{"id":"benjamini-tzalik-shortest-paths","title":"Теорема Беньямини — Цалика о числе кратчайших путей","path":"data\\problems\\classical\\benjamini-tzalik-shortest-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/benjamini-tzalik-shortest-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#benjamini-tzalik-shortest-paths","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Itai Benjamini, Elad Tzalik, On the Number of Shortest Paths in Graphs","Кубок Колмогорова 2024 официальный архив"],"year":"","type":"theorem","authors":["Itai Benjamini","Elad Tzalik"],"tags":["extremal_graph_theory","connectivity","degree_counting","classical_theorem","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":13,"comment":"Классическая оценка с коротким, но не совсем олимпиадным энтропийным доказательством через чтение случайного кратчайшего пути в двух направлениях.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"split from source-verified merged card with самодостаточное доказательство","notes":"Карточка опирается на arXiv-источник и содержит самодостаточное доказательство основной оценки.","audit_source":"agent-split-benjamini-tzalik-kolmogorov"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-benjamini-tzalik-bound","title":"Теорема Беньямини — Цалика","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный неориентированный мультиграф без петель, степени всех вершин которого не превосходят \\(\\Delta\\). Если две различные вершины \\(x,y\\) находятся на расстоянии \\(t\\ge1\\), то число кратчайших путей из \\(x\\) в \\(y\\), где параллельные рёбра считаются различными, не превосходит \\(2(\\Delta/2)^t\\).","definition_ids":["multigraph","path","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-layered-bound","title":"Кратчайшие пути в мультиграфе","status":"ai_checked","text":"В конечном мультиграфе без петель, степени всех вершин которого не превосходят \\(\\Delta\\), число кратчайших путей между двумя вершинами на расстоянии \\(t\\ge1\\), с учётом кратности рёбер, не превосходит \\(2(\\Delta/2)^t\\).","definition_ids":["multigraph","path","degree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-even-degree-corollary","title":"Чётная степень","status":"ai_checked","text":"При \\(\\Delta=2m\\) из теоремы следует, что между двумя вершинами на расстоянии \\(t\\) в мультиграфе максимальной степени не больше \\(2m\\) существует не более \\(2m^t\\) кратчайших путей.","definition_ids":["multigraph","path","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-entropy-bound","title":"Энтропийное доказательство верхней оценки","status":"ai_checked","definition_ids":["multigraph","path","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать параллельные рёбра различными. Удалим из \\(G\\) всё, что не лежит на кратчайших путях из \\(x\\) в \\(y\\). В оставшемся мультиграфе каждая вершина лежит в некотором слое \\(L_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), а каждое ребро кратчайшего пути идёт из \\(L_i\\) в \\(L_{i+1}\\). Для вершины \\(v\\in L_i\\) обозначим через \\(a(v)\\) число рёбер из \\(L_{i-1}\\) в \\(v\\), а через \\(b(v)\\) число рёбер из \\(v\\) в \\(L_{i+1}\\). Для внутренних слоёв имеем \\(a(v)+b(v)\\le\\deg(v)\\le\\Delta\\), поэтому \\(a(v)b(v)\\le(\\Delta/2)^2\\). Пусть всего кратчайших путей \\(N\\), и выберем один из них равновероятно. Его энтропия равна \\(\\log N\\). Если читать путь слева направо, то при известном префиксе следующий шаг выбирается среди не более чем \\(b(v)\\) рёбер, где \\(v\\) — текущая вершина. Значит \\[\\log N\\le \\mathbb E\\sum_{i=0}^{t-1}\\log b(X_i),\\] где \\(X_i\\) — вершина пути в слое \\(i\\). Если читать тот же путь сп…"}],"relations":[{"id":"rel-benjamini-tzalik-kolmogorov-2024-shortest-paths-prerequisite","neighbor_id":"kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-benjamini-tzalik-third-fourth-distance-layer-bound","neighbor_id":"third-fourth-distance-layer-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"benjamini-tzalik-shortest-paths теорема беньямини — цалика о числе кратчайших путей extremal_graph_theory connectivity degree_counting classical_theorem goal_bound elad tzalik eladtzalik https://arxiv.org/abs/2311.10014 https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip itai benjamini itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs itaibenjamini misc olympiad_archive paper src-benjamini-tzalik-shortest-paths src-kolmogorov-2024-official with_solution кубок колмогорова 2024 официальный архив прочее itai benjamini elad tzalik itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs кубок колмогорова 2024 официальный архив stmt-benjamini-tzalik-bound теорема беньямини — цалика ai_checked пусть \\(g\\) — конечный неориентированный мультиграф без петель, степени всех вершин которого не превосходят \\(\\delta\\). если две различные вершины \\(x,y\\) находятся на расстоянии \\(t\\ge1\\), то число кратчайших путей из \\(x\\) в \\(y\\), где параллельные рёбра считаются различными, не превосходит \\(2(\\delta/2)^t\\). multigraph path degree stmt-graph-layered-bound кратчайшие пути в мультиграфе ai_checked в конечном мультиграфе без петель, степени всех вершин которого не превосходят \\(\\delta\\), число кратчайших путей между двумя вершинами на расстоянии \\(t\\ge1\\), с учётом кратности рёбер, не превосходит \\(2(\\delta/2)^t\\). multigraph path degree stmt-even-degree-corollary чётная степень ai_checked при \\(\\delta=2m\\) из теоремы следует, что между двумя вершинами на расстоянии \\(t\\) в мультиграфе максимальной степени не больше \\(2m\\) существует не более \\(2m^t\\) кратчайших путей. multigraph path degree idea-prune-to-shortest-path-layers слои кратчайших путей удаляем все рёбра и вершины, которые не лежат на кратчайших путях из \\(x\\) в \\(y\\). оставшийся граф естественно ориентирован от слоя \\(i\\) к слою \\(i+1\\). extremal_graph_theory ai_checked idea-forward-backward-entropy посчитать случайный путь с двух сторон для равномерно выбранного кратчайшего пути энтропия следующего ребра контролируется выходящей степенью слоя, а энтропия предыдущего ребра — входящей степенью. сложение двух оценок превращает ограничение \\(in(v)+out(v)\\le\\delta\\) в произведение \\(in(v)out(v)\\le(\\delta/2)^2\\). extremal_graph_theory degree_counting ai_checked sol-entropy-bound энтропийное доказательство верхней оценки ai_checked multigraph path degree будем считать параллельные рёбра различными. удалим из \\(g\\) всё, что не лежит на кратчайших путях из \\(x\\) в \\(y\\). в оставшемся мультиграфе каждая вершина лежит в некотором слое \\(l_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), а каждое ребро кратчайшего пути идёт из \\(l_i\\) в \\(l_{i+1}\\). для вершины \\(v\\in l_i\\) обозначим через \\(a(v)\\) число рёбер из \\(l_{i-1}\\) в \\(v\\), а через \\(b(v)\\) число рёбер из \\(v\\) в \\(l_{i+1}\\). для внутренних слоёв имеем \\(a(v)+b(v)\\le\\deg(v)\\le\\delta\\), поэтому \\(a(v)b(v)\\le(\\delta/2)^2\\). пусть всего кратчайших путей \\(n\\), и выберем один из них равновероятно. его энтропия равна \\(\\log n\\). если читать путь слева направо, то при известном префиксе следующий шаг выбирается среди не более чем \\(b(v)\\) рёбер, где \\(v\\) — текущая вершина. значит \\[\\log n\\le \\mathbb e\\sum_{i=0}^{t-1}\\log b(x_i),\\] где \\(x_i\\) — вершина пути в слое \\(i\\). если читать тот же путь сп… benjamini-tzalik-shortest-paths teorema benyamini — tsalika o chisle kratchayshih putey extremal_graph_theory connectivity degree_counting classical_theorem goal_bound elad tzalik eladtzalik https://arxiv.org/abs/2311.10014 https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip itai benjamini itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs itaibenjamini misc olympiad_archive paper src-benjamini-tzalik-shortest-paths src-kolmogorov-2024-official with_solution kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv prochee itai benjamini elad tzalik itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv stmt-benjamini-tzalik-bound teorema benyamini — tsalika ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy neorientirovannyy multigraf bez petel, stepeni vseh vershin kotorogo ne prevoshodyat \\(\\delta\\). esli dve razlichnye vershiny \\(x,y\\) nahodyatsya na rasstoyanii \\(t\\ge1\\), to chislo kratchayshih putey iz \\(x\\) v \\(y\\), gde parallelnye rebra schitayutsya razlichnymi, ne prevoshodit \\(2(\\delta/2)^t\\). multigraph path degree stmt-graph-layered-bound kratchayshie puti v multigrafe ai_checked v konechnom multigrafe bez petel, stepeni vseh vershin kotorogo ne prevoshodyat \\(\\delta\\), chislo kratchayshih putey mezhdu dvumya vershinami na rasstoyanii \\(t\\ge1\\), s uchetom kratnosti reber, ne prevoshodit \\(2(\\delta/2)^t\\). multigraph path degree stmt-even-degree-corollary chetnaya stepen ai_checked pri \\(\\delta=2m\\) iz teoremy sleduet, chto mezhdu dvumya vershinami na rasstoyanii \\(t\\) v multigrafe maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(2m\\) suschestvuet ne bolee \\(2m^t\\) kratchayshih putey. multigraph path degree idea-prune-to-shortest-path-layers sloi kratchayshih putey udalyaem vse rebra i vershiny, kotorye ne lezhat na kratchayshih putyah iz \\(x\\) v \\(y\\). ostavshiysya graf estestvenno orientirovan ot sloya \\(i\\) k sloyu \\(i+1\\). extremal_graph_theory ai_checked idea-forward-backward-entropy poschitat sluchaynyy put s dvuh storon dlya ravnomerno vybrannogo kratchayshego puti entropiya sleduyuschego rebra kontroliruetsya vyhodyaschey stepenyu sloya, a entropiya predyduschego rebra — vhodyaschey stepenyu. slozhenie dvuh otsenok prevraschaet ogranichenie \\(in(v)+out(v)\\le\\delta\\) v proizvedenie \\(in(v)out(v)\\le(\\delta/2)^2\\). extremal_graph_theory degree_counting ai_checked sol-entropy-bound entropiynoe dokazatelstvo verhney otsenki ai_checked multigraph path degree budem schitat parallelnye rebra razlichnymi. udalim iz \\(g\\) vse, chto ne lezhit na kratchayshih putyah iz \\(x\\) v \\(y\\). v ostavshemsya multigrafe kazhdaya vershina lezhit v nekotorom sloe \\(l_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), a kazhdoe rebro kratchayshego puti idet iz \\(l_i\\) v \\(l_{i+1}\\). dlya vershiny \\(v\\in l_i\\) oboznachim cherez \\(a(v)\\) chislo reber iz \\(l_{i-1}\\) v \\(v\\), a cherez \\(b(v)\\) chislo reber iz \\(v\\) v \\(l_{i+1}\\). dlya vnutrennih sloev imeem \\(a(v)+b(v)\\le\\deg(v)\\le\\delta\\), poetomu \\(a(v)b(v)\\le(\\delta/2)^2\\). pust vsego kratchayshih putey \\(n\\), i vyberem odin iz nih ravnoveroyatno. ego entropiya ravna \\(\\log n\\). esli chitat put sleva napravo, to pri izvestnom prefikse sleduyuschiy shag vybiraetsya sredi ne bolee chem \\(b(v)\\) reber, gde \\(v\\) — tekuschaya vershina. znachit \\[\\log n\\le \\mathbb e\\sum_{i=0}^{t-1}\\log b(x_i),\\] gde \\(x_i\\) — vershina puti v sloe \\(i\\). esli chitat tot zhe put sp…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged","title":"Независимый вершинный разрез в графе с не более чем 2n-4 рёбрами","path":"data\\problems\\classical\\chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Guantao Chen, Xingxing Yu, A note on fragile graphs","Кубок Колмогорова 2024 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"","type":"theorem","authors":["Chen--Yu"],"tags":["connectivity","graph_cut","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":12,"comment":"Олимпиадная задача является прямой формулировкой теоремы Чэня — Юя.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-chen-yu-theorem","title":"Теорема Чэня — Юя","status":"ai_checked","text":"Всякий связный граф на n вершинах с не более чем 2n-4 рёбрами имеет вершинный разрез, который одновременно является независимым множеством.","definition_ids":["connected_graph","independent_set","graph_cut"]},{"id":"stmt-kolmogorov-2024-cutset","title":"Кубок Колмогорова 2024","status":"ai_checked","text":"Пусть G — связный граф с n вершинами и не более чем 2n-4 рёбрами. Докажите, что в G есть независимое множество вершин, удаление которого делает граф несвязным.","definition_ids":["connected_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-chen-yu-reference","title":"Самодостаточное доказательство теоремы Чэня — Юя и сведение Колмогорова","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","independent_set"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем усиленную форму Чэня — Юя. Пусть G — 2-связный простой граф на n вершинах, e(G) ≤ 2n-4, и пусть x — заданная вершина. Тогда в G существует независимый вершинный разрез S, не содержащий x. База индукции. При n=3 единственный 2-связный простой граф — треугольник, у него 3=2n-3 ребра, поэтому условие e(G) ≤ 2n-4 не выполняется. При n=4 из 2-связности следует минимальная степень хотя бы 2, значит e(G) ≥ 4; вместе с e(G) ≤ 4 получаем G=C4. Для любой вершины x две ее соседние вершины образуют независимый разрез: после их удаления остаются две несмежные вершины, одна из которых x. Значит усиленная теорема верна для n=4. Пусть n≥5, и усиленная теорема уже доказана для всех меньших порядков. Рассмотрим 2-связный G с e(G) ≤ 2n-4 и фиксированную вершину x. Если x не лежит ни в одном треугольнике, то N(x) независимо. Кроме того, N(x) является разрезом: после удаления N(x) вершина x изолиров…"}],"relations":[{"id":"rel-kolmogorov-2024-fragile-menger","neighbor_id":"menger-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged независимый вершинный разрез в графе с не более чем 2n-4 рёбрами connectivity graph_cut extremal_graph_theory goal_exact_bound chen--yu chenyu guantao chen, xingxing yu, a note on fragile graphs https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0012365x01002266 misc olympiad_archive paper src-chen-yu-fragile-graphs src-kolmogorov-2024-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова 2024 официальный архив прочее chen--yu guantao chen, xingxing yu, a note on fragile graphs кубок колмогорова 2024 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-chen-yu-theorem теорема чэня — юя ai_checked всякий связный граф на n вершинах с не более чем 2n-4 рёбрами имеет вершинный разрез, который одновременно является независимым множеством. connected_graph independent_set graph_cut stmt-kolmogorov-2024-cutset кубок колмогорова 2024 ai_checked пусть g — связный граф с n вершинами и не более чем 2n-4 рёбрами. докажите, что в g есть независимое множество вершин, удаление которого делает граф несвязным. connected_graph independent_set sol-chen-yu-reference самодостаточное доказательство теоремы чэня — юя и сведение колмогорова ai_checked connected_graph independent_set докажем усиленную форму чэня — юя. пусть g — 2-связный простой граф на n вершинах, e(g) ≤ 2n-4, и пусть x — заданная вершина. тогда в g существует независимый вершинный разрез s, не содержащий x. база индукции. при n=3 единственный 2-связный простой граф — треугольник, у него 3=2n-3 ребра, поэтому условие e(g) ≤ 2n-4 не выполняется. при n=4 из 2-связности следует минимальная степень хотя бы 2, значит e(g) ≥ 4; вместе с e(g) ≤ 4 получаем g=c4. для любой вершины x две ее соседние вершины образуют независимый разрез: после их удаления остаются две несмежные вершины, одна из которых x. значит усиленная теорема верна для n=4. пусть n≥5, и усиленная теорема уже доказана для всех меньших порядков. рассмотрим 2-связный g с e(g) ≤ 2n-4 и фиксированную вершину x. если x не лежит ни в одном треугольнике, то n(x) независимо. кроме того, n(x) является разрезом: после удаления n(x) вершина x изолиров… chen-yu-independent-cutset-kolmogorov-merged nezavisimyy vershinnyy razrez v grafe s ne bolee chem 2n-4 rebrami connectivity graph_cut extremal_graph_theory goal_exact_bound chen--yu chenyu guantao chen, xingxing yu, a note on fragile graphs https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0012365x01002266 misc olympiad_archive paper src-chen-yu-fragile-graphs src-kolmogorov-2024-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv prochee chen--yu guantao chen, xingxing yu, a note on fragile graphs kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-chen-yu-theorem teorema chenya — yuya ai_checked vsyakiy svyaznyy graf na n vershinah s ne bolee chem 2n-4 rebrami imeet vershinnyy razrez, kotoryy odnovremenno yavlyaetsya nezavisimym mnozhestvom. connected_graph independent_set graph_cut stmt-kolmogorov-2024-cutset kubok kolmogorova 2024 ai_checked pust g — svyaznyy graf s n vershinami i ne bolee chem 2n-4 rebrami. dokazhite, chto v g est nezavisimoe mnozhestvo vershin, udalenie kotorogo delaet graf nesvyaznym. connected_graph independent_set sol-chen-yu-reference samodostatochnoe dokazatelstvo teoremy chenya — yuya i svedenie kolmogorova ai_checked connected_graph independent_set dokazhem usilennuyu formu chenya — yuya. pust g — 2-svyaznyy prostoy graf na n vershinah, e(g) ≤ 2n-4, i pust x — zadannaya vershina. togda v g suschestvuet nezavisimyy vershinnyy razrez s, ne soderzhaschiy x. baza induktsii. pri n=3 edinstvennyy 2-svyaznyy prostoy graf — treugolnik, u nego 3=2n-3 rebra, poetomu uslovie e(g) ≤ 2n-4 ne vypolnyaetsya. pri n=4 iz 2-svyaznosti sleduet minimalnaya stepen hotya by 2, znachit e(g) ≥ 4; vmeste s e(g) ≤ 4 poluchaem g=c4. dlya lyuboy vershiny x dve ee sosednie vershiny obrazuyut nezavisimyy razrez: posle ih udaleniya ostayutsya dve nesmezhnye vershiny, odna iz kotoryh x. znachit usilennaya teorema verna dlya n=4. pust n≥5, i usilennaya teorema uzhe dokazana dlya vseh menshih poryadkov. rassmotrim 2-svyaznyy g s e(g) ≤ 2n-4 i fiksirovannuyu vershinu x. esli x ne lezhit ni v odnom treugolnike, to n(x) nezavisimo. krome togo, n(x) yavlyaetsya razrezom: posle udaleniya n(x) vershina x izolirov…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"dolnikov-deletion-independent-set-lemma","title":"Лемма Дольникова о независимом множестве после удаления вершины","path":"data\\problems\\classical\\dolnikov-deletion-independent-set-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/dolnikov-deletion-independent-set-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#dolnikov-deletion-independent-set-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2002 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"","type":"lemma","authors":["Дольников В.Л."],"tags":["extremal_graph_theory","matching","forbidden_clique","classical_theorem","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Самостоятельная экстремальная графовая лемма: короткая формулировка, но доказательство требует Холла, дефицитных окрестностей и минимального контрпримера.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-independent-form","title":"Форма через независимые множества","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(Q\\) — конечный простой граф на \\(2m-1\\) вершинах. Если после удаления любой вершины графа \\(Q\\) в оставшемся графе существует независимое множество размера \\(m\\), то в самом \\(Q\\) существует независимое множество размера \\(m+1\\).","definition_ids":["simple_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-hall-minimal-counterexample","title":"Доказательство через Холла и минимальный контрпример","status":"ai_checked","definition_ids":["independent_set","matching","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное и выберем контрпример с минимальным \\(m\\). Возьмем в \\(Q\\) независимое множество \\(X\\) размера \\(m\\), а остальные вершины обозначим через \\(Y\\), так что \\(|Y|=m-1\\). Если бы для каждого \\(A\\subseteq Y\\) выполнялось \\(|N_X(A)|\\ge |A|\\), то по теореме Холла все вершины \\(Y\\) можно было бы сопоставить их различным соседям из \\(X\\). После удаления единственной несопоставленной вершины из \\(X\\) независимое множество могло бы взять не более одной вершины из каждой сопоставленной смежной пары, то есть имело бы размер не больше \\(m-1\\), противоречие. Значит, существует плохое множество \\(A\\subseteq Y\\), для которого \\(|A|>|N_X(A)|\\). Выберем такое \\(A\\) максимальным по включению и положим \\(|A|=a\\). Для любого \\(C\\subseteq Y\\setminus A\\) выполняется \\(|N_{X\\setminus N_X(A)}(C)|\\ge |C|\\); иначе \\(A\\cup C\\) тоже было бы плохим. По теореме Холла вершины \\(Y\\setminus A\\) можно…"}],"relations":[{"id":"rel-caro-wei-dolnikov-independent-set-motif","neighbor_id":"caro-wei-independent-set-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-dolnikov-lemma-kolm-2002","neighbor_id":"kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-dolnikov-lemma","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-dolnikov-lemma","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"dolnikov-deletion-independent-set-lemma лемма дольникова о независимом множестве после удаления вершины extremal_graph_theory matching forbidden_clique classical_theorem goal_existence https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова дольников в.л. кубок колмогорова 2002 официальный архив прочее дольников в.л. кубок колмогорова 2002 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-independent-form форма через независимые множества ai_checked пусть \\(q\\) — конечный простой граф на \\(2m-1\\) вершинах. если после удаления любой вершины графа \\(q\\) в оставшемся графе существует независимое множество размера \\(m\\), то в самом \\(q\\) существует независимое множество размера \\(m+1\\). simple_graph independent_set idea-maximal-bad-set максимальное плохое множество выбирается независимое множество \\(x\\) размера \\(m\\), а остальные вершины образуют \\(y\\). если часть \\(a\\subseteq y\\) имеет слишком мало соседей в \\(x\\), берется максимальное такое \\(a\\); вне него условие холла уже выполняется. matching extremal_choice ai_checked idea-matched-pairs-force-core сопоставленные пары выталкивают независимость в ядро паросочетание между \\(y\\setminus a\\) и частью \\(x\\) создает смежные пары. поэтому большое независимое множество после удаления вершины вынуждено брать достаточно много вершин из меньшего подграфа на \\(a\\cup b\\). matching minimal_counterexample ai_checked sol-hall-minimal-counterexample доказательство через холла и минимальный контрпример ai_checked independent_set matching bipartite_graph minimal_counterexample extremal_choice предположим противное и выберем контрпример с минимальным \\(m\\). возьмем в \\(q\\) независимое множество \\(x\\) размера \\(m\\), а остальные вершины обозначим через \\(y\\), так что \\(|y|=m-1\\). если бы для каждого \\(a\\subseteq y\\) выполнялось \\(|n_x(a)|\\ge |a|\\), то по теореме холла все вершины \\(y\\) можно было бы сопоставить их различным соседям из \\(x\\). после удаления единственной несопоставленной вершины из \\(x\\) независимое множество могло бы взять не более одной вершины из каждой сопоставленной смежной пары, то есть имело бы размер не больше \\(m-1\\), противоречие. значит, существует плохое множество \\(a\\subseteq y\\), для которого \\(|a|>|n_x(a)|\\). выберем такое \\(a\\) максимальным по включению и положим \\(|a|=a\\). для любого \\(c\\subseteq y\\setminus a\\) выполняется \\(|n_{x\\setminus n_x(a)}(c)|\\ge |c|\\); иначе \\(a\\cup c\\) тоже было бы плохим. по теореме холла вершины \\(y\\setminus a\\) можно… dolnikov-deletion-independent-set-lemma lemma dolnikova o nezavisimom mnozhestve posle udaleniya vershiny extremal_graph_theory matching forbidden_clique classical_theorem goal_existence https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova dolnikov v.l. kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv prochee dolnikov v.l. kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-independent-form forma cherez nezavisimye mnozhestva ai_checked pust \\(q\\) — konechnyy prostoy graf na \\(2m-1\\) vershinah. esli posle udaleniya lyuboy vershiny grafa \\(q\\) v ostavshemsya grafe suschestvuet nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m\\), to v samom \\(q\\) suschestvuet nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m+1\\). simple_graph independent_set idea-maximal-bad-set maksimalnoe plohoe mnozhestvo vybiraetsya nezavisimoe mnozhestvo \\(x\\) razmera \\(m\\), a ostalnye vershiny obrazuyut \\(y\\). esli chast \\(a\\subseteq y\\) imeet slishkom malo sosedey v \\(x\\), beretsya maksimalnoe takoe \\(a\\); vne nego uslovie holla uzhe vypolnyaetsya. matching extremal_choice ai_checked idea-matched-pairs-force-core sopostavlennye pary vytalkivayut nezavisimost v yadro parosochetanie mezhdu \\(y\\setminus a\\) i chastyu \\(x\\) sozdaet smezhnye pary. poetomu bolshoe nezavisimoe mnozhestvo posle udaleniya vershiny vynuzhdeno brat dostatochno mnogo vershin iz menshego podgrafa na \\(a\\cup b\\). matching minimal_counterexample ai_checked sol-hall-minimal-counterexample dokazatelstvo cherez holla i minimalnyy kontrprimer ai_checked independent_set matching bipartite_graph minimal_counterexample extremal_choice predpolozhim protivnoe i vyberem kontrprimer s minimalnym \\(m\\). vozmem v \\(q\\) nezavisimoe mnozhestvo \\(x\\) razmera \\(m\\), a ostalnye vershiny oboznachim cherez \\(y\\), tak chto \\(|y|=m-1\\). esli by dlya kazhdogo \\(a\\subseteq y\\) vypolnyalos \\(|n_x(a)|\\ge |a|\\), to po teoreme holla vse vershiny \\(y\\) mozhno bylo by sopostavit ih razlichnym sosedyam iz \\(x\\). posle udaleniya edinstvennoy nesopostavlennoy vershiny iz \\(x\\) nezavisimoe mnozhestvo moglo by vzyat ne bolee odnoy vershiny iz kazhdoy sopostavlennoy smezhnoy pary, to est imelo by razmer ne bolshe \\(m-1\\), protivorechie. znachit, suschestvuet plohoe mnozhestvo \\(a\\subseteq y\\), dlya kotorogo \\(|a|>|n_x(a)|\\). vyberem takoe \\(a\\) maksimalnym po vklyucheniyu i polozhim \\(|a|=a\\). dlya lyubogo \\(c\\subseteq y\\setminus a\\) vypolnyaetsya \\(|n_{x\\setminus n_x(a)}(c)|\\ge |c|\\); inache \\(a\\cup c\\) tozhe bylo by plohim. po teoreme holla vershiny \\(y\\setminus a\\) mozhno…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"euler-trail-extension-center-forest","title":"Продление эйлерова пути из центральной вершины","path":"data\\problems\\classical\\euler-trail-extension-center-forest.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/euler-trail-extension-center-forest.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#euler-trail-extension-center-forest","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив","Эйлеров цикл","Дерево (теория графов)"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","trees","goal_characterization","classical_theorem"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Компактная эйлерова лемма: препятствие — цикл, не проходящий через выделенную вершину, а положительная часть сводится к проверке чётности в компонентах неиспользованных рёбер.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-euler-trail-extension-center-forest","title":"Критерий продления пути из центральной вершины","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный связный эйлеров граф, а \\(c\\in V(G)\\). Тогда любой путь без повторения рёбер, начинающийся в \\(c\\), можно продолжить неиспользованными рёбрами до эйлерова цикла графа \\(G\\) тогда и только тогда, когда \\(G-c\\) является лесом. Эквивалентно, каждый цикл графа \\(G\\) содержит \\(c\\). Для мультиграфов здесь используется обычное соглашение, что параллельные рёбра образуют цикл длины 2.","definition_ids":["connected_graph","eulerian_cycle","path","cycle","tree"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-road-network-central-city","title":"Формулировка про дорожную сеть","status":"ai_checked","text":"В связной дорожной сети, где существует замкнутый маршрут по всем дорогам ровно по одному разу, путешественник, начавший из выделенного города \\(c\\), может завершить любой уже выбранный маршрут без повторения дорог до полного эйлерова обхода ровно тогда, когда после удаления \\(c\\) не остаётся циклов.","definition_ids":["eulerian_cycle","path","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cycle-obstruction-and-unused-components","title":"Цикловое препятствие и компоненты неиспользованных рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","degree","path","eulerian_cycle","tree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала предположим, что \\(G-c\\) содержит цикл \\(Z\\). Удалим рёбра \\(Z\\). Так как \\(G\\) эйлеров, а удаление цикла меняет степень каждой вершины на \\(Z\\) на 2, в графе \\(G-E(Z)\\) все степени по-прежнему чётны. Значит, компонента графа \\(G-E(Z)\\), содержащая \\(c\\), имеет эйлеров цикл. Возьмём этот цикл как начальный путь из \\(c\\). Он использует все рёбра своей компоненты и возвращается в \\(c\\), но рёбра \\(Z\\) остаются неиспользованными и уже недостижимы продолжением из \\(c\\) по неиспользованному ребру. Следовательно, не всякий путь из \\(c\\) продолжается. Теперь пусть \\(G-c\\) — лес. Возьмём любой путь \\(P\\) без повторения рёбер, начинающийся в \\(c\\), и пусть его текущий конец равен \\(x\\). Обозначим через \\(R=G-E(P)\\) граф неиспользованных рёбер. В \\(R\\) все вершины имеют чётную степень, кроме, возможно, \\(c\\) и \\(x\\); если \\(x\\ne c\\), именно эти две вершины имеют нечётную неиспользованную…"}],"relations":[{"id":"rel-euler-trail-extension-center-forest-kolmogorov-2007-r1hl-p5","neighbor_id":"kolmogorov-2007-round-1-high-league-problem-5","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-eulerian-criterion-euler-trail-extension-center-forest","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-euler-trail-extension-center-forest","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-offplan-imo-2020-c4-euler-trail-extension-forest","neighbor_id":"imo-2020-c4-fibonacci-difference-forest","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"euler-trail-extension-center-forest продление эйлерова пути из центральной вершины eulerian_graphs trees goal_characterization classical_theorem https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%94%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%b2%d0%be_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2_%d1%86%d0%b8%d0%ba%d0%bb https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip misc olympiad_archive reference src-kolmogorov-2007-official src-wikipedia-eulerian-path src-wikipedia-tree with_solution дерево (теория графов) кубок колмогорова 2007 официальный архив прочее эйлеров цикл ? кубок колмогорова 2007 официальный архив эйлеров цикл дерево (теория графов) stmt-euler-trail-extension-center-forest критерий продления пути из центральной вершины ai_checked пусть \\(g\\) — конечный связный эйлеров граф, а \\(c\\in v(g)\\). тогда любой путь без повторения рёбер, начинающийся в \\(c\\), можно продолжить неиспользованными рёбрами до эйлерова цикла графа \\(g\\) тогда и только тогда, когда \\(g-c\\) является лесом. эквивалентно, каждый цикл графа \\(g\\) содержит \\(c\\). для мультиграфов здесь используется обычное соглашение, что параллельные рёбра образуют цикл длины 2. connected_graph eulerian_cycle path cycle tree stmt-road-network-central-city формулировка про дорожную сеть ai_checked в связной дорожной сети, где существует замкнутый маршрут по всем дорогам ровно по одному разу, путешественник, начавший из выделенного города \\(c\\), может завершить любой уже выбранный маршрут без повторения дорог до полного эйлерова обхода ровно тогда, когда после удаления \\(c\\) не остаётся циклов. eulerian_cycle path tree idea-cycle-left-behind цикл вне центра можно оставить позади если цикл не проходит через \\(c\\), сначала удалим его рёбра. компонента, содержащая \\(c\\), всё ещё эйлерова, поэтому можно обойти все её рёбра и вернуться в \\(c\\), оставив этот цикл в отдельной неиспользованной компоненте. eulerian_graphs trees ai_checked idea-unused-components-forced-to-current-end неиспользованные рёбра остаются при текущем конце после любого пути без повторения рёбер из \\(c\\) в \\(x\\) в графе неиспользованных рёбер нечётными могут быть только \\(c\\) и \\(x\\). компонента неиспользованных рёбер вне \\(x\\) либо содержала бы ровно одну нечётную вершину, либо была бы ненулевым подграфом леса \\(g-c\\), все степени которого чётны; оба варианта невозможны. eulerian_graphs trees ai_checked sol-cycle-obstruction-and-unused-components цикловое препятствие и компоненты неиспользованных рёбер ai_checked connected_graph degree path eulerian_cycle tree delete_to_simplify сначала предположим, что \\(g-c\\) содержит цикл \\(z\\). удалим рёбра \\(z\\). так как \\(g\\) эйлеров, а удаление цикла меняет степень каждой вершины на \\(z\\) на 2, в графе \\(g-e(z)\\) все степени по-прежнему чётны. значит, компонента графа \\(g-e(z)\\), содержащая \\(c\\), имеет эйлеров цикл. возьмём этот цикл как начальный путь из \\(c\\). он использует все рёбра своей компоненты и возвращается в \\(c\\), но рёбра \\(z\\) остаются неиспользованными и уже недостижимы продолжением из \\(c\\) по неиспользованному ребру. следовательно, не всякий путь из \\(c\\) продолжается. теперь пусть \\(g-c\\) — лес. возьмём любой путь \\(p\\) без повторения рёбер, начинающийся в \\(c\\), и пусть его текущий конец равен \\(x\\). обозначим через \\(r=g-e(p)\\) граф неиспользованных рёбер. в \\(r\\) все вершины имеют чётную степень, кроме, возможно, \\(c\\) и \\(x\\); если \\(x\\ne c\\), именно эти две вершины имеют нечётную неиспользованную… euler-trail-extension-center-forest prodlenie eylerova puti iz tsentralnoy vershiny eulerian_graphs trees goal_characterization classical_theorem https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%94%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%b2%d0%be_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%be%d0%b2_%d1%86%d0%b8%d0%ba%d0%bb https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip misc olympiad_archive reference src-kolmogorov-2007-official src-wikipedia-eulerian-path src-wikipedia-tree with_solution derevo (teoriya grafov) kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv prochee eylerov tsikl ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv eylerov tsikl derevo (teoriya grafov) stmt-euler-trail-extension-center-forest kriteriy prodleniya puti iz tsentralnoy vershiny ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy eylerov graf, a \\(c\\in v(g)\\). togda lyuboy put bez povtoreniya reber, nachinayuschiysya v \\(c\\), mozhno prodolzhit neispolzovannymi rebrami do eylerova tsikla grafa \\(g\\) togda i tolko togda, kogda \\(g-c\\) yavlyaetsya lesom. ekvivalentno, kazhdyy tsikl grafa \\(g\\) soderzhit \\(c\\). dlya multigrafov zdes ispolzuetsya obychnoe soglashenie, chto parallelnye rebra obrazuyut tsikl dliny 2. connected_graph eulerian_cycle path cycle tree stmt-road-network-central-city formulirovka pro dorozhnuyu set ai_checked v svyaznoy dorozhnoy seti, gde suschestvuet zamknutyy marshrut po vsem dorogam rovno po odnomu razu, puteshestvennik, nachavshiy iz vydelennogo goroda \\(c\\), mozhet zavershit lyuboy uzhe vybrannyy marshrut bez povtoreniya dorog do polnogo eylerova obhoda rovno togda, kogda posle udaleniya \\(c\\) ne ostaetsya tsiklov. eulerian_cycle path tree idea-cycle-left-behind tsikl vne tsentra mozhno ostavit pozadi esli tsikl ne prohodit cherez \\(c\\), snachala udalim ego rebra. komponenta, soderzhaschaya \\(c\\), vse esche eylerova, poetomu mozhno oboyti vse ee rebra i vernutsya v \\(c\\), ostaviv etot tsikl v otdelnoy neispolzovannoy komponente. eulerian_graphs trees ai_checked idea-unused-components-forced-to-current-end neispolzovannye rebra ostayutsya pri tekuschem kontse posle lyubogo puti bez povtoreniya reber iz \\(c\\) v \\(x\\) v grafe neispolzovannyh reber nechetnymi mogut byt tolko \\(c\\) i \\(x\\). komponenta neispolzovannyh reber vne \\(x\\) libo soderzhala by rovno odnu nechetnuyu vershinu, libo byla by nenulevym podgrafom lesa \\(g-c\\), vse stepeni kotorogo chetny; oba varianta nevozmozhny. eulerian_graphs trees ai_checked sol-cycle-obstruction-and-unused-components tsiklovoe prepyatstvie i komponenty neispolzovannyh reber ai_checked connected_graph degree path eulerian_cycle tree delete_to_simplify snachala predpolozhim, chto \\(g-c\\) soderzhit tsikl \\(z\\). udalim rebra \\(z\\). tak kak \\(g\\) eylerov, a udalenie tsikla menyaet stepen kazhdoy vershiny na \\(z\\) na 2, v grafe \\(g-e(z)\\) vse stepeni po-prezhnemu chetny. znachit, komponenta grafa \\(g-e(z)\\), soderzhaschaya \\(c\\), imeet eylerov tsikl. vozmem etot tsikl kak nachalnyy put iz \\(c\\). on ispolzuet vse rebra svoey komponenty i vozvraschaetsya v \\(c\\), no rebra \\(z\\) ostayutsya neispolzovannymi i uzhe nedostizhimy prodolzheniem iz \\(c\\) po neispolzovannomu rebru. sledovatelno, ne vsyakiy put iz \\(c\\) prodolzhaetsya. teper pust \\(g-c\\) — les. vozmem lyuboy put \\(p\\) bez povtoreniya reber, nachinayuschiysya v \\(c\\), i pust ego tekuschiy konets raven \\(x\\). oboznachim cherez \\(r=g-e(p)\\) graf neispolzovannyh reber. v \\(r\\) vse vershiny imeyut chetnuyu stepen, krome, vozmozhno, \\(c\\) i \\(x\\); esli \\(x\\ne c\\), imenno eti dve vershiny imeyut nechetnuyu neispolzovannuyu…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2002-individual-olympiad-10-11-output-problem-5","title":"Разноцветный треугольник в полном графе при редких цветах, Кубок Колмогорова 2002","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2002-individual-olympiad-10-11-output-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2002-individual-olympiad-10-11-output-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2002-individual-olympiad-10-11-output-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2002 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2002","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В этом проходе развёрнуты максимальный выбор, проверка цветов в треугольнике ACB_j и подсчет различных ребер цвета 1.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Ребра полного графа с \\(n\\) вершинами покрашены в несколько цветов так, что каждый цвет встречается не более \\(n - 2\\) раз. Докажите, что есть три вершины, все ребра между которыми покрашены в различные цвета.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Доказательство через максимальный цветовой пучок","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное: нет треугольника, у которого все три ребра имеют разные цвета. Тогда в каждом треугольнике среди трех ребер найдутся два одноцветных. Выберем вершину `A` и цвет так, чтобы из `A` выходило как можно больше ребер одного цвета. Обозначим этот цвет через `1`, а концы соответствующих ребер через `B_1, ..., B_k`; значит, ребра `AB_1, ..., AB_k` имеют цвет `1`, и ни из какой вершины не выходит больше чем `k` ребер одного цвета. Рассмотрим любую вершину `C`, не входящую в множество `{B_1, ..., B_k}` и отличную от `A`. Ребро `AC` имеет некоторый цвет `i`, отличный от `1`, потому что все соседи, соединенные с `A` цветом `1`, уже перечислены как `B_j`. Для каждого `j` посмотрим на треугольник `A C B_j`. В нем ребра `AB_j` и `AC` имеют цвета `1` и `i`. Если бы ребро `CB_j` имело третий цвет, отличный и от `1`, и от `i`, получился бы разноцветный треугольник. Значит, каждое ре…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2002-rainbow-triangle-two-criteria","neighbor_id":"kolmogorov-2002-individual-olympiad-8-9-output-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2021-p8-kolm-2002-rare-colors-components","neighbor_id":"kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2002-individual-olympiad-10-11-output-problem-5 разноцветный треугольник в полном графе при редких цветах, кубок колмогорова 2002 goal_counting 2002 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip kolmogorov kolmogorov2002 olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2002 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2002 ? кубок колмогорова 2002 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked ребра полного графа с \\(n\\) вершинами покрашены в несколько цветов так, что каждый цвет встречается не более \\(n - 2\\) раз. докажите, что есть три вершины, все ребра между которыми покрашены в различные цвета. simple_graph idea-graph-role графовая роль в условии явно фигурирует полный граф и раскраска его ребер. официальные решения используют свойства цветных подграфов, компонент связности и треугольников, так что графовая структура здесь существенна. ai_checked sol-official-compressed доказательство через максимальный цветовой пучок ai_checked simple_graph предположим противное: нет треугольника, у которого все три ребра имеют разные цвета. тогда в каждом треугольнике среди трех ребер найдутся два одноцветных. выберем вершину `a` и цвет так, чтобы из `a` выходило как можно больше ребер одного цвета. обозначим этот цвет через `1`, а концы соответствующих ребер через `b_1, ..., b_k`; значит, ребра `ab_1, ..., ab_k` имеют цвет `1`, и ни из какой вершины не выходит больше чем `k` ребер одного цвета. рассмотрим любую вершину `c`, не входящую в множество `{b_1, ..., b_k}` и отличную от `a`. ребро `ac` имеет некоторый цвет `i`, отличный от `1`, потому что все соседи, соединенные с `a` цветом `1`, уже перечислены как `b_j`. для каждого `j` посмотрим на треугольник `a c b_j`. в нем ребра `ab_j` и `ac` имеют цвета `1` и `i`. если бы ребро `cb_j` имело третий цвет, отличный и от `1`, и от `i`, получился бы разноцветный треугольник. значит, каждое ре… kolmogorov-2002-individual-olympiad-10-11-output-problem-5 raznotsvetnyy treugolnik v polnom grafe pri redkih tsvetah, kubok kolmogorova 2002 goal_counting 2002 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip kolmogorov kolmogorov2002 olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2002 ? kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked rebra polnogo grafa s \\(n\\) vershinami pokrasheny v neskolko tsvetov tak, chto kazhdyy tsvet vstrechaetsya ne bolee \\(n - 2\\) raz. dokazhite, chto est tri vershiny, vse rebra mezhdu kotorymi pokrasheny v razlichnye tsveta. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno figuriruet polnyy graf i raskraska ego reber. ofitsialnye resheniya ispolzuyut svoystva tsvetnyh podgrafov, komponent svyaznosti i treugolnikov, tak chto grafovaya struktura zdes suschestvenna. ai_checked sol-official-compressed dokazatelstvo cherez maksimalnyy tsvetovoy puchok ai_checked simple_graph predpolozhim protivnoe: net treugolnika, u kotorogo vse tri rebra imeyut raznye tsveta. togda v kazhdom treugolnike sredi treh reber naydutsya dva odnotsvetnyh. vyberem vershinu `a` i tsvet tak, chtoby iz `a` vyhodilo kak mozhno bolshe reber odnogo tsveta. oboznachim etot tsvet cherez `1`, a kontsy sootvetstvuyuschih reber cherez `b_1, ..., b_k`; znachit, rebra `ab_1, ..., ab_k` imeyut tsvet `1`, i ni iz kakoy vershiny ne vyhodit bolshe chem `k` reber odnogo tsveta. rassmotrim lyubuyu vershinu `c`, ne vhodyaschuyu v mnozhestvo `{b_1, ..., b_k}` i otlichnuyu ot `a`. rebro `ac` imeet nekotoryy tsvet `i`, otlichnyy ot `1`, potomu chto vse sosedi, soedinennye s `a` tsvetom `1`, uzhe perechisleny kak `b_j`. dlya kazhdogo `j` posmotrim na treugolnik `a c b_j`. v nem rebra `ab_j` i `ac` imeyut tsveta `1` i `i`. esli by rebro `cb_j` imelo tretiy tsvet, otlichnyy i ot `1`, i ot `i`, poluchilsya by raznotsvetnyy treugolnik. znachit, kazhdoe re…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2002-individual-olympiad-8-9-output-problem-5","title":"Разноцветный треугольник в полном графе при не менее n цветах, Кубок Колмогорова 2002","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2002-individual-olympiad-8-9-output-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2002-individual-olympiad-8-9-output-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2002-individual-olympiad-8-9-output-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2002 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2002","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_counting","coloring"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный архивный план развёрнут в самодостаточное доказательство через разноцветный цикл","notes":"Проверены выбор по одному ребру каждого цвета, существование цикла из-за не менее n рёбер и минимальный разноцветный цикл, который обязан быть треугольником.","audit_source":"official-outline-cleanup-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Ребра полного графа с \\(n\\) вершинами покрашены в несколько цветов, причем цветов не менее, чем \\(n\\). Докажите, что есть три вершины, все ребра между которыми покрашены в различные цвета.","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","cycle","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Доказательство через разноцветный цикл","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","cycle","triangle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Достаточно доказать существование разноцветного цикла. Для этого в графе оставим по одному ребру каждого цвета и сотрем остальные ребра. Получится граф на `n` вершинах с как минимум `n` ребрами. Если последовательно удалять вершины степени меньше двух, не могут исчезнуть все вершины: всякий лес на `n` вершинах имеет не более `n - 1` ребер, а значит граф с `n` ребрами содержит цикл. Поэтому в конце остается подграф, где у каждой вершины степень не меньше двух, и в нем есть цикл. Этот цикл состоит из ребер разных цветов, потому что мы оставляли не более одного ребра каждого цвета. Выберем разноцветный цикл минимальной длины. Если его длина больше 3, возьмем диагональ между двумя несоседними вершинами цикла. Эта диагональ вместе с двумя дугами исходного цикла образует два меньших цикла. Цвет диагонали может совпасть не более чем с одним ребром исходного цикла, потому что все ребра цикла ра…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2002-rainbow-triangle-two-criteria","neighbor_id":"kolmogorov-2002-individual-olympiad-10-11-output-problem-5","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2021-bipartite-color-components-rainbow-cycle","neighbor_id":"kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2002-individual-olympiad-8-9-output-problem-5 разноцветный треугольник в полном графе при не менее n цветах, кубок колмогорова 2002 goal_counting coloring 2002 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip kolmogorov kolmogorov2002 olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2002 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2002 ? кубок колмогорова 2002 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked ребра полного графа с \\(n\\) вершинами покрашены в несколько цветов, причем цветов не менее, чем \\(n\\). докажите, что есть три вершины, все ребра между которыми покрашены в различные цвета. simple_graph complete_graph cycle triangle idea-graph-role графовая роль в условии явно дан полный граф с раскраской ребер. официальное решение строит подграф, ищет цикл и затем получает разноцветный треугольник, то есть графовая идея здесь основная. ai_checked sol-official-compressed доказательство через разноцветный цикл ai_checked simple_graph complete_graph cycle triangle достаточно доказать существование разноцветного цикла. для этого в графе оставим по одному ребру каждого цвета и сотрем остальные ребра. получится граф на `n` вершинах с как минимум `n` ребрами. если последовательно удалять вершины степени меньше двух, не могут исчезнуть все вершины: всякий лес на `n` вершинах имеет не более `n - 1` ребер, а значит граф с `n` ребрами содержит цикл. поэтому в конце остается подграф, где у каждой вершины степень не меньше двух, и в нем есть цикл. этот цикл состоит из ребер разных цветов, потому что мы оставляли не более одного ребра каждого цвета. выберем разноцветный цикл минимальной длины. если его длина больше 3, возьмем диагональ между двумя несоседними вершинами цикла. эта диагональ вместе с двумя дугами исходного цикла образует два меньших цикла. цвет диагонали может совпасть не более чем с одним ребром исходного цикла, потому что все ребра цикла ра… kolmogorov-2002-individual-olympiad-8-9-output-problem-5 raznotsvetnyy treugolnik v polnom grafe pri ne menee n tsvetah, kubok kolmogorova 2002 goal_counting coloring 2002 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip kolmogorov kolmogorov2002 olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2002 ? kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked rebra polnogo grafa s \\(n\\) vershinami pokrasheny v neskolko tsvetov, prichem tsvetov ne menee, chem \\(n\\). dokazhite, chto est tri vershiny, vse rebra mezhdu kotorymi pokrasheny v razlichnye tsveta. simple_graph complete_graph cycle triangle idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno dan polnyy graf s raskraskoy reber. ofitsialnoe reshenie stroit podgraf, ischet tsikl i zatem poluchaet raznotsvetnyy treugolnik, to est grafovaya ideya zdes osnovnaya. ai_checked sol-official-compressed dokazatelstvo cherez raznotsvetnyy tsikl ai_checked simple_graph complete_graph cycle triangle dostatochno dokazat suschestvovanie raznotsvetnogo tsikla. dlya etogo v grafe ostavim po odnomu rebru kazhdogo tsveta i sotrem ostalnye rebra. poluchitsya graf na `n` vershinah s kak minimum `n` rebrami. esli posledovatelno udalyat vershiny stepeni menshe dvuh, ne mogut ischeznut vse vershiny: vsyakiy les na `n` vershinah imeet ne bolee `n - 1` reber, a znachit graf s `n` rebrami soderzhit tsikl. poetomu v kontse ostaetsya podgraf, gde u kazhdoy vershiny stepen ne menshe dvuh, i v nem est tsikl. etot tsikl sostoit iz reber raznyh tsvetov, potomu chto my ostavlyali ne bolee odnogo rebra kazhdogo tsveta. vyberem raznotsvetnyy tsikl minimalnoy dliny. esli ego dlina bolshe 3, vozmem diagonal mezhdu dvumya nesosednimi vershinami tsikla. eta diagonal vmeste s dvumya dugami ishodnogo tsikla obrazuet dva menshih tsikla. tsvet diagonali mozhet sovpast ne bolee chem s odnim rebrom ishodnogo tsikla, potomu chto vse rebra tsikla ra…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8","title":"Пересечение n-клик при ограничениях на степени и независимые пары, Кубок Колмогорова 2002","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2002 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2002","type":"olympiad_problem","authors":["Берлов С.Л."],"tags":["extremal_graph_theory","matching","forbidden_clique","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сверено по официальному решению VI Кубка Колмогорова: задача требует нетривиальной леммы Дольникова, Холла и экстремального контроля пересечений n-клик.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.95,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальное решение сверено по OlympVI.doc из архива VI Кубка Колмогорова; сжатый план удален, оставлено одно самодостаточное решение.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Степени всех вершин графа \\(G\\) меньше \\(3n/2 - 1\\) (\\(n > 2\\)), причем среди любых \\(n + 1\\) вершин есть две несмежных. Назовем блоком множество из \\(n\\) попарно смежных вершин графа \\(G\\). Известно, что любые два блока имеют общую вершину. Докажите, что все блоки имеют общую вершину.","definition_ids":["simple_graph","degree","clique","independent_set","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-full","title":"Полное решение по официальному разбору","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","clique","independent_set","complement_graph","matching","bipartite_graph","hall_theorem"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition","minimal_counterexample","augmenting_path_method","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через \\(\\Delta\\) максимальную степень графа \\(G\\) и положим \\(k=\\Delta-n\\). Из условия \\(\\Delta<3n/2-1\\) следует \\(2(k+1)<n\\). Кроме того, в \\(G\\) нет клики размера \\(n+1\\), потому что среди любых \\(n+1\\) вершин есть две несмежные. Сначала докажем лемму Дольникова в дополнительной форме. Пусть \\(Q\\) -- граф на \\(2m-1\\) вершинах, и после удаления любой вершины в \\(Q\\) остается независимое множество размера \\(m\\). Тогда в \\(Q\\) есть независимое множество размера \\(m+1\\). Предположим противное и выберем контрпример с минимальным \\(m\\). Возьмем независимое множество \\(X\\) размера \\(m\\), а остальные вершины обозначим \\(Y\\), так что \\(|Y|=m-1\\). Назовем множество \\(A\\subseteq Y\\) плохим, если \\(|A|>|N_X(A)|\\). Сначала заметим, что плохое множество существует. Если бы для каждого \\(A\\subseteq Y\\) выполнялось \\(|N_X(A)|\\ge |A|\\), то по лемме Холла вершины \\(Y\\) можно было бы попарно р…"}],"relations":[{"id":"rel-dolnikov-lemma-kolm-2002","neighbor_id":"dolnikov-deletion-independent-set-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-kolmogorov-2002-dolnikov","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-matching-tiling-kolm-2002-rmm-2017-hall-deficiency","neighbor_id":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2002-p8-hall-theorem","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2002-p8-imc-1997-uniform-intersecting-families","neighbor_id":"imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8 пересечение n-клик при ограничениях на степени и независимые пары, кубок колмогорова 2002 extremal_graph_theory matching forbidden_clique goal_proof 2002 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip kolmogorov kolmogorov2002 olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова берлов с.л. кубок колмогорова кубок колмогорова 2002 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2002 берлов с.л. кубок колмогорова 2002 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked степени всех вершин графа \\(g\\) меньше \\(3n/2 - 1\\) (\\(n > 2\\)), причем среди любых \\(n + 1\\) вершин есть две несмежных. назовем блоком множество из \\(n\\) попарно смежных вершин графа \\(g\\). известно, что любые два блока имеют общую вершину. докажите, что все блоки имеют общую вершину. simple_graph degree clique independent_set complement_graph idea-graph-role графовая роль в условии явно фигурирует граф, степени вершин, смежность и полные подграфы размера \\(n\\). официальное решение целиком работает внутри теории графов: использует дополнительный граф, клики, пересечения блоков и лемму холла. extremal_graph_theory matching ai_checked sol-official-full полное решение по официальному разбору ai_checked simple_graph degree clique independent_set complement_graph matching bipartite_graph hall_theorem complement_graph_transition minimal_counterexample augmenting_path_method extremal_choice обозначим через \\(\\delta\\) максимальную степень графа \\(g\\) и положим \\(k=\\delta-n\\). из условия \\(\\delta<3n/2-1\\) следует \\(2(k+1)<n\\). кроме того, в \\(g\\) нет клики размера \\(n+1\\), потому что среди любых \\(n+1\\) вершин есть две несмежные. сначала докажем лемму дольникова в дополнительной форме. пусть \\(q\\) -- граф на \\(2m-1\\) вершинах, и после удаления любой вершины в \\(q\\) остается независимое множество размера \\(m\\). тогда в \\(q\\) есть независимое множество размера \\(m+1\\). предположим противное и выберем контрпример с минимальным \\(m\\). возьмем независимое множество \\(x\\) размера \\(m\\), а остальные вершины обозначим \\(y\\), так что \\(|y|=m-1\\). назовем множество \\(a\\subseteq y\\) плохим, если \\(|a|>|n_x(a)|\\). сначала заметим, что плохое множество существует. если бы для каждого \\(a\\subseteq y\\) выполнялось \\(|n_x(a)|\\ge |a|\\), то по лемме холла вершины \\(y\\) можно было бы попарно р… kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8 peresechenie n-klik pri ogranicheniyah na stepeni i nezavisimye pary, kubok kolmogorova 2002 extremal_graph_theory matching forbidden_clique goal_proof 2002 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm6.zip kolmogorov kolmogorov2002 olympiad_archive src-kolmogorov-2002-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova berlov s.l. kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2002 berlov s.l. kubok kolmogorova 2002 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked stepeni vseh vershin grafa \\(g\\) menshe \\(3n/2 - 1\\) (\\(n > 2\\)), prichem sredi lyubyh \\(n + 1\\) vershin est dve nesmezhnyh. nazovem blokom mnozhestvo iz \\(n\\) poparno smezhnyh vershin grafa \\(g\\). izvestno, chto lyubye dva bloka imeyut obschuyu vershinu. dokazhite, chto vse bloki imeyut obschuyu vershinu. simple_graph degree clique independent_set complement_graph idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno figuriruet graf, stepeni vershin, smezhnost i polnye podgrafy razmera \\(n\\). ofitsialnoe reshenie tselikom rabotaet vnutri teorii grafov: ispolzuet dopolnitelnyy graf, kliki, peresecheniya blokov i lemmu holla. extremal_graph_theory matching ai_checked sol-official-full polnoe reshenie po ofitsialnomu razboru ai_checked simple_graph degree clique independent_set complement_graph matching bipartite_graph hall_theorem complement_graph_transition minimal_counterexample augmenting_path_method extremal_choice oboznachim cherez \\(\\delta\\) maksimalnuyu stepen grafa \\(g\\) i polozhim \\(k=\\delta-n\\). iz usloviya \\(\\delta<3n/2-1\\) sleduet \\(2(k+1)<n\\). krome togo, v \\(g\\) net kliki razmera \\(n+1\\), potomu chto sredi lyubyh \\(n+1\\) vershin est dve nesmezhnye. snachala dokazhem lemmu dolnikova v dopolnitelnoy forme. pust \\(q\\) -- graf na \\(2m-1\\) vershinah, i posle udaleniya lyuboy vershiny v \\(q\\) ostaetsya nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m\\). togda v \\(q\\) est nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m+1\\). predpolozhim protivnoe i vyberem kontrprimer s minimalnym \\(m\\). vozmem nezavisimoe mnozhestvo \\(x\\) razmera \\(m\\), a ostalnye vershiny oboznachim \\(y\\), tak chto \\(|y|=m-1\\). nazovem mnozhestvo \\(a\\subseteq y\\) plohim, esli \\(|a|>|n_x(a)|\\). snachala zametim, chto plohoe mnozhestvo suschestvuet. esli by dlya kazhdogo \\(a\\subseteq y\\) vypolnyalos \\(|n_x(a)|\\ge |a|\\), to po lemme holla vershiny \\(y\\) mozhno bylo by poparno r…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8","title":"Минимально сильно связный орграф на 100 городах, Кубок Колмогорова 2003","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2003 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2003","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 100 городов некоторые пары городов соединены дорогой с односторонним движением. Из любого города можно доехать до любого другого, но после закрытия любой одной дороги это свойство нарушается. Любые два города соединены не более чем одной дорогой. Найдите наибольшее возможное число дорог.","definition_ids":["directed_graph","path","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Развернутое решение через минимальный сильносвязный орграф","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","connected_graph"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведем условие на язык ориентированных графов. Города будем считать вершинами, а дороги - дугами. Так как любые два города соединены не более чем одной дорогой, между двумя вершинами нет ни параллельных дуг, ни двух противоположно направленных дуг. Условие достижимости означает, что граф сильно связен, а условие про закрытие любой дороги означает, что после удаления любой дуги сильная связность исчезает. Иными словами, перед нами минимальный по дугам сильно связный ориентированный граф на `100` вершинах. Построим пример. Возьмем вершины `A`, `B`, `C_1, ..., C_98` и проведем дуги `A -> C_i`, `C_i -> B` для всех `i = 1, ..., 98`, а также одну дугу `B -> A`. Всего дуг `98 + 98 + 1 = 197`. Из любой вершины можно добраться до любой другой: из `A` попадаем в любой `C_i`, затем в `B`, из `B` попадаем в `A`, а из `C_i` путь идет через `B` и `A`. Каждая дуга существенна: без дуги `A -> C_i` н…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2003-2004-critical-strong-digraphs","neighbor_id":"kolmogorov-2004-round3-higher-league-problem-10","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-spbmo-2017-10-p7-kolmogorov-2003-critical-strong-digraphs","neighbor_id":"spbmo-2017-10-p7-remove-directed-cycle-keep-strong","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2021-t1-kolmogorov-2003-minimal-strong","neighbor_id":"kolmogorov-2021-t1-critical-strong-orientation","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2003-connectivity-imo-2013-c6","neighbor_id":"third-fourth-distance-layer-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8 минимально сильно связный орграф на 100 городах, кубок колмогорова 2003 connectivity extremal_graph_theory goal_exact_bound 2003 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm7.zip kolmogorov kolmogorov2003 olympiad_archive src-kolmogorov-2003-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2003 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2003 ? кубок колмогорова 2003 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 100 городов некоторые пары городов соединены дорогой с односторонним движением. из любого города можно доехать до любого другого, но после закрытия любой одной дороги это свойство нарушается. любые два города соединены не более чем одной дорогой. найдите наибольшее возможное число дорог. directed_graph path connected_graph idea-graph-role графовая роль граф явно присутствует в условии через ориентированную дорожную сеть, а официальное решение целиком сформулировано как утверждение о сильно связном орграфе и его дугах. connectivity extremal_graph_theory ai_checked sol-official-expanded развернутое решение через минимальный сильносвязный орграф ai_checked directed_graph path connected_graph extremal_choice переведем условие на язык ориентированных графов. города будем считать вершинами, а дороги - дугами. так как любые два города соединены не более чем одной дорогой, между двумя вершинами нет ни параллельных дуг, ни двух противоположно направленных дуг. условие достижимости означает, что граф сильно связен, а условие про закрытие любой дороги означает, что после удаления любой дуги сильная связность исчезает. иными словами, перед нами минимальный по дугам сильно связный ориентированный граф на `100` вершинах. построим пример. возьмем вершины `a`, `b`, `c_1, ..., c_98` и проведем дуги `a -> c_i`, `c_i -> b` для всех `i = 1, ..., 98`, а также одну дугу `b -> a`. всего дуг `98 + 98 + 1 = 197`. из любой вершины можно добраться до любой другой: из `a` попадаем в любой `c_i`, затем в `b`, из `b` попадаем в `a`, а из `c_i` путь идет через `b` и `a`. каждая дуга существенна: без дуги `a -> c_i` н… kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8 minimalno silno svyaznyy orgraf na 100 gorodah, kubok kolmogorova 2003 connectivity extremal_graph_theory goal_exact_bound 2003 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm7.zip kolmogorov kolmogorov2003 olympiad_archive src-kolmogorov-2003-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2003 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2003 ? kubok kolmogorova 2003 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 100 gorodov nekotorye pary gorodov soedineny dorogoy s odnostoronnim dvizheniem. iz lyubogo goroda mozhno doehat do lyubogo drugogo, no posle zakrytiya lyuboy odnoy dorogi eto svoystvo narushaetsya. lyubye dva goroda soedineny ne bolee chem odnoy dorogoy. naydite naibolshee vozmozhnoe chislo dorog. directed_graph path connected_graph idea-graph-role grafovaya rol graf yavno prisutstvuet v uslovii cherez orientirovannuyu dorozhnuyu set, a ofitsialnoe reshenie tselikom sformulirovano kak utverzhdenie o silno svyaznom orgrafe i ego dugah. connectivity extremal_graph_theory ai_checked sol-official-expanded razvernutoe reshenie cherez minimalnyy silnosvyaznyy orgraf ai_checked directed_graph path connected_graph extremal_choice perevedem uslovie na yazyk orientirovannyh grafov. goroda budem schitat vershinami, a dorogi - dugami. tak kak lyubye dva goroda soedineny ne bolee chem odnoy dorogoy, mezhdu dvumya vershinami net ni parallelnyh dug, ni dvuh protivopolozhno napravlennyh dug. uslovie dostizhimosti oznachaet, chto graf silno svyazen, a uslovie pro zakrytie lyuboy dorogi oznachaet, chto posle udaleniya lyuboy dugi silnaya svyaznost ischezaet. inymi slovami, pered nami minimalnyy po dugam silno svyaznyy orientirovannyy graf na `100` vershinah. postroim primer. vozmem vershiny `a`, `b`, `c_1, ..., c_98` i provedem dugi `a -> c_i`, `c_i -> b` dlya vseh `i = 1, ..., 98`, a takzhe odnu dugu `b -> a`. vsego dug `98 + 98 + 1 = 197`. iz lyuboy vershiny mozhno dobratsya do lyuboy drugoy: iz `a` popadaem v lyuboy `c_i`, zatem v `b`, iz `b` popadaem v `a`, a iz `c_i` put idet cherez `b` i `a`. kazhdaya duga suschestvenna: bez dugi `a -> c_i` n…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2004-round1-higher-league-problem-3","title":"Восстановление дерева без вершин степени 2 по удалениям вершин, Кубок Колмогорова 2004","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2004-round1-higher-league-problem-3.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2004-round1-higher-league-problem-3.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2004-round1-higher-league-problem-3","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2004 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","connectivity","extremal_choice","degree_counting","goal_algorithm"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Задача высшей лиги Кубка Колмогорова: ключевой шаг — экстремальный выбор периферийной вершины минимальной степени на неименованных карточках.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом до полного решения","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"официальный файл tur1sol.doc из архива src-kolmogorov-2004-official содержит краткое решение через периферийную вершину минимальной степени; локальный high-reasoning проход 2026-05-17 раскрыл малые случаи и проверил, что выбор работает для неименованного мультимножества карточек","notes":"Ключевой непроверенный ранее шаг закрыт: допустимость выбранной вершины переносится со связной карточки в исходное дерево, потому что иначе один из листьев карточки стал бы вершиной степени 2 в исходном дереве. Если выбранная допустимая периферийная вершина минимальной степени не была бы смежна с удалённым листом, удаление одного из её собственных листьев дало бы связную карточку с той же допустимой вершиной меньшей степени. Это изоморфизм-инвариантный критерий, поэтому имена вершин не нужны.","audit_source":"high-reasoning-official-plan-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Саша нарисовал дерево, в котором нет вершин степени 2. Для каждой вершины он отдельно нарисовал граф, получающийся после удаления этой вершины вместе со всеми инцидентными ей ребрами, и передал все эти рисунки Игорю. Докажите, что по этим рисункам Игорь может восстановить исходное дерево.","definition_ids":["simple_graph","tree","degree","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение по официальной идее","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","tree","degree","connected_graph"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать, что Игорю дано мультимножество карточек: для каждой вершины дерева \\(T\\) дана неименованная копия графа \\(T-v\\). Восстановить дерево значит восстановить его с точностью до изоморфизма. Сначала разберём малые и звёздные случаи. Число вершин \\(T\\) известно: оно равно числу карточек, а каждая карточка имеет на одну вершину меньше. Если \\(T\\) имеет одну вершину или одно ребро, это сразу видно по карточкам. Если среди связных карточек есть звезда, то исходное дерево в этом случае восстанавливается единственно: такая карточка имеет вид \\(T-l\\), где \\(l\\) — лист, и вернуть \\(l\\) можно только к центру звезды. Прикрепление нового листа к любому старому листу создало бы в исходном дереве вершину степени 2. Поэтому эта карточка даёт исходную звезду. Далее считаем, что \\(T\\) не является звездой; тогда в \\(T\\) есть хотя бы две нелистовые вершины. Для дерева верно простое наблюдение: е…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2004-tree-reconstruction-tree-basics","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2015-spies-2004-tree-reconstruction","neighbor_id":"kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2004-round1-higher-league-problem-3 восстановление дерева без вершин степени 2 по удалениям вершин, кубок колмогорова 2004 trees connectivity extremal_choice degree_counting goal_algorithm 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2004 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2004 ? кубок колмогорова 2004 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked саша нарисовал дерево, в котором нет вершин степени 2. для каждой вершины он отдельно нарисовал граф, получающийся после удаления этой вершины вместе со всеми инцидентными ей ребрами, и передал все эти рисунки игорю. докажите, что по этим рисункам игорь может восстановить исходное дерево. simple_graph tree degree connected_graph idea-connected-cards-are-leaves связные карточки распознают удаление листьев в дереве после удаления вершины число компонент равно степени удалённой вершины. поэтому среди всех неименованных карточек связные карточки — ровно те, которые получены удалением листа. trees connectivity degree_counting ai_checked idea-minimal-peripheral-degree минимальная периферийная степень указывает на стёртый лист на связных карточках можно внутренне распознать нелистовую вершину, у которой ровно один нелистовой сосед. если среди всех таких вершин выбрать вершину минимальной степени, то соответствующая карточка обязана быть получена удалением листа, смежного именно с этой вершиной; иначе удаление одного из её собственных листьев дало бы ту же периферийную вершину меньшей степени. trees extremal_choice degree_counting ai_checked sol-official-compressed полное решение по официальной идее ai_checked simple_graph tree degree connected_graph delete_to_simplify extremal_choice будем считать, что игорю дано мультимножество карточек: для каждой вершины дерева \\(t\\) дана неименованная копия графа \\(t-v\\). восстановить дерево значит восстановить его с точностью до изоморфизма. сначала разберём малые и звёздные случаи. число вершин \\(t\\) известно: оно равно числу карточек, а каждая карточка имеет на одну вершину меньше. если \\(t\\) имеет одну вершину или одно ребро, это сразу видно по карточкам. если среди связных карточек есть звезда, то исходное дерево в этом случае восстанавливается единственно: такая карточка имеет вид \\(t-l\\), где \\(l\\) — лист, и вернуть \\(l\\) можно только к центру звезды. прикрепление нового листа к любому старому листу создало бы в исходном дереве вершину степени 2. поэтому эта карточка даёт исходную звезду. далее считаем, что \\(t\\) не является звездой; тогда в \\(t\\) есть хотя бы две нелистовые вершины. для дерева верно простое наблюдение: е… kolmogorov-2004-round1-higher-league-problem-3 vosstanovlenie dereva bez vershin stepeni 2 po udaleniyam vershin, kubok kolmogorova 2004 trees connectivity extremal_choice degree_counting goal_algorithm 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2004 ? kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked sasha narisoval derevo, v kotorom net vershin stepeni 2. dlya kazhdoy vershiny on otdelno narisoval graf, poluchayuschiysya posle udaleniya etoy vershiny vmeste so vsemi intsidentnymi ey rebrami, i peredal vse eti risunki igoryu. dokazhite, chto po etim risunkam igor mozhet vosstanovit ishodnoe derevo. simple_graph tree degree connected_graph idea-connected-cards-are-leaves svyaznye kartochki raspoznayut udalenie listev v dereve posle udaleniya vershiny chislo komponent ravno stepeni udalennoy vershiny. poetomu sredi vseh neimenovannyh kartochek svyaznye kartochki — rovno te, kotorye polucheny udaleniem lista. trees connectivity degree_counting ai_checked idea-minimal-peripheral-degree minimalnaya periferiynaya stepen ukazyvaet na stertyy list na svyaznyh kartochkah mozhno vnutrenne raspoznat nelistovuyu vershinu, u kotoroy rovno odin nelistovoy sosed. esli sredi vseh takih vershin vybrat vershinu minimalnoy stepeni, to sootvetstvuyuschaya kartochka obyazana byt poluchena udaleniem lista, smezhnogo imenno s etoy vershinoy; inache udalenie odnogo iz ee sobstvennyh listev dalo by tu zhe periferiynuyu vershinu menshey stepeni. trees extremal_choice degree_counting ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie po ofitsialnoy idee ai_checked simple_graph tree degree connected_graph delete_to_simplify extremal_choice budem schitat, chto igoryu dano multimnozhestvo kartochek: dlya kazhdoy vershiny dereva \\(t\\) dana neimenovannaya kopiya grafa \\(t-v\\). vosstanovit derevo znachit vosstanovit ego s tochnostyu do izomorfizma. snachala razberem malye i zvezdnye sluchai. chislo vershin \\(t\\) izvestno: ono ravno chislu kartochek, a kazhdaya kartochka imeet na odnu vershinu menshe. esli \\(t\\) imeet odnu vershinu ili odno rebro, eto srazu vidno po kartochkam. esli sredi svyaznyh kartochek est zvezda, to ishodnoe derevo v etom sluchae vosstanavlivaetsya edinstvenno: takaya kartochka imeet vid \\(t-l\\), gde \\(l\\) — list, i vernut \\(l\\) mozhno tolko k tsentru zvezdy. prikreplenie novogo lista k lyubomu staromu listu sozdalo by v ishodnom dereve vershinu stepeni 2. poetomu eta kartochka daet ishodnuyu zvezdu. dalee schitaem, chto \\(t\\) ne yavlyaetsya zvezdoy; togda v \\(t\\) est hotya by dve nelistovye vershiny. dlya dereva verno prostoe nablyudenie: e…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2004-round2-higher-league-problem-9","title":"C4-свободный граф и арифметическая прогрессия из пяти независимых вершин, Кубок Колмогорова 2004","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2004-round2-higher-league-problem-9.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2004-round2-higher-league-problem-9.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2004-round2-higher-league-problem-9","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2004 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","double_counting","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный архивный план развёрнут в самодостаточное доказательство двойным счётом","notes":"Проверены подсчёт 5-членных арифметических прогрессий, верхняя кратность покрытия одной прогрессии ребром и стандартная оценка числа рёбер в C4-свободном графе через 2-пути.","audit_source":"official-outline-cleanup-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Вершины графа занумерованы натуральными числами от \\(1\\) до \\(10^5\\), причем каждое число встречается ровно один раз. Известно, что в этом графе нет циклов длины 4. Докажите, что существует арифметическая прогрессия из пяти натуральных чисел, не превосходящих \\(10^5\\), такая, что никакие две вершины с номерами из этой прогрессии не соединены ребром.","definition_ids":["simple_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение через двойной счет прогрессий","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть `N = 10^5`, а `E` — число ребер графа. Предположим противное: каждая арифметическая прогрессия `a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d`, где `d >= 1` и `a + 4d <= N`, содержит хотя бы одну пару вершин, соединенных ребром. Сначала посчитаем такие прогрессии. Для фиксированного `d` есть `N - 4d` вариантов начала, поэтому при `q = floor((N - 1)/4) = 24999` их число равно `P = sum_{d=1}^q (N - 4d) = qN - 2q(q+1) = 1249950000`. Теперь оценим, сколько прогрессий может покрывать одно ребро. Пусть ребро соединяет вершины с номерами `x < y`. Если оно лежит в 5-членной прогрессии, то числа `x` и `y` занимают в ней две из пяти позиций. Эти позиции можно выбрать `binom(5,2) = 10` способами. После выбора позиций общий шаг прогрессии, если он существует, уже однозначно равен `(y-x)/(j-i)`, а начало тоже однозначно. Значит одно ребро содержится не более чем в `10` таких прогрессиях. По предположению к…"}],"relations":[{"id":"rel-metadata-kolm-2004-ap-c4-usamo-rectangle","neighbor_id":"usamo-1976-p1-monochromatic-rectangle-bipartite","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2004-round2-higher-league-problem-9 c4-свободный граф и арифметическая прогрессия из пяти независимых вершин, кубок колмогорова 2004 extremal_graph_theory double_counting goal_proof 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2004 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2004 ? кубок колмогорова 2004 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked вершины графа занумерованы натуральными числами от \\(1\\) до \\(10^5\\), причем каждое число встречается ровно один раз. известно, что в этом графе нет циклов длины 4. докажите, что существует арифметическая прогрессия из пяти натуральных чисел, не превосходящих \\(10^5\\), такая, что никакие две вершины с номерами из этой прогрессии не соединены ребром. simple_graph cycle idea-graph-role графовая роль граф явно присутствует в условии. ключевой ход решения — сравнить число 5-членных арифметических прогрессий с максимальным числом ребер в графе без 4-циклов. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-official-compressed полное решение через двойной счет прогрессий ai_checked simple_graph cycle double_counting пусть `n = 10^5`, а `e` — число ребер графа. предположим противное: каждая арифметическая прогрессия `a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d`, где `d >= 1` и `a + 4d <= n`, содержит хотя бы одну пару вершин, соединенных ребром. сначала посчитаем такие прогрессии. для фиксированного `d` есть `n - 4d` вариантов начала, поэтому при `q = floor((n - 1)/4) = 24999` их число равно `p = sum_{d=1}^q (n - 4d) = qn - 2q(q+1) = 1249950000`. теперь оценим, сколько прогрессий может покрывать одно ребро. пусть ребро соединяет вершины с номерами `x < y`. если оно лежит в 5-членной прогрессии, то числа `x` и `y` занимают в ней две из пяти позиций. эти позиции можно выбрать `binom(5,2) = 10` способами. после выбора позиций общий шаг прогрессии, если он существует, уже однозначно равен `(y-x)/(j-i)`, а начало тоже однозначно. значит одно ребро содержится не более чем в `10` таких прогрессиях. по предположению к… kolmogorov-2004-round2-higher-league-problem-9 c4-svobodnyy graf i arifmeticheskaya progressiya iz pyati nezavisimyh vershin, kubok kolmogorova 2004 extremal_graph_theory double_counting goal_proof 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2004 ? kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked vershiny grafa zanumerovany naturalnymi chislami ot \\(1\\) do \\(10^5\\), prichem kazhdoe chislo vstrechaetsya rovno odin raz. izvestno, chto v etom grafe net tsiklov dliny 4. dokazhite, chto suschestvuet arifmeticheskaya progressiya iz pyati naturalnyh chisel, ne prevoshodyaschih \\(10^5\\), takaya, chto nikakie dve vershiny s nomerami iz etoy progressii ne soedineny rebrom. simple_graph cycle idea-graph-role grafovaya rol graf yavno prisutstvuet v uslovii. klyuchevoy hod resheniya — sravnit chislo 5-chlennyh arifmeticheskih progressiy s maksimalnym chislom reber v grafe bez 4-tsiklov. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie cherez dvoynoy schet progressiy ai_checked simple_graph cycle double_counting pust `n = 10^5`, a `e` — chislo reber grafa. predpolozhim protivnoe: kazhdaya arifmeticheskaya progressiya `a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d`, gde `d >= 1` i `a + 4d <= n`, soderzhit hotya by odnu paru vershin, soedinennyh rebrom. snachala poschitaem takie progressii. dlya fiksirovannogo `d` est `n - 4d` variantov nachala, poetomu pri `q = floor((n - 1)/4) = 24999` ih chislo ravno `p = sum_{d=1}^q (n - 4d) = qn - 2q(q+1) = 1249950000`. teper otsenim, skolko progressiy mozhet pokryvat odno rebro. pust rebro soedinyaet vershiny s nomerami `x < y`. esli ono lezhit v 5-chlennoy progressii, to chisla `x` i `y` zanimayut v ney dve iz pyati pozitsiy. eti pozitsii mozhno vybrat `binom(5,2) = 10` sposobami. posle vybora pozitsiy obschiy shag progressii, esli on suschestvuet, uzhe odnoznachno raven `(y-x)/(j-i)`, a nachalo tozhe odnoznachno. znachit odno rebro soderzhitsya ne bolee chem v `10` takih progressiyah. po predpolozheniyu k…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2004-round3-higher-league-problem-10","title":"Удаление вершины с сохранением сильной связности орграфа, Кубок Колмогорова 2004","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2004-round3-higher-league-problem-10.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2004-round3-higher-league-problem-10.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2004-round3-higher-league-problem-10","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2004 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":["Карпов Д.В."],"tags":["connectivity","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"содержит развёрнутое официальное решение со статусом ai_checked и самодостаточный сжатый сопутствующий вариант","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В сильно связном ориентированном графе любые две вершины соединены не более чем одним ребром, и из каждой вершины выходит хотя бы два ребра. Докажите, что можно удалить одну вершину вместе со всеми входящими в нее и исходящими из нее ребрами так, чтобы оставшийся граф остался сильно связным.","definition_ids":["directed_graph","path","connected_graph","outdegree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Краткое самодостаточное доказательство","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","connected_graph","outdegree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное: после удаления любой вершины граф перестает быть сильно связным. Среди всех графов вида `G-v` выберем сильно связную компоненту `K` максимального размера; пусть она лежит в `G-a`. Сожмем `K` в одну вершину `k`. Так как исходный граф `G` сильно связен, в сжатом графе есть направленный цикл, проходящий через `k` и `a`: достаточно взять пути `k -> a` и `a -> k` и объединить их. Поднимая этот цикл обратно, получаем сильно связный подграф, содержащий `K` и `a`. Если некоторая вершина `b` вне `K` не лежит на этом цикле, то в `G-b` тот же поднятый цикл показывает, что `K` и `a` находятся в одной сильно связной компоненте. Она больше `K`, что противоречит выбору `K`. Значит, все вершины вне `K` лежат на выбранном цикле. Поскольку `G-a` не сильно связен, кроме `a` вне `K` есть еще хотя бы одна вершина. Идем по циклу от `k` и обозначим через `c,d` первые две встреченные вер…"},{"id":"sol-official-expanded","title":"Расширенное проверенное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","connected_graph","outdegree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное: для каждой вершины `v` граф `G-v` не является сильно связным. Выберите вершину `a` и сильно связную компоненту `K` графа `G-a` с максимально возможным числом вершин среди всех компонентов всех графов, полученных из `G` удалением одной вершины. Сожмем `K` в одну вершину `k`. Полученный орграф по-прежнему сильно связен, поэтому в нем есть направленный цикл, проходящий через `k` и `a`. Поднимем этот цикл обратно в `G`: внутри `K` можно пройти из любой вершины в любую, поэтому вершины `K` вместе с вершинами поднятого цикла образуют сильно связный подграф. Если бы какая-то вершина `b` вне `K` не попала на этот цикл, то после удаления `b` тот же поднятый цикл показывал бы, что `K` и `a` лежат в одной сильно связной компоненте графа `G-b`. Эта компонента содержала бы все вершины `K` и еще вершину `a`, то есть была бы больше `K`, вопреки выбору `K`. Значит каждая вершина…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2003-2004-critical-strong-digraphs","neighbor_id":"kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-spbmo-2017-10-p7-kolmogorov-2004-vertex-deletion-strong-connectivity","neighbor_id":"spbmo-2017-10-p7-remove-directed-cycle-keep-strong","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-after-tags-menger-imo-2021-kolm-2004-strong-digraph","neighbor_id":"imo-2021-c4-anisotropy-menger","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2004-round3-higher-league-problem-10 удаление вершины с сохранением сильной связности орграфа, кубок колмогорова 2004 connectivity goal_proof 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова карпов д.в. кубок колмогорова кубок колмогорова 2004 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2004 карпов д.в. кубок колмогорова 2004 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в сильно связном ориентированном графе любые две вершины соединены не более чем одним ребром, и из каждой вершины выходит хотя бы два ребра. докажите, что можно удалить одну вершину вместе со всеми входящими в нее и исходящими из нее ребрами так, чтобы оставшийся граф остался сильно связным. directed_graph path connected_graph outdegree idea-graph-role графовая роль в условии прямо дан ориентированный граф, а официальное решение полностью основано на анализе компонент сильной связности и структуры дуг между ними. connectivity ai_checked sol-official-compressed краткое самодостаточное доказательство ai_checked directed_graph path connected_graph outdegree extremal_choice предположим противное: после удаления любой вершины граф перестает быть сильно связным. среди всех графов вида `g-v` выберем сильно связную компоненту `k` максимального размера; пусть она лежит в `g-a`. сожмем `k` в одну вершину `k`. так как исходный граф `g` сильно связен, в сжатом графе есть направленный цикл, проходящий через `k` и `a`: достаточно взять пути `k -> a` и `a -> k` и объединить их. поднимая этот цикл обратно, получаем сильно связный подграф, содержащий `k` и `a`. если некоторая вершина `b` вне `k` не лежит на этом цикле, то в `g-b` тот же поднятый цикл показывает, что `k` и `a` находятся в одной сильно связной компоненте. она больше `k`, что противоречит выбору `k`. значит, все вершины вне `k` лежат на выбранном цикле. поскольку `g-a` не сильно связен, кроме `a` вне `k` есть еще хотя бы одна вершина. идем по циклу от `k` и обозначим через `c,d` первые две встреченные вер… sol-official-expanded расширенное проверенное решение ai_checked directed_graph path connected_graph outdegree extremal_choice предположим противное: для каждой вершины `v` граф `g-v` не является сильно связным. выберите вершину `a` и сильно связную компоненту `k` графа `g-a` с максимально возможным числом вершин среди всех компонентов всех графов, полученных из `g` удалением одной вершины. сожмем `k` в одну вершину `k`. полученный орграф по-прежнему сильно связен, поэтому в нем есть направленный цикл, проходящий через `k` и `a`. поднимем этот цикл обратно в `g`: внутри `k` можно пройти из любой вершины в любую, поэтому вершины `k` вместе с вершинами поднятого цикла образуют сильно связный подграф. если бы какая-то вершина `b` вне `k` не попала на этот цикл, то после удаления `b` тот же поднятый цикл показывал бы, что `k` и `a` лежат в одной сильно связной компоненте графа `g-b`. эта компонента содержала бы все вершины `k` и еще вершину `a`, то есть была бы больше `k`, вопреки выбору `k`. значит каждая вершина… kolmogorov-2004-round3-higher-league-problem-10 udalenie vershiny s sohraneniem silnoy svyaznosti orgrafa, kubok kolmogorova 2004 connectivity goal_proof 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova karpov d.v. kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2004 karpov d.v. kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v silno svyaznom orientirovannom grafe lyubye dve vershiny soedineny ne bolee chem odnim rebrom, i iz kazhdoy vershiny vyhodit hotya by dva rebra. dokazhite, chto mozhno udalit odnu vershinu vmeste so vsemi vhodyaschimi v nee i ishodyaschimi iz nee rebrami tak, chtoby ostavshiysya graf ostalsya silno svyaznym. directed_graph path connected_graph outdegree idea-graph-role grafovaya rol v uslovii pryamo dan orientirovannyy graf, a ofitsialnoe reshenie polnostyu osnovano na analize komponent silnoy svyaznosti i struktury dug mezhdu nimi. connectivity ai_checked sol-official-compressed kratkoe samodostatochnoe dokazatelstvo ai_checked directed_graph path connected_graph outdegree extremal_choice predpolozhim protivnoe: posle udaleniya lyuboy vershiny graf perestaet byt silno svyaznym. sredi vseh grafov vida `g-v` vyberem silno svyaznuyu komponentu `k` maksimalnogo razmera; pust ona lezhit v `g-a`. sozhmem `k` v odnu vershinu `k`. tak kak ishodnyy graf `g` silno svyazen, v szhatom grafe est napravlennyy tsikl, prohodyaschiy cherez `k` i `a`: dostatochno vzyat puti `k -> a` i `a -> k` i obedinit ih. podnimaya etot tsikl obratno, poluchaem silno svyaznyy podgraf, soderzhaschiy `k` i `a`. esli nekotoraya vershina `b` vne `k` ne lezhit na etom tsikle, to v `g-b` tot zhe podnyatyy tsikl pokazyvaet, chto `k` i `a` nahodyatsya v odnoy silno svyaznoy komponente. ona bolshe `k`, chto protivorechit vyboru `k`. znachit, vse vershiny vne `k` lezhat na vybrannom tsikle. poskolku `g-a` ne silno svyazen, krome `a` vne `k` est esche hotya by odna vershina. idem po tsiklu ot `k` i oboznachim cherez `c,d` pervye dve vstrechennye ver… sol-official-expanded rasshirennoe proverennoe reshenie ai_checked directed_graph path connected_graph outdegree extremal_choice predpolozhim protivnoe: dlya kazhdoy vershiny `v` graf `g-v` ne yavlyaetsya silno svyaznym. vyberite vershinu `a` i silno svyaznuyu komponentu `k` grafa `g-a` s maksimalno vozmozhnym chislom vershin sredi vseh komponentov vseh grafov, poluchennyh iz `g` udaleniem odnoy vershiny. sozhmem `k` v odnu vershinu `k`. poluchennyy orgraf po-prezhnemu silno svyazen, poetomu v nem est napravlennyy tsikl, prohodyaschiy cherez `k` i `a`. podnimem etot tsikl obratno v `g`: vnutri `k` mozhno proyti iz lyuboy vershiny v lyubuyu, poetomu vershiny `k` vmeste s vershinami podnyatogo tsikla obrazuyut silno svyaznyy podgraf. esli by kakaya-to vershina `b` vne `k` ne popala na etot tsikl, to posle udaleniya `b` tot zhe podnyatyy tsikl pokazyval by, chto `k` i `a` lezhat v odnoy silno svyaznoy komponente grafa `g-b`. eta komponenta soderzhala by vse vershiny `k` i esche vershinu `a`, to est byla by bolshe `k`, vopreki vyboru `k`. znachit kazhdaya vershina…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2004-round4-first-junior-league-problem-10","title":"Цикл в графе трехзначных простых чисел без цифры 1, Кубок Колмогорова 2004","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2004-round4-first-junior-league-problem-10.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2004-round4-first-junior-league-problem-10.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2004-round4-first-junior-league-problem-10","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2004 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки КОЛМ; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В этом проходе развёрнуты граф состояний, соответствие путей десятичным записям и причина иррациональности через непериодический выбор циклов.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Существует ли иррациональное число от \\(0\\) до \\(1\\), в десятичной записи которого нет цифры \\(1\\), и такое, что любые три последовательные цифры образуют простое число?","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Проверенное самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","cycle","path"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Нам достаточно следующих трехзначных простых блоков без цифры `1`: `337, 373, 379, 733, 739, 773, 797, 937, 977, 997`. Каждое из них непосредственно проверяется как простое, и ниже мы будем строить запись так, чтобы все ее трехзначные фрагменты попадали в этот список. Построим ориентированный граф состояний. Его вершинами будут двузначные окончания, которые встречаются в перечисленных блоках. Из вершины `ab` проведем стрелку в вершину `bc`, если трехзначное число `abc` входит в список допустимых блоков. Тогда бесконечный путь в этом графе ровно соответствует бесконечной десятичной записи: каждая новая стрелка добавляет одну следующую цифру, а каждый блок из трех подряд идущих цифр оказывается одним из разрешенных простых чисел. В графе есть два ориентированных цикла с общей начальной вершиной: `33 -> 37 -> 73 -> 33`, что соответствует блокам `337, 373, 733`, и `33 -> 37 -> 79 -> 97 -> 7…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2004-round4-first-junior-league-problem-10 цикл в графе трехзначных простых чисел без цифры 1, кубок колмогорова 2004 goal_construction 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2004 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2004 ? кубок колмогорова 2004 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked существует ли иррациональное число от \\(0\\) до \\(1\\), в десятичной записи которого нет цифры \\(1\\), и такое, что любые три последовательные цифры образуют простое число? simple_graph directed_graph cycle idea-graph-role графовая роль в условии графа нет, но официальное решение существенно строит граф уфнаровского и сводит задачу к поиску и непериодическому чередованию циклов в этом графе. ai_checked sol-official-compressed проверенное самодостаточное решение ai_checked simple_graph directed_graph cycle path greedy_ordering нам достаточно следующих трехзначных простых блоков без цифры `1`: `337, 373, 379, 733, 739, 773, 797, 937, 977, 997`. каждое из них непосредственно проверяется как простое, и ниже мы будем строить запись так, чтобы все ее трехзначные фрагменты попадали в этот список. построим ориентированный граф состояний. его вершинами будут двузначные окончания, которые встречаются в перечисленных блоках. из вершины `ab` проведем стрелку в вершину `bc`, если трехзначное число `abc` входит в список допустимых блоков. тогда бесконечный путь в этом графе ровно соответствует бесконечной десятичной записи: каждая новая стрелка добавляет одну следующую цифру, а каждый блок из трех подряд идущих цифр оказывается одним из разрешенных простых чисел. в графе есть два ориентированных цикла с общей начальной вершиной: `33 -> 37 -> 73 -> 33`, что соответствует блокам `337, 373, 733`, и `33 -> 37 -> 79 -> 97 -> 7… kolmogorov-2004-round4-first-junior-league-problem-10 tsikl v grafe trehznachnyh prostyh chisel bez tsifry 1, kubok kolmogorova 2004 goal_construction 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2004 ? kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked suschestvuet li irratsionalnoe chislo ot \\(0\\) do \\(1\\), v desyatichnoy zapisi kotorogo net tsifry \\(1\\), i takoe, chto lyubye tri posledovatelnye tsifry obrazuyut prostoe chislo? simple_graph directed_graph cycle idea-graph-role grafovaya rol v uslovii grafa net, no ofitsialnoe reshenie suschestvenno stroit graf ufnarovskogo i svodit zadachu k poisku i neperiodicheskomu cheredovaniyu tsiklov v etom grafe. ai_checked sol-official-compressed proverennoe samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph directed_graph cycle path greedy_ordering nam dostatochno sleduyuschih trehznachnyh prostyh blokov bez tsifry `1`: `337, 373, 379, 733, 739, 773, 797, 937, 977, 997`. kazhdoe iz nih neposredstvenno proveryaetsya kak prostoe, i nizhe my budem stroit zapis tak, chtoby vse ee trehznachnye fragmenty popadali v etot spisok. postroim orientirovannyy graf sostoyaniy. ego vershinami budut dvuznachnye okonchaniya, kotorye vstrechayutsya v perechislennyh blokah. iz vershiny `ab` provedem strelku v vershinu `bc`, esli trehznachnoe chislo `abc` vhodit v spisok dopustimyh blokov. togda beskonechnyy put v etom grafe rovno sootvetstvuet beskonechnoy desyatichnoy zapisi: kazhdaya novaya strelka dobavlyaet odnu sleduyuschuyu tsifru, a kazhdyy blok iz treh podryad iduschih tsifr okazyvaetsya odnim iz razreshennyh prostyh chisel. v grafe est dva orientirovannyh tsikla s obschey nachalnoy vershinoy: `33 -> 37 -> 73 -> 33`, chto sootvetstvuet blokam `337, 373, 733`, i `33 -> 37 -> 79 -> 97 -> 7…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2004-team-olympiad-seniors-problem-9","title":"Важные рёбра для числа независимости и нечётный цикл, Кубок Колмогорова 2004","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2004-team-olympiad-seniors-problem-9.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2004-team-olympiad-seniors-problem-9.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2004-team-olympiad-seniors-problem-9","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2004 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Короткая задача на контрапозицию: в двудольном графе важные для числа независимости ребра должны входить во все максимальные паросочетания, поэтому не могут быть смежными.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Прежний сжатый план официального решения развёрнут в самодостаточное доказательство и сверен с условием из официального архива.","audit_source":"agent-3-official-plan-expansion-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Назовем ребро графа важным, если при его удалении увеличивается размер максимального пустого подграфа. Докажите, что если два важных ребра имеют общую вершину, то в графе есть нечетный цикл.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","cycle","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Доказательство через двудольность и паросочетания","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","cycle","independent_set","matching","vertex_cover","path","alternating_path","augmenting_path"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","augmenting_path_method"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение от противного. Предположим, что в графе нет нечетного цикла. Тогда граф двудолен: в каждой компоненте выберем вершину и разобьем остальные вершины по четности расстояния от нее; ребро внутри одного слоя четности вместе с двумя кратчайшими путями к выбранной вершине дало бы нечетный замкнутый маршрут, из которого выделяется нечетный цикл. Пусть `alpha(H)` — размер наибольшего независимого множества графа `H`, а `tau(H)` — размер наименьшего вершинного покрытия, то есть множества вершин, касающегося каждого ребра. Для любого графа на `n` вершинах верно `alpha(H)+tau(H)=n`: дополнение к независимому множеству является вершинным покрытием, и наоборот. Напомним также нужную двудольную лемму Кёнига и докажем ее. В двудольном графе с долями `X,Y` размер наибольшего паросочетания равен размеру наименьшего вершинного покрытия. Действительно, возьмем максимальное паросочетание…"}],"relations":[{"id":"rel-kolmogorov-2004-p9-konig-vertex-cover-prerequisite","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2004-p9-augmenting-path-background","neighbor_id":"augmenting-path-matching-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2004-team-olympiad-seniors-problem-9 важные рёбра для числа независимости и нечётный цикл, кубок колмогорова 2004 matching goal_proof 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2004 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2004 ? кубок колмогорова 2004 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked назовем ребро графа важным, если при его удалении увеличивается размер максимального пустого подграфа. докажите, что если два важных ребра имеют общую вершину, то в графе есть нечетный цикл. simple_graph bipartite_graph cycle independent_set idea-graph-role графовая роль граф явно присутствует в условии; ключевой ход — рассмотреть контрапозицию для двудольного графа и перевести важность ребра из языка независимых множеств в язык вершинных покрытий и максимальных паросочетаний. matching ai_checked sol-official-compressed доказательство через двудольность и паросочетания ai_checked simple_graph bipartite_graph cycle independent_set matching vertex_cover path alternating_path augmenting_path minimal_counterexample augmenting_path_method докажем утверждение от противного. предположим, что в графе нет нечетного цикла. тогда граф двудолен: в каждой компоненте выберем вершину и разобьем остальные вершины по четности расстояния от нее; ребро внутри одного слоя четности вместе с двумя кратчайшими путями к выбранной вершине дало бы нечетный замкнутый маршрут, из которого выделяется нечетный цикл. пусть `alpha(h)` — размер наибольшего независимого множества графа `h`, а `tau(h)` — размер наименьшего вершинного покрытия, то есть множества вершин, касающегося каждого ребра. для любого графа на `n` вершинах верно `alpha(h)+tau(h)=n`: дополнение к независимому множеству является вершинным покрытием, и наоборот. напомним также нужную двудольную лемму кёнига и докажем ее. в двудольном графе с долями `x,y` размер наибольшего паросочетания равен размеру наименьшего вершинного покрытия. действительно, возьмем максимальное паросочетание… kolmogorov-2004-team-olympiad-seniors-problem-9 vazhnye rebra dlya chisla nezavisimosti i nechetnyy tsikl, kubok kolmogorova 2004 matching goal_proof 2004 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm8.zip kolmogorov kolmogorov2004 olympiad_archive src-kolmogorov-2004-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2004 ? kubok kolmogorova 2004 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked nazovem rebro grafa vazhnym, esli pri ego udalenii uvelichivaetsya razmer maksimalnogo pustogo podgrafa. dokazhite, chto esli dva vazhnyh rebra imeyut obschuyu vershinu, to v grafe est nechetnyy tsikl. simple_graph bipartite_graph cycle independent_set idea-graph-role grafovaya rol graf yavno prisutstvuet v uslovii; klyuchevoy hod — rassmotret kontrapozitsiyu dlya dvudolnogo grafa i perevesti vazhnost rebra iz yazyka nezavisimyh mnozhestv v yazyk vershinnyh pokrytiy i maksimalnyh parosochetaniy. matching ai_checked sol-official-compressed dokazatelstvo cherez dvudolnost i parosochetaniya ai_checked simple_graph bipartite_graph cycle independent_set matching vertex_cover path alternating_path augmenting_path minimal_counterexample augmenting_path_method dokazhem utverzhdenie ot protivnogo. predpolozhim, chto v grafe net nechetnogo tsikla. togda graf dvudolen: v kazhdoy komponente vyberem vershinu i razobem ostalnye vershiny po chetnosti rasstoyaniya ot nee; rebro vnutri odnogo sloya chetnosti vmeste s dvumya kratchayshimi putyami k vybrannoy vershine dalo by nechetnyy zamknutyy marshrut, iz kotorogo vydelyaetsya nechetnyy tsikl. pust `alpha(h)` — razmer naibolshego nezavisimogo mnozhestva grafa `h`, a `tau(h)` — razmer naimenshego vershinnogo pokrytiya, to est mnozhestva vershin, kasayuschegosya kazhdogo rebra. dlya lyubogo grafa na `n` vershinah verno `alpha(h)+tau(h)=n`: dopolnenie k nezavisimomu mnozhestvu yavlyaetsya vershinnym pokrytiem, i naoborot. napomnim takzhe nuzhnuyu dvudolnuyu lemmu keniga i dokazhem ee. v dvudolnom grafe s dolyami `x,y` razmer naibolshego parosochetaniya raven razmeru naimenshego vershinnogo pokrytiya. deystvitelno, vozmem maksimalnoe parosochetanie…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2005-team-olympiad-juniors-problem-8","title":"Чётность числа остовных деревьев в графе с чётными степенями, Кубок Колмогорова 2005","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2005-team-olympiad-juniors-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2005-team-olympiad-juniors-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2005-team-olympiad-juniors-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2005 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2005","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","trees","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный архивный план развёрнут в самодостаточное доказательство через граф обменов остовных деревьев","notes":"Проверены чётность каждого разреза в графе с чётными степенями, нечётность числа замен для каждого ребра дерева и финальная лемма о рукопожатиях во вспомогательном графе.","audit_source":"official-outline-cleanup-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Известно, что каждая вершина графа с четным числом вершин имеет четную степень. Докажите, что количество остовных деревьев в этом графе четно. Остовное дерево понимается как подграф, содержащий все вершины исходного графа и являющийся деревом.","definition_ids":["simple_graph","tree","spanning_tree","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Проверенное самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","tree","spanning_tree","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть у графа `G` ровно `2k` вершин. Построим вспомогательный граф `H`, вершинами которого будут все остовные деревья графа `G`. Два остовных дерева `T1` и `T2` соединим ребром тогда и только тогда, когда они отличаются заменой одного ребра. Рассмотрим фиксированное остовное дерево `T` и ребро `e` этого дерева. После удаления `e` дерево распадается на две компоненты `U` и `V`. Так как степени всех вершин графа `G` четны, число ребер графа `G`, соединяющих `U` и `V`, четно. Одним из них является `e`, поэтому других ребер между `U` и `V` нечетное число. Заменяя `e` на любое из этих ребер, получаем остовные деревья, соседние с `T` в графе `H`. То же верно для каждого ребра дерева `T`. В самом дереве `T` число ребер равно `2k-1`, то есть оно нечетно. Значит, степень вершины `T` в графе `H` тоже нечетна. Следовательно, в графе `H` каждая вершина имеет нечетную степень. По лемме о рукопожатия…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2005-junior-senior-spanning-tree-parity","neighbor_id":"kolmogorov-2005-team-olympiad-seniors-problem-9","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ms2012-p10b-kolm2005-junior-spanning-tree-parity","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2005-team-olympiad-juniors-problem-8 чётность числа остовных деревьев в графе с чётными степенями, кубок колмогорова 2005 double_counting trees goal_proof 2005 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm9.zip kolmogorov kolmogorov2005 olympiad_archive src-kolmogorov-2005-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2005 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2005 ? кубок колмогорова 2005 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked известно, что каждая вершина графа с четным числом вершин имеет четную степень. докажите, что количество остовных деревьев в этом графе четно. остовное дерево понимается как подграф, содержащий все вершины исходного графа и являющийся деревом. simple_graph tree spanning_tree degree idea-graph-role графовая роль граф прямо присутствует в условии, а официальное решение строит еще один граф на множестве остовных деревьев и использует четность степеней и обмен ребер между деревьями. ai_checked sol-official-compressed проверенное самодостаточное решение ai_checked simple_graph tree spanning_tree degree double_counting пусть у графа `g` ровно `2k` вершин. построим вспомогательный граф `h`, вершинами которого будут все остовные деревья графа `g`. два остовных дерева `t1` и `t2` соединим ребром тогда и только тогда, когда они отличаются заменой одного ребра. рассмотрим фиксированное остовное дерево `t` и ребро `e` этого дерева. после удаления `e` дерево распадается на две компоненты `u` и `v`. так как степени всех вершин графа `g` четны, число ребер графа `g`, соединяющих `u` и `v`, четно. одним из них является `e`, поэтому других ребер между `u` и `v` нечетное число. заменяя `e` на любое из этих ребер, получаем остовные деревья, соседние с `t` в графе `h`. то же верно для каждого ребра дерева `t`. в самом дереве `t` число ребер равно `2k-1`, то есть оно нечетно. значит, степень вершины `t` в графе `h` тоже нечетна. следовательно, в графе `h` каждая вершина имеет нечетную степень. по лемме о рукопожатия… kolmogorov-2005-team-olympiad-juniors-problem-8 chetnost chisla ostovnyh derevev v grafe s chetnymi stepenyami, kubok kolmogorova 2005 double_counting trees goal_proof 2005 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm9.zip kolmogorov kolmogorov2005 olympiad_archive src-kolmogorov-2005-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2005 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2005 ? kubok kolmogorova 2005 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked izvestno, chto kazhdaya vershina grafa s chetnym chislom vershin imeet chetnuyu stepen. dokazhite, chto kolichestvo ostovnyh derevev v etom grafe chetno. ostovnoe derevo ponimaetsya kak podgraf, soderzhaschiy vse vershiny ishodnogo grafa i yavlyayuschiysya derevom. simple_graph tree spanning_tree degree idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo prisutstvuet v uslovii, a ofitsialnoe reshenie stroit esche odin graf na mnozhestve ostovnyh derevev i ispolzuet chetnost stepeney i obmen reber mezhdu derevyami. ai_checked sol-official-compressed proverennoe samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph tree spanning_tree degree double_counting pust u grafa `g` rovno `2k` vershin. postroim vspomogatelnyy graf `h`, vershinami kotorogo budut vse ostovnye derevya grafa `g`. dva ostovnyh dereva `t1` i `t2` soedinim rebrom togda i tolko togda, kogda oni otlichayutsya zamenoy odnogo rebra. rassmotrim fiksirovannoe ostovnoe derevo `t` i rebro `e` etogo dereva. posle udaleniya `e` derevo raspadaetsya na dve komponenty `u` i `v`. tak kak stepeni vseh vershin grafa `g` chetny, chislo reber grafa `g`, soedinyayuschih `u` i `v`, chetno. odnim iz nih yavlyaetsya `e`, poetomu drugih reber mezhdu `u` i `v` nechetnoe chislo. zamenyaya `e` na lyuboe iz etih reber, poluchaem ostovnye derevya, sosednie s `t` v grafe `h`. to zhe verno dlya kazhdogo rebra dereva `t`. v samom dereve `t` chislo reber ravno `2k-1`, to est ono nechetno. znachit, stepen vershiny `t` v grafe `h` tozhe nechetna. sledovatelno, v grafe `h` kazhdaya vershina imeet nechetnuyu stepen. po lemme o rukopozhatiya…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2005-team-olympiad-seniors-problem-9","title":"Чётность числа остовных деревьев в двудольном графе, Кубок Колмогорова 2005","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2005-team-olympiad-seniors-problem-9.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2005-team-olympiad-seniors-problem-9.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2005-team-olympiad-seniors-problem-9","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2005 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2005","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","trees","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный архивный план развёрнут в самодостаточное доказательство двойным счётом остовных деревьев и одноцикловых остовных подграфов","notes":"Проверены нечётное число добавляемых рёбер к каждому остовному дереву и чётное число предков каждого одноциклового остовного подграфа из-за двудольности.","audit_source":"official-outline-cleanup-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Докажите, что у двудольного графа с четным числом вершин и четным числом ребер количество остовных деревьев четно. Остовным деревом называется подграф исходного графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом.","definition_ids":["simple_graph","tree","bipartite_graph","cycle","spanning_tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Проверенное самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","tree","bipartite_graph","cycle","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через `T(G)` множество остовных деревьев графа `G`, а через `M(G)` множество его остовных подграфов, имеющих ровно один цикл. Возьмем любое остовное дерево `T`. Так как число вершин четно, у дерева нечетное число ребер. Поскольку общее число ребер графа тоже четно, вне `T` остается нечетное число ребер. Если добавить к `T` любое из этих ребер, получится остовный подграф с единственным циклом, то есть элемент множества `M(G)`. Значит, каждому дереву соответствует нечетное число элементов из `M(G)`. Теперь возьмем любой граф `H` из `M(G)` и рассмотрим его единственный цикл `Z`. Удаляя из `Z` одно ребро, мы получаем остовные деревья, из которых мог получиться `H`. Так как исходный граф двудолен, цикл `Z` имеет четную длину, следовательно, у `H` четное число таких \"предков\". Подсчитав число пар вида `(остовное дерево, одноцикловый остовный граф)`, где второй получается добавлением…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2005-junior-senior-spanning-tree-parity","neighbor_id":"kolmogorov-2005-team-olympiad-juniors-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ms2012-p10b-kolm2005-senior-bipartite-spanning-tree-parity","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2005-team-olympiad-seniors-problem-9 чётность числа остовных деревьев в двудольном графе, кубок колмогорова 2005 double_counting trees goal_proof 2005 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm9.zip kolmogorov kolmogorov2005 olympiad_archive src-kolmogorov-2005-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2005 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2005 ? кубок колмогорова 2005 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked докажите, что у двудольного графа с четным числом вершин и четным числом ребер количество остовных деревьев четно. остовным деревом называется подграф исходного графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом. simple_graph tree bipartite_graph cycle spanning_tree idea-graph-role графовая роль граф прямо присутствует в условии, а официальное решение целиком построено на графовых объектах: двудольности, остовных деревьях, остовных одноцикловых подграфах и четности длины циклов. ai_checked sol-official-compressed проверенное самодостаточное решение ai_checked simple_graph tree bipartite_graph cycle spanning_tree double_counting обозначим через `t(g)` множество остовных деревьев графа `g`, а через `m(g)` множество его остовных подграфов, имеющих ровно один цикл. возьмем любое остовное дерево `t`. так как число вершин четно, у дерева нечетное число ребер. поскольку общее число ребер графа тоже четно, вне `t` остается нечетное число ребер. если добавить к `t` любое из этих ребер, получится остовный подграф с единственным циклом, то есть элемент множества `m(g)`. значит, каждому дереву соответствует нечетное число элементов из `m(g)`. теперь возьмем любой граф `h` из `m(g)` и рассмотрим его единственный цикл `z`. удаляя из `z` одно ребро, мы получаем остовные деревья, из которых мог получиться `h`. так как исходный граф двудолен, цикл `z` имеет четную длину, следовательно, у `h` четное число таких \"предков\". подсчитав число пар вида `(остовное дерево, одноцикловый остовный граф)`, где второй получается добавлением… kolmogorov-2005-team-olympiad-seniors-problem-9 chetnost chisla ostovnyh derevev v dvudolnom grafe, kubok kolmogorova 2005 double_counting trees goal_proof 2005 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm9.zip kolmogorov kolmogorov2005 olympiad_archive src-kolmogorov-2005-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2005 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2005 ? kubok kolmogorova 2005 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dokazhite, chto u dvudolnogo grafa s chetnym chislom vershin i chetnym chislom reber kolichestvo ostovnyh derevev chetno. ostovnym derevom nazyvaetsya podgraf ishodnogo grafa, soderzhaschiy vse ego vershiny i yavlyayuschiysya derevom. simple_graph tree bipartite_graph cycle spanning_tree idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo prisutstvuet v uslovii, a ofitsialnoe reshenie tselikom postroeno na grafovyh obektah: dvudolnosti, ostovnyh derevyah, ostovnyh odnotsiklovyh podgrafah i chetnosti dliny tsiklov. ai_checked sol-official-compressed proverennoe samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph tree bipartite_graph cycle spanning_tree double_counting oboznachim cherez `t(g)` mnozhestvo ostovnyh derevev grafa `g`, a cherez `m(g)` mnozhestvo ego ostovnyh podgrafov, imeyuschih rovno odin tsikl. vozmem lyuboe ostovnoe derevo `t`. tak kak chislo vershin chetno, u dereva nechetnoe chislo reber. poskolku obschee chislo reber grafa tozhe chetno, vne `t` ostaetsya nechetnoe chislo reber. esli dobavit k `t` lyuboe iz etih reber, poluchitsya ostovnyy podgraf s edinstvennym tsiklom, to est element mnozhestva `m(g)`. znachit, kazhdomu derevu sootvetstvuet nechetnoe chislo elementov iz `m(g)`. teper vozmem lyuboy graf `h` iz `m(g)` i rassmotrim ego edinstvennyy tsikl `z`. udalyaya iz `z` odno rebro, my poluchaem ostovnye derevya, iz kotoryh mog poluchitsya `h`. tak kak ishodnyy graf dvudolen, tsikl `z` imeet chetnuyu dlinu, sledovatelno, u `h` chetnoe chislo takih \"predkov\". podschitav chislo par vida `(ostovnoe derevo, odnotsiklovyy ostovnyy graf)`, gde vtoroy poluchaetsya dobavleniem…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-1","title":"Треугольник-свободный граф на 100 вершинах с большой минимальной степенью, Кубок Колмогорова 2006","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2006 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2006","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","extremal_graph_theory","forbidden_triangle","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный архивный план развёрнут в самодостаточное доказательство через минимальный нечётный цикл","notes":"Проверены случаи 5- и 7-цикла, отсутствие хорд, лемма о пути длины не больше 3 между любыми двумя вершинами и финальное противоречие для цикла длины не меньше 9.","audit_source":"official-outline-cleanup-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе со 100 вершинами нет треугольников, а степень каждой вершины больше 40. Докажите, что этот граф двудольный.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","cycle","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Расширенное проверенное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","cycle","degree"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Достаточно доказать, что в графе нет нечетных циклов: граф двудолен тогда и только тогда, когда он не содержит нечетного цикла. Предположим противное и выберем нечетный цикл `C` минимальной длины `n`. Так как треугольников нет, `n >= 5`. Кроме того, у `C` нет хорд: хорда разбила бы нечетный цикл на два цикла, из которых один нечетен и имеет меньшую длину. Сначала разберем случай `n = 5`. Пусть `C` имеет 5 вершин. Любая вершина вне `C` может быть смежна не более чем с двумя вершинами `C`: если она смежна с тремя вершинами пятерки, среди этих трех найдутся две соседние на `C`, и вместе с внешней вершиной они дадут треугольник. Поэтому число ребер между `C` и остальными 95 вершинами не больше `95 * 2`. Внутри самого цикла 5 ребер, и они дают вклад `10` в сумму степеней вершин цикла. Следовательно, сумма степеней пяти вершин `C` не превосходит `10 + 95 * 2 = 200`, а значит одна из них имеет…"}],"relations":[{"id":"rel-metadata-kolm-2006-triangle-free-shortest-odd-cycle","neighbor_id":"shortest-odd-cycle-external-neighbor-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-1 треугольник-свободный граф на 100 вершинах с большой минимальной степенью, кубок колмогорова 2006 coloring extremal_graph_theory forbidden_triangle goal_proof 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2006 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2006 ? кубок колмогорова 2006 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе со 100 вершинами нет треугольников, а степень каждой вершины больше 40. докажите, что этот граф двудольный. simple_graph bipartite_graph cycle degree idea-graph-role графовая роль граф прямо присутствует в условии, а официальное решение полностью использует графовые понятия: степени вершин, пути, циклы, двудольность и локальные запрещенные конфигурации. coloring extremal_graph_theory ai_checked sol-official-compressed расширенное проверенное решение ai_checked simple_graph bipartite_graph cycle degree minimal_counterexample double_counting достаточно доказать, что в графе нет нечетных циклов: граф двудолен тогда и только тогда, когда он не содержит нечетного цикла. предположим противное и выберем нечетный цикл `c` минимальной длины `n`. так как треугольников нет, `n >= 5`. кроме того, у `c` нет хорд: хорда разбила бы нечетный цикл на два цикла, из которых один нечетен и имеет меньшую длину. сначала разберем случай `n = 5`. пусть `c` имеет 5 вершин. любая вершина вне `c` может быть смежна не более чем с двумя вершинами `c`: если она смежна с тремя вершинами пятерки, среди этих трех найдутся две соседние на `c`, и вместе с внешней вершиной они дадут треугольник. поэтому число ребер между `c` и остальными 95 вершинами не больше `95 * 2`. внутри самого цикла 5 ребер, и они дают вклад `10` в сумму степеней вершин цикла. следовательно, сумма степеней пяти вершин `c` не превосходит `10 + 95 * 2 = 200`, а значит одна из них имеет… kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-1 treugolnik-svobodnyy graf na 100 vershinah s bolshoy minimalnoy stepenyu, kubok kolmogorova 2006 coloring extremal_graph_theory forbidden_triangle goal_proof 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2006 ? kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe so 100 vershinami net treugolnikov, a stepen kazhdoy vershiny bolshe 40. dokazhite, chto etot graf dvudolnyy. simple_graph bipartite_graph cycle degree idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo prisutstvuet v uslovii, a ofitsialnoe reshenie polnostyu ispolzuet grafovye ponyatiya: stepeni vershin, puti, tsikly, dvudolnost i lokalnye zapreschennye konfiguratsii. coloring extremal_graph_theory ai_checked sol-official-compressed rasshirennoe proverennoe reshenie ai_checked simple_graph bipartite_graph cycle degree minimal_counterexample double_counting dostatochno dokazat, chto v grafe net nechetnyh tsiklov: graf dvudolen togda i tolko togda, kogda on ne soderzhit nechetnogo tsikla. predpolozhim protivnoe i vyberem nechetnyy tsikl `c` minimalnoy dliny `n`. tak kak treugolnikov net, `n >= 5`. krome togo, u `c` net hord: horda razbila by nechetnyy tsikl na dva tsikla, iz kotoryh odin necheten i imeet menshuyu dlinu. snachala razberem sluchay `n = 5`. pust `c` imeet 5 vershin. lyubaya vershina vne `c` mozhet byt smezhna ne bolee chem s dvumya vershinami `c`: esli ona smezhna s tremya vershinami pyaterki, sredi etih treh naydutsya dve sosednie na `c`, i vmeste s vneshney vershinoy oni dadut treugolnik. poetomu chislo reber mezhdu `c` i ostalnymi 95 vershinami ne bolshe `95 * 2`. vnutri samogo tsikla 5 reber, i oni dayut vklad `10` v summu stepeney vershin tsikla. sledovatelno, summa stepeney pyati vershin `c` ne prevoshodit `10 + 95 * 2 = 200`, a znachit odna iz nih imeet…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-9","title":"Плоское разбиение квадрата и вершина малой степени, Кубок Колмогорова 2006","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-9.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-9.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-9","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2006 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2006","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","planar_graphs","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Официальный план короткий, но полный публичный разбор требует аккуратного анализа угловых степеней и явной экстремальной конструкции.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"аудит особо высокой сложности 2026-05-07 довёл и проверил сжатый официальный план","notes":"Официальный архив подтверждает ответ и краткую схему через плоский граф, степени вершин и формулу Эйлера; в карточке подробно восстановлены угловые случаи и индукционная конструкция.","audit_source":"very_high_pipeline_batch_2_2026_05_07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Внутри квадрата, но не на его сторонах, отмечено несколько точек. Вершины квадрата также отмечены. Никакие три отмеченные точки не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены непересекающимися отрезками так, что квадрат разбился на \\(n\\) выпуклых многоугольников, не содержащих отмеченных точек внутри. Для каждого натурального \\(n\\) найдите максимальное возможное количество проведённых отрезков.","definition_ids":["planar_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Эйлеров подсчёт и индукционная конструкция","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree"],"standard_idea_ids":["face_counting","double_counting","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(0\\) при \\(n=1\\), \\(1\\) при \\(n=2\\), и \\(3n-6\\) при \\(n\\ge3\\). Сначала докажем верхнюю оценку. Рассмотрим плоский граф \\(G\\), вершинами которого являются все отмеченные точки, а рёбрами — все проведённые отрезки и четыре стороны квадрата. Из условия, что никакие три отмеченные точки не лежат на одной прямой, следует, что отмеченная точка не может лежать внутри стороны какого-либо многоугольника разбиения. Поэтому каждая отмеченная точка действительно является вершиной графа \\(G\\). Пусть \\(V\\) и \\(E\\) — числа вершин и рёбер графа \\(G\\), где в \\(E\\) включены четыре стороны исходного квадрата. Внутренних граней у графа ровно \\(n\\), поэтому для разбиения диска формула Эйлера имеет вид \\[ V-E+n=1. \\tag{1} \\] Разберём степени вершин. Если отмеченная точка лежит внутри квадрата и имеет степень \\(d\\), то \\(d\\) рёбер, выходящих из неё, разбивают полный угол \\(360^\\circ\\) на \\(d\\) углов м…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-deep-2006-planar-subdivision-triangulation","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-9 плоское разбиение квадрата и вершина малой степени, кубок колмогорова 2006 double_counting planar_graphs goal_counting 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2006 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2006 ? кубок колмогорова 2006 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked внутри квадрата, но не на его сторонах, отмечено несколько точек. вершины квадрата также отмечены. никакие три отмеченные точки не лежат на одной прямой. некоторые пары отмеченных точек соединены непересекающимися отрезками так, что квадрат разбился на \\(n\\) выпуклых многоугольников, не содержащих отмеченных точек внутри. для каждого натурального \\(n\\) найдите максимальное возможное количество проведённых отрезков. planar_graph degree idea-euler-degree-bound эйлеров подсчёт через степени если добавить к проведённым отрезкам четыре стороны квадрата, получится плоский граф разбиения диска. для \\(n>2\\) все внутренние вершины и все вершины квадрата, кроме, возможно, одной, имеют степень не меньше 3; поэтому \\(2e\\ge 3v-1\\), и формула эйлера даёт верхнюю оценку. planar_graphs double_counting degree_counting ai_checked idea-corner-degree-cases две малые угловые степени ломают выпуклость если две соседние вершины квадрата имеют степень 2, то выпуклая область при общей стороне должна быть всем квадратом. если степень 2 имеют две противоположные вершины, выпуклость заставляет провести диагональ между двумя другими вершинами, и это только случай \\(n=2\\). planar_graphs goal_classification ai_checked idea-truncate-degree-three-vertex замена вершины степени 3 маленьким треугольником для достижения границы достаточно построить пример при \\(n=3\\) с внутренней вершиной степени 3, а затем заменять такую вершину маленьким треугольником. число областей увеличивается на 1, число проведённых отрезков — на 3, и формула \\(3n-6\\) сохраняется. induction extremal_choice ai_checked sol-official-expanded эйлеров подсчёт и индукционная конструкция ai_checked planar_graph degree face_counting double_counting induction ответ: \\(0\\) при \\(n=1\\), \\(1\\) при \\(n=2\\), и \\(3n-6\\) при \\(n\\ge3\\). сначала докажем верхнюю оценку. рассмотрим плоский граф \\(g\\), вершинами которого являются все отмеченные точки, а рёбрами — все проведённые отрезки и четыре стороны квадрата. из условия, что никакие три отмеченные точки не лежат на одной прямой, следует, что отмеченная точка не может лежать внутри стороны какого-либо многоугольника разбиения. поэтому каждая отмеченная точка действительно является вершиной графа \\(g\\). пусть \\(v\\) и \\(e\\) — числа вершин и рёбер графа \\(g\\), где в \\(e\\) включены четыре стороны исходного квадрата. внутренних граней у графа ровно \\(n\\), поэтому для разбиения диска формула эйлера имеет вид \\[ v-e+n=1. \\tag{1} \\] разберём степени вершин. если отмеченная точка лежит внутри квадрата и имеет степень \\(d\\), то \\(d\\) рёбер, выходящих из неё, разбивают полный угол \\(360^\\circ\\) на \\(d\\) углов м… kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-9 ploskoe razbienie kvadrata i vershina maloy stepeni, kubok kolmogorova 2006 double_counting planar_graphs goal_counting 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2006 ? kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked vnutri kvadrata, no ne na ego storonah, otmecheno neskolko tochek. vershiny kvadrata takzhe otmecheny. nikakie tri otmechennye tochki ne lezhat na odnoy pryamoy. nekotorye pary otmechennyh tochek soedineny neperesekayuschimisya otrezkami tak, chto kvadrat razbilsya na \\(n\\) vypuklyh mnogougolnikov, ne soderzhaschih otmechennyh tochek vnutri. dlya kazhdogo naturalnogo \\(n\\) naydite maksimalnoe vozmozhnoe kolichestvo provedennyh otrezkov. planar_graph degree idea-euler-degree-bound eylerov podschet cherez stepeni esli dobavit k provedennym otrezkam chetyre storony kvadrata, poluchitsya ploskiy graf razbieniya diska. dlya \\(n>2\\) vse vnutrennie vershiny i vse vershiny kvadrata, krome, vozmozhno, odnoy, imeyut stepen ne menshe 3; poetomu \\(2e\\ge 3v-1\\), i formula eylera daet verhnyuyu otsenku. planar_graphs double_counting degree_counting ai_checked idea-corner-degree-cases dve malye uglovye stepeni lomayut vypuklost esli dve sosednie vershiny kvadrata imeyut stepen 2, to vypuklaya oblast pri obschey storone dolzhna byt vsem kvadratom. esli stepen 2 imeyut dve protivopolozhnye vershiny, vypuklost zastavlyaet provesti diagonal mezhdu dvumya drugimi vershinami, i eto tolko sluchay \\(n=2\\). planar_graphs goal_classification ai_checked idea-truncate-degree-three-vertex zamena vershiny stepeni 3 malenkim treugolnikom dlya dostizheniya granitsy dostatochno postroit primer pri \\(n=3\\) s vnutrenney vershinoy stepeni 3, a zatem zamenyat takuyu vershinu malenkim treugolnikom. chislo oblastey uvelichivaetsya na 1, chislo provedennyh otrezkov — na 3, i formula \\(3n-6\\) sohranyaetsya. induction extremal_choice ai_checked sol-official-expanded eylerov podschet i induktsionnaya konstruktsiya ai_checked planar_graph degree face_counting double_counting induction otvet: \\(0\\) pri \\(n=1\\), \\(1\\) pri \\(n=2\\), i \\(3n-6\\) pri \\(n\\ge3\\). snachala dokazhem verhnyuyu otsenku. rassmotrim ploskiy graf \\(g\\), vershinami kotorogo yavlyayutsya vse otmechennye tochki, a rebrami — vse provedennye otrezki i chetyre storony kvadrata. iz usloviya, chto nikakie tri otmechennye tochki ne lezhat na odnoy pryamoy, sleduet, chto otmechennaya tochka ne mozhet lezhat vnutri storony kakogo-libo mnogougolnika razbieniya. poetomu kazhdaya otmechennaya tochka deystvitelno yavlyaetsya vershinoy grafa \\(g\\). pust \\(v\\) i \\(e\\) — chisla vershin i reber grafa \\(g\\), gde v \\(e\\) vklyucheny chetyre storony ishodnogo kvadrata. vnutrennih graney u grafa rovno \\(n\\), poetomu dlya razbieniya diska formula eylera imeet vid \\[ v-e+n=1. \\tag{1} \\] razberem stepeni vershin. esli otmechennaya tochka lezhit vnutri kvadrata i imeet stepen \\(d\\), to \\(d\\) reber, vyhodyaschih iz nee, razbivayut polnyy ugol \\(360^\\circ\\) na \\(d\\) uglov m…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2006-round-2-first-junior-league-problem-8","title":"Максимум белых клеток в связной клетчатой фигуре с n чёрными, Кубок Колмогорова 2006","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2006-round-2-first-junior-league-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2006-round-2-first-junior-league-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2006-round-2-first-junior-league-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2006 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2006","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","trees","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки КОЛМ; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В этом проходе развёрнуты оценка через остовное дерево клеток и конструкция, включая случай n=1.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Из бесконечной шахматной доски по границам клеток вырезана связная фигура. В ней \\(n\\) черных клеток. Каково максимальное возможное количество белых клеток?","definition_ids":["tree","bipartite_graph","connected_graph","spanning_tree","neighborhood"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Проверенное самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","bipartite_graph","connected_graph","spanning_tree","neighborhood"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `3n + 1`. Рассмотрим граф клеток фигуры: вершинами являются клетки, а ребро соединяет две клетки с общей стороной. Фигура связна, значит этот граф связен. Выберем в нем остовное дерево и укореним его в некоторой белой клетке, если белые клетки есть. Если белых клеток нет, оценка очевидна. В шахматной раскраске соседние по стороне клетки имеют разные цвета, поэтому уровни укорененного дерева чередуются по цвету. У корневой белой клетки может быть не более `4` сыновей-черных клеток. У любой другой черной клетки один сосед в дереве уже является ее отцом-белой клеткой, а всего у клетки на доске не более `4` соседей; значит, у такой черной клетки не более `3` сыновей-белых клеток. То же верно и для черных сыновей корня: у каждого из них уже есть отец, поэтому белых сыновей не больше `3`. Каждая белая клетка, кроме корня, является сыном некоторой черной клетки. Черных клеток всего `n`,…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2006-grid-tree-round2","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-2-super-league-problem-6","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2006-round-2-first-junior-league-problem-8 максимум белых клеток в связной клетчатой фигуре с n чёрными, кубок колмогорова 2006 matching trees goal_exact_bound 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2006 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2006 ? кубок колмогорова 2006 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked из бесконечной шахматной доски по границам клеток вырезана связная фигура. в ней \\(n\\) черных клеток. каково максимальное возможное количество белых клеток? tree bipartite_graph connected_graph spanning_tree neighborhood idea-graph-role графовая роль граф не дан явно, но официальное решение строит дерево соседства клеток и именно через свойства этого дерева получает верхнюю оценку. ai_checked sol-official-compressed проверенное самодостаточное решение ai_checked tree bipartite_graph connected_graph spanning_tree neighborhood extremal_choice ответ: `3n + 1`. рассмотрим граф клеток фигуры: вершинами являются клетки, а ребро соединяет две клетки с общей стороной. фигура связна, значит этот граф связен. выберем в нем остовное дерево и укореним его в некоторой белой клетке, если белые клетки есть. если белых клеток нет, оценка очевидна. в шахматной раскраске соседние по стороне клетки имеют разные цвета, поэтому уровни укорененного дерева чередуются по цвету. у корневой белой клетки может быть не более `4` сыновей-черных клеток. у любой другой черной клетки один сосед в дереве уже является ее отцом-белой клеткой, а всего у клетки на доске не более `4` соседей; значит, у такой черной клетки не более `3` сыновей-белых клеток. то же верно и для черных сыновей корня: у каждого из них уже есть отец, поэтому белых сыновей не больше `3`. каждая белая клетка, кроме корня, является сыном некоторой черной клетки. черных клеток всего `n`,… kolmogorov-2006-round-2-first-junior-league-problem-8 maksimum belyh kletok v svyaznoy kletchatoy figure s n chernymi, kubok kolmogorova 2006 matching trees goal_exact_bound 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2006 ? kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked iz beskonechnoy shahmatnoy doski po granitsam kletok vyrezana svyaznaya figura. v ney \\(n\\) chernyh kletok. kakovo maksimalnoe vozmozhnoe kolichestvo belyh kletok? tree bipartite_graph connected_graph spanning_tree neighborhood idea-graph-role grafovaya rol graf ne dan yavno, no ofitsialnoe reshenie stroit derevo sosedstva kletok i imenno cherez svoystva etogo dereva poluchaet verhnyuyu otsenku. ai_checked sol-official-compressed proverennoe samodostatochnoe reshenie ai_checked tree bipartite_graph connected_graph spanning_tree neighborhood extremal_choice otvet: `3n + 1`. rassmotrim graf kletok figury: vershinami yavlyayutsya kletki, a rebro soedinyaet dve kletki s obschey storonoy. figura svyazna, znachit etot graf svyazen. vyberem v nem ostovnoe derevo i ukorenim ego v nekotoroy beloy kletke, esli belye kletki est. esli belyh kletok net, otsenka ochevidna. v shahmatnoy raskraske sosednie po storone kletki imeyut raznye tsveta, poetomu urovni ukorenennogo dereva chereduyutsya po tsvetu. u kornevoy beloy kletki mozhet byt ne bolee `4` synovey-chernyh kletok. u lyuboy drugoy chernoy kletki odin sosed v dereve uzhe yavlyaetsya ee ottsom-beloy kletkoy, a vsego u kletki na doske ne bolee `4` sosedey; znachit, u takoy chernoy kletki ne bolee `3` synovey-belyh kletok. to zhe verno i dlya chernyh synovey kornya: u kazhdogo iz nih uzhe est otets, poetomu belyh synovey ne bolshe `3`. kazhdaya belaya kletka, krome kornya, yavlyaetsya synom nekotoroy chernoy kletki. chernyh kletok vsego `n`,…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2006-round-2-super-league-problem-6","title":"Разрезание клетчатой фигуры с втрое большим числом чёрных клеток, Кубок Колмогорова 2006","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2006-round-2-super-league-problem-6.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2006-round-2-super-league-problem-6.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2006-round-2-super-league-problem-6","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2006 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2006","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["induction","trees","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"high-reasoning проверка 2026-05-17: официальный сжатый план доведён до полного индукционного доказательства через остовное дерево клеточного графа","notes":"Проверены подсчёт степеней белых вершин в остовном дереве, выбор удаляемого T-тетрамино через максимальный путь и сохранение связности остатка при индукционном удалении.","audit_source":"high-reasoning-solution-classification-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Из бесконечной шахматной доски вырезана связная клетчатая фигура. Число черных клеток в ней ровно в 3 раза больше числа белых. Докажите, что фигуру можно разрезать на одинаковые связные фигурки из четырех клеток.","definition_ids":["tree","connected_graph","bipartite_graph","degree","path","spanning_tree","neighborhood"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение через остовное дерево","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","connected_graph","bipartite_graph","degree","path","spanning_tree","neighborhood"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Покажем, что фигура разбивается на `T`-тетрамино: такие четырехклеточные фигурки состоят из одной белой клетки и трех черных клеток, примыкающих к ней по сторонам. Все такие фигурки одинаковы с точностью до поворота. Рассмотрим граф соседства клеток данной фигуры: вершины — клетки фигуры, ребро соединяет две клетки с общей стороной. Этот граф связен и двудолен по шахматной раскраске. Пусть в фигуре `W` белых и `B` черных клеток; по условию `B = 3W`. Возьмем любое остовное дерево `T` этого графа. В нем `4W` вершин и `4W - 1` ребер. Каждое ребро дерева инцидентно ровно одной белой вершине, поэтому сумма степеней всех белых вершин в дереве равна `4W - 1`. Но у любой клетки на шахматной доске не больше четырех соседей, значит степень каждой белой вершины в `T` не больше 4. Следовательно, ровно одна белая вершина имеет степень 3, а все остальные белые вершины имеют степень 4. В частности, бе…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2006-grid-tree-round2","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-2-first-junior-league-problem-8","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-tree-kolm-2006-t-tetromino","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2006-round-2-super-league-problem-6 разрезание клетчатой фигуры с втрое большим числом чёрных клеток, кубок колмогорова 2006 induction trees goal_proof 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2006 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2006 ? кубок колмогорова 2006 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked из бесконечной шахматной доски вырезана связная клетчатая фигура. число черных клеток в ней ровно в 3 раза больше числа белых. докажите, что фигуру можно разрезать на одинаковые связные фигурки из четырех клеток. tree connected_graph bipartite_graph degree path spanning_tree neighborhood idea-graph-role графовая роль в условии графа нет, но официальное решение существенно строит дерево соседства клеток и использует пути, листья и ветвление этого дерева. trees induction ai_checked sol-official-compressed полное решение через остовное дерево ai_checked tree connected_graph bipartite_graph degree path spanning_tree neighborhood induction delete_to_simplify покажем, что фигура разбивается на `t`-тетрамино: такие четырехклеточные фигурки состоят из одной белой клетки и трех черных клеток, примыкающих к ней по сторонам. все такие фигурки одинаковы с точностью до поворота. рассмотрим граф соседства клеток данной фигуры: вершины — клетки фигуры, ребро соединяет две клетки с общей стороной. этот граф связен и двудолен по шахматной раскраске. пусть в фигуре `w` белых и `b` черных клеток; по условию `b = 3w`. возьмем любое остовное дерево `t` этого графа. в нем `4w` вершин и `4w - 1` ребер. каждое ребро дерева инцидентно ровно одной белой вершине, поэтому сумма степеней всех белых вершин в дереве равна `4w - 1`. но у любой клетки на шахматной доске не больше четырех соседей, значит степень каждой белой вершины в `t` не больше 4. следовательно, ровно одна белая вершина имеет степень 3, а все остальные белые вершины имеют степень 4. в частности, бе… kolmogorov-2006-round-2-super-league-problem-6 razrezanie kletchatoy figury s vtroe bolshim chislom chernyh kletok, kubok kolmogorova 2006 induction trees goal_proof 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2006 ? kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked iz beskonechnoy shahmatnoy doski vyrezana svyaznaya kletchataya figura. chislo chernyh kletok v ney rovno v 3 raza bolshe chisla belyh. dokazhite, chto figuru mozhno razrezat na odinakovye svyaznye figurki iz chetyreh kletok. tree connected_graph bipartite_graph degree path spanning_tree neighborhood idea-graph-role grafovaya rol v uslovii grafa net, no ofitsialnoe reshenie suschestvenno stroit derevo sosedstva kletok i ispolzuet puti, listya i vetvlenie etogo dereva. trees induction ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie cherez ostovnoe derevo ai_checked tree connected_graph bipartite_graph degree path spanning_tree neighborhood induction delete_to_simplify pokazhem, chto figura razbivaetsya na `t`-tetramino: takie chetyrehkletochnye figurki sostoyat iz odnoy beloy kletki i treh chernyh kletok, primykayuschih k ney po storonam. vse takie figurki odinakovy s tochnostyu do povorota. rassmotrim graf sosedstva kletok dannoy figury: vershiny — kletki figury, rebro soedinyaet dve kletki s obschey storonoy. etot graf svyazen i dvudolen po shahmatnoy raskraske. pust v figure `w` belyh i `b` chernyh kletok; po usloviyu `b = 3w`. vozmem lyuboe ostovnoe derevo `t` etogo grafa. v nem `4w` vershin i `4w - 1` reber. kazhdoe rebro dereva intsidentno rovno odnoy beloy vershine, poetomu summa stepeney vseh belyh vershin v dereve ravna `4w - 1`. no u lyuboy kletki na shahmatnoy doske ne bolshe chetyreh sosedey, znachit stepen kazhdoy beloy vershiny v `t` ne bolshe 4. sledovatelno, rovno odna belaya vershina imeet stepen 3, a vse ostalnye belye vershiny imeyut stepen 4. v chastnosti, be…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3","title":"1000-раскраска регулярного графа с разноцветными соседями заданной вершины, Кубок Колмогорова 2006","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2006 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2006","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":8,"comment":"Тонкая задача на экстремальную раскраску и цепи Кемпе: основной риск в минимизационном разрыве двухцветной компоненты.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"официальный архив rechecked; решение развернуто из краткого официального Kempe-chain плана","notes":"Официальный текст остается сжатым, поэтому минимизационные переходы раскрыты редакционно; основные шаги совпадают с архивным решением.","audit_source":"high-reasoning-kolmogorov-2006-r3-super-p3-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"Пусть \\(A\\) — вершина графа, все вершины которого имеют степень 1000. Известно, что вершины графа можно правильно раскрасить в 1000 цветов. Докажите, что это можно сделать так, чтобы соседи вершины \\(A\\) были окрашены хотя бы в 500 различных цветов.","definition_ids":["simple_graph","degree","chromatic_number","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Развернутое решение через цепи Кемпе","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","chromatic_number","connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","kempe_chains","local_recoloring","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное: в любой правильной 1000-раскраске соседи вершины \\(A\\) окрашены не более чем в \\(499\\) цветов. Среди всех таких раскрасок выберем раскраску, в которой число цветов на соседях \\(A\\) максимально. Переименуем цвета так, что сама вершина \\(A\\) имеет цвет \\(1\\). Тогда цвет \\(1\\) не встречается среди соседей \\(A\\), а кроме него среди цветов \\(2,\\ldots,1000\\) отсутствуют по крайней мере \\(500\\) цветов. Так как у \\(A\\) ровно \\(1000\\) соседей, раскрашенных не более чем в \\(499\\) цветов, некоторый цвет встречается среди них хотя бы три раза. Назовем этот цвет цветом \\(2\\), а соседей \\(A\\) цвета \\(2\\) обозначим \\(B_1,\\ldots,B_k\\), где \\(k\\ge3\\). Выберем три цвета, отсутствующие среди соседей \\(A\\), и назовем их \\(501,502,503\\). Сначала зафиксируем один отсутствующий цвет \\(t\\in\\{501,502,503\\}\\) и рассмотрим подграф, порожденный вершинами цветов \\(2\\) и \\(t\\). Если две вершин…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2006-2007-color-class-recoloring-connectivity","neighbor_id":"kolmogorov-2007-round-3-high-and-first-league-problem-3","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2006-r3-super-p3-fyum-2009-two-color-component-swap","neighbor_id":"fyum-2009-tur2a-p4","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2006-r3-super-p3-vosh-2018-shirt-recoloring","neighbor_id":"vosh-2018-19-final-shirt-recoloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2006-r3-super-p3-five-color-theorem","neighbor_id":"five-color-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3 1000-раскраска регулярного графа с разноцветными соседями заданной вершины, кубок колмогорова 2006 coloring connectivity goal_proof 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2006 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2006 ? кубок колмогорова 2006 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка source_verified пусть \\(a\\) — вершина графа, все вершины которого имеют степень 1000. известно, что вершины графа можно правильно раскрасить в 1000 цветов. докажите, что это можно сделать так, чтобы соседи вершины \\(a\\) были окрашены хотя бы в 500 различных цветов. simple_graph degree chromatic_number connected_graph idea-graph-role графовая роль граф прямо присутствует в условии. решение выбирает экстремальную правильную 1000-раскраску, затем анализирует компоненты кемпе, порожденные цветом, часто встречающимся среди соседей a, и отсутствующими в этой окрестности цветами. coloring connectivity ai_checked idea-minimal-kempe-component минимальная двухцветная компонента если цвет 2 встречается у соседей a хотя бы трижды, а цвет t в этой окрестности отсутствует, то все такие соседи цвета 2 должны лежать в одной компоненте подграфа цветов 2 и t. иначе обмен цветов в одной компоненте добавил бы цвет t около a, не уничтожив цвет 2. coloring extremal_choice ai_checked idea-three-absent-colors три отсутствующих цвета после локальных минимизаций для трех отсутствующих цветов получаются три двухцветных пути, каждый из которых проходит через все соседи a выбранного цвета 2. внутренняя вершина такого пути имеет повтор именно соответствующего отсутствующего цвета; по принципу дирихле одна вершина стала бы внутренней для двух путей, что невозможно. coloring pigeonhole_principle ai_checked sol-official-expanded развернутое решение через цепи кемпе ai_checked simple_graph degree chromatic_number connected_graph path extremal_choice kempe_chains local_recoloring pigeonhole_principle предположим противное: в любой правильной 1000-раскраске соседи вершины \\(a\\) окрашены не более чем в \\(499\\) цветов. среди всех таких раскрасок выберем раскраску, в которой число цветов на соседях \\(a\\) максимально. переименуем цвета так, что сама вершина \\(a\\) имеет цвет \\(1\\). тогда цвет \\(1\\) не встречается среди соседей \\(a\\), а кроме него среди цветов \\(2,\\ldots,1000\\) отсутствуют по крайней мере \\(500\\) цветов. так как у \\(a\\) ровно \\(1000\\) соседей, раскрашенных не более чем в \\(499\\) цветов, некоторый цвет встречается среди них хотя бы три раза. назовем этот цвет цветом \\(2\\), а соседей \\(a\\) цвета \\(2\\) обозначим \\(b_1,\\ldots,b_k\\), где \\(k\\ge3\\). выберем три цвета, отсутствующие среди соседей \\(a\\), и назовем их \\(501,502,503\\). сначала зафиксируем один отсутствующий цвет \\(t\\in\\{501,502,503\\}\\) и рассмотрим подграф, порожденный вершинами цветов \\(2\\) и \\(t\\). если две вершин… kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3 1000-raskraska regulyarnogo grafa s raznotsvetnymi sosedyami zadannoy vershiny, kubok kolmogorova 2006 coloring connectivity goal_proof 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2006 ? kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka source_verified pust \\(a\\) — vershina grafa, vse vershiny kotorogo imeyut stepen 1000. izvestno, chto vershiny grafa mozhno pravilno raskrasit v 1000 tsvetov. dokazhite, chto eto mozhno sdelat tak, chtoby sosedi vershiny \\(a\\) byli okrasheny hotya by v 500 razlichnyh tsvetov. simple_graph degree chromatic_number connected_graph idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo prisutstvuet v uslovii. reshenie vybiraet ekstremalnuyu pravilnuyu 1000-raskrasku, zatem analiziruet komponenty kempe, porozhdennye tsvetom, chasto vstrechayuschimsya sredi sosedey a, i otsutstvuyuschimi v etoy okrestnosti tsvetami. coloring connectivity ai_checked idea-minimal-kempe-component minimalnaya dvuhtsvetnaya komponenta esli tsvet 2 vstrechaetsya u sosedey a hotya by trizhdy, a tsvet t v etoy okrestnosti otsutstvuet, to vse takie sosedi tsveta 2 dolzhny lezhat v odnoy komponente podgrafa tsvetov 2 i t. inache obmen tsvetov v odnoy komponente dobavil by tsvet t okolo a, ne unichtozhiv tsvet 2. coloring extremal_choice ai_checked idea-three-absent-colors tri otsutstvuyuschih tsveta posle lokalnyh minimizatsiy dlya treh otsutstvuyuschih tsvetov poluchayutsya tri dvuhtsvetnyh puti, kazhdyy iz kotoryh prohodit cherez vse sosedi a vybrannogo tsveta 2. vnutrennyaya vershina takogo puti imeet povtor imenno sootvetstvuyuschego otsutstvuyuschego tsveta; po printsipu dirihle odna vershina stala by vnutrenney dlya dvuh putey, chto nevozmozhno. coloring pigeonhole_principle ai_checked sol-official-expanded razvernutoe reshenie cherez tsepi kempe ai_checked simple_graph degree chromatic_number connected_graph path extremal_choice kempe_chains local_recoloring pigeonhole_principle predpolozhim protivnoe: v lyuboy pravilnoy 1000-raskraske sosedi vershiny \\(a\\) okrasheny ne bolee chem v \\(499\\) tsvetov. sredi vseh takih raskrasok vyberem raskrasku, v kotoroy chislo tsvetov na sosedyah \\(a\\) maksimalno. pereimenuem tsveta tak, chto sama vershina \\(a\\) imeet tsvet \\(1\\). togda tsvet \\(1\\) ne vstrechaetsya sredi sosedey \\(a\\), a krome nego sredi tsvetov \\(2,\\ldots,1000\\) otsutstvuyut po krayney mere \\(500\\) tsvetov. tak kak u \\(a\\) rovno \\(1000\\) sosedey, raskrashennyh ne bolee chem v \\(499\\) tsvetov, nekotoryy tsvet vstrechaetsya sredi nih hotya by tri raza. nazovem etot tsvet tsvetom \\(2\\), a sosedey \\(a\\) tsveta \\(2\\) oboznachim \\(b_1,\\ldots,b_k\\), gde \\(k\\ge3\\). vyberem tri tsveta, otsutstvuyuschie sredi sosedey \\(a\\), i nazovem ih \\(501,502,503\\). snachala zafiksiruem odin otsutstvuyuschiy tsvet \\(t\\in\\{501,502,503\\}\\) i rassmotrim podgraf, porozhdennyy vershinami tsvetov \\(2\\) i \\(t\\). esli dve vershin…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5","title":"Максимум различных треугольников в триангуляции n-угольника, Кубок Колмогорова 2006","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2006 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2006","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","planar_graphs","trees","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"high-reasoning проверка 2026-05-17: официальный сжатый план развёрнут в полное доказательство через двойственное дерево триангуляции","notes":"Проверены верхняя оценка по числу вершин степеней 1, 2, 3, максимум функции 1 + t + min(N - 2t - 2, floor((N - 1) / 2)), явная caterpillar-конструкция и реализуемость любого субкубического дерева триангуляцией.","audit_source":"high-reasoning-solution-classification-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дано натуральное \\(n > 4\\). В правильном \\(n\\)-угольнике проведены \\(n-3\\) непересекающихся диагонали, разбивающие его на треугольники. Найдите максимальное возможное число попарно различных треугольников в таком разбиении.","definition_ids":["tree","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Расширенное проверенное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","planar_graph","cycle","degree","path"],"standard_idea_ids":["face_counting","double_counting","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `floor((3n - 7) / 4)`. Пусть дано некоторое разбиение правильного `n`-угольника на треугольники. Построим дерево смежности треугольников: его вершины соответствуют треугольникам, а две вершины соединены ребром, если соответствующие треугольники имеют общую диагональ. Это действительно дерево: треугольников `n - 2`, диагоналей `n - 3`, граф смежности связен, а циклов в нем быть не может. Степень каждой вершины не превосходит `3`. Обозначим `N = n - 2`, то есть `N` - число вершин этого дерева. Для вершины `v` дерева посмотрим на компоненты, которые получаются после удаления `v`. Если степень `v` меньше `3`, добавим недостающие компоненты нулевого размера. Тогда три числа `a, b, c`, равные размерам этих компонент, удовлетворяют `a + b + c = N - 1`, а соответствующий треугольник имеет стороны, стягивающие соответственно `a + 1`, `b + 1`, `c + 1` сторон исходного многоугольника. Поэто…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2006-p1a-kolmogorov-2006-dual-tree","neighbor_id":"imc-2006-day2-p1a-polygon-triangulation-all-odd","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2006-p1b-kolmogorov-2006-dual-tree","neighbor_id":"imc-2006-day2-p1b-polygon-triangulation-two-even","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2021-triangulation-anticliques-dual-tree","neighbor_id":"kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-10","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2006-planar-face-counting-bound","neighbor_id":"planar-edge-bound","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-deep-2006-planar-subdivision-triangulation","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-1-super-high-first-league-problem-9","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-2006-triangulation-euler-formula","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5 максимум различных треугольников в триангуляции n-угольника, кубок колмогорова 2006 double_counting planar_graphs trees goal_counting 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2006 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2006 ? кубок колмогорова 2006 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дано натуральное \\(n > 4\\). в правильном \\(n\\)-угольнике проведены \\(n-3\\) непересекающихся диагонали, разбивающие его на треугольники. найдите максимальное возможное число попарно различных треугольников в таком разбиении. tree planar_graph idea-graph-role графовая роль в условии граф не упомянут, но официальное решение существенно заменяет триангуляцию деревом смежности треугольников и считает типы вершин этого дерева. planar_graphs trees double_counting ai_checked sol-official-compressed расширенное проверенное решение ai_checked tree planar_graph cycle degree path face_counting double_counting delete_to_simplify ответ: `floor((3n - 7) / 4)`. пусть дано некоторое разбиение правильного `n`-угольника на треугольники. построим дерево смежности треугольников: его вершины соответствуют треугольникам, а две вершины соединены ребром, если соответствующие треугольники имеют общую диагональ. это действительно дерево: треугольников `n - 2`, диагоналей `n - 3`, граф смежности связен, а циклов в нем быть не может. степень каждой вершины не превосходит `3`. обозначим `n = n - 2`, то есть `n` - число вершин этого дерева. для вершины `v` дерева посмотрим на компоненты, которые получаются после удаления `v`. если степень `v` меньше `3`, добавим недостающие компоненты нулевого размера. тогда три числа `a, b, c`, равные размерам этих компонент, удовлетворяют `a + b + c = n - 1`, а соответствующий треугольник имеет стороны, стягивающие соответственно `a + 1`, `b + 1`, `c + 1` сторон исходного многоугольника. поэто… kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5 maksimum razlichnyh treugolnikov v triangulyatsii n-ugolnika, kubok kolmogorova 2006 double_counting planar_graphs trees goal_counting 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2006 ? kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dano naturalnoe \\(n > 4\\). v pravilnom \\(n\\)-ugolnike provedeny \\(n-3\\) neperesekayuschihsya diagonali, razbivayuschie ego na treugolniki. naydite maksimalnoe vozmozhnoe chislo poparno razlichnyh treugolnikov v takom razbienii. tree planar_graph idea-graph-role grafovaya rol v uslovii graf ne upomyanut, no ofitsialnoe reshenie suschestvenno zamenyaet triangulyatsiyu derevom smezhnosti treugolnikov i schitaet tipy vershin etogo dereva. planar_graphs trees double_counting ai_checked sol-official-compressed rasshirennoe proverennoe reshenie ai_checked tree planar_graph cycle degree path face_counting double_counting delete_to_simplify otvet: `floor((3n - 7) / 4)`. pust dano nekotoroe razbienie pravilnogo `n`-ugolnika na treugolniki. postroim derevo smezhnosti treugolnikov: ego vershiny sootvetstvuyut treugolnikam, a dve vershiny soedineny rebrom, esli sootvetstvuyuschie treugolniki imeyut obschuyu diagonal. eto deystvitelno derevo: treugolnikov `n - 2`, diagonaley `n - 3`, graf smezhnosti svyazen, a tsiklov v nem byt ne mozhet. stepen kazhdoy vershiny ne prevoshodit `3`. oboznachim `n = n - 2`, to est `n` - chislo vershin etogo dereva. dlya vershiny `v` dereva posmotrim na komponenty, kotorye poluchayutsya posle udaleniya `v`. esli stepen `v` menshe `3`, dobavim nedostayuschie komponenty nulevogo razmera. togda tri chisla `a, b, c`, ravnye razmeram etih komponent, udovletvoryayut `a + b + c = n - 1`, a sootvetstvuyuschiy treugolnik imeet storony, styagivayuschie sootvetstvenno `a + 1`, `b + 1`, `c + 1` storon ishodnogo mnogougolnika. poeto…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9","title":"Подсчёт остовных деревьев в графе-колесе, Кубок Колмогорова 2006","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2006 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2006","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","trees","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"high-reasoning проверка 2026-05-17: официальный план подсчёта остовных деревьев колеса через граф-лапу доведён до полного самодостаточного решения","notes":"Проверены лемма T_m = F_{2m} для лапы, разбиение остовных деревьев колеса по компоненте вершины A_1, формула для G_n и финальная рекуррентная сверка с F_{2n-1} + F_{2n+1} - 2.","audit_source":"high-reasoning-solution-classification-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"По окружности расположены \\(n \\ge 3\\) площадей, каждая соединена дорогой с двумя соседними. В центре расположена еще одна площадь, соединенная дорогами со всеми остальными. Нужно выбрать \\(n\\) дорог так, чтобы между любыми двумя площадями можно было пройти по выбранным дорогам. Докажите, что число таких проектов равно \\(F_{2n+1} + F_{2n-1} - 2\\), где \\(F_1 = F_2 = 1\\) и \\(F_{m+2} = F_m + F_{m+1}\\).","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree","spanning_tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Развернутое решение через лапы и рекурренцию","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree","spanning_tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать площади вершинами графа. Внешние площади образуют цикл из `n` вершин, а центральная площадь соединена со всеми внешними; это граф-колесо `W_n` с `n + 1` вершинами. Если выбрать `n` дорог так, чтобы по ним можно было пройти между любыми двумя площадями, то выбранный связный граф имеет `n + 1` вершину и `n` ребер, а значит является деревом. Поэтому нужно посчитать остовные деревья графа `W_n`. Сначала посчитаем остовные деревья в графе-лапе `L_m`: это путь `A_1A_2...A_m` и дополнительная вершина `O`, соединенная со всеми `A_i`. Обозначим число таких деревьев через `T_m`. Докажем, что `T_m = F_{2m}`. Для дерева в `L_m` посмотрим на наибольшее `k`, для которого ребра пути `A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{k-1}A_k` входят в дерево, а ребро `A_kA_{k+1}` не входит; при `k = m` последнего условия нет. Тогда блок `A_1, ..., A_k` должен быть присоединен к `O` ровно одним из `k` ребер `OA_i`:…"}],"relations":[{"id":"rel-metadata-kolm-2006-wheel-spanning-tree-basics","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ms2012-p10b-kolmogorov-2006-matrix-tree","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10b-knot-black-graph-odd-spanning-trees","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ms2012-p10a-kolmogorov-2006-spanning-tree-count","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p10a-knot-black-graph-at-most-three-spanning-trees","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9 подсчёт остовных деревьев в графе-колесе, кубок колмогорова 2006 double_counting trees goal_counting 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2006 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2006 ? кубок колмогорова 2006 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked по окружности расположены \\(n \\ge 3\\) площадей, каждая соединена дорогой с двумя соседними. в центре расположена еще одна площадь, соединенная дорогами со всеми остальными. нужно выбрать \\(n\\) дорог так, чтобы между любыми двумя площадями можно было пройти по выбранным дорогам. докажите, что число таких проектов равно \\(f_{2n+1} + f_{2n-1} - 2\\), где \\(f_1 = f_2 = 1\\) и \\(f_{m+2} = f_m + f_{m+1}\\). simple_graph cycle tree spanning_tree idea-graph-role графовая роль в условии явно задан граф дорог, а официальное решение непосредственно считает остовные деревья графа-колеса с помощью вспомогательного графа. trees double_counting ai_checked sol-official-compressed развернутое решение через лапы и рекурренцию ai_checked simple_graph cycle tree spanning_tree будем считать площади вершинами графа. внешние площади образуют цикл из `n` вершин, а центральная площадь соединена со всеми внешними; это граф-колесо `w_n` с `n + 1` вершинами. если выбрать `n` дорог так, чтобы по ним можно было пройти между любыми двумя площадями, то выбранный связный граф имеет `n + 1` вершину и `n` ребер, а значит является деревом. поэтому нужно посчитать остовные деревья графа `w_n`. сначала посчитаем остовные деревья в графе-лапе `l_m`: это путь `a_1a_2...a_m` и дополнительная вершина `o`, соединенная со всеми `a_i`. обозначим число таких деревьев через `t_m`. докажем, что `t_m = f_{2m}`. для дерева в `l_m` посмотрим на наибольшее `k`, для которого ребра пути `a_1a_2, a_2a_3, ..., a_{k-1}a_k` входят в дерево, а ребро `a_ka_{k+1}` не входит; при `k = m` последнего условия нет. тогда блок `a_1, ..., a_k` должен быть присоединен к `o` ровно одним из `k` ребер `oa_i`:… kolmogorov-2006-team-olympiad-seniors-problem-9 podschet ostovnyh derevev v grafe-kolese, kubok kolmogorova 2006 double_counting trees goal_counting 2006 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm10.zip kolmogorov kolmogorov2006 olympiad_archive src-kolmogorov-2006-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2006 ? kubok kolmogorova 2006 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked po okruzhnosti raspolozheny \\(n \\ge 3\\) ploschadey, kazhdaya soedinena dorogoy s dvumya sosednimi. v tsentre raspolozhena esche odna ploschad, soedinennaya dorogami so vsemi ostalnymi. nuzhno vybrat \\(n\\) dorog tak, chtoby mezhdu lyubymi dvumya ploschadyami mozhno bylo proyti po vybrannym dorogam. dokazhite, chto chislo takih proektov ravno \\(f_{2n+1} + f_{2n-1} - 2\\), gde \\(f_1 = f_2 = 1\\) i \\(f_{m+2} = f_m + f_{m+1}\\). simple_graph cycle tree spanning_tree idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno zadan graf dorog, a ofitsialnoe reshenie neposredstvenno schitaet ostovnye derevya grafa-kolesa s pomoschyu vspomogatelnogo grafa. trees double_counting ai_checked sol-official-compressed razvernutoe reshenie cherez lapy i rekurrentsiyu ai_checked simple_graph cycle tree spanning_tree budem schitat ploschadi vershinami grafa. vneshnie ploschadi obrazuyut tsikl iz `n` vershin, a tsentralnaya ploschad soedinena so vsemi vneshnimi; eto graf-koleso `w_n` s `n + 1` vershinami. esli vybrat `n` dorog tak, chtoby po nim mozhno bylo proyti mezhdu lyubymi dvumya ploschadyami, to vybrannyy svyaznyy graf imeet `n + 1` vershinu i `n` reber, a znachit yavlyaetsya derevom. poetomu nuzhno poschitat ostovnye derevya grafa `w_n`. snachala poschitaem ostovnye derevya v grafe-lape `l_m`: eto put `a_1a_2...a_m` i dopolnitelnaya vershina `o`, soedinennaya so vsemi `a_i`. oboznachim chislo takih derevev cherez `t_m`. dokazhem, chto `t_m = f_{2m}`. dlya dereva v `l_m` posmotrim na naibolshee `k`, dlya kotorogo rebra puti `a_1a_2, a_2a_3, ..., a_{k-1}a_k` vhodyat v derevo, a rebro `a_ka_{k+1}` ne vhodit; pri `k = m` poslednego usloviya net. togda blok `a_1, ..., a_k` dolzhen byt prisoedinen k `o` rovno odnim iz `k` reber `oa_i`:…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2007-round-1-high-league-problem-5","title":"Продление пути в эйлеровом графе от центрального города, Кубок Колмогорова 2007","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2007-round-1-high-league-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2007-round-1-high-league-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2007-round-1-high-league-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["degree_counting","eulerian_graphs","trees","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки КОЛМ; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"high-reasoning проверка 2026-05-17: официальный план через периферийный лес доведён до полного самодостаточного доказательства","notes":"Проверены эквивалентность условия отсутствию циклов в H, построение начального маршрута-ловушки при цикле вне Centralny и паритетный аргумент, заставляющий все неиспользованные ребра оставаться в компоненте текущего конца.","audit_source":"high-reasoning-solution-classification-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране некоторые города соединены дорогами. Известно, что существует замкнутый маршрут, проходящий по каждой дороге ровно один раз. Турист выехал из города Центральный и проехал по некоторому пути без повторения дорог. Докажите, что он всегда может продолжить путь до полного эйлерова обхода тогда и только тогда, когда любой циклический маршрут проходит через Центральный.","definition_ids":["tree","connected_graph","path","cycle","eulerian_cycle","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное доказательство через препятствие к эйлерову обходу","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","connected_graph","path","cycle","eulerian_cycle","degree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть `c` — город Центральный, а `H` — граф, образованный всеми дорогами, не инцидентными `c`. Так как во всем дорожном графе есть эйлеров цикл, этот граф связен, и степень каждой его вершины четна. Условие, что любой циклический маршрут проходит через `c`, эквивалентно тому, что `H` не содержит циклов, то есть является лесом. Сначала предположим, что `H` содержит цикл `Z`. Удалим ребра `Z`. В оставшемся графе все степени по-прежнему четны, а компонента, содержащая `c`, имеет эйлеров цикл, проходящий ровно по ее ребрам. Если турист сначала пройдет именно этот цикл, он вернется в `c`, но все неиспользованные ребра лежат вне текущей компоненты после удаления `Z`; в частности, из `c` уже нельзя попасть к ребрам цикла `Z` по неиспользованной дороге. Такой маршрут нельзя продолжить до полного эйлерова обхода исходного графа. Значит, требуемое свойство нарушается всякий раз, когда есть цикл,…"}],"relations":[{"id":"rel-euler-trail-extension-center-forest-kolmogorov-2007-r1hl-p5","neighbor_id":"euler-trail-extension-center-forest","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2007-round-1-high-league-problem-5 продление пути в эйлеровом графе от центрального города, кубок колмогорова 2007 degree_counting eulerian_graphs trees goal_characterization 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2007 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2007 ? кубок колмогорова 2007 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране некоторые города соединены дорогами. известно, что существует замкнутый маршрут, проходящий по каждой дороге ровно один раз. турист выехал из города центральный и проехал по некоторому пути без повторения дорог. докажите, что он всегда может продолжить путь до полного эйлерова обхода тогда и только тогда, когда любой циклический маршрут проходит через центральный. tree connected_graph path cycle eulerian_cycle degree idea-graph-role графовая роль в условии явно присутствует дорожный граф, а официальное решение существенно использует эйлеровы циклы, леса, четность степеней и подграфы. eulerian_graphs trees degree_counting ai_checked sol-official-compressed самодостаточное доказательство через препятствие к эйлерову обходу ai_checked tree connected_graph path cycle eulerian_cycle degree delete_to_simplify пусть `c` — город центральный, а `h` — граф, образованный всеми дорогами, не инцидентными `c`. так как во всем дорожном графе есть эйлеров цикл, этот граф связен, и степень каждой его вершины четна. условие, что любой циклический маршрут проходит через `c`, эквивалентно тому, что `h` не содержит циклов, то есть является лесом. сначала предположим, что `h` содержит цикл `z`. удалим ребра `z`. в оставшемся графе все степени по-прежнему четны, а компонента, содержащая `c`, имеет эйлеров цикл, проходящий ровно по ее ребрам. если турист сначала пройдет именно этот цикл, он вернется в `c`, но все неиспользованные ребра лежат вне текущей компоненты после удаления `z`; в частности, из `c` уже нельзя попасть к ребрам цикла `z` по неиспользованной дороге. такой маршрут нельзя продолжить до полного эйлерова обхода исходного графа. значит, требуемое свойство нарушается всякий раз, когда есть цикл,… kolmogorov-2007-round-1-high-league-problem-5 prodlenie puti v eylerovom grafe ot tsentralnogo goroda, kubok kolmogorova 2007 degree_counting eulerian_graphs trees goal_characterization 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2007 ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane nekotorye goroda soedineny dorogami. izvestno, chto suschestvuet zamknutyy marshrut, prohodyaschiy po kazhdoy doroge rovno odin raz. turist vyehal iz goroda tsentralnyy i proehal po nekotoromu puti bez povtoreniya dorog. dokazhite, chto on vsegda mozhet prodolzhit put do polnogo eylerova obhoda togda i tolko togda, kogda lyuboy tsiklicheskiy marshrut prohodit cherez tsentralnyy. tree connected_graph path cycle eulerian_cycle degree idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno prisutstvuet dorozhnyy graf, a ofitsialnoe reshenie suschestvenno ispolzuet eylerovy tsikly, lesa, chetnost stepeney i podgrafy. eulerian_graphs trees degree_counting ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe dokazatelstvo cherez prepyatstvie k eylerovu obhodu ai_checked tree connected_graph path cycle eulerian_cycle degree delete_to_simplify pust `c` — gorod tsentralnyy, a `h` — graf, obrazovannyy vsemi dorogami, ne intsidentnymi `c`. tak kak vo vsem dorozhnom grafe est eylerov tsikl, etot graf svyazen, i stepen kazhdoy ego vershiny chetna. uslovie, chto lyuboy tsiklicheskiy marshrut prohodit cherez `c`, ekvivalentno tomu, chto `h` ne soderzhit tsiklov, to est yavlyaetsya lesom. snachala predpolozhim, chto `h` soderzhit tsikl `z`. udalim rebra `z`. v ostavshemsya grafe vse stepeni po-prezhnemu chetny, a komponenta, soderzhaschaya `c`, imeet eylerov tsikl, prohodyaschiy rovno po ee rebram. esli turist snachala proydet imenno etot tsikl, on vernetsya v `c`, no vse neispolzovannye rebra lezhat vne tekuschey komponenty posle udaleniya `z`; v chastnosti, iz `c` uzhe nelzya popast k rebram tsikla `z` po neispolzovannoy doroge. takoy marshrut nelzya prodolzhit do polnogo eylerova obhoda ishodnogo grafa. znachit, trebuemoe svoystvo narushaetsya vsyakiy raz, kogda est tsikl,…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2007-round-2-first-league-problem-8","title":"Клетчатый прямоугольник и граф смежности одинаковых фигурок, Кубок Колмогорова 2007","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2007-round-2-first-league-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2007-round-2-first-league-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2007-round-2-first-league-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Можно ли некоторый клетчатый прямоугольник разрезать на одинаковые фигурки, каждая из которых состоит из одной целой клетки и двух равнобедренных прямоугольных треугольников по ее бокам?","definition_ids":["cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Развернутое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: нельзя. Предположим противное: некоторый клетчатый прямоугольник удалось разрезать на такие фигурки. В каждой фигурке соединим синими отрезками центр ее полной клетки с серединами диагоналей в двух треугольных половинках. При переходе через стороны фигурок эти синие отрезки продолжают друг друга, поэтому все они распадаются на непересекающиеся замкнутые циклы. Объединение фигурок, соответствующих одному синему циклу, состоит из целых клеток, и через каждую клетку проходит ровно один такой цикл. Выберем синий цикл, внутри которого нет других синих циклов. Тогда внутри него нет ни одной целой клетки разбиения: иначе через эту клетку проходил бы еще один синий цикл, лежащий внутри выбранного. Раскрасим клетчатую плоскость в шахматном порядке так, чтобы черные клетки, пересекаемые выбранным циклом как целые клетки фигурок, были целыми, а белые клетки были разрезанными. В белых клетка…"}],"relations":[{"id":"rel-matching-tiling-kolm-2007-usamo-2009-cycle-decomposition","neighbor_id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2007-round-2-first-league-problem-8 клетчатый прямоугольник и граф смежности одинаковых фигурок, кубок колмогорова 2007 planar_graphs goal_impossibility 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2007 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2007 ? кубок колмогорова 2007 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked можно ли некоторый клетчатый прямоугольник разрезать на одинаковые фигурки, каждая из которых состоит из одной целой клетки и двух равнобедренных прямоугольных треугольников по ее бокам? cycle idea-graph-role графовая роль в условии граф не назван, но официальное решение существенно строит циклы и вспомогательный граф, который затем доказывается деревом; без этого противоречие не получается. planar_graphs ai_checked sol-official-compressed развернутое решение ai_checked cycle tree ответ: нельзя. предположим противное: некоторый клетчатый прямоугольник удалось разрезать на такие фигурки. в каждой фигурке соединим синими отрезками центр ее полной клетки с серединами диагоналей в двух треугольных половинках. при переходе через стороны фигурок эти синие отрезки продолжают друг друга, поэтому все они распадаются на непересекающиеся замкнутые циклы. объединение фигурок, соответствующих одному синему циклу, состоит из целых клеток, и через каждую клетку проходит ровно один такой цикл. выберем синий цикл, внутри которого нет других синих циклов. тогда внутри него нет ни одной целой клетки разбиения: иначе через эту клетку проходил бы еще один синий цикл, лежащий внутри выбранного. раскрасим клетчатую плоскость в шахматном порядке так, чтобы черные клетки, пересекаемые выбранным циклом как целые клетки фигурок, были целыми, а белые клетки были разрезанными. в белых клетка… kolmogorov-2007-round-2-first-league-problem-8 kletchatyy pryamougolnik i graf smezhnosti odinakovyh figurok, kubok kolmogorova 2007 planar_graphs goal_impossibility 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2007 ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked mozhno li nekotoryy kletchatyy pryamougolnik razrezat na odinakovye figurki, kazhdaya iz kotoryh sostoit iz odnoy tseloy kletki i dvuh ravnobedrennyh pryamougolnyh treugolnikov po ee bokam? cycle idea-graph-role grafovaya rol v uslovii graf ne nazvan, no ofitsialnoe reshenie suschestvenno stroit tsikly i vspomogatelnyy graf, kotoryy zatem dokazyvaetsya derevom; bez etogo protivorechie ne poluchaetsya. planar_graphs ai_checked sol-official-compressed razvernutoe reshenie ai_checked cycle tree otvet: nelzya. predpolozhim protivnoe: nekotoryy kletchatyy pryamougolnik udalos razrezat na takie figurki. v kazhdoy figurke soedinim sinimi otrezkami tsentr ee polnoy kletki s seredinami diagonaley v dvuh treugolnyh polovinkah. pri perehode cherez storony figurok eti sinie otrezki prodolzhayut drug druga, poetomu vse oni raspadayutsya na neperesekayuschiesya zamknutye tsikly. obedinenie figurok, sootvetstvuyuschih odnomu sinemu tsiklu, sostoit iz tselyh kletok, i cherez kazhduyu kletku prohodit rovno odin takoy tsikl. vyberem siniy tsikl, vnutri kotorogo net drugih sinih tsiklov. togda vnutri nego net ni odnoy tseloy kletki razbieniya: inache cherez etu kletku prohodil by esche odin siniy tsikl, lezhaschiy vnutri vybrannogo. raskrasim kletchatuyu ploskost v shahmatnom poryadke tak, chtoby chernye kletki, peresekaemye vybrannym tsiklom kak tselye kletki figurok, byli tselymi, a belye kletki byli razrezannymi. v belyh kletka…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem","title":"k-раскраска графа с цветами размера хотя бы два, Кубок Колмогорова 2007","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Хроматическое число графа \\(G\\) равно \\(k\\). Известно, что существует правильная раскраска вершин графа \\(G\\), в которой вершин каждого цвета хотя бы две. Докажите, что существует такая раскраска и в \\(k\\) цветов.","definition_ids":["chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное доказательство через обменную перекраску","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number"],"standard_idea_ids":["local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмем любую правильную раскраску `alpha`, в которой каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины. Также возьмем правильную раскраску `beta` ровно в `k` цветов; она существует, поскольку `chi(G)=k`. Назовем цвет текущей `beta`-раскраски защищенным, если он содержит целый цветовой класс раскраски `alpha`. В таком цвете есть хотя бы две вершины. Более того, однажды защищенный цвет остается защищенным в описанном ниже процессе, потому что дальнейшие ходы перекрашивают целые `alpha`-классы, отличные от того, который уже его защищает. Если каждый цвет `beta` встречается хотя бы в двух вершинах, все доказано. Иначе пусть цвет `c` представлен единственной вершиной `v`. Пусть `A` — цветовой класс раскраски `alpha`, содержащий `v`. Так как множество `A` независимо и содержит хотя бы две вершины, перекрасим все вершины из `A` в цвет `c`, оставив всем остальным вершинам их текущие `beta`-цв…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-deep-2007-chromatic-2013-team-junior","neighbor_id":"kolmogorov-2013-team-olympiad-juniors-problem-7","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-deep-2007-chromatic-2013-team-senior","neighbor_id":"kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-protected-color-recoloring-kolmogorov-2007-chromatic","neighbor_id":"protected-color-recoloring-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem k-раскраска графа с цветами размера хотя бы два, кубок колмогорова 2007 coloring goal_counting 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2007 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2007 ? кубок колмогорова 2007 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked хроматическое число графа \\(g\\) равно \\(k\\). известно, что существует правильная раскраска вершин графа \\(g\\), в которой вершин каждого цвета хотя бы две. докажите, что существует такая раскраска и в \\(k\\) цветов. chromatic_number idea-graph-role графовая роль граф и его хроматическое число прямо даны в условии, а официальное решение целиком работает с правильными раскрасками вершин. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное доказательство через обменную перекраску ai_checked chromatic_number local_recoloring возьмем любую правильную раскраску `alpha`, в которой каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины. также возьмем правильную раскраску `beta` ровно в `k` цветов; она существует, поскольку `chi(g)=k`. назовем цвет текущей `beta`-раскраски защищенным, если он содержит целый цветовой класс раскраски `alpha`. в таком цвете есть хотя бы две вершины. более того, однажды защищенный цвет остается защищенным в описанном ниже процессе, потому что дальнейшие ходы перекрашивают целые `alpha`-классы, отличные от того, который уже его защищает. если каждый цвет `beta` встречается хотя бы в двух вершинах, все доказано. иначе пусть цвет `c` представлен единственной вершиной `v`. пусть `a` — цветовой класс раскраски `alpha`, содержащий `v`. так как множество `a` независимо и содержит хотя бы две вершины, перекрасим все вершины из `a` в цвет `c`, оставив всем остальным вершинам их текущие `beta`-цв… kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem k-raskraska grafa s tsvetami razmera hotya by dva, kubok kolmogorova 2007 coloring goal_counting 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2007 ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked hromaticheskoe chislo grafa \\(g\\) ravno \\(k\\). izvestno, chto suschestvuet pravilnaya raskraska vershin grafa \\(g\\), v kotoroy vershin kazhdogo tsveta hotya by dve. dokazhite, chto suschestvuet takaya raskraska i v \\(k\\) tsvetov. chromatic_number idea-graph-role grafovaya rol graf i ego hromaticheskoe chislo pryamo dany v uslovii, a ofitsialnoe reshenie tselikom rabotaet s pravilnymi raskraskami vershin. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe dokazatelstvo cherez obmennuyu perekrasku ai_checked chromatic_number local_recoloring vozmem lyubuyu pravilnuyu raskrasku `alpha`, v kotoroy kazhdyy tsvetovoy klass soderzhit hotya by dve vershiny. takzhe vozmem pravilnuyu raskrasku `beta` rovno v `k` tsvetov; ona suschestvuet, poskolku `chi(g)=k`. nazovem tsvet tekuschey `beta`-raskraski zaschischennym, esli on soderzhit tselyy tsvetovoy klass raskraski `alpha`. v takom tsvete est hotya by dve vershiny. bolee togo, odnazhdy zaschischennyy tsvet ostaetsya zaschischennym v opisannom nizhe protsesse, potomu chto dalneyshie hody perekrashivayut tselye `alpha`-klassy, otlichnye ot togo, kotoryy uzhe ego zaschischaet. esli kazhdyy tsvet `beta` vstrechaetsya hotya by v dvuh vershinah, vse dokazano. inache pust tsvet `c` predstavlen edinstvennoy vershinoy `v`. pust `a` — tsvetovoy klass raskraski `alpha`, soderzhaschiy `v`. tak kak mnozhestvo `a` nezavisimo i soderzhit hotya by dve vershiny, perekrasim vse vershiny iz `a` v tsvet `c`, ostaviv vsem ostalnym vershinam ih tekuschie `beta`-tsv…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2007-round-3-high-and-first-league-problem-3","title":"Единственное разбиение графа на 5 независимых множеств, Кубок Колмогорова 2007","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2007-round-3-high-and-first-league-problem-3.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2007-round-3-high-and-first-league-problem-3.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2007-round-3-high-and-first-league-problem-3","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Вершины графа \\(G\\) можно единственным образом разбить на 5 групп так, что никакие две вершины из одной группы не смежны. Обозначим через \\(n\\) число вершин графа. Докажите, что в этом графе не менее \\(4n - 10\\) ребер.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через связность двух цветовых классов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть единственное разбиение на независимые множества равно `V_1, ..., V_5`. Для каждой пары индексов `i, j` рассмотрим индуцированный подграф `G_{i,j}` на `V_i ∪ V_j`. Покажем, что каждый такой `G_{i,j}` связен. Иначе можно взять одну компоненту связности и поменять внутри нее классы `V_i` и `V_j`. Независимость всех пяти классов сохранится, потому что ребер из выбранной компоненты в остальные вершины `V_i ∪ V_j` нет, а остальные три класса не меняются. Получится другое допустимое разбиение на 5 независимых множеств, что противоречит единственности. Значит, в каждом `G_{i,j}` не меньше `|V_i| + |V_j| - 1` ребер. Складывая эти 10 оценок, получаем сумму правых частей `4(|V_1|+...+|V_5|)-10 = 4n-10`: каждая вершина входит ровно в четыре пары цветовых классов. Каждое ребро исходного графа лежит между двумя разными классами, поэтому считается ровно в одном из графов `G_{i,j}`. Следовательно…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2006-2007-color-class-recoloring-connectivity","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-3-super-league-problem-3","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2007-round-3-high-and-first-league-problem-3 единственное разбиение графа на 5 независимых множеств, кубок колмогорова 2007 coloring connectivity double_counting goal_counting 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2007 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2007 ? кубок колмогорова 2007 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked вершины графа \\(g\\) можно единственным образом разбить на 5 групп так, что никакие две вершины из одной группы не смежны. обозначим через \\(n\\) число вершин графа. докажите, что в этом графе не менее \\(4n - 10\\) ребер. simple_graph idea-graph-role графовая роль граф прямо присутствует в условии, а официальное решение использует индуцированные подграфы, компоненты связности и подсчет ребер. ai_checked sol-official-compressed решение через связность двух цветовых классов ai_checked simple_graph double_counting local_recoloring пусть единственное разбиение на независимые множества равно `v_1, ..., v_5`. для каждой пары индексов `i, j` рассмотрим индуцированный подграф `g_{i,j}` на `v_i ∪ v_j`. покажем, что каждый такой `g_{i,j}` связен. иначе можно взять одну компоненту связности и поменять внутри нее классы `v_i` и `v_j`. независимость всех пяти классов сохранится, потому что ребер из выбранной компоненты в остальные вершины `v_i ∪ v_j` нет, а остальные три класса не меняются. получится другое допустимое разбиение на 5 независимых множеств, что противоречит единственности. значит, в каждом `g_{i,j}` не меньше `|v_i| + |v_j| - 1` ребер. складывая эти 10 оценок, получаем сумму правых частей `4(|v_1|+...+|v_5|)-10 = 4n-10`: каждая вершина входит ровно в четыре пары цветовых классов. каждое ребро исходного графа лежит между двумя разными классами, поэтому считается ровно в одном из графов `g_{i,j}`. следовательно… kolmogorov-2007-round-3-high-and-first-league-problem-3 edinstvennoe razbienie grafa na 5 nezavisimyh mnozhestv, kubok kolmogorova 2007 coloring connectivity double_counting goal_counting 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2007 ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked vershiny grafa \\(g\\) mozhno edinstvennym obrazom razbit na 5 grupp tak, chto nikakie dve vershiny iz odnoy gruppy ne smezhny. oboznachim cherez \\(n\\) chislo vershin grafa. dokazhite, chto v etom grafe ne menee \\(4n - 10\\) reber. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo prisutstvuet v uslovii, a ofitsialnoe reshenie ispolzuet indutsirovannye podgrafy, komponenty svyaznosti i podschet reber. ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez svyaznost dvuh tsvetovyh klassov ai_checked simple_graph double_counting local_recoloring pust edinstvennoe razbienie na nezavisimye mnozhestva ravno `v_1, ..., v_5`. dlya kazhdoy pary indeksov `i, j` rassmotrim indutsirovannyy podgraf `g_{i,j}` na `v_i ∪ v_j`. pokazhem, chto kazhdyy takoy `g_{i,j}` svyazen. inache mozhno vzyat odnu komponentu svyaznosti i pomenyat vnutri nee klassy `v_i` i `v_j`. nezavisimost vseh pyati klassov sohranitsya, potomu chto reber iz vybrannoy komponenty v ostalnye vershiny `v_i ∪ v_j` net, a ostalnye tri klassa ne menyayutsya. poluchitsya drugoe dopustimoe razbienie na 5 nezavisimyh mnozhestv, chto protivorechit edinstvennosti. znachit, v kazhdom `g_{i,j}` ne menshe `|v_i| + |v_j| - 1` reber. skladyvaya eti 10 otsenok, poluchaem summu pravyh chastey `4(|v_1|+...+|v_5|)-10 = 4n-10`: kazhdaya vershina vhodit rovno v chetyre pary tsvetovyh klassov. kazhdoe rebro ishodnogo grafa lezhit mezhdu dvumya raznymi klassami, poetomu schitaetsya rovno v odnom iz grafov `g_{i,j}`. sledovatelno…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2007-round-4-first-league-problem-1","title":"Нечётный ориентированный цикл в сильной ориентации графа, Кубок Колмогорова 2007","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2007-round-4-first-league-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2007-round-4-first-league-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2007-round-4-first-league-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Неориентированный граф \\(G\\) имеет нечетный цикл. Его ребра ориентировали так, что из любой вершины можно попасть в любую другую по направлению ребер. Докажите, что в полученном орграфе есть ориентированный цикл нечетной длины.","definition_ids":["directed_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное доказательство существования нечетного ориентированного цикла","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть `C = a_1 a_2 ... a_m a_1` — простой нечетный цикл в исходном неориентированном графе, причем индексы читаются по модулю `m`. Работаем в данной сильно связной ориентации. Для каждого ребра `a_i a_{i+1}` цикла `C` поступим так. Если оно ориентировано как `a_i -> a_{i+1}`, запишем этот однореберный ориентированный путь. Если оно ориентировано как `a_{i+1} -> a_i`, то из сильной связности существует ориентированный путь `P_i` из `a_i` в `a_{i+1}`. Выберем `P_i` кратчайшим среди таких путей. Тогда в `P_i` нет повторяющихся вершин, и вместе с обратным ребром `a_{i+1} -> a_i` он образует ориентированный цикл. Если один из таких заменяющих путей `P_i` имеет четную длину, то `P_i` вместе с ребром `a_{i+1} -> a_i` дает нечетный ориентированный цикл, и все доказано. Иначе каждый заменяющий путь для обратно ориентированного ребра имеет нечетную длину, а каждое прямо ориентированное ребро, зап…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2007-round-4-first-league-problem-1 нечётный ориентированный цикл в сильной ориентации графа, кубок колмогорова 2007 connectivity goal_proof 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2007 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2007 ? кубок колмогорова 2007 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked неориентированный граф \\(g\\) имеет нечетный цикл. его ребра ориентировали так, что из любой вершины можно попасть в любую другую по направлению ребер. докажите, что в полученном орграфе есть ориентированный цикл нечетной длины. directed_graph cycle idea-graph-role графовая роль граф прямо присутствует в условии, а официальное решение полностью опирается на сильную связность орграфа, ориентированные пути и нечетные циклы. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное доказательство существования нечетного ориентированного цикла ai_checked directed_graph cycle пусть `c = a_1 a_2 ... a_m a_1` — простой нечетный цикл в исходном неориентированном графе, причем индексы читаются по модулю `m`. работаем в данной сильно связной ориентации. для каждого ребра `a_i a_{i+1}` цикла `c` поступим так. если оно ориентировано как `a_i -> a_{i+1}`, запишем этот однореберный ориентированный путь. если оно ориентировано как `a_{i+1} -> a_i`, то из сильной связности существует ориентированный путь `p_i` из `a_i` в `a_{i+1}`. выберем `p_i` кратчайшим среди таких путей. тогда в `p_i` нет повторяющихся вершин, и вместе с обратным ребром `a_{i+1} -> a_i` он образует ориентированный цикл. если один из таких заменяющих путей `p_i` имеет четную длину, то `p_i` вместе с ребром `a_{i+1} -> a_i` дает нечетный ориентированный цикл, и все доказано. иначе каждый заменяющий путь для обратно ориентированного ребра имеет нечетную длину, а каждое прямо ориентированное ребро, зап… kolmogorov-2007-round-4-first-league-problem-1 nechetnyy orientirovannyy tsikl v silnoy orientatsii grafa, kubok kolmogorova 2007 connectivity goal_proof 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2007 ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked neorientirovannyy graf \\(g\\) imeet nechetnyy tsikl. ego rebra orientirovali tak, chto iz lyuboy vershiny mozhno popast v lyubuyu druguyu po napravleniyu reber. dokazhite, chto v poluchennom orgrafe est orientirovannyy tsikl nechetnoy dliny. directed_graph cycle idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo prisutstvuet v uslovii, a ofitsialnoe reshenie polnostyu opiraetsya na silnuyu svyaznost orgrafa, orientirovannye puti i nechetnye tsikly. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe dokazatelstvo suschestvovaniya nechetnogo orientirovannogo tsikla ai_checked directed_graph cycle pust `c = a_1 a_2 ... a_m a_1` — prostoy nechetnyy tsikl v ishodnom neorientirovannom grafe, prichem indeksy chitayutsya po modulyu `m`. rabotaem v dannoy silno svyaznoy orientatsii. dlya kazhdogo rebra `a_i a_{i+1}` tsikla `c` postupim tak. esli ono orientirovano kak `a_i -> a_{i+1}`, zapishem etot odnorebernyy orientirovannyy put. esli ono orientirovano kak `a_{i+1} -> a_i`, to iz silnoy svyaznosti suschestvuet orientirovannyy put `p_i` iz `a_i` v `a_{i+1}`. vyberem `p_i` kratchayshim sredi takih putey. togda v `p_i` net povtoryayuschihsya vershin, i vmeste s obratnym rebrom `a_{i+1} -> a_i` on obrazuet orientirovannyy tsikl. esli odin iz takih zamenyayuschih putey `p_i` imeet chetnuyu dlinu, to `p_i` vmeste s rebrom `a_{i+1} -> a_i` daet nechetnyy orientirovannyy tsikl, i vse dokazano. inache kazhdyy zamenyayuschiy put dlya obratno orientirovannogo rebra imeet nechetnuyu dlinu, a kazhdoe pryamo orientirovannoe rebro, zap…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2007-team-olympiad-seniors-problem-7","title":"Пары знакомств при одинаковом числе рёбер в любом m-подмножестве, Кубок Колмогорова 2007","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2007-team-olympiad-seniors-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2007-team-olympiad-seniors-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2007-team-olympiad-seniors-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2007","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","degree_counting","extremal_graph_theory","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"исправление после аудита повышенной сложности 2026-05-07","notes":"Сжатое официальное решение развёрнуто до полного доказательства: из равенства локальных чисел рёбер следует одинаковый статус всех пар, а непустота графа даёт полный граф.","audit_source":"very-high-pipeline-batch-3-2026-05-07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(1 < m < n-1\\). В компании из \\(n\\) человек некоторые знакомы друг с другом, причем среди любых \\(m\\) человек одно и то же количество пар знакомых. Сколько пар знакомых может быть среди всех \\(n\\) человек?","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Равные числа рёбер в m-вершинных подграфах","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(1<m<n-1\\). В простом графе на \\(n\\) вершинах известно, что любой индуцированный подграф на \\(m\\) вершинах имеет одно и то же число рёбер. Какие значения может принимать общее число рёбер графа?","definition_ids":["simple_graph","degree","induced_subgraph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Развернутое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","degree","induced_subgraph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ в формулировке карточки: \\(\\binom n2=n(n-1)/2\\). Если фразу ``некоторые знакомы друг с другом'' не понимать как существование хотя бы одной знакомой пары, то дополнительно возможен пустой граф и ответ был бы \\(0\\) или \\(\\binom n2\\). Рассмотрим граф знакомств: вершины -- люди, рёбра -- пары знакомых. По условию число рёбер в любом индуцированном подграфе на \\(m\\) вершинах одно и то же; обозначим это число через \\(q\\). Возьмём двух различных людей \\(x\\) и \\(y\\) и любое множество \\(S\\) из \\(m-1\\) остальных людей. В двух группах \\(S\\cup\\{x\\}\\) и \\(S\\cup\\{y\\}\\) по \\(m\\) человек, поэтому в них по \\(q\\) пар знакомых. Пары внутри самого \\(S\\) в этих двух подсчётах одинаковы; значит, число знакомых у \\(x\\) среди людей из \\(S\\) равно числу знакомых у \\(y\\) среди людей из \\(S\\). Положим \\(k=m-1\\). Из \\(1<m<n-1\\) следует \\(1\\le k\\le n-3\\), так что после выбора \\(x,y\\) остаётся достаточно верш…"}],"relations":[{"id":"rel-paths-counting-usamo-1976-kolm-2007-induced-count","neighbor_id":"usamo-1976-p1-monochromatic-rectangle-bipartite","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-kolm-2007-induced-count-handshaking","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-kolm-2007-induced-count-imo-1995-nc5","neighbor_id":"imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2007-team-olympiad-seniors-problem-7 пары знакомств при одинаковом числе рёбер в любом m-подмножестве, кубок колмогорова 2007 double_counting degree_counting extremal_graph_theory goal_counting 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2007 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2007 ? кубок колмогорова 2007 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked пусть \\(1 < m < n-1\\). в компании из \\(n\\) человек некоторые знакомы друг с другом, причем среди любых \\(m\\) человек одно и то же количество пар знакомых. сколько пар знакомых может быть среди всех \\(n\\) человек? simple_graph complete_graph degree stmt-graph равные числа рёбер в m-вершинных подграфах ai_checked пусть \\(1<m<n-1\\). в простом графе на \\(n\\) вершинах известно, что любой индуцированный подграф на \\(m\\) вершинах имеет одно и то же число рёбер. какие значения может принимать общее число рёбер графа? simple_graph degree induced_subgraph idea-graph-role графовая роль в условии граф не назван напрямую, но официальное решение существенно переводит задачу в граф знакомств и рассуждает через степени вершин в индуцированных подгруппах. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-official-compressed развернутое решение ai_checked simple_graph complete_graph degree induced_subgraph double_counting ответ в формулировке карточки: \\(\\binom n2=n(n-1)/2\\). если фразу ``некоторые знакомы друг с другом'' не понимать как существование хотя бы одной знакомой пары, то дополнительно возможен пустой граф и ответ был бы \\(0\\) или \\(\\binom n2\\). рассмотрим граф знакомств: вершины -- люди, рёбра -- пары знакомых. по условию число рёбер в любом индуцированном подграфе на \\(m\\) вершинах одно и то же; обозначим это число через \\(q\\). возьмём двух различных людей \\(x\\) и \\(y\\) и любое множество \\(s\\) из \\(m-1\\) остальных людей. в двух группах \\(s\\cup\\{x\\}\\) и \\(s\\cup\\{y\\}\\) по \\(m\\) человек, поэтому в них по \\(q\\) пар знакомых. пары внутри самого \\(s\\) в этих двух подсчётах одинаковы; значит, число знакомых у \\(x\\) среди людей из \\(s\\) равно числу знакомых у \\(y\\) среди людей из \\(s\\). положим \\(k=m-1\\). из \\(1<m<n-1\\) следует \\(1\\le k\\le n-3\\), так что после выбора \\(x,y\\) остаётся достаточно верш… kolmogorov-2007-team-olympiad-seniors-problem-7 pary znakomstv pri odinakovom chisle reber v lyubom m-podmnozhestve, kubok kolmogorova 2007 double_counting degree_counting extremal_graph_theory goal_counting 2007 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip kolmogorov kolmogorov2007 olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2007 ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked pust \\(1 < m < n-1\\). v kompanii iz \\(n\\) chelovek nekotorye znakomy drug s drugom, prichem sredi lyubyh \\(m\\) chelovek odno i to zhe kolichestvo par znakomyh. skolko par znakomyh mozhet byt sredi vseh \\(n\\) chelovek? simple_graph complete_graph degree stmt-graph ravnye chisla reber v m-vershinnyh podgrafah ai_checked pust \\(1<m<n-1\\). v prostom grafe na \\(n\\) vershinah izvestno, chto lyuboy indutsirovannyy podgraf na \\(m\\) vershinah imeet odno i to zhe chislo reber. kakie znacheniya mozhet prinimat obschee chislo reber grafa? simple_graph degree induced_subgraph idea-graph-role grafovaya rol v uslovii graf ne nazvan napryamuyu, no ofitsialnoe reshenie suschestvenno perevodit zadachu v graf znakomstv i rassuzhdaet cherez stepeni vershin v indutsirovannyh podgruppah. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-official-compressed razvernutoe reshenie ai_checked simple_graph complete_graph degree induced_subgraph double_counting otvet v formulirovke kartochki: \\(\\binom n2=n(n-1)/2\\). esli frazu ``nekotorye znakomy drug s drugom'' ne ponimat kak suschestvovanie hotya by odnoy znakomoy pary, to dopolnitelno vozmozhen pustoy graf i otvet byl by \\(0\\) ili \\(\\binom n2\\). rassmotrim graf znakomstv: vershiny -- lyudi, rebra -- pary znakomyh. po usloviyu chislo reber v lyubom indutsirovannom podgrafe na \\(m\\) vershinah odno i to zhe; oboznachim eto chislo cherez \\(q\\). vozmem dvuh razlichnyh lyudey \\(x\\) i \\(y\\) i lyuboe mnozhestvo \\(s\\) iz \\(m-1\\) ostalnyh lyudey. v dvuh gruppah \\(s\\cup\\{x\\}\\) i \\(s\\cup\\{y\\}\\) po \\(m\\) chelovek, poetomu v nih po \\(q\\) par znakomyh. pary vnutri samogo \\(s\\) v etih dvuh podschetah odinakovy; znachit, chislo znakomyh u \\(x\\) sredi lyudey iz \\(s\\) ravno chislu znakomyh u \\(y\\) sredi lyudey iz \\(s\\). polozhim \\(k=m-1\\). iz \\(1<m<n-1\\) sleduet \\(1\\le k\\le n-3\\), tak chto posle vybora \\(x,y\\) ostaetsya dostatochno versh…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8","title":"Разделение рёбер 3-регулярного графа на две двудольные сети, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","matching","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране каждый аэропорт соединен прямыми рейсами ровно с тремя другими. Требуется разделить все рейсы между двумя авиакомпаниями так, чтобы у каждой компании в ее сети не было нечетных циклов.","definition_ids":["bipartite_graph","spanning_tree","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное доказательство через разбиение четырех цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","spanning_tree","degree","cycle","proper_coloring"],"standard_idea_ids":["local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Граф максимальной степени 3 можно правильно раскрасить в 4 цвета жадным алгоритмом: упорядочим вершины произвольно и будем красить их по одной; когда красится очередная вершина, ее уже покрашенные соседи запрещают не более трех цветов. Возьмем такую правильную раскраску вершин цветами 1, 2, 3, 4. Отнесем ребро к первой авиакомпании, если цвета его концов равны 1-2, 2-3, 3-4 или 4-1. Отнесем ребро ко второй авиакомпании, если цвета его концов равны 1-3 или 2-4. Каждое ребро соединяет вершины разных цветов, поэтому попадает ровно в один из этих двух списков. Граф первой авиакомпании двудолен с долями `{1,3}` и `{2,4}`: каждое разрешенное ребро первой авиакомпании соединяет цвет из первой доли с цветом из второй. Граф второй авиакомпании двудолен с долями `{1,2}` и `{3,4}`: каждое разрешенное ребро второй авиакомпании также идет между двумя долями. В двудольном графе нет нечетного цикла. С…"}],"relations":[{"id":"rel-bipartite-edge-layers-kolmogorov-2008-juniors-p8","neighbor_id":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2008-bipartite-coloring-pair","neighbor_id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8 разделение рёбер 3-регулярного графа на две двудольные сети, кубок колмогорова 2008 coloring matching goal_construction 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране каждый аэропорт соединен прямыми рейсами ровно с тремя другими. требуется разделить все рейсы между двумя авиакомпаниями так, чтобы у каждой компании в ее сети не было нечетных циклов. bipartite_graph spanning_tree degree idea-graph-role графовая роль граф явно задан в условии: аэропорты — вершины, рейсы — ребра, причем граф 3-регулярен. официальное решение использует раскраску вершин и двудольность подграфов. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное доказательство через разбиение четырех цветов ai_checked bipartite_graph spanning_tree degree cycle proper_coloring local_recoloring граф максимальной степени 3 можно правильно раскрасить в 4 цвета жадным алгоритмом: упорядочим вершины произвольно и будем красить их по одной; когда красится очередная вершина, ее уже покрашенные соседи запрещают не более трех цветов. возьмем такую правильную раскраску вершин цветами 1, 2, 3, 4. отнесем ребро к первой авиакомпании, если цвета его концов равны 1-2, 2-3, 3-4 или 4-1. отнесем ребро ко второй авиакомпании, если цвета его концов равны 1-3 или 2-4. каждое ребро соединяет вершины разных цветов, поэтому попадает ровно в один из этих двух списков. граф первой авиакомпании двудолен с долями `{1,3}` и `{2,4}`: каждое разрешенное ребро первой авиакомпании соединяет цвет из первой доли с цветом из второй. граф второй авиакомпании двудолен с долями `{1,2}` и `{3,4}`: каждое разрешенное ребро второй авиакомпании также идет между двумя долями. в двудольном графе нет нечетного цикла. с… kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8 razdelenie reber 3-regulyarnogo grafa na dve dvudolnye seti, kubok kolmogorova 2008 coloring matching goal_construction 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane kazhdyy aeroport soedinen pryamymi reysami rovno s tremya drugimi. trebuetsya razdelit vse reysy mezhdu dvumya aviakompaniyami tak, chtoby u kazhdoy kompanii v ee seti ne bylo nechetnyh tsiklov. bipartite_graph spanning_tree degree idea-graph-role grafovaya rol graf yavno zadan v uslovii: aeroporty — vershiny, reysy — rebra, prichem graf 3-regulyaren. ofitsialnoe reshenie ispolzuet raskrasku vershin i dvudolnost podgrafov. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe dokazatelstvo cherez razbienie chetyreh tsvetov ai_checked bipartite_graph spanning_tree degree cycle proper_coloring local_recoloring graf maksimalnoy stepeni 3 mozhno pravilno raskrasit v 4 tsveta zhadnym algoritmom: uporyadochim vershiny proizvolno i budem krasit ih po odnoy; kogda krasitsya ocherednaya vershina, ee uzhe pokrashennye sosedi zapreschayut ne bolee treh tsvetov. vozmem takuyu pravilnuyu raskrasku vershin tsvetami 1, 2, 3, 4. otnesem rebro k pervoy aviakompanii, esli tsveta ego kontsov ravny 1-2, 2-3, 3-4 ili 4-1. otnesem rebro ko vtoroy aviakompanii, esli tsveta ego kontsov ravny 1-3 ili 2-4. kazhdoe rebro soedinyaet vershiny raznyh tsvetov, poetomu popadaet rovno v odin iz etih dvuh spiskov. graf pervoy aviakompanii dvudolen s dolyami `{1,3}` i `{2,4}`: kazhdoe razreshennoe rebro pervoy aviakompanii soedinyaet tsvet iz pervoy doli s tsvetom iz vtoroy. graf vtoroy aviakompanii dvudolen s dolyami `{1,2}` i `{3,4}`: kazhdoe razreshennoe rebro vtoroy aviakompanii takzhe idet mezhdu dvumya dolyami. v dvudolnom grafe net nechetnogo tsikla. s…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5","title":"Раскраска рёбер графа максимальной степени 1000 в 10 двудольных цветов, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","matching","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Ребра графа максимальной степени 1000 нужно покрасить в 10 цветов так, чтобы в каждом цвете не было нечетного цикла. Докажите, что это всегда можно сделать.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное доказательство через раскраску ребер гиперкуба","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала используем стандартную жадную раскраску вершин: граф максимальной степени 1000 имеет правильную раскраску в 1001 цвет, потому что при раскрашивании каждой вершины ее соседи запрещают не более 1000 цветов. Вложим эти 1001 цвет вершины в 1024 двоичные строки длины 10. Покрасим ребро `uv` исходного графа в цвет первой координаты, в которой различаются две двоичные строки, сопоставленные цветам вершин `u` и `v`. Цвета концов различны, поэтому такая координата всегда существует. Так получается один из 10 цветов ребер. Для фиксированной координаты `i` каждое ребро цвета `i` соединяет вершины, у которых сопоставленные двоичные строки различаются в координате `i`. Поэтому подграф, образованный цветом `i`, двудолен: одна доля состоит из вершин, у которых в сопоставленной строке `i`-й бит равен 0, а другая — из вершин, у которых в сопоставленной строке `i`-й бит равен 1. Так как каждый од…"}],"relations":[{"id":"rel-bipartite-edge-layers-kolmogorov-2008-seniors-p5","neighbor_id":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2008-bipartite-coloring-pair","neighbor_id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5 раскраска рёбер графа максимальной степени 1000 в 10 двудольных цветов, кубок колмогорова 2008 coloring matching goal_proof 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked ребра графа максимальной степени 1000 нужно покрасить в 10 цветов так, чтобы в каждом цвете не было нечетного цикла. докажите, что это всегда можно сделать. simple_graph bipartite_graph cycle idea-graph-role графовая роль граф прямо присутствует в условии, и официальное решение целиком использует графовые идеи: двудольность, отсутствие нечетных циклов, раскраску вершин и перенос раскраски ребер. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное доказательство через раскраску ребер гиперкуба ai_checked simple_graph bipartite_graph cycle local_recoloring сначала используем стандартную жадную раскраску вершин: граф максимальной степени 1000 имеет правильную раскраску в 1001 цвет, потому что при раскрашивании каждой вершины ее соседи запрещают не более 1000 цветов. вложим эти 1001 цвет вершины в 1024 двоичные строки длины 10. покрасим ребро `uv` исходного графа в цвет первой координаты, в которой различаются две двоичные строки, сопоставленные цветам вершин `u` и `v`. цвета концов различны, поэтому такая координата всегда существует. так получается один из 10 цветов ребер. для фиксированной координаты `i` каждое ребро цвета `i` соединяет вершины, у которых сопоставленные двоичные строки различаются в координате `i`. поэтому подграф, образованный цветом `i`, двудолен: одна доля состоит из вершин, у которых в сопоставленной строке `i`-й бит равен 0, а другая — из вершин, у которых в сопоставленной строке `i`-й бит равен 1. так как каждый од… kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5 raskraska reber grafa maksimalnoy stepeni 1000 v 10 dvudolnyh tsvetov, kubok kolmogorova 2008 coloring matching goal_proof 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked rebra grafa maksimalnoy stepeni 1000 nuzhno pokrasit v 10 tsvetov tak, chtoby v kazhdom tsvete ne bylo nechetnogo tsikla. dokazhite, chto eto vsegda mozhno sdelat. simple_graph bipartite_graph cycle idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo prisutstvuet v uslovii, i ofitsialnoe reshenie tselikom ispolzuet grafovye idei: dvudolnost, otsutstvie nechetnyh tsiklov, raskrasku vershin i perenos raskraski reber. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe dokazatelstvo cherez raskrasku reber giperkuba ai_checked simple_graph bipartite_graph cycle local_recoloring snachala ispolzuem standartnuyu zhadnuyu raskrasku vershin: graf maksimalnoy stepeni 1000 imeet pravilnuyu raskrasku v 1001 tsvet, potomu chto pri raskrashivanii kazhdoy vershiny ee sosedi zapreschayut ne bolee 1000 tsvetov. vlozhim eti 1001 tsvet vershiny v 1024 dvoichnye stroki dliny 10. pokrasim rebro `uv` ishodnogo grafa v tsvet pervoy koordinaty, v kotoroy razlichayutsya dve dvoichnye stroki, sopostavlennye tsvetam vershin `u` i `v`. tsveta kontsov razlichny, poetomu takaya koordinata vsegda suschestvuet. tak poluchaetsya odin iz 10 tsvetov reber. dlya fiksirovannoy koordinaty `i` kazhdoe rebro tsveta `i` soedinyaet vershiny, u kotoryh sopostavlennye dvoichnye stroki razlichayutsya v koordinate `i`. poetomu podgraf, obrazovannyy tsvetom `i`, dvudolen: odna dolya sostoit iz vershin, u kotoryh v sopostavlennoy stroke `i`-y bit raven 0, a drugaya — iz vershin, u kotoryh v sopostavlennoy stroke `i`-y bit raven 1. tak kak kazhdyy od…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-7","title":"Гамильтонов цикл по рёбрам выпуклого многогранника, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":["И. Богданов"],"tags":["hamiltonian_cycles","planar_graphs","double_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Условие и решение восстановлены по официальному материалу; сложность соответствует задаче личной олимпиады старшей группы.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе. Для задачи о телесных углах учтён предыдущий deep-final-pass, где была исправлена импортированная формулировка.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Сумма телесных углов при вершинах выпуклого многогранника равна π. Докажите, что существует замкнутый маршрут по его ребрам, проходящий через каждую его вершину ровно один раз. Телесный угол как величина многогранного угла измеряется площадью фигуры, высекаемой этим многогранным углом на единичной сфере; площадь всей единичной сферы равна 4π.","definition_ids":["cycle","hamiltonian_cycle","planar_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через проекцию","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","hamiltonian_cycle","planar_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим многогранник через M, а его вершины через A. Для каждой вершины перенесем многогранный угол M при A в общий центр O единичной сферы. Пусть \\(S_A\\) — та часть сферы, которая попадает внутрь этого угла. По определению площадь \\(S_A\\) равна телесному углу при A, поэтому сумма площадей всех \\(S_A\\) равна π. Рассмотрим также центрально-симметричные области \\(-S_A\\). Суммарная площадь всех отмеченных областей \\(S_A\\) и \\(-S_A\\), считая с кратностями, равна 2π, а площадь всей сферы равна 4π. Значит, найдется точка T сферы, не принадлежащая ни одной из этих областей; кроме того, ее можно выбрать так, чтобы прямая OT не была параллельна ни одной грани многогранника, потому что таких запрещенных направлений только конечное число больших окружностей. Спроектируем M на плоскость, перпендикулярную OT. Докажем, что проекция каждой вершины A является вершиной полученного выпуклого многоуголь…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-7 гамильтонов цикл по рёбрам выпуклого многогранника, кубок колмогорова 2008 hamiltonian_cycles planar_graphs double_counting goal_existence 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова и. богданов кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 и. богданов кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked сумма телесных углов при вершинах выпуклого многогранника равна π. докажите, что существует замкнутый маршрут по его ребрам, проходящий через каждую его вершину ровно один раз. телесный угол как величина многогранного угла измеряется площадью фигуры, высекаемой этим многогранным углом на единичной сфере; площадь всей единичной сферы равна 4π. cycle hamiltonian_cycle planar_graph idea-graph-role графовая роль условие просит найти гамильтонов цикл в графе ребер многогранника. геометрическое условие о сумме телесных углов позволяет выбрать направление проекции, в котором все вершины многогранника становятся вершинами контура проекции. ai_checked sol-official-compressed решение через проекцию ai_checked cycle hamiltonian_cycle planar_graph double_counting обозначим многогранник через m, а его вершины через a. для каждой вершины перенесем многогранный угол m при a в общий центр o единичной сферы. пусть \\(s_a\\) — та часть сферы, которая попадает внутрь этого угла. по определению площадь \\(s_a\\) равна телесному углу при a, поэтому сумма площадей всех \\(s_a\\) равна π. рассмотрим также центрально-симметричные области \\(-s_a\\). суммарная площадь всех отмеченных областей \\(s_a\\) и \\(-s_a\\), считая с кратностями, равна 2π, а площадь всей сферы равна 4π. значит, найдется точка t сферы, не принадлежащая ни одной из этих областей; кроме того, ее можно выбрать так, чтобы прямая ot не была параллельна ни одной грани многогранника, потому что таких запрещенных направлений только конечное число больших окружностей. спроектируем m на плоскость, перпендикулярную ot. докажем, что проекция каждой вершины a является вершиной полученного выпуклого многоуголь… kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-7 gamiltonov tsikl po rebram vypuklogo mnogogrannika, kubok kolmogorova 2008 hamiltonian_cycles planar_graphs double_counting goal_existence 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova i. bogdanov kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 i. bogdanov kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked summa telesnyh uglov pri vershinah vypuklogo mnogogrannika ravna π. dokazhite, chto suschestvuet zamknutyy marshrut po ego rebram, prohodyaschiy cherez kazhduyu ego vershinu rovno odin raz. telesnyy ugol kak velichina mnogogrannogo ugla izmeryaetsya ploschadyu figury, vysekaemoy etim mnogogrannym uglom na edinichnoy sfere; ploschad vsey edinichnoy sfery ravna 4π. cycle hamiltonian_cycle planar_graph idea-graph-role grafovaya rol uslovie prosit nayti gamiltonov tsikl v grafe reber mnogogrannika. geometricheskoe uslovie o summe telesnyh uglov pozvolyaet vybrat napravlenie proektsii, v kotorom vse vershiny mnogogrannika stanovyatsya vershinami kontura proektsii. ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez proektsiyu ai_checked cycle hamiltonian_cycle planar_graph double_counting oboznachim mnogogrannik cherez m, a ego vershiny cherez a. dlya kazhdoy vershiny perenesem mnogogrannyy ugol m pri a v obschiy tsentr o edinichnoy sfery. pust \\(s_a\\) — ta chast sfery, kotoraya popadaet vnutr etogo ugla. po opredeleniyu ploschad \\(s_a\\) ravna telesnomu uglu pri a, poetomu summa ploschadey vseh \\(s_a\\) ravna π. rassmotrim takzhe tsentralno-simmetrichnye oblasti \\(-s_a\\). summarnaya ploschad vseh otmechennyh oblastey \\(s_a\\) i \\(-s_a\\), schitaya s kratnostyami, ravna 2π, a ploschad vsey sfery ravna 4π. znachit, naydetsya tochka t sfery, ne prinadlezhaschaya ni odnoy iz etih oblastey; krome togo, ee mozhno vybrat tak, chtoby pryamaya ot ne byla parallelna ni odnoy grani mnogogrannika, potomu chto takih zapreschennyh napravleniy tolko konechnoe chislo bolshih okruzhnostey. sproektiruem m na ploskost, perpendikulyarnuyu ot. dokazhem, chto proektsiya kazhdoy vershiny a yavlyaetsya vershinoy poluchennogo vypuklogo mnogougol…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-1-first-league-and-higher-junior-problem-1","title":"Максимум перестановок листа для преобразования одного дерева в другое, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-1-first-league-and-higher-junior-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-1-first-league-and-higher-junior-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-1-first-league-and-higher-junior-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Официальный сжатый план развёрнут: ключевые шаги — нижняя оценка по числу листьев и конструктивное достраивание целевого дерева от пути длины 2.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"high-reasoning агент довёл и проверил официальный план","notes":"Развёрнуто из сжатого официального/архивного плана в самодостаточное доказательство; недостающие шаги восстановлены и проверены локально.","audit_source":"official-plan-expansion-kolmogorov-2008-r1-fl-hj-p1"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"За один ход разрешается выбрать лист дерева, удалить ребро, которым он был присоединен, и присоединить этот лист к другой вершине. Каково наибольшее возможное число ходов, необходимое, чтобы из одного дерева на \\(n\\) вершинах получить другое дерево на тех же вершинах?","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Развёрнутое решение через сохранение трёхвершинного фрагмента","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","path","degree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `n - 3` при `n >= 3`. Сначала докажем, что иногда `n - 3` ходов действительно нужны. Возьмём путь на `n` вершинах и звезду на `n` вершинах. У пути ровно два листа, а у звезды `n - 1` листьев. За один ход число листьев может увеличиться не более чем на 1: выбранный лист после переподвешивания остаётся листом; его старый сосед может стать новым листом, если его степень уменьшилась до 1; у новой вершины присоединения степень увеличивается, поэтому листом она не становится, а если была листом, то перестаёт им быть. Значит, чтобы увеличить число листьев с 2 до `n - 1`, требуется как минимум `n - 3` ходов. Теперь докажем, что `n - 3` ходов всегда достаточно. Зафиксируем начальное дерево `T` и целевое дерево `S`. Выберем в `T` какой-нибудь путь из трёх вершин; такой путь есть при `n >= 3`. В целевом дереве `S` тоже выберем путь из трёх вершин и будем считать выбранный путь в текущем дер…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-deep-2008-tree-transform-2013-leaf-cycle-coloring","neighbor_id":"kolmogorov-2013-individual-olympiad-seniors-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolmogorov-2008-r1-fl-hj-p1-tree-equivalent-properties","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-round-1-first-league-and-higher-junior-problem-1 максимум перестановок листа для преобразования одного дерева в другое, кубок колмогорова 2008 trees goal_exact_bound 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked за один ход разрешается выбрать лист дерева, удалить ребро, которым он был присоединен, и присоединить этот лист к другой вершине. каково наибольшее возможное число ходов, необходимое, чтобы из одного дерева на \\(n\\) вершинах получить другое дерево на тех же вершинах? tree idea-graph-role графовая роль в условии явно фигурирует дерево, то есть специальный вид графа. официальное решение опирается на структуру деревьев, листья, сохранение связного фрагмента из трёх вершин и операции переподвешивания листа. ai_checked sol-official-expanded развёрнутое решение через сохранение трёхвершинного фрагмента ai_checked tree path degree extremal_choice delete_to_simplify ответ: `n - 3` при `n >= 3`. сначала докажем, что иногда `n - 3` ходов действительно нужны. возьмём путь на `n` вершинах и звезду на `n` вершинах. у пути ровно два листа, а у звезды `n - 1` листьев. за один ход число листьев может увеличиться не более чем на 1: выбранный лист после переподвешивания остаётся листом; его старый сосед может стать новым листом, если его степень уменьшилась до 1; у новой вершины присоединения степень увеличивается, поэтому листом она не становится, а если была листом, то перестаёт им быть. значит, чтобы увеличить число листьев с 2 до `n - 1`, требуется как минимум `n - 3` ходов. теперь докажем, что `n - 3` ходов всегда достаточно. зафиксируем начальное дерево `t` и целевое дерево `s`. выберем в `t` какой-нибудь путь из трёх вершин; такой путь есть при `n >= 3`. в целевом дереве `s` тоже выберем путь из трёх вершин и будем считать выбранный путь в текущем дер… kolmogorov-2008-round-1-first-league-and-higher-junior-problem-1 maksimum perestanovok lista dlya preobrazovaniya odnogo dereva v drugoe, kubok kolmogorova 2008 trees goal_exact_bound 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked za odin hod razreshaetsya vybrat list dereva, udalit rebro, kotorym on byl prisoedinen, i prisoedinit etot list k drugoy vershine. kakovo naibolshee vozmozhnoe chislo hodov, neobhodimoe, chtoby iz odnogo dereva na \\(n\\) vershinah poluchit drugoe derevo na teh zhe vershinah? tree idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno figuriruet derevo, to est spetsialnyy vid grafa. ofitsialnoe reshenie opiraetsya na strukturu derevev, listya, sohranenie svyaznogo fragmenta iz treh vershin i operatsii perepodveshivaniya lista. ai_checked sol-official-expanded razvernutoe reshenie cherez sohranenie trehvershinnogo fragmenta ai_checked tree path degree extremal_choice delete_to_simplify otvet: `n - 3` pri `n >= 3`. snachala dokazhem, chto inogda `n - 3` hodov deystvitelno nuzhny. vozmem put na `n` vershinah i zvezdu na `n` vershinah. u puti rovno dva lista, a u zvezdy `n - 1` listev. za odin hod chislo listev mozhet uvelichitsya ne bolee chem na 1: vybrannyy list posle perepodveshivaniya ostaetsya listom; ego staryy sosed mozhet stat novym listom, esli ego stepen umenshilas do 1; u novoy vershiny prisoedineniya stepen uvelichivaetsya, poetomu listom ona ne stanovitsya, a esli byla listom, to perestaet im byt. znachit, chtoby uvelichit chislo listev s 2 do `n - 1`, trebuetsya kak minimum `n - 3` hodov. teper dokazhem, chto `n - 3` hodov vsegda dostatochno. zafiksiruem nachalnoe derevo `t` i tselevoe derevo `s`. vyberem v `t` kakoy-nibud put iz treh vershin; takoy put est pri `n >= 3`. v tselevom dereve `s` tozhe vyberem put iz treh vershin i budem schitat vybrannyy put v tekuschem der…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1","title":"Циклы без единственного общего ребра и вершина степени не больше 2, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","extremal_choice","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дан граф, никакие два цикла которого не имеют ровно одного общего ребра. Докажите, что в этом графе есть вершина степени не больше 2.","definition_ids":["simple_graph","cycle","path","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через длиннейший путь","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","path","degree"],"standard_idea_ids":["longest_path","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное: степень каждой вершины графа не меньше 3. Рассмотрим одну связную компоненту графа. В ней тоже степени всех вершин не меньше 3, поэтому достаточно получить противоречие внутри этой компоненты. Выберем в этой компоненте простой путь максимальной длины и обозначим его `v_1, v_2, ..., v_k`. Все соседи вершины `v_k` лежат на этом пути: если бы у `v_k` был сосед вне пути, путь можно было бы продолжить, что противоречило бы максимальности. Так как `deg(v_k) >= 3`, у вершины `v_k` есть по крайней мере три соседа среди вершин пути. Пусть два соседних среди них вдоль пути соседа имеют номера `i < j`, а следующий после них имеет номер `l`, так что `v_i`, `v_j`, `v_l` смежны с `v_k` и между `v_i` и `v_j`, а также между `v_j` и `v_l` на пути нет других соседей `v_k`. Тогда ребро `v_kv_j` и отрезок пути от `v_i` до `v_j` вместе с ребром `v_kv_i` образуют цикл. Ребро `v_kv_j`,…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-deep-2008-low-degree-tree-leaf","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-4-first-league-and-higher-junior-problem-1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-paths-counting-longest-detour-kolm-2008-r1","neighbor_id":"longest-path-endpoints-shortest-detour","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2008-r1-ore-longest-path","neighbor_id":"ore-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1 циклы без единственного общего ребра и вершина степени не больше 2, кубок колмогорова 2008 connectivity extremal_choice goal_proof 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дан граф, никакие два цикла которого не имеют ровно одного общего ребра. докажите, что в этом графе есть вершина степени не больше 2. simple_graph cycle path degree idea-graph-role графовая роль граф прямо дан в условии, а решение использует базовые графовые понятия: степени вершин, длиннейший путь и циклы, возникающие из хорд к этому пути. ai_checked sol-official-compressed решение через длиннейший путь ai_checked simple_graph cycle path degree longest_path extremal_choice предположим противное: степень каждой вершины графа не меньше 3. рассмотрим одну связную компоненту графа. в ней тоже степени всех вершин не меньше 3, поэтому достаточно получить противоречие внутри этой компоненты. выберем в этой компоненте простой путь максимальной длины и обозначим его `v_1, v_2, ..., v_k`. все соседи вершины `v_k` лежат на этом пути: если бы у `v_k` был сосед вне пути, путь можно было бы продолжить, что противоречило бы максимальности. так как `deg(v_k) >= 3`, у вершины `v_k` есть по крайней мере три соседа среди вершин пути. пусть два соседних среди них вдоль пути соседа имеют номера `i < j`, а следующий после них имеет номер `l`, так что `v_i`, `v_j`, `v_l` смежны с `v_k` и между `v_i` и `v_j`, а также между `v_j` и `v_l` на пути нет других соседей `v_k`. тогда ребро `v_kv_j` и отрезок пути от `v_i` до `v_j` вместе с ребром `v_kv_i` образуют цикл. ребро `v_kv_j`,… kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1 tsikly bez edinstvennogo obschego rebra i vershina stepeni ne bolshe 2, kubok kolmogorova 2008 connectivity extremal_choice goal_proof 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dan graf, nikakie dva tsikla kotorogo ne imeyut rovno odnogo obschego rebra. dokazhite, chto v etom grafe est vershina stepeni ne bolshe 2. simple_graph cycle path degree idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo dan v uslovii, a reshenie ispolzuet bazovye grafovye ponyatiya: stepeni vershin, dlinneyshiy put i tsikly, voznikayuschie iz hord k etomu puti. ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez dlinneyshiy put ai_checked simple_graph cycle path degree longest_path extremal_choice predpolozhim protivnoe: stepen kazhdoy vershiny grafa ne menshe 3. rassmotrim odnu svyaznuyu komponentu grafa. v ney tozhe stepeni vseh vershin ne menshe 3, poetomu dostatochno poluchit protivorechie vnutri etoy komponenty. vyberem v etoy komponente prostoy put maksimalnoy dliny i oboznachim ego `v_1, v_2, ..., v_k`. vse sosedi vershiny `v_k` lezhat na etom puti: esli by u `v_k` byl sosed vne puti, put mozhno bylo by prodolzhit, chto protivorechilo by maksimalnosti. tak kak `deg(v_k) >= 3`, u vershiny `v_k` est po krayney mere tri soseda sredi vershin puti. pust dva sosednih sredi nih vdol puti soseda imeyut nomera `i < j`, a sleduyuschiy posle nih imeet nomer `l`, tak chto `v_i`, `v_j`, `v_l` smezhny s `v_k` i mezhdu `v_i` i `v_j`, a takzhe mezhdu `v_j` i `v_l` na puti net drugih sosedey `v_k`. togda rebro `v_kv_j` i otrezok puti ot `v_i` do `v_j` vmeste s rebrom `v_kv_i` obrazuyut tsikl. rebro `v_kv_j`,…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-2-first-junior-league-problem-1","title":"Двухцветная раскраска рёбер колеса с двумя связными цветами, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-2-first-junior-league-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-2-first-junior-league-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-2-first-junior-league-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 10 городов расположены по кругу, а столица соединена дорогами со всеми этими городами. Каждую дорогу нужно передать одной из двух фирм так, чтобы дороги каждой фирмы позволяли проехать между любыми двумя городами. Сколькими способами это можно сделать?","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Подсчет раскрасок колеса","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","tree","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["double_counting","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `2(2^10 - 2)` = 2044. В каждом цвете должен получиться связный граф на `11` вершинах. Всего в колесе `20` рёбер, поэтому каждый цвет должен получить хотя бы `10` рёбер, а значит ровно `n`; каждая цветная сеть является деревом. В частности, у каждого цвета должна быть хотя бы одна спица, иначе центр был бы изолирован. Зафиксируем любую неодноцветную раскраску спиц. Разобьём циклическую последовательность спиц на максимальные подряд идущие блоки одного цвета. Пусть таких блоков `b`; они чередуются по цвету, поэтому `b` чётно. Если две соседние спицы `Ov_i` и `Ov_{i+1}` принадлежат одному цвету, то ребро обода `v_i v_{i+1}` не может иметь тот же цвет: иначе вместе с двумя спицами оно образовало бы цикл в цветной сети, а эта сеть уже обязана быть деревом. Значит, все внутренние рёбра обода каждого блока вынужденно получают противоположный цвет. Осталось определить `b` граничных рёбер…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2008-wheel-first-junior-first-league","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-2-first-league-and-higher-junior-problem-1","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-round-2-first-junior-league-problem-1 двухцветная раскраска рёбер колеса с двумя связными цветами, кубок колмогорова 2008 coloring connectivity double_counting goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 10 городов расположены по кругу, а столица соединена дорогами со всеми этими городами. каждую дорогу нужно передать одной из двух фирм так, чтобы дороги каждой фирмы позволяли проехать между любыми двумя городами. сколькими способами это можно сделать? simple_graph idea-graph-role графовая роль граф явно присутствует в условии в виде дорожной сети-колеса, а официальное решение полностью опирается на структуру колеса и связность цветных подграфов. ai_checked sol-official-compressed подсчет раскрасок колеса ai_checked simple_graph tree spanning_tree double_counting local_recoloring ответ: `2(2^10 - 2)` = 2044. в каждом цвете должен получиться связный граф на `11` вершинах. всего в колесе `20` рёбер, поэтому каждый цвет должен получить хотя бы `10` рёбер, а значит ровно `n`; каждая цветная сеть является деревом. в частности, у каждого цвета должна быть хотя бы одна спица, иначе центр был бы изолирован. зафиксируем любую неодноцветную раскраску спиц. разобьём циклическую последовательность спиц на максимальные подряд идущие блоки одного цвета. пусть таких блоков `b`; они чередуются по цвету, поэтому `b` чётно. если две соседние спицы `ov_i` и `ov_{i+1}` принадлежат одному цвету, то ребро обода `v_i v_{i+1}` не может иметь тот же цвет: иначе вместе с двумя спицами оно образовало бы цикл в цветной сети, а эта сеть уже обязана быть деревом. значит, все внутренние рёбра обода каждого блока вынужденно получают противоположный цвет. осталось определить `b` граничных рёбер… kolmogorov-2008-round-2-first-junior-league-problem-1 dvuhtsvetnaya raskraska reber kolesa s dvumya svyaznymi tsvetami, kubok kolmogorova 2008 coloring connectivity double_counting goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 10 gorodov raspolozheny po krugu, a stolitsa soedinena dorogami so vsemi etimi gorodami. kazhduyu dorogu nuzhno peredat odnoy iz dvuh firm tak, chtoby dorogi kazhdoy firmy pozvolyali proehat mezhdu lyubymi dvumya gorodami. skolkimi sposobami eto mozhno sdelat? simple_graph idea-graph-role grafovaya rol graf yavno prisutstvuet v uslovii v vide dorozhnoy seti-kolesa, a ofitsialnoe reshenie polnostyu opiraetsya na strukturu kolesa i svyaznost tsvetnyh podgrafov. ai_checked sol-official-compressed podschet raskrasok kolesa ai_checked simple_graph tree spanning_tree double_counting local_recoloring otvet: `2(2^10 - 2)` = 2044. v kazhdom tsvete dolzhen poluchitsya svyaznyy graf na `11` vershinah. vsego v kolese `20` reber, poetomu kazhdyy tsvet dolzhen poluchit hotya by `10` reber, a znachit rovno `n`; kazhdaya tsvetnaya set yavlyaetsya derevom. v chastnosti, u kazhdogo tsveta dolzhna byt hotya by odna spitsa, inache tsentr byl by izolirovan. zafiksiruem lyubuyu neodnotsvetnuyu raskrasku spits. razobem tsiklicheskuyu posledovatelnost spits na maksimalnye podryad iduschie bloki odnogo tsveta. pust takih blokov `b`; oni chereduyutsya po tsvetu, poetomu `b` chetno. esli dve sosednie spitsy `ov_i` i `ov_{i+1}` prinadlezhat odnomu tsvetu, to rebro oboda `v_i v_{i+1}` ne mozhet imet tot zhe tsvet: inache vmeste s dvumya spitsami ono obrazovalo by tsikl v tsvetnoy seti, a eta set uzhe obyazana byt derevom. znachit, vse vnutrennie rebra oboda kazhdogo bloka vynuzhdenno poluchayut protivopolozhnyy tsvet. ostalos opredelit `b` granichnyh reber…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-2-first-league-and-higher-junior-problem-1","title":"Подсчёт двухцветных раскрасок колеса с двумя связными цветами, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-2-first-league-and-higher-junior-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-2-first-league-and-higher-junior-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-2-first-league-and-higher-junior-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","double_counting","trees","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Рассматривается колесо \\(W_n\\): цикл из \\(n\\) вершин и еще одна центральная вершина, соединенная со всеми вершинами цикла. Сколькими способами можно покрасить ребра в два цвета так, чтобы в каждом цвете получился связный граф?","definition_ids":["tree","spanning_tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Подсчет раскрасок колеса","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["double_counting","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `2(2^n - 2)`. В каждом цвете должен получиться связный граф на `n+1` вершинах. Всего в колесе `2n` рёбер, поэтому каждый цвет должен получить хотя бы `n` рёбер, а значит ровно `n`; каждая цветная сеть является деревом. В частности, у каждого цвета должна быть хотя бы одна спица, иначе центр был бы изолирован. Зафиксируем любую неодноцветную раскраску спиц. Разобьём циклическую последовательность спиц на максимальные подряд идущие блоки одного цвета. Пусть таких блоков `b`; они чередуются по цвету, поэтому `b` чётно. Если две соседние спицы `Ov_i` и `Ov_{i+1}` принадлежат одному цвету, то ребро обода `v_i v_{i+1}` не может иметь тот же цвет: иначе вместе с двумя спицами оно образовало бы цикл в цветной сети, а эта сеть уже обязана быть деревом. Значит, все внутренние рёбра обода каждого блока вынужденно получают противоположный цвет. Осталось определить `b` граничных рёбер обода м…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2008-wheel-first-second-league","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-2-second-league-problem-2","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2008-wheel-first-junior-first-league","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-2-first-junior-league-problem-1","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-round-2-first-league-and-higher-junior-problem-1 подсчёт двухцветных раскрасок колеса с двумя связными цветами, кубок колмогорова 2008 coloring connectivity double_counting trees goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked рассматривается колесо \\(w_n\\): цикл из \\(n\\) вершин и еще одна центральная вершина, соединенная со всеми вершинами цикла. сколькими способами можно покрасить ребра в два цвета так, чтобы в каждом цвете получился связный граф? tree spanning_tree idea-graph-role графовая роль граф прямо присутствует в условии: задача сформулирована про колесо `w_n`. официальное решение полностью использует связность цветных подграфов и структуру этого графа. ai_checked sol-official-compressed подсчет раскрасок колеса ai_checked tree spanning_tree double_counting local_recoloring ответ: `2(2^n - 2)`. в каждом цвете должен получиться связный граф на `n+1` вершинах. всего в колесе `2n` рёбер, поэтому каждый цвет должен получить хотя бы `n` рёбер, а значит ровно `n`; каждая цветная сеть является деревом. в частности, у каждого цвета должна быть хотя бы одна спица, иначе центр был бы изолирован. зафиксируем любую неодноцветную раскраску спиц. разобьём циклическую последовательность спиц на максимальные подряд идущие блоки одного цвета. пусть таких блоков `b`; они чередуются по цвету, поэтому `b` чётно. если две соседние спицы `ov_i` и `ov_{i+1}` принадлежат одному цвету, то ребро обода `v_i v_{i+1}` не может иметь тот же цвет: иначе вместе с двумя спицами оно образовало бы цикл в цветной сети, а эта сеть уже обязана быть деревом. значит, все внутренние рёбра обода каждого блока вынужденно получают противоположный цвет. осталось определить `b` граничных рёбер обода м… kolmogorov-2008-round-2-first-league-and-higher-junior-problem-1 podschet dvuhtsvetnyh raskrasok kolesa s dvumya svyaznymi tsvetami, kubok kolmogorova 2008 coloring connectivity double_counting trees goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked rassmatrivaetsya koleso \\(w_n\\): tsikl iz \\(n\\) vershin i esche odna tsentralnaya vershina, soedinennaya so vsemi vershinami tsikla. skolkimi sposobami mozhno pokrasit rebra v dva tsveta tak, chtoby v kazhdom tsvete poluchilsya svyaznyy graf? tree spanning_tree idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo prisutstvuet v uslovii: zadacha sformulirovana pro koleso `w_n`. ofitsialnoe reshenie polnostyu ispolzuet svyaznost tsvetnyh podgrafov i strukturu etogo grafa. ai_checked sol-official-compressed podschet raskrasok kolesa ai_checked tree spanning_tree double_counting local_recoloring otvet: `2(2^n - 2)`. v kazhdom tsvete dolzhen poluchitsya svyaznyy graf na `n+1` vershinah. vsego v kolese `2n` reber, poetomu kazhdyy tsvet dolzhen poluchit hotya by `n` reber, a znachit rovno `n`; kazhdaya tsvetnaya set yavlyaetsya derevom. v chastnosti, u kazhdogo tsveta dolzhna byt hotya by odna spitsa, inache tsentr byl by izolirovan. zafiksiruem lyubuyu neodnotsvetnuyu raskrasku spits. razobem tsiklicheskuyu posledovatelnost spits na maksimalnye podryad iduschie bloki odnogo tsveta. pust takih blokov `b`; oni chereduyutsya po tsvetu, poetomu `b` chetno. esli dve sosednie spitsy `ov_i` i `ov_{i+1}` prinadlezhat odnomu tsvetu, to rebro oboda `v_i v_{i+1}` ne mozhet imet tot zhe tsvet: inache vmeste s dvumya spitsami ono obrazovalo by tsikl v tsvetnoy seti, a eta set uzhe obyazana byt derevom. znachit, vse vnutrennie rebra oboda kazhdogo bloka vynuzhdenno poluchayut protivopolozhnyy tsvet. ostalos opredelit `b` granichnyh reber oboda m…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-2-high-league-problem-1","title":"Минимум сравнений для восстановления порядка турнира, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-2-high-league-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-2-high-league-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-2-high-league-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","tournaments","goal_exact_bound"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В круговом теннисном турнире участвуют \\(n\\) игроков. Нужно по таблице результатов однозначно определить, какой игрок занял какое место. За один вопрос разрешается спросить про сравнение мест двух игроков. Сколько вопросов достаточно в худшем случае?","definition_ids":["directed_graph","complete_graph","tournament"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через сортировку игроков по местам","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","complete_graph","tournament"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать игроков вершинами полного ориентированного графа турнира: для каждой пары игроков проводим стрелку от победителя личной встречи к проигравшему. Таблица результатов задает такой турнир на уже известных игроках. Искомое распределение мест — это некоторая нумерация этих `n` вершин местами от `1` до `n`; вопрос к жюри сравнивает номера двух выбранных вершин. Достаточная стратегия не требует угадывать эту нумерацию сразу. Нужно просто отсортировать игроков по их местам, используя разрешенные вопросы как обычные сравнения. Например, применим сортировку слиянием. Разобьем игроков на две почти равные группы, рекурсивно упорядочим каждую группу, а затем сольем два уже упорядоченных списка. При слиянии каждый вопрос сравнивает первых еще не поставленных игроков из двух списков; игрок, занявший более высокое место, записывается следующим. Если один список закончился, оставшиеся игрок…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2008-round-2-high-league-problem-1 минимум сравнений для восстановления порядка турнира, кубок колмогорова 2008 double_counting tournaments goal_exact_bound 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в круговом теннисном турнире участвуют \\(n\\) игроков. нужно по таблице результатов однозначно определить, какой игрок занял какое место. за один вопрос разрешается спросить про сравнение мест двух игроков. сколько вопросов достаточно в худшем случае? directed_graph complete_graph tournament idea-graph-role графовая роль хотя в условии граф не упоминается, официальное решение явно и существенно переводит задачу в полный ориентированный граф турнира и далее рассуждает о нумерациях его вершин. ai_checked sol-official-compressed решение через сортировку игроков по местам ai_checked directed_graph complete_graph tournament double_counting будем считать игроков вершинами полного ориентированного графа турнира: для каждой пары игроков проводим стрелку от победителя личной встречи к проигравшему. таблица результатов задает такой турнир на уже известных игроках. искомое распределение мест — это некоторая нумерация этих `n` вершин местами от `1` до `n`; вопрос к жюри сравнивает номера двух выбранных вершин. достаточная стратегия не требует угадывать эту нумерацию сразу. нужно просто отсортировать игроков по их местам, используя разрешенные вопросы как обычные сравнения. например, применим сортировку слиянием. разобьем игроков на две почти равные группы, рекурсивно упорядочим каждую группу, а затем сольем два уже упорядоченных списка. при слиянии каждый вопрос сравнивает первых еще не поставленных игроков из двух списков; игрок, занявший более высокое место, записывается следующим. если один список закончился, оставшиеся игрок… kolmogorov-2008-round-2-high-league-problem-1 minimum sravneniy dlya vosstanovleniya poryadka turnira, kubok kolmogorova 2008 double_counting tournaments goal_exact_bound 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v krugovom tennisnom turnire uchastvuyut \\(n\\) igrokov. nuzhno po tablitse rezultatov odnoznachno opredelit, kakoy igrok zanyal kakoe mesto. za odin vopros razreshaetsya sprosit pro sravnenie mest dvuh igrokov. skolko voprosov dostatochno v hudshem sluchae? directed_graph complete_graph tournament idea-graph-role grafovaya rol hotya v uslovii graf ne upominaetsya, ofitsialnoe reshenie yavno i suschestvenno perevodit zadachu v polnyy orientirovannyy graf turnira i dalee rassuzhdaet o numeratsiyah ego vershin. ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez sortirovku igrokov po mestam ai_checked directed_graph complete_graph tournament double_counting budem schitat igrokov vershinami polnogo orientirovannogo grafa turnira: dlya kazhdoy pary igrokov provodim strelku ot pobeditelya lichnoy vstrechi k proigravshemu. tablitsa rezultatov zadaet takoy turnir na uzhe izvestnyh igrokah. iskomoe raspredelenie mest — eto nekotoraya numeratsiya etih `n` vershin mestami ot `1` do `n`; vopros k zhyuri sravnivaet nomera dvuh vybrannyh vershin. dostatochnaya strategiya ne trebuet ugadyvat etu numeratsiyu srazu. nuzhno prosto otsortirovat igrokov po ih mestam, ispolzuya razreshennye voprosy kak obychnye sravneniya. naprimer, primenim sortirovku sliyaniem. razobem igrokov na dve pochti ravnye gruppy, rekursivno uporyadochim kazhduyu gruppu, a zatem solem dva uzhe uporyadochennyh spiska. pri sliyanii kazhdyy vopros sravnivaet pervyh esche ne postavlennyh igrokov iz dvuh spiskov; igrok, zanyavshiy bolee vysokoe mesto, zapisyvaetsya sleduyuschim. esli odin spisok zakonchilsya, ostavshiesya igrok…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-2-second-league-problem-2","title":"Двухцветные связные подграфы в колесе на 100 городах, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-2-second-league-problem-2.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-2-second-league-problem-2.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-2-second-league-problem-2","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","double_counting","trees","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Сложность оставлена на уровне national_final_medium; решение и основные метаданные проверены в проходе 2026-05-16.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning проход 2026-05-16 по второй четверти списка official_outline_needs_work","notes":"Официальный/архивный план доведён high-reasoning агентом до локального русского доказательства; проверены условие, идеи, definition_ids, tags и связи в выбранном срезе.","audit_source":"manual-official-plan-completion-2026-05-16-second-quartile"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 100 городов расположены по кругу, а столица соединена дорогами со всеми этими городами. Каждую дорогу нужно передать одной из двух фирм так, чтобы дороги каждой фирмы позволяли проехать между любыми двумя городами. Сколькими способами это можно сделать?","definition_ids":["tree","spanning_tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Подсчет раскрасок колеса на 100 городах","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["double_counting","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `2(2^100 - 2)`. В каждом цвете должен получиться связный граф на `101` вершинах. Всего в колесе `200` рёбер, поэтому каждый цвет должен получить хотя бы `100` рёбер, а значит ровно `n`; каждая цветная сеть является деревом. В частности, у каждого цвета должна быть хотя бы одна спица, иначе центр был бы изолирован. Зафиксируем любую неодноцветную раскраску спиц. Разобьём циклическую последовательность спиц на максимальные подряд идущие блоки одного цвета. Пусть таких блоков `b`; они чередуются по цвету, поэтому `b` чётно. Если две соседние спицы `Ov_i` и `Ov_{i+1}` принадлежат одному цвету, то ребро обода `v_i v_{i+1}` не может иметь тот же цвет: иначе вместе с двумя спицами оно образовало бы цикл в цветной сети, а эта сеть уже обязана быть деревом. Значит, все внутренние рёбра обода каждого блока вынужденно получают противоположный цвет. Осталось определить `b` граничных рёбер об…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2008-wheel-first-second-league","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-2-first-league-and-higher-junior-problem-1","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-round-2-second-league-problem-2 двухцветные связные подграфы в колесе на 100 городах, кубок колмогорова 2008 coloring connectivity double_counting trees goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 100 городов расположены по кругу, а столица соединена дорогами со всеми этими городами. каждую дорогу нужно передать одной из двух фирм так, чтобы дороги каждой фирмы позволяли проехать между любыми двумя городами. сколькими способами это можно сделать? tree spanning_tree idea-graph-role графовая роль в условии явно задана дорожная сеть, которая в точности является графом-колесом, а официальное решение непосредственно переводит задачу к связным подграфам этого колеса. ai_checked sol-official-compressed подсчет раскрасок колеса на 100 городах ai_checked tree spanning_tree double_counting local_recoloring ответ: `2(2^100 - 2)`. в каждом цвете должен получиться связный граф на `101` вершинах. всего в колесе `200` рёбер, поэтому каждый цвет должен получить хотя бы `100` рёбер, а значит ровно `n`; каждая цветная сеть является деревом. в частности, у каждого цвета должна быть хотя бы одна спица, иначе центр был бы изолирован. зафиксируем любую неодноцветную раскраску спиц. разобьём циклическую последовательность спиц на максимальные подряд идущие блоки одного цвета. пусть таких блоков `b`; они чередуются по цвету, поэтому `b` чётно. если две соседние спицы `ov_i` и `ov_{i+1}` принадлежат одному цвету, то ребро обода `v_i v_{i+1}` не может иметь тот же цвет: иначе вместе с двумя спицами оно образовало бы цикл в цветной сети, а эта сеть уже обязана быть деревом. значит, все внутренние рёбра обода каждого блока вынужденно получают противоположный цвет. осталось определить `b` граничных рёбер об… kolmogorov-2008-round-2-second-league-problem-2 dvuhtsvetnye svyaznye podgrafy v kolese na 100 gorodah, kubok kolmogorova 2008 coloring connectivity double_counting trees goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 100 gorodov raspolozheny po krugu, a stolitsa soedinena dorogami so vsemi etimi gorodami. kazhduyu dorogu nuzhno peredat odnoy iz dvuh firm tak, chtoby dorogi kazhdoy firmy pozvolyali proehat mezhdu lyubymi dvumya gorodami. skolkimi sposobami eto mozhno sdelat? tree spanning_tree idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno zadana dorozhnaya set, kotoraya v tochnosti yavlyaetsya grafom-kolesom, a ofitsialnoe reshenie neposredstvenno perevodit zadachu k svyaznym podgrafam etogo kolesa. ai_checked sol-official-compressed podschet raskrasok kolesa na 100 gorodah ai_checked tree spanning_tree double_counting local_recoloring otvet: `2(2^100 - 2)`. v kazhdom tsvete dolzhen poluchitsya svyaznyy graf na `101` vershinah. vsego v kolese `200` reber, poetomu kazhdyy tsvet dolzhen poluchit hotya by `100` reber, a znachit rovno `n`; kazhdaya tsvetnaya set yavlyaetsya derevom. v chastnosti, u kazhdogo tsveta dolzhna byt hotya by odna spitsa, inache tsentr byl by izolirovan. zafiksiruem lyubuyu neodnotsvetnuyu raskrasku spits. razobem tsiklicheskuyu posledovatelnost spits na maksimalnye podryad iduschie bloki odnogo tsveta. pust takih blokov `b`; oni chereduyutsya po tsvetu, poetomu `b` chetno. esli dve sosednie spitsy `ov_i` i `ov_{i+1}` prinadlezhat odnomu tsvetu, to rebro oboda `v_i v_{i+1}` ne mozhet imet tot zhe tsvet: inache vmeste s dvumya spitsami ono obrazovalo by tsikl v tsvetnoy seti, a eta set uzhe obyazana byt derevom. znachit, vse vnutrennie rebra oboda kazhdogo bloka vynuzhdenno poluchayut protivopolozhnyy tsvet. ostalos opredelit `b` granichnyh reber ob…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1","title":"Минимум рёбер при гамильтоновом пути между любой парой вершин, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","hamiltonian_cycles","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом до полного решения","status":"ai_checked","confidence":0.91,"basis":"high-reasoning pass 2026-05-17: официальный архивный план уже развёрнут в полное решение с нижней оценкой через минимальную степень и явной лестничной конструкцией","notes":"Проверены оба края доказательства: нижняя оценка исключает степени 1 и 2, а конструкция 2-by-1666 с добавленной вершиной даёт 3333 вершины, 5000 рёбер и гамильтоновы пути между любой парой вершин. Оставлять статус outline_needs_work оснований нет.","audit_source":"high-reasoning-official-plan-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе на 3333 вершинах для любых двух различных вершин существует гамильтонов путь, начинающийся в одной из них и заканчивающийся в другой. Каково минимально возможное число ребер такого графа?","definition_ids":["simple_graph","path","degree","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Развернутое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","path","degree","hamiltonian_path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","longest_path","greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `5000`. Сначала докажем нижнюю оценку. Возьмем любые две смежные вершины `a` и `b`. По условию есть гамильтонов путь с концами `a` и `b`; добавив ребро `ab`, получаем гамильтонов цикл. Значит, степень каждой вершины не меньше `2`. Покажем, что вершины степени `2` тоже невозможны. Пусть `v` - такая вершина, а ее соседи на найденном гамильтоновом цикле равны `x` и `y`. По условию существует гамильтонов путь с концами `x` и `y`. В этом пути вершина `v` не является концом, поэтому обе соседние с ней в пути вершины должны быть ее соседями в графе, то есть это `x` и `y`. Но тогда путь имеет вид `x-v-y` в соответствующем месте; поскольку `x` и `y` - концы всего пути, других вершин в нем быть не может. Это противоречит тому, что вершин `3333`. Следовательно, минимальная степень графа не меньше `3`. Тогда сумма степеней не меньше `3 * 3333 = 9999`. Она четна, поэтому на самом деле не мень…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2008-hamiltonian-dirac","neighbor_id":"dirac-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-deep-2008-hamiltonian-2010-tour","neighbor_id":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-juniors-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-paths-counting-longest-detour-kolm-2008-r3","neighbor_id":"longest-path-endpoints-shortest-detour","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1 минимум рёбер при гамильтоновом пути между любой парой вершин, кубок колмогорова 2008 extremal_graph_theory hamiltonian_cycles goal_exact_bound 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе на 3333 вершинах для любых двух различных вершин существует гамильтонов путь, начинающийся в одной из них и заканчивающийся в другой. каково минимально возможное число ребер такого графа? simple_graph path degree hamiltonian_path idea-graph-role графовая роль граф прямо дан в условии, а официальное решение является чисто графовым: используются степени вершин, гамильтоновы пути и явная экстремальная конструкция графа. ai_checked sol-official-compressed развернутое решение ai_checked simple_graph path degree hamiltonian_path extremal_choice longest_path greedy_ordering ответ: `5000`. сначала докажем нижнюю оценку. возьмем любые две смежные вершины `a` и `b`. по условию есть гамильтонов путь с концами `a` и `b`; добавив ребро `ab`, получаем гамильтонов цикл. значит, степень каждой вершины не меньше `2`. покажем, что вершины степени `2` тоже невозможны. пусть `v` - такая вершина, а ее соседи на найденном гамильтоновом цикле равны `x` и `y`. по условию существует гамильтонов путь с концами `x` и `y`. в этом пути вершина `v` не является концом, поэтому обе соседние с ней в пути вершины должны быть ее соседями в графе, то есть это `x` и `y`. но тогда путь имеет вид `x-v-y` в соответствующем месте; поскольку `x` и `y` - концы всего пути, других вершин в нем быть не может. это противоречит тому, что вершин `3333`. следовательно, минимальная степень графа не меньше `3`. тогда сумма степеней не меньше `3 * 3333 = 9999`. она четна, поэтому на самом деле не мень… kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1 minimum reber pri gamiltonovom puti mezhdu lyuboy paroy vershin, kubok kolmogorova 2008 extremal_graph_theory hamiltonian_cycles goal_exact_bound 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe na 3333 vershinah dlya lyubyh dvuh razlichnyh vershin suschestvuet gamiltonov put, nachinayuschiysya v odnoy iz nih i zakanchivayuschiysya v drugoy. kakovo minimalno vozmozhnoe chislo reber takogo grafa? simple_graph path degree hamiltonian_path idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo dan v uslovii, a ofitsialnoe reshenie yavlyaetsya chisto grafovym: ispolzuyutsya stepeni vershin, gamiltonovy puti i yavnaya ekstremalnaya konstruktsiya grafa. ai_checked sol-official-compressed razvernutoe reshenie ai_checked simple_graph path degree hamiltonian_path extremal_choice longest_path greedy_ordering otvet: `5000`. snachala dokazhem nizhnyuyu otsenku. vozmem lyubye dve smezhnye vershiny `a` i `b`. po usloviyu est gamiltonov put s kontsami `a` i `b`; dobaviv rebro `ab`, poluchaem gamiltonov tsikl. znachit, stepen kazhdoy vershiny ne menshe `2`. pokazhem, chto vershiny stepeni `2` tozhe nevozmozhny. pust `v` - takaya vershina, a ee sosedi na naydennom gamiltonovom tsikle ravny `x` i `y`. po usloviyu suschestvuet gamiltonov put s kontsami `x` i `y`. v etom puti vershina `v` ne yavlyaetsya kontsom, poetomu obe sosednie s ney v puti vershiny dolzhny byt ee sosedyami v grafe, to est eto `x` i `y`. no togda put imeet vid `x-v-y` v sootvetstvuyuschem meste; poskolku `x` i `y` - kontsy vsego puti, drugih vershin v nem byt ne mozhet. eto protivorechit tomu, chto vershin `3333`. sledovatelno, minimalnaya stepen grafa ne menshe `3`. togda summa stepeney ne menshe `3 * 3333 = 9999`. ona chetna, poetomu na samom dele ne men…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-4-first-league-and-higher-junior-problem-1","title":"Красный лист в двухцветно раскрашенном дереве, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-4-first-league-and-higher-junior-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-4-first-league-and-higher-junior-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-4-first-league-and-higher-junior-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","coloring","double_counting","degree_counting","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"После сверки официального условия задача сводится к короткому подсчёту степеней в двух долях дерева.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.95,"basis":"агентский аудит повышенной сложности 2026-05-07","notes":"Официальная формулировка восстановлена по архивному DOC; решение через сумму степеней является полным и самодостаточным.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Вершины дерева покрашены в красный и синий цвета так, что смежные вершины имеют разные цвета, и красных вершин не меньше, чем синих. Докажите, что хотя бы одна из висячих вершин покрашена в красный цвет.","definition_ids":["tree","bipartite_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через сумму степеней красных вершин","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","bipartite_graph","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Если дерево состоит из одной вершины, утверждение очевидно в принятом для этой задачи смысле: единственная вершина красная и является концевой. Далее считаем, что в дереве хотя бы две вершины. Обозначим через `R` число красных вершин, а через `B` число синих вершин. По условию `R>=B`. Так как смежные вершины имеют разные цвета, каждое ребро дерева имеет один красный и один синий конец. Поэтому сумма степеней всех красных вершин равна числу рёбер дерева. В дереве на `R+B` вершинах ровно `R+B-1` рёбер. Значит, сумма степеней красных вершин равна `R+B-1`. Предположим, что красной висячей вершины нет. В нетривиальном дереве изолированных вершин нет, поэтому каждая красная вершина имеет степень хотя бы `2`. Тогда сумма степеней красных вершин не меньше `2R`. С другой стороны, из `R>=B` следует `R+B-1<=2R-1`. Получаем цепочку `2R<=R+B-1<=2R-1`, невозможную для целых чисел. Противоречие доказы…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2008-tree-bipartition-round4","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-4-second-league-problem-7","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-deep-2008-low-degree-tree-leaf","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-round-4-first-league-and-higher-junior-problem-1 красный лист в двухцветно раскрашенном дереве, кубок колмогорова 2008 trees coloring double_counting degree_counting goal_proof 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked вершины дерева покрашены в красный и синий цвета так, что смежные вершины имеют разные цвета, и красных вершин не меньше, чем синих. докажите, что хотя бы одна из висячих вершин покрашена в красный цвет. tree bipartite_graph degree idea-red-part-degree-sum сумма степеней красной доли равна числу рёбер дерева так как смежные вершины имеют разные цвета, каждое ребро имеет ровно один красный конец. поэтому сумма степеней красных вершин равна числу всех рёбер дерева. если красных листьев нет, эта же сумма должна быть не меньше удвоенного числа красных вершин, что противоречит условию r>=b. double_counting degree_counting ai_checked sol-official-compressed решение через сумму степеней красных вершин ai_checked tree bipartite_graph degree double_counting если дерево состоит из одной вершины, утверждение очевидно в принятом для этой задачи смысле: единственная вершина красная и является концевой. далее считаем, что в дереве хотя бы две вершины. обозначим через `r` число красных вершин, а через `b` число синих вершин. по условию `r>=b`. так как смежные вершины имеют разные цвета, каждое ребро дерева имеет один красный и один синий конец. поэтому сумма степеней всех красных вершин равна числу рёбер дерева. в дереве на `r+b` вершинах ровно `r+b-1` рёбер. значит, сумма степеней красных вершин равна `r+b-1`. предположим, что красной висячей вершины нет. в нетривиальном дереве изолированных вершин нет, поэтому каждая красная вершина имеет степень хотя бы `2`. тогда сумма степеней красных вершин не меньше `2r`. с другой стороны, из `r>=b` следует `r+b-1<=2r-1`. получаем цепочку `2r<=r+b-1<=2r-1`, невозможную для целых чисел. противоречие доказы… kolmogorov-2008-round-4-first-league-and-higher-junior-problem-1 krasnyy list v dvuhtsvetno raskrashennom dereve, kubok kolmogorova 2008 trees coloring double_counting degree_counting goal_proof 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked vershiny dereva pokrasheny v krasnyy i siniy tsveta tak, chto smezhnye vershiny imeyut raznye tsveta, i krasnyh vershin ne menshe, chem sinih. dokazhite, chto hotya by odna iz visyachih vershin pokrashena v krasnyy tsvet. tree bipartite_graph degree idea-red-part-degree-sum summa stepeney krasnoy doli ravna chislu reber dereva tak kak smezhnye vershiny imeyut raznye tsveta, kazhdoe rebro imeet rovno odin krasnyy konets. poetomu summa stepeney krasnyh vershin ravna chislu vseh reber dereva. esli krasnyh listev net, eta zhe summa dolzhna byt ne menshe udvoennogo chisla krasnyh vershin, chto protivorechit usloviyu r>=b. double_counting degree_counting ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez summu stepeney krasnyh vershin ai_checked tree bipartite_graph degree double_counting esli derevo sostoit iz odnoy vershiny, utverzhdenie ochevidno v prinyatom dlya etoy zadachi smysle: edinstvennaya vershina krasnaya i yavlyaetsya kontsevoy. dalee schitaem, chto v dereve hotya by dve vershiny. oboznachim cherez `r` chislo krasnyh vershin, a cherez `b` chislo sinih vershin. po usloviyu `r>=b`. tak kak smezhnye vershiny imeyut raznye tsveta, kazhdoe rebro dereva imeet odin krasnyy i odin siniy konets. poetomu summa stepeney vseh krasnyh vershin ravna chislu reber dereva. v dereve na `r+b` vershinah rovno `r+b-1` reber. znachit, summa stepeney krasnyh vershin ravna `r+b-1`. predpolozhim, chto krasnoy visyachey vershiny net. v netrivialnom dereve izolirovannyh vershin net, poetomu kazhdaya krasnaya vershina imeet stepen hotya by `2`. togda summa stepeney krasnyh vershin ne menshe `2r`. s drugoy storony, iz `r>=b` sleduet `r+b-1<=2r-1`. poluchaem tsepochku `2r<=r+b-1<=2r-1`, nevozmozhnuyu dlya tselyh chisel. protivorechie dokazy…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-round-4-second-league-problem-7","title":"Красный лист в дереве дорог между двумя республиками, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-round-4-second-league-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-round-4-second-league-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-round-4-second-league-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","matching","trees","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Короткое решение было развёрнуто: явно указаны дерево, двудольный подсчет степеней и финальное неравенство.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 1000 городов соединены 999 дорогами, причем из любого города можно добраться в любой другой. Все города разбиты на две республики, причем в одной республике городов не меньше, чем в другой, и каждая дорога соединяет города разных республик. Докажите, что в большей республике есть город, из которого выходит только одна дорога.","definition_ids":["tree","bipartite_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через сумму степеней","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","bipartite_graph","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting","induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим города как вершины, а дороги как ребра. Граф связен и имеет `1000` вершин и `999` ребер, поэтому это дерево: в связном графе с `v` вершинами не меньше `v-1` ребер, а если бы был цикл, можно было бы удалить ребро цикла, не нарушив связности, и получить связный граф с меньшим числом ребер. Пусть в большей республике `R` городов, а в меньшей `B` городов; тогда `R >= B` и `R+B=1000`. Каждая дорога соединяет города разных республик, значит граф двудолен с долями этих республик. В двудольном графе каждое ребро имеет ровно один конец в каждой доле, поэтому сумма степеней вершин большей доли равна общему числу ребер, то есть `999`. Предположим, что в большей республике нет города степени `1`. Степени не могут быть нулевыми, потому что граф связен и вершин больше одной. Значит, каждая вершина большей доли имеет степень хотя бы `2`, и сумма степеней этой доли не меньше `2R`. Получаем `…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2008-tree-bipartition-round4","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-4-first-league-and-higher-junior-problem-1","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-round-4-second-league-problem-7 красный лист в дереве дорог между двумя республиками, кубок колмогорова 2008 double_counting matching trees goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 1000 городов соединены 999 дорогами, причем из любого города можно добраться в любой другой. все города разбиты на две республики, причем в одной республике городов не меньше, чем в другой, и каждая дорога соединяет города разных республик. докажите, что в большей республике есть город, из которого выходит только одна дорога. tree bipartite_graph degree idea-graph-role графовая роль в условии явно задан связный граф дорог, который по числу ребер сразу распознается как дерево; официальное решение опирается на двудольность, степени вершин и листы дерева. ai_checked sol-official-compressed решение через сумму степеней ai_checked tree bipartite_graph degree double_counting induction delete_to_simplify рассмотрим города как вершины, а дороги как ребра. граф связен и имеет `1000` вершин и `999` ребер, поэтому это дерево: в связном графе с `v` вершинами не меньше `v-1` ребер, а если бы был цикл, можно было бы удалить ребро цикла, не нарушив связности, и получить связный граф с меньшим числом ребер. пусть в большей республике `r` городов, а в меньшей `b` городов; тогда `r >= b` и `r+b=1000`. каждая дорога соединяет города разных республик, значит граф двудолен с долями этих республик. в двудольном графе каждое ребро имеет ровно один конец в каждой доле, поэтому сумма степеней вершин большей доли равна общему числу ребер, то есть `999`. предположим, что в большей республике нет города степени `1`. степени не могут быть нулевыми, потому что граф связен и вершин больше одной. значит, каждая вершина большей доли имеет степень хотя бы `2`, и сумма степеней этой доли не меньше `2r`. получаем `… kolmogorov-2008-round-4-second-league-problem-7 krasnyy list v dereve dorog mezhdu dvumya respublikami, kubok kolmogorova 2008 double_counting matching trees goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 1000 gorodov soedineny 999 dorogami, prichem iz lyubogo goroda mozhno dobratsya v lyuboy drugoy. vse goroda razbity na dve respubliki, prichem v odnoy respublike gorodov ne menshe, chem v drugoy, i kazhdaya doroga soedinyaet goroda raznyh respublik. dokazhite, chto v bolshey respublike est gorod, iz kotorogo vyhodit tolko odna doroga. tree bipartite_graph degree idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno zadan svyaznyy graf dorog, kotoryy po chislu reber srazu raspoznaetsya kak derevo; ofitsialnoe reshenie opiraetsya na dvudolnost, stepeni vershin i listy dereva. ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez summu stepeney ai_checked tree bipartite_graph degree double_counting induction delete_to_simplify rassmotrim goroda kak vershiny, a dorogi kak rebra. graf svyazen i imeet `1000` vershin i `999` reber, poetomu eto derevo: v svyaznom grafe s `v` vershinami ne menshe `v-1` reber, a esli by byl tsikl, mozhno bylo by udalit rebro tsikla, ne narushiv svyaznosti, i poluchit svyaznyy graf s menshim chislom reber. pust v bolshey respublike `r` gorodov, a v menshey `b` gorodov; togda `r >= b` i `r+b=1000`. kazhdaya doroga soedinyaet goroda raznyh respublik, znachit graf dvudolen s dolyami etih respublik. v dvudolnom grafe kazhdoe rebro imeet rovno odin konets v kazhdoy dole, poetomu summa stepeney vershin bolshey doli ravna obschemu chislu reber, to est `999`. predpolozhim, chto v bolshey respublike net goroda stepeni `1`. stepeni ne mogut byt nulevymi, potomu chto graf svyazen i vershin bolshe odnoy. znachit, kazhdaya vershina bolshey doli imeet stepen hotya by `2`, i summa stepeney etoy doli ne menshe `2r`. poluchaem `…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-team-olympiad-juniors-problem-5","title":"Трёхдольный 2-регулярный граф на 2008 вершинах, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-team-olympiad-juniors-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-team-olympiad-juniors-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-team-olympiad-juniors-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Трёхдольный 2-регулярный граф на","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом до полного решения","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"high-reasoning pass 2026-05-17: официальный графовый аргумент развёрнут в самодостаточное доказательство через разложение 2-регулярного графа на циклы","notes":"Ключевой шаг проверен: в каждом цикле вершины одной фракции образуют независимое множество, значит занимают не более половины цикла; суммирование по циклам даёт, что любая фракция не больше суммы двух остальных.","audit_source":"high-reasoning-official-plan-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В парламенте 2008 депутатов. Каждый состоит ровно в одной из трех фракций, и у каждого есть ровно два друга. Если два депутата дружат, то они состоят в разных фракциях. Докажите, что найдутся две фракции, суммарное число депутатов в которых не меньше числа депутатов в третьей.","definition_ids":["simple_graph","degree","independent_set","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Трёхдольный 2-регулярный граф","status":"ai_checked","text":"В простом графе на 2008 вершинах каждая вершина имеет степень 2. Вершины разбиты на три независимых множества. Докажите, что найдутся два из этих множеств, суммарный размер которых не меньше размера третьего.","definition_ids":["simple_graph","degree","independent_set","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через циклы 2-регулярного графа","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","independent_set","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф: депутаты становятся вершинами, дружбы — ребрами, а принадлежность к фракциям — 3-раскраской вершин. Так как у каждого депутата ровно два друга, каждая вершина графа имеет степень 2, то есть каждая компонента является циклом. Достаточно доказать, что размер любой одной фракции не превосходит суммарного размера двух остальных. Зафиксируем фракцию `X`. В каждом цикле вершины из `X` не стоят рядом, потому что друзья состоят в разных фракциях. Значит, на цикле длины `m` вершин цвета `X` не больше `m/2`: после каждой такой вершины идет вершина не из `X`, и эти следующие вершины различны. Поэтому в каждом цикле число вершин из `X` не превосходит числа вершин из двух других фракций вместе. Сложив это неравенство по всем циклам графа, получаем `|X| <= 2008 - |X|`. Так можно сделать для каждой из трех фракций. Следовательно, любая фракция имеет размер не больше суммы двух остальных…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2008-team-juniors-brooks","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-color-extremal-kolm-2008-2013-greedy-recoloring","neighbor_id":"kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2008-team-olympiad-juniors-problem-5 трёхдольный 2-регулярный граф на 2008 вершинах, кубок колмогорова 2008 coloring goal_bound 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив трёхдольный 2-регулярный граф на трёхдольный2регулярныйграфна трёхдольный2регулярныйграфна2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в парламенте 2008 депутатов. каждый состоит ровно в одной из трех фракций, и у каждого есть ровно два друга. если два депутата дружат, то они состоят в разных фракциях. докажите, что найдутся две фракции, суммарное число депутатов в которых не меньше числа депутатов в третьей. simple_graph degree independent_set cycle stmt-graph трёхдольный 2-регулярный граф ai_checked в простом графе на 2008 вершинах каждая вершина имеет степень 2. вершины разбиты на три независимых множества. докажите, что найдутся два из этих множеств, суммарный размер которых не меньше размера третьего. simple_graph degree independent_set cycle idea-graph-role графовая роль в условии граф не назван напрямую, но официальное решение существенно переводит задачу в 3-раскрашенный граф дружбы, использует 2-регулярность и разложение на циклы. ai_checked sol-official-compressed решение через циклы 2-регулярного графа ai_checked simple_graph degree independent_set cycle построим граф: депутаты становятся вершинами, дружбы — ребрами, а принадлежность к фракциям — 3-раскраской вершин. так как у каждого депутата ровно два друга, каждая вершина графа имеет степень 2, то есть каждая компонента является циклом. достаточно доказать, что размер любой одной фракции не превосходит суммарного размера двух остальных. зафиксируем фракцию `x`. в каждом цикле вершины из `x` не стоят рядом, потому что друзья состоят в разных фракциях. значит, на цикле длины `m` вершин цвета `x` не больше `m/2`: после каждой такой вершины идет вершина не из `x`, и эти следующие вершины различны. поэтому в каждом цикле число вершин из `x` не превосходит числа вершин из двух других фракций вместе. сложив это неравенство по всем циклам графа, получаем `|x| <= 2008 - |x|`. так можно сделать для каждой из трех фракций. следовательно, любая фракция имеет размер не больше суммы двух остальных… kolmogorov-2008-team-olympiad-juniors-problem-5 trehdolnyy 2-regulyarnyy graf na 2008 vershinah, kubok kolmogorova 2008 coloring goal_bound 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv trehdolnyy 2-regulyarnyy graf na trehdolnyy2regulyarnyygrafna trehdolnyy2regulyarnyygrafna2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v parlamente 2008 deputatov. kazhdyy sostoit rovno v odnoy iz treh fraktsiy, i u kazhdogo est rovno dva druga. esli dva deputata druzhat, to oni sostoyat v raznyh fraktsiyah. dokazhite, chto naydutsya dve fraktsii, summarnoe chislo deputatov v kotoryh ne menshe chisla deputatov v tretey. simple_graph degree independent_set cycle stmt-graph trehdolnyy 2-regulyarnyy graf ai_checked v prostom grafe na 2008 vershinah kazhdaya vershina imeet stepen 2. vershiny razbity na tri nezavisimyh mnozhestva. dokazhite, chto naydutsya dva iz etih mnozhestv, summarnyy razmer kotoryh ne menshe razmera tretego. simple_graph degree independent_set cycle idea-graph-role grafovaya rol v uslovii graf ne nazvan napryamuyu, no ofitsialnoe reshenie suschestvenno perevodit zadachu v 3-raskrashennyy graf druzhby, ispolzuet 2-regulyarnost i razlozhenie na tsikly. ai_checked sol-official-compressed reshenie cherez tsikly 2-regulyarnogo grafa ai_checked simple_graph degree independent_set cycle postroim graf: deputaty stanovyatsya vershinami, druzhby — rebrami, a prinadlezhnost k fraktsiyam — 3-raskraskoy vershin. tak kak u kazhdogo deputata rovno dva druga, kazhdaya vershina grafa imeet stepen 2, to est kazhdaya komponenta yavlyaetsya tsiklom. dostatochno dokazat, chto razmer lyuboy odnoy fraktsii ne prevoshodit summarnogo razmera dvuh ostalnyh. zafiksiruem fraktsiyu `x`. v kazhdom tsikle vershiny iz `x` ne stoyat ryadom, potomu chto druzya sostoyat v raznyh fraktsiyah. znachit, na tsikle dliny `m` vershin tsveta `x` ne bolshe `m/2`: posle kazhdoy takoy vershiny idet vershina ne iz `x`, i eti sleduyuschie vershiny razlichny. poetomu v kazhdom tsikle chislo vershin iz `x` ne prevoshodit chisla vershin iz dvuh drugih fraktsiy vmeste. slozhiv eto neravenstvo po vsem tsiklam grafa, poluchaem `|x| <= 2008 - |x|`. tak mozhno sdelat dlya kazhdoy iz treh fraktsiy. sledovatelno, lyubaya fraktsiya imeet razmer ne bolshe summy dvuh ostalnyh…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2008-team-olympiad-seniors-problem-7","title":"Одноцветный 4-цикл в четырёхцветной раскраске K21, Кубок Колмогорова 2008","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2008-team-olympiad-seniors-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2008-team-olympiad-seniors-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2008-team-olympiad-seniors-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","double_counting","ramsey_theory","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Метаданные источника указывают на архивное или официальное решение; решение проверено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Некоторые из 21 города соединены авиалиниями четырех компаний так, что каждые два города соединены ровно одной авиалинией. Докажите, что найдутся четыре города, которые можно облететь по циклу одной и той же компанией.","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-double-counting-expanded","title":"Полное решение двойным подсчетом","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переформулируем задачу так: ребра полного графа `K_21` раскрашены в четыре цвета, и нужно доказать существование одноцветного цикла длины 4. Для каждой вершины `v` обозначим через `d_1(v), d_2(v), d_3(v), d_4(v)` числа ребер четырех цветов, выходящих из `v`. Их сумма равна 20. Число одноцветных путей длины 2 с серединой в `v` равно `C(d_1(v),2)+C(d_2(v),2)+C(d_3(v),2)+C(d_4(v),2)`. Эта сумма минимальна, когда четыре числа как можно равнее; поскольку сумма равна 20, минимум равен `4*C(5,2)=40`. Значит во всем графе не меньше `21*40=840` одноцветных двухзвенных путей, где фиксированы середина пути, пара концов и цвет. Предположим, что одноцветного цикла длины 4 нет. Тогда для любых двух вершин `x,y` и любого цвета не может существовать двух разных вершин `u,w`, соединенных с обеими вершинами `x,y` ребрами этого цвета: иначе `x-u-y-w-x` был бы одноцветным циклом длины 4. Поэтому для каждой…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2008-team-seniors-usamo-1976-rectangle","neighbor_id":"usamo-1976-p1-monochromatic-rectangle-bipartite","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2008-team-olympiad-seniors-problem-7 одноцветный 4-цикл в четырёхцветной раскраске k21, кубок колмогорова 2008 coloring double_counting ramsey_theory goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2008 ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked некоторые из 21 города соединены авиалиниями четырех компаний так, что каждые два города соединены ровно одной авиалинией. докажите, что найдутся четыре города, которые можно облететь по циклу одной и той же компанией. complete_graph cycle idea-graph-role графовая роль условие прямо задает полный граф с раскраской ребер. официальное решение полностью графовое: используется цветной полный граф, одноцветные пути и циклы. ai_checked sol-double-counting-expanded полное решение двойным подсчетом ai_checked complete_graph cycle double_counting pigeonhole_principle переформулируем задачу так: ребра полного графа `k_21` раскрашены в четыре цвета, и нужно доказать существование одноцветного цикла длины 4. для каждой вершины `v` обозначим через `d_1(v), d_2(v), d_3(v), d_4(v)` числа ребер четырех цветов, выходящих из `v`. их сумма равна 20. число одноцветных путей длины 2 с серединой в `v` равно `c(d_1(v),2)+c(d_2(v),2)+c(d_3(v),2)+c(d_4(v),2)`. эта сумма минимальна, когда четыре числа как можно равнее; поскольку сумма равна 20, минимум равен `4*c(5,2)=40`. значит во всем графе не меньше `21*40=840` одноцветных двухзвенных путей, где фиксированы середина пути, пара концов и цвет. предположим, что одноцветного цикла длины 4 нет. тогда для любых двух вершин `x,y` и любого цвета не может существовать двух разных вершин `u,w`, соединенных с обеими вершинами `x,y` ребрами этого цвета: иначе `x-u-y-w-x` был бы одноцветным циклом длины 4. поэтому для каждой… kolmogorov-2008-team-olympiad-seniors-problem-7 odnotsvetnyy 4-tsikl v chetyrehtsvetnoy raskraske k21, kubok kolmogorova 2008 coloring double_counting ramsey_theory goal_counting 2008 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip kolmogorov kolmogorov2008 olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2008 ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked nekotorye iz 21 goroda soedineny avialiniyami chetyreh kompaniy tak, chto kazhdye dva goroda soedineny rovno odnoy avialiniey. dokazhite, chto naydutsya chetyre goroda, kotorye mozhno obletet po tsiklu odnoy i toy zhe kompaniey. complete_graph cycle idea-graph-role grafovaya rol uslovie pryamo zadaet polnyy graf s raskraskoy reber. ofitsialnoe reshenie polnostyu grafovoe: ispolzuetsya tsvetnoy polnyy graf, odnotsvetnye puti i tsikly. ai_checked sol-double-counting-expanded polnoe reshenie dvoynym podschetom ai_checked complete_graph cycle double_counting pigeonhole_principle pereformuliruem zadachu tak: rebra polnogo grafa `k_21` raskrasheny v chetyre tsveta, i nuzhno dokazat suschestvovanie odnotsvetnogo tsikla dliny 4. dlya kazhdoy vershiny `v` oboznachim cherez `d_1(v), d_2(v), d_3(v), d_4(v)` chisla reber chetyreh tsvetov, vyhodyaschih iz `v`. ih summa ravna 20. chislo odnotsvetnyh putey dliny 2 s seredinoy v `v` ravno `c(d_1(v),2)+c(d_2(v),2)+c(d_3(v),2)+c(d_4(v),2)`. eta summa minimalna, kogda chetyre chisla kak mozhno ravnee; poskolku summa ravna 20, minimum raven `4*c(5,2)=40`. znachit vo vsem grafe ne menshe `21*40=840` odnotsvetnyh dvuhzvennyh putey, gde fiksirovany seredina puti, para kontsov i tsvet. predpolozhim, chto odnotsvetnogo tsikla dliny 4 net. togda dlya lyubyh dvuh vershin `x,y` i lyubogo tsveta ne mozhet suschestvovat dvuh raznyh vershin `u,w`, soedinennyh s obeimi vershinami `x,y` rebrami etogo tsveta: inache `x-u-y-w-x` byl by odnotsvetnym tsiklom dliny 4. poetomu dlya kazhdoy…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic","title":"Плотный гамильтонов граф содержит циклы всех длин, Кубок Колмогорова 2009","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2009 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова","Wikipedia, Pancyclic graph"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","hamiltonian_cycles","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2009; исходный файл:  tur1_13.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"external_theorem_application","label":"применение внешней теоремы","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"аудит группы D по внешним теоремам 2026-05-06","notes":"Ложное срабатывание по длине: короткое решение является прямым применением отдельной карточки-теоремы Бонди; prerequisite-связь rel-bondy-links-kolmogorov-2009-r1 уже фиксирует внешний результат.","audit_source":"group-d-hamiltonian-brooks-ramsey-chromatic-audit"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе на 100 вершинах больше 2500 рёбер, и он содержит простой цикл, проходящий через все вершины. Докажите, что для каждого \\(k=3,4,\\ldots,99\\) граф содержит простой цикл, проходящий ровно через \\(k\\) вершин.","definition_ids":["simple_graph","cycle","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-bondy-pancyclic-theorem","title":"ИИ-решение через теорему Бонди о панцикличности","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","hamiltonian_cycle","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Используем теорему Бонди: если простой гамильтонов граф на \\(n\\) вершинах имеет не меньше \\(n^2/4\\) рёбер, то он панцикличен, то есть содержит циклы всех длин от \\(3\\) до \\(n\\), либо является полным двудольным графом \\(K_{n/2,n/2}\\). В нашей задаче \\(n=100\\), поэтому \\(n^2/4=2500\\). По условию в графе больше \\(2500\\) рёбер и есть гамильтонов цикл. Значит, теорема Бонди применима. Исключительный случай невозможен: граф \\(K_{50,50}\\) имеет ровно \\(50\\cdot 50=2500\\) рёбер, а у нас рёбер строго больше. Следовательно, граф панцикличен и содержит простые циклы всех длин \\(3,4,…,100\\). В частности, для каждого \\(k=3,4,…,99\\) в нём есть простой цикл ровно на \\(k\\) вершинах, что и требовалось доказать."}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2009-pancyclic-dirac-hamiltonian-density","neighbor_id":"dirac-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-bondy-links-kolmogorov-2009-r1","neighbor_id":"bondy-pancyclic-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-kolm-2009-r1-pancyclic","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic плотный гамильтонов граф содержит циклы всех длин, кубок колмогорова 2009 extremal_graph_theory hamiltonian_cycles goal_exact_bound 2009 https://en.wikipedia.org/wiki/pancyclic_graph https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm13.zip kolmogorov kolmogorov2009 olympiad_archive reference src-kolmogorov-2009-official src-kolmogorov-archive src-wikipedia-pancyclic-graph wikipedia, pancyclic graph with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2009 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2009 ? кубок колмогорова 2009 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова wikipedia, pancyclic graph stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе на 100 вершинах больше 2500 рёбер, и он содержит простой цикл, проходящий через все вершины. докажите, что для каждого \\(k=3,4,\\ldots,99\\) граф содержит простой цикл, проходящий ровно через \\(k\\) вершин. simple_graph cycle hamiltonian_cycle idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. extremal_graph_theory hamiltonian_cycles needs_human_review sol-ai-bondy-pancyclic-theorem ии-решение через теорему бонди о панцикличности ai_checked simple_graph cycle hamiltonian_cycle bipartite_graph используем теорему бонди: если простой гамильтонов граф на \\(n\\) вершинах имеет не меньше \\(n^2/4\\) рёбер, то он панцикличен, то есть содержит циклы всех длин от \\(3\\) до \\(n\\), либо является полным двудольным графом \\(k_{n/2,n/2}\\). в нашей задаче \\(n=100\\), поэтому \\(n^2/4=2500\\). по условию в графе больше \\(2500\\) рёбер и есть гамильтонов цикл. значит, теорема бонди применима. исключительный случай невозможен: граф \\(k_{50,50}\\) имеет ровно \\(50\\cdot 50=2500\\) рёбер, а у нас рёбер строго больше. следовательно, граф панцикличен и содержит простые циклы всех длин \\(3,4,…,100\\). в частности, для каждого \\(k=3,4,…,99\\) в нём есть простой цикл ровно на \\(k\\) вершинах, что и требовалось доказать. kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic plotnyy gamiltonov graf soderzhit tsikly vseh dlin, kubok kolmogorova 2009 extremal_graph_theory hamiltonian_cycles goal_exact_bound 2009 https://en.wikipedia.org/wiki/pancyclic_graph https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm13.zip kolmogorov kolmogorov2009 olympiad_archive reference src-kolmogorov-2009-official src-kolmogorov-archive src-wikipedia-pancyclic-graph wikipedia, pancyclic graph with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2009 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2009 ? kubok kolmogorova 2009 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova wikipedia, pancyclic graph stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe na 100 vershinah bolshe 2500 reber, i on soderzhit prostoy tsikl, prohodyaschiy cherez vse vershiny. dokazhite, chto dlya kazhdogo \\(k=3,4,\\ldots,99\\) graf soderzhit prostoy tsikl, prohodyaschiy rovno cherez \\(k\\) vershin. simple_graph cycle hamiltonian_cycle idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. extremal_graph_theory hamiltonian_cycles needs_human_review sol-ai-bondy-pancyclic-theorem ii-reshenie cherez teoremu bondi o pantsiklichnosti ai_checked simple_graph cycle hamiltonian_cycle bipartite_graph ispolzuem teoremu bondi: esli prostoy gamiltonov graf na \\(n\\) vershinah imeet ne menshe \\(n^2/4\\) reber, to on pantsiklichen, to est soderzhit tsikly vseh dlin ot \\(3\\) do \\(n\\), libo yavlyaetsya polnym dvudolnym grafom \\(k_{n/2,n/2}\\). v nashey zadache \\(n=100\\), poetomu \\(n^2/4=2500\\). po usloviyu v grafe bolshe \\(2500\\) reber i est gamiltonov tsikl. znachit, teorema bondi primenima. isklyuchitelnyy sluchay nevozmozhen: graf \\(k_{50,50}\\) imeet rovno \\(50\\cdot 50=2500\\) reber, a u nas reber strogo bolshe. sledovatelno, graf pantsiklichen i soderzhit prostye tsikly vseh dlin \\(3,4,…,100\\). v chastnosti, dlya kazhdogo \\(k=3,4,…,99\\) v nem est prostoy tsikl rovno na \\(k\\) vershinah, chto i trebovalos dokazat.","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring","title":"Локальные вершинные покрытия дают оценку раскраски, Кубок Колмогорова 2009, первая лига","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2009 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":["Дольников В.Л.","И. Богданов"],"tags":["coloring","extremal_graph_theory","matching","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Официальная формулировка без явного условия |V(G)| >= 2d+2 имеет малый контрпример; для естественной исправленной версии найдено полное решение через лемму Дольникова и индуктивное наращивание независимого множества.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"conditional_corrected_statement_solution","label":"полное решение исправленной формулировки","status":"needs_human_review","confidence":0.84,"basis":"агентское исправление высокого уровня","notes":"solutions[] содержит полное решение только для явно добавленной исправленной версии с |V(G)| >= 2d+2; дословный официальный текст остается ложным для малых графов.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"needs_human_review","text":"В каждом множестве из \\(2d+2\\) вершин графа можно выбрать \\(d\\) вершин, которые покрывают все рёбра с обоими концами в этом множестве. Докажите, что вершины графа можно раскрасить в \\(d+2\\) цвета так, чтобы концы каждого ребра имели разные цвета.","definition_ids":["simple_graph","vertex_cover","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-corrected-size-assumption","title":"Полное решение исправленной формулировки","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","vertex_cover","independent_set","chromatic_number","bipartite_graph","matching","hall_theorem"],"standard_idea_ids":["induction","minimal_counterexample","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Сначала перепишем условие на языке независимых множеств. В множестве \\(S\\) из \\(2d+2\\) вершин выбранные \\(d\\) вершин покрывают все рёбра тогда и только тогда, когда остальные \\(d+2\\) вершин попарно несмежны. Значит, каждый индуцированный подграф на \\(2d+2\\) вершинах содержит независимое множество размера \\(d+2\\). Нам понадобится лемма Дольникова в чуть расширенной форме. Пусть \\(H\\) — граф на \\(q\\le 2m-1\\) вершинах, и после удаления любой вершины в оставшемся графе есть независимое множество размера \\(m\\). Тогда в \\(H\\) есть независимое множество размера \\(m+1\\). Достаточно доказать случай \\(q=2m-1\\): если \\(q<2m-1\\), добавим к \\(H\\) новые вершины, смежные со всеми старыми вершинами и друг с другом, пока всего не станет \\(2m-1\\) вершин. Условие после удаления вершины сохранится, а независимое множество размера \\(m+1\\) в расширенном графе не может содержать новую вершину, потому что нова…"}],"relations":[{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-dolnikov-lemma","neighbor_id":"dolnikov-deletion-independent-set-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-kolmogorov-2002-dolnikov","neighbor_id":"kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-degeneracy-coloring","neighbor_id":"degeneracy-greedy-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolmogorov-2009-local-cover-konig-cover-language","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring локальные вершинные покрытия дают оценку раскраски, кубок колмогорова 2009, первая лига coloring extremal_graph_theory matching goal_proof 2009 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm13.zip kolmogorov kolmogorov2009 olympiad_archive src-kolmogorov-2009-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова дольников в.л. и. богданов кубок колмогорова кубок колмогорова 2009 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2009 дольников в.л. и. богданов кубок колмогорова 2009 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка needs_human_review в каждом множестве из \\(2d+2\\) вершин графа можно выбрать \\(d\\) вершин, которые покрывают все рёбра с обоими концами в этом множестве. докажите, что вершины графа можно раскрасить в \\(d+2\\) цвета так, чтобы концы каждого ребра имели разные цвета. simple_graph vertex_cover chromatic_number idea-local-to-global-cover локальное покрытие наращивается до глобального локальное условие эквивалентно существованию независимого множества размера \\(d+2\\) в каждых \\(2d+2\\) вершинах. лемма дольникова позволяет индуктивно увеличить это до независимого множества размера \\(|s|-d\\) в любом большем индуцированном подграфе. extremal_graph_theory induction ai_checked sol-corrected-size-assumption полное решение исправленной формулировки ai_checked simple_graph vertex_cover independent_set chromatic_number bipartite_graph matching hall_theorem induction minimal_counterexample extremal_choice сначала перепишем условие на языке независимых множеств. в множестве \\(s\\) из \\(2d+2\\) вершин выбранные \\(d\\) вершин покрывают все рёбра тогда и только тогда, когда остальные \\(d+2\\) вершин попарно несмежны. значит, каждый индуцированный подграф на \\(2d+2\\) вершинах содержит независимое множество размера \\(d+2\\). нам понадобится лемма дольникова в чуть расширенной форме. пусть \\(h\\) — граф на \\(q\\le 2m-1\\) вершинах, и после удаления любой вершины в оставшемся графе есть независимое множество размера \\(m\\). тогда в \\(h\\) есть независимое множество размера \\(m+1\\). достаточно доказать случай \\(q=2m-1\\): если \\(q<2m-1\\), добавим к \\(h\\) новые вершины, смежные со всеми старыми вершинами и друг с другом, пока всего не станет \\(2m-1\\) вершин. условие после удаления вершины сохранится, а независимое множество размера \\(m+1\\) в расширенном графе не может содержать новую вершину, потому что нова… kolmogorov-2009-round2-high-local-vertex-cover-coloring lokalnye vershinnye pokrytiya dayut otsenku raskraski, kubok kolmogorova 2009, pervaya liga coloring extremal_graph_theory matching goal_proof 2009 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm13.zip kolmogorov kolmogorov2009 olympiad_archive src-kolmogorov-2009-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova dolnikov v.l. i. bogdanov kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2009 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2009 dolnikov v.l. i. bogdanov kubok kolmogorova 2009 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka needs_human_review v kazhdom mnozhestve iz \\(2d+2\\) vershin grafa mozhno vybrat \\(d\\) vershin, kotorye pokryvayut vse rebra s oboimi kontsami v etom mnozhestve. dokazhite, chto vershiny grafa mozhno raskrasit v \\(d+2\\) tsveta tak, chtoby kontsy kazhdogo rebra imeli raznye tsveta. simple_graph vertex_cover chromatic_number idea-local-to-global-cover lokalnoe pokrytie naraschivaetsya do globalnogo lokalnoe uslovie ekvivalentno suschestvovaniyu nezavisimogo mnozhestva razmera \\(d+2\\) v kazhdyh \\(2d+2\\) vershinah. lemma dolnikova pozvolyaet induktivno uvelichit eto do nezavisimogo mnozhestva razmera \\(|s|-d\\) v lyubom bolshem indutsirovannom podgrafe. extremal_graph_theory induction ai_checked sol-corrected-size-assumption polnoe reshenie ispravlennoy formulirovki ai_checked simple_graph vertex_cover independent_set chromatic_number bipartite_graph matching hall_theorem induction minimal_counterexample extremal_choice snachala perepishem uslovie na yazyke nezavisimyh mnozhestv. v mnozhestve \\(s\\) iz \\(2d+2\\) vershin vybrannye \\(d\\) vershin pokryvayut vse rebra togda i tolko togda, kogda ostalnye \\(d+2\\) vershin poparno nesmezhny. znachit, kazhdyy indutsirovannyy podgraf na \\(2d+2\\) vershinah soderzhit nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(d+2\\). nam ponadobitsya lemma dolnikova v chut rasshirennoy forme. pust \\(h\\) — graf na \\(q\\le 2m-1\\) vershinah, i posle udaleniya lyuboy vershiny v ostavshemsya grafe est nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m\\). togda v \\(h\\) est nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m+1\\). dostatochno dokazat sluchay \\(q=2m-1\\): esli \\(q<2m-1\\), dobavim k \\(h\\) novye vershiny, smezhnye so vsemi starymi vershinami i drug s drugom, poka vsego ne stanet \\(2m-1\\) vershin. uslovie posle udaleniya vershiny sohranitsya, a nezavisimoe mnozhestvo razmera \\(m+1\\) v rasshirennom grafe ne mozhet soderzhat novuyu vershinu, potomu chto nova…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2009-round3-high-edge-label-three-edge-path","title":"Трёхрёберный путь малой суммы в полном графе с метками, Кубок Колмогорова 2009","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2009-round3-high-edge-label-three-edge-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2009-round3-high-edge-label-three-edge-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2009-round3-high-edge-label-three-edge-path","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2009 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":["И. Богданов","Г. Челноков","Кноп К.А."],"tags":["goal_bound","goal_existence","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Аудит повышенной сложности без найденного решения 2026-05-05: опубликованное полное решение не найдено; самостоятельное надёжное решение не получено. Пометка: непросто для ИИ.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"without_solution","solution_classification":{"type":"no_solution_hard","label":"решения нет, гроб","status":"needs_human_review","confidence":0.9,"basis":"специальный агент very high reasoning не нашёл решение за длительный проход","notes":"solutions[] и ideas[] пусты; формулировка сверена с официальным архивом и KöMaL, публичное решение не найдено. Метка no_solution_hard подтверждена вручную.","audit_source":"kolmogorov-2009-r3-xhigh-no-solution-pass"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"На рёбрах полного графа на \\(n\\) вершинах расставлены числа \\(1,2,\\ldots,\\binom n2\\). Докажите, что при всех достаточно больших \\(n\\) найдётся, возможно замкнутый, путь из трёх рёбер, сумма чисел на которых не больше \\(3n-1000\\).","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","path","cycle"]}]},"solutions":[],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2009-round3-high-edge-label-three-edge-path трёхрёберный путь малой суммы в полном графе с метками, кубок колмогорова 2009 goal_bound goal_existence goal_proof 2009 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm13.zip kolmogorov kolmogorov2009 olympiad_archive src-kolmogorov-2009-official src-kolmogorov-archive without_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова г. челноков и. богданов кноп к.а. кубок колмогорова кубок колмогорова 2009 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2009 и. богданов г. челноков кноп к.а. кубок колмогорова 2009 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked на рёбрах полного графа на \\(n\\) вершинах расставлены числа \\(1,2,\\ldots,\\binom n2\\). докажите, что при всех достаточно больших \\(n\\) найдётся, возможно замкнутый, путь из трёх рёбер, сумма чисел на которых не больше \\(3n-1000\\). simple_graph complete_graph path cycle kolmogorov-2009-round3-high-edge-label-three-edge-path trehrebernyy put maloy summy v polnom grafe s metkami, kubok kolmogorova 2009 goal_bound goal_existence goal_proof 2009 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm13.zip kolmogorov kolmogorov2009 olympiad_archive src-kolmogorov-2009-official src-kolmogorov-archive without_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova g. chelnokov i. bogdanov knop k.a. kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2009 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2009 i. bogdanov g. chelnokov knop k.a. kubok kolmogorova 2009 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked na rebrah polnogo grafa na \\(n\\) vershinah rasstavleny chisla \\(1,2,\\ldots,\\binom n2\\). dokazhite, chto pri vseh dostatochno bolshih \\(n\\) naydetsya, vozmozhno zamknutyy, put iz treh reber, summa chisel na kotoryh ne bolshe \\(3n-1000\\). simple_graph complete_graph path cycle","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","title":"Много гамильтоновых путей в регулярном турнире, Кубок Колмогорова 2009","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2009 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2009","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["tournaments","hamiltonian_cycles","goal_counting","goal_bound","degree_counting","classical_theorem"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":7,"comment":"Кубок Колмогорова 2009, высшая лига, тур 4. 2026-05-06 high-reasoning pass: самодостаточная школьная замена не восстановлена; карточка закрыта коротким применением тяжелой внешней теоремы Алспача об арк-панцикличности регулярных турниров.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"heavy_external_theorem_application","label":"решение через тяжелую внешнюю теорему Алспача","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"аудит высокого уровня 2026-05-06 с опорой на внешнюю теорему","notes":"Применяется внешняя теорема Алспача об арк-панцикличности регулярных турниров. Доказательство самой теоремы не включено; после ее применения остается только двойной подсчет дуг в гамильтоновых циклах и удаление дуги из цикла для получения пути.","external_theorem_ids":["Alspach arc-pancyclicity of regular tournaments"],"audit_source":"kolmogorov-2009-r4-high-reasoning-2026-05-06"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"В полном ориентированном графе на 2009 вершинах из каждой вершины выходит ровно 1004 ребра. Докажите, что в графе есть не менее 2500 гамильтоновых ориентированных путей.","definition_ids":["directed_graph","tournament","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-alspach-arc-pancyclicity","title":"Через теорему Алспача об арк-панцикличности регулярных турниров","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament","hamiltonian_path","hamiltonian_cycle","directed_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Используем внешнюю теорему Алспача: в каждом регулярном турнире каждая дуга содержится в направленном цикле любой длины от 3 до числа вершин турнира. В частности, каждая дуга нашего турнира лежит в некотором направленном гамильтоновом цикле. В турнире 2009 вершин, из каждой выходит 1004 дуги, поэтому всего дуг \\(2009\\cdot1004\\). Сосчитаем пары \\((e,C)\\), где \\(e\\) - дуга турнира, а \\(C\\) - направленный гамильтонов цикл, содержащий \\(e\\). По теореме Алспача для каждой дуги есть хотя бы один такой цикл, значит число пар не меньше \\(2009\\cdot1004\\). С другой стороны, каждый гамильтонов цикл содержит ровно 2009 дуг, поэтому число различных гамильтоновых циклов не меньше \\[ \\frac{2009\\cdot1004}{2009}=1004. \\] Теперь из каждого направленного гамильтонова цикла получаем 2009 направленных гамильтоновых путей: достаточно удалить из цикла одну из его дуг. Эти пути, полученные из разных циклов, не…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-kolm-2009-r1-pancyclic","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round1-high-dense-hamiltonian-pancyclic","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-bondy-pancyclic-contrast","neighbor_id":"bondy-pancyclic-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-hamiltonian-path-basic","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-redei-parity","neighbor_id":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-kolm-2010-gluing","neighbor_id":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-cmo-2006-max-triples","neighbor_id":"cmo-2006-p4-max-cycle-triplets-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-kolm-2022-path-parity","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round2-juniors-hamiltonian-path-parity","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths много гамильтоновых путей в регулярном турнире, кубок колмогорова 2009 tournaments hamiltonian_cycles goal_counting goal_bound degree_counting classical_theorem 2009 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm13.zip kolmogorov kolmogorov2009 olympiad_archive src-kolmogorov-2009-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2009 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2009 ? кубок колмогорова 2009 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка source_verified в полном ориентированном графе на 2009 вершинах из каждой вершины выходит ровно 1004 ребра. докажите, что в графе есть не менее 2500 гамильтоновых ориентированных путей. directed_graph tournament hamiltonian_path idea-arc-pancyclicity-to-many-paths покрыть каждую дугу гамильтоновым циклом если в регулярном турнире каждая дуга лежит в некотором гамильтоновом цикле, то двойной подсчет пар (дуга, гамильтонов цикл, содержащий эту дугу) дает много различных гамильтоновых циклов. каждый такой цикл затем дает столько гамильтоновых путей, сколько в нем дуг. tournaments hamiltonian_cycles double_counting ai_checked sol-alspach-arc-pancyclicity через теорему алспача об арк-панцикличности регулярных турниров ai_checked tournament hamiltonian_path hamiltonian_cycle directed_graph используем внешнюю теорему алспача: в каждом регулярном турнире каждая дуга содержится в направленном цикле любой длины от 3 до числа вершин турнира. в частности, каждая дуга нашего турнира лежит в некотором направленном гамильтоновом цикле. в турнире 2009 вершин, из каждой выходит 1004 дуги, поэтому всего дуг \\(2009\\cdot1004\\). сосчитаем пары \\((e,c)\\), где \\(e\\) - дуга турнира, а \\(c\\) - направленный гамильтонов цикл, содержащий \\(e\\). по теореме алспача для каждой дуги есть хотя бы один такой цикл, значит число пар не меньше \\(2009\\cdot1004\\). с другой стороны, каждый гамильтонов цикл содержит ровно 2009 дуг, поэтому число различных гамильтоновых циклов не меньше \\[ \\frac{2009\\cdot1004}{2009}=1004. \\] теперь из каждого направленного гамильтонова цикла получаем 2009 направленных гамильтоновых путей: достаточно удалить из цикла одну из его дуг. эти пути, полученные из разных циклов, не… kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths mnogo gamiltonovyh putey v regulyarnom turnire, kubok kolmogorova 2009 tournaments hamiltonian_cycles goal_counting goal_bound degree_counting classical_theorem 2009 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm13.zip kolmogorov kolmogorov2009 olympiad_archive src-kolmogorov-2009-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2009 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2009 ? kubok kolmogorova 2009 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka source_verified v polnom orientirovannom grafe na 2009 vershinah iz kazhdoy vershiny vyhodit rovno 1004 rebra. dokazhite, chto v grafe est ne menee 2500 gamiltonovyh orientirovannyh putey. directed_graph tournament hamiltonian_path idea-arc-pancyclicity-to-many-paths pokryt kazhduyu dugu gamiltonovym tsiklom esli v regulyarnom turnire kazhdaya duga lezhit v nekotorom gamiltonovom tsikle, to dvoynoy podschet par (duga, gamiltonov tsikl, soderzhaschiy etu dugu) daet mnogo razlichnyh gamiltonovyh tsiklov. kazhdyy takoy tsikl zatem daet stolko gamiltonovyh putey, skolko v nem dug. tournaments hamiltonian_cycles double_counting ai_checked sol-alspach-arc-pancyclicity cherez teoremu alspacha ob ark-pantsiklichnosti regulyarnyh turnirov ai_checked tournament hamiltonian_path hamiltonian_cycle directed_graph ispolzuem vneshnyuyu teoremu alspacha: v kazhdom regulyarnom turnire kazhdaya duga soderzhitsya v napravlennom tsikle lyuboy dliny ot 3 do chisla vershin turnira. v chastnosti, kazhdaya duga nashego turnira lezhit v nekotorom napravlennom gamiltonovom tsikle. v turnire 2009 vershin, iz kazhdoy vyhodit 1004 dugi, poetomu vsego dug \\(2009\\cdot1004\\). soschitaem pary \\((e,c)\\), gde \\(e\\) - duga turnira, a \\(c\\) - napravlennyy gamiltonov tsikl, soderzhaschiy \\(e\\). po teoreme alspacha dlya kazhdoy dugi est hotya by odin takoy tsikl, znachit chislo par ne menshe \\(2009\\cdot1004\\). s drugoy storony, kazhdyy gamiltonov tsikl soderzhit rovno 2009 dug, poetomu chislo razlichnyh gamiltonovyh tsiklov ne menshe \\[ \\frac{2009\\cdot1004}{2009}=1004. \\] teper iz kazhdogo napravlennogo gamiltonova tsikla poluchaem 2009 napravlennyh gamiltonovyh putey: dostatochno udalit iz tsikla odnu iz ego dug. eti puti, poluchennye iz raznyh tsiklov, ne…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-juniors-problem-5","title":"Сохранение диаметра не больше 8 после удаления дороги, Кубок Колмогорова 2010","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2010-individual-olympiad-juniors-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2010-individual-olympiad-juniors-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2010-individual-olympiad-juniors-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2010 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом до полного решения","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"high-reasoning pass 2026-05-17: официальный сжатый план развёрнут в полное решение с верхней оценкой 792 и примером точности","notes":"Проверены выбор двух городов без прямой дороги, объединение первых двух переходов в 8 часов и звёздная конструкция с 99 нецентральными городами, где каждый переход между последовательными посещениями нецентральных городов стоит не меньше 8 часов.","audit_source":"high-reasoning-official-plan-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 100 городов и 1000 дорог; каждая дорога соединяет ровно два города. Известно, что из любого города можно добраться в любой другой не более чем за 8 часов. Премьер-министр хочет объехать все города и вернуться в исходный. За какое минимальное время он гарантированно может это сделать?","definition_ids":["simple_graph","cycle","path","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","path","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `792` часа. Обозначим города вершинами графа, а временем между двумя городами будем считать время кратчайшего пути между ними. По условию для любых двух городов это время не превосходит `8` часов. Сначала докажем, что `792` часов всегда достаточно. В полном графе на 100 вершинах было бы `100 * 99 / 2 = 4950` ребер, а дорог всего 1000, поэтому найдутся два города, между которыми нет прямой дороги. Обозначим их `x1` и `x3`. Возьмем кратчайший путь из `x1` в `x3`; так как прямой дороги нет, этот путь проходит хотя бы через один промежуточный город. Назовем первый такой промежуточный город `x2`. Тогда сумма времен пути от `x1` до `x2` и от `x2` до `x3` равна времени кратчайшего пути от `x1` до `x3`, а значит, не превосходит `8` часов. Остальные 97 городов занумеруем произвольно как `x4, x5, ..., x100`. Премьер-министр едет по маршруту `x1 -> x2 -> x3 -> x4 -> ... -> x100 -> x1`, кажд…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-deep-2008-hamiltonian-2010-tour","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-juniors-problem-5 сохранение диаметра не больше 8 после удаления дороги, кубок колмогорова 2010 hamiltonian_cycles goal_exact_bound 2010 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm14.zip kolmogorov kolmogorov2010 olympiad_archive src-kolmogorov-2010-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2010 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2010 ? кубок колмогорова 2010 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 100 городов и 1000 дорог; каждая дорога соединяет ровно два города. известно, что из любого города можно добраться в любой другой не более чем за 8 часов. премьер-министр хочет объехать все города и вернуться в исходный. за какое минимальное время он гарантированно может это сделать? simple_graph cycle path hamiltonian_cycle idea-graph-role графовая роль в условии прямо задан дорожный граф на городах, а официальное решение использует именно граф городов и дорог, кратчайшие пути и цикл обхода по вершинам. ai_checked sol-official-compressed полное решение ai_checked simple_graph cycle path hamiltonian_cycle extremal_choice greedy_ordering ответ: `792` часа. обозначим города вершинами графа, а временем между двумя городами будем считать время кратчайшего пути между ними. по условию для любых двух городов это время не превосходит `8` часов. сначала докажем, что `792` часов всегда достаточно. в полном графе на 100 вершинах было бы `100 * 99 / 2 = 4950` ребер, а дорог всего 1000, поэтому найдутся два города, между которыми нет прямой дороги. обозначим их `x1` и `x3`. возьмем кратчайший путь из `x1` в `x3`; так как прямой дороги нет, этот путь проходит хотя бы через один промежуточный город. назовем первый такой промежуточный город `x2`. тогда сумма времен пути от `x1` до `x2` и от `x2` до `x3` равна времени кратчайшего пути от `x1` до `x3`, а значит, не превосходит `8` часов. остальные 97 городов занумеруем произвольно как `x4, x5, ..., x100`. премьер-министр едет по маршруту `x1 -> x2 -> x3 -> x4 -> ... -> x100 -> x1`, кажд… kolmogorov-2010-individual-olympiad-juniors-problem-5 sohranenie diametra ne bolshe 8 posle udaleniya dorogi, kubok kolmogorova 2010 hamiltonian_cycles goal_exact_bound 2010 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm14.zip kolmogorov kolmogorov2010 olympiad_archive src-kolmogorov-2010-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2010 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2010 ? kubok kolmogorova 2010 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 100 gorodov i 1000 dorog; kazhdaya doroga soedinyaet rovno dva goroda. izvestno, chto iz lyubogo goroda mozhno dobratsya v lyuboy drugoy ne bolee chem za 8 chasov. premer-ministr hochet obehat vse goroda i vernutsya v ishodnyy. za kakoe minimalnoe vremya on garantirovanno mozhet eto sdelat? simple_graph cycle path hamiltonian_cycle idea-graph-role grafovaya rol v uslovii pryamo zadan dorozhnyy graf na gorodah, a ofitsialnoe reshenie ispolzuet imenno graf gorodov i dorog, kratchayshie puti i tsikl obhoda po vershinam. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie ai_checked simple_graph cycle path hamiltonian_cycle extremal_choice greedy_ordering otvet: `792` chasa. oboznachim goroda vershinami grafa, a vremenem mezhdu dvumya gorodami budem schitat vremya kratchayshego puti mezhdu nimi. po usloviyu dlya lyubyh dvuh gorodov eto vremya ne prevoshodit `8` chasov. snachala dokazhem, chto `792` chasov vsegda dostatochno. v polnom grafe na 100 vershinah bylo by `100 * 99 / 2 = 4950` reber, a dorog vsego 1000, poetomu naydutsya dva goroda, mezhdu kotorymi net pryamoy dorogi. oboznachim ih `x1` i `x3`. vozmem kratchayshiy put iz `x1` v `x3`; tak kak pryamoy dorogi net, etot put prohodit hotya by cherez odin promezhutochnyy gorod. nazovem pervyy takoy promezhutochnyy gorod `x2`. togda summa vremen puti ot `x1` do `x2` i ot `x2` do `x3` ravna vremeni kratchayshego puti ot `x1` do `x3`, a znachit, ne prevoshodit `8` chasov. ostalnye 97 gorodov zanumeruem proizvolno kak `x4, x5, ..., x100`. premer-ministr edet po marshrutu `x1 -> x2 -> x3 -> x4 -> ... -> x100 -> x1`, kazhd…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4","title":"Турнир с общей столицей и разбиением на две республики, Кубок Колмогорова 2010","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2010 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","hamiltonian_cycles","tournaments","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete","label":"официальное полное элементарное решение","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"аудит группы D по внешним теоремам 2026-05-06","notes":"Решение представляет собой элементарную инъекцию через склейку путей в турнире из официального архива; прежняя пометка о тяжёлой внешней теореме устарела, гамильтонова теорема не используется.","audit_source":"group-d-hamiltonian-brooks-ramsey-chromatic-audit"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Каждые два города страны Гельбии соединены односторонним авиарейсом. Страна разбита на две республики с общей столицей: каждый город, кроме столицы, принадлежит ровно одной из республик, а столица принадлежит обеим. Пусть \\(N\\) — число маршрутов, проходящих по всем городам всей страны ровно по одному разу и не возвращающихся в исходный город. Аналогично определены числа \\(N1\\) и \\(N2\\) для двух республик. Докажите, что \\(N \\ge N1 \\cdot N2\\).","definition_ids":["directed_graph","path","tournament","hamiltonian_path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Гамильтоновы пути в объединении двух турниров","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — турнир, а множество его вершин представлено как объединение двух подмножеств \\(V_1\\) и \\(V_2\\), имеющих ровно одну общую вершину. Пусть \\(N\\) — число гамильтоновых ориентированных путей в \\(T\\), а \\(N_1\\) и \\(N_2\\) — числа гамильтоновых ориентированных путей в индуцированных турнирах \\(T[V_1]\\) и \\(T[V_2]\\). Докажите, что \\(N\\ge N_1N_2\\).","definition_ids":["directed_graph","tournament","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","tournament","hamiltonian_path"],"standard_idea_ids":["double_counting","longest_path"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим ориентированный граф `T`, вершины которого соответствуют городам, а дуги — авиарейсам. Это турнир. Пусть `w` — столица, а `A` и `B` — подграфы, соответствующие двум республикам. Используем лемму о склейке. Если `P` и `Q` — два непересекающихся ориентированных пути в турнире, то существует путь `R` на всех вершинах этих двух путей, в котором вершины `P` идут в своем прежнем порядке и вершины `Q` тоже идут в своем прежнем порядке. Лемма доказывается индукцией: очередную вершину второго пути вставляют в уже построенный путь перед первой вершиной, в которую из нее идет дуга; если такой вершины нет, вставляют в конец. Пустой путь разрешен. Возьмем произвольный гамильтонов путь `P` в `A` и произвольный гамильтонов путь `Q` в `B`. Оба проходят через `w`, поэтому их можно записать как `P = P1 w P2` и `Q = Q1 w Q2`, где некоторые части могут быть пустыми. По лемме склеим `P1` с `Q1`, по…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2021-gadgets-top-cycle","neighbor_id":"kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-5","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-deep-2010-directed-paths-2012-directed-grid","neighbor_id":"kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-paths-counting-kolm-2010-fyum-2011-tournament-paths","neighbor_id":"fyum-2011-finalb-p4","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-tournament-path-kolm-2010","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-kolm-2010-gluing","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4 турнир с общей столицей и разбиением на две республики, кубок колмогорова 2010 double_counting hamiltonian_cycles tournaments goal_counting 2010 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm14.zip kolmogorov kolmogorov2010 olympiad_archive src-kolmogorov-2010-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2010 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2010 ? кубок колмогорова 2010 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked каждые два города страны гельбии соединены односторонним авиарейсом. страна разбита на две республики с общей столицей: каждый город, кроме столицы, принадлежит ровно одной из республик, а столица принадлежит обеим. пусть \\(n\\) — число маршрутов, проходящих по всем городам всей страны ровно по одному разу и не возвращающихся в исходный город. аналогично определены числа \\(n1\\) и \\(n2\\) для двух республик. докажите, что \\(n \\ge n1 \\cdot n2\\). directed_graph path tournament hamiltonian_path stmt-graph гамильтоновы пути в объединении двух турниров ai_checked пусть \\(t\\) — турнир, а множество его вершин представлено как объединение двух подмножеств \\(v_1\\) и \\(v_2\\), имеющих ровно одну общую вершину. пусть \\(n\\) — число гамильтоновых ориентированных путей в \\(t\\), а \\(n_1\\) и \\(n_2\\) — числа гамильтоновых ориентированных путей в индуцированных турнирах \\(t[v_1]\\) и \\(t[v_2]\\). докажите, что \\(n\\ge n_1n_2\\). directed_graph tournament hamiltonian_path idea-graph-role графовая роль в официальном решении задача целиком переводится на язык ориентированных графов, гамильтоновых путей и склейки путей в турнире. эта графовая модель является основной, а не факультативной. ai_checked sol-official-compressed полное решение ai_checked directed_graph path tournament hamiltonian_path double_counting longest_path построим ориентированный граф `t`, вершины которого соответствуют городам, а дуги — авиарейсам. это турнир. пусть `w` — столица, а `a` и `b` — подграфы, соответствующие двум республикам. используем лемму о склейке. если `p` и `q` — два непересекающихся ориентированных пути в турнире, то существует путь `r` на всех вершинах этих двух путей, в котором вершины `p` идут в своем прежнем порядке и вершины `q` тоже идут в своем прежнем порядке. лемма доказывается индукцией: очередную вершину второго пути вставляют в уже построенный путь перед первой вершиной, в которую из нее идет дуга; если такой вершины нет, вставляют в конец. пустой путь разрешен. возьмем произвольный гамильтонов путь `p` в `a` и произвольный гамильтонов путь `q` в `b`. оба проходят через `w`, поэтому их можно записать как `p = p1 w p2` и `q = q1 w q2`, где некоторые части могут быть пустыми. по лемме склеим `p1` с `q1`, по… kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4 turnir s obschey stolitsey i razbieniem na dve respubliki, kubok kolmogorova 2010 double_counting hamiltonian_cycles tournaments goal_counting 2010 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm14.zip kolmogorov kolmogorov2010 olympiad_archive src-kolmogorov-2010-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2010 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2010 ? kubok kolmogorova 2010 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked kazhdye dva goroda strany gelbii soedineny odnostoronnim aviareysom. strana razbita na dve respubliki s obschey stolitsey: kazhdyy gorod, krome stolitsy, prinadlezhit rovno odnoy iz respublik, a stolitsa prinadlezhit obeim. pust \\(n\\) — chislo marshrutov, prohodyaschih po vsem gorodam vsey strany rovno po odnomu razu i ne vozvraschayuschihsya v ishodnyy gorod. analogichno opredeleny chisla \\(n1\\) i \\(n2\\) dlya dvuh respublik. dokazhite, chto \\(n \\ge n1 \\cdot n2\\). directed_graph path tournament hamiltonian_path stmt-graph gamiltonovy puti v obedinenii dvuh turnirov ai_checked pust \\(t\\) — turnir, a mnozhestvo ego vershin predstavleno kak obedinenie dvuh podmnozhestv \\(v_1\\) i \\(v_2\\), imeyuschih rovno odnu obschuyu vershinu. pust \\(n\\) — chislo gamiltonovyh orientirovannyh putey v \\(t\\), a \\(n_1\\) i \\(n_2\\) — chisla gamiltonovyh orientirovannyh putey v indutsirovannyh turnirah \\(t[v_1]\\) i \\(t[v_2]\\). dokazhite, chto \\(n\\ge n_1n_2\\). directed_graph tournament hamiltonian_path idea-graph-role grafovaya rol v ofitsialnom reshenii zadacha tselikom perevoditsya na yazyk orientirovannyh grafov, gamiltonovyh putey i skleyki putey v turnire. eta grafovaya model yavlyaetsya osnovnoy, a ne fakultativnoy. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie ai_checked directed_graph path tournament hamiltonian_path double_counting longest_path postroim orientirovannyy graf `t`, vershiny kotorogo sootvetstvuyut gorodam, a dugi — aviareysam. eto turnir. pust `w` — stolitsa, a `a` i `b` — podgrafy, sootvetstvuyuschie dvum respublikam. ispolzuem lemmu o skleyke. esli `p` i `q` — dva neperesekayuschihsya orientirovannyh puti v turnire, to suschestvuet put `r` na vseh vershinah etih dvuh putey, v kotorom vershiny `p` idut v svoem prezhnem poryadke i vershiny `q` tozhe idut v svoem prezhnem poryadke. lemma dokazyvaetsya induktsiey: ocherednuyu vershinu vtorogo puti vstavlyayut v uzhe postroennyy put pered pervoy vershinoy, v kotoruyu iz nee idet duga; esli takoy vershiny net, vstavlyayut v konets. pustoy put razreshen. vozmem proizvolnyy gamiltonov put `p` v `a` i proizvolnyy gamiltonov put `q` v `b`. oba prohodyat cherez `w`, poetomu ih mozhno zapisat kak `p = p1 w p2` i `q = q1 w q2`, gde nekotorye chasti mogut byt pustymi. po lemme skleim `p1` s `q1`, po…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2011-individual-olympiad-seniors-problem-7","title":"Гамильтонов цикл в третьей степени связного графа, Кубок Колмогорова 2011","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2011-individual-olympiad-seniors-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2011-individual-olympiad-seniors-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2011-individual-olympiad-seniors-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2011 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","induction","trees","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом до полного решения","status":"ai_checked","confidence":0.89,"basis":"high-reasoning pass 2026-05-17: официальный план для куба связного графа доведён до локального доказательства через остовное дерево и обход Эйлера","notes":"Решение не ссылается на внешнюю теорему Секанины как чёрный ящик: сначала сводит задачу к остовному дереву, затем строит циклический порядок выбранных вхождений DFS-обхода и проверяет расстояние не более 3 между соседними выбранными вершинами.","audit_source":"high-reasoning-official-plan-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — связный граф, имеющий хотя бы три вершины. Определим \\(G^3\\) как граф на тех же вершинах, в котором соединены ребрами вершины, находящиеся в \\(G\\) на расстоянии не более трех. Докажите, что в графе \\(G^3\\) есть гамильтонов цикл.","definition_ids":["simple_graph","tree","cycle","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение через обход дерева","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","tree","cycle","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Достаточно доказать результат для деревьев. Действительно, каждый связный граф G имеет остовное дерево T. Если две вершины находятся на расстоянии не более «3» в «T», то они также находятся на расстоянии не более «3» в «G»; следовательно, каждый гамильтонов цикл в ``T^3`` также является гамильтоновым циклом в ``G^3``. Мы доказываем, что ``T^3`` является гамильтоновым для любого дерева `T`, имеющего хотя бы три вершины. Укорените `T` в вершине `r` и выполните обычный замкнутый обход `W` в глубину, который пересекает каждое ребро `T` ровно дважды, начиная и заканчивая в `r`. Из вхождений каждой вершины в `W` выберите ровно одно вхождение следующим образом. Если вершина находится на четном расстоянии от «r», выберите ее первое вхождение в «W»; если он имеет нечетное расстояние от `r`, выберите его последнее вхождение в `W`. В качестве корня выберите начальное вхождение. Теперь перечислите…"}],"relations":[{"id":"rel-metadata-kolm-late-2011-tree-cube-tree-equivalent","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2011-individual-olympiad-seniors-problem-7 гамильтонов цикл в третьей степени связного графа, кубок колмогорова 2011 hamiltonian_cycles induction trees goal_proof 2011 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm15.zip kolmogorov kolmogorov2011 olympiad_archive src-kolmogorov-2011-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2011 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2011 ? кубок колмогорова 2011 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked пусть \\(g\\) — связный граф, имеющий хотя бы три вершины. определим \\(g^3\\) как граф на тех же вершинах, в котором соединены ребрами вершины, находящиеся в \\(g\\) на расстоянии не более трех. докажите, что в графе \\(g^3\\) есть гамильтонов цикл. simple_graph tree cycle hamiltonian_cycle idea-graph-role графовая роль граф полностью задан уже в условии: связный граф, расстояние между вершинами и гамильтонов цикл. официальное решение целиком построено на графовых операциях с деревом и степенями вершин. ai_checked sol-official-compressed полное решение через обход дерева ai_checked simple_graph tree cycle hamiltonian_cycle induction достаточно доказать результат для деревьев. действительно, каждый связный граф g имеет остовное дерево t. если две вершины находятся на расстоянии не более «3» в «t», то они также находятся на расстоянии не более «3» в «g»; следовательно, каждый гамильтонов цикл в ``t^3`` также является гамильтоновым циклом в ``g^3``. мы доказываем, что ``t^3`` является гамильтоновым для любого дерева `t`, имеющего хотя бы три вершины. укорените `t` в вершине `r` и выполните обычный замкнутый обход `w` в глубину, который пересекает каждое ребро `t` ровно дважды, начиная и заканчивая в `r`. из вхождений каждой вершины в `w` выберите ровно одно вхождение следующим образом. если вершина находится на четном расстоянии от «r», выберите ее первое вхождение в «w»; если он имеет нечетное расстояние от `r`, выберите его последнее вхождение в `w`. в качестве корня выберите начальное вхождение. теперь перечислите… kolmogorov-2011-individual-olympiad-seniors-problem-7 gamiltonov tsikl v tretey stepeni svyaznogo grafa, kubok kolmogorova 2011 hamiltonian_cycles induction trees goal_proof 2011 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm15.zip kolmogorov kolmogorov2011 olympiad_archive src-kolmogorov-2011-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2011 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2011 ? kubok kolmogorova 2011 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked pust \\(g\\) — svyaznyy graf, imeyuschiy hotya by tri vershiny. opredelim \\(g^3\\) kak graf na teh zhe vershinah, v kotorom soedineny rebrami vershiny, nahodyaschiesya v \\(g\\) na rasstoyanii ne bolee treh. dokazhite, chto v grafe \\(g^3\\) est gamiltonov tsikl. simple_graph tree cycle hamiltonian_cycle idea-graph-role grafovaya rol graf polnostyu zadan uzhe v uslovii: svyaznyy graf, rasstoyanie mezhdu vershinami i gamiltonov tsikl. ofitsialnoe reshenie tselikom postroeno na grafovyh operatsiyah s derevom i stepenyami vershin. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie cherez obhod dereva ai_checked simple_graph tree cycle hamiltonian_cycle induction dostatochno dokazat rezultat dlya derevev. deystvitelno, kazhdyy svyaznyy graf g imeet ostovnoe derevo t. esli dve vershiny nahodyatsya na rasstoyanii ne bolee «3» v «t», to oni takzhe nahodyatsya na rasstoyanii ne bolee «3» v «g»; sledovatelno, kazhdyy gamiltonov tsikl v ``t^3`` takzhe yavlyaetsya gamiltonovym tsiklom v ``g^3``. my dokazyvaem, chto ``t^3`` yavlyaetsya gamiltonovym dlya lyubogo dereva `t`, imeyuschego hotya by tri vershiny. ukorenite `t` v vershine `r` i vypolnite obychnyy zamknutyy obhod `w` v glubinu, kotoryy peresekaet kazhdoe rebro `t` rovno dvazhdy, nachinaya i zakanchivaya v `r`. iz vhozhdeniy kazhdoy vershiny v `w` vyberite rovno odno vhozhdenie sleduyuschim obrazom. esli vershina nahoditsya na chetnom rasstoyanii ot «r», vyberite ee pervoe vhozhdenie v «w»; esli on imeet nechetnoe rasstoyanie ot `r`, vyberite ego poslednee vhozhdenie v `w`. v kachestve kornya vyberite nachalnoe vhozhdenie. teper perechislite…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2011-team-olympiad-juniors-problem-6","title":"Маршрут муравья по диагоналям клеток куба 15×15×15, Кубок Колмогорова 2011","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2011-team-olympiad-juniors-problem-6.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2011-team-olympiad-juniors-problem-6.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2011-team-olympiad-juniors-problem-6","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2011 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","eulerian_graphs","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом до полного решения","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"локальный high-reasoning recheck 2026-05-17: официальный сжатый план уже раскрыт до полного графового доказательства","notes":"Решение содержит самодостаточную модель цветового диагонального графа, верхнюю оценку через две нечётные вершины в остатке и достижимость через удаление диагонального пути длины 15 с последующим эйлеровым маршрутом.","audit_source":"high-reasoning-kolmogorov-recheck-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Поверхность куба \\(15 \\times 15 \\times 15\\) разбита на клетки \\(1 \\times 1\\). Муравей бегает по диагоналям клеток, нигде не поворачивая назад. Он не может бывать внутри одной клетки более одного раза, но может несколько раз проходить одну вершину. Какое наибольшее число центров клеток он может посетить?","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","eulerian_cycle","degree","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение через диагональный граф","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","eulerian_cycle","degree","path"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `1335`. Раскрасим вершины разбиения поверхности куба в шахматном порядке. Каждая диагональ клетки соединяет две вершины одного цвета. Поэтому весь маршрут муравья, начавшись с диагонали с белыми концами или с диагонали с черными концами, дальше идет только по диагоналям того же цвета. Достаточно рассмотреть один из двух одинаково устроенных графов: его вершины — белые вершины разбиения, а ребра — белые диагонали всех клеток. Каждому ребру соответствует ровно один центр клетки, так что число посещенных центров равно числу пройденных ребер. В этом графе всего `6 * 15^2 = 1350` ребер. Нечетные степени имеют ровно четыре вершины: это четыре вершины куба данного цвета. Действительно, обычная внутренняя для грани вершина и неугловая вершина ребра куба инцидентны четырем клеткам, а вершина куба инцидентна трем клеткам. Докажем верхнюю оценку. Пусть муравей прошел некоторый маршрут, то е…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2011-cube-parity-team-pair","neighbor_id":"kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2011-team-junior-eulerian-criterion","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2011-team-olympiad-juniors-problem-6 маршрут муравья по диагоналям клеток куба 15×15×15, кубок колмогорова 2011 connectivity eulerian_graphs goal_exact_bound 2011 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm15.zip kolmogorov kolmogorov2011 olympiad_archive src-kolmogorov-2011-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2011 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2011 ? кубок колмогорова 2011 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked поверхность куба \\(15 \\times 15 \\times 15\\) разбита на клетки \\(1 \\times 1\\). муравей бегает по диагоналям клеток, нигде не поворачивая назад. он не может бывать внутри одной клетки более одного раза, но может несколько раз проходить одну вершину. какое наибольшее число центров клеток он может посетить? simple_graph connected_graph eulerian_cycle degree path idea-graph-role графовая роль существенная часть официального решения — построение графа белых вершин и применение графовых идей: степени вершин, связность компоненты и существование эйлерова маршрута. ai_checked sol-official-compressed полное решение через диагональный граф ai_checked simple_graph connected_graph eulerian_cycle degree path greedy_ordering ответ: `1335`. раскрасим вершины разбиения поверхности куба в шахматном порядке. каждая диагональ клетки соединяет две вершины одного цвета. поэтому весь маршрут муравья, начавшись с диагонали с белыми концами или с диагонали с черными концами, дальше идет только по диагоналям того же цвета. достаточно рассмотреть один из двух одинаково устроенных графов: его вершины — белые вершины разбиения, а ребра — белые диагонали всех клеток. каждому ребру соответствует ровно один центр клетки, так что число посещенных центров равно числу пройденных ребер. в этом графе всего `6 * 15^2 = 1350` ребер. нечетные степени имеют ровно четыре вершины: это четыре вершины куба данного цвета. действительно, обычная внутренняя для грани вершина и неугловая вершина ребра куба инцидентны четырем клеткам, а вершина куба инцидентна трем клеткам. докажем верхнюю оценку. пусть муравей прошел некоторый маршрут, то е… kolmogorov-2011-team-olympiad-juniors-problem-6 marshrut muravya po diagonalyam kletok kuba 15×15×15, kubok kolmogorova 2011 connectivity eulerian_graphs goal_exact_bound 2011 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm15.zip kolmogorov kolmogorov2011 olympiad_archive src-kolmogorov-2011-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2011 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2011 ? kubok kolmogorova 2011 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked poverhnost kuba \\(15 \\times 15 \\times 15\\) razbita na kletki \\(1 \\times 1\\). muravey begaet po diagonalyam kletok, nigde ne povorachivaya nazad. on ne mozhet byvat vnutri odnoy kletki bolee odnogo raza, no mozhet neskolko raz prohodit odnu vershinu. kakoe naibolshee chislo tsentrov kletok on mozhet posetit? simple_graph connected_graph eulerian_cycle degree path idea-graph-role grafovaya rol suschestvennaya chast ofitsialnogo resheniya — postroenie grafa belyh vershin i primenenie grafovyh idey: stepeni vershin, svyaznost komponenty i suschestvovanie eylerova marshruta. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie cherez diagonalnyy graf ai_checked simple_graph connected_graph eulerian_cycle degree path greedy_ordering otvet: `1335`. raskrasim vershiny razbieniya poverhnosti kuba v shahmatnom poryadke. kazhdaya diagonal kletki soedinyaet dve vershiny odnogo tsveta. poetomu ves marshrut muravya, nachavshis s diagonali s belymi kontsami ili s diagonali s chernymi kontsami, dalshe idet tolko po diagonalyam togo zhe tsveta. dostatochno rassmotret odin iz dvuh odinakovo ustroennyh grafov: ego vershiny — belye vershiny razbieniya, a rebra — belye diagonali vseh kletok. kazhdomu rebru sootvetstvuet rovno odin tsentr kletki, tak chto chislo poseschennyh tsentrov ravno chislu proydennyh reber. v etom grafe vsego `6 * 15^2 = 1350` reber. nechetnye stepeni imeyut rovno chetyre vershiny: eto chetyre vershiny kuba dannogo tsveta. deystvitelno, obychnaya vnutrennyaya dlya grani vershina i neuglovaya vershina rebra kuba intsidentny chetyrem kletkam, a vershina kuba intsidentna trem kletkam. dokazhem verhnyuyu otsenku. pust muravey proshel nekotoryy marshrut, to e…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4","title":"Маршрут муравья по диагоналям клеток куба 11×11×11, Кубок Колмогорова 2011","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2011 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","eulerian_graphs","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом до полного решения","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"локальный high-reasoning recheck 2026-05-17: официальный сжатый план уже раскрыт до полного доказательства невозможности","notes":"Решение самодостаточно доказывает, что максимальный маршрут в цветовом диагональном графе оставляет не менее 11 рёбер, поэтому посещение 720 центров невозможно.","audit_source":"high-reasoning-kolmogorov-recheck-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Поверхность куба \\(11 \\times 11 \\times 11\\) разбита на клетки \\(1 \\times 1\\). Муравей бегает по диагоналям клеток, нигде не поворачивая назад. Он не может бывать внутри одной клетки более одного раза, но может несколько раз проходить одну вершину. Может ли он посетить центры \\(720\\) клеток?","definition_ids":["path","connected_graph","eulerian_cycle","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["path","connected_graph","eulerian_cycle","degree"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: нет. Покрасим все вершины клеточной поверхности куба в шахматном порядке. Каждая диагональ клетки соединяет две вершины одного цвета. Поэтому, начав движение по диагонали с концами некоторого цвета, муравей дальше всегда остается в графе этого же цвета: вершины графа — вершины клеток выбранного цвета, а ребра — диагонали клеток с концами этого цвета. Каждое ребро такого графа соответствует ровно одной клетке, и проход по нему означает посещение центра этой клетки. Рассмотрим, например, граф белых вершин; для черного графа рассуждение такое же. В нем `6 * 11^2 = 726` ребер, по одному на каждую клетку поверхности. Все вершины, кроме углов куба выбранного цвета, имеют четную степень `4`, а четыре угла выбранного цвета имеют степень `3`: у обычной вершины сходятся четыре клетки поверхности, а у угла куба — три. Пусть муравей выбрал маршрут максимальной возможной длины в этом графе. Э…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2011-cube-parity-team-pair","neighbor_id":"kolmogorov-2011-team-olympiad-juniors-problem-6","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-after-tags-kolm-2011-2012-eulerian-construction","neighbor_id":"kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2011-team-senior-eulerian-criterion","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4 маршрут муравья по диагоналям клеток куба 11×11×11, кубок колмогорова 2011 connectivity eulerian_graphs goal_counting 2011 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm15.zip kolmogorov kolmogorov2011 olympiad_archive src-kolmogorov-2011-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2011 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2011 ? кубок колмогорова 2011 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked поверхность куба \\(11 \\times 11 \\times 11\\) разбита на клетки \\(1 \\times 1\\). муравей бегает по диагоналям клеток, нигде не поворачивая назад. он не может бывать внутри одной клетки более одного раза, но может несколько раз проходить одну вершину. может ли он посетить центры \\(720\\) клеток? path connected_graph eulerian_cycle degree idea-graph-role графовая роль хотя в условии граф не назван напрямую, официальное решение существенно строит граф белых вершин, анализирует степени вершин, компоненты связности и пути в этом графе. без этой графовой конструкции решение не работает. ai_checked sol-official-compressed полное решение ai_checked path connected_graph eulerian_cycle degree greedy_ordering ответ: нет. покрасим все вершины клеточной поверхности куба в шахматном порядке. каждая диагональ клетки соединяет две вершины одного цвета. поэтому, начав движение по диагонали с концами некоторого цвета, муравей дальше всегда остается в графе этого же цвета: вершины графа — вершины клеток выбранного цвета, а ребра — диагонали клеток с концами этого цвета. каждое ребро такого графа соответствует ровно одной клетке, и проход по нему означает посещение центра этой клетки. рассмотрим, например, граф белых вершин; для черного графа рассуждение такое же. в нем `6 * 11^2 = 726` ребер, по одному на каждую клетку поверхности. все вершины, кроме углов куба выбранного цвета, имеют четную степень `4`, а четыре угла выбранного цвета имеют степень `3`: у обычной вершины сходятся четыре клетки поверхности, а у угла куба — три. пусть муравей выбрал маршрут максимальной возможной длины в этом графе. э… kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4 marshrut muravya po diagonalyam kletok kuba 11×11×11, kubok kolmogorova 2011 connectivity eulerian_graphs goal_counting 2011 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm15.zip kolmogorov kolmogorov2011 olympiad_archive src-kolmogorov-2011-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2011 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2011 ? kubok kolmogorova 2011 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked poverhnost kuba \\(11 \\times 11 \\times 11\\) razbita na kletki \\(1 \\times 1\\). muravey begaet po diagonalyam kletok, nigde ne povorachivaya nazad. on ne mozhet byvat vnutri odnoy kletki bolee odnogo raza, no mozhet neskolko raz prohodit odnu vershinu. mozhet li on posetit tsentry \\(720\\) kletok? path connected_graph eulerian_cycle degree idea-graph-role grafovaya rol hotya v uslovii graf ne nazvan napryamuyu, ofitsialnoe reshenie suschestvenno stroit graf belyh vershin, analiziruet stepeni vershin, komponenty svyaznosti i puti v etom grafe. bez etoy grafovoy konstruktsii reshenie ne rabotaet. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie ai_checked path connected_graph eulerian_cycle degree greedy_ordering otvet: net. pokrasim vse vershiny kletochnoy poverhnosti kuba v shahmatnom poryadke. kazhdaya diagonal kletki soedinyaet dve vershiny odnogo tsveta. poetomu, nachav dvizhenie po diagonali s kontsami nekotorogo tsveta, muravey dalshe vsegda ostaetsya v grafe etogo zhe tsveta: vershiny grafa — vershiny kletok vybrannogo tsveta, a rebra — diagonali kletok s kontsami etogo tsveta. kazhdoe rebro takogo grafa sootvetstvuet rovno odnoy kletke, i prohod po nemu oznachaet poseschenie tsentra etoy kletki. rassmotrim, naprimer, graf belyh vershin; dlya chernogo grafa rassuzhdenie takoe zhe. v nem `6 * 11^2 = 726` reber, po odnomu na kazhduyu kletku poverhnosti. vse vershiny, krome uglov kuba vybrannogo tsveta, imeyut chetnuyu stepen `4`, a chetyre ugla vybrannogo tsveta imeyut stepen `3`: u obychnoy vershiny shodyatsya chetyre kletki poverhnosti, a u ugla kuba — tri. pust muravey vybral marshrut maksimalnoy vozmozhnoy dliny v etom grafe. e…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-1","title":"Минимум рёбер в графе, где добавление любого ребра создаёт треугольник, Кубок Колмогорова 2012","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2012 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Короткое решение было ложным срабатыванием по длине; в этом проходе развёрнуты достижимость и нижняя оценка через связность.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе на \\(n\\) вершинах при добавлении любого ребра между несоединенными вершинами появляется треугольник, содержащий добавленное ребро. Найдите наименьшее возможное число ребер в таком графе.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `n - 1`. Сначала покажем, что это число достижимо. Возьмем звезду на `n` вершинах: одна вершина является центром и соединена со всеми остальными, а между остальными вершинами ребер нет. Если добавить любое недостающее ребро, то оно соединит две вершины-листа. Обе они уже соединены с центром звезды, поэтому новое ребро вместе с двумя ребрами к центру образует треугольник, содержащий добавленное ребро. Значит, `n - 1` ребра действительно могут хватить. Теперь докажем, что меньше быть не может. Всякий связный граф на `n` вершинах имеет не менее `n - 1` ребра: например, если из него удалить ребра циклов, пока циклов не останется, получится дерево на тех же `n` вершинах, а в дереве ровно `n - 1` ребро. Следовательно, граф с меньшим числом ребер обязательно несвязен. Пусть исходный граф несвязен. Возьмем две вершины из разных компонент связности и добавим между ними ребро. Чтобы это но…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-1 минимум рёбер в графе, где добавление любого ребра создаёт треугольник, кубок колмогорова 2012 connectivity extremal_graph_theory goal_exact_bound 2012 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm16.zip kolmogorov kolmogorov2012 olympiad_archive src-kolmogorov-2012-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2012 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2012 ? кубок колмогорова 2012 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе на \\(n\\) вершинах при добавлении любого ребра между несоединенными вершинами появляется треугольник, содержащий добавленное ребро. найдите наименьшее возможное число ребер в таком графе. simple_graph idea-graph-role графовая роль граф прямо задан в условии: вершины, ребра и треугольники являются объектами задачи. официальное решение использует связность графа и пример со звездой. ai_checked sol-official-compressed полное решение ai_checked simple_graph extremal_choice ответ: `n - 1`. сначала покажем, что это число достижимо. возьмем звезду на `n` вершинах: одна вершина является центром и соединена со всеми остальными, а между остальными вершинами ребер нет. если добавить любое недостающее ребро, то оно соединит две вершины-листа. обе они уже соединены с центром звезды, поэтому новое ребро вместе с двумя ребрами к центру образует треугольник, содержащий добавленное ребро. значит, `n - 1` ребра действительно могут хватить. теперь докажем, что меньше быть не может. всякий связный граф на `n` вершинах имеет не менее `n - 1` ребра: например, если из него удалить ребра циклов, пока циклов не останется, получится дерево на тех же `n` вершинах, а в дереве ровно `n - 1` ребро. следовательно, граф с меньшим числом ребер обязательно несвязен. пусть исходный граф несвязен. возьмем две вершины из разных компонент связности и добавим между ними ребро. чтобы это но… kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-1 minimum reber v grafe, gde dobavlenie lyubogo rebra sozdaet treugolnik, kubok kolmogorova 2012 connectivity extremal_graph_theory goal_exact_bound 2012 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm16.zip kolmogorov kolmogorov2012 olympiad_archive src-kolmogorov-2012-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2012 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2012 ? kubok kolmogorova 2012 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe na \\(n\\) vershinah pri dobavlenii lyubogo rebra mezhdu nesoedinennymi vershinami poyavlyaetsya treugolnik, soderzhaschiy dobavlennoe rebro. naydite naimenshee vozmozhnoe chislo reber v takom grafe. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol graf pryamo zadan v uslovii: vershiny, rebra i treugolniki yavlyayutsya obektami zadachi. ofitsialnoe reshenie ispolzuet svyaznost grafa i primer so zvezdoy. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie ai_checked simple_graph extremal_choice otvet: `n - 1`. snachala pokazhem, chto eto chislo dostizhimo. vozmem zvezdu na `n` vershinah: odna vershina yavlyaetsya tsentrom i soedinena so vsemi ostalnymi, a mezhdu ostalnymi vershinami reber net. esli dobavit lyuboe nedostayuschee rebro, to ono soedinit dve vershiny-lista. obe oni uzhe soedineny s tsentrom zvezdy, poetomu novoe rebro vmeste s dvumya rebrami k tsentru obrazuet treugolnik, soderzhaschiy dobavlennoe rebro. znachit, `n - 1` rebra deystvitelno mogut hvatit. teper dokazhem, chto menshe byt ne mozhet. vsyakiy svyaznyy graf na `n` vershinah imeet ne menee `n - 1` rebra: naprimer, esli iz nego udalit rebra tsiklov, poka tsiklov ne ostanetsya, poluchitsya derevo na teh zhe `n` vershinah, a v dereve rovno `n - 1` rebro. sledovatelno, graf s menshim chislom reber obyazatelno nesvyazen. pust ishodnyy graf nesvyazen. vozmem dve vershiny iz raznyh komponent svyaznosti i dobavim mezhdu nimi rebro. chtoby eto no…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6","title":"Маршрут по сетке Сугробска с посещением всех узлов улиц, Кубок Колмогорова 2012","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2012 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","eulerian_graphs","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"source_verified","confidence":0.94,"basis":"локальный high-reasoning recheck 2026-05-17: полный официальный фрагмент ранее найден в архиве и восстановлен в карточке","notes":"Текст содержит полное доказательство оптимума: нижнюю оценку на число непроходимых отрезков, явный список 4n-4 удаляемых рёбер и проверку баланса/связности для эйлерова пути из (0,0) в (n,n).","audit_source":"high-reasoning-kolmogorov-recheck-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Город Сугробск представляет собой квадрат со стороной \\(100n\\), разбитый прямыми улицами на \\(n^2\\) одинаковых кварталов, где \\(n\\) — четное натуральное число, большее \\(2\\). На каждой из \\(2n + 2\\) улиц, идущих по сторонам кварталов от края до края города, введено одностороннее движение, причем на соседних параллельных улицах направления противоположны. В одном из углов города расположен автопарк, и обе выходящие из него улицы направлены от автопарка. Снегоуборочная машина выезжает из автопарка и едет по разрешенным направлениям, очищая каждую пройденную сторону квартала не более одного раза, пока впервые не попадет в противоположный угол города. Какое наибольшее расстояние она может проехать?","definition_ids":["directed_graph","path","degree","outdegree","indegree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path","degree","outdegree","indegree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `100(2n^2 - 2n + 4)`. Будем считать, что сторона квартала равна `1`, стартовая вершина имеет координаты `(0,0)`, а противоположный угол — `(n,n)`. Так как обе улицы из старта направлены наружу, можно выбрать координаты так, что горизонтальные улицы с четным `y` направлены вправо, с нечетным `y` — влево, вертикальные улицы с четным `x` направлены вверх, а с нечетным `x` — вниз. Всего в сетке `n(n+1)` горизонтальных и `n(n+1)` вертикальных единичных отрезков, то есть `2n(n+1)` ориентированных ребер. Оценим снизу число ребер, которые любой допустимый маршрут не пройдет. Для каждого `k = 0,1,...,2n-1` рассмотрим диагональную прямую `x + y = k + 1/2`. Она отделяет `(0,0)` от `(n,n)`, поэтому путь из старта в финиш пересекает ее нечетное число раз. При этом сама прямая пересекает четное число единичных отрезков: поровну горизонтальных и вертикальных. Значит, среди отрезков, пересекаемы…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-deep-2010-directed-paths-2012-directed-grid","neighbor_id":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-after-tags-kolm-2011-2012-eulerian-construction","neighbor_id":"kolmogorov-2011-team-olympiad-seniors-problem-4","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-kolm-late-2012-directed-grid-eulerian-criterion","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6 маршрут по сетке сугробска с посещением всех узлов улиц, кубок колмогорова 2012 double_counting eulerian_graphs goal_exact_bound 2012 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm16.zip kolmogorov kolmogorov2012 olympiad_archive src-kolmogorov-2012-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2012 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2012 ? кубок колмогорова 2012 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked город сугробск представляет собой квадрат со стороной \\(100n\\), разбитый прямыми улицами на \\(n^2\\) одинаковых кварталов, где \\(n\\) — четное натуральное число, большее \\(2\\). на каждой из \\(2n + 2\\) улиц, идущих по сторонам кварталов от края до края города, введено одностороннее движение, причем на соседних параллельных улицах направления противоположны. в одном из углов города расположен автопарк, и обе выходящие из него улицы направлены от автопарка. снегоуборочная машина выезжает из автопарка и едет по разрешенным направлениям, очищая каждую пройденную сторону квартала не более одного раза, пока впервые не попадет в противоположный угол города. какое наибольшее расстояние она может проехать? directed_graph path degree outdegree indegree idea-graph-role графовая роль в официальном решении задача переводится в ориентированный граф на узлах уличной сетки. существенны именно графовые понятия: ориентированные ребра, входящие и исходящие степени, удаление ребер и существование маршрута через все оставшиеся ребра. ai_checked sol-official-compressed полное решение ai_checked directed_graph path degree outdegree indegree double_counting ответ: `100(2n^2 - 2n + 4)`. будем считать, что сторона квартала равна `1`, стартовая вершина имеет координаты `(0,0)`, а противоположный угол — `(n,n)`. так как обе улицы из старта направлены наружу, можно выбрать координаты так, что горизонтальные улицы с четным `y` направлены вправо, с нечетным `y` — влево, вертикальные улицы с четным `x` направлены вверх, а с нечетным `x` — вниз. всего в сетке `n(n+1)` горизонтальных и `n(n+1)` вертикальных единичных отрезков, то есть `2n(n+1)` ориентированных ребер. оценим снизу число ребер, которые любой допустимый маршрут не пройдет. для каждого `k = 0,1,...,2n-1` рассмотрим диагональную прямую `x + y = k + 1/2`. она отделяет `(0,0)` от `(n,n)`, поэтому путь из старта в финиш пересекает ее нечетное число раз. при этом сама прямая пересекает четное число единичных отрезков: поровну горизонтальных и вертикальных. значит, среди отрезков, пересекаемы… kolmogorov-2012-individual-olympiad-seniors-problem-6 marshrut po setke sugrobska s posescheniem vseh uzlov ulits, kubok kolmogorova 2012 double_counting eulerian_graphs goal_exact_bound 2012 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm16.zip kolmogorov kolmogorov2012 olympiad_archive src-kolmogorov-2012-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2012 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2012 ? kubok kolmogorova 2012 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked gorod sugrobsk predstavlyaet soboy kvadrat so storonoy \\(100n\\), razbityy pryamymi ulitsami na \\(n^2\\) odinakovyh kvartalov, gde \\(n\\) — chetnoe naturalnoe chislo, bolshee \\(2\\). na kazhdoy iz \\(2n + 2\\) ulits, iduschih po storonam kvartalov ot kraya do kraya goroda, vvedeno odnostoronnee dvizhenie, prichem na sosednih parallelnyh ulitsah napravleniya protivopolozhny. v odnom iz uglov goroda raspolozhen avtopark, i obe vyhodyaschie iz nego ulitsy napravleny ot avtoparka. snegouborochnaya mashina vyezzhaet iz avtoparka i edet po razreshennym napravleniyam, ochischaya kazhduyu proydennuyu storonu kvartala ne bolee odnogo raza, poka vpervye ne popadet v protivopolozhnyy ugol goroda. kakoe naibolshee rasstoyanie ona mozhet proehat? directed_graph path degree outdegree indegree idea-graph-role grafovaya rol v ofitsialnom reshenii zadacha perevoditsya v orientirovannyy graf na uzlah ulichnoy setki. suschestvenny imenno grafovye ponyatiya: orientirovannye rebra, vhodyaschie i ishodyaschie stepeni, udalenie reber i suschestvovanie marshruta cherez vse ostavshiesya rebra. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie ai_checked directed_graph path degree outdegree indegree double_counting otvet: `100(2n^2 - 2n + 4)`. budem schitat, chto storona kvartala ravna `1`, startovaya vershina imeet koordinaty `(0,0)`, a protivopolozhnyy ugol — `(n,n)`. tak kak obe ulitsy iz starta napravleny naruzhu, mozhno vybrat koordinaty tak, chto gorizontalnye ulitsy s chetnym `y` napravleny vpravo, s nechetnym `y` — vlevo, vertikalnye ulitsy s chetnym `x` napravleny vverh, a s nechetnym `x` — vniz. vsego v setke `n(n+1)` gorizontalnyh i `n(n+1)` vertikalnyh edinichnyh otrezkov, to est `2n(n+1)` orientirovannyh reber. otsenim snizu chislo reber, kotorye lyuboy dopustimyy marshrut ne proydet. dlya kazhdogo `k = 0,1,...,2n-1` rassmotrim diagonalnuyu pryamuyu `x + y = k + 1/2`. ona otdelyaet `(0,0)` ot `(n,n)`, poetomu put iz starta v finish peresekaet ee nechetnoe chislo raz. pri etom sama pryamaya peresekaet chetnoe chislo edinichnyh otrezkov: porovnu gorizontalnyh i vertikalnyh. znachit, sredi otrezkov, peresekaemy…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2013-individual-olympiad-seniors-problem-5","title":"Цикл через листья дерева и гамильтонов цикл после добавления рёбер, Кубок Колмогорова 2013","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2013-individual-olympiad-seniors-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2013-individual-olympiad-seniors-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2013-individual-olympiad-seniors-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2013 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","trees","induction","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом до полного решения","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"локальный high-reasoning recheck 2026-05-17: официальный сжатый набросок уже развёрнут до полной конструкции раскраски","notes":"Решение самодостаточно строит 3-раскраску: удаляет выбранный центр и листья, 2-раскрашивает остаточный лес, затем жадно красит цикл листьев с корректной обработкой последней особой вершины.","audit_source":"high-reasoning-kolmogorov-recheck-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дано дерево \\(T\\) с \\(n > 2\\) вершинами, в котором степени всех вершин меньше \\(n-1\\). Пусть \\(A\\) — множество его висячих вершин. Добавим к дереву \\(T\\) рёбра некоторого цикла, проходящего по всем вершинам множества \\(A\\) ровно по одному разу и не проходящего через остальные вершины. Докажите, что вершины полученного графа можно правильно раскрасить в три цвета.","definition_ids":["tree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","cycle"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим добавленный цикл на множестве листьев `A` через `C`. Так как дерево не является звездой: в нём нет вершины степени `n-1`, то не все листья имеют одного и того же соседа. Выберем лист `a` и обозначим через `v` его единственного соседа в дереве `T`. Вершина `v` не является листом. Назовём особыми те листья дерева, которые смежны с `v`; в частности, `a` особый. Не все листья особые, потому что иначе `v` была бы смежна со всеми остальными `n-1` вершинами дерева, что запрещено условием. Удалим из `T` вершину `v` и все листья дерева. Оставшийся граф является лесом, поэтому его можно правильно раскрасить в два цвета, скажем в цвета `1` и `2`. При этом каждая неудалённая вершина, смежная в `T` с каким-нибудь листом, уже получила один из этих двух цветов. Вершину `v` покрасим в цвет `3`. Осталось раскрасить листья, то есть вершины цикла `C`. На цикле есть особая вершина, после которой…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2013-individual-team-coloring","neighbor_id":"kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-deep-2008-tree-transform-2013-leaf-cycle-coloring","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-1-first-league-and-higher-junior-problem-1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2013-individual-olympiad-seniors-problem-5 цикл через листья дерева и гамильтонов цикл после добавления рёбер, кубок колмогорова 2013 coloring trees induction goal_proof 2013 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm17.zip kolmogorov kolmogorov2013 olympiad_archive src-kolmogorov-2013-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2013 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2013 ? кубок колмогорова 2013 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дано дерево \\(t\\) с \\(n > 2\\) вершинами, в котором степени всех вершин меньше \\(n-1\\). пусть \\(a\\) — множество его висячих вершин. добавим к дереву \\(t\\) рёбра некоторого цикла, проходящего по всем вершинам множества \\(a\\) ровно по одному разу и не проходящего через остальные вершины. докажите, что вершины полученного графа можно правильно раскрасить в три цвета. tree cycle idea-graph-role графовая роль в условии прямо фигурируют дерево, цикл, рёбра, вершины и правильная раскраска графа. официальное решение существенно использует структуру дерева и графовую 3-раскраску. ai_checked sol-official-compressed полное решение ai_checked tree cycle induction delete_to_simplify local_recoloring обозначим добавленный цикл на множестве листьев `a` через `c`. так как дерево не является звездой: в нём нет вершины степени `n-1`, то не все листья имеют одного и того же соседа. выберем лист `a` и обозначим через `v` его единственного соседа в дереве `t`. вершина `v` не является листом. назовём особыми те листья дерева, которые смежны с `v`; в частности, `a` особый. не все листья особые, потому что иначе `v` была бы смежна со всеми остальными `n-1` вершинами дерева, что запрещено условием. удалим из `t` вершину `v` и все листья дерева. оставшийся граф является лесом, поэтому его можно правильно раскрасить в два цвета, скажем в цвета `1` и `2`. при этом каждая неудалённая вершина, смежная в `t` с каким-нибудь листом, уже получила один из этих двух цветов. вершину `v` покрасим в цвет `3`. осталось раскрасить листья, то есть вершины цикла `c`. на цикле есть особая вершина, после которой… kolmogorov-2013-individual-olympiad-seniors-problem-5 tsikl cherez listya dereva i gamiltonov tsikl posle dobavleniya reber, kubok kolmogorova 2013 coloring trees induction goal_proof 2013 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm17.zip kolmogorov kolmogorov2013 olympiad_archive src-kolmogorov-2013-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2013 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2013 ? kubok kolmogorova 2013 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dano derevo \\(t\\) s \\(n > 2\\) vershinami, v kotorom stepeni vseh vershin menshe \\(n-1\\). pust \\(a\\) — mnozhestvo ego visyachih vershin. dobavim k derevu \\(t\\) rebra nekotorogo tsikla, prohodyaschego po vsem vershinam mnozhestva \\(a\\) rovno po odnomu razu i ne prohodyaschego cherez ostalnye vershiny. dokazhite, chto vershiny poluchennogo grafa mozhno pravilno raskrasit v tri tsveta. tree cycle idea-graph-role grafovaya rol v uslovii pryamo figuriruyut derevo, tsikl, rebra, vershiny i pravilnaya raskraska grafa. ofitsialnoe reshenie suschestvenno ispolzuet strukturu dereva i grafovuyu 3-raskrasku. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie ai_checked tree cycle induction delete_to_simplify local_recoloring oboznachim dobavlennyy tsikl na mnozhestve listev `a` cherez `c`. tak kak derevo ne yavlyaetsya zvezdoy: v nem net vershiny stepeni `n-1`, to ne vse listya imeyut odnogo i togo zhe soseda. vyberem list `a` i oboznachim cherez `v` ego edinstvennogo soseda v dereve `t`. vershina `v` ne yavlyaetsya listom. nazovem osobymi te listya dereva, kotorye smezhny s `v`; v chastnosti, `a` osobyy. ne vse listya osobye, potomu chto inache `v` byla by smezhna so vsemi ostalnymi `n-1` vershinami dereva, chto zaprescheno usloviem. udalim iz `t` vershinu `v` i vse listya dereva. ostavshiysya graf yavlyaetsya lesom, poetomu ego mozhno pravilno raskrasit v dva tsveta, skazhem v tsveta `1` i `2`. pri etom kazhdaya neudalennaya vershina, smezhnaya v `t` s kakim-nibud listom, uzhe poluchila odin iz etih dvuh tsvetov. vershinu `v` pokrasim v tsvet `3`. ostalos raskrasit listya, to est vershiny tsikla `c`. na tsikle est osobaya vershina, posle kotoroy…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2013-team-olympiad-juniors-problem-7","title":"Склейка k-раскрасок трёх частей графа, Кубок Колмогорова 2013","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2013-team-olympiad-juniors-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2013-team-olympiad-juniors-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2013-team-olympiad-juniors-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2013 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В этом проходе развёрнуты выбор множества D, палитры и проверка всех возможных ребер между частями.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Вершины графа разбиты на три множества \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\) так, что вершины из \\(A\\) не связаны рёбрами с вершинами из \\(C\\). Известно, что \\(A ∪ B\\) можно правильно раскрасить в \\(k\\) цветов, а \\(B ∪ C\\) — в \\(n\\) цветов. Докажите, что весь граф можно правильно раскрасить в \\(k+n-1\\) цвет.","definition_ids":["chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number"],"standard_idea_ids":["local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмем правильную раскраску подграфа на `B ∪ C` в `n` цветов. Один из этих цветов назовем первым, а через `D` обозначим множество вершин из `B`, которые получили первый цвет. Теперь воспользуемся тем, что подграф на `A ∪ B` можно правильно раскрасить в `k` цветов. Тогда его индуцированный подграф на `A ∪ D` тоже можно правильно раскрасить в `k` цветов: достаточно ограничить любую правильную `k`-раскраску `A ∪ B` на вершины `A ∪ D`. Для этой новой раскраски используем палитру из первого старого цвета и еще `k-1` совершенно новых цветов, не встречавшихся в раскраске `B ∪ C`. Зададим итоговую раскраску так. Вершины из `A ∪ D` красим только что выбранной правильной `k`-раскраской. Все остальные вершины, то есть вершины из `(B ∪ C) \\ D`, оставляем в их старых цветах из раскраски `B ∪ C`. Всего использовано `n` старых цветов и `k-1` новых, то есть `k+n-1` цвет. Проверим, что конфликтов нет.…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2013-chromatic-team-junior-senior","neighbor_id":"kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-deep-2007-chromatic-2013-team-junior","neighbor_id":"kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2013-team-olympiad-juniors-problem-7 склейка k-раскрасок трёх частей графа, кубок колмогорова 2013 coloring goal_counting 2013 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm17.zip kolmogorov kolmogorov2013 olympiad_archive src-kolmogorov-2013-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2013 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2013 ? кубок колмогорова 2013 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked вершины графа разбиты на три множества \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) так, что вершины из \\(a\\) не связаны рёбрами с вершинами из \\(c\\). известно, что \\(a ∪ b\\) можно правильно раскрасить в \\(k\\) цветов, а \\(b ∪ c\\) — в \\(n\\) цветов. докажите, что весь граф можно правильно раскрасить в \\(k+n-1\\) цвет. chromatic_number idea-graph-role графовая роль граф явно присутствует в условии: вершины, рёбра и правильная раскраска графа названы напрямую. официальное решение целиком работает с раскраской подграфов и разбиением множества вершин. ai_checked sol-official-compressed полное решение ai_checked chromatic_number local_recoloring возьмем правильную раскраску подграфа на `b ∪ c` в `n` цветов. один из этих цветов назовем первым, а через `d` обозначим множество вершин из `b`, которые получили первый цвет. теперь воспользуемся тем, что подграф на `a ∪ b` можно правильно раскрасить в `k` цветов. тогда его индуцированный подграф на `a ∪ d` тоже можно правильно раскрасить в `k` цветов: достаточно ограничить любую правильную `k`-раскраску `a ∪ b` на вершины `a ∪ d`. для этой новой раскраски используем палитру из первого старого цвета и еще `k-1` совершенно новых цветов, не встречавшихся в раскраске `b ∪ c`. зададим итоговую раскраску так. вершины из `a ∪ d` красим только что выбранной правильной `k`-раскраской. все остальные вершины, то есть вершины из `(b ∪ c) \\ d`, оставляем в их старых цветах из раскраски `b ∪ c`. всего использовано `n` старых цветов и `k-1` новых, то есть `k+n-1` цвет. проверим, что конфликтов нет.… kolmogorov-2013-team-olympiad-juniors-problem-7 skleyka k-raskrasok treh chastey grafa, kubok kolmogorova 2013 coloring goal_counting 2013 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm17.zip kolmogorov kolmogorov2013 olympiad_archive src-kolmogorov-2013-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2013 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2013 ? kubok kolmogorova 2013 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked vershiny grafa razbity na tri mnozhestva \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) tak, chto vershiny iz \\(a\\) ne svyazany rebrami s vershinami iz \\(c\\). izvestno, chto \\(a ∪ b\\) mozhno pravilno raskrasit v \\(k\\) tsvetov, a \\(b ∪ c\\) — v \\(n\\) tsvetov. dokazhite, chto ves graf mozhno pravilno raskrasit v \\(k+n-1\\) tsvet. chromatic_number idea-graph-role grafovaya rol graf yavno prisutstvuet v uslovii: vershiny, rebra i pravilnaya raskraska grafa nazvany napryamuyu. ofitsialnoe reshenie tselikom rabotaet s raskraskoy podgrafov i razbieniem mnozhestva vershin. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie ai_checked chromatic_number local_recoloring vozmem pravilnuyu raskrasku podgrafa na `b ∪ c` v `n` tsvetov. odin iz etih tsvetov nazovem pervym, a cherez `d` oboznachim mnozhestvo vershin iz `b`, kotorye poluchili pervyy tsvet. teper vospolzuemsya tem, chto podgraf na `a ∪ b` mozhno pravilno raskrasit v `k` tsvetov. togda ego indutsirovannyy podgraf na `a ∪ d` tozhe mozhno pravilno raskrasit v `k` tsvetov: dostatochno ogranichit lyubuyu pravilnuyu `k`-raskrasku `a ∪ b` na vershiny `a ∪ d`. dlya etoy novoy raskraski ispolzuem palitru iz pervogo starogo tsveta i esche `k-1` sovershenno novyh tsvetov, ne vstrechavshihsya v raskraske `b ∪ c`. zadadim itogovuyu raskrasku tak. vershiny iz `a ∪ d` krasim tolko chto vybrannoy pravilnoy `k`-raskraskoy. vse ostalnye vershiny, to est vershiny iz `(b ∪ c) \\ d`, ostavlyaem v ih staryh tsvetah iz raskraski `b ∪ c`. vsego ispolzovano `n` staryh tsvetov i `k-1` novyh, to est `k+n-1` tsvet. proverim, chto konfliktov net.…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8","title":"Склейка k-раскрасок трёх частей графа с несмежными A и C, Кубок Колмогорова 2013","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2013 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный источник и high-reasoning аудит 2026-05-17","notes":"Решение полное: дана явная раскраска в k+n-1 цветов и табличная экстремальная конструкция, доказывающая невозможность k+n-2 цветов.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Вершины графа разбиты на три множества \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\) так, что вершины из \\(A\\) не связаны рёбрами с вершинами из \\(C\\). Известно, что \\(A ∪ B\\) можно правильно раскрасить в \\(k\\) цветов, а \\(B ∪ C\\) — в \\(n\\) цветов. В какое минимальное количество цветов можно с гарантией правильно раскрасить все вершины этого графа?","definition_ids":["chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","local_recoloring","greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: в `k+n-1` цвет. Сначала докажем верхнюю оценку. Возьмём правильную раскраску подграфа `B ∪ C` в `n` цветов и обозначим через `D` множество вершин из `B`, получивших первый цвет. Подграф `A ∪ D` является подграфом `A ∪ B`, поэтому его можно правильно раскрасить в `k` цветов; используем для него цвета `1,2,...,k`. Теперь вершины из `B \\ D` оставим в цветах раскраски `B ∪ C`, но сдвинем их: если вершина имела цвет `i > 1`, дадим ей цвет `k+i-1`. Вершины из `C` первого цвета покрасим в цвет `k`, а вершины из `C` цвета `i > 1` — в цвет `k+i-1`. Всего использовано `k+n-1` цветов. Проверим корректность. Внутри `A ∪ D` всё правильно по выбранной `k`-раскраске. Внутри `(B \\ D) ∪ C` всё правильно, потому что это та же раскраска `B ∪ C` с переименованными цветами, кроме того что первый цвет `C` стал цветом `k`; вершин из `B \\ D` первого цвета нет. Между `A` и `C` рёбер нет, а вершины из `D`…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2013-chromatic-team-junior-senior","neighbor_id":"kolmogorov-2013-team-olympiad-juniors-problem-7","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2013-individual-team-coloring","neighbor_id":"kolmogorov-2013-individual-olympiad-seniors-problem-5","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-deep-2007-chromatic-2013-team-senior","neighbor_id":"kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-color-extremal-kolm-2008-2013-greedy-recoloring","neighbor_id":"kolmogorov-2008-team-olympiad-juniors-problem-5","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8 склейка k-раскрасок трёх частей графа с несмежными a и c, кубок колмогорова 2013 coloring goal_exact_bound 2013 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm17.zip kolmogorov kolmogorov2013 olympiad_archive src-kolmogorov-2013-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2013 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2013 ? кубок колмогорова 2013 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked вершины графа разбиты на три множества \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) так, что вершины из \\(a\\) не связаны рёбрами с вершинами из \\(c\\). известно, что \\(a ∪ b\\) можно правильно раскрасить в \\(k\\) цветов, а \\(b ∪ c\\) — в \\(n\\) цветов. в какое минимальное количество цветов можно с гарантией правильно раскрасить все вершины этого графа? chromatic_number idea-graph-role графовая роль граф напрямую задан в условии, а официальное решение использует и графовую раскраску, и явную экстремальную конструкцию графа для нижней оценки. ai_checked sol-official-compressed полное решение ai_checked chromatic_number extremal_choice local_recoloring greedy_ordering ответ: в `k+n-1` цвет. сначала докажем верхнюю оценку. возьмём правильную раскраску подграфа `b ∪ c` в `n` цветов и обозначим через `d` множество вершин из `b`, получивших первый цвет. подграф `a ∪ d` является подграфом `a ∪ b`, поэтому его можно правильно раскрасить в `k` цветов; используем для него цвета `1,2,...,k`. теперь вершины из `b \\ d` оставим в цветах раскраски `b ∪ c`, но сдвинем их: если вершина имела цвет `i > 1`, дадим ей цвет `k+i-1`. вершины из `c` первого цвета покрасим в цвет `k`, а вершины из `c` цвета `i > 1` — в цвет `k+i-1`. всего использовано `k+n-1` цветов. проверим корректность. внутри `a ∪ d` всё правильно по выбранной `k`-раскраске. внутри `(b \\ d) ∪ c` всё правильно, потому что это та же раскраска `b ∪ c` с переименованными цветами, кроме того что первый цвет `c` стал цветом `k`; вершин из `b \\ d` первого цвета нет. между `a` и `c` рёбер нет, а вершины из `d`… kolmogorov-2013-team-olympiad-seniors-problem-8 skleyka k-raskrasok treh chastey grafa s nesmezhnymi a i c, kubok kolmogorova 2013 coloring goal_exact_bound 2013 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm17.zip kolmogorov kolmogorov2013 olympiad_archive src-kolmogorov-2013-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2013 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2013 ? kubok kolmogorova 2013 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked vershiny grafa razbity na tri mnozhestva \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) tak, chto vershiny iz \\(a\\) ne svyazany rebrami s vershinami iz \\(c\\). izvestno, chto \\(a ∪ b\\) mozhno pravilno raskrasit v \\(k\\) tsvetov, a \\(b ∪ c\\) — v \\(n\\) tsvetov. v kakoe minimalnoe kolichestvo tsvetov mozhno s garantiey pravilno raskrasit vse vershiny etogo grafa? chromatic_number idea-graph-role grafovaya rol graf napryamuyu zadan v uslovii, a ofitsialnoe reshenie ispolzuet i grafovuyu raskrasku, i yavnuyu ekstremalnuyu konstruktsiyu grafa dlya nizhney otsenki. ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie ai_checked chromatic_number extremal_choice local_recoloring greedy_ordering otvet: v `k+n-1` tsvet. snachala dokazhem verhnyuyu otsenku. vozmem pravilnuyu raskrasku podgrafa `b ∪ c` v `n` tsvetov i oboznachim cherez `d` mnozhestvo vershin iz `b`, poluchivshih pervyy tsvet. podgraf `a ∪ d` yavlyaetsya podgrafom `a ∪ b`, poetomu ego mozhno pravilno raskrasit v `k` tsvetov; ispolzuem dlya nego tsveta `1,2,...,k`. teper vershiny iz `b \\ d` ostavim v tsvetah raskraski `b ∪ c`, no sdvinem ih: esli vershina imela tsvet `i > 1`, dadim ey tsvet `k+i-1`. vershiny iz `c` pervogo tsveta pokrasim v tsvet `k`, a vershiny iz `c` tsveta `i > 1` — v tsvet `k+i-1`. vsego ispolzovano `k+n-1` tsvetov. proverim korrektnost. vnutri `a ∪ d` vse pravilno po vybrannoy `k`-raskraske. vnutri `(b \\ d) ∪ c` vse pravilno, potomu chto eto ta zhe raskraska `b ∪ c` s pereimenovannymi tsvetami, krome togo chto pervyy tsvet `c` stal tsvetom `k`; vershin iz `b \\ d` pervogo tsveta net. mezhdu `a` i `c` reber net, a vershiny iz `d`…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2014-round1-complete-graph-orientation-game","title":"Игра в ориентацию рёбер полного графа, Кубок Колмогорова 2014","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2014-round1-complete-graph-orientation-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2014-round1-complete-graph-orientation-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2014-round1-complete-graph-orientation-game","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2014 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["tournaments","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Решение требует аккуратной стратегии через максимальную ориентированную цепочку и точного подсчета ходов; исходный файл импорта: tur1_18.txt.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"самостоятельное полное решение","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"повторная проверка самодостаточного доказательства 2026-05-17","notes":"Решение является локальной реконструкцией без официального разбора в карточке; проверены ключевая лемма о продлении цепочки и финальный подсчет свободной хорды.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дан полный неориентированный граф на 2014 вершинах. Два игрока по очереди ориентируют ещё не ориентированные рёбра. За один ход первый игрок ориентирует одно ребро, а второй — от 1 до 1000 рёбер. Когда все рёбра ориентированы, первый игрок выигрывает, если получившийся ориентированный граф содержит простой ориентированный цикл; иначе выигрывает второй игрок. Определите победителя при правильной игре.","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","directed_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-longest-chain-counting","title":"Стратегия первого через длинную цепочку","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","directed_graph","path","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выигрывает первый игрок. Будем называть цепочкой ориентированный путь \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_k\\), составленный из уже ориентированных ребер. Если второй игрок когда-либо сам создал ориентированный цикл, то этот цикл останется до конца игры и первый уже выигрывает. Поэтому дальше считаем, что после ходов второго ориентированных циклов нет. Сначала докажем лемму: после хода второго, если самая длинная цепочка имеет меньше 2014 вершин, первый может одним ходом получить более длинную цепочку. Пусть \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_k\\) — одна из самых длинных цепочек, и пусть \\(a\\) — вершина вне нее. Если ребро между \\(a\\) и \\(v_1\\) еще не ориентировано, первый направляет его как \\(a\\to v_1\\) и удлиняет цепочку слева; если оно уже направлено \\(a\\to v_1\\), такая более длинная цепочка уже была бы. Значит, когда удлинить слева нельзя, обязательно стоит стрелка \\(v_1\\to a\\). Аналогично, когда удли…"}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2019-p5-kolmogorov-complete-graph-game","neighbor_id":"cmo-2019-p5-odd-cycle-edge-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2014-oriendiriya-complete-orientation-game","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round1-oriendiriya-road-orientation-game","direction":"backward","type":"false_friend","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2014-round1-complete-graph-orientation-game игра в ориентацию рёбер полного графа, кубок колмогорова 2014 tournaments goal_strategy_game 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2014 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2014 ? кубок колмогорова 2014 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дан полный неориентированный граф на 2014 вершинах. два игрока по очереди ориентируют ещё не ориентированные рёбра. за один ход первый игрок ориентирует одно ребро, а второй — от 1 до 1000 рёбер. когда все рёбра ориентированы, первый игрок выигрывает, если получившийся ориентированный граф содержит простой ориентированный цикл; иначе выигрывает второй игрок. определите победителя при правильной игре. simple_graph complete_graph directed_graph cycle idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии, а в конце получается турнир — ориентация полного графа. tournaments ai_checked idea-longest-chain-counting длинная цепочка и подсчёт хорд первый игрок может каждый раз удлинять максимальную ориентированную цепочку на одну вершину. чтобы не дать ему замкнуть цикл обратной хордой, второй должен успевать ориентировать все ребра между вершинами этой цепочки, но к длине 2003 таких ребер уже больше, чем могло быть ориентировано за 2002 раунда. tournaments goal_strategy_game ai_checked sol-ai-longest-chain-counting стратегия первого через длинную цепочку ai_checked complete_graph directed_graph path cycle выигрывает первый игрок. будем называть цепочкой ориентированный путь \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_k\\), составленный из уже ориентированных ребер. если второй игрок когда-либо сам создал ориентированный цикл, то этот цикл останется до конца игры и первый уже выигрывает. поэтому дальше считаем, что после ходов второго ориентированных циклов нет. сначала докажем лемму: после хода второго, если самая длинная цепочка имеет меньше 2014 вершин, первый может одним ходом получить более длинную цепочку. пусть \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_k\\) — одна из самых длинных цепочек, и пусть \\(a\\) — вершина вне нее. если ребро между \\(a\\) и \\(v_1\\) еще не ориентировано, первый направляет его как \\(a\\to v_1\\) и удлиняет цепочку слева; если оно уже направлено \\(a\\to v_1\\), такая более длинная цепочка уже была бы. значит, когда удлинить слева нельзя, обязательно стоит стрелка \\(v_1\\to a\\). аналогично, когда удли… kolmogorov-2014-round1-complete-graph-orientation-game igra v orientatsiyu reber polnogo grafa, kubok kolmogorova 2014 tournaments goal_strategy_game 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2014 ? kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dan polnyy neorientirovannyy graf na 2014 vershinah. dva igroka po ocheredi orientiruyut esche ne orientirovannye rebra. za odin hod pervyy igrok orientiruet odno rebro, a vtoroy — ot 1 do 1000 reber. kogda vse rebra orientirovany, pervyy igrok vyigryvaet, esli poluchivshiysya orientirovannyy graf soderzhit prostoy orientirovannyy tsikl; inache vyigryvaet vtoroy igrok. opredelite pobeditelya pri pravilnoy igre. simple_graph complete_graph directed_graph cycle idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii, a v kontse poluchaetsya turnir — orientatsiya polnogo grafa. tournaments ai_checked idea-longest-chain-counting dlinnaya tsepochka i podschet hord pervyy igrok mozhet kazhdyy raz udlinyat maksimalnuyu orientirovannuyu tsepochku na odnu vershinu. chtoby ne dat emu zamknut tsikl obratnoy hordoy, vtoroy dolzhen uspevat orientirovat vse rebra mezhdu vershinami etoy tsepochki, no k dline 2003 takih reber uzhe bolshe, chem moglo byt orientirovano za 2002 raunda. tournaments goal_strategy_game ai_checked sol-ai-longest-chain-counting strategiya pervogo cherez dlinnuyu tsepochku ai_checked complete_graph directed_graph path cycle vyigryvaet pervyy igrok. budem nazyvat tsepochkoy orientirovannyy put \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_k\\), sostavlennyy iz uzhe orientirovannyh reber. esli vtoroy igrok kogda-libo sam sozdal orientirovannyy tsikl, to etot tsikl ostanetsya do kontsa igry i pervyy uzhe vyigryvaet. poetomu dalshe schitaem, chto posle hodov vtorogo orientirovannyh tsiklov net. snachala dokazhem lemmu: posle hoda vtorogo, esli samaya dlinnaya tsepochka imeet menshe 2014 vershin, pervyy mozhet odnim hodom poluchit bolee dlinnuyu tsepochku. pust \\(v_1\\to v_2\\to\\cdots\\to v_k\\) — odna iz samyh dlinnyh tsepochek, i pust \\(a\\) — vershina vne nee. esli rebro mezhdu \\(a\\) i \\(v_1\\) esche ne orientirovano, pervyy napravlyaet ego kak \\(a\\to v_1\\) i udlinyaet tsepochku sleva; esli ono uzhe napravleno \\(a\\to v_1\\), takaya bolee dlinnaya tsepochka uzhe byla by. znachit, kogda udlinit sleva nelzya, obyazatelno stoit strelka \\(v_1\\to a\\). analogichno, kogda udli…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2014-round1-oriendiriya-road-orientation-game","title":"Игра ориентации рёбер полного графа, Кубок Колмогорова 2014","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2014-round1-oriendiriya-road-orientation-game.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2014-round1-oriendiriya-road-orientation-game.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2014-round1-oriendiriya-road-orientation-game","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2014 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":["Жюри"],"tags":["tournaments","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Вариант первого тура для второй лиги и младших участников; короткая стратегия через инвариант упорядоченного разбиения.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране Ориентирия 100 городов, каждые два города соединены дорогой с двусторонним движением. Два министра играют в игру. Первый каждым своим ходом вводит одностороннее движение на любой еще не ориентированной дороге. Второй каждым своим ходом вводит одностороннее движение на любом количестве от 0 до 98 еще не ориентированных дорог. Игра заканчивается, когда все дороги ориентированы. Первый министр выигрывает, если найдется такой город, что из него можно выехать по какой-нибудь дороге и, соблюдая правила движения, вернуться обратно. Иначе выигрывает второй министр. Какой министр выигрывает при правильной игре? (Жюри)","definition_ids":["complete_graph","directed_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Игра ориентации рёбер K100","status":"ai_checked","text":"На рёбрах полного графа \\(K_{100}\\) играют два игрока. Первый за ход ориентирует одно ещё не ориентированное ребро, второй за ход ориентирует от 0 до 98 ещё не ориентированных рёбер. Первый выигрывает, если после ориентации всех рёбер итоговый турнир содержит ориентированный цикл; второй выигрывает, если итоговый турнир ацикличен. Определите победителя при правильной игре.","definition_ids":["complete_graph","directed_graph","cycle","tournament"]}]},"solutions":[{"id":"sol-second-player-block-strategy","title":"Стратегия второго через упорядоченные блоки","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","directed_graph","cycle","tournament"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выигрывает второй министр. После каждого своего хода он будет поддерживать такой инвариант. Все города разбиты на упорядоченные блоки \\(B_1,\\ldots,B_s\\). Если города лежат в разных блоках, то дорога между ними уже ориентирована из более раннего блока в более поздний. Если города лежат в одном блоке, то дорога между ними еще не ориентирована. В начале есть один блок из всех 100 городов, поэтому инвариант выполнен. Пусть перед ходом первого инвариант выполнен. Все дороги между разными блоками уже ориентированы, значит первый может выбрать только дорогу внутри некоторого блока \\(B\\). Пусть он ориентировал дорогу \\(x\\to y\\), где \\(x,y\\in B\\) и \\(|B|=m\\). Эта стрелка сама по себе не создает ориентированного цикла: внутри \\(B\\) до нее не было ориентированных дорог, а все дороги из внешних блоков идут относительно всего блока \\(B\\) в одном направлении. Ответ второго такой. Он заменяет блок \\(B…"}],"relations":[{"id":"rel-kolmogorov-2014-oriendiriya-complete-orientation-game","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round1-complete-graph-orientation-game","direction":"forward","type":"false_friend","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2014-round1-oriendiriya-road-orientation-game игра ориентации рёбер полного графа, кубок колмогорова 2014 tournaments goal_strategy_game 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова жюри кубок колмогорова кубок колмогорова 2014 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2014 жюри кубок колмогорова 2014 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране ориентирия 100 городов, каждые два города соединены дорогой с двусторонним движением. два министра играют в игру. первый каждым своим ходом вводит одностороннее движение на любой еще не ориентированной дороге. второй каждым своим ходом вводит одностороннее движение на любом количестве от 0 до 98 еще не ориентированных дорог. игра заканчивается, когда все дороги ориентированы. первый министр выигрывает, если найдется такой город, что из него можно выехать по какой-нибудь дороге и, соблюдая правила движения, вернуться обратно. иначе выигрывает второй министр. какой министр выигрывает при правильной игре? (жюри) complete_graph directed_graph cycle stmt-graph игра ориентации рёбер k100 ai_checked на рёбрах полного графа \\(k_{100}\\) играют два игрока. первый за ход ориентирует одно ещё не ориентированное ребро, второй за ход ориентирует от 0 до 98 ещё не ориентированных рёбер. первый выигрывает, если после ориентации всех рёбер итоговый турнир содержит ориентированный цикл; второй выигрывает, если итоговый турнир ацикличен. определите победителя при правильной игре. complete_graph directed_graph cycle tournament idea-ordered-blocks инвариант упорядоченных блоков второй игрок может поддерживать упорядоченное разбиение городов на блоки: все дороги между разными блоками уже ориентированы от более раннего блока к более позднему, а внутри блоков дорог с направлением нет. после хода первого внутри блока второй отделяет конец новой стрелки в отдельный следующий блок. tournaments ai_checked sol-second-player-block-strategy стратегия второго через упорядоченные блоки ai_checked complete_graph directed_graph cycle tournament выигрывает второй министр. после каждого своего хода он будет поддерживать такой инвариант. все города разбиты на упорядоченные блоки \\(b_1,\\ldots,b_s\\). если города лежат в разных блоках, то дорога между ними уже ориентирована из более раннего блока в более поздний. если города лежат в одном блоке, то дорога между ними еще не ориентирована. в начале есть один блок из всех 100 городов, поэтому инвариант выполнен. пусть перед ходом первого инвариант выполнен. все дороги между разными блоками уже ориентированы, значит первый может выбрать только дорогу внутри некоторого блока \\(b\\). пусть он ориентировал дорогу \\(x\\to y\\), где \\(x,y\\in b\\) и \\(|b|=m\\). эта стрелка сама по себе не создает ориентированного цикла: внутри \\(b\\) до нее не было ориентированных дорог, а все дороги из внешних блоков идут относительно всего блока \\(b\\) в одном направлении. ответ второго такой. он заменяет блок \\(b… kolmogorov-2014-round1-oriendiriya-road-orientation-game igra orientatsii reber polnogo grafa, kubok kolmogorova 2014 tournaments goal_strategy_game 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova zhyuri kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2014 zhyuri kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane orientiriya 100 gorodov, kazhdye dva goroda soedineny dorogoy s dvustoronnim dvizheniem. dva ministra igrayut v igru. pervyy kazhdym svoim hodom vvodit odnostoronnee dvizhenie na lyuboy esche ne orientirovannoy doroge. vtoroy kazhdym svoim hodom vvodit odnostoronnee dvizhenie na lyubom kolichestve ot 0 do 98 esche ne orientirovannyh dorog. igra zakanchivaetsya, kogda vse dorogi orientirovany. pervyy ministr vyigryvaet, esli naydetsya takoy gorod, chto iz nego mozhno vyehat po kakoy-nibud doroge i, soblyudaya pravila dvizheniya, vernutsya obratno. inache vyigryvaet vtoroy ministr. kakoy ministr vyigryvaet pri pravilnoy igre? (zhyuri) complete_graph directed_graph cycle stmt-graph igra orientatsii reber k100 ai_checked na rebrah polnogo grafa \\(k_{100}\\) igrayut dva igroka. pervyy za hod orientiruet odno esche ne orientirovannoe rebro, vtoroy za hod orientiruet ot 0 do 98 esche ne orientirovannyh reber. pervyy vyigryvaet, esli posle orientatsii vseh reber itogovyy turnir soderzhit orientirovannyy tsikl; vtoroy vyigryvaet, esli itogovyy turnir atsiklichen. opredelite pobeditelya pri pravilnoy igre. complete_graph directed_graph cycle tournament idea-ordered-blocks invariant uporyadochennyh blokov vtoroy igrok mozhet podderzhivat uporyadochennoe razbienie gorodov na bloki: vse dorogi mezhdu raznymi blokami uzhe orientirovany ot bolee rannego bloka k bolee pozdnemu, a vnutri blokov dorog s napravleniem net. posle hoda pervogo vnutri bloka vtoroy otdelyaet konets novoy strelki v otdelnyy sleduyuschiy blok. tournaments ai_checked sol-second-player-block-strategy strategiya vtorogo cherez uporyadochennye bloki ai_checked complete_graph directed_graph cycle tournament vyigryvaet vtoroy ministr. posle kazhdogo svoego hoda on budet podderzhivat takoy invariant. vse goroda razbity na uporyadochennye bloki \\(b_1,\\ldots,b_s\\). esli goroda lezhat v raznyh blokah, to doroga mezhdu nimi uzhe orientirovana iz bolee rannego bloka v bolee pozdniy. esli goroda lezhat v odnom bloke, to doroga mezhdu nimi esche ne orientirovana. v nachale est odin blok iz vseh 100 gorodov, poetomu invariant vypolnen. pust pered hodom pervogo invariant vypolnen. vse dorogi mezhdu raznymi blokami uzhe orientirovany, znachit pervyy mozhet vybrat tolko dorogu vnutri nekotorogo bloka \\(b\\). pust on orientiroval dorogu \\(x\\to y\\), gde \\(x,y\\in b\\) i \\(|b|=m\\). eta strelka sama po sebe ne sozdaet orientirovannogo tsikla: vnutri \\(b\\) do nee ne bylo orientirovannyh dorog, a vse dorogi iz vneshnih blokov idut otnositelno vsego bloka \\(b\\) v odnom napravlenii. otvet vtorogo takoy. on zamenyaet blok \\(b…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2014-round3-city-triangle-routes","title":"Граф дорог и треугольные маршруты, Кубок Колмогорова 2014","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2014-round3-city-triangle-routes.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2014-round3-city-triangle-routes.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2014-round3-city-triangle-routes","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2014 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":["Карпов Д.В."],"tags":["double_counting","goal_counting","matching"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2014; исходный файл:  tur3_18.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 2014 городов. Из каждого города выходит ровно 8 дорог, и каждая дорога входит хотя бы в один циклический маршрут через три города. Докажите, что некоторый город входит хотя бы в пять циклических маршрутов через три города.","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Треугольники в 8-регулярном графе","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — 8-регулярный граф на 2014 вершинах, в котором каждое ребро лежит хотя бы в одном треугольнике. Докажите, что некоторая вершина графа лежит хотя бы в пяти треугольниках.","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-neighborhood-matching-count","title":"Окрестность каждой вершины вынуждает паросочетание","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов: города — вершины, дороги — рёбра. Граф 8-регулярный, и каждое ребро лежит хотя бы в одном треугольнике. Предположим противное: каждая вершина лежит не более чем в четырёх треугольниках. Возьмём произвольную вершину \\(v\\) и рассмотрим её 8 соседей. Треугольники, проходящие через \\(v\\), взаимно однозначно соответствуют рёбрам между соседями \\(v\\): если два соседа соединены ребром, они вместе с \\(v\\) дают треугольник, и наоборот. Поэтому между 8 соседями вершины \\(v\\) есть не более 4 рёбер. С другой стороны, каждое ребро \\(vu\\), выходящее из \\(v\\), лежит в некотором треугольнике \\(vuw\\). Значит, сосед \\(u\\) соединён ребром с каким-то другим соседом \\(w\\) вершины \\(v\\). Следовательно, в графе на 8 соседях вершины \\(v\\) нет изолированных вершин. Но граф на 8 вершинах без изолированных вершин имеет хотя бы 4 ребра. Значит, у него ровно 4 ребра, и эти 4 ребра…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm2014-4regular-cycles-city-triangle-routes","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2014-round3-city-triangle-routes граф дорог и треугольные маршруты, кубок колмогорова 2014 double_counting goal_counting matching 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова карпов д.в. кубок колмогорова кубок колмогорова 2014 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2014 карпов д.в. кубок колмогорова 2014 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 2014 городов. из каждого города выходит ровно 8 дорог, и каждая дорога входит хотя бы в один циклический маршрут через три города. докажите, что некоторый город входит хотя бы в пять циклических маршрутов через три города. simple_graph degree cycle stmt-graph треугольники в 8-регулярном графе ai_checked пусть \\(g\\) — 8-регулярный граф на 2014 вершинах, в котором каждое ребро лежит хотя бы в одном треугольнике. докажите, что некоторая вершина графа лежит хотя бы в пяти треугольниках. simple_graph degree cycle idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. double_counting needs_human_review sol-neighborhood-matching-count окрестность каждой вершины вынуждает паросочетание ai_checked simple_graph degree cycle double_counting переведём условие на язык графов: города — вершины, дороги — рёбра. граф 8-регулярный, и каждое ребро лежит хотя бы в одном треугольнике. предположим противное: каждая вершина лежит не более чем в четырёх треугольниках. возьмём произвольную вершину \\(v\\) и рассмотрим её 8 соседей. треугольники, проходящие через \\(v\\), взаимно однозначно соответствуют рёбрам между соседями \\(v\\): если два соседа соединены ребром, они вместе с \\(v\\) дают треугольник, и наоборот. поэтому между 8 соседями вершины \\(v\\) есть не более 4 рёбер. с другой стороны, каждое ребро \\(vu\\), выходящее из \\(v\\), лежит в некотором треугольнике \\(vuw\\). значит, сосед \\(u\\) соединён ребром с каким-то другим соседом \\(w\\) вершины \\(v\\). следовательно, в графе на 8 соседях вершины \\(v\\) нет изолированных вершин. но граф на 8 вершинах без изолированных вершин имеет хотя бы 4 ребра. значит, у него ровно 4 ребра, и эти 4 ребра… kolmogorov-2014-round3-city-triangle-routes graf dorog i treugolnye marshruty, kubok kolmogorova 2014 double_counting goal_counting matching 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova karpov d.v. kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2014 karpov d.v. kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 2014 gorodov. iz kazhdogo goroda vyhodit rovno 8 dorog, i kazhdaya doroga vhodit hotya by v odin tsiklicheskiy marshrut cherez tri goroda. dokazhite, chto nekotoryy gorod vhodit hotya by v pyat tsiklicheskih marshrutov cherez tri goroda. simple_graph degree cycle stmt-graph treugolniki v 8-regulyarnom grafe ai_checked pust \\(g\\) — 8-regulyarnyy graf na 2014 vershinah, v kotorom kazhdoe rebro lezhit hotya by v odnom treugolnike. dokazhite, chto nekotoraya vershina grafa lezhit hotya by v pyati treugolnikah. simple_graph degree cycle idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. double_counting needs_human_review sol-neighborhood-matching-count okrestnost kazhdoy vershiny vynuzhdaet parosochetanie ai_checked simple_graph degree cycle double_counting perevedem uslovie na yazyk grafov: goroda — vershiny, dorogi — rebra. graf 8-regulyarnyy, i kazhdoe rebro lezhit hotya by v odnom treugolnike. predpolozhim protivnoe: kazhdaya vershina lezhit ne bolee chem v chetyreh treugolnikah. vozmem proizvolnuyu vershinu \\(v\\) i rassmotrim ee 8 sosedey. treugolniki, prohodyaschie cherez \\(v\\), vzaimno odnoznachno sootvetstvuyut rebram mezhdu sosedyami \\(v\\): esli dva soseda soedineny rebrom, oni vmeste s \\(v\\) dayut treugolnik, i naoborot. poetomu mezhdu 8 sosedyami vershiny \\(v\\) est ne bolee 4 reber. s drugoy storony, kazhdoe rebro \\(vu\\), vyhodyaschee iz \\(v\\), lezhit v nekotorom treugolnike \\(vuw\\). znachit, sosed \\(u\\) soedinen rebrom s kakim-to drugim sosedom \\(w\\) vershiny \\(v\\). sledovatelno, v grafe na 8 sosedyah vershiny \\(v\\) net izolirovannyh vershin. no graf na 8 vershinah bez izolirovannyh vershin imeet hotya by 4 rebra. znachit, u nego rovno 4 rebra, i eti 4 rebra…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles","title":"Два непересекающихся 100-цикла в 4-регулярном графе, Кубок Колмогорова 2014","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2014 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":["Карпов Д.В."],"tags":["connectivity","goal_proof","construction","hamiltonian_cycles"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"2026-05-06 high-reasoning pass: задача закрыта через структурную классификацию Pfender--Royle для 4-регулярных графов, каждое ребро которых лежит в треугольнике. Связность после удаления любых трёх вершин исключает замены на K_{1,1,3}; линейный граф кубического мультиграфа исключается по модулю 3; остаётся квадрат 200-цикла.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"without_solution","solution_classification":{"type":"heavy_external_theorem_application","label":"решение через структурную классификацию","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"целевая проверка группы E с классификацией Pfender--Royle","notes":"Сознательное применение классификации Pfender--Royle для 4-регулярных графов с треугольным свойством; элементарный частный разбор не найден.","external_theorem_ids":["Pfender--Royle quartic triangle-property classification"],"audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"Связный граф имеет 200 вершин. Степень каждой вершины равна 4, каждое ребро принадлежит треугольнику, и после удаления любых трёх вершин граф остаётся связным. Докажите, что граф содержит два простых цикла длины 100, не имеющих общих вершин.","definition_ids":["simple_graph","cycle","degree","connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-structural-classification-square-cycle","title":"Структурная классификация 4-регулярных треугольных графов","status":"needs_human_review","definition_ids":["simple_graph","cycle","degree","connected_graph","line_graph","multigraph","graph_cut"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем пользоваться следующей структурной леммой Pfender--Royle для простых 4-регулярных графов, в которых каждое ребро лежит в треугольнике: такой связный граф либо является квадратом цикла \\(C_n^2\\), либо получается из линейного мультиграфа \\(L(M)\\) некоторого кубического мультиграфа \\(M\\) последовательной заменой некоторых треугольников на копии \\(K_{1,1,3}\\) так, что в итоге все кратные рёбра исчезают. Здесь \\(C_n^2\\) означает граф на вершинах \\(0,1,\\ldots,n-1\\), где соединены вершины, отличающиеся по модулю \\(n\\) на \\(1\\) или \\(2\\); а \\(K_{1,1,3}\\) — полный трёхдольный граф с долями размеров \\(1,1,3\\). Применим эту лемму к нашему графу \\(G\\). Сначала покажем, что в \\(G\\) не могла появиться замена треугольника на \\(K_{1,1,3}\\). В такой копии обозначим две одновершинные доли через \\(a,b\\), а трёхвершинную долю через \\(X\\). Внутри \\(K_{1,1,3}\\) вершины \\(a\\) и \\(b\\) смежны друг с друго…"}],"relations":[{"id":"rel-bondy-links-kolmogorov-2014-cycle-spectrum-contrast","neighbor_id":"bondy-pancyclic-theorem","direction":"backward","type":"false_friend","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm2014-4regular-cycles-city-triangle-routes","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round3-city-triangle-routes","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm2014-4regular-cycles-bw1997-hamiltonian-decomposition","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm2014-4regular-cycles-dirac-hamiltonian-contrast","neighbor_id":"dirac-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles два непересекающихся 100-цикла в 4-регулярном графе, кубок колмогорова 2014 connectivity goal_proof construction hamiltonian_cycles 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive without_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова карпов д.в. кубок колмогорова кубок колмогорова 2014 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2014 карпов д.в. кубок колмогорова 2014 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка source_verified связный граф имеет 200 вершин. степень каждой вершины равна 4, каждое ребро принадлежит треугольнику, и после удаления любых трёх вершин граф остаётся связным. докажите, что граф содержит два простых цикла длины 100, не имеющих общих вершин. simple_graph cycle degree connected_graph idea-classify-quartic-triangle-graphs свести граф к квадрату цикла ключевой структурный шаг: простой 4-регулярный граф, в котором каждое ребро лежит в треугольнике, либо является квадратом цикла, либо получается из линейного мультиграфа кубического мультиграфа заменами треугольников на \\(k_{1,1,3}\\). условие 4-вершинной связности запрещает такие замены, а число 200 не подходит для линейного графа кубического мультиграфа. connectivity construction ai_checked sol-structural-classification-square-cycle структурная классификация 4-регулярных треугольных графов needs_human_review simple_graph cycle degree connected_graph line_graph multigraph graph_cut invariant будем пользоваться следующей структурной леммой pfender--royle для простых 4-регулярных графов, в которых каждое ребро лежит в треугольнике: такой связный граф либо является квадратом цикла \\(c_n^2\\), либо получается из линейного мультиграфа \\(l(m)\\) некоторого кубического мультиграфа \\(m\\) последовательной заменой некоторых треугольников на копии \\(k_{1,1,3}\\) так, что в итоге все кратные рёбра исчезают. здесь \\(c_n^2\\) означает граф на вершинах \\(0,1,\\ldots,n-1\\), где соединены вершины, отличающиеся по модулю \\(n\\) на \\(1\\) или \\(2\\); а \\(k_{1,1,3}\\) — полный трёхдольный граф с долями размеров \\(1,1,3\\). применим эту лемму к нашему графу \\(g\\). сначала покажем, что в \\(g\\) не могла появиться замена треугольника на \\(k_{1,1,3}\\). в такой копии обозначим две одновершинные доли через \\(a,b\\), а трёхвершинную долю через \\(x\\). внутри \\(k_{1,1,3}\\) вершины \\(a\\) и \\(b\\) смежны друг с друго… kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles dva neperesekayuschihsya 100-tsikla v 4-regulyarnom grafe, kubok kolmogorova 2014 connectivity goal_proof construction hamiltonian_cycles 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive without_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova karpov d.v. kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2014 karpov d.v. kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka source_verified svyaznyy graf imeet 200 vershin. stepen kazhdoy vershiny ravna 4, kazhdoe rebro prinadlezhit treugolniku, i posle udaleniya lyubyh treh vershin graf ostaetsya svyaznym. dokazhite, chto graf soderzhit dva prostyh tsikla dliny 100, ne imeyuschih obschih vershin. simple_graph cycle degree connected_graph idea-classify-quartic-triangle-graphs svesti graf k kvadratu tsikla klyuchevoy strukturnyy shag: prostoy 4-regulyarnyy graf, v kotorom kazhdoe rebro lezhit v treugolnike, libo yavlyaetsya kvadratom tsikla, libo poluchaetsya iz lineynogo multigrafa kubicheskogo multigrafa zamenami treugolnikov na \\(k_{1,1,3}\\). uslovie 4-vershinnoy svyaznosti zapreschaet takie zameny, a chislo 200 ne podhodit dlya lineynogo grafa kubicheskogo multigrafa. connectivity construction ai_checked sol-structural-classification-square-cycle strukturnaya klassifikatsiya 4-regulyarnyh treugolnyh grafov needs_human_review simple_graph cycle degree connected_graph line_graph multigraph graph_cut invariant budem polzovatsya sleduyuschey strukturnoy lemmoy pfender--royle dlya prostyh 4-regulyarnyh grafov, v kotoryh kazhdoe rebro lezhit v treugolnike: takoy svyaznyy graf libo yavlyaetsya kvadratom tsikla \\(c_n^2\\), libo poluchaetsya iz lineynogo multigrafa \\(l(m)\\) nekotorogo kubicheskogo multigrafa \\(m\\) posledovatelnoy zamenoy nekotoryh treugolnikov na kopii \\(k_{1,1,3}\\) tak, chto v itoge vse kratnye rebra ischezayut. zdes \\(c_n^2\\) oznachaet graf na vershinah \\(0,1,\\ldots,n-1\\), gde soedineny vershiny, otlichayuschiesya po modulyu \\(n\\) na \\(1\\) ili \\(2\\); a \\(k_{1,1,3}\\) — polnyy trehdolnyy graf s dolyami razmerov \\(1,1,3\\). primenim etu lemmu k nashemu grafu \\(g\\). snachala pokazhem, chto v \\(g\\) ne mogla poyavitsya zamena treugolnika na \\(k_{1,1,3}\\). v takoy kopii oboznachim dve odnovershinnye doli cherez \\(a,b\\), a trehvershinnuyu dolyu cherez \\(x\\). vnutri \\(k_{1,1,3}\\) vershiny \\(a\\) i \\(b\\) smezhny drug s drugo…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2014-round4-diameter-cycle-length","title":"Условие на диаметр заставляет существовать длинный цикл, Кубок Колмогорова 2014","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2014-round4-diameter-cycle-length.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2014-round4-diameter-cycle-length.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2014-round4-diameter-cycle-length","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2014 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":["S. Kozerenko","T. Huynh"],"tags":["connectivity","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2014; исходный файл:  tur4_18.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе расстояние между любыми двумя вершинами не превосходит \\(d\\), где \\(d>1\\), и для каждой вершины найдётся другая вершина на расстоянии \\(d\\) от неё. Докажите, что в графе есть простой цикл, содержащий не менее \\(2d\\) вершин.","definition_ids":["connected_graph","simple_graph","cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-two-connected-diameter","title":"ИИ-решение через 2-связность и диаметральные вершины","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","simple_graph","cycle","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"По условию расстояние между любыми двумя вершинами не превосходит \\(d\\), а для каждой вершины есть вершина на расстоянии \\(d\\). Значит, граф связен, его диаметр равен \\(d\\), и эксцентриситет каждой вершины равен \\(d\\). Сначала докажем, что в графе нет точки сочленения. Предположим, что вершина \\(c\\) является точкой сочленения. Так как эксцентриситет \\(c\\) равен \\(d\\), найдётся вершина \\(x\\), для которой \\(\\rho(c,x)=d\\). Пусть \\(C\\) — компонента графа без вершины \\(c\\), содержащая \\(x\\). Поскольку \\(c\\) — точка сочленения, есть другая компонента; возьмём в ней вершину \\(y\\). Любой путь из \\(x\\) в \\(y\\) обязан проходить через \\(c\\), поэтому \\[ \\rho(x,y)=\\rho(x,c)+\\rho(c,y)>d. \\] Это противоречит условию, что все расстояния не превосходят \\(d\\). Следовательно, точек сочленения нет. Теперь используем стандартную лемму о 2-связных графах, то есть частный случай теоремы Менгера: в связном гра…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2014-diameter-cycle-bmo-2025-longest-path","neighbor_id":"bmo-2025-p4-flights-long-short-paths","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-miklos-2002-p2-kolmogorov-2014-diameter-connectivity","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2002-p2-edge-connected-short-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2014-round4-diameter-cycle-length условие на диаметр заставляет существовать длинный цикл, кубок колмогорова 2014 connectivity goal_exact_bound 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive s. kozerenko skozerenko src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive t. huynh thuynh with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2014 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2014 s. kozerenko t. huynh кубок колмогорова 2014 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе расстояние между любыми двумя вершинами не превосходит \\(d\\), где \\(d>1\\), и для каждой вершины найдётся другая вершина на расстоянии \\(d\\) от неё. докажите, что в графе есть простой цикл, содержащий не менее \\(2d\\) вершин. connected_graph simple_graph cycle path idea-graph-role графовая роль условие говорит, что граф имеет диаметр \\(d\\), и каждая вершина имеет эксцентриситет \\(d\\). это делает граф самоуцентрированным; ключевой шаг решения — заметить, что такой граф не может иметь точку сочленения. connectivity ai_checked sol-ai-two-connected-diameter ии-решение через 2-связность и диаметральные вершины ai_checked connected_graph simple_graph cycle path по условию расстояние между любыми двумя вершинами не превосходит \\(d\\), а для каждой вершины есть вершина на расстоянии \\(d\\). значит, граф связен, его диаметр равен \\(d\\), и эксцентриситет каждой вершины равен \\(d\\). сначала докажем, что в графе нет точки сочленения. предположим, что вершина \\(c\\) является точкой сочленения. так как эксцентриситет \\(c\\) равен \\(d\\), найдётся вершина \\(x\\), для которой \\(\\rho(c,x)=d\\). пусть \\(c\\) — компонента графа без вершины \\(c\\), содержащая \\(x\\). поскольку \\(c\\) — точка сочленения, есть другая компонента; возьмём в ней вершину \\(y\\). любой путь из \\(x\\) в \\(y\\) обязан проходить через \\(c\\), поэтому \\[ \\rho(x,y)=\\rho(x,c)+\\rho(c,y)>d. \\] это противоречит условию, что все расстояния не превосходят \\(d\\). следовательно, точек сочленения нет. теперь используем стандартную лемму о 2-связных графах, то есть частный случай теоремы менгера: в связном гра… kolmogorov-2014-round4-diameter-cycle-length uslovie na diametr zastavlyaet suschestvovat dlinnyy tsikl, kubok kolmogorova 2014 connectivity goal_exact_bound 2014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm18.zip kolmogorov kolmogorov2014 olympiad_archive s. kozerenko skozerenko src-kolmogorov-2014-official src-kolmogorov-archive t. huynh thuynh with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2014 s. kozerenko t. huynh kubok kolmogorova 2014 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe rasstoyanie mezhdu lyubymi dvumya vershinami ne prevoshodit \\(d\\), gde \\(d>1\\), i dlya kazhdoy vershiny naydetsya drugaya vershina na rasstoyanii \\(d\\) ot nee. dokazhite, chto v grafe est prostoy tsikl, soderzhaschiy ne menee \\(2d\\) vershin. connected_graph simple_graph cycle path idea-graph-role grafovaya rol uslovie govorit, chto graf imeet diametr \\(d\\), i kazhdaya vershina imeet ekstsentrisitet \\(d\\). eto delaet graf samoutsentrirovannym; klyuchevoy shag resheniya — zametit, chto takoy graf ne mozhet imet tochku sochleneniya. connectivity ai_checked sol-ai-two-connected-diameter ii-reshenie cherez 2-svyaznost i diametralnye vershiny ai_checked connected_graph simple_graph cycle path po usloviyu rasstoyanie mezhdu lyubymi dvumya vershinami ne prevoshodit \\(d\\), a dlya kazhdoy vershiny est vershina na rasstoyanii \\(d\\). znachit, graf svyazen, ego diametr raven \\(d\\), i ekstsentrisitet kazhdoy vershiny raven \\(d\\). snachala dokazhem, chto v grafe net tochki sochleneniya. predpolozhim, chto vershina \\(c\\) yavlyaetsya tochkoy sochleneniya. tak kak ekstsentrisitet \\(c\\) raven \\(d\\), naydetsya vershina \\(x\\), dlya kotoroy \\(\\rho(c,x)=d\\). pust \\(c\\) — komponenta grafa bez vershiny \\(c\\), soderzhaschaya \\(x\\). poskolku \\(c\\) — tochka sochleneniya, est drugaya komponenta; vozmem v ney vershinu \\(y\\). lyuboy put iz \\(x\\) v \\(y\\) obyazan prohodit cherez \\(c\\), poetomu \\[ \\rho(x,y)=\\rho(x,c)+\\rho(c,y)>d. \\] eto protivorechit usloviyu, chto vse rasstoyaniya ne prevoshodyat \\(d\\). sledovatelno, tochek sochleneniya net. teper ispolzuem standartnuyu lemmu o 2-svyaznyh grafah, to est chastnyy sluchay teoremy mengera: v svyaznom gra…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2015-individual-olympiad-juniors-problem-7","title":"Раскраска пар на балу при степенях не меньше 2, Кубок Колмогорова 2015","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2015-individual-olympiad-juniors-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2015-individual-olympiad-juniors-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2015-individual-olympiad-juniors-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2015 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","graph_in_solution","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_repaired_complete","label":"полное восстановленное решение","status":"ai_checked","confidence":0.91,"basis":"очень высокий аудит 2026-05-07","notes":"Скрытый пробел старого наброска закрыт заменой модели на ориентированный граф пар с входящими и исходящими дугами; решение восстановлено как самодостаточное.","audit_source":"very_high_pipeline_batch_5_2026_05_07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"На балу присутствуют 2015 пар, каждая состоит из мальчика и девочки. Каждый участник знаком со своим партнером и еще хотя бы с одним человеком противоположного пола. Нужно раскрасить всех участников в три цвета так, чтобы у каждого было хотя бы два знакомых разных цветов.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное решение через ориентированный граф пар","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","outdegree","indegree","proper_coloring","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим пары через \\((M_i,D_i)\\), где \\(M_i\\) - мальчик, \\(D_i\\) - его партнёрша, \\(i=1,\\ldots,2015\\). Построим ориентированный граф \\(Q\\) на вершинах \\(1,\\ldots,2015\\). Проведём дугу \\(i\\to j\\), если \\(i\\ne j\\) и мальчик \\(M_i\\) знаком с девочкой \\(D_j\\). Так как каждый мальчик знаком, кроме партнёрши, ещё хотя бы с одной девочкой, из каждой вершины \\(Q\\) выходит хотя бы одна дуга. Так как каждая девочка \\(D_j\\) знакома, кроме партнёра \\(M_j\\), ещё хотя бы с одним мальчиком \\(M_i\\), в каждую вершину \\(j\\) входит хотя бы одна дуга. Докажем простую лемму. Если в конечном ориентированном графе из каждой вершины выходит хотя бы одна дуга, то его вершины можно раскрасить в три цвета так, что у каждой вершины есть исходящий сосед другого цвета. Действительно, выберем из каждой вершины ровно одну исходящую дугу. Получится функциональный орграф: двигаясь по выбранным дугам из любой вершины,…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2015-individual-olympiad-juniors-problem-7 раскраска пар на балу при степенях не меньше 2, кубок колмогорова 2015 coloring graph_in_solution goal_existence 2015 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm19.zip kolmogorov kolmogorov2015 olympiad_archive src-kolmogorov-2015-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2015 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2015 ? кубок колмогорова 2015 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked на балу присутствуют 2015 пар, каждая состоит из мальчика и девочки. каждый участник знаком со своим партнером и еще хотя бы с одним человеком противоположного пола. нужно раскрасить всех участников в три цвета так, чтобы у каждого было хотя бы два знакомых разных цветов. simple_graph idea-graph-role графовая роль удобно сжать каждую пару в одну вершину и провести ориентированную дугу \\(i\\to j\\), если мальчик из пары \\(i\\) знаком с девочкой из пары \\(j\\). исходящие дуги помогут раскрасить девочек, а входящие дуги, то есть исходящие в обратном орграфе, помогут независимо раскрасить мальчиков. graph_in_solution ai_checked idea-functional-digraph-coloring орграф с исходящей дугой из каждой вершины красится вдоль функциональных компонент если из каждой вершины выбрать одну исходящую дугу, получится функциональный орграф: каждая компонента состоит из направленного цикла с деревьями, входящими в него. цикл можно правильно раскрасить тремя цветами, а затем каждую предшествующую вершину красить в цвет, отличный от цвета её выбранного следующего соседа. coloring ai_checked sol-official-compressed полное решение через ориентированный граф пар ai_checked simple_graph directed_graph outdegree indegree proper_coloring cycle tree greedy_ordering induction обозначим пары через \\((m_i,d_i)\\), где \\(m_i\\) - мальчик, \\(d_i\\) - его партнёрша, \\(i=1,\\ldots,2015\\). построим ориентированный граф \\(q\\) на вершинах \\(1,\\ldots,2015\\). проведём дугу \\(i\\to j\\), если \\(i\\ne j\\) и мальчик \\(m_i\\) знаком с девочкой \\(d_j\\). так как каждый мальчик знаком, кроме партнёрши, ещё хотя бы с одной девочкой, из каждой вершины \\(q\\) выходит хотя бы одна дуга. так как каждая девочка \\(d_j\\) знакома, кроме партнёра \\(m_j\\), ещё хотя бы с одним мальчиком \\(m_i\\), в каждую вершину \\(j\\) входит хотя бы одна дуга. докажем простую лемму. если в конечном ориентированном графе из каждой вершины выходит хотя бы одна дуга, то его вершины можно раскрасить в три цвета так, что у каждой вершины есть исходящий сосед другого цвета. действительно, выберем из каждой вершины ровно одну исходящую дугу. получится функциональный орграф: двигаясь по выбранным дугам из любой вершины,… kolmogorov-2015-individual-olympiad-juniors-problem-7 raskraska par na balu pri stepenyah ne menshe 2, kubok kolmogorova 2015 coloring graph_in_solution goal_existence 2015 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm19.zip kolmogorov kolmogorov2015 olympiad_archive src-kolmogorov-2015-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2015 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2015 ? kubok kolmogorova 2015 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked na balu prisutstvuyut 2015 par, kazhdaya sostoit iz malchika i devochki. kazhdyy uchastnik znakom so svoim partnerom i esche hotya by s odnim chelovekom protivopolozhnogo pola. nuzhno raskrasit vseh uchastnikov v tri tsveta tak, chtoby u kazhdogo bylo hotya by dva znakomyh raznyh tsvetov. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol udobno szhat kazhduyu paru v odnu vershinu i provesti orientirovannuyu dugu \\(i\\to j\\), esli malchik iz pary \\(i\\) znakom s devochkoy iz pary \\(j\\). ishodyaschie dugi pomogut raskrasit devochek, a vhodyaschie dugi, to est ishodyaschie v obratnom orgrafe, pomogut nezavisimo raskrasit malchikov. graph_in_solution ai_checked idea-functional-digraph-coloring orgraf s ishodyaschey dugoy iz kazhdoy vershiny krasitsya vdol funktsionalnyh komponent esli iz kazhdoy vershiny vybrat odnu ishodyaschuyu dugu, poluchitsya funktsionalnyy orgraf: kazhdaya komponenta sostoit iz napravlennogo tsikla s derevyami, vhodyaschimi v nego. tsikl mozhno pravilno raskrasit tremya tsvetami, a zatem kazhduyu predshestvuyuschuyu vershinu krasit v tsvet, otlichnyy ot tsveta ee vybrannogo sleduyuschego soseda. coloring ai_checked sol-official-compressed polnoe reshenie cherez orientirovannyy graf par ai_checked simple_graph directed_graph outdegree indegree proper_coloring cycle tree greedy_ordering induction oboznachim pary cherez \\((m_i,d_i)\\), gde \\(m_i\\) - malchik, \\(d_i\\) - ego partnersha, \\(i=1,\\ldots,2015\\). postroim orientirovannyy graf \\(q\\) na vershinah \\(1,\\ldots,2015\\). provedem dugu \\(i\\to j\\), esli \\(i\\ne j\\) i malchik \\(m_i\\) znakom s devochkoy \\(d_j\\). tak kak kazhdyy malchik znakom, krome partnershi, esche hotya by s odnoy devochkoy, iz kazhdoy vershiny \\(q\\) vyhodit hotya by odna duga. tak kak kazhdaya devochka \\(d_j\\) znakoma, krome partnera \\(m_j\\), esche hotya by s odnim malchikom \\(m_i\\), v kazhduyu vershinu \\(j\\) vhodit hotya by odna duga. dokazhem prostuyu lemmu. esli v konechnom orientirovannom grafe iz kazhdoy vershiny vyhodit hotya by odna duga, to ego vershiny mozhno raskrasit v tri tsveta tak, chto u kazhdoy vershiny est ishodyaschiy sosed drugogo tsveta. deystvitelno, vyberem iz kazhdoy vershiny rovno odnu ishodyaschuyu dugu. poluchitsya funktsionalnyy orgraf: dvigayas po vybrannym dugam iz lyuboy vershiny,…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2015-round-2-graph-coloring-problem","title":"Трёхцветная раскраска графа при ограничении на число циклов через ребро, Кубок Колмогорова 2015","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2015-round-2-graph-coloring-problem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2015-round-2-graph-coloring-problem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2015-round-2-graph-coloring-problem","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2015 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","induction","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"официальный источник, восстановление 2026-04-27 и high-reasoning аудит 2026-05-17","notes":"Решение самодостаточно: все индукционные разрезы закрыты, а оставшийся 3-связный случай невозможен из-за подразделения K4, где ребро лежит в четырёх простых циклах.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В некотором графе через каждое ребро проходит не более трех простых циклов. Требуется доказать, что вершины этого графа можно правильно окрасить в три цвета.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Подробное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение индукцией по числу вершин. Несвязный граф раскрашивается по компонентам, поэтому далее можно считать граф H связным. База для графов не более чем с тремя вершинами очевидна. Если в H есть точка сочленения a, то H разбивается на два меньших индуцированных подграфа H1 и H2 с единственной общей вершиной a. Каждый из них удовлетворяет тому же условию о циклах, потому что любой его простой цикл является простым циклом в H. По предположению индукции H1 и H2 правильно 3-раскрашиваются; переставив названия цветов в одной раскраске, добиваемся, чтобы цвет a совпал, и склеиваем раскраски. Теперь пусть H не имеет точек сочленения, но существуют две вершины x и y, такие что H - {x,y} несвязен. Разобьем компоненты H - {x,y} на две непустые группы и обозначим через H1' и H2' индуцированные подграфы на вершинах этих групп вместе с x и y. Так как в H нет точек сочленения, в каждом и…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2015-round-2-graph-coloring-problem трёхцветная раскраска графа при ограничении на число циклов через ребро, кубок колмогорова 2015 coloring connectivity induction goal_proof 2015 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm19.zip kolmogorov kolmogorov2015 olympiad_archive src-kolmogorov-2015-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2015 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2015 ? кубок колмогорова 2015 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в некотором графе через каждое ребро проходит не более трех простых циклов. требуется доказать, что вершины этого графа можно правильно окрасить в три цвета. simple_graph idea-graph-role графовая роль граф присутствует прямо в условии, а официальное решение полностью основано на разрезаниях графа по вершинам, индуцированных подграфах и поиске подразбиения k4. ai_checked sol-official-compressed подробное решение ai_checked simple_graph induction докажем утверждение индукцией по числу вершин. несвязный граф раскрашивается по компонентам, поэтому далее можно считать граф h связным. база для графов не более чем с тремя вершинами очевидна. если в h есть точка сочленения a, то h разбивается на два меньших индуцированных подграфа h1 и h2 с единственной общей вершиной a. каждый из них удовлетворяет тому же условию о циклах, потому что любой его простой цикл является простым циклом в h. по предположению индукции h1 и h2 правильно 3-раскрашиваются; переставив названия цветов в одной раскраске, добиваемся, чтобы цвет a совпал, и склеиваем раскраски. теперь пусть h не имеет точек сочленения, но существуют две вершины x и y, такие что h - {x,y} несвязен. разобьем компоненты h - {x,y} на две непустые группы и обозначим через h1' и h2' индуцированные подграфы на вершинах этих групп вместе с x и y. так как в h нет точек сочленения, в каждом и… kolmogorov-2015-round-2-graph-coloring-problem trehtsvetnaya raskraska grafa pri ogranichenii na chislo tsiklov cherez rebro, kubok kolmogorova 2015 coloring connectivity induction goal_proof 2015 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm19.zip kolmogorov kolmogorov2015 olympiad_archive src-kolmogorov-2015-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2015 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2015 ? kubok kolmogorova 2015 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v nekotorom grafe cherez kazhdoe rebro prohodit ne bolee treh prostyh tsiklov. trebuetsya dokazat, chto vershiny etogo grafa mozhno pravilno okrasit v tri tsveta. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol graf prisutstvuet pryamo v uslovii, a ofitsialnoe reshenie polnostyu osnovano na razrezaniyah grafa po vershinam, indutsirovannyh podgrafah i poiske podrazbieniya k4. ai_checked sol-official-compressed podrobnoe reshenie ai_checked simple_graph induction dokazhem utverzhdenie induktsiey po chislu vershin. nesvyaznyy graf raskrashivaetsya po komponentam, poetomu dalee mozhno schitat graf h svyaznym. baza dlya grafov ne bolee chem s tremya vershinami ochevidna. esli v h est tochka sochleneniya a, to h razbivaetsya na dva menshih indutsirovannyh podgrafa h1 i h2 s edinstvennoy obschey vershinoy a. kazhdyy iz nih udovletvoryaet tomu zhe usloviyu o tsiklah, potomu chto lyuboy ego prostoy tsikl yavlyaetsya prostym tsiklom v h. po predpolozheniyu induktsii h1 i h2 pravilno 3-raskrashivayutsya; perestaviv nazvaniya tsvetov v odnoy raskraske, dobivaemsya, chtoby tsvet a sovpal, i skleivaem raskraski. teper pust h ne imeet tochek sochleneniya, no suschestvuyut dve vershiny x i y, takie chto h - {x,y} nesvyazen. razobem komponenty h - {x,y} na dve nepustye gruppy i oboznachim cherez h1' i h2' indutsirovannye podgrafy na vershinah etih grupp vmeste s x i y. tak kak v h net tochek sochleneniya, v kazhdom i…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2015-round-3-missionaries-and-cannibals-problem","title":"Граф переправ миссионеров и каннибалов через реку, Кубок Колмогорова 2015","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2015-round-3-missionaries-and-cannibals-problem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2015-round-3-missionaries-and-cannibals-problem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2015-round-3-missionaries-and-cannibals-problem","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2015 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В этом проходе развёрнуты инвариант на берегах, переход от равных рейсов к степеням и двудольный подсчет по компонентам.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"На лодке, вмещающей только двух человек, через реку переправилась группа миссионеров и каннибалов, причем миссионеров было на одного больше. Каждый раз туда плыли двое, обратно один. Ни на одном берегу миссионеров никогда не было меньше, чем каннибалов, и каннибалы не оставались без присмотра миссионеров. Могло ли получиться, что каждые двое, которые когда-либо переправлялись вместе, в итоге совершили одинаковое число рейсов?","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","connected_graph","degree","multigraph","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: не могло. Сначала уточним, кто может плыть вдвоем в направлении «туда». Пусть на исходном берегу в некоторый момент находятся `m` миссионеров и `c` каннибалов. Всего миссионеров на одного больше, чем каннибалов. Условие безопасности на исходном берегу дает `m >= c`, а условие безопасности на другом берегу, где находятся остальные люди, дает `c + 1 >= m`. Значит, всегда `m-c` равно либо `0`, либо `1`. Если бы туда поплыли два миссионера, то на исходном берегу разность `m-c` уменьшилась бы на `2` и стала бы отрицательной; там каннибалов оказалось бы больше, чем миссионеров. Если бы туда поплыли два каннибала, то разность `m-c` увеличилась бы на `2`, и тогда на другом берегу каннибалов стало бы больше, чем миссионеров. Поэтому каждый рейс туда вдвоем обязательно состоит из одного миссионера и одного каннибала. Для каждого человека число рейсов туда на единицу больше числа рейсов обр…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2015-round-3-missionaries-and-cannibals-problem граф переправ миссионеров и каннибалов через реку, кубок колмогорова 2015 goal_impossibility 2015 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm19.zip kolmogorov kolmogorov2015 olympiad_archive src-kolmogorov-2015-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2015 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2015 ? кубок колмогорова 2015 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked на лодке, вмещающей только двух человек, через реку переправилась группа миссионеров и каннибалов, причем миссионеров было на одного больше. каждый раз туда плыли двое, обратно один. ни на одном берегу миссионеров никогда не было меньше, чем каннибалов, и каннибалы не оставались без присмотра миссионеров. могло ли получиться, что каждые двое, которые когда-либо переправлялись вместе, в итоге совершили одинаковое число рейсов? simple_graph idea-graph-role графовая роль в официальном решении строится двудольный граф совместных рейсов, и именно через свойства его компонент связности выводится противоречие. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное решение ai_checked simple_graph bipartite_graph connected_graph degree multigraph path ответ: не могло. сначала уточним, кто может плыть вдвоем в направлении «туда». пусть на исходном берегу в некоторый момент находятся `m` миссионеров и `c` каннибалов. всего миссионеров на одного больше, чем каннибалов. условие безопасности на исходном берегу дает `m >= c`, а условие безопасности на другом берегу, где находятся остальные люди, дает `c + 1 >= m`. значит, всегда `m-c` равно либо `0`, либо `1`. если бы туда поплыли два миссионера, то на исходном берегу разность `m-c` уменьшилась бы на `2` и стала бы отрицательной; там каннибалов оказалось бы больше, чем миссионеров. если бы туда поплыли два каннибала, то разность `m-c` увеличилась бы на `2`, и тогда на другом берегу каннибалов стало бы больше, чем миссионеров. поэтому каждый рейс туда вдвоем обязательно состоит из одного миссионера и одного каннибала. для каждого человека число рейсов туда на единицу больше числа рейсов обр… kolmogorov-2015-round-3-missionaries-and-cannibals-problem graf pereprav missionerov i kannibalov cherez reku, kubok kolmogorova 2015 goal_impossibility 2015 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm19.zip kolmogorov kolmogorov2015 olympiad_archive src-kolmogorov-2015-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2015 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2015 ? kubok kolmogorova 2015 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked na lodke, vmeschayuschey tolko dvuh chelovek, cherez reku perepravilas gruppa missionerov i kannibalov, prichem missionerov bylo na odnogo bolshe. kazhdyy raz tuda plyli dvoe, obratno odin. ni na odnom beregu missionerov nikogda ne bylo menshe, chem kannibalov, i kannibaly ne ostavalis bez prismotra missionerov. moglo li poluchitsya, chto kazhdye dvoe, kotorye kogda-libo perepravlyalis vmeste, v itoge sovershili odinakovoe chislo reysov? simple_graph idea-graph-role grafovaya rol v ofitsialnom reshenii stroitsya dvudolnyy graf sovmestnyh reysov, i imenno cherez svoystva ego komponent svyaznosti vyvoditsya protivorechie. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph bipartite_graph connected_graph degree multigraph path otvet: ne moglo. snachala utochnim, kto mozhet plyt vdvoem v napravlenii «tuda». pust na ishodnom beregu v nekotoryy moment nahodyatsya `m` missionerov i `c` kannibalov. vsego missionerov na odnogo bolshe, chem kannibalov. uslovie bezopasnosti na ishodnom beregu daet `m >= c`, a uslovie bezopasnosti na drugom beregu, gde nahodyatsya ostalnye lyudi, daet `c + 1 >= m`. znachit, vsegda `m-c` ravno libo `0`, libo `1`. esli by tuda poplyli dva missionera, to na ishodnom beregu raznost `m-c` umenshilas by na `2` i stala by otritsatelnoy; tam kannibalov okazalos by bolshe, chem missionerov. esli by tuda poplyli dva kannibala, to raznost `m-c` uvelichilas by na `2`, i togda na drugom beregu kannibalov stalo by bolshe, chem missionerov. poetomu kazhdyy reys tuda vdvoem obyazatelno sostoit iz odnogo missionera i odnogo kannibala. dlya kazhdogo cheloveka chislo reysov tuda na edinitsu bolshe chisla reysov obr…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem","title":"Граф связных индуцированных подграфов, Кубок Колмогорова 2015","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2015 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":["И. Богданов"],"tags":["connectivity","induction","graph_model","goal_algorithm"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Восстановленное официальное решение использует нетривиальную реконструкцию графа по графу связных индуцированных подмножеств.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"официальное решение plus restored missing details","notes":"Официальное решение краткое; восстановлены промежуточные доказательства распознавания уникума, пяти классов и рекурсивного удаления.","audit_source":"official-plan-expansion-agent-5"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В некоторой стране есть несколько шпионов, некоторые пары соединены секретными каналами связи. Непустая группа A называется опергруппой, если любой шпион из A может передать сообщение любому другому, возможно через посредников из A. Две опергруппы считаются связанными, если они не пересекаются, а их объединение тоже является опергруппой. Резидент составил схему связей между опергруппами, но без указания их составов. Нужно доказать, что по этой схеме контрразведка может восстановить исходную схему связей между шпионами.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","induced_subgraph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Восстановление графа по связным множествам","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф. Непустое множество вершин назовём опергруппой, если индуцированный на нём подграф связен. Две опергруппы связаны, если они не пересекаются, а их объединение тоже является опергруппой. Докажите, что по графу связей между всеми опергруппами можно восстановить исходный граф \\(G\\).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","induced_subgraph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Восстановление графа по графу опергрупп","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","degree","path","induced_subgraph"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify","induction","longest_path"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Перейдём на язык графов. Пусть \\(G\\) - неизвестный граф шпионов. Вершинами графа \\(H\\) являются все непустые множества \\(X\\subseteq V(G)\\), для которых индуцированный подграф \\(G[X]\\) связен; две такие вершины \\(X,Y\\) соединены в \\(H\\), если \\(X\\cap Y=\\varnothing\\) и \\(G[X\\cup Y]\\) связен. Нужно показать, что из одного только графа \\(H\\) восстанавливается \\(G\\). Сначала отделим компоненты. Если \\(C\\) - компонента связности \\(G\\), то вершина \\(C\\) в \\(H\\) изолирована: всякая непустая опергруппа, не пересекающая \\(C\\), лежит в другой компоненте \\(G\\), а непустая опергруппа внутри \\(C\\) пересекается с \\(C\\) или не даёт большего связного объединения. Обратно, если опергруппа \\(X\\) не равна целой компоненте \\(G\\), то в той же компоненте есть вершина вне \\(X\\), ближайшая к \\(X\\); она или соответствующая начальная часть пути даёт опергруппу, связанную с \\(X\\) в \\(H\\). Поэтому изолированные вер…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2015-spies-tree-equivalent-noncut-leaf","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2015-spies-2004-tree-reconstruction","neighbor_id":"kolmogorov-2004-round1-higher-league-problem-3","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2015-spies-cayley-prufer-leaf-reconstruction","neighbor_id":"cayley-prufer-labeled-trees","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem граф связных индуцированных подграфов, кубок колмогорова 2015 connectivity induction graph_model goal_algorithm 2015 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm19.zip kolmogorov kolmogorov2015 olympiad_archive src-kolmogorov-2015-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова и. богданов кубок колмогорова кубок колмогорова 2015 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2015 и. богданов кубок колмогорова 2015 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в некоторой стране есть несколько шпионов, некоторые пары соединены секретными каналами связи. непустая группа a называется опергруппой, если любой шпион из a может передать сообщение любому другому, возможно через посредников из a. две опергруппы считаются связанными, если они не пересекаются, а их объединение тоже является опергруппой. резидент составил схему связей между опергруппами, но без указания их составов. нужно доказать, что по этой схеме контрразведка может восстановить исходную схему связей между шпионами. simple_graph connected_graph induced_subgraph stmt-graph восстановление графа по связным множествам ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф. непустое множество вершин назовём опергруппой, если индуцированный на нём подграф связен. две опергруппы связаны, если они не пересекаются, а их объединение тоже является опергруппой. докажите, что по графу связей между всеми опергруппами можно восстановить исходный граф \\(g\\). simple_graph connected_graph induced_subgraph idea-graph-role графовая роль официальное решение целиком сформулировано как реконструкция одного графа из другого: вводятся исходный граф \\(g\\) и вспомогательный граф \\(h\\), вершинами которого являются связные индуцированные подграфы \\(g\\). graph_model connectivity ai_checked idea-singleton-recognition найти одноэлементную опергруппу в связной компоненте исходного графа вершина степени 1 во вспомогательном графе соответствует множеству \\(g-\\{v\\}\\), где \\(v\\) не является точкой сочленения; её единственный сосед во вспомогательном графе есть одноэлементная опергруппа \\(\\{v\\}\\). connectivity degree_counting ai_checked idea-distance-two-classes классы вокруг найденного уникума после нахождения \\(\\{v\\}\\) все опергруппы классифицируются по тому, содержат ли они \\(v\\) и всех соседей \\(v\\). это позволяет определить все опергруппы, содержащие \\(v\\), удалить их и повторить восстановление для \\(g-\\{v\\}\\). connectivity induction ai_checked sol-official-restored восстановление графа по графу опергрупп ai_checked simple_graph connected_graph degree path induced_subgraph delete_to_simplify induction longest_path перейдём на язык графов. пусть \\(g\\) - неизвестный граф шпионов. вершинами графа \\(h\\) являются все непустые множества \\(x\\subseteq v(g)\\), для которых индуцированный подграф \\(g[x]\\) связен; две такие вершины \\(x,y\\) соединены в \\(h\\), если \\(x\\cap y=\\varnothing\\) и \\(g[x\\cup y]\\) связен. нужно показать, что из одного только графа \\(h\\) восстанавливается \\(g\\). сначала отделим компоненты. если \\(c\\) - компонента связности \\(g\\), то вершина \\(c\\) в \\(h\\) изолирована: всякая непустая опергруппа, не пересекающая \\(c\\), лежит в другой компоненте \\(g\\), а непустая опергруппа внутри \\(c\\) пересекается с \\(c\\) или не даёт большего связного объединения. обратно, если опергруппа \\(x\\) не равна целой компоненте \\(g\\), то в той же компоненте есть вершина вне \\(x\\), ближайшая к \\(x\\); она или соответствующая начальная часть пути даёт опергруппу, связанную с \\(x\\) в \\(h\\). поэтому изолированные вер… kolmogorov-2015-round-4-spies-and-opergroups-problem graf svyaznyh indutsirovannyh podgrafov, kubok kolmogorova 2015 connectivity induction graph_model goal_algorithm 2015 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm19.zip kolmogorov kolmogorov2015 olympiad_archive src-kolmogorov-2015-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova i. bogdanov kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2015 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2015 i. bogdanov kubok kolmogorova 2015 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v nekotoroy strane est neskolko shpionov, nekotorye pary soedineny sekretnymi kanalami svyazi. nepustaya gruppa a nazyvaetsya opergruppoy, esli lyuboy shpion iz a mozhet peredat soobschenie lyubomu drugomu, vozmozhno cherez posrednikov iz a. dve opergruppy schitayutsya svyazannymi, esli oni ne peresekayutsya, a ih obedinenie tozhe yavlyaetsya opergruppoy. rezident sostavil shemu svyazey mezhdu opergruppami, no bez ukazaniya ih sostavov. nuzhno dokazat, chto po etoy sheme kontrrazvedka mozhet vosstanovit ishodnuyu shemu svyazey mezhdu shpionami. simple_graph connected_graph induced_subgraph stmt-graph vosstanovlenie grafa po svyaznym mnozhestvam ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf. nepustoe mnozhestvo vershin nazovem opergruppoy, esli indutsirovannyy na nem podgraf svyazen. dve opergruppy svyazany, esli oni ne peresekayutsya, a ih obedinenie tozhe yavlyaetsya opergruppoy. dokazhite, chto po grafu svyazey mezhdu vsemi opergruppami mozhno vosstanovit ishodnyy graf \\(g\\). simple_graph connected_graph induced_subgraph idea-graph-role grafovaya rol ofitsialnoe reshenie tselikom sformulirovano kak rekonstruktsiya odnogo grafa iz drugogo: vvodyatsya ishodnyy graf \\(g\\) i vspomogatelnyy graf \\(h\\), vershinami kotorogo yavlyayutsya svyaznye indutsirovannye podgrafy \\(g\\). graph_model connectivity ai_checked idea-singleton-recognition nayti odnoelementnuyu opergruppu v svyaznoy komponente ishodnogo grafa vershina stepeni 1 vo vspomogatelnom grafe sootvetstvuet mnozhestvu \\(g-\\{v\\}\\), gde \\(v\\) ne yavlyaetsya tochkoy sochleneniya; ee edinstvennyy sosed vo vspomogatelnom grafe est odnoelementnaya opergruppa \\(\\{v\\}\\). connectivity degree_counting ai_checked idea-distance-two-classes klassy vokrug naydennogo unikuma posle nahozhdeniya \\(\\{v\\}\\) vse opergruppy klassifitsiruyutsya po tomu, soderzhat li oni \\(v\\) i vseh sosedey \\(v\\). eto pozvolyaet opredelit vse opergruppy, soderzhaschie \\(v\\), udalit ih i povtorit vosstanovlenie dlya \\(g-\\{v\\}\\). connectivity induction ai_checked sol-official-restored vosstanovlenie grafa po grafu opergrupp ai_checked simple_graph connected_graph degree path induced_subgraph delete_to_simplify induction longest_path pereydem na yazyk grafov. pust \\(g\\) - neizvestnyy graf shpionov. vershinami grafa \\(h\\) yavlyayutsya vse nepustye mnozhestva \\(x\\subseteq v(g)\\), dlya kotoryh indutsirovannyy podgraf \\(g[x]\\) svyazen; dve takie vershiny \\(x,y\\) soedineny v \\(h\\), esli \\(x\\cap y=\\varnothing\\) i \\(g[x\\cup y]\\) svyazen. nuzhno pokazat, chto iz odnogo tolko grafa \\(h\\) vosstanavlivaetsya \\(g\\). snachala otdelim komponenty. esli \\(c\\) - komponenta svyaznosti \\(g\\), to vershina \\(c\\) v \\(h\\) izolirovana: vsyakaya nepustaya opergruppa, ne peresekayuschaya \\(c\\), lezhit v drugoy komponente \\(g\\), a nepustaya opergruppa vnutri \\(c\\) peresekaetsya s \\(c\\) ili ne daet bolshego svyaznogo obedineniya. obratno, esli opergruppa \\(x\\) ne ravna tseloy komponente \\(g\\), to v toy zhe komponente est vershina vne \\(x\\), blizhayshaya k \\(x\\); ona ili sootvetstvuyuschaya nachalnaya chast puti daet opergruppu, svyazannuyu s \\(x\\) v \\(h\\). poetomu izolirovannye ver…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2016-individual-olympiad-juniors-problem-7","title":"Подмножество натуральных чисел без взаимной делимости и сдвинутой делимости, Кубок Колмогорова 2016","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2016-individual-olympiad-juniors-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2016-individual-olympiad-juniors-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2016-individual-olympiad-juniors-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2016 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_existence","extremal_choice"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Нетривиальная конструкция в двух транзитивных отношениях: официальный план короткий, но после восстановления сводится к аккуратным инвариантам конечного процесса.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное восстановленное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный сжатый план сверен с архивом Кубка Колмогорова 2016 года и развёрнут в самодостаточное доказательство.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Для любого конечного множества A натуральных чисел требуется выбрать подмножество B со свойствами: для любых различных b1, b2 из B ни одно из чисел b1, b2 не делится на другое, и ни одно из чисел b1+1, b2+1 не делится на другое; кроме того, для каждого a из A найдется b из B такое, что либо b делится на a, либо a+1 делится на b+1.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Конечный процесс с выбранными и хорошими вершинами","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","independent_set"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим на множестве \\(A\\) двуцветный ориентированный граф. Для различных вершин \\(b,a\\in A\\) проведём синюю стрелку \\(b\\to a\\), если \\(b\\) делится на \\(a\\), и красную стрелку \\(b\\to a\\), если \\(a+1\\) делится на \\(b+1\\). Оба отношения транзитивны: для синих стрелок это обычная транзитивность делимости, а для красных из \\(x\\to y\\) и \\(y\\to z\\) следует, что \\(z+1\\) делится на \\(y+1\\), а \\(y+1\\) делится на \\(x+1\\), значит \\(z+1\\) делится на \\(x+1\\). Нужно выбрать такое множество вершин \\(B\\), что между различными вершинами \\(B\\) нет ни синих, ни красных стрелок, а каждая вершина вне \\(B\\) получает из \\(B\\) хотя бы одну стрелку одного из двух цветов. Тогда условия задачи будут выполнены: отсутствие синих стрелок между двумя выбранными числами означает, что ни одно из них не делит другое, отсутствие красных означает то же для чисел, увеличенных на 1, а входящая стрелка из \\(b\\in B\\) в \\(a\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2016-junior-p7-caro-wei-independent-absorbing-set","neighbor_id":"caro-wei-independent-set-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2016-team-p6-kolm-2016-ind-junior-p7-auxiliary-graph","neighbor_id":"kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2016-individual-olympiad-juniors-problem-7 подмножество натуральных чисел без взаимной делимости и сдвинутой делимости, кубок колмогорова 2016 goal_existence extremal_choice 2016 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm20.zip kolmogorov kolmogorov2016 olympiad_archive src-kolmogorov-2016-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2016 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2016 ? кубок колмогорова 2016 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked для любого конечного множества a натуральных чисел требуется выбрать подмножество b со свойствами: для любых различных b1, b2 из b ни одно из чисел b1, b2 не делится на другое, и ни одно из чисел b1+1, b2+1 не делится на другое; кроме того, для каждого a из a найдется b из b такое, что либо b делится на a, либо a+1 делится на b+1. idea-graph-role графовая роль официальное решение прямо вводит двуцветный ориентированный граф. синие и красные стрелки транзитивны, а искомое множество получается как независимое множество, которое стрелками покрывает все остальные вершины. ai_checked sol-official-restored конечный процесс с выбранными и хорошими вершинами ai_checked directed_graph independent_set extremal_choice invariant построим на множестве \\(a\\) двуцветный ориентированный граф. для различных вершин \\(b,a\\in a\\) проведём синюю стрелку \\(b\\to a\\), если \\(b\\) делится на \\(a\\), и красную стрелку \\(b\\to a\\), если \\(a+1\\) делится на \\(b+1\\). оба отношения транзитивны: для синих стрелок это обычная транзитивность делимости, а для красных из \\(x\\to y\\) и \\(y\\to z\\) следует, что \\(z+1\\) делится на \\(y+1\\), а \\(y+1\\) делится на \\(x+1\\), значит \\(z+1\\) делится на \\(x+1\\). нужно выбрать такое множество вершин \\(b\\), что между различными вершинами \\(b\\) нет ни синих, ни красных стрелок, а каждая вершина вне \\(b\\) получает из \\(b\\) хотя бы одну стрелку одного из двух цветов. тогда условия задачи будут выполнены: отсутствие синих стрелок между двумя выбранными числами означает, что ни одно из них не делит другое, отсутствие красных означает то же для чисел, увеличенных на 1, а входящая стрелка из \\(b\\in b\\) в \\(a\\)… kolmogorov-2016-individual-olympiad-juniors-problem-7 podmnozhestvo naturalnyh chisel bez vzaimnoy delimosti i sdvinutoy delimosti, kubok kolmogorova 2016 goal_existence extremal_choice 2016 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm20.zip kolmogorov kolmogorov2016 olympiad_archive src-kolmogorov-2016-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2016 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2016 ? kubok kolmogorova 2016 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dlya lyubogo konechnogo mnozhestva a naturalnyh chisel trebuetsya vybrat podmnozhestvo b so svoystvami: dlya lyubyh razlichnyh b1, b2 iz b ni odno iz chisel b1, b2 ne delitsya na drugoe, i ni odno iz chisel b1+1, b2+1 ne delitsya na drugoe; krome togo, dlya kazhdogo a iz a naydetsya b iz b takoe, chto libo b delitsya na a, libo a+1 delitsya na b+1. idea-graph-role grafovaya rol ofitsialnoe reshenie pryamo vvodit dvutsvetnyy orientirovannyy graf. sinie i krasnye strelki tranzitivny, a iskomoe mnozhestvo poluchaetsya kak nezavisimoe mnozhestvo, kotoroe strelkami pokryvaet vse ostalnye vershiny. ai_checked sol-official-restored konechnyy protsess s vybrannymi i horoshimi vershinami ai_checked directed_graph independent_set extremal_choice invariant postroim na mnozhestve \\(a\\) dvutsvetnyy orientirovannyy graf. dlya razlichnyh vershin \\(b,a\\in a\\) provedem sinyuyu strelku \\(b\\to a\\), esli \\(b\\) delitsya na \\(a\\), i krasnuyu strelku \\(b\\to a\\), esli \\(a+1\\) delitsya na \\(b+1\\). oba otnosheniya tranzitivny: dlya sinih strelok eto obychnaya tranzitivnost delimosti, a dlya krasnyh iz \\(x\\to y\\) i \\(y\\to z\\) sleduet, chto \\(z+1\\) delitsya na \\(y+1\\), a \\(y+1\\) delitsya na \\(x+1\\), znachit \\(z+1\\) delitsya na \\(x+1\\). nuzhno vybrat takoe mnozhestvo vershin \\(b\\), chto mezhdu razlichnymi vershinami \\(b\\) net ni sinih, ni krasnyh strelok, a kazhdaya vershina vne \\(b\\) poluchaet iz \\(b\\) hotya by odnu strelku odnogo iz dvuh tsvetov. togda usloviya zadachi budut vypolneny: otsutstvie sinih strelok mezhdu dvumya vybrannymi chislami oznachaet, chto ni odno iz nih ne delit drugoe, otsutstvie krasnyh oznachaet to zhe dlya chisel, uvelichennyh na 1, a vhodyaschaya strelka iz \\(b\\in b\\) v \\(a\\)…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6","title":"Достижимость по разностям номеров в правильном 2017-угольнике, Кубок Колмогорова 2016, командная олимпиада, старшая группа","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6","source_key":"kolmogorov","source_label":"Достижимость по разностям номеров в правильном","source_titles":["Кубок Колмогорова 2016 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":["А. Антропов","В. Клепцын"],"tags":["goal_exact_bound","coloring","modular_coloring","pigeonhole_principle","potential_function","graph_in_solution"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Официальное решение короткое, но требует аккуратно развернуть явную 12-раскраску степени цикла и нижнюю оценку через максимальные возрастающие цепочки.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"агент с высоким уровнем рассуждения довёл и проверил официальный архивный план из komol20.docx","notes":"Сжатые места официального решения развернуты без изменения основного метода; восстановленный текст проверен как локальное самодостаточное доказательство и как раскраска/нижняя оценка для степени цикла.","audit_source":"official-plan-final-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"Петя как-то занумеровал вершины правильного 2017-угольника числами от 1 до 2017. Вася первым ходом ставит фишку в какую-то из вершин. Каждым последующим ходом он может передвинуть фишку из вершины A в вершину B, если между ними не больше 9 других вершин и число в B больше числа в A. Какое наибольшее количество вершин гарантированно сможет посетить Вася, как бы Петя ни нумеровал вершины?","definition_ids":["simple_graph","path","cycle","proper_coloring","distance"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное доказательство","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","path","chromatic_number","cycle","proper_coloring","distance"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering","pigeonhole_principle","extremal_choice","potential_function"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 12. Построим вспомогательный граф G. Его вершины — вершины 2017-угольника; две разные вершины соединены ребром, если на меньшей из двух дуг между ними лежит не больше 9 других вершин. Иначе говоря, ребро соединяет вершины, расстояние между которыми по циклу не превосходит 10. Ход Васи возможен ровно вдоль ребра этого графа, если число в конечной вершине больше числа в начальной. Сначала докажем, что Петя может занумеровать вершины так, чтобы Вася не посетил больше 12 вершин. Для этого достаточно правильно раскрасить G в 12 цветов, занумерованных 0,1,...,11, а затем поставить меньшие числа во все вершины цвета 0, после них — во все вершины цвета 1, и так далее до цвета 11. Так как концы каждого ребра имеют разные цвета, любой ход меняет цвет. Кроме того, при такой нумерации ход может идти только из меньшего цвета в больший: если цвет B меньше цвета A, то все числа в цвете B меньше…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2016-team-p6-ghrv-longest-path-coloring","neighbor_id":"ghrv-every-orientation-long-directed-path","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2016-team-p6-ghrv-two-sided-coloring","neighbor_id":"gallai-hasse-roy-vitaver-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2016-team-p6-kolm-2016-ind-junior-p7-auxiliary-graph","neighbor_id":"kolmogorov-2016-individual-olympiad-juniors-problem-7","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6 достижимость по разностям номеров в правильном 2017-угольнике, кубок колмогорова 2016, командная олимпиада, старшая группа goal_exact_bound coloring modular_coloring pigeonhole_principle potential_function graph_in_solution 2016 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm20.zip kolmogorov kolmogorov2016 olympiad_archive src-kolmogorov-2016-official src-kolmogorov-archive with_solution а. антропов архив кубка памяти а.н. колмогорова в. клепцын достижимость по разностям номеров в правильном достижимостьпоразностямномероввправильном достижимостьпоразностямномероввправильном2016 кубок колмогорова 2016 официальный архив а. антропов в. клепцын кубок колмогорова 2016 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка source_verified петя как-то занумеровал вершины правильного 2017-угольника числами от 1 до 2017. вася первым ходом ставит фишку в какую-то из вершин. каждым последующим ходом он может передвинуть фишку из вершины a в вершину b, если между ними не больше 9 других вершин и число в b больше числа в a. какое наибольшее количество вершин гарантированно сможет посетить вася, как бы петя ни нумеровал вершины? simple_graph path cycle proper_coloring distance idea-graph-role граф близких вершин официальное решение строит граф на вершинах 2017-угольника: ребро означает, что фишка может перейти между этими двумя вершинами при подходящем порядке чисел. верхняя оценка следует из явной правильной 12-раскраски этого графа, а нижняя — из раскраски вершины длиной максимальной возрастающей цепочки. coloring potential_function ai_checked sol-official-compressed самодостаточное доказательство ai_checked simple_graph path chromatic_number cycle proper_coloring distance greedy_ordering pigeonhole_principle extremal_choice potential_function ответ: 12. построим вспомогательный граф g. его вершины — вершины 2017-угольника; две разные вершины соединены ребром, если на меньшей из двух дуг между ними лежит не больше 9 других вершин. иначе говоря, ребро соединяет вершины, расстояние между которыми по циклу не превосходит 10. ход васи возможен ровно вдоль ребра этого графа, если число в конечной вершине больше числа в начальной. сначала докажем, что петя может занумеровать вершины так, чтобы вася не посетил больше 12 вершин. для этого достаточно правильно раскрасить g в 12 цветов, занумерованных 0,1,...,11, а затем поставить меньшие числа во все вершины цвета 0, после них — во все вершины цвета 1, и так далее до цвета 11. так как концы каждого ребра имеют разные цвета, любой ход меняет цвет. кроме того, при такой нумерации ход может идти только из меньшего цвета в больший: если цвет b меньше цвета a, то все числа в цвете b меньше… kolmogorov-2016-team-olympiad-juniors-problem-6 dostizhimost po raznostyam nomerov v pravilnom 2017-ugolnike, kubok kolmogorova 2016, komandnaya olimpiada, starshaya gruppa goal_exact_bound coloring modular_coloring pigeonhole_principle potential_function graph_in_solution 2016 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm20.zip kolmogorov kolmogorov2016 olympiad_archive src-kolmogorov-2016-official src-kolmogorov-archive with_solution a. antropov arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova v. kleptsyn dostizhimost po raznostyam nomerov v pravilnom dostizhimostporaznostyamnomerovvpravilnom dostizhimostporaznostyamnomerovvpravilnom2016 kubok kolmogorova 2016 ofitsialnyy arhiv a. antropov v. kleptsyn kubok kolmogorova 2016 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka source_verified petya kak-to zanumeroval vershiny pravilnogo 2017-ugolnika chislami ot 1 do 2017. vasya pervym hodom stavit fishku v kakuyu-to iz vershin. kazhdym posleduyuschim hodom on mozhet peredvinut fishku iz vershiny a v vershinu b, esli mezhdu nimi ne bolshe 9 drugih vershin i chislo v b bolshe chisla v a. kakoe naibolshee kolichestvo vershin garantirovanno smozhet posetit vasya, kak by petya ni numeroval vershiny? simple_graph path cycle proper_coloring distance idea-graph-role graf blizkih vershin ofitsialnoe reshenie stroit graf na vershinah 2017-ugolnika: rebro oznachaet, chto fishka mozhet pereyti mezhdu etimi dvumya vershinami pri podhodyaschem poryadke chisel. verhnyaya otsenka sleduet iz yavnoy pravilnoy 12-raskraski etogo grafa, a nizhnyaya — iz raskraski vershiny dlinoy maksimalnoy vozrastayuschey tsepochki. coloring potential_function ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe dokazatelstvo ai_checked simple_graph path chromatic_number cycle proper_coloring distance greedy_ordering pigeonhole_principle extremal_choice potential_function otvet: 12. postroim vspomogatelnyy graf g. ego vershiny — vershiny 2017-ugolnika; dve raznye vershiny soedineny rebrom, esli na menshey iz dvuh dug mezhdu nimi lezhit ne bolshe 9 drugih vershin. inache govorya, rebro soedinyaet vershiny, rasstoyanie mezhdu kotorymi po tsiklu ne prevoshodit 10. hod vasi vozmozhen rovno vdol rebra etogo grafa, esli chislo v konechnoy vershine bolshe chisla v nachalnoy. snachala dokazhem, chto petya mozhet zanumerovat vershiny tak, chtoby vasya ne posetil bolshe 12 vershin. dlya etogo dostatochno pravilno raskrasit g v 12 tsvetov, zanumerovannyh 0,1,...,11, a zatem postavit menshie chisla vo vse vershiny tsveta 0, posle nih — vo vse vershiny tsveta 1, i tak dalee do tsveta 11. tak kak kontsy kazhdogo rebra imeyut raznye tsveta, lyuboy hod menyaet tsvet. krome togo, pri takoy numeratsii hod mozhet idti tolko iz menshego tsveta v bolshiy: esli tsvet b menshe tsveta a, to vse chisla v tsvete b menshe…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2017-individual-olympiad-seniors-problem-7","title":"Покрытие вершин a-хорошими графами с ограниченной степенью, Кубок Колмогорова 2017","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2017-individual-olympiad-seniors-problem-7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2017-individual-olympiad-seniors-problem-7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2017-individual-olympiad-seniors-problem-7","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2017 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","extremal_choice","induction","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный источник и high-reasoning аудит 2026-05-17","notes":"Решение полное: доказана лемма сложения параметров для a-хороших и b-хороших графов, затем она корректно проитерирована при n=d-1.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Назовем граф \\(a\\)-хорошим, если в нем нет 100 попарно соединенных вершин и степень каждой вершины не превосходит \\(a\\). Пусть натуральные числа \\(d \\ge 100\\) и \\(k\\) таковы, что вершины любого \\(d\\)-хорошего графа можно правильно раскрасить в \\(k\\) цветов. Докажите, что вершины любого \\((d^2 - 2)\\)-хорошего графа можно правильно раскрасить в \\((d - 1)k\\) цветов.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ключевая лемма: если каждый `a`-хороший граф красится в `x` цветов, а каждый `b`-хороший — в `y` цветов, то каждый `(a+b+1)`-хороший граф красится в `x+y` цветов. Доказательство леммы. Нужно разбить вершины любого `(a+b+1)`-хорошего графа на два множества `A` и `B` так, чтобы в индуцированном подграфе на `A` максимальная степень была не больше `a`, а на `B` — не больше `b`. Для разбиения `A ∪ B` вводится цена `b * e(A) + a * e(B)`, где `e(A)` и `e(B)` — числа ребер внутри соответствующих частей. Берется разбиение минимальной цены. Если в `A` найдется вершина `v`, имеющая хотя бы `a+1` соседей внутри `A`, то, поскольку общая степень `v` не превосходит `a+b+1`, в `B` у нее не более `b` соседей. Переброс `v` из `A` в `B` уменьшает цену хотя бы на `b(a+1) - ab = b > 0`, что противоречит минимальности. Тот же расчет для вершины из `B` дает то же противоречие с минимальностью цены. Следовател…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2017-individual-olympiad-seniors-problem-7 покрытие вершин a-хорошими графами с ограниченной степенью, кубок колмогорова 2017 coloring extremal_choice induction goal_bound 2017 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm21.zip kolmogorov kolmogorov2017 olympiad_archive src-kolmogorov-2017-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2017 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2017 ? кубок колмогорова 2017 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked назовем граф \\(a\\)-хорошим, если в нем нет 100 попарно соединенных вершин и степень каждой вершины не превосходит \\(a\\). пусть натуральные числа \\(d \\ge 100\\) и \\(k\\) таковы, что вершины любого \\(d\\)-хорошего графа можно правильно раскрасить в \\(k\\) цветов. докажите, что вершины любого \\((d^2 - 2)\\)-хорошего графа можно правильно раскрасить в \\((d - 1)k\\) цветов. simple_graph idea-graph-role графовая роль граф присутствует прямо в условии, а официальный разбор целиком графовый: используются степени вершин, индуцированные подграфы, число ребер внутри частей и правильная раскраска графа. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное решение ai_checked simple_graph extremal_choice induction ключевая лемма: если каждый `a`-хороший граф красится в `x` цветов, а каждый `b`-хороший — в `y` цветов, то каждый `(a+b+1)`-хороший граф красится в `x+y` цветов. доказательство леммы. нужно разбить вершины любого `(a+b+1)`-хорошего графа на два множества `a` и `b` так, чтобы в индуцированном подграфе на `a` максимальная степень была не больше `a`, а на `b` — не больше `b`. для разбиения `a ∪ b` вводится цена `b * e(a) + a * e(b)`, где `e(a)` и `e(b)` — числа ребер внутри соответствующих частей. берется разбиение минимальной цены. если в `a` найдется вершина `v`, имеющая хотя бы `a+1` соседей внутри `a`, то, поскольку общая степень `v` не превосходит `a+b+1`, в `b` у нее не более `b` соседей. переброс `v` из `a` в `b` уменьшает цену хотя бы на `b(a+1) - ab = b > 0`, что противоречит минимальности. тот же расчет для вершины из `b` дает то же противоречие с минимальностью цены. следовател… kolmogorov-2017-individual-olympiad-seniors-problem-7 pokrytie vershin a-horoshimi grafami s ogranichennoy stepenyu, kubok kolmogorova 2017 coloring extremal_choice induction goal_bound 2017 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm21.zip kolmogorov kolmogorov2017 olympiad_archive src-kolmogorov-2017-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2017 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2017 ? kubok kolmogorova 2017 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked nazovem graf \\(a\\)-horoshim, esli v nem net 100 poparno soedinennyh vershin i stepen kazhdoy vershiny ne prevoshodit \\(a\\). pust naturalnye chisla \\(d \\ge 100\\) i \\(k\\) takovy, chto vershiny lyubogo \\(d\\)-horoshego grafa mozhno pravilno raskrasit v \\(k\\) tsvetov. dokazhite, chto vershiny lyubogo \\((d^2 - 2)\\)-horoshego grafa mozhno pravilno raskrasit v \\((d - 1)k\\) tsvetov. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol graf prisutstvuet pryamo v uslovii, a ofitsialnyy razbor tselikom grafovyy: ispolzuyutsya stepeni vershin, indutsirovannye podgrafy, chislo reber vnutri chastey i pravilnaya raskraska grafa. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph extremal_choice induction klyuchevaya lemma: esli kazhdyy `a`-horoshiy graf krasitsya v `x` tsvetov, a kazhdyy `b`-horoshiy — v `y` tsvetov, to kazhdyy `(a+b+1)`-horoshiy graf krasitsya v `x+y` tsvetov. dokazatelstvo lemmy. nuzhno razbit vershiny lyubogo `(a+b+1)`-horoshego grafa na dva mnozhestva `a` i `b` tak, chtoby v indutsirovannom podgrafe na `a` maksimalnaya stepen byla ne bolshe `a`, a na `b` — ne bolshe `b`. dlya razbieniya `a ∪ b` vvoditsya tsena `b * e(a) + a * e(b)`, gde `e(a)` i `e(b)` — chisla reber vnutri sootvetstvuyuschih chastey. beretsya razbienie minimalnoy tseny. esli v `a` naydetsya vershina `v`, imeyuschaya hotya by `a+1` sosedey vnutri `a`, to, poskolku obschaya stepen `v` ne prevoshodit `a+b+1`, v `b` u nee ne bolee `b` sosedey. perebros `v` iz `a` v `b` umenshaet tsenu hotya by na `b(a+1) - ab = b > 0`, chto protivorechit minimalnosti. tot zhe raschet dlya vershiny iz `b` daet to zhe protivorechie s minimalnostyu tseny. sledovatel…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2017-team-olympiad-juniors-problem-6","title":"Закрытые дороги, не меняющие кратчайшие стоимости в полном графе, Кубок Колмогорова 2017","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2017-team-olympiad-juniors-problem-6.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2017-team-olympiad-juniors-problem-6.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2017-team-olympiad-juniors-problem-6","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2017 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.92,"basis":"официальный источник и high-reasoning аудит 2026-05-17","notes":"Решение полное: пример с закрытием всех дорог из столицы даёт k=99, а при меньшем числе закрытых дорог разрез без закрытых рёбер сохраняет кратчайший путь для самой дешёвой пересекающей дороги.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 100 городов, каждые два из которых соединены дорогой с положительной стоимостью проезда. Власти закрыли \\(k\\) дорог на ремонт, и после этого для любой пары городов самый дешевый маршрут между ними либо подорожал, либо вовсе исчез. При каком наименьшем \\(k\\) это возможно?","definition_ids":["simple_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Удаление рёбер в полном взвешенном графе","status":"ai_checked","text":"В полном графе на 100 вершинах каждому ребру приписан положительный вес. Удалили \\(k\\) рёбер так, что для любых двух вершин расстояние между ними либо увеличилось, либо стало бесконечным. Найдите наименьшее возможное значение \\(k\\).","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","complete_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `99`. Пример на достижимость: выберем столицу, присвоим всем дорогам из столицы цену 1, а всем дорогам между двумя нестоличными городами — цену 1000. Тогда до закрытия дорог любой самый дешевый путь стоит не более 2. Если закрыть все 99 дорог, выходящих из столицы, то из столицы пути исчезают, а между двумя нестоличными городами минимальная цена возрастает до 1000. Оценка снизу: предположим, что закрыто меньше 99 дорог. Рассмотрим граф, вершины которого — города, а ребра — закрытые дороги. Такой граф с 100 вершинами и менее чем 99 ребрами не может быть связным. Значит, вершины можно разбить на два непустых множества `A` и `B` так, что ни одно ребро между `A` и `B` не закрыто. Пусть `ab` — самая дешевая из дорог между `A` и `B`. Любой маршрут из `a` в `b` обязан хотя бы один раз пересечь границу между `A` и `B`, то есть содержать некоторую дорогу между этими частями. Но по выбору…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2017-weighted-shortest-path-cuts","neighbor_id":"kolmogorov-2017-team-olympiad-seniors-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2017-team-olympiad-juniors-problem-6 закрытые дороги, не меняющие кратчайшие стоимости в полном графе, кубок колмогорова 2017 goal_exact_bound 2017 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm21.zip kolmogorov kolmogorov2017 olympiad_archive src-kolmogorov-2017-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2017 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2017 ? кубок колмогорова 2017 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 100 городов, каждые два из которых соединены дорогой с положительной стоимостью проезда. власти закрыли \\(k\\) дорог на ремонт, и после этого для любой пары городов самый дешевый маршрут между ними либо подорожал, либо вовсе исчез. при каком наименьшем \\(k\\) это возможно? simple_graph stmt-graph удаление рёбер в полном взвешенном графе ai_checked в полном графе на 100 вершинах каждому ребру приписан положительный вес. удалили \\(k\\) рёбер так, что для любых двух вершин расстояние между ними либо увеличилось, либо стало бесконечным. найдите наименьшее возможное значение \\(k\\). simple_graph complete_graph path idea-graph-role графовая роль в условии граф не назван явно, но официальное решение целиком переводит задачу на язык графов: строится граф закрытых дорог и используется факт его несвязности при числе ребер меньше `n-1`. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное решение ai_checked simple_graph connected_graph path complete_graph ответ: `99`. пример на достижимость: выберем столицу, присвоим всем дорогам из столицы цену 1, а всем дорогам между двумя нестоличными городами — цену 1000. тогда до закрытия дорог любой самый дешевый путь стоит не более 2. если закрыть все 99 дорог, выходящих из столицы, то из столицы пути исчезают, а между двумя нестоличными городами минимальная цена возрастает до 1000. оценка снизу: предположим, что закрыто меньше 99 дорог. рассмотрим граф, вершины которого — города, а ребра — закрытые дороги. такой граф с 100 вершинами и менее чем 99 ребрами не может быть связным. значит, вершины можно разбить на два непустых множества `a` и `b` так, что ни одно ребро между `a` и `b` не закрыто. пусть `ab` — самая дешевая из дорог между `a` и `b`. любой маршрут из `a` в `b` обязан хотя бы один раз пересечь границу между `a` и `b`, то есть содержать некоторую дорогу между этими частями. но по выбору… kolmogorov-2017-team-olympiad-juniors-problem-6 zakrytye dorogi, ne menyayuschie kratchayshie stoimosti v polnom grafe, kubok kolmogorova 2017 goal_exact_bound 2017 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm21.zip kolmogorov kolmogorov2017 olympiad_archive src-kolmogorov-2017-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2017 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2017 ? kubok kolmogorova 2017 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 100 gorodov, kazhdye dva iz kotoryh soedineny dorogoy s polozhitelnoy stoimostyu proezda. vlasti zakryli \\(k\\) dorog na remont, i posle etogo dlya lyuboy pary gorodov samyy deshevyy marshrut mezhdu nimi libo podorozhal, libo vovse ischez. pri kakom naimenshem \\(k\\) eto vozmozhno? simple_graph stmt-graph udalenie reber v polnom vzveshennom grafe ai_checked v polnom grafe na 100 vershinah kazhdomu rebru pripisan polozhitelnyy ves. udalili \\(k\\) reber tak, chto dlya lyubyh dvuh vershin rasstoyanie mezhdu nimi libo uvelichilos, libo stalo beskonechnym. naydite naimenshee vozmozhnoe znachenie \\(k\\). simple_graph complete_graph path idea-graph-role grafovaya rol v uslovii graf ne nazvan yavno, no ofitsialnoe reshenie tselikom perevodit zadachu na yazyk grafov: stroitsya graf zakrytyh dorog i ispolzuetsya fakt ego nesvyaznosti pri chisle reber menshe `n-1`. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph connected_graph path complete_graph otvet: `99`. primer na dostizhimost: vyberem stolitsu, prisvoim vsem dorogam iz stolitsy tsenu 1, a vsem dorogam mezhdu dvumya nestolichnymi gorodami — tsenu 1000. togda do zakrytiya dorog lyuboy samyy deshevyy put stoit ne bolee 2. esli zakryt vse 99 dorog, vyhodyaschih iz stolitsy, to iz stolitsy puti ischezayut, a mezhdu dvumya nestolichnymi gorodami minimalnaya tsena vozrastaet do 1000. otsenka snizu: predpolozhim, chto zakryto menshe 99 dorog. rassmotrim graf, vershiny kotorogo — goroda, a rebra — zakrytye dorogi. takoy graf s 100 vershinami i menee chem 99 rebrami ne mozhet byt svyaznym. znachit, vershiny mozhno razbit na dva nepustyh mnozhestva `a` i `b` tak, chto ni odno rebro mezhdu `a` i `b` ne zakryto. pust `ab` — samaya deshevaya iz dorog mezhdu `a` i `b`. lyuboy marshrut iz `a` v `b` obyazan hotya by odin raz peresech granitsu mezhdu `a` i `b`, to est soderzhat nekotoruyu dorogu mezhdu etimi chastyami. no po vyboru…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2017-team-olympiad-seniors-problem-5","title":"Дешёвые маршруты через не более двух дорог в связной сети авиарейсов, Кубок Колмогорова 2017","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2017-team-olympiad-seniors-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2017-team-olympiad-seniors-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2017-team-olympiad-seniors-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2017 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2017","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"high-reasoning агент 2026-05-16 завершил и проверил официальный план: разбиение по ближайшему концу удешевлённого ребра даёт не более N^2/4 изменившихся пар.","notes":"high-reasoning агент 2026-05-16 завершил и проверил официальный план: разбиение по ближайшему концу удешевлённого ребра даёт не более N^2/4 изменившихся пар.","audit_source":"manual-third-quartile-pass-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране \\(N\\) городов некоторые пары соединены двусторонними авиарейсами с ценой более 1000 рублей, причем из любого города можно добраться до любого другого. Для каждой пары городов компания публикует минимальную цену пути между ними и суммирует все эти значения. После уменьшения цены одного рейса на 1000 рублей нужно доказать, что итоговая сумма всех попарных минимальных цен изменится не более чем на \\(250N^2\\).","definition_ids":["simple_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Изменение суммы попарных расстояний","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — связный неориентированный граф на \\(N\\) вершинах с положительными весами рёбер, все веса больше 1000. Для каждой пары вершин рассмотрим длину кратчайшего пути и сумму всех таких попарных расстояний. Докажите, что после уменьшения веса одного ребра на 1000 эта сумма изменится не более чем на \\(250N^2\\).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","distance"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","distance"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть удешевлен рейс `XY`. Разобьем все города на два множества: - `A` — города, из которых после изменения дешевле добраться до `X`, чем до `Y` (включая `X`); - `B` — города, из которых добраться до `Y` не дороже, чем до `X` (включая `Y`). Сначала заметим, что кратчайший путь между двумя городами из одного множества не может использовать ребро `XY`. Например, если `U, V` лежат в `A` и кратчайший путь из `U` в `V` идет через `X -> Y`, то выгоднее было бы из `X` сразу лететь к `V` кратчайшим путем без захода в `Y`, потому что цена ребра `XY` все еще положительна. Для двух городов из `B` тот же аргумент применяется с ребром `YX`. Значит, уменьшиться могли только расстояния между парами городов из разных множеств. Если `|A| = a`, то таких пар ровно `a(N-a)`, а это не больше `N^2/4`. Для любой пары из разных множеств новый кратчайший путь использует удешевленное ребро `XY` не более одного р…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2017-weighted-shortest-path-cuts","neighbor_id":"kolmogorov-2017-team-olympiad-juniors-problem-6","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2017-team-olympiad-seniors-problem-5 дешёвые маршруты через не более двух дорог в связной сети авиарейсов, кубок колмогорова 2017 goal_bound 2017 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm21.zip kolmogorov kolmogorov2017 olympiad_archive src-kolmogorov-2017-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2017 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2017 ? кубок колмогорова 2017 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране \\(n\\) городов некоторые пары соединены двусторонними авиарейсами с ценой более 1000 рублей, причем из любого города можно добраться до любого другого. для каждой пары городов компания публикует минимальную цену пути между ними и суммирует все эти значения. после уменьшения цены одного рейса на 1000 рублей нужно доказать, что итоговая сумма всех попарных минимальных цен изменится не более чем на \\(250n^2\\). simple_graph stmt-graph изменение суммы попарных расстояний ai_checked пусть \\(g\\) — связный неориентированный граф на \\(n\\) вершинах с положительными весами рёбер, все веса больше 1000. для каждой пары вершин рассмотрим длину кратчайшего пути и сумму всех таких попарных расстояний. докажите, что после уменьшения веса одного ребра на 1000 эта сумма изменится не более чем на \\(250n^2\\). simple_graph connected_graph path distance idea-graph-role графовая роль официальное решение существенно использует модель взвешенного графа: вершины — города, ребра — авиарейсы, а опубликованные значения — это кратчайшие расстояния. ключевой шаг — разбиение множества вершин по отношению к концам измененного ребра и анализ кратчайших путей. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное решение ai_checked simple_graph connected_graph path distance пусть удешевлен рейс `xy`. разобьем все города на два множества: - `a` — города, из которых после изменения дешевле добраться до `x`, чем до `y` (включая `x`); - `b` — города, из которых добраться до `y` не дороже, чем до `x` (включая `y`). сначала заметим, что кратчайший путь между двумя городами из одного множества не может использовать ребро `xy`. например, если `u, v` лежат в `a` и кратчайший путь из `u` в `v` идет через `x -> y`, то выгоднее было бы из `x` сразу лететь к `v` кратчайшим путем без захода в `y`, потому что цена ребра `xy` все еще положительна. для двух городов из `b` тот же аргумент применяется с ребром `yx`. значит, уменьшиться могли только расстояния между парами городов из разных множеств. если `|a| = a`, то таких пар ровно `a(n-a)`, а это не больше `n^2/4`. для любой пары из разных множеств новый кратчайший путь использует удешевленное ребро `xy` не более одного р… kolmogorov-2017-team-olympiad-seniors-problem-5 deshevye marshruty cherez ne bolee dvuh dorog v svyaznoy seti aviareysov, kubok kolmogorova 2017 goal_bound 2017 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm21.zip kolmogorov kolmogorov2017 olympiad_archive src-kolmogorov-2017-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2017 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2017 ? kubok kolmogorova 2017 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane \\(n\\) gorodov nekotorye pary soedineny dvustoronnimi aviareysami s tsenoy bolee 1000 rubley, prichem iz lyubogo goroda mozhno dobratsya do lyubogo drugogo. dlya kazhdoy pary gorodov kompaniya publikuet minimalnuyu tsenu puti mezhdu nimi i summiruet vse eti znacheniya. posle umensheniya tseny odnogo reysa na 1000 rubley nuzhno dokazat, chto itogovaya summa vseh poparnyh minimalnyh tsen izmenitsya ne bolee chem na \\(250n^2\\). simple_graph stmt-graph izmenenie summy poparnyh rasstoyaniy ai_checked pust \\(g\\) — svyaznyy neorientirovannyy graf na \\(n\\) vershinah s polozhitelnymi vesami reber, vse vesa bolshe 1000. dlya kazhdoy pary vershin rassmotrim dlinu kratchayshego puti i summu vseh takih poparnyh rasstoyaniy. dokazhite, chto posle umensheniya vesa odnogo rebra na 1000 eta summa izmenitsya ne bolee chem na \\(250n^2\\). simple_graph connected_graph path distance idea-graph-role grafovaya rol ofitsialnoe reshenie suschestvenno ispolzuet model vzveshennogo grafa: vershiny — goroda, rebra — aviareysy, a opublikovannye znacheniya — eto kratchayshie rasstoyaniya. klyuchevoy shag — razbienie mnozhestva vershin po otnosheniyu k kontsam izmenennogo rebra i analiz kratchayshih putey. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph connected_graph path distance pust udeshevlen reys `xy`. razobem vse goroda na dva mnozhestva: - `a` — goroda, iz kotoryh posle izmeneniya deshevle dobratsya do `x`, chem do `y` (vklyuchaya `x`); - `b` — goroda, iz kotoryh dobratsya do `y` ne dorozhe, chem do `x` (vklyuchaya `y`). snachala zametim, chto kratchayshiy put mezhdu dvumya gorodami iz odnogo mnozhestva ne mozhet ispolzovat rebro `xy`. naprimer, esli `u, v` lezhat v `a` i kratchayshiy put iz `u` v `v` idet cherez `x -> y`, to vygodnee bylo by iz `x` srazu letet k `v` kratchayshim putem bez zahoda v `y`, potomu chto tsena rebra `xy` vse esche polozhitelna. dlya dvuh gorodov iz `b` tot zhe argument primenyaetsya s rebrom `yx`. znachit, umenshitsya mogli tolko rasstoyaniya mezhdu parami gorodov iz raznyh mnozhestv. esli `|a| = a`, to takih par rovno `a(n-a)`, a eto ne bolshe `n^2/4`. dlya lyuboy pary iz raznyh mnozhestv novyy kratchayshiy put ispolzuet udeshevlennoe rebro `xy` ne bolee odnogo r…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2018-team-olympiad-juniors-problem-6","title":"Минимальная сумма автобусной и железнодорожной мобильностей, Кубок Колмогорова 2018","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2018-team-olympiad-juniors-problem-6.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2018-team-olympiad-juniors-problem-6.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2018-team-olympiad-juniors-problem-6","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2018 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","double_counting","graph_cut","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Командная олимпиада Кубка Колмогорова 2018, младшая группа, задача 6; решение требует аккуратного разбора случаев по двум минимизирующим регионам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution_reconstructed","label":"официальное решение, полностью развёрнуто","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"официальный архив Кубка Колмогорова 2018 и локальная проверка всех случаев разбиения `M,N`","notes":"Официальное решение восстановлено в самодостаточный текст; прежний пробел в последнем случае закрыт явным взвешенным подсчетом ребер между `Y` и `Z`.","audit_source":"high-reasoning-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В государстве 20 городов, каждые два из которых соединены либо автобусным, либо железнодорожным маршрутом. Регион — любое непустое множество не более чем из 10 городов. Автобусная мобильность региона — это число автобусных маршрутов, ведущих из региона наружу, деленное на число городов в регионе. Железнодорожная мобильность определяется аналогично. Пусть \\(A\\) — наименьшая автобусная мобильность среди всех регионов, а \\(B\\) — наименьшая железнодорожная мобильность. Найдите наименьшее возможное значение \\(A + B\\).","definition_ids":["complete_graph","graph_cut"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-full","title":"Полное решение по официальной схеме","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","graph_cut"],"standard_idea_ids":["double_counting","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `1`. Пусть всего городов `20 = 2m`, где `m = 10`. Выберем регион `M`, на котором достигается минимум автобусной мобильности, и регион `N`, на котором достигается минимум железнодорожной мобильности. Обозначим через `R` число автобусных маршрутов из `M` наружу, а через `S` число железнодорожных маршрутов из `N` наружу. Тогда `A = R / |M|`, `B = S / |N|`, причем `1 <= |M|, |N| <= m`. Разобьем все города на четыре части: - `X = M ∩ N`, - `Y = M \\\\ N`, - `Z = N \\\\ M`, - `T = V \\\\ (M ∪ N)`. Пусть `|X| = a`, `|Y| = b`, `|Z| = c`, `|T| = d`. Рассмотрим ребро между `X` и `T`. Если оно автобусное, то оно идет из `M` наружу и входит в `R`; если железнодорожное, то оно идет из `N` наружу и входит в `S`. Точно так же любое ребро между `Y` и `Z` входит в `R`, если оно автобусное, и входит в `S`, если оно железнодорожное. Поэтому `R + S >= ad + bc`. Так как `|M| = a + b <= m` и `|N| = a + c <=…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2018-mobility-junior-senior","neighbor_id":"kolmogorov-2018-team-olympiad-seniors-problem-5","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2018-team-olympiad-juniors-problem-6 минимальная сумма автобусной и железнодорожной мобильностей, кубок колмогорова 2018 coloring double_counting graph_cut goal_exact_bound 2018 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm22.zip kolmogorov kolmogorov2018 olympiad_archive src-kolmogorov-2018-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2018 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2018 ? кубок колмогорова 2018 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в государстве 20 городов, каждые два из которых соединены либо автобусным, либо железнодорожным маршрутом. регион — любое непустое множество не более чем из 10 городов. автобусная мобильность региона — это число автобусных маршрутов, ведущих из региона наружу, деленное на число городов в регионе. железнодорожная мобильность определяется аналогично. пусть \\(a\\) — наименьшая автобусная мобильность среди всех регионов, а \\(b\\) — наименьшая железнодорожная мобильность. найдите наименьшее возможное значение \\(a + b\\). complete_graph graph_cut idea-graph-role два минимальных разреза выбираются регионы `m` и `n`, на которых достигаются минимумы автобусной и железнодорожной мобильностей. разбиение вершин на `x = m ∩ n`, `y = m \\\\ n`, `z = n \\\\ m`, `t = v \\\\ (m ∪ n)` позволяет посчитать ребра между `x` и `t`, а также между `y` и `z`: каждое такое ребро обязательно попадает в автобусный разрез `m` или в железнодорожный разрез `n`. последний малый случай закрывается не только числом таких ребер, но и их весами `1/|m|` и `1/|n|` в сумме мобильностей. graph_cut double_counting extremal_choice ai_checked sol-official-full полное решение по официальной схеме ai_checked complete_graph graph_cut double_counting extremal_choice ответ: `1`. пусть всего городов `20 = 2m`, где `m = 10`. выберем регион `m`, на котором достигается минимум автобусной мобильности, и регион `n`, на котором достигается минимум железнодорожной мобильности. обозначим через `r` число автобусных маршрутов из `m` наружу, а через `s` число железнодорожных маршрутов из `n` наружу. тогда `a = r / |m|`, `b = s / |n|`, причем `1 <= |m|, |n| <= m`. разобьем все города на четыре части: - `x = m ∩ n`, - `y = m \\\\ n`, - `z = n \\\\ m`, - `t = v \\\\ (m ∪ n)`. пусть `|x| = a`, `|y| = b`, `|z| = c`, `|t| = d`. рассмотрим ребро между `x` и `t`. если оно автобусное, то оно идет из `m` наружу и входит в `r`; если железнодорожное, то оно идет из `n` наружу и входит в `s`. точно так же любое ребро между `y` и `z` входит в `r`, если оно автобусное, и входит в `s`, если оно железнодорожное. поэтому `r + s >= ad + bc`. так как `|m| = a + b <= m` и `|n| = a + c <=… kolmogorov-2018-team-olympiad-juniors-problem-6 minimalnaya summa avtobusnoy i zheleznodorozhnoy mobilnostey, kubok kolmogorova 2018 coloring double_counting graph_cut goal_exact_bound 2018 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm22.zip kolmogorov kolmogorov2018 olympiad_archive src-kolmogorov-2018-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2018 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2018 ? kubok kolmogorova 2018 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v gosudarstve 20 gorodov, kazhdye dva iz kotoryh soedineny libo avtobusnym, libo zheleznodorozhnym marshrutom. region — lyuboe nepustoe mnozhestvo ne bolee chem iz 10 gorodov. avtobusnaya mobilnost regiona — eto chislo avtobusnyh marshrutov, veduschih iz regiona naruzhu, delennoe na chislo gorodov v regione. zheleznodorozhnaya mobilnost opredelyaetsya analogichno. pust \\(a\\) — naimenshaya avtobusnaya mobilnost sredi vseh regionov, a \\(b\\) — naimenshaya zheleznodorozhnaya mobilnost. naydite naimenshee vozmozhnoe znachenie \\(a + b\\). complete_graph graph_cut idea-graph-role dva minimalnyh razreza vybirayutsya regiony `m` i `n`, na kotoryh dostigayutsya minimumy avtobusnoy i zheleznodorozhnoy mobilnostey. razbienie vershin na `x = m ∩ n`, `y = m \\\\ n`, `z = n \\\\ m`, `t = v \\\\ (m ∪ n)` pozvolyaet poschitat rebra mezhdu `x` i `t`, a takzhe mezhdu `y` i `z`: kazhdoe takoe rebro obyazatelno popadaet v avtobusnyy razrez `m` ili v zheleznodorozhnyy razrez `n`. posledniy malyy sluchay zakryvaetsya ne tolko chislom takih reber, no i ih vesami `1/|m|` i `1/|n|` v summe mobilnostey. graph_cut double_counting extremal_choice ai_checked sol-official-full polnoe reshenie po ofitsialnoy sheme ai_checked complete_graph graph_cut double_counting extremal_choice otvet: `1`. pust vsego gorodov `20 = 2m`, gde `m = 10`. vyberem region `m`, na kotorom dostigaetsya minimum avtobusnoy mobilnosti, i region `n`, na kotorom dostigaetsya minimum zheleznodorozhnoy mobilnosti. oboznachim cherez `r` chislo avtobusnyh marshrutov iz `m` naruzhu, a cherez `s` chislo zheleznodorozhnyh marshrutov iz `n` naruzhu. togda `a = r / |m|`, `b = s / |n|`, prichem `1 <= |m|, |n| <= m`. razobem vse goroda na chetyre chasti: - `x = m ∩ n`, - `y = m \\\\ n`, - `z = n \\\\ m`, - `t = v \\\\ (m ∪ n)`. pust `|x| = a`, `|y| = b`, `|z| = c`, `|t| = d`. rassmotrim rebro mezhdu `x` i `t`. esli ono avtobusnoe, to ono idet iz `m` naruzhu i vhodit v `r`; esli zheleznodorozhnoe, to ono idet iz `n` naruzhu i vhodit v `s`. tochno tak zhe lyuboe rebro mezhdu `y` i `z` vhodit v `r`, esli ono avtobusnoe, i vhodit v `s`, esli ono zheleznodorozhnoe. poetomu `r + s >= ad + bc`. tak kak `|m| = a + b <= m` i `|n| = a + c <=…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2018-team-olympiad-seniors-problem-5","title":"Минимальная сумма автобусной и железнодорожной мобильностей в 2018 городах, Кубок Колмогорова 2018","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2018-team-olympiad-seniors-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2018-team-olympiad-seniors-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2018-team-olympiad-seniors-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Минимальная сумма автобусной и железнодорожной мобильностей в","source_titles":["Кубок Колмогорова 2018 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","double_counting","graph_cut","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Командная олимпиада Кубка Колмогорова 2018, старшая группа, задача 5; решение требует аккуратного разбора случаев по двум минимизирующим регионам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution_reconstructed","label":"официальное решение, полностью развёрнуто","status":"ai_checked","confidence":0.93,"basis":"официальный архив Кубка Колмогорова 2018 и локальная проверка всех случаев разбиения `M,N`","notes":"Официальное решение восстановлено в самодостаточный текст; прежний пробел в последнем случае закрыт явным взвешенным подсчетом ребер между `Y` и `Z`.","audit_source":"high-reasoning-pass-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В государстве 2018 городов, каждые два из которых соединены либо автобусным, либо железнодорожным маршрутом. Регион — любое непустое множество не более чем из 1009 городов. Автобусная мобильность региона — это число автобусных маршрутов, ведущих из региона наружу, деленное на число городов в регионе. Железнодорожная мобильность определяется аналогично. Пусть \\(A\\) — наименьшая автобусная мобильность среди всех регионов, а \\(B\\) — наименьшая железнодорожная мобильность. Найдите наименьшее возможное значение \\(A + B\\).","definition_ids":["complete_graph","graph_cut"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-full","title":"Полное решение по официальной схеме","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","graph_cut"],"standard_idea_ids":["double_counting","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: `1`. Пусть всего городов `2018 = 2m`, где `m = 1009`. Выберем регион `M`, на котором достигается минимум автобусной мобильности, и регион `N`, на котором достигается минимум железнодорожной мобильности. Обозначим через `R` число автобусных маршрутов из `M` наружу, а через `S` число железнодорожных маршрутов из `N` наружу. Тогда `A = R / |M|`, `B = S / |N|`, причем `1 <= |M|, |N| <= m`. Разобьем все города на четыре части: - `X = M ∩ N`, - `Y = M \\\\ N`, - `Z = N \\\\ M`, - `T = V \\\\ (M ∪ N)`. Пусть `|X| = a`, `|Y| = b`, `|Z| = c`, `|T| = d`. Рассмотрим ребро между `X` и `T`. Если оно автобусное, то оно идет из `M` наружу и входит в `R`; если железнодорожное, то оно идет из `N` наружу и входит в `S`. Точно так же любое ребро между `Y` и `Z` входит в `R`, если оно автобусное, и входит в `S`, если оно железнодорожное. Поэтому `R + S >= ad + bc`. Так как `|M| = a + b <= m` и `|N| = a +…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2018-mobility-junior-senior","neighbor_id":"kolmogorov-2018-team-olympiad-juniors-problem-6","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2018-team-olympiad-seniors-problem-5 минимальная сумма автобусной и железнодорожной мобильностей в 2018 городах, кубок колмогорова 2018 coloring double_counting graph_cut goal_exact_bound 2018 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm22.zip kolmogorov kolmogorov2018 olympiad_archive src-kolmogorov-2018-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова 2018 официальный архив минимальная сумма автобусной и железнодорожной мобильностей в минимальнаясуммаавтобуснойижелезнодорожноймобильностейв минимальнаясуммаавтобуснойижелезнодорожноймобильностейв2018 ? кубок колмогорова 2018 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в государстве 2018 городов, каждые два из которых соединены либо автобусным, либо железнодорожным маршрутом. регион — любое непустое множество не более чем из 1009 городов. автобусная мобильность региона — это число автобусных маршрутов, ведущих из региона наружу, деленное на число городов в регионе. железнодорожная мобильность определяется аналогично. пусть \\(a\\) — наименьшая автобусная мобильность среди всех регионов, а \\(b\\) — наименьшая железнодорожная мобильность. найдите наименьшее возможное значение \\(a + b\\). complete_graph graph_cut idea-graph-role два минимальных разреза выбираются регионы `m` и `n`, на которых достигаются минимумы автобусной и железнодорожной мобильностей. разбиение вершин на `x = m ∩ n`, `y = m \\\\ n`, `z = n \\\\ m`, `t = v \\\\ (m ∪ n)` позволяет посчитать ребра между `x` и `t`, а также между `y` и `z`: каждое такое ребро обязательно попадает в автобусный разрез `m` или в железнодорожный разрез `n`. последний малый случай закрывается не только числом таких ребер, но и их весами `1/|m|` и `1/|n|` в сумме мобильностей. graph_cut double_counting extremal_choice ai_checked sol-official-full полное решение по официальной схеме ai_checked complete_graph graph_cut double_counting extremal_choice ответ: `1`. пусть всего городов `2018 = 2m`, где `m = 1009`. выберем регион `m`, на котором достигается минимум автобусной мобильности, и регион `n`, на котором достигается минимум железнодорожной мобильности. обозначим через `r` число автобусных маршрутов из `m` наружу, а через `s` число железнодорожных маршрутов из `n` наружу. тогда `a = r / |m|`, `b = s / |n|`, причем `1 <= |m|, |n| <= m`. разобьем все города на четыре части: - `x = m ∩ n`, - `y = m \\\\ n`, - `z = n \\\\ m`, - `t = v \\\\ (m ∪ n)`. пусть `|x| = a`, `|y| = b`, `|z| = c`, `|t| = d`. рассмотрим ребро между `x` и `t`. если оно автобусное, то оно идет из `m` наружу и входит в `r`; если железнодорожное, то оно идет из `n` наружу и входит в `s`. точно так же любое ребро между `y` и `z` входит в `r`, если оно автобусное, и входит в `s`, если оно железнодорожное. поэтому `r + s >= ad + bc`. так как `|m| = a + b <= m` и `|n| = a +… kolmogorov-2018-team-olympiad-seniors-problem-5 minimalnaya summa avtobusnoy i zheleznodorozhnoy mobilnostey v 2018 gorodah, kubok kolmogorova 2018 coloring double_counting graph_cut goal_exact_bound 2018 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm22.zip kolmogorov kolmogorov2018 olympiad_archive src-kolmogorov-2018-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova 2018 ofitsialnyy arhiv minimalnaya summa avtobusnoy i zheleznodorozhnoy mobilnostey v minimalnayasummaavtobusnoyizheleznodorozhnoymobilnosteyv minimalnayasummaavtobusnoyizheleznodorozhnoymobilnosteyv2018 ? kubok kolmogorova 2018 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v gosudarstve 2018 gorodov, kazhdye dva iz kotoryh soedineny libo avtobusnym, libo zheleznodorozhnym marshrutom. region — lyuboe nepustoe mnozhestvo ne bolee chem iz 1009 gorodov. avtobusnaya mobilnost regiona — eto chislo avtobusnyh marshrutov, veduschih iz regiona naruzhu, delennoe na chislo gorodov v regione. zheleznodorozhnaya mobilnost opredelyaetsya analogichno. pust \\(a\\) — naimenshaya avtobusnaya mobilnost sredi vseh regionov, a \\(b\\) — naimenshaya zheleznodorozhnaya mobilnost. naydite naimenshee vozmozhnoe znachenie \\(a + b\\). complete_graph graph_cut idea-graph-role dva minimalnyh razreza vybirayutsya regiony `m` i `n`, na kotoryh dostigayutsya minimumy avtobusnoy i zheleznodorozhnoy mobilnostey. razbienie vershin na `x = m ∩ n`, `y = m \\\\ n`, `z = n \\\\ m`, `t = v \\\\ (m ∪ n)` pozvolyaet poschitat rebra mezhdu `x` i `t`, a takzhe mezhdu `y` i `z`: kazhdoe takoe rebro obyazatelno popadaet v avtobusnyy razrez `m` ili v zheleznodorozhnyy razrez `n`. posledniy malyy sluchay zakryvaetsya ne tolko chislom takih reber, no i ih vesami `1/|m|` i `1/|n|` v summe mobilnostey. graph_cut double_counting extremal_choice ai_checked sol-official-full polnoe reshenie po ofitsialnoy sheme ai_checked complete_graph graph_cut double_counting extremal_choice otvet: `1`. pust vsego gorodov `2018 = 2m`, gde `m = 1009`. vyberem region `m`, na kotorom dostigaetsya minimum avtobusnoy mobilnosti, i region `n`, na kotorom dostigaetsya minimum zheleznodorozhnoy mobilnosti. oboznachim cherez `r` chislo avtobusnyh marshrutov iz `m` naruzhu, a cherez `s` chislo zheleznodorozhnyh marshrutov iz `n` naruzhu. togda `a = r / |m|`, `b = s / |n|`, prichem `1 <= |m|, |n| <= m`. razobem vse goroda na chetyre chasti: - `x = m ∩ n`, - `y = m \\\\ n`, - `z = n \\\\ m`, - `t = v \\\\ (m ∪ n)`. pust `|x| = a`, `|y| = b`, `|z| = c`, `|t| = d`. rassmotrim rebro mezhdu `x` i `t`. esli ono avtobusnoe, to ono idet iz `m` naruzhu i vhodit v `r`; esli zheleznodorozhnoe, to ono idet iz `n` naruzhu i vhodit v `s`. tochno tak zhe lyuboe rebro mezhdu `y` i `z` vhodit v `r`, esli ono avtobusnoe, i vhodit v `s`, esli ono zheleznodorozhnoe. poetomu `r + s >= ad + bc`. tak kak `|m| = a + b <= m` i `|n| = a +…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2019-team-olympiad-juniors-problem-8","title":"Два непересекающихся цикла в орграфе исходящей степени 3, Кубок Колмогорова 2019","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2019-team-olympiad-juniors-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2019-team-olympiad-juniors-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2019-team-olympiad-juniors-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2019 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2019","type":"olympiad_problem","authors":["Шортлист олимпиады \"Балтийский путь\", 2019"],"tags":["induction","minimal_counterexample","extremal_choice","degree_counting","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Командная олимпиада Кубка Колмогорова, младшая группа, задача 8; содержательно средняя финальная графовая задача с индукцией и локальным анализом степеней.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план, доведённый ИИ","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"high-reasoning pass 2026-05-17 по официальному архивному решению Кубка Колмогорова 2019","notes":"Официальный индукционный план сохранен, но развернут до локально проверяемого доказательства: явно проверено стягивание ребра без предка, исключение входящих степеней 0, 1, 2 и образование 3-цикла на исходящих соседях без неявной симметрии.","audit_source":"high-reasoning-kolmogorov-2019-team-juniors-p8-2026-05-17"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В ориентированном графе исходящая степень каждой вершины равна 3. Петли и встречные ребра разрешены и считаются циклами; между любыми двумя вершинами может быть не более одного ребра каждого направления. Докажите, что в таком графе существуют два ориентированных цикла, не пересекающихся по вершинам.","definition_ids":["directed_graph","outdegree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","outdegree","indegree","cycle","induced_subgraph","triangle"],"standard_idea_ids":["induction","minimal_counterexample","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение от противного. Выберем контрпример `G` с наименьшим числом вершин. Будем считать исходящую степень с учетом петель; между двумя фиксированными вершинами в одном направлении нет кратных ребер. Сначала исключим короткие циклы. Если в `G` есть петля в вершине `v`, то эта петля уже является циклом. После удаления `v` каждая оставшаяся вершина теряет не более одной исходящей стрелки, поэтому у каждой из них остается хотя бы одна исходящая стрелка. В конечном ориентированном графе, где из каждой вершины выходит хотя бы одна стрелка, есть ориентированный цикл: достаточно идти по исходящим стрелкам, пока вершина не повторится. Этот цикл не проходит через `v`, что дает два непересекающихся цикла. Значит, петель в минимальном контрпримере нет. Если есть встречные ребра `v -> w` и `w -> v`, то они образуют цикл длины 2. Удалим `v` и `w`; любая другая вершина потеряет не более д…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2019-outdegree-cycles-2021-gadget-cycles","neighbor_id":"kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2019-team-olympiad-juniors-problem-8 два непересекающихся цикла в орграфе исходящей степени 3, кубок колмогорова 2019 induction minimal_counterexample extremal_choice degree_counting goal_proof 2019 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm23.zip kolmogorov kolmogorov2019 olympiad_archive src-kolmogorov-2019-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2019 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2019 шортлист олимпиады \"балтийский путь\", 2019 шортлист олимпиады \"балтийский путь\", 2019 кубок колмогорова 2019 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в ориентированном графе исходящая степень каждой вершины равна 3. петли и встречные ребра разрешены и считаются циклами; между любыми двумя вершинами может быть не более одного ребра каждого направления. докажите, что в таком графе существуют два ориентированных цикла, не пересекающихся по вершинам. directed_graph outdegree cycle idea-graph-role графовая роль граф фигурирует прямо в условии: речь идет об ориентированном графе, исходящих степенях и непересекающихся ориентированных циклах. решение целиком остается внутри языка орграфов. ai_checked idea-contract-edge-without-parent стягивание ребра без общего предка в минимальном контрпримере любое ребро должно иметь общего входящего предка. если у ребра `u -> v` такого предка нет, то можно слить `u` и `v`: исходящие степени сохраняются, а циклы из меньшего графа поднимаются обратно заменой прохода через новую вершину на проход через `v` или через `u -> v`. induction minimal_counterexample ai_checked idea-min-indegree-triangles минимальная входящая степень и два 3-цикла после исключения ребер без предка минимальная входящая степень не может быть 0, 1 или 2; из среднего значения 3 следует регулярность по входящим степеням. тогда входящие соседи любой вершины образуют ориентированный 3-цикл, а тот же локальный аргумент через входящие соседи исходящих соседей дает 3-цикл на исходящих соседях. extremal_choice degree_counting ai_checked sol-official-compressed самодостаточное решение ai_checked directed_graph outdegree indegree cycle induced_subgraph triangle induction minimal_counterexample extremal_choice докажем утверждение от противного. выберем контрпример `g` с наименьшим числом вершин. будем считать исходящую степень с учетом петель; между двумя фиксированными вершинами в одном направлении нет кратных ребер. сначала исключим короткие циклы. если в `g` есть петля в вершине `v`, то эта петля уже является циклом. после удаления `v` каждая оставшаяся вершина теряет не более одной исходящей стрелки, поэтому у каждой из них остается хотя бы одна исходящая стрелка. в конечном ориентированном графе, где из каждой вершины выходит хотя бы одна стрелка, есть ориентированный цикл: достаточно идти по исходящим стрелкам, пока вершина не повторится. этот цикл не проходит через `v`, что дает два непересекающихся цикла. значит, петель в минимальном контрпримере нет. если есть встречные ребра `v -> w` и `w -> v`, то они образуют цикл длины 2. удалим `v` и `w`; любая другая вершина потеряет не более д… kolmogorov-2019-team-olympiad-juniors-problem-8 dva neperesekayuschihsya tsikla v orgrafe ishodyaschey stepeni 3, kubok kolmogorova 2019 induction minimal_counterexample extremal_choice degree_counting goal_proof 2019 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm23.zip kolmogorov kolmogorov2019 olympiad_archive src-kolmogorov-2019-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2019 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2019 shortlist olimpiady \"baltiyskiy put\", 2019 shortlist olimpiady \"baltiyskiy put\", 2019 kubok kolmogorova 2019 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v orientirovannom grafe ishodyaschaya stepen kazhdoy vershiny ravna 3. petli i vstrechnye rebra razresheny i schitayutsya tsiklami; mezhdu lyubymi dvumya vershinami mozhet byt ne bolee odnogo rebra kazhdogo napravleniya. dokazhite, chto v takom grafe suschestvuyut dva orientirovannyh tsikla, ne peresekayuschihsya po vershinam. directed_graph outdegree cycle idea-graph-role grafovaya rol graf figuriruet pryamo v uslovii: rech idet ob orientirovannom grafe, ishodyaschih stepenyah i neperesekayuschihsya orientirovannyh tsiklah. reshenie tselikom ostaetsya vnutri yazyka orgrafov. ai_checked idea-contract-edge-without-parent styagivanie rebra bez obschego predka v minimalnom kontrprimere lyuboe rebro dolzhno imet obschego vhodyaschego predka. esli u rebra `u -> v` takogo predka net, to mozhno slit `u` i `v`: ishodyaschie stepeni sohranyayutsya, a tsikly iz menshego grafa podnimayutsya obratno zamenoy prohoda cherez novuyu vershinu na prohod cherez `v` ili cherez `u -> v`. induction minimal_counterexample ai_checked idea-min-indegree-triangles minimalnaya vhodyaschaya stepen i dva 3-tsikla posle isklyucheniya reber bez predka minimalnaya vhodyaschaya stepen ne mozhet byt 0, 1 ili 2; iz srednego znacheniya 3 sleduet regulyarnost po vhodyaschim stepenyam. togda vhodyaschie sosedi lyuboy vershiny obrazuyut orientirovannyy 3-tsikl, a tot zhe lokalnyy argument cherez vhodyaschie sosedi ishodyaschih sosedey daet 3-tsikl na ishodyaschih sosedyah. extremal_choice degree_counting ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe reshenie ai_checked directed_graph outdegree indegree cycle induced_subgraph triangle induction minimal_counterexample extremal_choice dokazhem utverzhdenie ot protivnogo. vyberem kontrprimer `g` s naimenshim chislom vershin. budem schitat ishodyaschuyu stepen s uchetom petel; mezhdu dvumya fiksirovannymi vershinami v odnom napravlenii net kratnyh reber. snachala isklyuchim korotkie tsikly. esli v `g` est petlya v vershine `v`, to eta petlya uzhe yavlyaetsya tsiklom. posle udaleniya `v` kazhdaya ostavshayasya vershina teryaet ne bolee odnoy ishodyaschey strelki, poetomu u kazhdoy iz nih ostaetsya hotya by odna ishodyaschaya strelka. v konechnom orientirovannom grafe, gde iz kazhdoy vershiny vyhodit hotya by odna strelka, est orientirovannyy tsikl: dostatochno idti po ishodyaschim strelkam, poka vershina ne povtoritsya. etot tsikl ne prohodit cherez `v`, chto daet dva neperesekayuschihsya tsikla. znachit, petel v minimalnom kontrprimere net. esli est vstrechnye rebra `v -> w` i `w -> v`, to oni obrazuyut tsikl dliny 2. udalim `v` i `w`; lyubaya drugaya vershina poteryaet ne bolee d…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-1","title":"Двухкруговой турнир с равным числом домашних и гостевых побед, Кубок Колмогорова 2021","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-1","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Короткое решение было развёрнуто: отдельно проверены два типа пар, степень в вспомогательном графе и четность суммы степеней.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"\\(999\\) команд сыграли двухкруговой турнир по волейболу: каждая сыграла с каждой матч дома и матч в гостях. Каждая команда выиграла ровно половину своих домашних матчей и ровно половину гостевых. Докажите, что какая-то из команд дважды обыграла какую-то другую.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное: ни одна команда не обыграла другую дважды. Рассмотрим две произвольные команды `X` и `Y`. Они сыграли два матча: один на площадке `X`, другой на площадке `Y`. По нашему предположению не может быть так, что `X` выиграла оба матча, и не может быть так, что `Y` выиграла оба матча. Значит, победы в этой паре разделились поровну: либо обе команды выиграли свои домашние матчи, либо обе команды выиграли свои гостевые матчи. Построим простой граф на `999` вершинах-командах. Соединим две команды ребром тогда и только тогда, когда в их паре обе команды выиграли домашние матчи. Для фиксированной команды ее степень в этом графе равна числу ее домашних побед: каждое ребро, выходящее из вершины, соответствует сопернику, которого эта команда победила дома, а если команда победила дома данного соперника, то по предыдущему абзацу соперник тоже победил дома, значит соответствующее…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2021-volleyball-handshaking","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-polish-mo-2022-badminton-kolmogorov-2021-volleyball","neighbor_id":"polish-mo-2022-ii-p6-badminton-euler-cycles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-1 двухкруговой турнир с равным числом домашних и гостевых побед, кубок колмогорова 2021 double_counting goal_strategy_game 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 ? кубок колмогорова 2021 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked \\(999\\) команд сыграли двухкруговой турнир по волейболу: каждая сыграла с каждой матч дома и матч в гостях. каждая команда выиграла ровно половину своих домашних матчей и ровно половину гостевых. докажите, что какая-то из команд дважды обыграла какую-то другую. simple_graph idea-graph-role графовая роль в условии турнир не сформулирован языком графов, но официальное решение существенно вводит граф на командах и завершает доказательство через лемму о рукопожатиях. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное решение ai_checked simple_graph degree double_counting предположим противное: ни одна команда не обыграла другую дважды. рассмотрим две произвольные команды `x` и `y`. они сыграли два матча: один на площадке `x`, другой на площадке `y`. по нашему предположению не может быть так, что `x` выиграла оба матча, и не может быть так, что `y` выиграла оба матча. значит, победы в этой паре разделились поровну: либо обе команды выиграли свои домашние матчи, либо обе команды выиграли свои гостевые матчи. построим простой граф на `999` вершинах-командах. соединим две команды ребром тогда и только тогда, когда в их паре обе команды выиграли домашние матчи. для фиксированной команды ее степень в этом графе равна числу ее домашних побед: каждое ребро, выходящее из вершины, соответствует сопернику, которого эта команда победила дома, а если команда победила дома данного соперника, то по предыдущему абзацу соперник тоже победил дома, значит соответствующее… kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-1 dvuhkrugovoy turnir s ravnym chislom domashnih i gostevyh pobed, kubok kolmogorova 2021 double_counting goal_strategy_game 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 ? kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked \\(999\\) komand sygrali dvuhkrugovoy turnir po voleybolu: kazhdaya sygrala s kazhdoy match doma i match v gostyah. kazhdaya komanda vyigrala rovno polovinu svoih domashnih matchey i rovno polovinu gostevyh. dokazhite, chto kakaya-to iz komand dvazhdy obygrala kakuyu-to druguyu. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol v uslovii turnir ne sformulirovan yazykom grafov, no ofitsialnoe reshenie suschestvenno vvodit graf na komandah i zavershaet dokazatelstvo cherez lemmu o rukopozhatiyah. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph degree double_counting predpolozhim protivnoe: ni odna komanda ne obygrala druguyu dvazhdy. rassmotrim dve proizvolnye komandy `x` i `y`. oni sygrali dva matcha: odin na ploschadke `x`, drugoy na ploschadke `y`. po nashemu predpolozheniyu ne mozhet byt tak, chto `x` vyigrala oba matcha, i ne mozhet byt tak, chto `y` vyigrala oba matcha. znachit, pobedy v etoy pare razdelilis porovnu: libo obe komandy vyigrali svoi domashnie matchi, libo obe komandy vyigrali svoi gostevye matchi. postroim prostoy graf na `999` vershinah-komandah. soedinim dve komandy rebrom togda i tolko togda, kogda v ih pare obe komandy vyigrali domashnie matchi. dlya fiksirovannoy komandy ee stepen v etom grafe ravna chislu ee domashnih pobed: kazhdoe rebro, vyhodyaschee iz vershiny, sootvetstvuet soperniku, kotorogo eta komanda pobedila doma, a esli komanda pobedila doma dannogo sopernika, to po predyduschemu abzatsu sopernik tozhe pobedil doma, znachit sootvetstvuyuschee…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-5","title":"Гаджеты и паросочетание по предпочтениям детей, Кубок Колмогорова 2021","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"high-reasoning агент 2026-05-16 завершил и проверил официальный план: последовательные циклы предпочтений дают стандартное самодостаточное TTC-доказательство.","notes":"high-reasoning агент 2026-05-16 завершил и проверил официальный план: последовательные циклы предпочтений дают стандартное самодостаточное TTC-доказательство.","audit_source":"manual-third-quartile-pass-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дети привезли в лагерь по гаджету. Гаджет, привезенный ребенком \\(i\\), получил номер \\(i\\). Каждый ребенок упорядочил все гаджеты от более желанного к менее желанному. Воспитатель хочет предложить перестановку \\(\\sigma\\), по которой ребенку \\(i\\) достанется гаджет \\(\\sigma(i)\\). Группа детей \\(A\\) может заблокировать предложение, если дети из \\(A\\) могут перераспределить между собой гаджеты, привезенные ими самими, так, чтобы каждый получил гаджет не хуже, чем в предложении \\(\\sigma\\), и хотя бы один ребенок получил бы другой гаджет, чем в \\(\\sigma\\). Докажите, что существует не более одного предложения воспитателя, которое не может заблокировать ни одна группа детей.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","directed_graph","cycle"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим ориентированный граф на детях. Из вершины `i` проводят ребро в вершину `j`, если гаджет `j` нравится ребенку `i` больше всего среди всех доступных. В любом конечном ориентированном графе есть цикл; выберем такой цикл `C_1` и предложим каждому ребенку из него гаджет следующего по циклу ребенка. После этого детей цикла убирают и повторяют ту же процедуру на оставшихся детях. Так получается последовательность циклов `C_1, C_2, ...` и предложение `sigma`. Рассмотрим любое другое предложение `sigma'`. Пусть `B` — множество детей, для которых `sigma(i) != sigma'(i)`. Выберем ребенка из `B`, принадлежащего циклу с минимальным номером `C_k`. Тогда все более ранние циклы получили в `sigma` и `sigma'` те же гаджеты, а дети из `C_k` в `sigma` уже получили свои лучшие оставшиеся гаджеты. Значит, дети цикла `C_k` могут внутри себя организовать перераспределение не хуже, чем `sigma'`, причем…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2021-gadgets-top-cycle","neighbor_id":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2019-outdegree-cycles-2021-gadget-cycles","neighbor_id":"kolmogorov-2019-team-olympiad-juniors-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-5 гаджеты и паросочетание по предпочтениям детей, кубок колмогорова 2021 connectivity goal_impossibility 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 ? кубок колмогорова 2021 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дети привезли в лагерь по гаджету. гаджет, привезенный ребенком \\(i\\), получил номер \\(i\\). каждый ребенок упорядочил все гаджеты от более желанного к менее желанному. воспитатель хочет предложить перестановку \\(\\sigma\\), по которой ребенку \\(i\\) достанется гаджет \\(\\sigma(i)\\). группа детей \\(a\\) может заблокировать предложение, если дети из \\(a\\) могут перераспределить между собой гаджеты, привезенные ими самими, так, чтобы каждый получил гаджет не хуже, чем в предложении \\(\\sigma\\), и хотя бы один ребенок получил бы другой гаджет, чем в \\(\\sigma\\). докажите, что существует не более одного предложения воспитателя, которое не может заблокировать ни одна группа детей. simple_graph idea-graph-role графовая роль граф не фигурирует в формулировке явно, но официальное решение принципиально строит ориентированный граф предпочтений и использует его циклы. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное решение ai_checked simple_graph directed_graph cycle greedy_ordering delete_to_simplify построим ориентированный граф на детях. из вершины `i` проводят ребро в вершину `j`, если гаджет `j` нравится ребенку `i` больше всего среди всех доступных. в любом конечном ориентированном графе есть цикл; выберем такой цикл `c_1` и предложим каждому ребенку из него гаджет следующего по циклу ребенка. после этого детей цикла убирают и повторяют ту же процедуру на оставшихся детях. так получается последовательность циклов `c_1, c_2, ...` и предложение `sigma`. рассмотрим любое другое предложение `sigma'`. пусть `b` — множество детей, для которых `sigma(i) != sigma'(i)`. выберем ребенка из `b`, принадлежащего циклу с минимальным номером `c_k`. тогда все более ранние циклы получили в `sigma` и `sigma'` те же гаджеты, а дети из `c_k` в `sigma` уже получили свои лучшие оставшиеся гаджеты. значит, дети цикла `c_k` могут внутри себя организовать перераспределение не хуже, чем `sigma'`, причем… kolmogorov-2021-individual-olympiad-seniors-problem-5 gadzhety i parosochetanie po predpochteniyam detey, kubok kolmogorova 2021 connectivity goal_impossibility 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 ? kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked deti privezli v lager po gadzhetu. gadzhet, privezennyy rebenkom \\(i\\), poluchil nomer \\(i\\). kazhdyy rebenok uporyadochil vse gadzhety ot bolee zhelannogo k menee zhelannomu. vospitatel hochet predlozhit perestanovku \\(\\sigma\\), po kotoroy rebenku \\(i\\) dostanetsya gadzhet \\(\\sigma(i)\\). gruppa detey \\(a\\) mozhet zablokirovat predlozhenie, esli deti iz \\(a\\) mogut pereraspredelit mezhdu soboy gadzhety, privezennye imi samimi, tak, chtoby kazhdyy poluchil gadzhet ne huzhe, chem v predlozhenii \\(\\sigma\\), i hotya by odin rebenok poluchil by drugoy gadzhet, chem v \\(\\sigma\\). dokazhite, chto suschestvuet ne bolee odnogo predlozheniya vospitatelya, kotoroe ne mozhet zablokirovat ni odna gruppa detey. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol graf ne figuriruet v formulirovke yavno, no ofitsialnoe reshenie printsipialno stroit orientirovannyy graf predpochteniy i ispolzuet ego tsikly. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph directed_graph cycle greedy_ordering delete_to_simplify postroim orientirovannyy graf na detyah. iz vershiny `i` provodyat rebro v vershinu `j`, esli gadzhet `j` nravitsya rebenku `i` bolshe vsego sredi vseh dostupnyh. v lyubom konechnom orientirovannom grafe est tsikl; vyberem takoy tsikl `c_1` i predlozhim kazhdomu rebenku iz nego gadzhet sleduyuschego po tsiklu rebenka. posle etogo detey tsikla ubirayut i povtoryayut tu zhe protseduru na ostavshihsya detyah. tak poluchaetsya posledovatelnost tsiklov `c_1, c_2, ...` i predlozhenie `sigma`. rassmotrim lyuboe drugoe predlozhenie `sigma'`. pust `b` — mnozhestvo detey, dlya kotoryh `sigma(i) != sigma'(i)`. vyberem rebenka iz `b`, prinadlezhaschego tsiklu s minimalnym nomerom `c_k`. togda vse bolee rannie tsikly poluchili v `sigma` i `sigma'` te zhe gadzhety, a deti iz `c_k` v `sigma` uzhe poluchili svoi luchshie ostavshiesya gadzhety. znachit, deti tsikla `c_k` mogut vnutri sebya organizovat pereraspredelenie ne huzhe, chem `sigma'`, prichem…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2021-komol-chip-firing-edge-discrepancy","title":"Фишки, выстрелы и соседнее ребро, Кубок Колмогорова 2021 КомОл seniors 8","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-komol-chip-firing-edge-discrepancy.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-komol-chip-firing-edge-discrepancy.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-komol-chip-firing-edge-discrepancy","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":["Gábor Tardos"],"tags":["goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Короткая, но нетривиальная задача на локальный chip-firing и разрез по числу ходов.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"В простом графе без петель есть смежные вершины \\(u\\) и \\(v\\), а на вершинах графа размещено \\(N\\) фишек. Вершина может сработать, если на ней не меньше фишек, чем её степень: при этом она отправляет по одной фишке каждому соседу; в каждый момент срабатывает не более одной вершины. Докажите, что в любой момент числа срабатываний вершин \\(u\\) и \\(v\\) отличаются не более чем на \\(N\\).","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cut-flow","title":"Чистый перенос через разрез","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем момент времени и обозначим через \\(f(x)\\) число выстрелов вершины \\(x\\). Если \\(f(u)=f(v)\\), то доказывать нечего; пусть \\(f(u)<f(v)\\). Разобьём вершины на две части: \\(U=\\{x\\colon f(x)\\le f(u)\\}\\) и \\(V=\\{x\\colon f(x)>f(u)\\}\\). Тогда \\(u\\in U\\), \\(v\\in V\\), так что ребро \\(uv\\) пересекает этот разрез. Рассмотрим любое ребро \\(ab\\) с \\(a\\in U\\), \\(b\\in V\\). По нему из \\(a\\) в \\(b\\) было отправлено \\(f(a)\\) фишек, а из \\(b\\) в \\(a\\) — \\(f(b)\\) фишек; так как \\(f(a)\\le f(u)<f(b)\\), чистый перенос по этому ребру идёт из \\(V\\) в \\(U\\), то есть в \\(V\\) в итоге прибыло \\(f(b)-f(a)>0\\) фишек меньше, чем ушло. Эквивалентно, если считать переносы со знаком в сторону \\(V\\), то каждое ребро разреза даёт в \\(V\\) положительный вклад. Суммарный чистый приток в \\(V\\) по всем рёбрам разреза не может превышать \\(N\\), потому что во всём графе изначально всего \\(N\\) фишек. Значит, и по одному…"}],"relations":[{"id":"rel-kolmogorov-2021-chip-imo-2019-c3","neighbor_id":"imo-2019-c3-coin-process-digraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2021-komol-chip-firing-edge-discrepancy фишки, выстрелы и соседнее ребро, кубок колмогорова 2021 комол seniors 8 goal_exact_bound 2021 gábor tardos gábortardos https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 gábor tardos кубок колмогорова 2021 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original ai_checked в простом графе без петель есть смежные вершины \\(u\\) и \\(v\\), а на вершинах графа размещено \\(n\\) фишек. вершина может сработать, если на ней не меньше фишек, чем её степень: при этом она отправляет по одной фишке каждому соседу; в каждый момент срабатывает не более одной вершины. докажите, что в любой момент числа срабатываний вершин \\(u\\) и \\(v\\) отличаются не более чем на \\(n\\). simple_graph idea-cut-by-firing-threshold разделить вершины по числу выстрелов если одна из вершин ребра стреляла чаще другой, разбиваем вершины на две части по порогу этого меньшего числа выстрелов. тогда через каждое ребро между частями в более активную часть должен был перейти положительный чистый поток фишек. double_counting ai_checked sol-cut-flow чистый перенос через разрез ai_checked simple_graph зафиксируем момент времени и обозначим через \\(f(x)\\) число выстрелов вершины \\(x\\). если \\(f(u)=f(v)\\), то доказывать нечего; пусть \\(f(u)<f(v)\\). разобьём вершины на две части: \\(u=\\{x\\colon f(x)\\le f(u)\\}\\) и \\(v=\\{x\\colon f(x)>f(u)\\}\\). тогда \\(u\\in u\\), \\(v\\in v\\), так что ребро \\(uv\\) пересекает этот разрез. рассмотрим любое ребро \\(ab\\) с \\(a\\in u\\), \\(b\\in v\\). по нему из \\(a\\) в \\(b\\) было отправлено \\(f(a)\\) фишек, а из \\(b\\) в \\(a\\) — \\(f(b)\\) фишек; так как \\(f(a)\\le f(u)<f(b)\\), чистый перенос по этому ребру идёт из \\(v\\) в \\(u\\), то есть в \\(v\\) в итоге прибыло \\(f(b)-f(a)>0\\) фишек меньше, чем ушло. эквивалентно, если считать переносы со знаком в сторону \\(v\\), то каждое ребро разреза даёт в \\(v\\) положительный вклад. суммарный чистый приток в \\(v\\) по всем рёбрам разреза не может превышать \\(n\\), потому что во всём графе изначально всего \\(n\\) фишек. значит, и по одному… kolmogorov-2021-komol-chip-firing-edge-discrepancy fishki, vystrely i sosednee rebro, kubok kolmogorova 2021 komol seniors 8 goal_exact_bound 2021 gábor tardos gábortardos https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 gábor tardos kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original ai_checked v prostom grafe bez petel est smezhnye vershiny \\(u\\) i \\(v\\), a na vershinah grafa razmescheno \\(n\\) fishek. vershina mozhet srabotat, esli na ney ne menshe fishek, chem ee stepen: pri etom ona otpravlyaet po odnoy fishke kazhdomu sosedu; v kazhdyy moment srabatyvaet ne bolee odnoy vershiny. dokazhite, chto v lyuboy moment chisla srabatyvaniy vershin \\(u\\) i \\(v\\) otlichayutsya ne bolee chem na \\(n\\). simple_graph idea-cut-by-firing-threshold razdelit vershiny po chislu vystrelov esli odna iz vershin rebra strelyala chasche drugoy, razbivaem vershiny na dve chasti po porogu etogo menshego chisla vystrelov. togda cherez kazhdoe rebro mezhdu chastyami v bolee aktivnuyu chast dolzhen byl pereyti polozhitelnyy chistyy potok fishek. double_counting ai_checked sol-cut-flow chistyy perenos cherez razrez ai_checked simple_graph zafiksiruem moment vremeni i oboznachim cherez \\(f(x)\\) chislo vystrelov vershiny \\(x\\). esli \\(f(u)=f(v)\\), to dokazyvat nechego; pust \\(f(u)<f(v)\\). razobem vershiny na dve chasti: \\(u=\\{x\\colon f(x)\\le f(u)\\}\\) i \\(v=\\{x\\colon f(x)>f(u)\\}\\). togda \\(u\\in u\\), \\(v\\in v\\), tak chto rebro \\(uv\\) peresekaet etot razrez. rassmotrim lyuboe rebro \\(ab\\) s \\(a\\in u\\), \\(b\\in v\\). po nemu iz \\(a\\) v \\(b\\) bylo otpravleno \\(f(a)\\) fishek, a iz \\(b\\) v \\(a\\) — \\(f(b)\\) fishek; tak kak \\(f(a)\\le f(u)<f(b)\\), chistyy perenos po etomu rebru idet iz \\(v\\) v \\(u\\), to est v \\(v\\) v itoge pribylo \\(f(b)-f(a)>0\\) fishek menshe, chem ushlo. ekvivalentno, esli schitat perenosy so znakom v storonu \\(v\\), to kazhdoe rebro razreza daet v \\(v\\) polozhitelnyy vklad. summarnyy chistyy pritok v \\(v\\) po vsem rebram razreza ne mozhet prevyshat \\(n\\), potomu chto vo vsem grafe iznachalno vsego \\(n\\) fishek. znachit, i po odnomu…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-10","title":"Антиклики триангуляции выпуклого n-угольника, Кубок Колмогорова 2021","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-10.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-10.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-10","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["planar_graphs","induction","goal_counting","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Кубок Колмогорова 2021, первая игра второй лиги, задача 10; экстремальный подсчёт независимых множеств в триангуляциях выпуклого многоугольника.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"source_verified","confidence":0.94,"basis":"официальный архив Кубка Колмогорова 2021, PDF решений второй лиги, первая игра","notes":"Аудит повышенной сложности 2026-05-07 восстановил полное решение из официального архива; прежний блокер с отсутствующим локальным txt снят.","audit_source":"very-high-pipeline-batch-6-2026-05-07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Триангуляцией выпуклого \\(n\\)-угольника называется разбиение его на треугольники непересекающимися диагоналями. Антикликой триангуляции назовём подмножество вершин многоугольника, никакие две из которых не соединены стороной или диагональю. Саша подсчитал, что в любой триангуляции \\(100\\)-угольника хотя бы \\(M\\) антиклик, причём есть триангуляции, в которых их ровно \\(M\\). Сколько триангуляций содержат ровно \\(M\\) антиклик?","definition_ids":["simple_graph","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Официальное решение, развёрнутое","status":"source_verified","definition_ids":["simple_graph","independent_set","planar_graph"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(100\\). Будем считать антиклики независимыми множествами вершин графа триангуляции. Если в принятой конвенции пустое множество не называют антикликой, все числа ниже уменьшаются на 1, но экстремальные триангуляции не меняются. Назовём зигзагом такую триангуляцию, которая получается последовательным отрезанием ушей попеременно с двух концов одной ломаной: после выбора начальной вершины и первого направления все остальные диагонали вынуждены. Пусть \\(z_n\\) — число антиклик в зигзаг-триангуляции \\(n\\)-угольника. Нам понадобится не явная формула для \\(z_n\\), а рекуррентное свойство \\[ z_n=z_{n-1}+z_{n-3}. \\] Оно следует из того же разбиения антиклик, которое сейчас будет использовано для произвольной триангуляции. Докажем по индукции более сильное утверждение: среди всех триангуляций \\(n\\)-угольника минимум числа антиклик равен \\(z_n\\), и равенство достигается только на зигзаг-триан…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2021-triangulation-anticliques-dual-tree","neighbor_id":"kolmogorov-2006-round-4-super-league-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-10 антиклики триангуляции выпуклого n-угольника, кубок колмогорова 2021 planar_graphs induction goal_counting goal_exact_bound 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 ? кубок колмогорова 2021 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked триангуляцией выпуклого \\(n\\)-угольника называется разбиение его на треугольники непересекающимися диагоналями. антикликой триангуляции назовём подмножество вершин многоугольника, никакие две из которых не соединены стороной или диагональю. саша подсчитал, что в любой триангуляции \\(100\\)-угольника хотя бы \\(m\\) антиклик, причём есть триангуляции, в которых их ровно \\(m\\). сколько триангуляций содержат ровно \\(m\\) антиклик? simple_graph independent_set idea-ear-recurrence-independent-sets удаление уха даёт рекуррентную нижнюю оценку в любой триангуляции есть ухо. независимые множества либо не содержат вершину уха, либо содержат её и тогда не содержат двух соседей уха. поэтому минимум числа антиклик не меньше суммы минимумов для \\((n-1)\\)- и \\((n-3)\\)-угольников. induction goal_exact_bound source_verified idea-zigzag-equality-cases равенство заставляет зигзаг равенство в рекуррентной оценке возможно только тогда, когда после удаления уха остаётся экстремальная триангуляция, а после удаления уха с двумя соседями оставшаяся часть уже замкнута диагональю и тоже экстремальна. это ровно рекурсивное описание зигзагообразных триангуляций. extremal_choice induction source_verified sol-official-compressed официальное решение, развёрнутое source_verified simple_graph independent_set planar_graph induction delete_to_simplify ответ: \\(100\\). будем считать антиклики независимыми множествами вершин графа триангуляции. если в принятой конвенции пустое множество не называют антикликой, все числа ниже уменьшаются на 1, но экстремальные триангуляции не меняются. назовём зигзагом такую триангуляцию, которая получается последовательным отрезанием ушей попеременно с двух концов одной ломаной: после выбора начальной вершины и первого направления все остальные диагонали вынуждены. пусть \\(z_n\\) — число антиклик в зигзаг-триангуляции \\(n\\)-угольника. нам понадобится не явная формула для \\(z_n\\), а рекуррентное свойство \\[ z_n=z_{n-1}+z_{n-3}. \\] оно следует из того же разбиения антиклик, которое сейчас будет использовано для произвольной триангуляции. докажем по индукции более сильное утверждение: среди всех триангуляций \\(n\\)-угольника минимум числа антиклик равен \\(z_n\\), и равенство достигается только на зигзаг-триан… kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-10 antikliki triangulyatsii vypuklogo n-ugolnika, kubok kolmogorova 2021 planar_graphs induction goal_counting goal_exact_bound 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 ? kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked triangulyatsiey vypuklogo \\(n\\)-ugolnika nazyvaetsya razbienie ego na treugolniki neperesekayuschimisya diagonalyami. antiklikoy triangulyatsii nazovem podmnozhestvo vershin mnogougolnika, nikakie dve iz kotoryh ne soedineny storonoy ili diagonalyu. sasha podschital, chto v lyuboy triangulyatsii \\(100\\)-ugolnika hotya by \\(m\\) antiklik, prichem est triangulyatsii, v kotoryh ih rovno \\(m\\). skolko triangulyatsiy soderzhat rovno \\(m\\) antiklik? simple_graph independent_set idea-ear-recurrence-independent-sets udalenie uha daet rekurrentnuyu nizhnyuyu otsenku v lyuboy triangulyatsii est uho. nezavisimye mnozhestva libo ne soderzhat vershinu uha, libo soderzhat ee i togda ne soderzhat dvuh sosedey uha. poetomu minimum chisla antiklik ne menshe summy minimumov dlya \\((n-1)\\)- i \\((n-3)\\)-ugolnikov. induction goal_exact_bound source_verified idea-zigzag-equality-cases ravenstvo zastavlyaet zigzag ravenstvo v rekurrentnoy otsenke vozmozhno tolko togda, kogda posle udaleniya uha ostaetsya ekstremalnaya triangulyatsiya, a posle udaleniya uha s dvumya sosedyami ostavshayasya chast uzhe zamknuta diagonalyu i tozhe ekstremalna. eto rovno rekursivnoe opisanie zigzagoobraznyh triangulyatsiy. extremal_choice induction source_verified sol-official-compressed ofitsialnoe reshenie, razvernutoe source_verified simple_graph independent_set planar_graph induction delete_to_simplify otvet: \\(100\\). budem schitat antikliki nezavisimymi mnozhestvami vershin grafa triangulyatsii. esli v prinyatoy konventsii pustoe mnozhestvo ne nazyvayut antiklikoy, vse chisla nizhe umenshayutsya na 1, no ekstremalnye triangulyatsii ne menyayutsya. nazovem zigzagom takuyu triangulyatsiyu, kotoraya poluchaetsya posledovatelnym otrezaniem ushey poperemenno s dvuh kontsov odnoy lomanoy: posle vybora nachalnoy vershiny i pervogo napravleniya vse ostalnye diagonali vynuzhdeny. pust \\(z_n\\) — chislo antiklik v zigzag-triangulyatsii \\(n\\)-ugolnika. nam ponadobitsya ne yavnaya formula dlya \\(z_n\\), a rekurrentnoe svoystvo \\[ z_n=z_{n-1}+z_{n-3}. \\] ono sleduet iz togo zhe razbieniya antiklik, kotoroe seychas budet ispolzovano dlya proizvolnoy triangulyatsii. dokazhem po induktsii bolee silnoe utverzhdenie: sredi vseh triangulyatsiy \\(n\\)-ugolnika minimum chisla antiklik raven \\(z_n\\), i ravenstvo dostigaetsya tolko na zigzag-trian…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8","title":"Одноцветные пути в раскрашенном полном двудольном графе, Кубок Колмогорова 2021","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","connectivity","double_counting","trees","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Официальная задача второй лиги: решение требует аккуратного двойного подсчета цветовых компонент, но без тяжелых внешних теорем.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.94,"basis":"официальное решение expanded and checked by агент","notes":"Официальный сжатый план восстановлен в самодостаточное доказательство; исправлена неверная интерпретация c_i как цикломатического избытка.","audit_source":"official-plan-expansion"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дан полный двудольный граф, в каждой доле которого по \\(n\\) вершин. Каждое ребро этого графа покрашено в один из \\(n^2 - 2n + 2\\) цветов, причем в каждый цвет покрашено хотя бы одно ребро. Докажите, что найдутся две вершины графа, между которыми существует не более одного одноцветного простого пути.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Подсчёт цветовых компонент","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","path","connected_graph","tree","cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим отдельно каждый цвет. Подграф, состоящий из ребер этого цвета, разобьем на компоненты связности и оставим только нетривиальные компоненты, то есть содержащие хотя бы одно ребро. Пусть все такие компоненты по всем цветам равны `G_1, ..., G_m`. Для компоненты `G_i` обозначим через `v_i` число ее вершин, через `e_i` число ее ребер и положим \\[ c_i=e_i-1. \\] Так как каждый цвет встречается хотя бы на одном ребре, число нетривиальных цветовых компонент не меньше числа цветов: \\[ m\\ge n^2-2n+2. \\] С другой стороны, каждое ребро исходного полного двудольного графа попадает ровно в одну из этих компонент, поэтому `sum e_i=n^2`. Отсюда \\[ \\sum_{i=1}^m c_i=\\sum_{i=1}^m(e_i-1)=n^2-m\\le 2n-2. \\tag{1} \\] Предположим противное: между любыми двумя различными вершинами существует как минимум два одноцветных простых пути. Зафиксируем вершину `p`. Пусть `p` входит ровно в компоненты `G_1, ...,…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2021-bipartite-color-components-rainbow-cycle","neighbor_id":"kolmogorov-2002-individual-olympiad-8-9-output-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2021-p8-kolm-2023-monochromatic-bipartite-components","neighbor_id":"kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2021-p8-kolm-2002-rare-colors-components","neighbor_id":"kolmogorov-2002-individual-olympiad-10-11-output-problem-5","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8 одноцветные пути в раскрашенном полном двудольном графе, кубок колмогорова 2021 coloring connectivity double_counting trees goal_existence 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 ? кубок колмогорова 2021 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дан полный двудольный граф, в каждой доле которого по \\(n\\) вершин. каждое ребро этого графа покрашено в один из \\(n^2 - 2n + 2\\) цветов, причем в каждый цвет покрашено хотя бы одно ребро. докажите, что найдутся две вершины графа, между которыми существует не более одного одноцветного простого пути. simple_graph bipartite_graph path idea-color-components-surplus считать избыток цветовых компонент для каждого цвета разбиваем одноцветный подграф на нетривиальные компоненты и считаем величины `c_i=e_i-1`. много цветов дает верхнюю оценку на сумму этих величин, а предположение о двух одноцветных путях от фиксированной вершины ко всем остальным дает более сильную нижнюю оценку через компоненты-деревья и компоненты с циклом. double_counting connectivity ai_checked sol-official-expanded подсчёт цветовых компонент ai_checked simple_graph bipartite_graph path connected_graph tree cycle double_counting рассмотрим отдельно каждый цвет. подграф, состоящий из ребер этого цвета, разобьем на компоненты связности и оставим только нетривиальные компоненты, то есть содержащие хотя бы одно ребро. пусть все такие компоненты по всем цветам равны `g_1, ..., g_m`. для компоненты `g_i` обозначим через `v_i` число ее вершин, через `e_i` число ее ребер и положим \\[ c_i=e_i-1. \\] так как каждый цвет встречается хотя бы на одном ребре, число нетривиальных цветовых компонент не меньше числа цветов: \\[ m\\ge n^2-2n+2. \\] с другой стороны, каждое ребро исходного полного двудольного графа попадает ровно в одну из этих компонент, поэтому `sum e_i=n^2`. отсюда \\[ \\sum_{i=1}^m c_i=\\sum_{i=1}^m(e_i-1)=n^2-m\\le 2n-2. \\tag{1} \\] предположим противное: между любыми двумя различными вершинами существует как минимум два одноцветных простых пути. зафиксируем вершину `p`. пусть `p` входит ровно в компоненты `g_1, ...,… kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8 odnotsvetnye puti v raskrashennom polnom dvudolnom grafe, kubok kolmogorova 2021 coloring connectivity double_counting trees goal_existence 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 ? kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dan polnyy dvudolnyy graf, v kazhdoy dole kotorogo po \\(n\\) vershin. kazhdoe rebro etogo grafa pokrasheno v odin iz \\(n^2 - 2n + 2\\) tsvetov, prichem v kazhdyy tsvet pokrasheno hotya by odno rebro. dokazhite, chto naydutsya dve vershiny grafa, mezhdu kotorymi suschestvuet ne bolee odnogo odnotsvetnogo prostogo puti. simple_graph bipartite_graph path idea-color-components-surplus schitat izbytok tsvetovyh komponent dlya kazhdogo tsveta razbivaem odnotsvetnyy podgraf na netrivialnye komponenty i schitaem velichiny `c_i=e_i-1`. mnogo tsvetov daet verhnyuyu otsenku na summu etih velichin, a predpolozhenie o dvuh odnotsvetnyh putyah ot fiksirovannoy vershiny ko vsem ostalnym daet bolee silnuyu nizhnyuyu otsenku cherez komponenty-derevya i komponenty s tsiklom. double_counting connectivity ai_checked sol-official-expanded podschet tsvetovyh komponent ai_checked simple_graph bipartite_graph path connected_graph tree cycle double_counting rassmotrim otdelno kazhdyy tsvet. podgraf, sostoyaschiy iz reber etogo tsveta, razobem na komponenty svyaznosti i ostavim tolko netrivialnye komponenty, to est soderzhaschie hotya by odno rebro. pust vse takie komponenty po vsem tsvetam ravny `g_1, ..., g_m`. dlya komponenty `g_i` oboznachim cherez `v_i` chislo ee vershin, cherez `e_i` chislo ee reber i polozhim \\[ c_i=e_i-1. \\] tak kak kazhdyy tsvet vstrechaetsya hotya by na odnom rebre, chislo netrivialnyh tsvetovyh komponent ne menshe chisla tsvetov: \\[ m\\ge n^2-2n+2. \\] s drugoy storony, kazhdoe rebro ishodnogo polnogo dvudolnogo grafa popadaet rovno v odnu iz etih komponent, poetomu `sum e_i=n^2`. otsyuda \\[ \\sum_{i=1}^m c_i=\\sum_{i=1}^m(e_i-1)=n^2-m\\le 2n-2. \\tag{1} \\] predpolozhim protivnoe: mezhdu lyubymi dvumya razlichnymi vershinami suschestvuet kak minimum dva odnotsvetnyh prostyh puti. zafiksiruem vershinu `p`. pust `p` vhodit rovno v komponenty `g_1, ...,…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2021-t1-critical-strong-orientation","title":"Критическая сильная ориентация без хорд в циклах, Кубок Колмогорова 2021 1 тур seniors 5","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-t1-critical-strong-orientation.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-t1-critical-strong-orientation.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-t1-critical-strong-orientation","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова","Wikipedia, Robbins' theorem","Wikipedia, Biconnected graph"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":["Herbert Robbins"],"tags":["connectivity","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Задача требует внешнего факта о минимально сильной ориентации минимально 2-связных графов и аккуратного распознавания минимальной 2-связности через циклы без хорд.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"external_theorem_application","label":"решение через внешнюю теорему","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"high-reasoning pass 2026-05-17","external_theorem_ids":["dirac-plummer-chordless-minimally-2-connected-characterization","geller-minimally-2-connected-graphs-admit-minimally-strong-orientations"],"local_tool_solution_ids":[],"gap_status":"closed_by_external_theorem","notes":"Решение не утверждает, что каждый \\(G-e\\) имеет мост; это неверный или по крайней мере недостаточный прежний маршрут. Критичность сильной ориентации берется напрямую из внешней теоремы о минимально сильной ориентации минимально 2-связных графов."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — связный граф, такой что удаление любой вершины оставляет граф связным, а каждый простой цикл не имеет хорд. Докажите, что рёбра \\(G\\) можно ориентировать так, чтобы получившийся орграф был сильно связным, но удаление любого ребра разрушало сильную связность.","definition_ids":["connected_graph","cycle","chord","orientation","directed_graph","strongly_connected_digraph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-robbins-critical","title":"Минимально 2-связный граф и минимально сильная ориентация","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","cycle","chord","orientation","directed_graph","strongly_connected_digraph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Используем внешнюю теорему Дирака-Пламмера-Геллера: если конечный 2-вершинно-связный граф минимально 2-связен, то его рёбра можно ориентировать так, что получится минимально сильно связный орграф, то есть орграф сильно связен, но после удаления любой его дуги сильная связность пропадает. Кроме того, по характеристике Дирака-Пламмера 2-вершинно-связный граф минимально 2-связен тогда и только тогда, когда ни один его цикл не имеет хорды. В нашей задаче условие, что удаление любой вершины оставляет граф связным, является именно 2-вершинной связностью в стандартном невырожденном смысле. Второе условие говорит, что каждый простой цикл не имеет хорд. Значит, по характеристике Дирака-Пламмера граф \\(G\\) минимально 2-связен. Теперь применяем сформулированную внешнюю теорему. Она даёт ориентацию всех рёбер \\(G\\), при которой полученный ориентированный граф сильно связен и минимален по этому свой…"}],"relations":[{"id":"rel-kolmogorov-2021-t1-kolmogorov-2003-minimal-strong","neighbor_id":"kolmogorov-2003-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2021-orientation-usatst-2011","neighbor_id":"usa-tst-2011-p2-weighted-road-orientation","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2021-t1-critical-strong-orientation критическая сильная ориентация без хорд в циклах, кубок колмогорова 2021 1 тур seniors 5 connectivity goal_construction 2021 herbert robbins herbertrobbins https://en.wikipedia.org/wiki/biconnected_graph https://en.wikipedia.org/wiki/robbins%27_theorem https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive src-wikipedia-biconnected-graph src-wikipedia-robbins-theorem standard_reference wikipedia, biconnected graph wikipedia, robbins' theorem with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 herbert robbins кубок колмогорова 2021 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова wikipedia, robbins' theorem wikipedia, biconnected graph stmt-original ai_checked пусть \\(g\\) — связный граф, такой что удаление любой вершины оставляет граф связным, а каждый простой цикл не имеет хорд. докажите, что рёбра \\(g\\) можно ориентировать так, чтобы получившийся орграф был сильно связным, но удаление любого ребра разрушало сильную связность. connected_graph cycle chord orientation directed_graph strongly_connected_digraph idea-robbins-plus-minimal-bridgeless использовать минимальную 2-связность, а не мосты после удаления ребра условие про отсутствие хорд в каждом цикле вместе с 2-вершинной связностью означает, что граф минимально 2-связен. для таких графов нужна не проверка мостов в каждом \\(g-e\\), а внешняя теорема о существовании минимально сильной ориентации. connectivity ai_checked sol-robbins-critical минимально 2-связный граф и минимально сильная ориентация ai_checked connected_graph cycle chord orientation directed_graph strongly_connected_digraph используем внешнюю теорему дирака-пламмера-геллера: если конечный 2-вершинно-связный граф минимально 2-связен, то его рёбра можно ориентировать так, что получится минимально сильно связный орграф, то есть орграф сильно связен, но после удаления любой его дуги сильная связность пропадает. кроме того, по характеристике дирака-пламмера 2-вершинно-связный граф минимально 2-связен тогда и только тогда, когда ни один его цикл не имеет хорды. в нашей задаче условие, что удаление любой вершины оставляет граф связным, является именно 2-вершинной связностью в стандартном невырожденном смысле. второе условие говорит, что каждый простой цикл не имеет хорд. значит, по характеристике дирака-пламмера граф \\(g\\) минимально 2-связен. теперь применяем сформулированную внешнюю теорему. она даёт ориентацию всех рёбер \\(g\\), при которой полученный ориентированный граф сильно связен и минимален по этому свой… kolmogorov-2021-t1-critical-strong-orientation kriticheskaya silnaya orientatsiya bez hord v tsiklah, kubok kolmogorova 2021 1 tur seniors 5 connectivity goal_construction 2021 herbert robbins herbertrobbins https://en.wikipedia.org/wiki/biconnected_graph https://en.wikipedia.org/wiki/robbins%27_theorem https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive src-wikipedia-biconnected-graph src-wikipedia-robbins-theorem standard_reference wikipedia, biconnected graph wikipedia, robbins' theorem with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 herbert robbins kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova wikipedia, robbins' theorem wikipedia, biconnected graph stmt-original ai_checked pust \\(g\\) — svyaznyy graf, takoy chto udalenie lyuboy vershiny ostavlyaet graf svyaznym, a kazhdyy prostoy tsikl ne imeet hord. dokazhite, chto rebra \\(g\\) mozhno orientirovat tak, chtoby poluchivshiysya orgraf byl silno svyaznym, no udalenie lyubogo rebra razrushalo silnuyu svyaznost. connected_graph cycle chord orientation directed_graph strongly_connected_digraph idea-robbins-plus-minimal-bridgeless ispolzovat minimalnuyu 2-svyaznost, a ne mosty posle udaleniya rebra uslovie pro otsutstvie hord v kazhdom tsikle vmeste s 2-vershinnoy svyaznostyu oznachaet, chto graf minimalno 2-svyazen. dlya takih grafov nuzhna ne proverka mostov v kazhdom \\(g-e\\), a vneshnyaya teorema o suschestvovanii minimalno silnoy orientatsii. connectivity ai_checked sol-robbins-critical minimalno 2-svyaznyy graf i minimalno silnaya orientatsiya ai_checked connected_graph cycle chord orientation directed_graph strongly_connected_digraph ispolzuem vneshnyuyu teoremu diraka-plammera-gellera: esli konechnyy 2-vershinno-svyaznyy graf minimalno 2-svyazen, to ego rebra mozhno orientirovat tak, chto poluchitsya minimalno silno svyaznyy orgraf, to est orgraf silno svyazen, no posle udaleniya lyuboy ego dugi silnaya svyaznost propadaet. krome togo, po harakteristike diraka-plammera 2-vershinno-svyaznyy graf minimalno 2-svyazen togda i tolko togda, kogda ni odin ego tsikl ne imeet hordy. v nashey zadache uslovie, chto udalenie lyuboy vershiny ostavlyaet graf svyaznym, yavlyaetsya imenno 2-vershinnoy svyaznostyu v standartnom nevyrozhdennom smysle. vtoroe uslovie govorit, chto kazhdyy prostoy tsikl ne imeet hord. znachit, po harakteristike diraka-plammera graf \\(g\\) minimalno 2-svyazen. teper primenyaem sformulirovannuyu vneshnyuyu teoremu. ona daet orientatsiyu vseh reber \\(g\\), pri kotoroy poluchennyy orientirovannyy graf silno svyazen i minimalen po etomu svoy…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability","title":"Радужная достижимость в циркулянтном орграфе, Кубок Колмогорова 2021 2 тур seniors 10","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Baltic Way 2021 Short List, цитируется в Кубке Колмогорова 2021","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Аккуратная задача на радужную достижимость, где нижняя и верхняя оценки встречаются в точном ответе 20.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Вершины ориентированного графа — числа \\(0,1,\\ldots,2020\\) на окружности. Из каждой вершины \\(i\\) проведены ориентированные рёбра в \\(i+1,i+2,\\ldots,i+101\\) по модулю 2021. Раскрасьте рёбра в как можно меньшее число цветов так, чтобы для каждой упорядоченной пары вершин существовал ориентированный путь, рёбра которого имеют попарно различные цвета. Найдите минимальное число цветов.","definition_ids":["directed_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-mod-20-coloring","title":"Ответ 20","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ равен \\(20\\). Нижняя оценка: рассмотрим две соседние по кругу вершины так, чтобы из первой во вторую надо было пройти суммарный сдвиг \\(2020\\) против часовой стрелки. Любой радужный путь использует не более одного ребра каждого цвета, то есть если цветов \\(k\\), то в таком пути не более \\(k\\) рёбер. Каждое ребро сдвигает не более чем на \\(101\\), поэтому суммарный сдвиг не превосходит \\(101k\\). Чтобы получить сдвиг \\(2020\\), необходимо \\(101k\\ge 2020\\), откуда \\(k\\ge 20\\). Верхняя оценка: занумеруем вершины числами \\(0,1,\\dots,2020\\) по кругу и покрасим каждое ребро \\(i\\to i+d\\), где \\(1\\le d\\le 101\\), цветом \\(i \\bmod 20\\). Для любой пары вершин нужно получить нужный сдвиг \\(s\\in\\{0,1,\\dots,2020\\}\\). Представим \\(s=101q+r\\), где \\(0\\le q\\le 19\\) и \\(0\\le r\\le 100\\). Если \\(r=0\\), идём \\(q\\) раз по ребру длины \\(101\\). Если \\(r>0\\), идём \\(q\\) раз по ребру длины \\(101\\), а затем оди…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability радужная достижимость в циркулянтном орграфе, кубок колмогорова 2021 2 тур seniors 10 coloring goal_exact_bound 2021 baltic way 2021 short list, цитируется в кубке колмогорова 2021 https://sites.google.com/view/balticway2021/competition/problems https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive olympiad_shortlist src-baltic-way-2021-shortlist-cited-by-kolm src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 ? кубок колмогорова 2021 официальный архив baltic way 2021 short list, цитируется в кубке колмогорова 2021 архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original ai_checked вершины ориентированного графа — числа \\(0,1,\\ldots,2020\\) на окружности. из каждой вершины \\(i\\) проведены ориентированные рёбра в \\(i+1,i+2,\\ldots,i+101\\) по модулю 2021. раскрасьте рёбра в как можно меньшее число цветов так, чтобы для каждой упорядоченной пары вершин существовал ориентированный путь, рёбра которого имеют попарно различные цвета. найдите минимальное число цветов. directed_graph path idea-2020-needs-20-jumps чтобы пройти на 2020 вперёд, нужно хотя бы 20 ребер любой ориентированный путь состоит не более чем из стольких рёбер, сколько использовано цветов, а каждое ребро прибавляет по кругу не более 101. чтобы попасть из вершины в предыдущую, суммарный прирост должен быть не меньше 2020. extremal_choice ai_checked idea-color-by-tail-mod-20 красить по остатку хвоста по модулю 20 если нумеровать вершины остатками по модулю 2021 и красить любое исходящее ребро из вершины \\(i\\) цветом \\(i \\bmod 20\\), то последовательные прыжки на 101 сдвигают цвет на 1 по модулю 20. разложение \\(d=101q+r\\) даёт радужный путь длины \\(q\\) или \\(q+1\\). coloring ai_checked sol-mod-20-coloring ответ 20 ai_checked directed_graph path ответ равен \\(20\\). нижняя оценка: рассмотрим две соседние по кругу вершины так, чтобы из первой во вторую надо было пройти суммарный сдвиг \\(2020\\) против часовой стрелки. любой радужный путь использует не более одного ребра каждого цвета, то есть если цветов \\(k\\), то в таком пути не более \\(k\\) рёбер. каждое ребро сдвигает не более чем на \\(101\\), поэтому суммарный сдвиг не превосходит \\(101k\\). чтобы получить сдвиг \\(2020\\), необходимо \\(101k\\ge 2020\\), откуда \\(k\\ge 20\\). верхняя оценка: занумеруем вершины числами \\(0,1,\\dots,2020\\) по кругу и покрасим каждое ребро \\(i\\to i+d\\), где \\(1\\le d\\le 101\\), цветом \\(i \\bmod 20\\). для любой пары вершин нужно получить нужный сдвиг \\(s\\in\\{0,1,\\dots,2020\\}\\). представим \\(s=101q+r\\), где \\(0\\le q\\le 19\\) и \\(0\\le r\\le 100\\). если \\(r=0\\), идём \\(q\\) раз по ребру длины \\(101\\). если \\(r>0\\), идём \\(q\\) раз по ребру длины \\(101\\), а затем оди… kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability raduzhnaya dostizhimost v tsirkulyantnom orgrafe, kubok kolmogorova 2021 2 tur seniors 10 coloring goal_exact_bound 2021 baltic way 2021 short list, tsitiruetsya v kubke kolmogorova 2021 https://sites.google.com/view/balticway2021/competition/problems https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive olympiad_shortlist src-baltic-way-2021-shortlist-cited-by-kolm src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 ? kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv baltic way 2021 short list, tsitiruetsya v kubke kolmogorova 2021 arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original ai_checked vershiny orientirovannogo grafa — chisla \\(0,1,\\ldots,2020\\) na okruzhnosti. iz kazhdoy vershiny \\(i\\) provedeny orientirovannye rebra v \\(i+1,i+2,\\ldots,i+101\\) po modulyu 2021. raskraste rebra v kak mozhno menshee chislo tsvetov tak, chtoby dlya kazhdoy uporyadochennoy pary vershin suschestvoval orientirovannyy put, rebra kotorogo imeyut poparno razlichnye tsveta. naydite minimalnoe chislo tsvetov. directed_graph path idea-2020-needs-20-jumps chtoby proyti na 2020 vpered, nuzhno hotya by 20 reber lyuboy orientirovannyy put sostoit ne bolee chem iz stolkih reber, skolko ispolzovano tsvetov, a kazhdoe rebro pribavlyaet po krugu ne bolee 101. chtoby popast iz vershiny v predyduschuyu, summarnyy prirost dolzhen byt ne menshe 2020. extremal_choice ai_checked idea-color-by-tail-mod-20 krasit po ostatku hvosta po modulyu 20 esli numerovat vershiny ostatkami po modulyu 2021 i krasit lyuboe ishodyaschee rebro iz vershiny \\(i\\) tsvetom \\(i \\bmod 20\\), to posledovatelnye pryzhki na 101 sdvigayut tsvet na 1 po modulyu 20. razlozhenie \\(d=101q+r\\) daet raduzhnyy put dliny \\(q\\) ili \\(q+1\\). coloring ai_checked sol-mod-20-coloring otvet 20 ai_checked directed_graph path otvet raven \\(20\\). nizhnyaya otsenka: rassmotrim dve sosednie po krugu vershiny tak, chtoby iz pervoy vo vtoruyu nado bylo proyti summarnyy sdvig \\(2020\\) protiv chasovoy strelki. lyuboy raduzhnyy put ispolzuet ne bolee odnogo rebra kazhdogo tsveta, to est esli tsvetov \\(k\\), to v takom puti ne bolee \\(k\\) reber. kazhdoe rebro sdvigaet ne bolee chem na \\(101\\), poetomu summarnyy sdvig ne prevoshodit \\(101k\\). chtoby poluchit sdvig \\(2020\\), neobhodimo \\(101k\\ge 2020\\), otkuda \\(k\\ge 20\\). verhnyaya otsenka: zanumeruem vershiny chislami \\(0,1,\\dots,2020\\) po krugu i pokrasim kazhdoe rebro \\(i\\to i+d\\), gde \\(1\\le d\\le 101\\), tsvetom \\(i \\bmod 20\\). dlya lyuboy pary vershin nuzhno poluchit nuzhnyy sdvig \\(s\\in\\{0,1,\\dots,2020\\}\\). predstavim \\(s=101q+r\\), gde \\(0\\le q\\le 19\\) i \\(0\\le r\\le 100\\). esli \\(r=0\\), idem \\(q\\) raz po rebru dliny \\(101\\). esli \\(r>0\\), idem \\(q\\) raz po rebru dliny \\(101\\), a zatem odi…","source_keys":["kolmogorov","baltic"]}
{"id":"kolmogorov-2021-team-olympiad-seniors-problem-5","title":"Выбор городов для большой Москвы с сохранением связности, Кубок Колмогорова 2021","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-team-olympiad-seniors-problem-5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-team-olympiad-seniors-problem-5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-team-olympiad-seniors-problem-5","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из подготовленной графовой карточки KOLM; оценка сложности требует проверки человеком.","status":"needs_human_review"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_plan_completed_by_ai","label":"официальный план доведён агентом","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"high-reasoning агент 2026-05-16 завершил и проверил официальный план: индукция по соседу Москвы даёт биномиальную рекурсию.","notes":"high-reasoning агент 2026-05-16 завершил и проверил официальный план: индукция по соседу Москвы даёт биномиальную рекурсию.","audit_source":"manual-third-quartile-pass-2026-05-16"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране несколько городов, один из которых — Москва. Некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами. Мэр хочет объединить Москву еще с \\(n\\) городами в большую Москву так, чтобы: 1. между любыми двумя городами большой Москвы можно было проехать по дорогам, не попадая в города вне нее; 2. было ровно \\(k\\) городов вне большой Москвы, соединенных хотя бы одной дорогой с большой Москвой. Докажите, что есть не более \\(C_{n+k}^k\\) способов совершить такое объединение.","definition_ids":["simple_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Самодостаточное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Приведем графовую оценку через включение или исключение соседа Москвы. В первом решении все города большой Москвы красят в красный цвет, а все внешние соседние города — в зеленый. После этого строится инъективное отображение из допустимых выборов большой Москвы в последовательности из `n` красных и `k` зеленых символов. Для этого вершины, соседние с Москвой, последовательно выписываются в порядке номеров, а затем по очереди раскрываются соседи уже выписанных красных вершин. Полученная цветная последовательность однозначно восстанавливает исходный выбор, так что число вариантов не превосходит числа таких последовательностей, то есть `C_{n+k}^k`. Во втором решении проводится индукция по `n + k`. Рассматривается сосед Москвы `X`. Если `X` включают в большую Москву, то `X` и Москву стягивают в одну вершину и переходят к задаче с `n - 1` красной вершиной и тем же числом внешних соседей. Если…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2021-team-olympiad-seniors-problem-5 выбор городов для большой москвы с сохранением связности, кубок колмогорова 2021 goal_counting 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 ? кубок колмогорова 2021 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране несколько городов, один из которых — москва. некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами. мэр хочет объединить москву еще с \\(n\\) городами в большую москву так, чтобы: 1. между любыми двумя городами большой москвы можно было проехать по дорогам, не попадая в города вне нее; 2. было ровно \\(k\\) городов вне большой москвы, соединенных хотя бы одной дорогой с большой москвой. докажите, что есть не более \\(c_{n+k}^k\\) способов совершить такое объединение. simple_graph idea-graph-role графовая роль в условии явно задан неориентированный граф дорог с требованием связности выбранного подмножества вершин и контроля его внешней границы. официальное решение полностью графовое: работает с вершинами, соседями, стягиванием вершины и инъективной кодировкой связных подграфов с фиксированной границей. ai_checked sol-official-compressed самодостаточное решение ai_checked simple_graph приведем графовую оценку через включение или исключение соседа москвы. в первом решении все города большой москвы красят в красный цвет, а все внешние соседние города — в зеленый. после этого строится инъективное отображение из допустимых выборов большой москвы в последовательности из `n` красных и `k` зеленых символов. для этого вершины, соседние с москвой, последовательно выписываются в порядке номеров, а затем по очереди раскрываются соседи уже выписанных красных вершин. полученная цветная последовательность однозначно восстанавливает исходный выбор, так что число вариантов не превосходит числа таких последовательностей, то есть `c_{n+k}^k`. во втором решении проводится индукция по `n + k`. рассматривается сосед москвы `x`. если `x` включают в большую москву, то `x` и москву стягивают в одну вершину и переходят к задаче с `n - 1` красной вершиной и тем же числом внешних соседей. если… kolmogorov-2021-team-olympiad-seniors-problem-5 vybor gorodov dlya bolshoy moskvy s sohraneniem svyaznosti, kubok kolmogorova 2021 goal_counting 2021 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 ? kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane neskolko gorodov, odin iz kotoryh — moskva. nekotorye pary gorodov soedineny dvustoronnimi dorogami. mer hochet obedinit moskvu esche s \\(n\\) gorodami v bolshuyu moskvu tak, chtoby: 1. mezhdu lyubymi dvumya gorodami bolshoy moskvy mozhno bylo proehat po dorogam, ne popadaya v goroda vne nee; 2. bylo rovno \\(k\\) gorodov vne bolshoy moskvy, soedinennyh hotya by odnoy dorogoy s bolshoy moskvoy. dokazhite, chto est ne bolee \\(c_{n+k}^k\\) sposobov sovershit takoe obedinenie. simple_graph idea-graph-role grafovaya rol v uslovii yavno zadan neorientirovannyy graf dorog s trebovaniem svyaznosti vybrannogo podmnozhestva vershin i kontrolya ego vneshney granitsy. ofitsialnoe reshenie polnostyu grafovoe: rabotaet s vershinami, sosedyami, styagivaniem vershiny i inektivnoy kodirovkoy svyaznyh podgrafov s fiksirovannoy granitsey. ai_checked sol-official-compressed samodostatochnoe reshenie ai_checked simple_graph privedem grafovuyu otsenku cherez vklyuchenie ili isklyuchenie soseda moskvy. v pervom reshenii vse goroda bolshoy moskvy krasyat v krasnyy tsvet, a vse vneshnie sosednie goroda — v zelenyy. posle etogo stroitsya inektivnoe otobrazhenie iz dopustimyh vyborov bolshoy moskvy v posledovatelnosti iz `n` krasnyh i `k` zelenyh simvolov. dlya etogo vershiny, sosednie s moskvoy, posledovatelno vypisyvayutsya v poryadke nomerov, a zatem po ocheredi raskryvayutsya sosedi uzhe vypisannyh krasnyh vershin. poluchennaya tsvetnaya posledovatelnost odnoznachno vosstanavlivaet ishodnyy vybor, tak chto chislo variantov ne prevoshodit chisla takih posledovatelnostey, to est `c_{n+k}^k`. vo vtorom reshenii provoditsya induktsiya po `n + k`. rassmatrivaetsya sosed moskvy `x`. esli `x` vklyuchayut v bolshuyu moskvu, to `x` i moskvu styagivayut v odnu vershinu i perehodyat k zadache s `n - 1` krasnoy vershinoy i tem zhe chislom vneshnih sosedey. esli…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-individual-seniors-p2-cycle-arrangements","title":"Циклические расстановки групп, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-individual-seniors-p2-cycle-arrangements.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-individual-seniors-p2-cycle-arrangements.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-individual-seniors-p2-cycle-arrangements","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл:  Lichol__5lichol-sen.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Для данного \\(n\\) разбейте числа \\(1,2,\\ldots,n\\) на непустые группы и расположите элементы каждой группы по циклу. Две такие расстановки считаются эквивалентными, если одну можно получить из другой перестановкой циклов и поворотами отдельных циклов. Какое наибольшее число попарно неэквивалентных расстановок можно выбрать?","definition_ids":["directed_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Биекция с перестановками","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем, что неэквивалентные расстановки находятся во взаимно однозначном соответствии с перестановками чисел `1,2,...,n`. Пусть дана перестановка `a_1,a_2,...,a_n`. Построим ориентированный граф на числах `1,2,...,n`, проведя стрелку из `k` в `a_k`. Из каждой вершины выходит ровно одна стрелка и в каждую вершину входит ровно одна стрелка, поэтому граф распадается на направленные циклы. Если забыть направление обхода записи и порядок самих циклов, получаем ровно расстановку чисел по кругам в смысле условия. Обратно, если дана расстановка чисел по кругам, выберем на каждом круге направление обхода по часовой стрелке и зададим перестановку: число `k` переходит в следующее после него число на том же круге. Поворот круга и перестановка кругов эту перестановку не меняют. Значит, число неэквивалентных расстановок равно числу перестановок `n` элементов, то есть `n!`. Поэтому наибольшее число п…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2022-individual-seniors-p2-cycle-arrangements циклические расстановки групп, кубок колмогорова 2022 goal_counting 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked для данного \\(n\\) разбейте числа \\(1,2,\\ldots,n\\) на непустые группы и расположите элементы каждой группы по циклу. две такие расстановки считаются эквивалентными, если одну можно получить из другой перестановкой циклов и поворотами отдельных циклов. какое наибольшее число попарно неэквивалентных расстановок можно выбрать? directed_graph cycle idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. needs_human_review sol-official-restored биекция с перестановками ai_checked directed_graph cycle докажем, что неэквивалентные расстановки находятся во взаимно однозначном соответствии с перестановками чисел `1,2,...,n`. пусть дана перестановка `a_1,a_2,...,a_n`. построим ориентированный граф на числах `1,2,...,n`, проведя стрелку из `k` в `a_k`. из каждой вершины выходит ровно одна стрелка и в каждую вершину входит ровно одна стрелка, поэтому граф распадается на направленные циклы. если забыть направление обхода записи и порядок самих циклов, получаем ровно расстановку чисел по кругам в смысле условия. обратно, если дана расстановка чисел по кругам, выберем на каждом круге направление обхода по часовой стрелке и зададим перестановку: число `k` переходит в следующее после него число на том же круге. поворот круга и перестановка кругов эту перестановку не меняют. значит, число неэквивалентных расстановок равно числу перестановок `n` элементов, то есть `n!`. поэтому наибольшее число п… kolmogorov-2022-individual-seniors-p2-cycle-arrangements tsiklicheskie rasstanovki grupp, kubok kolmogorova 2022 goal_counting 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dlya dannogo \\(n\\) razbeyte chisla \\(1,2,\\ldots,n\\) na nepustye gruppy i raspolozhite elementy kazhdoy gruppy po tsiklu. dve takie rasstanovki schitayutsya ekvivalentnymi, esli odnu mozhno poluchit iz drugoy perestanovkoy tsiklov i povorotami otdelnyh tsiklov. kakoe naibolshee chislo poparno neekvivalentnyh rasstanovok mozhno vybrat? directed_graph cycle idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. needs_human_review sol-official-restored biektsiya s perestanovkami ai_checked directed_graph cycle dokazhem, chto neekvivalentnye rasstanovki nahodyatsya vo vzaimno odnoznachnom sootvetstvii s perestanovkami chisel `1,2,...,n`. pust dana perestanovka `a_1,a_2,...,a_n`. postroim orientirovannyy graf na chislah `1,2,...,n`, provedya strelku iz `k` v `a_k`. iz kazhdoy vershiny vyhodit rovno odna strelka i v kazhduyu vershinu vhodit rovno odna strelka, poetomu graf raspadaetsya na napravlennye tsikly. esli zabyt napravlenie obhoda zapisi i poryadok samih tsiklov, poluchaem rovno rasstanovku chisel po krugam v smysle usloviya. obratno, esli dana rasstanovka chisel po krugam, vyberem na kazhdom kruge napravlenie obhoda po chasovoy strelke i zadadim perestanovku: chislo `k` perehodit v sleduyuschee posle nego chislo na tom zhe kruge. povorot kruga i perestanovka krugov etu perestanovku ne menyayut. znachit, chislo neekvivalentnyh rasstanovok ravno chislu perestanovok `n` elementov, to est `n!`. poetomu naibolshee chislo p…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-round1-high-edge-count-permutation-nonedges","title":"Максимум рёбер при условии на перестановки не-рёбер, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-round1-high-edge-count-permutation-nonedges.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-round1-high-edge-count-permutation-nonedges.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-round1-high-edge-count-permutation-nonedges","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","trees","induction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл: 1 tur__1tur-sen.txt. Решение требует аккуратного раскрытия индукционной леммы об edge-disjoint self-packing разреженного графа, которое дано в карточке.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"официальный архив outline plus 2026-05-06 самодостаточно expansion","notes":"Восстановленный официальный набросок развёрнут в полное доказательство через упаковку в дополнительном графе; нерешённых пробелов не осталось.","audit_source":"official-plan-expansion-kolmogorov-2022-r1-high-permutation-nonedges"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"source_verified","text":"Пусть \\(n\\ge 3\\). В графе \\(G\\) есть \\(n\\) вершин и \\(k\\) рёбер. Для любой перестановки \\(\\sigma\\) вершин найдутся две несмежные вершины \\(u\\) и \\(v\\), такие что \\(\\sigma(u)\\) и \\(\\sigma(v)\\) тоже несмежны. Каково наибольшее возможное \\(k\\)?","definition_ids":["simple_graph","complement_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Ответ: \\(\\binom n2-(n-1)\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","tree","connected_graph","degree","clique","matching"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition","induction","extremal_choice","minimal_counterexample"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ равен \\[ \\binom n2-(n-1)=\\binom{n-1}{2}. \\] Сначала построим пример. Возьмём граф \\(F\\), состоящий из клики на \\(n-1\\) вершинах и одной изолированной вершины \\(a\\). В нём ровно \\(\\binom{n-1}{2}=\\binom n2-(n-1)\\) рёбер. Проверим условие. Пусть \\(\\sigma\\) -- произвольная перестановка вершин. Если \\(\\sigma(a)=a\\), то для любой вершины \\(x\\ne a\\) пара \\(a,x\\) несмежна и её образ \\(a,\\sigma(x)\\) тоже несмежен. Если же \\(\\sigma(a)=b\\ne a\\), возьмём \\(x=\\sigma^{-1}(a)\\). Тогда \\(x\\ne a\\), поэтому \\(a,x\\) несмежны, а их образы \\(b,a\\) также несмежны, так как \\(a\\) изолирована. Значит такое число рёбер достижимо. Докажем, что больше рёбер быть не может. Пусть \\(F\\) -- исходный граф, а \\(H=\\overline F\\) -- его дополнительный граф на тех же вершинах. Тогда не-рёбра \\(F\\) являются рёбрами \\(H\\). Условие задачи можно переписать так: для любой перестановки \\(\\sigma\\) существует ребро \\(uv\\) гра…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2022-r1-nonedges-tree-components","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2022-r1-nonedges-baltic-way-edge-packing","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2022-round1-high-edge-count-permutation-nonedges максимум рёбер при условии на перестановки не-рёбер, кубок колмогорова 2022 extremal_graph_theory trees induction goal_exact_bound 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка source_verified пусть \\(n\\ge 3\\). в графе \\(g\\) есть \\(n\\) вершин и \\(k\\) рёбер. для любой перестановки \\(\\sigma\\) вершин найдутся две несмежные вершины \\(u\\) и \\(v\\), такие что \\(\\sigma(u)\\) и \\(\\sigma(v)\\) тоже несмежны. каково наибольшее возможное \\(k\\)? simple_graph complement_graph idea-complement-packing дополнение и упаковка графа с самим собой если перейти к дополнительному графу \\(h\\), то не-рёбра исходного графа становятся рёбрами \\(h\\). условие означает, что всякая перестановка переводит хотя бы одно ребро \\(h\\) снова в ребро \\(h\\). поэтому верхняя оценка сводится к лемме: любой граф на \\(n\\) вершинах с не более чем \\(n-2\\) рёбрами можно переставить так, чтобы его образ был реберно не пересекающимся с ним самим. induction ai_checked idea-two-vertex-deletion удаление двух вершин и продолжение перестановки в разреженном графе либо есть изолированная вершина, которую удобно поменять с вершиной максимальной степени, либо есть две древесные компоненты, из которых можно удалить по листу. после индукции на оставшемся графе перестановку продолжают на две удалённые вершины: в случае листьев достаточно выбрать между фиксацией и перестановкой этих двух листьев. trees extremal_choice minimal_counterexample ai_checked sol-official-restored ответ: \\(\\binom n2-(n-1)\\) ai_checked simple_graph complement_graph tree connected_graph degree clique matching complement_graph_transition induction extremal_choice minimal_counterexample ответ равен \\[ \\binom n2-(n-1)=\\binom{n-1}{2}. \\] сначала построим пример. возьмём граф \\(f\\), состоящий из клики на \\(n-1\\) вершинах и одной изолированной вершины \\(a\\). в нём ровно \\(\\binom{n-1}{2}=\\binom n2-(n-1)\\) рёбер. проверим условие. пусть \\(\\sigma\\) -- произвольная перестановка вершин. если \\(\\sigma(a)=a\\), то для любой вершины \\(x\\ne a\\) пара \\(a,x\\) несмежна и её образ \\(a,\\sigma(x)\\) тоже несмежен. если же \\(\\sigma(a)=b\\ne a\\), возьмём \\(x=\\sigma^{-1}(a)\\). тогда \\(x\\ne a\\), поэтому \\(a,x\\) несмежны, а их образы \\(b,a\\) также несмежны, так как \\(a\\) изолирована. значит такое число рёбер достижимо. докажем, что больше рёбер быть не может. пусть \\(f\\) -- исходный граф, а \\(h=\\overline f\\) -- его дополнительный граф на тех же вершинах. тогда не-рёбра \\(f\\) являются рёбрами \\(h\\). условие задачи можно переписать так: для любой перестановки \\(\\sigma\\) существует ребро \\(uv\\) гра… kolmogorov-2022-round1-high-edge-count-permutation-nonedges maksimum reber pri uslovii na perestanovki ne-reber, kubok kolmogorova 2022 extremal_graph_theory trees induction goal_exact_bound 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka source_verified pust \\(n\\ge 3\\). v grafe \\(g\\) est \\(n\\) vershin i \\(k\\) reber. dlya lyuboy perestanovki \\(\\sigma\\) vershin naydutsya dve nesmezhnye vershiny \\(u\\) i \\(v\\), takie chto \\(\\sigma(u)\\) i \\(\\sigma(v)\\) tozhe nesmezhny. kakovo naibolshee vozmozhnoe \\(k\\)? simple_graph complement_graph idea-complement-packing dopolnenie i upakovka grafa s samim soboy esli pereyti k dopolnitelnomu grafu \\(h\\), to ne-rebra ishodnogo grafa stanovyatsya rebrami \\(h\\). uslovie oznachaet, chto vsyakaya perestanovka perevodit hotya by odno rebro \\(h\\) snova v rebro \\(h\\). poetomu verhnyaya otsenka svoditsya k lemme: lyuboy graf na \\(n\\) vershinah s ne bolee chem \\(n-2\\) rebrami mozhno perestavit tak, chtoby ego obraz byl reberno ne peresekayuschimsya s nim samim. induction ai_checked idea-two-vertex-deletion udalenie dvuh vershin i prodolzhenie perestanovki v razrezhennom grafe libo est izolirovannaya vershina, kotoruyu udobno pomenyat s vershinoy maksimalnoy stepeni, libo est dve drevesnye komponenty, iz kotoryh mozhno udalit po listu. posle induktsii na ostavshemsya grafe perestanovku prodolzhayut na dve udalennye vershiny: v sluchae listev dostatochno vybrat mezhdu fiksatsiey i perestanovkoy etih dvuh listev. trees extremal_choice minimal_counterexample ai_checked sol-official-restored otvet: \\(\\binom n2-(n-1)\\) ai_checked simple_graph complement_graph tree connected_graph degree clique matching complement_graph_transition induction extremal_choice minimal_counterexample otvet raven \\[ \\binom n2-(n-1)=\\binom{n-1}{2}. \\] snachala postroim primer. vozmem graf \\(f\\), sostoyaschiy iz kliki na \\(n-1\\) vershinah i odnoy izolirovannoy vershiny \\(a\\). v nem rovno \\(\\binom{n-1}{2}=\\binom n2-(n-1)\\) reber. proverim uslovie. pust \\(\\sigma\\) -- proizvolnaya perestanovka vershin. esli \\(\\sigma(a)=a\\), to dlya lyuboy vershiny \\(x\\ne a\\) para \\(a,x\\) nesmezhna i ee obraz \\(a,\\sigma(x)\\) tozhe nesmezhen. esli zhe \\(\\sigma(a)=b\\ne a\\), vozmem \\(x=\\sigma^{-1}(a)\\). togda \\(x\\ne a\\), poetomu \\(a,x\\) nesmezhny, a ih obrazy \\(b,a\\) takzhe nesmezhny, tak kak \\(a\\) izolirovana. znachit takoe chislo reber dostizhimo. dokazhem, chto bolshe reber byt ne mozhet. pust \\(f\\) -- ishodnyy graf, a \\(h=\\overline f\\) -- ego dopolnitelnyy graf na teh zhe vershinah. togda ne-rebra \\(f\\) yavlyayutsya rebrami \\(h\\). uslovie zadachi mozhno perepisat tak: dlya lyuboy perestanovki \\(\\sigma\\) suschestvuet rebro \\(uv\\) gra…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-round1-third-binary-strings-pairing-graph","title":"Раскраска вершин гиперкуба и паросочетания, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-round1-third-binary-strings-pairing-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-round1-third-binary-strings-pairing-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-round1-third-binary-strings-pairing-graph","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","matching","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл:  1 tur__sen-liga3-tur1.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"На доске записаны все двоичные строки длины 99, каждая красным или синим цветом. Затем выбирается непустое множество позиций, и строки разбиваются на пары так, что две строки в каждой паре отличаются ровно в выбранных позициях. Обязательно ли можно выбрать позиции так, чтобы число одноцветных пар отличалось от числа разноцветных пар?","definition_ids":["simple_graph","matching"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Паросочетания в 99-мерном гиперкубе","status":"ai_checked","text":"Вершины гиперкуба \\(\\{0,1\\}^{99}\\) окрашены в красный и синий цвета. Для каждого непустого множества координат \\(S\\) рассмотрим совершенное паросочетание, соединяющее каждую вершину с вершиной, полученной изменением ровно координат из \\(S\\). Обязательно ли существует такое \\(S\\), что в этом паросочетании число рёбер с одноцветными концами отличается от числа рёбер с разноцветными концами?","definition_ids":["simple_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Сумма по всем сдвигам","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","matching"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: да. Заменим красный цвет числом 1, а синий числом -1. Для двоичной строки x обозначим это число через f(x). Если выбран непустой набор позиций s, то разность между числом одноцветных и разноцветных пар равна половине суммы \\[ A_s=\\sum_x f(x)f(x+s), \\] где сложение x+s означает одновременный переворот выбранных битов, а сумма берётся по всем двоичным строкам длины 99. Достаточно доказать, что для некоторого ненулевого s величина \\(A_s\\) не равна нулю. Просуммируем \\(A_s\\) по всем 2^{99} векторам s, включая нулевой. Получим \\[ \\sum_s A_s=\\sum_s\\sum_x f(x)f(x+s)=\\left(\\sum_x f(x)\\right)^2. \\] Если бы все \\(A_s\\) при ненулевых s были равны нулю, то эта сумма равнялась бы \\(A_0=2^{99}\\). Но \\(\\left(\\sum_x f(x)\\right)^2\\) является квадратом целого числа, а 2^{99} не является полным квадратом. Противоречие. Значит, существует непустой набор позиций s, для которого \\(A_s\\ne 0\\); для соот…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2022-round1-third-binary-strings-pairing-graph раскраска вершин гиперкуба и паросочетания, кубок колмогорова 2022 coloring matching double_counting goal_counting 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked на доске записаны все двоичные строки длины 99, каждая красным или синим цветом. затем выбирается непустое множество позиций, и строки разбиваются на пары так, что две строки в каждой паре отличаются ровно в выбранных позициях. обязательно ли можно выбрать позиции так, чтобы число одноцветных пар отличалось от числа разноцветных пар? simple_graph matching stmt-graph паросочетания в 99-мерном гиперкубе ai_checked вершины гиперкуба \\(\\{0,1\\}^{99}\\) окрашены в красный и синий цвета. для каждого непустого множества координат \\(s\\) рассмотрим совершенное паросочетание, соединяющее каждую вершину с вершиной, полученной изменением ровно координат из \\(s\\). обязательно ли существует такое \\(s\\), что в этом паросочетании число рёбер с одноцветными концами отличается от числа рёбер с разноцветными концами? simple_graph matching idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. coloring needs_human_review sol-official-restored сумма по всем сдвигам ai_checked simple_graph matching double_counting ответ: да. заменим красный цвет числом 1, а синий числом -1. для двоичной строки x обозначим это число через f(x). если выбран непустой набор позиций s, то разность между числом одноцветных и разноцветных пар равна половине суммы \\[ a_s=\\sum_x f(x)f(x+s), \\] где сложение x+s означает одновременный переворот выбранных битов, а сумма берётся по всем двоичным строкам длины 99. достаточно доказать, что для некоторого ненулевого s величина \\(a_s\\) не равна нулю. просуммируем \\(a_s\\) по всем 2^{99} векторам s, включая нулевой. получим \\[ \\sum_s a_s=\\sum_s\\sum_x f(x)f(x+s)=\\left(\\sum_x f(x)\\right)^2. \\] если бы все \\(a_s\\) при ненулевых s были равны нулю, то эта сумма равнялась бы \\(a_0=2^{99}\\). но \\(\\left(\\sum_x f(x)\\right)^2\\) является квадратом целого числа, а 2^{99} не является полным квадратом. противоречие. значит, существует непустой набор позиций s, для которого \\(a_s\\ne 0\\); для соот… kolmogorov-2022-round1-third-binary-strings-pairing-graph raskraska vershin giperkuba i parosochetaniya, kubok kolmogorova 2022 coloring matching double_counting goal_counting 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked na doske zapisany vse dvoichnye stroki dliny 99, kazhdaya krasnym ili sinim tsvetom. zatem vybiraetsya nepustoe mnozhestvo pozitsiy, i stroki razbivayutsya na pary tak, chto dve stroki v kazhdoy pare otlichayutsya rovno v vybrannyh pozitsiyah. obyazatelno li mozhno vybrat pozitsii tak, chtoby chislo odnotsvetnyh par otlichalos ot chisla raznotsvetnyh par? simple_graph matching stmt-graph parosochetaniya v 99-mernom giperkube ai_checked vershiny giperkuba \\(\\{0,1\\}^{99}\\) okrasheny v krasnyy i siniy tsveta. dlya kazhdogo nepustogo mnozhestva koordinat \\(s\\) rassmotrim sovershennoe parosochetanie, soedinyayuschee kazhduyu vershinu s vershinoy, poluchennoy izmeneniem rovno koordinat iz \\(s\\). obyazatelno li suschestvuet takoe \\(s\\), chto v etom parosochetanii chislo reber s odnotsvetnymi kontsami otlichaetsya ot chisla reber s raznotsvetnymi kontsami? simple_graph matching idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. coloring needs_human_review sol-official-restored summa po vsem sdvigam ai_checked simple_graph matching double_counting otvet: da. zamenim krasnyy tsvet chislom 1, a siniy chislom -1. dlya dvoichnoy stroki x oboznachim eto chislo cherez f(x). esli vybran nepustoy nabor pozitsiy s, to raznost mezhdu chislom odnotsvetnyh i raznotsvetnyh par ravna polovine summy \\[ a_s=\\sum_x f(x)f(x+s), \\] gde slozhenie x+s oznachaet odnovremennyy perevorot vybrannyh bitov, a summa beretsya po vsem dvoichnym strokam dliny 99. dostatochno dokazat, chto dlya nekotorogo nenulevogo s velichina \\(a_s\\) ne ravna nulyu. prosummiruem \\(a_s\\) po vsem 2^{99} vektoram s, vklyuchaya nulevoy. poluchim \\[ \\sum_s a_s=\\sum_s\\sum_x f(x)f(x+s)=\\left(\\sum_x f(x)\\right)^2. \\] esli by vse \\(a_s\\) pri nenulevyh s byli ravny nulyu, to eta summa ravnyalas by \\(a_0=2^{99}\\). no \\(\\left(\\sum_x f(x)\\right)^2\\) yavlyaetsya kvadratom tselogo chisla, a 2^{99} ne yavlyaetsya polnym kvadratom. protivorechie. znachit, suschestvuet nepustoy nabor pozitsiy s, dlya kotorogo \\(a_s\\ne 0\\); dlya soot…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-round2-high-colored-integers-infinite-tree","title":"Раскрашенные целые числа и шаблоны с ограниченными промежутками, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-round2-high-colored-integers-infinite-tree.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-round2-high-colored-integers-infinite-tree.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-round2-high-colored-integers-infinite-tree","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","coloring","induction","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл:  2 tur__2tur-sen.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Положительные целые числа окрашены в 100 цветов. Докажите, что существует бесконечная возрастающая последовательность \\(a_1<a_2<\\ldots\\) с ограниченными соседними разностями, такая что для каждого \\(n\\) найдётся \\(x\\), при котором числа \\(a_1+x,a_2+x,\\ldots,a_n+x\\) имеют один и тот же цвет.","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Индукция по числу цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["tree"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем индукцией по \\(d\\), что, если натуральные числа раскрашены в \\(d\\) цветов, то найдётся подобная последовательность. База при \\(d=1\\) очевидна. Пусть найдётся \\(N\\) такое, что на любом отрезке длины \\(N\\) встретится \\(d\\)-й цвет. Тогда все числа \\(d\\)-го цвета, сдвинутые на один влево, образуют требуемую последовательность (для любого \\(n\\) надо взять \\(x = 1\\)). Иначе найдутся сколь угодно большие отрезки раскраски без \\(d\\)-го цвета. Рассмотрим бесконечное ориентированное ``дерево'', в котором на \\(k\\)-ом уровне будет \\((d-1)^k\\) вершин, каждая из которых соответствует раскраске \\(k\\) элементов в \\(d-1\\) цвет. Для каждого отрезка последовательных чисел длины \\(k\\), среди которых нет чисел \\(d\\)-го цвета, проведём ребро от вершины, соответствующей раскраске первых \\(k-1\\) числа, к вершине, соответствующей раскраске всех \\(k\\) чисел. В полученном графе степень каждой вершины коне…"}],"relations":[{"id":"rel-metadata-tree-euler-tree-kolm-2022-infinite-tree","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2022-colored-integers-imo-2015-infinite-rays","neighbor_id":"bounded-forward-rays-balanced-sums","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2022-round2-high-colored-integers-infinite-tree раскрашенные целые числа и шаблоны с ограниченными промежутками, кубок колмогорова 2022 trees coloring induction goal_existence 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked положительные целые числа окрашены в 100 цветов. докажите, что существует бесконечная возрастающая последовательность \\(a_1<a_2<\\ldots\\) с ограниченными соседними разностями, такая что для каждого \\(n\\) найдётся \\(x\\), при котором числа \\(a_1+x,a_2+x,\\ldots,a_n+x\\) имеют один и тот же цвет. tree idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. trees coloring needs_human_review sol-official-restored индукция по числу цветов ai_checked tree induction докажем индукцией по \\(d\\), что, если натуральные числа раскрашены в \\(d\\) цветов, то найдётся подобная последовательность. база при \\(d=1\\) очевидна. пусть найдётся \\(n\\) такое, что на любом отрезке длины \\(n\\) встретится \\(d\\)-й цвет. тогда все числа \\(d\\)-го цвета, сдвинутые на один влево, образуют требуемую последовательность (для любого \\(n\\) надо взять \\(x = 1\\)). иначе найдутся сколь угодно большие отрезки раскраски без \\(d\\)-го цвета. рассмотрим бесконечное ориентированное ``дерево'', в котором на \\(k\\)-ом уровне будет \\((d-1)^k\\) вершин, каждая из которых соответствует раскраске \\(k\\) элементов в \\(d-1\\) цвет. для каждого отрезка последовательных чисел длины \\(k\\), среди которых нет чисел \\(d\\)-го цвета, проведём ребро от вершины, соответствующей раскраске первых \\(k-1\\) числа, к вершине, соответствующей раскраске всех \\(k\\) чисел. в полученном графе степень каждой вершины коне… kolmogorov-2022-round2-high-colored-integers-infinite-tree raskrashennye tselye chisla i shablony s ogranichennymi promezhutkami, kubok kolmogorova 2022 trees coloring induction goal_existence 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked polozhitelnye tselye chisla okrasheny v 100 tsvetov. dokazhite, chto suschestvuet beskonechnaya vozrastayuschaya posledovatelnost \\(a_1<a_2<\\ldots\\) s ogranichennymi sosednimi raznostyami, takaya chto dlya kazhdogo \\(n\\) naydetsya \\(x\\), pri kotorom chisla \\(a_1+x,a_2+x,\\ldots,a_n+x\\) imeyut odin i tot zhe tsvet. tree idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. trees coloring needs_human_review sol-official-restored induktsiya po chislu tsvetov ai_checked tree induction dokazhem induktsiey po \\(d\\), chto, esli naturalnye chisla raskrasheny v \\(d\\) tsvetov, to naydetsya podobnaya posledovatelnost. baza pri \\(d=1\\) ochevidna. pust naydetsya \\(n\\) takoe, chto na lyubom otrezke dliny \\(n\\) vstretitsya \\(d\\)-y tsvet. togda vse chisla \\(d\\)-go tsveta, sdvinutye na odin vlevo, obrazuyut trebuemuyu posledovatelnost (dlya lyubogo \\(n\\) nado vzyat \\(x = 1\\)). inache naydutsya skol ugodno bolshie otrezki raskraski bez \\(d\\)-go tsveta. rassmotrim beskonechnoe orientirovannoe ``derevo'', v kotorom na \\(k\\)-om urovne budet \\((d-1)^k\\) vershin, kazhdaya iz kotoryh sootvetstvuet raskraske \\(k\\) elementov v \\(d-1\\) tsvet. dlya kazhdogo otrezka posledovatelnyh chisel dliny \\(k\\), sredi kotoryh net chisel \\(d\\)-go tsveta, provedem rebro ot vershiny, sootvetstvuyuschey raskraske pervyh \\(k-1\\) chisla, k vershine, sootvetstvuyuschey raskraske vseh \\(k\\) chisel. v poluchennom grafe stepen kazhdoy vershiny kone…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-round2-juniors-hamiltonian-path-parity","title":"Разность чисел одноцветных гамильтоновых путей, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-round2-juniors-hamiltonian-path-parity.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-round2-juniors-hamiltonian-path-parity.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-round2-juniors-hamiltonian-path-parity","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","hamiltonian_cycles","double_counting","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл:  2 tur__tur2 K25 jun.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Каждое ребро полного графа на 100 вершинах окрашено в красный или синий цвет. Простой путь называется гамильтоновым, если он проходит через каждую вершину ровно один раз. Пусть \\(a\\) — число гамильтоновых путей, использующих только красные рёбра, а \\(b\\) — число гамильтоновых путей, использующих только синие рёбра. Докажите, что \\(a-b\\) делится на 4.","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Помеченные синие цепочки","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","hamiltonian_path"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Так как каждый путь можно пройти в двух направлениях, то \\(a\\) и \\(b\\) — чётны. Обозначим через \\(A\\) и \\(B\\) количество красных и синих гамильтоновых путей в предположении, что пути, проходящие по одному и тому же набору рёбер, но в обратном порядке, мы считаем совпадающими. Тогда обозначим \\(2A=a\\), \\(2B=b\\) и покажем, \\(A-B\\) — чётно. Назовём помеченным гамильтоновым путём гамильтонов путь, некоторые (возможно, ни одно) синие рёбра которого являются помеченными. Обозначим через \\(V\\) общее количество помеченных гамильтоновых путей. Обозначим через \\(G_i\\) множество гамильтоновых путей, содержащих ровно \\(i\\) синих рёбер. Тогда для любого пути \\(g\\in G_i\\) мы можем \\(2^i\\) способами пометить несколько синих рёбер и получить помеченный гамильтонов путь. А так как каждый помеченный гамильтонов путь таким образом мы получим ровно один раз, то верно равенство \\(|G_0|+2|G_1|+\\ldots + 2^{99…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-kolm-2022-path-parity","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2022-round2-juniors-hamiltonian-path-parity разность чисел одноцветных гамильтоновых путей, кубок колмогорова 2022 coloring hamiltonian_cycles double_counting goal_proof 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked каждое ребро полного графа на 100 вершинах окрашено в красный или синий цвет. простой путь называется гамильтоновым, если он проходит через каждую вершину ровно один раз. пусть \\(a\\) — число гамильтоновых путей, использующих только красные рёбра, а \\(b\\) — число гамильтоновых путей, использующих только синие рёбра. докажите, что \\(a-b\\) делится на 4. simple_graph complete_graph hamiltonian_path idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. coloring hamiltonian_cycles needs_human_review sol-official-restored помеченные синие цепочки ai_checked simple_graph complete_graph hamiltonian_path double_counting так как каждый путь можно пройти в двух направлениях, то \\(a\\) и \\(b\\) — чётны. обозначим через \\(a\\) и \\(b\\) количество красных и синих гамильтоновых путей в предположении, что пути, проходящие по одному и тому же набору рёбер, но в обратном порядке, мы считаем совпадающими. тогда обозначим \\(2a=a\\), \\(2b=b\\) и покажем, \\(a-b\\) — чётно. назовём помеченным гамильтоновым путём гамильтонов путь, некоторые (возможно, ни одно) синие рёбра которого являются помеченными. обозначим через \\(v\\) общее количество помеченных гамильтоновых путей. обозначим через \\(g_i\\) множество гамильтоновых путей, содержащих ровно \\(i\\) синих рёбер. тогда для любого пути \\(g\\in g_i\\) мы можем \\(2^i\\) способами пометить несколько синих рёбер и получить помеченный гамильтонов путь. а так как каждый помеченный гамильтонов путь таким образом мы получим ровно один раз, то верно равенство \\(|g_0|+2|g_1|+\\ldots + 2^{99… kolmogorov-2022-round2-juniors-hamiltonian-path-parity raznost chisel odnotsvetnyh gamiltonovyh putey, kubok kolmogorova 2022 coloring hamiltonian_cycles double_counting goal_proof 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked kazhdoe rebro polnogo grafa na 100 vershinah okrasheno v krasnyy ili siniy tsvet. prostoy put nazyvaetsya gamiltonovym, esli on prohodit cherez kazhduyu vershinu rovno odin raz. pust \\(a\\) — chislo gamiltonovyh putey, ispolzuyuschih tolko krasnye rebra, a \\(b\\) — chislo gamiltonovyh putey, ispolzuyuschih tolko sinie rebra. dokazhite, chto \\(a-b\\) delitsya na 4. simple_graph complete_graph hamiltonian_path idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. coloring hamiltonian_cycles needs_human_review sol-official-restored pomechennye sinie tsepochki ai_checked simple_graph complete_graph hamiltonian_path double_counting tak kak kazhdyy put mozhno proyti v dvuh napravleniyah, to \\(a\\) i \\(b\\) — chetny. oboznachim cherez \\(a\\) i \\(b\\) kolichestvo krasnyh i sinih gamiltonovyh putey v predpolozhenii, chto puti, prohodyaschie po odnomu i tomu zhe naboru reber, no v obratnom poryadke, my schitaem sovpadayuschimi. togda oboznachim \\(2a=a\\), \\(2b=b\\) i pokazhem, \\(a-b\\) — chetno. nazovem pomechennym gamiltonovym putem gamiltonov put, nekotorye (vozmozhno, ni odno) sinie rebra kotorogo yavlyayutsya pomechennymi. oboznachim cherez \\(v\\) obschee kolichestvo pomechennyh gamiltonovyh putey. oboznachim cherez \\(g_i\\) mnozhestvo gamiltonovyh putey, soderzhaschih rovno \\(i\\) sinih reber. togda dlya lyubogo puti \\(g\\in g_i\\) my mozhem \\(2^i\\) sposobami pometit neskolko sinih reber i poluchit pomechennyy gamiltonov put. a tak kak kazhdyy pomechennyy gamiltonov put takim obrazom my poluchim rovno odin raz, to verno ravenstvo \\(|g_0|+2|g_1|+\\ldots + 2^{99…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles","title":"Красные треугольники в раскрашенном K10, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","extremal_graph_theory","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл:  2 tur__sen-liga-2-3-tur2.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Даны десять точек на плоскости, никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая пара соединена красным или синим отрезком. Из одной точки \\(A\\) выходит нечётное число красных отрезков, а для всех остальных точек числа выходящих из них красных отрезков различны. Каким может быть число красных треугольников?","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Красные треугольники в раскраске K10","status":"ai_checked","text":"Рёбра полного графа \\(K_{10}\\) окрашены в красный и синий цвета. У одной вершины красная степень нечётна, а у остальных девяти вершин красные степени попарно различны. Каким может быть число красных треугольников?","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Степени красного графа","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(N\\) — точка с нечетным количеством отрезков, \\(B_1\\), \\(B_2\\), \\(\\ldots\\), \\(B_9\\) — 9 оставшихся точек. Пусть \\(x_i\\) — количество красных отрезков с концом \\(B_i\\) (\\(1\\leq i\\leq 9\\)). Не умаляя общности \\(0\\le x_1<x_2<\\cdots<x_9\\le 9\\). Докажем, что \\(x_9 = 9\\). Если \\(x_9 \\leq 8\\), то \\(x_1 = 0\\). Но тогда точек с нечетным количеством выходящих из них отрезков нечетно (\\(N\\) и \\(B_2\\), \\(B_4\\), \\(B_6\\), \\(B_8\\)). Таким образом, \\(B_9\\) соединена со всеми остальными 9 точками красным отрезком. Это означает, что \\(x_i=i\\) для \\(1 \\leq i \\leq 9\\). То есть, \\(B_9\\) соединена (далее будем считать только красные отрезки) со всеми, включая \\(N\\). А \\(B_1\\) только с \\(B_9\\). Тогда \\(B_8\\) соединена со всеми, кроме \\(B_1\\), \\(B_2\\) только \\(B_9\\) и \\(B_8\\), и т.д. Получаем, что все вершины разбиваются на множества \\(A = \\{N, B_5, B_6, B_7, B_8, B_9 \\}\\) и \\(B = \\{B_1, B_2, B_3, B_4 \\…"}],"relations":[{"id":"rel-color-extremal-ramsey-r33-kolm-2022-k10","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-color-extremal-imo-1998-k-le-4-kolm-2022-colored-complete-graphs","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2022-k10-triangles-handshaking","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles красные треугольники в раскрашенном k10, кубок колмогорова 2022 coloring extremal_graph_theory double_counting goal_counting 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked даны десять точек на плоскости, никакие три из них не лежат на одной прямой. каждая пара соединена красным или синим отрезком. из одной точки \\(a\\) выходит нечётное число красных отрезков, а для всех остальных точек числа выходящих из них красных отрезков различны. каким может быть число красных треугольников? simple_graph complete_graph degree stmt-graph красные треугольники в раскраске k10 ai_checked рёбра полного графа \\(k_{10}\\) окрашены в красный и синий цвета. у одной вершины красная степень нечётна, а у остальных девяти вершин красные степени попарно различны. каким может быть число красных треугольников? simple_graph complete_graph degree idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. coloring extremal_graph_theory needs_human_review sol-official-restored степени красного графа ai_checked simple_graph complete_graph degree double_counting extremal_choice пусть \\(n\\) — точка с нечетным количеством отрезков, \\(b_1\\), \\(b_2\\), \\(\\ldots\\), \\(b_9\\) — 9 оставшихся точек. пусть \\(x_i\\) — количество красных отрезков с концом \\(b_i\\) (\\(1\\leq i\\leq 9\\)). не умаляя общности \\(0\\le x_1<x_2<\\cdots<x_9\\le 9\\). докажем, что \\(x_9 = 9\\). если \\(x_9 \\leq 8\\), то \\(x_1 = 0\\). но тогда точек с нечетным количеством выходящих из них отрезков нечетно (\\(n\\) и \\(b_2\\), \\(b_4\\), \\(b_6\\), \\(b_8\\)). таким образом, \\(b_9\\) соединена со всеми остальными 9 точками красным отрезком. это означает, что \\(x_i=i\\) для \\(1 \\leq i \\leq 9\\). то есть, \\(b_9\\) соединена (далее будем считать только красные отрезки) со всеми, включая \\(n\\). а \\(b_1\\) только с \\(b_9\\). тогда \\(b_8\\) соединена со всеми, кроме \\(b_1\\), \\(b_2\\) только \\(b_9\\) и \\(b_8\\), и т.д. получаем, что все вершины разбиваются на множества \\(a = \\{n, b_5, b_6, b_7, b_8, b_9 \\}\\) и \\(b = \\{b_1, b_2, b_3, b_4 \\… kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles krasnye treugolniki v raskrashennom k10, kubok kolmogorova 2022 coloring extremal_graph_theory double_counting goal_counting 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dany desyat tochek na ploskosti, nikakie tri iz nih ne lezhat na odnoy pryamoy. kazhdaya para soedinena krasnym ili sinim otrezkom. iz odnoy tochki \\(a\\) vyhodit nechetnoe chislo krasnyh otrezkov, a dlya vseh ostalnyh tochek chisla vyhodyaschih iz nih krasnyh otrezkov razlichny. kakim mozhet byt chislo krasnyh treugolnikov? simple_graph complete_graph degree stmt-graph krasnye treugolniki v raskraske k10 ai_checked rebra polnogo grafa \\(k_{10}\\) okrasheny v krasnyy i siniy tsveta. u odnoy vershiny krasnaya stepen nechetna, a u ostalnyh devyati vershin krasnye stepeni poparno razlichny. kakim mozhet byt chislo krasnyh treugolnikov? simple_graph complete_graph degree idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. coloring extremal_graph_theory needs_human_review sol-official-restored stepeni krasnogo grafa ai_checked simple_graph complete_graph degree double_counting extremal_choice pust \\(n\\) — tochka s nechetnym kolichestvom otrezkov, \\(b_1\\), \\(b_2\\), \\(\\ldots\\), \\(b_9\\) — 9 ostavshihsya tochek. pust \\(x_i\\) — kolichestvo krasnyh otrezkov s kontsom \\(b_i\\) (\\(1\\leq i\\leq 9\\)). ne umalyaya obschnosti \\(0\\le x_1<x_2<\\cdots<x_9\\le 9\\). dokazhem, chto \\(x_9 = 9\\). esli \\(x_9 \\leq 8\\), to \\(x_1 = 0\\). no togda tochek s nechetnym kolichestvom vyhodyaschih iz nih otrezkov nechetno (\\(n\\) i \\(b_2\\), \\(b_4\\), \\(b_6\\), \\(b_8\\)). takim obrazom, \\(b_9\\) soedinena so vsemi ostalnymi 9 tochkami krasnym otrezkom. eto oznachaet, chto \\(x_i=i\\) dlya \\(1 \\leq i \\leq 9\\). to est, \\(b_9\\) soedinena (dalee budem schitat tolko krasnye otrezki) so vsemi, vklyuchaya \\(n\\). a \\(b_1\\) tolko s \\(b_9\\). togda \\(b_8\\) soedinena so vsemi, krome \\(b_1\\), \\(b_2\\) tolko \\(b_9\\) i \\(b_8\\), i t.d. poluchaem, chto vse vershiny razbivayutsya na mnozhestva \\(a = \\{n, b_5, b_6, b_7, b_8, b_9 \\}\\) i \\(b = \\{b_1, b_2, b_3, b_4 \\…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-round4-high-airport-walk-parity","title":"Нечётное число маршрутов между всеми парами аэропортов, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-round4-high-airport-walk-parity.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-round4-high-airport-walk-parity.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-round4-high-airport-walk-parity","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл:  4 tur__4tur-sen.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране несколько аэропортов, между некоторыми парами есть двусторонние рейсы. Туристическая компания предлагает все маршруты, состоящие из \\(d\\) последовательных перелётов; маршрут может посещать город или использовать рейс несколько раз. Компания утверждает, что для любых двух, не обязательно различных, городов число маршрутов, начинающихся в первом и заканчивающихся во втором, нечётно. Может ли это быть верно при некотором \\(d\\)?","definition_ids":["simple_graph","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Нечётность числа маршрутов фиксированной длины","status":"ai_checked","text":"Существуют ли неориентированный граф \\(G\\) и неотрицательное целое число \\(d\\), такие что для любых двух, не обязательно различных, вершин \\(u\\) и \\(v\\) число маршрутов длины \\(d\\) из \\(u\\) в \\(v\\) нечётно? Маршрут может повторять вершины и рёбра.","definition_ids":["simple_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Четность числа туров","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Введём граф аэропортов и авиарейсов. Через \\(N(v)\\) будем обозначать множество всех вершин, смежных с \\(v\\). Обозначим через \\(f_n(u,v)\\) количество туров длины \\(n\\), начинающихся в \\(u\\) и кончающихся в \\(v\\). Все равенства будут означать сравнения по модулю \\(2\\). Заметим, что \\[ f_{n+1}(u,v)=\\sum_{w\\in N(v)} f_n(u,w), \\quad (*) \\] ибо каждый тур длины \\(n+1\\), ведущий из \\(u\\) в \\(v\\), на \\(n\\)-м шаге приходит в какого-то соседа \\(w\\) вершины \\(v\\). Предположим, что \\(f_d(u,v)=1\\) при всех \\(u,v\\). Обозначим через \\(\\deg v\\) степень вершины \\(v\\). Из формулы \\((*)\\) получаем, что \\(f_{d+1}(u,v)=\\deg v\\). Так как граф неориентированный, \\(f_d(u,v)=f_d(v,u)\\), и та же формула с закрепленным концом `u` дает \\(f_d(v,u)=\\deg u\\). Значит, все степени имеют одинаковую чётность, и возникает два случая. Случай 1. Пусть все степени чётны. Зафиксируем вершину \\(v\\) и рассмотрим туры длины \\(d\\…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2022-airport-even-degree-odd-walks","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round4-second-third-even-degree-odd-walks","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2022-airport-walk-parity-handshaking","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2022-round4-high-airport-walk-parity нечётное число маршрутов между всеми парами аэропортов, кубок колмогорова 2022 eulerian_graphs goal_counting 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране несколько аэропортов, между некоторыми парами есть двусторонние рейсы. туристическая компания предлагает все маршруты, состоящие из \\(d\\) последовательных перелётов; маршрут может посещать город или использовать рейс несколько раз. компания утверждает, что для любых двух, не обязательно различных, городов число маршрутов, начинающихся в первом и заканчивающихся во втором, нечётно. может ли это быть верно при некотором \\(d\\)? simple_graph path stmt-graph нечётность числа маршрутов фиксированной длины ai_checked существуют ли неориентированный граф \\(g\\) и неотрицательное целое число \\(d\\), такие что для любых двух, не обязательно различных, вершин \\(u\\) и \\(v\\) число маршрутов длины \\(d\\) из \\(u\\) в \\(v\\) нечётно? маршрут может повторять вершины и рёбра. simple_graph path idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. needs_human_review sol-official-restored четность числа туров ai_checked simple_graph path введём граф аэропортов и авиарейсов. через \\(n(v)\\) будем обозначать множество всех вершин, смежных с \\(v\\). обозначим через \\(f_n(u,v)\\) количество туров длины \\(n\\), начинающихся в \\(u\\) и кончающихся в \\(v\\). все равенства будут означать сравнения по модулю \\(2\\). заметим, что \\[ f_{n+1}(u,v)=\\sum_{w\\in n(v)} f_n(u,w), \\quad (*) \\] ибо каждый тур длины \\(n+1\\), ведущий из \\(u\\) в \\(v\\), на \\(n\\)-м шаге приходит в какого-то соседа \\(w\\) вершины \\(v\\). предположим, что \\(f_d(u,v)=1\\) при всех \\(u,v\\). обозначим через \\(\\deg v\\) степень вершины \\(v\\). из формулы \\((*)\\) получаем, что \\(f_{d+1}(u,v)=\\deg v\\). так как граф неориентированный, \\(f_d(u,v)=f_d(v,u)\\), и та же формула с закрепленным концом `u` дает \\(f_d(v,u)=\\deg u\\). значит, все степени имеют одинаковую чётность, и возникает два случая. случай 1. пусть все степени чётны. зафиксируем вершину \\(v\\) и рассмотрим туры длины \\(d\\… kolmogorov-2022-round4-high-airport-walk-parity nechetnoe chislo marshrutov mezhdu vsemi parami aeroportov, kubok kolmogorova 2022 eulerian_graphs goal_counting 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane neskolko aeroportov, mezhdu nekotorymi parami est dvustoronnie reysy. turisticheskaya kompaniya predlagaet vse marshruty, sostoyaschie iz \\(d\\) posledovatelnyh pereletov; marshrut mozhet poseschat gorod ili ispolzovat reys neskolko raz. kompaniya utverzhdaet, chto dlya lyubyh dvuh, ne obyazatelno razlichnyh, gorodov chislo marshrutov, nachinayuschihsya v pervom i zakanchivayuschihsya vo vtorom, nechetno. mozhet li eto byt verno pri nekotorom \\(d\\)? simple_graph path stmt-graph nechetnost chisla marshrutov fiksirovannoy dliny ai_checked suschestvuyut li neorientirovannyy graf \\(g\\) i neotritsatelnoe tseloe chislo \\(d\\), takie chto dlya lyubyh dvuh, ne obyazatelno razlichnyh, vershin \\(u\\) i \\(v\\) chislo marshrutov dliny \\(d\\) iz \\(u\\) v \\(v\\) nechetno? marshrut mozhet povtoryat vershiny i rebra. simple_graph path idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. needs_human_review sol-official-restored chetnost chisla turov ai_checked simple_graph path vvedem graf aeroportov i aviareysov. cherez \\(n(v)\\) budem oboznachat mnozhestvo vseh vershin, smezhnyh s \\(v\\). oboznachim cherez \\(f_n(u,v)\\) kolichestvo turov dliny \\(n\\), nachinayuschihsya v \\(u\\) i konchayuschihsya v \\(v\\). vse ravenstva budut oznachat sravneniya po modulyu \\(2\\). zametim, chto \\[ f_{n+1}(u,v)=\\sum_{w\\in n(v)} f_n(u,w), \\quad (*) \\] ibo kazhdyy tur dliny \\(n+1\\), veduschiy iz \\(u\\) v \\(v\\), na \\(n\\)-m shage prihodit v kakogo-to soseda \\(w\\) vershiny \\(v\\). predpolozhim, chto \\(f_d(u,v)=1\\) pri vseh \\(u,v\\). oboznachim cherez \\(\\deg v\\) stepen vershiny \\(v\\). iz formuly \\((*)\\) poluchaem, chto \\(f_{d+1}(u,v)=\\deg v\\). tak kak graf neorientirovannyy, \\(f_d(u,v)=f_d(v,u)\\), i ta zhe formula s zakreplennym kontsom `u` daet \\(f_d(v,u)=\\deg u\\). znachit, vse stepeni imeyut odinakovuyu chetnost, i voznikaet dva sluchaya. sluchay 1. pust vse stepeni chetny. zafiksiruem vershinu \\(v\\) i rassmotrim tury dliny \\(d\\…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles","title":"Дерево максимальной длины на точках и окружности на диаметрах, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл:  4 tur__4tur-sen.txt.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дано конечное множество точек на плоскости, никакие три из них не лежат на одной прямой. Некоторые пары соединены отрезками так, что получившийся граф является деревом, а суммарная длина выбранных отрезков как можно больше. Докажите, что все окружности с этими отрезками в качестве диаметров имеют общую точку.","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Минимальный содержащий круг","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","cycle","complete_graph"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(T\\) — наше дерево. Будем пользоваться вынесенной леммой maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma: в максимальном по суммарной длине дереве строго кратчайшее звено замкнутой ломаной с вершинами в данных точках не может быть ребром дерева. Рассмотрим круг \\(K\\) наименьшего радиуса, содержащий данное множество точек \\(S\\); пусть \\(O\\) — его центр. Считаем, что радиус \\(K\\) равен \\(1\\). Тогда на границе круга \\(K\\) либо лежат две противоположные точке из \\(S\\), либо три точки, образующие остроугольный треугольник; назовём эти две или три точки базовыми и обозначим их \\(B_1,B_2(,B_3)\\). Мы утверждаем, что все построенные круги содержат \\(O\\). Пусть это не так, и в дереве есть ребро \\(XY\\) такое, что \\(\\angle XOY\\) острый. Мы найдём ломаную, в которой \\(XY\\) — ребро строго наименьшей длины, а вершинами её будут являться \\(X\\), \\(Y\\) и базовые точки. С этой целью введём граф \\(G…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2022-max-length-tree-tree-basics","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-kolmogorov-2022-diameter-circles","neighbor_id":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles дерево максимальной длины на точках и окружности на диаметрах, кубок колмогорова 2022 trees goal_exact_bound 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дано конечное множество точек на плоскости, никакие три из них не лежат на одной прямой. некоторые пары соединены отрезками так, что получившийся граф является деревом, а суммарная длина выбранных отрезков как можно больше. докажите, что все окружности с этими отрезками в качестве диаметров имеют общую точку. tree idea-graph-role графовая роль карточка фиксирует задачу как явно графовую: графовая модель присутствует уже в условии или в сохранённых заметках к официальному решению. trees needs_human_review idea-shortest-edge-cycle-exchange строго кратчайшее ребро ломаной исключается обменом ключевой локальный шаг решения — вынесенная лемма о максимальном по длине дереве: если замкнутая ломаная имеет единственное строго кратчайшее звено, то это звено нельзя оставить в экстремальном дереве, потому что его можно заменить более длинным ребром через возникший разрез. trees extremal_choice ai_checked sol-official-restored минимальный содержащий круг ai_checked tree cycle complete_graph extremal_choice пусть \\(t\\) — наше дерево. будем пользоваться вынесенной леммой maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma: в максимальном по суммарной длине дереве строго кратчайшее звено замкнутой ломаной с вершинами в данных точках не может быть ребром дерева. рассмотрим круг \\(k\\) наименьшего радиуса, содержащий данное множество точек \\(s\\); пусть \\(o\\) — его центр. считаем, что радиус \\(k\\) равен \\(1\\). тогда на границе круга \\(k\\) либо лежат две противоположные точке из \\(s\\), либо три точки, образующие остроугольный треугольник; назовём эти две или три точки базовыми и обозначим их \\(b_1,b_2(,b_3)\\). мы утверждаем, что все построенные круги содержат \\(o\\). пусть это не так, и в дереве есть ребро \\(xy\\) такое, что \\(\\angle xoy\\) острый. мы найдём ломаную, в которой \\(xy\\) — ребро строго наименьшей длины, а вершинами её будут являться \\(x\\), \\(y\\) и базовые точки. с этой целью введём граф \\(g… kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles derevo maksimalnoy dliny na tochkah i okruzhnosti na diametrah, kubok kolmogorova 2022 trees goal_exact_bound 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dano konechnoe mnozhestvo tochek na ploskosti, nikakie tri iz nih ne lezhat na odnoy pryamoy. nekotorye pary soedineny otrezkami tak, chto poluchivshiysya graf yavlyaetsya derevom, a summarnaya dlina vybrannyh otrezkov kak mozhno bolshe. dokazhite, chto vse okruzhnosti s etimi otrezkami v kachestve diametrov imeyut obschuyu tochku. tree idea-graph-role grafovaya rol kartochka fiksiruet zadachu kak yavno grafovuyu: grafovaya model prisutstvuet uzhe v uslovii ili v sohranennyh zametkah k ofitsialnomu resheniyu. trees needs_human_review idea-shortest-edge-cycle-exchange strogo kratchayshee rebro lomanoy isklyuchaetsya obmenom klyuchevoy lokalnyy shag resheniya — vynesennaya lemma o maksimalnom po dline dereve: esli zamknutaya lomanaya imeet edinstvennoe strogo kratchayshee zveno, to eto zveno nelzya ostavit v ekstremalnom dereve, potomu chto ego mozhno zamenit bolee dlinnym rebrom cherez voznikshiy razrez. trees extremal_choice ai_checked sol-official-restored minimalnyy soderzhaschiy krug ai_checked tree cycle complete_graph extremal_choice pust \\(t\\) — nashe derevo. budem polzovatsya vynesennoy lemmoy maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma: v maksimalnom po summarnoy dline dereve strogo kratchayshee zveno zamknutoy lomanoy s vershinami v dannyh tochkah ne mozhet byt rebrom dereva. rassmotrim krug \\(k\\) naimenshego radiusa, soderzhaschiy dannoe mnozhestvo tochek \\(s\\); pust \\(o\\) — ego tsentr. schitaem, chto radius \\(k\\) raven \\(1\\). togda na granitse kruga \\(k\\) libo lezhat dve protivopolozhnye tochke iz \\(s\\), libo tri tochki, obrazuyuschie ostrougolnyy treugolnik; nazovem eti dve ili tri tochki bazovymi i oboznachim ih \\(b_1,b_2(,b_3)\\). my utverzhdaem, chto vse postroennye krugi soderzhat \\(o\\). pust eto ne tak, i v dereve est rebro \\(xy\\) takoe, chto \\(\\angle xoy\\) ostryy. my naydem lomanuyu, v kotoroy \\(xy\\) — rebro strogo naimenshey dliny, a vershinami ee budut yavlyatsya \\(x\\), \\(y\\) i bazovye tochki. s etoy tselyu vvedem graf \\(g…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2022-round4-second-third-even-degree-odd-walks","title":"Чётные степени и нечётные числа маршрутов, Кубок Колмогорова 2022","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2022-round4-second-third-even-degree-odd-walks.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2022-round4-second-third-even-degree-odd-walks.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2022-round4-second-third-even-degree-odd-walks","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Импортировано из дополнительного графового прохода по КОЛМ 2022; исходный файл:  4 tur__sen-liga-2-3-tur4.txt.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"официальный архив plus 2026-05-06 expansion","notes":"Восстановленный официальный набросок развёрнут в полное самодостаточное доказательство по чётности; нерешённых пробелов не осталось.","audit_source":"official-plan-expansion-kolmogorov-2022-r4-even-degree-odd-walks"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Существуют ли граф \\(G\\), у которого степени всех вершин чётны, и положительное целое \\(n\\), такие что для любых двух, не обязательно различных, вершин \\(u\\) и \\(v\\) существует нечётное число маршрутов из \\(u\\) в \\(v\\) ровно за \\(n\\) шагов? Маршруты могут повторять вершины и рёбра.","definition_ids":["simple_graph","degree","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-restored","title":"Ответ: не существуют","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим противное: существуют граф \\(G\\), у которого степени всех вершин чётны, и положительное целое \\(n\\), такие что для любых вершин \\(u,v\\) число маршрутов длины \\(n\\) из \\(u\\) в \\(v\\) нечётно. Для вершин \\(x,y\\) обозначим это число через \\(f_m(x,y)\\); все сравнения ниже будут по модулю \\(2\\). Сначала покажем, что \\(n\\) не может быть нечётным. Зафиксируем вершину \\(v\\) и рассмотрим все замкнутые маршруты длины \\(n\\) из \\(v\\) в \\(v\\), то есть последовательности \\[ v=x_0,x_1,\\ldots,x_n=v, \\] где соседние члены соединены ребром. Разворот \\[ x_0,x_1,\\ldots,x_n \\mapsto x_n,x_{n-1},\\ldots,x_0 \\] является инволюцией на множестве таких маршрутов. Все маршруты, не переходящие в себя, разбиваются на пары и не влияют на чётность общего числа. Если же маршрут неподвижен при развороте, то \\(x_i=x_{n-i}\\) для всех \\(i\\). При нечётном \\(n=2r+1\\) это даёт \\(x_r=x_{r+1}\\), что невозможно в прост…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2022-airport-even-degree-odd-walks","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round4-high-airport-walk-parity","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-cmo-1991-p4-kolm-2022-even-degree-odd-walks","neighbor_id":"cmo-1991-p4-edge-difference-labeling-diagram","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2022-even-degree-odd-walks-imc-2010-f2-adjacency","neighbor_id":"imc-2010-day2-p4-f2-adjacency-matrix-zero-entry","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2022-even-degree-odd-walks-handshaking","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2022-round4-second-third-even-degree-odd-walks чётные степени и нечётные числа маршрутов, кубок колмогорова 2022 eulerian_graphs goal_existence 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2022 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2022 ? кубок колмогорова 2022 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original оригинальная формулировка ai_checked существуют ли граф \\(g\\), у которого степени всех вершин чётны, и положительное целое \\(n\\), такие что для любых двух, не обязательно различных, вершин \\(u\\) и \\(v\\) существует нечётное число маршрутов из \\(u\\) в \\(v\\) ровно за \\(n\\) шагов? маршруты могут повторять вершины и рёбра. simple_graph degree path idea-graph-role разворот закрытого маршрута и чётные степени если все маршруты длины \\(n\\) между фиксированными концами считаются нечётно, то закрытые маршруты из вершины в себя можно считать по неподвижным точкам разворота. при чётном \\(n=2k\\) эти неподвижные точки равны первым половинам длины \\(k\\), но число всех таких половин из любой вершины чётно, потому что последний шаг выбирается из вершины чётной степени. ai_checked sol-official-restored ответ: не существуют ai_checked simple_graph degree path предположим противное: существуют граф \\(g\\), у которого степени всех вершин чётны, и положительное целое \\(n\\), такие что для любых вершин \\(u,v\\) число маршрутов длины \\(n\\) из \\(u\\) в \\(v\\) нечётно. для вершин \\(x,y\\) обозначим это число через \\(f_m(x,y)\\); все сравнения ниже будут по модулю \\(2\\). сначала покажем, что \\(n\\) не может быть нечётным. зафиксируем вершину \\(v\\) и рассмотрим все замкнутые маршруты длины \\(n\\) из \\(v\\) в \\(v\\), то есть последовательности \\[ v=x_0,x_1,\\ldots,x_n=v, \\] где соседние члены соединены ребром. разворот \\[ x_0,x_1,\\ldots,x_n \\mapsto x_n,x_{n-1},\\ldots,x_0 \\] является инволюцией на множестве таких маршрутов. все маршруты, не переходящие в себя, разбиваются на пары и не влияют на чётность общего числа. если же маршрут неподвижен при развороте, то \\(x_i=x_{n-i}\\) для всех \\(i\\). при нечётном \\(n=2r+1\\) это даёт \\(x_r=x_{r+1}\\), что невозможно в прост… kolmogorov-2022-round4-second-third-even-degree-odd-walks chetnye stepeni i nechetnye chisla marshrutov, kubok kolmogorova 2022 eulerian_graphs goal_existence 2022 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip kolmogorov kolmogorov2022 olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2022 ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked suschestvuyut li graf \\(g\\), u kotorogo stepeni vseh vershin chetny, i polozhitelnoe tseloe \\(n\\), takie chto dlya lyubyh dvuh, ne obyazatelno razlichnyh, vershin \\(u\\) i \\(v\\) suschestvuet nechetnoe chislo marshrutov iz \\(u\\) v \\(v\\) rovno za \\(n\\) shagov? marshruty mogut povtoryat vershiny i rebra. simple_graph degree path idea-graph-role razvorot zakrytogo marshruta i chetnye stepeni esli vse marshruty dliny \\(n\\) mezhdu fiksirovannymi kontsami schitayutsya nechetno, to zakrytye marshruty iz vershiny v sebya mozhno schitat po nepodvizhnym tochkam razvorota. pri chetnom \\(n=2k\\) eti nepodvizhnye tochki ravny pervym polovinam dliny \\(k\\), no chislo vseh takih polovin iz lyuboy vershiny chetno, potomu chto posledniy shag vybiraetsya iz vershiny chetnoy stepeni. ai_checked sol-official-restored otvet: ne suschestvuyut ai_checked simple_graph degree path predpolozhim protivnoe: suschestvuyut graf \\(g\\), u kotorogo stepeni vseh vershin chetny, i polozhitelnoe tseloe \\(n\\), takie chto dlya lyubyh vershin \\(u,v\\) chislo marshrutov dliny \\(n\\) iz \\(u\\) v \\(v\\) nechetno. dlya vershin \\(x,y\\) oboznachim eto chislo cherez \\(f_m(x,y)\\); vse sravneniya nizhe budut po modulyu \\(2\\). snachala pokazhem, chto \\(n\\) ne mozhet byt nechetnym. zafiksiruem vershinu \\(v\\) i rassmotrim vse zamknutye marshruty dliny \\(n\\) iz \\(v\\) v \\(v\\), to est posledovatelnosti \\[ v=x_0,x_1,\\ldots,x_n=v, \\] gde sosednie chleny soedineny rebrom. razvorot \\[ x_0,x_1,\\ldots,x_n \\mapsto x_n,x_{n-1},\\ldots,x_0 \\] yavlyaetsya involyutsiey na mnozhestve takih marshrutov. vse marshruty, ne perehodyaschie v sebya, razbivayutsya na pary i ne vliyayut na chetnost obschego chisla. esli zhe marshrut nepodvizhen pri razvorote, to \\(x_i=x_{n-i}\\) dlya vseh \\(i\\). pri nechetnom \\(n=2r+1\\) eto daet \\(x_r=x_{r+1}\\), chto nevozmozhno v prost…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component","title":"Большая одноцветная компонента в полном двудольном графе, Кубок Колмогорова 2023 личная juniors 6","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2023 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":["Dragomir Grozev"],"tags":["coloring","matching","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Красивая короткая задача на самый плотный цвет и сумму квадратов степеней.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Рёбра полного двудольного графа с долями размеров \\(km\\) и \\(kn\\) окрашены в \\(k\\) цветов. Докажите, что некоторая одноцветная компонента связности содержит не менее \\(m+n\\) вершин.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-sum-component","title":"Одноцветный подграф максимальной плотности","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"По принципу Дирихле существует цвет, встречающийся не менее чем на \\(km\\cdot kn/k = kmn\\) рёбрах. Оставим только рёбра этого цвета и обозначим полученный двудольный граф через \\(G\\), его доли — через \\(A\\) и \\(B\\). Если найдётся ребро \\(ab\\in E(G)\\) такое, что \\(\\deg(a)+\\deg(b)\\ge m+n\\), то компонента связности, содержащая \\(a\\) и \\(b\\), уже имеет хотя бы \\(m+n\\) вершин. Предположим противное: для каждого ребра \\(ab\\) выполнено \\(\\deg(a)+\\deg(b)<m+n\\). Тогда, суммируя по всем рёбрам, получаем \\(\\sum_{ab\\in E(G)}(\\deg(a)+\\deg(b))<|E(G)|(m+n)\\). С другой стороны, эта же сумма равна \\(\\sum_{a\\in A}\\deg(a)^2+\\sum_{b\\in B}\\deg(b)^2\\), а по неравенству Коши это не меньше \\(|E(G)|^2/(km)+|E(G)|^2/(kn)\\). Так как \\(|E(G)|\\ge kmn\\), отсюда следует нижняя оценка \\(|E(G)|(m+n)\\), противоречащая предыдущему строгому неравенству. Следовательно, нужное ребро, а значит и нужная компонента, существуют."}],"relations":[{"id":"rel-kolmogorov-2023-bipartite-egmo-2016-p3","neighbor_id":"egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm-2021-p8-kolm-2023-monochromatic-bipartite-components","neighbor_id":"kolmogorov-2021-round1-second-league-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2012-p3-kolmogorov2023-large-monochromatic-component","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2015-grand-r4-p10-kolmogorov-2023-large-mono-bipartite-component","neighbor_id":"yumt-2015-grand-round4-problem10","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component большая одноцветная компонента в полном двудольном графе, кубок колмогорова 2023 личная juniors 6 coloring matching goal_counting 2023 dragomir grozev dragomirgrozev https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm26.zip kolmogorov kolmogorov2023 olympiad_archive src-kolmogorov-2023-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2023 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2023 dragomir grozev кубок колмогорова 2023 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original ai_checked рёбра полного двудольного графа с долями размеров \\(km\\) и \\(kn\\) окрашены в \\(k\\) цветов. докажите, что некоторая одноцветная компонента связности содержит не менее \\(m+n\\) вершин. idea-densest-color-degree-sum выбрать самый плотный цвет и посмотреть на ребро по принципу дирихле один цвет встречается хотя бы \\(kmn\\) раз. в графе этого цвета либо уже есть ребро с суммой степеней хотя бы \\(m+n\\), либо сумма \\(\\deg(a)+\\deg(b)\\) по всем рёбрам оказывается одновременно строго меньше и не меньше \\(|e|(m+n)\\). double_counting ai_checked sol-degree-sum-component одноцветный подграф максимальной плотности ai_checked bipartite_graph по принципу дирихле существует цвет, встречающийся не менее чем на \\(km\\cdot kn/k = kmn\\) рёбрах. оставим только рёбра этого цвета и обозначим полученный двудольный граф через \\(g\\), его доли — через \\(a\\) и \\(b\\). если найдётся ребро \\(ab\\in e(g)\\) такое, что \\(\\deg(a)+\\deg(b)\\ge m+n\\), то компонента связности, содержащая \\(a\\) и \\(b\\), уже имеет хотя бы \\(m+n\\) вершин. предположим противное: для каждого ребра \\(ab\\) выполнено \\(\\deg(a)+\\deg(b)<m+n\\). тогда, суммируя по всем рёбрам, получаем \\(\\sum_{ab\\in e(g)}(\\deg(a)+\\deg(b))<|e(g)|(m+n)\\). с другой стороны, эта же сумма равна \\(\\sum_{a\\in a}\\deg(a)^2+\\sum_{b\\in b}\\deg(b)^2\\), а по неравенству коши это не меньше \\(|e(g)|^2/(km)+|e(g)|^2/(kn)\\). так как \\(|e(g)|\\ge kmn\\), отсюда следует нижняя оценка \\(|e(g)|(m+n)\\), противоречащая предыдущему строгому неравенству. следовательно, нужное ребро, а значит и нужная компонента, существуют. kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component bolshaya odnotsvetnaya komponenta v polnom dvudolnom grafe, kubok kolmogorova 2023 lichnaya juniors 6 coloring matching goal_counting 2023 dragomir grozev dragomirgrozev https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm26.zip kolmogorov kolmogorov2023 olympiad_archive src-kolmogorov-2023-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2023 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2023 dragomir grozev kubok kolmogorova 2023 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original ai_checked rebra polnogo dvudolnogo grafa s dolyami razmerov \\(km\\) i \\(kn\\) okrasheny v \\(k\\) tsvetov. dokazhite, chto nekotoraya odnotsvetnaya komponenta svyaznosti soderzhit ne menee \\(m+n\\) vershin. idea-densest-color-degree-sum vybrat samyy plotnyy tsvet i posmotret na rebro po printsipu dirihle odin tsvet vstrechaetsya hotya by \\(kmn\\) raz. v grafe etogo tsveta libo uzhe est rebro s summoy stepeney hotya by \\(m+n\\), libo summa \\(\\deg(a)+\\deg(b)\\) po vsem rebram okazyvaetsya odnovremenno strogo menshe i ne menshe \\(|e|(m+n)\\). double_counting ai_checked sol-degree-sum-component odnotsvetnyy podgraf maksimalnoy plotnosti ai_checked bipartite_graph po printsipu dirihle suschestvuet tsvet, vstrechayuschiysya ne menee chem na \\(km\\cdot kn/k = kmn\\) rebrah. ostavim tolko rebra etogo tsveta i oboznachim poluchennyy dvudolnyy graf cherez \\(g\\), ego doli — cherez \\(a\\) i \\(b\\). esli naydetsya rebro \\(ab\\in e(g)\\) takoe, chto \\(\\deg(a)+\\deg(b)\\ge m+n\\), to komponenta svyaznosti, soderzhaschaya \\(a\\) i \\(b\\), uzhe imeet hotya by \\(m+n\\) vershin. predpolozhim protivnoe: dlya kazhdogo rebra \\(ab\\) vypolneno \\(\\deg(a)+\\deg(b)<m+n\\). togda, summiruya po vsem rebram, poluchaem \\(\\sum_{ab\\in e(g)}(\\deg(a)+\\deg(b))<|e(g)|(m+n)\\). s drugoy storony, eta zhe summa ravna \\(\\sum_{a\\in a}\\deg(a)^2+\\sum_{b\\in b}\\deg(b)^2\\), a po neravenstvu koshi eto ne menshe \\(|e(g)|^2/(km)+|e(g)|^2/(kn)\\). tak kak \\(|e(g)|\\ge kmn\\), otsyuda sleduet nizhnyaya otsenka \\(|e(g)|(m+n)\\), protivorechaschaya predyduschemu strogomu neravenstvu. sledovatelno, nuzhnoe rebro, a znachit i nuzhnaya komponenta, suschestvuyut.","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree","title":"Кратчайшие пути в мультиграфе степени не выше 2m, Кубок Колмогорова 2024","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2024 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова","Itai Benjamini, Elad Tzalik, On the Number of Shortest Paths in Graphs"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","connectivity","degree_counting","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"Точный олимпиадный случай классической оценки: верхняя граница компактна через слои/энтропию, а достижимость задаётся явной экстремальной конструкцией.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"выделено из сверенной объединённой карточки Колмогорова с полным решением","notes":"Официальный источник фиксирует условие; точный ответ закрыт верхней оценкой Беньямини — Цалика и явной конструкцией.","audit_source":"agent-split-benjamini-tzalik-kolmogorov"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-kolmogorov-even-degree-exact","title":"Условие Кубка Колмогорова","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(m\\) и \\(t\\) — положительные целые числа. Рассмотрим мультиграф, максимальная степень которого не превосходит \\(2m\\). Две вершины \\(x\\) и \\(y\\) находятся на расстоянии \\(t\\). Каково наибольшее возможное число путей длины \\(t\\) из \\(x\\) в \\(y\\)?","definition_ids":["multigraph","path","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-even-degree-exact","title":"Точный ответ \\(2m^t\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["multigraph","path","degree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(2m^t\\). Сначала докажем верхнюю оценку самодостаточно. Оставим в графе только рёбра, лежащие на кратчайших путях из \\(x\\) в \\(y\\), и разобьём вершины на слои \\(L_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), \\(0\\le i\\le t\\). Параллельные рёбра считаем различными. Для вершины \\(v\\in L_i\\) обозначим через \\(a(v)\\) число рёбер из \\(L_{i-1}\\) в \\(v\\), а через \\(b(v)\\) число рёбер из \\(v\\) в \\(L_{i+1}\\). Тогда для внутренних слоёв \\(a(v)+b(v)\\le2m\\), поэтому \\(a(v)b(v)\\le m^2\\). Пусть всего кратчайших путей \\(N\\), и выберем один равновероятно. Энтропия выбранного пути равна \\(\\log N\\). При чтении слева направо следующий шаг из вершины \\(v\\) имеет не более \\(b(v)\\) вариантов, а при чтении справа налево предыдущий шаг имеет не более \\(a(v)\\) вариантов. Складывая две оценки цепного правила для энтропии, получаем \\[2\\log N\\le \\log b(x)+\\log a(y)+\\mathbb E\\sum_{i=1}^{t-1}\\log(a(X_i)b(X_i)).\\] Зд…"}],"relations":[{"id":"rel-benjamini-tzalik-kolmogorov-2024-shortest-paths-prerequisite","neighbor_id":"benjamini-tzalik-shortest-paths","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2024-shortest-paths-imo-2013-c6-layers","neighbor_id":"third-fourth-distance-layer-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree кратчайшие пути в мультиграфе степени не выше 2m, кубок колмогорова 2024 extremal_graph_theory connectivity degree_counting construction goal_exact_bound 2024 https://arxiv.org/abs/2311.10014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs kolmogorov kolmogorov2024 olympiad_archive paper src-benjamini-tzalik-shortest-paths src-kolmogorov-2024-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2024 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2024 ? кубок колмогорова 2024 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs stmt-kolmogorov-even-degree-exact условие кубка колмогорова ai_checked пусть \\(m\\) и \\(t\\) — положительные целые числа. рассмотрим мультиграф, максимальная степень которого не превосходит \\(2m\\). две вершины \\(x\\) и \\(y\\) находятся на расстоянии \\(t\\). каково наибольшее возможное число путей длины \\(t\\) из \\(x\\) в \\(y\\)? multigraph path degree idea-benjamini-tzalik-upper-bound верхняя оценка из слоёв кратчайшие пути можно читать как проходы по слоям расстояния. ограничение \\(in(v)+out(v)\\le2m\\) даёт максимум произведения входов и выходов при \\(in(v)=out(v)=m\\). extremal_graph_theory degree_counting ai_checked idea-two-parallel-chains две цепочки с параллельными рёбрами равенство достигается на двух внутренне непересекающихся путях длины \\(t\\), где каждое ребро заменено на \\(m\\) параллельных рёбер. construction goal_exact_bound ai_checked sol-even-degree-exact точный ответ \\(2m^t\\) ai_checked multigraph path degree extremal_choice ответ: \\(2m^t\\). сначала докажем верхнюю оценку самодостаточно. оставим в графе только рёбра, лежащие на кратчайших путях из \\(x\\) в \\(y\\), и разобьём вершины на слои \\(l_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), \\(0\\le i\\le t\\). параллельные рёбра считаем различными. для вершины \\(v\\in l_i\\) обозначим через \\(a(v)\\) число рёбер из \\(l_{i-1}\\) в \\(v\\), а через \\(b(v)\\) число рёбер из \\(v\\) в \\(l_{i+1}\\). тогда для внутренних слоёв \\(a(v)+b(v)\\le2m\\), поэтому \\(a(v)b(v)\\le m^2\\). пусть всего кратчайших путей \\(n\\), и выберем один равновероятно. энтропия выбранного пути равна \\(\\log n\\). при чтении слева направо следующий шаг из вершины \\(v\\) имеет не более \\(b(v)\\) вариантов, а при чтении справа налево предыдущий шаг имеет не более \\(a(v)\\) вариантов. складывая две оценки цепного правила для энтропии, получаем \\[2\\log n\\le \\log b(x)+\\log a(y)+\\mathbb e\\sum_{i=1}^{t-1}\\log(a(x_i)b(x_i)).\\] зд… kolmogorov-2024-t1-seniors-2-shortest-paths-even-degree kratchayshie puti v multigrafe stepeni ne vyshe 2m, kubok kolmogorova 2024 extremal_graph_theory connectivity degree_counting construction goal_exact_bound 2024 https://arxiv.org/abs/2311.10014 https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm27.zip itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs kolmogorov kolmogorov2024 olympiad_archive paper src-benjamini-tzalik-shortest-paths src-kolmogorov-2024-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2024 ? kubok kolmogorova 2024 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova itai benjamini, elad tzalik, on the number of shortest paths in graphs stmt-kolmogorov-even-degree-exact uslovie kubka kolmogorova ai_checked pust \\(m\\) i \\(t\\) — polozhitelnye tselye chisla. rassmotrim multigraf, maksimalnaya stepen kotorogo ne prevoshodit \\(2m\\). dve vershiny \\(x\\) i \\(y\\) nahodyatsya na rasstoyanii \\(t\\). kakovo naibolshee vozmozhnoe chislo putey dliny \\(t\\) iz \\(x\\) v \\(y\\)? multigraph path degree idea-benjamini-tzalik-upper-bound verhnyaya otsenka iz sloev kratchayshie puti mozhno chitat kak prohody po sloyam rasstoyaniya. ogranichenie \\(in(v)+out(v)\\le2m\\) daet maksimum proizvedeniya vhodov i vyhodov pri \\(in(v)=out(v)=m\\). extremal_graph_theory degree_counting ai_checked idea-two-parallel-chains dve tsepochki s parallelnymi rebrami ravenstvo dostigaetsya na dvuh vnutrenne neperesekayuschihsya putyah dliny \\(t\\), gde kazhdoe rebro zameneno na \\(m\\) parallelnyh reber. construction goal_exact_bound ai_checked sol-even-degree-exact tochnyy otvet \\(2m^t\\) ai_checked multigraph path degree extremal_choice otvet: \\(2m^t\\). snachala dokazhem verhnyuyu otsenku samodostatochno. ostavim v grafe tolko rebra, lezhaschie na kratchayshih putyah iz \\(x\\) v \\(y\\), i razobem vershiny na sloi \\(l_i=\\{v:\\operatorname{dist}(x,v)=i\\}\\), \\(0\\le i\\le t\\). parallelnye rebra schitaem razlichnymi. dlya vershiny \\(v\\in l_i\\) oboznachim cherez \\(a(v)\\) chislo reber iz \\(l_{i-1}\\) v \\(v\\), a cherez \\(b(v)\\) chislo reber iz \\(v\\) v \\(l_{i+1}\\). togda dlya vnutrennih sloev \\(a(v)+b(v)\\le2m\\), poetomu \\(a(v)b(v)\\le m^2\\). pust vsego kratchayshih putey \\(n\\), i vyberem odin ravnoveroyatno. entropiya vybrannogo puti ravna \\(\\log n\\). pri chtenii sleva napravo sleduyuschiy shag iz vershiny \\(v\\) imeet ne bolee \\(b(v)\\) variantov, a pri chtenii sprava nalevo predyduschiy shag imeet ne bolee \\(a(v)\\) variantov. skladyvaya dve otsenki tsepnogo pravila dlya entropii, poluchaem \\[2\\log n\\le \\log b(x)+\\log a(y)+\\mathbb e\\sum_{i=1}^{t-1}\\log(a(x_i)b(x_i)).\\] zd…","source_keys":["kolmogorov"]}
{"id":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","title":"Строго кратчайшее ребро цикла не входит в максимальный остов","path":"data\\problems\\classical\\maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2022 официальный архив"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["trees","extremal_choice","goal_proof","classical_lemma"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":2,"comment":"Короткая cycle-property лемма для максимального остовного дерева; в геометрических задачах применяется к замкнутой ломаной с единственным строго кратчайшим звеном.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution_lemma_extracted","label":"лемма из официального решения","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Извлечено из официального решения; лемма сверена с исходной карточкой.","notes":"Лемма выделяет самодостаточное ядро исходного решения.","audit_source":"agent-kolmogorov-2022-round4-high-diameter-circles-lemma-split-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-closed-polygonal-chain","title":"Геометрическая формулировка через замкнутую ломаную","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(S\\) — конечное множество точек на плоскости, а \\(T\\) — дерево на вершинах \\(S\\), у которого сумма евклидовых длин рёбер максимальна среди всех деревьев на \\(S\\). Рассмотрим замкнутую ломаную с вершинами в \\(S\\). Если одно её ребро \\(AB\\) имеет длину строго меньше длины каждого другого ребра этой ломаной, то отрезок \\(AB\\) не является ребром дерева \\(T\\).","definition_ids":["tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-weighted-complete-graph","title":"Критерий цикла для максимального остова","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(K\\) — конечный полный граф с действительными весами рёбер, а \\(T\\) — остовное дерево максимального суммарного веса в \\(K\\). Если в некотором цикле графа \\(K\\) ребро \\(e\\) имеет вес строго меньше веса каждого другого ребра этого цикла, то \\(e\\notin E(T)\\).","definition_ids":["complete_graph","spanning_tree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cycle-exchange","title":"Обмен по циклу","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","spanning_tree","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем графовую формулировку. Предположим противное: строго самое лёгкое ребро \\(e=uv\\) некоторого цикла \\(C\\) входит в максимальный по суммарному весу остов \\(T\\). Удалим \\(e\\) из \\(T\\). Получатся две компоненты, одна содержит \\(u\\), другая содержит \\(v\\). Пройдём по циклу \\(C\\) от \\(u\\) к \\(v\\), не используя ребро \\(e\\). В начале мы находимся в компоненте вершины \\(u\\), а в конце — в другой компоненте, значит на этом пути есть ребро \\(f\\), соединяющее две компоненты дерева \\(T-e\\). По условию \\(e\\) строго легче любого другого ребра цикла, поэтому \\(w(f)>w(e)\\). Тогда \\(T-e+f\\) снова является остовным деревом: ребро \\(f\\) соединяет две компоненты, возникшие после удаления \\(e\\). Его суммарный вес больше веса \\(T\\), что противоречит максимальности \\(T\\). Следовательно, \\(e\\) не может входить в \\(T\\). Геометрическая версия получается из той же идеи. Замкнутая ломаная задаёт замкнутый об…"}],"relations":[{"id":"rel-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-kolmogorov-2022-diameter-circles","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round4-high-maximum-length-tree-diameter-circles","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-properties-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-minimal-half-subset-exchange-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"minimal-half-subset-exchange-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-augmenting-path-matching-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge","neighbor_id":"augmenting-path-matching-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-rmm-2023-spanning-tree-exchange","neighbor_id":"rmm-2023-p6-colored-spanning-tree-suspicious-edges","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma строго кратчайшее ребро цикла не входит в максимальный остов trees extremal_choice goal_proof classical_lemma https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official with_solution кубок колмогорова 2022 официальный архив прочее ? кубок колмогорова 2022 официальный архив stmt-closed-polygonal-chain геометрическая формулировка через замкнутую ломаную ai_checked пусть \\(s\\) — конечное множество точек на плоскости, а \\(t\\) — дерево на вершинах \\(s\\), у которого сумма евклидовых длин рёбер максимальна среди всех деревьев на \\(s\\). рассмотрим замкнутую ломаную с вершинами в \\(s\\). если одно её ребро \\(ab\\) имеет длину строго меньше длины каждого другого ребра этой ломаной, то отрезок \\(ab\\) не является ребром дерева \\(t\\). tree stmt-weighted-complete-graph критерий цикла для максимального остова ai_checked пусть \\(k\\) — конечный полный граф с действительными весами рёбер, а \\(t\\) — остовное дерево максимального суммарного веса в \\(k\\). если в некотором цикле графа \\(k\\) ребро \\(e\\) имеет вес строго меньше веса каждого другого ребра этого цикла, то \\(e\\notin e(t)\\). complete_graph spanning_tree cycle idea-cut-after-deleting-short-edge разрез после удаления короткого ребра если короткое ребро максимального дерева удалить, дерево распадается на две компоненты. остальная часть цикла или замкнутой ломаной идёт из одной компоненты в другую, поэтому содержит ребро через этот разрез. trees extremal_choice ai_checked idea-strictness-needed-for-improvement строгость даёт увеличение веса обмен запрещён экстремальностью только тогда, когда новое ребро строго тяжелее удаляемого. поэтому условие выделяет именно строго кратчайшее ребро цикла. extremal_choice ai_checked sol-cycle-exchange обмен по циклу ai_checked complete_graph spanning_tree cycle tree extremal_choice докажем графовую формулировку. предположим противное: строго самое лёгкое ребро \\(e=uv\\) некоторого цикла \\(c\\) входит в максимальный по суммарному весу остов \\(t\\). удалим \\(e\\) из \\(t\\). получатся две компоненты, одна содержит \\(u\\), другая содержит \\(v\\). пройдём по циклу \\(c\\) от \\(u\\) к \\(v\\), не используя ребро \\(e\\). в начале мы находимся в компоненте вершины \\(u\\), а в конце — в другой компоненте, значит на этом пути есть ребро \\(f\\), соединяющее две компоненты дерева \\(t-e\\). по условию \\(e\\) строго легче любого другого ребра цикла, поэтому \\(w(f)>w(e)\\). тогда \\(t-e+f\\) снова является остовным деревом: ребро \\(f\\) соединяет две компоненты, возникшие после удаления \\(e\\). его суммарный вес больше веса \\(t\\), что противоречит максимальности \\(t\\). следовательно, \\(e\\) не может входить в \\(t\\). геометрическая версия получается из той же идеи. замкнутая ломаная задаёт замкнутый об… maximum-spanning-tree-cycle-shortest-edge-lemma strogo kratchayshee rebro tsikla ne vhodit v maksimalnyy ostov trees extremal_choice goal_proof classical_lemma https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm25.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2022-official with_solution kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv prochee ? kubok kolmogorova 2022 ofitsialnyy arhiv stmt-closed-polygonal-chain geometricheskaya formulirovka cherez zamknutuyu lomanuyu ai_checked pust \\(s\\) — konechnoe mnozhestvo tochek na ploskosti, a \\(t\\) — derevo na vershinah \\(s\\), u kotorogo summa evklidovyh dlin reber maksimalna sredi vseh derevev na \\(s\\). rassmotrim zamknutuyu lomanuyu s vershinami v \\(s\\). esli odno ee rebro \\(ab\\) imeet dlinu strogo menshe dliny kazhdogo drugogo rebra etoy lomanoy, to otrezok \\(ab\\) ne yavlyaetsya rebrom dereva \\(t\\). tree stmt-weighted-complete-graph kriteriy tsikla dlya maksimalnogo ostova ai_checked pust \\(k\\) — konechnyy polnyy graf s deystvitelnymi vesami reber, a \\(t\\) — ostovnoe derevo maksimalnogo summarnogo vesa v \\(k\\). esli v nekotorom tsikle grafa \\(k\\) rebro \\(e\\) imeet ves strogo menshe vesa kazhdogo drugogo rebra etogo tsikla, to \\(e\\notin e(t)\\). complete_graph spanning_tree cycle idea-cut-after-deleting-short-edge razrez posle udaleniya korotkogo rebra esli korotkoe rebro maksimalnogo dereva udalit, derevo raspadaetsya na dve komponenty. ostalnaya chast tsikla ili zamknutoy lomanoy idet iz odnoy komponenty v druguyu, poetomu soderzhit rebro cherez etot razrez. trees extremal_choice ai_checked idea-strictness-needed-for-improvement strogost daet uvelichenie vesa obmen zapreschen ekstremalnostyu tolko togda, kogda novoe rebro strogo tyazhelee udalyaemogo. poetomu uslovie vydelyaet imenno strogo kratchayshee rebro tsikla. extremal_choice ai_checked sol-cycle-exchange obmen po tsiklu ai_checked complete_graph spanning_tree cycle tree extremal_choice dokazhem grafovuyu formulirovku. predpolozhim protivnoe: strogo samoe legkoe rebro \\(e=uv\\) nekotorogo tsikla \\(c\\) vhodit v maksimalnyy po summarnomu vesu ostov \\(t\\). udalim \\(e\\) iz \\(t\\). poluchatsya dve komponenty, odna soderzhit \\(u\\), drugaya soderzhit \\(v\\). proydem po tsiklu \\(c\\) ot \\(u\\) k \\(v\\), ne ispolzuya rebro \\(e\\). v nachale my nahodimsya v komponente vershiny \\(u\\), a v kontse — v drugoy komponente, znachit na etom puti est rebro \\(f\\), soedinyayuschee dve komponenty dereva \\(t-e\\). po usloviyu \\(e\\) strogo legche lyubogo drugogo rebra tsikla, poetomu \\(w(f)>w(e)\\). togda \\(t-e+f\\) snova yavlyaetsya ostovnym derevom: rebro \\(f\\) soedinyaet dve komponenty, voznikshie posle udaleniya \\(e\\). ego summarnyy ves bolshe vesa \\(t\\), chto protivorechit maksimalnosti \\(t\\). sledovatelno, \\(e\\) ne mozhet vhodit v \\(t\\). geometricheskaya versiya poluchaetsya iz toy zhe idei. zamknutaya lomanaya zadaet zamknutyy ob…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"protected-color-recoloring-lemma","title":"Лемма о защищённых цветах и устранении одноточечных классов","path":"data\\problems\\classical\\protected-color-recoloring-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/protected-color-recoloring-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#protected-color-recoloring-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2007 официальный архив"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Короткий переносимый инвариант перекраски из задачи Колмогорова 2007 о хроматическом числе. Он полезнее окружающей задачи, но его не стоит усиливать до утверждения, что каждый финальный цвет защищён целым эталонным классом.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-protected-color-recoloring","title":"Лемма о защищённых цветах","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный граф с \\(\\chi(G)=k\\). Предположим, что у \\(G\\) есть правильная \\(k\\)-раскраска \\(\\alpha\\), в которой каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины. Тогда любую правильную раскраску \\(\\beta\\), использующую ровно \\(k\\) непустых цветов, можно конечным числом перекрасок целых цветовых классов раскраски \\(\\alpha\\) преобразовать в правильную \\(k\\)-раскраску, где каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины.","definition_ids":["chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-protected-singleton-recoloring","title":"Исправлять по одному одноточечному классу","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number","independent_set"],"standard_idea_ids":["local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем эталонную раскраску \\(\\alpha\\) и назовём цвет текущей \\(\\beta\\)-раскраски защищённым, если он содержит все вершины некоторого \\(\\alpha\\)-цветового класса. Такой защищённый цвет содержит хотя бы две вершины, а дальнейшие операции с другими \\(\\alpha\\)-классами не делают его одноточечным. Если в текущей раскраске нет одноточечных цветовых классов, всё доказано. Иначе пусть цвет \\(c\\) встречается только на вершине \\(v\\). Пусть \\(A\\) — цветовой класс раскраски \\(\\alpha\\), содержащий \\(v\\). Перекрасим все вершины \\(A\\) в цвет \\(c\\), а остальные вершины оставим как были. Новая раскраска правильна: новый класс цвета \\(c\\) — это независимое множество \\(A\\), а все остальные цветовые классы только потеряли вершины из независимого множества. Ни один цвет после этой операции не может исчезнуть. Если бы это произошло, полученная правильная раскраска использовала бы не более \\(k-1\\) непуст…"}],"relations":[{"id":"rel-protected-color-recoloring-kolmogorov-2007-chromatic","neighbor_id":"kolmogorov-2007-round-2-high-and-first-league-chromatic-number-problem","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-protected-recoloring-yumt-2023-granda-final-p6","neighbor_id":"yumt-2023-granda-final-problem6","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"protected-color-recoloring-lemma лемма о защищённых цветах и устранении одноточечных классов coloring goal_existence https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official with_solution кубок колмогорова 2007 официальный архив прочее ? кубок колмогорова 2007 официальный архив stmt-protected-color-recoloring лемма о защищённых цветах ai_checked пусть \\(g\\) — конечный граф с \\(\\chi(g)=k\\). предположим, что у \\(g\\) есть правильная \\(k\\)-раскраска \\(\\alpha\\), в которой каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины. тогда любую правильную раскраску \\(\\beta\\), использующую ровно \\(k\\) непустых цветов, можно конечным числом перекрасок целых цветовых классов раскраски \\(\\alpha\\) преобразовать в правильную \\(k\\)-раскраску, где каждый цветовой класс содержит хотя бы две вершины. chromatic_number idea-protected-colors защищённые цвета текущий цвет называется защищённым, если он содержит целиком некоторый цветовой класс фиксированной эталонной раскраски \\(\\alpha\\). перекраска другого целого \\(\\alpha\\)-класса не может разрушить эту защиту. coloring ai_checked sol-protected-singleton-recoloring исправлять по одному одноточечному классу ai_checked chromatic_number independent_set local_recoloring зафиксируем эталонную раскраску \\(\\alpha\\) и назовём цвет текущей \\(\\beta\\)-раскраски защищённым, если он содержит все вершины некоторого \\(\\alpha\\)-цветового класса. такой защищённый цвет содержит хотя бы две вершины, а дальнейшие операции с другими \\(\\alpha\\)-классами не делают его одноточечным. если в текущей раскраске нет одноточечных цветовых классов, всё доказано. иначе пусть цвет \\(c\\) встречается только на вершине \\(v\\). пусть \\(a\\) — цветовой класс раскраски \\(\\alpha\\), содержащий \\(v\\). перекрасим все вершины \\(a\\) в цвет \\(c\\), а остальные вершины оставим как были. новая раскраска правильна: новый класс цвета \\(c\\) — это независимое множество \\(a\\), а все остальные цветовые классы только потеряли вершины из независимого множества. ни один цвет после этой операции не может исчезнуть. если бы это произошло, полученная правильная раскраска использовала бы не более \\(k-1\\) непуст… protected-color-recoloring-lemma lemma o zaschischennyh tsvetah i ustranenii odnotochechnyh klassov coloring goal_existence https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm11.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2007-official with_solution kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv prochee ? kubok kolmogorova 2007 ofitsialnyy arhiv stmt-protected-color-recoloring lemma o zaschischennyh tsvetah ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy graf s \\(\\chi(g)=k\\). predpolozhim, chto u \\(g\\) est pravilnaya \\(k\\)-raskraska \\(\\alpha\\), v kotoroy kazhdyy tsvetovoy klass soderzhit hotya by dve vershiny. togda lyubuyu pravilnuyu raskrasku \\(\\beta\\), ispolzuyuschuyu rovno \\(k\\) nepustyh tsvetov, mozhno konechnym chislom perekrasok tselyh tsvetovyh klassov raskraski \\(\\alpha\\) preobrazovat v pravilnuyu \\(k\\)-raskrasku, gde kazhdyy tsvetovoy klass soderzhit hotya by dve vershiny. chromatic_number idea-protected-colors zaschischennye tsveta tekuschiy tsvet nazyvaetsya zaschischennym, esli on soderzhit tselikom nekotoryy tsvetovoy klass fiksirovannoy etalonnoy raskraski \\(\\alpha\\). perekraska drugogo tselogo \\(\\alpha\\)-klassa ne mozhet razrushit etu zaschitu. coloring ai_checked sol-protected-singleton-recoloring ispravlyat po odnomu odnotochechnomu klassu ai_checked chromatic_number independent_set local_recoloring zafiksiruem etalonnuyu raskrasku \\(\\alpha\\) i nazovem tsvet tekuschey \\(\\beta\\)-raskraski zaschischennym, esli on soderzhit vse vershiny nekotorogo \\(\\alpha\\)-tsvetovogo klassa. takoy zaschischennyy tsvet soderzhit hotya by dve vershiny, a dalneyshie operatsii s drugimi \\(\\alpha\\)-klassami ne delayut ego odnotochechnym. esli v tekuschey raskraske net odnotochechnyh tsvetovyh klassov, vse dokazano. inache pust tsvet \\(c\\) vstrechaetsya tolko na vershine \\(v\\). pust \\(a\\) — tsvetovoy klass raskraski \\(\\alpha\\), soderzhaschiy \\(v\\). perekrasim vse vershiny \\(a\\) v tsvet \\(c\\), a ostalnye vershiny ostavim kak byli. novaya raskraska pravilna: novyy klass tsveta \\(c\\) — eto nezavisimoe mnozhestvo \\(a\\), a vse ostalnye tsvetovye klassy tolko poteryali vershiny iz nezavisimogo mnozhestva. ni odin tsvet posle etoy operatsii ne mozhet ischeznut. esli by eto proizoshlo, poluchennaya pravilnaya raskraska ispolzovala by ne bolee \\(k-1\\) nepust…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}
{"id":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","title":"Коды вершинных цветов разбивают рёбра на двудольные слои","path":"data\\problems\\classical\\vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Кубок Колмогорова 2008 официальный архив","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","goal_construction","goal_bound","classical_theorem"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Короткая кодировочная лемма: нужны только жадная вершинная раскраска и наблюдение, что каждая битовая координата задаёт двудольное разбиение.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-color-codes-bipartite-layers","title":"Лемма о двоичных кодах и двудольных слоях","status":"ai_checked","text":"Пусть вершины конечного графа \\(G\\) правильно раскрашены в \\(q\\) цветов. Положим \\(r=\\lceil\\log_2 q\\rceil\\). Тогда множество рёбер \\(G\\) можно разбить на \\(r\\) двудольных подграфов. В частности, у любого конечного графа максимальной степени не больше \\(\\Delta\\) множество рёбер можно разбить на \\(\\lceil\\log_2(\\Delta+1)\\rceil\\) двудольных подграфов.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","degree","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-binary-code-edge-partition","title":"Доказательство двоичными кодами цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph","degree","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем для \\(q\\) вершинных цветов попарно различные двоичные строки длины \\(r\\). Это возможно, потому что \\(2^r\\ge q\\). Каждой вершине припишем строку, соответствующую её цвету. Для любого ребра \\(uv\\) цвета концов различны, значит, две приписанные строке различны. Выберем координату, в которой они различаются, например первую такую координату, и поместим \\(uv\\) в слой этой координаты. Так каждое ребро попадает ровно в один из \\(r\\) слоёв. Зафиксируем координату \\(i\\). В \\(i\\)-м слое каждое ребро соединяет вершину, у которой \\(i\\)-й бит равен 0, с вершиной, у которой \\(i\\)-й бит равен 1, потому что в этот слой попадали только рёбра с различными кодами концов в координате \\(i\\). Поэтому \\(i\\)-й слой двудолен, с долями, заданными значением \\(i\\)-го бита. Значит, рёбра разбиты на \\(r\\) двудольных подграфов. Для следствия раскрасим вершины графа максимальной степени не больше \\(\\Delta\\) жа…"}],"relations":[{"id":"rel-spbmo-2011-p4-greedy-coloring-bipartite-color-classes","neighbor_id":"spbmo-2011-9-10-p4-triangle-in-every-2000-set-k4","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bipartite-edge-layers-kolmogorov-2008-juniors-p8","neighbor_id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-juniors-problem-8","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bipartite-edge-layers-kolmogorov-2008-seniors-p5","neighbor_id":"kolmogorov-2008-individual-olympiad-seniors-problem-5","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bipartite-edge-layers-digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","neighbor_id":"digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-schweitzer-2012-p3-colored-tree","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2012-p3-two-colored-k-chromatic-tree","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers коды вершинных цветов разбивают рёбра на двудольные слои coloring goal_construction goal_bound classical_theorem https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова 2008 официальный архив прочее ? кубок колмогорова 2008 официальный архив архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-color-codes-bipartite-layers лемма о двоичных кодах и двудольных слоях ai_checked пусть вершины конечного графа \\(g\\) правильно раскрашены в \\(q\\) цветов. положим \\(r=\\lceil\\log_2 q\\rceil\\). тогда множество рёбер \\(g\\) можно разбить на \\(r\\) двудольных подграфов. в частности, у любого конечного графа максимальной степени не больше \\(\\delta\\) множество рёбер можно разбить на \\(\\lceil\\log_2(\\delta+1)\\rceil\\) двудольных подграфов. simple_graph bipartite_graph degree chromatic_number idea-binary-color-code-layers использовать биты цветовых кодов как двудольные разбиения заменим каждый вершинный цвет двоичным кодом. ребро соединяет вершины разных цветов, поэтому их коды различаются хотя бы в одной координате; если отнести ребро к такой координате, то каждый фиксированный координатный слой пересекает двудольное разбиение по этому биту. coloring ai_checked idea-greedy-delta-plus-one-colors жадная раскраска даёт нужные коды если известно только ограничение на максимальную степень, обычная жадная раскраска вершин даёт \\(\\delta+1\\) правильных вершинных цветов; затем эти цвета кодируются двоичными строками длины \\(\\lceil\\log_2(\\delta+1)\\rceil\\). coloring ai_checked sol-binary-code-edge-partition доказательство двоичными кодами цветов ai_checked simple_graph bipartite_graph degree chromatic_number greedy_ordering выберем для \\(q\\) вершинных цветов попарно различные двоичные строки длины \\(r\\). это возможно, потому что \\(2^r\\ge q\\). каждой вершине припишем строку, соответствующую её цвету. для любого ребра \\(uv\\) цвета концов различны, значит, две приписанные строке различны. выберем координату, в которой они различаются, например первую такую координату, и поместим \\(uv\\) в слой этой координаты. так каждое ребро попадает ровно в один из \\(r\\) слоёв. зафиксируем координату \\(i\\). в \\(i\\)-м слое каждое ребро соединяет вершину, у которой \\(i\\)-й бит равен 0, с вершиной, у которой \\(i\\)-й бит равен 1, потому что в этот слой попадали только рёбра с различными кодами концов в координате \\(i\\). поэтому \\(i\\)-й слой двудолен, с долями, заданными значением \\(i\\)-го бита. значит, рёбра разбиты на \\(r\\) двудольных подграфов. для следствия раскрасим вершины графа максимальной степени не больше \\(\\delta\\) жа… vertex-coloring-to-bipartite-edge-layers kody vershinnyh tsvetov razbivayut rebra na dvudolnye sloi coloring goal_construction goal_bound classical_theorem https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm12.zip misc olympiad_archive src-kolmogorov-2008-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv prochee ? kubok kolmogorova 2008 ofitsialnyy arhiv arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-color-codes-bipartite-layers lemma o dvoichnyh kodah i dvudolnyh sloyah ai_checked pust vershiny konechnogo grafa \\(g\\) pravilno raskrasheny v \\(q\\) tsvetov. polozhim \\(r=\\lceil\\log_2 q\\rceil\\). togda mnozhestvo reber \\(g\\) mozhno razbit na \\(r\\) dvudolnyh podgrafov. v chastnosti, u lyubogo konechnogo grafa maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(\\delta\\) mnozhestvo reber mozhno razbit na \\(\\lceil\\log_2(\\delta+1)\\rceil\\) dvudolnyh podgrafov. simple_graph bipartite_graph degree chromatic_number idea-binary-color-code-layers ispolzovat bity tsvetovyh kodov kak dvudolnye razbieniya zamenim kazhdyy vershinnyy tsvet dvoichnym kodom. rebro soedinyaet vershiny raznyh tsvetov, poetomu ih kody razlichayutsya hotya by v odnoy koordinate; esli otnesti rebro k takoy koordinate, to kazhdyy fiksirovannyy koordinatnyy sloy peresekaet dvudolnoe razbienie po etomu bitu. coloring ai_checked idea-greedy-delta-plus-one-colors zhadnaya raskraska daet nuzhnye kody esli izvestno tolko ogranichenie na maksimalnuyu stepen, obychnaya zhadnaya raskraska vershin daet \\(\\delta+1\\) pravilnyh vershinnyh tsvetov; zatem eti tsveta kodiruyutsya dvoichnymi strokami dliny \\(\\lceil\\log_2(\\delta+1)\\rceil\\). coloring ai_checked sol-binary-code-edge-partition dokazatelstvo dvoichnymi kodami tsvetov ai_checked simple_graph bipartite_graph degree chromatic_number greedy_ordering vyberem dlya \\(q\\) vershinnyh tsvetov poparno razlichnye dvoichnye stroki dliny \\(r\\). eto vozmozhno, potomu chto \\(2^r\\ge q\\). kazhdoy vershine pripishem stroku, sootvetstvuyuschuyu ee tsvetu. dlya lyubogo rebra \\(uv\\) tsveta kontsov razlichny, znachit, dve pripisannye stroke razlichny. vyberem koordinatu, v kotoroy oni razlichayutsya, naprimer pervuyu takuyu koordinatu, i pomestim \\(uv\\) v sloy etoy koordinaty. tak kazhdoe rebro popadaet rovno v odin iz \\(r\\) sloev. zafiksiruem koordinatu \\(i\\). v \\(i\\)-m sloe kazhdoe rebro soedinyaet vershinu, u kotoroy \\(i\\)-y bit raven 0, s vershinoy, u kotoroy \\(i\\)-y bit raven 1, potomu chto v etot sloy popadali tolko rebra s razlichnymi kodami kontsov v koordinate \\(i\\). poetomu \\(i\\)-y sloy dvudolen, s dolyami, zadannymi znacheniem \\(i\\)-go bita. znachit, rebra razbity na \\(r\\) dvudolnyh podgrafov. dlya sledstviya raskrasim vershiny grafa maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(\\delta\\) zha…","source_keys":["misc","kolmogorov"]}