{"id":"egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence","title":"Синие клетки и двудольный граф строк и столбцов, EGMO 2016 P3","path":"data\\problems\\egmo\\egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/egmo/egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence","source_key":"egmo","source_label":"EGMO","source_titles":["EGMO 2016 официальная архивная страница","AoPS Wiki, 2016 EGMO Problems"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","double_counting","extremal_graph_theory","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"EGMO 2016 P3; двудольный граф строк и столбцов является центральной моделью официального решения.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Указаны официальный источник и обсуждение AoPS. Доказательство через двудольный граф инцидентности строк и столбцов сжато, но включает нужный двойной подсчёт.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(m\\) — положительное целое. Рассматривается таблица \\(4m\\times 4m\\) из единичных клеток. Две разные клетки называются связанными, если они лежат в одной строке или в одном столбце. Некоторые клетки покрашены в синий цвет так, что каждая клетка связана хотя бы с двумя синими клетками. Найдите минимально возможное число синих клеток.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Минимум рёбер в двудольном графе строк и столбцов","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(m\\) — положительное целое, а \\(G=(R,C,E)\\) — двудольный граф, в котором \\(|R|=|C|=4m\\). Для любых \\(r\\in R\\) и \\(c\\in C\\) выполнено неравенство \\(\\deg(r)+\\deg(c)-2\\mathbf 1_{rc\\in E}\\ge 2\\). Найдите минимально возможное число рёбер \\(|E|\\).","definition_ids":["bipartite_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через двудольный граф строк и столбцов","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ равен \\(6m\\). Построим двудольный граф. В одной доле возьмем \\(4m\\) строк, в другой - \\(4m\\) столбцов. Синей клетке в строке \\(r\\) и столбце \\(c\\) сопоставим ребро \\(rc\\). Тогда число синих клеток равно числу ребер графа. Для клетки \\((r,c)\\) число синих клеток, связанных с ней и отличных от нее, равно \\[ \\deg r+\\deg c-2\\mathbf 1_{rc\\in E}. \\] По условию это число не меньше 2 для любых \\(r,c\\). В частности, в графе нет изолированных вершин: если, например, \\(\\deg r=0\\), то для всех столбцов \\(c\\) должно быть \\(\\deg c\\ge 2\\), откуда уже \\(|E|\\ge 8m\\), что сильнее требуемого. Поэтому далее можно считать, что все вершины имеют положительную степень. Докажем, что каждая компонента связности этого графа содержит не меньше четырех вершин. Компонента из одной вершины невозможна, так как изолированных вершин нет. Компонента из двух вершин была бы единственным ребром \\(rc\\); тогда для клет…"}],"relations":[{"id":"rel-imc-1999-grid-cycle-egmo-2016-incidence","neighbor_id":"imc-1999-day1-p5-marked-grid-cycle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolmogorov-2023-bipartite-egmo-2016-p3","neighbor_id":"kolmogorov-2023-lichol-large-monochromatic-bipartite-component","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-handshaking-egmo-2016-incidence","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-egmo-2016-p3-memo-2021-i2-incidence-forest","neighbor_id":"memo-2021-i2-bishop-circuit-forest","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-rmm-2017-p5-egmo-2016-p3-grid-incidence","neighbor_id":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-egmo-2016-p3-tc-2022-crossword-incidence-graph","neighbor_id":"tc-2022-crossword-word-cell-bipartite-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-yumt-2014-start-r4-p2-egmo-2016-p3-incidence-forest","neighbor_id":"yumt-2014-start-round4-problem2","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence синие клетки и двудольный граф строк и столбцов, egmo 2016 p3 connectivity double_counting extremal_graph_theory goal_exact_bound 2016 aops wiki, 2016 egmo problems egmo egmo 2016 официальная архивная страница egmo2016 https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2016_egmo_problems https://www.egmo.org/egmos/egmo5/ official_archive src-aops-egmo-2016-problems src-egmo-2016-official statement with_solution ? egmo 2016 официальная архивная страница aops wiki, 2016 egmo problems stmt-original условие needs_human_review пусть \\(m\\) — положительное целое. рассматривается таблица \\(4m\\times 4m\\) из единичных клеток. две разные клетки называются связанными, если они лежат в одной строке или в одном столбце. некоторые клетки покрашены в синий цвет так, что каждая клетка связана хотя бы с двумя синими клетками. найдите минимально возможное число синих клеток. stmt-graph минимум рёбер в двудольном графе строк и столбцов needs_human_review пусть \\(m\\) — положительное целое, а \\(g=(r,c,e)\\) — двудольный граф, в котором \\(|r|=|c|=4m\\). для любых \\(r\\in r\\) и \\(c\\in c\\) выполнено неравенство \\(\\deg(r)+\\deg(c)-2\\mathbf 1_{rc\\in e}\\ge 2\\). найдите минимально возможное число рёбер \\(|e|\\). bipartite_graph idea-row-column-incidence граф строк и столбцов синяя клетка естественно становится ребром между её строкой и её столбцом; число синих клеток равно числу рёбер. double_counting needs_human_review idea-component-at-least-four компоненты не бывают слишком малы з условия на связанные клетки следует, что в графе нет изолированных вершин и что каждая связная компонента содержит как минимум четыре вершины. connectivity needs_human_review sol-official-compressed решение через двудольный граф строк и столбцов ai_checked bipartite_graph degree double_counting ответ равен \\(6m\\). построим двудольный граф. в одной доле возьмем \\(4m\\) строк, в другой - \\(4m\\) столбцов. синей клетке в строке \\(r\\) и столбце \\(c\\) сопоставим ребро \\(rc\\). тогда число синих клеток равно числу ребер графа. для клетки \\((r,c)\\) число синих клеток, связанных с ней и отличных от нее, равно \\[ \\deg r+\\deg c-2\\mathbf 1_{rc\\in e}. \\] по условию это число не меньше 2 для любых \\(r,c\\). в частности, в графе нет изолированных вершин: если, например, \\(\\deg r=0\\), то для всех столбцов \\(c\\) должно быть \\(\\deg c\\ge 2\\), откуда уже \\(|e|\\ge 8m\\), что сильнее требуемого. поэтому далее можно считать, что все вершины имеют положительную степень. докажем, что каждая компонента связности этого графа содержит не меньше четырех вершин. компонента из одной вершины невозможна, так как изолированных вершин нет. компонента из двух вершин была бы единственным ребром \\(rc\\); тогда для клет… egmo-2016-p3-blue-cells-bipartite-incidence sinie kletki i dvudolnyy graf strok i stolbtsov, egmo 2016 p3 connectivity double_counting extremal_graph_theory goal_exact_bound 2016 aops wiki, 2016 egmo problems egmo egmo 2016 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa egmo2016 https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2016_egmo_problems https://www.egmo.org/egmos/egmo5/ official_archive src-aops-egmo-2016-problems src-egmo-2016-official statement with_solution ? egmo 2016 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa aops wiki, 2016 egmo problems stmt-original uslovie needs_human_review pust \\(m\\) — polozhitelnoe tseloe. rassmatrivaetsya tablitsa \\(4m\\times 4m\\) iz edinichnyh kletok. dve raznye kletki nazyvayutsya svyazannymi, esli oni lezhat v odnoy stroke ili v odnom stolbtse. nekotorye kletki pokrasheny v siniy tsvet tak, chto kazhdaya kletka svyazana hotya by s dvumya sinimi kletkami. naydite minimalno vozmozhnoe chislo sinih kletok. stmt-graph minimum reber v dvudolnom grafe strok i stolbtsov needs_human_review pust \\(m\\) — polozhitelnoe tseloe, a \\(g=(r,c,e)\\) — dvudolnyy graf, v kotorom \\(|r|=|c|=4m\\). dlya lyubyh \\(r\\in r\\) i \\(c\\in c\\) vypolneno neravenstvo \\(\\deg(r)+\\deg(c)-2\\mathbf 1_{rc\\in e}\\ge 2\\). naydite minimalno vozmozhnoe chislo reber \\(|e|\\). bipartite_graph idea-row-column-incidence graf strok i stolbtsov sinyaya kletka estestvenno stanovitsya rebrom mezhdu ee strokoy i ee stolbtsom; chislo sinih kletok ravno chislu reber. double_counting needs_human_review idea-component-at-least-four komponenty ne byvayut slishkom maly z usloviya na svyazannye kletki sleduet, chto v grafe net izolirovannyh vershin i chto kazhdaya svyaznaya komponenta soderzhit kak minimum chetyre vershiny. connectivity needs_human_review sol-official-compressed reshenie cherez dvudolnyy graf strok i stolbtsov ai_checked bipartite_graph degree double_counting otvet raven \\(6m\\). postroim dvudolnyy graf. v odnoy dole vozmem \\(4m\\) strok, v drugoy - \\(4m\\) stolbtsov. siney kletke v stroke \\(r\\) i stolbtse \\(c\\) sopostavim rebro \\(rc\\). togda chislo sinih kletok ravno chislu reber grafa. dlya kletki \\((r,c)\\) chislo sinih kletok, svyazannyh s ney i otlichnyh ot nee, ravno \\[ \\deg r+\\deg c-2\\mathbf 1_{rc\\in e}. \\] po usloviyu eto chislo ne menshe 2 dlya lyubyh \\(r,c\\). v chastnosti, v grafe net izolirovannyh vershin: esli, naprimer, \\(\\deg r=0\\), to dlya vseh stolbtsov \\(c\\) dolzhno byt \\(\\deg c\\ge 2\\), otkuda uzhe \\(|e|\\ge 8m\\), chto silnee trebuemogo. poetomu dalee mozhno schitat, chto vse vershiny imeyut polozhitelnuyu stepen. dokazhem, chto kazhdaya komponenta svyaznosti etogo grafa soderzhit ne menshe chetyreh vershin. komponenta iz odnoy vershiny nevozmozhna, tak kak izolirovannyh vershin net. komponenta iz dvuh vershin byla by edinstvennym rebrom \\(rc\\); togda dlya klet…","source_keys":["egmo"]}
{"id":"egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching","title":"Чётность домино-разбиений и двудольные паросочетания, EGMO 2022 P5","path":"data\\problems\\egmo\\egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/egmo/egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching","source_key":"egmo","source_label":"EGMO","source_titles":["EGMO 2022 официальная архивная страница","AoPS Wiki, 2022 EGMO Problems"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["matching","graph_symmetry","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":11,"comment":"EGMO 2022 P5; двудольный граф и совершенные паросочетания играют центральную роль во втором официальном решении.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Указаны официальный источник и обсуждение AoPS. Аргумент через отражение и чётность самодостаточен; никакая теорема о паросочетаниях, кроме элементарного разбиения на пары, не цитируется и не нужна.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Для положительных целых \\(n,k\\) обозначим через \\(f(n,2k)\\) число способов полностью покрыть доску \\(n\\times 2k\\) доминошками \\(2\\times 1\\). Найдите все положительные \\(n\\), для которых для любого положительного \\(k\\) число \\(f(n,2k)\\) нечётно.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Совершенные паросочетания в домино-графе","status":"needs_human_review","text":"Для положительных целых \\(n\\) и \\(k\\) рассмотрим двудольный граф \\(G_{n,2k}\\), вершинами которого являются клетки доски \\(n\\times 2k\\) шахматной раскраски, а ребро соединяет две клетки разных цветов тогда и только тогда, когда они имеют общую сторону. Обозначим через \\(m(n,2k)\\) число совершенных паросочетаний в \\(G_{n,2k}\\). Найдите все положительные \\(n\\), для которых число \\(m(n,2k)\\) нечётно при любом положительном \\(k\\).","definition_ids":["bipartite_graph","matching"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через отражения","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["symmetrization"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: подходят ровно числа вида \\(2^t-1\\), где \\(t\\ge 1\\). Обозначим через \\(F(a,b)\\) число домино-разбиений прямоугольника \\(a\\times b\\); дополнительно положим \\(F(0,b)=F(a,0)=1\\). Сначала докажем лемму: если \\(m\\) чётно, то \\(F(m,2r+1)\\equiv F(m,r)\\pmod 2\\). Отразим все разбиения прямоугольника \\(m\\times(2r+1)\\) относительно средней вертикальной прямой. Неинвариантные разбиения разбиваются на пары, поэтому по модулю 2 остаются только симметричные. В симметричном разбиении каждая клетка центрального столбца должна быть покрыта домино внутри этого столбца: если домино из центрального столбца выходило бы влево или вправо, его отражение было бы вторым домино, покрывающим ту же центральную клетку. Так как \\(m\\) чётно, центральный столбец единственным образом заполняется вертикальными домино, а левая половина \\(m\\times r\\) выбирается произвольно и затем однозначно отражается вправо. Это да…"}],"relations":[{"id":"rel-egmo-2022-rmm-2017-bipartite-matching-model","neighbor_id":"rmm-2017-p5-sieve-sticks-bipartite-matching","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-metadata-pass-egmo-2022-usamo-2009-domino-matchings","neighbor_id":"usamo-2009-p3-tasteful-domino-tiling-alternating-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-egmo-2022-p5-imo-2016-c8-domino-matchings","neighbor_id":"imo-2016-c8-domino-unique-tiling-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-egmo-2022-p5-memo-2022-t4-domino-parity","neighbor_id":"memo-2022-t4-teleport-table-reachability","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-ternary-nonzero-matching-egmo-2022-domino-parity","neighbor_id":"ternary-nonzero-strings-perfect-matching","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-simon-marais-2024-c4-independent-set","neighbor_id":"simon-marais-2024-c4-random-maximal-independent-set-path","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching чётность домино-разбиений и двудольные паросочетания, egmo 2022 p5 matching graph_symmetry goal_characterization 2022 aops wiki, 2022 egmo problems egmo egmo 2022 официальная архивная страница egmo2022 https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_egmo_problems https://www.egmo.org/egmos/egmo11/ official_archive src-aops-egmo-2022-problems src-egmo-2022-official statement with_solution ? egmo 2022 официальная архивная страница aops wiki, 2022 egmo problems stmt-original условие needs_human_review для положительных целых \\(n,k\\) обозначим через \\(f(n,2k)\\) число способов полностью покрыть доску \\(n\\times 2k\\) доминошками \\(2\\times 1\\). найдите все положительные \\(n\\), для которых для любого положительного \\(k\\) число \\(f(n,2k)\\) нечётно. stmt-graph совершенные паросочетания в домино-графе needs_human_review для положительных целых \\(n\\) и \\(k\\) рассмотрим двудольный граф \\(g_{n,2k}\\), вершинами которого являются клетки доски \\(n\\times 2k\\) шахматной раскраски, а ребро соединяет две клетки разных цветов тогда и только тогда, когда они имеют общую сторону. обозначим через \\(m(n,2k)\\) число совершенных паросочетаний в \\(g_{n,2k}\\). найдите все положительные \\(n\\), для которых число \\(m(n,2k)\\) нечётно при любом положительном \\(k\\). bipartite_graph matching idea-symmetry-parity симметрия убирает разбиения попарно отражение относительно средней линии разбивает несимметричные разбиения на пары; по модулю 2 остаются только неподвижные точки симметрии. symmetrization needs_human_review idea-bipartite-matching-parity паросочетания в двудольном графе во втором официальном решении разбиения переводятся в совершенные паросочетания двудольного графа решётки, а чётность их числа изучается через матрицу смежности над \\(\\mathbf f_2\\). matching needs_human_review sol-official-compressed решение через отражения ai_checked symmetrization ответ: подходят ровно числа вида \\(2^t-1\\), где \\(t\\ge 1\\). обозначим через \\(f(a,b)\\) число домино-разбиений прямоугольника \\(a\\times b\\); дополнительно положим \\(f(0,b)=f(a,0)=1\\). сначала докажем лемму: если \\(m\\) чётно, то \\(f(m,2r+1)\\equiv f(m,r)\\pmod 2\\). отразим все разбиения прямоугольника \\(m\\times(2r+1)\\) относительно средней вертикальной прямой. неинвариантные разбиения разбиваются на пары, поэтому по модулю 2 остаются только симметричные. в симметричном разбиении каждая клетка центрального столбца должна быть покрыта домино внутри этого столбца: если домино из центрального столбца выходило бы влево или вправо, его отражение было бы вторым домино, покрывающим ту же центральную клетку. так как \\(m\\) чётно, центральный столбец единственным образом заполняется вертикальными домино, а левая половина \\(m\\times r\\) выбирается произвольно и затем однозначно отражается вправо. это да… egmo-2022-p5-domino-parity-bipartite-matching chetnost domino-razbieniy i dvudolnye parosochetaniya, egmo 2022 p5 matching graph_symmetry goal_characterization 2022 aops wiki, 2022 egmo problems egmo egmo 2022 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa egmo2022 https://wiki.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_egmo_problems https://www.egmo.org/egmos/egmo11/ official_archive src-aops-egmo-2022-problems src-egmo-2022-official statement with_solution ? egmo 2022 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa aops wiki, 2022 egmo problems stmt-original uslovie needs_human_review dlya polozhitelnyh tselyh \\(n,k\\) oboznachim cherez \\(f(n,2k)\\) chislo sposobov polnostyu pokryt dosku \\(n\\times 2k\\) dominoshkami \\(2\\times 1\\). naydite vse polozhitelnye \\(n\\), dlya kotoryh dlya lyubogo polozhitelnogo \\(k\\) chislo \\(f(n,2k)\\) nechetno. stmt-graph sovershennye parosochetaniya v domino-grafe needs_human_review dlya polozhitelnyh tselyh \\(n\\) i \\(k\\) rassmotrim dvudolnyy graf \\(g_{n,2k}\\), vershinami kotorogo yavlyayutsya kletki doski \\(n\\times 2k\\) shahmatnoy raskraski, a rebro soedinyaet dve kletki raznyh tsvetov togda i tolko togda, kogda oni imeyut obschuyu storonu. oboznachim cherez \\(m(n,2k)\\) chislo sovershennyh parosochetaniy v \\(g_{n,2k}\\). naydite vse polozhitelnye \\(n\\), dlya kotoryh chislo \\(m(n,2k)\\) nechetno pri lyubom polozhitelnom \\(k\\). bipartite_graph matching idea-symmetry-parity simmetriya ubiraet razbieniya poparno otrazhenie otnositelno sredney linii razbivaet nesimmetrichnye razbieniya na pary; po modulyu 2 ostayutsya tolko nepodvizhnye tochki simmetrii. symmetrization needs_human_review idea-bipartite-matching-parity parosochetaniya v dvudolnom grafe vo vtorom ofitsialnom reshenii razbieniya perevodyatsya v sovershennye parosochetaniya dvudolnogo grafa reshetki, a chetnost ih chisla izuchaetsya cherez matritsu smezhnosti nad \\(\\mathbf f_2\\). matching needs_human_review sol-official-compressed reshenie cherez otrazheniya ai_checked symmetrization otvet: podhodyat rovno chisla vida \\(2^t-1\\), gde \\(t\\ge 1\\). oboznachim cherez \\(f(a,b)\\) chislo domino-razbieniy pryamougolnika \\(a\\times b\\); dopolnitelno polozhim \\(f(0,b)=f(a,0)=1\\). snachala dokazhem lemmu: esli \\(m\\) chetno, to \\(f(m,2r+1)\\equiv f(m,r)\\pmod 2\\). otrazim vse razbieniya pryamougolnika \\(m\\times(2r+1)\\) otnositelno sredney vertikalnoy pryamoy. neinvariantnye razbieniya razbivayutsya na pary, poetomu po modulyu 2 ostayutsya tolko simmetrichnye. v simmetrichnom razbienii kazhdaya kletka tsentralnogo stolbtsa dolzhna byt pokryta domino vnutri etogo stolbtsa: esli domino iz tsentralnogo stolbtsa vyhodilo by vlevo ili vpravo, ego otrazhenie bylo by vtorym domino, pokryvayuschim tu zhe tsentralnuyu kletku. tak kak \\(m\\) chetno, tsentralnyy stolbets edinstvennym obrazom zapolnyaetsya vertikalnymi domino, a levaya polovina \\(m\\times r\\) vybiraetsya proizvolno i zatem odnoznachno otrazhaetsya vpravo. eto da…","source_keys":["egmo"]}
{"id":"egmo-2025-p5-rotating-arrows-even-dynamic-cycle","title":"Вращающиеся стрелки на чётной доске, EGMO 2025 P5","path":"data\\problems\\egmo\\egmo-2025-p5-rotating-arrows-even-dynamic-cycle.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/egmo/egmo-2025-p5-rotating-arrows-even-dynamic-cycle.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#egmo-2025-p5-rotating-arrows-even-dynamic-cycle","source_key":"egmo","source_label":"EGMO","source_titles":["EGMO 2025 официальная архивная страница"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_symmetry","hamiltonian_cycles","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":10,"comment":"Чётный случай EGMO 2025 P5; решение кодирует динамику как цикл обхода всех клеток и использует совместимость по модулю 4.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.8,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан. Конструкция для чётного n через динамический цикл и верхняя оценка развёрнуты в карточке, хотя review_status остаётся needs_human_review.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-even","title":"Условие при чётном n","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(n>1\\) — чётное целое. В каждой клетке доски \\(n\\times n\\) стоит стрелка вверх, вниз, влево или вправо. Улитка Турбо стартует из некоторой клетки и на каждом ходу переходит в соседнюю клетку по стрелке в своей текущей клетке; после каждого хода все стрелки на доске поворачиваются на \\(90^\\circ\\) против часовой стрелки. Клетка называется хорошей, если, стартуя из неё, Турбо посещает каждую клетку доски ровно один раз, не покидая доску, и затем возвращается в исходную клетку. Докажите, что максимально возможное число хороших клеток равно \\(n^2/4\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-dynamic-cycle-bound","title":"Конструкция и верхняя оценка через динамический цикл","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем, что при чётном \\(n\\) максимум равен \\(n^2/4\\). Сначала построим пример. На доске существует цикл, проходящий через все клетки ровно один раз: например, идём по верхней строке слева направо, затем по правому столбцу вниз, потом змейкой по столбцам \\(n-1,n-2,\\ldots,2\\) между второй и последней строками, после чего идём по первому столбцу вверх до клетки \\((2,1)\\) и возвращаемся в \\((1,1)\\). Обозначим клетки этого цикла через \\[ c_0,c_1,\\ldots,c_{n^2-1},\\quad c_{n^2}=c_0. \\] В клетке \\(c_i\\) поставим такую стрелку, чтобы после \\(i\\) общих поворотов она указывала из \\(c_i\\) в \\(c_{i+1}\\). Тогда старт из \\(c_0\\) проходит весь цикл и возвращается в \\(c_0\\). Так как \\(4\\mid n^2\\), после полного обхода конфигурация стрелок снова исходная. Старт из любой клетки \\(c_{4t}\\) видит тот же обход с циклическим сдвигом времени, поэтому хорошие клетки включают \\(c_0,c_4,c_8,\\ldots,c_{n^2-4}\\),…"}],"relations":[{"id":"rel-cmo-1994-p3-egmo-2025-p5-dynamic-cycle","neighbor_id":"cmo-1994-p3-voting-stabilizes-cycle","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-imo-1979-p6-egmo-2025-p5-even-cycle-encoding","neighbor_id":"imo-1979-p6-octagon-walks-cycle-graph","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-egmo-2025-p5-odd-even-paired-variant","neighbor_id":"egmo-2025-p5-rotating-arrows-odd-parity","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"egmo-2025-p5-rotating-arrows-even-dynamic-cycle вращающиеся стрелки на чётной доске, egmo 2025 p5 graph_symmetry hamiltonian_cycles goal_exact_bound 2025 egmo egmo 2025 официальная архивная страница egmo2025 https://www.egmo.org/egmos/egmo14/ official_archive src-egmo-2025-official with_solution ? egmo 2025 официальная архивная страница stmt-original-even условие при чётном n needs_human_review пусть \\(n>1\\) — чётное целое. в каждой клетке доски \\(n\\times n\\) стоит стрелка вверх, вниз, влево или вправо. улитка турбо стартует из некоторой клетки и на каждом ходу переходит в соседнюю клетку по стрелке в своей текущей клетке; после каждого хода все стрелки на доске поворачиваются на \\(90^\\circ\\) против часовой стрелки. клетка называется хорошей, если, стартуя из неё, турбо посещает каждую клетку доски ровно один раз, не покидая доску, и затем возвращается в исходную клетку. докажите, что максимально возможное число хороших клеток равно \\(n^2/4\\). idea-hamiltonian-cycle-construction гамильтонов цикл задаёт достижимые старты на чётной доске можно выбрать цикл через все клетки и поставить стрелки так, чтобы в момент \\(i\\) клетка \\(c_i\\) вела в \\(c_{i+1}\\); тогда все старты с индексами, кратными 4, хорошие. hamiltonian_cycles goal_construction needs_human_review idea-step-four-cycle-shift сдвиг на четыре шага сохраняет конфигурацию после каждых четырёх ходов все стрелки возвращаются к исходным направлениям, поэтому хорошие старты, совместимые с одним циклом, могут отличаться только сдвигом на число шагов, кратное 4. hamiltonian_cycles graph_symmetry needs_human_review idea-corner-orientation-upper-bound угол фиксирует ориентацию цикла сравнение прохождения угловой клетки в двух хороших траекториях показывает, что вторая траектория не может идти через угол в обратном направлении и потому является сдвигом первой на \\(0\\) по модулю \\(4\\). goal_bound needs_human_review sol-dynamic-cycle-bound конструкция и верхняя оценка через динамический цикл ai_checked directed_graph cycle докажем, что при чётном \\(n\\) максимум равен \\(n^2/4\\). сначала построим пример. на доске существует цикл, проходящий через все клетки ровно один раз: например, идём по верхней строке слева направо, затем по правому столбцу вниз, потом змейкой по столбцам \\(n-1,n-2,\\ldots,2\\) между второй и последней строками, после чего идём по первому столбцу вверх до клетки \\((2,1)\\) и возвращаемся в \\((1,1)\\). обозначим клетки этого цикла через \\[ c_0,c_1,\\ldots,c_{n^2-1},\\quad c_{n^2}=c_0. \\] в клетке \\(c_i\\) поставим такую стрелку, чтобы после \\(i\\) общих поворотов она указывала из \\(c_i\\) в \\(c_{i+1}\\). тогда старт из \\(c_0\\) проходит весь цикл и возвращается в \\(c_0\\). так как \\(4\\mid n^2\\), после полного обхода конфигурация стрелок снова исходная. старт из любой клетки \\(c_{4t}\\) видит тот же обход с циклическим сдвигом времени, поэтому хорошие клетки включают \\(c_0,c_4,c_8,\\ldots,c_{n^2-4}\\),… egmo-2025-p5-rotating-arrows-even-dynamic-cycle vraschayuschiesya strelki na chetnoy doske, egmo 2025 p5 graph_symmetry hamiltonian_cycles goal_exact_bound 2025 egmo egmo 2025 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa egmo2025 https://www.egmo.org/egmos/egmo14/ official_archive src-egmo-2025-official with_solution ? egmo 2025 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa stmt-original-even uslovie pri chetnom n needs_human_review pust \\(n>1\\) — chetnoe tseloe. v kazhdoy kletke doski \\(n\\times n\\) stoit strelka vverh, vniz, vlevo ili vpravo. ulitka turbo startuet iz nekotoroy kletki i na kazhdom hodu perehodit v sosednyuyu kletku po strelke v svoey tekuschey kletke; posle kazhdogo hoda vse strelki na doske povorachivayutsya na \\(90^\\circ\\) protiv chasovoy strelki. kletka nazyvaetsya horoshey, esli, startuya iz nee, turbo poseschaet kazhduyu kletku doski rovno odin raz, ne pokidaya dosku, i zatem vozvraschaetsya v ishodnuyu kletku. dokazhite, chto maksimalno vozmozhnoe chislo horoshih kletok ravno \\(n^2/4\\). idea-hamiltonian-cycle-construction gamiltonov tsikl zadaet dostizhimye starty na chetnoy doske mozhno vybrat tsikl cherez vse kletki i postavit strelki tak, chtoby v moment \\(i\\) kletka \\(c_i\\) vela v \\(c_{i+1}\\); togda vse starty s indeksami, kratnymi 4, horoshie. hamiltonian_cycles goal_construction needs_human_review idea-step-four-cycle-shift sdvig na chetyre shaga sohranyaet konfiguratsiyu posle kazhdyh chetyreh hodov vse strelki vozvraschayutsya k ishodnym napravleniyam, poetomu horoshie starty, sovmestimye s odnim tsiklom, mogut otlichatsya tolko sdvigom na chislo shagov, kratnoe 4. hamiltonian_cycles graph_symmetry needs_human_review idea-corner-orientation-upper-bound ugol fiksiruet orientatsiyu tsikla sravnenie prohozhdeniya uglovoy kletki v dvuh horoshih traektoriyah pokazyvaet, chto vtoraya traektoriya ne mozhet idti cherez ugol v obratnom napravlenii i potomu yavlyaetsya sdvigom pervoy na \\(0\\) po modulyu \\(4\\). goal_bound needs_human_review sol-dynamic-cycle-bound konstruktsiya i verhnyaya otsenka cherez dinamicheskiy tsikl ai_checked directed_graph cycle dokazhem, chto pri chetnom \\(n\\) maksimum raven \\(n^2/4\\). snachala postroim primer. na doske suschestvuet tsikl, prohodyaschiy cherez vse kletki rovno odin raz: naprimer, idem po verhney stroke sleva napravo, zatem po pravomu stolbtsu vniz, potom zmeykoy po stolbtsam \\(n-1,n-2,\\ldots,2\\) mezhdu vtoroy i posledney strokami, posle chego idem po pervomu stolbtsu vverh do kletki \\((2,1)\\) i vozvraschaemsya v \\((1,1)\\). oboznachim kletki etogo tsikla cherez \\[ c_0,c_1,\\ldots,c_{n^2-1},\\quad c_{n^2}=c_0. \\] v kletke \\(c_i\\) postavim takuyu strelku, chtoby posle \\(i\\) obschih povorotov ona ukazyvala iz \\(c_i\\) v \\(c_{i+1}\\). togda start iz \\(c_0\\) prohodit ves tsikl i vozvraschaetsya v \\(c_0\\). tak kak \\(4\\mid n^2\\), posle polnogo obhoda konfiguratsiya strelok snova ishodnaya. start iz lyuboy kletki \\(c_{4t}\\) vidit tot zhe obhod s tsiklicheskim sdvigom vremeni, poetomu horoshie kletki vklyuchayut \\(c_0,c_4,c_8,\\ldots,c_{n^2-4}\\),…","source_keys":["egmo"]}
{"id":"egmo-2025-p5-rotating-arrows-odd-parity","title":"Вращающиеся стрелки на нечётной доске, EGMO 2025 P5","path":"data\\problems\\egmo\\egmo-2025-p5-rotating-arrows-odd-parity.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/egmo/egmo-2025-p5-rotating-arrows-odd-parity.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#egmo-2025-p5-rotating-arrows-odd-parity","source_key":"egmo","source_label":"EGMO","source_titles":["EGMO 2025 официальная архивная страница"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["graph_symmetry","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":6,"comment":"Нечётный случай EGMO 2025 P5 отделяется простым шахматным аргументом.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан. Случай нечётного n — полное доказательство через шахматную чётность: нечётное число ходов по решётке не может вернуть в клетку исходного цвета.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-odd","title":"Условие при нечётном n","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(n>1\\) — нечётное целое. В каждой клетке доски \\(n\\times n\\) стоит стрелка вверх, вниз, влево или вправо. Улитка Турбо стартует из некоторой клетки и на каждом ходу переходит в соседнюю клетку по стрелке в своей текущей клетке; после каждого хода все стрелки на доске поворачиваются на \\(90^\\circ\\) против часовой стрелки. Клетка называется хорошей, если, стартуя из неё, Турбо посещает каждую клетку доски ровно один раз, не покидая доску, и затем возвращается в исходную клетку. Докажите, что хороших клеток быть не может, то есть максимум равен \\(0\\).","definition_ids":[]}]},"solutions":[{"id":"sol-parity-bound","title":"Чётностный аргумент","status":"ai_checked","definition_ids":["bipartite_graph","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Покрасим доску шахматно. Каждый допустимый ход переводит улитку в соседнюю по стороне клетку, значит цвет клетки меняется на каждом ходу. Если стартовая клетка была бы хорошей, то улитка прошла бы все \\(n^2\\) клеток ровно один раз и затем на \\(n^2\\)-м ходе вернулась бы в исходную клетку. Но при нечётном \\(n\\) число \\(n^2\\) нечётно, а после нечётного числа ходов цвет клетки должен измениться. Стартовая клетка имеет прежний цвет, поэтому такое возвращение невозможно. Следовательно, хороших клеток нет, и максимум равен \\(0\\)."}],"relations":[{"id":"rel-egmo-2025-p5-odd-even-paired-variant","neighbor_id":"egmo-2025-p5-rotating-arrows-even-dynamic-cycle","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"egmo-2025-p5-rotating-arrows-odd-parity вращающиеся стрелки на нечётной доске, egmo 2025 p5 graph_symmetry goal_impossibility 2025 egmo egmo 2025 официальная архивная страница egmo2025 https://www.egmo.org/egmos/egmo14/ official_archive src-egmo-2025-official with_solution ? egmo 2025 официальная архивная страница stmt-original-odd условие при нечётном n needs_human_review пусть \\(n>1\\) — нечётное целое. в каждой клетке доски \\(n\\times n\\) стоит стрелка вверх, вниз, влево или вправо. улитка турбо стартует из некоторой клетки и на каждом ходу переходит в соседнюю клетку по стрелке в своей текущей клетке; после каждого хода все стрелки на доске поворачиваются на \\(90^\\circ\\) против часовой стрелки. клетка называется хорошей, если, стартуя из неё, турбо посещает каждую клетку доски ровно один раз, не покидая доску, и затем возвращается в исходную клетку. докажите, что хороших клеток быть не может, то есть максимум равен \\(0\\). idea-checkerboard-parity шахматная чётность запрещает нечётный обход в решётке каждый ход меняет цвет клетки. если \\(n\\) нечётно, то \\(n^2\\) тоже нечётно, поэтому после \\(n^2\\) ходов нельзя оказаться в стартовой клетке того же цвета. graph_symmetry goal_impossibility needs_human_review sol-parity-bound чётностный аргумент ai_checked bipartite_graph cycle покрасим доску шахматно. каждый допустимый ход переводит улитку в соседнюю по стороне клетку, значит цвет клетки меняется на каждом ходу. если стартовая клетка была бы хорошей, то улитка прошла бы все \\(n^2\\) клеток ровно один раз и затем на \\(n^2\\)-м ходе вернулась бы в исходную клетку. но при нечётном \\(n\\) число \\(n^2\\) нечётно, а после нечётного числа ходов цвет клетки должен измениться. стартовая клетка имеет прежний цвет, поэтому такое возвращение невозможно. следовательно, хороших клеток нет, и максимум равен \\(0\\). egmo-2025-p5-rotating-arrows-odd-parity vraschayuschiesya strelki na nechetnoy doske, egmo 2025 p5 graph_symmetry goal_impossibility 2025 egmo egmo 2025 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa egmo2025 https://www.egmo.org/egmos/egmo14/ official_archive src-egmo-2025-official with_solution ? egmo 2025 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa stmt-original-odd uslovie pri nechetnom n needs_human_review pust \\(n>1\\) — nechetnoe tseloe. v kazhdoy kletke doski \\(n\\times n\\) stoit strelka vverh, vniz, vlevo ili vpravo. ulitka turbo startuet iz nekotoroy kletki i na kazhdom hodu perehodit v sosednyuyu kletku po strelke v svoey tekuschey kletke; posle kazhdogo hoda vse strelki na doske povorachivayutsya na \\(90^\\circ\\) protiv chasovoy strelki. kletka nazyvaetsya horoshey, esli, startuya iz nee, turbo poseschaet kazhduyu kletku doski rovno odin raz, ne pokidaya dosku, i zatem vozvraschaetsya v ishodnuyu kletku. dokazhite, chto horoshih kletok byt ne mozhet, to est maksimum raven \\(0\\). idea-checkerboard-parity shahmatnaya chetnost zapreschaet nechetnyy obhod v reshetke kazhdyy hod menyaet tsvet kletki. esli \\(n\\) nechetno, to \\(n^2\\) tozhe nechetno, poetomu posle \\(n^2\\) hodov nelzya okazatsya v startovoy kletke togo zhe tsveta. graph_symmetry goal_impossibility needs_human_review sol-parity-bound chetnostnyy argument ai_checked bipartite_graph cycle pokrasim dosku shahmatno. kazhdyy dopustimyy hod perevodit ulitku v sosednyuyu po storone kletku, znachit tsvet kletki menyaetsya na kazhdom hodu. esli startovaya kletka byla by horoshey, to ulitka proshla by vse \\(n^2\\) kletok rovno odin raz i zatem na \\(n^2\\)-m hode vernulas by v ishodnuyu kletku. no pri nechetnom \\(n\\) chislo \\(n^2\\) nechetno, a posle nechetnogo chisla hodov tsvet kletki dolzhen izmenitsya. startovaya kletka imeet prezhniy tsvet, poetomu takoe vozvraschenie nevozmozhno. sledovatelno, horoshih kletok net, i maksimum raven \\(0\\).","source_keys":["egmo"]}