{"id":"memo-2021-i2-bishop-circuit-forest","title":"Красные клетки без слоновых циклов, MEMO 2021 I-2","path":"data\\problems\\memo\\memo-2021-i2-bishop-circuit-forest.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/memo/memo-2021-i2-bishop-circuit-forest.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#memo-2021-i2-bishop-circuit-forest","source_key":"memo","source_label":"MEMO","source_titles":["MEMO 2021, официальный буклет с условиями и решениями","MOlympiad.NET, Middle European Mathematical Olympiad 2021 решения"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","trees","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"MEMO 2021 I-2; ключевой шаг официального решения - перевод в двудольный лес на диагоналях.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.81,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Есть официальный источник и архив MOlympiad. Доказательство через диагональный лес и подсчёт циклов в двудольном графе сжато, но выглядит самодостаточным.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"На доске \\(m\\times n\\) некоторые клетки покрашены в красный цвет. Последовательность попарно различных красных клеток \\(a_1,a_2,\\dots,a_{2r}\\) при \\(2r\\ge 4\\) называется слоновым циклом, если для каждого \\(k\\) клетки \\(a_k\\) и \\(a_{k+1}\\) лежат на одной диагонали, а клетки \\(a_k\\) и \\(a_{k+2}\\) не лежат на одной диагонали. Найдите максимальное число красных клеток, если слоновых циклов нет.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Красные клетки без слоновых циклов, MEMO 2021 I-2","status":"needs_human_review","text":"На доске \\(m\\times n\\) построен двудольный граф: одна доля состоит из диагоналей наклона \\(1\\), другая — из диагоналей наклона \\(-1\\), а каждое ребро соответствует клетке, лежащей на двух своих диагоналях. Предположим, что этот граф ацикличен. Найдите наибольшее возможное число его рёбер.","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через лес диагоналей","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть вершины одной доли — все диагонали доски с наклоном \\(1\\), а вершины другой доли — все диагонали с наклоном \\(-1\\). Каждой красной клетке соответствует ровно одно ребро между двумя диагоналями, проходящими через эту клетку. Разберём связь с условием. Если красные клетки \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{2r}\\) образуют слонов цикл, то соседние клетки лежат на общей диагонали, значит соответствующие рёбра в двудольном графе идут последовательно через общие вершины. Условие, что \\(a_k\\) и \\(a_{k+2}\\) не лежат на одной диагонали, запрещает немедленный возврат через ту же вершину графа. Поэтому получается настоящий цикл в двудольном графе. Обратно, любой цикл в этом двудольном графе, прочитанный по его рёбрам, даёт последовательность красных клеток со свойствами слонового цикла. Значит, отсутствие слоновых циклов равносильно тому, что построенный граф является лесом. На доске \\(m\\times n\\) диагонале…"}],"relations":[{"id":"rel-matching-tiling-memo-2021-rmm-2017-grid-incidence-bigraph","neighbor_id":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-tree-memo-2021-i2-forest-bound","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-egmo-2016-p3-memo-2021-i2-incidence-forest","neighbor_id":"egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2014-start-r4p2-memo-2021-bishop-forest","neighbor_id":"yumt-2014-start-round4-problem2","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-polish-mo-2022-robust-sparsification-tree-euler","neighbor_id":"polish-mo-2022-iii-p3-robust-chord-graph-sparsification","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"memo-2021-i2-bishop-circuit-forest красные клетки без слоновых циклов, memo 2021 i-2 connectivity trees goal_exact_bound 2021 https://memo2021.math.hr/wp-content/uploads/2021/12/problems-and-solutions-booklet.pdf https://www.molympiad.net/2022/04/middle-european-mathematical-olympiad-memo-2021.html memo memo 2021, официальный буклет с условиями и решениями memo-2021-i2 memo2021 molympiad.net, middle european mathematical olympiad 2021 решения official_archive olympiad_archive src-memo-2021-official src-molympiad-memo-2021 with_solution ? memo 2021, официальный буклет с условиями и решениями molympiad.net, middle european mathematical olympiad 2021 решения stmt-original условие needs_human_review на доске \\(m\\times n\\) некоторые клетки покрашены в красный цвет. последовательность попарно различных красных клеток \\(a_1,a_2,\\dots,a_{2r}\\) при \\(2r\\ge 4\\) называется слоновым циклом, если для каждого \\(k\\) клетки \\(a_k\\) и \\(a_{k+1}\\) лежат на одной диагонали, а клетки \\(a_k\\) и \\(a_{k+2}\\) не лежат на одной диагонали. найдите максимальное число красных клеток, если слоновых циклов нет. stmt-graph красные клетки без слоновых циклов, memo 2021 i-2 needs_human_review на доске \\(m\\times n\\) построен двудольный граф: одна доля состоит из диагоналей наклона \\(1\\), другая — из диагоналей наклона \\(-1\\), а каждое ребро соответствует клетке, лежащей на двух своих диагоналях. предположим, что этот граф ацикличен. найдите наибольшее возможное число его рёбер. bipartite_graph cycle idea-diagonal-bigraph красные клетки как рёбра между диагоналями каждая красная клетка однозначно задаётся парой диагоналей двух наклонов. поэтому конфигурация красных клеток естественно кодируется двудольным графом на множествах диагоналей. connectivity needs_human_review idea-no-cycle-forest отсутствие слонового цикла значит лес слонов цикл и цикл в двудольном графе эквивалентны. если циклов нет, граф является лесом. кроме того, он имеет как минимум две компоненты, потому что клетки двух шахматных цветов попадают в разные компоненты. значит число рёбер не превосходит числа вершин минус два. trees needs_human_review sol-official-compressed решение через лес диагоналей ai_checked bipartite_graph cycle double_counting пусть вершины одной доли — все диагонали доски с наклоном \\(1\\), а вершины другой доли — все диагонали с наклоном \\(-1\\). каждой красной клетке соответствует ровно одно ребро между двумя диагоналями, проходящими через эту клетку. разберём связь с условием. если красные клетки \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{2r}\\) образуют слонов цикл, то соседние клетки лежат на общей диагонали, значит соответствующие рёбра в двудольном графе идут последовательно через общие вершины. условие, что \\(a_k\\) и \\(a_{k+2}\\) не лежат на одной диагонали, запрещает немедленный возврат через ту же вершину графа. поэтому получается настоящий цикл в двудольном графе. обратно, любой цикл в этом двудольном графе, прочитанный по его рёбрам, даёт последовательность красных клеток со свойствами слонового цикла. значит, отсутствие слоновых циклов равносильно тому, что построенный граф является лесом. на доске \\(m\\times n\\) диагонале… memo-2021-i2-bishop-circuit-forest krasnye kletki bez slonovyh tsiklov, memo 2021 i-2 connectivity trees goal_exact_bound 2021 https://memo2021.math.hr/wp-content/uploads/2021/12/problems-and-solutions-booklet.pdf https://www.molympiad.net/2022/04/middle-european-mathematical-olympiad-memo-2021.html memo memo 2021, ofitsialnyy buklet s usloviyami i resheniyami memo-2021-i2 memo2021 molympiad.net, middle european mathematical olympiad 2021 resheniya official_archive olympiad_archive src-memo-2021-official src-molympiad-memo-2021 with_solution ? memo 2021, ofitsialnyy buklet s usloviyami i resheniyami molympiad.net, middle european mathematical olympiad 2021 resheniya stmt-original uslovie needs_human_review na doske \\(m\\times n\\) nekotorye kletki pokrasheny v krasnyy tsvet. posledovatelnost poparno razlichnyh krasnyh kletok \\(a_1,a_2,\\dots,a_{2r}\\) pri \\(2r\\ge 4\\) nazyvaetsya slonovym tsiklom, esli dlya kazhdogo \\(k\\) kletki \\(a_k\\) i \\(a_{k+1}\\) lezhat na odnoy diagonali, a kletki \\(a_k\\) i \\(a_{k+2}\\) ne lezhat na odnoy diagonali. naydite maksimalnoe chislo krasnyh kletok, esli slonovyh tsiklov net. stmt-graph krasnye kletki bez slonovyh tsiklov, memo 2021 i-2 needs_human_review na doske \\(m\\times n\\) postroen dvudolnyy graf: odna dolya sostoit iz diagonaley naklona \\(1\\), drugaya — iz diagonaley naklona \\(-1\\), a kazhdoe rebro sootvetstvuet kletke, lezhaschey na dvuh svoih diagonalyah. predpolozhim, chto etot graf atsiklichen. naydite naibolshee vozmozhnoe chislo ego reber. bipartite_graph cycle idea-diagonal-bigraph krasnye kletki kak rebra mezhdu diagonalyami kazhdaya krasnaya kletka odnoznachno zadaetsya paroy diagonaley dvuh naklonov. poetomu konfiguratsiya krasnyh kletok estestvenno kodiruetsya dvudolnym grafom na mnozhestvah diagonaley. connectivity needs_human_review idea-no-cycle-forest otsutstvie slonovogo tsikla znachit les slonov tsikl i tsikl v dvudolnom grafe ekvivalentny. esli tsiklov net, graf yavlyaetsya lesom. krome togo, on imeet kak minimum dve komponenty, potomu chto kletki dvuh shahmatnyh tsvetov popadayut v raznye komponenty. znachit chislo reber ne prevoshodit chisla vershin minus dva. trees needs_human_review sol-official-compressed reshenie cherez les diagonaley ai_checked bipartite_graph cycle double_counting pust vershiny odnoy doli — vse diagonali doski s naklonom \\(1\\), a vershiny drugoy doli — vse diagonali s naklonom \\(-1\\). kazhdoy krasnoy kletke sootvetstvuet rovno odno rebro mezhdu dvumya diagonalyami, prohodyaschimi cherez etu kletku. razberem svyaz s usloviem. esli krasnye kletki \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{2r}\\) obrazuyut slonov tsikl, to sosednie kletki lezhat na obschey diagonali, znachit sootvetstvuyuschie rebra v dvudolnom grafe idut posledovatelno cherez obschie vershiny. uslovie, chto \\(a_k\\) i \\(a_{k+2}\\) ne lezhat na odnoy diagonali, zapreschaet nemedlennyy vozvrat cherez tu zhe vershinu grafa. poetomu poluchaetsya nastoyaschiy tsikl v dvudolnom grafe. obratno, lyuboy tsikl v etom dvudolnom grafe, prochitannyy po ego rebram, daet posledovatelnost krasnyh kletok so svoystvami slonovogo tsikla. znachit, otsutstvie slonovyh tsiklov ravnosilno tomu, chto postroennyy graf yavlyaetsya lesom. na doske \\(m\\times n\\) diagonale…","source_keys":["memo"]}
{"id":"memo-2022-t4-teleport-table-reachability","title":"Телепорты на доске и паритет достижимости, MEMO 2022 T-4","path":"data\\problems\\memo\\memo-2022-t4-teleport-table-reachability.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/memo/memo-2022-t4-teleport-table-reachability.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#memo-2022-t4-teleport-table-reachability","source_key":"memo","source_label":"MEMO","source_titles":["MEMO 2022, официальные английские условия и решения","MOlympiad.NET, Middle European Mathematical Olympiad 2022 решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","matching","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"MEMO 2022 T-4; официальное решение держится на графе состояний достижимости и домино-паритете.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Есть официальный источник и архив MOlympiad. Разбиение состояний и противоречие через баланс домино приведены достаточно подробно; тяжёлая теорема не используется.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Дана таблица \\(2n\\times 2n\\). Каждая клетка имеет один из \\(2n^2\\) цветов, причём каждый цвет встречается ровно дважды. Яна стоит в одной клетке, а шоколадка лежит в другой. За ход она либо идёт в соседнюю по стороне клетку, либо телепортируется в другую клетку того же цвета, причём типы ходов должны строго чередоваться и первым должен быть телепорт. Нужно определить, может ли Яна гарантированно дойти до шоколадки при любой раскраске и любых начальных клетках.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через граф переходов","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Фиксируем раскраску и стартовую клетку. Каждую клетку относим к одному из четырёх классов: достижима только легальной последовательностью, оканчивающейся телепортом; только последовательностью, оканчивающейся обычным шагом; обоими способами; недостижима. Переход к парной клетке того же цвета взаимно переводит достижимость после обычного шага в достижимость после телепорта, поэтому клеток типов \"только телепорт\" и \"только обычный шаг\" поровну. Сосед любой клетки типа \"только телепорт\" обязан быть достижим после обычного шага, а сосед клетки, достижимой после телепорта, не может быть недостижим. Предположим, что недостижимая клетка есть. Так как доска связна и стартовая клетка достижима, найдётся соседняя пара из достижимой и недостижимой клетки; достижимая клетка в такой паре не может быть достижима после телепорта, значит она имеет тип \"только обычный шаг\". Покрываем всю доску доминошка…"}],"relations":[{"id":"rel-egmo-2022-p5-memo-2022-t4-domino-parity","neighbor_id":"egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"memo-2022-t4-teleport-table-reachability телепорты на доске и паритет достижимости, memo 2022 t-4 connectivity matching goal_proof 2022 https://memo22.olympiad.ch/fileadmin/user_upload/memo22/memo_2022_t_sol_en.pdf https://www.molympiad.net/2023/03/blog-post.html memo memo 2022, официальные английские условия и решения memo-2022-t4 memo2022 molympiad.net, middle european mathematical olympiad 2022 решения official_archive olympiad_archive src-memo-2022-official src-molympiad-memo-2022 with_solution ? memo 2022, официальные английские условия и решения molympiad.net, middle european mathematical olympiad 2022 решения stmt-original условие needs_human_review дана таблица \\(2n\\times 2n\\). каждая клетка имеет один из \\(2n^2\\) цветов, причём каждый цвет встречается ровно дважды. яна стоит в одной клетке, а шоколадка лежит в другой. за ход она либо идёт в соседнюю по стороне клетку, либо телепортируется в другую клетку того же цвета, причём типы ходов должны строго чередоваться и первым должен быть телепорт. нужно определить, может ли яна гарантированно дойти до шоколадки при любой раскраске и любых начальных клетках. idea-four-reachability-types четыре типа достижимости каждая клетка классифицируется по тому, каким типом последнего хода она достижима: только телепортом, только обычным шагом, обоими способами или вовсе недостижима. это превращает задачу в анализ достижимости в состоянии с чередованием ходов. connectivity needs_human_review idea-domino-balance домино и баланс классов клетки одного цвета образуют пары-партнёры. з чередования ходов следует, что число клеток, достижимых только телепортом, равно числу клеток, достижимых только обычным шагом. если недостижимые клетки существуют, можно выбрать границу между достижимой и недостижимой клеткой и продолжить её до разбиения доски доминошками. тогда одна из доминошек нарушает этот баланс, что даёт противоречие. matching needs_human_review sol-official-compressed решение через граф переходов ai_checked фиксируем раскраску и стартовую клетку. каждую клетку относим к одному из четырёх классов: достижима только легальной последовательностью, оканчивающейся телепортом; только последовательностью, оканчивающейся обычным шагом; обоими способами; недостижима. переход к парной клетке того же цвета взаимно переводит достижимость после обычного шага в достижимость после телепорта, поэтому клеток типов \"только телепорт\" и \"только обычный шаг\" поровну. сосед любой клетки типа \"только телепорт\" обязан быть достижим после обычного шага, а сосед клетки, достижимой после телепорта, не может быть недостижим. предположим, что недостижимая клетка есть. так как доска связна и стартовая клетка достижима, найдётся соседняя пара из достижимой и недостижимой клетки; достижимая клетка в такой паре не может быть достижима после телепорта, значит она имеет тип \"только обычный шаг\". покрываем всю доску доминошка… memo-2022-t4-teleport-table-reachability teleporty na doske i paritet dostizhimosti, memo 2022 t-4 connectivity matching goal_proof 2022 https://memo22.olympiad.ch/fileadmin/user_upload/memo22/memo_2022_t_sol_en.pdf https://www.molympiad.net/2023/03/blog-post.html memo memo 2022, ofitsialnye angliyskie usloviya i resheniya memo-2022-t4 memo2022 molympiad.net, middle european mathematical olympiad 2022 resheniya official_archive olympiad_archive src-memo-2022-official src-molympiad-memo-2022 with_solution ? memo 2022, ofitsialnye angliyskie usloviya i resheniya molympiad.net, middle european mathematical olympiad 2022 resheniya stmt-original uslovie needs_human_review dana tablitsa \\(2n\\times 2n\\). kazhdaya kletka imeet odin iz \\(2n^2\\) tsvetov, prichem kazhdyy tsvet vstrechaetsya rovno dvazhdy. yana stoit v odnoy kletke, a shokoladka lezhit v drugoy. za hod ona libo idet v sosednyuyu po storone kletku, libo teleportiruetsya v druguyu kletku togo zhe tsveta, prichem tipy hodov dolzhny strogo cheredovatsya i pervym dolzhen byt teleport. nuzhno opredelit, mozhet li yana garantirovanno doyti do shokoladki pri lyuboy raskraske i lyubyh nachalnyh kletkah. idea-four-reachability-types chetyre tipa dostizhimosti kazhdaya kletka klassifitsiruetsya po tomu, kakim tipom poslednego hoda ona dostizhima: tolko teleportom, tolko obychnym shagom, oboimi sposobami ili vovse nedostizhima. eto prevraschaet zadachu v analiz dostizhimosti v sostoyanii s cheredovaniem hodov. connectivity needs_human_review idea-domino-balance domino i balans klassov kletki odnogo tsveta obrazuyut pary-partnery. z cheredovaniya hodov sleduet, chto chislo kletok, dostizhimyh tolko teleportom, ravno chislu kletok, dostizhimyh tolko obychnym shagom. esli nedostizhimye kletki suschestvuyut, mozhno vybrat granitsu mezhdu dostizhimoy i nedostizhimoy kletkoy i prodolzhit ee do razbieniya doski dominoshkami. togda odna iz dominoshek narushaet etot balans, chto daet protivorechie. matching needs_human_review sol-official-compressed reshenie cherez graf perehodov ai_checked fiksiruem raskrasku i startovuyu kletku. kazhduyu kletku otnosim k odnomu iz chetyreh klassov: dostizhima tolko legalnoy posledovatelnostyu, okanchivayuscheysya teleportom; tolko posledovatelnostyu, okanchivayuscheysya obychnym shagom; oboimi sposobami; nedostizhima. perehod k parnoy kletke togo zhe tsveta vzaimno perevodit dostizhimost posle obychnogo shaga v dostizhimost posle teleporta, poetomu kletok tipov \"tolko teleport\" i \"tolko obychnyy shag\" porovnu. sosed lyuboy kletki tipa \"tolko teleport\" obyazan byt dostizhim posle obychnogo shaga, a sosed kletki, dostizhimoy posle teleporta, ne mozhet byt nedostizhim. predpolozhim, chto nedostizhimaya kletka est. tak kak doska svyazna i startovaya kletka dostizhima, naydetsya sosednyaya para iz dostizhimoy i nedostizhimoy kletki; dostizhimaya kletka v takoy pare ne mozhet byt dostizhima posle teleporta, znachit ona imeet tip \"tolko obychnyy shag\". pokryvaem vsyu dosku dominoshka…","source_keys":["memo"]}
{"id":"memo-2025-i2-ruby-rooks-two-step-reachability","title":"Рубиновые ладьи и двухшаговая достижимость, MEMO 2025 I-2","path":"data\\problems\\memo\\memo-2025-i2-ruby-rooks-two-step-reachability.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/memo/memo-2025-i2-ruby-rooks-two-step-reachability.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#memo-2025-i2-ruby-rooks-two-step-reachability","source_key":"memo","source_label":"MEMO","source_titles":["MEMO 2025, официальный буклет решений"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":["Mark Neumann"],"tags":["connectivity","double_counting","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"MEMO 2025 I-2; граф достижимости по ладейным ходам задаёт центральную структуру задачи и решения.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник есть. Лестничная конструкция и оценка подсчётом различных клеток-свидетелей зафиксированы; статус review_status остаётся needs_human_review.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"На бесконечной клетчатой решётке некоторые клетки покрашены в красный цвет. Рубиновая ладья за один ход может пройти любое число клеток по строке или столбцу, оставаясь всё время на красных клетках. После того как покрашено не более 2025 красных клеток, Алиса ставит на некоторые из них ладьи так, чтобы никакие две ладьи не достигали друг друга за один ход, но любые две достигали друг друга за два хода. Найдите максимальное возможное число ладей.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Независимые множества с общей соседней вершиной в осевом графе","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(X\\subset\\mathbb Z^2\\), \\(|X|\\le2025\\). На множестве \\(X\\) задан граф, в котором две вершины смежны, если они имеют одну координату и все целочисленные точки отрезка между ними тоже принадлежат \\(X\\). Найдите наибольший возможный размер независимого множества \\(S\\), в котором любые две различные вершины имеют общего соседа.","definition_ids":["independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через клетки-свидетели","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала построим пример на 63 ладьи. Покрасим клетки \\((i,j)\\), где \\(1\\le i\\le 63\\) и \\(1\\le j\\le i\\), то есть лестницу из строк длины \\(1,2,\\ldots,63\\). Ладьи поставим в клетки \\((i,i)\\). Две разные ладьи не стоят ни в одной строке и ни в одном столбце, поэтому за один ход они друг друга не достигают. Если \\(i<j\\), то клетка \\((j,i)\\) красная: она лежит в строке ладьи \\((j,j)\\) и в столбце ладьи \\((i,i)\\). Значит, ладья \\((i,i)\\) за один ход приходит в \\((j,i)\\), а оттуда за один ход в \\((j,j)\\). В лестнице покрашено \\(1+2+\\cdots+63=2016\\le2025\\) клеток, так что 63 ладьи возможны. Докажем, что больше нельзя. Пусть поставлено \\(n\\) ладей. Для каждой пары ладей выберем одну красную клетку-свидетель \\(S_{ij}\\), из которой обе ладьи достижимы за один ход; такая клетка существует по условию двухшаговой достижимости. Свидетель не может совпадать с клеткой, где стоит ладья, потому что тогда…"}],"relations":[{"id":"rel-apmo-2010-p3-memo-2025-i2-common-neighbor","neighbor_id":"apmo-2010-p3-common-acquaintance-extremal","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"memo-2025-i2-ruby-rooks-two-step-reachability рубиновые ладьи и двухшаговая достижимость, memo 2025 i-2 connectivity double_counting goal_exact_bound 2025 https://memo2025.de/media/memo-2025-solutionbooklet.pdf mark neumann markneumann memo memo 2025, официальный буклет решений memo-2025-i2 memo2025 official_archive src-memo-2025-official with_solution mark neumann memo 2025, официальный буклет решений stmt-original условие needs_human_review на бесконечной клетчатой решётке некоторые клетки покрашены в красный цвет. рубиновая ладья за один ход может пройти любое число клеток по строке или столбцу, оставаясь всё время на красных клетках. после того как покрашено не более 2025 красных клеток, алиса ставит на некоторые из них ладьи так, чтобы никакие две ладьи не достигали друг друга за один ход, но любые две достигали друг друга за два хода. найдите максимальное возможное число ладей. stmt-graph независимые множества с общей соседней вершиной в осевом графе needs_human_review пусть \\(x\\subset\\mathbb z^2\\), \\(|x|\\le2025\\). на множестве \\(x\\) задан граф, в котором две вершины смежны, если они имеют одну координату и все целочисленные точки отрезка между ними тоже принадлежат \\(x\\). найдите наибольший возможный размер независимого множества \\(s\\), в котором любые две различные вершины имеют общего соседа. independent_set idea-staircase-construction лестница даёт 63 ладьи оптимальная конструкция - красная фигура-лестница с длинами строк от 1 до 63 и ладьями на главной диагонали. тогда в каждой строке и столбце по одной ладье, но любые две ладьи имеют общую промежуточную красную клетку. connectivity needs_human_review idea-distinct-witness-squares разным парам ладей нужны разные промежуточные клетки для каждой пары ладей существует красная клетка, достижимая от обеих за один ход. эти клетки для разных пар не могут совпадать, иначе три ладьи делили бы одну строку или столбец, и две из них били бы друг друга за один ход. поэтому число красных клеток не меньше \\(n+\\binom n2\\). double_counting needs_human_review sol-official-compressed решение через клетки-свидетели ai_checked double_counting сначала построим пример на 63 ладьи. покрасим клетки \\((i,j)\\), где \\(1\\le i\\le 63\\) и \\(1\\le j\\le i\\), то есть лестницу из строк длины \\(1,2,\\ldots,63\\). ладьи поставим в клетки \\((i,i)\\). две разные ладьи не стоят ни в одной строке и ни в одном столбце, поэтому за один ход они друг друга не достигают. если \\(i<j\\), то клетка \\((j,i)\\) красная: она лежит в строке ладьи \\((j,j)\\) и в столбце ладьи \\((i,i)\\). значит, ладья \\((i,i)\\) за один ход приходит в \\((j,i)\\), а оттуда за один ход в \\((j,j)\\). в лестнице покрашено \\(1+2+\\cdots+63=2016\\le2025\\) клеток, так что 63 ладьи возможны. докажем, что больше нельзя. пусть поставлено \\(n\\) ладей. для каждой пары ладей выберем одну красную клетку-свидетель \\(s_{ij}\\), из которой обе ладьи достижимы за один ход; такая клетка существует по условию двухшаговой достижимости. свидетель не может совпадать с клеткой, где стоит ладья, потому что тогда… memo-2025-i2-ruby-rooks-two-step-reachability rubinovye ladi i dvuhshagovaya dostizhimost, memo 2025 i-2 connectivity double_counting goal_exact_bound 2025 https://memo2025.de/media/memo-2025-solutionbooklet.pdf mark neumann markneumann memo memo 2025, ofitsialnyy buklet resheniy memo-2025-i2 memo2025 official_archive src-memo-2025-official with_solution mark neumann memo 2025, ofitsialnyy buklet resheniy stmt-original uslovie needs_human_review na beskonechnoy kletchatoy reshetke nekotorye kletki pokrasheny v krasnyy tsvet. rubinovaya ladya za odin hod mozhet proyti lyuboe chislo kletok po stroke ili stolbtsu, ostavayas vse vremya na krasnyh kletkah. posle togo kak pokrasheno ne bolee 2025 krasnyh kletok, alisa stavit na nekotorye iz nih ladi tak, chtoby nikakie dve ladi ne dostigali drug druga za odin hod, no lyubye dve dostigali drug druga za dva hoda. naydite maksimalnoe vozmozhnoe chislo ladey. stmt-graph nezavisimye mnozhestva s obschey sosedney vershinoy v osevom grafe needs_human_review pust \\(x\\subset\\mathbb z^2\\), \\(|x|\\le2025\\). na mnozhestve \\(x\\) zadan graf, v kotorom dve vershiny smezhny, esli oni imeyut odnu koordinatu i vse tselochislennye tochki otrezka mezhdu nimi tozhe prinadlezhat \\(x\\). naydite naibolshiy vozmozhnyy razmer nezavisimogo mnozhestva \\(s\\), v kotorom lyubye dve razlichnye vershiny imeyut obschego soseda. independent_set idea-staircase-construction lestnitsa daet 63 ladi optimalnaya konstruktsiya - krasnaya figura-lestnitsa s dlinami strok ot 1 do 63 i ladyami na glavnoy diagonali. togda v kazhdoy stroke i stolbtse po odnoy lade, no lyubye dve ladi imeyut obschuyu promezhutochnuyu krasnuyu kletku. connectivity needs_human_review idea-distinct-witness-squares raznym param ladey nuzhny raznye promezhutochnye kletki dlya kazhdoy pary ladey suschestvuet krasnaya kletka, dostizhimaya ot obeih za odin hod. eti kletki dlya raznyh par ne mogut sovpadat, inache tri ladi delili by odnu stroku ili stolbets, i dve iz nih bili by drug druga za odin hod. poetomu chislo krasnyh kletok ne menshe \\(n+\\binom n2\\). double_counting needs_human_review sol-official-compressed reshenie cherez kletki-svideteli ai_checked double_counting snachala postroim primer na 63 ladi. pokrasim kletki \\((i,j)\\), gde \\(1\\le i\\le 63\\) i \\(1\\le j\\le i\\), to est lestnitsu iz strok dliny \\(1,2,\\ldots,63\\). ladi postavim v kletki \\((i,i)\\). dve raznye ladi ne stoyat ni v odnoy stroke i ni v odnom stolbtse, poetomu za odin hod oni drug druga ne dostigayut. esli \\(i<j\\), to kletka \\((j,i)\\) krasnaya: ona lezhit v stroke ladi \\((j,j)\\) i v stolbtse ladi \\((i,i)\\). znachit, ladya \\((i,i)\\) za odin hod prihodit v \\((j,i)\\), a ottuda za odin hod v \\((j,j)\\). v lestnitse pokrasheno \\(1+2+\\cdots+63=2016\\le2025\\) kletok, tak chto 63 ladi vozmozhny. dokazhem, chto bolshe nelzya. pust postavleno \\(n\\) ladey. dlya kazhdoy pary ladey vyberem odnu krasnuyu kletku-svidetel \\(s_{ij}\\), iz kotoroy obe ladi dostizhimy za odin hod; takaya kletka suschestvuet po usloviyu dvuhshagovoy dostizhimosti. svidetel ne mozhet sovpadat s kletkoy, gde stoit ladya, potomu chto togda…","source_keys":["memo"]}
{"id":"memo-2025-t4-toll-complete-graph","title":"Платные дороги как взвешенный полный граф, MEMO 2025 T-4","path":"data\\problems\\memo\\memo-2025-t4-toll-complete-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/memo/memo-2025-t4-toll-complete-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#memo-2025-t4-toll-complete-graph","source_key":"memo","source_label":"MEMO","source_titles":["MEMO 2025, официальный буклет решений"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":["Paulius Aleknavičius"],"tags":["double_counting","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"MEMO 2025 T-4; задача и официальное решение прямо формулируются на взвешенном полном графе.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник есть. Минимальное разбиение и экстремальный аргумент с двойным подсчётом сжаты, но выглядят полными.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"В Лапландии есть \\(100n\\) городов, каждая пара соединена дорогой с пунктом оплаты. Доход от дороги делится поровну между двумя её концами. Губернатор хочет передать часть пунктов федеральному правительству так, чтобы после этого каждая вершина сохранила как минимум 99% прежнего суммарного дохода от инцидентных дорог. Нужно найти наибольшее число дорог, которое можно гарантированно изъять при любых положительных доходах на дорогах.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Платные дороги как взвешенный полный граф, MEMO 2025 T-4","status":"needs_human_review","text":"Дан взвешенный полный граф на \\(100n\\) вершинах; все веса рёбер положительны. Требуется удалить как можно больше рёбер так, чтобы для каждой вершины сумма весов оставшихся инцидентных ей рёбер была не меньше 99% от суммы весов всех исходных инцидентных ей рёбер. Найдите наибольшее число рёбер, которое можно гарантированно удалить при любых положительных весах.","definition_ids":["complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через минимальное разбиение","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Интерпретируем страну как взвешенный полный граф на \\(100n\\) вершинах, где вес ребра - половина дохода соответствующей дороги. Верхняя оценка: если все веса одинаковы, то у каждой вершины можно удалить не более \\(1\\%\\) от \\(100n-1\\) инцидентных рёбер, то есть не более \\(n-1\\). По лемме о рукопожатиях удаляется не более \\(\\frac12(100n)(n-1)=100\\binom n2\\) рёбер. Нижняя оценка: разобьём вершины на 100 частей так, чтобы суммарный вес рёбер внутри частей был минимален. Если бы для вершины \\(v\\) вес рёбер внутри её части был больше веса рёбер из \\(v\\) в некоторую другую часть, то перенос \\(v\\) уменьшил бы внутриклассовый вес, вопреки минимальности. Значит внутриклассовый вес каждой вершины не превосходит \\(1/100\\) её полного инцидентного веса, то есть не более 1%. Поэтому можно удалить все рёбра внутри частей. Если размеры частей равны \\(a_1,\\dots,a_{100}\\), то число удалённых рёбер равно \\(…"}],"relations":[{"id":"rel-handshaking-memo-2025-t4-weighted-complete","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-turan-memo-2025-t4-balanced-partition-extremal","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"memo-2025-t4-toll-complete-graph платные дороги как взвешенный полный граф, memo 2025 t-4 double_counting goal_exact_bound 2025 https://memo2025.de/media/memo-2025-solutionbooklet.pdf memo memo 2025, официальный буклет решений memo-2025-t4 memo2025 official_archive paulius aleknavičius pauliusaleknavičius src-memo-2025-official with_solution paulius aleknavičius memo 2025, официальный буклет решений stmt-original условие needs_human_review в лапландии есть \\(100n\\) городов, каждая пара соединена дорогой с пунктом оплаты. доход от дороги делится поровну между двумя её концами. губернатор хочет передать часть пунктов федеральному правительству так, чтобы после этого каждая вершина сохранила как минимум 99% прежнего суммарного дохода от инцидентных дорог. нужно найти наибольшее число дорог, которое можно гарантированно изъять при любых положительных доходах на дорогах. stmt-graph платные дороги как взвешенный полный граф, memo 2025 t-4 needs_human_review дан взвешенный полный граф на \\(100n\\) вершинах; все веса рёбер положительны. требуется удалить как можно больше рёбер так, чтобы для каждой вершины сумма весов оставшихся инцидентных ей рёбер была не меньше 99% от суммы весов всех исходных инцидентных ей рёбер. найдите наибольшее число рёбер, которое можно гарантированно удалить при любых положительных весах. complete_graph idea-uniform-weight-upper-bound равные веса дают верхнюю оценку через лемму о рукопожатиях если все рёбра имеют одинаковый вес, то у каждой вершины можно удалить не более \\(n-1\\) инцидентных рёбер. по лемме о рукопожатиях это ограничивает общее число удалённых рёбер сверху числом \\(100\\binom n2\\). double_counting needs_human_review idea-minimal-partition минимизируем внутриклассовый вес разбиением на 100 частей разбиваем вершины на 100 частей так, чтобы суммарный вес внутриклассовых рёбер был минимален. тогда у любой вершины вес рёбер внутри своей части не превосходит веса рёбер в любую другую фиксированную часть, следовательно не превышает 1% её полного инцидентного веса. можно удалить все внутриклассовые рёбра, а их число снизу оценивается через квадратичную среднюю размеров частей. extremal_choice needs_human_review sol-official-compressed решение через минимальное разбиение ai_checked complete_graph double_counting extremal_choice интерпретируем страну как взвешенный полный граф на \\(100n\\) вершинах, где вес ребра - половина дохода соответствующей дороги. верхняя оценка: если все веса одинаковы, то у каждой вершины можно удалить не более \\(1\\%\\) от \\(100n-1\\) инцидентных рёбер, то есть не более \\(n-1\\). по лемме о рукопожатиях удаляется не более \\(\\frac12(100n)(n-1)=100\\binom n2\\) рёбер. нижняя оценка: разобьём вершины на 100 частей так, чтобы суммарный вес рёбер внутри частей был минимален. если бы для вершины \\(v\\) вес рёбер внутри её части был больше веса рёбер из \\(v\\) в некоторую другую часть, то перенос \\(v\\) уменьшил бы внутриклассовый вес, вопреки минимальности. значит внутриклассовый вес каждой вершины не превосходит \\(1/100\\) её полного инцидентного веса, то есть не более 1%. поэтому можно удалить все рёбра внутри частей. если размеры частей равны \\(a_1,\\dots,a_{100}\\), то число удалённых рёбер равно \\(… memo-2025-t4-toll-complete-graph platnye dorogi kak vzveshennyy polnyy graf, memo 2025 t-4 double_counting goal_exact_bound 2025 https://memo2025.de/media/memo-2025-solutionbooklet.pdf memo memo 2025, ofitsialnyy buklet resheniy memo-2025-t4 memo2025 official_archive paulius aleknavičius pauliusaleknavičius src-memo-2025-official with_solution paulius aleknavičius memo 2025, ofitsialnyy buklet resheniy stmt-original uslovie needs_human_review v laplandii est \\(100n\\) gorodov, kazhdaya para soedinena dorogoy s punktom oplaty. dohod ot dorogi delitsya porovnu mezhdu dvumya ee kontsami. gubernator hochet peredat chast punktov federalnomu pravitelstvu tak, chtoby posle etogo kazhdaya vershina sohranila kak minimum 99% prezhnego summarnogo dohoda ot intsidentnyh dorog. nuzhno nayti naibolshee chislo dorog, kotoroe mozhno garantirovanno izyat pri lyubyh polozhitelnyh dohodah na dorogah. stmt-graph platnye dorogi kak vzveshennyy polnyy graf, memo 2025 t-4 needs_human_review dan vzveshennyy polnyy graf na \\(100n\\) vershinah; vse vesa reber polozhitelny. trebuetsya udalit kak mozhno bolshe reber tak, chtoby dlya kazhdoy vershiny summa vesov ostavshihsya intsidentnyh ey reber byla ne menshe 99% ot summy vesov vseh ishodnyh intsidentnyh ey reber. naydite naibolshee chislo reber, kotoroe mozhno garantirovanno udalit pri lyubyh polozhitelnyh vesah. complete_graph idea-uniform-weight-upper-bound ravnye vesa dayut verhnyuyu otsenku cherez lemmu o rukopozhatiyah esli vse rebra imeyut odinakovyy ves, to u kazhdoy vershiny mozhno udalit ne bolee \\(n-1\\) intsidentnyh reber. po lemme o rukopozhatiyah eto ogranichivaet obschee chislo udalennyh reber sverhu chislom \\(100\\binom n2\\). double_counting needs_human_review idea-minimal-partition minimiziruem vnutriklassovyy ves razbieniem na 100 chastey razbivaem vershiny na 100 chastey tak, chtoby summarnyy ves vnutriklassovyh reber byl minimalen. togda u lyuboy vershiny ves reber vnutri svoey chasti ne prevoshodit vesa reber v lyubuyu druguyu fiksirovannuyu chast, sledovatelno ne prevyshaet 1% ee polnogo intsidentnogo vesa. mozhno udalit vse vnutriklassovye rebra, a ih chislo snizu otsenivaetsya cherez kvadratichnuyu srednyuyu razmerov chastey. extremal_choice needs_human_review sol-official-compressed reshenie cherez minimalnoe razbienie ai_checked complete_graph double_counting extremal_choice interpretiruem stranu kak vzveshennyy polnyy graf na \\(100n\\) vershinah, gde ves rebra - polovina dohoda sootvetstvuyuschey dorogi. verhnyaya otsenka: esli vse vesa odinakovy, to u kazhdoy vershiny mozhno udalit ne bolee \\(1\\%\\) ot \\(100n-1\\) intsidentnyh reber, to est ne bolee \\(n-1\\). po lemme o rukopozhatiyah udalyaetsya ne bolee \\(\\frac12(100n)(n-1)=100\\binom n2\\) reber. nizhnyaya otsenka: razobem vershiny na 100 chastey tak, chtoby summarnyy ves reber vnutri chastey byl minimalen. esli by dlya vershiny \\(v\\) ves reber vnutri ee chasti byl bolshe vesa reber iz \\(v\\) v nekotoruyu druguyu chast, to perenos \\(v\\) umenshil by vnutriklassovyy ves, vopreki minimalnosti. znachit vnutriklassovyy ves kazhdoy vershiny ne prevoshodit \\(1/100\\) ee polnogo intsidentnogo vesa, to est ne bolee 1%. poetomu mozhno udalit vse rebra vnutri chastey. esli razmery chastey ravny \\(a_1,\\dots,a_{100}\\), to chislo udalennyh reber ravno \\(…","source_keys":["memo"]}