{"id":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","title":"Игра в добавление рёбер до первого нечётного цикла и её варианты","path":"data\\problems\\cmo\\cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/cmo/cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","source_key":"cmo","source_label":"CMO","source_titles":["Canadian Mathematical Olympiad 2019 официальные условия","Canadian Mathematical Olympiad 2019 официальные решения","38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2019","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_strategy_game","coloring","matching","extremal_graph_theory","symmetrization","graph_symmetry","invariant","goal_classification"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"CMO 2019 P5; сложная стратегическая графовая игра с инвариантом двудольности, паросочетанием на активных вершинах и финальным паритетным противоречием.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"официальный источник решения и несжатый текст решения","notes":"Текущий текст основан на официальном источнике и выглядит полным или почти полным.","label":"официальное полное/почти полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дэвид и Джейкоб играют в игру на \\(n\\ge 3\\) точках плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. За ход игрок выбирает две точки, ещё не соединённые отрезком, и проводит между ними новый отрезок. Проигрывает тот игрок, чей ход впервые завершает цикл, состоящий из нечётного числа уже проведённых отрезков. В таком цикле концами каждого отрезка должны быть исходные \\(n\\) точек, а не точки пересечения отрезков, возникшие позже. Дэвид ходит первым. Определите все \\(n\\), при которых у Дэвида есть выигрышная стратегия.","definition_ids":["cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра до первого нечётного цикла","status":"ai_checked","text":"На множестве из \\(n\\ge 3\\) вершин изначально нет рёбер. Два игрока по очереди добавляют по одному ещё отсутствующему ребру полного графа \\(K_n\\); первым ходит первый игрок. Проигрывает тот игрок, после чьего хода построенный граф впервые содержит цикл нечётной длины. Определите все \\(n\\), при которых первый игрок имеет выигрышную стратегию.","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-hint-bipartite-game","title":"Подсказка через двудольность","status":"ai_checked","text":"До проигрышного хода построенный граф не содержит нечётных циклов, то есть остаётся двудольным. Назовём ход безопасным, если после добавления выбранного ребра граф всё ещё двудолен. Если безопасных ходов нет, то текущий двудольный граф уже является полным двудольным графом относительно своей двудольной раскраски, и следующий игрок вынужден проиграть. В этих терминах нужно определить, кто может гарантировать себе наличие безопасного хода на каждом своём ходе до проигрыша соперника.","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-lktg-no-isolated-pair","title":"Вариант с запретом соединять две изолированные вершины","status":"source_verified","text":"Изменим правила: после первого хода Пети запрещается соединять ребром две изолированные вершины. Докажите, что при каждом чётном \\(n\\) выигрывает Петя.","definition_ids":["cycle","bipartite_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-ru-expanded","title":"Решение через двудольность, паросочетание и паритет","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","bipartite_graph","matching","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: Дэвид имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда \\(n\\equiv 2\\pmod 4\\). Перейдём к графовой формулировке: исходные точки считаем вершинами, а проведённые отрезки — рёбрами. Пересечения отрезков внутри плоскости не имеют значения, потому что в циклах разрешены только исходные точки как вершины. До проигрышного хода построенный граф не содержит нечётных циклов, а значит является двудольным. Будем называть ход безопасным, если после добавления ребра граф всё ещё не содержит нечётного цикла. Если перед ходом безопасных ходов нет, игрок всё равно обязан добавить какое-то ещё отсутствующее ребро и тем самым проигрывает. Разберём сначала нечётное \\(n\\). Покажем, что Джейкоб может играть очень просто: на каждом своём ходе, если безопасный ход существует, он делает любой безопасный ход. Предположим, что перед некоторым ходом Джейкоба безопасных ходов не осталось. Текущий граф д…"},{"id":"sol-lktg-no-isolated-pair","title":"Симметрическая стратегия в варианте без новых компонент","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","bipartite_graph","matching"],"standard_idea_ids":["symmetrization"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(n\\) чётно. Первым ходом Петя добавляет ребро \\(ab\\). Он фиксирует инволюцию \\(\\sigma\\): вершины \\(a,b\\) неподвижны, а все остальные разбиты на пары \\(x,\\sigma(x)\\). После каждого своего хода Петя поддерживает инварианты: граф сохраняется преобразованием \\(\\sigma\\); обе вершины каждой уже активной пары \\(x,\\sigma(x)\\) лежат в одной доле двудольного графа; все неизолированные вершины образуют одну компоненту. Последнее верно, потому что после первого хода правила запрещают начинать новую компоненту ребром между двумя изолированными вершинами. Пусть Вася сделал безопасный ход. Если он присоединил изолированную вершину \\(x\\) ребром \\(vx\\), Петя добавляет \\(\\sigma(v)\\sigma(x)\\). Вершина \\(\\sigma(x)\\) тоже была изолирована, поэтому ход разрешён и безопасен. Если Вася добавил ребро \\(uv\\) между активными вершинами, Петя добавляет \\(\\sigma(u)\\sigma(v)\\). Это другое ещё не добавленное ре…"}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2019-p5-mantel-complete-bipartite","neighbor_id":"mantel-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2019-p5-utyum-2018-cycle-game","neighbor_id":"utyum-2018_komol_7_red_blue_cycle_game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2019-p5-kolmogorov-complete-graph-game","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round1-complete-graph-orientation-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2018-7-p7-cmo-2019-odd-cycle-avoidance","neighbor_id":"spbmo-2018-7-p7-bus-graph-no-odd-cycle-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-polyhedron-large-face-fork-cmo-2019-game","neighbor_id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-simon-marais-2020-a1-odd-cycle","neighbor_id":"simon-marais-2020-a1-odd-cycle-line-transversal","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game игра в добавление рёбер до первого нечётного цикла и её варианты goal_strategy_game coloring matching extremal_graph_theory symmetrization graph_symmetry invariant goal_classification 2019 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» canadian mathematical olympiad 2019 официальные решения canadian mathematical olympiad 2019 официальные условия cmo cmo2019 https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/exam2019.pdf https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol2019.pdf official_archive official_solutions olympiad_archive solution_notes src-cmo-2019-official src-cmo-2019-solutions src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru statement with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 ? canadian mathematical olympiad 2019 официальные условия canadian mathematical olympiad 2019 официальные решения 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original официальная формулировка ai_checked дэвид и джейкоб играют в игру на \\(n\\ge 3\\) точках плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. за ход игрок выбирает две точки, ещё не соединённые отрезком, и проводит между ними новый отрезок. проигрывает тот игрок, чей ход впервые завершает цикл, состоящий из нечётного числа уже проведённых отрезков. в таком цикле концами каждого отрезка должны быть исходные \\(n\\) точек, а не точки пересечения отрезков, возникшие позже. дэвид ходит первым. определите все \\(n\\), при которых у дэвида есть выигрышная стратегия. cycle stmt-graph игра до первого нечётного цикла ai_checked на множестве из \\(n\\ge 3\\) вершин изначально нет рёбер. два игрока по очереди добавляют по одному ещё отсутствующему ребру полного графа \\(k_n\\); первым ходит первый игрок. проигрывает тот игрок, после чьего хода построенный граф впервые содержит цикл нечётной длины. определите все \\(n\\), при которых первый игрок имеет выигрышную стратегию. complete_graph cycle stmt-hint-bipartite-game подсказка через двудольность ai_checked до проигрышного хода построенный граф не содержит нечётных циклов, то есть остаётся двудольным. назовём ход безопасным, если после добавления выбранного ребра граф всё ещё двудолен. если безопасных ходов нет, то текущий двудольный граф уже является полным двудольным графом относительно своей двудольной раскраски, и следующий игрок вынужден проиграть. в этих терминах нужно определить, кто может гарантировать себе наличие безопасного хода на каждом своём ходе до проигрыша соперника. bipartite_graph cycle stmt-lktg-no-isolated-pair вариант с запретом соединять две изолированные вершины source_verified изменим правила: после первого хода пети запрещается соединять ребром две изолированные вершины. докажите, что при каждом чётном \\(n\\) выигрывает петя. cycle bipartite_graph matching idea-odd-cycle-bipartite нечётный цикл запрещён ровно до нарушения двудольности пока никто не проиграл, построенный граф двудолен. безопасные ходы — это в точности добавления ещё отсутствующего ребра между разными долями некоторой двудольной раскраски текущего графа. coloring goal_strategy_game ai_checked idea-good-graph-matching сохранять паросочетание на активных вершинах при чётном \\(n\\) полезно следить за графами, в которых все вершины положительной степени покрываются паросочетанием. игрок, контролирующий такие позиции, может законно расширять множество активных вершин как минимум на две. matching goal_strategy_game ai_checked idea-complete-bipartite-parity конечная позиция — полный двудольный граф, а выигрывает паритет если безопасных ходов не осталось, текущий граф должен быть полным двудольным графом \\(k_{a,b}\\). тогда число уже сделанных ходов равно \\(ab\\), и его чётность сравнивается с тем, чей сейчас ход. goal_strategy_game ai_checked idea-involution-symmetry инволюция после первого ребра в изменённой игре петя фиксирует концы первого ребра и попарно переставляет остальные вершины, отвечая образом хода васи; активная компонента остаётся единственной, а размеры долей в конце нечётны. symmetrization graph_symmetry ai_checked sol-official-ru-expanded решение через двудольность, паросочетание и паритет ai_checked complete_graph bipartite_graph matching cycle ответ: дэвид имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда \\(n\\equiv 2\\pmod 4\\). перейдём к графовой формулировке: исходные точки считаем вершинами, а проведённые отрезки — рёбрами. пересечения отрезков внутри плоскости не имеют значения, потому что в циклах разрешены только исходные точки как вершины. до проигрышного хода построенный граф не содержит нечётных циклов, а значит является двудольным. будем называть ход безопасным, если после добавления ребра граф всё ещё не содержит нечётного цикла. если перед ходом безопасных ходов нет, игрок всё равно обязан добавить какое-то ещё отсутствующее ребро и тем самым проигрывает. разберём сначала нечётное \\(n\\). покажем, что джейкоб может играть очень просто: на каждом своём ходе, если безопасный ход существует, он делает любой безопасный ход. предположим, что перед некоторым ходом джейкоба безопасных ходов не осталось. текущий граф д… sol-lktg-no-isolated-pair симметрическая стратегия в варианте без новых компонент ai_checked cycle bipartite_graph matching symmetrization пусть \\(n\\) чётно. первым ходом петя добавляет ребро \\(ab\\). он фиксирует инволюцию \\(\\sigma\\): вершины \\(a,b\\) неподвижны, а все остальные разбиты на пары \\(x,\\sigma(x)\\). после каждого своего хода петя поддерживает инварианты: граф сохраняется преобразованием \\(\\sigma\\); обе вершины каждой уже активной пары \\(x,\\sigma(x)\\) лежат в одной доле двудольного графа; все неизолированные вершины образуют одну компоненту. последнее верно, потому что после первого хода правила запрещают начинать новую компоненту ребром между двумя изолированными вершинами. пусть вася сделал безопасный ход. если он присоединил изолированную вершину \\(x\\) ребром \\(vx\\), петя добавляет \\(\\sigma(v)\\sigma(x)\\). вершина \\(\\sigma(x)\\) тоже была изолирована, поэтому ход разрешён и безопасен. если вася добавил ребро \\(uv\\) между активными вершинами, петя добавляет \\(\\sigma(u)\\sigma(v)\\). это другое ещё не добавленное ре… cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game igra v dobavlenie reber do pervogo nechetnogo tsikla i ee varianty goal_strategy_game coloring matching extremal_graph_theory symmetrization graph_symmetry invariant goal_classification 2019 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» canadian mathematical olympiad 2019 ofitsialnye resheniya canadian mathematical olympiad 2019 ofitsialnye usloviya cmo cmo2019 https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/exam2019.pdf https://w7.cms.math.ca/competitions/cmo/archive/sol2019.pdf official_archive official_solutions olympiad_archive solution_notes src-cmo-2019-official src-cmo-2019-solutions src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru statement with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 ? canadian mathematical olympiad 2019 ofitsialnye usloviya canadian mathematical olympiad 2019 ofitsialnye resheniya 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original ofitsialnaya formulirovka ai_checked devid i dzheykob igrayut v igru na \\(n\\ge 3\\) tochkah ploskosti, nikakie tri iz kotoryh ne lezhat na odnoy pryamoy. za hod igrok vybiraet dve tochki, esche ne soedinennye otrezkom, i provodit mezhdu nimi novyy otrezok. proigryvaet tot igrok, chey hod vpervye zavershaet tsikl, sostoyaschiy iz nechetnogo chisla uzhe provedennyh otrezkov. v takom tsikle kontsami kazhdogo otrezka dolzhny byt ishodnye \\(n\\) tochek, a ne tochki peresecheniya otrezkov, voznikshie pozzhe. devid hodit pervym. opredelite vse \\(n\\), pri kotoryh u devida est vyigryshnaya strategiya. cycle stmt-graph igra do pervogo nechetnogo tsikla ai_checked na mnozhestve iz \\(n\\ge 3\\) vershin iznachalno net reber. dva igroka po ocheredi dobavlyayut po odnomu esche otsutstvuyuschemu rebru polnogo grafa \\(k_n\\); pervym hodit pervyy igrok. proigryvaet tot igrok, posle chego hoda postroennyy graf vpervye soderzhit tsikl nechetnoy dliny. opredelite vse \\(n\\), pri kotoryh pervyy igrok imeet vyigryshnuyu strategiyu. complete_graph cycle stmt-hint-bipartite-game podskazka cherez dvudolnost ai_checked do proigryshnogo hoda postroennyy graf ne soderzhit nechetnyh tsiklov, to est ostaetsya dvudolnym. nazovem hod bezopasnym, esli posle dobavleniya vybrannogo rebra graf vse esche dvudolen. esli bezopasnyh hodov net, to tekuschiy dvudolnyy graf uzhe yavlyaetsya polnym dvudolnym grafom otnositelno svoey dvudolnoy raskraski, i sleduyuschiy igrok vynuzhden proigrat. v etih terminah nuzhno opredelit, kto mozhet garantirovat sebe nalichie bezopasnogo hoda na kazhdom svoem hode do proigrysha sopernika. bipartite_graph cycle stmt-lktg-no-isolated-pair variant s zapretom soedinyat dve izolirovannye vershiny source_verified izmenim pravila: posle pervogo hoda peti zapreschaetsya soedinyat rebrom dve izolirovannye vershiny. dokazhite, chto pri kazhdom chetnom \\(n\\) vyigryvaet petya. cycle bipartite_graph matching idea-odd-cycle-bipartite nechetnyy tsikl zapreschen rovno do narusheniya dvudolnosti poka nikto ne proigral, postroennyy graf dvudolen. bezopasnye hody — eto v tochnosti dobavleniya esche otsutstvuyuschego rebra mezhdu raznymi dolyami nekotoroy dvudolnoy raskraski tekuschego grafa. coloring goal_strategy_game ai_checked idea-good-graph-matching sohranyat parosochetanie na aktivnyh vershinah pri chetnom \\(n\\) polezno sledit za grafami, v kotoryh vse vershiny polozhitelnoy stepeni pokryvayutsya parosochetaniem. igrok, kontroliruyuschiy takie pozitsii, mozhet zakonno rasshiryat mnozhestvo aktivnyh vershin kak minimum na dve. matching goal_strategy_game ai_checked idea-complete-bipartite-parity konechnaya pozitsiya — polnyy dvudolnyy graf, a vyigryvaet paritet esli bezopasnyh hodov ne ostalos, tekuschiy graf dolzhen byt polnym dvudolnym grafom \\(k_{a,b}\\). togda chislo uzhe sdelannyh hodov ravno \\(ab\\), i ego chetnost sravnivaetsya s tem, chey seychas hod. goal_strategy_game ai_checked idea-involution-symmetry involyutsiya posle pervogo rebra v izmenennoy igre petya fiksiruet kontsy pervogo rebra i poparno perestavlyaet ostalnye vershiny, otvechaya obrazom hoda vasi; aktivnaya komponenta ostaetsya edinstvennoy, a razmery doley v kontse nechetny. symmetrization graph_symmetry ai_checked sol-official-ru-expanded reshenie cherez dvudolnost, parosochetanie i paritet ai_checked complete_graph bipartite_graph matching cycle otvet: devid imeet vyigryshnuyu strategiyu togda i tolko togda, kogda \\(n\\equiv 2\\pmod 4\\). pereydem k grafovoy formulirovke: ishodnye tochki schitaem vershinami, a provedennye otrezki — rebrami. peresecheniya otrezkov vnutri ploskosti ne imeyut znacheniya, potomu chto v tsiklah razresheny tolko ishodnye tochki kak vershiny. do proigryshnogo hoda postroennyy graf ne soderzhit nechetnyh tsiklov, a znachit yavlyaetsya dvudolnym. budem nazyvat hod bezopasnym, esli posle dobavleniya rebra graf vse esche ne soderzhit nechetnogo tsikla. esli pered hodom bezopasnyh hodov net, igrok vse ravno obyazan dobavit kakoe-to esche otsutstvuyuschee rebro i tem samym proigryvaet. razberem snachala nechetnoe \\(n\\). pokazhem, chto dzheykob mozhet igrat ochen prosto: na kazhdom svoem hode, esli bezopasnyy hod suschestvuet, on delaet lyuboy bezopasnyy hod. predpolozhim, chto pered nekotorym hodom dzheykoba bezopasnyh hodov ne ostalos. tekuschiy graf d… sol-lktg-no-isolated-pair simmetricheskaya strategiya v variante bez novyh komponent ai_checked cycle bipartite_graph matching symmetrization pust \\(n\\) chetno. pervym hodom petya dobavlyaet rebro \\(ab\\). on fiksiruet involyutsiyu \\(\\sigma\\): vershiny \\(a,b\\) nepodvizhny, a vse ostalnye razbity na pary \\(x,\\sigma(x)\\). posle kazhdogo svoego hoda petya podderzhivaet invarianty: graf sohranyaetsya preobrazovaniem \\(\\sigma\\); obe vershiny kazhdoy uzhe aktivnoy pary \\(x,\\sigma(x)\\) lezhat v odnoy dole dvudolnogo grafa; vse neizolirovannye vershiny obrazuyut odnu komponentu. poslednee verno, potomu chto posle pervogo hoda pravila zapreschayut nachinat novuyu komponentu rebrom mezhdu dvumya izolirovannymi vershinami. pust vasya sdelal bezopasnyy hod. esli on prisoedinil izolirovannuyu vershinu \\(x\\) rebrom \\(vx\\), petya dobavlyaet \\(\\sigma(v)\\sigma(x)\\). vershina \\(\\sigma(x)\\) tozhe byla izolirovana, poetomu hod razreshen i bezopasen. esli vasya dobavil rebro \\(uv\\) mezhdu aktivnymi vershinami, petya dobavlyaet \\(\\sigma(u)\\sigma(v)\\). eto drugoe esche ne dobavlennoe re…","source_keys":["cmo","lktg"]}
{"id":"hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree","title":"Стабилизация игры «камень, ножницы, бумага» на дереве, «Высшая проба» 2024","path":"data\\problems\\hse\\hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/hse/hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree","source_key":"hse","source_label":"«Высшая проба»","source_titles":["«Высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","coloring","dynamics","process_invariant","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Задача 11.5 заключительного этапа «Высшей пробы» 2024 года; основной шаг — корректно поднять циклические цвета в целые высоты на дереве.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution","label":"полное опубликованное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"официальный листок условия ВШЭ и опубликованное полное решение в проекте ЛКТГ 2026","notes":"Доказательство самодостаточно: построение целочисленного подъёма и стабилизация через распространение максимума выписаны полностью.","audit_source":"lktg-2026-project2-import"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная формулировка","status":"source_verified","text":"Деревни некоторой языческой страны соединены дорогами так, что от любой деревни можно добраться до любой другой, не проходя ни через какую деревню дважды, причём сделать это можно единственным способом. В каждой деревне живёт племя, поклоняющееся одному из трёх идолов: Камню, Ножницам или Бумаге. Камень сильнее Ножниц, Ножницы сильнее Бумаги, а Бумага сильнее Камня. Каждый вечер одновременно каждое племя, у которого есть сосед с более сильным идолом, начинает поклоняться этому более сильному идолу. Верно ли, что рано или поздно все племена начнут верить в одного и того же идола?","definition_ids":["tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Синхронная трёхцветная динамика на дереве","status":"ai_checked","text":"Вершины конечного дерева раскрашены тремя цветами \\(A_0,A_1,A_2\\), индексы считаются по модулю \\(3\\), причём \\(A_{i+1}\\) побеждает \\(A_i\\). На каждом шаге все вершины обновляются одновременно: цвет \\(A_i\\) заменяется на \\(A_{i+1}\\), если среди соседей есть вершина цвета \\(A_{i+1}\\), и не меняется иначе. Докажите, что через конечное число шагов все вершины будут иметь один цвет.","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-integer-height-lift","title":"Решение через целочисленные высоты","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","distance"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: да. Занумеруем три идола числами по модулю \\(3\\) так, что \\(A_{i+1}\\) побеждает \\(A_i\\). Выберем корень дерева и сопоставим каждой вершине целую высоту \\(h(v)\\), сравнимую по модулю \\(3\\) с номером её идола. В корне выберем любой целый представитель. Далее, проходя от корня к листьям, для каждого ребра \\(uv\\), где высота \\(u\\) уже выбрана, выберем единственную высоту \\(h(v)\\), сравнимую с цветом \\(v\\) по модулю \\(3\\) и удовлетворяющую \\(h(v)-h(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). На дереве противоречий не возникает, поскольку к каждой вершине из корня ведёт единственный путь. Покажем, как выглядит один шаг процесса в этих высотах. Если у вершины \\(v\\) есть сосед высоты \\(h(v)+1\\), то его цвет побеждает цвет \\(v\\), поэтому высота \\(v\\) увеличивается на \\(1\\). Если такого соседа нет, ни у одного соседа нет побеждающего цвета: из условия на разности соседних высот их высоты принадлежат \\(\\{h(v)-1,h(v…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p28-hse-2024-generalization","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics","direction":"backward","type":"generalization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree стабилизация игры «камень, ножницы, бумага» на дереве, «высшая проба» 2024 trees coloring dynamics process_invariant goal_proof 2024 hse hse2024 https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/149/2023/149-tasks-math-11-final-23-24.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf official_solutions olympiad_archive src-hse-2024-final-math-11 src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution «высшая проба» «высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс высшаяпроба высшаяпроба2024 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 «высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original официальная формулировка source_verified деревни некоторой языческой страны соединены дорогами так, что от любой деревни можно добраться до любой другой, не проходя ни через какую деревню дважды, причём сделать это можно единственным способом. в каждой деревне живёт племя, поклоняющееся одному из трёх идолов: камню, ножницам или бумаге. камень сильнее ножниц, ножницы сильнее бумаги, а бумага сильнее камня. каждый вечер одновременно каждое племя, у которого есть сосед с более сильным идолом, начинает поклоняться этому более сильному идолу. верно ли, что рано или поздно все племена начнут верить в одного и того же идола? tree stmt-graph синхронная трёхцветная динамика на дереве ai_checked вершины конечного дерева раскрашены тремя цветами \\(a_0,a_1,a_2\\), индексы считаются по модулю \\(3\\), причём \\(a_{i+1}\\) побеждает \\(a_i\\). на каждом шаге все вершины обновляются одновременно: цвет \\(a_i\\) заменяется на \\(a_{i+1}\\), если среди соседей есть вершина цвета \\(a_{i+1}\\), и не меняется иначе. докажите, что через конечное число шагов все вершины будут иметь один цвет. tree idea-lift-colors-to-heights поднять циклические цвета в целые высоты после выбора высоты корня цвета на дереве однозначно поднимаются в целые числа так, чтобы соседние высоты отличались на \\(-1\\), \\(0\\) или \\(1\\). обновление цвета становится взятием максимума по замкнутой окрестности. dynamics process_invariant ai_checked sol-integer-height-lift решение через целочисленные высоты ai_checked tree distance ответ: да. занумеруем три идола числами по модулю \\(3\\) так, что \\(a_{i+1}\\) побеждает \\(a_i\\). выберем корень дерева и сопоставим каждой вершине целую высоту \\(h(v)\\), сравнимую по модулю \\(3\\) с номером её идола. в корне выберем любой целый представитель. далее, проходя от корня к листьям, для каждого ребра \\(uv\\), где высота \\(u\\) уже выбрана, выберем единственную высоту \\(h(v)\\), сравнимую с цветом \\(v\\) по модулю \\(3\\) и удовлетворяющую \\(h(v)-h(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). на дереве противоречий не возникает, поскольку к каждой вершине из корня ведёт единственный путь. покажем, как выглядит один шаг процесса в этих высотах. если у вершины \\(v\\) есть сосед высоты \\(h(v)+1\\), то его цвет побеждает цвет \\(v\\), поэтому высота \\(v\\) увеличивается на \\(1\\). если такого соседа нет, ни у одного соседа нет побеждающего цвета: из условия на разности соседних высот их высоты принадлежат \\(\\{h(v)-1,h(v… hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree stabilizatsiya igry «kamen, nozhnitsy, bumaga» na dereve, «vysshaya proba» 2024 trees coloring dynamics process_invariant goal_proof 2024 hse hse2024 https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/149/2023/149-tasks-math-11-final-23-24.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf official_solutions olympiad_archive src-hse-2024-final-math-11 src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution «vysshaya proba» «vysshaya proba» 2024, zaklyuchitelnyy etap, matematika, 11 klass vysshayaproba vysshayaproba2024 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 «vysshaya proba» 2024, zaklyuchitelnyy etap, matematika, 11 klass lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original ofitsialnaya formulirovka source_verified derevni nekotoroy yazycheskoy strany soedineny dorogami tak, chto ot lyuboy derevni mozhno dobratsya do lyuboy drugoy, ne prohodya ni cherez kakuyu derevnyu dvazhdy, prichem sdelat eto mozhno edinstvennym sposobom. v kazhdoy derevne zhivet plemya, poklonyayuscheesya odnomu iz treh idolov: kamnyu, nozhnitsam ili bumage. kamen silnee nozhnits, nozhnitsy silnee bumagi, a bumaga silnee kamnya. kazhdyy vecher odnovremenno kazhdoe plemya, u kotorogo est sosed s bolee silnym idolom, nachinaet poklonyatsya etomu bolee silnomu idolu. verno li, chto rano ili pozdno vse plemena nachnut verit v odnogo i togo zhe idola? tree stmt-graph sinhronnaya trehtsvetnaya dinamika na dereve ai_checked vershiny konechnogo dereva raskrasheny tremya tsvetami \\(a_0,a_1,a_2\\), indeksy schitayutsya po modulyu \\(3\\), prichem \\(a_{i+1}\\) pobezhdaet \\(a_i\\). na kazhdom shage vse vershiny obnovlyayutsya odnovremenno: tsvet \\(a_i\\) zamenyaetsya na \\(a_{i+1}\\), esli sredi sosedey est vershina tsveta \\(a_{i+1}\\), i ne menyaetsya inache. dokazhite, chto cherez konechnoe chislo shagov vse vershiny budut imet odin tsvet. tree idea-lift-colors-to-heights podnyat tsiklicheskie tsveta v tselye vysoty posle vybora vysoty kornya tsveta na dereve odnoznachno podnimayutsya v tselye chisla tak, chtoby sosednie vysoty otlichalis na \\(-1\\), \\(0\\) ili \\(1\\). obnovlenie tsveta stanovitsya vzyatiem maksimuma po zamknutoy okrestnosti. dynamics process_invariant ai_checked sol-integer-height-lift reshenie cherez tselochislennye vysoty ai_checked tree distance otvet: da. zanumeruem tri idola chislami po modulyu \\(3\\) tak, chto \\(a_{i+1}\\) pobezhdaet \\(a_i\\). vyberem koren dereva i sopostavim kazhdoy vershine tseluyu vysotu \\(h(v)\\), sravnimuyu po modulyu \\(3\\) s nomerom ee idola. v korne vyberem lyuboy tselyy predstavitel. dalee, prohodya ot kornya k listyam, dlya kazhdogo rebra \\(uv\\), gde vysota \\(u\\) uzhe vybrana, vyberem edinstvennuyu vysotu \\(h(v)\\), sravnimuyu s tsvetom \\(v\\) po modulyu \\(3\\) i udovletvoryayuschuyu \\(h(v)-h(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). na dereve protivorechiy ne voznikaet, poskolku k kazhdoy vershine iz kornya vedet edinstvennyy put. pokazhem, kak vyglyadit odin shag protsessa v etih vysotah. esli u vershiny \\(v\\) est sosed vysoty \\(h(v)+1\\), to ego tsvet pobezhdaet tsvet \\(v\\), poetomu vysota \\(v\\) uvelichivaetsya na \\(1\\). esli takogo soseda net, ni u odnogo soseda net pobezhdayuschego tsveta: iz usloviya na raznosti sosednih vysot ih vysoty prinadlezhat \\(\\{h(v)-1,h(v…","source_keys":["hse","lktg"]}
{"id":"lktg-2026-bella-chingiz-perfect-matching-bias-1-2-and-1-3","title":"Белла и Чингиз с начальным совершенным паросочетанием, версии 1:2 и 1:3","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-bella-chingiz-perfect-matching-bias-1-2-and-1-3.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-bella-chingiz-perfect-matching-bias-1-2-and-1-3.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-bella-chingiz-perfect-matching-bias-1-2-and-1-3","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["ЮМТ 2025, Гранд-лига, финал, 3. Белла и Чингиз на полном графе","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","matching","graph_symmetry","invariant","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Начальное совершенное паросочетание превращает задачу в явную копирующую стратегию с двумя обязательными ответными рёбрами.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"полное решение ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.97,"basis":"полное доказательство копирующей стратегии и независимая проверка малых случаев","notes":"Одна стратегия доказывает более сильное утверждение для обеих квот: каждой белой клике размера r соответствует чёрная клика размера r+1.","audit_source":"bella-chingiz-perfect-matching-high-reasoning-2026-08-15"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Версия 1:2","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge 2\\) — чётное число. Белла и Чингиз играют на рёбрах полного графа \\(K_n\\). До первого хода Чингиз красит в чёрный цвет рёбра некоторого совершенного паросочетания, то есть \\(n/2\\) попарно непересекающихся рёбер, покрывающих все вершины. Затем игра идёт по раундам. Белла красит одно свободное ребро белым, после чего Чингиз красит два свободных ребра чёрным; если свободных рёбер осталось меньше двух, он красит все оставшиеся. После окраски всех рёбер Чингиз выигрывает, если наибольшая чёрная клика строго больше наибольшей белой. Докажите, что Чингиз имеет выигрышную стратегию.","definition_ids":["complete_graph","matching","clique"]},{"id":"stmt-bias-1-3","title":"Версия 1:3","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge 2\\) — чётное число. Белла и Чингиз играют на рёбрах полного графа \\(K_n\\). До первого хода Чингиз красит в чёрный цвет рёбра некоторого совершенного паросочетания, то есть \\(n/2\\) попарно непересекающихся рёбер, покрывающих все вершины. Затем игра идёт по раундам. Белла красит одно свободное ребро белым, после чего Чингиз красит три свободных ребра чёрным; если свободных рёбер осталось меньше трёх, он красит все оставшиеся. После окраски всех рёбер Чингиз выигрывает, если наибольшая чёрная клика строго больше наибольшей белой. Докажите, что Чингиз имеет выигрышную стратегию.","definition_ids":["complete_graph","matching","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ordered-perfect-matching","title":"Единая стратегия для версий 1:2 и 1:3","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","matching","clique"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(\\varphi(x)\\) партнёра вершины \\(x\\) в начальном чёрном совершенном паросочетании и линейно упорядочим его пары. Пусть Белла покрасила ребро \\(xy\\), причём пара вершины \\(x\\) стоит раньше пары вершины \\(y\\). Чингиз красит чёрным рёбра \\[\\varphi(x)\\varphi(y)\\quad\\text{и}\\quad x\\varphi(y).\\] Если одно из них уже чёрное, освободившийся ход он делает произвольно. Оба предписанных ребра свободны или уже чёрны. Действительно, если Белла раньше покрасила \\(\\varphi(x)\\varphi(y)\\), то ответ Чингиза на тот ход уже включал бы \\(xy\\). Если она раньше покрасила \\(x\\varphi(y)\\), ответ на тот ход также включал бы \\(xy\\). В обоих случаях нынешнее ребро \\(xy\\) не могло бы быть свободным перед ходом Беллы. Значит, стратегия легальна. Пусть \\(C\\) — произвольная белая клика размера \\(r\\). Она содержит не более одной вершины из каждой пары, потому что рёбра начального паросочетания чёрные.…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p13-perfect-matching-variants","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-bella-chingiz-perfect-matching-bias-1-2-and-1-3 белла и чингиз с начальным совершенным паросочетанием, версии 1:2 и 1:3 coloring matching graph_symmetry invariant goal_strategy_game 2026 https://adygmath.ru/content/files/umt25/problems/final_usl_grand2.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf lktg lktg2026 olympiad_archive src-lktg-2026-project2-problems-ru src-yumt-2025-grand-final-problem3-official with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 юмт 2025, гранд-лига, финал, 3. белла и чингиз на полном графе юмт 2025, гранд-лига, финал, 3. белла и чингиз на полном графе лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 stmt-original версия 1:2 ai_checked пусть \\(n\\ge 2\\) — чётное число. белла и чингиз играют на рёбрах полного графа \\(k_n\\). до первого хода чингиз красит в чёрный цвет рёбра некоторого совершенного паросочетания, то есть \\(n/2\\) попарно непересекающихся рёбер, покрывающих все вершины. затем игра идёт по раундам. белла красит одно свободное ребро белым, после чего чингиз красит два свободных ребра чёрным; если свободных рёбер осталось меньше двух, он красит все оставшиеся. после окраски всех рёбер чингиз выигрывает, если наибольшая чёрная клика строго больше наибольшей белой. докажите, что чингиз имеет выигрышную стратегию. complete_graph matching clique stmt-bias-1-3 версия 1:3 ai_checked пусть \\(n\\ge 2\\) — чётное число. белла и чингиз играют на рёбрах полного графа \\(k_n\\). до первого хода чингиз красит в чёрный цвет рёбра некоторого совершенного паросочетания, то есть \\(n/2\\) попарно непересекающихся рёбер, покрывающих все вершины. затем игра идёт по раундам. белла красит одно свободное ребро белым, после чего чингиз красит три свободных ребра чёрным; если свободных рёбер осталось меньше трёх, он красит все оставшиеся. после окраски всех рёбер чингиз выигрывает, если наибольшая чёрная клика строго больше наибольшей белой. докажите, что чингиз имеет выигрышную стратегию. complete_graph matching clique idea-ordered-pair-copy копировать белую клику по упорядоченным парам упорядочим пары начального паросочетания. на белое ребро между более ранней и более поздней парами чингиз красит ребро между противоположными вершинами и перекрёстное ребро от исходной вершины ранней пары к противоположной вершине поздней пары. matching graph_symmetry invariant ai_checked sol-ordered-perfect-matching единая стратегия для версий 1:2 и 1:3 ai_checked complete_graph matching clique обозначим через \\(\\varphi(x)\\) партнёра вершины \\(x\\) в начальном чёрном совершенном паросочетании и линейно упорядочим его пары. пусть белла покрасила ребро \\(xy\\), причём пара вершины \\(x\\) стоит раньше пары вершины \\(y\\). чингиз красит чёрным рёбра \\[\\varphi(x)\\varphi(y)\\quad\\text{и}\\quad x\\varphi(y).\\] если одно из них уже чёрное, освободившийся ход он делает произвольно. оба предписанных ребра свободны или уже чёрны. действительно, если белла раньше покрасила \\(\\varphi(x)\\varphi(y)\\), то ответ чингиза на тот ход уже включал бы \\(xy\\). если она раньше покрасила \\(x\\varphi(y)\\), ответ на тот ход также включал бы \\(xy\\). в обоих случаях нынешнее ребро \\(xy\\) не могло бы быть свободным перед ходом беллы. значит, стратегия легальна. пусть \\(c\\) — произвольная белая клика размера \\(r\\). она содержит не более одной вершины из каждой пары, потому что рёбра начального паросочетания чёрные.… lktg-2026-bella-chingiz-perfect-matching-bias-1-2-and-1-3 bella i chingiz s nachalnym sovershennym parosochetaniem, versii 1:2 i 1:3 coloring matching graph_symmetry invariant goal_strategy_game 2026 https://adygmath.ru/content/files/umt25/problems/final_usl_grand2.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf lktg lktg2026 olympiad_archive src-lktg-2026-project2-problems-ru src-yumt-2025-grand-final-problem3-official with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 yumt 2025, grand-liga, final, 3. bella i chingiz na polnom grafe yumt 2025, grand-liga, final, 3. bella i chingiz na polnom grafe lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original versiya 1:2 ai_checked pust \\(n\\ge 2\\) — chetnoe chislo. bella i chingiz igrayut na rebrah polnogo grafa \\(k_n\\). do pervogo hoda chingiz krasit v chernyy tsvet rebra nekotorogo sovershennogo parosochetaniya, to est \\(n/2\\) poparno neperesekayuschihsya reber, pokryvayuschih vse vershiny. zatem igra idet po raundam. bella krasit odno svobodnoe rebro belym, posle chego chingiz krasit dva svobodnyh rebra chernym; esli svobodnyh reber ostalos menshe dvuh, on krasit vse ostavshiesya. posle okraski vseh reber chingiz vyigryvaet, esli naibolshaya chernaya klika strogo bolshe naibolshey beloy. dokazhite, chto chingiz imeet vyigryshnuyu strategiyu. complete_graph matching clique stmt-bias-1-3 versiya 1:3 ai_checked pust \\(n\\ge 2\\) — chetnoe chislo. bella i chingiz igrayut na rebrah polnogo grafa \\(k_n\\). do pervogo hoda chingiz krasit v chernyy tsvet rebra nekotorogo sovershennogo parosochetaniya, to est \\(n/2\\) poparno neperesekayuschihsya reber, pokryvayuschih vse vershiny. zatem igra idet po raundam. bella krasit odno svobodnoe rebro belym, posle chego chingiz krasit tri svobodnyh rebra chernym; esli svobodnyh reber ostalos menshe treh, on krasit vse ostavshiesya. posle okraski vseh reber chingiz vyigryvaet, esli naibolshaya chernaya klika strogo bolshe naibolshey beloy. dokazhite, chto chingiz imeet vyigryshnuyu strategiyu. complete_graph matching clique idea-ordered-pair-copy kopirovat beluyu kliku po uporyadochennym param uporyadochim pary nachalnogo parosochetaniya. na beloe rebro mezhdu bolee ranney i bolee pozdney parami chingiz krasit rebro mezhdu protivopolozhnymi vershinami i perekrestnoe rebro ot ishodnoy vershiny ranney pary k protivopolozhnoy vershine pozdney pary. matching graph_symmetry invariant ai_checked sol-ordered-perfect-matching edinaya strategiya dlya versiy 1:2 i 1:3 ai_checked complete_graph matching clique oboznachim cherez \\(\\varphi(x)\\) partnera vershiny \\(x\\) v nachalnom chernom sovershennom parosochetanii i lineyno uporyadochim ego pary. pust bella pokrasila rebro \\(xy\\), prichem para vershiny \\(x\\) stoit ranshe pary vershiny \\(y\\). chingiz krasit chernym rebra \\[\\varphi(x)\\varphi(y)\\quad\\text{i}\\quad x\\varphi(y).\\] esli odno iz nih uzhe chernoe, osvobodivshiysya hod on delaet proizvolno. oba predpisannyh rebra svobodny ili uzhe cherny. deystvitelno, esli bella ranshe pokrasila \\(\\varphi(x)\\varphi(y)\\), to otvet chingiza na tot hod uzhe vklyuchal by \\(xy\\). esli ona ranshe pokrasila \\(x\\varphi(y)\\), otvet na tot hod takzhe vklyuchal by \\(xy\\). v oboih sluchayah nyneshnee rebro \\(xy\\) ne moglo by byt svobodnym pered hodom belly. znachit, strategiya legalna. pust \\(c\\) — proizvolnaya belaya klika razmera \\(r\\). ona soderzhit ne bolee odnoy vershiny iz kazhdoy pary, potomu chto rebra nachalnogo parosochetaniya chernye.…","source_keys":["lktg","yumt"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem01-no-return-game","title":"Игра без возвращений: критерий совершенного паросочетания и варианты старта","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem01-no-return-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem01-no-return-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem01-no-return-game","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7","A. S. Fraenkel, E. R. Scheinerman, D. Ullman, Undirected edge geography"],"year":"2026","type":"problem","authors":["Fraenkel","Scheinerman","Ullman"],"tags":["matching","augmenting_path","extremal_choice","goal_characterization","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Официальная шкала проекта: а) 3/5, б) 2/5, в) 3/5, г) 2/5. Основная содержательная трудность - критерий через максимальное паросочетание и увеличивающий путь.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"Официальный PDF решений ЛКТГ 2026 содержит полные доказательства всех пунктов задачи 1; текст карточки развёрнут самодостаточно без внешних ссылок.","notes":"Решение официальное и полное; рисунки не требуются."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-problem01","title":"Игра по непосещённым вершинам и четыре варианта","status":"source_verified","text":"В конечном графе \\(G\\) Петя выбирает вершину \\(s\\), ставит туда фишку и объявляет её посещённой. Затем Петя и Вася по очереди передвигают фишку по ребру в ещё не посещённую вершину; первым передвигает фишку Вася. Кто не может сделать ход, проигрывает. а) Докажите, что Вася выигрывает тогда и только тогда, когда в \\(G\\) существует совершенное паросочетание, то есть паросочетание, покрывающее все вершины графа. В частности, при нечётном \\(|V(G)|\\) Петя выигрывает. б) Изменим правила: каждый игрок может один раз за партию вместо передвижения фишки пропустить ход. Пропуск разрешён и тогда, когда передвинуть фишку невозможно. Докажите, что критерий пункта а не изменится. в) Теперь Петя выбирает две различные вершины \\(s\\) и \\(t\\), ставит в каждую из них по фишке и объявляет обе вершины посещёнными. За ход игрок выбирает одну из фишек и передвигает её по ребру в ещё не посещённую вершину; первым ходит Вася. Для каждого чётного \\(n\\ge 4\\) постройте связный граф \\(G\\) на \\(n\\) вершинах, имеющий совершенное паросочетание, и укажите два выбора пары \\(\\{s,t\\}\\), при одном из которых выигрывает Вася, а при другом - Петя. г) Предположим, что в \\(G\\) нет ни совершенного паросочетания, ни изолированных вершин. Докажите, что Петя выигрывает не менее чем при двух различных выборах начальной вершины \\(s\\).","definition_ids":["matching","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-problem01-complete","title":"Полное решение пунктов а-г","status":"ai_checked","definition_ids":["matching","augmenting_path","path"],"standard_idea_ids":["augmenting_path_method","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"а) Пусть в \\(G\\) есть совершенное паросочетание \\(M\\). После выбора Пети Вася идёт из стартовой вершины \\(s\\) в её пару по \\(M\\). В дальнейшем, если Петя пришёл в вершину \\(v\\), Вася идёт из \\(v\\) в парную ей вершину \\(M(v)\\). Этот ход всегда допустим. Действительно, ранее посещённые вершины после каждого хода Васи разбиваются на целиком посещённые пары из \\(M\\); поэтому если бы \\(M(v)\\) уже была посещена, вместе с ней была бы посещена и \\(v\\), хотя Петя только что впервые пришёл в \\(v\\). Значит, после каждого хода Пети ответ Васи существует. Игра конечна, поэтому первым без хода останется Петя. Теперь пусть совершенного паросочетания нет. Возьмём паросочетание \\(M\\) с наибольшим числом рёбер и выберем стартом непокрытую им вершину \\(s\\). Петя отвечает на приход Васи в вершину \\(v\\) ходом \\(vM(v)\\). Проверим, что ответ всегда возможен. Пройденный путь начинается в непокрытой вершине \\(s…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-p01-putnam-2025-a3-state-graph","neighbor_id":"putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem01-no-return-game игра без возвращений: критерий совершенного паросочетания и варианты старта matching augmenting_path extremal_choice goal_characterization goal_strategy_game 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» a. s. fraenkel, e. r. scheinerman, d. ullman, undirected edge geography fraenkel https://doi.org/10.1016/0304-3975(93)90026-p https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive paper scheinerman src-fraenkel-scheinerman-ullman-undirected-geography src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru ullman with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 fraenkel scheinerman ullman 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 a. s. fraenkel, e. r. scheinerman, d. ullman, undirected edge geography stmt-problem01 игра по непосещённым вершинам и четыре варианта source_verified в конечном графе \\(g\\) петя выбирает вершину \\(s\\), ставит туда фишку и объявляет её посещённой. затем петя и вася по очереди передвигают фишку по ребру в ещё не посещённую вершину; первым передвигает фишку вася. кто не может сделать ход, проигрывает. а) докажите, что вася выигрывает тогда и только тогда, когда в \\(g\\) существует совершенное паросочетание, то есть паросочетание, покрывающее все вершины графа. в частности, при нечётном \\(|v(g)|\\) петя выигрывает. б) изменим правила: каждый игрок может один раз за партию вместо передвижения фишки пропустить ход. пропуск разрешён и тогда, когда передвинуть фишку невозможно. докажите, что критерий пункта а не изменится. в) теперь петя выбирает две различные вершины \\(s\\) и \\(t\\), ставит в каждую из них по фишке и объявляет обе вершины посещёнными. за ход игрок выбирает одну из фишек и передвигает её по ребру в ещё не посещённую вершину; первым ходит вася. для каждого чётного \\(n\\ge 4\\) постройте связный граф \\(g\\) на \\(n\\) вершинах, имеющий совершенное паросочетание, и укажите два выбора пары \\(\\{s,t\\}\\), при одном из которых выигрывает вася, а при другом - петя. г) предположим, что в \\(g\\) нет ни совершенного паросочетания, ни изолированных вершин. докажите, что петя выигрывает не менее чем при двух различных выборах начальной вершины \\(s\\). matching path idea-matching-replies ответы по рёбрам максимального паросочетания при совершенном паросочетании вася отвечает переходом в парную вершину. при отсутствии совершенного паросочетания петя стартует в непокрытой вершине максимального паросочетания и отвечает тем же правилом; невозможность ответа дала бы увеличивающий путь. matching augmenting_path ai_checked idea-pass-cancellation взаимное погашение пропусков на первый пропуск соперника победитель исходной игры отвечает своим пропуском, возвращая ту же позицию и ту же очередь хода без оставшихся пропусков у соперника. invariant ai_checked idea-exchange-uncovered-vertex обмен непокрытой вершины если максимальное паросочетание не покрывает неизолированную вершину \\(s\\), замена одного ребра \\(vw\\) на \\(sv\\) создаёт максимальное паросочетание с другой непокрытой вершиной \\(w\\). matching extremal_choice ai_checked sol-problem01-complete полное решение пунктов а-г ai_checked matching augmenting_path path augmenting_path_method extremal_choice а) пусть в \\(g\\) есть совершенное паросочетание \\(m\\). после выбора пети вася идёт из стартовой вершины \\(s\\) в её пару по \\(m\\). в дальнейшем, если петя пришёл в вершину \\(v\\), вася идёт из \\(v\\) в парную ей вершину \\(m(v)\\). этот ход всегда допустим. действительно, ранее посещённые вершины после каждого хода васи разбиваются на целиком посещённые пары из \\(m\\); поэтому если бы \\(m(v)\\) уже была посещена, вместе с ней была бы посещена и \\(v\\), хотя петя только что впервые пришёл в \\(v\\). значит, после каждого хода пети ответ васи существует. игра конечна, поэтому первым без хода останется петя. теперь пусть совершенного паросочетания нет. возьмём паросочетание \\(m\\) с наибольшим числом рёбер и выберем стартом непокрытую им вершину \\(s\\). петя отвечает на приход васи в вершину \\(v\\) ходом \\(vm(v)\\). проверим, что ответ всегда возможен. пройденный путь начинается в непокрытой вершине \\(s… lktg-2026-project2-problem01-no-return-game igra bez vozvrascheniy: kriteriy sovershennogo parosochetaniya i varianty starta matching augmenting_path extremal_choice goal_characterization goal_strategy_game 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» a. s. fraenkel, e. r. scheinerman, d. ullman, undirected edge geography fraenkel https://doi.org/10.1016/0304-3975(93)90026-p https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive paper scheinerman src-fraenkel-scheinerman-ullman-undirected-geography src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru ullman with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 fraenkel scheinerman ullman 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 a. s. fraenkel, e. r. scheinerman, d. ullman, undirected edge geography stmt-problem01 igra po neposeschennym vershinam i chetyre varianta source_verified v konechnom grafe \\(g\\) petya vybiraet vershinu \\(s\\), stavit tuda fishku i obyavlyaet ee poseschennoy. zatem petya i vasya po ocheredi peredvigayut fishku po rebru v esche ne poseschennuyu vershinu; pervym peredvigaet fishku vasya. kto ne mozhet sdelat hod, proigryvaet. a) dokazhite, chto vasya vyigryvaet togda i tolko togda, kogda v \\(g\\) suschestvuet sovershennoe parosochetanie, to est parosochetanie, pokryvayuschee vse vershiny grafa. v chastnosti, pri nechetnom \\(|v(g)|\\) petya vyigryvaet. b) izmenim pravila: kazhdyy igrok mozhet odin raz za partiyu vmesto peredvizheniya fishki propustit hod. propusk razreshen i togda, kogda peredvinut fishku nevozmozhno. dokazhite, chto kriteriy punkta a ne izmenitsya. v) teper petya vybiraet dve razlichnye vershiny \\(s\\) i \\(t\\), stavit v kazhduyu iz nih po fishke i obyavlyaet obe vershiny poseschennymi. za hod igrok vybiraet odnu iz fishek i peredvigaet ee po rebru v esche ne poseschennuyu vershinu; pervym hodit vasya. dlya kazhdogo chetnogo \\(n\\ge 4\\) postroyte svyaznyy graf \\(g\\) na \\(n\\) vershinah, imeyuschiy sovershennoe parosochetanie, i ukazhite dva vybora pary \\(\\{s,t\\}\\), pri odnom iz kotoryh vyigryvaet vasya, a pri drugom - petya. g) predpolozhim, chto v \\(g\\) net ni sovershennogo parosochetaniya, ni izolirovannyh vershin. dokazhite, chto petya vyigryvaet ne menee chem pri dvuh razlichnyh vyborah nachalnoy vershiny \\(s\\). matching path idea-matching-replies otvety po rebram maksimalnogo parosochetaniya pri sovershennom parosochetanii vasya otvechaet perehodom v parnuyu vershinu. pri otsutstvii sovershennogo parosochetaniya petya startuet v nepokrytoy vershine maksimalnogo parosochetaniya i otvechaet tem zhe pravilom; nevozmozhnost otveta dala by uvelichivayuschiy put. matching augmenting_path ai_checked idea-pass-cancellation vzaimnoe pogashenie propuskov na pervyy propusk sopernika pobeditel ishodnoy igry otvechaet svoim propuskom, vozvraschaya tu zhe pozitsiyu i tu zhe ochered hoda bez ostavshihsya propuskov u sopernika. invariant ai_checked idea-exchange-uncovered-vertex obmen nepokrytoy vershiny esli maksimalnoe parosochetanie ne pokryvaet neizolirovannuyu vershinu \\(s\\), zamena odnogo rebra \\(vw\\) na \\(sv\\) sozdaet maksimalnoe parosochetanie s drugoy nepokrytoy vershinoy \\(w\\). matching extremal_choice ai_checked sol-problem01-complete polnoe reshenie punktov a-g ai_checked matching augmenting_path path augmenting_path_method extremal_choice a) pust v \\(g\\) est sovershennoe parosochetanie \\(m\\). posle vybora peti vasya idet iz startovoy vershiny \\(s\\) v ee paru po \\(m\\). v dalneyshem, esli petya prishel v vershinu \\(v\\), vasya idet iz \\(v\\) v parnuyu ey vershinu \\(m(v)\\). etot hod vsegda dopustim. deystvitelno, ranee poseschennye vershiny posle kazhdogo hoda vasi razbivayutsya na tselikom poseschennye pary iz \\(m\\); poetomu esli by \\(m(v)\\) uzhe byla poseschena, vmeste s ney byla by poseschena i \\(v\\), hotya petya tolko chto vpervye prishel v \\(v\\). znachit, posle kazhdogo hoda peti otvet vasi suschestvuet. igra konechna, poetomu pervym bez hoda ostanetsya petya. teper pust sovershennogo parosochetaniya net. vozmem parosochetanie \\(m\\) s naibolshim chislom reber i vyberem startom nepokrytuyu im vershinu \\(s\\). petya otvechaet na prihod vasi v vershinu \\(v\\) hodom \\(vm(v)\\). proverim, chto otvet vsegda vozmozhen. proydennyy put nachinaetsya v nepokrytoy vershine \\(s…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem02-coins-on-graph","title":"Монеты на графе: выигрышный старт на пути, дереве и цикле","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem02-coins-on-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem02-coins-on-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem02-coins-on-graph","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"problem","authors":[],"tags":["trees","invariant","extremal_choice","construction","goal_strategy_game","goal_impossibility"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Официальная шкала проекта: а) 2/5, б) 4/5, в) 2/5, г) 3/5. Главная трудность - доказательство существования хорошего старта на дереве через рекурсию и конечный спуск.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.97,"basis":"Официальный PDF решений содержит полные доказательства всех четырёх пунктов, включая рекурсию на дереве и явный контрпример.","notes":"Скрытая в рисунке структура контрпримера полностью перенесена в текст."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-problem02","title":"Игра с монетами и непосещёнными вершинами","status":"source_verified","text":"В каждой вершине конечного связного графа \\(G\\) лежит неотрицательное целое число монет. Петя выбирает стартовую вершину, ставит туда фишку, объявляет вершину посещённой и забирает все монеты из неё. После этого первым передвигает фишку Вася. За ход нужно перейти по ребру в ещё не посещённую вершину и забрать из неё все монеты. Игра заканчивается, когда очередной игрок не может сделать ход. Побеждает набравший больше монет; при равенстве объявляется ничья. а) Пусть \\(G\\) является путём. Докажите, что Петя может выбрать стартовую вершину и затем играть так, чтобы не проиграть. б) Докажите то же, если \\(G\\) - произвольное конечное дерево. в) Докажите то же, если \\(G\\) - цикл. г) Верно ли это для произвольного конечного связного графа \\(G\\)?","definition_ids":["connected_graph","path","tree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-problem02-complete","title":"Полное решение пунктов а-г","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","tree","cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим число монет в вершине \\(v\\) через \\(w(v)\\). а) Пусть вершины пути идут в порядке \\(v_1,\\ldots,v_n\\), а \\(a_i=w(v_i)\\). Положим \\(S_0=0\\) и \\(S_r=a_1-a_2+a_3-\\cdots+(-1)^{r-1}a_r\\). Если \\(S_n\\ge0\\), Петя начинает в \\(v_1\\). Дальнейший путь единственен, и разность его счёта и счёта Васи равна \\(S_n\\ge0\\). Пусть \\(S_n<0\\), а \\(r\\) - наименьший индекс, для которого \\(S_r<0\\). Тогда \\(S_{r-1}\\ge0\\), а \\(r\\) чётно: на нечётном шаге прибавляется неотрицательное число, поэтому впервые стать отрицательной сумма не может. Петя начинает в \\(v_r\\). После первого хода Васи фишка уже не может перейти через посещённую \\(v_r\\), поэтому идёт до одного из концов пути. Если Вася пошёл влево, итоговая разность равна \\(a_r-a_{r-1}+\\cdots-a_1=-S_r>0\\). Если он пошёл вправо, она равна \\(a_r-a_{r+1}+a_{r+2}-\\cdots=S_{r-1}-S_n>0\\). Значит, Петя не проигрывает. б) Для соседних вершин \\(x,y\\) удалим ре…"}],"relations":[],"search_text":"lktg-2026-project2-problem02-coins-on-graph монеты на графе: выигрышный старт на пути, дереве и цикле trees invariant extremal_choice construction goal_strategy_game goal_impossibility 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-problem02 игра с монетами и непосещёнными вершинами source_verified в каждой вершине конечного связного графа \\(g\\) лежит неотрицательное целое число монет. петя выбирает стартовую вершину, ставит туда фишку, объявляет вершину посещённой и забирает все монеты из неё. после этого первым передвигает фишку вася. за ход нужно перейти по ребру в ещё не посещённую вершину и забрать из неё все монеты. игра заканчивается, когда очередной игрок не может сделать ход. побеждает набравший больше монет; при равенстве объявляется ничья. а) пусть \\(g\\) является путём. докажите, что петя может выбрать стартовую вершину и затем играть так, чтобы не проиграть. б) докажите то же, если \\(g\\) - произвольное конечное дерево. в) докажите то же, если \\(g\\) - цикл. г) верно ли это для произвольного конечного связного графа \\(g\\)? connected_graph path tree cycle idea-path-alternating-sums первое отрицательное чередующееся слагаемое на пути старт выбирается по знаку полной чередующейся суммы; если она отрицательна, берётся первый отрицательный префикс, чей индекс обязательно чётен. extremal_choice invariant ai_checked idea-tree-recursion цена ориентированной ветви дерева для состояния \\(x\\mid y\\) цена удовлетворяет рекурсии \\(m(x\\mid y)=w(x)-\\max_{z\\sim x,\\ z\\ne y}m(z\\mid x)\\). предположение, что хорошего старта нет, создаёт чередующийся бесконечный спуск по конечному дереву. trees minimal_counterexample ai_checked idea-cycle-parity чередующиеся классы и нечётный цикл знаков на чётном цикле петя выбирает более тяжёлый из двух чередующихся классов; на нечётном используются соседние разности \\(d_i+d_{i+1}=2a_i\\ge0\\). parity_coloring invariant ai_checked idea-seven-vertex-counterexample симметричный контрпример на семи вершинах вершина веса 2, три вершины веса 1 и треугольник из трёх нулевых вершин образуют граф, где вася при любом старте получает вес 3, а петя не более 2. construction goal_impossibility ai_checked sol-problem02-complete полное решение пунктов а-г ai_checked connected_graph path tree cycle extremal_choice invariant обозначим число монет в вершине \\(v\\) через \\(w(v)\\). а) пусть вершины пути идут в порядке \\(v_1,\\ldots,v_n\\), а \\(a_i=w(v_i)\\). положим \\(s_0=0\\) и \\(s_r=a_1-a_2+a_3-\\cdots+(-1)^{r-1}a_r\\). если \\(s_n\\ge0\\), петя начинает в \\(v_1\\). дальнейший путь единственен, и разность его счёта и счёта васи равна \\(s_n\\ge0\\). пусть \\(s_n<0\\), а \\(r\\) - наименьший индекс, для которого \\(s_r<0\\). тогда \\(s_{r-1}\\ge0\\), а \\(r\\) чётно: на нечётном шаге прибавляется неотрицательное число, поэтому впервые стать отрицательной сумма не может. петя начинает в \\(v_r\\). после первого хода васи фишка уже не может перейти через посещённую \\(v_r\\), поэтому идёт до одного из концов пути. если вася пошёл влево, итоговая разность равна \\(a_r-a_{r-1}+\\cdots-a_1=-s_r>0\\). если он пошёл вправо, она равна \\(a_r-a_{r+1}+a_{r+2}-\\cdots=s_{r-1}-s_n>0\\). значит, петя не проигрывает. б) для соседних вершин \\(x,y\\) удалим ре… lktg-2026-project2-problem02-coins-on-graph monety na grafe: vyigryshnyy start na puti, dereve i tsikle trees invariant extremal_choice construction goal_strategy_game goal_impossibility 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-problem02 igra s monetami i neposeschennymi vershinami source_verified v kazhdoy vershine konechnogo svyaznogo grafa \\(g\\) lezhit neotritsatelnoe tseloe chislo monet. petya vybiraet startovuyu vershinu, stavit tuda fishku, obyavlyaet vershinu poseschennoy i zabiraet vse monety iz nee. posle etogo pervym peredvigaet fishku vasya. za hod nuzhno pereyti po rebru v esche ne poseschennuyu vershinu i zabrat iz nee vse monety. igra zakanchivaetsya, kogda ocherednoy igrok ne mozhet sdelat hod. pobezhdaet nabravshiy bolshe monet; pri ravenstve obyavlyaetsya nichya. a) pust \\(g\\) yavlyaetsya putem. dokazhite, chto petya mozhet vybrat startovuyu vershinu i zatem igrat tak, chtoby ne proigrat. b) dokazhite to zhe, esli \\(g\\) - proizvolnoe konechnoe derevo. v) dokazhite to zhe, esli \\(g\\) - tsikl. g) verno li eto dlya proizvolnogo konechnogo svyaznogo grafa \\(g\\)? connected_graph path tree cycle idea-path-alternating-sums pervoe otritsatelnoe chereduyuscheesya slagaemoe na puti start vybiraetsya po znaku polnoy chereduyuscheysya summy; esli ona otritsatelna, beretsya pervyy otritsatelnyy prefiks, chey indeks obyazatelno cheten. extremal_choice invariant ai_checked idea-tree-recursion tsena orientirovannoy vetvi dereva dlya sostoyaniya \\(x\\mid y\\) tsena udovletvoryaet rekursii \\(m(x\\mid y)=w(x)-\\max_{z\\sim x,\\ z\\ne y}m(z\\mid x)\\). predpolozhenie, chto horoshego starta net, sozdaet chereduyuschiysya beskonechnyy spusk po konechnomu derevu. trees minimal_counterexample ai_checked idea-cycle-parity chereduyuschiesya klassy i nechetnyy tsikl znakov na chetnom tsikle petya vybiraet bolee tyazhelyy iz dvuh chereduyuschihsya klassov; na nechetnom ispolzuyutsya sosednie raznosti \\(d_i+d_{i+1}=2a_i\\ge0\\). parity_coloring invariant ai_checked idea-seven-vertex-counterexample simmetrichnyy kontrprimer na semi vershinah vershina vesa 2, tri vershiny vesa 1 i treugolnik iz treh nulevyh vershin obrazuyut graf, gde vasya pri lyubom starte poluchaet ves 3, a petya ne bolee 2. construction goal_impossibility ai_checked sol-problem02-complete polnoe reshenie punktov a-g ai_checked connected_graph path tree cycle extremal_choice invariant oboznachim chislo monet v vershine \\(v\\) cherez \\(w(v)\\). a) pust vershiny puti idut v poryadke \\(v_1,\\ldots,v_n\\), a \\(a_i=w(v_i)\\). polozhim \\(s_0=0\\) i \\(s_r=a_1-a_2+a_3-\\cdots+(-1)^{r-1}a_r\\). esli \\(s_n\\ge0\\), petya nachinaet v \\(v_1\\). dalneyshiy put edinstvenen, i raznost ego scheta i scheta vasi ravna \\(s_n\\ge0\\). pust \\(s_n<0\\), a \\(r\\) - naimenshiy indeks, dlya kotorogo \\(s_r<0\\). togda \\(s_{r-1}\\ge0\\), a \\(r\\) chetno: na nechetnom shage pribavlyaetsya neotritsatelnoe chislo, poetomu vpervye stat otritsatelnoy summa ne mozhet. petya nachinaet v \\(v_r\\). posle pervogo hoda vasi fishka uzhe ne mozhet pereyti cherez poseschennuyu \\(v_r\\), poetomu idet do odnogo iz kontsov puti. esli vasya poshel vlevo, itogovaya raznost ravna \\(a_r-a_{r-1}+\\cdots-a_1=-s_r>0\\). esli on poshel vpravo, ona ravna \\(a_r-a_{r+1}+a_{r+2}-\\cdots=s_{r-1}-s_n>0\\). znachit, petya ne proigryvaet. b) dlya sosednih vershin \\(x,y\\) udalim re…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem04-connectivity-edge-game","title":"Добавление рёбер до первой связности","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem04-connectivity-edge-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem04-connectivity-edge-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem04-connectivity-edge-game","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"problem","authors":["L. Csirmaz"],"tags":["connectivity","invariant","parity_coloring","extremal_choice","goal_classification","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Официальная сложность 4/5. Для нечётного n достаточно чётности конечной позиции, а чётный случай требует двухкомпонентного инварианта.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"Официальный PDF решений полностью доказывает классификацию для всех n по модулю 4.","notes":"Оба инварианта чётного случая определены и проверены для каждого типа безопасного хода."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-problem04","title":"Кто первым сделает граф связным","status":"source_verified","text":"На фиксированном множестве из \\(n\\ge3\\) вершин изначально нет рёбер. Петя и Вася по очереди добавляют по одному отсутствующему ребру; начинает Петя. Игрок, после хода которого граф впервые становится связным, немедленно проигрывает. Определите победителя при каждом \\(n\\ge3\\).","definition_ids":["connected_graph","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-problem04-complete","title":"Полная классификация по модулю 4","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","complete_graph"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: при \\(n\\equiv0,1\\pmod4\\) выигрывает Вася, а при \\(n\\equiv2,3\\pmod4\\) выигрывает Петя. Максимальный граф, который ещё несвязен, состоит из двух полных компонент \\(K_a\\sqcup K_b\\), где \\(a+b=n\\). Действительно, при трёх или более компонентах можно безопасно соединить две из них, а при недостающем ребре внутри компоненты можно безопасно добавить это ребро. Число сделанных безопасных ходов в такой конечной позиции равно \\[\\binom a2+\\binom b2=\\binom n2-ab.\\] Если \\(n\\) нечётно, числа \\(a,b\\) имеют разную чётность, поэтому \\(ab\\) чётно и чётность числа безопасных ходов не зависит от разбиения. При \\(n\\equiv1\\pmod4\\) число \\(\\binom n2\\) чётно. Вася всегда выбирает безопасный ход: перед его ходом добавлено нечётное число рёбер, поэтому конечная позиция с чётным числом рёбер ещё не достигнута. Следовательно, связный граф первым вынужден сделать Петя и проигрывает. При \\(n\\equiv3\\pmod4\\) ч…"}],"relations":[],"search_text":"lktg-2026-project2-problem04-connectivity-edge-game добавление рёбер до первой связности connectivity invariant parity_coloring extremal_choice goal_classification goal_strategy_game 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html l. csirmaz lcsirmaz lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 l. csirmaz 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-problem04 кто первым сделает граф связным source_verified на фиксированном множестве из \\(n\\ge3\\) вершин изначально нет рёбер. петя и вася по очереди добавляют по одному отсутствующему ребру; начинает петя. игрок, после хода которого граф впервые становится связным, немедленно проигрывает. определите победителя при каждом \\(n\\ge3\\). connected_graph complete_graph idea-terminal-two-cliques максимальный несвязный граф состоит из двух клик в максимальной безопасной позиции не может быть трёх компонент и не может отсутствовать ребро внутри компоненты, поэтому позиция имеет вид \\(k_a\\sqcup k_b\\). connectivity extremal_choice ai_checked idea-even-n-two-coordinate-invariant два параметра для чётного числа вершин поддерживаются сравнения \\(o\\equiv0\\pmod4\\) для числа нечётных компонент и \\(r\\equiv0\\pmod2\\) для числа недостающих рёбер внутри компонент. invariant parity_coloring ai_checked sol-problem04-complete полная классификация по модулю 4 ai_checked connected_graph complete_graph invariant ответ: при \\(n\\equiv0,1\\pmod4\\) выигрывает вася, а при \\(n\\equiv2,3\\pmod4\\) выигрывает петя. максимальный граф, который ещё несвязен, состоит из двух полных компонент \\(k_a\\sqcup k_b\\), где \\(a+b=n\\). действительно, при трёх или более компонентах можно безопасно соединить две из них, а при недостающем ребре внутри компоненты можно безопасно добавить это ребро. число сделанных безопасных ходов в такой конечной позиции равно \\[\\binom a2+\\binom b2=\\binom n2-ab.\\] если \\(n\\) нечётно, числа \\(a,b\\) имеют разную чётность, поэтому \\(ab\\) чётно и чётность числа безопасных ходов не зависит от разбиения. при \\(n\\equiv1\\pmod4\\) число \\(\\binom n2\\) чётно. вася всегда выбирает безопасный ход: перед его ходом добавлено нечётное число рёбер, поэтому конечная позиция с чётным числом рёбер ещё не достигнута. следовательно, связный граф первым вынужден сделать петя и проигрывает. при \\(n\\equiv3\\pmod4\\) ч… lktg-2026-project2-problem04-connectivity-edge-game dobavlenie reber do pervoy svyaznosti connectivity invariant parity_coloring extremal_choice goal_classification goal_strategy_game 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html l. csirmaz lcsirmaz lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 l. csirmaz 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-problem04 kto pervym sdelaet graf svyaznym source_verified na fiksirovannom mnozhestve iz \\(n\\ge3\\) vershin iznachalno net reber. petya i vasya po ocheredi dobavlyayut po odnomu otsutstvuyuschemu rebru; nachinaet petya. igrok, posle hoda kotorogo graf vpervye stanovitsya svyaznym, nemedlenno proigryvaet. opredelite pobeditelya pri kazhdom \\(n\\ge3\\). connected_graph complete_graph idea-terminal-two-cliques maksimalnyy nesvyaznyy graf sostoit iz dvuh klik v maksimalnoy bezopasnoy pozitsii ne mozhet byt treh komponent i ne mozhet otsutstvovat rebro vnutri komponenty, poetomu pozitsiya imeet vid \\(k_a\\sqcup k_b\\). connectivity extremal_choice ai_checked idea-even-n-two-coordinate-invariant dva parametra dlya chetnogo chisla vershin podderzhivayutsya sravneniya \\(o\\equiv0\\pmod4\\) dlya chisla nechetnyh komponent i \\(r\\equiv0\\pmod2\\) dlya chisla nedostayuschih reber vnutri komponent. invariant parity_coloring ai_checked sol-problem04-complete polnaya klassifikatsiya po modulyu 4 ai_checked connected_graph complete_graph invariant otvet: pri \\(n\\equiv0,1\\pmod4\\) vyigryvaet vasya, a pri \\(n\\equiv2,3\\pmod4\\) vyigryvaet petya. maksimalnyy graf, kotoryy esche nesvyazen, sostoit iz dvuh polnyh komponent \\(k_a\\sqcup k_b\\), gde \\(a+b=n\\). deystvitelno, pri treh ili bolee komponentah mozhno bezopasno soedinit dve iz nih, a pri nedostayuschem rebre vnutri komponenty mozhno bezopasno dobavit eto rebro. chislo sdelannyh bezopasnyh hodov v takoy konechnoy pozitsii ravno \\[\\binom a2+\\binom b2=\\binom n2-ab.\\] esli \\(n\\) nechetno, chisla \\(a,b\\) imeyut raznuyu chetnost, poetomu \\(ab\\) chetno i chetnost chisla bezopasnyh hodov ne zavisit ot razbieniya. pri \\(n\\equiv1\\pmod4\\) chislo \\(\\binom n2\\) chetno. vasya vsegda vybiraet bezopasnyy hod: pered ego hodom dobavleno nechetnoe chislo reber, poetomu konechnaya pozitsiya s chetnym chislom reber esche ne dostignuta. sledovatelno, svyaznyy graf pervym vynuzhden sdelat petya i proigryvaet. pri \\(n\\equiv3\\pmod4\\) ch…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem06-two-tokens-reversing-arcs","title":"Две фишки и развороты пройденных стрелок","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem06-two-tokens-reversing-arcs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem06-two-tokens-reversing-arcs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem06-two-tokens-reversing-arcs","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"problem","authors":["М. Дидин"],"tags":["invariant","potential_function","dynamics","construction","goal_strategy_game","goal_bound"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Официальная шкала проекта: а) 2/5, б) 4/5. Полная поочерёдная игра требует устойчивого инварианта двух путей и анализа равенства в потенциале.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"Официальный PDF решений содержит полный инвариант двух путей, доказательство конечности и количественную оценку.","notes":"Все случаи хода Васи проверены; анализ стабилизации потенциала исключает бесконечную игру."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-problem06","title":"Достижение цели при развороте каждого пройденного ребра","status":"source_verified","text":"На конечном ориентированном графе выбраны две различные вершины \\(A\\) и \\(B\\). В \\(A\\) стоит фишка Пети, в \\(B\\) - фишка Васи; из \\(A\\) в \\(B\\) существует ориентированный путь. При каждом передвижении фишка идёт по выходящей стрелке, после чего направление пройденного ребра немедленно меняется на противоположное. Фишки могут находиться в одной вершине; положение одной фишки никак не ограничивает движение другой. Петя хочет привести свою фишку в вершину \\(B\\). а) Сначала Вася совершает любое конечное число допустимых передвижений своей фишки, возможно ни одного, и после этого больше не ходит. Затем ходит только Петя. Докажите, что после любых ходов Васи Петя может попасть в \\(B\\). б) Теперь игроки ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок может либо пропустить ход, либо передвинуть свою фишку. Петя выигрывает, как только его фишка впервые попадает в \\(B\\); если этого никогда не происходит, выигрывает Вася. Существует ли исходный ориентированный граф, на котором Вася может помешать Пете выиграть?","definition_ids":["directed_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-problem06-complete","title":"Полное решение через два пути и целый потенциал","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","cycle"],"standard_idea_ids":["invariant","potential_function"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"В каждый момент будем поддерживать два направленных пути к цели: \\(P\\) идёт от текущего положения фишки Пети до \\(B\\), а \\(Q\\) - от текущего положения фишки Васи до \\(B\\). Пути не имеют общих рёбер, хотя могут иметь общие вершины. Изначально \\(P\\) - данный в условии путь из \\(A\\) в \\(B\\), а \\(Q\\) - пустой путь из \\(B\\) в \\(B\\). Опишем перестройку. На своём ходу Петя проходит первое ребро \\(P\\); после разворота это ребро удаляется из \\(P\\). Если \\(P\\) стал пустым, Петя уже находится в \\(B\\). Пусть Вася прошёл по ребру \\(q\\to r\\), которое после хода стало \\(r\\to q\\). Если ребро \\(qr\\) не лежало ни в \\(P\\), ни в \\(Q\\), допишем \\(r\\to q\\) в начало \\(Q\\). Если \\(q\\to r\\) лежало в \\(Q\\), оно было первым ребром \\(Q\\), и мы удаляем его. Если \\(q\\to r\\) лежало в \\(P\\), представим \\[P=P_0+(q\\to r)+P_1\\] и заменим пути по правилу \\[P\\leftarrow P_0+Q,\\qquad Q\\leftarrow P_1.\\] Это пересадка хвостов…"}],"relations":[{"id":"rel-tc-tree-p06-reversal-paired","neighbor_id":"tc-2018-19-simple-state-tree-game","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tc-cycle-p06-reversal-paired","neighbor_id":"tc-2018-19-complex-state-cycle-game","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem06-two-tokens-reversing-arcs две фишки и развороты пройденных стрелок invariant potential_function dynamics construction goal_strategy_game goal_bound 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 м. дидин м. дидин 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-problem06 достижение цели при развороте каждого пройденного ребра source_verified на конечном ориентированном графе выбраны две различные вершины \\(a\\) и \\(b\\). в \\(a\\) стоит фишка пети, в \\(b\\) - фишка васи; из \\(a\\) в \\(b\\) существует ориентированный путь. при каждом передвижении фишка идёт по выходящей стрелке, после чего направление пройденного ребра немедленно меняется на противоположное. фишки могут находиться в одной вершине; положение одной фишки никак не ограничивает движение другой. петя хочет привести свою фишку в вершину \\(b\\). а) сначала вася совершает любое конечное число допустимых передвижений своей фишки, возможно ни одного, и после этого больше не ходит. затем ходит только петя. докажите, что после любых ходов васи петя может попасть в \\(b\\). б) теперь игроки ходят по очереди, начинает петя. за ход игрок может либо пропустить ход, либо передвинуть свою фишку. петя выигрывает, как только его фишка впервые попадает в \\(b\\); если этого никогда не происходит, выигрывает вася. существует ли исходный ориентированный граф, на котором вася может помешать пете выиграть? directed_graph path idea-two-path-memory хранить только два пути к цели поддерживаются не имеющие общих рёбер направленные пути \\(p\\) от фишки пети к \\(b\\) и \\(q\\) от фишки васи к \\(b\\); остальные рёбра позиции для стратегии несущественны. invariant graph_model ai_checked idea-tail-switching пересадка хвостов при ходе васи по пути пети если вася проходит ребро пути \\(p\\), это ребро удаляется, а оставшиеся части \\(p\\) и \\(q\\) переклеиваются так, чтобы оба новых пути снова шли к \\(b\\) и не имели общих рёбер. invariant construction ai_checked idea-length-turn-potential сумма длин путей и бит очереди потенциал \\(s=|p|+|q|+\\varepsilon\\), где \\(\\varepsilon\\) кодирует очередь хода, не возрастает; если он стабилизировался, путь пети укорачивается на каждом его ходу и не меняется ходами васи. potential_function goal_strategy_game ai_checked sol-problem06-complete полное решение через два пути и целый потенциал ai_checked directed_graph path cycle invariant potential_function в каждый момент будем поддерживать два направленных пути к цели: \\(p\\) идёт от текущего положения фишки пети до \\(b\\), а \\(q\\) - от текущего положения фишки васи до \\(b\\). пути не имеют общих рёбер, хотя могут иметь общие вершины. изначально \\(p\\) - данный в условии путь из \\(a\\) в \\(b\\), а \\(q\\) - пустой путь из \\(b\\) в \\(b\\). опишем перестройку. на своём ходу петя проходит первое ребро \\(p\\); после разворота это ребро удаляется из \\(p\\). если \\(p\\) стал пустым, петя уже находится в \\(b\\). пусть вася прошёл по ребру \\(q\\to r\\), которое после хода стало \\(r\\to q\\). если ребро \\(qr\\) не лежало ни в \\(p\\), ни в \\(q\\), допишем \\(r\\to q\\) в начало \\(q\\). если \\(q\\to r\\) лежало в \\(q\\), оно было первым ребром \\(q\\), и мы удаляем его. если \\(q\\to r\\) лежало в \\(p\\), представим \\[p=p_0+(q\\to r)+p_1\\] и заменим пути по правилу \\[p\\leftarrow p_0+q,\\qquad q\\leftarrow p_1.\\] это пересадка хвостов… lktg-2026-project2-problem06-two-tokens-reversing-arcs dve fishki i razvoroty proydennyh strelok invariant potential_function dynamics construction goal_strategy_game goal_bound 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 m. didin m. didin 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-problem06 dostizhenie tseli pri razvorote kazhdogo proydennogo rebra source_verified na konechnom orientirovannom grafe vybrany dve razlichnye vershiny \\(a\\) i \\(b\\). v \\(a\\) stoit fishka peti, v \\(b\\) - fishka vasi; iz \\(a\\) v \\(b\\) suschestvuet orientirovannyy put. pri kazhdom peredvizhenii fishka idet po vyhodyaschey strelke, posle chego napravlenie proydennogo rebra nemedlenno menyaetsya na protivopolozhnoe. fishki mogut nahoditsya v odnoy vershine; polozhenie odnoy fishki nikak ne ogranichivaet dvizhenie drugoy. petya hochet privesti svoyu fishku v vershinu \\(b\\). a) snachala vasya sovershaet lyuboe konechnoe chislo dopustimyh peredvizheniy svoey fishki, vozmozhno ni odnogo, i posle etogo bolshe ne hodit. zatem hodit tolko petya. dokazhite, chto posle lyubyh hodov vasi petya mozhet popast v \\(b\\). b) teper igroki hodyat po ocheredi, nachinaet petya. za hod igrok mozhet libo propustit hod, libo peredvinut svoyu fishku. petya vyigryvaet, kak tolko ego fishka vpervye popadaet v \\(b\\); esli etogo nikogda ne proishodit, vyigryvaet vasya. suschestvuet li ishodnyy orientirovannyy graf, na kotorom vasya mozhet pomeshat pete vyigrat? directed_graph path idea-two-path-memory hranit tolko dva puti k tseli podderzhivayutsya ne imeyuschie obschih reber napravlennye puti \\(p\\) ot fishki peti k \\(b\\) i \\(q\\) ot fishki vasi k \\(b\\); ostalnye rebra pozitsii dlya strategii nesuschestvenny. invariant graph_model ai_checked idea-tail-switching peresadka hvostov pri hode vasi po puti peti esli vasya prohodit rebro puti \\(p\\), eto rebro udalyaetsya, a ostavshiesya chasti \\(p\\) i \\(q\\) perekleivayutsya tak, chtoby oba novyh puti snova shli k \\(b\\) i ne imeli obschih reber. invariant construction ai_checked idea-length-turn-potential summa dlin putey i bit ocheredi potentsial \\(s=|p|+|q|+\\varepsilon\\), gde \\(\\varepsilon\\) kodiruet ochered hoda, ne vozrastaet; esli on stabilizirovalsya, put peti ukorachivaetsya na kazhdom ego hodu i ne menyaetsya hodami vasi. potential_function goal_strategy_game ai_checked sol-problem06-complete polnoe reshenie cherez dva puti i tselyy potentsial ai_checked directed_graph path cycle invariant potential_function v kazhdyy moment budem podderzhivat dva napravlennyh puti k tseli: \\(p\\) idet ot tekuschego polozheniya fishki peti do \\(b\\), a \\(q\\) - ot tekuschego polozheniya fishki vasi do \\(b\\). puti ne imeyut obschih reber, hotya mogut imet obschie vershiny. iznachalno \\(p\\) - dannyy v uslovii put iz \\(a\\) v \\(b\\), a \\(q\\) - pustoy put iz \\(b\\) v \\(b\\). opishem perestroyku. na svoem hodu petya prohodit pervoe rebro \\(p\\); posle razvorota eto rebro udalyaetsya iz \\(p\\). esli \\(p\\) stal pustym, petya uzhe nahoditsya v \\(b\\). pust vasya proshel po rebru \\(q\\to r\\), kotoroe posle hoda stalo \\(r\\to q\\). esli rebro \\(qr\\) ne lezhalo ni v \\(p\\), ni v \\(q\\), dopishem \\(r\\to q\\) v nachalo \\(q\\). esli \\(q\\to r\\) lezhalo v \\(q\\), ono bylo pervym rebrom \\(q\\), i my udalyaem ego. esli \\(q\\to r\\) lezhalo v \\(p\\), predstavim \\[p=p_0+(q\\to r)+p_1\\] i zamenim puti po pravilu \\[p\\leftarrow p_0+q,\\qquad q\\leftarrow p_1.\\] eto peresadka hvostov…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem07-two-degenerate-orientation-game","title":"Парная стратегия против ориентированного цикла: 2-вырожденные графы и решётки","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem07-two-degenerate-orientation-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem07-two-degenerate-orientation-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem07-two-degenerate-orientation-game","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"problem","authors":[],"tags":["induction","invariant","goal_characterization","goal_strategy_game","dynamics","planar_graphs","graph_symmetry","extremal_choice"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Официальная шкала проекта: а) 2/5, б) 4/5. Характеризация стандартна после нахождения порядка удаления, а игровая часть требует точной проверки момента до парного ответа.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"Официальный PDF содержит полное доказательство характеризации и игровой стратегии.","notes":"Решение самодостаточно доказывает существование стока в конечном ациклическом орграфе."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-problem07","title":"Ориентация 2-вырожденного графа и игра на его рёбрах","status":"source_verified","text":"В игре на неориентированном графе \\(G\\) Циклист и Ациклист по очереди выбирают ещё не ориентированное ребро и направляют его в любую сторону. Циклист выигрывает немедленно, как только появляется ориентированный цикл длины не менее 3; если все рёбра ориентированы и такого цикла нет, выигрывает Ациклист. Граф называется 2-вырожденным, если в каждом его непустом подграфе есть вершина степени не больше 2. а) Докажите, что граф 2-вырожден тогда и только тогда, когда существует ациклическая ориентация всех его рёбер с входящей степенью каждой вершины не больше 2. В этом пункте игра не ведётся: нужно лишь ориентировать рёбра графа. б) Пусть \\(G\\) - конечный 2-вырожденный граф. Докажите, что Ациклист выигрывает, если \\(|E(G)|\\) чётно и начинает Циклист, а также если \\(|E(G)|\\) нечётно и начинает Ациклист.","definition_ids":["orientation","cycle","degree","indegree","outdegree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-square-grids","title":"Формулировки для бесконечной и прямоугольной квадратных решёток","status":"source_verified","text":"На неориентированном графе \\(G\\) Циклист и Ациклист по очереди выбирают ещё не ориентированное ребро и направляют его в любую сторону. Циклист выигрывает немедленно, как только появляется ориентированный цикл длины не менее 3; если все рёбра ориентированы и цикла нет, выигрывает Ациклист. На бесконечном графе Циклист должен создать конечный цикл за конечное число ходов; если этого никогда не происходит, выигрывает Ациклист. а) На бесконечной квадратной решётке с вершинами \\((x,y)\\in\\mathbb Z^2\\) и рёбрами между вершинами на расстоянии 1 определите победителя, когда первым ходит Циклист и когда первым ходит Ациклист. б) Пусть \\(m,n\\ge1\\), а \\(P_m\\square P_n\\) - конечная прямоугольная решётка, где \\(P_k\\) обозначает путь на \\(k\\) вершинах. Докажите, что Ациклист выигрывает, если \\(m\\) и \\(n\\) одной чётности и начинает Циклист, а также если \\(m\\) и \\(n\\) разной чётности и начинает Ациклист.","definition_ids":["orientation","cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-problem07-complete","title":"Полное решение пунктов а и б","status":"ai_checked","definition_ids":["orientation","cycle","degree","indegree","outdegree"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering","invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"а) Пусть граф 2-вырожден. Будем по одной удалять вершины, каждый раз выбирая в оставшемся графе вершину степени не больше 2. Получим порядок \\(v_1,v_2,\\ldots,v_n\\), где \\(v_i\\) удалена раньше \\(v_{i+1}\\). Каждое ребро направим от вершины, удалённой позже, к вершине, удалённой раньше. В вершину \\(v_i\\) входят только рёбра, соединявшие её в момент удаления с ещё не удалёнными вершинами, поэтому входящая степень не больше 2. Вдоль каждой стрелки индекс вершины уменьшается, так что ориентированного цикла нет. Обратно, пусть дана ациклическая ориентация, в которой входящая степень каждой вершины не больше 2. Возьмём любой непустой подграф и ограничим на него ориентацию; она остаётся ациклической. В конечном ациклическом ориентированном графе есть сток. Иначе из каждой вершины выходила бы стрелка, и, всё время двигаясь по стрелкам, мы в конечном графе повторили бы вершину и получили ориентиро…"},{"id":"sol-square-grid-pairing","title":"Геометрическая реализация парной стратегии на решётке","status":"ai_checked","definition_ids":["orientation","cycle","path"],"standard_idea_ids":["invariant","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"а) На бесконечной квадратной решётке Ациклист выигрывает при обоих порядках хода. Пусть начинает Циклист. В качестве эталонной ориентации \\(D\\) направим все горизонтальные рёбра вправо, а вертикальные вверх. В каждую вершину входят ровно два эталонных ребра - слева и снизу; объединим их в пару. После хода Циклиста Ациклист берёт второе ребро той же пары и направляет его так же относительно общей вершины, как первое. Ориентированный цикл невозможен: ограниченная на его рёбра эталонная ориентация ациклична, потому что вдоль каждой её стрелки растёт хотя бы одна координата. Поэтому на цикле есть эталонный сток, и два соседних с ним ребра составляют пару. В игровом ориентированном цикле одно из них входит в сток, а другое выходит, тогда как стратегия направляет их одинаково относительно центра. Цикл не может появиться и непосредственно после хода Циклиста: перед этим соответствующая структу…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p09-p07-oriented-cycle-game","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem09-bollobas-szabo-oriented-cycle-game","direction":"backward","type":"generalization","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem07-two-degenerate-orientation-game парная стратегия против ориентированного цикла: 2-вырожденные графы и решётки induction invariant goal_characterization goal_strategy_game dynamics planar_graphs graph_symmetry extremal_choice 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-problem07 ориентация 2-вырожденного графа и игра на его рёбрах source_verified в игре на неориентированном графе \\(g\\) циклист и ациклист по очереди выбирают ещё не ориентированное ребро и направляют его в любую сторону. циклист выигрывает немедленно, как только появляется ориентированный цикл длины не менее 3; если все рёбра ориентированы и такого цикла нет, выигрывает ациклист. граф называется 2-вырожденным, если в каждом его непустом подграфе есть вершина степени не больше 2. а) докажите, что граф 2-вырожден тогда и только тогда, когда существует ациклическая ориентация всех его рёбер с входящей степенью каждой вершины не больше 2. в этом пункте игра не ведётся: нужно лишь ориентировать рёбра графа. б) пусть \\(g\\) - конечный 2-вырожденный граф. докажите, что ациклист выигрывает, если \\(|e(g)|\\) чётно и начинает циклист, а также если \\(|e(g)|\\) нечётно и начинает ациклист. orientation cycle degree indegree outdegree stmt-square-grids формулировки для бесконечной и прямоугольной квадратных решёток source_verified на неориентированном графе \\(g\\) циклист и ациклист по очереди выбирают ещё не ориентированное ребро и направляют его в любую сторону. циклист выигрывает немедленно, как только появляется ориентированный цикл длины не менее 3; если все рёбра ориентированы и цикла нет, выигрывает ациклист. на бесконечном графе циклист должен создать конечный цикл за конечное число ходов; если этого никогда не происходит, выигрывает ациклист. а) на бесконечной квадратной решётке с вершинами \\((x,y)\\in\\mathbb z^2\\) и рёбрами между вершинами на расстоянии 1 определите победителя, когда первым ходит циклист и когда первым ходит ациклист. б) пусть \\(m,n\\ge1\\), а \\(p_m\\square p_n\\) - конечная прямоугольная решётка, где \\(p_k\\) обозначает путь на \\(k\\) вершинах. докажите, что ациклист выигрывает, если \\(m\\) и \\(n\\) одной чётности и начинает циклист, а также если \\(m\\) и \\(n\\) разной чётности и начинает ациклист. orientation cycle path idea-degeneracy-order порядок удаления задаёт ациклическую ориентацию каждое ребро направляется от позже удалённой вершины к раньше удалённой; номера вдоль стрелок убывают, а входящая степень ограничена степенью в момент удаления. induction goal_characterization ai_checked idea-reference-incoming-pairs пары входящих рёбер эталонной ориентации два эталонных ребра, входящих в одну вершину, связываются в пару; ациклист направляет их одинаково относительно центра, что несовместимо с ориентированным циклом. invariant goal_strategy_game ai_checked idea-grid-reference-orientation рёбра слева и снизу как структурная пара в эталонной ориентации вправо и вверх в каждую вершину входят рёбра слева и снизу; одинаковое направление этих пар в игре запрещает ориентированный цикл. invariant graph_symmetry ai_checked idea-origin-defect один непарный вход в начале координат при первом ходе ациклиста горизонтальные рёбра нулевой строки направляются от начала координат, так что только в начале координат остаётся одно входящее эталонное ребро, уже занятое первым ходом. construction goal_strategy_game ai_checked idea-max-coordinate-cycle вершина цикла с максимальной суммой координат в конечной решётке оба ребра цикла при вершине с максимальным \\(x+y\\) идут влево и вниз и образуют структурную пару. extremal_choice invariant ai_checked sol-problem07-complete полное решение пунктов а и б ai_checked orientation cycle degree indegree outdegree greedy_ordering invariant а) пусть граф 2-вырожден. будем по одной удалять вершины, каждый раз выбирая в оставшемся графе вершину степени не больше 2. получим порядок \\(v_1,v_2,\\ldots,v_n\\), где \\(v_i\\) удалена раньше \\(v_{i+1}\\). каждое ребро направим от вершины, удалённой позже, к вершине, удалённой раньше. в вершину \\(v_i\\) входят только рёбра, соединявшие её в момент удаления с ещё не удалёнными вершинами, поэтому входящая степень не больше 2. вдоль каждой стрелки индекс вершины уменьшается, так что ориентированного цикла нет. обратно, пусть дана ациклическая ориентация, в которой входящая степень каждой вершины не больше 2. возьмём любой непустой подграф и ограничим на него ориентацию; она остаётся ациклической. в конечном ациклическом ориентированном графе есть сток. иначе из каждой вершины выходила бы стрелка, и, всё время двигаясь по стрелкам, мы в конечном графе повторили бы вершину и получили ориентиро… sol-square-grid-pairing геометрическая реализация парной стратегии на решётке ai_checked orientation cycle path invariant extremal_choice а) на бесконечной квадратной решётке ациклист выигрывает при обоих порядках хода. пусть начинает циклист. в качестве эталонной ориентации \\(d\\) направим все горизонтальные рёбра вправо, а вертикальные вверх. в каждую вершину входят ровно два эталонных ребра - слева и снизу; объединим их в пару. после хода циклиста ациклист берёт второе ребро той же пары и направляет его так же относительно общей вершины, как первое. ориентированный цикл невозможен: ограниченная на его рёбра эталонная ориентация ациклична, потому что вдоль каждой её стрелки растёт хотя бы одна координата. поэтому на цикле есть эталонный сток, и два соседних с ним ребра составляют пару. в игровом ориентированном цикле одно из них входит в сток, а другое выходит, тогда как стратегия направляет их одинаково относительно центра. цикл не может появиться и непосредственно после хода циклиста: перед этим соответствующая структу… lktg-2026-project2-problem07-two-degenerate-orientation-game parnaya strategiya protiv orientirovannogo tsikla: 2-vyrozhdennye grafy i reshetki induction invariant goal_characterization goal_strategy_game dynamics planar_graphs graph_symmetry extremal_choice 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-problem07 orientatsiya 2-vyrozhdennogo grafa i igra na ego rebrah source_verified v igre na neorientirovannom grafe \\(g\\) tsiklist i atsiklist po ocheredi vybirayut esche ne orientirovannoe rebro i napravlyayut ego v lyubuyu storonu. tsiklist vyigryvaet nemedlenno, kak tolko poyavlyaetsya orientirovannyy tsikl dliny ne menee 3; esli vse rebra orientirovany i takogo tsikla net, vyigryvaet atsiklist. graf nazyvaetsya 2-vyrozhdennym, esli v kazhdom ego nepustom podgrafe est vershina stepeni ne bolshe 2. a) dokazhite, chto graf 2-vyrozhden togda i tolko togda, kogda suschestvuet atsiklicheskaya orientatsiya vseh ego reber s vhodyaschey stepenyu kazhdoy vershiny ne bolshe 2. v etom punkte igra ne vedetsya: nuzhno lish orientirovat rebra grafa. b) pust \\(g\\) - konechnyy 2-vyrozhdennyy graf. dokazhite, chto atsiklist vyigryvaet, esli \\(|e(g)|\\) chetno i nachinaet tsiklist, a takzhe esli \\(|e(g)|\\) nechetno i nachinaet atsiklist. orientation cycle degree indegree outdegree stmt-square-grids formulirovki dlya beskonechnoy i pryamougolnoy kvadratnyh reshetok source_verified na neorientirovannom grafe \\(g\\) tsiklist i atsiklist po ocheredi vybirayut esche ne orientirovannoe rebro i napravlyayut ego v lyubuyu storonu. tsiklist vyigryvaet nemedlenno, kak tolko poyavlyaetsya orientirovannyy tsikl dliny ne menee 3; esli vse rebra orientirovany i tsikla net, vyigryvaet atsiklist. na beskonechnom grafe tsiklist dolzhen sozdat konechnyy tsikl za konechnoe chislo hodov; esli etogo nikogda ne proishodit, vyigryvaet atsiklist. a) na beskonechnoy kvadratnoy reshetke s vershinami \\((x,y)\\in\\mathbb z^2\\) i rebrami mezhdu vershinami na rasstoyanii 1 opredelite pobeditelya, kogda pervym hodit tsiklist i kogda pervym hodit atsiklist. b) pust \\(m,n\\ge1\\), a \\(p_m\\square p_n\\) - konechnaya pryamougolnaya reshetka, gde \\(p_k\\) oboznachaet put na \\(k\\) vershinah. dokazhite, chto atsiklist vyigryvaet, esli \\(m\\) i \\(n\\) odnoy chetnosti i nachinaet tsiklist, a takzhe esli \\(m\\) i \\(n\\) raznoy chetnosti i nachinaet atsiklist. orientation cycle path idea-degeneracy-order poryadok udaleniya zadaet atsiklicheskuyu orientatsiyu kazhdoe rebro napravlyaetsya ot pozzhe udalennoy vershiny k ranshe udalennoy; nomera vdol strelok ubyvayut, a vhodyaschaya stepen ogranichena stepenyu v moment udaleniya. induction goal_characterization ai_checked idea-reference-incoming-pairs pary vhodyaschih reber etalonnoy orientatsii dva etalonnyh rebra, vhodyaschih v odnu vershinu, svyazyvayutsya v paru; atsiklist napravlyaet ih odinakovo otnositelno tsentra, chto nesovmestimo s orientirovannym tsiklom. invariant goal_strategy_game ai_checked idea-grid-reference-orientation rebra sleva i snizu kak strukturnaya para v etalonnoy orientatsii vpravo i vverh v kazhduyu vershinu vhodyat rebra sleva i snizu; odinakovoe napravlenie etih par v igre zapreschaet orientirovannyy tsikl. invariant graph_symmetry ai_checked idea-origin-defect odin neparnyy vhod v nachale koordinat pri pervom hode atsiklista gorizontalnye rebra nulevoy stroki napravlyayutsya ot nachala koordinat, tak chto tolko v nachale koordinat ostaetsya odno vhodyaschee etalonnoe rebro, uzhe zanyatoe pervym hodom. construction goal_strategy_game ai_checked idea-max-coordinate-cycle vershina tsikla s maksimalnoy summoy koordinat v konechnoy reshetke oba rebra tsikla pri vershine s maksimalnym \\(x+y\\) idut vlevo i vniz i obrazuyut strukturnuyu paru. extremal_choice invariant ai_checked sol-problem07-complete polnoe reshenie punktov a i b ai_checked orientation cycle degree indegree outdegree greedy_ordering invariant a) pust graf 2-vyrozhden. budem po odnoy udalyat vershiny, kazhdyy raz vybiraya v ostavshemsya grafe vershinu stepeni ne bolshe 2. poluchim poryadok \\(v_1,v_2,\\ldots,v_n\\), gde \\(v_i\\) udalena ranshe \\(v_{i+1}\\). kazhdoe rebro napravim ot vershiny, udalennoy pozzhe, k vershine, udalennoy ranshe. v vershinu \\(v_i\\) vhodyat tolko rebra, soedinyavshie ee v moment udaleniya s esche ne udalennymi vershinami, poetomu vhodyaschaya stepen ne bolshe 2. vdol kazhdoy strelki indeks vershiny umenshaetsya, tak chto orientirovannogo tsikla net. obratno, pust dana atsiklicheskaya orientatsiya, v kotoroy vhodyaschaya stepen kazhdoy vershiny ne bolshe 2. vozmem lyuboy nepustoy podgraf i ogranichim na nego orientatsiyu; ona ostaetsya atsiklicheskoy. v konechnom atsiklicheskom orientirovannom grafe est stok. inache iz kazhdoy vershiny vyhodila by strelka, i, vse vremya dvigayas po strelkam, my v konechnom grafe povtorili by vershinu i poluchili orientiro… sol-square-grid-pairing geometricheskaya realizatsiya parnoy strategii na reshetke ai_checked orientation cycle path invariant extremal_choice a) na beskonechnoy kvadratnoy reshetke atsiklist vyigryvaet pri oboih poryadkah hoda. pust nachinaet tsiklist. v kachestve etalonnoy orientatsii \\(d\\) napravim vse gorizontalnye rebra vpravo, a vertikalnye vverh. v kazhduyu vershinu vhodyat rovno dva etalonnyh rebra - sleva i snizu; obedinim ih v paru. posle hoda tsiklista atsiklist beret vtoroe rebro toy zhe pary i napravlyaet ego tak zhe otnositelno obschey vershiny, kak pervoe. orientirovannyy tsikl nevozmozhen: ogranichennaya na ego rebra etalonnaya orientatsiya atsiklichna, potomu chto vdol kazhdoy ee strelki rastet hotya by odna koordinata. poetomu na tsikle est etalonnyy stok, i dva sosednih s nim rebra sostavlyayut paru. v igrovom orientirovannom tsikle odno iz nih vhodit v stok, a drugoe vyhodit, togda kak strategiya napravlyaet ih odinakovo otnositelno tsentra. tsikl ne mozhet poyavitsya i neposredstvenno posle hoda tsiklista: pered etim sootvetstvuyuschaya struktu…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem09-bollobas-szabo-oriented-cycle-game","title":"Игра Боллобаша-Сабо: плотное ядро и принудительный ориентированный цикл","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem09-bollobas-szabo-oriented-cycle-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem09-bollobas-szabo-oriented-cycle-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem09-bollobas-szabo-oriented-cycle-game","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7","Béla Bollobás, Tamás Szabó, The oriented cycle game"],"year":"2026","type":"theorem_problem","authors":["B. Bollobás","T. Szabó"],"tags":["extremal_graph_theory","classical_theorem","eulerian_graphs","matching","double_counting","minimal_counterexample","invariant","construction","goal_strategy_game","goal_proof"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":10,"comment":"Официальная шкала проекта: а) 4/5, б) 4/5, в) 5/5, г) 2/5, д) 2/5, е) 2/5. Главная нагрузка сосредоточена в распределительной лемме и стратегии пункта в.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"Официальный PDF решений ЛКТГ 2026 даёт полные доказательства пунктов а-е, распределительных лемм, плотностной теоремы и торической конструкции.","notes":"Внешняя теорема не оставлена без доказательства; для пункта е также дан отдельный самодостаточный перенос доказательства результата о бесконечной решётке."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-problem09","title":"Шесть шагов к теореме об игре ориентированного цикла","status":"source_verified","text":"На неориентированном графе \\(G\\) игроки Циклист и Ациклист по очереди выбирают ещё не ориентированное ребро и направляют его в любую сторону. Циклист выигрывает немедленно, как только появляется ориентированный цикл длины не менее 3; если все рёбра ориентированы и цикла нет, выигрывает Ациклист. Сток - вершина, из которой не выходит ни одной стрелки; источник - вершина, в которую не входит ни одной стрелки. Через \\(v(H)\\) и \\(e(H)\\) обозначим число вершин и число рёбер графа \\(H\\). Конечный простой граф \\(H\\) назовём минимальным плотным ядром, если \\(v(H)\\ge3\\), \\(e(H)=2v(H)-2\\), но для каждого собственного подграфа \\(F\\subsetneq H\\) с \\(v(F)\\ge3\\) выполнено \\(e(F)\\le2v(F)-3\\). а) Докажите, что на любом конечном простом 4-регулярном графе Циклист, ходя первым, имеет выигрышную стратегию. б) Игра идёт на минимальном плотном ядре \\(H\\). Первым ходит Ациклист, вторым - Циклист. В этом пункте игроки ориентируют все рёбра \\(H\\), даже если ориентированный цикл появился раньше. Докажите, что Циклист может гарантировать, что итоговая ориентация \\(H\\) не имеет стоков. в) На минимальном плотном ядре \\(H\\) Циклист ходит первым. Докажите, что он может играть так, чтобы либо появился ориентированный цикл, либо после ориентации всех рёбер итоговая ориентация не имела стоков или не имела источников. г) Выведите теорему Боллобаша-Сабо: если конечный простой граф \\(G\\) имеет \\(N\\ge3\\) вершин и не менее \\(2N-2\\) рёбер, то Циклист, ходя первым, имеет выигрышную стратегию. д) Докажите, что на любом конечном простом 4-регулярном графе Циклист выигрывает независимо от того, кто сделал первый ход. Далее пусть простой граф с \\(N\\) вершинами клеточно вложен в замкнутую связную ориентируемую поверхность рода \\(g\\ge1\\), а граница каждой грани имеет длину 4. Найдите число его рёбер и докажите, что Циклист выигрывает при обоих порядках хода. е) Корневым шаром радиуса \\(R\\) назовём подграф, порождённый вершинами на расстоянии не более \\(R\\) от отмеченного центра. Для каждого \\(R\\ge0\\) постройте конечный простой граф \\(G_R\\) и вершину \\(v_R\\), для которых корневой шар радиуса \\(R\\) с центром \\(v_R\\) изоморфен корневому шару радиуса \\(R\\) квадратной решётки, но при каждом из двух порядков хода победитель на \\(G_R\\) противоположен победителю в соответствующей игре на бесконечной решётке. Все параметры конструкции укажите явно.","definition_ids":["simple_graph","orientation","cycle","outdegree","indegree","degree","eulerian_cycle","distance","induced_subgraph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-problem09-complete","title":"Полное решение пунктов а-е","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","orientation","cycle","outdegree","indegree","degree","eulerian_cycle","matching","distance","induced_subgraph"],"standard_idea_ids":["invariant","alternating_paths","minimal_counterexample","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"а) В каждой компоненте 4-регулярного графа построим замкнутый обход, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Начнём идти по неиспользованным рёбрам. Застрять не в начальной вершине нельзя: до очередного входа в вершину использовано чётное число её рёбер, а сразу после входа - нечётное, то есть не все четыре. Если после возвращения остались рёбра, начнём такой же обход из вершины старого обхода, инцидентной неиспользованному ребру, и вклеим новый замкнутый кусок. Так получается эйлеров обход. Направим каждое ребро эталонно по ходу обхода. В каждую вершину входят ровно два ребра; объединим их в пару с центром в этой вершине. Все рёбра разбились на пары. Циклист первым берёт одно ребро любой пары и направляет его из центра, а второе временно откладывает. Далее на ход Ациклиста в нетронутой паре он берёт второе ребро этой пары и направляет его из центра. Если Ациклист берёт отложенное р…"},{"id":"sol-problem09-part-e-self-contained","title":"Самодостаточное решение пункта е с доказательством результата для бесконечной решётки","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","orientation","cycle","distance","induced_subgraph"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала докажем нужный результат о бесконечной квадратной решётке, не ссылаясь на другую карточку. Ациклист выигрывает при обоих порядках хода. Если начинает Циклист, эталонно направим все горизонтальные рёбра вправо, а все вертикальные вверх. В каждую вершину входят два эталонных ребра - слева и снизу; объединим их в пару. После хода Циклиста Ациклист берёт второе ребро пары и направляет его так же относительно общей вершины, как первое. Ориентированный цикл невозможен. Эталонная ориентация любого конечного цикла ациклична, поскольку вдоль стрелок растут координаты, поэтому на цикле есть эталонный сток. Два соседних с ним ребра составляют одну пару, но в игровом ориентированном цикле одно должно входить в сток, а другое выходить, тогда как стратегия направляет их одинаково. Цикл не может появиться непосредственно после хода Циклиста: перед ним эта пара либо нетронута и оба её ребра ещё…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p09-p07-oriented-cycle-game","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem07-two-degenerate-orientation-game","direction":"forward","type":"generalization","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem09-bollobas-szabo-oriented-cycle-game игра боллобаша-сабо: плотное ядро и принудительный ориентированный цикл extremal_graph_theory classical_theorem eulerian_graphs matching double_counting minimal_counterexample invariant construction goal_strategy_game goal_proof 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» b. bollobás bbollobás béla bollobás, tamás szabó, the oriented cycle game https://doi.org/10.1016/s0012-365x(97)00224-0 https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive paper src-bollobas-szabo-oriented-cycle-game src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru t. szabó tszabó with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 b. bollobás t. szabó 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 béla bollobás, tamás szabó, the oriented cycle game stmt-problem09 шесть шагов к теореме об игре ориентированного цикла source_verified на неориентированном графе \\(g\\) игроки циклист и ациклист по очереди выбирают ещё не ориентированное ребро и направляют его в любую сторону. циклист выигрывает немедленно, как только появляется ориентированный цикл длины не менее 3; если все рёбра ориентированы и цикла нет, выигрывает ациклист. сток - вершина, из которой не выходит ни одной стрелки; источник - вершина, в которую не входит ни одной стрелки. через \\(v(h)\\) и \\(e(h)\\) обозначим число вершин и число рёбер графа \\(h\\). конечный простой граф \\(h\\) назовём минимальным плотным ядром, если \\(v(h)\\ge3\\), \\(e(h)=2v(h)-2\\), но для каждого собственного подграфа \\(f\\subsetneq h\\) с \\(v(f)\\ge3\\) выполнено \\(e(f)\\le2v(f)-3\\). а) докажите, что на любом конечном простом 4-регулярном графе циклист, ходя первым, имеет выигрышную стратегию. б) игра идёт на минимальном плотном ядре \\(h\\). первым ходит ациклист, вторым - циклист. в этом пункте игроки ориентируют все рёбра \\(h\\), даже если ориентированный цикл появился раньше. докажите, что циклист может гарантировать, что итоговая ориентация \\(h\\) не имеет стоков. в) на минимальном плотном ядре \\(h\\) циклист ходит первым. докажите, что он может играть так, чтобы либо появился ориентированный цикл, либо после ориентации всех рёбер итоговая ориентация не имела стоков или не имела источников. г) выведите теорему боллобаша-сабо: если конечный простой граф \\(g\\) имеет \\(n\\ge3\\) вершин и не менее \\(2n-2\\) рёбер, то циклист, ходя первым, имеет выигрышную стратегию. д) докажите, что на любом конечном простом 4-регулярном графе циклист выигрывает независимо от того, кто сделал первый ход. далее пусть простой граф с \\(n\\) вершинами клеточно вложен в замкнутую связную ориентируемую поверхность рода \\(g\\ge1\\), а граница каждой грани имеет длину 4. найдите число его рёбер и докажите, что циклист выигрывает при обоих порядках хода. е) корневым шаром радиуса \\(r\\) назовём подграф, порождённый вершинами на расстоянии не более \\(r\\) от отмеченного центра. для каждого \\(r\\ge0\\) постройте конечный простой граф \\(g_r\\) и вершину \\(v_r\\), для которых корневой шар радиуса \\(r\\) с центром \\(v_r\\) изоморфен корневому шару радиуса \\(r\\) квадратной решётки, но при каждом из двух порядков хода победитель на \\(g_r\\) противоположен победителю в соответствующей игре на бесконечной решётке. все параметры конструкции укажите явно. simple_graph orientation cycle outdegree indegree degree eulerian_cycle distance induced_subgraph idea-euler-pairs эйлеров обход разбивает рёбра 4-регулярного графа на пары после ориентации эйлерова обхода в каждую вершину входят два эталонных ребра; циклист защищает центр каждой пары хотя бы одной исходящей стрелкой. eulerian_graphs invariant ai_checked idea-edge-slot-assignment распределение рёбер по двум местам каждой вершины минимальная плотность ядра даёт условие холла для назначения каждого ребра одному из концов с двумя местами у каждой вершины, кроме начала первой стрелки. matching extremal_graph_theory ai_checked idea-deferred-edge одно отложенное ребро связывает ответы между парами если ациклист берёт отложенное ребро, циклист открывает следующую пару; если ход сделан в нетронутой паре, циклист немедленно защищает её центр вторым ребром. invariant goal_strategy_game ai_checked idea-minimal-dense-core минимальный плотный подграф локализует игру из графа с не менее чем \\(2n-2\\) рёбрами выделяется минимальное плотное ядро; ходы ациклиста вне ядра обрабатываются как пропуски. minimal_counterexample extremal_graph_theory ai_checked idea-quadrangulation-count подсчёт рёбер квадрангуляции из \\(4f=2e\\) и \\(n-e+f=2-2g\\) получается \\(e=2n+4g-4\\), чего достаточно для плотностной теоремы при обоих порядках. double_counting planar_graphs ai_checked idea-toroidal-local-model торическая решётка с большим нечётным периодом граф \\(c_{2r+3}\\square c_{2r+3}\\) 4-регулярен, но его шар радиуса \\(r\\) ещё не видит склейки тора и совпадает с шаром квадратной решётки. construction graph_symmetry ai_checked sol-problem09-complete полное решение пунктов а-е ai_checked simple_graph orientation cycle outdegree indegree degree eulerian_cycle matching distance induced_subgraph invariant alternating_paths minimal_counterexample double_counting а) в каждой компоненте 4-регулярного графа построим замкнутый обход, проходящий по каждому ребру ровно один раз. начнём идти по неиспользованным рёбрам. застрять не в начальной вершине нельзя: до очередного входа в вершину использовано чётное число её рёбер, а сразу после входа - нечётное, то есть не все четыре. если после возвращения остались рёбра, начнём такой же обход из вершины старого обхода, инцидентной неиспользованному ребру, и вклеим новый замкнутый кусок. так получается эйлеров обход. направим каждое ребро эталонно по ходу обхода. в каждую вершину входят ровно два ребра; объединим их в пару с центром в этой вершине. все рёбра разбились на пары. циклист первым берёт одно ребро любой пары и направляет его из центра, а второе временно откладывает. далее на ход ациклиста в нетронутой паре он берёт второе ребро этой пары и направляет его из центра. если ациклист берёт отложенное р… sol-problem09-part-e-self-contained самодостаточное решение пункта е с доказательством результата для бесконечной решётки ai_checked simple_graph orientation cycle distance induced_subgraph invariant сначала докажем нужный результат о бесконечной квадратной решётке, не ссылаясь на другую карточку. ациклист выигрывает при обоих порядках хода. если начинает циклист, эталонно направим все горизонтальные рёбра вправо, а все вертикальные вверх. в каждую вершину входят два эталонных ребра - слева и снизу; объединим их в пару. после хода циклиста ациклист берёт второе ребро пары и направляет его так же относительно общей вершины, как первое. ориентированный цикл невозможен. эталонная ориентация любого конечного цикла ациклична, поскольку вдоль стрелок растут координаты, поэтому на цикле есть эталонный сток. два соседних с ним ребра составляют одну пару, но в игровом ориентированном цикле одно должно входить в сток, а другое выходить, тогда как стратегия направляет их одинаково. цикл не может появиться непосредственно после хода циклиста: перед ним эта пара либо нетронута и оба её ребра ещё… lktg-2026-project2-problem09-bollobas-szabo-oriented-cycle-game igra bollobasha-sabo: plotnoe yadro i prinuditelnyy orientirovannyy tsikl extremal_graph_theory classical_theorem eulerian_graphs matching double_counting minimal_counterexample invariant construction goal_strategy_game goal_proof 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» b. bollobás bbollobás béla bollobás, tamás szabó, the oriented cycle game https://doi.org/10.1016/s0012-365x(97)00224-0 https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive paper src-bollobas-szabo-oriented-cycle-game src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru t. szabó tszabó with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 b. bollobás t. szabó 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 béla bollobás, tamás szabó, the oriented cycle game stmt-problem09 shest shagov k teoreme ob igre orientirovannogo tsikla source_verified na neorientirovannom grafe \\(g\\) igroki tsiklist i atsiklist po ocheredi vybirayut esche ne orientirovannoe rebro i napravlyayut ego v lyubuyu storonu. tsiklist vyigryvaet nemedlenno, kak tolko poyavlyaetsya orientirovannyy tsikl dliny ne menee 3; esli vse rebra orientirovany i tsikla net, vyigryvaet atsiklist. stok - vershina, iz kotoroy ne vyhodit ni odnoy strelki; istochnik - vershina, v kotoruyu ne vhodit ni odnoy strelki. cherez \\(v(h)\\) i \\(e(h)\\) oboznachim chislo vershin i chislo reber grafa \\(h\\). konechnyy prostoy graf \\(h\\) nazovem minimalnym plotnym yadrom, esli \\(v(h)\\ge3\\), \\(e(h)=2v(h)-2\\), no dlya kazhdogo sobstvennogo podgrafa \\(f\\subsetneq h\\) s \\(v(f)\\ge3\\) vypolneno \\(e(f)\\le2v(f)-3\\). a) dokazhite, chto na lyubom konechnom prostom 4-regulyarnom grafe tsiklist, hodya pervym, imeet vyigryshnuyu strategiyu. b) igra idet na minimalnom plotnom yadre \\(h\\). pervym hodit atsiklist, vtorym - tsiklist. v etom punkte igroki orientiruyut vse rebra \\(h\\), dazhe esli orientirovannyy tsikl poyavilsya ranshe. dokazhite, chto tsiklist mozhet garantirovat, chto itogovaya orientatsiya \\(h\\) ne imeet stokov. v) na minimalnom plotnom yadre \\(h\\) tsiklist hodit pervym. dokazhite, chto on mozhet igrat tak, chtoby libo poyavilsya orientirovannyy tsikl, libo posle orientatsii vseh reber itogovaya orientatsiya ne imela stokov ili ne imela istochnikov. g) vyvedite teoremu bollobasha-sabo: esli konechnyy prostoy graf \\(g\\) imeet \\(n\\ge3\\) vershin i ne menee \\(2n-2\\) reber, to tsiklist, hodya pervym, imeet vyigryshnuyu strategiyu. d) dokazhite, chto na lyubom konechnom prostom 4-regulyarnom grafe tsiklist vyigryvaet nezavisimo ot togo, kto sdelal pervyy hod. dalee pust prostoy graf s \\(n\\) vershinami kletochno vlozhen v zamknutuyu svyaznuyu orientiruemuyu poverhnost roda \\(g\\ge1\\), a granitsa kazhdoy grani imeet dlinu 4. naydite chislo ego reber i dokazhite, chto tsiklist vyigryvaet pri oboih poryadkah hoda. e) kornevym sharom radiusa \\(r\\) nazovem podgraf, porozhdennyy vershinami na rasstoyanii ne bolee \\(r\\) ot otmechennogo tsentra. dlya kazhdogo \\(r\\ge0\\) postroyte konechnyy prostoy graf \\(g_r\\) i vershinu \\(v_r\\), dlya kotoryh kornevoy shar radiusa \\(r\\) s tsentrom \\(v_r\\) izomorfen kornevomu sharu radiusa \\(r\\) kvadratnoy reshetki, no pri kazhdom iz dvuh poryadkov hoda pobeditel na \\(g_r\\) protivopolozhen pobeditelyu v sootvetstvuyuschey igre na beskonechnoy reshetke. vse parametry konstruktsii ukazhite yavno. simple_graph orientation cycle outdegree indegree degree eulerian_cycle distance induced_subgraph idea-euler-pairs eylerov obhod razbivaet rebra 4-regulyarnogo grafa na pary posle orientatsii eylerova obhoda v kazhduyu vershinu vhodyat dva etalonnyh rebra; tsiklist zaschischaet tsentr kazhdoy pary hotya by odnoy ishodyaschey strelkoy. eulerian_graphs invariant ai_checked idea-edge-slot-assignment raspredelenie reber po dvum mestam kazhdoy vershiny minimalnaya plotnost yadra daet uslovie holla dlya naznacheniya kazhdogo rebra odnomu iz kontsov s dvumya mestami u kazhdoy vershiny, krome nachala pervoy strelki. matching extremal_graph_theory ai_checked idea-deferred-edge odno otlozhennoe rebro svyazyvaet otvety mezhdu parami esli atsiklist beret otlozhennoe rebro, tsiklist otkryvaet sleduyuschuyu paru; esli hod sdelan v netronutoy pare, tsiklist nemedlenno zaschischaet ee tsentr vtorym rebrom. invariant goal_strategy_game ai_checked idea-minimal-dense-core minimalnyy plotnyy podgraf lokalizuet igru iz grafa s ne menee chem \\(2n-2\\) rebrami vydelyaetsya minimalnoe plotnoe yadro; hody atsiklista vne yadra obrabatyvayutsya kak propuski. minimal_counterexample extremal_graph_theory ai_checked idea-quadrangulation-count podschet reber kvadrangulyatsii iz \\(4f=2e\\) i \\(n-e+f=2-2g\\) poluchaetsya \\(e=2n+4g-4\\), chego dostatochno dlya plotnostnoy teoremy pri oboih poryadkah. double_counting planar_graphs ai_checked idea-toroidal-local-model toricheskaya reshetka s bolshim nechetnym periodom graf \\(c_{2r+3}\\square c_{2r+3}\\) 4-regulyaren, no ego shar radiusa \\(r\\) esche ne vidit skleyki tora i sovpadaet s sharom kvadratnoy reshetki. construction graph_symmetry ai_checked sol-problem09-complete polnoe reshenie punktov a-e ai_checked simple_graph orientation cycle outdegree indegree degree eulerian_cycle matching distance induced_subgraph invariant alternating_paths minimal_counterexample double_counting a) v kazhdoy komponente 4-regulyarnogo grafa postroim zamknutyy obhod, prohodyaschiy po kazhdomu rebru rovno odin raz. nachnem idti po neispolzovannym rebram. zastryat ne v nachalnoy vershine nelzya: do ocherednogo vhoda v vershinu ispolzovano chetnoe chislo ee reber, a srazu posle vhoda - nechetnoe, to est ne vse chetyre. esli posle vozvrascheniya ostalis rebra, nachnem takoy zhe obhod iz vershiny starogo obhoda, intsidentnoy neispolzovannomu rebru, i vkleim novyy zamknutyy kusok. tak poluchaetsya eylerov obhod. napravim kazhdoe rebro etalonno po hodu obhoda. v kazhduyu vershinu vhodyat rovno dva rebra; obedinim ih v paru s tsentrom v etoy vershine. vse rebra razbilis na pary. tsiklist pervym beret odno rebro lyuboy pary i napravlyaet ego iz tsentra, a vtoroe vremenno otkladyvaet. dalee na hod atsiklista v netronutoy pare on beret vtoroe rebro etoy pary i napravlyaet ego iz tsentra. esli atsiklist beret otlozhennoe r… sol-problem09-part-e-self-contained samodostatochnoe reshenie punkta e s dokazatelstvom rezultata dlya beskonechnoy reshetki ai_checked simple_graph orientation cycle distance induced_subgraph invariant snachala dokazhem nuzhnyy rezultat o beskonechnoy kvadratnoy reshetke, ne ssylayas na druguyu kartochku. atsiklist vyigryvaet pri oboih poryadkah hoda. esli nachinaet tsiklist, etalonno napravim vse gorizontalnye rebra vpravo, a vse vertikalnye vverh. v kazhduyu vershinu vhodyat dva etalonnyh rebra - sleva i snizu; obedinim ih v paru. posle hoda tsiklista atsiklist beret vtoroe rebro pary i napravlyaet ego tak zhe otnositelno obschey vershiny, kak pervoe. orientirovannyy tsikl nevozmozhen. etalonnaya orientatsiya lyubogo konechnogo tsikla atsiklichna, poskolku vdol strelok rastut koordinaty, poetomu na tsikle est etalonnyy stok. dva sosednih s nim rebra sostavlyayut odnu paru, no v igrovom orientirovannom tsikle odno dolzhno vhodit v stok, a drugoe vyhodit, togda kak strategiya napravlyaet ih odinakovo. tsikl ne mozhet poyavitsya neposredstvenno posle hoda tsiklista: pered nim eta para libo netronuta i oba ee rebra esche…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem11-symmetric-erdos-game","title":"Симметричная игра Эрдёша по кликовым числам, ЛКТГ 2026","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem11-symmetric-erdos-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem11-symmetric-erdos-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem11-symmetric-erdos-game","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7","Alexandru Malekshahian, Sam Spiro, On a Clique-Building Game of Erdős"],"year":"2026","type":"research_project_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_symmetry","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"Официальная шкала по подпунктам: а–в — 2/5, г–д — 3/5, е — 5/5; ж и з — открытые.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_partial_with_open_subproblems","label":"официальные полные решения закрытых подпунктов; два пункта открыты","status":"ai_checked","confidence":0.96,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Закрытые подпункты а–е перенесены полностью; ж и з честно сохранены без решения как открытые."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Симметричная игра Эрдёша","status":"source_verified","text":"Пусть \\(n\\ge 3\\). На рёбрах \\(K_n\\) Красный и Синий по очереди выбирают по одному свободному ребру и красят его в свой цвет; начинает Красный. После окраски всех рёбер Красный выигрывает, если его наибольшая клика строго больше синей; при равенстве или меньшем размере выигрывает Синий. Обозначим графы красных и синих рёбер через \\(R\\) и \\(B\\). а) Докажите, что Красный всегда может гарантировать \\(\\omega(R)\\ge\\omega(B)\\). б) Докажите, что Синий всегда может гарантировать \\(\\omega(R)\\le\\omega(B)+1\\). в) Пусть вместо полного графа доской служит произвольный конечный граф \\(G\\) хотя бы с одним ребром. Докажите те же две гарантии. В частности, при правильной игре разность кликовых чисел равна 0 или 1. г) Предположим, что на \\(K_n\\) Красный может гарантировать строгую победу. Докажите, что на \\(K_{n+1}\\) Синий имеет выигрышную стратегию. д) При том же предположении докажите, что на \\(K_{n+2}\\) Синий имеет выигрышную стратегию. е) Пусть \\(n>100\\), и предположим, что на \\(K_n\\) Красный может гарантировать строгую победу. Докажите, что на \\(K_{n+3}\\) Синий имеет выигрышную стратегию. ж★) Докажите или опровергните: существует натуральное \\(N\\), такое что для каждого \\(n\\ge N\\), если на \\(K_n\\) Красный может гарантировать строгую победу, то на \\(K_{n+4}\\) Синий имеет выигрышную стратегию. з★) Докажите или опровергните: для каждого \\(n\\ge 3\\) при правильной игре выигрывает Синий. Подпункты ж) и з) отмечены в официальном PDF звёздочкой как открытые. Решения для них в официальном сборнике нет; настоящая карточка не утверждает, что они решены.","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","clique","ramsey_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-parts-a-e","title":"Решение закрытых подпунктов а–е","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","clique","ramsey_number"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем пользоваться приёмом воображаемых рёбер. Если стратегия выигрывает даже после того, как несколько свободных рёбер заранее отданы противнику, то она выигрывает и в исходной игре: реальный ход противника по подаренному ребру считается пропуском в воображаемой партии, а освободившийся собственный ход можно сделать где угодно. Дополнительное ребро своего цвета не уменьшает собственную клику и не увеличивает клику соперника. а) Предположим, что Синий умеет при любой игре Красного обеспечить \\(\\omega(B)>\\omega(R)\\). Красный первым ходом красит произвольное ребро \\(e\\), затем меняет названия цветов и применяет эту же стратегию как второй игрок. В воображаемой партии настоящие синие рёбра играют роль рёбер первого игрока, а красные рёбра, кроме \\(e\\), — второго. Стратегия тогда обещает \\(\\omega(R-e)>\\omega(B)\\). Ребро \\(e\\) может лишь увеличить красное кликовое число, поэтому та же страте…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p16-p11-board-variant","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem16-biconnected-red-board","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p11-biased-clique-model","neighbor_id":"malekshahian-spiro-biased-clique-building-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem11-symmetric-erdos-game симметричная игра эрдёша по кликовым числам, лктг 2026 coloring graph_symmetry goal_strategy_game 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős https://arxiv.org/abs/2410.18304 https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive paper src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-malekshahian-spiro-clique-building-game with_solution лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős stmt-original симметричная игра эрдёша source_verified пусть \\(n\\ge 3\\). на рёбрах \\(k_n\\) красный и синий по очереди выбирают по одному свободному ребру и красят его в свой цвет; начинает красный. после окраски всех рёбер красный выигрывает, если его наибольшая клика строго больше синей; при равенстве или меньшем размере выигрывает синий. обозначим графы красных и синих рёбер через \\(r\\) и \\(b\\). а) докажите, что красный всегда может гарантировать \\(\\omega(r)\\ge\\omega(b)\\). б) докажите, что синий всегда может гарантировать \\(\\omega(r)\\le\\omega(b)+1\\). в) пусть вместо полного графа доской служит произвольный конечный граф \\(g\\) хотя бы с одним ребром. докажите те же две гарантии. в частности, при правильной игре разность кликовых чисел равна 0 или 1. г) предположим, что на \\(k_n\\) красный может гарантировать строгую победу. докажите, что на \\(k_{n+1}\\) синий имеет выигрышную стратегию. д) при том же предположении докажите, что на \\(k_{n+2}\\) синий имеет выигрышную стратегию. е) пусть \\(n>100\\), и предположим, что на \\(k_n\\) красный может гарантировать строгую победу. докажите, что на \\(k_{n+3}\\) синий имеет выигрышную стратегию. ж★) докажите или опровергните: существует натуральное \\(n\\), такое что для каждого \\(n\\ge n\\), если на \\(k_n\\) красный может гарантировать строгую победу, то на \\(k_{n+4}\\) синий имеет выигрышную стратегию. з★) докажите или опровергните: для каждого \\(n\\ge 3\\) при правильной игре выигрывает синий. подпункты ж) и з) отмечены в официальном pdf звёздочкой как открытые. решения для них в официальном сборнике нет; настоящая карточка не утверждает, что они решены. simple_graph complete_graph clique ramsey_number idea-color-swapped-strategy кража стратегии с перестановкой цветов первый игрок после произвольного начального ребра может мысленно стать вторым игроком в партии с переставленными цветами. цена лишнего ребра контролируется тем, что добавление или удаление одного ребра меняет кликовое число не более чем на единицу. graph_symmetry goal_strategy_game ai_checked idea-special-vertex-pairing спаривание рёбер у добавленных вершин при переходах к \\(k_{n+1}\\), \\(k_{n+2}\\) и \\(k_{n+3}\\) синий изолирует чистую копию \\(k_n\\), играет там выигрышную стратегию первого игрока и попарно отвечает на рёбра, инцидентные новым вершинам, ограничивая прирост красной клики. goal_strategy_game graph_symmetry ai_checked sol-official-parts-a-e решение закрытых подпунктов а–е ai_checked simple_graph complete_graph clique ramsey_number будем пользоваться приёмом воображаемых рёбер. если стратегия выигрывает даже после того, как несколько свободных рёбер заранее отданы противнику, то она выигрывает и в исходной игре: реальный ход противника по подаренному ребру считается пропуском в воображаемой партии, а освободившийся собственный ход можно сделать где угодно. дополнительное ребро своего цвета не уменьшает собственную клику и не увеличивает клику соперника. а) предположим, что синий умеет при любой игре красного обеспечить \\(\\omega(b)>\\omega(r)\\). красный первым ходом красит произвольное ребро \\(e\\), затем меняет названия цветов и применяет эту же стратегию как второй игрок. в воображаемой партии настоящие синие рёбра играют роль рёбер первого игрока, а красные рёбра, кроме \\(e\\), — второго. стратегия тогда обещает \\(\\omega(r-e)>\\omega(b)\\). ребро \\(e\\) может лишь увеличить красное кликовое число, поэтому та же страте… lktg-2026-project2-problem11-symmetric-erdos-game simmetrichnaya igra erdesha po klikovym chislam, lktg 2026 coloring graph_symmetry goal_strategy_game 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős https://arxiv.org/abs/2410.18304 https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive paper src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-malekshahian-spiro-clique-building-game with_solution lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős stmt-original simmetrichnaya igra erdesha source_verified pust \\(n\\ge 3\\). na rebrah \\(k_n\\) krasnyy i siniy po ocheredi vybirayut po odnomu svobodnomu rebru i krasyat ego v svoy tsvet; nachinaet krasnyy. posle okraski vseh reber krasnyy vyigryvaet, esli ego naibolshaya klika strogo bolshe siney; pri ravenstve ili menshem razmere vyigryvaet siniy. oboznachim grafy krasnyh i sinih reber cherez \\(r\\) i \\(b\\). a) dokazhite, chto krasnyy vsegda mozhet garantirovat \\(\\omega(r)\\ge\\omega(b)\\). b) dokazhite, chto siniy vsegda mozhet garantirovat \\(\\omega(r)\\le\\omega(b)+1\\). v) pust vmesto polnogo grafa doskoy sluzhit proizvolnyy konechnyy graf \\(g\\) hotya by s odnim rebrom. dokazhite te zhe dve garantii. v chastnosti, pri pravilnoy igre raznost klikovyh chisel ravna 0 ili 1. g) predpolozhim, chto na \\(k_n\\) krasnyy mozhet garantirovat stroguyu pobedu. dokazhite, chto na \\(k_{n+1}\\) siniy imeet vyigryshnuyu strategiyu. d) pri tom zhe predpolozhenii dokazhite, chto na \\(k_{n+2}\\) siniy imeet vyigryshnuyu strategiyu. e) pust \\(n>100\\), i predpolozhim, chto na \\(k_n\\) krasnyy mozhet garantirovat stroguyu pobedu. dokazhite, chto na \\(k_{n+3}\\) siniy imeet vyigryshnuyu strategiyu. zh★) dokazhite ili oprovergnite: suschestvuet naturalnoe \\(n\\), takoe chto dlya kazhdogo \\(n\\ge n\\), esli na \\(k_n\\) krasnyy mozhet garantirovat stroguyu pobedu, to na \\(k_{n+4}\\) siniy imeet vyigryshnuyu strategiyu. z★) dokazhite ili oprovergnite: dlya kazhdogo \\(n\\ge 3\\) pri pravilnoy igre vyigryvaet siniy. podpunkty zh) i z) otmecheny v ofitsialnom pdf zvezdochkoy kak otkrytye. resheniya dlya nih v ofitsialnom sbornike net; nastoyaschaya kartochka ne utverzhdaet, chto oni resheny. simple_graph complete_graph clique ramsey_number idea-color-swapped-strategy krazha strategii s perestanovkoy tsvetov pervyy igrok posle proizvolnogo nachalnogo rebra mozhet myslenno stat vtorym igrokom v partii s perestavlennymi tsvetami. tsena lishnego rebra kontroliruetsya tem, chto dobavlenie ili udalenie odnogo rebra menyaet klikovoe chislo ne bolee chem na edinitsu. graph_symmetry goal_strategy_game ai_checked idea-special-vertex-pairing sparivanie reber u dobavlennyh vershin pri perehodah k \\(k_{n+1}\\), \\(k_{n+2}\\) i \\(k_{n+3}\\) siniy izoliruet chistuyu kopiyu \\(k_n\\), igraet tam vyigryshnuyu strategiyu pervogo igroka i poparno otvechaet na rebra, intsidentnye novym vershinam, ogranichivaya prirost krasnoy kliki. goal_strategy_game graph_symmetry ai_checked sol-official-parts-a-e reshenie zakrytyh podpunktov a–e ai_checked simple_graph complete_graph clique ramsey_number budem polzovatsya priemom voobrazhaemyh reber. esli strategiya vyigryvaet dazhe posle togo, kak neskolko svobodnyh reber zaranee otdany protivniku, to ona vyigryvaet i v ishodnoy igre: realnyy hod protivnika po podarennomu rebru schitaetsya propuskom v voobrazhaemoy partii, a osvobodivshiysya sobstvennyy hod mozhno sdelat gde ugodno. dopolnitelnoe rebro svoego tsveta ne umenshaet sobstvennuyu kliku i ne uvelichivaet kliku sopernika. a) predpolozhim, chto siniy umeet pri lyuboy igre krasnogo obespechit \\(\\omega(b)>\\omega(r)\\). krasnyy pervym hodom krasit proizvolnoe rebro \\(e\\), zatem menyaet nazvaniya tsvetov i primenyaet etu zhe strategiyu kak vtoroy igrok. v voobrazhaemoy partii nastoyaschie sinie rebra igrayut rol reber pervogo igroka, a krasnye rebra, krome \\(e\\), — vtorogo. strategiya togda obeschaet \\(\\omega(r-e)>\\omega(b)\\). rebro \\(e\\) mozhet lish uvelichit krasnoe klikovoe chislo, poetomu ta zhe strate…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem12-biased-game-one-two","title":"Смещённая кликовая игра \\(1:2\\) на \\(K_n\\), ЛКТГ 2026","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem12-biased-game-one-two.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem12-biased-game-one-two.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem12-biased-game-one-two","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_strategy_game","complement_graph_transition"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Официальная сложность: а) 1/5; б) 2/5.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Оба подпункта доказаны полностью."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Смещённая игра Беллы и Чингиза","status":"source_verified","text":"Пусть \\(n\\ge3\\). Белла и Чингиз играют на рёбрах полного графа \\(K_n\\); начинает Белла. В каждом раунде Белла красит одно свободное ребро белым, после чего Чингиз красит два свободных ребра чёрным, а если их осталось меньше двух — все оставшиеся. После окраски всех рёбер Чингиз выигрывает, если наибольшая чёрная клика строго больше наибольшей белой; иначе выигрывает Белла. а) Если \\(W\\) — граф белых рёбер, объясните равенство \\(\\omega(\\text{чёрного графа})=\\alpha(W)\\). б) При \\(n=4\\) постройте явную выигрышную стратегию Чингиза.","definition_ids":["complete_graph","clique","independent_set","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-complement-and-k4","title":"Дополнение белого графа и стратегия на \\(K_4\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique","independent_set","complement_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"а) После окончания игры каждое ребро \\(K_n\\), не принадлежащее белому графу \\(W\\), окрашено чёрным. Множество вершин образует чёрную клику тогда и только тогда, когда никакие две его вершины не соединены белым ребром, то есть когда это множество независимо в \\(W\\). Поэтому \\(\\omega(\\text{чёрного графа})=\\alpha(W)\\). б) Пусть первое белое ребро равно \\(uv\\), а две остальные вершины обозначены \\(x,y\\). Чингиз сразу красит чёрным \\(xy\\) и любое другое свободное ребро. Теперь любое последующее белое ребро имеет общий конец с \\(uv\\), потому что единственное ребро, не имеющее с \\(uv\\) общего конца, уже чёрное. Всего в \\(K_4\\) шесть рёбер, а за полный раунд окрашиваются три, поэтому Белла делает ровно два хода. Её итоговый граф состоит из двух смежных рёбер и одной изолированной вершины. Следовательно, \\(\\omega(W)=2\\). В нём есть независимое множество из трёх вершин: из двух концов пути выбира…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p13-p12-solved-small-case","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p15-p12-strategy-transfer","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem15-game-transfer-one-two-to-one","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem12-biased-game-one-two смещённая кликовая игра \\(1:2\\) на \\(k_n\\), лктг 2026 coloring goal_strategy_game complement_graph_transition 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original смещённая игра беллы и чингиза source_verified пусть \\(n\\ge3\\). белла и чингиз играют на рёбрах полного графа \\(k_n\\); начинает белла. в каждом раунде белла красит одно свободное ребро белым, после чего чингиз красит два свободных ребра чёрным, а если их осталось меньше двух — все оставшиеся. после окраски всех рёбер чингиз выигрывает, если наибольшая чёрная клика строго больше наибольшей белой; иначе выигрывает белла. а) если \\(w\\) — граф белых рёбер, объясните равенство \\(\\omega(\\text{чёрного графа})=\\alpha(w)\\). б) при \\(n=4\\) постройте явную выигрышную стратегию чингиза. complete_graph clique independent_set complement_graph idea-complement-white-graph чёрный граф как дополнение белого после окончания партии каждое небелое ребро чёрное, поэтому чёрные клики — в точности независимые множества белого графа. complement_graph_transition coloring ai_checked idea-block-disjoint-edge-k4 запрет второго несмежного белого ребра после первого белого ребра на \\(k_4\\) чингиз сразу красит чёрным единственное ребро, не имеющее с ним общего конца. тогда два белых хода беллы обязательно образуют путь длины два. goal_strategy_game coloring ai_checked sol-official-complement-and-k4 дополнение белого графа и стратегия на \\(k_4\\) ai_checked complete_graph clique independent_set complement_graph а) после окончания игры каждое ребро \\(k_n\\), не принадлежащее белому графу \\(w\\), окрашено чёрным. множество вершин образует чёрную клику тогда и только тогда, когда никакие две его вершины не соединены белым ребром, то есть когда это множество независимо в \\(w\\). поэтому \\(\\omega(\\text{чёрного графа})=\\alpha(w)\\). б) пусть первое белое ребро равно \\(uv\\), а две остальные вершины обозначены \\(x,y\\). чингиз сразу красит чёрным \\(xy\\) и любое другое свободное ребро. теперь любое последующее белое ребро имеет общий конец с \\(uv\\), потому что единственное ребро, не имеющее с \\(uv\\) общего конца, уже чёрное. всего в \\(k_4\\) шесть рёбер, а за полный раунд окрашиваются три, поэтому белла делает ровно два хода. её итоговый граф состоит из двух смежных рёбер и одной изолированной вершины. следовательно, \\(\\omega(w)=2\\). в нём есть независимое множество из трёх вершин: из двух концов пути выбира… lktg-2026-project2-problem12-biased-game-one-two smeschennaya klikovaya igra \\(1:2\\) na \\(k_n\\), lktg 2026 coloring goal_strategy_game complement_graph_transition 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original smeschennaya igra belly i chingiza source_verified pust \\(n\\ge3\\). bella i chingiz igrayut na rebrah polnogo grafa \\(k_n\\); nachinaet bella. v kazhdom raunde bella krasit odno svobodnoe rebro belym, posle chego chingiz krasit dva svobodnyh rebra chernym, a esli ih ostalos menshe dvuh — vse ostavshiesya. posle okraski vseh reber chingiz vyigryvaet, esli naibolshaya chernaya klika strogo bolshe naibolshey beloy; inache vyigryvaet bella. a) esli \\(w\\) — graf belyh reber, obyasnite ravenstvo \\(\\omega(\\text{chernogo grafa})=\\alpha(w)\\). b) pri \\(n=4\\) postroyte yavnuyu vyigryshnuyu strategiyu chingiza. complete_graph clique independent_set complement_graph idea-complement-white-graph chernyy graf kak dopolnenie belogo posle okonchaniya partii kazhdoe nebeloe rebro chernoe, poetomu chernye kliki — v tochnosti nezavisimye mnozhestva belogo grafa. complement_graph_transition coloring ai_checked idea-block-disjoint-edge-k4 zapret vtorogo nesmezhnogo belogo rebra posle pervogo belogo rebra na \\(k_4\\) chingiz srazu krasit chernym edinstvennoe rebro, ne imeyuschee s nim obschego kontsa. togda dva belyh hoda belly obyazatelno obrazuyut put dliny dva. goal_strategy_game coloring ai_checked sol-official-complement-and-k4 dopolnenie belogo grafa i strategiya na \\(k_4\\) ai_checked complete_graph clique independent_set complement_graph a) posle okonchaniya igry kazhdoe rebro \\(k_n\\), ne prinadlezhaschee belomu grafu \\(w\\), okrasheno chernym. mnozhestvo vershin obrazuet chernuyu kliku togda i tolko togda, kogda nikakie dve ego vershiny ne soedineny belym rebrom, to est kogda eto mnozhestvo nezavisimo v \\(w\\). poetomu \\(\\omega(\\text{chernogo grafa})=\\alpha(w)\\). b) pust pervoe beloe rebro ravno \\(uv\\), a dve ostalnye vershiny oboznacheny \\(x,y\\). chingiz srazu krasit chernym \\(xy\\) i lyuboe drugoe svobodnoe rebro. teper lyuboe posleduyuschee beloe rebro imeet obschiy konets s \\(uv\\), potomu chto edinstvennoe rebro, ne imeyuschee s \\(uv\\) obschego kontsa, uzhe chernoe. vsego v \\(k_4\\) shest reber, a za polnyy raund okrashivayutsya tri, poetomu bella delaet rovno dva hoda. ee itogovyy graf sostoit iz dvuh smezhnyh reber i odnoy izolirovannoy vershiny. sledovatelno, \\(\\omega(w)=2\\). v nem est nezavisimoe mnozhestvo iz treh vershin: iz dvuh kontsov puti vybira…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph","title":"Белла и Чингиз: сравнение белой и чёрной клик на полном графе","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7","ЮМТ 2025, Гранд-лига, финал, 3. Белла и Чингиз на полном графе"],"year":"2026","type":"research_project_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_strategy_game","construction","process_invariant","trees","extremal_graph_theory","ramsey_theory","goal_proof"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"Официальная сложность: а) 3/5; б) 4/5; в) 5/5; г) открытая.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_partial_with_open_subproblems","label":"официальные полные решения закрытых подпунктов; пункт г открыт","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Официальные стратегии полностью покрывают закрытые подпункты а-в; ответ фиксированной версии ЮМТ для всех k не меньше 3 дополнен ИИ-леммой монотонности; режим k=2 остаётся открытым."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Белла и Чингиз на полном графе","status":"source_verified","text":"Пусть \\(n\\ge3\\) и \\(k\\ge1\\) — целые числа. Белла и Чингиз играют на полном графе \\(K_n\\); начинает Белла. В каждом раунде Белла красит одно свободное ребро белым. Если после этого свободные рёбра остались, Чингиз красит \\(k\\) из них чёрным, а если их меньше \\(k\\) — все оставшиеся. Игра заканчивается сразу после окраски последнего свободного ребра. Чингиз выигрывает тогда и только тогда, когда наибольшая чёрная клика строго больше наибольшей белой. а) Пусть \\(n>3\\) чётно и \\(k=4\\). Постройте явную выигрышную стратегию Чингиза. б) Пусть \\(n>3\\) чётно и \\(k=3\\). Постройте явную выигрышную стратегию Чингиза. в) Пусть \\(n>3\\) нечётно и \\(k=3\\). Постройте явную выигрышную стратегию Чингиза. г★) Докажите или опровергните: при \\(k=2\\) Чингиз имеет выигрышную стратегию для каждого чётного \\(n>3\\). Подпункт г) отмечен в официальном PDF как открытый. Официального решения для него нет, и настоящая карточка его не предлагает.","definition_ids":["complete_graph","clique","tree"]},{"id":"stmt-yumt-2025-n-2024","title":"Версия ЮМТ для \\(K_{2024}\\)","status":"source_verified","text":"Белла и Чингиз играют на полном графе из 2024 вершин, делая ходы по очереди; начинает Белла. В свой ход Чингиз красит \\(k\\) рёбер (или все оставшиеся) в чёрный цвет, Белла — одно в белый. Игра кончается, когда все рёбра будут покрашены. Если максимальная чёрная клика окажется строго больше максимальной белой, то выиграет Чингиз, иначе — Белла. При каких \\(k\\ge 3\\) Чингиз имеет выигрышную стратегию?","definition_ids":["complete_graph","clique"]},{"id":"stmt-exact-erdos-conjecture","title":"Точная открытая гипотеза для режима 1:2","status":"source_verified","text":"Открытая задача. Белла и Чингиз играют на рёбрах \\(K_n\\). Белла ходит первой и каждый раз красит одно свободное ребро белым; после каждого её хода Чингиз красит два свободных ребра чёрным. После окраски всех рёбер Чингиз выигрывает, если \\(\\omega(B)>\\omega(W)\\), иначе выигрывает Белла. Докажите или опровергните: Чингиз имеет выигрышную стратегию для каждого \\(n\\ge4\\). Этот пункт отмечен в официальном PDF звездой как открытый; официальное решение не приводится.","definition_ids":["complete_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-parts-a-c","title":"Официальные стратегии для закрытых подпунктов а–в","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique","tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Во всех частях через \\(\\bar v\\) будем обозначать вершину, поставленную Чингизом в пару с \\(v\\). а) Чётное \\(n\\), \\(k=4\\). Сначала все вершины считаются свободными. Чингиз постепенно создаёт непересекающиеся пары \\(\\{x,\\bar x\\}\\) с чёрным ребром \\(x\\bar x\\). Четыре ребра между двумя парами назовём блоком. Некоторые блоки отмечаются; отмеченные блоки образуют граф \\(F\\) на множестве пар. На белое ребро \\(xy\\) Чингиз отвечает так. 1. Если \\(x,y\\) свободны, он выбирает ещё две свободные вершины \\(\\bar x,\\bar y\\), красит чёрным \\(x\\bar x,y\\bar y,\\bar x\\bar y\\), создаёт пары \\(X=\\{x,\\bar x\\}\\), \\(Y=\\{y,\\bar y\\}\\) и отмечает блок \\(XY\\). 2. Если \\(x\\) уже входит в пару \\(X\\), а \\(y\\) свободна, он выбирает свободную \\(\\bar y\\), красит \\(y\\bar y,x\\bar y,\\bar x\\bar y\\), создаёт пару \\(Y\\), отмечает блок и ориентирует ребро \\(X\\to Y\\). 3. Если обе вершины уже имеют пары, он красит все ещё свободны…"},{"id":"sol-ai-yumt-all-k-at-least-three","title":"ИИ-дополнение: монотонность по числу чёрных рёбер за ход","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем общую лемму. Пусть при квоте \\(k_0\\) у Чингиза есть выигрышная стратегия, а условие его победы сохраняется при добавлении чёрных и удалении белых рёбер. Тогда та же сторона выигрывает при любой квоте \\(k\\ge k_0\\). Чингиз ведёт воображаемую партию с квотой \\(k_0\\). До окончания реальной партии он поддерживает два инварианта: каждое воображаемое чёрное ребро чёрно и в реальности, а множества белых рёбер в двух партиях совпадают. Поэтому каждый реальный белый ход можно повторить в воображаемой партии: выбранное ребро не является там ни чёрным, ни белым. Затем воображаемая стратегия называет не более \\(k_0\\) свободных рёбер. Чингиз объявляет их чёрными в воображаемой партии и красит в реальной те из них, которые там ещё свободны. Ребро, уже чёрное в реальной партии, было одним из прежних лишних ходов Чингиза, поэтому повторно красить его не нужно. Оставшуюся часть реальной квоты до…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p13-perfect-matching-variants","neighbor_id":"lktg-2026-bella-chingiz-perfect-matching-bias-1-2-and-1-3","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p13-p12-solved-small-case","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem12-biased-game-one-two","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p13-biased-clique-family","neighbor_id":"malekshahian-spiro-biased-clique-building-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph белла и чингиз: сравнение белой и чёрной клик на полном графе coloring goal_strategy_game construction process_invariant trees extremal_graph_theory ramsey_theory goal_proof 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://adygmath.ru/content/files/umt25/problems/final_usl_grand2.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-yumt-2025-grand-final-problem3-official with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 юмт 2025, гранд-лига, финал, 3. белла и чингиз на полном графе ? 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 юмт 2025, гранд-лига, финал, 3. белла и чингиз на полном графе stmt-original белла и чингиз на полном графе source_verified пусть \\(n\\ge3\\) и \\(k\\ge1\\) — целые числа. белла и чингиз играют на полном графе \\(k_n\\); начинает белла. в каждом раунде белла красит одно свободное ребро белым. если после этого свободные рёбра остались, чингиз красит \\(k\\) из них чёрным, а если их меньше \\(k\\) — все оставшиеся. игра заканчивается сразу после окраски последнего свободного ребра. чингиз выигрывает тогда и только тогда, когда наибольшая чёрная клика строго больше наибольшей белой. а) пусть \\(n>3\\) чётно и \\(k=4\\). постройте явную выигрышную стратегию чингиза. б) пусть \\(n>3\\) чётно и \\(k=3\\). постройте явную выигрышную стратегию чингиза. в) пусть \\(n>3\\) нечётно и \\(k=3\\). постройте явную выигрышную стратегию чингиза. г★) докажите или опровергните: при \\(k=2\\) чингиз имеет выигрышную стратегию для каждого чётного \\(n>3\\). подпункт г) отмечен в официальном pdf как открытый. официального решения для него нет, и настоящая карточка его не предлагает. complete_graph clique tree stmt-yumt-2025-n-2024 версия юмт для \\(k_{2024}\\) source_verified белла и чингиз играют на полном графе из 2024 вершин, делая ходы по очереди; начинает белла. в свой ход чингиз красит \\(k\\) рёбер (или все оставшиеся) в чёрный цвет, белла — одно в белый. игра кончается, когда все рёбра будут покрашены. если максимальная чёрная клика окажется строго больше максимальной белой, то выиграет чингиз, иначе — белла. при каких \\(k\\ge 3\\) чингиз имеет выигрышную стратегию? complete_graph clique stmt-exact-erdos-conjecture точная открытая гипотеза для режима 1:2 source_verified открытая задача. белла и чингиз играют на рёбрах \\(k_n\\). белла ходит первой и каждый раз красит одно свободное ребро белым; после каждого её хода чингиз красит два свободных ребра чёрным. после окраски всех рёбер чингиз выигрывает, если \\(\\omega(b)>\\omega(w)\\), иначе выигрывает белла. докажите или опровергните: чингиз имеет выигрышную стратегию для каждого \\(n\\ge4\\). этот пункт отмечен в официальном pdf звездой как открытый; официальное решение не приводится. complete_graph clique idea-opposite-pairs-and-forest противоположные пары и лес ранних блоков чингиз объединяет затронутые вершины в пары с чёрным внутренним ребром. первые белые рёбра между ещё не готовыми парами образуют лес на множестве пар, а каждому белому ребру сопоставляется чёрное противоположное. construction process_invariant ai_checked idea-white-clique-to-black-clique белая клика переходит в большую чёрную из белой клики выбирается не более одной вершины каждой пары. противоположные вершины образуют чёрную клику, а лесной подсчёт или источник ориентированного леса даёт ещё одну чёрную вершину. goal_strategy_game trees ai_checked idea-own-edge-quota-monotonicity монотонность выигрышной стратегии по собственной квоте стратегию для меньшей чёрной квоты разыгрывают на воображаемой доске. лишние реальные чёрные рёбра считаются подарками и не могут ухудшить монотонную цель сравнения кликовых чисел. process_invariant goal_strategy_game ai_checked sol-official-parts-a-c официальные стратегии для закрытых подпунктов а–в ai_checked complete_graph clique tree во всех частях через \\(\\bar v\\) будем обозначать вершину, поставленную чингизом в пару с \\(v\\). а) чётное \\(n\\), \\(k=4\\). сначала все вершины считаются свободными. чингиз постепенно создаёт непересекающиеся пары \\(\\{x,\\bar x\\}\\) с чёрным ребром \\(x\\bar x\\). четыре ребра между двумя парами назовём блоком. некоторые блоки отмечаются; отмеченные блоки образуют граф \\(f\\) на множестве пар. на белое ребро \\(xy\\) чингиз отвечает так. 1. если \\(x,y\\) свободны, он выбирает ещё две свободные вершины \\(\\bar x,\\bar y\\), красит чёрным \\(x\\bar x,y\\bar y,\\bar x\\bar y\\), создаёт пары \\(x=\\{x,\\bar x\\}\\), \\(y=\\{y,\\bar y\\}\\) и отмечает блок \\(xy\\). 2. если \\(x\\) уже входит в пару \\(x\\), а \\(y\\) свободна, он выбирает свободную \\(\\bar y\\), красит \\(y\\bar y,x\\bar y,\\bar x\\bar y\\), создаёт пару \\(y\\), отмечает блок и ориентирует ребро \\(x\\to y\\). 3. если обе вершины уже имеют пары, он красит все ещё свободны… sol-ai-yumt-all-k-at-least-three ии-дополнение: монотонность по числу чёрных рёбер за ход ai_checked complete_graph clique докажем общую лемму. пусть при квоте \\(k_0\\) у чингиза есть выигрышная стратегия, а условие его победы сохраняется при добавлении чёрных и удалении белых рёбер. тогда та же сторона выигрывает при любой квоте \\(k\\ge k_0\\). чингиз ведёт воображаемую партию с квотой \\(k_0\\). до окончания реальной партии он поддерживает два инварианта: каждое воображаемое чёрное ребро чёрно и в реальности, а множества белых рёбер в двух партиях совпадают. поэтому каждый реальный белый ход можно повторить в воображаемой партии: выбранное ребро не является там ни чёрным, ни белым. затем воображаемая стратегия называет не более \\(k_0\\) свободных рёбер. чингиз объявляет их чёрными в воображаемой партии и красит в реальной те из них, которые там ещё свободны. ребро, уже чёрное в реальной партии, было одним из прежних лишних ходов чингиза, поэтому повторно красить его не нужно. оставшуюся часть реальной квоты до… lktg-2026-project2-problem13-bella-chingiz-complete-graph bella i chingiz: sravnenie beloy i chernoy klik na polnom grafe coloring goal_strategy_game construction process_invariant trees extremal_graph_theory ramsey_theory goal_proof 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://adygmath.ru/content/files/umt25/problems/final_usl_grand2.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-yumt-2025-grand-final-problem3-official with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 yumt 2025, grand-liga, final, 3. bella i chingiz na polnom grafe ? 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 yumt 2025, grand-liga, final, 3. bella i chingiz na polnom grafe stmt-original bella i chingiz na polnom grafe source_verified pust \\(n\\ge3\\) i \\(k\\ge1\\) — tselye chisla. bella i chingiz igrayut na polnom grafe \\(k_n\\); nachinaet bella. v kazhdom raunde bella krasit odno svobodnoe rebro belym. esli posle etogo svobodnye rebra ostalis, chingiz krasit \\(k\\) iz nih chernym, a esli ih menshe \\(k\\) — vse ostavshiesya. igra zakanchivaetsya srazu posle okraski poslednego svobodnogo rebra. chingiz vyigryvaet togda i tolko togda, kogda naibolshaya chernaya klika strogo bolshe naibolshey beloy. a) pust \\(n>3\\) chetno i \\(k=4\\). postroyte yavnuyu vyigryshnuyu strategiyu chingiza. b) pust \\(n>3\\) chetno i \\(k=3\\). postroyte yavnuyu vyigryshnuyu strategiyu chingiza. v) pust \\(n>3\\) nechetno i \\(k=3\\). postroyte yavnuyu vyigryshnuyu strategiyu chingiza. g★) dokazhite ili oprovergnite: pri \\(k=2\\) chingiz imeet vyigryshnuyu strategiyu dlya kazhdogo chetnogo \\(n>3\\). podpunkt g) otmechen v ofitsialnom pdf kak otkrytyy. ofitsialnogo resheniya dlya nego net, i nastoyaschaya kartochka ego ne predlagaet. complete_graph clique tree stmt-yumt-2025-n-2024 versiya yumt dlya \\(k_{2024}\\) source_verified bella i chingiz igrayut na polnom grafe iz 2024 vershin, delaya hody po ocheredi; nachinaet bella. v svoy hod chingiz krasit \\(k\\) reber (ili vse ostavshiesya) v chernyy tsvet, bella — odno v belyy. igra konchaetsya, kogda vse rebra budut pokrasheny. esli maksimalnaya chernaya klika okazhetsya strogo bolshe maksimalnoy beloy, to vyigraet chingiz, inache — bella. pri kakih \\(k\\ge 3\\) chingiz imeet vyigryshnuyu strategiyu? complete_graph clique stmt-exact-erdos-conjecture tochnaya otkrytaya gipoteza dlya rezhima 1:2 source_verified otkrytaya zadacha. bella i chingiz igrayut na rebrah \\(k_n\\). bella hodit pervoy i kazhdyy raz krasit odno svobodnoe rebro belym; posle kazhdogo ee hoda chingiz krasit dva svobodnyh rebra chernym. posle okraski vseh reber chingiz vyigryvaet, esli \\(\\omega(b)>\\omega(w)\\), inache vyigryvaet bella. dokazhite ili oprovergnite: chingiz imeet vyigryshnuyu strategiyu dlya kazhdogo \\(n\\ge4\\). etot punkt otmechen v ofitsialnom pdf zvezdoy kak otkrytyy; ofitsialnoe reshenie ne privoditsya. complete_graph clique idea-opposite-pairs-and-forest protivopolozhnye pary i les rannih blokov chingiz obedinyaet zatronutye vershiny v pary s chernym vnutrennim rebrom. pervye belye rebra mezhdu esche ne gotovymi parami obrazuyut les na mnozhestve par, a kazhdomu belomu rebru sopostavlyaetsya chernoe protivopolozhnoe. construction process_invariant ai_checked idea-white-clique-to-black-clique belaya klika perehodit v bolshuyu chernuyu iz beloy kliki vybiraetsya ne bolee odnoy vershiny kazhdoy pary. protivopolozhnye vershiny obrazuyut chernuyu kliku, a lesnoy podschet ili istochnik orientirovannogo lesa daet esche odnu chernuyu vershinu. goal_strategy_game trees ai_checked idea-own-edge-quota-monotonicity monotonnost vyigryshnoy strategii po sobstvennoy kvote strategiyu dlya menshey chernoy kvoty razygryvayut na voobrazhaemoy doske. lishnie realnye chernye rebra schitayutsya podarkami i ne mogut uhudshit monotonnuyu tsel sravneniya klikovyh chisel. process_invariant goal_strategy_game ai_checked sol-official-parts-a-c ofitsialnye strategii dlya zakrytyh podpunktov a–v ai_checked complete_graph clique tree vo vseh chastyah cherez \\(\\bar v\\) budem oboznachat vershinu, postavlennuyu chingizom v paru s \\(v\\). a) chetnoe \\(n\\), \\(k=4\\). snachala vse vershiny schitayutsya svobodnymi. chingiz postepenno sozdaet neperesekayuschiesya pary \\(\\{x,\\bar x\\}\\) s chernym rebrom \\(x\\bar x\\). chetyre rebra mezhdu dvumya parami nazovem blokom. nekotorye bloki otmechayutsya; otmechennye bloki obrazuyut graf \\(f\\) na mnozhestve par. na beloe rebro \\(xy\\) chingiz otvechaet tak. 1. esli \\(x,y\\) svobodny, on vybiraet esche dve svobodnye vershiny \\(\\bar x,\\bar y\\), krasit chernym \\(x\\bar x,y\\bar y,\\bar x\\bar y\\), sozdaet pary \\(x=\\{x,\\bar x\\}\\), \\(y=\\{y,\\bar y\\}\\) i otmechaet blok \\(xy\\). 2. esli \\(x\\) uzhe vhodit v paru \\(x\\), a \\(y\\) svobodna, on vybiraet svobodnuyu \\(\\bar y\\), krasit \\(y\\bar y,x\\bar y,\\bar x\\bar y\\), sozdaet paru \\(y\\), otmechaet blok i orientiruet rebro \\(x\\to y\\). 3. esli obe vershiny uzhe imeyut pary, on krasit vse esche svobodny… sol-ai-yumt-all-k-at-least-three ii-dopolnenie: monotonnost po chislu chernyh reber za hod ai_checked complete_graph clique dokazhem obschuyu lemmu. pust pri kvote \\(k_0\\) u chingiza est vyigryshnaya strategiya, a uslovie ego pobedy sohranyaetsya pri dobavlenii chernyh i udalenii belyh reber. togda ta zhe storona vyigryvaet pri lyuboy kvote \\(k\\ge k_0\\). chingiz vedet voobrazhaemuyu partiyu s kvotoy \\(k_0\\). do okonchaniya realnoy partii on podderzhivaet dva invarianta: kazhdoe voobrazhaemoe chernoe rebro cherno i v realnosti, a mnozhestva belyh reber v dvuh partiyah sovpadayut. poetomu kazhdyy realnyy belyy hod mozhno povtorit v voobrazhaemoy partii: vybrannoe rebro ne yavlyaetsya tam ni chernym, ni belym. zatem voobrazhaemaya strategiya nazyvaet ne bolee \\(k_0\\) svobodnyh reber. chingiz obyavlyaet ih chernymi v voobrazhaemoy partii i krasit v realnoy te iz nih, kotorye tam esche svobodny. rebro, uzhe chernoe v realnoy partii, bylo odnim iz prezhnih lishnih hodov chingiza, poetomu povtorno krasit ego ne nuzhno. ostavshuyusya chast realnoy kvoty do…","source_keys":["lktg","yumt"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem14-white-clique-infinite-board","title":"Белая клика в смещённой игре на \\(K_\\infty\\), ЛКТГ 2026","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem14-white-clique-infinite-board.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem14-white-clique-infinite-board.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem14-white-clique-infinite-board","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"research_project_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_bound","goal_strategy_game","potential_function","pigeonhole_principle","trees","double_counting"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"Официальная сложность: а–б — 3/5, в — 4/5, г–д — 5/5, е — открытая.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_partial_with_open_subproblems","label":"официальные полные решения закрытых подпунктов; пункт е открыт","status":"ai_checked","confidence":0.95,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Закрытые пункты а–д перенесены полностью, включая все вспомогательные леммы и численные проверки; е не решается."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Белая клика на бесконечной доске","status":"source_verified","text":"Пусть \\(b\\ge1\\) и \\(r\\ge2\\) — целые числа. На рёбрах счётного полного графа \\(K_\\infty\\) Белла и Чингиз играют по раундам: Белла красит одно свободное ребро белым, затем Чингиз красит \\(b\\) свободных рёбер чёрным. Белла выигрывает сразу после появления белой клики \\(K_r\\). Через \\(T_b(r)\\) обозначим наименьшее число ходов Беллы, за которое она может гарантировать победу. а) Докажите, что для всех \\(b\\ge1\\), \\(r\\ge2\\) Белла имеет выигрышную стратегию; в частности, \\(T_b(r)\\) конечно. б) Докажите, что \\(T_b(3)=b+3\\). в) При \\(r\\ge17\\) докажите \\[ \\lfloor2^{r/2}\\rfloor\\le T_1(r)\\le(r-3)2^{r-1}+r+1. \\] г) При \\(r\\ge30\\) докажите \\[ \\lfloor3^{r/2}\\rfloor\\le T_2(r)\\le\\sum_{j=0}^{r-2}j3^j+r+1<r3^{r-1}. \\] д) Докажите оценку Бека \\(T_1(r)<2^{r+2}\\). е★) Улучшите при больших \\(r\\) расхождение между лучшими известными оценками \\[ 2^{r/2}\\le T_1(r)\\le2r^7 2^{2r/3}. \\] В официальном комментарии сказано, что верхняя оценка в е) принадлежит Гебауэру и сильнее оценки Бека, но её известное доказательство слишком техническое для проекта. Подпункт е) является открытым и решения в официальном сборнике не имеет.","definition_ids":["complete_graph","clique","tree","independent_set","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-parts-a-d","title":"Решение закрытых подпунктов а–д","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique","tree","independent_set","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ходом Беллы всюду называется одно белое ребро. а) Построим конечное вспомогательное дерево с уровнями \\(0,1,\\ldots,r-1\\): на уровне 0 один корень, а из каждой вершины уровней до \\(r-2\\) выходит \\(b+1\\) ветвей. Белла постепенно сопоставляет некоторым вершинам дерева различные вершины \\(K_\\infty\\), называемые представителями, и поддерживает инвариант: представители любых двух занятых вершин, лежащих на одном пути от корня вниз, соединены белым ребром. Корень получает произвольного представителя. Для очередной попытки Белла выбирает новую вершину \\(u\\) бесконечного графа, не имеющую чёрных рёбер ни к одному уже выбранному представителю. Такая вершина существует, потому что к этому моменту выбрано и окрашено лишь конечное число вершин и рёбер. Затем Белла начинает в корне. Стоя в занятой вершине дерева \\(x\\), она красит белым ребро от \\(u\\) к представителю \\(x\\). Под \\(x\\) есть \\(b+1\\) ветв…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p14-p20-weight-transfer","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem20-white-target-family","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem14-white-clique-infinite-board белая клика в смещённой игре на \\(k_\\infty\\), лктг 2026 coloring goal_bound goal_strategy_game potential_function pigeonhole_principle trees double_counting 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original белая клика на бесконечной доске source_verified пусть \\(b\\ge1\\) и \\(r\\ge2\\) — целые числа. на рёбрах счётного полного графа \\(k_\\infty\\) белла и чингиз играют по раундам: белла красит одно свободное ребро белым, затем чингиз красит \\(b\\) свободных рёбер чёрным. белла выигрывает сразу после появления белой клики \\(k_r\\). через \\(t_b(r)\\) обозначим наименьшее число ходов беллы, за которое она может гарантировать победу. а) докажите, что для всех \\(b\\ge1\\), \\(r\\ge2\\) белла имеет выигрышную стратегию; в частности, \\(t_b(r)\\) конечно. б) докажите, что \\(t_b(3)=b+3\\). в) при \\(r\\ge17\\) докажите \\[ \\lfloor2^{r/2}\\rfloor\\le t_1(r)\\le(r-3)2^{r-1}+r+1. \\] г) при \\(r\\ge30\\) докажите \\[ \\lfloor3^{r/2}\\rfloor\\le t_2(r)\\le\\sum_{j=0}^{r-2}j3^j+r+1<r3^{r-1}. \\] д) докажите оценку бека \\(t_1(r)<2^{r+2}\\). е★) улучшите при больших \\(r\\) расхождение между лучшими известными оценками \\[ 2^{r/2}\\le t_1(r)\\le2r^7 2^{2r/3}. \\] в официальном комментарии сказано, что верхняя оценка в е) принадлежит гебауэру и сильнее оценки бека, но её известное доказательство слишком техническое для проекта. подпункт е) является открытым и решения в официальном сборнике не имеет. complete_graph clique tree independent_set degree idea-branching-tree-white-clique ветвящееся дерево представителей белла размещает вершины \\(k_\\infty\\) в конечном \\((b+1)\\)-ветвящемся дереве и поддерживает белые рёбра между представителями предка и потомка. в каждом ответе чингиз блокирует не более \\(b\\) ветвей, поэтому одна ветвь продолжения сохраняется. trees goal_strategy_game ai_checked idea-target-weight-potential вес доступных целей для каждой ещё доступной цели вес равен \\((b+1)^{-u}\\), где \\(u\\) — число её свободных элементов. жадные чёрные ходы компенсируют рост потенциала от следующего белого хода. potential_function goal_bound ai_checked idea-beck-nested-neighborhoods вложенные белые множества с редкими чёрными рёбрами для оценки бека белла строит вложенные множества белых соседей. лемма о выборе половины уменьшает число старых чёрных рёбер в четыре раза на каждом шаге и сохраняет вершину малой чёрной степени. potential_function double_counting ai_checked sol-official-parts-a-d решение закрытых подпунктов а–д ai_checked complete_graph clique tree independent_set degree ходом беллы всюду называется одно белое ребро. а) построим конечное вспомогательное дерево с уровнями \\(0,1,\\ldots,r-1\\): на уровне 0 один корень, а из каждой вершины уровней до \\(r-2\\) выходит \\(b+1\\) ветвей. белла постепенно сопоставляет некоторым вершинам дерева различные вершины \\(k_\\infty\\), называемые представителями, и поддерживает инвариант: представители любых двух занятых вершин, лежащих на одном пути от корня вниз, соединены белым ребром. корень получает произвольного представителя. для очередной попытки белла выбирает новую вершину \\(u\\) бесконечного графа, не имеющую чёрных рёбер ни к одному уже выбранному представителю. такая вершина существует, потому что к этому моменту выбрано и окрашено лишь конечное число вершин и рёбер. затем белла начинает в корне. стоя в занятой вершине дерева \\(x\\), она красит белым ребро от \\(u\\) к представителю \\(x\\). под \\(x\\) есть \\(b+1\\) ветв… lktg-2026-project2-problem14-white-clique-infinite-board belaya klika v smeschennoy igre na \\(k_\\infty\\), lktg 2026 coloring goal_bound goal_strategy_game potential_function pigeonhole_principle trees double_counting 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original belaya klika na beskonechnoy doske source_verified pust \\(b\\ge1\\) i \\(r\\ge2\\) — tselye chisla. na rebrah schetnogo polnogo grafa \\(k_\\infty\\) bella i chingiz igrayut po raundam: bella krasit odno svobodnoe rebro belym, zatem chingiz krasit \\(b\\) svobodnyh reber chernym. bella vyigryvaet srazu posle poyavleniya beloy kliki \\(k_r\\). cherez \\(t_b(r)\\) oboznachim naimenshee chislo hodov belly, za kotoroe ona mozhet garantirovat pobedu. a) dokazhite, chto dlya vseh \\(b\\ge1\\), \\(r\\ge2\\) bella imeet vyigryshnuyu strategiyu; v chastnosti, \\(t_b(r)\\) konechno. b) dokazhite, chto \\(t_b(3)=b+3\\). v) pri \\(r\\ge17\\) dokazhite \\[ \\lfloor2^{r/2}\\rfloor\\le t_1(r)\\le(r-3)2^{r-1}+r+1. \\] g) pri \\(r\\ge30\\) dokazhite \\[ \\lfloor3^{r/2}\\rfloor\\le t_2(r)\\le\\sum_{j=0}^{r-2}j3^j+r+1<r3^{r-1}. \\] d) dokazhite otsenku beka \\(t_1(r)<2^{r+2}\\). e★) uluchshite pri bolshih \\(r\\) rashozhdenie mezhdu luchshimi izvestnymi otsenkami \\[ 2^{r/2}\\le t_1(r)\\le2r^7 2^{2r/3}. \\] v ofitsialnom kommentarii skazano, chto verhnyaya otsenka v e) prinadlezhit gebaueru i silnee otsenki beka, no ee izvestnoe dokazatelstvo slishkom tehnicheskoe dlya proekta. podpunkt e) yavlyaetsya otkrytym i resheniya v ofitsialnom sbornike ne imeet. complete_graph clique tree independent_set degree idea-branching-tree-white-clique vetvyascheesya derevo predstaviteley bella razmeschaet vershiny \\(k_\\infty\\) v konechnom \\((b+1)\\)-vetvyaschemsya dereve i podderzhivaet belye rebra mezhdu predstavitelyami predka i potomka. v kazhdom otvete chingiz blokiruet ne bolee \\(b\\) vetvey, poetomu odna vetv prodolzheniya sohranyaetsya. trees goal_strategy_game ai_checked idea-target-weight-potential ves dostupnyh tseley dlya kazhdoy esche dostupnoy tseli ves raven \\((b+1)^{-u}\\), gde \\(u\\) — chislo ee svobodnyh elementov. zhadnye chernye hody kompensiruyut rost potentsiala ot sleduyuschego belogo hoda. potential_function goal_bound ai_checked idea-beck-nested-neighborhoods vlozhennye belye mnozhestva s redkimi chernymi rebrami dlya otsenki beka bella stroit vlozhennye mnozhestva belyh sosedey. lemma o vybore poloviny umenshaet chislo staryh chernyh reber v chetyre raza na kazhdom shage i sohranyaet vershinu maloy chernoy stepeni. potential_function double_counting ai_checked sol-official-parts-a-d reshenie zakrytyh podpunktov a–d ai_checked complete_graph clique tree independent_set degree hodom belly vsyudu nazyvaetsya odno beloe rebro. a) postroim konechnoe vspomogatelnoe derevo s urovnyami \\(0,1,\\ldots,r-1\\): na urovne 0 odin koren, a iz kazhdoy vershiny urovney do \\(r-2\\) vyhodit \\(b+1\\) vetvey. bella postepenno sopostavlyaet nekotorym vershinam dereva razlichnye vershiny \\(k_\\infty\\), nazyvaemye predstavitelyami, i podderzhivaet invariant: predstaviteli lyubyh dvuh zanyatyh vershin, lezhaschih na odnom puti ot kornya vniz, soedineny belym rebrom. koren poluchaet proizvolnogo predstavitelya. dlya ocherednoy popytki bella vybiraet novuyu vershinu \\(u\\) beskonechnogo grafa, ne imeyuschuyu chernyh reber ni k odnomu uzhe vybrannomu predstavitelyu. takaya vershina suschestvuet, potomu chto k etomu momentu vybrano i okrasheno lish konechnoe chislo vershin i reber. zatem bella nachinaet v korne. stoya v zanyatoy vershine dereva \\(x\\), ona krasit belym rebro ot \\(u\\) k predstavitelyu \\(x\\). pod \\(x\\) est \\(b+1\\) vetv…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem15-game-transfer-one-two-to-one","title":"Перенос белой клики из игры \\(1:2\\) в игру \\(1:1\\), ЛКТГ 2026","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem15-game-transfer-one-two-to-one.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem15-game-transfer-one-two-to-one.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem15-game-transfer-one-two-to-one","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":["ChatGPT"],"tags":["coloring","goal_proof","goal_strategy_game","double_counting"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"В официальном PDF проекта указана сложность 3/5.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Полностью перенесены оба этапа стратегии и доказательство независимого множества нужного размера."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Связь игр \\(1:2\\) и \\(1:1\\)","status":"source_verified","text":"Пусть \\(N\\ge r\\ge2\\). На рёбрах \\(K_N\\) Белла красит за раунд одно свободное ребро белым, затем Чингиз красит два свободных ребра чёрным; если свободных рёбер осталось меньше двух, он красит все оставшиеся. Белла выигрывает сразу после появления белой клики \\(K_r\\), а если все рёбра окрашены и её нет, выигрывает Чингиз. Предположим, что Белла имеет выигрышную стратегию в этой игре. Докажите, что при тех же правилах, но с одним чёрным ребром Чингиза за раунд, Белла может гарантировать белую клику \\(K_{r+1}\\) на каждом полном графе \\(K_M\\), где \\(M\\ge6N+1\\).","definition_ids":["complete_graph","clique","independent_set","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-white-star-reduction","title":"Белая звезда, независимое множество и симуляция","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique","independent_set","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем вершину \\(z\\). На первом этапе Белла всякий раз красит свободное ребро из \\(z\\) и продолжает, пока звезда не будет полностью окрашена. Из \\(M-1\\ge6N\\) рёбер звезды Чингиз за каждый раунд отнимает не больше одного, поэтому Белла получает множество \\(S\\) не менее чем из \\(3N\\) белых соседей \\(z\\). Обозначим \\(|S|=s\\). Во время этого этапа Чингиз сделал не больше \\(s\\) ходов, следовательно, в чёрном графе, порождённом \\(S\\), не больше \\(s\\) рёбер. Докажем вспомогательную оценку: в графе на \\(s\\) вершинах с \\(e\\) рёбрами существует независимое множество размера не меньше \\[ \\frac{s^2}{2e+s}. \\tag{1} \\] Возьмём случайный порядок вершин и выберем вершину, если она стоит раньше всех своих соседей. Две смежные вершины не могут быть выбраны одновременно, поэтому выбранное множество независимо. Вершина степени \\(d\\) выбирается с вероятностью \\(1/(d+1)\\); среднее число выбранных вершин рав…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p15-p12-strategy-transfer","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem12-biased-game-one-two","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem15-game-transfer-one-two-to-one перенос белой клики из игры \\(1:2\\) в игру \\(1:1\\), лктг 2026 coloring goal_proof goal_strategy_game double_counting 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» chatgpt https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 chatgpt 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original связь игр \\(1:2\\) и \\(1:1\\) source_verified пусть \\(n\\ge r\\ge2\\). на рёбрах \\(k_n\\) белла красит за раунд одно свободное ребро белым, затем чингиз красит два свободных ребра чёрным; если свободных рёбер осталось меньше двух, он красит все оставшиеся. белла выигрывает сразу после появления белой клики \\(k_r\\), а если все рёбра окрашены и её нет, выигрывает чингиз. предположим, что белла имеет выигрышную стратегию в этой игре. докажите, что при тех же правилах, но с одним чёрным ребром чингиза за раунд, белла может гарантировать белую клику \\(k_{r+1}\\) на каждом полном графе \\(k_m\\), где \\(m\\ge6n+1\\). complete_graph clique independent_set degree idea-large-white-neighborhood большая белая звезда с разреженным чёрным графом белла сначала полностью разыгрывает звезду с центром \\(z\\). среди не менее \\(3n\\) белых соседей чёрный граф имеет не больше одного ребра на вершину в среднем и содержит независимое множество размера хотя бы \\(n\\). goal_proof double_counting ai_checked idea-simulate-extra-black-edge дополнение реального чёрного хода воображаемым на найденных \\(n\\) вершинах белла запускает известную стратегию игры \\(1:2\\), считая реальный чёрный ход первым, а недостающий второй чёрный ход выбирая мысленно. goal_strategy_game coloring ai_checked sol-official-white-star-reduction белая звезда, независимое множество и симуляция ai_checked complete_graph clique independent_set degree выберем вершину \\(z\\). на первом этапе белла всякий раз красит свободное ребро из \\(z\\) и продолжает, пока звезда не будет полностью окрашена. из \\(m-1\\ge6n\\) рёбер звезды чингиз за каждый раунд отнимает не больше одного, поэтому белла получает множество \\(s\\) не менее чем из \\(3n\\) белых соседей \\(z\\). обозначим \\(|s|=s\\). во время этого этапа чингиз сделал не больше \\(s\\) ходов, следовательно, в чёрном графе, порождённом \\(s\\), не больше \\(s\\) рёбер. докажем вспомогательную оценку: в графе на \\(s\\) вершинах с \\(e\\) рёбрами существует независимое множество размера не меньше \\[ \\frac{s^2}{2e+s}. \\tag{1} \\] возьмём случайный порядок вершин и выберем вершину, если она стоит раньше всех своих соседей. две смежные вершины не могут быть выбраны одновременно, поэтому выбранное множество независимо. вершина степени \\(d\\) выбирается с вероятностью \\(1/(d+1)\\); среднее число выбранных вершин рав… lktg-2026-project2-problem15-game-transfer-one-two-to-one perenos beloy kliki iz igry \\(1:2\\) v igru \\(1:1\\), lktg 2026 coloring goal_proof goal_strategy_game double_counting 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» chatgpt https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 chatgpt 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original svyaz igr \\(1:2\\) i \\(1:1\\) source_verified pust \\(n\\ge r\\ge2\\). na rebrah \\(k_n\\) bella krasit za raund odno svobodnoe rebro belym, zatem chingiz krasit dva svobodnyh rebra chernym; esli svobodnyh reber ostalos menshe dvuh, on krasit vse ostavshiesya. bella vyigryvaet srazu posle poyavleniya beloy kliki \\(k_r\\), a esli vse rebra okrasheny i ee net, vyigryvaet chingiz. predpolozhim, chto bella imeet vyigryshnuyu strategiyu v etoy igre. dokazhite, chto pri teh zhe pravilah, no s odnim chernym rebrom chingiza za raund, bella mozhet garantirovat beluyu kliku \\(k_{r+1}\\) na kazhdom polnom grafe \\(k_m\\), gde \\(m\\ge6n+1\\). complete_graph clique independent_set degree idea-large-white-neighborhood bolshaya belaya zvezda s razrezhennym chernym grafom bella snachala polnostyu razygryvaet zvezdu s tsentrom \\(z\\). sredi ne menee \\(3n\\) belyh sosedey chernyy graf imeet ne bolshe odnogo rebra na vershinu v srednem i soderzhit nezavisimoe mnozhestvo razmera hotya by \\(n\\). goal_proof double_counting ai_checked idea-simulate-extra-black-edge dopolnenie realnogo chernogo hoda voobrazhaemym na naydennyh \\(n\\) vershinah bella zapuskaet izvestnuyu strategiyu igry \\(1:2\\), schitaya realnyy chernyy hod pervym, a nedostayuschiy vtoroy chernyy hod vybiraya myslenno. goal_strategy_game coloring ai_checked sol-official-white-star-reduction belaya zvezda, nezavisimoe mnozhestvo i simulyatsiya ai_checked complete_graph clique independent_set degree vyberem vershinu \\(z\\). na pervom etape bella vsyakiy raz krasit svobodnoe rebro iz \\(z\\) i prodolzhaet, poka zvezda ne budet polnostyu okrashena. iz \\(m-1\\ge6n\\) reber zvezdy chingiz za kazhdyy raund otnimaet ne bolshe odnogo, poetomu bella poluchaet mnozhestvo \\(s\\) ne menee chem iz \\(3n\\) belyh sosedey \\(z\\). oboznachim \\(|s|=s\\). vo vremya etogo etapa chingiz sdelal ne bolshe \\(s\\) hodov, sledovatelno, v chernom grafe, porozhdennom \\(s\\), ne bolshe \\(s\\) reber. dokazhem vspomogatelnuyu otsenku: v grafe na \\(s\\) vershinah s \\(e\\) rebrami suschestvuet nezavisimoe mnozhestvo razmera ne menshe \\[ \\frac{s^2}{2e+s}. \\tag{1} \\] vozmem sluchaynyy poryadok vershin i vyberem vershinu, esli ona stoit ranshe vseh svoih sosedey. dve smezhnye vershiny ne mogut byt vybrany odnovremenno, poetomu vybrannoe mnozhestvo nezavisimo. vershina stepeni \\(d\\) vybiraetsya s veroyatnostyu \\(1/(d+1)\\); srednee chislo vybrannyh vershin rav…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem16-biconnected-red-board","title":"Двусвязная доска произвольного размера для победы Красного, ЛКТГ 2026","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem16-biconnected-red-board.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem16-biconnected-red-board.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem16-biconnected-red-board","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7","Alexandru Malekshahian, Sam Spiro, On a Clique-Building Game of Erdős"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_construction","goal_strategy_game","connectivity"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"В официальном PDF проекта указана сложность 4/5.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.97,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Конструкция, двусвязность и полная локальная стратегия перенесены самодостаточно."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Двусвязная доска для Красного","status":"source_verified","text":"Красный и Синий по очереди красят свободные рёбра заранее выбранного конечного графа \\(H\\), начинает Красный. После окраски всех рёбер Красный выигрывает, если его наибольшая клика строго больше синей; иначе выигрывает Синий. Для каждого натурального \\(M\\) постройте двусвязный граф \\(H\\) хотя бы на \\(M\\) вершинах, на котором Красный имеет выигрышную стратегию. Здесь двусвязность означает, что граф связен и остаётся связным после удаления любой одной вершины.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","complete_graph","clique","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-k4-book","title":"Книга из \\(K_4\\) и локальная стратегия Красного","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","complete_graph","clique","triangle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для \\(t\\ge2\\) построим граф \\(H_t\\) из \\(t\\) копий \\(K_4\\), имеющих ровно одно общее ребро \\(uv\\). В \\(i\\)-й копии две остальные вершины обозначим \\(a_i,b_i\\), а копию назовём страницей \\(C_i\\). Возьмём \\[ t\\ge\\max\\left\\{2,\\left\\lceil\\frac{M-2}{2}\\right\\rceil\\right\\}. \\] Тогда \\(|V(H_t)|=2+2t\\ge M\\). Проверим двусвязность. После удаления \\(u\\) вершина \\(v\\) соединяет все оставшиеся вершины; после удаления \\(v\\) ту же роль играет \\(u\\). После удаления одной из \\(a_i,b_i\\) общее ребро \\(uv\\) продолжает связывать все страницы. Значит, удаление любой вершины оставляет граф связным. Теперь стратегия. Первым ходом Красный красит \\(uv\\). Первый синий ход лежит в некоторой странице; назовём её \\(C_2\\). Красный выбирает другую, ещё не затронутую страницу \\(C_1\\), и вторым ходом красит противоположное ребро \\(a_1b_1\\). Опишем локальные ответы. В странице \\(C_2\\) уже есть первое синее ребро \\(e\\).…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p16-p11-board-variant","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem11-symmetric-erdos-game","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem16-biconnected-red-board двусвязная доска произвольного размера для победы красного, лктг 2026 coloring goal_construction goal_strategy_game connectivity 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős https://arxiv.org/abs/2410.18304 https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive paper src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-malekshahian-spiro-clique-building-game with_solution лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős stmt-original двусвязная доска для красного source_verified красный и синий по очереди красят свободные рёбра заранее выбранного конечного графа \\(h\\), начинает красный. после окраски всех рёбер красный выигрывает, если его наибольшая клика строго больше синей; иначе выигрывает синий. для каждого натурального \\(m\\) постройте двусвязный граф \\(h\\) хотя бы на \\(m\\) вершинах, на котором красный имеет выигрышную стратегию. здесь двусвязность означает, что граф связен и остаётся связным после удаления любой одной вершины. simple_graph connected_graph complete_graph clique triangle idea-k4-book-board книга из страниц \\(k_4\\) все страницы \\(k_4\\) имеют общее ребро \\(uv\\). граф остаётся связным после удаления любой вершины, а всякий треугольник целиком лежит в одной странице. goal_construction connectivity ai_checked idea-local-pairing-defense локальные пары против синих треугольников красный защищает каждую затронутую страницу отдельным правилом парных ответов, а свободные ходы направляет в целевую страницу, где гарантированно собирает красный треугольник. goal_strategy_game coloring ai_checked sol-official-k4-book книга из \\(k_4\\) и локальная стратегия красного ai_checked simple_graph connected_graph complete_graph clique triangle для \\(t\\ge2\\) построим граф \\(h_t\\) из \\(t\\) копий \\(k_4\\), имеющих ровно одно общее ребро \\(uv\\). в \\(i\\)-й копии две остальные вершины обозначим \\(a_i,b_i\\), а копию назовём страницей \\(c_i\\). возьмём \\[ t\\ge\\max\\left\\{2,\\left\\lceil\\frac{m-2}{2}\\right\\rceil\\right\\}. \\] тогда \\(|v(h_t)|=2+2t\\ge m\\). проверим двусвязность. после удаления \\(u\\) вершина \\(v\\) соединяет все оставшиеся вершины; после удаления \\(v\\) ту же роль играет \\(u\\). после удаления одной из \\(a_i,b_i\\) общее ребро \\(uv\\) продолжает связывать все страницы. значит, удаление любой вершины оставляет граф связным. теперь стратегия. первым ходом красный красит \\(uv\\). первый синий ход лежит в некоторой странице; назовём её \\(c_2\\). красный выбирает другую, ещё не затронутую страницу \\(c_1\\), и вторым ходом красит противоположное ребро \\(a_1b_1\\). опишем локальные ответы. в странице \\(c_2\\) уже есть первое синее ребро \\(e\\).… lktg-2026-project2-problem16-biconnected-red-board dvusvyaznaya doska proizvolnogo razmera dlya pobedy krasnogo, lktg 2026 coloring goal_construction goal_strategy_game connectivity 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős https://arxiv.org/abs/2410.18304 https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive paper src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-malekshahian-spiro-clique-building-game with_solution lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 alexandru malekshahian, sam spiro, on a clique-building game of erdős stmt-original dvusvyaznaya doska dlya krasnogo source_verified krasnyy i siniy po ocheredi krasyat svobodnye rebra zaranee vybrannogo konechnogo grafa \\(h\\), nachinaet krasnyy. posle okraski vseh reber krasnyy vyigryvaet, esli ego naibolshaya klika strogo bolshe siney; inache vyigryvaet siniy. dlya kazhdogo naturalnogo \\(m\\) postroyte dvusvyaznyy graf \\(h\\) hotya by na \\(m\\) vershinah, na kotorom krasnyy imeet vyigryshnuyu strategiyu. zdes dvusvyaznost oznachaet, chto graf svyazen i ostaetsya svyaznym posle udaleniya lyuboy odnoy vershiny. simple_graph connected_graph complete_graph clique triangle idea-k4-book-board kniga iz stranits \\(k_4\\) vse stranitsy \\(k_4\\) imeyut obschee rebro \\(uv\\). graf ostaetsya svyaznym posle udaleniya lyuboy vershiny, a vsyakiy treugolnik tselikom lezhit v odnoy stranitse. goal_construction connectivity ai_checked idea-local-pairing-defense lokalnye pary protiv sinih treugolnikov krasnyy zaschischaet kazhduyu zatronutuyu stranitsu otdelnym pravilom parnyh otvetov, a svobodnye hody napravlyaet v tselevuyu stranitsu, gde garantirovanno sobiraet krasnyy treugolnik. goal_strategy_game coloring ai_checked sol-official-k4-book kniga iz \\(k_4\\) i lokalnaya strategiya krasnogo ai_checked simple_graph connected_graph complete_graph clique triangle dlya \\(t\\ge2\\) postroim graf \\(h_t\\) iz \\(t\\) kopiy \\(k_4\\), imeyuschih rovno odno obschee rebro \\(uv\\). v \\(i\\)-y kopii dve ostalnye vershiny oboznachim \\(a_i,b_i\\), a kopiyu nazovem stranitsey \\(c_i\\). vozmem \\[ t\\ge\\max\\left\\{2,\\left\\lceil\\frac{m-2}{2}\\right\\rceil\\right\\}. \\] togda \\(|v(h_t)|=2+2t\\ge m\\). proverim dvusvyaznost. posle udaleniya \\(u\\) vershina \\(v\\) soedinyaet vse ostavshiesya vershiny; posle udaleniya \\(v\\) tu zhe rol igraet \\(u\\). posle udaleniya odnoy iz \\(a_i,b_i\\) obschee rebro \\(uv\\) prodolzhaet svyazyvat vse stranitsy. znachit, udalenie lyuboy vershiny ostavlyaet graf svyaznym. teper strategiya. pervym hodom krasnyy krasit \\(uv\\). pervyy siniy hod lezhit v nekotoroy stranitse; nazovem ee \\(c_2\\). krasnyy vybiraet druguyu, esche ne zatronutuyu stranitsu \\(c_1\\), i vtorym hodom krasit protivopolozhnoe rebro \\(a_1b_1\\). opishem lokalnye otvety. v stranitse \\(c_2\\) uzhe est pervoe sinee rebro \\(e\\).…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem17-firms-and-geniuses","title":"Фирмы и отмеченные гении в графе знакомств","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem17-firms-and-geniuses.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem17-firms-and-geniuses.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem17-firms-and-geniuses","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7","32-й Турнир городов, весенний тур 2010/11, сложный вариант, 8-9 и 10-11 классы"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":["Шаповалов А.В."],"tags":["goal_construction","goal_strategy_game","connectivity","process_invariant"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Официальная сложность: а) 2/5; б) 3/5; в) 4/5.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Пункт а решён циклической конструкцией; общая координатная конструкция полностью доказывает пункт в и её случай r=4 — пункт б."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Фирмы нанимают программистов в графе знакомств","status":"source_verified","text":"Вершины конечного простого графа — программисты, а рёбра означают знакомства. Фирмы Пети и Васи по очереди нанимают по одному программисту, ещё не нанятому ни одной фирмой; начинает фирма Пети. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно. Каждый следующий нанятый ею программист должен быть знаком хотя бы с одним программистом, уже работающим в этой фирме. Если фирма не может сделать ход, она прекращает набор, а другая продолжает по тем же правилам, пока может. Среди программистов заранее отмечены \\(r\\) гениев. а) Для \\(r=3\\) постройте граф, в котором фирма Васи гарантированно наймёт не меньше двух гениев. б) Для \\(r=4\\) постройте граф, в котором фирма Васи гарантированно наймёт не меньше трёх гениев. в) Для каждого \\(r\\ge2\\) постройте граф, в котором фирма Васи гарантированно наймёт не меньше \\(r-1\\) гениев.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","cycle","distance"]},{"id":"stmt-tc-2011-eleven-geniuses","title":"Версия Турнира городов с 11 гениями","status":"source_verified","text":"Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 всем известных гениев. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма?","definition_ids":["simple_graph","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-parts-a-c","title":"Шестиугольник, пути длин 10–13 и общая координатная конструкция","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","cycle","distance"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"а) Возьмём цикл \\[ g_1-u_1-g_2-u_2-g_3-u_3-g_1 \\] и объявим гениями \\(g_1,g_2,g_3\\). Если Петя первым нанял гения, например \\(g_1\\), Вася нанимает противоположную вершину \\(u_2\\). Следующий законный ход Пети — \\(u_1\\) или \\(u_3\\). В первом случае Вася берёт \\(g_2\\), во втором — \\(g_3\\). После этого набор по оставшимся дугам цикла вынужден, и второй из двух оставшихся гениев также достаётся Васе. Если Петя начал с обычной вершины, например \\(u_1\\), Вася берёт соседнего гения \\(g_1\\). Петя вынужден взять \\(g_2\\), затем Вася берёт \\(u_3\\), Петя — \\(u_2\\), Вася — \\(g_3\\). В обоих случаях Вася нанимает двух гениев. б) Это частный случай пункта в при \\(r=4\\): общая координатная конструкция, доказанная ниже, гарантирует Васе не меньше \\(r-1=3\\) гениев. Поэтому отдельной конструкции для этого пункта не требуется. в) Положим \\(L=r(r-1)\\). Программистами будут все векторы \\[ x=(x_1,\\ldots,x_r),\\q…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p17-mmo-2011-specialization","neighbor_id":"mmo-2011-firms-programmers-geniuses","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem17-firms-and-geniuses фирмы и отмеченные гении в графе знакомств goal_construction goal_strategy_game connectivity process_invariant 2026 32-й турнир городов, весенний тур 2010/11, сложный вариант, 8-9 и 10-11 классы 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.turgor.ru/problems/32/vs32sl-avt.pdf lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-tc-2011-32-vs32sl-official with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 шаповалов а.в. шаповалов а.в. 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 32-й турнир городов, весенний тур 2010/11, сложный вариант, 8-9 и 10-11 классы stmt-original фирмы нанимают программистов в графе знакомств source_verified вершины конечного простого графа — программисты, а рёбра означают знакомства. фирмы пети и васи по очереди нанимают по одному программисту, ещё не нанятому ни одной фирмой; начинает фирма пети. первого программиста каждая фирма выбирает произвольно. каждый следующий нанятый ею программист должен быть знаком хотя бы с одним программистом, уже работающим в этой фирме. если фирма не может сделать ход, она прекращает набор, а другая продолжает по тем же правилам, пока может. среди программистов заранее отмечены \\(r\\) гениев. а) для \\(r=3\\) постройте граф, в котором фирма васи гарантированно наймёт не меньше двух гениев. б) для \\(r=4\\) постройте граф, в котором фирма васи гарантированно наймёт не меньше трёх гениев. в) для каждого \\(r\\ge2\\) постройте граф, в котором фирма васи гарантированно наймёт не меньше \\(r-1\\) гениев. simple_graph connected_graph path cycle distance stmt-tc-2011-eleven-geniuses версия турнира городов с 11 гениями source_verified две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 всем известных гениев. первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. список программистов и их знакомств заранее известен. могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма? simple_graph connected_graph idea-alternating-six-cycle чередующийся шестиугольник для трёх гениев на цикле длины шесть гении и обычные программисты чередуются. первый ответ васи переводит игру в вынужденное чередование, при котором два гения достаются васе. goal_construction goal_strategy_game ai_checked idea-simplex-coordinate-maxima целочисленный симплекс и максимумы координат в общей конструкции вершины — неотрицательные целые векторы фиксированной суммы, а ход по ребру переносит единицу между координатами. вася поддерживает строгий перевес максимума по всем координатам, кроме одной. process_invariant goal_construction ai_checked sol-official-parts-a-c шестиугольник, пути длин 10–13 и общая координатная конструкция ai_checked simple_graph connected_graph path cycle distance а) возьмём цикл \\[ g_1-u_1-g_2-u_2-g_3-u_3-g_1 \\] и объявим гениями \\(g_1,g_2,g_3\\). если петя первым нанял гения, например \\(g_1\\), вася нанимает противоположную вершину \\(u_2\\). следующий законный ход пети — \\(u_1\\) или \\(u_3\\). в первом случае вася берёт \\(g_2\\), во втором — \\(g_3\\). после этого набор по оставшимся дугам цикла вынужден, и второй из двух оставшихся гениев также достаётся васе. если петя начал с обычной вершины, например \\(u_1\\), вася берёт соседнего гения \\(g_1\\). петя вынужден взять \\(g_2\\), затем вася берёт \\(u_3\\), петя — \\(u_2\\), вася — \\(g_3\\). в обоих случаях вася нанимает двух гениев. б) это частный случай пункта в при \\(r=4\\): общая координатная конструкция, доказанная ниже, гарантирует васе не меньше \\(r-1=3\\) гениев. поэтому отдельной конструкции для этого пункта не требуется. в) положим \\(l=r(r-1)\\). программистами будут все векторы \\[ x=(x_1,\\ldots,x_r),\\q… lktg-2026-project2-problem17-firms-and-geniuses firmy i otmechennye genii v grafe znakomstv goal_construction goal_strategy_game connectivity process_invariant 2026 32-y turnir gorodov, vesenniy tur 2010/11, slozhnyy variant, 8-9 i 10-11 klassy 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.turgor.ru/problems/32/vs32sl-avt.pdf lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-tc-2011-32-vs32sl-official with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 shapovalov a.v. shapovalov a.v. 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 32-y turnir gorodov, vesenniy tur 2010/11, slozhnyy variant, 8-9 i 10-11 klassy stmt-original firmy nanimayut programmistov v grafe znakomstv source_verified vershiny konechnogo prostogo grafa — programmisty, a rebra oznachayut znakomstva. firmy peti i vasi po ocheredi nanimayut po odnomu programmistu, esche ne nanyatomu ni odnoy firmoy; nachinaet firma peti. pervogo programmista kazhdaya firma vybiraet proizvolno. kazhdyy sleduyuschiy nanyatyy eyu programmist dolzhen byt znakom hotya by s odnim programmistom, uzhe rabotayuschim v etoy firme. esli firma ne mozhet sdelat hod, ona prekraschaet nabor, a drugaya prodolzhaet po tem zhe pravilam, poka mozhet. sredi programmistov zaranee otmecheny \\(r\\) geniev. a) dlya \\(r=3\\) postroyte graf, v kotorom firma vasi garantirovanno naymet ne menshe dvuh geniev. b) dlya \\(r=4\\) postroyte graf, v kotorom firma vasi garantirovanno naymet ne menshe treh geniev. v) dlya kazhdogo \\(r\\ge2\\) postroyte graf, v kotorom firma vasi garantirovanno naymet ne menshe \\(r-1\\) geniev. simple_graph connected_graph path cycle distance stmt-tc-2011-eleven-geniuses versiya turnira gorodov s 11 geniyami source_verified dve firmy po ocheredi nanimayut programmistov, sredi kotoryh est 11 vsem izvestnyh geniev. pervogo programmista kazhdaya firma vybiraet proizvolno, a kazhdyy sleduyuschiy dolzhen byt znakom s kem-to iz ranee nanyatyh dannoy firmoy. esli firma ne mozhet nanyat programmista po etim pravilam, ona prekraschaet priem, a drugaya mozhet prodolzhat. spisok programmistov i ih znakomstv zaranee izvesten. mogut li znakomstva byt ustroeny tak, chto firma, vstupayuschaya v igru vtoroy, smozhet nanyat 10 geniev, kak by ni deystvovala pervaya firma? simple_graph connected_graph idea-alternating-six-cycle chereduyuschiysya shestiugolnik dlya treh geniev na tsikle dliny shest genii i obychnye programmisty chereduyutsya. pervyy otvet vasi perevodit igru v vynuzhdennoe cheredovanie, pri kotorom dva geniya dostayutsya vase. goal_construction goal_strategy_game ai_checked idea-simplex-coordinate-maxima tselochislennyy simpleks i maksimumy koordinat v obschey konstruktsii vershiny — neotritsatelnye tselye vektory fiksirovannoy summy, a hod po rebru perenosit edinitsu mezhdu koordinatami. vasya podderzhivaet strogiy pereves maksimuma po vsem koordinatam, krome odnoy. process_invariant goal_construction ai_checked sol-official-parts-a-c shestiugolnik, puti dlin 10–13 i obschaya koordinatnaya konstruktsiya ai_checked simple_graph connected_graph path cycle distance a) vozmem tsikl \\[ g_1-u_1-g_2-u_2-g_3-u_3-g_1 \\] i obyavim geniyami \\(g_1,g_2,g_3\\). esli petya pervym nanyal geniya, naprimer \\(g_1\\), vasya nanimaet protivopolozhnuyu vershinu \\(u_2\\). sleduyuschiy zakonnyy hod peti — \\(u_1\\) ili \\(u_3\\). v pervom sluchae vasya beret \\(g_2\\), vo vtorom — \\(g_3\\). posle etogo nabor po ostavshimsya dugam tsikla vynuzhden, i vtoroy iz dvuh ostavshihsya geniev takzhe dostaetsya vase. esli petya nachal s obychnoy vershiny, naprimer \\(u_1\\), vasya beret sosednego geniya \\(g_1\\). petya vynuzhden vzyat \\(g_2\\), zatem vasya beret \\(u_3\\), petya — \\(u_2\\), vasya — \\(g_3\\). v oboih sluchayah vasya nanimaet dvuh geniev. b) eto chastnyy sluchay punkta v pri \\(r=4\\): obschaya koordinatnaya konstruktsiya, dokazannaya nizhe, garantiruet vase ne menshe \\(r-1=3\\) geniev. poetomu otdelnoy konstruktsii dlya etogo punkta ne trebuetsya. v) polozhim \\(l=r(r-1)\\). programmistami budut vse vektory \\[ x=(x_1,\\ldots,x_r),\\q…","source_keys":["lktg","tc"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem20-white-target-family","title":"Весовая лемма для белых целей, клик и гамильтоновых циклов","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem20-white-target-family.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem20-white-target-family.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem20-white-target-family","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","coloring","potential_function","extremal_choice","goal_bound","goal_strategy_game","hamiltonian_cycles","goal_impossibility"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Подпункты имеют сложность 2/5 и 4/5; общий случай требует аккуратно оценить последовательный рост опасностей за \\(q\\) белых рёбер.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF содержит полное доказательство","notes":"Оба подпункта полностью доказаны.","label":"официальное полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Семейство белых целей","status":"source_verified","text":"Пусть \\(p,q\\ge1\\) — целые числа. Игра идёт по раундам на рёбрах \\(K_n\\): сначала Чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем Белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. Пусть \\(\\mathcal F\\) — произвольное семейство непустых наборов рёбер графа \\(K_n\\). Через \\(N_{\\mathcal F}\\) обозначим число наборов \\(F\\in\\mathcal F\\), все рёбра которых в конце игры белые. а) Докажите, что в игре \\(1:1\\) Чингиз может гарантировать \\[N_{\\mathcal F}\\le\\left\\lfloor\\sum_{F\\in\\mathcal F}2^{-|F|}\\right\\rfloor.\\] б) Докажите, что в игре \\(p:q\\) Чингиз может гарантировать \\[N_{\\mathcal F}\\le\\left\\lfloor\\sum_{F\\in\\mathcal F}(p+1)^{-|F|/q}\\right\\rfloor.\\]","definition_ids":["complete_graph"]},{"id":"stmt-white-cliques","title":"Приложение к белым кликам","status":"source_verified","text":"Пусть \\(p,q\\ge 1\\) — целые числа. Игра идёт по раундам на рёбрах \\(K_n\\). В каждом раунде сначала Чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, а затем Белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым. Если перед ходом игрока свободных рёбер меньше, чем ему разрешено покрасить, он красит все оставшиеся. Через \\(W\\) обозначим итоговый граф белых рёбер. В игре \\(1:1\\) полагается \\(p=q=1\\). Для \\(2\\le k\\le n\\) через \\(N_k\\) обозначим число множеств из \\(k\\) вершин, все рёбра между которыми в конце игры белые. Логарифм без указанного основания является натуральным. а) В игре \\(1:1\\) докажите, что Чингиз может гарантировать \\[N_k\\le \\left\\lfloor {n\\choose k}2^{-{k\\choose 2}}\\right\\rfloor.\\] б) В игре \\(p:q\\) докажите, что Чингиз может гарантировать \\[N_k\\le \\left\\lfloor {n\\choose k}(p+1)^{-{k\\choose 2}/q}\\right\\rfloor.\\] в) Выведите соответственно оценки \\[\\omega(W)\\le \\lceil 2\\log_2 n\\rceil+1\\quad\\text{и}\\quad \\omega(W)\\le \\lceil 2q\\log_{p+1}n\\rceil+1.\\]","definition_ids":["complete_graph","clique"]},{"id":"stmt-white-hamiltonian-cycles","title":"Приложение к белым гамильтоновым циклам","status":"source_verified","text":"Пусть \\(n\\ge3\\). В игре \\(p:q\\) на рёбрах \\(K_n\\) в каждом раунде сначала Чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем Белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. Через \\(W\\) обозначим итоговый белый граф, а через \\(h(W)\\) — число его гамильтоновых циклов; циклы, отличающиеся только выбором начальной вершины или направлением обхода, считаются одинаковыми. а) Докажите, что в игре \\(1:1\\) Чингиз может гарантировать \\[h(W)\\le\\left\\lfloor\\frac{(n-1)!}{2^{n+1}}\\right\\rfloor.\\] б) Докажите, что в игре \\(p:q\\) Чингиз может гарантировать \\[h(W)\\le\\left\\lfloor\\frac{(n-1)!}{2(p+1)^{n/q}}\\right\\rfloor.\\] в) Выведите, что при \\((p+1)^{n/q}>(n-1)!/2\\) Чингиз может не допустить появления белого гамильтонова цикла.","definition_ids":["complete_graph","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-white-target-lemma","title":"Общая весовая лемма и приложения к кликам и гамильтоновым циклам","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала докажем пункт б). Цель \\(F\\in\\mathcal F\\) назовём живой, пока ни одно её ребро не окрашено чёрным. Положим \\(\\lambda=(p+1)^{1/q}\\). Если в живой цели осталось \\(r(F)\\) свободных рёбер, дадим ей вес \\(w(F)=\\lambda^{-r(F)}\\); неживая цель имеет вес \\(0\\). Потенциалом назовём сумму весов целей, а опасностью свободного ребра — сумму весов всех живых целей, которые его содержат. На своём ходу Чингиз последовательно выбирает \\(p\\) свободных рёбер максимальной текущей опасности, пересчитывая опасности после каждого выбора. Пусть опасности выбранных рёбер равны \\(d_1\\ge\\cdots\\ge d_p\\), а после хода Чингиза наибольшая опасность свободного ребра равна \\(d\\). Тогда \\(d\\le d_p\\), а окраска выбранных рёбер в чёрный цвет уничтожила все содержащие их живые цели и уменьшила потенциал на \\(d_1+\\cdots+d_p\\ge pd\\). Когда Белла красит свободное ребро белым, вес каждой содержащей его живой цели умно…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p14-p20-weight-transfer","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem14-white-clique-infinite-board","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p20-p21-transfer","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem21-black-minimum-degree","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p20-p22-transfer","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem22-density-in-large-subsets","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p24-p20-combination","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem24-white-clique-black-degrees","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem20-white-target-family весовая лемма для белых целей, клик и гамильтоновых циклов extremal_graph_theory coloring potential_function extremal_choice goal_bound goal_strategy_game hamiltonian_cycles goal_impossibility 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original семейство белых целей source_verified пусть \\(p,q\\ge1\\) — целые числа. игра идёт по раундам на рёбрах \\(k_n\\): сначала чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. пусть \\(\\mathcal f\\) — произвольное семейство непустых наборов рёбер графа \\(k_n\\). через \\(n_{\\mathcal f}\\) обозначим число наборов \\(f\\in\\mathcal f\\), все рёбра которых в конце игры белые. а) докажите, что в игре \\(1:1\\) чингиз может гарантировать \\[n_{\\mathcal f}\\le\\left\\lfloor\\sum_{f\\in\\mathcal f}2^{-|f|}\\right\\rfloor.\\] б) докажите, что в игре \\(p:q\\) чингиз может гарантировать \\[n_{\\mathcal f}\\le\\left\\lfloor\\sum_{f\\in\\mathcal f}(p+1)^{-|f|/q}\\right\\rfloor.\\] complete_graph stmt-white-cliques приложение к белым кликам source_verified пусть \\(p,q\\ge 1\\) — целые числа. игра идёт по раундам на рёбрах \\(k_n\\). в каждом раунде сначала чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, а затем белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым. если перед ходом игрока свободных рёбер меньше, чем ему разрешено покрасить, он красит все оставшиеся. через \\(w\\) обозначим итоговый граф белых рёбер. в игре \\(1:1\\) полагается \\(p=q=1\\). для \\(2\\le k\\le n\\) через \\(n_k\\) обозначим число множеств из \\(k\\) вершин, все рёбра между которыми в конце игры белые. логарифм без указанного основания является натуральным. а) в игре \\(1:1\\) докажите, что чингиз может гарантировать \\[n_k\\le \\left\\lfloor {n\\choose k}2^{-{k\\choose 2}}\\right\\rfloor.\\] б) в игре \\(p:q\\) докажите, что чингиз может гарантировать \\[n_k\\le \\left\\lfloor {n\\choose k}(p+1)^{-{k\\choose 2}/q}\\right\\rfloor.\\] в) выведите соответственно оценки \\[\\omega(w)\\le \\lceil 2\\log_2 n\\rceil+1\\quad\\text{и}\\quad \\omega(w)\\le \\lceil 2q\\log_{p+1}n\\rceil+1.\\] complete_graph clique stmt-white-hamiltonian-cycles приложение к белым гамильтоновым циклам source_verified пусть \\(n\\ge3\\). в игре \\(p:q\\) на рёбрах \\(k_n\\) в каждом раунде сначала чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. через \\(w\\) обозначим итоговый белый граф, а через \\(h(w)\\) — число его гамильтоновых циклов; циклы, отличающиеся только выбором начальной вершины или направлением обхода, считаются одинаковыми. а) докажите, что в игре \\(1:1\\) чингиз может гарантировать \\[h(w)\\le\\left\\lfloor\\frac{(n-1)!}{2^{n+1}}\\right\\rfloor.\\] б) докажите, что в игре \\(p:q\\) чингиз может гарантировать \\[h(w)\\le\\left\\lfloor\\frac{(n-1)!}{2(p+1)^{n/q}}\\right\\rfloor.\\] в) выведите, что при \\((p+1)^{n/q}>(n-1)!/2\\) чингиз может не допустить появления белого гамильтонова цикла. complete_graph hamiltonian_cycle idea-danger-potential живые цели и опасность свободного ребра вес цели экспоненциально зависит от числа оставшихся свободных рёбер. чингиз гасит рёбра максимальной суммарной опасности; потеря веса на его ходе покрывает возможный рост на ходе беллы. potential_function extremal_choice ai_checked idea-weighted-live-targets вес живой кликовой цели и опасность ребра каждому \\(k\\)-множеству сопоставляется цель из всех его рёбер. живой цели с \\(r\\) свободными рёбрами даётся вес \\((p+1)^{-r/q}\\); опасность ребра равна сумме весов содержащих его живых целей. жадный выбор чёрных рёбер максимальной опасности не даёт суммарному весу расти. potential_function extremal_choice ai_checked idea-cycles-as-weighted-targets гамильтонов цикл как весовая цель каждый гамильтонов цикл рассматривается как цель из \\(n\\) рёбер. весовая стратегия максимальной опасности ограничивает число целей, оставшихся полностью белыми. potential_function hamiltonian_cycles ai_checked sol-official-white-target-lemma общая весовая лемма и приложения к кликам и гамильтоновым циклам ai_checked complete_graph clique hamiltonian_cycle сначала докажем пункт б). цель \\(f\\in\\mathcal f\\) назовём живой, пока ни одно её ребро не окрашено чёрным. положим \\(\\lambda=(p+1)^{1/q}\\). если в живой цели осталось \\(r(f)\\) свободных рёбер, дадим ей вес \\(w(f)=\\lambda^{-r(f)}\\); неживая цель имеет вес \\(0\\). потенциалом назовём сумму весов целей, а опасностью свободного ребра — сумму весов всех живых целей, которые его содержат. на своём ходу чингиз последовательно выбирает \\(p\\) свободных рёбер максимальной текущей опасности, пересчитывая опасности после каждого выбора. пусть опасности выбранных рёбер равны \\(d_1\\ge\\cdots\\ge d_p\\), а после хода чингиза наибольшая опасность свободного ребра равна \\(d\\). тогда \\(d\\le d_p\\), а окраска выбранных рёбер в чёрный цвет уничтожила все содержащие их живые цели и уменьшила потенциал на \\(d_1+\\cdots+d_p\\ge pd\\). когда белла красит свободное ребро белым, вес каждой содержащей его живой цели умно… lktg-2026-project2-problem20-white-target-family vesovaya lemma dlya belyh tseley, klik i gamiltonovyh tsiklov extremal_graph_theory coloring potential_function extremal_choice goal_bound goal_strategy_game hamiltonian_cycles goal_impossibility 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original semeystvo belyh tseley source_verified pust \\(p,q\\ge1\\) — tselye chisla. igra idet po raundam na rebrah \\(k_n\\): snachala chingiz krasit \\(p\\) svobodnyh reber chernym, zatem bella krasit \\(q\\) svobodnyh reber belym; pri nehvatke svobodnyh reber igrok krasit vse ostavshiesya. pust \\(\\mathcal f\\) — proizvolnoe semeystvo nepustyh naborov reber grafa \\(k_n\\). cherez \\(n_{\\mathcal f}\\) oboznachim chislo naborov \\(f\\in\\mathcal f\\), vse rebra kotoryh v kontse igry belye. a) dokazhite, chto v igre \\(1:1\\) chingiz mozhet garantirovat \\[n_{\\mathcal f}\\le\\left\\lfloor\\sum_{f\\in\\mathcal f}2^{-|f|}\\right\\rfloor.\\] b) dokazhite, chto v igre \\(p:q\\) chingiz mozhet garantirovat \\[n_{\\mathcal f}\\le\\left\\lfloor\\sum_{f\\in\\mathcal f}(p+1)^{-|f|/q}\\right\\rfloor.\\] complete_graph stmt-white-cliques prilozhenie k belym klikam source_verified pust \\(p,q\\ge 1\\) — tselye chisla. igra idet po raundam na rebrah \\(k_n\\). v kazhdom raunde snachala chingiz krasit \\(p\\) svobodnyh reber chernym, a zatem bella krasit \\(q\\) svobodnyh reber belym. esli pered hodom igroka svobodnyh reber menshe, chem emu razresheno pokrasit, on krasit vse ostavshiesya. cherez \\(w\\) oboznachim itogovyy graf belyh reber. v igre \\(1:1\\) polagaetsya \\(p=q=1\\). dlya \\(2\\le k\\le n\\) cherez \\(n_k\\) oboznachim chislo mnozhestv iz \\(k\\) vershin, vse rebra mezhdu kotorymi v kontse igry belye. logarifm bez ukazannogo osnovaniya yavlyaetsya naturalnym. a) v igre \\(1:1\\) dokazhite, chto chingiz mozhet garantirovat \\[n_k\\le \\left\\lfloor {n\\choose k}2^{-{k\\choose 2}}\\right\\rfloor.\\] b) v igre \\(p:q\\) dokazhite, chto chingiz mozhet garantirovat \\[n_k\\le \\left\\lfloor {n\\choose k}(p+1)^{-{k\\choose 2}/q}\\right\\rfloor.\\] v) vyvedite sootvetstvenno otsenki \\[\\omega(w)\\le \\lceil 2\\log_2 n\\rceil+1\\quad\\text{i}\\quad \\omega(w)\\le \\lceil 2q\\log_{p+1}n\\rceil+1.\\] complete_graph clique stmt-white-hamiltonian-cycles prilozhenie k belym gamiltonovym tsiklam source_verified pust \\(n\\ge3\\). v igre \\(p:q\\) na rebrah \\(k_n\\) v kazhdom raunde snachala chingiz krasit \\(p\\) svobodnyh reber chernym, zatem bella krasit \\(q\\) svobodnyh reber belym; pri nehvatke svobodnyh reber igrok krasit vse ostavshiesya. cherez \\(w\\) oboznachim itogovyy belyy graf, a cherez \\(h(w)\\) — chislo ego gamiltonovyh tsiklov; tsikly, otlichayuschiesya tolko vyborom nachalnoy vershiny ili napravleniem obhoda, schitayutsya odinakovymi. a) dokazhite, chto v igre \\(1:1\\) chingiz mozhet garantirovat \\[h(w)\\le\\left\\lfloor\\frac{(n-1)!}{2^{n+1}}\\right\\rfloor.\\] b) dokazhite, chto v igre \\(p:q\\) chingiz mozhet garantirovat \\[h(w)\\le\\left\\lfloor\\frac{(n-1)!}{2(p+1)^{n/q}}\\right\\rfloor.\\] v) vyvedite, chto pri \\((p+1)^{n/q}>(n-1)!/2\\) chingiz mozhet ne dopustit poyavleniya belogo gamiltonova tsikla. complete_graph hamiltonian_cycle idea-danger-potential zhivye tseli i opasnost svobodnogo rebra ves tseli eksponentsialno zavisit ot chisla ostavshihsya svobodnyh reber. chingiz gasit rebra maksimalnoy summarnoy opasnosti; poterya vesa na ego hode pokryvaet vozmozhnyy rost na hode belly. potential_function extremal_choice ai_checked idea-weighted-live-targets ves zhivoy klikovoy tseli i opasnost rebra kazhdomu \\(k\\)-mnozhestvu sopostavlyaetsya tsel iz vseh ego reber. zhivoy tseli s \\(r\\) svobodnymi rebrami daetsya ves \\((p+1)^{-r/q}\\); opasnost rebra ravna summe vesov soderzhaschih ego zhivyh tseley. zhadnyy vybor chernyh reber maksimalnoy opasnosti ne daet summarnomu vesu rasti. potential_function extremal_choice ai_checked idea-cycles-as-weighted-targets gamiltonov tsikl kak vesovaya tsel kazhdyy gamiltonov tsikl rassmatrivaetsya kak tsel iz \\(n\\) reber. vesovaya strategiya maksimalnoy opasnosti ogranichivaet chislo tseley, ostavshihsya polnostyu belymi. potential_function hamiltonian_cycles ai_checked sol-official-white-target-lemma obschaya vesovaya lemma i prilozheniya k klikam i gamiltonovym tsiklam ai_checked complete_graph clique hamiltonian_cycle snachala dokazhem punkt b). tsel \\(f\\in\\mathcal f\\) nazovem zhivoy, poka ni odno ee rebro ne okrasheno chernym. polozhim \\(\\lambda=(p+1)^{1/q}\\). esli v zhivoy tseli ostalos \\(r(f)\\) svobodnyh reber, dadim ey ves \\(w(f)=\\lambda^{-r(f)}\\); nezhivaya tsel imeet ves \\(0\\). potentsialom nazovem summu vesov tseley, a opasnostyu svobodnogo rebra — summu vesov vseh zhivyh tseley, kotorye ego soderzhat. na svoem hodu chingiz posledovatelno vybiraet \\(p\\) svobodnyh reber maksimalnoy tekuschey opasnosti, pereschityvaya opasnosti posle kazhdogo vybora. pust opasnosti vybrannyh reber ravny \\(d_1\\ge\\cdots\\ge d_p\\), a posle hoda chingiza naibolshaya opasnost svobodnogo rebra ravna \\(d\\). togda \\(d\\le d_p\\), a okraska vybrannyh reber v chernyy tsvet unichtozhila vse soderzhaschie ih zhivye tseli i umenshila potentsial na \\(d_1+\\cdots+d_p\\ge pd\\). kogda bella krasit svobodnoe rebro belym, ves kazhdoy soderzhaschey ego zhivoy tseli umno…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem21-black-minimum-degree","title":"Почти пропорциональная нижняя оценка чёрной степени каждой вершины, ЛКТГ 2026 №21","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem21-black-minimum-degree.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem21-black-minimum-degree.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem21-black-minimum-degree","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","coloring","potential_function","degree_counting","goal_bound","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Подпункты имеют сложность 3/5 и 4/5; ключевой шаг — настройка экспоненциального потенциала под смещение \\(p:q\\).","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF содержит полное доказательство","notes":"Оба подпункта следуют из приведённого общего доказательства.","label":"официальное полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Чёрная степень каждой вершины","status":"source_verified","text":"Пусть \\(p,q\\ge1\\) — целые числа. Игра идёт по раундам на рёбрах \\(K_n\\): сначала Чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем Белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. Через \\(B\\) обозначим итоговый граф чёрных рёбер, а через \\(\\delta(B)\\) — его минимальную степень. а) Докажите, что для каждого \\(\\varepsilon>0\\) при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз в игре \\(1:1\\) может гарантировать \\[\\delta(B)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] б) Докажите, что для любых фиксированных \\(p,q\\ge1\\) и \\(\\varepsilon>0\\) при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз может гарантировать \\[\\delta(B)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right)(n-1).\\]","definition_ids":["complete_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-star-weight-potential","title":"Весовая лемма для звёзд вершин","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем общий пункт б); пункт а) получится при \\(p=q=1\\). Выберем число \\(c>q/p\\), а затем \\(s>1\\) настолько близким к \\(1\\), чтобы \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{1} \\] Такое \\(s\\) существует: после деления на \\(s-1\\) левая и правая части при \\(s\\downarrow1\\) стремятся соответственно к \\(q\\) и \\(pc>q\\). Для каждой вершины \\(v\\) рассмотрим цель, состоящую из всех \\(n-1\\) инцидентных ей рёбер. Если к настоящему моменту среди этих рёбер \\(w_v\\) белых и \\(b_v\\) чёрных, дадим цели вес \\[ s^{w_v-cb_v}. \\] Потенциал — сумма весов всех \\(n\\) целей. Опасностью свободного ребра \\(e\\) назовём \\[ D(e)=(1-s^{-c})\\sum_{v:\\,e\\text{ входит в звезду }v}s^{w_v-cb_v}. \\] Окраска \\(e\\) в чёрный цвет умножает веса содержащих его целей на \\(s^{-c}\\), поэтому уменьшает потенциал ровно на \\(D(e)\\). Чингиз последовательно выбирает \\(p\\) рёбер наибольшей текущей опасности. Чёрные рёбра могут только уменьшать опасн…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p24-p21-combination","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem24-white-clique-black-degrees","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p20-p21-transfer","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem20-white-target-family","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem21-black-minimum-degree почти пропорциональная нижняя оценка чёрной степени каждой вершины, лктг 2026 №21 extremal_graph_theory coloring potential_function degree_counting goal_bound goal_strategy_game 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original чёрная степень каждой вершины source_verified пусть \\(p,q\\ge1\\) — целые числа. игра идёт по раундам на рёбрах \\(k_n\\): сначала чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. через \\(b\\) обозначим итоговый граф чёрных рёбер, а через \\(\\delta(b)\\) — его минимальную степень. а) докажите, что для каждого \\(\\varepsilon>0\\) при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз в игре \\(1:1\\) может гарантировать \\[\\delta(b)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] б) докажите, что для любых фиксированных \\(p,q\\ge1\\) и \\(\\varepsilon>0\\) при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз может гарантировать \\[\\delta(b)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] complete_graph degree idea-star-exponential-weight экспоненциальные веса звёзд вершин звезде вершины присваивается вес \\(s^{d_w(v)-c d_b(v)}\\). при \\(c>q/p\\) можно выбрать \\(s>1\\) так, что жадный чёрный ход компенсирует рост потенциала от \\(q\\) белых рёбер. potential_function degree_counting ai_checked sol-official-star-weight-potential весовая лемма для звёзд вершин ai_checked complete_graph degree докажем общий пункт б); пункт а) получится при \\(p=q=1\\). выберем число \\(c>q/p\\), а затем \\(s>1\\) настолько близким к \\(1\\), чтобы \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{1} \\] такое \\(s\\) существует: после деления на \\(s-1\\) левая и правая части при \\(s\\downarrow1\\) стремятся соответственно к \\(q\\) и \\(pc>q\\). для каждой вершины \\(v\\) рассмотрим цель, состоящую из всех \\(n-1\\) инцидентных ей рёбер. если к настоящему моменту среди этих рёбер \\(w_v\\) белых и \\(b_v\\) чёрных, дадим цели вес \\[ s^{w_v-cb_v}. \\] потенциал — сумма весов всех \\(n\\) целей. опасностью свободного ребра \\(e\\) назовём \\[ d(e)=(1-s^{-c})\\sum_{v:\\,e\\text{ входит в звезду }v}s^{w_v-cb_v}. \\] окраска \\(e\\) в чёрный цвет умножает веса содержащих его целей на \\(s^{-c}\\), поэтому уменьшает потенциал ровно на \\(d(e)\\). чингиз последовательно выбирает \\(p\\) рёбер наибольшей текущей опасности. чёрные рёбра могут только уменьшать опасн… lktg-2026-project2-problem21-black-minimum-degree pochti proportsionalnaya nizhnyaya otsenka chernoy stepeni kazhdoy vershiny, lktg 2026 №21 extremal_graph_theory coloring potential_function degree_counting goal_bound goal_strategy_game 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original chernaya stepen kazhdoy vershiny source_verified pust \\(p,q\\ge1\\) — tselye chisla. igra idet po raundam na rebrah \\(k_n\\): snachala chingiz krasit \\(p\\) svobodnyh reber chernym, zatem bella krasit \\(q\\) svobodnyh reber belym; pri nehvatke svobodnyh reber igrok krasit vse ostavshiesya. cherez \\(b\\) oboznachim itogovyy graf chernyh reber, a cherez \\(\\delta(b)\\) — ego minimalnuyu stepen. a) dokazhite, chto dlya kazhdogo \\(\\varepsilon>0\\) pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz v igre \\(1:1\\) mozhet garantirovat \\[\\delta(b)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] b) dokazhite, chto dlya lyubyh fiksirovannyh \\(p,q\\ge1\\) i \\(\\varepsilon>0\\) pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz mozhet garantirovat \\[\\delta(b)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] complete_graph degree idea-star-exponential-weight eksponentsialnye vesa zvezd vershin zvezde vershiny prisvaivaetsya ves \\(s^{d_w(v)-c d_b(v)}\\). pri \\(c>q/p\\) mozhno vybrat \\(s>1\\) tak, chto zhadnyy chernyy hod kompensiruet rost potentsiala ot \\(q\\) belyh reber. potential_function degree_counting ai_checked sol-official-star-weight-potential vesovaya lemma dlya zvezd vershin ai_checked complete_graph degree dokazhem obschiy punkt b); punkt a) poluchitsya pri \\(p=q=1\\). vyberem chislo \\(c>q/p\\), a zatem \\(s>1\\) nastolko blizkim k \\(1\\), chtoby \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{1} \\] takoe \\(s\\) suschestvuet: posle deleniya na \\(s-1\\) levaya i pravaya chasti pri \\(s\\downarrow1\\) stremyatsya sootvetstvenno k \\(q\\) i \\(pc>q\\). dlya kazhdoy vershiny \\(v\\) rassmotrim tsel, sostoyaschuyu iz vseh \\(n-1\\) intsidentnyh ey reber. esli k nastoyaschemu momentu sredi etih reber \\(w_v\\) belyh i \\(b_v\\) chernyh, dadim tseli ves \\[ s^{w_v-cb_v}. \\] potentsial — summa vesov vseh \\(n\\) tseley. opasnostyu svobodnogo rebra \\(e\\) nazovem \\[ d(e)=(1-s^{-c})\\sum_{v:\\,e\\text{ vhodit v zvezdu }v}s^{w_v-cb_v}. \\] okraska \\(e\\) v chernyy tsvet umnozhaet vesa soderzhaschih ego tseley na \\(s^{-c}\\), poetomu umenshaet potentsial rovno na \\(d(e)\\). chingiz posledovatelno vybiraet \\(p\\) reber naibolshey tekuschey opasnosti. chernye rebra mogut tolko umenshat opasn…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem22-density-in-large-subsets","title":"Чёрная плотность во всех больших множествах и между ними","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem22-density-in-large-subsets.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem22-density-in-large-subsets.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem22-density-in-large-subsets","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","coloring","potential_function","goal_bound","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":9,"comment":"Подпункты имеют сложность 4/5 и 5/5; помимо весовой леммы требуется одновременно нормировать экспоненциально много целей.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF содержит полное доказательство","notes":"Оба подпункта покрыты общим самодостаточным доказательством.","label":"официальное полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Плотность внутри больших множеств","status":"source_verified","text":"Пусть \\(p,q\\ge1\\) — целые числа. Игра идёт по раундам на рёбрах \\(K_n\\): сначала Чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем Белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. Через \\(e_B(U)\\) обозначим число чёрных рёбер с обоими концами в \\(U\\). а) Докажите, что для каждого \\(\\varepsilon>0\\) существует постоянная \\(C=C(\\varepsilon)\\), для которой при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз в игре \\(1:1\\) может гарантировать \\[e_B(U)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right){|U|\\choose2}\\] для каждого множества \\(U\\), содержащего не менее \\(\\lceil C\\log n\\rceil\\) вершин. б) Докажите, что для любых фиксированных \\(p,q\\ge1\\) и \\(\\varepsilon>0\\) существует постоянная \\(C=C(p,q,\\varepsilon)\\), для которой при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз может гарантировать \\[e_B(U)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right){|U|\\choose2}\\] для каждого множества \\(U\\), содержащего не менее \\(\\lceil C\\log n\\rceil\\) вершин.","definition_ids":["complete_graph","induced_subgraph"]},{"id":"stmt-density-between-large-sets","title":"Плотность между двумя большими множествами","status":"source_verified","text":"Пусть \\(p,q\\ge1\\) — целые числа. Игра идёт по раундам на рёбрах \\(K_n\\): сначала Чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем Белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. Для непересекающихся множеств вершин \\(X,Y\\) через \\(e_B(X,Y)\\) обозначим число чёрных рёбер, соединяющих \\(X\\) с \\(Y\\). а) Докажите, что для каждого \\(\\varepsilon>0\\) существует постоянная \\(C=C(\\varepsilon)\\), для которой при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз в игре \\(1:1\\) может гарантировать \\[e_B(X,Y)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)|X||Y|\\] для любых непересекающихся \\(X,Y\\), каждое из которых содержит не менее \\(\\lceil C\\log n\\rceil\\) вершин. б) Докажите, что для любых фиксированных \\(p,q\\ge1\\) и \\(\\varepsilon>0\\) существует постоянная \\(C=C(p,q,\\varepsilon)\\), для которой при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз может гарантировать \\[e_B(X,Y)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right)|X||Y|\\] для любых таких \\(X,Y\\).","definition_ids":["complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-large-subset-density","title":"Единая весовая стратегия для внутренних и двудольных срезов","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","induced_subgraph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем пункт б); пункт а) является случаем \\(p=q=1\\). Сначала сформулируем и докажем используемую весовую лемму. Выберем \\(c>q/p\\), а затем \\(s>1\\) настолько близким к \\(1\\), чтобы \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{1} \\] Это возможно, поскольку после деления на \\(s-1\\) обе части при \\(s\\downarrow1\\) стремятся к \\(q\\) и \\(pc>q\\). Пусть каждой цели \\(A\\), состоящей из некоторого набора рёбер, дан коэффициент \\(a_A>0\\). Если в ней уже \\(w_A\\) белых и \\(b_A\\) чёрных рёбер, дадим ей вес \\(a_As^{w_A-cb_A}\\). Опасность свободного ребра определим как \\[ D(e)=(1-s^{-c})\\sum_{A\\ni e}a_As^{w_A-cb_A}. \\] Чёрная окраска \\(e\\) уменьшает потенциал ровно на \\(D(e)\\). Чингиз последовательно выбирает \\(p\\) рёбер наибольшей текущей опасности. Если после его хода максимальная опасность равна \\(D\\), потеря потенциала не меньше \\(pD\\), поскольку чёрные рёбра только уменьшают опасности. За \\(q\\) белых рёбер приро…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p20-p22-transfer","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem20-white-target-family","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p26-p22-density-component","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem26-golden-ratio-biased-game","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem22-density-in-large-subsets чёрная плотность во всех больших множествах и между ними extremal_graph_theory coloring potential_function goal_bound goal_strategy_game 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original плотность внутри больших множеств source_verified пусть \\(p,q\\ge1\\) — целые числа. игра идёт по раундам на рёбрах \\(k_n\\): сначала чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. через \\(e_b(u)\\) обозначим число чёрных рёбер с обоими концами в \\(u\\). а) докажите, что для каждого \\(\\varepsilon>0\\) существует постоянная \\(c=c(\\varepsilon)\\), для которой при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз в игре \\(1:1\\) может гарантировать \\[e_b(u)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right){|u|\\choose2}\\] для каждого множества \\(u\\), содержащего не менее \\(\\lceil c\\log n\\rceil\\) вершин. б) докажите, что для любых фиксированных \\(p,q\\ge1\\) и \\(\\varepsilon>0\\) существует постоянная \\(c=c(p,q,\\varepsilon)\\), для которой при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз может гарантировать \\[e_b(u)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right){|u|\\choose2}\\] для каждого множества \\(u\\), содержащего не менее \\(\\lceil c\\log n\\rceil\\) вершин. complete_graph induced_subgraph stmt-density-between-large-sets плотность между двумя большими множествами source_verified пусть \\(p,q\\ge1\\) — целые числа. игра идёт по раундам на рёбрах \\(k_n\\): сначала чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, затем белла красит \\(q\\) свободных рёбер белым; при нехватке свободных рёбер игрок красит все оставшиеся. для непересекающихся множеств вершин \\(x,y\\) через \\(e_b(x,y)\\) обозначим число чёрных рёбер, соединяющих \\(x\\) с \\(y\\). а) докажите, что для каждого \\(\\varepsilon>0\\) существует постоянная \\(c=c(\\varepsilon)\\), для которой при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз в игре \\(1:1\\) может гарантировать \\[e_b(x,y)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)|x||y|\\] для любых непересекающихся \\(x,y\\), каждое из которых содержит не менее \\(\\lceil c\\log n\\rceil\\) вершин. б) докажите, что для любых фиксированных \\(p,q\\ge1\\) и \\(\\varepsilon>0\\) существует постоянная \\(c=c(p,q,\\varepsilon)\\), для которой при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз может гарантировать \\[e_b(x,y)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right)|x||y|\\] для любых таких \\(x,y\\). complete_graph idea-subset-weight-normalization малые начальные коэффициенты для всех больших множеств цели \\(u\\) получают коэффициенты \\(n^{-2|u|}\\), благодаря чему сумма начальных весов меньше единицы. весовая стратегия затем даёт отдельное неравенство для каждого \\(u\\) одновременно. potential_function extremal_graph_theory ai_checked idea-pair-target-normalization вес каждой пары множеств подавляет число возможных пар для пары \\((x,y)\\) берётся цель из всех рёбер между множествами и коэффициент \\(n^{-2(|x|+|y|)}\\). сумма начальных весов всех пар меньше единицы, после чего весовая лемма даёт оценку каждой пары. potential_function extremal_graph_theory ai_checked sol-official-large-subset-density единая весовая стратегия для внутренних и двудольных срезов ai_checked complete_graph induced_subgraph докажем пункт б); пункт а) является случаем \\(p=q=1\\). сначала сформулируем и докажем используемую весовую лемму. выберем \\(c>q/p\\), а затем \\(s>1\\) настолько близким к \\(1\\), чтобы \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{1} \\] это возможно, поскольку после деления на \\(s-1\\) обе части при \\(s\\downarrow1\\) стремятся к \\(q\\) и \\(pc>q\\). пусть каждой цели \\(a\\), состоящей из некоторого набора рёбер, дан коэффициент \\(a_a>0\\). если в ней уже \\(w_a\\) белых и \\(b_a\\) чёрных рёбер, дадим ей вес \\(a_as^{w_a-cb_a}\\). опасность свободного ребра определим как \\[ d(e)=(1-s^{-c})\\sum_{a\\ni e}a_as^{w_a-cb_a}. \\] чёрная окраска \\(e\\) уменьшает потенциал ровно на \\(d(e)\\). чингиз последовательно выбирает \\(p\\) рёбер наибольшей текущей опасности. если после его хода максимальная опасность равна \\(d\\), потеря потенциала не меньше \\(pd\\), поскольку чёрные рёбра только уменьшают опасности. за \\(q\\) белых рёбер приро… lktg-2026-project2-problem22-density-in-large-subsets chernaya plotnost vo vseh bolshih mnozhestvah i mezhdu nimi extremal_graph_theory coloring potential_function goal_bound goal_strategy_game 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original plotnost vnutri bolshih mnozhestv source_verified pust \\(p,q\\ge1\\) — tselye chisla. igra idet po raundam na rebrah \\(k_n\\): snachala chingiz krasit \\(p\\) svobodnyh reber chernym, zatem bella krasit \\(q\\) svobodnyh reber belym; pri nehvatke svobodnyh reber igrok krasit vse ostavshiesya. cherez \\(e_b(u)\\) oboznachim chislo chernyh reber s oboimi kontsami v \\(u\\). a) dokazhite, chto dlya kazhdogo \\(\\varepsilon>0\\) suschestvuet postoyannaya \\(c=c(\\varepsilon)\\), dlya kotoroy pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz v igre \\(1:1\\) mozhet garantirovat \\[e_b(u)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right){|u|\\choose2}\\] dlya kazhdogo mnozhestva \\(u\\), soderzhaschego ne menee \\(\\lceil c\\log n\\rceil\\) vershin. b) dokazhite, chto dlya lyubyh fiksirovannyh \\(p,q\\ge1\\) i \\(\\varepsilon>0\\) suschestvuet postoyannaya \\(c=c(p,q,\\varepsilon)\\), dlya kotoroy pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz mozhet garantirovat \\[e_b(u)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right){|u|\\choose2}\\] dlya kazhdogo mnozhestva \\(u\\), soderzhaschego ne menee \\(\\lceil c\\log n\\rceil\\) vershin. complete_graph induced_subgraph stmt-density-between-large-sets plotnost mezhdu dvumya bolshimi mnozhestvami source_verified pust \\(p,q\\ge1\\) — tselye chisla. igra idet po raundam na rebrah \\(k_n\\): snachala chingiz krasit \\(p\\) svobodnyh reber chernym, zatem bella krasit \\(q\\) svobodnyh reber belym; pri nehvatke svobodnyh reber igrok krasit vse ostavshiesya. dlya neperesekayuschihsya mnozhestv vershin \\(x,y\\) cherez \\(e_b(x,y)\\) oboznachim chislo chernyh reber, soedinyayuschih \\(x\\) s \\(y\\). a) dokazhite, chto dlya kazhdogo \\(\\varepsilon>0\\) suschestvuet postoyannaya \\(c=c(\\varepsilon)\\), dlya kotoroy pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz v igre \\(1:1\\) mozhet garantirovat \\[e_b(x,y)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)|x||y|\\] dlya lyubyh neperesekayuschihsya \\(x,y\\), kazhdoe iz kotoryh soderzhit ne menee \\(\\lceil c\\log n\\rceil\\) vershin. b) dokazhite, chto dlya lyubyh fiksirovannyh \\(p,q\\ge1\\) i \\(\\varepsilon>0\\) suschestvuet postoyannaya \\(c=c(p,q,\\varepsilon)\\), dlya kotoroy pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz mozhet garantirovat \\[e_b(x,y)\\ge\\left(\\frac{p}{p+q}-\\varepsilon\\right)|x||y|\\] dlya lyubyh takih \\(x,y\\). complete_graph idea-subset-weight-normalization malye nachalnye koeffitsienty dlya vseh bolshih mnozhestv tseli \\(u\\) poluchayut koeffitsienty \\(n^{-2|u|}\\), blagodarya chemu summa nachalnyh vesov menshe edinitsy. vesovaya strategiya zatem daet otdelnoe neravenstvo dlya kazhdogo \\(u\\) odnovremenno. potential_function extremal_graph_theory ai_checked idea-pair-target-normalization ves kazhdoy pary mnozhestv podavlyaet chislo vozmozhnyh par dlya pary \\((x,y)\\) beretsya tsel iz vseh reber mezhdu mnozhestvami i koeffitsient \\(n^{-2(|x|+|y|)}\\). summa nachalnyh vesov vseh par menshe edinitsy, posle chego vesovaya lemma daet otsenku kazhdoy pary. potential_function extremal_graph_theory ai_checked sol-official-large-subset-density edinaya vesovaya strategiya dlya vnutrennih i dvudolnyh srezov ai_checked complete_graph induced_subgraph dokazhem punkt b); punkt a) yavlyaetsya sluchaem \\(p=q=1\\). snachala sformuliruem i dokazhem ispolzuemuyu vesovuyu lemmu. vyberem \\(c>q/p\\), a zatem \\(s>1\\) nastolko blizkim k \\(1\\), chtoby \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{1} \\] eto vozmozhno, poskolku posle deleniya na \\(s-1\\) obe chasti pri \\(s\\downarrow1\\) stremyatsya k \\(q\\) i \\(pc>q\\). pust kazhdoy tseli \\(a\\), sostoyaschey iz nekotorogo nabora reber, dan koeffitsient \\(a_a>0\\). esli v ney uzhe \\(w_a\\) belyh i \\(b_a\\) chernyh reber, dadim ey ves \\(a_as^{w_a-cb_a}\\). opasnost svobodnogo rebra opredelim kak \\[ d(e)=(1-s^{-c})\\sum_{a\\ni e}a_as^{w_a-cb_a}. \\] chernaya okraska \\(e\\) umenshaet potentsial rovno na \\(d(e)\\). chingiz posledovatelno vybiraet \\(p\\) reber naibolshey tekuschey opasnosti. esli posle ego hoda maksimalnaya opasnost ravna \\(d\\), poterya potentsiala ne menshe \\(pd\\), poskolku chernye rebra tolko umenshayut opasnosti. za \\(q\\) belyh reber priro…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem24-white-clique-black-degrees","title":"Одна стратегия против белой клики и малых чёрных степеней, ЛКТГ 2026 №24","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem24-white-clique-black-degrees.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem24-white-clique-black-degrees.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem24-white-clique-black-degrees","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","coloring","potential_function","degree_counting","goal_bound","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Подпункты имеют сложность 3/5 и 4/5; нужно совместить два потенциала в одной стратегии.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF содержит полное доказательство","notes":"Оба подпункта полностью покрыты общей стратегией.","label":"официальное полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Белая клика и чёрные степени","status":"source_verified","text":"В игре \\(p:1\\) каждого раунда Чингиз первым красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, а затем Белла красит одно свободное ребро белым. Если свободных рёбер не хватает, игрок красит все оставшиеся. Через \\(B\\) и \\(W\\) обозначим итоговые графы. а) Докажите, что для каждого \\(\\varepsilon>0\\) при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз в игре \\(1:1\\) может одной стратегией одновременно гарантировать \\[\\omega(W)\\le\\lceil2\\log_2n\\rceil+1\\quad\\text{и}\\quad\\delta(B)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] б) Докажите, что для любых фиксированных \\(p\\ge1\\) и \\(\\varepsilon>0\\) при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз в игре \\(p:1\\) может одной стратегией одновременно гарантировать \\[\\omega(W)\\le\\lceil2\\log_{p+1}n\\rceil+1\\quad\\text{и}\\quad\\delta(B)\\ge\\left(\\frac{p}{p+1}-\\varepsilon\\right)(n-1).\\]","definition_ids":["complete_graph","clique","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-combined-potential","title":"Многотипная весовая лемма и две одновременные оценки","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем пункт б); пункт а) получится при \\(p=1\\). Сначала докажем весовую лемму для нескольких типов целей в игре \\(p:1\\). Пусть чёрное ребро цели типа \\(i\\) умножает её вес на \\(\\alpha_i\\in[0,1)\\), а белое — на \\(\\beta_i>1\\), причём \\(\\beta_i-1\\le p(1-\\alpha_i)\\). Потенциал — сумма весов всех целей, а опасность свободного ребра равна \\(D(e)=\\sum_{i,A\\ni e}(1-\\alpha_i)w_A\\). Чингиз последовательно выбирает \\(p\\) рёбер наибольшей текущей опасности. Чёрная окраска уменьшает потенциал ровно на опасность ребра и не увеличивает другие опасности. Если после его хода максимальная опасность равна \\(D\\), потеря потенциала не меньше \\(pD\\). Следующее белое ребро увеличивает потенциал не более чем на \\(\\sum_{i,A\\ni e}(\\beta_i-1)w_A\\le pD(e)\\le pD\\). Значит, потенциал не растёт; неполный последний раунд оценки не портит. Положим \\(a=p+1\\), \\(t=\\lceil2\\log_a n\\rceil\\), \\(k=t+2\\). Первый тип целей —…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p24-p21-combination","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem21-black-minimum-degree","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p24-p20-combination","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem20-white-target-family","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem24-white-clique-black-degrees одна стратегия против белой клики и малых чёрных степеней, лктг 2026 №24 extremal_graph_theory coloring potential_function degree_counting goal_bound goal_strategy_game 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original белая клика и чёрные степени source_verified в игре \\(p:1\\) каждого раунда чингиз первым красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным, а затем белла красит одно свободное ребро белым. если свободных рёбер не хватает, игрок красит все оставшиеся. через \\(b\\) и \\(w\\) обозначим итоговые графы. а) докажите, что для каждого \\(\\varepsilon>0\\) при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз в игре \\(1:1\\) может одной стратегией одновременно гарантировать \\[\\omega(w)\\le\\lceil2\\log_2n\\rceil+1\\quad\\text{и}\\quad\\delta(b)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] б) докажите, что для любых фиксированных \\(p\\ge1\\) и \\(\\varepsilon>0\\) при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз в игре \\(p:1\\) может одной стратегией одновременно гарантировать \\[\\omega(w)\\le\\lceil2\\log_{p+1}n\\rceil+1\\quad\\text{и}\\quad\\delta(b)\\ge\\left(\\frac{p}{p+1}-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] complete_graph clique degree idea-combined-clique-star-potential единый потенциал кликовых целей и звёзд в один потенциал складываются веса живых \\(k\\)-клик и экспоненциальные веса звёзд вершин. для каждого типа отдельно проверяется одно и то же условие баланса между белым ростом и чёрным падением. potential_function degree_counting ai_checked sol-official-combined-potential многотипная весовая лемма и две одновременные оценки ai_checked complete_graph clique degree докажем пункт б); пункт а) получится при \\(p=1\\). сначала докажем весовую лемму для нескольких типов целей в игре \\(p:1\\). пусть чёрное ребро цели типа \\(i\\) умножает её вес на \\(\\alpha_i\\in[0,1)\\), а белое — на \\(\\beta_i>1\\), причём \\(\\beta_i-1\\le p(1-\\alpha_i)\\). потенциал — сумма весов всех целей, а опасность свободного ребра равна \\(d(e)=\\sum_{i,a\\ni e}(1-\\alpha_i)w_a\\). чингиз последовательно выбирает \\(p\\) рёбер наибольшей текущей опасности. чёрная окраска уменьшает потенциал ровно на опасность ребра и не увеличивает другие опасности. если после его хода максимальная опасность равна \\(d\\), потеря потенциала не меньше \\(pd\\). следующее белое ребро увеличивает потенциал не более чем на \\(\\sum_{i,a\\ni e}(\\beta_i-1)w_a\\le pd(e)\\le pd\\). значит, потенциал не растёт; неполный последний раунд оценки не портит. положим \\(a=p+1\\), \\(t=\\lceil2\\log_a n\\rceil\\), \\(k=t+2\\). первый тип целей —… lktg-2026-project2-problem24-white-clique-black-degrees odna strategiya protiv beloy kliki i malyh chernyh stepeney, lktg 2026 №24 extremal_graph_theory coloring potential_function degree_counting goal_bound goal_strategy_game 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original belaya klika i chernye stepeni source_verified v igre \\(p:1\\) kazhdogo raunda chingiz pervym krasit \\(p\\) svobodnyh reber chernym, a zatem bella krasit odno svobodnoe rebro belym. esli svobodnyh reber ne hvataet, igrok krasit vse ostavshiesya. cherez \\(b\\) i \\(w\\) oboznachim itogovye grafy. a) dokazhite, chto dlya kazhdogo \\(\\varepsilon>0\\) pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz v igre \\(1:1\\) mozhet odnoy strategiey odnovremenno garantirovat \\[\\omega(w)\\le\\lceil2\\log_2n\\rceil+1\\quad\\text{i}\\quad\\delta(b)\\ge\\left(\\frac12-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] b) dokazhite, chto dlya lyubyh fiksirovannyh \\(p\\ge1\\) i \\(\\varepsilon>0\\) pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz v igre \\(p:1\\) mozhet odnoy strategiey odnovremenno garantirovat \\[\\omega(w)\\le\\lceil2\\log_{p+1}n\\rceil+1\\quad\\text{i}\\quad\\delta(b)\\ge\\left(\\frac{p}{p+1}-\\varepsilon\\right)(n-1).\\] complete_graph clique degree idea-combined-clique-star-potential edinyy potentsial klikovyh tseley i zvezd v odin potentsial skladyvayutsya vesa zhivyh \\(k\\)-klik i eksponentsialnye vesa zvezd vershin. dlya kazhdogo tipa otdelno proveryaetsya odno i to zhe uslovie balansa mezhdu belym rostom i chernym padeniem. potential_function degree_counting ai_checked sol-official-combined-potential mnogotipnaya vesovaya lemma i dve odnovremennye otsenki ai_checked complete_graph clique degree dokazhem punkt b); punkt a) poluchitsya pri \\(p=1\\). snachala dokazhem vesovuyu lemmu dlya neskolkih tipov tseley v igre \\(p:1\\). pust chernoe rebro tseli tipa \\(i\\) umnozhaet ee ves na \\(\\alpha_i\\in[0,1)\\), a beloe — na \\(\\beta_i>1\\), prichem \\(\\beta_i-1\\le p(1-\\alpha_i)\\). potentsial — summa vesov vseh tseley, a opasnost svobodnogo rebra ravna \\(d(e)=\\sum_{i,a\\ni e}(1-\\alpha_i)w_a\\). chingiz posledovatelno vybiraet \\(p\\) reber naibolshey tekuschey opasnosti. chernaya okraska umenshaet potentsial rovno na opasnost rebra i ne uvelichivaet drugie opasnosti. esli posle ego hoda maksimalnaya opasnost ravna \\(d\\), poterya potentsiala ne menshe \\(pd\\). sleduyuschee beloe rebro uvelichivaet potentsial ne bolee chem na \\(\\sum_{i,a\\ni e}(\\beta_i-1)w_a\\le pd(e)\\le pd\\). znachit, potentsial ne rastet; nepolnyy posledniy raund otsenki ne portit. polozhim \\(a=p+1\\), \\(t=\\lceil2\\log_a n\\rceil\\), \\(k=t+2\\). pervyy tip tseley —…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem26-golden-ratio-biased-game","title":"Смещённая игра в клики: общая теорема и количественный случай 1:2","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem26-golden-ratio-biased-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem26-golden-ratio-biased-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem26-golden-ratio-biased-game","source_key":"lktg","source_label":"LKTG","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":["Максим Дидин","Марк Пименов"],"tags":["extremal_graph_theory","coloring","ramsey_theory","potential_function","degree_counting","goal_strategy_game","goal_bound"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":10,"comment":"Сложность 5/5; требуется многотипная весовая лемма для пакетного белого хода и точное сравнение асимптотик двух клик.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF содержит полное доказательство","notes":"Решение самодостаточно; ссылки на задачи 24–25 не требуются.","label":"официальное полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Игра \\(p:q\\) и золотое сечение","status":"source_verified","text":"Пусть \\(\\varphi=(1+\\sqrt5)/2\\). Зафиксируем целые \\(p,q\\ge1\\), для которых \\[p>\\varphi,\\qquad p+1>\\left(1+\\frac qp\\right)^{2q}.\\] Белла и Чингиз играют на рёбрах \\(K_n\\). Белла ходит первой и каждый раз красит \\(q\\) свободных рёбер белым; после каждого её хода Чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным. Если перед ходом игрока свободных рёбер меньше, чем ему разрешено покрасить, он красит все оставшиеся. Через \\(B\\) и \\(W\\) обозначим итоговые графы. Докажите, что при всех достаточно больших \\(n\\) Чингиз может гарантировать \\(\\omega(B)>\\omega(W)\\).","definition_ids":["complete_graph","clique"]},{"id":"stmt-two-to-one-quantitative","title":"Количественная версия для игры 1:2","status":"source_verified","text":"Зафиксируем число \\(0<\\beta<2/3\\). Белла и Чингиз играют на рёбрах \\(K_n\\). Белла ходит первой и каждый раз красит одно свободное ребро белым; после каждого её хода Чингиз красит два свободных ребра чёрным. Если перед ходом Чингиза свободных рёбер меньше двух, он красит все оставшиеся. Через \\(B\\) и \\(W\\) обозначим итоговые графы. а) Докажите, что существуют постоянная \\(C=C(\\beta)\\) и число \\(n_0\\), такие, что при каждом \\(n\\ge n_0\\) Чингиз может одной стратегией одновременно гарантировать \\[\\omega(W)\\le\\lceil2\\log_3n\\rceil+1\\] и \\[e_B(U)\\ge\\beta{|U|\\choose2}\\] для каждого множества \\(U\\), содержащего не менее \\(\\lceil C\\log n\\rceil\\) вершин. б) Выведите, что при всех достаточно больших \\(n\\) выполнено \\(\\omega(B)>\\omega(W)\\).","definition_ids":["complete_graph","clique","induced_subgraph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-golden-ratio-game","title":"Общая многотипная стратегия и количественная версия 1:2","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","clique","degree","induced_subgraph","neighborhood"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Положим \\(A=p+1\\). Второе условие задачи эквивалентно неравенству \\(1/\\log(1+q/p)>2q/\\log A\\). По непрерывности выберем \\(\\rho<p/(p+q)\\) настолько близко к \\(p/(p+q)\\), чтобы \\[ \\frac1{\\log(1/\\rho)}>\\frac{2q}{\\log A}.\\tag{1} \\] Так как \\(\\rho<p/(p+q)\\), имеем \\(q/p<1/\\rho-1\\). Выберем \\(c\\) между этими числами, затем \\(s>1\\) настолько близким к \\(1\\), чтобы \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{2} \\] Это возможно, поскольку после деления на \\(s-1\\) пределы частей при \\(s\\downarrow1\\) равны \\(q\\) и \\(pc>q\\). Положим \\(\\Delta=1/(c+1)-\\rho>0\\), выберем \\(C\\) так, чтобы \\(8/((c+1)C\\log s)<\\Delta\\), и обозначим \\(k=\\lceil2q\\log_A n\\rceil+2\\), \\(m=\\lceil C\\log n\\rceil\\). Докажем нужную многотипную весовую лемму. Пусть чёрное ребро умножает вес цели типа \\(i\\) на \\(\\alpha_i\\in[0,1)\\), белое — на \\(\\beta_i>1\\), причём \\[ \\beta_i^q-1\\le p(1-\\alpha_i).\\tag{3} \\] Опасность свободного ребра равна \\(D(e)=\\su…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p26-biased-clique-family","neighbor_id":"malekshahian-spiro-biased-clique-building-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-lktg-2026-p26-p22-density-component","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem22-density-in-large-subsets","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem26-golden-ratio-biased-game смещённая игра в клики: общая теорема и количественный случай 1:2 extremal_graph_theory coloring ramsey_theory potential_function degree_counting goal_strategy_game goal_bound 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 максим дидин марк пименов максим дидин марк пименов 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original игра \\(p:q\\) и золотое сечение source_verified пусть \\(\\varphi=(1+\\sqrt5)/2\\). зафиксируем целые \\(p,q\\ge1\\), для которых \\[p>\\varphi,\\qquad p+1>\\left(1+\\frac qp\\right)^{2q}.\\] белла и чингиз играют на рёбрах \\(k_n\\). белла ходит первой и каждый раз красит \\(q\\) свободных рёбер белым; после каждого её хода чингиз красит \\(p\\) свободных рёбер чёрным. если перед ходом игрока свободных рёбер меньше, чем ему разрешено покрасить, он красит все оставшиеся. через \\(b\\) и \\(w\\) обозначим итоговые графы. докажите, что при всех достаточно больших \\(n\\) чингиз может гарантировать \\(\\omega(b)>\\omega(w)\\). complete_graph clique stmt-two-to-one-quantitative количественная версия для игры 1:2 source_verified зафиксируем число \\(0<\\beta<2/3\\). белла и чингиз играют на рёбрах \\(k_n\\). белла ходит первой и каждый раз красит одно свободное ребро белым; после каждого её хода чингиз красит два свободных ребра чёрным. если перед ходом чингиза свободных рёбер меньше двух, он красит все оставшиеся. через \\(b\\) и \\(w\\) обозначим итоговые графы. а) докажите, что существуют постоянная \\(c=c(\\beta)\\) и число \\(n_0\\), такие, что при каждом \\(n\\ge n_0\\) чингиз может одной стратегией одновременно гарантировать \\[\\omega(w)\\le\\lceil2\\log_3n\\rceil+1\\] и \\[e_b(u)\\ge\\beta{|u|\\choose2}\\] для каждого множества \\(u\\), содержащего не менее \\(\\lceil c\\log n\\rceil\\) вершин. б) выведите, что при всех достаточно больших \\(n\\) выполнено \\(\\omega(b)>\\omega(w)\\). complete_graph clique induced_subgraph idea-rho-coefficient-gap плотность \\(\\rho\\) выбирается с запасом по главным коэффициентам условие на \\(p,q\\) позволяет выбрать \\(\\rho<p/(p+q)\\), для которого гарантируемая чёрная клика растёт быстрее по \\(\\log n\\), чем верхняя оценка белой клики. extremal_graph_theory degree_counting ai_checked idea-q-white-multitype-potential многотипный потенциал для \\(q\\) белых рёбер вклад цели, задетой \\(t\\) белыми рёбрами, оценивается по выпуклости множителя \\(\\beta^t-1\\), что позволяет одним пакетным неравенством контролировать весь белый ход. potential_function extremal_choice ai_checked idea-two-type-potential-after-first-white два типа целей после вынесенного первого белого хода после первого хода беллы общий вес живых \\(k\\)-клик и всех больших множеств всё ещё меньше единицы. затем одна стратегия максимальной опасности одновременно сохраняет обе оценки. potential_function extremal_choice ai_checked idea-density-to-clique плотность превращается в длинную цепочку вложенных окрестностей в каждом достаточно большом индуцированном подграфе выбирается вершина степени не меньше средней, после чего множество заменяется её окрестностью. выбранные вершины образуют клику, а размеры множеств убывают геометрически. degree_counting extremal_choice ai_checked sol-official-golden-ratio-game общая многотипная стратегия и количественная версия 1:2 ai_checked complete_graph clique degree induced_subgraph neighborhood положим \\(a=p+1\\). второе условие задачи эквивалентно неравенству \\(1/\\log(1+q/p)>2q/\\log a\\). по непрерывности выберем \\(\\rho<p/(p+q)\\) настолько близко к \\(p/(p+q)\\), чтобы \\[ \\frac1{\\log(1/\\rho)}>\\frac{2q}{\\log a}.\\tag{1} \\] так как \\(\\rho<p/(p+q)\\), имеем \\(q/p<1/\\rho-1\\). выберем \\(c\\) между этими числами, затем \\(s>1\\) настолько близким к \\(1\\), чтобы \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{2} \\] это возможно, поскольку после деления на \\(s-1\\) пределы частей при \\(s\\downarrow1\\) равны \\(q\\) и \\(pc>q\\). положим \\(\\delta=1/(c+1)-\\rho>0\\), выберем \\(c\\) так, чтобы \\(8/((c+1)c\\log s)<\\delta\\), и обозначим \\(k=\\lceil2q\\log_a n\\rceil+2\\), \\(m=\\lceil c\\log n\\rceil\\). докажем нужную многотипную весовую лемму. пусть чёрное ребро умножает вес цели типа \\(i\\) на \\(\\alpha_i\\in[0,1)\\), белое — на \\(\\beta_i>1\\), причём \\[ \\beta_i^q-1\\le p(1-\\alpha_i).\\tag{3} \\] опасность свободного ребра равна \\(d(e)=\\su… lktg-2026-project2-problem26-golden-ratio-biased-game smeschennaya igra v kliki: obschaya teorema i kolichestvennyy sluchay 1:2 extremal_graph_theory coloring ramsey_theory potential_function degree_counting goal_strategy_game goal_bound 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 maksim didin mark pimenov maksim didin mark pimenov 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original igra \\(p:q\\) i zolotoe sechenie source_verified pust \\(\\varphi=(1+\\sqrt5)/2\\). zafiksiruem tselye \\(p,q\\ge1\\), dlya kotoryh \\[p>\\varphi,\\qquad p+1>\\left(1+\\frac qp\\right)^{2q}.\\] bella i chingiz igrayut na rebrah \\(k_n\\). bella hodit pervoy i kazhdyy raz krasit \\(q\\) svobodnyh reber belym; posle kazhdogo ee hoda chingiz krasit \\(p\\) svobodnyh reber chernym. esli pered hodom igroka svobodnyh reber menshe, chem emu razresheno pokrasit, on krasit vse ostavshiesya. cherez \\(b\\) i \\(w\\) oboznachim itogovye grafy. dokazhite, chto pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) chingiz mozhet garantirovat \\(\\omega(b)>\\omega(w)\\). complete_graph clique stmt-two-to-one-quantitative kolichestvennaya versiya dlya igry 1:2 source_verified zafiksiruem chislo \\(0<\\beta<2/3\\). bella i chingiz igrayut na rebrah \\(k_n\\). bella hodit pervoy i kazhdyy raz krasit odno svobodnoe rebro belym; posle kazhdogo ee hoda chingiz krasit dva svobodnyh rebra chernym. esli pered hodom chingiza svobodnyh reber menshe dvuh, on krasit vse ostavshiesya. cherez \\(b\\) i \\(w\\) oboznachim itogovye grafy. a) dokazhite, chto suschestvuyut postoyannaya \\(c=c(\\beta)\\) i chislo \\(n_0\\), takie, chto pri kazhdom \\(n\\ge n_0\\) chingiz mozhet odnoy strategiey odnovremenno garantirovat \\[\\omega(w)\\le\\lceil2\\log_3n\\rceil+1\\] i \\[e_b(u)\\ge\\beta{|u|\\choose2}\\] dlya kazhdogo mnozhestva \\(u\\), soderzhaschego ne menee \\(\\lceil c\\log n\\rceil\\) vershin. b) vyvedite, chto pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) vypolneno \\(\\omega(b)>\\omega(w)\\). complete_graph clique induced_subgraph idea-rho-coefficient-gap plotnost \\(\\rho\\) vybiraetsya s zapasom po glavnym koeffitsientam uslovie na \\(p,q\\) pozvolyaet vybrat \\(\\rho<p/(p+q)\\), dlya kotorogo garantiruemaya chernaya klika rastet bystree po \\(\\log n\\), chem verhnyaya otsenka beloy kliki. extremal_graph_theory degree_counting ai_checked idea-q-white-multitype-potential mnogotipnyy potentsial dlya \\(q\\) belyh reber vklad tseli, zadetoy \\(t\\) belymi rebrami, otsenivaetsya po vypuklosti mnozhitelya \\(\\beta^t-1\\), chto pozvolyaet odnim paketnym neravenstvom kontrolirovat ves belyy hod. potential_function extremal_choice ai_checked idea-two-type-potential-after-first-white dva tipa tseley posle vynesennogo pervogo belogo hoda posle pervogo hoda belly obschiy ves zhivyh \\(k\\)-klik i vseh bolshih mnozhestv vse esche menshe edinitsy. zatem odna strategiya maksimalnoy opasnosti odnovremenno sohranyaet obe otsenki. potential_function extremal_choice ai_checked idea-density-to-clique plotnost prevraschaetsya v dlinnuyu tsepochku vlozhennyh okrestnostey v kazhdom dostatochno bolshom indutsirovannom podgrafe vybiraetsya vershina stepeni ne menshe sredney, posle chego mnozhestvo zamenyaetsya ee okrestnostyu. vybrannye vershiny obrazuyut kliku, a razmery mnozhestv ubyvayut geometricheski. degree_counting extremal_choice ai_checked sol-official-golden-ratio-game obschaya mnogotipnaya strategiya i kolichestvennaya versiya 1:2 ai_checked complete_graph clique degree induced_subgraph neighborhood polozhim \\(a=p+1\\). vtoroe uslovie zadachi ekvivalentno neravenstvu \\(1/\\log(1+q/p)>2q/\\log a\\). po nepreryvnosti vyberem \\(\\rho<p/(p+q)\\) nastolko blizko k \\(p/(p+q)\\), chtoby \\[ \\frac1{\\log(1/\\rho)}>\\frac{2q}{\\log a}.\\tag{1} \\] tak kak \\(\\rho<p/(p+q)\\), imeem \\(q/p<1/\\rho-1\\). vyberem \\(c\\) mezhdu etimi chislami, zatem \\(s>1\\) nastolko blizkim k \\(1\\), chtoby \\[ s^q-1\\le p(1-s^{-c}).\\tag{2} \\] eto vozmozhno, poskolku posle deleniya na \\(s-1\\) predely chastey pri \\(s\\downarrow1\\) ravny \\(q\\) i \\(pc>q\\). polozhim \\(\\delta=1/(c+1)-\\rho>0\\), vyberem \\(c\\) tak, chtoby \\(8/((c+1)c\\log s)<\\delta\\), i oboznachim \\(k=\\lceil2q\\log_a n\\rceil+2\\), \\(m=\\lceil c\\log n\\rceil\\). dokazhem nuzhnuyu mnogotipnuyu vesovuyu lemmu. pust chernoe rebro umnozhaet ves tseli tipa \\(i\\) na \\(\\alpha_i\\in[0,1)\\), beloe — na \\(\\beta_i>1\\), prichem \\[ \\beta_i^q-1\\le p(1-\\alpha_i).\\tag{3} \\] opasnost svobodnogo rebra ravna \\(d(e)=\\su…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics","title":"Стабилизация камня, ножниц и бумаги на деревьях и вечная динамика на циклах, ЛКТГ 2026 №28","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7","«Высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":["Марк Пименов"],"tags":["trees","dynamics","modular_coloring","process_invariant","potential_function","goal_exact_bound","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Подпункты имеют сложность 2/5, 3/5, 4/5 и 4/5; основная трудность — целочисленный подъём и инвариант оборота.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF содержит полные школьные доказательства","notes":"Включены подъём высот, точное время, инвариант цикла и обобщение на нечётное число предметов.","label":"официальное полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Камень, ножницы, бумага на графе","status":"source_verified","text":"Пусть \\(G\\) — конечный простой связный граф. В каждой его вершине находится камень, ножницы или бумага. Ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень, камень побеждает ножницы. Каждую минуту предмет в вершине заменяется на побеждающий его предмет, если такой предмет есть хотя бы в одной соседней вершине. Если его нет, предмет не меняется. Все замены происходят одновременно и учитывают расстановку в начале минуты. а) Пусть \\(G\\) — дерево. Докажите, что при любой первоначальной расстановке через конечное число минут изменения прекратятся. б) Если дерево имеет \\(n\\) вершин, найдите наибольшее возможное число минут до стабилизации по всем деревьям и начальным расстановкам. в) Пусть \\(G\\) не является деревом. Докажите, что существует начальная расстановка с бесконечно долгими изменениями. г) Вместо трёх предметов рассмотрим нечётное число \\(m=2r+1\\ge3\\) предметов \\(A_0,A_1,\\ldots,A_{2r}\\), индексы по модулю \\(m\\). Предмет \\(A_i\\) проигрывает предметам \\(A_{i+1},\\ldots,A_{i+r}\\). За минуту \\(A_i\\) заменяется на \\(A_{i+1}\\), если хотя бы у одного соседа находится предмет, которому \\(A_i\\) проигрывает; иначе не меняется. Все замены одновременны. Докажите для этого правила утверждения пунктов а) и в).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","tree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-height-and-winding","title":"Подъём высот на дереве и инвариант оборота на цикле","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","tree","cycle","distance"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим три предмета через \\(A_0,A_1,A_2\\) по модулю \\(3\\) так, что \\(A_{i+1}\\) побеждает \\(A_i\\). а) Выберем корень дерева и любой целый представитель \\(h_0\\) цвета в корне. Двигаясь от корня, каждой вершине \\(v\\) сопоставим целое \\(h_0(v)\\), сравнимое с номером её предмета по модулю \\(3\\), так чтобы на каждом ребре \\(uv\\) выполнялось \\(h_0(v)-h_0(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). Для уже заданной высоты родителя подходящий представитель цвета ребёнка единственен. Противоречий нет, потому что в дереве нет циклов. Если у вершины \\(v\\) есть сосед высоты \\(h_t(v)+1\\), у него находится ровно предмет, побеждающий предмет в \\(v\\), и высота \\(v\\) увеличивается на \\(1\\). Если такого соседа нет, она не меняется. Поэтому \\[ h_{t+1}(v)=\\max\\bigl(\\{h_t(v)\\}\\cup\\{h_t(u):u\\sim v\\}\\bigr).\\tag{1} \\] Новые высоты соседних вершин снова отличаются не более чем на \\(1\\): максимум в замкнутой окрестности одного конца р…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p28-hse-2024-generalization","neighbor_id":"hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree","direction":"forward","type":"generalization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-jbmo-2026-p3-lktg-2026-p28-three-state-dynamics","neighbor_id":"jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics стабилизация камня, ножниц и бумаги на деревьях и вечная динамика на циклах, лктг 2026 №28 trees dynamics modular_coloring process_invariant potential_function goal_exact_bound goal_proof 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/149/2023/149-tasks-math-11-final-23-24.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-hse-2024-final-math-11 src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution «высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 марк пименов марк пименов 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 «высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс stmt-original камень, ножницы, бумага на графе source_verified пусть \\(g\\) — конечный простой связный граф. в каждой его вершине находится камень, ножницы или бумага. ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень, камень побеждает ножницы. каждую минуту предмет в вершине заменяется на побеждающий его предмет, если такой предмет есть хотя бы в одной соседней вершине. если его нет, предмет не меняется. все замены происходят одновременно и учитывают расстановку в начале минуты. а) пусть \\(g\\) — дерево. докажите, что при любой первоначальной расстановке через конечное число минут изменения прекратятся. б) если дерево имеет \\(n\\) вершин, найдите наибольшее возможное число минут до стабилизации по всем деревьям и начальным расстановкам. в) пусть \\(g\\) не является деревом. докажите, что существует начальная расстановка с бесконечно долгими изменениями. г) вместо трёх предметов рассмотрим нечётное число \\(m=2r+1\\ge3\\) предметов \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{2r}\\), индексы по модулю \\(m\\). предмет \\(a_i\\) проигрывает предметам \\(a_{i+1},\\ldots,a_{i+r}\\). за минуту \\(a_i\\) заменяется на \\(a_{i+1}\\), если хотя бы у одного соседа находится предмет, которому \\(a_i\\) проигрывает; иначе не меняется. все замены одновременны. докажите для этого правила утверждения пунктов а) и в). simple_graph connected_graph tree cycle idea-tree-height-lift на дереве остатки поднимаются в целые высоты отсутствие циклов позволяет однозначно выбрать целые представители цветов с малыми разностями на рёбрах. для трёх состояний обновление становится распространением локального максимума. trees modular_coloring ai_checked idea-cycle-winding сумма поднятых разностей вдоль цикла сохраняется изменение вершины прибавляет единицу к одной ориентированной разности и вычитает из соседней, поэтому сумма по циклу телескопически инвариантна. ненулевой оборот несовместим со стационарной расстановкой. process_invariant dynamics ai_checked sol-official-height-and-winding подъём высот на дереве и инвариант оборота на цикле ai_checked simple_graph connected_graph tree cycle distance обозначим три предмета через \\(a_0,a_1,a_2\\) по модулю \\(3\\) так, что \\(a_{i+1}\\) побеждает \\(a_i\\). а) выберем корень дерева и любой целый представитель \\(h_0\\) цвета в корне. двигаясь от корня, каждой вершине \\(v\\) сопоставим целое \\(h_0(v)\\), сравнимое с номером её предмета по модулю \\(3\\), так чтобы на каждом ребре \\(uv\\) выполнялось \\(h_0(v)-h_0(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). для уже заданной высоты родителя подходящий представитель цвета ребёнка единственен. противоречий нет, потому что в дереве нет циклов. если у вершины \\(v\\) есть сосед высоты \\(h_t(v)+1\\), у него находится ровно предмет, побеждающий предмет в \\(v\\), и высота \\(v\\) увеличивается на \\(1\\). если такого соседа нет, она не меняется. поэтому \\[ h_{t+1}(v)=\\max\\bigl(\\{h_t(v)\\}\\cup\\{h_t(u):u\\sim v\\}\\bigr).\\tag{1} \\] новые высоты соседних вершин снова отличаются не более чем на \\(1\\): максимум в замкнутой окрестности одного конца р… lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics stabilizatsiya kamnya, nozhnits i bumagi na derevyah i vechnaya dinamika na tsiklah, lktg 2026 №28 trees dynamics modular_coloring process_invariant potential_function goal_exact_bound goal_proof 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/149/2023/149-tasks-math-11-final-23-24.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-hse-2024-final-math-11 src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution «vysshaya proba» 2024, zaklyuchitelnyy etap, matematika, 11 klass lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 mark pimenov mark pimenov 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 «vysshaya proba» 2024, zaklyuchitelnyy etap, matematika, 11 klass stmt-original kamen, nozhnitsy, bumaga na grafe source_verified pust \\(g\\) — konechnyy prostoy svyaznyy graf. v kazhdoy ego vershine nahoditsya kamen, nozhnitsy ili bumaga. nozhnitsy pobezhdayut bumagu, bumaga pobezhdaet kamen, kamen pobezhdaet nozhnitsy. kazhduyu minutu predmet v vershine zamenyaetsya na pobezhdayuschiy ego predmet, esli takoy predmet est hotya by v odnoy sosedney vershine. esli ego net, predmet ne menyaetsya. vse zameny proishodyat odnovremenno i uchityvayut rasstanovku v nachale minuty. a) pust \\(g\\) — derevo. dokazhite, chto pri lyuboy pervonachalnoy rasstanovke cherez konechnoe chislo minut izmeneniya prekratyatsya. b) esli derevo imeet \\(n\\) vershin, naydite naibolshee vozmozhnoe chislo minut do stabilizatsii po vsem derevyam i nachalnym rasstanovkam. v) pust \\(g\\) ne yavlyaetsya derevom. dokazhite, chto suschestvuet nachalnaya rasstanovka s beskonechno dolgimi izmeneniyami. g) vmesto treh predmetov rassmotrim nechetnoe chislo \\(m=2r+1\\ge3\\) predmetov \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{2r}\\), indeksy po modulyu \\(m\\). predmet \\(a_i\\) proigryvaet predmetam \\(a_{i+1},\\ldots,a_{i+r}\\). za minutu \\(a_i\\) zamenyaetsya na \\(a_{i+1}\\), esli hotya by u odnogo soseda nahoditsya predmet, kotoromu \\(a_i\\) proigryvaet; inache ne menyaetsya. vse zameny odnovremenny. dokazhite dlya etogo pravila utverzhdeniya punktov a) i v). simple_graph connected_graph tree cycle idea-tree-height-lift na dereve ostatki podnimayutsya v tselye vysoty otsutstvie tsiklov pozvolyaet odnoznachno vybrat tselye predstaviteli tsvetov s malymi raznostyami na rebrah. dlya treh sostoyaniy obnovlenie stanovitsya rasprostraneniem lokalnogo maksimuma. trees modular_coloring ai_checked idea-cycle-winding summa podnyatyh raznostey vdol tsikla sohranyaetsya izmenenie vershiny pribavlyaet edinitsu k odnoy orientirovannoy raznosti i vychitaet iz sosedney, poetomu summa po tsiklu teleskopicheski invariantna. nenulevoy oborot nesovmestim so statsionarnoy rasstanovkoy. process_invariant dynamics ai_checked sol-official-height-and-winding podem vysot na dereve i invariant oborota na tsikle ai_checked simple_graph connected_graph tree cycle distance oboznachim tri predmeta cherez \\(a_0,a_1,a_2\\) po modulyu \\(3\\) tak, chto \\(a_{i+1}\\) pobezhdaet \\(a_i\\). a) vyberem koren dereva i lyuboy tselyy predstavitel \\(h_0\\) tsveta v korne. dvigayas ot kornya, kazhdoy vershine \\(v\\) sopostavim tseloe \\(h_0(v)\\), sravnimoe s nomerom ee predmeta po modulyu \\(3\\), tak chtoby na kazhdom rebre \\(uv\\) vypolnyalos \\(h_0(v)-h_0(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). dlya uzhe zadannoy vysoty roditelya podhodyaschiy predstavitel tsveta rebenka edinstvenen. protivorechiy net, potomu chto v dereve net tsiklov. esli u vershiny \\(v\\) est sosed vysoty \\(h_t(v)+1\\), u nego nahoditsya rovno predmet, pobezhdayuschiy predmet v \\(v\\), i vysota \\(v\\) uvelichivaetsya na \\(1\\). esli takogo soseda net, ona ne menyaetsya. poetomu \\[ h_{t+1}(v)=\\max\\bigl(\\{h_t(v)\\}\\cup\\{h_t(u):u\\sim v\\}\\bigr).\\tag{1} \\] novye vysoty sosednih vershin snova otlichayutsya ne bolee chem na \\(1\\): maksimum v zamknutoy okrestnosti odnogo kontsa r…","source_keys":["lktg","hse"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem29-two-leagues-tournament","title":"Выбор команд в две лиги и большинство межлиговых побед, ЛКТГ 2026 №29","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem29-two-leagues-tournament.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem29-two-leagues-tournament.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem29-two-leagues-tournament","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":["Марк Пименов"],"tags":["tournaments","double_counting","extremal_choice","construction","goal_strategy_game","goal_classification"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Подпункты имеют сложность 2/5 и 3/5; характеризация использует баланс турнира и парную контрстратегию.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF содержит полные школьные решения","notes":"Решение самодостаточно.","label":"официальное полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Две лиги","status":"source_verified","text":"В однокруговом турнире без ничьих участвовали \\(n\\) команд: каждые две команды сыграли один матч, и в каждом матче одна из команд победила. После объявления всех результатов две лиги по очереди выбирают ещё не выбранную команду и принимают её к себе. Первой ходит Первая лига, пропускать ход нельзя. Межлиговыми называются матчи, участники которых попали в разные лиги. а) Пусть \\(n\\) чётно. Докажите, что Первая лига может гарантировать: её команды выиграли не менее половины межлиговых матчей. б) Для каких чётных \\(n\\) Первая лига при любых результатах турнира может гарантировать, что её команды выиграли строго больше половины межлиговых матчей?","definition_ids":["tournament"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-balances-and-pairs","title":"Баланс команды, жадная стратегия и правильный турнир","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для команды \\(v\\) обозначим через \\(s(v)\\) число её побед минус число поражений во всём турнире. Сумма всех балансов равна нулю, потому что каждый матч даёт победителю \\(+1\\), а проигравшему \\(-1\\). а) Пусть после распределения множества команд Первой и Второй лиг равны \\(A\\) и \\(B\\). В сумме \\(\\sum_{v\\in A}s(v)\\) вклады матчей между двумя командами из \\(A\\) взаимно уничтожаются. Остаются только межлиговые матчи, поэтому \\[ \\sum_{v\\in A}s(v)=\\#\\{\\text{межлиговые победы Первой лиги}\\}-\\#\\{\\text{межлиговые победы Второй лиги}\\}.\\tag{1} \\] Стратегия Первой лиги: на каждом ходу выбирать среди оставшихся команд команду с наибольшим балансом. Объединим каждый её ход со следующим ходом Второй лиги. Если выбраны \\(a_i\\) и \\(b_i\\), то \\(s(a_i)\\ge s(b_i)\\), поскольку \\(b_i\\) ещё была доступна при выборе \\(a_i\\). Так как \\(n\\) чётно, все ходы разбиваются на такие пары. Суммируя, получаем \\(\\sum_{a…"}],"relations":[],"search_text":"lktg-2026-project2-problem29-two-leagues-tournament выбор команд в две лиги и большинство межлиговых побед, лктг 2026 №29 tournaments double_counting extremal_choice construction goal_strategy_game goal_classification 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 марк пименов марк пименов 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original две лиги source_verified в однокруговом турнире без ничьих участвовали \\(n\\) команд: каждые две команды сыграли один матч, и в каждом матче одна из команд победила. после объявления всех результатов две лиги по очереди выбирают ещё не выбранную команду и принимают её к себе. первой ходит первая лига, пропускать ход нельзя. межлиговыми называются матчи, участники которых попали в разные лиги. а) пусть \\(n\\) чётно. докажите, что первая лига может гарантировать: её команды выиграли не менее половины межлиговых матчей. б) для каких чётных \\(n\\) первая лига при любых результатах турнира может гарантировать, что её команды выиграли строго больше половины межлиговых матчей? tournament idea-tournament-balance-greedy жадный выбор максимального турнирного баланса сумма балансов команд лиги равна разности её межлиговых побед и поражений. в каждой паре последовательных ходов первая лига берёт команду не меньшего баланса, чем ответ второй. extremal_choice double_counting ai_checked idea-pair-equal-balance-classes парная защита в турнире с балансами \\(+1\\) и \\(-1\\) после удаления вершины из правильного турнира команды делятся поровну на балансы \\(+1\\) и \\(-1\\). при чётных размерах классов вторая лига заранее спаривает каждый класс и отвечает партнёром. construction tournaments ai_checked sol-official-balances-and-pairs баланс команды, жадная стратегия и правильный турнир ai_checked tournament для команды \\(v\\) обозначим через \\(s(v)\\) число её побед минус число поражений во всём турнире. сумма всех балансов равна нулю, потому что каждый матч даёт победителю \\(+1\\), а проигравшему \\(-1\\). а) пусть после распределения множества команд первой и второй лиг равны \\(a\\) и \\(b\\). в сумме \\(\\sum_{v\\in a}s(v)\\) вклады матчей между двумя командами из \\(a\\) взаимно уничтожаются. остаются только межлиговые матчи, поэтому \\[ \\sum_{v\\in a}s(v)=\\#\\{\\text{межлиговые победы первой лиги}\\}-\\#\\{\\text{межлиговые победы второй лиги}\\}.\\tag{1} \\] стратегия первой лиги: на каждом ходу выбирать среди оставшихся команд команду с наибольшим балансом. объединим каждый её ход со следующим ходом второй лиги. если выбраны \\(a_i\\) и \\(b_i\\), то \\(s(a_i)\\ge s(b_i)\\), поскольку \\(b_i\\) ещё была доступна при выборе \\(a_i\\). так как \\(n\\) чётно, все ходы разбиваются на такие пары. суммируя, получаем \\(\\sum_{a… lktg-2026-project2-problem29-two-leagues-tournament vybor komand v dve ligi i bolshinstvo mezhligovyh pobed, lktg 2026 №29 tournaments double_counting extremal_choice construction goal_strategy_game goal_classification 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 mark pimenov mark pimenov 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original dve ligi source_verified v odnokrugovom turnire bez nichih uchastvovali \\(n\\) komand: kazhdye dve komandy sygrali odin match, i v kazhdom matche odna iz komand pobedila. posle obyavleniya vseh rezultatov dve ligi po ocheredi vybirayut esche ne vybrannuyu komandu i prinimayut ee k sebe. pervoy hodit pervaya liga, propuskat hod nelzya. mezhligovymi nazyvayutsya matchi, uchastniki kotoryh popali v raznye ligi. a) pust \\(n\\) chetno. dokazhite, chto pervaya liga mozhet garantirovat: ee komandy vyigrali ne menee poloviny mezhligovyh matchey. b) dlya kakih chetnyh \\(n\\) pervaya liga pri lyubyh rezultatah turnira mozhet garantirovat, chto ee komandy vyigrali strogo bolshe poloviny mezhligovyh matchey? tournament idea-tournament-balance-greedy zhadnyy vybor maksimalnogo turnirnogo balansa summa balansov komand ligi ravna raznosti ee mezhligovyh pobed i porazheniy. v kazhdoy pare posledovatelnyh hodov pervaya liga beret komandu ne menshego balansa, chem otvet vtoroy. extremal_choice double_counting ai_checked idea-pair-equal-balance-classes parnaya zaschita v turnire s balansami \\(+1\\) i \\(-1\\) posle udaleniya vershiny iz pravilnogo turnira komandy delyatsya porovnu na balansy \\(+1\\) i \\(-1\\). pri chetnyh razmerah klassov vtoraya liga zaranee sparivaet kazhdyy klass i otvechaet partnerom. construction tournaments ai_checked sol-official-balances-and-pairs balans komandy, zhadnaya strategiya i pravilnyy turnir ai_checked tournament dlya komandy \\(v\\) oboznachim cherez \\(s(v)\\) chislo ee pobed minus chislo porazheniy vo vsem turnire. summa vseh balansov ravna nulyu, potomu chto kazhdyy match daet pobeditelyu \\(+1\\), a proigravshemu \\(-1\\). a) pust posle raspredeleniya mnozhestva komand pervoy i vtoroy lig ravny \\(a\\) i \\(b\\). v summe \\(\\sum_{v\\in a}s(v)\\) vklady matchey mezhdu dvumya komandami iz \\(a\\) vzaimno unichtozhayutsya. ostayutsya tolko mezhligovye matchi, poetomu \\[ \\sum_{v\\in a}s(v)=\\#\\{\\text{mezhligovye pobedy pervoy ligi}\\}-\\#\\{\\text{mezhligovye pobedy vtoroy ligi}\\}.\\tag{1} \\] strategiya pervoy ligi: na kazhdom hodu vybirat sredi ostavshihsya komand komandu s naibolshim balansom. obedinim kazhdyy ee hod so sleduyuschim hodom vtoroy ligi. esli vybrany \\(a_i\\) i \\(b_i\\), to \\(s(a_i)\\ge s(b_i)\\), poskolku \\(b_i\\) esche byla dostupna pri vybore \\(a_i\\). tak kak \\(n\\) chetno, vse hody razbivayutsya na takie pary. summiruya, poluchaem \\(\\sum_{a…","source_keys":["lktg"]}
{"id":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","title":"Игра до первого одноцветного треугольника на полном графе","path":"data\\problems\\simon-marais\\simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/simon-marais/simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","source_key":"simon","source_label":"SIMON","source_titles":["Simon Marais Mathematics Competition 2017 A1, официальные условия и решения","38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_symmetry","goal_strategy_game","ramsey_theory"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":4,"comment":"Небольшая игровая задача на \\(K_5\\): главное - заметить симметрию и построить двойную угрозу.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"официальный PDF решений, русская редакция 7","notes":"Полная пятивершинная стратегия Синего перенесена самодостаточно."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"На бумаге нарисованы пять сторон и пять диагоналей правильного пятиугольника. Два игрока по очереди раскрашивают по одному из этих десяти отрезков: первый игрок красит синим, второй - красным. Уже раскрашенный отрезок перекрашивать нельзя. Игрок выигрывает, если первым создал треугольник своего цвета, все три вершины которого являются вершинами правильного пятиугольника. Если все десять отрезков раскрашены и никто не выиграл, объявляется ничья. Определите, может ли первый игрок, второй игрок или ни один из них гарантировать победу.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра на рёбрах пятиугольника до одноцветного треугольника, SMMC 2017 A1","status":"ai_checked","text":"Два игрока по очереди раскрашивают ещё не раскрашенные рёбра полного графа \\(K_5\\): первый - синим, второй - красным. Побеждает тот, кто первым получает одноцветный треугольник своего цвета. Если все рёбра раскрашены без такого треугольника, получается ничья. Определите, у кого есть выигрышная стратегия.","definition_ids":["complete_graph","cycle","triangle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-lktg-general-n","title":"Параметрическая формулировка для всех n не меньше 5","status":"source_verified","text":"Пусть \\(n\\ge 5\\). Синий и Красный по очереди красят свободные рёбра полного графа \\(K_n\\) в свой цвет; начинает Синий. Игрок немедленно выигрывает, когда три ребра его цвета впервые образуют треугольник. Если все рёбра окрашены и такого треугольника ни у кого нет, объявляется ничья. Определите исход при правильной игре.","definition_ids":["complete_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-strategy","title":"Пятивершинная стратегия двойной угрозы для всех n не меньше 5","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","triangle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"При каждом \\(n\\ge 5\\) выигрывает Синий. Первым ходом Синий красит ребро \\(P_1P_2\\). Разберём положение первого красного ребра. Случай 1. Красное ребро имеет общий конец с \\(P_1P_2\\). Переименуем концы так, чтобы оно было \\(P_2P_3\\), и выберем ещё две вершины \\(P_4,P_5\\). Синий красит \\(P_2P_4\\) и угрожает следующим ходом взять \\(P_1P_4\\), завершив треугольник \\(P_1P_2P_4\\). Если Красный не красит \\(P_1P_4\\), Синий немедленно выполняет угрозу, поэтому считаем, что \\(P_1P_4\\) стало красным. Тогда Синий красит \\(P_2P_5\\). Теперь рёбра \\(P_1P_5\\) и \\(P_4P_5\\) являются двумя угрозами: первое завершает синий треугольник \\(P_1P_2P_5\\), второе — треугольник \\(P_2P_4P_5\\). Случай 2. Первое красное ребро не имеет общих концов с \\(P_1P_2\\). Обозначим его через \\(P_3P_4\\) и выберем пятую вершину \\(P_5\\). Синий красит \\(P_1P_5\\), угрожая ребром \\(P_2P_5\\). Если Красный не закроет угрозу, Синий сразу…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2017-a1-vjimc-1999-monochromatic-triangle","neighbor_id":"vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-smmc-2017-a1-imo-1992-partial-ramsey-triangle","neighbor_id":"imo-1992-p3-nine-points-partial-ramsey","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-smmc-2017-a1-imo-1964-three-color-ramsey","neighbor_id":"imo-1964-p4-three-topic-ramsey","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2010-11-p3-smmc-2017-a1-more-threats-than-blocks","neighbor_id":"spbmo-2010-11-p3-k2009-long-cycle-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-sim-paired","neighbor_id":"sim-k6-no-draw","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-simon-marais-2017-a1-ramsey-r33","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game игра до первого одноцветного треугольника на полном графе coloring graph_symmetry goal_strategy_game ramsey_theory 2017 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2017-solutions-preliminary_1.pdf official_archive official_solutions olympiad_archive problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2017 a1, официальные условия и решения simon2017 src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-simon-marais-2017-a1-official with_solution лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 ? simon marais mathematics competition 2017 a1, официальные условия и решения 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original условие ai_checked на бумаге нарисованы пять сторон и пять диагоналей правильного пятиугольника. два игрока по очереди раскрашивают по одному из этих десяти отрезков: первый игрок красит синим, второй - красным. уже раскрашенный отрезок перекрашивать нельзя. игрок выигрывает, если первым создал треугольник своего цвета, все три вершины которого являются вершинами правильного пятиугольника. если все десять отрезков раскрашены и никто не выиграл, объявляется ничья. определите, может ли первый игрок, второй игрок или ни один из них гарантировать победу. stmt-graph игра на рёбрах пятиугольника до одноцветного треугольника, smmc 2017 a1 ai_checked два игрока по очереди раскрашивают ещё не раскрашенные рёбра полного графа \\(k_5\\): первый - синим, второй - красным. побеждает тот, кто первым получает одноцветный треугольник своего цвета. если все рёбра раскрашены без такого треугольника, получается ничья. определите, у кого есть выигрышная стратегия. complete_graph cycle triangle stmt-lktg-general-n параметрическая формулировка для всех n не меньше 5 source_verified пусть \\(n\\ge 5\\). синий и красный по очереди красят свободные рёбра полного графа \\(k_n\\) в свой цвет; начинает синий. игрок немедленно выигрывает, когда три ребра его цвета впервые образуют треугольник. если все рёбра окрашены и такого треугольника ни у кого нет, объявляется ничья. определите исход при правильной игре. complete_graph triangle idea-first-edge-symmetry первый ход можно зафиксировать по симметрии пусть вершины пятиугольника пронумерованы \\(1,2,3,4,5\\). поскольку пять сторон и пять диагоналей образуют полный граф \\(k_5\\), можно свободно переименовывать вершины: первый игрок начинает с ребра \\(12\\), а первый ответ второго существенно бывает только двух типов - ребро, инцидентное \\(12\\), или ребро между двумя оставшимися вершинами. их удобно обозначить как \\(23\\) и \\(34\\). graph_symmetry ai_checked idea-double-threat создать две угрозы одним ходом стратегия первого игрока состоит в том, чтобы после вынужденного защитного ответа второго получить позицию с двумя разными синими рёбрами, каждое из которых завершает синий треугольник. второй игрок может закрыть только одну угрозу. goal_strategy_game ai_checked idea-two-blue-threats две одновременные угрозы на пяти вершинах синий после первого ответа красного выбирает не более пяти вершин и последовательно вынуждает красного закрыть одну угрозу. третий синий ход создаёт уже две разные угрозы завершить синий треугольник, а раздельное расположение первых красных рёбер не позволяет красному самому выиграть этим ходом. coloring goal_strategy_game ai_checked sol-official-strategy пятивершинная стратегия двойной угрозы для всех n не меньше 5 ai_checked complete_graph triangle при каждом \\(n\\ge 5\\) выигрывает синий. первым ходом синий красит ребро \\(p_1p_2\\). разберём положение первого красного ребра. случай 1. красное ребро имеет общий конец с \\(p_1p_2\\). переименуем концы так, чтобы оно было \\(p_2p_3\\), и выберем ещё две вершины \\(p_4,p_5\\). синий красит \\(p_2p_4\\) и угрожает следующим ходом взять \\(p_1p_4\\), завершив треугольник \\(p_1p_2p_4\\). если красный не красит \\(p_1p_4\\), синий немедленно выполняет угрозу, поэтому считаем, что \\(p_1p_4\\) стало красным. тогда синий красит \\(p_2p_5\\). теперь рёбра \\(p_1p_5\\) и \\(p_4p_5\\) являются двумя угрозами: первое завершает синий треугольник \\(p_1p_2p_5\\), второе — треугольник \\(p_2p_4p_5\\). случай 2. первое красное ребро не имеет общих концов с \\(p_1p_2\\). обозначим его через \\(p_3p_4\\) и выберем пятую вершину \\(p_5\\). синий красит \\(p_1p_5\\), угрожая ребром \\(p_2p_5\\). если красный не закроет угрозу, синий сразу… simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game igra do pervogo odnotsvetnogo treugolnika na polnom grafe coloring graph_symmetry goal_strategy_game ramsey_theory 2017 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.simonmarais.org/uploads/8/2/3/5/82358688/smmc-2017-solutions-preliminary_1.pdf official_archive official_solutions olympiad_archive problem_and_solution simon simon marais mathematics competition 2017 a1, ofitsialnye usloviya i resheniya simon2017 src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-simon-marais-2017-a1-official with_solution lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 ? simon marais mathematics competition 2017 a1, ofitsialnye usloviya i resheniya 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original uslovie ai_checked na bumage narisovany pyat storon i pyat diagonaley pravilnogo pyatiugolnika. dva igroka po ocheredi raskrashivayut po odnomu iz etih desyati otrezkov: pervyy igrok krasit sinim, vtoroy - krasnym. uzhe raskrashennyy otrezok perekrashivat nelzya. igrok vyigryvaet, esli pervym sozdal treugolnik svoego tsveta, vse tri vershiny kotorogo yavlyayutsya vershinami pravilnogo pyatiugolnika. esli vse desyat otrezkov raskrasheny i nikto ne vyigral, obyavlyaetsya nichya. opredelite, mozhet li pervyy igrok, vtoroy igrok ili ni odin iz nih garantirovat pobedu. stmt-graph igra na rebrah pyatiugolnika do odnotsvetnogo treugolnika, smmc 2017 a1 ai_checked dva igroka po ocheredi raskrashivayut esche ne raskrashennye rebra polnogo grafa \\(k_5\\): pervyy - sinim, vtoroy - krasnym. pobezhdaet tot, kto pervym poluchaet odnotsvetnyy treugolnik svoego tsveta. esli vse rebra raskrasheny bez takogo treugolnika, poluchaetsya nichya. opredelite, u kogo est vyigryshnaya strategiya. complete_graph cycle triangle stmt-lktg-general-n parametricheskaya formulirovka dlya vseh n ne menshe 5 source_verified pust \\(n\\ge 5\\). siniy i krasnyy po ocheredi krasyat svobodnye rebra polnogo grafa \\(k_n\\) v svoy tsvet; nachinaet siniy. igrok nemedlenno vyigryvaet, kogda tri rebra ego tsveta vpervye obrazuyut treugolnik. esli vse rebra okrasheny i takogo treugolnika ni u kogo net, obyavlyaetsya nichya. opredelite ishod pri pravilnoy igre. complete_graph triangle idea-first-edge-symmetry pervyy hod mozhno zafiksirovat po simmetrii pust vershiny pyatiugolnika pronumerovany \\(1,2,3,4,5\\). poskolku pyat storon i pyat diagonaley obrazuyut polnyy graf \\(k_5\\), mozhno svobodno pereimenovyvat vershiny: pervyy igrok nachinaet s rebra \\(12\\), a pervyy otvet vtorogo suschestvenno byvaet tolko dvuh tipov - rebro, intsidentnoe \\(12\\), ili rebro mezhdu dvumya ostavshimisya vershinami. ih udobno oboznachit kak \\(23\\) i \\(34\\). graph_symmetry ai_checked idea-double-threat sozdat dve ugrozy odnim hodom strategiya pervogo igroka sostoit v tom, chtoby posle vynuzhdennogo zaschitnogo otveta vtorogo poluchit pozitsiyu s dvumya raznymi sinimi rebrami, kazhdoe iz kotoryh zavershaet siniy treugolnik. vtoroy igrok mozhet zakryt tolko odnu ugrozu. goal_strategy_game ai_checked idea-two-blue-threats dve odnovremennye ugrozy na pyati vershinah siniy posle pervogo otveta krasnogo vybiraet ne bolee pyati vershin i posledovatelno vynuzhdaet krasnogo zakryt odnu ugrozu. tretiy siniy hod sozdaet uzhe dve raznye ugrozy zavershit siniy treugolnik, a razdelnoe raspolozhenie pervyh krasnyh reber ne pozvolyaet krasnomu samomu vyigrat etim hodom. coloring goal_strategy_game ai_checked sol-official-strategy pyativershinnaya strategiya dvoynoy ugrozy dlya vseh n ne menshe 5 ai_checked complete_graph triangle pri kazhdom \\(n\\ge 5\\) vyigryvaet siniy. pervym hodom siniy krasit rebro \\(p_1p_2\\). razberem polozhenie pervogo krasnogo rebra. sluchay 1. krasnoe rebro imeet obschiy konets s \\(p_1p_2\\). pereimenuem kontsy tak, chtoby ono bylo \\(p_2p_3\\), i vyberem esche dve vershiny \\(p_4,p_5\\). siniy krasit \\(p_2p_4\\) i ugrozhaet sleduyuschim hodom vzyat \\(p_1p_4\\), zavershiv treugolnik \\(p_1p_2p_4\\). esli krasnyy ne krasit \\(p_1p_4\\), siniy nemedlenno vypolnyaet ugrozu, poetomu schitaem, chto \\(p_1p_4\\) stalo krasnym. togda siniy krasit \\(p_2p_5\\). teper rebra \\(p_1p_5\\) i \\(p_4p_5\\) yavlyayutsya dvumya ugrozami: pervoe zavershaet siniy treugolnik \\(p_1p_2p_5\\), vtoroe — treugolnik \\(p_2p_4p_5\\). sluchay 2. pervoe krasnoe rebro ne imeet obschih kontsov s \\(p_1p_2\\). oboznachim ego cherez \\(p_3p_4\\) i vyberem pyatuyu vershinu \\(p_5\\). siniy krasit \\(p_1p_5\\), ugrozhaya rebrom \\(p_2p_5\\). esli krasnyy ne zakroet ugrozu, siniy srazu…","source_keys":["simon","lktg"]}
{"id":"tc-2018-19-complex-state-cycle-game","title":"Сложное государство: выигрыш Васи, Турнир городов 2018/19","path":"data\\problems\\tournament-cities\\tc-2018-19-complex-state-cycle-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/tournament-cities/tc-2018-19-complex-state-cycle-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tc-2018-19-complex-state-cycle-game","source_key":"tc","source_label":"Турнир городов","source_titles":["Задача 66727, Турнир городов 2018/19, осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс","38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":["Дидин М. А."],"tags":["connectivity","induction","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Осенний сложный тур 2018/19, 8-9 класс, задача 7b на 7 баллов.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.97,"basis":"Полное доказательство сверено с официальным PDF решений проекта ЛКТГ 2026.","notes":"Прежний архивный источник сохранён как дополнительный источник той же задачи."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Игра в сложном государстве","status":"ai_checked","text":"В виртуальном компьютерном государстве не менее двух городов. Некоторые пары городов соединены дорогой, причём из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого. Государство называется сложным, если можно, начав движение из какого-то города и не проходя дважды по одной и той же дороге, вернуться в этот город. Петя и Вася играют так: сначала Петя задаёт направление на каждой дороге и помещает туриста в один из городов; затем за ход Петя перемещает туриста по дороге в разрешённом направлении в соседний город, а Вася меняет направление одной дороги, входящей или выходящей из нового города туриста. Вася выигрывает, если Петя в какой-то момент не сможет сделать ход. Докажите, что в сложном государстве Вася может гарантировать победу, как бы ни играл Петя.","definition_ids":["connected_graph","directed_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Сложное государство: выигрыш Васи, Турнир городов 2018/19","status":"ai_checked","text":"Дан связный неориентированный граф, содержащий цикл. Петя сначала ориентирует все рёбра графа и выбирает начальную вершину фишки. На каждом своём ходе Петя обязан передвинуть фишку по исходящему ребру в соседнюю вершину, после чего Вася разворачивает одно ребро, инцидентное новой вершине фишки. Если перед ходом Пети из текущей вершины нет исходящих рёбер, Вася выигрывает. Докажите, что Вася имеет стратегию, которая при любой начальной ориентации, начальной вершине и дальнейших ходах Пети приводит к победе за конечное число ходов.","definition_ids":["connected_graph","directed_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-vasya-cycle-induction","title":"Индукция от цикла","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","cycle"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем индукцией по числу вершин более сильное утверждение: если связный граф содержит цикл, то из любой ориентации и любого положения фишки в момент, когда Васе предстоит развернуть ребро, Вася за конечное время оставит фишку без исходящих рёбер. База: граф является простым циклом. Если сейчас из вершины фишки выходит ровно одно ребро, Вася разворачивает его внутрь и сразу запирает фишку. Если исходящих рёбер ноль или два, Вася одним разворотом оставляет ровно одно исходящее ребро; Петя вынужден пройти по нему. Обозначим этот ход \\(A_1\\to A_2\\) и выберем соответствующее направление обхода цикла. Теперь Вася смотрит на следующее ребро \\(A_2A_3\\). Если оно выходит из \\(A_2\\), Вася разворачивает его внутрь, и оба ребра при \\(A_2\\) становятся входящими. Если оно входит в \\(A_2\\), Вася разворачивает его наружу, и Петя вынужден перейти в \\(A_3\\). Вася повторяет правило. Либо фишка остановит…"}],"relations":[{"id":"rel-state-game-2018-paired-variants","neighbor_id":"tc-2018-19-simple-state-tree-game","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-state-game-connectivity-query","neighbor_id":"tc-2015-16-connectivity-query-lower-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tc-cycle-p06-reversal-paired","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem06-two-tokens-reversing-arcs","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tc-2018-19-tree-cycle-dichotomy","neighbor_id":"tc-2018-19-simple-state-tree-game","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"tc-2018-19-complex-state-cycle-game сложное государство: выигрыш васи, турнир городов 2018/19 connectivity induction goal_strategy_game 2018 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=66727 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-problems-66727 tc tc2018 with_solution дидин м. а. задача 66727, турнир городов 2018/19, осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 турнир городов турниргородов турниргородов2018 дидин м. а. задача 66727, турнир городов 2018/19, осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original игра в сложном государстве ai_checked в виртуальном компьютерном государстве не менее двух городов. некоторые пары городов соединены дорогой, причём из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого. государство называется сложным, если можно, начав движение из какого-то города и не проходя дважды по одной и той же дороге, вернуться в этот город. петя и вася играют так: сначала петя задаёт направление на каждой дороге и помещает туриста в один из городов; затем за ход петя перемещает туриста по дороге в разрешённом направлении в соседний город, а вася меняет направление одной дороги, входящей или выходящей из нового города туриста. вася выигрывает, если петя в какой-то момент не сможет сделать ход. докажите, что в сложном государстве вася может гарантировать победу, как бы ни играл петя. connected_graph directed_graph cycle stmt-graph сложное государство: выигрыш васи, турнир городов 2018/19 ai_checked дан связный неориентированный граф, содержащий цикл. петя сначала ориентирует все рёбра графа и выбирает начальную вершину фишки. на каждом своём ходе петя обязан передвинуть фишку по исходящему ребру в соседнюю вершину, после чего вася разворачивает одно ребро, инцидентное новой вершине фишки. если перед ходом пети из текущей вершины нет исходящих рёбер, вася выигрывает. докажите, что вася имеет стратегию, которая при любой начальной ориентации, начальной вершине и дальнейших ходах пети приводит к победе за конечное число ходов. connected_graph directed_graph cycle idea-cycle-forces-one-direction цикл заставляет идти вперёд на простом цикле вася после каждого хода пети разворачивает ребро перед туристом. если это не запирает туриста сразу, то турист вынужден двигаться в одну сторону по циклу и при возвращении к стартовой вершине оказывается без хода. connectivity goal_strategy_game ai_checked idea-delete-outer-vertex удаление вершины вне минимального цикла в общем графе с циклом можно удалить вершину максимального расстояния от минимального цикла: оставшийся граф связен и всё ещё содержит цикл. стратегия в меньшем графе либо выигрывает сразу, либо вынуждает петю всё реже входить в удалённую вершину. induction connectivity ai_checked sol-vasya-cycle-induction индукция от цикла ai_checked connected_graph path cycle induction delete_to_simplify докажем индукцией по числу вершин более сильное утверждение: если связный граф содержит цикл, то из любой ориентации и любого положения фишки в момент, когда васе предстоит развернуть ребро, вася за конечное время оставит фишку без исходящих рёбер. база: граф является простым циклом. если сейчас из вершины фишки выходит ровно одно ребро, вася разворачивает его внутрь и сразу запирает фишку. если исходящих рёбер ноль или два, вася одним разворотом оставляет ровно одно исходящее ребро; петя вынужден пройти по нему. обозначим этот ход \\(a_1\\to a_2\\) и выберем соответствующее направление обхода цикла. теперь вася смотрит на следующее ребро \\(a_2a_3\\). если оно выходит из \\(a_2\\), вася разворачивает его внутрь, и оба ребра при \\(a_2\\) становятся входящими. если оно входит в \\(a_2\\), вася разворачивает его наружу, и петя вынужден перейти в \\(a_3\\). вася повторяет правило. либо фишка остановит… tc-2018-19-complex-state-cycle-game slozhnoe gosudarstvo: vyigrysh vasi, turnir gorodov 2018/19 connectivity induction goal_strategy_game 2018 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=66727 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-problems-66727 tc tc2018 with_solution didin m. a. zadacha 66727, turnir gorodov 2018/19, osenniy tur, slozhnyy variant, 8-9 klass lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 turnir gorodov turnirgorodov turnirgorodov2018 didin m. a. zadacha 66727, turnir gorodov 2018/19, osenniy tur, slozhnyy variant, 8-9 klass 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original igra v slozhnom gosudarstve ai_checked v virtualnom kompyuternom gosudarstve ne menee dvuh gorodov. nekotorye pary gorodov soedineny dorogoy, prichem iz kazhdogo goroda mozhno dobratsya po dorogam do lyubogo drugogo. gosudarstvo nazyvaetsya slozhnym, esli mozhno, nachav dvizhenie iz kakogo-to goroda i ne prohodya dvazhdy po odnoy i toy zhe doroge, vernutsya v etot gorod. petya i vasya igrayut tak: snachala petya zadaet napravlenie na kazhdoy doroge i pomeschaet turista v odin iz gorodov; zatem za hod petya peremeschaet turista po doroge v razreshennom napravlenii v sosedniy gorod, a vasya menyaet napravlenie odnoy dorogi, vhodyaschey ili vyhodyaschey iz novogo goroda turista. vasya vyigryvaet, esli petya v kakoy-to moment ne smozhet sdelat hod. dokazhite, chto v slozhnom gosudarstve vasya mozhet garantirovat pobedu, kak by ni igral petya. connected_graph directed_graph cycle stmt-graph slozhnoe gosudarstvo: vyigrysh vasi, turnir gorodov 2018/19 ai_checked dan svyaznyy neorientirovannyy graf, soderzhaschiy tsikl. petya snachala orientiruet vse rebra grafa i vybiraet nachalnuyu vershinu fishki. na kazhdom svoem hode petya obyazan peredvinut fishku po ishodyaschemu rebru v sosednyuyu vershinu, posle chego vasya razvorachivaet odno rebro, intsidentnoe novoy vershine fishki. esli pered hodom peti iz tekuschey vershiny net ishodyaschih reber, vasya vyigryvaet. dokazhite, chto vasya imeet strategiyu, kotoraya pri lyuboy nachalnoy orientatsii, nachalnoy vershine i dalneyshih hodah peti privodit k pobede za konechnoe chislo hodov. connected_graph directed_graph cycle idea-cycle-forces-one-direction tsikl zastavlyaet idti vpered na prostom tsikle vasya posle kazhdogo hoda peti razvorachivaet rebro pered turistom. esli eto ne zapiraet turista srazu, to turist vynuzhden dvigatsya v odnu storonu po tsiklu i pri vozvraschenii k startovoy vershine okazyvaetsya bez hoda. connectivity goal_strategy_game ai_checked idea-delete-outer-vertex udalenie vershiny vne minimalnogo tsikla v obschem grafe s tsiklom mozhno udalit vershinu maksimalnogo rasstoyaniya ot minimalnogo tsikla: ostavshiysya graf svyazen i vse esche soderzhit tsikl. strategiya v menshem grafe libo vyigryvaet srazu, libo vynuzhdaet petyu vse rezhe vhodit v udalennuyu vershinu. induction connectivity ai_checked sol-vasya-cycle-induction induktsiya ot tsikla ai_checked connected_graph path cycle induction delete_to_simplify dokazhem induktsiey po chislu vershin bolee silnoe utverzhdenie: esli svyaznyy graf soderzhit tsikl, to iz lyuboy orientatsii i lyubogo polozheniya fishki v moment, kogda vase predstoit razvernut rebro, vasya za konechnoe vremya ostavit fishku bez ishodyaschih reber. baza: graf yavlyaetsya prostym tsiklom. esli seychas iz vershiny fishki vyhodit rovno odno rebro, vasya razvorachivaet ego vnutr i srazu zapiraet fishku. esli ishodyaschih reber nol ili dva, vasya odnim razvorotom ostavlyaet rovno odno ishodyaschee rebro; petya vynuzhden proyti po nemu. oboznachim etot hod \\(a_1\\to a_2\\) i vyberem sootvetstvuyuschee napravlenie obhoda tsikla. teper vasya smotrit na sleduyuschee rebro \\(a_2a_3\\). esli ono vyhodit iz \\(a_2\\), vasya razvorachivaet ego vnutr, i oba rebra pri \\(a_2\\) stanovyatsya vhodyaschimi. esli ono vhodit v \\(a_2\\), vasya razvorachivaet ego naruzhu, i petya vynuzhden pereyti v \\(a_3\\). vasya povtoryaet pravilo. libo fishka ostanovit…","source_keys":["tc","lktg"]}
{"id":"tc-2018-19-simple-state-tree-game","title":"Простое государство: Петя не проигрывает, Турнир городов 2018/19","path":"data\\problems\\tournament-cities\\tc-2018-19-simple-state-tree-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/tournament-cities/tc-2018-19-simple-state-tree-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tc-2018-19-simple-state-tree-game","source_key":"tc","source_label":"Турнир городов","source_titles":["Задача 66727, Турнир городов 2018/19, осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс","38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":["Дидин М. А."],"tags":["trees","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Осенний сложный тур 2018/19, 8-9 класс, задача 7a на 5 баллов.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.97,"basis":"Полное доказательство сверено с официальным PDF решений проекта ЛКТГ 2026.","notes":"Прежний архивный источник сохранён как дополнительный источник той же задачи."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Игра в простом государстве","status":"ai_checked","text":"В виртуальном компьютерном государстве не менее двух городов. Некоторые пары городов соединены дорогой, причём из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого. Государство называется простым, если нельзя, начав движение из какого-то города и не проходя дважды по одной и той же дороге, вернуться в этот город. Петя и Вася играют так: сначала Петя задаёт направление на каждой дороге и помещает туриста в один из городов; затем за ход Петя перемещает туриста по дороге в разрешённом направлении в соседний город, а Вася меняет направление одной дороги, входящей или выходящей из нового города туриста. Вася выигрывает, если Петя в какой-то момент не сможет сделать ход. Докажите, что в простом государстве Петя может играть так, чтобы не проиграть, как бы ни играл Вася.","definition_ids":["connected_graph","directed_graph","path","tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Простое государство: Петя не проигрывает, Турнир городов 2018/19","status":"ai_checked","text":"Дано дерево с не менее чем двумя вершинами. Петя сначала ориентирует все рёбра дерева и выбирает начальную вершину фишки. На каждом своём ходе Петя обязан передвинуть фишку по исходящему ребру в соседнюю вершину, после чего Вася разворачивает одно ребро, инцидентное новой вершине фишки. Если перед ходом Пети из текущей вершины нет исходящих рёбер, Вася выигрывает. Докажите, что Петя может выбрать начальную ориентацию, начальную вершину и дальнейшие ходы так, чтобы ходить бесконечно долго при любых ответах Васи.","definition_ids":["directed_graph","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-petya-tree-invariant","title":"Ориентация к движущемуся корню","status":"ai_checked","definition_ids":["path","tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем вершину \\(r\\), её соседа \\(s\\), направим все рёбра дерева к \\(r\\) и поставим фишку в \\(s\\). Первым ходом Петя идёт \\(s\\to r\\). После этого перед каждым разворотом Васи все рёбра дерева направлены к вершине \\(v\\), в которой стоит фишка. Вася разворачивает одно инцидентное ребро \\(vu\\), и оно становится единственным исходящим ребром из \\(v\\). Петя идёт по нему в \\(u\\). Теперь все рёбра направлены к \\(u\\): в дереве путь к новому корню отличается от пути к старому корню только направлением ребра \\(uv\\). Инвариант восстановлен, поэтому Петя может ходить бесконечно."}],"relations":[{"id":"rel-tree-state-game-2018","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-state-game-2018-paired-variants","neighbor_id":"tc-2018-19-complex-state-cycle-game","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-state-game-imo-2024-c8","neighbor_id":"imo-2024-c8-board-coloring-tree","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tc-tree-p06-reversal-paired","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem06-two-tokens-reversing-arcs","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tc-2018-19-tree-cycle-dichotomy","neighbor_id":"tc-2018-19-complex-state-cycle-game","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"tc-2018-19-simple-state-tree-game простое государство: петя не проигрывает, турнир городов 2018/19 trees goal_strategy_game 2018 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=66727 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-problems-66727 tc tc2018 with_solution дидин м. а. задача 66727, турнир городов 2018/19, осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 турнир городов турниргородов турниргородов2018 дидин м. а. задача 66727, турнир городов 2018/19, осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original игра в простом государстве ai_checked в виртуальном компьютерном государстве не менее двух городов. некоторые пары городов соединены дорогой, причём из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого. государство называется простым, если нельзя, начав движение из какого-то города и не проходя дважды по одной и той же дороге, вернуться в этот город. петя и вася играют так: сначала петя задаёт направление на каждой дороге и помещает туриста в один из городов; затем за ход петя перемещает туриста по дороге в разрешённом направлении в соседний город, а вася меняет направление одной дороги, входящей или выходящей из нового города туриста. вася выигрывает, если петя в какой-то момент не сможет сделать ход. докажите, что в простом государстве петя может играть так, чтобы не проиграть, как бы ни играл вася. connected_graph directed_graph path tree stmt-graph простое государство: петя не проигрывает, турнир городов 2018/19 ai_checked дано дерево с не менее чем двумя вершинами. петя сначала ориентирует все рёбра дерева и выбирает начальную вершину фишки. на каждом своём ходе петя обязан передвинуть фишку по исходящему ребру в соседнюю вершину, после чего вася разворачивает одно ребро, инцидентное новой вершине фишки. если перед ходом пети из текущей вершины нет исходящих рёбер, вася выигрывает. докажите, что петя может выбрать начальную ориентацию, начальную вершину и дальнейшие ходы так, чтобы ходить бесконечно долго при любых ответах васи. directed_graph tree idea-tree-token-sink все пути ведут к туристу в дереве можно выбрать целевую вершину и ориентировать каждое ребро по единственному пути к ней. после первого хода турист оказывается в этой вершине; затем каждый разворот васи даёт пете единственное исходящее ребро, а проход по нему снова делает текущую вершину общей целью всех ориентированных путей. trees ai_checked sol-petya-tree-invariant ориентация к движущемуся корню ai_checked path tree выберем вершину \\(r\\), её соседа \\(s\\), направим все рёбра дерева к \\(r\\) и поставим фишку в \\(s\\). первым ходом петя идёт \\(s\\to r\\). после этого перед каждым разворотом васи все рёбра дерева направлены к вершине \\(v\\), в которой стоит фишка. вася разворачивает одно инцидентное ребро \\(vu\\), и оно становится единственным исходящим ребром из \\(v\\). петя идёт по нему в \\(u\\). теперь все рёбра направлены к \\(u\\): в дереве путь к новому корню отличается от пути к старому корню только направлением ребра \\(uv\\). инвариант восстановлен, поэтому петя может ходить бесконечно. tc-2018-19-simple-state-tree-game prostoe gosudarstvo: petya ne proigryvaet, turnir gorodov 2018/19 trees goal_strategy_game 2018 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=66727 official_archive official_solutions olympiad_archive src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru src-problems-66727 tc tc2018 with_solution didin m. a. zadacha 66727, turnir gorodov 2018/19, osenniy tur, slozhnyy variant, 8-9 klass lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 turnir gorodov turnirgorodov turnirgorodov2018 didin m. a. zadacha 66727, turnir gorodov 2018/19, osenniy tur, slozhnyy variant, 8-9 klass 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original igra v prostom gosudarstve ai_checked v virtualnom kompyuternom gosudarstve ne menee dvuh gorodov. nekotorye pary gorodov soedineny dorogoy, prichem iz kazhdogo goroda mozhno dobratsya po dorogam do lyubogo drugogo. gosudarstvo nazyvaetsya prostym, esli nelzya, nachav dvizhenie iz kakogo-to goroda i ne prohodya dvazhdy po odnoy i toy zhe doroge, vernutsya v etot gorod. petya i vasya igrayut tak: snachala petya zadaet napravlenie na kazhdoy doroge i pomeschaet turista v odin iz gorodov; zatem za hod petya peremeschaet turista po doroge v razreshennom napravlenii v sosedniy gorod, a vasya menyaet napravlenie odnoy dorogi, vhodyaschey ili vyhodyaschey iz novogo goroda turista. vasya vyigryvaet, esli petya v kakoy-to moment ne smozhet sdelat hod. dokazhite, chto v prostom gosudarstve petya mozhet igrat tak, chtoby ne proigrat, kak by ni igral vasya. connected_graph directed_graph path tree stmt-graph prostoe gosudarstvo: petya ne proigryvaet, turnir gorodov 2018/19 ai_checked dano derevo s ne menee chem dvumya vershinami. petya snachala orientiruet vse rebra dereva i vybiraet nachalnuyu vershinu fishki. na kazhdom svoem hode petya obyazan peredvinut fishku po ishodyaschemu rebru v sosednyuyu vershinu, posle chego vasya razvorachivaet odno rebro, intsidentnoe novoy vershine fishki. esli pered hodom peti iz tekuschey vershiny net ishodyaschih reber, vasya vyigryvaet. dokazhite, chto petya mozhet vybrat nachalnuyu orientatsiyu, nachalnuyu vershinu i dalneyshie hody tak, chtoby hodit beskonechno dolgo pri lyubyh otvetah vasi. directed_graph tree idea-tree-token-sink vse puti vedut k turistu v dereve mozhno vybrat tselevuyu vershinu i orientirovat kazhdoe rebro po edinstvennomu puti k ney. posle pervogo hoda turist okazyvaetsya v etoy vershine; zatem kazhdyy razvorot vasi daet pete edinstvennoe ishodyaschee rebro, a prohod po nemu snova delaet tekuschuyu vershinu obschey tselyu vseh orientirovannyh putey. trees ai_checked sol-petya-tree-invariant orientatsiya k dvizhuschemusya kornyu ai_checked path tree vyberem vershinu \\(r\\), ee soseda \\(s\\), napravim vse rebra dereva k \\(r\\) i postavim fishku v \\(s\\). pervym hodom petya idet \\(s\\to r\\). posle etogo pered kazhdym razvorotom vasi vse rebra dereva napravleny k vershine \\(v\\), v kotoroy stoit fishka. vasya razvorachivaet odno intsidentnoe rebro \\(vu\\), i ono stanovitsya edinstvennym ishodyaschim rebrom iz \\(v\\). petya idet po nemu v \\(u\\). teper vse rebra napravleny k \\(u\\): v dereve put k novomu kornyu otlichaetsya ot puti k staromu kornyu tolko napravleniem rebra \\(uv\\). invariant vosstanovlen, poetomu petya mozhet hodit beskonechno.","source_keys":["tc","lktg"]}