. Между некоторыми из них проложены дороги. Известно, что если два города не соединены между собой, то найдётся город, который соединён дорогой с ними обоими. Какое минимальное количество дорог может быть в этой стране?","definition_ids":["simple_graph","connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Общий сосед у каждой несмежной пары","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф на N > 1 вершинах. Для любых двух несмежных вершин существует вершина, смежная с обеими. Найдите минимально возможное число рёбер такого графа.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(N-1\\). Сначала докажем нижнюю оценку. Условие означает, что между любыми двумя городами можно добраться по пути длины не больше двух: если города соединены дорогой, путь уже есть, а если не соединены, то есть третий город, соединённый с ними обоими. Значит, граф дорог связен. В связном графе на \\(N\\) вершинах рёбер не меньше \\(N-1\\): например, если идти из одной вершины и каждый раз добавлять новую достижимую вершину, для появления каждой из остальных \\(N-1\\) вершин нужно хотя бы одно ребро, ведущее к уже построенной части. Остаётся показать, что эта оценка достижима. Возьмём один центральный город и соединим его дорогами со всеми остальными городами, а других дорог не будем проводить. Получится звезда: в ней ровно \\(N-1\\) дорог. Любые два не соединённых напрямую города являются двумя нецентральными городами, и центральный город соединён с ними обоими. Поэтому условие выполнено…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-1993_ii_8kl_5 минимум рёбер при общем соседе у каждой несмежной пары, утюм 1993 connectivity extremal_graph_theory goal_exact_bound 1993 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural02.zip misc misc1993 official_archive src-utyum-1993_ii_8kl_5-official with_solution утюм утюм 1993, олимпиада, 8 класс, 5. города и дороги (официальный архив) утюм1993 ? утюм 1993, олимпиада, 8 класс, 5. города и дороги (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в некоторой стране n > 1 городов. между некоторыми из них проложены дороги. известно, что если два города не соединены между собой, то найдётся город, который соединён дорогой с ними обоими. какое минимальное количество дорог может быть в этой стране? simple_graph connected_graph stmt-graph общий сосед у каждой несмежной пары ai_checked дан простой граф на n > 1 вершинах. для любых двух несмежных вершин существует вершина, смежная с обеими. найдите минимально возможное число рёбер такого графа. simple_graph connected_graph sol-official решение ai_checked simple_graph connected_graph ответ: \\(n-1\\). сначала докажем нижнюю оценку. условие означает, что между любыми двумя городами можно добраться по пути длины не больше двух: если города соединены дорогой, путь уже есть, а если не соединены, то есть третий город, соединённый с ними обоими. значит, граф дорог связен. в связном графе на \\(n\\) вершинах рёбер не меньше \\(n-1\\): например, если идти из одной вершины и каждый раз добавлять новую достижимую вершину, для появления каждой из остальных \\(n-1\\) вершин нужно хотя бы одно ребро, ведущее к уже построенной части. остаётся показать, что эта оценка достижима. возьмём один центральный город и соединим его дорогами со всеми остальными городами, а других дорог не будем проводить. получится звезда: в ней ровно \\(n-1\\) дорог. любые два не соединённых напрямую города являются двумя нецентральными городами, и центральный город соединён с ними обоими. поэтому условие выполнено… utyum-1993_ii_8kl_5 minimum reber pri obschem sosede u kazhdoy nesmezhnoy pary, utyum 1993 connectivity extremal_graph_theory goal_exact_bound 1993 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural02.zip misc misc1993 official_archive src-utyum-1993_ii_8kl_5-official with_solution utyum utyum 1993, olimpiada, 8 klass, 5. goroda i dorogi (ofitsialnyy arhiv) utyum1993 ? utyum 1993, olimpiada, 8 klass, 5. goroda i dorogi (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v nekotoroy strane n > 1 gorodov. mezhdu nekotorymi iz nih prolozheny dorogi. izvestno, chto esli dva goroda ne soedineny mezhdu soboy, to naydetsya gorod, kotoryy soedinen dorogoy s nimi oboimi. kakoe minimalnoe kolichestvo dorog mozhet byt v etoy strane? simple_graph connected_graph stmt-graph obschiy sosed u kazhdoy nesmezhnoy pary ai_checked dan prostoy graf na n > 1 vershinah. dlya lyubyh dvuh nesmezhnyh vershin suschestvuet vershina, smezhnaya s obeimi. naydite minimalno vozmozhnoe chislo reber takogo grafa. simple_graph connected_graph sol-official reshenie ai_checked simple_graph connected_graph otvet: \\(n-1\\). snachala dokazhem nizhnyuyu otsenku. uslovie oznachaet, chto mezhdu lyubymi dvumya gorodami mozhno dobratsya po puti dliny ne bolshe dvuh: esli goroda soedineny dorogoy, put uzhe est, a esli ne soedineny, to est tretiy gorod, soedinennyy s nimi oboimi. znachit, graf dorog svyazen. v svyaznom grafe na \\(n\\) vershinah reber ne menshe \\(n-1\\): naprimer, esli idti iz odnoy vershiny i kazhdyy raz dobavlyat novuyu dostizhimuyu vershinu, dlya poyavleniya kazhdoy iz ostalnyh \\(n-1\\) vershin nuzhno hotya by odno rebro, veduschee k uzhe postroennoy chasti. ostaetsya pokazat, chto eta otsenka dostizhima. vozmem odin tsentralnyy gorod i soedinim ego dorogami so vsemi ostalnymi gorodami, a drugih dorog ne budem provodit. poluchitsya zvezda: v ney rovno \\(n-1\\) dorog. lyubye dva ne soedinennyh napryamuyu goroda yavlyayutsya dvumya netsentralnymi gorodami, i tsentralnyy gorod soedinen s nimi oboimi. poetomu uslovie vypolneno…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-1995_final_10_writers_committee","title":"Ориентированный граф чтения 22 юных писателей, УТЮМ 1995","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-1995_final_10_writers_committee.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-1995_final_10_writers_committee.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-1995_final_10_writers_committee","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 1995, финальный матбой, 10. Комиссия из четырёх писателей (официальный архив)"],"year":"1995","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_choice","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: финальный математический бой.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"22 школьника участвовали в съезде юных писателей. После съезда каждый из них прочитал произведения трёх юных писателей, побывавших на съезде. Докажите, что из делегатов съезда можно составить комиссию из 4 человек так, что в комиссии никто не читал произведения остальных её членов.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-directed","title":"Ориентированный граф чтения","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(D\\) — ориентированный граф без петель на 22 вершинах, в котором исходящая степень каждой вершины равна 3. Докажите, что \\(D\\) содержит независимое множество из 4 вершин, то есть множество из 4 вершин, между любыми двумя из которых нет ориентированного ребра ни в одну сторону.","definition_ids":["directed_graph","independent_set","outdegree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","directed_graph","independent_set","outdegree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим ориентированный граф: вершины соответствуют школьникам, а стрелка из A в B означает, что A прочитал произведения B. Тогда из каждой вершины выходит ровно 3 ребра. Всего прочтений 22 * 3 = 66. Поэтому по принципу Дирихле найдётся школьник A, в которого входит не более 3 рёбер, то есть его произведения прочитали не более трёх других участников. Включим A в комиссию и удалим из рассмотрения: - тех, кого читал A; - тех, кто читал A. Таких участников не более 6, значит после удаления вместе с A остаётся не менее 15 человек. В оставшемся подграфе из каждой вершины выходит не более 3 стрелок, поэтому средняя входящая степень не больше 3; найдётся школьник B, которого среди оставшихся читали не более 3 человек. Добавим B в комиссию и снова удалим всех, кто связан с ним чтением в любую сторону. После этого останется не менее 8 человек. Повторяем тот же шаг и выбираем C. После удаления…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-1995_final_10_writers_committee ориентированный граф чтения 22 юных писателей, утюм 1995 extremal_choice extremal_graph_theory goal_exact_bound 1995 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural06.zip misc misc1995 official_archive src-utyum-1995_final_10_writers_committee-official with_solution утюм утюм 1995, финальный матбой, 10. комиссия из четырёх писателей (официальный архив) утюм1995 ? утюм 1995, финальный матбой, 10. комиссия из четырёх писателей (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked 22 школьника участвовали в съезде юных писателей. после съезда каждый из них прочитал произведения трёх юных писателей, побывавших на съезде. докажите, что из делегатов съезда можно составить комиссию из 4 человек так, что в комиссии никто не читал произведения остальных её членов. stmt-graph-directed ориентированный граф чтения ai_checked пусть \\(d\\) — ориентированный граф без петель на 22 вершинах, в котором исходящая степень каждой вершины равна 3. докажите, что \\(d\\) содержит независимое множество из 4 вершин, то есть множество из 4 вершин, между любыми двумя из которых нет ориентированного ребра ни в одну сторону. directed_graph independent_set outdegree sol-official решение ai_checked degree directed_graph independent_set outdegree рассмотрим ориентированный граф: вершины соответствуют школьникам, а стрелка из a в b означает, что a прочитал произведения b. тогда из каждой вершины выходит ровно 3 ребра. всего прочтений 22 * 3 = 66. поэтому по принципу дирихле найдётся школьник a, в которого входит не более 3 рёбер, то есть его произведения прочитали не более трёх других участников. включим a в комиссию и удалим из рассмотрения: - тех, кого читал a; - тех, кто читал a. таких участников не более 6, значит после удаления вместе с a остаётся не менее 15 человек. в оставшемся подграфе из каждой вершины выходит не более 3 стрелок, поэтому средняя входящая степень не больше 3; найдётся школьник b, которого среди оставшихся читали не более 3 человек. добавим b в комиссию и снова удалим всех, кто связан с ним чтением в любую сторону. после этого останется не менее 8 человек. повторяем тот же шаг и выбираем c. после удаления… utyum-1995_final_10_writers_committee orientirovannyy graf chteniya 22 yunyh pisateley, utyum 1995 extremal_choice extremal_graph_theory goal_exact_bound 1995 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural06.zip misc misc1995 official_archive src-utyum-1995_final_10_writers_committee-official with_solution utyum utyum 1995, finalnyy matboy, 10. komissiya iz chetyreh pisateley (ofitsialnyy arhiv) utyum1995 ? utyum 1995, finalnyy matboy, 10. komissiya iz chetyreh pisateley (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked 22 shkolnika uchastvovali v sezde yunyh pisateley. posle sezda kazhdyy iz nih prochital proizvedeniya treh yunyh pisateley, pobyvavshih na sezde. dokazhite, chto iz delegatov sezda mozhno sostavit komissiyu iz 4 chelovek tak, chto v komissii nikto ne chital proizvedeniya ostalnyh ee chlenov. stmt-graph-directed orientirovannyy graf chteniya ai_checked pust \\(d\\) — orientirovannyy graf bez petel na 22 vershinah, v kotorom ishodyaschaya stepen kazhdoy vershiny ravna 3. dokazhite, chto \\(d\\) soderzhit nezavisimoe mnozhestvo iz 4 vershin, to est mnozhestvo iz 4 vershin, mezhdu lyubymi dvumya iz kotoryh net orientirovannogo rebra ni v odnu storonu. directed_graph independent_set outdegree sol-official reshenie ai_checked degree directed_graph independent_set outdegree rassmotrim orientirovannyy graf: vershiny sootvetstvuyut shkolnikam, a strelka iz a v b oznachaet, chto a prochital proizvedeniya b. togda iz kazhdoy vershiny vyhodit rovno 3 rebra. vsego prochteniy 22 * 3 = 66. poetomu po printsipu dirihle naydetsya shkolnik a, v kotorogo vhodit ne bolee 3 reber, to est ego proizvedeniya prochitali ne bolee treh drugih uchastnikov. vklyuchim a v komissiyu i udalim iz rassmotreniya: - teh, kogo chital a; - teh, kto chital a. takih uchastnikov ne bolee 6, znachit posle udaleniya vmeste s a ostaetsya ne menee 15 chelovek. v ostavshemsya podgrafe iz kazhdoy vershiny vyhodit ne bolee 3 strelok, poetomu srednyaya vhodyaschaya stepen ne bolshe 3; naydetsya shkolnik b, kotorogo sredi ostavshihsya chitali ne bolee 3 chelovek. dobavim b v komissiyu i snova udalim vseh, kto svyazan s nim chteniem v lyubuyu storonu. posle etogo ostanetsya ne menee 8 chelovek. povtoryaem tot zhe shag i vybiraem c. posle udaleniya…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-1995_mb2_8_secret_object","title":"Переключения рёбер на цикле C100, УТЮМ 1995","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-1995_mb2_8_secret_object.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-1995_mb2_8_secret_object.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-1995_mb2_8_secret_object","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 1995, матбой, первая лига, 8. Секретный объект (официальный архив)"],"year":"1995","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_construction","invariant"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: математический бой, первая лига.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"официальный план из пакета УТЮМ развёрнут через инвариант чётности","notes":"Официальный набросок про 49,5 круга восстановлен как самодостаточная конструкция; каждый шаг движения проверяется через чётность числа нажатий в вершинах.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Секретный объект представляет собой 100-угольник, образованный сторонами коридоров. Каждый коридор может быть освещён или затемнён. В каждой вершине расположен выключатель, который меняет на противоположные состояния двух сходящихся в этой вершине коридоров. Вначале весь объект затемнён. Сторож находится в одной из вершин и хочет, переключая свет и двигаясь только по освещённым коридорам, перейти в пятидесятую по счёту вершину и снова затемнить объект. Удастся ли ему это и почему?","definition_ids":["cycle","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Переключения рёбер на цикле C100","status":"ai_checked","text":"Рассматривается цикл \\(C_100\\), каждое ребро которого может быть включено или выключено. Операция в вершине меняет состояние двух инцидентных ей рёбер. Изначально все рёбра выключены. Можно ли, двигаясь только по включённым рёбрам, пройти из одной заданной вершины в противоположную и затем снова выключить все рёбра?","definition_ids":["cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","path","graph_cut"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Да, удастся. Занумеруем вершины цикла как \\(v_0,v_1,\\ldots,v_99\\) по часовой стрелке; сторож начинает в \\(v_0\\), а нужная противоположная вершина есть \\(v_50\\). Он будет ходить против часовой стрелки, то есть в порядке \\(v_0,v_99,v_98,\\ldots\\). Будем следить не за всеми коридорами отдельно, а за чётностью числа нажатий в вершинах. Пусть вершина называется нечётной, если её выключатель уже нажимали нечётное число раз. Тогда коридор между двумя соседними вершинами освещён ровно тогда, когда одна из этих двух вершин нечётная, а другая чётная: каждое нажатие меняет состояние ровно двух коридоров, выходящих из нажатой вершины. Поэтому, чтобы проверить возможность очередного шага, достаточно проверить, что у концов нужного ребра разные чётности. Опишем 49 полных обходов от \\(v_0\\) обратно к \\(v_0\\). На k-м полном обходе, где k=1,2,...,49, сторож идёт против часовой стрелки по маршруту \\(v_0,v…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-1995_mb2_8_secret_object переключения рёбер на цикле c100, утюм 1995 goal_construction invariant 1995 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural06.zip misc misc1995 official_archive src-utyum-1995_mb2_8_secret_object-official with_solution утюм утюм 1995, матбой, первая лига, 8. секретный объект (официальный архив) утюм1995 ? утюм 1995, матбой, первая лига, 8. секретный объект (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked секретный объект представляет собой 100-угольник, образованный сторонами коридоров. каждый коридор может быть освещён или затемнён. в каждой вершине расположен выключатель, который меняет на противоположные состояния двух сходящихся в этой вершине коридоров. вначале весь объект затемнён. сторож находится в одной из вершин и хочет, переключая свет и двигаясь только по освещённым коридорам, перейти в пятидесятую по счёту вершину и снова затемнить объект. удастся ли ему это и почему? cycle path stmt-graph переключения рёбер на цикле c100 ai_checked рассматривается цикл \\(c_100\\), каждое ребро которого может быть включено или выключено. операция в вершине меняет состояние двух инцидентных ей рёбер. изначально все рёбра выключены. можно ли, двигаясь только по включённым рёбрам, пройти из одной заданной вершины в противоположную и затем снова выключить все рёбра? cycle path sol-official решение ai_checked cycle path graph_cut invariant да, удастся. занумеруем вершины цикла как \\(v_0,v_1,\\ldots,v_99\\) по часовой стрелке; сторож начинает в \\(v_0\\), а нужная противоположная вершина есть \\(v_50\\). он будет ходить против часовой стрелки, то есть в порядке \\(v_0,v_99,v_98,\\ldots\\). будем следить не за всеми коридорами отдельно, а за чётностью числа нажатий в вершинах. пусть вершина называется нечётной, если её выключатель уже нажимали нечётное число раз. тогда коридор между двумя соседними вершинами освещён ровно тогда, когда одна из этих двух вершин нечётная, а другая чётная: каждое нажатие меняет состояние ровно двух коридоров, выходящих из нажатой вершины. поэтому, чтобы проверить возможность очередного шага, достаточно проверить, что у концов нужного ребра разные чётности. опишем 49 полных обходов от \\(v_0\\) обратно к \\(v_0\\). на k-м полном обходе, где k=1,2,...,49, сторож идёт против часовой стрелки по маршруту \\(v_0,v… utyum-1995_mb2_8_secret_object pereklyucheniya reber na tsikle c100, utyum 1995 goal_construction invariant 1995 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural06.zip misc misc1995 official_archive src-utyum-1995_mb2_8_secret_object-official with_solution utyum utyum 1995, matboy, pervaya liga, 8. sekretnyy obekt (ofitsialnyy arhiv) utyum1995 ? utyum 1995, matboy, pervaya liga, 8. sekretnyy obekt (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked sekretnyy obekt predstavlyaet soboy 100-ugolnik, obrazovannyy storonami koridorov. kazhdyy koridor mozhet byt osveschen ili zatemnen. v kazhdoy vershine raspolozhen vyklyuchatel, kotoryy menyaet na protivopolozhnye sostoyaniya dvuh shodyaschihsya v etoy vershine koridorov. vnachale ves obekt zatemnen. storozh nahoditsya v odnoy iz vershin i hochet, pereklyuchaya svet i dvigayas tolko po osveschennym koridoram, pereyti v pyatidesyatuyu po schetu vershinu i snova zatemnit obekt. udastsya li emu eto i pochemu? cycle path stmt-graph pereklyucheniya reber na tsikle c100 ai_checked rassmatrivaetsya tsikl \\(c_100\\), kazhdoe rebro kotorogo mozhet byt vklyucheno ili vyklyucheno. operatsiya v vershine menyaet sostoyanie dvuh intsidentnyh ey reber. iznachalno vse rebra vyklyucheny. mozhno li, dvigayas tolko po vklyuchennym rebram, proyti iz odnoy zadannoy vershiny v protivopolozhnuyu i zatem snova vyklyuchit vse rebra? cycle path sol-official reshenie ai_checked cycle path graph_cut invariant da, udastsya. zanumeruem vershiny tsikla kak \\(v_0,v_1,\\ldots,v_99\\) po chasovoy strelke; storozh nachinaet v \\(v_0\\), a nuzhnaya protivopolozhnaya vershina est \\(v_50\\). on budet hodit protiv chasovoy strelki, to est v poryadke \\(v_0,v_99,v_98,\\ldots\\). budem sledit ne za vsemi koridorami otdelno, a za chetnostyu chisla nazhatiy v vershinah. pust vershina nazyvaetsya nechetnoy, esli ee vyklyuchatel uzhe nazhimali nechetnoe chislo raz. togda koridor mezhdu dvumya sosednimi vershinami osveschen rovno togda, kogda odna iz etih dvuh vershin nechetnaya, a drugaya chetnaya: kazhdoe nazhatie menyaet sostoyanie rovno dvuh koridorov, vyhodyaschih iz nazhatoy vershiny. poetomu, chtoby proverit vozmozhnost ocherednogo shaga, dostatochno proverit, chto u kontsov nuzhnogo rebra raznye chetnosti. opishem 49 polnyh obhodov ot \\(v_0\\) obratno k \\(v_0\\). na k-m polnom obhode, gde k=1,2,...,49, storozh idet protiv chasovoy strelki po marshrutu \\(v_0,v…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-1996_tur3_10_central_cities","title":"Центральные вершины дерева, УТЮМ 1996","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-1996_tur3_10_central_cities.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-1996_tur3_10_central_cities.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-1996_tur3_10_central_cities","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 1996, матбой 3, высшая лига, 10. Центральные города в древовидной сети дорог (официальный архив)"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","connectivity","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: математический бой 3, высшая лига.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В некотором государстве города связаны между собой дорогами одинаковой длины так, что из любого города можно попасть в любой другой, но только одним путем. Для каждого города правительственная комиссия измерила все пути, ведущие из него в другие города, и длину самого протяженного из них назвала показателем провинциальности этого города. Города с наименьшим показателем провинциальности были объявлены центральными. Таких городов оказалось три. Докажите, что комиссия ошиблась.","definition_ids":["tree","path","connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Центральные вершины дерева","status":"ai_checked","text":"Дано дерево, все рёбра которого имеют одинаковую длину. Для вершины рассмотрим максимальное расстояние от неё до остальных вершин. Вершина называется центральной, если это максимальное расстояние минимально. Докажите, что в таком дереве не может быть ровно трёх центральных вершин.","definition_ids":["tree","path","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","path","connected_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Схема дорог образует дерево: сеть связна, и между любыми двумя городами существует ровно один путь. Заметим, что если город A наиболее удалён от города B, то в A ведёт ровно одна дорога. Иначе, придя в A из B, можно было бы пройти ещё дальше по другой дороге, не возвращаясь назад, что противоречит максимальности расстояния от B до A. Такие города назовём окраинными. Удалим из схемы все окраинные города вместе с инцидентными им дорогами. Ни один центральный город при этом не исчезнет: окраинный город может быть центральным только в вырожденном случае из двух городов, а тогда трёх центральных городов быть не может. После удаления окраинных вершин оставшаяся сеть по-прежнему является деревом, а показатели провинциальности всех оставшихся городов уменьшаются на 1. Следовательно, множество центральных городов не меняется. Повторяя эту операцию, мы в конце концов сотрем все нецентральные горо…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-1996-central-cities-utyum-2018-tree-cities","neighbor_id":"utyum-2018_lichol_8_tree_cities","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-1996_tur3_10_central_cities центральные вершины дерева, утюм 1996 trees connectivity goal_exact_bound 1996 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural08.zip misc misc1996 official_archive src-utyum-1996_tur3_10_central_cities-official with_solution утюм утюм 1996, матбой 3, высшая лига, 10. центральные города в древовидной сети дорог (официальный архив) утюм1996 ? утюм 1996, матбой 3, высшая лига, 10. центральные города в древовидной сети дорог (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в некотором государстве города связаны между собой дорогами одинаковой длины так, что из любого города можно попасть в любой другой, но только одним путем. для каждого города правительственная комиссия измерила все пути, ведущие из него в другие города, и длину самого протяженного из них назвала показателем провинциальности этого города. города с наименьшим показателем провинциальности были объявлены центральными. таких городов оказалось три. докажите, что комиссия ошиблась. tree path connected_graph stmt-graph центральные вершины дерева ai_checked дано дерево, все рёбра которого имеют одинаковую длину. для вершины рассмотрим максимальное расстояние от неё до остальных вершин. вершина называется центральной, если это максимальное расстояние минимально. докажите, что в таком дереве не может быть ровно трёх центральных вершин. tree path connected_graph sol-official решение ai_checked tree path connected_graph схема дорог образует дерево: сеть связна, и между любыми двумя городами существует ровно один путь. заметим, что если город a наиболее удалён от города b, то в a ведёт ровно одна дорога. иначе, придя в a из b, можно было бы пройти ещё дальше по другой дороге, не возвращаясь назад, что противоречит максимальности расстояния от b до a. такие города назовём окраинными. удалим из схемы все окраинные города вместе с инцидентными им дорогами. ни один центральный город при этом не исчезнет: окраинный город может быть центральным только в вырожденном случае из двух городов, а тогда трёх центральных городов быть не может. после удаления окраинных вершин оставшаяся сеть по-прежнему является деревом, а показатели провинциальности всех оставшихся городов уменьшаются на 1. следовательно, множество центральных городов не меняется. повторяя эту операцию, мы в конце концов сотрем все нецентральные горо… utyum-1996_tur3_10_central_cities tsentralnye vershiny dereva, utyum 1996 trees connectivity goal_exact_bound 1996 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural08.zip misc misc1996 official_archive src-utyum-1996_tur3_10_central_cities-official with_solution utyum utyum 1996, matboy 3, vysshaya liga, 10. tsentralnye goroda v drevovidnoy seti dorog (ofitsialnyy arhiv) utyum1996 ? utyum 1996, matboy 3, vysshaya liga, 10. tsentralnye goroda v drevovidnoy seti dorog (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v nekotorom gosudarstve goroda svyazany mezhdu soboy dorogami odinakovoy dliny tak, chto iz lyubogo goroda mozhno popast v lyuboy drugoy, no tolko odnim putem. dlya kazhdogo goroda pravitelstvennaya komissiya izmerila vse puti, veduschie iz nego v drugie goroda, i dlinu samogo protyazhennogo iz nih nazvala pokazatelem provintsialnosti etogo goroda. goroda s naimenshim pokazatelem provintsialnosti byli obyavleny tsentralnymi. takih gorodov okazalos tri. dokazhite, chto komissiya oshiblas. tree path connected_graph stmt-graph tsentralnye vershiny dereva ai_checked dano derevo, vse rebra kotorogo imeyut odinakovuyu dlinu. dlya vershiny rassmotrim maksimalnoe rasstoyanie ot nee do ostalnyh vershin. vershina nazyvaetsya tsentralnoy, esli eto maksimalnoe rasstoyanie minimalno. dokazhite, chto v takom dereve ne mozhet byt rovno treh tsentralnyh vershin. tree path connected_graph sol-official reshenie ai_checked tree path connected_graph shema dorog obrazuet derevo: set svyazna, i mezhdu lyubymi dvumya gorodami suschestvuet rovno odin put. zametim, chto esli gorod a naibolee udalen ot goroda b, to v a vedet rovno odna doroga. inache, pridya v a iz b, mozhno bylo by proyti esche dalshe po drugoy doroge, ne vozvraschayas nazad, chto protivorechit maksimalnosti rasstoyaniya ot b do a. takie goroda nazovem okrainnymi. udalim iz shemy vse okrainnye goroda vmeste s intsidentnymi im dorogami. ni odin tsentralnyy gorod pri etom ne ischeznet: okrainnyy gorod mozhet byt tsentralnym tolko v vyrozhdennom sluchae iz dvuh gorodov, a togda treh tsentralnyh gorodov byt ne mozhet. posle udaleniya okrainnyh vershin ostavshayasya set po-prezhnemu yavlyaetsya derevom, a pokazateli provintsialnosti vseh ostavshihsya gorodov umenshayutsya na 1. sledovatelno, mnozhestvo tsentralnyh gorodov ne menyaetsya. povtoryaya etu operatsiyu, my v kontse kontsov sotrem vse netsentralnye goro…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2001_olymp8_6_countries_route","title":"Маршрут по 19 странам и закрытые границы, УТЮМ 2001","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2001_olymp8_6_countries_route.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2001_olymp8_6_countries_route.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2001_olymp8_6_countries_route","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2001, личная олимпиада, 8 класс, 6. Маршрут по 19 странам (официальный архив)"],"year":"2001","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: личная олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Квадратный материк разделен на 19 стран в форме выпуклых многоугольников, причем нет точек, в которых сходились бы границы четырех или больше стран. Из всяких трех границ, сходящихся в одной точке, одна закрыта, а две открыты для проезда. Докажите, что невозможно объехать все эти страны, побывав в каждой по одному разу и вернуться в исходную страну.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-plane-dual-cycle","title":"Цикл в двойственном графе карты","status":"ai_checked","text":"Плоский связный граф имеет 19 граней, все его вершины имеют степень 3, а у каждой вершины ровно одно инцидентное ребро объявлено закрытым. Докажите, что в двойственном графе не существует цикла, который проходит по каждой грани ровно один раз и использует только переходы через незакрытые рёбра исходного графа.","definition_ids":["planar_graph","cycle","connected_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Назовем вершиной точку, где сходятся границы трех стран. По условию из каждой вершины выходит ровно одна закрытая граница. Предположим, что требуемый замкнутый маршрут существует. Он не пересекает закрытых границ, поэтому каждая закрытая граница либо целиком лежит внутри маршрута, либо целиком снаружи. Тогда все вершины, находящиеся внутри маршрута, разбиваются на пары вершин, соединенных закрытыми границами. Значит, число внутренних вершин четно; обозначим его через k. Мысленно заменим участки границ между вершинами нитями и разрежем каждую такую нить пополам. Из внутренних вершин выходит 3k половинок нитей. Из них ровно 19 ведут наружу, по одной в каждую из 19 стран, через которые маршрут проходит по одному разу. Следовательно, половинок нитей, получившихся из нитей, целиком лежащих внутри маршрута, будет 3k - 19. Но это число нечетно, тогда как такие половинки должны возникать парами…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-2001_olymp8_6_countries_route маршрут по 19 странам и закрытые границы, утюм 2001 planar_graphs goal_counting 2001 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural17.zip misc misc2001 official_archive src-utyum-2001_olymp8_6_countries_route-official with_solution утюм утюм 2001, личная олимпиада, 8 класс, 6. маршрут по 19 странам (официальный архив) утюм2001 ? утюм 2001, личная олимпиада, 8 класс, 6. маршрут по 19 странам (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked квадратный материк разделен на 19 стран в форме выпуклых многоугольников, причем нет точек, в которых сходились бы границы четырех или больше стран. из всяких трех границ, сходящихся в одной точке, одна закрыта, а две открыты для проезда. докажите, что невозможно объехать все эти страны, побывав в каждой по одному разу и вернуться в исходную страну. stmt-graph-plane-dual-cycle цикл в двойственном графе карты ai_checked плоский связный граф имеет 19 граней, все его вершины имеют степень 3, а у каждой вершины ровно одно инцидентное ребро объявлено закрытым. докажите, что в двойственном графе не существует цикла, который проходит по каждой грани ровно один раз и использует только переходы через незакрытые рёбра исходного графа. planar_graph cycle connected_graph degree sol-official решение ai_checked planar_graph cycle назовем вершиной точку, где сходятся границы трех стран. по условию из каждой вершины выходит ровно одна закрытая граница. предположим, что требуемый замкнутый маршрут существует. он не пересекает закрытых границ, поэтому каждая закрытая граница либо целиком лежит внутри маршрута, либо целиком снаружи. тогда все вершины, находящиеся внутри маршрута, разбиваются на пары вершин, соединенных закрытыми границами. значит, число внутренних вершин четно; обозначим его через k. мысленно заменим участки границ между вершинами нитями и разрежем каждую такую нить пополам. из внутренних вершин выходит 3k половинок нитей. из них ровно 19 ведут наружу, по одной в каждую из 19 стран, через которые маршрут проходит по одному разу. следовательно, половинок нитей, получившихся из нитей, целиком лежащих внутри маршрута, будет 3k - 19. но это число нечетно, тогда как такие половинки должны возникать парами… utyum-2001_olymp8_6_countries_route marshrut po 19 stranam i zakrytye granitsy, utyum 2001 planar_graphs goal_counting 2001 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural17.zip misc misc2001 official_archive src-utyum-2001_olymp8_6_countries_route-official with_solution utyum utyum 2001, lichnaya olimpiada, 8 klass, 6. marshrut po 19 stranam (ofitsialnyy arhiv) utyum2001 ? utyum 2001, lichnaya olimpiada, 8 klass, 6. marshrut po 19 stranam (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked kvadratnyy materik razdelen na 19 stran v forme vypuklyh mnogougolnikov, prichem net tochek, v kotoryh shodilis by granitsy chetyreh ili bolshe stran. iz vsyakih treh granits, shodyaschihsya v odnoy tochke, odna zakryta, a dve otkryty dlya proezda. dokazhite, chto nevozmozhno obehat vse eti strany, pobyvav v kazhdoy po odnomu razu i vernutsya v ishodnuyu stranu. stmt-graph-plane-dual-cycle tsikl v dvoystvennom grafe karty ai_checked ploskiy svyaznyy graf imeet 19 graney, vse ego vershiny imeyut stepen 3, a u kazhdoy vershiny rovno odno intsidentnoe rebro obyavleno zakrytym. dokazhite, chto v dvoystvennom grafe ne suschestvuet tsikla, kotoryy prohodit po kazhdoy grani rovno odin raz i ispolzuet tolko perehody cherez nezakrytye rebra ishodnogo grafa. planar_graph cycle connected_graph degree sol-official reshenie ai_checked planar_graph cycle nazovem vershinoy tochku, gde shodyatsya granitsy treh stran. po usloviyu iz kazhdoy vershiny vyhodit rovno odna zakrytaya granitsa. predpolozhim, chto trebuemyy zamknutyy marshrut suschestvuet. on ne peresekaet zakrytyh granits, poetomu kazhdaya zakrytaya granitsa libo tselikom lezhit vnutri marshruta, libo tselikom snaruzhi. togda vse vershiny, nahodyaschiesya vnutri marshruta, razbivayutsya na pary vershin, soedinennyh zakrytymi granitsami. znachit, chislo vnutrennih vershin chetno; oboznachim ego cherez k. myslenno zamenim uchastki granits mezhdu vershinami nityami i razrezhem kazhduyu takuyu nit popolam. iz vnutrennih vershin vyhodit 3k polovinok nitey. iz nih rovno 19 vedut naruzhu, po odnoy v kazhduyu iz 19 stran, cherez kotorye marshrut prohodit po odnomu razu. sledovatelno, polovinok nitey, poluchivshihsya iz nitey, tselikom lezhaschih vnutri marshruta, budet 3k - 19. no eto chislo nechetno, togda kak takie polovinki dolzhny voznikat parami…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2002_carousel_senior_8x8_polyline","title":"Максимальный простой цикл в сетке 8x8, УТЮМ 2002","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2002_carousel_senior_8x8_polyline.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2002_carousel_senior_8x8_polyline.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2002_carousel_senior_8x8_polyline","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2002, математическая карусель, старшая лига, зачётная задача, 8. Максимальная длина замкнутой несамопересекающейся ломаной на сетке 8x8 (официальный архив)"],"year":"2002","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: математическая карусель, старшая лига, зачётная задача.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Какую наибольшую длину может иметь замкнутая самонепересекающаяся ломаная, идущая по линиям сетки квадрата 8x8, в том числе по краю?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-bipartite-grid","title":"Простой цикл в решётке 9x9","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим решёточный граф \\(9\\times 9\\), вершинами которого являются узлы квадратной решётки, а рёбра соединяют соседние узлы. Какое наибольшее возможное число вершин может быть в простом цикле этого графа?","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","path","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 80. Перейдём к графовой модели. У квадрата 8x8 есть 9x9 узлов решётки; соединим ребром две соседние по стороне решётки вершины. Замкнутая самонепересекающаяся ломаная, идущая по линиям сетки, ровно соответствует простому циклу в этом решёточном графе, а её длина равна числу рёбер цикла, то есть также числу его вершин. Раскрасим 81 узел в шахматном порядке по чётности суммы координат. В решётке 9x9 вершин одного цвета 41, другого 40. Каждый шаг по ребру меняет цвет, поэтому в любом цикле цвета строго чередуются. Значит, в цикле поровну вершин двух цветов. Так как вершин меньшего цвета всего 40, любой цикл содержит не более 40+40=80 вершин. Следовательно, длина ломаной не превосходит 80. Осталось показать, что оценка достигается. Пронумеруем узлы координатами (x,y), где 0<=x,y<=8, и не будем использовать центральный узел (4,4). Следующий замкнутый маршрут проходит по соседним узлам…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-2002_carousel_senior_8x8_polyline максимальный простой цикл в сетке 8x8, утюм 2002 planar_graphs goal_exact_bound 2002 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural19.zip misc misc2002 official_archive src-utyum-2002_carousel_senior_8x8_polyline-official with_solution утюм утюм 2002, математическая карусель, старшая лига, зачётная задача, 8. максимальная длина замкнутой несамопересекающейся ломаной на сетке 8x8 (официальный архив) утюм2002 ? утюм 2002, математическая карусель, старшая лига, зачётная задача, 8. максимальная длина замкнутой несамопересекающейся ломаной на сетке 8x8 (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked какую наибольшую длину может иметь замкнутая самонепересекающаяся ломаная, идущая по линиям сетки квадрата 8x8, в том числе по краю? stmt-graph-bipartite-grid простой цикл в решётке 9x9 ai_checked рассмотрим решёточный граф \\(9\\times 9\\), вершинами которого являются узлы квадратной решётки, а рёбра соединяют соседние узлы. какое наибольшее возможное число вершин может быть в простом цикле этого графа? bipartite_graph cycle sol-official решение ai_checked bipartite_graph path cycle ответ: 80. перейдём к графовой модели. у квадрата 8x8 есть 9x9 узлов решётки; соединим ребром две соседние по стороне решётки вершины. замкнутая самонепересекающаяся ломаная, идущая по линиям сетки, ровно соответствует простому циклу в этом решёточном графе, а её длина равна числу рёбер цикла, то есть также числу его вершин. раскрасим 81 узел в шахматном порядке по чётности суммы координат. в решётке 9x9 вершин одного цвета 41, другого 40. каждый шаг по ребру меняет цвет, поэтому в любом цикле цвета строго чередуются. значит, в цикле поровну вершин двух цветов. так как вершин меньшего цвета всего 40, любой цикл содержит не более 40+40=80 вершин. следовательно, длина ломаной не превосходит 80. осталось показать, что оценка достигается. пронумеруем узлы координатами (x,y), где 0<=x,y<=8, и не будем использовать центральный узел (4,4). следующий замкнутый маршрут проходит по соседним узлам… utyum-2002_carousel_senior_8x8_polyline maksimalnyy prostoy tsikl v setke 8x8, utyum 2002 planar_graphs goal_exact_bound 2002 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural19.zip misc misc2002 official_archive src-utyum-2002_carousel_senior_8x8_polyline-official with_solution utyum utyum 2002, matematicheskaya karusel, starshaya liga, zachetnaya zadacha, 8. maksimalnaya dlina zamknutoy nesamoperesekayuscheysya lomanoy na setke 8x8 (ofitsialnyy arhiv) utyum2002 ? utyum 2002, matematicheskaya karusel, starshaya liga, zachetnaya zadacha, 8. maksimalnaya dlina zamknutoy nesamoperesekayuscheysya lomanoy na setke 8x8 (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked kakuyu naibolshuyu dlinu mozhet imet zamknutaya samoneperesekayuschayasya lomanaya, iduschaya po liniyam setki kvadrata 8x8, v tom chisle po krayu? stmt-graph-bipartite-grid prostoy tsikl v reshetke 9x9 ai_checked rassmotrim reshetochnyy graf \\(9\\times 9\\), vershinami kotorogo yavlyayutsya uzly kvadratnoy reshetki, a rebra soedinyayut sosednie uzly. kakoe naibolshee vozmozhnoe chislo vershin mozhet byt v prostom tsikle etogo grafa? bipartite_graph cycle sol-official reshenie ai_checked bipartite_graph path cycle otvet: 80. pereydem k grafovoy modeli. u kvadrata 8x8 est 9x9 uzlov reshetki; soedinim rebrom dve sosednie po storone reshetki vershiny. zamknutaya samoneperesekayuschayasya lomanaya, iduschaya po liniyam setki, rovno sootvetstvuet prostomu tsiklu v etom reshetochnom grafe, a ee dlina ravna chislu reber tsikla, to est takzhe chislu ego vershin. raskrasim 81 uzel v shahmatnom poryadke po chetnosti summy koordinat. v reshetke 9x9 vershin odnogo tsveta 41, drugogo 40. kazhdyy shag po rebru menyaet tsvet, poetomu v lyubom tsikle tsveta strogo chereduyutsya. znachit, v tsikle porovnu vershin dvuh tsvetov. tak kak vershin menshego tsveta vsego 40, lyuboy tsikl soderzhit ne bolee 40+40=80 vershin. sledovatelno, dlina lomanoy ne prevoshodit 80. ostalos pokazat, chto otsenka dostigaetsya. pronumeruem uzly koordinatami (x,y), gde 0<=x,y<=8, i ne budem ispolzovat tsentralnyy uzel (4,4). sleduyuschiy zamknutyy marshrut prohodit po sosednim uzlam…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2004_line_acquaintances_endpoints","title":"Равенство степеней крайних при балансе знакомств слева и справа, УТЮМ 2004","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2004_line_acquaintances_endpoints.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2004_line_acquaintances_endpoints.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2004_line_acquaintances_endpoints","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2004, пакет источников с локальными решениями, 3. Школьники в шеренге и знакомства слева и справа (официальный архив)"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: исходный пакет с локальными решениями.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Несколько школьников построились в шеренгу. Оказалось, что у каждого школьника, кроме двух крайних, поровну знакомых слева и справа от него. Докажите, что у двух крайних школьников поровну знакомых.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Степени крайних вершин в упорядоченном графе","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф, вершины которого упорядочены в ряд. Для каждой внутренней вершины число соседей слева равно числу соседей справа. Докажите, что степени двух крайних вершин равны.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть каждый школьник даст по рублю каждому своему знакомому, стоящему слева от него. Тогда крайний слева школьник получит столько рублей, сколько у него знакомых, потому что все его знакомые стоят справа. Крайний справа, наоборот, отдаст столько рублей, сколько у него знакомых, потому что все его знакомые стоят слева. Рассмотрим любого внутреннего школьника. По условию у него поровну знакомых слева и справа, значит, он отдаст столько же рублей, сколько получит. Следовательно, суммарный баланс всех внутренних школьников равен нулю. Но сумма всех денежных потоков по всей шеренге тоже равна нулю. Значит, выигрыш крайнего слева равен по модулю проигрышу крайнего справа. Иными словами, число знакомых у двух крайних школьников одинаково."}],"relations":[],"search_text":"utyum-2004_line_acquaintances_endpoints равенство степеней крайних при балансе знакомств слева и справа, утюм 2004 double_counting goal_counting 2004 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural24.zip misc misc2004 official_archive src-utyum-2004_line_acquaintances_endpoints-official with_solution утюм утюм 2004, пакет источников с локальными решениями, 3. школьники в шеренге и знакомства слева и справа (официальный архив) утюм2004 ? утюм 2004, пакет источников с локальными решениями, 3. школьники в шеренге и знакомства слева и справа (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked несколько школьников построились в шеренгу. оказалось, что у каждого школьника, кроме двух крайних, поровну знакомых слева и справа от него. докажите, что у двух крайних школьников поровну знакомых. simple_graph degree stmt-graph степени крайних вершин в упорядоченном графе ai_checked дан простой граф, вершины которого упорядочены в ряд. для каждой внутренней вершины число соседей слева равно числу соседей справа. докажите, что степени двух крайних вершин равны. simple_graph degree sol-official решение ai_checked simple_graph degree пусть каждый школьник даст по рублю каждому своему знакомому, стоящему слева от него. тогда крайний слева школьник получит столько рублей, сколько у него знакомых, потому что все его знакомые стоят справа. крайний справа, наоборот, отдаст столько рублей, сколько у него знакомых, потому что все его знакомые стоят слева. рассмотрим любого внутреннего школьника. по условию у него поровну знакомых слева и справа, значит, он отдаст столько же рублей, сколько получит. следовательно, суммарный баланс всех внутренних школьников равен нулю. но сумма всех денежных потоков по всей шеренге тоже равна нулю. значит, выигрыш крайнего слева равен по модулю проигрышу крайнего справа. иными словами, число знакомых у двух крайних школьников одинаково. utyum-2004_line_acquaintances_endpoints ravenstvo stepeney kraynih pri balanse znakomstv sleva i sprava, utyum 2004 double_counting goal_counting 2004 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural24.zip misc misc2004 official_archive src-utyum-2004_line_acquaintances_endpoints-official with_solution utyum utyum 2004, paket istochnikov s lokalnymi resheniyami, 3. shkolniki v sherenge i znakomstva sleva i sprava (ofitsialnyy arhiv) utyum2004 ? utyum 2004, paket istochnikov s lokalnymi resheniyami, 3. shkolniki v sherenge i znakomstva sleva i sprava (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked neskolko shkolnikov postroilis v sherengu. okazalos, chto u kazhdogo shkolnika, krome dvuh kraynih, porovnu znakomyh sleva i sprava ot nego. dokazhite, chto u dvuh kraynih shkolnikov porovnu znakomyh. simple_graph degree stmt-graph stepeni kraynih vershin v uporyadochennom grafe ai_checked dan prostoy graf, vershiny kotorogo uporyadocheny v ryad. dlya kazhdoy vnutrenney vershiny chislo sosedey sleva ravno chislu sosedey sprava. dokazhite, chto stepeni dvuh kraynih vershin ravny. simple_graph degree sol-official reshenie ai_checked simple_graph degree pust kazhdyy shkolnik dast po rublyu kazhdomu svoemu znakomomu, stoyaschemu sleva ot nego. togda krayniy sleva shkolnik poluchit stolko rubley, skolko u nego znakomyh, potomu chto vse ego znakomye stoyat sprava. krayniy sprava, naoborot, otdast stolko rubley, skolko u nego znakomyh, potomu chto vse ego znakomye stoyat sleva. rassmotrim lyubogo vnutrennego shkolnika. po usloviyu u nego porovnu znakomyh sleva i sprava, znachit, on otdast stolko zhe rubley, skolko poluchit. sledovatelno, summarnyy balans vseh vnutrennih shkolnikov raven nulyu. no summa vseh denezhnyh potokov po vsey sherenge tozhe ravna nulyu. znachit, vyigrysh kraynego sleva raven po modulyu proigryshu kraynego sprava. inymi slovami, chislo znakomyh u dvuh kraynih shkolnikov odinakovo.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs","title":"Треугольники знакомств в каждой пятёрке, УТЮМ 2006","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2006, XXVII УТЮМ, пакет источников с локальными решениями, 8. 100 участников турнира и минимум 4850 пар знакомых (официальный архив)"],"year":"2006","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: XXVII УТЮМ, исходный пакет с локальными решениями.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"На турнир приехало 100 человек. Из любых пяти из них можно по крайней мере двумя способами выбрать трёх попарно знакомых. Докажите, что среди них есть по крайней мере 4850 пар знакомых.","definition_ids":["simple_graph","clique"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Два треугольника в любой пятёрке вершин","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф на 100 вершинах. В любом множестве из пяти вершин можно по крайней мере двумя способами выбрать тройку вершин, образующую клику. Докажите, что в графе не менее 4850 рёбер.","definition_ids":["simple_graph","clique","triangle"]},{"id":"stmt-graph-complement","title":"Дополнительный граф незнакомств","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(H\\) — дополнительный граф к графу знакомств на 100 вершинах. Если в любом 5-элементном множестве вершин дополнение к \\(H\\) содержит хотя бы два различных треугольника, докажите, что в \\(H\\) не более 100 рёбер.","definition_ids":["simple_graph","clique","complement_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","clique","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф незнакомства: вершины соответствуют участникам турнира, а рёбра соединяют пары незнакомых. Если в этом графе есть треугольник ABC, то для любых ещё двух участников D и E в пятёрке ABCDE рёбра DE и по крайней мере четыре рёбра между {D,E} и {A,B,C} отсутствуют, иначе нельзя было бы получить две тройки попарно знакомых. Отсюда число пар знакомых уже не меньше 97*96/2 + 2*97 = 4850. Поэтому можно считать, что треугольников в графе незнакомства нет. Покажем также, что в нём нет пути длины 4: иначе пять вершин такого пути дали бы пятёрку, в которой нельзя выбрать две тройки попарно знакомых. Тогда любой цикл длины 4 образует отдельную компоненту связности. Значит, каждая компонента графа незнакомства либо является деревом, либо циклом длины 4. В обоих случаях число рёбер в компоненте не превосходит числа её вершин, поэтому всего рёбер не больше 100. Тогда пар знакомых не мень…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2006-acquaintance-pairs-utyum-2016-min-acquaintance-pairs","neighbor_id":"utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs треугольники знакомств в каждой пятёрке, утюм 2006 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2006 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural27.zip misc misc2006 official_archive src-utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs-official with_solution утюм утюм 2006, xxvii утюм, пакет источников с локальными решениями, 8. 100 участников турнира и минимум 4850 пар знакомых (официальный архив) утюм2006 ? утюм 2006, xxvii утюм, пакет источников с локальными решениями, 8. 100 участников турнира и минимум 4850 пар знакомых (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked на турнир приехало 100 человек. из любых пяти из них можно по крайней мере двумя способами выбрать трёх попарно знакомых. докажите, что среди них есть по крайней мере 4850 пар знакомых. simple_graph clique stmt-graph два треугольника в любой пятёрке вершин ai_checked дан простой граф на 100 вершинах. в любом множестве из пяти вершин можно по крайней мере двумя способами выбрать тройку вершин, образующую клику. докажите, что в графе не менее 4850 рёбер. simple_graph clique triangle stmt-graph-complement дополнительный граф незнакомств ai_checked пусть \\(h\\) — дополнительный граф к графу знакомств на 100 вершинах. если в любом 5-элементном множестве вершин дополнение к \\(h\\) содержит хотя бы два различных треугольника, докажите, что в \\(h\\) не более 100 рёбер. simple_graph clique complement_graph triangle sol-official решение ai_checked simple_graph clique cycle рассмотрим граф незнакомства: вершины соответствуют участникам турнира, а рёбра соединяют пары незнакомых. если в этом графе есть треугольник abc, то для любых ещё двух участников d и e в пятёрке abcde рёбра de и по крайней мере четыре рёбра между {d,e} и {a,b,c} отсутствуют, иначе нельзя было бы получить две тройки попарно знакомых. отсюда число пар знакомых уже не меньше 97*96/2 + 2*97 = 4850. поэтому можно считать, что треугольников в графе незнакомства нет. покажем также, что в нём нет пути длины 4: иначе пять вершин такого пути дали бы пятёрку, в которой нельзя выбрать две тройки попарно знакомых. тогда любой цикл длины 4 образует отдельную компоненту связности. значит, каждая компонента графа незнакомства либо является деревом, либо циклом длины 4. в обоих случаях число рёбер в компоненте не превосходит числа её вершин, поэтому всего рёбер не больше 100. тогда пар знакомых не мень… utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs treugolniki znakomstv v kazhdoy pyaterke, utyum 2006 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2006 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural27.zip misc misc2006 official_archive src-utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs-official with_solution utyum utyum 2006, xxvii utyum, paket istochnikov s lokalnymi resheniyami, 8. 100 uchastnikov turnira i minimum 4850 par znakomyh (ofitsialnyy arhiv) utyum2006 ? utyum 2006, xxvii utyum, paket istochnikov s lokalnymi resheniyami, 8. 100 uchastnikov turnira i minimum 4850 par znakomyh (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked na turnir priehalo 100 chelovek. iz lyubyh pyati iz nih mozhno po krayney mere dvumya sposobami vybrat treh poparno znakomyh. dokazhite, chto sredi nih est po krayney mere 4850 par znakomyh. simple_graph clique stmt-graph dva treugolnika v lyuboy pyaterke vershin ai_checked dan prostoy graf na 100 vershinah. v lyubom mnozhestve iz pyati vershin mozhno po krayney mere dvumya sposobami vybrat troyku vershin, obrazuyuschuyu kliku. dokazhite, chto v grafe ne menee 4850 reber. simple_graph clique triangle stmt-graph-complement dopolnitelnyy graf neznakomstv ai_checked pust \\(h\\) — dopolnitelnyy graf k grafu znakomstv na 100 vershinah. esli v lyubom 5-elementnom mnozhestve vershin dopolnenie k \\(h\\) soderzhit hotya by dva razlichnyh treugolnika, dokazhite, chto v \\(h\\) ne bolee 100 reber. simple_graph clique complement_graph triangle sol-official reshenie ai_checked simple_graph clique cycle rassmotrim graf neznakomstva: vershiny sootvetstvuyut uchastnikam turnira, a rebra soedinyayut pary neznakomyh. esli v etom grafe est treugolnik abc, to dlya lyubyh esche dvuh uchastnikov d i e v pyaterke abcde rebra de i po krayney mere chetyre rebra mezhdu {d,e} i {a,b,c} otsutstvuyut, inache nelzya bylo by poluchit dve troyki poparno znakomyh. otsyuda chislo par znakomyh uzhe ne menshe 97*96/2 + 2*97 = 4850. poetomu mozhno schitat, chto treugolnikov v grafe neznakomstva net. pokazhem takzhe, chto v nem net puti dliny 4: inache pyat vershin takogo puti dali by pyaterku, v kotoroy nelzya vybrat dve troyki poparno znakomyh. togda lyuboy tsikl dliny 4 obrazuet otdelnuyu komponentu svyaznosti. znachit, kazhdaya komponenta grafa neznakomstva libo yavlyaetsya derevom, libo tsiklom dliny 4. v oboih sluchayah chislo reber v komponente ne prevoshodit chisla ee vershin, poetomu vsego reber ne bolshe 100. togda par znakomyh ne men…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring","title":"Двухцветная раскраска клеточного графа, УТЮМ 2007","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2007, личная олимпиада, 8 класс, 4. Раскраска клеток прямоугольника и равенство одноцветных соседств (официальный архив)"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","double_counting","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: личная олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Клетки прямоугольника раскрашены в белый и голубой цвета, причём белых и голубых клеток поровну. Среди клеток, примыкающих к сторонам прямоугольника, белых и голубых поровну, среди угловых клеток прямоугольника тоже поровну. Докажите, что сторон клеток, разделяющих два белых квадрата, столько же, сколько сторон клеток, разделяющих два голубых квадрата.","definition_ids":["simple_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-grid-graph","title":"Одноцветные рёбра в клеточном графе","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим граф смежности клеток прямоугольной решётки: вершины соответствуют клеткам, а ребро соединяет две клетки с общей стороной. Вершины раскрашены в два цвета, причём вершин каждого цвета поровну; среди граничных вершин и среди угловых вершин каждого цвета тоже поровну. Докажите, что число рёбер, соединяющих две белые вершины, равно числу рёбер, соединяющих две голубые вершины.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Покрасим стороны внешней границы прямоугольника. Назовём окрашенными только те стороны клеток, которые лежат на внешней границе; все общие стороны двух соседних клеток остаются неокрашенными. У угловой клетки две окрашенные стороны, у граничной неугловой клетки одна, у внутренней клетки ни одной. По условию среди всех граничных клеток белых и голубых поровну, и среди угловых клеток белых и голубых поровну. Значит, после вычитания угловых клеток среди граничных неугловых клеток белых и голубых тоже поровну. Поэтому суммарное число окрашенных сторон, инцидентных белым клеткам, равно суммарному числу окрашенных сторон, инцидентных голубым клеткам. Каждая клетка имеет четыре стороны. Так как белых и голубых клеток поровну, общее число сторон, посчитанных с инцидентностью к белым клеткам, равно такому же общему числу для голубых клеток. Вычитая из этих равных величин равные суммы окрашенных…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2007-rectangle-tc-2022-grid-boundary-count","neighbor_id":"tc-2022-23-blue-red-cells-connectivity","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-utyum-2007-imo-1996-c2-grid-color-counting","neighbor_id":"imo-1996-c2-grid-vertices-two-red","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring двухцветная раскраска клеточного графа, утюм 2007 coloring double_counting goal_exact_bound 2007 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural30.zip misc misc2007 official_archive src-utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring-official with_solution утюм утюм 2007, личная олимпиада, 8 класс, 4. раскраска клеток прямоугольника и равенство одноцветных соседств (официальный архив) утюм2007 ? утюм 2007, личная олимпиада, 8 класс, 4. раскраска клеток прямоугольника и равенство одноцветных соседств (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked клетки прямоугольника раскрашены в белый и голубой цвета, причём белых и голубых клеток поровну. среди клеток, примыкающих к сторонам прямоугольника, белых и голубых поровну, среди угловых клеток прямоугольника тоже поровну. докажите, что сторон клеток, разделяющих два белых квадрата, столько же, сколько сторон клеток, разделяющих два голубых квадрата. simple_graph stmt-grid-graph одноцветные рёбра в клеточном графе ai_checked рассмотрим граф смежности клеток прямоугольной решётки: вершины соответствуют клеткам, а ребро соединяет две клетки с общей стороной. вершины раскрашены в два цвета, причём вершин каждого цвета поровну; среди граничных вершин и среди угловых вершин каждого цвета тоже поровну. докажите, что число рёбер, соединяющих две белые вершины, равно числу рёбер, соединяющих две голубые вершины. simple_graph idea-boundary-adjusted-degree-count подсчёт степеней с учётом границы если добавить внешние стороны границы в подсчёт, то суммарное число инцидентных сторон по белым клеткам равно соответствующей сумме по синим клеткам. так как два цветовых класса имеют одинаковый размер, вычитание общего вклада степеней клеток оставляет равное число внутренних одноцветных соседств. double_counting coloring ai_checked sol-official решение ai_checked simple_graph покрасим стороны внешней границы прямоугольника. назовём окрашенными только те стороны клеток, которые лежат на внешней границе; все общие стороны двух соседних клеток остаются неокрашенными. у угловой клетки две окрашенные стороны, у граничной неугловой клетки одна, у внутренней клетки ни одной. по условию среди всех граничных клеток белых и голубых поровну, и среди угловых клеток белых и голубых поровну. значит, после вычитания угловых клеток среди граничных неугловых клеток белых и голубых тоже поровну. поэтому суммарное число окрашенных сторон, инцидентных белым клеткам, равно суммарному числу окрашенных сторон, инцидентных голубым клеткам. каждая клетка имеет четыре стороны. так как белых и голубых клеток поровну, общее число сторон, посчитанных с инцидентностью к белым клеткам, равно такому же общему числу для голубых клеток. вычитая из этих равных величин равные суммы окрашенных… utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring dvuhtsvetnaya raskraska kletochnogo grafa, utyum 2007 coloring double_counting goal_exact_bound 2007 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural30.zip misc misc2007 official_archive src-utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring-official with_solution utyum utyum 2007, lichnaya olimpiada, 8 klass, 4. raskraska kletok pryamougolnika i ravenstvo odnotsvetnyh sosedstv (ofitsialnyy arhiv) utyum2007 ? utyum 2007, lichnaya olimpiada, 8 klass, 4. raskraska kletok pryamougolnika i ravenstvo odnotsvetnyh sosedstv (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked kletki pryamougolnika raskrasheny v belyy i goluboy tsveta, prichem belyh i golubyh kletok porovnu. sredi kletok, primykayuschih k storonam pryamougolnika, belyh i golubyh porovnu, sredi uglovyh kletok pryamougolnika tozhe porovnu. dokazhite, chto storon kletok, razdelyayuschih dva belyh kvadrata, stolko zhe, skolko storon kletok, razdelyayuschih dva golubyh kvadrata. simple_graph stmt-grid-graph odnotsvetnye rebra v kletochnom grafe ai_checked rassmotrim graf smezhnosti kletok pryamougolnoy reshetki: vershiny sootvetstvuyut kletkam, a rebro soedinyaet dve kletki s obschey storonoy. vershiny raskrasheny v dva tsveta, prichem vershin kazhdogo tsveta porovnu; sredi granichnyh vershin i sredi uglovyh vershin kazhdogo tsveta tozhe porovnu. dokazhite, chto chislo reber, soedinyayuschih dve belye vershiny, ravno chislu reber, soedinyayuschih dve golubye vershiny. simple_graph idea-boundary-adjusted-degree-count podschet stepeney s uchetom granitsy esli dobavit vneshnie storony granitsy v podschet, to summarnoe chislo intsidentnyh storon po belym kletkam ravno sootvetstvuyuschey summe po sinim kletkam. tak kak dva tsvetovyh klassa imeyut odinakovyy razmer, vychitanie obschego vklada stepeney kletok ostavlyaet ravnoe chislo vnutrennih odnotsvetnyh sosedstv. double_counting coloring ai_checked sol-official reshenie ai_checked simple_graph pokrasim storony vneshney granitsy pryamougolnika. nazovem okrashennymi tolko te storony kletok, kotorye lezhat na vneshney granitse; vse obschie storony dvuh sosednih kletok ostayutsya neokrashennymi. u uglovoy kletki dve okrashennye storony, u granichnoy neuglovoy kletki odna, u vnutrenney kletki ni odnoy. po usloviyu sredi vseh granichnyh kletok belyh i golubyh porovnu, i sredi uglovyh kletok belyh i golubyh porovnu. znachit, posle vychitaniya uglovyh kletok sredi granichnyh neuglovyh kletok belyh i golubyh tozhe porovnu. poetomu summarnoe chislo okrashennyh storon, intsidentnyh belym kletkam, ravno summarnomu chislu okrashennyh storon, intsidentnyh golubym kletkam. kazhdaya kletka imeet chetyre storony. tak kak belyh i golubyh kletok porovnu, obschee chislo storon, poschitannyh s intsidentnostyu k belym kletkam, ravno takomu zhe obschemu chislu dlya golubyh kletok. vychitaya iz etih ravnyh velichin ravnye summy okrashennyh…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities","title":"Попарная достижимость в ориентированном графе, УТЮМ 2008","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2008, старшая группа, первая лига, матбой 4, 6. Ориентированные дороги между 2007 городами (официальный архив)"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: старшая группа, первая лига, математический бой 4.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 2007 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами с односторонним движением. Известно, что для любых двух городов A и B можно проехать либо из A в B, либо из B в A (а возможно, и в обоих направлениях), не нарушая правил дорожного движения; при этом маршрут может проходить и через другие города. Докажите, что найдется город X такой, что из X можно попасть как минимум в 1003 других города и в X можно попасть как минимум из 1003 других городов.","definition_ids":["directed_graph","path","hamiltonian_path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Попарная достижимость в орграфе","status":"ai_checked","text":"Пусть m >= 0. Дан ориентированный граф на 2m + 1 вершинах. Для любых двух вершин A и B существует ориентированный путь либо из A в B, либо из B в A. Докажите, что найдётся вершина X, из которой достижимы как минимум m других вершин и в которую достижимы как минимум m других вершин.","definition_ids":["directed_graph","path","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","hamiltonian_path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Доказательство сразу переформулирует задачу в терминах ориентированного графа G на 2007 вершинах. Первый способ: строится граф G' на том же множестве вершин, где ребро a -> b проводится тогда и только тогда, когда в исходном графе G существует путь из a в b. В G' между любыми двумя вершинами есть хотя бы одно ребро, поэтому в нем существует гамильтонов путь. Затем каждое ребро этого пути заменяется соответствующим путем в исходном графе G. Получается маршрут, проходящий через все вершины. Если занумеровать вершины в порядке их первого появления на этом маршруте, то вершина с номером 1004 достижима из первых 1003 вершин и из нее достижимы последние 1003 вершины. Второй способ: доказывается лемма, что в любом множестве B вершин найдется вершина b, в которую можно попасть из всех остальных вершин множества B. После этого берут произвольную вершину a. Если из a достижимо менее 1003 вершин,…"}],"relations":[{"id":"rel-baltic-way-1992-utyum-2008-directed-reachability-median","neighbor_id":"baltic-way-1992-p14-mother-vertex-reachability","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities попарная достижимость в ориентированном графе, утюм 2008 connectivity goal_construction 2008 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural31.zip misc misc2008 official_archive src-utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities-official with_solution утюм утюм 2008, старшая группа, первая лига, матбой 4, 6. ориентированные дороги между 2007 городами (официальный архив) утюм2008 ? утюм 2008, старшая группа, первая лига, матбой 4, 6. ориентированные дороги между 2007 городами (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 2007 городов. некоторые пары городов соединены дорогами с односторонним движением. известно, что для любых двух городов a и b можно проехать либо из a в b, либо из b в a (а возможно, и в обоих направлениях), не нарушая правил дорожного движения; при этом маршрут может проходить и через другие города. докажите, что найдется город x такой, что из x можно попасть как минимум в 1003 других города и в x можно попасть как минимум из 1003 других городов. directed_graph path hamiltonian_path stmt-graph попарная достижимость в орграфе ai_checked пусть m >= 0. дан ориентированный граф на 2m + 1 вершинах. для любых двух вершин a и b существует ориентированный путь либо из a в b, либо из b в a. докажите, что найдётся вершина x, из которой достижимы как минимум m других вершин и в которую достижимы как минимум m других вершин. directed_graph path hamiltonian_path sol-official решение ai_checked directed_graph path hamiltonian_path доказательство сразу переформулирует задачу в терминах ориентированного графа g на 2007 вершинах. первый способ: строится граф g' на том же множестве вершин, где ребро a -> b проводится тогда и только тогда, когда в исходном графе g существует путь из a в b. в g' между любыми двумя вершинами есть хотя бы одно ребро, поэтому в нем существует гамильтонов путь. затем каждое ребро этого пути заменяется соответствующим путем в исходном графе g. получается маршрут, проходящий через все вершины. если занумеровать вершины в порядке их первого появления на этом маршруте, то вершина с номером 1004 достижима из первых 1003 вершин и из нее достижимы последние 1003 вершины. второй способ: доказывается лемма, что в любом множестве b вершин найдется вершина b, в которую можно попасть из всех остальных вершин множества b. после этого берут произвольную вершину a. если из a достижимо менее 1003 вершин,… utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities poparnaya dostizhimost v orientirovannom grafe, utyum 2008 connectivity goal_construction 2008 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural31.zip misc misc2008 official_archive src-utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities-official with_solution utyum utyum 2008, starshaya gruppa, pervaya liga, matboy 4, 6. orientirovannye dorogi mezhdu 2007 gorodami (ofitsialnyy arhiv) utyum2008 ? utyum 2008, starshaya gruppa, pervaya liga, matboy 4, 6. orientirovannye dorogi mezhdu 2007 gorodami (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 2007 gorodov. nekotorye pary gorodov soedineny dorogami s odnostoronnim dvizheniem. izvestno, chto dlya lyubyh dvuh gorodov a i b mozhno proehat libo iz a v b, libo iz b v a (a vozmozhno, i v oboih napravleniyah), ne narushaya pravil dorozhnogo dvizheniya; pri etom marshrut mozhet prohodit i cherez drugie goroda. dokazhite, chto naydetsya gorod x takoy, chto iz x mozhno popast kak minimum v 1003 drugih goroda i v x mozhno popast kak minimum iz 1003 drugih gorodov. directed_graph path hamiltonian_path stmt-graph poparnaya dostizhimost v orgrafe ai_checked pust m >= 0. dan orientirovannyy graf na 2m + 1 vershinah. dlya lyubyh dvuh vershin a i b suschestvuet orientirovannyy put libo iz a v b, libo iz b v a. dokazhite, chto naydetsya vershina x, iz kotoroy dostizhimy kak minimum m drugih vershin i v kotoruyu dostizhimy kak minimum m drugih vershin. directed_graph path hamiltonian_path sol-official reshenie ai_checked directed_graph path hamiltonian_path dokazatelstvo srazu pereformuliruet zadachu v terminah orientirovannogo grafa g na 2007 vershinah. pervyy sposob: stroitsya graf g' na tom zhe mnozhestve vershin, gde rebro a -> b provoditsya togda i tolko togda, kogda v ishodnom grafe g suschestvuet put iz a v b. v g' mezhdu lyubymi dvumya vershinami est hotya by odno rebro, poetomu v nem suschestvuet gamiltonov put. zatem kazhdoe rebro etogo puti zamenyaetsya sootvetstvuyuschim putem v ishodnom grafe g. poluchaetsya marshrut, prohodyaschiy cherez vse vershiny. esli zanumerovat vershiny v poryadke ih pervogo poyavleniya na etom marshrute, to vershina s nomerom 1004 dostizhima iz pervyh 1003 vershin i iz nee dostizhimy poslednie 1003 vershiny. vtoroy sposob: dokazyvaetsya lemma, chto v lyubom mnozhestve b vershin naydetsya vershina b, v kotoruyu mozhno popast iz vseh ostalnyh vershin mnozhestva b. posle etogo berut proizvolnuyu vershinu a. esli iz a dostizhimo menee 1003 vershin,…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges","title":"Эйлеровы маршруты на цикле с удвоенными рёбрами, УТЮМ 2010","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2010, старшая группа, первая лига, матбой 4, 4. Острова по кругу и двойные мосты (официальный архив)"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: старшая группа, первая лига, математический бой 4.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"По кругу расположены n (n > 2) островов, на одном из них стоит замок. Между любыми двумя соседними островами построены два моста. Найдите количество маршрутов, начинающихся и заканчивающихся на острове с замком и проходящих по каждому мосту ровно один раз.","definition_ids":["multigraph","cycle","eulerian_cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Эйлеровы циклы в удвоенном цикле","status":"ai_checked","text":"Рассматривается циклический мультиграф на n вершинах, в котором каждая пара соседних вершин соединена двумя параллельными рёбрами. Одна вершина выделена. Сколько существует эйлеровых циклов, начинающихся и заканчивающихся в выделенной вершине?","definition_ids":["multigraph","cycle","eulerian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["multigraph","cycle","eulerian_cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Доказательство разбивает все искомые эйлеровы обходы на два типа. Первый тип: маршрут дважды обходит весь круг в одном и том же направлении. Для каждого из двух направлений при первом переходе между соседними островами можно независимо выбрать один из двух мостов, поэтому таких маршрутов получается по 2^n в каждом направлении, всего 2^(n+1). Второй тип: маршрут в некоторой вершине разворачивается, затем делает полный круг с другой стороны, снова разворачивается и возвращается в замок. Для каждого фиксированного острова разворота и каждого направления снова остается по 2^n выборов мостов, то есть получается n * 2^(n+1) маршрутов. Складывая оба случая, получаем общее число маршрутов: 2^(n+1) + n * 2^(n+1) = 2^(n+1)(n + 1)."}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2010-islands-eulerian-criterion","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2010-islands-yumt-2020-eulerian","neighbor_id":"yumt-2020-start-round2-problem4","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges эйлеровы маршруты на цикле с удвоенными рёбрами, утюм 2010 eulerian_graphs goal_counting 2010 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural36.zip misc misc2010 official_archive src-utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges-official with_solution утюм утюм 2010, старшая группа, первая лига, матбой 4, 4. острова по кругу и двойные мосты (официальный архив) утюм2010 ? утюм 2010, старшая группа, первая лига, матбой 4, 4. острова по кругу и двойные мосты (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked по кругу расположены n (n > 2) островов, на одном из них стоит замок. между любыми двумя соседними островами построены два моста. найдите количество маршрутов, начинающихся и заканчивающихся на острове с замком и проходящих по каждому мосту ровно один раз. multigraph cycle eulerian_cycle stmt-graph эйлеровы циклы в удвоенном цикле ai_checked рассматривается циклический мультиграф на n вершинах, в котором каждая пара соседних вершин соединена двумя параллельными рёбрами. одна вершина выделена. сколько существует эйлеровых циклов, начинающихся и заканчивающихся в выделенной вершине? multigraph cycle eulerian_cycle sol-official решение ai_checked multigraph cycle eulerian_cycle доказательство разбивает все искомые эйлеровы обходы на два типа. первый тип: маршрут дважды обходит весь круг в одном и том же направлении. для каждого из двух направлений при первом переходе между соседними островами можно независимо выбрать один из двух мостов, поэтому таких маршрутов получается по 2^n в каждом направлении, всего 2^(n+1). второй тип: маршрут в некоторой вершине разворачивается, затем делает полный круг с другой стороны, снова разворачивается и возвращается в замок. для каждого фиксированного острова разворота и каждого направления снова остается по 2^n выборов мостов, то есть получается n * 2^(n+1) маршрутов. складывая оба случая, получаем общее число маршрутов: 2^(n+1) + n * 2^(n+1) = 2^(n+1)(n + 1). utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges eylerovy marshruty na tsikle s udvoennymi rebrami, utyum 2010 eulerian_graphs goal_counting 2010 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural36.zip misc misc2010 official_archive src-utyum-2010_tur4_36_4_islands_bridges-official with_solution utyum utyum 2010, starshaya gruppa, pervaya liga, matboy 4, 4. ostrova po krugu i dvoynye mosty (ofitsialnyy arhiv) utyum2010 ? utyum 2010, starshaya gruppa, pervaya liga, matboy 4, 4. ostrova po krugu i dvoynye mosty (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked po krugu raspolozheny n (n > 2) ostrovov, na odnom iz nih stoit zamok. mezhdu lyubymi dvumya sosednimi ostrovami postroeny dva mosta. naydite kolichestvo marshrutov, nachinayuschihsya i zakanchivayuschihsya na ostrove s zamkom i prohodyaschih po kazhdomu mostu rovno odin raz. multigraph cycle eulerian_cycle stmt-graph eylerovy tsikly v udvoennom tsikle ai_checked rassmatrivaetsya tsiklicheskiy multigraf na n vershinah, v kotorom kazhdaya para sosednih vershin soedinena dvumya parallelnymi rebrami. odna vershina vydelena. skolko suschestvuet eylerovyh tsiklov, nachinayuschihsya i zakanchivayuschihsya v vydelennoy vershine? multigraph cycle eulerian_cycle sol-official reshenie ai_checked multigraph cycle eulerian_cycle dokazatelstvo razbivaet vse iskomye eylerovy obhody na dva tipa. pervyy tip: marshrut dvazhdy obhodit ves krug v odnom i tom zhe napravlenii. dlya kazhdogo iz dvuh napravleniy pri pervom perehode mezhdu sosednimi ostrovami mozhno nezavisimo vybrat odin iz dvuh mostov, poetomu takih marshrutov poluchaetsya po 2^n v kazhdom napravlenii, vsego 2^(n+1). vtoroy tip: marshrut v nekotoroy vershine razvorachivaetsya, zatem delaet polnyy krug s drugoy storony, snova razvorachivaetsya i vozvraschaetsya v zamok. dlya kazhdogo fiksirovannogo ostrova razvorota i kazhdogo napravleniya snova ostaetsya po 2^n vyborov mostov, to est poluchaetsya n * 2^(n+1) marshrutov. skladyvaya oba sluchaya, poluchaem obschee chislo marshrutov: 2^(n+1) + n * 2^(n+1) = 2^(n+1)(n + 1).","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2011_tur4_37_8_equal_sums_bipartite_graph","title":"Разрушение равных сумм строк и столбцов в таблице 50x50, УТЮМ 2011","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2011_tur4_37_8_equal_sums_bipartite_graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2011_tur4_37_8_equal_sums_bipartite_graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2011_tur4_37_8_equal_sums_bipartite_graph","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2011, младшая группа, высшая лига, матбой 4, 2. Равные суммы по строкам и столбцам в таблице 50x50 (официальный архив)"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","matching","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: младшая группа, высшая лига, математический бой 4.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Таблица 50x50 заполнена натуральными числами так, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-weighted-bipartite-support","title":"Различные весовые суммы в двудольном графе","status":"ai_checked","text":"В двудольном графе с 50 вершинами-строками и 50 вершинами-столбцами каждое ребро имеет ненулевой целый вес. Весовая сумма вершины равна сумме весов инцидентных ей рёбер; у изолированной вершины эта сумма равна 0. Найдите минимальное число рёбер, при котором можно выбрать граф и веса так, чтобы все 100 весовых сумм вершин были попарно различны.","definition_ids":["bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 66. Пусть исходная общая сумма каждой строки и каждого столбца равна S. Построим двудольный граф: одна доля — 50 строк, другая — 50 столбцов, а изменённой клетке соответствует ребро между её строкой и её столбцом. Если число в клетке изменили на d, то вес этого ребра равен d. Тогда новая сумма в каждой строке или столбце равна S плюс сумма весов инцидентных рёбер. Значит, надо сделать попарно различными именно эти 100 весовых сумм вершин, а не степени вершин. Докажем нижнюю оценку. Рассмотрим граф, состоящий только из изменённых клеток, и его компоненты связности. Компонента из двух вершин невозможна: это одна строка и один столбец, соединённые единственным изменённым числом, поэтому обе соответствующие суммы изменятся на одно и то же d и останутся равными. Изолированная вершина может быть не более одной, иначе две неизменённые строки или столбца также имели бы одинаковую сумму S…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-2011_tur4_37_8_equal_sums_bipartite_graph разрушение равных сумм строк и столбцов в таблице 50x50, утюм 2011 double_counting matching goal_exact_bound 2011 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural37.zip misc misc2011 official_archive src-utyum-2011_tur4_37_8_equal_sums_bipartite_graph-official with_solution утюм утюм 2011, младшая группа, высшая лига, матбой 4, 2. равные суммы по строкам и столбцам в таблице 50x50 (официальный архив) утюм2011 ? утюм 2011, младшая группа, высшая лига, матбой 4, 2. равные суммы по строкам и столбцам в таблице 50x50 (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked таблица 50x50 заполнена натуральными числами так, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны? stmt-graph-weighted-bipartite-support различные весовые суммы в двудольном графе ai_checked в двудольном графе с 50 вершинами-строками и 50 вершинами-столбцами каждое ребро имеет ненулевой целый вес. весовая сумма вершины равна сумме весов инцидентных ей рёбер; у изолированной вершины эта сумма равна 0. найдите минимальное число рёбер, при котором можно выбрать граф и веса так, чтобы все 100 весовых сумм вершин были попарно различны. bipartite_graph sol-official решение ai_checked bipartite_graph ответ: 66. пусть исходная общая сумма каждой строки и каждого столбца равна s. построим двудольный граф: одна доля — 50 строк, другая — 50 столбцов, а изменённой клетке соответствует ребро между её строкой и её столбцом. если число в клетке изменили на d, то вес этого ребра равен d. тогда новая сумма в каждой строке или столбце равна s плюс сумма весов инцидентных рёбер. значит, надо сделать попарно различными именно эти 100 весовых сумм вершин, а не степени вершин. докажем нижнюю оценку. рассмотрим граф, состоящий только из изменённых клеток, и его компоненты связности. компонента из двух вершин невозможна: это одна строка и один столбец, соединённые единственным изменённым числом, поэтому обе соответствующие суммы изменятся на одно и то же d и останутся равными. изолированная вершина может быть не более одной, иначе две неизменённые строки или столбца также имели бы одинаковую сумму s… utyum-2011_tur4_37_8_equal_sums_bipartite_graph razrushenie ravnyh summ strok i stolbtsov v tablitse 50x50, utyum 2011 double_counting matching goal_exact_bound 2011 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural37.zip misc misc2011 official_archive src-utyum-2011_tur4_37_8_equal_sums_bipartite_graph-official with_solution utyum utyum 2011, mladshaya gruppa, vysshaya liga, matboy 4, 2. ravnye summy po strokam i stolbtsam v tablitse 50x50 (ofitsialnyy arhiv) utyum2011 ? utyum 2011, mladshaya gruppa, vysshaya liga, matboy 4, 2. ravnye summy po strokam i stolbtsam v tablitse 50x50 (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked tablitsa 50x50 zapolnena naturalnymi chislami tak, chto vse summy chisel po strokam i stolbtsam ravny. kakoe naimenshee kolichestvo chisel nado izmenit, chtoby vse eti 100 summ stali poparno razlichny? stmt-graph-weighted-bipartite-support razlichnye vesovye summy v dvudolnom grafe ai_checked v dvudolnom grafe s 50 vershinami-strokami i 50 vershinami-stolbtsami kazhdoe rebro imeet nenulevoy tselyy ves. vesovaya summa vershiny ravna summe vesov intsidentnyh ey reber; u izolirovannoy vershiny eta summa ravna 0. naydite minimalnoe chislo reber, pri kotorom mozhno vybrat graf i vesa tak, chtoby vse 100 vesovyh summ vershin byli poparno razlichny. bipartite_graph sol-official reshenie ai_checked bipartite_graph otvet: 66. pust ishodnaya obschaya summa kazhdoy stroki i kazhdogo stolbtsa ravna s. postroim dvudolnyy graf: odna dolya — 50 strok, drugaya — 50 stolbtsov, a izmenennoy kletke sootvetstvuet rebro mezhdu ee strokoy i ee stolbtsom. esli chislo v kletke izmenili na d, to ves etogo rebra raven d. togda novaya summa v kazhdoy stroke ili stolbtse ravna s plyus summa vesov intsidentnyh reber. znachit, nado sdelat poparno razlichnymi imenno eti 100 vesovyh summ vershin, a ne stepeni vershin. dokazhem nizhnyuyu otsenku. rassmotrim graf, sostoyaschiy tolko iz izmenennyh kletok, i ego komponenty svyaznosti. komponenta iz dvuh vershin nevozmozhna: eto odna stroka i odin stolbets, soedinennye edinstvennym izmenennym chislom, poetomu obe sootvetstvuyuschie summy izmenyatsya na odno i to zhe d i ostanutsya ravnymi. izolirovannaya vershina mozhet byt ne bolee odnoy, inache dve neizmenennye stroki ili stolbtsa takzhe imeli by odinakovuyu summu s…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2012_komol39_5_republic_in_complete_graph","title":"Размер республики с равными внутренними и внешними рёбрами в K100, УТЮМ 2012","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2012_komol39_5_republic_in_complete_graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2012_komol39_5_republic_in_complete_graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2012_komol39_5_republic_in_complete_graph","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2012, командная математическая олимпиада, младшие, 5. Республика, отделённая от страны со 100 городами (официальный архив)"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_classification"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная математическая олимпиада, младшая группа.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В некоторой стране 100 городов. Любые два города этой страны соединены дорогой. От этой страны отделилась независимая республика, причем количество дорог, соединяющих города этой республики, равно количеству дорог, ведущих из республики в остальные города этой страны. Сколько городов в отделившейся республике? Приведите все варианты и докажите, что других нет.","definition_ids":["complete_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Равенство внутренних и граничных рёбер в K100","status":"ai_checked","text":"В полном графе \\(K_{100}\\) выделено непустое множество вершин \\(S\\). Число рёбер внутри \\(S\\) равно числу рёбер между \\(S\\) и дополнением \\(V\\setminus S\\). Найдите все возможные значения \\(|S|\\).","definition_ids":["complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть в отделившейся республике x городов. Тогда число дорог между ее городами равно x(x - 1) / 2, поскольку внутри республики получаем полный граф на x вершинах. Число дорог из республики во внешнюю часть равно x(100 - x). По условию x(x - 1) / 2 = x(100 - x). Так как x > 0, сокращаем на x: (x - 1) / 2 = 100 - x. Отсюда 3x = 201, следовательно, x = 67. Итак, возможен только один ответ: 67 городов."}],"relations":[],"search_text":"utyum-2012_komol39_5_republic_in_complete_graph размер республики с равными внутренними и внешними рёбрами в k100, утюм 2012 goal_classification 2012 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural39.zip misc misc2012 official_archive src-utyum-2012_komol39_5_republic_in_complete_graph-official with_solution утюм утюм 2012, командная математическая олимпиада, младшие, 5. республика, отделённая от страны со 100 городами (официальный архив) утюм2012 ? утюм 2012, командная математическая олимпиада, младшие, 5. республика, отделённая от страны со 100 городами (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в некоторой стране 100 городов. любые два города этой страны соединены дорогой. от этой страны отделилась независимая республика, причем количество дорог, соединяющих города этой республики, равно количеству дорог, ведущих из республики в остальные города этой страны. сколько городов в отделившейся республике? приведите все варианты и докажите, что других нет. complete_graph stmt-graph равенство внутренних и граничных рёбер в k100 ai_checked в полном графе \\(k_{100}\\) выделено непустое множество вершин \\(s\\). число рёбер внутри \\(s\\) равно числу рёбер между \\(s\\) и дополнением \\(v\\setminus s\\). найдите все возможные значения \\(|s|\\). complete_graph sol-official решение ai_checked complete_graph пусть в отделившейся республике x городов. тогда число дорог между ее городами равно x(x - 1) / 2, поскольку внутри республики получаем полный граф на x вершинах. число дорог из республики во внешнюю часть равно x(100 - x). по условию x(x - 1) / 2 = x(100 - x). так как x > 0, сокращаем на x: (x - 1) / 2 = 100 - x. отсюда 3x = 201, следовательно, x = 67. итак, возможен только один ответ: 67 городов. utyum-2012_komol39_5_republic_in_complete_graph razmer respubliki s ravnymi vnutrennimi i vneshnimi rebrami v k100, utyum 2012 goal_classification 2012 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural39.zip misc misc2012 official_archive src-utyum-2012_komol39_5_republic_in_complete_graph-official with_solution utyum utyum 2012, komandnaya matematicheskaya olimpiada, mladshie, 5. respublika, otdelennaya ot strany so 100 gorodami (ofitsialnyy arhiv) utyum2012 ? utyum 2012, komandnaya matematicheskaya olimpiada, mladshie, 5. respublika, otdelennaya ot strany so 100 gorodami (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v nekotoroy strane 100 gorodov. lyubye dva goroda etoy strany soedineny dorogoy. ot etoy strany otdelilas nezavisimaya respublika, prichem kolichestvo dorog, soedinyayuschih goroda etoy respubliki, ravno kolichestvu dorog, veduschih iz respubliki v ostalnye goroda etoy strany. skolko gorodov v otdelivsheysya respublike? privedite vse varianty i dokazhite, chto drugih net. complete_graph stmt-graph ravenstvo vnutrennih i granichnyh reber v k100 ai_checked v polnom grafe \\(k_{100}\\) vydeleno nepustoe mnozhestvo vershin \\(s\\). chislo reber vnutri \\(s\\) ravno chislu reber mezhdu \\(s\\) i dopolneniem \\(v\\setminus s\\). naydite vse vozmozhnye znacheniya \\(|s|\\). complete_graph sol-official reshenie ai_checked complete_graph pust v otdelivsheysya respublike x gorodov. togda chislo dorog mezhdu ee gorodami ravno x(x - 1) / 2, poskolku vnutri respubliki poluchaem polnyy graf na x vershinah. chislo dorog iz respubliki vo vneshnyuyu chast ravno x(100 - x). po usloviyu x(x - 1) / 2 = x(100 - x). tak kak x > 0, sokraschaem na x: (x - 1) / 2 = 100 - x. otsyuda 3x = 201, sledovatelno, x = 67. itak, vozmozhen tolko odin otvet: 67 gorodov.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2012_komol39_8_binary_tree_ordering","title":"Линейная укладка графа степени не выше 3 с короткими рёбрами, УТЮМ 2012","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2012_komol39_8_binary_tree_ordering.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2012_komol39_8_binary_tree_ordering.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2012_komol39_8_binary_tree_ordering","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2012, командная математическая олимпиада, стартовая группа, 8. Можно ли граф знакомств ограниченной степени расставить в ряд? (официальный архив)"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная математическая олимпиада, старт-группа.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В лагере 20122012 детей, у каждого не более трех друзей. Всегда ли можно их построить в ряд так, чтобы между любыми двумя друзьями стояло не более чем 2012 человек?","definition_ids":["tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Линейная укладка графа степени не выше 3","status":"ai_checked","text":"Дан граф на 20122012 вершинах, степень каждой вершины не превосходит 3. Можно ли упорядочить его вершины в ряд так, чтобы между любыми двумя смежными вершинами стояло не более 2012 других вершин?","definition_ids":["degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: не всегда. Построим контрпример. Возьмём полное двоичное дерево глубины 18: есть корень, у него два сына, у каждого невисячего узла по два сына, и последний уровень имеет 2^18 вершин. Всего в таком дереве 2^19 - 1 = 524287 вершин, поэтому до 20122012 детей можно добрать изолированными вершинами. Степень каждой вершины получившегося графа не превосходит 3. Предположим, что всех детей удалось поставить в ряд так, что между любыми двумя друзьями стоит не более 2012 человек. Тогда позиции двух смежных вершин в ряду отличаются не более чем на 2013. Если корень стоит на позиции p, то любая вершина 18-го уровня, соединённая с корнем путём из 18 рёбер, должна стоять на расстоянии не более 18·2013 от p. Значит, все вершины 18-го уровня должны попасть в отрезок из не более чем 2·18·2013 + 1 = 72469 позиций. Но на 18-м уровне 2^18 = 262144 вершины, а 262144 > 72469. Противоречие. Следовател…"}],"relations":[{"id":"rel-metadata-pass-utyum-2012-imo-2005-c2-binary-tree-induction","neighbor_id":"imo-2005-c2-dynastic-vertices-forest","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"utyum-2012_komol39_8_binary_tree_ordering линейная укладка графа степени не выше 3 с короткими рёбрами, утюм 2012 trees goal_counting 2012 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural39.zip misc misc2012 official_archive src-utyum-2012_komol39_8_binary_tree_ordering-official with_solution утюм утюм 2012, командная математическая олимпиада, стартовая группа, 8. можно ли граф знакомств ограниченной степени расставить в ряд? (официальный архив) утюм2012 ? утюм 2012, командная математическая олимпиада, стартовая группа, 8. можно ли граф знакомств ограниченной степени расставить в ряд? (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в лагере 20122012 детей, у каждого не более трех друзей. всегда ли можно их построить в ряд так, чтобы между любыми двумя друзьями стояло не более чем 2012 человек? tree stmt-graph линейная укладка графа степени не выше 3 ai_checked дан граф на 20122012 вершинах, степень каждой вершины не превосходит 3. можно ли упорядочить его вершины в ряд так, чтобы между любыми двумя смежными вершинами стояло не более 2012 других вершин? degree sol-official решение ai_checked tree ответ: не всегда. построим контрпример. возьмём полное двоичное дерево глубины 18: есть корень, у него два сына, у каждого невисячего узла по два сына, и последний уровень имеет 2^18 вершин. всего в таком дереве 2^19 - 1 = 524287 вершин, поэтому до 20122012 детей можно добрать изолированными вершинами. степень каждой вершины получившегося графа не превосходит 3. предположим, что всех детей удалось поставить в ряд так, что между любыми двумя друзьями стоит не более 2012 человек. тогда позиции двух смежных вершин в ряду отличаются не более чем на 2013. если корень стоит на позиции p, то любая вершина 18-го уровня, соединённая с корнем путём из 18 рёбер, должна стоять на расстоянии не более 18·2013 от p. значит, все вершины 18-го уровня должны попасть в отрезок из не более чем 2·18·2013 + 1 = 72469 позиций. но на 18-м уровне 2^18 = 262144 вершины, а 262144 > 72469. противоречие. следовател… utyum-2012_komol39_8_binary_tree_ordering lineynaya ukladka grafa stepeni ne vyshe 3 s korotkimi rebrami, utyum 2012 trees goal_counting 2012 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural39.zip misc misc2012 official_archive src-utyum-2012_komol39_8_binary_tree_ordering-official with_solution utyum utyum 2012, komandnaya matematicheskaya olimpiada, startovaya gruppa, 8. mozhno li graf znakomstv ogranichennoy stepeni rasstavit v ryad? (ofitsialnyy arhiv) utyum2012 ? utyum 2012, komandnaya matematicheskaya olimpiada, startovaya gruppa, 8. mozhno li graf znakomstv ogranichennoy stepeni rasstavit v ryad? (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v lagere 20122012 detey, u kazhdogo ne bolee treh druzey. vsegda li mozhno ih postroit v ryad tak, chtoby mezhdu lyubymi dvumya druzyami stoyalo ne bolee chem 2012 chelovek? tree stmt-graph lineynaya ukladka grafa stepeni ne vyshe 3 ai_checked dan graf na 20122012 vershinah, stepen kazhdoy vershiny ne prevoshodit 3. mozhno li uporyadochit ego vershiny v ryad tak, chtoby mezhdu lyubymi dvumya smezhnymi vershinami stoyalo ne bolee 2012 drugih vershin? degree sol-official reshenie ai_checked tree otvet: ne vsegda. postroim kontrprimer. vozmem polnoe dvoichnoe derevo glubiny 18: est koren, u nego dva syna, u kazhdogo nevisyachego uzla po dva syna, i posledniy uroven imeet 2^18 vershin. vsego v takom dereve 2^19 - 1 = 524287 vershin, poetomu do 20122012 detey mozhno dobrat izolirovannymi vershinami. stepen kazhdoy vershiny poluchivshegosya grafa ne prevoshodit 3. predpolozhim, chto vseh detey udalos postavit v ryad tak, chto mezhdu lyubymi dvumya druzyami stoit ne bolee 2012 chelovek. togda pozitsii dvuh smezhnyh vershin v ryadu otlichayutsya ne bolee chem na 2013. esli koren stoit na pozitsii p, to lyubaya vershina 18-go urovnya, soedinennaya s kornem putem iz 18 reber, dolzhna stoyat na rasstoyanii ne bolee 18·2013 ot p. znachit, vse vershiny 18-go urovnya dolzhny popast v otrezok iz ne bolee chem 2·18·2013 + 1 = 72469 pozitsiy. no na 18-m urovne 2^18 = 262144 vershiny, a 262144 > 72469. protivorechie. sledovatel…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances","title":"Минимальный 4-регулярный граф с двумя общими соседями у смежных пар, УТЮМ 2016","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2016, стартовая группа, вторая лига, первый тур, 1. Каждый человек знает ровно четырёх других (официальный архив)"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: старт-группа, вторая лига, тур 1.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В группе людей каждый знает ровно четверых из остальных, а любые двое знакомых имеют ровно двух общих знакомых. Какое наименьшее число людей может быть в такой группе?","definition_ids":["simple_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"4-регулярный граф с двумя общими соседями","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф, в котором каждая вершина имеет степень 4, а любые две смежные вершины имеют ровно двух общих соседей. Найдите минимально возможное число вершин.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 6. В доказательстве сначала приводится пример на 6 людях: берутся вершины и ребра октаэдра. У каждой вершины степень 4, а любые две соседние вершины имеют ровно двух общих соседей. Затем доказывается нижняя оценка. Очевидно, людей не меньше пяти. Но если бы их было ровно 5, то человек, знающий четверых, знал бы всех остальных, то есть граф знакомств был бы полным. Тогда любые двое знакомых имели бы уже трех общих знакомых, что противоречит условию. Значит, минимальное число людей равно 6."}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2016-octahedron-imo-1995-codegree","neighbor_id":"imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances минимальный 4-регулярный граф с двумя общими соседями у смежных пар, утюм 2016 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2016 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural47.zip misc misc2016 official_archive src-utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances-official with_solution утюм утюм 2016, стартовая группа, вторая лига, первый тур, 1. каждый человек знает ровно четырёх других (официальный архив) утюм2016 ? утюм 2016, стартовая группа, вторая лига, первый тур, 1. каждый человек знает ровно четырёх других (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в группе людей каждый знает ровно четверых из остальных, а любые двое знакомых имеют ровно двух общих знакомых. какое наименьшее число людей может быть в такой группе? simple_graph degree stmt-graph 4-регулярный граф с двумя общими соседями ai_checked дан простой граф, в котором каждая вершина имеет степень 4, а любые две смежные вершины имеют ровно двух общих соседей. найдите минимально возможное число вершин. simple_graph degree sol-official решение ai_checked simple_graph degree ответ: 6. в доказательстве сначала приводится пример на 6 людях: берутся вершины и ребра октаэдра. у каждой вершины степень 4, а любые две соседние вершины имеют ровно двух общих соседей. затем доказывается нижняя оценка. очевидно, людей не меньше пяти. но если бы их было ровно 5, то человек, знающий четверых, знал бы всех остальных, то есть граф знакомств был бы полным. тогда любые двое знакомых имели бы уже трех общих знакомых, что противоречит условию. значит, минимальное число людей равно 6. utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances minimalnyy 4-regulyarnyy graf s dvumya obschimi sosedyami u smezhnyh par, utyum 2016 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2016 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural47.zip misc misc2016 official_archive src-utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances-official with_solution utyum utyum 2016, startovaya gruppa, vtoraya liga, pervyy tur, 1. kazhdyy chelovek znaet rovno chetyreh drugih (ofitsialnyy arhiv) utyum2016 ? utyum 2016, startovaya gruppa, vtoraya liga, pervyy tur, 1. kazhdyy chelovek znaet rovno chetyreh drugih (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v gruppe lyudey kazhdyy znaet rovno chetveryh iz ostalnyh, a lyubye dvoe znakomyh imeyut rovno dvuh obschih znakomyh. kakoe naimenshee chislo lyudey mozhet byt v takoy gruppe? simple_graph degree stmt-graph 4-regulyarnyy graf s dvumya obschimi sosedyami ai_checked dan prostoy graf, v kotorom kazhdaya vershina imeet stepen 4, a lyubye dve smezhnye vershiny imeyut rovno dvuh obschih sosedey. naydite minimalno vozmozhnoe chislo vershin. simple_graph degree sol-official reshenie ai_checked simple_graph degree otvet: 6. v dokazatelstve snachala privoditsya primer na 6 lyudyah: berutsya vershiny i rebra oktaedra. u kazhdoy vershiny stepen 4, a lyubye dve sosednie vershiny imeyut rovno dvuh obschih sosedey. zatem dokazyvaetsya nizhnyaya otsenka. ochevidno, lyudey ne menshe pyati. no esli by ih bylo rovno 5, to chelovek, znayuschiy chetveryh, znal by vseh ostalnyh, to est graf znakomstv byl by polnym. togda lyubye dvoe znakomyh imeli by uzhe treh obschih znakomyh, chto protivorechit usloviyu. znachit, minimalnoe chislo lyudey ravno 6.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs","title":"Минимум рёбер при двух непересекающихся знакомствах в любой четвёрке, УТЮМ 2016","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2016, старшая группа, высшая лига, второй тур, 3. Минимальное число пар знакомых среди 25 школьников (официальный архив)"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","matching","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: старшая группа, высшая лига, тур 2.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В первый класс пришли 25 школьников. Некоторые дети знакомы друг с другом, а некоторые нет. Известно, что среди любых четырех школьников есть две непересекающиеся пары знакомых между собой. Какое наименьшее число пар знакомых школьников могло быть среди пришедших?","definition_ids":["simple_graph","matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Паросочетание размера 2 в каждой четвёрке","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф на 25 вершинах. Среди любых четырёх вершин можно выбрать две непересекающиеся смежные пары, то есть в каждом четырёхвершинном индуцированном подграфе есть паросочетание размера 2. Найдите минимально возможное число рёбер.","definition_ids":["simple_graph","matching"]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-graph-complement","title":"Формулировка через дополнительный граф","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(H\\) — граф незнакомых пар на 25 вершинах. Предположим, что в любом 4-элементном множестве вершин дополнительный граф к \\(H\\) содержит паросочетание размера 2. Докажите, что в \\(H\\) не более 25 рёбер.","definition_ids":["simple_graph","matching","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","matching","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 275. В доказательстве сначала выводится оценка снизу. Если бы какой-то школьник был незнаком хотя бы с тремя другими, то в четверке из него и этих троих не было бы двух непересекающихся знакомых пар. Значит, каждый школьник незнаком не более чем с двумя другими. Тогда пар незнакомых не более 25, а всего пар школьников C(25,2) = 300, поэтому знакомых пар не меньше 300 - 25 = 275. Затем приводится пример, достигающий этой оценки: 25 школьников сажают по кругу и знакомят всех, кроме соседей по кругу. Тогда у каждого ровно два незнакомых, а среди любых четырех школьников действительно найдутся две непересекающиеся пары знакомых. Следовательно, минимальное число пар знакомых равно 275."}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2006-acquaintance-pairs-utyum-2016-min-acquaintance-pairs","neighbor_id":"utyum-2006_ural27_8_acquaintance_pairs","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs минимум рёбер при двух непересекающихся знакомствах в любой четвёрке, утюм 2016 extremal_graph_theory matching goal_exact_bound 2016 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural47.zip misc misc2016 official_archive src-utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs-official with_solution утюм утюм 2016, старшая группа, высшая лига, второй тур, 3. минимальное число пар знакомых среди 25 школьников (официальный архив) утюм2016 ? утюм 2016, старшая группа, высшая лига, второй тур, 3. минимальное число пар знакомых среди 25 школьников (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в первый класс пришли 25 школьников. некоторые дети знакомы друг с другом, а некоторые нет. известно, что среди любых четырех школьников есть две непересекающиеся пары знакомых между собой. какое наименьшее число пар знакомых школьников могло быть среди пришедших? simple_graph matching stmt-graph паросочетание размера 2 в каждой четвёрке ai_checked дан простой граф на 25 вершинах. среди любых четырёх вершин можно выбрать две непересекающиеся смежные пары, то есть в каждом четырёхвершинном индуцированном подграфе есть паросочетание размера 2. найдите минимально возможное число рёбер. simple_graph matching stmt-graph-complement формулировка через дополнительный граф ai_checked пусть \\(h\\) — граф незнакомых пар на 25 вершинах. предположим, что в любом 4-элементном множестве вершин дополнительный граф к \\(h\\) содержит паросочетание размера 2. докажите, что в \\(h\\) не более 25 рёбер. simple_graph matching complement_graph sol-official решение ai_checked simple_graph matching degree ответ: 275. в доказательстве сначала выводится оценка снизу. если бы какой-то школьник был незнаком хотя бы с тремя другими, то в четверке из него и этих троих не было бы двух непересекающихся знакомых пар. значит, каждый школьник незнаком не более чем с двумя другими. тогда пар незнакомых не более 25, а всего пар школьников c(25,2) = 300, поэтому знакомых пар не меньше 300 - 25 = 275. затем приводится пример, достигающий этой оценки: 25 школьников сажают по кругу и знакомят всех, кроме соседей по кругу. тогда у каждого ровно два незнакомых, а среди любых четырех школьников действительно найдутся две непересекающиеся пары знакомых. следовательно, минимальное число пар знакомых равно 275. utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs minimum reber pri dvuh neperesekayuschihsya znakomstvah v lyuboy chetverke, utyum 2016 extremal_graph_theory matching goal_exact_bound 2016 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural47.zip misc misc2016 official_archive src-utyum-2016_tur2_3_min_acquaintance_pairs-official with_solution utyum utyum 2016, starshaya gruppa, vysshaya liga, vtoroy tur, 3. minimalnoe chislo par znakomyh sredi 25 shkolnikov (ofitsialnyy arhiv) utyum2016 ? utyum 2016, starshaya gruppa, vysshaya liga, vtoroy tur, 3. minimalnoe chislo par znakomyh sredi 25 shkolnikov (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v pervyy klass prishli 25 shkolnikov. nekotorye deti znakomy drug s drugom, a nekotorye net. izvestno, chto sredi lyubyh chetyreh shkolnikov est dve neperesekayuschiesya pary znakomyh mezhdu soboy. kakoe naimenshee chislo par znakomyh shkolnikov moglo byt sredi prishedshih? simple_graph matching stmt-graph parosochetanie razmera 2 v kazhdoy chetverke ai_checked dan prostoy graf na 25 vershinah. sredi lyubyh chetyreh vershin mozhno vybrat dve neperesekayuschiesya smezhnye pary, to est v kazhdom chetyrehvershinnom indutsirovannom podgrafe est parosochetanie razmera 2. naydite minimalno vozmozhnoe chislo reber. simple_graph matching stmt-graph-complement formulirovka cherez dopolnitelnyy graf ai_checked pust \\(h\\) — graf neznakomyh par na 25 vershinah. predpolozhim, chto v lyubom 4-elementnom mnozhestve vershin dopolnitelnyy graf k \\(h\\) soderzhit parosochetanie razmera 2. dokazhite, chto v \\(h\\) ne bolee 25 reber. simple_graph matching complement_graph sol-official reshenie ai_checked simple_graph matching degree otvet: 275. v dokazatelstve snachala vyvoditsya otsenka snizu. esli by kakoy-to shkolnik byl neznakom hotya by s tremya drugimi, to v chetverke iz nego i etih troih ne bylo by dvuh neperesekayuschihsya znakomyh par. znachit, kazhdyy shkolnik neznakom ne bolee chem s dvumya drugimi. togda par neznakomyh ne bolee 25, a vsego par shkolnikov c(25,2) = 300, poetomu znakomyh par ne menshe 300 - 25 = 275. zatem privoditsya primer, dostigayuschiy etoy otsenki: 25 shkolnikov sazhayut po krugu i znakomyat vseh, krome sosedey po krugu. togda u kazhdogo rovno dva neznakomyh, a sredi lyubyh chetyreh shkolnikov deystvitelno naydutsya dve neperesekayuschiesya pary znakomyh. sledovatelno, minimalnoe chislo par znakomyh ravno 275.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2018_komol_7_acquaintance_scores","title":"Двудольные знакомства и сравнение средних оценок, УТЮМ 2018","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2018_komol_7_acquaintance_scores.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2018_komol_7_acquaintance_scores.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2018_komol_7_acquaintance_scores","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2018, командная олимпиада, 7 класс, 3. Мальчики, девочки, знакомства и средние баллы (официальный архив)"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 7 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Группа из пяти мальчиков и пяти девочек сдавала тест, за который каждому ставилась оценка от 1 до 10. У каждой девочки есть хотя бы два знакомых мальчика, а у каждого мальчика есть хотя бы две знакомых девочки. Каждый мальчик получил оценку ниже, чем каждая из знакомых ему девочек. Может ли средняя оценка мальчиков оказаться выше, чем средняя оценка девочек?","definition_ids":["bipartite_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Оценки на вершинах двудольного графа","status":"ai_checked","text":"Дан двудольный граф между пятью мальчиками и пятью девочками; степень каждой вершины не меньше 2. Каждому участнику приписана оценка от 1 до 10, причём оценка каждого мальчика меньше оценки каждой смежной с ним девочки. Может ли средняя оценка мальчиков быть больше средней оценки девочек?","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: может. В доказательстве приводится явная конструкция графа знакомств. Три мальчика с оценками 9 знакомы только с двумя девочками с оценками 10, а два мальчика с оценками 1 знакомы только с тремя девочками с оценками 2. Тогда у каждой девочки есть хотя бы два знакомых мальчика, у каждого мальчика — хотя бы две знакомых девочки, и при этом каждый мальчик имеет оценку ниже оценок всех знакомых ему девочек. Средняя оценка мальчиков равна 5.8, а средняя оценка девочек равна 5.2, так что требуемая ситуация действительно возможна."}],"relations":[],"search_text":"utyum-2018_komol_7_acquaintance_scores двудольные знакомства и сравнение средних оценок, утюм 2018 double_counting goal_construction 2018 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc misc2018 official_archive src-utyum-2018_komol_7_acquaintance_scores-official with_solution утюм утюм 2018, командная олимпиада, 7 класс, 3. мальчики, девочки, знакомства и средние баллы (официальный архив) утюм2018 ? утюм 2018, командная олимпиада, 7 класс, 3. мальчики, девочки, знакомства и средние баллы (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked группа из пяти мальчиков и пяти девочек сдавала тест, за который каждому ставилась оценка от 1 до 10. у каждой девочки есть хотя бы два знакомых мальчика, а у каждого мальчика есть хотя бы две знакомых девочки. каждый мальчик получил оценку ниже, чем каждая из знакомых ему девочек. может ли средняя оценка мальчиков оказаться выше, чем средняя оценка девочек? bipartite_graph stmt-graph оценки на вершинах двудольного графа ai_checked дан двудольный граф между пятью мальчиками и пятью девочками; степень каждой вершины не меньше 2. каждому участнику приписана оценка от 1 до 10, причём оценка каждого мальчика меньше оценки каждой смежной с ним девочки. может ли средняя оценка мальчиков быть больше средней оценки девочек? bipartite_graph degree sol-official решение ai_checked bipartite_graph ответ: может. в доказательстве приводится явная конструкция графа знакомств. три мальчика с оценками 9 знакомы только с двумя девочками с оценками 10, а два мальчика с оценками 1 знакомы только с тремя девочками с оценками 2. тогда у каждой девочки есть хотя бы два знакомых мальчика, у каждого мальчика — хотя бы две знакомых девочки, и при этом каждый мальчик имеет оценку ниже оценок всех знакомых ему девочек. средняя оценка мальчиков равна 5.8, а средняя оценка девочек равна 5.2, так что требуемая ситуация действительно возможна. utyum-2018_komol_7_acquaintance_scores dvudolnye znakomstva i sravnenie srednih otsenok, utyum 2018 double_counting goal_construction 2018 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc misc2018 official_archive src-utyum-2018_komol_7_acquaintance_scores-official with_solution utyum utyum 2018, komandnaya olimpiada, 7 klass, 3. malchiki, devochki, znakomstva i srednie bally (ofitsialnyy arhiv) utyum2018 ? utyum 2018, komandnaya olimpiada, 7 klass, 3. malchiki, devochki, znakomstva i srednie bally (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked gruppa iz pyati malchikov i pyati devochek sdavala test, za kotoryy kazhdomu stavilas otsenka ot 1 do 10. u kazhdoy devochki est hotya by dva znakomyh malchika, a u kazhdogo malchika est hotya by dve znakomyh devochki. kazhdyy malchik poluchil otsenku nizhe, chem kazhdaya iz znakomyh emu devochek. mozhet li srednyaya otsenka malchikov okazatsya vyshe, chem srednyaya otsenka devochek? bipartite_graph stmt-graph otsenki na vershinah dvudolnogo grafa ai_checked dan dvudolnyy graf mezhdu pyatyu malchikami i pyatyu devochkami; stepen kazhdoy vershiny ne menshe 2. kazhdomu uchastniku pripisana otsenka ot 1 do 10, prichem otsenka kazhdogo malchika menshe otsenki kazhdoy smezhnoy s nim devochki. mozhet li srednyaya otsenka malchikov byt bolshe sredney otsenki devochek? bipartite_graph degree sol-official reshenie ai_checked bipartite_graph otvet: mozhet. v dokazatelstve privoditsya yavnaya konstruktsiya grafa znakomstv. tri malchika s otsenkami 9 znakomy tolko s dvumya devochkami s otsenkami 10, a dva malchika s otsenkami 1 znakomy tolko s tremya devochkami s otsenkami 2. togda u kazhdoy devochki est hotya by dva znakomyh malchika, u kazhdogo malchika — hotya by dve znakomyh devochki, i pri etom kazhdyy malchik imeet otsenku nizhe otsenok vseh znakomyh emu devochek. srednyaya otsenka malchikov ravna 5.8, a srednyaya otsenka devochek ravna 5.2, tak chto trebuemaya situatsiya deystvitelno vozmozhna.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game","title":"Игра на двудольных рёбрах до первого 4-цикла, УТЮМ 2018","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2018, командная олимпиада, 7 класс, 7. Красно-синие точки и первый 4-цикл (официальный архив)"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 7 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"По кругу расставлено 100 красных и 100 синих точек. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход можно соединить отрезком красную точку с синей, если они ещё не соединены. Выигрывает тот, кто первым получит цикл длины 4. Кто может обеспечить себе победу независимо от действий соперника?","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра до первого 4-цикла в K100,100","status":"ai_checked","text":"Два игрока по очереди выбирают ранее не выбранные рёбра полного двудольного графа \\(K_{100,100}\\); начинает первый. Выигрывает тот, кто первым выберет четыре ребра некоторого цикла длины 4. Кто имеет выигрышную стратегию?","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: Вася. В доказательстве рассматривается двудольный граф, вершинами которого служат красные и синие точки, а проведённые отрезки являются рёбрами. Цикл длины 4 может появиться только тогда, когда игрок соединяет концы уже существующей цепи длины 3. Значит, игрок, после хода которого возникает цепь длины 3, фактически проиграл. Поэтому нельзя присоединять новые рёбра к концам цепи длины 2. Стратегия Васи такова: после каждого хода Пети он соединяет ту же красную точку с некоторой синей точкой, которая до этого ни с чем не была соединена. После каждой пары ходов число изолированных синих точек уменьшается на 2, и после 50 ходов Васи каждая синяя точка оказывается концом цепи длины 2. Следующим ходом Петя неизбежно создаёт цепь длины 3 и проигрывает."}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2019-p5-utyum-2018-cycle-game","neighbor_id":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-utyum-2018-red-blue-cycle-imo-2004-4cycle","neighbor_id":"imo-2004-c3-delete-edge-from-4cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game игра на двудольных рёбрах до первого 4-цикла, утюм 2018 coloring goal_strategy_game 2018 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc misc2018 official_archive src-utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game-official with_solution утюм утюм 2018, командная олимпиада, 7 класс, 7. красно-синие точки и первый 4-цикл (официальный архив) утюм2018 ? утюм 2018, командная олимпиада, 7 класс, 7. красно-синие точки и первый 4-цикл (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked по кругу расставлено 100 красных и 100 синих точек. петя и вася ходят по очереди, начинает петя. за ход можно соединить отрезком красную точку с синей, если они ещё не соединены. выигрывает тот, кто первым получит цикл длины 4. кто может обеспечить себе победу независимо от действий соперника? bipartite_graph cycle stmt-graph игра до первого 4-цикла в k100,100 ai_checked два игрока по очереди выбирают ранее не выбранные рёбра полного двудольного графа \\(k_{100,100}\\); начинает первый. выигрывает тот, кто первым выберет четыре ребра некоторого цикла длины 4. кто имеет выигрышную стратегию? bipartite_graph cycle sol-official решение ai_checked bipartite_graph cycle ответ: вася. в доказательстве рассматривается двудольный граф, вершинами которого служат красные и синие точки, а проведённые отрезки являются рёбрами. цикл длины 4 может появиться только тогда, когда игрок соединяет концы уже существующей цепи длины 3. значит, игрок, после хода которого возникает цепь длины 3, фактически проиграл. поэтому нельзя присоединять новые рёбра к концам цепи длины 2. стратегия васи такова: после каждого хода пети он соединяет ту же красную точку с некоторой синей точкой, которая до этого ни с чем не была соединена. после каждой пары ходов число изолированных синих точек уменьшается на 2, и после 50 ходов васи каждая синяя точка оказывается концом цепи длины 2. следующим ходом петя неизбежно создаёт цепь длины 3 и проигрывает. utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game igra na dvudolnyh rebrah do pervogo 4-tsikla, utyum 2018 coloring goal_strategy_game 2018 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc misc2018 official_archive src-utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game-official with_solution utyum utyum 2018, komandnaya olimpiada, 7 klass, 7. krasno-sinie tochki i pervyy 4-tsikl (ofitsialnyy arhiv) utyum2018 ? utyum 2018, komandnaya olimpiada, 7 klass, 7. krasno-sinie tochki i pervyy 4-tsikl (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked po krugu rasstavleno 100 krasnyh i 100 sinih tochek. petya i vasya hodyat po ocheredi, nachinaet petya. za hod mozhno soedinit otrezkom krasnuyu tochku s siney, esli oni esche ne soedineny. vyigryvaet tot, kto pervym poluchit tsikl dliny 4. kto mozhet obespechit sebe pobedu nezavisimo ot deystviy sopernika? bipartite_graph cycle stmt-graph igra do pervogo 4-tsikla v k100,100 ai_checked dva igroka po ocheredi vybirayut ranee ne vybrannye rebra polnogo dvudolnogo grafa \\(k_{100,100}\\); nachinaet pervyy. vyigryvaet tot, kto pervym vyberet chetyre rebra nekotorogo tsikla dliny 4. kto imeet vyigryshnuyu strategiyu? bipartite_graph cycle sol-official reshenie ai_checked bipartite_graph cycle otvet: vasya. v dokazatelstve rassmatrivaetsya dvudolnyy graf, vershinami kotorogo sluzhat krasnye i sinie tochki, a provedennye otrezki yavlyayutsya rebrami. tsikl dliny 4 mozhet poyavitsya tolko togda, kogda igrok soedinyaet kontsy uzhe suschestvuyuschey tsepi dliny 3. znachit, igrok, posle hoda kotorogo voznikaet tsep dliny 3, fakticheski proigral. poetomu nelzya prisoedinyat novye rebra k kontsam tsepi dliny 2. strategiya vasi takova: posle kazhdogo hoda peti on soedinyaet tu zhe krasnuyu tochku s nekotoroy siney tochkoy, kotoraya do etogo ni s chem ne byla soedinena. posle kazhdoy pary hodov chislo izolirovannyh sinih tochek umenshaetsya na 2, i posle 50 hodov vasi kazhdaya sinyaya tochka okazyvaetsya kontsom tsepi dliny 2. sleduyuschim hodom petya neizbezhno sozdaet tsep dliny 3 i proigryvaet.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2018_lichol_6_strategic_cities","title":"Тотальное доминирование в связном графе, УТЮМ 2018","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2018_lichol_6_strategic_cities.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2018_lichol_6_strategic_cities.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2018_lichol_6_strategic_cities","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2018, личная олимпиада, 6 класс, 5. Стратегические города, достижимые одним перелётом (официальный архив)"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","connectivity","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: личная олимпиада, 6 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Некоторые из 2017 городов страны соединены прямыми двусторонними авиарейсами так, что из каждого города можно добраться до любого другого. Нужно выбрать k стратегически значимых городов так, чтобы из любого города, включая стратегически значимые, ровно за один перелёт можно было попасть в стратегически значимый город. При каком наименьшем k это наверняка можно сделать?","definition_ids":["connected_graph","tree","dominating_set"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Тотальное доминирующее множество","status":"ai_checked","text":"Дан связный граф на 2017 вершинах. Нужно выбрать \\(k\\) вершин так, чтобы каждая вершина графа, включая выбранные вершины, была смежна хотя бы с одной выбранной вершиной. При каком наименьшем \\(k\\) это всегда возможно?","definition_ids":["connected_graph","tree","dominating_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","tree","dominating_set"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(k=1344\\). Сначала уточним перевод на язык графов. Города - вершины, авиарейсы - рёбра. Нужно выбрать множество \\(S\\) вершин так, чтобы у каждой вершины был сосед из \\(S\\). Важно, что выбранная вершина тоже должна иметь выбранного соседа: попасть в стратегический город надо ровно за один перелёт, а не за ноль перелётов. Нижняя оценка. Построим связный граф на 2017 вершинах: возьмём центральную вершину \\(A\\) и для каждого \\(i=1,\\ldots,672\\) добавим путь \\(A-B_i-C_i-D_i\\). Всего вершин \\(1+3\\cdot672=2017\\). Рассмотрим любой подходящий набор \\(S\\). Вершина \\(D_i\\) имеет единственного соседа \\(C_i\\), значит обязательно \\(C_i\\in S\\). Но тогда сама вершина \\(C_i\\), будучи выбранной или нет, должна иметь выбранного соседа; её соседи - только \\(B_i\\) и \\(D_i\\), поэтому хотя бы одна из вершин \\(B_i,D_i\\) тоже должна лежать в \\(S\\). Значит для каждого \\(i\\) из тройки \\(B_i,C_i,D_i\\) выбра…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2018-strategic-utyum-2025-important-cities","neighbor_id":"utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2018_lichol_6_strategic_cities тотальное доминирование в связном графе, утюм 2018 trees connectivity goal_strategy_game 2018 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc misc2018 official_archive src-utyum-2018_lichol_6_strategic_cities-official with_solution утюм утюм 2018, личная олимпиада, 6 класс, 5. стратегические города, достижимые одним перелётом (официальный архив) утюм2018 ? утюм 2018, личная олимпиада, 6 класс, 5. стратегические города, достижимые одним перелётом (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked некоторые из 2017 городов страны соединены прямыми двусторонними авиарейсами так, что из каждого города можно добраться до любого другого. нужно выбрать k стратегически значимых городов так, чтобы из любого города, включая стратегически значимые, ровно за один перелёт можно было попасть в стратегически значимый город. при каком наименьшем k это наверняка можно сделать? connected_graph tree dominating_set stmt-graph тотальное доминирующее множество ai_checked дан связный граф на 2017 вершинах. нужно выбрать \\(k\\) вершин так, чтобы каждая вершина графа, включая выбранные вершины, была смежна хотя бы с одной выбранной вершиной. при каком наименьшем \\(k\\) это всегда возможно? connected_graph tree dominating_set idea-total-domination-not-closed-domination стратегический город тоже должен иметь стратегического соседа фраза «ровно за один перелёт» означает не обычное доминирование, а полное доминирование: каждая вершина, даже выбранная, должна иметь выбранного соседа. goal_bound ai_checked idea-tree-two-thirds-total-domination в дереве достаточно выбрать не больше двух третей вершин для любого дерева на \\(n\\ge3\\) вершинах есть полное доминирующее множество размера не больше \\(\\lfloor2n/3\\rfloor\\). связный граф можно сначала заменить его остовным деревом: если вершины доминируют дерево, они доминируют и исходный граф. trees induction ai_checked sol-official решение ai_checked connected_graph tree dominating_set delete_to_simplify ответ: \\(k=1344\\). сначала уточним перевод на язык графов. города - вершины, авиарейсы - рёбра. нужно выбрать множество \\(s\\) вершин так, чтобы у каждой вершины был сосед из \\(s\\). важно, что выбранная вершина тоже должна иметь выбранного соседа: попасть в стратегический город надо ровно за один перелёт, а не за ноль перелётов. нижняя оценка. построим связный граф на 2017 вершинах: возьмём центральную вершину \\(a\\) и для каждого \\(i=1,\\ldots,672\\) добавим путь \\(a-b_i-c_i-d_i\\). всего вершин \\(1+3\\cdot672=2017\\). рассмотрим любой подходящий набор \\(s\\). вершина \\(d_i\\) имеет единственного соседа \\(c_i\\), значит обязательно \\(c_i\\in s\\). но тогда сама вершина \\(c_i\\), будучи выбранной или нет, должна иметь выбранного соседа; её соседи - только \\(b_i\\) и \\(d_i\\), поэтому хотя бы одна из вершин \\(b_i,d_i\\) тоже должна лежать в \\(s\\). значит для каждого \\(i\\) из тройки \\(b_i,c_i,d_i\\) выбра… utyum-2018_lichol_6_strategic_cities totalnoe dominirovanie v svyaznom grafe, utyum 2018 trees connectivity goal_strategy_game 2018 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc misc2018 official_archive src-utyum-2018_lichol_6_strategic_cities-official with_solution utyum utyum 2018, lichnaya olimpiada, 6 klass, 5. strategicheskie goroda, dostizhimye odnim pereletom (ofitsialnyy arhiv) utyum2018 ? utyum 2018, lichnaya olimpiada, 6 klass, 5. strategicheskie goroda, dostizhimye odnim pereletom (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked nekotorye iz 2017 gorodov strany soedineny pryamymi dvustoronnimi aviareysami tak, chto iz kazhdogo goroda mozhno dobratsya do lyubogo drugogo. nuzhno vybrat k strategicheski znachimyh gorodov tak, chtoby iz lyubogo goroda, vklyuchaya strategicheski znachimye, rovno za odin perelet mozhno bylo popast v strategicheski znachimyy gorod. pri kakom naimenshem k eto navernyaka mozhno sdelat? connected_graph tree dominating_set stmt-graph totalnoe dominiruyuschee mnozhestvo ai_checked dan svyaznyy graf na 2017 vershinah. nuzhno vybrat \\(k\\) vershin tak, chtoby kazhdaya vershina grafa, vklyuchaya vybrannye vershiny, byla smezhna hotya by s odnoy vybrannoy vershinoy. pri kakom naimenshem \\(k\\) eto vsegda vozmozhno? connected_graph tree dominating_set idea-total-domination-not-closed-domination strategicheskiy gorod tozhe dolzhen imet strategicheskogo soseda fraza «rovno za odin perelet» oznachaet ne obychnoe dominirovanie, a polnoe dominirovanie: kazhdaya vershina, dazhe vybrannaya, dolzhna imet vybrannogo soseda. goal_bound ai_checked idea-tree-two-thirds-total-domination v dereve dostatochno vybrat ne bolshe dvuh tretey vershin dlya lyubogo dereva na \\(n\\ge3\\) vershinah est polnoe dominiruyuschee mnozhestvo razmera ne bolshe \\(\\lfloor2n/3\\rfloor\\). svyaznyy graf mozhno snachala zamenit ego ostovnym derevom: esli vershiny dominiruyut derevo, oni dominiruyut i ishodnyy graf. trees induction ai_checked sol-official reshenie ai_checked connected_graph tree dominating_set delete_to_simplify otvet: \\(k=1344\\). snachala utochnim perevod na yazyk grafov. goroda - vershiny, aviareysy - rebra. nuzhno vybrat mnozhestvo \\(s\\) vershin tak, chtoby u kazhdoy vershiny byl sosed iz \\(s\\). vazhno, chto vybrannaya vershina tozhe dolzhna imet vybrannogo soseda: popast v strategicheskiy gorod nado rovno za odin perelet, a ne za nol pereletov. nizhnyaya otsenka. postroim svyaznyy graf na 2017 vershinah: vozmem tsentralnuyu vershinu \\(a\\) i dlya kazhdogo \\(i=1,\\ldots,672\\) dobavim put \\(a-b_i-c_i-d_i\\). vsego vershin \\(1+3\\cdot672=2017\\). rassmotrim lyuboy podhodyaschiy nabor \\(s\\). vershina \\(d_i\\) imeet edinstvennogo soseda \\(c_i\\), znachit obyazatelno \\(c_i\\in s\\). no togda sama vershina \\(c_i\\), buduchi vybrannoy ili net, dolzhna imet vybrannogo soseda; ee sosedi - tolko \\(b_i\\) i \\(d_i\\), poetomu hotya by odna iz vershin \\(b_i,d_i\\) tozhe dolzhna lezhat v \\(s\\). znachit dlya kazhdogo \\(i\\) iz troyki \\(b_i,c_i,d_i\\) vybra…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2018_lichol_8_tree_cities","title":"1000 доминирующих вершин в дереве на 1500 вершинах, УТЮМ 2018","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2018_lichol_8_tree_cities.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2018_lichol_8_tree_cities.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2018_lichol_8_tree_cities","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2018, личная олимпиада, 8 класс, 5. 1500 деревень, единственные пути и 1000 городов (официальный архив)"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","connectivity","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: личная олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный план развёрнут; проверены условие полного доминирования и финальное расширение ровно до 1000 городов.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 1500 деревень, некоторые пары деревень соединены дорогами. Известно, что между любыми двумя деревнями существует единственный путь по этим дорогам. Докажите, что 1000 деревень можно назвать городами так, чтобы из любого населённого пункта выходила хотя бы одна дорога в город.","definition_ids":["tree","path","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Индукция по дереву: полное доминирование двумя третями","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","path","connected_graph"],"standard_idea_ids":["induction","longest_path","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Назовём множество \\(S\\) вершин хорошим, если у каждой вершины дерева есть сосед из \\(S\\). Это относится и к самим вершинам из \\(S\\): каждый выбранный город тоже должен иметь соседний выбранный город. Докажем более сильную лемму. В каждом дереве с \\(N\\ge3\\) вершинами есть хорошее множество размера не больше \\(2N/3\\). Для \\(N=1500\\) это даёт не больше \\(1000\\) городов; если выбрано меньше \\(1000\\), можно добавить произвольные деревни, потому что добавление городов не нарушает условие. Доказательство идёт индукцией по \\(N\\). При \\(N=3\\) дерево — путь длины два, и достаточно выбрать две соседние вершины. При \\(N>3\\) возьмём длиннейший путь \\(v_1v_2\\ldots v_k\\). Тогда \\(v_1\\) — лист, а каждый сосед \\(v_2\\), кроме \\(v_3\\), тоже лист. Если у \\(v_2\\) есть хотя бы два листовых соседа, удалим \\(v_2\\) и всех его листовых соседей. К хорошему множеству оставшегося дерева добавим \\(v_2\\) и один удалё…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-total-domination-two-thirds-utyum-2018-tree-cities","neighbor_id":"tree-total-domination-two-thirds","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-utyum-2018-tree-cities-tree-properties","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-1996-central-cities-utyum-2018-tree-cities","neighbor_id":"utyum-1996_tur3_10_central_cities","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2018_lichol_8_tree_cities 1000 доминирующих вершин в дереве на 1500 вершинах, утюм 2018 trees connectivity goal_existence 2018 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc misc2018 official_archive src-utyum-2018_lichol_8_tree_cities-official with_solution утюм утюм 2018, личная олимпиада, 8 класс, 5. 1500 деревень, единственные пути и 1000 городов (официальный архив) утюм2018 ? утюм 2018, личная олимпиада, 8 класс, 5. 1500 деревень, единственные пути и 1000 городов (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 1500 деревень, некоторые пары деревень соединены дорогами. известно, что между любыми двумя деревнями существует единственный путь по этим дорогам. докажите, что 1000 деревень можно назвать городами так, чтобы из любого населённого пункта выходила хотя бы одна дорога в город. tree path connected_graph idea-total-domination-two-thirds полное доминирование двумя третями вершин достаточно доказать более сильную лемму: в каждом дереве хотя бы с 3 вершинами есть полное доминирующее множество размера не больше \\(2n/3\\). при \\(n=1500\\) это даёт не больше 1000 городов; если выбрано меньше, добавление новых городов не портит свойство. trees induction ai_checked idea-longest-path-pruning обрезание конца длиннейшего пути выбирается конец длиннейшего пути. рядом с этим концом все боковые ветви имеют длину не больше двух, поэтому можно удалить небольшой связный фрагмент, доминировать его не более чем двумя третями его вершин и оставить меньшее связное дерево. trees connectivity ai_checked sol-official индукция по дереву: полное доминирование двумя третями ai_checked tree path connected_graph induction longest_path delete_to_simplify назовём множество \\(s\\) вершин хорошим, если у каждой вершины дерева есть сосед из \\(s\\). это относится и к самим вершинам из \\(s\\): каждый выбранный город тоже должен иметь соседний выбранный город. докажем более сильную лемму. в каждом дереве с \\(n\\ge3\\) вершинами есть хорошее множество размера не больше \\(2n/3\\). для \\(n=1500\\) это даёт не больше \\(1000\\) городов; если выбрано меньше \\(1000\\), можно добавить произвольные деревни, потому что добавление городов не нарушает условие. доказательство идёт индукцией по \\(n\\). при \\(n=3\\) дерево — путь длины два, и достаточно выбрать две соседние вершины. при \\(n>3\\) возьмём длиннейший путь \\(v_1v_2\\ldots v_k\\). тогда \\(v_1\\) — лист, а каждый сосед \\(v_2\\), кроме \\(v_3\\), тоже лист. если у \\(v_2\\) есть хотя бы два листовых соседа, удалим \\(v_2\\) и всех его листовых соседей. к хорошему множеству оставшегося дерева добавим \\(v_2\\) и один удалё… utyum-2018_lichol_8_tree_cities 1000 dominiruyuschih vershin v dereve na 1500 vershinah, utyum 2018 trees connectivity goal_existence 2018 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural51.zip misc misc2018 official_archive src-utyum-2018_lichol_8_tree_cities-official with_solution utyum utyum 2018, lichnaya olimpiada, 8 klass, 5. 1500 dereven, edinstvennye puti i 1000 gorodov (ofitsialnyy arhiv) utyum2018 ? utyum 2018, lichnaya olimpiada, 8 klass, 5. 1500 dereven, edinstvennye puti i 1000 gorodov (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 1500 dereven, nekotorye pary dereven soedineny dorogami. izvestno, chto mezhdu lyubymi dvumya derevnyami suschestvuet edinstvennyy put po etim dorogam. dokazhite, chto 1000 dereven mozhno nazvat gorodami tak, chtoby iz lyubogo naselennogo punkta vyhodila hotya by odna doroga v gorod. tree path connected_graph idea-total-domination-two-thirds polnoe dominirovanie dvumya tretyami vershin dostatochno dokazat bolee silnuyu lemmu: v kazhdom dereve hotya by s 3 vershinami est polnoe dominiruyuschee mnozhestvo razmera ne bolshe \\(2n/3\\). pri \\(n=1500\\) eto daet ne bolshe 1000 gorodov; esli vybrano menshe, dobavlenie novyh gorodov ne portit svoystvo. trees induction ai_checked idea-longest-path-pruning obrezanie kontsa dlinneyshego puti vybiraetsya konets dlinneyshego puti. ryadom s etim kontsom vse bokovye vetvi imeyut dlinu ne bolshe dvuh, poetomu mozhno udalit nebolshoy svyaznyy fragment, dominirovat ego ne bolee chem dvumya tretyami ego vershin i ostavit menshee svyaznoe derevo. trees connectivity ai_checked sol-official induktsiya po derevu: polnoe dominirovanie dvumya tretyami ai_checked tree path connected_graph induction longest_path delete_to_simplify nazovem mnozhestvo \\(s\\) vershin horoshim, esli u kazhdoy vershiny dereva est sosed iz \\(s\\). eto otnositsya i k samim vershinam iz \\(s\\): kazhdyy vybrannyy gorod tozhe dolzhen imet sosedniy vybrannyy gorod. dokazhem bolee silnuyu lemmu. v kazhdom dereve s \\(n\\ge3\\) vershinami est horoshee mnozhestvo razmera ne bolshe \\(2n/3\\). dlya \\(n=1500\\) eto daet ne bolshe \\(1000\\) gorodov; esli vybrano menshe \\(1000\\), mozhno dobavit proizvolnye derevni, potomu chto dobavlenie gorodov ne narushaet uslovie. dokazatelstvo idet induktsiey po \\(n\\). pri \\(n=3\\) derevo — put dliny dva, i dostatochno vybrat dve sosednie vershiny. pri \\(n>3\\) vozmem dlinneyshiy put \\(v_1v_2\\ldots v_k\\). togda \\(v_1\\) — list, a kazhdyy sosed \\(v_2\\), krome \\(v_3\\), tozhe list. esli u \\(v_2\\) est hotya by dva listovyh soseda, udalim \\(v_2\\) i vseh ego listovyh sosedey. k horoshemu mnozhestvu ostavshegosya dereva dobavim \\(v_2\\) i odin udale…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2019_komol_7_airline_costs","title":"Сумма весов 10, 20, 30 в полном графе на 20 городах, УТЮМ 2019","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2019_komol_7_airline_costs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2019_komol_7_airline_costs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2019_komol_7_airline_costs","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2019, командная олимпиада, 7 класс, 6. Стоимость авиалиний на 20 городах (официальный архив)"],"year":"2019","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 7 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 20 городов, и любые два города соединены прямой авиалинией. Стоимость каждого перелёта равна 10, 20 или 30 тугриков, причём все три цены реально встречаются. Известно, что если вылететь из любого города и после трёх перелётов вернуться в него, то суммарно придётся потратить не меньше 60 тугриков. Докажите, что сумма цен на всех авиалиниях не меньше 3970.","definition_ids":["complete_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Веса рёбер полного графа K20","status":"ai_checked","text":"На рёбрах полного графа \\(K_{20}\\) стоят веса 10, 20 или 30, причём все три значения встречаются. Для любого треугольника сумма весов его рёбер не меньше 60. Докажите, что сумма весов всех рёбер графа не меньше 3970.","definition_ids":["complete_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через L число рёбер стоимости 10, а через H число рёбер стоимости 30. Рёбра стоимости 20 пусть будут нейтральными. Всего в \\(K_20\\) ровно 190 рёбер, поэтому суммарная стоимость всех рёбер равна 20·190 + 10(H - L) = 3800 + 10(H - L). Достаточно доказать, что H - L >= 17. Так как цена 10 действительно встречается, L >= 1. Заметим сначала, что рёбра стоимости 10 не имеют общих концов: если AB и AC стоили бы по 10, то треугольник ABC имел бы стоимость не больше 10 + 10 + 30 = 50, что запрещено. Пусть AB — ребро стоимости 10. Для любого третьего города C хотя бы одно из рёбер AC и BC должно иметь стоимость 30, иначе треугольник ABC стоил бы не больше 10 + 20 + 20 = 50. Если L = 1, то уже отсюда получаем H >= 18, значит H - L >= 17. Если L = 2, пусть рёбра стоимости 10 — это AB и CD. Для каждого из остальных 16 городов X нужно хотя бы одно дорогое ребро из X в пару {A,B} и хотя бы о…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2019-airline-costs-utyum-2019-complete-weights-2000","neighbor_id":"complete-graph-triangle-edge-weights-minimum-parametric","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2019_komol_7_airline_costs сумма весов 10, 20, 30 в полном графе на 20 городах, утюм 2019 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2019 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural53.zip misc misc2019 official_archive src-utyum-2019_komol_7_airline_costs-official with_solution утюм утюм 2019, командная олимпиада, 7 класс, 6. стоимость авиалиний на 20 городах (официальный архив) утюм2019 ? утюм 2019, командная олимпиада, 7 класс, 6. стоимость авиалиний на 20 городах (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 20 городов, и любые два города соединены прямой авиалинией. стоимость каждого перелёта равна 10, 20 или 30 тугриков, причём все три цены реально встречаются. известно, что если вылететь из любого города и после трёх перелётов вернуться в него, то суммарно придётся потратить не меньше 60 тугриков. докажите, что сумма цен на всех авиалиниях не меньше 3970. complete_graph stmt-graph веса рёбер полного графа k20 ai_checked на рёбрах полного графа \\(k_{20}\\) стоят веса 10, 20 или 30, причём все три значения встречаются. для любого треугольника сумма весов его рёбер не меньше 60. докажите, что сумма весов всех рёбер графа не меньше 3970. complete_graph triangle sol-official решение ai_checked complete_graph cycle обозначим через l число рёбер стоимости 10, а через h число рёбер стоимости 30. рёбра стоимости 20 пусть будут нейтральными. всего в \\(k_20\\) ровно 190 рёбер, поэтому суммарная стоимость всех рёбер равна 20·190 + 10(h - l) = 3800 + 10(h - l). достаточно доказать, что h - l >= 17. так как цена 10 действительно встречается, l >= 1. заметим сначала, что рёбра стоимости 10 не имеют общих концов: если ab и ac стоили бы по 10, то треугольник abc имел бы стоимость не больше 10 + 10 + 30 = 50, что запрещено. пусть ab — ребро стоимости 10. для любого третьего города c хотя бы одно из рёбер ac и bc должно иметь стоимость 30, иначе треугольник abc стоил бы не больше 10 + 20 + 20 = 50. если l = 1, то уже отсюда получаем h >= 18, значит h - l >= 17. если l = 2, пусть рёбра стоимости 10 — это ab и cd. для каждого из остальных 16 городов x нужно хотя бы одно дорогое ребро из x в пару {a,b} и хотя бы о… utyum-2019_komol_7_airline_costs summa vesov 10, 20, 30 v polnom grafe na 20 gorodah, utyum 2019 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2019 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural53.zip misc misc2019 official_archive src-utyum-2019_komol_7_airline_costs-official with_solution utyum utyum 2019, komandnaya olimpiada, 7 klass, 6. stoimost avialiniy na 20 gorodah (ofitsialnyy arhiv) utyum2019 ? utyum 2019, komandnaya olimpiada, 7 klass, 6. stoimost avialiniy na 20 gorodah (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 20 gorodov, i lyubye dva goroda soedineny pryamoy avialiniey. stoimost kazhdogo pereleta ravna 10, 20 ili 30 tugrikov, prichem vse tri tseny realno vstrechayutsya. izvestno, chto esli vyletet iz lyubogo goroda i posle treh pereletov vernutsya v nego, to summarno pridetsya potratit ne menshe 60 tugrikov. dokazhite, chto summa tsen na vseh avialiniyah ne menshe 3970. complete_graph stmt-graph vesa reber polnogo grafa k20 ai_checked na rebrah polnogo grafa \\(k_{20}\\) stoyat vesa 10, 20 ili 30, prichem vse tri znacheniya vstrechayutsya. dlya lyubogo treugolnika summa vesov ego reber ne menshe 60. dokazhite, chto summa vesov vseh reber grafa ne menshe 3970. complete_graph triangle sol-official reshenie ai_checked complete_graph cycle oboznachim cherez l chislo reber stoimosti 10, a cherez h chislo reber stoimosti 30. rebra stoimosti 20 pust budut neytralnymi. vsego v \\(k_20\\) rovno 190 reber, poetomu summarnaya stoimost vseh reber ravna 20·190 + 10(h - l) = 3800 + 10(h - l). dostatochno dokazat, chto h - l >= 17. tak kak tsena 10 deystvitelno vstrechaetsya, l >= 1. zametim snachala, chto rebra stoimosti 10 ne imeyut obschih kontsov: esli ab i ac stoili by po 10, to treugolnik abc imel by stoimost ne bolshe 10 + 10 + 30 = 50, chto zaprescheno. pust ab — rebro stoimosti 10. dlya lyubogo tretego goroda c hotya by odno iz reber ac i bc dolzhno imet stoimost 30, inache treugolnik abc stoil by ne bolshe 10 + 20 + 20 = 50. esli l = 1, to uzhe otsyuda poluchaem h >= 18, znachit h - l >= 17. esli l = 2, pust rebra stoimosti 10 — eto ab i cd. dlya kazhdogo iz ostalnyh 16 gorodov x nuzhno hotya by odno dorogoe rebro iz x v paru {a,b} i hotya by o…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges","title":"Локальное условие на пути длины 3, УТЮМ 2021","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2021, командная олимпиада, 6 класс, 6. Архипелаг, мосты и универсальный остров (официальный архив)"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 6 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Архипелаг состоит из 1000 островов, некоторые пары которых соединены мостами, причём от любого острова можно добраться по мостам до любого другого. Известно, что для любых четырёх островов A, B, C, D таких, что есть мосты AB, BC, CD, также существует мост AC или мост BD. Докажите, что найдётся остров, соединённый мостами со всеми остальными.","definition_ids":["connected_graph","degree","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Локальное условие на пути длины 3","status":"ai_checked","text":"Дан связный граф на 1000 вершинах. Известно, что для любых четырёх вершин \\(A,B,C,D\\), если рёбра \\(AB\\), \\(BC\\) и \\(CD\\) существуют, то существует хотя бы одно из рёбер \\(AC\\), \\(BD\\). Докажите, что в графе есть вершина, смежная со всеми остальными.","definition_ids":["connected_graph","degree","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","degree","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"В доказательстве рассматривается граф, вершинами которого являются острова, а рёбрами — мосты. Выбирается вершина B наибольшей степени. Предположим, что она соединена не со всеми вершинами графа. Так как граф связен, существует путь B-C-D, где B соединена с C, C соединена с D, но B не соединена с D. Теперь для любой вершины A, соединённой с B, можно применить условие задачи к пути A-B-C-D. Поскольку ребра BD нет, условие вынуждает существование ребра AC. Значит, C соединена со всеми соседями B, а кроме того ещё и с D. Это делает степень C строго больше степени B, что противоречит выбору B. Следовательно, вершина наибольшей степени обязана быть соединена со всеми остальными вершинами."}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2021-archipelago-vosh-universal","neighbor_id":"vosh-2000-01-final-universal-acquaintance","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2021-archipelago-tournament-king","neighbor_id":"tournament-king-radius-two","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges локальное условие на пути длины 3, утюм 2021 connectivity goal_exact_bound 2021 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural57.zip misc misc2021 official_archive src-utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges-official with_solution утюм утюм 2021, командная олимпиада, 6 класс, 6. архипелаг, мосты и универсальный остров (официальный архив) утюм2021 ? утюм 2021, командная олимпиада, 6 класс, 6. архипелаг, мосты и универсальный остров (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked архипелаг состоит из 1000 островов, некоторые пары которых соединены мостами, причём от любого острова можно добраться по мостам до любого другого. известно, что для любых четырёх островов a, b, c, d таких, что есть мосты ab, bc, cd, также существует мост ac или мост bd. докажите, что найдётся остров, соединённый мостами со всеми остальными. connected_graph degree path stmt-graph локальное условие на пути длины 3 ai_checked дан связный граф на 1000 вершинах. известно, что для любых четырёх вершин \\(a,b,c,d\\), если рёбра \\(ab\\), \\(bc\\) и \\(cd\\) существуют, то существует хотя бы одно из рёбер \\(ac\\), \\(bd\\). докажите, что в графе есть вершина, смежная со всеми остальными. connected_graph degree path sol-official решение ai_checked connected_graph degree path в доказательстве рассматривается граф, вершинами которого являются острова, а рёбрами — мосты. выбирается вершина b наибольшей степени. предположим, что она соединена не со всеми вершинами графа. так как граф связен, существует путь b-c-d, где b соединена с c, c соединена с d, но b не соединена с d. теперь для любой вершины a, соединённой с b, можно применить условие задачи к пути a-b-c-d. поскольку ребра bd нет, условие вынуждает существование ребра ac. значит, c соединена со всеми соседями b, а кроме того ещё и с d. это делает степень c строго больше степени b, что противоречит выбору b. следовательно, вершина наибольшей степени обязана быть соединена со всеми остальными вершинами. utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges lokalnoe uslovie na puti dliny 3, utyum 2021 connectivity goal_exact_bound 2021 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural57.zip misc misc2021 official_archive src-utyum-2021_komol_6_archipelago_bridges-official with_solution utyum utyum 2021, komandnaya olimpiada, 6 klass, 6. arhipelag, mosty i universalnyy ostrov (ofitsialnyy arhiv) utyum2021 ? utyum 2021, komandnaya olimpiada, 6 klass, 6. arhipelag, mosty i universalnyy ostrov (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked arhipelag sostoit iz 1000 ostrovov, nekotorye pary kotoryh soedineny mostami, prichem ot lyubogo ostrova mozhno dobratsya po mostam do lyubogo drugogo. izvestno, chto dlya lyubyh chetyreh ostrovov a, b, c, d takih, chto est mosty ab, bc, cd, takzhe suschestvuet most ac ili most bd. dokazhite, chto naydetsya ostrov, soedinennyy mostami so vsemi ostalnymi. connected_graph degree path stmt-graph lokalnoe uslovie na puti dliny 3 ai_checked dan svyaznyy graf na 1000 vershinah. izvestno, chto dlya lyubyh chetyreh vershin \\(a,b,c,d\\), esli rebra \\(ab\\), \\(bc\\) i \\(cd\\) suschestvuyut, to suschestvuet hotya by odno iz reber \\(ac\\), \\(bd\\). dokazhite, chto v grafe est vershina, smezhnaya so vsemi ostalnymi. connected_graph degree path sol-official reshenie ai_checked connected_graph degree path v dokazatelstve rassmatrivaetsya graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya ostrova, a rebrami — mosty. vybiraetsya vershina b naibolshey stepeni. predpolozhim, chto ona soedinena ne so vsemi vershinami grafa. tak kak graf svyazen, suschestvuet put b-c-d, gde b soedinena s c, c soedinena s d, no b ne soedinena s d. teper dlya lyuboy vershiny a, soedinennoy s b, mozhno primenit uslovie zadachi k puti a-b-c-d. poskolku rebra bd net, uslovie vynuzhdaet suschestvovanie rebra ac. znachit, c soedinena so vsemi sosedyami b, a krome togo esche i s d. eto delaet stepen c strogo bolshe stepeni b, chto protivorechit vyboru b. sledovatelno, vershina naibolshey stepeni obyazana byt soedinena so vsemi ostalnymi vershinami.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2023_komol60_6_7_company_departures","title":"Удаление единственного максимума степени в графе на 100 вершинах, УТЮМ 2023","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2023_komol60_6_7_company_departures.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2023_komol60_6_7_company_departures.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2023_komol60_6_7_company_departures","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2023, командная олимпиада, 6 класс, 7. Уходы из компании по максимальному числу знакомых (официальный архив)"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_choice","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 6 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В компании из 100 человек некоторые знакомы друг с другом. Каждую минуту из компании уходит человек, который имеет знакомых строго больше, чем любой из оставшихся. Через несколько минут такого человека не нашлось. Какое наименьшее количество людей могло остаться к этому моменту?","definition_ids":["degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Удаление единственного максимума степени","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф на 100 вершинах. Пока существует вершина, степень которой строго больше степени любой другой вершины текущего графа, её удаляют. Какое наименьшее число вершин может остаться после завершения процесса?","definition_ids":["degree","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"В доказательстве рассматривается граф знакомств. Предположим, что могло остаться не более двух человек. Рассмотрим момент, когда осталось ровно три человека A, B, C, и пусть A имеет больше всех знакомых. Если у A только один знакомый, то кто-то из B и C тоже имеет одного знакомого, и A уже не выделяется. Значит, у A два знакомых. Пусть D ушёл непосредственно перед A. Тогда у D на момент ухода должно быть не меньше трёх знакомых, в частности A, B и C. Но тогда и у A было как минимум три знакомых, противоречие. Следовательно, меньше трёх человек остаться не может. Пример на три человека строится явным графом знакомств. Пример точности: занумеруем вершины 1, ..., 100; вершины 1, 2, 3 образуют треугольник, а каждую вершину i >= 4 соединим со всеми вершинами меньших номеров. Тогда 100 — единственная вершина максимальной степени, после её удаления такой вершиной становится 99, затем 98 и так…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2023-company-departures-room-departures","neighbor_id":"utyum-2023_komol60_7_7_room_departures","direction":"forward","type":"false_friend","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2023_komol60_6_7_company_departures удаление единственного максимума степени в графе на 100 вершинах, утюм 2023 extremal_choice extremal_graph_theory goal_exact_bound 2023 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural60.zip misc misc2023 official_archive src-utyum-2023_komol60_6_7_company_departures-official with_solution утюм утюм 2023, командная олимпиада, 6 класс, 7. уходы из компании по максимальному числу знакомых (официальный архив) утюм2023 ? утюм 2023, командная олимпиада, 6 класс, 7. уходы из компании по максимальному числу знакомых (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в компании из 100 человек некоторые знакомы друг с другом. каждую минуту из компании уходит человек, который имеет знакомых строго больше, чем любой из оставшихся. через несколько минут такого человека не нашлось. какое наименьшее количество людей могло остаться к этому моменту? degree stmt-graph удаление единственного максимума степени ai_checked дан простой граф на 100 вершинах. пока существует вершина, степень которой строго больше степени любой другой вершины текущего графа, её удаляют. какое наименьшее число вершин может остаться после завершения процесса? degree simple_graph sol-official решение ai_checked degree в доказательстве рассматривается граф знакомств. предположим, что могло остаться не более двух человек. рассмотрим момент, когда осталось ровно три человека a, b, c, и пусть a имеет больше всех знакомых. если у a только один знакомый, то кто-то из b и c тоже имеет одного знакомого, и a уже не выделяется. значит, у a два знакомых. пусть d ушёл непосредственно перед a. тогда у d на момент ухода должно быть не меньше трёх знакомых, в частности a, b и c. но тогда и у a было как минимум три знакомых, противоречие. следовательно, меньше трёх человек остаться не может. пример на три человека строится явным графом знакомств. пример точности: занумеруем вершины 1, ..., 100; вершины 1, 2, 3 образуют треугольник, а каждую вершину i >= 4 соединим со всеми вершинами меньших номеров. тогда 100 — единственная вершина максимальной степени, после её удаления такой вершиной становится 99, затем 98 и так… utyum-2023_komol60_6_7_company_departures udalenie edinstvennogo maksimuma stepeni v grafe na 100 vershinah, utyum 2023 extremal_choice extremal_graph_theory goal_exact_bound 2023 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural60.zip misc misc2023 official_archive src-utyum-2023_komol60_6_7_company_departures-official with_solution utyum utyum 2023, komandnaya olimpiada, 6 klass, 7. uhody iz kompanii po maksimalnomu chislu znakomyh (ofitsialnyy arhiv) utyum2023 ? utyum 2023, komandnaya olimpiada, 6 klass, 7. uhody iz kompanii po maksimalnomu chislu znakomyh (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v kompanii iz 100 chelovek nekotorye znakomy drug s drugom. kazhduyu minutu iz kompanii uhodit chelovek, kotoryy imeet znakomyh strogo bolshe, chem lyuboy iz ostavshihsya. cherez neskolko minut takogo cheloveka ne nashlos. kakoe naimenshee kolichestvo lyudey moglo ostatsya k etomu momentu? degree stmt-graph udalenie edinstvennogo maksimuma stepeni ai_checked dan prostoy graf na 100 vershinah. poka suschestvuet vershina, stepen kotoroy strogo bolshe stepeni lyuboy drugoy vershiny tekuschego grafa, ee udalyayut. kakoe naimenshee chislo vershin mozhet ostatsya posle zaversheniya protsessa? degree simple_graph sol-official reshenie ai_checked degree v dokazatelstve rassmatrivaetsya graf znakomstv. predpolozhim, chto moglo ostatsya ne bolee dvuh chelovek. rassmotrim moment, kogda ostalos rovno tri cheloveka a, b, c, i pust a imeet bolshe vseh znakomyh. esli u a tolko odin znakomyy, to kto-to iz b i c tozhe imeet odnogo znakomogo, i a uzhe ne vydelyaetsya. znachit, u a dva znakomyh. pust d ushel neposredstvenno pered a. togda u d na moment uhoda dolzhno byt ne menshe treh znakomyh, v chastnosti a, b i c. no togda i u a bylo kak minimum tri znakomyh, protivorechie. sledovatelno, menshe treh chelovek ostatsya ne mozhet. primer na tri cheloveka stroitsya yavnym grafom znakomstv. primer tochnosti: zanumeruem vershiny 1, ..., 100; vershiny 1, 2, 3 obrazuyut treugolnik, a kazhduyu vershinu i >= 4 soedinim so vsemi vershinami menshih nomerov. togda 100 — edinstvennaya vershina maksimalnoy stepeni, posle ee udaleniya takoy vershinoy stanovitsya 99, zatem 98 i tak…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2023_komol60_7_7_room_departures","title":"Удаление вершины со степенью выше остальных на 2 в графе из 99 человек, УТЮМ 2023","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2023_komol60_7_7_room_departures.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2023_komol60_7_7_room_departures.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2023_komol60_7_7_room_departures","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2023, командная олимпиада, 7 класс, 7. Уходы из комнаты при разности степеней хотя бы два (официальный архив)"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_choice","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 7 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В комнате находятся 99 человек, и знакомства взаимны. Каждую минуту из комнаты выходит человек, у которого число знакомых среди присутствующих хотя бы на 2 больше, чем у каждого из остальных. Через несколько минут такого человека не нашлось. Какое минимальное количество людей могло остаться к этому моменту?","definition_ids":["degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Удаление вершины с отрывом степени не меньше 2","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф на 99 вершинах. Пока существует вершина, степень которой хотя бы на 2 больше степени любой другой вершины текущего графа, её удаляют. Какое наименьшее число вершин может остаться после завершения процесса?","definition_ids":["degree","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 51 человек. Рассмотрим граф знакомств: люди — вершины, знакомства — рёбра. Если из текущего графа удаляется вершина степени d, то степень любой другой вершины до следующего удаления не увеличивается. Кроме того, в момент удаления все остальные степени были не больше d - 2. Значит, степени последовательно выходящих людей убывают как минимум на 2. Первая удаляемая вершина имеет степень не больше 98. Поэтому степени выходящих людей не превосходят 98, 96, 94, ..., 4, 2. Но вершину степени 2 удалить уже невозможно. Действительно, чтобы она подходила по условию, степени всех остальных вершин должны быть не больше 0; однако у двух её соседей степень хотя бы 1. Вершины степени 1 или 0 тем более не могут быть больше всех остальных степеней хотя бы на 2. Следовательно, выйти могут не более 48 человек, и остаться должно не менее 99 - 48 = 51 человека. Покажем, что 51 человек действительно м…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2023-company-departures-room-departures","neighbor_id":"utyum-2023_komol60_6_7_company_departures","direction":"backward","type":"false_friend","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2023_komol60_7_7_room_departures удаление вершины со степенью выше остальных на 2 в графе из 99 человек, утюм 2023 extremal_choice extremal_graph_theory goal_exact_bound 2023 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural60.zip misc misc2023 official_archive src-utyum-2023_komol60_7_7_room_departures-official with_solution утюм утюм 2023, командная олимпиада, 7 класс, 7. уходы из комнаты при разности степеней хотя бы два (официальный архив) утюм2023 ? утюм 2023, командная олимпиада, 7 класс, 7. уходы из комнаты при разности степеней хотя бы два (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в комнате находятся 99 человек, и знакомства взаимны. каждую минуту из комнаты выходит человек, у которого число знакомых среди присутствующих хотя бы на 2 больше, чем у каждого из остальных. через несколько минут такого человека не нашлось. какое минимальное количество людей могло остаться к этому моменту? degree stmt-graph удаление вершины с отрывом степени не меньше 2 ai_checked дан простой граф на 99 вершинах. пока существует вершина, степень которой хотя бы на 2 больше степени любой другой вершины текущего графа, её удаляют. какое наименьшее число вершин может остаться после завершения процесса? degree simple_graph sol-official решение ai_checked degree ответ: 51 человек. рассмотрим граф знакомств: люди — вершины, знакомства — рёбра. если из текущего графа удаляется вершина степени d, то степень любой другой вершины до следующего удаления не увеличивается. кроме того, в момент удаления все остальные степени были не больше d - 2. значит, степени последовательно выходящих людей убывают как минимум на 2. первая удаляемая вершина имеет степень не больше 98. поэтому степени выходящих людей не превосходят 98, 96, 94, ..., 4, 2. но вершину степени 2 удалить уже невозможно. действительно, чтобы она подходила по условию, степени всех остальных вершин должны быть не больше 0; однако у двух её соседей степень хотя бы 1. вершины степени 1 или 0 тем более не могут быть больше всех остальных степеней хотя бы на 2. следовательно, выйти могут не более 48 человек, и остаться должно не менее 99 - 48 = 51 человека. покажем, что 51 человек действительно м… utyum-2023_komol60_7_7_room_departures udalenie vershiny so stepenyu vyshe ostalnyh na 2 v grafe iz 99 chelovek, utyum 2023 extremal_choice extremal_graph_theory goal_exact_bound 2023 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural60.zip misc misc2023 official_archive src-utyum-2023_komol60_7_7_room_departures-official with_solution utyum utyum 2023, komandnaya olimpiada, 7 klass, 7. uhody iz komnaty pri raznosti stepeney hotya by dva (ofitsialnyy arhiv) utyum2023 ? utyum 2023, komandnaya olimpiada, 7 klass, 7. uhody iz komnaty pri raznosti stepeney hotya by dva (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v komnate nahodyatsya 99 chelovek, i znakomstva vzaimny. kazhduyu minutu iz komnaty vyhodit chelovek, u kotorogo chislo znakomyh sredi prisutstvuyuschih hotya by na 2 bolshe, chem u kazhdogo iz ostalnyh. cherez neskolko minut takogo cheloveka ne nashlos. kakoe minimalnoe kolichestvo lyudey moglo ostatsya k etomu momentu? degree stmt-graph udalenie vershiny s otryvom stepeni ne menshe 2 ai_checked dan prostoy graf na 99 vershinah. poka suschestvuet vershina, stepen kotoroy hotya by na 2 bolshe stepeni lyuboy drugoy vershiny tekuschego grafa, ee udalyayut. kakoe naimenshee chislo vershin mozhet ostatsya posle zaversheniya protsessa? degree simple_graph sol-official reshenie ai_checked degree otvet: 51 chelovek. rassmotrim graf znakomstv: lyudi — vershiny, znakomstva — rebra. esli iz tekuschego grafa udalyaetsya vershina stepeni d, to stepen lyuboy drugoy vershiny do sleduyuschego udaleniya ne uvelichivaetsya. krome togo, v moment udaleniya vse ostalnye stepeni byli ne bolshe d - 2. znachit, stepeni posledovatelno vyhodyaschih lyudey ubyvayut kak minimum na 2. pervaya udalyaemaya vershina imeet stepen ne bolshe 98. poetomu stepeni vyhodyaschih lyudey ne prevoshodyat 98, 96, 94, ..., 4, 2. no vershinu stepeni 2 udalit uzhe nevozmozhno. deystvitelno, chtoby ona podhodila po usloviyu, stepeni vseh ostalnyh vershin dolzhny byt ne bolshe 0; odnako u dvuh ee sosedey stepen hotya by 1. vershiny stepeni 1 ili 0 tem bolee ne mogut byt bolshe vseh ostalnyh stepeney hotya by na 2. sledovatelno, vyyti mogut ne bolee 48 chelovek, i ostatsya dolzhno ne menee 99 - 48 = 51 cheloveka. pokazhem, chto 51 chelovek deystvitelno m…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2023_komol61_6_2_common_acquaintances","title":"Общие соседи пятёрок из условия на любые десять вершин, УТЮМ 2023","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2023_komol61_6_2_common_acquaintances.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2023_komol61_6_2_common_acquaintances.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2023_komol61_6_2_common_acquaintances","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2023, командная олимпиада, 6 класс, 2. Десять человек с общим знакомым (официальный архив)"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_choice","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 6 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В компании из 100 человек любые десять человек имеют общего знакомого среди остальных. Докажите, что любые пять человек из этой компании имеют не менее шести общих знакомых среди остальных.","definition_ids":["simple_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Общие соседи десяток и пятёрок","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф на 100 вершинах. Для любых десяти вершин существует общая соседняя им вершина вне этой десятки. Докажите, что любые пять вершин имеют не менее шести общих соседей вне этой пятёрки.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмём произвольных пять человек и обозначим это множество через \\(A\\). Нужно доказать, что вне \\(A\\) есть хотя бы шесть человек, знакомых со всеми людьми из \\(A\\). Предположим противное: общих знакомых у этой пятёрки не больше пяти. Обозначим множество всех этих общих знакомых через \\(B\\), где \\(|B|\\le5\\). Дополним множество \\(A\\cup B\\) до десяти человек: если в нём меньше десяти человек, добавим произвольных людей из компании, пока не получится десятка \\(D\\). Это можно сделать, потому что всего людей 100. По условию у любых десяти человек есть общий знакомый среди остальных, значит у десятки \\(D\\) есть человек \\(x\\notin D\\), знакомый со всеми людьми из \\(D\\). В частности, \\(x\\) знаком со всеми пятью людьми из \\(A\\). Поэтому \\(x\\) является общим знакомым исходной пятёрки. Но все общие знакомые пятёрки \\(A\\) были включены в \\(B\\), а \\(B\\subset D\\). Получается, что \\(x\\in B\\subset D\\) и…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-2023_komol61_6_2_common_acquaintances общие соседи пятёрок из условия на любые десять вершин, утюм 2023 extremal_choice extremal_graph_theory goal_exact_bound 2023 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural61.zip misc misc2023 official_archive src-utyum-2023_komol61_6_2_common_acquaintances-official with_solution утюм утюм 2023, командная олимпиада, 6 класс, 2. десять человек с общим знакомым (официальный архив) утюм2023 ? утюм 2023, командная олимпиада, 6 класс, 2. десять человек с общим знакомым (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в компании из 100 человек любые десять человек имеют общего знакомого среди остальных. докажите, что любые пять человек из этой компании имеют не менее шести общих знакомых среди остальных. simple_graph stmt-graph общие соседи десяток и пятёрок ai_checked дан простой граф на 100 вершинах. для любых десяти вершин существует общая соседняя им вершина вне этой десятки. докажите, что любые пять вершин имеют не менее шести общих соседей вне этой пятёрки. simple_graph sol-official решение ai_checked simple_graph возьмём произвольных пять человек и обозначим это множество через \\(a\\). нужно доказать, что вне \\(a\\) есть хотя бы шесть человек, знакомых со всеми людьми из \\(a\\). предположим противное: общих знакомых у этой пятёрки не больше пяти. обозначим множество всех этих общих знакомых через \\(b\\), где \\(|b|\\le5\\). дополним множество \\(a\\cup b\\) до десяти человек: если в нём меньше десяти человек, добавим произвольных людей из компании, пока не получится десятка \\(d\\). это можно сделать, потому что всего людей 100. по условию у любых десяти человек есть общий знакомый среди остальных, значит у десятки \\(d\\) есть человек \\(x\\notin d\\), знакомый со всеми людьми из \\(d\\). в частности, \\(x\\) знаком со всеми пятью людьми из \\(a\\). поэтому \\(x\\) является общим знакомым исходной пятёрки. но все общие знакомые пятёрки \\(a\\) были включены в \\(b\\), а \\(b\\subset d\\). получается, что \\(x\\in b\\subset d\\) и… utyum-2023_komol61_6_2_common_acquaintances obschie sosedi pyaterok iz usloviya na lyubye desyat vershin, utyum 2023 extremal_choice extremal_graph_theory goal_exact_bound 2023 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural61.zip misc misc2023 official_archive src-utyum-2023_komol61_6_2_common_acquaintances-official with_solution utyum utyum 2023, komandnaya olimpiada, 6 klass, 2. desyat chelovek s obschim znakomym (ofitsialnyy arhiv) utyum2023 ? utyum 2023, komandnaya olimpiada, 6 klass, 2. desyat chelovek s obschim znakomym (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v kompanii iz 100 chelovek lyubye desyat chelovek imeyut obschego znakomogo sredi ostalnyh. dokazhite, chto lyubye pyat chelovek iz etoy kompanii imeyut ne menee shesti obschih znakomyh sredi ostalnyh. simple_graph stmt-graph obschie sosedi desyatok i pyaterok ai_checked dan prostoy graf na 100 vershinah. dlya lyubyh desyati vershin suschestvuet obschaya sosednyaya im vershina vne etoy desyatki. dokazhite, chto lyubye pyat vershin imeyut ne menee shesti obschih sosedey vne etoy pyaterki. simple_graph sol-official reshenie ai_checked simple_graph vozmem proizvolnyh pyat chelovek i oboznachim eto mnozhestvo cherez \\(a\\). nuzhno dokazat, chto vne \\(a\\) est hotya by shest chelovek, znakomyh so vsemi lyudmi iz \\(a\\). predpolozhim protivnoe: obschih znakomyh u etoy pyaterki ne bolshe pyati. oboznachim mnozhestvo vseh etih obschih znakomyh cherez \\(b\\), gde \\(|b|\\le5\\). dopolnim mnozhestvo \\(a\\cup b\\) do desyati chelovek: esli v nem menshe desyati chelovek, dobavim proizvolnyh lyudey iz kompanii, poka ne poluchitsya desyatka \\(d\\). eto mozhno sdelat, potomu chto vsego lyudey 100. po usloviyu u lyubyh desyati chelovek est obschiy znakomyy sredi ostalnyh, znachit u desyatki \\(d\\) est chelovek \\(x\\notin d\\), znakomyy so vsemi lyudmi iz \\(d\\). v chastnosti, \\(x\\) znakom so vsemi pyatyu lyudmi iz \\(a\\). poetomu \\(x\\) yavlyaetsya obschim znakomym ishodnoy pyaterki. no vse obschie znakomye pyaterki \\(a\\) byli vklyucheny v \\(b\\), a \\(b\\subset d\\). poluchaetsya, chto \\(x\\in b\\subset d\\) i…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2023_komol61_8_5_yozhgorod_registry","title":"Линейные расширения звезды из площадей и улиц, УТЮМ 2023","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2023_komol61_8_5_yozhgorod_registry.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2023_komol61_8_5_yozhgorod_registry.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2023_komol61_8_5_yozhgorod_registry","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2023, командная олимпиада, 8 класс, 5. Реестр площадей и улиц в Ёжгороде (официальный архив)"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В Ёжгороде есть центральная площадь, n периферийных площадей и n улиц, каждая из которых соединяет центральную площадь с одной из периферийных. Мэр хочет записать в строку названия всех площадей и улиц так, чтобы название каждой улицы стояло правее названий обеих площадей, которые она соединяет. Сколькими способами можно составить такой реестр?","definition_ids":["tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Линейные расширения звезды","status":"ai_checked","text":"Дана звезда \\(K_{1,n}\\). Сколькими способами можно линейно упорядочить все её вершины и рёбра так, чтобы каждое ребро стояло правее обеих своих концов?","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(2^n(n!)^2\\). Будем доказывать формулу индукцией по \\(n\\). При \\(n=0\\) в реестре есть только центральная площадь, поэтому способ один, и формула даёт \\(1\\). Переход от \\(n\\) к \\(n+1\\). Рассмотрим корректный реестр для города с \\(n+1\\) периферийными площадями. Последняя запись не может быть площадью: каждая периферийная площадь имеет свою улицу, которая должна стоять правее неё, а центральная площадь должна стоять левее всех улиц. Значит, последняя запись — название некоторой улицы. Эта улица соединяет центр с некоторой периферийной площадью \\(p\\). Удалим из реестра последнюю улицу и площадь \\(p\\). Оставшиеся записи образуют корректный реестр для звезды с \\(n\\) периферийными площадями: для каждой оставшейся улицы оба её конца по-прежнему стоят левее неё. Теперь восстановим исходный реестр из меньшего. Нужно выбрать удалённую периферийную площадь \\(p\\): есть \\(n+1\\) вариантов. Зат…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2026-p3-utyum-2023-linear-extension-count","neighbor_id":"imc-2026-day1-p3-alternating-shuffle-two-chains","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"utyum-2023_komol61_8_5_yozhgorod_registry линейные расширения звезды из площадей и улиц, утюм 2023 trees goal_construction 2023 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural61.zip misc misc2023 official_archive src-utyum-2023_komol61_8_5_yozhgorod_registry-official with_solution утюм утюм 2023, командная олимпиада, 8 класс, 5. реестр площадей и улиц в ёжгороде (официальный архив) утюм2023 ? утюм 2023, командная олимпиада, 8 класс, 5. реестр площадей и улиц в ёжгороде (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в ёжгороде есть центральная площадь, n периферийных площадей и n улиц, каждая из которых соединяет центральную площадь с одной из периферийных. мэр хочет записать в строку названия всех площадей и улиц так, чтобы название каждой улицы стояло правее названий обеих площадей, которые она соединяет. сколькими способами можно составить такой реестр? tree stmt-graph линейные расширения звезды ai_checked дана звезда \\(k_{1,n}\\). сколькими способами можно линейно упорядочить все её вершины и рёбра так, чтобы каждое ребро стояло правее обеих своих концов? tree sol-official решение ai_checked tree ответ: \\(2^n(n!)^2\\). будем доказывать формулу индукцией по \\(n\\). при \\(n=0\\) в реестре есть только центральная площадь, поэтому способ один, и формула даёт \\(1\\). переход от \\(n\\) к \\(n+1\\). рассмотрим корректный реестр для города с \\(n+1\\) периферийными площадями. последняя запись не может быть площадью: каждая периферийная площадь имеет свою улицу, которая должна стоять правее неё, а центральная площадь должна стоять левее всех улиц. значит, последняя запись — название некоторой улицы. эта улица соединяет центр с некоторой периферийной площадью \\(p\\). удалим из реестра последнюю улицу и площадь \\(p\\). оставшиеся записи образуют корректный реестр для звезды с \\(n\\) периферийными площадями: для каждой оставшейся улицы оба её конца по-прежнему стоят левее неё. теперь восстановим исходный реестр из меньшего. нужно выбрать удалённую периферийную площадь \\(p\\): есть \\(n+1\\) вариантов. зат… utyum-2023_komol61_8_5_yozhgorod_registry lineynye rasshireniya zvezdy iz ploschadey i ulits, utyum 2023 trees goal_construction 2023 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural61.zip misc misc2023 official_archive src-utyum-2023_komol61_8_5_yozhgorod_registry-official with_solution utyum utyum 2023, komandnaya olimpiada, 8 klass, 5. reestr ploschadey i ulits v ezhgorode (ofitsialnyy arhiv) utyum2023 ? utyum 2023, komandnaya olimpiada, 8 klass, 5. reestr ploschadey i ulits v ezhgorode (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v ezhgorode est tsentralnaya ploschad, n periferiynyh ploschadey i n ulits, kazhdaya iz kotoryh soedinyaet tsentralnuyu ploschad s odnoy iz periferiynyh. mer hochet zapisat v stroku nazvaniya vseh ploschadey i ulits tak, chtoby nazvanie kazhdoy ulitsy stoyalo pravee nazvaniy obeih ploschadey, kotorye ona soedinyaet. skolkimi sposobami mozhno sostavit takoy reestr? tree stmt-graph lineynye rasshireniya zvezdy ai_checked dana zvezda \\(k_{1,n}\\). skolkimi sposobami mozhno lineyno uporyadochit vse ee vershiny i rebra tak, chtoby kazhdoe rebro stoyalo pravee obeih svoih kontsov? tree sol-official reshenie ai_checked tree otvet: \\(2^n(n!)^2\\). budem dokazyvat formulu induktsiey po \\(n\\). pri \\(n=0\\) v reestre est tolko tsentralnaya ploschad, poetomu sposob odin, i formula daet \\(1\\). perehod ot \\(n\\) k \\(n+1\\). rassmotrim korrektnyy reestr dlya goroda s \\(n+1\\) periferiynymi ploschadyami. poslednyaya zapis ne mozhet byt ploschadyu: kazhdaya periferiynaya ploschad imeet svoyu ulitsu, kotoraya dolzhna stoyat pravee nee, a tsentralnaya ploschad dolzhna stoyat levee vseh ulits. znachit, poslednyaya zapis — nazvanie nekotoroy ulitsy. eta ulitsa soedinyaet tsentr s nekotoroy periferiynoy ploschadyu \\(p\\). udalim iz reestra poslednyuyu ulitsu i ploschad \\(p\\). ostavshiesya zapisi obrazuyut korrektnyy reestr dlya zvezdy s \\(n\\) periferiynymi ploschadyami: dlya kazhdoy ostavsheysya ulitsy oba ee kontsa po-prezhnemu stoyat levee nee. teper vosstanovim ishodnyy reestr iz menshego. nuzhno vybrat udalennuyu periferiynuyu ploschad \\(p\\): est \\(n+1\\) variantov. zat…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2024_komol62_6_3_circle_graph_coloring","title":"5-раскраска графа на 11 точках без клики размера 6, УТЮМ 2024","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2024_komol62_6_3_circle_graph_coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2024_komol62_6_3_circle_graph_coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2024_komol62_6_3_circle_graph_coloring","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2024, командная олимпиада, 6 класс, 3. Точки на окружности и 5-раскраска (официальный архив)"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 6 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"На окружности выбрано 11 точек. Некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что среди любых шести точек найдутся две, не соединённые отрезком. Верно ли, что эти 11 точек всегда можно окрасить в 5 цветов так, чтобы никакой отрезок не соединял точки одного цвета?","definition_ids":["chromatic_number","cycle","simple_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"5-раскраска графа без клики K6","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф на 11 вершинах. Известно, что среди любых шести вершин найдутся две несмежные. Обязательно ли хроматическое число этого графа не превосходит 5?","definition_ids":["chromatic_number","simple_graph","clique"]},{"id":"stmt-graph-complement","title":"Дополнительная формулировка через независимость","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(H\\) — граф на 11 вершинах без независимого множества размера 6. Обязательно ли хроматическое число дополнительного графа \\(\\overline H\\) не превосходит 5?","definition_ids":["chromatic_number","simple_graph","complement_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number","cycle","simple_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ отрицательный; построим пример, который удовлетворяет условию, но не красится в 5 цветов. Расположим 11 точек на окружности в циклическом порядке и соединим отрезками все пары точек, кроме соседних на окружности. Иначе говоря, единственные несоединённые пары — это пары соседних точек 11-цикла. Проверим условие задачи. Среди любых шести выбранных точек обязательно найдутся две соседние на окружности: если бы соседних не было, то выбранные точки образовывали бы независимое множество в цикле из 11 вершин, а в таком цикле можно выбрать без соседства не более пяти вершин. Эта соседняя пара как раз не соединена отрезком, значит условие про любые шесть точек выполнено. Теперь покажем, что правильная 5-раскраска невозможна. При раскраске 11 точек в 5 цветов по принципу Дирихле какой-то цвет получил бы не меньше трёх точек. Точки одного цвета не должны быть соединены отрезками, то есть эти…"}],"relations":[],"search_text":"utyum-2024_komol62_6_3_circle_graph_coloring 5-раскраска графа на 11 точках без клики размера 6, утюм 2024 coloring goal_counting 2024 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural62.zip misc misc2024 official_archive src-utyum-2024_komol62_6_3_circle_graph_coloring-official with_solution утюм утюм 2024, командная олимпиада, 6 класс, 3. точки на окружности и 5-раскраска (официальный архив) утюм2024 ? утюм 2024, командная олимпиада, 6 класс, 3. точки на окружности и 5-раскраска (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked на окружности выбрано 11 точек. некоторые пары точек соединены отрезками. известно, что среди любых шести точек найдутся две, не соединённые отрезком. верно ли, что эти 11 точек всегда можно окрасить в 5 цветов так, чтобы никакой отрезок не соединял точки одного цвета? chromatic_number cycle simple_graph stmt-graph 5-раскраска графа без клики k6 ai_checked дан простой граф на 11 вершинах. известно, что среди любых шести вершин найдутся две несмежные. обязательно ли хроматическое число этого графа не превосходит 5? chromatic_number simple_graph clique stmt-graph-complement дополнительная формулировка через независимость ai_checked пусть \\(h\\) — граф на 11 вершинах без независимого множества размера 6. обязательно ли хроматическое число дополнительного графа \\(\\overline h\\) не превосходит 5? chromatic_number simple_graph complement_graph independent_set sol-official решение ai_checked chromatic_number cycle simple_graph ответ отрицательный; построим пример, который удовлетворяет условию, но не красится в 5 цветов. расположим 11 точек на окружности в циклическом порядке и соединим отрезками все пары точек, кроме соседних на окружности. иначе говоря, единственные несоединённые пары — это пары соседних точек 11-цикла. проверим условие задачи. среди любых шести выбранных точек обязательно найдутся две соседние на окружности: если бы соседних не было, то выбранные точки образовывали бы независимое множество в цикле из 11 вершин, а в таком цикле можно выбрать без соседства не более пяти вершин. эта соседняя пара как раз не соединена отрезком, значит условие про любые шесть точек выполнено. теперь покажем, что правильная 5-раскраска невозможна. при раскраске 11 точек в 5 цветов по принципу дирихле какой-то цвет получил бы не меньше трёх точек. точки одного цвета не должны быть соединены отрезками, то есть эти… utyum-2024_komol62_6_3_circle_graph_coloring 5-raskraska grafa na 11 tochkah bez kliki razmera 6, utyum 2024 coloring goal_counting 2024 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural62.zip misc misc2024 official_archive src-utyum-2024_komol62_6_3_circle_graph_coloring-official with_solution utyum utyum 2024, komandnaya olimpiada, 6 klass, 3. tochki na okruzhnosti i 5-raskraska (ofitsialnyy arhiv) utyum2024 ? utyum 2024, komandnaya olimpiada, 6 klass, 3. tochki na okruzhnosti i 5-raskraska (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked na okruzhnosti vybrano 11 tochek. nekotorye pary tochek soedineny otrezkami. izvestno, chto sredi lyubyh shesti tochek naydutsya dve, ne soedinennye otrezkom. verno li, chto eti 11 tochek vsegda mozhno okrasit v 5 tsvetov tak, chtoby nikakoy otrezok ne soedinyal tochki odnogo tsveta? chromatic_number cycle simple_graph stmt-graph 5-raskraska grafa bez kliki k6 ai_checked dan prostoy graf na 11 vershinah. izvestno, chto sredi lyubyh shesti vershin naydutsya dve nesmezhnye. obyazatelno li hromaticheskoe chislo etogo grafa ne prevoshodit 5? chromatic_number simple_graph clique stmt-graph-complement dopolnitelnaya formulirovka cherez nezavisimost ai_checked pust \\(h\\) — graf na 11 vershinah bez nezavisimogo mnozhestva razmera 6. obyazatelno li hromaticheskoe chislo dopolnitelnogo grafa \\(\\overline h\\) ne prevoshodit 5? chromatic_number simple_graph complement_graph independent_set sol-official reshenie ai_checked chromatic_number cycle simple_graph otvet otritsatelnyy; postroim primer, kotoryy udovletvoryaet usloviyu, no ne krasitsya v 5 tsvetov. raspolozhim 11 tochek na okruzhnosti v tsiklicheskom poryadke i soedinim otrezkami vse pary tochek, krome sosednih na okruzhnosti. inache govorya, edinstvennye nesoedinennye pary — eto pary sosednih tochek 11-tsikla. proverim uslovie zadachi. sredi lyubyh shesti vybrannyh tochek obyazatelno naydutsya dve sosednie na okruzhnosti: esli by sosednih ne bylo, to vybrannye tochki obrazovyvali by nezavisimoe mnozhestvo v tsikle iz 11 vershin, a v takom tsikle mozhno vybrat bez sosedstva ne bolee pyati vershin. eta sosednyaya para kak raz ne soedinena otrezkom, znachit uslovie pro lyubye shest tochek vypolneno. teper pokazhem, chto pravilnaya 5-raskraska nevozmozhna. pri raskraske 11 tochek v 5 tsvetov po printsipu dirihle kakoy-to tsvet poluchil by ne menshe treh tochek. tochki odnogo tsveta ne dolzhny byt soedineny otrezkami, to est eti…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends","title":"Степени соседей в графе без изолированных вершин, УТЮМ 2024","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2024, командная олимпиада, 8 класс, 5. Среднее число друзей на футболках друзей (официальный архив)"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Некоторые участники турнира дружат между собой, причём у каждого есть хотя бы один друг. На футболке каждого написано число его друзей. Докажите, что найдётся участник, для которого среднее арифметическое чисел на футболках его друзей не меньше, чем среднее арифметическое чисел на всех футболках.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-average-neighbor-degree","title":"Средняя степень соседей","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф без изолированных вершин. На каждой вершине написана её степень. Докажите, что найдётся вершина, для которой среднее арифметическое степеней её соседей не меньше средней степени всех вершин графа.","definition_ids":["degree","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф дружбы. Пусть у \\(i\\)-й вершины степень равна \\(n_i\\), а \\(s_i\\) — среднее арифметическое степеней её соседей. По условию изолированных вершин нет, поэтому все \\(n_i>0\\). Обозначим через \\(M\\) среднюю степень всех вершин графа. Тогда \\[ M=\\frac{\\sum_i n_i}{N}=\\frac{2E}{N}, \\] где \\(N\\) — число вершин, а \\(E\\) — число рёбер. Предположим, что для каждой вершины \\(s_i<M\\). Умножим эти неравенства на положительные числа \\(n_i\\) и сложим: \\[ \\sum_i n_i s_i < M\\sum_i n_i=\\frac{2E}{N}\\cdot 2E. \\] С другой стороны, распишем левую часть по рёбрам. Для вершины \\(i\\) величина \\(n_i s_i\\) равна сумме степеней всех её соседей. Поэтому каждое ребро \\(it\\) даёт в общую сумму два вклада: \\(n_t\\) со стороны вершины \\(i\\) и \\(n_i\\) со стороны вершины \\(t\\). Значит, \\[ \\sum_i n_i s_i=\\sum_{it\\in E}(n_i+n_t). \\] Теперь применим простую оценку: сумма степеней концов каждого ребра в среднем п…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2024-average-degree-mantel","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends степени соседей в графе без изолированных вершин, утюм 2024 double_counting goal_counting 2024 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural62.zip misc misc2024 official_archive src-utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends-official with_solution утюм утюм 2024, командная олимпиада, 8 класс, 5. среднее число друзей на футболках друзей (официальный архив) утюм2024 ? утюм 2024, командная олимпиада, 8 класс, 5. среднее число друзей на футболках друзей (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked некоторые участники турнира дружат между собой, причём у каждого есть хотя бы один друг. на футболке каждого написано число его друзей. докажите, что найдётся участник, для которого среднее арифметическое чисел на футболках его друзей не меньше, чем среднее арифметическое чисел на всех футболках. stmt-graph-average-neighbor-degree средняя степень соседей ai_checked дан простой граф без изолированных вершин. на каждой вершине написана её степень. докажите, что найдётся вершина, для которой среднее арифметическое степеней её соседей не меньше средней степени всех вершин графа. degree simple_graph sol-official решение ai_checked degree рассмотрим граф дружбы. пусть у \\(i\\)-й вершины степень равна \\(n_i\\), а \\(s_i\\) — среднее арифметическое степеней её соседей. по условию изолированных вершин нет, поэтому все \\(n_i>0\\). обозначим через \\(m\\) среднюю степень всех вершин графа. тогда \\[ m=\\frac{\\sum_i n_i}{n}=\\frac{2e}{n}, \\] где \\(n\\) — число вершин, а \\(e\\) — число рёбер. предположим, что для каждой вершины \\(s_i<m\\). умножим эти неравенства на положительные числа \\(n_i\\) и сложим: \\[ \\sum_i n_i s_i < m\\sum_i n_i=\\frac{2e}{n}\\cdot 2e. \\] с другой стороны, распишем левую часть по рёбрам. для вершины \\(i\\) величина \\(n_i s_i\\) равна сумме степеней всех её соседей. поэтому каждое ребро \\(it\\) даёт в общую сумму два вклада: \\(n_t\\) со стороны вершины \\(i\\) и \\(n_i\\) со стороны вершины \\(t\\). значит, \\[ \\sum_i n_i s_i=\\sum_{it\\in e}(n_i+n_t). \\] теперь применим простую оценку: сумма степеней концов каждого ребра в среднем п… utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends stepeni sosedey v grafe bez izolirovannyh vershin, utyum 2024 double_counting goal_counting 2024 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural62.zip misc misc2024 official_archive src-utyum-2024_komol62_8_5_average_degree_friends-official with_solution utyum utyum 2024, komandnaya olimpiada, 8 klass, 5. srednee chislo druzey na futbolkah druzey (ofitsialnyy arhiv) utyum2024 ? utyum 2024, komandnaya olimpiada, 8 klass, 5. srednee chislo druzey na futbolkah druzey (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked nekotorye uchastniki turnira druzhat mezhdu soboy, prichem u kazhdogo est hotya by odin drug. na futbolke kazhdogo napisano chislo ego druzey. dokazhite, chto naydetsya uchastnik, dlya kotorogo srednee arifmeticheskoe chisel na futbolkah ego druzey ne menshe, chem srednee arifmeticheskoe chisel na vseh futbolkah. stmt-graph-average-neighbor-degree srednyaya stepen sosedey ai_checked dan prostoy graf bez izolirovannyh vershin. na kazhdoy vershine napisana ee stepen. dokazhite, chto naydetsya vershina, dlya kotoroy srednee arifmeticheskoe stepeney ee sosedey ne menshe sredney stepeni vseh vershin grafa. degree simple_graph sol-official reshenie ai_checked degree rassmotrim graf druzhby. pust u \\(i\\)-y vershiny stepen ravna \\(n_i\\), a \\(s_i\\) — srednee arifmeticheskoe stepeney ee sosedey. po usloviyu izolirovannyh vershin net, poetomu vse \\(n_i>0\\). oboznachim cherez \\(m\\) srednyuyu stepen vseh vershin grafa. togda \\[ m=\\frac{\\sum_i n_i}{n}=\\frac{2e}{n}, \\] gde \\(n\\) — chislo vershin, a \\(e\\) — chislo reber. predpolozhim, chto dlya kazhdoy vershiny \\(s_i<m\\). umnozhim eti neravenstva na polozhitelnye chisla \\(n_i\\) i slozhim: \\[ \\sum_i n_i s_i < m\\sum_i n_i=\\frac{2e}{n}\\cdot 2e. \\] s drugoy storony, raspishem levuyu chast po rebram. dlya vershiny \\(i\\) velichina \\(n_i s_i\\) ravna summe stepeney vseh ee sosedey. poetomu kazhdoe rebro \\(it\\) daet v obschuyu summu dva vklada: \\(n_t\\) so storony vershiny \\(i\\) i \\(n_i\\) so storony vershiny \\(t\\). znachit, \\[ \\sum_i n_i s_i=\\sum_{it\\in e}(n_i+n_t). \\] teper primenim prostuyu otsenku: summa stepeney kontsov kazhdogo rebra v srednem p…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2024_komol63_67_capital_flights_bipartite","title":"Подграфы с теми же расстояниями от корня, УТЮМ 2024","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2024_komol63_67_capital_flights_bipartite.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2024_komol63_67_capital_flights_bipartite.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2024_komol63_67_capital_flights_bipartite","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2024, командная олимпиада, 6-7 классы, Столица, расстояния перелётов и отсутствие нечётных циклов (официальный архив)"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 6-7 классы.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране n городов, один из которых является столицей. Между некоторыми парами городов налажено авиасообщение. Расстояние между городами — это минимальное число перелётов, нужное для пути между ними. Правительство хочет закрыть часть авиалиний так, чтобы расстояние от столицы до любого города не изменилось. Известно, что число способов сделать это нечётно. Докажите, что нельзя стартовать из какого-то города, совершить нечётное число перелётов и вернуться в него.","definition_ids":["connected_graph","path","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Подграфы с сохранёнными расстояниями от корня","status":"ai_checked","text":"Дан связный граф \\(G\\) с выделенной вершиной \\(r\\). Назовём подграф \\(H\\) на том же множестве вершин допустимым, если для каждой вершины \\(v\\) расстояние от \\(r\\) до \\(v\\) в \\(H\\) равно расстоянию от \\(r\\) до \\(v\\) в \\(G\\). Известно, что число допустимых подграфов нечётно. Докажите, что \\(G\\) не содержит циклов нечётной длины.","definition_ids":["connected_graph","path","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","cycle","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"В доказательстве вводится граф авиалиний с выделенной вершиной-столицей. Вершины разбиваются на ярусы по расстоянию от столицы. Рёбра могут идти либо внутри одного яруса, либо между соседними ярусами. Если бы существовало ребро внутри яруса, то включение или исключение этого ребра не влияло бы на сохранение расстояний от столицы. Тогда допустимые множества удаляемых рёбер разбивались бы на пары, и их число было бы чётным — противоречие. Значит, рёбер внутри одного яруса нет. Тогда все рёбра идут между ярусами разной чётности, то есть граф двудольный и нечётных циклов в нём нет. Уточнение: если ребро соединяет две вершины одного BFS-яруса, то ни один кратчайший путь от столицы не обязан использовать это ребро; переключение только этого ребра разбивает допустимые наборы удаляемых рёбер на пары."}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2024-capital-flights-apmo-firefighters","neighbor_id":"apmo-2005-p4-firefighters-grid-spread","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2024_komol63_67_capital_flights_bipartite подграфы с теми же расстояниями от корня, утюм 2024 coloring connectivity goal_counting 2024 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural63.zip misc misc2024 official_archive src-utyum-2024_komol63_67_capital_flights_bipartite-official with_solution утюм утюм 2024, командная олимпиада, 6-7 классы, столица, расстояния перелётов и отсутствие нечётных циклов (официальный архив) утюм2024 ? утюм 2024, командная олимпиада, 6-7 классы, столица, расстояния перелётов и отсутствие нечётных циклов (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране n городов, один из которых является столицей. между некоторыми парами городов налажено авиасообщение. расстояние между городами — это минимальное число перелётов, нужное для пути между ними. правительство хочет закрыть часть авиалиний так, чтобы расстояние от столицы до любого города не изменилось. известно, что число способов сделать это нечётно. докажите, что нельзя стартовать из какого-то города, совершить нечётное число перелётов и вернуться в него. connected_graph path cycle stmt-graph подграфы с сохранёнными расстояниями от корня ai_checked дан связный граф \\(g\\) с выделенной вершиной \\(r\\). назовём подграф \\(h\\) на том же множестве вершин допустимым, если для каждой вершины \\(v\\) расстояние от \\(r\\) до \\(v\\) в \\(h\\) равно расстоянию от \\(r\\) до \\(v\\) в \\(g\\). известно, что число допустимых подграфов нечётно. докажите, что \\(g\\) не содержит циклов нечётной длины. connected_graph path cycle sol-official решение ai_checked connected_graph path cycle bipartite_graph в доказательстве вводится граф авиалиний с выделенной вершиной-столицей. вершины разбиваются на ярусы по расстоянию от столицы. рёбра могут идти либо внутри одного яруса, либо между соседними ярусами. если бы существовало ребро внутри яруса, то включение или исключение этого ребра не влияло бы на сохранение расстояний от столицы. тогда допустимые множества удаляемых рёбер разбивались бы на пары, и их число было бы чётным — противоречие. значит, рёбер внутри одного яруса нет. тогда все рёбра идут между ярусами разной чётности, то есть граф двудольный и нечётных циклов в нём нет. уточнение: если ребро соединяет две вершины одного bfs-яруса, то ни один кратчайший путь от столицы не обязан использовать это ребро; переключение только этого ребра разбивает допустимые наборы удаляемых рёбер на пары. utyum-2024_komol63_67_capital_flights_bipartite podgrafy s temi zhe rasstoyaniyami ot kornya, utyum 2024 coloring connectivity goal_counting 2024 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural63.zip misc misc2024 official_archive src-utyum-2024_komol63_67_capital_flights_bipartite-official with_solution utyum utyum 2024, komandnaya olimpiada, 6-7 klassy, stolitsa, rasstoyaniya pereletov i otsutstvie nechetnyh tsiklov (ofitsialnyy arhiv) utyum2024 ? utyum 2024, komandnaya olimpiada, 6-7 klassy, stolitsa, rasstoyaniya pereletov i otsutstvie nechetnyh tsiklov (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane n gorodov, odin iz kotoryh yavlyaetsya stolitsey. mezhdu nekotorymi parami gorodov nalazheno aviasoobschenie. rasstoyanie mezhdu gorodami — eto minimalnoe chislo pereletov, nuzhnoe dlya puti mezhdu nimi. pravitelstvo hochet zakryt chast avialiniy tak, chtoby rasstoyanie ot stolitsy do lyubogo goroda ne izmenilos. izvestno, chto chislo sposobov sdelat eto nechetno. dokazhite, chto nelzya startovat iz kakogo-to goroda, sovershit nechetnoe chislo pereletov i vernutsya v nego. connected_graph path cycle stmt-graph podgrafy s sohranennymi rasstoyaniyami ot kornya ai_checked dan svyaznyy graf \\(g\\) s vydelennoy vershinoy \\(r\\). nazovem podgraf \\(h\\) na tom zhe mnozhestve vershin dopustimym, esli dlya kazhdoy vershiny \\(v\\) rasstoyanie ot \\(r\\) do \\(v\\) v \\(h\\) ravno rasstoyaniyu ot \\(r\\) do \\(v\\) v \\(g\\). izvestno, chto chislo dopustimyh podgrafov nechetno. dokazhite, chto \\(g\\) ne soderzhit tsiklov nechetnoy dliny. connected_graph path cycle sol-official reshenie ai_checked connected_graph path cycle bipartite_graph v dokazatelstve vvoditsya graf avialiniy s vydelennoy vershinoy-stolitsey. vershiny razbivayutsya na yarusy po rasstoyaniyu ot stolitsy. rebra mogut idti libo vnutri odnogo yarusa, libo mezhdu sosednimi yarusami. esli by suschestvovalo rebro vnutri yarusa, to vklyuchenie ili isklyuchenie etogo rebra ne vliyalo by na sohranenie rasstoyaniy ot stolitsy. togda dopustimye mnozhestva udalyaemyh reber razbivalis by na pary, i ih chislo bylo by chetnym — protivorechie. znachit, reber vnutri odnogo yarusa net. togda vse rebra idut mezhdu yarusami raznoy chetnosti, to est graf dvudolnyy i nechetnyh tsiklov v nem net. utochnenie: esli rebro soedinyaet dve vershiny odnogo bfs-yarusa, to ni odin kratchayshiy put ot stolitsy ne obyazan ispolzovat eto rebro; pereklyuchenie tolko etogo rebra razbivaet dopustimye nabory udalyaemyh reber na pary.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads","title":"Максимум рёбер без смежных универсальных вершин на n вершинах, УТЮМ 2024","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2024, командная олимпиада, 8 класс, 4. Дороги Липшира с запрещённым ребром между универсальными деревнями (официальный архив)"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графстве Липшир есть 100 селений, некоторые пары из которых соединены дорогами. Древний закон запрещает дорогу между двумя селениями, каждое из которых соединено дорогами со всеми остальными. Какое наибольшее количество дорог может быть в графстве?","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Запрет смежных универсальных вершин","status":"ai_checked","text":"Дан простой граф на \\(n\\ge2\\) вершинах. Запрещено, чтобы две смежные вершины были соединены со всеми остальными вершинами графа. Каково максимально возможное число рёбер?","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","degree"]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-graph-complement","title":"Формулировка через дополнительный граф","status":"ai_checked","text":"Пусть N >= 2, и пусть \\(H\\) — простой граф на N вершинах, в котором не более одной изолированной вершины. Докажите, что в \\(H\\) не менее ceil((N - 1)/2) рёбер.","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(\\binom n2-\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\). Рассмотрим дополнительный граф. Вершина исходного графа соединена со всеми остальными тогда и только тогда, когда она изолирована в дополнении. По условию в исходном графе не может быть двух смежных универсальных вершин; при \\(n\\ge2\\) это значит, что в дополнении изолированной может быть не более одна вершина. Значит, в дополнительном графе как минимум \\(n-1\\) вершин должны иметь положительную степень. Чтобы покрыть рёбрами \\(n-1\\) вершин, нужно не меньше \\(\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\) рёбер. Следовательно, в исходном графе не больше \\(\\binom n2-\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\) рёбер. Оценка достигается: в дополнении возьмём паросочетание, покрывающее \\(n\\) вершин при чётном \\(n\\) и \\(n-1\\) вершин при нечётном \\(n\\). В исходном графе удалены ровно рёбра этого паросочетания. Тогда универсальных вершин нет при чётн…"}],"relations":[{"id":"rel-no-isolated-edge-lower-bound-utyum-2024-lipshire","neighbor_id":"no-isolated-vertices-edge-lower-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-utyum-2024-lipshire-flashlight-complement","neighbor_id":"flashlight-batteries-tournament-cities-2015","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads максимум рёбер без смежных универсальных вершин на n вершинах, утюм 2024 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2024 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural63.zip misc misc2024 official_archive src-utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads-official with_solution утюм утюм 2024, командная олимпиада, 8 класс, 4. дороги липшира с запрещённым ребром между универсальными деревнями (официальный архив) утюм2024 ? утюм 2024, командная олимпиада, 8 класс, 4. дороги липшира с запрещённым ребром между универсальными деревнями (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графстве липшир есть 100 селений, некоторые пары из которых соединены дорогами. древний закон запрещает дорогу между двумя селениями, каждое из которых соединено дорогами со всеми остальными. какое наибольшее количество дорог может быть в графстве? simple_graph complement_graph degree stmt-graph запрет смежных универсальных вершин ai_checked дан простой граф на \\(n\\ge2\\) вершинах. запрещено, чтобы две смежные вершины были соединены со всеми остальными вершинами графа. каково максимально возможное число рёбер? simple_graph complement_graph degree stmt-graph-complement формулировка через дополнительный граф ai_checked пусть n >= 2, и пусть \\(h\\) — простой граф на n вершинах, в котором не более одной изолированной вершины. докажите, что в \\(h\\) не менее ceil((n - 1)/2) рёбер. simple_graph complement_graph degree sol-official решение ai_checked simple_graph complement_graph degree ответ: \\(\\binom n2-\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\). рассмотрим дополнительный граф. вершина исходного графа соединена со всеми остальными тогда и только тогда, когда она изолирована в дополнении. по условию в исходном графе не может быть двух смежных универсальных вершин; при \\(n\\ge2\\) это значит, что в дополнении изолированной может быть не более одна вершина. значит, в дополнительном графе как минимум \\(n-1\\) вершин должны иметь положительную степень. чтобы покрыть рёбрами \\(n-1\\) вершин, нужно не меньше \\(\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\) рёбер. следовательно, в исходном графе не больше \\(\\binom n2-\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\) рёбер. оценка достигается: в дополнении возьмём паросочетание, покрывающее \\(n\\) вершин при чётном \\(n\\) и \\(n-1\\) вершин при нечётном \\(n\\). в исходном графе удалены ровно рёбра этого паросочетания. тогда универсальных вершин нет при чётн… utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads maksimum reber bez smezhnyh universalnyh vershin na n vershinah, utyum 2024 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2024 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural63.zip misc misc2024 official_archive src-utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads-official with_solution utyum utyum 2024, komandnaya olimpiada, 8 klass, 4. dorogi lipshira s zapreschennym rebrom mezhdu universalnymi derevnyami (ofitsialnyy arhiv) utyum2024 ? utyum 2024, komandnaya olimpiada, 8 klass, 4. dorogi lipshira s zapreschennym rebrom mezhdu universalnymi derevnyami (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafstve lipshir est 100 seleniy, nekotorye pary iz kotoryh soedineny dorogami. drevniy zakon zapreschaet dorogu mezhdu dvumya seleniyami, kazhdoe iz kotoryh soedineno dorogami so vsemi ostalnymi. kakoe naibolshee kolichestvo dorog mozhet byt v grafstve? simple_graph complement_graph degree stmt-graph zapret smezhnyh universalnyh vershin ai_checked dan prostoy graf na \\(n\\ge2\\) vershinah. zaprescheno, chtoby dve smezhnye vershiny byli soedineny so vsemi ostalnymi vershinami grafa. kakovo maksimalno vozmozhnoe chislo reber? simple_graph complement_graph degree stmt-graph-complement formulirovka cherez dopolnitelnyy graf ai_checked pust n >= 2, i pust \\(h\\) — prostoy graf na n vershinah, v kotorom ne bolee odnoy izolirovannoy vershiny. dokazhite, chto v \\(h\\) ne menee ceil((n - 1)/2) reber. simple_graph complement_graph degree sol-official reshenie ai_checked simple_graph complement_graph degree otvet: \\(\\binom n2-\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\). rassmotrim dopolnitelnyy graf. vershina ishodnogo grafa soedinena so vsemi ostalnymi togda i tolko togda, kogda ona izolirovana v dopolnenii. po usloviyu v ishodnom grafe ne mozhet byt dvuh smezhnyh universalnyh vershin; pri \\(n\\ge2\\) eto znachit, chto v dopolnenii izolirovannoy mozhet byt ne bolee odna vershina. znachit, v dopolnitelnom grafe kak minimum \\(n-1\\) vershin dolzhny imet polozhitelnuyu stepen. chtoby pokryt rebrami \\(n-1\\) vershin, nuzhno ne menshe \\(\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\) reber. sledovatelno, v ishodnom grafe ne bolshe \\(\\binom n2-\\left\\lceil\\frac{n-1}{2}\\right\\rceil\\) reber. otsenka dostigaetsya: v dopolnenii vozmem parosochetanie, pokryvayuschee \\(n\\) vershin pri chetnom \\(n\\) i \\(n-1\\) vershin pri nechetnom \\(n\\). v ishodnom grafe udaleny rovno rebra etogo parosochetaniya. togda universalnyh vershin net pri chetn…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game","title":"Остовный подграф с нечётными степенями, УТЮМ 2025","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2025, командная олимпиада, 6 класс, 6. Удаление отрезков для максимизации нечётных степеней (официальный архив)"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 6 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Петя отмечает 99 точек на окружности и соединяет некоторые пары точек отрезками так, чтобы из каждой точки выходил хотя бы один отрезок. После этого Вася может стереть несколько проведённых отрезков. Затем Петя платит Васе по одному рублю за каждую точку, из которой выходит нечётное число оставшихся отрезков. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно заработать независимо от действий Пети?","definition_ids":["simple_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Остовный подграф с нечётными степенями","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(q\\ge1\\), а \\(G\\) — произвольный граф на \\(3q\\) вершинах без изолированных вершин. Разрешается выбрать остовный подграф \\(H\\) графа \\(G\\), то есть удалить из \\(G\\) некоторые рёбра и оставить все вершины. Какое наибольшее число \\(m\\) можно гарантировать так, чтобы для любого такого \\(G\\) нашёлся остовный подграф \\(H\\) с не менее чем \\(m\\) вершинами нечётной степени?","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(2q\\). Верхняя оценка: можно разбить вершины на \\(q\\) троек и в каждой сделать маленькую звезду из двух рёбер. В любой остовный подграф каждой такой тройки вносит не более две вершины нечётной степени, потому что число вершин нечётной степени в любом графе чётно. Поэтому больше \\(2q\\) нечётных вершин гарантировать нельзя. Нижняя оценка: будем удалять рёбра, которые не являются единственными ни у одного из своих концов. Когда таких рёбер не останется, получим остовный подграф без изолированных вершин. Каждой вершине степени больше 1 можно сопоставить хотя бы две соседние листовые вершины: каждое инцидентное ей ребро должно быть единственным у другого конца. Значит, вершин степени больше 1 не более \\(q\\), а листьев, то есть вершин степени 1, не менее \\(2q\\). Все эти листья имеют нечётную степень. Следовательно, всегда можно гарантировать \\(2q\\) вершин нечётной степени, и эта оценк…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2025-odd-degree-airlines-degree-sum","neighbor_id":"utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game остовный подграф с нечётными степенями, утюм 2025 goal_strategy_game 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural64.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game-official with_solution утюм утюм 2025, командная олимпиада, 6 класс, 6. удаление отрезков для максимизации нечётных степеней (официальный архив) утюм2025 ? утюм 2025, командная олимпиада, 6 класс, 6. удаление отрезков для максимизации нечётных степеней (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked петя отмечает 99 точек на окружности и соединяет некоторые пары точек отрезками так, чтобы из каждой точки выходил хотя бы один отрезок. после этого вася может стереть несколько проведённых отрезков. затем петя платит васе по одному рублю за каждую точку, из которой выходит нечётное число оставшихся отрезков. какую наибольшую сумму вася может гарантированно заработать независимо от действий пети? simple_graph degree stmt-graph остовный подграф с нечётными степенями ai_checked пусть \\(q\\ge1\\), а \\(g\\) — произвольный граф на \\(3q\\) вершинах без изолированных вершин. разрешается выбрать остовный подграф \\(h\\) графа \\(g\\), то есть удалить из \\(g\\) некоторые рёбра и оставить все вершины. какое наибольшее число \\(m\\) можно гарантировать так, чтобы для любого такого \\(g\\) нашёлся остовный подграф \\(h\\) с не менее чем \\(m\\) вершинами нечётной степени? simple_graph degree sol-official решение ai_checked simple_graph degree ответ: \\(2q\\). верхняя оценка: можно разбить вершины на \\(q\\) троек и в каждой сделать маленькую звезду из двух рёбер. в любой остовный подграф каждой такой тройки вносит не более две вершины нечётной степени, потому что число вершин нечётной степени в любом графе чётно. поэтому больше \\(2q\\) нечётных вершин гарантировать нельзя. нижняя оценка: будем удалять рёбра, которые не являются единственными ни у одного из своих концов. когда таких рёбер не останется, получим остовный подграф без изолированных вершин. каждой вершине степени больше 1 можно сопоставить хотя бы две соседние листовые вершины: каждое инцидентное ей ребро должно быть единственным у другого конца. значит, вершин степени больше 1 не более \\(q\\), а листьев, то есть вершин степени 1, не менее \\(2q\\). все эти листья имеют нечётную степень. следовательно, всегда можно гарантировать \\(2q\\) вершин нечётной степени, и эта оценк… utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game ostovnyy podgraf s nechetnymi stepenyami, utyum 2025 goal_strategy_game 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural64.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game-official with_solution utyum utyum 2025, komandnaya olimpiada, 6 klass, 6. udalenie otrezkov dlya maksimizatsii nechetnyh stepeney (ofitsialnyy arhiv) utyum2025 ? utyum 2025, komandnaya olimpiada, 6 klass, 6. udalenie otrezkov dlya maksimizatsii nechetnyh stepeney (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked petya otmechaet 99 tochek na okruzhnosti i soedinyaet nekotorye pary tochek otrezkami tak, chtoby iz kazhdoy tochki vyhodil hotya by odin otrezok. posle etogo vasya mozhet steret neskolko provedennyh otrezkov. zatem petya platit vase po odnomu rublyu za kazhduyu tochku, iz kotoroy vyhodit nechetnoe chislo ostavshihsya otrezkov. kakuyu naibolshuyu summu vasya mozhet garantirovanno zarabotat nezavisimo ot deystviy peti? simple_graph degree stmt-graph ostovnyy podgraf s nechetnymi stepenyami ai_checked pust \\(q\\ge1\\), a \\(g\\) — proizvolnyy graf na \\(3q\\) vershinah bez izolirovannyh vershin. razreshaetsya vybrat ostovnyy podgraf \\(h\\) grafa \\(g\\), to est udalit iz \\(g\\) nekotorye rebra i ostavit vse vershiny. kakoe naibolshee chislo \\(m\\) mozhno garantirovat tak, chtoby dlya lyubogo takogo \\(g\\) nashelsya ostovnyy podgraf \\(h\\) s ne menee chem \\(m\\) vershinami nechetnoy stepeni? simple_graph degree sol-official reshenie ai_checked simple_graph degree otvet: \\(2q\\). verhnyaya otsenka: mozhno razbit vershiny na \\(q\\) troek i v kazhdoy sdelat malenkuyu zvezdu iz dvuh reber. v lyuboy ostovnyy podgraf kazhdoy takoy troyki vnosit ne bolee dve vershiny nechetnoy stepeni, potomu chto chislo vershin nechetnoy stepeni v lyubom grafe chetno. poetomu bolshe \\(2q\\) nechetnyh vershin garantirovat nelzya. nizhnyaya otsenka: budem udalyat rebra, kotorye ne yavlyayutsya edinstvennymi ni u odnogo iz svoih kontsov. kogda takih reber ne ostanetsya, poluchim ostovnyy podgraf bez izolirovannyh vershin. kazhdoy vershine stepeni bolshe 1 mozhno sopostavit hotya by dve sosednie listovye vershiny: kazhdoe intsidentnoe ey rebro dolzhno byt edinstvennym u drugogo kontsa. znachit, vershin stepeni bolshe 1 ne bolee \\(q\\), a listev, to est vershin stepeni 1, ne menee \\(2q\\). vse eti listya imeyut nechetnuyu stepen. sledovatelno, vsegda mozhno garantirovat \\(2q\\) vershin nechetnoy stepeni, i eta otsenk…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree","title":"Минимум рёбер, сохраняющих связность и доминирование важными вершинами, УТЮМ 2025","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2025, командная олимпиада, 7 класс, 5. Важные города и сохранение связности (официальный архив)"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","connectivity","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 7 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране n городов некоторые пары соединены дорогами с двусторонним движением. Некоторые города названы важными. Известно, что: 1. из каждого города можно добраться до любого другого; 2. каждый неважный город соединён дорогой с важным. Для какого наименьшего k всегда можно закрыть все дороги, кроме некоторых k, на ремонт так, чтобы оба условия сохранились?","definition_ids":["connected_graph","cycle","tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Связный остовный подграф с важными вершинами","status":"ai_checked","text":"Дан связный граф, в котором некоторые вершины объявлены важными, и каждая неважная вершина смежна хотя бы с одной важной. Нужно оставить как можно меньше рёбер так, чтобы граф остался связным и второе свойство тоже сохранилось. Найдите минимальное гарантированное число оставляемых рёбер.","definition_ids":["connected_graph","cycle","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","cycle","tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассматривается граф городов и дорог. Очевидно, нужно оставить как минимум n - 1 дорог, иначе граф не будет связным. Остаётся показать, что всегда можно дойти до n - 1. Для этого последовательно удаляются рёбра из циклов. Если какое-то ребро цикла нельзя удалить, то один его конец важный, а другой неважный. Если нельзя удалить ни одно ребро цикла, то важные и неважные вершины на цикле чередуются, и тогда удаление любого ребра всё равно сохраняет свойство: каждый неважный город остаётся соединён с важным. После последовательного удаления циклов получается дерево на n вершинах, то есть остаётся ровно n - 1 дорог."}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2022-big-small-cities-utyum-2025-important-cities","neighbor_id":"spbmo-2022-big-small-cities-spanning-forest-leaves","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-utyum-2018-strategic-utyum-2025-important-cities","neighbor_id":"utyum-2018_lichol_6_strategic_cities","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2025-important-cities-tree-properties","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2025-important-cities-imo-2004-c3","neighbor_id":"imo-2004-c3-delete-edge-from-4cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree минимум рёбер, сохраняющих связность и доминирование важными вершинами, утюм 2025 trees connectivity goal_exact_bound 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural64.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree-official with_solution утюм утюм 2025, командная олимпиада, 7 класс, 5. важные города и сохранение связности (официальный архив) утюм2025 ? утюм 2025, командная олимпиада, 7 класс, 5. важные города и сохранение связности (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране n городов некоторые пары соединены дорогами с двусторонним движением. некоторые города названы важными. известно, что: 1. из каждого города можно добраться до любого другого; 2. каждый неважный город соединён дорогой с важным. для какого наименьшего k всегда можно закрыть все дороги, кроме некоторых k, на ремонт так, чтобы оба условия сохранились? connected_graph cycle tree stmt-graph связный остовный подграф с важными вершинами ai_checked дан связный граф, в котором некоторые вершины объявлены важными, и каждая неважная вершина смежна хотя бы с одной важной. нужно оставить как можно меньше рёбер так, чтобы граф остался связным и второе свойство тоже сохранилось. найдите минимальное гарантированное число оставляемых рёбер. connected_graph cycle tree sol-official решение ai_checked connected_graph cycle tree рассматривается граф городов и дорог. очевидно, нужно оставить как минимум n - 1 дорог, иначе граф не будет связным. остаётся показать, что всегда можно дойти до n - 1. для этого последовательно удаляются рёбра из циклов. если какое-то ребро цикла нельзя удалить, то один его конец важный, а другой неважный. если нельзя удалить ни одно ребро цикла, то важные и неважные вершины на цикле чередуются, и тогда удаление любого ребра всё равно сохраняет свойство: каждый неважный город остаётся соединён с важным. после последовательного удаления циклов получается дерево на n вершинах, то есть остаётся ровно n - 1 дорог. utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree minimum reber, sohranyayuschih svyaznost i dominirovanie vazhnymi vershinami, utyum 2025 trees connectivity goal_exact_bound 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural64.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol64_7_5_important_cities_tree-official with_solution utyum utyum 2025, komandnaya olimpiada, 7 klass, 5. vazhnye goroda i sohranenie svyaznosti (ofitsialnyy arhiv) utyum2025 ? utyum 2025, komandnaya olimpiada, 7 klass, 5. vazhnye goroda i sohranenie svyaznosti (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane n gorodov nekotorye pary soedineny dorogami s dvustoronnim dvizheniem. nekotorye goroda nazvany vazhnymi. izvestno, chto: 1. iz kazhdogo goroda mozhno dobratsya do lyubogo drugogo; 2. kazhdyy nevazhnyy gorod soedinen dorogoy s vazhnym. dlya kakogo naimenshego k vsegda mozhno zakryt vse dorogi, krome nekotoryh k, na remont tak, chtoby oba usloviya sohranilis? connected_graph cycle tree stmt-graph svyaznyy ostovnyy podgraf s vazhnymi vershinami ai_checked dan svyaznyy graf, v kotorom nekotorye vershiny obyavleny vazhnymi, i kazhdaya nevazhnaya vershina smezhna hotya by s odnoy vazhnoy. nuzhno ostavit kak mozhno menshe reber tak, chtoby graf ostalsya svyaznym i vtoroe svoystvo tozhe sohranilos. naydite minimalnoe garantirovannoe chislo ostavlyaemyh reber. connected_graph cycle tree sol-official reshenie ai_checked connected_graph cycle tree rassmatrivaetsya graf gorodov i dorog. ochevidno, nuzhno ostavit kak minimum n - 1 dorog, inache graf ne budet svyaznym. ostaetsya pokazat, chto vsegda mozhno doyti do n - 1. dlya etogo posledovatelno udalyayutsya rebra iz tsiklov. esli kakoe-to rebro tsikla nelzya udalit, to odin ego konets vazhnyy, a drugoy nevazhnyy. esli nelzya udalit ni odno rebro tsikla, to vazhnye i nevazhnye vershiny na tsikle chereduyutsya, i togda udalenie lyubogo rebra vse ravno sohranyaet svoystvo: kazhdyy nevazhnyy gorod ostaetsya soedinen s vazhnym. posle posledovatelnogo udaleniya tsiklov poluchaetsya derevo na n vershinah, to est ostaetsya rovno n - 1 dorog.","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path","title":"820 толстых паросочетаний заставляют дерево на 80 вершинах быть путём, УТЮМ 2025","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2025, командная олимпиада, 8 класс, 7. Толстые паросочетания в дереве на 80 вершинах (официальный архив)"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","matching","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В дереве T 80 вершин. Набор из 39 независимых рёбер назовём толстым паросочетанием. Известно, что дерево T имеет 820 различных толстых паросочетаний. Докажите, что T является путём.","definition_ids":["tree","matching","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","matching","path","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем более общее утверждение. В любом дереве на 2n вершинах число паросочетаний из n - 1 рёбер не превосходит C(n + 1, 2). Если n >= 3 и равенство достигается, то дерево является путём. Для n = 2 равенство дают два дерева на четырёх вершинах: путь \\(P_4\\) и звезда \\(K_{1,3}\\). При n = 2 дерево на четырёх вершинах имеет три ребра, и паросочетание из одного ребра можно выбрать ровно тремя способами; это равно C(3, 2). Пусть n >= 3, и утверждение уже доказано для меньших n. Рассмотрим дерево T на 2n вершинах и его двудольное разбиение \\(V_1\\), \\(V_2\\). Каждое паросочетание из n - 1 рёбер занимает ровно n - 1 вершин в каждой доле. Поэтому, если такие паросочетания существуют, размеры долей могут быть только n - 1 и n + 1 либо n и n. Сначала пусть |\\(V_1\\)| = n + 1, |\\(V_2\\)| = n - 1. Тогда каждое нужное паросочетание оставляет непокрытыми две вершины из \\(V_1\\). После выбора этих двух ве…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-near-perfect-matchings-path-utyum-2025-tree-matchings","neighbor_id":"tree-near-perfect-matchings-path-extremal","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path 820 толстых паросочетаний заставляют дерево на 80 вершинах быть путём, утюм 2025 trees matching goal_exact_bound 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural64.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path-official with_solution утюм утюм 2025, командная олимпиада, 8 класс, 7. толстые паросочетания в дереве на 80 вершинах (официальный архив) утюм2025 ? утюм 2025, командная олимпиада, 8 класс, 7. толстые паросочетания в дереве на 80 вершинах (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в дереве t 80 вершин. набор из 39 независимых рёбер назовём толстым паросочетанием. известно, что дерево t имеет 820 различных толстых паросочетаний. докажите, что t является путём. tree matching path sol-official решение ai_checked tree matching path bipartite_graph докажем более общее утверждение. в любом дереве на 2n вершинах число паросочетаний из n - 1 рёбер не превосходит c(n + 1, 2). если n >= 3 и равенство достигается, то дерево является путём. для n = 2 равенство дают два дерева на четырёх вершинах: путь \\(p_4\\) и звезда \\(k_{1,3}\\). при n = 2 дерево на четырёх вершинах имеет три ребра, и паросочетание из одного ребра можно выбрать ровно тремя способами; это равно c(3, 2). пусть n >= 3, и утверждение уже доказано для меньших n. рассмотрим дерево t на 2n вершинах и его двудольное разбиение \\(v_1\\), \\(v_2\\). каждое паросочетание из n - 1 рёбер занимает ровно n - 1 вершин в каждой доле. поэтому, если такие паросочетания существуют, размеры долей могут быть только n - 1 и n + 1 либо n и n. сначала пусть |\\(v_1\\)| = n + 1, |\\(v_2\\)| = n - 1. тогда каждое нужное паросочетание оставляет непокрытыми две вершины из \\(v_1\\). после выбора этих двух ве… utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path 820 tolstyh parosochetaniy zastavlyayut derevo na 80 vershinah byt putem, utyum 2025 trees matching goal_exact_bound 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural64.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol64_8_7_tree_matchings_path-official with_solution utyum utyum 2025, komandnaya olimpiada, 8 klass, 7. tolstye parosochetaniya v dereve na 80 vershinah (ofitsialnyy arhiv) utyum2025 ? utyum 2025, komandnaya olimpiada, 8 klass, 7. tolstye parosochetaniya v dereve na 80 vershinah (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v dereve t 80 vershin. nabor iz 39 nezavisimyh reber nazovem tolstym parosochetaniem. izvestno, chto derevo t imeet 820 razlichnyh tolstyh parosochetaniy. dokazhite, chto t yavlyaetsya putem. tree matching path sol-official reshenie ai_checked tree matching path bipartite_graph dokazhem bolee obschee utverzhdenie. v lyubom dereve na 2n vershinah chislo parosochetaniy iz n - 1 reber ne prevoshodit c(n + 1, 2). esli n >= 3 i ravenstvo dostigaetsya, to derevo yavlyaetsya putem. dlya n = 2 ravenstvo dayut dva dereva na chetyreh vershinah: put \\(p_4\\) i zvezda \\(k_{1,3}\\). pri n = 2 derevo na chetyreh vershinah imeet tri rebra, i parosochetanie iz odnogo rebra mozhno vybrat rovno tremya sposobami; eto ravno c(3, 2). pust n >= 3, i utverzhdenie uzhe dokazano dlya menshih n. rassmotrim derevo t na 2n vershinah i ego dvudolnoe razbienie \\(v_1\\), \\(v_2\\). kazhdoe parosochetanie iz n - 1 reber zanimaet rovno n - 1 vershin v kazhdoy dole. poetomu, esli takie parosochetaniya suschestvuyut, razmery doley mogut byt tolko n - 1 i n + 1 libo n i n. snachala pust |\\(v_1\\)| = n + 1, |\\(v_2\\)| = n - 1. togda kazhdoe nuzhnoe parosochetanie ostavlyaet nepokrytymi dve vershiny iz \\(v_1\\). posle vybora etih dvuh ve…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum","title":"Постоянная сумма степеней несмежных пар в графе на нечётном числе вершин, УТЮМ 2025","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2025, командная олимпиада, 7 класс, 6. 2025 городов и суммы степеней несмежных пар (официальный архив)"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 7 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 2025 городов. Некоторые пары городов, но не все, соединены двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любых двух городов без прямого авиасообщения сумма количеств исходящих из них авиалиний равна одному и тому же числу k. Какие значения может принимать k?","definition_ids":["simple_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Постоянная сумма степеней несмежных пар","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge3\\) — нечётное число. Дан простой неполный граф на \\(n\\) вершинах. Для любых двух несмежных вершин сумма их степеней равна одному и тому же числу \\(k\\). Какие значения может принимать \\(k\\)?","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: все чётные \\(k\\) от \\(0\\) до \\(2n-4\\) и все нечётные \\(k\\) от \\(n-2\\) до \\(2n-5\\). Рассмотрим дополнительный граф \\(H\\): его рёбрами будут как раз пары вершин, несмежные в исходном графе. Если в \\(H\\) степени вершин равны \\(d_H(u)\\) и \\(d_H(v)\\), то в исходном графе степени этих вершин равны \\(n-1-d_H(u)\\) и \\(n-1-d_H(v)\\). Поэтому для каждого ребра \\(uv\\) графа \\(H\\) выполнено \\[ k=2n-2-(d_H(u)+d_H(v)). \\] Значит, в \\(H\\) сумма степеней концов любого ребра равна одному и тому же числу \\(S=2n-2-k\\). Посмотрим, какие \\(S\\) возможны. Очевидно, \\(2\\le S\\le 2n-2\\). Если \\(S\\) нечётно, то в \\(H\\) нет нечётного цикла: вдоль пути степени вершин вынужденно чередуются как \\(a,S-a,a,S-a,\\ldots\\). Поэтому каждая компонента \\(H\\), содержащая ребро, двудольна; в одной её доле все степени равны \\(a\\), в другой — \\(S-a\\). Тогда в первой доле не меньше \\(S-a\\) вершин, а во второй не меньше \\(a\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2025-degree-sum-ore-theorem","neighbor_id":"ore-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2025-odd-degree-airlines-degree-sum","neighbor_id":"utyum-2025_komol64_6_6_odd_degree_game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum постоянная сумма степеней несмежных пар в графе на нечётном числе вершин, утюм 2025 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural65.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum-official with_solution утюм утюм 2025, командная олимпиада, 7 класс, 6. 2025 городов и суммы степеней несмежных пар (официальный архив) утюм2025 ? утюм 2025, командная олимпиада, 7 класс, 6. 2025 городов и суммы степеней несмежных пар (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 2025 городов. некоторые пары городов, но не все, соединены двусторонними авиалиниями. оказалось, что для любых двух городов без прямого авиасообщения сумма количеств исходящих из них авиалиний равна одному и тому же числу k. какие значения может принимать k? simple_graph degree stmt-graph постоянная сумма степеней несмежных пар ai_checked пусть \\(n\\ge3\\) — нечётное число. дан простой неполный граф на \\(n\\) вершинах. для любых двух несмежных вершин сумма их степеней равна одному и тому же числу \\(k\\). какие значения может принимать \\(k\\)? simple_graph degree sol-official решение ai_checked simple_graph degree ответ: все чётные \\(k\\) от \\(0\\) до \\(2n-4\\) и все нечётные \\(k\\) от \\(n-2\\) до \\(2n-5\\). рассмотрим дополнительный граф \\(h\\): его рёбрами будут как раз пары вершин, несмежные в исходном графе. если в \\(h\\) степени вершин равны \\(d_h(u)\\) и \\(d_h(v)\\), то в исходном графе степени этих вершин равны \\(n-1-d_h(u)\\) и \\(n-1-d_h(v)\\). поэтому для каждого ребра \\(uv\\) графа \\(h\\) выполнено \\[ k=2n-2-(d_h(u)+d_h(v)). \\] значит, в \\(h\\) сумма степеней концов любого ребра равна одному и тому же числу \\(s=2n-2-k\\). посмотрим, какие \\(s\\) возможны. очевидно, \\(2\\le s\\le 2n-2\\). если \\(s\\) нечётно, то в \\(h\\) нет нечётного цикла: вдоль пути степени вершин вынужденно чередуются как \\(a,s-a,a,s-a,\\ldots\\). поэтому каждая компонента \\(h\\), содержащая ребро, двудольна; в одной её доле все степени равны \\(a\\), в другой — \\(s-a\\). тогда в первой доле не меньше \\(s-a\\) вершин, а во второй не меньше \\(a\\)… utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum postoyannaya summa stepeney nesmezhnyh par v grafe na nechetnom chisle vershin, utyum 2025 extremal_graph_theory goal_exact_bound 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural65.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol65_7_6_airlines_degree_sum-official with_solution utyum utyum 2025, komandnaya olimpiada, 7 klass, 6. 2025 gorodov i summy stepeney nesmezhnyh par (ofitsialnyy arhiv) utyum2025 ? utyum 2025, komandnaya olimpiada, 7 klass, 6. 2025 gorodov i summy stepeney nesmezhnyh par (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 2025 gorodov. nekotorye pary gorodov, no ne vse, soedineny dvustoronnimi avialiniyami. okazalos, chto dlya lyubyh dvuh gorodov bez pryamogo aviasoobscheniya summa kolichestv ishodyaschih iz nih avialiniy ravna odnomu i tomu zhe chislu k. kakie znacheniya mozhet prinimat k? simple_graph degree stmt-graph postoyannaya summa stepeney nesmezhnyh par ai_checked pust \\(n\\ge3\\) — nechetnoe chislo. dan prostoy nepolnyy graf na \\(n\\) vershinah. dlya lyubyh dvuh nesmezhnyh vershin summa ih stepeney ravna odnomu i tomu zhe chislu \\(k\\). kakie znacheniya mozhet prinimat \\(k\\)? simple_graph degree sol-official reshenie ai_checked simple_graph degree otvet: vse chetnye \\(k\\) ot \\(0\\) do \\(2n-4\\) i vse nechetnye \\(k\\) ot \\(n-2\\) do \\(2n-5\\). rassmotrim dopolnitelnyy graf \\(h\\): ego rebrami budut kak raz pary vershin, nesmezhnye v ishodnom grafe. esli v \\(h\\) stepeni vershin ravny \\(d_h(u)\\) i \\(d_h(v)\\), to v ishodnom grafe stepeni etih vershin ravny \\(n-1-d_h(u)\\) i \\(n-1-d_h(v)\\). poetomu dlya kazhdogo rebra \\(uv\\) grafa \\(h\\) vypolneno \\[ k=2n-2-(d_h(u)+d_h(v)). \\] znachit, v \\(h\\) summa stepeney kontsov lyubogo rebra ravna odnomu i tomu zhe chislu \\(s=2n-2-k\\). posmotrim, kakie \\(s\\) vozmozhny. ochevidno, \\(2\\le s\\le 2n-2\\). esli \\(s\\) nechetno, to v \\(h\\) net nechetnogo tsikla: vdol puti stepeni vershin vynuzhdenno chereduyutsya kak \\(a,s-a,a,s-a,\\ldots\\). poetomu kazhdaya komponenta \\(h\\), soderzhaschaya rebro, dvudolna; v odnoy ee dole vse stepeni ravny \\(a\\), v drugoy — \\(s-a\\). togda v pervoy dole ne menshe \\(s-a\\) vershin, a vo vtoroy ne menshe \\(a\\)…","source_keys":["misc"]}
{"id":"utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound","title":"Нижняя граница для орграфа с доминирующей вершиной вне каждого k-множества, УТЮМ 2025","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound","source_key":"misc","source_label":"УТЮМ","source_titles":["УТЮМ 2025, командная олимпиада, 8 класс, 6. Ориентированный граф с доминирующей вершиной вне каждого k-множества (официальный архив)"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","induction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 8 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дан граф G на n вершинах и натуральное число k < n. Рёбра графа ориентированы так, что для любого набора A из k вершин найдётся вершина v вне A, из которой во все вершины набора A идут ориентированные рёбра. Докажите, что n >= 2^(k+1) - 1.","definition_ids":["directed_graph","outdegree","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","outdegree","complete_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Можно считать, что между каждой парой вершин проведено ровно одно ориентированное ребро: если какого-то ребра нет, добавим его в любом направлении. От добавления рёбер условие задачи не портится, поэтому достаточно доказать оценку для полученного турнира. Докажем утверждение индукцией по k. При k=1 условие означает, что у каждой вершины есть входящее ребро. Турнир на одной или двух вершинах таким свойством не обладает, значит n >= 3 = 2^(1+1)-1. Пусть k>1, и пусть v — вершина максимальной исходящей степени. Обозначим через A множество вершин, из которых ребро идёт в v, а через B множество вершин, в которые ребро идёт из v. Тогда остальные вершины разбиты на A и B. Сначала покажем, что |A| >= k. Если бы |A| <= k-1, можно было бы выбрать k вершин так, чтобы среди них были v и все вершины из A. По условию нашлась бы внешняя вершина u, из которой идут рёбра во все выбранные вершины, в частн…"}],"relations":[{"id":"rel-utyum-2025-oriented-bound-tournament-king","neighbor_id":"tournament-king-radius-two","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound нижняя граница для орграфа с доминирующей вершиной вне каждого k-множества, утюм 2025 extremal_graph_theory induction goal_exact_bound 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural65.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound-official with_solution утюм утюм 2025, командная олимпиада, 8 класс, 6. ориентированный граф с доминирующей вершиной вне каждого k-множества (официальный архив) утюм2025 ? утюм 2025, командная олимпиада, 8 класс, 6. ориентированный граф с доминирующей вершиной вне каждого k-множества (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дан граф g на n вершинах и натуральное число k < n. рёбра графа ориентированы так, что для любого набора a из k вершин найдётся вершина v вне a, из которой во все вершины набора a идут ориентированные рёбра. докажите, что n >= 2^(k+1) - 1. directed_graph outdegree complete_graph sol-official решение ai_checked directed_graph outdegree complete_graph можно считать, что между каждой парой вершин проведено ровно одно ориентированное ребро: если какого-то ребра нет, добавим его в любом направлении. от добавления рёбер условие задачи не портится, поэтому достаточно доказать оценку для полученного турнира. докажем утверждение индукцией по k. при k=1 условие означает, что у каждой вершины есть входящее ребро. турнир на одной или двух вершинах таким свойством не обладает, значит n >= 3 = 2^(1+1)-1. пусть k>1, и пусть v — вершина максимальной исходящей степени. обозначим через a множество вершин, из которых ребро идёт в v, а через b множество вершин, в которые ребро идёт из v. тогда остальные вершины разбиты на a и b. сначала покажем, что |a| >= k. если бы |a| <= k-1, можно было бы выбрать k вершин так, чтобы среди них были v и все вершины из a. по условию нашлась бы внешняя вершина u, из которой идут рёбра во все выбранные вершины, в частн… utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound nizhnyaya granitsa dlya orgrafa s dominiruyuschey vershinoy vne kazhdogo k-mnozhestva, utyum 2025 extremal_graph_theory induction goal_exact_bound 2025 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural65.zip misc misc2025 official_archive src-utyum-2025_komol65_8_6_oriented_graph_bound-official with_solution utyum utyum 2025, komandnaya olimpiada, 8 klass, 6. orientirovannyy graf s dominiruyuschey vershinoy vne kazhdogo k-mnozhestva (ofitsialnyy arhiv) utyum2025 ? utyum 2025, komandnaya olimpiada, 8 klass, 6. orientirovannyy graf s dominiruyuschey vershinoy vne kazhdogo k-mnozhestva (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dan graf g na n vershinah i naturalnoe chislo k < n. rebra grafa orientirovany tak, chto dlya lyubogo nabora a iz k vershin naydetsya vershina v vne a, iz kotoroy vo vse vershiny nabora a idut orientirovannye rebra. dokazhite, chto n >= 2^(k+1) - 1. directed_graph outdegree complete_graph sol-official reshenie ai_checked directed_graph outdegree complete_graph mozhno schitat, chto mezhdu kazhdoy paroy vershin provedeno rovno odno orientirovannoe rebro: esli kakogo-to rebra net, dobavim ego v lyubom napravlenii. ot dobavleniya reber uslovie zadachi ne portitsya, poetomu dostatochno dokazat otsenku dlya poluchennogo turnira. dokazhem utverzhdenie induktsiey po k. pri k=1 uslovie oznachaet, chto u kazhdoy vershiny est vhodyaschee rebro. turnir na odnoy ili dvuh vershinah takim svoystvom ne obladaet, znachit n >= 3 = 2^(1+1)-1. pust k>1, i pust v — vershina maksimalnoy ishodyaschey stepeni. oboznachim cherez a mnozhestvo vershin, iz kotoryh rebro idet v v, a cherez b mnozhestvo vershin, v kotorye rebro idet iz v. togda ostalnye vershiny razbity na a i b. snachala pokazhem, chto |a| >= k. esli by |a| <= k-1, mozhno bylo by vybrat k vershin tak, chtoby sredi nih byli v i vse vershiny iz a. po usloviyu nashlas by vneshnyaya vershina u, iz kotoroy idut rebra vo vse vybrannye vershiny, v chastn…","source_keys":["misc"]}
{"id":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","title":"Коды вершинных цветов разбивают рёбра на двудольные слои","path":"data\\problems\\classical\\vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","goal_construction","goal_bound","classical_theorem"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Короткая кодировочная лемма: нужны только жадная вершинная раскраска и наблюдение, что каждая битовая координата задаёт двудольное разбиение.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-color-codes-bipartite-layers","title":"Лемма о двоичных кодах и двудольных слоях","status":"ai_checked","text":"Пусть вершины конечного графа \\(G\\) правильно раскрашены в \\(q\\) цветов. Положим \\(r=\\lceil\\log_2 q\\rceil\\). Тогда множество рёбер \\(G\\) можно разбить на \\(r\\) двудольных подграфов. В частности, у любого конечного графа максимальной степени не больше \\(\\Delta\\) множество рёбер можно разбить на \\(\\lceil\\log_2(\\Delta+1)\\rceil\\) двудольных подграфов.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","degree","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-binary-code-edge-partition","title":"Доказательство двоичными кодами цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","degree","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем для \\(q\\) вершинных цветов попарно различные двоичные строки длины \\(r\\). Это возможно, потому что \\(2^r\\ge q\\). Каждой вершине припишем строку, соответствующую её цвету. Для любого ребра \\(uv\\) цвета концов различны, значит, две приписанные строке различны. Выберем координату, в которой они различаются, например первую такую координату, и поместим \\(uv\\) в слой этой координаты. Так каждое ребро попадает ровно в один из \\(r\\) слоёв. Зафиксируем координату \\(i\\). В \\(i\\)-м слое каждое ребро соединяет вершину, у которой \\(i\\)-й бит равен 0, с вершиной, у которой \\(i\\)-й бит равен 1, потому что в этот слой попадали только рёбра с различными кодами концов в координате \\(i\\). Поэтому \\(i\\)-й слой двудолен, с долями, заданными значением \\(i\\)-го бита. Значит, рёбра разбиты на \\(r\\) двудольных подграфов. Для следствия раскрасим вершины графа максимальной степени не больше \\(\\Delta\\) жа…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2011-p4-greedy-coloring-bipartite-color-classes","neighbor_id":"spbmo-2011-9-10-p4-triangle-in-every-2000-set-k4","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bipartite-edge-layers-kolmogorov-2008-juniors-p8","neighbor_id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bipartite-edge-layers-kolmogorov-2008-seniors-p5","neighbor_id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bipartite-edge-layers-digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","neighbor_id":"digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-2012-p3-colored-tree","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers коды вершинных цветов разбивают рёбра на двудольные слои coloring goal_construction goal_bound classical_theorem https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив прочее ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-color-codes-bipartite-layers лемма о двоичных кодах и двудольных слоях ai_checked пусть вершины конечного графа \\(g\\) правильно раскрашены в \\(q\\) цветов. положим \\(r=\\lceil\\log_2 q\\rceil\\). тогда множество рёбер \\(g\\) можно разбить на \\(r\\) двудольных подграфов. в частности, у любого конечного графа максимальной степени не больше \\(\\delta\\) множество рёбер можно разбить на \\(\\lceil\\log_2(\\delta+1)\\rceil\\) двудольных подграфов. simple_graph bipartite_graph degree chromatic_number idea-binary-color-code-layers использовать биты цветовых кодов как двудольные разбиения заменим каждый вершинный цвет двоичным кодом. ребро соединяет вершины разных цветов, поэтому их коды различаются хотя бы в одной координате; если отнести ребро к такой координате, то каждый фиксированный координатный слой пересекает двудольное разбиение по этому биту. coloring ai_checked idea-greedy-delta-plus-one-colors жадная раскраска даёт нужные коды если известно только ограничение на максимальную степень, обычная жадная раскраска вершин даёт \\(\\delta+1\\) правильных вершинных цветов; затем эти цвета кодируются двоичными строками длины \\(\\lceil\\log_2(\\delta+1)\\rceil\\). coloring ai_checked sol-binary-code-edge-partition доказательство двоичными кодами цветов ai_checked simple_graph bipartite_graph degree chromatic_number greedy_ordering выберем для \\(q\\) вершинных цветов попарно различные двоичные строки длины \\(r\\). это возможно, потому что \\(2^r\\ge q\\). каждой вершине припишем строку, соответствующую её цвету. для любого ребра \\(uv\\) цвета концов различны, значит, две приписанные строке различны. выберем координату, в которой они различаются, например первую такую координату, и поместим \\(uv\\) в слой этой координаты. так каждое ребро попадает ровно в один из \\(r\\) слоёв. зафиксируем координату \\(i\\). в \\(i\\)-м слое каждое ребро соединяет вершину, у которой \\(i\\)-й бит равен 0, с вершиной, у которой \\(i\\)-й бит равен 1, потому что в этот слой попадали только рёбра с различными кодами концов в координате \\(i\\). поэтому \\(i\\)-й слой двудолен, с долями, заданными значением \\(i\\)-го бита. значит, рёбра разбиты на \\(r\\) двудольных подграфов. для следствия раскрасим вершины графа максимальной степени не больше \\(\\delta\\) жа… vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers kody vershinnyh tsvetov razbivayut rebra na dvudolnye sloi coloring goal_construction goal_bound classical_theorem https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv prochee ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-color-codes-bipartite-layers lemma o dvoichnyh kodah i dvudolnyh sloyah ai_checked pust vershiny konechnogo grafa \\(g\\) pravilno raskrasheny v \\(q\\) tsvetov. polozhim \\(r=\\lceil\\log_2 q\\rceil\\). togda mnozhestvo reber \\(g\\) mozhno razbit na \\(r\\) dvudolnyh podgrafov. v chastnosti, u lyubogo konechnogo grafa maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(\\delta\\) mnozhestvo reber mozhno razbit na \\(\\lceil\\log_2(\\delta+1)\\rceil\\) dvudolnyh podgrafov. simple_graph bipartite_graph degree chromatic_number idea-binary-color-code-layers ispolzovat bity tsvetovyh kodov kak dvudolnye razbieniya zamenim kazhdyy vershinnyy tsvet dvoichnym kodom. rebro soedinyaet vershiny raznyh tsvetov, poetomu ih kody razlichayutsya hotya by v odnoy koordinate; esli otnesti rebro k takoy koordinate, to kazhdyy fiksirovannyy koordinatnyy sloy peresekaet dvudolnoe razbienie po etomu bitu. coloring ai_checked idea-greedy-delta-plus-one-colors zhadnaya raskraska daet nuzhnye kody esli izvestno tolko ogranichenie na maksimalnuyu stepen, obychnaya zhadnaya raskraska vershin daet \\(\\delta+1\\) pravilnyh vershinnyh tsvetov; zatem eti tsveta kodiruyutsya dvoichnymi strokami dliny \\(\\lceil\\log_2(\\delta+1)\\rceil\\). coloring ai_checked sol-binary-code-edge-partition dokazatelstvo dvoichnymi kodami tsvetov ai_checked simple_graph bipartite_graph degree chromatic_number greedy_ordering vyberem dlya \\(q\\) vershinnyh tsvetov poparno razlichnye dvoichnye stroki dliny \\(r\\). eto vozmozhno, potomu chto \\(2^r\\ge q\\). kazhdoy vershine pripishem stroku, sootvetstvuyuschuyu ee tsvetu. dlya lyubogo rebra \\(uv\\) tsveta kontsov razlichny, znachit, dve pripisannye stroke razlichny. vyberem koordinatu, v kotoroy oni razlichayutsya, naprimer pervuyu takuyu koordinatu, i pomestim \\(uv\\) v sloy etoy koordinaty. tak kazhdoe rebro popadaet rovno v odin iz \\(r\\) sloev. zafiksiruem koordinatu \\(i\\). v \\(i\\)-m sloe kazhdoe rebro soedinyaet vershinu, u kotoroy \\(i\\)-y bit raven 0, s vershinoy, u kotoroy \\(i\\)-y bit raven 1, potomu chto v etot sloy popadali tolko rebra s razlichnymi kodami kontsov v koordinate \\(i\\). poetomu \\(i\\)-y sloy dvudolen, s dolyami, zadannymi znacheniem \\(i\\)-go bita. znachit, rebra razbity na \\(r\\) dvudolnyh podgrafov. dlya sledstviya raskrasim vershiny grafa maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(\\delta\\) zha…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}