{"id":"jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle","title":"Максимум зелёных ламп при трёхцветной динамике на цикле, JBMO 2026 P3","path":"data\\problems\\jbmo\\jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/jbmo/jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle","source_key":"jbmo","source_label":"JBMO","source_titles":["JBMO 2026, официальные условия"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","modular_coloring","dynamics","invariant","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Третья задача JBMO 2026; ключевой шаг — точное описание образа локальных операций над F3.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.96,"basis":"прямая проверка линейного отображения и всех случаев ответа","notes":"Решение самодостаточно и не использует внешних теорем, кроме элементарной формулы размерностей ядра и образа."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"По кругу расположены \\(n\\ge 3\\) ламп. Каждая лампа может гореть зелёным, красным или синим светом. При каждом нажатии цвет меняется по циклу: зелёный на красный, красный на синий, синий на зелёный. Изначально все лампы красные. За один ход выбирают лампу \\(L\\), саму её не нажимают, соседнюю с ней лампу по часовой стрелке нажимают один раз, а соседнюю против часовой стрелки — два раза. Какое наибольшее число ламп может стать зелёным после некоторого конечного числа ходов?","definition_ids":["cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-f3","title":"Линейная формулировка на цикле","status":"ai_checked","text":"Вершинам цикла \\(C_n\\) приписаны элементы \\(\\mathbb F_3\\); изначально все значения равны \\(0\\). Ход в вершине \\(i\\) прибавляет \\(1\\) к значению следующей по часовой стрелке вершины и \\(-1\\) к значению предыдущей. Найдите наибольшее возможное число вершин со значением \\(2\\). Значения \\(0,1,2\\) соответствуют красному, синему и зелёному цветам.","definition_ids":["cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-ai-f3-image","title":"Образ линейного отображения над F3","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ равен \\[ \\begin{cases} n, & 3\\mid n,\\\\ n-1, & n\\text{ нечётно и }3\\nmid n,\\\\ n-2, & n\\text{ чётно и }3\\nmid n. \\end{cases} \\] Будем считать вершины цикла по модулю \\(n\\) в направлении по часовой стрелке. Закодируем красный, синий и зелёный цвета числами \\(0,1,2\\) из \\(\\mathbb F_3\\). Одно нажатие прибавляет 1, а два нажатия прибавляют 2, то есть \\(-1\\). Пусть ход с выбором вершины \\(i\\) был сделан \\(x_i\\) раз по модулю 3. Тогда итоговое значение в вершине \\(i\\) равно \\[ y_i=x_{i-1}-x_{i+1}. \\] Обозначим это линейное отображение через \\(T\\colon\\mathbb F_3^n\\to\\mathbb F_3^n\\). Любой набор \\(x_i\\in\\mathbb F_3\\) можно реализовать, сделав в каждой вершине 0, 1 или 2 хода, поэтому образ \\(T\\) в точности совпадает с множеством достижимых раскрасок. Всегда выполняется \\(\\sum_i y_i=0\\). Если \\(n\\) чётно, то верно и более сильное утверждение: \\[ \\sum_{i\\text{ чётное}}y_i=0,\\qquad \\sum_{i\\tex…"}],"relations":[{"id":"rel-jbmo-2026-p3-yumt-2018-f3-span","neighbor_id":"yumt-2018-grand-final-problem1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-jbmo-2026-p3-imc-2022-cycle-recurrence","neighbor_id":"imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-jbmo-2026-p3-lktg-2026-p28-three-state-dynamics","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle максимум зелёных ламп при трёхцветной динамике на цикле, jbmo 2026 p3 coloring modular_coloring dynamics invariant goal_exact_bound 2026 https://jbmo2026.ssmr.ro/wp-content/uploads/2026/06/english_jbmo2026.pdf jbmo jbmo 2026, официальные условия jbmo2026 olympiad_archive src-jbmo-2026-official-problems with_solution ? jbmo 2026, официальные условия stmt-original условие ai_checked по кругу расположены \\(n\\ge 3\\) ламп. каждая лампа может гореть зелёным, красным или синим светом. при каждом нажатии цвет меняется по циклу: зелёный на красный, красный на синий, синий на зелёный. изначально все лампы красные. за один ход выбирают лампу \\(l\\), саму её не нажимают, соседнюю с ней лампу по часовой стрелке нажимают один раз, а соседнюю против часовой стрелки — два раза. какое наибольшее число ламп может стать зелёным после некоторого конечного числа ходов? cycle stmt-graph-f3 линейная формулировка на цикле ai_checked вершинам цикла \\(c_n\\) приписаны элементы \\(\\mathbb f_3\\); изначально все значения равны \\(0\\). ход в вершине \\(i\\) прибавляет \\(1\\) к значению следующей по часовой стрелке вершины и \\(-1\\) к значению предыдущей. найдите наибольшее возможное число вершин со значением \\(2\\). значения \\(0,1,2\\) соответствуют красному, синему и зелёному цветам. cycle idea-reachable-subspace достижимые раскраски образуют подпространство если \\(x_i\\) — число ходов в вершине \\(i\\) по модулю 3, то итоговый цвет имеет координаты \\(y_i=x_{i-1}-x_{i+1}\\). при нечётном \\(n\\) образ этого отображения задаётся одним условием \\(\\sum y_i=0\\), а при чётном — двумя условиями: отдельно нулевыми суммами по вершинам каждой чётности. modular_coloring invariant ai_checked idea-maximize-green каждый независимый инвариант требует исключения раскраска, в которой все координаты равны 2, достижима ровно при \\(3\\mid n\\). в остальных случаях при нечётном \\(n\\) достаточно оставить незелёной одну вершину, а при чётном — по одной вершине в каждом классе чётности. goal_exact_bound ai_checked sol-ai-f3-image образ линейного отображения над f3 ai_checked cycle ответ равен \\[ \\begin{cases} n, & 3\\mid n,\\\\ n-1, & n\\text{ нечётно и }3\\nmid n,\\\\ n-2, & n\\text{ чётно и }3\\nmid n. \\end{cases} \\] будем считать вершины цикла по модулю \\(n\\) в направлении по часовой стрелке. закодируем красный, синий и зелёный цвета числами \\(0,1,2\\) из \\(\\mathbb f_3\\). одно нажатие прибавляет 1, а два нажатия прибавляют 2, то есть \\(-1\\). пусть ход с выбором вершины \\(i\\) был сделан \\(x_i\\) раз по модулю 3. тогда итоговое значение в вершине \\(i\\) равно \\[ y_i=x_{i-1}-x_{i+1}. \\] обозначим это линейное отображение через \\(t\\colon\\mathbb f_3^n\\to\\mathbb f_3^n\\). любой набор \\(x_i\\in\\mathbb f_3\\) можно реализовать, сделав в каждой вершине 0, 1 или 2 хода, поэтому образ \\(t\\) в точности совпадает с множеством достижимых раскрасок. всегда выполняется \\(\\sum_i y_i=0\\). если \\(n\\) чётно, то верно и более сильное утверждение: \\[ \\sum_{i\\text{ чётное}}y_i=0,\\qquad \\sum_{i\\tex… jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle maksimum zelenyh lamp pri trehtsvetnoy dinamike na tsikle, jbmo 2026 p3 coloring modular_coloring dynamics invariant goal_exact_bound 2026 https://jbmo2026.ssmr.ro/wp-content/uploads/2026/06/english_jbmo2026.pdf jbmo jbmo 2026, ofitsialnye usloviya jbmo2026 olympiad_archive src-jbmo-2026-official-problems with_solution ? jbmo 2026, ofitsialnye usloviya stmt-original uslovie ai_checked po krugu raspolozheny \\(n\\ge 3\\) lamp. kazhdaya lampa mozhet goret zelenym, krasnym ili sinim svetom. pri kazhdom nazhatii tsvet menyaetsya po tsiklu: zelenyy na krasnyy, krasnyy na siniy, siniy na zelenyy. iznachalno vse lampy krasnye. za odin hod vybirayut lampu \\(l\\), samu ee ne nazhimayut, sosednyuyu s ney lampu po chasovoy strelke nazhimayut odin raz, a sosednyuyu protiv chasovoy strelki — dva raza. kakoe naibolshee chislo lamp mozhet stat zelenym posle nekotorogo konechnogo chisla hodov? cycle stmt-graph-f3 lineynaya formulirovka na tsikle ai_checked vershinam tsikla \\(c_n\\) pripisany elementy \\(\\mathbb f_3\\); iznachalno vse znacheniya ravny \\(0\\). hod v vershine \\(i\\) pribavlyaet \\(1\\) k znacheniyu sleduyuschey po chasovoy strelke vershiny i \\(-1\\) k znacheniyu predyduschey. naydite naibolshee vozmozhnoe chislo vershin so znacheniem \\(2\\). znacheniya \\(0,1,2\\) sootvetstvuyut krasnomu, sinemu i zelenomu tsvetam. cycle idea-reachable-subspace dostizhimye raskraski obrazuyut podprostranstvo esli \\(x_i\\) — chislo hodov v vershine \\(i\\) po modulyu 3, to itogovyy tsvet imeet koordinaty \\(y_i=x_{i-1}-x_{i+1}\\). pri nechetnom \\(n\\) obraz etogo otobrazheniya zadaetsya odnim usloviem \\(\\sum y_i=0\\), a pri chetnom — dvumya usloviyami: otdelno nulevymi summami po vershinam kazhdoy chetnosti. modular_coloring invariant ai_checked idea-maximize-green kazhdyy nezavisimyy invariant trebuet isklyucheniya raskraska, v kotoroy vse koordinaty ravny 2, dostizhima rovno pri \\(3\\mid n\\). v ostalnyh sluchayah pri nechetnom \\(n\\) dostatochno ostavit nezelenoy odnu vershinu, a pri chetnom — po odnoy vershine v kazhdom klasse chetnosti. goal_exact_bound ai_checked sol-ai-f3-image obraz lineynogo otobrazheniya nad f3 ai_checked cycle otvet raven \\[ \\begin{cases} n, & 3\\mid n,\\\\ n-1, & n\\text{ nechetno i }3\\nmid n,\\\\ n-2, & n\\text{ chetno i }3\\nmid n. \\end{cases} \\] budem schitat vershiny tsikla po modulyu \\(n\\) v napravlenii po chasovoy strelke. zakodiruem krasnyy, siniy i zelenyy tsveta chislami \\(0,1,2\\) iz \\(\\mathbb f_3\\). odno nazhatie pribavlyaet 1, a dva nazhatiya pribavlyayut 2, to est \\(-1\\). pust hod s vyborom vershiny \\(i\\) byl sdelan \\(x_i\\) raz po modulyu 3. togda itogovoe znachenie v vershine \\(i\\) ravno \\[ y_i=x_{i-1}-x_{i+1}. \\] oboznachim eto lineynoe otobrazhenie cherez \\(t\\colon\\mathbb f_3^n\\to\\mathbb f_3^n\\). lyuboy nabor \\(x_i\\in\\mathbb f_3\\) mozhno realizovat, sdelav v kazhdoy vershine 0, 1 ili 2 hoda, poetomu obraz \\(t\\) v tochnosti sovpadaet s mnozhestvom dostizhimyh raskrasok. vsegda vypolnyaetsya \\(\\sum_i y_i=0\\). esli \\(n\\) chetno, to verno i bolee silnoe utverzhdenie: \\[ \\sum_{i\\text{ chetnoe}}y_i=0,\\qquad \\sum_{i\\tex…","source_keys":["jbmo"]}