{"id":"miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings","title":"Ненулевые члены детерминанта как совершенные паросочетания, Schweitzer 1951/13","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Contests in Higher Mathematics, Hungary 1949-1961, Schweitzer 1951 Problem 13"],"year":"1951","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","graph_model","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":4,"comment":"После перехода к двудольному графу задача сводится к независимому выбору одного из двух паросочетаний в каждой копии \\(K_{2,2}\\).","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Сколько ненулевых членов содержит разложение детерминанта порядка \\(2n\\), если ненулевыми являются ровно те элементы \\(a_{ik}\\), для которых \\(i-k\\) делится на \\(n\\)?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Двудольная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дан двудольный граф с левыми вершинами \\(r_1,\\ldots,r_{2n}\\) и правыми вершинами \\(c_1,\\ldots,c_{2n}\\), где \\(r_i\\) соединена с \\(c_k\\) тогда и только тогда, когда \\(i\\equiv k\\pmod n\\). Найти число совершенных паросочетаний этого графа.","definition_ids":["bipartite_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"solution-components","title":"Подсчёт по компонентам","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":["matching","graph_model","goal_counting"],"has_text":true,"text_preview":"Перейдём к двудольному графу строк и столбцов. Условие \\(i-k\\equiv0\\pmod n\\) означает, что строка может быть сопоставлена только со столбцами того же остатка по модулю \\(n\\). Для каждого остатка есть ровно две строки и два столбца, а допустимые рёбра образуют \\(K_{2,2}\\). Совершенное паросочетание в \\(K_{2,2}\\) можно выбрать двумя способами. Компоненты независимы, поэтому общее число совершенных паросочетаний, а значит и ненулевых членов детерминанта, равно \\(2^n\\)."}],"relations":[{"id":"rel-simon-marais-2021-a3-schweitzer-1951-determinant-support","neighbor_id":"simon-marais-2021-a3-determinants-cycle-components","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-1951-p13-hall-matchings","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ms2019-p4-ms1951-p13-row-column-bipartite-model","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings ненулевые члены детерминанта как совершенные паросочетания, schweitzer 1951/13 matching graph_model double_counting goal_counting 1951 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1951 problem 13 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1951 problem_and_solution schweitzer schweitzer1951 src-miklos-schweitzer-1951-p13-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1951 problem 13 stmt-original условие source_verified сколько ненулевых членов содержит разложение детерминанта порядка \\(2n\\), если ненулевыми являются ровно те элементы \\(a_{ik}\\), для которых \\(i-k\\) делится на \\(n\\)? stmt-graph двудольная формулировка ai_checked дан двудольный граф с левыми вершинами \\(r_1,\\ldots,r_{2n}\\) и правыми вершинами \\(c_1,\\ldots,c_{2n}\\), где \\(r_i\\) соединена с \\(c_k\\) тогда и только тогда, когда \\(i\\equiv k\\pmod n\\). найти число совершенных паросочетаний этого графа. bipartite_graph matching idea-determinant-terms-are-matchings член детерминанта выбирает по одному ребру в каждой строке и каждом столбце ненулевой член разложения соответствует перестановке \\(\\sigma\\), для которой все выбранные элементы \\(a_{i,\\sigma(i)}\\) ненулевые. в двудольном графе это ровно совершенное паросочетание между строками и столбцами. matching graph_model ai_checked idea-residue-components разбить граф по остаткам по модулю n для каждого остатка \\(s\\pmod n\\) есть две строки и два столбца с этим остатком, и между ними проведены все четыре ребра. поэтому весь граф распадается в дизъюнктное объединение \\(n\\) копий \\(k_{2,2}\\). matching double_counting ai_checked solution-components подсчёт по компонентам ai_checked double_counting matching graph_model goal_counting перейдём к двудольному графу строк и столбцов. условие \\(i-k\\equiv0\\pmod n\\) означает, что строка может быть сопоставлена только со столбцами того же остатка по модулю \\(n\\). для каждого остатка есть ровно две строки и два столбца, а допустимые рёбра образуют \\(k_{2,2}\\). совершенное паросочетание в \\(k_{2,2}\\) можно выбрать двумя способами. компоненты независимы, поэтому общее число совершенных паросочетаний, а значит и ненулевых членов детерминанта, равно \\(2^n\\). miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings nenulevye chleny determinanta kak sovershennye parosochetaniya, schweitzer 1951/13 matching graph_model double_counting goal_counting 1951 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1951 problem 13 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1951 problem_and_solution schweitzer schweitzer1951 src-miklos-schweitzer-1951-p13-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1951 problem 13 stmt-original uslovie source_verified skolko nenulevyh chlenov soderzhit razlozhenie determinanta poryadka \\(2n\\), esli nenulevymi yavlyayutsya rovno te elementy \\(a_{ik}\\), dlya kotoryh \\(i-k\\) delitsya na \\(n\\)? stmt-graph dvudolnaya formulirovka ai_checked dan dvudolnyy graf s levymi vershinami \\(r_1,\\ldots,r_{2n}\\) i pravymi vershinami \\(c_1,\\ldots,c_{2n}\\), gde \\(r_i\\) soedinena s \\(c_k\\) togda i tolko togda, kogda \\(i\\equiv k\\pmod n\\). nayti chislo sovershennyh parosochetaniy etogo grafa. bipartite_graph matching idea-determinant-terms-are-matchings chlen determinanta vybiraet po odnomu rebru v kazhdoy stroke i kazhdom stolbtse nenulevoy chlen razlozheniya sootvetstvuet perestanovke \\(\\sigma\\), dlya kotoroy vse vybrannye elementy \\(a_{i,\\sigma(i)}\\) nenulevye. v dvudolnom grafe eto rovno sovershennoe parosochetanie mezhdu strokami i stolbtsami. matching graph_model ai_checked idea-residue-components razbit graf po ostatkam po modulyu n dlya kazhdogo ostatka \\(s\\pmod n\\) est dve stroki i dva stolbtsa s etim ostatkom, i mezhdu nimi provedeny vse chetyre rebra. poetomu ves graf raspadaetsya v dizyunktnoe obedinenie \\(n\\) kopiy \\(k_{2,2}\\). matching double_counting ai_checked solution-components podschet po komponentam ai_checked double_counting matching graph_model goal_counting pereydem k dvudolnomu grafu strok i stolbtsov. uslovie \\(i-k\\equiv0\\pmod n\\) oznachaet, chto stroka mozhet byt sopostavlena tolko so stolbtsami togo zhe ostatka po modulyu \\(n\\). dlya kazhdogo ostatka est rovno dve stroki i dva stolbtsa, a dopustimye rebra obrazuyut \\(k_{2,2}\\). sovershennoe parosochetanie v \\(k_{2,2}\\) mozhno vybrat dvumya sposobami. komponenty nezavisimy, poetomu obschee chislo sovershennyh parosochetaniy, a znachit i nenulevyh chlenov determinanta, ravno \\(2^n\\).","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-1953-p10-triangular-lattice-random-walk-recurrence","title":"Возвратность случайного блуждания на треугольной решётке, Schweitzer 1953/10","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-1953-p10-triangular-lattice-random-walk-recurrence.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-1953-p10-triangular-lattice-random-walk-recurrence.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-1953-p10-triangular-lattice-random-walk-recurrence","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Contests in Higher Mathematics, Hungary 1949-1961, Schweitzer 1953 Problem 10"],"year":"1953","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","planar_graphs","classical_lemma","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Нужны производящие функции или эквивалентный критерий возвратности и оценка вероятностей возврата на двумерной решётке.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"complete_ai_checked","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning pass 2026-05-17","notes":"Локальная аналитическая оценка и вероятностный критерий возвратности теперь доказаны внутри карточки; решение не опирается на потерянные OCR-формулы источника.","audit_source":"high-reasoning-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Точка совершает случайное блуждание по плоской треугольной решётке: из каждой вершины она с равной вероятностью переходит по одной из шести решётчатых линий, выходящих из этой вершины. Доказать, что при бесконечном продолжении блуждания точка вернётся в начальную вершину с вероятностью 1.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Случайное блуждание на 6-регулярном плоском графе","status":"ai_checked","text":"На бесконечном графе треугольной решётки, где каждая вершина имеет шесть соседей, рассматривается простой случайный обход. Нужно доказать возвратность этого графа: вероятность хотя бы одного возвращения в стартовую вершину равна 1.","definition_ids":["planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"solution-return-series","title":"Через вероятности возврата","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":["graph_model","classical_lemma","goal_proof"],"has_text":true,"text_preview":"Удобно записать вершины треугольной решётки как пары целых чисел \\((x,y)\\), а шесть возможных шагов как \\[ (1,0),\\ (-1,0),\\ (0,1),\\ (0,-1),\\ (1,-1),\\ (-1,1). \\] Пусть \\(P_m\\) — вероятность оказаться в начале после \\(m\\) шагов. Для \\(\\theta,\\phi\\in[-\\pi,\\pi]\\) характеристическая функция одного шага равна \\[ \\chi(\\theta,\\phi)=\\frac{1}{3}\\bigl(\\cos\\theta+\\cos\\phi+\\cos(\\theta-\\phi)\\bigr). \\] По формуле обращения Фурье для решётки \\(\\mathbb Z^2\\) \\[ P_m=\\frac{1}{(2\\pi)^2}\\int_{-\\pi}^{\\pi}\\int_{-\\pi}^{\\pi}\\chi(\\theta,\\phi)^m\\,d\\theta\\,d\\phi . \\] Для чётных моментов подынтегральная функция неотрицательна, поэтому достаточно оценить интеграл снизу в малой окрестности нуля. Возьмём \\(\\rho>0\\) настолько малым, что при \\(|t|\\le2\\rho\\) выполнено \\(\\cos t\\ge1-t^2/2\\). Если \\(|\\theta|,|\\phi|\\le\\rho\\), то \\[ \\chi(\\theta,\\phi) \\ge 1-\\frac{\\theta^2+\\phi^2+(\\theta-\\phi)^2}{6} \\ge 1-\\frac{\\theta^2+\\phi^2}…"}],"relations":[],"search_text":"miklos-schweitzer-1953-p10-triangular-lattice-random-walk-recurrence возвратность случайного блуждания на треугольной решётке, schweitzer 1953/10 graph_model planar_graphs classical_lemma goal_proof 1953 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1953 problem 10 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1953 problem_and_solution schweitzer schweitzer1953 src-miklos-schweitzer-1953-p10-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1953 problem 10 stmt-original условие source_verified точка совершает случайное блуждание по плоской треугольной решётке: из каждой вершины она с равной вероятностью переходит по одной из шести решётчатых линий, выходящих из этой вершины. доказать, что при бесконечном продолжении блуждания точка вернётся в начальную вершину с вероятностью 1. stmt-graph случайное блуждание на 6-регулярном плоском графе ai_checked на бесконечном графе треугольной решётки, где каждая вершина имеет шесть соседей, рассматривается простой случайный обход. нужно доказать возвратность этого графа: вероятность хотя бы одного возвращения в стартовую вершину равна 1. planar_graph idea-recurrence-criterion возвратность равносильна расходимости суммы вероятностей возврата если \\(p_n\\) — вероятность оказаться в начальной вершине после \\(n\\) шагов, то для неотрицательных \\(p_n\\) стандартный критерий даёт: вероятность когда-нибудь вернуться равна 1 тогда и только тогда, когда \\(\\sum_n p_n\\) расходится. classical_lemma goal_proof ai_checked idea-two-dimensional-lower-bound в двумерной решётке вероятность возврата имеет порядок не меньше \\(1/n\\) опубликованное решение кодирует шесть направлений комплексными числами \\(\\omega^0,\\ldots,\\omega^5\\), где \\(\\omega=e^{\\pi i/3}\\), и выражает \\(p_n\\) как постоянный член тригонометрического многочлена. интегральная оценка снизу даёт \\(p_{2n}\\ge c/n\\), а гармонический ряд расходится. graph_model classical_lemma ai_checked solution-return-series через вероятности возврата ai_checked graph_model classical_lemma goal_proof удобно записать вершины треугольной решётки как пары целых чисел \\((x,y)\\), а шесть возможных шагов как \\[ (1,0),\\ (-1,0),\\ (0,1),\\ (0,-1),\\ (1,-1),\\ (-1,1). \\] пусть \\(p_m\\) — вероятность оказаться в начале после \\(m\\) шагов. для \\(\\theta,\\phi\\in[-\\pi,\\pi]\\) характеристическая функция одного шага равна \\[ \\chi(\\theta,\\phi)=\\frac{1}{3}\\bigl(\\cos\\theta+\\cos\\phi+\\cos(\\theta-\\phi)\\bigr). \\] по формуле обращения фурье для решётки \\(\\mathbb z^2\\) \\[ p_m=\\frac{1}{(2\\pi)^2}\\int_{-\\pi}^{\\pi}\\int_{-\\pi}^{\\pi}\\chi(\\theta,\\phi)^m\\,d\\theta\\,d\\phi . \\] для чётных моментов подынтегральная функция неотрицательна, поэтому достаточно оценить интеграл снизу в малой окрестности нуля. возьмём \\(\\rho>0\\) настолько малым, что при \\(|t|\\le2\\rho\\) выполнено \\(\\cos t\\ge1-t^2/2\\). если \\(|\\theta|,|\\phi|\\le\\rho\\), то \\[ \\chi(\\theta,\\phi) \\ge 1-\\frac{\\theta^2+\\phi^2+(\\theta-\\phi)^2}{6} \\ge 1-\\frac{\\theta^2+\\phi^2}… miklos-schweitzer-1953-p10-triangular-lattice-random-walk-recurrence vozvratnost sluchaynogo bluzhdaniya na treugolnoy reshetke, schweitzer 1953/10 graph_model planar_graphs classical_lemma goal_proof 1953 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1953 problem 10 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1953 problem_and_solution schweitzer schweitzer1953 src-miklos-schweitzer-1953-p10-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1953 problem 10 stmt-original uslovie source_verified tochka sovershaet sluchaynoe bluzhdanie po ploskoy treugolnoy reshetke: iz kazhdoy vershiny ona s ravnoy veroyatnostyu perehodit po odnoy iz shesti reshetchatyh liniy, vyhodyaschih iz etoy vershiny. dokazat, chto pri beskonechnom prodolzhenii bluzhdaniya tochka vernetsya v nachalnuyu vershinu s veroyatnostyu 1. stmt-graph sluchaynoe bluzhdanie na 6-regulyarnom ploskom grafe ai_checked na beskonechnom grafe treugolnoy reshetki, gde kazhdaya vershina imeet shest sosedey, rassmatrivaetsya prostoy sluchaynyy obhod. nuzhno dokazat vozvratnost etogo grafa: veroyatnost hotya by odnogo vozvrascheniya v startovuyu vershinu ravna 1. planar_graph idea-recurrence-criterion vozvratnost ravnosilna rashodimosti summy veroyatnostey vozvrata esli \\(p_n\\) — veroyatnost okazatsya v nachalnoy vershine posle \\(n\\) shagov, to dlya neotritsatelnyh \\(p_n\\) standartnyy kriteriy daet: veroyatnost kogda-nibud vernutsya ravna 1 togda i tolko togda, kogda \\(\\sum_n p_n\\) rashoditsya. classical_lemma goal_proof ai_checked idea-two-dimensional-lower-bound v dvumernoy reshetke veroyatnost vozvrata imeet poryadok ne menshe \\(1/n\\) opublikovannoe reshenie kodiruet shest napravleniy kompleksnymi chislami \\(\\omega^0,\\ldots,\\omega^5\\), gde \\(\\omega=e^{\\pi i/3}\\), i vyrazhaet \\(p_n\\) kak postoyannyy chlen trigonometricheskogo mnogochlena. integralnaya otsenka snizu daet \\(p_{2n}\\ge c/n\\), a garmonicheskiy ryad rashoditsya. graph_model classical_lemma ai_checked solution-return-series cherez veroyatnosti vozvrata ai_checked graph_model classical_lemma goal_proof udobno zapisat vershiny treugolnoy reshetki kak pary tselyh chisel \\((x,y)\\), a shest vozmozhnyh shagov kak \\[ (1,0),\\ (-1,0),\\ (0,1),\\ (0,-1),\\ (1,-1),\\ (-1,1). \\] pust \\(p_m\\) — veroyatnost okazatsya v nachale posle \\(m\\) shagov. dlya \\(\\theta,\\phi\\in[-\\pi,\\pi]\\) harakteristicheskaya funktsiya odnogo shaga ravna \\[ \\chi(\\theta,\\phi)=\\frac{1}{3}\\bigl(\\cos\\theta+\\cos\\phi+\\cos(\\theta-\\phi)\\bigr). \\] po formule obrascheniya fure dlya reshetki \\(\\mathbb z^2\\) \\[ p_m=\\frac{1}{(2\\pi)^2}\\int_{-\\pi}^{\\pi}\\int_{-\\pi}^{\\pi}\\chi(\\theta,\\phi)^m\\,d\\theta\\,d\\phi . \\] dlya chetnyh momentov podyntegralnaya funktsiya neotritsatelna, poetomu dostatochno otsenit integral snizu v maloy okrestnosti nulya. vozmem \\(\\rho>0\\) nastolko malym, chto pri \\(|t|\\le2\\rho\\) vypolneno \\(\\cos t\\ge1-t^2/2\\). esli \\(|\\theta|,|\\phi|\\le\\rho\\), to \\[ \\chi(\\theta,\\phi) \\ge 1-\\frac{\\theta^2+\\phi^2+(\\theta-\\phi)^2}{6} \\ge 1-\\frac{\\theta^2+\\phi^2}…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-1953-p2-chessboard-related-pairs","title":"Связанные пары белых и чёрных фигур на шахматной доске, Schweitzer 1953/2","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-1953-p2-chessboard-related-pairs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-1953-p2-chessboard-related-pairs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-1953-p2-chessboard-related-pairs","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Contests in Higher Mathematics, Hungary 1949-1961, Schweitzer 1953 Problem 2"],"year":"1953","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","degree_counting","double_counting","extremal_choice","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Верхняя оценка короткая; нижняя оценка требует аккуратного двойного счёта или сглаживающего аргумента из опубликованного решения.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"complete_ai_checked","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Аудит высокой сложности 2026-05-07: расплывчатый шаг сглаживания заменён полным неравенством для знаковых сумм строк и столбцов; экстремумы и случаи равенства выписаны явно.","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"На шахматной доске \\(8\\times8\\) расставлены 32 белые и 32 чёрные фигуры, по одной фигуре на клетке. Белая и чёрная фигуры образуют связанную пару, если они стоят в одной строке или в одном столбце. Найти максимальное и минимальное возможное число связанных пар.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Рёбра между двумя равными частями решётки \\([8]\\times[8]\\)","status":"ai_checked","text":"Пусть \\([8]\\times[8]=W\\sqcup B\\), где \\(|W|=|B|=32\\). Рассматривается двудольный граф с долями \\(W\\) и \\(B\\), в котором две пары координат соединены ребром тогда и только тогда, когда у них совпадает первая или вторая координата. Найдите минимальное и максимальное возможное число рёбер такого графа.","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"solution-extrema","title":"Оценки и конструкции","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":["degree_counting","double_counting","goal_exact_bound"],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: минимум равен \\(128\\), максимум равен \\(256\\). Пусть в \\(i\\)-й строке стоит \\(w_i\\) белых фигур, а в \\(j\\)-м столбце стоит \\(c_j\\) белых фигур. Тогда в этой строке число связанных разноцветных пар равно \\[ w_i(8-w_i), \\] потому что каждую белую фигуру можно соединить с каждой чёрной фигурой той же строки. Аналогично столбец \\(j\\) даёт \\(c_j(8-c_j)\\) пар. Каждая связанная пара лежит либо в одной строке, либо в одном столбце, но не в обоих сразу, потому что две разные фигуры не могут стоять в одной клетке. Поэтому общее число связанных пар равно \\[ E=\\sum_{i=1}^8 w_i(8-w_i)+\\sum_{j=1}^8 c_j(8-c_j). \\] Максимум получается сразу. Для любого \\(x\\in\\{0,1,\\ldots,8\\}\\) имеем \\(x(8-x)\\le 16\\), причём равенство достигается только при \\(x=4\\). Значит, строки дают не больше \\(8\\cdot16=128\\) пар и столбцы дают не больше \\(128\\) пар, всего не больше \\(256\\). Шахматная раскраска клеток в белый…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-1953-p2-usamo-2022-grid-transversal","neighbor_id":"usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-1953-p2-chessboard-related-pairs связанные пары белых и чёрных фигур на шахматной доске, schweitzer 1953/2 graph_model degree_counting double_counting extremal_choice goal_exact_bound 1953 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1953 problem 2 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1953 problem_and_solution schweitzer schweitzer1953 src-miklos-schweitzer-1953-p2-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1953 problem 2 stmt-original условие source_verified на шахматной доске \\(8\\times8\\) расставлены 32 белые и 32 чёрные фигуры, по одной фигуре на клетке. белая и чёрная фигуры образуют связанную пару, если они стоят в одной строке или в одном столбце. найти максимальное и минимальное возможное число связанных пар. stmt-graph рёбра между двумя равными частями решётки \\([8]\\times[8]\\) ai_checked пусть \\([8]\\times[8]=w\\sqcup b\\), где \\(|w|=|b|=32\\). рассматривается двудольный граф с долями \\(w\\) и \\(b\\), в котором две пары координат соединены ребром тогда и только тогда, когда у них совпадает первая или вторая координата. найдите минимальное и максимальное возможное число рёбер такого графа. bipartite_graph degree idea-row-column-upper-bound максимум получается из баланса в каждой строке и каждом столбце если в строке стоит \\(x\\) белых и \\(8-x\\) чёрных фигур, то эта строка даёт \\(x(8-x)\\le16\\) связанных пар. такая же оценка действует для каждого столбца. суммирование даёт верхнюю границу, а шахматная раскраска её достигает. degree_counting extremal_choice ai_checked idea-minimum-by-column-degree-sums для минимума считать вклады фигур по столбцам в опубликованном решении нижняя оценка выводится через сумму чисел связанных пар, в которых участвуют фигуры фиксированного столбца. для доски \\(2k\\times2k\\) каждая такая сумма не меньше \\(2k^2\\); после суммирования по столбцам каждая пара посчитана дважды. degree_counting double_counting ai_checked solution-extrema оценки и конструкции ai_checked double_counting degree_counting double_counting goal_exact_bound ответ: минимум равен \\(128\\), максимум равен \\(256\\). пусть в \\(i\\)-й строке стоит \\(w_i\\) белых фигур, а в \\(j\\)-м столбце стоит \\(c_j\\) белых фигур. тогда в этой строке число связанных разноцветных пар равно \\[ w_i(8-w_i), \\] потому что каждую белую фигуру можно соединить с каждой чёрной фигурой той же строки. аналогично столбец \\(j\\) даёт \\(c_j(8-c_j)\\) пар. каждая связанная пара лежит либо в одной строке, либо в одном столбце, но не в обоих сразу, потому что две разные фигуры не могут стоять в одной клетке. поэтому общее число связанных пар равно \\[ e=\\sum_{i=1}^8 w_i(8-w_i)+\\sum_{j=1}^8 c_j(8-c_j). \\] максимум получается сразу. для любого \\(x\\in\\{0,1,\\ldots,8\\}\\) имеем \\(x(8-x)\\le 16\\), причём равенство достигается только при \\(x=4\\). значит, строки дают не больше \\(8\\cdot16=128\\) пар и столбцы дают не больше \\(128\\) пар, всего не больше \\(256\\). шахматная раскраска клеток в белый… miklos-schweitzer-1953-p2-chessboard-related-pairs svyazannye pary belyh i chernyh figur na shahmatnoy doske, schweitzer 1953/2 graph_model degree_counting double_counting extremal_choice goal_exact_bound 1953 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1953 problem 2 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1953 problem_and_solution schweitzer schweitzer1953 src-miklos-schweitzer-1953-p2-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1953 problem 2 stmt-original uslovie source_verified na shahmatnoy doske \\(8\\times8\\) rasstavleny 32 belye i 32 chernye figury, po odnoy figure na kletke. belaya i chernaya figury obrazuyut svyazannuyu paru, esli oni stoyat v odnoy stroke ili v odnom stolbtse. nayti maksimalnoe i minimalnoe vozmozhnoe chislo svyazannyh par. stmt-graph rebra mezhdu dvumya ravnymi chastyami reshetki \\([8]\\times[8]\\) ai_checked pust \\([8]\\times[8]=w\\sqcup b\\), gde \\(|w|=|b|=32\\). rassmatrivaetsya dvudolnyy graf s dolyami \\(w\\) i \\(b\\), v kotorom dve pary koordinat soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda u nih sovpadaet pervaya ili vtoraya koordinata. naydite minimalnoe i maksimalnoe vozmozhnoe chislo reber takogo grafa. bipartite_graph degree idea-row-column-upper-bound maksimum poluchaetsya iz balansa v kazhdoy stroke i kazhdom stolbtse esli v stroke stoit \\(x\\) belyh i \\(8-x\\) chernyh figur, to eta stroka daet \\(x(8-x)\\le16\\) svyazannyh par. takaya zhe otsenka deystvuet dlya kazhdogo stolbtsa. summirovanie daet verhnyuyu granitsu, a shahmatnaya raskraska ee dostigaet. degree_counting extremal_choice ai_checked idea-minimum-by-column-degree-sums dlya minimuma schitat vklady figur po stolbtsam v opublikovannom reshenii nizhnyaya otsenka vyvoditsya cherez summu chisel svyazannyh par, v kotoryh uchastvuyut figury fiksirovannogo stolbtsa. dlya doski \\(2k\\times2k\\) kazhdaya takaya summa ne menshe \\(2k^2\\); posle summirovaniya po stolbtsam kazhdaya para poschitana dvazhdy. degree_counting double_counting ai_checked solution-extrema otsenki i konstruktsii ai_checked double_counting degree_counting double_counting goal_exact_bound otvet: minimum raven \\(128\\), maksimum raven \\(256\\). pust v \\(i\\)-y stroke stoit \\(w_i\\) belyh figur, a v \\(j\\)-m stolbtse stoit \\(c_j\\) belyh figur. togda v etoy stroke chislo svyazannyh raznotsvetnyh par ravno \\[ w_i(8-w_i), \\] potomu chto kazhduyu beluyu figuru mozhno soedinit s kazhdoy chernoy figuroy toy zhe stroki. analogichno stolbets \\(j\\) daet \\(c_j(8-c_j)\\) par. kazhdaya svyazannaya para lezhit libo v odnoy stroke, libo v odnom stolbtse, no ne v oboih srazu, potomu chto dve raznye figury ne mogut stoyat v odnoy kletke. poetomu obschee chislo svyazannyh par ravno \\[ e=\\sum_{i=1}^8 w_i(8-w_i)+\\sum_{j=1}^8 c_j(8-c_j). \\] maksimum poluchaetsya srazu. dlya lyubogo \\(x\\in\\{0,1,\\ldots,8\\}\\) imeem \\(x(8-x)\\le 16\\), prichem ravenstvo dostigaetsya tolko pri \\(x=4\\). znachit, stroki dayut ne bolshe \\(8\\cdot16=128\\) par i stolbtsy dayut ne bolshe \\(128\\) par, vsego ne bolshe \\(256\\). shahmatnaya raskraska kletok v belyy…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-1954-p9-translated-broken-line-intersection","title":"Сдвиги простой ломаной на доли вектора, Schweitzer 1954/9","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-1954-p9-translated-broken-line-intersection.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-1954-p9-translated-broken-line-intersection.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-1954-p9-translated-broken-line-intersection","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Contests in Higher Mathematics, Hungary 1949-1961, Schweitzer 1954 Problem 9"],"year":"1954","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","connectivity","induction","graph_model","goal_proof","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Топологическая геометрия простой ломаной: формулировка короткая, но основная лемма о разделении полосы нетривиальна.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"heavy_external_theorem_application","label":"решение через внешнюю теорему о горизонтальных хордах","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning pass 2026-05-17: локальная strip-лемма не закрыта элементарно, но задача прямо следует из Horizontal Chord Theorem для плоских кривых","notes":"Карточка не заявляет самодостаточное доказательство топологической теоремы о хордах. После ее принятия первая часть сводится к подломаной между \\(A\\) и \\(A+v\\). Отрицательная часть записана явно через функцию \\(\\sin^2(\\pi x/a)-x\\sin^2(\\pi/a)\\) и кусочно-линейную аппроксимацию с сохранением отсутствия хорды.","external_theorem_ids":["Horizontal Chord Theorem for plane curves"],"audit_source":"miklos-schweitzer-1954-p9-high-reasoning-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Пусть \\(p\\) - связная незамкнутая ломаная без самопересечений на плоскости, а \\(v\\ne0\\) - вектор. Докажите: если \\(p\\) имеет общую точку со своим сдвигом \\(p+v\\), то для каждого положительного целого \\(n\\) ломаная \\(p\\) имеет общую точку и со сдвигом \\(p+v/n\\). Верно ли аналогичное утверждение для других положительных коэффициентов \\(a\\), то есть для сдвига \\(p+av\\)?","definition_ids":["path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-strip-induction","title":"Решение через внешнюю теорему о горизонтальных хордах","status":"ai_checked","definition_ids":["path"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":["connectivity","induction","planar_graphs"],"has_text":true,"text_preview":"Используем внешнюю топологическую теорему о горизонтальных хордах: если непрерывная плоская кривая соединяет точки \\(A\\) и \\(B\\), то для каждого положительного целого \\(k\\) на этой кривой найдутся две точки \\(C,D\\), такие что \\(\\overrightarrow{AB}=k\\overrightarrow{CD}\\). Для графиков функций это классическая теорема Леви об универсальной хорде; в плоской форме для кривых это именно тот топологический шаг, который не разворачивается в официальном источнике. Пусть \\(p\\cap(p+v)\\ne\\varnothing\\). Тогда существуют две точки \\(A,A+v\\) на \\(p\\). Возьмем на \\(p\\) подломаную \\(q\\), идущую от \\(A\\) до \\(A+v\\). Она является непрерывной простой плоской кривой с концами, различающимися на \\(v\\). Применяя внешнюю теорему к кривой \\(q\\) и числу \\(n\\), получаем точки \\(C,D\\in q\\) с \\(\\overrightarrow{CD}=v/n\\). Тогда \\(D=C+v/n\\), то есть точка \\(D\\) лежит одновременно на \\(q\\) и на \\(q+v/n\\). Значит \\(q\\…"}],"relations":[],"search_text":"miklos-schweitzer-1954-p9-translated-broken-line-intersection сдвиги простой ломаной на доли вектора, schweitzer 1954/9 planar_graphs connectivity induction graph_model goal_proof goal_impossibility 1954 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1954 problem 9 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1954 problem_and_solution schweitzer schweitzer1954 src-miklos-schweitzer-1954-p9-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1954 problem 9 stmt-original условие source_verified пусть \\(p\\) - связная незамкнутая ломаная без самопересечений на плоскости, а \\(v\\ne0\\) - вектор. докажите: если \\(p\\) имеет общую точку со своим сдвигом \\(p+v\\), то для каждого положительного целого \\(n\\) ломаная \\(p\\) имеет общую точку и со сдвигом \\(p+v/n\\). верно ли аналогичное утверждение для других положительных коэффициентов \\(a\\), то есть для сдвига \\(p+av\\)? path idea-reduce-to-finite-subpath оставить участок между соответствующими точками если точка \\(a'\\) лежит одновременно на \\(p\\) и на \\(p+v\\), то точка \\(a=a'-v\\) тоже лежит на \\(p\\). достаточно рассматривать конечную часть ломаной от \\(a\\) до \\(a'\\), потому что именно она соединяет два соответствующих положения, отличающихся на \\(v\\). graph_model extremal_choice ai_checked idea-strip-lemma внешняя теорема о горизонтальных хордах ключевой внешний факт можно брать в форме horizontal chord theorem: если непрерывная плоская кривая соединяет точки \\(a\\) и \\(b\\), то для каждого положительного целого \\(k\\) на ней есть две точки \\(c,d\\), для которых \\(\\overrightarrow{ab}=k\\overrightarrow{cd}\\). это именно топологический шаг, который в старом официальном плане был выражен через strip-лемму для параллельных сдвигов. planar_graphs connectivity ai_checked sol-strip-induction решение через внешнюю теорему о горизонтальных хордах ai_checked path induction connectivity induction planar_graphs используем внешнюю топологическую теорему о горизонтальных хордах: если непрерывная плоская кривая соединяет точки \\(a\\) и \\(b\\), то для каждого положительного целого \\(k\\) на этой кривой найдутся две точки \\(c,d\\), такие что \\(\\overrightarrow{ab}=k\\overrightarrow{cd}\\). для графиков функций это классическая теорема леви об универсальной хорде; в плоской форме для кривых это именно тот топологический шаг, который не разворачивается в официальном источнике. пусть \\(p\\cap(p+v)\\ne\\varnothing\\). тогда существуют две точки \\(a,a+v\\) на \\(p\\). возьмем на \\(p\\) подломаную \\(q\\), идущую от \\(a\\) до \\(a+v\\). она является непрерывной простой плоской кривой с концами, различающимися на \\(v\\). применяя внешнюю теорему к кривой \\(q\\) и числу \\(n\\), получаем точки \\(c,d\\in q\\) с \\(\\overrightarrow{cd}=v/n\\). тогда \\(d=c+v/n\\), то есть точка \\(d\\) лежит одновременно на \\(q\\) и на \\(q+v/n\\). значит \\(q\\… miklos-schweitzer-1954-p9-translated-broken-line-intersection sdvigi prostoy lomanoy na doli vektora, schweitzer 1954/9 planar_graphs connectivity induction graph_model goal_proof goal_impossibility 1954 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1954 problem 9 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1954 problem_and_solution schweitzer schweitzer1954 src-miklos-schweitzer-1954-p9-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1954 problem 9 stmt-original uslovie source_verified pust \\(p\\) - svyaznaya nezamknutaya lomanaya bez samoperesecheniy na ploskosti, a \\(v\\ne0\\) - vektor. dokazhite: esli \\(p\\) imeet obschuyu tochku so svoim sdvigom \\(p+v\\), to dlya kazhdogo polozhitelnogo tselogo \\(n\\) lomanaya \\(p\\) imeet obschuyu tochku i so sdvigom \\(p+v/n\\). verno li analogichnoe utverzhdenie dlya drugih polozhitelnyh koeffitsientov \\(a\\), to est dlya sdviga \\(p+av\\)? path idea-reduce-to-finite-subpath ostavit uchastok mezhdu sootvetstvuyuschimi tochkami esli tochka \\(a'\\) lezhit odnovremenno na \\(p\\) i na \\(p+v\\), to tochka \\(a=a'-v\\) tozhe lezhit na \\(p\\). dostatochno rassmatrivat konechnuyu chast lomanoy ot \\(a\\) do \\(a'\\), potomu chto imenno ona soedinyaet dva sootvetstvuyuschih polozheniya, otlichayuschihsya na \\(v\\). graph_model extremal_choice ai_checked idea-strip-lemma vneshnyaya teorema o gorizontalnyh hordah klyuchevoy vneshniy fakt mozhno brat v forme horizontal chord theorem: esli nepreryvnaya ploskaya krivaya soedinyaet tochki \\(a\\) i \\(b\\), to dlya kazhdogo polozhitelnogo tselogo \\(k\\) na ney est dve tochki \\(c,d\\), dlya kotoryh \\(\\overrightarrow{ab}=k\\overrightarrow{cd}\\). eto imenno topologicheskiy shag, kotoryy v starom ofitsialnom plane byl vyrazhen cherez strip-lemmu dlya parallelnyh sdvigov. planar_graphs connectivity ai_checked sol-strip-induction reshenie cherez vneshnyuyu teoremu o gorizontalnyh hordah ai_checked path induction connectivity induction planar_graphs ispolzuem vneshnyuyu topologicheskuyu teoremu o gorizontalnyh hordah: esli nepreryvnaya ploskaya krivaya soedinyaet tochki \\(a\\) i \\(b\\), to dlya kazhdogo polozhitelnogo tselogo \\(k\\) na etoy krivoy naydutsya dve tochki \\(c,d\\), takie chto \\(\\overrightarrow{ab}=k\\overrightarrow{cd}\\). dlya grafikov funktsiy eto klassicheskaya teorema levi ob universalnoy horde; v ploskoy forme dlya krivyh eto imenno tot topologicheskiy shag, kotoryy ne razvorachivaetsya v ofitsialnom istochnike. pust \\(p\\cap(p+v)\\ne\\varnothing\\). togda suschestvuyut dve tochki \\(a,a+v\\) na \\(p\\). vozmem na \\(p\\) podlomanuyu \\(q\\), iduschuyu ot \\(a\\) do \\(a+v\\). ona yavlyaetsya nepreryvnoy prostoy ploskoy krivoy s kontsami, razlichayuschimisya na \\(v\\). primenyaya vneshnyuyu teoremu k krivoy \\(q\\) i chislu \\(n\\), poluchaem tochki \\(c,d\\in q\\) s \\(\\overrightarrow{cd}=v/n\\). togda \\(d=c+v/n\\), to est tochka \\(d\\) lezhit odnovremenno na \\(q\\) i na \\(q+v/n\\). znachit \\(q\\…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-1956-p3-convex-polygon-triangulations","title":"Триангуляции выпуклого многоугольника, Schweitzer 1956/3","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-1956-p3-convex-polygon-triangulations.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-1956-p3-convex-polygon-triangulations.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-1956-p3-convex-polygon-triangulations","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Contests in Higher Mathematics, Hungary 1949-1961, Schweitzer 1956 Problem 3"],"year":"1956","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","trees","induction","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Классическая каталанова рекурсия плюс отдельный аккуратный подсчет специального подкласса триангуляций.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Триангуляцией выпуклого замкнутого многоугольника называется разбиение его на треугольники диагоналями, не пересекающимися во внутренних точках. Найдите число всех триангуляций выпуклого \\(n\\)-угольника, а также число тех триангуляций, в которых каждый треугольник имеет хотя бы одну сторону, общую с данным \\(n\\)-угольником.","definition_ids":["planar_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Формулировка через внешнепланарные графы","status":"ai_checked","text":"Посчитать максимальные внешнепланарные графы на фиксированном цикле из \\(n\\) вершин: сначала все такие графы, а затем те, у которых каждая внутренняя грань-треугольник содержит хотя бы одно ребро исходного внешнего цикла.","definition_ids":["planar_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-catalan-and-boundary","title":"Рекурсии и производящая функция","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction","double_counting"],"tags":["planar_graphs","double_counting","induction","goal_counting"],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(a_n\\) число всех триангуляций выпуклого \\(n\\)-угольника и положим \\(a_2=1\\). Если фиксировать сторону \\(AB\\) и выбирать третью вершину \\(C_k\\) треугольника, содержащего \\(AB\\), то две оставшиеся части имеют \\(k+1\\) и \\(n-k\\) сторон. Поэтому \\(a_n=\\sum_{k=1}^{n-2} a_{k+1}a_{n-k}\\). Это стандартная рекурсия Каталана, откуда \\(a_n=\\frac{1}{n-1}\\binom{2n-4}{n-2}\\). Для второго подсчета введем \\(u_n\\): число триангуляций \\(n\\)-угольника с выделенной базой, в которых каждый треугольник имеет сторону исходного многоугольника, отличную от базы. Тогда \\(u_3=1\\), а при \\(n\\ge4\\) у базы можно удалить один из двух крайних треугольников, получая \\(u_n=2u_{n-1}\\), значит \\(u_n=2^{n-3}\\). Возвращаясь к исходному \\(n\\)-угольнику и суммируя по третьей вершине корневого треугольника при фиксированной стороне, получаем для \\(n\\ge4\\) число специальных триангуляций \\(n\\cdot 2^{n-5}\\); для…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2006-p1a-miklos-schweitzer-triangulation","neighbor_id":"imc-2006-day2-p1a-polygon-triangulation-all-odd","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2006-p1b-miklos-schweitzer-triangulation","neighbor_id":"imc-2006-day2-p1b-polygon-triangulation-two-even","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-1956-p3-imc-2006-triangulations","neighbor_id":"imc-2006-day2-p1-polygon-triangulation-parity","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-1956-p3-convex-polygon-triangulations триангуляции выпуклого многоугольника, schweitzer 1956/3 planar_graphs trees induction double_counting goal_counting 1956 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1956 problem 3 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1956 problem_and_solution schweitzer schweitzer1956 src-miklos-schweitzer-1956-p3-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1956 problem 3 stmt-original условие source_verified триангуляцией выпуклого замкнутого многоугольника называется разбиение его на треугольники диагоналями, не пересекающимися во внутренних точках. найдите число всех триангуляций выпуклого \\(n\\)-угольника, а также число тех триангуляций, в которых каждый треугольник имеет хотя бы одну сторону, общую с данным \\(n\\)-угольником. planar_graph stmt-graph формулировка через внешнепланарные графы ai_checked посчитать максимальные внешнепланарные графы на фиксированном цикле из \\(n\\) вершин: сначала все такие графы, а затем те, у которых каждая внутренняя грань-треугольник содержит хотя бы одно ребро исходного внешнего цикла. planar_graph cycle idea-root-triangle фиксировать сторону и корневой треугольник выберите сторону \\(ab\\). в любой триангуляции есть единственный треугольник с этой стороной; его третья вершина \\(c_k\\) разбивает многоугольник на две независимые меньшие задачи. так возникает свертка для чисел триангуляций. planar_graphs double_counting ai_checked idea-boundary-touching удалять крайний треугольник для специального условия удобно сначала считать триангуляции многоугольника с выделенной базой, где каждый треугольник имеет сторону исходного многоугольника, отличную от базы. у базы ровно два возможных крайних треугольника; удаление одного из них уменьшает число сторон на один и дает рекурсию \\(u_n=2u_{n-1}\\). induction construction ai_checked sol-catalan-and-boundary рекурсии и производящая функция ai_checked induction double_counting planar_graphs double_counting induction goal_counting обозначим через \\(a_n\\) число всех триангуляций выпуклого \\(n\\)-угольника и положим \\(a_2=1\\). если фиксировать сторону \\(ab\\) и выбирать третью вершину \\(c_k\\) треугольника, содержащего \\(ab\\), то две оставшиеся части имеют \\(k+1\\) и \\(n-k\\) сторон. поэтому \\(a_n=\\sum_{k=1}^{n-2} a_{k+1}a_{n-k}\\). это стандартная рекурсия каталана, откуда \\(a_n=\\frac{1}{n-1}\\binom{2n-4}{n-2}\\). для второго подсчета введем \\(u_n\\): число триангуляций \\(n\\)-угольника с выделенной базой, в которых каждый треугольник имеет сторону исходного многоугольника, отличную от базы. тогда \\(u_3=1\\), а при \\(n\\ge4\\) у базы можно удалить один из двух крайних треугольников, получая \\(u_n=2u_{n-1}\\), значит \\(u_n=2^{n-3}\\). возвращаясь к исходному \\(n\\)-угольнику и суммируя по третьей вершине корневого треугольника при фиксированной стороне, получаем для \\(n\\ge4\\) число специальных триангуляций \\(n\\cdot 2^{n-5}\\); для… miklos-schweitzer-1956-p3-convex-polygon-triangulations triangulyatsii vypuklogo mnogougolnika, schweitzer 1956/3 planar_graphs trees induction double_counting goal_counting 1956 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1956 problem 3 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1956 problem_and_solution schweitzer schweitzer1956 src-miklos-schweitzer-1956-p3-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1956 problem 3 stmt-original uslovie source_verified triangulyatsiey vypuklogo zamknutogo mnogougolnika nazyvaetsya razbienie ego na treugolniki diagonalyami, ne peresekayuschimisya vo vnutrennih tochkah. naydite chislo vseh triangulyatsiy vypuklogo \\(n\\)-ugolnika, a takzhe chislo teh triangulyatsiy, v kotoryh kazhdyy treugolnik imeet hotya by odnu storonu, obschuyu s dannym \\(n\\)-ugolnikom. planar_graph stmt-graph formulirovka cherez vneshneplanarnye grafy ai_checked poschitat maksimalnye vneshneplanarnye grafy na fiksirovannom tsikle iz \\(n\\) vershin: snachala vse takie grafy, a zatem te, u kotoryh kazhdaya vnutrennyaya gran-treugolnik soderzhit hotya by odno rebro ishodnogo vneshnego tsikla. planar_graph cycle idea-root-triangle fiksirovat storonu i kornevoy treugolnik vyberite storonu \\(ab\\). v lyuboy triangulyatsii est edinstvennyy treugolnik s etoy storonoy; ego tretya vershina \\(c_k\\) razbivaet mnogougolnik na dve nezavisimye menshie zadachi. tak voznikaet svertka dlya chisel triangulyatsiy. planar_graphs double_counting ai_checked idea-boundary-touching udalyat krayniy treugolnik dlya spetsialnogo usloviya udobno snachala schitat triangulyatsii mnogougolnika s vydelennoy bazoy, gde kazhdyy treugolnik imeet storonu ishodnogo mnogougolnika, otlichnuyu ot bazy. u bazy rovno dva vozmozhnyh kraynih treugolnika; udalenie odnogo iz nih umenshaet chislo storon na odin i daet rekursiyu \\(u_n=2u_{n-1}\\). induction construction ai_checked sol-catalan-and-boundary rekursii i proizvodyaschaya funktsiya ai_checked induction double_counting planar_graphs double_counting induction goal_counting oboznachim cherez \\(a_n\\) chislo vseh triangulyatsiy vypuklogo \\(n\\)-ugolnika i polozhim \\(a_2=1\\). esli fiksirovat storonu \\(ab\\) i vybirat tretyu vershinu \\(c_k\\) treugolnika, soderzhaschego \\(ab\\), to dve ostavshiesya chasti imeyut \\(k+1\\) i \\(n-k\\) storon. poetomu \\(a_n=\\sum_{k=1}^{n-2} a_{k+1}a_{n-k}\\). eto standartnaya rekursiya katalana, otkuda \\(a_n=\\frac{1}{n-1}\\binom{2n-4}{n-2}\\). dlya vtorogo podscheta vvedem \\(u_n\\): chislo triangulyatsiy \\(n\\)-ugolnika s vydelennoy bazoy, v kotoryh kazhdyy treugolnik imeet storonu ishodnogo mnogougolnika, otlichnuyu ot bazy. togda \\(u_3=1\\), a pri \\(n\\ge4\\) u bazy mozhno udalit odin iz dvuh kraynih treugolnikov, poluchaya \\(u_n=2u_{n-1}\\), znachit \\(u_n=2^{n-3}\\). vozvraschayas k ishodnomu \\(n\\)-ugolniku i summiruya po tretey vershine kornevogo treugolnika pri fiksirovannoy storone, poluchaem dlya \\(n\\ge4\\) chislo spetsialnyh triangulyatsiy \\(n\\cdot 2^{n-5}\\); dlya…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-1959-p10-even-circuit-edge-bound","title":"Чётный цикл в графе с 2n+1 вершинами и 3n+1 рёбрами, Schweitzer 1959/10","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-1959-p10-even-circuit-edge-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-1959-p10-even-circuit-edge-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-1959-p10-even-circuit-edge-bound","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Contests in Higher Mathematics, Hungary 1949-1961, Schweitzer 1959 Problem 10"],"year":"1959","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","trees","extremal_choice","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Короткая экстремальная задача: ключевой ход - максимальный лес и фундаментальные циклы; затем нужна аккуратная проверка чётности и пример на точность.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Докажите, что если граф с \\(2n+1\\) вершинами имеет не менее \\(3n+1\\) рёбер, то в нём есть контур чётной длины. Докажите также, что утверждение уже неверно для \\(3n\\) рёбер. В книге под контуром понимается замкнутая самонепересекающаяся линия, то есть простой цикл.","definition_ids":["simple_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Чётный цикл в графе с 2n+1 вершинами и 3n+1 рёбрами, Schweitzer 1959/10","status":"source_verified","text":"Пусть \\(G\\) - конечный граф на \\(2n+1\\) вершинах. Если \\(|E(G)|\\ge 3n+1\\), то \\(G\\) содержит простой цикл чётной длины. Оценка точна: для каждого \\(n\\) существует граф на \\(2n+1\\) вершинах с \\(3n\\) рёбрами, в котором все циклы нечётны.","definition_ids":["simple_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-forest-cycles","title":"Решение через максимальный лес и пересекающиеся циклы","status":"source_verified","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":["extremal_graph_theory","trees","extremal_choice","construction","goal_exact_bound"],"has_text":true,"text_preview":"Петли исключаются смыслом задачи: если их разрешить, появляются ложные контрпримеры. Если две вершины соединены двумя разными рёбрами, то эти два ребра уже образуют чётный контур длины 2. Поэтому достаточно рассмотреть простой граф. Пусть в графе \\(2n+1\\) вершин и \\(3n+k\\) рёбер, где \\(k\\ge 1\\). Возьмём максимальное множество рёбер \\(B\\), не содержащее циклов, то есть максимальный лес. В любом лесу на \\(2n+1\\) вершинах не больше \\(2n\\) рёбер, значит, вне \\(B\\) лежит не меньше \\(n+k\\) рёбер. По максимальности \\(B\\) каждое такое ребро вместе с рёбрами леса замыкает простой цикл. Этих циклов не меньше \\(n+k\\). Если бы они не имели общих рёбер, то, поскольку граф простой и каждый цикл имеет длину хотя бы 3, они вместе содержали бы не меньше \\(3n+3k\\) рёбер. Но весь граф содержит только \\(3n+k\\) рёбер, противоречие. Следовательно, два из этих циклов имеют общее ребро. Выберем два таких цикла…"}],"relations":[],"search_text":"miklos-schweitzer-1959-p10-even-circuit-edge-bound чётный цикл в графе с 2n+1 вершинами и 3n+1 рёбрами, schweitzer 1959/10 extremal_graph_theory trees extremal_choice construction goal_exact_bound 1959 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1959 problem 10 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1959 problem_and_solution schweitzer schweitzer1959 src-miklos-schweitzer-1959-p10-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1959 problem 10 stmt-original условие source_verified докажите, что если граф с \\(2n+1\\) вершинами имеет не менее \\(3n+1\\) рёбер, то в нём есть контур чётной длины. докажите также, что утверждение уже неверно для \\(3n\\) рёбер. в книге под контуром понимается замкнутая самонепересекающаяся линия, то есть простой цикл. simple_graph cycle stmt-graph чётный цикл в графе с 2n+1 вершинами и 3n+1 рёбрами, schweitzer 1959/10 source_verified пусть \\(g\\) - конечный граф на \\(2n+1\\) вершинах. если \\(|e(g)|\\ge 3n+1\\), то \\(g\\) содержит простой цикл чётной длины. оценка точна: для каждого \\(n\\) существует граф на \\(2n+1\\) вершинах с \\(3n\\) рёбрами, в котором все циклы нечётны. simple_graph cycle idea-maximal-forest вынести все лишние рёбра за максимальный лес в максимальном ациклическом подграфе на \\(2n+1\\) вершинах не больше \\(2n\\) рёбер. поэтому при \\(3n+k\\) рёбрах, где \\(k\\ge 1\\), вне выбранного леса остаётся хотя бы \\(n+k\\) рёбер, и каждое из них замыкает свой фундаментальный цикл. trees extremal_choice goal_bound source_verified idea-two-overlapping-cycles два пересекающихся фундаментальных цикла дают чётный цикл если бы все полученные циклы были попарно реберно непересекающимися, они потребовали бы слишком много рёбер. значит, два цикла имеют общее ребро. между двумя подходящими общими вершинами возникают три простых цикла с длинами \\(a_1+a_2\\), \\(a_1+b_1\\), \\(a_2+b_1\\); сумма этих трёх чисел чётна, поэтому хотя бы один из циклов имеет чётную длину. extremal_graph_theory parity_coloring goal_existence source_verified idea-sharpness острота: веер из треугольников контрпример для \\(3n\\) рёбер получается из \\(n\\) треугольников с одной общей вершиной и без других общих вершин. в нём \\(2n+1\\) вершина и \\(3n\\) рёбер, а каждый простой цикл является одним из треугольников. construction forbidden_triangle goal_construction source_verified sol-official-forest-cycles решение через максимальный лес и пересекающиеся циклы source_verified extremal_choice extremal_graph_theory trees extremal_choice construction goal_exact_bound петли исключаются смыслом задачи: если их разрешить, появляются ложные контрпримеры. если две вершины соединены двумя разными рёбрами, то эти два ребра уже образуют чётный контур длины 2. поэтому достаточно рассмотреть простой граф. пусть в графе \\(2n+1\\) вершин и \\(3n+k\\) рёбер, где \\(k\\ge 1\\). возьмём максимальное множество рёбер \\(b\\), не содержащее циклов, то есть максимальный лес. в любом лесу на \\(2n+1\\) вершинах не больше \\(2n\\) рёбер, значит, вне \\(b\\) лежит не меньше \\(n+k\\) рёбер. по максимальности \\(b\\) каждое такое ребро вместе с рёбрами леса замыкает простой цикл. этих циклов не меньше \\(n+k\\). если бы они не имели общих рёбер, то, поскольку граф простой и каждый цикл имеет длину хотя бы 3, они вместе содержали бы не меньше \\(3n+3k\\) рёбер. но весь граф содержит только \\(3n+k\\) рёбер, противоречие. следовательно, два из этих циклов имеют общее ребро. выберем два таких цикла… miklos-schweitzer-1959-p10-even-circuit-edge-bound chetnyy tsikl v grafe s 2n+1 vershinami i 3n+1 rebrami, schweitzer 1959/10 extremal_graph_theory trees extremal_choice construction goal_exact_bound 1959 contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1959 problem 10 https://real-eod.mtak.hu/14558/1/akademiaikiado_007070.pdf miklos miklos1959 problem_and_solution schweitzer schweitzer1959 src-miklos-schweitzer-1959-p10-old-book with_solution ? contests in higher mathematics, hungary 1949-1961, schweitzer 1959 problem 10 stmt-original uslovie source_verified dokazhite, chto esli graf s \\(2n+1\\) vershinami imeet ne menee \\(3n+1\\) reber, to v nem est kontur chetnoy dliny. dokazhite takzhe, chto utverzhdenie uzhe neverno dlya \\(3n\\) reber. v knige pod konturom ponimaetsya zamknutaya samoneperesekayuschayasya liniya, to est prostoy tsikl. simple_graph cycle stmt-graph chetnyy tsikl v grafe s 2n+1 vershinami i 3n+1 rebrami, schweitzer 1959/10 source_verified pust \\(g\\) - konechnyy graf na \\(2n+1\\) vershinah. esli \\(|e(g)|\\ge 3n+1\\), to \\(g\\) soderzhit prostoy tsikl chetnoy dliny. otsenka tochna: dlya kazhdogo \\(n\\) suschestvuet graf na \\(2n+1\\) vershinah s \\(3n\\) rebrami, v kotorom vse tsikly nechetny. simple_graph cycle idea-maximal-forest vynesti vse lishnie rebra za maksimalnyy les v maksimalnom atsiklicheskom podgrafe na \\(2n+1\\) vershinah ne bolshe \\(2n\\) reber. poetomu pri \\(3n+k\\) rebrah, gde \\(k\\ge 1\\), vne vybrannogo lesa ostaetsya hotya by \\(n+k\\) reber, i kazhdoe iz nih zamykaet svoy fundamentalnyy tsikl. trees extremal_choice goal_bound source_verified idea-two-overlapping-cycles dva peresekayuschihsya fundamentalnyh tsikla dayut chetnyy tsikl esli by vse poluchennye tsikly byli poparno reberno neperesekayuschimisya, oni potrebovali by slishkom mnogo reber. znachit, dva tsikla imeyut obschee rebro. mezhdu dvumya podhodyaschimi obschimi vershinami voznikayut tri prostyh tsikla s dlinami \\(a_1+a_2\\), \\(a_1+b_1\\), \\(a_2+b_1\\); summa etih treh chisel chetna, poetomu hotya by odin iz tsiklov imeet chetnuyu dlinu. extremal_graph_theory parity_coloring goal_existence source_verified idea-sharpness ostrota: veer iz treugolnikov kontrprimer dlya \\(3n\\) reber poluchaetsya iz \\(n\\) treugolnikov s odnoy obschey vershinoy i bez drugih obschih vershin. v nem \\(2n+1\\) vershina i \\(3n\\) reber, a kazhdyy prostoy tsikl yavlyaetsya odnim iz treugolnikov. construction forbidden_triangle goal_construction source_verified sol-official-forest-cycles reshenie cherez maksimalnyy les i peresekayuschiesya tsikly source_verified extremal_choice extremal_graph_theory trees extremal_choice construction goal_exact_bound petli isklyuchayutsya smyslom zadachi: esli ih razreshit, poyavlyayutsya lozhnye kontrprimery. esli dve vershiny soedineny dvumya raznymi rebrami, to eti dva rebra uzhe obrazuyut chetnyy kontur dliny 2. poetomu dostatochno rassmotret prostoy graf. pust v grafe \\(2n+1\\) vershin i \\(3n+k\\) reber, gde \\(k\\ge 1\\). vozmem maksimalnoe mnozhestvo reber \\(b\\), ne soderzhaschee tsiklov, to est maksimalnyy les. v lyubom lesu na \\(2n+1\\) vershinah ne bolshe \\(2n\\) reber, znachit, vne \\(b\\) lezhit ne menshe \\(n+k\\) reber. po maksimalnosti \\(b\\) kazhdoe takoe rebro vmeste s rebrami lesa zamykaet prostoy tsikl. etih tsiklov ne menshe \\(n+k\\). esli by oni ne imeli obschih reber, to, poskolku graf prostoy i kazhdyy tsikl imeet dlinu hotya by 3, oni vmeste soderzhali by ne menshe \\(3n+3k\\) reber. no ves graf soderzhit tolko \\(3n+k\\) reber, protivorechie. sledovatelno, dva iz etih tsiklov imeyut obschee rebro. vyberem dva takih tsikla…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths","title":"Короткие рёберно-непересекающиеся пути в k-рёберно-связном графе, Schweitzer 2002/2","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2002 задача 2, официальный PDF из архива","Zvi Galil, Xiangdong Yu, Short length versions of Menger's theorem (Extended Abstract), STOC 1995"],"year":"2002","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","degree_counting","cut_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Решение опирается на короткую форму теоремы Менгера Галиля--Ю о реберно-непересекающихся путях малой длины; сама задача становится прямым применением после проверки \\(\\delta(G)\\ge k\\) и обычной реберной формы Менгера.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_complete_heavy_external_theorem_application","label":"применение тяжелой внешней теоремы","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"группа C аудит 2026-05-06 plus Galil--Yu STOC 1995 reference","external_theorem_ids":["menger-theorem#stmt-edge-directed","Galil--Yu short-length Menger theorem"],"local_tool_solution_ids":["menger-theorem#sol-edge-form-by-flow"],"notes":"Требуемая равномерная оценка 20n/k не следует из обычной теоремы Менгера. Это именно короткая форма Менгера, которая здесь считается существенной внешней теоремой."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Пусть \\(G\\) - простой \\(k\\)-реберно-связный граф на \\(n\\) вершинах, а \\(u\\) и \\(v\\) - две различные вершины \\(G\\). Докажите, что существуют \\(k\\) попарно реберно-непересекающихся путей из \\(u\\) в \\(v\\), каждый из которых имеет не более \\(20n/k\\) ребер.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","graph_cut","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-short-length-menger-galil-yu","title":"Применение короткой формы теоремы Менгера Галиля--Ю","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","graph_cut","path","degree"],"standard_idea_ids":["augmenting_path_method"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Используем короткую форму теоремы Менгера Галиля--Ю как внешний инструмент: если в простом \\(N\\)-вершинном графе есть \\(q\\) попарно реберно-непересекающихся путей между \\(a\\) и \\(b\\), а \\(\\delta(H)\\ge q\\), то эти \\(q\\) путей можно выбрать так, что каждый имеет длину не больше \\(20N/q\\). В этой карточке этот результат не считается школьной леммой: известное доказательство использует поток минимальной стоимости, двойственность и специальный подсчет по уровням. Остается проверить только редукцию. Так как \\(G\\) является \\(k\\)-реберно-связным, каждый разрез, отделяющий \\(u\\) от \\(v\\), содержит хотя бы \\(k\\) ребер. По обычной реберной форме теоремы Менгера существуют \\(k\\) попарно реберно-непересекающихся \\(u\\)-\\(v\\)-путей. Кроме того, \\(\\delta(G)\\ge k\\): иначе разрез, отделяющий вершину степени меньше \\(k\\) от остального графа, содержал бы меньше \\(k\\) ребер. Применяем теорему Галиля--Ю к \\(…"}],"relations":[{"id":"rel-miklos-2002-p2-menger-theorem-short-edge-version","neighbor_id":"menger-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2002-p2-imo-2021-c4-edge-menger","neighbor_id":"imo-2021-c4-anisotropy-menger","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2002-p2-spbmo-2013-8-p5-menger-dominators","neighbor_id":"spbmo-2013-8-p5-capital-directed-disjoint-paths","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-miklos-2002-p2-kolmogorov-2014-diameter-connectivity","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round4-diameter-cycle-length","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths короткие рёберно-непересекающиеся пути в k-рёберно-связном графе, schweitzer 2002/2 connectivity degree_counting cut_counting goal_existence 2002 https://doi.org/10.1145/225058.225267 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2002-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2002 задача 2, официальный pdf из архива miklos2002 paper problem_and_solution schweitzer schweitzer2002 src-galil-yu-short-length-menger-stoc-1995 src-miklos-schweitzer-2002-p2-official with_solution zvi galil, xiangdong yu, short length versions of menger's theorem (extended abstract), stoc 1995 ? miklos schweitzer memorial competition 2002 задача 2, официальный pdf из архива zvi galil, xiangdong yu, short length versions of menger's theorem (extended abstract), stoc 1995 stmt-original условие source_verified пусть \\(g\\) - простой \\(k\\)-реберно-связный граф на \\(n\\) вершинах, а \\(u\\) и \\(v\\) - две различные вершины \\(g\\). докажите, что существуют \\(k\\) попарно реберно-непересекающихся путей из \\(u\\) в \\(v\\), каждый из которых имеет не более \\(20n/k\\) ребер. simple_graph connected_graph graph_cut path idea-short-length-menger короткая форма теоремы менгера нужное утверждение является прямым следствием короткой формы теоремы менгера галиля--ю: если в простом \\(n\\)-вершинном графе между двумя вершинами есть \\(q\\) реберно-непересекающихся путей и минимальная степень графа не меньше \\(q\\), то эти \\(q\\) путей можно выбрать так, что каждый имеет длину не больше \\(20n/q\\). в данной задаче \\(q=k\\), существование \\(k\\) путей дает реберная форма менгера, а минимальная степень не меньше \\(k\\) следует из \\(k\\)-реберной связности. connectivity degree_counting goal_existence ai_checked sol-short-length-menger-galil-yu применение короткой формы теоремы менгера галиля--ю ai_checked simple_graph connected_graph graph_cut path degree augmenting_path_method используем короткую форму теоремы менгера галиля--ю как внешний инструмент: если в простом \\(n\\)-вершинном графе есть \\(q\\) попарно реберно-непересекающихся путей между \\(a\\) и \\(b\\), а \\(\\delta(h)\\ge q\\), то эти \\(q\\) путей можно выбрать так, что каждый имеет длину не больше \\(20n/q\\). в этой карточке этот результат не считается школьной леммой: известное доказательство использует поток минимальной стоимости, двойственность и специальный подсчет по уровням. остается проверить только редукцию. так как \\(g\\) является \\(k\\)-реберно-связным, каждый разрез, отделяющий \\(u\\) от \\(v\\), содержит хотя бы \\(k\\) ребер. по обычной реберной форме теоремы менгера существуют \\(k\\) попарно реберно-непересекающихся \\(u\\)-\\(v\\)-путей. кроме того, \\(\\delta(g)\\ge k\\): иначе разрез, отделяющий вершину степени меньше \\(k\\) от остального графа, содержал бы меньше \\(k\\) ребер. применяем теорему галиля--ю к \\(… miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths korotkie reberno-neperesekayuschiesya puti v k-reberno-svyaznom grafe, schweitzer 2002/2 connectivity degree_counting cut_counting goal_existence 2002 https://doi.org/10.1145/225058.225267 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2002-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2002 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2002 paper problem_and_solution schweitzer schweitzer2002 src-galil-yu-short-length-menger-stoc-1995 src-miklos-schweitzer-2002-p2-official with_solution zvi galil, xiangdong yu, short length versions of menger's theorem (extended abstract), stoc 1995 ? miklos schweitzer memorial competition 2002 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva zvi galil, xiangdong yu, short length versions of menger's theorem (extended abstract), stoc 1995 stmt-original uslovie source_verified pust \\(g\\) - prostoy \\(k\\)-reberno-svyaznyy graf na \\(n\\) vershinah, a \\(u\\) i \\(v\\) - dve razlichnye vershiny \\(g\\). dokazhite, chto suschestvuyut \\(k\\) poparno reberno-neperesekayuschihsya putey iz \\(u\\) v \\(v\\), kazhdyy iz kotoryh imeet ne bolee \\(20n/k\\) reber. simple_graph connected_graph graph_cut path idea-short-length-menger korotkaya forma teoremy mengera nuzhnoe utverzhdenie yavlyaetsya pryamym sledstviem korotkoy formy teoremy mengera galilya--yu: esli v prostom \\(n\\)-vershinnom grafe mezhdu dvumya vershinami est \\(q\\) reberno-neperesekayuschihsya putey i minimalnaya stepen grafa ne menshe \\(q\\), to eti \\(q\\) putey mozhno vybrat tak, chto kazhdyy imeet dlinu ne bolshe \\(20n/q\\). v dannoy zadache \\(q=k\\), suschestvovanie \\(k\\) putey daet rebernaya forma mengera, a minimalnaya stepen ne menshe \\(k\\) sleduet iz \\(k\\)-rebernoy svyaznosti. connectivity degree_counting goal_existence ai_checked sol-short-length-menger-galil-yu primenenie korotkoy formy teoremy mengera galilya--yu ai_checked simple_graph connected_graph graph_cut path degree augmenting_path_method ispolzuem korotkuyu formu teoremy mengera galilya--yu kak vneshniy instrument: esli v prostom \\(n\\)-vershinnom grafe est \\(q\\) poparno reberno-neperesekayuschihsya putey mezhdu \\(a\\) i \\(b\\), a \\(\\delta(h)\\ge q\\), to eti \\(q\\) putey mozhno vybrat tak, chto kazhdyy imeet dlinu ne bolshe \\(20n/q\\). v etoy kartochke etot rezultat ne schitaetsya shkolnoy lemmoy: izvestnoe dokazatelstvo ispolzuet potok minimalnoy stoimosti, dvoystvennost i spetsialnyy podschet po urovnyam. ostaetsya proverit tolko reduktsiyu. tak kak \\(g\\) yavlyaetsya \\(k\\)-reberno-svyaznym, kazhdyy razrez, otdelyayuschiy \\(u\\) ot \\(v\\), soderzhit hotya by \\(k\\) reber. po obychnoy rebernoy forme teoremy mengera suschestvuyut \\(k\\) poparno reberno-neperesekayuschihsya \\(u\\)-\\(v\\)-putey. krome togo, \\(\\delta(g)\\ge k\\): inache razrez, otdelyayuschiy vershinu stepeni menshe \\(k\\) ot ostalnogo grafa, soderzhal by menshe \\(k\\) reber. primenyaem teoremu galilya--yu k \\(…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2004-p2-quasirandom-k4-count","title":"Сравнение числа полных четырехвершинников по всем индуцированным числам ребер, Schweitzer 2004/2","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2004-p2-quasirandom-k4-count.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2004-p2-quasirandom-k4-count.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2004-p2-quasirandom-k4-count","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2004 задача 2, официальный PDF из архива"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","double_counting","forbidden_clique","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Задача требует нетривиального переноса равномерной оценки по всем подмножествам на счет малых подграфов.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Обозначим через \\(t(G)\\) число полных четырехвершинников в графе \\(G\\), а через \\(e_G(S)\\) - число ребер, натянутых множеством вершин \\(S\\). Пусть \\(G_1,G_2\\) - два простых графа на общем множестве вершин \\(V\\), \\(|V|=n\\), и для любого \\(S\\subseteq V\\) выполнено \\(|e_{G_1}(S)-e_{G_2}(S)|\\le n^2/1000\\). Докажите, что \\(|t(G_1)-t(G_2)|\\le n^4/1000\\).","definition_ids":["simple_graph","clique"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Сравнение числа полных четырехвершинников по всем индуцированным числам ребер, Schweitzer 2004/2","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(G_1\\) и \\(G_2\\) — простые графы на общем множестве \\(V\\), \\(|V|=n\\), и для любого \\(S\\subseteq V\\) выполнено \\(|e_{G_1}(S)-e_{G_2}(S)|\\le n^2/1000\\). Докажите, что числа копий \\(K_4\\) в этих графах отличаются не более чем на \\(n^4/1000\\).","definition_ids":["simple_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-cut-norm-counting-k4","title":"ИИ-решение через cut-норму разности матриц смежности","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","clique"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Положим \\(\\varepsilon=1/1000\\). Для графа \\(G\\) обозначим через \\(A_G(x,y)\\) его матрицу смежности: \\(A_G(x,y)=1\\), если \\(xy\\) -- ребро, и \\(A_G(x,y)=0\\) иначе; на диагонали \\(A_G(x,x)=0\\). Пусть \\(D=A_{G_1}-A_{G_2}\\). Для \\(S\\subseteq V\\) запишем \\[ q(S)=\\sum_{\\{x,y\\}\\subset S}D(x,y)=e_{G_1}(S)-e_{G_2}(S). \\] По условию \\(|q(S)|\\le \\varepsilon n^2\\) для любого \\(S\\). Сначала выведем из этого двудольную оценку. Для любых \\(X,Y\\subseteq V\\) положим \\[ d(X,Y)=\\sum_{x\\in X,\\ y\\in Y}D(x,y), \\] где пары из \\(X\\cap Y\\) считаются в обоих направлениях, а диагональ равна нулю. Тогда \\[ d(X,Y)=q(X\\cup Y)-q(X\\setminus Y)-q(Y\\setminus X)+q(X\\cap Y). \\] Это проверяется разбиением \\(X\\cup Y\\) на \\(X\\setminus Y\\), \\(Y\\setminus X\\) и \\(X\\cap Y\\): все слагаемые между первой и второй частью, между первой и пересечением, между второй и пересечением, а также два направления внутри пересечения появляются р…"}],"relations":[],"search_text":"miklos-schweitzer-2004-p2-quasirandom-k4-count сравнение числа полных четырехвершинников по всем индуцированным числам ребер, schweitzer 2004/2 extremal_graph_theory double_counting forbidden_clique goal_bound 2004 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2004-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2004 задача 2, официальный pdf из архива miklos2004 problem_and_solution schweitzer schweitzer2004 src-miklos-schweitzer-2004-p2-official with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2004 задача 2, официальный pdf из архива stmt-original условие source_verified обозначим через \\(t(g)\\) число полных четырехвершинников в графе \\(g\\), а через \\(e_g(s)\\) - число ребер, натянутых множеством вершин \\(s\\). пусть \\(g_1,g_2\\) - два простых графа на общем множестве вершин \\(v\\), \\(|v|=n\\), и для любого \\(s\\subseteq v\\) выполнено \\(|e_{g_1}(s)-e_{g_2}(s)|\\le n^2/1000\\). докажите, что \\(|t(g_1)-t(g_2)|\\le n^4/1000\\). simple_graph clique stmt-graph сравнение числа полных четырехвершинников по всем индуцированным числам ребер, schweitzer 2004/2 needs_human_review пусть \\(g_1\\) и \\(g_2\\) — простые графы на общем множестве \\(v\\), \\(|v|=n\\), и для любого \\(s\\subseteq v\\) выполнено \\(|e_{g_1}(s)-e_{g_2}(s)|\\le n^2/1000\\). докажите, что числа копий \\(k_4\\) в этих графах отличаются не более чем на \\(n^4/1000\\). simple_graph clique idea-quasirandom-transfer рассматривать условие как слабую квазислучайную близость оценка для всех \\(s\\) контролирует квадратичную форму разности матриц смежности на индикаторах множеств. нужно перенести этот контроль с ребер на четырехвершинные полные подграфы. extremal_graph_theory double_counting needs_human_review idea-telescope-edges заменять графы по одному реберному множителю разность счетов \\(k_4\\) можно телескопировать по шести реберным множителям, сводя задачу к оценкам смешанных сумм, где один множитель - разность двух графов, а остальные ограничены индикаторами ребер. double_counting goal_bound needs_human_review sol-ai-cut-norm-counting-k4 ии-решение через cut-норму разности матриц смежности ai_checked simple_graph clique double_counting положим \\(\\varepsilon=1/1000\\). для графа \\(g\\) обозначим через \\(a_g(x,y)\\) его матрицу смежности: \\(a_g(x,y)=1\\), если \\(xy\\) -- ребро, и \\(a_g(x,y)=0\\) иначе; на диагонали \\(a_g(x,x)=0\\). пусть \\(d=a_{g_1}-a_{g_2}\\). для \\(s\\subseteq v\\) запишем \\[ q(s)=\\sum_{\\{x,y\\}\\subset s}d(x,y)=e_{g_1}(s)-e_{g_2}(s). \\] по условию \\(|q(s)|\\le \\varepsilon n^2\\) для любого \\(s\\). сначала выведем из этого двудольную оценку. для любых \\(x,y\\subseteq v\\) положим \\[ d(x,y)=\\sum_{x\\in x,\\ y\\in y}d(x,y), \\] где пары из \\(x\\cap y\\) считаются в обоих направлениях, а диагональ равна нулю. тогда \\[ d(x,y)=q(x\\cup y)-q(x\\setminus y)-q(y\\setminus x)+q(x\\cap y). \\] это проверяется разбиением \\(x\\cup y\\) на \\(x\\setminus y\\), \\(y\\setminus x\\) и \\(x\\cap y\\): все слагаемые между первой и второй частью, между первой и пересечением, между второй и пересечением, а также два направления внутри пересечения появляются р… miklos-schweitzer-2004-p2-quasirandom-k4-count sravnenie chisla polnyh chetyrehvershinnikov po vsem indutsirovannym chislam reber, schweitzer 2004/2 extremal_graph_theory double_counting forbidden_clique goal_bound 2004 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2004-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2004 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2004 problem_and_solution schweitzer schweitzer2004 src-miklos-schweitzer-2004-p2-official with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2004 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original uslovie source_verified oboznachim cherez \\(t(g)\\) chislo polnyh chetyrehvershinnikov v grafe \\(g\\), a cherez \\(e_g(s)\\) - chislo reber, natyanutyh mnozhestvom vershin \\(s\\). pust \\(g_1,g_2\\) - dva prostyh grafa na obschem mnozhestve vershin \\(v\\), \\(|v|=n\\), i dlya lyubogo \\(s\\subseteq v\\) vypolneno \\(|e_{g_1}(s)-e_{g_2}(s)|\\le n^2/1000\\). dokazhite, chto \\(|t(g_1)-t(g_2)|\\le n^4/1000\\). simple_graph clique stmt-graph sravnenie chisla polnyh chetyrehvershinnikov po vsem indutsirovannym chislam reber, schweitzer 2004/2 needs_human_review pust \\(g_1\\) i \\(g_2\\) — prostye grafy na obschem mnozhestve \\(v\\), \\(|v|=n\\), i dlya lyubogo \\(s\\subseteq v\\) vypolneno \\(|e_{g_1}(s)-e_{g_2}(s)|\\le n^2/1000\\). dokazhite, chto chisla kopiy \\(k_4\\) v etih grafah otlichayutsya ne bolee chem na \\(n^4/1000\\). simple_graph clique idea-quasirandom-transfer rassmatrivat uslovie kak slabuyu kvazisluchaynuyu blizost otsenka dlya vseh \\(s\\) kontroliruet kvadratichnuyu formu raznosti matrits smezhnosti na indikatorah mnozhestv. nuzhno perenesti etot kontrol s reber na chetyrehvershinnye polnye podgrafy. extremal_graph_theory double_counting needs_human_review idea-telescope-edges zamenyat grafy po odnomu rebernomu mnozhitelyu raznost schetov \\(k_4\\) mozhno teleskopirovat po shesti rebernym mnozhitelyam, svodya zadachu k otsenkam smeshannyh summ, gde odin mnozhitel - raznost dvuh grafov, a ostalnye ogranicheny indikatorami reber. double_counting goal_bound needs_human_review sol-ai-cut-norm-counting-k4 ii-reshenie cherez cut-normu raznosti matrits smezhnosti ai_checked simple_graph clique double_counting polozhim \\(\\varepsilon=1/1000\\). dlya grafa \\(g\\) oboznachim cherez \\(a_g(x,y)\\) ego matritsu smezhnosti: \\(a_g(x,y)=1\\), esli \\(xy\\) -- rebro, i \\(a_g(x,y)=0\\) inache; na diagonali \\(a_g(x,x)=0\\). pust \\(d=a_{g_1}-a_{g_2}\\). dlya \\(s\\subseteq v\\) zapishem \\[ q(s)=\\sum_{\\{x,y\\}\\subset s}d(x,y)=e_{g_1}(s)-e_{g_2}(s). \\] po usloviyu \\(|q(s)|\\le \\varepsilon n^2\\) dlya lyubogo \\(s\\). snachala vyvedem iz etogo dvudolnuyu otsenku. dlya lyubyh \\(x,y\\subseteq v\\) polozhim \\[ d(x,y)=\\sum_{x\\in x,\\ y\\in y}d(x,y), \\] gde pary iz \\(x\\cap y\\) schitayutsya v oboih napravleniyah, a diagonal ravna nulyu. togda \\[ d(x,y)=q(x\\cup y)-q(x\\setminus y)-q(y\\setminus x)+q(x\\cap y). \\] eto proveryaetsya razbieniem \\(x\\cup y\\) na \\(x\\setminus y\\), \\(y\\setminus x\\) i \\(x\\cap y\\): vse slagaemye mezhdu pervoy i vtoroy chastyu, mezhdu pervoy i peresecheniem, mezhdu vtoroy i peresecheniem, a takzhe dva napravleniya vnutri peresecheniya poyavlyayutsya r…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio","title":"Планарный граф с неизбежно большим отношением длин ребер, Schweitzer 2004/3","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2004 задача 3, официальный PDF из архива","Manuel Borrazzo and Fabrizio Frati, On the Planar Edge-Length Ratio of Planar Graphs"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","construction","induction","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Конструктивная задача на границе планарной и геометрической теории графов; без официального решения оставлена для проверки.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Докажите, что существует константа \\(c>0\\) такая, что для любого \\(n\\ge3\\) найдется планарный граф \\(G\\) с \\(n\\) вершинами, у которого в каждом плоском вложении с прямолинейными ребрами есть пара ребер, отношение длин которых не меньше \\(cn\\).","definition_ids":["planar_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Геометрическая графовая формулировка","status":"ai_checked","text":"Существуют \\(n\\)-вершинные планарные графы, для которых нельзя выбрать прямолинейное плоское изображение с отношением максимальной и минимальной длины ребра меньше порядка \\(n\\).","definition_ids":["planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-borrazzo-frati-nested-triangles","title":"Вложенные треугольники с линейным ростом периметра","status":"source_verified","definition_ids":["planar_graph"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Решение основано на конструкции из статьи Borrazzo--Frati о планарном отношении длин рёбер. Для прямолинейного плоского рисунка \\(\\Gamma\\) обозначим через \\(\\rho(\\Gamma)\\) отношение длины самого длинного ребра к длине самого короткого. Достаточно построить для каждого \\(n\\) планарный граф, у которого во всяком таком рисунке \\(\\rho(\\Gamma)\\ge cn\\). Сначала построим плоские графы \\(H_k\\) на \\(3k\\) вершинах с выделенной внешней гранью. Граф \\(H_1\\) -- это треугольник \\(C_1=a_1b_1c_1\\). Пусть уже построен \\(H_{i-1}\\), внешняя грань которого ограничена треугольником \\(C_{i-1}=a_{i-1}b_{i-1}c_{i-1}\\). Тогда \\(H_i\\) получается так: берём новый внешний треугольник \\(C_i=a_i b_i c_i\\), помещаем \\(H_{i-1}\\) внутрь него и добавляем шесть рёбер \\(a_i a_{i-1}\\), \\(a_i b_{i-1}\\), \\(a_i c_{i-1}\\), \\(b_i b_{i-1}\\), \\(b_i c_{i-1}\\), \\(c_i c_{i-1}\\). Этот граф планарен и имеет \\(3i\\) вершин. Докажем, что…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2004-p3-planar-edge-bound","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-2004-p3-gabriel-straight-line-planarity","neighbor_id":"gabriel-graph-straight-line-planar","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-2004-p3-schweitzer-2020-p4-geometric-planar","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2020-p4-axis-parallel-segments-curves-planar-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio планарный граф с неизбежно большим отношением длин ребер, schweitzer 2004/3 planar_graphs construction induction goal_construction 2004 https://jocg.org/index.php/jocg/article/view/3096 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2004-eng.pdf manuel borrazzo and fabrizio frati, on the planar edge-length ratio of planar graphs miklos miklos schweitzer memorial competition 2004 задача 3, официальный pdf из архива miklos2004 problem_and_solution research_paper schweitzer schweitzer2004 src-borrazzo-frati-planar-edge-length-ratio src-miklos-schweitzer-2004-p3-official with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2004 задача 3, официальный pdf из архива manuel borrazzo and fabrizio frati, on the planar edge-length ratio of planar graphs stmt-original условие source_verified докажите, что существует константа \\(c>0\\) такая, что для любого \\(n\\ge3\\) найдется планарный граф \\(g\\) с \\(n\\) вершинами, у которого в каждом плоском вложении с прямолинейными ребрами есть пара ребер, отношение длин которых не меньше \\(cn\\). planar_graph stmt-graph геометрическая графовая формулировка ai_checked существуют \\(n\\)-вершинные планарные графы, для которых нельзя выбрать прямолинейное плоское изображение с отношением максимальной и минимальной длины ребра меньше порядка \\(n\\). planar_graph idea-forced-nesting искать конструкцию с вынужденной вложенностью естественный путь - строить планарный граф, где комбинаторика граней заставляет в любом прямолинейном вложении появляться цепочку вложенных или экранирующих структур. тогда последовательные геометрические ограничения на площади или расстояния дают большое отношение длин ребер. planar_graphs construction needs_human_review idea-area-or-separation сравнивать площади и разделения если все ребра имели бы сравнимые длины, то локальные треугольники или многоугольные барьеры давали бы слишком мало места для требуемого числа уровней. значит, в любой реализации должен возникнуть масштабный скачок. extremal_choice goal_construction needs_human_review sol-borrazzo-frati-nested-triangles вложенные треугольники с линейным ростом периметра source_verified planar_graph induction решение основано на конструкции из статьи borrazzo--frati о планарном отношении длин рёбер. для прямолинейного плоского рисунка \\(\\gamma\\) обозначим через \\(\\rho(\\gamma)\\) отношение длины самого длинного ребра к длине самого короткого. достаточно построить для каждого \\(n\\) планарный граф, у которого во всяком таком рисунке \\(\\rho(\\gamma)\\ge cn\\). сначала построим плоские графы \\(h_k\\) на \\(3k\\) вершинах с выделенной внешней гранью. граф \\(h_1\\) -- это треугольник \\(c_1=a_1b_1c_1\\). пусть уже построен \\(h_{i-1}\\), внешняя грань которого ограничена треугольником \\(c_{i-1}=a_{i-1}b_{i-1}c_{i-1}\\). тогда \\(h_i\\) получается так: берём новый внешний треугольник \\(c_i=a_i b_i c_i\\), помещаем \\(h_{i-1}\\) внутрь него и добавляем шесть рёбер \\(a_i a_{i-1}\\), \\(a_i b_{i-1}\\), \\(a_i c_{i-1}\\), \\(b_i b_{i-1}\\), \\(b_i c_{i-1}\\), \\(c_i c_{i-1}\\). этот граф планарен и имеет \\(3i\\) вершин. докажем, что… miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio planarnyy graf s neizbezhno bolshim otnosheniem dlin reber, schweitzer 2004/3 planar_graphs construction induction goal_construction 2004 https://jocg.org/index.php/jocg/article/view/3096 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2004-eng.pdf manuel borrazzo and fabrizio frati, on the planar edge-length ratio of planar graphs miklos miklos schweitzer memorial competition 2004 zadacha 3, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2004 problem_and_solution research_paper schweitzer schweitzer2004 src-borrazzo-frati-planar-edge-length-ratio src-miklos-schweitzer-2004-p3-official with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2004 zadacha 3, ofitsialnyy pdf iz arhiva manuel borrazzo and fabrizio frati, on the planar edge-length ratio of planar graphs stmt-original uslovie source_verified dokazhite, chto suschestvuet konstanta \\(c>0\\) takaya, chto dlya lyubogo \\(n\\ge3\\) naydetsya planarnyy graf \\(g\\) s \\(n\\) vershinami, u kotorogo v kazhdom ploskom vlozhenii s pryamolineynymi rebrami est para reber, otnoshenie dlin kotoryh ne menshe \\(cn\\). planar_graph stmt-graph geometricheskaya grafovaya formulirovka ai_checked suschestvuyut \\(n\\)-vershinnye planarnye grafy, dlya kotoryh nelzya vybrat pryamolineynoe ploskoe izobrazhenie s otnosheniem maksimalnoy i minimalnoy dliny rebra menshe poryadka \\(n\\). planar_graph idea-forced-nesting iskat konstruktsiyu s vynuzhdennoy vlozhennostyu estestvennyy put - stroit planarnyy graf, gde kombinatorika graney zastavlyaet v lyubom pryamolineynom vlozhenii poyavlyatsya tsepochku vlozhennyh ili ekraniruyuschih struktur. togda posledovatelnye geometricheskie ogranicheniya na ploschadi ili rasstoyaniya dayut bolshoe otnoshenie dlin reber. planar_graphs construction needs_human_review idea-area-or-separation sravnivat ploschadi i razdeleniya esli vse rebra imeli by sravnimye dliny, to lokalnye treugolniki ili mnogougolnye barery davali by slishkom malo mesta dlya trebuemogo chisla urovney. znachit, v lyuboy realizatsii dolzhen vozniknut masshtabnyy skachok. extremal_choice goal_construction needs_human_review sol-borrazzo-frati-nested-triangles vlozhennye treugolniki s lineynym rostom perimetra source_verified planar_graph induction reshenie osnovano na konstruktsii iz stati borrazzo--frati o planarnom otnoshenii dlin reber. dlya pryamolineynogo ploskogo risunka \\(\\gamma\\) oboznachim cherez \\(\\rho(\\gamma)\\) otnoshenie dliny samogo dlinnogo rebra k dline samogo korotkogo. dostatochno postroit dlya kazhdogo \\(n\\) planarnyy graf, u kotorogo vo vsyakom takom risunke \\(\\rho(\\gamma)\\ge cn\\). snachala postroim ploskie grafy \\(h_k\\) na \\(3k\\) vershinah s vydelennoy vneshney granyu. graf \\(h_1\\) -- eto treugolnik \\(c_1=a_1b_1c_1\\). pust uzhe postroen \\(h_{i-1}\\), vneshnyaya gran kotorogo ogranichena treugolnikom \\(c_{i-1}=a_{i-1}b_{i-1}c_{i-1}\\). togda \\(h_i\\) poluchaetsya tak: berem novyy vneshniy treugolnik \\(c_i=a_i b_i c_i\\), pomeschaem \\(h_{i-1}\\) vnutr nego i dobavlyaem shest reber \\(a_i a_{i-1}\\), \\(a_i b_{i-1}\\), \\(a_i c_{i-1}\\), \\(b_i b_{i-1}\\), \\(b_i c_{i-1}\\), \\(c_i c_{i-1}\\). etot graf planaren i imeet \\(3i\\) vershin. dokazhem, chto…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2005-p1-high-chromatic-defined-graph","title":"Явно заданные графы с произвольно большим хроматическим числом, Schweitzer 2005/1","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2005-p1-high-chromatic-defined-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2005-p1-high-chromatic-defined-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2005-p1-high-chromatic-defined-graph","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2005 задача 1, официальный PDF из архива"],"year":"2005","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","extremal_graph_theory","goal_existence","ramsey_theory"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Полное решение найдено: конечная теорема Рамсея канонизирует цвета на инъективных функциях, после чего повтор цвета в последовательности длины c+1 дает монохромное ребро.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"agent_solution","label":"полное решение, найденное агентом","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агент проход высокой сложности","notes":"Полное самодостаточное решение использует конечную рамсеевскую канонизацию на инъективных словах и завершающее противоречие по принципу Дирихле.","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Обозначим \\([n]=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). Для произвольных \\(a,b\\in\\mathbb N\\) определим неориентированный граф \\(G(a,b)\\): его вершины имеют вид \\((i,f)\\), где \\(i\\in[a]\\), а \\(f:[a]\\to[b]\\). Две вершины \\((i,f)\\) и \\((j,g)\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(i\\ne j\\), причем \\(f(k)\\ne g(k)\\) выполняется ровно для тех \\(k\\), которые строго лежат между \\(i\\) и \\(j\\), а для всех остальных \\(k\\) выполнено \\(f(k)=g(k)\\). Докажите, что для любого \\(c\\in\\mathbb N\\) существуют \\(a,b\\in\\mathbb N\\), для которых вершины \\(G(a,b)\\) нельзя правильно раскрасить в \\(c\\) цветов.","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Явно заданные графы с произвольно большим хроматическим числом, Schweitzer 2005/1","status":"ai_checked","text":"Для \\(a,b\\in\\mathbb N\\) пусть \\(G(a,b)\\) -- простой неориентированный граф с вершинами \\((i,f)\\), где \\(i\\in[a]\\) и \\(f:[a]\\to[b]\\); вершины \\((i,f)\\) и \\((j,g)\\) смежны тогда и только тогда, когда \\(i\\ne j\\), функции \\(f,g\\) различаются ровно на индексах \\(k\\), строго лежащих между \\(i\\) и \\(j\\), и совпадают на всех остальных \\(k\\). Тогда \\(\\sup_{a,b}\\chi(G(a,b))=\\infty\\).","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-finite-ramsey-injective-words","title":"Решение через канонизацию инъективных слов по Рамсею","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем более явно: для каждого числа цветов \\(c\\) построим подходящие \\(a,b\\). Положим \\(a=c+1\\) и \\(N=2a\\). По конечной теореме Рамсея выберем такое \\(b\\), что при любой раскраске всех \\(a\\)-элементных подмножеств множества \\([b]\\) в не более чем \\(c^{a\\cdot a!}\\) цветов найдется одноцветное \\(N\\)-элементное подмножество. Покажем, что граф \\(G(a,b)\\) не допускает правильной раскраски в \\(c\\) цветов. Предположим противное, и пусть \\(\\gamma(i,f)\\in[c]\\) -- правильная раскраска вершин \\(G(a,b)\\). Каждому \\(a\\)-элементному множеству \\(S=\\{s_1<\\cdots<s_a\\}\\subset[b]\\) сопоставим его таблицу цветов: для каждой перестановки \\(\\pi\\) множества \\([a]\\) и каждого индекса \\(r\\in[a]\\) записываем цвет вершины \\((r,f_{S,\\pi})\\), где \\(f_{S,\\pi}(k)=s_{\\pi(k)}\\). Таких таблиц не больше \\(c^{a\\cdot a!}\\), поэтому по выбору \\(b\\) существует множество \\(B\\subset[b]\\), \\(|B|=2a\\), на котором эта таблица о…"}],"relations":[{"id":"rel-miklos-2005-p1-finite-ramsey-classical","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-miklos-2005-p1-imc-2022-high-chromatic","neighbor_id":"imc-2022-day1-p4-triples-chromatic-loglog","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2005-p1-high-chromatic-defined-graph явно заданные графы с произвольно большим хроматическим числом, schweitzer 2005/1 coloring extremal_graph_theory goal_existence ramsey_theory 2005 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2005.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2005 задача 1, официальный pdf из архива miklos2005 schweitzer schweitzer2005 src-miklos-schweitzer-2005-p1-official statement with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2005 задача 1, официальный pdf из архива stmt-original условие ai_checked обозначим \\([n]=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). для произвольных \\(a,b\\in\\mathbb n\\) определим неориентированный граф \\(g(a,b)\\): его вершины имеют вид \\((i,f)\\), где \\(i\\in[a]\\), а \\(f:[a]\\to[b]\\). две вершины \\((i,f)\\) и \\((j,g)\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(i\\ne j\\), причем \\(f(k)\\ne g(k)\\) выполняется ровно для тех \\(k\\), которые строго лежат между \\(i\\) и \\(j\\), а для всех остальных \\(k\\) выполнено \\(f(k)=g(k)\\). докажите, что для любого \\(c\\in\\mathbb n\\) существуют \\(a,b\\in\\mathbb n\\), для которых вершины \\(g(a,b)\\) нельзя правильно раскрасить в \\(c\\) цветов. simple_graph chromatic_number stmt-graph явно заданные графы с произвольно большим хроматическим числом, schweitzer 2005/1 ai_checked для \\(a,b\\in\\mathbb n\\) пусть \\(g(a,b)\\) -- простой неориентированный граф с вершинами \\((i,f)\\), где \\(i\\in[a]\\) и \\(f:[a]\\to[b]\\); вершины \\((i,f)\\) и \\((j,g)\\) смежны тогда и только тогда, когда \\(i\\ne j\\), функции \\(f,g\\) различаются ровно на индексах \\(k\\), строго лежащих между \\(i\\) и \\(j\\), и совпадают на всех остальных \\(k\\). тогда \\(\\sup_{a,b}\\chi(g(a,b))=\\infty\\). simple_graph chromatic_number sol-finite-ramsey-injective-words решение через канонизацию инъективных слов по рамсею ai_checked simple_graph chromatic_number докажем более явно: для каждого числа цветов \\(c\\) построим подходящие \\(a,b\\). положим \\(a=c+1\\) и \\(n=2a\\). по конечной теореме рамсея выберем такое \\(b\\), что при любой раскраске всех \\(a\\)-элементных подмножеств множества \\([b]\\) в не более чем \\(c^{a\\cdot a!}\\) цветов найдется одноцветное \\(n\\)-элементное подмножество. покажем, что граф \\(g(a,b)\\) не допускает правильной раскраски в \\(c\\) цветов. предположим противное, и пусть \\(\\gamma(i,f)\\in[c]\\) -- правильная раскраска вершин \\(g(a,b)\\). каждому \\(a\\)-элементному множеству \\(s=\\{s_1<\\cdots<s_a\\}\\subset[b]\\) сопоставим его таблицу цветов: для каждой перестановки \\(\\pi\\) множества \\([a]\\) и каждого индекса \\(r\\in[a]\\) записываем цвет вершины \\((r,f_{s,\\pi})\\), где \\(f_{s,\\pi}(k)=s_{\\pi(k)}\\). таких таблиц не больше \\(c^{a\\cdot a!}\\), поэтому по выбору \\(b\\) существует множество \\(b\\subset[b]\\), \\(|b|=2a\\), на котором эта таблица о… miklos-schweitzer-2005-p1-high-chromatic-defined-graph yavno zadannye grafy s proizvolno bolshim hromaticheskim chislom, schweitzer 2005/1 coloring extremal_graph_theory goal_existence ramsey_theory 2005 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2005.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2005 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2005 schweitzer schweitzer2005 src-miklos-schweitzer-2005-p1-official statement with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2005 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original uslovie ai_checked oboznachim \\([n]=\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). dlya proizvolnyh \\(a,b\\in\\mathbb n\\) opredelim neorientirovannyy graf \\(g(a,b)\\): ego vershiny imeyut vid \\((i,f)\\), gde \\(i\\in[a]\\), a \\(f:[a]\\to[b]\\). dve vershiny \\((i,f)\\) i \\((j,g)\\) soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda \\(i\\ne j\\), prichem \\(f(k)\\ne g(k)\\) vypolnyaetsya rovno dlya teh \\(k\\), kotorye strogo lezhat mezhdu \\(i\\) i \\(j\\), a dlya vseh ostalnyh \\(k\\) vypolneno \\(f(k)=g(k)\\). dokazhite, chto dlya lyubogo \\(c\\in\\mathbb n\\) suschestvuyut \\(a,b\\in\\mathbb n\\), dlya kotoryh vershiny \\(g(a,b)\\) nelzya pravilno raskrasit v \\(c\\) tsvetov. simple_graph chromatic_number stmt-graph yavno zadannye grafy s proizvolno bolshim hromaticheskim chislom, schweitzer 2005/1 ai_checked dlya \\(a,b\\in\\mathbb n\\) pust \\(g(a,b)\\) -- prostoy neorientirovannyy graf s vershinami \\((i,f)\\), gde \\(i\\in[a]\\) i \\(f:[a]\\to[b]\\); vershiny \\((i,f)\\) i \\((j,g)\\) smezhny togda i tolko togda, kogda \\(i\\ne j\\), funktsii \\(f,g\\) razlichayutsya rovno na indeksah \\(k\\), strogo lezhaschih mezhdu \\(i\\) i \\(j\\), i sovpadayut na vseh ostalnyh \\(k\\). togda \\(\\sup_{a,b}\\chi(g(a,b))=\\infty\\). simple_graph chromatic_number sol-finite-ramsey-injective-words reshenie cherez kanonizatsiyu inektivnyh slov po ramseyu ai_checked simple_graph chromatic_number dokazhem bolee yavno: dlya kazhdogo chisla tsvetov \\(c\\) postroim podhodyaschie \\(a,b\\). polozhim \\(a=c+1\\) i \\(n=2a\\). po konechnoy teoreme ramseya vyberem takoe \\(b\\), chto pri lyuboy raskraske vseh \\(a\\)-elementnyh podmnozhestv mnozhestva \\([b]\\) v ne bolee chem \\(c^{a\\cdot a!}\\) tsvetov naydetsya odnotsvetnoe \\(n\\)-elementnoe podmnozhestvo. pokazhem, chto graf \\(g(a,b)\\) ne dopuskaet pravilnoy raskraski v \\(c\\) tsvetov. predpolozhim protivnoe, i pust \\(\\gamma(i,f)\\in[c]\\) -- pravilnaya raskraska vershin \\(g(a,b)\\). kazhdomu \\(a\\)-elementnomu mnozhestvu \\(s=\\{s_1<\\cdots<s_a\\}\\subset[b]\\) sopostavim ego tablitsu tsvetov: dlya kazhdoy perestanovki \\(\\pi\\) mnozhestva \\([a]\\) i kazhdogo indeksa \\(r\\in[a]\\) zapisyvaem tsvet vershiny \\((r,f_{s,\\pi})\\), gde \\(f_{s,\\pi}(k)=s_{\\pi(k)}\\). takih tablits ne bolshe \\(c^{a\\cdot a!}\\), poetomu po vyboru \\(b\\) suschestvuet mnozhestvo \\(b\\subset[b]\\), \\(|b|=2a\\), na kotorom eta tablitsa o…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2008-p3-tame-bipartite-graphs","title":"Максимальное число ребер в ручных двудольных графах, Schweitzer 2008/3","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2008-p3-tame-bipartite-graphs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2008-p3-tame-bipartite-graphs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2008-p3-tame-bipartite-graphs","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2008 задача 3, официальный PDF из архива"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":["Gábor Tardos"],"tags":["extremal_graph_theory","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Экстремальная задача для упорядоченных двудольных графов; опубликованное решение даёт точный показатель 3/2 через конструкцию и разбиение рёбер на малые и большие.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"source_verified","text":"Двудольный граф с долями вершин \\(\\{x_1,\\ldots,x_n\\}\\) и \\(\\{y_1,\\ldots,y_n\\}\\), то есть с ребрами вида \\(x_i y_j\\), назовем ручным, если в нем нет пути \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\), где \\(i,j,k,\\ell\\in\\{1,\\ldots,n\\}\\), \\(j<\\ell\\) и \\(i+j>k+\\ell\\). Найдите инфимум тех вещественных чисел \\(\\alpha\\), для которых существует константа \\(c=c(\\alpha)>0\\) такая, что для всех ручных графов \\(e\\le c n^\\alpha\\), где \\(e\\) - число ребер, а \\(n\\) - половина числа вершин.","definition_ids":["bipartite_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Экстремальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Двудольный граф с долями \\(x_1,\\ldots,x_n\\) и \\(y_1,\\ldots,y_n\\) назовём ручным, если в нём нет пути \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\), для которого \\(j<\\ell\\) и \\(i+j>k+\\ell\\). Найдите инфимум всех \\(\\alpha\\), для которых число рёбер любого такого графа не превосходит \\(c(\\alpha)n^\\alpha\\).","definition_ids":["bipartite_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-small-large-edges","title":"ИИ-решение: конструкция и оценка через малые и большие рёбра","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(3/2\\). Сначала построим ручные графы с \\(\\Omega(n^{3/2})\\) рёбрами. Пусть \\(s=\\lfloor\\sqrt n\\rfloor\\). Соединим \\(x_i\\) с \\(y_j\\), если \\(1\\le i\\le s^2\\) и \\[ \\left\\lfloor\\frac{i-1}{s}\\right\\rfloor\\equiv j-1\\pmod s. \\] Для каждого \\(y_j\\) получается ровно \\(s\\) соседей, значит \\(e=ns\\ge n^{3/2}-n\\). Проверим ручность. Если \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\) -- путь в этом графе, то \\[ \\left\\lfloor\\frac{i-1}{s}\\right\\rfloor=\\left\\lfloor\\frac{k-1}{s}\\right\\rfloor, \\qquad j\\equiv \\ell\\pmod s. \\] Отсюда \\(|i-k|<s\\), а если \\(j<\\ell\\), то \\(\\ell-j\\ge s\\). Поэтому \\(i-k<\\ell-j\\), то есть \\(i+j<k+\\ell\\). Запрещённого пути нет, граф ручной. Следовательно, для любого \\(\\alpha<3/2\\) не может существовать универсальная оценка \\(e\\le c n^\\alpha\\). Теперь докажем верхнюю оценку \\(O(n^{3/2})\\). Снова положим \\(s=\\lfloor\\sqrt n\\rfloor\\). Назовём ребро \\(x_k y_j\\) малым, если для любого ребра \\(x_i y_j\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2008-p3-bipartite-extremal","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2008-p3-tame-bipartite-graphs максимальное число ребер в ручных двудольных графах, schweitzer 2008/3 extremal_graph_theory construction goal_exact_bound 2008 gábor tardos gábortardos https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2008-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2008 задача 3, официальный pdf из архива miklos2008 problem_and_solution schweitzer schweitzer2008 src-miklos-schweitzer-2008-p3-official with_solution gábor tardos miklos schweitzer memorial competition 2008 задача 3, официальный pdf из архива stmt-original условие source_verified двудольный граф с долями вершин \\(\\{x_1,\\ldots,x_n\\}\\) и \\(\\{y_1,\\ldots,y_n\\}\\), то есть с ребрами вида \\(x_i y_j\\), назовем ручным, если в нем нет пути \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\), где \\(i,j,k,\\ell\\in\\{1,\\ldots,n\\}\\), \\(j<\\ell\\) и \\(i+j>k+\\ell\\). найдите инфимум тех вещественных чисел \\(\\alpha\\), для которых существует константа \\(c=c(\\alpha)>0\\) такая, что для всех ручных графов \\(e\\le c n^\\alpha\\), где \\(e\\) - число ребер, а \\(n\\) - половина числа вершин. bipartite_graph path stmt-graph экстремальная формулировка ai_checked двудольный граф с долями \\(x_1,\\ldots,x_n\\) и \\(y_1,\\ldots,y_n\\) назовём ручным, если в нём нет пути \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\), для которого \\(j<\\ell\\) и \\(i+j>k+\\ell\\). найдите инфимум всех \\(\\alpha\\), для которых число рёбер любого такого графа не превосходит \\(c(\\alpha)n^\\alpha\\). bipartite_graph path idea-ordered-forbidden-path читать запрет как условие монотонности соседств запрещенный путь говорит: если два ребра имеют общий промежуточный переход через \\(y_j\\) и \\(x_k\\), то при переходе к большему индексу \\(\\ell\\) нельзя получить слишком большой сдвиг суммы индексов. это должно ограничивать форму множеств соседей в матрице смежности. extremal_graph_theory forbidden_triangle needs_human_review idea-upper-and-construction нужны обе стороны для показателя так как требуется инфимум \\(\\alpha\\), задача просит не только верхнюю оценку на \\(e\\), но и семейство ручных графов с большим числом ребер, показывающее оптимальность показателя. goal_exact_bound construction needs_human_review sol-ai-small-large-edges ии-решение: конструкция и оценка через малые и большие рёбра ai_checked bipartite_graph path ответ: \\(3/2\\). сначала построим ручные графы с \\(\\omega(n^{3/2})\\) рёбрами. пусть \\(s=\\lfloor\\sqrt n\\rfloor\\). соединим \\(x_i\\) с \\(y_j\\), если \\(1\\le i\\le s^2\\) и \\[ \\left\\lfloor\\frac{i-1}{s}\\right\\rfloor\\equiv j-1\\pmod s. \\] для каждого \\(y_j\\) получается ровно \\(s\\) соседей, значит \\(e=ns\\ge n^{3/2}-n\\). проверим ручность. если \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\) -- путь в этом графе, то \\[ \\left\\lfloor\\frac{i-1}{s}\\right\\rfloor=\\left\\lfloor\\frac{k-1}{s}\\right\\rfloor, \\qquad j\\equiv \\ell\\pmod s. \\] отсюда \\(|i-k|<s\\), а если \\(j<\\ell\\), то \\(\\ell-j\\ge s\\). поэтому \\(i-k<\\ell-j\\), то есть \\(i+j<k+\\ell\\). запрещённого пути нет, граф ручной. следовательно, для любого \\(\\alpha<3/2\\) не может существовать универсальная оценка \\(e\\le c n^\\alpha\\). теперь докажем верхнюю оценку \\(o(n^{3/2})\\). снова положим \\(s=\\lfloor\\sqrt n\\rfloor\\). назовём ребро \\(x_k y_j\\) малым, если для любого ребра \\(x_i y_j\\)… miklos-schweitzer-2008-p3-tame-bipartite-graphs maksimalnoe chislo reber v ruchnyh dvudolnyh grafah, schweitzer 2008/3 extremal_graph_theory construction goal_exact_bound 2008 gábor tardos gábortardos https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2008-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2008 zadacha 3, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2008 problem_and_solution schweitzer schweitzer2008 src-miklos-schweitzer-2008-p3-official with_solution gábor tardos miklos schweitzer memorial competition 2008 zadacha 3, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original uslovie source_verified dvudolnyy graf s dolyami vershin \\(\\{x_1,\\ldots,x_n\\}\\) i \\(\\{y_1,\\ldots,y_n\\}\\), to est s rebrami vida \\(x_i y_j\\), nazovem ruchnym, esli v nem net puti \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\), gde \\(i,j,k,\\ell\\in\\{1,\\ldots,n\\}\\), \\(j<\\ell\\) i \\(i+j>k+\\ell\\). naydite infimum teh veschestvennyh chisel \\(\\alpha\\), dlya kotoryh suschestvuet konstanta \\(c=c(\\alpha)>0\\) takaya, chto dlya vseh ruchnyh grafov \\(e\\le c n^\\alpha\\), gde \\(e\\) - chislo reber, a \\(n\\) - polovina chisla vershin. bipartite_graph path stmt-graph ekstremalnaya formulirovka ai_checked dvudolnyy graf s dolyami \\(x_1,\\ldots,x_n\\) i \\(y_1,\\ldots,y_n\\) nazovem ruchnym, esli v nem net puti \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\), dlya kotorogo \\(j<\\ell\\) i \\(i+j>k+\\ell\\). naydite infimum vseh \\(\\alpha\\), dlya kotoryh chislo reber lyubogo takogo grafa ne prevoshodit \\(c(\\alpha)n^\\alpha\\). bipartite_graph path idea-ordered-forbidden-path chitat zapret kak uslovie monotonnosti sosedstv zapreschennyy put govorit: esli dva rebra imeyut obschiy promezhutochnyy perehod cherez \\(y_j\\) i \\(x_k\\), to pri perehode k bolshemu indeksu \\(\\ell\\) nelzya poluchit slishkom bolshoy sdvig summy indeksov. eto dolzhno ogranichivat formu mnozhestv sosedey v matritse smezhnosti. extremal_graph_theory forbidden_triangle needs_human_review idea-upper-and-construction nuzhny obe storony dlya pokazatelya tak kak trebuetsya infimum \\(\\alpha\\), zadacha prosit ne tolko verhnyuyu otsenku na \\(e\\), no i semeystvo ruchnyh grafov s bolshim chislom reber, pokazyvayuschee optimalnost pokazatelya. goal_exact_bound construction needs_human_review sol-ai-small-large-edges ii-reshenie: konstruktsiya i otsenka cherez malye i bolshie rebra ai_checked bipartite_graph path otvet: \\(3/2\\). snachala postroim ruchnye grafy s \\(\\omega(n^{3/2})\\) rebrami. pust \\(s=\\lfloor\\sqrt n\\rfloor\\). soedinim \\(x_i\\) s \\(y_j\\), esli \\(1\\le i\\le s^2\\) i \\[ \\left\\lfloor\\frac{i-1}{s}\\right\\rfloor\\equiv j-1\\pmod s. \\] dlya kazhdogo \\(y_j\\) poluchaetsya rovno \\(s\\) sosedey, znachit \\(e=ns\\ge n^{3/2}-n\\). proverim ruchnost. esli \\(x_i y_j x_k y_\\ell\\) -- put v etom grafe, to \\[ \\left\\lfloor\\frac{i-1}{s}\\right\\rfloor=\\left\\lfloor\\frac{k-1}{s}\\right\\rfloor, \\qquad j\\equiv \\ell\\pmod s. \\] otsyuda \\(|i-k|<s\\), a esli \\(j<\\ell\\), to \\(\\ell-j\\ge s\\). poetomu \\(i-k<\\ell-j\\), to est \\(i+j<k+\\ell\\). zapreschennogo puti net, graf ruchnoy. sledovatelno, dlya lyubogo \\(\\alpha<3/2\\) ne mozhet suschestvovat universalnaya otsenka \\(e\\le c n^\\alpha\\). teper dokazhem verhnyuyu otsenku \\(o(n^{3/2})\\). snova polozhim \\(s=\\lfloor\\sqrt n\\rfloor\\). nazovem rebro \\(x_k y_j\\) malym, esli dlya lyubogo rebra \\(x_i y_j\\)…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2009-p1-k17-edge-coloring-cards","title":"Раскраски ребер полного графа на 17 вершинах и 15-вершинные клики, Miklos Schweitzer 2009 P1","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2009-p1-k17-edge-coloring-cards.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2009-p1-k17-edge-coloring-cards.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2009-p1-k17-edge-coloring-cards","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2009 задача 1, официальный PDF из архива"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":["Andras Gyarfas"],"tags":["coloring","extremal_graph_theory","goal_exact_bound","double_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Условие выглядит коротко, но точный минимум требует нетривиального экстремального анализа раскрасок полного графа.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Колода раскрашенных 17-угольников","status":"ai_checked","text":"На каждой карточке изображен правильный 17-угольник со всеми сторонами и диагоналями; вершины занумерованы от 1 до 17. На каждой карточке все ребра раскрашены цветами \\(1,2,\\ldots,105\\). Требуется, чтобы для любых 15 вершин 17-угольника на хотя бы одной карточке все \\(105\\) ребер между этими 15 вершинами имели попарно различные цвета. Найдите минимальное число карточек в колоде.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраски ребер полного графа на 17 вершинах и 15-вершинные клики, Miklos Schweitzer 2009 P1","status":"ai_checked","text":"На каждой карточке задана правильная раскраска ребер полного графа \\(K_{17}\\) в \\(105=\\binom{15}{2}\\) цветов. Для каждого 15-элементного множества вершин хотя бы в одной из раскрасок индуцированный \\(K_{15}\\) должен быть радужным. Нужно определить минимальное число таких раскрасок.","definition_ids":["complete_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-expanded-official-report","title":"Ответ 34 через разбиение рёбер \\(K_{17}\\) на четырёхциклы","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(34\\). Сначала построим колоду из 34 карточек. Пронумеруем вершины по модулю 17. Рёбра \\(K_{17}\\) разбиваются на 34 цикла длины 4. Действительно, возьмём два базовых цикла \\((1,2,10,8,1)\\) и \\((3,6,12,8,3)\\) в нумерации \\(1,\\ldots,17\\). Длины их восьми рёбер по окружности равны соответственно \\(1,8,2,7,3,6,4,5\\), то есть встречаются все возможные расстояния между двумя вершинами 17-угольника. Поэтому все 17 циклических сдвигов этих двух циклов дают попарно непересекающиеся по рёбрам четырёхциклы, покрывающие все \\(\\binom{17}{2}=136\\) рёбер. Пусть один из этих циклов равен \\(C=(a,b,c,d,a)\\), а \\(X\\) -- множество остальных 13 вершин. Построим соответствующую карточку. Четыре ребра цикла \\(ab,bc,cd,da\\) покрасим цветом 1. Для каждой вершины \\(x\\in X\\) покрасим рёбра \\(ax\\) и \\(cx\\) одинаковым цветом, причём для разных \\(x\\) используем цвета \\(2,3,\\ldots,14\\). Аналогично рёбра \\(bx\\…"}],"relations":[{"id":"rel-gallai-three-color-ms2009-p1-rainbow-clique-cover","neighbor_id":"gallai-three-color-disconnected-class","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-schweitzer-2009-p1-ramsey","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2009-p1-k17-edge-coloring-cards раскраски ребер полного графа на 17 вершинах и 15-вершинные клики, miklos schweitzer 2009 p1 coloring extremal_graph_theory goal_exact_bound double_counting 2009 andras gyarfas andrasgyarfas https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2009-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2009 задача 1, официальный pdf из архива miklos2009 miklosschweitzer miklosschweitzer2009 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2009-p1-official with_solution andras gyarfas miklos schweitzer memorial competition 2009 задача 1, официальный pdf из архива stmt-original колода раскрашенных 17-угольников ai_checked на каждой карточке изображен правильный 17-угольник со всеми сторонами и диагоналями; вершины занумерованы от 1 до 17. на каждой карточке все ребра раскрашены цветами \\(1,2,\\ldots,105\\). требуется, чтобы для любых 15 вершин 17-угольника на хотя бы одной карточке все \\(105\\) ребер между этими 15 вершинами имели попарно различные цвета. найдите минимальное число карточек в колоде. stmt-graph раскраски ребер полного графа на 17 вершинах и 15-вершинные клики, miklos schweitzer 2009 p1 ai_checked на каждой карточке задана правильная раскраска ребер полного графа \\(k_{17}\\) в \\(105=\\binom{15}{2}\\) цветов. для каждого 15-элементного множества вершин хотя бы в одной из раскрасок индуцированный \\(k_{15}\\) должен быть радужным. нужно определить минимальное число таких раскрасок. complete_graph clique idea-cards-as-cover карточки как покрытие 15-вершинных подграфов одна раскраска покрывает ровно те 15-элементные множества вершин, на которых все ребра имеют разные цвета. задача превращается в экстремальную задачу о минимальном числе раскрасок, покрывающих все \\(\\binom{17}{15}\\) подмножеств. graph_model coloring goal_exact_bound ai_checked sol-ai-expanded-official-report ответ 34 через разбиение рёбер \\(k_{17}\\) на четырёхциклы ai_checked complete_graph double_counting ответ: \\(34\\). сначала построим колоду из 34 карточек. пронумеруем вершины по модулю 17. рёбра \\(k_{17}\\) разбиваются на 34 цикла длины 4. действительно, возьмём два базовых цикла \\((1,2,10,8,1)\\) и \\((3,6,12,8,3)\\) в нумерации \\(1,\\ldots,17\\). длины их восьми рёбер по окружности равны соответственно \\(1,8,2,7,3,6,4,5\\), то есть встречаются все возможные расстояния между двумя вершинами 17-угольника. поэтому все 17 циклических сдвигов этих двух циклов дают попарно непересекающиеся по рёбрам четырёхциклы, покрывающие все \\(\\binom{17}{2}=136\\) рёбер. пусть один из этих циклов равен \\(c=(a,b,c,d,a)\\), а \\(x\\) -- множество остальных 13 вершин. построим соответствующую карточку. четыре ребра цикла \\(ab,bc,cd,da\\) покрасим цветом 1. для каждой вершины \\(x\\in x\\) покрасим рёбра \\(ax\\) и \\(cx\\) одинаковым цветом, причём для разных \\(x\\) используем цвета \\(2,3,\\ldots,14\\). аналогично рёбра \\(bx\\… miklos-schweitzer-2009-p1-k17-edge-coloring-cards raskraski reber polnogo grafa na 17 vershinah i 15-vershinnye kliki, miklos schweitzer 2009 p1 coloring extremal_graph_theory goal_exact_bound double_counting 2009 andras gyarfas andrasgyarfas https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2009-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2009 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2009 miklosschweitzer miklosschweitzer2009 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2009-p1-official with_solution andras gyarfas miklos schweitzer memorial competition 2009 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original koloda raskrashennyh 17-ugolnikov ai_checked na kazhdoy kartochke izobrazhen pravilnyy 17-ugolnik so vsemi storonami i diagonalyami; vershiny zanumerovany ot 1 do 17. na kazhdoy kartochke vse rebra raskrasheny tsvetami \\(1,2,\\ldots,105\\). trebuetsya, chtoby dlya lyubyh 15 vershin 17-ugolnika na hotya by odnoy kartochke vse \\(105\\) reber mezhdu etimi 15 vershinami imeli poparno razlichnye tsveta. naydite minimalnoe chislo kartochek v kolode. stmt-graph raskraski reber polnogo grafa na 17 vershinah i 15-vershinnye kliki, miklos schweitzer 2009 p1 ai_checked na kazhdoy kartochke zadana pravilnaya raskraska reber polnogo grafa \\(k_{17}\\) v \\(105=\\binom{15}{2}\\) tsvetov. dlya kazhdogo 15-elementnogo mnozhestva vershin hotya by v odnoy iz raskrasok indutsirovannyy \\(k_{15}\\) dolzhen byt raduzhnym. nuzhno opredelit minimalnoe chislo takih raskrasok. complete_graph clique idea-cards-as-cover kartochki kak pokrytie 15-vershinnyh podgrafov odna raskraska pokryvaet rovno te 15-elementnye mnozhestva vershin, na kotoryh vse rebra imeyut raznye tsveta. zadacha prevraschaetsya v ekstremalnuyu zadachu o minimalnom chisle raskrasok, pokryvayuschih vse \\(\\binom{17}{15}\\) podmnozhestv. graph_model coloring goal_exact_bound ai_checked sol-ai-expanded-official-report otvet 34 cherez razbienie reber \\(k_{17}\\) na chetyrehtsikly ai_checked complete_graph double_counting otvet: \\(34\\). snachala postroim kolodu iz 34 kartochek. pronumeruem vershiny po modulyu 17. rebra \\(k_{17}\\) razbivayutsya na 34 tsikla dliny 4. deystvitelno, vozmem dva bazovyh tsikla \\((1,2,10,8,1)\\) i \\((3,6,12,8,3)\\) v numeratsii \\(1,\\ldots,17\\). dliny ih vosmi reber po okruzhnosti ravny sootvetstvenno \\(1,8,2,7,3,6,4,5\\), to est vstrechayutsya vse vozmozhnye rasstoyaniya mezhdu dvumya vershinami 17-ugolnika. poetomu vse 17 tsiklicheskih sdvigov etih dvuh tsiklov dayut poparno neperesekayuschiesya po rebram chetyrehtsikly, pokryvayuschie vse \\(\\binom{17}{2}=136\\) reber. pust odin iz etih tsiklov raven \\(c=(a,b,c,d,a)\\), a \\(x\\) -- mnozhestvo ostalnyh 13 vershin. postroim sootvetstvuyuschuyu kartochku. chetyre rebra tsikla \\(ab,bc,cd,da\\) pokrasim tsvetom 1. dlya kazhdoy vershiny \\(x\\in x\\) pokrasim rebra \\(ax\\) i \\(cx\\) odinakovym tsvetom, prichem dlya raznyh \\(x\\) ispolzuem tsveta \\(2,3,\\ldots,14\\). analogichno rebra \\(bx\\…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path","title":"Путь как граф разностей с фиксированными простыми делителями, Miklos Schweitzer 2009 P2(ii)","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2009 задача 2, официальный PDF из архива"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","degree_counting","connectivity","construction","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Самостоятельная конструктивная часть: нужно не только сделать разрешенные соседние разности, но и запретить все хорды через новый простой делитель геометрической суммы.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"Разделение после усиленного аудита родительской карточки.","notes":"Доказательство является конструкцией ограниченной степени из родительского решения, переписанной как самостоятельная дочерняя карточка.","audit_source":"agent-miklos-schweitzer-2009-p2-split"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-bounded-degree-part","title":"Связная часть исходной задачи","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - фиксированные простые числа, \\(P=p_1p_2\\cdots p_k\\), а \\(S\\) - множество ненулевых целых чисел, все простые делители которых принадлежат множеству \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). Для конечного множества целых чисел \\(A\\) построим граф \\(\\mathcal G(A)\\) с вершинами из \\(A\\), где две различные вершины \\(a,b\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(a-b\\in S\\). Докажите, что для каждого \\(m\\ge3\\) существует \\(m\\)-элементное множество \\(A\\), для которого \\(\\mathcal G(A)\\) связен и все его степени не превосходят \\(2\\).","definition_ids":["degree","connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-path-realization","title":"Реализация пути","status":"ai_checked","text":"Зафиксирован конечный набор простых чисел \\(p_1,\\ldots,p_k\\). Между двумя целыми числами проводится ребро, если их ненулевая разность имеет только эти простые делители. Докажите, что для каждого \\(m\\ge3\\) в этом графе можно найти индуцированный путь на \\(m\\) вершинах.","definition_ids":["path","connected_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-power-sum-induced-path","title":"Путь из сумм степеней \\(P\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["path","degree","connected_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем \\(m\\ge3\\) и положим \\[ a_n=P+P^2+\\cdots+P^n\\qquad(1\\le n\\le m). \\] Возьмем \\(A=\\{a_1,a_2,\\ldots,a_m\\}\\). Эти числа различны, так как последовательность строго возрастает. Для соседних индексов имеем \\[ a_{n+1}-a_n=P^{n+1}. \\] Все простые делители числа \\(P^{n+1}\\) лежат среди \\(p_1,\\ldots,p_k\\), поэтому \\(a_n\\) и \\(a_{n+1}\\) соединены ребром в \\(\\mathcal G(A)\\). Покажем, что других ребер нет. Пусть \\(N\\ge n+2\\). Тогда \\[ a_N-a_n=P^{n+1}(1+P+\\cdots+P^{N-n-1}). \\] Второй множитель больше \\(1\\). При этом для каждого \\(i\\) выполнено \\(P\\equiv0\\pmod {p_i}\\), значит \\[ 1+P+\\cdots+P^{N-n-1}\\equiv1\\pmod {p_i}. \\] Следовательно, этот второй множитель не делится ни на одно из чисел \\(p_i\\). Так как он больше \\(1\\), у него есть некоторый простой делитель; этот делитель не равен ни одному из \\(p_1,\\ldots,p_k\\). Поэтому разность \\(a_N-a_n\\) имеет запрещенный простой делитель и не принадл…"}],"relations":[{"id":"rel-miklos-2009-p2-parent-bounded-degree-child","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-smooth-difference-graphs","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2009-p2-complete-bounded-paired","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2009-p2-bounded-baltic-2023-degree-two","neighbor_id":"baltic-way-2023-p6-colour-touch-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2009-p2-bounded-baltic-1997-differences","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path путь как граф разностей с фиксированными простыми делителями, miklos schweitzer 2009 p2(ii) graph_model degree_counting connectivity construction goal_existence 2009 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2009-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2009 задача 2, официальный pdf из архива miklos2009 miklosschweitzer miklosschweitzer2009 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2009-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2009 задача 2, официальный pdf из архива stmt-bounded-degree-part связная часть исходной задачи ai_checked пусть \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - фиксированные простые числа, \\(p=p_1p_2\\cdots p_k\\), а \\(s\\) - множество ненулевых целых чисел, все простые делители которых принадлежат множеству \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). для конечного множества целых чисел \\(a\\) построим граф \\(\\mathcal g(a)\\) с вершинами из \\(a\\), где две различные вершины \\(a,b\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(a-b\\in s\\). докажите, что для каждого \\(m\\ge3\\) существует \\(m\\)-элементное множество \\(a\\), для которого \\(\\mathcal g(a)\\) связен и все его степени не превосходят \\(2\\). degree connected_graph stmt-path-realization реализация пути ai_checked зафиксирован конечный набор простых чисел \\(p_1,\\ldots,p_k\\). между двумя целыми числами проводится ребро, если их ненулевая разность имеет только эти простые делители. докажите, что для каждого \\(m\\ge3\\) в этом графе можно найти индуцированный путь на \\(m\\) вершинах. path connected_graph degree idea-power-sum-path соседние разности - степени произведения разрешенных простых если положить \\(a_n=p+p^2+\\cdots+p^n\\), то соседняя разность равна \\(p^{n+1}\\) и разрешена. а дальняя разность содержит множитель \\(1+p+\\cdots+p^r\\), который сравним с \\(1\\) по каждому \\(p_i\\), поэтому имеет новый простой делитель. graph_model construction degree_counting ai_checked sol-power-sum-induced-path путь из сумм степеней \\(p\\) ai_checked path degree connected_graph зафиксируем \\(m\\ge3\\) и положим \\[ a_n=p+p^2+\\cdots+p^n\\qquad(1\\le n\\le m). \\] возьмем \\(a=\\{a_1,a_2,\\ldots,a_m\\}\\). эти числа различны, так как последовательность строго возрастает. для соседних индексов имеем \\[ a_{n+1}-a_n=p^{n+1}. \\] все простые делители числа \\(p^{n+1}\\) лежат среди \\(p_1,\\ldots,p_k\\), поэтому \\(a_n\\) и \\(a_{n+1}\\) соединены ребром в \\(\\mathcal g(a)\\). покажем, что других ребер нет. пусть \\(n\\ge n+2\\). тогда \\[ a_n-a_n=p^{n+1}(1+p+\\cdots+p^{n-n-1}). \\] второй множитель больше \\(1\\). при этом для каждого \\(i\\) выполнено \\(p\\equiv0\\pmod {p_i}\\), значит \\[ 1+p+\\cdots+p^{n-n-1}\\equiv1\\pmod {p_i}. \\] следовательно, этот второй множитель не делится ни на одно из чисел \\(p_i\\). так как он больше \\(1\\), у него есть некоторый простой делитель; этот делитель не равен ни одному из \\(p_1,\\ldots,p_k\\). поэтому разность \\(a_n-a_n\\) имеет запрещенный простой делитель и не принадл… miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path put kak graf raznostey s fiksirovannymi prostymi delitelyami, miklos schweitzer 2009 p2(ii) graph_model degree_counting connectivity construction goal_existence 2009 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2009-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2009 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2009 miklosschweitzer miklosschweitzer2009 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2009-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2009 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-bounded-degree-part svyaznaya chast ishodnoy zadachi ai_checked pust \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - fiksirovannye prostye chisla, \\(p=p_1p_2\\cdots p_k\\), a \\(s\\) - mnozhestvo nenulevyh tselyh chisel, vse prostye deliteli kotoryh prinadlezhat mnozhestvu \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). dlya konechnogo mnozhestva tselyh chisel \\(a\\) postroim graf \\(\\mathcal g(a)\\) s vershinami iz \\(a\\), gde dve razlichnye vershiny \\(a,b\\) soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda \\(a-b\\in s\\). dokazhite, chto dlya kazhdogo \\(m\\ge3\\) suschestvuet \\(m\\)-elementnoe mnozhestvo \\(a\\), dlya kotorogo \\(\\mathcal g(a)\\) svyazen i vse ego stepeni ne prevoshodyat \\(2\\). degree connected_graph stmt-path-realization realizatsiya puti ai_checked zafiksirovan konechnyy nabor prostyh chisel \\(p_1,\\ldots,p_k\\). mezhdu dvumya tselymi chislami provoditsya rebro, esli ih nenulevaya raznost imeet tolko eti prostye deliteli. dokazhite, chto dlya kazhdogo \\(m\\ge3\\) v etom grafe mozhno nayti indutsirovannyy put na \\(m\\) vershinah. path connected_graph degree idea-power-sum-path sosednie raznosti - stepeni proizvedeniya razreshennyh prostyh esli polozhit \\(a_n=p+p^2+\\cdots+p^n\\), to sosednyaya raznost ravna \\(p^{n+1}\\) i razreshena. a dalnyaya raznost soderzhit mnozhitel \\(1+p+\\cdots+p^r\\), kotoryy sravnim s \\(1\\) po kazhdomu \\(p_i\\), poetomu imeet novyy prostoy delitel. graph_model construction degree_counting ai_checked sol-power-sum-induced-path put iz summ stepeney \\(p\\) ai_checked path degree connected_graph zafiksiruem \\(m\\ge3\\) i polozhim \\[ a_n=p+p^2+\\cdots+p^n\\qquad(1\\le n\\le m). \\] vozmem \\(a=\\{a_1,a_2,\\ldots,a_m\\}\\). eti chisla razlichny, tak kak posledovatelnost strogo vozrastaet. dlya sosednih indeksov imeem \\[ a_{n+1}-a_n=p^{n+1}. \\] vse prostye deliteli chisla \\(p^{n+1}\\) lezhat sredi \\(p_1,\\ldots,p_k\\), poetomu \\(a_n\\) i \\(a_{n+1}\\) soedineny rebrom v \\(\\mathcal g(a)\\). pokazhem, chto drugih reber net. pust \\(n\\ge n+2\\). togda \\[ a_n-a_n=p^{n+1}(1+p+\\cdots+p^{n-n-1}). \\] vtoroy mnozhitel bolshe \\(1\\). pri etom dlya kazhdogo \\(i\\) vypolneno \\(p\\equiv0\\pmod {p_i}\\), znachit \\[ 1+p+\\cdots+p^{n-n-1}\\equiv1\\pmod {p_i}. \\] sledovatelno, etot vtoroy mnozhitel ne delitsya ni na odno iz chisel \\(p_i\\). tak kak on bolshe \\(1\\), u nego est nekotoryy prostoy delitel; etot delitel ne raven ni odnomu iz \\(p_1,\\ldots,p_k\\). poetomu raznost \\(a_n-a_n\\) imeet zapreschennyy prostoy delitel i ne prinadl…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible","title":"Невозможность полного графа разностей с фиксированными простыми делителями, Miklos Schweitzer 2009 P2(i)","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2009 задача 2, официальный PDF из архива"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","degree_counting","pigeonhole_principle","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Самостоятельная невозможностная часть: ключевой шаг - выбрать новый простой и применить принцип Дирихле к остаткам по модулю q.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"Разделение после усиленного аудита родительской карточки.","notes":"Доказательство является препятствием для полного графа из родительского решения, переписанным как самостоятельная дочерняя карточка.","audit_source":"agent-miklos-schweitzer-2009-p2-split"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-complete-part","title":"Полная часть исходной задачи","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - фиксированные простые числа, а \\(S\\) - множество ненулевых целых чисел, все простые делители которых принадлежат множеству \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). Для конечного множества целых чисел \\(A\\) построим граф \\(\\mathcal G(A)\\) с вершинами из \\(A\\), где две различные вершины \\(a,b\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(a-b\\in S\\). Верно ли, что для каждого \\(m\\ge3\\) можно выбрать \\(m\\)-элементное множество \\(A\\), для которого \\(\\mathcal G(A)\\) является полным графом?","definition_ids":["complete_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-complete","title":"Клика в графе целочисленных разностей","status":"ai_checked","text":"Зафиксирован конечный набор простых чисел \\(p_1,\\ldots,p_k\\). Между двумя целыми числами проводится ребро, если их ненулевая разность имеет только эти простые делители. Может ли этот бесконечный граф содержать клики любого конечного размера \\(m\\ge3\\)?","definition_ids":["complete_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-new-prime-pigeonhole","title":"Остатки по простому вне списка","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ отрицательный. Выберем простое число \\(q\\), отличное от всех \\(p_1,\\ldots,p_k\\). Такое простое существует, потому что простых чисел бесконечно много. Рассмотрим любое множество \\(A\\) из \\(q+1\\) целых чисел. По принципу Дирихле среди этих \\(q+1\\) чисел найдутся два различных элемента \\(a,b\\), сравнимых по модулю \\(q\\). Тогда \\(q\\mid a-b\\), причем \\(a-b\\ne0\\). Следовательно, у разности \\(a-b\\) есть простой делитель \\(q\\), которого нет в разрешенном наборе \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). Поэтому \\(a-b\\notin S\\), и вершины \\(a\\) и \\(b\\) не соединены ребром в \\(\\mathcal G(A)\\). Итак, ни одно \\((q+1)\\)-элементное множество \\(A\\) не дает полный граф \\(\\mathcal G(A)\\). Значит, утверждение о существовании полного графа для каждого \\(m\\ge3\\) ложно."}],"relations":[{"id":"rel-miklos-2009-p2-parent-complete-child","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-smooth-difference-graphs","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2009-p2-complete-bounded-paired","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2009-p2-complete-cmo-1991-edge-differences","neighbor_id":"cmo-1991-p4-edge-difference-labeling-diagram","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2009-p2-complete-utyum-edge-weights","neighbor_id":"complete-graph-triangle-edge-weights-minimum-parametric","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible невозможность полного графа разностей с фиксированными простыми делителями, miklos schweitzer 2009 p2(i) graph_model degree_counting pigeonhole_principle goal_impossibility 2009 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2009-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2009 задача 2, официальный pdf из архива miklos2009 miklosschweitzer miklosschweitzer2009 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2009-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2009 задача 2, официальный pdf из архива stmt-complete-part полная часть исходной задачи ai_checked пусть \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - фиксированные простые числа, а \\(s\\) - множество ненулевых целых чисел, все простые делители которых принадлежат множеству \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). для конечного множества целых чисел \\(a\\) построим граф \\(\\mathcal g(a)\\) с вершинами из \\(a\\), где две различные вершины \\(a,b\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(a-b\\in s\\). верно ли, что для каждого \\(m\\ge3\\) можно выбрать \\(m\\)-элементное множество \\(a\\), для которого \\(\\mathcal g(a)\\) является полным графом? complete_graph stmt-graph-complete клика в графе целочисленных разностей ai_checked зафиксирован конечный набор простых чисел \\(p_1,\\ldots,p_k\\). между двумя целыми числами проводится ребро, если их ненулевая разность имеет только эти простые делители. может ли этот бесконечный граф содержать клики любого конечного размера \\(m\\ge3\\)? complete_graph clique idea-new-prime-residues новый простой ограничивает размер клики если взять простой \\(q\\), которого нет среди разрешенных, то в полной реализации нельзя иметь две вершины с одинаковым остатком по модулю \\(q\\): их разность делилась бы на запрещенный простой \\(q\\). значит, клика имеет не больше \\(q\\) вершин. graph_model pigeonhole_principle goal_impossibility ai_checked sol-new-prime-pigeonhole остатки по простому вне списка ai_checked complete_graph pigeonhole_principle ответ отрицательный. выберем простое число \\(q\\), отличное от всех \\(p_1,\\ldots,p_k\\). такое простое существует, потому что простых чисел бесконечно много. рассмотрим любое множество \\(a\\) из \\(q+1\\) целых чисел. по принципу дирихле среди этих \\(q+1\\) чисел найдутся два различных элемента \\(a,b\\), сравнимых по модулю \\(q\\). тогда \\(q\\mid a-b\\), причем \\(a-b\\ne0\\). следовательно, у разности \\(a-b\\) есть простой делитель \\(q\\), которого нет в разрешенном наборе \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). поэтому \\(a-b\\notin s\\), и вершины \\(a\\) и \\(b\\) не соединены ребром в \\(\\mathcal g(a)\\). итак, ни одно \\((q+1)\\)-элементное множество \\(a\\) не дает полный граф \\(\\mathcal g(a)\\). значит, утверждение о существовании полного графа для каждого \\(m\\ge3\\) ложно. miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible nevozmozhnost polnogo grafa raznostey s fiksirovannymi prostymi delitelyami, miklos schweitzer 2009 p2(i) graph_model degree_counting pigeonhole_principle goal_impossibility 2009 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2009-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2009 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2009 miklosschweitzer miklosschweitzer2009 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2009-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2009 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-complete-part polnaya chast ishodnoy zadachi ai_checked pust \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - fiksirovannye prostye chisla, a \\(s\\) - mnozhestvo nenulevyh tselyh chisel, vse prostye deliteli kotoryh prinadlezhat mnozhestvu \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). dlya konechnogo mnozhestva tselyh chisel \\(a\\) postroim graf \\(\\mathcal g(a)\\) s vershinami iz \\(a\\), gde dve razlichnye vershiny \\(a,b\\) soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda \\(a-b\\in s\\). verno li, chto dlya kazhdogo \\(m\\ge3\\) mozhno vybrat \\(m\\)-elementnoe mnozhestvo \\(a\\), dlya kotorogo \\(\\mathcal g(a)\\) yavlyaetsya polnym grafom? complete_graph stmt-graph-complete klika v grafe tselochislennyh raznostey ai_checked zafiksirovan konechnyy nabor prostyh chisel \\(p_1,\\ldots,p_k\\). mezhdu dvumya tselymi chislami provoditsya rebro, esli ih nenulevaya raznost imeet tolko eti prostye deliteli. mozhet li etot beskonechnyy graf soderzhat kliki lyubogo konechnogo razmera \\(m\\ge3\\)? complete_graph clique idea-new-prime-residues novyy prostoy ogranichivaet razmer kliki esli vzyat prostoy \\(q\\), kotorogo net sredi razreshennyh, to v polnoy realizatsii nelzya imet dve vershiny s odinakovym ostatkom po modulyu \\(q\\): ih raznost delilas by na zapreschennyy prostoy \\(q\\). znachit, klika imeet ne bolshe \\(q\\) vershin. graph_model pigeonhole_principle goal_impossibility ai_checked sol-new-prime-pigeonhole ostatki po prostomu vne spiska ai_checked complete_graph pigeonhole_principle otvet otritsatelnyy. vyberem prostoe chislo \\(q\\), otlichnoe ot vseh \\(p_1,\\ldots,p_k\\). takoe prostoe suschestvuet, potomu chto prostyh chisel beskonechno mnogo. rassmotrim lyuboe mnozhestvo \\(a\\) iz \\(q+1\\) tselyh chisel. po printsipu dirihle sredi etih \\(q+1\\) chisel naydutsya dva razlichnyh elementa \\(a,b\\), sravnimyh po modulyu \\(q\\). togda \\(q\\mid a-b\\), prichem \\(a-b\\ne0\\). sledovatelno, u raznosti \\(a-b\\) est prostoy delitel \\(q\\), kotorogo net v razreshennom nabore \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). poetomu \\(a-b\\notin s\\), i vershiny \\(a\\) i \\(b\\) ne soedineny rebrom v \\(\\mathcal g(a)\\). itak, ni odno \\((q+1)\\)-elementnoe mnozhestvo \\(a\\) ne daet polnyy graf \\(\\mathcal g(a)\\). znachit, utverzhdenie o suschestvovanii polnogo grafa dlya kazhdogo \\(m\\ge3\\) lozhno.","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2009-p2-smooth-difference-graphs","title":"Граф разностей с заданными простыми делителями, Miklos Schweitzer 2009 P2","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2009-p2-smooth-difference-graphs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2009-p2-smooth-difference-graphs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2009-p2-smooth-difference-graphs","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2009 задача 2, официальный PDF из архива"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","connectivity","degree_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Решение короткое: запрет полного графа следует из остатков по простому вне списка, а связный граф степени не больше 2 строится как путь из сумм степеней произведения разрешенных простых.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Граф на множестве целых чисел","status":"source_verified","text":"Пусть \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - простые числа, а \\(S\\) - множество целых чисел, все простые делители которых принадлежат множеству \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). Для конечного множества целых чисел \\(A\\) обозначим через \\(\\mathcal G(A)\\) граф с вершинами из \\(A\\), где \\(a\\) и \\(b\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(a-b\\in S\\). Верно ли, что для каждого \\(m\\ge 3\\) существует \\(m\\)-элементное множество \\(A\\), для которого: (i) \\(\\mathcal G(A)\\) полон; (ii) \\(\\mathcal G(A)\\) связен, но все степени не превосходят 2?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Граф разностей с заданными простыми делителями, Miklos Schweitzer 2009 P2","status":"ai_checked","text":"Нужно понять, какие графы порядка \\(m\\) могут возникать как графы разностей на конечном множестве целых чисел, если разрешенные разности имеют простые делители только из фиксированного конечного набора. В частности, спрашивается о реализуемости полного графа и связного графа максимальной степени 2.","definition_ids":["degree","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-komal-expanded-ai","title":"Остатки по новому простому и путь из степенных сумм","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","connected_graph","path","complete_graph"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим \\(P=p_1p_2\\cdots p_k\\). (i) Ответ отрицательный. Пусть \\(q\\) - простое число, не входящее в список \\(p_1,\\ldots,p_k\\). Если \\(|A|>q\\), то по принципу Дирихле среди элементов \\(A\\) найдутся два различных числа \\(a,b\\), сравнимых по модулю \\(q\\). Тогда \\(q\\mid a-b\\), а значит у ненулевой разности \\(a-b\\) есть простой делитель \\(q\\), которого нет среди разрешенных простых. Следовательно, \\(a-b\\notin S\\), и эти две вершины не соединены ребром. Поэтому для \\(m=q+1\\) граф \\(\\mathcal G(A)\\) не может быть полным ни при каком \\(A\\), так что полного графа для всех \\(m\\ge3\\) не существует. (ii) Ответ положительный. Для заданного \\(m\\) положим \\[ a_n=P+P^2+\\cdots+P^n\\qquad(1\\le n\\le m) \\] и возьмем \\(A=\\{a_1,a_2,\\ldots,a_m\\}\\). Для соседних индексов имеем \\(a_{n+1}-a_n=P^{n+1}\\in S\\), поэтому ребра \\(a_na_{n+1}\\) присутствуют. Осталось проверить, что других ребер нет. Если \\(N\\ge n+2\\), т…"}],"relations":[{"id":"rel-miklos-2009-p2-parent-complete-child","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-complete-smooth-difference-graphs-impossible","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2009-p2-parent-bounded-degree-child","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2009-p2-smooth-difference-graphs граф разностей с заданными простыми делителями, miklos schweitzer 2009 p2 graph_model connectivity degree_counting goal_existence 2009 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2009-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2009 задача 2, официальный pdf из архива miklos2009 miklosschweitzer miklosschweitzer2009 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2009-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2009 задача 2, официальный pdf из архива stmt-original граф на множестве целых чисел source_verified пусть \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - простые числа, а \\(s\\) - множество целых чисел, все простые делители которых принадлежат множеству \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). для конечного множества целых чисел \\(a\\) обозначим через \\(\\mathcal g(a)\\) граф с вершинами из \\(a\\), где \\(a\\) и \\(b\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(a-b\\in s\\). верно ли, что для каждого \\(m\\ge 3\\) существует \\(m\\)-элементное множество \\(a\\), для которого: (i) \\(\\mathcal g(a)\\) полон; (ii) \\(\\mathcal g(a)\\) связен, но все степени не превосходят 2? stmt-graph граф разностей с заданными простыми делителями, miklos schweitzer 2009 p2 ai_checked нужно понять, какие графы порядка \\(m\\) могут возникать как графы разностей на конечном множестве целых чисел, если разрешенные разности имеют простые делители только из фиксированного конечного набора. в частности, спрашивается о реализуемости полного графа и связного графа максимальной степени 2. degree connected_graph idea-realization реализация графа через арифметические разности полный граф требует, чтобы все попарные разности элементов \\(a\\) лежали в мультипликативно порожденном множестве \\(s\\). условие степени не больше 2 требует, наоборот, построить длинную цепочку или цикл разрешенных разностей и подавить все лишние хорды. graph_model construction degree_counting ai_checked sol-komal-expanded-ai остатки по новому простому и путь из степенных сумм ai_checked degree connected_graph path complete_graph pigeonhole_principle обозначим \\(p=p_1p_2\\cdots p_k\\). (i) ответ отрицательный. пусть \\(q\\) - простое число, не входящее в список \\(p_1,\\ldots,p_k\\). если \\(|a|>q\\), то по принципу дирихле среди элементов \\(a\\) найдутся два различных числа \\(a,b\\), сравнимых по модулю \\(q\\). тогда \\(q\\mid a-b\\), а значит у ненулевой разности \\(a-b\\) есть простой делитель \\(q\\), которого нет среди разрешенных простых. следовательно, \\(a-b\\notin s\\), и эти две вершины не соединены ребром. поэтому для \\(m=q+1\\) граф \\(\\mathcal g(a)\\) не может быть полным ни при каком \\(a\\), так что полного графа для всех \\(m\\ge3\\) не существует. (ii) ответ положительный. для заданного \\(m\\) положим \\[ a_n=p+p^2+\\cdots+p^n\\qquad(1\\le n\\le m) \\] и возьмем \\(a=\\{a_1,a_2,\\ldots,a_m\\}\\). для соседних индексов имеем \\(a_{n+1}-a_n=p^{n+1}\\in s\\), поэтому ребра \\(a_na_{n+1}\\) присутствуют. осталось проверить, что других ребер нет. если \\(n\\ge n+2\\), т… miklos-schweitzer-2009-p2-smooth-difference-graphs graf raznostey s zadannymi prostymi delitelyami, miklos schweitzer 2009 p2 graph_model connectivity degree_counting goal_existence 2009 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2009-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2009 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2009 miklosschweitzer miklosschweitzer2009 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2009-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2009 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original graf na mnozhestve tselyh chisel source_verified pust \\(p_1,\\ldots,p_k\\) - prostye chisla, a \\(s\\) - mnozhestvo tselyh chisel, vse prostye deliteli kotoryh prinadlezhat mnozhestvu \\(\\{p_1,\\ldots,p_k\\}\\). dlya konechnogo mnozhestva tselyh chisel \\(a\\) oboznachim cherez \\(\\mathcal g(a)\\) graf s vershinami iz \\(a\\), gde \\(a\\) i \\(b\\) soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda \\(a-b\\in s\\). verno li, chto dlya kazhdogo \\(m\\ge 3\\) suschestvuet \\(m\\)-elementnoe mnozhestvo \\(a\\), dlya kotorogo: (i) \\(\\mathcal g(a)\\) polon; (ii) \\(\\mathcal g(a)\\) svyazen, no vse stepeni ne prevoshodyat 2? stmt-graph graf raznostey s zadannymi prostymi delitelyami, miklos schweitzer 2009 p2 ai_checked nuzhno ponyat, kakie grafy poryadka \\(m\\) mogut voznikat kak grafy raznostey na konechnom mnozhestve tselyh chisel, esli razreshennye raznosti imeyut prostye deliteli tolko iz fiksirovannogo konechnogo nabora. v chastnosti, sprashivaetsya o realizuemosti polnogo grafa i svyaznogo grafa maksimalnoy stepeni 2. degree connected_graph idea-realization realizatsiya grafa cherez arifmeticheskie raznosti polnyy graf trebuet, chtoby vse poparnye raznosti elementov \\(a\\) lezhali v multiplikativno porozhdennom mnozhestve \\(s\\). uslovie stepeni ne bolshe 2 trebuet, naoborot, postroit dlinnuyu tsepochku ili tsikl razreshennyh raznostey i podavit vse lishnie hordy. graph_model construction degree_counting ai_checked sol-komal-expanded-ai ostatki po novomu prostomu i put iz stepennyh summ ai_checked degree connected_graph path complete_graph pigeonhole_principle oboznachim \\(p=p_1p_2\\cdots p_k\\). (i) otvet otritsatelnyy. pust \\(q\\) - prostoe chislo, ne vhodyaschee v spisok \\(p_1,\\ldots,p_k\\). esli \\(|a|>q\\), to po printsipu dirihle sredi elementov \\(a\\) naydutsya dva razlichnyh chisla \\(a,b\\), sravnimyh po modulyu \\(q\\). togda \\(q\\mid a-b\\), a znachit u nenulevoy raznosti \\(a-b\\) est prostoy delitel \\(q\\), kotorogo net sredi razreshennyh prostyh. sledovatelno, \\(a-b\\notin s\\), i eti dve vershiny ne soedineny rebrom. poetomu dlya \\(m=q+1\\) graf \\(\\mathcal g(a)\\) ne mozhet byt polnym ni pri kakom \\(a\\), tak chto polnogo grafa dlya vseh \\(m\\ge3\\) ne suschestvuet. (ii) otvet polozhitelnyy. dlya zadannogo \\(m\\) polozhim \\[ a_n=p+p^2+\\cdots+p^n\\qquad(1\\le n\\le m) \\] i vozmem \\(a=\\{a_1,a_2,\\ldots,a_m\\}\\). dlya sosednih indeksov imeem \\(a_{n+1}-a_n=p^{n+1}\\in s\\), poetomu rebra \\(a_na_{n+1}\\) prisutstvuyut. ostalos proverit, chto drugih reber net. esli \\(n\\ge n+2\\), t…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2010-p2-infinite-vertex-transitive-perfect-matching","title":"Совершенное паросочетание в счетном вершинно-транзитивном графе, Miklos Schweitzer 2010 P2","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2010-p2-infinite-vertex-transitive-perfect-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2010-p2-infinite-vertex-transitive-perfect-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2010-p2-infinite-vertex-transitive-perfect-matching","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2010 задача 2, официальный PDF из архива"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","connectivity","graph_symmetry","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Стандартная формулировка из теории паросочетаний в бесконечных графах, но полный аккуратный вывод требует проверки бесконечной версии.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"heavy_external_theorem_application","label":"решение с тяжёлыми внешними теоремами","status":"ai_checked","confidence":0.84,"basis":"целевая проверка группы E","notes":"Сознательно используется теория бесконечных паросочетаний и компактность; элементарная замена для полного счётного вершинно-транзитивного утверждения не найдена.","external_theorem_ids":["countably infinite connected vertex-transitive graph perfect matching theorem","Aharoni strongly maximal matching theorem"],"audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Полное спаривание","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(G\\) - счетно бесконечный, \\(d\\)-регулярный, связный, вершинно-транзитивный граф. Докажите, что в \\(G\\) существует полное спаривание, то есть совершенное паросочетание, покрывающее все вершины.","definition_ids":["matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Совершенное паросочетание в счетном вершинно-транзитивном графе, Miklos Schweitzer 2010 P2","status":"ai_checked","text":"Каждый счетный бесконечный связный вершинно-транзитивный регулярный граф имеет совершенное паросочетание.","definition_ids":["degree","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-infinite-transitive-matching-theorem","title":"ИИ-решение через бесконечную теорему о паросочетании в вершинно-транзитивном графе","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Воспользуемся известной бесконечной версией теоремы Годсила--Ройла: каждый счётный бесконечный связный вершинно-транзитивный граф имеет совершенное паросочетание. Для локально конечного случая, достаточного здесь, схема доказательства такова. Паросочетание называют сильно максимальным, если его нельзя улучшить конечной симметрической разностью; эквивалентно, в локально конечном графе нет увеличивающего чередующегося пути. Теорема Аарони гарантирует существование сильно максимального паросочетания. Вершина называется критической, если она покрыта каждым сильно максимальным паросочетанием. Это свойство сохраняется автоморфизмами, поэтому в вершинно-транзитивном графе либо все вершины критичны, либо ни одна. В первом случае любое сильно максимальное паросочетание уже совершенно. Рассмотрим второй случай, когда критических вершин нет. Нужный шаг доказывается индукцией по длине пути между дв…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2010-p2-hall","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2010-p2-infinite-vertex-transitive-perfect-matching совершенное паросочетание в счетном вершинно-транзитивном графе, miklos schweitzer 2010 p2 matching connectivity graph_symmetry goal_existence 2010 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2010-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2010 задача 2, официальный pdf из архива miklos2010 miklosschweitzer miklosschweitzer2010 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2010-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2010 задача 2, официальный pdf из архива stmt-original полное спаривание needs_human_review пусть \\(g\\) - счетно бесконечный, \\(d\\)-регулярный, связный, вершинно-транзитивный граф. докажите, что в \\(g\\) существует полное спаривание, то есть совершенное паросочетание, покрывающее все вершины. matching stmt-graph совершенное паросочетание в счетном вершинно-транзитивном графе, miklos schweitzer 2010 p2 ai_checked каждый счетный бесконечный связный вершинно-транзитивный регулярный граф имеет совершенное паросочетание. degree matching idea-tutte-compactness бесконечную задачу свести к конечным условиям холла-татта ожидаемый путь: проверить конечные препятствия к паросочетанию с помощью вершинной транзитивности и регулярности, затем применить компактность или локальный предел конечных паросочетаний. matching classical_theorem goal_existence needs_human_review sol-ai-infinite-transitive-matching-theorem ии-решение через бесконечную теорему о паросочетании в вершинно-транзитивном графе ai_checked matching воспользуемся известной бесконечной версией теоремы годсила--ройла: каждый счётный бесконечный связный вершинно-транзитивный граф имеет совершенное паросочетание. для локально конечного случая, достаточного здесь, схема доказательства такова. паросочетание называют сильно максимальным, если его нельзя улучшить конечной симметрической разностью; эквивалентно, в локально конечном графе нет увеличивающего чередующегося пути. теорема аарони гарантирует существование сильно максимального паросочетания. вершина называется критической, если она покрыта каждым сильно максимальным паросочетанием. это свойство сохраняется автоморфизмами, поэтому в вершинно-транзитивном графе либо все вершины критичны, либо ни одна. в первом случае любое сильно максимальное паросочетание уже совершенно. рассмотрим второй случай, когда критических вершин нет. нужный шаг доказывается индукцией по длине пути между дв… miklos-schweitzer-2010-p2-infinite-vertex-transitive-perfect-matching sovershennoe parosochetanie v schetnom vershinno-tranzitivnom grafe, miklos schweitzer 2010 p2 matching connectivity graph_symmetry goal_existence 2010 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2010-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2010 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2010 miklosschweitzer miklosschweitzer2010 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2010-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2010 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original polnoe sparivanie needs_human_review pust \\(g\\) - schetno beskonechnyy, \\(d\\)-regulyarnyy, svyaznyy, vershinno-tranzitivnyy graf. dokazhite, chto v \\(g\\) suschestvuet polnoe sparivanie, to est sovershennoe parosochetanie, pokryvayuschee vse vershiny. matching stmt-graph sovershennoe parosochetanie v schetnom vershinno-tranzitivnom grafe, miklos schweitzer 2010 p2 ai_checked kazhdyy schetnyy beskonechnyy svyaznyy vershinno-tranzitivnyy regulyarnyy graf imeet sovershennoe parosochetanie. degree matching idea-tutte-compactness beskonechnuyu zadachu svesti k konechnym usloviyam holla-tatta ozhidaemyy put: proverit konechnye prepyatstviya k parosochetaniyu s pomoschyu vershinnoy tranzitivnosti i regulyarnosti, zatem primenit kompaktnost ili lokalnyy predel konechnyh parosochetaniy. matching classical_theorem goal_existence needs_human_review sol-ai-infinite-transitive-matching-theorem ii-reshenie cherez beskonechnuyu teoremu o parosochetanii v vershinno-tranzitivnom grafe ai_checked matching vospolzuemsya izvestnoy beskonechnoy versiey teoremy godsila--royla: kazhdyy schetnyy beskonechnyy svyaznyy vershinno-tranzitivnyy graf imeet sovershennoe parosochetanie. dlya lokalno konechnogo sluchaya, dostatochnogo zdes, shema dokazatelstva takova. parosochetanie nazyvayut silno maksimalnym, esli ego nelzya uluchshit konechnoy simmetricheskoy raznostyu; ekvivalentno, v lokalno konechnom grafe net uvelichivayuschego chereduyuschegosya puti. teorema aaroni garantiruet suschestvovanie silno maksimalnogo parosochetaniya. vershina nazyvaetsya kriticheskoy, esli ona pokryta kazhdym silno maksimalnym parosochetaniem. eto svoystvo sohranyaetsya avtomorfizmami, poetomu v vershinno-tranzitivnom grafe libo vse vershiny kritichny, libo ni odna. v pervom sluchae lyuboe silno maksimalnoe parosochetanie uzhe sovershenno. rassmotrim vtoroy sluchay, kogda kriticheskih vershin net. nuzhnyy shag dokazyvaetsya induktsiey po dline puti mezhdu dv…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2011-p2-min-degree-monochromatic-connected-subgraph","title":"Большой одноцветный связный подграф при минимальной степени 3n/4, Miklos Schweitzer 2011 P2","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2011-p2-min-degree-monochromatic-connected-subgraph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2011-p2-min-degree-monochromatic-connected-subgraph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2011-p2-min-degree-monochromatic-connected-subgraph","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2011 задача 2, официальный PDF из архива"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","degree_counting","cut_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"После выбора цвета без остовной компоненты работает короткий подсчет степеней через разрез.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Двухцветная раскраска ребер","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(G\\) - простой граф с \\(n\\) вершинами и минимальной степенью \\(\\delta(G)\\ge 3n/4\\). Докажите, что при любой раскраске ребер графа \\(G\\) в два цвета существует связный подграф с по крайней мере \\(\\delta(G)+1\\) вершинами, все ребра которого имеют один цвет.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Большой одноцветный связный подграф при минимальной степени 3n/4, Miklos Schweitzer 2011 P2","status":"ai_checked","text":"В каждом 2-раскрашенном по ребрам простом графе порядка \\(n\\) с \\(\\delta(G)\\ge 3n/4\\) одна из одноцветных компонент содержит не меньше \\(\\delta(G)+1\\) вершин.","definition_ids":["connected_graph","degree","simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cut-degree","title":"Разрез и общие синие соседи","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если красные ребра содержат связный остовный подграф, то утверждение очевидно. Иначе вершины можно разбить на две непустые части \\(A,B\\) так, что все ребра между ними, если они есть, синие. Пусть \\(|A|\\le n/2\\), возьмем \\(x\\in A\\). Все соседи \\(x\\) в \\(B\\) соединены с \\(x\\) синими ребрами. Если \\(y\\in A\\) - сосед \\(x\\), то у каждой из вершин \\(x,y\\) не меньше \\(\\delta(G)-(|A|-1)\\) соседей в \\(B\\). Эти два множества соседей пересекаются, потому что их суммарный размер больше \\(|B|\\) при \\(\\delta(G)\\ge 3n/4\\) и \\(|A|\\le n/2\\). Значит, \\(x\\) и \\(y\\) связаны синим путем длины 2 через общую вершину из \\(B\\). Следовательно, вершина \\(x\\) и все ее соседи лежат в одной синей компоненте. Их не меньше \\(1+d(x)\\ge \\delta(G)+1\\), что и требовалось."}],"relations":[{"id":"rel-gallai-three-color-ms2011-p2-disconnected-color-cut","neighbor_id":"gallai-three-color-disconnected-class","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p3-ms2011-p2-monochromatic-component","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2011-p2-min-degree-monochromatic-connected-subgraph большой одноцветный связный подграф при минимальной степени 3n/4, miklos schweitzer 2011 p2 coloring connectivity degree_counting cut_counting goal_existence 2011 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2011.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2011 задача 2, официальный pdf из архива miklos2011 miklosschweitzer miklosschweitzer2011 src-miklos-schweitzer-2011-p2-official statement with_solution miklos schweitzer memorial competition 2011 задача 2, официальный pdf из архива stmt-original двухцветная раскраска ребер needs_human_review пусть \\(g\\) - простой граф с \\(n\\) вершинами и минимальной степенью \\(\\delta(g)\\ge 3n/4\\). докажите, что при любой раскраске ребер графа \\(g\\) в два цвета существует связный подграф с по крайней мере \\(\\delta(g)+1\\) вершинами, все ребра которого имеют один цвет. stmt-graph большой одноцветный связный подграф при минимальной степени 3n/4, miklos schweitzer 2011 p2 ai_checked в каждом 2-раскрашенном по ребрам простом графе порядка \\(n\\) с \\(\\delta(g)\\ge 3n/4\\) одна из одноцветных компонент содержит не меньше \\(\\delta(g)+1\\) вершин. connected_graph degree simple_graph idea-if-one-color-disconnected если один цвет не связен, все ребра разреза имеют второй цвет если красный граф не содержит остовной связной компоненты, то есть разбиение \\(v=a\\cup b\\) без красных ребер между частями. все ребра разреза синие. для вершины из меньшей части высокая минимальная степень заставляет ее и всех ее соседей попасть в одну синюю компоненту. connectivity cut_counting degree_counting ai_checked sol-cut-degree разрез и общие синие соседи ai_checked connected_graph double_counting если красные ребра содержат связный остовный подграф, то утверждение очевидно. иначе вершины можно разбить на две непустые части \\(a,b\\) так, что все ребра между ними, если они есть, синие. пусть \\(|a|\\le n/2\\), возьмем \\(x\\in a\\). все соседи \\(x\\) в \\(b\\) соединены с \\(x\\) синими ребрами. если \\(y\\in a\\) - сосед \\(x\\), то у каждой из вершин \\(x,y\\) не меньше \\(\\delta(g)-(|a|-1)\\) соседей в \\(b\\). эти два множества соседей пересекаются, потому что их суммарный размер больше \\(|b|\\) при \\(\\delta(g)\\ge 3n/4\\) и \\(|a|\\le n/2\\). значит, \\(x\\) и \\(y\\) связаны синим путем длины 2 через общую вершину из \\(b\\). следовательно, вершина \\(x\\) и все ее соседи лежат в одной синей компоненте. их не меньше \\(1+d(x)\\ge \\delta(g)+1\\), что и требовалось. miklos-schweitzer-2011-p2-min-degree-monochromatic-connected-subgraph bolshoy odnotsvetnyy svyaznyy podgraf pri minimalnoy stepeni 3n/4, miklos schweitzer 2011 p2 coloring connectivity degree_counting cut_counting goal_existence 2011 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2011.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2011 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2011 miklosschweitzer miklosschweitzer2011 src-miklos-schweitzer-2011-p2-official statement with_solution miklos schweitzer memorial competition 2011 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original dvuhtsvetnaya raskraska reber needs_human_review pust \\(g\\) - prostoy graf s \\(n\\) vershinami i minimalnoy stepenyu \\(\\delta(g)\\ge 3n/4\\). dokazhite, chto pri lyuboy raskraske reber grafa \\(g\\) v dva tsveta suschestvuet svyaznyy podgraf s po krayney mere \\(\\delta(g)+1\\) vershinami, vse rebra kotorogo imeyut odin tsvet. stmt-graph bolshoy odnotsvetnyy svyaznyy podgraf pri minimalnoy stepeni 3n/4, miklos schweitzer 2011 p2 ai_checked v kazhdom 2-raskrashennom po rebram prostom grafe poryadka \\(n\\) s \\(\\delta(g)\\ge 3n/4\\) odna iz odnotsvetnyh komponent soderzhit ne menshe \\(\\delta(g)+1\\) vershin. connected_graph degree simple_graph idea-if-one-color-disconnected esli odin tsvet ne svyazen, vse rebra razreza imeyut vtoroy tsvet esli krasnyy graf ne soderzhit ostovnoy svyaznoy komponenty, to est razbienie \\(v=a\\cup b\\) bez krasnyh reber mezhdu chastyami. vse rebra razreza sinie. dlya vershiny iz menshey chasti vysokaya minimalnaya stepen zastavlyaet ee i vseh ee sosedey popast v odnu sinyuyu komponentu. connectivity cut_counting degree_counting ai_checked sol-cut-degree razrez i obschie sinie sosedi ai_checked connected_graph double_counting esli krasnye rebra soderzhat svyaznyy ostovnyy podgraf, to utverzhdenie ochevidno. inache vershiny mozhno razbit na dve nepustye chasti \\(a,b\\) tak, chto vse rebra mezhdu nimi, esli oni est, sinie. pust \\(|a|\\le n/2\\), vozmem \\(x\\in a\\). vse sosedi \\(x\\) v \\(b\\) soedineny s \\(x\\) sinimi rebrami. esli \\(y\\in a\\) - sosed \\(x\\), to u kazhdoy iz vershin \\(x,y\\) ne menshe \\(\\delta(g)-(|a|-1)\\) sosedey v \\(b\\). eti dva mnozhestva sosedey peresekayutsya, potomu chto ih summarnyy razmer bolshe \\(|b|\\) pri \\(\\delta(g)\\ge 3n/4\\) i \\(|a|\\le n/2\\). znachit, \\(x\\) i \\(y\\) svyazany sinim putem dliny 2 cherez obschuyu vershinu iz \\(b\\). sledovatelno, vershina \\(x\\) i vse ee sosedi lezhat v odnoy siney komponente. ih ne menshe \\(1+d(x)\\ge \\delta(g)+1\\), chto i trebovalos.","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2012-p10-knot-black-graph-spanning-trees","title":"Черный граф диаграммы узла и число остовных деревьев, Miklos Schweitzer 2012 P10","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2012-p10-knot-black-graph-spanning-trees.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2012-p10-knot-black-graph-spanning-trees.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2012-p10-knot-black-graph-spanning-trees","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2012 задача 10, официальный PDF из архива"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","trees","goal_counting","goal_classification"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Графовая формулировка ясна, но полное решение требует аккуратной связи с теорией узлов.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"heavy_external_theorem_application","label":"решение с тяжёлыми внешними теоремами","status":"ai_checked","confidence":0.84,"basis":"целевая проверка группы E","notes":"Составное применение к узлам и графам Тейта; выделенные дочерние карточки раскрывают меньшие графовые и чётностные компоненты, но родительская карточка по-прежнему существенно опирается на внешние теоремы.","external_theorem_ids":["Shank theorem for Tait graph spanning-tree parity","Goeritz determinant theorem","Alexander polynomial determinant parity"],"audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Черный граф диаграммы узла","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(K\\) - узел в трехмерном пространстве, а \\(D\\) - его диаграмма. Раскрасим дополнение диаграммы в шахматном порядке в черный и белый цвета. Черным графом \\(\\Gamma_B(D)\\) называется граф, вершины которого соответствуют черным областям, а ребро соединяет две вершины, если соответствующие черные области имеют общую точку. (a) Определите все узлы, имеющие диаграмму \\(D\\), для которой \\(\\Gamma_B(D)\\) имеет не более 3 остовных деревьев. (b) Докажите, что для любого узла и любой диаграммы \\(D\\) граф \\(\\Gamma_B(D)\\) имеет нечетное число остовных деревьев.","definition_ids":["spanning_tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Планарно-графовая часть","status":"ai_checked","text":"Для планарного графа, полученного как черный граф шахматной раскраски диаграммы узла, требуется классифицировать случаи с не более чем тремя остовными деревьями и доказать нечетность числа остовных деревьев.","definition_ids":["planar_graph","spanning_tree"]}]},"solutions":[{"id":"solution-ai-shank-small-tait-graphs","title":"ИИ-решение через теорему Шенка и малые Tait-графы","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","spanning_tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем рассматривать \\(G=\\Gamma_B(D)\\) как плоский мультиграф; петли возможны, но они не входят ни в одно остовное дерево. Используем стандартную теорему Шенка: если \\(G\\) является Tait-графом связной диаграммы ссылки \\(L\\), то число компонент \\(L\\) равно 1 тогда и только тогда, когда \\(\\tau(G)\\), число остовных деревьев \\(G\\), нечетно. Так как в задаче \\(L=K\\) - узел, у ссылки ровно одна компонента, значит \\(\\tau(\\Gamma_B(D))\\) нечетно. Это доказывает пункт (b). Теперь пусть \\(\\tau(G)\\le 3\\). По уже доказанной нечетности \\(\\tau(G)=1\\) или \\(\\tau(G)=3\\). Сначала разберем графовую классификацию. Удаление петель не меняет \\(\\tau\\). Если \\(e\\) - мост, то каждое остовное дерево обязано содержать \\(e\\), а число остовных деревьев всего графа равно произведению чисел остовных деревьев блоков по разные стороны от моста. Поэтому при \\(\\tau=1\\) после удаления петель не остается ни одного цикла: гр…"}],"relations":[{"id":"rel-ms2012-p10-parent-to-small-tait-classification","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p10-parent-to-odd-tait-spanning-trees","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2012-p10-knot-black-graph-spanning-trees черный граф диаграммы узла и число остовных деревьев, miklos schweitzer 2012 p10 planar_graphs trees goal_counting goal_classification 2012 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2012 задача 10, официальный pdf из архива miklos2012 miklosschweitzer miklosschweitzer2012 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2012-p10-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2012 задача 10, официальный pdf из архива stmt-original черный граф диаграммы узла needs_human_review пусть \\(k\\) - узел в трехмерном пространстве, а \\(d\\) - его диаграмма. раскрасим дополнение диаграммы в шахматном порядке в черный и белый цвета. черным графом \\(\\gamma_b(d)\\) называется граф, вершины которого соответствуют черным областям, а ребро соединяет две вершины, если соответствующие черные области имеют общую точку. (a) определите все узлы, имеющие диаграмму \\(d\\), для которой \\(\\gamma_b(d)\\) имеет не более 3 остовных деревьев. (b) докажите, что для любого узла и любой диаграммы \\(d\\) граф \\(\\gamma_b(d)\\) имеет нечетное число остовных деревьев. spanning_tree stmt-graph планарно-графовая часть ai_checked для планарного графа, полученного как черный граф шахматной раскраски диаграммы узла, требуется классифицировать случаи с не более чем тремя остовными деревьями и доказать нечетность числа остовных деревьев. planar_graph spanning_tree idea-determinant теорема шенка для tait-графа для tait-графа связной диаграммы ссылки число компонент ссылки имеет чисто графовое отражение: диаграмма задает один узел тогда и только тогда, когда число остовных деревьев tait-графа нечетно. после этого случай не более трех деревьев сводится к классификации связных мультиграфов с 1 или 3 остовными деревьями. planar_graphs trees goal_counting ai_checked solution-ai-shank-small-tait-graphs ии-решение через теорему шенка и малые tait-графы ai_checked planar_graph spanning_tree будем рассматривать \\(g=\\gamma_b(d)\\) как плоский мультиграф; петли возможны, но они не входят ни в одно остовное дерево. используем стандартную теорему шенка: если \\(g\\) является tait-графом связной диаграммы ссылки \\(l\\), то число компонент \\(l\\) равно 1 тогда и только тогда, когда \\(\\tau(g)\\), число остовных деревьев \\(g\\), нечетно. так как в задаче \\(l=k\\) - узел, у ссылки ровно одна компонента, значит \\(\\tau(\\gamma_b(d))\\) нечетно. это доказывает пункт (b). теперь пусть \\(\\tau(g)\\le 3\\). по уже доказанной нечетности \\(\\tau(g)=1\\) или \\(\\tau(g)=3\\). сначала разберем графовую классификацию. удаление петель не меняет \\(\\tau\\). если \\(e\\) - мост, то каждое остовное дерево обязано содержать \\(e\\), а число остовных деревьев всего графа равно произведению чисел остовных деревьев блоков по разные стороны от моста. поэтому при \\(\\tau=1\\) после удаления петель не остается ни одного цикла: гр… miklos-schweitzer-2012-p10-knot-black-graph-spanning-trees chernyy graf diagrammy uzla i chislo ostovnyh derevev, miklos schweitzer 2012 p10 planar_graphs trees goal_counting goal_classification 2012 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2012 zadacha 10, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2012 miklosschweitzer miklosschweitzer2012 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2012-p10-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2012 zadacha 10, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original chernyy graf diagrammy uzla needs_human_review pust \\(k\\) - uzel v trehmernom prostranstve, a \\(d\\) - ego diagramma. raskrasim dopolnenie diagrammy v shahmatnom poryadke v chernyy i belyy tsveta. chernym grafom \\(\\gamma_b(d)\\) nazyvaetsya graf, vershiny kotorogo sootvetstvuyut chernym oblastyam, a rebro soedinyaet dve vershiny, esli sootvetstvuyuschie chernye oblasti imeyut obschuyu tochku. (a) opredelite vse uzly, imeyuschie diagrammu \\(d\\), dlya kotoroy \\(\\gamma_b(d)\\) imeet ne bolee 3 ostovnyh derevev. (b) dokazhite, chto dlya lyubogo uzla i lyuboy diagrammy \\(d\\) graf \\(\\gamma_b(d)\\) imeet nechetnoe chislo ostovnyh derevev. spanning_tree stmt-graph planarno-grafovaya chast ai_checked dlya planarnogo grafa, poluchennogo kak chernyy graf shahmatnoy raskraski diagrammy uzla, trebuetsya klassifitsirovat sluchai s ne bolee chem tremya ostovnymi derevyami i dokazat nechetnost chisla ostovnyh derevev. planar_graph spanning_tree idea-determinant teorema shenka dlya tait-grafa dlya tait-grafa svyaznoy diagrammy ssylki chislo komponent ssylki imeet chisto grafovoe otrazhenie: diagramma zadaet odin uzel togda i tolko togda, kogda chislo ostovnyh derevev tait-grafa nechetno. posle etogo sluchay ne bolee treh derevev svoditsya k klassifikatsii svyaznyh multigrafov s 1 ili 3 ostovnymi derevyami. planar_graphs trees goal_counting ai_checked solution-ai-shank-small-tait-graphs ii-reshenie cherez teoremu shenka i malye tait-grafy ai_checked planar_graph spanning_tree budem rassmatrivat \\(g=\\gamma_b(d)\\) kak ploskiy multigraf; petli vozmozhny, no oni ne vhodyat ni v odno ostovnoe derevo. ispolzuem standartnuyu teoremu shenka: esli \\(g\\) yavlyaetsya tait-grafom svyaznoy diagrammy ssylki \\(l\\), to chislo komponent \\(l\\) ravno 1 togda i tolko togda, kogda \\(\\tau(g)\\), chislo ostovnyh derevev \\(g\\), nechetno. tak kak v zadache \\(l=k\\) - uzel, u ssylki rovno odna komponenta, znachit \\(\\tau(\\gamma_b(d))\\) nechetno. eto dokazyvaet punkt (b). teper pust \\(\\tau(g)\\le 3\\). po uzhe dokazannoy nechetnosti \\(\\tau(g)=1\\) ili \\(\\tau(g)=3\\). snachala razberem grafovuyu klassifikatsiyu. udalenie petel ne menyaet \\(\\tau\\). esli \\(e\\) - most, to kazhdoe ostovnoe derevo obyazano soderzhat \\(e\\), a chislo ostovnyh derevev vsego grafa ravno proizvedeniyu chisel ostovnyh derevev blokov po raznye storony ot mosta. poetomu pri \\(\\tau=1\\) posle udaleniya petel ne ostaetsya ni odnogo tsikla: gr…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees","title":"Узлы с диаграммой, черный граф которой имеет не более трех остовных деревьев, Miklos Schweitzer 2012 P10(a)","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Competition 2012, архивный указатель","Miklos Schweitzer 2012 задачи, венгерский оригинал","Miklos Schweitzer 2012 задачи, английский перевод","Miklos Schweitzer 2012 официальный отчёт","Jun Ge and Lianzhu Zhang, Determinant of links, spanning trees, and a theorem of Shank","Xian'an Jin, Weiling Yang and Jun Ge, A Shank's theorem: three proofs"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","trees","goal_counting","goal_classification"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Самостоятельная классификационная половина задачи: после чётностной части требуется отдельная классификация мультиграфов с тремя остовными деревьями и перевод малого Tait-ядра обратно в тип узла.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"heavy_external_theorem_application","label":"решение с внешними топологическими фактами","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальное условие/proposer verified; no официальное решение found; внешняя теорема references checked","notes":"Доказательство классификации полно только после принятия чётностной теоремы P10(b) и стандартных фактов о диаграммах Тейта и устранимых перекрёстках. Это не леммы школьного уровня; здесь намеренно используется тяжёлая внешняя теорема.","external_theorem_ids":["Shank_theorem","P10(b) Tait graph odd spanning-tree theorem","стандартная редукция Tait-графа по отсекаемым перекрёсткам","two_strand_braid_three_crossing_classification"],"audit_source":"official-plan-expansion-pass-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-p10a","title":"Черный граф с не более чем тремя остовными деревьями","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(K\\) - узел, а \\(D\\) - его диаграмма. Раскрасим области дополнения диаграммы в шахматном порядке и построим черный граф \\(\\Gamma_B(D)\\): его вершины соответствуют черным областям, а каждое пересечение диаграммы дает ребро между двумя черными областями, имеющими в этом пересечении общую точку. Определите все узлы, имеющие такую диаграмму \\(D\\), что \\(\\Gamma_B(D)\\) имеет не более \\(3\\) остовных деревьев.","definition_ids":["planar_graph","spanning_tree","connected_graph","multigraph","bridge","cycle","tree","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-small-tait-graphs-classification","title":"Классификация через малые Tait-графы с внешними фактами о узлах","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","spanning_tree","connected_graph","multigraph","bridge","cycle","tree","triangle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: тривиальный узел и два хиральных трилистника; если зеркальные узлы в принятой конвенции не различаются, то это тривиальный узел и трилистник. Обозначим \\(G=\\Gamma_B(D)\\), а через \\(\\tau(G)\\) - число его остовных деревьев. В карточке `miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees` доказано, что для любой диаграммы узла \\(\\tau(G)\\) нечетно. Поэтому из условия \\(\\tau(G)\\le 3\\) следует \\(\\tau(G)=1\\) или \\(\\tau(G)=3\\). Сначала нужна чисто графовая классификация. Петли можно удалить: они не входят ни в одно остовное дерево. Каждый мост входит во всякое остовное дерево. Более общо, если связный граф разложен по мостам и точкам сочленения на блоки, то число его остовных деревьев равно произведению чисел остовных деревьев нетривиальных блоков; деревообразные части дают множитель \\(1\\). Если \\(\\tau(G)=1\\), то после удаления петель все ребра являются мостами, то есть сущес…"}],"relations":[{"id":"rel-ms2012-p10-parent-to-small-tait-classification","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10-knot-black-graph-spanning-trees","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p10a-kolmogorov-2006-spanning-tree-count","neighbor_id":"kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-official-plan-ms2012-p10a-uses-p10b-heavy-parity","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees узлы с диаграммой, черный граф которой имеет не более трех остовных деревьев, miklos schweitzer 2012 p10(a) planar_graphs trees goal_counting goal_classification 2012 https://doi.org/10.1142/s0218216516410054 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/index.html https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-meg.pdf https://www.math.u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-eng.pdf https://www.math.u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012.pdf https://www.researchgate.net/publication/361085109_a_shank%27s_theorem_three_proofs jun ge and lianzhu zhang, determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank miklos miklos schweitzer miklos schweitzer 2012 задачи, английский перевод miklos schweitzer 2012 задачи, венгерский оригинал miklos schweitzer 2012 официальный отчёт miklos schweitzer competition 2012, архивный указатель miklos2012 miklosschweitzer miklosschweitzer2012 olympiad_archive paper src-ge-zhang-shank src-jin-yang-ge-shank-three-proofs src-miklos-schweitzer-2012-index src-miklos-schweitzer-2012-p10-official-eng src-miklos-schweitzer-2012-p10-official-hu src-miklos-schweitzer-2012-report with_solution xian'an jin, weiling yang and jun ge, a shank's theorem: three proofs miklos schweitzer competition 2012, архивный указатель miklos schweitzer 2012 задачи, венгерский оригинал miklos schweitzer 2012 задачи, английский перевод miklos schweitzer 2012 официальный отчёт jun ge and lianzhu zhang, determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank xian'an jin, weiling yang and jun ge, a shank's theorem: three proofs stmt-original-p10a черный граф с не более чем тремя остовными деревьями ai_checked пусть \\(k\\) - узел, а \\(d\\) - его диаграмма. раскрасим области дополнения диаграммы в шахматном порядке и построим черный граф \\(\\gamma_b(d)\\): его вершины соответствуют черным областям, а каждое пересечение диаграммы дает ребро между двумя черными областями, имеющими в этом пересечении общую точку. определите все узлы, имеющие такую диаграмму \\(d\\), что \\(\\gamma_b(d)\\) имеет не более \\(3\\) остовных деревьев. planar_graph spanning_tree connected_graph multigraph bridge cycle tree triangle idea-use-parity-child нечетность оставляет только случаи \\(\\tau=1\\) и \\(\\tau=3\\) вторая часть исходной задачи, выделенная в отдельную карточку, показывает: для tait-графа диаграммы узла число остовных деревьев нечетно. поэтому из \\(\\tau(g)\\le 3\\) остаются только два значения, \\(1\\) и \\(3\\). trees goal_counting ai_checked idea-classify-tau-three-multigraphs классифицировать связные мультиграфы с \\(1\\) или \\(3\\) остовными деревьями петли не участвуют в остовных деревьях, мосты входят во все остовные деревья, а блоки дают произведение чисел остовных деревьев. при \\(\\tau=3\\) остается ровно один нетривиальный блок: треугольник или три параллельных ребра между двумя вершинами. trees goal_classification ai_checked idea-tait-core-to-knot-type tait-ядро с тремя рёбрами даёт трёхперекрёстковую схему петли, мосты и древесные придатки tait-графа соответствуют отсекаемым перекрёсткам диаграммы и могут быть сняты без изменения типа узла. нетривиальное ядро с тремя ребрами дает трехперекрестковую двухниточную диаграмму скручивания: это трилистник при трех одинаковых знаках и тривиальный узел иначе. planar_graphs goal_classification ai_checked sol-small-tait-graphs-classification классификация через малые tait-графы с внешними фактами о узлах ai_checked planar_graph spanning_tree connected_graph multigraph bridge cycle tree triangle ответ: тривиальный узел и два хиральных трилистника; если зеркальные узлы в принятой конвенции не различаются, то это тривиальный узел и трилистник. обозначим \\(g=\\gamma_b(d)\\), а через \\(\\tau(g)\\) - число его остовных деревьев. в карточке `miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees` доказано, что для любой диаграммы узла \\(\\tau(g)\\) нечетно. поэтому из условия \\(\\tau(g)\\le 3\\) следует \\(\\tau(g)=1\\) или \\(\\tau(g)=3\\). сначала нужна чисто графовая классификация. петли можно удалить: они не входят ни в одно остовное дерево. каждый мост входит во всякое остовное дерево. более общо, если связный граф разложен по мостам и точкам сочленения на блоки, то число его остовных деревьев равно произведению чисел остовных деревьев нетривиальных блоков; деревообразные части дают множитель \\(1\\). если \\(\\tau(g)=1\\), то после удаления петель все ребра являются мостами, то есть сущес… miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees uzly s diagrammoy, chernyy graf kotoroy imeet ne bolee treh ostovnyh derevev, miklos schweitzer 2012 p10(a) planar_graphs trees goal_counting goal_classification 2012 https://doi.org/10.1142/s0218216516410054 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/index.html https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-meg.pdf https://www.math.u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-eng.pdf https://www.math.u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012.pdf https://www.researchgate.net/publication/361085109_a_shank%27s_theorem_three_proofs jun ge and lianzhu zhang, determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank miklos miklos schweitzer miklos schweitzer 2012 zadachi, angliyskiy perevod miklos schweitzer 2012 zadachi, vengerskiy original miklos schweitzer 2012 ofitsialnyy otchet miklos schweitzer competition 2012, arhivnyy ukazatel miklos2012 miklosschweitzer miklosschweitzer2012 olympiad_archive paper src-ge-zhang-shank src-jin-yang-ge-shank-three-proofs src-miklos-schweitzer-2012-index src-miklos-schweitzer-2012-p10-official-eng src-miklos-schweitzer-2012-p10-official-hu src-miklos-schweitzer-2012-report with_solution xian'an jin, weiling yang and jun ge, a shank's theorem: three proofs miklos schweitzer competition 2012, arhivnyy ukazatel miklos schweitzer 2012 zadachi, vengerskiy original miklos schweitzer 2012 zadachi, angliyskiy perevod miklos schweitzer 2012 ofitsialnyy otchet jun ge and lianzhu zhang, determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank xian'an jin, weiling yang and jun ge, a shank's theorem: three proofs stmt-original-p10a chernyy graf s ne bolee chem tremya ostovnymi derevyami ai_checked pust \\(k\\) - uzel, a \\(d\\) - ego diagramma. raskrasim oblasti dopolneniya diagrammy v shahmatnom poryadke i postroim chernyy graf \\(\\gamma_b(d)\\): ego vershiny sootvetstvuyut chernym oblastyam, a kazhdoe peresechenie diagrammy daet rebro mezhdu dvumya chernymi oblastyami, imeyuschimi v etom peresechenii obschuyu tochku. opredelite vse uzly, imeyuschie takuyu diagrammu \\(d\\), chto \\(\\gamma_b(d)\\) imeet ne bolee \\(3\\) ostovnyh derevev. planar_graph spanning_tree connected_graph multigraph bridge cycle tree triangle idea-use-parity-child nechetnost ostavlyaet tolko sluchai \\(\\tau=1\\) i \\(\\tau=3\\) vtoraya chast ishodnoy zadachi, vydelennaya v otdelnuyu kartochku, pokazyvaet: dlya tait-grafa diagrammy uzla chislo ostovnyh derevev nechetno. poetomu iz \\(\\tau(g)\\le 3\\) ostayutsya tolko dva znacheniya, \\(1\\) i \\(3\\). trees goal_counting ai_checked idea-classify-tau-three-multigraphs klassifitsirovat svyaznye multigrafy s \\(1\\) ili \\(3\\) ostovnymi derevyami petli ne uchastvuyut v ostovnyh derevyah, mosty vhodyat vo vse ostovnye derevya, a bloki dayut proizvedenie chisel ostovnyh derevev. pri \\(\\tau=3\\) ostaetsya rovno odin netrivialnyy blok: treugolnik ili tri parallelnyh rebra mezhdu dvumya vershinami. trees goal_classification ai_checked idea-tait-core-to-knot-type tait-yadro s tremya rebrami daet trehperekrestkovuyu shemu petli, mosty i drevesnye pridatki tait-grafa sootvetstvuyut otsekaemym perekrestkam diagrammy i mogut byt snyaty bez izmeneniya tipa uzla. netrivialnoe yadro s tremya rebrami daet trehperekrestkovuyu dvuhnitochnuyu diagrammu skruchivaniya: eto trilistnik pri treh odinakovyh znakah i trivialnyy uzel inache. planar_graphs goal_classification ai_checked sol-small-tait-graphs-classification klassifikatsiya cherez malye tait-grafy s vneshnimi faktami o uzlah ai_checked planar_graph spanning_tree connected_graph multigraph bridge cycle tree triangle otvet: trivialnyy uzel i dva hiralnyh trilistnika; esli zerkalnye uzly v prinyatoy konventsii ne razlichayutsya, to eto trivialnyy uzel i trilistnik. oboznachim \\(g=\\gamma_b(d)\\), a cherez \\(\\tau(g)\\) - chislo ego ostovnyh derevev. v kartochke `miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees` dokazano, chto dlya lyuboy diagrammy uzla \\(\\tau(g)\\) nechetno. poetomu iz usloviya \\(\\tau(g)\\le 3\\) sleduet \\(\\tau(g)=1\\) ili \\(\\tau(g)=3\\). snachala nuzhna chisto grafovaya klassifikatsiya. petli mozhno udalit: oni ne vhodyat ni v odno ostovnoe derevo. kazhdyy most vhodit vo vsyakoe ostovnoe derevo. bolee obscho, esli svyaznyy graf razlozhen po mostam i tochkam sochleneniya na bloki, to chislo ego ostovnyh derevev ravno proizvedeniyu chisel ostovnyh derevev netrivialnyh blokov; derevoobraznye chasti dayut mnozhitel \\(1\\). esli \\(\\tau(g)=1\\), to posle udaleniya petel vse rebra yavlyayutsya mostami, to est susches…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees","title":"Нечетность числа остовных деревьев черного графа диаграммы узла, Miklos Schweitzer 2012 P10(b)","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Competition 2012, архивный указатель","Miklos Schweitzer 2012 задачи, венгерский оригинал","Miklos Schweitzer 2012 задачи, английский перевод","Miklos Schweitzer 2012 официальный отчёт","Jun Ge and Lianzhu Zhang, Determinant of links, spanning trees, and a theorem of Shank","MathWorld, Matrix Tree Theorem","Jozef H. Przytycki, From Goeritz matrices to quasi-alternating links","Sudipta Kolay, Knot Colorings: Coloring and Goeritz matrices"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":["Stipsicz András"],"tags":["planar_graphs","trees","invariant","goal_counting","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Чётностная половина становится короткой только после внешних инструментов: матричная теорема о деревьях, теорема Goeritz об определителе, чётность определителя многочлена Alexander или напрямую теорема Шенка.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"heavy_external_theorem_application","label":"решение с тяжёлыми внешними теоремами","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальное условие/proposer verified; no официальное решение found; внешняя теорема references checked","external_theorem_ids":["matrix_tree_theorem","Goeritz_determinant_theorem","Alexander_polynomial_determinant_parity","Shank_theorem"],"notes":"Доказательство чётности полно только после принятия теоремы о матричном дереве и фактов Гёрлица-Александера о детерминанте, либо эквивалентно теоремы Шанка для графов Тейта. Это не леммы школьного уровня; здесь намеренно используется тяжёлая внешняя теорема.","audit_source":"official-plan-expansion-pass-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-p10b","title":"Нечетное число остовных деревьев черного графа","status":"source_verified","text":"Пусть \\(K\\) - узел, а \\(D\\) - любая его диаграмма. Раскрасим области дополнения диаграммы в шахматном порядке и построим черный граф \\(\\Gamma_B(D)\\): вершины соответствуют черным областям, а ребра соответствуют перекресткам, в которых две черные области имеют общую точку. Докажите, что граф \\(\\Gamma_B(D)\\) имеет нечетное число остовных деревьев.","definition_ids":["spanning_tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-p10b","title":"Паритет числа остовных деревьев Tait-графа","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — чёрный Tait-граф шахматно раскрашенной диаграммы узла. Докажите, что число остовных деревьев \\(\\tau(G)\\) нечётно.","definition_ids":["planar_graph","spanning_tree","multigraph","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-goeritz-kirchhoff-parity","title":"Через матрицу Гёрлица и теорему Кирхгофа","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","spanning_tree","multigraph","tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим \\(G=\\Gamma_B(D)\\). Будем считать \\(G\\) плоским мультиграфом; петли возможны, но они не входят ни в одно остовное дерево и не влияют на редуцированный лапласиан. По матричной теореме Кирхгофа о деревьях число остовных деревьев \\(G\\) равно \\[ \\tau(G)=\\det L^{\\ast}, \\] где \\(L^{\\ast}\\) - матрица, полученная из лапласиана \\(G\\) удалением одной строки и одного столбца. Теперь используем стандартный факт из теории диаграмм узлов. После выбора шахматной раскраски диаграмме соответствует знаковая матрица Гёрлица \\(Q^{\\ast}\\), тоже редуцированная удалением одной области, и \\[ |\\det Q^{\\ast}|=\\det K, \\] где \\(\\det K=|\\Delta_K(-1)|\\) - определитель узла. В матрице Гёрлица каждое ребро Tait-графа входит с коэффициентом \\(+1\\) или \\(-1\\) в зависимости от локального знака перекрестка. Поэтому по модулю \\(2\\) знаки исчезают, и \\(Q^{\\ast}\\) совпадает с редуцированным лапласианом \\(L^{\\ast}\\)…"},{"id":"sol-shank-theorem-one-line","title":"Коротко через теорему Шенка","status":"source_verified","definition_ids":["planar_graph","spanning_tree","tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим \\(G=\\Gamma_B(D)\\) как Tait-граф шахматно раскрашенной диаграммы. Используем внешнюю теорему Шенка в форме, приведённой, например, в работе Jun Ge and Lianzhu Zhang, \"Determinant of links, spanning trees, and a theorem of Shank\", DOI: https://doi.org/10.1142/S0218216516410054 . Она утверждает: для диаграммы ссылки \\(L\\) число компонент \\(\\mu(L)\\) равно \\(1\\) тогда и только тогда, когда число остовных деревьев соответствующего Tait-графа нечётно. В нашей задаче \\(L=K\\) — узел, то есть однокомпонентная ссылка, поэтому \\(\\mu(K)=1\\). Подставляя это в теорему Шенка, сразу получаем, что \\(\\tau(\\Gamma_B(D))\\), число остовных деревьев чёрного Tait-графа диаграммы, нечётно. Это не самостоятельное доказательство задачи: весь нетривиальный шаг перенесён во внешнюю топологическую теорему Шенка. Для самодостаточного пути в карточке оставлено другое решение через матричную теорему Кирхгофа,…"}],"relations":[{"id":"rel-ms2012-p10-parent-to-odd-tait-spanning-trees","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10-knot-black-graph-spanning-trees","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p10b-kolmogorov-2006-matrix-tree","neighbor_id":"kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-official-plan-ms2012-p10a-uses-p10b-heavy-parity","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p10b-kolm2005-junior-spanning-tree-parity","neighbor_id":"kolmogorov-2005-team-olympiad-juniors-problem-8","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ms2012-p10b-kolm2005-senior-bipartite-spanning-tree-parity","neighbor_id":"kolmogorov-2005-team-olympiad-seniors-problem-9","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees нечетность числа остовных деревьев черного графа диаграммы узла, miklos schweitzer 2012 p10(b) planar_graphs trees invariant goal_counting goal_proof 2012 https://arxiv.org/abs/0909.1118 https://arxiv.org/abs/1910.08044 https://doi.org/10.1142/s0218216516410054 https://mathworld.wolfram.com/matrixtreetheorem.html https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/index.html https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-meg.pdf https://www.math.u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-eng.pdf https://www.math.u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012.pdf jozef h. przytycki, from goeritz matrices to quasi-alternating links jun ge and lianzhu zhang, determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank mathworld, matrix tree theorem miklos miklos schweitzer miklos schweitzer 2012 задачи, английский перевод miklos schweitzer 2012 задачи, венгерский оригинал miklos schweitzer 2012 официальный отчёт miklos schweitzer competition 2012, архивный указатель miklos2012 miklosschweitzer miklosschweitzer2012 olympiad_archive paper reference src-ge-zhang-shank src-kolay-goeritz-colorings src-matrix-tree-mathworld src-miklos-schweitzer-2012-index src-miklos-schweitzer-2012-p10-official-eng src-miklos-schweitzer-2012-p10-official-hu src-miklos-schweitzer-2012-report src-przytycki-goeritz-survey stipsicz andrás stipsiczandrás sudipta kolay, knot colorings: coloring and goeritz matrices with_solution stipsicz andrás miklos schweitzer competition 2012, архивный указатель miklos schweitzer 2012 задачи, венгерский оригинал miklos schweitzer 2012 задачи, английский перевод miklos schweitzer 2012 официальный отчёт jun ge and lianzhu zhang, determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank mathworld, matrix tree theorem jozef h. przytycki, from goeritz matrices to quasi-alternating links sudipta kolay, knot colorings: coloring and goeritz matrices stmt-original-p10b нечетное число остовных деревьев черного графа source_verified пусть \\(k\\) - узел, а \\(d\\) - любая его диаграмма. раскрасим области дополнения диаграммы в шахматном порядке и построим черный граф \\(\\gamma_b(d)\\): вершины соответствуют черным областям, а ребра соответствуют перекресткам, в которых две черные области имеют общую точку. докажите, что граф \\(\\gamma_b(d)\\) имеет нечетное число остовных деревьев. spanning_tree stmt-graph-p10b паритет числа остовных деревьев tait-графа ai_checked пусть \\(g\\) — чёрный tait-граф шахматно раскрашенной диаграммы узла. докажите, что число остовных деревьев \\(\\tau(g)\\) нечётно. planar_graph spanning_tree multigraph tree idea-kirchhoff-reduced-laplacian теорема кирхгофа считает остовные деревья по матричной теореме о деревьях число \\(\\tau(g)\\) равно определителю любого редуцированного лапласиана tait-графа \\(g\\). петли можно игнорировать, так как они не участвуют в остовных деревьях и не дают вклада в лапласиан. trees goal_counting ai_checked idea-goeritz-mod-two матрица гёрлица совпадает с лапласианом по модулю \\(2\\) знаки перекрестков в матрице гёрлица равны \\(\\pm1\\), поэтому по модулю \\(2\\) они превращаются в обычные единичные веса ребер tait-графа. следовательно, редуцированная матрица гёрлица и редуцированный лапласиан имеют одинаковый определитель по модулю \\(2\\). это стандартный goeritz/tait-факт, а не школьная лемма. planar_graphs invariant ai_checked idea-knot-determinant-odd определитель узла нечетен определитель узла равен \\(|\\delta_k(-1)|\\), где \\(\\delta_k(t)\\) - нормированный многочлен александера. так как \\(-1\\equiv1\\pmod2\\) и \\(\\delta_k(1)=\\pm1\\), этот определитель нечетен. invariant goal_proof ai_checked idea-shank-theorem теорема шенка сразу дает паритет теорема шенка в форме для tait-графов утверждает: диаграмма ссылки имеет одну компоненту тогда и только тогда, когда число остовных деревьев ее tait-графа нечетно. так как узел - это однокомпонентная ссылка, задача следует немедленно. полное доказательство этой теоремы является внешней теорией плоских графов/узлов. trees invariant ai_checked sol-goeritz-kirchhoff-parity через матрицу гёрлица и теорему кирхгофа ai_checked planar_graph spanning_tree multigraph tree обозначим \\(g=\\gamma_b(d)\\). будем считать \\(g\\) плоским мультиграфом; петли возможны, но они не входят ни в одно остовное дерево и не влияют на редуцированный лапласиан. по матричной теореме кирхгофа о деревьях число остовных деревьев \\(g\\) равно \\[ \\tau(g)=\\det l^{\\ast}, \\] где \\(l^{\\ast}\\) - матрица, полученная из лапласиана \\(g\\) удалением одной строки и одного столбца. теперь используем стандартный факт из теории диаграмм узлов. после выбора шахматной раскраски диаграмме соответствует знаковая матрица гёрлица \\(q^{\\ast}\\), тоже редуцированная удалением одной области, и \\[ |\\det q^{\\ast}|=\\det k, \\] где \\(\\det k=|\\delta_k(-1)|\\) - определитель узла. в матрице гёрлица каждое ребро tait-графа входит с коэффициентом \\(+1\\) или \\(-1\\) в зависимости от локального знака перекрестка. поэтому по модулю \\(2\\) знаки исчезают, и \\(q^{\\ast}\\) совпадает с редуцированным лапласианом \\(l^{\\ast}\\)… sol-shank-theorem-one-line коротко через теорему шенка source_verified planar_graph spanning_tree tree рассмотрим \\(g=\\gamma_b(d)\\) как tait-граф шахматно раскрашенной диаграммы. используем внешнюю теорему шенка в форме, приведённой, например, в работе jun ge and lianzhu zhang, \"determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank\", doi: https://doi.org/10.1142/s0218216516410054 . она утверждает: для диаграммы ссылки \\(l\\) число компонент \\(\\mu(l)\\) равно \\(1\\) тогда и только тогда, когда число остовных деревьев соответствующего tait-графа нечётно. в нашей задаче \\(l=k\\) — узел, то есть однокомпонентная ссылка, поэтому \\(\\mu(k)=1\\). подставляя это в теорему шенка, сразу получаем, что \\(\\tau(\\gamma_b(d))\\), число остовных деревьев чёрного tait-графа диаграммы, нечётно. это не самостоятельное доказательство задачи: весь нетривиальный шаг перенесён во внешнюю топологическую теорему шенка. для самодостаточного пути в карточке оставлено другое решение через матричную теорему кирхгофа,… miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees nechetnost chisla ostovnyh derevev chernogo grafa diagrammy uzla, miklos schweitzer 2012 p10(b) planar_graphs trees invariant goal_counting goal_proof 2012 https://arxiv.org/abs/0909.1118 https://arxiv.org/abs/1910.08044 https://doi.org/10.1142/s0218216516410054 https://mathworld.wolfram.com/matrixtreetheorem.html https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/index.html https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-meg.pdf https://www.math.u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-eng.pdf https://www.math.u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012.pdf jozef h. przytycki, from goeritz matrices to quasi-alternating links jun ge and lianzhu zhang, determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank mathworld, matrix tree theorem miklos miklos schweitzer miklos schweitzer 2012 zadachi, angliyskiy perevod miklos schweitzer 2012 zadachi, vengerskiy original miklos schweitzer 2012 ofitsialnyy otchet miklos schweitzer competition 2012, arhivnyy ukazatel miklos2012 miklosschweitzer miklosschweitzer2012 olympiad_archive paper reference src-ge-zhang-shank src-kolay-goeritz-colorings src-matrix-tree-mathworld src-miklos-schweitzer-2012-index src-miklos-schweitzer-2012-p10-official-eng src-miklos-schweitzer-2012-p10-official-hu src-miklos-schweitzer-2012-report src-przytycki-goeritz-survey stipsicz andrás stipsiczandrás sudipta kolay, knot colorings: coloring and goeritz matrices with_solution stipsicz andrás miklos schweitzer competition 2012, arhivnyy ukazatel miklos schweitzer 2012 zadachi, vengerskiy original miklos schweitzer 2012 zadachi, angliyskiy perevod miklos schweitzer 2012 ofitsialnyy otchet jun ge and lianzhu zhang, determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank mathworld, matrix tree theorem jozef h. przytycki, from goeritz matrices to quasi-alternating links sudipta kolay, knot colorings: coloring and goeritz matrices stmt-original-p10b nechetnoe chislo ostovnyh derevev chernogo grafa source_verified pust \\(k\\) - uzel, a \\(d\\) - lyubaya ego diagramma. raskrasim oblasti dopolneniya diagrammy v shahmatnom poryadke i postroim chernyy graf \\(\\gamma_b(d)\\): vershiny sootvetstvuyut chernym oblastyam, a rebra sootvetstvuyut perekrestkam, v kotoryh dve chernye oblasti imeyut obschuyu tochku. dokazhite, chto graf \\(\\gamma_b(d)\\) imeet nechetnoe chislo ostovnyh derevev. spanning_tree stmt-graph-p10b paritet chisla ostovnyh derevev tait-grafa ai_checked pust \\(g\\) — chernyy tait-graf shahmatno raskrashennoy diagrammy uzla. dokazhite, chto chislo ostovnyh derevev \\(\\tau(g)\\) nechetno. planar_graph spanning_tree multigraph tree idea-kirchhoff-reduced-laplacian teorema kirhgofa schitaet ostovnye derevya po matrichnoy teoreme o derevyah chislo \\(\\tau(g)\\) ravno opredelitelyu lyubogo redutsirovannogo laplasiana tait-grafa \\(g\\). petli mozhno ignorirovat, tak kak oni ne uchastvuyut v ostovnyh derevyah i ne dayut vklada v laplasian. trees goal_counting ai_checked idea-goeritz-mod-two matritsa gerlitsa sovpadaet s laplasianom po modulyu \\(2\\) znaki perekrestkov v matritse gerlitsa ravny \\(\\pm1\\), poetomu po modulyu \\(2\\) oni prevraschayutsya v obychnye edinichnye vesa reber tait-grafa. sledovatelno, redutsirovannaya matritsa gerlitsa i redutsirovannyy laplasian imeyut odinakovyy opredelitel po modulyu \\(2\\). eto standartnyy goeritz/tait-fakt, a ne shkolnaya lemma. planar_graphs invariant ai_checked idea-knot-determinant-odd opredelitel uzla necheten opredelitel uzla raven \\(|\\delta_k(-1)|\\), gde \\(\\delta_k(t)\\) - normirovannyy mnogochlen aleksandera. tak kak \\(-1\\equiv1\\pmod2\\) i \\(\\delta_k(1)=\\pm1\\), etot opredelitel necheten. invariant goal_proof ai_checked idea-shank-theorem teorema shenka srazu daet paritet teorema shenka v forme dlya tait-grafov utverzhdaet: diagramma ssylki imeet odnu komponentu togda i tolko togda, kogda chislo ostovnyh derevev ee tait-grafa nechetno. tak kak uzel - eto odnokomponentnaya ssylka, zadacha sleduet nemedlenno. polnoe dokazatelstvo etoy teoremy yavlyaetsya vneshney teoriey ploskih grafov/uzlov. trees invariant ai_checked sol-goeritz-kirchhoff-parity cherez matritsu gerlitsa i teoremu kirhgofa ai_checked planar_graph spanning_tree multigraph tree oboznachim \\(g=\\gamma_b(d)\\). budem schitat \\(g\\) ploskim multigrafom; petli vozmozhny, no oni ne vhodyat ni v odno ostovnoe derevo i ne vliyayut na redutsirovannyy laplasian. po matrichnoy teoreme kirhgofa o derevyah chislo ostovnyh derevev \\(g\\) ravno \\[ \\tau(g)=\\det l^{\\ast}, \\] gde \\(l^{\\ast}\\) - matritsa, poluchennaya iz laplasiana \\(g\\) udaleniem odnoy stroki i odnogo stolbtsa. teper ispolzuem standartnyy fakt iz teorii diagramm uzlov. posle vybora shahmatnoy raskraski diagramme sootvetstvuet znakovaya matritsa gerlitsa \\(q^{\\ast}\\), tozhe redutsirovannaya udaleniem odnoy oblasti, i \\[ |\\det q^{\\ast}|=\\det k, \\] gde \\(\\det k=|\\delta_k(-1)|\\) - opredelitel uzla. v matritse gerlitsa kazhdoe rebro tait-grafa vhodit s koeffitsientom \\(+1\\) ili \\(-1\\) v zavisimosti ot lokalnogo znaka perekrestka. poetomu po modulyu \\(2\\) znaki ischezayut, i \\(q^{\\ast}\\) sovpadaet s redutsirovannym laplasianom \\(l^{\\ast}\\)… sol-shank-theorem-one-line korotko cherez teoremu shenka source_verified planar_graph spanning_tree tree rassmotrim \\(g=\\gamma_b(d)\\) kak tait-graf shahmatno raskrashennoy diagrammy. ispolzuem vneshnyuyu teoremu shenka v forme, privedennoy, naprimer, v rabote jun ge and lianzhu zhang, \"determinant of links, spanning trees, and a theorem of shank\", doi: https://doi.org/10.1142/s0218216516410054 . ona utverzhdaet: dlya diagrammy ssylki \\(l\\) chislo komponent \\(\\mu(l)\\) ravno \\(1\\) togda i tolko togda, kogda chislo ostovnyh derevev sootvetstvuyuschego tait-grafa nechetno. v nashey zadache \\(l=k\\) — uzel, to est odnokomponentnaya ssylka, poetomu \\(\\mu(k)=1\\). podstavlyaya eto v teoremu shenka, srazu poluchaem, chto \\(\\tau(\\gamma_b(d))\\), chislo ostovnyh derevev chernogo tait-grafa diagrammy, nechetno. eto ne samostoyatelnoe dokazatelstvo zadachi: ves netrivialnyy shag perenesen vo vneshnyuyu topologicheskuyu teoremu shenka. dlya samodostatochnogo puti v kartochke ostavleno drugoe reshenie cherez matrichnuyu teoremu kirhgofa,…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","title":"Одноцветное дерево на k вершинах в 2-раскрашенном k-хроматическом графе, Miklos Schweitzer 2012 P3","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2012 задача 3, официальный PDF из архива"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","trees","connectivity","classical_lemma","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Ключ - заменить вершины исходного графа ребрами между красными и синими компонентами и применить теорему Кёнига о рёберной раскраске двудольного мультиграфа.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.95,"basis":"Теорема 1 Bialostocki--Gyárfás, arXiv:1506.04495, доказывает то же утверждение для каждого n-хроматического графа-носителя.","notes":"Доказательство использует стандартную теорему Кёнига о рёберной раскраске двудольного мультиграфа; соответствующая classical-карточка уже есть в базе.","audit_source":"manual-official-plan-expansion-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Два цвета на ребрах","status":"ai_checked","text":"Пусть дан простой граф, хроматическое число которого равно \\(k\\). Все его ребра раскрашены в два цвета. Докажите, что существует одноцветное дерево с \\(k\\) вершинами.","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number","tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Одноцветное дерево на k вершинах в 2-раскрашенном k-хроматическом графе, Miklos Schweitzer 2012 P3","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(\\chi(G)=k\\), а рёбра графа \\(G\\) раскрашены в два цвета. Докажите, что в \\(G\\) есть одноцветное дерево ровно на \\(k\\) вершинах.","definition_ids":["connected_graph","tree","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-bialostocki-gyarfas-konig-components","title":"Двудольный мультиграф красных и синих компонент","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number","connected_graph","tree","bipartite_graph","degree"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Случай \\(k=1\\) тривиален: любая вершина является деревом на одной вершине. Далее считаем \\(k\\ge 2\\). Рассмотрим красный подграф, состоящий из всех вершин \\(G\\) и только красных ребер, и синий подграф, состоящий из всех вершин \\(G\\) и только синих ребер. Пусть \\(R_1,R_2,\\ldots\\) - красные компоненты связности, а \\(B_1,B_2,\\ldots\\) - синие компоненты связности. Построим вспомогательный двудольный мультиграф \\(H\\): в одной доле стоят все красные компоненты \\(R_i\\), в другой - все синие компоненты \\(B_j\\), а каждой вершине \\(v\\in V(G)\\) соответствует ребро \\(e_v\\), соединяющее ту красную компоненту и ту синюю компоненту, которым принадлежит \\(v\\). Если несколько вершин лежат в одной и той же паре компонент, в \\(H\\) появляются параллельные ребра, что разрешено. Степень вершины \\(R_i\\) в \\(H\\) равна \\(|R_i|\\), потому что ровно вершины красной компоненты \\(R_i\\) дают ребра, инцидентные \\(R_i\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-gallai-three-color-ms2012-p3-monochromatic-components-chromatic","neighbor_id":"gallai-three-color-disconnected-class","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-2012-p3-colored-tree","neighbor_id":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ms2012-p3-konig-line-coloring-prerequisite","neighbor_id":"konig-line-coloring-bipartite","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p3-regular-bipartite-decomposition-toolchain","neighbor_id":"regular-bipartite-perfect-matching-decomposition","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p3-ms2011-p2-monochromatic-component","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2011-p2-min-degree-monochromatic-connected-subgraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p3-kolmogorov2023-large-monochromatic-component","neighbor_id":"kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p3-spbmo2003-edge-to-vertex-coloring","neighbor_id":"spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree одноцветное дерево на k вершинах в 2-раскрашенном k-хроматическом графе, miklos schweitzer 2012 p3 coloring trees connectivity classical_lemma goal_existence 2012 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2012 задача 3, официальный pdf из архива miklos2012 miklosschweitzer miklosschweitzer2012 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2012-p3-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2012 задача 3, официальный pdf из архива stmt-original два цвета на ребрах ai_checked пусть дан простой граф, хроматическое число которого равно \\(k\\). все его ребра раскрашены в два цвета. докажите, что существует одноцветное дерево с \\(k\\) вершинами. simple_graph chromatic_number tree stmt-graph одноцветное дерево на k вершинах в 2-раскрашенном k-хроматическом графе, miklos schweitzer 2012 p3 ai_checked пусть \\(\\chi(g)=k\\), а рёбра графа \\(g\\) раскрашены в два цвета. докажите, что в \\(g\\) есть одноцветное дерево ровно на \\(k\\) вершинах. connected_graph tree chromatic_number idea-components-as-bipartite-multigraph одноцветные компоненты становятся вершинами двудольного мультиграфа вершину исходного графа можно рассматривать как ребро между ее красной и синей компонентами. если все одноцветные компоненты имеют меньше \\(k\\) вершин, то этот двудольный мультиграф имеет максимальную степень меньше \\(k\\); по теореме кёнига его ребра раскрашиваются в меньше чем \\(k\\) цветов. такая раскраска ребер дает правильную раскраску вершин исходного графа, противореча \\(\\chi(g)=k\\). coloring connectivity goal_existence ai_checked sol-bialostocki-gyarfas-konig-components двудольный мультиграф красных и синих компонент ai_checked chromatic_number connected_graph tree bipartite_graph degree minimal_counterexample случай \\(k=1\\) тривиален: любая вершина является деревом на одной вершине. далее считаем \\(k\\ge 2\\). рассмотрим красный подграф, состоящий из всех вершин \\(g\\) и только красных ребер, и синий подграф, состоящий из всех вершин \\(g\\) и только синих ребер. пусть \\(r_1,r_2,\\ldots\\) - красные компоненты связности, а \\(b_1,b_2,\\ldots\\) - синие компоненты связности. построим вспомогательный двудольный мультиграф \\(h\\): в одной доле стоят все красные компоненты \\(r_i\\), в другой - все синие компоненты \\(b_j\\), а каждой вершине \\(v\\in v(g)\\) соответствует ребро \\(e_v\\), соединяющее ту красную компоненту и ту синюю компоненту, которым принадлежит \\(v\\). если несколько вершин лежат в одной и той же паре компонент, в \\(h\\) появляются параллельные ребра, что разрешено. степень вершины \\(r_i\\) в \\(h\\) равна \\(|r_i|\\), потому что ровно вершины красной компоненты \\(r_i\\) дают ребра, инцидентные \\(r_i\\)… miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree odnotsvetnoe derevo na k vershinah v 2-raskrashennom k-hromaticheskom grafe, miklos schweitzer 2012 p3 coloring trees connectivity classical_lemma goal_existence 2012 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2012-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2012 zadacha 3, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2012 miklosschweitzer miklosschweitzer2012 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2012-p3-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2012 zadacha 3, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original dva tsveta na rebrah ai_checked pust dan prostoy graf, hromaticheskoe chislo kotorogo ravno \\(k\\). vse ego rebra raskrasheny v dva tsveta. dokazhite, chto suschestvuet odnotsvetnoe derevo s \\(k\\) vershinami. simple_graph chromatic_number tree stmt-graph odnotsvetnoe derevo na k vershinah v 2-raskrashennom k-hromaticheskom grafe, miklos schweitzer 2012 p3 ai_checked pust \\(\\chi(g)=k\\), a rebra grafa \\(g\\) raskrasheny v dva tsveta. dokazhite, chto v \\(g\\) est odnotsvetnoe derevo rovno na \\(k\\) vershinah. connected_graph tree chromatic_number idea-components-as-bipartite-multigraph odnotsvetnye komponenty stanovyatsya vershinami dvudolnogo multigrafa vershinu ishodnogo grafa mozhno rassmatrivat kak rebro mezhdu ee krasnoy i siney komponentami. esli vse odnotsvetnye komponenty imeyut menshe \\(k\\) vershin, to etot dvudolnyy multigraf imeet maksimalnuyu stepen menshe \\(k\\); po teoreme keniga ego rebra raskrashivayutsya v menshe chem \\(k\\) tsvetov. takaya raskraska reber daet pravilnuyu raskrasku vershin ishodnogo grafa, protivorecha \\(\\chi(g)=k\\). coloring connectivity goal_existence ai_checked sol-bialostocki-gyarfas-konig-components dvudolnyy multigraf krasnyh i sinih komponent ai_checked chromatic_number connected_graph tree bipartite_graph degree minimal_counterexample sluchay \\(k=1\\) trivialen: lyubaya vershina yavlyaetsya derevom na odnoy vershine. dalee schitaem \\(k\\ge 2\\). rassmotrim krasnyy podgraf, sostoyaschiy iz vseh vershin \\(g\\) i tolko krasnyh reber, i siniy podgraf, sostoyaschiy iz vseh vershin \\(g\\) i tolko sinih reber. pust \\(r_1,r_2,\\ldots\\) - krasnye komponenty svyaznosti, a \\(b_1,b_2,\\ldots\\) - sinie komponenty svyaznosti. postroim vspomogatelnyy dvudolnyy multigraf \\(h\\): v odnoy dole stoyat vse krasnye komponenty \\(r_i\\), v drugoy - vse sinie komponenty \\(b_j\\), a kazhdoy vershine \\(v\\in v(g)\\) sootvetstvuet rebro \\(e_v\\), soedinyayuschee tu krasnuyu komponentu i tu sinyuyu komponentu, kotorym prinadlezhit \\(v\\). esli neskolko vershin lezhat v odnoy i toy zhe pare komponent, v \\(h\\) poyavlyayutsya parallelnye rebra, chto razresheno. stepen vershiny \\(r_i\\) v \\(h\\) ravna \\(|r_i|\\), potomu chto rovno vershiny krasnoy komponenty \\(r_i\\) dayut rebra, intsidentnye \\(r_i\\)…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2014-p10-sphere-triangulation-convex-sets","title":"Триангуляция сферы и четыре пересекающихся выпуклых множества, Miklos Schweitzer 2014 P10","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2014-p10-sphere-triangulation-convex-sets.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2014-p10-sphere-triangulation-convex-sets.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2014-p10-sphere-triangulation-convex-sets","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2014 задача 10, официальный PDF из архива"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":["Frenkel Péter","Kós Géza"],"tags":["planar_graphs","graph_model","classical_theorem","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Опубликованное решение сводит задачу к плоскому рисунку: точкам треугольных граней и отрезкам, соответствующим ребрам триангуляции.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Выпуклые множества на вершинах триангуляции","status":"needs_human_review","text":"Каждой вершине заданной триангуляции двумерной сферы сопоставлено выпуклое подмножество плоскости. Предположим, что три выпуклых множества, соответствующие трем вершинам любой двумерной грани триангуляции, имеют общую точку. Докажите, что существуют четыре вершины, для которых соответствующие выпуклые множества имеют общую точку.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Триангуляция сферы и четыре пересекающихся выпуклых множества, Miklos Schweitzer 2014 P10","status":"ai_checked","text":"Вершинам триангуляции двумерной сферы сопоставлены выпуклые множества плоскости. Для каждой треугольной грани три соответствующих множества имеют общую точку. Докажите, что найдутся четыре вершины, которым соответствуют множества с общей точкой.","definition_ids":["planar_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-published-segment-drawing","title":"ИИ-решение по опубликованному разбору через отрезки между точками граней","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(K_Z\\) выпуклое множество, сопоставленное вершине \\(Z\\) триангуляции. Для каждой треугольной грани \\(\\Delta\\) выберем точку \\(P_\\Delta\\), принадлежащую трем множествам при вершинах \\(\\Delta\\). Если \\(\\varepsilon\\) -- ребро триангуляции, а \\(\\Delta_1,\\Delta_2\\) -- две грани, прилегающие к нему, поставим ребру \\(\\varepsilon\\) в соответствие отрезок \\(e_\\varepsilon=P_{\\Delta_1}P_{\\Delta_2}\\) на плоскости. Важное наблюдение: если ребро \\(\\varepsilon\\) выходит из вершины \\(Z\\), то оба его прилегающих треугольника содержат \\(Z\\), поэтому оба конца отрезка \\(e_\\varepsilon\\) лежат в \\(K_Z\\). По выпуклости весь отрезок \\(e_\\varepsilon\\) лежит в \\(K_Z\\). Если для некоторой грани \\(\\Delta\\) и вершины \\(Z\\), не лежащей на \\(\\Delta\\), выполнено \\(P_\\Delta\\in K_Z\\), то \\(P_\\Delta\\) является общей точкой четырех множеств: трех множеств при вершинах \\(\\Delta\\) и множества \\(K_Z\\). Поэт…"}],"relations":[],"search_text":"miklos-schweitzer-2014-p10-sphere-triangulation-convex-sets триангуляция сферы и четыре пересекающихся выпуклых множества, miklos schweitzer 2014 p10 planar_graphs graph_model classical_theorem goal_existence 2014 frenkel péter frenkelpéter https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2014-eng.pdf kós géza kósgéza miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2014 задача 10, официальный pdf из архива miklos2014 miklosschweitzer miklosschweitzer2014 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2014-p10-official with_solution frenkel péter kós géza miklos schweitzer memorial competition 2014 задача 10, официальный pdf из архива stmt-original выпуклые множества на вершинах триангуляции needs_human_review каждой вершине заданной триангуляции двумерной сферы сопоставлено выпуклое подмножество плоскости. предположим, что три выпуклых множества, соответствующие трем вершинам любой двумерной грани триангуляции, имеют общую точку. докажите, что существуют четыре вершины, для которых соответствующие выпуклые множества имеют общую точку. stmt-graph триангуляция сферы и четыре пересекающихся выпуклых множества, miklos schweitzer 2014 p10 ai_checked вершинам триангуляции двумерной сферы сопоставлены выпуклые множества плоскости. для каждой треугольной грани три соответствующих множества имеют общую точку. докажите, что найдутся четыре вершины, которым соответствуют множества с общей точкой. planar_graph clique idea-helly-planar-nerve локальные тройные пересечения и планарная топология условие задает много 2-симплексов в нерве семейства выпуклых множеств. так как в плоскости действует теорема хелли с числом 3, четверное пересечение надо добывать из топологии сферической триангуляции, а не только из одной грани. planar_graphs classical_theorem goal_existence needs_human_review sol-ai-published-segment-drawing ии-решение по опубликованному разбору через отрезки между точками граней ai_checked обозначим через \\(k_z\\) выпуклое множество, сопоставленное вершине \\(z\\) триангуляции. для каждой треугольной грани \\(\\delta\\) выберем точку \\(p_\\delta\\), принадлежащую трем множествам при вершинах \\(\\delta\\). если \\(\\varepsilon\\) -- ребро триангуляции, а \\(\\delta_1,\\delta_2\\) -- две грани, прилегающие к нему, поставим ребру \\(\\varepsilon\\) в соответствие отрезок \\(e_\\varepsilon=p_{\\delta_1}p_{\\delta_2}\\) на плоскости. важное наблюдение: если ребро \\(\\varepsilon\\) выходит из вершины \\(z\\), то оба его прилегающих треугольника содержат \\(z\\), поэтому оба конца отрезка \\(e_\\varepsilon\\) лежат в \\(k_z\\). по выпуклости весь отрезок \\(e_\\varepsilon\\) лежит в \\(k_z\\). если для некоторой грани \\(\\delta\\) и вершины \\(z\\), не лежащей на \\(\\delta\\), выполнено \\(p_\\delta\\in k_z\\), то \\(p_\\delta\\) является общей точкой четырех множеств: трех множеств при вершинах \\(\\delta\\) и множества \\(k_z\\). поэт… miklos-schweitzer-2014-p10-sphere-triangulation-convex-sets triangulyatsiya sfery i chetyre peresekayuschihsya vypuklyh mnozhestva, miklos schweitzer 2014 p10 planar_graphs graph_model classical_theorem goal_existence 2014 frenkel péter frenkelpéter https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2014-eng.pdf kós géza kósgéza miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2014 zadacha 10, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2014 miklosschweitzer miklosschweitzer2014 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2014-p10-official with_solution frenkel péter kós géza miklos schweitzer memorial competition 2014 zadacha 10, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original vypuklye mnozhestva na vershinah triangulyatsii needs_human_review kazhdoy vershine zadannoy triangulyatsii dvumernoy sfery sopostavleno vypukloe podmnozhestvo ploskosti. predpolozhim, chto tri vypuklyh mnozhestva, sootvetstvuyuschie trem vershinam lyuboy dvumernoy grani triangulyatsii, imeyut obschuyu tochku. dokazhite, chto suschestvuyut chetyre vershiny, dlya kotoryh sootvetstvuyuschie vypuklye mnozhestva imeyut obschuyu tochku. stmt-graph triangulyatsiya sfery i chetyre peresekayuschihsya vypuklyh mnozhestva, miklos schweitzer 2014 p10 ai_checked vershinam triangulyatsii dvumernoy sfery sopostavleny vypuklye mnozhestva ploskosti. dlya kazhdoy treugolnoy grani tri sootvetstvuyuschih mnozhestva imeyut obschuyu tochku. dokazhite, chto naydutsya chetyre vershiny, kotorym sootvetstvuyut mnozhestva s obschey tochkoy. planar_graph clique idea-helly-planar-nerve lokalnye troynye peresecheniya i planarnaya topologiya uslovie zadaet mnogo 2-simpleksov v nerve semeystva vypuklyh mnozhestv. tak kak v ploskosti deystvuet teorema helli s chislom 3, chetvernoe peresechenie nado dobyvat iz topologii sfericheskoy triangulyatsii, a ne tolko iz odnoy grani. planar_graphs classical_theorem goal_existence needs_human_review sol-ai-published-segment-drawing ii-reshenie po opublikovannomu razboru cherez otrezki mezhdu tochkami graney ai_checked oboznachim cherez \\(k_z\\) vypukloe mnozhestvo, sopostavlennoe vershine \\(z\\) triangulyatsii. dlya kazhdoy treugolnoy grani \\(\\delta\\) vyberem tochku \\(p_\\delta\\), prinadlezhaschuyu trem mnozhestvam pri vershinah \\(\\delta\\). esli \\(\\varepsilon\\) -- rebro triangulyatsii, a \\(\\delta_1,\\delta_2\\) -- dve grani, prilegayuschie k nemu, postavim rebru \\(\\varepsilon\\) v sootvetstvie otrezok \\(e_\\varepsilon=p_{\\delta_1}p_{\\delta_2}\\) na ploskosti. vazhnoe nablyudenie: esli rebro \\(\\varepsilon\\) vyhodit iz vershiny \\(z\\), to oba ego prilegayuschih treugolnika soderzhat \\(z\\), poetomu oba kontsa otrezka \\(e_\\varepsilon\\) lezhat v \\(k_z\\). po vypuklosti ves otrezok \\(e_\\varepsilon\\) lezhit v \\(k_z\\). esli dlya nekotoroy grani \\(\\delta\\) i vershiny \\(z\\), ne lezhaschey na \\(\\delta\\), vypolneno \\(p_\\delta\\in k_z\\), to \\(p_\\delta\\) yavlyaetsya obschey tochkoy chetyreh mnozhestv: treh mnozhestv pri vershinah \\(\\delta\\) i mnozhestva \\(k_z\\). poet…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2015-p2-van-der-corput-rectangle-graph-coloring","title":"Граф видимости точек Ван дер Корпута прямоугольниками, Miklos Schweitzer 2015 P2","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2015-p2-van-der-corput-rectangle-graph-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2015-p2-van-der-corput-rectangle-graph-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2015-p2-van-der-corput-rectangle-graph-coloring","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2015 задача 2, официальный PDF из архива"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":["Gábor Tardos"],"tags":["coloring","graph_model","goal_bound","construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Явная бесконечная геометрическая графовая задача; решение зависит от тонкой структуры последовательности.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Прямоугольники и последовательность Ван дер Корпута","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(x_n\\) - последовательность Ван дер Корпута: если двоичная запись \\(n\\) равна \\(\\sum a_i2^i\\), то \\(x_n=\\sum a_i2^{-i-1}\\). Пусть \\(V\\) - множество точек плоскости вида \\((n,x_n)\\). Определим граф \\(G\\) с множеством вершин \\(V\\): две точки \\(p,q\\) соединены ребром, если существует осепараллельный прямоугольник \\(R\\), для которого \\(R\\cap V=\\{p,q\\}\\). Докажите, что хроматическое число \\(G\\) конечно.","definition_ids":["chromatic_number"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Геометрический граф","status":"ai_checked","text":"На бесконечном множестве точек \\((n,x_n)\\) задан граф прямоугольной видимости: ребро означает, что пара точек может быть отделена осепараллельным прямоугольником от всех остальных точек множества. Нужно доказать ограниченность хроматического числа этого бесконечного графа абсолютной константой.","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-official-mod-7-coloring","title":"Раскраска по остатку первой координаты по модулю 7","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Кодируем вершину \\((n,x_n)\\) бесконечной влево двоичной последовательностью \\((a_i)_{i\\ge 0}\\), где \\(n=\\sum a_i2^i\\); слева дописываем сколько угодно нулей. В такой записи первая координата сравнивается по первому отличающемуся биту слева: больше то число, у которого в этом месте стоит \\(1\\). Вторая координата \\(x_n=\\sum a_i2^{-i-1}\\) сравнивается по последнему отличающемуся биту справа: больше то \\(x_n\\), у которого в этом месте стоит \\(1\\). Две вершины не соединены ребром тогда и только тогда, когда существует третья вершина, лежащая между ними и по первой, и по второй координате. Действительно, если такая вершина есть, всякий осепараллельный прямоугольник, содержащий две данные вершины, содержит и её. Обратно, если такой вершины нет, маленькое расширение прямоугольника с противоположными углами в этих двух точках содержит из \\(V\\) только эти две точки. Возьмём две разные кодовые пос…"}],"relations":[],"search_text":"miklos-schweitzer-2015-p2-van-der-corput-rectangle-graph-coloring граф видимости точек ван дер корпута прямоугольниками, miklos schweitzer 2015 p2 coloring graph_model goal_bound construction 2015 gábor tardos gábortardos https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2015-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2015 задача 2, официальный pdf из архива miklos2015 miklosschweitzer miklosschweitzer2015 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2015-p2-official with_solution gábor tardos miklos schweitzer memorial competition 2015 задача 2, официальный pdf из архива stmt-original прямоугольники и последовательность ван дер корпута ai_checked пусть \\(x_n\\) - последовательность ван дер корпута: если двоичная запись \\(n\\) равна \\(\\sum a_i2^i\\), то \\(x_n=\\sum a_i2^{-i-1}\\). пусть \\(v\\) - множество точек плоскости вида \\((n,x_n)\\). определим граф \\(g\\) с множеством вершин \\(v\\): две точки \\(p,q\\) соединены ребром, если существует осепараллельный прямоугольник \\(r\\), для которого \\(r\\cap v=\\{p,q\\}\\). докажите, что хроматическое число \\(g\\) конечно. chromatic_number stmt-graph геометрический граф ai_checked на бесконечном множестве точек \\((n,x_n)\\) задан граф прямоугольной видимости: ребро означает, что пара точек может быть отделена осепараллельным прямоугольником от всех остальных точек множества. нужно доказать ограниченность хроматического числа этого бесконечного графа абсолютной константой. simple_graph chromatic_number idea-dyadic-levels сравнить первый и последний отличающиеся биты если вершину \\((n,x_n)\\) кодировать двоичной записью \\(n\\), то порядок по первой координате задаётся первым отличающимся битом слева, а порядок по второй координате - последним отличающимся битом справа. это позволяет перечислить все возможные пары, которые вообще могут быть рёбрами, и увидеть, что разность их первых координат не делится на \\(7\\). coloring graph_model goal_bound ai_checked sol-ai-official-mod-7-coloring раскраска по остатку первой координаты по модулю 7 ai_checked simple_graph chromatic_number кодируем вершину \\((n,x_n)\\) бесконечной влево двоичной последовательностью \\((a_i)_{i\\ge 0}\\), где \\(n=\\sum a_i2^i\\); слева дописываем сколько угодно нулей. в такой записи первая координата сравнивается по первому отличающемуся биту слева: больше то число, у которого в этом месте стоит \\(1\\). вторая координата \\(x_n=\\sum a_i2^{-i-1}\\) сравнивается по последнему отличающемуся биту справа: больше то \\(x_n\\), у которого в этом месте стоит \\(1\\). две вершины не соединены ребром тогда и только тогда, когда существует третья вершина, лежащая между ними и по первой, и по второй координате. действительно, если такая вершина есть, всякий осепараллельный прямоугольник, содержащий две данные вершины, содержит и её. обратно, если такой вершины нет, маленькое расширение прямоугольника с противоположными углами в этих двух точках содержит из \\(v\\) только эти две точки. возьмём две разные кодовые пос… miklos-schweitzer-2015-p2-van-der-corput-rectangle-graph-coloring graf vidimosti tochek van der korputa pryamougolnikami, miklos schweitzer 2015 p2 coloring graph_model goal_bound construction 2015 gábor tardos gábortardos https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2015-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2015 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2015 miklosschweitzer miklosschweitzer2015 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2015-p2-official with_solution gábor tardos miklos schweitzer memorial competition 2015 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original pryamougolniki i posledovatelnost van der korputa ai_checked pust \\(x_n\\) - posledovatelnost van der korputa: esli dvoichnaya zapis \\(n\\) ravna \\(\\sum a_i2^i\\), to \\(x_n=\\sum a_i2^{-i-1}\\). pust \\(v\\) - mnozhestvo tochek ploskosti vida \\((n,x_n)\\). opredelim graf \\(g\\) s mnozhestvom vershin \\(v\\): dve tochki \\(p,q\\) soedineny rebrom, esli suschestvuet oseparallelnyy pryamougolnik \\(r\\), dlya kotorogo \\(r\\cap v=\\{p,q\\}\\). dokazhite, chto hromaticheskoe chislo \\(g\\) konechno. chromatic_number stmt-graph geometricheskiy graf ai_checked na beskonechnom mnozhestve tochek \\((n,x_n)\\) zadan graf pryamougolnoy vidimosti: rebro oznachaet, chto para tochek mozhet byt otdelena oseparallelnym pryamougolnikom ot vseh ostalnyh tochek mnozhestva. nuzhno dokazat ogranichennost hromaticheskogo chisla etogo beskonechnogo grafa absolyutnoy konstantoy. simple_graph chromatic_number idea-dyadic-levels sravnit pervyy i posledniy otlichayuschiesya bity esli vershinu \\((n,x_n)\\) kodirovat dvoichnoy zapisyu \\(n\\), to poryadok po pervoy koordinate zadaetsya pervym otlichayuschimsya bitom sleva, a poryadok po vtoroy koordinate - poslednim otlichayuschimsya bitom sprava. eto pozvolyaet perechislit vse vozmozhnye pary, kotorye voobsche mogut byt rebrami, i uvidet, chto raznost ih pervyh koordinat ne delitsya na \\(7\\). coloring graph_model goal_bound ai_checked sol-ai-official-mod-7-coloring raskraska po ostatku pervoy koordinaty po modulyu 7 ai_checked simple_graph chromatic_number kodiruem vershinu \\((n,x_n)\\) beskonechnoy vlevo dvoichnoy posledovatelnostyu \\((a_i)_{i\\ge 0}\\), gde \\(n=\\sum a_i2^i\\); sleva dopisyvaem skolko ugodno nuley. v takoy zapisi pervaya koordinata sravnivaetsya po pervomu otlichayuschemusya bitu sleva: bolshe to chislo, u kotorogo v etom meste stoit \\(1\\). vtoraya koordinata \\(x_n=\\sum a_i2^{-i-1}\\) sravnivaetsya po poslednemu otlichayuschemusya bitu sprava: bolshe to \\(x_n\\), u kotorogo v etom meste stoit \\(1\\). dve vershiny ne soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda suschestvuet tretya vershina, lezhaschaya mezhdu nimi i po pervoy, i po vtoroy koordinate. deystvitelno, esli takaya vershina est, vsyakiy oseparallelnyy pryamougolnik, soderzhaschiy dve dannye vershiny, soderzhit i ee. obratno, esli takoy vershiny net, malenkoe rasshirenie pryamougolnika s protivopolozhnymi uglami v etih dvuh tochkah soderzhit iz \\(v\\) tolko eti dve tochki. vozmem dve raznye kodovye pos…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2015-p3-relation-minimal-dominating-set","title":"Минимальное доминирующее множество в ориентированном отношении, Miklos Schweitzer 2015 P3","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2015-p3-relation-minimal-dominating-set.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2015-p3-relation-minimal-dominating-set.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2015-p3-relation-minimal-dominating-set","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2015 задача 3, официальный PDF из архива"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":["László Zádori"],"tags":["graph_model","minimal_counterexample","goal_bound","connectivity"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Ядро задачи похоже на стандартный аргумент с частными соседями, но направление дуг требует аккуратной проверки.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Бинарное отношение","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(A\\) - конечное множество, а \\(\\to\\) - бинарное отношение на нем такое, что для любых \\(a,b,c\\in A\\), если \\(a\\ne b\\), \\(a\\to c\\) и \\(b\\to c\\), то либо \\(a\\to b\\), либо \\(b\\to a\\), либо оба отношения верны. Пусть \\(B\\subset A\\) минимально по включению среди множеств со свойством: для каждого \\(a\\in A\\setminus B\\) существует \\(b\\in B\\), такое что \\(a\\to b\\) или \\(b\\to a\\). Если в \\(A\\) есть не более \\(k\\) попарно не связанных отношением элементов, докажите, что \\(|B|\\le k\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Ориентированная графовая формулировка","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим ориентированный граф отношения на \\(A\\), а неориентированную смежность зададим наличием хотя бы одной дуги между двумя вершинами. Условие говорит: любые две различные вершины, имеющие общую исходящую дугу в одну вершину, смежны между собой. Минимальное множество \\(B\\), доминирующее все остальные вершины по неориентированной смежности, должно иметь размер не больше числа независимости этого неориентированного графа.","definition_ids":["directed_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-private-witnesses-official","title":"ИИ-решение по официальному разбору: частные свидетели минимальности","status":"ai_checked","definition_ids":["dominating_set","independent_set"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим \\(x\\sim y\\), если выполнено хотя бы одно из отношений \\(x\\to y\\) или \\(y\\to x\\). Пусть \\(B=\\{b_1,\\ldots,b_m\\}\\). Докажем, что можно выбрать \\(m\\) попарно не связанных отношением элементов множества \\(A\\); тогда из условия сразу последует \\(m\\le k\\). Зафиксируем \\(i\\). Так как \\(B\\) минимально по включению, множество \\(B\\setminus\\{b_i\\}\\) уже не обладает требуемым свойством. Значит, либо существует элемент \\(c_i\\in A\\setminus B\\), который был доминирован только через \\(b_i\\), то есть \\(c_i\\sim b_i\\) и \\(c_i\\not\\sim b_j\\) при всех \\(j\\ne i\\), либо такого внешнего свидетеля нет, и тогда сам элемент \\(b_i\\) не доминируется множеством \\(B\\setminus\\{b_i\\}\\), то есть \\(b_i\\not\\sim b_j\\) при всех \\(j\\ne i\\). Перенумеруем элементы так, что первый случай имеет место ровно для \\(i=1,\\ldots,l\\). Для каждого \\(i\\le l\\) выберем такой внешний свидетель \\(c_i\\). Эти свидетели различны: если б…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2015-p3-dominating","neighbor_id":"tree-total-domination-two-thirds","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2015-p3-relation-minimal-dominating-set минимальное доминирующее множество в ориентированном отношении, miklos schweitzer 2015 p3 graph_model minimal_counterexample goal_bound connectivity 2015 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2015-eng.pdf lászló zádori lászlózádori miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2015 задача 3, официальный pdf из архива miklos2015 miklosschweitzer miklosschweitzer2015 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2015-p3-official with_solution lászló zádori miklos schweitzer memorial competition 2015 задача 3, официальный pdf из архива stmt-original бинарное отношение needs_human_review пусть \\(a\\) - конечное множество, а \\(\\to\\) - бинарное отношение на нем такое, что для любых \\(a,b,c\\in a\\), если \\(a\\ne b\\), \\(a\\to c\\) и \\(b\\to c\\), то либо \\(a\\to b\\), либо \\(b\\to a\\), либо оба отношения верны. пусть \\(b\\subset a\\) минимально по включению среди множеств со свойством: для каждого \\(a\\in a\\setminus b\\) существует \\(b\\in b\\), такое что \\(a\\to b\\) или \\(b\\to a\\). если в \\(a\\) есть не более \\(k\\) попарно не связанных отношением элементов, докажите, что \\(|b|\\le k\\). stmt-graph ориентированная графовая формулировка ai_checked рассмотрим ориентированный граф отношения на \\(a\\), а неориентированную смежность зададим наличием хотя бы одной дуги между двумя вершинами. условие говорит: любые две различные вершины, имеющие общую исходящую дугу в одну вершину, смежны между собой. минимальное множество \\(b\\), доминирующее все остальные вершины по неориентированной смежности, должно иметь размер не больше числа независимости этого неориентированного графа. directed_graph independent_set idea-private-witnesses минимальность дает частные свидетели для каждого \\(b\\in b\\) минимальность должна дать вершину-свидетеля, которая теряет доминирование при удалении \\(b\\). условие про общий образ затем должно заставить этих свидетелей быть попарно несмежными, что и дает оценку через \\(k\\). minimal_counterexample graph_model goal_bound needs_human_review sol-ai-private-witnesses-official ии-решение по официальному разбору: частные свидетели минимальности ai_checked dominating_set independent_set minimal_counterexample обозначим \\(x\\sim y\\), если выполнено хотя бы одно из отношений \\(x\\to y\\) или \\(y\\to x\\). пусть \\(b=\\{b_1,\\ldots,b_m\\}\\). докажем, что можно выбрать \\(m\\) попарно не связанных отношением элементов множества \\(a\\); тогда из условия сразу последует \\(m\\le k\\). зафиксируем \\(i\\). так как \\(b\\) минимально по включению, множество \\(b\\setminus\\{b_i\\}\\) уже не обладает требуемым свойством. значит, либо существует элемент \\(c_i\\in a\\setminus b\\), который был доминирован только через \\(b_i\\), то есть \\(c_i\\sim b_i\\) и \\(c_i\\not\\sim b_j\\) при всех \\(j\\ne i\\), либо такого внешнего свидетеля нет, и тогда сам элемент \\(b_i\\) не доминируется множеством \\(b\\setminus\\{b_i\\}\\), то есть \\(b_i\\not\\sim b_j\\) при всех \\(j\\ne i\\). перенумеруем элементы так, что первый случай имеет место ровно для \\(i=1,\\ldots,l\\). для каждого \\(i\\le l\\) выберем такой внешний свидетель \\(c_i\\). эти свидетели различны: если б… miklos-schweitzer-2015-p3-relation-minimal-dominating-set minimalnoe dominiruyuschee mnozhestvo v orientirovannom otnoshenii, miklos schweitzer 2015 p3 graph_model minimal_counterexample goal_bound connectivity 2015 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2015-eng.pdf lászló zádori lászlózádori miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2015 zadacha 3, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2015 miklosschweitzer miklosschweitzer2015 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2015-p3-official with_solution lászló zádori miklos schweitzer memorial competition 2015 zadacha 3, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original binarnoe otnoshenie needs_human_review pust \\(a\\) - konechnoe mnozhestvo, a \\(\\to\\) - binarnoe otnoshenie na nem takoe, chto dlya lyubyh \\(a,b,c\\in a\\), esli \\(a\\ne b\\), \\(a\\to c\\) i \\(b\\to c\\), to libo \\(a\\to b\\), libo \\(b\\to a\\), libo oba otnosheniya verny. pust \\(b\\subset a\\) minimalno po vklyucheniyu sredi mnozhestv so svoystvom: dlya kazhdogo \\(a\\in a\\setminus b\\) suschestvuet \\(b\\in b\\), takoe chto \\(a\\to b\\) ili \\(b\\to a\\). esli v \\(a\\) est ne bolee \\(k\\) poparno ne svyazannyh otnosheniem elementov, dokazhite, chto \\(|b|\\le k\\). stmt-graph orientirovannaya grafovaya formulirovka ai_checked rassmotrim orientirovannyy graf otnosheniya na \\(a\\), a neorientirovannuyu smezhnost zadadim nalichiem hotya by odnoy dugi mezhdu dvumya vershinami. uslovie govorit: lyubye dve razlichnye vershiny, imeyuschie obschuyu ishodyaschuyu dugu v odnu vershinu, smezhny mezhdu soboy. minimalnoe mnozhestvo \\(b\\), dominiruyuschee vse ostalnye vershiny po neorientirovannoy smezhnosti, dolzhno imet razmer ne bolshe chisla nezavisimosti etogo neorientirovannogo grafa. directed_graph independent_set idea-private-witnesses minimalnost daet chastnye svideteli dlya kazhdogo \\(b\\in b\\) minimalnost dolzhna dat vershinu-svidetelya, kotoraya teryaet dominirovanie pri udalenii \\(b\\). uslovie pro obschiy obraz zatem dolzhno zastavit etih svideteley byt poparno nesmezhnymi, chto i daet otsenku cherez \\(k\\). minimal_counterexample graph_model goal_bound needs_human_review sol-ai-private-witnesses-official ii-reshenie po ofitsialnomu razboru: chastnye svideteli minimalnosti ai_checked dominating_set independent_set minimal_counterexample oboznachim \\(x\\sim y\\), esli vypolneno hotya by odno iz otnosheniy \\(x\\to y\\) ili \\(y\\to x\\). pust \\(b=\\{b_1,\\ldots,b_m\\}\\). dokazhem, chto mozhno vybrat \\(m\\) poparno ne svyazannyh otnosheniem elementov mnozhestva \\(a\\); togda iz usloviya srazu posleduet \\(m\\le k\\). zafiksiruem \\(i\\). tak kak \\(b\\) minimalno po vklyucheniyu, mnozhestvo \\(b\\setminus\\{b_i\\}\\) uzhe ne obladaet trebuemym svoystvom. znachit, libo suschestvuet element \\(c_i\\in a\\setminus b\\), kotoryy byl dominirovan tolko cherez \\(b_i\\), to est \\(c_i\\sim b_i\\) i \\(c_i\\not\\sim b_j\\) pri vseh \\(j\\ne i\\), libo takogo vneshnego svidetelya net, i togda sam element \\(b_i\\) ne dominiruetsya mnozhestvom \\(b\\setminus\\{b_i\\}\\), to est \\(b_i\\not\\sim b_j\\) pri vseh \\(j\\ne i\\). perenumeruem elementy tak, chto pervyy sluchay imeet mesto rovno dlya \\(i=1,\\ldots,l\\). dlya kazhdogo \\(i\\le l\\) vyberem takoy vneshniy svidetel \\(c_i\\). eti svideteli razlichny: esli b…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2016-p2-complete-graph-collinear-edge-labels","title":"Метки ребер полного графа и коллинеарность на треугольниках, Miklos Schweitzer 2016 P2","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2016-p2-complete-graph-collinear-edge-labels.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2016-p2-complete-graph-collinear-edge-labels.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2016-p2-complete-graph-collinear-edge-labels","source_key":"miklos","source_label":"Miklos Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2016 задача 2, официальный PDF из архива"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","connectivity","coloring","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Условие элементарно формулируется на полном графе, но доказательство требует сильного распространения локального треугольного ограничения.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"external_theorem_application","label":"применение внешней теоремы","status":"needs_human_review","confidence":0.84,"basis":"аудит группы D по внешним теоремам 2026-05-06","notes":"Сведение использует трёхцветную лемму Галлаи о несвязном цвете: при любой 3-раскраске рёбер полного графа без радужного треугольника один цветовой класс несвязен. Это небольшое применение теоремы Галлаи, теперь связанное с отдельной карточкой теоремы.","audit_source":"group-d-hamiltonian-brooks-ramsey-chromatic-audit"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Отображение ребер в евклидово пространство","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(K=(V,E)\\) - конечный простой полный граф, а \\(d\\) - положительное целое число. Пусть \\(\\varphi:E\\to\\mathbb R^d\\) - отображение множества ребер в евклидово пространство, такое что прообраз любой точки из образа задает связный граф на всем множестве вершин \\(V\\), а точки, сопоставленные ребрам любого треугольника в \\(K\\), коллинеарны. Докажите, что образ \\(\\varphi\\) лежит на одной прямой.","definition_ids":["complete_graph","connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Метки ребер полного графа и коллинеарность на треугольниках, Miklos Schweitzer 2016 P2","status":"ai_checked","text":"Ребра полного графа раскрашены точками пространства \\(\\mathbb R^d\\). Каждый цветовой класс, если понимать его как остовный подграф на \\(V\\), связен. Кроме того, три цвета на ребрах любого треугольника лежат на одной прямой. Нужно доказать, что все использованные цвета лежат на одной прямой.","definition_ids":["chromatic_number","complete_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-gallai-reduction","title":"ИИ-решение через лемму Галлаи о раскрасках без радужных треугольников","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","connected_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем от противного, что образ \\(\\varphi\\) не может содержать три неколлинеарные точки. Нам понадобится стандартная лемма Галлаи в следующей форме: если ребра полного графа раскрашены так, что нет треугольника с тремя попарно различными цветами, и каждый использованный цвет задает связный остовный подграф, то использовано не больше двух цветов. Действительно, по теореме Галлаи о раскрасках без радужных треугольников вершины можно нетривиально разбить на блоки так, что между разными блоками встречаются только два цвета, а все ребра между каждой парой блоков одноцветны. Тогда всякий третий цвет может встречаться только внутри одного или нескольких блоков и не имеет ребер между блоками; поэтому его цветовой подграф не может быть связным на всем множестве вершин. Значит, при связности всех цветовых классов третьего цвета быть не может. Предположим теперь, что множество \\(P=\\varphi(E)\\) не…"}],"relations":[{"id":"rel-gallai-three-color-miklos-schweitzer-2016-p2","neighbor_id":"gallai-three-color-disconnected-class","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2016-p2-complete-graph-collinear-edge-labels метки ребер полного графа и коллинеарность на треугольниках, miklos schweitzer 2016 p2 graph_model connectivity coloring goal_proof 2016 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2016-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2016 задача 2, официальный pdf из архива miklos2016 miklosschweitzer miklosschweitzer2016 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2016-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2016 задача 2, официальный pdf из архива stmt-original отображение ребер в евклидово пространство needs_human_review пусть \\(k=(v,e)\\) - конечный простой полный граф, а \\(d\\) - положительное целое число. пусть \\(\\varphi:e\\to\\mathbb r^d\\) - отображение множества ребер в евклидово пространство, такое что прообраз любой точки из образа задает связный граф на всем множестве вершин \\(v\\), а точки, сопоставленные ребрам любого треугольника в \\(k\\), коллинеарны. докажите, что образ \\(\\varphi\\) лежит на одной прямой. complete_graph connected_graph stmt-graph метки ребер полного графа и коллинеарность на треугольниках, miklos schweitzer 2016 p2 ai_checked ребра полного графа раскрашены точками пространства \\(\\mathbb r^d\\). каждый цветовой класс, если понимать его как остовный подграф на \\(v\\), связен. кроме того, три цвета на ребрах любого треугольника лежат на одной прямой. нужно доказать, что все использованные цвета лежат на одной прямой. chromatic_number complete_graph triangle idea-propagate-line-through-triangles коллинеарность распространяется по связным цветовым классам если два цвета уже задают прямую, то связность прообразов должна позволить через треугольники протащить ограничение на третий цвет. главная трудность - аккуратно показать, что любой новый цвет связан цепочкой треугольников с уже выбранными двумя цветами. connectivity graph_model goal_proof needs_human_review sol-ai-gallai-reduction ии-решение через лемму галлаи о раскрасках без радужных треугольников ai_checked complete_graph connected_graph докажем от противного, что образ \\(\\varphi\\) не может содержать три неколлинеарные точки. нам понадобится стандартная лемма галлаи в следующей форме: если ребра полного графа раскрашены так, что нет треугольника с тремя попарно различными цветами, и каждый использованный цвет задает связный остовный подграф, то использовано не больше двух цветов. действительно, по теореме галлаи о раскрасках без радужных треугольников вершины можно нетривиально разбить на блоки так, что между разными блоками встречаются только два цвета, а все ребра между каждой парой блоков одноцветны. тогда всякий третий цвет может встречаться только внутри одного или нескольких блоков и не имеет ребер между блоками; поэтому его цветовой подграф не может быть связным на всем множестве вершин. значит, при связности всех цветовых классов третьего цвета быть не может. предположим теперь, что множество \\(p=\\varphi(e)\\) не… miklos-schweitzer-2016-p2-complete-graph-collinear-edge-labels metki reber polnogo grafa i kollinearnost na treugolnikah, miklos schweitzer 2016 p2 graph_model connectivity coloring goal_proof 2016 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2016-eng.pdf miklos miklos schweitzer miklos schweitzer memorial competition 2016 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2016 miklosschweitzer miklosschweitzer2016 problem_and_solution src-miklos-schweitzer-2016-p2-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2016 zadacha 2, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original otobrazhenie reber v evklidovo prostranstvo needs_human_review pust \\(k=(v,e)\\) - konechnyy prostoy polnyy graf, a \\(d\\) - polozhitelnoe tseloe chislo. pust \\(\\varphi:e\\to\\mathbb r^d\\) - otobrazhenie mnozhestva reber v evklidovo prostranstvo, takoe chto proobraz lyuboy tochki iz obraza zadaet svyaznyy graf na vsem mnozhestve vershin \\(v\\), a tochki, sopostavlennye rebram lyubogo treugolnika v \\(k\\), kollinearny. dokazhite, chto obraz \\(\\varphi\\) lezhit na odnoy pryamoy. complete_graph connected_graph stmt-graph metki reber polnogo grafa i kollinearnost na treugolnikah, miklos schweitzer 2016 p2 ai_checked rebra polnogo grafa raskrasheny tochkami prostranstva \\(\\mathbb r^d\\). kazhdyy tsvetovoy klass, esli ponimat ego kak ostovnyy podgraf na \\(v\\), svyazen. krome togo, tri tsveta na rebrah lyubogo treugolnika lezhat na odnoy pryamoy. nuzhno dokazat, chto vse ispolzovannye tsveta lezhat na odnoy pryamoy. chromatic_number complete_graph triangle idea-propagate-line-through-triangles kollinearnost rasprostranyaetsya po svyaznym tsvetovym klassam esli dva tsveta uzhe zadayut pryamuyu, to svyaznost proobrazov dolzhna pozvolit cherez treugolniki protaschit ogranichenie na tretiy tsvet. glavnaya trudnost - akkuratno pokazat, chto lyuboy novyy tsvet svyazan tsepochkoy treugolnikov s uzhe vybrannymi dvumya tsvetami. connectivity graph_model goal_proof needs_human_review sol-ai-gallai-reduction ii-reshenie cherez lemmu gallai o raskraskah bez raduzhnyh treugolnikov ai_checked complete_graph connected_graph dokazhem ot protivnogo, chto obraz \\(\\varphi\\) ne mozhet soderzhat tri nekollinearnye tochki. nam ponadobitsya standartnaya lemma gallai v sleduyuschey forme: esli rebra polnogo grafa raskrasheny tak, chto net treugolnika s tremya poparno razlichnymi tsvetami, i kazhdyy ispolzovannyy tsvet zadaet svyaznyy ostovnyy podgraf, to ispolzovano ne bolshe dvuh tsvetov. deystvitelno, po teoreme gallai o raskraskah bez raduzhnyh treugolnikov vershiny mozhno netrivialno razbit na bloki tak, chto mezhdu raznymi blokami vstrechayutsya tolko dva tsveta, a vse rebra mezhdu kazhdoy paroy blokov odnotsvetny. togda vsyakiy tretiy tsvet mozhet vstrechatsya tolko vnutri odnogo ili neskolkih blokov i ne imeet reber mezhdu blokami; poetomu ego tsvetovoy podgraf ne mozhet byt svyaznym na vsem mnozhestve vershin. znachit, pri svyaznosti vseh tsvetovyh klassov tretego tsveta byt ne mozhet. predpolozhim teper, chto mnozhestvo \\(p=\\varphi(e)\\) ne…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2017-p1-triangle-tiling-no-shared-side","title":"Разбиение квадрата на треугольники без общей стороны, Schweitzer 2017 P1","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2017-p1-triangle-tiling-no-shared-side.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2017-p1-triangle-tiling-no-shared-side.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2017-p1-triangle-tiling-no-shared-side","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2017 задача 1, официальный PDF из архива"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","double_counting","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Короткая формулировка, но аккуратный планарный счет тонкий из-за сторон, разбитых вершинами соседних треугольников.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Разбиение квадрата","status":"ai_checked","text":"Можно ли разбить квадрат на конечное число треугольников так, чтобы никакие два треугольника не имели общей стороны? Треугольники имеют попарно непересекающиеся внутренности, а их объединение равно квадрату.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Планарная модель","status":"needs_human_review","text":"Постройте плоский граф, вершинами которого являются вершины всех треугольников и точки разбиения сторон, а ребрами - минимальные отрезки сторон треугольников между соседними такими вершинами. Нужно решить, может ли этот плоский граф быть графом разбиения квадрата на треугольные плитки, если ни одна полная сторона одной треугольной плитки не является полной стороной другой.","definition_ids":["planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-plane-graph-counting","title":"ИИ-решение через плоский граф и счёт долей сторон","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: нельзя. Предположим противное: квадрат разбит на \\(t\\) треугольников, и никакие два из них не имеют общей полной стороны. Построим плоский граф разбиения: его вершины - все вершины треугольников, а также все точки, в которых стороны треугольников разбивают друг друга; его рёбра - минимальные отрезки сторон треугольников между соседними такими точками. Обозначим через \\(v\\) и \\(e\\) числа вершин и рёбер этого графа, а через \\(b\\) - число его рёбер на границе квадрата. Тогда \\(b\\ge 4\\), граф связен, а его внутренние грани - ровно данные \\(t\\) треугольников, поэтому по формуле Эйлера \\[ v-e+(t+1)=2, \\] то есть \\[ e=v+t-1. \\tag{1} \\] Сначала оценим \\(v\\) через сумму углов треугольников. Сумма всех углов всех маленьких треугольников равна \\(t\\pi\\). В каждой внутренней вершине графа вклад углов, которые действительно являются углами маленьких треугольников с вершиной в этой точке, не ме…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2017-p1-planar-count","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2017-p1-triangle-tiling-no-shared-side разбиение квадрата на треугольники без общей стороны, schweitzer 2017 p1 planar_graphs double_counting goal_impossibility 2017 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2017-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2017 задача 1, официальный pdf из архива miklos2017 problem_and_solution schweitzer schweitzer2017 src-miklos-schweitzer-2017-p1-official with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2017 задача 1, официальный pdf из архива stmt-original разбиение квадрата ai_checked можно ли разбить квадрат на конечное число треугольников так, чтобы никакие два треугольника не имели общей стороны? треугольники имеют попарно непересекающиеся внутренности, а их объединение равно квадрату. stmt-graph планарная модель needs_human_review постройте плоский граф, вершинами которого являются вершины всех треугольников и точки разбиения сторон, а ребрами - минимальные отрезки сторон треугольников между соседними такими вершинами. нужно решить, может ли этот плоский граф быть графом разбиения квадрата на треугольные плитки, если ни одна полная сторона одной треугольной плитки не является полной стороной другой. planar_graph idea-plane-graph-counting считать макроскопический плоский граф официальные и вторичные разборы сводят задачу к счету в плоском графе разбиения: нужно учитывать число треугольников, вершин, ребер и вклад внешней границы квадрата. planar_graphs double_counting needs_human_review idea-no-complete-shared-side запрет общей стороны меняет счет границ если две плитки не могут иметь одну и ту же полную сторону, то каждая внутренняя сторона треугольника должна быть разбита вершинами соседних треугольников; это дает дополнительное неравенство для плоского графа. planar_graphs goal_impossibility needs_human_review sol-ai-plane-graph-counting ии-решение через плоский граф и счёт долей сторон ai_checked planar_graph ответ: нельзя. предположим противное: квадрат разбит на \\(t\\) треугольников, и никакие два из них не имеют общей полной стороны. построим плоский граф разбиения: его вершины - все вершины треугольников, а также все точки, в которых стороны треугольников разбивают друг друга; его рёбра - минимальные отрезки сторон треугольников между соседними такими точками. обозначим через \\(v\\) и \\(e\\) числа вершин и рёбер этого графа, а через \\(b\\) - число его рёбер на границе квадрата. тогда \\(b\\ge 4\\), граф связен, а его внутренние грани - ровно данные \\(t\\) треугольников, поэтому по формуле эйлера \\[ v-e+(t+1)=2, \\] то есть \\[ e=v+t-1. \\tag{1} \\] сначала оценим \\(v\\) через сумму углов треугольников. сумма всех углов всех маленьких треугольников равна \\(t\\pi\\). в каждой внутренней вершине графа вклад углов, которые действительно являются углами маленьких треугольников с вершиной в этой точке, не ме… miklos-schweitzer-2017-p1-triangle-tiling-no-shared-side razbienie kvadrata na treugolniki bez obschey storony, schweitzer 2017 p1 planar_graphs double_counting goal_impossibility 2017 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2017-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2017 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2017 problem_and_solution schweitzer schweitzer2017 src-miklos-schweitzer-2017-p1-official with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2017 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original razbienie kvadrata ai_checked mozhno li razbit kvadrat na konechnoe chislo treugolnikov tak, chtoby nikakie dva treugolnika ne imeli obschey storony? treugolniki imeyut poparno neperesekayuschiesya vnutrennosti, a ih obedinenie ravno kvadratu. stmt-graph planarnaya model needs_human_review postroyte ploskiy graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya vershiny vseh treugolnikov i tochki razbieniya storon, a rebrami - minimalnye otrezki storon treugolnikov mezhdu sosednimi takimi vershinami. nuzhno reshit, mozhet li etot ploskiy graf byt grafom razbieniya kvadrata na treugolnye plitki, esli ni odna polnaya storona odnoy treugolnoy plitki ne yavlyaetsya polnoy storonoy drugoy. planar_graph idea-plane-graph-counting schitat makroskopicheskiy ploskiy graf ofitsialnye i vtorichnye razbory svodyat zadachu k schetu v ploskom grafe razbieniya: nuzhno uchityvat chislo treugolnikov, vershin, reber i vklad vneshney granitsy kvadrata. planar_graphs double_counting needs_human_review idea-no-complete-shared-side zapret obschey storony menyaet schet granits esli dve plitki ne mogut imet odnu i tu zhe polnuyu storonu, to kazhdaya vnutrennyaya storona treugolnika dolzhna byt razbita vershinami sosednih treugolnikov; eto daet dopolnitelnoe neravenstvo dlya ploskogo grafa. planar_graphs goal_impossibility needs_human_review sol-ai-plane-graph-counting ii-reshenie cherez ploskiy graf i schet doley storon ai_checked planar_graph otvet: nelzya. predpolozhim protivnoe: kvadrat razbit na \\(t\\) treugolnikov, i nikakie dva iz nih ne imeyut obschey polnoy storony. postroim ploskiy graf razbieniya: ego vershiny - vse vershiny treugolnikov, a takzhe vse tochki, v kotoryh storony treugolnikov razbivayut drug druga; ego rebra - minimalnye otrezki storon treugolnikov mezhdu sosednimi takimi tochkami. oboznachim cherez \\(v\\) i \\(e\\) chisla vershin i reber etogo grafa, a cherez \\(b\\) - chislo ego reber na granitse kvadrata. togda \\(b\\ge 4\\), graf svyazen, a ego vnutrennie grani - rovno dannye \\(t\\) treugolnikov, poetomu po formule eylera \\[ v-e+(t+1)=2, \\] to est \\[ e=v+t-1. \\tag{1} \\] snachala otsenim \\(v\\) cherez summu uglov treugolnikov. summa vseh uglov vseh malenkih treugolnikov ravna \\(t\\pi\\). v kazhdoy vnutrenney vershine grafa vklad uglov, kotorye deystvitelno yavlyayutsya uglami malenkih treugolnikov s vershinoy v etoy tochke, ne me…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2018-p1-continuous-graph-countable-coloring","title":"Граф, заданный непрерывной функцией, имеет счетную раскраску, Schweitzer 2018 P1","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2018-p1-continuous-graph-countable-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2018-p1-continuous-graph-countable-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2018-p1-continuous-graph-countable-coloring","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2018 задача 1, официальный PDF из архива"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_model","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Ключ - заметить локальную независимость и использовать счетную базу евклидова пространства.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(S\\subset \\mathbb R\\) - замкнутое множество, а \\(f:\\mathbb R^{2n}\\to\\mathbb R\\) - непрерывная функция. Определим граф \\(G\\) так: точка \\(x\\in\\mathbb R^n\\) является вершиной тогда и только тогда, когда \\(f(x,x)\\notin S\\). Две вершины \\(x\\) и \\(y\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(f(x,y)\\in S\\) или \\(f(y,x)\\in S\\). Докажите, что хроматическое число \\(G\\) счетно.","definition_ids":["chromatic_number"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Топологическая формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе на подмножестве сепарабельного метрического пространства каждая вершина имеет открытую окрестность, индуцирующую независимое множество. Докажите, что такой граф допускает счетную правильную раскраску.","definition_ids":["independent_set","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-countable-base","title":"Раскраска счетной базой","status":"ai_checked","definition_ids":["independent_set","chromatic_number"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(x\\) - вершина графа. Тогда \\(f(x,x)\\notin S\\). Так как \\(S\\) замкнуто, его дополнение открыто, поэтому существует окрестность \\(W\\) числа \\(f(x,x)\\), не пересекающаяся с \\(S\\). По непрерывности отображения \\((u,v)\\mapsto f(u,v)\\) найдется окрестность \\(U_x\\) точки \\(x\\) такая, что для всех \\(u,v\\in U_x\\) выполнено \\(f(u,v)\\in W\\), а значит \\(f(u,v)\\notin S\\). Следовательно, любые две вершины из \\(U_x\\) не соединены ребром: условие ребра не выполняется ни в одном направлении. Возьмем счетную базу \\(\\mathcal B\\) пространства \\(\\mathbb R^n\\), например шары с рациональными центрами и рациональными радиусами. Для каждой вершины \\(x\\) выберем базисный элемент \\(B(x)\\in\\mathcal B\\) такой, что \\(x\\in B(x)\\subset U_x\\). Покрасим вершину \\(x\\) цветом \\(B(x)\\). Цветов не больше счетного числа. Если две вершины \\(x,y\\) получили один и тот же цвет \\(B\\), то \\(x,y\\in B\\subset U_x\\), а \\(U_x\\)…"}],"relations":[],"search_text":"miklos-schweitzer-2018-p1-continuous-graph-countable-coloring граф, заданный непрерывной функцией, имеет счетную раскраску, schweitzer 2018 p1 coloring graph_model goal_bound 2018 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2018-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2018 задача 1, официальный pdf из архива miklos2018 problem_and_solution schweitzer schweitzer2018 src-miklos-schweitzer-2018-p1-official with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2018 задача 1, официальный pdf из архива stmt-original условие ai_checked пусть \\(s\\subset \\mathbb r\\) - замкнутое множество, а \\(f:\\mathbb r^{2n}\\to\\mathbb r\\) - непрерывная функция. определим граф \\(g\\) так: точка \\(x\\in\\mathbb r^n\\) является вершиной тогда и только тогда, когда \\(f(x,x)\\notin s\\). две вершины \\(x\\) и \\(y\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(f(x,y)\\in s\\) или \\(f(y,x)\\in s\\). докажите, что хроматическое число \\(g\\) счетно. chromatic_number stmt-graph топологическая формулировка ai_checked в графе на подмножестве сепарабельного метрического пространства каждая вершина имеет открытую окрестность, индуцирующую независимое множество. докажите, что такой граф допускает счетную правильную раскраску. independent_set chromatic_number idea-local-independent-ball окрестность вершины независима так как \\(f(x,x)\\notin s\\), замкнутость \\(s\\) и непрерывность \\(f\\) дают малую окрестность \\(u\\) точки \\(x\\), в которой \\(f(u,v)\\notin s\\) для всех \\(u,v\\in u\\). значит внутри \\(u\\) нет ребер. coloring graph_model ai_checked idea-countable-base-colors цвета - элементы счетной базы у \\(\\mathbb r^n\\) есть счетная база. каждой вершине можно назначить один базисный шар, который содержит ее и лежит в независимой окрестности; вершины с одинаковым назначенным шаром попарно несмежны. coloring goal_bound ai_checked sol-countable-base раскраска счетной базой ai_checked independent_set chromatic_number пусть \\(x\\) - вершина графа. тогда \\(f(x,x)\\notin s\\). так как \\(s\\) замкнуто, его дополнение открыто, поэтому существует окрестность \\(w\\) числа \\(f(x,x)\\), не пересекающаяся с \\(s\\). по непрерывности отображения \\((u,v)\\mapsto f(u,v)\\) найдется окрестность \\(u_x\\) точки \\(x\\) такая, что для всех \\(u,v\\in u_x\\) выполнено \\(f(u,v)\\in w\\), а значит \\(f(u,v)\\notin s\\). следовательно, любые две вершины из \\(u_x\\) не соединены ребром: условие ребра не выполняется ни в одном направлении. возьмем счетную базу \\(\\mathcal b\\) пространства \\(\\mathbb r^n\\), например шары с рациональными центрами и рациональными радиусами. для каждой вершины \\(x\\) выберем базисный элемент \\(b(x)\\in\\mathcal b\\) такой, что \\(x\\in b(x)\\subset u_x\\). покрасим вершину \\(x\\) цветом \\(b(x)\\). цветов не больше счетного числа. если две вершины \\(x,y\\) получили один и тот же цвет \\(b\\), то \\(x,y\\in b\\subset u_x\\), а \\(u_x\\)… miklos-schweitzer-2018-p1-continuous-graph-countable-coloring graf, zadannyy nepreryvnoy funktsiey, imeet schetnuyu raskrasku, schweitzer 2018 p1 coloring graph_model goal_bound 2018 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2018-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2018 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2018 problem_and_solution schweitzer schweitzer2018 src-miklos-schweitzer-2018-p1-official with_solution ? miklos schweitzer memorial competition 2018 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original uslovie ai_checked pust \\(s\\subset \\mathbb r\\) - zamknutoe mnozhestvo, a \\(f:\\mathbb r^{2n}\\to\\mathbb r\\) - nepreryvnaya funktsiya. opredelim graf \\(g\\) tak: tochka \\(x\\in\\mathbb r^n\\) yavlyaetsya vershinoy togda i tolko togda, kogda \\(f(x,x)\\notin s\\). dve vershiny \\(x\\) i \\(y\\) soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda \\(f(x,y)\\in s\\) ili \\(f(y,x)\\in s\\). dokazhite, chto hromaticheskoe chislo \\(g\\) schetno. chromatic_number stmt-graph topologicheskaya formulirovka ai_checked v grafe na podmnozhestve separabelnogo metricheskogo prostranstva kazhdaya vershina imeet otkrytuyu okrestnost, indutsiruyuschuyu nezavisimoe mnozhestvo. dokazhite, chto takoy graf dopuskaet schetnuyu pravilnuyu raskrasku. independent_set chromatic_number idea-local-independent-ball okrestnost vershiny nezavisima tak kak \\(f(x,x)\\notin s\\), zamknutost \\(s\\) i nepreryvnost \\(f\\) dayut maluyu okrestnost \\(u\\) tochki \\(x\\), v kotoroy \\(f(u,v)\\notin s\\) dlya vseh \\(u,v\\in u\\). znachit vnutri \\(u\\) net reber. coloring graph_model ai_checked idea-countable-base-colors tsveta - elementy schetnoy bazy u \\(\\mathbb r^n\\) est schetnaya baza. kazhdoy vershine mozhno naznachit odin bazisnyy shar, kotoryy soderzhit ee i lezhit v nezavisimoy okrestnosti; vershiny s odinakovym naznachennym sharom poparno nesmezhny. coloring goal_bound ai_checked sol-countable-base raskraska schetnoy bazoy ai_checked independent_set chromatic_number pust \\(x\\) - vershina grafa. togda \\(f(x,x)\\notin s\\). tak kak \\(s\\) zamknuto, ego dopolnenie otkryto, poetomu suschestvuet okrestnost \\(w\\) chisla \\(f(x,x)\\), ne peresekayuschayasya s \\(s\\). po nepreryvnosti otobrazheniya \\((u,v)\\mapsto f(u,v)\\) naydetsya okrestnost \\(u_x\\) tochki \\(x\\) takaya, chto dlya vseh \\(u,v\\in u_x\\) vypolneno \\(f(u,v)\\in w\\), a znachit \\(f(u,v)\\notin s\\). sledovatelno, lyubye dve vershiny iz \\(u_x\\) ne soedineny rebrom: uslovie rebra ne vypolnyaetsya ni v odnom napravlenii. vozmem schetnuyu bazu \\(\\mathcal b\\) prostranstva \\(\\mathbb r^n\\), naprimer shary s ratsionalnymi tsentrami i ratsionalnymi radiusami. dlya kazhdoy vershiny \\(x\\) vyberem bazisnyy element \\(b(x)\\in\\mathcal b\\) takoy, chto \\(x\\in b(x)\\subset u_x\\). pokrasim vershinu \\(x\\) tsvetom \\(b(x)\\). tsvetov ne bolshe schetnogo chisla. esli dve vershiny \\(x,y\\) poluchili odin i tot zhe tsvet \\(b\\), to \\(x,y\\in b\\subset u_x\\), a \\(u_x\\)…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings","title":"Хорошие матрицы и шеллинги полного двудольного графа, Schweitzer 2019 P4","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2019 задача 4, официальный PDF из архива"],"year":"2019","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["induction","graph_model","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Задача имеет известную связь с нетривиальной формулой для шеллингов полного двудольного графа, но опубликованное решение Geupel дает самодостаточную олимпиадную рекурсию по блокам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"официальное условие plus published Crux solution","notes":"Элементарное опубликованное решение полностью закрывает задачу без тяжелой внешней теоремы.","audit_source":"official-plan-expansion"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Хорошие матрицы","status":"source_verified","text":"\\(n\\times m\\)-матрица называется хорошей, если она содержит каждое целое число от \\(1\\) до \\(mn\\) ровно один раз и \\(1\\) является единственным элементом, который одновременно минимален в своей строке и в своем столбце. Докажите, что число хороших \\(n\\times m\\)-матриц равно \\(\\frac{(mn)!\\,n!\\,m!}{(n+m-1)!}\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Шеллинги \\(K_{n,m}\\)","status":"ai_checked","text":"Сколько существует линейных порядков рёбер полного двудольного графа \\(K_{n,m}\\), в которых для каждого \\(k\\) первые \\(k\\) рёбер индуцируют связный подграф на своих непустых вершинах? Докажите, что это число равно \\(\\frac{(mn)!\\,n!\\,m!}{(n+m-1)!}\\).","definition_ids":["bipartite_graph","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-geupel-block-probability","title":"Опубликованное решение через блочную рекурсию","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем пользоваться эквивалентной формой условия: матрица хороша тогда и только тогда, когда каждая клетка, кроме клетки с числом \\(1\\), имеет меньший элемент в той же строке или в том же столбце. Зафиксируем целые \\(s,t\\), где \\(0\\le s<n\\) и \\(0\\le t<m\\). Разобьем таблицу на четыре блока: \\(A\\) размера \\(s\\times t\\) в левом верхнем углу, \\(B\\) размера \\(s\\times(m-t)\\) справа сверху, \\(C\\) размера \\((n-s)\\times t\\) слева снизу и \\(D\\) размера \\((n-s)\\times(m-t)\\) справа снизу. Пусть \\(N=(n-s)(m-t)\\). Заполним \\(D\\) числами \\(1,2,\\ldots,N\\) так, чтобы сам блок \\(D\\) был хорошей матрицей, а остальные клетки случайно и равновероятно заполним числами \\(N+1,N+2,\\ldots,mn\\). Обозначим через \\(P(s,t)\\) вероятность того, что полученная \\(n\\times m\\)-матрица хороша. Эта вероятность не зависит от конкретного хорошего заполнения \\(D\\), потому что важны только сравнения чисел в общих строках и столб…"}],"relations":[{"id":"rel-ms2019-p4-ms1951-p13-row-column-bipartite-model","neighbor_id":"miklos-schweitzer-1951-p13-determinant-nonzero-pattern-matchings","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2019-p4-balanced-bipartite-row-column-encoding","neighbor_id":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2019-p4-caro-wei-random-ordering","neighbor_id":"caro-wei-independent-set-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings хорошие матрицы и шеллинги полного двудольного графа, schweitzer 2019 p4 induction graph_model goal_counting 2019 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2019-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2019 задача 4, официальный pdf из архива miklos2019 problem_and_solution schweitzer schweitzer2019 src-miklos-schweitzer-2019-p4-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2019 задача 4, официальный pdf из архива stmt-original хорошие матрицы source_verified \\(n\\times m\\)-матрица называется хорошей, если она содержит каждое целое число от \\(1\\) до \\(mn\\) ровно один раз и \\(1\\) является единственным элементом, который одновременно минимален в своей строке и в своем столбце. докажите, что число хороших \\(n\\times m\\)-матриц равно \\(\\frac{(mn)!\\,n!\\,m!}{(n+m-1)!}\\). stmt-graph шеллинги \\(k_{n,m}\\) ai_checked сколько существует линейных порядков рёбер полного двудольного графа \\(k_{n,m}\\), в которых для каждого \\(k\\) первые \\(k\\) рёбер индуцируют связный подграф на своих непустых вершинах? докажите, что это число равно \\(\\frac{(mn)!\\,n!\\,m!}{(n+m-1)!}\\). bipartite_graph connected_graph idea-cells-as-edges клетки - ребра полного двудольного графа строки и столбцы образуют две доли \\(k_{n,m}\\); число в клетке задает момент появления соответствующего ребра. дополнительный локальный минимум появляется ровно тогда, когда некоторый начальный набор ребер имеет новую компоненту. graph_model connectivity ai_checked idea-safe-blocks клетка безопасна, если в ее строке или столбце уже есть меньшая эквивалентная форма условия: всякая клетка, кроме клетки с \\(1\\), должна иметь меньший элемент в той же строке или в том же столбце. поэтому при блочном разбиении клетки в верхне-правом и нижне-левом блоках автоматически безопасны из-за малого нижне-правого блока. extremal_choice ai_checked idea-conditioning-recurrence рекурсия по положению следующего числа если нижне-правый блок уже хорош и содержит все самые маленькие числа, то следующий минимальный внешний элемент не может лежать в верхне-левом блоке. условившись, что он лежит в верхне-правом или нижне-левом блоке, мы уменьшаем число новых строк или новых столбцов. induction ai_checked sol-geupel-block-probability опубликованное решение через блочную рекурсию ai_checked induction будем пользоваться эквивалентной формой условия: матрица хороша тогда и только тогда, когда каждая клетка, кроме клетки с числом \\(1\\), имеет меньший элемент в той же строке или в том же столбце. зафиксируем целые \\(s,t\\), где \\(0\\le s<n\\) и \\(0\\le t<m\\). разобьем таблицу на четыре блока: \\(a\\) размера \\(s\\times t\\) в левом верхнем углу, \\(b\\) размера \\(s\\times(m-t)\\) справа сверху, \\(c\\) размера \\((n-s)\\times t\\) слева снизу и \\(d\\) размера \\((n-s)\\times(m-t)\\) справа снизу. пусть \\(n=(n-s)(m-t)\\). заполним \\(d\\) числами \\(1,2,\\ldots,n\\) так, чтобы сам блок \\(d\\) был хорошей матрицей, а остальные клетки случайно и равновероятно заполним числами \\(n+1,n+2,\\ldots,mn\\). обозначим через \\(p(s,t)\\) вероятность того, что полученная \\(n\\times m\\)-матрица хороша. эта вероятность не зависит от конкретного хорошего заполнения \\(d\\), потому что важны только сравнения чисел в общих строках и столб… miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings horoshie matritsy i shellingi polnogo dvudolnogo grafa, schweitzer 2019 p4 induction graph_model goal_counting 2019 https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2019-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2019 zadacha 4, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2019 problem_and_solution schweitzer schweitzer2019 src-miklos-schweitzer-2019-p4-official with_solution miklos schweitzer memorial competition 2019 zadacha 4, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original horoshie matritsy source_verified \\(n\\times m\\)-matritsa nazyvaetsya horoshey, esli ona soderzhit kazhdoe tseloe chislo ot \\(1\\) do \\(mn\\) rovno odin raz i \\(1\\) yavlyaetsya edinstvennym elementom, kotoryy odnovremenno minimalen v svoey stroke i v svoem stolbtse. dokazhite, chto chislo horoshih \\(n\\times m\\)-matrits ravno \\(\\frac{(mn)!\\,n!\\,m!}{(n+m-1)!}\\). stmt-graph shellingi \\(k_{n,m}\\) ai_checked skolko suschestvuet lineynyh poryadkov reber polnogo dvudolnogo grafa \\(k_{n,m}\\), v kotoryh dlya kazhdogo \\(k\\) pervye \\(k\\) reber indutsiruyut svyaznyy podgraf na svoih nepustyh vershinah? dokazhite, chto eto chislo ravno \\(\\frac{(mn)!\\,n!\\,m!}{(n+m-1)!}\\). bipartite_graph connected_graph idea-cells-as-edges kletki - rebra polnogo dvudolnogo grafa stroki i stolbtsy obrazuyut dve doli \\(k_{n,m}\\); chislo v kletke zadaet moment poyavleniya sootvetstvuyuschego rebra. dopolnitelnyy lokalnyy minimum poyavlyaetsya rovno togda, kogda nekotoryy nachalnyy nabor reber imeet novuyu komponentu. graph_model connectivity ai_checked idea-safe-blocks kletka bezopasna, esli v ee stroke ili stolbtse uzhe est menshaya ekvivalentnaya forma usloviya: vsyakaya kletka, krome kletki s \\(1\\), dolzhna imet menshiy element v toy zhe stroke ili v tom zhe stolbtse. poetomu pri blochnom razbienii kletki v verhne-pravom i nizhne-levom blokah avtomaticheski bezopasny iz-za malogo nizhne-pravogo bloka. extremal_choice ai_checked idea-conditioning-recurrence rekursiya po polozheniyu sleduyuschego chisla esli nizhne-pravyy blok uzhe horosh i soderzhit vse samye malenkie chisla, to sleduyuschiy minimalnyy vneshniy element ne mozhet lezhat v verhne-levom bloke. uslovivshis, chto on lezhit v verhne-pravom ili nizhne-levom bloke, my umenshaem chislo novyh strok ili novyh stolbtsov. induction ai_checked sol-geupel-block-probability opublikovannoe reshenie cherez blochnuyu rekursiyu ai_checked induction budem polzovatsya ekvivalentnoy formoy usloviya: matritsa horosha togda i tolko togda, kogda kazhdaya kletka, krome kletki s chislom \\(1\\), imeet menshiy element v toy zhe stroke ili v tom zhe stolbtse. zafiksiruem tselye \\(s,t\\), gde \\(0\\le s<n\\) i \\(0\\le t<m\\). razobem tablitsu na chetyre bloka: \\(a\\) razmera \\(s\\times t\\) v levom verhnem uglu, \\(b\\) razmera \\(s\\times(m-t)\\) sprava sverhu, \\(c\\) razmera \\((n-s)\\times t\\) sleva snizu i \\(d\\) razmera \\((n-s)\\times(m-t)\\) sprava snizu. pust \\(n=(n-s)(m-t)\\). zapolnim \\(d\\) chislami \\(1,2,\\ldots,n\\) tak, chtoby sam blok \\(d\\) byl horoshey matritsey, a ostalnye kletki sluchayno i ravnoveroyatno zapolnim chislami \\(n+1,n+2,\\ldots,mn\\). oboznachim cherez \\(p(s,t)\\) veroyatnost togo, chto poluchennaya \\(n\\times m\\)-matritsa horosha. eta veroyatnost ne zavisit ot konkretnogo horoshego zapolneniya \\(d\\), potomu chto vazhny tolko sravneniya chisel v obschih strokah i stolb…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2020-p4-axis-parallel-segments-curves-planar-graph","title":"Кривые из начала координат и пары осевых отрезков, Schweitzer 2020 P4","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2020-p4-axis-parallel-segments-curves-planar-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2020-p4-axis-parallel-segments-curves-planar-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2020-p4-axis-parallel-segments-curves-planar-graph","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2020 задача 4, официальный PDF из архива"],"year":"2020","type":"olympiad_problem","authors":["Eyal Ackerman, Balázs Keszegh, Dömötör Pálvölgyi"],"tags":["planar_graphs","graph_in_solution","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Нужно увидеть плоский граф за геометрией кривых и аккуратно разделить горизонтальные и вертикальные отрезки.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Отрезки и кривые","status":"ai_checked","text":"В плоскости даны \\(n\\) отрезков, каждый из которых вертикален или горизонтален; отрезки могут пересекаться. Кроме того, даны \\(m\\) кривых, выходящих из начала координат, попарно непересекающихся за исключением общего начального конца, причем каждая кривая пересекает ровно два отрезка, а разные кривые пересекают разные пары отрезков. Докажите, что \\(m=O(n)\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-planar","title":"Сведение к плоским графам","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала устраним вырожденности малым возмущением: можно считать, что начало координат не лежит на отрезке, параллельные отрезки не лежат на одной прямой, а конец одного отрезка не лежит внутри другого. Это не меняет пары отрезков, пересекаемые каждой кривой. Если рассматривать только кривые, пересекающие два горизонтальных отрезка, то горизонтальные отрезки образуют попарно непересекающееся семейство. Стянем каждый такой отрезок в вершину, а каждую кривую оставим как ребро между двумя соответствующими вершинами. Так как кривые попарно не пересекаются вне начала и разные кривые задают разные пары отрезков, получается простой плоский граф; значит таких кривых \\(O(n)\\). То же верно для пар вертикальных отрезков. Остается случай, когда кривая пересекает один горизонтальный и один вертикальный отрезок. Возьмем малую жорданову кривую вокруг начала координат, которую каждая данная кривая перес…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2004-p3-schweitzer-2020-p4-geometric-planar","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2004-p3-planar-embedding-edge-ratio","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2020-p4-axis-parallel-segments-curves-planar-graph кривые из начала координат и пары осевых отрезков, schweitzer 2020 p4 planar_graphs graph_in_solution goal_bound 2020 eyal ackerman, balázs keszegh, dömötör pálvölgyi eyalackermanbalázskeszeghdömötörpálvölgyi https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2020-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2020 задача 4, официальный pdf из архива miklos2020 problem_and_solution schweitzer schweitzer2020 src-miklos-schweitzer-2020-p4-official with_solution eyal ackerman, balázs keszegh, dömötör pálvölgyi miklos schweitzer memorial competition 2020 задача 4, официальный pdf из архива stmt-original отрезки и кривые ai_checked в плоскости даны \\(n\\) отрезков, каждый из которых вертикален или горизонтален; отрезки могут пересекаться. кроме того, даны \\(m\\) кривых, выходящих из начала координат, попарно непересекающихся за исключением общего начального конца, причем каждая кривая пересекает ровно два отрезка, а разные кривые пересекают разные пары отрезков. докажите, что \\(m=o(n)\\). idea-disjoint-segments-contract если отрезки не пересекаются, их можно стянуть для попарно непересекающихся отрезков стягивание каждого отрезка в вершину превращает кривые в ребра плоского графа; значит кривых только линейно много. planar_graphs goal_bound ai_checked idea-two-families-on-sphere горизонтальные и вертикальные семейства разделяются кривые, попадающие в один горизонтальный и один вертикальный отрезок, можно нарисовать дважды на двух полусферах: на одной вместе с горизонтальными отрезками, на другой вместе с вертикальными. получается плоский граф, поэтому число таких кривых линейно. planar_graphs construction ai_checked sol-official-planar сведение к плоским графам ai_checked planar_graph сначала устраним вырожденности малым возмущением: можно считать, что начало координат не лежит на отрезке, параллельные отрезки не лежат на одной прямой, а конец одного отрезка не лежит внутри другого. это не меняет пары отрезков, пересекаемые каждой кривой. если рассматривать только кривые, пересекающие два горизонтальных отрезка, то горизонтальные отрезки образуют попарно непересекающееся семейство. стянем каждый такой отрезок в вершину, а каждую кривую оставим как ребро между двумя соответствующими вершинами. так как кривые попарно не пересекаются вне начала и разные кривые задают разные пары отрезков, получается простой плоский граф; значит таких кривых \\(o(n)\\). то же верно для пар вертикальных отрезков. остается случай, когда кривая пересекает один горизонтальный и один вертикальный отрезок. возьмем малую жорданову кривую вокруг начала координат, которую каждая данная кривая перес… miklos-schweitzer-2020-p4-axis-parallel-segments-curves-planar-graph krivye iz nachala koordinat i pary osevyh otrezkov, schweitzer 2020 p4 planar_graphs graph_in_solution goal_bound 2020 eyal ackerman, balázs keszegh, dömötör pálvölgyi eyalackermanbalázskeszeghdömötörpálvölgyi https://www.math.u-szeged.hu/tagok/mmaroti/schweitzer/schweitzer-2020-eng.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2020 zadacha 4, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2020 problem_and_solution schweitzer schweitzer2020 src-miklos-schweitzer-2020-p4-official with_solution eyal ackerman, balázs keszegh, dömötör pálvölgyi miklos schweitzer memorial competition 2020 zadacha 4, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original otrezki i krivye ai_checked v ploskosti dany \\(n\\) otrezkov, kazhdyy iz kotoryh vertikalen ili gorizontalen; otrezki mogut peresekatsya. krome togo, dany \\(m\\) krivyh, vyhodyaschih iz nachala koordinat, poparno neperesekayuschihsya za isklyucheniem obschego nachalnogo kontsa, prichem kazhdaya krivaya peresekaet rovno dva otrezka, a raznye krivye peresekayut raznye pary otrezkov. dokazhite, chto \\(m=o(n)\\). idea-disjoint-segments-contract esli otrezki ne peresekayutsya, ih mozhno styanut dlya poparno neperesekayuschihsya otrezkov styagivanie kazhdogo otrezka v vershinu prevraschaet krivye v rebra ploskogo grafa; znachit krivyh tolko lineyno mnogo. planar_graphs goal_bound ai_checked idea-two-families-on-sphere gorizontalnye i vertikalnye semeystva razdelyayutsya krivye, popadayuschie v odin gorizontalnyy i odin vertikalnyy otrezok, mozhno narisovat dvazhdy na dvuh polusferah: na odnoy vmeste s gorizontalnymi otrezkami, na drugoy vmeste s vertikalnymi. poluchaetsya ploskiy graf, poetomu chislo takih krivyh lineyno. planar_graphs construction ai_checked sol-official-planar svedenie k ploskim grafam ai_checked planar_graph snachala ustranim vyrozhdennosti malym vozmuscheniem: mozhno schitat, chto nachalo koordinat ne lezhit na otrezke, parallelnye otrezki ne lezhat na odnoy pryamoy, a konets odnogo otrezka ne lezhit vnutri drugogo. eto ne menyaet pary otrezkov, peresekaemye kazhdoy krivoy. esli rassmatrivat tolko krivye, peresekayuschie dva gorizontalnyh otrezka, to gorizontalnye otrezki obrazuyut poparno neperesekayuscheesya semeystvo. styanem kazhdyy takoy otrezok v vershinu, a kazhduyu krivuyu ostavim kak rebro mezhdu dvumya sootvetstvuyuschimi vershinami. tak kak krivye poparno ne peresekayutsya vne nachala i raznye krivye zadayut raznye pary otrezkov, poluchaetsya prostoy ploskiy graf; znachit takih krivyh \\(o(n)\\). to zhe verno dlya par vertikalnyh otrezkov. ostaetsya sluchay, kogda krivaya peresekaet odin gorizontalnyy i odin vertikalnyy otrezok. vozmem maluyu zhordanovu krivuyu vokrug nachala koordinat, kotoruyu kazhdaya dannaya krivaya peres…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2024-p1-bipartite-perfect-matching-edge-weights","title":"Веса ребер, минимумы и максимумы дают совершенные паросочетания, Schweitzer 2024 P1","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2024-p1-bipartite-perfect-matching-edge-weights.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2024-p1-bipartite-perfect-matching-edge-weights.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2024-p1-bipartite-perfect-matching-edge-weights","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2024 задача 1, официальный PDF из архива"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":["Kristóf Bérczi"],"tags":["matching","construction","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Формулировка элементарно графовая, но конструкция порядка ребер для произвольного двудольного графа с совершенным паросочетанием требует отдельной проверки.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Двудольный граф с совершенным паросочетанием","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G=(S,T;E)\\) - конечный двудольный граф, имеющий совершенное паросочетание. Докажите, что существует инъективная весовая функция \\(w:E\\to\\mathbb R\\) со следующими свойствами. (1) Если \\(e_s\\) обозначает ребро минимального веса среди ребер, инцидентных \\(s\\in S\\), то множество \\(\\{e_s:s\\in S\\}\\) является совершенным паросочетанием в \\(G\\). (2) Если \\(e_t\\) обозначает ребро максимального веса среди ребер, инцидентных \\(t\\in T\\), то множество \\(\\{e_t:t\\in T\\}\\) является совершенным паросочетанием в \\(G\\).","definition_ids":["bipartite_graph","matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Эквивалентно об упорядочении ребер","status":"ai_checked","text":"Нужно линейно упорядочить ребра двудольного графа так, чтобы первые ребра в звездах вершин доли \\(S\\) образовывали совершенное паросочетание, а последние ребра в звездах вершин доли \\(T\\) тоже образовывали совершенное паросочетание.","definition_ids":["matching","bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-official-induction-alternating-cycle","title":"Индукция по чередующемуся циклу и порядок весов","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","matching"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Достаточно построить строгий порядок на рёбрах; затем можно заменить его любыми попарно различными вещественными весами в этом порядке. Докажем утверждение индукцией по \\(n=|S|=|T|\\). Сначала нужна лемма. Пусть в двудольном графе \\(H=(S,T;E)\\) существует ровно одно совершенное паросочетание \\(M\\). Тогда рёбра \\(M\\) можно занумеровать как \\((s_1,t_1),\\ldots,(s_n,t_n)\\) так, что при \\(i>j\\) ребра \\(s_i t_j\\) нет. Докажем это индукцией по \\(n\\). При \\(n=1\\) это очевидно. Если в доле \\(S\\) есть вершина степени 1, возьмём её за \\(s_n\\), удалим её вместе с единственным соседом \\(t_n\\) и применим индукцию к оставшемуся графу; тогда новых запрещённых рёбер вида \\(s_n t_j\\) при \\(j<n\\) нет. Если же все вершины доли \\(S\\) имеют степень хотя бы 2, то для каждого \\(s\\in S\\) можно выбрать инцидентное ребро, не лежащее в \\(M\\). Направим выбранные рёбра из \\(S\\) в \\(T\\), а рёбра \\(M\\) из \\(T\\) в \\(S\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2024-p1-putnam-2012-hall","neighbor_id":"putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2024-p1-bipartite-perfect-matching-edge-weights веса ребер, минимумы и максимумы дают совершенные паросочетания, schweitzer 2024 p1 matching construction goal_existence 2024 https://www.bolyai.hu/files/schweitzer_2024_feladatsor_angol.pdf kristóf bérczi kristófbérczi miklos miklos schweitzer memorial competition 2024 задача 1, официальный pdf из архива miklos2024 schweitzer schweitzer2024 src-miklos-schweitzer-2024-p1-official statement with_solution kristóf bérczi miklos schweitzer memorial competition 2024 задача 1, официальный pdf из архива stmt-original двудольный граф с совершенным паросочетанием ai_checked пусть \\(g=(s,t;e)\\) - конечный двудольный граф, имеющий совершенное паросочетание. докажите, что существует инъективная весовая функция \\(w:e\\to\\mathbb r\\) со следующими свойствами. (1) если \\(e_s\\) обозначает ребро минимального веса среди ребер, инцидентных \\(s\\in s\\), то множество \\(\\{e_s:s\\in s\\}\\) является совершенным паросочетанием в \\(g\\). (2) если \\(e_t\\) обозначает ребро максимального веса среди ребер, инцидентных \\(t\\in t\\), то множество \\(\\{e_t:t\\in t\\}\\) является совершенным паросочетанием в \\(g\\). bipartite_graph matching stmt-graph эквивалентно об упорядочении ребер ai_checked нужно линейно упорядочить ребра двудольного графа так, чтобы первые ребра в звездах вершин доли \\(s\\) образовывали совершенное паросочетание, а последние ребра в звездах вершин доли \\(t\\) тоже образовывали совершенное паросочетание. matching bipartite_graph idea-two-extreme-matchings искать два крайних паросочетания минимальные ребра у вершин \\(s\\) и максимальные ребра у вершин \\(t\\) должны быть двумя совершенными паросочетаниями, возможно совпадающими. задача состоит в том, чтобы выбрать их и затем продолжить выбор до полного строгого порядка на ребрах. matching extremal_choice ai_checked idea-weight-order важен только порядок весов инъективные вещественные веса можно заменить перестановкой ребер: минимумы и максимумы в звездах зависят только от относительного порядка. graph_model construction ai_checked sol-ai-official-induction-alternating-cycle индукция по чередующемуся циклу и порядок весов ai_checked bipartite_graph matching достаточно построить строгий порядок на рёбрах; затем можно заменить его любыми попарно различными вещественными весами в этом порядке. докажем утверждение индукцией по \\(n=|s|=|t|\\). сначала нужна лемма. пусть в двудольном графе \\(h=(s,t;e)\\) существует ровно одно совершенное паросочетание \\(m\\). тогда рёбра \\(m\\) можно занумеровать как \\((s_1,t_1),\\ldots,(s_n,t_n)\\) так, что при \\(i>j\\) ребра \\(s_i t_j\\) нет. докажем это индукцией по \\(n\\). при \\(n=1\\) это очевидно. если в доле \\(s\\) есть вершина степени 1, возьмём её за \\(s_n\\), удалим её вместе с единственным соседом \\(t_n\\) и применим индукцию к оставшемуся графу; тогда новых запрещённых рёбер вида \\(s_n t_j\\) при \\(j<n\\) нет. если же все вершины доли \\(s\\) имеют степень хотя бы 2, то для каждого \\(s\\in s\\) можно выбрать инцидентное ребро, не лежащее в \\(m\\). направим выбранные рёбра из \\(s\\) в \\(t\\), а рёбра \\(m\\) из \\(t\\) в \\(s\\)… miklos-schweitzer-2024-p1-bipartite-perfect-matching-edge-weights vesa reber, minimumy i maksimumy dayut sovershennye parosochetaniya, schweitzer 2024 p1 matching construction goal_existence 2024 https://www.bolyai.hu/files/schweitzer_2024_feladatsor_angol.pdf kristóf bérczi kristófbérczi miklos miklos schweitzer memorial competition 2024 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2024 schweitzer schweitzer2024 src-miklos-schweitzer-2024-p1-official statement with_solution kristóf bérczi miklos schweitzer memorial competition 2024 zadacha 1, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original dvudolnyy graf s sovershennym parosochetaniem ai_checked pust \\(g=(s,t;e)\\) - konechnyy dvudolnyy graf, imeyuschiy sovershennoe parosochetanie. dokazhite, chto suschestvuet inektivnaya vesovaya funktsiya \\(w:e\\to\\mathbb r\\) so sleduyuschimi svoystvami. (1) esli \\(e_s\\) oboznachaet rebro minimalnogo vesa sredi reber, intsidentnyh \\(s\\in s\\), to mnozhestvo \\(\\{e_s:s\\in s\\}\\) yavlyaetsya sovershennym parosochetaniem v \\(g\\). (2) esli \\(e_t\\) oboznachaet rebro maksimalnogo vesa sredi reber, intsidentnyh \\(t\\in t\\), to mnozhestvo \\(\\{e_t:t\\in t\\}\\) yavlyaetsya sovershennym parosochetaniem v \\(g\\). bipartite_graph matching stmt-graph ekvivalentno ob uporyadochenii reber ai_checked nuzhno lineyno uporyadochit rebra dvudolnogo grafa tak, chtoby pervye rebra v zvezdah vershin doli \\(s\\) obrazovyvali sovershennoe parosochetanie, a poslednie rebra v zvezdah vershin doli \\(t\\) tozhe obrazovyvali sovershennoe parosochetanie. matching bipartite_graph idea-two-extreme-matchings iskat dva kraynih parosochetaniya minimalnye rebra u vershin \\(s\\) i maksimalnye rebra u vershin \\(t\\) dolzhny byt dvumya sovershennymi parosochetaniyami, vozmozhno sovpadayuschimi. zadacha sostoit v tom, chtoby vybrat ih i zatem prodolzhit vybor do polnogo strogogo poryadka na rebrah. matching extremal_choice ai_checked idea-weight-order vazhen tolko poryadok vesov inektivnye veschestvennye vesa mozhno zamenit perestanovkoy reber: minimumy i maksimumy v zvezdah zavisyat tolko ot otnositelnogo poryadka. graph_model construction ai_checked sol-ai-official-induction-alternating-cycle induktsiya po chereduyuschemusya tsiklu i poryadok vesov ai_checked bipartite_graph matching dostatochno postroit strogiy poryadok na rebrah; zatem mozhno zamenit ego lyubymi poparno razlichnymi veschestvennymi vesami v etom poryadke. dokazhem utverzhdenie induktsiey po \\(n=|s|=|t|\\). snachala nuzhna lemma. pust v dvudolnom grafe \\(h=(s,t;e)\\) suschestvuet rovno odno sovershennoe parosochetanie \\(m\\). togda rebra \\(m\\) mozhno zanumerovat kak \\((s_1,t_1),\\ldots,(s_n,t_n)\\) tak, chto pri \\(i>j\\) rebra \\(s_i t_j\\) net. dokazhem eto induktsiey po \\(n\\). pri \\(n=1\\) eto ochevidno. esli v dole \\(s\\) est vershina stepeni 1, vozmem ee za \\(s_n\\), udalim ee vmeste s edinstvennym sosedom \\(t_n\\) i primenim induktsiyu k ostavshemusya grafu; togda novyh zapreschennyh reber vida \\(s_n t_j\\) pri \\(j<n\\) net. esli zhe vse vershiny doli \\(s\\) imeyut stepen hotya by 2, to dlya kazhdogo \\(s\\in s\\) mozhno vybrat intsidentnoe rebro, ne lezhaschee v \\(m\\). napravim vybrannye rebra iz \\(s\\) v \\(t\\), a rebra \\(m\\) iz \\(t\\) v \\(s\\)…","source_keys":["miklos"]}
{"id":"miklos-schweitzer-2024-p8-bipartite-planar-circle-contact-intersection","title":"Окружности для вершин двудольного планарного графа, Schweitzer 2024 P8","path":"data\\problems\\miklos-schweitzer\\miklos-schweitzer-2024-p8-bipartite-planar-circle-contact-intersection.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/miklos-schweitzer/miklos-schweitzer-2024-p8-bipartite-planar-circle-contact-intersection.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#miklos-schweitzer-2024-p8-bipartite-planar-circle-contact-intersection","source_key":"miklos","source_label":"Schweitzer","source_titles":["Miklos Schweitzer Memorial Competition 2024 задача 8, официальный PDF из архива"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":["Damásdi Gábor"],"tags":["planar_graphs","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Решение короткое после применения теоремы Кёбе-Андреева-Тёрстона, но сама внешняя теорема существенно нетривиальна.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"heavy_external_theorem_application","label":"решение с тяжёлыми внешними теоремами","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"целевая проверка группы E","notes":"Сознательное применение теоремы Кёбе-Андреева-Тёрстона об упаковке окружностей; последующая конструкция со сдвигом радиусов элементарна, но не заменяет теорему об упаковке.","external_theorem_ids":["Koebe--Andreev--Thurston circle-packing theorem"],"audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Представление окружностями","status":"ai_checked","text":"Докажите, что для любого конечного двудольного планарного графа каждой вершине можно сопоставить окружность так, чтобы все окружности лежали в одной плоскости, окружности, соответствующие любым двум смежным вершинам, касались друг друга, а окружности, соответствующие любым двум различным несмежным вершинам, пересекались в двух точках.","definition_ids":["planar_graph","bipartite_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Геометрическая реализация графа","status":"ai_checked","text":"Нужно реализовать произвольный конечный двудольный планарный граф как граф касаний в семействе окружностей, причем дополнение к ребрам кодируется не непересечением, а пересечением соответствующих окружностей в двух точках.","definition_ids":["planar_graph","bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-koebe-radius-shift","title":"ИИ-решение по официальному разбору: круговая упаковка и сдвиг радиусов","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем двудольное разбиение графа \\(G=(S,T;E)\\). По теореме Кёбе-Андреева-Тёрстона о круговых упаковках всякий конечный планарный граф является контактным графом попарно непересекающихся замкнутых кругов. Значит, вершине \\(v\\) можно сопоставить круг с центром \\(p_v\\) и радиусом \\(r_v>0\\) так, что для любых разных \\(u,v\\) расстояние \\(d(u,v)=|p_u p_v|\\) удовлетворяет \\(d(u,v)\\ge r_u+r_v\\), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда \\(uv\\in E\\). Выберем число \\(R\\) больше всех радиусов \\(r_s\\), \\(s\\in S\\), и настолько большим, что для любых двух разных вершин будет выполнено \\(\\rho_u+\\rho_v>d(u,v)\\), где ниже определены новые радиусы. Это возможно, потому что пар вершин конечное число; например, достаточно взять \\(R\\) не меньше максимального расстояния между центрами и больше всех нужных радиусов. Теперь оставим центры прежними, но зададим новые окружности так: для \\(s\\…"}],"relations":[{"id":"rel-schweitzer-2024-p8-planar-contact","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"miklos-schweitzer-2024-p8-bipartite-planar-circle-contact-intersection окружности для вершин двудольного планарного графа, schweitzer 2024 p8 planar_graphs graph_model goal_existence 2024 damásdi gábor damásdigábor https://www.bolyai.hu/files/schweitzer_2024_feladatsor_angol.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2024 задача 8, официальный pdf из архива miklos2024 schweitzer schweitzer2024 src-miklos-schweitzer-2024-p8-official statement with_solution damásdi gábor miklos schweitzer memorial competition 2024 задача 8, официальный pdf из архива stmt-original представление окружностями ai_checked докажите, что для любого конечного двудольного планарного графа каждой вершине можно сопоставить окружность так, чтобы все окружности лежали в одной плоскости, окружности, соответствующие любым двум смежным вершинам, касались друг друга, а окружности, соответствующие любым двум различным несмежным вершинам, пересекались в двух точках. planar_graph bipartite_graph stmt-graph геометрическая реализация графа ai_checked нужно реализовать произвольный конечный двудольный планарный граф как граф касаний в семействе окружностей, причем дополнение к ребрам кодируется не непересечением, а пересечением соответствующих окружностей в двух точках. planar_graph bipartite_graph idea-contact-vs-crossing смежность кодируется вырожденным пересечением в отличие от обычной теоремы о круговых упаковках, здесь несмежные пары должны пересекаться в двух точках, а ребра - быть ровно касаниями. поэтому задача ближе к тонкой реализации отношения касания внутри плотного семейства окружностей. planar_graphs graph_model ai_checked idea-bipartite-planarity двудольность и планарность являются структурными ограничениями планарное вложение двудольного графа должно управлять тем, какие пары окружностей доводятся до касания; остальные пары сохраняются как настоящие пересечения. planar_graphs construction needs_human_review idea-koebe-radius-shift сдвиг радиусов после круговой упаковки сначала представляем планарный граф как контактный граф попарно непересекающихся кругов. затем для одной доли заменяем радиусы \\(r_v\\) на \\(r-r_v\\), а для другой - на \\(r+r_v\\). тогда старое касание превращается во внутреннее касание новых окружностей, а при достаточно большом \\(r\\) все не смежные пары имеют две точки пересечения. planar_graphs construction ai_checked sol-ai-koebe-radius-shift ии-решение по официальному разбору: круговая упаковка и сдвиг радиусов ai_checked planar_graph bipartite_graph зафиксируем двудольное разбиение графа \\(g=(s,t;e)\\). по теореме кёбе-андреева-тёрстона о круговых упаковках всякий конечный планарный граф является контактным графом попарно непересекающихся замкнутых кругов. значит, вершине \\(v\\) можно сопоставить круг с центром \\(p_v\\) и радиусом \\(r_v>0\\) так, что для любых разных \\(u,v\\) расстояние \\(d(u,v)=|p_u p_v|\\) удовлетворяет \\(d(u,v)\\ge r_u+r_v\\), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда \\(uv\\in e\\). выберем число \\(r\\) больше всех радиусов \\(r_s\\), \\(s\\in s\\), и настолько большим, что для любых двух разных вершин будет выполнено \\(\\rho_u+\\rho_v>d(u,v)\\), где ниже определены новые радиусы. это возможно, потому что пар вершин конечное число; например, достаточно взять \\(r\\) не меньше максимального расстояния между центрами и больше всех нужных радиусов. теперь оставим центры прежними, но зададим новые окружности так: для \\(s\\… miklos-schweitzer-2024-p8-bipartite-planar-circle-contact-intersection okruzhnosti dlya vershin dvudolnogo planarnogo grafa, schweitzer 2024 p8 planar_graphs graph_model goal_existence 2024 damásdi gábor damásdigábor https://www.bolyai.hu/files/schweitzer_2024_feladatsor_angol.pdf miklos miklos schweitzer memorial competition 2024 zadacha 8, ofitsialnyy pdf iz arhiva miklos2024 schweitzer schweitzer2024 src-miklos-schweitzer-2024-p8-official statement with_solution damásdi gábor miklos schweitzer memorial competition 2024 zadacha 8, ofitsialnyy pdf iz arhiva stmt-original predstavlenie okruzhnostyami ai_checked dokazhite, chto dlya lyubogo konechnogo dvudolnogo planarnogo grafa kazhdoy vershine mozhno sopostavit okruzhnost tak, chtoby vse okruzhnosti lezhali v odnoy ploskosti, okruzhnosti, sootvetstvuyuschie lyubym dvum smezhnym vershinam, kasalis drug druga, a okruzhnosti, sootvetstvuyuschie lyubym dvum razlichnym nesmezhnym vershinam, peresekalis v dvuh tochkah. planar_graph bipartite_graph stmt-graph geometricheskaya realizatsiya grafa ai_checked nuzhno realizovat proizvolnyy konechnyy dvudolnyy planarnyy graf kak graf kasaniy v semeystve okruzhnostey, prichem dopolnenie k rebram kodiruetsya ne neperesecheniem, a peresecheniem sootvetstvuyuschih okruzhnostey v dvuh tochkah. planar_graph bipartite_graph idea-contact-vs-crossing smezhnost kodiruetsya vyrozhdennym peresecheniem v otlichie ot obychnoy teoremy o krugovyh upakovkah, zdes nesmezhnye pary dolzhny peresekatsya v dvuh tochkah, a rebra - byt rovno kasaniyami. poetomu zadacha blizhe k tonkoy realizatsii otnosheniya kasaniya vnutri plotnogo semeystva okruzhnostey. planar_graphs graph_model ai_checked idea-bipartite-planarity dvudolnost i planarnost yavlyayutsya strukturnymi ogranicheniyami planarnoe vlozhenie dvudolnogo grafa dolzhno upravlyat tem, kakie pary okruzhnostey dovodyatsya do kasaniya; ostalnye pary sohranyayutsya kak nastoyaschie peresecheniya. planar_graphs construction needs_human_review idea-koebe-radius-shift sdvig radiusov posle krugovoy upakovki snachala predstavlyaem planarnyy graf kak kontaktnyy graf poparno neperesekayuschihsya krugov. zatem dlya odnoy doli zamenyaem radiusy \\(r_v\\) na \\(r-r_v\\), a dlya drugoy - na \\(r+r_v\\). togda staroe kasanie prevraschaetsya vo vnutrennee kasanie novyh okruzhnostey, a pri dostatochno bolshom \\(r\\) vse ne smezhnye pary imeyut dve tochki peresecheniya. planar_graphs construction ai_checked sol-ai-koebe-radius-shift ii-reshenie po ofitsialnomu razboru: krugovaya upakovka i sdvig radiusov ai_checked planar_graph bipartite_graph zafiksiruem dvudolnoe razbienie grafa \\(g=(s,t;e)\\). po teoreme kebe-andreeva-terstona o krugovyh upakovkah vsyakiy konechnyy planarnyy graf yavlyaetsya kontaktnym grafom poparno neperesekayuschihsya zamknutyh krugov. znachit, vershine \\(v\\) mozhno sopostavit krug s tsentrom \\(p_v\\) i radiusom \\(r_v>0\\) tak, chto dlya lyubyh raznyh \\(u,v\\) rasstoyanie \\(d(u,v)=|p_u p_v|\\) udovletvoryaet \\(d(u,v)\\ge r_u+r_v\\), prichem ravenstvo imeet mesto togda i tolko togda, kogda \\(uv\\in e\\). vyberem chislo \\(r\\) bolshe vseh radiusov \\(r_s\\), \\(s\\in s\\), i nastolko bolshim, chto dlya lyubyh dvuh raznyh vershin budet vypolneno \\(\\rho_u+\\rho_v>d(u,v)\\), gde nizhe opredeleny novye radiusy. eto vozmozhno, potomu chto par vershin konechnoe chislo; naprimer, dostatochno vzyat \\(r\\) ne menshe maksimalnogo rasstoyaniya mezhdu tsentrami i bolshe vseh nuzhnyh radiusov. teper ostavim tsentry prezhnimi, no zadadim novye okruzhnosti tak: dlya \\(s\\…","source_keys":["miklos"]}