{"id":"hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree","title":"Стабилизация игры «камень, ножницы, бумага» на дереве, «Высшая проба» 2024","path":"data\\problems\\hse\\hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/hse/hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree","source_key":"hse","source_label":"«Высшая проба»","source_titles":["«Высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","coloring","dynamics","process_invariant","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Задача 11.5 заключительного этапа «Высшей пробы» 2024 года; основной шаг — корректно поднять циклические цвета в целые высоты на дереве.","status":"source_verified"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_solution","label":"полное опубликованное решение","status":"ai_checked","confidence":0.98,"basis":"официальный листок условия ВШЭ и опубликованное полное решение в проекте ЛКТГ 2026","notes":"Доказательство самодостаточно: построение целочисленного подъёма и стабилизация через распространение максимума выписаны полностью.","audit_source":"lktg-2026-project2-import"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Официальная формулировка","status":"source_verified","text":"Деревни некоторой языческой страны соединены дорогами так, что от любой деревни можно добраться до любой другой, не проходя ни через какую деревню дважды, причём сделать это можно единственным способом. В каждой деревне живёт племя, поклоняющееся одному из трёх идолов: Камню, Ножницам или Бумаге. Камень сильнее Ножниц, Ножницы сильнее Бумаги, а Бумага сильнее Камня. Каждый вечер одновременно каждое племя, у которого есть сосед с более сильным идолом, начинает поклоняться этому более сильному идолу. Верно ли, что рано или поздно все племена начнут верить в одного и того же идола?","definition_ids":["tree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Синхронная трёхцветная динамика на дереве","status":"ai_checked","text":"Вершины конечного дерева раскрашены тремя цветами \\(A_0,A_1,A_2\\), индексы считаются по модулю \\(3\\), причём \\(A_{i+1}\\) побеждает \\(A_i\\). На каждом шаге все вершины обновляются одновременно: цвет \\(A_i\\) заменяется на \\(A_{i+1}\\), если среди соседей есть вершина цвета \\(A_{i+1}\\), и не меняется иначе. Докажите, что через конечное число шагов все вершины будут иметь один цвет.","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-integer-height-lift","title":"Решение через целочисленные высоты","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","distance"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: да. Занумеруем три идола числами по модулю \\(3\\) так, что \\(A_{i+1}\\) побеждает \\(A_i\\). Выберем корень дерева и сопоставим каждой вершине целую высоту \\(h(v)\\), сравнимую по модулю \\(3\\) с номером её идола. В корне выберем любой целый представитель. Далее, проходя от корня к листьям, для каждого ребра \\(uv\\), где высота \\(u\\) уже выбрана, выберем единственную высоту \\(h(v)\\), сравнимую с цветом \\(v\\) по модулю \\(3\\) и удовлетворяющую \\(h(v)-h(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). На дереве противоречий не возникает, поскольку к каждой вершине из корня ведёт единственный путь. Покажем, как выглядит один шаг процесса в этих высотах. Если у вершины \\(v\\) есть сосед высоты \\(h(v)+1\\), то его цвет побеждает цвет \\(v\\), поэтому высота \\(v\\) увеличивается на \\(1\\). Если такого соседа нет, ни у одного соседа нет побеждающего цвета: из условия на разности соседних высот их высоты принадлежат \\(\\{h(v)-1,h(v…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p28-hse-2024-generalization","neighbor_id":"lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics","direction":"backward","type":"generalization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree стабилизация игры «камень, ножницы, бумага» на дереве, «высшая проба» 2024 trees coloring dynamics process_invariant goal_proof 2024 hse hse2024 https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/149/2023/149-tasks-math-11-final-23-24.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf official_solutions olympiad_archive src-hse-2024-final-math-11 src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution «высшая проба» «высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс высшаяпроба высшаяпроба2024 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 «высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 stmt-original официальная формулировка source_verified деревни некоторой языческой страны соединены дорогами так, что от любой деревни можно добраться до любой другой, не проходя ни через какую деревню дважды, причём сделать это можно единственным способом. в каждой деревне живёт племя, поклоняющееся одному из трёх идолов: камню, ножницам или бумаге. камень сильнее ножниц, ножницы сильнее бумаги, а бумага сильнее камня. каждый вечер одновременно каждое племя, у которого есть сосед с более сильным идолом, начинает поклоняться этому более сильному идолу. верно ли, что рано или поздно все племена начнут верить в одного и того же идола? tree stmt-graph синхронная трёхцветная динамика на дереве ai_checked вершины конечного дерева раскрашены тремя цветами \\(a_0,a_1,a_2\\), индексы считаются по модулю \\(3\\), причём \\(a_{i+1}\\) побеждает \\(a_i\\). на каждом шаге все вершины обновляются одновременно: цвет \\(a_i\\) заменяется на \\(a_{i+1}\\), если среди соседей есть вершина цвета \\(a_{i+1}\\), и не меняется иначе. докажите, что через конечное число шагов все вершины будут иметь один цвет. tree idea-lift-colors-to-heights поднять циклические цвета в целые высоты после выбора высоты корня цвета на дереве однозначно поднимаются в целые числа так, чтобы соседние высоты отличались на \\(-1\\), \\(0\\) или \\(1\\). обновление цвета становится взятием максимума по замкнутой окрестности. dynamics process_invariant ai_checked sol-integer-height-lift решение через целочисленные высоты ai_checked tree distance ответ: да. занумеруем три идола числами по модулю \\(3\\) так, что \\(a_{i+1}\\) побеждает \\(a_i\\). выберем корень дерева и сопоставим каждой вершине целую высоту \\(h(v)\\), сравнимую по модулю \\(3\\) с номером её идола. в корне выберем любой целый представитель. далее, проходя от корня к листьям, для каждого ребра \\(uv\\), где высота \\(u\\) уже выбрана, выберем единственную высоту \\(h(v)\\), сравнимую с цветом \\(v\\) по модулю \\(3\\) и удовлетворяющую \\(h(v)-h(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). на дереве противоречий не возникает, поскольку к каждой вершине из корня ведёт единственный путь. покажем, как выглядит один шаг процесса в этих высотах. если у вершины \\(v\\) есть сосед высоты \\(h(v)+1\\), то его цвет побеждает цвет \\(v\\), поэтому высота \\(v\\) увеличивается на \\(1\\). если такого соседа нет, ни у одного соседа нет побеждающего цвета: из условия на разности соседних высот их высоты принадлежат \\(\\{h(v)-1,h(v… hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree stabilizatsiya igry «kamen, nozhnitsy, bumaga» na dereve, «vysshaya proba» 2024 trees coloring dynamics process_invariant goal_proof 2024 hse hse2024 https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/149/2023/149-tasks-math-11-final-23-24.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf official_solutions olympiad_archive src-hse-2024-final-math-11 src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution «vysshaya proba» «vysshaya proba» 2024, zaklyuchitelnyy etap, matematika, 11 klass vysshayaproba vysshayaproba2024 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 «vysshaya proba» 2024, zaklyuchitelnyy etap, matematika, 11 klass lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 stmt-original ofitsialnaya formulirovka source_verified derevni nekotoroy yazycheskoy strany soedineny dorogami tak, chto ot lyuboy derevni mozhno dobratsya do lyuboy drugoy, ne prohodya ni cherez kakuyu derevnyu dvazhdy, prichem sdelat eto mozhno edinstvennym sposobom. v kazhdoy derevne zhivet plemya, poklonyayuscheesya odnomu iz treh idolov: kamnyu, nozhnitsam ili bumage. kamen silnee nozhnits, nozhnitsy silnee bumagi, a bumaga silnee kamnya. kazhdyy vecher odnovremenno kazhdoe plemya, u kotorogo est sosed s bolee silnym idolom, nachinaet poklonyatsya etomu bolee silnomu idolu. verno li, chto rano ili pozdno vse plemena nachnut verit v odnogo i togo zhe idola? tree stmt-graph sinhronnaya trehtsvetnaya dinamika na dereve ai_checked vershiny konechnogo dereva raskrasheny tremya tsvetami \\(a_0,a_1,a_2\\), indeksy schitayutsya po modulyu \\(3\\), prichem \\(a_{i+1}\\) pobezhdaet \\(a_i\\). na kazhdom shage vse vershiny obnovlyayutsya odnovremenno: tsvet \\(a_i\\) zamenyaetsya na \\(a_{i+1}\\), esli sredi sosedey est vershina tsveta \\(a_{i+1}\\), i ne menyaetsya inache. dokazhite, chto cherez konechnoe chislo shagov vse vershiny budut imet odin tsvet. tree idea-lift-colors-to-heights podnyat tsiklicheskie tsveta v tselye vysoty posle vybora vysoty kornya tsveta na dereve odnoznachno podnimayutsya v tselye chisla tak, chtoby sosednie vysoty otlichalis na \\(-1\\), \\(0\\) ili \\(1\\). obnovlenie tsveta stanovitsya vzyatiem maksimuma po zamknutoy okrestnosti. dynamics process_invariant ai_checked sol-integer-height-lift reshenie cherez tselochislennye vysoty ai_checked tree distance otvet: da. zanumeruem tri idola chislami po modulyu \\(3\\) tak, chto \\(a_{i+1}\\) pobezhdaet \\(a_i\\). vyberem koren dereva i sopostavim kazhdoy vershine tseluyu vysotu \\(h(v)\\), sravnimuyu po modulyu \\(3\\) s nomerom ee idola. v korne vyberem lyuboy tselyy predstavitel. dalee, prohodya ot kornya k listyam, dlya kazhdogo rebra \\(uv\\), gde vysota \\(u\\) uzhe vybrana, vyberem edinstvennuyu vysotu \\(h(v)\\), sravnimuyu s tsvetom \\(v\\) po modulyu \\(3\\) i udovletvoryayuschuyu \\(h(v)-h(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). na dereve protivorechiy ne voznikaet, poskolku k kazhdoy vershine iz kornya vedet edinstvennyy put. pokazhem, kak vyglyadit odin shag protsessa v etih vysotah. esli u vershiny \\(v\\) est sosed vysoty \\(h(v)+1\\), to ego tsvet pobezhdaet tsvet \\(v\\), poetomu vysota \\(v\\) uvelichivaetsya na \\(1\\). esli takogo soseda net, ni u odnogo soseda net pobezhdayuschego tsveta: iz usloviya na raznosti sosednih vysot ih vysoty prinadlezhat \\(\\{h(v)-1,h(v…","source_keys":["hse","lktg"]}
{"id":"lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics","title":"Стабилизация камня, ножниц и бумаги на деревьях и вечная динамика на циклах, ЛКТГ 2026 №28","path":"data\\problems\\lktg\\lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/lktg/lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics","source_key":"lktg","source_label":"ЛКТГ","source_titles":["38-я Летняя конференция Турнира городов 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7","ЛКТГ 2026, проект 2 «Игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7","«Высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс"],"year":"2026","type":"olympiad_problem","authors":["Марк Пименов"],"tags":["trees","dynamics","modular_coloring","process_invariant","potential_function","goal_exact_bound","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"Подпункты имеют сложность 2/5, 3/5, 4/5 и 4/5; основная трудность — целочисленный подъём и инвариант оборота.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","status":"ai_checked","confidence":0.99,"basis":"официальный PDF содержит полные школьные доказательства","notes":"Включены подъём высот, точное время, инвариант цикла и обобщение на нечётное число предметов.","label":"официальное полное"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Камень, ножницы, бумага на графе","status":"source_verified","text":"Пусть \\(G\\) — конечный простой связный граф. В каждой его вершине находится камень, ножницы или бумага. Ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень, камень побеждает ножницы. Каждую минуту предмет в вершине заменяется на побеждающий его предмет, если такой предмет есть хотя бы в одной соседней вершине. Если его нет, предмет не меняется. Все замены происходят одновременно и учитывают расстановку в начале минуты. а) Пусть \\(G\\) — дерево. Докажите, что при любой первоначальной расстановке через конечное число минут изменения прекратятся. б) Если дерево имеет \\(n\\) вершин, найдите наибольшее возможное число минут до стабилизации по всем деревьям и начальным расстановкам. в) Пусть \\(G\\) не является деревом. Докажите, что существует начальная расстановка с бесконечно долгими изменениями. г) Вместо трёх предметов рассмотрим нечётное число \\(m=2r+1\\ge3\\) предметов \\(A_0,A_1,\\ldots,A_{2r}\\), индексы по модулю \\(m\\). Предмет \\(A_i\\) проигрывает предметам \\(A_{i+1},\\ldots,A_{i+r}\\). За минуту \\(A_i\\) заменяется на \\(A_{i+1}\\), если хотя бы у одного соседа находится предмет, которому \\(A_i\\) проигрывает; иначе не меняется. Все замены одновременны. Докажите для этого правила утверждения пунктов а) и в).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","tree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-height-and-winding","title":"Подъём высот на дереве и инвариант оборота на цикле","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","tree","cycle","distance"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим три предмета через \\(A_0,A_1,A_2\\) по модулю \\(3\\) так, что \\(A_{i+1}\\) побеждает \\(A_i\\). а) Выберем корень дерева и любой целый представитель \\(h_0\\) цвета в корне. Двигаясь от корня, каждой вершине \\(v\\) сопоставим целое \\(h_0(v)\\), сравнимое с номером её предмета по модулю \\(3\\), так чтобы на каждом ребре \\(uv\\) выполнялось \\(h_0(v)-h_0(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). Для уже заданной высоты родителя подходящий представитель цвета ребёнка единственен. Противоречий нет, потому что в дереве нет циклов. Если у вершины \\(v\\) есть сосед высоты \\(h_t(v)+1\\), у него находится ровно предмет, побеждающий предмет в \\(v\\), и высота \\(v\\) увеличивается на \\(1\\). Если такого соседа нет, она не меняется. Поэтому \\[ h_{t+1}(v)=\\max\\bigl(\\{h_t(v)\\}\\cup\\{h_t(u):u\\sim v\\}\\bigr).\\tag{1} \\] Новые высоты соседних вершин снова отличаются не более чем на \\(1\\): максимум в замкнутой окрестности одного конца р…"}],"relations":[{"id":"rel-lktg-2026-p28-hse-2024-generalization","neighbor_id":"hse-2024-final-11-p5-rock-paper-scissors-tree","direction":"forward","type":"generalization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-jbmo-2026-p3-lktg-2026-p28-three-state-dynamics","neighbor_id":"jbmo-2026-p3-three-color-lamps-cycle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics стабилизация камня, ножниц и бумаги на деревьях и вечная динамика на циклах, лктг 2026 №28 trees dynamics modular_coloring process_invariant potential_function goal_exact_bound goal_proof 2026 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/149/2023/149-tasks-math-11-final-23-24.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-hse-2024-final-math-11 src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution «высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс лктг лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг2026 марк пименов марк пименов 38-я летняя конференция турнира городов 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах» лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: условия, русская редакция 7 лктг 2026, проект 2 «игры на меняющихся графах»: решения, русская редакция 7 «высшая проба» 2024, заключительный этап, математика, 11 класс stmt-original камень, ножницы, бумага на графе source_verified пусть \\(g\\) — конечный простой связный граф. в каждой его вершине находится камень, ножницы или бумага. ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень, камень побеждает ножницы. каждую минуту предмет в вершине заменяется на побеждающий его предмет, если такой предмет есть хотя бы в одной соседней вершине. если его нет, предмет не меняется. все замены происходят одновременно и учитывают расстановку в начале минуты. а) пусть \\(g\\) — дерево. докажите, что при любой первоначальной расстановке через конечное число минут изменения прекратятся. б) если дерево имеет \\(n\\) вершин, найдите наибольшее возможное число минут до стабилизации по всем деревьям и начальным расстановкам. в) пусть \\(g\\) не является деревом. докажите, что существует начальная расстановка с бесконечно долгими изменениями. г) вместо трёх предметов рассмотрим нечётное число \\(m=2r+1\\ge3\\) предметов \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{2r}\\), индексы по модулю \\(m\\). предмет \\(a_i\\) проигрывает предметам \\(a_{i+1},\\ldots,a_{i+r}\\). за минуту \\(a_i\\) заменяется на \\(a_{i+1}\\), если хотя бы у одного соседа находится предмет, которому \\(a_i\\) проигрывает; иначе не меняется. все замены одновременны. докажите для этого правила утверждения пунктов а) и в). simple_graph connected_graph tree cycle idea-tree-height-lift на дереве остатки поднимаются в целые высоты отсутствие циклов позволяет однозначно выбрать целые представители цветов с малыми разностями на рёбрах. для трёх состояний обновление становится распространением локального максимума. trees modular_coloring ai_checked idea-cycle-winding сумма поднятых разностей вдоль цикла сохраняется изменение вершины прибавляет единицу к одной ориентированной разности и вычитает из соседней, поэтому сумма по циклу телескопически инвариантна. ненулевой оборот несовместим со стационарной расстановкой. process_invariant dynamics ai_checked sol-official-height-and-winding подъём высот на дереве и инвариант оборота на цикле ai_checked simple_graph connected_graph tree cycle distance обозначим три предмета через \\(a_0,a_1,a_2\\) по модулю \\(3\\) так, что \\(a_{i+1}\\) побеждает \\(a_i\\). а) выберем корень дерева и любой целый представитель \\(h_0\\) цвета в корне. двигаясь от корня, каждой вершине \\(v\\) сопоставим целое \\(h_0(v)\\), сравнимое с номером её предмета по модулю \\(3\\), так чтобы на каждом ребре \\(uv\\) выполнялось \\(h_0(v)-h_0(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). для уже заданной высоты родителя подходящий представитель цвета ребёнка единственен. противоречий нет, потому что в дереве нет циклов. если у вершины \\(v\\) есть сосед высоты \\(h_t(v)+1\\), у него находится ровно предмет, побеждающий предмет в \\(v\\), и высота \\(v\\) увеличивается на \\(1\\). если такого соседа нет, она не меняется. поэтому \\[ h_{t+1}(v)=\\max\\bigl(\\{h_t(v)\\}\\cup\\{h_t(u):u\\sim v\\}\\bigr).\\tag{1} \\] новые высоты соседних вершин снова отличаются не более чем на \\(1\\): максимум в замкнутой окрестности одного конца р… lktg-2026-project2-problem28-rock-paper-scissors-dynamics stabilizatsiya kamnya, nozhnits i bumagi na derevyah i vechnaya dinamika na tsiklah, lktg 2026 №28 trees dynamics modular_coloring process_invariant potential_function goal_exact_bound goal_proof 2026 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/149/2023/149-tasks-math-11-final-23-24.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/2-1-changing_graphs-sol-rus.pdf https://turgor.ru/lktg/2026/2/index.html lktg lktg2026 official_archive official_solutions olympiad_archive src-hse-2024-final-math-11 src-lktg-2026-project2-page src-lktg-2026-project2-problems-ru src-lktg-2026-project2-solutions-ru with_solution «vysshaya proba» 2024, zaklyuchitelnyy etap, matematika, 11 klass lktg lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg2026 mark pimenov mark pimenov 38-ya letnyaya konferentsiya turnira gorodov 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah» lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: usloviya, russkaya redaktsiya 7 lktg 2026, proekt 2 «igry na menyayuschihsya grafah»: resheniya, russkaya redaktsiya 7 «vysshaya proba» 2024, zaklyuchitelnyy etap, matematika, 11 klass stmt-original kamen, nozhnitsy, bumaga na grafe source_verified pust \\(g\\) — konechnyy prostoy svyaznyy graf. v kazhdoy ego vershine nahoditsya kamen, nozhnitsy ili bumaga. nozhnitsy pobezhdayut bumagu, bumaga pobezhdaet kamen, kamen pobezhdaet nozhnitsy. kazhduyu minutu predmet v vershine zamenyaetsya na pobezhdayuschiy ego predmet, esli takoy predmet est hotya by v odnoy sosedney vershine. esli ego net, predmet ne menyaetsya. vse zameny proishodyat odnovremenno i uchityvayut rasstanovku v nachale minuty. a) pust \\(g\\) — derevo. dokazhite, chto pri lyuboy pervonachalnoy rasstanovke cherez konechnoe chislo minut izmeneniya prekratyatsya. b) esli derevo imeet \\(n\\) vershin, naydite naibolshee vozmozhnoe chislo minut do stabilizatsii po vsem derevyam i nachalnym rasstanovkam. v) pust \\(g\\) ne yavlyaetsya derevom. dokazhite, chto suschestvuet nachalnaya rasstanovka s beskonechno dolgimi izmeneniyami. g) vmesto treh predmetov rassmotrim nechetnoe chislo \\(m=2r+1\\ge3\\) predmetov \\(a_0,a_1,\\ldots,a_{2r}\\), indeksy po modulyu \\(m\\). predmet \\(a_i\\) proigryvaet predmetam \\(a_{i+1},\\ldots,a_{i+r}\\). za minutu \\(a_i\\) zamenyaetsya na \\(a_{i+1}\\), esli hotya by u odnogo soseda nahoditsya predmet, kotoromu \\(a_i\\) proigryvaet; inache ne menyaetsya. vse zameny odnovremenny. dokazhite dlya etogo pravila utverzhdeniya punktov a) i v). simple_graph connected_graph tree cycle idea-tree-height-lift na dereve ostatki podnimayutsya v tselye vysoty otsutstvie tsiklov pozvolyaet odnoznachno vybrat tselye predstaviteli tsvetov s malymi raznostyami na rebrah. dlya treh sostoyaniy obnovlenie stanovitsya rasprostraneniem lokalnogo maksimuma. trees modular_coloring ai_checked idea-cycle-winding summa podnyatyh raznostey vdol tsikla sohranyaetsya izmenenie vershiny pribavlyaet edinitsu k odnoy orientirovannoy raznosti i vychitaet iz sosedney, poetomu summa po tsiklu teleskopicheski invariantna. nenulevoy oborot nesovmestim so statsionarnoy rasstanovkoy. process_invariant dynamics ai_checked sol-official-height-and-winding podem vysot na dereve i invariant oborota na tsikle ai_checked simple_graph connected_graph tree cycle distance oboznachim tri predmeta cherez \\(a_0,a_1,a_2\\) po modulyu \\(3\\) tak, chto \\(a_{i+1}\\) pobezhdaet \\(a_i\\). a) vyberem koren dereva i lyuboy tselyy predstavitel \\(h_0\\) tsveta v korne. dvigayas ot kornya, kazhdoy vershine \\(v\\) sopostavim tseloe \\(h_0(v)\\), sravnimoe s nomerom ee predmeta po modulyu \\(3\\), tak chtoby na kazhdom rebre \\(uv\\) vypolnyalos \\(h_0(v)-h_0(u)\\in\\{-1,0,1\\}\\). dlya uzhe zadannoy vysoty roditelya podhodyaschiy predstavitel tsveta rebenka edinstvenen. protivorechiy net, potomu chto v dereve net tsiklov. esli u vershiny \\(v\\) est sosed vysoty \\(h_t(v)+1\\), u nego nahoditsya rovno predmet, pobezhdayuschiy predmet v \\(v\\), i vysota \\(v\\) uvelichivaetsya na \\(1\\). esli takogo soseda net, ona ne menyaetsya. poetomu \\[ h_{t+1}(v)=\\max\\bigl(\\{h_t(v)\\}\\cup\\{h_t(u):u\\sim v\\}\\bigr).\\tag{1} \\] novye vysoty sosednih vershin snova otlichayutsya ne bolee chem na \\(1\\): maksimum v zamknutoy okrestnosti odnogo kontsa r…","source_keys":["lktg","hse"]}