{"id":"utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances","title":"Минимальный K5-свободный граф с минимальной степенью 2021, УТЮМ 2021","path":"data\\problems\\utyum\\utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/utyum/utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances","source_key":"k5","source_label":"Минимальный K5-свободный граф с минимальной степенью","source_titles":["УТЮМ 2021, командная олимпиада, 7 класс, 5. Минимальное n со степенью не меньше 2021 и без 5-клики (официальный архив)"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","forbidden_clique","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из пакета УТЮМ; этап: командная олимпиада, 7 класс.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В компании n человек. У каждого из них не менее 2021 знакомого. При этом нет пятерых людей, попарно знакомых друг с другом. При каком наименьшем n такое возможно?","definition_ids":["simple_graph","degree","clique"]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-graph","title":"Графовая формулировка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(d\\ge 1\\). Дан простой граф на \\(n\\) вершинах, минимальная степень которого не меньше \\(d\\). При этом граф не содержит клики размера 5. Докажите, что минимально возможное \\(n\\) равно \\(\\lceil 4d/3\\rceil\\).","definition_ids":["simple_graph","degree","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official","title":"Решение","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","clique"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: 2695. В доказательстве сначала строится пример на 2695 людях. Всех разбивают на четыре группы размеров 674, 674, 674 и 673. Люди внутри одной группы попарно не знакомы, а люди из разных групп попарно знакомы. Тогда у каждого человека не меньше 2021 знакомого, а пятёрки попарно знакомых не существует. Для оценки снизу предполагают, что людей не более 2694. Тогда у каждого человека не более 672 незнакомых. Дальше жадно строят группу попарно знакомых людей. Каждый новый выбранный человек вместе со своими незнакомыми запрещает не более 673 человек. После выбора четырёх человек запрещённых всё ещё меньше, чем всего людей, поэтому можно выбрать пятого. Получается пятёрка попарно знакомых, что противоречит условию. Значит, минимально возможное n равно 2695."}],"relations":[{"id":"rel-min-degree-common-neighborhood-clique-utyum-2021-k5-free","neighbor_id":"min-degree-common-neighborhood-clique","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances минимальный k5-свободный граф с минимальной степенью 2021, утюм 2021 extremal_graph_theory forbidden_clique goal_exact_bound 2021 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural57.zip k5 k52021 official_archive src-utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances-official with_solution минимальный k5-свободный граф с минимальной степенью минимальныйk5свободныйграфсминимальнойстепенью минимальныйk5свободныйграфсминимальнойстепенью2021 утюм 2021, командная олимпиада, 7 класс, 5. минимальное n со степенью не меньше 2021 и без 5-клики (официальный архив) ? утюм 2021, командная олимпиада, 7 класс, 5. минимальное n со степенью не меньше 2021 и без 5-клики (официальный архив) stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в компании n человек. у каждого из них не менее 2021 знакомого. при этом нет пятерых людей, попарно знакомых друг с другом. при каком наименьшем n такое возможно? simple_graph degree clique stmt-graph графовая формулировка ai_checked пусть \\(d\\ge 1\\). дан простой граф на \\(n\\) вершинах, минимальная степень которого не меньше \\(d\\). при этом граф не содержит клики размера 5. докажите, что минимально возможное \\(n\\) равно \\(\\lceil 4d/3\\rceil\\). simple_graph degree clique sol-official решение ai_checked simple_graph degree clique ответ: 2695. в доказательстве сначала строится пример на 2695 людях. всех разбивают на четыре группы размеров 674, 674, 674 и 673. люди внутри одной группы попарно не знакомы, а люди из разных групп попарно знакомы. тогда у каждого человека не меньше 2021 знакомого, а пятёрки попарно знакомых не существует. для оценки снизу предполагают, что людей не более 2694. тогда у каждого человека не более 672 незнакомых. дальше жадно строят группу попарно знакомых людей. каждый новый выбранный человек вместе со своими незнакомыми запрещает не более 673 человек. после выбора четырёх человек запрещённых всё ещё меньше, чем всего людей, поэтому можно выбрать пятого. получается пятёрка попарно знакомых, что противоречит условию. значит, минимально возможное n равно 2695. utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances minimalnyy k5-svobodnyy graf s minimalnoy stepenyu 2021, utyum 2021 extremal_graph_theory forbidden_clique goal_exact_bound 2021 https://turmath.ru/uraltur/files/archive/ural57.zip k5 k52021 official_archive src-utyum-2021_komol_7_no_k5_many_acquaintances-official with_solution minimalnyy k5-svobodnyy graf s minimalnoy stepenyu minimalnyyk5svobodnyygrafsminimalnoystepenyu minimalnyyk5svobodnyygrafsminimalnoystepenyu2021 utyum 2021, komandnaya olimpiada, 7 klass, 5. minimalnoe n so stepenyu ne menshe 2021 i bez 5-kliki (ofitsialnyy arhiv) ? utyum 2021, komandnaya olimpiada, 7 klass, 5. minimalnoe n so stepenyu ne menshe 2021 i bez 5-kliki (ofitsialnyy arhiv) stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v kompanii n chelovek. u kazhdogo iz nih ne menee 2021 znakomogo. pri etom net pyateryh lyudey, poparno znakomyh drug s drugom. pri kakom naimenshem n takoe vozmozhno? simple_graph degree clique stmt-graph grafovaya formulirovka ai_checked pust \\(d\\ge 1\\). dan prostoy graf na \\(n\\) vershinah, minimalnaya stepen kotorogo ne menshe \\(d\\). pri etom graf ne soderzhit kliki razmera 5. dokazhite, chto minimalno vozmozhnoe \\(n\\) ravno \\(\\lceil 4d/3\\rceil\\). simple_graph degree clique sol-official reshenie ai_checked simple_graph degree clique otvet: 2695. v dokazatelstve snachala stroitsya primer na 2695 lyudyah. vseh razbivayut na chetyre gruppy razmerov 674, 674, 674 i 673. lyudi vnutri odnoy gruppy poparno ne znakomy, a lyudi iz raznyh grupp poparno znakomy. togda u kazhdogo cheloveka ne menshe 2021 znakomogo, a pyaterki poparno znakomyh ne suschestvuet. dlya otsenki snizu predpolagayut, chto lyudey ne bolee 2694. togda u kazhdogo cheloveka ne bolee 672 neznakomyh. dalshe zhadno stroyat gruppu poparno znakomyh lyudey. kazhdyy novyy vybrannyy chelovek vmeste so svoimi neznakomymi zapreschaet ne bolee 673 chelovek. posle vybora chetyreh chelovek zapreschennyh vse esche menshe, chem vsego lyudey, poetomu mozhno vybrat pyatogo. poluchaetsya pyaterka poparno znakomyh, chto protivorechit usloviyu. znachit, minimalno vozmozhnoe n ravno 2695.","source_keys":["k5"]}