{"id":"baltic-way-1992-p14-mother-vertex-reachability","title":"Город, из которого достижимы все остальные, Baltic Way 1992 P14","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-1992-p14-mother-vertex-reachability.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-1992-p14-mother-vertex-reachability.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-1992-p14-mother-vertex-reachability","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 1992 официальные условия с решениями"],"year":"1992","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","extremal_choice","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":3,"comment":"Короткая, но чистая задача на достижимость в ориентированном графе.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан; карточка помечена public_ready true и ai_checked. Короткое экстремальное доказательство достижимости выглядит самодостаточным.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В стране конечное число городов. Некоторые пары городов соединены односторонними дорогами. Известно, что для любых двух городов из одного из них можно добраться до другого. Докажите, что существует город, из которого можно добраться до всех остальных городов.","definition_ids":["directed_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Максимальное число достижимых городов","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем город \\(A\\), из которого достижимо максимальное возможное число городов. Предположим, что есть город \\(B\\), до которого из \\(A\\) добраться нельзя. По условию для пары \\(A,B\\) один из этих городов достижим из другого; так как \\(B\\) не достижим из \\(A\\), город \\(A\\) достижим из \\(B\\). Тогда из \\(B\\) можно добраться до \\(A\\), а затем из \\(A\\) — до каждого города, достижимого из \\(A\\). Кроме того, из \\(B\\) достижим сам \\(A\\), который не входил в множество городов, достижимых из \\(A\\) как новый конечный город в этом сравнении. Поэтому из \\(B\\) достижимо больше городов, чем из \\(A\\), что противоречит выбору \\(A\\). Следовательно, такого \\(B\\) нет, и из \\(A\\) достижимы все остальные города."}],"relations":[{"id":"rel-baltic-way-1992-utyum-2008-directed-reachability-median","neighbor_id":"utyum-2008_tur4_31_6_directed_cities","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-vosh-1992-air-travel-baltic-way-1992-mother-vertex","neighbor_id":"vosh-1992-zonal-air-travel-one-city-redundant","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"baltic-way-1992-p14-mother-vertex-reachability город, из которого достижимы все остальные, baltic way 1992 p14 connectivity extremal_choice goal_existence 1992 baltic baltic way baltic way 1992 официальные условия с решениями baltic1992 balticway balticway1992 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw92sol.pdf official_archive src-baltic-way-1992-official-solutions with_solution ? baltic way 1992 официальные условия с решениями stmt-original условие ai_checked в стране конечное число городов. некоторые пары городов соединены односторонними дорогами. известно, что для любых двух городов из одного из них можно добраться до другого. докажите, что существует город, из которого можно добраться до всех остальных городов. directed_graph idea-maximal-reachable-set выбор вершины с максимальным множеством достижимости если из выбранной вершины \\(a\\) не достижима вершина \\(b\\), то по условию \\(a\\) достижима из \\(b\\), а значит из \\(b\\) достижимы все вершины, достижимые из \\(a\\), и ещё сама \\(a\\). extremal_choice connectivity ai_checked sol-official-expanded максимальное число достижимых городов ai_checked directed_graph extremal_choice выберем город \\(a\\), из которого достижимо максимальное возможное число городов. предположим, что есть город \\(b\\), до которого из \\(a\\) добраться нельзя. по условию для пары \\(a,b\\) один из этих городов достижим из другого; так как \\(b\\) не достижим из \\(a\\), город \\(a\\) достижим из \\(b\\). тогда из \\(b\\) можно добраться до \\(a\\), а затем из \\(a\\) — до каждого города, достижимого из \\(a\\). кроме того, из \\(b\\) достижим сам \\(a\\), который не входил в множество городов, достижимых из \\(a\\) как новый конечный город в этом сравнении. поэтому из \\(b\\) достижимо больше городов, чем из \\(a\\), что противоречит выбору \\(a\\). следовательно, такого \\(b\\) нет, и из \\(a\\) достижимы все остальные города. baltic-way-1992-p14-mother-vertex-reachability gorod, iz kotorogo dostizhimy vse ostalnye, baltic way 1992 p14 connectivity extremal_choice goal_existence 1992 baltic baltic way baltic way 1992 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic1992 balticway balticway1992 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw92sol.pdf official_archive src-baltic-way-1992-official-solutions with_solution ? baltic way 1992 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original uslovie ai_checked v strane konechnoe chislo gorodov. nekotorye pary gorodov soedineny odnostoronnimi dorogami. izvestno, chto dlya lyubyh dvuh gorodov iz odnogo iz nih mozhno dobratsya do drugogo. dokazhite, chto suschestvuet gorod, iz kotorogo mozhno dobratsya do vseh ostalnyh gorodov. directed_graph idea-maximal-reachable-set vybor vershiny s maksimalnym mnozhestvom dostizhimosti esli iz vybrannoy vershiny \\(a\\) ne dostizhima vershina \\(b\\), to po usloviyu \\(a\\) dostizhima iz \\(b\\), a znachit iz \\(b\\) dostizhimy vse vershiny, dostizhimye iz \\(a\\), i esche sama \\(a\\). extremal_choice connectivity ai_checked sol-official-expanded maksimalnoe chislo dostizhimyh gorodov ai_checked directed_graph extremal_choice vyberem gorod \\(a\\), iz kotorogo dostizhimo maksimalnoe vozmozhnoe chislo gorodov. predpolozhim, chto est gorod \\(b\\), do kotorogo iz \\(a\\) dobratsya nelzya. po usloviyu dlya pary \\(a,b\\) odin iz etih gorodov dostizhim iz drugogo; tak kak \\(b\\) ne dostizhim iz \\(a\\), gorod \\(a\\) dostizhim iz \\(b\\). togda iz \\(b\\) mozhno dobratsya do \\(a\\), a zatem iz \\(a\\) — do kazhdogo goroda, dostizhimogo iz \\(a\\). krome togo, iz \\(b\\) dostizhim sam \\(a\\), kotoryy ne vhodil v mnozhestvo gorodov, dostizhimyh iz \\(a\\) kak novyy konechnyy gorod v etom sravnenii. poetomu iz \\(b\\) dostizhimo bolshe gorodov, chem iz \\(a\\), chto protivorechit vyboru \\(a\\). sledovatelno, takogo \\(b\\) net, i iz \\(a\\) dostizhimy vse ostalnye goroda.","source_keys":["baltic"]}
{"id":"baltic-way-1993-p12-three-transport-connected-unions","title":"Три вида транспорта и связность любых двух цветов, Baltic Way 1993 P12","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-1993-p12-three-transport-connected-unions.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-1993-p12-three-transport-connected-unions.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-1993-p12-three-transport-connected-unions","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 1993 официальные условия с решениями"],"year":"1993","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","double_counting","goal_exact_bound","construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Графовая точная оценка через двойной подсчёт и явную трёхцветную конструкцию.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан; карточка помечена public_ready true и ai_checked. Нижняя оценка двойным подсчётом и явная конструкция записаны.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В некотором королевстве 13 городов. Между некоторыми парами городов устанавливаются прямые двусторонние сообщения трёх видов: автобусные, железнодорожные или воздушные. Какое наименьшее число сообщений нужно установить, чтобы при выборе любых двух видов транспорта можно было добраться из любого города в любой другой, не используя третий вид?","definition_ids":["connected_graph"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Трёхцветный граф со связными двухцветными объединениями","status":"ai_checked","text":"Найдите минимальное число рёбер в графе на 13 вершинах, рёбра которого окрашены в три цвета, если объединение любых двух цветовых классов является связным графом.","definition_ids":["connected_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Двойной подсчёт и конструкция","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Докажем нижнюю оценку. Если выбрать любые два вида транспорта, полученный граф на 13 городах должен быть связным, а значит содержит не меньше 12 сообщений. Есть три выбора пары видов транспорта. При суммировании трёх полученных чисел каждое сообщение учитывается ровно дважды, потому что его цвет входит ровно в две пары цветов. Поэтому \\(2E\\ge 12+12+12=36\\), откуда \\(E\\ge18\\). Построим пример с 18 сообщениями. Пронумеруем города числами \\(0,1,\\ldots,12\\). Проведём автобусные сообщения \\(01,23,45,67,89,10\\,11\\), железнодорожные сообщения \\(12,34,56,78,9\\,10,11\\,12\\) и воздушные сообщения \\(02,14,36,58,7\\,10,9\\,12\\). Если оставить автобусные и железнодорожные сообщения, получится путь \\(0-1-2-\\cdots-12\\). Если оставить автобусные и воздушные, получится путь \\(11-10-7-6-3-2-0-1-4-5-8-9-12\\). Если оставить железнодорожные и воздушные, получится путь \\(0-2-1-4-3-6-5-8-7-10-9-12-11\\). Во всех…"}],"relations":[],"search_text":"baltic-way-1993-p12-three-transport-connected-unions три вида транспорта и связность любых двух цветов, baltic way 1993 p12 connectivity double_counting goal_exact_bound construction 1993 baltic baltic way baltic way 1993 официальные условия с решениями baltic1993 balticway balticway1993 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw93sol.pdf official_archive src-baltic-way-1993-official-solutions with_solution ? baltic way 1993 официальные условия с решениями stmt-original условие ai_checked в некотором королевстве 13 городов. между некоторыми парами городов устанавливаются прямые двусторонние сообщения трёх видов: автобусные, железнодорожные или воздушные. какое наименьшее число сообщений нужно установить, чтобы при выборе любых двух видов транспорта можно было добраться из любого города в любой другой, не используя третий вид? connected_graph stmt-graph трёхцветный граф со связными двухцветными объединениями ai_checked найдите минимальное число рёбер в графе на 13 вершинах, рёбра которого окрашены в три цвета, если объединение любых двух цветовых классов является связным графом. connected_graph idea-three-connected-unions-counting каждое двухцветное объединение содержит хотя бы 12 рёбер связный граф на 13 вершинах имеет не меньше 12 рёбер. суммируя это для трёх пар цветов, каждое ребро считается ровно дважды. double_counting connectivity ai_checked sol-official-expanded двойной подсчёт и конструкция ai_checked connected_graph double_counting докажем нижнюю оценку. если выбрать любые два вида транспорта, полученный граф на 13 городах должен быть связным, а значит содержит не меньше 12 сообщений. есть три выбора пары видов транспорта. при суммировании трёх полученных чисел каждое сообщение учитывается ровно дважды, потому что его цвет входит ровно в две пары цветов. поэтому \\(2e\\ge 12+12+12=36\\), откуда \\(e\\ge18\\). построим пример с 18 сообщениями. пронумеруем города числами \\(0,1,\\ldots,12\\). проведём автобусные сообщения \\(01,23,45,67,89,10\\,11\\), железнодорожные сообщения \\(12,34,56,78,9\\,10,11\\,12\\) и воздушные сообщения \\(02,14,36,58,7\\,10,9\\,12\\). если оставить автобусные и железнодорожные сообщения, получится путь \\(0-1-2-\\cdots-12\\). если оставить автобусные и воздушные, получится путь \\(11-10-7-6-3-2-0-1-4-5-8-9-12\\). если оставить железнодорожные и воздушные, получится путь \\(0-2-1-4-3-6-5-8-7-10-9-12-11\\). во всех… baltic-way-1993-p12-three-transport-connected-unions tri vida transporta i svyaznost lyubyh dvuh tsvetov, baltic way 1993 p12 connectivity double_counting goal_exact_bound construction 1993 baltic baltic way baltic way 1993 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic1993 balticway balticway1993 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw93sol.pdf official_archive src-baltic-way-1993-official-solutions with_solution ? baltic way 1993 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original uslovie ai_checked v nekotorom korolevstve 13 gorodov. mezhdu nekotorymi parami gorodov ustanavlivayutsya pryamye dvustoronnie soobscheniya treh vidov: avtobusnye, zheleznodorozhnye ili vozdushnye. kakoe naimenshee chislo soobscheniy nuzhno ustanovit, chtoby pri vybore lyubyh dvuh vidov transporta mozhno bylo dobratsya iz lyubogo goroda v lyuboy drugoy, ne ispolzuya tretiy vid? connected_graph stmt-graph trehtsvetnyy graf so svyaznymi dvuhtsvetnymi obedineniyami ai_checked naydite minimalnoe chislo reber v grafe na 13 vershinah, rebra kotorogo okrasheny v tri tsveta, esli obedinenie lyubyh dvuh tsvetovyh klassov yavlyaetsya svyaznym grafom. connected_graph idea-three-connected-unions-counting kazhdoe dvuhtsvetnoe obedinenie soderzhit hotya by 12 reber svyaznyy graf na 13 vershinah imeet ne menshe 12 reber. summiruya eto dlya treh par tsvetov, kazhdoe rebro schitaetsya rovno dvazhdy. double_counting connectivity ai_checked sol-official-expanded dvoynoy podschet i konstruktsiya ai_checked connected_graph double_counting dokazhem nizhnyuyu otsenku. esli vybrat lyubye dva vida transporta, poluchennyy graf na 13 gorodah dolzhen byt svyaznym, a znachit soderzhit ne menshe 12 soobscheniy. est tri vybora pary vidov transporta. pri summirovanii treh poluchennyh chisel kazhdoe soobschenie uchityvaetsya rovno dvazhdy, potomu chto ego tsvet vhodit rovno v dve pary tsvetov. poetomu \\(2e\\ge 12+12+12=36\\), otkuda \\(e\\ge18\\). postroim primer s 18 soobscheniyami. pronumeruem goroda chislami \\(0,1,\\ldots,12\\). provedem avtobusnye soobscheniya \\(01,23,45,67,89,10\\,11\\), zheleznodorozhnye soobscheniya \\(12,34,56,78,9\\,10,11\\,12\\) i vozdushnye soobscheniya \\(02,14,36,58,7\\,10,9\\,12\\). esli ostavit avtobusnye i zheleznodorozhnye soobscheniya, poluchitsya put \\(0-1-2-\\cdots-12\\). esli ostavit avtobusnye i vozdushnye, poluchitsya put \\(11-10-7-6-3-2-0-1-4-5-8-9-12\\). esli ostavit zheleznodorozhnye i vozdushnye, poluchitsya put \\(0-2-1-4-3-6-5-8-7-10-9-12-11\\). vo vseh…","source_keys":["baltic"]}
{"id":"baltic-way-1994-p19-directed-spy-cycles","title":"Из 10-циклов к 11-циклам в орграфе шпионов, Baltic Way 1994 P19","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-1994-p19-directed-spy-cycles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-1994-p19-directed-spy-cycles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-1994-p19-directed-spy-cycles","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 1994 официальные условия с решениями"],"year":"1994","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","degree_counting","pigeonhole_principle","goal_proof"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Содержательная задача об ориентированных циклах: ключевые шаги — оценка числа нейтральных партнёров через 10-вершинные подмножества и вставка вершины в ориентированный 10-цикл.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан; карточка помечена public_ready true и ai_checked. Расширенное доказательство покрывает подсчёт нейтральных пар и вставку в ориентированный цикл.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В разведывательной службе Чудо-острова в Тарту находятся 16 шпионов. Каждый из них следит за некоторыми своими коллегами. Известно, что если шпион \\(A\\) следит за шпионом \\(B\\), то \\(B\\) не следит за \\(A\\). Кроме того, любые 10 шпионов можно занумеровать так, что первый следит за вторым, второй — за третьим, ..., десятый — за первым. Докажите, что любые 11 шпионов тоже можно занумеровать таким образом.","definition_ids":["directed_graph","cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"11-вершинные гамильтоновы циклы в ориентированном графе","status":"ai_checked","text":"В ориентированном графе на 16 вершинах между двумя вершинами проведено не более одной дуги, и встречные дуги запрещены. Известно, что любое множество из 10 вершин содержит ориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что любое множество из 11 вершин тоже содержит ориентированный гамильтонов цикл.","definition_ids":["directed_graph","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Нейтральные пары и вставка вершины в цикл","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","cycle","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Назовём двух шпионов нейтральными, если ни один из них не следит за другим. Для шпиона \\(A_i\\) обозначим через \\(a_i\\) число шпионов, которые следят за ним, через \\(b_i\\) число шпионов, за которыми следит он, а через \\(c_i\\) число шпионов, нейтральных к нему. Тогда \\(a_i+b_i+c_i=15\\). Докажем, что для каждого \\(i\\) выполнены неравенства \\(a_i+c_i\\le 8\\) и \\(b_i+c_i\\le 8\\). Если бы \\(a_i+c_i\\ge 9\\), то можно было бы выбрать \\(A_i\\) и ещё девять шпионов из тех, за кем \\(A_i\\) не следит: это либо шпионы, следящие за \\(A_i\\), либо нейтральные к \\(A_i\\). В выбранной десятке из \\(A_i\\) не выходит ни одной дуги, поэтому \\(A_i\\) не может иметь следующую вершину в ориентированном 10-цикле. Это противоречит условию. Так же, если бы \\(b_i+c_i\\ge 9\\), можно было бы выбрать \\(A_i\\) и ещё девять шпионов, которые не следят за \\(A_i\\); тогда в выбранной десятке в \\(A_i\\) не входит ни одной дуги, и \\(A_…"}],"relations":[],"search_text":"baltic-way-1994-p19-directed-spy-cycles из 10-циклов к 11-циклам в орграфе шпионов, baltic way 1994 p19 hamiltonian_cycles degree_counting pigeonhole_principle goal_proof 1994 baltic baltic way baltic way 1994 официальные условия с решениями baltic1994 balticway balticway1994 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw94sol.pdf official_archive src-baltic-way-1994-official-solutions with_solution ? baltic way 1994 официальные условия с решениями stmt-original условие ai_checked в разведывательной службе чудо-острова в тарту находятся 16 шпионов. каждый из них следит за некоторыми своими коллегами. известно, что если шпион \\(a\\) следит за шпионом \\(b\\), то \\(b\\) не следит за \\(a\\). кроме того, любые 10 шпионов можно занумеровать так, что первый следит за вторым, второй — за третьим, ..., десятый — за первым. докажите, что любые 11 шпионов тоже можно занумеровать таким образом. directed_graph cycle stmt-graph 11-вершинные гамильтоновы циклы в ориентированном графе ai_checked в ориентированном графе на 16 вершинах между двумя вершинами проведено не более одной дуги, и встречные дуги запрещены. известно, что любое множество из 10 вершин содержит ориентированный гамильтонов цикл. докажите, что любое множество из 11 вершин тоже содержит ориентированный гамильтонов цикл. directed_graph hamiltonian_cycle idea-neutral-pair-count нейтральные пары образуют невозможное паросочетание сначала из свойства всех 10-вершинных множеств следует, что каждая вершина имеет не больше одного нейтрального партнёра во всём орграфе. затем в предполагаемом плохом 11-вершинном множестве каждая вершина обязана иметь нейтрального партнёра внутри множества: иначе её можно вставить в 10-цикл или получить слишком большую входящую/исходящую степень. но 11 вершин нельзя разбить на пары. degree_counting pigeonhole_principle hamiltonian_cycles ai_checked sol-official-expanded нейтральные пары и вставка вершины в цикл ai_checked directed_graph cycle hamiltonian_cycle double_counting pigeonhole_principle назовём двух шпионов нейтральными, если ни один из них не следит за другим. для шпиона \\(a_i\\) обозначим через \\(a_i\\) число шпионов, которые следят за ним, через \\(b_i\\) число шпионов, за которыми следит он, а через \\(c_i\\) число шпионов, нейтральных к нему. тогда \\(a_i+b_i+c_i=15\\). докажем, что для каждого \\(i\\) выполнены неравенства \\(a_i+c_i\\le 8\\) и \\(b_i+c_i\\le 8\\). если бы \\(a_i+c_i\\ge 9\\), то можно было бы выбрать \\(a_i\\) и ещё девять шпионов из тех, за кем \\(a_i\\) не следит: это либо шпионы, следящие за \\(a_i\\), либо нейтральные к \\(a_i\\). в выбранной десятке из \\(a_i\\) не выходит ни одной дуги, поэтому \\(a_i\\) не может иметь следующую вершину в ориентированном 10-цикле. это противоречит условию. так же, если бы \\(b_i+c_i\\ge 9\\), можно было бы выбрать \\(a_i\\) и ещё девять шпионов, которые не следят за \\(a_i\\); тогда в выбранной десятке в \\(a_i\\) не входит ни одной дуги, и \\(a_… baltic-way-1994-p19-directed-spy-cycles iz 10-tsiklov k 11-tsiklam v orgrafe shpionov, baltic way 1994 p19 hamiltonian_cycles degree_counting pigeonhole_principle goal_proof 1994 baltic baltic way baltic way 1994 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic1994 balticway balticway1994 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw94sol.pdf official_archive src-baltic-way-1994-official-solutions with_solution ? baltic way 1994 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original uslovie ai_checked v razvedyvatelnoy sluzhbe chudo-ostrova v tartu nahodyatsya 16 shpionov. kazhdyy iz nih sledit za nekotorymi svoimi kollegami. izvestno, chto esli shpion \\(a\\) sledit za shpionom \\(b\\), to \\(b\\) ne sledit za \\(a\\). krome togo, lyubye 10 shpionov mozhno zanumerovat tak, chto pervyy sledit za vtorym, vtoroy — za tretim, ..., desyatyy — za pervym. dokazhite, chto lyubye 11 shpionov tozhe mozhno zanumerovat takim obrazom. directed_graph cycle stmt-graph 11-vershinnye gamiltonovy tsikly v orientirovannom grafe ai_checked v orientirovannom grafe na 16 vershinah mezhdu dvumya vershinami provedeno ne bolee odnoy dugi, i vstrechnye dugi zaprescheny. izvestno, chto lyuboe mnozhestvo iz 10 vershin soderzhit orientirovannyy gamiltonov tsikl. dokazhite, chto lyuboe mnozhestvo iz 11 vershin tozhe soderzhit orientirovannyy gamiltonov tsikl. directed_graph hamiltonian_cycle idea-neutral-pair-count neytralnye pary obrazuyut nevozmozhnoe parosochetanie snachala iz svoystva vseh 10-vershinnyh mnozhestv sleduet, chto kazhdaya vershina imeet ne bolshe odnogo neytralnogo partnera vo vsem orgrafe. zatem v predpolagaemom plohom 11-vershinnom mnozhestve kazhdaya vershina obyazana imet neytralnogo partnera vnutri mnozhestva: inache ee mozhno vstavit v 10-tsikl ili poluchit slishkom bolshuyu vhodyaschuyu/ishodyaschuyu stepen. no 11 vershin nelzya razbit na pary. degree_counting pigeonhole_principle hamiltonian_cycles ai_checked sol-official-expanded neytralnye pary i vstavka vershiny v tsikl ai_checked directed_graph cycle hamiltonian_cycle double_counting pigeonhole_principle nazovem dvuh shpionov neytralnymi, esli ni odin iz nih ne sledit za drugim. dlya shpiona \\(a_i\\) oboznachim cherez \\(a_i\\) chislo shpionov, kotorye sledyat za nim, cherez \\(b_i\\) chislo shpionov, za kotorymi sledit on, a cherez \\(c_i\\) chislo shpionov, neytralnyh k nemu. togda \\(a_i+b_i+c_i=15\\). dokazhem, chto dlya kazhdogo \\(i\\) vypolneny neravenstva \\(a_i+c_i\\le 8\\) i \\(b_i+c_i\\le 8\\). esli by \\(a_i+c_i\\ge 9\\), to mozhno bylo by vybrat \\(a_i\\) i esche devyat shpionov iz teh, za kem \\(a_i\\) ne sledit: eto libo shpiony, sledyaschie za \\(a_i\\), libo neytralnye k \\(a_i\\). v vybrannoy desyatke iz \\(a_i\\) ne vyhodit ni odnoy dugi, poetomu \\(a_i\\) ne mozhet imet sleduyuschuyu vershinu v orientirovannom 10-tsikle. eto protivorechit usloviyu. tak zhe, esli by \\(b_i+c_i\\ge 9\\), mozhno bylo by vybrat \\(a_i\\) i esche devyat shpionov, kotorye ne sledyat za \\(a_i\\); togda v vybrannoy desyatke v \\(a_i\\) ne vhodit ni odnoy dugi, i \\(a_…","source_keys":["baltic"]}
{"id":"baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","title":"Непересекающиеся гамильтоновы циклы в полном графе, Baltic Way 1997 P19","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 1997 официальные условия с решениями"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","double_counting","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Классическая рёберная упаковка гамильтоновых циклов в полном графе.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан; карточка помечена public_ready true и ai_checked. Включены верхняя оценка по числу рёбер, а также модульная и явная конструкции.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"В лесу каждое из \\(n\\) животных, \\(n\\ge3\\), живёт в своей пещере, и между любыми двумя пещерами есть ровно одна отдельная тропа. Перед выборами короля леса некоторые животные проводят кампанию. Каждое такое животное посещает каждую из остальных пещер ровно один раз, передвигается только по тропам, нигде между пещерами не сворачивает с одной тропы на другую и в конце возвращается в свою пещеру. Известно также, что никакая тропа между двумя пещерами не используется более чем одним агитирующим животным. (a) Докажите, что для простого \\(n\\) максимальное число агитирующих животных равно \\((n-1)/2\\). (b) Найдите максимум при \\(n=9\\).","definition_ids":["hamiltonian_cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Упаковка гамильтоновых циклов в полном графе","status":"ai_checked","text":"В полном графе \\(K_n\\) нужно выбрать как можно больше попарно рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов. Докажите, что при простом \\(n\\) максимум равен \\((n-1)/2\\), и найдите максимум для \\(n=9\\).","definition_ids":["hamiltonian_cycle","complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Упаковка гамильтоновых циклов","status":"ai_checked","definition_ids":["hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов. Пещеры — вершины полного графа \\(K_n\\), тропы — его рёбра, а кампания одного животного — гамильтонов цикл. Условие о том, что одна тропа не используется двумя животными, означает рёберную непересекаемость выбранных циклов. Каждый гамильтонов цикл содержит \\(n\\) рёбер. В \\(K_n\\) всего \\(n(n-1)/2\\) рёбер, поэтому число таких циклов не превосходит \\((n-1)/2\\). Пусть теперь \\(n\\) — простое. Пронумеруем вершины вычетами \\(0,1,\\ldots,n-1\\) по модулю \\(n\\). Для каждого \\(a=1,2,\\ldots,(n-1)/2\\) рассмотрим цикл \\(0,a,2a,\\ldots,(n-1)a,0\\). Так как \\(n\\) простое, ненулевой шаг \\(a\\) проходит через все вычеты, поэтому это гамильтонов цикл. Его рёбра соединяют пары вершин, разность которых равна \\(\\pm a\\). Для разных \\(a\\) из выбранного диапазона эти множества разностей различны, значит циклы не имеют общих рёбер. Получены \\((n-1)/2\\) циклов, и оценка точна. Для \\(n…"}],"relations":[{"id":"rel-bw1997-p19-parent-to-prime-child","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bw1997-p19-parent-to-k9-child","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-kolm2014-4regular-cycles-bw1997-hamiltonian-decomposition","neighbor_id":"kolmogorov-2014-round3-four-regular-two-100-cycles","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"},{"id":"rel-kolm-2022-r1-nonedges-baltic-way-edge-packing","neighbor_id":"kolmogorov-2022-round1-high-edge-count-permutation-nonedges","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles непересекающиеся гамильтоновы циклы в полном графе, baltic way 1997 p19 hamiltonian_cycles double_counting construction goal_exact_bound 1997 baltic baltic way baltic way 1997 официальные условия с решениями baltic1997 balticway balticway1997 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw97sol.pdf official_archive src-baltic-way-1997-official-solutions with_solution ? baltic way 1997 официальные условия с решениями stmt-original условие ai_checked в лесу каждое из \\(n\\) животных, \\(n\\ge3\\), живёт в своей пещере, и между любыми двумя пещерами есть ровно одна отдельная тропа. перед выборами короля леса некоторые животные проводят кампанию. каждое такое животное посещает каждую из остальных пещер ровно один раз, передвигается только по тропам, нигде между пещерами не сворачивает с одной тропы на другую и в конце возвращается в свою пещеру. известно также, что никакая тропа между двумя пещерами не используется более чем одним агитирующим животным. (a) докажите, что для простого \\(n\\) максимальное число агитирующих животных равно \\((n-1)/2\\). (b) найдите максимум при \\(n=9\\). hamiltonian_cycle stmt-graph упаковка гамильтоновых циклов в полном графе ai_checked в полном графе \\(k_n\\) нужно выбрать как можно больше попарно рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов. докажите, что при простом \\(n\\) максимум равен \\((n-1)/2\\), и найдите максимум для \\(n=9\\). hamiltonian_cycle complete_graph idea-complete-graph-cycle-packing подсчёт рёбер и циклы по модулю каждый гамильтонов цикл в \\(k_n\\) использует \\(n\\) рёбер, а всего рёбер \\(n(n-1)/2\\). для простого \\(n\\) циклы \\(0,a,2a,\\ldots,(n-1)a,0\\) по модулю \\(n\\) дают \\((n-1)/2\\) рёберно непересекающихся циклов. hamiltonian_cycles double_counting construction ai_checked sol-official-expanded упаковка гамильтоновых циклов ai_checked hamiltonian_cycle double_counting переведём условие на язык графов. пещеры — вершины полного графа \\(k_n\\), тропы — его рёбра, а кампания одного животного — гамильтонов цикл. условие о том, что одна тропа не используется двумя животными, означает рёберную непересекаемость выбранных циклов. каждый гамильтонов цикл содержит \\(n\\) рёбер. в \\(k_n\\) всего \\(n(n-1)/2\\) рёбер, поэтому число таких циклов не превосходит \\((n-1)/2\\). пусть теперь \\(n\\) — простое. пронумеруем вершины вычетами \\(0,1,\\ldots,n-1\\) по модулю \\(n\\). для каждого \\(a=1,2,\\ldots,(n-1)/2\\) рассмотрим цикл \\(0,a,2a,\\ldots,(n-1)a,0\\). так как \\(n\\) простое, ненулевой шаг \\(a\\) проходит через все вычеты, поэтому это гамильтонов цикл. его рёбра соединяют пары вершин, разность которых равна \\(\\pm a\\). для разных \\(a\\) из выбранного диапазона эти множества разностей различны, значит циклы не имеют общих рёбер. получены \\((n-1)/2\\) циклов, и оценка точна. для \\(n… baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles neperesekayuschiesya gamiltonovy tsikly v polnom grafe, baltic way 1997 p19 hamiltonian_cycles double_counting construction goal_exact_bound 1997 baltic baltic way baltic way 1997 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic1997 balticway balticway1997 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw97sol.pdf official_archive src-baltic-way-1997-official-solutions with_solution ? baltic way 1997 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original uslovie ai_checked v lesu kazhdoe iz \\(n\\) zhivotnyh, \\(n\\ge3\\), zhivet v svoey peschere, i mezhdu lyubymi dvumya pescherami est rovno odna otdelnaya tropa. pered vyborami korolya lesa nekotorye zhivotnye provodyat kampaniyu. kazhdoe takoe zhivotnoe poseschaet kazhduyu iz ostalnyh pescher rovno odin raz, peredvigaetsya tolko po tropam, nigde mezhdu pescherami ne svorachivaet s odnoy tropy na druguyu i v kontse vozvraschaetsya v svoyu pescheru. izvestno takzhe, chto nikakaya tropa mezhdu dvumya pescherami ne ispolzuetsya bolee chem odnim agitiruyuschim zhivotnym. (a) dokazhite, chto dlya prostogo \\(n\\) maksimalnoe chislo agitiruyuschih zhivotnyh ravno \\((n-1)/2\\). (b) naydite maksimum pri \\(n=9\\). hamiltonian_cycle stmt-graph upakovka gamiltonovyh tsiklov v polnom grafe ai_checked v polnom grafe \\(k_n\\) nuzhno vybrat kak mozhno bolshe poparno reberno neperesekayuschihsya gamiltonovyh tsiklov. dokazhite, chto pri prostom \\(n\\) maksimum raven \\((n-1)/2\\), i naydite maksimum dlya \\(n=9\\). hamiltonian_cycle complete_graph idea-complete-graph-cycle-packing podschet reber i tsikly po modulyu kazhdyy gamiltonov tsikl v \\(k_n\\) ispolzuet \\(n\\) reber, a vsego reber \\(n(n-1)/2\\). dlya prostogo \\(n\\) tsikly \\(0,a,2a,\\ldots,(n-1)a,0\\) po modulyu \\(n\\) dayut \\((n-1)/2\\) reberno neperesekayuschihsya tsiklov. hamiltonian_cycles double_counting construction ai_checked sol-official-expanded upakovka gamiltonovyh tsiklov ai_checked hamiltonian_cycle double_counting perevedem uslovie na yazyk grafov. peschery — vershiny polnogo grafa \\(k_n\\), tropy — ego rebra, a kampaniya odnogo zhivotnogo — gamiltonov tsikl. uslovie o tom, chto odna tropa ne ispolzuetsya dvumya zhivotnymi, oznachaet rebernuyu neperesekaemost vybrannyh tsiklov. kazhdyy gamiltonov tsikl soderzhit \\(n\\) reber. v \\(k_n\\) vsego \\(n(n-1)/2\\) reber, poetomu chislo takih tsiklov ne prevoshodit \\((n-1)/2\\). pust teper \\(n\\) — prostoe. pronumeruem vershiny vychetami \\(0,1,\\ldots,n-1\\) po modulyu \\(n\\). dlya kazhdogo \\(a=1,2,\\ldots,(n-1)/2\\) rassmotrim tsikl \\(0,a,2a,\\ldots,(n-1)a,0\\). tak kak \\(n\\) prostoe, nenulevoy shag \\(a\\) prohodit cherez vse vychety, poetomu eto gamiltonov tsikl. ego rebra soedinyayut pary vershin, raznost kotoryh ravna \\(\\pm a\\). dlya raznyh \\(a\\) iz vybrannogo diapazona eti mnozhestva raznostey razlichny, znachit tsikly ne imeyut obschih reber. polucheny \\((n-1)/2\\) tsiklov, i otsenka tochna. dlya \\(n…","source_keys":["baltic"]}
{"id":"baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","title":"Непересекающиеся гамильтоновы циклы при простом числе вершин, Baltic Way 1997 P19(a)","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 1997 официальные условия с решениями"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","double_counting","construction","goal_exact_bound","graph_model"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Точная упаковка гамильтоновых циклов в \\(K_n\\) для простого \\(n\\): верхняя оценка проста, ключевая конструкция использует ненулевые разности по модулю \\(n\\).","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning split аудит","notes":"Доказательство разворачивает официальную верхнюю оценку по числу рёбер и модульную конструкцию для простого n.","audit_source":"agent-baltic-way-1997-p19-split"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-prime","title":"Условие, часть (a)","status":"ai_checked","text":"В лесу каждое из \\(n\\) животных, где \\(n\\ge3\\) и \\(n\\) простое, живёт в своей пещере, и между любыми двумя пещерами есть ровно одна отдельная тропа. Перед выборами короля леса некоторые животные проводят кампанию. Каждое такое животное посещает каждую из остальных пещер ровно один раз, передвигается только по тропам, нигде между пещерами не сворачивает с одной тропы на другую и в конце возвращается в свою пещеру. Никакая тропа между двумя пещерами не используется более чем одним агитирующим животным. Докажите, что максимальное число агитирующих животных равно \\((n-1)/2\\).","definition_ids":["hamiltonian_cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-prime","title":"Упаковка гамильтоновых циклов в \\(K_n\\), простое \\(n\\)","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\ge3\\) — простое число. В полном графе \\(K_n\\) найдите максимальное число попарно рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов и докажите, что этот максимум равен \\((n-1)/2\\).","definition_ids":["complete_graph","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-prime-modular-differences","title":"Модульная конструкция для простого \\(n\\)","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов. Пещеры — вершины полного графа \\(K_n\\), тропы — его рёбра, а маршрут одного агитирующего животного — гамильтонов цикл. Требование, что одна тропа не используется двумя животными, означает рёберную непересекаемость выбранных циклов. Сначала получим верхнюю оценку. Каждый гамильтонов цикл проходит по всем \\(n\\) вершинам и содержит ровно \\(n\\) рёбер. В полном графе \\(K_n\\) всего \\(n(n-1)/2\\) рёбер. Если выбрано \\(m\\) попарно рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов, то \\(mn\\le n(n-1)/2\\), откуда \\(m\\le (n-1)/2\\). Осталось построить \\((n-1)/2\\) таких циклов. Пронумеруем вершины вычетами \\(0,1,\\ldots,n-1\\) по модулю \\(n\\). Для каждого \\(a=1,2,\\ldots,(n-1)/2\\) рассмотрим цикл \\[ 0, a, 2a, \\ldots, (n-1)a, 0 \\pmod n. \\] Так как \\(n\\) простое, умножение на ненулевой вычет \\(a\\) переставляет все вычеты, поэтому эта последовательность действительно проходит ч…"}],"relations":[{"id":"rel-bw1997-p19-parent-to-prime-child","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bw1997-p19-prime-k9-paired-variant","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bw1997-p19-prime-imo1998-one-factorization","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-miklos-2009-p2-bounded-baltic-1997-differences","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles непересекающиеся гамильтоновы циклы при простом числе вершин, baltic way 1997 p19(a) hamiltonian_cycles double_counting construction goal_exact_bound graph_model 1997 baltic baltic way baltic way 1997 официальные условия с решениями baltic1997 balticway balticway1997 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw97sol.pdf official_archive src-baltic-way-1997-official-solutions with_solution ? baltic way 1997 официальные условия с решениями stmt-original-prime условие, часть (a) ai_checked в лесу каждое из \\(n\\) животных, где \\(n\\ge3\\) и \\(n\\) простое, живёт в своей пещере, и между любыми двумя пещерами есть ровно одна отдельная тропа. перед выборами короля леса некоторые животные проводят кампанию. каждое такое животное посещает каждую из остальных пещер ровно один раз, передвигается только по тропам, нигде между пещерами не сворачивает с одной тропы на другую и в конце возвращается в свою пещеру. никакая тропа между двумя пещерами не используется более чем одним агитирующим животным. докажите, что максимальное число агитирующих животных равно \\((n-1)/2\\). hamiltonian_cycle stmt-graph-prime упаковка гамильтоновых циклов в \\(k_n\\), простое \\(n\\) ai_checked пусть \\(n\\ge3\\) — простое число. в полном графе \\(k_n\\) найдите максимальное число попарно рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов и докажите, что этот максимум равен \\((n-1)/2\\). complete_graph hamiltonian_cycle idea-edge-upper-bound общая рёберная верхняя оценка каждый гамильтонов цикл в \\(k_n\\) содержит \\(n\\) рёбер, а всего в \\(k_n\\) есть \\(n(n-1)/2\\) рёбер. поэтому рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов не может быть больше \\((n-1)/2\\). hamiltonian_cycles double_counting ai_checked idea-prime-difference-cycles циклы по ненулевым разностям если вершины — вычеты по модулю простого \\(n\\), то для каждого шага \\(a=1,\\ldots,(n-1)/2\\) последовательность \\(0,a,2a,\\ldots,(n-1)a,0\\) является гамильтоновым циклом. его рёбра имеют разность \\(\\pm a\\), поэтому разные шаги дают непересекающиеся множества рёбер. hamiltonian_cycles construction ai_checked sol-prime-modular-differences модульная конструкция для простого \\(n\\) ai_checked complete_graph hamiltonian_cycle double_counting переведём условие на язык графов. пещеры — вершины полного графа \\(k_n\\), тропы — его рёбра, а маршрут одного агитирующего животного — гамильтонов цикл. требование, что одна тропа не используется двумя животными, означает рёберную непересекаемость выбранных циклов. сначала получим верхнюю оценку. каждый гамильтонов цикл проходит по всем \\(n\\) вершинам и содержит ровно \\(n\\) рёбер. в полном графе \\(k_n\\) всего \\(n(n-1)/2\\) рёбер. если выбрано \\(m\\) попарно рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов, то \\(mn\\le n(n-1)/2\\), откуда \\(m\\le (n-1)/2\\). осталось построить \\((n-1)/2\\) таких циклов. пронумеруем вершины вычетами \\(0,1,\\ldots,n-1\\) по модулю \\(n\\). для каждого \\(a=1,2,\\ldots,(n-1)/2\\) рассмотрим цикл \\[ 0, a, 2a, \\ldots, (n-1)a, 0 \\pmod n. \\] так как \\(n\\) простое, умножение на ненулевой вычет \\(a\\) переставляет все вычеты, поэтому эта последовательность действительно проходит ч… baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles neperesekayuschiesya gamiltonovy tsikly pri prostom chisle vershin, baltic way 1997 p19(a) hamiltonian_cycles double_counting construction goal_exact_bound graph_model 1997 baltic baltic way baltic way 1997 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic1997 balticway balticway1997 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw97sol.pdf official_archive src-baltic-way-1997-official-solutions with_solution ? baltic way 1997 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original-prime uslovie, chast (a) ai_checked v lesu kazhdoe iz \\(n\\) zhivotnyh, gde \\(n\\ge3\\) i \\(n\\) prostoe, zhivet v svoey peschere, i mezhdu lyubymi dvumya pescherami est rovno odna otdelnaya tropa. pered vyborami korolya lesa nekotorye zhivotnye provodyat kampaniyu. kazhdoe takoe zhivotnoe poseschaet kazhduyu iz ostalnyh pescher rovno odin raz, peredvigaetsya tolko po tropam, nigde mezhdu pescherami ne svorachivaet s odnoy tropy na druguyu i v kontse vozvraschaetsya v svoyu pescheru. nikakaya tropa mezhdu dvumya pescherami ne ispolzuetsya bolee chem odnim agitiruyuschim zhivotnym. dokazhite, chto maksimalnoe chislo agitiruyuschih zhivotnyh ravno \\((n-1)/2\\). hamiltonian_cycle stmt-graph-prime upakovka gamiltonovyh tsiklov v \\(k_n\\), prostoe \\(n\\) ai_checked pust \\(n\\ge3\\) — prostoe chislo. v polnom grafe \\(k_n\\) naydite maksimalnoe chislo poparno reberno neperesekayuschihsya gamiltonovyh tsiklov i dokazhite, chto etot maksimum raven \\((n-1)/2\\). complete_graph hamiltonian_cycle idea-edge-upper-bound obschaya rebernaya verhnyaya otsenka kazhdyy gamiltonov tsikl v \\(k_n\\) soderzhit \\(n\\) reber, a vsego v \\(k_n\\) est \\(n(n-1)/2\\) reber. poetomu reberno neperesekayuschihsya gamiltonovyh tsiklov ne mozhet byt bolshe \\((n-1)/2\\). hamiltonian_cycles double_counting ai_checked idea-prime-difference-cycles tsikly po nenulevym raznostyam esli vershiny — vychety po modulyu prostogo \\(n\\), to dlya kazhdogo shaga \\(a=1,\\ldots,(n-1)/2\\) posledovatelnost \\(0,a,2a,\\ldots,(n-1)a,0\\) yavlyaetsya gamiltonovym tsiklom. ego rebra imeyut raznost \\(\\pm a\\), poetomu raznye shagi dayut neperesekayuschiesya mnozhestva reber. hamiltonian_cycles construction ai_checked sol-prime-modular-differences modulnaya konstruktsiya dlya prostogo \\(n\\) ai_checked complete_graph hamiltonian_cycle double_counting perevedem uslovie na yazyk grafov. peschery — vershiny polnogo grafa \\(k_n\\), tropy — ego rebra, a marshrut odnogo agitiruyuschego zhivotnogo — gamiltonov tsikl. trebovanie, chto odna tropa ne ispolzuetsya dvumya zhivotnymi, oznachaet rebernuyu neperesekaemost vybrannyh tsiklov. snachala poluchim verhnyuyu otsenku. kazhdyy gamiltonov tsikl prohodit po vsem \\(n\\) vershinam i soderzhit rovno \\(n\\) reber. v polnom grafe \\(k_n\\) vsego \\(n(n-1)/2\\) reber. esli vybrano \\(m\\) poparno reberno neperesekayuschihsya gamiltonovyh tsiklov, to \\(mn\\le n(n-1)/2\\), otkuda \\(m\\le (n-1)/2\\). ostalos postroit \\((n-1)/2\\) takih tsiklov. pronumeruem vershiny vychetami \\(0,1,\\ldots,n-1\\) po modulyu \\(n\\). dlya kazhdogo \\(a=1,2,\\ldots,(n-1)/2\\) rassmotrim tsikl \\[ 0, a, 2a, \\ldots, (n-1)a, 0 \\pmod n. \\] tak kak \\(n\\) prostoe, umnozhenie na nenulevoy vychet \\(a\\) perestavlyaet vse vychety, poetomu eta posledovatelnost deystvitelno prohodit ch…","source_keys":["baltic"]}
{"id":"baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","title":"Упаковка гамильтоновых циклов в \\(K_9\\), Baltic Way 1997 P19(b)","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 1997 официальные условия с решениями"],"year":"1997","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["hamiltonian_cycles","double_counting","construction","goal_exact_bound","graph_model"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":4,"comment":"Небольшой, но самостоятельный случай: верхняя оценка мгновенна, а достижение требует отдельной явной упаковки четырёх гамильтоновых циклов в \\(K_9\\).","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"high-reasoning split аудит","notes":"Доказательство разворачивает официальную конструкцию для K9 и проверяет, что все 36 рёбер покрыты без повторений.","audit_source":"agent-baltic-way-1997-p19-split"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-k9","title":"Условие, часть (b)","status":"ai_checked","text":"В лесу каждое из 9 животных живёт в своей пещере, и между любыми двумя пещерами есть ровно одна отдельная тропа. Перед выборами короля леса некоторые животные проводят кампанию. Каждое такое животное посещает каждую из остальных пещер ровно один раз, передвигается только по тропам, нигде между пещерами не сворачивает с одной тропы на другую и в конце возвращается в свою пещеру. Никакая тропа между двумя пещерами не используется более чем одним агитирующим животным. Найдите максимальное число агитирующих животных.","definition_ids":["hamiltonian_cycle"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-k9","title":"Упаковка гамильтоновых циклов в \\(K_9\\)","status":"ai_checked","text":"В полном графе \\(K_9\\) найдите максимальное число попарно рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов.","definition_ids":["complete_graph","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-k9-explicit-four-cycles","title":"Явные четыре цикла","status":"ai_checked","definition_ids":["complete_graph","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Переведём условие на язык графов: пещеры — вершины \\(K_9\\), тропы — рёбра, а маршрут одного агитирующего животного — гамильтонов цикл. Условие о неповторении троп означает, что выбранные циклы должны быть попарно рёберно непересекающимися. Верхняя оценка следует из подсчёта рёбер. В \\(K_9\\) есть \\(9\\cdot8/2=36\\) рёбер, а каждый гамильтонов цикл содержит \\(9\\) рёбер. Поэтому число таких циклов не превосходит \\(36/9=4\\). Покажем, что четыре цикла возможны. Пронумеруем вершины числами \\(0,1,\\ldots,8\\) и возьмём следующие циклы: \\[ 0,1,2,8,3,7,4,6,5,0, \\] \\[ 0,2,3,1,4,8,5,7,6,0, \\] \\[ 0,3,4,2,5,1,6,8,7,0, \\] \\[ 0,4,5,3,6,2,7,1,8,0. \\] Каждая строка содержит все девять вершин ровно по одному разу, а затем возвращается в начальную вершину, значит каждая строка задаёт гамильтонов цикл. Остаётся проверить, что рёбра не повторяются. Удобно сгруппировать рёбра по первому числу пары, записывая каж…"}],"relations":[{"id":"rel-bw1997-p19-parent-to-k9-child","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bw1997-p19-prime-k9-paired-variant","neighbor_id":"baltic-way-1997-p19a-prime-edge-disjoint-hamiltonian-cycles","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bw1997-p19-k9-imo1998-one-factorization","neighbor_id":"imo-1998-c6-k-ge-6-one-factorization","direction":"forward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-bw1997-p19-k9-imc2013-complete-graph-cover","neighbor_id":"imc-2013-day1-p3-six-trips-cover-pairs","direction":"forward","type":"same_motif","distance":4,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles упаковка гамильтоновых циклов в \\(k_9\\), baltic way 1997 p19(b) hamiltonian_cycles double_counting construction goal_exact_bound graph_model 1997 baltic baltic way baltic way 1997 официальные условия с решениями baltic1997 balticway balticway1997 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw97sol.pdf official_archive src-baltic-way-1997-official-solutions with_solution ? baltic way 1997 официальные условия с решениями stmt-original-k9 условие, часть (b) ai_checked в лесу каждое из 9 животных живёт в своей пещере, и между любыми двумя пещерами есть ровно одна отдельная тропа. перед выборами короля леса некоторые животные проводят кампанию. каждое такое животное посещает каждую из остальных пещер ровно один раз, передвигается только по тропам, нигде между пещерами не сворачивает с одной тропы на другую и в конце возвращается в свою пещеру. никакая тропа между двумя пещерами не используется более чем одним агитирующим животным. найдите максимальное число агитирующих животных. hamiltonian_cycle stmt-graph-k9 упаковка гамильтоновых циклов в \\(k_9\\) ai_checked в полном графе \\(k_9\\) найдите максимальное число попарно рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов. complete_graph hamiltonian_cycle idea-k9-edge-upper-bound в \\(k_9\\) хватает места не более чем на четыре цикла в \\(k_9\\) всего \\(36\\) рёбер, а каждый гамильтонов цикл использует \\(9\\) рёбер. поэтому больше четырёх рёберно непересекающихся гамильтоновых циклов быть не может. hamiltonian_cycles double_counting ai_checked idea-k9-explicit-decomposition явная упаковка четырёх циклов чтобы достичь верхней оценки, достаточно предъявить четыре гамильтоновых цикла, суммарно использующие все \\(36\\) рёбер \\(k_9\\). простая модульная конструкция по постоянным шагам для простого числа здесь не применима: шаг \\(3\\) по модулю \\(9\\) не проходит через все вершины. hamiltonian_cycles construction ai_checked sol-k9-explicit-four-cycles явные четыре цикла ai_checked complete_graph hamiltonian_cycle double_counting переведём условие на язык графов: пещеры — вершины \\(k_9\\), тропы — рёбра, а маршрут одного агитирующего животного — гамильтонов цикл. условие о неповторении троп означает, что выбранные циклы должны быть попарно рёберно непересекающимися. верхняя оценка следует из подсчёта рёбер. в \\(k_9\\) есть \\(9\\cdot8/2=36\\) рёбер, а каждый гамильтонов цикл содержит \\(9\\) рёбер. поэтому число таких циклов не превосходит \\(36/9=4\\). покажем, что четыре цикла возможны. пронумеруем вершины числами \\(0,1,\\ldots,8\\) и возьмём следующие циклы: \\[ 0,1,2,8,3,7,4,6,5,0, \\] \\[ 0,2,3,1,4,8,5,7,6,0, \\] \\[ 0,3,4,2,5,1,6,8,7,0, \\] \\[ 0,4,5,3,6,2,7,1,8,0. \\] каждая строка содержит все девять вершин ровно по одному разу, а затем возвращается в начальную вершину, значит каждая строка задаёт гамильтонов цикл. остаётся проверить, что рёбра не повторяются. удобно сгруппировать рёбра по первому числу пары, записывая каж… baltic-way-1997-p19b-k9-edge-disjoint-hamiltonian-cycles upakovka gamiltonovyh tsiklov v \\(k_9\\), baltic way 1997 p19(b) hamiltonian_cycles double_counting construction goal_exact_bound graph_model 1997 baltic baltic way baltic way 1997 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic1997 balticway balticway1997 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw97sol.pdf official_archive src-baltic-way-1997-official-solutions with_solution ? baltic way 1997 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original-k9 uslovie, chast (b) ai_checked v lesu kazhdoe iz 9 zhivotnyh zhivet v svoey peschere, i mezhdu lyubymi dvumya pescherami est rovno odna otdelnaya tropa. pered vyborami korolya lesa nekotorye zhivotnye provodyat kampaniyu. kazhdoe takoe zhivotnoe poseschaet kazhduyu iz ostalnyh pescher rovno odin raz, peredvigaetsya tolko po tropam, nigde mezhdu pescherami ne svorachivaet s odnoy tropy na druguyu i v kontse vozvraschaetsya v svoyu pescheru. nikakaya tropa mezhdu dvumya pescherami ne ispolzuetsya bolee chem odnim agitiruyuschim zhivotnym. naydite maksimalnoe chislo agitiruyuschih zhivotnyh. hamiltonian_cycle stmt-graph-k9 upakovka gamiltonovyh tsiklov v \\(k_9\\) ai_checked v polnom grafe \\(k_9\\) naydite maksimalnoe chislo poparno reberno neperesekayuschihsya gamiltonovyh tsiklov. complete_graph hamiltonian_cycle idea-k9-edge-upper-bound v \\(k_9\\) hvataet mesta ne bolee chem na chetyre tsikla v \\(k_9\\) vsego \\(36\\) reber, a kazhdyy gamiltonov tsikl ispolzuet \\(9\\) reber. poetomu bolshe chetyreh reberno neperesekayuschihsya gamiltonovyh tsiklov byt ne mozhet. hamiltonian_cycles double_counting ai_checked idea-k9-explicit-decomposition yavnaya upakovka chetyreh tsiklov chtoby dostich verhney otsenki, dostatochno predyavit chetyre gamiltonovyh tsikla, summarno ispolzuyuschie vse \\(36\\) reber \\(k_9\\). prostaya modulnaya konstruktsiya po postoyannym shagam dlya prostogo chisla zdes ne primenima: shag \\(3\\) po modulyu \\(9\\) ne prohodit cherez vse vershiny. hamiltonian_cycles construction ai_checked sol-k9-explicit-four-cycles yavnye chetyre tsikla ai_checked complete_graph hamiltonian_cycle double_counting perevedem uslovie na yazyk grafov: peschery — vershiny \\(k_9\\), tropy — rebra, a marshrut odnogo agitiruyuschego zhivotnogo — gamiltonov tsikl. uslovie o nepovtorenii trop oznachaet, chto vybrannye tsikly dolzhny byt poparno reberno neperesekayuschimisya. verhnyaya otsenka sleduet iz podscheta reber. v \\(k_9\\) est \\(9\\cdot8/2=36\\) reber, a kazhdyy gamiltonov tsikl soderzhit \\(9\\) reber. poetomu chislo takih tsiklov ne prevoshodit \\(36/9=4\\). pokazhem, chto chetyre tsikla vozmozhny. pronumeruem vershiny chislami \\(0,1,\\ldots,8\\) i vozmem sleduyuschie tsikly: \\[ 0,1,2,8,3,7,4,6,5,0, \\] \\[ 0,2,3,1,4,8,5,7,6,0, \\] \\[ 0,3,4,2,5,1,6,8,7,0, \\] \\[ 0,4,5,3,6,2,7,1,8,0. \\] kazhdaya stroka soderzhit vse devyat vershin rovno po odnomu razu, a zatem vozvraschaetsya v nachalnuyu vershinu, znachit kazhdaya stroka zadaet gamiltonov tsikl. ostaetsya proverit, chto rebra ne povtoryayutsya. udobno sgruppirovat rebra po pervomu chislu pary, zapisyvaya kazh…","source_keys":["baltic"]}
{"id":"baltic-way-2020-p9-cool-graph-labeling","title":"Крутая разметка вершин и рёбер графа, Baltic Way 2020 P9","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-2020-p9-cool-graph-labeling.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-2020-p9-cool-graph-labeling.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-2020-p9-cool-graph-labeling","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 2020 официальные условия с решениями"],"year":"2020","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_construction"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Конструктивная графовая разметка; официальный proof полностью основан на жадном порядке.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан; карточка помечена public_ready true и ai_checked. Жадное доказательство с сохранением локальных сумм выглядит полным.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Каждой вершине \\(v\\) и каждому ребру \\(e\\) графа \\(G\\) приписываются числа \\(f(v)\\in\\{1,2\\}\\) и \\(f(e)\\in\\{1,2,3\\}\\). Пусть \\(S(v)\\) — сумма чисел, приписанных всем рёбрам, инцидентным \\(v\\), плюс число \\(f(v)\\). Разметка \\(f\\) называется крутой, если \\(S(u)\\ne S(v)\\) для любой пары соседних вершин \\(u,v\\). Докажите, что для каждого графа существует крутая разметка.","definition_ids":["degree","neighborhood"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Жадная обработка вершин","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","neighborhood"],"standard_idea_ids":["greedy_ordering","pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Зафиксируем произвольный порядок вершин \\(v_1,\\ldots,v_n\\). Сначала положим \\(f(v)=1\\) для всех вершин и \\(f(e)=2\\) для всех рёбер. Удобно думать, что на каждой вершине лежит одна фишка, а на каждом ребре — две фишки. Будем обрабатывать вершины по порядку. На шаге \\(i\\) пусть \\(x_1,\\ldots,x_k\\) — уже обработанные соседи вершины \\(v_i\\), то есть соседи с меньшими индексами, а \\(e_j=v_ix_j\\). Для каждого такого ребра есть ровно два допустимых действия, сохраняющих сумму \\(S(x_j)\\). Если на \\(x_j\\) лежит одна фишка, можно либо ничего не делать, либо перенести одну фишку с \\(e_j\\) на \\(x_j\\). Тогда вклад ребра в сумму \\(x_j\\) уменьшается на 1, а вклад вершины \\(x_j\\) увеличивается на 1. Если на \\(x_j\\) лежат две фишки, можно либо ничего не делать, либо перенести одну фишку с \\(x_j\\) на \\(e_j\\); сумма \\(S(x_j)\\) снова сохраняется. При каждом из \\(k\\) независимых выборов сумма \\(S(v_i)\\) меня…"}],"relations":[],"search_text":"baltic-way-2020-p9-cool-graph-labeling крутая разметка вершин и рёбер графа, baltic way 2020 p9 coloring goal_construction 2020 baltic baltic way baltic way 2020 официальные условия с решениями baltic2020 balticway balticway2020 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw20sol.pdf official_archive src-baltic-way-2020-official-solutions with_solution ? baltic way 2020 официальные условия с решениями stmt-original условие ai_checked каждой вершине \\(v\\) и каждому ребру \\(e\\) графа \\(g\\) приписываются числа \\(f(v)\\in\\{1,2\\}\\) и \\(f(e)\\in\\{1,2,3\\}\\). пусть \\(s(v)\\) — сумма чисел, приписанных всем рёбрам, инцидентным \\(v\\), плюс число \\(f(v)\\). разметка \\(f\\) называется крутой, если \\(s(u)\\ne s(v)\\) для любой пары соседних вершин \\(u,v\\). докажите, что для каждого графа существует крутая разметка. degree neighborhood idea-backward-edges-give-k-plus-one-sums у вершины с \\(k\\) обработанными соседями есть \\(k+1\\) возможная сумма при обработке очередной вершины каждое ребро к уже обработанному соседу можно локально изменить так, чтобы сумма у соседа не изменилась, а сумма у новой вершины менялась на 0 или 1. coloring ai_checked sol-official-expanded жадная обработка вершин ai_checked degree neighborhood greedy_ordering pigeonhole_principle зафиксируем произвольный порядок вершин \\(v_1,\\ldots,v_n\\). сначала положим \\(f(v)=1\\) для всех вершин и \\(f(e)=2\\) для всех рёбер. удобно думать, что на каждой вершине лежит одна фишка, а на каждом ребре — две фишки. будем обрабатывать вершины по порядку. на шаге \\(i\\) пусть \\(x_1,\\ldots,x_k\\) — уже обработанные соседи вершины \\(v_i\\), то есть соседи с меньшими индексами, а \\(e_j=v_ix_j\\). для каждого такого ребра есть ровно два допустимых действия, сохраняющих сумму \\(s(x_j)\\). если на \\(x_j\\) лежит одна фишка, можно либо ничего не делать, либо перенести одну фишку с \\(e_j\\) на \\(x_j\\). тогда вклад ребра в сумму \\(x_j\\) уменьшается на 1, а вклад вершины \\(x_j\\) увеличивается на 1. если на \\(x_j\\) лежат две фишки, можно либо ничего не делать, либо перенести одну фишку с \\(x_j\\) на \\(e_j\\); сумма \\(s(x_j)\\) снова сохраняется. при каждом из \\(k\\) независимых выборов сумма \\(s(v_i)\\) меня… baltic-way-2020-p9-cool-graph-labeling krutaya razmetka vershin i reber grafa, baltic way 2020 p9 coloring goal_construction 2020 baltic baltic way baltic way 2020 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic2020 balticway balticway2020 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw20sol.pdf official_archive src-baltic-way-2020-official-solutions with_solution ? baltic way 2020 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original uslovie ai_checked kazhdoy vershine \\(v\\) i kazhdomu rebru \\(e\\) grafa \\(g\\) pripisyvayutsya chisla \\(f(v)\\in\\{1,2\\}\\) i \\(f(e)\\in\\{1,2,3\\}\\). pust \\(s(v)\\) — summa chisel, pripisannyh vsem rebram, intsidentnym \\(v\\), plyus chislo \\(f(v)\\). razmetka \\(f\\) nazyvaetsya krutoy, esli \\(s(u)\\ne s(v)\\) dlya lyuboy pary sosednih vershin \\(u,v\\). dokazhite, chto dlya kazhdogo grafa suschestvuet krutaya razmetka. degree neighborhood idea-backward-edges-give-k-plus-one-sums u vershiny s \\(k\\) obrabotannymi sosedyami est \\(k+1\\) vozmozhnaya summa pri obrabotke ocherednoy vershiny kazhdoe rebro k uzhe obrabotannomu sosedu mozhno lokalno izmenit tak, chtoby summa u soseda ne izmenilas, a summa u novoy vershiny menyalas na 0 ili 1. coloring ai_checked sol-official-expanded zhadnaya obrabotka vershin ai_checked degree neighborhood greedy_ordering pigeonhole_principle zafiksiruem proizvolnyy poryadok vershin \\(v_1,\\ldots,v_n\\). snachala polozhim \\(f(v)=1\\) dlya vseh vershin i \\(f(e)=2\\) dlya vseh reber. udobno dumat, chto na kazhdoy vershine lezhit odna fishka, a na kazhdom rebre — dve fishki. budem obrabatyvat vershiny po poryadku. na shage \\(i\\) pust \\(x_1,\\ldots,x_k\\) — uzhe obrabotannye sosedi vershiny \\(v_i\\), to est sosedi s menshimi indeksami, a \\(e_j=v_ix_j\\). dlya kazhdogo takogo rebra est rovno dva dopustimyh deystviya, sohranyayuschih summu \\(s(x_j)\\). esli na \\(x_j\\) lezhit odna fishka, mozhno libo nichego ne delat, libo perenesti odnu fishku s \\(e_j\\) na \\(x_j\\). togda vklad rebra v summu \\(x_j\\) umenshaetsya na 1, a vklad vershiny \\(x_j\\) uvelichivaetsya na 1. esli na \\(x_j\\) lezhat dve fishki, mozhno libo nichego ne delat, libo perenesti odnu fishku s \\(x_j\\) na \\(e_j\\); summa \\(s(x_j)\\) snova sohranyaetsya. pri kazhdom iz \\(k\\) nezavisimyh vyborov summa \\(s(v_i)\\) menya…","source_keys":["baltic"]}
{"id":"baltic-way-2023-p6-colour-touch-graph","title":"Граф соприкосновения цветов в таблице, Baltic Way 2023 P6","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-2023-p6-colour-touch-graph.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-2023-p6-colour-touch-graph.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-2023-p6-colour-touch-graph","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 2023 официальные условия с решениями"],"year":"2023","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","degree_counting","coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":5,"comment":"Граф не в исходной формулировке, но официальное решение существенно использует граф цветов.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан; карточка помечена public_ready true и ai_checked. Оценка для графа касаний цветов самодостаточна и использует только элементарные факты о графах.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(n\\) — положительное целое число. Каждая клетка таблицы \\(n\\times n\\) окрашена в один из \\(k\\) цветов, причём каждый цвет использован хотя бы один раз. Два разных цвета называются соприкасающимися, если существуют две клетки этих цветов с общей стороной. Раскраска такова, что каждый цвет соприкасается не более чем с двумя другими цветами. Найдите максимальное возможное значение \\(k\\) в зависимости от \\(n\\).","definition_ids":[]}],"graph_hint_reformulations":[{"id":"stmt-graph-hint","title":"Граф цветов и ограничение диаметра","status":"ai_checked","text":"Постройте граф цветов: вершины — использованные цвета, два цвета соединены ребром, если они соприкасаются по стороне клетки. Этот граф связен и имеет максимальную степень не больше 2; значит, он является путём или циклом. Используя расстояния от центральной клетки или центрального блока \\(2\\times 2\\), найдите наибольшее число вершин такого графа.","definition_ids":["connected_graph","degree","path","cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Оценка через граф цветов","status":"ai_checked","definition_ids":["connected_graph","degree","path","cycle"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: \\(k=1\\) при \\(n=1\\), \\(k=4\\) при \\(n=2\\), а при \\(n\\ge 3\\) максимум равен \\(2n-1\\). Конструкция для \\(n\\ge3\\) получается диагональными полосами: клетки с одинаковой суммой координат получают один цвет. Тогда цветов \\(2n-1\\), и каждый цвет соприкасается только с соседними по номеру диагоналями. Докажем оценку сверху. Построим граф, вершины которого — цвета, а ребро соединяет два соприкасающихся цвета. Так как вся таблица связна по сторонам и каждый цвет используется, этот граф связен. По условию степень каждой вершины не больше 2, поэтому граф является либо путём, либо циклом. Пусть \\(n\\) нечётно. Возьмём центральную клетку. От неё до любой клетки таблицы можно дойти по соседним клеткам не более чем за \\(n-1\\) шагов. Следовательно, от цвета центральной клетки до любого другого цвета в графе цветов расстояние не больше \\(n-1\\). В пути или цикле с \\(2n\\) и более вершинами у любой ве…"}],"relations":[{"id":"rel-miklos-2009-p2-bounded-baltic-2023-degree-two","neighbor_id":"miklos-schweitzer-2009-p2-bounded-degree-smooth-difference-path","direction":"backward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"}],"search_text":"baltic-way-2023-p6-colour-touch-graph граф соприкосновения цветов в таблице, baltic way 2023 p6 connectivity degree_counting coloring goal_exact_bound 2023 baltic baltic way baltic way 2023 официальные условия с решениями baltic2023 balticway balticway2023 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw23sol.pdf official_archive src-baltic-way-2023-official-solutions with_solution ? baltic way 2023 официальные условия с решениями stmt-original условие ai_checked пусть \\(n\\) — положительное целое число. каждая клетка таблицы \\(n\\times n\\) окрашена в один из \\(k\\) цветов, причём каждый цвет использован хотя бы один раз. два разных цвета называются соприкасающимися, если существуют две клетки этих цветов с общей стороной. раскраска такова, что каждый цвет соприкасается не более чем с двумя другими цветами. найдите максимальное возможное значение \\(k\\) в зависимости от \\(n\\). stmt-graph-hint граф цветов и ограничение диаметра ai_checked постройте граф цветов: вершины — использованные цвета, два цвета соединены ребром, если они соприкасаются по стороне клетки. этот граф связен и имеет максимальную степень не больше 2; значит, он является путём или циклом. используя расстояния от центральной клетки или центрального блока \\(2\\times 2\\), найдите наибольшее число вершин такого графа. connected_graph degree path cycle idea-colour-graph-diameter граф цветов имеет степень не больше 2 связный граф максимальной степени 2 — путь или цикл; если от одной или нескольких центральных клеток до любой клетки таблицы путь по клеткам имеет длину не больше \\(n-1\\), то и в графе цветов все цвета лежат на расстоянии не больше \\(n-1\\). connectivity degree_counting ai_checked sol-official-expanded оценка через граф цветов ai_checked connected_graph degree path cycle pigeonhole_principle ответ: \\(k=1\\) при \\(n=1\\), \\(k=4\\) при \\(n=2\\), а при \\(n\\ge 3\\) максимум равен \\(2n-1\\). конструкция для \\(n\\ge3\\) получается диагональными полосами: клетки с одинаковой суммой координат получают один цвет. тогда цветов \\(2n-1\\), и каждый цвет соприкасается только с соседними по номеру диагоналями. докажем оценку сверху. построим граф, вершины которого — цвета, а ребро соединяет два соприкасающихся цвета. так как вся таблица связна по сторонам и каждый цвет используется, этот граф связен. по условию степень каждой вершины не больше 2, поэтому граф является либо путём, либо циклом. пусть \\(n\\) нечётно. возьмём центральную клетку. от неё до любой клетки таблицы можно дойти по соседним клеткам не более чем за \\(n-1\\) шагов. следовательно, от цвета центральной клетки до любого другого цвета в графе цветов расстояние не больше \\(n-1\\). в пути или цикле с \\(2n\\) и более вершинами у любой ве… baltic-way-2023-p6-colour-touch-graph graf soprikosnoveniya tsvetov v tablitse, baltic way 2023 p6 connectivity degree_counting coloring goal_exact_bound 2023 baltic baltic way baltic way 2023 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic2023 balticway balticway2023 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw23sol.pdf official_archive src-baltic-way-2023-official-solutions with_solution ? baltic way 2023 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original uslovie ai_checked pust \\(n\\) — polozhitelnoe tseloe chislo. kazhdaya kletka tablitsy \\(n\\times n\\) okrashena v odin iz \\(k\\) tsvetov, prichem kazhdyy tsvet ispolzovan hotya by odin raz. dva raznyh tsveta nazyvayutsya soprikasayuschimisya, esli suschestvuyut dve kletki etih tsvetov s obschey storonoy. raskraska takova, chto kazhdyy tsvet soprikasaetsya ne bolee chem s dvumya drugimi tsvetami. naydite maksimalnoe vozmozhnoe znachenie \\(k\\) v zavisimosti ot \\(n\\). stmt-graph-hint graf tsvetov i ogranichenie diametra ai_checked postroyte graf tsvetov: vershiny — ispolzovannye tsveta, dva tsveta soedineny rebrom, esli oni soprikasayutsya po storone kletki. etot graf svyazen i imeet maksimalnuyu stepen ne bolshe 2; znachit, on yavlyaetsya putem ili tsiklom. ispolzuya rasstoyaniya ot tsentralnoy kletki ili tsentralnogo bloka \\(2\\times 2\\), naydite naibolshee chislo vershin takogo grafa. connected_graph degree path cycle idea-colour-graph-diameter graf tsvetov imeet stepen ne bolshe 2 svyaznyy graf maksimalnoy stepeni 2 — put ili tsikl; esli ot odnoy ili neskolkih tsentralnyh kletok do lyuboy kletki tablitsy put po kletkam imeet dlinu ne bolshe \\(n-1\\), to i v grafe tsvetov vse tsveta lezhat na rasstoyanii ne bolshe \\(n-1\\). connectivity degree_counting ai_checked sol-official-expanded otsenka cherez graf tsvetov ai_checked connected_graph degree path cycle pigeonhole_principle otvet: \\(k=1\\) pri \\(n=1\\), \\(k=4\\) pri \\(n=2\\), a pri \\(n\\ge 3\\) maksimum raven \\(2n-1\\). konstruktsiya dlya \\(n\\ge3\\) poluchaetsya diagonalnymi polosami: kletki s odinakovoy summoy koordinat poluchayut odin tsvet. togda tsvetov \\(2n-1\\), i kazhdyy tsvet soprikasaetsya tolko s sosednimi po nomeru diagonalyami. dokazhem otsenku sverhu. postroim graf, vershiny kotorogo — tsveta, a rebro soedinyaet dva soprikasayuschihsya tsveta. tak kak vsya tablitsa svyazna po storonam i kazhdyy tsvet ispolzuetsya, etot graf svyazen. po usloviyu stepen kazhdoy vershiny ne bolshe 2, poetomu graf yavlyaetsya libo putem, libo tsiklom. pust \\(n\\) nechetno. vozmem tsentralnuyu kletku. ot nee do lyuboy kletki tablitsy mozhno doyti po sosednim kletkam ne bolee chem za \\(n-1\\) shagov. sledovatelno, ot tsveta tsentralnoy kletki do lyubogo drugogo tsveta v grafe tsvetov rasstoyanie ne bolshe \\(n-1\\). v puti ili tsikle s \\(2n\\) i bolee vershinami u lyuboy ve…","source_keys":["baltic"]}
{"id":"baltic-way-2024-p6-tree-edge-slide-labyrinth","title":"Преобразование дерева ходами по соседним рёбрам, Baltic Way 2024 P6","path":"data\\problems\\baltic-way\\baltic-way-2024-p6-tree-edge-slide-labyrinth.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/baltic-way/baltic-way-2024-p6-tree-edge-slide-labyrinth.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#baltic-way-2024-p6-tree-edge-slide-labyrinth","source_key":"baltic","source_label":"Baltic Way","source_titles":["Baltic Way 2024 официальные условия с решениями"],"year":"2024","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","connectivity","dynamics","induction","graph_model","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":7,"comment":"Сильная задача на деревья и достижимость состояний; официальное решение полностью графовое.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.88,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Официальный источник указан; карточка помечена public_ready true и ai_checked. Индукция по дереву с локальными последовательностями ходов записана подробно.","audit_source":"agent-western-olympiads.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Условие","status":"ai_checked","text":"Лабиринт состоит из 2024 пещер и 2023 непересекающихся двусторонних коридоров; каждый коридор соединяет ровно две пещеры, и из любой пещеры можно добраться до любой другой по последовательности коридоров. Сначала Эрик стоит в некотором коридоре. За один ход он может пройти через одну из двух пещер этого коридора в другой коридор, выходящий из той же пещеры. При этом старый коридор исчезает и вместо него появляется новый коридор, соединяющий другой конец нового коридора с другим концом старого: если Эрик был в коридоре между \\(a\\) и \\(b\\), прошёл через \\(b\\) в коридор между \\(b\\) и \\(c\\), то коридор \\(ab\\) исчезает, а появляется коридор \\(ac\\). Докажите, что Эрик может преобразовать лабиринт в любую заранее заданную допустимую схему, независимо от исходной схемы и начального коридора.","definition_ids":["tree","path"]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Преобразования деревьев с фишкой на ребре","status":"ai_checked","text":"Пусть дано дерево на фиксированном множестве из \\(n\\ge 3\\) вершин, и фишка стоит на одном его ребре. Разрешён ход по пути \\(a-b-c\\): если фишка стоит на ребре \\(ab\\), она переходит на ребро \\(bc\\), ребро \\(ab\\) удаляется, а ребро \\(ac\\) добавляется. Докажите, что из любого дерева с любым начальным ребром можно получить любое другое дерево на том же множестве вершин.","definition_ids":["tree","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-official-expanded","title":"Индукция по числу вершин","status":"ai_checked","definition_ids":["tree","path"],"standard_idea_ids":["induction","delete_to_simplify"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Будем писать \\(ab\\) для коридора между пещерами \\(a\\) и \\(b\\). Сначала заметим, что любой ход обратим. Пусть есть путь \\(a-b-c\\), фишка стоит на \\(ab\\), и сделан ход \\(ab\\to bc\\), после которого вместо \\(ab\\) появилось \\(ac\\). Теперь можно выполнить \\(bc\\to ca\\), а затем \\(ca\\to ab\\): после первого из этих двух ходов удаляется \\(bc\\) и возвращается \\(ab\\), а после второго удаляется \\(ac\\) и возвращается \\(bc\\). Фишка снова стоит на \\(ab\\), и множество рёбер снова такое же, как до исходного хода. Значит, если одну схему можно привести к другой, то можно пройти и обратно. Поэтому достаточно доказать, что из любой схемы можно получить звезду с некоторым центром. Докажем это индукцией по числу \\(n\\) вершин. При \\(n=3\\) любое дерево уже является звездой. Пусть \\(n\\ge 4\\). В дереве есть хотя бы два листа: это, например, концы самого длинного простого пути. Эти два листа не могут быть соединен…"}],"relations":[{"id":"rel-tree-equivalent-properties-baltic-way-2024-p6-leaf-induction","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"backward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"baltic-way-2024-p6-tree-edge-slide-labyrinth преобразование дерева ходами по соседним рёбрам, baltic way 2024 p6 trees connectivity dynamics induction graph_model goal_existence 2024 baltic baltic way baltic way 2024 официальные условия с решениями baltic2024 balticway balticway2024 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw24sol.pdf official_archive src-baltic-way-2024-official-solutions with_solution ? baltic way 2024 официальные условия с решениями stmt-original условие ai_checked лабиринт состоит из 2024 пещер и 2023 непересекающихся двусторонних коридоров; каждый коридор соединяет ровно две пещеры, и из любой пещеры можно добраться до любой другой по последовательности коридоров. сначала эрик стоит в некотором коридоре. за один ход он может пройти через одну из двух пещер этого коридора в другой коридор, выходящий из той же пещеры. при этом старый коридор исчезает и вместо него появляется новый коридор, соединяющий другой конец нового коридора с другим концом старого: если эрик был в коридоре между \\(a\\) и \\(b\\), прошёл через \\(b\\) в коридор между \\(b\\) и \\(c\\), то коридор \\(ab\\) исчезает, а появляется коридор \\(ac\\). докажите, что эрик может преобразовать лабиринт в любую заранее заданную допустимую схему, независимо от исходной схемы и начального коридора. tree path stmt-graph преобразования деревьев с фишкой на ребре ai_checked пусть дано дерево на фиксированном множестве из \\(n\\ge 3\\) вершин, и фишка стоит на одном его ребре. разрешён ход по пути \\(a-b-c\\): если фишка стоит на ребре \\(ab\\), она переходит на ребро \\(bc\\), ребро \\(ab\\) удаляется, а ребро \\(ac\\) добавляется. докажите, что из любого дерева с любым начальным ребром можно получить любое другое дерево на том же множестве вершин. tree path idea-reversible-tree-slides-to-star обратимость ходов и сведение дерева к звезде достаточно уметь приводить любое дерево к звезде: каждый ход обратим трёхходовой последовательностью, поэтому путь через звезду соединяет любые две схемы. trees connectivity ai_checked sol-official-expanded индукция по числу вершин ai_checked tree path induction delete_to_simplify будем писать \\(ab\\) для коридора между пещерами \\(a\\) и \\(b\\). сначала заметим, что любой ход обратим. пусть есть путь \\(a-b-c\\), фишка стоит на \\(ab\\), и сделан ход \\(ab\\to bc\\), после которого вместо \\(ab\\) появилось \\(ac\\). теперь можно выполнить \\(bc\\to ca\\), а затем \\(ca\\to ab\\): после первого из этих двух ходов удаляется \\(bc\\) и возвращается \\(ab\\), а после второго удаляется \\(ac\\) и возвращается \\(bc\\). фишка снова стоит на \\(ab\\), и множество рёбер снова такое же, как до исходного хода. значит, если одну схему можно привести к другой, то можно пройти и обратно. поэтому достаточно доказать, что из любой схемы можно получить звезду с некоторым центром. докажем это индукцией по числу \\(n\\) вершин. при \\(n=3\\) любое дерево уже является звездой. пусть \\(n\\ge 4\\). в дереве есть хотя бы два листа: это, например, концы самого длинного простого пути. эти два листа не могут быть соединен… baltic-way-2024-p6-tree-edge-slide-labyrinth preobrazovanie dereva hodami po sosednim rebram, baltic way 2024 p6 trees connectivity dynamics induction graph_model goal_existence 2024 baltic baltic way baltic way 2024 ofitsialnye usloviya s resheniyami baltic2024 balticway balticway2024 https://www.math.olympiaadid.ut.ee/eng/archive/bw/bw24sol.pdf official_archive src-baltic-way-2024-official-solutions with_solution ? baltic way 2024 ofitsialnye usloviya s resheniyami stmt-original uslovie ai_checked labirint sostoit iz 2024 pescher i 2023 neperesekayuschihsya dvustoronnih koridorov; kazhdyy koridor soedinyaet rovno dve peschery, i iz lyuboy peschery mozhno dobratsya do lyuboy drugoy po posledovatelnosti koridorov. snachala erik stoit v nekotorom koridore. za odin hod on mozhet proyti cherez odnu iz dvuh pescher etogo koridora v drugoy koridor, vyhodyaschiy iz toy zhe peschery. pri etom staryy koridor ischezaet i vmesto nego poyavlyaetsya novyy koridor, soedinyayuschiy drugoy konets novogo koridora s drugim kontsom starogo: esli erik byl v koridore mezhdu \\(a\\) i \\(b\\), proshel cherez \\(b\\) v koridor mezhdu \\(b\\) i \\(c\\), to koridor \\(ab\\) ischezaet, a poyavlyaetsya koridor \\(ac\\). dokazhite, chto erik mozhet preobrazovat labirint v lyubuyu zaranee zadannuyu dopustimuyu shemu, nezavisimo ot ishodnoy shemy i nachalnogo koridora. tree path stmt-graph preobrazovaniya derevev s fishkoy na rebre ai_checked pust dano derevo na fiksirovannom mnozhestve iz \\(n\\ge 3\\) vershin, i fishka stoit na odnom ego rebre. razreshen hod po puti \\(a-b-c\\): esli fishka stoit na rebre \\(ab\\), ona perehodit na rebro \\(bc\\), rebro \\(ab\\) udalyaetsya, a rebro \\(ac\\) dobavlyaetsya. dokazhite, chto iz lyubogo dereva s lyubym nachalnym rebrom mozhno poluchit lyuboe drugoe derevo na tom zhe mnozhestve vershin. tree path idea-reversible-tree-slides-to-star obratimost hodov i svedenie dereva k zvezde dostatochno umet privodit lyuboe derevo k zvezde: kazhdyy hod obratim trehhodovoy posledovatelnostyu, poetomu put cherez zvezdu soedinyaet lyubye dve shemy. trees connectivity ai_checked sol-official-expanded induktsiya po chislu vershin ai_checked tree path induction delete_to_simplify budem pisat \\(ab\\) dlya koridora mezhdu pescherami \\(a\\) i \\(b\\). snachala zametim, chto lyuboy hod obratim. pust est put \\(a-b-c\\), fishka stoit na \\(ab\\), i sdelan hod \\(ab\\to bc\\), posle kotorogo vmesto \\(ab\\) poyavilos \\(ac\\). teper mozhno vypolnit \\(bc\\to ca\\), a zatem \\(ca\\to ab\\): posle pervogo iz etih dvuh hodov udalyaetsya \\(bc\\) i vozvraschaetsya \\(ab\\), a posle vtorogo udalyaetsya \\(ac\\) i vozvraschaetsya \\(bc\\). fishka snova stoit na \\(ab\\), i mnozhestvo reber snova takoe zhe, kak do ishodnogo hoda. znachit, esli odnu shemu mozhno privesti k drugoy, to mozhno proyti i obratno. poetomu dostatochno dokazat, chto iz lyuboy shemy mozhno poluchit zvezdu s nekotorym tsentrom. dokazhem eto induktsiey po chislu \\(n\\) vershin. pri \\(n=3\\) lyuboe derevo uzhe yavlyaetsya zvezdoy. pust \\(n\\ge 4\\). v dereve est hotya by dva lista: eto, naprimer, kontsy samogo dlinnogo prostogo puti. eti dva lista ne mogut byt soedinen…","source_keys":["baltic"]}
{"id":"kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability","title":"Радужная достижимость в циркулянтном орграфе, Кубок Колмогорова 2021 2 тур seniors 10","path":"data\\problems\\kolmogorov\\kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/kolmogorov/kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability","source_key":"kolmogorov","source_label":"Кубок Колмогорова","source_titles":["Кубок Колмогорова 2021 официальный архив","Baltic Way 2021 Short List, цитируется в Кубке Колмогорова 2021","Архив Кубка памяти А.Н. Колмогорова"],"year":"2021","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":7,"comment":"Аккуратная задача на радужную достижимость, где нижняя и верхняя оценки встречаются в точном ответе 20.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"ai_original","label":"ИИ-решение с нуля","status":"ai_checked","confidence":0.78,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"solution appears AI-авторed/reconstructed, with no официальное решение marker","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"","status":"ai_checked","text":"Вершины ориентированного графа — числа \\(0,1,\\ldots,2020\\) на окружности. Из каждой вершины \\(i\\) проведены ориентированные рёбра в \\(i+1,i+2,\\ldots,i+101\\) по модулю 2021. Раскрасьте рёбра в как можно меньшее число цветов так, чтобы для каждой упорядоченной пары вершин существовал ориентированный путь, рёбра которого имеют попарно различные цвета. Найдите минимальное число цветов.","definition_ids":["directed_graph","path"]}]},"solutions":[{"id":"sol-mod-20-coloring","title":"Ответ 20","status":"ai_checked","definition_ids":["directed_graph","path"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ равен \\(20\\). Нижняя оценка: рассмотрим две соседние по кругу вершины так, чтобы из первой во вторую надо было пройти суммарный сдвиг \\(2020\\) против часовой стрелки. Любой радужный путь использует не более одного ребра каждого цвета, то есть если цветов \\(k\\), то в таком пути не более \\(k\\) рёбер. Каждое ребро сдвигает не более чем на \\(101\\), поэтому суммарный сдвиг не превосходит \\(101k\\). Чтобы получить сдвиг \\(2020\\), необходимо \\(101k\\ge 2020\\), откуда \\(k\\ge 20\\). Верхняя оценка: занумеруем вершины числами \\(0,1,\\dots,2020\\) по кругу и покрасим каждое ребро \\(i\\to i+d\\), где \\(1\\le d\\le 101\\), цветом \\(i \\bmod 20\\). Для любой пары вершин нужно получить нужный сдвиг \\(s\\in\\{0,1,\\dots,2020\\}\\). Представим \\(s=101q+r\\), где \\(0\\le q\\le 19\\) и \\(0\\le r\\le 100\\). Если \\(r=0\\), идём \\(q\\) раз по ребру длины \\(101\\). Если \\(r>0\\), идём \\(q\\) раз по ребру длины \\(101\\), а затем оди…"}],"relations":[],"search_text":"kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability радужная достижимость в циркулянтном орграфе, кубок колмогорова 2021 2 тур seniors 10 coloring goal_exact_bound 2021 baltic way 2021 short list, цитируется в кубке колмогорова 2021 https://sites.google.com/view/balticway2021/competition/problems https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive olympiad_shortlist src-baltic-way-2021-shortlist-cited-by-kolm src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution архив кубка памяти а.н. колмогорова кубок колмогорова кубок колмогорова 2021 официальный архив кубокколмогорова кубокколмогорова2021 ? кубок колмогорова 2021 официальный архив baltic way 2021 short list, цитируется в кубке колмогорова 2021 архив кубка памяти а.н. колмогорова stmt-original ai_checked вершины ориентированного графа — числа \\(0,1,\\ldots,2020\\) на окружности. из каждой вершины \\(i\\) проведены ориентированные рёбра в \\(i+1,i+2,\\ldots,i+101\\) по модулю 2021. раскрасьте рёбра в как можно меньшее число цветов так, чтобы для каждой упорядоченной пары вершин существовал ориентированный путь, рёбра которого имеют попарно различные цвета. найдите минимальное число цветов. directed_graph path idea-2020-needs-20-jumps чтобы пройти на 2020 вперёд, нужно хотя бы 20 ребер любой ориентированный путь состоит не более чем из стольких рёбер, сколько использовано цветов, а каждое ребро прибавляет по кругу не более 101. чтобы попасть из вершины в предыдущую, суммарный прирост должен быть не меньше 2020. extremal_choice ai_checked idea-color-by-tail-mod-20 красить по остатку хвоста по модулю 20 если нумеровать вершины остатками по модулю 2021 и красить любое исходящее ребро из вершины \\(i\\) цветом \\(i \\bmod 20\\), то последовательные прыжки на 101 сдвигают цвет на 1 по модулю 20. разложение \\(d=101q+r\\) даёт радужный путь длины \\(q\\) или \\(q+1\\). coloring ai_checked sol-mod-20-coloring ответ 20 ai_checked directed_graph path ответ равен \\(20\\). нижняя оценка: рассмотрим две соседние по кругу вершины так, чтобы из первой во вторую надо было пройти суммарный сдвиг \\(2020\\) против часовой стрелки. любой радужный путь использует не более одного ребра каждого цвета, то есть если цветов \\(k\\), то в таком пути не более \\(k\\) рёбер. каждое ребро сдвигает не более чем на \\(101\\), поэтому суммарный сдвиг не превосходит \\(101k\\). чтобы получить сдвиг \\(2020\\), необходимо \\(101k\\ge 2020\\), откуда \\(k\\ge 20\\). верхняя оценка: занумеруем вершины числами \\(0,1,\\dots,2020\\) по кругу и покрасим каждое ребро \\(i\\to i+d\\), где \\(1\\le d\\le 101\\), цветом \\(i \\bmod 20\\). для любой пары вершин нужно получить нужный сдвиг \\(s\\in\\{0,1,\\dots,2020\\}\\). представим \\(s=101q+r\\), где \\(0\\le q\\le 19\\) и \\(0\\le r\\le 100\\). если \\(r=0\\), идём \\(q\\) раз по ребру длины \\(101\\). если \\(r>0\\), идём \\(q\\) раз по ребру длины \\(101\\), а затем оди… kolmogorov-2021-t2-circulant-rainbow-reachability raduzhnaya dostizhimost v tsirkulyantnom orgrafe, kubok kolmogorova 2021 2 tur seniors 10 coloring goal_exact_bound 2021 baltic way 2021 short list, tsitiruetsya v kubke kolmogorova 2021 https://sites.google.com/view/balticway2021/competition/problems https://turmath.ru/kolm/archive.php https://turmath.ru/kolm/files/archive/kolm24.zip kolmogorov kolmogorov2021 olympiad_archive olympiad_shortlist src-baltic-way-2021-shortlist-cited-by-kolm src-kolmogorov-2021-official src-kolmogorov-archive with_solution arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova kubok kolmogorova kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv kubokkolmogorova kubokkolmogorova2021 ? kubok kolmogorova 2021 ofitsialnyy arhiv baltic way 2021 short list, tsitiruetsya v kubke kolmogorova 2021 arhiv kubka pamyati a.n. kolmogorova stmt-original ai_checked vershiny orientirovannogo grafa — chisla \\(0,1,\\ldots,2020\\) na okruzhnosti. iz kazhdoy vershiny \\(i\\) provedeny orientirovannye rebra v \\(i+1,i+2,\\ldots,i+101\\) po modulyu 2021. raskraste rebra v kak mozhno menshee chislo tsvetov tak, chtoby dlya kazhdoy uporyadochennoy pary vershin suschestvoval orientirovannyy put, rebra kotorogo imeyut poparno razlichnye tsveta. naydite minimalnoe chislo tsvetov. directed_graph path idea-2020-needs-20-jumps chtoby proyti na 2020 vpered, nuzhno hotya by 20 reber lyuboy orientirovannyy put sostoit ne bolee chem iz stolkih reber, skolko ispolzovano tsvetov, a kazhdoe rebro pribavlyaet po krugu ne bolee 101. chtoby popast iz vershiny v predyduschuyu, summarnyy prirost dolzhen byt ne menshe 2020. extremal_choice ai_checked idea-color-by-tail-mod-20 krasit po ostatku hvosta po modulyu 20 esli numerovat vershiny ostatkami po modulyu 2021 i krasit lyuboe ishodyaschee rebro iz vershiny \\(i\\) tsvetom \\(i \\bmod 20\\), to posledovatelnye pryzhki na 101 sdvigayut tsvet na 1 po modulyu 20. razlozhenie \\(d=101q+r\\) daet raduzhnyy put dliny \\(q\\) ili \\(q+1\\). coloring ai_checked sol-mod-20-coloring otvet 20 ai_checked directed_graph path otvet raven \\(20\\). nizhnyaya otsenka: rassmotrim dve sosednie po krugu vershiny tak, chtoby iz pervoy vo vtoruyu nado bylo proyti summarnyy sdvig \\(2020\\) protiv chasovoy strelki. lyuboy raduzhnyy put ispolzuet ne bolee odnogo rebra kazhdogo tsveta, to est esli tsvetov \\(k\\), to v takom puti ne bolee \\(k\\) reber. kazhdoe rebro sdvigaet ne bolee chem na \\(101\\), poetomu summarnyy sdvig ne prevoshodit \\(101k\\). chtoby poluchit sdvig \\(2020\\), neobhodimo \\(101k\\ge 2020\\), otkuda \\(k\\ge 20\\). verhnyaya otsenka: zanumeruem vershiny chislami \\(0,1,\\dots,2020\\) po krugu i pokrasim kazhdoe rebro \\(i\\to i+d\\), gde \\(1\\le d\\le 101\\), tsvetom \\(i \\bmod 20\\). dlya lyuboy pary vershin nuzhno poluchit nuzhnyy sdvig \\(s\\in\\{0,1,\\dots,2020\\}\\). predstavim \\(s=101q+r\\), gde \\(0\\le q\\le 19\\) i \\(0\\le r\\le 100\\). esli \\(r=0\\), idem \\(q\\) raz po rebru dliny \\(101\\). esli \\(r>0\\), idem \\(q\\) raz po rebru dliny \\(101\\), a zatem odi…","source_keys":["kolmogorov","baltic"]}
{"id":"yumt-2015-grand-round3-problem9","title":"Гамильтонов цикл в Concur-Air влечёт гамильтонов цикл в Super-Air, ЮМТ 2015","path":"data\\problems\\yumt\\yumt-2015-grand-round3-problem9.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/yumt/yumt-2015-grand-round3-problem9.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#yumt-2015-grand-round3-problem9","source_key":"yumt","source_label":"ЮМТ","source_titles":["ЮМТ 2015, Гранд-лига, третий тур, бой за первое место, 9. Hamiltonian cycle in Concur-Air implies one in Super-Air","Baltic Way 2014 официальные условия","Baltic Way 2014 официальные решения"],"year":"2015","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["connectivity","hamiltonian_cycles","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"regional","local_score":6,"comment":"Импортировано из проверенной архивной карточки ЮМТ 2015_grand_round3_problem9.md; этап: Гранд-лига, третий тур, бой за первое место.","status":"ai_checked"},"review_status":"needs_human_review","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"official_complete_or_near_complete","label":"официальное полное/почти полное","status":"ai_checked","confidence":0.9,"basis":"агентский аудит средней сложности","notes":"Решение распознано как официальное или архивное; оснований понижать статус не найдено.","audit_source":"agent-russian-archives.json"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Оригинальная формулировка","status":"ai_checked","text":"В стране 100 аэропортов. У компании Super-Air есть несколько прямых двусторонних рейсов; между двумя аэропортами не более одного прямого рейса компании. Важностью аэропорта называется число рейсов компании Super-Air, соединяющих его с другими аэропортами. Новая компания Concur-Air открывает прямой рейс между двумя городами тогда и только тогда, когда сумма важностей этих городов не менее 100. Оказалось, что существует циклический маршрут из рейсов компании Concur-Air, проходящий через каждый аэропорт ровно один раз. Докажите, что то же условие выполнено и для рейсов компании Super-Air.","definition_ids":["degree","cycle","hamiltonian_cycle"]}]},"solutions":[{"id":"sol-archive-card","title":"Развёрнутое замыкание Бонди — Хватала","status":"ai_checked","definition_ids":["degree","cycle","hamiltonian_cycle"],"standard_idea_ids":["extremal_choice"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Обозначим через G граф рейсов компании Super-Air. В нём 100 вершин, а важность аэропорта — это степень соответствующей вершины. Обозначим через H граф рейсов Concur-Air. По условию две вершины u и v соединены в H тогда и только тогда, когда \\(\\deg_G(u)+\\deg_G(v)\\ge 100\\). Нам понадобится простая лемма. Пусть в графе X на N вершинах две несмежные вершины a и b имеют \\(\\deg_X(a)+\\deg_X(b)\\ge N\\). Тогда добавление ребра ab не может впервые создать гамильтонов цикл: если X+ab гамильтонов, то X тоже гамильтонов. Действительно, если гамильтонов цикл в X+ab не использует новое ребро, всё ясно. Если использует, то после удаления ребра ab остаётся гамильтонов путь \\[ b=v_1,v_2,\\ldots,v_N=a \\] в графе X. Рассмотрим индексы \\(i=1,\\ldots,N-1\\). Если для некоторого i одновременно есть рёбра \\(av_i\\) и \\(bv_{i+1}\\), то в X есть гамильтонов цикл \\[ a v_i v_{i-1}\\ldots v_1 b v_{i+1} v_{i+2}\\ldots v_N=a…"}],"relations":[{"id":"rel-yumt-2015-grand-r3-p9-ore-theorem","neighbor_id":"ore-theorem","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"needs_human_review"}],"search_text":"yumt-2015-grand-round3-problem9 гамильтонов цикл в concur-air влечёт гамильтонов цикл в super-air, юмт 2015 connectivity hamiltonian_cycles goal_characterization 2015 baltic way 2014 официальные решения baltic way 2014 официальные условия https://adygmath.ru/content/files/smena2015/turnir15/3tur/3tur_zad_grand_za1mesto.pdf https://bw2025.lu.lv/fileadmin/user_upload/lu_portal/projekti/baltic_way_2013/bw_problems_solutions/bw2014_solutions.pdf https://matematiikkakilpailut.fi/baltian_tie/2014/bt2014rateng.pdf official_archive olympiad_archive src-baltic-way-2014-p10-official-problems src-baltic-way-2014-p10-official-solutions src-yumt-2015-grand-round3-problem9-official with_solution yumt yumt2015 юмт юмт 2015, гранд-лига, третий тур, бой за первое место, 9. hamiltonian cycle in concur-air implies one in super-air юмт2015 ? юмт 2015, гранд-лига, третий тур, бой за первое место, 9. hamiltonian cycle in concur-air implies one in super-air baltic way 2014 официальные условия baltic way 2014 официальные решения stmt-original оригинальная формулировка ai_checked в стране 100 аэропортов. у компании super-air есть несколько прямых двусторонних рейсов; между двумя аэропортами не более одного прямого рейса компании. важностью аэропорта называется число рейсов компании super-air, соединяющих его с другими аэропортами. новая компания concur-air открывает прямой рейс между двумя городами тогда и только тогда, когда сумма важностей этих городов не менее 100. оказалось, что существует циклический маршрут из рейсов компании concur-air, проходящий через каждый аэропорт ровно один раз. докажите, что то же условие выполнено и для рейсов компании super-air. degree cycle hamiltonian_cycle idea-degree-sum-hamiltonian-transfer условие на суммы степеней и гамильтоновость рёбра второго графа задаются порогом на суммы степеней в первом. это ровно тот тип условия, при котором гамильтонов цикл переносится обратно через классические degree-sum аргументы. hamiltonian_cycles ai_draft sol-archive-card развёрнутое замыкание бонди — хватала ai_checked degree cycle hamiltonian_cycle extremal_choice обозначим через g граф рейсов компании super-air. в нём 100 вершин, а важность аэропорта — это степень соответствующей вершины. обозначим через h граф рейсов concur-air. по условию две вершины u и v соединены в h тогда и только тогда, когда \\(\\deg_g(u)+\\deg_g(v)\\ge 100\\). нам понадобится простая лемма. пусть в графе x на n вершинах две несмежные вершины a и b имеют \\(\\deg_x(a)+\\deg_x(b)\\ge n\\). тогда добавление ребра ab не может впервые создать гамильтонов цикл: если x+ab гамильтонов, то x тоже гамильтонов. действительно, если гамильтонов цикл в x+ab не использует новое ребро, всё ясно. если использует, то после удаления ребра ab остаётся гамильтонов путь \\[ b=v_1,v_2,\\ldots,v_n=a \\] в графе x. рассмотрим индексы \\(i=1,\\ldots,n-1\\). если для некоторого i одновременно есть рёбра \\(av_i\\) и \\(bv_{i+1}\\), то в x есть гамильтонов цикл \\[ a v_i v_{i-1}\\ldots v_1 b v_{i+1} v_{i+2}\\ldots v_n=a… yumt-2015-grand-round3-problem9 gamiltonov tsikl v concur-air vlechet gamiltonov tsikl v super-air, yumt 2015 connectivity hamiltonian_cycles goal_characterization 2015 baltic way 2014 ofitsialnye resheniya baltic way 2014 ofitsialnye usloviya https://adygmath.ru/content/files/smena2015/turnir15/3tur/3tur_zad_grand_za1mesto.pdf https://bw2025.lu.lv/fileadmin/user_upload/lu_portal/projekti/baltic_way_2013/bw_problems_solutions/bw2014_solutions.pdf https://matematiikkakilpailut.fi/baltian_tie/2014/bt2014rateng.pdf official_archive olympiad_archive src-baltic-way-2014-p10-official-problems src-baltic-way-2014-p10-official-solutions src-yumt-2015-grand-round3-problem9-official with_solution yumt yumt2015 yumt yumt 2015, grand-liga, tretiy tur, boy za pervoe mesto, 9. hamiltonian cycle in concur-air implies one in super-air yumt2015 ? yumt 2015, grand-liga, tretiy tur, boy za pervoe mesto, 9. hamiltonian cycle in concur-air implies one in super-air baltic way 2014 ofitsialnye usloviya baltic way 2014 ofitsialnye resheniya stmt-original originalnaya formulirovka ai_checked v strane 100 aeroportov. u kompanii super-air est neskolko pryamyh dvustoronnih reysov; mezhdu dvumya aeroportami ne bolee odnogo pryamogo reysa kompanii. vazhnostyu aeroporta nazyvaetsya chislo reysov kompanii super-air, soedinyayuschih ego s drugimi aeroportami. novaya kompaniya concur-air otkryvaet pryamoy reys mezhdu dvumya gorodami togda i tolko togda, kogda summa vazhnostey etih gorodov ne menee 100. okazalos, chto suschestvuet tsiklicheskiy marshrut iz reysov kompanii concur-air, prohodyaschiy cherez kazhdyy aeroport rovno odin raz. dokazhite, chto to zhe uslovie vypolneno i dlya reysov kompanii super-air. degree cycle hamiltonian_cycle idea-degree-sum-hamiltonian-transfer uslovie na summy stepeney i gamiltonovost rebra vtorogo grafa zadayutsya porogom na summy stepeney v pervom. eto rovno tot tip usloviya, pri kotorom gamiltonov tsikl perenositsya obratno cherez klassicheskie degree-sum argumenty. hamiltonian_cycles ai_draft sol-archive-card razvernutoe zamykanie bondi — hvatala ai_checked degree cycle hamiltonian_cycle extremal_choice oboznachim cherez g graf reysov kompanii super-air. v nem 100 vershin, a vazhnost aeroporta — eto stepen sootvetstvuyuschey vershiny. oboznachim cherez h graf reysov concur-air. po usloviyu dve vershiny u i v soedineny v h togda i tolko togda, kogda \\(\\deg_g(u)+\\deg_g(v)\\ge 100\\). nam ponadobitsya prostaya lemma. pust v grafe x na n vershinah dve nesmezhnye vershiny a i b imeyut \\(\\deg_x(a)+\\deg_x(b)\\ge n\\). togda dobavlenie rebra ab ne mozhet vpervye sozdat gamiltonov tsikl: esli x+ab gamiltonov, to x tozhe gamiltonov. deystvitelno, esli gamiltonov tsikl v x+ab ne ispolzuet novoe rebro, vse yasno. esli ispolzuet, to posle udaleniya rebra ab ostaetsya gamiltonov put \\[ b=v_1,v_2,\\ldots,v_n=a \\] v grafe x. rassmotrim indeksy \\(i=1,\\ldots,n-1\\). esli dlya nekotorogo i odnovremenno est rebra \\(av_i\\) i \\(bv_{i+1}\\), to v x est gamiltonov tsikl \\[ a v_i v_{i-1}\\ldots v_1 b v_{i+1} v_{i+2}\\ldots v_n=a…","source_keys":["yumt","baltic"]}