{"id":"flashlight-batteries-tournament-cities-2015","title":"Минимум рёбер без больших независимых множеств, Турнир городов 2015/16","path":"data\\problems\\classical\\flashlight-batteries-tournament-cities-2015.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/flashlight-batteries-tournament-cities-2015.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#flashlight-batteries-tournament-cities-2015","source_key":"flashlight","source_label":"Турнир городов","source_titles":["Задача 65731, Турнир городов 2015/16, весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":["Кноп К.А."],"tags":["extremal_graph_theory","complement_graph_transition","pigeonhole_principle","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Официальная задача Турнира городов для 8-9 класса; нижняя оценка доказывается школьным аргументом о вершинном покрытии разреженного графа.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"Аудит очень высокого уровня 2026-05-07: решение проверено; статус оставлен без повышения.","notes":"Карточка содержит самодостаточное школьное решение; короткий вариант через теорему Турана оставлен как проверенное внешнее приложение.","audit_source":"external-theorem-audit-group-a"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-flashlight-batteries-tournament-cities","title":"Фонарик и батарейки","status":"ai_checked","text":"Есть 2n+1 батареек, n>2. Известно, что хороших батареек на одну больше, чем плохих, но неизвестно, какие именно батарейки хорошие. В фонарик вставляют две батарейки; он светит только тогда, когда обе батарейки хорошие. Нужно найти наименьшее число проверок пар батареек, которое гарантирует, что хотя бы в одной проверке фонарик засветится.","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","complement_graph","independent_set"]},{"id":"stmt-flashlight-batteries-even","title":"Фонарик и батарейки, поровну хороших и плохих","status":"ai_checked","text":"Есть 2n батареек, n>2. Известно, что хороших и плохих батареек поровну, но неизвестно, какие именно батарейки хорошие. В фонарик вставляют две батарейки; он светит только тогда, когда обе батарейки хорошие. Нужно найти наименьшее число проверок пар батареек, которое гарантирует, что хотя бы в одной проверке фонарик засветится.","definition_ids":["simple_graph","complete_graph","complement_graph","independent_set"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-1","title":"Запрет больших независимых множеств","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n>2\\). Найдите минимальное число рёбер в простом графе на \\(2n+1\\) вершинах, у которого каждое множество из \\(n+1\\) вершин содержит хотя бы одно ребро. Также найдите минимальное число рёбер в простом графе на \\(2n\\) вершинах, у которого каждое множество из \\(n\\) вершин содержит хотя бы одно ребро.","definition_ids":["simple_graph","independent_set"]},{"id":"stmt-graph-complement","title":"Запрет больших клик в дополнении","status":"ai_checked","text":"Часть 1. Найдите наибольшее число рёбер в простом графе на \\(2n+1\\) вершинах, не содержащем клики размера \\(n+1\\). Часть 2. Найдите наибольшее число рёбер в простом графе на \\(2n\\) вершинах, не содержащем клики размера \\(n\\).","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","clique"]}]},"solutions":[{"id":"sol-pile-construction","title":"Оценка и конструкция кучками","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","matching","vertex_cover"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Для случая \\(2n+1\\) батареек достаточно разбить батарейки на \\(n\\) кучек: одну кучку из трех батареек и \\(n-1\\) кучек из двух батареек. Проверим все пары внутри каждой кучки; всего получится \\(3+(n-1)=n+2\\) проверки. Среди \\(n+1\\) хороших батареек в какой-то кучке окажутся две хорошие, значит фонарик загорится. Покажем, что \\(n+1\\) проверки недостаточно. Рассмотрим граф проверок. В нем \\(n+1\\) ребер на \\(2n+1\\) вершинах, поэтому какие-то два ребра имеют общую вершину: иначе \\(n+1\\) попарно непересекающихся ребер использовали бы \\(2n+2\\) вершины. Объявим эту общую вершину плохой, а из каждого оставшегося проверенного ребра выберем по одному плохому концу. Так мы выбираем не больше \\(1+(n-1)=n\\) плохих батареек и задеваем каждую проверку; значит можно оставить как минимум \\(n+1\\) хороших батареек, среди которых нет проверенной пары. Для случая \\(2n\\) батареек конструкция дает \\(n+3\\): раз…"},{"id":"sol-short-turan-context","title":"Короткий внешний вариант через теорему Турана","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","complement_graph","clique","independent_set"],"standard_idea_ids":["complement_graph_transition","extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Рассмотрим граф проверок \\(H\\): его вершины — батарейки, а ребро означает, что соответствующая пара была проверена. Проверки гарантируют успех ровно тогда, когда любое возможное множество хороших батареек содержит ребро графа \\(H\\). Значит, в случае \\(2n+1\\) батареек нужно и достаточно, чтобы в \\(H\\) не было независимого множества размера \\(n+1\\); в случае \\(2n\\) батареек нужно и достаточно, чтобы в \\(H\\) не было независимого множества размера \\(n\\). Перейдём к дополнительному графу \\(\\overline H\\). Независимое множество в \\(H\\) становится кликой в \\(\\overline H\\). Поэтому в нечётном случае надо максимизировать число рёбер в \\(\\overline H\\) среди графов на \\(2n+1\\) вершинах без клики \\(K_{n+1}\\), а затем вычесть это число из \\(\\binom{2n+1}{2}\\). По теореме Турана максимум даёт полный \\(n\\)-дольный граф с долями, насколько возможно равными. При \\(2n+1\\) вершинах это доли размеров \\(3,2,2…"}],"relations":[{"id":"rel-turan-flashlight-batteries-2015","neighbor_id":"turan-theorem","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-2012-c7-flashlight-independent-set","neighbor_id":"imo-2012-c7-equal-sum-chords-independent-set","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-mmo-2016-linguists-flashlight-independent-edge-bound","neighbor_id":"mmo-2016-linguists-kneser-edge-bound","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-utyum-2024-lipshire-flashlight-complement","neighbor_id":"utyum-2024_komol63_8_4_lipshire_roads","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"flashlight-batteries-tournament-cities-2015 минимум рёбер без больших независимых множеств, турнир городов 2015/16 extremal_graph_theory complement_graph_transition pigeonhole_principle goal_exact_bound 2015 flashlight flashlight2015 https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=65731 olympiad_archive src-problems-65731 with_solution задача 65731, турнир городов 2015/16, весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс кноп к.а. турнир городов турниргородов турниргородов2015 кноп к.а. задача 65731, турнир городов 2015/16, весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс stmt-flashlight-batteries-tournament-cities фонарик и батарейки ai_checked есть 2n+1 батареек, n>2. известно, что хороших батареек на одну больше, чем плохих, но неизвестно, какие именно батарейки хорошие. в фонарик вставляют две батарейки; он светит только тогда, когда обе батарейки хорошие. нужно найти наименьшее число проверок пар батареек, которое гарантирует, что хотя бы в одной проверке фонарик засветится. simple_graph complete_graph complement_graph independent_set stmt-flashlight-batteries-even фонарик и батарейки, поровну хороших и плохих ai_checked есть 2n батареек, n>2. известно, что хороших и плохих батареек поровну, но неизвестно, какие именно батарейки хорошие. в фонарик вставляют две батарейки; он светит только тогда, когда обе батарейки хорошие. нужно найти наименьшее число проверок пар батареек, которое гарантирует, что хотя бы в одной проверке фонарик засветится. simple_graph complete_graph complement_graph independent_set stmt-graph-1 запрет больших независимых множеств ai_checked пусть \\(n>2\\). найдите минимальное число рёбер в простом графе на \\(2n+1\\) вершинах, у которого каждое множество из \\(n+1\\) вершин содержит хотя бы одно ребро. также найдите минимальное число рёбер в простом графе на \\(2n\\) вершинах, у которого каждое множество из \\(n\\) вершин содержит хотя бы одно ребро. simple_graph independent_set stmt-graph-complement запрет больших клик в дополнении ai_checked часть 1. найдите наибольшее число рёбер в простом графе на \\(2n+1\\) вершинах, не содержащем клики размера \\(n+1\\). часть 2. найдите наибольшее число рёбер в простом графе на \\(2n\\) вершинах, не содержащем клики размера \\(n\\). simple_graph complement_graph clique idea-batteries-as-edges проверки как ребра графа батарейки считаются вершинами, а проверенные пары — ребрами. чтобы гарантировать успех при любом наборе хороших батареек, каждое возможное множество хороших батареек должно содержать хотя бы одно ребро. extremal_graph_theory ai_checked sol-pile-construction оценка и конструкция кучками ai_checked simple_graph matching vertex_cover extremal_choice pigeonhole_principle для случая \\(2n+1\\) батареек достаточно разбить батарейки на \\(n\\) кучек: одну кучку из трех батареек и \\(n-1\\) кучек из двух батареек. проверим все пары внутри каждой кучки; всего получится \\(3+(n-1)=n+2\\) проверки. среди \\(n+1\\) хороших батареек в какой-то кучке окажутся две хорошие, значит фонарик загорится. покажем, что \\(n+1\\) проверки недостаточно. рассмотрим граф проверок. в нем \\(n+1\\) ребер на \\(2n+1\\) вершинах, поэтому какие-то два ребра имеют общую вершину: иначе \\(n+1\\) попарно непересекающихся ребер использовали бы \\(2n+2\\) вершины. объявим эту общую вершину плохой, а из каждого оставшегося проверенного ребра выберем по одному плохому концу. так мы выбираем не больше \\(1+(n-1)=n\\) плохих батареек и задеваем каждую проверку; значит можно оставить как минимум \\(n+1\\) хороших батареек, среди которых нет проверенной пары. для случая \\(2n\\) батареек конструкция дает \\(n+3\\): раз… sol-short-turan-context короткий внешний вариант через теорему турана ai_checked simple_graph complement_graph clique independent_set complement_graph_transition extremal_choice рассмотрим граф проверок \\(h\\): его вершины — батарейки, а ребро означает, что соответствующая пара была проверена. проверки гарантируют успех ровно тогда, когда любое возможное множество хороших батареек содержит ребро графа \\(h\\). значит, в случае \\(2n+1\\) батареек нужно и достаточно, чтобы в \\(h\\) не было независимого множества размера \\(n+1\\); в случае \\(2n\\) батареек нужно и достаточно, чтобы в \\(h\\) не было независимого множества размера \\(n\\). перейдём к дополнительному графу \\(\\overline h\\). независимое множество в \\(h\\) становится кликой в \\(\\overline h\\). поэтому в нечётном случае надо максимизировать число рёбер в \\(\\overline h\\) среди графов на \\(2n+1\\) вершинах без клики \\(k_{n+1}\\), а затем вычесть это число из \\(\\binom{2n+1}{2}\\). по теореме турана максимум даёт полный \\(n\\)-дольный граф с долями, насколько возможно равными. при \\(2n+1\\) вершинах это доли размеров \\(3,2,2… flashlight-batteries-tournament-cities-2015 minimum reber bez bolshih nezavisimyh mnozhestv, turnir gorodov 2015/16 extremal_graph_theory complement_graph_transition pigeonhole_principle goal_exact_bound 2015 flashlight flashlight2015 https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=65731 olympiad_archive src-problems-65731 with_solution zadacha 65731, turnir gorodov 2015/16, vesenniy tur, slozhnyy variant, 8-9 klass knop k.a. turnir gorodov turnirgorodov turnirgorodov2015 knop k.a. zadacha 65731, turnir gorodov 2015/16, vesenniy tur, slozhnyy variant, 8-9 klass stmt-flashlight-batteries-tournament-cities fonarik i batareyki ai_checked est 2n+1 batareek, n>2. izvestno, chto horoshih batareek na odnu bolshe, chem plohih, no neizvestno, kakie imenno batareyki horoshie. v fonarik vstavlyayut dve batareyki; on svetit tolko togda, kogda obe batareyki horoshie. nuzhno nayti naimenshee chislo proverok par batareek, kotoroe garantiruet, chto hotya by v odnoy proverke fonarik zasvetitsya. simple_graph complete_graph complement_graph independent_set stmt-flashlight-batteries-even fonarik i batareyki, porovnu horoshih i plohih ai_checked est 2n batareek, n>2. izvestno, chto horoshih i plohih batareek porovnu, no neizvestno, kakie imenno batareyki horoshie. v fonarik vstavlyayut dve batareyki; on svetit tolko togda, kogda obe batareyki horoshie. nuzhno nayti naimenshee chislo proverok par batareek, kotoroe garantiruet, chto hotya by v odnoy proverke fonarik zasvetitsya. simple_graph complete_graph complement_graph independent_set stmt-graph-1 zapret bolshih nezavisimyh mnozhestv ai_checked pust \\(n>2\\). naydite minimalnoe chislo reber v prostom grafe na \\(2n+1\\) vershinah, u kotorogo kazhdoe mnozhestvo iz \\(n+1\\) vershin soderzhit hotya by odno rebro. takzhe naydite minimalnoe chislo reber v prostom grafe na \\(2n\\) vershinah, u kotorogo kazhdoe mnozhestvo iz \\(n\\) vershin soderzhit hotya by odno rebro. simple_graph independent_set stmt-graph-complement zapret bolshih klik v dopolnenii ai_checked chast 1. naydite naibolshee chislo reber v prostom grafe na \\(2n+1\\) vershinah, ne soderzhaschem kliki razmera \\(n+1\\). chast 2. naydite naibolshee chislo reber v prostom grafe na \\(2n\\) vershinah, ne soderzhaschem kliki razmera \\(n\\). simple_graph complement_graph clique idea-batteries-as-edges proverki kak rebra grafa batareyki schitayutsya vershinami, a proverennye pary — rebrami. chtoby garantirovat uspeh pri lyubom nabore horoshih batareek, kazhdoe vozmozhnoe mnozhestvo horoshih batareek dolzhno soderzhat hotya by odno rebro. extremal_graph_theory ai_checked sol-pile-construction otsenka i konstruktsiya kuchkami ai_checked simple_graph matching vertex_cover extremal_choice pigeonhole_principle dlya sluchaya \\(2n+1\\) batareek dostatochno razbit batareyki na \\(n\\) kuchek: odnu kuchku iz treh batareek i \\(n-1\\) kuchek iz dvuh batareek. proverim vse pary vnutri kazhdoy kuchki; vsego poluchitsya \\(3+(n-1)=n+2\\) proverki. sredi \\(n+1\\) horoshih batareek v kakoy-to kuchke okazhutsya dve horoshie, znachit fonarik zagoritsya. pokazhem, chto \\(n+1\\) proverki nedostatochno. rassmotrim graf proverok. v nem \\(n+1\\) reber na \\(2n+1\\) vershinah, poetomu kakie-to dva rebra imeyut obschuyu vershinu: inache \\(n+1\\) poparno neperesekayuschihsya reber ispolzovali by \\(2n+2\\) vershiny. obyavim etu obschuyu vershinu plohoy, a iz kazhdogo ostavshegosya proverennogo rebra vyberem po odnomu plohomu kontsu. tak my vybiraem ne bolshe \\(1+(n-1)=n\\) plohih batareek i zadevaem kazhduyu proverku; znachit mozhno ostavit kak minimum \\(n+1\\) horoshih batareek, sredi kotoryh net proverennoy pary. dlya sluchaya \\(2n\\) batareek konstruktsiya daet \\(n+3\\): raz… sol-short-turan-context korotkiy vneshniy variant cherez teoremu turana ai_checked simple_graph complement_graph clique independent_set complement_graph_transition extremal_choice rassmotrim graf proverok \\(h\\): ego vershiny — batareyki, a rebro oznachaet, chto sootvetstvuyuschaya para byla proverena. proverki garantiruyut uspeh rovno togda, kogda lyuboe vozmozhnoe mnozhestvo horoshih batareek soderzhit rebro grafa \\(h\\). znachit, v sluchae \\(2n+1\\) batareek nuzhno i dostatochno, chtoby v \\(h\\) ne bylo nezavisimogo mnozhestva razmera \\(n+1\\); v sluchae \\(2n\\) batareek nuzhno i dostatochno, chtoby v \\(h\\) ne bylo nezavisimogo mnozhestva razmera \\(n\\). pereydem k dopolnitelnomu grafu \\(\\overline h\\). nezavisimoe mnozhestvo v \\(h\\) stanovitsya klikoy v \\(\\overline h\\). poetomu v nechetnom sluchae nado maksimizirovat chislo reber v \\(\\overline h\\) sredi grafov na \\(2n+1\\) vershinah bez kliki \\(k_{n+1}\\), a zatem vychest eto chislo iz \\(\\binom{2n+1}{2}\\). po teoreme turana maksimum daet polnyy \\(n\\)-dolnyy graf s dolyami, naskolko vozmozhno ravnymi. pri \\(2n+1\\) vershinah eto doli razmerov \\(3,2,2…","source_keys":["flashlight"]}