{"id":"all-union-1981-final-9-football-independent-triple","title":"Три команды без сыгранных матчей, Всесоюзная олимпиада 1981","path":"data\\problems\\all-union\\all-union-1981-final-9-football-independent-triple.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/all-union/all-union-1981-final-9-football-independent-triple.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#all-union-1981-final-9-football-independent-triple","source_key":"all","source_label":"Всесоюзная олимпиада","source_titles":["Н.Б. Васильев, А.А. Егоров, Задачи всесоюзных математических олимпиад, Наука, 1988","Математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, OCR access copy"],"year":"1981","type":"olympiad_problem","authors":["С. Конягин"],"tags":["extremal_graph_theory","matching","degree_counting","pigeonhole_principle","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":4,"comment":"Всесоюзная математическая олимпиада 1981 года, заключительный этап, 9 класс, задача 135, первый день.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"глубокий проход высокой сложности, 2026-05-05","notes":"Полное короткое решение есть в опубликованных OCR/скан-источниках. В локальном реестре источник не помечен как официальный, поэтому карточка использует unofficial_published, а не официальную классификацию.","audit_source":"docs/archive/vosh-official-sweep/deep/all-union-1981-final-9-football-independent-triple.md"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"18 команд после 8 туров","status":"ai_checked","text":"В футбольном турнире 18 команд сыграли между собой 8 туров: каждая команда сыграла с восемью разными командами. Докажите, что найдутся три команды, не сыгравшие между собой пока ни одного матча.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Независимая тройка в графе сыгранных матчей с разбиением на 8 туров","status":"ai_checked","text":"Пусть \\(G\\) — простой граф на 18 вершинах, ребра которого разбиты на 8 паросочетаний, причем каждая вершина инцидентна ровно одному ребру каждого паросочетания. Докажите, что в \\(G\\) существует независимое множество из трех вершин.","definition_ids":["simple_graph","matching","independent_set"]}]},"solutions":[{"id":"sol-published-nine-nonopponents","title":"Подсчет матчей внутри девяти несыгравших с фиксированной командой","status":"ai_checked","definition_ids":["matching"],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Выберем произвольную команду \\(A\\). За 8 туров она сыграла с 8 командами, поэтому осталось ровно 9 команд, с которыми \\(A\\) еще не встречалась. Покажем, что среди этих 9 команд найдутся две, также не игравшие друг с другом. Действительно, если бы каждые две из них уже сыграли, то внутри этой девятки были бы проведены все \\(\\binom{9}{2}=36\\) матчей. Но за один тур внутри 9 команд можно провести не более 4 матчей, потому что в одном туре каждая команда участвует не более чем в одном матче, а одна из 9 команд неизбежно остается без соперника из этой же девятки. Значит, за 8 туров внутри девятки могло быть проведено не более \\(8\\cdot4=32\\) матчей, что меньше 36. Итак, найдутся две команды \\(B\\) и \\(C\\) из этой девятки, которые еще не играли между собой. Команда \\(A\\) не играла ни с \\(B\\), ни с \\(C\\) по выбору девятки. Следовательно, \\(A,B,C\\) — три команды, между которыми пока не было ни од…"}],"relations":[],"search_text":"all-union-1981-final-9-football-independent-triple три команды без сыгранных матчей, всесоюзная олимпиада 1981 extremal_graph_theory matching degree_counting pigeonhole_principle goal_existence 1981 all all1981 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution всесоюзная олимпиада всесоюзнаяолимпиада всесоюзнаяолимпиада1981 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 с. конягин с. конягин н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy stmt-original 18 команд после 8 туров ai_checked в футбольном турнире 18 команд сыграли между собой 8 туров: каждая команда сыграла с восемью разными командами. докажите, что найдутся три команды, не сыгравшие между собой пока ни одного матча. stmt-graph независимая тройка в графе сыгранных матчей с разбиением на 8 туров ai_checked пусть \\(g\\) — простой граф на 18 вершинах, ребра которого разбиты на 8 паросочетаний, причем каждая вершина инцидентна ровно одному ребру каждого паросочетания. докажите, что в \\(g\\) существует независимое множество из трех вершин. simple_graph matching independent_set idea-nine-nonopponents-round-capacity взять девять команд, не игравших с фиксированной командой если фиксированная команда не играла с девятью командами, то достаточно найти среди этих девяти две команды, которые тоже не играли друг с другом. все \\(\\binom{9}{2}=36\\) матчей внутри такой девятки нельзя провести за 8 туров: в одном туре внутри 9 команд возможно не более 4 матчей. matching pigeonhole_principle degree_counting ai_checked sol-published-nine-nonopponents подсчет матчей внутри девяти несыгравших с фиксированной командой ai_checked matching pigeonhole_principle выберем произвольную команду \\(a\\). за 8 туров она сыграла с 8 командами, поэтому осталось ровно 9 команд, с которыми \\(a\\) еще не встречалась. покажем, что среди этих 9 команд найдутся две, также не игравшие друг с другом. действительно, если бы каждые две из них уже сыграли, то внутри этой девятки были бы проведены все \\(\\binom{9}{2}=36\\) матчей. но за один тур внутри 9 команд можно провести не более 4 матчей, потому что в одном туре каждая команда участвует не более чем в одном матче, а одна из 9 команд неизбежно остается без соперника из этой же девятки. значит, за 8 туров внутри девятки могло быть проведено не более \\(8\\cdot4=32\\) матчей, что меньше 36. итак, найдутся две команды \\(b\\) и \\(c\\) из этой девятки, которые еще не играли между собой. команда \\(a\\) не играла ни с \\(b\\), ни с \\(c\\) по выбору девятки. следовательно, \\(a,b,c\\) — три команды, между которыми пока не было ни од… all-union-1981-final-9-football-independent-triple tri komandy bez sygrannyh matchey, vsesoyuznaya olimpiada 1981 extremal_graph_theory matching degree_counting pigeonhole_principle goal_existence 1981 all all1981 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution vsesoyuznaya olimpiada vsesoyuznayaolimpiada vsesoyuznayaolimpiada1981 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 s. konyagin s. konyagin n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy stmt-original 18 komand posle 8 turov ai_checked v futbolnom turnire 18 komand sygrali mezhdu soboy 8 turov: kazhdaya komanda sygrala s vosemyu raznymi komandami. dokazhite, chto naydutsya tri komandy, ne sygravshie mezhdu soboy poka ni odnogo matcha. stmt-graph nezavisimaya troyka v grafe sygrannyh matchey s razbieniem na 8 turov ai_checked pust \\(g\\) — prostoy graf na 18 vershinah, rebra kotorogo razbity na 8 parosochetaniy, prichem kazhdaya vershina intsidentna rovno odnomu rebru kazhdogo parosochetaniya. dokazhite, chto v \\(g\\) suschestvuet nezavisimoe mnozhestvo iz treh vershin. simple_graph matching independent_set idea-nine-nonopponents-round-capacity vzyat devyat komand, ne igravshih s fiksirovannoy komandoy esli fiksirovannaya komanda ne igrala s devyatyu komandami, to dostatochno nayti sredi etih devyati dve komandy, kotorye tozhe ne igrali drug s drugom. vse \\(\\binom{9}{2}=36\\) matchey vnutri takoy devyatki nelzya provesti za 8 turov: v odnom ture vnutri 9 komand vozmozhno ne bolee 4 matchey. matching pigeonhole_principle degree_counting ai_checked sol-published-nine-nonopponents podschet matchey vnutri devyati nesygravshih s fiksirovannoy komandoy ai_checked matching pigeonhole_principle vyberem proizvolnuyu komandu \\(a\\). za 8 turov ona sygrala s 8 komandami, poetomu ostalos rovno 9 komand, s kotorymi \\(a\\) esche ne vstrechalas. pokazhem, chto sredi etih 9 komand naydutsya dve, takzhe ne igravshie drug s drugom. deystvitelno, esli by kazhdye dve iz nih uzhe sygrali, to vnutri etoy devyatki byli by provedeny vse \\(\\binom{9}{2}=36\\) matchey. no za odin tur vnutri 9 komand mozhno provesti ne bolee 4 matchey, potomu chto v odnom ture kazhdaya komanda uchastvuet ne bolee chem v odnom matche, a odna iz 9 komand neizbezhno ostaetsya bez sopernika iz etoy zhe devyatki. znachit, za 8 turov vnutri devyatki moglo byt provedeno ne bolee \\(8\\cdot4=32\\) matchey, chto menshe 36. itak, naydutsya dve komandy \\(b\\) i \\(c\\) iz etoy devyatki, kotorye esche ne igrali mezhdu soboy. komanda \\(a\\) ne igrala ni s \\(b\\), ni s \\(c\\) po vyboru devyatki. sledovatelno, \\(a,b,c\\) — tri komandy, mezhdu kotorymi poka ne bylo ni od…","source_keys":["all"]}
{"id":"all-union-1985-final-9-complete-graph-edge-coloring","title":"Раскраска пересекающихся сторон и диагоналей правильного n-угольника, Всесоюзная олимпиада 1985","path":"data\\problems\\all-union\\all-union-1985-final-9-complete-graph-edge-coloring.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/all-union/all-union-1985-final-9-complete-graph-edge-coloring.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#all-union-1985-final-9-complete-graph-edge-coloring","source_key":"all","source_label":"Всесоюзная олимпиада","source_titles":["Н.Б. Васильев, А.А. Егоров, Задачи всесоюзных математических олимпиад, Наука, 1988","Математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, OCR access copy"],"year":"1985","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["coloring","construction","goal_exact_bound"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Всесоюзная математическая олимпиада 1985 года, заключительный этап, 9 класс, задача 164, первый день. Ключевой риск задачи — не заменить условие о любых общих точках обычной рёберной раскраской по общим вершинам.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"углублённый аудит карточки и опубликованных скан/OCR-источников","notes":"Полное решение развёрнуто по надёжному скану Math.ru сборника издательства «Наука» 1988 года, но в data/sources источник не помечен как официальный источник олимпиадных решений."},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Цвета сторон и диагоналей","status":"ai_checked","text":"В правильном \\(n\\)-угольнике требуется покрасить каждую сторону и каждую диагональ каким-либо цветом так, чтобы любые два из этих отрезков, имеющие общую точку, были окрашены различно. Найти наименьшее количество цветов, которое для этого необходимо.","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Раскраска рёбер геометрического полного графа с запретом пересечений одного цвета","status":"ai_checked","text":"Пусть вершины полного графа \\(K_n\\) расположены как вершины правильного \\(n\\)-угольника, а его рёбра понимаются как замкнутые отрезки. Найдите минимальное число цветов в раскраске рёбер, при которой любые два рёбра-отрезка с общей точкой, то есть с общей вершиной или внутренним пересечением, имеют разные цвета.","definition_ids":["complete_graph"]}]},"solutions":[{"id":"sol-published-parallel-classes","title":"Ответ через параллельные классы хорд","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["pigeonhole_principle"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: нужно ровно \\(n\\) цветов. Сначала докажем, что меньшим числом цветов обойтись нельзя. Выберем вершину \\(A\\) правильного \\(n\\)-угольника и обозначим через \\(B\\) и \\(C\\) две соседние с ней вершины. Рассмотрим все \\(n-1\\) отрезков, выходящих из \\(A\\), и ещё отрезок \\(BC\\). Всего получилось \\(n\\) отрезков. Любые два отрезка из первых \\(n-1\\) имеют общую точку \\(A\\). Отрезок \\(BC\\) имеет общую точку с \\(AB\\) и \\(AC\\). Если \\(D\\) — любая другая вершина, то вершины \\(B\\) и \\(C\\) разделяют на границе многоугольника две дуги: одна из них содержит только \\(A\\), а другая содержит все остальные вершины. Поэтому хорды \\(AD\\) и \\(BC\\) в выпуклом многоугольнике пересекаются во внутренней точке. Значит, выбранные \\(n\\) отрезков попарно имеют общую точку, и все они должны получить разные цвета. Следовательно, цветов нужно не меньше \\(n\\). Теперь построим раскраску в \\(n\\) цветов. Пронумеруем верш…"}],"relations":[],"search_text":"all-union-1985-final-9-complete-graph-edge-coloring раскраска пересекающихся сторон и диагоналей правильного n-угольника, всесоюзная олимпиада 1985 coloring construction goal_exact_bound 1985 all all1985 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution всесоюзная олимпиада всесоюзнаяолимпиада всесоюзнаяолимпиада1985 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 ? н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy stmt-original цвета сторон и диагоналей ai_checked в правильном \\(n\\)-угольнике требуется покрасить каждую сторону и каждую диагональ каким-либо цветом так, чтобы любые два из этих отрезков, имеющие общую точку, были окрашены различно. найти наименьшее количество цветов, которое для этого необходимо. stmt-graph раскраска рёбер геометрического полного графа с запретом пересечений одного цвета ai_checked пусть вершины полного графа \\(k_n\\) расположены как вершины правильного \\(n\\)-угольника, а его рёбра понимаются как замкнутые отрезки. найдите минимальное число цветов в раскраске рёбер, при которой любые два рёбра-отрезка с общей точкой, то есть с общей вершиной или внутренним пересечением, имеют разные цвета. complete_graph idea-parallel-chord-directions раскраска по направлениям хорд в правильном \\(n\\)-угольнике все стороны и диагонали разбиваются ровно на \\(n\\) классов параллельных отрезков. отрезки одного класса параллельны и различны, поэтому не имеют общей точки; это даёт верхнюю оценку. нижняя оценка получается из \\(n\\) попарно пересекающихся отрезков около одной вершины. coloring construction ai_checked sol-published-parallel-classes ответ через параллельные классы хорд ai_checked pigeonhole_principle ответ: нужно ровно \\(n\\) цветов. сначала докажем, что меньшим числом цветов обойтись нельзя. выберем вершину \\(a\\) правильного \\(n\\)-угольника и обозначим через \\(b\\) и \\(c\\) две соседние с ней вершины. рассмотрим все \\(n-1\\) отрезков, выходящих из \\(a\\), и ещё отрезок \\(bc\\). всего получилось \\(n\\) отрезков. любые два отрезка из первых \\(n-1\\) имеют общую точку \\(a\\). отрезок \\(bc\\) имеет общую точку с \\(ab\\) и \\(ac\\). если \\(d\\) — любая другая вершина, то вершины \\(b\\) и \\(c\\) разделяют на границе многоугольника две дуги: одна из них содержит только \\(a\\), а другая содержит все остальные вершины. поэтому хорды \\(ad\\) и \\(bc\\) в выпуклом многоугольнике пересекаются во внутренней точке. значит, выбранные \\(n\\) отрезков попарно имеют общую точку, и все они должны получить разные цвета. следовательно, цветов нужно не меньше \\(n\\). теперь построим раскраску в \\(n\\) цветов. пронумеруем верш… all-union-1985-final-9-complete-graph-edge-coloring raskraska peresekayuschihsya storon i diagonaley pravilnogo n-ugolnika, vsesoyuznaya olimpiada 1985 coloring construction goal_exact_bound 1985 all all1985 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution vsesoyuznaya olimpiada vsesoyuznayaolimpiada vsesoyuznayaolimpiada1985 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 ? n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy stmt-original tsveta storon i diagonaley ai_checked v pravilnom \\(n\\)-ugolnike trebuetsya pokrasit kazhduyu storonu i kazhduyu diagonal kakim-libo tsvetom tak, chtoby lyubye dva iz etih otrezkov, imeyuschie obschuyu tochku, byli okrasheny razlichno. nayti naimenshee kolichestvo tsvetov, kotoroe dlya etogo neobhodimo. stmt-graph raskraska reber geometricheskogo polnogo grafa s zapretom peresecheniy odnogo tsveta ai_checked pust vershiny polnogo grafa \\(k_n\\) raspolozheny kak vershiny pravilnogo \\(n\\)-ugolnika, a ego rebra ponimayutsya kak zamknutye otrezki. naydite minimalnoe chislo tsvetov v raskraske reber, pri kotoroy lyubye dva rebra-otrezka s obschey tochkoy, to est s obschey vershinoy ili vnutrennim peresecheniem, imeyut raznye tsveta. complete_graph idea-parallel-chord-directions raskraska po napravleniyam hord v pravilnom \\(n\\)-ugolnike vse storony i diagonali razbivayutsya rovno na \\(n\\) klassov parallelnyh otrezkov. otrezki odnogo klassa parallelny i razlichny, poetomu ne imeyut obschey tochki; eto daet verhnyuyu otsenku. nizhnyaya otsenka poluchaetsya iz \\(n\\) poparno peresekayuschihsya otrezkov okolo odnoy vershiny. coloring construction ai_checked sol-published-parallel-classes otvet cherez parallelnye klassy hord ai_checked pigeonhole_principle otvet: nuzhno rovno \\(n\\) tsvetov. snachala dokazhem, chto menshim chislom tsvetov oboytis nelzya. vyberem vershinu \\(a\\) pravilnogo \\(n\\)-ugolnika i oboznachim cherez \\(b\\) i \\(c\\) dve sosednie s ney vershiny. rassmotrim vse \\(n-1\\) otrezkov, vyhodyaschih iz \\(a\\), i esche otrezok \\(bc\\). vsego poluchilos \\(n\\) otrezkov. lyubye dva otrezka iz pervyh \\(n-1\\) imeyut obschuyu tochku \\(a\\). otrezok \\(bc\\) imeet obschuyu tochku s \\(ab\\) i \\(ac\\). esli \\(d\\) — lyubaya drugaya vershina, to vershiny \\(b\\) i \\(c\\) razdelyayut na granitse mnogougolnika dve dugi: odna iz nih soderzhit tolko \\(a\\), a drugaya soderzhit vse ostalnye vershiny. poetomu hordy \\(ad\\) i \\(bc\\) v vypuklom mnogougolnike peresekayutsya vo vnutrenney tochke. znachit, vybrannye \\(n\\) otrezkov poparno imeyut obschuyu tochku, i vse oni dolzhny poluchit raznye tsveta. sledovatelno, tsvetov nuzhno ne menshe \\(n\\). teper postroim raskrasku v \\(n\\) tsvetov. pronumeruem versh…","source_keys":["all"]}
{"id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible","title":"Невозможность расстояний \\(1,2,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\) в дереве, Всесоюзная олимпиада 1986","path":"data\\problems\\all-union\\all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/all-union/all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible","source_key":"all","source_label":"\\binom{","source_titles":["Н.Б. Васильев, А.А. Егоров, Задачи всесоюзных математических олимпиад, Наука, 1988","Математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, OCR access copy"],"year":"1986","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","parity_coloring","invariant","goal_impossibility"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Самостоятельная невозможностная половина задачи 172 Всесоюзной математической олимпиады 1986 года, заключительный этап, 9 класс, первый день; ключевой шаг - чётностная окраска дерева с целыми весами.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"выделено из опубликованного решения в сборнике после углублённого аудита","notes":"Локальное доказательство невозможности развёрнуто по опубликованному решению из сборников 1988/1997 годов; реестр источников не помечает их как официальные источники олимпиадных решений.","audit_source":"manual-split-pass-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-n1986","title":"1986 городов и все расстояния от 1 до C(1986,2)","status":"ai_checked","text":"В одном государстве король хочет построить \\(1986\\) городов и \\(1985\\) дорог между ними так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой. Каждая дорога соединяет два города, дороги не пересекаются и не проходят через другие города. Можно ли сделать так, чтобы кратчайшие расстояния по сети дорог между всеми парами городов равнялись \\(1\\) км, \\(2\\) км, \\(3\\) км, ..., \\(\\binom{1986}{2}\\) км?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-n1986","title":"Взвешенное дерево с расстояниями \\(1,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\)","status":"ai_checked","text":"Докажите, что не существует взвешенного дерева на \\(1986\\) вершинах, в котором расстояния между всеми \\(\\binom{1986}{2}\\) парами вершин, взятые как мультимножество, равны \\(1,2,3,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\).","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-parity-square-obstruction-n1986","title":"Чётностное препятствие","status":"ai_checked","definition_ids":["tree"],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: нельзя. Предположим, что такое дерево существует. Длина каждого ребра целая: ребро соединяет две соседние вершины, значит его длина сама является расстоянием между парой вершин и потому входит в набор \\(1,2,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\). Докажем сначала общее необходимое условие для дерева на \\(n\\) вершинах. Выберем корень \\(r\\) и покрасим вершину \\(v\\) в белый цвет, если расстояние от \\(r\\) до \\(v\\) чётно, и в чёрный цвет, если оно нечётно. Так как все реберные длины целые, при переходе по ребру цвет меняется ровно тогда, когда длина этого ребра нечётна. Следовательно, для любых двух вершин расстояние между ними нечётно тогда и только тогда, когда вершины имеют разные цвета. Пусть в двух цветах \\(x\\) и \\(y\\) вершин, \\(x+y=n\\). Тогда число пар вершин с нечётным расстоянием равно \\(xy\\). Но все расстояния по условию - это ровно числа \\(1,2,3,\\ldots,N\\), где \\(N=\\binom n2\\). Если \\(N\\)…"}],"relations":[{"id":"rel-all-union-1986-tree-distances-n6-n1986-paired","neighbor_id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction","direction":"backward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1986-n1986-parent-compound","neighbor_id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-one-to-nchoose2","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1986-n1986-cmo-1991-complete-set-parity","neighbor_id":"cmo-1991-p4-edge-difference-labeling-diagram","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1986-n1986-tree-properties","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible невозможность расстояний \\(1,2,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\) в дереве, всесоюзная олимпиада 1986 trees parity_coloring invariant goal_impossibility 1986 \\binom{ all all1986 binom binom1986 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 ? н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy stmt-original-n1986 1986 городов и все расстояния от 1 до c(1986,2) ai_checked в одном государстве король хочет построить \\(1986\\) городов и \\(1985\\) дорог между ними так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой. каждая дорога соединяет два города, дороги не пересекаются и не проходят через другие города. можно ли сделать так, чтобы кратчайшие расстояния по сети дорог между всеми парами городов равнялись \\(1\\) км, \\(2\\) км, \\(3\\) км, ..., \\(\\binom{1986}{2}\\) км? stmt-graph-n1986 взвешенное дерево с расстояниями \\(1,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\) ai_checked докажите, что не существует взвешенного дерева на \\(1986\\) вершинах, в котором расстояния между всеми \\(\\binom{1986}{2}\\) парами вершин, взятые как мультимножество, равны \\(1,2,3,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\). tree idea-parity-coloring-from-root покрасить вершины по чётности расстояния от корня все реберные длины целые, потому что каждое ребро само задаёт одно из попарных расстояний. поэтому чётность расстояния от выбранного корня корректно делит вершины на два цвета, а расстояние между двумя вершинами нечётно тогда и только тогда, когда их цвета различны. trees parity_coloring ai_checked idea-odd-distance-product число нечётных расстояний равно произведению размеров цветов если в двух цветах \\(x\\) и \\(y\\) вершин, то нечётных расстояний среди всех пар ровно \\(xy\\); с другой стороны, среди чисел \\(1,2,\\ldots,n\\) их количество известно явно. parity_coloring invariant ai_checked idea-square-obstruction получить квадратное необходимое условие из уравнений \\(x+y=n\\) и подсчёта нечётных расстояний получается, что при нечётном \\(n=\\binom n2\\) число \\(n-2\\) должно быть квадратом; для \\(n=1986\\) это неверно. parity_coloring goal_impossibility ai_checked sol-parity-square-obstruction-n1986 чётностное препятствие ai_checked tree double_counting ответ: нельзя. предположим, что такое дерево существует. длина каждого ребра целая: ребро соединяет две соседние вершины, значит его длина сама является расстоянием между парой вершин и потому входит в набор \\(1,2,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\). докажем сначала общее необходимое условие для дерева на \\(n\\) вершинах. выберем корень \\(r\\) и покрасим вершину \\(v\\) в белый цвет, если расстояние от \\(r\\) до \\(v\\) чётно, и в чёрный цвет, если оно нечётно. так как все реберные длины целые, при переходе по ребру цвет меняется ровно тогда, когда длина этого ребра нечётна. следовательно, для любых двух вершин расстояние между ними нечётно тогда и только тогда, когда вершины имеют разные цвета. пусть в двух цветах \\(x\\) и \\(y\\) вершин, \\(x+y=n\\). тогда число пар вершин с нечётным расстоянием равно \\(xy\\). но все расстояния по условию - это ровно числа \\(1,2,3,\\ldots,n\\), где \\(n=\\binom n2\\). если \\(n\\)… all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible nevozmozhnost rasstoyaniy \\(1,2,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\) v dereve, vsesoyuznaya olimpiada 1986 trees parity_coloring invariant goal_impossibility 1986 \\binom{ all all1986 binom binom1986 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 ? n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy stmt-original-n1986 1986 gorodov i vse rasstoyaniya ot 1 do c(1986,2) ai_checked v odnom gosudarstve korol hochet postroit \\(1986\\) gorodov i \\(1985\\) dorog mezhdu nimi tak, chtoby iz kazhdogo goroda mozhno bylo proehat v lyuboy drugoy. kazhdaya doroga soedinyaet dva goroda, dorogi ne peresekayutsya i ne prohodyat cherez drugie goroda. mozhno li sdelat tak, chtoby kratchayshie rasstoyaniya po seti dorog mezhdu vsemi parami gorodov ravnyalis \\(1\\) km, \\(2\\) km, \\(3\\) km, ..., \\(\\binom{1986}{2}\\) km? stmt-graph-n1986 vzveshennoe derevo s rasstoyaniyami \\(1,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\) ai_checked dokazhite, chto ne suschestvuet vzveshennogo dereva na \\(1986\\) vershinah, v kotorom rasstoyaniya mezhdu vsemi \\(\\binom{1986}{2}\\) parami vershin, vzyatye kak multimnozhestvo, ravny \\(1,2,3,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\). tree idea-parity-coloring-from-root pokrasit vershiny po chetnosti rasstoyaniya ot kornya vse rebernye dliny tselye, potomu chto kazhdoe rebro samo zadaet odno iz poparnyh rasstoyaniy. poetomu chetnost rasstoyaniya ot vybrannogo kornya korrektno delit vershiny na dva tsveta, a rasstoyanie mezhdu dvumya vershinami nechetno togda i tolko togda, kogda ih tsveta razlichny. trees parity_coloring ai_checked idea-odd-distance-product chislo nechetnyh rasstoyaniy ravno proizvedeniyu razmerov tsvetov esli v dvuh tsvetah \\(x\\) i \\(y\\) vershin, to nechetnyh rasstoyaniy sredi vseh par rovno \\(xy\\); s drugoy storony, sredi chisel \\(1,2,\\ldots,n\\) ih kolichestvo izvestno yavno. parity_coloring invariant ai_checked idea-square-obstruction poluchit kvadratnoe neobhodimoe uslovie iz uravneniy \\(x+y=n\\) i podscheta nechetnyh rasstoyaniy poluchaetsya, chto pri nechetnom \\(n=\\binom n2\\) chislo \\(n-2\\) dolzhno byt kvadratom; dlya \\(n=1986\\) eto neverno. parity_coloring goal_impossibility ai_checked sol-parity-square-obstruction-n1986 chetnostnoe prepyatstvie ai_checked tree double_counting otvet: nelzya. predpolozhim, chto takoe derevo suschestvuet. dlina kazhdogo rebra tselaya: rebro soedinyaet dve sosednie vershiny, znachit ego dlina sama yavlyaetsya rasstoyaniem mezhdu paroy vershin i potomu vhodit v nabor \\(1,2,\\ldots,\\binom{1986}{2}\\). dokazhem snachala obschee neobhodimoe uslovie dlya dereva na \\(n\\) vershinah. vyberem koren \\(r\\) i pokrasim vershinu \\(v\\) v belyy tsvet, esli rasstoyanie ot \\(r\\) do \\(v\\) chetno, i v chernyy tsvet, esli ono nechetno. tak kak vse rebernye dliny tselye, pri perehode po rebru tsvet menyaetsya rovno togda, kogda dlina etogo rebra nechetna. sledovatelno, dlya lyubyh dvuh vershin rasstoyanie mezhdu nimi nechetno togda i tolko togda, kogda vershiny imeyut raznye tsveta. pust v dvuh tsvetah \\(x\\) i \\(y\\) vershin, \\(x+y=n\\). togda chislo par vershin s nechetnym rasstoyaniem ravno \\(xy\\). no vse rasstoyaniya po usloviyu - eto rovno chisla \\(1,2,3,\\ldots,n\\), gde \\(n=\\binom n2\\). esli \\(n\\)…","source_keys":["all"]}
{"id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction","title":"Шесть городов с расстояниями 1,2,...,15, Всесоюзная олимпиада 1986","path":"data\\problems\\all-union\\all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/all-union/all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction","source_key":"all","source_label":"Всесоюзная олимпиада","source_titles":["Н.Б. Васильев, А.А. Егоров, Задачи всесоюзных математических олимпиад, Наука, 1988","Математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, OCR access copy"],"year":"1986","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","invariant","construction","goal_existence"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":3,"comment":"Самостоятельная конструктивная половина задачи 172 Всесоюзной математической олимпиады 1986 года, заключительный этап, 9 класс, первый день.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"выделено из опубликованного решения в сборнике после углублённого аудита","notes":"Локальная конструкция развёрнута по опубликованному решению из сборников 1988/1997 годов; реестр источников не помечает их как официальные источники олимпиадных решений.","audit_source":"manual-split-pass-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original-n6","title":"Шесть городов и все расстояния от 1 до 15","status":"ai_checked","text":"В одном государстве король хочет построить \\(6\\) городов и \\(5\\) дорог между ними так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой. Каждая дорога соединяет два города, дороги не пересекаются и не проходят через другие города. Можно ли сделать так, чтобы кратчайшие расстояния по сети дорог между всеми \\(15\\) парами городов равнялись \\(1\\) км, \\(2\\) км, \\(3\\) км, ..., \\(15\\) км?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph-n6","title":"Взвешенное дерево на шести вершинах с расстояниями 1,...,15","status":"ai_checked","text":"Существует ли взвешенное дерево на \\(6\\) вершинах, в котором расстояния между всеми \\(\\binom62=15\\) парами вершин, взятые как мультимножество, равны \\(1,2,3,\\ldots,15\\)?","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-explicit-six-vertex-tree","title":"Явное взвешенное дерево","status":"ai_checked","definition_ids":["tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: можно. Построим дерево. Возьмём две вершины \\(A\\) и \\(B\\) и соединим их ребром длины \\(5\\). К вершине \\(A\\) присоединим два листа \\(a_1,a_2\\) ребрами длины \\(1\\) и \\(2\\), а к вершине \\(B\\) присоединим два листа \\(b_1,b_2\\) ребрами длины \\(4\\) и \\(8\\). Это связный граф на шести вершинах с пятью ребрами, то есть дерево. В нем расстояния между соседними вершинами равны весам ребер: \\[ Aa_1=1,\\quad Aa_2=2,\\quad Bb_1=4,\\quad AB=5,\\quad Bb_2=8. \\] Два листа при вершине \\(A\\) находятся на расстоянии \\(1+2=3\\), а два листа при вершине \\(B\\) - на расстоянии \\(4+8=12\\). Остальные расстояния проходят через центральное ребро \\(AB\\). Отсюда получаем \\[ a_1B=6,\\quad a_2B=7,\\quad Ab_1=9,\\quad a_1b_1=10,\\quad a_2b_1=11, \\] и \\[ Ab_2=13,\\quad a_1b_2=14,\\quad a_2b_2=15. \\] Вместе все \\(15\\) попарных расстояний равны \\[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. \\] Следовательно, для \\(n=6\\) требуемая се…"}],"relations":[{"id":"rel-all-union-1986-tree-distances-n6-n1986-paired","neighbor_id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible","direction":"forward","type":"paired_variant","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1986-n6-parent-compound","neighbor_id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-one-to-nchoose2","direction":"backward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1986-tree-distances-tree-properties","neighbor_id":"tree-equivalent-properties","direction":"forward","type":"prerequisite","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction шесть городов с расстояниями 1,2,...,15, всесоюзная олимпиада 1986 trees invariant construction goal_existence 1986 all all1986 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution всесоюзная олимпиада всесоюзнаяолимпиада всесоюзнаяолимпиада1986 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 ? н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy stmt-original-n6 шесть городов и все расстояния от 1 до 15 ai_checked в одном государстве король хочет построить \\(6\\) городов и \\(5\\) дорог между ними так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой. каждая дорога соединяет два города, дороги не пересекаются и не проходят через другие города. можно ли сделать так, чтобы кратчайшие расстояния по сети дорог между всеми \\(15\\) парами городов равнялись \\(1\\) км, \\(2\\) км, \\(3\\) км, ..., \\(15\\) км? stmt-graph-n6 взвешенное дерево на шести вершинах с расстояниями 1,...,15 ai_checked существует ли взвешенное дерево на \\(6\\) вершинах, в котором расстояния между всеми \\(\\binom62=15\\) парами вершин, взятые как мультимножество, равны \\(1,2,3,\\ldots,15\\)? tree idea-two-centers-four-leaves взять два центра и четыре листа достаточно дерева с центральным ребром и двумя листьями у каждого конца; веса \\(1,2,5,4,8\\) подобраны так, чтобы прямые ребра, пары листьев при одном центре и пары через центральное ребро дали все числа от \\(1\\) до \\(15\\). trees construction ai_checked idea-check-distance-multiset проверить все 15 попарных расстояний в дереве между двумя вершинами есть единственный путь, поэтому каждое расстояние находится как сумма весов ребер на этом пути; остается явно перечислить \\(15\\) сумм. trees invariant ai_checked sol-explicit-six-vertex-tree явное взвешенное дерево ai_checked tree ответ: можно. построим дерево. возьмём две вершины \\(a\\) и \\(b\\) и соединим их ребром длины \\(5\\). к вершине \\(a\\) присоединим два листа \\(a_1,a_2\\) ребрами длины \\(1\\) и \\(2\\), а к вершине \\(b\\) присоединим два листа \\(b_1,b_2\\) ребрами длины \\(4\\) и \\(8\\). это связный граф на шести вершинах с пятью ребрами, то есть дерево. в нем расстояния между соседними вершинами равны весам ребер: \\[ aa_1=1,\\quad aa_2=2,\\quad bb_1=4,\\quad ab=5,\\quad bb_2=8. \\] два листа при вершине \\(a\\) находятся на расстоянии \\(1+2=3\\), а два листа при вершине \\(b\\) - на расстоянии \\(4+8=12\\). остальные расстояния проходят через центральное ребро \\(ab\\). отсюда получаем \\[ a_1b=6,\\quad a_2b=7,\\quad ab_1=9,\\quad a_1b_1=10,\\quad a_2b_1=11, \\] и \\[ ab_2=13,\\quad a_1b_2=14,\\quad a_2b_2=15. \\] вместе все \\(15\\) попарных расстояний равны \\[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. \\] следовательно, для \\(n=6\\) требуемая се… all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction shest gorodov s rasstoyaniyami 1,2,...,15, vsesoyuznaya olimpiada 1986 trees invariant construction goal_existence 1986 all all1986 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution vsesoyuznaya olimpiada vsesoyuznayaolimpiada vsesoyuznayaolimpiada1986 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 ? n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy stmt-original-n6 shest gorodov i vse rasstoyaniya ot 1 do 15 ai_checked v odnom gosudarstve korol hochet postroit \\(6\\) gorodov i \\(5\\) dorog mezhdu nimi tak, chtoby iz kazhdogo goroda mozhno bylo proehat v lyuboy drugoy. kazhdaya doroga soedinyaet dva goroda, dorogi ne peresekayutsya i ne prohodyat cherez drugie goroda. mozhno li sdelat tak, chtoby kratchayshie rasstoyaniya po seti dorog mezhdu vsemi \\(15\\) parami gorodov ravnyalis \\(1\\) km, \\(2\\) km, \\(3\\) km, ..., \\(15\\) km? stmt-graph-n6 vzveshennoe derevo na shesti vershinah s rasstoyaniyami 1,...,15 ai_checked suschestvuet li vzveshennoe derevo na \\(6\\) vershinah, v kotorom rasstoyaniya mezhdu vsemi \\(\\binom62=15\\) parami vershin, vzyatye kak multimnozhestvo, ravny \\(1,2,3,\\ldots,15\\)? tree idea-two-centers-four-leaves vzyat dva tsentra i chetyre lista dostatochno dereva s tsentralnym rebrom i dvumya listyami u kazhdogo kontsa; vesa \\(1,2,5,4,8\\) podobrany tak, chtoby pryamye rebra, pary listev pri odnom tsentre i pary cherez tsentralnoe rebro dali vse chisla ot \\(1\\) do \\(15\\). trees construction ai_checked idea-check-distance-multiset proverit vse 15 poparnyh rasstoyaniy v dereve mezhdu dvumya vershinami est edinstvennyy put, poetomu kazhdoe rasstoyanie nahoditsya kak summa vesov reber na etom puti; ostaetsya yavno perechislit \\(15\\) summ. trees invariant ai_checked sol-explicit-six-vertex-tree yavnoe vzveshennoe derevo ai_checked tree otvet: mozhno. postroim derevo. vozmem dve vershiny \\(a\\) i \\(b\\) i soedinim ih rebrom dliny \\(5\\). k vershine \\(a\\) prisoedinim dva lista \\(a_1,a_2\\) rebrami dliny \\(1\\) i \\(2\\), a k vershine \\(b\\) prisoedinim dva lista \\(b_1,b_2\\) rebrami dliny \\(4\\) i \\(8\\). eto svyaznyy graf na shesti vershinah s pyatyu rebrami, to est derevo. v nem rasstoyaniya mezhdu sosednimi vershinami ravny vesam reber: \\[ aa_1=1,\\quad aa_2=2,\\quad bb_1=4,\\quad ab=5,\\quad bb_2=8. \\] dva lista pri vershine \\(a\\) nahodyatsya na rasstoyanii \\(1+2=3\\), a dva lista pri vershine \\(b\\) - na rasstoyanii \\(4+8=12\\). ostalnye rasstoyaniya prohodyat cherez tsentralnoe rebro \\(ab\\). otsyuda poluchaem \\[ a_1b=6,\\quad a_2b=7,\\quad ab_1=9,\\quad a_1b_1=10,\\quad a_2b_1=11, \\] i \\[ ab_2=13,\\quad a_1b_2=14,\\quad a_2b_2=15. \\] vmeste vse \\(15\\) poparnyh rasstoyaniy ravny \\[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. \\] sledovatelno, dlya \\(n=6\\) trebuemaya se…","source_keys":["all"]}
{"id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-one-to-nchoose2","title":"Дерево с попарными расстояниями 1,2,...,n(n-1)/2, Всесоюзная олимпиада 1986","path":"data\\problems\\all-union\\all-union-1986-final-9-tree-distances-one-to-nchoose2.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/all-union/all-union-1986-final-9-tree-distances-one-to-nchoose2.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#all-union-1986-final-9-tree-distances-one-to-nchoose2","source_key":"all","source_label":"Всесоюзная олимпиада","source_titles":["Н.Б. Васильев, А.А. Егоров, Задачи всесоюзных математических олимпиад, Наука, 1988","Математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, OCR access copy"],"year":"1986","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["trees","invariant","parity_coloring","construction","goal_characterization"],"agent_topics":[],"difficulty":{"main":"national_final_medium","local_score":5,"comment":"Всесоюзная математическая олимпиада 1986 года, заключительный этап, 9 класс, задача 172, первый день.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":true,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.86,"basis":"агентский углублённый аудит","notes":"Полное опубликованное решение найдено в OCR-копии доступа 1997 года; Math.ru подтверждает, что сборник 1988 года содержит задачи финального тура Всесоюзной олимпиады с решениями. Локальный реестр источников помечает эти источники как official=false, поэтому классификация — опубликованное, но не официальное.","audit_source":"manual-deep-pass-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"Города, дороги и все расстояния","status":"ai_checked","text":"В одном государстве король хочет построить \\(n\\) городов и \\(n-1\\) дорог между ними так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой. Каждая дорога соединяет два города, дороги не пересекаются и не проходят через другие города. Король хочет, чтобы кратчайшие расстояния по сети дорог между парами городов равнялись \\(1\\) км, \\(2\\) км, \\(3\\) км, ..., \\(\\frac12 n(n-1)\\) км. Возможно ли это, если: а) \\(n=6\\); б) \\(n=1986\\)?","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Взвешенное дерево с заданным множеством расстояний","status":"ai_checked","text":"Существует ли взвешенное дерево на \\(n\\) вершинах, в котором расстояния между всеми \\(\\binom n2\\) парами вершин, взятые как мультимножество, равны \\(1,2,3,\\ldots,\\binom n2\\)? Рассмотрите случаи \\(n=6\\) и \\(n=1986\\).","definition_ids":["tree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-published-parity-and-construction","title":"Опубликованное решение: конструкция для \\(n=6\\) и чётностное препятствие","status":"ai_checked","definition_ids":["tree"],"standard_idea_ids":[],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"Ответ: а) можно; б) нельзя. Сначала построим пример для \\(n=6\\). Возьмём две центральные вершины \\(A,B\\) и соединим их ребром длины \\(5\\). К \\(A\\) присоединим два листа рёбрами длины \\(1\\) и \\(2\\), а к \\(B\\) - два листа рёбрами длины \\(4\\) и \\(8\\). Тогда расстояния между парами вершин равны \\[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. \\] Действительно, рёбра дают \\(1,2,4,5,8\\); два листа при \\(A\\) дают \\(3\\), два листа при \\(B\\) дают \\(12\\); расстояния от листьев при одном конце центрального ребра к противоположному центру и противоположным листьям дают соответственно оставшиеся числа \\(6,7,9,10,11,13,14,15\\). Докажем теперь необходимое условие. Если такое дерево существует, то длина каждого ребра целая, потому что это расстояние между двумя соседними городами и потому входит в набор \\(1,2,\\ldots,\\binom n2\\). Выберем корень и покрасим вершину в белый цвет, если расстояние от корня до неё чёт…"}],"relations":[{"id":"rel-all-union-1986-n6-parent-compound","neighbor_id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n6-construction","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1986-n1986-parent-compound","neighbor_id":"all-union-1986-final-9-tree-distances-n1986-impossible","direction":"forward","type":"specialization","distance":1,"status":"ai_checked"}],"search_text":"all-union-1986-final-9-tree-distances-one-to-nchoose2 дерево с попарными расстояниями 1,2,...,n(n-1)/2, всесоюзная олимпиада 1986 trees invariant parity_coloring construction goal_characterization 1986 all all1986 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution всесоюзная олимпиада всесоюзнаяолимпиада всесоюзнаяолимпиада1986 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 ? н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy stmt-original города, дороги и все расстояния ai_checked в одном государстве король хочет построить \\(n\\) городов и \\(n-1\\) дорог между ними так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой. каждая дорога соединяет два города, дороги не пересекаются и не проходят через другие города. король хочет, чтобы кратчайшие расстояния по сети дорог между парами городов равнялись \\(1\\) км, \\(2\\) км, \\(3\\) км, ..., \\(\\frac12 n(n-1)\\) км. возможно ли это, если: а) \\(n=6\\); б) \\(n=1986\\)? stmt-graph взвешенное дерево с заданным множеством расстояний ai_checked существует ли взвешенное дерево на \\(n\\) вершинах, в котором расстояния между всеми \\(\\binom n2\\) парами вершин, взятые как мультимножество, равны \\(1,2,3,\\ldots,\\binom n2\\)? рассмотрите случаи \\(n=6\\) и \\(n=1986\\). tree idea-tree-metric-distance-multiset смотреть на мультимножество расстояний дерева условие требует, чтобы все \\(\\binom n2\\) попарных расстояний дерева были ровно последовательными числами; это сильное ограничение на веса рёбер и структуру дерева. trees invariant ai_checked idea-parity-bipartition окрасить вершины по чётности расстояния от корня так как длина каждого ребра сама является одним из заданных целых попарных расстояний, чётность расстояния в дереве задаёт двудольную окраску: расстояние между двумя вершинами нечётно тогда и только тогда, когда они разноцветны. parity_coloring trees ai_checked idea-six-vertex-construction для шести вершин достаточно двух центров и четырёх листьев для \\(n=6\\) работает дерево с центральным ребром длины \\(5\\), двумя листьями при одном конце с рёбрами \\(1,2\\) и двумя листьями при другом конце с рёбрами \\(4,8\\). construction trees ai_checked sol-published-parity-and-construction опубликованное решение: конструкция для \\(n=6\\) и чётностное препятствие ai_checked tree ответ: а) можно; б) нельзя. сначала построим пример для \\(n=6\\). возьмём две центральные вершины \\(a,b\\) и соединим их ребром длины \\(5\\). к \\(a\\) присоединим два листа рёбрами длины \\(1\\) и \\(2\\), а к \\(b\\) - два листа рёбрами длины \\(4\\) и \\(8\\). тогда расстояния между парами вершин равны \\[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. \\] действительно, рёбра дают \\(1,2,4,5,8\\); два листа при \\(a\\) дают \\(3\\), два листа при \\(b\\) дают \\(12\\); расстояния от листьев при одном конце центрального ребра к противоположному центру и противоположным листьям дают соответственно оставшиеся числа \\(6,7,9,10,11,13,14,15\\). докажем теперь необходимое условие. если такое дерево существует, то длина каждого ребра целая, потому что это расстояние между двумя соседними городами и потому входит в набор \\(1,2,\\ldots,\\binom n2\\). выберем корень и покрасим вершину в белый цвет, если расстояние от корня до неё чёт… all-union-1986-final-9-tree-distances-one-to-nchoose2 derevo s poparnymi rasstoyaniyami 1,2,...,n(n-1)/2, vsesoyuznaya olimpiada 1986 trees invariant parity_coloring construction goal_characterization 1986 all all1986 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution vsesoyuznaya olimpiada vsesoyuznayaolimpiada vsesoyuznayaolimpiada1986 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 ? n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy stmt-original goroda, dorogi i vse rasstoyaniya ai_checked v odnom gosudarstve korol hochet postroit \\(n\\) gorodov i \\(n-1\\) dorog mezhdu nimi tak, chtoby iz kazhdogo goroda mozhno bylo proehat v lyuboy drugoy. kazhdaya doroga soedinyaet dva goroda, dorogi ne peresekayutsya i ne prohodyat cherez drugie goroda. korol hochet, chtoby kratchayshie rasstoyaniya po seti dorog mezhdu parami gorodov ravnyalis \\(1\\) km, \\(2\\) km, \\(3\\) km, ..., \\(\\frac12 n(n-1)\\) km. vozmozhno li eto, esli: a) \\(n=6\\); b) \\(n=1986\\)? stmt-graph vzveshennoe derevo s zadannym mnozhestvom rasstoyaniy ai_checked suschestvuet li vzveshennoe derevo na \\(n\\) vershinah, v kotorom rasstoyaniya mezhdu vsemi \\(\\binom n2\\) parami vershin, vzyatye kak multimnozhestvo, ravny \\(1,2,3,\\ldots,\\binom n2\\)? rassmotrite sluchai \\(n=6\\) i \\(n=1986\\). tree idea-tree-metric-distance-multiset smotret na multimnozhestvo rasstoyaniy dereva uslovie trebuet, chtoby vse \\(\\binom n2\\) poparnyh rasstoyaniy dereva byli rovno posledovatelnymi chislami; eto silnoe ogranichenie na vesa reber i strukturu dereva. trees invariant ai_checked idea-parity-bipartition okrasit vershiny po chetnosti rasstoyaniya ot kornya tak kak dlina kazhdogo rebra sama yavlyaetsya odnim iz zadannyh tselyh poparnyh rasstoyaniy, chetnost rasstoyaniya v dereve zadaet dvudolnuyu okrasku: rasstoyanie mezhdu dvumya vershinami nechetno togda i tolko togda, kogda oni raznotsvetny. parity_coloring trees ai_checked idea-six-vertex-construction dlya shesti vershin dostatochno dvuh tsentrov i chetyreh listev dlya \\(n=6\\) rabotaet derevo s tsentralnym rebrom dliny \\(5\\), dvumya listyami pri odnom kontse s rebrami \\(1,2\\) i dvumya listyami pri drugom kontse s rebrami \\(4,8\\). construction trees ai_checked sol-published-parity-and-construction opublikovannoe reshenie: konstruktsiya dlya \\(n=6\\) i chetnostnoe prepyatstvie ai_checked tree otvet: a) mozhno; b) nelzya. snachala postroim primer dlya \\(n=6\\). vozmem dve tsentralnye vershiny \\(a,b\\) i soedinim ih rebrom dliny \\(5\\). k \\(a\\) prisoedinim dva lista rebrami dliny \\(1\\) i \\(2\\), a k \\(b\\) - dva lista rebrami dliny \\(4\\) i \\(8\\). togda rasstoyaniya mezhdu parami vershin ravny \\[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. \\] deystvitelno, rebra dayut \\(1,2,4,5,8\\); dva lista pri \\(a\\) dayut \\(3\\), dva lista pri \\(b\\) dayut \\(12\\); rasstoyaniya ot listev pri odnom kontse tsentralnogo rebra k protivopolozhnomu tsentru i protivopolozhnym listyam dayut sootvetstvenno ostavshiesya chisla \\(6,7,9,10,11,13,14,15\\). dokazhem teper neobhodimoe uslovie. esli takoe derevo suschestvuet, to dlina kazhdogo rebra tselaya, potomu chto eto rasstoyanie mezhdu dvumya sosednimi gorodami i potomu vhodit v nabor \\(1,2,\\ldots,\\binom n2\\). vyberem koren i pokrasim vershinu v belyy tsvet, esli rasstoyanie ot kornya do nee chet…","source_keys":["all"]}
{"id":"all-union-1987-final-9-tournament-score-squares","title":"Равенство сумм квадратов побед и поражений в турнире, Всесоюзная олимпиада 1987","path":"data\\problems\\all-union\\all-union-1987-final-9-tournament-score-squares.yaml","raw_github_url":"https://raw.githubusercontent.com/didin-maxim/knowledge_graph_of_graphs/main/data/problems/all-union/all-union-1987-final-9-tournament-score-squares.yaml","viewer_url":"https://didin-maxim.github.io/knowledge_graph_of_graphs/#all-union-1987-final-9-tournament-score-squares","source_key":"all","source_label":"Всесоюзная олимпиада","source_titles":["Н.Б. Васильев, А.А. Егоров, Задачи всесоюзных математических олимпиад, Наука, 1988","Математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, OCR access copy"],"year":"1987","type":"olympiad_problem","authors":[],"tags":["tournaments","degree_counting","goal_proof"],"agent_topics":["game_strategy_candidate"],"difficulty":{"main":"national_final_easy","local_score":3,"comment":"Всесоюзная математическая олимпиада 1987 года, заключительный этап, 9 класс, задача 177, первый день.","status":"ai_checked"},"review_status":"ai_checked","public_ready":false,"solution_state":"with_solution","solution_classification":{"type":"unofficial_published","label":"опубликованное неофициальное","status":"ai_checked","confidence":0.84,"basis":"OCR-решение из опубликованного сборника и локальная самодостаточная адаптация","notes":"Полное опубликованное решение задачи 177 найдено в OCR-копии доступа. Источник является надёжным опубликованным сборником, но не официальным олимпиадным сайтом решений.","audit_source":"manual-deep-pass-2026-05-05"},"statements":{"original":[{"id":"stmt-original","title":"10 спортсменов в круговом турнире","status":"ai_checked","text":"Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира \\(x_1\\) побед и потерпел \\(y_1\\) поражений, второй одержал \\(x_2\\) побед и потерпел \\(y_2\\) поражений и т. д. Доказать, что \\(x_1^2+\\cdots+x_{10}^2=y_1^2+\\cdots+y_{10}^2\\).","definition_ids":[]}],"graph_theory":[{"id":"stmt-graph","title":"Суммы квадратов полустепеней турнира","status":"ai_checked","text":"В турнире на \\(n\\) вершинах обозначим через \\(d^+(v)\\) и \\(d^-(v)\\) исходящую и входящую степени вершины \\(v\\). Докажите, что \\(\\sum_v (d^+(v))^2=\\sum_v (d^-(v))^2\\).","definition_ids":["tournament","degree","outdegree","indegree"]}]},"solutions":[{"id":"sol-published-degree-balance","title":"Баланс побед и поражений","status":"ai_checked","definition_ids":[],"standard_idea_ids":["double_counting"],"tags":[],"has_text":true,"text_preview":"В турнире на \\(n\\) вершинах для каждой вершины \\(v\\) выполнено \\[ d^+(v)+d^-(v)=n-1. \\] Кроме того, каждое ребро даёт ровно один исходящий и ровно один входящий конец, поэтому \\[ \\sum_v d^+(v)=\\sum_v d^-(v). \\] Теперь вычтем суммы квадратов: \\[ \\sum_v (d^+(v))^2-\\sum_v (d^-(v))^2=\\sum_v (d^+(v)-d^-(v))(d^+(v)+d^-(v))=(n-1)\\sum_v (d^+(v)-d^-(v))=0. \\] Следовательно, \\(\\sum_v (d^+(v))^2=\\sum_v (d^-(v))^2\\)."}],"relations":[{"id":"rel-all-union-1987-score-squares-polish-mo-2022-badminton","neighbor_id":"polish-mo-2022-ii-p6-badminton-euler-cycles","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1987-score-squares-imo-2010-c5","neighbor_id":"imo-2010-c5-bad-company-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-all-union-1987-score-squares-cmo-2006-cycle-triplets","neighbor_id":"cmo-2006-p4-cycle-triplets-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-cmo-2006-max-cycle-triplets-all-union-score-squares","neighbor_id":"cmo-2006-p4-max-cycle-triplets-tournament","direction":"forward","type":"same_motif","distance":2,"status":"ai_checked"},{"id":"rel-winner-count-lemma-all-union-1987-tournament-loss-counting","neighbor_id":"round-robin-winner-count-hall-lemma","direction":"backward","type":"same_motif","distance":3,"status":"ai_checked"}],"search_text":"all-union-1987-final-9-tournament-score-squares равенство сумм квадратов побед и поражений в турнире, всесоюзная олимпиада 1987 tournaments degree_counting goal_proof 1987 all all1987 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution всесоюзная олимпиада всесоюзнаяолимпиада всесоюзнаяолимпиада1987 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 ? н.б. васильев, а.а. егоров, задачи всесоюзных математических олимпиад, наука, 1988 математические олимпиады школьников. 9 класс, 1997, ocr access copy stmt-original 10 спортсменов в круговом турнире ai_checked десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. первый игрок одержал в ходе турнира \\(x_1\\) побед и потерпел \\(y_1\\) поражений, второй одержал \\(x_2\\) побед и потерпел \\(y_2\\) поражений и т. д. доказать, что \\(x_1^2+\\cdots+x_{10}^2=y_1^2+\\cdots+y_{10}^2\\). stmt-graph суммы квадратов полустепеней турнира ai_checked в турнире на \\(n\\) вершинах обозначим через \\(d^+(v)\\) и \\(d^-(v)\\) исходящую и входящую степени вершины \\(v\\). докажите, что \\(\\sum_v (d^+(v))^2=\\sum_v (d^-(v))^2\\). tournament degree outdegree indegree idea-indegree-outdegree-complement у каждой вершины сумма побед и поражений постоянна в турнире на 10 вершинах для каждой вершины \\(d^+(v)+d^-(v)=9\\); равенство сумм квадратов сводится к равенству сумм входящих и исходящих степеней. tournaments degree_counting ai_checked sol-published-degree-balance баланс побед и поражений ai_checked double_counting в турнире на \\(n\\) вершинах для каждой вершины \\(v\\) выполнено \\[ d^+(v)+d^-(v)=n-1. \\] кроме того, каждое ребро даёт ровно один исходящий и ровно один входящий конец, поэтому \\[ \\sum_v d^+(v)=\\sum_v d^-(v). \\] теперь вычтем суммы квадратов: \\[ \\sum_v (d^+(v))^2-\\sum_v (d^-(v))^2=\\sum_v (d^+(v)-d^-(v))(d^+(v)+d^-(v))=(n-1)\\sum_v (d^+(v)-d^-(v))=0. \\] следовательно, \\(\\sum_v (d^+(v))^2=\\sum_v (d^-(v))^2\\). all-union-1987-final-9-tournament-score-squares ravenstvo summ kvadratov pobed i porazheniy v turnire, vsesoyuznaya olimpiada 1987 tournaments degree_counting goal_proof 1987 all all1987 https://djvu.online/file/a6gsdrajgdboj https://math.ru/lib/bib-mat-kr/18 published_collection_ocr published_collection_scan src-djvuonline-vseross-9-1997 src-mathru-vsesoyuznye-1988 with_solution vsesoyuznaya olimpiada vsesoyuznayaolimpiada vsesoyuznayaolimpiada1987 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 ? n.b. vasilev, a.a. egorov, zadachi vsesoyuznyh matematicheskih olimpiad, nauka, 1988 matematicheskie olimpiady shkolnikov. 9 klass, 1997, ocr access copy stmt-original 10 sportsmenov v krugovom turnire ai_checked desyat sportsmenov uchastvovali v turnire po nastolnomu tennisu. kazhdye dva iz nih sygrali mezhdu soboy rovno odnu partiyu. pervyy igrok oderzhal v hode turnira \\(x_1\\) pobed i poterpel \\(y_1\\) porazheniy, vtoroy oderzhal \\(x_2\\) pobed i poterpel \\(y_2\\) porazheniy i t. d. dokazat, chto \\(x_1^2+\\cdots+x_{10}^2=y_1^2+\\cdots+y_{10}^2\\). stmt-graph summy kvadratov polustepeney turnira ai_checked v turnire na \\(n\\) vershinah oboznachim cherez \\(d^+(v)\\) i \\(d^-(v)\\) ishodyaschuyu i vhodyaschuyu stepeni vershiny \\(v\\). dokazhite, chto \\(\\sum_v (d^+(v))^2=\\sum_v (d^-(v))^2\\). tournament degree outdegree indegree idea-indegree-outdegree-complement u kazhdoy vershiny summa pobed i porazheniy postoyanna v turnire na 10 vershinah dlya kazhdoy vershiny \\(d^+(v)+d^-(v)=9\\); ravenstvo summ kvadratov svoditsya k ravenstvu summ vhodyaschih i ishodyaschih stepeney. tournaments degree_counting ai_checked sol-published-degree-balance balans pobed i porazheniy ai_checked double_counting v turnire na \\(n\\) vershinah dlya kazhdoy vershiny \\(v\\) vypolneno \\[ d^+(v)+d^-(v)=n-1. \\] krome togo, kazhdoe rebro daet rovno odin ishodyaschiy i rovno odin vhodyaschiy konets, poetomu \\[ \\sum_v d^+(v)=\\sum_v d^-(v). \\] teper vychtem summy kvadratov: \\[ \\sum_v (d^+(v))^2-\\sum_v (d^-(v))^2=\\sum_v (d^+(v)-d^-(v))(d^+(v)+d^-(v))=(n-1)\\sum_v (d^+(v)-d^-(v))=0. \\] sledovatelno, \\(\\sum_v (d^+(v))^2=\\sum_v (d^-(v))^2\\).","source_keys":["all"]}