{"id":"imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal","title":"Пересекающиеся семейства конечных подмножеств и конечный носитель пересечений, IMC 1997 Day 1 P6","path":"data\\problems\\imc\\imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 1997 Day 1 P6, официальные условия и решения"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","induction","construction","goal_proof","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":13,"comment":"Продвинутая гиперграфовая задача о конечных носителях попарных пересечений: контрпример короткий, а положительная часть требует аккуратной индукции для двух перекрестно пересекающихся равномерных семейств.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(\\mathcal F\\) - семейство конечных подмножеств множества натуральных чисел \\(\\mathbb N\\), причем любые два множества \\(A,B\\in\\mathcal F\\) имеют непустое пересечение. (a) Верно ли, что существует конечное множество \\(Y\\subset\\mathbb N\\), такое что для любых \\(A,B\\in\\mathcal F\\) выполнено \\(A\\cap B\\cap Y\\ne\\varnothing\\)? (b) Останется ли утверждение пункта (a) верным, если дополнительно известно, что все множества из \\(\\mathcal F\\) имеют один и тот же размер? Ответы обоснуйте.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-hypergraph","title":"Пересекающиеся конечные гиперграфы","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(\\mathcal H\\) — гиперграф на множестве вершин \\(\\mathbb N\\), все рёбра которого конечны и попарно пересекаются. В общем случае не обязательно существует конечное множество вершин \\(Y\\), пересекающее каждое множество вида \\(E\\cap E'\\) для рёбер \\(E,E'\\in\\mathcal H\\). Если же \\(\\mathcal H\\) равномерен, то такое конечное \\(Y\\) существует.","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Контрпример и индукция для равномерного случая","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"В пункте (a) ответ отрицательный. Для каждого \\(n\\ge 1\\) положим \\(A_n=\\{1,3,5,\\ldots,2n-1,2n\\}\\) и \\(B_n=\\{2,4,6,\\ldots,2n,2n+1\\}\\), а семейство \\(\\mathcal F\\) составим из всех этих \\(A_n\\) и \\(B_n\\). Проверим, что любые два множества из \\(\\mathcal F\\) пересекаются. Если взяты \\(A_n\\) и \\(A_m\\), то они оба содержат \\(1\\). Если взяты \\(B_n\\) и \\(B_m\\), то они оба содержат \\(2\\). Наконец, для \\(A_n\\) и \\(B_m\\) при \\(n\\le m\\) общим элементом является \\(2n\\), а при \\(n>m\\) общим элементом является \\(2m+1\\). С другой стороны, \\(A_n\\cap B_n=\\{2n\\}\\). Если \\(Y\\) - любое конечное подмножество \\(\\mathbb N\\), выберем \\(n\\) так, что \\(2n\\notin Y\\). Тогда \\(A_n\\cap B_n\\cap Y=\\varnothing\\). Значит, универсального конечного множества \\(Y\\) в пункте (a) может не быть. Для пункта (b) докажем более сильное утверждение о двух перекрестно пересекающихся семействах. Пусть \\(\\mathcal F\\) и \\(\\mathcal G\\) -…"}],"relations":[{"id":"rel-imc1997-p6-parent-to-a-counterexample","neighbor_id":"imc-1997-day1-p6a-intersecting-families-no-finite-transversal","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc1997-p6-parent-to-b-uniform-theorem","neighbor_id":"imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vjimc-2009-partial-hypergraph-imc-1997","neighbor_id":"vjimc-2009-cat1-p3-partial-hypergraph-bicoloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal пересекающиеся семейства конечных подмножеств и конечный носитель пересечений, imc 1997 day 1 p6 graph_model induction construction goal_proof goal_impossibility 1997 https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1997/prob_sol1.pdf imc imc 1997 day 1 p6, официальные условия и решения imc1997 problem_and_solution src-imc-1997-day1-p6-official with_solution ? imc 1997 day 1 p6, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(\\mathcal f\\) - семейство конечных подмножеств множества натуральных чисел \\(\\mathbb n\\), причем любые два множества \\(a,b\\in\\mathcal f\\) имеют непустое пересечение. (a) верно ли, что существует конечное множество \\(y\\subset\\mathbb n\\), такое что для любых \\(a,b\\in\\mathcal f\\) выполнено \\(a\\cap b\\cap y\\ne\\varnothing\\)? (b) останется ли утверждение пункта (a) верным, если дополнительно известно, что все множества из \\(\\mathcal f\\) имеют один и тот же размер? ответы обоснуйте. stmt-hypergraph пересекающиеся конечные гиперграфы ai_checked пусть \\(\\mathcal h\\) — гиперграф на множестве вершин \\(\\mathbb n\\), все рёбра которого конечны и попарно пересекаются. в общем случае не обязательно существует конечное множество вершин \\(y\\), пересекающее каждое множество вида \\(e\\cap e'\\) для рёбер \\(e,e'\\in\\mathcal h\\). если же \\(\\mathcal h\\) равномерен, то такое конечное \\(y\\) существует. idea-moving-intersection-counterexample пересечение можно уводить за любой конечный барьер в неравномерном случае пары множеств можно устроить так, что \\(a_n\\cap b_n\\) состоит из одной большой точки \\(2n\\). тогда любое заранее выбранное конечное \\(y\\) промахивается мимо этой пары при больших \\(n\\). construction goal_impossibility ai_checked idea-traces-on-fixed-pair индукция по размерам через следы на фиксированной паре для двух равномерных перекрестно пересекающихся семейств фиксируем одну пару множеств \\(a_0,b_0\\) и разбиваем остальные множества по их следам на конечном множестве \\(a_0\\cup b_0\\). если два следа пересекаются, одна точка из их пересечения уже работает; если нет, то пересечение вынуждено лежать вне \\(a_0\\cup b_0\\), и после удаления следов размеры обоих семейств уменьшаются. induction graph_model ai_checked sol-official-expanded контрпример и индукция для равномерного случая ai_checked induction в пункте (a) ответ отрицательный. для каждого \\(n\\ge 1\\) положим \\(a_n=\\{1,3,5,\\ldots,2n-1,2n\\}\\) и \\(b_n=\\{2,4,6,\\ldots,2n,2n+1\\}\\), а семейство \\(\\mathcal f\\) составим из всех этих \\(a_n\\) и \\(b_n\\). проверим, что любые два множества из \\(\\mathcal f\\) пересекаются. если взяты \\(a_n\\) и \\(a_m\\), то они оба содержат \\(1\\). если взяты \\(b_n\\) и \\(b_m\\), то они оба содержат \\(2\\). наконец, для \\(a_n\\) и \\(b_m\\) при \\(n\\le m\\) общим элементом является \\(2n\\), а при \\(n>m\\) общим элементом является \\(2m+1\\). с другой стороны, \\(a_n\\cap b_n=\\{2n\\}\\). если \\(y\\) - любое конечное подмножество \\(\\mathbb n\\), выберем \\(n\\) так, что \\(2n\\notin y\\). тогда \\(a_n\\cap b_n\\cap y=\\varnothing\\). значит, универсального конечного множества \\(y\\) в пункте (a) может не быть. для пункта (b) докажем более сильное утверждение о двух перекрестно пересекающихся семействах. пусть \\(\\mathcal f\\) и \\(\\mathcal g\\) -… imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal peresekayuschiesya semeystva konechnyh podmnozhestv i konechnyy nositel peresecheniy, imc 1997 day 1 p6 graph_model induction construction goal_proof goal_impossibility 1997 https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1997/prob_sol1.pdf imc imc 1997 day 1 p6, ofitsialnye usloviya i resheniya imc1997 problem_and_solution src-imc-1997-day1-p6-official with_solution ? imc 1997 day 1 p6, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(\\mathcal f\\) - semeystvo konechnyh podmnozhestv mnozhestva naturalnyh chisel \\(\\mathbb n\\), prichem lyubye dva mnozhestva \\(a,b\\in\\mathcal f\\) imeyut nepustoe peresechenie. (a) verno li, chto suschestvuet konechnoe mnozhestvo \\(y\\subset\\mathbb n\\), takoe chto dlya lyubyh \\(a,b\\in\\mathcal f\\) vypolneno \\(a\\cap b\\cap y\\ne\\varnothing\\)? (b) ostanetsya li utverzhdenie punkta (a) vernym, esli dopolnitelno izvestno, chto vse mnozhestva iz \\(\\mathcal f\\) imeyut odin i tot zhe razmer? otvety obosnuyte. stmt-hypergraph peresekayuschiesya konechnye gipergrafy ai_checked pust \\(\\mathcal h\\) — gipergraf na mnozhestve vershin \\(\\mathbb n\\), vse rebra kotorogo konechny i poparno peresekayutsya. v obschem sluchae ne obyazatelno suschestvuet konechnoe mnozhestvo vershin \\(y\\), peresekayuschee kazhdoe mnozhestvo vida \\(e\\cap e'\\) dlya reber \\(e,e'\\in\\mathcal h\\). esli zhe \\(\\mathcal h\\) ravnomeren, to takoe konechnoe \\(y\\) suschestvuet. idea-moving-intersection-counterexample peresechenie mozhno uvodit za lyuboy konechnyy barer v neravnomernom sluchae pary mnozhestv mozhno ustroit tak, chto \\(a_n\\cap b_n\\) sostoit iz odnoy bolshoy tochki \\(2n\\). togda lyuboe zaranee vybrannoe konechnoe \\(y\\) promahivaetsya mimo etoy pary pri bolshih \\(n\\). construction goal_impossibility ai_checked idea-traces-on-fixed-pair induktsiya po razmeram cherez sledy na fiksirovannoy pare dlya dvuh ravnomernyh perekrestno peresekayuschihsya semeystv fiksiruem odnu paru mnozhestv \\(a_0,b_0\\) i razbivaem ostalnye mnozhestva po ih sledam na konechnom mnozhestve \\(a_0\\cup b_0\\). esli dva sleda peresekayutsya, odna tochka iz ih peresecheniya uzhe rabotaet; esli net, to peresechenie vynuzhdeno lezhat vne \\(a_0\\cup b_0\\), i posle udaleniya sledov razmery oboih semeystv umenshayutsya. induction graph_model ai_checked sol-official-expanded kontrprimer i induktsiya dlya ravnomernogo sluchaya ai_checked induction v punkte (a) otvet otritsatelnyy. dlya kazhdogo \\(n\\ge 1\\) polozhim \\(a_n=\\{1,3,5,\\ldots,2n-1,2n\\}\\) i \\(b_n=\\{2,4,6,\\ldots,2n,2n+1\\}\\), a semeystvo \\(\\mathcal f\\) sostavim iz vseh etih \\(a_n\\) i \\(b_n\\). proverim, chto lyubye dva mnozhestva iz \\(\\mathcal f\\) peresekayutsya. esli vzyaty \\(a_n\\) i \\(a_m\\), to oni oba soderzhat \\(1\\). esli vzyaty \\(b_n\\) i \\(b_m\\), to oni oba soderzhat \\(2\\). nakonets, dlya \\(a_n\\) i \\(b_m\\) pri \\(n\\le m\\) obschim elementom yavlyaetsya \\(2n\\), a pri \\(n>m\\) obschim elementom yavlyaetsya \\(2m+1\\). s drugoy storony, \\(a_n\\cap b_n=\\{2n\\}\\). esli \\(y\\) - lyuboe konechnoe podmnozhestvo \\(\\mathbb n\\), vyberem \\(n\\) tak, chto \\(2n\\notin y\\). togda \\(a_n\\cap b_n\\cap y=\\varnothing\\). znachit, universalnogo konechnogo mnozhestva \\(y\\) v punkte (a) mozhet ne byt. dlya punkta (b) dokazhem bolee silnoe utverzhdenie o dvuh perekrestno peresekayuschihsya semeystvah. pust \\(\\mathcal f\\) i \\(\\mathcal g\\) -…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-1997-day1-p6a-intersecting-families-no-finite-transversal","title":"Пересекающееся семейство без конечного носителя попарных пересечений, IMC 1997 Day 1 P6(a)","path":"data\\problems\\imc\\imc-1997-day1-p6a-intersecting-families-no-finite-transversal.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-1997-day1-p6a-intersecting-families-no-finite-transversal.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-1997-day1-p6a-intersecting-families-no-finite-transversal","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 1997 Day 1 P6, официальные условия и решения"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["construction","graph_model","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Короткий, но нетривиальный контрпример: нужно сохранить попарное пересечение всего бесконечного семейства и одновременно увести некоторые конкретные пересечения за любой конечный свидетель.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агент high-reasoning split аудит","notes":"Выделенная часть официальной задачи с самодостаточным контрпримером.","audit_source":"agent-imc-1997-p6-split"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Постройте семейство \\(\\mathcal F\\) конечных подмножеств множества натуральных чисел \\(\\mathbb N\\), такое что любые два множества из \\(\\mathcal F\\) имеют непустое пересечение, но не существует конечного множества \\(Y\\subset\\mathbb N\\), для которого \\(A\\cap B\\cap Y\\ne\\varnothing\\) при любых \\(A,B\\in\\mathcal F\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-hypergraph","title":"Контрпример для конечного трансверсаля пересечений","status":"ai_checked","text":"Постройте гиперграф \\(\\mathcal H\\) на множестве вершин \\(\\mathbb N\\), все рёбра которого конечны и попарно пересекаются, но для которого никакое конечное множество вершин \\(Y\\) не пересекает все множества вида \\(E\\cap E'\\), где \\(E,E'\\) — рёбра \\(\\mathcal H\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-explicit-counterexample","title":"Явный контрпример","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для каждого \\(n\\ge1\\) положим \\[ A_n=\\{1,3,5,\\ldots,2n-1,2n\\},\\qquad B_n=\\{2,4,6,\\ldots,2n,2n+1\\}. \\] Пусть \\(\\mathcal F=\\{A_n:n\\ge1\\}\\cup\\{B_n:n\\ge1\\}\\). Все множества в \\(\\mathcal F\\) конечны. Проверим попарное пересечение. Любые два множества вида \\(A_n,A_m\\) содержат \\(1\\). Любые два множества вида \\(B_n,B_m\\) содержат \\(2\\). Если взяты \\(A_n\\) и \\(B_m\\), то при \\(n\\le m\\) число \\(2n\\) лежит в обоих множествах, а при \\(n>m\\) число \\(2m+1\\) лежит в обоих множествах. Следовательно, \\(\\mathcal F\\) действительно является пересекающимся семейством. Теперь рассмотрим диагональные пары. По построению \\[ A_n\\cap B_n=\\{2n\\}. \\] Пусть \\(Y\\subset\\mathbb N\\) конечно. Тогда можно выбрать \\(n\\) так, что \\(2n\\notin Y\\). Для этой пары получаем \\[ A_n\\cap B_n\\cap Y=\\varnothing. \\] Значит, никакое конечное множество \\(Y\\) не может пересекать все попарные пересечения множеств из \\(\\mathcal F\\)."}],"relations":[{"id":"rel-imc1997-p6-parent-to-a-counterexample","neighbor_id":"imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc1997-p6a-p6b-paired-variant","neighbor_id":"imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imc-1997-day1-p6a-intersecting-families-no-finite-transversal пересекающееся семейство без конечного носителя попарных пересечений, imc 1997 day 1 p6(a) construction graph_model goal_impossibility 1997 https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1997/prob_sol1.pdf imc imc 1997 day 1 p6, официальные условия и решения imc1997 problem_and_solution src-imc-1997-day1-p6-official with_solution ? imc 1997 day 1 p6, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked постройте семейство \\(\\mathcal f\\) конечных подмножеств множества натуральных чисел \\(\\mathbb n\\), такое что любые два множества из \\(\\mathcal f\\) имеют непустое пересечение, но не существует конечного множества \\(y\\subset\\mathbb n\\), для которого \\(a\\cap b\\cap y\\ne\\varnothing\\) при любых \\(a,b\\in\\mathcal f\\). stmt-hypergraph контрпример для конечного трансверсаля пересечений ai_checked постройте гиперграф \\(\\mathcal h\\) на множестве вершин \\(\\mathbb n\\), все рёбра которого конечны и попарно пересекаются, но для которого никакое конечное множество вершин \\(y\\) не пересекает все множества вида \\(e\\cap e'\\), где \\(e,e'\\) — рёбра \\(\\mathcal h\\). idea-moving-singleton-intersections единственное пересечение пары уходит на бесконечность две бесконечные серии множеств можно сделать так, чтобы все множества внутри одной серии имели общий малый элемент, а диагональная пара \\(a_n,b_n\\) пересекалась только в точке \\(2n\\). любое конечное \\(y\\) пропустит такую точку при подходящем \\(n\\). construction goal_impossibility ai_checked sol-explicit-counterexample явный контрпример ai_checked для каждого \\(n\\ge1\\) положим \\[ a_n=\\{1,3,5,\\ldots,2n-1,2n\\},\\qquad b_n=\\{2,4,6,\\ldots,2n,2n+1\\}. \\] пусть \\(\\mathcal f=\\{a_n:n\\ge1\\}\\cup\\{b_n:n\\ge1\\}\\). все множества в \\(\\mathcal f\\) конечны. проверим попарное пересечение. любые два множества вида \\(a_n,a_m\\) содержат \\(1\\). любые два множества вида \\(b_n,b_m\\) содержат \\(2\\). если взяты \\(a_n\\) и \\(b_m\\), то при \\(n\\le m\\) число \\(2n\\) лежит в обоих множествах, а при \\(n>m\\) число \\(2m+1\\) лежит в обоих множествах. следовательно, \\(\\mathcal f\\) действительно является пересекающимся семейством. теперь рассмотрим диагональные пары. по построению \\[ a_n\\cap b_n=\\{2n\\}. \\] пусть \\(y\\subset\\mathbb n\\) конечно. тогда можно выбрать \\(n\\) так, что \\(2n\\notin y\\). для этой пары получаем \\[ a_n\\cap b_n\\cap y=\\varnothing. \\] значит, никакое конечное множество \\(y\\) не может пересекать все попарные пересечения множеств из \\(\\mathcal f\\). imc-1997-day1-p6a-intersecting-families-no-finite-transversal peresekayuscheesya semeystvo bez konechnogo nositelya poparnyh peresecheniy, imc 1997 day 1 p6(a) construction graph_model goal_impossibility 1997 https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1997/prob_sol1.pdf imc imc 1997 day 1 p6, ofitsialnye usloviya i resheniya imc1997 problem_and_solution src-imc-1997-day1-p6-official with_solution ? imc 1997 day 1 p6, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked postroyte semeystvo \\(\\mathcal f\\) konechnyh podmnozhestv mnozhestva naturalnyh chisel \\(\\mathbb n\\), takoe chto lyubye dva mnozhestva iz \\(\\mathcal f\\) imeyut nepustoe peresechenie, no ne suschestvuet konechnogo mnozhestva \\(y\\subset\\mathbb n\\), dlya kotorogo \\(a\\cap b\\cap y\\ne\\varnothing\\) pri lyubyh \\(a,b\\in\\mathcal f\\). stmt-hypergraph kontrprimer dlya konechnogo transversalya peresecheniy ai_checked postroyte gipergraf \\(\\mathcal h\\) na mnozhestve vershin \\(\\mathbb n\\), vse rebra kotorogo konechny i poparno peresekayutsya, no dlya kotorogo nikakoe konechnoe mnozhestvo vershin \\(y\\) ne peresekaet vse mnozhestva vida \\(e\\cap e'\\), gde \\(e,e'\\) — rebra \\(\\mathcal h\\). idea-moving-singleton-intersections edinstvennoe peresechenie pary uhodit na beskonechnost dve beskonechnye serii mnozhestv mozhno sdelat tak, chtoby vse mnozhestva vnutri odnoy serii imeli obschiy malyy element, a diagonalnaya para \\(a_n,b_n\\) peresekalas tolko v tochke \\(2n\\). lyuboe konechnoe \\(y\\) propustit takuyu tochku pri podhodyaschem \\(n\\). construction goal_impossibility ai_checked sol-explicit-counterexample yavnyy kontrprimer ai_checked dlya kazhdogo \\(n\\ge1\\) polozhim \\[ a_n=\\{1,3,5,\\ldots,2n-1,2n\\},\\qquad b_n=\\{2,4,6,\\ldots,2n,2n+1\\}. \\] pust \\(\\mathcal f=\\{a_n:n\\ge1\\}\\cup\\{b_n:n\\ge1\\}\\). vse mnozhestva v \\(\\mathcal f\\) konechny. proverim poparnoe peresechenie. lyubye dva mnozhestva vida \\(a_n,a_m\\) soderzhat \\(1\\). lyubye dva mnozhestva vida \\(b_n,b_m\\) soderzhat \\(2\\). esli vzyaty \\(a_n\\) i \\(b_m\\), to pri \\(n\\le m\\) chislo \\(2n\\) lezhit v oboih mnozhestvah, a pri \\(n>m\\) chislo \\(2m+1\\) lezhit v oboih mnozhestvah. sledovatelno, \\(\\mathcal f\\) deystvitelno yavlyaetsya peresekayuschimsya semeystvom. teper rassmotrim diagonalnye pary. po postroeniyu \\[ a_n\\cap b_n=\\{2n\\}. \\] pust \\(y\\subset\\mathbb n\\) konechno. togda mozhno vybrat \\(n\\) tak, chto \\(2n\\notin y\\). dlya etoy pary poluchaem \\[ a_n\\cap b_n\\cap y=\\varnothing. \\] znachit, nikakoe konechnoe mnozhestvo \\(y\\) ne mozhet peresekat vse poparnye peresecheniya mnozhestv iz \\(\\mathcal f\\).","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal","title":"Конечный носитель попарных пересечений для равномерного пересекающегося семейства, IMC 1997 Day 1 P6(b)","path":"data\\problems\\imc\\imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 1997 Day 1 P6, официальные условия и решения"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","induction","goal_proof","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":12,"comment":"Положительная часть существенно сложнее контрпримера: полезно усилить задачу до двух перекрестно пересекающихся равномерных семейств и провести индукцию по сумме размеров через конечное разбиение по следам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агент high-reasoning split аудит","notes":"Выделенная часть официальной задачи с самодостаточным усиленным доказательством.","audit_source":"agent-imc-1997-p6-split"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(\\mathcal F\\) - семейство конечных подмножеств множества натуральных чисел \\(\\mathbb N\\). Предположим, что любые два множества из \\(\\mathcal F\\) имеют непустое пересечение и что все множества из \\(\\mathcal F\\) имеют один и тот же размер. Докажите, что существует конечное множество \\(Y\\subset\\mathbb N\\), такое что \\(A\\cap B\\cap Y\\ne\\varnothing\\) для любых \\(A,B\\in\\mathcal F\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-hypergraph","title":"Равномерный пересекающийся гиперграф","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(\\mathcal H\\) — равномерный гиперграф на множестве вершин \\(\\mathbb N\\), все рёбра которого конечны и попарно пересекаются. Докажите, что существует конечное множество вершин \\(Y\\), пересекающее каждое множество вида \\(E\\cap E'\\), где \\(E,E'\\) — рёбра \\(\\mathcal H\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-cross-intersecting-induction","title":"Индукция для перекрестно пересекающихся равномерных семейств","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем более сильное утверждение. Пусть \\(\\mathcal F\\) и \\(\\mathcal G\\) - два семейства конечных подмножеств \\(\\mathbb N\\), каждое множество из \\(\\mathcal F\\) имеет размер \\(r\\), каждое множество из \\(\\mathcal G\\) имеет размер \\(s\\), и для любых \\(A\\in\\mathcal F\\), \\(B\\in\\mathcal G\\) выполнено \\(A\\cap B\\ne\\varnothing\\). Тогда существует конечное множество \\(Y\\subset\\mathbb N\\), такое что \\(A\\cap B\\cap Y\\ne\\varnothing\\) для всех \\(A\\in\\mathcal F\\), \\(B\\in\\mathcal G\\). Искомая теорема получается из этого утверждения при \\(\\mathcal G=\\mathcal F\\) и \\(r=s\\). Если одно из семейств пусто, можно взять \\(Y=\\varnothing\\). Далее считаем оба семейства непустыми и доказываем утверждение индукцией по \\(r+s\\). База. Если \\(r=1\\), зафиксируем любое \\(B_0\\in\\mathcal G\\). Всякое \\(A\\in\\mathcal F\\) имеет вид \\(\\{a\\}\\) и должно пересекать \\(B_0\\), значит \\(a\\in B_0\\). Для любого \\(B\\in\\mathcal G\\) из \\(A…"}],"relations":[{"id":"rel-imc1997-p6-parent-to-b-uniform-theorem","neighbor_id":"imc-1997-day1-p6-intersecting-families-finite-transversal","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc1997-p6a-p6b-paired-variant","neighbor_id":"imc-1997-day1-p6a-intersecting-families-no-finite-transversal","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc1997-p6b-imc2003-uniform-hypergraph","neighbor_id":"imc-2003-day2-p4-steiner-triples-elementary-abelian-2-group","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2002-p8-imc-1997-uniform-intersecting-families","neighbor_id":"kolmogorov-2002-team-olympiad-seniors-problem-8","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal конечный носитель попарных пересечений для равномерного пересекающегося семейства, imc 1997 day 1 p6(b) graph_model induction goal_proof goal_existence 1997 https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1997/prob_sol1.pdf imc imc 1997 day 1 p6, официальные условия и решения imc1997 problem_and_solution src-imc-1997-day1-p6-official with_solution ? imc 1997 day 1 p6, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(\\mathcal f\\) - семейство конечных подмножеств множества натуральных чисел \\(\\mathbb n\\). предположим, что любые два множества из \\(\\mathcal f\\) имеют непустое пересечение и что все множества из \\(\\mathcal f\\) имеют один и тот же размер. докажите, что существует конечное множество \\(y\\subset\\mathbb n\\), такое что \\(a\\cap b\\cap y\\ne\\varnothing\\) для любых \\(a,b\\in\\mathcal f\\). stmt-hypergraph равномерный пересекающийся гиперграф ai_checked пусть \\(\\mathcal h\\) — равномерный гиперграф на множестве вершин \\(\\mathbb n\\), все рёбра которого конечны и попарно пересекаются. докажите, что существует конечное множество вершин \\(y\\), пересекающее каждое множество вида \\(e\\cap e'\\), где \\(e,e'\\) — рёбра \\(\\mathcal h\\). idea-cross-intersecting-lemma усилить задачу до двух перекрестно пересекающихся семейств вместо одного равномерного пересекающегося семейства доказывается более сильная лемма для двух семейств фиксированных размеров \\(r\\) и \\(s\\), где каждое множество первого пересекает каждое множество второго. induction goal_proof ai_checked idea-finite-trace-partition разбить по следам на фиксированном конечном множестве фиксируем \\(a_0\\) и \\(b_0\\), кладем \\(u=a_0\\cup b_0\\) и разбиваем оба семейства по непустым следам на \\(u\\). если следы пересекаются, одна точка из \\(u\\) уже работает; если следы не пересекаются, удаление следов уменьшает оба размера и запускает индукцию. induction graph_model ai_checked sol-cross-intersecting-induction индукция для перекрестно пересекающихся равномерных семейств ai_checked induction докажем более сильное утверждение. пусть \\(\\mathcal f\\) и \\(\\mathcal g\\) - два семейства конечных подмножеств \\(\\mathbb n\\), каждое множество из \\(\\mathcal f\\) имеет размер \\(r\\), каждое множество из \\(\\mathcal g\\) имеет размер \\(s\\), и для любых \\(a\\in\\mathcal f\\), \\(b\\in\\mathcal g\\) выполнено \\(a\\cap b\\ne\\varnothing\\). тогда существует конечное множество \\(y\\subset\\mathbb n\\), такое что \\(a\\cap b\\cap y\\ne\\varnothing\\) для всех \\(a\\in\\mathcal f\\), \\(b\\in\\mathcal g\\). искомая теорема получается из этого утверждения при \\(\\mathcal g=\\mathcal f\\) и \\(r=s\\). если одно из семейств пусто, можно взять \\(y=\\varnothing\\). далее считаем оба семейства непустыми и доказываем утверждение индукцией по \\(r+s\\). база. если \\(r=1\\), зафиксируем любое \\(b_0\\in\\mathcal g\\). всякое \\(a\\in\\mathcal f\\) имеет вид \\(\\{a\\}\\) и должно пересекать \\(b_0\\), значит \\(a\\in b_0\\). для любого \\(b\\in\\mathcal g\\) из \\(a… imc-1997-day1-p6b-uniform-intersecting-families-finite-transversal konechnyy nositel poparnyh peresecheniy dlya ravnomernogo peresekayuschegosya semeystva, imc 1997 day 1 p6(b) graph_model induction goal_proof goal_existence 1997 https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1997/prob_sol1.pdf imc imc 1997 day 1 p6, ofitsialnye usloviya i resheniya imc1997 problem_and_solution src-imc-1997-day1-p6-official with_solution ? imc 1997 day 1 p6, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(\\mathcal f\\) - semeystvo konechnyh podmnozhestv mnozhestva naturalnyh chisel \\(\\mathbb n\\). predpolozhim, chto lyubye dva mnozhestva iz \\(\\mathcal f\\) imeyut nepustoe peresechenie i chto vse mnozhestva iz \\(\\mathcal f\\) imeyut odin i tot zhe razmer. dokazhite, chto suschestvuet konechnoe mnozhestvo \\(y\\subset\\mathbb n\\), takoe chto \\(a\\cap b\\cap y\\ne\\varnothing\\) dlya lyubyh \\(a,b\\in\\mathcal f\\). stmt-hypergraph ravnomernyy peresekayuschiysya gipergraf ai_checked pust \\(\\mathcal h\\) — ravnomernyy gipergraf na mnozhestve vershin \\(\\mathbb n\\), vse rebra kotorogo konechny i poparno peresekayutsya. dokazhite, chto suschestvuet konechnoe mnozhestvo vershin \\(y\\), peresekayuschee kazhdoe mnozhestvo vida \\(e\\cap e'\\), gde \\(e,e'\\) — rebra \\(\\mathcal h\\). idea-cross-intersecting-lemma usilit zadachu do dvuh perekrestno peresekayuschihsya semeystv vmesto odnogo ravnomernogo peresekayuschegosya semeystva dokazyvaetsya bolee silnaya lemma dlya dvuh semeystv fiksirovannyh razmerov \\(r\\) i \\(s\\), gde kazhdoe mnozhestvo pervogo peresekaet kazhdoe mnozhestvo vtorogo. induction goal_proof ai_checked idea-finite-trace-partition razbit po sledam na fiksirovannom konechnom mnozhestve fiksiruem \\(a_0\\) i \\(b_0\\), kladem \\(u=a_0\\cup b_0\\) i razbivaem oba semeystva po nepustym sledam na \\(u\\). esli sledy peresekayutsya, odna tochka iz \\(u\\) uzhe rabotaet; esli sledy ne peresekayutsya, udalenie sledov umenshaet oba razmera i zapuskaet induktsiyu. induction graph_model ai_checked sol-cross-intersecting-induction induktsiya dlya perekrestno peresekayuschihsya ravnomernyh semeystv ai_checked induction dokazhem bolee silnoe utverzhdenie. pust \\(\\mathcal f\\) i \\(\\mathcal g\\) - dva semeystva konechnyh podmnozhestv \\(\\mathbb n\\), kazhdoe mnozhestvo iz \\(\\mathcal f\\) imeet razmer \\(r\\), kazhdoe mnozhestvo iz \\(\\mathcal g\\) imeet razmer \\(s\\), i dlya lyubyh \\(a\\in\\mathcal f\\), \\(b\\in\\mathcal g\\) vypolneno \\(a\\cap b\\ne\\varnothing\\). togda suschestvuet konechnoe mnozhestvo \\(y\\subset\\mathbb n\\), takoe chto \\(a\\cap b\\cap y\\ne\\varnothing\\) dlya vseh \\(a\\in\\mathcal f\\), \\(b\\in\\mathcal g\\). iskomaya teorema poluchaetsya iz etogo utverzhdeniya pri \\(\\mathcal g=\\mathcal f\\) i \\(r=s\\). esli odno iz semeystv pusto, mozhno vzyat \\(y=\\varnothing\\). dalee schitaem oba semeystva nepustymi i dokazyvaem utverzhdenie induktsiey po \\(r+s\\). baza. esli \\(r=1\\), zafiksiruem lyuboe \\(b_0\\in\\mathcal g\\). vsyakoe \\(a\\in\\mathcal f\\) imeet vid \\(\\{a\\}\\) i dolzhno peresekat \\(b_0\\), znachit \\(a\\in b_0\\). dlya lyubogo \\(b\\in\\mathcal g\\) iz \\(a…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle","title":"Цикл в двудольном графе строк и столбцов, IMC 1999 Day 1 P5","path":"data\\problems\\imc\\imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 1999 Day 1 P5, официальные условия и решения"],"year":"1999","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_model","connectivity","double_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":5,"comment":"После перевода в двудольный граф задача сводится к базовой оценке числа ребер в лесу.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В таблице \\(n\\times n\\) отмечены \\(2n\\) точек. Докажите, что для некоторого \\(k>1\\) можно выбрать \\(2k\\) различных отмеченных точек \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{2k}\\) так, что \\(a_1\\) и \\(a_2\\) лежат в одной строке, \\(a_2\\) и \\(a_3\\) - в одном столбце, \\(a_3\\) и \\(a_4\\) - в одной строке, и так далее, \\(a_{2k-1}\\) и \\(a_{2k}\\) лежат в одной строке, а \\(a_{2k}\\) и \\(a_1\\) - в одном столбце.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Цикл в двудольном графе строк и столбцов","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой двудольный граф с долями размера \\(n\\) и с \\(2n\\) рёбрами. Докажите, что \\(G\\) содержит цикл.","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-graph","title":"Двудольный граф строк и столбцов","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф \\(G\\). Его вершинами являются все \\(n\\) строк и все \\(n\\) столбцов таблицы. Для каждой отмеченной точки в строке \\(r\\) и столбце \\(c\\) проведем ребро между вершинами \\(r\\) и \\(c\\). Получается двудольный граф с \\(2n\\) вершинами и \\(2n\\) ребрами. Если граф без циклов имеет \\(N\\) вершин, то он содержит не более \\(N-1\\) ребра: каждая его компонента является деревом или изолированной вершиной, и сумма по компонентам дает эту оценку. В нашем случае ребер столько же, сколько вершин, то есть \\(2n\\), поэтому \\(G\\) обязан содержать цикл. Так как граф двудольный, любой его цикл имеет четную длину и попеременно проходит через вершины-строки и вершины-столбцы. Пусть цикл имеет вид \\(r_1,c_1,r_2,c_2,\\ldots,r_k,c_k,r_1\\). Каждое соседство \\(r_i c_i\\) и \\(c_i r_{i+1}\\) соответствует отмеченной точке таблицы. Взяв эти точки по порядку, получаем \\(2k\\) различных отмеченных точек, у которы…"}],"relations":[{"id":"rel-edge-count-bound-imc-1999-marked-grid-cycle","neighbor_id":"edge-count-bipartite-matching-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-1999-grid-cycle-egmo-2016-incidence","neighbor_id":"egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-1999-grid-cycle-tree-properties","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2014-imc-1999-bipartite-cycle","neighbor_id":"putnam-2014-b3-prime-entries-bipartite-cycle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-yumt-2025-unior-r3p1-imc-1999-forest-edge-bound","neighbor_id":"yumt-2025-unior-round3-problem1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle цикл в двудольном графе строк и столбцов, imc 1999 day 1 p5 graph_model connectivity double_counting goal_existence 1999 https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1999/prob_sol1.pdf imc imc 1999 day 1 p5, официальные условия и решения imc1999 problem_and_solution src-imc-1999-day1-p5-official with_solution ? imc 1999 day 1 p5, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked в таблице \\(n\\times n\\) отмечены \\(2n\\) точек. докажите, что для некоторого \\(k>1\\) можно выбрать \\(2k\\) различных отмеченных точек \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{2k}\\) так, что \\(a_1\\) и \\(a_2\\) лежат в одной строке, \\(a_2\\) и \\(a_3\\) - в одном столбце, \\(a_3\\) и \\(a_4\\) - в одной строке, и так далее, \\(a_{2k-1}\\) и \\(a_{2k}\\) лежат в одной строке, а \\(a_{2k}\\) и \\(a_1\\) - в одном столбце. stmt-graph цикл в двудольном графе строк и столбцов ai_checked пусть \\(g\\) — простой двудольный граф с долями размера \\(n\\) и с \\(2n\\) рёбрами. докажите, что \\(g\\) содержит цикл. bipartite_graph cycle idea-row-column-bipartite-cycle строки и столбцы как вершины отмеченная точка становится ребром между своей строкой и своим столбцом. если бы цикла не было, граф был бы лесом и имел бы не больше \\(2n-1\\) ребра, что противоречит наличию \\(2n\\) отмеченных точек. connectivity double_counting graph_model ai_checked sol-official-graph двудольный граф строк и столбцов ai_checked bipartite_graph cycle рассмотрим граф \\(g\\). его вершинами являются все \\(n\\) строк и все \\(n\\) столбцов таблицы. для каждой отмеченной точки в строке \\(r\\) и столбце \\(c\\) проведем ребро между вершинами \\(r\\) и \\(c\\). получается двудольный граф с \\(2n\\) вершинами и \\(2n\\) ребрами. если граф без циклов имеет \\(n\\) вершин, то он содержит не более \\(n-1\\) ребра: каждая его компонента является деревом или изолированной вершиной, и сумма по компонентам дает эту оценку. в нашем случае ребер столько же, сколько вершин, то есть \\(2n\\), поэтому \\(g\\) обязан содержать цикл. так как граф двудольный, любой его цикл имеет четную длину и попеременно проходит через вершины-строки и вершины-столбцы. пусть цикл имеет вид \\(r_1,c_1,r_2,c_2,\\ldots,r_k,c_k,r_1\\). каждое соседство \\(r_i c_i\\) и \\(c_i r_{i+1}\\) соответствует отмеченной точке таблицы. взяв эти точки по порядку, получаем \\(2k\\) различных отмеченных точек, у которы… imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle tsikl v dvudolnom grafe strok i stolbtsov, imc 1999 day 1 p5 graph_model connectivity double_counting goal_existence 1999 https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1999/prob_sol1.pdf imc imc 1999 day 1 p5, ofitsialnye usloviya i resheniya imc1999 problem_and_solution src-imc-1999-day1-p5-official with_solution ? imc 1999 day 1 p5, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked v tablitse \\(n\\times n\\) otmecheny \\(2n\\) tochek. dokazhite, chto dlya nekotorogo \\(k>1\\) mozhno vybrat \\(2k\\) razlichnyh otmechennyh tochek \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{2k}\\) tak, chto \\(a_1\\) i \\(a_2\\) lezhat v odnoy stroke, \\(a_2\\) i \\(a_3\\) - v odnom stolbtse, \\(a_3\\) i \\(a_4\\) - v odnoy stroke, i tak dalee, \\(a_{2k-1}\\) i \\(a_{2k}\\) lezhat v odnoy stroke, a \\(a_{2k}\\) i \\(a_1\\) - v odnom stolbtse. stmt-graph tsikl v dvudolnom grafe strok i stolbtsov ai_checked pust \\(g\\) — prostoy dvudolnyy graf s dolyami razmera \\(n\\) i s \\(2n\\) rebrami. dokazhite, chto \\(g\\) soderzhit tsikl. bipartite_graph cycle idea-row-column-bipartite-cycle stroki i stolbtsy kak vershiny otmechennaya tochka stanovitsya rebrom mezhdu svoey strokoy i svoim stolbtsom. esli by tsikla ne bylo, graf byl by lesom i imel by ne bolshe \\(2n-1\\) rebra, chto protivorechit nalichiyu \\(2n\\) otmechennyh tochek. connectivity double_counting graph_model ai_checked sol-official-graph dvudolnyy graf strok i stolbtsov ai_checked bipartite_graph cycle rassmotrim graf \\(g\\). ego vershinami yavlyayutsya vse \\(n\\) strok i vse \\(n\\) stolbtsov tablitsy. dlya kazhdoy otmechennoy tochki v stroke \\(r\\) i stolbtse \\(c\\) provedem rebro mezhdu vershinami \\(r\\) i \\(c\\). poluchaetsya dvudolnyy graf s \\(2n\\) vershinami i \\(2n\\) rebrami. esli graf bez tsiklov imeet \\(n\\) vershin, to on soderzhit ne bolee \\(n-1\\) rebra: kazhdaya ego komponenta yavlyaetsya derevom ili izolirovannoy vershinoy, i summa po komponentam daet etu otsenku. v nashem sluchae reber stolko zhe, skolko vershin, to est \\(2n\\), poetomu \\(g\\) obyazan soderzhat tsikl. tak kak graf dvudolnyy, lyuboy ego tsikl imeet chetnuyu dlinu i poperemenno prohodit cherez vershiny-stroki i vershiny-stolbtsy. pust tsikl imeet vid \\(r_1,c_1,r_2,c_2,\\ldots,r_k,c_k,r_1\\). kazhdoe sosedstvo \\(r_i c_i\\) i \\(c_i r_{i+1}\\) sootvetstvuet otmechennoy tochke tablitsy. vzyav eti tochki po poryadku, poluchaem \\(2k\\) razlichnyh otmechennyh tochek, u kotory…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-2001-day2-p4-zero-principal-minors-acyclic-digraph","title":"Нулевые главные миноры и ациклический граф ненулевых элементов, IMC 2001 Day 2 P4","path":"data\\problems\\imc\\imc-2001-day2-p4-zero-principal-minors-acyclic-digraph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-2001-day2-p4-zero-principal-minors-acyclic-digraph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-2001-day2-p4-zero-principal-minors-acyclic-digraph","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 2001 Day 2 P4, официальные условия и решения"],"year":"2001","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_in_solution","minimal_counterexample","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":14,"comment":"Сильная задача: графовая часть естественна, но ключевой шаг с ненулевым членом определителя и минимальным циклом требует ручной проверки.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(A=(a_{k,l})_{k,l=1,\\ldots,n}\\) - комплексная матрица \\(n\\times n\\), такая что для каждого \\(m\\in\\{1,\\ldots,n\\}\\) и любых \\(1\\le j_1<\\cdotsn/2\\). Значит, совершенное паросочетание между \\(M\\) и \\(F\\) существует. Зафиксируем такое паросочетание и обозначим через \\(P\\) множество его \\(n\\) пар. Построим двудольный граф \\(H\\) с долями \\(P\\) и \\(E\\): пару \\(p=(m,f)\\) соединяем с вершиной \\(e\\in E\\), если в исх…"}],"relations":[{"id":"rel-imc2011-p2-parent-to-three-quarter-perfect-cover","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2-tripartite-married-triples","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc2011-p2-half-threshold-three-quarter-paired","neighbor_id":"imc-2011-day2-p2a-tripartite-half-threshold-counterexample","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-hall-marriage-imc2011-three-quarter-perfect-cover","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2012-b3-imc2011-three-quarter-hall-applications","neighbor_id":"putnam-2012-b3-round-robin-winners-hall","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vosh-2017-triangle-factor-imc2011-three-quarter-perfect-cover","neighbor_id":"vosh-2017-18-regional-friendship-triangle-factor","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-imc2011-hall-applications","neighbor_id":"round-robin-winner-count-hall-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imc-2011-day2-p2b-tripartite-three-quarter-perfect-cover совершенное покрытие треугольниками при \\(k\\ge 3n/4\\), imc 2011 day 2 p2(b) matching degree_counting graph_model goal_existence 2011 fedor duzhin fedorduzhin https://www.imc-math.org.uk/imc2011/imc2011-day2-solutions.pdf imc imc 2011 day 2 p2, официальные условия и решения imc2011 nick gravin nickgravin problem_and_solution src-imc-2011-day2-p2-official with_solution fedor duzhin nick gravin imc 2011 day 2 p2, официальные условия и решения stmt-original-three-quarter условие, часть (b) ai_checked у инопланетной расы три пола: мужской, женский и эмальский. брачная тройка состоит из трех представителей разных полов, которые все нравятся друг другу; симпатии взаимны. в экспедиции есть \\(n\\) мужчин, \\(n\\) женщин и \\(n\\) эмалей. каждый участник симпатизирует хотя бы \\(k\\) представителям каждого из двух других полов. докажите, что если \\(k\\ge 3n/4\\), то всегда можно создать \\(n\\) попарно непересекающихся брачных троек, то есть включить в них всех участников экспедиции. matching stmt-graph-three-quarter фактор из треугольников в плотном трёхдольном графе ai_checked пусть \\(g\\) — простой трёхдольный граф с долями \\(m,f,e\\), каждая размера \\(n\\). предположим, что каждая вершина имеет не меньше \\(k\\) соседей в каждой из двух чужих долей, где \\(k\\ge 3n/4\\). докажите, что \\(g\\) содержит \\(n\\) попарно непересекающихся треугольников, покрывающих все вершины. simple_graph bipartite_graph matching degree idea-first-match-two-parts сначала сопоставить две доли так как каждая вершина имеет больше половины возможных соседей в чужой доле, теорема холла дает совершенное паросочетание между двумя выбранными долями. matching ai_checked idea-match-pairs-to-third-part пары сопоставляются с общей третьей вершиной после фиксации пар \\((m,f)\\) строим двудольный граф между этими парами и третьей долей. ребро означает, что третья вершина соединена и с \\(m\\), и с \\(f\\); условие \\(k\\ge3n/4\\) ровно закрывает проверку холла. matching degree_counting ai_checked sol-two-stage-hall два применения теоремы холла ai_checked simple_graph bipartite_graph matching degree augmenting_path_method double_counting работаем в графовой формулировке. сначала докажем, что между долями \\(m\\) и \\(f\\) есть совершенное паросочетание. по теореме холла достаточно проверить, что для любого \\(a\\subseteq m\\) его множество соседей \\(n_f(a)\\) имеет размер хотя бы \\(|a|\\). если бы \\(|n_f(a)|<|a|\\), то, с одной стороны, из степени вершин \\(a\\) следовало бы \\(|n_f(a)|\\ge k\\). с другой стороны, любая вершина \\(f\\in f\\setminus n_f(a)\\) не соединена ни с одной вершиной из \\(a\\), поэтому ее степень в \\(m\\) не превосходит \\(n-|a|\\). значит, \\(k\\le n-|a|\\), то есть \\(|a|\\le n-k\\). получаем \\(k\\le |n_f(a)|<|a|\\le n-k\\), что невозможно, поскольку \\(k\\ge3n/4>n/2\\). значит, совершенное паросочетание между \\(m\\) и \\(f\\) существует. зафиксируем такое паросочетание и обозначим через \\(p\\) множество его \\(n\\) пар. построим двудольный граф \\(h\\) с долями \\(p\\) и \\(e\\): пару \\(p=(m,f)\\) соединяем с вершиной \\(e\\in e\\), если в исх… imc-2011-day2-p2b-tripartite-three-quarter-perfect-cover sovershennoe pokrytie treugolnikami pri \\(k\\ge 3n/4\\), imc 2011 day 2 p2(b) matching degree_counting graph_model goal_existence 2011 fedor duzhin fedorduzhin https://www.imc-math.org.uk/imc2011/imc2011-day2-solutions.pdf imc imc 2011 day 2 p2, ofitsialnye usloviya i resheniya imc2011 nick gravin nickgravin problem_and_solution src-imc-2011-day2-p2-official with_solution fedor duzhin nick gravin imc 2011 day 2 p2, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original-three-quarter uslovie, chast (b) ai_checked u inoplanetnoy rasy tri pola: muzhskoy, zhenskiy i emalskiy. brachnaya troyka sostoit iz treh predstaviteley raznyh polov, kotorye vse nravyatsya drug drugu; simpatii vzaimny. v ekspeditsii est \\(n\\) muzhchin, \\(n\\) zhenschin i \\(n\\) emaley. kazhdyy uchastnik simpatiziruet hotya by \\(k\\) predstavitelyam kazhdogo iz dvuh drugih polov. dokazhite, chto esli \\(k\\ge 3n/4\\), to vsegda mozhno sozdat \\(n\\) poparno neperesekayuschihsya brachnyh troek, to est vklyuchit v nih vseh uchastnikov ekspeditsii. matching stmt-graph-three-quarter faktor iz treugolnikov v plotnom trehdolnom grafe ai_checked pust \\(g\\) — prostoy trehdolnyy graf s dolyami \\(m,f,e\\), kazhdaya razmera \\(n\\). predpolozhim, chto kazhdaya vershina imeet ne menshe \\(k\\) sosedey v kazhdoy iz dvuh chuzhih doley, gde \\(k\\ge 3n/4\\). dokazhite, chto \\(g\\) soderzhit \\(n\\) poparno neperesekayuschihsya treugolnikov, pokryvayuschih vse vershiny. simple_graph bipartite_graph matching degree idea-first-match-two-parts snachala sopostavit dve doli tak kak kazhdaya vershina imeet bolshe poloviny vozmozhnyh sosedey v chuzhoy dole, teorema holla daet sovershennoe parosochetanie mezhdu dvumya vybrannymi dolyami. matching ai_checked idea-match-pairs-to-third-part pary sopostavlyayutsya s obschey tretey vershinoy posle fiksatsii par \\((m,f)\\) stroim dvudolnyy graf mezhdu etimi parami i tretey doley. rebro oznachaet, chto tretya vershina soedinena i s \\(m\\), i s \\(f\\); uslovie \\(k\\ge3n/4\\) rovno zakryvaet proverku holla. matching degree_counting ai_checked sol-two-stage-hall dva primeneniya teoremy holla ai_checked simple_graph bipartite_graph matching degree augmenting_path_method double_counting rabotaem v grafovoy formulirovke. snachala dokazhem, chto mezhdu dolyami \\(m\\) i \\(f\\) est sovershennoe parosochetanie. po teoreme holla dostatochno proverit, chto dlya lyubogo \\(a\\subseteq m\\) ego mnozhestvo sosedey \\(n_f(a)\\) imeet razmer hotya by \\(|a|\\). esli by \\(|n_f(a)|<|a|\\), to, s odnoy storony, iz stepeni vershin \\(a\\) sledovalo by \\(|n_f(a)|\\ge k\\). s drugoy storony, lyubaya vershina \\(f\\in f\\setminus n_f(a)\\) ne soedinena ni s odnoy vershinoy iz \\(a\\), poetomu ee stepen v \\(m\\) ne prevoshodit \\(n-|a|\\). znachit, \\(k\\le n-|a|\\), to est \\(|a|\\le n-k\\). poluchaem \\(k\\le |n_f(a)|<|a|\\le n-k\\), chto nevozmozhno, poskolku \\(k\\ge3n/4>n/2\\). znachit, sovershennoe parosochetanie mezhdu \\(m\\) i \\(f\\) suschestvuet. zafiksiruem takoe parosochetanie i oboznachim cherez \\(p\\) mnozhestvo ego \\(n\\) par. postroim dvudolnyy graf \\(h\\) s dolyami \\(p\\) i \\(e\\): paru \\(p=(m,f)\\) soedinyaem s vershinoy \\(e\\in e\\), esli v ish…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-2013-day1-p3-six-trips-cover-pairs","title":"Экскурсии, покрывающие все пары учеников, IMC 2013 Day 1 P3","path":"data\\problems\\imc\\imc-2013-day1-p3-six-trips-cover-pairs.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-2013-day1-p3-six-trips-cover-pairs.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-2013-day1-p3-six-trips-cover-pairs","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 2013 Day 1 P3, официальные условия и решения"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":["Oleksandr Rybak"],"tags":["double_counting","construction","graph_model","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p2_p5","local_score":6,"comment":"Комбинаторное покрытие рёбер полного графа кликами размера \\(n\\); графовая модель полезна для классификации, хотя официальное решение говорит языком групп учеников.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В школе \\(2n\\) учеников, где \\(n\\ge2\\). Каждую неделю \\(n\\) учеников отправляются на экскурсию. После нескольких экскурсий выполнено условие: любые два ученика хотя бы один раз были вместе на экскурсии. Каково минимальное число экскурсий, необходимое для этого?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Покрытие рёбер \\(K_{2n}\\) кликами \\(K_n\\)","status":"ai_checked","text":"Найдите минимальное число полных подграфов на \\(n\\) вершинах, которыми можно покрыть все рёбра полного графа \\(K_{2n}\\), где \\(n\\ge2\\).","definition_ids":["complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Нижняя оценка и блочные конструкции","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(6\\) экскурсий. Сначала докажем, что пяти экскурсий недостаточно. Если было не больше пяти экскурсий, суммарное число участий учеников в них не превосходит \\(5n\\). С другой стороны, фиксированный ученик за одну экскурсию встречает не более \\(n-1\\) других учеников. Чтобы встретить всех остальных \\(2n-1\\) учеников, он должен участвовать как минимум в трёх экскурсиях, потому что \\(2(n-1)<2n-1\\). Значит, суммарное число участий не меньше \\(3\\cdot2n=6n\\), противоречие. Поэтому нужно хотя бы \\(6\\) экскурсий. Построим расписание из шести экскурсий. Если \\(n\\) чётно, делим всех \\(2n\\) учеников на четыре равные группы \\(A,B,C,D\\) размера \\(n/2\\). Шесть экскурсий берём как объединения пар групп: \\[ (A,B),\\ (C,D),\\ (A,C),\\ (B,D),\\ (A,D),\\ (B,C). \\] Любые две группы встречаются вместе ровно в одной экскурсии, а ученики внутри одной группы вместе участвуют во всех трёх экскурсиях, содержащих…"}],"relations":[{"id":"rel-bw1997-p19-k9-imc2013-complete-graph-cover","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imc-2013-trips-complete-graph-clique-cover","neighbor_id":"ramsey-r33","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imc-2013-day1-p3-six-trips-cover-pairs экскурсии, покрывающие все пары учеников, imc 2013 day 1 p3 double_counting construction graph_model goal_exact_bound 2013 https://www.imc-math.org.uk/imc2013/imc2013-day1-solutions.pdf imc imc 2013 day 1 p3, официальные условия и решения imc2013 oleksandr rybak oleksandrrybak problem_and_solution src-imc-2013-day1-p3-official with_solution oleksandr rybak imc 2013 day 1 p3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked в школе \\(2n\\) учеников, где \\(n\\ge2\\). каждую неделю \\(n\\) учеников отправляются на экскурсию. после нескольких экскурсий выполнено условие: любые два ученика хотя бы один раз были вместе на экскурсии. каково минимальное число экскурсий, необходимое для этого? stmt-graph покрытие рёбер \\(k_{2n}\\) кликами \\(k_n\\) ai_checked найдите минимальное число полных подграфов на \\(n\\) вершинах, которыми можно покрыть все рёбра полного графа \\(k_{2n}\\), где \\(n\\ge2\\). complete_graph idea-each-student-needs-three-trips каждому ученику нужны как минимум три экскурсии за одну экскурсию ученик встречает не больше \\(n-1\\) других, а всего ему нужно встретить \\(2n-1\\) школьников. поэтому каждый участвует минимум в трёх экскурсиях, что даёт нижнюю оценку \\(6n\\) ученико-мест. double_counting degree_counting ai_checked idea-six-blocks шесть блоков реализуют покрытие всех пар конструкции для чётного \\(n\\) и для \\(3\\mid n\\) склеиваются: если \\(n=2x+3y\\), берём четыре группы размера \\(x\\) и шесть групп размера \\(y\\), а шесть экскурсий объединяют соответствующие блоки из двух базовых схем. construction goal_construction ai_checked sol-official-expanded нижняя оценка и блочные конструкции ai_checked complete_graph double_counting ответ: \\(6\\) экскурсий. сначала докажем, что пяти экскурсий недостаточно. если было не больше пяти экскурсий, суммарное число участий учеников в них не превосходит \\(5n\\). с другой стороны, фиксированный ученик за одну экскурсию встречает не более \\(n-1\\) других учеников. чтобы встретить всех остальных \\(2n-1\\) учеников, он должен участвовать как минимум в трёх экскурсиях, потому что \\(2(n-1)<2n-1\\). значит, суммарное число участий не меньше \\(3\\cdot2n=6n\\), противоречие. поэтому нужно хотя бы \\(6\\) экскурсий. построим расписание из шести экскурсий. если \\(n\\) чётно, делим всех \\(2n\\) учеников на четыре равные группы \\(a,b,c,d\\) размера \\(n/2\\). шесть экскурсий берём как объединения пар групп: \\[ (a,b),\\ (c,d),\\ (a,c),\\ (b,d),\\ (a,d),\\ (b,c). \\] любые две группы встречаются вместе ровно в одной экскурсии, а ученики внутри одной группы вместе участвуют во всех трёх экскурсиях, содержащих… imc-2013-day1-p3-six-trips-cover-pairs ekskursii, pokryvayuschie vse pary uchenikov, imc 2013 day 1 p3 double_counting construction graph_model goal_exact_bound 2013 https://www.imc-math.org.uk/imc2013/imc2013-day1-solutions.pdf imc imc 2013 day 1 p3, ofitsialnye usloviya i resheniya imc2013 oleksandr rybak oleksandrrybak problem_and_solution src-imc-2013-day1-p3-official with_solution oleksandr rybak imc 2013 day 1 p3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked v shkole \\(2n\\) uchenikov, gde \\(n\\ge2\\). kazhduyu nedelyu \\(n\\) uchenikov otpravlyayutsya na ekskursiyu. posle neskolkih ekskursiy vypolneno uslovie: lyubye dva uchenika hotya by odin raz byli vmeste na ekskursii. kakovo minimalnoe chislo ekskursiy, neobhodimoe dlya etogo? stmt-graph pokrytie reber \\(k_{2n}\\) klikami \\(k_n\\) ai_checked naydite minimalnoe chislo polnyh podgrafov na \\(n\\) vershinah, kotorymi mozhno pokryt vse rebra polnogo grafa \\(k_{2n}\\), gde \\(n\\ge2\\). complete_graph idea-each-student-needs-three-trips kazhdomu ucheniku nuzhny kak minimum tri ekskursii za odnu ekskursiyu uchenik vstrechaet ne bolshe \\(n-1\\) drugih, a vsego emu nuzhno vstretit \\(2n-1\\) shkolnikov. poetomu kazhdyy uchastvuet minimum v treh ekskursiyah, chto daet nizhnyuyu otsenku \\(6n\\) ucheniko-mest. double_counting degree_counting ai_checked idea-six-blocks shest blokov realizuyut pokrytie vseh par konstruktsii dlya chetnogo \\(n\\) i dlya \\(3\\mid n\\) skleivayutsya: esli \\(n=2x+3y\\), berem chetyre gruppy razmera \\(x\\) i shest grupp razmera \\(y\\), a shest ekskursiy obedinyayut sootvetstvuyuschie bloki iz dvuh bazovyh shem. construction goal_construction ai_checked sol-official-expanded nizhnyaya otsenka i blochnye konstruktsii ai_checked complete_graph double_counting otvet: \\(6\\) ekskursiy. snachala dokazhem, chto pyati ekskursiy nedostatochno. esli bylo ne bolshe pyati ekskursiy, summarnoe chislo uchastiy uchenikov v nih ne prevoshodit \\(5n\\). s drugoy storony, fiksirovannyy uchenik za odnu ekskursiyu vstrechaet ne bolee \\(n-1\\) drugih uchenikov. chtoby vstretit vseh ostalnyh \\(2n-1\\) uchenikov, on dolzhen uchastvovat kak minimum v treh ekskursiyah, potomu chto \\(2(n-1)<2n-1\\). znachit, summarnoe chislo uchastiy ne menshe \\(3\\cdot2n=6n\\), protivorechie. poetomu nuzhno hotya by \\(6\\) ekskursiy. postroim raspisanie iz shesti ekskursiy. esli \\(n\\) chetno, delim vseh \\(2n\\) uchenikov na chetyre ravnye gruppy \\(a,b,c,d\\) razmera \\(n/2\\). shest ekskursiy berem kak obedineniya par grupp: \\[ (a,b),\\ (c,d),\\ (a,c),\\ (b,d),\\ (a,d),\\ (b,c). \\] lyubye dve gruppy vstrechayutsya vmeste rovno v odnoy ekskursii, a ucheniki vnutri odnoy gruppy vmeste uchastvuyut vo vseh treh ekskursiyah, soderzhaschih…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd","title":"Нечётность числа раскрасок цикла без длинных белых дуг, IMC 2013 Day 2 P5","path":"data\\problems\\imc\\imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 2013 Day 2 P5, официальные условия и решения"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":["Vsevolod Bykov","Oleksandr Rybak"],"tags":["coloring","parity_coloring","invariant","process_invariant","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p2_p5","local_score":7,"comment":"Циклическая раскраска с запретом длинной белой дуги; графовая формулировка как раскраска \\(C_{2013}\\) естественна.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим круговое ожерелье из \\(2013\\) бусин. Каждую бусину можно покрасить в белый или зелёный цвет. Раскраска называется хорошей, если среди любых \\(21\\) последовательных бусин есть хотя бы одна зелёная. Докажите, что число хороших раскрасок нечётно. Две раскраски, которые различаются на каких-то бусинах, считаются различными даже тогда, когда одну можно получить из другой поворотом или отражением ожерелья.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраски цикла без длинных белых дуг","status":"ai_checked","text":"Докажите, что число двуцветных раскрасок вершин цикла \\(C_{2013}\\), в которых на каждом пути из 21 последовательной вершины есть зелёная вершина, нечётно.","definition_ids":["cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Разрезание цикла и рекурсия по модулю два","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","path"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(N_k\\) — число хороших линейных цепочек из \\(k\\) бусин, то есть таких бело-зелёных слов длины \\(k\\), в которых в любых \\(21\\) подряд идущих позициях есть зелёная. Для \\(0\\le k\\le20\\) все слова подходят, поэтому \\(N_k=2^k\\): \\(N_0\\) нечётно, а \\(N_1,…,N_{20}\\) чётны. При \\(k\\ge21\\) в последних \\(21\\) позициях должна быть зелёная бусина. Пусть последняя зелёная бусина всей цепочки стоит на позиции \\(\\ell\\). Тогда \\(\\ell\\ge k-20\\), а первые \\(\\ell-1\\) бусин образуют произвольную хорошую цепочку. Выбор \\(\\ell=k,k-1,…,k-20\\) даёт рекурсию \\[ N_k=N_{k-1}+N_{k-2}+\\cdots+N_{k-21}\\qquad (k\\ge21). \\] Отсюда \\(N_{21}=N_0+\\cdots+N_{20}\\) нечётно и \\(N_{22}=N_1+\\cdots+N_{21}\\) тоже нечётно. Кроме того, если заменить в правой части \\(N_{k-1}\\) через предыдущую рекурсию, то по модулю \\(2\\) все средние слагаемые удвоятся и исчезнут: \\[ N_k\\equiv N_{k-22}\\pmod2. \\] Следовательно, чётность \\(N_k\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2013-necklace-imc-2022-flea-cycle-recurrence","neighbor_id":"imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2013-necklace-imo-1979-cycle-walks","neighbor_id":"imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-vjimc-2000-distances-imc-2013-necklace","neighbor_id":"vjimc-2000-cat1-p4-red-blue-distances","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd нечётность числа раскрасок цикла без длинных белых дуг, imc 2013 day 2 p5 coloring parity_coloring invariant process_invariant goal_proof 2013 https://www.imc-math.org.uk/imc2013/imc2013-day2-solutions.pdf imc imc 2013 day 2 p5, официальные условия и решения imc2013 oleksandr rybak oleksandrrybak problem_and_solution src-imc-2013-day2-p5-official vsevolod bykov vsevolodbykov with_solution vsevolod bykov oleksandr rybak imc 2013 day 2 p5, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked рассмотрим круговое ожерелье из \\(2013\\) бусин. каждую бусину можно покрасить в белый или зелёный цвет. раскраска называется хорошей, если среди любых \\(21\\) последовательных бусин есть хотя бы одна зелёная. докажите, что число хороших раскрасок нечётно. две раскраски, которые различаются на каких-то бусинах, считаются различными даже тогда, когда одну можно получить из другой поворотом или отражением ожерелья. stmt-graph раскраски цикла без длинных белых дуг ai_checked докажите, что число двуцветных раскрасок вершин цикла \\(c_{2013}\\), в которых на каждом пути из 21 последовательной вершины есть зелёная вершина, нечётно. cycle path idea-open-lace-recurrence последняя зелёная бусина даёт рекурсию порядка 21 для линейных хороших цепочек длины \\(k\\) последняя зелёная бусина среди последних \\(21\\) позиций определяет длину предыдущей хорошей цепочки. поэтому \\(n_k=n_{k-1}+\\cdots+n_{k-21}\\). process_invariant parity_coloring ai_checked idea-period-22 по модулю два рекурсия имеет период 22 из рекурсии следует \\(n_k\\equiv n_{k-22}\\pmod2\\). при начальных значениях нечётны ровно \\(n_k\\) с \\(k\\equiv0\\) или \\(21\\pmod{22}\\). invariant parity_coloring ai_checked sol-official-expanded разрезание цикла и рекурсия по модулю два ai_checked cycle path invariant пусть \\(n_k\\) — число хороших линейных цепочек из \\(k\\) бусин, то есть таких бело-зелёных слов длины \\(k\\), в которых в любых \\(21\\) подряд идущих позициях есть зелёная. для \\(0\\le k\\le20\\) все слова подходят, поэтому \\(n_k=2^k\\): \\(n_0\\) нечётно, а \\(n_1,…,n_{20}\\) чётны. при \\(k\\ge21\\) в последних \\(21\\) позициях должна быть зелёная бусина. пусть последняя зелёная бусина всей цепочки стоит на позиции \\(\\ell\\). тогда \\(\\ell\\ge k-20\\), а первые \\(\\ell-1\\) бусин образуют произвольную хорошую цепочку. выбор \\(\\ell=k,k-1,…,k-20\\) даёт рекурсию \\[ n_k=n_{k-1}+n_{k-2}+\\cdots+n_{k-21}\\qquad (k\\ge21). \\] отсюда \\(n_{21}=n_0+\\cdots+n_{20}\\) нечётно и \\(n_{22}=n_1+\\cdots+n_{21}\\) тоже нечётно. кроме того, если заменить в правой части \\(n_{k-1}\\) через предыдущую рекурсию, то по модулю \\(2\\) все средние слагаемые удвоятся и исчезнут: \\[ n_k\\equiv n_{k-22}\\pmod2. \\] следовательно, чётность \\(n_k\\)… imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd nechetnost chisla raskrasok tsikla bez dlinnyh belyh dug, imc 2013 day 2 p5 coloring parity_coloring invariant process_invariant goal_proof 2013 https://www.imc-math.org.uk/imc2013/imc2013-day2-solutions.pdf imc imc 2013 day 2 p5, ofitsialnye usloviya i resheniya imc2013 oleksandr rybak oleksandrrybak problem_and_solution src-imc-2013-day2-p5-official vsevolod bykov vsevolodbykov with_solution vsevolod bykov oleksandr rybak imc 2013 day 2 p5, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked rassmotrim krugovoe ozherele iz \\(2013\\) busin. kazhduyu businu mozhno pokrasit v belyy ili zelenyy tsvet. raskraska nazyvaetsya horoshey, esli sredi lyubyh \\(21\\) posledovatelnyh busin est hotya by odna zelenaya. dokazhite, chto chislo horoshih raskrasok nechetno. dve raskraski, kotorye razlichayutsya na kakih-to businah, schitayutsya razlichnymi dazhe togda, kogda odnu mozhno poluchit iz drugoy povorotom ili otrazheniem ozherelya. stmt-graph raskraski tsikla bez dlinnyh belyh dug ai_checked dokazhite, chto chislo dvutsvetnyh raskrasok vershin tsikla \\(c_{2013}\\), v kotoryh na kazhdom puti iz 21 posledovatelnoy vershiny est zelenaya vershina, nechetno. cycle path idea-open-lace-recurrence poslednyaya zelenaya busina daet rekursiyu poryadka 21 dlya lineynyh horoshih tsepochek dliny \\(k\\) poslednyaya zelenaya busina sredi poslednih \\(21\\) pozitsiy opredelyaet dlinu predyduschey horoshey tsepochki. poetomu \\(n_k=n_{k-1}+\\cdots+n_{k-21}\\). process_invariant parity_coloring ai_checked idea-period-22 po modulyu dva rekursiya imeet period 22 iz rekursii sleduet \\(n_k\\equiv n_{k-22}\\pmod2\\). pri nachalnyh znacheniyah nechetny rovno \\(n_k\\) s \\(k\\equiv0\\) ili \\(21\\pmod{22}\\). invariant parity_coloring ai_checked sol-official-expanded razrezanie tsikla i rekursiya po modulyu dva ai_checked cycle path invariant pust \\(n_k\\) — chislo horoshih lineynyh tsepochek iz \\(k\\) busin, to est takih belo-zelenyh slov dliny \\(k\\), v kotoryh v lyubyh \\(21\\) podryad iduschih pozitsiyah est zelenaya. dlya \\(0\\le k\\le20\\) vse slova podhodyat, poetomu \\(n_k=2^k\\): \\(n_0\\) nechetno, a \\(n_1,…,n_{20}\\) chetny. pri \\(k\\ge21\\) v poslednih \\(21\\) pozitsiyah dolzhna byt zelenaya busina. pust poslednyaya zelenaya busina vsey tsepochki stoit na pozitsii \\(\\ell\\). togda \\(\\ell\\ge k-20\\), a pervye \\(\\ell-1\\) busin obrazuyut proizvolnuyu horoshuyu tsepochku. vybor \\(\\ell=k,k-1,…,k-20\\) daet rekursiyu \\[ n_k=n_{k-1}+n_{k-2}+\\cdots+n_{k-21}\\qquad (k\\ge21). \\] otsyuda \\(n_{21}=n_0+\\cdots+n_{20}\\) nechetno i \\(n_{22}=n_1+\\cdots+n_{21}\\) tozhe nechetno. krome togo, esli zamenit v pravoy chasti \\(n_{k-1}\\) cherez predyduschuyu rekursiyu, to po modulyu \\(2\\) vse srednie slagaemye udvoyatsya i ischeznut: \\[ n_k\\equiv n_{k-22}\\pmod2. \\] sledovatelno, chetnost \\(n_k\\)…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-2018-day2-p6-path-orthogonal-representation","title":"Ортогональное представление дополнения пути, IMC 2018 Day 2 P6","path":"data\\problems\\imc\\imc-2018-day2-p6-path-orthogonal-representation.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-2018-day2-p6-path-orthogonal-representation.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-2018-day2-p6-path-orthogonal-representation","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 2018 Day 2 P6, официальные условия и решения"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":["Alexey Balitskiy"],"tags":["graph_model","extremal_choice","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Короткая задача: граф пути помогает увидеть независимое множество нечётных индексов и парную конструкцию.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(k\\) -- положительное целое число. Найдите наименьшее положительное целое \\(n\\), для которого существуют \\(k\\) ненулевых векторов \\(v_1,\\ldots,v_k\\) в \\(\\mathbb R^n\\) такие, что для любых индексов \\(i,j\\) с \\(|i-j|>1\\) векторы \\(v_i\\) и \\(v_j\\) ортогональны.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Ортогональное представление дополнения пути","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим путь \\(1-2-\\cdots-k\\). Найдите минимальную размерность евклидова пространства, в котором вершинам пути можно сопоставить ненулевые векторы так, чтобы любые две несмежные вершины пути получили ортогональные векторы.","definition_ids":["path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Оценка по независимому множеству пути и явная конструкция","status":"ai_checked","definition_ids":["path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(\\lceil k/2\\rceil\\). Сначала докажем нижнюю оценку. Пусть такие векторы существуют в \\(\\mathbb R^n\\). Если \\(k\\ge 2n+1\\), то среди них можно выбрать \\[ v_1,v_3,v_5,\\ldots,v_{2n+1}. \\] Индексы любых двух выбранных векторов отличаются больше чем на \\(1\\), поэтому по условию эти \\(n+1\\) векторов попарно ортогональны. Но в \\(n\\)-мерном евклидовом пространстве ненулевых попарно ортогональных векторов не больше \\(n\\): после нормировки они были бы линейно независимыми. Значит, необходимо \\(k\\le 2n\\), то есть \\(n\\ge \\lceil k/2\\rceil\\). Теперь построим пример при \\(n=\\lceil k/2\\rceil\\). Возьмём ортогональный базис \\(e_1,\\ldots,e_n\\) пространства \\(\\mathbb R^n\\). Для полного списка длины \\(2n\\) положим \\[ v_1=v_2=e_1,\\quad v_3=v_4=e_2,\\quad \\ldots,\\quad v_{2n-1}=v_{2n}=e_n. \\] Если \\(|i-j|>1\\), то индексы \\(i\\) и \\(j\\) не лежат в одной паре \\((2r-1,2r)\\). Значит, соответствующие векторы я…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2018-p6-putnam-2025-a4-orthogonal-representation","neighbor_id":"putnam-2025-a4-cycle-commutation-graph-matrices","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imc-2018-day2-p6-path-orthogonal-representation ортогональное представление дополнения пути, imc 2018 day 2 p6 graph_model extremal_choice construction goal_exact_bound 2018 alexey balitskiy alexeybalitskiy https://imc-math.org.uk/imc2018/imc2018-day2-solutions.pdf imc imc 2018 day 2 p6, официальные условия и решения imc2018 problem_and_solution src-imc-2018-day2-p6-official with_solution alexey balitskiy imc 2018 day 2 p6, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(k\\) -- положительное целое число. найдите наименьшее положительное целое \\(n\\), для которого существуют \\(k\\) ненулевых векторов \\(v_1,\\ldots,v_k\\) в \\(\\mathbb r^n\\) такие, что для любых индексов \\(i,j\\) с \\(|i-j|>1\\) векторы \\(v_i\\) и \\(v_j\\) ортогональны. stmt-graph ортогональное представление дополнения пути ai_checked рассмотрим путь \\(1-2-\\cdots-k\\). найдите минимальную размерность евклидова пространства, в котором вершинам пути можно сопоставить ненулевые векторы так, чтобы любые две несмежные вершины пути получили ортогональные векторы. path idea-odd-indices-independent-set нечётные индексы дают слишком большую ортогональную систему в графе пути вершины \\(1,3,5,\\ldots\\) попарно несмежны, поэтому соответствующие векторы должны быть попарно ортогональны. в \\(\\mathbb r^n\\) не может быть больше \\(n\\) ненулевых попарно ортогональных векторов. graph_model ai_checked idea-pair-basis-vectors одна базисная ось на две соседние вершины для конструкции достаточно присвоить один и тот же базисный вектор парам индексов \\((1,2),(3,4),\\ldots\\). несоседние индексы попадают в разные пары и получают разные ортогональные базисные векторы. construction ai_checked sol-official-expanded оценка по независимому множеству пути и явная конструкция ai_checked path extremal_choice ответ: \\(\\lceil k/2\\rceil\\). сначала докажем нижнюю оценку. пусть такие векторы существуют в \\(\\mathbb r^n\\). если \\(k\\ge 2n+1\\), то среди них можно выбрать \\[ v_1,v_3,v_5,\\ldots,v_{2n+1}. \\] индексы любых двух выбранных векторов отличаются больше чем на \\(1\\), поэтому по условию эти \\(n+1\\) векторов попарно ортогональны. но в \\(n\\)-мерном евклидовом пространстве ненулевых попарно ортогональных векторов не больше \\(n\\): после нормировки они были бы линейно независимыми. значит, необходимо \\(k\\le 2n\\), то есть \\(n\\ge \\lceil k/2\\rceil\\). теперь построим пример при \\(n=\\lceil k/2\\rceil\\). возьмём ортогональный базис \\(e_1,\\ldots,e_n\\) пространства \\(\\mathbb r^n\\). для полного списка длины \\(2n\\) положим \\[ v_1=v_2=e_1,\\quad v_3=v_4=e_2,\\quad \\ldots,\\quad v_{2n-1}=v_{2n}=e_n. \\] если \\(|i-j|>1\\), то индексы \\(i\\) и \\(j\\) не лежат в одной паре \\((2r-1,2r)\\). значит, соответствующие векторы я… imc-2018-day2-p6-path-orthogonal-representation ortogonalnoe predstavlenie dopolneniya puti, imc 2018 day 2 p6 graph_model extremal_choice construction goal_exact_bound 2018 alexey balitskiy alexeybalitskiy https://imc-math.org.uk/imc2018/imc2018-day2-solutions.pdf imc imc 2018 day 2 p6, ofitsialnye usloviya i resheniya imc2018 problem_and_solution src-imc-2018-day2-p6-official with_solution alexey balitskiy imc 2018 day 2 p6, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(k\\) -- polozhitelnoe tseloe chislo. naydite naimenshee polozhitelnoe tseloe \\(n\\), dlya kotorogo suschestvuyut \\(k\\) nenulevyh vektorov \\(v_1,\\ldots,v_k\\) v \\(\\mathbb r^n\\) takie, chto dlya lyubyh indeksov \\(i,j\\) s \\(|i-j|>1\\) vektory \\(v_i\\) i \\(v_j\\) ortogonalny. stmt-graph ortogonalnoe predstavlenie dopolneniya puti ai_checked rassmotrim put \\(1-2-\\cdots-k\\). naydite minimalnuyu razmernost evklidova prostranstva, v kotorom vershinam puti mozhno sopostavit nenulevye vektory tak, chtoby lyubye dve nesmezhnye vershiny puti poluchili ortogonalnye vektory. path idea-odd-indices-independent-set nechetnye indeksy dayut slishkom bolshuyu ortogonalnuyu sistemu v grafe puti vershiny \\(1,3,5,\\ldots\\) poparno nesmezhny, poetomu sootvetstvuyuschie vektory dolzhny byt poparno ortogonalny. v \\(\\mathbb r^n\\) ne mozhet byt bolshe \\(n\\) nenulevyh poparno ortogonalnyh vektorov. graph_model ai_checked idea-pair-basis-vectors odna bazisnaya os na dve sosednie vershiny dlya konstruktsii dostatochno prisvoit odin i tot zhe bazisnyy vektor param indeksov \\((1,2),(3,4),\\ldots\\). nesosednie indeksy popadayut v raznye pary i poluchayut raznye ortogonalnye bazisnye vektory. construction ai_checked sol-official-expanded otsenka po nezavisimomu mnozhestvu puti i yavnaya konstruktsiya ai_checked path extremal_choice otvet: \\(\\lceil k/2\\rceil\\). snachala dokazhem nizhnyuyu otsenku. pust takie vektory suschestvuyut v \\(\\mathbb r^n\\). esli \\(k\\ge 2n+1\\), to sredi nih mozhno vybrat \\[ v_1,v_3,v_5,\\ldots,v_{2n+1}. \\] indeksy lyubyh dvuh vybrannyh vektorov otlichayutsya bolshe chem na \\(1\\), poetomu po usloviyu eti \\(n+1\\) vektorov poparno ortogonalny. no v \\(n\\)-mernom evklidovom prostranstve nenulevyh poparno ortogonalnyh vektorov ne bolshe \\(n\\): posle normirovki oni byli by lineyno nezavisimymi. znachit, neobhodimo \\(k\\le 2n\\), to est \\(n\\ge \\lceil k/2\\rceil\\). teper postroim primer pri \\(n=\\lceil k/2\\rceil\\). vozmem ortogonalnyy bazis \\(e_1,\\ldots,e_n\\) prostranstva \\(\\mathbb r^n\\). dlya polnogo spiska dliny \\(2n\\) polozhim \\[ v_1=v_2=e_1,\\quad v_3=v_4=e_2,\\quad \\ldots,\\quad v_{2n-1}=v_{2n}=e_n. \\] esli \\(|i-j|>1\\), to indeksy \\(i\\) i \\(j\\) ne lezhat v odnoy pare \\((2r-1,2r)\\). znachit, sootvetstvuyuschie vektory ya…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-2018-day2-p8-frog-lattice-paths","title":"Кратчайшие пути в решётчатой области, IMC 2018 Day 2 P8","path":"data\\problems\\imc\\imc-2018-day2-p8-frog-lattice-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-2018-day2-p8-frog-lattice-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-2018-day2-p8-frog-lattice-paths","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 2018 Day 2 P8, официальные условия и решения"],"year":"2018","type":"olympiad_problem","authors":["Fedor Petrov","Anatoly Vershik"],"tags":["graph_model","goal_counting","dynamics","invariant"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Существенная решётчато-графовая модель; решение сводит трёхмерные пути к двумерному DAG и решает рекурсию.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(\\Omega=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb Z^3: y+1\\ge x\\ge y\\ge z\\ge0\\}\\). Лягушка прыгает по точкам множества \\(\\Omega\\) прыжками длины \\(1\\). Для каждого положительного целого \\(n\\) определите число путей, которыми лягушка может попасть из \\((0,0,0)\\) в \\((n,n,n)\\) ровно за \\(3n\\) прыжков.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Ориентированные пути в двумерной решётчатой области","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(D\\) — ориентированный граф с вершинами \\((u,v)\\in\\mathbb Z^2\\), где \\(v\\ge0\\) и \\(u\\ge2v\\). Из вершины \\((u,v)\\) проведены дуги в \\((u+1,v)\\) и \\((u,v+1)\\), если соответствующая вершина принадлежит \\(D\\). Найдите число ориентированных путей из \\((0,0)\\) в \\((2n,n)\\).","definition_ids":["directed_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Рекурсия Паскаля на ориентированном решётчатом графе","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\[ \\frac{1}{2n+1}\\binom{3n}{n}. \\] Рассмотрим отображение \\[ \\pi(x,y,z)=(x+y,z). \\] Из условий \\(y+1\\ge x\\ge y\\ge z\\ge0\\) следует, что \\(v=z\\ge0\\), а \\(u=x+y\\ge2z=2v\\). Обратно, для всякой точки \\((u,v)\\) с \\(v\\ge0\\), \\(u\\ge2v\\) можно восстановить единственную точку \\(\\Omega\\): берём \\(z=v\\), а \\(x,y\\) как две соседние или равные целые координаты с суммой \\(u\\) и условием \\(y+1\\ge x\\ge y\\). Поэтому \\(\\pi\\) является биекцией между \\(\\Omega\\) и областью \\[ \\Psi=\\\\{(u,v)\\in\\mathbb Z^2: v\\ge0,\\ u\\ge2v\\\\}. \\] Путь длины \\(3n\\) из \\((0,0,0)\\) в \\((n,n,n)\\) не может делать лишних обратных движений: сумма координат должна увеличиться от \\(0\\) до \\(3n\\) ровно за \\(3n\\) прыжков длины \\(1\\). Значит, каждый прыжок увеличивает одну координату на \\(1\\). После проекции это даёт шаги \\((1,0)\\) и \\((0,1)\\) из \\((0,0)\\) в \\((2n,n)\\), оставаясь в \\(\\Psi\\). Обозначим через \\(f(u,v)\\) число таких пут…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2018-frog-cmo-2005-lattice-paths","neighbor_id":"cmo-2005-p1-triangular-grid-paths","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imc-2018-day2-p8-frog-lattice-paths кратчайшие пути в решётчатой области, imc 2018 day 2 p8 graph_model goal_counting dynamics invariant 2018 anatoly vershik anatolyvershik fedor petrov fedorpetrov https://imc-math.org.uk/imc2018/imc2018-day2-solutions.pdf imc imc 2018 day 2 p8, официальные условия и решения imc2018 problem_and_solution src-imc-2018-day2-p8-official with_solution fedor petrov anatoly vershik imc 2018 day 2 p8, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(\\omega=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb z^3: y+1\\ge x\\ge y\\ge z\\ge0\\}\\). лягушка прыгает по точкам множества \\(\\omega\\) прыжками длины \\(1\\). для каждого положительного целого \\(n\\) определите число путей, которыми лягушка может попасть из \\((0,0,0)\\) в \\((n,n,n)\\) ровно за \\(3n\\) прыжков. stmt-graph ориентированные пути в двумерной решётчатой области ai_checked пусть \\(d\\) — ориентированный граф с вершинами \\((u,v)\\in\\mathbb z^2\\), где \\(v\\ge0\\) и \\(u\\ge2v\\). из вершины \\((u,v)\\) проведены дуги в \\((u+1,v)\\) и \\((u,v+1)\\), если соответствующая вершина принадлежит \\(d\\). найдите число ориентированных путей из \\((0,0)\\) в \\((2n,n)\\). directed_graph path idea-project-to-two-coordinates проекция сохраняет допустимые пути отображение \\((x,y,z)\\mapsto(x+y,z)\\) переводит область в \\(v\\ge0, u\\ge2v\\) и превращает допустимые минимальные пути в обычные пути с шагами вправо и вверх. graph_model ai_checked idea-binomial-correction-boundary биномиальная функция с поправкой зануляется на границе число путей удовлетворяет рекурсии паскаля. комбинация \\(\\binom{u+v}{v}-2\\binom{u+v}{v-1}\\) имеет правильное начальное значение и обращается в ноль на запрещающей границе \\(u=2v-1\\). invariant ai_checked sol-official-expanded рекурсия паскаля на ориентированном решётчатом графе ai_checked directed_graph path invariant ответ: \\[ \\frac{1}{2n+1}\\binom{3n}{n}. \\] рассмотрим отображение \\[ \\pi(x,y,z)=(x+y,z). \\] из условий \\(y+1\\ge x\\ge y\\ge z\\ge0\\) следует, что \\(v=z\\ge0\\), а \\(u=x+y\\ge2z=2v\\). обратно, для всякой точки \\((u,v)\\) с \\(v\\ge0\\), \\(u\\ge2v\\) можно восстановить единственную точку \\(\\omega\\): берём \\(z=v\\), а \\(x,y\\) как две соседние или равные целые координаты с суммой \\(u\\) и условием \\(y+1\\ge x\\ge y\\). поэтому \\(\\pi\\) является биекцией между \\(\\omega\\) и областью \\[ \\psi=\\\\{(u,v)\\in\\mathbb z^2: v\\ge0,\\ u\\ge2v\\\\}. \\] путь длины \\(3n\\) из \\((0,0,0)\\) в \\((n,n,n)\\) не может делать лишних обратных движений: сумма координат должна увеличиться от \\(0\\) до \\(3n\\) ровно за \\(3n\\) прыжков длины \\(1\\). значит, каждый прыжок увеличивает одну координату на \\(1\\). после проекции это даёт шаги \\((1,0)\\) и \\((0,1)\\) из \\((0,0)\\) в \\((2n,n)\\), оставаясь в \\(\\psi\\). обозначим через \\(f(u,v)\\) число таких пут… imc-2018-day2-p8-frog-lattice-paths kratchayshie puti v reshetchatoy oblasti, imc 2018 day 2 p8 graph_model goal_counting dynamics invariant 2018 anatoly vershik anatolyvershik fedor petrov fedorpetrov https://imc-math.org.uk/imc2018/imc2018-day2-solutions.pdf imc imc 2018 day 2 p8, ofitsialnye usloviya i resheniya imc2018 problem_and_solution src-imc-2018-day2-p8-official with_solution fedor petrov anatoly vershik imc 2018 day 2 p8, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(\\omega=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb z^3: y+1\\ge x\\ge y\\ge z\\ge0\\}\\). lyagushka prygaet po tochkam mnozhestva \\(\\omega\\) pryzhkami dliny \\(1\\). dlya kazhdogo polozhitelnogo tselogo \\(n\\) opredelite chislo putey, kotorymi lyagushka mozhet popast iz \\((0,0,0)\\) v \\((n,n,n)\\) rovno za \\(3n\\) pryzhkov. stmt-graph orientirovannye puti v dvumernoy reshetchatoy oblasti ai_checked pust \\(d\\) — orientirovannyy graf s vershinami \\((u,v)\\in\\mathbb z^2\\), gde \\(v\\ge0\\) i \\(u\\ge2v\\). iz vershiny \\((u,v)\\) provedeny dugi v \\((u+1,v)\\) i \\((u,v+1)\\), esli sootvetstvuyuschaya vershina prinadlezhit \\(d\\). naydite chislo orientirovannyh putey iz \\((0,0)\\) v \\((2n,n)\\). directed_graph path idea-project-to-two-coordinates proektsiya sohranyaet dopustimye puti otobrazhenie \\((x,y,z)\\mapsto(x+y,z)\\) perevodit oblast v \\(v\\ge0, u\\ge2v\\) i prevraschaet dopustimye minimalnye puti v obychnye puti s shagami vpravo i vverh. graph_model ai_checked idea-binomial-correction-boundary binomialnaya funktsiya s popravkoy zanulyaetsya na granitse chislo putey udovletvoryaet rekursii paskalya. kombinatsiya \\(\\binom{u+v}{v}-2\\binom{u+v}{v-1}\\) imeet pravilnoe nachalnoe znachenie i obraschaetsya v nol na zapreschayuschey granitse \\(u=2v-1\\). invariant ai_checked sol-official-expanded rekursiya paskalya na orientirovannom reshetchatom grafe ai_checked directed_graph path invariant otvet: \\[ \\frac{1}{2n+1}\\binom{3n}{n}. \\] rassmotrim otobrazhenie \\[ \\pi(x,y,z)=(x+y,z). \\] iz usloviy \\(y+1\\ge x\\ge y\\ge z\\ge0\\) sleduet, chto \\(v=z\\ge0\\), a \\(u=x+y\\ge2z=2v\\). obratno, dlya vsyakoy tochki \\((u,v)\\) s \\(v\\ge0\\), \\(u\\ge2v\\) mozhno vosstanovit edinstvennuyu tochku \\(\\omega\\): berem \\(z=v\\), a \\(x,y\\) kak dve sosednie ili ravnye tselye koordinaty s summoy \\(u\\) i usloviem \\(y+1\\ge x\\ge y\\). poetomu \\(\\pi\\) yavlyaetsya biektsiey mezhdu \\(\\omega\\) i oblastyu \\[ \\psi=\\\\{(u,v)\\in\\mathbb z^2: v\\ge0,\\ u\\ge2v\\\\}. \\] put dliny \\(3n\\) iz \\((0,0,0)\\) v \\((n,n,n)\\) ne mozhet delat lishnih obratnyh dvizheniy: summa koordinat dolzhna uvelichitsya ot \\(0\\) do \\(3n\\) rovno za \\(3n\\) pryzhkov dliny \\(1\\). znachit, kazhdyy pryzhok uvelichivaet odnu koordinatu na \\(1\\). posle proektsii eto daet shagi \\((1,0)\\) i \\((0,1)\\) iz \\((0,0)\\) v \\((2n,n)\\), ostavayas v \\(\\psi\\). oboznachim cherez \\(f(u,v)\\) chislo takih put…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence","title":"Возвраты на цикле вычетов, IMC 2022 Day 1 P3","path":"data\\problems\\imc\\imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 2022 Day 1 P3, официальные условия и решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":["Fedor Petrov"],"tags":["graph_model","dynamics","invariant","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Графовая модель цикла вычетов является удобной формой официального рекуррентного решения.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(p\\) -- простое число. Блоха находится в точке \\(0\\) числовой прямой. Каждую минуту она может остаться на месте, прыгнуть на \\(1\\) влево или прыгнуть на \\(1\\) вправо. Через \\(p-1\\) минут она хочет снова оказаться в точке \\(0\\). Обозначим через \\(f(p)\\) число её стратегий сделать это. Найдите \\(f(p)\\) по модулю \\(p\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Возвраты на цикле вычетов","status":"ai_checked","text":"На графе с вершинами \\(\\mathbb Z/p\\mathbb Z\\), петлёй в каждой вершине и рёбрами между соседними вычетами считаются маршруты длины \\(p-1\\) из \\(0\\) в \\(0\\). Определите это число по модулю \\(p\\).","definition_ids":["cycle","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Сведение к маршрутам на цикле вычетов","status":"ai_checked","definition_ids":["cycle","path"],"standard_idea_ids":["invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\[ f(p)\\equiv \\begin{cases} 0 \\pmod p, & p=3,\\\\ 1 \\pmod p, & p\\equiv1\\pmod3,\\\\ -1 \\pmod p, & p\\equiv2\\pmod3. \\end{cases} \\] Для \\(p=3\\) прямо есть три стратегии: стоять два раза, пойти влево и вправо, пойти вправо и влево; значит \\(f(3)=3\\). Далее пусть \\(p\\ne3\\). Считаем положение блохи по модулю \\(p\\). За \\(p-1\\) ходов из \\(0\\) невозможно прийти на прямой в ненулевую кратную \\(p\\) точку, потому что абсолютное смещение не превосходит \\(p-1\\). Поэтому число возвратов на прямой равно числу маршрутов длины \\(p-1\\) из \\(0\\) в \\(0\\) на графе вычетов. Обозначим через \\(a_i(k)\\) число стратегий, после \\(k\\) минут приводящих в вычет \\(i\\). Тогда \\[ a_i(k+1)=a_{i-1}(k)+a_i(k)+a_{i+1}(k), \\] где индексы берутся по модулю \\(p\\). Рассмотрим стратегии длины \\(p\\). Любое непостоянное слово из символов \\(-1,0,+1\\) имеет орбиту размера \\(p\\) относительно циклического сдвига: если слово имеет ме…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-2013-necklace-imc-2022-flea-cycle-recurrence","neighbor_id":"imc-2013-day2-p5-necklace-good-colorings-odd","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-smmc-2022-c3-imc-2022-flea-cycle-walk-recurrence","neighbor_id":"simon-marais-2022-c3-random-walk-cycle-five","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imc-2022-flea-imo-1979-cycle-walks","neighbor_id":"imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-jbmo-2026-p3-imc-2022-cycle-recurrence","neighbor_id":"jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence возвраты на цикле вычетов, imc 2022 day 1 p3 graph_model dynamics invariant goal_counting 2022 fedor petrov fedorpetrov https://www.imc-math.org.uk/imc2022/imc2022day1solutions.pdf imc imc 2022 day 1 p3, официальные условия и решения imc2022 problem_and_solution src-imc-2022-day1-p3-official with_solution fedor petrov imc 2022 day 1 p3, официальные условия и решения stmt-original условие ai_checked пусть \\(p\\) -- простое число. блоха находится в точке \\(0\\) числовой прямой. каждую минуту она может остаться на месте, прыгнуть на \\(1\\) влево или прыгнуть на \\(1\\) вправо. через \\(p-1\\) минут она хочет снова оказаться в точке \\(0\\). обозначим через \\(f(p)\\) число её стратегий сделать это. найдите \\(f(p)\\) по модулю \\(p\\). stmt-graph возвраты на цикле вычетов ai_checked на графе с вершинами \\(\\mathbb z/p\\mathbb z\\), петлёй в каждой вершине и рёбрами между соседними вычетами считаются маршруты длины \\(p-1\\) из \\(0\\) в \\(0\\). определите это число по модулю \\(p\\). cycle path idea-p-step-orbits циклический сдвиг слов длины p слова из \\(p\\) ходов, кроме трёх постоянных слов, разбиваются на орбиты размера \\(p\\) по циклическому сдвигу. поэтому по модулю \\(p\\) после \\(p\\) шагов остаётся только вклад трёх постоянных стратегий. invariant ai_checked idea-three-periodic-system линейная система на цикле имеет период 3 если \\(x_i\\) -- число способов оказаться в вычете \\(i\\) после \\(p-1\\) шагов, то уравнения для следующего шага имеют вид \\(x_{i-1}+x_i+x_{i+1}\\). их решение по модулю \\(p\\) задаётся периодическим шаблоном длины 3. dynamics ai_checked sol-official-expanded сведение к маршрутам на цикле вычетов ai_checked cycle path invariant ответ: \\[ f(p)\\equiv \\begin{cases} 0 \\pmod p, & p=3,\\\\ 1 \\pmod p, & p\\equiv1\\pmod3,\\\\ -1 \\pmod p, & p\\equiv2\\pmod3. \\end{cases} \\] для \\(p=3\\) прямо есть три стратегии: стоять два раза, пойти влево и вправо, пойти вправо и влево; значит \\(f(3)=3\\). далее пусть \\(p\\ne3\\). считаем положение блохи по модулю \\(p\\). за \\(p-1\\) ходов из \\(0\\) невозможно прийти на прямой в ненулевую кратную \\(p\\) точку, потому что абсолютное смещение не превосходит \\(p-1\\). поэтому число возвратов на прямой равно числу маршрутов длины \\(p-1\\) из \\(0\\) в \\(0\\) на графе вычетов. обозначим через \\(a_i(k)\\) число стратегий, после \\(k\\) минут приводящих в вычет \\(i\\). тогда \\[ a_i(k+1)=a_{i-1}(k)+a_i(k)+a_{i+1}(k), \\] где индексы берутся по модулю \\(p\\). рассмотрим стратегии длины \\(p\\). любое непостоянное слово из символов \\(-1,0,+1\\) имеет орбиту размера \\(p\\) относительно циклического сдвига: если слово имеет ме… imc-2022-day1-p3-flea-cycle-recurrence vozvraty na tsikle vychetov, imc 2022 day 1 p3 graph_model dynamics invariant goal_counting 2022 fedor petrov fedorpetrov https://www.imc-math.org.uk/imc2022/imc2022day1solutions.pdf imc imc 2022 day 1 p3, ofitsialnye usloviya i resheniya imc2022 problem_and_solution src-imc-2022-day1-p3-official with_solution fedor petrov imc 2022 day 1 p3, ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie ai_checked pust \\(p\\) -- prostoe chislo. bloha nahoditsya v tochke \\(0\\) chislovoy pryamoy. kazhduyu minutu ona mozhet ostatsya na meste, prygnut na \\(1\\) vlevo ili prygnut na \\(1\\) vpravo. cherez \\(p-1\\) minut ona hochet snova okazatsya v tochke \\(0\\). oboznachim cherez \\(f(p)\\) chislo ee strategiy sdelat eto. naydite \\(f(p)\\) po modulyu \\(p\\). stmt-graph vozvraty na tsikle vychetov ai_checked na grafe s vershinami \\(\\mathbb z/p\\mathbb z\\), petley v kazhdoy vershine i rebrami mezhdu sosednimi vychetami schitayutsya marshruty dliny \\(p-1\\) iz \\(0\\) v \\(0\\). opredelite eto chislo po modulyu \\(p\\). cycle path idea-p-step-orbits tsiklicheskiy sdvig slov dliny p slova iz \\(p\\) hodov, krome treh postoyannyh slov, razbivayutsya na orbity razmera \\(p\\) po tsiklicheskomu sdvigu. poetomu po modulyu \\(p\\) posle \\(p\\) shagov ostaetsya tolko vklad treh postoyannyh strategiy. invariant ai_checked idea-three-periodic-system lineynaya sistema na tsikle imeet period 3 esli \\(x_i\\) -- chislo sposobov okazatsya v vychete \\(i\\) posle \\(p-1\\) shagov, to uravneniya dlya sleduyuschego shaga imeyut vid \\(x_{i-1}+x_i+x_{i+1}\\). ih reshenie po modulyu \\(p\\) zadaetsya periodicheskim shablonom dliny 3. dynamics ai_checked sol-official-expanded svedenie k marshrutam na tsikle vychetov ai_checked cycle path invariant otvet: \\[ f(p)\\equiv \\begin{cases} 0 \\pmod p, & p=3,\\\\ 1 \\pmod p, & p\\equiv1\\pmod3,\\\\ -1 \\pmod p, & p\\equiv2\\pmod3. \\end{cases} \\] dlya \\(p=3\\) pryamo est tri strategii: stoyat dva raza, poyti vlevo i vpravo, poyti vpravo i vlevo; znachit \\(f(3)=3\\). dalee pust \\(p\\ne3\\). schitaem polozhenie blohi po modulyu \\(p\\). za \\(p-1\\) hodov iz \\(0\\) nevozmozhno priyti na pryamoy v nenulevuyu kratnuyu \\(p\\) tochku, potomu chto absolyutnoe smeschenie ne prevoshodit \\(p-1\\). poetomu chislo vozvratov na pryamoy ravno chislu marshrutov dliny \\(p-1\\) iz \\(0\\) v \\(0\\) na grafe vychetov. oboznachim cherez \\(a_i(k)\\) chislo strategiy, posle \\(k\\) minut privodyaschih v vychet \\(i\\). togda \\[ a_i(k+1)=a_{i-1}(k)+a_i(k)+a_{i+1}(k), \\] gde indeksy berutsya po modulyu \\(p\\). rassmotrim strategii dliny \\(p\\). lyuboe nepostoyannoe slovo iz simvolov \\(-1,0,+1\\) imeet orbitu razmera \\(p\\) otnositelno tsiklicheskogo sdviga: esli slovo imeet me…","source_keys":["imc"]} {"id":"imc-2022-day1-p4-triples-chromatic-loglog","title":"Хроматическое число сдвигового графа троек, IMC 2022 Day 1 P4","path":"data\\problems\\imc\\imc-2022-day1-p4-triples-chromatic-loglog.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/imc/imc-2022-day1-p4-triples-chromatic-loglog.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#imc-2022-day1-p4-triples-chromatic-loglog","source_key":"imc","source_label":"IMC","source_titles":["IMC 2022 Day 1 P4, официальные условия и решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":["Danila Cherkashin"],"tags":["coloring","graph_model","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"Продвинутая графовая задача: центральны сдвиговые графы, хроматическое число и покрытие рёбер допустимыми классами.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"агент grouped classification","audit_source":"agent-university-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n>3\\) -- целое число, а \\(\\Omega\\) -- множество всех троек различных элементов множества \\(\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). Пусть \\(m\\) -- минимальное число цветов, достаточное для раскраски \\(\\Omega\\), при которой для любых \\(1\\le a3\\) -- целое число, а \\(\\omega\\) -- множество всех троек различных элементов множества \\(\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). пусть \\(m\\) -- минимальное число цветов, достаточное для раскраски \\(\\omega\\), при которой для любых \\(1\\le a3\\) -- tseloe chislo, a \\(\\omega\\) -- mnozhestvo vseh troek razlichnyh elementov mnozhestva \\(\\{1,2,\\ldots,n\\}\\). pust \\(m\\) -- minimalnoe chislo tsvetov, dostatochnoe dlya raskraski \\(\\omega\\), pri kotoroy dlya lyubyh \\(1\\le a