{"id":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","title":"Балансирующая 2-раскраска рёбер двудольного графа","path":"data\\problems\\classical\\balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["IMOmath, IMO 1986 условия","IMO Compendium / ранняя подборка решений IMO","AoPS Wiki, 1986 IMO Problems/Problem 6","ФЮМ 2010, первый тур (b), задача 8"],"year":"","type":"problem_family","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","coloring","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_p6","local_score":13,"comment":"Объединяет координатную формулировку IMO 1986 P6 и прямую двудольную формулировку ФЮМ 2010.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-imo-1986-p6-points","title":"IMO 1986 P6, координатные точки","status":"ai_checked","text":"Дано конечное множество точек с целыми координатами на плоскости. Можно ли раскрасить часть точек в красный цвет, а остальные в белый так, чтобы на каждой прямой, параллельной одной из координатных осей, числа красных и белых точек отличались не более чем на 1?","definition_ids":[]},{"id":"stmt-fyum-2010-bipartite","title":"ФЮМ 2010, двудольный граф","status":"ai_checked","text":"Дан двудольный граф G. Докажите, что рёбра графа G можно покрасить в два цвета так, чтобы для любой вершины количества рёбер разных цветов, выходящих из этой вершины, отличались не более чем на 1.","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-balanced-edge-coloring","title":"Балансировка рёбер двудольного графа","status":"ai_checked","text":"В любом двудольном графе можно раскрасить рёбра в два цвета так, чтобы в каждой вершине количества инцидентных рёбер двух цветов отличались не более чем на 1.","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-balanced-edge-coloring","title":"Единое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","eulerian_cycle","degree","multigraph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем графовую формулировку. В каждой компоненте двудольного графа числа вершин нечётной степени в двух долях имеют одинаковую чётность. Разобьём нечётные вершины каждой доли на пары, а если в обеих долях осталось по одной нечётной вершине, соединим эти две вершины. Для каждой такой пары добавим фиктивное ребро. Получится двудольный эйлеров мультиграф: все степени стали чётными. Разложим его рёбра на эйлеровы циклы и покрасим рёбра каждого цикла попеременно в два цвета. Поскольку граф двудольный, все эти циклы чётные; значит, на каждом цикле у каждой вершины поровну инцидентных рёбер двух цветов. Поэтому в графе с фиктивными рёбрами баланс в каждой вершине точный. Удалим фиктивные рёбра. Каждая исходно нечётная вершина была инцидентна ровно одному фиктивному ребру, а исходно чётные вершины — ни одному, поэтому после удаления в каждой вершине числа рёбер двух цветов отличаются не более…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2010-tur1a-p8-tur1b-p8-balanced-edge-coloring","neighbor_id":"fyum-2010-tur1a-p8","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-eulerian-imo-1986-p6","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1986-p6-imo-2023-c4-eulerian-reconstruction","neighbor_id":"imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-balanced-edge-coloring-imo-2020-c6","neighbor_id":"imo-2020-c6-colored-coins-eulerian-multigraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2019-p4-balanced-bipartite-row-column-encoding","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-balanced-bipartite-edge-coloring-to-spbmo-2021-coordinate-2factor","neighbor_id":"spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors балансирующая 2-раскраска рёбер двудольного графа eulerian_graphs coloring goal_construction aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 https://imomath.com/othercomp/i/imo1986.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1986_imo_problems/problem_6 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur1b.tex https://www.imomath.com/ imo compendium / ранняя подборка решений imo imomath, imo 1986 условия misc olympiad_archive secondary_solution src-aops-imo-1986-p6 src-fyum-2010-tur1b-p8-official src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1986 statement with_solution прочее фюм 2010, первый тур (b), задача 8 ? imomath, imo 1986 условия imo compendium / ранняя подборка решений imo aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 фюм 2010, первый тур (b), задача 8 stmt-imo-1986-p6-points imo 1986 p6, координатные точки ai_checked дано конечное множество точек с целыми координатами на плоскости. можно ли раскрасить часть точек в красный цвет, а остальные в белый так, чтобы на каждой прямой, параллельной одной из координатных осей, числа красных и белых точек отличались не более чем на 1? stmt-fyum-2010-bipartite фюм 2010, двудольный граф ai_checked дан двудольный граф g. докажите, что рёбра графа g можно покрасить в два цвета так, чтобы для любой вершины количества рёбер разных цветов, выходящих из этой вершины, отличались не более чем на 1. bipartite_graph degree stmt-graph-balanced-edge-coloring балансировка рёбер двудольного графа ai_checked в любом двудольном графе можно раскрасить рёбра в два цвета так, чтобы в каждой вершине количества инцидентных рёбер двух цветов отличались не более чем на 1. bipartite_graph degree idea-points-as-bipartite-edges точки как рёбра двудольного графа горизонтали и вертикали становятся вершинами двух долей графа, а каждая точка задаёт ребро между соответствующей горизонталью и вертикалью. coloring ai_checked idea-alternate-euler-cycles попеременная раскраска эйлеровых циклов после добавления фиктивных рёбер, делающих все степени чётными и сохраняющих двудольность, рёбра каждой компоненты можно обойти эйлеровыми циклами и красить попеременно. coloring ai_checked sol-balanced-edge-coloring единое решение ai_checked bipartite_graph eulerian_cycle degree multigraph cycle докажем графовую формулировку. в каждой компоненте двудольного графа числа вершин нечётной степени в двух долях имеют одинаковую чётность. разобьём нечётные вершины каждой доли на пары, а если в обеих долях осталось по одной нечётной вершине, соединим эти две вершины. для каждой такой пары добавим фиктивное ребро. получится двудольный эйлеров мультиграф: все степени стали чётными. разложим его рёбра на эйлеровы циклы и покрасим рёбра каждого цикла попеременно в два цвета. поскольку граф двудольный, все эти циклы чётные; значит, на каждом цикле у каждой вершины поровну инцидентных рёбер двух цветов. поэтому в графе с фиктивными рёбрами баланс в каждой вершине точный. удалим фиктивные рёбра. каждая исходно нечётная вершина была инцидентна ровно одному фиктивному ребру, а исходно чётные вершины — ни одному, поэтому после удаления в каждой вершине числа рёбер двух цветов отличаются не более… balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors balansiruyuschaya 2-raskraska reber dvudolnogo grafa eulerian_graphs coloring goal_construction aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 https://imomath.com/othercomp/i/imo1986.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1986_imo_problems/problem_6 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur1b.tex https://www.imomath.com/ imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo imomath, imo 1986 usloviya misc olympiad_archive secondary_solution src-aops-imo-1986-p6 src-fyum-2010-tur1b-p8-official src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1986 statement with_solution prochee fyum 2010, pervyy tur (b), zadacha 8 ? imomath, imo 1986 usloviya imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 fyum 2010, pervyy tur (b), zadacha 8 stmt-imo-1986-p6-points imo 1986 p6, koordinatnye tochki ai_checked dano konechnoe mnozhestvo tochek s tselymi koordinatami na ploskosti. mozhno li raskrasit chast tochek v krasnyy tsvet, a ostalnye v belyy tak, chtoby na kazhdoy pryamoy, parallelnoy odnoy iz koordinatnyh osey, chisla krasnyh i belyh tochek otlichalis ne bolee chem na 1? stmt-fyum-2010-bipartite fyum 2010, dvudolnyy graf ai_checked dan dvudolnyy graf g. dokazhite, chto rebra grafa g mozhno pokrasit v dva tsveta tak, chtoby dlya lyuboy vershiny kolichestva reber raznyh tsvetov, vyhodyaschih iz etoy vershiny, otlichalis ne bolee chem na 1. bipartite_graph degree stmt-graph-balanced-edge-coloring balansirovka reber dvudolnogo grafa ai_checked v lyubom dvudolnom grafe mozhno raskrasit rebra v dva tsveta tak, chtoby v kazhdoy vershine kolichestva intsidentnyh reber dvuh tsvetov otlichalis ne bolee chem na 1. bipartite_graph degree idea-points-as-bipartite-edges tochki kak rebra dvudolnogo grafa gorizontali i vertikali stanovyatsya vershinami dvuh doley grafa, a kazhdaya tochka zadaet rebro mezhdu sootvetstvuyuschey gorizontalyu i vertikalyu. coloring ai_checked idea-alternate-euler-cycles poperemennaya raskraska eylerovyh tsiklov posle dobavleniya fiktivnyh reber, delayuschih vse stepeni chetnymi i sohranyayuschih dvudolnost, rebra kazhdoy komponenty mozhno oboyti eylerovymi tsiklami i krasit poperemenno. coloring ai_checked sol-balanced-edge-coloring edinoe reshenie ai_checked bipartite_graph eulerian_cycle degree multigraph cycle dokazhem grafovuyu formulirovku. v kazhdoy komponente dvudolnogo grafa chisla vershin nechetnoy stepeni v dvuh dolyah imeyut odinakovuyu chetnost. razobem nechetnye vershiny kazhdoy doli na pary, a esli v obeih dolyah ostalos po odnoy nechetnoy vershine, soedinim eti dve vershiny. dlya kazhdoy takoy pary dobavim fiktivnoe rebro. poluchitsya dvudolnyy eylerov multigraf: vse stepeni stali chetnymi. razlozhim ego rebra na eylerovy tsikly i pokrasim rebra kazhdogo tsikla poperemenno v dva tsveta. poskolku graf dvudolnyy, vse eti tsikly chetnye; znachit, na kazhdom tsikle u kazhdoy vershiny porovnu intsidentnyh reber dvuh tsvetov. poetomu v grafe s fiktivnymi rebrami balans v kazhdoy vershine tochnyy. udalim fiktivnye rebra. kazhdaya ishodno nechetnaya vershina byla intsidentna rovno odnomu fiktivnomu rebru, a ishodno chetnye vershiny — ni odnomu, poetomu posle udaleniya v kazhdoy vershine chisla reber dvuh tsvetov otlichayutsya ne bolee…","source_keys":["misc","imo","fyum"]} {"id":"bounded-forward-rays-balanced-sums","title":"Ограниченные лучи вперёд и сбалансированные суммы","path":"data\\problems\\classical\\bounded-forward-rays-balanced-sums.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/bounded-forward-rays-balanced-sums.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#bounded-forward-rays-balanced-sums","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["IMO 2015 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"","type":"lemma","authors":["Ivan Guo and Ross Atkins"],"tags":["invariant","extremal_choice","goal_bound","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p2_p5","local_score":9,"comment":"Независимый технический слой из IMO Shortlist 2015 C5: идея короткая, но точная константа требует аккуратного контроля стабилизированного пула.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"официальный IMO Shortlist 2015 source plus самодостаточно generalized proof аудит","notes":"Официальное решение для случая \\(L=2015\\) найдено; текущий текст разворачивает тот же конечный-дефицит/пуловый аргумент для общего \\(L\\) и проверяет точную константу.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-sequence","title":"Последовательность с различными правыми концами","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(L\\ge 1\\), и пусть \\((a_i)_{i\\ge 1}\\) - бесконечная последовательность целых чисел, такая что \\(1\\le a_i\\le L\\) для всех \\(i\\), а числа \\(i+a_i\\) попарно различны. Тогда существуют положительные целые числа \\(b\\) и \\(N\\), такие что для любых \\(n>m\\ge N\\) выполнено \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(L-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\]","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-forward-functional-digraph","title":"Функциональный орграф с ограниченными скачками","status":"ai_checked","text":"Пусть на положительных целых вершинах задан ориентированный граф, в котором из каждой вершины \\(i\\) выходит ровно одна стрелка в вершину \\(i+a_i\\), где \\(1\\le a_i\\le L\\), и ни в какую вершину не входит больше одной стрелки. Тогда существуют положительные целые \\(b\\) и \\(N\\), такие что для любых \\(n>m\\ge N\\) суммарное отклонение длин стрелок на отрезке удовлетворяет \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(L-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\]","definition_ids":["directed_graph"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-imo-2015-c5-special-case","title":"Случай \\(L=2015\\)","status":"ai_checked","text":"При \\(L=2015\\) из леммы следует существование положительных целых \\(b,N\\), для которых при всех \\(n>m\\ge N\\) выполнено \\(\\left|\\sum_{i=m+1}^n(a_i-b)\\right|\\le 1007^2\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-pool-of-balls","title":"Доказательство через пул шаров высот","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для каждого целого \\(t\\ge 0\\) рассмотрим пул шаров, соответствующих тем индексам \\(i\\), для которых \\(i\\le tm\\ge n\\) выполнено \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(l-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\] stmt-forward-functional-digraph функциональный орграф с ограниченными скачками ai_checked пусть на положительных целых вершинах задан ориентированный граф, в котором из каждой вершины \\(i\\) выходит ровно одна стрелка в вершину \\(i+a_i\\), где \\(1\\le a_i\\le l\\), и ни в какую вершину не входит больше одной стрелки. тогда существуют положительные целые \\(b\\) и \\(n\\), такие что для любых \\(n>m\\ge n\\) суммарное отклонение длин стрелок на отрезке удовлетворяет \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(l-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\] directed_graph stmt-imo-2015-c5-special-case случай \\(l=2015\\) ai_checked при \\(l=2015\\) из леммы следует существование положительных целых \\(b,n\\), для которых при всех \\(n>m\\ge n\\) выполнено \\(\\left|\\sum_{i=m+1}^n(a_i-b)\\right|\\le 1007^2\\). idea-active-rays-as-balls активные стрелки как шары на высотах в момент \\(t\\) берем все стрелки \\(i\\to i+a_i\\), пересекающие промежуток от \\(t\\) к \\(t+1\\), то есть такие, что \\(i\\le tm\\ge n\\) vypolneno \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(l-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\] stmt-forward-functional-digraph funktsionalnyy orgraf s ogranichennymi skachkami ai_checked pust na polozhitelnyh tselyh vershinah zadan orientirovannyy graf, v kotorom iz kazhdoy vershiny \\(i\\) vyhodit rovno odna strelka v vershinu \\(i+a_i\\), gde \\(1\\le a_i\\le l\\), i ni v kakuyu vershinu ne vhodit bolshe odnoy strelki. togda suschestvuyut polozhitelnye tselye \\(b\\) i \\(n\\), takie chto dlya lyubyh \\(n>m\\ge n\\) summarnoe otklonenie dlin strelok na otrezke udovletvoryaet \\[ \\left|\\sum_{i=m+1}^n (a_i-b)\\right|\\le \\left\\lfloor\\frac{(l-1)^2}{4}\\right\\rfloor. \\] directed_graph stmt-imo-2015-c5-special-case sluchay \\(l=2015\\) ai_checked pri \\(l=2015\\) iz lemmy sleduet suschestvovanie polozhitelnyh tselyh \\(b,n\\), dlya kotoryh pri vseh \\(n>m\\ge n\\) vypolneno \\(\\left|\\sum_{i=m+1}^n(a_i-b)\\right|\\le 1007^2\\). idea-active-rays-as-balls aktivnye strelki kak shary na vysotah v moment \\(t\\) berem vse strelki \\(i\\to i+a_i\\), peresekayuschie promezhutok ot \\(t\\) k \\(t+1\\), to est takie, chto \\(i\\le t1\\) цветов. Разрешены две операции: 1) удалить вершину нечётной степени вместе со всеми инцидентными ей рёбрами; 2) заменить текущий граф двумя непересекающимися копиями и добавить ребро между каждой вершиной одной копии и соответствующей вершиной другой. Докажите, что после конечного числа таких операций можно получить граф, правильно раскрашиваемый в \\(n-1\\) цветов.","definition_ids":["simple_graph","chromatic_number","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-even-core-and-double","title":"Чётное ядро и удаление цветовой доли","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим данный \\(n\\)-раскрашенный граф \\(G\\). Пока в нём есть вершина нечётной степени, удаляем её. Корректность раскраски при этом не нарушается. Через конечное число шагов получим подграф \\(H\\), в котором каждая вершина имеет чётную степень. Если \\(H\\) уже раскрашивается в \\(n-1\\) цветов, то всё доказано. Иначе зафиксируем в \\(H\\) правильную раскраску в цвета \\(1,\\dots,n\\) с непустой долей цвета \\(n\\). Теперь выполним операцию удвоения. В новом графе \\(D\\) каждая вершина \\(v\\) имеет степень \\(\\deg_H(v)+1\\), следовательно, нечётную. Кроме того, множество всех вершин цвета \\(n\\) в обеих копиях остаётся независимым. Поэтому эти вершины можно удалять одну за другой: удаление одной такой вершины меняет чётность степеней только её соседей, но не затрагивает степени остальных вершин цвета \\(n\\), так как между ними нет рёбер. После удаления всей цветовой доли \\(n\\) остаётся граф, правильно…"}],"relations":[{"id":"rel-color-reduction-imons","neighbor_id":"imo-2013-c3-imons-graph-coloring","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2010-p4-color-reduction-parity-operations","neighbor_id":"cmo-2010-p4-graph-neighborhood-toggle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-pass-brooks-color-reduction-odd-deletion","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-color-extremal-color-reduction-apmo-2016","neighbor_id":"apmo-2016-p4-dreamland-28-step-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2022-grand-final-p1-color-reduction-odd-deletion","neighbor_id":"yumt-2022-grand-final-problem1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling понижение числа цветов удалением нечётных вершин и удвоением coloring induction goal_exact_bound https://www.imo-official.org/problems/imo2013sl.pdf imo 2013 shortlisted problems with solutions misc official_archive src-imo-2013-shortlist with_solution прочее ? imo 2013 shortlisted problems with solutions stmt-original-1 needs_human_review дан конечный простой граф, правильно раскрашенный в \\(n>1\\) цветов. разрешены две операции: 1) удалить вершину нечётной степени вместе со всеми инцидентными ей рёбрами; 2) заменить текущий граф двумя непересекающимися копиями и добавить ребро между каждой вершиной одной копии и соответствующей вершиной другой. докажите, что после конечного числа таких операций можно получить граф, правильно раскрашиваемый в \\(n-1\\) цветов. simple_graph chromatic_number degree idea-even-core-then-delete-one-color-class сначала делаем все степени чётными, потом уничтожаем один цвет после удаления всех доступных вершин нечётной степени остаётся граф, в котором все степени чётны. после удвоения степень каждой вершины становится нечётной, и любую фиксированную цветовую долю можно удалить целиком, потому что она остаётся независимой. coloring induction ai_checked sol-even-core-and-double чётное ядро и удаление цветовой доли ai_checked degree рассмотрим данный \\(n\\)-раскрашенный граф \\(g\\). пока в нём есть вершина нечётной степени, удаляем её. корректность раскраски при этом не нарушается. через конечное число шагов получим подграф \\(h\\), в котором каждая вершина имеет чётную степень. если \\(h\\) уже раскрашивается в \\(n-1\\) цветов, то всё доказано. иначе зафиксируем в \\(h\\) правильную раскраску в цвета \\(1,\\dots,n\\) с непустой долей цвета \\(n\\). теперь выполним операцию удвоения. в новом графе \\(d\\) каждая вершина \\(v\\) имеет степень \\(\\deg_h(v)+1\\), следовательно, нечётную. кроме того, множество всех вершин цвета \\(n\\) в обеих копиях остаётся независимым. поэтому эти вершины можно удалять одну за другой: удаление одной такой вершины меняет чётность степеней только её соседей, но не затрагивает степени остальных вершин цвета \\(n\\), так как между ними нет рёбер. после удаления всей цветовой доли \\(n\\) остаётся граф, правильно… color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling ponizhenie chisla tsvetov udaleniem nechetnyh vershin i udvoeniem coloring induction goal_exact_bound https://www.imo-official.org/problems/imo2013sl.pdf imo 2013 shortlisted problems with solutions misc official_archive src-imo-2013-shortlist with_solution prochee ? imo 2013 shortlisted problems with solutions stmt-original-1 needs_human_review dan konechnyy prostoy graf, pravilno raskrashennyy v \\(n>1\\) tsvetov. razresheny dve operatsii: 1) udalit vershinu nechetnoy stepeni vmeste so vsemi intsidentnymi ey rebrami; 2) zamenit tekuschiy graf dvumya neperesekayuschimisya kopiyami i dobavit rebro mezhdu kazhdoy vershinoy odnoy kopii i sootvetstvuyuschey vershinoy drugoy. dokazhite, chto posle konechnogo chisla takih operatsiy mozhno poluchit graf, pravilno raskrashivaemyy v \\(n-1\\) tsvetov. simple_graph chromatic_number degree idea-even-core-then-delete-one-color-class snachala delaem vse stepeni chetnymi, potom unichtozhaem odin tsvet posle udaleniya vseh dostupnyh vershin nechetnoy stepeni ostaetsya graf, v kotorom vse stepeni chetny. posle udvoeniya stepen kazhdoy vershiny stanovitsya nechetnoy, i lyubuyu fiksirovannuyu tsvetovuyu dolyu mozhno udalit tselikom, potomu chto ona ostaetsya nezavisimoy. coloring induction ai_checked sol-even-core-and-double chetnoe yadro i udalenie tsvetovoy doli ai_checked degree rassmotrim dannyy \\(n\\)-raskrashennyy graf \\(g\\). poka v nem est vershina nechetnoy stepeni, udalyaem ee. korrektnost raskraski pri etom ne narushaetsya. cherez konechnoe chislo shagov poluchim podgraf \\(h\\), v kotorom kazhdaya vershina imeet chetnuyu stepen. esli \\(h\\) uzhe raskrashivaetsya v \\(n-1\\) tsvetov, to vse dokazano. inache zafiksiruem v \\(h\\) pravilnuyu raskrasku v tsveta \\(1,\\dots,n\\) s nepustoy doley tsveta \\(n\\). teper vypolnim operatsiyu udvoeniya. v novom grafe \\(d\\) kazhdaya vershina \\(v\\) imeet stepen \\(\\deg_h(v)+1\\), sledovatelno, nechetnuyu. krome togo, mnozhestvo vseh vershin tsveta \\(n\\) v obeih kopiyah ostaetsya nezavisimym. poetomu eti vershiny mozhno udalyat odnu za drugoy: udalenie odnoy takoy vershiny menyaet chetnost stepeney tolko ee sosedey, no ne zatragivaet stepeni ostalnyh vershin tsveta \\(n\\), tak kak mezhdu nimi net reber. posle udaleniya vsey tsvetovoy doli \\(n\\) ostaetsya graf, pravilno…","source_keys":["misc","imo"]} {"id":"ferry-network-repartition-lemma","title":"Переразбиение полной двудольной сети после закрытия поперечного ребра","path":"data\\problems\\classical\\ferry-network-repartition-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/ferry-network-repartition-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#ferry-network-repartition-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["IMO 2016 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["connectivity","extremal_choice","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Короткая, но нетривиальная динамическая лемма: локальная операция сохраняет полную двудольную структуру после правильного переразбиения вершин.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть вершины простого графа разбиты на две непустые доли \\(A\\) и \\(B\\), причём каждая вершина из \\(A\\) соединена с каждой вершиной из \\(B\\). Выберем ребро \\(ab\\) с \\(a\\in A\\), \\(b\\in B\\), удалим его и затем для каждой вершины, смежной ровно с одной из вершин \\(a,b\\), добавим ребро к другой из них. Докажите, что после этой операции те же вершины можно снова разбить на две непустые доли так, чтобы все поперечные рёбра присутствовали.","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-repartition-network","title":"Пара закрытого ребра и остальные вершины","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"После операции положим \\[ A'=\\{a,b\\},\\qquad B'=(A\\cup B)\\setminus\\{a,b\\}. \\] Нужно доказать, что каждая вершина из \\(B'\\) смежна и с \\(a\\), и с \\(b\\). Пусть сначала \\(x\\in A\\setminus\\{a\\}\\). До операции вершина \\(x\\) была смежна с \\(b\\), потому что все поперечные рёбра между \\(A\\) и \\(B\\) присутствовали. Если \\(x\\) уже была смежна с \\(a\\), то ничего доказывать не нужно. Если же нет, то до операции \\(x\\) была смежна ровно с одной из вершин \\(a,b\\), а именно с \\(b\\); по правилу операции после удаления ребра \\(ab\\) добавляется ребро \\(xa\\). Значит, после операции \\(x\\) смежна и с \\(a\\), и с \\(b\\). Совершенно так же для любой вершины \\(y\\in B\\setminus\\{b\\}\\): до операции она была смежна с \\(a\\), а если не была смежна с \\(b\\), то после операции ребро \\(yb\\) добавляется. Поэтому и \\(y\\) после операции смежна с обоими вершинами \\(a\\) и \\(b\\). Итак, каждая вершина из \\(B'\\) смежна с обеими верш…"}],"relations":[{"id":"rel-ferry-network-lemma-imo-2016-c6","neighbor_id":"imo-2016-c6-ferry-graph-dynamics","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ferry-network-imo-2019-c5-local-edge-operation","neighbor_id":"imo-2019-c5-social-network-refriending","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"ferry-network-repartition-lemma переразбиение полной двудольной сети после закрытия поперечного ребра connectivity extremal_choice goal_proof https://www.imo-official.org/problems/imo2016sl.pdf imo 2016 shortlisted problems with solutions misc official_archive src-imo-2016-shortlist with_solution прочее ? imo 2016 shortlisted problems with solutions stmt-original-1 ai_checked пусть вершины простого графа разбиты на две непустые доли \\(a\\) и \\(b\\), причём каждая вершина из \\(a\\) соединена с каждой вершиной из \\(b\\). выберем ребро \\(ab\\) с \\(a\\in a\\), \\(b\\in b\\), удалим его и затем для каждой вершины, смежной ровно с одной из вершин \\(a,b\\), добавим ребро к другой из них. докажите, что после этой операции те же вершины можно снова разбить на две непустые доли так, чтобы все поперечные рёбра присутствовали. simple_graph bipartite_graph idea-pair-vs-rest новые доли: закрытая пара против остальных после закрытия поперечного ребра \\(ab\\) естественно объявить одной долей пару \\(\\{a,b\\}\\), а второй долей — все остальные вершины. остаётся проверить, что каждая из них стала смежной с обоими концами закрытого ребра. connectivity extremal_choice ai_checked sol-repartition-network пара закрытого ребра и остальные вершины ai_checked simple_graph bipartite_graph после операции положим \\[ a'=\\{a,b\\},\\qquad b'=(a\\cup b)\\setminus\\{a,b\\}. \\] нужно доказать, что каждая вершина из \\(b'\\) смежна и с \\(a\\), и с \\(b\\). пусть сначала \\(x\\in a\\setminus\\{a\\}\\). до операции вершина \\(x\\) была смежна с \\(b\\), потому что все поперечные рёбра между \\(a\\) и \\(b\\) присутствовали. если \\(x\\) уже была смежна с \\(a\\), то ничего доказывать не нужно. если же нет, то до операции \\(x\\) была смежна ровно с одной из вершин \\(a,b\\), а именно с \\(b\\); по правилу операции после удаления ребра \\(ab\\) добавляется ребро \\(xa\\). значит, после операции \\(x\\) смежна и с \\(a\\), и с \\(b\\). совершенно так же для любой вершины \\(y\\in b\\setminus\\{b\\}\\): до операции она была смежна с \\(a\\), а если не была смежна с \\(b\\), то после операции ребро \\(yb\\) добавляется. поэтому и \\(y\\) после операции смежна с обоими вершинами \\(a\\) и \\(b\\). итак, каждая вершина из \\(b'\\) смежна с обеими верш… ferry-network-repartition-lemma pererazbienie polnoy dvudolnoy seti posle zakrytiya poperechnogo rebra connectivity extremal_choice goal_proof https://www.imo-official.org/problems/imo2016sl.pdf imo 2016 shortlisted problems with solutions misc official_archive src-imo-2016-shortlist with_solution prochee ? imo 2016 shortlisted problems with solutions stmt-original-1 ai_checked pust vershiny prostogo grafa razbity na dve nepustye doli \\(a\\) i \\(b\\), prichem kazhdaya vershina iz \\(a\\) soedinena s kazhdoy vershinoy iz \\(b\\). vyberem rebro \\(ab\\) s \\(a\\in a\\), \\(b\\in b\\), udalim ego i zatem dlya kazhdoy vershiny, smezhnoy rovno s odnoy iz vershin \\(a,b\\), dobavim rebro k drugoy iz nih. dokazhite, chto posle etoy operatsii te zhe vershiny mozhno snova razbit na dve nepustye doli tak, chtoby vse poperechnye rebra prisutstvovali. simple_graph bipartite_graph idea-pair-vs-rest novye doli: zakrytaya para protiv ostalnyh posle zakrytiya poperechnogo rebra \\(ab\\) estestvenno obyavit odnoy doley paru \\(\\{a,b\\}\\), a vtoroy doley — vse ostalnye vershiny. ostaetsya proverit, chto kazhdaya iz nih stala smezhnoy s oboimi kontsami zakrytogo rebra. connectivity extremal_choice ai_checked sol-repartition-network para zakrytogo rebra i ostalnye vershiny ai_checked simple_graph bipartite_graph posle operatsii polozhim \\[ a'=\\{a,b\\},\\qquad b'=(a\\cup b)\\setminus\\{a,b\\}. \\] nuzhno dokazat, chto kazhdaya vershina iz \\(b'\\) smezhna i s \\(a\\), i s \\(b\\). pust snachala \\(x\\in a\\setminus\\{a\\}\\). do operatsii vershina \\(x\\) byla smezhna s \\(b\\), potomu chto vse poperechnye rebra mezhdu \\(a\\) i \\(b\\) prisutstvovali. esli \\(x\\) uzhe byla smezhna s \\(a\\), to nichego dokazyvat ne nuzhno. esli zhe net, to do operatsii \\(x\\) byla smezhna rovno s odnoy iz vershin \\(a,b\\), a imenno s \\(b\\); po pravilu operatsii posle udaleniya rebra \\(ab\\) dobavlyaetsya rebro \\(xa\\). znachit, posle operatsii \\(x\\) smezhna i s \\(a\\), i s \\(b\\). sovershenno tak zhe dlya lyuboy vershiny \\(y\\in b\\setminus\\{b\\}\\): do operatsii ona byla smezhna s \\(a\\), a esli ne byla smezhna s \\(b\\), to posle operatsii rebro \\(yb\\) dobavlyaetsya. poetomu i \\(y\\) posle operatsii smezhna s oboimi vershinami \\(a\\) i \\(b\\). itak, kazhdaya vershina iz \\(b'\\) smezhna s obeimi versh…","source_keys":["misc","imo"]} {"id":"imo-1964-p4-three-topic-ramsey","title":"Трёхцветная раскраска \\(K_{17}\\) и одноцветный треугольник, IMO 1964 P4","path":"data\\problems\\imo\\imo-1964-p4-three-topic-ramsey.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1964-p4-three-topic-ramsey.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1964-p4-three-topic-ramsey","source_key":"imo","source_label":"IMO","source_titles":["IMOmath, IMO 1964 условия","IMO Compendium / ранняя подборка решений IMO","AoPS Wiki, 1964 IMO Problems/Problem 4"],"year":"1964","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["ramsey_theory","coloring","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":8,"comment":"Добавлено из оставшейся ранней выборки IMO и шорт-листов после проверки существенности графовой модели.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Каждая пара из 17 учеников поговорила ровно на одну из трёх тем. Докажите, что найдутся трое учеников, которые попарно говорили между собой на одну и ту же тему.","definition_ids":["complete_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Трёхцветная раскраска \\(K_{17}\\) и одноцветный треугольник, IMO 1964 P4","status":"needs_human_review","text":"Рёбра полного графа \\(K_{17}\\) раскрашены в три цвета. Докажите, что найдётся одноцветный треугольник.","definition_ids":["complete_graph","triangle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-graph-review","title":"Сжатое графовое решение","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем ученика A. Среди 16 разговоров от A хотя бы 6 имеют одну тему, скажем первую; пусть это множество B. Если две вершины из B также говорили на первую тему, вместе с A они дают нужную тройку. Если нет, то все рёбра внутри B окрашены только двумя оставшимися цветами. В любом двухцветно раскрашенном K₆ есть одноцветный треугольник: из одной вершины выходят три ребра одного цвета; если среди их концов есть ребро того же цвета, всё готово, а иначе три конца образуют треугольник второго цвета. Значит в любом случае есть трое учеников, попарно говоривших на одну тему."}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2017-a1-imo-1964-three-color-ramsey","neighbor_id":"simon-marais-2017-a1-pentagon-triangle-game","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2022-triangles-imo-1964-edge-coloring","neighbor_id":"imc-2022-day2-p5-regular-43-coloured-triangles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ramsey-r33-imo-1964-p4","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1964-p4-imo-1998-c6-k-le-4-ramsey-edge-colouring","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vjimc-1999-lines-imo-1964","neighbor_id":"vjimc-1999-cat2-p1-lines-ramsey-three-relations","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imo-1964-p4-three-topic-ramsey трёхцветная раскраска \\(k_{17}\\) и одноцветный треугольник, imo 1964 p4 ramsey_theory coloring goal_existence 1964 aops wiki, 1964 imo problems/problem 4 https://imomath.com/othercomp/i/imo1964.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1964_imo_problems/problem_4 https://www.imomath.com/ imo imo compendium / ранняя подборка решений imo imo1964 imomath, imo 1964 условия secondary_solution src-aops-imo-1964-p4 src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1964 statement with_solution ? imomath, imo 1964 условия imo compendium / ранняя подборка решений imo aops wiki, 1964 imo problems/problem 4 stmt-original условие needs_human_review каждая пара из 17 учеников поговорила ровно на одну из трёх тем. докажите, что найдутся трое учеников, которые попарно говорили между собой на одну и ту же тему. complete_graph stmt-graph трёхцветная раскраска \\(k_{17}\\) и одноцветный треугольник, imo 1964 p4 needs_human_review рёбра полного графа \\(k_{17}\\) раскрашены в три цвета. докажите, что найдётся одноцветный треугольник. complete_graph triangle idea-ramsey-from-one-vertex одна вершина даёт шесть рёбер одного цвета из выбранной вершины выходит 16 рёбер трёх цветов, значит хотя бы 6 из них одного цвета. ramsey_theory ai_checked complete_graph idea-close-or-complement либо замыкаем треугольник, либо остаётся двухцветный k₆ если среди шести соседей есть ребро того же цвета, всё готово; иначе их полный граф раскрашен двумя цветами и содержит одноцветный треугольник. coloring needs_human_review sol-graph-review сжатое графовое решение ai_checked pigeonhole_principle выберем ученика a. среди 16 разговоров от a хотя бы 6 имеют одну тему, скажем первую; пусть это множество b. если две вершины из b также говорили на первую тему, вместе с a они дают нужную тройку. если нет, то все рёбра внутри b окрашены только двумя оставшимися цветами. в любом двухцветно раскрашенном k₆ есть одноцветный треугольник: из одной вершины выходят три ребра одного цвета; если среди их концов есть ребро того же цвета, всё готово, а иначе три конца образуют треугольник второго цвета. значит в любом случае есть трое учеников, попарно говоривших на одну тему. imo-1964-p4-three-topic-ramsey trehtsvetnaya raskraska \\(k_{17}\\) i odnotsvetnyy treugolnik, imo 1964 p4 ramsey_theory coloring goal_existence 1964 aops wiki, 1964 imo problems/problem 4 https://imomath.com/othercomp/i/imo1964.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1964_imo_problems/problem_4 https://www.imomath.com/ imo imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo imo1964 imomath, imo 1964 usloviya secondary_solution src-aops-imo-1964-p4 src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1964 statement with_solution ? imomath, imo 1964 usloviya imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo aops wiki, 1964 imo problems/problem 4 stmt-original uslovie needs_human_review kazhdaya para iz 17 uchenikov pogovorila rovno na odnu iz treh tem. dokazhite, chto naydutsya troe uchenikov, kotorye poparno govorili mezhdu soboy na odnu i tu zhe temu. complete_graph stmt-graph trehtsvetnaya raskraska \\(k_{17}\\) i odnotsvetnyy treugolnik, imo 1964 p4 needs_human_review rebra polnogo grafa \\(k_{17}\\) raskrasheny v tri tsveta. dokazhite, chto naydetsya odnotsvetnyy treugolnik. complete_graph triangle idea-ramsey-from-one-vertex odna vershina daet shest reber odnogo tsveta iz vybrannoy vershiny vyhodit 16 reber treh tsvetov, znachit hotya by 6 iz nih odnogo tsveta. ramsey_theory ai_checked complete_graph idea-close-or-complement libo zamykaem treugolnik, libo ostaetsya dvuhtsvetnyy k₆ esli sredi shesti sosedey est rebro togo zhe tsveta, vse gotovo; inache ih polnyy graf raskrashen dvumya tsvetami i soderzhit odnotsvetnyy treugolnik. coloring needs_human_review sol-graph-review szhatoe grafovoe reshenie ai_checked pigeonhole_principle vyberem uchenika a. sredi 16 razgovorov ot a hotya by 6 imeyut odnu temu, skazhem pervuyu; pust eto mnozhestvo b. esli dve vershiny iz b takzhe govorili na pervuyu temu, vmeste s a oni dayut nuzhnuyu troyku. esli net, to vse rebra vnutri b okrasheny tolko dvumya ostavshimisya tsvetami. v lyubom dvuhtsvetno raskrashennom k₆ est odnotsvetnyy treugolnik: iz odnoy vershiny vyhodyat tri rebra odnogo tsveta; esli sredi ih kontsov est rebro togo zhe tsveta, vse gotovo, a inache tri kontsa obrazuyut treugolnik vtorogo tsveta. znachit v lyubom sluchae est troe uchenikov, poparno govorivshih na odnu temu.","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph","title":"Подсчёт маршрутов фишки на цикле \\(C_8\\), IMO 1979 P6","path":"data\\problems\\imo\\imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph","source_key":"imo","source_label":"IMO","source_titles":["IMOmath, IMO 1979 условия","IMO Compendium / ранняя подборка решений IMO","AoPS Wiki, 1979 IMO Problems/Problem 6"],"year":"1979","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_symmetry","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":9,"comment":"Добавлено из оставшейся ранней выборки IMO и шорт-листов после проверки существенности графовой модели.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"В регулярном восьмиугольнике фишка стартует из вершины S и каждую секунду переходит в одну из двух соседних вершин. Процесс заканчивается в противоположной вершине F. Пусть aₙ — число различных путей длительности n из S в F. Докажите заданную формулу для aₙ.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Подсчёт маршрутов фишки на цикле \\(C_8\\), IMO 1979 P6","status":"needs_human_review","text":"В цикле \\(C_8\\) выбраны противоположные вершины \\(S\\) и \\(F\\). Для \\(n\\ge0\\) пусть \\(a_n\\) — число маршрутов длины \\(n\\) из \\(S\\) в \\(F\\). Докажите, что \\(a_0=0\\), при нечётном \\(n\\) выполнено \\(a_n=0\\), а при положительном чётном \\(n\\) выполнено \\(a_n=2^{n-2}-2^{n/2-1}\\).","definition_ids":["cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-graph-review","title":"Сжатое графовое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["path","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Нечётная длина невозможна, потому что \\(C_8\\) двудолен, а вершины \\(S\\) и \\(F\\) лежат в одной доле, так что \\(a_{2n-1}=0\\). Для чётной длины удобно пронумеровать вершины цикла остатками по модулю 8 так, чтобы \\(S=0\\), \\(F=4\\), а каждый ход менял номер на \\(\\pm1\\). После \\(2n\\) ходов мы попадём в \\(F\\) тогда и только тогда, когда разность между числом ходов по часовой стрелке и против неё сравнима с 4 по модулю 8. Если ходов по часовой стрелке было \\(r\\), то против неё было \\(2n-r\\), и условие имеет вид \\(r-(2n-r)=2r-2n\\equiv4\\pmod8\\), то есть \\(r\\equiv n+2\\pmod4\\). Поэтому \\[ a_{2n}=\\sum_{k\\in\\mathbb Z}\\binom{2n}{n+2+4k}. \\] Остаётся вычислить эту сумму. По фильтру корней из единицы \\[ \\sum_{k}\\binom{2n}{n+2+4k}=\\frac18\\sum_{j=0}^7 \\zeta^{-j(n+2)}(1+\\zeta^j)^{2n},\\qquad \\zeta=e^{2\\pi i/8}. \\] После попарного объединения слагаемых получаем \\[ a_{2n}=2^{2n-2}-2^{n-1}. \\] Итак, \\[ a_m=\\beg…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2013-necklace-imo-1979-cycle-walks","neighbor_id":"imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imc-2022-flea-imo-1979-cycle-walks","neighbor_id":"imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1979-p6-cycle-walks-graph-symmetry","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1979-p6-egmo-2025-p5-even-cycle-encoding","neighbor_id":"egmo-2025-p5-rotating-arrows-even-dynamic-cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vjimc-2007-key-ring-cycle-symmetry","neighbor_id":"vjimc-2007-cat1-p2-key-ring-distinguishing-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph подсчёт маршрутов фишки на цикле \\(c_8\\), imo 1979 p6 graph_symmetry double_counting goal_counting 1979 aops wiki, 1979 imo problems/problem 6 https://imomath.com/othercomp/i/imo1979.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1979_imo_problems/problem_6 https://www.imomath.com/ imo imo compendium / ранняя подборка решений imo imo1979 imomath, imo 1979 условия secondary_solution src-aops-imo-1979-p6 src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1979 statement with_solution ? imomath, imo 1979 условия imo compendium / ранняя подборка решений imo aops wiki, 1979 imo problems/problem 6 stmt-original условие needs_human_review в регулярном восьмиугольнике фишка стартует из вершины s и каждую секунду переходит в одну из двух соседних вершин. процесс заканчивается в противоположной вершине f. пусть aₙ — число различных путей длительности n из s в f. докажите заданную формулу для aₙ. stmt-graph подсчёт маршрутов фишки на цикле \\(c_8\\), imo 1979 p6 needs_human_review в цикле \\(c_8\\) выбраны противоположные вершины \\(s\\) и \\(f\\). для \\(n\\ge0\\) пусть \\(a_n\\) — число маршрутов длины \\(n\\) из \\(s\\) в \\(f\\). докажите, что \\(a_0=0\\), при нечётном \\(n\\) выполнено \\(a_n=0\\), а при положительном чётном \\(n\\) выполнено \\(a_n=2^{n-2}-2^{n/2-1}\\). cycle idea-fold-cycle сложить c₈ по симметрии по расстоянию от s противоположные вершины имеют одинаковое число путей, поэтому задача сводится к линейной рекурсии на четырёх состояниях. graph_symmetry needs_human_review idea-characteristic-roots рекурсия для чётных длин для bₙ=a₂ₙ получается линейная рекурсия с корнями \\(2+\\sqrt2\\) и \\(2-\\sqrt2\\). double_counting needs_human_review sol-graph-review сжатое графовое решение ai_checked path cycle нечётная длина невозможна, потому что \\(c_8\\) двудолен, а вершины \\(s\\) и \\(f\\) лежат в одной доле, так что \\(a_{2n-1}=0\\). для чётной длины удобно пронумеровать вершины цикла остатками по модулю 8 так, чтобы \\(s=0\\), \\(f=4\\), а каждый ход менял номер на \\(\\pm1\\). после \\(2n\\) ходов мы попадём в \\(f\\) тогда и только тогда, когда разность между числом ходов по часовой стрелке и против неё сравнима с 4 по модулю 8. если ходов по часовой стрелке было \\(r\\), то против неё было \\(2n-r\\), и условие имеет вид \\(r-(2n-r)=2r-2n\\equiv4\\pmod8\\), то есть \\(r\\equiv n+2\\pmod4\\). поэтому \\[ a_{2n}=\\sum_{k\\in\\mathbb z}\\binom{2n}{n+2+4k}. \\] остаётся вычислить эту сумму. по фильтру корней из единицы \\[ \\sum_{k}\\binom{2n}{n+2+4k}=\\frac18\\sum_{j=0}^7 \\zeta^{-j(n+2)}(1+\\zeta^j)^{2n},\\qquad \\zeta=e^{2\\pi i/8}. \\] после попарного объединения слагаемых получаем \\[ a_{2n}=2^{2n-2}-2^{n-1}. \\] итак, \\[ a_m=\\beg… imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph podschet marshrutov fishki na tsikle \\(c_8\\), imo 1979 p6 graph_symmetry double_counting goal_counting 1979 aops wiki, 1979 imo problems/problem 6 https://imomath.com/othercomp/i/imo1979.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1979_imo_problems/problem_6 https://www.imomath.com/ imo imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo imo1979 imomath, imo 1979 usloviya secondary_solution src-aops-imo-1979-p6 src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1979 statement with_solution ? imomath, imo 1979 usloviya imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo aops wiki, 1979 imo problems/problem 6 stmt-original uslovie needs_human_review v regulyarnom vosmiugolnike fishka startuet iz vershiny s i kazhduyu sekundu perehodit v odnu iz dvuh sosednih vershin. protsess zakanchivaetsya v protivopolozhnoy vershine f. pust aₙ — chislo razlichnyh putey dlitelnosti n iz s v f. dokazhite zadannuyu formulu dlya aₙ. stmt-graph podschet marshrutov fishki na tsikle \\(c_8\\), imo 1979 p6 needs_human_review v tsikle \\(c_8\\) vybrany protivopolozhnye vershiny \\(s\\) i \\(f\\). dlya \\(n\\ge0\\) pust \\(a_n\\) — chislo marshrutov dliny \\(n\\) iz \\(s\\) v \\(f\\). dokazhite, chto \\(a_0=0\\), pri nechetnom \\(n\\) vypolneno \\(a_n=0\\), a pri polozhitelnom chetnom \\(n\\) vypolneno \\(a_n=2^{n-2}-2^{n/2-1}\\). cycle idea-fold-cycle slozhit c₈ po simmetrii po rasstoyaniyu ot s protivopolozhnye vershiny imeyut odinakovoe chislo putey, poetomu zadacha svoditsya k lineynoy rekursii na chetyreh sostoyaniyah. graph_symmetry needs_human_review idea-characteristic-roots rekursiya dlya chetnyh dlin dlya bₙ=a₂ₙ poluchaetsya lineynaya rekursiya s kornyami \\(2+\\sqrt2\\) i \\(2-\\sqrt2\\). double_counting needs_human_review sol-graph-review szhatoe grafovoe reshenie ai_checked path cycle nechetnaya dlina nevozmozhna, potomu chto \\(c_8\\) dvudolen, a vershiny \\(s\\) i \\(f\\) lezhat v odnoy dole, tak chto \\(a_{2n-1}=0\\). dlya chetnoy dliny udobno pronumerovat vershiny tsikla ostatkami po modulyu 8 tak, chtoby \\(s=0\\), \\(f=4\\), a kazhdyy hod menyal nomer na \\(\\pm1\\). posle \\(2n\\) hodov my popadem v \\(f\\) togda i tolko togda, kogda raznost mezhdu chislom hodov po chasovoy strelke i protiv nee sravnima s 4 po modulyu 8. esli hodov po chasovoy strelke bylo \\(r\\), to protiv nee bylo \\(2n-r\\), i uslovie imeet vid \\(r-(2n-r)=2r-2n\\equiv4\\pmod8\\), to est \\(r\\equiv n+2\\pmod4\\). poetomu \\[ a_{2n}=\\sum_{k\\in\\mathbb z}\\binom{2n}{n+2+4k}. \\] ostaetsya vychislit etu summu. po filtru korney iz edinitsy \\[ \\sum_{k}\\binom{2n}{n+2+4k}=\\frac18\\sum_{j=0}^7 \\zeta^{-j(n+2)}(1+\\zeta^j)^{2n},\\qquad \\zeta=e^{2\\pi i/8}. \\] posle poparnogo obedineniya slagaemyh poluchaem \\[ a_{2n}=2^{2n-2}-2^{n-1}. \\] itak, \\[ a_m=\\beg…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1985-sl5-lattice-perfect-code","title":"Совершенное независимое множество в кубической решётке, IMO Shortlist 1985","path":"data\\problems\\imo\\imo-1985-sl5-lattice-perfect-code.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1985-sl5-lattice-perfect-code.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1985-sl5-lattice-perfect-code","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["архив Kalva, IMO Shortlist 1985","IMO Compendium / ранняя подборка решений IMO"],"year":"1985","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":10,"comment":"Добавлено из оставшейся ранней выборки IMO и шорт-листов после проверки существенности графовой модели.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"В множестве всех целочисленных точек пространства две точки называются соседними, если две координаты совпадают, а третья отличается на 1. Докажите, что существует подмножество S, в котором никакие две соседние точки не лежат вместе, а каждая точка вне S имеет ровно одного соседа из S.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Совершенное независимое множество в кубической решётке, IMO Shortlist 1985","status":"needs_human_review","text":"Рассмотрим бесконечный граф с множеством вершин \\(\\mathbb Z^3\\), в котором две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они отличаются ровно в одной координате на 1. Докажите, что существует множество вершин \\(S\\), являющееся совершенным кодом радиуса 1: никакие две вершины из \\(S\\) не смежны, и каждая вершина вне \\(S\\) имеет ровно одного соседа в \\(S\\).","definition_ids":["independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-graph-review","title":"Решение через линейную метку по модулю 7","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Положим \\(S=\\{(x,y,z): x+2y+3z \\equiv 0 \\pmod 7\\}\\). Рассмотрим вершину \\((x,y,z)\\) кубической решётки и обозначим \\(L=x+2y+3z\\). При переходе к шести соседям \\((x\\pm1,y,z)\\), \\((x,y\\pm1,z)\\), \\((x,y,z\\pm1)\\) значение \\(L\\) меняется соответственно на \\(\\pm1,\\pm2,\\pm3\\), то есть на шесть различных ненулевых остатков по модулю 7. Поэтому если две вершины соседние, их значения \\(L\\) по модулю 7 различаются на ненулевой остаток, и они не могут обе лежать в \\(S\\); множество \\(S\\) независимо. Если же для вершины значение \\(L\\equiv r\\ne0\\pmod 7\\), то среди шести изменений \\(\\pm1,\\pm2,\\pm3\\) ровно одно сравнимо с \\(-r\\) по модулю 7. Ровно соответствующий сосед имеет метку \\(0\\) и лежит в \\(S\\), а остальные пять соседей в \\(S\\) не лежат. Значит построенное множество имеет требуемое свойство: вершины из \\(S\\) не соседствуют друг с другом, а каждая вершина вне \\(S\\) имеет ровно одного соседа в \\(S…"}],"relations":[{"id":"rel-bmo-2016-imo-1985-perfect-code","neighbor_id":"bmo-2016-p4-infinite-grid-diamond-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1985-sl5-imo-1999-c5-grid-domination","neighbor_id":"imo-1999-c5-grid-total-domination","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1985-sl5-imo-1994-c6-periodic-grid","neighbor_id":"imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-imo-1985-sl5-imo-1996-c1-divisibility-residues","neighbor_id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imo-1985-sl5-lattice-perfect-code совершенное независимое множество в кубической решётке, imo shortlist 1985 coloring goal_characterization 1985 https://prase.cz/kalva/short/sh85.html https://www.imomath.com/ imo imo compendium / ранняя подборка решений imo imo shortlist imo1985 imoshortlist imoshortlist1985 secondary_shortlist_statement secondary_solution src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-kalva-imo-1985-shortlist with_solution архив kalva, imo shortlist 1985 ? архив kalva, imo shortlist 1985 imo compendium / ранняя подборка решений imo stmt-original условие needs_human_review в множестве всех целочисленных точек пространства две точки называются соседними, если две координаты совпадают, а третья отличается на 1. докажите, что существует подмножество s, в котором никакие две соседние точки не лежат вместе, а каждая точка вне s имеет ровно одного соседа из s. stmt-graph совершенное независимое множество в кубической решётке, imo shortlist 1985 needs_human_review рассмотрим бесконечный граф с множеством вершин \\(\\mathbb z^3\\), в котором две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они отличаются ровно в одной координате на 1. докажите, что существует множество вершин \\(s\\), являющееся совершенным кодом радиуса 1: никакие две вершины из \\(s\\) не смежны, и каждая вершина вне \\(s\\) имеет ровно одного соседа в \\(s\\). independent_set idea-mod-seven-label метка по модулю 7 функция \\(x+2y+3z\\) по модулю 7 меняется на шесть разных ненулевых остатков при переходе к шести соседям. coloring needs_human_review idea-perfect-code один сосед каждого внешнего узла класс нулевого остатка независим, а у любой другой вершины ровно один сосед попадает в нулевой класс. needs_human_review sol-graph-review решение через линейную метку по модулю 7 ai_checked положим \\(s=\\{(x,y,z): x+2y+3z \\equiv 0 \\pmod 7\\}\\). рассмотрим вершину \\((x,y,z)\\) кубической решётки и обозначим \\(l=x+2y+3z\\). при переходе к шести соседям \\((x\\pm1,y,z)\\), \\((x,y\\pm1,z)\\), \\((x,y,z\\pm1)\\) значение \\(l\\) меняется соответственно на \\(\\pm1,\\pm2,\\pm3\\), то есть на шесть различных ненулевых остатков по модулю 7. поэтому если две вершины соседние, их значения \\(l\\) по модулю 7 различаются на ненулевой остаток, и они не могут обе лежать в \\(s\\); множество \\(s\\) независимо. если же для вершины значение \\(l\\equiv r\\ne0\\pmod 7\\), то среди шести изменений \\(\\pm1,\\pm2,\\pm3\\) ровно одно сравнимо с \\(-r\\) по модулю 7. ровно соответствующий сосед имеет метку \\(0\\) и лежит в \\(s\\), а остальные пять соседей в \\(s\\) не лежат. значит построенное множество имеет требуемое свойство: вершины из \\(s\\) не соседствуют друг с другом, а каждая вершина вне \\(s\\) имеет ровно одного соседа в \\(s… imo-1985-sl5-lattice-perfect-code sovershennoe nezavisimoe mnozhestvo v kubicheskoy reshetke, imo shortlist 1985 coloring goal_characterization 1985 https://prase.cz/kalva/short/sh85.html https://www.imomath.com/ imo imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo imo shortlist imo1985 imoshortlist imoshortlist1985 secondary_shortlist_statement secondary_solution src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-kalva-imo-1985-shortlist with_solution arhiv kalva, imo shortlist 1985 ? arhiv kalva, imo shortlist 1985 imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo stmt-original uslovie needs_human_review v mnozhestve vseh tselochislennyh tochek prostranstva dve tochki nazyvayutsya sosednimi, esli dve koordinaty sovpadayut, a tretya otlichaetsya na 1. dokazhite, chto suschestvuet podmnozhestvo s, v kotorom nikakie dve sosednie tochki ne lezhat vmeste, a kazhdaya tochka vne s imeet rovno odnogo soseda iz s. stmt-graph sovershennoe nezavisimoe mnozhestvo v kubicheskoy reshetke, imo shortlist 1985 needs_human_review rassmotrim beskonechnyy graf s mnozhestvom vershin \\(\\mathbb z^3\\), v kotorom dve vershiny soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda oni otlichayutsya rovno v odnoy koordinate na 1. dokazhite, chto suschestvuet mnozhestvo vershin \\(s\\), yavlyayuscheesya sovershennym kodom radiusa 1: nikakie dve vershiny iz \\(s\\) ne smezhny, i kazhdaya vershina vne \\(s\\) imeet rovno odnogo soseda v \\(s\\). independent_set idea-mod-seven-label metka po modulyu 7 funktsiya \\(x+2y+3z\\) po modulyu 7 menyaetsya na shest raznyh nenulevyh ostatkov pri perehode k shesti sosedyam. coloring needs_human_review idea-perfect-code odin sosed kazhdogo vneshnego uzla klass nulevogo ostatka nezavisim, a u lyuboy drugoy vershiny rovno odin sosed popadaet v nulevoy klass. needs_human_review sol-graph-review reshenie cherez lineynuyu metku po modulyu 7 ai_checked polozhim \\(s=\\{(x,y,z): x+2y+3z \\equiv 0 \\pmod 7\\}\\). rassmotrim vershinu \\((x,y,z)\\) kubicheskoy reshetki i oboznachim \\(l=x+2y+3z\\). pri perehode k shesti sosedyam \\((x\\pm1,y,z)\\), \\((x,y\\pm1,z)\\), \\((x,y,z\\pm1)\\) znachenie \\(l\\) menyaetsya sootvetstvenno na \\(\\pm1,\\pm2,\\pm3\\), to est na shest razlichnyh nenulevyh ostatkov po modulyu 7. poetomu esli dve vershiny sosednie, ih znacheniya \\(l\\) po modulyu 7 razlichayutsya na nenulevoy ostatok, i oni ne mogut obe lezhat v \\(s\\); mnozhestvo \\(s\\) nezavisimo. esli zhe dlya vershiny znachenie \\(l\\equiv r\\ne0\\pmod 7\\), to sredi shesti izmeneniy \\(\\pm1,\\pm2,\\pm3\\) rovno odno sravnimo s \\(-r\\) po modulyu 7. rovno sootvetstvuyuschiy sosed imeet metku \\(0\\) i lezhit v \\(s\\), a ostalnye pyat sosedey v \\(s\\) ne lezhat. znachit postroennoe mnozhestvo imeet trebuemoe svoystvo: vershiny iz \\(s\\) ne sosedstvuyut drug s drugom, a kazhdaya vershina vne \\(s\\) imeet rovno odnogo soseda v \\(s…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1986-sl12-increasing-edge-trail","title":"Возрастающая цепь рёбер в размеченном графе, IMO Shortlist 1986","path":"data\\problems\\imo\\imo-1986-sl12-increasing-edge-trail.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1986-sl12-increasing-edge-trail.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1986-sl12-increasing-edge-trail","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["архив Kalva, IMO Shortlist 1986","IMO Compendium / ранняя подборка решений IMO"],"year":"1986","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_choice","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"Добавлено из оставшейся ранней выборки IMO и шорт-листов после проверки существенности графовой модели.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"В графе n вершин и q рёбер; рёбра помечены числами 1,2,...,q. Докажите, что найдётся последовательность по крайней мере 2q/n рёбер, в которой метки возрастают, а соседние рёбра имеют общую вершину.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-graph-review","title":"Сжатое графовое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["path","line_graph"],"standard_idea_ids":["longest_path"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(v\\) — вершина максимальной степени в графе \\(G\\). Тогда \\[ \\deg(v)\\ge \\frac{2q}{n}, \\] потому что максимальная степень не меньше средней степени. Рассмотрим все рёбра, инцидентные \\(v\\), и выпишем их в порядке возрастания меток: \\[ e_10\\), и пусть \\(M>0\\) — максимальное значение \\(h\\) на всех вершинах. Оно не может достигаться в мужской вершине, потому что там \\(h=0\\), значит выберем женскую вершину \\(v\\) с \\(h(v)=M\\). Все сос…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-1994-c2-imo-2013-c6-extremal-propagation","neighbor_id":"third-fourth-distance-layer-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-1994-c2-city-ages-harmonic-graph возраст горожан и гармоническая функция на графе, imo shortlist 1994 c2 connectivity goal_exact_bound 1994 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1994-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1994, вторичный архив imo1994 imoshortlist imoshortlist1994 secondary_archive src-secondary-imo-1994-shortlist with_solution ? imo shortlist 1994, вторичный архив stmt-original условие needs_human_review в городе возраст измеряется вещественными числами. любые два жителя либо знакомы, либо нет; если не знакомы, то между ними есть цепочка знакомств. на переписи все мужчины называют свои возраста, и мужчин хотя бы один. каждая женщина сообщает только, что её возраст равен среднему арифметическому возрастов всех её знакомых. докажите, что этой информации достаточно, чтобы единственным образом определить возраста всех женщин. stmt-graph возраст горожан и гармоническая функция на графе, imo shortlist 1994 c2 needs_human_review пусть \\(g\\) — конечный связный граф, \\(b\\subseteq v(g)\\) — непустое множество граничных вершин, и на \\(b\\) заданы вещественные значения. докажите, что существует не более одной функции \\(f:v(g)\\to\\mathbb r\\), совпадающей с заданными значениями на \\(b\\) и удовлетворяющей для каждой вершины \\(v\\in v(g)\\setminus b\\) условию дискретной гармоничности \\[ f(v)=\\frac1{\\deg(v)}\\sum_{u\\sim v} f(u). \\] connected_graph degree idea-maximum-principle дискретный принцип максимума разность двух возможных решений равна нулю на мужских вершинах и гармонична на женских. connectivity ai_checked idea-propagate-equality распространение максимума по связности если гармоническая функция достигает положительного максимума во внутренней вершине, все её соседи имеют то же значение. extremal_choice ai_checked sol-secondary-sketch полное решение через дискретный принцип максимума ai_checked connected_graph extremal_choice построим граф знакомств: вершины — жители города, ребро соединяет знакомых. по условию этот конечный граф связен, а множество мужских вершин непусто. достаточно доказать единственность: пусть есть два набора женских возрастов, совместимых с одними и теми же известными мужскими возрастами и со всеми сообщениями женщин. рассмотрим разность \\(h\\) этих двух наборов, положив \\(h(v)=0\\) в каждой мужской вершине. для женской вершины \\(v\\) оба набора удовлетворяют одному и тому же равенству \\[ f(v)=\\frac1{\\deg(v)}\\sum_{u\\sim v} f(u), \\] поэтому после вычитания \\[ h(v)=\\frac1{\\deg(v)}\\sum_{u\\sim v} h(u). \\] то есть \\(h\\) равна нулю на мужских вершинах и гармонична на женских. предположим, что где-то \\(h>0\\), и пусть \\(m>0\\) — максимальное значение \\(h\\) на всех вершинах. оно не может достигаться в мужской вершине, потому что там \\(h=0\\), значит выберем женскую вершину \\(v\\) с \\(h(v)=m\\). все сос… imo-1994-c2-city-ages-harmonic-graph vozrast gorozhan i garmonicheskaya funktsiya na grafe, imo shortlist 1994 c2 connectivity goal_exact_bound 1994 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1994-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1994, vtorichnyy arhiv imo1994 imoshortlist imoshortlist1994 secondary_archive src-secondary-imo-1994-shortlist with_solution ? imo shortlist 1994, vtorichnyy arhiv stmt-original uslovie needs_human_review v gorode vozrast izmeryaetsya veschestvennymi chislami. lyubye dva zhitelya libo znakomy, libo net; esli ne znakomy, to mezhdu nimi est tsepochka znakomstv. na perepisi vse muzhchiny nazyvayut svoi vozrasta, i muzhchin hotya by odin. kazhdaya zhenschina soobschaet tolko, chto ee vozrast raven srednemu arifmeticheskomu vozrastov vseh ee znakomyh. dokazhite, chto etoy informatsii dostatochno, chtoby edinstvennym obrazom opredelit vozrasta vseh zhenschin. stmt-graph vozrast gorozhan i garmonicheskaya funktsiya na grafe, imo shortlist 1994 c2 needs_human_review pust \\(g\\) — konechnyy svyaznyy graf, \\(b\\subseteq v(g)\\) — nepustoe mnozhestvo granichnyh vershin, i na \\(b\\) zadany veschestvennye znacheniya. dokazhite, chto suschestvuet ne bolee odnoy funktsii \\(f:v(g)\\to\\mathbb r\\), sovpadayuschey s zadannymi znacheniyami na \\(b\\) i udovletvoryayuschey dlya kazhdoy vershiny \\(v\\in v(g)\\setminus b\\) usloviyu diskretnoy garmonichnosti \\[ f(v)=\\frac1{\\deg(v)}\\sum_{u\\sim v} f(u). \\] connected_graph degree idea-maximum-principle diskretnyy printsip maksimuma raznost dvuh vozmozhnyh resheniy ravna nulyu na muzhskih vershinah i garmonichna na zhenskih. connectivity ai_checked idea-propagate-equality rasprostranenie maksimuma po svyaznosti esli garmonicheskaya funktsiya dostigaet polozhitelnogo maksimuma vo vnutrenney vershine, vse ee sosedi imeyut to zhe znachenie. extremal_choice ai_checked sol-secondary-sketch polnoe reshenie cherez diskretnyy printsip maksimuma ai_checked connected_graph extremal_choice postroim graf znakomstv: vershiny — zhiteli goroda, rebro soedinyaet znakomyh. po usloviyu etot konechnyy graf svyazen, a mnozhestvo muzhskih vershin nepusto. dostatochno dokazat edinstvennost: pust est dva nabora zhenskih vozrastov, sovmestimyh s odnimi i temi zhe izvestnymi muzhskimi vozrastami i so vsemi soobscheniyami zhenschin. rassmotrim raznost \\(h\\) etih dvuh naborov, polozhiv \\(h(v)=0\\) v kazhdoy muzhskoy vershine. dlya zhenskoy vershiny \\(v\\) oba nabora udovletvoryayut odnomu i tomu zhe ravenstvu \\[ f(v)=\\frac1{\\deg(v)}\\sum_{u\\sim v} f(u), \\] poetomu posle vychitaniya \\[ h(v)=\\frac1{\\deg(v)}\\sum_{u\\sim v} h(u). \\] to est \\(h\\) ravna nulyu na muzhskih vershinah i garmonichna na zhenskih. predpolozhim, chto gde-to \\(h>0\\), i pust \\(m>0\\) — maksimalnoe znachenie \\(h\\) na vseh vershinah. ono ne mozhet dostigatsya v muzhskoy vershine, potomu chto tam \\(h=0\\), znachit vyberem zhenskuyu vershinu \\(v\\) s \\(h(v)=m\\). vse sos…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy","title":"Бесконечные крестики-нолики: запрет 11 подряд, IMO Shortlist 1994 C6","path":"data\\problems\\imo\\imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1994, вторичный архив","IMO Shortlist 1994 C6, решение, архив Kalva"],"year":"1994","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","coloring","goal_strategy_game"],"agent_topics":["game_strategy"],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"Ранний IMO Shortlist 1994; источник вторичный, решение сверено по вторичному разбору.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Два игрока по очереди играют на бесконечной квадратной решётке. Первый ставит \\(X\\) в пустую клетку, второй ставит \\(O\\) в пустую клетку. Первый выигрывает, если получает 11 подряд идущих \\(X\\) в одной строке, столбце или диагонали. Докажите, что второй может всегда помешать первому выиграть.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-reviewed-secondary","title":"Полное решение: периодическая таблица пар","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Второй использует парную стратегию. В одном блоке \\(10\\times10\\) зададим пары одинаковыми номерами; клетки `x` не входят в пары: ```text x 1 2 3 4 5 6 6 7 x 8 8 1 2 3 4 5 9 7 10 11 12 12 x 13 14 15 9 10 16 11 17 18 18 13 14 15 x 16 19 17 20 x 21 22 23 24 24 19 25 20 26 x 21 23 22 27 27 25 28 26 29 x x x x 30 30 28 31 29 32 33 x x x x 34 34 31 32 35 33 36 37 38 39 40 41 41 x 35 42 42 36 37 38 39 40 x ``` Повторим этот блок периодически по всей бесконечной доске. В приведённой таблице каждая строка, каждый столбец и каждая диагональ длины хотя бы 5 внутри блока содержит целую пронумерованную пару; это проверяется непосредственно по таблице. Поэтому любые 11 соседних клеток в одном из четырёх направлений при разбиении на периодические блоки содержат пять подряд идущих клеток, лежащих в одном блоке в том же направлении, а значит содержат одну из заданных пар. Стратегия второго такова. Если…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-1994-c6-usamo-2004-p4","neighbor_id":"usamo-2004-p4-black-path-grid-game","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1994-putnam-2025-a3-pairing-strategy","neighbor_id":"putnam-2025-a3-ternary-string-game-perfect-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1985-sl5-imo-1994-c6-periodic-grid","neighbor_id":"imo-1985-sl5-lattice-perfect-code","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1994-c6-imo-2016-c8-pairing-obstruction","neighbor_id":"imo-2016-c8-domino-unique-tiling-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-imo-1994-pairing-strategy","neighbor_id":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching","direction":"backward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy бесконечные крестики-нолики: запрет 11 подряд, imo shortlist 1994 c6 matching coloring goal_strategy_game 1994 https://prase.cz/kalva/short/soln/sh94c6.html https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1994-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1994 c6, решение, архив kalva imo shortlist 1994, вторичный архив imo1994 imoshortlist imoshortlist1994 secondary_archive secondary_solution src-kalva-imo-1994-c6-solution src-secondary-imo-1994-shortlist with_solution ? imo shortlist 1994, вторичный архив imo shortlist 1994 c6, решение, архив kalva stmt-original условие needs_human_review два игрока по очереди играют на бесконечной квадратной решётке. первый ставит \\(x\\) в пустую клетку, второй ставит \\(o\\) в пустую клетку. первый выигрывает, если получает 11 подряд идущих \\(x\\) в одной строке, столбце или диагонали. докажите, что второй может всегда помешать первому выиграть. idea-periodic-pairing периодическое паросочетание клеток повторяется блок \\(10\\times10\\), внутри которого отмечены пары клеток. matching needs_human_review idea-threat-line-hit каждая угроза длины 11 задевает пару любая линия из 11 клеток в одном из четырёх направлений содержит две клетки одной пары. coloring needs_human_review sol-reviewed-secondary полное решение: периодическая таблица пар ai_checked второй использует парную стратегию. в одном блоке \\(10\\times10\\) зададим пары одинаковыми номерами; клетки `x` не входят в пары: ```text x 1 2 3 4 5 6 6 7 x 8 8 1 2 3 4 5 9 7 10 11 12 12 x 13 14 15 9 10 16 11 17 18 18 13 14 15 x 16 19 17 20 x 21 22 23 24 24 19 25 20 26 x 21 23 22 27 27 25 28 26 29 x x x x 30 30 28 31 29 32 33 x x x x 34 34 31 32 35 33 36 37 38 39 40 41 41 x 35 42 42 36 37 38 39 40 x ``` повторим этот блок периодически по всей бесконечной доске. в приведённой таблице каждая строка, каждый столбец и каждая диагональ длины хотя бы 5 внутри блока содержит целую пронумерованную пару; это проверяется непосредственно по таблице. поэтому любые 11 соседних клеток в одном из четырёх направлений при разбиении на периодические блоки содержат пять подряд идущих клеток, лежащих в одном блоке в том же направлении, а значит содержат одну из заданных пар. стратегия второго такова. если… imo-1994-c6-infinite-grid-pairing-strategy beskonechnye krestiki-noliki: zapret 11 podryad, imo shortlist 1994 c6 matching coloring goal_strategy_game 1994 https://prase.cz/kalva/short/soln/sh94c6.html https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1994-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1994 c6, reshenie, arhiv kalva imo shortlist 1994, vtorichnyy arhiv imo1994 imoshortlist imoshortlist1994 secondary_archive secondary_solution src-kalva-imo-1994-c6-solution src-secondary-imo-1994-shortlist with_solution ? imo shortlist 1994, vtorichnyy arhiv imo shortlist 1994 c6, reshenie, arhiv kalva stmt-original uslovie needs_human_review dva igroka po ocheredi igrayut na beskonechnoy kvadratnoy reshetke. pervyy stavit \\(x\\) v pustuyu kletku, vtoroy stavit \\(o\\) v pustuyu kletku. pervyy vyigryvaet, esli poluchaet 11 podryad iduschih \\(x\\) v odnoy stroke, stolbtse ili diagonali. dokazhite, chto vtoroy mozhet vsegda pomeshat pervomu vyigrat. idea-periodic-pairing periodicheskoe parosochetanie kletok povtoryaetsya blok \\(10\\times10\\), vnutri kotorogo otmecheny pary kletok. matching needs_human_review idea-threat-line-hit kazhdaya ugroza dliny 11 zadevaet paru lyubaya liniya iz 11 kletok v odnom iz chetyreh napravleniy soderzhit dve kletki odnoy pary. coloring needs_human_review sol-reviewed-secondary polnoe reshenie: periodicheskaya tablitsa par ai_checked vtoroy ispolzuet parnuyu strategiyu. v odnom bloke \\(10\\times10\\) zadadim pary odinakovymi nomerami; kletki `x` ne vhodyat v pary: ```text x 1 2 3 4 5 6 6 7 x 8 8 1 2 3 4 5 9 7 10 11 12 12 x 13 14 15 9 10 16 11 17 18 18 13 14 15 x 16 19 17 20 x 21 22 23 24 24 19 25 20 26 x 21 23 22 27 27 25 28 26 29 x x x x 30 30 28 31 29 32 33 x x x x 34 34 31 32 35 33 36 37 38 39 40 41 41 x 35 42 42 36 37 38 39 40 x ``` povtorim etot blok periodicheski po vsey beskonechnoy doske. v privedennoy tablitse kazhdaya stroka, kazhdyy stolbets i kazhdaya diagonal dliny hotya by 5 vnutri bloka soderzhit tseluyu pronumerovannuyu paru; eto proveryaetsya neposredstvenno po tablitse. poetomu lyubye 11 sosednih kletok v odnom iz chetyreh napravleniy pri razbienii na periodicheskie bloki soderzhat pyat podryad iduschih kletok, lezhaschih v odnom bloke v tom zhe napravlenii, a znachit soderzhat odnu iz zadannyh par. strategiya vtorogo takova. esli…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph","title":"Рукопожатия с постоянным числом общих знакомых, IMO Shortlist 1995 NC5","path":"data\\problems\\imo\\imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1995, вторичный архив","Counting in two different ways, IMOSL 1995 N5/NC5 walkthrough"],"year":"1995","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"Ранний IMO Shortlist 1995; источник вторичный, решение сверено по вторичному разбору.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"На встрече \\(12k\\) человек. Каждый обменялся приветствиями ровно с \\(3k+6\\) другими. Для любых двух людей число людей, обменявшихся приветствиями с ними обоими, одно и то же. Сколько людей было на встрече?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Рукопожатия с постоянным числом общих знакомых, IMO Shortlist 1995 NC5","status":"needs_human_review","text":"Найдите все натуральные \\(k\\), для которых существует простой граф на \\(12k\\) вершинах, где каждая вершина имеет степень \\(3k+6\\), а любые две различные вершины имеют одно и то же число общих соседей.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-reviewed-secondary","title":"Сжатое решение после проверки","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть общий кодегри любых двух вершин равен \\(\\lambda\\). Считаем тройки \\((a,b,c)\\), где \\(a\\) приветствовал и \\(b\\), и \\(c\\), а \\(b\\ne c\\). С одной стороны, для каждого из \\(12k\\) людей можно выбрать пару его \\(3k+6\\) соседей. С другой стороны, каждая пара людей имеет ровно \\(\\lambda\\) общих соседей. Поэтому \\(12k\\binom{3k+6}{2}=\\lambda\\binom{12k}{2}\\), откуда \\(\\lambda=(3k+5)(3k+6)/(12k-1)\\). Целочисленность даёт, что \\(12k-1\\) делит 525; совместимость с видом \\(12k-1\\) оставляет \\(12k-1=35\\), то есть \\(k=3\\). Значит, людей было \\(36\\)."}],"relations":[{"id":"rel-regular-codegree-usa-tst-2005","neighbor_id":"usa-tst-2005-p1-set-system-incidence-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-handshaking-imo-1995-nc5-codegree","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1995-nc5-imo-2004-c8-common-neighbours","neighbor_id":"imo-2004-c8-triangles-tetrahedra-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-kolm-2007-induced-count-imo-1995-nc5","neighbor_id":"kolmogorov-2007-team-olympiad-seniors-problem-7","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2016-octahedron-imo-1995-codegree","neighbor_id":"utyum-2016_tur1_start2_1_octahedron_acquaintances","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph рукопожатия с постоянным числом общих знакомых, imo shortlist 1995 nc5 double_counting goal_counting 1995 counting in two different ways, imosl 1995 n5/nc5 walkthrough https://jpsaha.github.io/mop/assets/pdf/combinatorics/counttwodiff.pdf https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1995-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1995, вторичный архив imo1995 imoshortlist imoshortlist1995 secondary_archive secondary_solution src-jpsaha-count-two-diff-1995-nc5 src-secondary-imo-1995-shortlist with_solution ? imo shortlist 1995, вторичный архив counting in two different ways, imosl 1995 n5/nc5 walkthrough stmt-original условие needs_human_review на встрече \\(12k\\) человек. каждый обменялся приветствиями ровно с \\(3k+6\\) другими. для любых двух людей число людей, обменявшихся приветствиями с ними обоими, одно и то же. сколько людей было на встрече? stmt-graph рукопожатия с постоянным числом общих знакомых, imo shortlist 1995 nc5 needs_human_review найдите все натуральные \\(k\\), для которых существует простой граф на \\(12k\\) вершинах, где каждая вершина имеет степень \\(3k+6\\), а любые две различные вершины имеют одно и то же число общих соседей. simple_graph degree idea-codegree-count подсчёт общих соседей считаются тройки: центральная вершина знакома с двумя выбранными людьми. double_counting needs_human_review idea-divisibility делимость параметров графа полученная формула для общего кодегри должна быть целым числом, что резко ограничивает \\(k\\). extremal_choice needs_human_review sol-reviewed-secondary сжатое решение после проверки ai_checked double_counting пусть общий кодегри любых двух вершин равен \\(\\lambda\\). считаем тройки \\((a,b,c)\\), где \\(a\\) приветствовал и \\(b\\), и \\(c\\), а \\(b\\ne c\\). с одной стороны, для каждого из \\(12k\\) людей можно выбрать пару его \\(3k+6\\) соседей. с другой стороны, каждая пара людей имеет ровно \\(\\lambda\\) общих соседей. поэтому \\(12k\\binom{3k+6}{2}=\\lambda\\binom{12k}{2}\\), откуда \\(\\lambda=(3k+5)(3k+6)/(12k-1)\\). целочисленность даёт, что \\(12k-1\\) делит 525; совместимость с видом \\(12k-1\\) оставляет \\(12k-1=35\\), то есть \\(k=3\\). значит, людей было \\(36\\). imo-1995-nc5-greetings-regular-codegree-graph rukopozhatiya s postoyannym chislom obschih znakomyh, imo shortlist 1995 nc5 double_counting goal_counting 1995 counting in two different ways, imosl 1995 n5/nc5 walkthrough https://jpsaha.github.io/mop/assets/pdf/combinatorics/counttwodiff.pdf https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1995-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1995, vtorichnyy arhiv imo1995 imoshortlist imoshortlist1995 secondary_archive secondary_solution src-jpsaha-count-two-diff-1995-nc5 src-secondary-imo-1995-shortlist with_solution ? imo shortlist 1995, vtorichnyy arhiv counting in two different ways, imosl 1995 n5/nc5 walkthrough stmt-original uslovie needs_human_review na vstreche \\(12k\\) chelovek. kazhdyy obmenyalsya privetstviyami rovno s \\(3k+6\\) drugimi. dlya lyubyh dvuh lyudey chislo lyudey, obmenyavshihsya privetstviyami s nimi oboimi, odno i to zhe. skolko lyudey bylo na vstreche? stmt-graph rukopozhatiya s postoyannym chislom obschih znakomyh, imo shortlist 1995 nc5 needs_human_review naydite vse naturalnye \\(k\\), dlya kotoryh suschestvuet prostoy graf na \\(12k\\) vershinah, gde kazhdaya vershina imeet stepen \\(3k+6\\), a lyubye dve razlichnye vershiny imeyut odno i to zhe chislo obschih sosedey. simple_graph degree idea-codegree-count podschet obschih sosedey schitayutsya troyki: tsentralnaya vershina znakoma s dvumya vybrannymi lyudmi. double_counting needs_human_review idea-divisibility delimost parametrov grafa poluchennaya formula dlya obschego kodegri dolzhna byt tselym chislom, chto rezko ogranichivaet \\(k\\). extremal_choice needs_human_review sol-reviewed-secondary szhatoe reshenie posle proverki ai_checked double_counting pust obschiy kodegri lyubyh dvuh vershin raven \\(\\lambda\\). schitaem troyki \\((a,b,c)\\), gde \\(a\\) privetstvoval i \\(b\\), i \\(c\\), a \\(b\\ne c\\). s odnoy storony, dlya kazhdogo iz \\(12k\\) lyudey mozhno vybrat paru ego \\(3k+6\\) sosedey. s drugoy storony, kazhdaya para lyudey imeet rovno \\(\\lambda\\) obschih sosedey. poetomu \\(12k\\binom{3k+6}{2}=\\lambda\\binom{12k}{2}\\), otkuda \\(\\lambda=(3k+5)(3k+6)/(12k-1)\\). tselochislennost daet, chto \\(12k-1\\) delit 525; sovmestimost s vidom \\(12k-1\\) ostavlyaet \\(12k-1=35\\), to est \\(k=3\\). znachit, lyudey bylo \\(36\\).","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3","title":"Недостижимость в графе ходов при \\(r\\), делящемся на 2 или 3, IMO Shortlist 1996 C1","path":"data\\problems\\imo\\imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1996, вторичный архив"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","coloring","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":7,"comment":"Один самостоятельный режим IMO Shortlist 1996 C1: невозможность при делимости r на 2 или 3.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие: режим r делится на 2 или 3","status":"needs_human_review","text":"Дан прямоугольник \\(20\\times12\\), разбитый на единичные клетки. Пусть \\(A\\) и \\(B\\) — концы стороны длины \\(20\\), и нужно попасть из клетки, прилегающей к вершине \\(A\\), в клетку, прилегающую к вершине \\(B\\) вдоль этой стороны. Разрешено переходить из одной клетки в другую, если расстояние между центрами этих клеток равно \\(\\sqrt r\\). Докажите, что такой переход невозможен для любого целого \\(r\\), делящегося на \\(2\\) или на \\(3\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Недостижимость в графе ходов при \\(r\\), делящемся на 2 или 3, IMO Shortlist 1996 C1","status":"needs_human_review","text":"Рассмотрим граф, вершинами которого являются клетки доски \\(20\\times12\\), пронумерованные центрами \\((x,y)\\), где \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). Две вершины соединены ребром, если евклидово расстояние между центрами соответствующих клеток равно \\(\\sqrt r\\). Докажите, что для каждого положительного целого \\(r\\), делящегося на \\(2\\) или на \\(3\\), вершины \\((1,1)\\) и \\((20,1)\\) лежат в разных компонентах этого графа.","definition_ids":["connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-modular-obstruction","title":"Модульная раскраска разделяет старт и цель","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем считать центры клеток точками целочисленной решётки; стартовая клетка имеет координаты \\((1,1)\\), а целевая — \\((20,1)\\). Каждый допустимый ход задаётся вектором \\((a,b)\\) с \\(a^2+b^2=r\\), причём после хода обе координаты остаются в пределах доски. Если \\(2\\mid r\\), то \\(a^2+b^2\\equiv0\\pmod2\\), откуда \\(a\\) и \\(b\\) имеют одну чётность. Значит \\(a+b\\) чётно, и величина \\(x+y\\pmod2\\) не меняется при любом ходе. Но для \\((1,1)\\) она равна \\(0\\), а для \\((20,1)\\) равна \\(1\\), поэтому путь невозможен. Если \\(3\\mid r\\), то квадраты по модулю \\(3\\) равны только \\(0\\) или \\(1\\), и равенство \\(a^2+b^2\\equiv0\\pmod3\\) возможно лишь при \\(a\\equiv b\\equiv0\\pmod3\\). Следовательно, каждый ход сохраняет обе координаты по модулю \\(3\\). У клеток \\((1,1)\\) и \\((20,1)\\) первые координаты различны по модулю \\(3\\), так что они лежат в разных компонентах графа ходов."}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2022-p4-imo-1996-modular-coloring-obstruction","neighbor_id":"cmo-2022-p4-region-adjacency-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1996-c1-divisibility-r73-paired-regimes","neighbor_id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1996-c1-divisibility-r97-paired-regimes","neighbor_id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r97-impossible","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-pass-imo-1985-sl5-imo-1996-c1-divisibility-residues","neighbor_id":"imo-1985-sl5-lattice-perfect-code","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3 недостижимость в графе ходов при \\(r\\), делящемся на 2 или 3, imo shortlist 1996 c1 connectivity coloring goal_impossibility 1996 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1996-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1996, вторичный архив imo1996 imoshortlist imoshortlist1996 secondary_archive src-secondary-imo-1996-shortlist with_solution ? imo shortlist 1996, вторичный архив stmt-original условие: режим r делится на 2 или 3 needs_human_review дан прямоугольник \\(20\\times12\\), разбитый на единичные клетки. пусть \\(a\\) и \\(b\\) — концы стороны длины \\(20\\), и нужно попасть из клетки, прилегающей к вершине \\(a\\), в клетку, прилегающую к вершине \\(b\\) вдоль этой стороны. разрешено переходить из одной клетки в другую, если расстояние между центрами этих клеток равно \\(\\sqrt r\\). докажите, что такой переход невозможен для любого целого \\(r\\), делящегося на \\(2\\) или на \\(3\\). stmt-graph недостижимость в графе ходов при \\(r\\), делящемся на 2 или 3, imo shortlist 1996 c1 needs_human_review рассмотрим граф, вершинами которого являются клетки доски \\(20\\times12\\), пронумерованные центрами \\((x,y)\\), где \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). две вершины соединены ребром, если евклидово расстояние между центрами соответствующих клеток равно \\(\\sqrt r\\). докажите, что для каждого положительного целого \\(r\\), делящегося на \\(2\\) или на \\(3\\), вершины \\((1,1)\\) и \\((20,1)\\) лежат в разных компонентах этого графа. connected_graph idea-residue-obstruction инвариант остатка для всех ходов если \\(2\\mid r\\), любой допустимый вектор хода сохраняет \\(x+y\\pmod2\\). если \\(3\\mid r\\), обе координаты каждого допустимого вектора кратны \\(3\\), поэтому сохраняются координаты по модулю \\(3\\). coloring ai_checked sol-modular-obstruction модульная раскраска разделяет старт и цель ai_checked connected_graph path будем считать центры клеток точками целочисленной решётки; стартовая клетка имеет координаты \\((1,1)\\), а целевая — \\((20,1)\\). каждый допустимый ход задаётся вектором \\((a,b)\\) с \\(a^2+b^2=r\\), причём после хода обе координаты остаются в пределах доски. если \\(2\\mid r\\), то \\(a^2+b^2\\equiv0\\pmod2\\), откуда \\(a\\) и \\(b\\) имеют одну чётность. значит \\(a+b\\) чётно, и величина \\(x+y\\pmod2\\) не меняется при любом ходе. но для \\((1,1)\\) она равна \\(0\\), а для \\((20,1)\\) равна \\(1\\), поэтому путь невозможен. если \\(3\\mid r\\), то квадраты по модулю \\(3\\) равны только \\(0\\) или \\(1\\), и равенство \\(a^2+b^2\\equiv0\\pmod3\\) возможно лишь при \\(a\\equiv b\\equiv0\\pmod3\\). следовательно, каждый ход сохраняет обе координаты по модулю \\(3\\). у клеток \\((1,1)\\) и \\((20,1)\\) первые координаты различны по модулю \\(3\\), так что они лежат в разных компонентах графа ходов. imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3 nedostizhimost v grafe hodov pri \\(r\\), delyaschemsya na 2 ili 3, imo shortlist 1996 c1 connectivity coloring goal_impossibility 1996 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1996-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1996, vtorichnyy arhiv imo1996 imoshortlist imoshortlist1996 secondary_archive src-secondary-imo-1996-shortlist with_solution ? imo shortlist 1996, vtorichnyy arhiv stmt-original uslovie: rezhim r delitsya na 2 ili 3 needs_human_review dan pryamougolnik \\(20\\times12\\), razbityy na edinichnye kletki. pust \\(a\\) i \\(b\\) — kontsy storony dliny \\(20\\), i nuzhno popast iz kletki, prilegayuschey k vershine \\(a\\), v kletku, prilegayuschuyu k vershine \\(b\\) vdol etoy storony. razresheno perehodit iz odnoy kletki v druguyu, esli rasstoyanie mezhdu tsentrami etih kletok ravno \\(\\sqrt r\\). dokazhite, chto takoy perehod nevozmozhen dlya lyubogo tselogo \\(r\\), delyaschegosya na \\(2\\) ili na \\(3\\). stmt-graph nedostizhimost v grafe hodov pri \\(r\\), delyaschemsya na 2 ili 3, imo shortlist 1996 c1 needs_human_review rassmotrim graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya kletki doski \\(20\\times12\\), pronumerovannye tsentrami \\((x,y)\\), gde \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). dve vershiny soedineny rebrom, esli evklidovo rasstoyanie mezhdu tsentrami sootvetstvuyuschih kletok ravno \\(\\sqrt r\\). dokazhite, chto dlya kazhdogo polozhitelnogo tselogo \\(r\\), delyaschegosya na \\(2\\) ili na \\(3\\), vershiny \\((1,1)\\) i \\((20,1)\\) lezhat v raznyh komponentah etogo grafa. connected_graph idea-residue-obstruction invariant ostatka dlya vseh hodov esli \\(2\\mid r\\), lyuboy dopustimyy vektor hoda sohranyaet \\(x+y\\pmod2\\). esli \\(3\\mid r\\), obe koordinaty kazhdogo dopustimogo vektora kratny \\(3\\), poetomu sohranyayutsya koordinaty po modulyu \\(3\\). coloring ai_checked sol-modular-obstruction modulnaya raskraska razdelyaet start i tsel ai_checked connected_graph path budem schitat tsentry kletok tochkami tselochislennoy reshetki; startovaya kletka imeet koordinaty \\((1,1)\\), a tselevaya — \\((20,1)\\). kazhdyy dopustimyy hod zadaetsya vektorom \\((a,b)\\) s \\(a^2+b^2=r\\), prichem posle hoda obe koordinaty ostayutsya v predelah doski. esli \\(2\\mid r\\), to \\(a^2+b^2\\equiv0\\pmod2\\), otkuda \\(a\\) i \\(b\\) imeyut odnu chetnost. znachit \\(a+b\\) chetno, i velichina \\(x+y\\pmod2\\) ne menyaetsya pri lyubom hode. no dlya \\((1,1)\\) ona ravna \\(0\\), a dlya \\((20,1)\\) ravna \\(1\\), poetomu put nevozmozhen. esli \\(3\\mid r\\), to kvadraty po modulyu \\(3\\) ravny tolko \\(0\\) ili \\(1\\), i ravenstvo \\(a^2+b^2\\equiv0\\pmod3\\) vozmozhno lish pri \\(a\\equiv b\\equiv0\\pmod3\\). sledovatelno, kazhdyy hod sohranyaet obe koordinaty po modulyu \\(3\\). u kletok \\((1,1)\\) i \\((20,1)\\) pervye koordinaty razlichny po modulyu \\(3\\), tak chto oni lezhat v raznyh komponentah grafa hodov.","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path","title":"Явный путь в графе ходов при \\(r=73\\), IMO Shortlist 1996 C1","path":"data\\problems\\imo\\imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1996, вторичный архив"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":6,"comment":"Один самостоятельный режим IMO Shortlist 1996 C1: существование пути при r=73 задаётся явным маршрутом.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие: режим r=73","status":"needs_human_review","text":"Дан прямоугольник \\(20\\times12\\), разбитый на единичные клетки. Пусть \\(A\\) и \\(B\\) — концы стороны длины \\(20\\), и нужно попасть из клетки, прилегающей к вершине \\(A\\), в клетку, прилегающую к вершине \\(B\\) вдоль этой стороны. Разрешено переходить из одной клетки в другую, если расстояние между центрами этих клеток равно \\(\\sqrt{73}\\). Докажите, что такой переход возможен.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Явный путь в графе ходов при \\(r=73\\), IMO Shortlist 1996 C1","status":"needs_human_review","text":"Рассмотрим граф, вершинами которого являются клетки доски \\(20\\times12\\), пронумерованные центрами \\((x,y)\\), где \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). Две вершины соединены ребром, если разность их координат равна одному из векторов \\((\\pm8,\\pm3)\\) или \\((\\pm3,\\pm8)\\). Докажите, что вершины \\((1,1)\\) и \\((20,1)\\) лежат в одной компоненте этого графа.","definition_ids":["connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-explicit-r73-path","title":"Явный маршрут","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для \\(r=73=8^2+3^2\\) допустимы ходы типа \\((\\pm8,\\pm3)\\) и \\((\\pm3,\\pm8)\\). Явный путь от \\((1,1)\\) к \\((20,1)\\) таков: \\((1,1)\\to(4,9)\\to(7,1)\\to(10,9)\\to(2,6)\\to(10,3)\\to(13,11)\\to(16,3)\\to(19,11)\\to(11,8)\\to(19,5)\\to(11,2)\\to(14,10)\\to(17,2)\\to(20,10)\\to(12,7)\\to(4,4)\\to(7,12)\\to(10,4)\\to(13,12)\\to(16,4)\\to(8,1)\\to(11,9)\\to(14,1)\\to(17,9)\\to(20,1)\\). Все перечисленные точки лежат на доске, а разность соседних точек каждый раз равна одному из допустимых векторов \\((\\pm8,\\pm3)\\), \\((\\pm3,\\pm8)\\). Поэтому это путь в графе ходов, и переход при \\(r=73\\) возможен."}],"relations":[{"id":"rel-imo-1996-c1-divisibility-r73-paired-regimes","neighbor_id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1996-c1-r73-r97-paired-regimes","neighbor_id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r97-impossible","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-paths-counting-imo-1996-c1-r73-imo-2013-c6-layers","neighbor_id":"third-fourth-distance-layer-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2016-start-high-r1-p7-imo-1996-c1-r73-knight-move-graph-expanded","neighbor_id":"yumt-2016-start-high-round1-problem7","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path явный путь в графе ходов при \\(r=73\\), imo shortlist 1996 c1 connectivity goal_existence 1996 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1996-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1996, вторичный архив imo1996 imoshortlist imoshortlist1996 secondary_archive src-secondary-imo-1996-shortlist with_solution ? imo shortlist 1996, вторичный архив stmt-original условие: режим r=73 needs_human_review дан прямоугольник \\(20\\times12\\), разбитый на единичные клетки. пусть \\(a\\) и \\(b\\) — концы стороны длины \\(20\\), и нужно попасть из клетки, прилегающей к вершине \\(a\\), в клетку, прилегающую к вершине \\(b\\) вдоль этой стороны. разрешено переходить из одной клетки в другую, если расстояние между центрами этих клеток равно \\(\\sqrt{73}\\). докажите, что такой переход возможен. stmt-graph явный путь в графе ходов при \\(r=73\\), imo shortlist 1996 c1 needs_human_review рассмотрим граф, вершинами которого являются клетки доски \\(20\\times12\\), пронумерованные центрами \\((x,y)\\), где \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). две вершины соединены ребром, если разность их координат равна одному из векторов \\((\\pm8,\\pm3)\\) или \\((\\pm3,\\pm8)\\). докажите, что вершины \\((1,1)\\) и \\((20,1)\\) лежат в одной компоненте этого графа. connected_graph path idea-explicit-path сертификат достижимости так как \\(73=8^2+3^2\\), достаточно предъявить цепочку клеток, у которой каждая соседняя разность равна \\((\\pm8,\\pm3)\\) или \\((\\pm3,\\pm8)\\). connectivity ai_checked sol-explicit-r73-path явный маршрут ai_checked connected_graph path для \\(r=73=8^2+3^2\\) допустимы ходы типа \\((\\pm8,\\pm3)\\) и \\((\\pm3,\\pm8)\\). явный путь от \\((1,1)\\) к \\((20,1)\\) таков: \\((1,1)\\to(4,9)\\to(7,1)\\to(10,9)\\to(2,6)\\to(10,3)\\to(13,11)\\to(16,3)\\to(19,11)\\to(11,8)\\to(19,5)\\to(11,2)\\to(14,10)\\to(17,2)\\to(20,10)\\to(12,7)\\to(4,4)\\to(7,12)\\to(10,4)\\to(13,12)\\to(16,4)\\to(8,1)\\to(11,9)\\to(14,1)\\to(17,9)\\to(20,1)\\). все перечисленные точки лежат на доске, а разность соседних точек каждый раз равна одному из допустимых векторов \\((\\pm8,\\pm3)\\), \\((\\pm3,\\pm8)\\). поэтому это путь в графе ходов, и переход при \\(r=73\\) возможен. imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path yavnyy put v grafe hodov pri \\(r=73\\), imo shortlist 1996 c1 connectivity goal_existence 1996 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1996-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1996, vtorichnyy arhiv imo1996 imoshortlist imoshortlist1996 secondary_archive src-secondary-imo-1996-shortlist with_solution ? imo shortlist 1996, vtorichnyy arhiv stmt-original uslovie: rezhim r=73 needs_human_review dan pryamougolnik \\(20\\times12\\), razbityy na edinichnye kletki. pust \\(a\\) i \\(b\\) — kontsy storony dliny \\(20\\), i nuzhno popast iz kletki, prilegayuschey k vershine \\(a\\), v kletku, prilegayuschuyu k vershine \\(b\\) vdol etoy storony. razresheno perehodit iz odnoy kletki v druguyu, esli rasstoyanie mezhdu tsentrami etih kletok ravno \\(\\sqrt{73}\\). dokazhite, chto takoy perehod vozmozhen. stmt-graph yavnyy put v grafe hodov pri \\(r=73\\), imo shortlist 1996 c1 needs_human_review rassmotrim graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya kletki doski \\(20\\times12\\), pronumerovannye tsentrami \\((x,y)\\), gde \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). dve vershiny soedineny rebrom, esli raznost ih koordinat ravna odnomu iz vektorov \\((\\pm8,\\pm3)\\) ili \\((\\pm3,\\pm8)\\). dokazhite, chto vershiny \\((1,1)\\) i \\((20,1)\\) lezhat v odnoy komponente etogo grafa. connected_graph path idea-explicit-path sertifikat dostizhimosti tak kak \\(73=8^2+3^2\\), dostatochno predyavit tsepochku kletok, u kotoroy kazhdaya sosednyaya raznost ravna \\((\\pm8,\\pm3)\\) ili \\((\\pm3,\\pm8)\\). connectivity ai_checked sol-explicit-r73-path yavnyy marshrut ai_checked connected_graph path dlya \\(r=73=8^2+3^2\\) dopustimy hody tipa \\((\\pm8,\\pm3)\\) i \\((\\pm3,\\pm8)\\). yavnyy put ot \\((1,1)\\) k \\((20,1)\\) takov: \\((1,1)\\to(4,9)\\to(7,1)\\to(10,9)\\to(2,6)\\to(10,3)\\to(13,11)\\to(16,3)\\to(19,11)\\to(11,8)\\to(19,5)\\to(11,2)\\to(14,10)\\to(17,2)\\to(20,10)\\to(12,7)\\to(4,4)\\to(7,12)\\to(10,4)\\to(13,12)\\to(16,4)\\to(8,1)\\to(11,9)\\to(14,1)\\to(17,9)\\to(20,1)\\). vse perechislennye tochki lezhat na doske, a raznost sosednih tochek kazhdyy raz ravna odnomu iz dopustimyh vektorov \\((\\pm8,\\pm3)\\), \\((\\pm3,\\pm8)\\). poetomu eto put v grafe hodov, i perehod pri \\(r=73\\) vozmozhen.","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r97-impossible","title":"Недостижимость в графе ходов при \\(r=97\\), IMO Shortlist 1996 C1","path":"data\\problems\\imo\\imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r97-impossible.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r97-impossible.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r97-impossible","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1996, вторичный архив","AoPS Wiki, 1996 IMO Problems/Problem 1"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","coloring","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":8,"comment":"Один самостоятельный режим IMO Shortlist 1996 C1: отдельный ответ при r=97 — переход невозможен.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие: режим r=97","status":"needs_human_review","text":"Дан прямоугольник \\(20\\times12\\), разбитый на единичные клетки. Пусть \\(A\\) и \\(B\\) — концы стороны длины \\(20\\), и нужно попасть из клетки, прилегающей к вершине \\(A\\), в клетку, прилегающую к вершине \\(B\\) вдоль этой стороны. Разрешено переходить из одной клетки в другую, если расстояние между центрами этих клеток равно \\(\\sqrt{97}\\). Решите вопрос о возможности такого перехода.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Недостижимость в графе ходов при \\(r=97\\), IMO Shortlist 1996 C1","status":"needs_human_review","text":"Рассмотрим граф, вершинами которого являются клетки доски \\(20\\times12\\), пронумерованные центрами \\((x,y)\\), где \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). Две вершины соединены ребром, если разность их координат равна одному из векторов \\((\\pm9,\\pm4)\\) или \\((\\pm4,\\pm9)\\). Определите, лежат ли вершины \\((1,1)\\) и \\((20,1)\\) в одной компоненте этого графа.","definition_ids":["connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-band-parity-obstruction","title":"Старт и цель разделены полосовым инвариантом","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для \\(r=97=9^2+4^2\\) допустимые ходы имеют вид \\((\\pm9,\\pm4)\\) или \\((\\pm4,\\pm9)\\). Разобьём строки доски на три полосы \\(1\\le y\\le4\\), \\(5\\le y\\le8\\), \\(9\\le y\\le12\\) и рассмотрим множество клеток \\(S\\), для которых \\(x\\equiv\\lceil y/4\\rceil\\pmod2\\). Стартовая клетка \\((1,1)\\) принадлежит \\(S\\), поскольку \\(1\\equiv\\lceil1/4\\rceil=1\\pmod2\\), а целевая \\((20,1)\\) не принадлежит \\(S\\), поскольку \\(20\\equiv0\\pmod2\\), но \\(\\lceil1/4\\rceil\\equiv1\\pmod2\\). Проверим, что каждый допустимый ход сохраняет принадлежность \\(S\\). Если ход имеет вертикальную составляющую \\(\\pm4\\), то \\(y\\) переходит из одной полосы высоты \\(4\\) в соседнюю, так что \\(\\lceil y/4\\rceil\\) меняется ровно на \\(\\pm1\\); одновременно горизонтальная составляющая \\(\\pm9\\) меняет чётность \\(x\\). Обе стороны сравнения по модулю \\(2\\) меняются, поэтому условие для \\(S\\) сохраняется. Если ход имеет вертикальную составляющую \\(\\pm9\\…"},{"id":"sol-aops-band-invariant","title":"AoPS: инвариант Tomas Diaz для случая r=97","status":"ai_checked","definition_ids":["path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Расположим центры клеток в целочисленных точках так, чтобы старт был в \\((1,1)\\), а цель в \\((20,1)\\). Для \\(r=97\\) из \\(97=9^2+4^2\\) следует, что допустимые ходы имеют вид \\((\\pm 9,\\pm 4)\\) или \\((\\pm 4,\\pm 9)\\). Рассмотрим множество клеток \\(S\\), для которых выполняется \\(x\\equiv \\lceil y/4\\rceil \\pmod 2\\). Здесь \\(\\lceil y/4\\rceil\\) — номер одной из трёх горизонтальных полос: \\(1\\) для строк \\(1,2,3,4\\), \\(2\\) для строк \\(5,6,7,8\\), \\(3\\) для строк \\(9,10,11,12\\). Стартовая клетка принадлежит \\(S\\), потому что \\(1\\equiv1\\pmod2\\). Проверим инвариант. Если ход равен \\((\\pm9,\\pm4)\\), то чётность \\(x\\) меняется, а допустимый сдвиг строки на \\(4\\) переводит клетку ровно в соседнюю полосу, поэтому чётность \\(\\lceil y/4\\rceil\\) тоже меняется. Если ход равен \\((\\pm4,\\pm9)\\), то чётность \\(x\\) не меняется. При этом сдвиг по высоте на \\(9\\), остающийся внутри доски высоты \\(12\\), возможен толь…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-1996-c1-r97-imo-2024-c4-grid-reachability","neighbor_id":"imo-2024-c4-turbo-grid-monsters-three-attempts-strategy","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1996-c1-divisibility-r97-paired-regimes","neighbor_id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-divisible-2-or-3","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1996-c1-r73-r97-paired-regimes","neighbor_id":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r73-path","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-paths-counting-imo-2005-injection-imo-1996-r97-reachability","neighbor_id":"imo-2005-c3-black-paths-injection","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r97-impossible недостижимость в графе ходов при \\(r=97\\), imo shortlist 1996 c1 connectivity coloring goal_impossibility 1996 aops wiki, 1996 imo problems/problem 1 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1996_imo_problems/problem_1 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1996-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1996, вторичный архив imo1996 imoshortlist imoshortlist1996 secondary_archive src-aops-imo-1996-p1 src-secondary-imo-1996-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1996, вторичный архив aops wiki, 1996 imo problems/problem 1 stmt-original условие: режим r=97 needs_human_review дан прямоугольник \\(20\\times12\\), разбитый на единичные клетки. пусть \\(a\\) и \\(b\\) — концы стороны длины \\(20\\), и нужно попасть из клетки, прилегающей к вершине \\(a\\), в клетку, прилегающую к вершине \\(b\\) вдоль этой стороны. разрешено переходить из одной клетки в другую, если расстояние между центрами этих клеток равно \\(\\sqrt{97}\\). решите вопрос о возможности такого перехода. stmt-graph недостижимость в графе ходов при \\(r=97\\), imo shortlist 1996 c1 needs_human_review рассмотрим граф, вершинами которого являются клетки доски \\(20\\times12\\), пронумерованные центрами \\((x,y)\\), где \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). две вершины соединены ребром, если разность их координат равна одному из векторов \\((\\pm9,\\pm4)\\) или \\((\\pm4,\\pm9)\\). определите, лежат ли вершины \\((1,1)\\) и \\((20,1)\\) в одной компоненте этого графа. connected_graph idea-band-parity-invariant инвариант по полосам высоты 4 разобьём строки на три полосы высоты \\(4\\) и рассмотрим паритет выражения \\(x-\\lceil y/4\\rceil\\). каждый допустимый ход при \\(r=97\\) сохраняет этот паритет. coloring ai_checked sol-band-parity-obstruction старт и цель разделены полосовым инвариантом ai_checked connected_graph path для \\(r=97=9^2+4^2\\) допустимые ходы имеют вид \\((\\pm9,\\pm4)\\) или \\((\\pm4,\\pm9)\\). разобьём строки доски на три полосы \\(1\\le y\\le4\\), \\(5\\le y\\le8\\), \\(9\\le y\\le12\\) и рассмотрим множество клеток \\(s\\), для которых \\(x\\equiv\\lceil y/4\\rceil\\pmod2\\). стартовая клетка \\((1,1)\\) принадлежит \\(s\\), поскольку \\(1\\equiv\\lceil1/4\\rceil=1\\pmod2\\), а целевая \\((20,1)\\) не принадлежит \\(s\\), поскольку \\(20\\equiv0\\pmod2\\), но \\(\\lceil1/4\\rceil\\equiv1\\pmod2\\). проверим, что каждый допустимый ход сохраняет принадлежность \\(s\\). если ход имеет вертикальную составляющую \\(\\pm4\\), то \\(y\\) переходит из одной полосы высоты \\(4\\) в соседнюю, так что \\(\\lceil y/4\\rceil\\) меняется ровно на \\(\\pm1\\); одновременно горизонтальная составляющая \\(\\pm9\\) меняет чётность \\(x\\). обе стороны сравнения по модулю \\(2\\) меняются, поэтому условие для \\(s\\) сохраняется. если ход имеет вертикальную составляющую \\(\\pm9\\… sol-aops-band-invariant aops: инвариант tomas diaz для случая r=97 ai_checked path extremal_choice расположим центры клеток в целочисленных точках так, чтобы старт был в \\((1,1)\\), а цель в \\((20,1)\\). для \\(r=97\\) из \\(97=9^2+4^2\\) следует, что допустимые ходы имеют вид \\((\\pm 9,\\pm 4)\\) или \\((\\pm 4,\\pm 9)\\). рассмотрим множество клеток \\(s\\), для которых выполняется \\(x\\equiv \\lceil y/4\\rceil \\pmod 2\\). здесь \\(\\lceil y/4\\rceil\\) — номер одной из трёх горизонтальных полос: \\(1\\) для строк \\(1,2,3,4\\), \\(2\\) для строк \\(5,6,7,8\\), \\(3\\) для строк \\(9,10,11,12\\). стартовая клетка принадлежит \\(s\\), потому что \\(1\\equiv1\\pmod2\\). проверим инвариант. если ход равен \\((\\pm9,\\pm4)\\), то чётность \\(x\\) меняется, а допустимый сдвиг строки на \\(4\\) переводит клетку ровно в соседнюю полосу, поэтому чётность \\(\\lceil y/4\\rceil\\) тоже меняется. если ход равен \\((\\pm4,\\pm9)\\), то чётность \\(x\\) не меняется. при этом сдвиг по высоте на \\(9\\), остающийся внутри доски высоты \\(12\\), возможен толь… imo-1996-c1-grid-knight-reachability-r97-impossible nedostizhimost v grafe hodov pri \\(r=97\\), imo shortlist 1996 c1 connectivity coloring goal_impossibility 1996 aops wiki, 1996 imo problems/problem 1 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1996_imo_problems/problem_1 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1996-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1996, vtorichnyy arhiv imo1996 imoshortlist imoshortlist1996 secondary_archive src-aops-imo-1996-p1 src-secondary-imo-1996-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1996, vtorichnyy arhiv aops wiki, 1996 imo problems/problem 1 stmt-original uslovie: rezhim r=97 needs_human_review dan pryamougolnik \\(20\\times12\\), razbityy na edinichnye kletki. pust \\(a\\) i \\(b\\) — kontsy storony dliny \\(20\\), i nuzhno popast iz kletki, prilegayuschey k vershine \\(a\\), v kletku, prilegayuschuyu k vershine \\(b\\) vdol etoy storony. razresheno perehodit iz odnoy kletki v druguyu, esli rasstoyanie mezhdu tsentrami etih kletok ravno \\(\\sqrt{97}\\). reshite vopros o vozmozhnosti takogo perehoda. stmt-graph nedostizhimost v grafe hodov pri \\(r=97\\), imo shortlist 1996 c1 needs_human_review rassmotrim graf, vershinami kotorogo yavlyayutsya kletki doski \\(20\\times12\\), pronumerovannye tsentrami \\((x,y)\\), gde \\(1\\le x\\le20\\), \\(1\\le y\\le12\\). dve vershiny soedineny rebrom, esli raznost ih koordinat ravna odnomu iz vektorov \\((\\pm9,\\pm4)\\) ili \\((\\pm4,\\pm9)\\). opredelite, lezhat li vershiny \\((1,1)\\) i \\((20,1)\\) v odnoy komponente etogo grafa. connected_graph idea-band-parity-invariant invariant po polosam vysoty 4 razobem stroki na tri polosy vysoty \\(4\\) i rassmotrim paritet vyrazheniya \\(x-\\lceil y/4\\rceil\\). kazhdyy dopustimyy hod pri \\(r=97\\) sohranyaet etot paritet. coloring ai_checked sol-band-parity-obstruction start i tsel razdeleny polosovym invariantom ai_checked connected_graph path dlya \\(r=97=9^2+4^2\\) dopustimye hody imeyut vid \\((\\pm9,\\pm4)\\) ili \\((\\pm4,\\pm9)\\). razobem stroki doski na tri polosy \\(1\\le y\\le4\\), \\(5\\le y\\le8\\), \\(9\\le y\\le12\\) i rassmotrim mnozhestvo kletok \\(s\\), dlya kotoryh \\(x\\equiv\\lceil y/4\\rceil\\pmod2\\). startovaya kletka \\((1,1)\\) prinadlezhit \\(s\\), poskolku \\(1\\equiv\\lceil1/4\\rceil=1\\pmod2\\), a tselevaya \\((20,1)\\) ne prinadlezhit \\(s\\), poskolku \\(20\\equiv0\\pmod2\\), no \\(\\lceil1/4\\rceil\\equiv1\\pmod2\\). proverim, chto kazhdyy dopustimyy hod sohranyaet prinadlezhnost \\(s\\). esli hod imeet vertikalnuyu sostavlyayuschuyu \\(\\pm4\\), to \\(y\\) perehodit iz odnoy polosy vysoty \\(4\\) v sosednyuyu, tak chto \\(\\lceil y/4\\rceil\\) menyaetsya rovno na \\(\\pm1\\); odnovremenno gorizontalnaya sostavlyayuschaya \\(\\pm9\\) menyaet chetnost \\(x\\). obe storony sravneniya po modulyu \\(2\\) menyayutsya, poetomu uslovie dlya \\(s\\) sohranyaetsya. esli hod imeet vertikalnuyu sostavlyayuschuyu \\(\\pm9\\… sol-aops-band-invariant aops: invariant tomas diaz dlya sluchaya r=97 ai_checked path extremal_choice raspolozhim tsentry kletok v tselochislennyh tochkah tak, chtoby start byl v \\((1,1)\\), a tsel v \\((20,1)\\). dlya \\(r=97\\) iz \\(97=9^2+4^2\\) sleduet, chto dopustimye hody imeyut vid \\((\\pm 9,\\pm 4)\\) ili \\((\\pm 4,\\pm 9)\\). rassmotrim mnozhestvo kletok \\(s\\), dlya kotoryh vypolnyaetsya \\(x\\equiv \\lceil y/4\\rceil \\pmod 2\\). zdes \\(\\lceil y/4\\rceil\\) — nomer odnoy iz treh gorizontalnyh polos: \\(1\\) dlya strok \\(1,2,3,4\\), \\(2\\) dlya strok \\(5,6,7,8\\), \\(3\\) dlya strok \\(9,10,11,12\\). startovaya kletka prinadlezhit \\(s\\), potomu chto \\(1\\equiv1\\pmod2\\). proverim invariant. esli hod raven \\((\\pm9,\\pm4)\\), to chetnost \\(x\\) menyaetsya, a dopustimyy sdvig stroki na \\(4\\) perevodit kletku rovno v sosednyuyu polosu, poetomu chetnost \\(\\lceil y/4\\rceil\\) tozhe menyaetsya. esli hod raven \\((\\pm4,\\pm9)\\), to chetnost \\(x\\) ne menyaetsya. pri etom sdvig po vysote na \\(9\\), ostayuschiysya vnutri doski vysoty \\(12\\), vozmozhen tol…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1996-c2-grid-vertices-two-red","title":"Раскраски решётки с двумя красными вершинами в каждом квадрате, IMO Shortlist 1996 C2","path":"data\\problems\\imo\\imo-1996-c2-grid-vertices-two-red.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1996-c2-grid-vertices-two-red.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1996-c2-grid-vertices-two-red","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1996, вторичный архив"],"year":"1996","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":11,"comment":"IMO Shortlist 1996 C2; источник вторичный, карточка первого прохода.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Квадрат \\((n-1)\\times(n-1)\\) разбит на единичные квадраты. Каждую из \\(n^2\\) вершин решётки нужно покрасить в красный или синий цвет. Найдите число раскрасок, при которых у каждого единичного квадрата ровно две красные вершины.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-secondary-sketch","title":"Разбор по соседним строкам","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(2^{n+1}-2\\). Запишем красный цвет как \\(1\\), синий как \\(0\\), а \\(n\\) строк вершин решётки обозначим двоичными векторами длины \\(n\\). Сначала классифицируем все допустимые переходы от строки \\(r\\) к соседней строке \\(s\\). Положим \\(t_j=r_j+s_j\\), где \\(j=1,\\ldots,n\\). Для элементарного квадрата между столбцами \\(j\\) и \\(j+1\\) условие даёт \\(r_j+s_j+r_{j+1}+s_{j+1}=2\\), то есть \\(t_j+t_{j+1}=2\\). Отсюда рекуррентно \\(t_{j+1}=2-t_j\\). Если \\(t_1=1\\), то все \\(t_j=1\\), а значит в каждом столбце ровно одна из двух соседних вершин красная; поэтому \\(s\\) является дополнением строки \\(r\\). Если же \\(t_1=0\\) или \\(t_1=2\\), то значения \\(t_j\\) чередуются между \\(0\\) и \\(2\\). При \\(t_j=0\\) имеем \\(r_j=s_j=0\\), а при \\(t_j=2\\) имеем \\(r_j=s_j=1\\); значит \\(r=s\\), и эта общая строка обязана быть одной из двух шахматных строк \\(0101\\ldots\\) или \\(1010\\ldots\\). Итак, если текущая строка не ш…"}],"relations":[{"id":"rel-paths-counting-usamo-1976-imo-1996-c2-grid-count","neighbor_id":"usamo-1976-p1-monochromatic-rectangle-bipartite","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-pass-utyum-2007-imo-1996-c2-grid-color-counting","neighbor_id":"utyum-2007_lichol30_4_rectangle_coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imo-1996-c2-grid-vertices-two-red раскраски решётки с двумя красными вершинами в каждом квадрате, imo shortlist 1996 c2 coloring double_counting goal_counting 1996 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1996-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1996, вторичный архив imo1996 imoshortlist imoshortlist1996 secondary_archive src-secondary-imo-1996-shortlist with_solution ? imo shortlist 1996, вторичный архив stmt-original условие needs_human_review квадрат \\((n-1)\\times(n-1)\\) разбит на единичные квадраты. каждую из \\(n^2\\) вершин решётки нужно покрасить в красный или синий цвет. найдите число раскрасок, при которых у каждого единичного квадрата ровно две красные вершины. idea-row-complement соседние строки совпадают или дополняют друг друга из условия на каждый \\(2\\times2\\) блок следует, что переход от строки к строке задаётся либо сохранением, либо заменой цветов на противоположные. coloring ai_checked idea-count-by-first-row подсчёт по первой строке первая строка задаётся произвольно, кроме двух одноцветных случаев; затем выборы переходов между строками определяют всю раскраску. double_counting ai_checked sol-secondary-sketch разбор по соседним строкам ai_checked cycle double_counting ответ: \\(2^{n+1}-2\\). запишем красный цвет как \\(1\\), синий как \\(0\\), а \\(n\\) строк вершин решётки обозначим двоичными векторами длины \\(n\\). сначала классифицируем все допустимые переходы от строки \\(r\\) к соседней строке \\(s\\). положим \\(t_j=r_j+s_j\\), где \\(j=1,\\ldots,n\\). для элементарного квадрата между столбцами \\(j\\) и \\(j+1\\) условие даёт \\(r_j+s_j+r_{j+1}+s_{j+1}=2\\), то есть \\(t_j+t_{j+1}=2\\). отсюда рекуррентно \\(t_{j+1}=2-t_j\\). если \\(t_1=1\\), то все \\(t_j=1\\), а значит в каждом столбце ровно одна из двух соседних вершин красная; поэтому \\(s\\) является дополнением строки \\(r\\). если же \\(t_1=0\\) или \\(t_1=2\\), то значения \\(t_j\\) чередуются между \\(0\\) и \\(2\\). при \\(t_j=0\\) имеем \\(r_j=s_j=0\\), а при \\(t_j=2\\) имеем \\(r_j=s_j=1\\); значит \\(r=s\\), и эта общая строка обязана быть одной из двух шахматных строк \\(0101\\ldots\\) или \\(1010\\ldots\\). итак, если текущая строка не ш… imo-1996-c2-grid-vertices-two-red raskraski reshetki s dvumya krasnymi vershinami v kazhdom kvadrate, imo shortlist 1996 c2 coloring double_counting goal_counting 1996 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1996-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1996, vtorichnyy arhiv imo1996 imoshortlist imoshortlist1996 secondary_archive src-secondary-imo-1996-shortlist with_solution ? imo shortlist 1996, vtorichnyy arhiv stmt-original uslovie needs_human_review kvadrat \\((n-1)\\times(n-1)\\) razbit na edinichnye kvadraty. kazhduyu iz \\(n^2\\) vershin reshetki nuzhno pokrasit v krasnyy ili siniy tsvet. naydite chislo raskrasok, pri kotoryh u kazhdogo edinichnogo kvadrata rovno dve krasnye vershiny. idea-row-complement sosednie stroki sovpadayut ili dopolnyayut drug druga iz usloviya na kazhdyy \\(2\\times2\\) blok sleduet, chto perehod ot stroki k stroke zadaetsya libo sohraneniem, libo zamenoy tsvetov na protivopolozhnye. coloring ai_checked idea-count-by-first-row podschet po pervoy stroke pervaya stroka zadaetsya proizvolno, krome dvuh odnotsvetnyh sluchaev; zatem vybory perehodov mezhdu strokami opredelyayut vsyu raskrasku. double_counting ai_checked sol-secondary-sketch razbor po sosednim strokam ai_checked cycle double_counting otvet: \\(2^{n+1}-2\\). zapishem krasnyy tsvet kak \\(1\\), siniy kak \\(0\\), a \\(n\\) strok vershin reshetki oboznachim dvoichnymi vektorami dliny \\(n\\). snachala klassifitsiruem vse dopustimye perehody ot stroki \\(r\\) k sosedney stroke \\(s\\). polozhim \\(t_j=r_j+s_j\\), gde \\(j=1,\\ldots,n\\). dlya elementarnogo kvadrata mezhdu stolbtsami \\(j\\) i \\(j+1\\) uslovie daet \\(r_j+s_j+r_{j+1}+s_{j+1}=2\\), to est \\(t_j+t_{j+1}=2\\). otsyuda rekurrentno \\(t_{j+1}=2-t_j\\). esli \\(t_1=1\\), to vse \\(t_j=1\\), a znachit v kazhdom stolbtse rovno odna iz dvuh sosednih vershin krasnaya; poetomu \\(s\\) yavlyaetsya dopolneniem stroki \\(r\\). esli zhe \\(t_1=0\\) ili \\(t_1=2\\), to znacheniya \\(t_j\\) chereduyutsya mezhdu \\(0\\) i \\(2\\). pri \\(t_j=0\\) imeem \\(r_j=s_j=0\\), a pri \\(t_j=2\\) imeem \\(r_j=s_j=1\\); znachit \\(r=s\\), i eta obschaya stroka obyazana byt odnoy iz dvuh shahmatnyh strok \\(0101\\ldots\\) ili \\(1010\\ldots\\). itak, esli tekuschaya stroka ne sh…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization","title":"Раскраска рёбер \\(K_{10}\\) для \\(6\\le k\\le10\\), IMO Shortlist 1998 C6","path":"data\\problems\\imo\\imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1998, вторичный архив","IMO Shortlist 1998 C6, решение, архив Kalva","AoPS Wiki, 1998 IMO Shortlist Problems"],"year":"1998","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","matching","goal_construction","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_p6","local_score":10,"comment":"Конструктивная часть IMO Shortlist 1998 C6 для k ≥ 6.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-k-ge-6","title":"Условие, случаи k ≥ 6","status":"needs_human_review","text":"Даны 10 точек общего положения на плоскости. Для каждого \\(k\\), \\(6\\le k\\le 10\\), требуется окрасить каждый отрезок между парой точек в один из \\(k\\) цветов так, чтобы для любых \\(k\\) из этих 10 точек среди отрезков с концами в выбранных точках нашлись \\(k\\) отрезков попарно различных цветов. Докажите, что такая раскраска существует.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-k-ge-6","title":"Раскраска для \\(6\\le k\\le10\\)","status":"needs_human_review","text":"Для каждого \\(k\\), \\(6\\le k\\le 10\\), постройте \\(k\\)-раскраску рёбер \\(K_{10}\\), в которой любые \\(k\\) вершин индуцируют подграф, содержащий рёбра всех \\(k\\) цветов.","definition_ids":["complete_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-k-ge-6-one-factorization","title":"Раскраска через 1-факторизацию","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","matching","one_factorization"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Возьмём 1-факторизацию \\(K_{10}\\), то есть разбиение всех его рёбер на 9 совершенных паросочетаний \\(F_1,\\ldots,F_9\\). Для \\(6\\le k\\le 9\\) покрасим рёбра \\(F_1,\\ldots,F_k\\) в разные цвета, а все остальные рёбра покрасим произвольно в один из этих \\(k\\) цветов. Любые \\(k\\) вершин, а значит любые не менее 6 вершин, содержат ребро каждого \\(F_i\\): иначе эти \\(k\\) вершин были бы независимым множеством в совершенном паросочетании \\(F_i\\), что невозможно, потому что из каждой пары паросочетания можно выбрать не более одной вершины, всего не более 5. Поэтому выбранные \\(k\\) вершин содержат все \\(k\\) цветов. Для \\(k=10\\) используем ту же 1-факторизацию: покрасим \\(F_1,\\ldots,F_9\\) в первые 9 цветов, а затем одно ребро, например из \\(F_1\\), перекрасим в десятый цвет. Единственное множество из 10 вершин есть весь \\(K_{10}\\), и в нём присутствуют все 10 цветов."}],"relations":[{"id":"rel-bw1997-p19-prime-imo1998-one-factorization","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bw1997-p19-k9-imo1998-one-factorization","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1998-c6-k5-large-k-paired-variant","neighbor_id":"imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1998-c6-small-k-large-k-paired-variant","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-winner-count-lemma-imo-1998-one-factorization-scheduling","neighbor_id":"round-robin-winner-count-hall-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization раскраска рёбер \\(k_{10}\\) для \\(6\\le k\\le10\\), imo shortlist 1998 c6 coloring matching goal_construction goal_existence 1998 aops wiki, 1998 imo shortlist problems https://prase.cz/kalva/short/soln/sh98c6.html https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1998_imo_shortlist_problems https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1998-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1998 c6, решение, архив kalva imo shortlist 1998, вторичный архив imo1998 imoshortlist imoshortlist1998 secondary_archive secondary_solution src-aops-imo-1998-shortlist src-kalva-imo-1998-c6-solution src-secondary-imo-1998-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1998, вторичный архив imo shortlist 1998 c6, решение, архив kalva aops wiki, 1998 imo shortlist problems stmt-original-k-ge-6 условие, случаи k ≥ 6 needs_human_review даны 10 точек общего положения на плоскости. для каждого \\(k\\), \\(6\\le k\\le 10\\), требуется окрасить каждый отрезок между парой точек в один из \\(k\\) цветов так, чтобы для любых \\(k\\) из этих 10 точек среди отрезков с концами в выбранных точках нашлись \\(k\\) отрезков попарно различных цветов. докажите, что такая раскраска существует. stmt-graph-k-ge-6 раскраска для \\(6\\le k\\le10\\) needs_human_review для каждого \\(k\\), \\(6\\le k\\le 10\\), постройте \\(k\\)-раскраску рёбер \\(k_{10}\\), в которой любые \\(k\\) вершин индуцируют подграф, содержащий рёбра всех \\(k\\) цветов. complete_graph matching idea-one-factorization-large-k каждые шесть вершин пересекают каждое совершенное паросочетание в совершенном паросочетании на 10 вершинах независимое множество имеет размер не больше 5. значит, любые хотя бы 6 вершин содержат ребро каждого выбранного 1-фактора; раскрасив выбранные 1-факторы разными цветами, получаем все нужные цвета. matching ai_checked sol-k-ge-6-one-factorization раскраска через 1-факторизацию ai_checked complete_graph matching one_factorization pigeonhole_principle возьмём 1-факторизацию \\(k_{10}\\), то есть разбиение всех его рёбер на 9 совершенных паросочетаний \\(f_1,\\ldots,f_9\\). для \\(6\\le k\\le 9\\) покрасим рёбра \\(f_1,\\ldots,f_k\\) в разные цвета, а все остальные рёбра покрасим произвольно в один из этих \\(k\\) цветов. любые \\(k\\) вершин, а значит любые не менее 6 вершин, содержат ребро каждого \\(f_i\\): иначе эти \\(k\\) вершин были бы независимым множеством в совершенном паросочетании \\(f_i\\), что невозможно, потому что из каждой пары паросочетания можно выбрать не более одной вершины, всего не более 5. поэтому выбранные \\(k\\) вершин содержат все \\(k\\) цветов. для \\(k=10\\) используем ту же 1-факторизацию: покрасим \\(f_1,\\ldots,f_9\\) в первые 9 цветов, а затем одно ребро, например из \\(f_1\\), перекрасим в десятый цвет. единственное множество из 10 вершин есть весь \\(k_{10}\\), и в нём присутствуют все 10 цветов. imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization raskraska reber \\(k_{10}\\) dlya \\(6\\le k\\le10\\), imo shortlist 1998 c6 coloring matching goal_construction goal_existence 1998 aops wiki, 1998 imo shortlist problems https://prase.cz/kalva/short/soln/sh98c6.html https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1998_imo_shortlist_problems https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1998-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1998 c6, reshenie, arhiv kalva imo shortlist 1998, vtorichnyy arhiv imo1998 imoshortlist imoshortlist1998 secondary_archive secondary_solution src-aops-imo-1998-shortlist src-kalva-imo-1998-c6-solution src-secondary-imo-1998-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1998, vtorichnyy arhiv imo shortlist 1998 c6, reshenie, arhiv kalva aops wiki, 1998 imo shortlist problems stmt-original-k-ge-6 uslovie, sluchai k ≥ 6 needs_human_review dany 10 tochek obschego polozheniya na ploskosti. dlya kazhdogo \\(k\\), \\(6\\le k\\le 10\\), trebuetsya okrasit kazhdyy otrezok mezhdu paroy tochek v odin iz \\(k\\) tsvetov tak, chtoby dlya lyubyh \\(k\\) iz etih 10 tochek sredi otrezkov s kontsami v vybrannyh tochkah nashlis \\(k\\) otrezkov poparno razlichnyh tsvetov. dokazhite, chto takaya raskraska suschestvuet. stmt-graph-k-ge-6 raskraska dlya \\(6\\le k\\le10\\) needs_human_review dlya kazhdogo \\(k\\), \\(6\\le k\\le 10\\), postroyte \\(k\\)-raskrasku reber \\(k_{10}\\), v kotoroy lyubye \\(k\\) vershin indutsiruyut podgraf, soderzhaschiy rebra vseh \\(k\\) tsvetov. complete_graph matching idea-one-factorization-large-k kazhdye shest vershin peresekayut kazhdoe sovershennoe parosochetanie v sovershennom parosochetanii na 10 vershinah nezavisimoe mnozhestvo imeet razmer ne bolshe 5. znachit, lyubye hotya by 6 vershin soderzhat rebro kazhdogo vybrannogo 1-faktora; raskrasiv vybrannye 1-faktory raznymi tsvetami, poluchaem vse nuzhnye tsveta. matching ai_checked sol-k-ge-6-one-factorization raskraska cherez 1-faktorizatsiyu ai_checked complete_graph matching one_factorization pigeonhole_principle vozmem 1-faktorizatsiyu \\(k_{10}\\), to est razbienie vseh ego reber na 9 sovershennyh parosochetaniy \\(f_1,\\ldots,f_9\\). dlya \\(6\\le k\\le 9\\) pokrasim rebra \\(f_1,\\ldots,f_k\\) v raznye tsveta, a vse ostalnye rebra pokrasim proizvolno v odin iz etih \\(k\\) tsvetov. lyubye \\(k\\) vershin, a znachit lyubye ne menee 6 vershin, soderzhat rebro kazhdogo \\(f_i\\): inache eti \\(k\\) vershin byli by nezavisimym mnozhestvom v sovershennom parosochetanii \\(f_i\\), chto nevozmozhno, potomu chto iz kazhdoy pary parosochetaniya mozhno vybrat ne bolee odnoy vershiny, vsego ne bolee 5. poetomu vybrannye \\(k\\) vershin soderzhat vse \\(k\\) tsvetov. dlya \\(k=10\\) ispolzuem tu zhe 1-faktorizatsiyu: pokrasim \\(f_1,\\ldots,f_9\\) v pervye 9 tsvetov, a zatem odno rebro, naprimer iz \\(f_1\\), perekrasim v desyatyy tsvet. edinstvennoe mnozhestvo iz 10 vershin est ves \\(k_{10}\\), i v nem prisutstvuyut vse 10 tsvetov.","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible","title":"Невозможность раскраски рёбер \\(K_{10}\\) при \\(k\\le 4\\), IMO Shortlist 1998 C6","path":"data\\problems\\imo\\imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1998, вторичный архив","IMO Shortlist 1998 C6, решение, архив Kalva","AoPS Wiki, 1998 IMO Shortlist Problems"],"year":"1998","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","ramsey_theory","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":13,"comment":"Часть IMO Shortlist 1998 C6: малые k, включая рамсеевское препятствие для четырёх цветов.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-k-le-4","title":"Условие, малая часть ответа","status":"needs_human_review","text":"Даны 10 точек общего положения на плоскости; каждый отрезок между парой точек окрашен в один из k цветов. Требуется, чтобы для любых k из этих 10 точек среди отрезков с концами в выбранных точках нашлись k отрезков попарно различных цветов. Докажите, что при k = 1, 2, 3 или 4 такая раскраска невозможна.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-k-le-4","title":"Невозможность для \\(k\\le4\\)","status":"needs_human_review","text":"Рёбра полного графа \\(K_{10}\\) окрашены в \\(k\\) цветов. Докажите, что при \\(k\\le4\\) невозможно добиться, чтобы любые \\(k\\) вершин индуцировали подграф, содержащий рёбра всех \\(k\\) цветов.","definition_ids":["complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-k-le-4-impossible","title":"Доказательство невозможности для k ≤ 4","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","ramsey_number"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для \\(k=1\\) выбранная одна вершина не содержит рёбер, а для \\(k=2\\) две выбранные вершины содержат только одно ребро, поэтому требование сразу невозможно. Пусть \\(k=3\\). Тогда каждые три вершины должны образовывать треугольник с тремя разными цветами. Значит, из любой вершины не могут выходить два ребра одного цвета: если \\(AB\\) и \\(AC\\) одного цвета, то треугольник \\(ABC\\) не радужный. Но из вершины выходят 9 рёбер, а цветов только 3, противоречие. Осталось исключить \\(k=4\\). Предположим, что подходящая 4-раскраска существует, и назовём один цвет синим. Из любой вершины не может выходить четыре синих ребра. В самом деле, если \\(AB,AC,AD,AE\\) синие, то среди \\(B,C,D,E\\) либо есть синее ребро, и тогда четыре вершины с \\(A\\) и концами этого ребра содержат четыре синих ребра и не могут содержать все четыре цвета, либо синего ребра среди \\(B,C,D,E\\) нет, и сами \\(B,C,D,E\\) не содержат синег…"}],"relations":[{"id":"rel-gallai-three-color-imo-1998-c6-small-k-rainbow-obstruction","neighbor_id":"gallai-three-color-disconnected-class","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1998-c6-small-k-k5-paired-variant","neighbor_id":"imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1998-c6-small-k-large-k-paired-variant","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1964-p4-imo-1998-c6-k-le-4-ramsey-edge-colouring","neighbor_id":"imo-1964-p4-three-topic-ramsey","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1992-p3-imo-1998-c6-k-le-4-edge-colouring","neighbor_id":"imo-1992-p3-nine-points-partial-ramsey","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-color-extremal-imo-1998-k-le-4-kolm-2022-colored-complete-graphs","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round2-second-third-red-blue-k10-triangles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vosh-2014-rainbow-rectangle-imo-1998-c6-rainbow-edge-coloring","neighbor_id":"vosh-2014-15-regional-grid-rainbow-rectangle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible невозможность раскраски рёбер \\(k_{10}\\) при \\(k\\le 4\\), imo shortlist 1998 c6 coloring ramsey_theory goal_impossibility 1998 aops wiki, 1998 imo shortlist problems https://prase.cz/kalva/short/soln/sh98c6.html https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1998_imo_shortlist_problems https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1998-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1998 c6, решение, архив kalva imo shortlist 1998, вторичный архив imo1998 imoshortlist imoshortlist1998 secondary_archive secondary_solution src-aops-imo-1998-shortlist src-kalva-imo-1998-c6-solution src-secondary-imo-1998-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1998, вторичный архив imo shortlist 1998 c6, решение, архив kalva aops wiki, 1998 imo shortlist problems stmt-original-k-le-4 условие, малая часть ответа needs_human_review даны 10 точек общего положения на плоскости; каждый отрезок между парой точек окрашен в один из k цветов. требуется, чтобы для любых k из этих 10 точек среди отрезков с концами в выбранных точках нашлись k отрезков попарно различных цветов. докажите, что при k = 1, 2, 3 или 4 такая раскраска невозможна. stmt-graph-k-le-4 невозможность для \\(k\\le4\\) needs_human_review рёбра полного графа \\(k_{10}\\) окрашены в \\(k\\) цветов. докажите, что при \\(k\\le4\\) невозможно добиться, чтобы любые \\(k\\) вершин индуцировали подграф, содержащий рёбра всех \\(k\\) цветов. complete_graph idea-small-k-basic-obstructions слишком мало рёбер при k = 1,2 и слишком мало цветов у звезды при k = 3 для k = 1 и k = 2 в выбранных k вершинах меньше k рёбер. для k = 3 каждое треугольное множество должно быть радужным; тогда в одной вершине никакие два инцидентных ребра не могут иметь один цвет, что невозможно при 9 рёбрах и 3 цветах. coloring ai_checked idea-four-color-ramsey-obstruction запрет четырёх цветов через r(3,3) при k = 4 сначала ограничивается число рёбер одного цвета из каждой вершины, затем выбираются ровно три одноцветных ребра из вершины. на оставшихся шести вершинах теорема \\(r(3,3)=6\\) даёт синий или бессиний треугольник, и оба случая нарушают требование для четырёх вершин. ramsey_theory double_counting ai_checked sol-k-le-4-impossible доказательство невозможности для k ≤ 4 ai_checked complete_graph ramsey_number pigeonhole_principle для \\(k=1\\) выбранная одна вершина не содержит рёбер, а для \\(k=2\\) две выбранные вершины содержат только одно ребро, поэтому требование сразу невозможно. пусть \\(k=3\\). тогда каждые три вершины должны образовывать треугольник с тремя разными цветами. значит, из любой вершины не могут выходить два ребра одного цвета: если \\(ab\\) и \\(ac\\) одного цвета, то треугольник \\(abc\\) не радужный. но из вершины выходят 9 рёбер, а цветов только 3, противоречие. осталось исключить \\(k=4\\). предположим, что подходящая 4-раскраска существует, и назовём один цвет синим. из любой вершины не может выходить четыре синих ребра. в самом деле, если \\(ab,ac,ad,ae\\) синие, то среди \\(b,c,d,e\\) либо есть синее ребро, и тогда четыре вершины с \\(a\\) и концами этого ребра содержат четыре синих ребра и не могут содержать все четыре цвета, либо синего ребра среди \\(b,c,d,e\\) нет, и сами \\(b,c,d,e\\) не содержат синег… imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible nevozmozhnost raskraski reber \\(k_{10}\\) pri \\(k\\le 4\\), imo shortlist 1998 c6 coloring ramsey_theory goal_impossibility 1998 aops wiki, 1998 imo shortlist problems https://prase.cz/kalva/short/soln/sh98c6.html https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1998_imo_shortlist_problems https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1998-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1998 c6, reshenie, arhiv kalva imo shortlist 1998, vtorichnyy arhiv imo1998 imoshortlist imoshortlist1998 secondary_archive secondary_solution src-aops-imo-1998-shortlist src-kalva-imo-1998-c6-solution src-secondary-imo-1998-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1998, vtorichnyy arhiv imo shortlist 1998 c6, reshenie, arhiv kalva aops wiki, 1998 imo shortlist problems stmt-original-k-le-4 uslovie, malaya chast otveta needs_human_review dany 10 tochek obschego polozheniya na ploskosti; kazhdyy otrezok mezhdu paroy tochek okrashen v odin iz k tsvetov. trebuetsya, chtoby dlya lyubyh k iz etih 10 tochek sredi otrezkov s kontsami v vybrannyh tochkah nashlis k otrezkov poparno razlichnyh tsvetov. dokazhite, chto pri k = 1, 2, 3 ili 4 takaya raskraska nevozmozhna. stmt-graph-k-le-4 nevozmozhnost dlya \\(k\\le4\\) needs_human_review rebra polnogo grafa \\(k_{10}\\) okrasheny v \\(k\\) tsvetov. dokazhite, chto pri \\(k\\le4\\) nevozmozhno dobitsya, chtoby lyubye \\(k\\) vershin indutsirovali podgraf, soderzhaschiy rebra vseh \\(k\\) tsvetov. complete_graph idea-small-k-basic-obstructions slishkom malo reber pri k = 1,2 i slishkom malo tsvetov u zvezdy pri k = 3 dlya k = 1 i k = 2 v vybrannyh k vershinah menshe k reber. dlya k = 3 kazhdoe treugolnoe mnozhestvo dolzhno byt raduzhnym; togda v odnoy vershine nikakie dva intsidentnyh rebra ne mogut imet odin tsvet, chto nevozmozhno pri 9 rebrah i 3 tsvetah. coloring ai_checked idea-four-color-ramsey-obstruction zapret chetyreh tsvetov cherez r(3,3) pri k = 4 snachala ogranichivaetsya chislo reber odnogo tsveta iz kazhdoy vershiny, zatem vybirayutsya rovno tri odnotsvetnyh rebra iz vershiny. na ostavshihsya shesti vershinah teorema \\(r(3,3)=6\\) daet siniy ili bessiniy treugolnik, i oba sluchaya narushayut trebovanie dlya chetyreh vershin. ramsey_theory double_counting ai_checked sol-k-le-4-impossible dokazatelstvo nevozmozhnosti dlya k ≤ 4 ai_checked complete_graph ramsey_number pigeonhole_principle dlya \\(k=1\\) vybrannaya odna vershina ne soderzhit reber, a dlya \\(k=2\\) dve vybrannye vershiny soderzhat tolko odno rebro, poetomu trebovanie srazu nevozmozhno. pust \\(k=3\\). togda kazhdye tri vershiny dolzhny obrazovyvat treugolnik s tremya raznymi tsvetami. znachit, iz lyuboy vershiny ne mogut vyhodit dva rebra odnogo tsveta: esli \\(ab\\) i \\(ac\\) odnogo tsveta, to treugolnik \\(abc\\) ne raduzhnyy. no iz vershiny vyhodyat 9 reber, a tsvetov tolko 3, protivorechie. ostalos isklyuchit \\(k=4\\). predpolozhim, chto podhodyaschaya 4-raskraska suschestvuet, i nazovem odin tsvet sinim. iz lyuboy vershiny ne mozhet vyhodit chetyre sinih rebra. v samom dele, esli \\(ab,ac,ad,ae\\) sinie, to sredi \\(b,c,d,e\\) libo est sinee rebro, i togda chetyre vershiny s \\(a\\) i kontsami etogo rebra soderzhat chetyre sinih rebra i ne mogut soderzhat vse chetyre tsveta, libo sinego rebra sredi \\(b,c,d,e\\) net, i sami \\(b,c,d,e\\) ne soderzhat sineg…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction","title":"Пятицветная раскраска рёбер \\(K_{10}\\) с пятью цветами на любых пяти вершинах, IMO Shortlist 1998 C6","path":"data\\problems\\imo\\imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 1998, вторичный архив","IMO Shortlist 1998 C6, решение, архив Kalva","AoPS Wiki, 1998 IMO Shortlist Problems"],"year":"1998","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_construction","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"Конструктивная часть IMO Shortlist 1998 C6 для k = 5.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-k5","title":"Условие, случай k = 5","status":"needs_human_review","text":"Даны 10 точек общего положения на плоскости. Нужно окрасить каждый отрезок между парой точек в один из 5 цветов так, чтобы для любых 5 из этих 10 точек среди отрезков с концами в выбранных точках нашлись 5 отрезков попарно различных цветов. Докажите, что такая раскраска существует.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-k5","title":"Пятицветная раскраска","status":"needs_human_review","text":"Постройте 5-раскраску рёбер \\(K_{10}\\), в которой любые 5 вершин индуцируют подграф, содержащий рёбра всех 5 цветов.","definition_ids":["complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-k5-explicit-construction","title":"Явная пятицветная раскраска","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Занумеруем вершины числами \\(0,1,\\ldots,9\\). Зададим цвета списками рёбер: синие рёбра идут внутри \\(\\{0,2,5,9\\}\\) и ещё \\(13,48,67\\); зелёные идут внутри \\(\\{1,2,4,7\\}\\) и ещё \\(06,35,89\\); красные идут внутри \\(\\{3,4,6,9\\}\\) и ещё \\(01,28,57\\); жёлтые идут внутри \\(\\{1,5,6,8\\}\\) и ещё \\(04,23,79\\); белые идут внутри \\(\\{0,3,7,8\\}\\) и ещё \\(19,26,45\\). Здесь запись \\(13\\) означает ребро между вершинами 1 и 3. Эти пять списков попарно не пересекаются и вместе дают все 45 рёбер \\(K_{10}\\). Для каждого цвета перечисление задаёт разбиение десяти вершин на четыре группы: одну группу из четырёх вершин и три пары; все рёбра внутри этих групп имеют данный цвет. Поэтому любые пять вершин по принципу Дирихле содержат две вершины в одной из четырёх групп этого цвета, а значит содержат ребро этого цвета. Это верно для каждого из пяти цветов, следовательно любые пять вершин содержат рёбра всех пяти…"}],"relations":[{"id":"rel-smmc-2020-b4-imo-1998-c6-rainbow-complete-graph-coloring","neighbor_id":"simon-marais-2020-b4-rainbow-distance-clique-polygon","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1998-c6-small-k-k5-paired-variant","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-le-4-rainbow-edges-impossible","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1998-c6-k5-large-k-paired-variant","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction пятицветная раскраска рёбер \\(k_{10}\\) с пятью цветами на любых пяти вершинах, imo shortlist 1998 c6 coloring goal_construction goal_existence 1998 aops wiki, 1998 imo shortlist problems https://prase.cz/kalva/short/soln/sh98c6.html https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1998_imo_shortlist_problems https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1998-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1998 c6, решение, архив kalva imo shortlist 1998, вторичный архив imo1998 imoshortlist imoshortlist1998 secondary_archive secondary_solution src-aops-imo-1998-shortlist src-kalva-imo-1998-c6-solution src-secondary-imo-1998-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1998, вторичный архив imo shortlist 1998 c6, решение, архив kalva aops wiki, 1998 imo shortlist problems stmt-original-k5 условие, случай k = 5 needs_human_review даны 10 точек общего положения на плоскости. нужно окрасить каждый отрезок между парой точек в один из 5 цветов так, чтобы для любых 5 из этих 10 точек среди отрезков с концами в выбранных точках нашлись 5 отрезков попарно различных цветов. докажите, что такая раскраска существует. stmt-graph-k5 пятицветная раскраска needs_human_review постройте 5-раскраску рёбер \\(k_{10}\\), в которой любые 5 вершин индуцируют подграф, содержащий рёбра всех 5 цветов. complete_graph idea-five-color-partitions для каждого цвета разбить вершины на четыре группы если для каждого цвета вершины разбиты на четыре группы и все рёбра внутри групп имеют этот цвет, то любые пять вершин по принципу дирихле содержат ребро этого цвета. достаточно подобрать пять таких разбиений, чтобы каждое ребро \\(k_{10}\\) попало ровно в один цвет. coloring ai_checked sol-k5-explicit-construction явная пятицветная раскраска ai_checked complete_graph pigeonhole_principle занумеруем вершины числами \\(0,1,\\ldots,9\\). зададим цвета списками рёбер: синие рёбра идут внутри \\(\\{0,2,5,9\\}\\) и ещё \\(13,48,67\\); зелёные идут внутри \\(\\{1,2,4,7\\}\\) и ещё \\(06,35,89\\); красные идут внутри \\(\\{3,4,6,9\\}\\) и ещё \\(01,28,57\\); жёлтые идут внутри \\(\\{1,5,6,8\\}\\) и ещё \\(04,23,79\\); белые идут внутри \\(\\{0,3,7,8\\}\\) и ещё \\(19,26,45\\). здесь запись \\(13\\) означает ребро между вершинами 1 и 3. эти пять списков попарно не пересекаются и вместе дают все 45 рёбер \\(k_{10}\\). для каждого цвета перечисление задаёт разбиение десяти вершин на четыре группы: одну группу из четырёх вершин и три пары; все рёбра внутри этих групп имеют данный цвет. поэтому любые пять вершин по принципу дирихле содержат две вершины в одной из четырёх групп этого цвета, а значит содержат ребро этого цвета. это верно для каждого из пяти цветов, следовательно любые пять вершин содержат рёбра всех пяти… imo-1998-c6-k5-rainbow-edges-construction pyatitsvetnaya raskraska reber \\(k_{10}\\) s pyatyu tsvetami na lyubyh pyati vershinah, imo shortlist 1998 c6 coloring goal_construction goal_existence 1998 aops wiki, 1998 imo shortlist problems https://prase.cz/kalva/short/soln/sh98c6.html https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1998_imo_shortlist_problems https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1998-17.pdf imo imo shortlist imo shortlist 1998 c6, reshenie, arhiv kalva imo shortlist 1998, vtorichnyy arhiv imo1998 imoshortlist imoshortlist1998 secondary_archive secondary_solution src-aops-imo-1998-shortlist src-kalva-imo-1998-c6-solution src-secondary-imo-1998-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1998, vtorichnyy arhiv imo shortlist 1998 c6, reshenie, arhiv kalva aops wiki, 1998 imo shortlist problems stmt-original-k5 uslovie, sluchay k = 5 needs_human_review dany 10 tochek obschego polozheniya na ploskosti. nuzhno okrasit kazhdyy otrezok mezhdu paroy tochek v odin iz 5 tsvetov tak, chtoby dlya lyubyh 5 iz etih 10 tochek sredi otrezkov s kontsami v vybrannyh tochkah nashlis 5 otrezkov poparno razlichnyh tsvetov. dokazhite, chto takaya raskraska suschestvuet. stmt-graph-k5 pyatitsvetnaya raskraska needs_human_review postroyte 5-raskrasku reber \\(k_{10}\\), v kotoroy lyubye 5 vershin indutsiruyut podgraf, soderzhaschiy rebra vseh 5 tsvetov. complete_graph idea-five-color-partitions dlya kazhdogo tsveta razbit vershiny na chetyre gruppy esli dlya kazhdogo tsveta vershiny razbity na chetyre gruppy i vse rebra vnutri grupp imeyut etot tsvet, to lyubye pyat vershin po printsipu dirihle soderzhat rebro etogo tsveta. dostatochno podobrat pyat takih razbieniy, chtoby kazhdoe rebro \\(k_{10}\\) popalo rovno v odin tsvet. coloring ai_checked sol-k5-explicit-construction yavnaya pyatitsvetnaya raskraska ai_checked complete_graph pigeonhole_principle zanumeruem vershiny chislami \\(0,1,\\ldots,9\\). zadadim tsveta spiskami reber: sinie rebra idut vnutri \\(\\{0,2,5,9\\}\\) i esche \\(13,48,67\\); zelenye idut vnutri \\(\\{1,2,4,7\\}\\) i esche \\(06,35,89\\); krasnye idut vnutri \\(\\{3,4,6,9\\}\\) i esche \\(01,28,57\\); zheltye idut vnutri \\(\\{1,5,6,8\\}\\) i esche \\(04,23,79\\); belye idut vnutri \\(\\{0,3,7,8\\}\\) i esche \\(19,26,45\\). zdes zapis \\(13\\) oznachaet rebro mezhdu vershinami 1 i 3. eti pyat spiskov poparno ne peresekayutsya i vmeste dayut vse 45 reber \\(k_{10}\\). dlya kazhdogo tsveta perechislenie zadaet razbienie desyati vershin na chetyre gruppy: odnu gruppu iz chetyreh vershin i tri pary; vse rebra vnutri etih grupp imeyut dannyy tsvet. poetomu lyubye pyat vershin po printsipu dirihle soderzhat dve vershiny v odnoy iz chetyreh grupp etogo tsveta, a znachit soderzhat rebro etogo tsveta. eto verno dlya kazhdogo iz pyati tsvetov, sledovatelno lyubye pyat vershin soderzhat rebra vseh pyati…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-1999-c5-grid-total-domination","title":"Минимальное тотально доминирующее множество на решётке, IMO 1999 P3","path":"data\\problems\\imo\\imo-1999-c5-grid-total-domination.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-1999-c5-grid-total-domination.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-1999-c5-grid-total-domination","source_key":"imo","source_label":"IMO","source_titles":["IMO Shortlist 1999, вторичный архив","AoPS Wiki, 1999 IMO Problems/Problem 3","Olympiad Combinatorics, IMO 1999 задача 3, решение"],"year":"1999","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":13,"comment":"Ранний IMO/IMO Shortlist; добавлено после отдельной проверки AoPS, Kalva и/или сборника решений.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть n — чётное положительное число. На доске n x n нужно отметить минимальное число клеток так, чтобы каждая клетка, отмеченная или нет, имела отмеченную соседнюю по стороне клетку. Найти этот минимум.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Минимальное тотально доминирующее множество на решётке, IMO 1999 P3","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\) — чётное положительное число. Рассмотрим решёточный граф \\(P_n\\square P_n\\). Найдите минимальное число вершин в множестве \\(S\\subseteq V(P_n\\square P_n)\\), обладающем тем свойством, что каждая вершина графа имеет соседа в \\(S\\).","definition_ids":["dominating_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-reviewed-web","title":"Диагональное доказательство","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть n=2k; ответ равен k(k+1)=n(n+2)/4. Занумеруем строки и столбцы числами 1,...,2k и покрасим доску в шахматном порядке: клетка (i,j) белая, если i+j чётно, и чёрная иначе. Сначала докажем нижнюю оценку. Рассмотрим чёрные диагонали вида \\(i-j=d\\), где \\(d\\equiv1\\pmod 4\\). Таких диагоналей k, а их длины, в некотором порядке, равны 1,3,5,...,2k-1. Возьмём одну такую диагональ длины 2r-1. Клетки этой диагонали могут иметь отмеченных соседей только среди белых клеток, причём одна белая клетка соседствует не более чем с двумя клетками выбранной диагонали. Кроме того, из-за условия \\(d\\equiv1\\pmod 4\\) любая белая клетка может соседствовать с клетками не более одной из выбранных чёрных диагоналей. Поэтому для покрытия выбранных чёрных диагоналей нужно не менее \\(\\lceil(2r-1)/2\\rceil=r\\) отмеченных белых клеток. Суммируя по r=1,...,k, получаем, что белых отмеченных клеток не меньше 1+2+...+k…"}],"relations":[{"id":"rel-usamo-1999-p1-imo-1999-c5","neighbor_id":"usamo-1999-p1-checkers-board-graph-rank","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1985-sl5-imo-1999-c5-grid-domination","neighbor_id":"imo-1985-sl5-lattice-perfect-code","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-1999-c5-grid-total-domination минимальное тотально доминирующее множество на решётке, imo 1999 p3 coloring goal_exact_bound 1999 aops wiki, 1999 imo problems/problem 3 https://1library.net/document/zkomjopy-olympiad-combinatorics.html https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1999_imo_problems/problem_3 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1999-17.pdf imo imo shortlist 1999, вторичный архив imo1999 olympiad combinatorics, imo 1999 задача 3, решение secondary_archive secondary_solution src-aops-imo-1999-p3-statement src-olympiad-combinatorics-1999-p3 src-secondary-imo-1999-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1999, вторичный архив aops wiki, 1999 imo problems/problem 3 olympiad combinatorics, imo 1999 задача 3, решение stmt-original условие ai_checked пусть n — чётное положительное число. на доске n x n нужно отметить минимальное число клеток так, чтобы каждая клетка, отмеченная или нет, имела отмеченную соседнюю по стороне клетку. найти этот минимум. stmt-graph минимальное тотально доминирующее множество на решётке, imo 1999 p3 ai_checked пусть \\(n\\) — чётное положительное число. рассмотрим решёточный граф \\(p_n\\square p_n\\). найдите минимальное число вершин в множестве \\(s\\subseteq v(p_n\\square p_n)\\), обладающем тем свойством, что каждая вершина графа имеет соседа в \\(s\\). dominating_set idea-layer-coloring-lower-bound слоистая раскраска для нижней оценки для нижней оценки отдельно считаются отмеченные клетки каждого шахматного цвета. в подходящем семействе попарно чередующихся диагоналей противоположного цвета один отмеченный сосед может покрыть не больше двух клеток-свидетелей, что даёт половину ответа для каждого цвета. coloring ai_checked idea-alternating-construction конструкция через чередование в слоях две взаимно перпендикулярные диагональные схемы выбирают через одну клетку на диагоналях нужных классов: белые отмеченные клетки доминируют все чёрные, а чёрные отмеченные клетки доминируют все белые. extremal_choice ai_checked sol-reviewed-web диагональное доказательство ai_checked пусть n=2k; ответ равен k(k+1)=n(n+2)/4. занумеруем строки и столбцы числами 1,...,2k и покрасим доску в шахматном порядке: клетка (i,j) белая, если i+j чётно, и чёрная иначе. сначала докажем нижнюю оценку. рассмотрим чёрные диагонали вида \\(i-j=d\\), где \\(d\\equiv1\\pmod 4\\). таких диагоналей k, а их длины, в некотором порядке, равны 1,3,5,...,2k-1. возьмём одну такую диагональ длины 2r-1. клетки этой диагонали могут иметь отмеченных соседей только среди белых клеток, причём одна белая клетка соседствует не более чем с двумя клетками выбранной диагонали. кроме того, из-за условия \\(d\\equiv1\\pmod 4\\) любая белая клетка может соседствовать с клетками не более одной из выбранных чёрных диагоналей. поэтому для покрытия выбранных чёрных диагоналей нужно не менее \\(\\lceil(2r-1)/2\\rceil=r\\) отмеченных белых клеток. суммируя по r=1,...,k, получаем, что белых отмеченных клеток не меньше 1+2+...+k… imo-1999-c5-grid-total-domination minimalnoe totalno dominiruyuschee mnozhestvo na reshetke, imo 1999 p3 coloring goal_exact_bound 1999 aops wiki, 1999 imo problems/problem 3 https://1library.net/document/zkomjopy-olympiad-combinatorics.html https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1999_imo_problems/problem_3 https://www.allameamini.org/wp-content/uploads/2019/03/international_competitions-imo_shortlist-1999-17.pdf imo imo shortlist 1999, vtorichnyy arhiv imo1999 olympiad combinatorics, imo 1999 zadacha 3, reshenie secondary_archive secondary_solution src-aops-imo-1999-p3-statement src-olympiad-combinatorics-1999-p3 src-secondary-imo-1999-shortlist statement with_solution ? imo shortlist 1999, vtorichnyy arhiv aops wiki, 1999 imo problems/problem 3 olympiad combinatorics, imo 1999 zadacha 3, reshenie stmt-original uslovie ai_checked pust n — chetnoe polozhitelnoe chislo. na doske n x n nuzhno otmetit minimalnoe chislo kletok tak, chtoby kazhdaya kletka, otmechennaya ili net, imela otmechennuyu sosednyuyu po storone kletku. nayti etot minimum. stmt-graph minimalnoe totalno dominiruyuschee mnozhestvo na reshetke, imo 1999 p3 ai_checked pust \\(n\\) — chetnoe polozhitelnoe chislo. rassmotrim reshetochnyy graf \\(p_n\\square p_n\\). naydite minimalnoe chislo vershin v mnozhestve \\(s\\subseteq v(p_n\\square p_n)\\), obladayuschem tem svoystvom, chto kazhdaya vershina grafa imeet soseda v \\(s\\). dominating_set idea-layer-coloring-lower-bound sloistaya raskraska dlya nizhney otsenki dlya nizhney otsenki otdelno schitayutsya otmechennye kletki kazhdogo shahmatnogo tsveta. v podhodyaschem semeystve poparno chereduyuschihsya diagonaley protivopolozhnogo tsveta odin otmechennyy sosed mozhet pokryt ne bolshe dvuh kletok-svideteley, chto daet polovinu otveta dlya kazhdogo tsveta. coloring ai_checked idea-alternating-construction konstruktsiya cherez cheredovanie v sloyah dve vzaimno perpendikulyarnye diagonalnye shemy vybirayut cherez odnu kletku na diagonalyah nuzhnyh klassov: belye otmechennye kletki dominiruyut vse chernye, a chernye otmechennye kletki dominiruyut vse belye. extremal_choice ai_checked sol-reviewed-web diagonalnoe dokazatelstvo ai_checked pust n=2k; otvet raven k(k+1)=n(n+2)/4. zanumeruem stroki i stolbtsy chislami 1,...,2k i pokrasim dosku v shahmatnom poryadke: kletka (i,j) belaya, esli i+j chetno, i chernaya inache. snachala dokazhem nizhnyuyu otsenku. rassmotrim chernye diagonali vida \\(i-j=d\\), gde \\(d\\equiv1\\pmod 4\\). takih diagonaley k, a ih dliny, v nekotorom poryadke, ravny 1,3,5,...,2k-1. vozmem odnu takuyu diagonal dliny 2r-1. kletki etoy diagonali mogut imet otmechennyh sosedey tolko sredi belyh kletok, prichem odna belaya kletka sosedstvuet ne bolee chem s dvumya kletkami vybrannoy diagonali. krome togo, iz-za usloviya \\(d\\equiv1\\pmod 4\\) lyubaya belaya kletka mozhet sosedstvovat s kletkami ne bolee odnoy iz vybrannyh chernyh diagonaley. poetomu dlya pokrytiya vybrannyh chernyh diagonaley nuzhno ne menee \\(\\lceil(2r-1)/2\\rceil=r\\) otmechennyh belyh kletok. summiruya po r=1,...,k, poluchaem, chto belyh otmechennyh kletok ne menshe 1+2+...+k…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-2004-c3-delete-edge-from-4cycle","title":"Минимум рёбер после удалений из 4-циклов \\(K_n\\), IMO Shortlist 2004 C3","path":"data\\problems\\imo\\imo-2004-c3-delete-edge-from-4cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-2004-c3-delete-edge-from-4cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-2004-c3-delete-edge-from-4cycle","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO Shortlist 2004, вторичный архив","AoPS Wiki, 2004 IMO Shortlist C3 solution"],"year":"2004","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","trees","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"Ранний IMO Shortlist 2004; источник вторичный, решение сверено по вторичному разбору.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Дан полный граф на \\(n\\ge4\\) вершинах. Разрешено выбрать цикл длины 4 и удалить из него одно ребро. Найдите наименьшее число рёбер графа, которое можно получить повторением таких операций.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-reviewed-secondary","title":"Полное решение: инвариант небипартитности и явное удаление","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(n\\). Сначала докажем нижнюю оценку. Если из связного небипартитного графа \\(G\\) удалить ребро \\(AB\\), лежащее в 4-цикле \\(ABCD\\), то связность не теряется: в оставшемся графе концы \\(A,B\\) соединены путём \\(A-D-C-B\\). Небипартитность тоже не теряется. Действительно, если бы \\(G-AB\\) был двудольным, то из пути \\(A-D-C-B\\) следовало бы, что \\(A\\) и \\(B\\) лежат в разных долях, а значит добавление ребра \\(AB\\) сохраняло бы двудольность; это противоречит небипартитности \\(G\\). Исходный \\(K_n\\) связен и небипартитен, поэтому любой полученный граф связен и содержит цикл, а значит имеет не менее \\(n\\) рёбер. Осталось показать достижимость. Обозначим вершины \\(V_1,\\ldots,V_n\\). Сначала для всех \\(3\\le i2^{N-2}\\). Докажем обратную оценку. Возьмём произвольные \\(2^{N-2}+1\\) различных флагов. Обозначим через \\(V\\) множество позиций \\(1,\\ldots,N\\), а через \\(V'\\) множество этих флагов. Построим два двудольных графа с долями \\(V\\) и \\(V'\\): в графе \\(G_y\\) позиция \\(c\\) соединена с флагом \\(f\\), если в позиции \\(c\\) у флага \\(f\\) стоит жёлтая клетка; в графе \\(G_b\\) — если в этой позиции стоит синяя клетка. Если один из графов имеет паросо…"}],"relations":[{"id":"rel-usamo-2022-p1-imo-2010-c2","neighbor_id":"usamo-2022-p1-amber-bronze-transversal","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2004-p2-imo-2010-c2-one-color-matching","neighbor_id":"cmo-2004-p2-rooks-same-colour","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-edge-count-bound-imo-2010-c2-hall-matching","neighbor_id":"edge-count-bipartite-matching-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-2010-c2-imo-2016-c8-matching-alternation","neighbor_id":"imo-2016-c8-domino-unique-tiling-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-hall-marriage-imo-2010-c2-flags-diagonal-matching","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-after-tags-imo-2010-flags-konig-cover","neighbor_id":"konig-vertex-cover-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-matching-tiling-rmm-2017-imo-2010-hall-incidence","neighbor_id":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imo-2010-c2-flags-diagonal-matching минимум флагов для одноцветной диагонали, imo shortlist 2010 c2 matching extremal_choice goal_exact_bound 2010 aops wiki, 2010 imo shortlist problems https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_imo_shortlist_problems https://www.imo-official.org/problems/imo2010sl.pdf imo imo 2010 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2010 imoshortlist imoshortlist2010 official_archive src-aops-imo-2010-shortlist src-imo-2010-shortlist statement with_solution ? imo 2010 shortlisted problems with solutions aops wiki, 2010 imo shortlist problems stmt-original условие ai_checked на некоторой планете есть \\(2^n\\) стран, где \\(n\\ge 4\\). у каждой страны есть флаг ширины \\(n\\) и высоты \\(1\\), составленный из \\(n\\) единичных клеток; каждая клетка либо жёлтая, либо синяя. никакие две страны не имеют одинаковых флагов. назовём множество из \\(n\\) флагов разнообразным, если эти флаги можно расположить строками квадрата \\(n\\times n\\) так, чтобы все \\(n\\) клеток главной диагонали имели один и тот же цвет. найдите наименьшее положительное целое число \\(m\\), при котором среди любых \\(m\\) различных флагов найдутся \\(n\\) флагов, образующих разнообразное множество. stmt-graph паросочетание позиций в семействе двоичных строк ai_checked пусть \\(n\\ge4\\) и \\(x=\\{0,1\\}^n\\). для каждого семейства \\(f\\subset x\\) заданы два двудольных графа \\(g_0(f)\\) и \\(g_1(f)\\) с долями \\(\\{1,\\ldots,n\\}\\) и \\(f\\): в \\(g_c(f)\\) вершина \\(i\\) соединена со строкой \\(x\\), если \\(x_i=c\\). найдите наименьшее положительное целое \\(m\\), при котором для любого \\(f\\subset x\\) размера \\(m\\) хотя бы один из графов \\(g_0(f),g_1(f)\\) содержит паросочетание, покрывающее все вершины \\(1,\\ldots,n\\). bipartite_graph matching idea-hall паросочетание диагональных позиций для фиксированного цвета надо назначить каждой диагональной позиции свой флаг, имеющий этот цвет в соответствующей позиции. по теореме холла достаточно доказать, что хотя бы для одного из двух цветов выполнено условие холла. matching ai_checked idea-extremal-family экстремальное семейство флагов нижний пример состоит из всех \\(2^{n-2}\\) флагов, у которых первая клетка жёлтая, а вторая синяя. в любой расстановке таких флагов на диагонали первая позиция даёт жёлтую клетку, а вторая — синюю. extremal_choice ai_checked sol-hall-extremal-full полное решение через теорему холла и экстремальный пример ai_checked bipartite_graph matching extremal_choice ответ: \\(m=2^{n-2}+1\\). сначала покажем, что меньшее число флагов не гарантирует разнообразного множества. возьмём все флаги, у которых первая клетка жёлтая, а вторая синяя; остальные \\(n-2\\) клеток произвольны. таких флагов ровно \\(2^{n-2}\\). если из них составить квадрат \\(n\\times n\\), то строка, стоящая первой, даёт на главной диагонали жёлтую клетку, а строка, стоящая второй, даёт синюю клетку. поэтому диагональ не может быть одноцветной. значит, \\(m>2^{n-2}\\). докажем обратную оценку. возьмём произвольные \\(2^{n-2}+1\\) различных флагов. обозначим через \\(v\\) множество позиций \\(1,\\ldots,n\\), а через \\(v'\\) множество этих флагов. построим два двудольных графа с долями \\(v\\) и \\(v'\\): в графе \\(g_y\\) позиция \\(c\\) соединена с флагом \\(f\\), если в позиции \\(c\\) у флага \\(f\\) стоит жёлтая клетка; в графе \\(g_b\\) — если в этой позиции стоит синяя клетка. если один из графов имеет паросо… imo-2010-c2-flags-diagonal-matching minimum flagov dlya odnotsvetnoy diagonali, imo shortlist 2010 c2 matching extremal_choice goal_exact_bound 2010 aops wiki, 2010 imo shortlist problems https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_imo_shortlist_problems https://www.imo-official.org/problems/imo2010sl.pdf imo imo 2010 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2010 imoshortlist imoshortlist2010 official_archive src-aops-imo-2010-shortlist src-imo-2010-shortlist statement with_solution ? imo 2010 shortlisted problems with solutions aops wiki, 2010 imo shortlist problems stmt-original uslovie ai_checked na nekotoroy planete est \\(2^n\\) stran, gde \\(n\\ge 4\\). u kazhdoy strany est flag shiriny \\(n\\) i vysoty \\(1\\), sostavlennyy iz \\(n\\) edinichnyh kletok; kazhdaya kletka libo zheltaya, libo sinyaya. nikakie dve strany ne imeyut odinakovyh flagov. nazovem mnozhestvo iz \\(n\\) flagov raznoobraznym, esli eti flagi mozhno raspolozhit strokami kvadrata \\(n\\times n\\) tak, chtoby vse \\(n\\) kletok glavnoy diagonali imeli odin i tot zhe tsvet. naydite naimenshee polozhitelnoe tseloe chislo \\(m\\), pri kotorom sredi lyubyh \\(m\\) razlichnyh flagov naydutsya \\(n\\) flagov, obrazuyuschih raznoobraznoe mnozhestvo. stmt-graph parosochetanie pozitsiy v semeystve dvoichnyh strok ai_checked pust \\(n\\ge4\\) i \\(x=\\{0,1\\}^n\\). dlya kazhdogo semeystva \\(f\\subset x\\) zadany dva dvudolnyh grafa \\(g_0(f)\\) i \\(g_1(f)\\) s dolyami \\(\\{1,\\ldots,n\\}\\) i \\(f\\): v \\(g_c(f)\\) vershina \\(i\\) soedinena so strokoy \\(x\\), esli \\(x_i=c\\). naydite naimenshee polozhitelnoe tseloe \\(m\\), pri kotorom dlya lyubogo \\(f\\subset x\\) razmera \\(m\\) hotya by odin iz grafov \\(g_0(f),g_1(f)\\) soderzhit parosochetanie, pokryvayuschee vse vershiny \\(1,\\ldots,n\\). bipartite_graph matching idea-hall parosochetanie diagonalnyh pozitsiy dlya fiksirovannogo tsveta nado naznachit kazhdoy diagonalnoy pozitsii svoy flag, imeyuschiy etot tsvet v sootvetstvuyuschey pozitsii. po teoreme holla dostatochno dokazat, chto hotya by dlya odnogo iz dvuh tsvetov vypolneno uslovie holla. matching ai_checked idea-extremal-family ekstremalnoe semeystvo flagov nizhniy primer sostoit iz vseh \\(2^{n-2}\\) flagov, u kotoryh pervaya kletka zheltaya, a vtoraya sinyaya. v lyuboy rasstanovke takih flagov na diagonali pervaya pozitsiya daet zheltuyu kletku, a vtoraya — sinyuyu. extremal_choice ai_checked sol-hall-extremal-full polnoe reshenie cherez teoremu holla i ekstremalnyy primer ai_checked bipartite_graph matching extremal_choice otvet: \\(m=2^{n-2}+1\\). snachala pokazhem, chto menshee chislo flagov ne garantiruet raznoobraznogo mnozhestva. vozmem vse flagi, u kotoryh pervaya kletka zheltaya, a vtoraya sinyaya; ostalnye \\(n-2\\) kletok proizvolny. takih flagov rovno \\(2^{n-2}\\). esli iz nih sostavit kvadrat \\(n\\times n\\), to stroka, stoyaschaya pervoy, daet na glavnoy diagonali zheltuyu kletku, a stroka, stoyaschaya vtoroy, daet sinyuyu kletku. poetomu diagonal ne mozhet byt odnotsvetnoy. znachit, \\(m>2^{n-2}\\). dokazhem obratnuyu otsenku. vozmem proizvolnye \\(2^{n-2}+1\\) razlichnyh flagov. oboznachim cherez \\(v\\) mnozhestvo pozitsiy \\(1,\\ldots,n\\), a cherez \\(v'\\) mnozhestvo etih flagov. postroim dva dvudolnyh grafa s dolyami \\(v\\) i \\(v'\\): v grafe \\(g_y\\) pozitsiya \\(c\\) soedinena s flagom \\(f\\), esli v pozitsii \\(c\\) u flaga \\(f\\) stoit zheltaya kletka; v grafe \\(g_b\\) — esli v etoy pozitsii stoit sinyaya kletka. esli odin iz grafov imeet paroso…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-2010-c5-bad-company-tournament","title":"Теннисный турнир без плохой четвёрки, IMO Shortlist 2010 C5","path":"data\\problems\\imo\\imo-2010-c5-bad-company-tournament.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-2010-c5-bad-company-tournament.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-2010-c5-bad-company-tournament","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO 2010 Shortlisted Problems with Solutions","AoPS Wiki, 2010 IMO Shortlist Problems"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["tournaments","double_counting","goal_proof"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"IMO Shortlist 2010 C5, Южная Корея; графовый слой существенен в официальном решении.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"В турнире \\(n\\ge4\\) игроков каждая пара сыграла ровно один матч без ничьих. Плохой называется четвёрка игроков, где один проиграл трём остальным, а эти трое между собой образуют цикл побед. Если плохих четвёрок нет, докажите, что \\(\\sum_i (w_i-l_i)^3\\ge0\\), где \\(w_i,l_i\\) — числа побед и поражений игрока.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Теннисный турнир без плохой четвёрки, IMO Shortlist 2010 C5","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(T\\) — турнир на \\(n\\ge4\\) вершинах. Назовём плохой четвёркой множество из четырёх вершин, в котором одна вершина проигрывает трём остальным, а эти три вершины между собой образуют ориентированный цикл длины 3. Если в \\(T\\) нет плохих четвёрок, то докажите, что \\(\\sum_{v\\in V(T)} (d^+(v)-d^-(v))^3\\ge0\\).","definition_ids":["tournament","directed_graph","degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-degree-sum-full","title":"Полное решение подсчётом сумм степеней в турнире","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","complete_graph","tournament"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем говорить, что в компании из нескольких игроков игрок является локальным чемпионом, если он победил всех остальных в этой компании, и локальным проигравшим, если он всем остальным проиграл. Для фиксированного \\(k\\) число пар вида «\\(k\\)-компания и её локальный чемпион» равно \\(\\sum_i \\binom{w_i}{k-1}\\), потому что к игроку \\(i\\) надо выбрать ещё \\(k-1\\) игроков из тех, кого он победил. Число локальных проигравших в \\(k\\)-компаниях равно \\(\\sum_i \\binom{l_i}{k-1}\\). При \\(k=2\\) оба числа равны числу матчей, поэтому \\(\\sum_i(w_i-l_i)=0\\). При \\(k=3\\) каждая тройка либо является циклом, и тогда не имеет ни локального чемпиона, ни локального проигравшего, либо транзитивна, и тогда имеет ровно одного того и другого; значит \\(\\sum_i\\binom{w_i}{2}=\\sum_i\\binom{l_i}{2}\\). При \\(k=4\\) условие задачи говорит, что всякая четвёрка с локальным проигравшим обязательно имеет локального чемпиона:…"}],"relations":[{"id":"rel-all-union-1987-score-squares-imo-2010-c5","neighbor_id":"all-union-1987-final-9-tournament-score-squares","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2006-max-cycle-triplets-imo-2010-c5","neighbor_id":"cmo-2006-p4-max-cycle-triplets-tournament","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2006-p4-imo-2010-c5-tournament-triples","neighbor_id":"cmo-2006-p4-cycle-triplets-tournament","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tournament-king-imo-2010-c5","neighbor_id":"tournament-king-radius-two","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-handshaking-imo-2010-c5-degree-sum","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-official-expansion-imo-2021-c4-imo-2010-c5-tournament-degree","neighbor_id":"imo-2021-c4-anisotropy-menger","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-2010-c5-bad-company-tournament теннисный турнир без плохой четвёрки, imo shortlist 2010 c5 tournaments double_counting goal_proof 2010 aops wiki, 2010 imo shortlist problems https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_imo_shortlist_problems https://www.imo-official.org/problems/imo2010sl.pdf imo imo 2010 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2010 imoshortlist imoshortlist2010 official_archive src-aops-imo-2010-shortlist src-imo-2010-shortlist statement with_solution ? imo 2010 shortlisted problems with solutions aops wiki, 2010 imo shortlist problems stmt-original условие needs_human_review в турнире \\(n\\ge4\\) игроков каждая пара сыграла ровно один матч без ничьих. плохой называется четвёрка игроков, где один проиграл трём остальным, а эти трое между собой образуют цикл побед. если плохих четвёрок нет, докажите, что \\(\\sum_i (w_i-l_i)^3\\ge0\\), где \\(w_i,l_i\\) — числа побед и поражений игрока. stmt-graph теннисный турнир без плохой четвёрки, imo shortlist 2010 c5 needs_human_review пусть \\(t\\) — турнир на \\(n\\ge4\\) вершинах. назовём плохой четвёркой множество из четырёх вершин, в котором одна вершина проигрывает трём остальным, а эти три вершины между собой образуют ориентированный цикл длины 3. если в \\(t\\) нет плохих четвёрок, то докажите, что \\(\\sum_{v\\in v(t)} (d^+(v)-d^-(v))^3\\ge0\\). tournament directed_graph degree cycle idea-source-reduction сведение по вершине-источнику официальное решение рассматривает структуру турнира и удаляет/выделяет вершины так, чтобы сохранить запрет плохой четвёрки. tournaments ai_checked idea-degree-sum сумма кубов степенных разностей неравенство доказывается через анализ исходящих и входящих степеней в ориентированном полном графе. double_counting ai_checked sol-degree-sum-full полное решение подсчётом сумм степеней в турнире ai_checked cycle complete_graph tournament double_counting будем говорить, что в компании из нескольких игроков игрок является локальным чемпионом, если он победил всех остальных в этой компании, и локальным проигравшим, если он всем остальным проиграл. для фиксированного \\(k\\) число пар вида «\\(k\\)-компания и её локальный чемпион» равно \\(\\sum_i \\binom{w_i}{k-1}\\), потому что к игроку \\(i\\) надо выбрать ещё \\(k-1\\) игроков из тех, кого он победил. число локальных проигравших в \\(k\\)-компаниях равно \\(\\sum_i \\binom{l_i}{k-1}\\). при \\(k=2\\) оба числа равны числу матчей, поэтому \\(\\sum_i(w_i-l_i)=0\\). при \\(k=3\\) каждая тройка либо является циклом, и тогда не имеет ни локального чемпиона, ни локального проигравшего, либо транзитивна, и тогда имеет ровно одного того и другого; значит \\(\\sum_i\\binom{w_i}{2}=\\sum_i\\binom{l_i}{2}\\). при \\(k=4\\) условие задачи говорит, что всякая четвёрка с локальным проигравшим обязательно имеет локального чемпиона:… imo-2010-c5-bad-company-tournament tennisnyy turnir bez plohoy chetverki, imo shortlist 2010 c5 tournaments double_counting goal_proof 2010 aops wiki, 2010 imo shortlist problems https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_imo_shortlist_problems https://www.imo-official.org/problems/imo2010sl.pdf imo imo 2010 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2010 imoshortlist imoshortlist2010 official_archive src-aops-imo-2010-shortlist src-imo-2010-shortlist statement with_solution ? imo 2010 shortlisted problems with solutions aops wiki, 2010 imo shortlist problems stmt-original uslovie needs_human_review v turnire \\(n\\ge4\\) igrokov kazhdaya para sygrala rovno odin match bez nichih. plohoy nazyvaetsya chetverka igrokov, gde odin proigral trem ostalnym, a eti troe mezhdu soboy obrazuyut tsikl pobed. esli plohih chetverok net, dokazhite, chto \\(\\sum_i (w_i-l_i)^3\\ge0\\), gde \\(w_i,l_i\\) — chisla pobed i porazheniy igroka. stmt-graph tennisnyy turnir bez plohoy chetverki, imo shortlist 2010 c5 needs_human_review pust \\(t\\) — turnir na \\(n\\ge4\\) vershinah. nazovem plohoy chetverkoy mnozhestvo iz chetyreh vershin, v kotorom odna vershina proigryvaet trem ostalnym, a eti tri vershiny mezhdu soboy obrazuyut orientirovannyy tsikl dliny 3. esli v \\(t\\) net plohih chetverok, to dokazhite, chto \\(\\sum_{v\\in v(t)} (d^+(v)-d^-(v))^3\\ge0\\). tournament directed_graph degree cycle idea-source-reduction svedenie po vershine-istochniku ofitsialnoe reshenie rassmatrivaet strukturu turnira i udalyaet/vydelyaet vershiny tak, chtoby sohranit zapret plohoy chetverki. tournaments ai_checked idea-degree-sum summa kubov stepennyh raznostey neravenstvo dokazyvaetsya cherez analiz ishodyaschih i vhodyaschih stepeney v orientirovannom polnom grafe. double_counting ai_checked sol-degree-sum-full polnoe reshenie podschetom summ stepeney v turnire ai_checked cycle complete_graph tournament double_counting budem govorit, chto v kompanii iz neskolkih igrokov igrok yavlyaetsya lokalnym chempionom, esli on pobedil vseh ostalnyh v etoy kompanii, i lokalnym proigravshim, esli on vsem ostalnym proigral. dlya fiksirovannogo \\(k\\) chislo par vida «\\(k\\)-kompaniya i ee lokalnyy chempion» ravno \\(\\sum_i \\binom{w_i}{k-1}\\), potomu chto k igroku \\(i\\) nado vybrat esche \\(k-1\\) igrokov iz teh, kogo on pobedil. chislo lokalnyh proigravshih v \\(k\\)-kompaniyah ravno \\(\\sum_i \\binom{l_i}{k-1}\\). pri \\(k=2\\) oba chisla ravny chislu matchey, poetomu \\(\\sum_i(w_i-l_i)=0\\). pri \\(k=3\\) kazhdaya troyka libo yavlyaetsya tsiklom, i togda ne imeet ni lokalnogo chempiona, ni lokalnogo proigravshego, libo tranzitivna, i togda imeet rovno odnogo togo i drugogo; znachit \\(\\sum_i\\binom{w_i}{2}=\\sum_i\\binom{l_i}{2}\\). pri \\(k=4\\) uslovie zadachi govorit, chto vsyakaya chetverka s lokalnym proigravshim obyazatelno imeet lokalnogo chempiona:…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-2012-c7-equal-sum-chords-independent-set","title":"Равные суммы на непересекающихся хордах, IMO Shortlist 2012 C7","path":"data\\problems\\imo\\imo-2012-c7-equal-sum-chords-independent-set.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-2012-c7-equal-sum-chords-independent-set.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-2012-c7-equal-sum-chords-independent-set","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO 2012 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"2012","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","induction","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"IMO Shortlist 2012 C7, страна неизвестна; графовый слой существенен в официальном решении.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"На окружности в некотором порядке стоят числа \\(1,2,\\ldots,2^{500}\\). Докажите, что можно выбрать 100 попарно непересекающихся хорд так, чтобы суммы чисел на концах всех выбранных хорд были равны.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-intersection","title":"Граф пересечений хорд","status":"ai_checked","text":"Для каждого числа \\(s\\in\\{3,4,\\ldots,2^{501}-1\\}\\) рассмотрим все хорды \\(ij\\) окружности, где вершины помечены числами \\(1,2,\\ldots,2^{500}\\) по кругу и \\(i+j=s\\). Определим граф \\(H_s\\), вершинами которого являются эти хорды, а две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие хорды пересекаются. Докажите, что найдётся такое \\(s\\), для которого граф \\(H_s\\) содержит независимое множество размера не меньше 100.","definition_ids":["independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное доказательство через независимое множество хорд","status":"ai_checked","definition_ids":["independent_set"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Используем лемму Каро--Вея в той форме, которая нужна здесь: если в графе \\(G\\) степень вершины \\(v\\) равна \\(d(v)\\), то в \\(G\\) есть независимое множество размера не меньше \\(f(G)=\\sum_{v\\in V(G)}1/(d(v)+1)\\). Докажем лемму индукцией по числу вершин. Выберем вершину \\(v_0\\) минимальной степени \\(d\\), удалим её вместе с соседями и получим граф \\(G'\\). По индукции в \\(G'\\) есть независимое множество размера хотя бы \\(f(G')\\); добавив к нему \\(v_0\\), получаем независимое множество в \\(G\\). При этом для оставшихся вершин степени в \\(G'\\) не больше прежних, а у \\(v_0\\) и её \\(d\\) соседей степени в \\(G\\) не меньше \\(d\\), поэтому \\(f(G')\\ge f(G)-\\sum_{i=0}^{d}1/(d(v_i)+1)\\ge f(G)-1\\). Значит полученное множество имеет размер хотя бы \\(f(G)\\). Теперь положим \\(N=2^{500}=2n\\), то есть \\(n=2^{499}\\). Раскрасим каждую хорду цветом, равным сумме чисел на её концах; цветов не больше \\(4n-3\\), от \\(…"}],"relations":[{"id":"rel-caro-wei-lemma-imo-2012-c7","neighbor_id":"caro-wei-independent-set-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2023-p5-imo-2012-c7-independent-set","neighbor_id":"cmo-2023-p5-cut-bound-independent-set","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-2012-c7-flashlight-independent-set","neighbor_id":"flashlight-batteries-tournament-cities-2015","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-2012-c7-imo-1992-p3-extremal-independent","neighbor_id":"imo-1992-p3-nine-points-partial-ramsey","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-2012-c7-equal-sum-chords-independent-set равные суммы на непересекающихся хордах, imo shortlist 2012 c7 extremal_graph_theory induction goal_characterization 2012 https://www.imo-official.org/problems/imo2012sl.pdf imo imo 2012 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2012 imoshortlist imoshortlist2012 official_archive src-imo-2012-shortlist with_solution ? imo 2012 shortlisted problems with solutions stmt-original условие needs_human_review на окружности в некотором порядке стоят числа \\(1,2,\\ldots,2^{500}\\). докажите, что можно выбрать 100 попарно непересекающихся хорд так, чтобы суммы чисел на концах всех выбранных хорд были равны. stmt-graph-intersection граф пересечений хорд ai_checked для каждого числа \\(s\\in\\{3,4,\\ldots,2^{501}-1\\}\\) рассмотрим все хорды \\(ij\\) окружности, где вершины помечены числами \\(1,2,\\ldots,2^{500}\\) по кругу и \\(i+j=s\\). определим граф \\(h_s\\), вершинами которого являются эти хорды, а две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие хорды пересекаются. докажите, что найдётся такое \\(s\\), для которого граф \\(h_s\\) содержит независимое множество размера не меньше 100. independent_set idea-caro-wei оценка независимого множества официальное решение использует лемму: в графе есть независимое множество размера не меньше \\(\\sum_v 1/(d(v)+1)\\). extremal_choice ai_checked idea-sum-class классы хорд с одинаковой суммой хорды разбиваются по сумме концов; в одном классе оценка степеней гарантирует 100 непересекающихся хорд. double_counting ai_checked sol-official-compressed полное доказательство через независимое множество хорд ai_checked independent_set induction extremal_choice используем лемму каро--вея в той форме, которая нужна здесь: если в графе \\(g\\) степень вершины \\(v\\) равна \\(d(v)\\), то в \\(g\\) есть независимое множество размера не меньше \\(f(g)=\\sum_{v\\in v(g)}1/(d(v)+1)\\). докажем лемму индукцией по числу вершин. выберем вершину \\(v_0\\) минимальной степени \\(d\\), удалим её вместе с соседями и получим граф \\(g'\\). по индукции в \\(g'\\) есть независимое множество размера хотя бы \\(f(g')\\); добавив к нему \\(v_0\\), получаем независимое множество в \\(g\\). при этом для оставшихся вершин степени в \\(g'\\) не больше прежних, а у \\(v_0\\) и её \\(d\\) соседей степени в \\(g\\) не меньше \\(d\\), поэтому \\(f(g')\\ge f(g)-\\sum_{i=0}^{d}1/(d(v_i)+1)\\ge f(g)-1\\). значит полученное множество имеет размер хотя бы \\(f(g)\\). теперь положим \\(n=2^{500}=2n\\), то есть \\(n=2^{499}\\). раскрасим каждую хорду цветом, равным сумме чисел на её концах; цветов не больше \\(4n-3\\), от \\(… imo-2012-c7-equal-sum-chords-independent-set ravnye summy na neperesekayuschihsya hordah, imo shortlist 2012 c7 extremal_graph_theory induction goal_characterization 2012 https://www.imo-official.org/problems/imo2012sl.pdf imo imo 2012 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2012 imoshortlist imoshortlist2012 official_archive src-imo-2012-shortlist with_solution ? imo 2012 shortlisted problems with solutions stmt-original uslovie needs_human_review na okruzhnosti v nekotorom poryadke stoyat chisla \\(1,2,\\ldots,2^{500}\\). dokazhite, chto mozhno vybrat 100 poparno neperesekayuschihsya hord tak, chtoby summy chisel na kontsah vseh vybrannyh hord byli ravny. stmt-graph-intersection graf peresecheniy hord ai_checked dlya kazhdogo chisla \\(s\\in\\{3,4,\\ldots,2^{501}-1\\}\\) rassmotrim vse hordy \\(ij\\) okruzhnosti, gde vershiny pomecheny chislami \\(1,2,\\ldots,2^{500}\\) po krugu i \\(i+j=s\\). opredelim graf \\(h_s\\), vershinami kotorogo yavlyayutsya eti hordy, a dve vershiny smezhny togda i tolko togda, kogda sootvetstvuyuschie hordy peresekayutsya. dokazhite, chto naydetsya takoe \\(s\\), dlya kotorogo graf \\(h_s\\) soderzhit nezavisimoe mnozhestvo razmera ne menshe 100. independent_set idea-caro-wei otsenka nezavisimogo mnozhestva ofitsialnoe reshenie ispolzuet lemmu: v grafe est nezavisimoe mnozhestvo razmera ne menshe \\(\\sum_v 1/(d(v)+1)\\). extremal_choice ai_checked idea-sum-class klassy hord s odinakovoy summoy hordy razbivayutsya po summe kontsov; v odnom klasse otsenka stepeney garantiruet 100 neperesekayuschihsya hord. double_counting ai_checked sol-official-compressed polnoe dokazatelstvo cherez nezavisimoe mnozhestvo hord ai_checked independent_set induction extremal_choice ispolzuem lemmu karo--veya v toy forme, kotoraya nuzhna zdes: esli v grafe \\(g\\) stepen vershiny \\(v\\) ravna \\(d(v)\\), to v \\(g\\) est nezavisimoe mnozhestvo razmera ne menshe \\(f(g)=\\sum_{v\\in v(g)}1/(d(v)+1)\\). dokazhem lemmu induktsiey po chislu vershin. vyberem vershinu \\(v_0\\) minimalnoy stepeni \\(d\\), udalim ee vmeste s sosedyami i poluchim graf \\(g'\\). po induktsii v \\(g'\\) est nezavisimoe mnozhestvo razmera hotya by \\(f(g')\\); dobaviv k nemu \\(v_0\\), poluchaem nezavisimoe mnozhestvo v \\(g\\). pri etom dlya ostavshihsya vershin stepeni v \\(g'\\) ne bolshe prezhnih, a u \\(v_0\\) i ee \\(d\\) sosedey stepeni v \\(g\\) ne menshe \\(d\\), poetomu \\(f(g')\\ge f(g)-\\sum_{i=0}^{d}1/(d(v_i)+1)\\ge f(g)-1\\). znachit poluchennoe mnozhestvo imeet razmer hotya by \\(f(g)\\). teper polozhim \\(n=2^{500}=2n\\), to est \\(n=2^{499}\\). raskrasim kazhduyu hordu tsvetom, ravnym summe chisel na ee kontsah; tsvetov ne bolshe \\(4n-3\\), ot \\(…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-2013-c3-imons-graph-coloring","title":"Имоны, удвоение и раскраска графа, IMO Shortlist 2013 C3","path":"data\\problems\\imo\\imo-2013-c3-imons-graph-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-2013-c3-imons-graph-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-2013-c3-imons-graph-coloring","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO 2013 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","induction","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"IMO Shortlist 2013 C3, Япония; графовый слой существенен в официальном решении.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Есть конечное семейство частиц-имонов; некоторые пары имонов связаны отношением запутанности. Разрешены операции: удалить имона, если он запутан с нечётным числом других, и удвоить всё семейство, создавая копии всех имонов с теми же взаимными запутанностями между копиями и с новой связью каждого имона со своей копией. Докажите, что можно прийти к состоянию, где никакие два имона не запутаны.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Имоны, удвоение и раскраска графа, IMO Shortlist 2013 C3","status":"needs_human_review","text":"Дан конечный простой граф. Разрешены две операции: удалить вершину нечётной степени вместе со всеми инцидентными ей рёбрами; заменить граф двумя его непересекающимися копиями и добавить ребро между каждой вершиной первой копии и соответствующей вершиной второй. Докажите, что после конечного числа таких операций можно получить граф без рёбер.","definition_ids":["simple_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное доказательство через уменьшение числа цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Перейдём к графу запутанностей: имоны становятся вершинами, а пары запутанных имонов — рёбрами. Операция уничтожения имона есть удаление вершины нечётной степени, а операция удвоения есть замена графа двумя непересекающимися копиями с добавлением ребра между каждой вершиной и её копией. Достаточно доказать лемму: если текущий конечный граф правильно раскрашен в \\(n>1\\) цветов, то после конечной последовательности разрешённых операций можно получить граф, правильно раскрашиваемый в \\(n-1\\) цветов. Тогда исходный граф, имеющий не больше цветов, чем вершин, последовательным применением леммы приводится к 1-раскрашиваемому графу; в таком графе не может быть ребра, поскольку концы любого ребра должны иметь разные цвета. Докажем лемму. Сначала, пока возможно, удаляем любую вершину нечётной степени. Это законно, число вершин каждый раз уменьшается, поэтому процесс конечен. В оставшемся графе в…"}],"relations":[{"id":"rel-color-reduction-imons","neighbor_id":"color-reduction-by-odd-deletion-and-doubling","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-brooks-imo-2013-c3-color-reduction","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-2013-c3-imo-2024-c8-inductive-parity","neighbor_id":"imo-2024-c8-board-coloring-tree","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-2013-c3-imons-graph-coloring имоны, удвоение и раскраска графа, imo shortlist 2013 c3 coloring induction goal_proof 2013 https://www.imo-official.org/problems/imo2013sl.pdf imo imo 2013 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2013 imoshortlist imoshortlist2013 official_archive src-imo-2013-shortlist with_solution ? imo 2013 shortlisted problems with solutions stmt-original условие needs_human_review есть конечное семейство частиц-имонов; некоторые пары имонов связаны отношением запутанности. разрешены операции: удалить имона, если он запутан с нечётным числом других, и удвоить всё семейство, создавая копии всех имонов с теми же взаимными запутанностями между копиями и с новой связью каждого имона со своей копией. докажите, что можно прийти к состоянию, где никакие два имона не запутаны. stmt-graph имоны, удвоение и раскраска графа, imo shortlist 2013 c3 needs_human_review дан конечный простой граф. разрешены две операции: удалить вершину нечётной степени вместе со всеми инцидентными ей рёбрами; заменить граф двумя его непересекающимися копиями и добавить ребро между каждой вершиной первой копии и соответствующей вершиной второй. докажите, что после конечного числа таких операций можно получить граф без рёбер. simple_graph degree idea-color-reduction уменьшение числа цветов если граф правильно раскрашен в \\(n>1\\) цветов, операции позволяют перейти к графу, раскрашиваемому в \\(n-1\\) цветов. coloring ai_checked idea-odd-degree-deletion удаление нечётных степеней повторное удаление вершин нечётной степени оставляет граф, где все степени чётны; это нужно для контролируемого удвоения. induction ai_checked sol-official-compressed полное доказательство через уменьшение числа цветов ai_checked simple_graph degree chromatic_number induction перейдём к графу запутанностей: имоны становятся вершинами, а пары запутанных имонов — рёбрами. операция уничтожения имона есть удаление вершины нечётной степени, а операция удвоения есть замена графа двумя непересекающимися копиями с добавлением ребра между каждой вершиной и её копией. достаточно доказать лемму: если текущий конечный граф правильно раскрашен в \\(n>1\\) цветов, то после конечной последовательности разрешённых операций можно получить граф, правильно раскрашиваемый в \\(n-1\\) цветов. тогда исходный граф, имеющий не больше цветов, чем вершин, последовательным применением леммы приводится к 1-раскрашиваемому графу; в таком графе не может быть ребра, поскольку концы любого ребра должны иметь разные цвета. докажем лемму. сначала, пока возможно, удаляем любую вершину нечётной степени. это законно, число вершин каждый раз уменьшается, поэтому процесс конечен. в оставшемся графе в… imo-2013-c3-imons-graph-coloring imony, udvoenie i raskraska grafa, imo shortlist 2013 c3 coloring induction goal_proof 2013 https://www.imo-official.org/problems/imo2013sl.pdf imo imo 2013 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2013 imoshortlist imoshortlist2013 official_archive src-imo-2013-shortlist with_solution ? imo 2013 shortlisted problems with solutions stmt-original uslovie needs_human_review est konechnoe semeystvo chastits-imonov; nekotorye pary imonov svyazany otnosheniem zaputannosti. razresheny operatsii: udalit imona, esli on zaputan s nechetnym chislom drugih, i udvoit vse semeystvo, sozdavaya kopii vseh imonov s temi zhe vzaimnymi zaputannostyami mezhdu kopiyami i s novoy svyazyu kazhdogo imona so svoey kopiey. dokazhite, chto mozhno priyti k sostoyaniyu, gde nikakie dva imona ne zaputany. stmt-graph imony, udvoenie i raskraska grafa, imo shortlist 2013 c3 needs_human_review dan konechnyy prostoy graf. razresheny dve operatsii: udalit vershinu nechetnoy stepeni vmeste so vsemi intsidentnymi ey rebrami; zamenit graf dvumya ego neperesekayuschimisya kopiyami i dobavit rebro mezhdu kazhdoy vershinoy pervoy kopii i sootvetstvuyuschey vershinoy vtoroy. dokazhite, chto posle konechnogo chisla takih operatsiy mozhno poluchit graf bez reber. simple_graph degree idea-color-reduction umenshenie chisla tsvetov esli graf pravilno raskrashen v \\(n>1\\) tsvetov, operatsii pozvolyayut pereyti k grafu, raskrashivaemomu v \\(n-1\\) tsvetov. coloring ai_checked idea-odd-degree-deletion udalenie nechetnyh stepeney povtornoe udalenie vershin nechetnoy stepeni ostavlyaet graf, gde vse stepeni chetny; eto nuzhno dlya kontroliruemogo udvoeniya. induction ai_checked sol-official-compressed polnoe dokazatelstvo cherez umenshenie chisla tsvetov ai_checked simple_graph degree chromatic_number induction pereydem k grafu zaputannostey: imony stanovyatsya vershinami, a pary zaputannyh imonov — rebrami. operatsiya unichtozheniya imona est udalenie vershiny nechetnoy stepeni, a operatsiya udvoeniya est zamena grafa dvumya neperesekayuschimisya kopiyami s dobavleniem rebra mezhdu kazhdoy vershinoy i ee kopiey. dostatochno dokazat lemmu: esli tekuschiy konechnyy graf pravilno raskrashen v \\(n>1\\) tsvetov, to posle konechnoy posledovatelnosti razreshennyh operatsiy mozhno poluchit graf, pravilno raskrashivaemyy v \\(n-1\\) tsvetov. togda ishodnyy graf, imeyuschiy ne bolshe tsvetov, chem vershin, posledovatelnym primeneniem lemmy privoditsya k 1-raskrashivaemomu grafu; v takom grafe ne mozhet byt rebra, poskolku kontsy lyubogo rebra dolzhny imet raznye tsveta. dokazhem lemmu. snachala, poka vozmozhno, udalyaem lyubuyu vershinu nechetnoy stepeni. eto zakonno, chislo vershin kazhdyy raz umenshaetsya, poetomu protsess konechen. v ostavshemsya grafe v…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-2014-c9-snail-circles-tree","title":"Улитка на окружностях и дерево областей, IMO Shortlist 2014 C9","path":"data\\problems\\imo\\imo-2014-c9-snail-circles-tree.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-2014-c9-snail-circles-tree.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-2014-c9-snail-circles-tree","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO 2014 Shortlisted Problems with Solutions","AoPS Wiki, 2014 IMO Shortlist Problems"],"year":"2014","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","planar_graphs","double_counting","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"IMO Shortlist 2014 C9, Индия; графовый слой существенен в официальном решении.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Олимпиадная карточка опирается на официальный источник, шорт-лист или справочник и содержит решение со статусом ai_checked.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"На листе нарисованы \\(n\\) окружностей: любые две пересекаются в двух точках, и никакие три не проходят через одну точку. Улитка движется по окружностям: на пересечении переходит на другую окружность и меняет направление. Если её путь полностью покрывает все окружности, докажите, что \\(n\\) нечётно.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Полное доказательство через дерево нечётных областей","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(\\mathcal C\\) — множество окружностей, \\(\\mathcal P\\) — множество их точек пересечения, а \\(\\mathcal R\\) — множество областей, на которые окружности делят плоскость, включая внешнюю область. Будем называть область нечётной, если она лежит внутри нечётного числа окружностей. Точку пересечения тоже назовём нечётной, если она лежит внутри нечётного числа окружностей, не считая две окружности, которые проходят через эту точку. Обозначим множества нечётных областей и нечётных точек через \\(\\mathcal R_{\\rm odd}\\) и \\(\\mathcal P_{\\rm odd}\\). Сначала докажем подсчёт \\[ |\\mathcal R_{\\rm odd}|-|\\mathcal P_{\\rm odd}|\\equiv n\\pmod 2. \\] Для окружности \\(c\\) обозначим через \\(R_c\\) число областей, лежащих внутри \\(c\\), через \\(P_c\\) число точек пересечения, лежащих внутри \\(c\\), через \\(X_c\\) число окружностей, пересекающих \\(c\\), а через \\(A_c\\) число дуг разбиения, лежащих внутри \\(c\\). Так…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-2014-c9-imo-2019-c4-planar-region-graphs","neighbor_id":"imo-2019-c4-labyrinth-region-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-2005-c8-imo-2014-c9-planar-pairing","neighbor_id":"imo-2005-c8-noncrossing-diagonals-crossings","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-imo-2014-c9","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-offplan-imo-2020-c4-imo-2014-c9-auxiliary-tree","neighbor_id":"imo-2020-c4-fibonacci-difference-forest","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-euler-planar-imo-2014-c9-odd-region-tree","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-2014-c9-snail-circles-tree улитка на окружностях и дерево областей, imo shortlist 2014 c9 trees planar_graphs double_counting goal_counting 2014 aops wiki, 2014 imo shortlist problems https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2014_imo_shortlist_problems https://www.imo-official.org/problems/imo2014sl.pdf imo imo 2014 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2014 imoshortlist imoshortlist2014 official_archive src-aops-imo-2014-shortlist src-imo-2014-shortlist statement with_solution ? imo 2014 shortlisted problems with solutions aops wiki, 2014 imo shortlist problems stmt-original условие needs_human_review на листе нарисованы \\(n\\) окружностей: любые две пересекаются в двух точках, и никакие три не проходят через одну точку. улитка движется по окружностям: на пересечении переходит на другую окружность и меняет направление. если её путь полностью покрывает все окружности, докажите, что \\(n\\) нечётно. idea-region-parity чётность областей области раскладываются на чётные и нечётные по числу окружающих окружностей. planar_graphs ai_checked idea-odd-region-tree дерево нечётных областей точки пересечения соединяют нечётные области в связный ациклический граф. trees ai_checked sol-official-compressed полное доказательство через дерево нечётных областей ai_checked connected_graph cycle tree double_counting пусть \\(\\mathcal c\\) — множество окружностей, \\(\\mathcal p\\) — множество их точек пересечения, а \\(\\mathcal r\\) — множество областей, на которые окружности делят плоскость, включая внешнюю область. будем называть область нечётной, если она лежит внутри нечётного числа окружностей. точку пересечения тоже назовём нечётной, если она лежит внутри нечётного числа окружностей, не считая две окружности, которые проходят через эту точку. обозначим множества нечётных областей и нечётных точек через \\(\\mathcal r_{\\rm odd}\\) и \\(\\mathcal p_{\\rm odd}\\). сначала докажем подсчёт \\[ |\\mathcal r_{\\rm odd}|-|\\mathcal p_{\\rm odd}|\\equiv n\\pmod 2. \\] для окружности \\(c\\) обозначим через \\(r_c\\) число областей, лежащих внутри \\(c\\), через \\(p_c\\) число точек пересечения, лежащих внутри \\(c\\), через \\(x_c\\) число окружностей, пересекающих \\(c\\), а через \\(a_c\\) число дуг разбиения, лежащих внутри \\(c\\). так… imo-2014-c9-snail-circles-tree ulitka na okruzhnostyah i derevo oblastey, imo shortlist 2014 c9 trees planar_graphs double_counting goal_counting 2014 aops wiki, 2014 imo shortlist problems https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2014_imo_shortlist_problems https://www.imo-official.org/problems/imo2014sl.pdf imo imo 2014 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2014 imoshortlist imoshortlist2014 official_archive src-aops-imo-2014-shortlist src-imo-2014-shortlist statement with_solution ? imo 2014 shortlisted problems with solutions aops wiki, 2014 imo shortlist problems stmt-original uslovie needs_human_review na liste narisovany \\(n\\) okruzhnostey: lyubye dve peresekayutsya v dvuh tochkah, i nikakie tri ne prohodyat cherez odnu tochku. ulitka dvizhetsya po okruzhnostyam: na peresechenii perehodit na druguyu okruzhnost i menyaet napravlenie. esli ee put polnostyu pokryvaet vse okruzhnosti, dokazhite, chto \\(n\\) nechetno. idea-region-parity chetnost oblastey oblasti raskladyvayutsya na chetnye i nechetnye po chislu okruzhayuschih okruzhnostey. planar_graphs ai_checked idea-odd-region-tree derevo nechetnyh oblastey tochki peresecheniya soedinyayut nechetnye oblasti v svyaznyy atsiklicheskiy graf. trees ai_checked sol-official-compressed polnoe dokazatelstvo cherez derevo nechetnyh oblastey ai_checked connected_graph cycle tree double_counting pust \\(\\mathcal c\\) — mnozhestvo okruzhnostey, \\(\\mathcal p\\) — mnozhestvo ih tochek peresecheniya, a \\(\\mathcal r\\) — mnozhestvo oblastey, na kotorye okruzhnosti delyat ploskost, vklyuchaya vneshnyuyu oblast. budem nazyvat oblast nechetnoy, esli ona lezhit vnutri nechetnogo chisla okruzhnostey. tochku peresecheniya tozhe nazovem nechetnoy, esli ona lezhit vnutri nechetnogo chisla okruzhnostey, ne schitaya dve okruzhnosti, kotorye prohodyat cherez etu tochku. oboznachim mnozhestva nechetnyh oblastey i nechetnyh tochek cherez \\(\\mathcal r_{\\rm odd}\\) i \\(\\mathcal p_{\\rm odd}\\). snachala dokazhem podschet \\[ |\\mathcal r_{\\rm odd}|-|\\mathcal p_{\\rm odd}|\\equiv n\\pmod 2. \\] dlya okruzhnosti \\(c\\) oboznachim cherez \\(r_c\\) chislo oblastey, lezhaschih vnutri \\(c\\), cherez \\(p_c\\) chislo tochek peresecheniya, lezhaschih vnutri \\(c\\), cherez \\(x_c\\) chislo okruzhnostey, peresekayuschih \\(c\\), a cherez \\(a_c\\) chislo dug razbieniya, lezhaschih vnutri \\(c\\). tak…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-2016-c6-ferry-graph-dynamics","title":"Паромы и появление универсального острова, IMO Shortlist 2016 C6","path":"data\\problems\\imo\\imo-2016-c6-ferry-graph-dynamics.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-2016-c6-ferry-graph-dynamics.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-2016-c6-ferry-graph-dynamics","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO 2016 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","graph_cut","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"IMO Shortlist 2016 C6, страна неизвестна; графовый слой существенен в официальном решении.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Олимпиадная карточка опирается на официальный источник, шорт-лист или справочник и содержит решение со статусом ai_checked.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Есть \\(n\\ge3\\) островов и некоторые двусторонние паромные маршруты; граф маршрутов связен. Каждый год компания закрывает один маршрут \\(XY\\), а затем для каждого острова, соединённого ровно с одним из \\(X,Y\\), открывает маршрут к другому из них. Известно, что для любого разбиения островов на две непустые группы когда-нибудь будет закрыт маршрут между этими группами. Докажите, что через некоторое число лет появится остров, соединённый маршрутами со всеми остальными.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-cut","title":"Динамика переноса рёбер","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим процесс на связном графе \\(G\\): ребро \\(xy\\) удаляется, после чего каждая вершина, смежная ровно с одной из вершин \\(x,y\\), переносит эту смежность на другой конец. Предположим, что для всякого нетривиального разреза множества вершин в некоторый момент операция применяется к ребру, пересекающему этот разрез. Докажите, что в конце концов в графе появится вершина, смежная со всеми остальными.","definition_ids":["connected_graph","simple_graph","graph_cut"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Развёрнутое решение через двудольную сеть","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Назовём две непустые группы островов \\(A\\) и \\(B\\) сетью, если каждый остров из \\(A\\) соединён маршрутом с каждым островом из \\(B\\). Идея в том, чтобы поддерживать такую сеть на всё большем множестве островов. Сначала выберем любой существующий маршрут \\(AB\\). Так как исходный граф связен и \\(n\\ge 3\\), хотя бы один из островов \\(A\\) или \\(B\\) имеет ещё одного соседа; без ограничения общности пусть есть остров \\(C\\), соединённый с \\(A\\). Тогда множества \\(\\{A\\}\\) и \\(\\{B,C\\}\\) образуют сеть на трёх островах. Теперь предположим, что некоторое множество островов \\(U\\) уже разбито на две непустые доли \\(A\\) и \\(B\\), образующие сеть, причём \\(3\\le |U|0\\) монет орлом вверх, Гарри переворачивает \\(k\\)-ю монету слева; если орлов нет, процесс останавливается. Например, при \\(n=3\\) процесс из \\(THT\\) имеет вид \\(THT\\to HHT\\to HTT\\to TTT\\) и занимает три шага. Для начальной конфигурации \\(C\\) пусть \\(\\ell(C)\\) — число шагов до остановки. Докажите, что \\(\\ell(C)\\) конечно для любой начальной конфигурации, и найдите среднее значение \\(\\ell(C)\\) по всем \\(2^n\\) конфигурациям.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-state-digraph","title":"Функциональный граф двоичных строк","status":"ai_checked","text":"Для данного \\(n\\) рассмотрим ориентированный граф \\(G_n\\), вершинами которого являются все двоичные строки \\(x_1x_2\\ldots x_n\\) длины \\(n\\). Если строка \\(x\\) содержит ровно \\(k>0\\) единиц, проведём из \\(x\\) одно ориентированное ребро в строку, полученную заменой \\(k\\)-го символа строки \\(x\\) на противоположный. Нулевая строка \\(00\\ldots 0\\) является стоком. Для каждой вершины \\(x\\) пусть \\(d(x)\\) — длина ориентированного пути из \\(x\\) в \\(00\\ldots 0\\), если этот путь конечен. Докажите, что все эти пути конечны, и найдите среднее значение \\(d(x)\\) по всем \\(2^n\\) вершинам \\(G_n\\).","definition_ids":["directed_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-graph-recursion","title":"Рекурсия графов состояний","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ равен \\[ \\frac12(1+2+\\cdots+n)=\\frac{n(n+1)}4. \\] Будем писать \\(1\\) вместо \\(H\\) и \\(0\\) вместо \\(T\\). Пусть \\(G_n\\) — ориентированный граф на всех строках из \\(\\{0,1\\}^n\\): если в строке ровно \\(k>0\\) единиц, из неё ведёт ребро в строку, полученную переворачиванием \\(k\\)-го символа; строка \\(00\\ldots0\\) является стоком. Если из каждой вершины путь действительно доходит до стока, то длина этого пути в точности равна числу шагов процесса из соответствующей конфигурации. Обозначим через \\(E_n\\) среднее расстояние до стока в \\(G_n\\). Докажем одновременно конечность всех путей и рекурсию для \\(E_n\\). Для \\(n=0\\) есть одна пустая строка, уже являющаяся стоком, так что \\(E_0=0\\). Переход от \\(G_{n-1}\\) к \\(G_n\\) устроен так. Сначала возьмём копию \\(X\\): каждой строке \\(s=s_1\\ldots s_{n-1}\\) сопоставим строку \\(s0\\). Если в \\(s\\) ровно \\(k\\) единиц, то в \\(s0\\) тоже ровно \\(k\\) единиц,…"},{"id":"sol-official-head-position-formula","title":"Явная формула через позиции орлов","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Дадим независимое решение, которое сразу выводит явную формулу для числа ходов. Пусть в некоторый момент на доске ровно \\(r\\) орлов, стоящих в позициях \\[ 1\\le c_10\\) монет орлом вверх, гарри переворачивает \\(k\\)-ю монету слева; если орлов нет, процесс останавливается. например, при \\(n=3\\) процесс из \\(tht\\) имеет вид \\(tht\\to hht\\to htt\\to ttt\\) и занимает три шага. для начальной конфигурации \\(c\\) пусть \\(\\ell(c)\\) — число шагов до остановки. докажите, что \\(\\ell(c)\\) конечно для любой начальной конфигурации, и найдите среднее значение \\(\\ell(c)\\) по всем \\(2^n\\) конфигурациям. stmt-state-digraph функциональный граф двоичных строк ai_checked для данного \\(n\\) рассмотрим ориентированный граф \\(g_n\\), вершинами которого являются все двоичные строки \\(x_1x_2\\ldots x_n\\) длины \\(n\\). если строка \\(x\\) содержит ровно \\(k>0\\) единиц, проведём из \\(x\\) одно ориентированное ребро в строку, полученную заменой \\(k\\)-го символа строки \\(x\\) на противоположный. нулевая строка \\(00\\ldots 0\\) является стоком. для каждой вершины \\(x\\) пусть \\(d(x)\\) — длина ориентированного пути из \\(x\\) в \\(00\\ldots 0\\), если этот путь конечен. докажите, что все эти пути конечны, и найдите среднее значение \\(d(x)\\) по всем \\(2^n\\) вершинам \\(g_n\\). directed_graph path idea-state-digraph ориентированный граф состояний каждая нефинальная конфигурация имеет единственного преемника. поэтому задача о конечности процесса и среднем времени остановки равносильна задаче о расстояниях до стока в функциональном ориентированном графе состояний. goal_proof ai_checked idea-recursive-copies две копии графа меньшей длины вершины \\(g_n\\) разбиваются на две части: строки вида \\(s0\\) дают прямую копию \\(g_{n-1}\\), а строки вида \\(\\overline{s}_{n-1}\\cdots\\overline{s}_1 1\\) дают вторую копию \\(g_{n-1}\\), из которой есть один мост в первую копию. induction ai_checked idea-head-position-potential явная формула по позициям орлов если орлы стоят в позициях \\(c_1<\\cdots0\\) единиц, из неё ведёт ребро в строку, полученную переворачиванием \\(k\\)-го символа; строка \\(00\\ldots0\\) является стоком. если из каждой вершины путь действительно доходит до стока, то длина этого пути в точности равна числу шагов процесса из соответствующей конфигурации. обозначим через \\(e_n\\) среднее расстояние до стока в \\(g_n\\). докажем одновременно конечность всех путей и рекурсию для \\(e_n\\). для \\(n=0\\) есть одна пустая строка, уже являющаяся стоком, так что \\(e_0=0\\). переход от \\(g_{n-1}\\) к \\(g_n\\) устроен так. сначала возьмём копию \\(x\\): каждой строке \\(s=s_1\\ldots s_{n-1}\\) сопоставим строку \\(s0\\). если в \\(s\\) ровно \\(k\\) единиц, то в \\(s0\\) тоже ровно \\(k\\) единиц,… sol-official-head-position-formula явная формула через позиции орлов ai_checked дадим независимое решение, которое сразу выводит явную формулу для числа ходов. пусть в некоторый момент на доске ровно \\(r\\) орлов, стоящих в позициях \\[ 1\\le c_10\\) monet orlom vverh, garri perevorachivaet \\(k\\)-yu monetu sleva; esli orlov net, protsess ostanavlivaetsya. naprimer, pri \\(n=3\\) protsess iz \\(tht\\) imeet vid \\(tht\\to hht\\to htt\\to ttt\\) i zanimaet tri shaga. dlya nachalnoy konfiguratsii \\(c\\) pust \\(\\ell(c)\\) — chislo shagov do ostanovki. dokazhite, chto \\(\\ell(c)\\) konechno dlya lyuboy nachalnoy konfiguratsii, i naydite srednee znachenie \\(\\ell(c)\\) po vsem \\(2^n\\) konfiguratsiyam. stmt-state-digraph funktsionalnyy graf dvoichnyh strok ai_checked dlya dannogo \\(n\\) rassmotrim orientirovannyy graf \\(g_n\\), vershinami kotorogo yavlyayutsya vse dvoichnye stroki \\(x_1x_2\\ldots x_n\\) dliny \\(n\\). esli stroka \\(x\\) soderzhit rovno \\(k>0\\) edinits, provedem iz \\(x\\) odno orientirovannoe rebro v stroku, poluchennuyu zamenoy \\(k\\)-go simvola stroki \\(x\\) na protivopolozhnyy. nulevaya stroka \\(00\\ldots 0\\) yavlyaetsya stokom. dlya kazhdoy vershiny \\(x\\) pust \\(d(x)\\) — dlina orientirovannogo puti iz \\(x\\) v \\(00\\ldots 0\\), esli etot put konechen. dokazhite, chto vse eti puti konechny, i naydite srednee znachenie \\(d(x)\\) po vsem \\(2^n\\) vershinam \\(g_n\\). directed_graph path idea-state-digraph orientirovannyy graf sostoyaniy kazhdaya nefinalnaya konfiguratsiya imeet edinstvennogo preemnika. poetomu zadacha o konechnosti protsessa i srednem vremeni ostanovki ravnosilna zadache o rasstoyaniyah do stoka v funktsionalnom orientirovannom grafe sostoyaniy. goal_proof ai_checked idea-recursive-copies dve kopii grafa menshey dliny vershiny \\(g_n\\) razbivayutsya na dve chasti: stroki vida \\(s0\\) dayut pryamuyu kopiyu \\(g_{n-1}\\), a stroki vida \\(\\overline{s}_{n-1}\\cdots\\overline{s}_1 1\\) dayut vtoruyu kopiyu \\(g_{n-1}\\), iz kotoroy est odin most v pervuyu kopiyu. induction ai_checked idea-head-position-potential yavnaya formula po pozitsiyam orlov esli orly stoyat v pozitsiyah \\(c_1<\\cdots0\\) edinits, iz nee vedet rebro v stroku, poluchennuyu perevorachivaniem \\(k\\)-go simvola; stroka \\(00\\ldots0\\) yavlyaetsya stokom. esli iz kazhdoy vershiny put deystvitelno dohodit do stoka, to dlina etogo puti v tochnosti ravna chislu shagov protsessa iz sootvetstvuyuschey konfiguratsii. oboznachim cherez \\(e_n\\) srednee rasstoyanie do stoka v \\(g_n\\). dokazhem odnovremenno konechnost vseh putey i rekursiyu dlya \\(e_n\\). dlya \\(n=0\\) est odna pustaya stroka, uzhe yavlyayuschayasya stokom, tak chto \\(e_0=0\\). perehod ot \\(g_{n-1}\\) k \\(g_n\\) ustroen tak. snachala vozmem kopiyu \\(x\\): kazhdoy stroke \\(s=s_1\\ldots s_{n-1}\\) sopostavim stroku \\(s0\\). esli v \\(s\\) rovno \\(k\\) edinits, to v \\(s0\\) tozhe rovno \\(k\\) edinits,… sol-official-head-position-formula yavnaya formula cherez pozitsii orlov ai_checked dadim nezavisimoe reshenie, kotoroe srazu vyvodit yavnuyu formulu dlya chisla hodov. pust v nekotoryy moment na doske rovno \\(r\\) orlov, stoyaschih v pozitsiyah \\[ 1\\le c_1k\\), то есть \\(\\lceil2^k/2^m\\rceil\\). Если \\(n=p\\) простое, то для \\(p=2\\) пример уже есть, а для нечётного \\(p\\) зададим на представителях \\(0,1,\\ldots,p-1\\) функцию \\(f(x)=\\lfloor x/2\\rfloor\\). Любая функция на поле \\(\\mathbb F_p\\) задаётся многочленом по интерполяции Лагранжа, и коэффициенты можно поднять до целых. Тогда \\(f^m(x)=\\lfloor x/2^m\\rfloor\\), так что множество значений равно \\(\\{0,1,\\ldots,\\lfloor(p-1)/2^m\\rfloor\\}\\), а его размер равен \\(\\lfloor(p-1)/2^m\\rfloor+1=\\lceil p/2^m\\rceil\\). Теперь докажем невозможность остальных \\(n\\). Для модуля \\(q\\) обозначим через \\(I_m(q)\\) размер образа \\(P^m\\) на остат…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-2021-n8-putnam-2013-b5-functional-roots","neighbor_id":"putnam-2013-b5-functions-iterate-into-roots","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-2021-n8-cmo-2025-functional-dynamics","neighbor_id":"cmo-2025-p1-voting-functional-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-2021-n8-apmo-2016-functional-digraph","neighbor_id":"apmo-2016-p4-dreamland-28-step-coloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imo-2021-c6-functional-graph-roots итерации полинома с ровно половинящимися образами, imo shortlist 2021 n8 dynamics graph_in_solution minimal_counterexample construction goal_classification 2021 aops wiki, 2021 imo shortlist problems carl schildkraut carlschildkraut https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2021_imo_shortlist_problems https://www.imo-official.org/problems/imo2021sl.pdf imo imo 2021 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2021 imoshortlist imoshortlist2021 official_archive src-aops-imo-2021-shortlist src-imo-2021-shortlist statement with_solution carl schildkraut imo 2021 shortlisted problems with solutions aops wiki, 2021 imo shortlist problems stmt-original условие ai_checked найдите все положительные целые числа \\(n\\), для которых существует многочлен \\(p\\) с целыми коэффициентами, такой что для каждого положительного целого \\(m\\) числа \\(p^m(1),p^m(2),\\ldots,p^m(n)\\) дают ровно \\(\\left\\lceil n/2^m\\right\\rceil\\) различных остатков по модулю \\(n\\). здесь \\(p^m\\) обозначает \\(m\\)-кратную итерацию многочлена \\(p\\). idea-examples простые и степени двойки дают примеры для \\(2^k\\) подходит \\(p(x)=2x\\). для простого \\(p\\) любую функцию на \\(\\mathbb f_p\\) можно задать многочленом, поэтому берём функцию \\(x\\mapsto\\lfloor x/2\\rfloor\\) на представителях \\(0,1,\\ldots,p-1\\). construction ai_checked idea-crt-factor-obstruction два взаимно простых множителя не могут одновременно схлопнуться по китайской теореме об остатках размер образа по модулю \\(ab\\) равен произведению размеров образов по модулям \\(a\\) и \\(b\\). момент первого полного схлопывания одного фактора противоречит требуемому ровно половинному падению общего образа. minimal_counterexample ai_checked idea-prime-power-classes в нечётной простой степени класс либо сохраняется, либо падает в p раз для \\(n=p^k\\), где \\(p\\) нечётно, образ каждого класса \\(r\\bmod p\\) под многочленом либо имеет полный размер \\(p^{k-1}\\), либо не превосходит \\(p^{k-2}\\); это определяется производной многочлена по модулю \\(p\\). degree_counting ai_checked idea-functional-root-mod-p модуль p имеет единственный предельный корень так как образы по модулю \\(p^k\\) в конце становятся одноточечными, индуцированное отображение по модулю \\(p\\) имеет единственный предельный неподвижный остаток. множество остатков, попадающих в него за ограниченное число шагов, строго растёт до всего \\(\\mathbb f_p\\). graph_in_solution ai_checked sol-official-expanded официальное решение, развёрнутое source_verified directed_graph path minimal_counterexample invariant ответ: все простые числа и все степени двойки. примеры. если \\(n=2^k\\), берём \\(p(x)=2x\\). тогда образ \\(p^m\\) по модулю \\(2^k\\) состоит из кратных \\(2^m\\), пока \\(m\\le k\\), и из одного нуля после этого. поэтому его размер равен \\(2^{k-m}\\) при \\(m\\le k\\) и равен 1 при \\(m>k\\), то есть \\(\\lceil2^k/2^m\\rceil\\). если \\(n=p\\) простое, то для \\(p=2\\) пример уже есть, а для нечётного \\(p\\) зададим на представителях \\(0,1,\\ldots,p-1\\) функцию \\(f(x)=\\lfloor x/2\\rfloor\\). любая функция на поле \\(\\mathbb f_p\\) задаётся многочленом по интерполяции лагранжа, и коэффициенты можно поднять до целых. тогда \\(f^m(x)=\\lfloor x/2^m\\rfloor\\), так что множество значений равно \\(\\{0,1,\\ldots,\\lfloor(p-1)/2^m\\rfloor\\}\\), а его размер равен \\(\\lfloor(p-1)/2^m\\rfloor+1=\\lceil p/2^m\\rceil\\). теперь докажем невозможность остальных \\(n\\). для модуля \\(q\\) обозначим через \\(i_m(q)\\) размер образа \\(p^m\\) на остат… imo-2021-c6-functional-graph-roots iteratsii polinoma s rovno polovinyaschimisya obrazami, imo shortlist 2021 n8 dynamics graph_in_solution minimal_counterexample construction goal_classification 2021 aops wiki, 2021 imo shortlist problems carl schildkraut carlschildkraut https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2021_imo_shortlist_problems https://www.imo-official.org/problems/imo2021sl.pdf imo imo 2021 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2021 imoshortlist imoshortlist2021 official_archive src-aops-imo-2021-shortlist src-imo-2021-shortlist statement with_solution carl schildkraut imo 2021 shortlisted problems with solutions aops wiki, 2021 imo shortlist problems stmt-original uslovie ai_checked naydite vse polozhitelnye tselye chisla \\(n\\), dlya kotoryh suschestvuet mnogochlen \\(p\\) s tselymi koeffitsientami, takoy chto dlya kazhdogo polozhitelnogo tselogo \\(m\\) chisla \\(p^m(1),p^m(2),\\ldots,p^m(n)\\) dayut rovno \\(\\left\\lceil n/2^m\\right\\rceil\\) razlichnyh ostatkov po modulyu \\(n\\). zdes \\(p^m\\) oboznachaet \\(m\\)-kratnuyu iteratsiyu mnogochlena \\(p\\). idea-examples prostye i stepeni dvoyki dayut primery dlya \\(2^k\\) podhodit \\(p(x)=2x\\). dlya prostogo \\(p\\) lyubuyu funktsiyu na \\(\\mathbb f_p\\) mozhno zadat mnogochlenom, poetomu berem funktsiyu \\(x\\mapsto\\lfloor x/2\\rfloor\\) na predstavitelyah \\(0,1,\\ldots,p-1\\). construction ai_checked idea-crt-factor-obstruction dva vzaimno prostyh mnozhitelya ne mogut odnovremenno shlopnutsya po kitayskoy teoreme ob ostatkah razmer obraza po modulyu \\(ab\\) raven proizvedeniyu razmerov obrazov po modulyam \\(a\\) i \\(b\\). moment pervogo polnogo shlopyvaniya odnogo faktora protivorechit trebuemomu rovno polovinnomu padeniyu obschego obraza. minimal_counterexample ai_checked idea-prime-power-classes v nechetnoy prostoy stepeni klass libo sohranyaetsya, libo padaet v p raz dlya \\(n=p^k\\), gde \\(p\\) nechetno, obraz kazhdogo klassa \\(r\\bmod p\\) pod mnogochlenom libo imeet polnyy razmer \\(p^{k-1}\\), libo ne prevoshodit \\(p^{k-2}\\); eto opredelyaetsya proizvodnoy mnogochlena po modulyu \\(p\\). degree_counting ai_checked idea-functional-root-mod-p modul p imeet edinstvennyy predelnyy koren tak kak obrazy po modulyu \\(p^k\\) v kontse stanovyatsya odnotochechnymi, indutsirovannoe otobrazhenie po modulyu \\(p\\) imeet edinstvennyy predelnyy nepodvizhnyy ostatok. mnozhestvo ostatkov, popadayuschih v nego za ogranichennoe chislo shagov, strogo rastet do vsego \\(\\mathbb f_p\\). graph_in_solution ai_checked sol-official-expanded ofitsialnoe reshenie, razvernutoe source_verified directed_graph path minimal_counterexample invariant otvet: vse prostye chisla i vse stepeni dvoyki. primery. esli \\(n=2^k\\), berem \\(p(x)=2x\\). togda obraz \\(p^m\\) po modulyu \\(2^k\\) sostoit iz kratnyh \\(2^m\\), poka \\(m\\le k\\), i iz odnogo nulya posle etogo. poetomu ego razmer raven \\(2^{k-m}\\) pri \\(m\\le k\\) i raven 1 pri \\(m>k\\), to est \\(\\lceil2^k/2^m\\rceil\\). esli \\(n=p\\) prostoe, to dlya \\(p=2\\) primer uzhe est, a dlya nechetnogo \\(p\\) zadadim na predstavitelyah \\(0,1,\\ldots,p-1\\) funktsiyu \\(f(x)=\\lfloor x/2\\rfloor\\). lyubaya funktsiya na pole \\(\\mathbb f_p\\) zadaetsya mnogochlenom po interpolyatsii lagranzha, i koeffitsienty mozhno podnyat do tselyh. togda \\(f^m(x)=\\lfloor x/2^m\\rfloor\\), tak chto mnozhestvo znacheniy ravno \\(\\{0,1,\\ldots,\\lfloor(p-1)/2^m\\rfloor\\}\\), a ego razmer raven \\(\\lfloor(p-1)/2^m\\rfloor+1=\\lceil p/2^m\\rceil\\). teper dokazhem nevozmozhnost ostalnyh \\(n\\). dlya modulya \\(q\\) oboznachim cherez \\(i_m(q)\\) razmer obraza \\(p^m\\) na ostat…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph","title":"Разрезание полоски и эйлеров граф, IMO Shortlist 2023 C4","path":"data\\problems\\imo\\imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO 2023 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","connectivity","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"IMO Shortlist 2023 C4, U.S.A.; графовый слой существенен в официальном решении.","status":"ai_checked"},"review_status":"source_verified","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"source_verified","confidence":0.9,"basis":"официальный шортлист и аудит очень высокой сложности","notes":"Эйлерово доказательство через мультиграф развёрнуто; явно описаны конструкция из \\(n-1\\) длинных кусков и \\(n\\) одиночных, а также нижняя оценка через удаление рёбер вне остова.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge2\\). Полоска \\(1\\times n^2\\) состоит из клеток с метками \\(1,\\ldots,n^2\\). Нужно разрезать её на несколько отрезков из подряд идущих клеток и, не поворачивая и не отражая, перенести куски в квадрат \\(n\\times n\\) так, чтобы для метки \\(a_{ij}\\) в клетке строки \\(i\\), столбца \\(j\\), число \\(a_{ij}-(i+j-1)\\) делилось на \\(n\\). Найдите минимальное число кусков.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Доказательство через эйлеров мультиграф","status":"source_verified","definition_ids":["connected_graph","cycle","eulerian_cycle","multigraph","spanning_tree"],"standard_idea_ids":["delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(2n-1\\). Будем работать с остатками по модулю \\(n\\). Удобно считать, что остатки - это \\(0,1,\\ldots,n-1\\), а в клетке \\((i,j)\\) должен стоять номер с остатком \\(i+j-1\\pmod n\\). В каждой строке требуемые остатки идут подряд и увеличиваются на 1 при переходе вправо. Сначала построим разрезание на \\(2n-1\\) кусков. Отрежем от исходной полоски \\(n-1\\) длинных кусков длины \\(n\\), а между соседними длинными кусками - по одному одноклеточному куску; в конце останется ещё один одноклеточный кусок. Иными словами, длины кусков равны \\[ n,1,n,1,\\ldots,n,1, \\] где длинных кусков \\(n-1\\), а единичных кусков \\(n\\). Всего кусков \\((n-1)+n=2n-1\\). Первый длинный кусок имеет остатки \\(0,1,\\ldots,n-1\\), второй - \\(1,2,\\ldots,0\\), и так далее. Поэтому \\(n-1\\) длинных кусков можно положить в первые \\(n-1\\) строк: каждый из них заполняет целую строку с нужным начальным остатком. Оставшиеся \\(n\\) един…"}],"relations":[{"id":"rel-imo-2023-c4-vjimc-2000-debruijn-eulerian-encoding","neighbor_id":"vjimc-2000-cat2-p2-de-bruijn-euler-cycle","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1986-p6-imo-2023-c4-eulerian-reconstruction","neighbor_id":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-2023-c4-imo-2019-c4-component-counting","neighbor_id":"imo-2019-c4-labyrinth-region-graph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-euler-imo-2023-c4","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-after-tags-imo-2020-2023-eulerian-parity","neighbor_id":"imo-2020-c6-colored-coins-eulerian-multigraph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph разрезание полоски и эйлеров граф, imo shortlist 2023 c4 eulerian_graphs connectivity goal_exact_bound 2023 https://www.imo-official.org/problems/imo2023sl.pdf imo imo 2023 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2023 imoshortlist imoshortlist2023 official_archive src-imo-2023-shortlist with_solution ? imo 2023 shortlisted problems with solutions stmt-original условие ai_checked пусть \\(n\\ge2\\). полоска \\(1\\times n^2\\) состоит из клеток с метками \\(1,\\ldots,n^2\\). нужно разрезать её на несколько отрезков из подряд идущих клеток и, не поворачивая и не отражая, перенести куски в квадрат \\(n\\times n\\) так, чтобы для метки \\(a_{ij}\\) в клетке строки \\(i\\), столбца \\(j\\), число \\(a_{ij}-(i+j-1)\\) делилось на \\(n\\). найдите минимальное число кусков. idea-pieces-as-edges куски как рёбра каждый кусок с метками от \\(a\\) до \\(b-1\\) задаёт ребро из остатка \\(a\\) в остаток \\(b\\) по модулю \\(n\\). eulerian_graphs ai_checked idea-eulerian-cycle-lower-bound эйлеров цикл и нижняя оценка возможность собрать исходную полоску означает, что граф кусков имеет эйлеров цикл; связность и циклы дают нижнюю оценку на число рёбер. connectivity ai_checked sol-official-compressed доказательство через эйлеров мультиграф source_verified connected_graph cycle eulerian_cycle multigraph spanning_tree delete_to_simplify ответ: \\(2n-1\\). будем работать с остатками по модулю \\(n\\). удобно считать, что остатки - это \\(0,1,\\ldots,n-1\\), а в клетке \\((i,j)\\) должен стоять номер с остатком \\(i+j-1\\pmod n\\). в каждой строке требуемые остатки идут подряд и увеличиваются на 1 при переходе вправо. сначала построим разрезание на \\(2n-1\\) кусков. отрежем от исходной полоски \\(n-1\\) длинных кусков длины \\(n\\), а между соседними длинными кусками - по одному одноклеточному куску; в конце останется ещё один одноклеточный кусок. иными словами, длины кусков равны \\[ n,1,n,1,\\ldots,n,1, \\] где длинных кусков \\(n-1\\), а единичных кусков \\(n\\). всего кусков \\((n-1)+n=2n-1\\). первый длинный кусок имеет остатки \\(0,1,\\ldots,n-1\\), второй - \\(1,2,\\ldots,0\\), и так далее. поэтому \\(n-1\\) длинных кусков можно положить в первые \\(n-1\\) строк: каждый из них заполняет целую строку с нужным начальным остатком. оставшиеся \\(n\\) един… imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph razrezanie poloski i eylerov graf, imo shortlist 2023 c4 eulerian_graphs connectivity goal_exact_bound 2023 https://www.imo-official.org/problems/imo2023sl.pdf imo imo 2023 shortlisted problems with solutions imo shortlist imo2023 imoshortlist imoshortlist2023 official_archive src-imo-2023-shortlist with_solution ? imo 2023 shortlisted problems with solutions stmt-original uslovie ai_checked pust \\(n\\ge2\\). poloska \\(1\\times n^2\\) sostoit iz kletok s metkami \\(1,\\ldots,n^2\\). nuzhno razrezat ee na neskolko otrezkov iz podryad iduschih kletok i, ne povorachivaya i ne otrazhaya, perenesti kuski v kvadrat \\(n\\times n\\) tak, chtoby dlya metki \\(a_{ij}\\) v kletke stroki \\(i\\), stolbtsa \\(j\\), chislo \\(a_{ij}-(i+j-1)\\) delilos na \\(n\\). naydite minimalnoe chislo kuskov. idea-pieces-as-edges kuski kak rebra kazhdyy kusok s metkami ot \\(a\\) do \\(b-1\\) zadaet rebro iz ostatka \\(a\\) v ostatok \\(b\\) po modulyu \\(n\\). eulerian_graphs ai_checked idea-eulerian-cycle-lower-bound eylerov tsikl i nizhnyaya otsenka vozmozhnost sobrat ishodnuyu polosku oznachaet, chto graf kuskov imeet eylerov tsikl; svyaznost i tsikly dayut nizhnyuyu otsenku na chislo reber. connectivity ai_checked sol-official-compressed dokazatelstvo cherez eylerov multigraf source_verified connected_graph cycle eulerian_cycle multigraph spanning_tree delete_to_simplify otvet: \\(2n-1\\). budem rabotat s ostatkami po modulyu \\(n\\). udobno schitat, chto ostatki - eto \\(0,1,\\ldots,n-1\\), a v kletke \\((i,j)\\) dolzhen stoyat nomer s ostatkom \\(i+j-1\\pmod n\\). v kazhdoy stroke trebuemye ostatki idut podryad i uvelichivayutsya na 1 pri perehode vpravo. snachala postroim razrezanie na \\(2n-1\\) kuskov. otrezhem ot ishodnoy poloski \\(n-1\\) dlinnyh kuskov dliny \\(n\\), a mezhdu sosednimi dlinnymi kuskami - po odnomu odnokletochnomu kusku; v kontse ostanetsya esche odin odnokletochnyy kusok. inymi slovami, dliny kuskov ravny \\[ n,1,n,1,\\ldots,n,1, \\] gde dlinnyh kuskov \\(n-1\\), a edinichnyh kuskov \\(n\\). vsego kuskov \\((n-1)+n=2n-1\\). pervyy dlinnyy kusok imeet ostatki \\(0,1,\\ldots,n-1\\), vtoroy - \\(1,2,\\ldots,0\\), i tak dalee. poetomu \\(n-1\\) dlinnyh kuskov mozhno polozhit v pervye \\(n-1\\) strok: kazhdyy iz nih zapolnyaet tseluyu stroku s nuzhnym nachalnym ostatkom. ostavshiesya \\(n\\) edin…","source_keys":["imo"]} {"id":"imo-2023-c7-ferry-companies-hamiltonian-paths","title":"Паромные компании и гамильтоновы пути, IMO Shortlist 2023 C7","path":"data\\problems\\imo\\imo-2023-c7-ferry-companies-hamiltonian-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imo/imo-2023-c7-ferry-companies-hamiltonian-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imo-2023-c7-ferry-companies-hamiltonian-paths","source_key":"imo","source_label":"IMO Shortlist","source_titles":["IMO 2023 Shortlisted Problems with Solutions"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","hamiltonian_cycles","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_plus","local_score":12,"comment":"IMO Shortlist 2023 C7, Украина; графовый слой существенен в официальном решении.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"В карточке есть официальные, шортлистные или справочные источники и проверенное ИИ решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Архипелаг состоит из \\(n\\ge2\\) островов. Между каждой парой островов есть единственная двусторонняя паромная линия, принадлежащая одной из \\(k\\) компаний. Если любая одна компания закрывает все свои линии, путешественник уже не может, откуда бы он ни стартовал, посетить все острова ровно по одному разу. Найдите максимальное возможное \\(k\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Паромные компании и гамильтоновы пути, IMO Shortlist 2023 C7","status":"needs_human_review","text":"Рёбра полного графа \\(K_n\\) раскрашены в \\(k\\) цветов. Известно, что после удаления рёбер любого одного цвета в оставшемся графе нет гамильтонова пути. Найдите максимально возможное \\(k\\).","definition_ids":["complete_graph","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Доказательство через бинарную раскраску рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["path","complete_graph","hamiltonian_path"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(\\lfloor\\log_2 n\\rfloor\\). Переформулируем задачу так: рёбра \\(K_n\\) раскрашены в \\(k\\) цветов, и требуется, чтобы каждый гамильтонов путь содержал все \\(k\\) цветов. Назовём такую раскраску хорошей. Сначала построим хорошую раскраску для \\(k=\\lfloor\\log_2 n\\rfloor\\). Занумеруем вершины \\(A_1,\\ldots,A_n\\). Вершине \\(A_j\\) припишем цвет \\(\\min(\\lfloor\\log_2 j\\rfloor+1,k)\\), а ребро \\(A_uA_v\\) при \\(u