{"id":"bmo-2013-p4-weakly-friendly-cycles-three-rooms","title":"Трёхраскрашиваемость графа недружбы, BMO 2013 P4","path":"data\\problems\\bmo\\bmo-2013-p4-weakly-friendly-cycles-three-rooms.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/bmo/bmo-2013-p4-weakly-friendly-cycles-three-rooms.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#bmo-2013-p4-weakly-friendly-cycles-three-rooms","source_key":"bmo","source_label":"BMO","source_titles":["BMOS/UKMT, условия Balkan Mathematical Olympiad, 30 июня 2013","MOlympiad.NET, Balkan Mathematical Olympiad 2013 решения"],"year":"2013","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","extremal_choice","induction","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":8,"comment":"BMO 2013 P4; центральный ход - перевести недружбу в ребра, доказать 2-вырожденность через длиннейший индуцированный путь и завершить жадной 3-раскраской.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.82,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Полное самодостаточное решение использует граф недружбы, самый длинный индуцированный путь, удаление вершин малой степени и жадную 3-раскраску. Источник решения — архив задач и решений MOlympiad, а не явно официальный источник решений BMO.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В математическом соревновании некоторые участники дружат; дружба взаимна. Назовем различных участников \\(A_1,A_2,\\ldots,A_n\\), где \\(n\\ge 3\\), слабо-дружественным циклом, если \\(A_i\\) не дружит с \\(A_{i+1}\\) при всех \\(1\\le i\\le n\\), где \\(A_{n+1}=A_1\\), и среди участников этого цикла нет других пар недрузей. Предположим, что выполнено следующее свойство: для любого участника \\(C\\) и любого слабо-дружественного цикла \\(\\mathcal S\\), не содержащего \\(C\\), в \\(\\mathcal S\\) есть не более одного участника \\(D\\), который не дружит с \\(C\\). Докажите, что всех участников можно рассадить по трем комнатам так, чтобы любые два участника в одной комнате дружили.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Трёхраскрашиваемость графа с разреженными индуцированными циклами","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф. Предположим, что для любого индуцированного цикла \\(C\\) и любой вершины \\(v\\notin V(C)\\) вершина \\(v\\) имеет не более одного соседа на \\(C\\). Докажите, что \\(\\chi(G)\\le3\\).","definition_ids":["simple_graph","cycle","chromatic_number"]}]},"solutions":[{"id":"sol-nonfriend-graph-induced-path","title":"Решение через граф недружбы","status":"ai_checked","definition_ids":["simple_graph","degree","path","cycle","chromatic_number"],"standard_idea_ids":["extremal_choice","induction","delete_to_simplify","greedy_ordering"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Построим граф \\(G\\): вершины - участники, а ребро означает, что соответствующие два участника не дружат. Тогда слабо-дружественный цикл из условия - это ровно индуцированный цикл в \\(G\\). Требуется доказать, что \\(G\\) можно правильно раскрасить в три цвета: вершины одного цвета затем станут одной комнатой, и внутри такой комнаты ребер графа \\(G\\), то есть пар недрузей, не будет. Сначала докажем лемму: в каждом непустом графе \\(G\\), удовлетворяющем условию задачи, есть вершина степени не больше \\(2\\). Предположим противное: пусть все степени не меньше \\(3\\). Возьмем в \\(G\\) длиннейший индуцированный путь \\[ P=u_0u_1\\ldots u_k. \\] Так как путь индуцированный, вершина \\(u_0\\) среди вершин пути смежна только с \\(u_1\\). Но степень \\(u_0\\) не меньше \\(3\\), значит у нее есть два соседа \\(v\\) и \\(w\\), не лежащие на \\(P\\). По максимальности пути каждый из \\(v,w\\) должен иметь соседа среди \\(u_1,…"}],"relations":[{"id":"rel-bmo-2013-p4-brooks-low-degree-greedy","neighbor_id":"brooks-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"bmo-2013-p4-weakly-friendly-cycles-three-rooms трёхраскрашиваемость графа недружбы, bmo 2013 p4 coloring extremal_choice induction graph_model goal_existence 2013 bmo bmo2013 bmos/ukmt, условия balkan mathematical olympiad, 30 июня 2013 https://bmos.ukmt.org.uk/news/20130630-00-balkan.shtml https://molympiad.files.wordpress.com/2017/07/balkan-mathematical-olympiad-2013-solutions.pdf molympiad.net, balkan mathematical olympiad 2013 решения solution_notes src-bmos-bmo-2013-problems src-molympiad-bmo-2013-solutions statement with_solution ? bmos/ukmt, условия balkan mathematical olympiad, 30 июня 2013 molympiad.net, balkan mathematical olympiad 2013 решения stmt-original условие ai_checked в математическом соревновании некоторые участники дружат; дружба взаимна. назовем различных участников \\(a_1,a_2,\\ldots,a_n\\), где \\(n\\ge 3\\), слабо-дружественным циклом, если \\(a_i\\) не дружит с \\(a_{i+1}\\) при всех \\(1\\le i\\le n\\), где \\(a_{n+1}=a_1\\), и среди участников этого цикла нет других пар недрузей. предположим, что выполнено следующее свойство: для любого участника \\(c\\) и любого слабо-дружественного цикла \\(\\mathcal s\\), не содержащего \\(c\\), в \\(\\mathcal s\\) есть не более одного участника \\(d\\), который не дружит с \\(c\\). докажите, что всех участников можно рассадить по трем комнатам так, чтобы любые два участника в одной комнате дружили. stmt-graph трёхраскрашиваемость графа с разреженными индуцированными циклами ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф. предположим, что для любого индуцированного цикла \\(c\\) и любой вершины \\(v\\notin v(c)\\) вершина \\(v\\) имеет не более одного соседа на \\(c\\). докажите, что \\(\\chi(g)\\le3\\). simple_graph cycle chromatic_number idea-longest-induced-path-forces-low-degree длиннейший индуцированный путь находит вершину степени не больше двух если у начальной вершины длиннейшего индуцированного пути есть два внешних соседа, то их первые возвращения на путь дают индуцированный цикл, на котором один из внешних соседей видит две вершины. extremal_choice ai_checked idea-delete-low-degree-and-color-back удаление вершины степени не больше двух сохраняет возможность 3-раскраски после раскраски меньшего графа удаленная вершина запрещает не более двух цветов, поэтому ее всегда можно вернуть и покрасить в один из трех цветов. coloring ai_checked sol-nonfriend-graph-induced-path решение через граф недружбы ai_checked simple_graph degree path cycle chromatic_number extremal_choice induction delete_to_simplify greedy_ordering построим граф \\(g\\): вершины - участники, а ребро означает, что соответствующие два участника не дружат. тогда слабо-дружественный цикл из условия - это ровно индуцированный цикл в \\(g\\). требуется доказать, что \\(g\\) можно правильно раскрасить в три цвета: вершины одного цвета затем станут одной комнатой, и внутри такой комнаты ребер графа \\(g\\), то есть пар недрузей, не будет. сначала докажем лемму: в каждом непустом графе \\(g\\), удовлетворяющем условию задачи, есть вершина степени не больше \\(2\\). предположим противное: пусть все степени не меньше \\(3\\). возьмем в \\(g\\) длиннейший индуцированный путь \\[ p=u_0u_1\\ldots u_k. \\] так как путь индуцированный, вершина \\(u_0\\) среди вершин пути смежна только с \\(u_1\\). но степень \\(u_0\\) не меньше \\(3\\), значит у нее есть два соседа \\(v\\) и \\(w\\), не лежащие на \\(p\\). по максимальности пути каждый из \\(v,w\\) должен иметь соседа среди \\(u_1,… bmo-2013-p4-weakly-friendly-cycles-three-rooms trehraskrashivaemost grafa nedruzhby, bmo 2013 p4 coloring extremal_choice induction graph_model goal_existence 2013 bmo bmo2013 bmos/ukmt, usloviya balkan mathematical olympiad, 30 iyunya 2013 https://bmos.ukmt.org.uk/news/20130630-00-balkan.shtml https://molympiad.files.wordpress.com/2017/07/balkan-mathematical-olympiad-2013-solutions.pdf molympiad.net, balkan mathematical olympiad 2013 resheniya solution_notes src-bmos-bmo-2013-problems src-molympiad-bmo-2013-solutions statement with_solution ? bmos/ukmt, usloviya balkan mathematical olympiad, 30 iyunya 2013 molympiad.net, balkan mathematical olympiad 2013 resheniya stmt-original uslovie ai_checked v matematicheskom sorevnovanii nekotorye uchastniki druzhat; druzhba vzaimna. nazovem razlichnyh uchastnikov \\(a_1,a_2,\\ldots,a_n\\), gde \\(n\\ge 3\\), slabo-druzhestvennym tsiklom, esli \\(a_i\\) ne druzhit s \\(a_{i+1}\\) pri vseh \\(1\\le i\\le n\\), gde \\(a_{n+1}=a_1\\), i sredi uchastnikov etogo tsikla net drugih par nedruzey. predpolozhim, chto vypolneno sleduyuschee svoystvo: dlya lyubogo uchastnika \\(c\\) i lyubogo slabo-druzhestvennogo tsikla \\(\\mathcal s\\), ne soderzhaschego \\(c\\), v \\(\\mathcal s\\) est ne bolee odnogo uchastnika \\(d\\), kotoryy ne druzhit s \\(c\\). dokazhite, chto vseh uchastnikov mozhno rassadit po trem komnatam tak, chtoby lyubye dva uchastnika v odnoy komnate druzhili. stmt-graph trehraskrashivaemost grafa s razrezhennymi indutsirovannymi tsiklami ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf. predpolozhim, chto dlya lyubogo indutsirovannogo tsikla \\(c\\) i lyuboy vershiny \\(v\\notin v(c)\\) vershina \\(v\\) imeet ne bolee odnogo soseda na \\(c\\). dokazhite, chto \\(\\chi(g)\\le3\\). simple_graph cycle chromatic_number idea-longest-induced-path-forces-low-degree dlinneyshiy indutsirovannyy put nahodit vershinu stepeni ne bolshe dvuh esli u nachalnoy vershiny dlinneyshego indutsirovannogo puti est dva vneshnih soseda, to ih pervye vozvrascheniya na put dayut indutsirovannyy tsikl, na kotorom odin iz vneshnih sosedey vidit dve vershiny. extremal_choice ai_checked idea-delete-low-degree-and-color-back udalenie vershiny stepeni ne bolshe dvuh sohranyaet vozmozhnost 3-raskraski posle raskraski menshego grafa udalennaya vershina zapreschaet ne bolee dvuh tsvetov, poetomu ee vsegda mozhno vernut i pokrasit v odin iz treh tsvetov. coloring ai_checked sol-nonfriend-graph-induced-path reshenie cherez graf nedruzhby ai_checked simple_graph degree path cycle chromatic_number extremal_choice induction delete_to_simplify greedy_ordering postroim graf \\(g\\): vershiny - uchastniki, a rebro oznachaet, chto sootvetstvuyuschie dva uchastnika ne druzhat. togda slabo-druzhestvennyy tsikl iz usloviya - eto rovno indutsirovannyy tsikl v \\(g\\). trebuetsya dokazat, chto \\(g\\) mozhno pravilno raskrasit v tri tsveta: vershiny odnogo tsveta zatem stanut odnoy komnatoy, i vnutri takoy komnaty reber grafa \\(g\\), to est par nedruzey, ne budet. snachala dokazhem lemmu: v kazhdom nepustom grafe \\(g\\), udovletvoryayuschem usloviyu zadachi, est vershina stepeni ne bolshe \\(2\\). predpolozhim protivnoe: pust vse stepeni ne menshe \\(3\\). vozmem v \\(g\\) dlinneyshiy indutsirovannyy put \\[ p=u_0u_1\\ldots u_k. \\] tak kak put indutsirovannyy, vershina \\(u_0\\) sredi vershin puti smezhna tolko s \\(u_1\\). no stepen \\(u_0\\) ne menshe \\(3\\), znachit u nee est dva soseda \\(v\\) i \\(w\\), ne lezhaschie na \\(p\\). po maksimalnosti puti kazhdyy iz \\(v,w\\) dolzhen imet soseda sredi \\(u_1,…","source_keys":["bmo"]}
{"id":"bmo-2016-p4-infinite-grid-diamond-coloring","title":"Раскраска бесконечной решётки в метрике \\(L_1\\), BMO 2016 P4","path":"data\\problems\\bmo\\bmo-2016-p4-infinite-grid-diamond-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/bmo/bmo-2016-p4-infinite-grid-diamond-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#bmo-2016-p4-infinite-grid-diamond-coloring","source_key":"bmo","source_label":"BMO","source_titles":["MASSEE, BMO 2016 официальная архивная страница","BMO 2016 Problems and Solutions, зеркало"],"year":"2016","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","modular_coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"BMO 2016 P4; условие является раскраской бесконечного решеточного графа расстояний, а решение использует совершенное замощение алмазами радиуса 24.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete","label":"официальное полное олимпиадное решение","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"BMO 2016 shortlist/официальное решение plus Group D аудит 2026-05-06","notes":"Официальное решение напрямую использует аргумент о замощении ромбами: каждый цвет даёт однослойное замощение ромбами радиуса 24, а локальная единственность такого замощения рассматривается как олимпиадный шаг. Отдельная теорема классификации совершенных кодов Ли не нужна.","audit_source":"group-d-hamiltonian-brooks-ramsey-chromatic-audit"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"Плоскость разбита на единичные квадраты двумя семействами параллельных прямых, образующими бесконечную решетку. Каждый единичный квадрат окрашен в один из 1201 цветов так, что ни один прямоугольник периметра 100 не содержит двух квадратов одного цвета. Докажите, что ни один прямоугольник размера \\(1\\times 1201\\) или \\(1201\\times 1\\) не содержит двух квадратов одного цвета. Здесь предполагается, что стороны всех прямоугольников лежат на прямых решетки.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраска графа решётки с метрикой \\(L_1\\)","status":"needs_human_review","text":"Рассмотрим бесконечный граф \\(G\\) на вершинах \\(\\mathbb Z^2\\), в котором две различные вершины \\((x_1,y_1)\\) и \\((x_2,y_2)\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\\le 48\\). Дана правильная раскраска вершин графа \\(G\\) в 1201 цвет. Докажите, что любые 1201 подряд идущих вершин одной горизонтальной или одной вертикальной прямой решетки имеют попарно различные цвета.","definition_ids":["chromatic_number","proper_coloring"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Расширенное решение через замощение алмазами","status":"ai_checked","definition_ids":["chromatic_number"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем отождествлять единичную клетку с целочисленной точкой, являющейся ее центром. Для точки \\(a\\) обозначим через \\(D(a)=\\{b\\in\\mathbb Z^2: |b-a|_1\\le 24\\}\\) алмаз радиуса 24. Если две клетки с центрами \\(u\\) и \\(v\\) лежат в одном таком алмазе, то \\(|u-v|_1\\le 48\\). Минимальный прямоугольник решетки, содержащий эти клетки, имеет сумму сторон не больше \\(|u-v|_1+2\\le 50\\), поэтому его можно поместить в прямоугольник периметра 100. Значит, в одном алмазе нет двух клеток одного цвета. Но в алмазе ровно \\(1+4(1+2+\\dots+24)=1201\\) клеток, то есть столько же, сколько цветов, поэтому каждый алмаз содержит каждый цвет ровно один раз. Зафиксируем один цвет, например зеленый, и пусть \\(A\\) — множество центров зеленых клеток. Алмазы \\(D(a)\\), \\(a\\in A\\), покрывают всю решетку: для любой клетки \\(b\\) алмаз \\(D(b)\\) содержит зеленую клетку \\(a\\), откуда \\(b\\in D(a)\\). Два таких алмаза не пересекаю…"}],"relations":[{"id":"rel-bmo-2016-imo-1985-perfect-code","neighbor_id":"imo-1985-sl5-lattice-perfect-code","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bmo-2016-bmo-2022-grid-coloring","neighbor_id":"bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"ai_checked"}],"search_text":"bmo-2016-p4-infinite-grid-diamond-coloring раскраска бесконечной решётки в метрике \\(l_1\\), bmo 2016 p4 coloring modular_coloring goal_exact_bound 2016 bmo bmo 2016 problems and solutions, зеркало bmo2016 https://ru.scribd.com/document/416182434/bmo-2016-problems-and-solutions https://www.massee-org.eu/mathematical/bmo/item/54-bmo2016 massee, bmo 2016 официальная архивная страница official_archive solution_notes src-bmo-2016-massee-official src-scribd-bmo-2016-problems-solutions with_solution ? massee, bmo 2016 официальная архивная страница bmo 2016 problems and solutions, зеркало stmt-original условие needs_human_review плоскость разбита на единичные квадраты двумя семействами параллельных прямых, образующими бесконечную решетку. каждый единичный квадрат окрашен в один из 1201 цветов так, что ни один прямоугольник периметра 100 не содержит двух квадратов одного цвета. докажите, что ни один прямоугольник размера \\(1\\times 1201\\) или \\(1201\\times 1\\) не содержит двух квадратов одного цвета. здесь предполагается, что стороны всех прямоугольников лежат на прямых решетки. stmt-graph раскраска графа решётки с метрикой \\(l_1\\) needs_human_review рассмотрим бесконечный граф \\(g\\) на вершинах \\(\\mathbb z^2\\), в котором две различные вершины \\((x_1,y_1)\\) и \\((x_2,y_2)\\) соединены ребром тогда и только тогда, когда \\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\\le 48\\). дана правильная раскраска вершин графа \\(g\\) в 1201 цвет. докажите, что любые 1201 подряд идущих вершин одной горизонтальной или одной вертикальной прямой решетки имеют попарно различные цвета. chromatic_number proper_coloring idea-rectangle-to-diamond прямоугольники периметра 100 заставляют алмаз быть радужным если центры двух клеток имеют манхэттеново расстояние не больше 48, то эти две клетки помещаются в прямоугольник решетки периметра 100. поэтому в каждом алмазе \\(|x|+|y|\\le 24\\) все \\(24^2+25^2=1201\\) клеток имеют разные цвета. coloring ai_checked idea-color-class-tiles-plane один цвет задает однослойное покрытие алмазами для фиксированного цвета алмазы радиуса 24 с центрами в клетках этого цвета не пересекаются и покрывают всю решетку. это переводит задачу в классификацию замощения решетки одинаковыми \\(\\ell_1\\)-шарами. coloring modular_coloring ai_checked idea-diamond-tiling-lattice алмазное замощение вынуждает решеточный период в однослойном замощении алмазами радиуса 24 соседние алмазы обязаны приставляться к целой стороне; иначе около угла остаются незакрытые клетки или возникает перекрытие. поэтому центры одного цвета образуют сдвиг решетки, порожденной векторами \\((25,24)\\) и \\((24,-25)\\), с точностью до поворотов и отражений. modular_coloring ai_checked sol-official-expanded расширенное решение через замощение алмазами ai_checked chromatic_number будем отождествлять единичную клетку с целочисленной точкой, являющейся ее центром. для точки \\(a\\) обозначим через \\(d(a)=\\{b\\in\\mathbb z^2: |b-a|_1\\le 24\\}\\) алмаз радиуса 24. если две клетки с центрами \\(u\\) и \\(v\\) лежат в одном таком алмазе, то \\(|u-v|_1\\le 48\\). минимальный прямоугольник решетки, содержащий эти клетки, имеет сумму сторон не больше \\(|u-v|_1+2\\le 50\\), поэтому его можно поместить в прямоугольник периметра 100. значит, в одном алмазе нет двух клеток одного цвета. но в алмазе ровно \\(1+4(1+2+\\dots+24)=1201\\) клеток, то есть столько же, сколько цветов, поэтому каждый алмаз содержит каждый цвет ровно один раз. зафиксируем один цвет, например зеленый, и пусть \\(a\\) — множество центров зеленых клеток. алмазы \\(d(a)\\), \\(a\\in a\\), покрывают всю решетку: для любой клетки \\(b\\) алмаз \\(d(b)\\) содержит зеленую клетку \\(a\\), откуда \\(b\\in d(a)\\). два таких алмаза не пересекаю… bmo-2016-p4-infinite-grid-diamond-coloring raskraska beskonechnoy reshetki v metrike \\(l_1\\), bmo 2016 p4 coloring modular_coloring goal_exact_bound 2016 bmo bmo 2016 problems and solutions, zerkalo bmo2016 https://ru.scribd.com/document/416182434/bmo-2016-problems-and-solutions https://www.massee-org.eu/mathematical/bmo/item/54-bmo2016 massee, bmo 2016 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa official_archive solution_notes src-bmo-2016-massee-official src-scribd-bmo-2016-problems-solutions with_solution ? massee, bmo 2016 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa bmo 2016 problems and solutions, zerkalo stmt-original uslovie needs_human_review ploskost razbita na edinichnye kvadraty dvumya semeystvami parallelnyh pryamyh, obrazuyuschimi beskonechnuyu reshetku. kazhdyy edinichnyy kvadrat okrashen v odin iz 1201 tsvetov tak, chto ni odin pryamougolnik perimetra 100 ne soderzhit dvuh kvadratov odnogo tsveta. dokazhite, chto ni odin pryamougolnik razmera \\(1\\times 1201\\) ili \\(1201\\times 1\\) ne soderzhit dvuh kvadratov odnogo tsveta. zdes predpolagaetsya, chto storony vseh pryamougolnikov lezhat na pryamyh reshetki. stmt-graph raskraska grafa reshetki s metrikoy \\(l_1\\) needs_human_review rassmotrim beskonechnyy graf \\(g\\) na vershinah \\(\\mathbb z^2\\), v kotorom dve razlichnye vershiny \\((x_1,y_1)\\) i \\((x_2,y_2)\\) soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda \\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\\le 48\\). dana pravilnaya raskraska vershin grafa \\(g\\) v 1201 tsvet. dokazhite, chto lyubye 1201 podryad iduschih vershin odnoy gorizontalnoy ili odnoy vertikalnoy pryamoy reshetki imeyut poparno razlichnye tsveta. chromatic_number proper_coloring idea-rectangle-to-diamond pryamougolniki perimetra 100 zastavlyayut almaz byt raduzhnym esli tsentry dvuh kletok imeyut manhettenovo rasstoyanie ne bolshe 48, to eti dve kletki pomeschayutsya v pryamougolnik reshetki perimetra 100. poetomu v kazhdom almaze \\(|x|+|y|\\le 24\\) vse \\(24^2+25^2=1201\\) kletok imeyut raznye tsveta. coloring ai_checked idea-color-class-tiles-plane odin tsvet zadaet odnosloynoe pokrytie almazami dlya fiksirovannogo tsveta almazy radiusa 24 s tsentrami v kletkah etogo tsveta ne peresekayutsya i pokryvayut vsyu reshetku. eto perevodit zadachu v klassifikatsiyu zamoscheniya reshetki odinakovymi \\(\\ell_1\\)-sharami. coloring modular_coloring ai_checked idea-diamond-tiling-lattice almaznoe zamoschenie vynuzhdaet reshetochnyy period v odnosloynom zamoschenii almazami radiusa 24 sosednie almazy obyazany pristavlyatsya k tseloy storone; inache okolo ugla ostayutsya nezakrytye kletki ili voznikaet perekrytie. poetomu tsentry odnogo tsveta obrazuyut sdvig reshetki, porozhdennoy vektorami \\((25,24)\\) i \\((24,-25)\\), s tochnostyu do povorotov i otrazheniy. modular_coloring ai_checked sol-official-expanded rasshirennoe reshenie cherez zamoschenie almazami ai_checked chromatic_number budem otozhdestvlyat edinichnuyu kletku s tselochislennoy tochkoy, yavlyayuscheysya ee tsentrom. dlya tochki \\(a\\) oboznachim cherez \\(d(a)=\\{b\\in\\mathbb z^2: |b-a|_1\\le 24\\}\\) almaz radiusa 24. esli dve kletki s tsentrami \\(u\\) i \\(v\\) lezhat v odnom takom almaze, to \\(|u-v|_1\\le 48\\). minimalnyy pryamougolnik reshetki, soderzhaschiy eti kletki, imeet summu storon ne bolshe \\(|u-v|_1+2\\le 50\\), poetomu ego mozhno pomestit v pryamougolnik perimetra 100. znachit, v odnom almaze net dvuh kletok odnogo tsveta. no v almaze rovno \\(1+4(1+2+\\dots+24)=1201\\) kletok, to est stolko zhe, skolko tsvetov, poetomu kazhdyy almaz soderzhit kazhdyy tsvet rovno odin raz. zafiksiruem odin tsvet, naprimer zelenyy, i pust \\(a\\) — mnozhestvo tsentrov zelenyh kletok. almazy \\(d(a)\\), \\(a\\in a\\), pokryvayut vsyu reshetku: dlya lyuboy kletki \\(b\\) almaz \\(d(b)\\) soderzhit zelenuyu kletku \\(a\\), otkuda \\(b\\in d(a)\\). dva takih almaza ne peresekayu…","source_keys":["bmo"]}
{"id":"bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph","title":"Максимум компонент в двухцветной доске, BMO 2022 P4","path":"data\\problems\\bmo\\bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/bmo/bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph","source_key":"bmo","source_label":"BMO","source_titles":["BMO 2022 официальная архивная страница","MOlympiad.NET, Balkan Mathematical Olympiad 2022 решения"],"year":"2022","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","coloring","planar_graphs","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":9,"comment":"BMO 2022 P4; граф границ является центральным объектом официального решения.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"аудит особо высокой сложности 2026-05-07","notes":"Решение через граф границ развёрнуто; проверены подсчёт областей, исключительные малые компоненты около углов и экстремальная раскраска; внешняя теорема не используется.","audit_source":"very_high_pipeline_batch_2_2026_05_07"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Дана доска \\(n\\times n\\) из единичных клеток, где \\(n\\ge 3\\) нечётно. Каждая клетка окрашена в красный или синий цвет. Лягушка может перепрыгнуть из клетки в клетку тогда и только тогда, когда клетки одного цвета и имеют общую вершину. После раскраски нужно поставить \\(k\\) лягушек так, чтобы из клеток с лягушками по разрешённым прыжкам можно было добраться до любой клетки доски. Найдите наименьшее \\(k\\), которое гарантированно достаточно при любой раскраске.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Компоненты одноцветной клеточной смежности","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge 3\\) нечётно. Вершинами графа \\(G\\) являются клетки доски \\(n\\times n\\), а две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие клетки имеют один цвет и соприкасаются хотя бы в одной вершине. Найдите наибольшее возможное число компонент связности графа \\(G\\) по всем раскраскам клеток доски в красный и синий цвета.","definition_ids":["connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Решение через граф границ","status":"source_verified","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(\\dfrac{(n+1)^2}{4}+1\\). Будем считать не отдельные клетки, а компоненты достижимости: одну лягушку надо поставить в каждую компоненту графа, где вершины - клетки, а рёбра соединяют одноцветные клетки с общей вершиной. Поэтому нужно найти наибольшее возможное число таких одноцветных компонент. Построим граф границ \\(H\\). Его вершины - \\((n+1)^2\\) узлов решётки, то есть углы клеток. Ребро графа \\(H\\) - единичный отрезок, являющийся общей стороной двух клеток разных цветов. Внешнюю границу доски в \\(H\\) не включаем. Пусть \\(N\\) - число нетривиальных компонент \\(H\\), то есть компонент, содержащих хотя бы одно ребро. Сначала свяжем \\(N\\) с числом одноцветных областей. Если границ разных цветов нет, вся доска является одной областью в смысле ходов лягушки: любые две клетки можно соединить цепочкой соседних по стороне клеток, а такие клетки тем более имеют общую вершину. Теперь добави…"}],"relations":[{"id":"rel-bmo-2016-bmo-2022-grid-coloring","neighbor_id":"bmo-2016-p4-infinite-grid-diamond-coloring","direction":"backward","type":"same_motif","distance":4,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-grid-boundary-components-bmo-2022-p4","neighbor_id":"grid-boundary-components-coloring-lemma","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-metadata-tree-euler-handshaking-bmo-2022-boundary","neighbor_id":"handshaking-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-bmo-2022-p4-imo-2019-c4-boundary-regions","neighbor_id":"imo-2019-c4-labyrinth-region-graph","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-tc-2022-23-bmo-2022-p4-grid-boundary","neighbor_id":"tc-2022-23-blue-red-cells-connectivity","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph максимум компонент в двухцветной доске, bmo 2022 p4 connectivity coloring planar_graphs goal_exact_bound 2022 bmo bmo 2022 официальная архивная страница bmo2022 https://www.cms.org.cy/pages/competitions/bmo-2022-4-9-may-2022/39th-balkan-mathematical-olympiad-%e2%80%93-bmo-2022-second-announcement1647515569 https://www.molympiad.net/2022/05/balkan-mathematical-olympiad-2022.html molympiad.net, balkan mathematical olympiad 2022 решения official_archive olympiad_archive src-bmo-2022-official src-molympiad-bmo-2022 with_solution ? bmo 2022 официальная архивная страница molympiad.net, balkan mathematical olympiad 2022 решения stmt-original условие ai_checked дана доска \\(n\\times n\\) из единичных клеток, где \\(n\\ge 3\\) нечётно. каждая клетка окрашена в красный или синий цвет. лягушка может перепрыгнуть из клетки в клетку тогда и только тогда, когда клетки одного цвета и имеют общую вершину. после раскраски нужно поставить \\(k\\) лягушек так, чтобы из клеток с лягушками по разрешённым прыжкам можно было добраться до любой клетки доски. найдите наименьшее \\(k\\), которое гарантированно достаточно при любой раскраске. stmt-graph компоненты одноцветной клеточной смежности ai_checked пусть \\(n\\ge 3\\) нечётно. вершинами графа \\(g\\) являются клетки доски \\(n\\times n\\), а две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие клетки имеют один цвет и соприкасаются хотя бы в одной вершине. найдите наибольшее возможное число компонент связности графа \\(g\\) по всем раскраскам клеток доски в красный и синий цвета. connected_graph idea-boundary-components граф границ считает монохроматические области границы между красными и синими клетками образуют граф на вершинах решётки. каждая его нетривиальная компонента добавляет одну новую монохроматическую область, поэтому число областей равно числу нетривиальных компонент плюс один. connectivity ai_checked idea-degree-bounding оценка числа компонент по степеням вершин у угловых вершин степень 0, у граничных - 0 или 1, у внутренних - 0, 2 или 4. отсюда каждая нетривиальная компонента содержит как минимум четыре вершины, кроме не более чем четырёх угловых исключений, и получается оценка на число компонент. double_counting ai_checked sol-official-expanded решение через граф границ source_verified degree double_counting ответ: \\(\\dfrac{(n+1)^2}{4}+1\\). будем считать не отдельные клетки, а компоненты достижимости: одну лягушку надо поставить в каждую компоненту графа, где вершины - клетки, а рёбра соединяют одноцветные клетки с общей вершиной. поэтому нужно найти наибольшее возможное число таких одноцветных компонент. построим граф границ \\(h\\). его вершины - \\((n+1)^2\\) узлов решётки, то есть углы клеток. ребро графа \\(h\\) - единичный отрезок, являющийся общей стороной двух клеток разных цветов. внешнюю границу доски в \\(h\\) не включаем. пусть \\(n\\) - число нетривиальных компонент \\(h\\), то есть компонент, содержащих хотя бы одно ребро. сначала свяжем \\(n\\) с числом одноцветных областей. если границ разных цветов нет, вся доска является одной областью в смысле ходов лягушки: любые две клетки можно соединить цепочкой соседних по стороне клеток, а такие клетки тем более имеют общую вершину. теперь добави… bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph maksimum komponent v dvuhtsvetnoy doske, bmo 2022 p4 connectivity coloring planar_graphs goal_exact_bound 2022 bmo bmo 2022 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa bmo2022 https://www.cms.org.cy/pages/competitions/bmo-2022-4-9-may-2022/39th-balkan-mathematical-olympiad-%e2%80%93-bmo-2022-second-announcement1647515569 https://www.molympiad.net/2022/05/balkan-mathematical-olympiad-2022.html molympiad.net, balkan mathematical olympiad 2022 resheniya official_archive olympiad_archive src-bmo-2022-official src-molympiad-bmo-2022 with_solution ? bmo 2022 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa molympiad.net, balkan mathematical olympiad 2022 resheniya stmt-original uslovie ai_checked dana doska \\(n\\times n\\) iz edinichnyh kletok, gde \\(n\\ge 3\\) nechetno. kazhdaya kletka okrashena v krasnyy ili siniy tsvet. lyagushka mozhet pereprygnut iz kletki v kletku togda i tolko togda, kogda kletki odnogo tsveta i imeyut obschuyu vershinu. posle raskraski nuzhno postavit \\(k\\) lyagushek tak, chtoby iz kletok s lyagushkami po razreshennym pryzhkam mozhno bylo dobratsya do lyuboy kletki doski. naydite naimenshee \\(k\\), kotoroe garantirovanno dostatochno pri lyuboy raskraske. stmt-graph komponenty odnotsvetnoy kletochnoy smezhnosti ai_checked pust \\(n\\ge 3\\) nechetno. vershinami grafa \\(g\\) yavlyayutsya kletki doski \\(n\\times n\\), a dve vershiny soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda sootvetstvuyuschie kletki imeyut odin tsvet i soprikasayutsya hotya by v odnoy vershine. naydite naibolshee vozmozhnoe chislo komponent svyaznosti grafa \\(g\\) po vsem raskraskam kletok doski v krasnyy i siniy tsveta. connected_graph idea-boundary-components graf granits schitaet monohromaticheskie oblasti granitsy mezhdu krasnymi i sinimi kletkami obrazuyut graf na vershinah reshetki. kazhdaya ego netrivialnaya komponenta dobavlyaet odnu novuyu monohromaticheskuyu oblast, poetomu chislo oblastey ravno chislu netrivialnyh komponent plyus odin. connectivity ai_checked idea-degree-bounding otsenka chisla komponent po stepenyam vershin u uglovyh vershin stepen 0, u granichnyh - 0 ili 1, u vnutrennih - 0, 2 ili 4. otsyuda kazhdaya netrivialnaya komponenta soderzhit kak minimum chetyre vershiny, krome ne bolee chem chetyreh uglovyh isklyucheniy, i poluchaetsya otsenka na chislo komponent. double_counting ai_checked sol-official-expanded reshenie cherez graf granits source_verified degree double_counting otvet: \\(\\dfrac{(n+1)^2}{4}+1\\). budem schitat ne otdelnye kletki, a komponenty dostizhimosti: odnu lyagushku nado postavit v kazhduyu komponentu grafa, gde vershiny - kletki, a rebra soedinyayut odnotsvetnye kletki s obschey vershinoy. poetomu nuzhno nayti naibolshee vozmozhnoe chislo takih odnotsvetnyh komponent. postroim graf granits \\(h\\). ego vershiny - \\((n+1)^2\\) uzlov reshetki, to est ugly kletok. rebro grafa \\(h\\) - edinichnyy otrezok, yavlyayuschiysya obschey storonoy dvuh kletok raznyh tsvetov. vneshnyuyu granitsu doski v \\(h\\) ne vklyuchaem. pust \\(n\\) - chislo netrivialnyh komponent \\(h\\), to est komponent, soderzhaschih hotya by odno rebro. snachala svyazhem \\(n\\) s chislom odnotsvetnyh oblastey. esli granits raznyh tsvetov net, vsya doska yavlyaetsya odnoy oblastyu v smysle hodov lyagushki: lyubye dve kletki mozhno soedinit tsepochkoy sosednih po storone kletok, a takie kletki tem bolee imeyut obschuyu vershinu. teper dobavi…","source_keys":["bmo"]}
{"id":"bmo-2025-p4-flights-long-short-paths","title":"Число рёбер при раздельных кратчайших и длиннейших путях, BMO 2025 P4","path":"data\\problems\\bmo\\bmo-2025-p4-flights-long-short-paths.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/bmo/bmo-2025-p4-flights-long-short-paths.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#bmo-2025-p4-flights-long-short-paths","source_key":"bmo","source_label":"BMO","source_titles":["BMO 2025 официальные условия и решения"],"year":"2025","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","hamiltonian_cycles","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_hard","local_score":11,"comment":"BMO 2025 P4; официальное решение полностью графовое и классифицирует допустимые графы.","status":"needs_human_review"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.87,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан. Решение доказывает сведение к гамильтонову циклу и классификацию множеств расстояний, затем реализует все перечисленные числа рёбер. Тяжёлая внешняя теорема не используется.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"needs_human_review","text":"В стране есть \\(n\\ge 100\\) городов; некоторые пары соединены двусторонними прямыми авиарейсами. Для двух городов \\(A,B\\) путь - это последовательность различных городов от \\(A\\) до \\(B\\), в которой соседние города соединены рейсом. Длинным путём называется путь между \\(A\\) и \\(B\\), содержащий максимально возможное число городов, а коротким - путь с минимально возможным числом городов. Предполагается, что для любой пары \\(A,B\\) существуют длинный и короткий пути, не имеющие общих внутренних городов. Пусть \\(F\\) - число авиалиний. Найдите все возможные значения \\(F\\) в зависимости от \\(n\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Графы с раздельными кратчайшими и длиннейшими путями","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(G\\) — связный простой неориентированный граф на \\(n\\ge 3\\) вершинах. Для любых двух различных вершин \\(u,v\\) существует кратчайший \\(u\\)-\\(v\\)-путь и существует простой \\(u\\)-\\(v\\)-путь максимальной возможной длины, причём эти два пути не имеют общих внутренних вершин. Найдите все возможные значения числа рёбер \\(e(G)\\) в зависимости от \\(n\\).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-compressed","title":"Решение через гамильтонов цикл","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","path","cycle","complete_graph","bipartite_graph"],"standard_idea_ids":["longest_path"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Интерпретируем сеть авиарейсов как простой неориентированный граф \\(G\\). Сначала проверим три семейства. В \\(K_n\\) коротким путём между двумя вершинами служит ребро, а длинный путь можно выбрать любым гамильтоновым путём с теми же концами. В цикле \\(C_n\\) между двумя вершинами есть два пути по двум дугам цикла; более короткая и более длинная дуга не имеют общих внутренних вершин. В \\(K_{m,m}\\), где \\(n=2m\\), для вершин из разных долей короткий путь - ребро, а длинный путь можно взять гамильтоновым. Для вершин из одной доли длинный путь имеет \\(2m-1\\) вершин и пропускает некоторую вершину другой доли; короткий путь через эту пропущенную вершину внутренне не пересекается с длинным. Значит эти графы подходят. Докажем обратное. Граф связен, потому что между любой парой вершин есть путь. Возьмём путь \\(P=V_1V_2\\dots V_p\\) максимальной длины среди всех простых путей графа. Для пары \\(V_1,V_p\\…"}],"relations":[{"id":"rel-kolm-2014-diameter-cycle-bmo-2025-longest-path","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round4-diameter-cycle-length","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-cmo-2026-p3-bmo-2025-p4-hamiltonian-cycle","neighbor_id":"cmo-2026-p3-grid-hamiltonian-snail","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-spbmo-2018-7-p7-bmo-2025-long-prescribed-paths","neighbor_id":"spbmo-2018-7-p7-bus-graph-no-odd-cycle-paths","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-longest-path-detour-bmo-2025-p4","neighbor_id":"longest-path-endpoints-shortest-detour","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-dirac-bmo-2025-longest-path","neighbor_id":"dirac-theorem","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"bmo-2025-p4-flights-long-short-paths число рёбер при раздельных кратчайших и длиннейших путях, bmo 2025 p4 connectivity hamiltonian_cycles goal_characterization 2025 bmo bmo 2025 официальные условия и решения bmo2025 https://bmo2025.pmf.unsa.ba/wp-content/uploads/2025/05/problems%20-%20solutions.pdf official_archive src-bmo-2025-official with_solution ? bmo 2025 официальные условия и решения stmt-original условие needs_human_review в стране есть \\(n\\ge 100\\) городов; некоторые пары соединены двусторонними прямыми авиарейсами. для двух городов \\(a,b\\) путь - это последовательность различных городов от \\(a\\) до \\(b\\), в которой соседние города соединены рейсом. длинным путём называется путь между \\(a\\) и \\(b\\), содержащий максимально возможное число городов, а коротким - путь с минимально возможным числом городов. предполагается, что для любой пары \\(a,b\\) существуют длинный и короткий пути, не имеющие общих внутренних городов. пусть \\(f\\) - число авиалиний. найдите все возможные значения \\(f\\) в зависимости от \\(n\\). stmt-graph графы с раздельными кратчайшими и длиннейшими путями needs_human_review пусть \\(g\\) — связный простой неориентированный граф на \\(n\\ge 3\\) вершинах. для любых двух различных вершин \\(u,v\\) существует кратчайший \\(u\\)-\\(v\\)-путь и существует простой \\(u\\)-\\(v\\)-путь максимальной возможной длины, причём эти два пути не имеют общих внутренних вершин. найдите все возможные значения числа рёбер \\(e(g)\\) в зависимости от \\(n\\). simple_graph connected_graph path idea-longest-path-cycle наидлиннейший путь замыкается в гамильтонов цикл берём наидлиннейший путь между двумя вершинами и сравниваем его с непересекающимся коротким путём. это вынуждает наличие ребра между концами длинного пути; затем любой внешний сосед дал бы более длинный путь, значит найденный цикл уже проходит через все вершины графа. connectivity needs_human_review idea-distance-set-closure множество допустимых расстояний по циклу замкнуто после гамильтонова цикла все хорды классифицируются по циклическому расстоянию. из специальных длинных путей следует, что вместе с двумя из чисел \\(a,b,a+b-1\\) в множество допустимых расстояний попадает и третье; это замыкание приводит только к трём вариантам: цикл, полный граф или при чётном \\(n\\) полный двудольный граф. hamiltonian_cycles needs_human_review sol-official-compressed решение через гамильтонов цикл ai_checked connected_graph path cycle complete_graph bipartite_graph longest_path интерпретируем сеть авиарейсов как простой неориентированный граф \\(g\\). сначала проверим три семейства. в \\(k_n\\) коротким путём между двумя вершинами служит ребро, а длинный путь можно выбрать любым гамильтоновым путём с теми же концами. в цикле \\(c_n\\) между двумя вершинами есть два пути по двум дугам цикла; более короткая и более длинная дуга не имеют общих внутренних вершин. в \\(k_{m,m}\\), где \\(n=2m\\), для вершин из разных долей короткий путь - ребро, а длинный путь можно взять гамильтоновым. для вершин из одной доли длинный путь имеет \\(2m-1\\) вершин и пропускает некоторую вершину другой доли; короткий путь через эту пропущенную вершину внутренне не пересекается с длинным. значит эти графы подходят. докажем обратное. граф связен, потому что между любой парой вершин есть путь. возьмём путь \\(p=v_1v_2\\dots v_p\\) максимальной длины среди всех простых путей графа. для пары \\(v_1,v_p\\… bmo-2025-p4-flights-long-short-paths chislo reber pri razdelnyh kratchayshih i dlinneyshih putyah, bmo 2025 p4 connectivity hamiltonian_cycles goal_characterization 2025 bmo bmo 2025 ofitsialnye usloviya i resheniya bmo2025 https://bmo2025.pmf.unsa.ba/wp-content/uploads/2025/05/problems%20-%20solutions.pdf official_archive src-bmo-2025-official with_solution ? bmo 2025 ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original uslovie needs_human_review v strane est \\(n\\ge 100\\) gorodov; nekotorye pary soedineny dvustoronnimi pryamymi aviareysami. dlya dvuh gorodov \\(a,b\\) put - eto posledovatelnost razlichnyh gorodov ot \\(a\\) do \\(b\\), v kotoroy sosednie goroda soedineny reysom. dlinnym putem nazyvaetsya put mezhdu \\(a\\) i \\(b\\), soderzhaschiy maksimalno vozmozhnoe chislo gorodov, a korotkim - put s minimalno vozmozhnym chislom gorodov. predpolagaetsya, chto dlya lyuboy pary \\(a,b\\) suschestvuyut dlinnyy i korotkiy puti, ne imeyuschie obschih vnutrennih gorodov. pust \\(f\\) - chislo avialiniy. naydite vse vozmozhnye znacheniya \\(f\\) v zavisimosti ot \\(n\\). stmt-graph grafy s razdelnymi kratchayshimi i dlinneyshimi putyami needs_human_review pust \\(g\\) — svyaznyy prostoy neorientirovannyy graf na \\(n\\ge 3\\) vershinah. dlya lyubyh dvuh razlichnyh vershin \\(u,v\\) suschestvuet kratchayshiy \\(u\\)-\\(v\\)-put i suschestvuet prostoy \\(u\\)-\\(v\\)-put maksimalnoy vozmozhnoy dliny, prichem eti dva puti ne imeyut obschih vnutrennih vershin. naydite vse vozmozhnye znacheniya chisla reber \\(e(g)\\) v zavisimosti ot \\(n\\). simple_graph connected_graph path idea-longest-path-cycle naidlinneyshiy put zamykaetsya v gamiltonov tsikl berem naidlinneyshiy put mezhdu dvumya vershinami i sravnivaem ego s neperesekayuschimsya korotkim putem. eto vynuzhdaet nalichie rebra mezhdu kontsami dlinnogo puti; zatem lyuboy vneshniy sosed dal by bolee dlinnyy put, znachit naydennyy tsikl uzhe prohodit cherez vse vershiny grafa. connectivity needs_human_review idea-distance-set-closure mnozhestvo dopustimyh rasstoyaniy po tsiklu zamknuto posle gamiltonova tsikla vse hordy klassifitsiruyutsya po tsiklicheskomu rasstoyaniyu. iz spetsialnyh dlinnyh putey sleduet, chto vmeste s dvumya iz chisel \\(a,b,a+b-1\\) v mnozhestvo dopustimyh rasstoyaniy popadaet i trete; eto zamykanie privodit tolko k trem variantam: tsikl, polnyy graf ili pri chetnom \\(n\\) polnyy dvudolnyy graf. hamiltonian_cycles needs_human_review sol-official-compressed reshenie cherez gamiltonov tsikl ai_checked connected_graph path cycle complete_graph bipartite_graph longest_path interpretiruem set aviareysov kak prostoy neorientirovannyy graf \\(g\\). snachala proverim tri semeystva. v \\(k_n\\) korotkim putem mezhdu dvumya vershinami sluzhit rebro, a dlinnyy put mozhno vybrat lyubym gamiltonovym putem s temi zhe kontsami. v tsikle \\(c_n\\) mezhdu dvumya vershinami est dva puti po dvum dugam tsikla; bolee korotkaya i bolee dlinnaya duga ne imeyut obschih vnutrennih vershin. v \\(k_{m,m}\\), gde \\(n=2m\\), dlya vershin iz raznyh doley korotkiy put - rebro, a dlinnyy put mozhno vzyat gamiltonovym. dlya vershin iz odnoy doli dlinnyy put imeet \\(2m-1\\) vershin i propuskaet nekotoruyu vershinu drugoy doli; korotkiy put cherez etu propuschennuyu vershinu vnutrenne ne peresekaetsya s dlinnym. znachit eti grafy podhodyat. dokazhem obratnoe. graf svyazen, potomu chto mezhdu lyuboy paroy vershin est put. vozmem put \\(p=v_1v_2\\dots v_p\\) maksimalnoy dliny sredi vseh prostyh putey grafa. dlya pary \\(v_1,v_p\\…","source_keys":["bmo"]}
{"id":"grid-boundary-components-coloring-lemma","title":"Лемма о компонентах графа границ в двуцветной раскраске клетчатой доски","path":"data\\problems\\classical\\grid-boundary-components-coloring-lemma.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/grid-boundary-components-coloring-lemma.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#grid-boundary-components-coloring-lemma","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["BMO 2022 официальная архивная страница"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["connectivity","coloring","planar_graphs","double_counting","goal_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"classical_tool","local_score":5,"comment":"Выделенный инструмент из решения BMO 2022 P4: идея естественная, но требует аккуратного перехода от раскраски к графу границ и локального подсчёта степеней у узлов решётки.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-boundary-components","title":"","status":"ai_checked","text":"Рассмотрим раскраску клеток доски \\(n\\times n\\) в два цвета. Построим граф границ \\(B\\): его вершины — все \\((n+1)^2\\) узлов решётки, а две соседние по стороне решётки вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующий отрезок является общей стороной двух клеток разных цветов. Компоненту графа \\(B\\), содержащую хотя бы одно ребро, назовём нетривиальной. Тогда число монохроматических областей клеток, где клетки одной области имеют один цвет и связаны через общие вершины, не превосходит числа нетривиальных компонент графа \\(B\\) плюс \\(1\\). Кроме того, если \\(n\\) нечётно, то число нетривиальных компонент графа \\(B\\) не превосходит \\((n+1)^2/4\\).","definition_ids":["degree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-boundary-component-count","title":"Граф границ и подсчёт компонент","status":"ai_checked","definition_ids":["degree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть \\(N\\) — число нетривиальных компонент графа границ \\(B\\). Сначала докажем оценку на число областей. Если забыть все границы между разными цветами, вся доска является одной связной областью в смысле движения между клетками через общую вершину. Теперь добавим обратно нетривиальные компоненты границы по одной. Рёбра одной такой компоненты образуют связную преграду между красными и синими клетками; при добавлении этой преграды уже существующая область либо не делится, либо делится на две части. Значит, каждая компонента увеличивает число монохроматических областей не более чем на \\(1\\), и всего областей не больше \\(N+1\\). Осталось оценить \\(N\\) для нечётного \\(n\\). В угловых узлах решётки степень в \\(B\\) равна \\(0\\), потому что через угол не проходит внутренняя сторона между двумя клетками. В неугловом узле на границе доски степень равна \\(0\\) или \\(1\\). Во внутреннем узле сходятся че…"}],"relations":[{"id":"rel-grid-boundary-components-bmo-2022-p4","neighbor_id":"bmo-2022-p4-frog-grid-boundary-graph","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-putnam-2004-grid-components-lemma","neighbor_id":"putnam-2004-a5-random-checkerboard-components","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"grid-boundary-components-coloring-lemma лемма о компонентах графа границ в двуцветной раскраске клетчатой доски connectivity coloring planar_graphs double_counting goal_bound bmo 2022 официальная архивная страница https://www.cms.org.cy/pages/competitions/bmo-2022-4-9-may-2022/39th-balkan-mathematical-olympiad-%e2%80%93-bmo-2022-second-announcement1647515569 misc official_archive src-bmo-2022-official with_solution прочее ? bmo 2022 официальная архивная страница stmt-boundary-components ai_checked рассмотрим раскраску клеток доски \\(n\\times n\\) в два цвета. построим граф границ \\(b\\): его вершины — все \\((n+1)^2\\) узлов решётки, а две соседние по стороне решётки вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующий отрезок является общей стороной двух клеток разных цветов. компоненту графа \\(b\\), содержащую хотя бы одно ребро, назовём нетривиальной. тогда число монохроматических областей клеток, где клетки одной области имеют один цвет и связаны через общие вершины, не превосходит числа нетривиальных компонент графа \\(b\\) плюс \\(1\\). кроме того, если \\(n\\) нечётно, то число нетривиальных компонент графа \\(b\\) не превосходит \\((n+1)^2/4\\). degree idea-boundaries-split-regions компоненты границы добавляют области по одной если стирать все границы между разными цветами, остаётся одна область. возвращая нетривиальные компоненты графа границ по одной, каждая новая компонента может увеличить число монохроматических областей не более чем на один. connectivity ai_checked idea-local-degrees-limit-components локальные степени ограничивают число компонент в углах доски степень в графе границ равна нулю; в неугловых граничных узлах она равна 0 или 1; во внутренних узлах она чётна, то есть равна 0, 2 или 4. поэтому почти каждая нетривиальная компонента требует как минимум четыре узла решётки, а исключения возможны только около четырёх углов. double_counting connectivity ai_checked sol-boundary-component-count граф границ и подсчёт компонент ai_checked degree double_counting пусть \\(n\\) — число нетривиальных компонент графа границ \\(b\\). сначала докажем оценку на число областей. если забыть все границы между разными цветами, вся доска является одной связной областью в смысле движения между клетками через общую вершину. теперь добавим обратно нетривиальные компоненты границы по одной. рёбра одной такой компоненты образуют связную преграду между красными и синими клетками; при добавлении этой преграды уже существующая область либо не делится, либо делится на две части. значит, каждая компонента увеличивает число монохроматических областей не более чем на \\(1\\), и всего областей не больше \\(n+1\\). осталось оценить \\(n\\) для нечётного \\(n\\). в угловых узлах решётки степень в \\(b\\) равна \\(0\\), потому что через угол не проходит внутренняя сторона между двумя клетками. в неугловом узле на границе доски степень равна \\(0\\) или \\(1\\). во внутреннем узле сходятся че… grid-boundary-components-coloring-lemma lemma o komponentah grafa granits v dvutsvetnoy raskraske kletchatoy doski connectivity coloring planar_graphs double_counting goal_bound bmo 2022 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa https://www.cms.org.cy/pages/competitions/bmo-2022-4-9-may-2022/39th-balkan-mathematical-olympiad-%e2%80%93-bmo-2022-second-announcement1647515569 misc official_archive src-bmo-2022-official with_solution prochee ? bmo 2022 ofitsialnaya arhivnaya stranitsa stmt-boundary-components ai_checked rassmotrim raskrasku kletok doski \\(n\\times n\\) v dva tsveta. postroim graf granits \\(b\\): ego vershiny — vse \\((n+1)^2\\) uzlov reshetki, a dve sosednie po storone reshetki vershiny soedineny rebrom togda i tolko togda, kogda sootvetstvuyuschiy otrezok yavlyaetsya obschey storonoy dvuh kletok raznyh tsvetov. komponentu grafa \\(b\\), soderzhaschuyu hotya by odno rebro, nazovem netrivialnoy. togda chislo monohromaticheskih oblastey kletok, gde kletki odnoy oblasti imeyut odin tsvet i svyazany cherez obschie vershiny, ne prevoshodit chisla netrivialnyh komponent grafa \\(b\\) plyus \\(1\\). krome togo, esli \\(n\\) nechetno, to chislo netrivialnyh komponent grafa \\(b\\) ne prevoshodit \\((n+1)^2/4\\). degree idea-boundaries-split-regions komponenty granitsy dobavlyayut oblasti po odnoy esli stirat vse granitsy mezhdu raznymi tsvetami, ostaetsya odna oblast. vozvraschaya netrivialnye komponenty grafa granits po odnoy, kazhdaya novaya komponenta mozhet uvelichit chislo monohromaticheskih oblastey ne bolee chem na odin. connectivity ai_checked idea-local-degrees-limit-components lokalnye stepeni ogranichivayut chislo komponent v uglah doski stepen v grafe granits ravna nulyu; v neuglovyh granichnyh uzlah ona ravna 0 ili 1; vo vnutrennih uzlah ona chetna, to est ravna 0, 2 ili 4. poetomu pochti kazhdaya netrivialnaya komponenta trebuet kak minimum chetyre uzla reshetki, a isklyucheniya vozmozhny tolko okolo chetyreh uglov. double_counting connectivity ai_checked sol-boundary-component-count graf granits i podschet komponent ai_checked degree double_counting pust \\(n\\) — chislo netrivialnyh komponent grafa granits \\(b\\). snachala dokazhem otsenku na chislo oblastey. esli zabyt vse granitsy mezhdu raznymi tsvetami, vsya doska yavlyaetsya odnoy svyaznoy oblastyu v smysle dvizheniya mezhdu kletkami cherez obschuyu vershinu. teper dobavim obratno netrivialnye komponenty granitsy po odnoy. rebra odnoy takoy komponenty obrazuyut svyaznuyu pregradu mezhdu krasnymi i sinimi kletkami; pri dobavlenii etoy pregrady uzhe suschestvuyuschaya oblast libo ne delitsya, libo delitsya na dve chasti. znachit, kazhdaya komponenta uvelichivaet chislo monohromaticheskih oblastey ne bolee chem na \\(1\\), i vsego oblastey ne bolshe \\(n+1\\). ostalos otsenit \\(n\\) dlya nechetnogo \\(n\\). v uglovyh uzlah reshetki stepen v \\(b\\) ravna \\(0\\), potomu chto cherez ugol ne prohodit vnutrennyaya storona mezhdu dvumya kletkami. v neuglovom uzle na granitse doski stepen ravna \\(0\\) ili \\(1\\). vo vnutrennem uzle shodyatsya che…","source_keys":["misc","bmo"]}
{"id":"longest-path-endpoints-shortest-detour","title":"Кратчайший обход между концами максимального пути","path":"data\\problems\\classical\\longest-path-endpoints-shortest-detour.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/classical/longest-path-endpoints-shortest-detour.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#longest-path-endpoints-shortest-detour","source_key":"misc","source_label":"Прочее","source_titles":["BMO 2025 официальные условия и решения"],"year":"","type":"lemma","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Короткая, но полезная лемма для задач о длиннейших путях и гамильтоновых циклах.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Классическая извлечённая карточка имеет официальный источник и проверенное агентом решение.","audit_source":"agent-imo-us-classical.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-1","title":"","status":"needs_human_review","text":"Пусть \\(G\\) — связный простой граф, а \\(P=v_1v_2\\dots v_p\\) — простой путь максимальной длины в \\(G\\). Предположим, что существует кратчайший путь \\(Q\\) из \\(v_1\\) в \\(v_p\\), все внутренние вершины которого не лежат на \\(P\\). Докажите, что путь \\(Q\\) состоит из одного ребра, то есть \\(v_1v_p\\in E(G)\\).","definition_ids":["simple_graph","connected_graph","path","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-cycle-longer-than-path","title":"Цикл длиннее максимального пути","status":"ai_checked","definition_ids":["path","cycle"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Пусть кратчайший путь \\(Q\\) имеет хотя бы одну внутреннюю вершину. Так как внутренние вершины \\(Q\\) не лежат на \\(P\\), объединение \\(P\\cup Q\\) содержит цикл, проходящий по всем вершинам \\(P\\) и по внутренним вершинам \\(Q\\). Число вершин этого цикла равно \\(|V(P)|+|V(Q)|-2>|V(P)|\\). Удалив из цикла любое ребро, получаем простой путь с большим числом вершин, чем у \\(P\\). Это противоречит максимальности \\(P\\). Следовательно, у \\(Q\\) нет внутренних вершин, и потому \\(Q\\) является ребром \\(v_1v_p\\)."}],"relations":[{"id":"rel-longest-path-detour-bmo-2025-p4","neighbor_id":"bmo-2025-p4-flights-long-short-paths","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-inmo-2021-p4-longest-path-endpoint-cycle","neighbor_id":"complete-graph-minus-n-minus-2-edges-hamiltonian-path","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-paths-counting-longest-detour-kolm-2008-r1","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-1-high-league-problem-1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-paths-counting-longest-detour-kolm-2008-r3","neighbor_id":"kolmogorov-2008-round-3-high-league-problem-1","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"longest-path-endpoints-shortest-detour кратчайший обход между концами максимального пути hamiltonian_cycles goal_exact_bound bmo 2025 официальные условия и решения https://bmo2025.pmf.unsa.ba/wp-content/uploads/2025/05/problems%20-%20solutions.pdf misc official_archive src-bmo-2025-official with_solution прочее ? bmo 2025 официальные условия и решения stmt-original-1 needs_human_review пусть \\(g\\) — связный простой граф, а \\(p=v_1v_2\\dots v_p\\) — простой путь максимальной длины в \\(g\\). предположим, что существует кратчайший путь \\(q\\) из \\(v_1\\) в \\(v_p\\), все внутренние вершины которого не лежат на \\(p\\). докажите, что путь \\(q\\) состоит из одного ребра, то есть \\(v_1v_p\\in e(g)\\). simple_graph connected_graph path cycle idea-two_endpoint_paths_make_longer_cycle два непересекающихся пути между концами дают слишком длинный цикл если обход между концами максимального пути имеет хотя бы одну внутреннюю вершину, объединение двух путей образует цикл, содержащий больше вершин, чем исходный путь; из такого цикла извлекается более длинный путь. hamiltonian_cycles ai_checked sol-cycle-longer-than-path цикл длиннее максимального пути ai_checked path cycle пусть кратчайший путь \\(q\\) имеет хотя бы одну внутреннюю вершину. так как внутренние вершины \\(q\\) не лежат на \\(p\\), объединение \\(p\\cup q\\) содержит цикл, проходящий по всем вершинам \\(p\\) и по внутренним вершинам \\(q\\). число вершин этого цикла равно \\(|v(p)|+|v(q)|-2>|v(p)|\\). удалив из цикла любое ребро, получаем простой путь с большим числом вершин, чем у \\(p\\). это противоречит максимальности \\(p\\). следовательно, у \\(q\\) нет внутренних вершин, и потому \\(q\\) является ребром \\(v_1v_p\\). longest-path-endpoints-shortest-detour kratchayshiy obhod mezhdu kontsami maksimalnogo puti hamiltonian_cycles goal_exact_bound bmo 2025 ofitsialnye usloviya i resheniya https://bmo2025.pmf.unsa.ba/wp-content/uploads/2025/05/problems%20-%20solutions.pdf misc official_archive src-bmo-2025-official with_solution prochee ? bmo 2025 ofitsialnye usloviya i resheniya stmt-original-1 needs_human_review pust \\(g\\) — svyaznyy prostoy graf, a \\(p=v_1v_2\\dots v_p\\) — prostoy put maksimalnoy dliny v \\(g\\). predpolozhim, chto suschestvuet kratchayshiy put \\(q\\) iz \\(v_1\\) v \\(v_p\\), vse vnutrennie vershiny kotorogo ne lezhat na \\(p\\). dokazhite, chto put \\(q\\) sostoit iz odnogo rebra, to est \\(v_1v_p\\in e(g)\\). simple_graph connected_graph path cycle idea-two_endpoint_paths_make_longer_cycle dva neperesekayuschihsya puti mezhdu kontsami dayut slishkom dlinnyy tsikl esli obhod mezhdu kontsami maksimalnogo puti imeet hotya by odnu vnutrennyuyu vershinu, obedinenie dvuh putey obrazuet tsikl, soderzhaschiy bolshe vershin, chem ishodnyy put; iz takogo tsikla izvlekaetsya bolee dlinnyy put. hamiltonian_cycles ai_checked sol-cycle-longer-than-path tsikl dlinnee maksimalnogo puti ai_checked path cycle pust kratchayshiy put \\(q\\) imeet hotya by odnu vnutrennyuyu vershinu. tak kak vnutrennie vershiny \\(q\\) ne lezhat na \\(p\\), obedinenie \\(p\\cup q\\) soderzhit tsikl, prohodyaschiy po vsem vershinam \\(p\\) i po vnutrennim vershinam \\(q\\). chislo vershin etogo tsikla ravno \\(|v(p)|+|v(q)|-2>|v(p)|\\). udaliv iz tsikla lyuboe rebro, poluchaem prostoy put s bolshim chislom vershin, chem u \\(p\\). eto protivorechit maksimalnosti \\(p\\). sledovatelno, u \\(q\\) net vnutrennih vershin, i potomu \\(q\\) yavlyaetsya rebrom \\(v_1v_p\\).","source_keys":["misc","bmo"]}