{"id":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","title":"Балансирующая 2-раскраска рёбер двудольного графа","path":"data\\problems\\classical\\balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["IMOmath, IMO 1986 условия","IMO Compendium / ранняя подборка решений IMO","AoPS Wiki, 1986 IMO Problems/Problem 6","ФЮМ 2010, первый тур (b), задача 8"],"year":"","type":"problem_family","authors":[],"tags":["eulerian_graphs","coloring","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"imo_p3_p6","local_score":13,"comment":"Объединяет координатную формулировку IMO 1986 P6 и прямую двудольную формулировку ФЮМ 2010.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-imo-1986-p6-points","title":"IMO 1986 P6, координатные точки","status":"ai_checked","text":"Дано конечное множество точек с целыми координатами на плоскости. Можно ли раскрасить часть точек в красный цвет, а остальные в белый так, чтобы на каждой прямой, параллельной одной из координатных осей, числа красных и белых точек отличались не более чем на 1?","definition_ids":[]},{"id":"stmt-fyum-2010-bipartite","title":"ФЮМ 2010, двудольный граф","status":"ai_checked","text":"Дан двудольный граф G. Докажите, что рёбра графа G можно покрасить в два цвета так, чтобы для любой вершины количества рёбер разных цветов, выходящих из этой вершины, отличались не более чем на 1.","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-balanced-edge-coloring","title":"Балансировка рёбер двудольного графа","status":"ai_checked","text":"В любом двудольном графе можно раскрасить рёбра в два цвета так, чтобы в каждой вершине количества инцидентных рёбер двух цветов отличались не более чем на 1.","definition_ids":["bipartite_graph","degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-balanced-edge-coloring","title":"Единое решение","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","eulerian_cycle","degree","multigraph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем графовую формулировку. В каждой компоненте двудольного графа числа вершин нечётной степени в двух долях имеют одинаковую чётность. Разобьём нечётные вершины каждой доли на пары, а если в обеих долях осталось по одной нечётной вершине, соединим эти две вершины. Для каждой такой пары добавим фиктивное ребро. Получится двудольный эйлеров мультиграф: все степени стали чётными. Разложим его рёбра на эйлеровы циклы и покрасим рёбра каждого цикла попеременно в два цвета. Поскольку граф двудольный, все эти циклы чётные; значит, на каждом цикле у каждой вершины поровну инцидентных рёбер двух цветов. Поэтому в графе с фиктивными рёбрами баланс в каждой вершине точный. Удалим фиктивные рёбра. Каждая исходно нечётная вершина была инцидентна ровно одному фиктивному ребру, а исходно чётные вершины — ни одному, поэтому после удаления в каждой вершине числа рёбер двух цветов отличаются не более…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2010-tur1a-p8-tur1b-p8-balanced-edge-coloring","neighbor_id":"fyum-2010-tur1a-p8","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-eulerian-imo-1986-p6","neighbor_id":"eulerian-graph-criterion","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-imo-1986-p6-imo-2023-c4-eulerian-reconstruction","neighbor_id":"imo-2023-c4-strip-pieces-eulerian-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-balanced-edge-coloring-imo-2020-c6","neighbor_id":"imo-2020-c6-colored-coins-eulerian-multigraph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-ms2019-p4-balanced-bipartite-row-column-encoding","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2019-p4-nice-matrices-bipartite-shellings","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-balanced-bipartite-edge-coloring-to-spbmo-2021-coordinate-2factor","neighbor_id":"spbmo-2021-coordinate-points-two-colored-2factor","direction":"forward","type":"solution_transfer","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors балансирующая 2-раскраска рёбер двудольного графа eulerian_graphs coloring goal_construction aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 https://imomath.com/othercomp/i/imo1986.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1986_imo_problems/problem_6 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur1b.tex https://www.imomath.com/ imo compendium / ранняя подборка решений imo imomath, imo 1986 условия misc olympiad_archive secondary_solution src-aops-imo-1986-p6 src-fyum-2010-tur1b-p8-official src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1986 statement with_solution прочее фюм 2010, первый тур (b), задача 8 ? imomath, imo 1986 условия imo compendium / ранняя подборка решений imo aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 фюм 2010, первый тур (b), задача 8 stmt-imo-1986-p6-points imo 1986 p6, координатные точки ai_checked дано конечное множество точек с целыми координатами на плоскости. можно ли раскрасить часть точек в красный цвет, а остальные в белый так, чтобы на каждой прямой, параллельной одной из координатных осей, числа красных и белых точек отличались не более чем на 1? stmt-fyum-2010-bipartite фюм 2010, двудольный граф ai_checked дан двудольный граф g. докажите, что рёбра графа g можно покрасить в два цвета так, чтобы для любой вершины количества рёбер разных цветов, выходящих из этой вершины, отличались не более чем на 1. bipartite_graph degree stmt-graph-balanced-edge-coloring балансировка рёбер двудольного графа ai_checked в любом двудольном графе можно раскрасить рёбра в два цвета так, чтобы в каждой вершине количества инцидентных рёбер двух цветов отличались не более чем на 1. bipartite_graph degree idea-points-as-bipartite-edges точки как рёбра двудольного графа горизонтали и вертикали становятся вершинами двух долей графа, а каждая точка задаёт ребро между соответствующей горизонталью и вертикалью. coloring ai_checked idea-alternate-euler-cycles попеременная раскраска эйлеровых циклов после добавления фиктивных рёбер, делающих все степени чётными и сохраняющих двудольность, рёбра каждой компоненты можно обойти эйлеровыми циклами и красить попеременно. coloring ai_checked sol-balanced-edge-coloring единое решение ai_checked bipartite_graph eulerian_cycle degree multigraph cycle докажем графовую формулировку. в каждой компоненте двудольного графа числа вершин нечётной степени в двух долях имеют одинаковую чётность. разобьём нечётные вершины каждой доли на пары, а если в обеих долях осталось по одной нечётной вершине, соединим эти две вершины. для каждой такой пары добавим фиктивное ребро. получится двудольный эйлеров мультиграф: все степени стали чётными. разложим его рёбра на эйлеровы циклы и покрасим рёбра каждого цикла попеременно в два цвета. поскольку граф двудольный, все эти циклы чётные; значит, на каждом цикле у каждой вершины поровну инцидентных рёбер двух цветов. поэтому в графе с фиктивными рёбрами баланс в каждой вершине точный. удалим фиктивные рёбра. каждая исходно нечётная вершина была инцидентна ровно одному фиктивному ребру, а исходно чётные вершины — ни одному, поэтому после удаления в каждой вершине числа рёбер двух цветов отличаются не более… balanced-bipartite-edge-coloring-two-colors balansiruyuschaya 2-raskraska reber dvudolnogo grafa eulerian_graphs coloring goal_construction aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 https://imomath.com/othercomp/i/imo1986.pdf https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1986_imo_problems/problem_6 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur1b.tex https://www.imomath.com/ imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo imomath, imo 1986 usloviya misc olympiad_archive secondary_solution src-aops-imo-1986-p6 src-fyum-2010-tur1b-p8-official src-imo-compendium-solutions-1959-2004 src-imomath-imo-1986 statement with_solution prochee fyum 2010, pervyy tur (b), zadacha 8 ? imomath, imo 1986 usloviya imo compendium / rannyaya podborka resheniy imo aops wiki, 1986 imo problems/problem 6 fyum 2010, pervyy tur (b), zadacha 8 stmt-imo-1986-p6-points imo 1986 p6, koordinatnye tochki ai_checked dano konechnoe mnozhestvo tochek s tselymi koordinatami na ploskosti. mozhno li raskrasit chast tochek v krasnyy tsvet, a ostalnye v belyy tak, chtoby na kazhdoy pryamoy, parallelnoy odnoy iz koordinatnyh osey, chisla krasnyh i belyh tochek otlichalis ne bolee chem na 1? stmt-fyum-2010-bipartite fyum 2010, dvudolnyy graf ai_checked dan dvudolnyy graf g. dokazhite, chto rebra grafa g mozhno pokrasit v dva tsveta tak, chtoby dlya lyuboy vershiny kolichestva reber raznyh tsvetov, vyhodyaschih iz etoy vershiny, otlichalis ne bolee chem na 1. bipartite_graph degree stmt-graph-balanced-edge-coloring balansirovka reber dvudolnogo grafa ai_checked v lyubom dvudolnom grafe mozhno raskrasit rebra v dva tsveta tak, chtoby v kazhdoy vershine kolichestva intsidentnyh reber dvuh tsvetov otlichalis ne bolee chem na 1. bipartite_graph degree idea-points-as-bipartite-edges tochki kak rebra dvudolnogo grafa gorizontali i vertikali stanovyatsya vershinami dvuh doley grafa, a kazhdaya tochka zadaet rebro mezhdu sootvetstvuyuschey gorizontalyu i vertikalyu. coloring ai_checked idea-alternate-euler-cycles poperemennaya raskraska eylerovyh tsiklov posle dobavleniya fiktivnyh reber, delayuschih vse stepeni chetnymi i sohranyayuschih dvudolnost, rebra kazhdoy komponenty mozhno oboyti eylerovymi tsiklami i krasit poperemenno. coloring ai_checked sol-balanced-edge-coloring edinoe reshenie ai_checked bipartite_graph eulerian_cycle degree multigraph cycle dokazhem grafovuyu formulirovku. v kazhdoy komponente dvudolnogo grafa chisla vershin nechetnoy stepeni v dvuh dolyah imeyut odinakovuyu chetnost. razobem nechetnye vershiny kazhdoy doli na pary, a esli v obeih dolyah ostalos po odnoy nechetnoy vershine, soedinim eti dve vershiny. dlya kazhdoy takoy pary dobavim fiktivnoe rebro. poluchitsya dvudolnyy eylerov multigraf: vse stepeni stali chetnymi. razlozhim ego rebra na eylerovy tsikly i pokrasim rebra kazhdogo tsikla poperemenno v dva tsveta. poskolku graf dvudolnyy, vse eti tsikly chetnye; znachit, na kazhdom tsikle u kazhdoy vershiny porovnu intsidentnyh reber dvuh tsvetov. poetomu v grafe s fiktivnymi rebrami balans v kazhdoy vershine tochnyy. udalim fiktivnye rebra. kazhdaya ishodno nechetnaya vershina byla intsidentna rovno odnomu fiktivnomu rebru, a ishodno chetnye vershiny — ni odnomu, poetomu posle udaleniya v kazhdoy vershine chisla reber dvuh tsvetov otlichayutsya ne bolee…","source_keys":["misc","imo","fyum"]} {"id":"cubic-graph-four-cycle-bound","title":"В 3-регулярном графе не более 3n/2 циклов длины 4","path":"data\\problems\\classical\\cubic-graph-four-cycle-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/cubic-graph-four-cycle-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#cubic-graph-four-cycle-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["ФЮМ 2013, второй тур, Лига тактик, задача 7"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["extremal_graph_theory","double_counting","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":4,"comment":"Короткая экстремальная лемма: один двойной счёт и резкий пример K₃,₃.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-cubic-four-cycle-bound","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть G — простой 3-регулярный граф на n вершинах. Тогда число циклов длины 4 в G не превосходит 3n/2. Эта оценка точна: если n кратно 6, равенство достигается на несвязном объединении n/6 копий K₃,₃.","definition_ids":["degree","cycle","bipartite_graph"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-fyum-2013-n300-instance","title":"ФЮМ 2013: случай n=300","status":"ai_checked","text":"В графе 300 вершин, и степень каждой вершины равна 3. Какое наибольшее возможное число циклов длины 4 может быть в таком графе?","definition_ids":["degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-double-count-incident-edge-pairs","title":"Двойной счёт пар инцидентных рёбер","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","cycle","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим пары вида (C,v), где C — 4-цикл графа G, а v — вершина этого цикла. Если число 4-циклов равно q, то таких пар ровно 4q. С другой стороны, каждой паре (C,v) соответствует неупорядоченная пара рёбер цикла C, инцидентных вершине v. В 3-регулярном графе у каждой вершины есть C(3,2)=3 пары инцидентных рёбер, всего 3n таких пар. Зафиксируем пару рёбер vu и vw. Любой 4-цикл, содержащий оба эти ребра, имеет вид v-u-x-w-v, где x — общий сосед вершин u и w, отличный от v. Так как у u и w после удаления ребер к v остаётся не более чем по два возможных соседа, таких вершин x, а значит и таких 4-циклов, не больше двух. Поэтому 4q не превосходит 2·3n=6n, откуда q ≤ 3n/2. Оценка достигается на K₃,₃: его 4-циклы получаются выбором двух вершин в одной доле и двух вершин в другой доле, поэтому их C(3,2)^2=9=3·6/2. Несвязное объединение n/6 копий K₃,₃ при n, кратном 6, даёт ровно 9n/6=3n/2 цикл…"}],"relations":[{"id":"rel-cmo-2023-p2-cubic-four-cycle-bound","neighbor_id":"cmo-2023-p2-three-regular-bootstrap-friendship","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cubic-four-cycle-bound-cubic-polyhedron-large-face-fork","neighbor_id":"cubic-polyhedron-large-face-fork-strategy-lemma","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2025-unior-r3p1-cubic-four-cycle-bound","neighbor_id":"yumt-2025-unior-round3-problem1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"cubic-graph-four-cycle-bound в 3-регулярном графе не более 3n/2 циклов длины 4 extremal_graph_theory double_counting goal_exact_bound https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur2b.tex misc olympiad_archive src-fyum-2013-tur2b-p7-official with_solution прочее фюм 2013, второй тур, лига тактик, задача 7 ? фюм 2013, второй тур, лига тактик, задача 7 stmt-cubic-four-cycle-bound ai_checked пусть g — простой 3-регулярный граф на n вершинах. тогда число циклов длины 4 в g не превосходит 3n/2. эта оценка точна: если n кратно 6, равенство достигается на несвязном объединении n/6 копий k₃,₃. degree cycle bipartite_graph stmt-fyum-2013-n300-instance фюм 2013: случай n=300 ai_checked в графе 300 вершин, и степень каждой вершины равна 3. какое наибольшее возможное число циклов длины 4 может быть в таком графе? degree cycle idea-count-vertex-edge-pairs считать пары инцидентных рёбер у вершины каждый 4-цикл вносит по одной паре инцидентных рёбер в каждой из своих четырёх вершин, а в 3-регулярном графе у каждой вершины всего три такие пары. double_counting extremal_graph_theory ai_checked idea-k33-sharpness резкость на k₃,₃ в k₃,₃ каждый 4-цикл задаётся выбором двух вершин в каждой доле, поэтому таких циклов ровно c(3,2)^2=9, что равно 3|v(k₃,₃)|/2. extremal_graph_theory goal_exact_bound ai_checked sol-double-count-incident-edge-pairs двойной счёт пар инцидентных рёбер ai_checked degree cycle bipartite_graph double_counting рассмотрим пары вида (c,v), где c — 4-цикл графа g, а v — вершина этого цикла. если число 4-циклов равно q, то таких пар ровно 4q. с другой стороны, каждой паре (c,v) соответствует неупорядоченная пара рёбер цикла c, инцидентных вершине v. в 3-регулярном графе у каждой вершины есть c(3,2)=3 пары инцидентных рёбер, всего 3n таких пар. зафиксируем пару рёбер vu и vw. любой 4-цикл, содержащий оба эти ребра, имеет вид v-u-x-w-v, где x — общий сосед вершин u и w, отличный от v. так как у u и w после удаления ребер к v остаётся не более чем по два возможных соседа, таких вершин x, а значит и таких 4-циклов, не больше двух. поэтому 4q не превосходит 2·3n=6n, откуда q ≤ 3n/2. оценка достигается на k₃,₃: его 4-циклы получаются выбором двух вершин в одной доле и двух вершин в другой доле, поэтому их c(3,2)^2=9=3·6/2. несвязное объединение n/6 копий k₃,₃ при n, кратном 6, даёт ровно 9n/6=3n/2 цикл… cubic-graph-four-cycle-bound v 3-regulyarnom grafe ne bolee 3n/2 tsiklov dliny 4 extremal_graph_theory double_counting goal_exact_bound https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur2b.tex misc olympiad_archive src-fyum-2013-tur2b-p7-official with_solution prochee fyum 2013, vtoroy tur, liga taktik, zadacha 7 ? fyum 2013, vtoroy tur, liga taktik, zadacha 7 stmt-cubic-four-cycle-bound ai_checked pust g — prostoy 3-regulyarnyy graf na n vershinah. togda chislo tsiklov dliny 4 v g ne prevoshodit 3n/2. eta otsenka tochna: esli n kratno 6, ravenstvo dostigaetsya na nesvyaznom obedinenii n/6 kopiy k₃,₃. degree cycle bipartite_graph stmt-fyum-2013-n300-instance fyum 2013: sluchay n=300 ai_checked v grafe 300 vershin, i stepen kazhdoy vershiny ravna 3. kakoe naibolshee vozmozhnoe chislo tsiklov dliny 4 mozhet byt v takom grafe? degree cycle idea-count-vertex-edge-pairs schitat pary intsidentnyh reber u vershiny kazhdyy 4-tsikl vnosit po odnoy pare intsidentnyh reber v kazhdoy iz svoih chetyreh vershin, a v 3-regulyarnom grafe u kazhdoy vershiny vsego tri takie pary. double_counting extremal_graph_theory ai_checked idea-k33-sharpness rezkost na k₃,₃ v k₃,₃ kazhdyy 4-tsikl zadaetsya vyborom dvuh vershin v kazhdoy dole, poetomu takih tsiklov rovno c(3,2)^2=9, chto ravno 3|v(k₃,₃)|/2. extremal_graph_theory goal_exact_bound ai_checked sol-double-count-incident-edge-pairs dvoynoy schet par intsidentnyh reber ai_checked degree cycle bipartite_graph double_counting rassmotrim pary vida (c,v), gde c — 4-tsikl grafa g, a v — vershina etogo tsikla. esli chislo 4-tsiklov ravno q, to takih par rovno 4q. s drugoy storony, kazhdoy pare (c,v) sootvetstvuet neuporyadochennaya para reber tsikla c, intsidentnyh vershine v. v 3-regulyarnom grafe u kazhdoy vershiny est c(3,2)=3 pary intsidentnyh reber, vsego 3n takih par. zafiksiruem paru reber vu i vw. lyuboy 4-tsikl, soderzhaschiy oba eti rebra, imeet vid v-u-x-w-v, gde x — obschiy sosed vershin u i w, otlichnyy ot v. tak kak u u i w posle udaleniya reber k v ostaetsya ne bolee chem po dva vozmozhnyh soseda, takih vershin x, a znachit i takih 4-tsiklov, ne bolshe dvuh. poetomu 4q ne prevoshodit 2·3n=6n, otkuda q ≤ 3n/2. otsenka dostigaetsya na k₃,₃: ego 4-tsikly poluchayutsya vyborom dvuh vershin v odnoy dole i dvuh vershin v drugoy dole, poetomu ih c(3,2)^2=9=3·6/2. nesvyaznoe obedinenie n/6 kopiy k₃,₃ pri n, kratnom 6, daet rovno 9n/6=3n/2 tsikl…","source_keys":["misc","fyum"]} {"id":"dense-graph-long-theta-subgraph","title":"Плотный граф содержит theta-подграф с двумя длинными ветвями","path":"data\\problems\\classical\\dense-graph-long-theta-subgraph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/dense-graph-long-theta-subgraph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#dense-graph-long-theta-subgraph","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Bondy and Simonovits, Cycles of Even Length in Graphs","ФЮМ 2009, третий тур (a), задача 7"],"year":"","type":"lemma","authors":["J. A. Bondy and M. Simonovits"],"tags":["extremal_graph_theory","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Короткая экстремальная лемма: основная идея состоит в стандартном переходе к большой минимальной степени и выборе конца длиннейшего пути.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-dense-long-theta","title":"Плотность больше \\(2t\\) на вершину вынуждает длинный theta-подграф","status":"source_verified","text":"Пусть \\(t\\ge 1\\), а \\(G\\) — конечный простой связный граф такой, что \\(e(G)>2t|V(G)|\\). Тогда в \\(G\\) существуют вершины \\(a,b\\), ребро \\(ab\\), и два внутренне непересекающихся простых \\(a-b\\) пути, каждый длины хотя бы \\(t\\), причем вместе с ребром \\(ab\\) они образуют theta-подграф.","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-pruning-longest-path","title":"Доказательство через прореживание и длиннейший путь","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","longest_path"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем удалять из текущего графа вершины степени меньше \\(2t\\). Если в графе с \\(N\\) вершинами и \\(M>2tN\\) ребрами удалить вершину степени не больше \\(2t-1\\), то останется больше \\(2tN-(2t-1)>2t(N-1)\\) ребер, так что строгая плотность сохраняется. Поэтому после последовательных удалений останется непустой граф \\(H\\) с \\(e(H)>2t|V(H)|\\) и минимальной степенью хотя бы \\(2t\\); взяв компоненту с отношением \\(e/|V|\\) больше \\(2t\\), можно считать \\(H\\) связным. Возьмем в \\(H\\) длиннейший простой путь \\(P=x_0x_1\\ldots x_m\\). Все соседи вершины \\(x_0\\) лежат на \\(P\\), иначе путь можно было бы удлинить. Пусть эти соседи имеют индексы \\(1=i_12t|v(g)|\\). тогда в \\(g\\) существуют вершины \\(a,b\\), ребро \\(ab\\), и два внутренне непересекающихся простых \\(a-b\\) пути, каждый длины хотя бы \\(t\\), причем вместе с ребром \\(ab\\) они образуют theta-подграф. simple_graph connected_graph path cycle idea-prune-to-minimum-degree-and-use-longest-path очистить малые степени и посмотреть на конец длиннейшего пути пока есть вершина степени меньше \\(2t\\), ее можно удалить, сохранив строгую плотность \\(e>2t|v|\\) в оставшемся графе; затем берется плотная компонента с минимальной степенью хотя бы \\(2t\\). у конца длиннейшего пути все соседи лежат на этом пути, а большое число соседей дает две длинные дуги к подходящему соседу. extremal_graph_theory extremal_choice connectivity ai_checked sol-pruning-longest-path доказательство через прореживание и длиннейший путь ai_checked simple_graph connected_graph path extremal_choice longest_path будем удалять из текущего графа вершины степени меньше \\(2t\\). если в графе с \\(n\\) вершинами и \\(m>2tn\\) ребрами удалить вершину степени не больше \\(2t-1\\), то останется больше \\(2tn-(2t-1)>2t(n-1)\\) ребер, так что строгая плотность сохраняется. поэтому после последовательных удалений останется непустой граф \\(h\\) с \\(e(h)>2t|v(h)|\\) и минимальной степенью хотя бы \\(2t\\); взяв компоненту с отношением \\(e/|v|\\) больше \\(2t\\), можно считать \\(h\\) связным. возьмем в \\(h\\) длиннейший простой путь \\(p=x_0x_1\\ldots x_m\\). все соседи вершины \\(x_0\\) лежат на \\(p\\), иначе путь можно было бы удлинить. пусть эти соседи имеют индексы \\(1=i_12t|v(g)|\\). togda v \\(g\\) suschestvuyut vershiny \\(a,b\\), rebro \\(ab\\), i dva vnutrenne neperesekayuschihsya prostyh \\(a-b\\) puti, kazhdyy dliny hotya by \\(t\\), prichem vmeste s rebrom \\(ab\\) oni obrazuyut theta-podgraf. simple_graph connected_graph path cycle idea-prune-to-minimum-degree-and-use-longest-path ochistit malye stepeni i posmotret na konets dlinneyshego puti poka est vershina stepeni menshe \\(2t\\), ee mozhno udalit, sohraniv stroguyu plotnost \\(e>2t|v|\\) v ostavshemsya grafe; zatem beretsya plotnaya komponenta s minimalnoy stepenyu hotya by \\(2t\\). u kontsa dlinneyshego puti vse sosedi lezhat na etom puti, a bolshoe chislo sosedey daet dve dlinnye dugi k podhodyaschemu sosedu. extremal_graph_theory extremal_choice connectivity ai_checked sol-pruning-longest-path dokazatelstvo cherez prorezhivanie i dlinneyshiy put ai_checked simple_graph connected_graph path extremal_choice longest_path budem udalyat iz tekuschego grafa vershiny stepeni menshe \\(2t\\). esli v grafe s \\(n\\) vershinami i \\(m>2tn\\) rebrami udalit vershinu stepeni ne bolshe \\(2t-1\\), to ostanetsya bolshe \\(2tn-(2t-1)>2t(n-1)\\) reber, tak chto strogaya plotnost sohranyaetsya. poetomu posle posledovatelnyh udaleniy ostanetsya nepustoy graf \\(h\\) s \\(e(h)>2t|v(h)|\\) i minimalnoy stepenyu hotya by \\(2t\\); vzyav komponentu s otnosheniem \\(e/|v|\\) bolshe \\(2t\\), mozhno schitat \\(h\\) svyaznym. vozmem v \\(h\\) dlinneyshiy prostoy put \\(p=x_0x_1\\ldots x_m\\). vse sosedi vershiny \\(x_0\\) lezhat na \\(p\\), inache put mozhno bylo by udlinit. pust eti sosedi imeyut indeksy \\(1=i_1n\\), что запрещено условием. Поэтому между каждой парой долей в \\(H\\) действительно есть соверше…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2008-final-p8-hall-complement-matchings","neighbor_id":"hall-marriage-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"fyum-2008-final-p8 три n-клики без клики размера n+1 и 3-раскраска, фюм 2008 coloring matching complement_graph_transition goal_exact_bound 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/festxix/final.tex olympiad_archive src-fyum-2008-final-p8-official with_solution фюм фюм 2008, финал, задача 8 фюм2008 ? фюм 2008, финал, задача 8 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе \\(3n\\) вершин, они разбиваются на три клики (полных подграфа) по n вершин. при этом не существует клики на \\(n+1\\) вершине. докажите, что вершины графа можно правильно покрасить в \\(\\lfloor 5n/3\\rfloor\\) цветов. clique chromatic_number idea-complement-perfect-matchings в дополнении появляются три совершенных паросочетания переход к дополнительному графу превращает три исходные клики в три независимые доли. запрет клики размера n+1 в исходном графе ровно запрещает дефицит холла между любыми двумя долями дополнения, поэтому между каждой парой долей есть совершенное паросочетание. matching complement_graph_transition ai_checked idea-three-matchings-cycle-cover три паросочетания покрываются короткими кликами по циклам объединение трех совершенных паросочетаний между парами долей является 2-регулярным графом, то есть распадается на циклы. каждый такой цикл имеет длину 3r, а его вершины можно покрыть ребрами, одной вершиной или треугольником так, чтобы уложиться в целую часть 5r/3 цветов. matching coloring ai_checked sol-official-archive полное решение через дополнение и три паросочетания ai_checked complement_graph matching cycle complement_graph_transition пусть три данные клики исходного графа имеют множества вершин \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\). перейдём к дополнительному графу \\(h\\). тогда \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) становятся независимыми долями, а один цвет в исходном графе должен быть независимым множеством, то есть кликой в \\(h\\). поскольку \\(h\\) трёхдольный, такая клика имеет размер не больше \\(3\\). сначала докажем, что между любыми двумя долями, например \\(a\\) и \\(b\\), в \\(h\\) есть совершенное паросочетание. если его нет, то по теореме холла найдётся множество \\(x\\) в \\(a\\), для которого \\(|n_h(x)|<|x|\\). тогда в исходном графе все вершины из \\(x\\) соединены со всеми вершинами из \\(b\\setminus n_h(x)\\), а внутри \\(a\\) и внутри \\(b\\) все вершины и так попарно соединены. значит, \\(x\\) вместе с \\(b\\setminus n_h(x)\\) образует клику размера \\(|x|+n-|n_h(x)|>n\\), что запрещено условием. поэтому между каждой парой долей в \\(h\\) действительно есть соверше… fyum-2008-final-p8 tri n-kliki bez kliki razmera n+1 i 3-raskraska, fyum 2008 coloring matching complement_graph_transition goal_exact_bound 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/festxix/final.tex olympiad_archive src-fyum-2008-final-p8-official with_solution fyum fyum 2008, final, zadacha 8 fyum2008 ? fyum 2008, final, zadacha 8 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe \\(3n\\) vershin, oni razbivayutsya na tri kliki (polnyh podgrafa) po n vershin. pri etom ne suschestvuet kliki na \\(n+1\\) vershine. dokazhite, chto vershiny grafa mozhno pravilno pokrasit v \\(\\lfloor 5n/3\\rfloor\\) tsvetov. clique chromatic_number idea-complement-perfect-matchings v dopolnenii poyavlyayutsya tri sovershennyh parosochetaniya perehod k dopolnitelnomu grafu prevraschaet tri ishodnye kliki v tri nezavisimye doli. zapret kliki razmera n+1 v ishodnom grafe rovno zapreschaet defitsit holla mezhdu lyubymi dvumya dolyami dopolneniya, poetomu mezhdu kazhdoy paroy doley est sovershennoe parosochetanie. matching complement_graph_transition ai_checked idea-three-matchings-cycle-cover tri parosochetaniya pokryvayutsya korotkimi klikami po tsiklam obedinenie treh sovershennyh parosochetaniy mezhdu parami doley yavlyaetsya 2-regulyarnym grafom, to est raspadaetsya na tsikly. kazhdyy takoy tsikl imeet dlinu 3r, a ego vershiny mozhno pokryt rebrami, odnoy vershinoy ili treugolnikom tak, chtoby ulozhitsya v tseluyu chast 5r/3 tsvetov. matching coloring ai_checked sol-official-archive polnoe reshenie cherez dopolnenie i tri parosochetaniya ai_checked complement_graph matching cycle complement_graph_transition pust tri dannye kliki ishodnogo grafa imeyut mnozhestva vershin \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\). pereydem k dopolnitelnomu grafu \\(h\\). togda \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) stanovyatsya nezavisimymi dolyami, a odin tsvet v ishodnom grafe dolzhen byt nezavisimym mnozhestvom, to est klikoy v \\(h\\). poskolku \\(h\\) trehdolnyy, takaya klika imeet razmer ne bolshe \\(3\\). snachala dokazhem, chto mezhdu lyubymi dvumya dolyami, naprimer \\(a\\) i \\(b\\), v \\(h\\) est sovershennoe parosochetanie. esli ego net, to po teoreme holla naydetsya mnozhestvo \\(x\\) v \\(a\\), dlya kotorogo \\(|n_h(x)|<|x|\\). togda v ishodnom grafe vse vershiny iz \\(x\\) soedineny so vsemi vershinami iz \\(b\\setminus n_h(x)\\), a vnutri \\(a\\) i vnutri \\(b\\) vse vershiny i tak poparno soedineny. znachit, \\(x\\) vmeste s \\(b\\setminus n_h(x)\\) obrazuet kliku razmera \\(|x|+n-|n_h(x)|>n\\), chto zaprescheno usloviem. poetomu mezhdu kazhdoy paroy doley v \\(h\\) deystvitelno est sovershe…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2008-tur2a-p5","title":"Выбор чисел в вершинах двудольного графа с различием на рёбрах, ФЮМ 2008","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2008-tur2a-p5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2008-tur2a-p5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2008-tur2a-p5","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2008, второй тур (a), задача 5"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2008_tur2a_problem5.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В двудольном графе 2^n-1 вершин, в каждой написано n различных чисел. Докажите, что можно оставить в каждой вершине одно число так, чтобы в концах каждого ребра стояли различные числа.","definition_ids":["bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Архивное решение","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть доли двудольного графа равны \\(A\\) и \\(B\\). Рассмотрим все числа, которые встречаются в списках вершин, и каждому такому числу независимо припишем одну из двух букв, \\(A\\) или \\(B\\), с вероятностью \\(1/2\\). Назовём вершину хорошей, если среди написанных в ней \\(n\\) различных чисел есть хотя бы одно число с буквой её доли. Для фиксированной вершины вероятность оказаться плохой равна \\(2^{-n}\\): все её \\(n\\) чисел должны получить противоположную букву. В графе всего \\(2^n-1\\) вершин, поэтому по оценке объединения вероятность того, что найдётся хотя бы одна плохая вершина, не превосходит \\[ (2^n-1)\\cdot 2^{-n}<1. \\] Значит, существует такое приписывание букв числам, при котором все вершины хорошие. Зафиксируем это приписывание. В каждой вершине доли \\(A\\) оставим одно из её чисел с буквой \\(A\\), а в каждой вершине доли \\(B\\) — одно из её чисел с буквой \\(B\\). Если две вершины соедине…"}],"relations":[],"search_text":"fyum-2008-tur2a-p5 выбор чисел в вершинах двудольного графа с различием на рёбрах, фюм 2008 goal_proof 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur2a.tex olympiad_archive src-fyum-2008-tur2a-p5-official with_solution фюм фюм 2008, второй тур (a), задача 5 фюм2008 ? фюм 2008, второй тур (a), задача 5 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в двудольном графе 2^n-1 вершин, в каждой написано n различных чисел. докажите, что можно оставить в каждой вершине одно число так, чтобы в концах каждого ребра стояли различные числа. bipartite_graph sol-official-archive архивное решение ai_checked пусть доли двудольного графа равны \\(a\\) и \\(b\\). рассмотрим все числа, которые встречаются в списках вершин, и каждому такому числу независимо припишем одну из двух букв, \\(a\\) или \\(b\\), с вероятностью \\(1/2\\). назовём вершину хорошей, если среди написанных в ней \\(n\\) различных чисел есть хотя бы одно число с буквой её доли. для фиксированной вершины вероятность оказаться плохой равна \\(2^{-n}\\): все её \\(n\\) чисел должны получить противоположную букву. в графе всего \\(2^n-1\\) вершин, поэтому по оценке объединения вероятность того, что найдётся хотя бы одна плохая вершина, не превосходит \\[ (2^n-1)\\cdot 2^{-n}<1. \\] значит, существует такое приписывание букв числам, при котором все вершины хорошие. зафиксируем это приписывание. в каждой вершине доли \\(a\\) оставим одно из её чисел с буквой \\(a\\), а в каждой вершине доли \\(b\\) — одно из её чисел с буквой \\(b\\). если две вершины соедине… fyum-2008-tur2a-p5 vybor chisel v vershinah dvudolnogo grafa s razlichiem na rebrah, fyum 2008 goal_proof 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur2a.tex olympiad_archive src-fyum-2008-tur2a-p5-official with_solution fyum fyum 2008, vtoroy tur (a), zadacha 5 fyum2008 ? fyum 2008, vtoroy tur (a), zadacha 5 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v dvudolnom grafe 2^n-1 vershin, v kazhdoy napisano n razlichnyh chisel. dokazhite, chto mozhno ostavit v kazhdoy vershine odno chislo tak, chtoby v kontsah kazhdogo rebra stoyali razlichnye chisla. bipartite_graph sol-official-archive arhivnoe reshenie ai_checked pust doli dvudolnogo grafa ravny \\(a\\) i \\(b\\). rassmotrim vse chisla, kotorye vstrechayutsya v spiskah vershin, i kazhdomu takomu chislu nezavisimo pripishem odnu iz dvuh bukv, \\(a\\) ili \\(b\\), s veroyatnostyu \\(1/2\\). nazovem vershinu horoshey, esli sredi napisannyh v ney \\(n\\) razlichnyh chisel est hotya by odno chislo s bukvoy ee doli. dlya fiksirovannoy vershiny veroyatnost okazatsya plohoy ravna \\(2^{-n}\\): vse ee \\(n\\) chisel dolzhny poluchit protivopolozhnuyu bukvu. v grafe vsego \\(2^n-1\\) vershin, poetomu po otsenke obedineniya veroyatnost togo, chto naydetsya hotya by odna plohaya vershina, ne prevoshodit \\[ (2^n-1)\\cdot 2^{-n}<1. \\] znachit, suschestvuet takoe pripisyvanie bukv chislam, pri kotorom vse vershiny horoshie. zafiksiruem eto pripisyvanie. v kazhdoy vershine doli \\(a\\) ostavim odno iz ee chisel s bukvoy \\(a\\), a v kazhdoy vershine doli \\(b\\) — odno iz ee chisel s bukvoy \\(b\\). esli dve vershiny soedine…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2008-tur2b-p5","title":"Невозможная 200-раскраска рёбер при заданных степенях, ФЮМ 2008","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2008-tur2b-p5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2008-tur2b-p5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2008-tur2b-p5","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2008, второй тур (b), задача 5"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2008_tur2b_problem5.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Пусть в графе 2009 вершин, из которых 2008 имеют степень 200 и одна вершина степень 2. Докажите, что ребра этого графа нельзя раскрасить в 200 цветов так, чтобы одноцветные ребра не имели общих концов.","definition_ids":["degree"]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-graph-parameterized","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(m,d\\) — положительные целые числа. Дан граф на \\(2m+1\\) вершинах, в котором есть \\(2m\\) вершин степени \\(d\\) и одна вершина степени 2. Докажите, что его рёбра нельзя раскрасить в \\(d\\) цветов так, чтобы каждый цветовой класс был паросочетанием.","definition_ids":["matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Архивное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Посчитаем число рёбер по сумме степеней. Сумма степеней равна \\(2008\\cdot 200+2\\), поэтому число рёбер равно \\[ \\frac{2008\\cdot 200+2}{2}=1004\\cdot 200+1. \\] Предположим, что требуемая раскраска в 200 цветов существует. Если бы каждый цвет встречался не более чем на 1004 рёбрах, всего было бы не больше \\(200\\cdot1004\\) рёбер, но у нас на одно ребро больше. Значит, по принципу Дирихле найдётся цвет, которым покрашено хотя бы 1005 рёбер. По условию одноцветные рёбра не имеют общих концов, то есть рёбра этого цвета образуют паросочетание. Паросочетание из 1005 рёбер использует \\(2\\cdot1005=2010\\) различных вершин. Это невозможно, потому что во всём графе только 2009 вершин. Полученное противоречие доказывает, что такой 200-раскраски рёбер не существует."}],"relations":[],"search_text":"fyum-2008-tur2b-p5 невозможная 200-раскраска рёбер при заданных степенях, фюм 2008 coloring goal_exact_bound 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur2b.tex olympiad_archive src-fyum-2008-tur2b-p5-official with_solution фюм фюм 2008, второй тур (b), задача 5 фюм2008 ? фюм 2008, второй тур (b), задача 5 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked пусть в графе 2009 вершин, из которых 2008 имеют степень 200 и одна вершина степень 2. докажите, что ребра этого графа нельзя раскрасить в 200 цветов так, чтобы одноцветные ребра не имели общих концов. degree stmt-graph-parameterized ai_checked пусть \\(m,d\\) — положительные целые числа. дан граф на \\(2m+1\\) вершинах, в котором есть \\(2m\\) вершин степени \\(d\\) и одна вершина степени 2. докажите, что его рёбра нельзя раскрасить в \\(d\\) цветов так, чтобы каждый цветовой класс был паросочетанием. matching sol-official-archive архивное решение ai_checked matching посчитаем число рёбер по сумме степеней. сумма степеней равна \\(2008\\cdot 200+2\\), поэтому число рёбер равно \\[ \\frac{2008\\cdot 200+2}{2}=1004\\cdot 200+1. \\] предположим, что требуемая раскраска в 200 цветов существует. если бы каждый цвет встречался не более чем на 1004 рёбрах, всего было бы не больше \\(200\\cdot1004\\) рёбер, но у нас на одно ребро больше. значит, по принципу дирихле найдётся цвет, которым покрашено хотя бы 1005 рёбер. по условию одноцветные рёбра не имеют общих концов, то есть рёбра этого цвета образуют паросочетание. паросочетание из 1005 рёбер использует \\(2\\cdot1005=2010\\) различных вершин. это невозможно, потому что во всём графе только 2009 вершин. полученное противоречие доказывает, что такой 200-раскраски рёбер не существует. fyum-2008-tur2b-p5 nevozmozhnaya 200-raskraska reber pri zadannyh stepenyah, fyum 2008 coloring goal_exact_bound 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur2b.tex olympiad_archive src-fyum-2008-tur2b-p5-official with_solution fyum fyum 2008, vtoroy tur (b), zadacha 5 fyum2008 ? fyum 2008, vtoroy tur (b), zadacha 5 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked pust v grafe 2009 vershin, iz kotoryh 2008 imeyut stepen 200 i odna vershina stepen 2. dokazhite, chto rebra etogo grafa nelzya raskrasit v 200 tsvetov tak, chtoby odnotsvetnye rebra ne imeli obschih kontsov. degree stmt-graph-parameterized ai_checked pust \\(m,d\\) — polozhitelnye tselye chisla. dan graf na \\(2m+1\\) vershinah, v kotorom est \\(2m\\) vershin stepeni \\(d\\) i odna vershina stepeni 2. dokazhite, chto ego rebra nelzya raskrasit v \\(d\\) tsvetov tak, chtoby kazhdyy tsvetovoy klass byl parosochetaniem. matching sol-official-archive arhivnoe reshenie ai_checked matching poschitaem chislo reber po summe stepeney. summa stepeney ravna \\(2008\\cdot 200+2\\), poetomu chislo reber ravno \\[ \\frac{2008\\cdot 200+2}{2}=1004\\cdot 200+1. \\] predpolozhim, chto trebuemaya raskraska v 200 tsvetov suschestvuet. esli by kazhdyy tsvet vstrechalsya ne bolee chem na 1004 rebrah, vsego bylo by ne bolshe \\(200\\cdot1004\\) reber, no u nas na odno rebro bolshe. znachit, po printsipu dirihle naydetsya tsvet, kotorym pokrasheno hotya by 1005 reber. po usloviyu odnotsvetnye rebra ne imeyut obschih kontsov, to est rebra etogo tsveta obrazuyut parosochetanie. parosochetanie iz 1005 reber ispolzuet \\(2\\cdot1005=2010\\) razlichnyh vershin. eto nevozmozhno, potomu chto vo vsem grafe tolko 2009 vershin. poluchennoe protivorechie dokazyvaet, chto takoy 200-raskraski reber ne suschestvuet.","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2008-tur3a-p2","title":"15 вершин с рёбрами при разности номеров не меньше 10, ФЮМ 2008","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2008-tur3a-p2.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2008-tur3a-p2.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2008-tur3a-p2","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2008, третий тур (a), задача 2"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["ramsey_theory","trees","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2008_tur3a_problem2.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе 2008 вершин, и среди любых 144 вершин найдутся две, соединенные ребром. Докажите, что можно найти в этом графе 15 вершин и пронумеровать их числами от 1 до 15 так, что при всяком k от 2 до 15 вершина с номером k соединена с вершиной с номером [k/2].","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Развёрнутое архивное решение через теорему Рэмзи для деревьев","status":"ai_checked","definition_ids":["independent_set","tree"],"standard_idea_ids":["induction"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим дерево \\(T\\) на вершинах \\(1,2,\\ldots,15\\), в котором для каждого \\(k=2,\\ldots,15\\) проведено ребро между \\(k\\) и \\(\\lfloor k/2\\rfloor\\). Если в данном графе найдётся копия этого дерева, то номера вершин этой копии сразу дадут требуемую нумерацию. Поэтому достаточно доказать, что такая копия действительно есть. Докажем лемму Рэмзи для деревьев. Пусть \\(T\\) - любое фиксированное дерево на \\(n\\) вершинах, \\(k\\ge 1\\). Тогда всякий граф \\(G\\) на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах содержит либо копию \\(T\\), либо независимое множество из \\(k\\) вершин. Доказательство леммы ведём индукцией по паре \\((n,k)\\). При \\(n=1\\) копия дерева из одной вершины очевидна; при \\(k=1\\) независимое множество из одной вершины тоже очевидно. Пусть \\(n,k\\ge2\\), и лемма уже доказана для меньших значений. Если минимальная степень в \\(G\\) не меньше \\(n-1\\), то в \\(G\\) можно жадно вложить любое дерево на \\(n\\) верш…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2008-tur3a-p2-ramsey-tree-independent-set","neighbor_id":"ramsey-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tree-vs-independent-set-ramsey-bound-fyum-2008-tur3a-p2","neighbor_id":"tree-vs-independent-set-ramsey-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"fyum-2008-tur3a-p2 15 вершин с рёбрами при разности номеров не меньше 10, фюм 2008 ramsey_theory trees goal_construction 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur3a.tex olympiad_archive src-fyum-2008-tur3a-p2-official with_solution фюм фюм 2008, третий тур (a), задача 2 фюм2008 ? фюм 2008, третий тур (a), задача 2 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе 2008 вершин, и среди любых 144 вершин найдутся две, соединенные ребром. докажите, что можно найти в этом графе 15 вершин и пронумеровать их числами от 1 до 15 так, что при всяком k от 2 до 15 вершина с номером k соединена с вершиной с номером [k/2]. idea-tree-ramsey-bound теорема рэмзи для дерева против независимого множества используется стандартная, но элементарно доказываемая оценка: граф на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах содержит либо любое заранее заданное дерево на \\(n\\) вершинах, либо независимое множество из \\(k\\) вершин. ramsey_theory induction ai_checked idea-target-tree-numbering нужная нумерация задаёт конкретное дерево вершины с номерами \\(1,\\ldots,15\\), где каждая вершина \\(k\\ge2\\) соединена с \\(\\lfloor k/2\\rfloor\\), образуют фиксированное дерево на 15 вершинах; достаточно найти его копию в данном графе. trees ai_checked sol-official-archive развёрнутое архивное решение через теорему рэмзи для деревьев ai_checked independent_set tree induction рассмотрим дерево \\(t\\) на вершинах \\(1,2,\\ldots,15\\), в котором для каждого \\(k=2,\\ldots,15\\) проведено ребро между \\(k\\) и \\(\\lfloor k/2\\rfloor\\). если в данном графе найдётся копия этого дерева, то номера вершин этой копии сразу дадут требуемую нумерацию. поэтому достаточно доказать, что такая копия действительно есть. докажем лемму рэмзи для деревьев. пусть \\(t\\) - любое фиксированное дерево на \\(n\\) вершинах, \\(k\\ge 1\\). тогда всякий граф \\(g\\) на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах содержит либо копию \\(t\\), либо независимое множество из \\(k\\) вершин. доказательство леммы ведём индукцией по паре \\((n,k)\\). при \\(n=1\\) копия дерева из одной вершины очевидна; при \\(k=1\\) независимое множество из одной вершины тоже очевидно. пусть \\(n,k\\ge2\\), и лемма уже доказана для меньших значений. если минимальная степень в \\(g\\) не меньше \\(n-1\\), то в \\(g\\) можно жадно вложить любое дерево на \\(n\\) верш… fyum-2008-tur3a-p2 15 vershin s rebrami pri raznosti nomerov ne menshe 10, fyum 2008 ramsey_theory trees goal_construction 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur3a.tex olympiad_archive src-fyum-2008-tur3a-p2-official with_solution fyum fyum 2008, tretiy tur (a), zadacha 2 fyum2008 ? fyum 2008, tretiy tur (a), zadacha 2 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe 2008 vershin, i sredi lyubyh 144 vershin naydutsya dve, soedinennye rebrom. dokazhite, chto mozhno nayti v etom grafe 15 vershin i pronumerovat ih chislami ot 1 do 15 tak, chto pri vsyakom k ot 2 do 15 vershina s nomerom k soedinena s vershinoy s nomerom [k/2]. idea-tree-ramsey-bound teorema remzi dlya dereva protiv nezavisimogo mnozhestva ispolzuetsya standartnaya, no elementarno dokazyvaemaya otsenka: graf na \\((n-1)(k-1)+1\\) vershinah soderzhit libo lyuboe zaranee zadannoe derevo na \\(n\\) vershinah, libo nezavisimoe mnozhestvo iz \\(k\\) vershin. ramsey_theory induction ai_checked idea-target-tree-numbering nuzhnaya numeratsiya zadaet konkretnoe derevo vershiny s nomerami \\(1,\\ldots,15\\), gde kazhdaya vershina \\(k\\ge2\\) soedinena s \\(\\lfloor k/2\\rfloor\\), obrazuyut fiksirovannoe derevo na 15 vershinah; dostatochno nayti ego kopiyu v dannom grafe. trees ai_checked sol-official-archive razvernutoe arhivnoe reshenie cherez teoremu remzi dlya derevev ai_checked independent_set tree induction rassmotrim derevo \\(t\\) na vershinah \\(1,2,\\ldots,15\\), v kotorom dlya kazhdogo \\(k=2,\\ldots,15\\) provedeno rebro mezhdu \\(k\\) i \\(\\lfloor k/2\\rfloor\\). esli v dannom grafe naydetsya kopiya etogo dereva, to nomera vershin etoy kopii srazu dadut trebuemuyu numeratsiyu. poetomu dostatochno dokazat, chto takaya kopiya deystvitelno est. dokazhem lemmu remzi dlya derevev. pust \\(t\\) - lyuboe fiksirovannoe derevo na \\(n\\) vershinah, \\(k\\ge 1\\). togda vsyakiy graf \\(g\\) na \\((n-1)(k-1)+1\\) vershinah soderzhit libo kopiyu \\(t\\), libo nezavisimoe mnozhestvo iz \\(k\\) vershin. dokazatelstvo lemmy vedem induktsiey po pare \\((n,k)\\). pri \\(n=1\\) kopiya dereva iz odnoy vershiny ochevidna; pri \\(k=1\\) nezavisimoe mnozhestvo iz odnoy vershiny tozhe ochevidno. pust \\(n,k\\ge2\\), i lemma uzhe dokazana dlya menshih znacheniy. esli minimalnaya stepen v \\(g\\) ne menshe \\(n-1\\), to v \\(g\\) mozhno zhadno vlozhit lyuboe derevo na \\(n\\) versh…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2008-tur3b-p7","title":"Ориентация 10-регулярного графа с короткими ориентированными путями, ФЮМ 2008","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2008-tur3b-p7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2008-tur3b-p7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2008-tur3b-p7","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2008, третий тур (b), задача 7"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2008_tur3b_problem7.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе степень каждой вершины равна 10. Докажите, что на его ребрах можно расставить стрелочки так, чтобы максимальный ориентированный путь имел длину не более, чем 10 ребер.","definition_ids":["degree","directed_graph","path"]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-graph-parameterized","title":"","status":"ai_checked","text":"Для всякого графа \\(G\\) с максимальной степенью не больше \\(\\Delta\\) существует ориентация его рёбер, при которой всякий ориентированный путь имеет длину не больше \\(\\Delta\\).","definition_ids":["degree","directed_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Архивное решение","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Так как степень каждой вершины равна 10, максимальная степень графа не превосходит 10. Раскрасим вершины правильно в 11 цветов. Это можно сделать жадно: упорядочим вершины произвольно и будем красить их по очереди; когда красится очередная вершина, среди её уже окрашенных соседей занято не более 10 цветов, значит из 11 цветов всегда остаётся хотя бы один свободный. Теперь каждое ребро ориентируем от конца меньшего цвета к концу большего цвета. У соседних вершин цвета различны, потому что раскраска правильная, поэтому направление каждого ребра определено однозначно. Рассмотрим любой ориентированный путь. При переходе по каждому его ребру цвет вершины строго увеличивается. Значит, на пути не может быть двух вершин одного цвета и всего на нём не больше 11 вершин. Следовательно, число рёбер в таком пути не превосходит 10, что и требовалось."}],"relations":[],"search_text":"fyum-2008-tur3b-p7 ориентация 10-регулярного графа с короткими ориентированными путями, фюм 2008 coloring goal_exact_bound 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur3b.tex olympiad_archive src-fyum-2008-tur3b-p7-official with_solution фюм фюм 2008, третий тур (b), задача 7 фюм2008 ? фюм 2008, третий тур (b), задача 7 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе степень каждой вершины равна 10. докажите, что на его ребрах можно расставить стрелочки так, чтобы максимальный ориентированный путь имел длину не более, чем 10 ребер. degree directed_graph path stmt-graph-parameterized ai_checked для всякого графа \\(g\\) с максимальной степенью не больше \\(\\delta\\) существует ориентация его рёбер, при которой всякий ориентированный путь имеет длину не больше \\(\\delta\\). degree directed_graph path sol-official-archive архивное решение ai_checked chromatic_number так как степень каждой вершины равна 10, максимальная степень графа не превосходит 10. раскрасим вершины правильно в 11 цветов. это можно сделать жадно: упорядочим вершины произвольно и будем красить их по очереди; когда красится очередная вершина, среди её уже окрашенных соседей занято не более 10 цветов, значит из 11 цветов всегда остаётся хотя бы один свободный. теперь каждое ребро ориентируем от конца меньшего цвета к концу большего цвета. у соседних вершин цвета различны, потому что раскраска правильная, поэтому направление каждого ребра определено однозначно. рассмотрим любой ориентированный путь. при переходе по каждому его ребру цвет вершины строго увеличивается. значит, на пути не может быть двух вершин одного цвета и всего на нём не больше 11 вершин. следовательно, число рёбер в таком пути не превосходит 10, что и требовалось. fyum-2008-tur3b-p7 orientatsiya 10-regulyarnogo grafa s korotkimi orientirovannymi putyami, fyum 2008 coloring goal_exact_bound 2008 fyum fyum2008 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur3b.tex olympiad_archive src-fyum-2008-tur3b-p7-official with_solution fyum fyum 2008, tretiy tur (b), zadacha 7 fyum2008 ? fyum 2008, tretiy tur (b), zadacha 7 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe stepen kazhdoy vershiny ravna 10. dokazhite, chto na ego rebrah mozhno rasstavit strelochki tak, chtoby maksimalnyy orientirovannyy put imel dlinu ne bolee, chem 10 reber. degree directed_graph path stmt-graph-parameterized ai_checked dlya vsyakogo grafa \\(g\\) s maksimalnoy stepenyu ne bolshe \\(\\delta\\) suschestvuet orientatsiya ego reber, pri kotoroy vsyakiy orientirovannyy put imeet dlinu ne bolshe \\(\\delta\\). degree directed_graph path sol-official-archive arhivnoe reshenie ai_checked chromatic_number tak kak stepen kazhdoy vershiny ravna 10, maksimalnaya stepen grafa ne prevoshodit 10. raskrasim vershiny pravilno v 11 tsvetov. eto mozhno sdelat zhadno: uporyadochim vershiny proizvolno i budem krasit ih po ocheredi; kogda krasitsya ocherednaya vershina, sredi ee uzhe okrashennyh sosedey zanyato ne bolee 10 tsvetov, znachit iz 11 tsvetov vsegda ostaetsya hotya by odin svobodnyy. teper kazhdoe rebro orientiruem ot kontsa menshego tsveta k kontsu bolshego tsveta. u sosednih vershin tsveta razlichny, potomu chto raskraska pravilnaya, poetomu napravlenie kazhdogo rebra opredeleno odnoznachno. rassmotrim lyuboy orientirovannyy put. pri perehode po kazhdomu ego rebru tsvet vershiny strogo uvelichivaetsya. znachit, na puti ne mozhet byt dvuh vershin odnogo tsveta i vsego na nem ne bolshe 11 vershin. sledovatelno, chislo reber v takom puti ne prevoshodit 10, chto i trebovalos.","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2008-tur4a-p7","title":"Гамильтонов цикл по условию на пары степеней, ФЮМ 2008","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2008-tur4a-p7.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2008-tur4a-p7.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2008-tur4a-p7","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2008, четвёртый тур (a), задача 7"],"year":"2008","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2008_tur4a_problem7.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"without_solution","solution_classification":{"type":"hard_external_theorem_no_proof","label":"external theorem required; no local proof","status":"needs_human_review","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Редукция к теореме Хватала короткая и корректная; полное доказательство теоремы Хватала о степенных последовательностях остаётся внешним тяжёлым инструментом.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В графе с \\(n\\ge 10\\) вершинами степени вершин равны \\(d_1\\le d_2\\le \\cdots\\le d_n\\). Оказалось, что \\(d_i+d_{n-i}\\ge n\\). Докажите, что в нем есть гамильтонов цикл.","definition_ids":["degree","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Сведение к теореме Хватала о степенях","status":"needs_human_review","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Это решение опирается на внешнюю теорему Хватала о гамильтоновых степенных последовательностях. Теорема Хватала. Пусть степени вершин \\(n\\)-вершинного графа равны \\(d_1\\le d_2\\le\\cdots\\le d_n\\). Если для каждого \\(ii \\quad\\text{или}\\quad d_{n-i}\\ge n-i, \\] то граф гамильтонов. Проверим, что условие задачи влечёт гипотезу этой теоремы. Зафиксируем \\(ii\\), первая альтернатива уже выполнена. Если же \\(d_i\\le i\\), то по условию задачи \\[ d_i+d_{n-i}\\ge n, \\] а значит \\(d_{n-i}\\ge n-d_i\\ge n-i\\). Следовательно, альтернатива Хватала выполнена для каждого \\(ii \\quad\\text{или}\\quad d_{n-i}\\ge n-i, \\] то граф гамильтонов. проверим, что условие задачи влечёт гипотезу этой теоремы. зафиксируем \\(ii\\), первая альтернатива уже выполнена. если же \\(d_i\\le i\\), то по условию задачи \\[ d_i+d_{n-i}\\ge n, \\] а значит \\(d_{n-i}\\ge n-d_i\\ge n-i\\). следовательно, альтернатива хватала выполнена для каждого \\(ii \\quad\\text{ili}\\quad d_{n-i}\\ge n-i, \\] to graf gamiltonov. proverim, chto uslovie zadachi vlechet gipotezu etoy teoremy. zafiksiruem \\(ii\\), pervaya alternativa uzhe vypolnena. esli zhe \\(d_i\\le i\\), to po usloviyu zadachi \\[ d_i+d_{n-i}\\ge n, \\] a znachit \\(d_{n-i}\\ge n-d_i\\ge n-i\\). sledovatelno, alternativa hvatala vypolnena dlya kazhdogo \\(i 2), если для любого простого пути, состоящего из t ребер, его концы — вершины одного цвета. В графе n вершин и более чем 2tn ребер. Докажите, что в любой t-периодической раскраске его вершин используется не более двух цветов.","definition_ids":["connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Лемма Bondy--Simonovits с доказательством","status":"source_verified","definition_ids":["connected_graph","path","cycle","degree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем более точную лемму, достаточную для задачи. Лемма. Если связный граф \\(G\\) имеет \\(v\\) вершин и больше \\(2tv\\) рёбер, где \\(t>2\\), то в \\(G\\) есть theta-подграф: две вершины \\(a,b\\), ребро \\(ab\\) и два внутренне непересекающихся \\(a-b\\)-пути длины хотя бы \\(t\\). Доказательство леммы. Удалим из графа вершину степени меньше \\(2t\\), если такая есть. При удалении вершины степени \\(d<2t\\) число рёбер становится больше \\[ 2t|V|-d>2t(|V|-1), \\] так что то же неравенство сохраняется для оставшегося графа. Повторяя удаление, получаем непустой подграф с минимальной степенью хотя бы \\(2t\\). В этом подграфе возьмём самый длинный простой путь \\[ x_0x_1\\ldots x_m. \\] Все соседи \\(x_0\\) лежат на этом пути, иначе путь можно было бы продолжить. Пусть эти соседи имеют индексы \\[ 1=i_1 2), если для любого простого пути, состоящего из t ребер, его концы — вершины одного цвета. в графе n вершин и более чем 2tn ребер. докажите, что в любой t-периодической раскраске его вершин используется не более двух цветов. connected_graph path idea-density-theta-periodic-coloring плотность вынуждает theta-граф с двумя длинными ветвями после удаления вершин малой степени остаётся подграф минимальной степени хотя бы \\(2t\\). конец его длиннейшего пути имеет много соседей на этом же пути, что даёт theta-подграф из ребра и двух длинных внутренне непересекающихся путей. на таком theta-подграфе \\(t\\)-периодичность совместима с тремя циклами, поэтому число цветовых классов делит 2, а связность переносит это ограничение на весь граф. coloring source_verified sol-official-archive лемма bondy--simonovits с доказательством source_verified connected_graph path cycle degree докажем более точную лемму, достаточную для задачи. лемма. если связный граф \\(g\\) имеет \\(v\\) вершин и больше \\(2tv\\) рёбер, где \\(t>2\\), то в \\(g\\) есть theta-подграф: две вершины \\(a,b\\), ребро \\(ab\\) и два внутренне непересекающихся \\(a-b\\)-пути длины хотя бы \\(t\\). доказательство леммы. удалим из графа вершину степени меньше \\(2t\\), если такая есть. при удалении вершины степени \\(d<2t\\) число рёбер становится больше \\[ 2t|v|-d>2t(|v|-1), \\] так что то же неравенство сохраняется для оставшегося графа. повторяя удаление, получаем непустой подграф с минимальной степенью хотя бы \\(2t\\). в этом подграфе возьмём самый длинный простой путь \\[ x_0x_1\\ldots x_m. \\] все соседи \\(x_0\\) лежат на этом пути, иначе путь можно было бы продолжить. пусть эти соседи имеют индексы \\[ 1=i_1 2), esli dlya lyubogo prostogo puti, sostoyaschego iz t reber, ego kontsy — vershiny odnogo tsveta. v grafe n vershin i bolee chem 2tn reber. dokazhite, chto v lyuboy t-periodicheskoy raskraske ego vershin ispolzuetsya ne bolee dvuh tsvetov. connected_graph path idea-density-theta-periodic-coloring plotnost vynuzhdaet theta-graf s dvumya dlinnymi vetvyami posle udaleniya vershin maloy stepeni ostaetsya podgraf minimalnoy stepeni hotya by \\(2t\\). konets ego dlinneyshego puti imeet mnogo sosedey na etom zhe puti, chto daet theta-podgraf iz rebra i dvuh dlinnyh vnutrenne neperesekayuschihsya putey. na takom theta-podgrafe \\(t\\)-periodichnost sovmestima s tremya tsiklami, poetomu chislo tsvetovyh klassov delit 2, a svyaznost perenosit eto ogranichenie na ves graf. coloring source_verified sol-official-archive lemma bondy--simonovits s dokazatelstvom source_verified connected_graph path cycle degree dokazhem bolee tochnuyu lemmu, dostatochnuyu dlya zadachi. lemma. esli svyaznyy graf \\(g\\) imeet \\(v\\) vershin i bolshe \\(2tv\\) reber, gde \\(t>2\\), to v \\(g\\) est theta-podgraf: dve vershiny \\(a,b\\), rebro \\(ab\\) i dva vnutrenne neperesekayuschihsya \\(a-b\\)-puti dliny hotya by \\(t\\). dokazatelstvo lemmy. udalim iz grafa vershinu stepeni menshe \\(2t\\), esli takaya est. pri udalenii vershiny stepeni \\(d<2t\\) chislo reber stanovitsya bolshe \\[ 2t|v|-d>2t(|v|-1), \\] tak chto to zhe neravenstvo sohranyaetsya dlya ostavshegosya grafa. povtoryaya udalenie, poluchaem nepustoy podgraf s minimalnoy stepenyu hotya by \\(2t\\). v etom podgrafe vozmem samyy dlinnyy prostoy put \\[ x_0x_1\\ldots x_m. \\] vse sosedi \\(x_0\\) lezhat na etom puti, inache put mozhno bylo by prodolzhit. pust eti sosedi imeyut indeksy \\[ 1=i_10\\), и во всяком случае не больше \\(N\\) рёбер. Поэтому \\[ |E(G_{ij})|\\le n_i+n_j. \\] Сложим эти неравенства по всем \\(\\binom52=10\\) парам цветов. В правой части каждая вершина посчитана ровно в четырёх парах цветов, поэтому сумма правых частей равна \\(4n\\). Каждое ребро исходного графа посчитано в левой части хотя бы один раз: если концы ребра имеют разные цвета, оно входит в подграф ровно для этой пары цветов; если концы одного цвета \\(i\\), оно в…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2010-tur3a-tur3b-two-color-forest-counting","neighbor_id":"fyum-2010-tur3b-p3","direction":"forward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-no-two-color-cycle-edge-bound-fyum-2010-tur3a-p7","neighbor_id":"no-two-color-cycle-edge-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"fyum-2010-tur3a-p7 5-раскраска 100-регулярного графа без двухцветных циклов, фюм 2010 coloring goal_exact_bound 2010 fyum fyum2010 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3a.tex olympiad_archive src-fyum-2010-tur3a-p7-official with_solution фюм фюм 2010, третий тур (a), задача 7 фюм2010 ? фюм 2010, третий тур (a), задача 7 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в графе g все вершины имеют степень 100. вершины g окрашены в пять цветов. может ли так оказаться, что в каждом цикле встречаются вершины не менее, чем трех цветов? degree cycle sol-official-archive архивное решение ai_checked ответ: нет. обозначим через \\(n_i\\) число вершин \\(i\\)-го цвета, где \\(i=1,\\dots,5\\), и пусть \\(n=|v(g)|\\). для каждой пары различных цветов \\(i,j\\) рассмотрим подграф \\(g_{ij}\\), порождённый всеми вершинами этих двух цветов. если бы в \\(g_{ij}\\) был цикл, то этот цикл в исходном графе имел бы вершины только двух цветов, что запрещено условием. значит, каждый \\(g_{ij}\\) является лесом. в лесу на \\(n\\) вершинах не больше \\(n-1\\) рёбер, если \\(n>0\\), и во всяком случае не больше \\(n\\) рёбер. поэтому \\[ |e(g_{ij})|\\le n_i+n_j. \\] сложим эти неравенства по всем \\(\\binom52=10\\) парам цветов. в правой части каждая вершина посчитана ровно в четырёх парах цветов, поэтому сумма правых частей равна \\(4n\\). каждое ребро исходного графа посчитано в левой части хотя бы один раз: если концы ребра имеют разные цвета, оно входит в подграф ровно для этой пары цветов; если концы одного цвета \\(i\\), оно в… fyum-2010-tur3a-p7 5-raskraska 100-regulyarnogo grafa bez dvuhtsvetnyh tsiklov, fyum 2010 coloring goal_exact_bound 2010 fyum fyum2010 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3a.tex olympiad_archive src-fyum-2010-tur3a-p7-official with_solution fyum fyum 2010, tretiy tur (a), zadacha 7 fyum2010 ? fyum 2010, tretiy tur (a), zadacha 7 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v grafe g vse vershiny imeyut stepen 100. vershiny g okrasheny v pyat tsvetov. mozhet li tak okazatsya, chto v kazhdom tsikle vstrechayutsya vershiny ne menee, chem treh tsvetov? degree cycle sol-official-archive arhivnoe reshenie ai_checked otvet: net. oboznachim cherez \\(n_i\\) chislo vershin \\(i\\)-go tsveta, gde \\(i=1,\\dots,5\\), i pust \\(n=|v(g)|\\). dlya kazhdoy pary razlichnyh tsvetov \\(i,j\\) rassmotrim podgraf \\(g_{ij}\\), porozhdennyy vsemi vershinami etih dvuh tsvetov. esli by v \\(g_{ij}\\) byl tsikl, to etot tsikl v ishodnom grafe imel by vershiny tolko dvuh tsvetov, chto zaprescheno usloviem. znachit, kazhdyy \\(g_{ij}\\) yavlyaetsya lesom. v lesu na \\(n\\) vershinah ne bolshe \\(n-1\\) reber, esli \\(n>0\\), i vo vsyakom sluchae ne bolshe \\(n\\) reber. poetomu \\[ |e(g_{ij})|\\le n_i+n_j. \\] slozhim eti neravenstva po vsem \\(\\binom52=10\\) param tsvetov. v pravoy chasti kazhdaya vershina poschitana rovno v chetyreh parah tsvetov, poetomu summa pravyh chastey ravna \\(4n\\). kazhdoe rebro ishodnogo grafa poschitano v levoy chasti hotya by odin raz: esli kontsy rebra imeyut raznye tsveta, ono vhodit v podgraf rovno dlya etoy pary tsvetov; esli kontsy odnogo tsveta \\(i\\), ono v…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2010-tur3b-p3","title":"6-регулярный граф с 3-раскраской всех циклов, ФЮМ 2010","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2010-tur3b-p3.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2010-tur3b-p3.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2010-tur3b-p3","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2010, третий тур (b), задача 3"],"year":"2010","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2010_tur3b_problem3.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Существует ли такой граф, что степени всех его вершин равны 6, и его вершины можно покрасить в три цвета так, что любой простой цикл содержит вершины всех трех цветов?","definition_ids":["degree","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Архивное решение","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Предположим, что такой граф существует, и пусть в нём \\(n\\) вершин. Удалим все вершины одного из трёх цветов вместе с инцидентными им рёбрами. В оставшемся графе есть вершины только двух цветов. Если бы в нём был простой цикл, то этот цикл в исходной раскраске содержал бы вершины не более чем двух цветов, что запрещено условием. Значит, после удаления любого одного цвета получается лес. Повторим это для каждого из трёх цветов. Каждый из трёх полученных лесов имеет не больше \\(n-1\\) рёбер: это даже грубая оценка, потому что в лесу на не более чем \\(n\\) вершинах рёбер не больше числа вершин минус число компонент, а значит не больше \\(n-1\\), если рёбра вообще есть; при отсутствии рёбер оценка тем более верна. Посмотрим, сколько раз учитывается ребро исходного графа в этих трёх лесах. Если концы ребра имеют разные цвета, оно остаётся ровно при удалении третьего цвета. Если концы одного цвет…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2010-tur3a-tur3b-two-color-forest-counting","neighbor_id":"fyum-2010-tur3a-p7","direction":"backward","type":"same_motif","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-no-two-color-cycle-edge-bound-fyum-2010-tur3b-p3","neighbor_id":"no-two-color-cycle-edge-bound","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"fyum-2010-tur3b-p3 6-регулярный граф с 3-раскраской всех циклов, фюм 2010 coloring goal_counting 2010 fyum fyum2010 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3b.tex olympiad_archive src-fyum-2010-tur3b-p3-official with_solution фюм фюм 2010, третий тур (b), задача 3 фюм2010 ? фюм 2010, третий тур (b), задача 3 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked существует ли такой граф, что степени всех его вершин равны 6, и его вершины можно покрасить в три цвета так, что любой простой цикл содержит вершины всех трех цветов? degree cycle sol-official-archive архивное решение ai_checked предположим, что такой граф существует, и пусть в нём \\(n\\) вершин. удалим все вершины одного из трёх цветов вместе с инцидентными им рёбрами. в оставшемся графе есть вершины только двух цветов. если бы в нём был простой цикл, то этот цикл в исходной раскраске содержал бы вершины не более чем двух цветов, что запрещено условием. значит, после удаления любого одного цвета получается лес. повторим это для каждого из трёх цветов. каждый из трёх полученных лесов имеет не больше \\(n-1\\) рёбер: это даже грубая оценка, потому что в лесу на не более чем \\(n\\) вершинах рёбер не больше числа вершин минус число компонент, а значит не больше \\(n-1\\), если рёбра вообще есть; при отсутствии рёбер оценка тем более верна. посмотрим, сколько раз учитывается ребро исходного графа в этих трёх лесах. если концы ребра имеют разные цвета, оно остаётся ровно при удалении третьего цвета. если концы одного цвет… fyum-2010-tur3b-p3 6-regulyarnyy graf s 3-raskraskoy vseh tsiklov, fyum 2010 coloring goal_counting 2010 fyum fyum2010 https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3b.tex olympiad_archive src-fyum-2010-tur3b-p3-official with_solution fyum fyum 2010, tretiy tur (b), zadacha 3 fyum2010 ? fyum 2010, tretiy tur (b), zadacha 3 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked suschestvuet li takoy graf, chto stepeni vseh ego vershin ravny 6, i ego vershiny mozhno pokrasit v tri tsveta tak, chto lyuboy prostoy tsikl soderzhit vershiny vseh treh tsvetov? degree cycle sol-official-archive arhivnoe reshenie ai_checked predpolozhim, chto takoy graf suschestvuet, i pust v nem \\(n\\) vershin. udalim vse vershiny odnogo iz treh tsvetov vmeste s intsidentnymi im rebrami. v ostavshemsya grafe est vershiny tolko dvuh tsvetov. esli by v nem byl prostoy tsikl, to etot tsikl v ishodnoy raskraske soderzhal by vershiny ne bolee chem dvuh tsvetov, chto zaprescheno usloviem. znachit, posle udaleniya lyubogo odnogo tsveta poluchaetsya les. povtorim eto dlya kazhdogo iz treh tsvetov. kazhdyy iz treh poluchennyh lesov imeet ne bolshe \\(n-1\\) reber: eto dazhe grubaya otsenka, potomu chto v lesu na ne bolee chem \\(n\\) vershinah reber ne bolshe chisla vershin minus chislo komponent, a znachit ne bolshe \\(n-1\\), esli rebra voobsche est; pri otsutstvii reber otsenka tem bolee verna. posmotrim, skolko raz uchityvaetsya rebro ishodnogo grafa v etih treh lesah. esli kontsy rebra imeyut raznye tsveta, ono ostaetsya rovno pri udalenii tretego tsveta. esli kontsy odnogo tsvet…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2011-finalb-p4","title":"Гамильтонов путь в турнире с первыми рёбрами одного направления, ФЮМ 2011","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2011-finalb-p4.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2011-finalb-p4.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2011-finalb-p4","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2011, финал (b), задача 4","Bang-Jensen and Gutin, Paths, Trees and Cycles in Tournaments","Bou Hanna, Paths in tournaments: a simple proof of Rosenfeld's Conjecture"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["tournaments","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2011_finalb_problem4.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"внешняя теорема аудит group A, 2026-05-06","notes":"Решение самодостаточно: стандартные турнирные факты доказаны внутри решения, внешние источники оставлены как справочный контекст.","audit_source":"external-theorem-audit-group-a"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В полном графе с 200 вершинами на каждом ребре ввели ориентацию. Докажите, что в получившемся графе можно выбрать ориентированный путь из 199 звеньев, в котором первые 100 ребер ориентированы в сторону начала пути, а следующие 99 -- в сторону конца.","definition_ids":["tournament","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Решение через первую сильную компоненту","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament","hamiltonian_path","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем доказывать немного другую формулировку. Достаточно найти вершину \\(x\\) и два направленных пути, выходящих из \\(x\\), длины 100 и 99, которые не имеют общих вершин, кроме \\(x\\), и вместе покрывают все 200 вершин. Действительно, если длинная ветвь есть \\(x=a_0\\to a_1\\to\\cdots\\to a_{100}\\), а короткая \\(x=b_0\\to b_1\\to\\cdots\\to b_{99}\\), то положим \\(v_{100}=x\\), \\(v_{99}=a_1,\\ldots,v_0=a_{100}\\), \\(v_{101}=b_1,\\ldots,v_{199}=b_{99}\\). Тогда первые 100 рёбер направлены к началу записи, а следующие 99 -- к концу. Используем два стандартных факта о турнирах, оба с короткими доказательствами. Во-первых, каждый турнир имеет направленный гамильтонов путь: вставляем вершины по одной в уже построенный путь в первое место, где меняется направление, а если такого места нет, ставим новую вершину в начало или конец. Во-вторых, каждая сильная компонента турнира имеет направленный гамильтонов цикл…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2011-finalb-p4-tournament-hamiltonian-pattern","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-paths-counting-kolm-2010-fyum-2011-tournament-paths","neighbor_id":"kolmogorov-2010-individual-olympiad-seniors-problem-4","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"fyum-2011-finalb-p4 гамильтонов путь в турнире с первыми рёбрами одного направления, фюм 2011 tournaments goal_counting 2011 bang-jensen and gutin, paths, trees and cycles in tournaments bou hanna, paths in tournaments: a simple proof of rosenfeld's conjecture fyum fyum2011 https://arxiv.org/abs/2011.14394 https://www.cs.rhul.ac.uk/~gutin/paperstsp/t1.pdf https://www.guas.info/competit/fest/fest22/finalb.tex olympiad_archive preprint src-bang-jensen-gutin-paths-trees-cycles-tournaments src-bou-hanna-rosenfeld-simple-proof src-fyum-2011-finalb-p4-official survey with_solution фюм фюм 2011, финал (b), задача 4 фюм2011 ? фюм 2011, финал (b), задача 4 bang-jensen and gutin, paths, trees and cycles in tournaments bou hanna, paths in tournaments: a simple proof of rosenfeld's conjecture stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в полном графе с 200 вершинами на каждом ребре ввели ориентацию. докажите, что в получившемся графе можно выбрать ориентированный путь из 199 звеньев, в котором первые 100 ребер ориентированы в сторону начала пути, а следующие 99 -- в сторону конца. tournament path idea-two-rooted-directed-branches две исходящие ветви из одной вершины достаточно найти вершину, из которой выходят два непересекающихся направленных пути длины 100 и 99, вместе покрывающие все вершины. первая сильная компонента турнира доминирует все остальные; если она мала, помогает обычный гамильтонов путь, а если велика, её гамильтонов цикл режется почти пополам и недостающие вершины дописываются по гамильтонову пути остатка. tournaments hamiltonian_cycles ai_checked sol-official-archive решение через первую сильную компоненту ai_checked tournament hamiltonian_path path будем доказывать немного другую формулировку. достаточно найти вершину \\(x\\) и два направленных пути, выходящих из \\(x\\), длины 100 и 99, которые не имеют общих вершин, кроме \\(x\\), и вместе покрывают все 200 вершин. действительно, если длинная ветвь есть \\(x=a_0\\to a_1\\to\\cdots\\to a_{100}\\), а короткая \\(x=b_0\\to b_1\\to\\cdots\\to b_{99}\\), то положим \\(v_{100}=x\\), \\(v_{99}=a_1,\\ldots,v_0=a_{100}\\), \\(v_{101}=b_1,\\ldots,v_{199}=b_{99}\\). тогда первые 100 рёбер направлены к началу записи, а следующие 99 -- к концу. используем два стандартных факта о турнирах, оба с короткими доказательствами. во-первых, каждый турнир имеет направленный гамильтонов путь: вставляем вершины по одной в уже построенный путь в первое место, где меняется направление, а если такого места нет, ставим новую вершину в начало или конец. во-вторых, каждая сильная компонента турнира имеет направленный гамильтонов цикл… fyum-2011-finalb-p4 gamiltonov put v turnire s pervymi rebrami odnogo napravleniya, fyum 2011 tournaments goal_counting 2011 bang-jensen and gutin, paths, trees and cycles in tournaments bou hanna, paths in tournaments: a simple proof of rosenfeld's conjecture fyum fyum2011 https://arxiv.org/abs/2011.14394 https://www.cs.rhul.ac.uk/~gutin/paperstsp/t1.pdf https://www.guas.info/competit/fest/fest22/finalb.tex olympiad_archive preprint src-bang-jensen-gutin-paths-trees-cycles-tournaments src-bou-hanna-rosenfeld-simple-proof src-fyum-2011-finalb-p4-official survey with_solution fyum fyum 2011, final (b), zadacha 4 fyum2011 ? fyum 2011, final (b), zadacha 4 bang-jensen and gutin, paths, trees and cycles in tournaments bou hanna, paths in tournaments: a simple proof of rosenfeld's conjecture stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v polnom grafe s 200 vershinami na kazhdom rebre vveli orientatsiyu. dokazhite, chto v poluchivshemsya grafe mozhno vybrat orientirovannyy put iz 199 zvenev, v kotorom pervye 100 reber orientirovany v storonu nachala puti, a sleduyuschie 99 -- v storonu kontsa. tournament path idea-two-rooted-directed-branches dve ishodyaschie vetvi iz odnoy vershiny dostatochno nayti vershinu, iz kotoroy vyhodyat dva neperesekayuschihsya napravlennyh puti dliny 100 i 99, vmeste pokryvayuschie vse vershiny. pervaya silnaya komponenta turnira dominiruet vse ostalnye; esli ona mala, pomogaet obychnyy gamiltonov put, a esli velika, ee gamiltonov tsikl rezhetsya pochti popolam i nedostayuschie vershiny dopisyvayutsya po gamiltonovu puti ostatka. tournaments hamiltonian_cycles ai_checked sol-official-archive reshenie cherez pervuyu silnuyu komponentu ai_checked tournament hamiltonian_path path budem dokazyvat nemnogo druguyu formulirovku. dostatochno nayti vershinu \\(x\\) i dva napravlennyh puti, vyhodyaschih iz \\(x\\), dliny 100 i 99, kotorye ne imeyut obschih vershin, krome \\(x\\), i vmeste pokryvayut vse 200 vershin. deystvitelno, esli dlinnaya vetv est \\(x=a_0\\to a_1\\to\\cdots\\to a_{100}\\), a korotkaya \\(x=b_0\\to b_1\\to\\cdots\\to b_{99}\\), to polozhim \\(v_{100}=x\\), \\(v_{99}=a_1,\\ldots,v_0=a_{100}\\), \\(v_{101}=b_1,\\ldots,v_{199}=b_{99}\\). togda pervye 100 reber napravleny k nachalu zapisi, a sleduyuschie 99 -- k kontsu. ispolzuem dva standartnyh fakta o turnirah, oba s korotkimi dokazatelstvami. vo-pervyh, kazhdyy turnir imeet napravlennyy gamiltonov put: vstavlyaem vershiny po odnoy v uzhe postroennyy put v pervoe mesto, gde menyaetsya napravlenie, a esli takogo mesta net, stavim novuyu vershinu v nachalo ili konets. vo-vtoryh, kazhdaya silnaya komponenta turnira imeet napravlennyy gamiltonov tsikl…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2011-tur1a-p5","title":"Двухцветная раскраска рёбер 2-рёберно-связного графа диаметра 2, ФЮМ 2011","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2011-tur1a-p5.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2011-tur1a-p5.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2011-tur1a-p5","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2011, первый тур (a), задача 5","ФЮМ 2011, первый тур (b), задача 5"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2011_tur1a_problem5.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дан связный граф, который остается связным при удалении любого ребра, и в котором любые две вершины либо соединены ребром, либо имеют общего соседа. Верно ли, что ребра этого графа можно покрасить в четыре цвета так, чтобы между любыми двумя вершинами нашелся путь, все ребра в котором разного цвета?","definition_ids":["connected_graph","path"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-tur1b-original","title":"ФЮМ 2011, тур 1B: та же графовая формулировка","status":"ai_checked","text":"Дан связный граф, который остается связным при удалении любого ребра, и в котором любые две вершины либо соединены ребром, либо имеют общего соседа. Верно ли, что ребра этого графа можно покрасить в четыре цвета так, чтобы между любыми двумя вершинами нашелся путь, все ребра в котором покрашены в разные цвета?","definition_ids":["connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Контрпример с 35 вершинами","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ отрицательный. Построим граф с вершинами \\(A\\), \\(B_1,\\dots,B_{17}\\) и \\(C_1,\\dots,C_{17}\\). Соединим \\(A\\) со всеми \\(B_i\\), каждую \\(B_i\\) соединим с \\(C_i\\), а вершины \\(C_1,\\dots,C_{17}\\) сделаем попарно смежными. Граф связен. Удаление ребра \\(AB_i\\) не отделяет \\(B_i\\), потому что остаётся путь \\(B_iC_iC_jB_jA\\) при \\(j\\ne i\\); удаление ребра \\(B_iC_i\\) не отделяет \\(B_i\\), потому что остаётся путь через \\(A\\); удаление ребра между двумя \\(C\\)-вершинами не нарушает связность клики \\(C_1,\\dots,C_{17}\\). Кроме того, любые две несмежные вершины имеют общего соседа: \\(A\\) и \\(C_i\\) имеют общего соседа \\(B_i\\), две вершины \\(B_i,B_j\\) имеют общего соседа \\(A\\), а \\(B_i\\) и \\(C_j\\) при \\(i\\ne j\\) имеют общего соседа \\(C_i\\). Теперь покрасим рёбра произвольно в четыре цвета. У каждой вершины \\(B_i\\) есть пара цветов \\((\\operatorname{col}(AB_i),\\operatorname{col}(B_iC_i))\\). Таких па…"}],"relations":[],"search_text":"fyum-2011-tur1a-p5 двухцветная раскраска рёбер 2-рёберно-связного графа диаметра 2, фюм 2011 coloring goal_counting 2011 fyum fyum2011 https://www.guas.info/competit/fest/fest22/tur1a.tex https://www.guas.info/competit/fest/fest22/tur1b.tex olympiad_archive src-fyum-2011-tur1a-p5-official src-fyum-2011-tur1b-p5-official with_solution фюм фюм 2011, первый тур (a), задача 5 фюм 2011, первый тур (b), задача 5 фюм2011 ? фюм 2011, первый тур (a), задача 5 фюм 2011, первый тур (b), задача 5 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дан связный граф, который остается связным при удалении любого ребра, и в котором любые две вершины либо соединены ребром, либо имеют общего соседа. верно ли, что ребра этого графа можно покрасить в четыре цвета так, чтобы между любыми двумя вершинами нашелся путь, все ребра в котором разного цвета? connected_graph path stmt-tur1b-original фюм 2011, тур 1b: та же графовая формулировка ai_checked дан связный граф, который остается связным при удалении любого ребра, и в котором любые две вершины либо соединены ребром, либо имеют общего соседа. верно ли, что ребра этого графа можно покрасить в четыре цвета так, чтобы между любыми двумя вершинами нашелся путь, все ребра в котором покрашены в разные цвета? connected_graph path sol-official-archive контрпример с 35 вершинами ai_checked connected_graph path pigeonhole_principle ответ отрицательный. построим граф с вершинами \\(a\\), \\(b_1,\\dots,b_{17}\\) и \\(c_1,\\dots,c_{17}\\). соединим \\(a\\) со всеми \\(b_i\\), каждую \\(b_i\\) соединим с \\(c_i\\), а вершины \\(c_1,\\dots,c_{17}\\) сделаем попарно смежными. граф связен. удаление ребра \\(ab_i\\) не отделяет \\(b_i\\), потому что остаётся путь \\(b_ic_ic_jb_ja\\) при \\(j\\ne i\\); удаление ребра \\(b_ic_i\\) не отделяет \\(b_i\\), потому что остаётся путь через \\(a\\); удаление ребра между двумя \\(c\\)-вершинами не нарушает связность клики \\(c_1,\\dots,c_{17}\\). кроме того, любые две несмежные вершины имеют общего соседа: \\(a\\) и \\(c_i\\) имеют общего соседа \\(b_i\\), две вершины \\(b_i,b_j\\) имеют общего соседа \\(a\\), а \\(b_i\\) и \\(c_j\\) при \\(i\\ne j\\) имеют общего соседа \\(c_i\\). теперь покрасим рёбра произвольно в четыре цвета. у каждой вершины \\(b_i\\) есть пара цветов \\((\\operatorname{col}(ab_i),\\operatorname{col}(b_ic_i))\\). таких па… fyum-2011-tur1a-p5 dvuhtsvetnaya raskraska reber 2-reberno-svyaznogo grafa diametra 2, fyum 2011 coloring goal_counting 2011 fyum fyum2011 https://www.guas.info/competit/fest/fest22/tur1a.tex https://www.guas.info/competit/fest/fest22/tur1b.tex olympiad_archive src-fyum-2011-tur1a-p5-official src-fyum-2011-tur1b-p5-official with_solution fyum fyum 2011, pervyy tur (a), zadacha 5 fyum 2011, pervyy tur (b), zadacha 5 fyum2011 ? fyum 2011, pervyy tur (a), zadacha 5 fyum 2011, pervyy tur (b), zadacha 5 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dan svyaznyy graf, kotoryy ostaetsya svyaznym pri udalenii lyubogo rebra, i v kotorom lyubye dve vershiny libo soedineny rebrom, libo imeyut obschego soseda. verno li, chto rebra etogo grafa mozhno pokrasit v chetyre tsveta tak, chtoby mezhdu lyubymi dvumya vershinami nashelsya put, vse rebra v kotorom raznogo tsveta? connected_graph path stmt-tur1b-original fyum 2011, tur 1b: ta zhe grafovaya formulirovka ai_checked dan svyaznyy graf, kotoryy ostaetsya svyaznym pri udalenii lyubogo rebra, i v kotorom lyubye dve vershiny libo soedineny rebrom, libo imeyut obschego soseda. verno li, chto rebra etogo grafa mozhno pokrasit v chetyre tsveta tak, chtoby mezhdu lyubymi dvumya vershinami nashelsya put, vse rebra v kotorom pokrasheny v raznye tsveta? connected_graph path sol-official-archive kontrprimer s 35 vershinami ai_checked connected_graph path pigeonhole_principle otvet otritsatelnyy. postroim graf s vershinami \\(a\\), \\(b_1,\\dots,b_{17}\\) i \\(c_1,\\dots,c_{17}\\). soedinim \\(a\\) so vsemi \\(b_i\\), kazhduyu \\(b_i\\) soedinim s \\(c_i\\), a vershiny \\(c_1,\\dots,c_{17}\\) sdelaem poparno smezhnymi. graf svyazen. udalenie rebra \\(ab_i\\) ne otdelyaet \\(b_i\\), potomu chto ostaetsya put \\(b_ic_ic_jb_ja\\) pri \\(j\\ne i\\); udalenie rebra \\(b_ic_i\\) ne otdelyaet \\(b_i\\), potomu chto ostaetsya put cherez \\(a\\); udalenie rebra mezhdu dvumya \\(c\\)-vershinami ne narushaet svyaznost kliki \\(c_1,\\dots,c_{17}\\). krome togo, lyubye dve nesmezhnye vershiny imeyut obschego soseda: \\(a\\) i \\(c_i\\) imeyut obschego soseda \\(b_i\\), dve vershiny \\(b_i,b_j\\) imeyut obschego soseda \\(a\\), a \\(b_i\\) i \\(c_j\\) pri \\(i\\ne j\\) imeyut obschego soseda \\(c_i\\). teper pokrasim rebra proizvolno v chetyre tsveta. u kazhdoy vershiny \\(b_i\\) est para tsvetov \\((\\operatorname{col}(ab_i),\\operatorname{col}(b_ic_i))\\). takih pa…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2011-tur2a-p9","title":"Чётное число гамильтоновых циклов через ребро в графе нечётных степеней, ФЮМ 2011","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2011-tur2a-p9.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2011-tur2a-p9.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2011-tur2a-p9","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2011, второй тур (a), задача 9"],"year":"2011","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","goal_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2011_tur2a_problem9.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Степени всех вершин графа нечетны. Докажите, что через любое его ребро проходит четное число гамильтоновых циклов.","definition_ids":["degree","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Архивное решение","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем ребро \\(uv\\). Рассмотрим все гамильтоновы пути вида \\[ P=(u=v_1, v=v_2, v_3,\\ldots, v_n), \\] то есть все гамильтоновы пути, которые начинаются с ребра \\(uv\\). Сделаем эти пути вершинами вспомогательного графа \\(X\\). Опишем рёбра графа \\(X\\). Пусть путь \\(P\\) заканчивается в вершине \\(z=v_n\\). Если \\(z\\) соединена ребром с некоторой внутренней вершиной \\(v_i\\), где \\(2\\le i\\le n-2\\), то из \\(P\\) можно получить новый гамильтонов путь \\[ (u=v_1, v=v_2,\\ldots, v_i, z=v_n, v_{n-1},\\ldots, v_{i+1}). \\] Он снова начинается с \\(uv\\). Соединим в \\(X\\) два пути, связанные такой операцией. Эта операция обратима: применив её ещё раз к новому пути по тому же ребру \\(zv_i\\), мы вернёмся к исходному пути. Поэтому степень вершины \\(P\\) во вспомогательном графе равна числу таких допустимых выборов \\(v_i\\). Посчитаем эту степень по модулю 2. Все соседи конечной вершины \\(z\\) в исходном графе…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2010-dominating-sets-2011-hamilton-cycles-aux-parity","neighbor_id":"fyum-2010-tur2a-p1","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"fyum-2011-tur2a-p9 чётное число гамильтоновых циклов через ребро в графе нечётных степеней, фюм 2011 hamiltonian_cycles goal_counting 2011 fyum fyum2011 https://www.guas.info/competit/fest/fest22/tur2a.tex olympiad_archive src-fyum-2011-tur2a-p9-official with_solution фюм фюм 2011, второй тур (a), задача 9 фюм2011 ? фюм 2011, второй тур (a), задача 9 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked степени всех вершин графа нечетны. докажите, что через любое его ребро проходит четное число гамильтоновых циклов. degree hamiltonian_cycle sol-official-archive архивное решение ai_checked зафиксируем ребро \\(uv\\). рассмотрим все гамильтоновы пути вида \\[ p=(u=v_1, v=v_2, v_3,\\ldots, v_n), \\] то есть все гамильтоновы пути, которые начинаются с ребра \\(uv\\). сделаем эти пути вершинами вспомогательного графа \\(x\\). опишем рёбра графа \\(x\\). пусть путь \\(p\\) заканчивается в вершине \\(z=v_n\\). если \\(z\\) соединена ребром с некоторой внутренней вершиной \\(v_i\\), где \\(2\\le i\\le n-2\\), то из \\(p\\) можно получить новый гамильтонов путь \\[ (u=v_1, v=v_2,\\ldots, v_i, z=v_n, v_{n-1},\\ldots, v_{i+1}). \\] он снова начинается с \\(uv\\). соединим в \\(x\\) два пути, связанные такой операцией. эта операция обратима: применив её ещё раз к новому пути по тому же ребру \\(zv_i\\), мы вернёмся к исходному пути. поэтому степень вершины \\(p\\) во вспомогательном графе равна числу таких допустимых выборов \\(v_i\\). посчитаем эту степень по модулю 2. все соседи конечной вершины \\(z\\) в исходном графе… fyum-2011-tur2a-p9 chetnoe chislo gamiltonovyh tsiklov cherez rebro v grafe nechetnyh stepeney, fyum 2011 hamiltonian_cycles goal_counting 2011 fyum fyum2011 https://www.guas.info/competit/fest/fest22/tur2a.tex olympiad_archive src-fyum-2011-tur2a-p9-official with_solution fyum fyum 2011, vtoroy tur (a), zadacha 9 fyum2011 ? fyum 2011, vtoroy tur (a), zadacha 9 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked stepeni vseh vershin grafa nechetny. dokazhite, chto cherez lyuboe ego rebro prohodit chetnoe chislo gamiltonovyh tsiklov. degree hamiltonian_cycle sol-official-archive arhivnoe reshenie ai_checked zafiksiruem rebro \\(uv\\). rassmotrim vse gamiltonovy puti vida \\[ p=(u=v_1, v=v_2, v_3,\\ldots, v_n), \\] to est vse gamiltonovy puti, kotorye nachinayutsya s rebra \\(uv\\). sdelaem eti puti vershinami vspomogatelnogo grafa \\(x\\). opishem rebra grafa \\(x\\). pust put \\(p\\) zakanchivaetsya v vershine \\(z=v_n\\). esli \\(z\\) soedinena rebrom s nekotoroy vnutrenney vershinoy \\(v_i\\), gde \\(2\\le i\\le n-2\\), to iz \\(p\\) mozhno poluchit novyy gamiltonov put \\[ (u=v_1, v=v_2,\\ldots, v_i, z=v_n, v_{n-1},\\ldots, v_{i+1}). \\] on snova nachinaetsya s \\(uv\\). soedinim v \\(x\\) dva puti, svyazannye takoy operatsiey. eta operatsiya obratima: primeniv ee esche raz k novomu puti po tomu zhe rebru \\(zv_i\\), my vernemsya k ishodnomu puti. poetomu stepen vershiny \\(p\\) vo vspomogatelnom grafe ravna chislu takih dopustimyh vyborov \\(v_i\\). poschitaem etu stepen po modulyu 2. vse sosedi konechnoy vershiny \\(z\\) v ishodnom grafe…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2013-tur1a-p4","title":"Цикл с суммой меток рёбер, делящейся на n, в полном графе, ФЮМ 2013","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2013-tur1a-p4.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2013-tur1a-p4.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2013-tur1a-p4","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2013, первый тур, Лига стратегий, задача 4"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["induction","extremal_choice","invariant","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2013_tur1a_problem4.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"исправление после аудита повышенной сложности 2026-05-07 по официальному решению ФЮМ","notes":"Официальный сжатый аргумент восстановлен в самодостаточное доказательство; скрытая неоднозначность с начальной тройкой заменена формулировкой через h различных остатков на не более чем 3h вершинах.","audit_source":"very-high-pipeline-batch-3-2026-05-07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дано натуральное число \\(n\\). На каждом ребре полного графа на \\(1000n\\) вершинах написали целое число. Докажите, что найдется простой цикл, сумма чисел на ребрах которого делится на \\(n\\).","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Максимальная система путей и сведение к меньшему модулю","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","cycle","path"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice","invariant"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение индукцией по \\(n\\). При \\(n=1\\) подходит любой треугольник. Все веса далее рассматриваем по модулю \\(n\\); вес ребра \\(uv\\) обозначаем через \\(m(uv)\\). Будем выбирать две различные вершины \\(u,v\\), множество вершин \\(S\\), содержащее \\(u\\) и \\(v\\), и семейство простых путей из \\(u\\) в \\(v\\), проходящих только по вершинам \\(S\\), так что суммы этих путей дают \\(h\\) различных остатков по модулю \\(n\\), а \\(|S|\\le 3h\\). Если существует треугольник, в котором сумма двух рёбер отличается по чётности от третьего ребра, то начальная система состоит из двух путей между подходящей парой вершин этого треугольника, и далее мы рассматриваем только системы, у которых среди остатков есть обе чётности. Если такого треугольника нет, начинаем с любого одного ребра и дополнительных ограничений не накладываем. Среди разрешённых систем выберем систему с максимальным \\(h\\); множество получен…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2013-tur1a-p4-tur1b-p10-modular-weighted-cycles","neighbor_id":"fyum-2013-tur1b-p10","direction":"forward","type":"specialization","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"fyum-2013-tur1a-p4 цикл с суммой меток рёбер, делящейся на n, в полном графе, фюм 2013 induction extremal_choice invariant goal_existence 2013 fyum fyum2013 https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur1a.tex olympiad_archive src-fyum-2013-tur1a-p4-official with_solution фюм фюм 2013, первый тур, лига стратегий, задача 4 фюм2013 ? фюм 2013, первый тур, лига стратегий, задача 4 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дано натуральное число \\(n\\). на каждом ребре полного графа на \\(1000n\\) вершинах написали целое число. докажите, что найдется простой цикл, сумма чисел на ребрах которого делится на \\(n\\). complete_graph cycle idea-maximal-path-residue-family максимальная система путей с разными остатками выбирается максимальная цепочка вершин, между концами которой уже реализовано несколько простых путей с попарно различными суммами по модулю n. если реализованы все n остатков, внешняя вершина сразу замыкает один из этих путей в цикл с нулевой суммой. extremal_choice ai_checked idea-period-reduction период множества остатков ведет к меньшему модулю если добавить новую тройку вершин нельзя, множество уже полученных остатков замкнуто относительно сдвигов, выраженных через веса внешних ребер. минимальный период этого множества заставляет внешние ребра делиться на нетривиальный делитель модуля, после чего задача сводится к меньшему модулю. extremal_choice induction ai_checked sol-official-archive максимальная система путей и сведение к меньшему модулю ai_checked complete_graph cycle path induction extremal_choice invariant докажем утверждение индукцией по \\(n\\). при \\(n=1\\) подходит любой треугольник. все веса далее рассматриваем по модулю \\(n\\); вес ребра \\(uv\\) обозначаем через \\(m(uv)\\). будем выбирать две различные вершины \\(u,v\\), множество вершин \\(s\\), содержащее \\(u\\) и \\(v\\), и семейство простых путей из \\(u\\) в \\(v\\), проходящих только по вершинам \\(s\\), так что суммы этих путей дают \\(h\\) различных остатков по модулю \\(n\\), а \\(|s|\\le 3h\\). если существует треугольник, в котором сумма двух рёбер отличается по чётности от третьего ребра, то начальная система состоит из двух путей между подходящей парой вершин этого треугольника, и далее мы рассматриваем только системы, у которых среди остатков есть обе чётности. если такого треугольника нет, начинаем с любого одного ребра и дополнительных ограничений не накладываем. среди разрешённых систем выберем систему с максимальным \\(h\\); множество получен… fyum-2013-tur1a-p4 tsikl s summoy metok reber, delyascheysya na n, v polnom grafe, fyum 2013 induction extremal_choice invariant goal_existence 2013 fyum fyum2013 https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur1a.tex olympiad_archive src-fyum-2013-tur1a-p4-official with_solution fyum fyum 2013, pervyy tur, liga strategiy, zadacha 4 fyum2013 ? fyum 2013, pervyy tur, liga strategiy, zadacha 4 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dano naturalnoe chislo \\(n\\). na kazhdom rebre polnogo grafa na \\(1000n\\) vershinah napisali tseloe chislo. dokazhite, chto naydetsya prostoy tsikl, summa chisel na rebrah kotorogo delitsya na \\(n\\). complete_graph cycle idea-maximal-path-residue-family maksimalnaya sistema putey s raznymi ostatkami vybiraetsya maksimalnaya tsepochka vershin, mezhdu kontsami kotoroy uzhe realizovano neskolko prostyh putey s poparno razlichnymi summami po modulyu n. esli realizovany vse n ostatkov, vneshnyaya vershina srazu zamykaet odin iz etih putey v tsikl s nulevoy summoy. extremal_choice ai_checked idea-period-reduction period mnozhestva ostatkov vedet k menshemu modulyu esli dobavit novuyu troyku vershin nelzya, mnozhestvo uzhe poluchennyh ostatkov zamknuto otnositelno sdvigov, vyrazhennyh cherez vesa vneshnih reber. minimalnyy period etogo mnozhestva zastavlyaet vneshnie rebra delitsya na netrivialnyy delitel modulya, posle chego zadacha svoditsya k menshemu modulyu. extremal_choice induction ai_checked sol-official-archive maksimalnaya sistema putey i svedenie k menshemu modulyu ai_checked complete_graph cycle path induction extremal_choice invariant dokazhem utverzhdenie induktsiey po \\(n\\). pri \\(n=1\\) podhodit lyuboy treugolnik. vse vesa dalee rassmatrivaem po modulyu \\(n\\); ves rebra \\(uv\\) oboznachaem cherez \\(m(uv)\\). budem vybirat dve razlichnye vershiny \\(u,v\\), mnozhestvo vershin \\(s\\), soderzhaschee \\(u\\) i \\(v\\), i semeystvo prostyh putey iz \\(u\\) v \\(v\\), prohodyaschih tolko po vershinam \\(s\\), tak chto summy etih putey dayut \\(h\\) razlichnyh ostatkov po modulyu \\(n\\), a \\(|s|\\le 3h\\). esli suschestvuet treugolnik, v kotorom summa dvuh reber otlichaetsya po chetnosti ot tretego rebra, to nachalnaya sistema sostoit iz dvuh putey mezhdu podhodyaschey paroy vershin etogo treugolnika, i dalee my rassmatrivaem tolko sistemy, u kotoryh sredi ostatkov est obe chetnosti. esli takogo treugolnika net, nachinaem s lyubogo odnogo rebra i dopolnitelnyh ogranicheniy ne nakladyvaem. sredi razreshennyh sistem vyberem sistemu s maksimalnym \\(h\\); mnozhestvo poluchen…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2013-tur1b-p10","title":"Цикл с суммой меток рёбер, делящейся на p, в полном графе, ФЮМ 2013","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2013-tur1b-p10.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2013-tur1b-p10.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2013-tur1b-p10","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2013, первый тур, Лига тактик, задача 10"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2013_tur1b_problem10.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит повышенной сложности 2026-05-07","notes":"Официальное архивное решение проверено и развёрнуто до самодостаточного доказательства для простого модуля.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дано простое число \\(p\\). На каждом ребре полного графа на \\(1000p\\) вершинах написали целое число. Докажите, что найдется простой цикл, сумма чисел на ребрах которого делится на \\(p\\).","definition_ids":["complete_graph","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Самодостаточное решение через непересекающиеся треугольники","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Работаем по модулю \\(p\\). Случай \\(p=2\\) разберем отдельно. Если есть треугольник с четной суммой весов, он и есть нужный цикл. Если все треугольники имеют нечетную сумму, то любые четыре вершины \\(a,b,c,d\\) дают четный цикл \\(abcd\\): его сумма равна сумме треугольников \\(abc\\) и \\(acd\\) минус удвоенный вес диагонали \\(ac\\), значит равна \\(0\\pmod 2\\). Теперь пусть \\(p\\) нечетно. Выберем \\(p-1\\) попарно непересекающихся треугольников; вершин для этого достаточно. Если какой-то из них имеет сумму \\(0\\pmod p\\), мы уже нашли цикл. Иначе в каждом выбранном треугольнике можно назвать вершины \\(u_i,x_i,v_i\\) так, что \\(m(u_ix_i)+m(x_iv_i)\\ne m(u_iv_i)\\). Действительно, если это равенство выполнялось бы для всех трех выборов средней вершины, то из трех равенств следовало бы, что все три веса равны \\(0\\pmod p\\), а тогда сумма треугольника была бы нулевой. Для каждого \\(i\\) положим \\(A_i=\\{m(u_ix…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2013-tur1a-p4-tur1b-p10-modular-weighted-cycles","neighbor_id":"fyum-2013-tur1a-p4","direction":"backward","type":"specialization","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"fyum-2013-tur1b-p10 цикл с суммой меток рёбер, делящейся на p, в полном графе, фюм 2013 goal_existence 2013 fyum fyum2013 https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur1b.tex olympiad_archive src-fyum-2013-tur1b-p10-official with_solution фюм фюм 2013, первый тур, лига тактик, задача 10 фюм2013 ? фюм 2013, первый тур, лига тактик, задача 10 stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дано простое число \\(p\\). на каждом ребре полного графа на \\(1000p\\) вершинах написали целое число. докажите, что найдется простой цикл, сумма чисел на ребрах которого делится на \\(p\\). complete_graph cycle idea-two-choices-per-triangle каждый треугольник дает два варианта суммы участка для треугольника с ненулевой суммой по модулю p можно выбрать две вершины-концы так, что прямое ребро и путь через третью вершину имеют разные суммы. несколько непересекающихся треугольников превращают задачу в выбор по одному элементу из двухэлементных множеств в z/pz. extremal_choice ai_checked idea-prime-sumset-growth в поле по простому модулю двухэлементные добавки наращивают множество сумм если b — собственное множество остатков по простому модулю p, то прибавление двух различных остатков a и b увеличивает число достижимых сумм хотя бы на 1. поэтому после p-1 независимых двухвариантных выборов можно получить любой остаток. extremal_choice ai_checked sol-official-archive самодостаточное решение через непересекающиеся треугольники ai_checked complete_graph cycle работаем по модулю \\(p\\). случай \\(p=2\\) разберем отдельно. если есть треугольник с четной суммой весов, он и есть нужный цикл. если все треугольники имеют нечетную сумму, то любые четыре вершины \\(a,b,c,d\\) дают четный цикл \\(abcd\\): его сумма равна сумме треугольников \\(abc\\) и \\(acd\\) минус удвоенный вес диагонали \\(ac\\), значит равна \\(0\\pmod 2\\). теперь пусть \\(p\\) нечетно. выберем \\(p-1\\) попарно непересекающихся треугольников; вершин для этого достаточно. если какой-то из них имеет сумму \\(0\\pmod p\\), мы уже нашли цикл. иначе в каждом выбранном треугольнике можно назвать вершины \\(u_i,x_i,v_i\\) так, что \\(m(u_ix_i)+m(x_iv_i)\\ne m(u_iv_i)\\). действительно, если это равенство выполнялось бы для всех трех выборов средней вершины, то из трех равенств следовало бы, что все три веса равны \\(0\\pmod p\\), а тогда сумма треугольника была бы нулевой. для каждого \\(i\\) положим \\(a_i=\\{m(u_ix… fyum-2013-tur1b-p10 tsikl s summoy metok reber, delyascheysya na p, v polnom grafe, fyum 2013 goal_existence 2013 fyum fyum2013 https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur1b.tex olympiad_archive src-fyum-2013-tur1b-p10-official with_solution fyum fyum 2013, pervyy tur, liga taktik, zadacha 10 fyum2013 ? fyum 2013, pervyy tur, liga taktik, zadacha 10 stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dano prostoe chislo \\(p\\). na kazhdom rebre polnogo grafa na \\(1000p\\) vershinah napisali tseloe chislo. dokazhite, chto naydetsya prostoy tsikl, summa chisel na rebrah kotorogo delitsya na \\(p\\). complete_graph cycle idea-two-choices-per-triangle kazhdyy treugolnik daet dva varianta summy uchastka dlya treugolnika s nenulevoy summoy po modulyu p mozhno vybrat dve vershiny-kontsy tak, chto pryamoe rebro i put cherez tretyu vershinu imeyut raznye summy. neskolko neperesekayuschihsya treugolnikov prevraschayut zadachu v vybor po odnomu elementu iz dvuhelementnyh mnozhestv v z/pz. extremal_choice ai_checked idea-prime-sumset-growth v pole po prostomu modulyu dvuhelementnye dobavki naraschivayut mnozhestvo summ esli b — sobstvennoe mnozhestvo ostatkov po prostomu modulyu p, to pribavlenie dvuh razlichnyh ostatkov a i b uvelichivaet chislo dostizhimyh summ hotya by na 1. poetomu posle p-1 nezavisimyh dvuhvariantnyh vyborov mozhno poluchit lyuboy ostatok. extremal_choice ai_checked sol-official-archive samodostatochnoe reshenie cherez neperesekayuschiesya treugolniki ai_checked complete_graph cycle rabotaem po modulyu \\(p\\). sluchay \\(p=2\\) razberem otdelno. esli est treugolnik s chetnoy summoy vesov, on i est nuzhnyy tsikl. esli vse treugolniki imeyut nechetnuyu summu, to lyubye chetyre vershiny \\(a,b,c,d\\) dayut chetnyy tsikl \\(abcd\\): ego summa ravna summe treugolnikov \\(abc\\) i \\(acd\\) minus udvoennyy ves diagonali \\(ac\\), znachit ravna \\(0\\pmod 2\\). teper pust \\(p\\) nechetno. vyberem \\(p-1\\) poparno neperesekayuschihsya treugolnikov; vershin dlya etogo dostatochno. esli kakoy-to iz nih imeet summu \\(0\\pmod p\\), my uzhe nashli tsikl. inache v kazhdom vybrannom treugolnike mozhno nazvat vershiny \\(u_i,x_i,v_i\\) tak, chto \\(m(u_ix_i)+m(x_iv_i)\\ne m(u_iv_i)\\). deystvitelno, esli eto ravenstvo vypolnyalos by dlya vseh treh vyborov sredney vershiny, to iz treh ravenstv sledovalo by, chto vse tri vesa ravny \\(0\\pmod p\\), a togda summa treugolnika byla by nulevoy. dlya kazhdogo \\(i\\) polozhim \\(a_i=\\{m(u_ix…","source_keys":["fyum"]} {"id":"fyum-2013-tur2a-p1","title":"Раскраска рёбер планарного графа большого обхвата, ФЮМ 2013","path":"data\\problems\\fyum\\fyum-2013-tur2a-p1.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/fyum/fyum-2013-tur2a-p1.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#fyum-2013-tur2a-p1","source_key":"fyum","source_label":"ФЮМ","source_titles":["ФЮМ 2013, второй тур, Лига стратегий, задача 1","Chang, Montassier, Pecher, Raspaud, Strong chromatic index of planar graphs with large girth"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","planar_graphs","minimal_counterexample","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ФЮМ 2013_tur2a_problem1.md.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.89,"basis":"очень высокий аудит 2026-05-07","notes":"Основное решение самодостаточно для заявленных констант; короткая внешняя теорема остаётся только справочным контекстом, не единственной опорой.","audit_source":"very_high_pipeline_batch_5_2026_05_07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"Дан планарный граф, в котором максимальная степень вершины равна \\(d > 100\\), а длина минимального простого цикла равна \\(10d + 100\\). Докажите, что ребра графа можно раскрасить в \\(2d - 1\\) цвет так, чтобы любые два ребра, имеющих либо общую вершину, либо смежные вершины, были разного цвета.","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-conflict","title":"Раскраска графа конфликтов рёбер","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — планарный граф с максимальной степенью \\(d>100\\) и обхватом \\(10d+100\\). Рассмотрим граф \\(X_2(G)\\): его вершины — рёбра \\(G\\), а две вершины смежны, если соответствующие рёбра имеют общий конец или их концы смежны в \\(G\\). Докажите, что \\(\\chi(X_2(G))\\le 2d-1\\).","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","simple_graph","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-archive","title":"Самодостаточный перенос специального случая теоремы о большом обхвате","status":"ai_checked","definition_ids":["planar_graph","degree","cycle","chromatic_number","path"],"standard_idea_ids":["minimal_counterexample","delete_to_simplify","local_recoloring"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем доказывать более удобную формулировку. Пусть \\(G\\) — планарный граф максимальной степени не больше \\(d\\), где \\(d>100\\), и обхвата не меньше \\(10d+100\\). Нужно сильно раскрасить его рёбра в \\(2d-1\\) цвет, то есть любые два ребра, имеющие общий конец или концы, соединённые ребром, должны получить разные цвета. Сначала зафиксируем две леммы. Первая — стандартное следствие формулы Эйлера. Если планарный граф \\(H\\) имеет минимальную степень хотя бы \\(2\\) и обхват не меньше \\(5m+1\\), то в нём есть простой путь \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), у которого все вершины \\(v_1,\\ldots,v_m\\) имеют степень \\(2\\) в \\(H\\). Действительно, если весь граф является циклом, всё очевидно. Иначе стянем каждый максимальный путь, внутренние вершины которого имеют степень \\(2\\), в одно ребро. Если ни один такой путь не содержит \\(m\\) подряд идущих вершин степени \\(2\\), то каждое новое ребро заменяет путь длины не…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2012-2013-strong-edge-coloring-distance-two","neighbor_id":"greedy-strong-edge-coloring-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-fyum-2013-tur2a-p1-degree-two-path-lemma","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-path","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-fyum-2013-tur2a-p1-euler-short-cycle-lemma","neighbor_id":"euler-formula-planar","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-fyum-2013-tur2a-p1-degree-two-chain","neighbor_id":"planar-large-girth-degree-two-chain","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"fyum-2013-tur2a-p1 раскраска рёбер планарного графа большого обхвата, фюм 2013 coloring planar_graphs minimal_counterexample goal_existence 2013 chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth fyum fyum2013 https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur2a.tex https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2013-09.pdf olympiad_archive research_preprint src-fyum-2013-tur2a-p1-official src-ntu-strong-edge-coloring-planar-large-girth-2013 with_solution фюм фюм 2013, второй тур, лига стратегий, задача 1 фюм2013 ? фюм 2013, второй тур, лига стратегий, задача 1 chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth stmt-original оригинальная формулировка ai_checked дан планарный граф, в котором максимальная степень вершины равна \\(d > 100\\), а длина минимального простого цикла равна \\(10d + 100\\). докажите, что ребра графа можно раскрасить в \\(2d - 1\\) цвет так, чтобы любые два ребра, имеющих либо общую вершину, либо смежные вершины, были разного цвета. planar_graph degree cycle stmt-graph-conflict раскраска графа конфликтов рёбер ai_checked пусть \\(g\\) — планарный граф с максимальной степенью \\(d>100\\) и обхватом \\(10d+100\\). рассмотрим граф \\(x_2(g)\\): его вершины — рёбра \\(g\\), а две вершины смежны, если соответствующие рёбра имеют общий конец или их концы смежны в \\(g\\). докажите, что \\(\\chi(x_2(g))\\le 2d-1\\). planar_graph degree cycle simple_graph chromatic_number idea-reduce-to-large-girth-strong-edge-coloring-theorem минимальный контрпример и обход в нечётном графе условие fyum требует сильную рёберную раскраску планарного графа с максимальной степенью d и обхватом 10d+100. это следует из теоремы chang--montassier--pecher--raspaud при обхвате 10d+46; для самой задачи достаточно перенести более мягкий специальный случай: эйлерова лемма даёт длинную цепочку вершин степени 2, а запас длины позволяет построить нужную последовательность цветов как обход в нечётном графе на 2d-1 цветах. coloring planar_graphs source_verified sol-official-archive самодостаточный перенос специального случая теоремы о большом обхвате ai_checked planar_graph degree cycle chromatic_number path minimal_counterexample delete_to_simplify local_recoloring будем доказывать более удобную формулировку. пусть \\(g\\) — планарный граф максимальной степени не больше \\(d\\), где \\(d>100\\), и обхвата не меньше \\(10d+100\\). нужно сильно раскрасить его рёбра в \\(2d-1\\) цвет, то есть любые два ребра, имеющие общий конец или концы, соединённые ребром, должны получить разные цвета. сначала зафиксируем две леммы. первая — стандартное следствие формулы эйлера. если планарный граф \\(h\\) имеет минимальную степень хотя бы \\(2\\) и обхват не меньше \\(5m+1\\), то в нём есть простой путь \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), у которого все вершины \\(v_1,\\ldots,v_m\\) имеют степень \\(2\\) в \\(h\\). действительно, если весь граф является циклом, всё очевидно. иначе стянем каждый максимальный путь, внутренние вершины которого имеют степень \\(2\\), в одно ребро. если ни один такой путь не содержит \\(m\\) подряд идущих вершин степени \\(2\\), то каждое новое ребро заменяет путь длины не… fyum-2013-tur2a-p1 raskraska reber planarnogo grafa bolshogo obhvata, fyum 2013 coloring planar_graphs minimal_counterexample goal_existence 2013 chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth fyum fyum2013 https://www.guas.info/competit/fest/fest24/tur2a.tex https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2013-09.pdf olympiad_archive research_preprint src-fyum-2013-tur2a-p1-official src-ntu-strong-edge-coloring-planar-large-girth-2013 with_solution fyum fyum 2013, vtoroy tur, liga strategiy, zadacha 1 fyum2013 ? fyum 2013, vtoroy tur, liga strategiy, zadacha 1 chang, montassier, pecher, raspaud, strong chromatic index of planar graphs with large girth stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked dan planarnyy graf, v kotorom maksimalnaya stepen vershiny ravna \\(d > 100\\), a dlina minimalnogo prostogo tsikla ravna \\(10d + 100\\). dokazhite, chto rebra grafa mozhno raskrasit v \\(2d - 1\\) tsvet tak, chtoby lyubye dva rebra, imeyuschih libo obschuyu vershinu, libo smezhnye vershiny, byli raznogo tsveta. planar_graph degree cycle stmt-graph-conflict raskraska grafa konfliktov reber ai_checked pust \\(g\\) — planarnyy graf s maksimalnoy stepenyu \\(d>100\\) i obhvatom \\(10d+100\\). rassmotrim graf \\(x_2(g)\\): ego vershiny — rebra \\(g\\), a dve vershiny smezhny, esli sootvetstvuyuschie rebra imeyut obschiy konets ili ih kontsy smezhny v \\(g\\). dokazhite, chto \\(\\chi(x_2(g))\\le 2d-1\\). planar_graph degree cycle simple_graph chromatic_number idea-reduce-to-large-girth-strong-edge-coloring-theorem minimalnyy kontrprimer i obhod v nechetnom grafe uslovie fyum trebuet silnuyu rebernuyu raskrasku planarnogo grafa s maksimalnoy stepenyu d i obhvatom 10d+100. eto sleduet iz teoremy chang--montassier--pecher--raspaud pri obhvate 10d+46; dlya samoy zadachi dostatochno perenesti bolee myagkiy spetsialnyy sluchay: eylerova lemma daet dlinnuyu tsepochku vershin stepeni 2, a zapas dliny pozvolyaet postroit nuzhnuyu posledovatelnost tsvetov kak obhod v nechetnom grafe na 2d-1 tsvetah. coloring planar_graphs source_verified sol-official-archive samodostatochnyy perenos spetsialnogo sluchaya teoremy o bolshom obhvate ai_checked planar_graph degree cycle chromatic_number path minimal_counterexample delete_to_simplify local_recoloring budem dokazyvat bolee udobnuyu formulirovku. pust \\(g\\) — planarnyy graf maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(d\\), gde \\(d>100\\), i obhvata ne menshe \\(10d+100\\). nuzhno silno raskrasit ego rebra v \\(2d-1\\) tsvet, to est lyubye dva rebra, imeyuschie obschiy konets ili kontsy, soedinennye rebrom, dolzhny poluchit raznye tsveta. snachala zafiksiruem dve lemmy. pervaya — standartnoe sledstvie formuly eylera. esli planarnyy graf \\(h\\) imeet minimalnuyu stepen hotya by \\(2\\) i obhvat ne menshe \\(5m+1\\), to v nem est prostoy put \\(v_0v_1\\ldots v_{m+1}\\), u kotorogo vse vershiny \\(v_1,\\ldots,v_m\\) imeyut stepen \\(2\\) v \\(h\\). deystvitelno, esli ves graf yavlyaetsya tsiklom, vse ochevidno. inache styanem kazhdyy maksimalnyy put, vnutrennie vershiny kotorogo imeyut stepen \\(2\\), v odno rebro. esli ni odin takoy put ne soderzhit \\(m\\) podryad iduschih vershin stepeni \\(2\\), to kazhdoe novoe rebro zamenyaet put dliny ne…","source_keys":["fyum"]} {"id":"greedy-strong-edge-coloring-bound","title":"Жадная оценка сильной рёберной раскраски","path":"data\\problems\\classical\\greedy-strong-edge-coloring-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/greedy-strong-edge-coloring-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#greedy-strong-edge-coloring-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["ФЮМ 2012, первый тур (a), задача 10","Chang and Liu, Strong Edge-Coloring for Cubic Halin Graphs (standard bound χ'_s(G) ≤ 2Δ^2 − 2Δ + 1)"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","classical_theorem","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Стандартная жадная оценка через подсчёт рёбер на расстоянии два для сильной рёберной раскраски; задача ФЮМ 2012 — случай Delta = 11, дающий 221 цвет.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-greedy-strong-edge-coloring-bound","title":"Жадная оценка","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — конечный граф максимальной степени не больше \\(\\Delta\\). Тогда рёбра \\(G\\) можно раскрасить не более чем в \\(2\\Delta^2-2\\Delta+1\\) цвет так, чтобы каждый цветовой класс был индуцированным паросочетанием.","definition_ids":["degree","matching"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-fyum-2012-delta-11-instance","title":"ФЮМ 2012: случай \\(\\Delta=11\\)","status":"ai_checked","text":"Граф имеет максимальную степень не больше 11. Докажите, что его рёбра можно раскрасить в 221 цвет так, чтобы любые два ребра одного цвета не имели общих концов и ни одно ребро не было смежно с ними обоими.","definition_ids":["degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-greedy-distance-two-counting","title":"Жадное доказательство подсчётом","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","matching"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Упорядочим рёбра произвольно и будем красить их по одному. Пусть очередное ребро равно \\(e=uv\\). Цвет запрещён для \\(e\\) ровно тогда, когда он уже появился на ребре, находящемся от \\(e\\) на рёберном расстоянии не больше двух: два ребра одного цвета должны образовывать индуцированное паросочетание вместе со всеми остальными рёбрами этого цвета. С ребром \\(e\\) смежно не более \\((\\Delta-1)+(\\Delta-1)=2\\Delta-2\\) рёбер. Со стороны \\(u\\) каждое из не более чем \\(\\Delta-1\\) смежных рёбер ведёт к дальнейшему концу, из которого выходит не более \\(\\Delta-1\\) дополнительных рёбер; значит, эта сторона даёт не более \\((\\Delta-1)^2\\) рёбер на расстоянии два. Такая же оценка верна со стороны \\(v\\). Поэтому число уже окрашенных рёбер, чьи цвета могут быть запрещены, не превосходит \\[ (2\\Delta-2)+2(\\Delta-1)^2=2\\Delta^2-2\\Delta. \\] При \\(2\\Delta^2-2\\Delta+1\\) цветах для \\(e\\) остаётся хотя бы один дост…"}],"relations":[{"id":"rel-fyum-2012-2013-strong-edge-coloring-distance-two","neighbor_id":"fyum-2013-tur2a-p1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-spbmo2003-p5-to-strong-edge-coloring-conflict-distance","neighbor_id":"spbmo-2003-9-qual-p5-edge-colored-graph-vertex-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-greedy-strong-edge-digraph-outdegree-coloring-motif","neighbor_id":"digraph-outdegree-greedy-coloring-bound","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"greedy-strong-edge-coloring-bound жадная оценка сильной рёберной раскраски coloring classical_theorem goal_bound chang and liu, strong edge-coloring for cubic halin graphs (standard bound χ'_s(g) ≤ 2δ^2 − 2δ + 1) https://www.guas.info/competit/fest/fest23/tur1a.tex https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2011-10.pdf misc olympiad_archive reference src-fyum-2012-tur1a-p10-official src-ntu-strong-edge-coloring-trivial-bound with_solution прочее фюм 2012, первый тур (a), задача 10 ? фюм 2012, первый тур (a), задача 10 chang and liu, strong edge-coloring for cubic halin graphs (standard bound χ'_s(g) ≤ 2δ^2 − 2δ + 1) stmt-greedy-strong-edge-coloring-bound жадная оценка ai_checked пусть \\(g\\) — конечный граф максимальной степени не больше \\(\\delta\\). тогда рёбра \\(g\\) можно раскрасить не более чем в \\(2\\delta^2-2\\delta+1\\) цвет так, чтобы каждый цветовой класс был индуцированным паросочетанием. degree matching stmt-fyum-2012-delta-11-instance фюм 2012: случай \\(\\delta=11\\) ai_checked граф имеет максимальную степень не больше 11. докажите, что его рёбра можно раскрасить в 221 цвет так, чтобы любые два ребра одного цвета не имели общих концов и ни одно ребро не было смежно с ними обоими. degree idea-count-distance-two-edge-conflicts посчитать конфликтующие рёбра на расстоянии не больше двух при жадной раскраске очередного ребра запрещены только цвета, уже использованные на рёбрах, смежных с ним или смежных с одним из таких смежных рёбер. ограничение на максимальную степень даёт не более \\(2\\delta^2-2\\delta\\) таких ранее окрашенных рёбер. coloring ai_checked sol-greedy-distance-two-counting жадное доказательство подсчётом ai_checked degree matching greedy_ordering упорядочим рёбра произвольно и будем красить их по одному. пусть очередное ребро равно \\(e=uv\\). цвет запрещён для \\(e\\) ровно тогда, когда он уже появился на ребре, находящемся от \\(e\\) на рёберном расстоянии не больше двух: два ребра одного цвета должны образовывать индуцированное паросочетание вместе со всеми остальными рёбрами этого цвета. с ребром \\(e\\) смежно не более \\((\\delta-1)+(\\delta-1)=2\\delta-2\\) рёбер. со стороны \\(u\\) каждое из не более чем \\(\\delta-1\\) смежных рёбер ведёт к дальнейшему концу, из которого выходит не более \\(\\delta-1\\) дополнительных рёбер; значит, эта сторона даёт не более \\((\\delta-1)^2\\) рёбер на расстоянии два. такая же оценка верна со стороны \\(v\\). поэтому число уже окрашенных рёбер, чьи цвета могут быть запрещены, не превосходит \\[ (2\\delta-2)+2(\\delta-1)^2=2\\delta^2-2\\delta. \\] при \\(2\\delta^2-2\\delta+1\\) цветах для \\(e\\) остаётся хотя бы один дост… greedy-strong-edge-coloring-bound zhadnaya otsenka silnoy rebernoy raskraski coloring classical_theorem goal_bound chang and liu, strong edge-coloring for cubic halin graphs (standard bound χ'_s(g) ≤ 2δ^2 − 2δ + 1) https://www.guas.info/competit/fest/fest23/tur1a.tex https://www.math.ntu.edu.tw/~mathlib/preprint/2011-10.pdf misc olympiad_archive reference src-fyum-2012-tur1a-p10-official src-ntu-strong-edge-coloring-trivial-bound with_solution prochee fyum 2012, pervyy tur (a), zadacha 10 ? fyum 2012, pervyy tur (a), zadacha 10 chang and liu, strong edge-coloring for cubic halin graphs (standard bound χ'_s(g) ≤ 2δ^2 − 2δ + 1) stmt-greedy-strong-edge-coloring-bound zhadnaya otsenka ai_checked pust \\(g\\) — konechnyy graf maksimalnoy stepeni ne bolshe \\(\\delta\\). togda rebra \\(g\\) mozhno raskrasit ne bolee chem v \\(2\\delta^2-2\\delta+1\\) tsvet tak, chtoby kazhdyy tsvetovoy klass byl indutsirovannym parosochetaniem. degree matching stmt-fyum-2012-delta-11-instance fyum 2012: sluchay \\(\\delta=11\\) ai_checked graf imeet maksimalnuyu stepen ne bolshe 11. dokazhite, chto ego rebra mozhno raskrasit v 221 tsvet tak, chtoby lyubye dva rebra odnogo tsveta ne imeli obschih kontsov i ni odno rebro ne bylo smezhno s nimi oboimi. degree idea-count-distance-two-edge-conflicts poschitat konfliktuyuschie rebra na rasstoyanii ne bolshe dvuh pri zhadnoy raskraske ocherednogo rebra zaprescheny tolko tsveta, uzhe ispolzovannye na rebrah, smezhnyh s nim ili smezhnyh s odnim iz takih smezhnyh reber. ogranichenie na maksimalnuyu stepen daet ne bolee \\(2\\delta^2-2\\delta\\) takih ranee okrashennyh reber. coloring ai_checked sol-greedy-distance-two-counting zhadnoe dokazatelstvo podschetom ai_checked degree matching greedy_ordering uporyadochim rebra proizvolno i budem krasit ih po odnomu. pust ocherednoe rebro ravno \\(e=uv\\). tsvet zapreschen dlya \\(e\\) rovno togda, kogda on uzhe poyavilsya na rebre, nahodyaschemsya ot \\(e\\) na rebernom rasstoyanii ne bolshe dvuh: dva rebra odnogo tsveta dolzhny obrazovyvat indutsirovannoe parosochetanie vmeste so vsemi ostalnymi rebrami etogo tsveta. s rebrom \\(e\\) smezhno ne bolee \\((\\delta-1)+(\\delta-1)=2\\delta-2\\) reber. so storony \\(u\\) kazhdoe iz ne bolee chem \\(\\delta-1\\) smezhnyh reber vedet k dalneyshemu kontsu, iz kotorogo vyhodit ne bolee \\(\\delta-1\\) dopolnitelnyh reber; znachit, eta storona daet ne bolee \\((\\delta-1)^2\\) reber na rasstoyanii dva. takaya zhe otsenka verna so storony \\(v\\). poetomu chislo uzhe okrashennyh reber, chi tsveta mogut byt zaprescheny, ne prevoshodit \\[ (2\\delta-2)+2(\\delta-1)^2=2\\delta^2-2\\delta. \\] pri \\(2\\delta^2-2\\delta+1\\) tsvetah dlya \\(e\\) ostaetsya hotya by odin dost…","source_keys":["misc","fyum"]} {"id":"no-two-color-cycle-edge-bound","title":"Оценка числа рёбер при отсутствии двухцветных циклов","path":"data\\problems\\classical\\no-two-color-cycle-edge-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/no-two-color-cycle-edge-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#no-two-color-cycle-edge-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["ФЮМ 2010, третий тур (a), задача 7","ФЮМ 2010, третий тур (b), задача 3"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["coloring","trees","extremal_graph_theory","goal_bound","double_counting"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":2,"comment":"Короткая олимпиадная лемма: ключевой шаг состоит в том, чтобы явно выделить двухцветные индуцированные подграфы как леса и затем аккуратно сложить стандартную оценку на число рёбер леса.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-general-bound","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть вершины конечного простого графа \\(G\\) окрашены в \\(r\\ge 2\\) цветов, а каждый цикл в \\(G\\) содержит вершины как минимум трёх различных цветов. Обозначим через \\(V_i\\) класс вершин цвета \\(i\\), а через \\(G_{ij}\\) подграф, индуцированный множеством \\(V_i\\cup V_j\\). Тогда каждый \\(G_{ij}\\) является лесом. Поэтому \\[ |E(G)|\\le \\sum_{1\\le i0\\). Действительно, после удаления любого одного цвета оставшийся двухцветный индуцированный подграф не содержит циклов, значит является лесом и имеет не более \\(|V(G)|-1\\) рёбер; сумма по трём удаляемым цветам считает каждое ребро хотя бы один раз.","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-general-pair-counting","title":"Доказательство через пары цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","cycle","tree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем пару цветов \\(i0\\), а цвета равны 1, 2, 3. Удалим все вершины цвета 1; оставшийся подграф на цветах 2 и 3 не имеет циклов, потому что любой его цикл был бы циклом исходного графа, использующим только два цвета. Значит, этот подграф является лесом и содержит не более \\(n-1\\) рёбер. То же верно после удаления цвета 2 и после удаления цвета 3. Сложим три полученные оценки. Каждое ребро исходного графа осталось хотя бы в одном из трёх подграфов: ребро между двумя разными цветами остаётся после удаления третьего цвета, а одноцветное ребро остаётся после удаления любого из двух других цветов. Поэтому \\(|E(G)|\\le 3(n-1)\\)."}],"relations":[{"id":"rel-no-two-color-cycle-edge-bound-fyum-2010-tur3a-p7","neighbor_id":"fyum-2010-tur3a-p7","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-no-two-color-cycle-edge-bound-fyum-2010-tur3b-p3","neighbor_id":"fyum-2010-tur3b-p3","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-tree-equivalent-no-two-color-cycle-edge-bound","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-offplan-imo-2020-c4-no-two-color-cycle-edge-bound","neighbor_id":"imo-2020-c4-fibonacci-difference-forest","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-no-two-color-cycle-bound-vosh-2018-shirt-recoloring","neighbor_id":"vosh-2018-19-final-shirt-recoloring","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"no-two-color-cycle-edge-bound оценка числа рёбер при отсутствии двухцветных циклов coloring trees extremal_graph_theory goal_bound double_counting https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3a.tex https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3b.tex misc olympiad_archive src-fyum-2010-tur3a-p7-official src-fyum-2010-tur3b-p3-official with_solution прочее фюм 2010, третий тур (a), задача 7 фюм 2010, третий тур (b), задача 3 ? фюм 2010, третий тур (a), задача 7 фюм 2010, третий тур (b), задача 3 stmt-general-bound ai_checked пусть вершины конечного простого графа \\(g\\) окрашены в \\(r\\ge 2\\) цветов, а каждый цикл в \\(g\\) содержит вершины как минимум трёх различных цветов. обозначим через \\(v_i\\) класс вершин цвета \\(i\\), а через \\(g_{ij}\\) подграф, индуцированный множеством \\(v_i\\cup v_j\\). тогда каждый \\(g_{ij}\\) является лесом. поэтому \\[ |e(g)|\\le \\sum_{1\\le i0\\). действительно, после удаления любого одного цвета оставшийся двухцветный индуцированный подграф не содержит циклов, значит является лесом и имеет не более \\(|v(g)|-1\\) рёбер; сумма по трём удаляемым цветам считает каждое ребро хотя бы один раз. simple_graph cycle tree idea-two-color-subgraphs-are-forests двухцветный цикл ровно запрещён если подграф на двух цветах содержит цикл, то этот же цикл в исходном графе использует не более двух цветов. поэтому условие про минимум три цвета в каждом цикле сразу превращает все двухцветные индуцированные подграфы в леса. coloring trees ai_checked idea-sum-forest-bounds-over-color-pairs сложить лесные оценки по парам цветов для каждой пары цветов лес даёт линейную оценку на число рёбер. при суммировании по парам каждое ребро исходного графа попадает хотя бы в один такой подграф: разноцветное ребро попадает в свою пару цветов, а одноцветное ребро попадает во все пары, содержащие этот цвет. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-general-pair-counting доказательство через пары цветов ai_checked simple_graph cycle tree double_counting зафиксируем пару цветов \\(i0\\), а цвета равны 1, 2, 3. удалим все вершины цвета 1; оставшийся подграф на цветах 2 и 3 не имеет циклов, потому что любой его цикл был бы циклом исходного графа, использующим только два цвета. значит, этот подграф является лесом и содержит не более \\(n-1\\) рёбер. то же верно после удаления цвета 2 и после удаления цвета 3. сложим три полученные оценки. каждое ребро исходного графа осталось хотя бы в одном из трёх подграфов: ребро между двумя разными цветами остаётся после удаления третьего цвета, а одноцветное ребро остаётся после удаления любого из двух других цветов. поэтому \\(|e(g)|\\le 3(n-1)\\). no-two-color-cycle-edge-bound otsenka chisla reber pri otsutstvii dvuhtsvetnyh tsiklov coloring trees extremal_graph_theory goal_bound double_counting https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3a.tex https://www.guas.info/competit/fest/fest21/tur3b.tex misc olympiad_archive src-fyum-2010-tur3a-p7-official src-fyum-2010-tur3b-p3-official with_solution prochee fyum 2010, tretiy tur (a), zadacha 7 fyum 2010, tretiy tur (b), zadacha 3 ? fyum 2010, tretiy tur (a), zadacha 7 fyum 2010, tretiy tur (b), zadacha 3 stmt-general-bound ai_checked pust vershiny konechnogo prostogo grafa \\(g\\) okrasheny v \\(r\\ge 2\\) tsvetov, a kazhdyy tsikl v \\(g\\) soderzhit vershiny kak minimum treh razlichnyh tsvetov. oboznachim cherez \\(v_i\\) klass vershin tsveta \\(i\\), a cherez \\(g_{ij}\\) podgraf, indutsirovannyy mnozhestvom \\(v_i\\cup v_j\\). togda kazhdyy \\(g_{ij}\\) yavlyaetsya lesom. poetomu \\[ |e(g)|\\le \\sum_{1\\le i0\\). deystvitelno, posle udaleniya lyubogo odnogo tsveta ostavshiysya dvuhtsvetnyy indutsirovannyy podgraf ne soderzhit tsiklov, znachit yavlyaetsya lesom i imeet ne bolee \\(|v(g)|-1\\) reber; summa po trem udalyaemym tsvetam schitaet kazhdoe rebro hotya by odin raz. simple_graph cycle tree idea-two-color-subgraphs-are-forests dvuhtsvetnyy tsikl rovno zapreschen esli podgraf na dvuh tsvetah soderzhit tsikl, to etot zhe tsikl v ishodnom grafe ispolzuet ne bolee dvuh tsvetov. poetomu uslovie pro minimum tri tsveta v kazhdom tsikle srazu prevraschaet vse dvuhtsvetnye indutsirovannye podgrafy v lesa. coloring trees ai_checked idea-sum-forest-bounds-over-color-pairs slozhit lesnye otsenki po param tsvetov dlya kazhdoy pary tsvetov les daet lineynuyu otsenku na chislo reber. pri summirovanii po param kazhdoe rebro ishodnogo grafa popadaet hotya by v odin takoy podgraf: raznotsvetnoe rebro popadaet v svoyu paru tsvetov, a odnotsvetnoe rebro popadaet vo vse pary, soderzhaschie etot tsvet. double_counting extremal_graph_theory ai_checked sol-general-pair-counting dokazatelstvo cherez pary tsvetov ai_checked simple_graph cycle tree double_counting zafiksiruem paru tsvetov \\(i0\\), a tsveta ravny 1, 2, 3. udalim vse vershiny tsveta 1; ostavshiysya podgraf na tsvetah 2 i 3 ne imeet tsiklov, potomu chto lyuboy ego tsikl byl by tsiklom ishodnogo grafa, ispolzuyuschim tolko dva tsveta. znachit, etot podgraf yavlyaetsya lesom i soderzhit ne bolee \\(n-1\\) reber. to zhe verno posle udaleniya tsveta 2 i posle udaleniya tsveta 3. slozhim tri poluchennye otsenki. kazhdoe rebro ishodnogo grafa ostalos hotya by v odnom iz treh podgrafov: rebro mezhdu dvumya raznymi tsvetami ostaetsya posle udaleniya tretego tsveta, a odnotsvetnoe rebro ostaetsya posle udaleniya lyubogo iz dvuh drugih tsvetov. poetomu \\(|e(g)|\\le 3(n-1)\\).","source_keys":["misc","fyum"]} {"id":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","title":"Теорема Редеи о нечётности числа гамильтоновых путей в турнире","path":"data\\problems\\classical\\redei-odd-hamiltonian-paths-tournament.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/redei-odd-hamiltonian-paths-tournament.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#redei-odd-hamiltonian-paths-tournament","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["Rédei László, Ein kombinatorischer Satz","Турнир (теория графов)","ФЮМ 2008, первый тур (a), задача 10"],"year":"","type":"theorem","authors":["László Rédei"],"tags":["tournaments","symmetrization","classical_theorem","goal_counting","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":3,"comment":"Классическое усиление теоремы Редеи: существование гамильтонова пути следует из нечётности их числа.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Карточка подкреплена опубликованными неофициальными, справочными, журнальными, вики-, форумными источниками или страницами задач.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"source_verified","text":"В любом конечном турнире число направленных гамильтоновых путей нечётно. В частности, в каждом конечном турнире существует направленный гамильтонов путь.","definition_ids":["tournament","hamiltonian_path","directed_graph"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-fyum-2008-tur1a-p10","title":"ФЮМ 2008: нечётность числа гамильтоновых путей","status":"ai_checked","text":"Докажите, что в любом полном ориентированном графе нечётное число гамильтоновых путей.","definition_ids":["tournament","hamiltonian_path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-complement-and-edge-reversal","title":"Инвариантность чётности при перевороте ребра","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament","hamiltonian_path","directed_graph"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через h(G) число направленных гамильтоновых путей в конечном орграфе G. Сначала докажем вспомогательный факт: если n>1 и \\(\\overline G\\) — направленное дополнение G, то есть орграф на тех же вершинах, где дуга u→v стоит ровно тогда, когда в G такой дуги нет, то \\(h(G)\\equiv h(\\overline G)\\pmod 2\\). Для spanning-подграфа H графа G пусть s(H) — число нумераций вершин числами 1,...,n, при которых все дуги H идут из i в i+1. Если H не является объединением непересекающихся направленных путей, то s(H)=0; если является объединением k путей, то s(H)=k!, поэтому по модулю 2 вклад дают только сами гамильтоновы пути. Значит, \\(h(G)\\equiv \\sum_{E(H)\\subseteq E(G)}s(H)\\pmod 2\\). С другой стороны, нумерации, которые не задают гамильтонов путь в \\(\\overline G\\), — это ровно нумерации, где хотя бы одна соседняя дуга i→i+1 принадлежит G. По включениям-исключениям их число равно \\(\\sum_{E(H)\\s…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2009-r4-regular-tournament-redei-parity","neighbor_id":"kolmogorov-2009-round4-high-regular-tournament-hamiltonian-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-1996-a4-redei-odd-hamiltonian-paths-order-motif","neighbor_id":"putnam-1996-a4-oriented-triples-order","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-unique-insertion-oriented-triples-redei-order-tournament","neighbor_id":"unique-insertion-interval-oriented-triples","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-redei-odd-hamiltonian-paths-tournament-hamiltonian-path","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"redei-odd-hamiltonian-paths-tournament теорема редеи о нечётности числа гамильтоновых путей в турнире tournaments symmetrization classical_theorem goal_counting goal_existence https://acta.bibl.u-szeged.hu/13432/ https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%bd%d0%b8%d1%80_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur1a.tex lászló rédei lászlórédei misc olympiad_archive reference research_paper rédei lászló, ein kombinatorischer satz src-fyum-2008-tur1a-p10-official src-redei-1935-ein-kombinatorischer-satz src-wikipedia-tournament with_solution прочее турнир (теория графов) фюм 2008, первый тур (a), задача 10 lászló rédei rédei lászló, ein kombinatorischer satz турнир (теория графов) фюм 2008, первый тур (a), задача 10 stmt-original-1 source_verified в любом конечном турнире число направленных гамильтоновых путей нечётно. в частности, в каждом конечном турнире существует направленный гамильтонов путь. tournament hamiltonian_path directed_graph stmt-fyum-2008-tur1a-p10 фюм 2008: нечётность числа гамильтоновых путей ai_checked докажите, что в любом полном ориентированном графе нечётное число гамильтоновых путей. tournament hamiltonian_path idea-arc-reversal-parity-invariant чётность не меняется при перевороте одного ребра если два турнира отличаются только направлением одного ребра, то числа их гамильтоновых путей имеют одинаковую чётность. поэтому любой турнир можно перевести в транзитивный турнир, где гамильтонов путь ровно один. tournaments symmetrization ai_checked idea-complement-parity дополнение орграфа сохраняет число путей по модулю 2 для любого орграфа с более чем одной вершиной число гамильтоновых путей в графе и в его направленном дополнении одинаково по модулю 2; это следует из включений-исключений по запрещённым соседним дугам. symmetrization double_counting ai_checked sol-complement-and-edge-reversal инвариантность чётности при перевороте ребра ai_checked tournament hamiltonian_path directed_graph complement_graph_transition обозначим через h(g) число направленных гамильтоновых путей в конечном орграфе g. сначала докажем вспомогательный факт: если n>1 и \\(\\overline g\\) — направленное дополнение g, то есть орграф на тех же вершинах, где дуга u→v стоит ровно тогда, когда в g такой дуги нет, то \\(h(g)\\equiv h(\\overline g)\\pmod 2\\). для spanning-подграфа h графа g пусть s(h) — число нумераций вершин числами 1,...,n, при которых все дуги h идут из i в i+1. если h не является объединением непересекающихся направленных путей, то s(h)=0; если является объединением k путей, то s(h)=k!, поэтому по модулю 2 вклад дают только сами гамильтоновы пути. значит, \\(h(g)\\equiv \\sum_{e(h)\\subseteq e(g)}s(h)\\pmod 2\\). с другой стороны, нумерации, которые не задают гамильтонов путь в \\(\\overline g\\), — это ровно нумерации, где хотя бы одна соседняя дуга i→i+1 принадлежит g. по включениям-исключениям их число равно \\(\\sum_{e(h)\\s… redei-odd-hamiltonian-paths-tournament teorema redei o nechetnosti chisla gamiltonovyh putey v turnire tournaments symmetrization classical_theorem goal_counting goal_existence https://acta.bibl.u-szeged.hu/13432/ https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%a2%d1%83%d1%80%d0%bd%d0%b8%d1%80_%28%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f_%d0%b3%d1%80%d0%b0%d1%84%d0%be%d0%b2%29 https://www.guas.info/competit/fest/fest19/tur1a.tex lászló rédei lászlórédei misc olympiad_archive reference research_paper rédei lászló, ein kombinatorischer satz src-fyum-2008-tur1a-p10-official src-redei-1935-ein-kombinatorischer-satz src-wikipedia-tournament with_solution prochee turnir (teoriya grafov) fyum 2008, pervyy tur (a), zadacha 10 lászló rédei rédei lászló, ein kombinatorischer satz turnir (teoriya grafov) fyum 2008, pervyy tur (a), zadacha 10 stmt-original-1 source_verified v lyubom konechnom turnire chislo napravlennyh gamiltonovyh putey nechetno. v chastnosti, v kazhdom konechnom turnire suschestvuet napravlennyy gamiltonov put. tournament hamiltonian_path directed_graph stmt-fyum-2008-tur1a-p10 fyum 2008: nechetnost chisla gamiltonovyh putey ai_checked dokazhite, chto v lyubom polnom orientirovannom grafe nechetnoe chislo gamiltonovyh putey. tournament hamiltonian_path idea-arc-reversal-parity-invariant chetnost ne menyaetsya pri perevorote odnogo rebra esli dva turnira otlichayutsya tolko napravleniem odnogo rebra, to chisla ih gamiltonovyh putey imeyut odinakovuyu chetnost. poetomu lyuboy turnir mozhno perevesti v tranzitivnyy turnir, gde gamiltonov put rovno odin. tournaments symmetrization ai_checked idea-complement-parity dopolnenie orgrafa sohranyaet chislo putey po modulyu 2 dlya lyubogo orgrafa s bolee chem odnoy vershinoy chislo gamiltonovyh putey v grafe i v ego napravlennom dopolnenii odinakovo po modulyu 2; eto sleduet iz vklyucheniy-isklyucheniy po zapreschennym sosednim dugam. symmetrization double_counting ai_checked sol-complement-and-edge-reversal invariantnost chetnosti pri perevorote rebra ai_checked tournament hamiltonian_path directed_graph complement_graph_transition oboznachim cherez h(g) chislo napravlennyh gamiltonovyh putey v konechnom orgrafe g. snachala dokazhem vspomogatelnyy fakt: esli n>1 i \\(\\overline g\\) — napravlennoe dopolnenie g, to est orgraf na teh zhe vershinah, gde duga u→v stoit rovno togda, kogda v g takoy dugi net, to \\(h(g)\\equiv h(\\overline g)\\pmod 2\\). dlya spanning-podgrafa h grafa g pust s(h) — chislo numeratsiy vershin chislami 1,...,n, pri kotoryh vse dugi h idut iz i v i+1. esli h ne yavlyaetsya obedineniem neperesekayuschihsya napravlennyh putey, to s(h)=0; esli yavlyaetsya obedineniem k putey, to s(h)=k!, poetomu po modulyu 2 vklad dayut tolko sami gamiltonovy puti. znachit, \\(h(g)\\equiv \\sum_{e(h)\\subseteq e(g)}s(h)\\pmod 2\\). s drugoy storony, numeratsii, kotorye ne zadayut gamiltonov put v \\(\\overline g\\), — eto rovno numeratsii, gde hotya by odna sosednyaya duga i→i+1 prinadlezhit g. po vklyucheniyam-isklyucheniyam ih chislo ravno \\(\\sum_{e(h)\\s…","source_keys":["misc","fyum"]} {"id":"tree-vs-independent-set-ramsey-bound","title":"Рамсеевская граница для дерева и независимого множества","path":"data\\problems\\classical\\tree-vs-independent-set-ramsey-bound.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/tree-vs-independent-set-ramsey-bound.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#tree-vs-independent-set-ramsey-bound","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["ФЮМ 2008, третий тур (a), задача 2"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["ramsey_theory","trees","induction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Классическая рамсеевская лемма с короткой индукцией по листу дерева; в олимпиадных задачах часто используется как готовый инструмент.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — произвольное фиксированное дерево на \\(n\\) вершинах, а \\(k\\) — положительное целое число. Тогда всякий простой граф на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах содержит либо копию дерева \\(T\\), либо независимое множество размера \\(k\\).","definition_ids":["simple_graph","tree","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-leaf-induction","title":"Индукция по числу вершин дерева","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","tree","independent_set"],"standard_idea_ids":["induction","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем утверждение индукцией по \\(n\\). При \\(n=1\\) копия дерева из одной вершины есть в любом непустом графе, а при \\(k=1\\) независимое множество размера \\(1\\) тоже есть, так что базовые случаи очевидны. Пусть \\(n>1\\), и пусть граф \\(G\\) на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах не содержит независимого множества размера \\(k\\). Достаточно доказать, что он содержит заданное дерево \\(T\\). Удаляя из \\(G\\) рёбра, пока это возможно без появления независимого множества размера \\(k\\), получим остовный подграф \\(H\\), минимальный по рёбрам среди графов с \\(\\alpha(H)1\\), и пусть граф \\(g\\) на \\((n-1)(k-1)+1\\) вершинах не содержит независимого множества размера \\(k\\). достаточно доказать, что он содержит заданное дерево \\(t\\). удаляя из \\(g\\) рёбра, пока это возможно без появления независимого множества размера \\(k\\), получим остовный подграф \\(h\\), минимальный по рёбрам среди графов с \\(\\alpha(h)1\\), i pust graf \\(g\\) na \\((n-1)(k-1)+1\\) vershinah ne soderzhit nezavisimogo mnozhestva razmera \\(k\\). dostatochno dokazat, chto on soderzhit zadannoe derevo \\(t\\). udalyaya iz \\(g\\) rebra, poka eto vozmozhno bez poyavleniya nezavisimogo mnozhestva razmera \\(k\\), poluchim ostovnyy podgraf \\(h\\), minimalnyy po rebram sredi grafov s \\(\\alpha(h)M>1\\). В круговом шахматном турнире каждая пара игроков сыграла ровно одну партию без ничьих. Известно, что для любой последовательности из \\(M+1\\) различных игроков \\(P_0,P_1,\\ldots,P_M\\), в которой \\(P_{i-1}\\) победил \\(P_i\\) для всех \\(i=1,\\ldots,M\\), игрок \\(P_0\\) также победил \\(P_M\\). Докажите, что игроков можно занумеровать числами \\(1,2,\\ldots,N\\) так, что если \\(a\\ge b+M-1\\), то игрок \\(a\\) победил игрока \\(b\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Турнир с M-шаговой транзитивностью","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(T\\) — турнир на \\(N\\) вершинах. Предположим, что всякий ориентированный путь длины \\(M\\) имеет хорду из первой вершины в последнюю. Докажите, что вершины \\(T\\) можно упорядочить как \\(v_1,\\ldots,v_N\\) так, что для любых \\(i,j\\) с \\(j-i\\ge M-1\\) выполняется \\(v_j \\to v_i\\).","definition_ids":["tournament","path","cycle"]}],"olympiad_reformulations":[{"id":"stmt-fyum-2009-no-cycle-form","title":"FYUM 2009: формулировка без циклов","status":"ai_checked","text":"Даны натуральные числа \\(n>m>1\\). В полном \\(n\\)-вершинном ориентированном графе нет циклов из \\(m+1\\) вершины. Докажите, что вершины этого графа можно занумеровать числами от \\(1\\) до \\(n\\) так, что при любых \\(i\\) и \\(k\\), удовлетворяющих условию \\(i \\ge k+m-1\\), ребро направлено из \\(i\\)-й вершины в \\(k\\)-ю.","definition_ids":["tournament","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-components-hamiltonian-cycle","title":"Сильные компоненты и циклы всех длин в сильном турнире","status":"ai_checked","definition_ids":["tournament","path","cycle","strongly_connected_digraph","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Перейдём к турниру `T`: вершины — игроки, а ребро `x->y` означает, что `x` победил `y`. Сначала докажем используемую лемму. Если турнир сильно связен и содержит цикл `C=u_0->u_1->...->u_{k-1}->u_0` длины `kv` и `v->u_{i+1}`; заменяем ребро `u_i->u_{i+1}` на два ребра через `v`. Иначе каждая внешняя вершина либо принимает все рёбра из `C`, либо посылает все рёбра в `C`. Обозначим через `V` первый класс, через `W` второй. В сильном турнире оба класса непусты, и не может быть так, что все рёбра между ними идут из `W` в `V`; иначе из `V` нельзя было бы добраться до `C`. Значит, есть ребро `v->w` с `v` из `V` и `w` из `W`. Тогда `u_0->u_1->...->u_{k-2}->v->w->u_0` — цикл длины `k+1`…"}],"relations":[{"id":"rel-tournament-path-usa-tst-2009-p6","neighbor_id":"tournament-hamiltonian-path","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-king-usa-tst-2009-p6","neighbor_id":"tournament-king-radius-two","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-1996-9-p46-usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering","neighbor_id":"spbmo-1996-9-p46-strongly-connected-tournament-orientations","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering турнир с m-шаговой транзитивностью, usa tst 2009 p6 tournaments connectivity hamiltonian_cycles goal_proof 2009 gabriel carroll gabrielcarroll https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4639 https://math.stackexchange.com/questions/1233862/prove-every-strongly-connected-tournament-has-a-cycle-of-length-k-for-k-3-4 https://math.stackexchange.com/questions/2235899/two-vertices-which-dont-lie-in-a-common-cycle-in-a-tournament https://www.guas.info/competit/fest/fest20/tur1a.tex math stackexchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments math stackexchange, misha lavrov on scc ordering in tournaments olympiad_archive secondary_archive secondary_solution src-fyum-2009-tur1a-p7-official src-mse-strong-tournament-cycles-bof src-mse-tournament-scc-ordering-lavrov src-usa-tst-2009-aops-community usa usa team selection test 2009 (архив сообщества aops для печати) usa tst usa2009 usatst usatst2009 with_solution фюм 2009, первый тур (a), задача 7 gabriel carroll usa team selection test 2009 (архив сообщества aops для печати) math stackexchange, misha lavrov on scc ordering in tournaments math stackexchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments фюм 2009, первый тур (a), задача 7 stmt-original шахматный турнир ai_checked пусть \\(n>m>1\\). в круговом шахматном турнире каждая пара игроков сыграла ровно одну партию без ничьих. известно, что для любой последовательности из \\(m+1\\) различных игроков \\(p_0,p_1,\\ldots,p_m\\), в которой \\(p_{i-1}\\) победил \\(p_i\\) для всех \\(i=1,\\ldots,m\\), игрок \\(p_0\\) также победил \\(p_m\\). докажите, что игроков можно занумеровать числами \\(1,2,\\ldots,n\\) так, что если \\(a\\ge b+m-1\\), то игрок \\(a\\) победил игрока \\(b\\). stmt-graph турнир с m-шаговой транзитивностью ai_checked пусть \\(t\\) — турнир на \\(n\\) вершинах. предположим, что всякий ориентированный путь длины \\(m\\) имеет хорду из первой вершины в последнюю. докажите, что вершины \\(t\\) можно упорядочить как \\(v_1,\\ldots,v_n\\) так, что для любых \\(i,j\\) с \\(j-i\\ge m-1\\) выполняется \\(v_j \\to v_i\\). tournament path cycle stmt-fyum-2009-no-cycle-form fyum 2009: формулировка без циклов ai_checked даны натуральные числа \\(n>m>1\\). в полном \\(n\\)-вершинном ориентированном графе нет циклов из \\(m+1\\) вершины. докажите, что вершины этого графа можно занумеровать числами от \\(1\\) до \\(n\\) так, что при любых \\(i\\) и \\(k\\), удовлетворяющих условию \\(i \\ge k+m-1\\), ребро направлено из \\(i\\)-й вершины в \\(k\\)-ю. tournament cycle idea-sccs-have-size-at-most-m сильные компоненты имеют размер не больше m если сильная компонента турнира имела бы хотя бы `m+1` вершин, то пансцикличность сильных турниров дала бы в ней ориентированный цикл длины `m+1`, что запрещено условием о путях длины `m`. tournaments connectivity ai_checked idea-order-components-and-cycle-blocks упорядочить сильные компоненты и отдельно обработать блоки размера m конденсация турнира линейно упорядочена. после расположения компонент подряд между разными компонентами все нужные рёбра направлены назад, а внутри компоненты размера `m` достаточно выписать вершины вдоль гамильтонова цикла. tournaments hamiltonian_cycles ai_checked sol-components-hamiltonian-cycle сильные компоненты и циклы всех длин в сильном турнире ai_checked tournament path cycle strongly_connected_digraph hamiltonian_cycle extremal_choice перейдём к турниру `t`: вершины — игроки, а ребро `x->y` означает, что `x` победил `y`. сначала докажем используемую лемму. если турнир сильно связен и содержит цикл `c=u_0->u_1->...->u_{k-1}->u_0` длины `kv` и `v->u_{i+1}`; заменяем ребро `u_i->u_{i+1}` на два ребра через `v`. иначе каждая внешняя вершина либо принимает все рёбра из `c`, либо посылает все рёбра в `c`. обозначим через `v` первый класс, через `w` второй. в сильном турнире оба класса непусты, и не может быть так, что все рёбра между ними идут из `w` в `v`; иначе из `v` нельзя было бы добраться до `c`. значит, есть ребро `v->w` с `v` из `v` и `w` из `w`. тогда `u_0->u_1->...->u_{k-2}->v->w->u_0` — цикл длины `k+1`… usa-tst-2009-p6-tournament-gap-ordering turnir s m-shagovoy tranzitivnostyu, usa tst 2009 p6 tournaments connectivity hamiltonian_cycles goal_proof 2009 gabriel carroll gabrielcarroll https://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/4639 https://math.stackexchange.com/questions/1233862/prove-every-strongly-connected-tournament-has-a-cycle-of-length-k-for-k-3-4 https://math.stackexchange.com/questions/2235899/two-vertices-which-dont-lie-in-a-common-cycle-in-a-tournament https://www.guas.info/competit/fest/fest20/tur1a.tex math stackexchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments math stackexchange, misha lavrov on scc ordering in tournaments olympiad_archive secondary_archive secondary_solution src-fyum-2009-tur1a-p7-official src-mse-strong-tournament-cycles-bof src-mse-tournament-scc-ordering-lavrov src-usa-tst-2009-aops-community usa usa team selection test 2009 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) usa tst usa2009 usatst usatst2009 with_solution fyum 2009, pervyy tur (a), zadacha 7 gabriel carroll usa team selection test 2009 (arhiv soobschestva aops dlya pechati) math stackexchange, misha lavrov on scc ordering in tournaments math stackexchange, bof on cycles of all lengths in strong tournaments fyum 2009, pervyy tur (a), zadacha 7 stmt-original shahmatnyy turnir ai_checked pust \\(n>m>1\\). v krugovom shahmatnom turnire kazhdaya para igrokov sygrala rovno odnu partiyu bez nichih. izvestno, chto dlya lyuboy posledovatelnosti iz \\(m+1\\) razlichnyh igrokov \\(p_0,p_1,\\ldots,p_m\\), v kotoroy \\(p_{i-1}\\) pobedil \\(p_i\\) dlya vseh \\(i=1,\\ldots,m\\), igrok \\(p_0\\) takzhe pobedil \\(p_m\\). dokazhite, chto igrokov mozhno zanumerovat chislami \\(1,2,\\ldots,n\\) tak, chto esli \\(a\\ge b+m-1\\), to igrok \\(a\\) pobedil igroka \\(b\\). stmt-graph turnir s m-shagovoy tranzitivnostyu ai_checked pust \\(t\\) — turnir na \\(n\\) vershinah. predpolozhim, chto vsyakiy orientirovannyy put dliny \\(m\\) imeet hordu iz pervoy vershiny v poslednyuyu. dokazhite, chto vershiny \\(t\\) mozhno uporyadochit kak \\(v_1,\\ldots,v_n\\) tak, chto dlya lyubyh \\(i,j\\) s \\(j-i\\ge m-1\\) vypolnyaetsya \\(v_j \\to v_i\\). tournament path cycle stmt-fyum-2009-no-cycle-form fyum 2009: formulirovka bez tsiklov ai_checked dany naturalnye chisla \\(n>m>1\\). v polnom \\(n\\)-vershinnom orientirovannom grafe net tsiklov iz \\(m+1\\) vershiny. dokazhite, chto vershiny etogo grafa mozhno zanumerovat chislami ot \\(1\\) do \\(n\\) tak, chto pri lyubyh \\(i\\) i \\(k\\), udovletvoryayuschih usloviyu \\(i \\ge k+m-1\\), rebro napravleno iz \\(i\\)-y vershiny v \\(k\\)-yu. tournament cycle idea-sccs-have-size-at-most-m silnye komponenty imeyut razmer ne bolshe m esli silnaya komponenta turnira imela by hotya by `m+1` vershin, to panstsiklichnost silnyh turnirov dala by v ney orientirovannyy tsikl dliny `m+1`, chto zaprescheno usloviem o putyah dliny `m`. tournaments connectivity ai_checked idea-order-components-and-cycle-blocks uporyadochit silnye komponenty i otdelno obrabotat bloki razmera m kondensatsiya turnira lineyno uporyadochena. posle raspolozheniya komponent podryad mezhdu raznymi komponentami vse nuzhnye rebra napravleny nazad, a vnutri komponenty razmera `m` dostatochno vypisat vershiny vdol gamiltonova tsikla. tournaments hamiltonian_cycles ai_checked sol-components-hamiltonian-cycle silnye komponenty i tsikly vseh dlin v silnom turnire ai_checked tournament path cycle strongly_connected_digraph hamiltonian_cycle extremal_choice pereydem k turniru `t`: vershiny — igroki, a rebro `x->y` oznachaet, chto `x` pobedil `y`. snachala dokazhem ispolzuemuyu lemmu. esli turnir silno svyazen i soderzhit tsikl `c=u_0->u_1->...->u_{k-1}->u_0` dliny `kv` i `v->u_{i+1}`; zamenyaem rebro `u_i->u_{i+1}` na dva rebra cherez `v`. inache kazhdaya vneshnyaya vershina libo prinimaet vse rebra iz `c`, libo posylaet vse rebra v `c`. oboznachim cherez `v` pervyy klass, cherez `w` vtoroy. v silnom turnire oba klassa nepusty, i ne mozhet byt tak, chto vse rebra mezhdu nimi idut iz `w` v `v`; inache iz `v` nelzya bylo by dobratsya do `c`. znachit, est rebro `v->w` s `v` iz `v` i `w` iz `w`. togda `u_0->u_1->...->u_{k-2}->v->w->u_0` — tsikl dliny `k+1`…","source_keys":["usa","fyum"]}